Solucionari Matematiques 2 NOU

RECURSOS DIDÀCTICS.
ORIENTACIONS i solucionari
Matemàtiques
2
ÍNDEX
BATXILLERAT edebé
4
Com és el llibre de l’alumne
6
Les claus del nou projecte
8
Solucionari
13
3
BATXILLERAT
edebé
COMPROMíS AMB ELS VALORS PROPIS DEL BATXILLERAT
RIGOR I
ACTUALITZACIÓ
CIENTÍFICA
—— Ús precís i eficaç del coneixement
científic.
CULTURA
DE L’ESFORÇ
—— Treball eficient mitjançant activitats,
problemes… que exigeixen una actitud
proactiva per part de l’alumnat.
—— Actualització i contextualització del
coneixement.
CURIOSITAT
INTEL·LECTUAL
AUTONOMIA I
RESPONSABILITAT
—— Aprenentatge 360º: el coneixement
més enllà de l’aula.
—— Capacitat per a gestionar el propi
aprenentatge per mitjà de reptes
assolibles.
—— Descobriment del gust per saber.
SIS HABILITATS PER A UNA SOCIETAT GLOBAL
COOPERACIÓ
COMPROMÍS AMB VALORS
—— Propostes per a un treball cooperatiu.
—— PBL (Problem-based learning /
Aprenentatge basat en problemes).
—— Compromís ètic per a conviure en
una societat canviant, per a créixer com
a persona…
PENSAMENT CRÍTIC
CREATIVITAT
—— Activitats de raonament i filtres científics per fer front a la toxicitat de la
informació.
—— Actitud creativa i superació de reptes.
COMUNICACIÓ
Iniciativa
—— Gestió de la informació i la comunicació
d’una manera efectiva.
—— Presa de decisions i iniciativa emprenedora
mitjançant activitats i projectes per a la
creació de miniempreses.
—— Les TIC com a eina de comunicació
i font d’aprenentatge.
—— Actituds obertes i flexibles per a abordar
reptes aportant solucions noves i creatives.
edebé n
projecte global interactiu
LLIBRE DIGITAL INTERACTIU
Inclou els recursos digitals necessaris (simuladors, presentacions i
problemes interactius) perquè el professorat gestioni d’una manera eficaç l’aprenentatge a l’aula digital.
SIMULADORS
Reproducció interactiva de procediments i demostracions
matemàtiques.
presentacions
Presentació multimèdia de continguts.
PROBLEMES INTERACTIUS
Proposta de problemes de resolució guiada.
BIBLIOTECA DE RECURSOS DIGITALS
Un espai fàcilment accessible en el qual es poden trobar recursos per a consultar, descobrir i explorar el coneixement.
PER AL PROFESSOR
—— Programacions didàctiques, segons els requisits i les especificacions establerts en la normativa vigent.
—— Orientacions i solucionari (en format PDF), per a facilitar la tasca del professor.
—— Generador d’avaluacions, una important base de dades amb ítems de tipologia diversa per a enriquir les propostes d’avaluació a l’aula.
Disponible en el teu espai personal: www.edebe.com
Multidispositiu
unitat 4.
vectors en l’espai
(i)
Així podem concloure que:
4#
bloc 2.
geometria
Notícies
Els nens de quatre anys ja tenen nocions de geometria
Herman Grassmann
Dins de la matèria de Matemàtiques II, la part de
geometria sol ser la que més dificultat presenta.
Aquest fet no deixa de ser curiós quan, segons la
següent notícia, als quatre anys ja som capaços
d’assimilar les primeres nocions geomètriques.
Si combinem les operacions de suma i producte
per un nombre real, podem expressar el vector

u de la figura de la manera següent:




u = 2x + 2 y + 1z
http://links.edebe.com/icu944
SINC, 13-8-2013.
Diem llavors que el vector és combinació lineal


dels vectors x , y , z .
Pel·lícules
BLOC 2. GEOMETRIA
Star Wars és una saga de pel·lícules que passarà
a la història per haver fet un ús espectacular dels
efectes especials i pel tractament de la geometria
espacial. Alhora, també és una mostra de la vertiginosa evolució de la tecnologia i la informàtica,
al servei de la imatge i els efectes especials.
Vectors en
l’espai (I)
q
w
1.1. Vectors fixos
w
1.2. Vectors lliures
q
2. Operacions amb vectors
q
3. Bases
q
2.1. Suma de vectors
w
2.2. Multiplicació per un nombre real
w
2.3. Combinació lineal de vectors
w
Fixa-t’Hi

El vector 0 és combinació lineal de
qualsevol conjunt de vectors de V3 ja
que per a qualsevol grup de vectors

 
u1, u2 , …, un de V3, sempre podem
escriure




0 = 0 ⋅ u1 + 0 ⋅ u2 + ... + 0 ⋅ un
a>
Després de llegir la notícia contesta:
b>
Observa la imatge d’aquestes dues pàgines:
—Quina relació té amb el contingut de la unitat?
LLENGUatGE MatEMÀtiC
—Troba altres exemples en els quals vegis la influència de la geometria.
4.2. Punt mitjà d’un segment
c>
Reflexiona i respon:
Un conjunt de vectors rep el nom de
sistema lliure si són linealment independents.
—Sovint sentim l’expressió «sobre la base de».
Aquesta expressió col·loquial a què creus que
és deguda? Relaciona-la amb algun concepte
matemàtic que coneguis.
En cas contrari rep el nom de sistema lligat.
—Reflexiona sobre altres expressions colloquials en què s’emprin conceptes geomètrics.
Fixa-t’Hi
Si r és el rang d’un conjunt de vectors deV3, tenim:
•0≤r≤3
• r = 0 si i només
si el conjunt es

redueix al 0.
Presentació
qq
—Com ha canviat el teu aprenentatge matemàtic
al llarg de la teva vida?
4.1. Components d’un vector determinat
per dos punts
Problema
interactiu
Dependència i independència lineal
u
z
y
3
  
COMPRENSIÓ: Els vectors x , y i z ens permetran establir
del paral·lelepípede que determinen els seus representants
y col·locar-lo en el paral·lelepípede, podrem descompondre
formen el paralel·lepípde i expressar-lo com a combinació l
Imagen 11
 
RESOLUCIÓ: Prenem representants de x , y i

z amb origen comú i construïm el parallelepípede ABCDEFGH que determinen

aquests tres vectors. Considerem el vector AP


com el representant de u amb origen comú a x ,
 
y i z.
Anomenem Q el punt d’intersecció d’aquesta
recta amb el pla de la base del paral·lelepípede
i dibuixem el vector AQ. És fàcil observar que
per la regla del paral·lelogram:
Donat un conjunt de vectors, podem determinar el màxim nombre de vectors linealment independents que conté. Aquest nombre s’anomena rang i s’expressa,
també, rang.
Imagen 12



u = [AQ ] + [QP ]
!!!"
3 "
z
• [QP ] =
2
x
ENTREPRENEURS
Els sistemes
d’equacions
i les matrius
• Per la regla del paral·lelogram:



[AQ ] = 1x + 3 y
y
 
 3 
Per tant: u = x + 3 y +
z
2
w
v
Es pot definir una matriu, simplement,
com un arranjament bidimensional de
nombres. Aquest terme va ser utilitzat
per primera vegada pel matemàtic anglès James J. Sylvester (1814-1897),
tot i que no va ser fins al cap d’un temps
que se’n va generalitzar l’ús en la resolució de sistemes d’equacions lineals.
Tanmateix, moltíssim temps abans, al
segle III a. C., un matemàtic xinès desconegut, en la seva obra Nou capítols
sobre l’art de les matemàtiques; havia
introduït ja un mètode que recorda, en
alguns detalls, el mètode de Gauss
amb notació matricial que s’utilitza avui
dia per a resoldre sistemes d’equacions
lineals.
UD. 1
sistemes D’eqUacions lineals. mètoDe De gaUss
edebé n
TECHNOLOGICAL DEVELOPMENTS
Sistemes d’equacions
i circuits elèctrics
Tots coneixeu la famosa llei d’Ohm, que relaciona la tensió,
la resistència i la intensitat de corrent en un circuit. Aquesta
llei permet estudiar circuits senzills, però és insuficient per
a caracteritzar completament circuits més complexos, que
apareixen més freqüentment en la vida quotidiana. És en
aquests casos quan s’utilitzen les lleis de Kirchhoff, basades
en la conservació de l’energia i de la càrrega en els circuits
elèctrics. L’aplicació d’aquestes lleis a un circuit de corrent
continu porta a la formulació d’un sistema d’equacions lineals.
Gustav R. Kirchhoff
(1824-1887)
projecte global interactiu
− Formeu grups de quatre membres i dueu a terme aquestes activitats:
• Informeu-vos sobre les lleis de Kirchhoff i la seva aplicació als circuits de
corrent continu.
• Proposeu un circuit sobre el qual pugueu aplicar les lleis de Kirchhoff.
L’estudi del circuit ha de requerir la resolució d’un sistema de, almenys, tres
equacions i tres incògnites. Assegureu-vos que cada grup treballa sobre un
circuit de geometria diferent.
• Resoleu el circuit per mitjà de les lleis de Kirchhoff i elaboreu un informe en
què exposeu clarament els passos que heu seguit. Prepareu una còpia de
l’informe per a cadascun dels altres grups i lliureu-les.
• Repartiu-vos, entre els membres del grup, la tasca de revisió del treball dels
vostres companys dels altres grups. Busqueu errors i, si n’hi ha, marqueu-los.
Formuleu propostes de millora, etc. i lliureu els informes corregits als seus autors
• Quan hàgiu rebut les correccions del vostre informe, reviseu-les, corregiu els
errors detectats i incorporeu les propostes que us semblin encertades.
CRITICAL SENSE
El mètode de Gauss pot ser que no sigui de Gauss
Karl Friedrich Gauss va ser un matemàtic brillant, les aportacions del qual en els àmbits de les matemàtiques, la física i
l’astronomia van ser molt nombroses i de gran importància. Tanmateix, tot sembla indicar que el mètode de Gauss de
resolució de sistemes d’equacions lineals no es troba, malgrat el nom, entre aquestes aportacions.
− Formeu sis grups de treball i distribuïu-vos les temàtiques
següents:
• Biografia de Karl Friedrich Gauss i anècdotes
• Aportacions de Gauss a l’aritmètica
• Aportacions de Gauss a l’àlgebra
• Aportacions de Gauss a la geometria
• Historia del mètode de Gauss de resolució de sistemes
d’equacions
• Mètodes alternatius de resolució de sistemes
d’equacions
− Investigueu sobre la temàtica que us hagi tocat i elaboreu
una presentació breu, d’entre cinc i deu minuts de durada, per a exposar els vostres resultats a la resta de companys. Podeu començar les vostres recerques consultant
aquests enllaços:
http://links.edebe.com/fm7t
http://links.edebe.com/ad8i
− Treballeu de manera que qualsevol dels membres del grup sigui capaç d’exposar la presentació, ja que arribat el moment
s’escollirà l’encarregat de manera aleatòria.
41
AVALUACIÓ 4
— Contacte amb l’actualitat
matemàtica i científica que
amplia els horitzons del
coneixement.
#
vectors en l’espai (i)
1
Donats els punts A = (1, 0, 1), B = (0, –1, 1) i
C = (0, 2, –1), Donats els punts D perquè els vec 
tors AB i CD siguin equipol·lents.
8
Troba les coordenades del punt D de manera que
els vèrtexs A = (1, 5, 1), B = (–1, 2, 1), C = (4, 2, 1)
i D formin un tetraedre de baricentre H = (1, 2, 1) .
Imagen 34
Sol.: (–1, 1, 1)
2
 
c) u + v
  
d) −u + v + w
— PBL (Problem-based learning /
Aprenentatge basat en problemes):
C
  
Els components de u , v i w en una certa base són



u = (1, 2,1), v = (2,1, 0) i w = (0,1, −1). Efectua les
següents operacions
  
 
e) u − v + w
a) −u + v
  
 
b) v + w
f) u + v − w
A
1  1  1 
u+ v + w
2
2
2

 
h) 2u − 2v − w
g)
Sol.: a) (1, –1, –1); b) (2, 2, –1); c) (3, 3, 1); d) (1, 0, –2);
e) (–1, 3, –1); f) (4, 1, 2); g) (3/2, 2, 0); h) (–2, 1, 3)
3
Troba les coordenades del punt mitjà M que divideixen el segment d’extrems A = (1, 0, 1) i B =
= (0, –1, 1), en dues parts iguals.
4
Esbrina el valor del paràmetre k perquè els vectors



u = (2,k,1), v = (3,k,1) i w = (3, 2,1) siguin linealment dependents. 2
B
Sol.: (0, –1, 1)
9
0
— Determina el rang segons els valors de k.


Donats els vectors u = (1, 2,1) , v = (2,1, 0) ,


w = (0,1, −1) i t = (3, 0, −1):
  
a) Comprova que u , v i w formen base de V3.

 
b) Troba els components de t respecte de u , v i

w.
Sol.: k = –1, (–1, 1, 1), (–1, 0, 1), (0, 0, 1)
k = 1, (1, 1, 1), (1, 0, 1), (0, 0, 1)
q
Sol.: a) Sí; b) (–1, 2, 0)

Comprova que els vectors u = (–1, 1, –1),


v = (1, –1, 1) i w = (1, 1, –1) formen una base de
V3.

— Determina les coordenades de x = (2, 4, –2)
en aquesta base.
6
Determina si els punts de l’espai A = (4, 5, 1),
B = (2, 3, 2), C = (–2, 3, 0) i D = (0, –3, 1) estan
alineats.
7
Troba les coordenades dels punts M iy P que divideixen el segment d’extrems A = (2, 0, –1) i B =
= (1, – 3, 2), en tres parts iguals.
i B = (–3, 4, – 6). Troba les coordenades del punt M
Sol.: M = (3,–1,0); P = (4,–2,1)
Sol.: M = (1, 0, 6)
Sol.: No estan alineats.
128
Calcula els valors del paràmetre k perquè els vec


tors u = (1, 0,k), v = (k, 0,1), w = (k,1,1), expressats en una certa base, siguin linealment dependents.
Per a cada valor de k obtingut, busca un altre vector de V3 que forma una base amb dos dels vectors
inicials.
Sol.: k = 2, rang 2, k ≠ 2, rang 3
5



Considerem els vectors u = (1,1,1), v = (1,1, 0), w i

s = (2, −1, 3) en una base B de V3. Determina els
  

components de w de manera que u , v i w formin

base, sabent que els components de s respecte de
  

u , v i w són s = (3, 4, 3) .
Sol.: (1, 0, 0)
Sol.: (1/2, –1/2, 1)
• Investigació
• Creativitat
• Cooperació/col·laboració
• Comunicació
D



Sol.: x = −v + 3w
w
Es considera el segment AB d’extrems A = (4, – 3, 8)
sobre el segment AB de manera que MA =
3
7
BA
P
Q


Expressem ara [AQ ] + [QP ] com a combinació
  
lineal de x , y y z . Gràficament observem:
Els continguts de la unitat se situen
en contextos reals i funcionals.
ZONA
P
Des del punt P, tracem la recta paral·lela a
l’aresta AE.
Donat un conjunt de vectors de V3, direm que són linealment independents si cap d’ells no es pot expressar com a combinació lineal
dels altres. En cas contrari, direm que són linealment dependents.
Per als vectors de la figura tenim:
  
  
a) Rang {u, v , z} = 3, ja que u, v , z són linealment independents.
  
 
b) Rang {u, w , z} = 2, ja que z i w són linealment
dependents; per tant, el nombre màxim de vectorslinealment independents és dos, per exemple

u iw.
   
 
c) Rang {u, y , w , z} = 3, ja que z i w són linealment
dependents; per tant, el nombre màxim de vectors linealment
independents és tres, per exemple


u, y i w .
  
  
d) Rang {v , x, y } = 1, ja que v , x i y són linealment
dependents, i també ho són qualsevol parella de
z
  
dos vectors que prenguem de {v , x, y }, per la
u
qual cosa el nombre màxim de vectors linealment
independents que podem prendre és un, per

exemple v .
EXEMPLE
  
Siguin tres vectors x, y, z perpendiculars entre si i un vec
tor u com els representats a la figura.
  

Expressa el vector u com a combinació lineal de x, y i z .
x
112
107
Simulador
D
• Més de tres vectors de V3 són sempre linealment dependents.
Com que cap d’ells no es pot expressar com a
combinació lineal dels altres dos es diu que són
linealment independents.
z

u
No succeeix el mateix amb el vector u , que sí
y
que es pot expressar com a combinació lineal

 

x
de x i y , de fet u = x + 2 y .
  
Quan succeeix això diem que x , y i u són linealment dependents.
—Et sorprèn la notícia?
3.1. Operacions amb components
• Tres vectors de V3 són linealment dependents si són coplanaris i són linealment
independents en cas contrari.
Imagen 10
 


Donats els vectors u1 , u2 ,…, un de V3, direm que el vector u és com 

binació lineal de u1 , u2 ,…, un si existeixen k1, k2, …, kn nombres
reals tals que




u = k1u1 + k2u2 + ... + knun
  
Siguin x , y , z els vectors de la figura.
Sense les consideracions geomètriques adequades, ni aquesta pel·lícula ni les seves predecessores haurien tingut la merescuda repercussió
actual ni el consegüent benefici econòmic.
4. Coordenades d’un punt de l’espai
w
En els seus tractats sobre la teoria
de les marees introdueix el que avui
coneixem com a àlgebra lineal i la
noció d’espai vectorial.
EN CONTEXT
w
w
qq
Herman Grassmann (1809-1877)
A El despertar de la força l’androide BB-8 és una
esfera i es mou rodant, a diferència del moviment
lineal del llegendari R2-D2. Les naus espacials
giren vertiginosament, posant-se en vertical per
poder-se moure pels llocs més insospitats i despistar l’enemic. La profunditat en les panoràmiques de les dunes emula situacions en espais
tridimensionals.
1. Vectors en l’espai tridimensional
2.3. Combinació lineal de vectors
• Dos vectors de V3 son linealment dependents si tenen la mateixa direcció, y són
linealment indepenedents en cas contrari.
Avaluació:
qüestions i
problemes
per a activar
el raonament,
el pensament crític,
la relació entre
continguts…
P
3z
2
Q
Imagen 13
FIXA-T’HI
Si en agafar representants de tres o
més vectors de V3, amb el mateix
origen, queden tots en el mateix pla,
direm que són coplanaris.
  
Els vectors a, b i c de la figura són
coplanaris.
  14
d i e de la figura no
Els vectors a,Imagen
són coplanaris.
y
y
u
x
Dependientes
Independientes
Independents
Dependents
d
Exposició de continguts:
c
Imagen 15
b
a
z
u
Problemes RESOLTS
— Rigor, ordre i actualització matemàtica.
x
y
A


   


Els components, en una certa base de V3, de u , v, w i s són u = (1,−2, 3), v = (−2,4,−6), w = (4,−8,12) i s = (3,2,−1). Forma una ma   
triu amb els components dels vectors i calcula el rang d’aquesta matriu que coincidirà amb el rang de la base (rang {u, v , w, s}). Interpreta el resultat obtingut.
Solució
r un sistema de referència a partir

s. A l’escollir un representant de u
e’l en els diferents plans que con   16
lineal de x , Imagen
y i z.
G
u
F
H
E
C
y
Diem, llavors, que aquests vectors
són un sistema de generadors.
z
B
A
G
u
F
H
E
C
z
B
Imagen 18
D
z
y
x
E
C
z
B
x
3y
y
A
1x
Exercicis i problemes
13, 14 i 17
Interpretació del resultat:
RESOLUCIÓ:

Col·loquem verticalment els components dels vectors u ,
  
v , w i s i obtenim la matriu A:
⎛ 1 −2 4
⎜
A = ⎜ −2 4 −8
⎜ 3 −6 12
⎝
   
Aquest resultat rang A = rang {u, v , w , s} = 2 significa que el
màxim nombre de vectors linealment independents és 2. Po 
dem observar que {u, s} és un subconjunt format pel màxim
nombre de vectors linealment independents, ja que els seus
components es corresponen amb les columnes d’un menor no
nul d’ordre dos. Això significa que podrem expressar els altres
dos vectors com a combinació lineal d’aquests.
3 ⎞
⎟
2 ⎟
−1 ⎟⎠
Existeix almenys un menor d’ordre dos diferent de 0, per
exemple:
1 3
−2 2
Si el rang hagués estat 3, significaria que existeixen 3 vectors
linealment independents, i que l’altre vector podria expressar-se com a combinació lineal d’aquests 3. Si el rang hagués
estat 1, només existiria 1 vector linealment independent, i la
resta es podria obtenir directament d’aquest vector.
=8
Com que es pot comprovar que tots els menors d’ordre tres
que contenen aquest menor són nuls, podem afirmar que
   
rang A = rang {u, v , w , s} = 2.
— Ús de les TIC com a suport a l’aprenentatge
dels continguts del bloc.
F
H
D
Solució
COMPRENSIÓ: Haurem de formar una matriu A amb els components dels vectors col·locant-los, per exemple, en columna, i estudiarem el seu rang a partir dels seus menors complementaris. Aquest resultat haurem d’interpretar-lo amb els coneixements sobre
rangs d’una matriu i les relacions vectorials que coneixem.
A
G
u
— Obertura al món: propostes per a aprendre
i ampliar fora de l’aula.
— Suport multimèdia: simuladors,
presentacions i problemes interactius.
x
Imagen 17
D
AMPLIA
AÍLPMA
Donats tres vectors de V3 no nuls i
coplanaris, qualsevol altre vector de
V3 es pot expressar com a combinació lineal d’aquests vectors.
P
bloc 2.
geometria
RANG D’UN CONJUNT DE VECTORS
1.
B
COMPROVACIÓ: Podem comprovar que el resultat és correc 
te expressant els vectors v i w com a combinació lineal de
 
{u, s} .

  


  
Les components en una certa base de V3, de u , v i w són u = (1, –2, 3), v = (–2, 4, – 6), w = (4, – 8, 12). Calcula el rang {u, v, w}.
DEPENDÈNCIA I INDEPENDÈNCIA LINEAL DE VECTORS



Calcula els valors del paràmetre k perquè els vectors u = (1,1, k ), v = (k, 3,1) i w = (1,1,1) expressats en una certa base siguin linealment dependents.
113
Solució
COMPRENSIÓ: Donats tres vectors de V3, seran linealment
  
dependents si rang {u, v , w } < 3. Per tant, haurem de col·locar
els components en forma de matriu, calcular el seu rang i
igualar-lo a 0.
Desenvolupem el determinant i obtenim una equació de segon
grau:
RESOLUCIÓ: Formem la matriu i igualem el seu determinant a 0:
Les solucions d’aquesta equació són k1 = 1 i k2 = 3.
  
Per tant, els vectors u, v i w seran linealment dependents per a
k = 1 i k = 3.
⎛ 1 k 1 ⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 1 3 1 ⎟ ⇒ |A| =
⎜ k 1 1 ⎟
⎝
⎠
2.
1 k 1
1 3 1
k 1 1
|A| = k 2 – 4k + 3 = 0
=0
Esbrina el valor del paràmetre k perquè els conjunts de vectors següents siguin linealment independents:






a) u = (2,k,1), v = (0,1,3), w = (1,k,k) b) u = (1,k,k), v = (k,1,1), w = (1,2,k)
120
Aprenentatge modelat,
amb problemes resolts.
bloc 2.
geometria
Imagen 30
22.
unitat 4.
vectors en l’espai
23.
En aquest prisma de base quadrada, l’aresta lateral és el doble de l’aresta bàsica. Esbrina si formen base els
  
vectors u , v i w . En cas afirmatiu, troba
 

els components de [ AG ], [EG ] i [BF ]
  
respecte de la base u , v i w .
a
H
En el cub de la figura hi ha
representats 10 vectors fixos diferents.
F
— Quants vectors lliures determinen?
C
Imagen 25
B
D
E
A
B
16.
F
C
s Quants vectors fixos i quants vectors lliures determinen els quatre vèrtexs d’un rectangle?
Quants vectors fixos diferents i quants vectors lliures determinen els quatre vèrtexs d’un tetraedre?
s
Sol.: 12 de fixos, 12 de lliures
12.
17.
d
Representa els vectors anteriors emprant el programa informàtic que prefereixis (et suggerim Cabri, Geogebra o Vector). 1
 



Expressa [AC ] , [AI] i [AJ] com a combinació lineal
  
dels vectors u , v i w representats en la figura, sent I el
centre de l’ortoedreImagen
i J el28centre de la cara EFGH.
a
H
F
A
u
14.
Imagen 29
Digues, a partir de la figura,
quins dels conjunts següents estan
formats per vectors linealment independents:
 
  
d) {a, b, c }
a) {a, b}
   
 
b) {a, e}
e) {a, b, c , d}
  
  
c) {a, b, d}
f ) {a, c , e}
— Quin és el rang de cadascun dels
conjunts?
Vectors fixos
3. Bases
operacions amb vectors
Síntesi dels
conceptes clau de
la unitat i les seves
relacions.
Permeten definir
• Suma i resta de vectors:
 
u ±v
Producte d’un nombre real per un vector:

k ·u
Dependència i
independència lineal
4. Coordenades d’un punt de
l’espai
— Elabora una presentació amb la demostració, propietats i característiquess d’aquesta base. 1
35.
Esbrina el valor del paràmetre k perquè els vectors



u = (k,−2, 0), v = (k,k,1) i w = (3,5,k) siguin linealment
d
independents. 2

— Per a cadascun dels valors de k trobats, expressa w
 
com a combinació lineal de u i v .



 
1 
Sol.: (k = –1; w = −2u − v ); (k = 2; w = − u + 2v )
2



(k = –3; w = 2u − 3v )
36.
Sol.: k = 0 i k = 2
a
Determina si els següents conjunts de vectors expressats en la base canònica són linealment independents.
d
a) {(– 6, – 8, 3); (4, 3, 4); (–5, –3, – 8)}
b) {(3, –1, 9); (9, – 8, –1)}
c) {(k, 0, 2); (4, k, –2); (–2k, –2, k)}
— Comprova els resultats utilizant un programa informàtic de càlcul i representació vectorial. 1
Sol.: a)L.I.; b) L.I.; c)L.D. per a k ∈{–4, –2, 2} i L.I. per a la resta.
Sol.: (5, 1,–2)
21.
d
c
b
a
  
a Els components de u ,
v i w en una certa base de V3



són u = (2, 0,−1), v = (−3,1,2) i w = (4,−2,7). Troba, en
aquesta mateixa base, els components de:


a) 5u + 6v
  
b) u + v − w
  1 
c) 2u − v + w
3
Sol.: a) (2, 6,7); b) (– 5, –1,8); c) (25/3, – 5/3, – 5/3)
— Àmplia proposta d’exercicis
i problemes per resoldre
(aprenentatge autònom).
operacions amb components
• Suma i resta de vectors
 
u ± v = (u1 ± v1 , u2 ± v2 , u3 ± v3 )
• Producte d’un nombre real per un vector:

k · u = (k · u1 , k · u2 , k · u3 )
 


Donats els vectors u1 , u2 , …, un de V3, direm que el vector u
 

es combinació lineal de u1 , u2 , …, un si existeixen k1, k2, …, kn




nombres reals tals que u = k1u1 + k2u2 + ... + knun .
— Activitats tipus:
• Proves finals,
rang d’un conjunt de vectors
Bases de V3
  
 
Sol.: a) 3, u , v i w ; b) 2, u i v



d Demostra que e = (1, 0, 0), e = (0,1, 0) i
e3 = (0, 0,1)
1
2
formen base. Aquesta base rep el nom de base canònica.
Busca informació sobre aquesta base. Quines característiques té?
— Activitats organitzades per
apartats i nivell de dificultat.
2. Operacions amb vectors
Conjunt de tots els vectors fixos equipolents a
un vector donat. Es representen mitjançant les
  
lletres minúscules: u , v i w.




b) u = (2, 0,2), v = (3,−1,2), w = (5,−1,4) i s = (−1,1, 0)
34.
123
1. Vectors en l’espai
tridimensional
Vectors lliures
20.
s Troba el rang de cada conjunt de vectors i indica,
en cada cas, un subconjunt format pel màxim nombre
possible de vectors linealment independents.




a) u = (2,−5,3), v = (3,2,2), w = (4,1,4) i s = (−1,6,2)
Síntesi
Vector que té l’origen en un punt fix A i extrem en

un punt fix B. Es representa com a AB .
A partir de la relació
d’equipolència obtenim.
Sol.: k = 1 i k = 3
33.




29. s
Raona per què els vectors u = (2,k,3), v = (3,−2,k) i
Els vectors u = (1,2,−2),
v = (−6,1,7) i w = (1,5,3),
w=
són linealment independents per a qualsela(1,1,−1)
resposta.
formen una base de V3? Justifica
vol valor de k.

a
Troba els components del vector x = (−3,1,−9) res


pecte de u = (1,2,−2), v = (−6,1,7) i w = (1,5,3).
124
e
s Calcula els valors del paràmetre k perquè els vectors



(1,1,k),vv==(k,3,1),
(k,3,1),iww==(1,1,1)
uu==(1,1,k),
(1,1,1), expressats en una
certa base, siguin linealment depenents.
B
C
B
1   1 

e)
u +v + w
26. s
Determina la dependència o independència lineal de u ,
2
2
 
v i w en els casos següents:

 dinàmica per compro— Utilitza un programa de geometria
a) u = (4,1,−5), v = (2,3,−8) y w = (10, 0,−7)
var els resultats obtinguts.
Imagen 27



b) u = (2, 0, 9), v = (3,−1,2) y w = (5,−1,4)

 
s Considera els vectors u ,

v i wu = (3,−2,5),K v = (−3,5,2)
J
y w = (0,3,7)
c)
de la figura. Sigui Q el centre del
I
L



G
d) u = (1,−2,−3),
v =H(−2,4,4) y w = (−6,3, 0)
prisma, M el centre de la cara ABHG,
4#
Vectors en l’espai
x
D z
v
u
  
24. s Els components dels vectors u , v , w i s d’una cerSiguin u , v i w els vectors representats a la figura. 
ta base són u = (0,4,1), v = (1,−1,2), w = (3, 0,5) i

  
Troba gràficament:
s = (2,−13,3).
Comprova que u , v i w formen base i troImagen 26
 

  
a) u + v
ba els components de s respecte de u , v i w .
  
Sol.: (–2, 5, –1)
b) u + v + w
 


25. s Els components
de u , v , w i s en una certa base
1   



c)
u +v +w
v
=
(−4,1,7),
de
V
u
=
(1,2,3),
són
w = (0,−2,−5) i
w
3
2

s = (−5,−3,−1).
v

  
  1 
—u Expressa s com a combinació lineal de u , v i w .
d) u + v + w
2

  
s
19.
B
a
32.
C

a Comprova que el vector
w = (1,−1,1) no es pot ex28. s
Esbrina els valors del paràmetre k perquè els vectors
 u = (2,1,2) i
 dels vectors
pressar com a combinació lineal
u = (1,2,k), v = (k,1,2) i w = (1,2,3) formin base de V3.

v = (−4,2,4).
Raona la resposta.
  
— Són u , v i w linealment independents?
Sol.: k ≠ 1/2 i k ≠ 3
C

 
— Es pot expressar u com a combinació lineal de v i w ?
Per què?
Sol.: k = 2 i k = 1/3
G
D
A
w
s Esbrina els valors del paràmetre k perquè els vec


tors u = (2,1,k), v = (k,3,1), w = (2,3,1) siguin lineal-
ment independents. 2
y
18.
I
D
Sol.: a) k = –1; b) k = 1, k = 2 i k = –1
31.
G
t
F
3 bases
G
J
E
w v
H
E
s
Esbrina el valor del paràmetre k perquè els següents
conjunts de vectors siguin linealment dependents: 2



a) u = (2,k,1), v = (0,1,3), w = (1,k,k)



b) u = (1,k,k), v = (k,1,1), w = (1,2,k)
B
N el centre de la cara ABCDEF i—
P elDetermina el rang de cada conjunt de vectors i comw
centre de la cara GHIJKL.
D
E
prova els resultats
utilitzant un programa de càlcul
 
C
vectorial.
F 1
Expressa
vectors [AM] , [AN] ,
  els
v
[AP], [AQ] i [GJ] com a combinació
Sol.: a) L.D.; b) L.I.; c) L.D.; d) L.I.
A u
B
  
lineal de u , v i w .
27. s Esbrina els valors del paràmetre
k perquè els vec
tors u = (k,k,1), v = (2,k,2) i w = (0, 0,k) no formin base
de V3. Raona la resposta.
2 operacions amb Vectors
13.
u
Sol.: s = −u + v + w
Sol.: 12 de fixos, 8 de lliures
11.
 
En el prisma de la figura u = [AB] ,
   
v = [AD] i w = [AE ], troba-hi:
 
  
a) u + v
c) u + v + w
 
  
b) v − w
d) u + v − w
s
A
D
A
s Escriu els 36 vectors fixos diferents que determinen els sis vèrtexs del prisma triangular de la figura.
G
E
Agrupa’ls en conjunts de vectors
equipol·lents.
10.
C
D
v
A
F
E
H
a
30.
w
  
Troba els components dels vectors [AA], [AB], [AC ],

   
  
[AD], [AE ], [AF ], [AG] i [AH ] en les bases B1 = { x, y, z} i
 
a la figura.
B2 = { x, y, t } representatsImagen
31 BIS
s
Imagen 30
15.
Imagen 24
9.
G
F
eXercicis i proBleMes
(i)
1 Vectors en l’espai tridimensional
8.
H
E
Determina el màxim nombre de vectors linealment independents d’un conjunt de vectors.
  
Tres vectors x, y i z no nuls i no coplanaris formen
una base de V3:
  
B = { x, y, z}
Qualsevol altre vector de V3 podrà expressar-se com:




u = k1 x + k2y + k3 z

on k1, k2 i k3, són components de u respecte de la
base B:

u = (k1 , k2 , k3 )
• Treball a internet,
coordenades d’un punt
en l’espai
• Obertes al món…
  
A partir d’un sistema de referència R = {0, x, y, z}, definim les coordenades
d’un punt P en l’espai de la següent forma:
 



