Productos notables Sebastián Luna 13 de junio de 2022 1. Factorización La factorización consiste en convertir una expresión conformada por sumandos a un producto de un factor llamado factor común y otro que será la suma de otros factores. 1.1. ¿Como factorizar? Buscamos un factor que sea común en cada uno de los sumandos de la expresión, este será llamado factor común. Luego nuestra expresión será igual a un producto de dos factores, donde uno será el factor común, y el otro será la suma de los factores restantes o no comunes. Ejemplos: Factorizemos 9+18+12 Observamos que 9, 12 y 18 tienen a 3 como factor común, entonces tendrı́amos 9 + 18 + 12 = 3 · 3 + 3 · 6 + 3 · 4 Luego factorizamos el 3 y la expresión nos quedarı́a de la siguiente manera 9 + 18 + 12 = 3 · (3 + 6 + 4) Factorizemos xy + 2y + 3y Observamos que xy, 2y y 3y tienen a y como factor común, entonces tendrı́amos xy + 2y + 3y = xy + 2y + 3y Luego factorizamos el y y la expresión nos quedarı́a de la siguiente manera xy + 2y + 3y = y · (x + 2 + 3) Aplicación 1 Simplifique la siguiente expresión: A= xy + x2 + 7x x+y+7 Aplicación 2 Calcule el valor de M , si se sabe que x + y = 13 M= xy 2 + x2 y + xy xy 1 Aplicación 3 Sean a, b, m, n números reales positivos tales que a + b = 2mn y m + n = 3ab. Halle el valor de la expresión 2. 2.1. 1 1 + a b 1 1 · + m n Productos notables 2.3. Binomio al cuadrado 2 2 (a + b) = a + 2ab + b Identidades de Legendre (a + b)2 + (a − b)2 = 2(a2 + b2 ) 2 (a + b)2 − (a − b)2 = 4ab (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 2.2. 2.4. Diferencia de cuadrados Multiplicación de binomios con un término común (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab (a + b)(a − b) = a2 − b2 Aplicación 4 Si a + b = 13 y ab = 31; calcule el valor de a2 + b2 . Aplicación 5 Determine el valor de P = (x − 4)(x + 3) − (x + 4)(x − 7) 2x + 16 siendo x ̸= −8. Aplicación 6 Determine el valor de 8Q sabiendo (x + y)2 + (x − y)2 Q= 4(x2 + y 2 ) siendo x2 + y 2 ̸= 0. Aplicación 7 Si x + x−1 = 5, calcule el valor de r E= x2 + x−2 + 143 23 2 Aplicación 8 Si a < b, además se cumple: √ a + b = 3 2 y ab = 1 determine el valor de a − b. Aplicación 9 Determine el valor de 1 1 1 1 4044 1 − 2 1− 2 1 − 2 ... 1 − 2 3 4 20222 2.5. Binomio al cubo 2.6. (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3b2 a + b3 Suma y diferencia de cubos a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ) (a − b)3 = a3 − 3a2 b + 3ab2 − b3 a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ) Aplicación 10 Si a + b = 11 y ab = 5, halle el valor de a3 + b 3 24 Aplicación 11 Si x − y = 3 y xy = 5, calcule el valor de x3 − y 3 . Aplicación 12 Si x + x−1 = 4, calcule el valor de x3 + x−3 12 Aplicación 13 √ Determine el equivalente reducido de 3 P , si P = 2.7. a6 − b 6 + b3 (a + b)(a2 − ab + b2 ) Trinomio al cuadrado (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) 3 2.8. Identidad de Gauss a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) Aplicación 14 Sabiendo que a + b + c = 17 y que ab + bc + ca = 61, calcule el valor de a2 + b2 + c2 . 4