[OP] = p = p1 x + p2y + p3 z ⇒ P = ( p1 , p2 , p3 )
127
@
LES CLAUS DEL NOU PROJECTE
COMPROMÍS AMB ELS VALORS PROPIS
DEL BATXILLERAT
El Batxillerat aporta la cultura personal per a tota la vida.
Ha d’incentivar el gust pel coneixement, l’aprenentatge i l’estudi personal motivador i exigent.
1. Rigor i actualització científica
El nou projecte d’edebé es fonamenta sobre unes bases sòlides. L’editorial edebé ofereix un mètode consolidat per a una educació integral en la societat del coneixement.
El rigor científic és la capacitat d’utilitzar la informació i el coneixement científic, les normes i els procediments propis de cada
disciplina amb precisió i eficàcia. El rigor científic fa despertar sentiments d’insatisfacció envers la incertesa, les respostes inexactes, els mesuraments poc precisos, l’amplitud del més i del menys… El rigor també és metòdic: és fidel i manté una preferència envers el procediment experimental, reclama exigència en el control de tots els paràmetres que poden incidir en una
situació o en un projecte, la qual cosa aporta franquesa i credibilitat tècnica.
Per a això, en el nou Batxillerat, edebé ofereix:
—— Continguts actualitzats i contrastats. Hi incorpora els darrers avenços científics i els enfocaments més actuals.
—— Valor del mètode propi de cada disciplina científica i del coneixement científic davant de la provisionalitat del coneixement.
—— Textos explicatius estructurats. L’ordre i una estructura coherent en el desenvolupament dels continguts faciliten que els
alumnes adquireixin els aprenentatges.
—— Llibres clars, pel que fa a l’exposició del contingut, a la selecció d’imatges i gràfics.
—— Activitats intel·ligents, que obliguen a pensar.
8
BATXILLERAT edebé
2. Curiositat intel·lectual i cultura de l’esforç
S’afirma que alguns dels grans pensadors de la història (els qui amb les seves aportacions han provocat canvis en el món:
Leonardo da Vinci, Einstein, Steve Jobs…) comparteixen i tenen en comú una curiositat insaciable al llarg de tota la seva vida.
«No tinc un talent especial, només sóc
apassionadament curiós.»
«Moltes de les coses amb què em vaig topar per seguir la meva curiositat i
la meva intuïció van resultar, més tard, que tenien un valor incalculable.»
Einstein
Steve Jobs
La curiositat és la capacitat que ens porta a aprofundir en determinats temes i superar els propis límits. És el desig de comprendre el significat del que ens envolta i gaudir d’experiències més enriquidores i plenes. En aquestes situacions les persones
dediquen temps i esforç, ja que la finalitat paga la pena.
Estudis recents han demostrat que la curiositat (la inquietud intel·lectual) i l’esforç (el treball dur) influeixen més directament
en el rendiment acadèmic que la pròpia capacitat intel·lectual.
La curiositat són les ganes de descobrir coses noves. Les persones amb ments curioses es poden adaptar amb més èxit als
entorns canviants que caracteritzen la nostra societat actual, ampliar els seus horitzons i evolucionar com a persones.
Per això, en el nou Batxillerat, edebé introdueix l’aprenentatge 360º, en el qual:
—— S’hi suggereixen temes que desperten l’interès i mouen a indagar i ampliar el coneixement.
—— Es desperta la curiositat intel·lectual, el gust per aprendre, i convida a descobrir curiositats, fets sorprenents… i tot allò que
pot conduir l’alumne a aprendre fora de l’aula.
D’aquesta manera, en el nou projecte, s’obre el llibre al món i s’hi integren els aprenentatges no formals i informals, i es recupera l’esperit de treball i indagació tan necessari en el Batxillerat.
3. Autonomia i responsabilitat.
L’alumne, arquitecte del seu propi aprenentatge
Aquests dos termes estan molt relacionats amb la curiositat intel·lectual i l’esforç personal.
L’alumne autònom regula la seva conducta amb normes que sorgeixen de la seva pròpia consciència; és capaç de fer el que
ha de fer per si mateix, seguint la seva consciència moral.
A més, l’alumne autònom s’adona de les conseqüències dels seus actes, en pren consciència i se’n fa responsable. La responsabilitat és un valor que fa reflexionar la persona, li permet gestionar la seva vida i valorar les conseqüències dels seus actes.
Les fonts d’informació són avui molt diverses, però no aporten un coneixement divers i consolidat per si mateixes.
Cal ensenyar els alumnes a transformar la informació en coneixement. Per a aconseguir-ho, l’alumne ha de mantenir una actitud activa, comparar diverses informacions, realitzar inferències, buscar noves solucions als problemes…
Per això, en el nou Batxillerat, edebé:
—— Proposa reptes assolibles perquè els alumnes es responsabilitzin del seu propi aprenentatge i obtinguin una resposta positiva del seu esforç, mostrin una actitud activa que els guiï a descobrir el gust per saber i progressin en la seva autonomia
com a persones.
—— Ha afegit valor a la seva proposta, conscient que la nova societat reclama una formació més sòlida i una base cultural més
àmplia, i proposa l’establiment de filtres científics per fer front a la toxicitat de la informació.
9
BATXILLERAT edebé
SIS HABILITATS PER A UNA SOCIETAT GLOBAL
El Batxillerat representa una fita en el procés d’adquisició de la cultura personal.
És el darrer graó de l’educació formal per a la consecució de l’anomenada «cultura general».
Però, a més, els alumnes han d’assumir la necessitat de desenvolupar unes habilitats bàsiques
per poder afrontar amb èxit els requeriments de la nova societat global.
Són les següents:
Cooperació
Comunicació
Pensament crític
Creativitat
Iniciativa
Compromís amb valors
10
BATXILLERAT edebé
COOPERACIÓ
COMUNICACIÓ
El nou Batxillerat d’edebé aspira a formar joves l’objectiu dels
quals sigui aportar valor a les persones i a la societat. I, per a ferho, han de col·laborar tant des del centre escolar com des de fora.
La comunicació és una necessitat humana bàsica, indispensable per
a l’organització de les societats. Les habilitats comunicatives es consideren bàsiques tant al món del treball com en les relacions socials.
Gestionar la informació i comunicar-la d’una manera efectiva és un
dels reptes importants dels alumnes del Batxillerat i una de les claus
per a la construcció de les societats de la informació i la comunicació.
Simplement es tracta que cada equip trobi interseccions amb
d’altres, d’una manera no accidental, sinó sistemàtica. Tot això
des de la convicció que la manera de generar energia positiva en
la societat actual consistirà a barrejar equips, combinant-ne els
actius invisibles, les capacitats i els coneixements, per explorar i
explotar noves formes de generar valor per a les persones i per a
la societat.
En la societat actual, per molt que un individu aïllat s’hi esforci, hi
ha més coneixement a fora que a dins; el coneixement disponible
al món és superior al de l’individu.
A més, la resposta als problemes d’avui requereix una visió més
perifèrica: cal combinar maneres de veure, de resoldre, de convèncer…
Parafrasejant A. Cornella, el
món és cada vegada més
«co»: col·laboratiu, cooperatiu, cocreatiu, codisse­
nyat, corresponsable…
Per això, edebé incorpora
propostes per al treball cooperatiu, PBL (Aprenentatge
Basat en Problemes)…
En la societat de la informació i el coneixement, les TIC s’han consolidat com a eines bàsiques per a la comunicació. L’editorial edebé
s’ha orientat cap a l’humanisme tecnològic de nova generació (la
tecnologia al servei de les persones) i cap a la proximitat ecològica a
la realitat de l’escola d’avui, oferint recursos assumibles pel professorat i el centre:
—— El llibre digital interactiu, inclou els recursos digitals necessaris
(simuladors, presentacions, problemes interactius, vídeos, i altres
recursos com ara àudios, galeries d’imatges, enllaços, documents…) perquè el professorat gestioni d’una manera eficaç
l’aprenentatge a l’aula digital.
—— El generador d’activitats, per a posar a la disposició del professorat tot un seguit de propostes per al treball a l’aula.
—— La biblioteca de recursos digitals, un espai fàcilment accessible
en el qual es poden trobar recursos per a consultar, descobrir i
explorar el coneixement.
L’oferta digital d’edebé se situa en un marc de convivència paper/digital per a aprofitar al màxim les possibilitats formatives de cada suport i per a promoure l’ús estratègic de cada format per part dels
alumnes (amfibis analogicodigitals).
Tot això sota la premissa de compatibilitat i entorn amigable.
PENSAMENT CRÍTIC
CREATIVITAT
En la societat de la informació i el coneixement, les fonts d’informació són més accessibles que mai; ara bé, resulta imprescindible
capacitar la joventut per a accedir a informació de qualitat. El desenvolupament del pensament crític permetrà als alumnes establir
els filtres científics necessaris per a fer front a la toxicitat de la informació i als missatges esbiaixats o manipuladors.
L’escola (i la societat en general) està immersa en un nou paradigma
educatiu. Els avenços de les neurociències, la caducitat del coneixement, la globalització, la revolució tecnològica… situen el focus de
l’acció educativa en unes noves coordenades.
En aquesta societat canviant el coneixement es caracteritza per
la seva provisionalitat i la seva caducitat. És important ensenyar
l’alumnat a aprendre a aprendre (aprendre-desaprendrereaprendre) i a reflexionar sobre els processos i el resultat de
l’aprenentatge.
Per això, edebé ofereix en el nou Batxillerat:
—— Varietat d’activitats d’anàlisis, síntesis i exercicis de raonament.
Necessitem formar persones competents, capaces d’abordar problemes des de diferents àmbits en els quals aportin solucions noves i
creatives; que es puguin enfrontar a la vida en un entorn canviant.
Si volem formar ments flexibles (amb múltiples i flexibles connexions
cerebrals), hem d’abandonar les actituds passives, rígides o repetitives a les aules i promoure procediments de comparació/contrast
d’informacions, dur a terme inferències o deduccions, buscar noves
solucions… en les nostres classes.
Per això, edebé
—— Contrast d’opinions i punts de vista en presentar continguts
complexos o susceptibles d’enfocaments ideològics diversos.
—— Incorpora PBL en els seus nous materials per al Batxillerat.
—— Situacions i propostes de treball en grups per fer convergir diferents punts de vista sobre un mateix tema…
—— Proposa activitats intel·ligents que obliguen l’alumne a pensar, a
relacionar, a inferir, a trobar solucions creatives i innovadores.
11
BATXILLERAT edebé
INICIATIVA
COMPROMÍS AMB VALORS
En el nou projecte de Batxillerat, edebé ha destinat una atenció
especial a la iniciativa emprenedora.
Les persones amb una alta competència moral mostren sensibilitat
pel món que ens envolta i contribueixen amb aportacions personals a
la millora de la societat. Les persones amb valors es mostren honestes, íntegres i amb un clar compromís social.
1. Per què l’emprenedoria?
—— Desenvolupa l’autonomia, la iniciativa personal i la capacitat
de lideratge.
La formació en valors és necessària:
—— Potencia la creativitat i la capacitat d’innovació.
—— Per a créixer com a persona.
—— Prepara per a la resolució de problemes i la presa de decisions.
—— Per a transformar el món.
—— Implica un component actiu (capacitat d’un mateix per a provocar canvis) i un de passiu (acceptar i recolzar canvis produïts per factors externs), i permet assumir la responsabilitat de
les pròpies accions.
2. Quines capacitats s’hi desenvolupen?
—— Qualitats personals: la iniciativa personal, la confiança en un
mateix, la creativitat, el dinamisme… que fan les persones
actives davant les circumstàncies que les envolten.
—— Habilitats socials: actituds de cooperació i de treball en
equip, hàbit d’assumir nous rols en una societat en canvi continu. També comporta capacitat de la relació amb l’entorn i
sensibilitat davant les necessitats dels altres.
—— Habilitats per a la direcció i el lideratge: planificar, dirigir
equips, prendre decisions i acceptar responsabilitats. També
significa poder de comunicació.
—— Esperit innovador, necessitat d’assajar noves experiències o fer
les coses d’una manera diferent, simplement per l’existència de
possibilitats de canvi.
Per això, el nou projecte de Batxillerat d’edebé ofereix per a cada
assignatura un projecte emprenedor (Projecte miniempresa) per
mitjà del qual els alumnes crearan, planificaran, prendran decisions… entorn d’un projecte pràctic i motivador. Tots els projectes
de miniempresa que ofereix edebé, a més del seu caràcter tècnic
i professional, tenen un rerefons social i aspiren a aconseguir un
món una mica millor cada dia.
12
—— Per a conviure en una societat canviant.
—— Per a donar resposta als valors de la nova societat.
—— Per a obrir espais d’interioritat.
Per això, edebé impregna de valors el desenvolupament dels continguts del Batxillerat d’una manera natural, sense forçar ni desnaturalitzar, quan encaixen amb el contingut que es treballa.
No afegeix contingut nou, sinó que aporta un punt de vista positiu al
contingut.
ÍNDEX DEL SOLUCIONARI
UNItat 0. Una visió
de conjunt
15
BlOC 1. àLGEBRA lineal
BlOc 3. ANàLISI
UNItat 8. Límits
157
UNItat 9. Continuïtat
176
UNItat 10. Derivades
193
UNItat 1. Sistemes
d’equacions. Mètode de Gauss
17
UNItat 2. Matrius
49
UNItat 11. Aplicacions
de les derivades
205
UNItat 3. Sistemes
d’equacions i determinants
67
UNItat 12. Integrals
i aplicacions
237
BlOc 2. GEOMETRiA
BlOc 4. PROBABILItat i ESTADíSTICA
UNItat 4. VECTORS EN
l’ESPAi (I)
89
UNItat 5. VECTORS EN
l’ESPAi (II)
109
UNItat 6. GEOMETRiA AFÍ
123
UNItat 7. GEOMETRiA MèTRICA
141
UNItat 13. Probabilitat
263
UNItat 14. DISTRIBUCIONS
DE PROBABILItat
277
13
0#
En context
Una visió de conjunt
3.
A l’«extravagant felicitat» succeeix una «depressió excessiva».
1. No existeix relació d’igualtat: els «nombres dígits» són {0,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, un conjunt clarament més petit
que els nombres naturals. Si l’element {0} es considera
inclòs en els nombres naturals, es pot considerar que
{0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ⊂ ! .
La creença que, en algun lloc, existeixen llibres preciosos
per a cada home i llibres que contenen la més profunda
saviesa i el més anhelat coneixement, i la certesa que, encara que existeixin, són inassolibles com a conseqüència
de la vasta Biblioteca, va semblar intolerable a molts.
La redacció de l’activitat permet considerar que la comparació s’estableix entre tots els nombres que es poden escriure mitjançant el sistema decimal de numeració i els
nombres naturals. En aquest cas, sí que podria haver-hi
relació d’igualtat.
(pàg. 9)
a> Resposta oberta:
L’elecció d’un color, d’un símbol i d’una imatge és molt
personal. No s’ha de «corregir» la tria, encara que sí que
es pot valorar la qualitat, l’adequació i l’originalitat de la
justificació d’aquesta elecció.
2. No existeix relació d’igualtat.
ΩA = {P, E, C, S}; ΩB = {C, E, S, P, D}.
3. Sí que existeix relació d’igualtat.
Resposta oberta:
ΩA = {A, C, R, O}; ΩB = {C, A, R, O}.
Color: granat fosc (perquè imagino així els lloms dels volums de la biblioteca, lleument il·luminats).
Símbol: infinit (perquè em sumo a la hipòtesi que la biblioteca és infinita, encara que no ho siguin els volums que
conté).
4. No existeix relació d’igualtat.
ΩImparells = {1, 3, 5, 7, 9}; Ωprimers = {2, 3, 5, 7, 11}.
4.
b) A − C = {2, 5}
Imatge: Sísif carregant la seva roca (perquè la tasca dels
bibliotecaris que busquen la seva vindicació entre els aparentment inacabables volums de la Biblioteca és tan dura i
inacabable com la condemna de Sísif).
Exercicis i problemes
1.
c) B ∩ C = {3, 7}
d) A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
e) A ∩ B = {2, 3, 5}
(pàg. 18 i 19)
1 CONJUNTS NUMÈRICS
f) A ∩ B ∩ C = {3}
Pàg. 18
5.
Espais mostrals:
1. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = {1, 3, 5, 7, 9}; B = {3, 6, 9}
⎧(1,1) , (1, 2 ) , (1, 3 ) , (1, 4 ) , (1, 5 ) , (1, 6 ) , ⎫
⎪( 2,1) , ( 2, 2 ) , ( 2, 3 ) , ( 2, 4 ) , ( 2, 5 ) , ( 2, 6 ) , ⎪
⎪
⎪
⎪( 3,1) , ( 3, 2 ) , ( 3, 3 ) , ( 3, 4 ) , ( 3, 5 ) , ( 3, 6 ) , ⎪
2. Ω = ⎨
⎬
⎪( 4,1) , ( 4, 2 ) , ( 4, 3 ) , ( 4, 4 ) , ( 4, 5 ) , ( 4, 6 ) , ⎪
⎪( 5,1) , ( 5, 2 ) , ( 5, 3 ) , ( 5, 4 ) , ( 5, 5 ) , ( 5, 6 ) , ⎪
⎪( 6,1) , ( 6, 2 ) , ( 6, 3 ) , ( 6, 4 ) , ( 6, 5 ) , ( 6, 6 ) ⎪
⎩
⎭
a) Vertadera: {7} és un element que forma part de A
b) Falsa: {7} no pertany al conjunt B perquè no és múltiple de
3.
c) Falsa: L’element {9} pertany al conjunt B.
d) Falsa: El conjunt A no és un subconjunt de B, perquè conté elements que no estan en B (com el 5 o el 7).
3. Ω = {–2, –1, 0, 1, 2, 3}. Univers U = !
e) Vertadera: El conjunt {3, 6} és un subconjunt de B perquè
els dos elements pertanyen a B.
2.
a) A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
4. Espai mostral donat per l’alumne. U = {Tots els alumnes de
la classe}.
a) Falsa: –3 no és un nombre natural.
5. Ω = {2, 4, 6}. Univers U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
b) Falsa: tots els nombres enters són nombres reals.
c) Falsa: la relació de pertinença s’aplica a un element respecte d’un conjunt, no entre conjunts.
d) Vertadera: tots els elements d’aquest conjunt són nombres
enters.
e) Falsa: 7,75 no és un nombre enter.
f) Vertadera: tots els nombres naturals són nombres racionals.
6.
A = {1, {2, 3}, 4, {5,6}}
1. Falsa: 1 ⊄ A, perquè {1} és un element i no un conjunt.
2. Falsa: {2, 3} ⊂ A , {2, 3} és un conjunt i no un element.
3. Vertadera: l’element {4} pertany al conjunt A.
4. Vertadera: el conjunt {2, 3} és un subconjunt de A.
5. Vertadera: l’element {3} pertany al conjunt {2, 3} i, a la vegada, al conjunt A.
15
Unitat 0. Una visió de conjunt
7. Expressió simbòlica:
d) Aplicació. Correspondència unívoca.
1. A ⊂ B
2. 3, 5 ∉ !
⌢
3. 1, 3 ∈ !
4. ! ⊄ "
5. B ⊂ A
8.
a) A – B = {3, 5}
3
3
4
7
9
5
11
6
7
13
5
15
12. Funció que actua com a regla de correspondència:
b) (A ∪ C) − D = {1, 3, 5, 7, 9}
c) (A ∪ B) − (A ∩ B) = {3, 5, 6, 7}
d) (B ∪ D) − Ac = {1, 2, 4}
a) f (x) = 3x + 1
b) f (x) = x2
c) f (x) = –2x + 1
d) f (x) = x – 4
13. a) Domini: {a, b, c, d, i}
e) (B ∩ C)c = {2, 3, 4, 5, 6, 8, 9}
9.
1
2
Codomini: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Espai mostral de A = {cara, creu} = {c, +}
Rang: {1, 4, 6}
Espai mostral de B = {1, 2, 3, 4, 6, 8}
A × B = {(c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4), (c, 6), (c, 8), (+, 1), (+, 2),
(+, 3), (+, 4), (+, 6), (+, 8)}
Correspondència unívoca.
b) Domini: {a, c, d, e}
Codomini: {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
2 CORRESPONDÈNCIA ENTRE CONJUNTS
Pàg. 19
Rang: {1, 2, 4, 7}
Correspondència biunívoca.
10. Classificació de correspondències:
—— Correspondència unívoca.
—— Correspondència biunívoca.
—— Correspondència unívoca.
—— Correspondència unívoca.
—— Correspondència biunívoca.
11. a) Aplicació. Correspondència biunívoca.
1
2
3
4
5
6
7
3
5
7
9
11
13
15
b) Aplicació. Correspondència unívoca.
1
2
3
4
5
6
7
3
5
7
9
11
13
15
c) No és aplicació.
1
2
3
4
5
6
7
16
3
5
7
9
11
13
15
3 CARDINAL D’UN CONJUNT
14. Càlcul de cardinals:
A : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
B: Ω = {1, 2, 3, 4, 6, 9}
—— n (A) = 9
—— n (B) = 6
—— n(A ∪ B) = 9
—— n(A ∩ B) = 6
—— n (A – B) = 3
15. n (A) = 6
n (B) = resultat donat per l’alumne
n (C) = 6
n (D) = ∞
Els conjunts A i C amb equipotents.
16. 1. n (A) = 2; n (B) = 3. No són equipotents.
2. n (C) = n (D). Equipotents.
3. n (E) =5 = n (F). Equipotents.
4. n (G) = 6 ≠ n (H). No són equipotents
5. n (I) ≠ n (J). No són equipotents.
6. n (K) = 2; n (L) = 1. No són equipotents.
Pàg. 19
BLOc 1. ÀLGEBRA LINEAL
Sistemes d'equacions lineals.
Mètode de Gauss
1#
En context
z=λ
(pàg. 23)
y = 15 – 2λ
a> Resposta oberta.
x = 10 – (15 – 2λ) – λ = 10 – 15 + 2λ – λ = –5 + λ
És probable que la idea de linealitat dels alumnes correspongui exclusivament a la de «variables elevades a exponent unitari i no multiplicades entre elles».
A més s'ha de complir que:
• λ ≥ 5 perquè x sigui positiva.
b> Resposta oberta.
• λ≤
La consulta de l'enllaç i el vídeo haurien de canviar el concepte de linealitat dels alumnes.
2
perquè y sigui positiva.
Així, λ ∈ {5, 6, 7}
D'una banda, hauria d'incorporar-se la idea que la linealitat
és un tipus de relació entre les antiimatges i les imatges: la
imatge a través d'una funció lineal, de la suma de dues
antiimatges, és la suma de les seves imatges, i el producte
d'un nombre per una antiimatge té per imatge a través de
la funció el producte d'aquest nombre per la imatge corresponent.
Calculem els possibles valors de les incògnites:
D'altra banda, és d'esperar que aparegui també un vessant
geomètric en el concepte de linealitat, a partir de la idea de
combinació lineal de vectors.
5 bombons del tipus B i 5 del tipus C; o bé, 1 del tipus A, 3 del
tipus B i 6 del C ; o bé 2 del tipus A, 1 del tipus B i 7 del C .
• Si λ = 5 ⇒ x = 0, y = 5, z = 5
• Si λ = 6 ⇒ x = 1, y = 3, z = 6
• Si λ = 7 ⇒ x = 2, y = 1, z = 7
De manera que les solucions possibles són:
2.
c> Resposta suggerida:
Les barres de metall de la imatge són metàfores dels vectors de l'espai que es poden combinar per donar lloc a altres vectors, segons s'indica en l'explicació geomètrica de
què és un sistema d'equacions lineals (disponible al vídeo).
Problemes resolts (pàgs. 31 a 33)
1.
15
Les incògnites del problema són:
x = nombre de bombons del tipus A
y = nombre de bombons del tipus B
z = nombre de bombons del tipus C
Considerem les condicions donades a l'enunciat:
• La caixa de bombons ha de contenir 10 unitats:
x + iy + z = 10
• La caixa ha de valer 4,5 €:
0,3x + 0,4y + 0,5z = 4,5 ⇔ 3x + 4y + 5z = 45
Així, obtenim el sistema següent:
x + y + z = 10 ⎪⎫
⎬
3x + 4y + 5z = 45 ⎭⎪
El resoldrem mitjançant el mètode de Gauss:
⎛ 1 1 1 10 ⎞ F → F – 3F ⎛ 1 1 1 10 ⎞
2
1
⎜
⎟ 2
⎜
⎟
⎝ 3 4 5 45 ⎠
⎝ 0 1 2 15 ⎠
El sistema té les solucions següents:
Les incògnites que ens planteja el problema són:
x = empanades de carn
y = brioixos
z = barres de quart
Construïm el sistema d'equacions per a determinar els valors
de x, y i z, imposant les condicions de l'enunciat:
—— S'han venut un total de 100 unitats:
x + y + z = 100
—— Les empanades de carn es venen a 4 € la unitat, els
brioixos farcits a 2 € la unitat i les barres de quart a 0,50 €
la unitat. En total s'han ingressat 100 €:
4x + 2y +
1
2
z = 100
Reordenem el sistema d'equacions perquè sigui més senzilla
la resolució:
x + y + z = 100 ⎫
8x + 4y + z = 200 ⎫
⎪
→
⎬ ⎯⎯⎯
⎬
1
x + y + z = 100 ⎭
4x + 2y +
z = 100 ⎪
⎭
2
Resolem per Gauss:
8x + 4y + z = 200 ⎫
8x + 4y + z = 200 ⎫
F2 →8F2 −F1
→
⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎬
x + y + z = 100 ⎭
4y + 7z = 600 ⎭
Tenim un sistema de dues equacions amb tres incògnites, així
doncs, tenim un sistema compatible indeterminat. Prenem la
incògnita z com un paràmetre, que anomenarem m.
z=m
Trobem la resta de solucions per recurrència.
17
Bloc 1. ÀLGEBRA LINEAL > UNItAt 1. Sistemes d'equacions lineals. Mètode de Gauss
⎧
1
→y =
( 600 − 7m )
⎪ 4y = 600 − 7m ⎯⎯⎯
4
⎪
⎪
⎛ 1
⎞⎤
1 ⎡
→x =
⎨ 8x = 200 − 4y − z ⎯⎯⎯
⎢ 200 − 4 ⎜ 600 − 7m ⎟⎥ − m
⎝
⎠⎦
⎣
8
4
⎪
⎪
1
⎪ x =
( 3m − 200 )
⎩
4
Sabem que x, y i z han de ser nombre sencers positius no
nuls, per tant:
—— 3m > 200 → m > 60
—— 600 > 7m → m <
600
Observem la tercera fila:
(a − 2)(a − 1) = 0 → a = 2, a = 1
Si a = 2,
x + y + z = 1⎫
⎪
−y = −4 ⎬
⎪
0z = 8 ⎭
La tercera fila és una equació absurda, llavors tenim un
sistema incompatible.
Si a = 1,
x + y + z = 0 ⎫
⎪
−y − z = −3 ⎬
⎪
0z = 0 ⎭
7
—— Han de ser nombres múltiples de 4.
Així, els valors possibles per a m són: 68, 72, 76, 80, 84.
Amb aquests podem calcular x, y i z.
La tercera fila és una equació trivial, aleshores tenim un
sistema compatible indeterminat.
—— m = 68 ⇒ x = 1, y = 31, z = 68
Si a ≠ 2, a ≠ 1 tenim un sistema compatible determinat.
—— m = 72 ⇒ x = 4, y = 24, z = 72
—— m = 76 ⇒ x = 7, y = 17, z = 76
—— m = 80 ⇒ x = 10, y = 10, z = 80
—— m = 84 ⇒ x = 13, y = 3, z = 84
3.
Busquem el sistema equivalent escalonat:
−3z + 2y + 3z = −2 ⎫
⎪
E 1 ↔E 3
2x − 3y − 5z = −4 ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯
→
⎪
x + y + 2z = 2 ⎭
x + y + 2z = 2 ⎫
E 2 →2E 1 −E 2
⎪
E 3 →3E 1 +E 3
→
→ 2x − 3y − 5z = −4 ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎪
−3z + 2y + 3z = −2 ⎭
x + y + 2z = 2 ⎫
⎪
E 3 →E 3 −E 2
→
→ 5y + 9z = 8 ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎪
5y + 9z = 4 ⎭
x + y + 2z = 2 ⎫
⎪
→ 5y + 9z = 8 ⎬
⎪
0 = 4 ⎭
b) Busquem el sistema equivalent escalonat:
−x + z = 1⎫
ax + y − z = 0 ⎫
⎪
⎪
E 1 ↔E 3
→ 2x + ay = 2 ⎬ →
2x + ay = 2 ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯
⎪
⎪
ax + y − z = 0 ⎭
−x + z = 1⎭
E 2 →E 2 +2E 1
−x + z = 1⎫
⎪
E 3 →E 3 +aE 1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ay + 2z = 4 ⎬ →
⎪
y − z + az = a ⎭
−x + z = 1⎫
⎪
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
ay + 2z = 4 ⎬ →
⎪
⎡⎣ ( a − 1) ( a − 2 ) ⎤⎦ z = a 2 − 4 ⎪⎭
−x + z = 1⎫
⎪
→
ay + 2z = 4 ⎬
⎪
( a 2 − a − 2 ) z = ( a − 2 ) ( a + 2 ) ⎭
E 3 →aE 3 −E 2
Observem la tercera fila:
(a 2 – a – 2) = 0 → a = −1, a = 2
Si a = 2,
−x + z = 1⎫
⎪
2y + 2z = 4 ⎬
⎪
0z = 0 ⎭
Veiem que la tercera equació és absurda. Així doncs, tenim
un sistema incompatible sense solució.
4.
a) Busquem el sistema equivalent escalonat:
E 2 →E 2 −2E 1
x + y + z = a − 1⎫
⎪
E 3 →E 3 −E 1
→
2x + y + az = a ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎪
x + ay + z = 1⎭
x + y + z = a − 1⎫
⎪
E 3 →E 3 + ( a−1)E 2
→
→ −y + ( a − 2 ) z = −a − 2 ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎪
y
=
−a
a
−
1
(
)
⎭
x + y + z = a − 1⎫
⎪
→
−y + ( a − 2 ) z = −a − 2 ⎬
⎪
( a − 2 ) ( a − 1) y = −a ( a − 1) ( −a − 2 ) ⎭
18
La tercera fila és una equació trivial, llavors tenim un sistema compatible indeterminat.
Si a = −1,
−x + z = 1⎫
⎪
−y + 2z = 4 ⎬
⎪
0z = −3 ⎭
La tercera fila és una equació absurda, llavors tenim un
sistema incompatible.
Si a ≠ 2, a ≠ −1 tenim un sistema compatible determinat.
Bloc 1. ÀLGEBRA LINEAL > UNItAt 1. Sistemes d'equacions lineals. Mètode de Gauss
5.
x + y + z = 500
a) Busquem el sistema equivalent escalonat:
—— El valor dels sucs és 60 € menor que el dels refrescs i el
dels batuts junts:
3x + 2y + mz = 1⎫
x + y − z = 1⎫
⎪
⎪
E 1 ↔E 3
5x + 3y + 3z = 2 ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯
→ 5x + 3y + 3z = 2 ⎬ →
⎪
⎪
x + y − z = 1⎭
3x + 2y + mz = 1⎭
E 2 →E 2 −5E 1
x + y − z = 1⎫
⎪
E 3 →E 3 −3E 1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
−2y + 8z = −3 ⎬ →
⎪
−y + (m + 3 ) z = 1⎭
x + y − z = 1⎫
⎪
E 3 →2E 3 −E 2
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
−2y + 8z = −3 ⎬ →
⎪
⎡⎣ 2 (m + 3 ) − 8 ⎤⎦ z = 5 ⎪⎭
x + y − z = 1⎫
⎪
→ −2y + 8z = −3 ⎬
⎪
( 2m − 2 ) z = 5 ⎭
x + y = 60 – z
—— Les despeses d'enviament dels refrescs són del 6 %; les
dels batuts, del 12 %, i les dels sucs, del 30 % dels seus
preus, i la factura total és de 592,40 €:
0,06x + 0,12y + 0,3z = 92,4
Reordenem el sistema d'equacions perquè sigui més senzilla
la resolució:
x + y + z = 500 ⎫
6x + 12y + 30z = 9240 ⎫
⎪
⎪
x + y = 60 − z ⎬ →
x + y − z = 60 ⎬
⎪
⎪
0, 06x + 0,12y + 0, 3z = 92, 4 ⎭
x + y + z = 500 ⎭
La matriu associada al sistema és la següent:
Observem la tercera fila:
⎛ 6 12 30 9240 ⎞
⎜
⎟
A ' = ⎜ 1 1 −1 60 ⎟
⎜ 1 1 1 500 ⎟
⎝
⎠
(2m − 2) = 0 → m = 1
Si m = 1,
x + y − z = 1⎫
⎪
−2y + 8z = −3 ⎬
⎪
0z = 5 ⎭
Apliquem el mètode de Gauss usant la notació matricial:
⎛ 6 12 30 9240 ⎞
F2 →6F2 −F1
⎜
⎟
F3 →6F3 −F1
⎯
⎯⎯⎯⎯⎯
→
1
1
−1
60
⎜
⎟
⎜ 1 1 1 500 ⎟
⎝
⎠
⎛ 6 12 30 9240 ⎞
⎜
⎟
E 3 →E 3 −E 2
→
→ ⎜ 0 −6 −36 −8800 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎜ 0 −6 −24 −6240 ⎟
⎝
⎠
⎛ 6 12 30 9240 ⎞
⎜
⎟
→ ⎜ 0 −6 −36 −8800 ⎟
⎜ 0 0 12 2640 ⎟
⎝
⎠
La tercera fila és una equació absurda, aleshores tenim un
sistema incompatible.
Si m ≠ 1 tenim un sistema compatible determinat.
b) Busquem el sistema equivalent escalonat:
E 2 →E 2 −mE 1
x + y + z = m ⎫
⎪
E 3 →E 3 +E 2
→
mx − z = m ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎪
−x + y − mz = 0 ⎭
x + y + z = m ⎫
⎪
E 3 →mE 3 +2E 2
⎯
→
→ −my + ( −1 − m ) z = m − m 2 ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎪
2y + (1 − m ) z = m ⎭
x + y + z = m ⎫
⎪
→
−my + ( −1 − m ) z = m − m 2 ⎬ →
⎪
m (1 − m ) + 2 ( −1 − m ) z = 2m − m 2 ⎭
x + y + z = m ⎫
⎪⎪
→ −my + ( −1 − m ) z = m − m 2 ⎬
⎪
− (m 2 + m + 2 ) z = 2m − m 2 ⎪⎭
Aquesta matriu ampliada està associada al sistema escalonat
següent:
6x + 12y + 30z = 9240 ⎫
⎪
−6y − 36z = −8800 ⎬
⎪
12z = 2640 ⎭
Calculem les solucions per substitució regressiva:
⎧
2640
= 220
⎪ z =
12
⎪
⎪
1
⎨ y = − ⎡⎣ −8800 + 36 ( 220 ) ⎤⎦ = 160
6
⎪
⎪
1
⎡⎣ 9240 − 30 ( 220 ) − 12 (160 ) ⎤⎦ = 120
⎪ x =
⎩
6
Si observem la tercera fila veiem que no hi ha cap valor de
m que faci que s'anul·li el coeficient, així doncs, el sistema
sempre serà compatible determinat.
6.
L'amo del celler ha pagat 120 € en refrescs, 160 € en batuts i
220 € en sucs.
Les incògnites que ens planteja el problema són:
x = € gastats en refrescs
y = € gastats en batuts
z = € gastats en sucs
Construïm el sistema d'equacions per a determinar els valors
de x, y i z, imposant les condicions de l'enunciat:
—— Ha comprat a un majorista refrescs, batuts i sucs per import de 500 € sense despeses d'enviament:
7.
Les incògnites que ens planteja el problema són:
x = kg de pomes
y = kg de peres
z = kg de cireres
Construïm el sistema d'equacions per a determinar els valors
de x, y i z, imposant les condicions de l'enunciat:
19
Bloc 1. ÀLGEBRA LINEAL > UNItAt 1. Sistemes d'equacions lineals. Mètode de Gauss
—— Dos quilos de pomes, un quilo de peres i dos quilos de cireres valen 16,75 €:
—— S'aplica un 10% de descompte en el preu del berenar si
es compra un batut, un brioix i una xocolatina, pagant per
tot això 3,56 €:
2x + y + 2z = 16,75
0,9x + 0,9y + 0,9z = 3,56
—— Dos quilos de pomes, dos quilos de peres i tres quilos de
cireres valen 25 €:
—— El preu del brioix és la meitat del preu del batut.
2x + 2y + 3z = 25
x = 2y
—— Tres quilos de pomes, un quilo de peres i dos quilos de
cireres valen 16,75 €:
—— La xocolatina té el preu del brioix més el 20 % del preu del
batut.
2x + y + 2z = 17,75
0,2x + y = z
—— Reordenem el sistema d'equacions perquè sigui més senzilla la resolució:
Reordenem el sistema d'equacions perquè sigui més senzilla
la resolució:
3x + y + 2z = 17, 75 ⎫
2x + y + 2z = 16, 75 ⎫
⎪
⎪
F1 ↔F3
2x + 2y + 3z = 25 ⎬ ⎯⎯⎯⎯→ 2x + 2y + 3z = 25 ⎬
⎪
⎪
2x + y + 2z = 16, 75 ⎭
3x + y + 2z = 17, 75 ⎭
0, 9x + 0, 9y + 0, 9z = 3, 56 ⎫
9x + 9y + z = 3, 56 ⎫
⎪
⎪
x = 2y ⎬ →
x − 2y = 0 ⎬
⎪
⎪
0, 2x + y = z ⎭
2x + 10y − 10z = 0 ⎭
La matriu associada al sistema és la següent:
La matriu associada al sistema és la següent:
⎛
17, 75 ⎞
⎟
⎜ 3 1 2
A ' = ⎜ 2 2 3
25 ⎟
⎜ 2 1 2 16, 75 ⎟
⎠
⎝
⎛ 9 9 9 35, 6
⎜
A ' = ⎜ 1 −2 0
0
⎜ 2 10 −10
0
⎝
Apliquem el mètode de Gauss usant la notació matricial:
⎛
⎜ 3 1 2
⎜ 2 2 3
⎜ 2 1 2
⎝
⎛
⎜ 3 1
→ ⎜ 0 4
⎜ 0 1
⎝
Apliquem el mètode de Gauss usant la notació matricial:
⎞
F2 →3F2 −2F1
⎟
F3 →3F3 −2F1
⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
⎟
⎠
⎞
2 17, 75 ⎟
F3 →4F3 −F2
→
5 39, 5 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎟
2 14, 75 ⎠
17, 75
25
16, 75
⎛ 9 9 9 35, 6
⎜
0
⎜ 1 −2 0
⎜ 2 10 −10
0
⎝
⎛
9
⎜ 9 9
→ ⎜ 0 −27 −9
⎜ 0 72 −108
⎝
⎛
17, 75 ⎞
⎜ 3 1 2
⎟
→ ⎜ 0 4 5 39, 5 ⎟
⎜ 0 0 3 19, 5 ⎟
⎝
⎠
9x + 9y + 9z = 35, 6 ⎫
⎪
−27y − 9z = −35, 6 ⎬
⎪
−3564z = −4485, 6 ⎭
⎧
⎪ z = 6, 5
⎪
⎪
1
7
= 1, 75
⎨ y =
( 39, 5 − 5·6, 5 ) =
4
4
⎪
⎪
1
3
=1
⎪ x = (17, 75 − 2·6, 5 − 1, 75 ) =
⎩
3
3
Calculem les solucions per substitució regressiva:
⎧
−4485, 6
= 1, 26
⎪ z =
−3564
⎪
⎪
1
⎨ y = −
( −35, 6 + 9·(1, 26) ) = 0, 90
27
⎪
⎪
1
( 35, 6 − 8,1 − 11, 34 ) = 1, 80
⎪ x =
⎩
9
Les pomes valen 1 €/kg, les peres valen 1,75 €/kg i les cireres
valen 6,50 €/kg.
z = preu de la xocolatina
Construïm el sistema d'equacions per a determinar els valors
de x, y i z, imposant les condicions de l'enunciat:
20
El batut val 1,80 €, el brioix 0,90 € i la xocolatina 1,26 €.
Les incògnites que ens planteja el problema són:
y = preu del brioix
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
Aquesta matriu ampliada està associada al sistema escalonat
següent:
Calculem les solucions per substitució regressiva:
x = preu del batut
⎞
F2 →9F2 −F1
⎟
F3 →9F3 −2F1
⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
⎟
⎠
35, 6 ⎞
⎟
F3 →27F3 +72F2
→
−35, 6 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎟
−71, 2 ⎠
⎛
35, 6
9
⎜ 9 9
→ ⎜ 0 −27 −9
−35, 6
⎜ 0 0 −3564 −4485, 6
⎝
Aquesta matriu ampliada està associada al sistema escalonat
següent:
3x + y + 2z = 17, 75 ⎫
⎪
4y + 5z = 39, 5 ⎬
⎪
3z = 19, 5 ⎭
8.
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
9.
La matriu ampliada associada a aquest sistema d'equacions
és la següent:
⎛ 4 1 −2 −3 ⎞
⎜
⎟
A ' = ⎜ 3 −1 4 −2 ⎟
⎜ −1 1 1 5 ⎟
⎝
⎠
Bloc 1. ÀLGEBRA LINEAL > UNItAt 1. Sistemes d'equacions lineals. Mètode de Gauss
F2 →4F2 −3F1
⎛ 4 1 −2 −3 ⎞
⎜
⎟
F3 →4F3 +F1
⎯
⎯⎯⎯⎯⎯
⎯
→
3
−1
4
−2
⎜
⎟
⎜ −1 1 1 5 ⎟
⎝
⎠
⎛ 4 1 −2 −3 ⎞
⎜
⎟
F3 →7F3 +5F1
→
→ ⎜ 0 −7 22 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎜ 0 5 2 17 ⎟
⎝
⎠
⎛ 4 1 −2 −3 ⎞
⎜
⎟
→ ⎜ 0 −7 22
1 ⎟
⎜ 0 0 124 124 ⎟
⎝
⎠
Trobem la resta de solucions per recurrència:
⎧
124
=1
⎪ z =
124
⎪
⎪
−1
−21
=3
⎨ y =
(1 − 22 ) =
7
−7
⎪
⎪
1
−4
= −1
( −3 + 2(1) − 1(3) ) =
⎪ x =
⎩
4
4
La solució del sistema és: x = −1, y = 3, z = 1.
Exercicis i problemes (pàgs. 34 a 38)
1
EQUACIONS I SISTEMES Pàg. 34
D'EQUACIONS LINEALS
2
t =2
• Els coeficients són 3, 5, –1,
1
2
.
• El terme independent és 2.
b) 2x1 – x2 + 7x3 + x4 –
13. Una equació lineal amb 4 incògnites és del tipus
a1 x + a2 y + a3 z + a4 t = b
Perquè (3, 1, – 2, 0) sigui solució, s'ha de complir:
a1 · 3 + a2 · 1 + a3 · (– 2) + a4 · 0 =
Si fixem, per exemple, a1 = a2 = a3 = a4 = 1, el valor de b que
fa certa la igualtat anterior és:
4x + y − 2z = −3 ⎫
⎪
−7y + 22z = 1⎬
⎪
124z = 124 ⎭
10. a) 3x + 5y − z +
c) 10 + 1 – 9 = 2 ⇒ (10, 1, 9) és solució.
= 3a1 + a2 – 2a3 = b
El sistema d'equacions equivalent escalonat és el següent:
1
b) 0 + 7 – 2 = 5 ≠ 2 ⇒ (0, 7, 2) no és solució.
2 x5 = –3
• Els coeficients són 2, –1, 7, 1, – 2 .
• El terme independent és –3.
c) x + y + z = 0
• Els coeficients són 1, 1, 1.
• El terme independent és 0.
11. Una terna (a, b, c) és solució de 3x – y + 2z = 0 si es compleix
la igualtat 3a – b + 2c = 0, per tant:
a) 3 · 1 – (–1) + 2 · 3 = 10 ≠ 0 ⇒ (1, –1, 3) no és solució.
b) 3 · (– 4) – 8 + 2 · 10 = 0 ⇒ (–4, 8, 10) és solució.
c) 3 · 7 – 0 + 2 · (– 8) = 5 ≠ 0 ⇒ (7, 0, – 8) no és solució.
12. Per a veure si una terna és solució, n'hi ha prou de substituir
cada incògnita per la component corresponent de la terna i
veure si es verifica la igualtat:
a) 2 + 3 – (–1) = 6 ≠ 2 ⇒ (2, 3, –1) no és solució.
b=3·1+1–2·1=2
La resposta suggerida és x + y + z + t = 2.
14. Les possibles solucions (a, b, c, d) han de complir la igualtat
següent: x + y + z + t = 0.
Això implica que les solucions seran aquelles que compleixin
que a + b + c + d = 0.
Algunes d'elles poden ser: (1, –1, 0, 0); (1, –1, 1, –1);
(0, 0, –1, 1); (–1, 1, 1, –1).
15. Una terna és solució d'un sistema si, i només si, és solució de
totes i cadascuna de les equacions del sistema:
a) 3 · 4 – 0 + 2 · 3 = 18 ≠ 1 ⇒ (4, 0, 3) no és solució.
b) 3 · 1 – (–1) + 2 · 2 = 8 ≠ 1 ⇒ (1, –1, 2) no és solució.
⎫
3⋅1− 2+ 2⋅ 0 = 1
⎪
⎬ ⇒ (1, 2, 0) és solució.
c) 1 + 2 + 0 = 3
⎪
2 ⋅ 1 − 2 ⋅ 2 − 3 ⋅ 0 = − 2 ⎭
16. a) Qualsevol sistema d'equacions que tingui per solució la
terna (0, 2, 0), per exemple:
3·( 0 ) + 2·( 2 ) − 1·( 0 ) = 4 ⎫
3x + 2y − z = 4 ⎫
⎪
⎪
25x − y + 37z = −2 ⎬ ⇒ 25·( 0 ) − 1·( 2 ) + 37·( 0 ) = −2 ⎬
⎪
⎪
−x + y + 3z = 2 ⎭
−1·( 0 ) + 1·( 2 ) + 3·( 0 ) = 2 ⎭
b) Qualsevol sistema d'equacions que tingui per solució la
terna (−1, −2, 0), per exemple:
−1·( −1) + 2·( −2 ) − 1·( 0 ) = −3 ⎫
−x + 2y + z = −3 ⎫
⎪
⎪
2x + y + 3z = −4 ⎬ ⇒ 2·( −1) + 1·( −2 ) + 3·( 0 ) = −4 ⎬
⎪
⎪
−x − y − z = 3 ⎭
−1·( −1) − 1·( −2 ) − 1·( 0 ) = 3 ⎭
c) Qualsevol sistema d'equacions que tingui per solució la
terna (1, −2, 1), per exemple:
(1) − 2·( −2 ) + 1·(1) = 6 ⎫
x − 2y + z = 6 ⎫
⎪
⎪
2x + y − z = −1⎬ ⇒ 2·(1) + 1·( −2 ) − 1·(1) = −1⎬
⎪
⎪
4x − y − 3z = 3 ⎭
4·(1) − 1·( −2 ) − 3·(1) = 3 ⎭
17. Una terna (a, b, c) és solució de x – 3y + z = 2 i 3x – y + 3z = 6, si
compleix de manera simultània les dues igualtats.
Les ternes, per tant, han de complir:
– 3b + c = 2 i 3a – b + 3c = 6
Així: (1, 0, 1); (0, 0, 2); (2, 0, 0) són possibles solucions de les
equacions simultàniament.
21
Bloc 1. ÀLGEBRA LINEAL > UNItAt 1. Sistemes d'equacions lineals. Mètode de Gauss
18. Resolució lliure, qualsevol problema que compleixi el sistema
20. a) Resolem el sistema d'equacions per igualació.
d'equacions.
—— Aïllem les dues variables x del sistema.
2x − 3y = 1 ⎫
⎬ →
3x + 5y = 0 ⎭
2
RESOLUCIÓ DE SISTEMES Pàg. 34
D'EQUACIONS LINEALS
19. a) Resolem el sistema d'equacions per reducció.
—— Igualem les dues equacions que ens han quedat i trobem el valor de la variable y.
— Multipliquem la segona equació per 2 i les sumem per
deixar una sola equació.
1 + 3y
−5y
=
2
3
3 ⋅ (1 + 3y ) = −10y
2x + y = 1 ⎫
E 2 →2E 2
→
⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯
−x − 2y = 4 ⎭
2x + y = 1 ⎫
E 1 +E 2
→
→
⎬ ⎯⎯⎯⎯
−2x − 4y = 8 ⎭
→ −3y = 9 ⇒ y = −3
3 = −19y
y =
— Substituïm en la primera equació. 2x + (−3) = 1 ⇒ 2x = 4 ⇒ x = 2
La solució del sistema és x = 2, y = −3.
b) Resolem el sistema d'equacions per substitució.
−3
19
—— Substituïm el valor de y en la primera equació.
2x − 3 ⋅
2x +
— Aïllem la variable y de la primera equació.
5x + y = 10 ⎫
y = 10 − 5x ⎫
⎬ →
⎬
x − y = −4 ⎭
x − y = −4 ⎭
1 + 3y ⎫
⎪
2 ⎪
⎬
−5y ⎪
x =
⎪⎭
3
x =
2x =
x =
9
19
19
19
5
−3
=1
19
=1
−
9
19
x − 10 + 5x = −4
6x = 6 ⇒ x = 1
Substituïm el valor de x en la primera equació.
y = 10 − 5 ⋅ 1 ⇒ y = 5
La solució del sistema és x = 1, y = 5.
c) Resolem el sistema d'equacions per igualació.
— Aïllem les dues variables x del sistema.
2 + y ⎫
x =
⎪
2x − y = 2 ⎫
2 ⎪
⎬
⎬ →
6x − 5y = 2 ⎭
2 + 5y ⎪
x =
⎪⎭
6
—— Igualem les dues equacions que ens han quedat i trobem el valor de la variable y.
2+ y
2
=
2 + 5y
6
6 + 3y = 2 + 5y → 4 = 2y → y = 2
—— Substituïm el valor de y en la primera equació.
2 + (2)
x =
⇒x =2
2
La solució del sistema és x = 2, y = 2.
10
19
19
Substituïm l'expressió en la segona equació.
x − (10 − 5x) = −4
=
La solució del sistema és x =
5
19
,y =
−3
19
.
b) Resolem el sistema d'equacions per reducció.
—— Multipliquem per −3 la segona equació i per 2 la primera equació, perquè quan les sumem quedi una sola
equació.
E 1 →2E 1
3x + 3y = 3 ⎫
6x + 6y = 6 ⎫
E 2 →−3E 2
→
⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯
⎬
2x + y = 1⎭
−6x − 3y = −3 ⎭
—— Sumem les dues equacions.
6x − 6x + 6y − 3y = 6 − 3
3y = 3 ⇒ y = 1
—— Substituïm el valor de y en la primera equació.
3x + 3 (1) = 3
3x = 3 − 3 ⇒ x =
0
3
=0
La solució del sistema és x = 0, y = 1.
21. a)Es tracta d'un sistema escalonat que podem resoldre per
substitució regressiva:
—— Resolem la tercera equació, que ens dóna el valor de z:
3x − y + 5z = 2 ⎫
3x − y + 5z = 2 ⎫
⎪
⎪
− 7y + z = 7 ⎬
−7y + z = 7 ⎬ →
⎪
⎪
2z = 0 ⎭
z = 0 ⎭
—— Substituïm el valor de z en la segona equació i obtenim
el valor de y:
22
Bloc 1. ÀLGEBRA LINEAL > UNItAt 1. Sistemes d'equacions lineals. Mètode de Gauss
3x − y + 5z = 2 ⎫
3x − y + 5z = 2 ⎫
⎪
⎪
− 7y + 0 = 7 ⎬ →
y = −1 ⎬
⎪
⎪
z = 0 ⎭
z = 0 ⎭
—— Substituïm els valors de z i y en la primera equació i
1 ⎫
trobem el valor de x:
⎪
x =
3 ⎪
⎪
y = −1 ⎬
3x − (−1) + 5 ⋅ 0 = 2 ⎫
⎪
⎪⎪
z = 0 ⎪
y = −1 ⎬ →
⎪⎭
⎪
z = 0 ⎪⎭
⎛ 1
⎞
Per tant, la solució del sistema és ⎜ , −1, 0 ⎟ .
⎝ 3
⎠
b) — Substituïm el valor de z en la segona equació.
4x + 4y + 2z = 6 ⎫
4x + 4y + 2z = 6 ⎫
⎪
⎪
4y + 2z = −2 ⎬ → 4y + 2 ⋅ 7 = −2 ⎬
⎪
⎪
−2z = −14 ⎭
z = 7 ⎭
—— Substituïm els valors de z i y en la primera equació.
4x + 4y + 2z = 6 ⎫
⎪
4y + 2 ⋅ 7 = −2 ⎬ →
⎪
z = 7 ⎭
4x + 4 ⋅ (−4) + 2 ⋅ 7 = 6 ⎫
⎪
⎪
−16
y =
= −4 ⎬
4
⎪
z = 7 ⎪⎭
—— Trobem el valor de x i la solució del sistema.
4x + 4 ⋅ (−4) + 2 ⋅ 7 = 6
4x = 6 + 16 − 14 ⇒ x = 2
La solució del sistema és x = 2, y = −4, z = 7.
22. Les incògnites que ens planteja el problema són:
x = rendibilitat mitjana de bons en tant per cent
y = rendibilitat mitjana de les accions en tant per cent
Imposant les condicions de l'enunciat obtenim les equacions:
—— Si utilitza la meitat dels seus estalvis per a comprar bons i
l'altra per a comprar accions, la rendibilitat obtinguda és
del 10 %:
x
100
⋅
50
100
+
y
100
⋅
50
100
=
10
100
—— Si hagués invertit un 40 % en accions i la resta en bons,
hauria obtingut una rendibilitat de l'11 %:
x
100
⋅
60
100
+
y
100
⋅
40
100
=
11
100
Obtenim el sistema d'equacions que hem de resoldre.
5x + 5y = 100 ⎫
⎬
60x + 40y = 1100 ⎭
Resolem el sistema.
5x + 5y = 100 ⎫
E 2 →E 2 −12E 1
→
⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
60x + 40y = 1100 ⎭
5x + 5y = 100 ⎫
→
⎬
−20y = − 100 ⎭
Trobem la resta de solucions per recurrència:
y =
−100
=5
−20
1
75
x =
(100 − 5 ⋅ 5) =
= 15
5
5
Els bons tenen una rendibilitat del 15 % i les accions del 5 %.
23. a) Escalonem el sistema d'equacions. Per a fer-ho, modifiquem l'ordre de les equacions 2 i 3.
x − y + z = 1⎫
x − y + z = 1⎫
⎪
⎪
E 2 ↔E 3
2x − 3z = 5 ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯
→ 2y + z = 1⎬
⎪
⎪
2y + z = 1⎭
2x − 3z = 5 ⎭
—— Multipliquem la primera equació per −2 i la sumem a la
tercera.
x − y + z = 1⎫
x − y + z = 1⎫
⎪
⎪
E 3 →E 3 −2E 1
2y + z = 1⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→ 2y + z = 1⎬
⎪
⎪
2x − 3z = 5 ⎭
2y − 5z = 7 ⎭
—— Restem la segona i la tercera equació.
x − y + z = 1⎫
x − y + z = 1⎫
⎪
⎪
E 3 →E 3 −E 2
2y + z = 1⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→ 2y + z = 1⎬
⎪
⎪
2y − 5z = 7 ⎭
−6z = 6 ⎭
—— Trobem el valor de z, el substituïm en la segona equació per a obtenir el valor de y.
x − y + z = 1⎫
x − y + z = 1⎫
⎪
⎪
2y + z = 1⎬ → 2y + (−1) = 1⎬ →
⎪
⎪
−6z = −6 ⎭
z = −1⎭
2
→y =
=1
2
—— Substituïm els valors de y i z, i trobem el valor de x.
x – (1) + (−1) = −1 → x = −1 + 1 + 1 = 1
La solució del sistema és x = 1, y = 1, z = −1.
b) Escalem el sistema d'equacions. Per a fer-ho, multipliquem la segona equació per 2 i la sumem a la primera.
2x + 3y − z = 3 ⎫
2x + 3y − z = 3 ⎫
⎪
⎪
E 2 →2E 2 +E 1
−x + 2y = −1⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
7y − z = 1⎬
⎪
⎪
7x + 5z = 2 ⎭
7x + 5z = 2 ⎭
—— Multipliquem la primera equació per 7, la tercera per
−2 i les sumem.
2x + 3y − z = 3 ⎫
2x + 3y − z = 3 ⎫
⎪
⎪
E 3 →7E 1 −2E 3
7y − z = 1⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
7y − z = 1⎬
⎪
⎪
7x + 5z = 2 ⎭
21y − 17z = 17 ⎭
—— Multipliquem per −3 la segona equació i la sumem a la
tercera.
2x + 3y − z = 3 ⎫
2x + 3y − z = 3 ⎫
⎪
⎪
E 3 →E 3 −3E 2
7y − z = 1⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
7y − z = 1⎬
⎪
⎪
21y − 17z = 17 ⎭
−14z = 14 ⎭
—— Trobem el valor de z, el substituïm en la segona equació per a obtenir el valor de y.
23
Bloc 1. ÀLGEBRA LINEAL > UNItAt 1. Sistemes d'equacions lineals. Mètode de Gauss
2x + 3y − z = 3 ⎫
2x + 3y − z = 3 ⎫
⎪
⎪
7y − z = 1⎬ →
7y − (−1) = 1⎬ → y = 0
⎪
⎪
−14z = 14 ⎭
z = −1⎭
—— Substituïm els valors de y i z, i trobem el valor de x.
2x + 3 · (0) – (−1) = 3 → 2x + 1 = 3 → x = 1
La solució del sistema és x = 1, y = 0, z = −1.
c) El sistema ja està escalonat, per tant podem resoldre'l sense operar.
2x + y − z = 1⎫
⎪
5y − 2z = 1⎬
⎪
−z = −3 ⎭
—— Substituïm el valor de z en la segona equació per a obtenir el valor de y.
2x + y − z = 1⎫
⎪
−1 + 6
5y − 2z = 1⎬ → y =
=1
5
⎪
z = 3 ⎭
—— Substituïm els valors de y i z, i trobem el valor de x.
2x + (1) – (3) = 1 → 2x = 1 + 3 − 1 → x =
La solució del sistema és x =
3
2
3
2
, y = 1, z = 3.
d) Multipliquem la tercera equació per −5 i la sumem a la
segona.
x + 2y + z = −1⎫
x + 2y + z = −1⎫
⎪
⎪
E 3 →E 2 −5E 3
5y − 2z = 1⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
5y − 2z = 1⎬
⎪
⎪
y − z = −4 ⎭
3z = 21⎭
—— Trobem el valor de z, el substituïm en la segona equació per a obtenir el valor de y.
x + 2y + z = −1⎫
⎪
1
5y − 2 ⋅ 7 = 1⎬ → y =
(1 + 2 ⋅ 7) = 3
5
⎪
z = 7 ⎭
—— Substituïm els valors de y i z, i trobem el valor de x.
x + 2 · (3) + 7 = −1 → x = −1 − 7 − 6 → x = − 14
La solució del sistema és x = −14, y = 3, z = 7.
24. a) Escalonem el sistema sumant la segona i la primera equació, i multipliquem la primera fila per 4 i la sumem a la
tercera equació.
−x − 2y − z = −4 ⎫
−x − 2y − z = −4 ⎫
E 2 →E 2 +E 1
⎪
⎪
E 3 →E 3 +4E 1
x + 3y + z = 5 ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
y = 1⎬
⎪
⎪
4x + 2y + 2z = 8 ⎭
−6y − 2z = −8 ⎭
—— Multipliquem la segona equació per 6 i la sumem a la
tercera equació.
−x − 2y − z = −4 ⎫
−x − 2y − z = −4 ⎫
⎪
⎪
E 3 →E 3 +6E 2
y = 1⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
y = 1⎬
⎪
⎪
−6y − 2z = −8 ⎭
−2z = −2 ⎭
24
——
Bloc 1. ÀLGEBRA LINEAL > UNItAt 1. Sistemes d'equacions lineals. Mètode de Gauss
—— Substituïm els valors de y i z, i trobem el valor de x.
−x – 2 · (1) – 1 = −4 → −x = −4 + 1 + 2 = −1
La solució del sistema és x = 1, y = 1, z = 1.
b) Escalonem el sistema multiplicant la primera equació per
−2 i sumant-la a la segona i a la tercera.
x + y + z = 3 ⎫
x + y + z = 3 ⎫
E 2 →E 2 −2E 1
⎪
⎪
E 3 →E 3 −2E 1
2x − y + 2z = 0 ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
−3y = −6 ⎬
⎪
⎪
2x + 3z = 3 ⎭
−2y + z = −3 ⎭
—— Multipliquem per
2
la segona equació i la sumem a
3
la tercera.
x + y + z = 100 ⎫
x + y + z = 100 ⎫
⎪
⎪
2y − z = −20 ⎬ → 2y − 50 = −20 ⎬ →
⎪
⎪
−2z = −100 ⎭
z = 50 ⎭
−20 + 50
→y =
= 15
2
—— Substituïm els valors de y i z, i trobem el valor de x.
x + 15 + 50 = 100 → x = 100 – 50 – 15 = 35
Per tant, els pantalons costen 35 €, la samarreta costa 15 € i
la dessuadora costa 50 €.
26. Triem les incògnites:
x = nombre de monedes de la caixa A
x + y + z = 3 ⎫
x + y + z = 3 ⎫
2
E 3 →E 3 + E 2
⎪
⎪
3
−3y = −6 ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
−3y = −6 ⎬
⎪
⎪
−2y + z = −3 ⎭
z = 1⎭
—— Substituïm els valors de y i z, i trobem el valor de x.
x + 2 + 1 = 3 → x = 3 – 2 – 1= 0
La solució del sistema és x = 0, y = 2, z = 1.
25. Definim les incògnites del problema:
y = nombre de monedes de la caixa B
z = nombre de monedes de la caixa C
Hem de calcular x, y i z imposant les condicions del problema. De l'enunciat obtenim el sistema d'equacions següent:
—— A les tres caixes tenim un total de 36 monedes:
x + y + z = 36
—— La caixa A conté 2 monedes més que la suma de les monedes de les caixes B i C:
x+2=y+z
x = preu dels pantalons
y = preu de la samarreta
z = preu de la dessuadora
Construïm el sistema d'equacions per a determinar els valors
de x, y i z, imposant les condicions de l'enunciat:
—— S'ha gastat 100 € en els pantalons, la camisa i la dessuadora:
x + y + z = 100
—— S'ha gastat el mateix en els pantalons i la samarreta junts
que en la dessuadora:
x+y=z
—— Amb el que costa una dessuadora es poden comprar dues
samarretes i sobren 20 €:
2y + 20 = z
Reordenem el sistema d'equacions perquè sigui més senzilla la resolució:
x + y + z = 100 ⎫
x + y + z = 100 ⎫
⎪
⎪
x + y = z ⎬ → x + y − z = 0 ⎬
⎪
⎪
2y + 20 = z ⎭
2y − z = −20 ⎭
—— Restem la segona equació de la primera i intercanviem
l'ordre de la segona i la tercera equació.
x + y + z = 100 ⎫
x + y + z = 100 ⎫
E 2 →E 2 −E 1
⎪
⎪
E 2 ↔E 3
→ 2y − z = −20 ⎬
x + y − z = 0 ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎪
⎪
−2z = −100 ⎭
2y − z = −20 ⎭
—— Trobem el valor de z, el substituïm en la segona equació
per a obtenir el valor de y.
—— Si traslladem una moneda de la caixa B a la caixa A, tindrà
el doble de monedes que la caixa B:
2(y − 1) = x + 1
Reordenem el sistema d'equacions perquè sigui més senzilla la resolució:
x + y + z = 36 ⎫
x + y + z = 36 ⎫
⎪
⎪
x + 2 = y + z ⎬ → x − y − z = −2 ⎬
⎪
⎪
2(y − 1) = x + 1⎭
−x + 2y = 3 ⎭
—— Resolem el sistema d'equacions per Gauss. Restem la segona equació a la primera i sumem la tercera a la primera.
x + y + z = 36 ⎫
x + y + z = 36 ⎫
E 2 →E 2 −E 1
⎪
⎪
E 3 →E 3 +E 1
x − y − z = −2 ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→ −2y − 2z = −38 ⎬
⎪
⎪
−x + 2y = 3 ⎭
3y + z = 39 ⎭
—— Multipliquem la tercera equació per 3, la segona equació
per 2 i les sumem.
x + y + z = 36 ⎫
x + y + z = 36 ⎫
⎪
⎪
E 3 →3E 2 +2E 3
−2y − 2z = −38 ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ −2y − 2z = −38 ⎬
⎪
⎪
3y + z = 39 ⎭
−4z = −36 ⎭
—— Trobem el valor de z, el substituïm en la segona equació
per a obtenir el valor de y.
x + y + z = 36 ⎫
⎪
−2y − 2 ⋅ 9 = −38 ⎬ →
⎪
z = 9 ⎭
1
−38 + 18
→y =
⋅ (−38 + 2 ⋅ 9) =
= 10
−2
−2
—— Substituïm els valors de y i z, i trobem el valor de x.
x + (10) + 9 = 3 → x = 36 – 9 – 10 = 17
Per tant, a la caixa A hi hauran 17 monedes, a la B 10 i a la C
9.
25
Bloc 1. ÀLGEBRA LINEAL > UNItAt 1. Sistemes d'equacions lineals. Mètode de Gauss
27. Les incògnites que ens planteja el problema:
x = € gastats en fulls
y = € gastats en fotocòpies
x+y −z =0
⎫
⎫
x+y −z =0
⎪
⎪
E 3 →E 3 −E 1
→ 3y − 2z = 0
⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎬
⎪
⎪
x + y + z = 3 000 ⎭
2z = 3 000 ⎭
3y − 2z = 0
z = € gastats en material
a) Imposant les condicions de l'enunciat obtenim el sistema:
—— Cinc vegades el que es gasta en fulls és igual a la suma
del que es gasta en fotocòpies més la despesa de material de l'oficina:
5x = y + z
—— Tres vegades la despesa en fotocòpies, és igual a dues
vegades la despesa en material d'oficina:
3y = 2z
—— La suma de la despesa en fotocòpies més la despesa
en fulls és igual a la de material:
x+y=z
Reordenem el sistema d'equacions perquè sigui més
senzilla la resolució:
5x = y + z ⎫
5x − y − z = 0 ⎫
⎪
⎪
3y = 2z ⎬ → 3y − 2z = 0 ⎬
⎪
⎪
x + y = z ⎭
x + y − z = 0 ⎭
Resolem el sistema per Gauss. Comencem intercanviant la primera i la tercera fila:
x + y − z = 0 ⎫
5x − y − z = 0 ⎫
⎪
⎪
E 1 ↔E 3
→ 3y − 2z = 0 ⎬
3y − 2z = 0 ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯
⎪
⎪
5x − y − z = 0 ⎭
x + y − z = 0 ⎭
—— Multipliquem la tercera equació per cinc i la restem a la
primera.
x + y − z = 0 ⎫
x + y − z = 0 ⎫
⎪
⎪
E 3 →E 3 −5E 1
→ 3y − 2z = 0 ⎬
3y − 2z = 0 ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎪
⎪
−6y + 4z = 0 ⎭
5x − y − z = 0 ⎭
—— Multipliquem la segona equació per 2 i la sumem a la
tercera.
x + y − z = 0 ⎫
x + y − z = 0 ⎫
⎪
⎪
E 2 →2E 2 +E 3
→ 3y − 2z = 0 ⎬
3y − 2z = 0 ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎪
⎪
0y + 0z = 0 ⎭
−6y + 4z = 0 ⎭
Ens ha quedat un sistema amb dues equacions i tres
incògnites, així que no el podem solucionar, ja que serà
un sistema compatible indeterminat.
b) Amb les noves dades, tenim una nova condició que podem transformar en equació i incorporar-la al sistema.
La nova equació és: x + y + z = 3 000
Substituïm la tercera equació que no aportava cap restricció per la nova.
x+y −z =0
⎫
⎪
⎬
⎪
x + y + z = 3 000 ⎭
3y − 2z = 0
26
Resolem un altre cop el sistema per Gauss. Restem la primera equació a la tercera:
—— Trobem el valor de z, el substituïm en la segona equació per a obtenir el valor de y.
x+y −z =0
⎫
⎪
3 000
= 1 000
⎬ → y =
3
⎪
z = 1500 ⎭
3y − 2 ⋅ 1500 = 0
Substituïm els valors de y i z, i trobem el valor de x.
x + (1 000) – 1 500 = 0 → x = 1 500 – 1 000 = 500
Per tant, es van gastar 500 € en fulls, 1 000 € en fotocòpies
i 1 500 € en material.
28. Vegem com obtenir un sistema no trivial d'equacions amb les
solucions que ens dóna l'enunciat.
Considerem tres equacions amb termes independents genèrics. Una proposta podria ser:
x + y + z = a ⎫
⎪
x + z = b ⎬
⎪
x + y = c ⎭
A continuació, determinem a, b i c imposant que
(1, −1, −2) i (0, 0, −3) siguin solució:
1 − 1 − 2 = 1 = −2 ⎫ 0 + 0 − 3 = a = −3 ⎫
⎪
⎪
1 − 2 = b = −1⎬ ,
0 − 3 = b = −3 ⎬
⎪
⎪
1 − 1 = c = 0 ⎭
0 + 0 = c = 0 ⎭
Així, un sistema la solució del qual sigui (1, −1, −2) pot ser:
x + y + z = −2 ⎫
⎪
x + z = −1 ⎬
⎪
x + y = 0 ⎭
I un sistema la solució del qual sigui (0, 0, −3) pot ser:
x + y + z = −3 ⎫
⎪
x + z = −3 ⎬
⎪
x + y = 0 ⎭
29. Escalonem el sistema d'equacions.
—— Multipliquem la primera equació per 2 i la restem de la
quarta. Alhora, sumem la primera equació amb la tercera.
Bloc 1. ÀLGEBRA LINEAL > UNITAT 1. Sistemes d'equacions lineals. Mètode de Gauss
32. a) Escalonem el sistema.
2x − y + z = 1 ⎫
E 2 →2E 2 −E 1
⎪
E 3 →2E 3 −E 1
x − 2y + 3z = 4 ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
⎪
x + y + 3z = 0 ⎭
2x − y + z = 1 ⎫
⎪
E 3 →E 3 +E 2
→
→ 3y − 5z = −7 ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎪
−3y − 5z = 1 ⎭
2x − y + z = 1 ⎫
⎪
→ 3y − 5z = −7 ⎬
⎪
−10z = −6 ⎭
El sistema equivalent escalonat manté tres equacions no
degenerades amb tres incògnites, es tracta d'un sistema
compatible determinat.
b) Escalonem el sistema.
5x − 2y + z = −1⎫
E 2 →5E 2 +2E 1
⎪
E 3 →5E 3 −3E 1
−2x + y − 3z = 4 ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
⎪
3x − y − 2z = 0 ⎭
5x − 2y + z = −1⎫
⎪
E 3 →E 3 −E 2
→
→
y − 13z = 18 ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎪
y − 13z = 3 ⎭
5x − 2y + z = −1 ⎫
⎪
→
y − 13z = 18 ⎬
⎪
0z = −15 ⎭
La tercera equació del sistema és una equació absurda,
per tant el sistema és incompatible.
c) Escalonem el sistema.
3x + 2y − z = 1 ⎫
E 2 →3E 2 +2E 1
⎪
E 3 →E 1 −3E 3
−2x + 3y − 2z = −1⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
⎪
x + 5y − 3z = 0 ⎭
3x + 2y − z = 1 ⎫
⎪
E 3 →E 3 +2E 2
→
→ 13y − 8z = −1⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎪
−13y + 8z = 1 ⎭
3x + 2y − z = 1 ⎫
⎪
13y − 8z = −1⎬
⎪
0 = 0 ⎭
La tercera equació del sistema és una equació trivial, per
tant tenim un sistema de dues equacions amb tres incògnites. Es tracta, doncs, d'un sistema compatible indeterminat.
33. No, ja que x1 = 0, x2 = 0, …, xn = 0 sempre és solució (és
l'anomenada solució trivial).
34. a) Escalonem el sistema d'equacions per a poder discutir si
té solucions o no.
4x − 6y = −28 ⎫
4x − 6y = −28 ⎫
E 2 →4E 2 −5E 1
→
⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎬
5x − 2y = −13 ⎭
22y = 88 ⎭
El sistema equivalent escalonat manté dues equacions no
trivials amb dues incògnites, es tracta d'un sistema compatible determinat. Trobem el valor de les variables.
⎧
88
=4
⎪⎪ y =
22
⎨
⎪ 4x − 6 ⋅ 4 = −28 → x = −28 + 24 = −1
⎪⎩
4
La solució del sistema és x = −1, y = 4.
b) Escalonem el sistema d'equacions per a poder discutir si
té solucions o no.
−2x − 4y = 2 ⎫
−2x − 4y = 2 ⎫
E 2 →E 2 −4E 1
→
⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎬
−8x − 16y = 1⎭
0 = −7 ⎭
La segona equació és una equació absurda, per tant el
sistema és incompatible.
c) Escalonem el sistema d'equacions per a poder discutir si
té solucions o no.
2x + 3y − z = 15 ⎫
E 2 →E 2 −E 1
⎪
E 3 →2E 3 −E 1
2x − y + z = −3 ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
⎪
x − y = 0 ⎭
2x + 3y − z = 15 ⎫
⎪
E 3 →4E 3 +5E 2
→
→ −4y + 2z = −18 ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎪
5y − z = 0 ⎭
2x + 3y − z = 15 ⎫
⎪
→ −4y + 2z = −18 ⎬
⎪
6z = 30 ⎭
El sistema equivalent escalonat manté tres equacions no
degenerades amb tres incògnites, es tracta d'un sistema
compatible determinat. Trobem el valor de les variables.
⎧
−30
= −5
⎪ z =
6
⎪
⎪
−18 + 10
=2
⎨ −4y + 2 ⋅ (−5) = −18 → y =
−4
⎪
⎪
15 − 5 − 6
=2
⎪ 2x + 3 ⋅ 2 − (−5) = 15 → x =
⎩
2
La solució del sistema és x = 2, y = 2, z = −5.
d) Escalonem el sistema d'equacions per a poder discutir si
té solucions o no.
2x − 5y + 12z = 9
⎫
E 2 →E 2 −2E 1
⎪
E 3 →E 3 −E 1
4x − y − 2z = −2 ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
⎪
2x + 4y + 10z = −11⎭
2x − 5y + 12z = 9 ⎫
⎪
E 3 →E 3 −E 2
→
→
9y − 26z = −20 ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎪
9y − 2z = −20 ⎭
2x − 5y + 12z = 9 ⎫
⎪
→
9y − 26z = −20 ⎬
⎪
24z = 0 ⎭
El sistema equivalent escalonat manté tres equacions no
trivials amb tres incògnites, es tracta d'un sistema compatible determinat. Trobem el valor de les variables.
27
Bloc 1. ÀLGEBRA LINEAL > UNITAT 1. Sistemes d'equacions lineals. Mètode de Gauss
⎧
0
⎪ z =
=0
24
⎪
⎪
−20
⎨ 9y − 26 ⋅ 0 = −20 → y =
9
⎪
⎪
⎛ −20 ⎞
⎛ −20 ⎞⎤ −19
1 ⎡
⎪ 2x − 5 ⋅ ⎜
⋅ ⎢ 9 + 5 ⋅ ⎜
⎟ + 12 ⋅ 0 = 9 → x =
⎟⎥ =
⎝ 9 ⎠
⎝ 9 ⎠⎦
2 ⎣
18
⎩
19
20
,y = −
, z = 0.
18
9
e) Escalonem el sistema d'equacions per a poder discutir si
té solucions o no.
La solució del sistema és x = −
x + y − z = 10 ⎫
x + y − z = 10 ⎫
E 2 →E 2 −E 1
→
⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎬
x − y + z = 5 ⎭
−2y + 2z = −5 ⎭
Tenim un sistema compatible indeterminat. El podem solucionar en funció d'un paràmetre.
Prenem com a paràmetre la variable z i tenim:
⎧
⎪ z = λ
⎪
⎪
1
5
⋅ (2λ + 5) =
+λ
⎨ y =
2
2
⎪
⎪
⎛
15
5 ⎞
⎪ x = 10 − ⎜ λ +
⎟ + λ =
⎝
2
⎩
2 ⎠
El sistema equivalent escalonat manté tres equacions no trivials amb tres incògnites, es tracta d'un sistema compatible
determinat. Trobem el valor de les variables.
La solució del sistema és x =
15
2
,y =
5
2
+ λ, z = λ
f) Escalonem el sistema d'equacions per a poder discutir si
té solucions o no.
x − 4y = −5 ⎫
x − 4y = −5 ⎫
E 2 →E 2 −2E 1
⎪
⎪
E 3 →E 3 −2E 1
2x + y = −1 ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
9y = 9 ⎬
⎪
⎪
2x − 8y = −10 ⎭
0 = 0 ⎭
L'última equació és trivial, així doncs, tenim un sistema de
dues equacions amb dues incògnites, un sistema compatible
determinat que podem resoldre per substitució regressiva.
⎧
9
⎪ y =
=1
⎨
9
⎪ x − 4 ⋅ 1 = −5 → x = −1
⎩
La solució del sistema és x = −1, y = 1.
35. a) Escalonem el sistema.
3x + 2y + z = 3 ⎫
⎪
E 2 ↔E 1
x + y + z = 1 ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯
→
⎪
2x − 3y + z = 1 ⎭
x + y + z = 1 ⎫
E 2 →E 2 −3E 1
⎪
E 3 →E 3 −3E 1
→
→ 3x + 2y + z = 3 ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎪
2x − 3y + z = 1 ⎭
x + y + z = 1 ⎫
⎪
E 3 →E 3 −5E 2
→
→ −y − 2z = 0 ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎪
−5y − z = −3 ⎭
x + y + z = 1 ⎫
⎪
→ −y − 2z = 0 ⎬
⎪
9z = −3 ⎭
28
El sistema equivalent escalonat manté tres equacions
no trivials amb tres incògnites, es tracta d'un sistema
compatible determinat.
b) Escalonem el sistema.
−x − 2y + 2z = −1⎫
−x − 2y + 2z = −1⎫
E 2 →E 2 +E 1
→
⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎬
x + y − z = 1⎭
−y + z = 0 ⎭
El sistema equivalent escalonat té dues equacions i tres
incògnites, per tant és un sistema compatible indeterminat.
36. Les incògnites que ens planteja el problema:
x = km recorreguts a Alemanya
y = km recorreguts a França
z = km recorreguts a Espanya
Imposant les condicions de l'enunciat obtenim el sistema:
—— El total de la ruta té 1 800 km:
x + y + z = 1 800
—— A França fa la mateixa distància que la suma de les distàncies d'Espanya i Alemanya:
y=x+z
—— Fa el doble de quilòmetres a Alemanya que a Espanya:
2z = x
Reordenem el sistema d'equacions perquè sigui més senzilla la resolució:
x + y + z = 1 800 ⎫
x + y + z = 1 800 ⎫
⎪
⎪
y = x + z ⎬ → x − y + z = 0
⎬
⎪
⎪
x − 2z = 0
x = 2z ⎭
⎭
Tenim un sistema de tres equacions amb tres incògnites,
serà un sistema compatible, així que la història és possible.
Resolem el sistema d'equacions:
x + y + z = 1 800 ⎫
E 2 →E 2 −E 1
⎪
E 3 →E 3 −E 1
→
⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎪
x − 2z = 0
⎭
x + y + z = 1 800 ⎫
⎪
E 3 →2E 3 −E 2
→
→
−2y = −1 800 ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎪
−y − 3z = −1 800 ⎭
x + y + z = 1 800 ⎫
⎪
→
−2y = −1 800 ⎬
⎪
−6z = −1 800 ⎭
x −y +z =0
Trobem les solucions per substitució regressiva:
⎧
−1 800
= 300
⎪ z =
−6
⎪
−1 800
⎨
= 900
⎪ y =
−2
⎪
⎪⎩ x = 1 800 − 900 − 300 = 600
La distància recorreguda per Espanya és de 300 km, la recorreguda per França és de 900 km i la distància recorreguda
per Alemanya és de 600 km.
Bloc 1. ÀLGEBRA LINEAL > UNITAT 1. Sistemes d'equacions lineals. Mètode de Gauss
37. a) Les incògnites que ens planteja el problema són:
x = nombre d'alumnes (noies)
y = nombre d'alumnes (nois)
z = nombre de professors
Imposant les condicions de l'enunciat obtenim el sistema:
—— Entre les alumnes, els alumnes i els professors són 32
persones:
x + y + z = 32
—— El doble del nombre d'alumnes nois més el nombre de
professors és igual al doble del nombre d'alumnes noies:
2i + z = 2x
El sistema d'equacions que obtenim és el següent:
x + y + z = 32 ⎫
⎬
z + 2y = 2x ⎭
Tenim dues equacions i tres incògnites, ens quedaria un
sistema compatible indeterminat, així que necessitaríem
una tercera equació per a resoldre el problema. Amb
aquesta informació, no podem calcular el nombre de professors que hi ha.
b) De l'enunciat traiem la tercera equació.
—— La meitat del nombre de les alumnes, més el nombre
dels alumnes, és igual al doble del nombre de professors més 1.
x
+ y = 2z + 1
2
Reordenem el sistema d'equacions perquè sigui més senzilla la resolució:
⎫
x + y + z = 32 ⎪
x + y + z = 32 ⎫
⎪
⎪
2y + z = 2x ⎬ → −2x + 2y + z = 0 ⎬
⎪
⎪
x
x + 2y − 4z = 2 ⎭
+ y = 2z + 1⎪
⎭
2
Resolem per Gauss:
x + y + z = 32 ⎫
E 2 →E 2 +2E 1
⎪
E 3 →E 3 −E 1
−2x + 2y + z = 0 ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
⎪
x + 2y − 4z = 2 ⎭
x + y + z = 32 ⎫
⎪
E 3 →E 2 −4E 3
→
→ 4y + 3z = 64 ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎪
y − 5z = −30 ⎭
x + y + z = 32 ⎫
⎪
→ 4y + 3z = 64 ⎬
⎪
23z = 184 ⎭
Calculem les solucions per substitució regressiva:
⎧
184
=8
⎪ z =
23
⎪
⎪
64 − 3 ⋅ 8
= 10
⎨ y =
4
⎪
⎪ x = 32 − 10 − 8 = 14
⎪
⎩
Per tant, a classe hi ha 14 alumnes noies, 10 alumnes nois i
8 professors.
4 DISCUSSIÓ DE SISTEMES
Pàg. 35
38. a) Apliquem el mètode de Gauss fins a obtenir un sistema
equivalent escalonat.
−3x + 2y + 3z = −2 ⎫
⎪
E 1 ↔E 3
2x + ky − 5z = −4 ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯
→
⎪
x + y + 2z = 2 ⎭
x + y + 2z = 2 ⎫
E 2 →E 2 −2E 1
⎪
E 3 →E 3 +3E 1
→
→ 2x + ky − 5z = −4 ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎪
−3x + 2y + 3z = −2 ⎭
x + y + 2z = 2 ⎫
⎪
E 2 ↔E 3
→
→ (k − 2)y − 9z = −8 ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯
⎪
5y + 9z = 4 ⎭
x + y + 2z = 2 ⎫
⎪
E 3 →5E 3 −(k −2)E 2
→
→
5y + 9z = 4 ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎪
(k − 2)y − 9z = −8 ⎭
⎫
x + y + 2z = 2
⎪
→
5y + 9z = 4
⎬ →
⎪
(−27 − 9k)z = −32 − 4k ⎭
⎫
x + y + 2z = 2
⎪
→
5y + 9z = 4
⎬
⎪
−9 ⋅ (k + 3)z = −4 ⋅ (k + 8) ⎭
Si 9(k + 3) ≠ 0, o sigui k ≠ −3, el sistema és compatible
determinat, ja que té tres equacions i tres incògnites.
Si k = −3, el sistema escalonat és:
x + y + 2z = 2 ⎫
⎪
5y + 9z = 4 ⎬
⎪
0 = −20 ⎭
L'última equació és absurda, per tant el sistema és incompatible.
b) Apliquem el mètode de Gauss fins a obtenir un sistema
equivalent escalonat.
kx + y + z = k ⎫
⎪
E 1 ↔E 3
x + ky + z = k ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯
→
⎪
x + y + kz = k ⎭
x + y + kz = k ⎫
E 2 →E 2 −E 1
⎪
E 3 →E 3 −kE 1
→
→ x + ky + z = k ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎪
kx + y + z = k ⎭
x + y + kz = k ⎫
⎪
E 3 →E 3 +E 2
→
(k − 1)y + (1 − k)z = 0 ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
⎪
2
2
(1 − k)y + (1 − k )z = k − k ⎭
x + y + kz = k ⎫
⎪
→ (k − 1)y + (1 − k)z = 0 ⎬
⎪
(−k 2 − k + 2)z = k(1 − k) ⎭
Hem d'observar per quins valors de k s'anul·laran o no els
termes de la tercera equació per a determinar la compatibilitat del sistema.
−k2 − k + 2 = 0 → k = 1 o k = −2
1–k=0→k=1
29
Bloc 1. ÀLGEBRA LINEAL > UNITAT 1. Sistemes d'equacions lineals. Mètode de Gauss
Si k = 1, el sistema queda de la següent manera:
x + y + z = 1⎫
⎪
0z = 0 ⎬
⎪
0z = 0 ⎭
Tenim una equació i tres incògnites, per tant el sistema és
compatible indeterminat.
Si k = −2, el sistema queda de la manera següent:
x + y + −2z = −2 ⎫
⎪
−3y + 3z = 0 ⎬
⎪
0z = −6 ⎭
L'última equació és absurda, per tant el sistema és incompatible.
Si k ≠ −2 i k ≠ 1 el sistema tindrà tres equacions amb tres
incògnites, per tant serà un sistema compatible determinat.
c) Apliquem el mètode de Gauss fins a obtenir un sistema
equivalent escalonat.
x +y +z =k +
x − ky + z = 1
kx + y + z = 4
2⎫
E 2 →E 2 −E 1
⎪
E 3 →E 3 −kE 1
⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
⎪⎭
x +y +z =k +2
(–k − 1)y = −k − 1
⎫
⎪
→
⎬
(1 − k)y + (1 − z)z = k 2 − 2k + 4 ⎪
⎭
Per a prosseguir hem de considerar un parell de casos:
—— Si (−k − 1 ≠ 0), podem dividir la segona fila per
(−k − 1).
x + y + z = k + 2 ⎫
E 2 →E 2 −E 1
⎪
E 3 →E 3 −kE 1
x − ky + z = 1⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
⎪
kx + y + z = 4 ⎭
⎫
⎪
E 3 →E 3 −(1−k )E 2
→
⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎪
2
(1 − k)y + (1 − k)z = −k − 2k + 4 ⎭
⎫
x +y +z =k +2
⎪
→
y =1
⎬
⎪
(1 − k)z = −k 2 − k + 3 ⎭
x +y +z =k +2
→
(−k − 1)y = −k − 1
En resum:
—— k ≠ −1, 1 ⇒ Sistema compatible determinat
—— k = 1 ⇒ Sistema incompatible
—— k = −1 ⇒ Sistema compatible indeterminat
39. Escalonem el sistema d'equacions.
2x + 3y − z = 0 ⎫
E 3 ↔E 2
⎪
E 2 ↔E 1
3x + 5y + (a + 5)z = 0 ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯
→
⎪
3x + 4y + 2z = 0 ⎭
3x + 4y + 2z = 0 ⎫
E 2 →3E 2 −2E 1
⎪
E 3 →E 3 −E 1
→
→
2x + 3y − z = 0 ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎪
3x + 5y + (a + 5)z = 0 ⎭
3x + 4y + 2z = 0 ⎫
⎪
E 3 →E 3 −E 2
→
→
y − 7z = 0 ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎪
y + (a + 3)z = 0 ⎭
3x + 4y + 2z = 0 ⎫
⎪
y − 7z = 0 ⎬
⎪
(a + 10)z = 0 ⎭
Hem d'observar per quins valors de a s'anul·laran o no els
termes de la tercera equació per a determinar la compatibilitat
del sistema.
(a + 10) = 0 → a = −10
Si a = −10, el sistema escalonat és:
3x + 4y + 2z = 0 ⎫
⎪
y − 7z = 0 ⎬
0z = 0 ⎪⎭
Tenim un sistema de dues equacions amb tres incògnites; per
tant, el sistema és compatible indeterminat. El podem resoldre en funció d'un paràmetre k.
Prenem z = k i trobem la resta de solucions per substitució
regressiva.
⎧
⎪ z = λ
⎪
⎨ y = 7λ
⎪
⎪ 3x + 4 ⋅ 7λ + 2λ = 0 → x = −2λ − 28λ = −10λ
⎪⎩
3
Si 1 – k ≠ 0, o sigui k ≠ 1, tenim un sistema compatible
determinat, ja que tenim un sistema de tres equacions
amb tres incògnites.
Si a = −10 la solució del sistema és: x = −10λ, y = 7λ, z = λ.
Si k = 1, el sistema escalonat és:
Si a ≠ −10, el sistema escalonat és:
x + y + z = 3 ⎫
⎪
y = 1 ⎬
⎪
0z = 1 ⎭
L'última equació és absurda, per tant el sistema és incompatible.
—— Si (−k −1 = 0), k = −1, el sistema escalonat és:
x + y + z = 1 ⎫
⎪
0y = 0 ⎬
⎪
2y + 2z = 5 ⎭
30
En aquest cas el sistema inicial és equivalent a un sistema de dues equacions amb tres incògnites. Tenim un
sistema compatible indeterminat.
3x + 4y + 2z = 0 ⎫
⎪
y − 7z = 0 ⎬
(a + 10)z = 0 ⎪⎭
Tenim un sistema de tres equacions amb tres incògnites, serà
un sistema compatible determinat.
Per a trobar la solució, hem de fixar-nos en el fet que s'ha de
complir l'equació:
(a + 10)z = 0
Com que (a + 10) ≠ 0, l'única manera perquè es compleixi la
igualtat és que z = 0.
Bloc 1. ÀLGEBRA LINEAL > UNITAT 1. Sistemes d'equacions lineals. Mètode de Gauss
Trobem la resta de solucions per substitució regressiva.
⎧ z = 0
⎧ z = 0
⎪
⎪
→ ⎨ y = 0
⎨ y − 0 = 0
⎪
⎪
⎩ 3x + 0 + 0 = 0
⎩ x = 0
41. —Si afegim una equació que sigui incompatible amb una
qualsevol de les equacions donades del sistema, tindrem
un sistema incompatible.
Per tant, la resposta suggerida és:
3x + y + 2z = 0 ⎫
⎪
x + 5y − z = 1 ⎬
⎪
x + 5y − z = 0 ⎭
Si a ≠ −10 la solució del sistema és: x = 0, y = 0, z = 0.
40. Escalonem el sistema d'equacions.
x + y + z = m + 1⎫
⎪
E 2 ↔E 3
→
⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯
⎪
mx + y + (m − 1)z = m
⎭
x + y + z = m + 1⎫
⎪
E 1 ↔E 3
→
→ mx + y + (m − 1)z = m
⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯
⎪
x + my + z = 1
⎭
⎫
x + my + z = 1
E 2 →E 2 −mE 1
⎪
E 3 →E 3 −E 1
→
→ mx + y + (m − 1)z = m
⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎪
x + y + z = m + 1⎭
x + my + z = 1 ⎫
⎪
→ (1 − m 2 )y − z = 0 ⎬
⎪
(1 − m)y = m ⎭
x + my + z = 1
Si m = 1, el sistema escalonat és:
x + y + z = 1 ⎫
⎪
z = 0 ⎬
⎪
0y = 1 ⎭
—— Observem que si z = 0 el sistema queda:
3z + y = 0
z + 5y = 1
que és compatible determinat. Així, si afegim l'equació
z = 0, obtenim el sistema:
3x + y + 2z = 0 ⎫
⎪
x + 5y − z = 1 ⎬
⎪
z = 0 ⎭
que és compatible determinat.
—— Com que el sistema de partida és compatible indeterminat, si afegim una equació que sigui redundant, el sistema
que obtinguem serà equivalent al de partida i, per tant,
compatible indeterminat.
Així, la resposta suggerida és:
3x + y + 2z = 0 ⎫
⎪
x + 5y − z = 1 ⎬
⎪
x + 5y − z = 1 ⎭
L'última equació és absurda, per tant el sistema és incompatible.
Si m ≠ 1, el sistema tindrà tres equacions amb tres incògnites.
Serà un sistema compatible determinat.
El resolem per a qualsevol valor de m.
x + my + z = 1 ⎫
⎪
(1 − m 2 )y − z = 0 ⎬
⎪
(1 − m)y = m ⎭
5 NOTACIÓ MATRICIAL
42. a) La matriu ampliada associada a aquest sistema
d'equacions és la següent:
⎛ 1 −2 0 1 ⎞
⎜
⎟
A ' = ⎜ −2 0 −1 3 ⎟
⎜ 1 −1 0 1 ⎟
⎝
⎠
Trobem les solucions per substitució regressiva.
y =
m
1−m
m ⎞
→
⎟ − z = 0 ⎯⎯⎯
1 − m ⎠
⎛ m ⎞
→ z = (1 − m 2 ) ⎜
⎟ =
⎝ 1 − m ⎠
⎛
(1 − m 2 ) ⎜⎝
=
m (1 − m ) (1 + m )
(1 − m )
= m (1 + m )
m ⎞
x + m ⎛⎜
+ m(1 + m) = 1 →
⎝ 1 − m ⎟⎠
m2
→
→ x = 1 − m − m2 −
1−m
3
2
m − m − 2m + 1
→x =
1−m
La solució del sistema és:
m 3 − m 2 − 2m + 1
m
→x =
;y =
; z = m(1 + m) .
1−m
1−m
Pàg. 36
Apliquem el mètode de Gauss:
⎛ 1 −2 0
⎜
⎜ −2 0 −1
⎜ 1 −1 0
⎝
1
3
1
⎛ 1 −2 0
⎞
F2 →F2 +2F1
⎜
⎟
F3 →F3 −F1
→ ⎜ 0 −4 −1
⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎜ 0 1 0
⎟
⎝
⎠
1
5
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
El sistema d'equacions equivalent no està escalonat però
ja podem trobar el valor de les variables per substitució
regressiva.
x − 2y = 1⎫
⎪
−4y − z = 5 ⎬
⎪
y = 0 ⎭
⎧
z = 0
⎪
⎨ −4 ⋅ (0) − z = 5 → z = −5
⎪ x − 2 ⋅ (0) = 1 → x = 1
⎩
La solució del sistema és: x = 1, y = 0, z = −5.
b) La matriu ampliada associada a aquest sistema
d'equacions és la següent:
31
Bloc 1. ÀLGEBRA LINEAL > UNITAT 1. Sistemes d'equacions lineals. Mètode de Gauss
⎛ 5 3 4
A′ = ⎜ 1 1 −1
⎜
⎝ 3 2 1
2
1
1
⎞
⎟
⎟
⎠
Apliquem el mètode de Gauss:
⎛ 5 3 4 2
⎜
⎜ 1 1 −1 1
⎜ 3 2 1 1
⎝
⎛ 1 1 −1
⎜
→ ⎜ 3 2 1
⎜ 5 3 4
⎝
F1 ↔F2
⎞
⎟
F2 ↔F3
→
⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯
⎟
⎠
F2 →F2 −3F1
1 ⎞⎟
F3 →F3 −5F1
1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
2 ⎟⎠
2
3
La solució del sistema és: x =
5
5
2
;y =
;z =
.
3
3
3
43. Les incògnites que ens planteja el problema són:
x = nombre de llums de gamma baixa
y = nombre de llums de gamma mitjana
⎛ 1 1 −1
→ ⎜ 0 −1 4
⎜
⎝ 0 −2 9
1
−2
−3
⎞
F3 →F3 −2F2
⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
⎟
⎠
Imposant les condicions de l'enunciat obtenim el sistema:
⎛ 1 1 −1
→ ⎜ 0 −1 4
⎜
⎝ 0 0 1
1
−2
1
⎞
⎟
⎟
⎠
—— La fàbrica compta amb 400 kg de plàstic i n'utilitza 1 kg
per als llums de gamma baixa, 1 kg per als llums de gamma mitjana i 1 kg per als llums de gamma alta.
Aquesta matriu ampliada està associada al sistema escalonat següent:
x + y − z = 1⎫
⎪
−y + 4z = −2 ⎬
⎪
z = 1⎭
⎧ z = 1
⎪
⎨ y = 4·(1) + 2 = 6
⎪
⎩ x = (1) − ( 6 ) + (1) = −4
x + y + z = 400
—— La fàbrica compta amb 600 kg de fusta i n'utilitza 1 kg per
als llums de gamma baixa, 1 kg per als llums de gamma
mitjana i 2 kg per als llums de gamma alta.
−1
1
6
—— La fàbrica compta amb 1 500 kg d'alumini i n'utilitza 2 kg
per als llums de gamma baixa, 3 kg per als llums de gamma mitjana i 5 kg per als llums de gamma alta.
2x + 3y + 5z = 1 500
Obtenim el sistema d'equacions següent:
c) La matriu ampliada associada a aquest sistema és:
⎛ −1 −2 1
A′ = ⎜ 2 3 −1
⎜
⎝ 3 3 9
z = nombre de llums de gamma alta
x + y + 2z = 400
Podem trobar el valor de les variables per substitució regressiva:
⎞
⎟
⎟
⎠
Apliquem el mètode de Gauss:
⎛ −1 −2 1 −1 ⎞
F2 →F2 +2F1
⎜
⎟
F3 →F3 +3F1
→
⎜ 2 3 −1 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎜ 3 3 9 6 ⎟
⎝
⎠
⎛ −1 −2 1 −1 ⎞
⎜
⎟
F3 →F3 −3F2
→
→ ⎜ 0 −1 1 −1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎜ 0 −3 12 3 ⎟
⎝
⎠
⎛ −1 −2 1 −1 ⎞
⎜
⎟
→ ⎜ 0 −1 1 −1 ⎟
⎜ 0 0 9 6 ⎟
⎝
⎠
Aquesta matriu ampliada està associada al sistema escalonat següent:
−x − 2y + z = −1⎫
⎪
−y − z = −1
⎬
⎪⎭
9z = 6
Podem trobar el valor de les variables per substitució regressiva:
32
⎫
⎪
⎪
5
⎪
y = z +1=
⎬
3
⎪
2
5
5
⎛ ⎞
⎪
x = −2 ⋅ ⎜ ⎟ +
+1=
⎝ 3⎠
3
3 ⎪⎭
z =
x + y + z = 400
⎫
⎪
x + y + 2z = 600
⎬
2x + 3y + 5z = 1500 ⎪⎭
Apliquem el mètode de Gauss usant la notació matricial:
⎛ 1 1 1 400 ⎞
⎜
⎟
A ' = ⎜ 1 1 2 600 ⎟
⎜ 2 3 5 1500 ⎟
⎝
⎠
⎛ 1 1 1
⎜
⎜ 1 1 2
⎜ 2 3 5
⎝
⎛ 1 1
⎜
→ ⎜ 0 0
⎜ 0 1
⎝
⎛ 1 1
⎜
→ ⎜ 0 1
⎜ 0 0
⎝
⎞
F2 →F2 −F1
⎟
F3 →F3 −2F1
→
⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎟
⎠
400 ⎞⎟
F3 ↔F2
⎯
→
200 ⎟ ⎯⎯⎯⎯
⎟
700 ⎠
400 ⎞⎟
700 ⎟
200 ⎟⎠
400
600
1500
1
1
3
1
3
1
Calculem les solucions per substitució regressiva:
⎧ z = 200
⎪
⎨ y = 700 − 3 ⋅ 200 = 100
⎪⎩ x = 400 − 100 − 200 = 100
Es poden acoblar 100 llums de gamma baixa, 100 llums de
gamma mitjana i 200 llums de gamma alta.
Bloc 1. ÀLGEBRA LINEAL > UNITAT 1. Sistemes d'equacions lineals. Mètode de Gauss
44. Les incògnites són:
El sistema d'equacions escalonat equivalent és:
x = preu del gel de bany
x − 2y + z − t − u = 3 ⎫
⎪
y + 2z + 3t + 4u = −8 ⎬
⎪⎭
6z + 6t + 6u = −6
y = preu de la crema de mans
z = preu del suavitzant
Imposant les condicions de l'enunciat obtenim el sistema:
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
2,05 ⎪⎭
3x + 2y + z = 7,65
4x + 3y − z = 7,65
x − y − z = − 0,95
− x + 2y + z =
Tenim un sistema de tres equacions amb cinc incògnites; per
tant, tenim un sistema compatible indeterminat que podrem
resoldre en funció de dues variables.
Anomenem t = λ i u = μ.
Substituïm en el sistema i trobem les solucions per substitució
regressiva:
Resolem per Gauss:
x − 2y + z = 3 + λ + µ ⎫
⎪
y + 2z = −8 − 3λ − 4µ ⎬
⎪⎭
6z = −6 − 6λ − 6µ
⎛ 3
2
1 7,65 ⎞
⎜
⎟
⎜ 4
3 −1
7,65 ⎟
⎜
⎟
⎜ 1 −1 −1 − 0,95 ⎟
⎜ −1
2
1 2,05 ⎟⎠
⎝
F1 ↔ F3
I trobem les solucions per recurrència:
⎛ 1 −1 −1 − 0,95 ⎞
⎜
⎟
⎜ 4
3 −1
7,65 ⎟
⎜
⎟
2
1 7,65 ⎟
⎜ 3
⎜ −1
2
1 2,05 ⎟⎠
⎝
F2 → F2 – 4F1
F3 → F3 – 3F1
F4 → F4 + F1
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
−1 −1 − 0,95 ⎞
⎟
0
7
3 11,45 ⎟
⎟
0
5
4 10,5 ⎟
0 1
0
1,1 ⎟⎠
1
Així, la solució és:
y = 1,1
z =
10,5 − 5 (1,1)
10,5 − 5,5
5
=
=
= 1,25
4
4
4
x = − 0,95 + 1,1 + 1,25 = 1,4
Comprovem que aquesta solució compleix la segona equació
del sistema escalonat:
7 · 1,1 + 3 · 1,25 = 7,7 + 3,75 = 11,45
Per tant, (1,4, 1,1, 1,25) és la solució buscada, de manera
que el gel val 1,4 €; la crema, 1,1 €, i el suavitzant, 1,25 €.
45. La matriu ampliada associada a aquest sistema d'equacions
és la següent:
⎛ 2 −3 4 1 2
A′ = ⎜ 1 −2 1 −1 −1
⎜
⎝ 1 −3 5 2 1
⎛ 2 −3 4 1 2
⎜ 1 −2 1 −1 −1
⎜
⎝ 1 −3 5 2 1
−2
3
5
−2
3
5
⎞
⎟
⎟
⎠
⎞
F1 ↔F2
⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯
→
⎟
⎠
⎛ 1 −2 1 −1 −1
→ ⎜ 2 −3 4 1 2
⎜
⎝ 1 −3 5 2 1
3
−2
5
⎞
F2 →F2 −2F1
F3 →F3 −F1
⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
⎟
⎠
⎛ 1 −2 1 −1 −1
→⎜ 0
1 2 3 4
⎜
⎝ 0 −1 4 3 2
3
−8
2
⎞
F3 →F3 +F2
⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
⎟
⎠
⎛ 1 −2 1 −1 −1
→⎜ 0
1 2 3 4
⎜
⎝ 0 0 6 6 6
3
−8
−6
⎞
⎟
⎟
⎠
⎫
t = λ
⎪
u =µ
⎪
x = 11 − 2µ
⎬
y = −6 − λ − 2µ ⎪
⎪
z = −1 − λ − µ ⎭
La solució del sistema és x = −11 − 2μ, y = −6 – λ − 2μ,
z = −1 – λ – μ, t = λ, u = μ.
46. Utilitzarem la notació matricial:
⎛
⎜
⎜
⎜
a) Aʹ′ = ⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
2 4 − 2 − 4 ⎞
⎟
1 1 −1
1 ⎟
⎟
3 3 −3
3 ⎟
4 4 −4
4 ⎟
⎟
5 7 − 5 −1 ⎟⎠
⎛
⎜
⎜
F1 ↔ F2 ⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1 ⎞
⎟
− 2 − 4 ⎟
⎟
−3
3 ⎟
−4
4 ⎟
⎟
− 5 −1 ⎟⎠
1 1
−1
2 4
3 3
4 4
5 7
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
F2 → F2 – 2F1
F3 → F3 – 3F1
F4 → F4 – 4F1
F5 → F5 – 5F1
F5 → F5 – F2
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1 1
−1
0 2
0
0 0
0 0
0 2
0
0
0
1 1
−1
0 2
0
0 0
0 0
0 0
0
0
0
1 ⎞
⎟
− 6 ⎟
⎟
0 ⎟
0 ⎟
− 6 ⎟⎟
⎠
1 ⎞
⎟
− 6 ⎟
⎟
0 ⎟
0 ⎟
0 ⎟⎟
⎠
Les tres últimes files corresponen a les equacions redundants 0x + 0y + 0z = 0; per tant podem considerar com a
sistema equivalent el de partida:
⎧⎪ x + y − z = 1
⎨
2y = − 6
⎩⎪
33
Bloc 1. ÀLGEBRA LINEAL > UNITAT 1. Sistemes d'equacions lineals. Mètode de Gauss
Aquest sistema té 2 equacions i 3 incògnites; per tant, és
un sistema compatible indeterminat que depèn de 3 – 2 =
= 1 paràmetre.
Apliquem el mètode de Gauss usant la notació matricial:
⎛ 1 1 1
A′ = ⎜ 5 2 1
⎜
⎝ 1 0 −1
Prenent z com a paràmetre, tenim que la solució del sistema és (4 + λ, –3, λ).
⎛ 1 1 1
⎜
⎜ 5 2 1
⎜ 1 0 −1
⎝
⎛ 1 1
⎜
→ ⎜ 0 −3
⎜ 0 −1
⎝
⎛ 1 1
⎜
→ ⎜ 0 −3
⎜ 0 0
⎝
⎛ 3 − 2
7
1 ⎞
⎜
⎟
2
8 ⎟
b) Aʹ′ = ⎜ 1 − 5
⎜⎜
⎟⎟
⎝ − 2 10 − 4 −16 ⎠
F1 ↔ F2
⎛ 1 − 5
2
8 ⎞
⎜
⎟
⎜ 3 − 2
7
1 ⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝ − 2 10 − 4 −16 ⎠
⎛ 1 − 5 2
8 ⎞
⎟
⎜ 0 13 1 − 23 ⎟
⎜⎜
⎟
0 0
0 ⎟⎠
⎝ 0
F2 → F2 – 3 F1 ⎜
F3 → F3 + 2 F1
12
36
2
1
−4
−2
1
−4
2
12
36
2
⎞
⎟
⎟
⎠
⎞
F2 →F2 −5F1
⎟
F3 →F3 −F1
→
⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎟
⎠
12 ⎞⎟
F3 →F2 −3F3
→
−24 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎟
−10 ⎠
12 ⎞⎟
−24 ⎟
6 ⎟⎠
Aquesta matriu ampliada està associada al sistema escalonat
següent:
x + y + z = 12 ⎫
⎪
−3y − 4z = −24 ⎬
⎪⎭
2z = 6
L'última fila correspon a l'equació redundant 0x +
+ 0y + 0z = 0; per tant el sistema de partida és equivalent a:
⎪⎧ x − 5y + 2z = 8
⎨
13y + z = − 23
⎪⎩
Calculem les solucions per substitució regressiva:
6
⎧
⎪z = 2 = 3
⎪⎪
−24 + 4 ⋅ (−3)
= 4
⎨y =
−3
⎪
⎪ z = 12 − 3 − 4 = 5
⎪⎩
que té 2 equacions i 3 incògnites; per tant és un sistema
compatible indeterminat que depèn de 3 – 2 = 1 paràmetre.
Prenent la variable z com a paràmetre, tenim que la solució del sistema és:
Tinc en el meu poder 5 monedes de 50 cèntims, 4 monedes
de 20 cèntims i 3 monedes de 10 cèntims.
⎛ 31
⎞
11
λ
23
λ−
,−
−
, λ ⎟
⎜ −
⎝ 13
⎠
13
13
13
48. —Sigui x el preu d'uns pantalons, y el d'una brusa i z el d'un
barret.
SÍNTESI
Pàgs. 36-37
47. Les incògnites que ens planteja el problema són:
x = nombre de monedes de 50 cèntims
y = nombre de monedes de 20 cèntims
z = nombre de monedes de 10 cèntims
Construïm el sistema d'equacions per a determinar els valors
de x, y i z, imposant les condicions de l'enunciat:
—— Surto de casa amb 12 monedes:
x + y + z = 12
—— Les 12 monedes tenen un valor de 3,60 €:
0,5x + 0,2y + 0,1z = 3,6
—— Si una moneda de 50 cèntims fos de 10 cèntims, el nombre de totes dues coincidiria:
x−1=z+1
Reordenem el sistema d'equacions perquè sigui més senzilla
la resolució:
x + y + z = 12 ⎫
x + y + z = 12 ⎫
⎪
⎪
→ 5x + 2y + z = 36 ⎬
0, 5x + 0, 2y + 0,1z = 3, 6 ⎬ ⎯⎯⎯
⎪
⎪
x − z = 2 ⎭
x − 1 = z + 1⎭
34
—— Hem de determinar el valor de x, y, z, imposant les hipòtesis de l'enunciat:
• L'Anna paga 135 € per 3 pantalons, 2 bruses i 1 barret:
3x + 2y + z = 135
• La Begonya compra 1 pantalons, 3 bruses i 1 barret per
100 €:
x + 3y + z = 100
• La Susanna compra 2 pantalons, 3 bruses i 2 barrets
per 155 €:
2x + 3y + 2z = 155
Hem de resoldre el sistema d'equacions següent amb
tres incògnites:
3x + 2y + z = 135 ⎫
⎪
x + 3y + z = 100 ⎬
⎪
2x + 3y + 2z = 155 ⎭
—— La matriu associada al sistema és:
⎛ 3 2 1 135 ⎞
⎜
⎟
Aʹ′ = ⎜ 1 3 1 100 ⎟
⎜ 2 3 2 155 ⎟
⎝
⎠
Bloc 1. ÀLGEBRA LINEAL > UNITAT 1. Sistemes d'equacions lineals. Mètode de Gauss
Si apliquem el mètode de Gauss:
Resolem per Gauss:
⎛ 1 3 1 100 ⎞
⎜
⎟
⎜ 3 2 1 135 ⎟
⎜ 2 3 2 155 ⎟
⎝
⎠
F1 ↔ F2
⎛ 28 30 25 4 280 000
⎜
⎜ 1 −3
0
0
⎜⎜
1
1
−1
0
⎝
F2 → F2 – 3F1 ⎛ 1
F3 → F3 – 2F1
F3 → F3 –
3
7
F2
3
1 100 ⎞
⎜
⎟
⎜ 0 − 7 − 2 −165 ⎟
⎜⎜
⎟
0 − 45 ⎟⎠
⎝ 0 − 3
⎛ 1
3
1
⎜
⎜ 0 − 7 − 2
⎜
6
⎜⎜ 0
0
7
⎝
⎞
⎟
⎟
180 ⎟
⎟
7 ⎟⎠
100
−165
Obtenim la matriu ampliada associada a un sistema amb
les mateixes equacions que incògnites:
x + 3y + z = 100 ⎫
⎪
− 7y − 2z = −165 ⎪
⎬
6
180 ⎪
z =
7
7 ⎪⎭
x + 3y + z = 100 ⎫
⎪
7y + 2z = 165 ⎬
⎪
6z = 180 ⎭
Resolent per substitució cap enrere, tenim:
z =
y =
165 − 2z
180
6
= 30
165 − 2 ⋅ 30
= 15
7
7
x = 100 − 3y − z = 100 − 3 ⋅ 15 − 30 = 25
=
—— Per tant, el preu d'uns pantalons és de 25 €; el d'una brusa, de 15 €; el d'un barret, de 30 €.
Comprovem que se satisfan les hipòtesis de l'enunciat:
• L'Anna compra 3 pantalons, 2 bruses i 1 barret per:
F3 ↔ F1
⎞
⎟
⎟
⎟⎟
⎠
⎛ 1
1 −1
0
⎜
⎜ 1 − 3
0
0
⎜⎜
⎝ 28 30 25 4 280 000
⎞
⎟
⎟
⎟⎟
⎠
⎛ 1
1 −1
0
⎜
⎜ 0 − 4 1
0
⎜⎜
0
2
53
4
280
000
⎝
F2 → F2 – F1
F3 → F3 – 28F1
⎛ 1
1
−1
0
⎜
⎜ 0 − 4
1
0
⎜⎜
0
0
107
8
560
000
⎝
F3 → F2 + 2F3
⎞
⎟
⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎟⎟
⎠
Així, la solució és:
z =
8 560 000
y =
107
80 000
= 80 000
= 20 000
4
x = 80 000 − 20 000 = 60 000
Es van vendre, doncs, 60 000 exemplars del llibre A, 20 000
del llibre B i 80 000 del llibre C.
50. Les incògnites que ens planteja el problema són:
x = nombre de monedes de la classe A
y = nombre de monedes de la classe B
z = nombre de monedes de la classe C
3 · 25 + 2 · 15 + 1 · 30 = 135 €
Construïm el sistema d'equacions per a determinar els valors
de x, y i z, imposant les condicions de l'enunciat:
• La Begonya compra 1 pantalons, 3 bruses i 1 barret per:
—— Tenim 25 g d'or, dels quals la moneda A té 3 g, la moneda
B té 2 g, la moneda C té 2 g.
1 · 25 + 3 · 15 + 1 · 30 = 100 €
• La Susanna compra 2 pantalons, 3 bruses i 2 barrets
per:
2 · 25 + 3 · 15 + 2 · 30 = 155 €
49. Les incògnites són:
x = exemplars que es van vendre del llibre A
y = exemplars que es van vendre del llibre B
z = exemplars que es van vendre del llibre C
Imposant les 3 condicions de l'enunciat es té el sistema següent:
28x + 30y + 25z = 4 280 000 ⎫
⎪⎪
x − 3y = 0
⎬
⎪
x+y −z =0
⎪⎭
3x + 2y + 2z = 25
—— Tenim 21 g de plata, dels quals la moneda A té 1 g, la
moneda B té 3 g, la moneda C té 1 g.
2x + 3y + 1z = 21
—— Tenim 17 g de bronze, dels quals la moneda A té 3 g, la
moneda B té 2 g, la moneda C té 3 g.
x + 2y + 3z = 17
Imposant les condicions de l'enunciat, obtenim el sistema:
3x + 2y + 2z = 25 ⎫
⎪
2x + 3y + z = 21⎬
⎪
x + 2y + 3z = 17 ⎭
Apliquem el mètode de Gauss usant la notació matricial:
⎛ 3 2 2
A′ = ⎜ 2 3 1
⎜
⎝ 1 2 3
25
21
17
⎞
⎟
⎟
⎠
35
Bloc 1. ÀLGEBRA LINEAL > UNITAT 1. Sistemes d'equacions lineals. Mètode de Gauss
⎛ 3 2 2
⎜ 2 3 1
⎜
⎝ 1 2 3
⎞
F3 ↔F1
⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯
→
⎟
⎠
25
21
17
⎛ 1 2 3
→⎜ 2 3 1
⎜
⎝ 3 2 2
17
21
25
⎞
F2 →F2 −2F1
F3 →F3 −3F1
⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
⎟
⎠
⎛ 1 2 3
→ ⎜ 0 −1 −5
⎜
⎝ 0 −4 −7
17
−13
−26
⎞
F3 →F3 −4F2
⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
⎟
⎠
⎛ 1 2 3
→ ⎜ 0 −1 −5
⎜
⎝ 0 0 13
17
−13
26
⎞
⎟
⎟
⎠
Aquesta matriu ampliada està associada al sistema escalonat
següent:
x + 2y + 3z = 17 ⎫
⎪
−y − 5z = −13 ⎬
⎪⎭
13z = 26
Calculem les solucions per substitució regressiva:
1900
900
800
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛ 1 2 5 1900 ⎞
F2 →F2 −F1
⎜
⎟
F3 →F3 −F1
⎜ 1 1 2 900 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯→
⎜ 1 3 1 800 ⎟
⎝
⎠
⎛ 1 2 5 1900 ⎞
⎜
⎟
F3 →F3 +F2
→
→ ⎜ 0 −1 −3 −1000 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯
⎜ 0 1 −4 −1100 ⎟
⎝
⎠
⎛ 1 2 3 1900 ⎞
⎜
⎟
→ ⎜ 0 −1 −5 −1000 ⎟
⎜ 0 0 −7 −2100 ⎟
⎝
⎠
Aquesta matriu ampliada està associada al sistema escalonat
següent:
x + 2y + 5z = 1900 ⎫
⎪
−y − 3z = −1000 ⎬
⎪⎭
−7z = −2100
Calculem les solucions per substitució regressiva:
26
⎧
⎪ z = 13 = 2
⎪
⎨ y = 13 − 5 ⋅ 2 = 3
⎪ x = 17 − 2 ⋅ 3 − 3 ⋅ 2 = 5
⎪
⎩
⎧
−2100
⎪ xz = −7 = 300
⎪
−1000 + 900
⎨
= 100
⎪ y =
−1
⎪ x = 1900 − 2 ⋅ 100 − 5 ⋅ 300 = 200
⎩
Necessito 5 monedes de classe A, 3 monedes de classe B i
2 monedes de classe C.
Hauran d'extreure 200 tones de la mina A, 100 tones de la
mina B i 300 tones de la mina C.
51. Les incògnites que ens planteja el problema són:
52. Les incògnites que ens planteja el problema són:
x = tones de la mina A
x = nombre d'adults
y = tones de la mina B
y = nombre de nens
z = tones de la mina C
z = nombre de jubilats
Construïm el sistema d'equacions per a determinar els valors
de x, y i z, imposant les condicions de l'enunciat:
Construïm el sistema d'equacions per a determinar els valors
de x, y i z, imposant les condicions de l'enunciat:
—— Hem d'extreure 19 tones de ferro. Sabem que la mina A
en té un 1 %, la mina B en té un 2 % i la mina C en té un
5 %.
—— Els autobusos tenen un total de 100 places:
0,01x + 0,02i + 0,05z = 19
—— Hem d'extreure 9 tones de cobalt. Sabem que la mina A
en té un 1 %, la mina B en té un 1 % i la mina C en té un
2 %.
0,01x + 0,01i + 0,02z = 9
—— Hem d'extreure 8 tones de níquel. Sabem que la mina A
en té un 1 %, la mina B en té un 3 % i la mina C en té un
1 %.
0,01x + 0,03i + 0,01z = 8
Reordenem el sistema d'equacions perquè sigui més senzilla
la resolució:
0, 01x + 0, 02y + 0, 05z = 19 ⎫
x + 2y + 5z = 1900 ⎫
⎪
⎪
0, 01x + 0, 01y + 0, 02z = 9 ⎬ ⎯⎯⎯
→ x + y + 2z = 900 ⎬
⎪
⎪
0, 01x + 0, 03y + 0, 01z = 8 ⎭
1x + 3y + 1z = 800 ⎭
Apliquem el mètode de Gauss usant la notació matricial:
36
⎛ 1 2 5
A′ = ⎜ 1 1 2
⎜
⎝ 1 3 1
x + y + z = 100
—— Dues terceres parts del nombre de jubilats més el nombre
de nens és igual al nombre d'adults menys 10:
2
y + z = −10
3
—— El preu del viatge és de 50 € per persona i als nens se'ls fa
un descompte del 20 %, als jubilats del 30 % i el total del
viatge costa 4 400 €:
50x + 40y + 35z = 4 400
Reordenem el sistema d'equacions perquè sigui més senzilla
la resolució:
x + y + z = 100
⎫
⎪⎪
2
y + z = x − 10
⎬→
3
⎪
50x + 40y + 35z = 4400 ⎪⎭
x + y + z = 100
⎫
⎪
→ −3x + 2y + 3z = −30
⎬
50x + 40y + 35z = 4400 ⎪⎭
Bloc 1. ÀLGEBRA LINEAL > UNITAT 1. Sistemes d'equacions lineals. Mètode de Gauss
Apliquem el mètode de Gauss usant la notació matricial:
⎛ 1 1 1
A′ = ⎜ −3 2 3
⎜
⎝ 50 40 35
⎛ 1 1 1
⎜ −3 2 3
⎜
⎝ 50 40 35
100
−30
4400
⎛ 1 1
1
→⎜ 0 5
6
⎜
⎝ 0 −10 −15
⎛ 1 1 1
→⎜ 0 5 6
⎜
⎝ 0 0 −3
⎞
⎟
⎟
⎠
⎞
F2 →F2 +3F1
F3 →F3 −50F1
⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
⎟
⎠
100
270
−600
100
270
−60
100
−30
4400
⎞
F3 →2F2 +F3
⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎠
Aquesta matriu ampliada està associada al sistema escalonat
següent:
x + y + z = 100 ⎫
⎪
5y + 6z = 270 ⎬
⎪⎭
−3z = −60
Calculem les solucions per substitució regressiva:
−60
⎧
⎪ z = −3 = 20
⎪⎪
270 − 6 ⋅ 20
= 30
⎨y =
5
⎪
⎪ x = 100 − 30 − 20 = 50
⎪⎩
Se'n van anar de viatge 50 adults, 30 nens i 20 jubilats.
40x + 44y + 50z = 105 625 ⎫
⎪⎪
x + y + z = 2 362, 5 ⎬
⎪
10x + 11y − 20z = 0
⎪⎭
Resolem el sistema aplicant el mètode de Gauss:
⎛ 40 44
50 105 625 ⎞
⎜
⎟
⎜ 1 1
1
2 362,5 ⎟
⎜⎜
⎟
0 ⎟⎠
⎝ 10 11 − 20
⎛ 1 1
1
2 362,5
⎜
⎜ 40 44
50 105 625
⎜⎜
0
⎝ 10 11 − 20
F1 ↔ F2
⎛
F2 → F2 – 40F1 ⎜ 1 1
F3 → F3 – 10F1 ⎜ 0 4
⎜⎜
⎝ 0 1
2 362,5 ⎞
⎟
⎟
10
11125
⎟⎟
− 30 −23 625
⎠
1
⎛ 1 1
1
2 362,5
⎜
⎜ 0 1 − 30 − 23 625
⎜⎜
10
11125
⎝ 0 4
F2 ↔ F3
⎞
⎟
⎟
⎟⎟
⎠
⎛ 1 1
1
2 362,5
⎜
⎜ 0 1 − 30 − 23 625
⎜⎜
⎝ 0 0 130 105 625
F3 → F3 – 4F2
⎞
⎟
⎟
⎟⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎟⎟
⎠
La solució d'aquest sistema escalonat és:
z =
53. Considerarem com a incògnites la superfície de les diferents
parcel·les. Així, les incògnites són:
105 625
130
= 812,5
x = superfície de la primera parcel·la.
y = 30z – 23 625 = 750
y = superfície de la segona parcel·la.
x = 2 362,5 – 750 – 812,5 = 800
z = superfície de la tercera parcel·la.
Així, la superfície de la primera parcel·la és de 800 m2; la de
la segona, de 750 m2, i la de la tercera és de 812,5 m2.
D'acord amb les condicions de l'enunciat, s'ha de complir:
• La primera parcel·la l'ha comprat a 200 € el metre quadrat;
la segona, a 220 €, i la tercera, a 250 €. En total ha invertit
528 125 €:
54. Les incògnites són:
x = preu de compra de cada ampolla de llet
200x + 220y + 250z = 528 125 ⇔
y = preu de compra de cada ampolla de suc
⇔ 40x + 44y + 50z = 105 625
z = preu de compra de cada paquet de cafè
• La superfície total de les tres parcel·les és de 2 362,5 m2:
x + y + z = 2 362,5
• Per la tercera va pagar les cinc vuitenes parts del que va
pagar per les altres dues juntes:
250z =
5
8
(200x + 220y ) ⇔
⇔ 1 000x + 1 100y – 2 000z = 0 ⇔
⇔ 10x + 11y – 20z = 0
Aquestes equacions donen lloc al sistema:
El sistema que s'obté en imposar les condicions de l'enunciat
és:
150x + 40y − 5z = 128
50x + 20y + 5c = 64
10y − 6z = 0
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
El resolem per Gauss:
⎛ 150 40 − 5 128 ⎞
⎜
⎟
⎜ 50 20
5 64 ⎟
⎜⎜
⎟
0 ⎟⎠
⎝ 0 10 − 6
37
Bloc 1. ÀLGEBRA LINEAL > UNITAT 1. Sistemes d'equacions lineals. Mètode de Gauss
F2 → 3F2 – F1
⎛ 150 40 − 5 128 ⎞
⎜
⎟
⎜ 0 20 20 64 ⎟
⎜⎜
⎟
0 ⎟⎠
⎝ 0 10 − 6
F3 → F2 – 2F3
⎛ 150 40 − 5 128 ⎞
⎜
⎟
⎜ 0 20 20 64 ⎟
⎜⎜ 0
0 32 64 ⎟⎟
⎝
⎠
Així, la solució és:
64
z =
=2
32
64 − 40
y =
= 1,2
20
z =
64 − 5 ⋅ 2 − 20 ⋅ 1,2
50
⎛ 1
1
1
A′ = ⎜ 1
1
−1
⎜
⎜⎝ 15 13, 5 11, 25
⎛ 1
1
1
⎜ 1
1
−1
⎜
⎜⎝ 15 13, 5 11, 25
⎛ 1
1
1
→⎜ 0
0
−2
⎜
⎜⎝ 0 −1, 5 −3, 75
⎞
⎟
⎟
⎟⎠
⎞
F2 →F2 −F1
F3 →F3 −15F1
⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
⎟
⎟⎠
400
−400
−960
⎞
⎟
⎟
⎟⎠
Aquesta matriu ampliada està associada al sistema escalonat
següent:
x + y + z = 400
⎫
⎪
−2z = −400
⎬
1, 5y − 3, 75z = −960 ⎪⎭
= 0,6
Per tant, el preu de compra d'una ampolla de llet és de 0,6 €;
d'una ampolla de suc, d'1,2 €, i d'un paquet de cafè, de 2 €.
Calculem les solucions per substitució regressiva:
D'altra banda, com que amb la llet va guanyar un 30 %, el
preu de venda d'una ampolla de llet serà:
−400
⎧
⎪ z = −2 = 200
⎪⎪
−960 + 3, 75 ⋅ 200
= 140
⎨y =
−1, 5
⎪
⎪ x = 400 − 140 − 200 = 60
⎪⎩
0,6(1 + 0,3) = 0,6 · 1,3 = 0,78 €
Com que amb el suc va guanyar un 20 %, el preu de venda
d'una ampolla de suc serà:
1,2(1 + 0,2) = 1,2 · 1,2 = 1,44 €
Com que amb el cafè va perdre un 10 %, el preu de venda
d'un paquet de cafè serà:
Es van vendre 60 pantalons perfectes, 140 pantalons amb
tara petita i 200 pantalons amb tara gran.
56. Considerem com a incògnites els euros invertits en els pro-
2(1 – 0,1) = 2 · 0,9 = 1,80 €
55. Les incògnites que ens planteja el problema són:
x = nombre de pantalons perfectes
ductes A, B i C:
x = € invertits en A
y = € invertits en B
y = nombre de pantalons amb tara petita
z = € invertits en C
z = nombre de pantalons amb tara gran
Considerant les condicions de l'enunciat, es compleix:
Construïm el sistema d'equacions per a determinar els valors
de x, y i z, imposant les condicions de l'enunciat:
—— S'han venut 400 pantalons:
• L'inversor disposa de 8 000 €:
x + y + z = 8 000
• Entre el producte A i el B vol invertir set vegades més que
en el producte C:
x + y + z = 400
—— Cada parell de pantalons val 15 €, però hi ha un descompte del 10 % per a pantalons amb una tara menor i del
25 % per a pantalons amb una tara més gran:
x + y = 7z
• La rendibilitat total ha de ser del 5 %:
15x + 13,5y + 11,25z = 5 040
6
—— El nombre de pantalons amb tara més gran que s'han venut és igual a la suma dels altres dos tipus junts:
100
x+y=z
Reordenem el sistema d'equacions perquè sigui més senzilla
la resolució:
x + y + z = 400
⎫
⎪
15x + 13, 5y + 11, 25z = 5040 ⎬ →
⎪⎭
x +y = z
x + y + z = 400
→
x +y −z = 0
15x + 13, 5y + 11, 25z = 5040
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
Apliquem el mètode de Gauss usant la notació matricial:
38
400
0
5040
400
0
5040
x+
5
2
5
y +
z =
⋅ 8 000 ⇔
100
100
100
⇔ 6x + 5y + 2z = 40 000
Amb aquestes equacions obtenim el sistema:
⎫
7z + z = 8z = 8 000 ⎫
⎪⎪
⎪
x + y = 7z
x + y = 7z ⎬
⎬ ⇔
⎪
⎪
6x + 5y + 2z = 40 000 ⎪
6x + 5y + 2z = 40 000 ⎭
⎭
x + y + z = 8 000
Hem obtingut un sistema equivalent al de partida i escalonat,
de manera que podem resoldre'l pel mètode de substitució
regressiva:
Bloc 1. ÀLGEBRA LINEAL > UNITAT 1. Sistemes d'equacions lineals. Mètode de Gauss
z = 1000 ⎫
⎪
x + y = 7 000 ⎬ ⇔
⎪
6x + 5y = 40 000 − 2 000 = 38 000 ⎭
y =
2
=
58. Les incògnites són:
x = milions d'euros invertits en A
y = milions d'euros invertits en B
⎫
⎪⎪
⎬
⎪
⎪⎭
z = milions d'euros invertits en C
S'ha de complir:
• Es disposa de 10 milions d'euros:
x + y + z = 10
• Es desitja una rendibilitat global del 4,3 %:
5
57. Les incògnites seran:
x = € que ha d'invertir en la inversió de tipus A
y = € que ha d'invertir en la inversió de tipus B
100
x+
4
100
y +
3
100
z =
4,3
100
10
• Es desitja gastar en A tant com en B i C:
x=y+z⇔x–y–z=0
z = € que ha d'invertir en la inversió de tipus C
Així podem considerar el sistema següent:
S'ha de complir:
x + y + z = 10 ⎫
⎪
5x + 4y + 3z = 43 ⎬
⎪
x − y − z = 0 ⎭
• Els diners de què disposa per a la inversió són de 200 000 €:
x + y + z = 200 000
• Un 30 % del capital s'ha d'invertir a llarg termini:
z =
30
100
200 000 = 60 000
Per a resoldre'l utilitzem la notació matricial i apliquem el
mètode de Gauss:
⎛ 1
1
1 10 ⎞
⎜
⎟
⎜ 5
4
3 43 ⎟
⎜⎜ 1 −1 −1
0 ⎟⎟
⎝
⎠
• La rendibilitat final dels seus diners ha de ser del 9 %:
6
300 000 − 180 000
Així, la resposta és que ha d'invertir 80 000 € en A, 60 000 € en
B i 60 000 € en C.
Ha d'invertir 3 000 € en A, 4 000 € en B i 1 000 € en C.
100
=
x = 200 000 – 60 000 – 60 000 = 80 000
z = 1000 ⎫
⎪
⇔
x = 7 000 − y ⎬ ⇔
⎪
42 000 − 6y + 5y = 38 000 ⎭
⎫
z = 1000
⎪⎪
⇔ x = 7 000 − y ⎬ ⇔ x = 7 000 − 4 000 = 3 000
⎪
y = 4 000
y = 4 000
⎪⎭
2
= 60 000
z = 1000 ⎫
⎪
⇔
x = 7 000 − y ⎬ ⇔
⎪
6(7 000 − y ) + 5y = 38 000 ⎭
z = 1000
300 000 − 3 ⋅ 60 000
x+
10
100
y +
12
100
z =
9
100
200 000
Amb les equacions anteriors obtenim el sistema següent:
x + y + z = 200 000 ⎫
⎪⎪
6x + 10y + 12z = 900 000 ⎬ ⇔
⎪
z = 60 000 ⎪⎭
x + y + z = 200 000 ⎫
⎪⎪
⇔ 3x + 5y + 6z = 900 000 ⎬
⎪
z = 60 000 ⎪⎭
⎛ 1
1
1
10 ⎞
⎜
⎟
1 2
7 ⎟
F3 → –(F3 – F1) ⎜ 0
⎜⎜
⎟⎟
⎝ 0 − 2 − 2 −10 ⎠
F2 → F2 – 5 F1
⎛ 1 1 1 10 ⎞
⎟
⎜ 0 1 2 7 ⎟
⎜ 0 0 2 4 ⎟
⎠
⎝
F3 → F3 + 2F2 ⎜
Hem obtingut un sistema escalonat la solució del qual és:
Utilitzem la notació matricial i apliquem el mètode de Gauss:
z =
⎛ 1 1 1 200 000 ⎞
⎜
⎟
⎜ 3 5 6 900 000 ⎟
⎜⎜
⎟
60 000 ⎟⎠
⎝ 0 0 1
⎛ 1 1 1 200 000 ⎞
⎜
⎟
2 3 300 000 ⎟
⎜⎜
⎟
60 000 ⎟⎠
⎝ 0 0 1
F2 → F2 – 3F1 ⎜
0
Hem obtingut un sistema escalonat la solució del qual és:
z = 60 000
4
2
=2
y=7–2·2=3
x = 10 – 3 – 2 = 5
De manera que ha d'invertir 5 milions en A, 3 en B i 2 en C.
59. Les incògnites són:
x = rendibilitat del producte A
y = rendibilitat del producte B
z = rendibilitat del producte C
39
Bloc 1. ÀLGEBRA LINEAL > UNITAT 1. Sistemes d'equacions lineals. Mètode de Gauss
A partir de les condicions de l'enunciat s'obté el sistema:
x + y + z = 2 000 ⎫
⎪⎪
y + z = 1500 ⎬
⎪
4x + 4y + 3z = 7 200 ⎪⎭
2x + 4y + 2z = 8 ⋅ 3,5 = 28 ⎫
⎪
x = y +1
⎬
⎪
z =x+y
⎪⎭
Resolem per Gauss:
Resolem el sistema aplicant el mètode de Gauss:
⎛
⎞
4
2 28 ⎟
⎜ 2
⎜ 1 −1
0 1 ⎟
⎜⎜
⎟
1
1
−1
0 ⎟⎠
⎝
F3 ↔ F1
⎛ 1 1 1 2 000 ⎞
⎜
⎟
⎜ 0 1 1 1500 ⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝ 4 4 3 7 200 ⎠
⎛ 1
1 −1
0 ⎞
⎜
⎟
⎜ 1 −1
0 1 ⎟
⎜⎜
⎟
4
2 28 ⎟⎠
⎝ 2
F2 → F2 – F1
F3 → F3 – 2F1
F3 → F3 + F2
⎛ 1
1 −1
0
⎜
⎜ 0 − 2 1
1
⎜⎜
2
4 28
⎝ 0
F3 → F3 – 4F1
⎞
⎟
⎟
⎟⎟
⎠
⎛ 1
1 −1
0 ⎞
⎜
⎟
⎜ 0 −2
1 1 ⎟
⎜⎜ 0
2 5 29 ⎟⎟
⎝
⎠
De manera que la solució és:
x =
y = 1 500 – 800 = 700
x = 2 000 – 700 – 800 = 500
Així, la màquina A produeix 500 unitats; la B, 700 unitats, i la
C, 800 unitats.
61. Les incògnites que ens planteja el problema són:
Construïm el sistema d'equacions per a determinar els valors
de x, y i z, imposant les condicions de l'enunciat:
que fabrica cada màquina. Així, les incògnites seran:
x = nombre d'unitats que fabrica la màquina A.
y = nombre d'unitats que fabrica la màquina B.
z = nombre d'unitats que fabrica la màquina C.
D'acord amb les condicions de l'enunciat, s'ha de complir:
• Quan treballen les tres màquines es fabriquen 2 000 peces:
x + y + z = 2 000
• Si A no funciona, però B i C sí, la producció descendeix un
25 %:
y + z = 2 000 − 2 000 ⋅
25
100
= 1500
• Si A i B funcionen però C només a tres quartes parts del seu
rendiment, la producció baixa un 10 %:
z = 2 000 − 2 000 ⋅
10
100
⇔ 4x + 4y + 3z = 7 200
40
z = 800
z = quantitat invertida C
60. Hem de considerar com a incògnites del problema les unitats
3
La solució d'aquest sistema escalonat és:
y = quantitat invertida B
Així, la rendibilitat de A és del 3,4 %; la de B, del 2,4 %, i la de
C, del 5,8 %.
4
⎛ 1 1
1 2 000 ⎞
⎜
⎟
⎜ 0 1
1 1500 ⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝ 0 0 −1 − 800 ⎠
x = quantitat invertida A
29
= 5,8
5
1 − 5,8
y =
= 2,4
−2
x = −2,4 + 5,8 = 3,4
x+y +
Així, hem de resoldre el sistema:
= 1800 ⇔
—— La quantitat invertida és de 8 000 €:
x + y + z = 8 000
—— Un empresari inverteix una quantitat A al 3 %, una quantitat B al 5 % i una quantitat C al 6 % i obté un benefici de
400 €:
0,03x + 0,05y + 0,06z = 400
—— Un empresari inverteix una quantitat A al 4 %, una quantitat B al 5 % i una quantitat C al 3 % i obté un benefici de
300 €:
0,04x + 0,05y + 0,03z = 300
Reordenem el sistema d'equacions perquè sigui més senzilla
la resolució:
x + y + z = 8 000
⎫
⎪
0, 03x + 0, 05y + 0, 06z = 400 ⎬ →
0, 04x + 0, 05y + 0, 03z = 300 ⎪⎭
⎧
x + y + z = 8 000
⎪⎪
→ ⎨ 3x + 5y + 6z = 40 000
⎪ 4x + 5y + 3z = 30 000
⎪⎩
Apliquem el mètode de Gauss usant la notació matricial:
⎛
1 1 1
⎜
A′ = ⎜ 3 5 6
⎜ 4 5 3
⎝
8 000 ⎞
⎟
40 000 ⎟
30 000 ⎟⎠
Bloc 1. ÀLGEBRA LINEAL > UNITAT 1. Sistemes d'equacions lineals. Mètode de Gauss
⎛
⎜ 1 1 1
⎜ 3 5 6
⎜ 4 5 3
⎝
8 000 ⎞
F2 →F2 −3F1
⎟
F3 →F3 −4F1
40 000 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
30 000 ⎟⎠
⎛
⎜ 1 1 1
→⎜ 0 2 3
⎜ 0 0 −5
⎝
⎞
⎟
16 000 ⎟
−20 000 ⎟⎠
8 000
Aquesta matriu ampliada està associada al sistema escalonat
següent:
x + y + z = 8 000 ⎫
⎪
2y + 3z = 16 000 ⎬
–5z = −20 000 ⎪⎭
Calculem les solucions per substitució regressiva:
⎧ z = 4 000
⎪
1
(16 000 − 3 ⋅ 4 000) = 2 000
⎨y =
2
⎪
⎪⎩ x = 8 000 − 2 000 − 4 000 = 2 000
La quantitat del producte financer A és de 2 000 €, la del producte B és de 2 000 € i la del producte C és de 4 000 €.
62. —Sigui x el nombre de pomeres «Golden» plantades actualment, y el nombre de pomeres «Fuji» i z el nombre de pomeres «Reineta».
—— Hem de trobar x, y, z de manera que se satisfacin les dades de l'enunciat:
⎛
F2 → F2 – F1 ⎜ 5
F3 → F3 – F1
x = 1 600, y = 1 000, z = 3 000
—— El pagès té plantades:
1 600 pomeres «Golden», 1 000 de «Fuji» i 3 000 de «Reineta».
63. Considerem les incògnites següents:
x = preu d'un panell fotovoltaic
y = preu d'un termosifó
z = preu d'un col·lector
Imposem que es compleixin les condicions de l'enunciat:
15x + 10y + 15z = 1 010 000 ⎫
⎪⎪
12x + 10y + 5z = 590 000 ⎬ ⇔
⎪
8x + 20y + 10z = 780 000 ⎪⎭
3x + 2y + 3z = 202 000 ⎫
⎪⎪
12x + 10y + 5z = 590 000 ⎬ ⇔
⎪
4x + 10y + 5z = 390 000 ⎪⎭
Resolem el sistema per Gauss:
⎛ 3 2 3 202 000 ⎞
⎜
⎟
⎜ 12 10 5 590 000 ⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝ 4 10 5 390 000 ⎠
50x + 30y + 40z = 230 000
50 (x + y) + 40z = 250 000
F3 → F2 – F3
• Si les pomeres «Reineta» fossin «Fuji», es collirien
200 t = 200 000 kg de pomes:
50x + 30 (y + z) = 200 000
F3 →
—— Hem de resoldre, doncs, el sistema d'equacions lineals:
⎧ 50x + 30y + 40z = 230 000
⎪⎪
⎨ 50 (x + y ) + 40z = 250 000
⎪
⎪⎩ 50x + 30 (y + z) = 200 000
Si desenvolupem i dividim per 10 les tres equacions:
1
8
⎛ 3 2 3 202 000 ⎞
⎜
⎟
⎜ 12 10 5 590 000 ⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝ 8 0 0 200 000 ⎠
⎛ 3 2 3 202 000 ⎞
⎜
⎟
⎜ 12 10 5 590 000 ⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝ 1 0 0 25 000 ⎠
F3
⎛
⎜
1
25 000 ⎞
⎟
5 590 000 ⎟
⎟
2 3 202 000 ⎟⎠
0 0
F1 ↔ F3 ⎜
12 10
⎜⎜
⎝ 3
5x + 3y + 4z = 23 000
⎛
F2 → F2 – 12F1 ⎜ 1
5x + 5y + 4z = 25 000
F3 → F3 – 3F1
5x + 3y + 3z = 20 000
Resolem aquest sistema pel mètode de Gauss:
F2 →
⎛ 5 3 4 23 000 ⎞
⎜
⎟
Aʹ′ = ⎜ 5 5 4 25 000 ⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝ 5 3 3 20 000 ⎠
4
Fent substitució regressiva, obtenim la solució:
• S'obtenen 230t = 230 000 kg de pomes per collita:
• Si les pomeres «Fuji» fossin «Golden», es collirien
250 t = 250 000 kg de pomes:
23 000 ⎞
⎟
⎜ 0 2
0
2 000 ⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝ 0 0 −1 − 3 000 ⎠
3
1
5
F2
25 000 ⎞
⎟
⎜ 0 10 5 290 000 ⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝ 0 2 3 127 000 ⎠
0 0
⎛ 1 0 0 25 000
⎜
⎜ 0 2 1
58 000
⎜⎜
0
2
3
127
000
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟⎟
⎠
41
Bloc 1. ÀLGEBRA LINEAL > UNITAT 1. Sistemes d'equacions lineals. Mètode de Gauss
x + y + z = 150 ⎫
⎪
–2y − z = −110 ⎬
5z = 150 ⎪⎭
⎛ 1 0 0 25 000 ⎞
⎜
⎟
⎜ 0 2 1 58 000 ⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝ 0 0 2 69 000 ⎠
F3 → F3 – F2
Calculem les solucions per substitució regressiva:
Així, la solució és:
150
⎧
⎪ z = 5 = 30
⎪
⎨ y = 1 (110 − 30) = 40
⎪
2
⎪ x = 120 − 40 − 30 = 50
⎩
x = 25 000
z =
69 000
= 34 500
2
58 000 − 34 500
y =
= 11750
2
De manera que el preu de venda del panell fotovoltaic ha de
ser de 25 000 euros; el del termosifó, de 11 750 euros, i el
col·lector solar, de 34 500 euros.
y = edat actual de la filla gran
x = nombre de caixes de 250 g (petita)
z = edat actual de la filla petita
y = nombre de caixes de 500 g (mitjana)
Construïm el sistema d'equacions per a determinar els valors
de x, y i z, imposant les condicions de l'enunciat:
z = nombre de caixes d'1 kg (gran)
Construïm el sistema d'equacions per a determinar els valors
de x, y i z, imposant les condicions de l'enunciat:
—— S'envasen 120 caixes en total:
—— S'utilitzen 10 caixes més de mida petita que de mida mitjana:
—— El cost total de les tòfones envasades és de 2 500 € i el
preu del quilogram és de 40 €/kg. S'han venut 62,5 kg.
y
250
x
+
+z =
2
4
4
Reordenem el sistema d'equacions perquè sigui més senzilla
la resolució:
⎫
x + y + z = 120
⎪
⎪
x − y = 10
⎬→
⎪
x + 2y + 4z = 250
⎪
⎭
120
10
250
⎞
⎟
⎟
⎠
120 ⎞
F2 →F2 −F1
F3 →F3 −F1
→
10 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎟
250 ⎠
⎛ 1 1 1
→ ⎜ 0 −2 −1
⎜
⎝ 0 1 3
120
−110
130
⎞
F3 →2F3 −F2
⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
⎟
⎠
⎛ 1 1 1
→ ⎜ 0 −2 −1
⎜
⎝ 0 0 5
120
−110
150
⎞
⎟
⎟
⎠
x – y + z = 3z + 3z – 3y + 3z
x + 2y − 8z = 0
—— Quan passin tants anys com la suma de les edats actuals
de les filles, la suma de les edats de les tres persones serà
de 150 anys:
[x + (y + z)] + [y + (y – z)] + [z + (y – z)] = 150
x + y + z + y + y + z + z + y + z = 150
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
Apliquem el mètode de Gauss usant la notació matricial:
⎛ 1 1 1
A′ = ⎜ 1 −1 0
⎜
⎝ 1 2 4
—— Fa uns anys (la diferència d'anys actual entre les filles),
l'edat de la mare era el triple que la suma de les edats, en
aquell temps, de les seves filles:
[x – (y – z)] = 3 · [[y – (y – z)] + [z – (y – z)]]
x = y + 10
Aquesta matriu ampliada està associada al sistema escalonat
següent:
42
—— L'edat de la mare és el doble de la suma de les edats de
les seves dues filles:
x = 2 · (y + z)
x + y + z = 120
⎛ 1 1 1
⎜ 1 −1 0
⎜
⎝ 1 2 4
65. Les incògnites que ens planteja el problema són:
x = edat actual de la mare
64. Les incògnites que ens planteja el problema són:
x + y + z = 120
x = y + 10
x
y
250
+
+z =
4
2
4
S'han venut 50 caixes petites, 40 caixes mitjanes i 30 caixes
grans.
x + 4 y + 4z = 150
Reordenem el sistema d'equacions perquè sigui més senzilla
la resolució:
x − 2y − 2z = 0 ⎫
⎪
x + 2y − 8z = 0 ⎬
x + 4y + 4z = 150 ⎪⎭
Apliquem el mètode de Gauss usant la notació matricial:
⎛ 1 −2 −2
A′ = ⎜ 1 2 −8
⎜
⎝ 1 4 4
⎛ 1 −2 −2 0
⎜
⎜ 1 2 −8 0
⎜ 1 4 4 150
⎝
0
0
150
⎞
⎟
⎟
⎠
F2 →F2 −F1
⎞
⎟
F3 →F3 −F1
→
⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎟
⎠
⎛ 1 −2 −2
0 ⎞⎟
⎜
F3 →F2 +F3
→
→ ⎜ 0 −4 6
0 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯
⎜ 0 −6 −6 −150 ⎟
⎝
⎠
⎛ 1 −2 −2
0 ⎞⎟
⎜
→ ⎜ 0 −4 6
0 ⎟
⎜ 0 −10 0 −150 ⎟
⎝
⎠
Bloc 1. ÀLGEBRA LINEAL > UNITAT 1. Sistemes d'equacions lineals. Mètode de Gauss
Aquesta matriu ampliada està associada al sistema escalonat
següent:
x − 2y − 2z = 0 ⎫
⎪
−4y + 6z = 0 ⎬
−10y = −150 ⎪⎭
10x + 10y + 10z = 1,1⎫
⎪
−35y − 60z = −4, 4 ⎬
⎪
−165z = −8, 5 ⎭
Calculem les solucions per substitució regressiva:
⎧
−8, 5
= 0, 05
⎪ z =
−165
⎪
⎪
1
⎡⎣ −4, 4 + 60·( 0, 05 ) ⎤⎦ = 0, 04
⎨ y = −
35
⎪
⎪
1
⎡⎣1,1 − 10·( 0, 04 ) − 10·( 0, 05 ) ⎤⎦ = 0, 02
⎪ x =
⎩
10
Calculem les solucions per substitució regressiva:
−150
⎧
⎪ y = −10 = 15
⎪
⎨ z = 1 (4 ⋅ 15) = 10
⎪
6
⎪ x = 2 ⋅ 15 + 2 ⋅ 10 = 50
⎩
En néixer les filles, la mare tenia 35 i 40 anys respectivament.
66. Les incògnites que ens planteja el problema són:
x = rendibilitat d'apostar a l'1
Per tant, la rendibilitat d'apostar a l'1 serà del 2 %, la rendibilitat d'apostar a la X serà del 4 % i la rendibilitat d'apostar al 2
serà del 5 %.
68. El problema ens planteja que les xifres vindran representades
y = rendibilitat d'apostar a la X
pels valors xyz.
z = rendibilitat d'apostar al 2
Analitzem cadascun dels sistemes per a veure si serveix per a
determinar el codi.
Construïm el sistema d'equacions per a determinar els valors
de x, y i z, imposant les condicions de l'enunciat:
a)
—— Si apostés 40 € a 1 i 5 € a X, podria guanyar el mateix que
si apostés 20 € a 2:
Aquest sistema té dues equacions i tres incògnites, és un
sistema compatible indeterminat. Així doncs, no podrem
trobar una combinació única de valors de x, y i z.
40x + 5y = 20z
—— Si apostés 5 € a 1 i 10 € a X, podria guanyar el mateix que
si apostés 10 € a 2:
b)
5x + 10y = 10z
—— Si apostés 10 € a cada resultat, guanyaria 1,10 €:
Reordenem el sistema d'equacions perquè sigui més senzilla
la resolució:
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
Apliquem el mètode de Gauss usant la notació matricial:
⎛ 10 10 10
A′ = ⎜ 40 5 −20
⎜
⎜⎝ 5 10 −10
1,1
0
0
x − y − z = 6 ⎫
⎪
x + 5y = 6 ⎬
⎪
2x − 3y + 4z = 12 ⎭
Apliquem el mètode de Gauss usant la notació matricial:
10x + 10y + 10z = 1,10
10x + 10y + 10z = 1,1
40x + 5y = 20z ⎫
⎪
5x + 10y = 10z ⎬ → 40x + 5y − 20z = 0
10x + 10y + 10z = 1,1⎭⎪
5x + 10y = 10z
x + y − z = 0⎫
x = y ⎬⎭
⎞
⎟
⎟
⎟⎠
⎛
⎞
F2 →F2 −4F1
⎜ 10 10 10 1,1 ⎟
F3 →2F3 −F1
→
⎜ 40 5 −20 0 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎜ 5 10 −10 0 ⎟
⎝
⎠
⎛
1,1 ⎞⎟
⎜ 10 10 10
F3 →F3 +3,5F2
→ ⎜ 0 −35 −60 −4, 4 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
⎜ 0 10 −30
⎟
−1,1
⎝
⎠
⎛
1,1 ⎞⎟
⎜ 10 10 10
→ ⎜ 0 −35 −60 −4, 4 ⎟
⎜ 0 0 −165
⎟
−8, 5 ⎠
⎝
Aquesta matriu ampliada està associada al sistema escalonat
següent:
⎛ 1 −1 −1
A′ = ⎜ 1 5 0
⎜
⎝ 2 −3 4
6
6
12
⎞
⎟
⎟
⎠
F2 →F2 −F1
⎛ 1 −1 −1 6 ⎞
⎜
⎟
F3 →F3 −2F1
⎯
⎯⎯⎯⎯⎯
→
1
5
0
6
⎜
⎟
⎜ 2 −3 4 12 ⎟
⎝
⎠
⎛ 1 −1 −1 6 ⎞
⎜
⎟
F3 →6F3 +F2
→
→ ⎜ 0 6 1 0 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎜ 0 −1 6 0 ⎟
⎝
⎠
⎛ 1 −1 −1 6 ⎞
⎜
⎟
→ ⎜ 0 6 1 0 ⎟
⎜ 0 0 37 0 ⎟
⎝
⎠
Aquesta matriu ampliada està associada al sistema escalonat següent:
x − y − z = 6⎫
⎪
6y + z = 0 ⎬
37z = 0 ⎪⎭
Calculem les solucions per substitució regressiva:
⎧z = 0
⎪
⎨ 6y = 0 → y = 0
⎪⎩ x = 6
S'ha d'escollir la porta B i el codi serà 600.
43
Bloc 1. ÀLGEBRA LINEAL > UNITAT 1. Sistemes d'equacions lineals. Mètode de Gauss
Avaluació
69. Les incògnites que ens planteja el problema són:
x = preu del producte A
1.
y = preu del producte B
z = preu del producte C
x + y + z = a ⎫
⎪
x + z = b ⎬
⎪
x + y = c ⎭
—— La suma dels tres preus ha de ser igual a un valor k:
x+y+z=k
A continuació, determinem a, b i c, imposant que
(1, – 2, 5) sigui solució:
—— Cada article del tipus A s'ha de vendre el doble de car que
cadascun del tipus B:
1–2+5=a=4
x = 2y
1+5=b=6
—— La suma del preu de tres articles del tipus A, 2 del tipus B
i 4 del tipus C ha de ser 3k:
1 – 2 = c = –1
Així, un sistema la solució del qual sigui (1, –2, 5) és:
3x + 2y + 4z = 3k
x+y +z =
4 ⎫
⎪
6 ⎬
⎪
x + y = −1⎭
Reordenem el sistema d'equacions perquè sigui més senzilla
la resolució:
x+y +z =k
x + y + z = k ⎫
⎪
x = 2y ⎬ →
x − 2y = 0
3x + 2y + 4z = 3k ⎪⎭
3x + 2y + 4z = 3k
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
Apliquem el mètode de Gauss usant la notació matricial:
⎛ 1 1 1
⎜
⎜ 1 −2 0
⎜ 3 2 4
⎝
⎛ 1 1
⎜
→ ⎜ 0 −3
⎜ 0 −1
⎝
k
0
3k
1
−1
1
⎛ 1 1 1
⎜
→ ⎜ 0 −3 −1
⎜ 0 0 4
⎝
k
0
3k
⎞
⎟
⎟
⎠
F2 →F2 −F1
⎞
⎟
F3 →F3 −3F1
⎯
⎯⎯⎯⎯⎯
→
⎟
⎟
⎠
k ⎞⎟
F3 →3F3 −F2
→
−k ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎟
0 ⎠
k ⎞⎟
−k ⎟
k ⎟⎠
Aquesta matriu ampliada està associada al sistema escalonat
següent:
x + y + z = k ⎫
⎪
−3y − z = −k ⎬
⎪
4z = k ⎭
Calculem les solucions per substitució regressiva:
⎧
k
⎪ z =
4
⎪
⎪
k
−1 ⎛
k ⎞
⎨ y =
⎜ −k +
⎟ → y =
4
3 ⎝
4 ⎠
⎪
⎪
k
k
k
−
=
⎪ x = k −
⎩
4
4
2
La variable k pot prendre qualsevol valor possible, ja que està en
el numerador i no fa impossible cap combinació de solucions.
44
Vegem com obtenir un sistema no trivial la solució del qual
sigui la donada per l'enunciat.
Considerem tres equacions amb termes independents genèrics. Una proposta podria ser:
Construïm el sistema d'equacions per a determinar els valors
de x, y i z, imposant les condicions de l'enunciat:
⎛ 1 1 1
A′ = ⎜ 1 −2 0
⎜
⎝ 3 2 4
(pàg. 40)
x+z =
2.
a) Resolem el sistema per reducció.
2x + y = 7
⎫
−3x − 2y = −6 ⎬⎭
2x + y = 7 ⎫
2x + y = 7
⎫
E 2 →E 2 +2E 1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
x = 8 ⎬⎭
−3x − 2y = −6 ⎬⎭
Calculem les solucions per substitució regressiva:
⎧x = 8
⎨ 2 ⋅ 8 + y = 7 → y = −9
⎩
La solució d'aquest sistema és: x = 8, y = −9.
b) Resolem el sistema per substitució:
3x + 2y = 5 ⎫
−x + y = 3 ⎬⎭
3x + 2y = 5
3x + 2y = 5 ⎫
→
−x + y = 3 ⎬⎭
x +y = 3
⎪⎧ 3x + 2(3 + x) = 5
→⎨
5x = –1
⎪⎩
5x = −1 ⇒ x =
⎫⎪
⎬→
⎭⎪
−1
5
Substituïm a l'equació:
14
⎛ 1⎞
y = 3 + ⎜− ⎟ =
⎝ 5⎠
5
La solució d'aquest sistema és: x = −
1
14
;y =
.
5
5
c) Resolem el sistema pel mètode de Gauss:
−x + y + 2z = 3 ⎫
⎪
x + 2y + 3z = 9 ⎬
⎪
x + 3y − 2z = −7 ⎭
Bloc 1. ÀLGEBRA LINEAL > UNITAT 1. Sistemes d'equacions lineals. Mètode de Gauss
Calculem les solucions per substitució regressiva:
E 2 →E 2 +E 1
−x + y + 2z = 3 ⎫
⎪
E 3 →E 3 +E 1
x + 2y + 3z = 9 ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
⎪
x + 3y − 2z = −7 ⎭
−x + y + 2z = 3 ⎫
⎪
→
3y + 5z = 12 ⎬
⎪
4y = −4 ⎭
Calculem les solucions per substitució regressiva:
⎧
−4
= −1
⎪ y =
4
⎪⎪
⎨ z = 1 ⎡12 − 3· −1 ⎤ = 15 = 3
( ) ⎦
⎣
⎪
5
5
⎪
⎪⎩ x = − ⎡⎣ 3 − 2·( 3 ) − ( −1) ⎤⎦ = 2
3.
a) Resolem el sistema pel mètode de Gauss:
2x + 4y − z = 10 ⎫
⎪
4x − 2y − 3z = 4 ⎬
⎪
x + y + z = 5 ⎭
x + y + z = 5 ⎫
E 2 →E 2 −2E 1
⎪
E 3 →E 3 −4E 1
2x + 4y − z = 10 ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
⎪
4x − 2y − 3z = 4 ⎭
x + y + z = 5 ⎫
⎪
E 3 →E 3 +3E 2
→
→
2y − 3z = 0 ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎪
−6y − 7z = −16 ⎭
x + y + z = 5 ⎫
⎪
→ 2y − 3z = 0 ⎬
⎪
−16z = −16 ⎭
Calculem les solucions per substitució regressiva:
⎧
−16
=1
⎪ z =
−16
⎪
⎪
3
⎨ 2y − 3(1) = 0 → y =
2
⎪
⎪
3
3
5
+1 = 5 → x = 5 +1−
→x =
⎪ x +
⎩
2
2
2
b) Resolem el sistema pel mètode de Gauss:
2x + y − z = 0 ⎫
⎪
4x + 3y + z = 0 ⎬
⎪
−2x − 2y − z = 1⎭
2x + y − z = 0 ⎫
E 2 →E 2 −2E 1
⎪
E 3 →E 3 +E 1
4x + 3y + z = 0 ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
⎪
−2x − 2y − z = 1⎭
2x + y − z = 0 ⎫
⎪
E 3 →E 3 +E 2
→
→
y + 3z = 0 ⎬ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎪
y − 2z = 1⎭
2x + y − z = 0 ⎫
⎪
→
y + 3z = 0 ⎬
⎪
z = 1⎭
⎧
⎪ z = 1
⎪⎪
⎨ y + 3·(1) = 0 → y = −3
⎪
⎪ 2x + ( −3 )·−1 = 0 → x = 1 (1 + 3 ) → x = 2
⎪⎩
2
4.
Les incògnites que ens planteja el problema són:
x = nombre de cotxes de gamma alta
y = nombre de cotxes de gamma mitjana
z = nombre de cotxes de gamma baixa
Construïm el sistema d'equacions per a determinar els valors
de x, y i z, imposant les condicions de l'enunciat:
—— S'han venut 51 cotxes de les tres gammes:
x + y + z = 51
—— El cotxe de gamma alta té un valor de 25 000 €; el de gamma mitjana, de 20 000 €, i el de gamma baixa, de 15 000 €.
En total s'han venut per valor de 900 000:
25 000x + 20 000y + 15 000z = 900 000
—— Amb els cotxes de gamma mitjana es va guanyar el doble
que amb els cotxes de gamma alta:
20 000y = 2 · (25 000)x
Reordenem el sistema d'equacions perquè sigui més senzilla
la resolució:
x + y + z = 51⎫
⎪
→
25000x + 20000y + 15000z = 900000 ⎬ ⎯⎯⎯
⎪
20000y = 2(25000)x ⎭
x + y + z = 51⎫
⎪
→ 25x + 20y + 15z = 900 ⎬
⎪
−50x + 20y = 0 ⎭
Apliquem el mètode de Gauss usant la notació matricial:
⎛ 1 1 1 51 ⎞
⎜
⎟
A ' = ⎜ 25 20 15 900 ⎟
⎜ −50 20 0
0 ⎟⎠
⎝
F2 →F2 −25F1
⎛ 1 1 1 51 ⎞
⎜
⎟
F3 →F3 +50F1
⎜ 25 20 15 900 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
⎜ −50 20 0
0 ⎟⎠
⎝
⎛ 1 1 1
51 ⎞⎟
⎜
F3 →F3 +14F2
→
→ ⎜ 0 −5 −10 −375 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎜ 0 70 50 2550 ⎟
⎝
⎠
⎛ 1 1 1
51 ⎞⎟
⎜
→ ⎜ 0 −5 −10 −375 ⎟
⎜ 0 0 90 2700 ⎟
⎝
⎠
Aquesta matriu ampliada està associada al sistema escalonat
següent:
⎧ x + y + z = 51
⎪
⎨ −5y − 10z = −375
⎪
⎩ 90z = 2700
45
Bloc 1. ÀLGEBRA LINEAL > UNITAT 1. Sistemes d'equacions lineals. Mètode de Gauss
Calculem les solucions per substitució regressiva:
Si k = 3,
⎧
2700
= 30
⎪ z =
90
⎪
⎪
−1
75
= 15
⎨ −5y − 10·( 30 ) = −375 → y =
( −375 + 300 ) =
5
5
⎪
⎪ x + 15 + 30 = 51 → x = 6
⎪
⎩
⎛ 2 0 4 k ⎞
⎜
⎟
A ' = ⎜ 0 0 0 0 ⎟
⎜ 1 −1 1 2 ⎟
⎝
⎠
Ens queda un sistema amb dues equacions i tres incògnites,
un sistema compatible indeterminat.
Si k ≠ 3, tenim un sistema compatible determinat. Podem
trobar el valor de les seves solucions en funció del paràmetre
k.
Es van vendre 6 cotxes de gamma alta, 15 cotxes de gamma
mitjana i 30 cotxes de gamma baixa.
5.
2x − 4z = 3 ⎫
⎪
(k − 3)z = 3 − k ⎬
⎪
x − y + z = 2 ⎭
Les incògnites són:
x = frigorífics del tipus A que s'han produït
y = frigorífics del tipus B que s'han produït
z = frigorífics del tipus C que s'han produït
Si sabem que k = 0, obtenim el valor de z i la resta de variables per substitució regressiva.
Imposant les condicions de l'enunciat, s'obté el sistema següent:
⎧
k −3
= −1
⎪ z =
3−k
⎪
⎪
k −2
⎨ y =
2
⎪
⎪
k+4
⎪ x =
⎩
2
2x + 3y + 4z = 460 ⎫
⎪
x + 2y + 2z = 250 ⎬
⎪
x + y + z = 150 ⎭
Resolem per Gauss:
⎛ 2 3 4 460 ⎞
⎜
⎟ F ↔ F
3
⎜ 1 2 2 250 ⎟ 1
⎜ 1 1 1 150 ⎟
⎝
⎠
F2 → F2 – F1
F3 → F3 – 2 F1
F3 → F3 – F2
⎛ 1 1 1 150 ⎞
⎜
⎟
⎜ 1 2 2 250 ⎟
⎜ 2 3 4 460 ⎟
⎝
⎠
⎛ 1 1 1 150 ⎞
⎜
⎟
⎜ 0 1 1 100 ⎟
⎜ 0 1 2 160 ⎟
⎝
⎠
⎛ 1 1 1 150 ⎞
⎟
⎜
⎜ 0 1 1 100 ⎟
⎜ 0 0 1 60 ⎟
⎠
⎝
Així, la solució és:
x = 60
y = 100 – 60 = 40
z = 150 – 40 – 60 = 50
Per tant, s'han produït 50 frigorífics del tipus A, 40 del B i 60
del C.
6.
Apliquem el mètode de Gauss usant la notació matricial:
⎛ 2 0 4 k ⎞
⎜
⎟
A ' = ⎜ 1 1 k 1 ⎟
⎜ 1 −1 1 2 ⎟
⎝
⎠
⎛ 2 0 4 k ⎞
⎜
⎟
F2 →F2 +F3
⎜ 1 1 k 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯→
⎜ 1 −1 1 2 ⎟
⎝
⎠
⎛ 2 0 4 k ⎞
⎜
⎟
F2 →F2 −F1
→ ⎜ 2 0 1 + k 3 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯
→
⎜ 1 −1 1 2 ⎟
⎝
⎠
⎛ 2 0 4
k ⎞
⎜
⎟
→ ⎜ 0 0 k − 3 3 − k ⎟
⎜ 1 −1 1
2 ⎟⎠
⎝
46
Les solucions del sistema són:
x =
k+4
2
;y =
k −2
2
; z = −1
Per a k = 0, x = 2, y = −1, z = −1
7.
a) Busquem un sistema equivalent escalonat pel mètode de
Gauss:
⎛ 7 −3 1 5 ⎞
⎜
⎟
A ' = ⎜ 3 −2 1 2 ⎟
⎜ 1 1 −1 1 ⎟
⎝
⎠
⎛ 7 −3 1 5 ⎞
⎜
⎟
F3 ↔F1
⎜ 3 −2 1 2 ⎟ ⎯⎯⎯⎯→
⎜ 1 1 −1 1 ⎟
⎝
⎠
⎛ 1 1 −1 1 ⎞
F2 →F2 −3F1
⎜
⎟
F3 →F3 −7F1
→ ⎜ 3 −2 1 2 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
⎜ 7 −3 1 5 ⎟
⎝
⎠
⎛ 1 1 −1 1 ⎞
⎜
⎟
F3 →F3 −2F2
→ ⎜ 0 −5 4 −1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
⎜ 0 −10 8 −2 ⎟
⎝
⎠
⎛ 1 1 −1 1 ⎞
⎜
⎟
→ ⎜ 0 −5 4 −1 ⎟
⎜ 0 0 0 0 ⎟
⎝
⎠
Tenim un sistema de dues equacions amb tres incògnites,
serà un sistema compatible indeterminat.
b) Busquem un sistema equivalent escalonat pel mètode de
Gauss:
⎛ 7 −3 −2 −1 ⎞
⎜
⎟
A ' = ⎜ 2 1 −3 3 ⎟
⎜ 5 −4 1 −4 ⎟
⎝
⎠
Bloc 1. ÀLGEBRA LINEAL > UNITAT 1. Sistemes d'equacions lineals. Mètode de Gauss
4x − 2y + 2z = 20 ⎫
⎪
−2y − 6z = −60 ⎬
⎪
−28z = −284 ⎭
⎛ 7 −3 −2 −1 ⎞
⎜
⎟
F2 ↔F1
⎜ 2 1 −3 3 ⎟ ⎯⎯⎯⎯→
⎜ 5 −4 1 −4 ⎟
⎝
⎠
⎛ 2 1 −3 3 ⎞
F2 →2F2 −7F1
⎜
⎟
F3 →2F3 −5F1
→ ⎜ 7 −3 −2 −1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
⎜ 5 −4 1 −4 ⎟
⎝
⎠
⎛
⎜
→ ⎜
⎜
⎝
⎛
⎜
→ ⎜
⎜
⎝
Obtenim les solucions del sistema per substitució regressiva:
⎧
−284
71
=
⎪ z =
−28
7
⎪
⎪
⎛ 71 ⎞
−1 ⎡ −420 + 426 ⎤ −3
⎨ −2y − 6 ⎜
⎟ = −60 → y =
⎢
⎥ =
⎦
⎝ 7 ⎠
2 ⎣
7
7
⎪
⎪
⎛ −3 ⎞
⎛ 71 ⎞
1 ⎛ 140 − 6 − 142 ⎞ −2
⎪ 4x − 2 ⎜
⎟ + 2 ⎜
⎟ = 20 → x =
⎜
⎟ =
⎝ 7 ⎠
⎝ 7 ⎠
⎠
4 ⎝
7
7
⎩
⎞
⎟
F3 →F3 +F2
⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯→
⎟
⎠
⎞
1 1 −1 1
⎟
0 −13 17 −23 ⎟
0 0 0 0 ⎟⎠
2 1 −3 3
0 −13 17 −23
0 −13 17 −23
Tenim un sistema de dues equacions amb tres incògnites,
serà un sistema compatible indeterminat.
c) Busquem un sistema equivalent escalonat pel mètode de
Gauss:
Les solucions del sistema són x =
9.
L'última equació és degenerada, tenim un sistema incompatible.
8.
El primer que hem de fer és trobar la matriu ampliada del
sistema.
⎛ 1 2 1
9 ⎞⎟
⎜
A ' = ⎜ 1 −1 −1 −10 ⎟
⎜ 4 −2 2 20 ⎟
⎝
⎠
⎛ 1 2 1
9 ⎞⎟
⎜
F3 ↔F1
1
−1
−1
−10
⎜
⎟ ⎯⎯⎯⎯→
⎜ 4 −2 2 20 ⎟
⎝
⎠
F2 →4F2 −F1
⎛ 4 −2 2 20 ⎞
⎜
⎟
F3 →4F3 −F1
→
→ ⎜ 1 −1 −1 −10 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎜ 1 2 1
⎟
9
⎝
⎠
⎛ 4 −2 2 20 ⎞
⎜
⎟
F3 →F3 +5F2
→
→ ⎜ 0 −2 −6 −60 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎜ 0 10 2 16 ⎟
⎝
⎠
⎛ 4 −2 2
20 ⎞⎟
⎜
→ ⎜ 0 −2 −6 −60 ⎟
⎜ 0 0 −28 −284 ⎟
⎝
⎠
Aquesta matriu ampliada equival al sistema d'equacions escalonat següent:
7
,y =
−3
7
,z =
71
7
.
Busquem un sistema equivalent escalonat pel mètode de
Gauss. El primer que hem de fer és trobar la matriu ampliada
del sistema.
⎛ 1 −1 2 −1 3 ⎞
⎜
⎟
A ' = ⎜ 2 1 −1 1 2 ⎟
⎜ −1 1 1 −1 1 ⎟
⎝
⎠
⎛ 1 −3 6 5 ⎞
⎜
⎟
A ' = ⎜ 2 2 −2 −2 ⎟
⎜ 2 −2 5 3 ⎟
⎝
⎠
⎛ 1 −3 6 5 ⎞
F2 →F2 −2F1
⎜
⎟
F3 →F3 −2F1
→
⎜ 2 2 −2 −2 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎜ 2 −2 5 3 ⎟
⎝
⎠
⎛ 1 −3 6 5 ⎞
⎜
⎟
F3 →2F3 −F2
→ ⎜ 0 8 −14 −12 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
⎜ 0 4 −7 −7 ⎟
⎝
⎠
⎛ 1 −3 6 5 ⎞
⎜
⎟
→ ⎜ 0 8 −14 −12 ⎟
⎜ 0 0 0 −2 ⎟
⎝
⎠
−2
⎛ 1 −1 2 −1 3 ⎞
F2 →F2 −2F1
⎜
⎟
F3 →F3 +F1
→
⎜ 2 1 −1 1 2 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎜ −1 1 1 −1 1 ⎟
⎝
⎠
⎛ 1 −1 2 −1 3 ⎞
⎜
⎟
→ ⎜ 0 3 −5 3 −4 ⎟
⎜ 0 0 3 −2 4 ⎟
⎝
⎠
Tenim un sistema de tres equacions amb quatre incògnites;
per tant, tenim un sistema compatible indeterminat que podrem resoldre en funció d'una variable.
Anomenem t = λ.
x − y + 2z = 3 + λ ⎫
⎪
3y − 5z = −4 − 3λ ⎬
⎪
3z = 4 + 2λ ⎭
Substituïm en el sistema i trobem les solucions per substitució
regressiva:
⎧
4 + 2λ
⎪ z =
3
⎪
⎪
⎛ 4 + 2λ ⎞
8+λ
⎨ 3y − 5 ⎜
⎟ = −4 − 3λ → y =
⎝
⎠
9
3
⎪
⎪
⎛ 8 + λ ⎞
⎛ 4 + 2λ ⎞
11 − 2λ
⎪ x − ⎜
⎟ + 2 ⎜
⎟ = 3 + λ → x =
⎝ 9 ⎠
⎝
3 ⎠
9
⎩
10. Les incògnites que ens planteja el problema són:
x = nombre de viatgers que han comprat bitllet Premium
per Internet
y = nombre de viatgers que han comprat a última hora
z = nombre de viatgers que han comprat classe turista
per Internet
Construïm el sistema d'equacions per a determinar els valors
de x, y i z, imposant les condicions de l'enunciat:
—— El tren turístic transporta 500 viatgers:
x + y + z = 500
47
Bloc 1. ÀLGEBRA LINEAL > UNITAT 1. Sistemes d'equacions lineals. Mètode de Gauss
—— El preu del bitllet Premium val 9 €, els bitllets d'última hora
valen un 80 % menys i els bitllets de classe turista venuts
per Internet, el 50 %. En total s'han recaptat 2 115 €:
9x + 1,8y + 4,5z = 2 115
—— El nombre de viatgers que compren a l'estació és el doble
que el nombre del que compren per Internet:
y = 2x
Reordenem el sistema d'equacions perquè sigui més senzilla
la resolució:
x + y + z = 500 ⎫
⎪
9x + 1, 8y + 4, 5z = 2115 ⎬ ⎯⎯⎯
→
⎪
y = 2x ⎭
x + y + z = 500 ⎫
⎪
→ 9x + 1, 8y + 4, 5z = 2115 ⎬
⎪
2x − y = 0 ⎭
Apliquem el mètode de Gauss usant la notació matricial:
⎛ 1 1 1
⎞
500 ⎟
⎜
A ' = ⎜ 9 1, 8 4, 5 2115 ⎟
⎜ 2 −1 0
0 ⎟⎠
⎝
⎛ 1 1 1
⎞
F2 →F2 −9F1
500 ⎟
⎜
F3 →F3 −2F1
⎜ 9 1, 8 4, 5 2115 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
⎜ 2 −1 0
0 ⎟⎠
⎝
⎛ 1 1 1
⎞
51 ⎟
⎜
F3 →2F2 −4,5F3
→ ⎜ 0 7, 2 4, 5 2385 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
⎜ 0 3 2 1000 ⎟
⎝
⎠
⎛ 1 1 1
⎞
500 ⎟
⎜
→ ⎜ 0 7, 2 4, 5 2385 ⎟
⎜ 0 0, 9 0
270 ⎟⎠
⎝
48
Aquesta matriu ampliada està associada al sistema escalonat
següent:
x + y + z = 500 ⎫
⎪
7, 2y + 4, 5z = 2385 ⎬
⎪
0, 9y = 270 ⎭
Calculem les solucions per substitució regressiva:
⎧
270
= 300
⎪ y =
0, 9
⎪
⎪
1
⎡⎣ 2385 − 7, 2·( 300 ) ⎤⎦ = 50
⎨ 7, 2·( 300 ) + 4, 5z = 2385 → z =
4, 5
⎪
⎪ x + 300 + 50 = 500 → x = 150
⎪
⎩
150 persones han comprat el bitllet Premium per Internet,
300 persones han comprat el bitllet d'última hora i 50 persones han comprat el bitllet de classe turista per Internet.
BLOC 1. ÀLGEBRA LINEAL
2
Matrius
En context (pàg. 43)
2.
Usarem les propietats de les operacions entre matrius.
Si A té inversa, A – 1, i multipliquem per l'esquerra per A– 1 els
dos membres de la igualtat, obtenim:
b> Resposta oberta.
d> Resposta oberta.
La correcció d'altres informes és una tasca interessant per
als alumnes, ja que els permet identificar en d'altres els
errors que ells mateixos podrien haver comès en la seva
tasca, entre altres raons.
−1 A ⋅ X ⋅ B = A−1 ⋅ 4C
A

 ⋅

I
Per l'associativitat entre els productes d'escalars i matrius,
A – 1 · 4C = 4A – 1 · C, després queda l'equació:
X · B = 4A – 1 · C
Problemes resolts (Pàg. 61 i 62)
1.
Ho resoldrem a partir de les definicions de les operacions:
⎛ a b ⎞
Busquem la matriu X = ⎜
⎟ tal que
⎝ c d ⎠
A2·X–B=C
Substituint cada matriu per la seva expressió explícita:
⎛ 1 −2 ⎞2 ⎛ a b ⎞ ⎛ 2 −1 ⎞ ⎛ 3 −12 ⎞
⎜
⎟ ⋅ ⎜
⎟ − ⎜
⎟ = ⎜
⎟
⎝ 0 1 ⎠ ⎝ c d ⎠ ⎝ 1 1 ⎠ ⎝ 0 5 ⎠
Realitzem les operacions:
⎛ 1 −2 ⎞2 ⎛ 1 −2 ⎞ ⎛ 1 −2 ⎞ ⎛ 1 −4 ⎞
⎜
⎟ = ⎜
⎟ ⋅ ⎜
⎟ = ⎜
⎟
⎝ 0 1 ⎠
⎝ 0 1 ⎠ ⎝ 0 1 ⎠ ⎝ 0 1 ⎠
⎛ 1 −2 ⎞2 ⎛ a b ⎞ ⎛ 1 −4 ⎞ ⎛ a b ⎞
⎟ = ⎜
⎟ ⋅ ⎜
⎟ =
⎜
⎟ ⋅ ⎜
⎝ 0 1 ⎠ ⎝ c d ⎠ ⎝ 0 1 ⎠ ⎝ c d ⎠
⎛ a − 4c b − 4d ⎞
= ⎜
⎟
d
⎝ c
⎠
⎛ 1 −2 ⎞2 ⎛ a b ⎞ ⎛ 2 −1 ⎞
⎟ − ⎜
⎟ =
⎜
⎟ ⋅ ⎜
⎝ 0 1 ⎠ ⎝ c d ⎠ ⎝ 1 1 ⎠
⎛ a − 4c − 2 b − 4d + 1 ⎞
= ⎜
⎟
c −1
d − 1 ⎠
⎝
Si B és invertible, podem multiplicar per la dreta els dos membres de la igualtat anterior per la inversa de B, B – 1:
−1
−1
−1
X ⋅B

⋅ B
 = 4A ⋅ C ⋅ B
I
Per tant, la matriu buscada és X = 4A – 1 · C · B – 1.
Per a realitzar aquestes operacions, calculem A – 1 i A – 1 pel
mètode de Gauss-Jordan:
A
I


⎛ 2 1 1 0
⎜⎜
⎝ 0 −2 0 1
⎞
⎟⎟
⎠
F1 → F1
1
2
a = 9 b = 11 c = 1 d = 6
⎛
⎞ ⎛
⎞
La matriu buscada és X = ⎜ a b ⎟ = ⎜ 9 11 ⎟
1
6
c
d
⎝
⎠ ⎝
⎠
F2
⎛
1 1
⎜ 1
0
⎜
2 2
⎜
1
⎜⎜ 0 1 0 −
2
⎝
B
I


F1 →
⎛ 3 1 1 0 ⎞
⎟⎟
⎜⎜
⎝ −2 2 0 1 ⎠
F2 → F2 + 2F1
F2 →
3
8
F1 → F1 −
1
3
1
3
A−1
F1
F2
⎛
⎜ 1 1
⎜
3
⎜ −2 2
⎝
⎛
⎜ 1 1
⎜
3
⎜
8
⎜ 0
⎜
3
⎝
⎛
1
⎜ 1
⎜
3
⎜
⎜⎜ 0 1
⎝
F2
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟⎟
⎠
⎛
1 1 ⎞
⎜ 1 0
⎟
⎜
2 4 ⎟
⎜
1 ⎟
⎜⎜ 0 1 0 −
⎟
2 ⎟⎠
⎝ 


I
⎧b − 4d + 1 = −12
⎨
⎩d − 1 = 5
Els sistemes tenen per solució:
F1
2
F2
Per definició d'igualtat de matrius:
⎧ a − 4c − 2 = 3
⎨
⎩c − 1 = 0
2
1
F2 →
Hem de trobar els reals a, b, c, d tals que:
⎛ a − 4c − 2 b − 4d + 1 ⎞ ⎛ 3 −12 ⎞
⎜
⎟ = ⎜
⎟
c −1
d − 1 ⎠ ⎝ 0 5 ⎠
⎝
1
F1 →
⎞
0 ⎟
⎟
3
0 1 ⎟⎠
1
⎞
0 ⎟
⎟
3
⎟
2
1 ⎟⎟
3
⎠
1
1
3
1
4
⎞
0 ⎟
⎟
3 ⎟
⎟
8 ⎟⎠
⎛
1
1 ⎞
⎜ 1 0
⎟
−
⎜
4
8 ⎟
⎜
1 3 ⎟
⎜⎜ 0 1
⎟
4 8 ⎟⎠
⎝
 

I
B −1
Ja podem realitzar els càlculs que ens donaran la matriu X:
49
Bloc 1. ÀLGEBRA LINEAL > UNITAT 2. MATRIUS
7.
X = 4A−1 ⋅ C ⋅ B −1 =
⎛ 1 1 ⎞ ⎡
⎛ 1
1 ⎞⎤
⎜
⎟ ⎢
⎜
⎟⎥
−
⎜ 2 4 ⎟ ⎢⎛ 1 1 ⎞ ⎜ 4
8 ⎟⎥
= 4 ⎜
⋅ ⎜
=
⎟ ⋅
1 ⎟ ⎢⎝ 0 −4 ⎠ ⎜ 1 3 ⎟⎥
⎜⎜ 0 −
⎟⎟ ⎢
⎜⎜
⎟⎟⎥
2 ⎠ ⎢⎣
⎝
⎝ 4 8 ⎠⎥⎦
⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜ 2 4 ⎟ ⎜ 2 4 ⎟
⋅
=
= 4 ⎜
1 ⎟ ⎜
3 ⎟
⎜⎜ 0 −
⎟⎟ ⎜⎜ −1 −
⎟⎟
2 ⎠ ⎝
2 ⎠
⎝
⎛
1 ⎞
⎜ 0 −
⎟
⎜
4 ⎟ ⎛ 0 −1 ⎞
= ⎜
= 4 ⎜
⎟
1 3 ⎟ ⎝ 2 3 ⎠
⎜⎜ 2 4 ⎟⎟
⎝
⎠
Els termes s'associen de la manera següent.
—— m = n: quadrada
—— m > n: retrat
—— m < n: paisatge
8.
No: perquè una matriu sigui diagonal és necessari que sigui
quadrada.
9.
La matriu identitat d'ordre quatre és:
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
La matriu nul·la de dimensió (2 × 4) és:
3.
Transformem la matriu mitjançant operacions elementals,
buscant una forma escalonada.
⎛ 0 0 0 0 ⎞
⎜
⎟
⎝ 0 0 0 0 ⎠
Multipliquem la segona fila per 4 i li restem la primera.
⎛ 8 a + 1 −8 ⎞
⎛ 8 a + 1 −8 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
F3 →4F2 −F1
⎯
⎯⎯⎯⎯⎯
→
a
⎜ 2
⎟
⎜ 2 a −2 ⎟
−2
⎜
⎟
⎜
⎟
2
2
⎝
⎠
⎝
⎠
Aquesta matriu és escalonada. La primera fila té elements no
nuls. Quant a la segona, depèn del valor de a 22.
a–1=0⇔a=1
Per tant, el rang de la matriu és 1 si a = 1 i 2 en els altres
casos.
Exercicis i problemes (pàgs. 61 a 66)
1 CONCEPTE DE MATRIU
4.
Pàg. 63
La matriu A té 3 files i 4 columnes, després la seva dimensió
és 3 × 4.
L'element aij és el que ocupa la fila i-èsima i la columna
j-èsima, d'on:
a13 = 0; a34 =
5.
2
3
Diem que una matriu té dimensió m × n si té m files i n columnes.
La matriu B té 4 files i 4 columnes, per tant la seva dimensió
és 4 × 4 (o sigui, és una matriu quadrada d'ordre 4).
a) Si la matriu associada a un sistema té m files i n columnes,
el sistema presenta m equacions.
b) El sistema tindrà n incògnites.
c) La matriu ampliada s'obté afegint una columna (formada
pels termes independents de les equacions del sistema),
després les seves dimensions són m × (n + 1).
50
1
0
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1 ⎞
⎟
1 ⎟
1 ⎟
1 ⎟⎠
⎛ 1
⎜
b) La resposta suggerida és: ⎜ 1
⎜ 1
⎜ 1
⎝
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
c) La resposta suggerida és: ⎜
⎜
⎜
⎝
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎜
d) És la matriu I 4 = ⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
; a23 = 2
La matriu A té 2 files i 4 columnes, per tant la seva dimensió
és 2 × 4.
6.
⎛
⎜
10. a) La resposta suggerida és: ⎜
⎜
⎜
⎝
⎛ a
0 0
⎜ 11
11. Sí, perquè és de la forma ⎜ 0 a22 0
⎜
⎝ 0 0 a33
⎞
⎟
⎟ ,
⎟
⎠
Amb a11 = a22 = a33 = 0.
Perquè una matriu sigui diagonal ha de ser quadrada, i tots
els elements situats fora de la diagonal principal han de ser
nuls. No importa el valor que tinguin els elements de la diagonal.
12. Una matriu és triangular inferior i superior quan és quadrada i
tots els elements excepte els de la diagonal principal són zeros.
Ens referim a aquestes matrius com a matrius diagonals.
Bloc 1. ÀLGEBRA LINEAL > UNITAT 2. MATRIUS
2 OPERACIONS
PÀgs. 63 a 66
⎛
⎞ ⎛
⎞
13. a) A + B = ⎜ 2 5 1 ⎟ + ⎜ 4 6 7 ⎟ =
⎝ 3 9 0 ⎠
⎝ 0 9 7 ⎠
⎛ 2 + 4 5 + 6 1 + 7 ⎞ ⎛ 6 11 8 ⎞
= ⎜
⎟ = ⎜
⎟
⎝ 3 + 0 9 + 9 0 + 7 ⎠ ⎝ 3 18 7 ⎠
b) A + B + C = (A + B) + C =
⎛
= ⎜
⎝
⎛
= ⎜
⎝
6 11 8 ⎞ ⎛ –1 3 0 ⎞
⎟ + ⎜
⎟ =
3 18 7 ⎠ ⎝ 1 2 1 ⎠
6 – 1 11 + 3 8 + 0 ⎞ ⎛ 5 14 8 ⎞
⎟ = ⎜
⎟
3 + 1 18 + 2 7 + 1 ⎠ ⎝ 4 20 8 ⎠
2 5 1 ⎞ ⎛ –4 –6 –7 ⎞
⎟ + ⎜
⎟ =
3 9 0 ⎠ ⎝ 0 –9 –7 ⎠
2 – 4 5 – 6 1 – 7 ⎞ ⎛ –2 –1 –6 ⎞
⎟ = ⎜
⎟
3 + 0 9 – 9 0 – 7 ⎠ ⎝ 3 0 –7 ⎠
d) B – A = B + (–A) =
⎛
= ⎜
⎝
⎛
= ⎜
⎝
4 6 7 ⎞ ⎛ –2 –5 –1 ⎞
⎟ + ⎜
⎟ =
0 9 7 ⎠ ⎝ –3 –9 0 ⎠
4 – 2 6 – 5 7 – 1 ⎞ ⎛ 2 1 6 ⎞
⎟ = ⎜
⎟
0 – 3 9 – 9 7 + 0 ⎠ ⎝ –3 0 7 ⎠
e) C – B = C + (–B) =
⎛
= ⎜
⎝
⎛
= ⎜
⎝
–1 3 0 ⎞ ⎛ –4 –6 –7 ⎞
⎟ + ⎜
⎟ =
1 2 1 ⎠ ⎝ 0 –9 –7 ⎠
–1 – 4 3 – 6 0 – 7 ⎞ ⎛ –5 –3 –7 ⎞
⎟ = ⎜
⎟
1 + 0 2 – 9 1 – 7 ⎠ ⎝ 1 –7 –6 ⎠
f) B – C = – (C – B) =
⎛ –5 –3 –7 ⎞ ⎛ 5 3 7 ⎞
= – ⎜
⎟ = ⎜
⎟
⎝ 1 –7 −6 ⎠ ⎝ –1 7 6 ⎠
⎛
g) 2A = 2 ⎜
⎝
⎛ 4 10
= ⎜
⎝ 6 18
2 5 1 ⎞ ⎛ 2 ⋅ 2 2 ⋅ 5 2 ⋅ 1 ⎞
⎟ = ⎜
⎟ =
3 9 0 ⎠ ⎝ 2 ⋅ 3 2 ⋅ 9 2 ⋅ 0 ⎠
2 ⎞
⎟
0 ⎠
⎛
⎞ ⎛
⎞
h) 3B = 3 ⎜ 4 6 7 ⎟ = ⎜ 3 ⋅ 4 3 ⋅ 6 3 ⋅ 7 ⎟ =
0
9
7
3
⋅
0
3
⋅
9
3
⋅
7
⎝
⎠ ⎝
⎠
⎛ 12 18 21 ⎞
= ⎜
⎟
⎝ 0 27 21 ⎠
⎛
⎞
i) (–4)C = (–4) ⎜ –1 3 0 ⎟ =
⎝ 1 2 1 ⎠
⎛ –4 ⋅ (–1) –4 ⋅ 3 –4 ⋅ 0
= ⎜⎜
⎝ –4 ⋅ 1 –4 ⋅ 2 –4 ⋅ 1
⎛ 4 –12 0 ⎞
= ⎜
⎟
⎝ –4 –8 –4 ⎠
7 ⎞
⎟ =
7 ⎠
26 49 33 ⎞
⎟
15 81 28 ⎠
k) B – A – 6C = (B – A) – 6C =
⎛
= ⎜
⎝
⎛
= ⎜
⎝
⎛
= ⎜
⎝
⎛ –1 3 0 ⎞
2 1 6 ⎞
⎟ – 6 ⎜
⎟ =
–3 0 7 ⎠
⎝ 1 2 1 ⎠
2 1 6 ⎞ ⎛ –6 18 0 ⎞
⎟ – ⎜
⎟ =
–3 0 7 ⎠ ⎝ 6 12 6 ⎠
8 –17 6 ⎞
⎟
–9 –12 1 ⎠
l) 5 (C – B) + 2 (C – A) – 3B =
c) A – B = A + (–B) =
⎛
= ⎜
⎝
⎛
= ⎜
⎝
⎛
⎞
⎛
j) 5A + 4B = 5 ⎜ 2 5 1 ⎟ + 4 ⎜ 4 6
3
9
0
⎝
⎠
⎝ 0 9
⎛ 10 25 5 ⎞ ⎛ 16 24 28 ⎞ ⎛
= ⎜
⎟ + ⎜
⎟ = ⎜
⎝ 15 45 0 ⎠ ⎝ 0 36 28 ⎠ ⎝
⎞
⎟⎟ =
⎠
= 5C – 5B + 2C – 2A – 3B =
⎛ –1 3 0 ⎞
= 7C – 8B – 2A = 7 ⎜
⎟ –
⎝ 1 2 1 ⎠
⎛ 4 6 7 ⎞
⎛ 2 5 1 ⎞
– 8 ⎜
⎟ – 2 ⎜
⎟ =
0
9
7
⎝
⎠
⎝ 3 9 0 ⎠
⎛ –7 21 0 ⎞ ⎛ 32 48 56 ⎞ ⎛ 4 10 2
= ⎜
⎟ – ⎜
⎟ – ⎜
⎝ 7 14 7 ⎠ ⎝ 0 72 56 ⎠ ⎝ 6 18 0
⎛ –7 – 32 – 4 21 – 48 – 10 0 – 56 – 2
= ⎜
⎝ 7 – 0 – 6 14 – 72 – 18 7 – 56 – 0
⎛ –43 –37 –58 ⎞
= ⎜
⎟
⎝ 1 –76 –49 ⎠
⎞
⎟ =
⎠
⎞
⎟ =
⎠
14. N'hi ha prou d'aplicar la definició de cada operació:
a) A + B =
⎛
⎜
= ⎜
⎜
⎝
⎛
⎜
= ⎜
⎜
⎝
⎛
⎜
= ⎜
⎜
⎝
0 2 3 2 ⎞
⎟
2 1 5 −4 ⎟ +
−4 −1 1 0 ⎟⎠
⎛ 3 0 1 −2 ⎞
⎜
⎟
⎜ 5 2 0 1 ⎟ =
⎜ −3 4 2 5 ⎟
⎝
⎠
0 + 3 2 + 0 3 + 1 2 + (−2) ⎞
⎟
2 + 5 1 + 2 5 + 0 −4 + 1 ⎟ =
−4 + (−3) −1 + 4 1 + 2 0 + 5 ⎟⎠
3 2 4 0 ⎞
⎟
7 3 5 −3 ⎟
−7 3 3 5 ⎟⎠
b) A − B = A + (−B) =
⎛
⎜
= ⎜
⎜
⎝
⎛
⎜
= ⎜
⎜
⎝
⎛
⎜
= ⎜
⎜
⎝
0 2 3 2 ⎞
⎟
2 1 5 −4 ⎟ +
−4 −1 1 0 ⎟⎠
⎛ −3 0 −1 2 ⎞
⎜
⎟
⎜ −5 −2 0 −1 ⎟ =
⎜ 3 −4 −2 −5 ⎟
⎝
⎠
0 + (−3) 2 + 0 3 + (−1) 2 + 2
2 + (−5) 1 + (−2) 5 + 0 −4 + (−1)
−4 + 3 −1 + (−4) 1 + (−2) 0 + (−5)
⎞
⎟
⎟ =
⎟
⎠
−3 2 2 4 ⎞
⎟
−3 −1 5 −5 ⎟
−1 −5 −1 −5 ⎟⎠
c) B − A = − (A − B) =
⎛ −3 2 2 4 ⎞ ⎛ 3 −2 −2 −4 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
= − ⎜ −3 −1 5 −5 ⎟ = ⎜ 3 1 −5 5 ⎟
⎜ −1 −5 −1 −5 ⎟ ⎜ 1 5 1 5 ⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
51
Bloc 1. ÀLGEBRA LINEAL > UNITAT 2. MATRIUS
⎛ 0 2 3 2 ⎞
⎜
⎟
d) 5 ⋅ A = 5 ⎜ 2 1 5 −4 ⎟ =
⎜ −4 −1 1 0 ⎟
⎝
⎠
⎛ 5 ⋅ 0 5 ⋅ 2 5 ⋅ 3 5 ⋅ 2
⎜
= ⎜ 5 ⋅ 2
5 ⋅ 1 5 ⋅ 5 5 ⋅ (−4)
⎜ 5 ⋅ (−4) 5 ⋅ (−1) 5 ⋅ 1 5 ⋅ 0
⎝
⎛ 3 0 1 −2 ⎞
⎜
⎟
e) 4 B = 4 ⎜ 5 2 0 1 ⎟ =
⎜ −3 4 2 5 ⎟
⎝
⎠
⎛ 4 ⋅ 3 4 ⋅ 0 4 ⋅ 1 4 ⋅ (−2)
⎜
= ⎜ 4 ⋅ 5 4 ⋅ 2 4 ⋅ 0 4 ⋅ 1
⎜ 4 ⋅ (−3) 4 ⋅ 4 4 ⋅ 2 4 ⋅ 5
⎝
⎞ ⎛
0 10 15 10 ⎞
⎟ ⎜
⎟
⎟ = ⎜ 10 5 25 −20 ⎟
⎟ ⎜ −20 −5 5
0 ⎟⎠
⎠ ⎝
45 40 ⎞
⎟ =
24 19 ⎠
⎞
⎟ =
⎠
d) 2(B + A ⋅ C) =
⎞ ⎛ 12 0 4 −8
⎟ ⎜
⎟ = ⎜ 20 8 0 4
⎟ ⎜ −12 16 8 20
⎠ ⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛ 0 2 3 2 ⎞ ⎛ 0 −6 −9 −6 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
f) (−3) A = (−3) ⎜ 2 1 5 −4 ⎟ = ⎜ −6 −3 −15 12 ⎟
⎜ −4 −1 1 0 ⎟ ⎜ 12 3 −3 0 ⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
⎛ 2 0 0 ⎞t ⎛ 2 1 −3 ⎞
⎜
⎜
⎟
⎟
15. At = ⎜ 1 2 −2 ⎟ = ⎜ 0 2 5 ⎟
⎜ −3 5 1 ⎟
⎜ 0 −2 1 ⎟
⎝
⎝
⎠
⎠
⎛
⎞
⎛ 2 4 0 ⎞t ⎜ 2 −1 ⎟
B t = ⎜
⎟ = ⎜ 4 −3 ⎟
⎜ 0 1 ⎟
⎝ −1 −3 1 ⎠
⎝
⎠
⎛ 1 0 ⎞t
⎛ 1 −1 1 ⎞
⎜
⎟
C t = ⎜ −1 2 ⎟ = ⎜
⎟
⎜ 1 −1 ⎟
⎝ 0 2 −1 ⎠
⎝
⎠
16. Que una matriu tingui dimensió m × n significa que té m files
i n columnes.
Com que traslladar consisteix a intercanviar files i columnes,
la matriu traslladada tindrà n files i m columnes, o sigui, tindrà
dimensió n × m.
Per tant, la matriu traslladada d'una matriu de dimensió
3 × 5 tindrà dimensió 5 × 3.
17. Dues matrius es poden sumar si, i només si, tenen la mateixa
dimensió, m × n.
Dues matrius es poden multiplicar una per una altra si, i només si, la primera té tantes columnes com files té la segona, o
sigui, si tenen dimensions m × h i h × n, respectivament.
⎛
⎞ ⎛
⎞
18. a) A ⋅ B = ⎜ 3 4 ⎟ ⋅ ⎜ 5 0 ⎟ =
⎝ 7 6 ⎠ ⎝ 2 3 ⎠
⎛ 3 ⋅ 5 + 4 ⋅ 2 3 ⋅ 0 + 4 ⋅ 3 ⎞ ⎛ 23 12 ⎞
= ⎜
⎟ = ⎜
⎟
⎝ 7 ⋅ 5 + 6 ⋅ 2 7 ⋅ 0 + 6 ⋅ 3 ⎠ ⎝ 47 18 ⎠
⎛ 5 0 ⎞ ⎛ 9 8 ⎞
b) B ⋅ C = ⎜
⎟ ⋅ ⎜
⎟ =
⎝ 2 3 ⎠ ⎝ 2 1 ⎠
⎛ 5 ⋅ 9 + 0 ⋅ 2 5 ⋅ 8 + 0 ⋅ 1 ⎞ ⎛ 45 40 ⎞
= ⎜
⎟ = ⎜
⎟
⎝ 2 ⋅ 9 + 3 ⋅ 2 2 ⋅ 8 + 3 ⋅ 1 ⎠ ⎝ 24 19 ⎠
52
⎛ 3 4 ⎞ ⎛
c) A ⋅ B ⋅ C = A ⋅ (B ⋅ C) = ⎜
⎟ ⋅ ⎜
⎝ 7 6 ⎠ ⎝
⎛ 3 ⋅ 45 + 4 ⋅ 24 3 ⋅ 40 + 4 ⋅ 19
= ⎜
⎝ 7 ⋅ 45 + 6 ⋅ 24 7 ⋅ 40 + 6 ⋅ 19
⎛ 231 196 ⎞
= ⎜
⎟
⎝ 459 394 ⎠
⎡⎛ 5 0 ⎞ ⎛ 3 4 ⎞ ⎛ 9 8 ⎞⎤
= 2⎢⎜
⎟ + ⎜
⎟ ⋅ ⎜
⎟⎥ =
⎢⎣⎝ 2 3 ⎠ ⎝ 7 6 ⎠ ⎝ 2 1 ⎠⎥⎦
⎡⎛ 5 0 ⎞ ⎛ 3 ⋅ 9 + 4 ⋅ 2 3 ⋅ 8 + 4 ⋅ 1 ⎞⎤
= 2⎢⎜
⎟ + ⎜
⎟⎥ =
⎢⎣⎝ 2 3 ⎠ ⎝ 7 ⋅ 9 + 6 ⋅ 2 7 ⋅ 8 + 6 ⋅ 1 ⎠⎥⎦
⎡⎛ 5 0 ⎞ ⎛ 35 28 ⎞⎤
= 2⎢⎜
⎟ + ⎜
⎟⎥ =
⎢⎣⎝ 2 3 ⎠ ⎝ 75 62 ⎠⎥⎦
⎛ 5 + 35
= 2⎜
⎝ 2 + 75
⎛ 2 ⋅ 40 2
= ⎜
⎝ 2 ⋅ 77 2
⎛ 40 28 ⎞
0 + 28 ⎞
⎟ = 2⎜
⎟ =
3 + 62 ⎠
⎝ 77 65 ⎠
⋅ 28 ⎞ ⎛ 80 56 ⎞
⎟ = ⎜
⎟
⋅ 65 ⎠ ⎝ 154 130 ⎠
19. N'hi ha prou d'usar la definició:
⎛
⎞
⎛ 1 3 2 ⎞ ⎜ 3 0 1 ⎟
A ⋅ B = ⎜
⋅
⎟ ⎜ 5 2 0 ⎟ =
⎝ −2 0 1 ⎠ ⎜ −3 4 2 ⎟
⎝
⎠
⎛ 1⋅ 3 + 3 ⋅ 5 + 2 ⋅ (–3) 1⋅ 0 + 3 ⋅ 2 + 2 ⋅ 4 1⋅1+ 3 ⋅ 0 + 2 ⋅ 2
= ⎜
⎜ −2 ⋅ 3 + 0 ⋅ 5 + 1⋅ (–3) −2 ⋅ 0 + 0 ⋅ 2 + 1⋅ 4 −2 ⋅1+ 0 ⋅ 0 + 1⋅ 2
⎝
⎛ 12 14 5 ⎞
= ⎜
⎟
⎝ −9 4 0 ⎠
⎞
⎟
⎟
⎠
No és possible calcular el producte B ⋅ A, ja que el nombre de
columnes de la primera, B, que és 3, és diferent del nombre
de files de la segona, A, que és 2.
20. La matriu que busquem ha de tenir 3 entrades per als anys i
2 per als països, i cada element ha d'indicar les vendes brutes
corresponents a l'any i al país que el localitzen la matriu.
D'altra banda, les vendes brutes s'obtenen multiplicant el
nombre d'unitats exportades de cada electrodomèstic pel
preu d'aquest, corresponents a l'any i al país considerats, i
sumant per als diferents electrodomèstics.
De l'anterior se segueix que la matriu que ens interessa és
l'obtinguda en multiplicar A per C, que ens donarà les vendes
brutes de cada any a cada país, en milers d'euros (ja que els
elements de A indiquen milers):
⎛
⎞
⎛ 125 275 230 ⎞ ⎜ 360 400 390 ⎟
A ⋅ C = ⎜
⎟ ⋅ ⎜ 540 570 570 ⎟ =
⎝ 250 104 375 ⎠ ⎜ 420 430 435 ⎟
⎝
⎠
⎛ 290100 305 650 305 550 ⎞ P
⎟ 1
= ⎜
⎜ 303 660 320 530 319 905 ⎟ P2
⎝
⎠
2014
2015
2016
El valor del que s'ha exportat l'últim any a cada país ve donat
per l'última columna de la matriu producte A · C.
Bloc 1. ÀLGEBRA LINEAL > UNITAT 2. MATRIUS
Com que 305 550 < 319 905, concloem que el valor del que
s'ha exportat al segon país l'últim any és major que el que s'ha
exportat al primer.
⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
21. a) A2 = ⎜ 2 −1 ⎟ ⎜ 2 −1 ⎟ = ⎜ 3 −2 ⎟ ,
⎝ 1
0 ⎠ ⎝ 1 0 ⎠ ⎝ 2 −1 ⎠
⎛ 0 8 ⎞ ⎛ 0 16 ⎞
−1 ⎞ ⎛ 1 3 ⎞
⎟ ⎜
⎟ = 2 ⎜
⎟ = ⎜
⎟ ,
0 ⎠ ⎝ 2 −2 ⎠
⎝ 1 3 ⎠ ⎝ 2 6 ⎠
⎞ ⎛ 1 3 ⎞ ⎛ 7 −3 ⎞
⎟ ,
⎟ ⎜
⎟ = ⎜
⎠ ⎝ 2 −2 ⎠ ⎝ −2 10 ⎠
⎛ 2
2AB = 2 ⎜
⎝ 1
⎛ 1 3
B 2 = ⎜
⎝ 2 −2
⎛ 3 −2 ⎞ ⎛ 0 16 ⎞ ⎛ 7 −3 ⎞
A2 + 2AB + B 2 = ⎜
⎟
⎟ + ⎜
⎟ + ⎜
⎝ 2 −1 ⎠ ⎝ 2 6 ⎠ ⎝ −2 10 ⎠
⎛ 10 11 ⎞
= ⎜
⎟ .
⎝ 2 15 ⎠
⎛ ⎛
⎞ ⎛
b) (A + B)2 = ⎜⎜ ⎜ 2 −1 ⎟ + ⎜ 1 3
⎝ ⎝ 1 0 ⎠ ⎝ 2 −2
2
⎞ ⎞
⎛ 3 2 ⎞ ⎛ 3 2 ⎞
⎟ ⎟⎟ = ⎜
⎟ ⎜
⎟
⎠ ⎠
⎝ 3 −2 ⎠ ⎝ 3 −2 ⎠
⎛ 15 2 ⎞
= ⎜
⎟ .
⎝ 3 10 ⎠
22. En primer lloc calculem B + C, la qual cosa és possible ja que
ambdues matrius tenen la mateixa dimensió. Així s'obté:
⎛ 3 2 0 ⎞ ⎛ 0 3 −1 ⎞ ⎛ 3 5 −1 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
B + C = ⎜ 0 1 −1 ⎟ + ⎜ 1 0 3 ⎟ = ⎜ 1 1 2 ⎟
⎜ 1 0 2 ⎟ ⎜ 4 2 0 ⎟ ⎜ 5 2 2 ⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠
Obtinguem ara A ⋅ (B + C) , la qual cosa també és possible, ja
que el nombre de columnes de A coincideix amb el nombre
de files de B + C. Així doncs:
⎛
⎞
⎛ 3 2 1 ⎞ ⎜ 3 5 −1 ⎟ ⎛ 16 19 3 ⎞
A ⋅ (B + C ) = ⎜
⎟ ⋅ ⎜ 1 1 2 ⎟ = ⎜
⎟
⎝ 4 0 2 ⎠ ⎜ 5 2 2 ⎟ ⎝ 22 24 0 ⎠
⎝
⎠
Es compleix la propietat distributiva de la multiplicació respecte de l'addició, ja que:
A ⋅ (B + C) = A ⋅ B + A ⋅ C =
⎛ 10 8 0 ⎞ ⎛ 6 11 3 ⎞ ⎛ 16 19 3 ⎞
= ⎜
⎟ + ⎜
⎟ = ⎜
⎟
⎝ 14 8 4 ⎠ ⎝ 8 16 −4 ⎠ ⎝ 22 24 0 ⎠
23. El producte d'un escalar per una matriu es comporta bé amb
24. En aquest cas, els elements diagonals són diferents. En multiplicar una matriu per la dreta amb D, els elements de la columna i es multipliquen pel i-èsim element diagonal. Així,
⎛ 4 0 0 ⎞5 ⎛ 45 0 0 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
D 5 = ⎜ 0 −1 0 ⎟ = ⎜ 0 (−1)5 0 ⎟ =
⎜ 0 0 3 ⎟
⎜ 0 0 35 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛ 1024 0 0 ⎞
⎜
⎟
= ⎜ 0 −1 0 ⎟
⎜ 0 0 243 ⎟
⎝
⎠
25. Els resultats són els següents:
⎛ 1 0 0 ⎞ ⎛ 4 −25 3
⎜
⎟ ⎜
⎜ 0 2 0 ⎟ ⋅ ⎜⎜ 0 24 −9
⎜ 0 0 −1 ⎟ −9 −8 −6
⎝
⎠ ⎝
⎛ 4 −25 3 5π
⎜
= ⎜ 0 48 −18 100
⎜ 9 8 6 3
⎝
⎛
⎜
⎛ 4 −25 3 5π −7 ⎞ ⎜
⎜
⎟ ⎜
⎜ 0 24 −9 50 1 ⎟ ⋅ ⎜
⎜ −9 −8 −6 −3 1 ⎟ ⎜
⎝
⎠
⎜
⎜
⎝
⎛ 8 0 1
⎜
= ⎜ 0 0 −3
⎜ −18 0 −2
⎝
0 0 ⎞
⎟
0 0 ⎟
⎟
0 0 ⎟ =
⎟
0 0 ⎟
0 0 ⎟⎠
dm
0

0
0
dm

0




0
0

dm
0 0 ⎞
⎟
0 0 ⎟
0 0 ⎟⎠
⎛ d … 0 ⎞
⎜ 1
⎟
A ⋅ ⎜    ⎟
⎜ 0 … d ⎟
n ⎠
⎝
s'obté multiplicant els elements de la columna i-èsima de A
per di. D'altra banda,
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
També podem arribar a aquest resultat raonant que, cada vegada que multipliquem una matriu per la dreta amb D, els
elements de totes les columnes (és a dir, tots els elements) es
multipliquen per d.
2 0 0
0 0 0
1
0 0
3
0 0 0
0 0 0
En general, si A és una matriu de dimensions m × n, el producte
Per aquest motiu,
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
0 0 ⎞
⎟
0 0 ⎟
⎟
0 0 ⎟ =
⎟
0 0 ⎟
0 3 ⎟⎠
A ⋅ (kB) = (kA) ⋅ B = k(A ⋅ B)
m
−7
2
−1
⎛ 2 0 0
⎜
⎛ 4 −25 3 5π −7 ⎞ ⎜ 0 −1 0
⎜
⎟ ⎜
1
⎜ 0 24 −9 50 1 ⎟ ⋅ ⎜ 0 0
⎜ −9 −8 −6 −3 1 ⎟ ⎜
3
⎝
⎠
⎜ 0 0 0
⎜ 0 0 0
⎝
⎛ 8 25 1 0 −21 ⎞
⎜
⎟
= ⎜ 0 −24 −3 0 3 ⎟
⎜ −18 8 −2 0 3 ⎟
⎝
⎠
el producte matricial:
m m
m
D m = (dI) m = (dI)(dI)
 = d I = d I =
5π −7 ⎞
⎟
50 1 ⎟ =
−3 1 ⎟⎠
⎛ d  0 ⎞
⎜ 1
⎟
⎜    ⎟ ⋅ A
⎜ 0  d ⎟
m ⎠
⎝
s'aconsegueix multiplicant la fila i-èsima de A per di.
26. El producte buscat és
53
Bloc 1. ÀLGEBRA LINEAL > UNITAT 2. MATRIUS
⎛ 3 0 ⎞ ⎛ −4 0 ⎞
⎜
⎟ · ⎜
⎟ =
⎝ 3 3 ⎠ ⎝ 7 8 ⎠
⎛ −12 0 ⎞
= ⎜
⎟
⎝ 9 24 ⎠
,
⎛ 21 6 3
⎜
b) A t ⋅ B t = ⎜ −13 −2 9
⎜ −12 0 20
⎝
Veiem que també és triangular inferior.
27. L'únic element situat sota la diagonal principal és el de la posició a21, de manera que la matriu és triangular superior quan
c = 0.
Dues matrius triangulars superiors d'ordre 2 es poden expressar de la manera següent:
⎛ a b ⎞ ⎛ aʹ′ b ʹ′ ⎞
⎜
⎟ , ⎜
⎟
⎝ 0 d ⎠ ⎝ 0 d ʹ′ ⎠
⎛ 21 −13 −12 ⎞
⎜
⎟
c) B ⋅ A = ⎜ 6 −2 0 ⎟
⎜ 3 9 20 ⎟
⎝
⎠
⎛ 19 8 ⎞
d) B t ⋅ A t = ⎜
⎟
⎝ −9 20 ⎠
Si canviem la matriu A per una de dimensions 1 × 3, no podem efectuar els productes dels apartats (b) i (c). En els altres
dos, tenim:
(
a) A ⋅ B = 19 −9
⎛ aaʹ′ ab ʹ′ + bd ʹ′ ⎞
⎜
⎟ ,
dd ʹ′
⎝ 0
⎠
⎛
⎞
31. a) 3A = ⎜ 9 −15 ⎟
que també és triangular superior.
⎝ −3 0 ⎠
⎛ −24 −30 ⎞
−3B = ⎜
⎟
⎝ −3 3 ⎠
28. Multiplicant per l'esquerra la matriu permutació de l'enunciat,
obtenim
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
⎞ ⎛
⎟ ⎜
⎟ ⋅ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎝
0
0
0
1
3
−2
0
8
2
0
9
7
−1
1
5
6
⎞ ⎛ 0
⎟ ⎜
⎟ = ⎜ −2
⎟ ⎜ 3
⎟ ⎜ 8
⎠ ⎝
5
1
−1
6
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
9
0
2
7
Observem que la matriu que resulta coincideix amb A, excepte en les files primera i tercera, que s'han intercanviat.
El segon producte indicat és
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
3
−2
0
8
−1
1
5
6
2
0
9
7
⎞
⎟ ⎛ 1 0 0
⎟ ⋅ ⎜ 0 0 1
⎟ ⎜⎜
⎟ ⎝ 0 1 0
⎠
⎛
⎞ ⎜ 3
⎟ ⎜ −2
⎟ = ⎜ 0
⎟
⎠ ⎜ 8
⎝
2
0
9
7
−1 ⎞
⎟
1 ⎟
.
5 ⎟
⎟
6 ⎠
En aquest cas, l'efecte produït és l'intercanvi de les columnes
segona i tercera.
29. Aquests són els resultats de les operacions:
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
0
5
0
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
3
−2
0
8
−1
1
5
6
⎞ ⎛
⎟ ⎜
⎟ ⋅ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎝
2
0
9
7
3
−2
0
8
−1
1
5
6
2
0
9
7
⎞
⎟ ⎛ 1 0 0
⎟ ⋅ ⎜ 0 1 2
⎟ ⎜⎜
⎟ ⎝ 0 0 1
⎠
⎞ ⎛ 3
⎟ ⎜
⎟ = ⎜ −2
⎟ ⎜ 15
⎟ ⎜ 8
⎠ ⎝
⎛
⎞ ⎜ 3
⎟ ⎜ −2
⎟ = ⎜ 0
⎟
⎠ ⎜ 8
⎝
−1 2
1 0
0 19
6 7
−1 0
1 2
5 19
6 19
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
En el primer cas, a la tercera fila de la matriu A se li afegeix
cinc vegades la primera. En el segon producte, se li suma el
doble de la segona columna a la tercera.
30. Aquests són els quatre productes demanats:
⎛ 19 −9 ⎞
⎟
a) A ⋅ B = ⎜
⎝ 8 20 ⎠
)
⎛ 19 ⎞
⎟
d) B t ⋅ A t = ⎜
⎝ −9 ⎠
El seu producte és
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
⎞
b) 3 (B − A ) = 3 · ⎜ −5 −15 ⎟ =
1 ⎠
⎝ −2
⎛ −15 −45 ⎞
= ⎜
⎟
3 ⎠
⎝ −6
c)
⎛
⎞ ⎛
⎞
( 3A ) ⋅ ( −3B ) = ⎜ 9 −15 ⎟ ⋅ ⎜ −24 −30 ⎟ =
⎝ −3
⎛ −171 −315 ⎞
= ⎜
⎟
⎝ 72 90 ⎠
0 ⎠ ⎝ −3
3 ⎠
⎛ 19 35 ⎞
⎟ =
d) 9 ( A ⋅ B ) = 9 ⎜
⎝ −8 −10 ⎠
⎛ 171 315 ⎞
= ⎜
⎟
⎝ −72 −90 ⎠
32. Sabem que es compleix M · N = N · M, així doncs:
(M + N )2 = (M + N ) · (M + N ) =
= M2 + M · N + N · M + N2 =
=
M2
+ M · N + M · N + N 2 = M 2 + 2M · N + N 2
33. Siguin A i B dues matrius triangulars inferiors d'ordre n. El seu
producte és una altra matriu quadrada d'ordre n. Per a garantir
que és triangular inferior, hem d'assegurar-nos que, si i < j,
l'element de la fila i i la columna j és zero. Aquest element
s'obté multiplicant la fila i de A amb la columna j de B :
ai 1b1j + …+ aikbkj + …+ ainbnj
Estudiem els sumands que componen aquesta suma: en dos
supòsits, podem demostrar que un sumand és zero.
—— Quan k < j (els primers j − 1 sumands).
Com que B és triangular inferior, bkj = 0 i aikbkj = 0.
—— Quan k > i (els últims n − i sumands).
Com que A és triangular inferior, aik = 0 i aikbkj = 0.
54
Bloc 1. ÀLGEBRA LINEAL > UNITAT 2. MATRIUS
Ara bé, en haver suposat que i < j, els dos casos anteriors
cobreixen totes les possibilitats, de manera que tots els sumands són zeros i la suma també ho és.
En conseqüència, el producte de dues matrius triangulars inferiors és triangular inferior.
34. Podem comprovar que
⎛
⎜
⎜
2
D = ⎜
⎜
⎜
⎝
d1 … … 0 ⎞ ⎛ d1 …
⎟ ⎜
0 d 2 … 0 ⎟ ⎜ 0 d 2
⎟ ⋅ ⎜
    ⎟ ⎜  
0 … … dn ⎟⎠ ⎜⎝ 0 …
⎛ d 2 … … 0 ⎞
⎜ 1
⎟
⎜ 0 d 22 … 0 ⎟
= ⎜
⎟
⎜     ⎟
⎜ 0 … … dn2 ⎟
⎝
⎠
2a + 3b = 4 ⎫⎪ 2c + 3d = 20 ⎪⎫
⎬ ,
⎬
3b = 0 ⎪⎭
3d = 18 ⎭⎪
Tots dos tenen una solució única: a = 2, b = 0, c = 1, d = 6.
En conseqüència, la matriu associada a l'aplicació lineal és:
⎛ 2 0 ⎞
A = ⎜
⎟ .
⎝ 1 6 ⎠
38. L'aplicació f té una inversa g quan es compleix sempre
f (x, y, z) = (x, y, z) i g (x, y, z) = (x, y, z).
a) f (g (1, 0, 0)) = (0, 0, 0), per tant f no té inversa.
b) La imatge per f de qualsevol vector té les tres components
iguals, per tant f (g (x, y, z)) = x, y, z), no pot complir-se
quan no es té x = y = z.
Per a obtenir l'última fila, s'ha multiplicat per −2 la de la matriu original. Així, la següent matriu satisfà la condició buscada.
c) L'aplicació identitat és la seva pròpia inversa.
—— Una matriu quadrada A és regular quan existeix una
altra matriu B que compleix A · B = I.
En el primer cas, com que A és la matriu nul·la, el seu
producte per qualsevol altra matriu també és la matriu
nul·la i no pot ser la identitat: no hi ha inversa.
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
En el segon cas, si la matriu tingués inversa, tindríem
No és l'única solució possible. Cada fila de P pot obtenir-se
com a solució d'un sistema compatible indeterminat, i la solució general és
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛ 1 1 1 ⎞ ⎛ a b c ⎞
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎜ 1 1 1 ⎟ ⋅ ⎜ d e f ⎟ =
⎜ 1 1 1 ⎟ ⎜ g h i ⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
⎛ a + d + g b + e + h c + f + i ⎞
⎜
⎟
⎜ a + d + g b + e + h c + f + i ⎟ = I 3 .
⎜
⎟
⎝ a + d + g b + e + h c + f + i ⎠
.
A la segona part de l'exercici, Q ha de tenir dimensions 3 × 3.
L'efecte que produeix és multiplicar la segona columna per
10. Això s'aconsegueix posant
En aquest cas, la solució és única.
⎛ 0 ⎞
⎛ 1 ⎞
f ⎜ ⎟ = 0 i f ⎜ ⎟ = 1 ,
⎝ 1 ⎠
⎝ 0 ⎠
⎛ a b ⎞
Posem A = ⎜
⎟ . Les condicions de l'enunciat es traduei⎝ c d ⎠
xen en aquests dos sistemes:
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛ 1 0 0 ⎞
⎜
⎟
Q = ⎜ 0 10 0 ⎟
⎜ 0 0 1 ⎟
⎝
⎠ .
i (0, 1). Tenim
37. Com que A té dimensions 2 × 2, f és una funció de R2 en R2.
meres files del producte coincideixen amb les de la matriu
inicial. Podem aconseguir aquest efecte amb qualsevol matriu
de la forma següent.
⎛ 1 + 10λ
19λ1
−3λ1
λ1
1
⎜
λ2
⎜ 10λ 2 1 + 19λ 2 −3λ 2
P = ⎜
19λ 3 1 − 3λ 3
λ3
⎜ 10λ 3
⎜ 10λ 4
19λ
−3λ
−2
+ λ4
4
4
⎝
36. Les columnes de la matriu associada són les imatges de (1, 0)
( 0 1).
35. Les dimensions de la matriu P han de ser 4 × 4. Les tres pri-
⎛ 1
⎜
1
P = ⎜
⎜
1
⎜
−2
⎝
Pàgs. 66 i 67
per la qual cosa la matriu associada és
… 0 ⎞
⎟
… 0 ⎟
⎟ =
  ⎟
… dn ⎟⎠
Repetint el procés tantes vegades com indiqui l'exponent,
obtenim l'expressió de Dm, que és una matriu diagonal amb
elements d1m, d2m, …, dnm.
⎛ 1
⎜
1
P = ⎜
⎜
1
⎜ a b c d
⎝
4 APLICACIONS LINEALS
Això no és possible, perquè les files de la matriu identitat
no són iguals.
En el tercer cas, la matriu identitat és la seva pròpia inversa.
39. No. Considerem el contraexemple següent:
Sigui A = (0). Si A es pot invertir, existiria una matriu B tal que
B · A = A · B = I però B · A = (0) = A · B, així I = (0). Però
això no és cert, per tant A = (0) no es pot invertir.
Qualsevol matriu que tingui rang menor que la seva dimensió
no té inversa, perquè en fer transformacions elementals algu-
55
= d ⋅ 1 + e ⋅ (−3) + f ⋅ 9 = 0
⎛ 3 ⎞
Bloc 1. ÀLGEBRA
⎜ LINEAL
⎟ > UNITAT 2.
F3 ⋅ C1 = (g h i ) ⋅ ⎜ −1 ⎟ =
⎜ 3 ⎟
⎝
⎠
= g ⋅ 3 + h ⋅ (−1) + i ⋅ 3 = 0
na de les files es fa nul·la. Això implica que no podrà contenir
l'1 que necessita la identitat.
⎛ 1 0 0 ⎞
⎜
⎟
40. A = ⎜ 0 1 0 ⎟ és la matriu identitat d'ordre 3, A = I, per la
⎜ 0 0 1 ⎟
⎝
⎠
qual cosa per a tota matriu B d'ordre 3 es compleix:
A· B=B·A= B
En particular, per a B = I (= A) es compleix:
⎛
⎜
F3 ⋅ C2 = (g h i ) ⋅ ⎜
⎜
⎝
=g ⋅2+h⋅2+i
Per tant:
⎧ 3g – h + 3i = 0
⎪
⎨ 2g + 2h − 4i = 0
⎪
⎩ g − 3h + 9i = 1
=I=A
• Calculem B –1 a partir de la definició:
B −1
⎛ a b c ⎞
⎜
⎟
= ⎜ d e f ⎟ és la matriu que compleix:
⎜ g h i ⎟
⎝
⎠
⎛ a b c ⎞ ⎛ 3 2 1 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
B ⋅ B −1 = B −1 B = ⎜ d e f ⎟ ⎜ −1 2 −3 ⎟ =
⎜ g h i ⎟ ⎜ 3 −4 9 ⎟
⎠
⎝
⎠ ⎝
⎛ 1 0 0
⎜
= ⎜ 0 1 0
⎜ 0 0 1
⎝
⎞
⎟
⎟, o sigui:
⎟
⎠
La solució és:
⎛
⎜
F2 ⋅ C2 = (d e f ) ⋅ ⎜
⎜
⎝
=d ⋅2+e ⋅2+f
⎞
⎟
⎟ =
⎟
⎠
⋅ (−4) = 1
2
2
−4
⎛ 1 ⎞
⎜
⎟
F2 ⋅ C 3 = (d e f ) ⋅ ⎜ −3 ⎟ =
⎜ 9 ⎟
⎝
⎠
= d ⋅ 1 + e ⋅ (−3) + f ⋅ 9 = 0
⎛ 3 ⎞
⎜
⎟
F3 ⋅ C1 = (g h i ) ⋅ ⎜ −1 ⎟ =
⎜ 3 ⎟
⎝
⎠
= g ⋅ 3 + h ⋅ (−1) + i ⋅ 3 = 0
56
⎛
⎜
F3 ⋅ C2 = (g h i ) ⋅ ⎜
⎜
⎝
=g ⋅2+h⋅2+i
⎞
⎟
⎟ =
⎟
⎠
⋅ (−4) = 0
2
2
−4
⎛ 1 ⎞
⎜
⎟
F ⋅ C = (g h i ) ⋅ −3 =
8
b =−
c =−
11
d =0
g =−
3
9
e =
8
1
f =
2
h=
2
1
i =
2
1
8
8
1
2
La inversa de B és:
B −1
⎛ 3
11
1 ⎞
⎜
⎟
−
−
⎜ 8
8
2 ⎟
⎜
1 ⎟
3
⎟
= ⎜ 0
2 ⎟
2
⎜
⎜ 1
9
1 ⎟
⎜⎜ −
⎟
8
2 ⎟⎠
⎝ 8
• Calculem C –1 pel mètode de Gauss-Jordan.
La matriu ampliada és:
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛ 1 ⎞
⎜
⎟
F1 ⋅ C 3 = (a b c) ⋅ ⎜ −3 ⎟ =
⎜ 9 ⎟
⎝
⎠
= a ⋅ 1 + b ⋅ (−3) + c ⋅ 9 = 0
⎛ 3 ⎞
⎜
⎟
F2 ⋅ C1 = (d e f ) ⋅ ⎜ −1 ⎟ =
⎜ 3 ⎟
⎝
⎠
= d ⋅ 3 + e ⋅ (−1) + f ⋅ 3 = 0
3
a=
⎛ 3 ⎞
⎜
⎟
F1 ⋅ C1 = (a b c) ⋅ ⎜ −1 ⎟ =
⎜ 3 ⎟
⎝
⎠
= a3 + b ⋅ (−1) + c3 = 1
⎛ 2 ⎞
⎜
⎟
F1 ⋅ C2 = (a b c) ⋅ ⎜ 2 ⎟ =
⎜ −4 ⎟
⎝
⎠
= a ⋅ 2 + b ⋅ 2 + c ⋅ (−4) = 0
⎞
⎟
⎟ =
⎟
⎠
⋅ (−4) = 0
2
2
−4
⎛ 1 ⎞
⎜
⎟ d'equacions:
Hem de resoldre, doncs, tres sistemes
F3 ⋅ C 3 = (g h i ) ⋅ ⎜ −3 ⎟ =
⎜ 9 ⎟
⎝ ⎧ 3d ⎠− e + 3f = 0
⎧ 3a – b + 3c = 1
⎪
⎪
= g− ⋅4c
1 +=h0⋅ (−3) +⎨ 2d
i ⋅ 9+ =2e1 − 4f = 1
⎨ 2a + 2b
⎪
⎪
⎩ a − 3b + 9c = 0
⎩d − 3e + 9f = 0
A· I=I·A= I
A –1
MATRIUS
1
−1
1
−3
0
2
−1
1
3
1
2
0
3
1
2
5
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0 ⎞⎟
0 ⎟
0 ⎟
⎟
1 ⎠
L'element a11 ja és igual a 1.
Anul·lem la resta dels elements de la primera columna:
F2 → F2 + F1
F3 → F3 – F1
F4 → F4 + 3F1
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1 0 3 3
0 2 4 4
0 −1 −1 −1
0 1 9 14
1
1
−1
3
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Transformem en 1 l'element a22:
F2 →
1
2
F2
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
0
3
3 1
1
0 1 2 2
2
0 −1 −1 −1 −1
0 1 9 14 3
0 0
1
0
2
0 1
0 0
0 ⎞
⎟
0 ⎟
⎟
⎟
0 ⎟
1 ⎟⎠
Anul·lem la resta dels elements de la segona columna:
Bloc 1. ÀLGEBRA LINEAL > UNITAT 2. MATRIUS
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
F3 → F3 + F2
F4 → F4 – F2
0 0 ⎞
⎟
0 0 ⎟
0 1 2 2
⎟
2
2
⎟
1 1
1 0 ⎟
0 0 1 1 −
⎟
2 2
⎟
1
5
−
0 1 ⎟⎟
0 0 7 12
2
2
⎠
1 0 3 3
1
1
L'element a33 ja és 1.
Anul·lem la resta dels elements de la tercera columna:
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
F1 → F1 – 3F3
F2 → F2 – 2F3
F4 → F4 – 7F3
5
1 0 0 0
−
2
3
0 1 0 0
0 0 1 1 −
0 0 0 5
2
1
2
6
⎛
⎛ 1 2 3 ⎞ ⎜ −1 0
M ⋅ N = ⎜
⎟ ⋅ ⎜ 2 2
⎝ 2 1 1 ⎠ ⎜ −1 −1
⎝
0
1
−
⎞
−3 0 ⎟
⎟
⎟
−2 0 ⎟
⎟
⎟
1 0 ⎟
⎟
−7 1 ⎟⎠
3
2
1
2
1
2
−4
⎛ 1 ⋅ (−1) + 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ (−1) 1 ⋅ 0 + 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ (−1)
= ⎜⎜
⎝ 2 ⋅ (−1) + 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ (−1) 2 ⋅ 0 + 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ (−1)
⎛ 0 1 ⎞
= ⎜
⎟
⎝ −1 1 ⎠
⎛ 1 −1 ⎞ ⎛ 0 1 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞
T + M ⋅ N = ⎜
⎟ = ⎜
⎟
⎟ + ⎜
⎝ 2 0 ⎠ ⎝ −1 1 ⎠ ⎝ 1 1 ⎠
F4 →
1
5
F4
5
1 0 0 0
2
3
0 1 0 0
0 0 1 1 −
0 0 0 1
2
1
2
6
5
−
−
−
3
2
1
2
1
2
4
5
−3
−2
1
−
7
5
⎞
0 ⎟
⎟
⎟
0 ⎟
⎟
⎟
0 ⎟
⎟
1 ⎟
⎟
5 ⎠
Anul·lem la resta dels elements de la quarta columna:
F3 → F3 – F4
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
• T −1
I
T


⎛ 1 −1 1 0 ⎞
⎟⎟
: ⎜⎜
⎝ 2 0 0 1 ⎠
5
−
3
−3
⎝ 0
C −1
F2 →
⎛ 5
⎞
3
⎜
−
−3 0 ⎟
⎜ 2
⎟
2
⎜ 3
⎟
1
⎜
−
−2 0 ⎟
2
2
⎟
= ⎜⎜
1 ⎟
17 13 12
−
⎜ −
⎟
5 ⎟
⎜ 10 10 5
⎜ 6
4
7 1 ⎟
−
−
⎜
⎟
5
5 5 ⎠
⎝ 5
41. Hem de calcular M · N, (M ⋅ N )–1, T –1 i (T + M ⋅ N )–1:
1
2
⎛ 1 −1 1 0 ⎞
⎜
⎟
⎜ 0 1 −1 1 ⎟
⎜
2 ⎟⎠
⎝
F2
−1
I
T


F1 → F1 + F2
⎛
1 ⎞
⎜ 1 0 0
⎟
⎜
2 ⎟
⎜
1 ⎟
⎜⎜ 0 1 −1
⎟
2 ⎟⎠
⎝
I
M ⋅ N 

⎛ 0 1 1 0 ⎞
⎟ F ↔ F2 ⎛ −1 1 0 1 ⎞
⎜
⎜
⎟
• (M · N )–1: ⎜⎝ −1 1 0 1 ⎟⎠ 1
⎝ 0 1 1 0 ⎠
0
La inversa de C és:
1 0 ⎞⎟
2 −2 1 ⎟⎠
⎛
F2 → F2 – 2F1 ⎜ 1 −1
⎜
⎞
⎟
⎟
2
2
⎟
1
3
−
−2 0 ⎟
0 1 0 0
2
2
⎟
1 ⎟
17 13 12
−
0 0 1 0 −
⎟
5 ⎟
10 10 5
6
4
7 1 ⎟
0 0 0 1
−
−
⎟
5
5
5 5 ⎠
1 0 0 0
⎞
⎟⎟ =
⎠
Calculem les inverses pel mètode de Gauss–Jordan:
Fem que l'element a44 sigui 1:
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟ =
⎟
⎠
⎛
⎞
F1 → –F1 ⎜ 1 −1 0 −1 ⎟
⎝ 0 1 1
0 ⎠
(M ⋅ N )
I


−1
F1 → F1 + F2
⎛ 1 0 1 −1
⎜⎜
⎝ 0 1 1 0
⎞
⎟⎟
⎠
• (T + M · N )–1: ⎛⎜ 1 0
1 0 ⎞
⎟
⎜ 1 1
0 1 ⎟⎠
⎝
 
T +M ⋅N
I
F2 → F2 – F1 ⎛ 1 0
1 0 ⎞
⎜
⎟
0
1
−1
1 ⎠
⎝
 
I
(T + M ⋅ N )−1
Finalment:
T −1 + (M ⋅ N)−1
⎛
1 ⎞
⎜ 0
⎟
⎜
2 ⎟
= ⎜
+
1 ⎟
⎜⎜ −1
⎟⎟
2 ⎠
⎝
⎛ 1 −1 ⎞
⎜
⎟ =
⎝ 1 0 ⎠
57
Bloc 1. ÀLGEBRA LINEAL > UNITAT 2. MATRIUS
43. Calculem les imatges d'aquests tres punts:
⎛
1 ⎞
⎜ 1 −
⎟
⎜
2 ⎟ ⎛ 1 0 ⎞
= ⎜
≠ ⎜
⎟ = (T + M ⋅ N)−1
1 ⎟ ⎝ −1 1 ⎠
⎜⎜ 0
⎟
2 ⎟⎠
⎝
Y
3
2
1
Així doncs, la igualtat no es compleix.
–3
42 . Calculem A i A
t
– 1:
⎛ 1 2 ⎞t ⎛ 1 1 ⎞
At = ⎜
⎟ = ⎜
⎟
⎝ 1 4 ⎠
⎝ 2 4 ⎠
A−1
F2 →
1
2
F2
⋅
A−1
–2
f (1, – 3) → (−1, − 1)
–3
1
2
3
X
3
X
Y
3
2
1
⎛ 1 2 1 0 ⎞
⎜
⎟
⎜ 0 1 − 1 1 ⎟
⎜
2 2 ⎟⎠
⎝
–3
⎛ 1 0
2 −1 ⎞
⎜
⎟
1 ⎟
⎜ 0 1 − 1
⎜
2 ⎟⎠
2
⎝
–2
0
–1
f (2, 0) → (2, 2)
–1
f (1, 3) → (1, 1)
–2
f (1, – 3) → (1, 1)
–3
2
Les imatges d'aquesta funció estan a la mateixa recta que les
de la de l'exercici anterior.
La matriu associada no és regular.
⎛
⎛ 1 1 ⎞ ⎜ 2
= ⎜
⎟ ⋅ ⎜ 1
⎝ 2 4 ⎠ ⎜ −
⎝ 2
⎛
⎛
⎜ 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ ⎜ −
⎜
⎝
= ⎜
⎜ 2 ⋅ 2 + 4 ⋅ ⎛⎜ −
⎜
⎝
⎝
45. El sistema pot ser compatible sense ser la matriu A regular.
−1 ⎞
⎟
1 ⎟ =
2 ⎟⎠
Per exemple,
46. Per a aplicar el mètode de Gauss-Jordan, n'hi ha prou de dividir cada fila entre l'element corresponent:
⎛ 2 0 0
⎜
⎜ 0 5 0
⎜ 0 0 8
⎝
⎛
⎜
⎜
⎜ 1 0
→ ⎜ 0 1
⎜
⎜ 0 0
⎜
⎜
⎝
Calculem finalment (A t · A – 1)2:
⎛ 3
1 ⎞ ⎛ 3
1 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
−
−
(At ⋅ A−1)2 = ⎜ 2
⋅
2 ⎟ ⎜ 2
2 ⎟ =
⎜ 2
⎜
⎟
0 ⎠ ⎝ 2
0 ⎟⎠
⎝
⎛
2
⎜ ⎛ 3 ⎞ + ⎛ − 1 ⎞ ⋅ 2 3 ⋅ ⎛ − 1 ⎞ + ⎛ − 1 ⎞ ⋅ 0
⎜
⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜ ⎝ 2 ⎠ ⎜⎝ 2 ⎟⎠
2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
= ⎜
⎛ 1 ⎞
3
⎜
2 ⋅ ⎜ − ⎟ + 02
⎜ 2 ⋅ 2 + 0 ⋅ 2
⎝ 2 ⎠
⎝
⎛ 5
3 ⎞
⎜
⎟
−
= ⎜ 4
4 ⎟
⎜ 3 −1 ⎟
⎝
⎠
x + y = −2 ⎫⎪
⎬ és compatible indeterminat,
−2x − 2y = 4 ⎭⎪
⎛ 1 1 ⎞
⎟ és singular.
però ⎜
⎝ −2 −2 ⎠
1 ⎞⎟
1 ⎞
⎟ 1 ⋅ (−1) + 1 ⋅
2 ⎟
2 ⎠
⎟ =
1 ⎟
1 ⎞
⎟ 2 ⋅ (−1) + 4 ⋅
2 ⎟⎠
2 ⎠
⎛ 3
1 ⎞
⎜
⎟
−
= ⎜ 2
2 ⎟
⎜ 2
0 ⎟⎠
⎝
58
f (1, 3) → (2, 2)
⎛ 1 2 1 0 ⎞
⎜
⎟
⎝ 0 2 −1 1 ⎠
Calculem A t · A – 1:
At
f (2, 0) → (1, 1)
–1
44. Calculem les imatges d'aquests tres punts:
A−1
I




F1 → F1 – 2F2
0
–1
Totes les imatges es troben a la recta d'equació x = y.
A 
I

⎛ 1 2 1 0 ⎞
= ⎜
⎟
⎝ 1 4 0 1 ⎠
F2 → F2 – F1
–2
⎞
⎟
⎟
⎟ =
⎟
⎟
⎠
F1 →1/2 F1
F2 →1/5 F2
1 0 0 ⎞⎟
F3 →1/ 8 F3
→
0 1 0 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎟
0 0 1 ⎠
⎞
1
0 0 ⎟
⎟
2
0
⎟
1
0 ⎟
0 0
⎟
5
8
1 ⎟
⎟
0 0
8 ⎟⎠
La matriu inversa buscada és
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜⎜
⎝
En general, com que
1
2
0
0
0
1
5
0
⎞
0 ⎟
⎟
⎟
0 ⎟
⎟
1 ⎟
⎟
8 ⎟⎠ .
Bloc 1. ÀLGEBRA LINEAL > UNITAT 2. MATRIUS
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎜
⎞ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⋅ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎜
⎜⎜
⎝
d1 0  0
0 d2  0
   
0   dn
1
d1
0

0
⎞
0  0 ⎟
⎟
⎟
1
 0 ⎟
⎟ = I
d2
⎟
   ⎟
1 ⎟
 
⎟
dn ⎟⎠
,
1
d1
0

0
⎞
0 ⎟ ⎛ 2 1 ⎞
⎟
⎟ ⋅ ⎜
2
⎝ 0 1 ⎠
0 1 ⎟⎠
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
1
48. La matriu del primer terme de l'equació és singular i no podem recórrer a l'estratègia de multiplicar per la seva inversa.
la matriu inversa de D és
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜⎜
⎝
⎛ 1
⎛
⎞
⎜
⎜
0 ⎟ ⎛ 2 0 ⎞
⋅
⋅
Q
=
⎜
⎟
⎜ 2
⎜
⎟
⎜ 0 1 ⎟ ⎝ 0 1 ⎠
⎜
⎝
⎝
⎠
⎛
1
⎜ 1
Q = ⎜
2
⎜ 0 1
⎝
⎞
0  0 ⎟
⎟
⎟
1
 0 ⎟
⎟
d2
⎟
   ⎟
1 ⎟
 
⎟
dn ⎟⎠
Com que la matriu producte coincideix amb la primera fila,
deduïm directament la solució X = 1 0 .
(
)
Observem també que coincideix amb el quàdruple de la segona fila. Per tant, també és solució X = 0 4 .
(
)
Per a obtenir totes les solucions, resolem el sistema
12x1 + 3x 2 = 12 ⎫⎪
⎬ ,
8x1 + 2x 2 = 8 ⎪⎭
.
Si, en una matriu diagonal D, algun dels elements diagonals
és nul, el producte de D amb qualsevol matriu té una fila
nul·la i no pot ser, per tant, la matriu identitat. D'aquesta manera, D és singular.
(
)
obtenint X = λ 4 − 4λ . Les dues solucions anteriors es corresponen amb els valors λ = 1 i λ = 0 per al paràmetre.
Com a tercera solució serveix, per exemple, X =
( −1 8 ).
Quant a la segona equació, la matriu del primer terme és regular. Per tant, existeix una única solució.
5 EQUACIONS MATRICIALS
Pàgs. 67 i 68
⎛
⎞
47. Posant P = ⎜ a b ⎟ ,
⎝ c d ⎠
⎛ a b ⎞ ⎛ 2 0 ⎞ ⎛ 2 1 ⎞
⎜
⎟ · ⎜
⎟ = ⎜
⎟
⎝ c d ⎠ ⎝ 0 1 ⎠ ⎝ 0 1 ⎠
Aquesta condició es tradueix en els sistemes
2a = 2 ⎫⎪ i 2c = 0
⎬
b = 1 ⎪⎭
d =1
⎫⎪
⎬ .
⎭⎪
Per tant, l'única resposta possible és
⎛ 1 1 ⎞
P = ⎜
⎟ .
⎝ 0 1 ⎠
Per a resoldre la segona equació, multipliquem amb la matriu
inversa adequada.
⎛ 2 0 ⎞
⎟ :
Per tant, primer hem de buscar la matriu inversa de ⎜
⎝ 0 1 ⎠
⎛ 2 0
⎜⎜
⎝ 0 1
⎛
⎜ 1
→ ⎜
⎜ 0
⎝
1 0 ⎞⎟
F1 →1/2 F1
⎯⎯⎯⎯⎯
→
0 1 ⎟⎠
⎞
1
0 ⎟
0
⎟
2
1
0 1 ⎟⎠
Multipliquem tots dos termes amb la matriu inversa per
l'esquerra:
(
)
Si ens fixem que X = 1 0 resol l'equació, ja sabem que
serà l'única. Per a aplicar el mètode general, calculem la matriu inversa:
⎛ 12 8 1 0 ⎞
1
F2 → F2
⎛ 12 8 1 0 ⎞
⎜
⎟
F1 →F1 −12F2
3
→
⎜
⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜
1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
1
0
1
⎝ 3 1 0 1 ⎠
⎜
⎟
3 ⎠
3
⎝
⎛ 0 4 1 −4 ⎞
⎛
1
1 ⎞
1
F2 → F2
⎜
⎜ 1
⎟
⎟
0
F1 ↔F2
4
→ ⎜
→ ⎜
⎯
⎯⎯⎯⎯
→
1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯
1
3 ⎟
3
⎜ 1 3 0 3 ⎟
⎜ 0 4 1 −4 ⎟
⎝
⎝
⎠
⎠
⎛
⎞
⎛
1 2 ⎞
1
1
⎜ 1
⎟
⎜ 1 0 −
⎟
1
0
F 1→F1 − F2
⎜
⎜
12 3 ⎟
3 ⎟
3
3
⎯
⎯⎯⎯⎯⎯
⎯
→
→ ⎜
⎟
⎜
⎟
1
1
⎜⎜ 0 1
⎜⎜ 0 1
−1 ⎟⎟
−1 ⎟⎟
4
4
⎝
⎠
⎝
⎠
Per tant,
⎛ 12
X = 12 8 ⋅ ⎜
⎝ 3
⎛ −1 12
= 12 8 ⋅ ⎜
⎜ 1 4
⎝
(
(
)
)
(
= 10
−1
8 ⎞
⎟ =
1 ⎠
2 3 ⎞
⎟ =
−1 ⎟⎠
)
49. Si la matriu diagonal buscada és
⎛ d 0 0 ⎞
⎜ 1
⎟
D = ⎜ 0 d 2 0 ⎟ ,
⎜
⎟
⎝ 0 0 d 3 ⎠
el producte queda així:
59
⎝ 3 1 ⎠
⎝ 3 1 ⎠ ⎝ 3 1 ⎠
⎝ 6 1 ⎠
2
⎛ 1 0 ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ a b ⎞
⋅ ⎜ 1. ÀLGEBRA
⎟ = 2.
⎟ = ⎜ LINEAL
⎟ ⋅ ⎜ > UNITAT
⎜
⎟ Bloc
⎝ 3 1 ⎠ ⎝ c d ⎠ ⎝ 6 1 ⎠ ⎝ c d ⎠
⎛ a
⎞
b
= ⎜
⎟
6a
+
c
6b
+
d
⎝
⎠
⎛
⎜
= ⎜
⎜
⎝
⎛ 1 3 2 ⎞
⎜
⎟
D ⋅ ⎜ 3 9 6 ⎟ =
⎜ −2 −6 −4 ⎟
⎝
⎠
d1 0 0 ⎞ ⎛ 1 3 2
⎟ ⎜
0 d 2 0 ⎟ ⋅ ⎜ 3 9 6
⎟ ⎜
0 0 d 3 ⎠ ⎝ −2 −6 −4
⎞
⎟
⎟ =
⎟
⎠
⎛
1 3d1 2d1 ⎞
⎜
⎟
= ⎜ 3d 2 9d 2 6d 2 ⎟
⎜
⎟
⎝ −2d 3 −6d 3 −4d 3 ⎠
Igualant amb la matriu producte de l'enunciat, resulta d1 = 3,
1
1
d2 =
i d3 = −
.
12
6
L'única solució possible és, llavors,
⎛ 3 0
0
⎜
⎜ 0 1
0
D = ⎜
12
⎜
⎜ 0 0 − 1
⎜
6
⎝
0 1 0 ⎞
⎟
1
0 0 ⎟
⎟
4
⎟
1
0 0 ⎟⎟
3
⎠
La solució general ve donada per
⎛ 3 + 3λ + 2λ
⎞
−λ1
λ2
1
2
⎜
⎟
1
⎜
⎟
3λ
+
2λ
−
λ
λ
3
4
3
4
⎟
D = ⎜
12
⎜
⎟ .
1 ⎟
⎜
−λ 5
λ6 −
⎜ 3λ 5 + 2λ 6
6 ⎟⎠
⎝
50. Usarem les definicions de les operacions entre matrius.
⎛
⎞
Busquem una matriu X = ⎜ a b ⎟ que compleixi A 2 · X + B = 0.
⎝ c d ⎠
Substituint cada matriu per la seva expressió explícita:
2
⎛ 1 0 ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ −2 1 ⎞ ⎛ 0 0 ⎞
⎜
⎟ ⋅ ⎜
⎟ + ⎜
⎟ = ⎜
⎟
⎝ 3 1 ⎠ ⎝ c d ⎠ ⎝ −10 4 ⎠ ⎝ 0 0 ⎠
Si operem el membre de l'esquerra:
⎛ 1 0 ⎞2 ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞
⎜
⎟ = ⎜
⎟ ⋅ ⎜
⎟ = ⎜
⎟
⎝ 3 1 ⎠
⎝ 3 1 ⎠ ⎝ 3 1 ⎠ ⎝ 6 1 ⎠
⎛ 1 0 ⎞2 ⎛ a b ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ a b ⎞
⎟ = ⎜
⎟ ⋅ ⎜
⎟ =
⎜
⎟ ⋅ ⎜
⎝ 3 1 ⎠ ⎝ c d ⎠ ⎝ 6 1 ⎠ ⎝ c d ⎠
⎛ a
⎞
b
= ⎜
⎟
6a
+
c
6b
+
d
⎝
⎠
60
⎛ 1 0 ⎞2 ⎛ a b ⎞ ⎛ −2 1 ⎞
⎟ + ⎜
⎟ =
⎜
⎟ ⎜
⎝ 3 1 ⎠ ⎝ c d ⎠ ⎝ −10 4 ⎠
⎛
⎞
a−2
b +1
= ⎜
⎟
⎝ 6a + c − 10 6b + d + 4 ⎠
Hem de resoldre, doncs:
⎛
⎞ ⎛ 0 0 ⎞
a−2
b +1
⎜
⎟ = ⎜
⎟
⎝ 6a + c − 10 6b + d + 4 ⎠ ⎝ 0 0 ⎠
Per definició d'igualtat entre matrius:
a–2=0
b+1=0
6a + c – 10 = 0
6b + d + 4 = 0
Els sistemes tenen per solució:
⎞
⎟
⎟
⎟ .
⎟
⎟
⎟
⎠
Si admetem com a solució matrius D que no siguin diagonals,
les files de la solució s'obtenen a partir de tres sistemes
d'equacions lineals que són compatibles indeterminats. Mostrem un exemple d'una altra solució possible:
⎛
⎜
⎜
D = ⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
MATRIUS
⎛ 1 0 ⎞2 ⎛ a b ⎞ ⎛ −2 1 ⎞
⎟ + ⎜
⎟ =
⎜
⎟ ⎜
⎝ 3 1 ⎠ ⎝ c d ⎠ ⎝ −10 4 ⎠
⎛
⎞
a−2
b +1
= ⎜
⎟
⎝ 6a + c − 10 6b + d + 4 ⎠
a = 2 b = –1 c = –2 d = 2
La matriu buscada és, doncs:
⎛ a b ⎞ ⎛ 2 −1 ⎞
X = ⎜
⎟ = ⎜
⎟
⎝ c d ⎠ ⎝ −2 2 ⎠
51. Calculem la inversa de la matriu A .
Com que és regular:
⎛ 3 5 1 0 ⎞
⎛ 0 −1 1 −3 ⎞
F1 →F1 − 3F2
→ ⎜
⎜
⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎟ →
⎝ 1 2 0 1 ⎠
⎝ 1 2 0 1 ⎠
⎛ 0 −1 1 −3 ⎞
F2 →F2 + 2F1
F1 ↔F2
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→ ⎜
→
⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯
⎝ 1 0 2 −5 ⎠
⎛ 1 0 2 −5 ⎞
⎛ 1 0 2 −5 ⎞
F2 → −F2
→ ⎜
→ ⎜
⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯
⎟
⎝ 0 −1 1 −3 ⎠
⎝ 0 1 −1 3 ⎠
Això ens permet multiplicar per la seva inversa tots dos termes
de l'equació:
A−1 ⋅ A ⋅ X = A−1 ⋅ B ⋅ A ⇒ X = A−1 ⋅ B ⋅ A
⎛ 2 −5 ⎞ ⎛
X = ⎜
⎟ ⋅ ⎜
⎝ −1 3 ⎠ ⎝
⎛ 1 −2 ⎞ ⎛
= ⎜
⎟ ⋅ ⎜
⎝ 1 −2 ⎠ ⎝
8 −16 ⎞ ⎛ 3 5 ⎞
⎟ ⋅ ⎜
⎟ =
3 −6 ⎠ ⎝ 1 2 ⎠
3 5 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞
⎟ = ⎜
⎟
1 2 ⎠ ⎝ 1 1 ⎠
52. Usarem les propietats de les operacions amb matrius.
Si A és invertible, podem multiplicar la igualtat A · X ⋅ A = I
per la inversa de A , A – 1, per tots dos costats:
−1 A ⋅ X ⋅ A ⋅ A−1 = A −1 ⋅ I ⋅ A −1
A

 ⋅


 

I
I
X = A – 1 ⋅ A – 1 = (A – 1)2
Per tant, per a calcular X n'hi ha prou de calcular la inversa de
A, amb el mètode de Gauss-Jordan per exemple, i multiplicarla per ella mateixa:
A


 
I 

⎛ 1 2 0 1 0 0 ⎞
⎜
⎟
⎜ 0 0 1 0 1 0 ⎟
⎜ 0 1 0 0 0 1 ⎟
⎝
⎠
Bloc 1. ÀLGEBRA LINEAL > UNITAT 2. MATRIUS
⎛ 1 2 0 1 0 0 ⎞
⎟
⎜ 0 1 0 0 0 1 ⎟
⎜ 0 0 1 0 1 0 ⎟
⎝
⎠
F2 ↔ F3 ⎜
F1 → F1 – 2F2
⎛ 1 0 0
1 0 −2 ⎞⎟
⎜
0 0 1 ⎟
⎜ 0 1 0
⎜ 0 0 1
0
1 0 ⎟⎠
⎝


 
I
en el qual una de les dues equacions és redundant. Es tracta
d'una equació lineal compatible indeterminada, amb solució:
⎛ x ⎞ ⎛ 1 − 2λ ⎞
X = ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜
⎟
⎝ y ⎠ ⎝ −1 + 3λ ⎠
La segona equació es redueix a
⎛ 3 2 ⎞
⎛ −1 0 7 ⎞
⎟
⎜
⎟ ⋅ X = ⎜
⎝ −2 0 14 ⎠
⎝ 6 4 ⎠
A−1
Així, X = A – 1 · A – 1 =
⎛ 1 0 −2 ⎞ ⎛ 1 0 −2 ⎞ ⎛ 1 −2 −2 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎟
= ⎜ 0 0 1 ⎟ ⋅ ⎜ 0 0 1 ⎟ = ⎜ 0 1 0 ⎟
⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 1 ⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠ ⎝
⎠
53. Posem que les dimensions de la matriu M són m × k.
a) Perquè el producte M · A estigui definit, ha de ser k = n. El
resultat tindrà dimensions m × 1, però sabem que coincideix amb B, les dimensions de la qual són n × 1. En conseqüència, m = n = k i M és una matriu quadrada d'ordre n.
b) La matriu M–1 (de l'enunciat es dedueix que existeix) és
quadrada d'ordre n. Perquè existeixi el producte M · C, C
ha de tenir n files. Com aquest producte és una única columna, també C conté una única columna. En resum, les
dimensions de C són n × 1.
c) En les matrius de l'enunciat, tenim n = 2. Així, M és quadrada d'ordre 2:
⎛ x y ⎞
⎟⎟
M = ⎜⎜
⎝ z t ⎠
La condició M · A = B es tradueix en aquestes dues equacions:
i les seves solucions han de ser matrius de dimensions 2 × 3.
Plantejant una solució de la forma
⎛ a b c ⎞
X = ⎜
⎟ ,
⎝ d e f ⎠
arribem a les equacions següents:
3a + 2d = –1, 3b + 2i = 0, 3c + 2f = 7
Les resolem i n'agrupem les solucions i obtenim:
⎛ −1 − 2λ −2λ 7 − 2λ
1
2
3
X = ⎜⎜
1
+
3λ
3λ
−7
+
3λ
1
2
3
⎝
55. A la primera equació substituïm AX per Y i aïllem la Y.
Y + BY = C
→
54. La matriu X ha de tenir dimensions 2 × 1. Simplificant
⎛ 3 2 ⎞
⎛ 1 ⎞
⎜
⎟ ⋅ X = ⎜ ⎟
6
4
⎝
⎠
⎝ 2 ⎠
La matriu que multiplica la columna incògnita és singular, de
manera que que no podem multiplicar per la seva inversa. En
lloc d'això, resolem el sistema
3x + 2y = 1 ⎫⎪
⎬ ,
6x + 4y = 2 ⎭⎪
→
La matriu inversa serà:
−1
(I + B ) = −
1
4
⎛ 0 2 ⎞
⋅ ⎜
⎟
⎝ 2 2 ⎠
Ara calculem la matriu I:
Y =−
1
4
⎛ 0 2 ⎞ ⎛ 6 7 ⎞
⋅ ⎜
⎟ ⋅ ⎜
⎟ =
⎝ 2 2 ⎠ ⎝ −2 −5 ⎠
⎛ 1 2, 5
Y = ⎜⎜
⎝ −2 −1
−
1
4
⎛ −4 −10 ⎞
⋅ ⎜
⎟
4 ⎠
⎝ 8
⎞
⎟⎟
⎠
Calculem X aïllant-la de la segona equació:
AX = Y
→
X = A−1Y
Trobem la inversa de A:
l'equació, obtenim
⎛ ⎛ 8 2 ⎞
⎞
⎛ 1 ⎞
⎜⎜ ⎜
⎟ − 5I ⎟⎟ ⋅ X = ⎜ ⎟
6
9
⎠
⎝ 2 ⎠
⎝ ⎝
⎠
(I + B)Y = C
⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 1 −2 ⎞ ⎛ 2 −2 ⎞
I + B = ⎜
⎟ + ⎜
⎟ = ⎜
⎟
⎝ 0 1 ⎠ ⎝ −2 −1 ⎠ ⎝ −2 0 ⎠
Combinant les quatre equacions, obtenim un sistema compatible determinat. Hi ha, llavors, una única solució per a la
matriu M:
⎛ 4 3 ⎞
M = ⎜
⎟
⎝ 1 1 ⎠
→
Y = (I + B)−1C
Calculem la matriu I + B:
x − y = 1 ⎫⎪
⎬
z − t = 0 ⎭⎪
Per la seva banda, la condició M –1 · C = B implica C = M · B i,
per tant,
⎪⎧ x = 4
⎨
⎪⎩ z = 1
⎞
⎟
⎟
⎠
A−1 =
⎛ 0 −2 ⎞
⎟
⋅ ⎜⎜
2 ⎝ 1 1 ⎟⎠
1
Finalment calculem X:
X =
⎛ 4 2 ⎞
⎞
⎟
1 ⎜
⎟⎟ =
⋅ ⎜
3 ⎟
−1
2
⎠
⎜
2 ⎟⎠
⎝
⎞
2
1
⎟
−0, 5 −0, 75 ⎟⎠
⎛ 0 −2 ⎞ ⎛ 1 2, 5
⋅ ⎜
⎟ ⋅ ⎜⎜
2 ⎝ 1 1 ⎠ ⎝ −2 −1
1
⎛
X = ⎜⎜
⎝
61
Bloc 1. ÀLGEBRA LINEAL > UNITAT 2. MATRIUS
6 ALGUNS USOS DE LES MATRIUS
Pàg. 68
56. a)Al graf de la figura podem associar-li una matriu A en la
qual cada element indica el nombre de connexions entre
dos elements que formen un sistema de radiocomunicació.
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
0 2 ⎞
⎟
·
1
0 ⎟⎟
2
⎠
0 2 ⎞
⎟
·
1
0 ⎟⎟
2
⎠
⎛
⎛ 200 ⎞
⎜
⎜
⎟ = ⎜
⎝ 0 ⎠1 ⎜
⎝
⎛
⎛ 0 ⎞
⎜
=
⎜
⎟
⎜
100
⎝
⎠2 ⎜
⎝
⎞
⎟ ⎛ 0
⎟ = ⎜
⎟ ⎝ 100
⎠
⎞
0 · 0 + 2 · 100
⎟ ⎛ 200
= ⎜
1
· 0 + 0 · 100 ⎟⎟ ⎝ 0
2
⎠
0 · 200 + 2 · 0
1
· 200 + 0 · 0
2
⎞
⎟
⎠2
⎞
⎟
⎠3
Nombre de connexions
La població alterna entre els dos estats següents:
A → A (0) A → B (1) A → C (1) A → D (1)
⇒
B → A (1) B → B (0) B → C (0) B → D (1)
⎛ 200 ⎞
⎛ 0 ⎞
⎛ 200 ⎞
⎜
⎟ → ⎜
⎟ → ⎜
⎟ → 
⎝ 0 ⎠
⎝ 100 ⎠
⎝ 0 ⎠
C → A (1) C → B (0) C → C (0) C → D (0)
⎛
⎜
⇒ A = ⎜
⎜
⎜
⎝
ABC
0 1 1
1 0 0
1 0 0
1 1 0
D
1
1
0
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
A
B
C
D
SÍNTESI
59. El producte A · B es redueix a un nombre, ja que la dimensió
b) El producte de la matriu associada al graf per ella mateixa
és tal que cada component aij ens indica el nombre de
connexions que hi ha entre l'antena corresponent a la fila i
i la corresponent a la columna j passant per una altra antena, que és el que ens demanen:
⎛
⎜
A2 = ⎜
⎜
⎜
⎝
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
1
0
0
⎞ ⎛
⎟ ⎜
⎟ ⋅ ⎜
⎟ ⎜
⎟ ⎜
⎠ ⎝
ABC D
⎛ 3 1 0 1
⎜
1 2 1 1
= ⎜
⎜ 0 1 1 1
⎜ 1 1 1 2
⎝
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
0
Pàg. 68
1
1
0
0
de la matriu producte ve donada per tantes files com té la
primera i tantes columnes com tingui la segona. Així doncs:
A ⋅ B = 1 ⋅ 5 + 2 ⋅ 3 + 4 ⋅ 0 = 11
Per la mateixa raó, B · A serà una matriu de dimensió 3 × 3,
l'expressió de la qual és:
⎞
⎟
⎟ =
⎟
⎟
⎠
⎛ 5 10 20 ⎞
⎜
⎟
B ⋅ A = ⎜ 3 6 12 ⎟
⎜ 0 0 0 ⎟
⎝
⎠
60. Abans d'operar, simplificarem les expressions usant les pro⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
pietats de les operacions amb matrius:
A
B
C
D
a) A = M + N − (2M − 3N) =
= M + N − 2M + 3N =
= (M − 2M) + (N + 3N) = −M + 4N =
57. Trobem la matriu de demanda final, B, a partir de la relació
T ⋅ C + B = C:
⎛ −1 0 −4 ⎞
⎜
⎟
= ⎜ −2 −4 3 ⎟ +
⎜ −2 −1 −6 ⎟
⎝
⎠
⎛
0 −4 12 ⎞ ⎛ −1 −4 8 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
−8
12 0 ⎟ = ⎜ −10
8 3 ⎟
⎜
⎜ −20 −12 8 ⎟ ⎜ −22 −13 2 ⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
T ⋅C + B =C ⇔B =C −T ⋅C =
⎛ 150 ⎞ ⎛ 0,4 0,2
⎜
⎟ ⎜
= ⎜ 250 ⎟ − ⎜ 0,2 0,3
⎜ 290 ⎟ ⎜
⎝
⎠ ⎝ 0,2 0,4
⎛ 150 ⎞ ⎛ 139
⎜
⎟ ⎜
= ⎜ 250 ⎟ − ⎜ 134
⎜ 290 ⎟ ⎜ 217
⎝
⎠ ⎝
⎞ ⎛
⎟ ⎜ 150
⎟ ⎜ 250
⎟ ⎜ 290
⎠ ⎝
⎞ ⎛ 11 ⎞
⎟ ⎜
⎟
⎟ = ⎜ 116 ⎟
⎟ ⎜ 73 ⎟
⎠ ⎝
⎠
0,1
0,1
0,3
⎞
⎟
⎟ =
⎟
⎠
b) B = M ⋅ N − (M + I) ⋅ (N − I) =
= M ⋅ N − (M ⋅ (N − I) + I⋅
(N
−
I)) =


N −I
= M ⋅ N − (M ⋅ N − M ⋅ I + N − I) =
⋅I −N +I =
=M
⋅N
− 
M ⋅
N +M



0

M
= 0 + (M − N + I) = M − N + I = (M − N) + I =
58. a) La població evolucionaria d'aquesta manera al llarg del
temps:
⎛ 0 2 ⎞
⎛ 0 · 700 + 2 · 7350
⎜
⎜
⎟ ⎛ 700 ⎞
=
·
⎜
⎟
1
⎜
⎜ 1 · 700 + 0 · 7350
⎟
0
350
⎝
⎠
⎜ 2
⎜ 2
⎟
1
⎝
⎝
⎠
⎞
⎟ ⎛ 700 ⎞
⎟
⎟ = ⎜
⎟ ⎝ 350 ⎠2
⎠
Podem veure que la seva distribució per edats és constant
al llarg del temps.
b) La població evoluciona de la manera següent en aquest
cas:
62
⎡⎛ 1 0 4 ⎞ ⎛ 0 −1 3 ⎞⎤
⎢⎜
⎟ ⎜
⎟⎥
= ⎢⎜ 2 4 −3 ⎟ − ⎜ −2 3 0 ⎟⎥ +
⎜
⎟
⎜
⎢⎣⎝ 2 1 6 ⎠ ⎝ −5 −3 2 ⎟⎠⎥⎦
⎛
⎜
+ ⎜
⎜
⎝
⎛
⎜
= ⎜
⎜
⎝
1 0 0 ⎞ ⎛ 1 1 1 ⎞
⎟ ⎜
⎟
0 1 0 ⎟ = ⎜ 4 1 −3 ⎟ +
⎟
⎜
0 0 1 ⎠ ⎝ 7 4 4 ⎟⎠
2 1 1 ⎞
⎟
4 2 −3 ⎟
7 4 5 ⎟⎠
⎛ 1 0 0 ⎞
⎜
⎟
⎜ 0 1 0 ⎟ =
⎜ 0 0 1 ⎟
⎝
⎠
Bloc 1. ÀLGEBRA LINEAL > UNITAT 2. MATRIUS
61. Aplicant el mètode de Gauss-Jordan, la inversa de la matriu
Així doncs, la matriu inversa a la donada a l'enunciat és:
de l'enunciat és:
⎛ 3 −2 1 1 0 0 ⎞
1
F1 → F1
⎜
⎟
3
⎯
⎯⎯⎯⎯
→
4
1
0
0
1
0
⎜
⎟
⎜ −1 2 3 0 0 1 ⎟
⎝
⎠
⎛
⎞
1
⎜ 1 −2 1
0 0 ⎟
F2 →F2 −4F1
⎜
⎟
3
3 3
F3 →F3 +F1
→ ⎜ 4 1 0
0 1 0 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
⎜⎜
⎟⎟
0 0 1 ⎠
⎝ −1 2 3
⎛
⎞
1
⎜ 1 −2 1
0 0 ⎟
⎜
⎟
3
3
3
3
F2 →
F2
⎜
⎟
−4
11 −4
11
⎜
⎟
1 0 ⎯⎯⎯⎯⎯→
→ 0
⎜
⎟
3
3
3
⎜
⎟
1
4 10
⎜ 0
⎟
0
1
⎜
⎟
3
3
3
⎝
⎠
⎛
⎞
1
⎜ 1 −2 1
0 0 ⎟
⎜
⎟
3
3
3
4
⎜
⎟
F3 →F3 − F2
−4 3
−4
3
0 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
→ ⎜ 0 1
⎜
⎟
11 11
11
⎜
⎟
1
4 10
⎜ 0
0 1 ⎟⎟
⎜
3
3
3
⎝
⎠
⎛
⎞
1
⎜ 1 −2 1
0 0 ⎟
⎜
⎟
3
3
3
11
F3 →
F3
⎜
⎟
−4 3
−4
42
0 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
→ ⎜ 0 1
⎜
⎟
11 11
11
⎜
⎟
9 −4
42
⎜ 0 0
1 ⎟⎟
⎜
11 11
11
⎝
⎠
⎛
⎞
1
⎜ 1 −2 1
0
0 ⎟
⎜
⎟
3
3
3
4
⎜
⎟
F2 →F2 −
F3
−4 3
−4
11
0 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
→ ⎜ 0 1
⎜
⎟
11 11
11
⎜ 0 0
3 −2 11 ⎟
1
⎜⎜
⎟
14 21 42 ⎟⎠
⎝
⎛
⎜
⎜
⎜
→ ⎜
⎜
⎜
⎜⎜
⎝
⎛
⎜
⎜
⎜
→ ⎜
⎜
⎜
⎜⎜
⎝
−2
1
3
0 1
0 0
3
0
1
1
1
−2
0
3
0 1 0
0 0 1
⎛
⎜
⎜
⎜
→ ⎜
⎜
⎜
⎜⎜
⎝
⎞
0 ⎟
⎟
3
1
F1 →F1 − F3
−2 5
2 ⎟
3
⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
7 21 21 ⎟
3 −2 11 ⎟
⎟
14 21 42 ⎟⎠
11 2 −11 ⎞
⎟
42 63 126 ⎟
2
F1 →F2 + F1
−2 5
2 ⎟
3
⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
7 21 21 ⎟
3 −2 11 ⎟
⎟
14 21 42 ⎟⎠
1
4 −1 ⎞
⎟
14 21 42 ⎟
1 0 0
−2 5
2 ⎟
⎟
0 1 0
0 0 1 7 21 21 ⎟
3 −2 11 ⎟
⎟
14 21 42 ⎟⎠
1
0
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜⎜
⎝
−1 ⎞
⎟
14 21 42 ⎟
−2 5
2 ⎟
⎟
7 21 21 ⎟
3 −2 11 ⎟
⎟
14 21 42 ⎟⎠
1
4
62. Per a veure que (A t )–1 = (A – 1)t, calcularem (A t )–1 i (A – 1)t, i
veurem que són iguals.
• Càlcul de( A t )–1:
⎛ 2 1 ⎞
⎛ 2 0 ⎞
La transposició de A = ⎜
⎟.
⎟ es At = ⎜
1
2
⎝ 0 2 ⎠
⎝
⎠
Trobem (A t )–1 usant el mètode de Gauss-Jordan:
1
F1 →
⎛ 2 1 1 0
⎜⎜
⎝ 0 2 0 1
2
1
⎛
1 1
⎜ 1
0
⎜
2 2
⎜
1
⎜⎜ 0 1 0
2
⎝
F1
⎞ F2 → F2
2
⎟⎟
⎠
⎛
⎞
1 1
⎜ 1
0 ⎟ F1 → F1 1 F2
⎜
⎟
2 2
2
⎜
1 ⎟
⎜⎜ 0 1 0
⎟⎟
2 ⎠
⎝
Per tant (At )−1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟⎟
⎠
⎛
1
1 ⎞
⎜ 1 0
⎟
−
⎜
2
4 ⎟
⎜
1 ⎟
⎜⎜ 0 1 0
⎟
2 ⎟⎠
⎝
⎛ 1
1 ⎞
⎜
⎟
−
⎜ 2
4 ⎟ .
= ⎜
1 ⎟
⎜⎜ 0
⎟
2 ⎟⎠
⎝
• Càlcul de( A – 1)t:
Trobem A – 1 a partir de la definició:
⎛ a b ⎞
A−1 = ⎜
⎟ ha de complir:
⎝ c d ⎠
⎛ a b ⎞ ⎛ 2 0 ⎞
A−1 ⋅ A = ⎜
⎟ ⋅ ⎜
⎟ =
⎝ c d ⎠ ⎝ 1 2 ⎠
⎛ a ⋅ 2 + b ⋅ 1 a ⋅ 0 + b ⋅ 2 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞
= ⎜
⎟ = ⎜
⎟ ,
⎝ c ⋅ 2 + d ⋅ 1 c ⋅ 0 + d ⋅ 2 ⎠ ⎝ 0 1 ⎠
o sigui:
2a + b = 1
2c + d = 0
2b = 0
2d = 1
La solució d'aquest sistema és:
a=
Per tant: A−1
1
2
⎛ 1
⎜
⎜ 2
= ⎜
1
⎜⎜ −
⎝ 4
; b = 0; c = −
1
4
;d =
1
2
⎞
0 ⎟
⎟
.
1 ⎟
⎟⎟
2 ⎠
⎛ 1
1 ⎞
⎜
⎟
−
⎜ 2
4 ⎟
.
La transposició de A– 1 és (A−1)t = ⎜
1 ⎟
⎜⎜ 0
⎟⎟
2 ⎠
⎝
63
Bloc 1. ÀLGEBRA LINEAL > UNITAT 2. MATRIUS
Finalment, comprovem que
(At )−1
x1 = 2 ⎫
⎪
2x1 + x 2 = 5 ⎬
⎪
x 2 = 1 ⎭
⎛ 1
1 ⎞
⎜
⎟
−
⎜ 2
4 ⎟
= ⎜
= (A−1)t
1 ⎟
⎜⎜ 0
⎟
2 ⎟⎠
⎝
La seva única solució és (2,1).
Nota: La igualtat (A t )–1 = (A – 1)t és certa per a tota matriu invertible.
5.
63. Si la matriu C fos regular, sí que podríem garantir-ho, en virtut
⎛ 2 3 −1 3 0 ⎞
⎜
⎟
⎜ 1 2 1 −2 1 ⎟
⎜ 2 1 −7 17 −4 ⎟
⎝
⎠
del raonament següent:
A ⋅ C = B ⋅ C ⇒ A ⋅ C ⋅ C −1 = B ⋅ C ⋅ C −1 ⇒ A = B
No obstant això, C no té perquè tenir inversa (ni tan sols té per
què ser quadrada). Aportem exemples que mostren que no
pot deduir-se que A = B.
Intercanviem la primera fila per la segona i fem successives
transformacions elementals:
⎛ 1 2 1 −2 1
⎜
⎜ 2 3 −1 3 0
⎜ 2 1 −7 17 −4
⎝
⎛ 1 2
⎜
→ ⎜ 0 −1
⎜ 0 −3
⎝
⎛ 1 2 ⎞
⎛ 4 1 ⎞
⎛ 0 0 ⎞
A = ⎜
⎟ , B = ⎜
⎟ , C = ⎜
⎟
4
3
2
3
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝ 0 0 ⎠
⎛ 1 ⎞
A = 7 3 , B = 7 14 , C = ⎜ ⎟
⎝ 0 ⎠
(
Avaluació
1.
)
(
)
(pàg. 70)
A
B
C
D
⎞
⎟ 2007
⎟ 2008
⎠
2.
Sí, ja que la matriu identitat és una matriu diagonal i totes les
matrius diagonals són triangulars superiors i inferiors.
3.
Sigui A una matriu de dimensions m × n.
Hem obtingut una matriu escalonada en la qual tenim 2 files
no nul·les. Per tant rang(A) = 2.
Intercanviant files de la matriu B obtenim:
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜⎜
⎝
a) Sempre es pot efectuar el producte A t · A, perquè les dimensions són compatibles. El resultat és una matriu quadrada d'ordre n.
b) Utilitzant la notació A t · A = (gij), l'element gij és el producte
de la fila i de At amb la columna j de A. En altres paraules,
s'obté com el producte escalar de les columnes i i j de A.
c) Segons l'apartat anterior, gij sempre coincideix amb gj. Per
tant, A t· A és sempre una matriu simètrica. També, directament:
(At
4.
t
6.
t
⋅ A) = A t ⋅ (A t ) = A t ⋅ A
⎞
⎟
⎟ equival al sistema següent:
⎟
⎠
1 0 ⎞
⎟
3 −4 ⎟
0 1 ⎟
3 −1 ⎟⎟
3 2 ⎟⎠
Si tenim una equació AX = B i A és invertible, podem multiplicar els dos membres de la igualtat per la inversa de A, A – 1,
però com el producte de matrius no és commutatiu, hem de
fer-ho pel mateix costat.
En aquest cas, és útil multiplicar per A– 1 per l'esquerra:
−1 A ⋅ X = A −1 ⋅ B, X = A −1 ⋅ B
A⋅ X =B ⇒ A

 ⋅

⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ 1 ⎞ ⎜ 1 ⎟
⎛ ⎞ ⎜ 0 ⎟
f ⎜ ⎟ = ⎜ 2 ⎟ , f ⎜ 0 ⎟ = ⎜ 1 ⎟
⎝ 0 ⎠ ⎜ 0 ⎟
⎝ 1 ⎠ ⎜ 1 ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎞ ⎛⎜ 2
⎟ = ⎜ 5
⎟ ⎜
⎠ ⎝ 1
1
0
0
2
4
Les tres primeres files formen una matriu escalonada, en la
qual cap d'elles és nul·la, per tant rang(B) = 3, que no pot ser
major perquè no hi ha més columnes.
Les imatges són les següents:
⎛ x
L'equació f ⎜ 1
⎜ x 2
⎝
⎞
F2 →F2 −2F1
⎟
F3 → F3 − 2F1
⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
⎟
⎠
1 −2 1 ⎞
⎟
−3 7 −2 ⎟
−9 21 −6 ⎟⎠
⎛ 1 2 1 −2 1 ⎞
F3 → F3 − 3F2
⎜
⎟
⎜ 0 −1 −3 7 −2 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
⎜ 0 −3 −9 21 −6 ⎟
⎝
⎠
⎛ 1 2 1 −2 1 ⎞
⎜
⎟
→ ⎜ 0 −1 −3 7 −2 ⎟
⎜ 0 0 0 0 0 ⎟
⎝
⎠
El valor total d'enviaments a cada país en cadascun dels anys
citats vindran disposats a la matriu que resulta en fer el producte de la matriu Y per X.
⎛ 462 025 1245 430 649165 564 455
Y ⋅ X = ⎜
⎜ 480 550 1296 088 675 406 587 024
⎝
La tercera fila de la matriu A es pot obtenir com a suma de les
dues primeres, per tant es pot suprimir sense que alteri el
rang.
I
L'error és, doncs, el pas de A · X = B a A – 1 · A ⋅ X = B · A – 1.
7.
⎛ a b ⎞
Sigui la matriu buscada M = ⎜
⎟.
⎝ c d ⎠
Si imposem que compleixi la igualtat:
64
Bloc 1. ÀLGEBRA LINEAL > UNITAT 2. MATRIUS
⎛ 4 −6 ⎞ ⎛ 1 2 ⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ a + 2c b + 2d ⎞
⎜
⎟ = ⎜
⎟ ⋅ ⎜
⎟ = ⎜
⎟
⎝ 2 1 ⎠ ⎝ 2 5 ⎠ ⎝ c d ⎠ ⎝ 2a + 5c 2b + 5d ⎠
F2 →
1
⎛ 1 0 0 1
⎜
⎜ 0 1 0 0
⎜
⎜
⎝ 0 0 3 −1
F2
2
Per la definició d'igualtat de matrius:
4 = a + 2c
– 6 = b + 2d
2 = 2a + 5c
1 = 2b + 5d
La solució d'aquests sistemes és:
F3 →
a = 16 c = – 6 b = – 32 d = 13
1
3
⎛ 1 0 0 1 0 0 ⎞
⎜
⎟
⎜ 0 1 0 0 1 0 ⎟
⎜
⎟
2
⎜
⎟
1
1
⎜ 0 0 1 −
⎟
0
⎜
3 ⎟⎠
3
⎝


 
F3
Per tant, la matriu M és:
⎛ 16 −32 ⎞
M = ⎜
⎟
⎝ −6 13 ⎠
8.
I
⎞
⎟
⎟ ⇔
⎟
⎠
⎛
⎞
⎛ 4 3 0 ⎞ ⎜ 5 ⎟ ⎛ 2 ⎞
⇔ 3A = ⎜
⎟ ⎜ 2 ⎟ − ⎜
⎟ ⇔
⎝ −2 0 3 ⎠ ⎜ −1 ⎟ ⎝ −1 ⎠
⎝
⎠
⎡
⎤
⎛ 5 ⎞
⎟ ⎛ 2 ⎞⎥
1 ⎢⎛ 4 3 0 ⎞ ⎜
⇔A=
⎟ ⎜ 2 ⎟ − ⎜
⎟⎥ =
⎢⎜
3 ⎢⎝ −2 0 3 ⎠ ⎜ −1 ⎟ ⎝ −1 ⎠⎥
⎝
⎠
⎣
⎦
=
9.
1 ⎛ 24 ⎞ ⎛ 8 ⎞
⎟
⎜
⎟ = ⎜
3 ⎝ −12 ⎠ ⎜⎝ −4 ⎟⎠
⎛ 1
⎜
⎜ 0
X = ⎜
⎜
⎜ − 1
⎜ 3
⎝
0
1
2
0
0 ⎞
⎟ ⎡
0 ⎟ ⎢
⎟ ⋅ ⎢ 3
⎟
1 ⎟ ⎢⎣
3 ⎟⎠
⎛ 1
⎜
⎜ 0
= ⎜
⎜
⎜ − 1
⎜ 3
⎝
2
0
⎛ 0 −1 −2 ⎞⎤
⎜
⎟⎥
+ ⎜ −2 −3 0 ⎟⎥ =
⎜ −4 −1 −8 ⎟⎥
⎝
⎠⎦
⎛ 1 0 0 ⎞
⎜
⎟
A−1 ⋅ ⎜ 0 2 0 ⎟ ⋅ X =
⎜ 1 0 3 ⎟
⎝
⎠

I
⎛ 1 1 1 ⎞ ⎛ 0 −1 −2 ⎞⎤
⎜
⎟ ⎜
⎟⎥
⎜ 2 3 0 ⎟ + ⎜ −2 −3 0 ⎟⎥
⎜ 3 4 5 ⎟ ⎜ −4 −1 −8 ⎟⎥
⎝
⎠ ⎝
⎠⎦
Calculem la matriu A – 1 pel mètode de Gauss-Jordan:
A


 
I 

⎛ 1 0 0 1 0 0 ⎞
⎜
⎟
⎜ 0 2 0 0 1 0 ⎟
⎜ 1 0 3 0 0 1 ⎟
⎝
⎠
F3 → F3 – F1
⎛ 1 0 0 1 0 0 ⎞
⎜
⎟
⎜ 0 2 0 0 1 0 ⎟
⎜ 0 0 3 −1 0 1 ⎟
⎝
⎠
⎛ 1
⎜
⎜ 0
⎜
⎜
⎜ − 1
⎜ 3
⎝
⎛
⎜
= ⎜
⎜
⎜
⎝
igualtat que volem demostrar per la matriu A– 1per l'esquerra,
obtenim la igualtat equivalent:
⎛ 1 1 1 ⎞ ⎛ 0 −1 −2 ⎞⎤
⎜
⎟ ⎜
⎟⎥
⎜ 2 3 0 ⎟ + ⎜ −2 −3 0 ⎟⎥ =
⎜ 3 4 5 ⎟ ⎜ −4 −1 −8 ⎟⎥
⎝
⎠ ⎝
⎠⎦
0 ⎞
⎟ ⎡⎛
3 3 3
0 ⎟ ⎢⎜
⎟ ⎢⎜ 6 9 0
⎟
1 ⎟ ⎢⎣⎜⎝ 9 12 15
3 ⎟⎠
0
1
⎛ 1 0 0 ⎞
⎜
⎟
Si A – 1 és la matriu inversa de A = ⎜ 0 2 0 ⎟, multiplicant la
⎜ 1 0 3 ⎟
⎝
⎠
⎡
⎢
= A−1 ⎢ 3
⎢
⎣
A−1
Operant podem obtenir X:
Hem de trobar la matriu A tal que:
⎛
⎛ 2 ⎞ ⎛ 4 3 0 ⎞ ⎜ 5
3 ⋅ A + ⎜
⎟ = ⎜
⎟ ⎜ 2
⎝ −1 ⎠ ⎝ −2 0 3 ⎠ ⎜ −1
⎝
0 0 ⎞
⎟
1
0 ⎟
⎟
2
⎟
0 1 ⎠
0
1
2
0
⎞
⎟
⎟ +
⎟
⎠
0 ⎞
⎟ ⎛
3 2 1 ⎞
⎟
0 ⎟ ⎜
⎟ ⋅ ⎜ 4 6 0 ⎟ =
⎟ ⎜
1 ⎟ ⎝ 5 11 7 ⎟⎠
3 ⎟⎠
3 2 1 ⎞
⎟
2 3 0 ⎟
⎟
2
3 2 ⎟
3
⎠
10. En el primer cas, el producte
⎛ 1 3 ⎞ ⎛ x y ⎞ ⎛ 2 3 ⎞
⎟⎟ = ⎜
⎟
⎜
⎟ ⋅ ⎜⎜
⎝ 2 6 ⎠ ⎝ z t ⎠ ⎝ 1 2 ⎠
condueix als sistemes
x + 3z = 2
2x + 6z = 1
⎫⎪
y + 3t = 3 ⎫⎪
⎬ i
⎬ ,
⎭⎪ 2y + 6t = 2 ⎪⎭
que són incompatibles. No hi ha, per tant, solució per a la
primera equació.
En el cas de la segona, posem
⎛ 1 3 ⎞ ⎛ x y
⎜
⎟ ⋅ ⎜⎜
⎝ 2 6 ⎠ ⎝ z t
⎞ ⎛ 1 2 ⎞
⎟⎟ = ⎜
⎟
⎠ ⎝ 2 4 ⎠
i plantegem els sistemes
x + 3z = 1
2x + 6z = 2
⎫⎪
y + 3t = 2 ⎫⎪
⎬ i
⎬ ,
⎭⎪ 2y + 6t = 4 ⎪⎭
65
Bloc 1. ÀLGEBRA LINEAL > UNITAT 2. MATRIUS
Zona +
les solucions dels quals són:
⎧⎪ x = 1 − 3λ
⎪⎧ y = 2 − 3λ 2
1
⎨
, ⎨
z
=
λ
1
⎪⎩ t = λ 2
⎩⎪
En ser els sistemes compatibles, sí que existeix solució per a
la segona equació. Un exemple és
⎛ 1 2 ⎞
X = ⎜
⎟
⎝ 0 0 ⎠
66
—— Màquines i treball
És interessant dirigir el debat cap al futur del món laboral que
els alumnes hauran d'afrontar i la incorporació, cada vegada
més gran, de màquines i robots a aquest món. Què està a la
nostra mà fer per a augmentar les nostres possibilitats de no
veure'ns desbancats per les màquines durant la nostra vida
professional?
—— Matrius al cinema
i la solució general,
⎛ 1 − 3λ 2 − 3λ
1
2
X = ⎜⎜
λ2
⎝ λ1
(pàg. 71)
⎞
⎟ .
⎟
⎠
A partir de la pàgina 6 del PDF disponible al segon enllaç es pot
consultar la resolució del problema plantejat a la pel·lícula. Les
primeres dues parts són del nivell del curs; a partir d'aquí, els
alumnes poden comprendre què es fa, encara que el nivell sigui més alt.
BLOC 1 . àlgebra lineal
Sistemes d'equacions
i determinants
3#
En context
(pàg. 73)
−1 −2 3
1 4 2 +1
5 −1 2
−2
a i b> Respostes suggerides:
Una permutació és la variació de l'ordre dels elements
d'un conjunt. Per a un conjunt de n elements diferents, el
nombre d'ordenacions possibles és igual a n! = n · (n − 1)
··· 2 · 1. Totes les permutacions es poden obtenir mitjançant l'aplicació d'un nombre determinat de transposicions. El signe de la permutació és positiu si aquest
nombre de transposicions és parell, i negatiu, si és imparell.
3 3
−1
1 1 2 −
5 −1 2
3 −2
−1
1 1 4 =
5 −1 −1
−0
= 1 · 47 – 2 · (– 89) + 1 · 2 – 0 = 227
Una aplicació multilineal és una funció lineal respecte de
diverses variables diferents, totes les que conformen el
conjunt origen de la funció.
b) Desenvolupant per la primera columna:
Una aplicació multilineal és alternada si s'anul·la cada vegada que dues variables diferents de les que recorren el
conjunt origen són iguals.
|B| =
Un cos, en matemàtiques, és una estructura algèbrica en
què les operacions d'addició i de multiplicació es poden
realitzar sense sortir del conjunt i, compleixen amb les
propietats associativa, commutativa i distributiva del producte respecte de la suma, a més d'existir elements neutres i inversos per a totes dues operacions.
5
2 −2
0
0
3
4 −6
0 2 1 3
−7 −4 0 −1
=
0 4 −6
=5
2 −2
Un espai vectorial és una estructura algèbrica els elements
de la qual s'anomenen vectors. Es caracteritza per disposar d'una operació interna (suma) i una operació externa
(producte) que satisfan determinades condicions.
−0
21 3 −
−4 0 −1
3
2 −2 3
0 4 −6 −
2 1 3 +0
−4 0 −1
−4
2 −2
3
Una forma, en matemàtiques, és una aplicació d'un espai
vectorial sobre un cos, els elements del qual s'anomenen
escalars.
−(−7)
0
4 −6 =
2
1 3
0 −1
c> Resposta suggerida:
Un determinant es pot entendre com una aplicació que
pren n vectors n-dimensionals (un per cada columna de la
matriu) i els aplica sobre un cos, els nombres reals. Aquesta forma és multilineal, ja que és lineal per a cada vector, i
és alternada, ja que s'anul·la si dos vectors són iguals.
Les permutacions ajuden a condensar en una expressió
resumida la forma multilineal alternada que és un determinant, a partir de les components dels vectors d'entrada a
l'aplicació.
Problemes resolts
1.
2.
a) 1 1 0 0
1 0 0 1
0 1 1 0
1
−1
2 1 0
3 −2 3
1 1 4 2
5 −1 −1 2
1 10 0
0 −1 0 1
0 11 0
=
F3 → F3 + F2
F4 → F4 + F2
10 0
0 −1 0 1
0
0
=
0 10 1
F2 → F2 – F1
1
3 −2 3
=1
=
0 1 0 1
(pàg. 91 i 92)
a) Desenvolupant per la primera fila:
|A| =
= 5 · (– 64) – 0 + 0 + 7 · 36 = – 68
01 1
0 0 2
= 1 ⋅ (−1) ⋅ 1 ⋅ 2 = −2
1 4 2 −
−1 −1 2
67
Bloc 1. Àlgebra lineal > UNItat 3. SISTEMES D'EQUACIONS i DETERMINANTS
b)
3.
1
3
1
−2
2
3
4
−7
4
12
4
−8
2
3
C2 ↔C 4
⎯⎯⎯⎯⎯
→
−4
−7
1
3
→
1
−2
2
3
−4
−7
4
12
4
−8
F2 →F2 −3F1
2
F3 →F3 −F1
3
F4 →F3 +2F1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
4
−7
1
0
→
0
0
2
−3
−6
−3
4
0
0
0
2
F3 →F3 −2F1
−3
F4 →F4 −F2
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
2
−3
1
0
→
0
0
2
−3
0
0
4
0
0
0
2
−3
= 1·( −3 )·0·0 = 0
8
0
El menor
≥ 2.
−1 −1
1 2
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
Adj (A t ) = ⎜ −
⎜
⎜
⎜⎜
⎝
1 2
1
a
2 2
1 2
A −1
1
=
=
1
Els valors de a que anul·len els orlats anteriors són:
a 2 – 3a = 0, a (a – 3) = 0 ⇒
⇒ a = 0 o a = 3, – 2a 2 = 0 ⇒ a = 0
Com que n'hi ha prou que un dels orlats sigui no nul perquè el
rang de la matriu no sigui 2 sinó 3:
a = 0 ⇒ rang (A) = 2
a ≠ 0 ⇒ rang (A) = 3
Calculem el determinant de A:
A =
1 3 1
2 2 1
2 1 2
1
3
1
−3
5
2
5
2
5
A
:
−1 ⎞
⎟
5 ⎟
−1 ⎟
⎟
0
5 ⎟
4 ⎟
−1
⎟
5 ⎟⎠
1
2 1 1
−1 2 2 = −10
3 4 2
⎛ 2 −1 3 ⎞
⎜
⎟
B t = ⎜ 1 2 4 ⎟
⎜ 1 2 2 ⎟
⎝
⎠
= −5
—— Escrivim la matriu d'adjunts de Bt:
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
Adj (B t ) = ⎜ −
⎜
⎜
⎜⎜
⎝
2
2
⎛ 1 2 2 ⎞
⎜
⎟
A t = ⎜ 3 2 1 ⎟
⎜ 1 1 2 ⎟
⎝
⎠
—— Escrivim la matriu d'adjunts de At:
4
2
1 2 ⎞⎟
1 2 ⎟
⎟
2 −1 ⎟
−
1 2 ⎟
⎟
2 −1 ⎟
⎟
1 2 ⎟⎠
1 4
1 2
−
−1 3
2 2
2 3
1 2
−1 3
2 4
−
2 3
1 4
Aleshores:
⎛ −4 2 0 ⎞
⎜
⎟
Adj (B t ) = ⎜ 8
1 −5 ⎟
⎜ −10 −5 5 ⎟
⎝
⎠
—— Finalment, multipliquem Adj (Bt ) per
—— Escrivim la matriu transposada de A:
68
1 2
3 1
−
Escrivim la matriu transposada de B:
a – a – 2 – (– 1 + 2a 2 – 1) = – 2a 2
4.
1
1
−
2 ⎞⎟
1 ⎟
⎟
2 ⎟
1 ⎟
⎟
2 ⎟
⎟
2 ⎟⎠
—— Repetim el procediment per a B:
−1 −1
a
⎛
⎜
⎜
⎜
= ⎜
⎜
⎜
⎜⎜
⎝
B =
1
1 2
3
1
1 2
1 2
2 2
2 1
= 1 + a 2 – 2 – (– 1 + 2a + a) = a 2 – 3a =
a
1
1
2
—— Finalment, multipliquem Adj (At ) per
Calculem tots els orlats del menor anterior:
−a
3
1
−
⎛ 3 −5 1 ⎞
⎜
⎟
0 1 ⎟
Adj (A t ) = ⎜ −2
⎜ −2 −5 −4 ⎟
⎝
⎠
Com que la matriu A té dimensió 3 × 4, rang (A ) = 3 ⇔
⇔ algun orlat del menor anterior és no nul.
−1 −1
1
2
Aleshores:
= −1 ≠ 0 és d'ordre 2, aleshores rang (A )
1
2
1
B −1
⎛
⎜
⎜
⎜
= ⎜
⎜
⎜
⎜⎜
⎝
1
B
⎞
0 ⎟
⎟
5
5
−4 −1 1 ⎟
⎟
5 10 2 ⎟
1 −1 ⎟
1
⎟
2 2 ⎟⎠
2
−1
:
Bloc 1. àlgebra lineal > UNItat 3. SISTEMES D'EQUACIONS i DETERMINANTS
Exercicis i problemes
3 0 1 = 4 ⋅ 0 ⋅ 4 + 3 ⋅ (−1) ⋅ 2 +
1 DETERMINANTS
5.
c) 4 1 2
(pàg. 93 a 98)
2 −1 4
Pàg. 93 i 94
Escrivim la matriu ampliada associada al sistema i apliquem
Gauss:
⎛ 3 −1 1 ⎞
⎛ 3 −1 1 ⎞
3F2 −F1
⎟⎟ ⎯⎯⎯⎯
⎟⎟
⎜⎜
⎯
→ ⎜⎜
⎝ 1 1 11 ⎠
⎝ 0 4 32 ⎠
+ 2 · 1 · 1 – [2 · 0 · 2 + 1 · (– 1) · 4 +
+ 4 · 1 · 3] = – 12
1 2
0
—— Escrivim les equacions i solucionem:
4y = 32 ⎯⎯⎯
→y =
32
4
3x − y = 1 ⎯⎯⎯⎯
→ 3x − 8 = 1 ⎯⎯⎯
→x =
6.
3
=3
−5 −2 −1
9. |F | =
7
9 −4 = (−5) ⋅ 9 ⋅ (−5) +
2
7 −5
|B | = |– 3| = – 3;
+ 7 · 7 · (– 1) + 2 · (– 2) · (– 4) – [(– 1) · 9 · 2 +
3 4
|C| =
= 3 ⋅ 3 − 4 ⋅ (−2) = 17;
−2 3
+ (– 4) · 7 · (– 5) + (– 5) · (– 2) · 7] = 0;
2 0
|D| =
= 2 ⋅ (−5) − 0 ⋅ 1 = −10;
1 −5
|G| = 0
a)
b)
c)
d)
e)
f)
a)
1
−5
= (−5) ⋅ (−3) − 1 ⋅ 2 = 13;
2 −3
= 1 ⋅ 2 − 0 ⋅ (−3) = 2
−3 2
1 −2
= (−4) ⋅ (−2) − 2 ⋅ 1 = 6
2 −1
= 2 ⋅ 3 − (−1) ⋅ 6 = 12
3
−4 3
= −4 ⋅ 1 − 3 ⋅ 2 = −10
21
2
1
5 −2 −3 = 3 ⋅ (−2) ⋅ 4 + 5 ⋅ 4 ⋅ 1 +
4
4
+ (– 2) · 2 · (– 3) – [1 · (– 2) · (– 2) +
+ (– 3) · 4 · 3 + 4 · 2 · 5] = 0
−1 2
b)
0
0 1 −2 = −1 ⋅ 1 ⋅ 3 + 0 ⋅ 5 ⋅ 0 +
3 5
0
9
+ 0 · (– 7) · (– 4) – [2 · 2 · 0 + (– 4) · 0 · 5 +
+ 9 · (– 7) · 0] = 90;
|H | = −1
5
3 −2 = 3 ⋅ 3 ⋅ 4 + (−1) ⋅ (−2) ⋅
4
· 5 + 5 · (– 1) · (– 2) – [5 · 3 · 5 +
0 −4
|I| =
1
2
2 −1 = 0 ⋅ 2 ⋅ 6 + 1 ⋅ 3 ⋅ 2 +
−2
3
6
+ (– 2) · (– 4) · (– 1) – [2 · 2 · (– 2) +
0 5
= 0 ⋅ 4 − 5 ⋅ (−11) = 55
−11 4
−2
0
+ (– 2) · (– 2) · 3 + 4 · (– 1) · (– 1)] = – 35;
5 2
= 5 ⋅ 3 − 2 ⋅ (−7) = 29
−7 3
6
2
2 −4 = 5 ⋅ 2 ⋅ 9 + 0 ⋅ 0 ⋅ 2 +
5 −2
2
−4
5 −7
3 −1
10
3
8.
1
+ 1 · 2 · (– 1)] = 7
9
|A | = |5| = 5;
|E | =
7.
4
+ 0 · 2 · (– 2) – [0 · (– 3) · 0 + 4 · (– 2) · 1 +
=8
y =8
0
d) −1 −3 −2 = 1 ⋅ (−3) ⋅ 1 + (−1) ⋅ 4 ⋅ 0 +
3
+ 3 · 2 · (– 2) – [0 · 1 · 3 + (– 2) · 5 · (– 1) +
+ 3 · 2 · 0] = – 25
+ (– 1) · 3 · 0 + 6 · (– 4) · 1] = 30
10. És la matriu d'ordre 3 obtinguda eliminant la fila i la columna
de la qual es vol determinar la matriu menor:
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
5
−1
2
5
−2
3
1
−4
1
−2
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
5
−1
2
5
−2
3
1
−4
1
−2
3
−1
3
−1
0
1
6
2
⎞
⎛ −1 3 1 ⎞
⎟
⎜
⎟
⎟ ⎯⎯⎯
→ ⎜ 2 1 6 ⎟
⎟
⎜ 5 −4 2 ⎟
⎟
⎝
⎠
⎠
0
1
6
2
⎞
⎛ −2 1 0 ⎞
⎟
⎜
⎟
⎟ ⎯⎯⎯
→ ⎜ 3 −2 1 ⎟
⎟
⎜ 1 3 6 ⎟
⎟
⎝
⎠
⎠
11. M 31 = 4 −3 = −8 − (−9) = 1
3 −2
M12 =
6 −2
= 24 − (−10) = 34
5 4
69
Bloc 1. àlgebra lineal > UNItat 3. SISTEMES D'EQUACIONS i DETERMINANTS
5 −2 1
x =
12. M 34 = −1 3 −2 = −15 + 20 + 4 − 15 − 40 + 2 = −44
5 −4 −1
M 22
y =
5 1 0
= 2 3 6 = 30 + 30 − 0 − 0 + 30 − 4 = 86
5 −1 2
5 4 3
18. a)
3 −2 1
A11 = (−1)1+1 0 2 0 = 6 + 0 + 0 + 2 − 0 − 0 = 8
−1 0 1
b)
c)
3 · 11 − 1 · 1
3 · 1 − (−1) · 1
1
0
12
32
=
=8
4
−y x
3y 2x
y −x
= −3xy − 24xy + 0 − 36xy − 2xy − 0 = −65xy
c)
= −a 3 − 2a 4 = −a 3 (1 + 2a)
2abc 4a 2c 3
b 2c 2a
a 4a 2 a
2a 4a 2 a
a 4a 2 −a
= 4a 2bc 3 − 4a 2bc 3 = 0
= −4a 4 + 4a 4 + 8a 4 − 4a 4 − 4a 4 + 8a 4 = 8a 4
d)
15. Utilitzem la propietat B = kA ⇒ B = k n A . Per a aquest cas
tenim:
−2A = 32 ⎯⎯⎯
→(−2)n | A |= 32
x
y
− x
y
x
y
x
y
−x
= −x 3 − y 2 x + xy 2 + x 3 − xy 2 + xy 2 = 0
19. a) Desenvolupem per la primera fila:
Substituint |A| = –1 tenim:
(−2)n (−1) = 32 ⎯⎯⎯
→(−2)n = −32 = (−2)5
n=5
16. Escalonem el sistema pel mètode de Gauss:
⎛ −1 −2 −5λ ⎞
⎛ −1 −2
−5λ
F2 −2F1
⎟⎟ ⎯⎯⎯⎯
⎜⎜
⎯
→ ⎜⎜
−2
1
−5
0
5
10λ
−5
⎠
⎝
⎝
1
1
1
1
2
2 −1
1
3
2 −2
1
1 −1
⎞
⎟⎟
⎠
=1
−1
1
3 −2
1 +1 3
−1
17. Les fórmules genèriques de resolució d'un sistema
d'equacions són:
b1a22 − a12b2
a11a22 − a21a12
y =
a11·b2 − a21·b1
a11·a22 − a21·a12
La matriu ampliada associada al sistema de l'activitat 5 és:
⎛ 3 −1 1 ⎞
⎟⎟
Aʹ′ = ⎜⎜
⎝ 1 1 11 ⎠
Substituint els coeficients a les fórmules genèriques, tenim:
2 1
2 1 −
1 −1 −1
2
2 −1
3
2 −2 =
1 −1
x = 5λ − 4λ + 2 ⎯⎯⎯
→x = λ + 2
4 −1
2
4 −1
5y = 10λ − 5 ⎯⎯⎯
→ y = 2λ − 1
→ −x − 2(2λ − 1) = −5λ
−x − 2y = −5λ ⎯⎯⎯⎯⎯
1
1 −
2 −1
1
y =2λ−1
2 −1
2 −2
−1
4 −1
Escrivim les equacions i solucionem:
70
=3
4
b)
= 3xy − 2xy = xy
a a
2a 3 −a 2
x =
12
=
a 0 1
2a 2 a = 2a + 0 + 2a − 2a − a 2 − 0 = 2a − a 2
a
1 1
2 0 1
3x 2y
x y
3 · 1 − (−1) · 1
Obtenim el mateix resultat que en l'activitat 5, sent aquestes
fórmules genèriques un mètode alternatiu de trobar les solucions del sistema.
13. A32 = (−1)3+2 5 −2 1 = −(−10 + 8 + 0 + 12 + 0 − 20) = 10
14. a)
1 · 1 − (−1) · 11
4
= 1 · 1 – 1 · 6 + 1 · 1 – 1 · (– 11) = 7
b) Desenvolupem per la primera fila:
5
−3
3 2 0
2 −1 −3
1 −1 −1
3
1 2
4
2
2 −1 −3
=5
−3 −1 −3
−3
−1 −1
2
−3
2
3 −
4
2 −3
1 −1
3 +2
1 −1
3 −
1 2
4
1 2
4
Bloc 1. àlgebra lineal > UNItat 3. SISTEMES D'EQUACIONS i DETERMINANTS
2 −1
−3
−0
t −z
0
0
z−y z−y
0
=
y −x y −x y −x
x
x
x
1 −1 −1 =
1 2
2
= 5 · (– 30) – 3 · 22 + 2 · 19 – 0 = – 178
c) Utilitzarem el mètode de Gauss:
2
5 −6
2 3
2
5 2
−4
2
2
3 −1 4
=
4 −2 3
9
0
2
8
=
2
3 10
0
1 −1 −1
2
=
0
F3 → F3 +
F4 → F4 − F1
F4 → F4 +
=
27
F2
F2
=2
2
5
−4
2
0
3
−6
2
4
0
−1
2
5
−2
0
4
3
2
3
0
0
0
0
0
2
−2 2 −1 −3 3
27
3 3 2 4 4 =
−4 4 −3 −5 5
−
−1
27
9
2
2
17
0
0
0
3
0 −
11
2
17
5 5
F3
0
4
2 2
6 6
F2 → F2 + 2F1
F3 → F3 – 3F1
F4 → F4 + 4F1
F5 → F5 – 5F1
−7
=
1 1 0
0 4 −1
27
381
= 0 0
459
F →F –F
F2 → F2 – F4
F3 → F3 – F4
1
1
4
F1 → F1 – F3
F2 → F2 – F3
0
0
=
0
x
F1 → F1 – F2
0 0
2 2
1 7
2 −2 −2 =
0 8 −3
t −x z−x y −x 0
x
x
z−x z−x y −x 0
=
=
x
y −x y −x y −x 0
x
x
x
x x
t −y z−y
0
z−y z−y
0
=
y −x y −x y −x
x
x
x
5 2
4 −2 3
b) Apliquem Gauss per a simplificar:
=
4
158
2
= 2 · 127 = 254
27
41
3
−4
Aquest determinant 4 × 4 és el mateix que en l'apartat c de
l'exercici anterior, per tant tenim:
3
2
−7
2 3 −1 4
5 −6 2 3
2
158
3
y
y
y
x
0
0
0
0
2
9
0
z
z
y
x
4
3
2
3
0
2
17
⎛ 27 ⎞ 17 ⎛ 381 ⎞
= 2 ⋅ ⎜ −
⋅ ⎜ −
⎟ ⋅
⎟ = 127
⎝ 2 ⎠ 3 ⎝ 459 ⎠
d) t
z
y
x
−1
2
5
−2
0
2
F4 → F4 +
0 −
27
2
3
−6
2
4
0
27
0 −
2
16
4
−1
0
0
2
5
−4
2
0
−7
F1
2
F3 → F3 + 2F1
3
0 −
5
no nul. Podem escriure:
4
27
F2 → F2 −
= x · (y – x) · (z – y) · (t – z)
20. a) Seleccionem l'última fila perquè només hi ha un element
3 −1
0 −
0
0
=
0
x
3 13
4 −4 −4
F4 → F4 – 2F2
1 1 0
0 4 −1
= 0 0
2 −2 −2 =
0 0 −1
0 0
2 2
1 7
1 −1
4 −4 −4
F4 → F4 +
1
F3
2
F5 → F5 − 2F3
1 1 0
0 4 −1
= 0 0
2 2
1 7
2 −2 −2 = 0
0 0
0
0 −2
0 0
0
0
0
D7
71
Bloc 1. àlgebra lineal > UNItat 3. SISTEMES D'EQUACIONS i DETERMINANTS
3
PROPIETATS DELS
Pàg. 94 a 96
DETERMINANTS
1
2
3
B =3
2 −2
21. Es podria resoldre sense utilitzar cap propietat però és més
lent. Aplicant la propietat “D1: El determinant d'una matriu i el
de la seva transposada coincideixen.”, trobem la solució directa. El valor que busquem és y = 6.
= −6
→
b)
24. a)
1 2 3
1 8 3
D =4 2 1 2 = 2 4 2 = F
1 2 3
1 8 3
=
−1 −1
72
4 −1
1 1 1
2 −1 1
2 −2 1
1 −1
=
a +b −b b +b −b c +b −b
b
a
c
c
b
b
4 −1
D3
⎯⎯⎯⎯
→
=
a +b b +b b +c
−b −b −b
−b −b −b
+ b a b + 0 0 c −b
b
a
c
c
b
b
c b b
c b b
La igualtat es compleix.
25. Apliquem la propietat D2:
= −6
2−1 2−1 2−1
D3
⎯⎯⎯⎯
→
2
3
2
3
4
1
a +b b +b c +b
−b −b
−b
D3
+ b a c + b − b ⎯⎯⎯⎯
→
b
a
c
c
b
b
c b
b
D3
3 0 0
23
21
61
D1
D2
+ 0 + 0 ⎯⎯⎯→ 3
⎯⎯⎯→
0 2 3 =3·
12
32
92
0 1 2
A = 6
=
a +b b +b c +b
−b −b −b
+ b a c
b
a
c
c
b
b
c b b
⎯⎯⎯⎯
→
b) Calculem el determinant per recurrència:
1
2
3
4 −1
−1 −1 −1
2 2 2
2 3 2 + 2 3 2
3 4 1
3 4 1
a b c
b a c
c b b
→
−1 1 1 1
−2 2 −1 1
−3 2 −2 1
1 1 1
2 −1 1
2 −2 1
c)
2 1 3
−2 −1 −3
4 1 3
C =−
2 4 2 =− 1 4 2 = 1 4 2 = B
2
2 3 4
2 3 4
4 3 4
1 2a 2c
1
a c
a b
D2
D1
⎯⎯⎯→ ·2
⎯⎯⎯→
b d
b
d
c d
2
2
8 −2
La igualtat no es compleix.
intentem igualar els que tenen alguns termes repetits, per
veure quins són iguals:
1 2 1
1 2 3
E = 2 1 2 = 2 1 2 = A
3 2 3
1 2 3
2 −2
=
−1 1 0
2 0 1
2 3 2 + 2 3 2
3 4 1
3 4 1
1 1 1
2 3 2
3 4 1
→
23. Observem els determinants, aplicant les propietats D1 o D2,
1
8 2
1 1 1
2 −1 1
2 −2 1
La igualtat es compleix.
5a a a
5 1 1
1 1 1
C = −5 1 2 = a −5 1 2 = 5a −1 1 2
10 2 1
10 2 1
2 2 1
Ara, els podem comparar sense la necessitat de calcular el
seu determinant: | A | < | B | < |C |.
= −3
1
2
3
Els dos determinants són iguals | A |=| B |
2 −1 0 +1 1+ 0
1 1 1
D3
⎯⎯⎯⎯
→
26. a) 2 3 2 =
2
3
2
3
4
1
3 4 1
a a a
a 3a a
1 11
A = −1 3 2 = 3 −1 1 2 = 3a −1 1 2
2 2 1
2 6 1
2 2 1
a 2a 2a
1 2 2
1 1 1
B = −1 2 4 = a −1 2 4 = 4a −1 1 2
2 4 2
2 4 2
2 2 1
1
2
3
1 −1
22. Es podria calcular cada determinant en funció de a, però
aplicant les propietats és més ràpid. Concretament, apliquem la propietat D2: “Si es multipliquen per un nombre
tots els elements d'una línia d'una matriu, el seu determinant queda multiplicat per aquest nombre.” Per a escriure
els determinants com a múltiples d'un altre determinant
igual.
1 1 −1
2 −1 − 1
2 −2 −1
27. Apliquem la propietat D4 en els tres apartats:
a) 4 = A = C1 C2 C 3 =
= − C2 C1 C 3 = C 3 C1 C2 = B
F1
F2
b) 4 = A = F2 = − F1 = C = −4
F3
F3
F1
F2
F2
c) 4 = A = F2 = − F1 = F3 =
F3
F3
F1
F1
F3
= − F1 = F3 = D = 4
F2
F2
Bloc 1. àlgebra lineal > UNItat 3. SISTEMES D'EQUACIONS i DETERMINANTS
Un altre mètode més àgil és comptar el nombre de moviments, si són parells es manté el signe del determinant, si són
imparells s'inverteix el signe.
28. a) No veiem cap simetria ni cap patró que ens permeti veure
que el determinant de A serà nul o que prendrà un únic
valor. Ho desenvolupem:
a b c
A = c b b = abc + b 3 + c 2a − c 2b − a 2b
b a c
No pren un valor fix.
b) La primera i la segona fila són iguals. D'acord amb les propietats dels determinants, | B | = 0.
c) La tercera columna és proporcional a la primera. D'acord
amb les propietats dels determinants, | C | = 0.
29. a)
3 1 0
3 1 2
3 1 2
D3
D4
→ 2 4 1 + 2 4 1 ⎯⎯⎯⎯
→
2 4 2 ⎯⎯⎯⎯
1 5 2
1 5 1
1 5 3
2 4 1
3 2 1
→− 3 1 0 − 2 1 4
1 5 2
1 1 5
a b c
c b b
b b c
a b−a c
→ c b −c b
b b −b c
a b−a
→ c b −c
b 0
−1 1 −1
c)
1 1 −1
−3 −4 −1
D2
⎯⎯⎯→
d)
5 2 1
4 3 0
3 4 1
→
→
2 4 6
3 1 5
5 10 15
D4
1
2
−1
2
1 2 3
D2
⎯⎯⎯→ 2 3 1 5
5 10 15
1 2 3
→ 2·5 3 1 5
1 2 3
D2
⎯⎯⎯→
2 4 6
D 5:F1 =F2
⎯⎯⎯⎯⎯
→ 3 1 5
5 10 15
=0
d)
1
0
1
a
0
0
1
0
1
1
⎯⎯⎯→ −a
0
0
−a
−a
0
0
D2
1
0
1
a
0
0
1
0
1
1
0
0
D 5:C =C
1
4
⎯⎯⎯⎯⎯
→=0
e)
D3
⎯⎯⎯⎯
→
1
3
1
2 4y
2
3x 12 3y
4
4 −4
1
x
D5
⎯⎯⎯⎯
→
−1 −1 1
1 −1 1
−3 −1 −4
→
−1 1 1
1 1 1
−3 1 −4
5 2 6−5
D3
= 4 3 4 − 4 ⎯⎯⎯⎯
→
3 4 4−3
6
4 +0
4
2 2 3
D2
⎯⎯⎯→ 0 3 4 ⎯⎯⎯→
1 2 1
2 2 3
D 4:F2 F1
→
0 3 4 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2 4 2
0 −3 2 −2
0 3 4
D2
2 2 3 ⎯⎯⎯→ 2 2 3
2 4 2
2 4 2
D2
⎯⎯⎯→
y
4y 2
4
y
4 −4
1 x
4
D 5:F =F
2
4
⎯⎯⎯⎯⎯
→=0
y
31. a)
a 0
= a · 0+b · 0 = 0
b 0
b)
−2 1 0
2 −1 0
5 4 0
=
= −2 · (−1) · 0 + 5 · 1 · 0 + 0 · 2 · 4 −
− [5 · (−1) · 0 + 0 · 2 · 1 − 2 · 4 · 0] = 0
c)
x t y
y z t
0 0 0
= abc + b 3 +bc 2 + b 2c + b 2a + c 2b ≠ 0
D1
4
1 2
1 x
1 4
→3
+0
⎯⎯⎯⎯
→−
=0
c)
5 2 6
5 2 5
D5
→
4 3 4 − 4 3 4 ⎯⎯⎯⎯
3 4 4
3 4 3
5 2
→ 4 3
3 4
a b c
e) c b b
b b c
2 0 1
f)
2 3 2
3 4 1
→
c
b
c
a a c
+ c c b
b b c
5 2 10
D 6:C 3 =2C1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→ 0 3 0
3 4 6
5 2 10
0 3 0
3 4 6
1
1
0
0
a b+a−a c
c b +c −c b
b b +b −b c
=
−2 1 −1
−2 1 −1
D 6:F1 =−F2
⎯
→ 2 −1 1 = 0
2 −1 1 ⎯⎯⎯⎯⎯
5 4 1
5 4 1
b)
=
⎛ 2 4 1
3 2 1 ⎞⎟
⎜
= − ⎜ 3 1 0 + 2 1 4 ⎟
⎜ 1 5 2
1 1 5 ⎟⎠
⎝
b)
30. a)
= xz · 0 + 0 · tt + yy · 0 − 0 · zy − xt · 0 − yt · 0 = 0
d)
a b 0 2
a b 0 3
= 0 · M13 +0 · M23 + 0 · M 33 + 0 · M 43 = 0
c a 0 b
b 2 0 c
73
Bloc 1. àlgebra lineal > UNITAT 3 SISTEMES D'EQUACIONS I DETERMINANTS
e)
5 2 2y
2 3x 12
0 0
0
3 2x 4
2
3y
0
x
e)
= 0 · M 31 + 0 · M 32 + 0 · M 33 + 0 · M 34 = 0
32. a) C1 + C2 = C3. Aleshores el determinant és nul aplicant la
propietat D8: “Si una de les línies d'una matriu és combinació lineal d'altres línies paral·leles, el seu determinant és
igual a zero.”
b) No hi ha cap línia nul·la, paral·lela o proporcional. Tampoc
hi ha cap combinació lineal que ens permeti escriure una
línia com a combinació d'unes altres, el determinant no és
nul.
c)
1
C 3 + C 4 = C2 . Aleshores el determinant és nul aplicant
2
amb clau la propietat D8
1
0
3
4
2
1
2
2
3
1
−1
2
0
−1
2
−7
D9
f) La tercera fila és nul·la, aplicant D7 el determinant és nul
34. En tots els apartats apliquem D9: “Si a una línia d'una matriu
se li suma una combinació lineal d'altres línies paral·leles, el
seu determinant no varia”.
a)
→ −3 C1 C2 C 3 = −3 · 2 = −6
b) Aplicant D9 veiem que | B | = 2, ja que cada columna de B
és una columna de la matriu de la qual coneixem el determinant més una combinació lineal d'altres columnes.
36. a) Apliquem la propietat | AB | = | A |·| B |. Calculem el determinant de B :
0
0
B =
0
1
b) No podem escriure cap línia com ella mateixa més una
combinació lineal d'altres files o columnes. No es compleix
la igualtat.
c)
a b c
c b b
b b c
d) a a c
c b b
b c a
74
F3
3 ⎯
⎯⎯⎯⎯⎯
→
F2 =F2 +
a
c+
b
F =F +F +F
3
3
1
2
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
b
b
3
0
0
1
0
1
0
0
0
0
0 0 1
1
= 1 · 0 1 0 = −1
0
1 0 0
0
AB = A · B = 2 · (−1) = −2
b) Apliquem la propietat kA = k n A que es deriva de D2,
tenim:
3A = 34 A = 34 · 2 = 81 · 2 = 162
c) 2F1 + F2
2F1 + F2
−F2
−F2
D4
D9
⎯⎯⎯⎯
→−
⎯⎯⎯⎯
→−
3F4
F3 + F1
F3 + F1
3F4
F1
F2
→ −2 · 3 · (−1)
= 6 A = 6 · 2 = 12
F3
F4
37. a) a bc a −1
1 1 1
b ca b −1 =
⋅
⋅
a b c
−1
c ab c
3 1 2
1 1 2
C1 =C1 +2C2
→ 8 3 2
2 3 2 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
14 5 3
4 5 3
b+
b
3
b+
a 2 abc 1
b 2 bca 1 =
c 2 cab 1
F1 → aF1
F2 → bF2
F3 → cF3
D2
a2 1 1
=
⋅ abc b 2 1 1 = 0
abc
c2 1 1
1
c
b
D3
→ 3C1 −C2 C 3 + C2 ⎯⎯⎯⎯
→ 3C1 −C2 C 3 ⎯⎯⎯⎯
→
b) La segona fila és nul·la, aplicant D7 el determinant és nul.
e) F4 = 2F2. Aleshores el determinant és nul aplicant la propietat D6.
c
3
c
a
a
c
c
b
b
a +b +c a +b +c a +b +c
0
−1
3
−7
D4
33. a) No hi ha cap línia nul·la (D7), paral·lela (D5) o proporcio-
d) C2 = 3C4. Aleshores el determinant és nul aplicant la propietat D6.
3
1
4
2
→ − −C2 3C1 C 3 + C2 ⎯⎯⎯⎯
→
e) 2F5 – F4 = F1. Aleshores el determinant és nul aplicant la
propietat D8.
c) C2 + C3 = C4. Aleshores el determinant és nul aplicant la
propietat D8.
2
1
5
2
D4
35. a) A = −C2 C 3 + C2 3C1 ⎯⎯⎯
⎯
→
d) F1 + F2 + F3 = F4. Aleshores el determinant és nul aplicant
la propietat D8.
nal (D6). Tampoc hi ha cap combinació lineal que ens
permeti escriure una línia com a combinació d'altres (D8),
aleshores el determinant no és nul.
1
0
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
5
4
F3 =F3 +2F1 −F2
D6
b) a + b 1 c
1+ a +b +c 1 c
b +c 1 a = 1+ a +b +c 1 a =
1+ a +b +c 1 b
a +c 1 b
C1 → C1 + C2 + C3
D2
2F1
−F2
D2
⎯⎯⎯→
F3
3F4
BloC 1. àlgebra lineal > UNITAT 3 SISTEMES D'EQUACIONS I DETERMINANTS
11c
= (1 + a + b + c) 1 1 a = 0
11b
D6
38. a) d a g
d e f
a b c
e b h = a b c = − d e f = −k
f c i
g h i
g h i
D1
D4
b) a + b a −c
a a −c
d + e d −f
= d d −f
g + h g −i
g g −i
+
D3
b a −c
a b −c
+ e d −f
= 0 − d e −f
h g −i
g h −i
D2
b a c
= 2 ⋅ (−3) e d f =
h g i
h 2g −3i
D2
D4
a b c
= −2 ⋅ (−3) d e f = 6k
g h i
d) c + 2a a −b
c a −b
2
2
−1
4
3
2
3
6
−1
1 2
−5
3 2
=
−3
2 −1
−1
4 4
−1
1 2 1
−5
3 2 1
+
−3
2 −1 1
−1
4 4 1
1
3
D4) A =
2
4
2
2
−1
4
3
2
3
6
−1
−5
C1 C2
⎯⎯⎯⎯⎯
→−
−3
−1
3
3
D5) B =
2
4
2
2
−1
4
2
2
3
6
−5
−5
F1 =F2
⎯⎯⎯⎯
→0
−3
−1
6
3
2
4
4
2
−1
4
4
2
3
6
−10
−5
F1 =2F2
⎯⎯⎯⎯
⎯
→0
−3
−1
1
3
D7) D =
2
2
2
2
−1
4
3
2
3
6
0
0
=0
0
0
5
3
D8) E =
2
4
1
2
−1
4
5
2
3
6
−8
−5
F1 =F2 +F3
⎯⎯⎯⎯⎯
→0
−3
−1
1
3
D9) A =
2
4
2
2
−1
4
3
2
3
6
−1
−5
F1 =F1 −F2 +F3
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
−3
−1
2
2
−1
4
0
3
2
4
1
3
2
4
3
2
3
6
−1
2
−1
4
−1
−5
−3
−1
−1
−5
−3
−1
4
2
3
6
1
−5
−3
−1
a −b c
+ 2d d −e = d −e f
2g g −h
41. a) AB = A B ; AC = A C
+0=
g −h i
A B = A C →
D 4 i D6
D2
B = C
→ −A = − A
aquí en mostrarem un de cada:
−1
1
−5
2
=
−3
3
−1
−1
A
si n és impar (−1)n = −1
(−1)A = (−1)n A ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
39. Hi ha moltes matrius i exemples vàlids per a cada propietat,
3
2
3
6
A
b) kA = k n A
a b c
= − d e f = −k
g h i
2
2
−1
4
1
3
D3) A =
2
4
2
1
2
5
1
5
3
1
B + B t = 2B = 2n B = 23 B = 8 B = 8 · (−3) = −24
D3
1
3
D1) A =
2
2
3
2
3
6
B + B t = 2B
i g −h
2a a −b
−1
1 2
−5
3 2
=−
−3
2 −1
−1
4 4
40. Si la matriu és simètrica B = Bt, aleshores:
f + 2d d −e = f d −e +
i + 2g g −h
3
2
3
6
D6) C =
D6 i D4
e 2d −3f
2
2
−1
4
=
a b c
= d e f =k
g h i
c) b 2a −3c
1
3
D2) A =
2
4
3
2
2
−5
2
−1
3
−3
2
4
6
−1
c) A · A−1 = I
AB = A B
→ A A−1 = I = 1
A · A−1 = I ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
42. Aplicant la propietat D9 a cada fila li restem la primera fila,
amb això obtenim el determinant:
75
BloC 1. àlgebra lineal > UNITAT 3 SISTEMES D'EQUACIONS I DETERMINANTS
a
0
0
...
0
a
a
−x 0
0 a−x
... ...
0
0
Apliquem aquesta seqüència de passos n vegades, al final
ens queda n vegades ab n - 1 i una matriu diagonal amb tots els
elements de la diagonal igual a b. El determinant d'aquesta
matriu diagonal és bn. Per tant, el determinant de A és:
...
a
...
0
...
0
...
0
... (n − 2) a − x
A = b n + n · a · b n−1
El valor d'aquest determinant és el producte dels elements de
la diagonal. El producte és nul quan un dels elements de la
diagonal s'anul·la, és a dir quan x = 0, a, 2a,…,
(n − 2) a x = ka en què k és qualsevol nombre enter de zero
a n − 2.
43. Donades dues matrius A i B:
tercera columna no podria tenir un valor real.
a)Si multipliquem la 3a columna per xyz, el determinant
quedarà multiplicat per xyz. Així:
yz x x −1
⎛ e f ⎞
⎟⎟
B = ⎜⎜
⎝ g h ⎠
⎛ a b ⎞
A = ⎜
⎟
⎝ c d ⎠
A =
45. Sabem que les variables x, y i z no poden valer 0, ja que la
a b
= ad − bc
c d
B =
xz y y −1 =
xy z z −1
e f
= eh − fg
g h
1
xyz
yz x yz
xz y xz = 0
xy z xy
D2
D6
b) Suposem que x = 0:
A B = (ad − bc)(eh − fg ) = adeh − adfg − bceh + bcfg
⎛ a b ⎞ ⎛ e f ⎞ ⎛ ae + bg af + bh
⎟⎟ = ⎜
AB = ⎜
⎟ ⎜⎜
⎝ c d ⎠ ⎝ g h ⎠ ⎜⎝ ce + dg cf + dh
AB =
⎞
⎟
⎟
⎠
ae + bg af + bh
= (ae + bg )(cf + dh) −
ce + dg cf + dh
−(ce + dg )(af + bh) = aecf + aedh + bcgf + bdgh −
−acef − bceh − adgf − bdgh =
Reordenant els termes veiem que el desenvolupament de
| AB | és el mateix que el desenvolupament de | A || B |.
44.
= y 2z 3 – y 3z 2
yz x x 2
xz y
y2
yz 0 0
=
xy z z 2
= aedh + bcgf − bceh − adgf
a +b a
a
a a +b a
A =
a
a a +b
...
...
...
a
a
a
1 1 1
1 1 1
y 2 z2
=
x2 y 2 z2 = 0 y 2 z2 =
y 3 z3
3
3
3
3
3
x y z
0 y z
0 z z2
a a
... 0
0 b
... a
+ 0 0
... a
... ...
... ...
0 0
... a + b
Anàlogament, la igualtat es compleix si y = 0 o si z = 0.
⎛ yz x x 2
⎜
⎜ xz y y 2
⎜⎜
2
⎝ xy z z
... a
... a
... a
... ...
... a + b
a
0
b
...
0
...
...
...
...
...
a
0
0
...
b
76
... 0
... a
+ ab n−1
... a
... ...
... a + b
⎞
⎟
⎟
⎟⎟
⎠
Si multipliquem la primera fila per x, la segona fila per y i la
tercera fila per z, el determinant quedarà multiplicat per les
tres, és a dir, per xyz; aleshores:
yz x x 2
xz y
y2
xy z
z2
=
1
xyz
xyz x 2 x 3
yxz y 2 y 3 =
zxy z 2 z 3
D2
=
↓
b 0
0
a a +b a
a a a +b
... ...
...
a a
a
=
Considerem la matriu de la dreta:
D9 :↓ Fi − F1
b 0
0
a a +b a
a a a +b
... ...
...
a a
a
z z2
En el cas restant (x ≠ 0, y ≠ 0 i z ≠ 0):
... a
... a
... a
... ...
... a + b
a a
a
... 0
a a +b a
... a
+ a a a +b
... a
... ...
...
... ...
a a
a
... a + b
y y2
= yz (yz 2 – y 2z) = y 2z 3 – y 3z 2
↓ D3
b 0
0
a a +b a
a a a +b
... ...
...
a a
a
0 y y 2 = yz
D2
xyz
xyz
1 x2 x3
1 y2 y3 =
1 1 1
x2 y 2 z2
1 z2 z3
x3 y 3 z3
D1
BloC 1. àlgebra lineal > UNITAT 3 SISTEMES D'EQUACIONS I DETERMINANTS
c)
a +b b +c c +a
C1 →C1 +C 3 −C2
⎯
→
d + e e + f f + d ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
g +h h +i i +g
a)
3 5 2
1 2 4 = 18 + 40 − 8 − 15 ≠ 0 → rang(A) = 3
2 0 3
2a b + c c + a
1
C2 →C2 −C 3 + C1
2
→
→ 2d e + f f + d ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
2g h + i i + g
2a b c + a
D3
→
→ 2d e f + d ⎯⎯⎯
2g h i + g
2a b a
2a b c
D2 i D5
→
→ 2d e f + 2d e d ⎯⎯⎯⎯⎯
2g h g
2g h i
a b c
a b c
→2 d e f +0=2 d e f
g h i
g h i
4
CLASSIFICACIÓ I Pàg. 97
RESOLUCIÓ DE SISTEMES
35
= 6 − 5 ≠ 0 → rang(A) ≥ 2
1 2
b)
−1 4
= −3 + 8 ≠ 0 → rang(B) ≥ 2
2 3
2 −1 4
1 2 3 = 0 + 3 − 8 + 8 + 12 ≠ 0 → rang(B) = 3
−1 −2 0
49. Per al càlcul de determinants d'ordre major de 3 és molt convenient intentar simplificar-los abans de calcular-ne el determinant. Per a fer-ho, podem aplicar la propietats descrites en
la unitat i/o aplicar el mètode de Gauss.
a) Si observem la primera matriu veiem que la cinquena columna és la suma de les quatre primeres columnes, per tant
aplicant la propietat D8 sabem que | A | = 0 i rang (A < 4).
Estudiem si hi ha algun menor d'ordre 3 no nul:
7 6 5
4 4 2 = 28 − 40 − 24 + 28 ≠ 0
0 −2 1
46. Utiitzem els determinants per a determinar el rang de les matrius.
a) Existeix un element no nul, el rang serà 1 o més gran.
3 −1
2
A =
− (−1) · (−2) = 2 − 2 = 0
2 =3·
−2
3
3
b) És una matriu escalonada amb cap fila nul·la, aleshores
| B | ≠ 0 i rang (B ) = 3
Per tant, rang (A ) = 3.
b) No es pot aplicar cap propietat que indiqui que el determinant s'anul·li, calculem el determinant per recurrència,
primer fem més elements nuls en la primera columna
aplicant la propietat D9:
1
B =
47. Estudiem el rang de A i de A′ per a cada sistema.
⎛ 3 −2 ⎞
⎟
a) A = ⎜
⎝ 2 5 ⎠
A =
⎛ 3 −2 1 ⎞
⎟⎟
Aʹ′ = ⎜⎜
⎝ 2 5 2 ⎠
3 −2
= 15 + 4 = 19 ≠ 0 ⎯⎯⎯
→ rang(A) = 2
2 5
Si rang (A) = 2 i A′ és 2 × 3, aleshores rang (A′) = 2.
Aplicant el teorema de Rouché-Frobenius tenim
rang (A) = rang (A′) = n ⇒ Sistema compatible determinat.
⎛
⎞
b) B = ⎜ 4 −2 ⎟
6
−3
⎝
⎠
B =
⎛ 4 −2 2 ⎞
⎟⎟
B ʹ′ = ⎜⎜
⎝ 6 −3 3 ⎠
4 −2
= −12 + 12 = 0 ⎯⎯⎯
→ rang (B) = 1
6 −3
Estudiem rang (B′):
4 2
= 12 − 12 = 0 ⎯⎯⎯
→ rang (B´) = 1
6 3
Aplicant el teorema de Rouché-Frobenius tenim rang (A) =
rang (A′) ≠ n ⇒ Sistema compatible indeterminat.
48. Estudiem el rang utilitzant el càlcul del determinant i els menors.
2 −5 10
0 2
4 −3
2
1 5
D 9:F1 =4F1 −F3
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
9 15
8 −1 21
0 11 −29 25
0 2
⎯⎯⎯⎯
→
4 −3
D9
2
1 5
D 9:F4 =2F4 −F3
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎯
→
9 15
8 −1 21
0 11 −29 25
0 2
⎯⎯⎯⎯
→
4 −3
D9
1 5
9 15
0 19 −11 27
0 11 −29 25
11 −29 25
1 5
= 4 2 1 5 ≠ 0 ⇒ rang (B) = 4
9 15
19 −11 27
0 19 −11 27
0 2
B =
4 −3
50. Calculem el rang per determinants:
a) |a21| = |1| = 1 ≠ 0 ⇒ rang (A ) ≥ 1
a11 a12
0 3
=
=
a21 a22
1 6
= – 3 ≠ 0 ⇒ rang (A ) ≥ 2
Com que la dimensió de A és 2 × 3, rang (A ) = 2.
77
BloC 1. Àlgebra lineal > UNITAT 3 SISTEMES D'EQUACIONS I DETERMINANTS
b) |a11| = |– 3| = – 3 ≠ 0 ⇒ rang (A ) ≥ 1
e) |a11| = |1| = 1 ≠ 0 ⇒ rang (A ) ≥ 1
a11 a12
1 0
=
=
7 −2
a21 a22
−3 −2
a11 a12
=
=
a21 a22
−1 1
= – 5 ≠ 0 ⇒ rang (A ) ≥ 2
= – 2 ≠ 0 ⇒ rang (A ) ≥ 2
−3 −2 −4
|A| = −1
1
2 =0
3
2
4
a11 a12 a13
1 0 4
a21 a22 a23 = 7 −2 12 =
a31 a32 a33
1 −1 2
Com que l'únic menor d'ordre 3 és |A | = 0, rang (A ) = 2.
c) |a11| = |5| = 5 ≠ 0 ⇒ rang (A ) ≥ 1
= – 12 ≠ 0 ⇒ rang (A ) ≥ 3
Si calculem els dos menors que es poden obtenir orlant el
menor anterior:
a11 a12
5 −2
=
=
a21 a22
1 4
1
= 22 ≠ 0 ⇒ rang (A ) ≥ 2
5
−2
4
9
1
3 −10
7
5 −2
9
1
1 4
=0
−2 −8
7
2
21
3
3 1 2
5
1 −1
Si calculem els dos menors obtinguts a l'orlar el menor
anterior:
1
0 4
7 −2 12
=
1 0
4
7
0 −2 −16 −28
0 −1
=
F2 → F2 – 7F1
F3 → F3 – F1
F4 → F4 – 3F1
−2
−2 −16 −28
= 1 −1
d) |a11| = |3| = 3 ≠ 0 ⇒ rang (A ) ≥ 1
−2
−4 =
1 −10 −16
a11 a12
31
=
=
a21 a22
61
D2
1
8 14
0 18 30
=2 1 2
4 = 2 0 12 20 =
1 −10 −16
1 −10 −16
= – 3 ≠ 0 ⇒ rang (A ) ≥ 2
Com la matriu A és d'ordre 4, rang (A ) ≤ 4.
A més, com és quadrada, l'únic menor d'ordre 4 és |A |.
F1 → F1 – F3
F2 → F2 – F3
Per tant, rang (A ) = 4 ⇔ |A | ≠ 0.
Vegem, doncs, si rang (A ) = 4:
18 30
=0
12 20
= 2⋅1
312 6
A =
6 1 3 10
=
11 4 6
1 0 4
7 −2 12
−2 1 5 3
1 3 2 6
=−
D4
1 3 2
0 31
=−
0 −2 2
F2 → F2 – F1
F3 → F3 – F1
F4 → F4 – F1
6
4
=
0
0 −5 3 −3
4
0 = 8 ≠ 0 ⇒ rang (A) = 4
−5 3 −3
1 −1 2
7
21
3
3 −3 6
9
=
1 0
4
7
0 −2 −16 −28
0 −1
−2
0 −3
−6 −12
−4
=0
D6
F2 → F2 – 7F1
F3 → F3 – F1
F4 → F4 – 3F1
1 6 3 10
=
1 14 6
1 −2 5 3
78
−4
0 1 −10 −16
=0
Per tant, rang (A ) = 2.
31
= −1 −2 2
−2
Per tant, rang (A ) = 3.
k
51. a) A = 6
12k
k
1
1
2k
−1
3
3
6k
−6
6
2
D2
⎯⎯⎯→ 2k
4k
−6
k
6
6
k
1
1
1
−1
3
3
3
−6
6
2
→
2
−6
D5
⎯⎯⎯⎯
→A =0
Per tant rang (A ) < 4
Existeix un menor d'ordre 3, M11, que no depèn de k, però
que és nul perquè dues files són iguals. Veiem que valors
de k anul·len els menors d'ordre 3:
BloC 1. Àlgebra lineal > UNITAT 3 SISTEMES D'EQUACIONS I DETERMINANTS
k 1 3
6 1 3 = −6k + 3k − 18 − 3k + 3k + 36 = −3k + 18 = 0 →
k −1 −6
→k =
−18
=6
−3
Provem un altre menor d'ordre 3 amb aquest valor de k,
per exemple:
1 18 6
1 3k 6
k =6
→ 1 3 2 =
1 3 2 ⎯⎯⎯⎯
1 −6 −6
1 −6 −6
= −18 + 36 − 36 − 18 + 12 + 108 ≠ 0
Per tant, rang (A ) = 3 per a qualsevol valor de k, ja que el
primer (M34) només s'anul·la per a k = 6, i si k = 6 el segon
(M31) no s'anul·la.
53. a) D'acord amb el teorema de Rouché-Frobenius perquè un
sistema sigui compatible determinat (SCD):
rang(A) = rang(Aʹ′) = n
Escrivim la matriu ampliada del sistema, A. Com que és
quadrada, si det (A) ≠ 0, rang (A ) = 3 i serà un sistema
compatible determinat ja que el rang de A′ no pot ser més
gran ni més petit que 3:
−3 2 1
1 1 1 = −15 + 10 + 7 − 5 + 21 − 10 ≠ 0 → SCD
5 75
b) Escrivim la matriu associada al sistema, B, i estudiem el
seu rang:
1 2 1
1 6 2 = −6 + 20 + 7 − 30 − 14 + 2 ≠ 0 → rang(B) = 3
5 5 −1
Ara estudiem el rang de B′, calculem el determinant:
k
b) B = 1
2
3k
1
k
2
3
3 4
k
3 4
1
D2
⎯⎯⎯→ 3
6 8
2
9 12
k
1
k
2
1
3 4
3 4
D5
⎯⎯⎯⎯
→
6 8
3 4
D5
⎯⎯⎯⎯
→B = 0
k 1 3
1 k 3 = 6k 2 + 6 + 6 − 6k − 6k − 6 = 6k 2 − 12k + 6 =
2 2 6
= 6(k 2 − 2k + 1) = 0
k =
22 − 4
2
1 6
2 11
D9
⎯⎯⎯⎯
→
−1 0
4 0
1
5
5
1
2
−14
5
6
1
−1
−1
4
6
5 −14 −1
0
= 6 5 5 −1 =
0
1 6 4
0
=1
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
rang(B) ≠ rang(Bʹ′) → no SCD
54. Perquè un sistema sigui incompatible indeterminat (SCI),
d'acord amb el teorema de Rouché-Frobenius:
rang (A) = rang(Aʹ′) ≠ n
Estudiem el rang en cada cas.
Per a k = 1 s'anul·la el menor M44. Provem si per a k = 1
existeix algun menor d'ordre 3 no nul, substituint k = 1 a la
matriu B tenim:
1
1
2
3
1
1
2
3
3 4
3 4
6 8
9 12
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Veiem que F1 = F2, 2F1 = F3 i 3F1 = F4. Per tant té dues línies independents la qual cosa significa que si k = 1
rang (B) = 2 i si k ≠ 1 rang (B) = 3.
52. Escrivim la matriu d'ordre k:
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜⎜
⎝
2
6
5
6
= 6(100 + 14 − 30 + 5 + 30 + 280) ≠ 0 → rang(Bʹ′) = 4
Per tant, rang (B ) < 4
2±
1
1
5
1
1 1
1
2 3
4
3 4
5
... ...
...
k k +1 k + 2
... 1 ⎞
⎟
... k + 1 ⎟
... k + 2 ⎟
... ... ⎟
⎟
... 2k − 1 ⎟⎠
Veiem que podem expressar qualsevol fila com la suma de la
primera més la fila anterior: Fi = Fi – 1 + F1
Per tant, només existeixen dues files independents, rang (A ) =
2.
a) Construïm la matriu associada al sistema (A) i calculem el
determinant:
−1 −1 3 2
2 2 −3 = −10 + 9 + 3 − 9 − 3 + 10 = 0 → rang(A) < 3
3 1 5
2 2
= 2 − 6 ≠ 0 → rang(A) = 2
31
Estudiem el determinant de la matriu ampliada del sistema
(A′):
−1 −1 0
2 2 2 = −2 − 6 + 0 − 0 + 2 + 2 ≠ 0 → rang(Aʹ′) = 3
3 1 1
rang(A) ≠ rang(Aʹ′) → no SCI
b) Construïm la matriu associada al sistema (B) i estudiem el
rang, calculem un menor d'ordre 3:
3 6 9
1 5 3 = 45 − 18 − 18 + 45 + 18 − 18 ≠ 0 → rang(B) = 3
−1 −2 3
Estudiem el rang de la matriu ampliada del sistema (B′),
avaluem si el determinant s'anul·la:
79
BloC 1. Àlgebra lineal > UNITAT 3 SISTEMES D'EQUACIONS I DETERMINANTS
3
1
−1
−2
6
5
−2
−10
9
3
3
−6
0
1
D 9:F4 =F4 +2F2
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎯
→
0
−2
3
1
−1
0
6
5
−2
0
9
3
3
0
0
1
=0→
0
0
→ rang(Bʹ′) < 4
Per tant rang(B) = rang(Bʹ′) → SCI
55. Perquè un sistema tingui solució ha de ser un sistema compatible (SC), és a dir rang(A) = rang(Aʹ′)
a) Construïm la matriu associada al sistema (A) i calculem el
determinant:
1 1 1
2 −1 2 = 0 → rang(A) < 3
4 −1 4
2
1
C =
3
1
1
−1
0
2
1 1 3
2 −1 −5 = −1 − 20 − 6 + 12 − 5 − 2 ≠ 0 → rang(Aʹ′) = 3
4 −1 1
rang(C) = rang(Cʹ′) → SC
56. a) Les matrius associades al sistema són:
⎛ 1 2 1 ⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 2 1 2 ⎟
⎜ 5 7 5 ⎟
⎝
⎠
2 2 1
1 −1 2 = 10 + 12 + 1 + 3 − 4 + 10 ≠ 0 → rang(B) = 3
3 1 −5
Com que és un sistema 3 × 3, rang(B) = rang(Bʹ′) → SC
c) Construïm la matriu associada al sistema (C) i estudiem el
rang, calculem un menor d'ordre 3:
• Com que
a11 a12
1 2
=
= −3 ≠ 0 i |A | = 0, tenim
a21 a22
21
2 ≤ rang (A ) < 3; per tant rang (A ) = 2.
• Com que
1 2
≠ 0 i els orlats d'aquest en A ′ són nuls,
21
tenim rang (A ′) = 2.
Pel teorema de Rouché– Frobenius, el sistema és compatible, ja que, rang (A ) = 2 = rang (A ′).
A més, com que n = 3 > 2, el sistema és indeterminat.
b) La matriu de coeficients i l'ampliada són:
⎫
2 1 2
⎪
1 −1 −1 = −2 − 3 + 0 + 6 − 1 + 0 = 0 ⎪
⎪
3 0 1
⎪
⎬ → rang(C) < 3
⎪
2 1 2
⎪
1 −1 −1 = −6 − 1 + 4 + 2 + 4 − 3 = 0 ⎪
1 2 3
⎪⎭
⎛
⎜
⎜
A = ⎜
⎜
⎜
⎝
3 2 1 ⎞
⎟
−2 3 2 ⎟
1 5 3 ⎟
⎟
−4 6 4 ⎟⎠
⎛ 3 2 1 4 ⎞
⎜
⎟
⎜ −2 3 2 0 ⎟
Aʹ′ = ⎜
1 5 3 1 ⎟
⎜
⎟
⎜ −4 6 4 −3 ⎟
⎝
⎠
2 1
= −2 − 1 ≠ 0 → rang(C) = 2
1 −1
Estudiem el determinant de la matriu ampliada del sistema
(C′):
⎛ 1 2 1 0 ⎞
⎜
⎟
Aʹ′ = ⎜ 2 1 2 1 ⎟
⎜ 5 7 5 1 ⎟
⎝
⎠
Calculem els seus rangs:
rang(A) ≠ rang(Aʹ′) → no SC
b) Construïm la matriu associada al sistema (A) i calculem el
determinant:
2
3
D 8:F4 =F2 −F1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→ C = 0 → rang(C) < 4
5
−1
⎫
2 1 2
⎪
D 8:F3 =F2 +F1
1 −1 −1 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ = 0 ⎪
⎪
3 0 1
⎪
⎬ → rang(C) < 3
⎪
2 1 2
D 8:F3 =F2 +F1
→ = 0 ⎪
1 −1 3 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎪
3 0 5
⎪⎭
1 1
= −1 − 2 ≠ 0 → rang(A) = 2
2 −1
Estudiem el determinant de la matriu ampliada del sistema
(A′):
2
−1
1
3
Calculem els seus rangs:
• Com que
a11 a12
=
a21 a22
3 2
−2 3
= 13 ≠ 0 i els seus orlats
enA són 0, tenim rang (A ) = 2.
32 4
3 −2
2 3 0
aa1111 aa1212
= 13 ≠ 0=
≠00 yi
• Com que
≠=
−2 3
aa2121 aa2222
15 1
= – 39 ≠ 0, tenim rang (A ′) ≥ 3.
80
Bloc 1. àlgebra lineal > UNITAT 3 SISTEMES D'EQUACIONS I DETERMINANTS
Pel teorema de Rouché– Frobenius:
⎛ 1 3 1 1 ⎞
F2 =F2 −2F1
⎜
⎟
F3 =F3 +3F1
→
⎜ 2 −2 1 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎜ −3 −3 −3 2 ⎟
⎝
⎠
⎛ 1 3 1 1 ⎞
⎜
⎟
F3 =4F3 +3F2
→
→ ⎜ 0 −8 −1 −1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎜ 0 6 0 5 ⎟
⎝
⎠
rang (A ′) ≥ 3 > 2 = rang (A ) ⇒
⇒ Sistema incompatible
c) Les matrius associades al sistema són:
⎛ 1 2 3 ⎞
⎜
⎟
⎜ 3 2 2 ⎟
A = ⎜
⎟
⎜ 1 −1 4 ⎟
⎜ 2 1 −1 ⎟
⎝
⎠
⎛ 1 2 3
⎜
⎜ 3 2 2
Aʹ′ = ⎜
1 −1 4
⎜
⎜ 2 1 −1
⎝
• Com que
1
⎛ 1 3 1 1 ⎞
⎜
⎟
→ ⎜ 0 −8 −1 −1 ⎟
⎜ 0 0 −3 17 ⎟
⎝
⎠
Amb el sistema escalonat, trobem les solucions del sistema
per recurrència:
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
3 ⎟⎠
2
2
1
⎧
−17
⎪ −3z = 17 → z =
3
⎪
−17
⎪⎪
z=
17
5
3
→ −8y +
= −1 → y =
⎨ −8y − z = −1 ⎯⎯⎯⎯⎯
3
6
⎪
−17
5
⎪
z=
,y =
5
25
3
6 ⎯
⎪ x + 3y + z = 1 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→ x − 17 +
=1→ x =
⎪⎩
6
6
a11 a12
1 2
=
= −4 ≠ 0 yi
a21 a22
3 2
2
3 2
3
2
1 −1
4
Resolem per Cramer:
s'obté
) = (A)
3. = 3.
= −25 ≠ 0, se
tienerang
que(Arang
• Com que |A ′| = – 64 ≠ 0, rang (A ′) = 4.
⎛ 1 3 1 ⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 2 −2 1 ⎟ → A = 6 − 9 − 6 − 6 + 3 + 18 = 6
⎜ −3 −3 −3 ⎟
⎝
⎠
Pel teorema de Rouché– Frobenius:
rang (A ) = 3 ≠ 4 = rang (A ′) ⇒ Sistema incompatible
x =
5RESOLUCIÓ DE SISTEMES PER DETERMINANTS
Pàg. 98
y =
57. Resolem per Gauss:
⎛ −2 1 −4 ⎞
⎛ −2 1 −4
F2 =2F2 −3F1
⎟⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎜⎜
→ ⎜⎜
⎝ −3 −2 −27 ⎠
⎝ 0 −7 −42
→ −7y = −42 → y = 6
⎧ −2x + y = −4 → y = 6
⎪
⎨
−10
=5
⎪ −2x + 6 = −4 → x =
⎩
−2
⎞
⎟⎟ →
⎠
z =
Δ1
A
Δ2
A
Δ3
A
59. a) x =
Resolem per Cramer:
⎛ −2 1 ⎞
A = ⎜
⎟ → A = 4 + 3 = 7
⎝ −3 −2 ⎠
x =
y =
Δ1
A
Δ2
A
=
=
−4 1
−27 −2
7
−2 −4
−3 −27
7
58. Resolem per Gauss:
=
=
−8 − 27
7
54 − 12
7
y =
=
1 3 1
1 −2 1
2 −3 −3
6
1 1 1
2 1 1
3 2 −3
=
=
6
1 3 1
2 −2 1
−3 −3 2
1 2
2 −1
1 2
1 −1
11
12
1 2
1 −1
6
=
=
−5
−3
1
−3
=
=
25
6
−3 + 3 + 4 − 3 − 2 + 6
6
−4 − 9 − 6 − 6 + 3 − 12
=
=
=
6
5
6
=
−17
3
5
3
=−
1
3
=5
b) | A | = 0
=6
El determinant de A és nul, aleshores no podem aplicar la
regla de Cramer.
c) | A | = 0
El determinant de A és nul, aleshores no podem aplicar la
regla de Cramer.
81
Bloc 1. Àlgebra lineal > UNITAT 3 SISTEMES D'EQUACIONS I DETERMINANTS
1
−1
1
2
4 −1 −1
60. a) x =
y =
1
z =
−6
=2
x =
2
1
4 −1
=
2 1 2
1 2 1
1 −1 −1
2
1
−12
=
2 1 2
1 2 1
1 −1 −1
2 1
1 −1
⎛ 3 −1 2 ⎞
⎜
⎟
b) A = ⎜ −1 1 −1 ⎟ → A = 9 + 1 + 4 − 2 − 6 − 3 = 3
⎜ 1 −2 3 ⎟
⎝
⎠
2
1
6
= −1
−6
y =
1 1
2 −1
1 −1
4
2 1 2
1 2 1
1 −1 −1
z =
=
6
= −1
−6
⎛ 1 1 2 ⎞
⎜
⎟
⎜ 2 3 −1 ⎟
⎝
⎠
y =
z =
A
Δ2
A
Δ3
A
=
=
−18
1 1 2
−1 2 1
2 4 −1
−18
1 1 1
−1 2 2
2 3 4
−18
Δ3
A
3 17 2
−1 −8 −1
1 19 3
=
=
3
3 −1 17
−1 1 −8
1 −2 19
=
=
3
6
=2
3
−3
3
15
3
⎛ 2 3 1 ⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 2 2 1 ⎟
⎜ 4 5 2 ⎟
⎝
⎠
= −1
=5
⎛ 2 3 1 1 ⎞
⎜
⎟
Aʹ′ = ⎜ 2 2 1 1 ⎟
⎜ 4 5 2 2 ⎟
⎝
⎠
Calculem el seu rang:
• Com que
a12 a13
31
=
= 1 ≠ 0 i l'únic menor
a22 a23
21
d'ordre tres de A és |A | = 0, tenim rang (A ) = 2.
• Com que
61. a) A = ⎜ −1 2 1 ⎟ → A = −2 + 2 − 6 − 8 − 3 − 1 = −18
=
A
=
3
Les matrius associades al sistema són:
El determinant de A és nul, aleshores no podem aplicar la
regla de Cramer.
Δ1
Δ2
=
ché– Fröbenius:
|A| = 0
x =
A
62. a)Classifiquem el sistema utilitzant el teorema de Rou-
b) F4 = F1 + F3. Per tant, eliminem F4 del sistema, de mane⎛ −1 1 −1 ⎞
⎜
⎟
ra que la seva matriu associada és A = ⎜ 5 1 2 ⎟
⎜ 4 2 1 ⎟
⎝
⎠
1 1 2
2 2 1
4 3 −1
Δ1
17 −1 2
−8 1 −1
19 −2 3
31
≠ 0 i els orlats d'aquest menor en A ′ són
21
nuls, es compleix que rang (A ′) = 2.
Pel teorema de Rouché– Frobenius:
−2 + 4 + 12 − 16 − 3 + 2
=
−18
1
=
6
rang (A ) = 2 = rang (A ′) ⇒ sistema compatible
i, com que n = 3 > 2, el sistema és indeterminat.
Fent x = λ i resolent per Cramer el sistema:
=
−2 + 2 − 8 − 8 − 4 − 1
−18
=
⎪⎧ 3y + z = 1 − 2λ
⎨
⎩⎪ 2y + z = 1 − 2λ
7
6
tenim:
1
y =
=
8+4−3−4−6+4
−18
=
−1
6
z =
1 − 2λ 1
=0
1 − 2λ 1
31
21
1
31
21
3 1 − 2λ
= 1 − 2λ
2 1 − 2λ
Així, la solució és (λ, 0, 1 – 2 λ).
b) Classifiquem el sistema per Gauss:
⎛ 2
⎜
⎜ 3
Aʹ′ = ⎜
1
⎜
⎜ 2
⎝
82
5 2 ⎞
⎟
1 1 ⎟
3 2 2 ⎟
⎟
2 −1 −1 ⎟⎠
1
5
Bloc 1. àlgebra lineal > UNItat 3 SISTEMeS D'EQUACIONS i DETERMINANTS
⎛ 1
⎜
⎜ 3
⎜ 2
⎜
⎜ 2
⎝
F1 ↔ F3
5
4
F2
F4 → F4 – F2
F2 → – F2
F3 → 4F3
2x − y = −3 − 3λ ⎫
⎬
x + y = −λ
⎭
−3 − 3λ −1
y =
3 2 2 ⎞
⎟
4 5 5 ⎟
⎟
0 29 17 ⎟
0 0 0 ⎟⎠
Aleshores és un sistema resoluble per Cramer:
y =
z =
1
|A|
1
|A|
2 3 2
Δ2 =
Δ3 =
1
116
1
116
5 4 5 =−
1
2 2
0 5 5 =
0 17 29
1 3 2
0 4 5 =
0 0 17
−λ
2 −1
=
−2λ + 3 + 3λ
3
= 1+
λ
3
Si per contra det(A ) = 0, pot ser que puguem adaptar la regla
però no és segur. En el cas que sigui un sistema incompatible
indeterminat, podrem utilizar Cramer, posant només les línies
linealment independents, i igualant una o diverses incògnites
a un paràmetre. Si es tracta d'un sistema incompatible quan
intentem aplicar la regla de Cramer no trobarem solucions
possibles.
Les dues matrius de l'exercici 35 compleixen | A | ≠ 0, per tant
les dues tenen inversa.
66. A ≠ 0 ⇔ ∃ A−1
0 0 29
17 0 29
1
65. A ≠ 0 ⇔ ∃ A−1
1 3 2
116
λ
Comparteix amb el teorema de Rouché-Frobenius la classificació en SCD quan det (A ) ≠ 0.
|A| = 0 4 5 = 1 ⋅ 4 ⋅ 29 = 116 ≠ 0
|A|
3
determinant. Si det(A ) ≠ 0, sabem que podem aplicar Cramer
amb normalitat, el sistema té solució única i per tant es tracta
d'un sistema compatible determinat (SCD).
La matriu de coeficients és regular, per tant:
1
3
4
= −1 −
64. El primer pas per a aplicar la regla de Cramer és calcular el
Aquest sistema escalonat té 3 equacions i 3 incògnites,
aleshores és un sistema compatible determinat.
Δ1 =
−3 − 3λ − λ
1 1
⎧ x + 3y + 2z = 2
⎪
4y + 5z = 5
⎨
⎪
29z = 17
⎩
1
2 −1
=
2 −3 − 3λ
Aquesta és la matriu ampliada escalonada associada al
sistema:
x =
1
1 1
⎛ 1 3 2
2 ⎞
⎜
⎟
⎜ 0 −4 −5 −5 ⎟
⎜
⎟
⎜ 0 0 29 17 ⎟
⎜
4
4 ⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝ 0 0 0 0 ⎠
⎛ 1
⎜
⎜ 0
⎜
⎜ 0
⎜ 0
⎝
−λ
x =
⎛ 1 3 2 2 ⎞
⎜
⎟
⎜ 0 −4 −5 −5 ⎟
⎜ 0 −5 1 −2 ⎟
⎜
⎟
⎜ 0 −4 −5 −5 ⎟
⎝
⎠
F2 → F2 – 3F1
F3 → F3 – 2F1
F4 → F4 – 2F1
F3 → F3 –
2 2 ⎞
⎟
1 1 ⎟
1 5 2 ⎟
⎟
2 −1 −1 ⎟⎠
3
5
21
29
15
29
2 −2 1
a) A = 3 1 3 = 24 ≠ 0 ⇔ ∃ A−1
1 3 5
2 4k −2
2 2 −2
D2
D5
→ = 0 ⇔ ∃/ A−1
b) B = 4 8k 2 ⎯⎯⎯→ 2k 4 4 2 ⎯⎯⎯⎯
1 2k 5
1 1 5
67. Apliquem la definició:
A−1 =
adj(At )
A
Calculem At, els adjunts i substituïm:
17
29
63. 59b) x = 1 + λ
y=λ
59c) z = λ
83
Bloc 1. àlgebra lineal > UNItat 3 SISTEMeS D'EQUACIONS i DETERMINANTS
⎛ 2 3 1
⎜
At = ⎜ −2 1 3
⎜ 1 3 5
⎝
a11 =
a21 = −
a31 =
1 3
= −4
3 5
a12 = −
3 1
= −12
3 5
3 1
=8
1 3
a22 =
a32 = −
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
Ct
−2 3
−2 1
= 13 a13 =
= −7
1 5
1 3
c11 =
x x
y x
= 2x(x − y ); c12 = −
= 2x(2x − y )
2y 2x
4x 2x
2 1
=9
1 5
c13 =
y x
y x
= 2(y 2 − 2x 2 ); c 21 = −
=0
4x 2y
2y 2x
c 22 =
x y
x x
= −2x 2 ; c 23 = −
= 2xy
4x 2y
4x 2x
c 31 =
y x
x x
= −x(x − y ); c 32 = −
= −x(x − y )
y x
x x
c 33 =
x y
= x2 − y 2
y x
a23 = −
2 3
= −3
1 3
2 1
2 3
= −8 a33 =
=8
−2 3
−2 1
⎛ −4 13 −7
⎜
adj(At ) = ⎜ −12 9 −3
⎜ 8 −8 8
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛ −4 13 −7
1 ⎜
=
⎜ −12 9 −3
24 ⎜
⎝ 8 −8 8
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
A−1
68. Per a ser invertibles han de tenir inversa, i això sabem que
passa quan el determinant de la matriu no s'anul·la.
A ≠ 0 ⇔ ∃A−1
5 1 4
a) A = k 2 8 = −10k + 40 + 4k − 40 − 40 + k 2 =
5 1 −k
= k 2 − 6k − 40 = 0
k =
6±
36 + 160
2
=
6 ± 14
2
=
k1 = 10 ⎫⎪
⎬ ⇒ A = 0
k 2 = −4 ⎪⎭
∃ A−1 ⇔ k ≠ 10,k ≠ −4
b) B =
k =
k 1 4
2 3 −1 = 15k + k + 8 + 12k + k − 10 = 29k − 2 = 0
−k 1 5
2
29
⎛ x y x ⎞
⎜
⎟
= ⎜ y x x ⎟
⎜ 4x 2y 2x ⎟
⎝
⎠
⇒ B = 0 ⇒ ∃ B −1 ⇔ k ≠
2
29
69. Perquè la matriu tingui inversa, el seu determinant ha de tenir
un valor no nul.
A ≠ 0 ⇔ ∃ A−1
x y 4x
x y 2x
C = y x 2y = 2 y x y = 2x 2 (y − x)
x x x
x x 2x
∃ A−1 ⇔ x ≠ 0, y ≠ x
—— Calculem Ct, els adjunts i substituïm:
( adj)
C −1
(C t )
⎛ 2x(x − y ) 2x(2x − y ) 2(y 2 − 2x 2 )
⎜
= ⎜
0
−2x 2
2xy
⎜⎜
2 − y2
x(y
−
x)
x(y
−
x)
x
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟⎟
⎠
⎛ 2x(x − y ) 2x(2x − y ) 2(y 2 − 2x 2 )
⎜
⎜
=
0
−2x 2
2xy
2
−2x (x − y ) ⎜⎜
2 − y2
x(y
−
x)
x(y
−
x)
x
⎝
1
⎞
⎟
⎟
⎟⎟
⎠
70. Considerem les variables:
x = consum del cotxe quan circula per carretera en litres per
cada 100 km.
y = consum del cotxe quan circula per ciutat en litres per cada
100 km.
D'altra banda es té:
x = nre. de litres consumits en carretera en 100 km ⇒
⎧
⎪
⎪
⇒ ⎨
⎪
⎪
⎩
120
100
40
100
x = nre. de litres consumits
en carretera en 120 km
x = nre. de litres consumits
en carretera en 40 km
y = nre. de litres consumits en ciutat en 100 km ⇒
⎧
⎪
⎪
⇒ ⎨
⎪
⎪
⎩
40
100
120
100
y =
nre. de litres consumits
en ciutat en 40 km
y =
nre. de litres consumits
en ciutat en 120 km
Així, s'obté el sistema:
120
100
40
100
x+
x+
40
100
120
40
x+
⎫
y = 9, 6 ⎪
⎪⎪
⎬
y = 12, 8 ⎪ ⇒ x = 5, y = 9
⎪
y = 14 ⎪⎭
Així, consumeix 5 L en carretera cada 100 km i 9 L en ciutat,
també cada 100 km.
84
Bloc 1. àlgebra lineal > UNItat 3 SISTEMeS D'EQUACIONS i DETERMINANTS
Avaluació
1.
(pàg. 100)
c)
⎛ a
3 ⎞⎟
3
b
F2 =aF2 −cF1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→ ⎜⎜
⎟
1 ⎠
⎝ 0 ad − cb a − 3c
(ad − cb)y = a − 3c ⎫
⎬
ax + by = 3
⎭
⎛ a b
⎜⎜
⎝ c d
ab c c −1
⎞
⎟⎟
⎠
b c a 2 bc
→ (abc)−1
⎧
a − 3c
⎪ y =
(ad − cb)
⎪
⎪
a − 3c
3−b
⎪⎪
a − 3c
(ad − cb) =
=3→x =
⎨ ax + b
a
(ad − cb)
⎪
⎪
3(ad − cb) − ba + 3cb
3d − b
=
=
⎪
a(ad
−
cb)
(ad
− cb)
⎪
⎪⎩
d)
6.
6 −2
= 6 − (−4) ≠ 0
2 1
F3 →F3 +2F1
6 3
−2
1
F2 =2F4 −F2
⎯⎯⎯⎯⎯
⎯
→
6
2
2
11
2
5
−1
−7
1
−2
0
0
0
−1
−2
3
→
6
2
2 −1 −2
→ − 11 −7 3 = −(−84 − 6 − 22 − 28 − 6 + 66) = 80
2 1 6
−2 2 −2
D 4:C 3 ←⎯⎯→ C2
→
2 2 −2 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
−3 −4 −2
b)
−2 −2 2
2 −2 2
−3 −2 −4
rang (B) = 3
Matriu C
1 −2
= −3 − (−2) ≠ 0
1 −3
−2 4 −3
5 3 −2 = −24 − 16 + 30 + 18 + 8 − 80 = −64
2 −2 4
−2 2 2
2 2 2
−3 2 −4
3 2 3+1
3 2 4
3 2 1
D 9:C 3 =C1 +C 3
→ 2 3 2+0 → 2 3 2
2 3 0 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
6 4 6+1
6 4 7
6 4 1
→−
rang (B) ≥ 2
6 −2 10
2 1 3 = 0 + 6 − 20 + 10 + 18 + 0 ≠ 0
−1 −1 0
x 1
= 3x − 6
3. A =
a)
rang(A) = 2
Matriu B
→ −3 A = A '
5.
rang(A) ≥ 2
1 4 2
3 2 1 = −2 + 8 − 12 − 8 + 2 + 12 = 0
2 −2 −1
F2 ↔3F2
0
−2
0
−1
0 −3 −4
2 2 3
2 4 2
Estudiem el rang utilitzant el càlcul del determinant i els menors:
1 4
= 2 − 12 ≠ 0
3 2
A ⎯⎯⎯⎯→ − A ⎯⎯⎯⎯⎯
→ −3 A ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
−1
3
1
−2
021
0 34
2 01
D4
D1
D2
→ − 3 2 2 ⎯⎯⎯→ − 2 2 3 ⎯⎯⎯→
2 3 2 ⎯⎯⎯⎯
4 31
121
341
Matriu A
⎧
a − 3c
a − 3c
→y =
⎪ y =
(ad
−
cb)
A
⎪
⎨
⎪ x = 3d − b → x = 3d − b
⎪
(ad − cb)
A
⎩
2
−1
4. A =
2
5
D5
⎯⎯⎯⎯
→=0
0 −3 −4
1
D 2:F1 →−F1
D 2:F3 →2F3
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→ 2 2 3 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
2
1 2 1
Substituint la definició de determinant |A |= a · d – b · c
s'obté:
B =
a c b ac
ab c ab
Amb el sistema d'equacions, trobem les solucions per recurrència:
2.
D 2:C 3=abcC 3
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
a c b b −1
Apliquem el mètode de Gauss:
F1 ↔F3
b c a a −1
D 2:C →−C
2
2
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
7.
rang (C) = 2
Estudiem el rang de A i de A′ per a cada sistema.
⎛ 2 1 ⎞
a) A = ⎜
⎟
⎝ 1 −1 ⎠
A =
⎛ 2 1 1 ⎞
⎟⎟
Aʹ′ = ⎜⎜
⎝ 1 −1 2 ⎠
2 1
= −2 − 1 ≠ 0 ⎯⎯⎯
→ rang(A) = 2
1 −1
Si rang (A ) = 2 i A′ és 2 × 3, aleshores rang(A′) = 2.
Aplicant el teorema de Rouché-Frobenius tenim
rang(A ) = rang(A ′) = n ⇒ Sistema compatible determinat.
⎛ 1 −1 3 ⎞
⎜
⎟
b) B = ⎜ 1 1 1 ⎟
⎜ 2 1 −1 ⎟
⎝
⎠
⎛ 1 −1 3 8 ⎞
⎜
⎟
Bʹ′ = ⎜ 1 1 1 6 ⎟
⎜ 2 1 −1 1 ⎟
⎝
⎠
Estudiem rang (B):
1 −1
= 1 − (−1) ≠ 0 ⎯⎯⎯
→ rang (B) ≥ 2
1 1
1 −1 3
→ rang (B) = 3
1 1 1 = −1 − 2 + 3 − 6 − 1 − 1 ≠ 0 ⎯⎯⎯
2 1 −1
Si rang (B) = 3 i B′ és 3 × 4, aleshores rang(B′) = 3
85
Bloc 1. àlgebra lineal > UNItat 3 SISTEMeS D'EQUACIONS i DETERMINANTS
Aplicant el teorema de Rouché-Frobenius tenim rang(B) =
rang(B′) = n ⇒ És un sistema compatible determinat.
8.
Estudiem el rang de A i de A′ per a cada sistema.
⎛ 1 1 1
⎜
a) A = ⎜ 2 −1 2
⎜ 4 1 4
⎝
⎛ 1 1 1 0 ⎞
⎜
⎟
Aʹ′ = ⎜ 2 −1 2 −3 ⎟
⎜ 4 1 4 −3 ⎟
⎝
⎠
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
7b)
⎛ 1 −1 3 ⎞
⎜
⎟
B = ⎜ 1 1 1 ⎟ → B = −1 − 2 + 3 − 6 − 1 − 1 = −8
⎜ 2 1 −1 ⎟
⎝
⎠
Δ1
x =
Estudiem rang (A) :
B
=
1 1
= −1 − 2 ≠ 0 ⎯⎯⎯
→ rang(A) ≥ 2
2 −1
1 1 1
→ rang(A) = 2
2 −1 2 = −4 + 2 + 8 − (−4) − 2 − 8 = 0 ⎯⎯⎯
4 1 4
y =
Δ2
B
=
Estudiem rang (A ′):
1 1 0
→ rang(Aʹ′) = 2
2 −1 −3 = 3 − 12 + 0 − 0 − (−3) + 6 = 0 ⎯⎯⎯
4 1 −3
Aplicant el teorema de Rouché-Frobenius obtenim
rang(A ) = rang(A′) < n ⇒ És un sistema compatible indeterminat.
⎛
⎜
b) B = ⎜
⎜
⎜
⎝
2
3
1
−1
1
2
1
3
⎛
⎜
Bʹ′ = ⎜
⎜
⎜
⎝
3 ⎞
⎟
2 ⎟
−1 ⎟
−1 ⎟⎠
2
3
1
−1
1
2
1
3
3
2
−1
−1
2
2
1
3
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
z =
Δ3
B
=
8 −1 3
6 1 1
1 1 −1
1 8 3
1 6 1
2 1 −1
1 −1 8
1 1 6
2 1 1
21 3
3 2 2 = −4 + 2 + 9 − 6 − 4 − (−3) = 0 ⎯⎯⎯
→ rang (B) = 2
1 1 −1
Estudiem rang (B′):
2
3
1
−1
1
2
1
3
3
2
−1
−1
2
2
D 9:F2 =F2 −F1 −F3
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
1
3
2
0
1
−1
1
0
1
3
3
0
−1
−1
2
2 1 3
−1
= − 1 1 −1 =
1
−1 3 −1
3
= −2 + 1 + 9 − (−3) − (−6) − (−1) ≠ 0 ⎯⎯⎯
→ rang(Bʹ′) = 4
−8
Podem resoldre els sistemes compatibles (determinats o indeterminats):
7a)
⎛ 2 1 ⎞
A = ⎜
⎟ → A = −2 − 1 = −3
⎝ 1 −1 ⎠
x =
y =
Δ1
A
Δ2
A
=
=
1 1
2 −1
−3
2 1
1 2
−3
−8
=
=
−3
4 −1
−3
=1
= −1
=2
=3
1 1 1
| A |= 2 −1 2 = −4 + 2 + 8 − (−4) − 2 − 8 = 0
4 1 4
Com que |A |= 0 no podem aplicar directament la regla de Cramer, hem de buscar un menor de A que tingui el determinant diferent de zero, per exemple:
1 1
= −1 − 2 = −3
2 −1
Prenem la incògnita z, que no intervé en aquesta menor, i
l'anomenem λ. Treballarem només amb les dues primeres
equacions (les corresponents al menor escollit):
x+y +λ =0
2x − y + 2 λ = −3
⎫⎪
x +y = 0−λ
→
⎬ ⎯⎯⎯
2x − y = −3 − 2λ
⎪⎭
⎫⎪
⎬
⎪⎭
Ara ja podem aplicar la regla de Cramer a aquest sistema
⎛ 1 1 ⎞
A = ⎜
⎟ → A = −1 − 2 = −3
⎝ 2 −1 ⎠
x =
y =
Δ1
A
Δ2
A
=
=
−λ
1
−3 − 2λ −1
=
−3
1 −λ
2 −3 − 2λ
−3
=
λ − (−3 − 2λ)
−3
=
−3 − 2λ − (−2λ)
−3
3 + 3λ
−3
=1
z =λ
10. a) Plantegem el sistema d'equacions:
x = facturació divendres
z = facturació diumenge
y = x+z
x + y + z = 2200
z = x + 100
⎫
x −y +z =0
⎪
→ x + y + z = 2200
⎬ ⎯⎯⎯
⎪
−x + z = 100
⎭
Estudiem el rang de A i de A′:
86
−8
−8
y = facturació dissabte
−1 − 2
−16
−24
=
=1
8a)
Aplicant el teorema de Rouché-Frobenius s'obté de
rang(B) < rang(B′) ⇒ És un sistema incompatible.
9.
1 − 12 + 8 − 16 − 6 + 1
−8
=
−8
=
−8
=
−8
−6 + 16 + 3 − 36 − 1 + 8
=
−8
Estudiem rang (B):
21
= 4 − 3 ≠ 0 ⎯⎯⎯
→ rang (B) ≥ 2
32
−8 − 1 + 18 − 3 − 8 − 6
=
−8
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
= −(1 + λ)
BloC 1. Àlgebra lineal > UNItat 3 SISTEMeS D'EQUACIONS i DETERMINANTS
Zona +
1 −1
= 1 − (−1) ≠ 0 ⎯⎯⎯
→ rang(A) ≥ 2
1 1
(pàg. 101)
—— Matemàtica vital
1 −1 1
→ rang(A) = 3
1 1 1 = 1 + 1 + 0 + 1 − 0 + 1 ≠ 0 ⎯⎯⎯
−1 0 1
Tal com va demostrar Cauchy, el volum d'un prisma determinat
per tres vectors és el valor absolut del determinant d'aquests
vectors. Així, doncs, el volum que se sol·licita val 5 unitats.
Si rang(A ) = 3 i A ′ és 3 × 4, aleshores rang(A′) = 3.
Aplicant el teorema de Rouché-Frobenius obtenim
rang(A ) = rang(A ′) = n ⇒ És un sistema compatible determinat.
La informació que ens donen és compatible i suficient per
a saber la facturació de cada dia. Solucionem el sistema
aplicant la regla de Cramer:
b)
1 −1 1
1 1 1 = 1+1+ 0 +1− 0 +1 = 4
−1 0 1
x =
=
4
Δ2
A
4400
4
z =
=
A
2000
y =
=
Δ1
Δ3
A
2400
4
=
0 −1 1
2200 1 1
100 0 1
4
0 − 100 + 0 − 100 − 0 + 2200
=
4
=
= 500
=
1 0 1
1 2200 1
−1 100 1
4
=
2200 + 0 + 100 + 2200 − 100 − 0
4
=
= 1100
=
1 −1 0
1 1 2200
−1 0 100
4
=
100 + 2200 + 0 − 0 − 0 + 100
4
=
= 600
87
BLOC 2. Geometria
4#
En context
Vectors a l’espai (I)
(pàg. 107)
a) Resposta oberta a manera de reflexió individual.
2.
b) Respostes suggerides:
  
{u,v ,w } són linealment independents ⇔
—— Les imatges mostren fletxes que indiquen la direcció i
els km que falten per arribar al lloc indicat. Això té relació amb els vectors, que tenen una direcció.
⇔ rang (A) = 3 ⇔ |A| ≠ 0
|A| = −4k + 3k − 1 = −k − 1 ≠ 0 ⇔ k ≠ −1
—— Finestres que es desplacen en línia recta, trens que es
mouen en línia recta gràcies a les seves vies, cordes
que sostenen un gronxador, etc.
  
Per tant, u ,v ,w són linealment independents si i només si
k ≠ –1.
c) Resposta oberta a manera de reflexió individual que pot
servir com a introducció als vectors.
Amplia
⎛ 1 k 1 ⎞
⎜
⎟
b) Sigui A = ⎜ k 1 2 ⎟ , aleshores rang (A) = 3 ⇔ |A | ≠ 0
⎜ k 1 k ⎟
⎝
⎠
(pàg. 114)
Desenvolupant el determinant:
—— Definir una base canònica per a cada espai vectorial té
una propietat important: qualsevol vector de l’espai vectorial verifica que els seus components coincideixen amb les
seves coordenades respecte de la base canònica.
Amplia
⎛ 2 0 1 ⎞
⎜
⎟
a) Sigui A = ⎜ k 1 k ⎟
⎜ 1 3 k ⎟
⎝
⎠
|A| = k + 2k 2 + k − k − k 3 − 2 = −k 3 + 2k 2 + k − 2
Si descomponem aquest polinomi per Ruffini:
(k− 1)(k+ 1)(2 − k) ≠ 0 ⇔ k ≠ 1,k ≠ −1,k ≠ 2
(pàg. 117)
—— En aquest cas, es té que el determinant dels tres vectors
és zero, per tant, els vectors són linealment dependents ja
que el rang d’aquesta matriu és diferent de 3, pot ser
2 o 1.
  
Així, els vectors u ,v ,w són linealment independents si i
només si k ≠ 1, k ≠ –1 i k ≠ 2.
3.

 
Siguin B = {x, y } una base de V 2 i u ∈ V2 un vector qualsevol.
 
Com que B és base, {x, y } és un sistema de generadors, aleshores ∃ k1, k2 reals tals que:
Generalitzant aquest resultat s’obté que:
• Si el determinant de la matriu composta per tres vectors
és diferent de zero, els vectors són linealment independents; en cas contrari, seran linealment dependents.



u = k1 x + k 2 y
Vegem que k1, k2 són únics:
Problemes resolts
1.
Suposem que ∃ h1, h2 ∈ R, tals que:
(pàg. 120 a 122)



u = h1 x + h2 y
  
Col·loquem verticalment les components dels vectors u ,v i w ,
i obtenim la matriu A:
En aquest cas:
  




0 = u − u = (k1 x + k 2 y ) − (h1 x + h2 y ) =


= (k1 − h1) x + (k 2 − h2 ) y
⎛ 1 −2 4 ⎞
⎜
⎟
A = ⎜ −2 4 −8 ⎟
⎜ 3 −6 12 ⎟
⎝
⎠
 
 
L’altra condició perquè B = {x, y } sigui base és que x , y són
linealment independents, per la qual cosa l’única possibilitat
perquè es doni la igualtat anterior és que:
Existeix algun element, per exemple, a11 = 1, diferent de zero
i es pot comprovar fàcilment que són nuls tots els menors
d’ordre dos que contenen aquest element i que el menor
d’ordre tres també és nul. Per tant:
  
rang A = rang {u ,v ,w } = 1
k1 – h1 = k2 – h2 = 0, o sigui: h1 = k1, h2 = k2
4.
  
Com que la dimensió de V3 és 3, u ,v ,w formen base si i només si són linealment independents.
  
Per a veure si u ,v ,w són linealment independents:
89
Bloc 2. Geometria > UNITAT 4. Vectors a l’espai (I)
Z
1 1 0
−2 0 1 = 3 − 1 + 2 = 4 ≠ 0
3 1 1
5
N
A = (7, –2, 3)M
per la qual cosa concloem que formen base de V3.
B = (2, 4, 1)
5
10
Y
5
Les coordenades dels vectors de la base canònica respecte
de la base són:
X
(1, 0, 0) = a (1, –2, 3) + b (1, 0, 1) + c (0, 1, 1)
Si M = (m1, m2, m3) i N = (n1, n2, n3), les components dels
vectors que intervenen en les igualtats anteriors són:
1= a +b
⎫
a = −1 4 ⎫
⎪
⎪
⎛ −1 5 −1 ⎞
0 = −2a + c ⎬ ⇒ b = 5 4 ⎬ ⇒ ( a,b,c ) = ⎜
, ,
⎟
⎝ 4 4 2 ⎠
⎪
⎪
0 = 3a + b + c ⎭
c = −1 2 ⎭

[AM ] = (m1 − 7, m2 − (−2), m3 − 3) =
= (m1 − 7, m2 + 2, m3 − 3)

[AN ] = (n1 − 7, n2 − (−2), n3 − 3) =
(0, 1, 0) = d (1, –2, 3) + e (1, 0, 1) + f (0, 1, 1)
= (n1 − 7, n2 + 2, n3 − 3)
0 = d +e
⎫
d = −1 4 ⎫
⎪
⎪
⎛ −1 1 1 ⎞
1 = −2d + f
, , ⎟
⎬ ⇒ e = 1 4 ⎬ ⇒ (d,e,f ) = ⎜
⎝ 4 4 2 ⎠
⎪
⎪
0 = 3d + e + f ⎭
f = 1 2 ⎭

[AB ] = (2 − 7, 4 − (−2), 1 − 3) = (−5, 6, −2)
Substituint en les igualtats anteriors:
(0, 0, 1) = g (1, –2, 3) + h (1, 0, 1) + i (0, 1, 1)

1 
[AM ] =
[AB ] ⇔
3
1
⇔ (m1 − 7, m2 + 2, m3 − 3) =
(−5, 6, −2)
3
0 = g +h
⎫
g = 1 4 ⎫
⎪
⎪
⎛ 1 −1 1 ⎞
⇒
h
= −1 4 ⎬ ⇒ ( g ,h,i ) = ⎜ ,
, ⎟
⎬
⎝ 4 4 2 ⎠
⎪
⎪
1 = 3g + h + i ⎭
i = 1 2 ⎭
0 = −2g + i
5.
m1 − 7 = −
 
Hem de trobar les components dels vectors x , y que verifiquen el sistema:
m3 − 3 = −
  
Sumant les dues equacions, obtenim 5 y = u + v , aleshores:
Com que M i N divideixen el segment AB en tres parts iguals,
s’ha de complir:


1 
2 
[AM ] =
[AB ] , [AN ] =
[AB ]
3
3
90
3
⇒ m2 = 0
⇒ m3 =
10
3
n2 + 2 = 4
n3 − 3 = −
Si ara considerem la segona equació, prenent components
per operar:
6.
3
n1 − 7 = −

1
1  
(u + v ) =
[(2, 3, 1) + (3, 2, 4)] =
y =
5
5
1
=
(5, 5, 5) = (1, 1, 1)
5


x = (1, 0, 2) , y = (1, 1, 1)
2
16
7
3

2 
[AN ] =
[AB ] ⇔
3
2
⇔ (n1 − 7, n2 + 2, n3 − 3) =
(−5, 6, −2)
3
Podem resoldre el sistema vectorial per reducció:
 
Les components dels vectors x , y buscats són:
⇒ m1 =
3
m2 + 2 = 2
  
3 y − x = u ⎫

  ⎬
x + 2 y = v ⎭

 
 

x + 2 y = v ⇒ x = v − 2 y = (3, 2, 4) − 2 (1, 1, 1) = (1, 0, 2)
5
4
3
⇒ n1 =
11
3
⇒ n2 = 2
⇒ n3 =
5
3
⎛ 11
5 ⎞
⎛ 16
7 ⎞
, 2,
Per tant, M = ⎜
⎟ .
, 0,
⎟ i N = ⎜
⎝ 3
3 ⎠
⎝ 3
3 ⎠
7.
a) D’acord amb l’exercici resolt, el baricentre del tetraedre és
el punt H que verifica:


[AH ] = 3 [HG ]
sent G el baricentre de la cara oposada al vèrtex A, és a dir,
del triangle BCD.
Les coordenades del baricentre H són les incògnites:
H = (h1, h2, h3)
Les coordenades del baricentre G del triangle BCD són:
Bloc 2. Geometria > UNITAT 4. Vectors a l’espai (I)
⎛ 1 + (−2) + 2 −1 + 7 + 1 6 + (−4) + 4 ⎞
G = ⎜
,
,
⎟ =
⎝
⎠
3
3
3
⎛ 1 7
⎞
= ⎜ ,
, 2 ⎟
⎝ 3 3
⎠
 
Per tant, les components dels vectors [AH ] i [HG ] són:

[AH ] = (h1 − 3, h2 − 5, h3 − 2)
Exercicis i problemes
1vectors EN l’espai tridimensional
1. Són vectors fixos equipol·lents els que tenen el mateix
mòdul, direcció i sentit, aleshores:
 
  
AB , DC , HG són equipol·lents. AD , EH són equipol·lents.
 
 

CB , GF són equipol·lents. AE , CG són equipol·lents. AE no
és equipol·lent a cap altre.
9.
Els vectors fixos són els parells ordenats de punts:
Ja podem expressar la igualtat vectorial en components:
⎛ 1
⎞
7
= 3 ⎜
− h1,
− h2 , 2 − h3 ⎟
⎝ 3
⎠
3
h1 − 3 = 1 − 3 h1
⇒ h1 = 1
h2 − 5 = 7 − 3 h2 ⇒ h2 = 3
h3 − 2 = 6 − 3 h3 ⇒ h3 = 2
El baricentre del tetraedre és el punt H = (1, 3, 2).
b) Sabem que el baricentre del tetraedre és el punt H que
verifica:


[AH ] = 3 [HG ]
sent G el baricentre del triangle BCD, oposat al vèrtex A.
Les coordenades del baricentre G del triangle BCD són:
⎛ −1 + 4 + 0 2 + 2 + (−1) 1 + 1 + 1 ⎞
G = ⎜
,
,
⎟ =
⎝
⎠
3
3
3
= (1, 1, 1)
Per tant, si H = (h1, h2, h3) són les coordenades que busquem, les components dels vectors que intervenen en
l’equació inicial són:

[AH ] = (h1 − 1, h2 − 5, h3 − 1)

[HG ] = (1 − h1, 1 − h2 , 1 − h3 )
Pàg. 123
8.

⎛ 1
⎞
7
− h1,
− h2 , 2 − h3 ⎟
[HG ] = ⎜
⎝ 3
⎠
3
(h1 − 3, h2 − 5, h3 − 2) =
(pàg. 123 a 126)
  
AA , BB , CC ,
 
AB , DE ;
 
AC , DF ;
 
BC , EF ;
  
AD , BE , CF ;


AE ;
EA ;


AF ;
FA ;


BF ;
FB ;
  
DD , EE , FF ;
 
BA , ED ;
 
CA , FD ;
 
CB , FE ;
  
DA , EB , FC ;


BD ;
DB ;


CD ;
DC ;


CE ;
EC .
Hem agrupat els vectors fixos equipol·lents en llistar els vectors fixos, per la qual cosa tenim 21 vectors lliures diferents.
10. Un vector fix és un parell de punts ordenat. Per tant, tindrem
tants vectors fixos com a parells ordenats puguem formar
amb els quatre vèrtexs, que són variacions amb repetició de 4
elements presos de 2 en 2:
VR4, 2 = 42 = 16
D
C
Si expressem aquesta equació en components:
(h1 – 1, h2 – 5, h3 – 1) = 3 (1 – h1, 1 – h2, 1 – h3) =
= (3 – 3h1, 3 – 3h2, 3 – 3h3)
Igualant component a component:
n1 − 7 = −
10
3
n2 + 2 = 4
n3 − 3 = −
4
3
⇒ n1 =
11
3
⇒ n2 = 2
⇒ n3 =
5
3
Les coordenades del baricentre del tetraedre són:
H = (1, 2, 1)
A
B
Vectors fixos equipol·lents defineixen el mateix vector lliure,
per la qual cosa hi haurà com a molt 16 vectors lliures.
Per cada vector fix que forma un costat del rectangle, n’hi ha
un d’equipol·lent que forma el costat oposat;
aleshores hem de restar
8
2
= 4 vectors.
Els vectors fixos que formen la diagonal no són equipol·lents a
cap altre, aleshores cadascun dóna lloc a un vector lliure.
Els vectors fixos que formen els extrems són tots equipol·lents,
aleshores hem de restar 4 –­ 1 = 3 vectors.
Tenim, doncs, 16 – 4 – 3 = 9 vectors lliures.
91
Bloc 2. Geometria > UNITAT 4. Vectors a l’espai (I)

La recta que passa pel seu extrem, I, i que té la direcció de w
 
talla la base de l’ortoedre, generada per u i v , en el punt mig,
anomenem-lo Q.





Es té: [AI ] = [AQ ] + [QI ]
i com que Q és el punt mig de la base:

 1 
[AQ ] = u + v
2



[QI ] = 2w
11. Tenim tants vectors fixos com parells ordenats de punts, és a
dir:
VR4, 2 = 42 = 16
D


 1 

aleshores: [AI ] = u + v + 2w
2

Vector AJ :


El representant de AJ amb origen A és AJ .

La recta que passa pel seu extrem, J, i que té la direcció de w
talla la base de l’ortoedre en el punt mig d’aquesta, Q.



Per tant: [AJ ] = [AQ ] + [QJ ]
C
i com que Q és el punt mig de la base:
A

 1 
[AQ ] = u + v
2



[QI ] = w
B
   
D’aquests, només són equipol·lents els nuls, AA , BB , CC i DD
, ja que tots els altres difereixen en la direcció o en el sentit.
Així, hi ha 16 – (4 – 1) = 13 vectors lliures diferents.
12. Activitat TIC

 1  
aleshores: [AJ ] = u + v + w
2

—— El vector u no es pot expressar com a combinació lineal
 
  
de v i w perquè u , v i w són no coplanaris i, per tant, linealment independents.
 
14. a) a, b són linealment independents, perquè no estan alineats.
2
operacions amb Pàg. 123
vectors lliures
 

13. Escollim com a representants de u , v i w els de la figura, que
tenen origen comú en el punt A.

Vector [AC ]:


El representant de [AC ] amb origen A és [AC ].

[AC ], C, i que té la direcció
La recta que
 passa per l’extrem de
 
del vector w talla la cara de l’ortoedre generada per u i v en
el punt Q = C.



Per tant: [AC ] = [AQ ] + [QC ]


 
i com que [AQ ] = [AC ] = 2 u + v




[QC ] = [CC ] = 0 = 0 w

 

 
resulta: [AC ] = 2 u + v + 0 w = 2 u + v


Vector AI :




El representant de AI amb origen A és AI .
92
 
Per tant, rang {a, b} = 2.
 
b) a, e són linealment dependents, perquè estan alineats.

 
 
Així, rang {a, e} = 1, ja que {a, e} ≠ {0} .
  
c) a, b , c són linealment dependents, perquè són coplanaris.


a i b són independents, per tant
D’altra banda,
  
rang {a, b, c} = 2.
  
d) a, b , d són linealment independents, perquè no són coplanaris.
  
Així, doncs, rang {a, b, d} = 3.
  
e) a, c , e són linealment dependents, perquè són coplanaris.
 
Tanmateix, els vectors a, c , per exemple, són linealment
  
independents, aleshores rang {a, c, e} = 2.
   
f) a, b , c , d són linealment dependents, perquè són més de
tres vectors de V 3.
  
Ara bé, com que a,
b , d són linealment independents,


 
aleshores rang {a, b, c, d} = 3 .
Bloc 2. Geometria > UNITAT 4. Vectors a l’espai (I)
15. a) Per la regla del paral·lelogram:
16. a)
E

 
u + w = [AF ]
u + v – w
v – w
F
D
w
b)
u + w
A
u




b) Com que v = [EH ] i −w = [HD ],



 
v − w = [EH ] − [HD ] = [ED ]
v
E
C
u
c)
u + v
A
u
v
H
u + v + w
–w
v – w
d)
u + v
A
u
w
v
D
     
 

c) u + v + w = u + w + v = (u + w ) + v
1
u + v + w
2

  

AF és un representant
 de u + w i AB de v . Per la regla
del paral·lelogram, AG és un representant de la suma:

  
u + v + w = [AG ]
w
1
u + v
2
A
e)
1
u
2
v
G
F
u+w
u + 2v
u + 2v 1+
2
u+v+w
B
A
w
1
w
2
2v
u
v
A
     
 

d) u + v − w = u + (v − w ) = (v − w ) + u

 
 
Com que v − w = [ED ] i u = [DC ],



  
u + v − w = [ED ] + [DC ] = [EC ]
1
1
u + v +
2
2
w
1
u + v
2
A
1
w
2
1
u
2
v
93
Bloc 2. Geometria > UNITAT 4. Vectors a l’espai (I)
17. a)

  1 
[AQ ] = u + v + w
2
e)
M
1w
2
J
v
u+v
G
A
u
1u
2

1  1 
[AM ] =
u+ w
2
2

 


[GJ ] = 2 (u + v ) = 2 u + 2 v
b)
3 bases
Pàg. 113 a 115
 

18. Vegem que u , v i w són linealment independents.
N
v
A
u

 
[AN ] = u + v
1 2 −4
−1 1 2
12 4
= 4 + 4 + 8 − 4 + 4 + 8 = 24 ≠ 0

Així, són independents i per tant w no pot ser combinació li

neal de u i de v .
  
19.Com que la dimensió de V3 és 3, u , v , w formen base si i noc)
P
més si són linealment independents.
  
Per a veure si u , v , w són linealment independents:
1 −6 1
w
2
1 5
−2
7 3
=
= 3 + 14 + 60 – (–2 – 36 + 35) = 80 ≠ 0
v
A
u+v
u

  
[AP ] = u + v + w
d)
per la qual cosa concloem que formen base.
20. — Busquem els coeficients a, b, c ∈ R tals que:




x = au + bv + cw
Expressem els vectors en la base implícita en l’enunciat:
(–3, 1, –9) =
Q
= (a, 2a, –2a) + (–6b, b, 7b) + (c, 5c, 3c) =
1
2w
v
94
A
= a (1, 2, –2) + b (–6, 1, 7) + c (1, 5, 3) =
= (a – 6b + c, a + b + 5c, –2a + 7b + 3c)
u+v
u
Bloc 2. Geometria > UNITAT 4. Vectors a l’espai (I)
−3 = a − 6 b + c
⎫
a=5
⎪
1 = 2 a + b + 5 c ⎬ ⇒ b = 1
⎪
c = −2
−9 = −2 a + 7 b + 3 c ⎭


  
Les components de x en la base {u, v , w } són x = (5, 1 –2).
21. a)



[BF ] = w , aleshores: [BF ] = (0, 0, 1) en la base B.
F


5 u + 6 v = 5 (2, 0, −1) + 6 (−3, 1, 2) =
= (5 ⋅ 2, 5 ⋅ 0, 5 ⋅ (−1)) + (6 ⋅ (−3), 6 ⋅ 1, 6 ⋅ 2) =
= (10, 0, −5) + (−18, 6, 12) =
w
= (10 + (−18), 0 + 6, −5 + 12) = (−8, 6, 7)
  
b) u + v − w = (2, 0, −1) + (−3, 1, 2) − (4, −2, 7) =
B
= (2 + (−3) − 4, 0 + 1 − (−2), −1 + 2 − 7) =
= (−5, 3, −6)
  1 
c) 2 u − v +
w =
3
23. Hem d’expressar cadascun dels vectors com una combinació
= 2 (2, 0, −1) − (−3, 1, 2) +
1
(4, −2, 7) =
3
= (2 ⋅ 2, 2 ⋅ 0, 2 ⋅ (−1)) − (−3, 1, 2) +
⎛ 1
⎞
1
1
+ ⎜
⋅ 4,
⋅ (−2),
⋅ 7 ⎟ =
⎝ 3
⎠
3
3
⎛ 4
2 7 ⎞
= (4, 0, −2) − (−3, 1, 2) + ⎜ , − ,
⎟ =
⎝ 3
3 3 ⎠
⎛
4
2
7 ⎞
= ⎜ 4 − (−3) +
, 0 −1−
, −2 − 2 +
⎟ =
⎝
3
3
3 ⎠
⎛ 25
5
5 ⎞
= ⎜
, − , − ⎟
⎝ 3
3
3 ⎠
  
22. Els vectors u , v , w són base, perquè són tres vectors de V3 no
coplanaris.
Per a trobar les components de qualsevol vector en la base
  
B = {u, v , w }, hem d’expressar aquest vector com una combinació lineal dels vectors de la base:


  
[AG ] = u + v + w , aleshores: [AG ] = (1, 1, 1) en la base B.
G
w
v
A
u


 
[EG ] = u + v , aleshores: [EG ] = (1, 1, 0) en la base B.
E
G
u
v
lineal de cada base i quedar-nos els coeficients:








• [AA] = 0 = 0 x + 0 y + 0 z = 0 x + 0 y + 0 t

aleshores [AA] = (0, 0, 0) en totes dues bases.








• [AB ] = x = 1 x + 0 y + 0 z = 1 x + 0 y + 0 t

aleshores [AB ] = (1, 0, 0) en totes dues bases.







• [AC ] = 1 x + 1 y + 0 z = 1 x + 1 y + 0 t

aleshores [AC ] = (1, 1, 0) en totes dues bases.








• [AD ] = y = 0 x + 1 y + 0 z = 0 x + 1 y + 0 t

aleshores [AD ] = (0, 1, 0) en totes dues bases.





 
• [AE ] = 0 x + 0 y − 2 z = 0 x − 1 y + t , aleshores:

[AE ] = (0, 0, −2) en la base B1.

[AE ] = (0, −1, 1) en la base B2.







• [AF ] = 1 x + 0 y − 2 z = 1 x − 1 y + 1 t , aleshores:

[AF ] = (1, 0, −2) en la base B1.

[AF ] = (1, −1, 1) en la base B2.







• [AH ] = 0 x + 1 y − 2 z = 0 x + 0 y + 1 t , aleshores:

[AG ] = (1, 1, −2) en la base B1.

[AG ] = (1, 0, 1) en la base B2.







• [AG ] = 1 x + 1 y − 2 z = 1 x + 0 y + 1 t , aleshores:

[AH ] = (0, 1, −2) en la base B1.

[AH ] = (0, 0, 1) en la base B2.
⎛ 0 1 3 ⎞
⎜
⎟
24. Sigui A = ⎜ 4 −1 0 ⎟
⎜ 1 2 5 ⎟
⎝
⎠
Com que
  |A|
 = 24 + 3 – 20 = 7 ≠ 0, rang
 (A) = 3, aleshores
rang {u ,v ,w } = rang (A ) = 3, i per tant, u ,v ,w són linealment
independents.
  

Com que u ,v ,w són base de V3, podem expressar
   s ∈ V3 de
manera única com a combinació lineal de u ,v ,w , això és:
∃ k1, k2, k3 ∈ R únics tals que:




s = k1 u + k 2 v + k 3 w
Si expressem cada vector en la base de l’enunciat, operem i
igualem component a component, obtenim:
95
BLOC 2. GEOMETRIA > UNITAT 4 VECTORS EN L’ESPAI (I)
⎫
k1 = −2
⎪
k2 = 5
4 k1 − k 2 = −13 ⎬ ⇔
⎪
k1 + 2 k 2 + 5 k 3 = 3 ⎭
k 3 = −1
  


Les components de s en la base u ,v ,w són, doncs, s =
= (–2, 5, –1).
k2 + 3 k3 = 2
25. Hem

de trobar
 tres nombres reals a, b, c tals que
s = au + bv + cw . Prenent components:
(–5, –3, –1) = a (1, 2, 3) + b (–4, 1, 7) + c (0, –2, –5) =
= (a, 2a, 3a) + (–4b, b, 7b) + (0, –2c, –5c) =
−5 = a − 4b
⎫
⎪
⇔ −3 = 2a + b − 2c ⎬ ⇔ a = −1,b = 1,c = 1
⎪
−1 = 3a + 7b − 5c ⎭
  

L’expressió
de s com a combinació lineal de u ,v ,w és

  
s = −u + v + w .
26. a) 1. Escrivim l’equació:
k1 (4, 1, –5) + k2 (2, 3, –8) + k3 (10, 0, –7) = (0, 0, 0)
2. Igualem component a component i resolem:
k1 = −3 λ
⇔
k2 = λ
k3 = λ
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
3. C om que
el sistema té solucions no trivials, els vectors
 
u , v i w són linealment dependents.
b) 1. Hem de resoldre l’equació:
k1 (2, 0, 9) + k2 (3, –1, 2) + k3 (5, –1, 4) = (0, 0, 0)
2. Igualem component a component i obtenim un sistema:
2 k1 + 3 k 2 + 5 k 3 = 0 ⎫
⎪
−k 2 − k 3 = 0 ⎬ ⇔ k1 = k 2 = k 3 = 0
⎪
9 k1 + 2 k 2 + 4 k 3 = 0 ⎭
  
3. Com que l’única solució és la trivial, els vectors u , v , w
són linealment independents.
c) 1. Considerem l’equació:
k1 (3, –2, 5) + k2 (–3, 5, 2) + k3 (0, 3, 7) = (0, 0, 0)
2. Igualant component a component i resolent el sistema:
3k1 − 3k 2 = 0
⎫
⎪
−2k1 + 5k 2 + 3k 3 = 0 ⎬ ⇔ k1 = λ,k 2 = λ,k 3 = −λ
⎪
5k1 + 2k 2 + 7k 3 = 0 ⎭
3. C
 que el sistema té solucions no trivials, els vectors
 om
u ,v ,w són linealment dependents.
d) 1. Plantegem l’equació:
k1 (1, –2, –3) + k2 (–2, 4, 4) + k3 (–6, 3, 0) = (0, 0, 0)
2. Hem d’igualar component a component i resoldre:
k1 − 2 k 2 − 6 k 3 = 0 ⎫
⎪
−2 k1 + 4 k 2 + 3 k 3 = 0 ⎬ ⇔ k1 = k 2 = k 3 = 0
⎪
−3 k1 + 4 k 2 = 0 ⎭
96
—— Calculem el rang de cada conjunt de vectors:
a)Col·loquem
   verticalment les components dels vectors u ,v i w i obtenim la matriu A:
⎛ 4 2 10 ⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 1 3 0 ⎟
⎜ −5 −8 −7 ⎟
⎝
⎠
4 2
= 10,
1 3
diferent de zero i com que els vectors són linealment
dependents, el rang de A no pot ser 3, aleshores:
  
rang A = rang {u ,v ,w } = 2
Existeix un menor d’ordre 2, per exemple,
= (a – 4b, 2a + b – 2c, 3a + 7b – 5c) ⇔
4 k1 + 2 k 2 + 10 k 3 = 0 ⎫
⎪
k1 + 3 k 2 = 0 ⎬
⎪
−5 k1 − 8 k 2 − 7 k 3 = 0 ⎭
  
3. Com que l’única solució és la trivial, els vectors u , v , w
són linealment independents.
b)Col·loquem
   verticalment les components dels vectors u ,v i w i obtenim la matriu A:
⎛ 2 3 5 ⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 0 −1 −1 ⎟
⎜ 9 2 4 ⎟
⎝
⎠
És fàcil comprovar que el determinant de la matriu A
2 3 5
és diferent de zero, és a dir, 0 −1 −1 = 14, i com
9 2 4
que els vectors són linealment independents s’obté:
  
rang A = rang {u ,v ,w } = 3
c)Col·loquem
   verticalment les components dels vectors u ,v i w i obtenim la matriu A:
⎛ 3 −3 0
⎜
A = ⎜ −2 5 3
⎜ 5 2 7
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
Existeix un menor d’ordre 2, per exemple, 3 −3 = 9
−2 5
diferent de zero i com que els vectors són linealment
dependents, el rang de la matriu A no pot ser 3, aleshores:
  
rang A = rang {u ,v ,w } = 2
d)Col·loquem
   verticalment les components dels vectors u ,v i w i obtenim la matriu A:
⎛ 1 −2 −6 ⎞
⎜
⎟
A = ⎜ −2 4 3 ⎟
⎜ −3 4 0 ⎟
⎝
⎠
Els vectors són linealment independents, per tant, el
rang de la matriu només pot ser 3, és a dir:
  
rang A = rang {u ,v ,w } = 3
27. Perquè tres vectors de V3 no formin base, han de ser linealment
dependents, és a dir, el determinant de la matriu A les columnes de la qual són les components dels vectors ha de ser 0.
Bloc 2. Geometria > UNITAT 4. Vectors a l’espai (I)
⎛ k 2 0
⎜
En el nostre cas: A = ⎜ k k 0
⎜ 1 2 k
⎝
k 2 0
k k 0
1 2k
A =
k 2
k k
=k
0 = (k – 1) (k + 1)(2 – k) ⇔ k = 1, k = –1 o k = 2
  
Així, els vectors u , v , w són linealment dependents si i
només si k = 1, k = –1 o k = 2.
⎞
⎟
⎟ aleshores:
⎟
⎠

= k (k 2 − 2 k) = k 2 (k − 2)
Així, |A | = 0 ⇔ k2 (k – 2) = 0 ⇔ k = 0 o k = 2.
  
Per tant, u , v , w no són base si i només si k = 0 o k = 2.
⎛ 1 k 1 ⎞
  
⎜
⎟
28. Considerem A = ⎜ 2 1 2 ⎟ . Perquè u , v i w siguin linealment
⎜ k 2 3 ⎟
⎝
⎠
1k 1
2 1 2
k 2 3
ment dependents si i només si:
2k 2
1 3 3
k 1 1
0=
= −1 − k (6 − 2k) + (4 − k) = 2k 2 − 7k + 3
0 = 3 k2 – 7 k + 2 ; k = 2 o k =
1
.
3
  
Així, u , v , w són linealment dependents ⇔ k = 2 o k = 1 .
3
  
{u,v ,w } < 3.
Sigui A la matriu obtinguda
  en col·locar verticalment les components dels vectors u ,v i w .
|A |= 0 ⇔ 2k 2 – 7k + 3 = 0 ⇔ k =
1
2
⎛ 1 k 1 ⎞
⎜
⎟
A = ⎜ k 3 1 ⎟
⎜ k 1 1 ⎟
⎝
⎠
ok=3
Per tant,
|A |≠ 0 ⇔ k ≠
⎧ 1
⎫
i k ≠ 3 ⇔ k ∈ R – ⎨ , 3 ⎬
⎩ 2
⎭
2
1
  
Perquè el rang {u ,v ,w } = rang A < 3, s’ha de complir que:
1k 1
|A| = k 3 1 = 0
k 11
  
⎧ 1
⎫
Concloem que u , v , w són base ∀ k ∈ R – ⎨ , 3 ⎬ .
⎩ 2
⎭



29. Els vectors x = (2, k, 3), y = (3, −2, k), z = (1, 1, −1) són linealment dependents si i només si:
0=
= k (3 k − 6) − 4 + (6 − k),
32. Tres vectors de V3, u ,v i w són linealment dependents si rang
Ara,
2

  
independents, hem d’imposar |A |≠ 0.
A =

31. Els vectors u = (2, 1, k), v = (k, 3, 1), w = (2, 3, 1) són lineal-
|A| = 3 + 1 + k 2 − 3k − 1 − k = 0 ⇔ k 2 − 4k + 3 = 0
3 1
k −2
1
= (k2 + 6) – (2k – 9) – (–4 – 3k),
3 k −1
0 = k2 + k + 19 ⇔ k =
−1 ±
−75
2
Desenvolupem el determinant i obtenim una equació de segon grau:
Les solucions d’aquesta equació són k1 = 1 i k2 = 3.
  
Els vectors u ,v i w seran linealment dependents per a k = 1 i
k = 3.
∈ R, aleshores:
  
x, y , z no són linealment dependents per a cap valor
de k, és a dir, són linealment independents per a tot valor de
k ∈ R.
⎛ 2 0 1 ⎞
⎜
⎟
30. a) Sigui A = ⎜ k 1 k ⎟
⎜ 1 3 k ⎟
⎝
⎠
  
{u, v , w } són linealment dependents ⇔
⇔ rang (A < ) 3 ⇔ |A | = 0
0 = |A | = –4k + 3k – 1 = –k – 1 ⇔ k = –1
  
Així, u , v , w són linealment dependents si i només si k = –1.
⎛ 1 k 1 ⎞
⎜
⎟
b) A = ⎜ k 1 2 ⎟ , aleshores rang (A < ) 3 ⇔ |A | = 0.
⎜ k 1 k ⎟
⎝
⎠
Desenvolupant el determinant:
0 = |A | = k + 2k2 + k – k – k3 – 2 = –k3 + 2k2 + k – 2
Si descomponem aquest polinomi per Ruffini:

33. a) 1. La matriu
formada per les components dels vectors u ,
 
v , w , s col·locades verticalment és:
⎛ 2 3 4 −1 ⎞
⎜
⎟
A = ⎜ −5 2 1 6 ⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝ 3 2 4 2 ⎠
2 3 4
2. −5 2 1
3 2 4
= 17 és un menor no nul d’ordre 3, i no
existeixen menors d’ordre major, aleshores:
   
rang {u, v , w , s} = rang (A) = 3
   
3. Un subconjunt de {u, v , w , s} tingui el màxim nombre
  
de vectors linealment independents és {u, v , w } , perquè els corresponen les columnes del menor no nul
d’ordre màxim que hem trobat.
  
b) La matriu formada per les components dels vectors u ,v ,w
i s disposades verticalment és:
97
Bloc 2. Geometria > UNITAT 4. Vectors a l’espai (I)
Si k = –1, la solució és a = –2, b = –1, aleshores:
⎛ 2 3 5 −1 ⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 0 −1 −1 1 ⎟
⎜ 2 2 4 0 ⎟
⎝
⎠

 
w = −2 u − v
2 3
El menor
= −2 és no nul, i tots els menors d’ordre
0 −1
3 que el contenen són nuls. Així:
   
rang A = rang {u ,v ,w , s } = 2
Podem trobar com a molt 2 vectors linealment indepen   
 
dents entre u ,v ,w , s ; per exemple, {u ,v } ja que la matriu
dels seus components té un menor no nul d’ordre màxim.


 
 
34. Els vectors e1, e2 i e3 formen base si els tres vectors són linealment independents.

 
 

Per a veure si e1, e2 , e3 són linealment independents:
1 0 0
0 1 0 =1≠ 0
0 0 1
per la qual cosa concloem que els vectors formen base.
Característiques de la base canònica:
—— Els tres vectors són linealment independents.
—— Qualsevol vector és una combinació lineal dels vectors que
conformen la base.
—— Els mòduls de cadascun dels vectors són unitaris.
—— És una base ortogonal perquè els seus vectors són perpendiculars dos a dos.
—— És una base ortonormal perquè és una base ortogonal.
35. Sabem que tres vectors de V3 són linealment dependents si i
només si el determinant de la matriu que té per columnes les
components d’aquests vectors en certa base és 0.
En el nostre cas:
−2 k 5
0 1k
= 0 − (5 k + 6) + k
(k 2
+ 2 k),
0 = k3 + 2k2 – 5k – 6 = (k + 1) (k – 2) (k + 3) ⇔
⇔ k = –1, k = 2 o k = –3
 

Per a expressar w com a combinació lineal de u , v hem de
trobar dos nombres reals a, b tals que:



w = au + bv
Prenent components:
(3, 5, k) = a ( k, –2, 0) + b (k, k, 1) =
= (ka, –2a, 0) + (kb, kb, b) =
= (ka + kb, –2a + kb, b)
3 = k a + k b ⎫ , b = k
⎪
k a = 3 − k2
5 = −2 a + k b ⎪
⎬
k2 − 5
⎪
a=
k =b
⎪⎭
2
98
1
2
, b = 2, aleshores:


1 
w = − u + 2v
2
Si k = –3, la solució és a = 2, b = –3, aleshores:



w = 2 u − 3v
36. a) Col·loquem verticalment les components dels vectors i obtenim la matriu A:
⎛ −6 4 −5 ⎞
⎜
⎟
A = ⎜ −8 3 −3 ⎟
⎜ 3 4 −8 ⎟
⎝
⎠
És fàcil comprovar que el determinant de la matriu A és
−6 4 −5
diferent de zero, és a dir, −8 3 −3 = −15, aleshores els
3 4 −8
tres vectors són linealment independents.
b) Col·loquem verticalment les components dels vectors i obtenim la matriu A:
⎛ 3 9 ⎞
⎜
⎟
A = ⎜ −1 −8 ⎟
⎜ 9 −1 ⎟
⎝
⎠
És fàcil comprovar que tots els determinants d’ordre 2 són
diferents de zero. És a dir:
3 9
3 9
−1 −8
= −15;
= −84;
= 73
−1 −8
9 −1
9 −1
Per tant, els dos vectors són linealment independents.
k k 3
0=
Si k = 2, la solució és a = −
⎫
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪⎭
c) Col·loquem verticalment les components dels vectors i obtenim la matriu A:
⎛ k 4 −2k ⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 0 k −2 ⎟
⎜ 2 −2 k ⎟
⎝
⎠
Perquè els vectors siguin linealment dependents s’ha de
complir que rang A < 3, és a dir que:
k 4 −2k
|A| = 0 k −2 = 0
2 −2 k
Desenvolupem el determinant i obtenim una equació de
tercer grau:
|A| = k 3 + 4k 2 − 4k − 16 = 0 ⇔ k = 2,k = −2,k = −4
Per tant, els vectors seran linealment dependents per a k =
–4, k = –2 o k = 2 i seran linealment independents per a
tots els altres.
Bloc 2. Geometria > UNITAT 4. Vectors a l’espai (I)
37. Resolem per substitució el sistema vectorial:
Aleshores:
  
2 x + y = u ⎫

  ⎬
x − 3 y = v ⎭
(5, –4, 1) = (3 – a1, 2 – a2, –7 – a3)

Aïllant y en la primera equació i substituint en la segona, obtenim:
 




1
(3 u + v )
x − 3 (u − 2 x) = v , x =
7
i realitzant aquesta operació en components:

1
[3 (7, −3, 5) + (−14, −5, 13)] = (1, −2, 4)
x =
7
Per tant:
 

y = u − 2 x = (7, −3, 5) − 2 (1, −2, 4) = (5, 1, −3)
⇒ a1 = −2
⇒ a2 = 6
1 = −7 − a3 ⇒ a3 = −8

L’origen del vector AB és, doncs, A = (–2, 6, –8).
42. • Punt I:
En el sistema de referència R1:


⎛ 1
⎞
 1 
[AI ] = x +
, 0 ⎟
y ⇒ I = ⎜1,
⎝
⎠
2
2
En el sistema de referència R2:


⎛ 1
⎞
1   
[FI ] =
u + v + w ⇒ I = ⎜ , 1, 1⎟
⎝ 2
⎠
2
La solució del sistema és:


x = (1, −2, 4) , y = (5, 1, −3)

5 = 3 − a1
−4 = 2 − a2


38. Els vectors u = (1, a, b) , v = (0, 2, c) i w = (0, 0, 3) són li-
F
nealment dependents si i només si:
0=
1 0 0
a 2 0
b c 3
FI
=6
i com que aquesta igualtat és sempre falsa, independentment
  
del valor de a, b, c concloem que u , v i w són sempre linealment independents.
En el sistema de referència R1:

⎛
⎞
1  
1
[AJ ] =
, 1⎟
y + z ⇒ J = ⎜ 0,
⎝
⎠
2
2
vectors donats. Una possible solució és (–1, 1, 2)
de l’espai


Pàg. 115
I
• Punt J:
39. Existeixen infinits vectors que formaran base de V3 amb els
4 coordenades d’un punt AI
A
En el sistema de referència R2:

⎛ 1
 1 
1 
1 ⎞
[FJ ] =
u + 2 v + w ⇒ J = ⎜ , 2,
⎟
⎝ 2
2
2 ⎠
2

40. [AB ] = b − a = (1, 6, −3) − (7, 2, −1) = (−6, 4, −2)

Per a trobar l’extrem D d’un representant de [AB ]l’origen del
qual sigui el punt C, imposem que:


[CD ] = [AB ], és a dir:
 


(−6, 4, −2) = [AB ] = [CD ] = d − c =
F
AJ
–6 = d1 – 3 ⇒ d1 = –3
4 = d2 – 4 ⇒ d2 = 8
–2 = d3 + 5 ⇒ d3 = –7
L’extrem d’aquest vector és D = (–3, 8, –7).

41. L’origen del vector fix AB és el punt A, i el seu extrem, el punt
B.
FJ
A
= (d1, d 2 , d 3 ) − (3, 4, −5) = (d1 − 3, d 2 − 4, d 3 − (−5))
Igualant component a component:
J
• Punt K:
En el sistema de referència R1:

⎛ 1
⎞
 1  
[AK ] = x +
, 1⎟
y + z ⇒ K = ⎜1,
⎝ 2
⎠
2
En el sistema de referència R2:

⎛ 1
1   1 
1 ⎞
[FK ] =
u + v + w ⇒ K = ⎜ , 1,
⎟
⎝ 2
2
2 ⎠
2
Si les coordenades d’aquests punts són A = (a1, a2, a3) i

B = (b1, b2, b3), sabem que les components del vector [AB ]
són:

[AB ] = (b1 – a1, b2 – a2, b3 – a3)
F
FK
AK
D’acord amb l’enunciat:

B = (3, 2, –7) i [AB ] = (5, –4, 1)
A
99
Bloc 2. Geometria > UNITAT 4. Vectors a l’espai (I)
43. Si anomenem P = (p1, p2, p3) les coordenades de P:

[AP ] = (p1 – 1, p2 – 5, p3 – 0) = (p1 – 1, p2 – 5, p3)

[AB ] = (1 – 1, –4 – 5, 9 – 0) = (0, –9, 9)
Per tant, la igualtat inicial expressada en components és:
⎛ 4
⎞
(h1 − 4, h2 − 6, h3 − 2) = 3 ⎜
− h1, 2 − h2 , 2 − h3 ⎟
⎝ 3
⎠
i si igualem component a component:
Substituint en l’equació de l’enunciat:

4 
[AP ] =
[AB ]
9
(p1 – 1, p2 – 5, p3) = (0, –4, 4)
p1 − 1 = 0 ⇒ p1 = 1
h1 − 4 = 4 − 3 h1 ⇒ h1 = 2
h2 − 6 = 6 − 3 h2 ⇒ h2 = 3
h3 − 2 = 6 − 3 h3 ⇒ h3 = 2
Les coordenades del baricentre són H = (2, 3, 2).
p2 − 5 = −4 ⇒ p2 = 1
46. Com que M, N, P divideixen el segment AB en quatre parts
p3 = 4 ⇒ p3 = 4
iguals, s’ha de complir:
El punt P buscat és P = (1, 1, 4).
Z
44. Com que A, B i C són tres extrems consecutius d’un
A = (1, 2, 5)
paral·lelogram, s’obté:


[BA] = [CD ] ,
M
en què:

[BA] = (1 – 2, 3 – 1, 5 – 4) = (–1, 2, 1)

[CD ] = (d1 – (–3), d2 – 0, d3 – 1) =
= (d1 + 3, d2, d3 – 1)
Substituint en la igualtat vectorial:
(–1, 2, 1) = (d1 + 3, d2, d3 – 1)
−1 = d1 + 3 ⎫
⎪
2 = d2
⎬
⎪
1 = d 3 − 1⎭
d1 = −4
⇒
d2 = 2
d3 = 2
amb la qual cosa D = (–4, 2, 2).

1 
[AM ] =
[AB ]
4

2 
[AB ]
[AN ] =
4

3 
[AB ]
[AP ] =
4
m1 − 1 = −2
m2 − 3 = −
3
1
2

1 
[AM ] =
[AB ]
4
(m1 − 1, m2 − 2, m3 − 5) =
(−3 − 1, 0 − 3, 1 − 5)
m2 − 2 =
⇒ m1 = −1
⎛
⎞
3
Per tant: M = ⎜ −1,
, 3 ⎟
⎝
⎠
2
45. Sabem que el baricentre del tetraedre ABCD és el punt H pel
qual es compleix:


[AH ] = 3 [HG ], sent G el baricentre del triangle BCD.
Considerem H = (h1, h2, h3).
Les coordenades del punt G són les del baricentre del triangle
BCD:
⎛ 2 + 3 + (−1) 7 + 0 + (−1) 3 + 2 + 1 ⎞
G = ⎜
,
,
⎟ =
⎝
⎠
3
3
3
⎛ 4
⎞
= ⎜ , 2, 2 ⎟
⎝ 3
⎠
1
1
4
⇒ m1 =
2
1
⇒ m2 =
2
m3 − 5 = −
3
2
2
m3 − 5 = −2 ⇒ m3 = 3
100
B = (3, 4, -1)
X
m1 − 1 =
⇒ m2 =
Y
podem expressar les igualtats anteriors en components i deduir el valor de les coordenades de M, N, P:
Així:
(m1 − 1, m2 − 3, m3 − 5) =
P
Si M = (m1, m2, m3), N = (n1, n2, n3), P = (p1, p2, p3), i tenint
en compte que:

[AB ] = (3 – 1, 4 – 2, –1 – 5) = (2, 2, –6)
Si M és el punt mig del paral·lelogram, es compleix:

1 
[AM ] =
[AC ]
2
N
3
2
⇒ m3 =
(2, 2, −6)
3
2
5
2
7
2
Anàlogament:
(n1 − 1, n2 − 2, n3 − 5) =
2
(2, 2, −6) ⇒
4
⇒ n1 = 2, n2 = 3, n3 = 2
(p1 − 1, p2 − 2, p 3 − 5) =
⇒ p1 =
5
2
, p2 =
7
2
3
4
(2, 2, −6) ⇒
, p3 =
1
2
Les coordenades dels punts buscats són, doncs:
⎛ 3 5 7 ⎞
⎛ 5 7 1 ⎞
M = ⎜ ,
,
,
⎟ , N = (2, 3, 2) , P = ⎜ ,
⎟
⎝ 2 2 2 ⎠
⎝ 2 2 2 ⎠
47. Es compleix que:


(1) 4 [AM ] = [AB ]




(2) [AM ] = [MN ] = [NP ] = [PB ]
Bloc 2. Geometria > UNITAT 4. Vectors a l’espai (I)
Com que A, B, C, D divideixen el segment MN en cinc parts
iguals, s’ha de complir:





[MA] = [AB ] = [BC ] = [CD ] = [DN ] =
1 
1
=
[MN ] =
(6 − 1, −3 − 2, 8 − 3) = (1, −1, 1)
5
5
B
P
N
M
A
Així, doncs:



[OA] = [OM ] + [MA] = (1, 2, 3) + (1, −1, 1) =
Si imposem la igualtat (1), component a component:
= (2, 1, 4)



[OB ] = [OA] + [AB ] = (2, 1, 4) + (1, −1, 1) =
4 (m1 – a1, m2 – a2, m3 – a3) =
= (b1 – a1, b2 – a2, b3 – a3)
4 (m1 − a1) = b1 − a1 ⎫
⎪
⎪
4 (m2 − a2 ) = b2 − a2 ⎬
⎪
⎪
4 (m3 − a3 ) = b3 − a3 ⎭
m1 =
⇒
m2 =
m3 =
b1 + 3 a1
4
b2 + 3 a2
4
b 3 + 3 a3
4
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬
⎪
⎪
⎪
⎭
= (3, 0, 5)

[OC ] = (3, 0, 5) + (1, −1, 1) = (4, −1, 6)

[OD ] = (4, −1, 6) + (1, −1, 1) = (5, −2, 7)
Així, les coordenades dels punts A, B, C, D són:
A = (2, 1, 4) , B = (3, 0, 5)
C = (4, –1, 6) , D = (5, –2, 7)
Així,
⎛
M = ⎜
⎝
⎛
= ⎜
⎝
⎛
= ⎜
⎝
b1 + 3 a1
4
1+ 3 ⋅ 7
4
11
2
, 3, −
,
,
b2 + 3 a2
4
6+3⋅2
4
,
b3 + 3 a3 ⎞
⎟ =
⎠
4
49. Si M, N, P, Q divideixen el segment AB en cinc parts iguals,
s’ha de complir:
−3 + 3 ⋅ (−1) ⎞
,
⎟ =
⎠
4


1 
2 
[AM ] =
[AB ] ; [AN ] =
[AB ]
5
5
3 ⎞
⎟
2 ⎠


4 
3 
[AB ] ; [AQ ] =
[AB ]
[AP ] =
5
5
Per tant,

[AM ] = (m1 − a1, m2 − a2 , m3 − a3 ) =
Z
5
⎛ 11
⎞ ⎛ 3
3
1 ⎞
= ⎜
− 7, 3 − 2, −
− (−1) ⎟ = ⎜ − , 1, − ⎟
⎝ 2
⎠ ⎝ 2
2
2 ⎠
A = (–1, 4, 1)
Finalment, si apliquem (2):





[ON ] = [OM ] + [MN ] = [OM ] + [AM ] =
M NP Q
⎛ 11
3 ⎞ ⎛ 3
1 ⎞
= ⎜
, 3, − ⎟ + ⎜ − , 1, − ⎟ = (4, 4, −2)
⎝ 2
2 ⎠ ⎝ 2
2 ⎠





[OP ] = [ON ] + [NP ] = [ON ] + [AM ] =
⎛ 3
1 ⎞ ⎛ 5
5 ⎞
= (4, 4, −2) + ⎜ − , 1, − ⎟ = ⎜ , 5, − ⎟
⎝ 2
⎠
⎝
2
2
2 ⎠
Les coordenades dels punts M, N, P són:
⎛ 11
⎛ 5
3 ⎞
5 ⎞
M = ⎜
, 3, − ⎟ , N = (4, 4, −2) , P = ⎜ , 5, − ⎟
⎝ 2
⎝ 2
2 ⎠
2 ⎠
48.
Z
N = (6, –3,D 8)
C
B
A
M = (1, 2, 3)
Y
X
B = (2, 9, 3)
5
X
10
Y
2
Si M = (m1, m2, m3), N = (n1, n2, n3), P = (p1, p2, p3),
Q = (q1, q2, q3) són les coordenades dels punts que busquem,
les components dels vectors que intervenen en les igualtats
anteriors són:

[AM ] = (m1 − (−1), m2 − 4, m3 − 1) =
= (m1 + 1, m2 − 4, m3 − 1)

[AN ] = (n1 + 1, n2 − 4, n3 − 1)

[AP ] = (p1 + 1, p2 − 4, p 3 − 1)

[AQ ] = (q1 + 1, q2 − 4, q 3 − 1)

[AB ] = (2 − (−1), 9 − 4, 3 − 1) = (3, 5, 2)
Substituint en les igualtats anteriors i igualant component a
component, obtenim:

1 
[AM ] =
[AB ] ⇔
5
⇔ (m1 + 1, m2 − 4, m3 − 1) =
1
5
(3, 5, 2)
101
Bloc 2. Geometria > UNITAT 4. Vectors a l’espai (I)
m1 + 1 =
3
5
m2 − 4 = 1
m3 − 1 =
2
5
2
⇒ m1 = −
Cas b: B es troba entre A i C.
C
5
⇒ m2 = 5
7
⇒ m3 =
5

2 
[AN ] =
[AB ] ⇔
5
2
⇔ (n1 + 1, n2 − 4, n3 − 1) =
(3, 5, 2)
5
n1 + 1 =
6
5
n2 − 4 = 2
n3 − 1 =
4
5
5
⇒ n2 = 6


[BC ] = 2 [BA]
9
⇒ n3 =
⇔ (p1 + 1, p2 − 4, p 3 − 1) =
9
5
p2 − 4 = 3
p3 − 1 =
6
5
5
⇒ p1 =
3
5
(3, 5, 2)
4
5
⇒ p2 = 7
⇒ p3 =
11
q1 + 1 =
5
q2 − 4 = 4
q3 − 1 =
8
5
⇒ q1 =
7
5
⇒ q2 = 8
⇒ q3 =
13
5
⎛ 2
⎛ 1
7 ⎞
9 ⎞
Per tant, M = ⎜ − , 5,
⎟ , N = ⎜ , 6,
⎟ ,
⎝ 5
⎝ 5
5 ⎠
5 ⎠
⎛ 4
11 ⎞
⎛ 7
13 ⎞
P = ⎜ , 7,
⎟ i Q = ⎜ , 8,
⎟ .
⎝ 5
5 ⎠
⎝ 5
5 ⎠
50. La situació de l’enunciat correspon a dos casos possibles diferents. En cadascun d’ells, tanmateix, podem traduir vectorialment la situació sense pèrdua d’informació:
Cas a: A es troba entre B i C.
B
A
Podem expressar les components dels vectors que intervenen
en aquestes equacions en funció de les coordenades dels
punts A, B, C = (c1, c2, c3):

[BC ] = (c1 − 3, c 2 − 2, c 3 − 1)

[BA] = (1 − 3, 0 − 2, −2 − 1) = (−2, −2, −3)
Expressant les equacions en components, podem determinar
les coordenades de C:
En el cas a:


[BC ] = 2 [BA]
5

4 
[AQ ] =
[AB ] ⇔
5
4
⇔ (q1 + 1, q2 − 4, q 3 − 1) =
(3, 5, 2)
5
12
A
1
⇒ n1 =

3 
[AP ] =
[AB ] ⇔
5
p1 + 1 =
B
(c1 – 3, c2 – 2, c3 – 1) = 2 (–2, –2, –3)
c1 − 3 = −4 ⇒ c1 = −1
c 2 − 2 = −4 ⇒ c 2 = −2
c 3 − 1 = −6 ⇒ c 3 = −5
En el cas b:


[BC ] = 2 [BA]
(c1 – 3, c2 – 2, c3 – 1) = –2 (–2, –2, –3)
c1 − 3 = 4 ⇒ c1 = 7
c2 − 2 = 4 ⇒ c2 = 6
c3 − 1 = 6 ⇒ c3 = 7
Així, les coordenades del cim C poden ser:
C = (–1, –2, –5) o C = (7, 6, 7)
51. Com que la base de la piràmide és un paral·lelogram (perquè
és un quadrat), el seu punt mig divideix les diagonals en dues
parts iguals.

Així, com que AC = (4 – 2, 1 – 3, –2 – 4) = (2, –2, –6) és una
de les diagonals, el punt O ha de complir:

1 
[AO ] =
[AC ],
2
que podem expressar en components si indiquem les coordenades del punt O com O = (o1, o2, o3):
C
(o1 − 2, o 2 − 3, o 3 − 4) =
o1 − 2 = 1


[BC ] = 2 [BA]
102
1
2
(2, −2, −6) = (1, −1, −3)
⇒ o1 = 3
o 2 − 3 = −1 ⇒ o 2 = 2
o 3 − 4 = −3 ⇒ o 3 = 1
Bloc 2. Geometria > UNITAT 4. Vectors a l’espai (I)
Les coordenades del punt mig de la base són O = (3, 2, 1).
52. a) El simètric de A respecte de B és el punt F tal que


[AB ] = [BF ] .
Si F = (f1, f2, f3), podem expressar la igualtat anterior en
components:
té rang 2, doncs, per exemple,
−1 6
−1 9
= −3 ≠ 0 és un
menor no nul, concloem que els punts A, B, C no estan alineats.
55. Sí. Per exemple, un punt qualsevol P té les mateixes coorde 
(–2 – 2, 1 – 3, 5 – 4) = (f1 – (–2), f2 – 1, f3 – 5)
nades en els sistemes de referència R1 = {P; x, y , z} i
     
  
R2 = {P; u, v , w }, que són diferents si u ≠ x , v ≠ y o w ≠ z :
−4 = f1 + 2 ⇒ f1 = −6
P = (0, 0, 0)
−2 = f2 − 1 ⇒ f2 = −1
1 = f3 − 5 ⇒ f3 = 6
SÍNTESI
El simètric de A respecte de B és F = (–6, –1, 6).
b) El simètric de E respecte del centre de la base O és,
d’acord amb la definició, el punt G = (g1, g2, g3) per al
qual:


[EO ] = [OG ]
Si prenem components:
(3 – 6, 2 – 8, 1 – 0) = (g1 – 3, g2 – 2, g3 – 1)
−3 = g 1 − 3 ⇒ g 1 = 0
−6 = g 2 − 2 ⇒ g 2 = −4
56. Dos vectors fixos són equipol·lents si i només si són representants del mateix vector lliure.




Així, AB és equipol·lent a CD ⇔ [AB ] = [CD ].
 
Si D = (d1, d2, d3), sabem expressar [AB ] i [CD ] en funció de
les coordenades dels seus orígens i els seus extrems:

[AB ] = (1 – 1, –1 – 2, 1 – 3) = (0, –3, –2)

[CD ] = (d1 – 0, d2 – 2, d3 – (–5)) =
= (d1, d2 – 2, d3 + 5)


Si expressem en components la igualtat [AB ] = [CD ]:
1 = g3 − 1 ⇒ g3 = 2
El simètric de E respecte de O és G = (0, –4, 2).
(0, –3, –2) = (d1, d2 – 2, d3 + 5)

53. Els
 punts A, B, C estan alineats si i només si els vectors AB i
Ara bé, dos vectors lliures són linealment dependents si i només si tenen la mateixa direcció o algun és nul.

Per
 tant, A, B, C estan alineats si i només si els vectors [AB ] i
[AC ] són linealment dependents.
Per a obtenir un criteri d’alineació en funció
de les
coordenades dels punts, expressarem els vectors [AB ] i [AC ] en components:

[AB ] = (b1 – a1, b2 – a2, b3 – a3)

[AC ] = (c1 – a1, c2 – a2, c3 – a3)
 
Finalment, com que el rang del conjunt {[AB ], [AC ] } coincideix amb el de la matriu
de la qual són les comles columnes

ponents dels vectors [AB ] i [AC ] , podem afirmar:
⎛ b − a c − a ⎞
1
1
1
⎜ 1
⎟
rang ⎜ b2 − a2 c 2 − a2 ⎟ < 2
⎜
⎟
⎝ b3 − a3 c 3 − a3 ⎠
−3 = d 2 − 2 ⇒ d 2 = −1
−2 = d 3 + 5 ⇒ d 3 = −7
Les coordenades del punt D són D = (0, –1, –7).
57. El mòdul, la direcció i el sentit no determinen completament
un vector fix, perquè cal conèixer, a més, el seu origen o el
seu extrem.
En canvi, sí que determinen completament un vector lliure,
perquè aquest està format pels vectors fixos que tenen el mateix mòdul, la mateixa direcció i el mateix sentit.
58. a)Tres vectors de V3 formen base si i només si són linealment independents.
  
Els vectors
u , v , t són linealment independents ⇔ rang
  
{u, v , t } = 3 ⇔ |A | ≠ 0, sent A la matriu les columnes
de
  
la qual són les components dels vectors u , v , t .
Com que
A =
54. D’acord amb aquest mètode aplicat als punts:
A = (–2, –3, 1) , B = (–3, –4, 0) , C = (4, 6, –2)
com que
⎛ b − a c − a ⎞ ⎛ −3 − (−2) 4 − (−2)
1
1
1
⎜ 1
⎟ ⎜
⎜ b2 − a2 c 2 − a2 ⎟ = ⎜ −4 − (−3) 6 − (−3)
⎜
⎟ ⎜
−2 − 1
⎝ b3 − a3 c 3 − a3 ⎠ ⎝ 0 − 1
⎛ −1 6 ⎞
⎜
⎟
= ⎜ −1 9 ⎟
⎜
⎟
⎝ −1 −3 ⎠
⇒ d1 = 0
0 = d1
AC tenen la mateixa direcció o algun és nul.
A, B, C estan alineats si i només si:
Pàg. 126
⎞
⎟
⎟ =
⎟
⎠
1 2 1
4 5 1
7 8 2
= −3 − (−6) + 2 ⋅ (−3) =
= −3 ≠ 0
  
tenim que u , v , t són base.
  

b) Busquem les components (a, b, c) de w en la base u , v , t ,
és a dir, els reals a, b, c que compleixen:




w = au + bv + c t
Si treballem amb aquesta igualtat en components:
(3, 6, 9) = a (1, 4, 7) + b (2, 5, 8) + c (1, 1, 2) =
=
(a, 4a, 7a ) + (2b, 5b, 8b) + (c, c, 2c) =
103
Bloc 2. Geometria > UNITAT 4. Vectors a l’espai (I)


 
k1 a + k 2 b + k 3 c = 0
= (a + 2b + c, 4a + 5b + c, 7a + 8b + 2c)
⎫
3 = a + 2b + c
⎪
6 = 4 a + 5 b + c ⎬
⎪
9 = 7 a + 8 b + 2 c ⎭
a = −1
⇒
b =2
c =0
  


Les components de w en la base {u, v , t } són w = (–1, 2, 0).
59. a)Si M = (m1, m2, m3) són les coordenades del punt buscat,
podem expressar en components l’equació vectorial de
l’enunciat:


[AB ] = −2 [AM ]
(–5 – 3, 7 – (–5), 3 – 1) =
= –2 (m1 – 3, m2 – (–5), m3 – 1),
(–8, 12, 2) = (–2m1 + 6, –2m2 – 10, –2m3 + 2)
−8 = −2 m1 + 6
⇒ m1 = 7
12 = −2 m2 − 10 ⇒ m2 = −11
2 = −2 m3 + 2 ⇒ m3 = 0
El punt M té per coordenades M = (7, –11, 0).
b) Com que coneixem les coordenades dels punts A, B, M,
podem expressar la igualtat en components:


[MA] = k [MB ]
(3 – 7, –5 – (–11), 1 – 0) =
= k (–5 – 7, 7 – (–11), 3 – 0)
(–4, 6, 1) = (–12k, 18k, 3k)
i igualant component a component:
−4 = −12 k ⎫
⎪
1
6 = 18 k ⎬ ⇒ k =
3
⎪
1 = 3 k ⎭
60. a)Considerem la matriu que té per columnes les compo-
sent algun dels coeficients diferent de 0.
   
Si ara considerem els vectors a , b , c , d , tenim:

 


k1 a + k 2 b + k 3 c + 0 d = 0
i algun dels
coeficients és diferent de 0, la qual cosa significa
   
que a , b , c i d són linealment dependents.
 

62. Sigui 0, u1, ..., un un conjunt de vectors.
Sabem que són linealment dependents si i només si algun
d’ells es pot expressar com a combinació lineal de la resta.
Ara bé, el vector nul sempre es pot expressar com a combinació lineal de qualsevol conjunt de vectors:




0 = 0 u1 + 0 u2 + ... + 0 un
 

Aleshores 0, u1, ..., un són linealment dependents.
63. a) Activitat TIC
b) Activitat TIC
c) Els vectors que formen cada conjunt són linealment dependents ja que un dels vectors és combinació lineal dels
altres dos i es troben en el mateix plànol.
  
d) Els vectors u ,v i w són linealment independents ja que no
estan dibuixats sobre el mateix plànol.
  
e) Per l’apartat d) sabem que els vectors u ,v i w són lineal  
ment independents, per tant, {u ,v ,w } formen una base de
V3.
   
   
sevol de V4. Com que B és base, {u ,v ,w , z } és un sistema de
generadors, aleshores ∃k1,k 2 ,k 3 ,k 4 ∈  tals que





x = k1u + k 2v + k 3w + k 4 z


nents dels vectors a, b, c, d :
⎛ 3 2 1 5 ⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 4 1 3 5 ⎟
⎜
⎟
⎝ −3 −5 2 −8 ⎠
   
Sabem que rang {a, b, c, d} = rang (A).
La matriu A, per la seva banda, té un menor no nul d’ordre
3 2
= −5 ≠ 0 i tots els menors d’ordre
4 1
3 que el contenen són nuls. Aleshores rang (A ) = 2.
   
Així, rang {a, b, c, d} = 2.
 
no
b) Com que les components de a i b donen lloc a un menor
 
nul d’ordre màxim de la matriu A, els vectors a , b són li
nealment independents i el subconjunt {a, b} conté el
màxim nombre de vectors
linealment independents entre si
   
que es pot trobar en {a, b, c, d}.
2, per exemple
  
61. Que a , b , c siguin linealment dependents significa que algun
d’ells es pot expressar com a combinació lineal de la resta o,
equivalentment, que ∃ k1, k2, k3, ∈ R tal que:
104

64. Sigui B = {u ,v ,w , z } una base de V4 i x ∈ V4 un vector qual-
Vegem que k1,k 2 ,k 3 ,k 4 són únics:
Suposem que ∃h1,h2 ,h3 ,h4 ∈  tals que:





x = h1u + h2v + h3w + h4 z
En aquest cas:
 








0 = x − x = (k1u + k 2v + k 3w + k 4 z ) − (h1u + h2v + h3w + h4 z ) =




= (k1 − h1 ) u + (k 2 − h2 ) v + (k 3 − h3 ) w + (k 4 − h4 ) z
   
L’altra condició perquè B = {u ,v ,w , z } sigui base és que
   
u ,v ,w , z són linealment independents, per la qual cosa l’única
possibilitat perquè es doni la igualtat anterior és que:
k1 − h1 = k 2 − h2 = k 3 − h3 = k 4 − h4 = 0
És a dir:
k1 = h1, k 2 = h2 , k 3 = h3 , k 4 = h4
65. Resposta oberta
Bloc 2. Geometria > UNITAT 4. Vectors a l’espai (I)
Imagen 01
66. a)
Y
0 = d + e ⎫
d = 1 2 ⎫
⎪
⎪
⎛ 1 −1 1 ⎞
1 = d + f ⎬ ⇒ e = − 1 2 ⎬ ⇒ (d,e,f ) = ⎜ ,
, ⎟
⎝ 2 2 2 ⎠
⎪
⎪
0 = e + f ⎭
f = 1 2 ⎭
(0,1,0)
(0, 0, 1) = g (1, 1, 0) + h (1, 0, 1) + i (0, 1, 1)
(0,0,0)
(1,0,0)
Z
X
g = − 1 2 ⎫
0 = g + h ⎫
⎪
⎪
⎛ −1 1 1 ⎞
0 = g + i ⎬ ⇒ h = 1 2 ⎬ ⇒ ( g ,h,i ) = ⎜
, , ⎟
⎝ 2 2 2 ⎠
⎪
⎪
1 = h + i ⎭
i = 1 2 ⎭
(0,0,1)
Imagen 02
b) La força que exerceix la gravetat sobre un cos s’anomena
pes, que és la massa (m) per la gravetat (g).
—— La matriu de canvi de base de la base canònica a la base
B és:
⎛ 1
1 −1
⎜ 2
2
2
⎜
1
−1
1
⎜ 2
2 2
⎜
⎜ −1 2 1 2 1 2
⎝
mg
67. (–1, 0, 1) = a (3, –2, –1) + b (2, –1, 2) + c (0, 0, 1)
−1 = 3a + 2b
⎫
a = 1 ⎫
⎪
⎪
0 = −2a − b
⎬ ⇒ b = −2 ⎬ ⇒ ( a,b,c ) = (1, −2, 6 )
⎪
⎪
1 = −a + 2b + c ⎭
c = 6 ⎭
Avaluació
1.
(1, 1, 0) = d (3, –2, –1) + e (2, –1, 2) + f (0, 0, 1)
1 = 3d + 2e
⎫
d = 1 ⎫
⎪
⎪
⎬ ⇒ e = −2 ⎬ ⇒ (d,e,f ) = ( −3, 5 − 13 )
⎪
⎪
0 = −d + 2e + f ⎭
f = 6 ⎭
1 = −2d − e
(1, 2, 3) = g (3, –2, –1) + h (2, –1, 2) + i (0, 0, 1)
⎧ −1 = d1 ⇒ d1 = −1
⎪
(−1, −1, 0) = (d1,d 2 − 2,d 3 + 1) ⇒ ⎨ −1 = d 2 − 2 ⇒ d 2 = 1
⎪
⎩ 0 = d 3 + 1 ⇒ d 3 = −1
⎫
g = 1 ⎫
⎪
⎪
2 = −2g − h ⎬ ⇒ h = −2 ⎬ ⇒ ( g ,h,i ) = ( −5, 8, −18 )
⎪
⎪
3 = −g + 2h + i ⎭
i = 6 ⎭
⎛ 1 −3 −5 ⎞
⎜
⎟
8 ⎟
⎜ −2 5
⎜ 6 −13 −18 ⎟
⎝
⎠
  
Les coordenades del punt D són D = (–1, 1, –1).
2.
 
a) −u + v = (–1 + 2, –2 + 1, –1 + 0) = (1, –1, –1)
 
b) v + w = (2 + 0, 1 + 1, 0 – 1) = (2, 2, –1)
 
c) u + v = (1 + 2, 2 + 1, 1 + 0) = (3, 3, 1)
  
d) −u + v + w = (–1 + 2 + 0, –2 + 1 + 1, –1 + 0 – 1) =
68. Com que la dimensió de V3 és 3, u ,v ,w formen base si i només si són linealment independents.
  
Per a veure si u ,v ,w són linealment independents:
1 1 0
1 0 1 = −1 − 1 = −2 ≠ 0
0 1 1
e)
f)
g)
per la qual cosa concloem que els vectors formen base de V3.
—— Les coordenades dels vectors de la base canònica respecte de la base són:
(1, 0, 0) = a (1, 1, 0) + b (1, 0, 1) + c (0, 1, 1)
1 = a + b ⎫
a = 1 2 ⎫
⎪
⎪
⎛ 1 1 −1 ⎞
0 = a + c ⎬ ⇒ b = 1 2 ⎬ ⇒ ( a,b,c ) = ⎜ , ,
⎟
⎝ 2 2 2 ⎠
⎪
⎪
0 = b + c ⎭
c = −1 2 ⎭
(0, 1, 0) = d (1, 1, 0) + e (1, 0, 1) + f (0, 1, 1)
(pàg. 128)
Dos vectors fixos són equipol·lents si i només si són representants del mateix vector lliure.

 

Així, AB és equipolent a CD ⇔ AB = CD .
 
Si D = (d1, d2, d3), sabem expressar AB i CD en funció de les
coordenades dels seus orígens i dels seus extrems:

AB = B − A = (0 − 1, −1 − 0,1 − 1) = (−1, −1, 0)

CD = D − C = (d1 − 0,d 2 − 2,d 3 − (−1)) = (d1,d 2 − 2,d 3 + 1)
 
Si expressem en components la igualtat AB = CD :
1 = 3g + 2h
La matriu de canvi de base de B1 a B2 és la següent:
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
h)
= (1, 0, –2)
  
u − v + w = (1 – 2 + 0, 2 – 1 + 1, 1 – 0 – 1) = (–1, 2, 0)
  
u + v − w = (1 + 2 – 0, 2 + 1 – 1, 1 + 0 + 1) = (3, 2, 2)
1  1  1 
1   
u+ v − w =
(u + v + w ) =
2
2
2
2
1
1
= (1 + 2 + 0, 2 + 1 + 1, 1 + 0 – 1) = (3, 4, 0) =
2
2
= (3/2, 2, 0)

 
2u − 2v − w = (2, 4, 2) – (4, 2, 0) – (0, 1, –1) =
= (2 – 4 – 0, 4 – 2 – 1, 2 – 0 + 1) = (–2, 1, 3)
⎛ a1 + b1 a2 + b2 a3 + b3
,
,
⎝
2
2
2
⎛ 1 + 0 0 − 1 1 + 1 ⎞ ⎛ 1
= ⎜
,
,
⎟ = ⎜ ,
⎝ 2
2
2 ⎠ ⎝ 2
3. M = ⎜
⎞
⎟ =
⎠
⎞
,1⎟
⎠
2
−1
105
Bloc 2. Geometria > UNITAT 4. Vectors a l’espai (I)
4.
Observem que el rang d’aquesta matriu és 3 ja que el deter-
⎛ 2 3 3 ⎞
⎜
⎟   
Sigui A = ⎜ k k 2 ⎟, {u ,v ,w } són linealment dependents ⇔
⎜ 1 1 1 ⎟
⎝
⎠
−2 −6 −4
minant −2 −2 −8 = 48 és no nul. Per tant, es conclou que
1 −1 0
⇔ rang (A < ) 3 ⇔ |A | = 0
Per tant:
|A| = 2k + 6 + 3k − 3k − 4 − 3k = −k + 2 = 0 ⇔ k = 2
els punts A, B, C i D no estan alineats.
7.
  
Així, u ,v i w són linealment depenents si i només si k = 2.

1 
AM =
AB ,
3
—— Calculem el rang per als valors de k:
  
• Si k ≠ 2, els vectors u ,v i w són linealment
   independents, la qual cosa implica que rang {u ,v ,w } = 3.

AM = (a − 2,b − 0,c − (−1)) = (a − 2,b,c + 1)

AB = (1 − 2, −3 − 0, 2 − (−1)) = (−1, −3, 3)

AP = (d − 2,e − 0,f − (−1)) = (d − 2,e,f + 1)
Substituint en les igualtats anteriors es té:
2 3
= −2 és no nul, la qual cosa implica que
2 2
  
rang {u ,v ,w } = 2.
⎧
−1
⎪ a − 2 =
3
⎪

1 
1
AM =
AB ⇒ (a − 2,b,c + 1) = (−1, −3, 3) ⇒ ⎨b = −1
3
3
⎪
⎪c + 1 = 1
⎩
⇒ a = 5 3 , b = −1, c = 0
d’ordre
  
a) Com que la dimensió de V3 és 3, u ,v i w formen base si i
només si són linealment independents.
  
Per a veure si u ,v ,w són linealment independents:
⎧
−2
⎪d − 2 =
3
⎪

2
2 
AB ⇒ (d − 2,e,f + 1) =
(−1, −3, 3) ⇒ ⎨e = −2
AP =
3
3
⎪
⎪f + 1 = 2
⎩
⇒ d = 4 3 , e = −2, f = 1
1 2 0
2 1 1 = −1 + 2 + 4 = 5 ≠ 0
1 0 −1
per la qual cosa concloem que formen base de V3.
  

b) Per a trobar les components de t respecte
 de u ,v i w hem

de trobar els nombres reals a, b i c tals que t = au + bv + cw
Prenent components:
(3, 0, –1) = a (1, 2, 1) + b (2, 1, 0) + c (0, 1, –1)
⎫
a = −1⎫
⎪
⎪
0 = 2a + b + c ⎬ ⇒ b = 2 ⎬ ⇒ ( a,b,c ) = ( −1, 2, 0 )
⎪
⎪
−1 = a − c
c = 0 ⎭
⎭
3 = a + 2b


Per tant, les components de t són t = (–1, 2, 0).
6.
Els punts A, B, C i D estan alineats si
  
rang { AB , AC , AD } = 1
Calculem els vectors:

AB = B − A = ( 2 − 4, 3 − 5, 2 − 1) = ( −2, −2,1)

AC = C − A = ( −2 − 4, 3 − 5, 0 − 1) = ( −6, −2, −1)

AD = D − A = ( 0 − 4, −3 − 5,1 − 1) = ( −4, −8, 0 )
La matriu formada per aquests vectors és:
⎛ −2 −6 −4 ⎞
⎜
⎟
⎜ −2 −2 −8 ⎟
⎜ 1 −1 0 ⎟
⎝
⎠
106

2 
AP =
AB
3
Siguin M = (a, b, c) i P = (d, e, f), les components dels vectors
que intervenen en les igualtats anteriors són:
⎛ 2 3 3 ⎞
⎜
⎟
• Si k = 2, tenim A = ⎜ 2 2 2 ⎟ i que els vectors són li⎜ 1 1 1 ⎟
⎝
⎠
nealment dependents, per tant, rang (A < ) 3. El menor
5.
Com que M i P divideixen el segment AB en tres parts iguals,
s’ha de complir:
Per tant, M = (5/3, –1, 0) i P = (4/3, –2, 1).
8.
Sabem que el baricentre H del tetraedre verifica que:


AH = 3HG
sent G el baricentre del triangle BCD, oposat al vèrtex A.
Sigui D = (a, b, c), les coordenades del baricentre G del triangle BCD són:
⎛ −1 + 4 + a 2 + 2 + b 1 + 1 + c ⎞
G = ⎜
,
,
⎟ =
⎝
⎠
3
3
3
⎛ 3 + a 4 + b 2 + c ⎞
= ⎜
,
,
⎟
⎝ 3
3
3 ⎠
Per tant, les components dels vectors que intervenen en
l’equació inicial són:

AH = (1 − 1, 2 − 5,1 − 1) = (0, −3, 0)

⎛ 3 + a
⎞
4+b
2+c
3HG = 3 ⋅ ⎜
− 1,
− 2,
− 1⎟ = ( a,b − 2,c − 1)
⎝ 3
⎠
3
3
Igualant component a component:
0=a⇒a=0
−3 = b − 2 ⇒ b = −1
0 = c −1 ⇒ c = 1
Així que, les coordenades del punt D són D = (0, –1, 1).
Bloc 2. Geometria > UNITAT 4. Vectors a l’espai (I)
9.


Sigui
 =(a, b, c). Sabem que les components de w respecte
 w
de u ,v i w són (3, 4, 3). Aleshores:
Prenent components:
(2, 4, –2) = a (–1, 1, 1) + b (1, –1, 1) + c (1, 1, –1)
(2, –1, 3) = 3 (1, 1, 1) + 4 (1, 1, 0) + 3 (a, b, c)
2 = −a + b + c ⎫
a = 1 ⎫
⎪
⎪
4 = a − b + c ⎬ ⇒ b = 0 ⎬ ⇒ ( a,b,c ) = (1, 0, 3 )
⎪
⎪
−2 = a + b − c ⎭
c = 3 ⎭
Igualant component a component:
2 = 3 + 4 + 3a → a = –5/3
–1 = 3 + 4 +3b → b = –8/3
3 = 3 + 3c → c = 0

Per tant, les components de w són (–5/3, –8/3, 0).
⎛ 1 k k ⎞
⎜
⎟   
10. Sigui A = ⎜ 0 0 1 ⎟, {u ,v ,w } són linealment dependents ⇔
⎜ k 1 1 ⎟
⎝
⎠
⇔ rang (A < ) 3 ⇔ |A | = 0
Per tant: |A| = k 2 − 1 = 0 ⇔ k = 1, k = −1
  
Així, u ,v i w són linealment dependents si i només si
k = 1 o k = –1.
Busquem un altre vector de V3 que formi base amb dos dels
vectors inicials.
—— Si k = –1, s’obté:



u = (1, 0, –1), v = (–1, 0, 1), w = (–1, 1, 1)

lineal dels altres
Observem que el vector u éscombinació

dos vectors i que els vectors v i w són linealment independents. Per exemple,
  un vector que sigui linealment independent amb v i w , i que formin base, és (0, 0, 1) i així els
tres vectors són linealment independents ja que totes les
seves components són nul·les menys l’última.
—— Si k = 1, tenim:



u = (1, 0, 1), v = (1, 0, 1), w = (1, 1, 1)

lineal dels altres
En aquest cas, el vector u és combinació

dos vectors i els vectors v i w són linealment independents. Igual que per al cas k = –1, un vector que formi
base amb aquests dos vectors és (0, 0, 1).
  
11. Com que la dimensió de V3 és 3, u ,v ,w formen base si i només si són linealment independents.
  
Per a veure si u ,v ,w són linealment independents:
−1 1 1
1 −1 1 = −1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 4 ≠ 0
1 1 −1
per la qual cosa concloem que els vectors formen base de V3.

—— Determinem les coordenades de x en aquesta base. Hem
de trobar els nombres reals a, b i c tals que




x = au + bv + cw
 

Per tant, el resultat queda així: x = u + 3w
12. Sigui M = (a, b, c), s’obté:

MA = A − M = ( 4 − a, −3 − b, 8 − c )

BA = A − B = ( 4 − (−3), −3 − 4, 8 − (−6) ) = ( 7, −7,14 )
Substituint en l’equació de l’enunciat:

3 
3
MA =
BA ⇒ ( 4 − a, −3 − b, 8 − c ) =
( 7, −7,14 )
7
7
⎧ 4 − a = 3
⎧ a = 1
⎪
⎪
⇒ ⎨ −3 − b = −3 ⇒ ⎨b = 0
⎪
⎪
⎩ 8 − c = 6
⎩c = 2
Per tant, el punt M buscat és M = (1, 0, 2).
Zona +
(pàg. 129)
—— Vectors i enginyeria civil
• Altres noms que rep aquesta corba són: radioide d’arcs o
espiral de Cornú.
• Aquesta corba està catalogada com a corba de transició ja
que un vehicle que segueixi aquesta corba a velocitat constant tindrà una acceleració angular constant.
• L’avantatge és evitar discontinuïtats en l’acceleració centrípeta dels vehicles.
—— La posició a l’espai ens despista
• Resposta suggerida: En enginyeria, es va aplicar per a cintes magnetofòniques que poden gravar el doble de temps
que les normals. En arquitectura també s’han construït diferents escultures basades en la cinta de Möbius.
—— Sistemes de posicionament
• Existeixen altres sistemes de posicionament com per exemple el Sistema de posicionament Galileu.
• Les aplicacions que pot tenir el sistema GPS són la localització d’un vehicle, determinar la ubicació dels usuaris, serveis
d’emergència i socors…
107
BLOC 2. geometria
5
En context
Vectors a l'espai (II)
(pàg. 131)
a> Resposta oberta a manera de reflexió individual.
Problemes resolts
1.
b> Respostes suggerides:

Calculem u =
42 + (−12)2 + 32 = 13.
Així, doncs, els angles són:
—— Resposta oberta a manera de reflexió individual.
cos α1 =
—— Respostes suggerides: força, pressió, camp elèctric,
acceleració, velocitat, desplaçament, rajos d'incidència,
etc.
—— La regla del llevataps és un mètode per a determinar
direccions vectorials. Així, quan es fa girar un llevataps
“cap a la dreta” el llevataps “avança” i, viceversa.
Amplia
(pàg. 133)
—— Siguin ABC el triangle rectangle de la figura, recte en A.
Hem de veure que a2 = b2 + c2. Considerem
   
 
u = CA, v = AB yi w = CB
cos α 3 =
2.

 

u ⋅ v = u ⋅ v ⋅ cos 60° = 2 3 ⋅
Aleshores:
2 2
a2 = u + v = b 2 + c 2
Amplia
(pàg. 134)
—— Siguin:


Proyu v

Proy
Proj
Proj u v
cos (180º −α ) =
⇒ v =

v
cos (180º −α )

v


cos (180º −α ) =  ⇒ v = u cos (180º −α )
u
Si multipliquem aquestes dues expressions tenim:

Proj
 
Proyu v



v ⋅v =
⋅ u cos (180º −α ) = u ⋅ Proj
Proyu v
cos (180º −α )
2


⇒ v = u ⋅ Proj
Proyu v
Per tant, obtenim que el quadrat de la longitud d'un catet
és igual al producte de la longitud de la hipotenusa per la
longitud de la projecció del catet sobre aquesta.
3 ⋅
1
2
=3
b) (u − v) ⋅ (2 u − v) =

   
  
= u ⋅ 2u − u ⋅ v − v ⋅ 2 u + v ⋅ v =
   
   
= 2u ⋅ u − u ⋅ v − 2 u ⋅ v + v ⋅ v =
2
 
2
= 2 u − 3u ⋅ v + v =
= 2 ⋅ (2 3
 
 
Però u ⋅ v = 0 , ja que u i v són perpendiculars.
u3
3
⇒ α 3 = 76, 66°
 =
u
13
a) Per definició de producte escalar:
Així:
 2  
 
 
a 2 = w = w ⋅ w = (u + v ) ⋅ ( u + v ) =
       
= u ⋅u +u ⋅v +v ⋅u +v ⋅v =
2
  2
= u + 2u ⋅ v + v
u1
4
⇒ α1 = 72, 08°
 =
u
13
u2
−12
⇒ α2 = 157, 38°
 =
u
13
cos α2 =
c> Respostes suggerides:
—— Quan s'obre una ampolla de vi, el suro surt disparat en
el sentit de les agulles del rellotge ja que avança cap a
la dreta.
(pàg. 145 a 147)
)
2
−3⋅ 3+3 =
= 2 ⋅ 4 ⋅ 3 − 9 + 3 = 18
c)
 
 
 2
u − v = (u − v ) ⋅ (u − v ) =
       
= u ⋅ u −u ⋅ v −v ⋅ u +v ⋅ v =
 
2
2
= u − 2u ⋅ v + v =
= (2 3
)
2
−2⋅ 3+( 3
)
2
=
= 4⋅ 3−6+3 = 9
Anàlogament:
 
2u − v
2
 

= 2 u − 2 ⋅ 2u ⋅ v + v
 
2
2
= 4 u − 4u ⋅ v + v =
2
= 4 (2 ⋅
3
)
2
−4 ⋅ 3+( 3
)
2
2
=
=
= 4 ⋅ 4 ⋅ 3 − 12 + 3 = 39
 
Aleshores: u − v =
 
9 = 3 i 2u − v =
d) Per definició de producte escalar:
 
 
 
(u − v ) ⋅ (2u − v ) = u − v
39
 
2u − v cos α
 
 
sent α l'angle que busquem (el format per u − v i 2u − v ).
D'acord amb els apartats b i c:
cos α =
 
 
(u − v ) ⋅ (2u − v )
18
=
  =
 
u − v 2u − v
3 ⋅ 39
=
6
39
⇒ α = 16,10°
109
Bloc 2. geometria > UNITAT 5. Vectors a l'espai (II)
3.
L'àrea d'un triangle és la meitat de l'àrea del paral·lelepípede
que el conté. Calculem l'àrea d'aquest els vèrtexs del qual
coincideixen amb els del triangle. Per a fer-ho, trobem els
vectors que determinen les seves arestes i efectuem el producte vectorial.
 
 
u = BA = ( −2t + 1, 3 + t ,t + 4 ) ; v = BC = ( −1, −4, 5 )
6.
a) El volum del paral·lelepípede determinat per tres vectors
coincideix amb el valor absolut del seu producte mixt.
= k 2 − 4k + 3



j
k
i
 
u × v = −2t + 1 3 + t t + 4 = ( 9t + 31, 9t − 9, 9t − 1)
−1
−4
5
 
2
2
2
SP = u × v = ( 9t + 31) + ( 9t − 9 ) + ( 9t − 1) = 2 227
Així:
  
15 u 3 = Vp = [u, v , w ] = k 2 − 4k + 3 ⇔
⎧k 2 − 4k + 3 = 15 ⇔ k = 6 o k = −2
⎪
⎪o
⇔ ⎨
⎪ 2
4 ± −56
∉R
⎪⎩k − 4k + 3 = −15 ⇔ k =
2
⎧t 1 = −1 ⇒ A = ( 2, 2, −1)
⎪
⇒ ⎨
⎛ 10 22
5
5 ⎞
⇒ A ' = ⎜
,
, − ⎟
⎪t 2 = −
⎝ 9
9
9
9 ⎠
⎩
El volum del paral·lelepípede és 15 si i només si k = –2 o
k = 6.
Existeixen dos triangles que satisfan la condició de l'enunciat:
ABC i A’BC.




Calculem el vector [OA] i trobem els vectors M1 = [OA] × F1 i



M 2 = [OA] × F2 .

[OA] = (1 − (−1), 2 − 3, 3 − (−4)) = (2, −1, 7)



M1 = [OA] × F1 = (2, −1, 7) × (2, 5, −1) =
  
i j k
−1 7 
2 7 
i −
j +
= 2 −1 7 =
5 −1
2 −1
2 5 −1
2 −1
2 5
+
aleshores:
 
[OA] × v = (5, −3, 1) × (1, 1, 2) =
=

j

k
5 −3
1
1
2
1
+
5 −3
1 1
7.
Considerem els vectors:






u = [AB ] , v = [AC ] , w = [AD ]
=
−3 1
12

i −
D
w
C
v
A
5 1
1 2
les components del qual són:

u = (y − 3 − 2, y + x − y , 6 − 1) = (y − 5, x, 5)

v = (5 − 2, y − x − y , 5 − 1) = (3, −x, 4)

w = (3 − 2, 5 − y , 0 − 1) = (1, 5 − y , −1)
Determinem els valors de les incògnites x, y imposant les dades de l'enunciat.

j +




k = −7 i − 9 j + 8 k

 
Així, L = m ([OA] × v ) = 5 ⋅ (−7, −9, 8) = (–35, –45, 40), en
unitats SI.
110
Els vectors són linealment dependents si i només si k = 1 o
k = 3.
B

 
Calculem el vector [OA] i trobem [OA] × v :

[OA] = (7 − 2, −2 − 1, 1 − 0) = (5, −3, 1) m

i
⇔k =1 o k = 3
u




k = 19 i + 3 j − 5 k
2 −1
1 −3

Aleshores M 2 = (19, 3, −5), en unitats SI.
5.
b) Sabem que tres vectors de V3 són linealment dependents
si i només si el seu determinant és 0.
  
  
0 = u, v , w = [u, v , w ] = k 2 − 4k + 3 ⇔




k = −34 i + 16 j + 12 k

Aleshores M1 = (−34, 16, 12), en unitats SI.



M 2 = [OA] × F2 = (2, −1, 7) × (1, −3, 2) =
  
i j k
2 7 
−1 7 
i −
j +
= 2 −1 7 =
1 2
−3 2
1 −3 2
+
=
= 1 ⋅ (3 − k) + 0 + 1 ⋅ (k 2 − 3k) =
 
Apliquem SP = 2ST = u × v = 2 227
4.
1k k
0 3k
1 1 1
  
[u, v , w ] =
Que el triangle ABC sigui equilàter significa que els seus tres
costats tenen la mateixa longitud, és a dir:
⎧⎪ u = v
⎨ 

⎪⎩ u = [BC ]
⎧⎪ u
⇔ ⎨ 
⎪⎩ u
2
2
2
= v
 2
= [BC ]

Com que [BC ] = (5 – (y – 3), y – x – (y + x), 5 – 6) = (8 – y, –2x,
–1), el sistema anterior en components és:
Bloc 2. geometria > UNITAT 5. Vectors a l'espai (II)
(y − 5, x, 5)
2
(y − 5, x, 5)
2

c) v = (−1, −3, 6) =
⎫⎪
⎬
2
= (8 − y , −2x, −1) ⎪⎭
= (3, −x, 4)
2
⎫
⎬
(y − 5)2 + x 2 + 25 = (8 − y )2 + 4x 2 + 1⎪⎭
−3x 2
⇔
+ (y −
5)2
(y − 5)2 = 0 ⎫
⎬ ⇔
− (8 − y )2 + 24 = 0 ⎭⎪
y = 5 ⎫
⎬ ⇔ y = 5, x = ± 5
2
2
−3x + 0 − 3 + 24 = 0 ⎭
 
 
u ⋅v

d) cos (u,
v) =  
u v

0
5
0
4
= 12 5 = 12 5 u3
−1
  
Finalment, el volum del tetraedre generat per u , v i w és:
VT =
1
6
VP =
1
6
46
=
37 230
690
= (−1, 9, 2) =
(−1)2 + 92 + 22 =
86
 
b) u − v = (1, 2, 3) − (−2, 7, −1) =
c)
32 + (−5)2 + 42 =
50 = 5 2


3u − 2v = 3 ⋅ (1, 2, 3) − 2 ⋅ (−2, 7, −1) =
= (3, 6, 9) − (−4, 14, −2) = (7, −8, 11) =
72 + (−8)2 + 112 =
=


234 = 3 26

11. a) 2u ⋅ (v + w ) =
= 2 · (1, –1, 7) · [(–2, 0, 5) + (3, –3, 2)] =
5
3 − 5
1
37
3 5

= (3, −5, 4) =
x = 5,y =5
  
Per tant, els vectors u , v i w són:



u = (0, 5 , 5), v = (3, − 5 , 4), w = (1, 0, −1)
  
El volum del paral·lelogram generat per u , v i w és:
=
10. a) u + v = (1, 2, 3) + (−2, 7, −1) =
Com que ens diuen que x > 0, concloem que:
  
VP = [u, v , w ] =
46
=
(y − 5)2 + x 2 + 25 = 9 + x 2 + 16
(−1)2 + (−3)2 + 62 =
= 2 · (1, –1, 7) · (1, –3, 7) =
= 2 · [1 · 1 + (–1) · (–3) + 7 · 7] = 106
  
b) u ⋅ (w − u) =
= (1, -1, 7) – [(3, –3, 2) - (1, -1, 7)] =
12 5 = 2 5 u 3
= (1, –1, 7) · (2, –2, –5) =
= 1 · 2 + (–1) · (–2) + 7 · (–5) = 31
 
 
c) (u + v ) ⋅ (u − w ) =
Exercicis i problemes (pàg. 148 a 150)
= [(1, –1, 7) + (–2, 0, 5)] ·
1 Producte escalar
8.
Pàg. 148


Sigui v = ( a,b,c ) un vector ortogonal a u . S'ha de complir
que:
 
u ⋅ v = 0 ⇔ ( 2, −2, −1) ⋅ ( a,b,c ) = 0 ⇒ 2a − 2b − c = 0
Així, qualsevol terna de nombres a, b, c que compleixi la relació 2a – 2b – c = 0 n'és solució. En particular, si c = 0 i b = 1,
es té:
2a – 2 · 1 – 0 = 0 ⇔ a = 1


Aleshores, v = (1,1, 0 ) és un vector ortogonal a u . Calculem
el mòdul de v :

v = 12 + 12 + 02 = 2

1
Si multipliquem el vector v per  , obtindrem un altre vector
v


v ' de la seva mateixa
direcció
i
de mòdul, la unitat. Així, un

vector ortogonal a u i de mòdul 1 és:
⎞

 ⎛ 1

 ⎛ 2
⎞
1
2
v ' = ⎜
,
, 0 ⎟ ⇒ v ' = ⎜⎜
,
, 0 ⎟⎟
⎝ 2
⎠
2
2
⎠
⎝ 2
9.
Com que la base és ortonormal:
 
a) u ⋅ v = (2, −5, 4) ⋅ (−1, −3, 6) =
= 2 ⋅ (−1) + (−5) ⋅ (−3) + 4 ⋅ 6 = 37

b) u = (2, −5, 4) =
=
· [(1, –1, 7) – (3, –3, 2)] =
= (–1, –1, 12) · (–2, 2, 5) =
= (–1) · (–2) + (–1) · 2 + 12 · 5 = 60
 
 
d) (u − v ) ⋅ (u + v ) =
= [(1, –1, 7) – (–2, 0, 5)] ·
· [(1, –1, 7) + (–2, 0, 5)] =
= (3, –1, 2) · (–1, –1, 12) =
= 3 · (–1) + (–1) · (–1) + 2 · 12 = 22
12. Activitat TIC.

13. Busquem el vector AP a partir de la condició de l'enunciat:


4 
4
AP =
AB =
⋅ ( 0, −9, 9 ) = ( 0, −4, 4 ) ⇒ u = ( 0, −4, 4 )
9
9
 
Calculem, ara, el producte escalar entre u i v :
   
u ⋅ v = AP ⋅ AB = ( 0, −4, 4 ) ⋅ ( 0, 9, −9 ) = −72
14. Perquè la base sigui ortonormal, els vectors que la formen
han de ser ortogonals dos a dos (el seu productor escalar ha
de ser igual a 0) i unitaris (el seu mòdul ha de valer 1).
Efectuem el producte escala dels vectors que formen la base
dos a dos:
22 + (−5)2 + 42 =
45 = 3 5
111
BLOC 2. GEOMETRIA > UNITAT 5. VECTORS A L'ESPAI (II)
⎛ 1
⎞ ⎛
1
1
1
2 ⎞
u1 ⋅ u2 = ⎜
,
, 0 ⎟ ⋅ ⎜ −
,
,
⎟ =
⎝ 2
⎠ ⎝
2
6
6
6 ⎠
1
1
+
+0=0
=−
12
12
⎛ 1
⎞ ⎛ 1
1
1
1 ⎞
,
, 0 ⎟ ⋅ ⎜
,−
,
u1 ⋅ u 3 = ⎜
⎟ =
⎝ 2
⎠ ⎝ 3
2
3
3 ⎠
1
1
−
+0=0
=
6
6
⎛
1
1
2 ⎞ ⎛ 1
1
1 ⎞
,
,
,−
,
u2 ⋅ u 3 = ⎜ −
⎟ ⋅ ⎜
⎟ = 0
⎝
6
6
6 ⎠ ⎝ 3
3
3 ⎠
Com que el producte és igual a 0, podem afirmar que els vectors de la base B són ortogonals dos a dos; aleshores, la base
B és ortogonal.
Estudiem ara si els vectors de la base són unitaris:
u1 =
u2 =
2
2
2
⎛
1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 ⎞
⎜ −
⎟ + ⎜
⎟ + ⎜
⎟ = 1
⎝
6 ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ 6 ⎠
u3 =
⎛ 1 ⎞ ⎛
⎜
⎟ + ⎜ −
⎝ 3 ⎠ ⎝
2

18. Per la definició de treball, si α és l'angle format per la força F

amb el terra i [AB ] és el vector desplaçament:

 

W = F ⋅ [AB ] = F [ AB ] cos α

Com que el vector [AB ] és paral·lel al terra.


En el nostre cas, F = 48 N i [ AB ] = 16 m, aleshores:
W = 48 · 16 cos α = 768 cos α
Segons el valor de α:
a) α = 135° ⇒ W = 768 cos135° = –543, 06 J
⎛ 1 ⎞2 ⎛ 1 ⎞2
⎜
⎟ + ⎜
⎟ + 02 = 1
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
2


b) La projecció ortogonal de u sobre v mesura:
 
−7
7
u ⋅v
=
=

8
8
v
b) α = 75° ⇒ W = 768 cos75° = 198, 77 J
2
1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎟ + ⎜
⎟
3 ⎠ ⎝ 3 ⎠
=1
c) α = 45° ⇒ W = 768 cos45° = 543, 06 J
19. Per la definició de treball:
 
W = F ⋅ [AB ] = (8, 4, 2) ⋅ (4 − 3, 1 − 2, 0 − 1) =
= (8, 4, 2) ⋅ (1, −1, −1) =
= 8 ⋅ 1 + 4 ⋅ (−1) + 2 ⋅ (−1) = 2 J
Com que els tres vectors són unitaris, la base B és ortonormal.


15. Perquè el vector u sigui ortogonal al vector v , el seu producte
escalar ha de ser 0:
 
u ⋅ v = (1,k, 2k ) ⋅ (k,1, −1) = k + k − 2k = 0

D'altra banda, el mòdul de u ha de ser

u =
12 + k 2 + ( 2k )
2
=
20. Considerem els vectors:






u = [AB ] , v = [AC ] , w = [BC ]
B
21 , així que:
21 ⇒ 1 + 5k 2 = 21 ⇒ k = ±2

16. Calculem el mòdul del vector v i dividim aquest vector entre el
a
mòdul resultant ja que, com que el nou vector ha de ser
paral·lel, han de tenir el mateix sentit i direcció:

v =
22 + 62 + ( −3 )
2
=

 ⎛ 2 6
3 ⎞
49 = 7 ⇒ v ' = ⎜ , , − ⎟
⎝ 7 7
7 ⎠
17. D'acord amb la interpretació geomètrica
del producteescalar,

C
En el nostre cas:
 
u ⋅ v = 1 ⋅ (−7) + 6 ⋅ 3 + (−3) ⋅ 6 = −7

u = 12 + ( 6 )2 + (−3)2 = 4

v = (−7)2 + 32 + ( 6 )2 = 8
Aleshores:


a) La projecció ortogonal de v sobre u mesura:
 
−7
7
u ⋅v
=
=

4
4
u
112
v
b
u c
A
És clar que:
la projecció ortogonal d'un vector a sobre un vector b mesura:
 
a ⋅b

b
w

a= w


 

, b = v , c = u i A = u,
v
A més,
  
v = u +w
aleshores:
 2
 
 
 
a 2 = w = w ⋅ w = (v − u) ⋅ (v − u) =
       
= v ⋅ v +u ⋅ u −v ⋅ u −u ⋅ v =
2
 
2
= v + u − 2v ⋅ u
I d'acord amb la definició de producte escalar:
2
2
 
 
a 2 = v + u − 2 v u cos v
,u =
= b 2 + c 2 − 2bc cos Â
Bloc 2. geometria > UNITAT 5. Vectors a l'espai (II)
21. Considerem un rombe ABCD com el de la figura.
23. Activitat TIC.
Definim els vectors:




u = [AB ] , v = [AD ]
2 Producte vectorial
A
24. Com que la base és ortonormal:
u
v
 
a) u × v = (3, 1, 2) × (−2, 4, −7) =
B
 
i j

k
3 1
2
=
−2 4 −7
D
=
1

i −
2
3
2
−2 −7
4 −7



= −15i + 17 j − 14k ⇒
 
⇒ u × v = (−15, 17, 14)
C


Com que es tracta d'un rombe: u = v
D'altra banda, les diagonals són els segments que suporten
   
els vectors u + v i u − v (regla del paral·lelogram).
Per tant, per a veure que les diagonals són perpendiculars,
 
 
c a l v e u r e q u e (u + v ) ⊥ (u − v ) , é s a d i r, q u e
 
 
(u + v ) ⋅ (u − v ) = 0 :
 
 
       
(u + v ) ⋅ (u − v ) = u ⋅ u − u ⋅ v + v ⋅ u − v ⋅ v =
 
 
2
2
= u − u ⋅v + u ⋅v − v = 0
↑


u = v

Pàg. 149

 
b) u × w = (3, 1, 2) × (2, 1, −4) =
Per la regla del paral·lelogram, les diagonals corresponen als
   
vectors u + v i u − v .
3 1
−2 4
 
i j

k
3 1
2

k =
=
2 1 −4
=
1 2

i −
3
2

j +
31
21
2 −4
1 −4

 
 
= −6i + 16 j + k ⇒ u × w = (−6, 16, 1)

k =
 
c) v × w = (−2, 4, −7) × (2, 1, −4) =
  
i j k
= −2 4 −7 =
2 1 −4
22. Siguin u i v dos vectors concurrents que defineixen el
paral·lelogram considerat.

j +
−2 −7
4 −7 
i −
2 −4
1 −4



= −9i − 22 j − 10k ⇒
 
⇒ v × w = (−9, −22, −10)
=

j +
−2 4
2 1

k =



 

d) (u × 2 v ) × w = 2 ⋅ [(u × v ) × w ] =
↑
PV.4
u
= 2 [(−15, 17, 14) × (2, 1, −4)] =
  
i j k
= 2 −15 17 14 =
2 1 −4
v
Volem veure que:
 
 2
u +v + u −v
2

= u
2

+ v
2

+ u
2

+ v
2
⎡
= 2 ⎢
⎢⎣
−
és a dir,
 
u +v
2
 
+ u −v
2

=2⋅ u
(
2

+ v
2
)
(Identitat del paral·lelogram)
En efecte:
 2
 2
u +v + u −v =
 
 
 
 
= (u + v ) ⋅ (u + v ) + (u − v ) ⋅ (u − v ) =
   
 
     
= u ⋅ u + 2u ⋅ v + v ⋅ v + u ⋅ u − 2u ⋅ v + v ⋅ v =
 
 
2
2
= 2u ⋅ u + 2v ⋅ v = 2 ⋅ u + v
(
)
17 14
1 −4

i −

j +
−15 14
2 −4
−15 17  ⎤
k ⎥ =
2 1
⎥⎦



= 2 (−82i − 32 j − 49k ) =



= −164i − 64 j − 98k ⇒



⇒ (u × 2v ) × w = (−164, −64, −98)
+



25. — a) Càlcul de (u × v ) × w :
 
Primer calcularem u × v :
113
Bloc 2. geometria > UNITAT 5. Vectors a l'espai (II)
 
u × v = (1, 2, 3) × (2, 5, −4) =
 
i j

k
1 2
3
 
u × v = (8, 1, 0) × (4, 1, 1) =
=
2 5 −4
=
2
3

i −
1
3

j +
1 2
2 5

k =
=
2 −4
5 −4

 
 
= −23i + 10 j + k ⇒ u × v = (−23, 10, 1)
 

(u × v ) × w

i
= −23
= (−23, 10, 1) × (1, 1, 3) =
 
j k
10 1 
i −
10 1 =
1 3
1 1 3

j +
8 0 
81 
10 
i −
j +
k =
4 1
41
11



 
= i − 8 j + 4k ⇒ u × v = (1, −8, 4)
 
2
(Podem observar que −   u × v =
u ×v
també ho és.)
 

(u × v ) × w = (29, 70, −33)
  
—— b) Càlcul de u × (v × w ):
 
Primer calcularem v × w :
27. Definim els vectors:

i
2
1
 
j k
5 −4
1 3
=
⎛ 2
 
2
16 8 ⎞
2
(1, −8, 4) = ⎜ , −
,
⎟
  u ×v =
⎝ 9
u ×v
9
9 ⎠
9
aleshores:
 
v × w = (2, 5, −4) × (1, 1, 3) =

k
0
1
Si calculem el seu mòdul:
 
u × v = (1, −8, 4) = 12 + (−8)2 + 42 = 9


Un vector perpendicular a u i a v i de mòdul 2 és, doncs:

k =
−23 10
1 1



= 29i + 70 j − 33k
−23 1
13

j
1
1
Per a aconseguir que el seu mòdul sigui 2, n'hi ha prou amb
dividir-lo pel seu mòdul, amb el qual serà unitari, i multiplicarlo per 2.
Per tant:
−

i
8
4




u = [BA] , v = [BC ]
que defineixen el paral·lelogram ABCD.
=
A
2 −4 
5 −4 
25 
i −
j +
k =
1 3
1 3
1 1



 
= 19i − 10 j − 3k ⇒ v × w = (19, −10, −3)
D
=
u
Per tant:
  
u × (v × w ) = (1, 2,

i
=
1
3) × (19, −10, −3) =
 
j k
2 3 =
B
19 −10 −3
=
2
3
−10 −3

i −
1 3 
1
2
j +
19 −3
19 −10



= 24i + 60 j − 48k

k =
v
La interpretació geomètrica del producte vectorial ens diu que
 
u × v coincideix amb l'àrea del paral·lelogram ABCD, que és
el que ens interessa.
 
Calculem, doncs, u × v :


 
u × v = [BA] × [BC ] =
= (1 − 7, 3 − 2, −5 − (−1)) ×
aleshores:
× (3 − 7, −3 − 2, 1 − (−1)) =
  
u × (v × w ) = (24, 60, −48)
c) Veiem que tots dos resultats no coincideixen:
 
   
(u × v ) × w ≠ u × (v × w )
d) Això significa que el producte vectorial no compleix la
propietat associativa.
26. Sabem que el producte vectorial
  de dos vectors és perpendicular
a tots dos, aleshores u × v és un vector perpendicular a

u i av.
El calculem suposant que les components estan donades en
una base ortonormal:
114
C
=

i

j
−6
1
−4 −5
+
= (−6, 1, −4) × (−4, −5, 2) =

k
1 −4 
−6 −4
i −
−4 =
−4 2
−5 2
2
−6
1
−4 −5
 
u ×v =




k = −18i + 28 j + 34k
(−18)2 + 282 + 342 =
2 264
Finalment, l'àrea del paral·lelogram és:
 
Sp = u × v = 2 264 = 47, 58 u 2

j +
Bloc 2. geometria > UNITAT 5. Vectors a l'espai (II)
 

(u × w ) × v = (4, −15, −7) × (1, −1, 0) =
D'altra banda, com que la diagonal AC divideix el
paral·lelogram en dues meitats iguals, l'àrea del triangle ABC
és la meitat de la del paral·lelogram:
St =
1
2
Sp =
1
2
=
2 264 = 23, 79 u 2
A
=

i −
4 −7 
4 −15 
j +
k =
1 0
1 −1



= −7i − 7 j + 11k ⇒
 

⇒ (u × w ) × v = (−7, −7, 11)
−15 −7
−1 0
=
D
  
i
j k
4 −15 −7
1 −1 0
Així:
 

(u × w ) × v = (−7, −7, 11) =
St
=
B
C

(−7)2 + (−7)2 + 112 =

29. Trobem v × B :
28. a)Calculem primer les operacions entre parèntesi:
 
u ×v =
4 −8
−1 0
=
  
i j k
1 4 −8
1 −1 0
−1 0
1 −1
=
1 −8 
1 4
j +
1 0
1 −1



= −8i − 8 j − 5k
 
v ×w =
=
 
v × B = (5, 7, −2) × (1, 5, −3) =

i −
  
i j k
1 −1 0
2 1 −1

i −
1 0 
j +
2 −1
 

= i + j + 3k
=

k =

k
5 7 −2
1 5 −3
5 −2 
5 7
j +
1 −3
1 5



= −11i + 13 j + 18k
=

k =
Per tant:

 
F = q (v × B) = 10 · (–11, 13, 18) = (–110, 130, 180), en
unitats SI.
=
1 −1
2 1

k =
30. D'acord amb la definició:
 
a) u × v és un vector caracteritzat per:
—— Mòdul:
 
 
 

v)
u × v = u v sen
sin (u,
   
(u × v ) ⋅ (v × w ) =


  

= (−8i − 8 j − 5k ) ⋅ (i + j + 3k ) =
Com que les arestes del prisma són unitàries, i com
que la seva base és un hexàgon regular:
 

(u,
v ) = 60° + 60° = 120°
= –8 · 1 – 8 · 1 – 5 · 3 = –31
1
12 + 42 + (−8)2 = 9
 
— u × w = (1, 1, 3) =
 
i j

i −
7 −2
5 −3
En conjunt:

b) — u =
219
12 + 12 + 32 =
11
— Calculem primer el doble producte vectorial:
 
u ×w =

i
1
2
 
j k
4 −8
1 −1
=
4 −8 
1 −8 
1 4 
i −
j +
k =
1 −1
2 −1
2 1



 
= 4i − 15 j − 7k ⇒ u × w = (4, −15, −7)
v
60ϒ 60ϒ
u
=
Així,
 
=
u × v = 1 ⋅ 1 ⋅ sen120°
sin
3
2
115
BLOC 2. GEOMETRIA > UNITAT 5. VECTORS A L'ESPAI (II)
—— Direcció:


 
u × v és
 perpendicular a u i a v , aleshores té la direcció de w .
 

Per tant, u × v = k ⋅ w , per a algun k ∈ R.
—— Sentit:
 
El sentit de
 u× v és el del moviment d'un llevataps en
girar de u a v per l'angle més curt, és a dir, en sentit
antihorari, aleshores és cap
 amunt. Per tant, el seu
sentit coincideix amb el de w .
 

Si unim aquestes tres característiques: u × v = k w amb
k≥0i
 

3
= u × v = kw = k
2

w = k ⋅1= k
↑

w és una aresta
Per tant,
k =
3
2
3 
w
 
⇒ u ×v =
2
 
b) y × x és el vector caracteritzat per:
—— Mòdul:

 
y ×x = y
 

, x)
x sen
sin ( y

Com que les arestes són unitàries, y = 1, i com que,
a més, la base és un hexàgon regular:
 

, x ) = 60°
x = 1 + 1 = 2 yi ( y
1
y
60ϒ
1
x
1
 

Per tant: k = − 3 ⇒ y × x = − 3 w
31. Perquè els vectors no siguin perpendiculars s'ha de complir
que el producte escalar entre els vectors sigui zero.
 
w ⋅ u ≠ 0 ⇔ ( 0,1, 0 ) ⋅ (k,k,1) ≠ 0 ⇔ k ≠ 0
 
w ⋅ v ≠ 0 ⇔ ( 0,1, 0 ) ⋅ ( 2,k, 2 ) ≠ 0 ⇔ k ≠ 0
32. Per definició:



M = [OA] × F =
= (1 – 2, –1 – 1, 3 – (–4)) × (1, 2, 3) =
  
i j k


= −1 −2 7 = −20i + 10 j ⇒
1 2 3

⇒ M = (−20, 10, 0) en unitats SI.
 
33. El producte vectorial és perpendicular a {u ,v } si és perpendi

cular a u i a v . Per a demostrar això n'hi ha prou amb assig 
nar unes components genèriques a u i v . Per exemple:








u = u1i + u2 j + u 3 k
v = v 1i + v 2 j + v 3 k
 
A continuació, cal determinar el vector
 u× v i multiplicar escalarment aquest vector pels vectors u i v , verificant que:
  
  
u ⋅ (u × v ) = 0 yi v ⋅ (u × v ) = 0
Vegem-ho:
  
i j k
 
u × v = u1 u2 u 3 = (u2v 3 − u 3v 2 ,u 3v 1 − u1v 3 ,u1v 2 − u2v 1 )
v1 v 2 v 3
  
u ⋅ (u × v ) = (u1,u2 ,u 3 ) ⋅ (u2v 3 − u 3v 2 ,u 3v 1 − u1v 3 ,u1v 2 − u2v 1 ) =
= u1u2v 3 − u1u 3v 2 + u2u 3v 1 − u2u1v 3 + u 3u1v 2 − u 3u2v 1 = 0
  
v ⋅ (u × v ) = (v 1,v 2 ,v 3 ) ⋅ (u2v 3 − u 3v 2 ,u 3v 1 − u1v 3 ,u1v 2 − u2v 1 ) =
= v 1u2v 3 − v 1u 3v 2 + v 2u 3v 1 − v 2u1v 3 + v 3u1v 2 − v 3u2v 1 = 0
 
sin 60° =
Així, y × x = 1 ⋅ 2 sen
3
—— Direcció:

 

y × x és perpendicular a y i a x , i per tant, a la base
del prisma.

 
Així, y × x és paral·lel a w , i això significa que
 

y × x = k ⋅ w per a algun nombre real k.
—— Sentit:


El de l'avanç d'un llevataps en girar de y a x per
l'angle més curt, és a dir, en sentit horari, per la qual
cosa aquest sentit és cap avall.

 
Així, el sentit de y × x és l'oposat del de w .
Si unim aquestes tres característiques, podem expressar
 
 

y × x en funció dels vectors de la figura: y × x = k ⋅ w
amb k ≤ 0 i
 


3 = y ×x = k ⋅w = k w = k ⋅1= k
116
↑

w és una aresta
3 producte mixt
Pàg. 149 i 150
34. Com que la base és ortonormal:
  
a) [u, v , w ] =
1 −2
5
4
0 −5
2
1
=
1
= 20 + 20 + 8 + 5 = 53
  
b) [u, v , t ] =
1 −2
5
4
0 −5
3
2
=
1
= 30 + 40 + 10 + 8 = 88
  
c) [v , w , t ] =
4 0 −5
2 1 1
3 2
=
1
= 4 ⋅ (−1) + (−5) ⋅ 1 = −9
BLOC 2. GEOMETRIA > UNITAT 5. VECTORS A L'ESPAI (II)
PM.3
↓
   
  
  
d) [u + v , w , t ] = [u, w , t ] + [v , w , t ] =
=
1 −2 5
2 1 1
3
+ (−9) =
2 1
= 1 − 6 + 20 − (15 − 4 + 2) − 9 = −7
   
   
e) [u, 2v , u − v ] = [u − v , u, 2v ] =
↑
↑
PM.1
  PM.3

  
= [u, u, 2v ] + [−v , u, 2v ] =
↑
PM.4
  
  
= 2 [u, u, v ] − 2 [v , u, v ] =
  
  
= 2 u ⋅ (u × v ) − 2 ⋅ v ⋅ (u × v ) = 0 + 0 = 0
a
u
Aleshores:
  

u,
v × w = α = 120° − 90° = 30°
Substituint en l'expressió del producte mixt:
 
 

  
f)
[u, v − 2w , 3t ] = [v − 2w , 3t , u] =
↑
↑
PM.1
PM.3
  
  
= [v , 3t , u] + [−2 w , 3t , u] =
↑
PM.1


 


= [u, v , 3t ] + [u, −2w , 3t ] =
↑
PM.4


 
 
= 3 [u, v , t ] − 2 ⋅ 3 [u, w , t ] =
  
sin 90° cos 30° =
[u, v , x] = 1 ⋅ 1 ⋅ 1 sen
3
2
  
  
b) [u, v , x] = u ⋅ (v × x)


Com que l'hexàgon és regular, x és paral·lel a u , aleshores:
 

 

  
v × x ⊥ x ⇒ v × x ⊥ u ⇒ u ⋅ (v × x) = 0
  
Per tant, [u, v , x] = 0.
= 3 ⋅ 88 − 6 ⋅ 2 = 252
36. El volum del paral·lelepípede definit per tres vectors coinci-
35. Per definició de producte mixt:
deix amb el valor absolut del producte mixt dels tres vectors:
  
  
  
  

a) [u, v , w ] = u ⋅ (v × w ) = u v × w cos u,
v ×w =
  
 
  

= u v w sen
, w cos u,
v ×w
sin v
)
b
Ara bé, com que sabem que l'hexàgon és regular, de 

terminem que u,
v = 120° .


 
perquè u × v és perpendicular a u i a v .
(
v xw
v
(
(
)
  
[u, v , w ] =
)

D'altra banda, w és perpendicular a la base i, per tant, al
vector v :
 
(v
, w ) = 90°
  

v × w ):
Calculem finalment l'angle α = (u,

 
—— v × w és perpendicular a w , aleshores ha d'estar contingut en el plànol de la base del prisma.

 
—— v × w és perpendicular a v , és a dir,
  
β = (v
, v × w ) = 90°

 
—— v ×w té el sentit de l'avanç d'un llevataps que gira de v
a w pel camí més curt, o sigui, en sentit horari; aleshores apunta cap a l'interior de l'hexàgon.
2
4
1
=
5 −1
= 1 ⋅ (−21) − (−3) ⋅ 6 + 2 ⋅ 12 = 21
  
Aleshores: Vp = [u, v , w ] = 21 = 21 u 3
Com que el volum del tetraedre definit per tres vectors és una
sisena part del volum del paral·lelepípede definit per aquests
vectors:
VT =
1
6
VP =
1
6
⋅ 21 =
21
6
u3
37. Considerem els vectors següents:


u = [AB ] = (1 − 1, −2 − 1, 3 − 2) = (0, −3, 1)


v = [AD ] = (1 − 1, −1 − 1, 1 − 2) = (0, −2, −1)



w = [AE ] = (2 − 1, −1 − 1, 0 − 2) = (1, −2, −2)
  
Com que u , v , w generen el paral·lelepípede ABCDEFGH, el
volum d'aquest coincideix amb el valor absolut del producte
mixt d'aquells:
  
[u, v , w ] =
Tenim, doncs, la situació següent:
 
 


β + α = (u,
v ) ⇒ α = (u,
v) − β
2
−2
Com que les arestes del prisma són unitàries:



u = v = w =1
1 −3
0 −3 1
0 −2 −1
1 −2 −2
=1⋅ 5 = 5
Aleshores:
  
Vp = [u, v , w ] = 5 = 5 u 3
117
Bloque 2. geometría > UNIDAD 5. Vectores en el espacio (II)
38. Considerem els vectors següents:


u = [AB ] = (2 − 5, 2 − (−2), 2 − 1) = (−3, 4, 1)


v = [AC ] = (1 − 5, 3 − (−2), −3 − 1) = (−4, 5, −4)


w = [AD ] = (0 − 5, 1 − (−2), −4 − 1) = (−5, 3, −5)
  
Calculem el producte mixt de u , v i w :
−3 4
  
[u, v , w ] =
—— Com que P és el punt mig de la base superior:


[BC ] = 2 [BP ]
Si D = (d1, d2, d3), podem expressar la igualtat anterior en
components:
1
−4 5 −4
−5 3 −5
Trobem les components dels vectors corresponents a aquestes arestes:


—— u = [AB ] = (4 − 1, −1 − 1, 2 − 1) = (3, −2, 1)
=
(d1 – 4, d2 – (–1), d3 – 2) =
= 2 (2 – 4, 1 – (–1), 0 – 2)
= (−3) ⋅ (−13) − 4 ⋅ 0 + 13 = 52
Per tant:
VT =
1
6
VP =
1
d1 − 4 = −4 ⎫
⎪
d 2 + 1 = 4 ⎬ ⇒ d1 = 0, d 2 = 3, d 3 = −2
⎪
d 3 − 2 = −4 ⎭
  
1
52 3
[u, v , w ] =
52 =
u
6
6
6
39. Els vectors seran linealment dependents si el determinant
Així:


v = [AD ] = (0 − 1, 3 − 1, −2 − 1) = (−1, 2, −3)
entre els vectors és zero.
2 0 1
1
a) k 1 0 = 0 ⇔ 3k − 1 = 0 ⇔ k =
3
1 3 0
1k 1
b) k 1 2 = 0 ⇔ −k 3 + 2k 2 + k − 2 = 0 ⇔ k = −1,k = 1,k = 2
k 1k
  
40. Els vectors u , v , w són linealment dependents si i només si:
= –(x + 3) (4x – x) + (x + 2) [4(x + 1) –
– (x + 1)] – 0 = –(x + 3) · 3x + (x + 2) ·
· 3(x + 1) = 6
Com que aquesta igualtat no es
per a cap valor de x,
 
 produeix
la resposta és que els vectors u , v , w no són linealment depenents per a cap valor de x.
  
41. Si, u , v i w són els vectors corresponents a tres arestes concurrents del paral·lelepípede, sabem que el volum d'aquest
coincideix amb el valor absolut del producte mixt d'aquests
vectors.
Considerem les arestes concurrents en A:
AB, AD, AF
  
Finalment, calculem [u, v , w ]:
P
w
O
F
SÍNTESI
Pàg. 150



 
 
 

u ⋅v


v ) ⇒ (u,
v ) = arc cos 
42. u ⋅ v = u ⋅ v cos (u,

u ⋅ v
D'acord amb els valors de l'enunciat:
⎛
⎞
2
⎟⎟ = arc cos ⎜⎜ −
2
⎠
⎝
⎛ −12
 

(u,
v ) = arc cos ⎜⎜
⎝ 6 ⋅ 2 2



 
Y
v
D
 
 
b) (u − v ) ⋅ (2 u − v ) =

 


 

= u ⋅ 2u + u ⋅ (−v ) − v ⋅ 2u − v ⋅ (−v ) =
   
   
= 2u ⋅ u − u ⋅ v − 2v ⋅ u + v ⋅ v =
2
 
2
= 2 u − 3u ⋅ v + v =
= 2 ⋅ (2 5
)
2
−3⋅5+( 5
)
2
= 30
 
 
 2
c) u − v = (u − v ) ⋅ (u − v ) =
  

  

= u ⋅ u + u ⋅ (−v ) − v ⋅ u − v ⋅ (−v ) =
       
= u ⋅ u −u ⋅ v −v ⋅ u +v ⋅ v =
 
2
2
= u − 2u ⋅ v + v =
= (2 5
118
=
= 2 · 4 – 0 + (–4) · 4 = –8
  
Per tant, Vp = [u, v , w ] = −8 = 8 u 3

A
u
3 −2 1
−1 2 −3
2 0 −4
  
[u, v , w ] =
⎞
⎟⎟ = 135°
⎠

v ) = 2 5 ⋅ 5 ⋅ cos 60° = 5
43. a) u ⋅ v = u ⋅ v cos (u,
Z
X
aleshores:


w = [AF ] = 2 (3 − 2, 1 − 1, −2 − 0) = (2, 0, −4)
x +1 x
1
x + 3 x + 2 2x − 1 =
x +1 x
4
  
0 = u, v , w =
B
—— Com que O és el punt mig del tetraedre i P el de la base
superior, es compleix:


[AF ] = 2 [PO ]
)
2
−2⋅5+( 5
)
2
= 15
Bloque 2. geometría > UNIDAD 5. Vectores en el espacio (II)
 
aleshores: u − v =


Per tant, els vectors perpendiculars a u i a v són els de la
forma:

 
w = k (u × v ) = (k, −4k, −8k) , amb k ∈ R
15
 2


   
2u − v = 2u ⋅ 2u − 2 ⋅ 2u ⋅ v + v ⋅ v =
 
2
2
= 4 u − 4u ⋅ v + v =
= 4 ⋅ (2 5
)
2
−4⋅5+( 5
)
2
= 65
 
aleshores: 2u − v = 65
 
 
 
 
d) (u − v ) ⋅ (2u − v ) = u − v 2u − v cos α sent α l'angle
   
entre u − v i 2u − v .
D'acord amb els apartats b i c:
30 =
15 ⋅
65 cos α ⇒ α = arc cos
6
39
= 16,10°
D'aquests, els de mòdul 3 són:

3 = w = (k, −4k, −8k) =

i −
3 −2 
3 0 
j +
k =
1 −1
1 1



 
= 2i − (−1) j + 3k ⇒ u × v = (2, 1, 3)
0 −2
1 −1


b) u × (3w ) = (3, 0, −2) × (3, 6, 9) =
  
i j k
= 3 0 −2 =
3 6 9
47. La interpretació geomètrica del producte vectorial ens diu que
el seu mòdul coincideix amb l'àrea del paral·lelogram definit
pels vectors:
 
Ap = u × v
 
Calculem u × v :
 
u ×v =
= [(3, 0, –2) + (1, 1, –1)] × [3 · (3, 0, –2) –
– (1, 2, 3)] = (4, 1, –3) × (8, –2, –9) =

j +
4 1 
k =
8 −2
(−7)2 + 32 + (−5)2 =
=



83 u 2

48. No, perquè u ⊥ v ⇒ u ⋅ v = 0 .

Per
 exemple, en una base ortonormal, els vectors u = (1, 0, 0)
i v = (0, 1, 0) són ortogonals:
 
u ⋅ v = 1 ⋅ 0 + 0 ⋅ 1+ 0 ⋅ 0 = 0

però cap d'ells és 0 .
  
a) [u, v , w ] =
2 0 −5
1 3 −1
4 1 −3
=
= 2 · (–8) – 0 + (–5) · (–11) = 39
  
  
b) [2u, v , 2w ] = 2 ⋅ 2 [u, v , w ] = 2 ⋅ 2 ⋅ 39 = 156
↑
45. Activitat TIC.
PM.4


46. — Un vector perpendicular a u i a v és el seu producte vectorial:
 
u ×v =
=



= −7i + 3 j − 5k
49. Com que la base és ortonormal:
=
1 −3
4 −3
−2 −9
8 −9



= −15i + 12 j − 16k
 
 
aleshores: (u + v ) × (3u, −w ) = (−15, 12, −16)
=
 
j k
1 2
3 −1
 
Ap = u × v = (−7, 3, −5) =
 
 
c) (u + v ) × (3u, −w ) =

i −

i
−1
2
aleshores:
0 −2 
3 −2 
3 0 
i −
j +
k =
6 9
3 9
3 6





= 12i − 33 j + 18k ⇒ u × (3w ) = (12, −33, 18)
=
1
⎛ 1

4
8 ⎞
w 1 = ⎜ , − , − ⎟ i w 2 = ⎛⎜ − 1 , 4 , 8 ⎞⎟
⎝ 3
3
3 ⎠
⎝ 3 3 3 ⎠
=
  
i j k
4 1 −3
8 −2 −9
3
⇒k =±
3


Per tant, els vectors perpendiculars a u i a v de mòdul 3
són dos:
  
=
1
9k =3⇒ k =
44. Com que no es diu el contrari, suposem que la base i , j , k en
la qual estan expressats els vectors és ortonormal, en aquest
cas:
  
i j k
 
a) u × v = 3 0 −2 =
1 1 −1
k 2 + (−4k)2 + (−8k)2 = 9 ⋅ k ⇒
=
  
i j k
4 −1 1
−8 0 −1
=
−1 1 
i −
0 −1
−1 1 
4 1 
4 −1 
i −
j +
k =
0 −1
−8 −1
−8 0



 
= i − 4 j − 8k ⇒ u × v = (1, −4, −8)
    
c) [u + v , v − w , 3w ] =
↑
PM.3
   
   
= [u, v − w , 3w ] + [v , v − w , 3w ] =
  
  
  
= [u,
v , 3w ] − [u, w , 3w ] + [v , v , 3w ] −
↑
PM.3 i PM.4
  
  
− [v , w , 3w ] = 3 [u, v , w ] − 0 + 0 − 0 =
= 3 · 39 = 117
119
BLOC 2. GEOMETRIA > UNITAT 5. VECTORS A L'ESPAI (II)
50. (u + v) ⋅ (u − v) = u ⋅ u − u ⋅ v + v ⋅ u − v ⋅ v =

= u
2
 
 

− u ⋅v + u ⋅v − v
2
1 −3 −2
−2 −2 2
1 2 −1
  
[u, v , w ] =
=
=0
 ↑ 
u = v
51. No, perquè podem trobar-ne un contraexemple.
Considerem, en una base ortonormal, els vectors



u = (1, 0, 0), v = (2, 0, 0), w = (3, 0, 0)
    
Veiem que u × v = 0 = u × w , perquè són linealment depen

dents, però v ≠ w .
52. Per definició:
 
 
 
= x ⋅ x = (u + v ) ⋅ (u + v ) =
       
= u ⋅ u +u ⋅ v +v ⋅ u +v ⋅ v =
 
 
2
2

v) + v =
= u + 2 u v cos (u,
2
  




    
= u ⋅ (v × u + v × v ) =
  
  
= u ⋅ (v × u) + u ⋅ (v × v ) = 0,
 
  
ja que v × u ⊥ u i v × v = 0
2
= 4 ⋅ 12 + 4 ⋅ 1 ⋅ 3 cos 60° + 32 = 19

aleshores: y = 19
 
 
 
x ⋅ y = (u + v ) ⋅ (2u + w ) =

   
  
= u ⋅ 2 u + u ⋅ w + v ⋅ 2u + v ⋅ w =
 

2
= 2 u + u w cos (u, w ) +
 
 
 
 
+ 2 v u cos (v
, u ) + v w cos (v
, w) =
= 2 ⋅ 12 + 1 ⋅ 3 ⋅ cos 60° +
+ 2 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ cos 60° + 2 ⋅ 3 ⋅ cos 60° =
56. A, B, C i D són coplanaris ⇔ AB, AC , AD són coplanaris. Ara
  
bé, AB, AC , AD són coplanaris si, i només si, són linealment
dependents. Per tant, per a comprovar que A, B C i D no són
 

coplanaris, veurem que els vectors AB, AC yi AD són linealment independents.
En efecte, calculem les coordenades d'aquests vectors:

AB = ( 4 − 1, −1 − 1, 2 − 1) = ( 3, −2,1)

AC = (1 − 1, −1 − 1, 2 − 1) = ( 0, −2,1)

AD = ( 4 − 1, 0 − 1,1 − 1) = ( 3, −1, 0 )
3 0 3
  
AB, AC , AD = −2 −2 −1 = 3 ≠ 0
1 1 0
  
Aleshores, els vectors AB, AC , AD són linealment independents i, per tant, els punts A, B, C i D no són coplanaris.
 
 
 
= y ⋅ y = (2u + w ) ⋅ (2u + w ) =


  
  
= 2u ⋅ 2u + 2u ⋅ w + w ⋅ 2u + w ⋅ w =
 

 2
2
= 4 u + 4 u w cos (u, w ) + w =
17
—— El volum del tetraedre definit per A, B, C i D és un sisè del
volum del paral·lelepípede que defineixen aquests punts,
que es pot calcular a partir del producte mixt dels vectors
 

AB, AC yi AD .
VT =
1
6
17
2
= 42, 52°
7 19
54. Considerem els vectors:


u = [BA] = (2 − 1, −1 − 2, 1 − 3) = (1, −3, −2)


v = [BC ] = (−1 − 1, 0 − 2, 5 − 3) = (−2, −2, 2)


w = [BF ] = (2 − 1, 4 − 2, 2 − 3) = (1, 2, −1)
  
És clar que els vectors u , v i w generen el paral·lelepípede,
per la qual cosa el volum d'aquest últim coincideix amb el
valor absolut del producte mixt dels tres primers:
1   
1
1 3
AB, AC , AD =
⋅3=
u
6
2
6

i
 
AB × AD = 3
3
2
 



x ⋅y
y cos (x, y ) ⇒ (x, y ) = arc cos  
x y
i segons els valors obtinguts a l'apartat a:
 

(x,
y ) = arc cos
VP =
L'àrea de la cara ABD és la meitat de l'àrea del
paral·lelogram determinat per A, B i D, que es pot calcular


a partir de producte vectorial de AB per AD :
 

b) x ⋅ y = x
120

55. [u, v , u + v ] = u ⋅ (v × (u + v )) =
Ara,
= 12 + 2 ⋅ 1 ⋅ 2 cos 60° + 22 = 7

aleshores: x = 7

y
= 2 – 6 + 8 – (4 + 4 – 6) = 2
  
aleshores, Vp = [u, v , w ] = 2 = 2u 3
  

 
F = q ⋅ (v × B) = 5 ⋅ [(2, −1, 3) × (1, 1, −2)] =
  
i j k



= 5 ⋅ 2 −1 3 = 5 ⋅ (−i + 7 j + 3k ) ⇒
1 1 −2

⇒ F = (−5, 35, 15) , en unitats SI.
53. a) x
=

j
−2
−1

k
1 = (1, 3, 3 )
0
Aleshores:
AT =
=
1
2
1
2
AP =
1  
1
AB × AD =
(1, 3, 3 ) =
2
2
12 + 32 + 32 =
1
2
19 =
19
2
57. Considerem els vectors:
u2


u = [AB ] = (1 − x, −1 − 1, 2 − 1) = (1 − x, −2, 1)


v = [AC ] = (x − x, −1 − 1, 3 − 1) = (0, −2, 2)


w = [AD ] = (y + 1 − x, −3 − 1, 2 − 2y − 1) =
= (y − x + 1, −4, 1 − 2y )
BLOC 2. GEOMETRIA > UNITAT 5. VECTORS A L'ESPAI (II)
Com que el tetraedre
de vèrtexs A, B, C i D és el generat pels

vectors u , v i w , el seu volum és:
VT =
1
6
1
VP =
6

i
 

d) (u × v ) × w = −1
0
  
[u, v , w ]
—— Les arestes AB i BD són perpendiculars.



Això significa que u = [AB ] és ortogonal a [BD ] , és a dir:
 
0 = u ⋅ [BD ] = (1 − x, −2, 1) ⋅
Si realitzem els càlculs en components:
 
u ⋅ v = (1 − x, −2, 1) ⋅ (0, −2, 2) = 0 + 4 + 2 = 6

u = (1 − x)2 + (−2)2 + 12 = x 2 − 2x + 6

v = 02 + (−2)2 + 22 = 2 2
Així,
6
45° = arc cos
2
2
x 2 − 2x + 6 ⋅ 2 2
3
= cos 45° =
2
x 2 − 2x + 6
x 2 − 2x + 6 = 3 , x 2 − 2x − 3 = 0
Tenim, doncs, el sistema:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⎫
⎬ ⇒ x = −1 o x = 3
y (1 + x) = 4
⎭
Del qual obtenim:
x = 3, y = 1
Finalment:
  
[u, v , w ] =
−2 −2 1
0 −2 2
−1 −4 −1
=
Així,
Avaluació
1.
1
6
− 18 =
(pàg. 152)
 
a) u ⋅ v = (1, 2,1) ⋅ ( 2,1, 0 ) = 4
 
b) v ⋅ 2w = ( 2,1, 0 ) ⋅ ( 0, 2, −22 ) = 2
 
i j
 
c) u × v = 1 2
2 1

k
1 = ( −1, 2, −3 )
0
18
6
2.
Utilitzem la fórmula del producte escalar:
   
1
u ⋅ v = u ⋅ v ⋅ cos 60º ⇔ ( 0,k,1) ⋅ (1, 0,k ) =
k2 + 1 1+ k2
2
1 2
⇔k =
(k + 1) ⇔ k = 1
2
3.
  
a) Els vectors u , v i w són linealment dependents si el determinant format per aquests tres vectors és zero. Vegem-ho:
1k k
0 0 1 = k 2 − 1 = 0 ⇔ k = ±1
k 1 1



Sigui k = 1, aleshores u
 = (1, 0,1) , v = (1, 0,1) i w = (1,1,1) .
Descartem el vector v ja que no forma base amb elsaltres

dos. Un tercer vector que formi base amb els vectors u , w i
que sigui unitari és, per exemple, (0, 0, 1). Fem que els altres
dos vectors de la base siguin unitaris:

 ⎛ 1
1 ⎞
2 ⇒ u ' = ⎜
, 0,
⎟
⎝ 2
2 ⎠
 ⎛ 1

1
1 ⎞
w = 3 ⇒ w ' = ⎜
,
,
⎟
⎝ 3
3
3 ⎠


Sigui
k = –1, aleshores u = (1, 0, −1) ,v = ( −1, 0,1) i

w = ( −1,1,1). Descartem el vector v ja que no forma base
amb els altres
 dos. Un tercer vector que formi base amb
els vectors u , w i que sigui unitari és, per exemple, (0, 0,
1). Fem que els altres dos vectors de la base siguin unitaris:

u =

 ⎛ 1
1 ⎞
2 ⇒ u ' = ⎜
, 0, −
⎟
⎝ 2
2 ⎠
 ⎛

1
1
1 ⎞
w = 3 ⇒ w ' = ⎜ −
,
,
⎟
⎝
3
3
3 ⎠

u =
= –2 · 10 – 0 – (–2) = –18
VT =

k
0 = (1, 2,1) ⋅ ( −11, 22, 2 ) = 35
−11
1 2 1
  
f) ⎡⎣u ,v ,w ⎤⎦ = 2 1 0 = 35
0 1 −11
· (y + 1 – 1, –3 – (–1), 2 – 2y – 2) =
—— Les arestes AB i AC formen un angle de 45°. Això significa

 

que els vectors u = [AB ] i v = [AC ] formen un angle de
45°, és a dir:
 
 
u ⋅v

45° = (u,
v ) = arc cos 

u ⋅ v

k
−3 = (19,11,1)
−11
 
i j
  
e) u ⋅ (v × w ) = (1, 2,1) ⋅ 2 1
01
Per a efectuar aquests càlculs, hem de determinar els valors
de x i y imposant les hipòtesis de l'enunciat:
= (1 – x) · y – 2 · (–2) + 1 · (–2y) = 4 – y (1 + x)

j
2
1
= 3u 3
b) Els vectors de la base obtinguda són ortogonals si són perpendiculars dos a dos, és a dir, si el producte escalar entre
els vectors és zero. Vegem-ho per a k = 1:
  ⎛ 1
u ' ⋅ w ' = ⎜
, 0,
⎝ 2

⎛ 1
u ' ⋅ ( 0, 0,1) = ⎜
⎝ 2

⎛ 1
w ' ⋅ ( 0, 0,1) = ⎜
⎝ 3
1 ⎞ ⎛ 1
1
1 ⎞
2
,
,
≠0
⎟ ⋅ ⎜
⎟ =
2 ⎠ ⎝ 3
3
3 ⎠
6
1 ⎞
1
, 0,
≠0
⎟ ⋅ ( 0, 0,1) =
2 ⎠
2
1
1 ⎞
1
,
,
≠0
⎟ ⋅ ( 0, 0,1) =
3
3 ⎠
3
Per al cas de k = –1, es fa de la mateixa manera i també
obtenim que els vectors de certa base no són ortogonals.
121
BLOC 2. GEOMETRIA > UNITAT 5. VECTORS A L'ESPAI (II)
c) Per a obtenir una base ortonormal els vectors independents han de ser ortogonals. Vegem si això ocorre:
 
k = 1 ⇒ u ⋅ w = (1, 0,1) ⋅ (1,1,1) = 2 ≠ 0
 
k = −1 ⇒ u ⋅ w = (1, 0, −1) ⋅ ( −1,1,1) = −2 ≠ 0
8.
  
i j k
 
u × v = 1 1 1 = ( −1,1, 0 )
11 0
  
b) Els vectors u , v i w formen base si són linealment independents, és a dir, si el determinant format per aquests
tres vectors és diferent de zero. Ho comprovem:
Per la qual cosa no podem
  obtenir una base ortonormal a
partir dels vectors u , v i w .
4.
a) Un vector és unitari si el seu mòdul és 1. Així que:

t =
2
k 2 + ( −1) = 1 ⇔ k 2 + 1 = 1 ⇔ k = 0
 
b) Els vectors w i t són perpendiculars si es compleix que el
producte escalar entre aquests dos vectors és zero.
 
w ⋅ t = 0 ⇔ (1, 0, −1) ⋅ (k, 0, −1) = 0 ⇔ k + 1 = 0 ⇔ k = −1

c) Primer,
calculem el producte vectorial entre els vectors u i

v:
  
i j k
 
u × v = 1 2 1 = ( −1, 2, −3 )
2 1 0
1 1 −1
11 1 =2≠0
10 0
Per tant, els vectors formen base.
 
c) Per a saber si els vectors s i w són perpendiculars hem de
veure si el seu producte escalar és zero. Vegem-ho:
 
s ⋅ w = (1,1, −2 ) ⋅ ( −1,1, 0 ) = −1 + 1 = 0
 
Per tant, els vectors s i w són perpendiculars.
d) Els vectors d'una base ortogonal han de ser perpendiculars
dos a dos. Vegem quins vectors ho compleixen:
 
u ⋅ v = (1,1,1) ⋅ (1,1, 0 ) = 2 ≠ 0
 
u ⋅ w = (1,1,1) ⋅ ( −1,1, 0 ) = 0
 
u ⋅ s = (1,1,1) ⋅ (1,1, −2 ) = 0
 
De l'apartat c) sabem que els vectors s i w són perpendiculars. Així que, els vectors que formen una base ortogonal
  
són {u ,w , s } .
Ara, imposem
que aquest vector sigui perpendicular al

vector t , és a dir, que el producte escalar sigui zero:
  
(u × v ) ⋅ t = 0 ⇔ ( −1, 2, −3 ) ⋅ (k, 0, −1) = 0 ⇔ k = 3
5.
L'àrea del triangle és la meitat de l'àrea del paral·lelepípede
que el conté. Per a fer-ho, trobem els vectors que determinen
les seves arestes i efectuem el producte vectorial:
 
 
u = AB = ( −1, −1, 0 ) ; v = AC = ( −1, 2, −2 )
e) Per a obtenir una base ortonormal de la base trobada anteriorment, els vectors han de ser unitaris. Per tant, si dividim tots els vectors entre el seu mòdul corresponent
obtenim una base ortonormal.
Ara, calculem l'àrea del triangle:

i
 
1
ST =
SP =
⋅ u ×v =
⋅ −1
2
2
2
−1
1
=
6.
1
2
1
2
22 + ( −2 ) + ( −3 )
2

j
−1
2
17
=
2

k
1
⋅ ( 2, −2, −3 ) =
0 =
2
−2

 ⎛ 1
1
1 ⎞
3 ⇒ u ' = ⎜
,
,
⎟
⎝ 3
3
3 ⎠
 ⎛

⎞
1
1
w = 2 ⇒ w ' = ⎜ −
,
, 0 ⎟
⎝
⎠
2
2

 ⎛ 1

1
2 ⎞
s = 6 ⇒ s ' = ⎜
,
,−
⎟
⎝ 6
6
6 ⎠

u =
u2
El volum del paral·lelepípede que determinen els vectors coincideix amb el valor absolut del producte mixt.
1 2 3
  
⎡⎣u ,v ,w ⎤⎦ = m −5 1 = 6m − 70
−4 2 0
⎧
29
⎪⎪ 6m − 70 = 17 ⇒ m =
2
6m − 70 = 17 ⇒ ⎨
⎪ 6m − 70 = −17 ⇒ m = 53
⎪⎩
6
El volum del tetraedre és una sisena part del volum del prisma
determinat per tres vectors del tetraedre.



AB = ( −2, −3, 0 ) ; AC = ( 3, −3, 0 ) ; AD = ( −1, −6, −2 )
  
⇒ VP = ⎡⎣ AB , AC , AD ⎤⎦ =
⇒ VT =
122
1
6
VP =
30
6
−2 −3 0
3 −3 0
−1 −6 −2
= 5u 3
Aleshores, una base ortonormal de la base ortogonal ante
  

rior és {u ',w ', s '} .
9.
Imposem que el volum sigui igual a 17:
7.
 
a) Calculem el producte vectorial entre els vectors u i v ja
que així obtenim un vector perpendicular a aquests:
= −30 = 30
El volum del paral·lelepípede que determinen els vectors coincideix amb el valor absolut del producte mixt. Per a fer-ho, calculem primer els vectors que formen el paral·lelepípede:



AB = (1, 2, 0 ) ; AC = ( −1, 5, 0 ) ; AE = (1, 4, −6 )
  
⇒ V = ⎡⎣ AB , AC , AE ⎤⎦ =
1 2 0
−1 5 0
1 4 −6
= −42 = 42u 3
10. Per a trobar un vector ortogonal als vectors
 donats, calculem
el producte vectorial format pels vectors u i v .
 
i j
 
u ×v = 1 1
11

k
1 = ( −1,1, 0 )
0
Així que, un vector ortogonal a aquests vectors és (–1, 1, 0).
BLOC 2. Geometria
6#
En context
Geometria afí
(pàg. 155)
—— Resposta oberta a manera de reflexió individual que pot
servir com a repàs i introducció a la geometria afí.
2 − 4t −3
−1 + t 2
x =
=
7
1 − 5t
7
2 2 − 4t
1 −1 + t
,y =
7
−4 + 6t
=
7
,z =t
Equació paramètrica:
Fixa-t’hi
(pàg. 157)
r :x =
—— L’expressió que determina l’equació de la recta paral·lela a
l’eix X és x = t , y = a2 , z = a3 , t ∈ .
—— I l’expressió que determina l’equació de la recta paral·lela
a l’eix Y és x = a1, y = t , z = a3 , t ∈ .
Fixa-t’hi
2.
(pàg. 171 a 174)
− 5λ, y = −
4
7
+ 6λ, z = 7λ
La segona manera de trobar un punt de la recta és triar un
menor d’ordre 2 diferent de zero de la matriu del sistema:
Com que
⎧ 2x − 3y = 2 − 4t
2 −3
= 7 ≠ 0, substituïm z = t ⇒ ⎨
1 2
⎩ x + 2y = −1 + t
Resolem per Cramer:
4
7
6
7
λ, z = λ ⇒
+ 6λ, z = 7λ
Resolem per Cramer:
x =
i j k

w = 2 −3 4 = (−5, 6, 7)
1 2 −1
7
− 5λ, y = −
+
La segona manera de trobar un punt de la recta és triar un
menor d’ordre 2 diferent de zero de la matriu del sistema:
⎧ x = −5 + 3t
1 0
= 1 ≠ 0, substituïm y = t ⇒ ⎨
Com que
2 1
⎩ 2x + z = 1 + t
Calculem el vector director de la recta multiplicant vectorialment els vectors normals dels plans:
1
7
Equació paramètrica: r : x = −5 + 3λ, y = λ, z = 11 − 5λ
La recta ve donada com a intersecció de dos plans. Per trobar
les equacions paramètriques, hem de trobar el vector director
de la recta i un punt de dues maneres possibles.
r :x =
7
4
⎧ x + 5 = 0
y = 0 ⇒ ⎨
⇒ x = −5, y = 11
⎩ 2x + z − 1 = 0
1
2 ⋅ 2x − 1 = y + 1 = z ⇒ x − 2 = y + 1 = z
1
3
6
2
−4
2
−4
2
Equació paramètrica:
1
λ, y = −
Calculem primer el vector director de la recta calculant el
producte vectorial dels vectors normals dels plans:
1
⎧ 2x − 3y − 2 = 0
4
1
z = 0 ⇒ ⎨
,y = −
⇒x =
7
7
⎩ x + 2y + 1 = 0
7
La primera manera de calcular un punt de la recta és substituir, per exemple, la y per 0 i resoldre el sistema que queda
per calcular les altres coordenades:
b) Si dividim el primer terme, numerador i denominador, entre 2, obtenim l’equació contínua de la recta:
La primera manera de calcular un punt de la recta és substituir, per exemple, la z per 0 i resoldre el sistema que queda
per calcular les altres coordenades:
5
−
i j k

w = 1 −3 0 = (−3, −1,5) = (−1) ⋅ (3,1, −5)
2 −1 1
a) L’expressió no correspon a l’equació contínua d’una recta
ja que, en el primer terme, la variable x va acompanyada
d’un 2 i l’expressió de l’equació contínua no indica que sigui així.
1.
7
⇒ r :x =
(pàg. 158)
Problemes resolts
1
−5 + 3t 0
1+t 1
1
= −5 + 3t , z =
1 −5 + 3t
2 1+t
1
= 11 − 5t , y = t
Equació paramètrica:
r : x = −5 + 3λ, y = λ, z = 11 − 5λ
3.
Seguim el mateix procediment que en l’exercici resolt d’acord
amb la figura.
Identifiquem els vèrtexs de l’ortoedre com A = (0, 0, 0),
B = (8, 0, 0), C = (8, 4, 0), D = (0, 4, 0), E = (0, 0, 4),
F = (8, 0, 4), G = (8, 4, 4) i H = (0, 4, 4).
Calculem les rectes que determinen el pla AFCH de l’hiperboloide:


r A; AF ⇒ AF = ( 8, 0, 4 ) ⇒ r : (x, y , z) = t ⋅ ( 8, 0, 4 )


r ʹ′ C;CF ⇒ CF = ( 0, −4, 4 )
(
(

s C;CH
(
)
)
)
⇒ r ʹ′ : (x, y , z) = ( 8, 4, 0 ) + t ʹ′ ⋅ ( 0, −4, 4 )

⇒ CH = ( −8, 0, 4 )
⇒ s : (x, y , z) = ( 8, 4, 0 ) + λ ⋅ ( −8, 0, 4 )


sʹ′ A; AH ⇒ AH = ( 0, 4, 4 ) ⇒ sʹ′ : (x, y , z) = λ '⋅ ( 0, 4, 4 )
(
)
123
Bloc 2. Geometria > Unitat 6. Geometria afí
Els segments AF ,CF ,CH yi AH es divideixen en quatre parts
iguals. Així, per al segment CH els punts d’intersecció
són:
Punt mitjà de AQ ⇒ P = ( −3 4 , 9 4 ,19 4 )
Punt mitjà de CH ⇒ Q = ( 4, 4, 2 )
Punt mitjà de CQ ⇒ P = ( 6, 4,1)
Els punts C = (0, –1, 0) i D = (2, 0, 3) pertanyents a la recta s formen el segment CD. Dividim el segment en quatre
parts:
Punt mitjà de HQ ⇒ R = ( 2, 4, 3 )
Punt mitjà de CD ⇒ Qʹ′ = (1, −1 2 , 3 2 )
De la mateixa manera: T = (8, 2, 2), S = (8, 1, 3), U = (8, 3, 1),
Q ′ = (4, 0, 2), P ′ = (6, 0, 3), R ′ = (2, 0, 1), T ′ = (0, 2, 2),
S ′ = (0, 1, 1) i U ′ = (0, 3, 3).
Punt mitjà de CQʹ′ ⇒ Pʹ′ = (1 2 , −3 4 , 3 4 )
Ara calcularem les rectes determinades pels parells de punts:
PP ′, QQ ′, RR ′, TT ′, SS ′, UU ′.

PPʹ′ = ( 0, −4, 2 ) ⇒ r1 : ( x, y , z ) = ( 6, 4,1) + µ ( 0, −4, 2 )

QQʹ′ = ( 0, −4, 0 ) ⇒ r2 : ( x, y , z ) = ( 4, 4, 2 ) + µʹ′ ( 0, −4, 0 )

RRʹ′ = ( 0, −4, −2 ) ⇒ r3 : ( x, y , z ) = ( 2, 4, 3 ) + δ ( 0, −4, −2 )

TT ʹ′ = ( −8, 0, 0 ) ⇒ r4 : ( x, y , z ) = ( 8, 2, 2 ) + δʹ′ ( −8, 0, 0 )

SSʹ′ = ( −8, 0, −2 ) ⇒ r5 : ( x, Imagen
y , z ) =01( 8,1, 3 ) + t ( −8, 0, −2 )

UUʹ′ = ( −8, 0, 2 ) ⇒ r6 : ( x, y , z ) = ( 8, 3,1) + t ʹ′ ( −8, 0, 2 )
Calculem les equacions de les rectes que van dels punts de
divisió d’un segment a l’altre, és a dir, les rectes PP ′, RR ′,
QQ ′, AC i BD.
Punt mitjà de BQ ⇒ R = ( −9 4 , 3 4 ,1 4 )
Punt mitjà de DQʹ′ ⇒ Rʹ′ = ( 3 2 , −1 4 , 9 4 )

⎛ −3 9 19 ⎞
PPʹ′ = ( 5, −12, −16 ) ⇒ r1 : ( x, y , z ) = ⎜
, ,
⎟ +
⎝ 4 4 4 ⎠
+ µ ( 5, −12, −16 )

⎛ −3 3 5 ⎞
QQʹ′ = ( 5, −4, −2 ) ⇒ r2 : ( x, y , z ) = ⎜
, , ⎟ +
⎝ 2 2 2 ⎠
+ µʹ′ ( 5, −4, −2 )

⎛ −9 3 1 ⎞
RRʹ′ = (15, −4, 8 ) ⇒ r3 : ( x, y , z ) = ⎜
, , ⎟ +
⎝ 4 4 4 ⎠
E
Q
P
F
S
A
T
U
H
+ δ (15, −4, 8 )

AC = ( 0, −4, −7 ) ⇒ r4 : ( x, y , z ) = ( 0, 3, 7 ) + δʹ′ ( 0, −4, −7 )

BD = (1, 0,1) ⇒ r5 : ( x, y , z ) = ( −3, 0, −2 ) + t ʹ′ (1, 0,1)
R
Q
G
S
B
R
C
P
T
U
C
5.
Per al segon apartat del problema, anomenem π el pla que
conté la recta s (CH) i el punt G. Prenem un vector de s i de
terminem el vector GC :


w = ( −2, 0,1)
GC = ( 0, 0,1)
b) Per saber si la recta és perpendicular al pla hem de mirar
si el vector normal del pla (a, 2, –4) és proporcional al vector director de la recta (4, –4, 1). Observem que els vectors
no són proporcionals per a cap valor de a. Per tant, no
existeix cap valor de a per al qual la recta sigui perpendicular al pla.
Anomenem π ′ el pla que conté la recta r i el punt G. Prenem
un vector director de r i el vector que uneix un vector qualsevol del pla, per exemple, N = (2, –4, 3) i G:


w ' = ( 2, 9,1)
NG = ( 6, 8,1)
c) Per a a = 1, l’equació del pla és x + 2y – 4z – 23 = 0. El
pla que busquem conté r, aleshores, un punt del pla serà
(3, 1, –3) i un vector director (4, –4, 1). El segon vector
director del pla ve donat pel vector normal del pla π, ja que
hi ha de ser perpendicular, així que, el vector normal és
(1, 2, –4).
Determinem l’equació dels plans:
x − 8 −2 0
π : y − 4 0 0 = 0 ⇒ π :y − 4 = 0
z −4 1 1
x −8 2 6
πʹ′ : y − 4 9 8 = 0 ⇒ πʹ′ : x + 4y − 38z + 128 = 0
z −4 1 1
Calculem l’equació del nou pla:
x −3 4 1
y − 1 −4 2 = 0 ⇔ 14x + 17y + 12z − 23 = 0
z + 3 1 −4
⎧ y − 4 = 0
La recta és m : ⎨
⎩ x + 4y − 38z + 128 = 0
4.
Siguin dues rectes qualssevol que es creuin, per exemple:
r: (x, y, z) = (0, 3, 7) + t (1, 1, 3)
s: (x, y, z) = (0, –1, 0) + k (2, 1, 3)
Els punts A = (0, 3, 7) i B = (–3, 0, –2) pertanyents a la recta
r formen el segment AB. Dividim el segment en quatre parts
iguals:
Punt mitjà de AB ⇒ Q = ( −3 2 , 3 2 , 5 2 )
124
a) La recta estarà continguda en el pla si el producte escalar
entre el vector normal del pla i el vector director de la recta
és zero, és a dir, si els vectors són perpendiculars.

 

nπ ⋅ v r = ( a, 2, −4 ) ⋅ ( 4, −4,1) = 0 ⇔ a = 3
6.
a) El vector director de la recta r és (1, 0, 2) i el vector director
de la recta s és (3, –1, 4). Els vectors no són proporcionals,
per tant, les rectes es creuen o es tallen. Calculem el de
 
 
terminant format pels vectors v r ,v s y Ar Bs = (1, 4,1) on
A = (3, –1, 4) i B = (4, 3, 5):
1 3 1
0 −1 4 = 9 ≠ 0
2 4 1
Bloc 2. Geometria > Unitat 6. Geometria afí
Com que els vectors són linealment independents, les rectes r i s es creuen.
⎧ x
⎪
s : ⎨ y
⎪
⎩ z
π ' : 2x
b) Calculem el vector normal del pla que correspon al producte vectorial entre els vectors directors de les dues rectes, ja que ha de ser paral·lel a aquestes dues.
i j k

n = 1 0 2 = ( 2, 2 − 1)
3 −1 4
de r és: (x, y, z) = (1, –2, –1) + t · (–1, 8, –2).
2x + 2y – z + d = 0
2·0+2·0–0+d=0→d=0
8.
Arestes:
L’aresta OA és la recta y = 0, z = 0; l’aresta OB és la recta
x = 0, z = 0; l’aresta OD és la recta x = 0, y = 0.
Les arestes AC, DE i GF són paral·leles a OB, per tant, són les
rectes x = 1, z = 0; x = 0, z = 2 i x = 1, z = 2, respectivament.
Les arestes BC, DG i EF són paral·leles a OA, per tant, són les
rectes y = 3, z = 0; y = 0, z = 2 i y = 1, z = 2, respectivament.
L’aresta AG és paral·lela a OD, per tant, és la recta x = 1, y = 0.
L’aresta CF és la recta que passa pel punt C i té com a vector

director CF = ( 0, −2, 2 ), per tant, és la recta
Per tant, l’equació de la recta s que passa per P és:
s: (x, y, z) = (2, 1, 5) + k · (7, –10, –1)
(x, y, z) = (1, 3, 0) + t (0, –2, 2)
a) Sigui s la recta que busquem. Calculem un punt Q que pertanyi a aquesta recta sabent que talla la recta r, per tant,
serà de la forma Q = (1 + t, 2 + 2t, 6 + 3t). La recta s és
L’aresta BE és la recta que passa pel punt B i té com a vector

director BE = ( 0, −2, 2 ), per tant, és la recta
perpendicular a la recta r, aleshores el producte escalar en
tre el vector director de r i el vector PQ = (t , 3 + 2t , 6 + 3t )
ha de ser zero.
 
 


PQ ⊥ v r ⇔ AQ ⋅ nπ = 0 ⇔ (t , 3 + 2t , 6 + 3t ) ⋅ (1, 2, 3 ) = 0
⎛ −5 −10 6 ⎞ 
−12
⇒ Q = ⎜
,
, ⎟ ,PQ = ( −10,1,12 )
⇔t =
⎝ 7
7
7 ⎠
7
(x, y, z) = (0, 3, 0) + t (0, –2, 2)
Cares:
El pla DEFG és paral·lel al pla z = 0, per tant, és de la forma
z + d = 0. Com que passa pel punt D, l’equació d’aquest pla
és z = 2.
El pla ACFG és paral·lel al pla x = 0, aleshores, és de la forma
x + d = 0. Com que passa pel punt A, l’equació d’aquest pla
és x = 1.
Per tant, l’equació de la recta s que passa per P és:
s: (x, y, z) = (1, –1, 0) + t · (–10, 1, 12)
El pla OBDE és el pla x = 0, el pla OABC és el pla z = 0 i el
pla OADG és el pla y = 0.
b) La recta r estarà continguda en el pla π ′, Aquest pla pertany al feix de plans paral·lels a π1 i passa pel punt A. De
manera que l’equació general d’un pla qualsevol d’aquest
feix és:
El pla BCEF ve determinat pel punt B i pels vectors


BE = ( 0, −2, 2 ) , BC = (1, 0, 0 ) i la seva equació és:
2x + y + 3z + d = 0, d ∈ 
x
0 1
y − 3 −2 0 = 0 ⇔ y + z − 3 = 0
z
2 0
L’equació general d’aquest pla és, doncs:
π ′: 2x + y + 3z + 3 = 0
Si la recta s talla el pla π ′ en un únic punt, B, la recta r hi ha
de passar, ja que s i r no poden ser paral·leles (perquè s no és
paral·lela a π ′ ni hi està continguda), sinó que es tallen en un
punt, i com que B és l’únic punt de s que està en π ′, pla que
conté r, s’ha de tallar precisament en B.
Comprovem si la intersecció de s amb π ′ és un únic punt, i en
determinem les coordenades.
Per determinar la intersecció de s amb π ′, resoldrem el sistema format per l’equació general de π ′ i per les equacions paramètriques de s:
Vèrtexs:
O = (0, 0, 0), A = (1, 0, 0), B = (0, 3, 0), C = (1, 3, 0), D=
= (0, 0, 2), E = (0, 1, 2), F = (1, 1, 2) i G = (1, 0, 2).
c) Sigui s la recta que busquem. Calculem un punt Q que
pertanyi a aquesta recta sabent que talla la recta r, per
tant, serà de la forma Q = (3 + λ, –1, 4 + 2λ). La recta s és
paral·lela al pla 3x + 2y + z = 0, aleshores el producte
escalar entre el vector normal del pla i el vector

PQ = (1 + λ, −2, −1 + 2λ ) ha de ser zero.
 
 


PQ ⊥ nπ ⇔ PQ ⋅ nπ = 0 ⇔ (1 + λ, −2, −1 + 2λ ) ⋅ ( 3, 2,1) = 0
⎛ 17
24 ⎞ 
2
⇒ Q = ⎜
, −1,
⇔λ=
⎟ , PQ = ( 7, −10, −1)
⎝ 5
5 ⎠
5
7.
=k
Per tant, com que A és un punt de r, un vector director és
 ⎛ 1 8
1
2 ⎞
AB = ⎜ − , , − ⎟ =
⋅ ( −1, 8, −2 ) , l’equació vectorial
⎝ 5 5
5
5 ⎠
Per tant, l’equació del pla és de la forma:
Com que el pla ha de passar per l’origen de coordenades,
⎫
⎧ x = 4 5
⎪
⎪
⎪
2
⇒ ⎨ y = − 2 5
⎬ ⇒ k = −
= −1 + k
5
⎪
⎪
⎩ z = − 7 5
+ y + 3z + 3 = 0 ⎪⎭
⎛ 4
2
7 ⎞
B = ⎜ , − , − ⎟
⎝ 5
5
5 ⎠
= 2 + 3k
Exercicis i problemes
(pàg. 175 a 178)
1 Rectes EN l’espai
9.
Pàg. 175 i 176
Equació vectorial: r: (x, y, z) = (2, 3, –5) + t · (1, –4, 7)
Equació paramètrica: r: x = 2 + t, y = 3 – 4t, z = –5 + 7t
Equació contínua: r :
x −2
1
=
y −3
−4
=
z +5
7
125
Bloc 2. Geometria > Unitat 6. Geometria afí
Equació implícita:
x −2
1
=
Punt C:
y −3
−4
=
z +5
7
(1/2, 0, 1) = (1, 4/3, 2) + t · (3, –1, –6)
⎪⎧ −4 ⋅ ( x − 2 ) = y − 3
⇒ ⎨
⎩⎪ 7 ⋅ ( x − 2 ) = 1 ⋅ ( z + 5 )
⎧ 1
= 1 + 3t ⇒ t = −1 6
⎪
⎪⎪ 2
⇒ ⎨ 0 = 4 3 − t ⇒ t = 4 3
⎪
⎪1 = 2 − 6t ⇒ t = 1
6
⎪⎩
⎧ 4x + y − 11 = 0
⇒ r : ⎨
⎩ 7x − z − 19 = 0
10. Calculem l’equació implícita de la recta:
x +1
2
=
y −3
−1
=
⎪⎧ −1 ⋅ ( x + 1) = 2 ⋅ ( y − 3 )
⇒ ⎨
5
⎩⎪ 5 ⋅ ( x + 1) = 2z
z
⎧ x + 2y − 5 = 0
⇒ r : ⎨
⎩ 5x − 2z + 5 = 0
−3
⎧ 2y − 5 = 0
⎛ 5 5 ⎞
x = 0 ⇒ ⎨
⇒ B = ⎜ 0, , ⎟
−2z
+
5
=
0
⎝ 2 2 ⎠
⎩
⎧ x − 5 = 0
y = 0 ⇒ ⎨
⇒ C = ( 5, 0,15 )
⎩ 5x − 2z + 5 = 0
Un vector director
de la recta ve donat per l’equació contínua

de la recta: v = ( 2, −1, 5 ). Els altres dos vectors resulten de
multiplicar aquest vector per un escalar diferent.

u = 2 ⋅ ( 2, −1, 5 ) = ( 4, −2,10 )

w = 3 ⋅ ( 2, −1, 5 ) = ( 6, −3,15 )
11. Trobem el vector director que determinen els dos punts
i després deduïm l’equació implícita a partir de l’equació contínua.
 
v = AB = ( 0 − 2, 3 − 1,1 + 1) = ( −2, 2, 2 )
x −2
−2
=
y −1
2
=
z +1
2
⎧ x + y − 3 = 0
⎪⎧ 2 ⋅ ( x − 2 ) = −2 ⋅ ( y − 1)
⇒ ⎨
⇒ r : ⎨
⎪⎩ 2 ⋅ ( x − 2 ) = −2 ⋅ ( z + 1)
⎩ x + z − 1 = 0
12. Mirem si aquests punts pertanyen a la recta substituint-los en
les equacions i comprovant si es compleix la igualtat.
a) Punt A:
(2, 1, 0) = (1, 4/3, 2) + t · (3, –1, –6)
⎧ 2 = 1 + 3t ⇒ t = 1
3
⎪
⎪
⇒ ⎨1 = 4 3 − t ⇒ t = 1 3
⎪
⎪⎩ 0 = 2 − 6t ⇒ t = − 1
3
Per tant, el punt A pertany a la recta r.
Punt B:
(–1, 2, 3) = (1, 4/3, 2) + t · (3, –1, 6)
⎧ −1 = 1 + 3t ⇒ t = −2
3
⎪
⎪
⇒ ⎨ 2 = 4 3 − t ⇒ t = −2 3
⎪
⎪⎩ 3 = 2 − 6t ⇒ t = − 1
6
Per tant, el punt B no pertany a la recta r.
126
b) Punt A:
2−2
Un punt de la recta és A = (–1, 3, 0), resultant de l’equació
contínua. Per calcular els altres dos punts, donem valors a la
x i a la y, per exemple, x = 0 i y = 0:
Equació contínua: r :
Per tant, el punt C no pertany a la recta r.
=
1−1
−2
=
0
2
⇒0=0=0
Aleshores, el punt A també pertany a la recta s.
Punt B:
−1 − 2
−3
=
2−1
−2
=
3
2
⇒1≠
−1
2
≠
3
2
Aleshores, el punt B tampoc pertany a la recta s.
Punt C:
1 −2
0 −1
1
1
1
1
2
=
=
⇒
=
=
−3
−2
2
2
2
2
Aleshores, el punt C pertany a la recta s.
13. Calculem un punt i un vector segons el tipus d’equació que
tinguem de la recta.
a) L’equació de la recta r és implícita, aleshores el vector director resulta del producte vectorial entre els vectors normals dels plans d’aquesta recta.
i j k

v = 1 1 2 = (1, 5, −3 )
2 −1 −1
Calculem el punt de la recta r substituint, per exemple, la x
per 0 i resolem el sistema que queda per calcular les altres
coordenades:
⎧ y + 2z = 3
x = 0 ⇒ ⎨
⇒ y = −5, z = 4
⎩ −y − z = 1
Per tant, un punt de la recta r és A = (0, –5, 4).
b) L’equació de la recta r és contínua, per tant, un punt d’aquesta recta és B = (–2, 1, 0) i el seu vector director és
u = (5, 2, 1).
c) L’equació de la recta r és paramètrica, per tant, un punt
d’aquesta recta és C = (–2, 0, 4) i un vector director és
w = (2, –3, 1).
14. Per saber si els tres punts pertanyen a una mateixa recta observem si els punts estan alineats.

AB = B − A = ( 4, 0, −3 )

AC = C − A = ( −2, 2, −2 )
La condició perquè estiguin alineats és que el rang dels vectors anteriors sigui 2.
Bloc 2. Geometria > Unitat 6. Geometria afí
⎛ 4 0 −3 ⎞
4 0
= 8 ≠ 0 ⇒ rang ⎜
⎟ = 2
−2 2
⎝ −2 2 −2 ⎠
Per la qual cosa existeix una recta que contingui aquests tres
punts i la recta és r: (x, y, z) = (0, 1, 3) + k · (–2, 2, 2)
→ r: (x, y, z) = (0, 1, 3) + k · (1, –1, 1)
15. Resolem el sistema d’equacions. Per a fer-ho, prenem una de
—— La recta ED és paral·lela a l’eix OY, per tant, la recta és
x = 0 i z = 4.
17. La recta AD és paral·lela a l’eix OY, per tant, la recta és x = 5
i z = 5. La recta CE és paral·lela a l’eix OZ, així que, la recta és
x = 5 i y = 6.
La recta AB passa pels punts A = (5, 0, 5) i B = (0, 2, 7), ja
que el punt A pertany a la recta x = 5 i y = 0 i el punt B per-
les variables com a paràmetre i expressem les altres dues en
funció d’aquesta. Així, si escollim z com a paràmetre:
tany a la recta x = 0 i z = 7. Per tant, la recta AB tindrà com a

vector director AB = B − A = ( −5, 2, 2 ) i és la següent:
⎧ x = 2
⎫
⎪
⎬ ⇒ r : ⎨ y = 1 − 2 k
y + 2 z − 1 = 0 ⎭
⎪
⎩ z = k
AB: (x, y, z) = (5, 0, 5) + t · (–5, 2, 2)
x =2
Si expressem les equacions paramètriques en forma vectorial
i les desenvolupem, obtenim l’equació vectorial:
(x, y, z) = (2, 1 – 2 k, k) = (2, 1, 0) + (0 k, –2 k, 1 k)
(x, y, z) = (2, 1, 0) + k (0, –2, 1)
Finalment, com que (2, 1, 0) és un punt de la recta i (0, –2, 1)
n’és un vector director, una possible equació contínua
és:
x −2
0
=
y −1
−2
=
z
1
Observem que apareix un 0 en un denominador. Això significa que el vector director de la recta té una component nulla.
Es tracta, doncs, d’un formalisme per a poder assignar unes
equacions contínues a les rectes que tenen vectors directors
d’aquest tipus.
16. Les rectes que determinen l’ortoedre són rectes paral·leles als
eixos de coordenades. Així que:
—— La recta OC està sobre l’eix OY, per tant, la recta és
x = 0 i z = 0.
—— La recta OA està sobre l’eix OX, per tant, la recta és
y = 0 i z = 0.
—— La recta OE està sobre l’eix OZ, per tant, la recta és
x = 0 i y = 0.
—— La recta AB és paral·lela a l’eix OY, així que la recta és
x = 5 i z = 0.
—— La recta BC és paral·lela a l’eix OX, així que la recta és
y = 6 i z = 0.
—— La recta CD és paral·lela a l’eix OZ, així que la recta és
x = 0 i y = 6.
—— La recta BG és paral·lela a l’eix OZ, així que la recta és
x = 5 i y = 6.
—— La recta AF és paral·lela a l’eix OZ, per tant, la recta és
x = 5 i y = 0.
—— La recta EF és paral·lela a l’eix OX, per tant, la recta és
y = 0 i z = 4.
—— La recta FG és paral·lela a l’eix OY, per tant, la recta és
x = 5 i z = 4.
—— La recta DG és paral·lela a l’eix OX, per tant, la recta és
y = 6 i z = 4.
18. Perquè la recta r passi pel punt A s’ha de complir la igualtat
quan fem la substitució per les coordenades del punt.
(2, 1, –3) = (m, 2, –1) + k · (1, n, 2) ⇒
⎧ 2 = m + k ⇒ k = 2 − m
⎧⎪ 2 − m = −1 ⇒ m = 3
⎪
⇒ ⎨1 = 2 + kn ⇒ k = −1n ⇒ ⎨
⎪⎩ −1n = −1 ⇒ n = 1
⎪
⎩ −3 = −1 + 2k ⇒ k = −1
19. Activitat TIC.
20. Activitat TIC.
21. a) La recta que busquem és paral·lela a l’eix X i passa pel
punt A, per tant, la coordenada x és qualsevol valor i les
coordenades de y i z són: y = 3 i z = –1.
b) Busquem el vector director format pels punts A i B.

AB = B − A = ( 2, −1, 3 )
Escrivim l’equació contínua, per exemple, amb aquest
vector director i el punt A:
x
2
=
y
−1
=
z −2
3
c) Escrivim l’equació vectorial, per exemple, amb vector director u i que passa pel punt A:
(x, y, z) = (1, 2, 3) + t · (2, 0, –1)
22. Les mitjanes d’un triangle són la unió del punt mitjà d’un costat amb el seu vèrtex oposat.
—— Mitjana AA ′. Sigui A ′ el punt mitjà del segment BC.
⎛ 1 + 2 2 − 1 3 + 0 ⎞ ⎛ 3 1 3 ⎞
Aʹ′ = ⎜
,
,
⎟ = ⎜ , , ⎟
⎝ 2
2
2 ⎠ ⎝ 2 2 2 ⎠

Per tant, la mitjana AA ′ és la recta A + AAʹ′. Això és:
 ⎛ 3
⎞ ⎛ −7 −1 1 ⎞
1
3
AAʹ′ = ⎜
− 5,
− 1,
− 1⎟ = ⎜
,
, ⎟ =
⎝ 2
⎠ ⎝ 2
2
2
2 2 ⎠
1
=
⋅ ( −7, −1,1)
2
x −5
y −1
z −1
⇒ AAʹ′ :
=
=
−7
−1
1
—— Mitjana BB ′. Sigui B ′ el punt mitjà del segment AC.
⎛ 5 + 2 1 − 1 1 + 0 ⎞ ⎛ 7
1 ⎞
Bʹ′ = ⎜
,
,
⎟ = ⎜ , 0, ⎟
⎝ 2
⎠
⎝
2
2
2
2 ⎠

Per tant, la mitjana BB ′ és la recta B + BBʹ′. Això és:
127
Bloc 2. Geometria > Unitat 6. Geometria afí
 ⎛ 7
⎞ ⎛ 5
1
−5 ⎞ 1
BBʹ′ = ⎜ − 1, 0 − 2, − 3 ⎟ = ⎜ , −2,
⋅ ( 5, −4, −5 )
⎟ =
⎝ 2
⎠ ⎝ 2
2
2 ⎠ 2
x −1
y −2
z −3
⇒ BBʹ′ :
=
=
5
−4
−5
—— Mitjana CC ′. Sigui C ′ el punt mitjà del segment AB.
⎛ 5 + 1 1 + 2 1 + 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞
Cʹ′ = ⎜
,
,
⎟ = ⎜ 3, , 2 ⎟
⎝ 2
2
2 ⎠ ⎝ 2 ⎠

Per tant, la mitjana CC ′ és la recta C + CCʹ′. Això és:
 ⎛
⎞ ⎛ 5 ⎞
3
1
CC = ⎜ 3 − 2,
+ 1, 2 − 0 ⎟ = ⎜1, , 2 ⎟ =
⋅ ( 2, 5, 4 )
⎝
⎠ ⎝ 2 ⎠
2
2
x −2
y +1
z
⇒ CCʹ′ :
=
=
2
5
4
(9, 13, 0) i (4, 12, 0). El vector director de la recta HG és

HG = G − H = ( −5, −1, 0 ) = −1 ⋅ ( 5,1, 0 ) . Per tant, la recta
que determina el segment HG és:
HG: (x, y, z) = (9, 13, 0) + t · (5, 1, 0)
—— Les coordenades dels punts K i J són, respectivament,
(1, 1, 0) i (7, 3, 0). El vector director de la recta KJ és

KJ = J − K = ( 6, 2, 0 ) = 2 ⋅ ( 3,1, 0 ) . Per tant, la recta que
determina el segment HG és:
KJ: (x, y, z) = (1, 1, 0) + t · (3, 1, 0)
25. Activitat TIC.
26. Sigui π el pla que conté la recta r i el punt A. Observem que
està ben definit, ja que A ∉ r.
El baricentre del triangle és la intersecció de les tres mitja-
Com que la recta s ha de passar per A i tallar r, ha de tenir dos
punts en el pla π, per tant, hi ha d’estar continguda.
88
22
44
nes calculades anteriorment⇒
⇒ xx == ,, yy == ,, zz ==
33
33
33
Raonant de manera anàloga amb la recta r ′, obtenim un altre
pla π ′, que conté s.
23. a) Per calcular el punt D del paral·lelogram imposem que el
vector director de la recta AB és igual que el vector director
de la recta DC, ja que les dues rectes són paral·leles. Sigui
D = (x, y, z), aleshores:
 
AB = DC ⇒ ( −4,1, 2 ) = ( 2 − x, −1 − y , −z ) ⇒
⎧ −4 = 2 − x
⎪
⇒ ⎨1 = −1 − y ⇒ x = 6, y = −2, z = −2 ⇒ D = ( 6, −2, −2 )
⎪
⎩ 2 = −z
 
b) L’àrea del paral·lelogram de vectors AB i AD coincideix
amb el mòdul del producte vectorial d’aquests dos vectors.
i j k

 
AD = (1, −3, −3 ) ⇒ AB × AD = −4 1 2 = ( 3, −10,11)
1 −3 −3
 
⇒ AB × AD =
2
32 + ( −10 ) + 112 =
230 u 2
24. Per calcular l’equació de cadascuna de les rectes que es demanen identifiquem els punts que formen aquests segments.
—— Observant el dibuix, tenim que els punts A i B són
A = (0, 3, 10) i B = (0, 0, 7). El vector director de la recta

AB és AB = B − A = ( 0, −3, −3 ) = −3 ⋅ ( 0,1,1) . Per tant, la
recta que determina el segment AB és:
AB: (x, y, z) = (0, 3, 10) + t · (0, 1, 1)
—— Els punts D i E són D = (0, 0, 4) i E = (0, 4, 4). Veiem que
aquesta recta és paral·lela a l’eix OY, per tant, la recta DE
és la recta x = 0 i z = 4.
—— El punt F és (3, 8, 0). El vector director de la recta EF és

EF = F − E = ( 3, 4, −4 ) . Per tant, la recta que determina
el segment EF és:
EF: (x, y, z) = (0, 4, 4) + t · (3, –4, –4)
—— Els punts J i I són J = (7, 3, 0) i I = (7, 7, 0). Veiem que
aquesta recta és paral·lela a l’eix OY, per tant, la recta JI és
la recta x = 7 i z = 0.
128
—— Les coordenades dels punts H i G són, respectivament,
Les equacions implícites de s són el sistema definit per les
equacions generals de π i π ′.
—— Equació del pla π.
Un punt de pas és A = (1, 0, –2), i un vector director és el

de la recta r, u = (−1, 1, 3).

Per a obtenir un vector director v linealment independent


de u n’hi ha prou de considerar el vector [AB ], essent B
un punt qualsevol de la recta r.
Si prenem, per exemple, B = (0, 1, –1):


v = [AB ] = (0 − 1, 1 − 0, −1 − (−2)) =
= (–1, 1, 1)
L’equació general del pla π és, doncs:
0=
x − 1 −1 −1
y −0
1 1 = −2 x − 2 y + 2
z − (−2) 3 1
x+y–1=0
—— Equació del pla π ′.
Un punt de pas és A = (1, 0, –2), i un vector director és el

de r ′, u ʹ′ = (2, 1, −1).
Si B ′ és el punt de la recta r ′ de coordenades (1, 0, –1), un

vector director de π ′ linealment independent de u ʹ′ és:


v ʹ′ = [AB ʹ′] = (1 − 1, 0 − 0, −1 − (−2)) =
= (0, 0, 1)
L’equació general del pla π ′ és, doncs:
0=
x −1
2 0
y −0
1 0
z − (−2) −1 1
= x − 2y −1
x–2y–1=0
Les equacions implícites de la recta s són, doncs:
⎧ x + y − 1 = 0
⎨
⎩ x − 2 y − 1 = 0
Bloc 2. Geometria > Unitat 6. Geometria afí
2 plAns EN l’espai
Pàg. 176 i 177
27. a) L’equació vectorial del pla que passa pel punt A i té com a
vectors directors u i v és:
(x, y, z) = (2, 0, –5) + λ (2, 1, 1) + µ (–1, 2, 3)
b) Per trobar dos punts diferents de A d’aquest pla resolem
els sistemes donant valors a dues de les incògnites. Per
exemple:
⎧ 0 = 2 + 2λ − µ
⎫
2
⇒
⎬ ⇒ µ =
⎪
x = 0, y = 0 ⇒ ⎨ 0 = λ + 2µ ⇒ λ = −2µ ⎭
5
⎪
⎩ z = −5 + λ + 3µ
4
6
23
−4
⇒ z = −5 −
+
=−
⇒
⇒λ=
5
5
5
5
⎛
23 ⎞
⇒ P = ⎜ 0, 0, −
⎟
⎝
5 ⎠
⎧ x = 2 + 2λ − µ
⎪
y = 0, z = 0 ⇒ ⎨ 0 = λ + 2µ ⇒ λ = −2µ ⎫
⎬ ⇒ µ = 5 ⇒
⎪
⎭
⎩ 0 = −5 + λ + 3µ
⇒ λ = −10 ⇒ x = 2 − 20 − 5 = −23 ⇒ Q = ( 0, 0 )
28. Calculem les equacions generals dels plans:
a) Ja tenim un punt del pla i els seus dos vectors directors,
aleshores:
x − 2 0 −1
y 2 2 = 0 ⇔ 2 ⋅ ( z − 3) = 0 ⇔ z − 3 = 0
z −3 0 0
b) En aquest cas, tenim tres punts del pla. Així que calculem
primer els dos vectors directors que formen aquest pla i,
seguidament, la seva equació:


AB = B − A = (1,1, −1) , AC = C − A = ( 2,1, −5 )
x
1 2
y
1 1 = 0 ⇔ −4x + 3y − z + 2 = 0
z − 2 −1 −5
c) En aquest cas, desenvolupem l’expressió de l’equació normal del pla. És a dir:
(1, 0, 2) · (x – 2, y – 1, z – 6) = 0 ⇒ x – 2 + 2z – 12 = 0
⇒ x + 2z –14 = 0
d) El vector director de la recta r és v = (4, –2, 2) i un punt
pertanyent a aquesta recta és A = (1, 0, –2). Calculem el
vector director de la recta s i un punt que hi pertanyi.
i j k

u = 1 2 0 = ( 2, −1,1)
0 1 1
⎧ x + 4 = 0 ⇒ x = −4
y = 0 ⇒ ⎨
⇒ B = ( −4, 0, −1)
⎩ z + 1 = 0 ⇒ z = −1
El vector director de la recta s és proporcional al de la recta
r, per tant, aquestes dues rectes són paral·leles. Així que
per buscar un segon vector director que delimiti el pla

que busquem, calculem el vector AB = B − A = ( −5, 0,1).
Finalment, calculem l’equació del pla que passa pel punt

A i té com a vectors directors v i AB .
x − 1 4 −5
y −2 0 = 0 ⇔ −x − 7y − 5z − 9 = 0
z +2 2 1
29. Activitat TIC.
30. Per saber si els punts A i B pertanyen al pla π, substituïm
aquests punts en les equacions paramètriques d’aquest pla i
mirem si es compleixen.
⎧ −3 = 2 + λ − 2µ
⎫
⎪
⎪
⎫
⎨ 2 = −λ + µ
⎬ ⇒ −3 = 2 + 1 − 2 ⋅ 3 ⇒
⇒
λ
=
1
⎬
⎪
⎪
−4
=
−1
−
µ
⇒
µ
=
3
⎭
⎭
⎩
⇒ −3 = −3
Per tant, el punt A pertany al pla π.
⎧ 3 = 2 + λ − 2µ
⎫
⎪
⎪
⎫
⎨ −3 = −λ + µ
⎬ ⇒ 3 ≠ 2 − 1 + 2 ⋅ 4 ⇒
⇒
λ
=
−1
⎬
⎪
⎪
⎭
⎩ 3 = −1 − µ ⇒ µ = −4 ⎭
⇒3≠9
Per tant, el punt B no pertany al pla π.
31. Per determinar l’equació vectorial del pla necessitem un punt
A que pertanyi a aquest pla i dos vectors directors.
Si donem valors a x i y, per exemple, x = 0 i y = 0, resulta:
x = 0, y = 0 ⇒ 2 ⋅ 0 + 3 ⋅ 0 − z + 1 = 0 ⇒ z = 1 ⇒
⇒ A = ( 0, 0,1)
Per buscar els vectors directors, calculem dos punts més que
pertanyin a aquest pla. És a dir:
x = 0, y = 1 ⇒ 2 ⋅ 0 + 3 ⋅ 1 − z + 1 = 0 ⇒ z = 4 ⇒
⇒ B = (0,1, 4)
x = 1, y = 0 ⇒ 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ 0 − z + 1 = 0 ⇒ z = 3 ⇒
⇒ C = (1, 0, 3)

⎪⎧ AB = B − A = ( 0,1, 3 )
⇒ ⎨ 
⎩⎪ AC = C − A = (1, 0, 2 )
Per tant, l’equació vectorial del pla és:
π: (x, y, z) = (0, 0, 1) + λ (0, 1, 3) + µ (1, 0, 2)
32. a) Aconseguim un punt d’aquest pla donant valor a la x, per
exemple, x = 0 i on y pot ser qualsevol valor:
x = 0 ⇒ 3 ⋅ 0 − z + 2 = 0 ⇒ z = 2 ⇒ A = ( 0,1, 2 )
El vector normal d’aquest pla coincideix
amb els coefi
cients d’aquesta equació, és a dir, n = ( 3, 0, −1).
b) L’equació del pla està en forma vectorial, per tant, el punt
és B = (0, 1, 9). El vector normal és el producte vectorial
entre els dos vectors directors del pla.
i j k

n = 1 1 1 = ( 3, −1, −2 )
0 −2 1
129
Bloc 2. Geometria > Unitat 6. Geometria afí
c) L’equació del pla està en forma paramètrica, per tant, el
punt és C = (3, 1, 0). El vector normal és el producte vectorial entre els dos vectors directors del pla.
i j k

n = 0 −2 1 = ( −1,1, 2 )
1 3 −1
El pla de color vermell amb forma de triangle també és parallel al pla x = 0, per tant, la seva equació és x = 2, ja que està
a la meitat del cub.
El pla de color marró passa pel punt (0, 0, 4) i té com a vectors directors ( 2, 0, 0 ) , ( 0, 2, −1) , per tant,
x 2 0
y 0 2 = 0 ⇔ y + 2z − 8 = 0
z − 4 0 −1
33. Perquè els punts siguin coplanaris, el determinant format pels
  
vectors AB , AC , AD ha de ser zero. Aleshores:

⎫
AB = B − A = (1,1, −1)
1 0 m −1
⎪⎪

AC = C − A = ( 0,1, 0 )
⎬ ⇒ 1 1 m + 1 = 0 ⇔

⎪
−1 0 2m − 1
AD = (m − 1,m + 1, 2m − 1) ⎪⎭
⇔m =
2
36. Activitat TIC.
37. El pla que busquem és paral·lel a la recta r, per tant, un dels
vectors directors del pla serà el vector director de la recta.
Busquem aquest vector com el producte vectorial dels vectors
normals dels plans de la recta:
3
i j k

u = 1 1 −1 = ( −2, 0, −2 )
1 −1 −1
Calculem l’equació del pla:
x −1 1 0
y
1 1 = 0⇔ x +z −2= 0
z − 1 −1 0
34. a) Dues rectes que es creuen són, per exemple, les rectes DG
i KJ. La recta DG és paral·lela a l’eix OX i té com a equació
y = 0, z = 5. La recta KJ és paral·lela a l’eix OY i té com a
equació x = 0, z = 2.
b) Dues rectes paral·leles són, per exemple, les rectes DG
i HK que són paral·leles a l’eix OX, per tant, les seves equacions són y = 0, z = 5 i y = 0, z = 2, respectivament.
c) Dues rectes secants són IJ i CF. La recta IJ té com a equació y = 6, z = 2; la recta CF té com a equació x = 0,
y = 6.
d) Dos plans paral·lels són DEFG i HIJK. Els dos plans són
paral·lels al pla z = 0, així que la seva forma és z + d = 0.
Com que el primer pla passa pel punt G = (0, 0, 5), el pla
és z = 5. El segon pla passa pel punt K = (0, 0, 2)
i la seva equació és z = 2.
e) Dos plans que es tallen en una recta són els plans HIJK
i OADG i la recta on s’intersequen és la recta HK. L’equació del primer pla és z = 2 i l’equació del segon pla és
y = 0.
El segon vector director del pla és format pels punts A i B, és

a dir, AB = B − A = ( −3, 2, −10 ).
Per tant, l’equació del pla resulta de calcular el determinant
següent:
x − 2 −2 −3
y
0 2 = 0 ⇔ 2x − 7y − 2z + 12 = 0
z − 8 −2 −10
38. El pla conté la recta r, per tant, el punt que determina el pla
és A = (–1, 0, 0) i un vector director és (3, 6, 1), on hem
dividit tota l’equació entre 3 per aïllar la variable z. El pla
també és paral·lel a la recta s, aleshores, el segon vector
director del pla és (–3, 1, 2). L’equació d’aquest pla és la següent:
x + 1 3 −3
y 6 1 = 0 ⇔ 11x − 9y + 21z + 11 = 0
z 1 2
39. Siguin A, B i C els punts de tall amb els semieixos positius.
Així que són A = (a, 0, 0), B = (0, b, 0) i C = (0, 0, c).
L’equació canònica del pla és de la forma:
f) Els tres plans que es tallen en un punt són els plans que
corresponen a les equacions x = 0, y = 0 i z = 0.
35. El pla de color blau clar que té forma de rectangle és paral·lel
al pla y = 0, així que, la seva equació és y = 4, ja que l’aresta
del cub és de 4 unitats.
El pla de color blau clar amb forma de quadrat també és
paral·lel al pla y = 0, per tant, és el pla y = 2, ja que està a la
meitat de l’aresta del cub.
Els plans de color blau més fort amb forma de quadrats
són paral·lels al pla z = 0, aleshores, l’equació d’aquests
plans és z = 4 (el pla situat més amunt) i z = 2 (el pla situat
més avall).
El pla de color vermell format per un rectangle i un quadrat és
paral·lel al pla x = 0, així que la seva equació és x = 4.
130
x
a
+
y
b
+
z
c
=1
Com que el triangle és equilàter, els tres segments que formen
el triangle són iguals, per tant, a = b = c i:
x
a
+
y
a
+
z
a
=1
Finalment, determinem el valor de a sabent que el pla passa
pel punt P:
1
a
⇒
+
x
2
−2
a
+
+
y
2
3
a
+
= 1 ⇒ 1− 2+ 3 = a ⇒ a = 2
z
2
=1⇒ x +y +z −2= 0
Bloc 2. Geometria > Unitat 6. Geometria afí
40. El pla és paral·lel a les rectes r i s, per tant, els vectors directors del pla coincideixen amb els vectors directors de les rectes, que són (1, 1, 3) i (1, 2, 5). Com que el pla passa pel punt
Q, l’equació d’aquest pla resulta:
x −2 1 1
y 1 2 = 0 ⇔ x + 2y − z − 3 = 0
z +1 3 5
41. Calculem els vectors directors de les dues rectes donades:
i j k
i j k




v s = 2 −1 0 = (1, 2, 4 ) , v r = 2 1 −1 = (1, 2, 4 )
4 0 −1
2 3 −2
Com que els vectors són iguals, les dues rectes són paral·leles.
Per tant, un dels dos vectors que formen el pla és (1, 2,4) i el
segon vector serà format per un punt de la recta r i un altre de
la recta s.
⎧ 2 ⋅ 0 − y = 3 ⇒ y = −3
x = 0 ⇒ ⎨
⇒ A = ( 0, −3, 0 ) ∈ r
⎩ 4 ⋅ 0 − z = 0 ⇒ z = 0
⎧ y − z = 1
x = 0, z = 0 ⇒ ⎨
⇒ y = 1, z = 0 ⇒
⎩ 3y − 2z = 3

⇒ B = ( 0,1, 0 ) ∈ s ⇒ AB = B − A = ( 0, 4, 0 )
Aleshores, l’equació del pla que passa pel punt A és:
x 1 0
y + 3 2 4 = 0 ⇔ −4x + z = 0
z 4 0
42. a) La recta r és paral·lela a la recta PQ, així que, tindran el

mateix vector director, PQ = Q − P = ( −1, 2, −2 ) . Per tant,
la recta r que passa pel punt R és:
r: (x, y, z) = (–3, 5, –4) + t (–1, 2, –2)
b) El pla que conté el quadrat té com a vector director
(–1, 2, –2) i un altre vector format pels punts R i P, per

exemple, PR = R − P = ( −5, 4 − 7 ) . Per tant, l’equació del
pla π és la següent:
x − 2 −1 −5
y − 1 2 4 = 0 ⇔ 2x − y − 2z + 3 = 0
z − 3 −2 −7
c) Calculem els altres dos vèrtexs del quadrat. El tercer vèrtex
C és la intersecció de la recta r amb el pla perpendicular a
la recta PQ. Calculem aquest pla que passa pel punt P i té
vector director normal (–1, 2, –2):
−x + 2y − 2z + D = 0 ⇒ −2 + 2 − 6 + D = 0 ⇒ D = 6
⇒ −x + 2y − 2z + 6 = 0
Un punt de la recta r serà de la forma:
x = –3 – t, y = 5 + 2t, z = –4 – 2t
Substituïm aquest punt en l’equació del pla anterior i resulta que el vèrtex C és:
–(–2 – t) + 2(5 + 2t) – 2(–4 – 2t) + 6 = 0 → t = –3 →
→ C = (0, –1, 2)
El quart vèrtex D és la intersecció de la recta r amb el
pla perpendicular a la recta PQ. Calculem aquest pla
que passa pel punt Q i té vector director normal
(–1, 2, –2):
−x + 2y − 2z + D = 0 ⇒ −1 + 6 − 2 + D = 0 ⇒ D = −3
⇒ −x + 2y − 2z − 3 = 0
Un punt de la recta r serà de la forma:
x = –3 – t, y = 5 + 2t, z = –4 – 2t
Substituïm aquest punt en l’equació del pla anterior i resulta que el vèrtex D és:
–(–2 – t) + 2(5 + 2t) – 2(–4 – 2t) = 3 → t = –2 →
→ D = (–1, 1, 0)
4 posicions relativesPàg. 177 i 178
43. a) El vector director de la recta r és (1, –5, –4) i el vector director de la recta s ve donat pel producte vectorial entre els
vectors normals dels plans de s.
i j k




v s = 1 1 −1 = (1, −5, −4 ) , v r = (1, −5, −4 )
3 −1 2
Com que els vectors són iguals, les rectes poden ser paralleles o coincidents. Així que, agafem un punt de la recta r
i mirem si pertany a la recta s o no. Sigui A = (1, 0, 1) un
punt de r:
⎧1 + 0 − 1 + 2 ≠ 0 ⇒ 2 ≠ 0
s : ⎨
⎩ 3 − 0 + 1 − 1 ≠ 0 ⇒ 3 ≠ 0
Com que el punt A no pertany a la recta s, aleshores les
rectes són paral·leles.
b) El vector director de la recta r és (1, 1, 1) i el vector director
de la recta s ve donat pel producte vectorial entre els vectors normals dels plans de s.
i j k




v s = 1 1 1 = ( −1, 3, −2 ) , v r = (1,1,1) ⇒
1 −1 −2
⇒
−1
2
≠
3
1
≠
−2
1
Els vectors no són proporcionals, per tant, les rectes
es creuen o es tallen. Calculem el determinant format


 

pels vectors v r ,v s yi Ar Bs = ( 0, −1,1) on A = (0, 0, 0)
i B = (0, –1, 1):
1 −1 0
1 3 −1 = 3 ≠ 0
1 −2 1
Com que els vectors són linealment independents, les rectes r i s es creuen.
c) El vector director de la recta r és (2, –3, 2) i el vector direc2
−3
2
tor de la recta s és (4, –1, 2). Com que
≠
≠ ,
4
−1
2
aleshores els vectors no són proporcionals i les rectes
es tallen o es creuen. Calculem el determinant format pels


 

vectors v r ,v s iy Ar Bs = ( −1, −6, 2 ) on A = (1, –5, –1)
i B = (0, –11, 1):
131
Bloc 2. Geometria > Unitat 6. Geometria afí
Com que el pla passa pel punt (1, –7, 0) es té que:
2 4 −1
−3 −1 −6 = 0
2 2 2
2 ⋅ 1 + 1 ⋅ 7 + 0 + D = 0 ⇒ D = −9 ⇒ 2x − y + z − 9 = 0
Com que els vectors són linealment dependents, les rectes
r i s es tallen. Calculem el punt de tall:
⎧ x + 4y + 44 = 0
⎪⎧1 + 2t + 4 ⋅ ( −5 − 3t ) + 44 = 0
s : ⎨
⇒
⇒ ⎨
2y
+
z
+
21
=
0
⎪⎩ 2 ⋅ ( −5 − 3t ) − 1 + 2t + 21 = 0
⎩
5
5
25
5
⇒ x = 1+ 2 ⋅
= 6, y = −5 − 3 ⋅
=−
,
⇒t =
2
2
2
2
5
z = −1 + 2 ⋅
=4
2
Per tant, el punt de tall és (6, –25/2, 1).
d) El vector director de la recta r és (–7/5, 2/9, –4) i el vector
director de la recta s ve donat pel producte vectorial entre
els vectors normals dels plans de s.
i
j k



 ⎛ −7 2 ⎞
v s = −15 −9 −19 = (126, −20, −90 ) , v r = ⎜
, ,1⎟
⎝ 5 9 ⎠
−10 0 −14
−20
−90
126
=
=
⇒ −90 = −90 = −90
2
−7
1
9
5
Com que els vectors són proporcionals, les rectes poden
ser paral·leles o coincidents. Així que, agafem un punt
de la recta r i mirem si pertany a la recta s o no. Sigui
A = (–4/5, –2/9, 0) un punt de r:
⎧
⎪⎪ −15 ⋅
s : ⎨
⎪ −10 ⋅
⎪⎩
−4
5
−4
5
−9⋅
−2
9
= 14 ⇒ 14 = 14
=8⇒8=0
Com que el punt A pertany a la recta s, aleshores les rectes
són coincidents.
44. Pels dos primers apartats utilitzem la igualtat entre els coeficients de les equacions dels plans:
A
Aʹ′
=
B
Bʹ′
=
C
Cʹ′
=
D
Dʹ′
a) En aquest cas tenim que els plans es tallen en una recta, ja
que la igualtat anterior no es compleix:
3
−1
≠
−1
5
≠
6
0
≠
−12
7
b) En aquest apartat, primerament trobarem l’equació general del pla π2. Per a buscar els coeficients de l’equació,
utilitzem el producte vectorial dels vectors directors del
pla:

n=
i j k
1 2 0 = ( 6, −3, 3 ) = 3 ⋅ ( 2, −1,1) ⇒
−1 1 3
⇒ 2x − y + z + D = 0
132
Ara, seguim el procediment anterior i observem que els
plans són paral·lels, ja que:
2
2
=
−1
−1
=
1
1
≠
2
−9
c) Buscarem el rang de la matriu formada per les tres equacions dels plans, M, i el rang de la seva matriu ampliada,
M ′.
⎛ 1 2 −4 ⎞
⎜
⎟
M = ⎜ −7 1 −1 ⎟ ,
⎜ 0 1 2 ⎟
⎝
⎠
⎛ 1 2 −4 0 ⎞
⎜
⎟
Mʹ′ = ⎜ −7 1 −1 −1 ⎟
⎜ 0 1 2 0 ⎟
⎝
⎠
1 2 −4
Tenim que −7 1 −1 = 59 ≠ 0 per la qual cosa arribem
0 1 2
al fet que rang (M) = rang (M ′) = 3. Per tant, els tres plans
es tallen en un punt. Calculem quin és aquest punt escalonant la matriu ampliada:
⎛ 1 2 −4 0 ⎞
⎛ 1 2 −4 0 ⎞
⎜
⎜
⎟
⎟
F2 →F2 +7F1
−7
1
−1
−1
⎯
⎯⎯⎯⎯⎯
→
⎜
⎜ 0 15 −29 −1 ⎟
⎟
⎜ 0 1 2 0 ⎟
⎜ 0 1 2 0 ⎟
⎝
⎝
⎠
⎠
⎛ 1 2 −4 0 ⎞
⎜
⎟
F3 →15F3 −F2
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→ ⎜ 0 15 −29 −1 ⎟
⎜ 0 0 59 1 ⎟
⎝
⎠
D’aquí resulta el sistema següent:
⎧ x + 2y − 4z = 0
⎪
⎫
⎨15y − 29z = −1
−2
⎬ ⇒ y =
⎪
59
⎩ 59z = 1 ⇒ z = 1 59 ⎭
⎫
⎪
8
⎬ ⇒ x =
59
⎪
⎭
Aleshores, el punt de tall és (8/59, –2/59, 1/59).
Nota: També es pot resoldre utilitzant Cramer.
d) Seguim el mateix procediment que a l’apartat anterior,
busquem el rang de la matriu formada per les tres equacions dels plans, M, i el rang de la seva matriu ampliada,
M ′.
⎛ 1 1 −1 ⎞
⎜
⎟
M = ⎜ 2 −1 −3 ⎟ ,
⎜ 1 −2 −2 ⎟
⎝
⎠
⎛ 1 1 −1 −2 ⎞
⎜
⎟
M ' = ⎜ 2 −1 −3 −3 ⎟
⎜ 1 −2 −2 0 ⎟
⎝
⎠
1 1 −1
1 1
= −3 ≠ 0, així que rang
Tenim que 2 −1 −3 = 0 i
2 −1
1 −2 −2
(M) = 2. D’altra banda, existeix un menor d’ordre tres de la
matriu ampliada M ′ que és diferent de zero, aleshores
rang (M ′) = 3.
1 1 −2
2 −1 −3 = −3 ≠ 0
1 −2 0
En aquest cas, resulta que existeixen plans secants. Cal
determinar si hi ha plans paral·lels. Per a això, hem de
mirar si els vectors normals dels plans són paral·lels.
Bloc 2. Geometria > Unitat 6. Geometria afí

nπ1

n π2

nπ1

nπ3

n π2

nπ3
= (1,1 − 1) ⎫⎪
1
−1
1
≠
≠
⎬ ⇒
−1
−3
2
= ( 2, −1, −3 ) ⎭⎪
= (1,1 − 1) ⎪⎫
1
−1
1
≠
≠
⎬ ⇒
−2
−2
1
= (1, −2, −2 ) ⎭⎪
= ( 2, −1, −3 ) ⎫⎪
−1
−3
2
≠
≠
⎬ ⇒
−2
−2
1
= (1, −2, −2 ) ⎭⎪
Podem concloure que no hi ha plans paral·lels i que els
plans es tallen dos a dos en una recta.
45. Activitat TIC.
47. Determinem en primer lloc les equacions implícites de r. Com
que A = (1, 0, 1) i B = (3, 1, –4) són punts de pas, el vector

AB = B − A = ( 2,1 − 5 ) és un vector director de la recta. Per
tant, una equació contínua de r és:
x −1
2
=
y
1
=
z −1
−5
Trobem ara el valor de m pel qual r és secant a r ′, és a dir,
perquè el sistema d’equacions format per les equacions implícites de r i r ′ sigui compatible determinat.
⎧ x − 2y = 1
⎪
⎪ 5y + z = 1
⎨
⎪ x − 2y = m
⎪⎩ x − z = 1
46. El pla π no és coincident amb el pla x + 2 y – z + 1 = 0, ja que
3
−4
1
5
, per tant, n’hi ha prou amb veure si el
1
2
−1
1
pla pertany al feix de plans sense tenir en compte el valor
β = 0. Aleshores, podem dividir els dos membres de l’equació
α
, n’hi ha prou amb veure si
del feix per β i, definint λ =
β
existeix algun valor de λ per al qual l’equació:
≠
≠
≠
I si escalonem la matriu ampliada, M ′:
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
λ (x + 2 y – z + 1) + 2 x – y + 3 = 0
(λ + 2) x + (2 λ – 1) y – λ z + λ + 3 = 0
⎛
⎜
⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜
⎜
⎜
⎝
F3 →F3 −F1
F4 →F4 −F1
és la del pla π.
Dit d’una altra manera, volem veure si per a algun valor de λ
són coincidents els plans d’equacions:
(λ + 2) x + (2 λ – 1) y – λ z + λ + 3 = 0
i
3x–4y+z+5=0
Perquè això succeeixi, els coeficients han de ser proporcionals, o sigui, s’ha de complir:
λ+2
3
=
2λ −1
−4
=
−λ
1
=
λ+3
5
que és equivalent al sistema:
2 λ − 1 ⎫
⎪
−4 ⎪
−λ ⎪
=
⎬ ⇒
−4
1
⎪
⎪
−λ
λ+3
=
⎪
⎭
1
5
=
3
2λ −1
−4 λ − 8 = 6 λ ⎫
⎪
⎪⎪
2 λ − 1 = 4 λ ⎬
⎪
⎪
−5 λ = λ + 3 ⎪⎭
−2
5
0
2
1
0
1
1
−2
5
−2
0
0 1
1 1
0 m
−1 1
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
0
1 ⎞
⎟
⎜
1
1 ⎟
F3 ↔F4
⎯⎯⎯⎯
⎯
→ ⎜
⎜
0 m − 1 ⎟
⎟
⎜
−1 0 ⎠
⎝
⎛
⎜
2
⎜
F3 →F3 − F2
5
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→ ⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
0
0
0
−2
5
2
0
0
1 ⎞
⎟
1
1 ⎟
−1 0 ⎟
0 m − 1 ⎟⎠
1 −2 0
1 ⎞
⎟
0 5 1
1 ⎟
−7 −2 ⎟
0 0
⎟
5 ⎟
5
0 0 0 m − 1 ⎟⎠
El teorema de Rouché–Fröbenius ens diu que el sistema
d’equacions és compatible si i només si rang (M) = rang
(M ′) = 3, i com que:
1 −2 0
1 ⎞
⎟
0 5 1
1 ⎟
−7 −2 ⎟ = 3 ⇔ m − 1 = 0
0 0
⎟
5 ⎟
5
0 0 0 m − 1 ⎟⎠
Tenim que el valor del paràmetre perquè r i r ′ es tallin en un
punt és m = 1.
λ=−
⇒ λ=−
λ=−
Per tant, aquest sistema té solució, λ = −
1
0
0
0
⎛
⎜
⎜
rang (Mʹ′ ) = rang ⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
λ+2
⎧ x − 1
y
=
⎪⎪
⎧ x − 2y − 1 = 0
2
1
⇒ ⎨
⇒ ⎨
⎩ 5y + z − 1 = 0
⎪ y = z − 1
⎪⎩ 1
−5
1
1
2
1
2
1
2
Finalment, podem trobar les coordenades del punt de tall
resolent el sistema d’equacions, equivalent a l’inicial:
⎧ x − 2y = 1⎫
⎧ x − 2y = 1
⇒x =97
⎬ ⇒ ⎨
⎪
⎨ 5y + z = 1⎭
⎩ y = 1 7
⎪
⎩ z = 2 7
Aleshores, el punt de tall és (9/7, 1/7, 2/7).
, de manera que
2
el pla π pertany al feix de plans (prenent, per exemple,
1
α ⎞
que λ = −
α = −1 y β = 2, ja
pues
=
⎟ .
2
β ⎠
48. a) Determinem l’equació implícita de la recta que passa pels

punts A i B i té com a vector director AB = ( 2, 4, 2 ) :
133
Bloc 2. Geometria > Unitat 6. Geometria afí
x −2
2
=
⎧ x − 2
y −1
=
⎪⎪
2
4
=
⇒ ⎨
⇒
4
2
⎪ x − 2 = z + 3
⎪⎩ 2
2
⎧ 2x − y − 3 = 0
⇒ r : ⎨
⎩ x − z − 5 = 0
y −1
z+3
L’equació d’un pla que contingui aquesta recta serà una
combinació lineal de les equacions de dos plans diferents
que continguin r. Així, l’equació del feix dels plans d’aresta
r és:
3 2 0
Tenim que 5 0 −2 = −58 ≠ 0 per la qual cosa arribem
9 −2 1
al fet que rang (M) = rang (M ′) = 3. Per tant, la recta i el
pla es tallen en un punt. Calculem quin és aquest punt
utilitzant Cramer:
16 2 0
2 0 −2
2 −2 1
x =
=
−58
α ( 2x − y − 3 ) + β ( x − z − 5 ) = 0, α, β ∈ 
Si α ≠ 0, podem dividir entre α i definir λ =
ra que l’equació queda de la forma:
µ
α
Per determinar el pla del feix que conté el punt P, hem de
determinar el valor de λ perquè les coordenades de P satisfacin l’equació d’un pla del feix:
(2 ⋅ 2 − 6 − 3) + λ (2 − 3 − 5 ) = 0 ⇒ λ =
−5
6
El pla del feix que passa per P és el que correspon a
5
λ=− :
6
⎛ 2 0 −3
⎜
M = ⎜ −1 1 0
⎜ 2 4 −9
⎝
−58
=
=
175
29
,
66
29
Determinem el pla d’aquest feix que conté el punt Q. Per a
això, hem de determinar el valor que ha de prendre K perquè les coordenades de A verifiquin l’equació d’un pla del
feix:
Així, podem concloure que el pla i la recta són paral·lels.
50. a) Estudiem el rang de la matriu M i la matriu ampliada M ′,
i trobem els valors de m que anul·len el determinant de M.
En cada cas, compararem rang (M) i rang (M ′), i determinarem la posició relativa dels plans.
⎛ 2 3 −k ⎞
⎜
⎟
M = ⎜ 1 k −1 ⎟ ,
⎜ 3 1 −3 ⎟
⎝
⎠
El pla en qüestió és el que té per equació general:
π: 2x – y + 3z + 7 = 0
equació implícita:
⎧ x
y −8
=
⎪⎪
x
y −8
z +1
2
−3
=
=
⇒ ⎨
⇒
2
−3
5
⎪ x = z + 1
⎪⎩ 2
5
⎧ 3x + 2y − 16 = 0
⇒ ⎨
⎩ 5x − 2z − 2 = 0
Buscarem el rang de la matriu formada per les tres equacions, M, i el rang de la seva matriu ampliada, M ′.
⎛ 3 2 0 16 ⎞
⎜
⎟
Mʹ′ = ⎜ 5 0 −2 2 ⎟
⎜ 9 −2 1 2 ⎟
⎝
⎠
⎛ 2 0 −3 −1 ⎞
⎜
⎟
Mʹ′ = ⎜ −1 1 0 −3 ⎟
⎜ 2 4 −9 −1 ⎟
⎝
⎠
2 0 −1
−1 1 −3 = 28 ≠ 0
2 4 −1
2 · 0 – (–2) + 3 · (–3) + d = 0 → d = 7
49. a) Abans de començar, transformem l’equació de la recta r a
⎞
⎟
⎟ ,
⎟
⎠
cosa rang (M) = 2. D’altra banda, existeix un menor
d’ordre 3 de la matriu ampliada que és diferent de zero,
això vol dir que rang (M ′) = 3.
5
b) El feix de plans paral·lels al pla 2x – y + 3z – 2 = 0 té per
equació 2x – y + 3z + d = 0, d ∈ .
134
3 2 16
5 0 2
9 −2 2
−58
2 0 −3
2 0
= 2 ≠ 0 per la qual
Tenim que −1 1 0 = 0 i
−1
1
2 4 −9
( x − z − 5) = 0 ⇒
6
⇒ π : 7x − y + 5z + 7 = 0
⎛ 3 2 0 ⎞
⎜
⎟
M = ⎜ 5 0 −2 ⎟ ,
⎜ 9 −2 1 ⎟
⎝
⎠
, y =
b) Buscarem el rang de la matriu formada per les tres equacions, M, i el rang de la seva matriu ampliada, M ′.
( 2x − y − 3 ) + λ ( x − z − 5 ) = 0, λ ∈ 
( 2x − y − 3 ) −
z =
, de mane-
38
29
3 16 0
5 2 −2
9 2 1
⎛ 2 3 −k 3 ⎞
⎜
⎟
Mʹ′ = ⎜ 1 k −1 −1 ⎟
⎜ 3 1 −3 −k ⎟
⎝
⎠
Per tant:
2 3 −k
1
M = 1 k −1 = 3k 2 − 7k + 2, M = 0 ⇔ k = 2,k =
3
3 1 −3
Si k ≠ 2, k ≠
1
, el determinant és diferent de zero i, per
3
tant, rang (M) = rang (M ′) = 3. En aquest cas, els plans es
tallen en un punt.
Si k = 2, tenim que:
2 3
=1≠ 0
1 2
2 3 3
1 2 −1 = −24 ≠ 0
3 1 −2
Bloc 2. Geometria > Unitat 6. Geometria afí
Així que rang (M) = 2 i rang (M ′) = 3. En aquest cas, per a
k = 2, els plans són secants. Ara, cal determinar si existeixen plans paral·lels. Per a això, ens hem de fixar en si els
vectors normals dels plans són paral·lels.

nπ1 = ( 2, 3, −2 ) ⎫⎪
3
−2
2
≠
≠
⎬ ⇒

2
−1
1
nπ2 = (1, 2, −1) ⎪⎭

nπ1 = ( 2, 3, −2 ) ⎪⎫
3
−2
2
≠
≠
⎬ ⇒

1
−3
3
nπ3 = ( 3,1, −3 ) ⎭⎪

nπ2 = (1, 2, −1) ⎪⎫
2
−1
1
≠
≠
⎬ ⇒

1
−3
3
nπ3 = ( 3,1, −3 ) ⎭⎪
z =
=−
3 1 −1 3
56
9
Per tant, els plans π2 i π3 són paral·lels i l’altre talla aquests
dos.
b) Com que sabem que els tres plans es tallen en una recta,
l’equació d’aquesta recta vindrà delimitada pels plans:
mateix director. Calculem aquest vector efectuant el producte vectorial dels vectors normals dels plans que formen la recta:
i j k

v = −1 1 1 = ( 2, 3, −1)
2 −1 1
El segon vector que forma el pla que busquem ve donat pels

punts P i Q, és a dir, PQ = ( 2,1, 0 ). Ara ja podem buscar
l’equació del pla que passa pel punt P:
x
2 2
y + 1 3 1 = 0 ⇔ −x + 2y + 4z − 2 = 0
z − 1 −1 0
53. Trobem les equacions paramètriques de s per poder determinar un vector director d’aquesta recta.
Per a això, resolem el sistema d’equacions constituït per les
equacions implícites de s prenent com a paràmetre y = k:
x =
i j k

v = 2 3 −2 = (1, 0,1)
1 2 −1
51. Primer, calculem el punt d’intersecció entre la recta r i el pla.
Per a això, utilitzem Cramer on la matriu M i la matriu ampliada del sistema són:
x =
M
=
0
−2
⎛ 4 1 −2 −3 ⎞
⎜
⎟
Mʹ′ = ⎜ −3 −1 3 −7 ⎟
⎜ 2 1 −2 −3 ⎟
⎝
⎠
= 0, y =
4 −3 −2
−3 −7 3
2 −3 −2
M
= −10
x − z = −1 − my ⎫
x − z = −1 − mk ⎫
⎬ ,
⎬
2x + z = 1+ y
⎭ 2 x + z = 1 + k
⎭
El vector director d’aquesta recta és el producte vectorial
dels vectors normals d’aquests plans.
−3 1 −2
−7 −1 3
−3 1 −2
−2
x
5 2
y + 23 −2 2 = 0 ⇔ 12x + 23y − 14z + 389 = 0
z + 10 1 5
⎧ 2x + 3y − 2z = 3
r : ⎨
⎩ x + 2y − z + 1 = 0
⎞
⎟
⎟ ,
⎟
⎠
20
52. El pla ha de ser paral·lel a la recta r, per tant, ha de tenir el
≠0
Així que rang (M) = 2 i rang (M ′) = 3. En aquest cas, per a
k = 2, els plans són secants. Ara, cal determinar si existeixen plans paral·lels. Per a això, hem de mirar si els vectors
normals dels plans són paral·lels.

nπ1 = ( 2, 3, − 1 3 ) ⎪⎫
3
−1 3
2
≠
≠
⎬ ⇒

−1
13
1
nπ2 = (1,1 3 , −1) ⎭⎪

⎫
nπ1 = ( 2, 3, − 1 3 ) ⎪
3
−1 3
2
≠
≠
⎬ ⇒

−3
1
3
nπ3 = ( 3,1 − 3 ) ⎭⎪

nπ2 = (1,1 3 , −1) ⎫⎪
13
−1
1
=
=
⎬ ⇒

1
−3
3
nπ3 = ( 3,1, −3 ) ⎪⎭
⎛ 4 1 −2
⎜
M = ⎜ −3 −1 3
⎜ 2 1 −2
⎝
=
El pla que busquem ha de ser paral·lel a les rectes s i s ′, per
tant, tindrà els mateixos vectors directors que aquestes. És a
dir, els vectors directors seran (5, –2, 1) i (2, 2, 5), on en la
recta s ′ hem dividit el primer terme entre 2, tant numerador
com denominador.
Si k = 1/3, tenim que:
2 3
3
1 1 3 −1
M
Així que, el punt de tall és (0, –23, –10).
Podem concloure que no hi ha plans paral·lels i que els
plans es tallen dos a dos en una recta.
2 3
7
=−
≠0
113
3
4 1 −3
−3 −1 −7
2 1 −3
=
46
−2
z =
−1 − mk −1
1+k
1
1 −1
2 1
1 −1 − mk
2 1+k
1 −1
2 1
=
=
−1 − mk + 1 + k
3
1 + k + 2 + 2 mk
3
=
= 1+
1−m
3
k
2m + 1
3
k
Les equacions paramètriques de s són:
⎧
1−m
k
⎪ x =
3
⎪
⎨ y = k
⎪
⎪ z = 1 + 2 m + 1 k
⎪⎩
3
= −23,
135
Bloc 2. Geometria > Unitat 6. Geometria afí
⎛ 1 − m
2 m + 1 ⎞
, 1,
Per tant, ⎜
⎟ , o millor encara, el vector
⎝ 3
⎠
3

v = (1 − m, 3, 2 m + 1), és un vector director de s.

Com que un vector director de s és v = (−4, 1, 9) i dues rectes
són paral·leles si i només si els seus vectors directors són linealment dependents, s’ha de complir:
1−m
−4
=
3
=
1
9
—— Q ∈ s ⇒ Q = ( −2 − µ, 0,µ ) , µ ∈ 

—— PQ = 1 ⇒ ( −4 + µ, −1 − λ,µ − λ ) = 1
54. a) Calculem els rangs del sistema que obtenim i imposem
que el rang de la matriu M i de la matriu ampliada M ′ sigui
3 perquè les rectes es tallin en un punt.
3
0
0
0
0
−3
0
−3
−8 ⎞
⎟
−7 ⎟
8 − 12k ⎟
7 − 3k ⎟⎠
−2
2
1
1
0
−8
−3
−7
0 16 − 12k
−3 7 − 3k
0
−8
−3
−7
3 39 − 24k
0 60 − 30k
⎞
⎛
⎟
⎜
k =2
⎟ ⎯⎯⎯⎯
→ ⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎠
⎝
3
0
0
0
−2
2
0
0
⇒λ=
7
3
0
−3
3
0
−1188
18
∉
56. a) Perquè les rectes rA i rB es tallin, els vectors



u A = (1, λ, 2 ) ,uB = (1,1,1) , AB = ( 0, −4, 2 )
han de ser linealment dependents, on A = (1, 2, 1)
i B = (1, –2, 3). Això és que el determinant dels tres vectors
sigui zero.
−8
−7
−9
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Per tant, el punt de tall és P = (–8, –8, –3).
b) Calculem el vector director de la recta r que serà el vector
normal del pla que busquem.
i j k


v r = 3 −2 0 = ( 6, 9, 6 ) = 2 ⋅ ( 2, 3, 2 )
0 2 −3
12 ±
Com que no existeix cap valor de λ tal que es compleixin
aquestes condicions, no existeixen els punts P ni Q.
⎧ 3x − 2y = −8
⎪
⇒ ⎨ 2y − 3z = −7
⇒ y = −8, x = −8
⎪
3z
=
−9
⇒
z
=
−3
⎩
136
—— ( −4 + µ, −1 − λ,µ − λ ) ⋅ ( 2, −1,1) = 0 ⇒ µ =
⇒ 18λ 2 − 24λ + 74 = 0 ⇒ 9λ 2 − 12λ + 37 = 0 ⇒
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Perquè el rang de les dues matrius sigui 3, s’ha de complir
que 60 – 30k = 0 → k = 2. Per tant, les rectes es tallen
quan k = 2. Ara, calculem aquest punt de tall.
−2
2
0
0
2
2
( −4 + µ ) + ( −1 − λ ) + (µ − λ )2 = 1
⎧⎪
2
2
2
−4 + µ ) + ( −1 − λ ) + (µ − λ ) = 1
⇒
⎨ (
⎪⎩µ = 7 3
⎛ 3 −2 0
⎞
−8
⎜
⎟
0 2 −3
−7
⎟
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→ ⎜
⎜ 0 0 3 39 − 24k ⎟
⎜ 0 0 −3 21 − 6k ⎟
⎝
⎠
⎛ 3 −2 0
⎞
−8
⎜
⎟
0 2 −3
−7
F4 →F4 +F3
⎟
⎯⎯⎯⎯⎯
→ ⎜
⎜ 0 0 3 39 − 24k ⎟
⎜ 0 0 0 60 − 30k ⎟
⎝
⎠
3
0
0
0
⇒
De les dues últimes condicions tenim que:
F3 →2F3 −F2
F4 →2F4 −F2
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
Pàg. 178
—— P ∈ r ⇒ P = ( 2,1 + λ, λ ) , λ ∈ 
El valor buscat és m = 13.
⎛
⎜
F3 →F3 −F1
⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜
⎜
⎜
⎝
2x + 3y + 2z = 0
55. Escrivim totes les condicions del problema:
⎫
= 3 ⎪
⎪
1 − m = −12 ⎪⎫
m = 13 ⎪⎫
−4
⎬ ⇒
⎬ ⇒
⎬
27 = 2 m + 1 ⎭⎪
2 m + 1 ⎪
m = 13 ⎪⎭
3=
⎪⎭
9
−2
2
−1
1
Com que ens demana un qualsevol, és igual pel punt que
passi, per exemple, que passi pel punt (0, 0, 0), en aquest
cas tindríem que l’equació del pla resulta:
SÍNTESI
1−m
3
0
3
0
2x + 3y + 2z + d = 0
2m + 1
o sigui:
⎛
⎜
M ' = ⎜
⎜
⎜
⎝
Per tant, l’equació del pla serà de la forma:
11 0
λ 1 −4 = −2λ − 2 = 0 ⇔ λ = −1
21 2
b) Calculem el vector normal del pla definit per rC i rB a partir
dels vectors directors d’aquestes rectes:
i j k

n = 1 1 1 = ( −3, 3, 0 ) = 3 ⋅ ( −1,1, 0 )
1 1 −2
Per tant, com que volem que la recta rA sigui paral·lela a
aquest pla, el vector director de la recta ha de ser perpendicular al vector normal del pla, és a dir, que el producte
escalar entre aquests dos vectors sigui zero.
 
u A ⋅ n = (1, λ, 2 ) ⋅ ( −1,1, 0 ) = 0 ⇔ λ = 1
57. a) Determinem la posició relativa del pla i la recta calculant el
rang de la matriu M i la matriu ampliada M ′:
⎛ 1 2 −1 ⎞
⎜
⎟
M = ⎜ 1 −2 0 ⎟ ,
⎜ 0 4 −1 ⎟
⎝
⎠
⎛ 1 2 −1 2 ⎞
⎜
⎟
Mʹ′ = ⎜ 1 −2 0 −1 ⎟
⎜ 0 4 −1 3 ⎟
⎝
⎠
Bloc 2. Geometria > Unitat 6. Geometria afí
1 2 −1
1 2
Com que 1 −2 0 = 0 i
= −4 ≠ 0 el rang de la
1 −2
0 4 −1
Sigui R un punt qualsevol de s, per tant, serà de la forma
R = (–2 + k, 3 + 2k, 2 – k). El vector director de la recta

determinada per R i Q és RQ = ( 3 + k, −2 + 2k, −1 − k ) .
matriu M és 2. Respecte de la matriu ampliada, tenim que
tots els seus menors d’ordre tres són zero i que existeix un
menor d’ordre dos diferent de zero (el mateix que per a la
matriu M), aleshores, el rang de M ′ és 2.
Perquè aquesta recta sigui perpendicular a la recta r els
seus vectors directors han de ser perpendiculars, és a dir,
que el productor escalar entre aquests vectors sigui 0:
 

RQ ⋅ v r = ( 3 + k, −2 + 2k, −1 − k ) ⋅ ( 2,1, 4 ) = 0
Com que rang (M) = rang (M ′) = 2, la recta està continguda en el pla.
⇔ 6 + 2k − 2 + 2k − 4 − 4k = 0 ⇔ 0 = 0
Així que, efectivament, la recta determinada per R i Q és
perpendicular a r.
b) Sigui Q = (x, y, z) un punt pertanyent a la recta t que estem
buscant. Calculem el vector director de la nostra recta t, és

a dir, PQ = ( x + 2, y − 3, z − 2 ) .
58. a) Sabem que els plans que formen aquesta família de plans
s’intersequen en una recta. Per tant, per a dos valors
qualssevol de m, busquem la recta intersecció dels dos
plans resultants. Per exemple, per a m = 1 i m = 2:
Com que aquesta recta talla perpendicularment la recta r,
aleshores, els vectors directors han de ser perpendiculars,
és a dir, que el seu productor escalar sigui zero. Calculem
el vector director de la recta r amb el producte vectorial
dels vectors normals dels plans que formen la recta.
m = 1 ⇒ x − 4y − 2z + 5 = 0 ⎫
⎬ : r
m = 2 ⇒ 2x − 3y − 4z + 7 = 0 ⎭
i j k


v r = 1 −2 0 = ( 2,1, 4 )
0 4 −1
b) El punt P ha de passar pel pla, per tant, substituïm aquest
punt en l’equació del pla i obtenim un valor de m:
m + (m – 5) · 2 – 2m + 2m + 3 = 0 → m = 7/3
 
 
v r ⊥ PQ ⇒ v r ⋅ PQ = 0 ⇔ ( 2,1, 4 ) ⋅ ( x + 2, y − 3, z − 2 ) = 0
Per tant, si substituïm aquest valor en la família de plans
obtenim l’equació del pla que passa pel punt P:
⇔ 2x + y + 4z − 7 = 0
7
⎛ 7
⎞
7
7
x + ⎜
− 5 ⎟ y − 2 ⋅
z +2⋅
+3=0
⎝
⎠
3
3
3
3
⇒ 7x − 8y − 14z + 23 = 0

c) El vector normal del pla és n = (m,m − 5, −2m ) . Com que
volem que la recta sigui paral·lela a aquest pla, el vector
director de la recta ha de ser perpendicular al vector normal del pla, és a dir, que el producte escalar entre aquests
dos vectors sigui zero.
Per tant, la recta t té com a equacions el pla calculat anteriorment i el pla π, ja que la recta està continguda en
aquest pla.
⎧ 2x + y + 4z − 7 = 0
t : ⎨
⎩ 2 + 2y − z − 2 = 0
Podem passar aquesta equació a forma contínua calculant
el vector director d’aquesta recta:
i j k

v t = 2 1 4 = ( −9, 6, 3 ) = −3 ⋅ ( 3, −2, −1)
1 2 −1
 
10
u ⋅ n = ( −7, 2,1) ⋅ (m,m − 5, −2m ) = 0 ⇔ m = −
7
Substituïm aquest valor en la família de plans i obtenim el
pla paral·lel a la recta:
Així que la recta t que passa pel punt P és:
t :
x +2
3
=
y −3
−2
=
⎛ 10
⎞
−10
−10
x + ⎜ −
− 5 ⎟ y − 2 ⋅
z +2⋅
+3=0
⎝ 7
⎠
7
7
7
⇒ −10x − 45y + 20z + 1 = 0
z −2
−
−1
c) Trobem el punt d’intersecció Q:
⎛
⎜
Mʹ′ = ⎜
⎜
⎜
⎝
1
0
2
0
⎛ 1 −2
−1 ⎞
⎜
⎟
0 4
3 ⎟
F3 →F3 −2F1
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→ ⎜
⎜ 0 7
5 ⎟
⎜ 0 1
−1 ⎟⎠
⎝
⎛ 1 −2 0 −1 ⎞
⎜
⎟
0 4 −1 3 ⎟
F4 →7F4 −F3
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→ ⎜
⎜ 0 7 0 7 ⎟
⎜ 0 0 −14 −14 ⎟
⎝
⎠
−2
4
3
1
0
−1
0
−2
0
−1
0
−2
−1 ⎞
⎟
3 ⎟
7 ⎟
−1 ⎟⎠
⎧ x − 2y = −1
⎪
⇒ ⎨ y = 1
⇒ x = 1 ⇒ Q = (1,1,1)
⎪
⎩ z = 1
La recta s és perpendicular al pla π amb vector normal
(1, 2, –1) i conté P, per tant, l’equació de s és:
10
Avaluació
1.
(pàg. 180)
Escrivim l’equació contínua de la recta que passa pel punt A
i té com a vector director u. Després desenvolupem aquesta
expressió fins a arribar a l’equació general.
r :
x −2
−2
=
y −3
1
=
z +5
3
⎪⎧ x − 2 = −2 ⋅ ( y − 3 )
⇒ ⎨
⎪⎩ 3 ⋅ ( y − 3 ) = z + 5
⎧ x + 2y − 8 = 0
⇒ r : ⎨
⎩ 3y − z − 14 = 0
2.
En aquest exercici, tenim tres punts del pla. Així que, calculem primer els dos vectors directors que formen aquest pla i,
seguidament, la seva equació:
s: (x, y, z) = (–2, 3, 2) + k (1, 2, –1)
137
Bloc 2. Geometria > Unitat 6. Geometria afí


AB = B − A = (1, −6, 4 ) , AC = C − A = ( −1, −1, −9 )
Com que els vectors són iguals, les rectes poden ser paralleles o coincidents. Així que, agafem un punt de la recta r
i mirem si pertany a la recta s o no. Sigui A = (1, 2, 5) un
punt de r:
x − 1 1 −1
y −6 −1 = 0 ⇔ −58x − 5y − 7z + 51 = 0
z − 1 4 −9
3.
s : 1−1 =
Una equació paral·lela al pla 3x + 2y – z + 1 = 0 és de la forma
3x + 2y – z + d = 0. Com que passa pel punt Q, tenim:
5.
3x + 2y – z – 19 = 0
4.
a) Escrivim l’equació general del pla π:
x
i j k




v s = 2 −5 0 = ( −5, −2, 2 ) , v r = ( 2, 3, −1)
0 1 1
1
2
13
23
−1
, aleshores els vectors no són propor≠
≠
2
5
−1
cionals i les rectes es tallen o es creuen. Calculem el de


 

 
 
−11,
BrsBs= =( −4,
−11,
−3−3
terminant format pels vectorsv rv,vr ,v
( −4,
))
s sy iyArA
−5
=
−21
−21
37
≠
5
−1
≠
−1
5
≠
5
3
⎛ 1 4 −5 3 ⎞
⎜
⎟
Mʹ′ = ⎜ −2 1 −2 1 ⎟
⎜ 5 −7 8 −2 ⎟
⎝
⎠
1 4 −5
Tenim que −2 1 −2 = −27 ≠ 0 per la qual cosa arri5 −7 8
on A = (2, 1, –3) i B = (–2, –10, –6):
bem al fet que rang (M) = rang (M ′) = 3. Per tant, els tres
plans es tallen en un punt. Calculem quin és aquest punt
utilitzant Cramer:
1 3 2 −4
2 3 5 −11 = 0
−1 −1 −3
Com que els vectors són linealment dependents, les rectes
r i s es tallen. Calculem el punt de tall:
x =
= 3+t −6 ⇒
⎧ t 3 + 4
2t 3 + 11
=
⎪⎪
6
2
5
= 4,
⇒ ⎨
⇒ t = 6 ⇒ x = 2+
2t
3
+
11
3
⎪
=t −3
⎪⎩
5
12
y = 1+
= 5, z = −3 − 6 = −9
3
Per tant, el punt de tall és (4, 5, –9).
c) El vector director de la recta r és (2, 5, 1) i el vector director
de la recta s és (2, 5, 1), on en aquesta recta hem multiplicat tota l’equació per 1/2.
138
2
≠
⎛ 1 4 −5 ⎞
⎜
⎟
M = ⎜ −2 1 −2 ⎟ ,
⎜ 5 −7 8 ⎟
⎝
⎠
tor director de la recta s és (2, 5, –1). Com que
5
−5
c) Buscarem el rang de la matriu formada per les tres equacions dels plans, M, i el rang de la seva matriu ampliada,
M ′.
b) El vector director de la recta r és (1/3, 2/3, –1) i el vec-
=
=
b) En aquest cas tenim que els plans es tallen en una recA
B
C
D
ta, ja que la igualtat
no es com=
=
=
Aʹ′
Bʹ′
Cʹ′
Dʹ′
pleix:
Com que els vectors són linealment independents, les rectes r i s es creuen.
2
48
Per tant, els plans són paral·lels.
−5 2 −1
−2 3 8 = −37 ≠ 0
2 −1 3
s:
48
En aquest cas, tenim que
Els vectors no són proporcionals, per tant, les rectes es
creuen o 
es
tallen.
Calculem
el determinant format pels


 

vectors v r ,v s y Ar Bs = ( −1, 8, 3 ) on A = (1, –7, 0)
i B = (0, 1, 3):
1 + 2t 3 + 10
2513
y + 1 3 −1 = 0 ⇔ 48x − 5y − 21z + 37 = 0
z −2 15 1
a) El vector director de la recta r és (2, 3, –1) i el vector director de la recta s ve donat pel producte vectorial entre els
vectors normals dels plans de s.
2+t 3+2
= 2 ⋅ 5 − 10 ⇒ 0 = 0 = 0
5
Com que el punt A pertany a la recta s, aleshores les rectes
són coincidents.
3 · 4 + 2 · 2 – (–3) + d = 0 → d = –19
Per tant, l’equació del pla paral·lel que passa per Q és:
2⋅2−4
3 4 −5
1 1 −2
−2 −7 8
−27
z =
=
1
3
, x =
1 4 3
−2 1 1
5 −7 −2
−27
1 3 −5
−2 1 −2
5 −2 8
−27
=−
= −1,
4
3
Per tant, el punt de tall és (1/3, –1, –4/3).
6.
Calculem el pla que passa per P i és perpendicular a s. Per a
això, necessitem un punt, P, i un vector normal al pla que és
el vector director de la recta s.
i j k

n = 2 −1 0 = ( −2, −4, 6 ) = 2 ⋅ ( −1, −2, 3 )
0 3 2
Bloc 2. Geometria > Unitat 6. Geometria afí
paral·lela al pla π, aleshores el producte escalar entre el

vector normal del pla i el vector AQ = ( 3,1 + 2t ,t ) ha de
ser zero.
 
 


AQ ⊥ nπ ⇔ AQ ⋅ nπ = 0 ⇔ ( 3,1 + 2t ,t ) ⋅ ( −2,1, 0 ) = 0 ⇔
⎛
5 ⎞ 
5
⇒ Q = ⎜1, 7, ⎟ , AQ = ( 6,12, 5 )
⇔t =
⎝
2 ⎠
2
Calculem l’equació del pla que és de la forma:
–x – 2y + 3z + d = 0 → –3 – 2 · (–8) + 3 · 2 + d = 0 → d = –19
Així que π: –x – 2y + 3z – 19 = 0.
Calculem el punt de tall entre el pla i la recta. Per a això, utilitzem Cramer on la matriu M i la matriu ampliada del sistema
són:
⎛ 2 −1 0 ⎞
⎜
⎟
M = ⎜ 0 3 2 ⎟ ,
⎜ −1 −2 3 ⎟
⎝
⎠
x =
10 −1 0
−4 3 2
19 −2 3
M
=
z =
20
7
Per tant, l’equació de la recta s que passa per A és:
⎛ 2 −1 0 10 ⎞
⎜
⎟
Mʹ′ = ⎜ 0 3 2 −4 ⎟
⎜ −1 −2 3 19 ⎟
⎝
⎠
, y =
2 −1 10
0 3 −4
−1 −2 19
M
2 10 0
0 −4 2
−1 19 3
M
=
=
−30
7
s: (x, y, z) = (–2, 1, 0) + t · (6, 12, 5)
8.
,
Les arestes que determinen la piràmide són, per exemple, les
arestes DA, DMAB i AMAB, on D és el punt més alt de la piràmide de coordenades D = (0, 0, 5). Calculem les equacions
d’aquestes arestes:

DA = ( 4, 0, −5 ) ⇒ r1 : ( x, y , z ) = ( 0, 0, 5 ) + µ ( 4, 0, −5 )

DM AB = ( 7, 7, −20 ) ⇒ r2 : ( x, y , z ) = ( 0, 0, 5 ) + λ ( 7, 7, −20 )

AM AB = ( −9, 7, 0 ) ⇒ r3 : ( x, y , z ) = ( 4, 0, 0 ) + δ ( −9, 7, 0 )
31
7
Així que, el punt de tall és Q = (20/7, –30/7, 31/7).
Finalment, calculem la recta r que passa pel punt P i té vector

director PQ = ( −1, 26,17 ) :
Determinem tres plans de la piràmide:
El pla DAMAB passa pel punt D i té com a vectors directors


DA = ( 4, 0, −5 ) i DM AB = ( 7, 7, −20 ):
r: (x, y, z) = (3, –8, 2) + t · (–1, 26, 17)
7.
a) Calculem el vector normal del pla on els seus vectors di

rectors són AB = ( −1, −2, 2 ) , AC = ( 0, 0, 4 ), per tant:
x
4 7
y
0 7 = 0 ⇔ 35x + 45y + 28z − 140 = 0
z − 5 −5 −20
i j k


nπ = −1 −2 2 = ( −8, 4, 0 ) = 4 ⋅ ( −2,1, 0 )
0 0 4

 

⇒ nπ ⋅ v r = ( −2,1, 0 ) ⋅ ( 0, 2,1) = 2 ≠ 0
El pla DBMAB passa pel punt D i té com a vectors directors


DB = ( 0, 4, −5 ) i DM AB = ( 7, 7, −20 ) :
x
0 7
y
4 7 = 0 ⇔ 45x + 35y + 28z − 140 = 0
z − 5 −5 −20
Com que el productor escalar és diferent de zero, els vectors no són perpendiculars i, en conseqüència, el pla i la
recta es tallen en un punt. Calculem aquest punt sabent
que el pla que passa pel punt (1, 0, 1) i té com a vector
normal (–2, 1, 0) té com a equació:
El pla DAMA ′B passa pel punt D i té com a vectors directors


DB = ( 0, 4, −5 ) i DM Aʹ′B = ( −7, 7, −20 ):
x
0 −7
y
4 7 = 0 ⇔ −45x + 35y + 28z − 140 = 0
z − 5 −5 −20
–2x + y + d = 0 → d = 2 → –2x + y + 2 = 0
⎫
⎧ x = 1
⎪
⎪
⎪
⎬ ⇒ ⎨ y = 0 ⇒ P = (1, 0, −1)
⎪
⎪
⎩ z = −1
π : − 2x + y + 2 = 0 ⎪⎭
⎧ x = 1
⎪
r : ⎨ y = 2 + 2t
⎪
⎩ z = t
b) El pla conté la recta r, per tant, un dels seus vectors directors és el d’aquesta recta, (0, 2, 1). És perpendicular al pla,
així que, el segon vector director del pla és el vector normal
del pla π, (–2, 1, 0). Amb això ja podem calcular l’equació del nou pla que passa pel punt (1, 2, 0), ja que conté r.
x − 1 0 −2
y − 2 2 1 = 0 ⇔ x + 2y − 4z − 5 = 0
z 1 0
c) Sigui s la recta que busquem. Calculem un punt Q que
pertanyi a aquesta recta sabent que talla la recta r, per
tant, serà de la forma Q = (1, 2 + 2t, t). La recta s és
El vèrtex oposat a A és A ′ = (–4, 0, 0); el de B és B ′ = (0, –4, 0)
i, finalment, el de MAB és M ′AB = (–7/4, –7/4, 0). El vèrtex situat entre A i B ′ és MAB ′ = (7/4, –7/4, 0) i el vèrtex situat entre
A ′ i B és MA ′B = (–7/4, 7/4, 0).
9.
Dues rectes estan contingudes en un mateix pla si i només si
són coincidents, paral·leles o es tallen.
—— Les rectes són coincidents o paral·leles si i només si els
seus vectors directors són linealment dependents.

Un vector director
de r és u = (3, 2, −1), i un vector direc
tor de s és v = (2, m, −2).
3
−1
≠
, aquests vectors no poden ser lineal2
2
ment dependents, per tant, aquest cas no es pot donar.
  
—— Les rectes es tallen si i només si {[BC ], u, v } són linealment dependents, essent B un punt de r i C un punt de s.

Si prenem B = (1, 0, m) i C = (0, 0, –1), [BC ] =
= (0 – 1, 0 – 0, –1 – m) = (–1, 0, –1 – m), i els tres vectors
són linealment dependents si i només si el determinant de
la matriu que té per columnes els seus components és 0:
Com que
139
Bloc 2. Geometria > Unitat 6. Geometria afí
Unes equacions implícites de la recta buscada són:
−1 3 2
0 2m
−1 − m −1 2
0=
2m
−1 2
+ (−1 − m)
⎧ x − y + z − 2 = 0
⎨
⎩ x − 4 y + z + 1 = 0
=
3 2
2m
=
10. a) La recta que busquem, a la qual anomenem s, és la inter-
= –(4 + m) + (–1 – m) (3m – 4) =
secció dels plans π i π ′, essent π el pla determinat per la

recta r (P; v ) i el punt A, i π ′ el determinat per la recta

r ′(P ′, v ʹ′) i el punt A.
=−
= − 4 − m − 3 m + 4 − 3 m2 + 4 m =
= –3 m2 ⇔ m = 0
Les rectes estan sobre el mateix pla si m = 0.
• Si m = 1, les rectes es creuen i tenen per equacions:
r:
x −1
3
=
y
2
=
z −1
−1
, s:
x
2
=
y
1
=
z +1
2
Busquem una recta que passa per A = (1, 1, 2) i té un
punt en comú amb r i amb s. En particular, aquesta
recta passarà per dos punts del pla π, que conté r i passa per A, i per dues del pla π, que conté s i passa per A,
la qual cosa significa que està continguda en aquests
plans.
Així, les equacions generals de π i de π ′ són unes equacions implícites de la recta buscada.
—— Equació general de π:

El punt B = (1, 0, 1) és de r i el vector u = (3, 2, –1) és
vector director de r, per tant, també ho són de π.
Com que A = (1, 1, 2) és un altre punt de π , un altre vector director de π és:

[BA] = (1 − 1, 1 − 0, 2 − 1) = (0, 1, 1)
 
Com que u iy [BA] són linealment independents, una
equació general del pla π és:
0=
x −1 3 0
y 2 1
z − 1 −1 1

El punt C = (0, 0, –1) és de s i el vector v = (2, 1, 2) és
vector director de s, per tant, també ho són de π ′.
Com que A = (1, 1, 2) és un altre punt de π ′, un altre vector director de π ′ és:

[CA] = (1 − 0, 1 − 0, 2 − (−1)) = (1, 1, 3)


Com que v yi [CA] són linealment independents, una
equació general del pla π ′ és:
= x − 4y + z +1
x–4y+z+1=0
140
(x, y, z) = (2, –3, 0) + λ (1, 1, 1) + µ (3, 6, –1)
I la seva equació general és:
π: 7x – 4y – 3z – 26 = 0
Equació del pla π ′:

A més del punt A i del vector v ʹ′ = (1, 4, 2 ) , un altre vector

 
director pot ser u ' = AP ' = ( 0,1, 0 ), essent P ′ = (2, –2, 0).
 
L’equació vectorial de π (A v ʹ′ ; , uʹ′) és:
(x, y, z) = (2, –3, 0) + λ (1, 4, 2) + µ (0, 1, 0)
I la seva equació general és:
π ′: 2x – z – 4 = 0
La recta s és la intersecció dels plans π i π ′. Per tant, les
seves equacions implícites seran:
⎧ 7x − 4y − 3z − 26 = 0
s: ⎨
⎩ 2x − z − 4 = 0
b) Sigui π1 el pla paral·lel a π2 i que conté la recta buscada s ′.
La seva equació general 3x + z + K = 0. A més, el punt A
ha de complir l’equació de π2:
3 · 2 + 0 + K = 0 ⇒ K = –6
Així, π1: 3x + z – 6 =0.
—— Equació general de π ′:
0=

A més del punt A i del vector v = (1,1,1), un altre vector
 
director pot ser u = AP = ( 3, 6, −1), essent P = (5, 3, –1).
 
L’equació vectorial de π (A v ; , u ) és:
= 3x − 3y + 3z − 6
x–y+z–2=0
x 2 1
y 1 1
z +1 2 3
Equació del pla π:
El punt B és la intersecció de r i π1. Per tant, serà la solució
del sistema:
x − y − 2 = 0 ⎫
x = 3 ⎫
⎪
⎪
x − z − 6 = 0 ⎬ ⇒ y = 1 ⎬ ⇒ B = ( 3,1, −3 )
⎪
⎪
3x + z − 6 = 0 ⎭
z = −3 ⎭
 
Sigui v = AB = (1, 4, −3 ) , per tant:
s ′: (x, y, z) = (2, –3, 0) + t (1, 4, –3)
Zona +
(pàg. 181)
—— Un món tridimensional
Exemples de pel·lícules en les quals la geometria formi part
important en la trama: Vertigen, 2001: Una odissea de l’espai,
Transformers, Leyenda de fuego…
BLOC 2. Geometria
7
En context
Geometria mètrica
Si imposem que aquests angles siguin iguals, resulta que
el valor de k és 2. Per tant, el punt P és P = (2, –1, 17).
(pàg. 183)
Resposta oberta, a tall de reflexió individual, que pot servir
com a introducció o repàs a la geometria mètrica.
Problemes resolts
1.
3.
Les rectes r i s són perpendiculars al pla, per tant, són:
r: (x, y, z) = (0, 0, 0) + k (2, 1, 1)
(pàgs. 201 a 203)
s: (x, y, z) = (1, –1, –1) + t (2, 1, 1)
Trobem l'equació del pla π perpendicular a r que passa per P:
Com que C pertany a la recta r i D a la recta s, aquests punts
seran de la forma:
π : x + 2y − 3z + D = 0
C = (2k, k, k) D = (1 + 2t, –1 + t, –1 + t)
P ∈ π ⇒ −1 + 2 ⋅ 1 − 3 ⋅ ( −3 ) + D = 0 ⇒ D = −10
D'altra banda, ABCD formen un quadrat; així, tots els costats
són iguals. Imposem aquesta condició:
⇒ π : x + 2y − 3z − 10 = 0
Calculem la recta t perpendicular a π que passi per A:
d ( A,B ) = d (B,D ) = d ( A,C ) ⇔ d (B,D ) = d ( A,C ) =
t: (x, y, z) = (2, 5, 0) + k (1, 2, –3) = (2 + k, 5 + 2k, –3k)
⎧
⎪
3 ⇔ ⎨
⎪
⎩


⇔ BD = AC =
Calculem el punt d'intersecció C entre t i π:
2 + k + 2 · (5 + 2k) – 3 · (–3k) – 10 = 0 → k = –1/7
Si k = –1/7, C = (13/7, 33/7, 3/7)
A + A'
⇒ A ' = 2C − A
2
⎛ 26 66 6 ⎞
⎛ 12 31 6 ⎞
,
, ⎟ − ( 2, 5, 0 ) = ⎜
,
, ⎟
A ' = ⎜
⎝ 7
⎝ 7
7 7 ⎠
7 7 ⎠
⎫
 ⎛ 19 24 27 ⎞
⎪
,
,
⎟ =
⎛ 12 31 6 ⎞ ⎬ ⇒ PA ' = ⎜
⎝ 7
A ' = ⎜
,
, ⎟ ⎪
7
7 ⎠
⎝ 7
7 7 ⎠ ⎭
1
=
(19, 24, 27 )
7
⇒ s : ( x, y , z ) = ( −1,13 ) + k (19, 24, 27 )
P = ( −1,1, −3 )
4.
2
2
)
Calculem l'equació
 de la recta r que passa per C i D i té com a
vector director CD = ( −4, −2,1) :
⇔ k = 1, 5 ;
k = −0, 06
⇒ P = ( −4; −2;1, 5 ) , P ' = ( 2, 24;1,12; −0, 06 )
5.
54
Les dues rectes poden presentar-se com:

 

 
r ( A,u ) ⇒ u = AB = ( 0, 0, −2 ) ; r (C,v ) ⇒ v = CD = ( 2, 2,1)
 
El primer salt és de r a s. Com que u i v no són proporcionals,
llavors es tallen o es creuen:
 
Calculem l'angle format pels vectors HP i u :
 ⎛
⎞ 
51
HP = ⎜ k −
, −33 + 2k, −48 + 7k ⎟ ; u = (1, 2, 7 )
⎝
⎠
8
54k − 3267 8
α = arccos
2
⎛
51 ⎞
2
2
⎜ k −
⎟ + ( −33 + 2k ) + ( −48 + 7k )
⎝
8 ⎠
)
Sigui P un punt de la recta r anterior i imposem la condició
que el triangle APB sigui rectangle, és a dir, que les rectes AP
i PB siguin perpendiculars. Com que P pertany a la recta r
serà de la forma P = (2 – 4k, 1 – 2k, k).


BP = ( 4 − 4k,1 − 2k,k − 7 ) ; AP = (1 − 4k,1 − 2k,k + 1)
 
BP ⋅ AP = 0 ⇔ ( 4 − 4k,1 − 2k,k − 7 ) ⋅ (1 − 4k,1 − 2k,k + 1) = 0
54k − 19
k 2 + ( −6 + 2k ) + ( −1 + 7k )
⎞
⎟⎟
⎠
r: (x, y, z) = (2, 1, 0) + k (–4, –2, 1)
Com que H és il·luminat
  que els angles
 pel
 raig, es compleix
formats pels vectors AP i u i els vectors HP i u són iguals, on
P = (x, Y, z). Com que P pertany a la recta r, serà de la forma
P = (k, –5 + 2k, 3 + 7k).

Calculem l'angle format pels vectors AP i el vector director de
la recta r:


AP = (k, −6 + 2k, −1 + 7k ) ; u = (1, 2, 7 )
α = arccos
2
( 2k ) + k 2 + k 2 = 3
(
(
Determinem la recta s que passa per P i A′:
2.
2
( 2t ) + t 2 + t 2 = 3
⎧
⎧
⎛
2 −2
2 − 2 ⎞
⎪
⎪D1 = ⎜⎜1 + 2 ,
⎟⎟
,
⎪
2
2
⎪
⎠
⎝
⎪ 6t 2 = 3 ⇔ t = ± 2 2 ⇒ ⎨
⎛
⎪⎪
⎪
− 2 −2 − 2 −2
,
⎪D2 = ⎜⎜1 − 2 ,
⇔ ⎨
2
2
⎝
⎩
⎪
⎪
⎧C = 2 , 2 2 , 2 2
⎪ 1
⎪ 2
⎪ 6k = 3 ⇔ k = ± 2 2 ⇒ ⎨
⎪C1 = − 2 , − 2 2 , − 2 2
⎪⎩
⎩
Trobem A′ com a simètric de A respecte de C:
C =
3 ⇔
  
det u ,v , AC =
(
=
54
)
0 2 −1
0 2 −1 = 0 ⇒ r i s es tallen
−2 1 0
Així que la distància mínima entre les dues rectes és zero.
Calculem el punt d'intersecció, P, entre les dues rectes i després la distància del punt A a P i de P al punt D.
141
Bloc 2. Geometria > UNITAT 7. Geometria mètrica
⎪⎧r : ( x, y , z ) = ( 0, 0, 0 ) + k ( 0, 0, −2 )
⎛
1 ⎞
⇒ P = ⎜ 0, 0, ⎟
⎨
⎝
2 ⎠
⎩⎪ s : ( x, y , z ) = ( −1, −1, 0 ) + k ( 2, 2,1)
⎛ 1 ⎞2
1
u
⎜ ⎟ =
⎝ 2 ⎠
2

⎛
1 ⎞
d ( A,P ) = AP = ⎜ 0, 0, ⎟ =
⎝
2 ⎠
⎛ 1 ⎞2
3
12 + 12 + ⎜ ⎟ =
u
⎝ 2 ⎠
2

⎛
1 ⎞
d (P,D ) = PD = ⎜1,1, ⎟ =
⎝
2 ⎠
Determinem el pla ABC:


A = ( 0, 0, 0 ) ; AB = ( 0, 0, −2 ) ; AC = ( −1, −1, 0 )
⎧ x + 4
= y +1 = z − 2
⎪
⎪ 4
⎛ 138
69 513 ⎞
A = r ∩ t : ⎨ 5x + 8y − 28z + 84 = 0 ⇒ A = ⎜ −
,−
,
⎟
⎝
194 194 ⎠
97
⎪
42x
+
9y
+
17z
+
18
=
0
⎪
⎩
⎧
z
⎪ x = y + 2 =
−3
⎪
⎛ 68
262 204 ⎞
B = s ∩ t : ⎨ 5x + 8y − 28z + 84 = 0 ⇒ B = ⎜ −
,−
,
⎟
⎝ 97
97
97 ⎠
⎪
42x
+
9y
+
17z
+
18
=
0
⎪
⎩
Calculem la distància de A a B i de B al pla π:
x 0 −1
π : y 0 −1 = 0 ⇔ 2y − 2x = 0
z −2 0

d ( A,B ) = AB =
⎛ 70 ⎞2 ⎛ −455 ⎞2 ⎛ −105 ⎞2
⎜
⎟ + ⎜
⎟ + ⎜
⎟ ≈ 2, 51u
⎝ 97 ⎠ ⎝ 194 ⎠ ⎝ 194 ⎠
Calculem la distància del punt D a aquest pla:
d (D, π ) =
( −2 ) ⋅ 1 + 2 ⋅ 1 + 0 ⋅ 1
2
12 + ( −1) + 02
=
0
2
= 0u
Finalment, per a saber la longitud del recorregut sencer sumem totes les distàncies calculades:
6.
1
2
+
3
2
+ 11 = 2 + 11u
Calculem la perpendicular comuna a les rectes r i s.


Com que u = ( 4,1,1) és un vector director de r i v = (1,1, −3 )
és un vector director de s, un vector director de la recta perpendicular comuna a r i s que els talla, t, és:

i
  
w = u ×v = 4
1

j
1
1

k
1 = ( −4,13, 3 )
−3
Calculem el pla π que passa
 per A = (–4, –1, 2) pertanyent a r
i té per vectors directors u i w .
x + 4 4 −4
y + 1 1 13 = 0 ⇔ 5x + 8y − 28z + 84 = 0
z −2 1 3
Calculem el plal π ′ que passa
 per B = (0, –2, 0) pertanyent a
s i té per vectors directors v i w .
x
1 −4
y + 2 1 13 = 0 ⇔ 42x + 9y + 17z + 18 = 0
z −3 3
⎛ 5
8
−28 ⎞
Com que π i π ′ no són coincidents ⎜
≠
≠
⎟ , de⎝ 36
15
17 ⎠
fineixen implícitament la recta buscada:
⎧ 5x + 8y − 28z + 84 = 0
t : ⎨
⎩ 42x + 9y + 17z + 18 = 0
Els valors de A i B són els punts de tall de la recta amb les
rectes r i s, respectivament. Aleshores:
142
⎛ 68 ⎞
204
2 ⋅ ⎜ −
+1
⎟ + ( −5 ) ⋅
⎝ 97 ⎠
97
22 + 02 + ( −5 )
2
≈
≈ 2, 03u
Com que el punt D és al pla ABC, calculem la distància del
punt D al punt B:

d (B,D ) = BD = (1,1, 3 ) = 12 + 12 + 32 = 11u
d ( A,P ) + d (P,D ) + d (B,D ) =


nπ = ( 2, 0, −5 ) ⇒ d (B, π ) =
Exercicis i problemes
(pàgs. 204 a 206)
1 angles
7.
Pàg. 204
L'angle que formen dues rectes és el mateix que formen els
seus vectors directors.


a) Siguin u = ( −4, 2, 5 ) i v = ( −3, 2, 5 ) els vectors directors
de r i s, respectivament. Llavors:
α = arccos
= arccos
( −4 ) ⋅ ( −3 ) + 2 ⋅ 2 + 5 ⋅ 5
2
2
( −4 ) + 22 + 52 ( −3 ) + 22 + 52
41
=
= 7º 28 ' 57, 75 ''
1710
b) Els vectors de r i s els trobem calculant el producte vectorial format per les equacions dels plans.

i


ur = 2
1

j
−4
1

k
1 = (11, 7, 6 )
−3
⎧ x − y = 3
s : x = y + 3 = z ⇒ ⎨
⇒
⎩ x − z = 0
  
i j k


⇒ v s = 1 −1 0 = (1,1,1)
1 0 −1
Ara ja podem calcular l'angle:
α = arccos
= arccos
11 ⋅ 1 + 7 ⋅ 1 + 6 ⋅ 1
112
24
618
+ 72 + 62
12 + 12 + 12
=
= 15º 6 ' 40, 4 ''

c) Sigui u = ( 7,1, 0 ) el vector director de la recta r. El vector
director de la recta s el busquem fent el producte vectorial
format per les equacions dels plans que formen aquesta
recta:
Bloc 2. Geometria > UNITAT 7. Geometria mètrica

i

v = 1
0

j
2
1


b) Sigui ur = ( 7,1, 0 ) el vector director de la recta. El vector
normal del pla el trobem amb el producte vectorial dels
vectors directors que formen aquest pla.

k
0 = ( 6, −3,1)
3

i


nπ = 1
0
Calculant l'angle entre aquests dos vectors, obtenim:
7 ⋅ 6 + 1 ⋅ ( −3 ) + 0 ⋅ 1
α = arccos
72
39
= arccos
8.
=
2
+ 12 + 02
62 + ( −3 ) + 12
= arccos
3 ⋅ ( −1) + 2 ⋅ 6 + ( −1) ⋅ 1
32
+ 22 + ( −1)
8
2
2
( −1) + 62 + 12
6

i

nσ = 2
4
buscat π ha de ser perpendicular a aquest eix, el vector v
és un vector normal de π, i, per tant, la seva equació general serà de la forma:
=
y+D=0
Perquè passi per A = (2, –3, 7), les coordenades de A han
de satisfer l'equació de π, la qual cosa ens determina el
valor de D:
= arccos
y+3=0
b) Un punt de pas serà A = (2, 1, 3). Un
 vector director serà
un vector normal de π, per exemple, u = (1, 2, 5 ) , atès que
és perpendicular al pla. Així, l'equació vectorial de la recta
buscada és:
 
j k
−1 3 = ( −5, 2, 4 )
0 5
(x, y, z) = (2, 1, 3) + k (1, 2, 5)
( −13 ) ⋅ ( −5 ) + ( −14 ) ⋅ 2 + 5 ⋅ 4
2
2
2
( −13 ) + ( −14 ) + 52 ( −5 ) + 22 + 42
57
=
= 64º 30 ' 56,17 ''
17550




c) Els vectors normals són nπ = (1, −2, 3 ) y ns = ( 2, −4, 6 ).
Observem que els vectors normals són proporcionals, la
qual cosa implica que els plans són paral·lels, per tant,
l'angle que formen és de 0º. Podem comprovar-ho:
α = arccos
= arccos
9.
1 ⋅ 2 + ( −2 ) ⋅ ( −4 ) + 3 ⋅ 6
2
12 + ( −2 ) + 32
28
2
22 + ( −4 ) + 62
=
Apliquem la definició d'angle entre recta i pla.




a) Siguin ur = ( −3, 2, 5 ) i nπ = ( 2,1, −7 ) el vector director de
la recta i el vector normal del pla, respectivament.
arcsin
α = arcsen
= arcsen
arcsin
( −3 ) ⋅ 2 + 2 ⋅ 1 + 5 ⋅ ( −7 )
2
( −3 ) +
39
2052
22
+
52
22
+
12
= 59º 25 ' 22, 69 ''


11. a) Sigui ur = (1, −1, 5 ) el vector director de la recta. El vector
normal del pla el trobem amb el producte vectorial dels
vectors directors que formen aquest pla.


AB = ( −2, 3, −2 ) , AC = ( 3, 7, −4 )
  
i j k


nπ = −2 3 −2 = ( 2, −14, −23 )
3 7 −4
arcsin
α = arcsen
= arcsen
arcsin
1 ⋅ 2 + ( −1) ⋅ ( −14 ) + 5 ⋅ ( −23 )
12
2
+ ( −1) + 52
99
19683
2
22 + ( −14 ) + ( −23 )
2
=
= 44º 52 ' 55, 59 ''
b) Busquem el pla π que passa per A i que conté r:



P = ( −1, 0,1) ; AP = ( −3,1, −4 ) ; ur = ( −2, 3, 5 )
= arccos (1) = 0º
784
–3 + D = 0 → D = 3
L'equació general del pla buscat és:
 
j k
−1 5 = ( −13, −14, 5 ) ;
2 3
Per tant, l'angle que formen és:
α = arccos
= 29º 20 '1, 95 ''
150
b) Un vector normal de cada pla és el producte vectorial format pels vectors directors de cada pla.

i


nπ = 3
−1
=

= 69º 42 ' 20,16 ''
532
2
( −1) + 12 + 12
+ 12 + 02
10. a) Un vector director de l'eix OY és v = ( 0,1, 0 ) . Ja que el pla

Per tant:
α = arccos
72
arcsin
= arcsen
Apliquem la definició d'angle entre dos plans.




a) Els vectors normals són nπ = ( 3, 2, −1) i ns = ( −1, 6,1).

k
1 = ( −1,1,1)
−1
7 ⋅ ( −1) + 1 ⋅ 1 + 0 ⋅ 1
α = arcsen
arcsin
= 35º 35 ' 22, 63 ''
2 300

j
0
1
+ ( −7 )
2
=
x − 2 −3 −2
π : y + 1 1 3 = 0 ⇔ 17x + 23y − 7z + 24 = 0
z − 5 −4 5
El pla que passa per B i és paral·lel al pla 3x – 5y = 0 té
com a vector normal 
el mateix que el pla
 al qual és
paral·lel. Així, que siguin nπ = (17, 23, −7 ) yi nπ ' = ( 3, −5, 0 )
els vectors normals dels plans, per tant, l'angle que formen
és:
143
Bloc 2. Geometria > UNITAT 7. Geometria mètrica
α = arccos
17 ⋅ 3 + 23 ⋅ ( −5 ) + ( −7 ) ⋅ 0
172 + 232 + ( −7 )
= arccos
64
2
2
32 + ( −5 ) + 02
=
= 68º 6 ' 50, 32 ''
29478
c) El vector director
de la recta que passa per l'origen i pel

punt A és OA = ( 2, −3, 0 ).
El vector director de la recta paral·lela al pla 2x – 5y = 0 i
que passa pel punt B és (5, 2, 0), on aquest vector ha de
ser perpendicular al vector normal del pla, i efectivament
compleix que el producte escalar és zero.
2 ⋅ 5 + ( −3 ) ⋅ 2 + 0 ⋅ 0
α = arccos
2
22 + ( −3 ) + 02
4
= arccos
377
52 + 22 + 02
=
= 78º 6 ' 40, 83 ''

12. Un vector normal al pla π és n = ( 3, −2, 5 ) .
—— Un

 vector normal al pla YZ, d'equació general x = 0, és
nx = (1, 0, 0 ) , per tant l'angle que forma π amb aquest pla
coordenat és:
3 ⋅ 1 + ( −2 ) ⋅ 0 + 5 ⋅ 0
α = arccos
= arccos
2
32 + ( −2 ) + 52
3
38
12 + 02 + 02
=
—— Un
 vector normal al pla XZ, d'equació general y = 0, és
n y = ( 0,1, 0 ), per tant l'angle que forma π amb aquest pla
coordenat és:
α = arccos
= arccos
2
32 + ( −2 ) + 52
2
38
02 + 12 + 02
⇔ 2 ⋅ (m + 1) + 5 ⋅ (m − 1) − 3 = 0 ⇔ m =
=
c) La recta i el pla són perpendiculars si el vector director de
la recta és proporcional al vector normal del pla.

i


vr = 1
0

j
0
2

k
6 = ( −12,1, 2 )
−1

 

−12
1
2
v r ∝ nπ ⇔ ( −12,1, 2 ) ∝ ( −24, 2,m 2 ) ⇔
=
=
−24
2
m2
⇔ 4 = m 2 ⇔ m = ±2
15. Si
α és l'angle format per πλ i l'eix OX, tenint en compte que


u λ = (1, 3 + 4 λ, λ) és un vector normal de πλ i que v = (1, 0, 0)
és un vector director de l'eix OX, es compleix:
= arccos
2
32 + ( −2 ) + 52
5
38
1 + 0 + 0 ⋅ 1 + (3 + 4 λ)2 + λ 2
1
17 λ 2
+ 24 λ + 10
3
sin α ⇔
= sen
1
17 λ 2
+ 24 λ + 10
=
⇔ 17 λ2 + 24 λ + 10 = 3 ⇔
02 + 02 + 12
=
= 35º 47 ' 44, 74 ''
tor director serà el vector normal del pla π, nπ = (1, 0, 3 ) .
També,
 el pla conté els punts A i B, per tant, el segon vector
serà AB = ( 2, −2, 8 ).
Amb això, calculem l'equació
 del

 pla que passa pel punt A i té
com a vectors directors AB yi nπ .
x −2 2 1
y − 3 −2 0 = 0 ⇔ −3x + y + z + 3 = 0
z
8 3
14. a) Aquests plans són perpendiculars si els seus vectors normals són perpendiculars, és a dir, si es compleix la condició que el producte escalar sigui zero.
=
Per tant:
3
13. El pla que busquem és perpendicular a π, així 
que
un vec
144
1 ⋅ 1 + 0 ⋅ (3 + 4 λ) + 0 ⋅ λ
=
= 71º 4 ' 5, 44 ''
3 ⋅ 0 + ( −2 ) ⋅ 0 + 5 ⋅ 1
7
⇔ −2 ⋅ (m + 1) + (m − 3 ) + 1 = 0 ⇔ m = −4
3
3
⇔
λ = –1
⇔ 17 λ2 + 24 λ + 7 = 0 ⇔
—— Un

 vector normal al pla XY, d'equació general z = 0, és
nz = ( 0, 0,1), per tant l'angle que forma π amb aquest pla
coordenat és:
α = arccos
6
b) Aquestes rectes són perpendiculars si els seus vectors directors són perpendiculars, és a dir, si es compleix la condició que el producte escalar sigui zero.
 
v s1 ⋅ v s2 = 0 ⇔ ( −2,m − 3,1) ⋅ (m + 1,1,1) = 0
 
v ⋅u
sin α =  λ =
sen
v uλ
= 60º 52 ' 42, 35 ''
3 ⋅ 0 + ( −2 ) ⋅ 1 + 5 ⋅ 0
 
nπ1 ⋅ nπ2 = 0 ⇔ ( 2,m − 1,1) ⋅ (m + 1, 5, −3 ) = 0
λ=−
7
17
Hi ha, doncs, dos plans que compleixen el que ens demanen:
π1: x + (3 + 4 · (–1)) y + (–1) z = 0 ⇒ x – y – z = 0
⎛
⎛ 7 ⎞ ⎞
⎛ −7
π2 : x + ⎜ 3 + 4 ⋅ ⎜ −
⎟ ⎟ y + ⎜
⎝ 17 ⎠ ⎠
⎝ 17
⎝
⎞
⎟ z = 0 ⇒
⎠
⇒ 17x + 23y – 7z = 0
Comprovem que el pla que no hem considerat, π′, no compleix la condició d'aquest apartat:
ʹ′, OX ) =
sen
sin (π
0 ⋅1+ 4 ⋅ 0 +1⋅ 0
0 + 16 + 1
1+ 0 + 0
=0≠
3
3
16. Si es tallen a l'origen de coordenades, ambdues rectes passen
pel punt (0, 0, 0). Per tant:
−b =
2
2
=
⎧⎪b = − 2
⇒ ⎨
−1
⎩⎪ −b = c ⇒ c =
−c
2
Per a comparar l'angle d'ambdues rectes, trobem un vector
director de la recta r:
Bloc 2. Geometria > UNITAT 7. Geometria mètrica

i
1+ a
1
 
j k
−1 1 = ( −1, −a,1)
0 1

i

u = 1
2
Si les rectes es tallen formant un angle de 45º, es complirà:
cos 45º =
( −1) ⋅ 1 + ( −a ) ⋅ 2 + 1 ⋅ ( −1)
2
2
( −1) + ( −a )2 + 12 12 + 2 + ( −1)
2
=
2
2
D'on s'obté:
−2 −
2a =
4 + 2a 2 ⇒ a = 0
2 distàncies
Pàgs. 204 i 205
P = long (AB) + long (BC) + long (CA) =
= d (A , B) + d (B, C) + d (C, A) =
+ 1+
1
9
+ 100 =
25 + 36 + 1 + 16 +
62 +
1234
3
+
361
9
910
3
288
=
54
≈ 2, 31 u
19. Trobarem primer l'equació del pla format pels punts A, B i C.


AB = ( −5, 0, 7 ) , AC = ( −2,11, − 1 2 )



⎛
⎞
19
= AB + BC + CA = ( −5, 6, −1) + ⎜ 4, −
, −9 ⎟ +
⎝
⎠
3
⎛ 1
⎞
+ ⎜1, ,10 ⎟ =
⎝ 3
⎠

k
3 = (1, 7, 2 )
−1
Ara, procedim de la mateixa manera que als apartats anteriors:

AP = ( 2, −2, 0 )
  
i j k
 
AP × u = 2 −2 0 = ( −4, −4,16 )
1 7 2
 
2
2
AP × u
( −4 ) + ( −4 ) + 162
d (P, r ) =
=
=

u
12 + 72 + 22
17. Com que la longitud d'un costat coincideix amb la distància
entre els seus extrems, que són dos vèrtexs del triangle, el
perímetre és:

j
−1
0
+ 81 +
≈ 29, 64u
x − 2 −5 −2
⇒ y − 1 0 11 = 0 ⇔ 14x + 3y + 10z − 41 = 0
z − 1 7 −1 2

El vector normal del pla és n = (14, 3,10 ) , per tant:
d ( A, π ) =
14 ⋅ 2 + 3 ⋅ 2 + 10 ⋅ 5 − 41
142 + 32 + 102
≈ 2,462u

18. a) Considerem el punt A = (–5, 2, 3) i trobem el vector AP i el


producte vectorial de AP per u = (1, 2, −8 ) per a aplicar la
fórmula de la distància:

AP = ( 7, −2, −6 )
  
i j k
 
AP × u = 7 −2 −6 = ( 28, 50,16 )
1 2 −8
 
AP × u
282 + 502 + 162
295
d (P, r ) =
=
=2
≈

2
2
2
u
23
1 + 2 + ( −8 )
≈ 7,16 u

b) Considerem el punt A =(0, –5, 2) i trobem el vector AP i el
producte vectorial de AP per u = ( 2, −3, 7 ) per a aplicar la
fórmula de la distància:

AP = ( 2,13, 7 )
  
i j k
 
AP × u = 2 13 7 = (112, 0, −32 )
2 −3 7
 
2
AP × u
1122 + 02 + ( −32 )
d (P, r ) =
=
≈ 14, 793 u

2
u
22 + ( −3 ) + 72
c) Busquem un punt de la recta r donant el valor de x = 0,
per exemple, i obtenim el punt A = (0, 3, 1). El vector director de la recta l'obtenim amb el producte vectorial de
les equacions del pla.
=
43
305
≈
20. a) En primer lloc, determinem la seva posició relativa. Per a
això, comprovem si els seus vectors directors són linealment depenents:


v r = ( −1, 2,1) ;
⇒

i


vs = 7
0
−1
−21
≠

j
3
−2
2
49

k
0 = ( −21, 49, −14 )
−7
≠
1
−14
Per tant, r i s es tallen o es creuen. Escollim un punt A de

 
 
r i un punt A ′ de s i veiem si {v r ,v s , AA '} són linealment
depenents o independents:

A = ( 4, −3, 5 ) ; A ' = ( 2, −3, 5 ) ; AA ' = ( −2, 0, 0 )
⇒
4 −3 5
2 −3 5 = 0
−2 0 0

 
 
Com que rang {v r ,v s , AA '} = 2, les rectes es tallen i, per
tant, d (r, s) = 0 u.
b) Fem el mateix procediment anterior per a determinar la
posició relativa entre les rectes.


v r = (1, 3, −4 ) ;


1
3
−4
v s = ( 3, −1,1) ⇒
≠
≠
3
−1
1
145
Bloc 2. Geometria > UNITAT 7. Geometria mètrica
Per tant, r i s es tallen o es creuen. Escollim un punt A de

 
 
r i un punt A ′ de s i veiem si {v r ,v s , AA '} són linealment
depenents o independents:


A = (1, −2, 0 ) ;u = ( 2, 3, −1) ; PA = ( −2, −2, 4 )
1 2 −1
0 1 2 =0
−1 −1 3

 
 
Com que rang {v r ,v s , AA '} = 2, les rectes es tallen i, per
tant, d (r, s) = 0 u.
21. Com que es compleix la relació:
2
=
1
−2
=
5
−10
3
≠
1
Els plans π i π ′ són paral·lels. Considerem un punt P de π, per
exemple, P = (0, –3, 0), i trobem la distància des d'aquest
punt P a σ:
d ( π, σ ) = d (P, σ ) =
2 ⋅ 0 + ( −2 ) ⋅ ( −3 ) + ( −10 ) ⋅ 0 + 1
2
22 + ( −2 ) + ( −10 )
2
gons aquesta posició trobarem la distància entre ells.

a) El vector
normal de π és n = ( 3,
 −2,1) i el vector director de

r és u = (1, 5, 7 ). Com que n ⋅ u = ( 3, −2,1) ⋅ (1, 5, 7 ) = 0 la
recta serà paral·lela o estarà continguda en el pla. Prenem
un punt de r, per exemple, A = (2, 4, 1), i comprovem si r
està continguda en el pla: 3 ·2 – 2 · 4 + 1 ≠ 5. Per tant, el
pla i la recta són paral·lels. Així:
2
32 + ( −2 ) + 12
=
4
14
u

b) El vector normal de π és n = ( 3, 2, −113 ) i el vector director
de r és u = ( 2, 3,1).
 
Com que n ⋅ u = ( 3, 2, −113 ) ⋅ ( 2, 3,1) = −101 ≠ 0, la recta
r i el pla π es tallen en un punt, la qual cosa implica és que
la distància entre ells és de 0 u.
146

i

us ' = 5
1

j
−3
−3

k
1 = ( 3,1, −12 ) = ( −1) ⋅ ( −3, −1,12 )
0
Per tant, la recta, en forma contínua, és la següent:
s' :
x −3
−3
=
y
−1
=
z+4
12


b) Siguin u = ( 2, 3, −1) y v = ( 3,1, −2 ) els vectors directors
2
3
−1
de les rectes r i s, respectivament. Com que
≠
≠
3
1
−2
aleshores r i s es tallen o es creuen. Escollim un punt A de
  
r i un punt A′ de s i veiem si {u ,v , AA '} són linealment depenents o independents:

A = (1, −2, 0 ) ; A ' = ( 0, −1,1) ; AA ' = ( −1,1,1)
⇒
22. Calculem primer la posició relativa entre el pla i la recta. Se-
3 ⋅ 2 + ( −2 ) ⋅ 4 + 1 ⋅ 1 + 5
Amb això podem calcular el vector director de la recta que
busquem efectuant el producte vectorial dels vectors normals dels plans oposats.
≈
≈ 0, 673u
d ( r , π ) = d ( A, π ) =
Pla que conté P i s:
x
3 −3
y + 1 1 −1 = 0 ⇔ x − 3y − 3 = 0
z − 1 −2 5


3
−5
−1
v s = ( −6,10, 2 ) ⇒
=
=
−6
10
2
Com que els vectors són proporcionals, les rectes són
paral·leles i la distància entre elles es calcula prenent un
punt P = (0, 1, 2) de la recta r, per exemple, i trobant la
seva distància a l'altra recta.

A = ( 0, 0, 0 ) ∈ s ⇒ AP = ( 0,1, 2 )
  
i j k
 

AP × v s = 0 1 2 = ( −18, −12, 6 )
−6 10 2
 

2
2
AP × v s
( −18 ) + ( −12 ) + 62
d (P, s ) =
=
≈ 1, 9u


2
vs
( −6 ) + 102 + 22
−1
x − 1 2 −2
y + 2 3 −2 = 0 ⇔ 5x − 3y + z − 11 = 0
z −1 4


B = ( 0, −1,1) ;u = ( 3,1, −2 ) ; PB = ( −3, −1, 5 )
c) Els vectors directors de les rectes són:


v r = ( 3, −5, −1) ;
per P i contenen les rectes r i s.
Pla que conté P i r:

A = (1, 2, −1) ; A ' = ( 0,1, 2 ) ; AA ' = ( −1, −1, 3 )
⇒
23. a) La recta demanada és la intersecció dels plans que passen
2 3 −1
3 1 1 = −1 ≠ 0
−1 −2 1
  
Com que rang {u ,v , AA '} = 3, les rectes es creuen. Així
que apliquem la fórmula que ens permet trobar la distància entre dues rectes:

i
 
u ×v = 2
3
  
⎡ AA ',u ,v ⎤
⎣
⎦
d (r , s ) =
=
 
u ×v

j
3
1

k
−1 = ( −5,1, −7 )
−2
1
2
( −5 ) +
12
+ ( −7 )
2
=
3
15
u
24. Si la recta i el pla es tallen perpendicularment, el vector director de la recta ha de ser proporcional al vector normal del pla.
És a dir:

 

3
a
1
v r ∝ nπ ⇔ ( 3, a,1) ∝ ( 6, −4, 2 ) ⇔
=
=
⇔ a = −2
6
−4
2
Bloc 2. Geometria > UNITAT 7. Geometria mètrica
r: (x, y, z) = (0, 0, 0) + k (10, 10, 0)
D'altra banda, tenim que la recta passa pel punt B:
La recta diagonal del cub és la que passa, per exemple, pel
punt D = (10, 0, 0) i el punt E = (0, 10, 10). Aleshores:
(10, 0, 0 ) = ( 7,b, −1) + k ( 3, −2,1) ⇒
⎧10 = 7 + 3k ⎯⎯⎯⎯
→ 10 = 10
⎪⎪
k =1
→b = 2
⇒ ⎨ 0 = b − 2k ⎯⎯⎯⎯
⎪
0
=
−1
+
k
⇒
k
=
1
⎪⎩
k =1
s: (x, y, z) = (10, 0, 0) + t (–10, 10, 10)
Calculem ara la distància entre aquestes dues rectes sabent
que es creuen:
10 10 −10
 
 

⎡ AD ,v r ,v s ⎤ = 0 10 10
⎣
⎦
0 0 10
Calculem el punt d'intersecció entre la recta i el pla:
⎧⎪ ( x, y , z ) = ( 7, 2, −1) + k ( 3, −2,1)
⎛ 22 32
16 ⎞
,
,−
⇒ P = ⎜
⎨
⎟
⎝ 7
7
7 ⎠
⎩⎪ 6x − 4y + 2z + 4 = 0
Finalment, trobem la distància
entre el punt B i el pla on el

vector normal del pla és n = ( 6, −4, 2 ) , per tant:
6 ⋅ 10 + ( −4 ) ⋅ 0 + 2 ⋅ 0 + 4
d (B, π ) =
2
62 + ( −4 ) + 22
64
=
32
=
56
14
u
  
i
j k
10 10 0 = (100, −100, 200 )
−10 10 10
 
 

⎡ AD ,v r ,v s ⎤
103
⎣
⎦
d (r , s ) =
=

 

2
vr × vs
1002 + ( −100 ) + 2002

 

vr × vs =
25. Per a determinar l'equació d'un pla que conté una recta i


vr =
a) Utilitzem la distància del pla del feix al punt P:
2
2
(1 + λ ) + ( −1) + ( −λ )
2λ + 5
=
2 ( λ 2 + λ + 1)
3 2
2
2
=
3 2
2
2
; ( 2λ + 5 ) = 9 ( λ 2 + λ + 1)
5λ 2 − 11λ − 16 = 0 ⇒ λ1 =
16
5
; λ 2 = −1
Per tant, existeixen dos plans del feix, π1 i π2, la distància
del qual és la buscada al punt P:
π1 : 21x − 5y − 16z = 0; π2 : − y + z = 0
b) L'angle que formen una recta i un pla ve determinada per
 
v ⋅n

sin α =   , essent v el vector director de
l'expressió sen
v u

l'eix OY i n el vector normal del pla que busquem. Així, per
al pla del feix π λ , es té:
( 0,1, 0 ) ⋅ (1 + λ, −1, −λ )
sen
sin α =
2
2
1 ⋅ (1 + λ ) + ( −1) + ( −λ )
2
=
6
6
1
=
1
6
⇒ 3 = λ 2 + λ + 1 ⇒ λ1 = 1, λ 2 = −2
Per tant, existeixen dos plans del feix que formen l'angle
buscat amb l'eix OY:
costat mesura 10 cm, obtenim, per exemple, la cara ABCD, on
A = (0, 0, 0), B = (0, 10, 0), C = (10, 10, 0) i D = (10, 0, 0). Per
tant, la diagonal AC d'aquesta cara és la recta:

i
1
−1

j
1
0

k


−3 = ( 2,1,1) ; v s = ( 2,1,1)
2
Per tant, l'àrea del quadrat és el quadrat de la distància
calculada anteriorment:
⎛
A = d (P, s ) ⋅ d (P, s ) = ⎜⎜
⎝
2
66 ⎞
22 22
⎟⎟ =
u
3 ⎠
3
b) Observem que el punt (2, 0, 1) pertany a la recta r. Sigui P
un punt de la recta r que serà de la forma:
P = (2z, z – 1, z)
Aquest punt ha de complir que la distància de P a (2, 0 1)
66
u . Així que:
sigui de
3
66
d (P, ( 2, 0,1) ) =
π1 : 2x − y − z = 0; π2 : − x − y + 2z = 0
26. Donant components a tots els vèrtexs del cub sabent que cada
cm
6
Com que els vectors directors són iguals, les rectes r i s són
paral·leles. La distància entre elles es calcula prenent un
punt P = (0, –1, 0) de la recta r, per exemple, i trobant la
seva distància a l'altra recta.

A = ( −2,1, 0 ) ∈ s ⇒ AP = ( 2, −2, 0 )
  
i j k
 

AP × v s = 2 −2 0 = ( −2, −2, 6 )
2 1 1
 

2
2
AP × v s
( −2 ) + ( −2 ) + 62
66
d (P, s ) =
=
=
u


vs
3
22 + 12 + 12
En operar i elevar al quadrat, obtenim:
2λ 2 + 2λ + 2
=
27. a) Estudiem la posició relativa entre les dues rectes:
π λ : x − y + λ ( x − z ) = 0; π λ : (1 + λ ) x − y − λz = 0
(1 + λ ) ⋅ 3 + ( −1) ⋅ ( −2 ) + ( −λ ) ⋅ 1 + 0
10
=
compleix a més una altra condició, utilitzarem el feix de plans
secants amb aresta en aquesta recta.
Dos plans del feix són x – y = 0 i x – z = 0. Per tant, qualsevol
plal del feix podrà escriure's com ara:
= 103
=
66
3
⇔
2
3
u ⇔ ( 2 − 2z, z − 1, z − 1) =
2
2
2
( 2 − 2z ) + ( z − 1) + ( z − 1) =
2
2
⇔ ( 2 − 2z ) + ( z − 1) + ( z − 1) =
66
3
⇔
66
⇔ z = 2,1; z = −0,1
9
⇒ P = ( 4, 2;1,1; 2,1) , P ' = ( −0, 2; −1,1; −0,1)
147
Bloc 2. Geometria > UNITAT 7. Geometria mètrica


d ( A,P ) = d (B,P ) ⇔ AP = BP ⇔
28. a) El punt S pertany a la recta r, així que, serà de la forma:
⎛ 5 − 2y
2 + y ⎞
S = ⎜
, y,
⎟
⎝
3
3 ⎠
⇔ ( x − 2, y − 1, z + 3 ) = ( x, y − 5, z + 1) ⇔
Imposem la condició que la recta
que
 conté P i S és perpendicular a la recta r. És a dir, v PS ⋅ v r = 0, on:
  ⎛ 2 − 2y
−4 + y ⎞
v PS = PS = ⎜
, y,
⎟
⎝
3 ⎠
3
  
i j k


v r = 3 2 0 = ( 6, −9, −3 ) = −3 ⋅ ( −2, 3,1)
0 −1 3
 
⎛ 2 − 2y
−4 + y
v PS ⋅ v r = 0 ⇒ ⎜
, y,
⎝
3
3
⎛ 9
4
⇒ y =
⇒ S = ⎜ ,
⎝ 7
7
,−
25
7
,
29 ⎞
⎟
7 ⎠
156 ⎞
⎟
95 ⎠
⎛ 32 ⎞2 ⎛ 2 ⎞2 ⎛ 34 ⎞2
⎜ −
⎟ + ⎜ −
⎟ + ⎜ −
⎟ =
⎝ 95 ⎠ ⎝ 19 ⎠ ⎝ 95 ⎠
≈ 0,503u
24
⎛ 23 ⎞2 ⎛ 25 ⎞2 ⎛ 29 ⎞2
⎜ −
⎟ + ⎜ −
⎟ + ⎜
⎟ =
⎝ 7 ⎠ ⎝ 7 ⎠ ⎝ 7 ⎠
285
⇒A=
 
PR ⋅ SQ
2
=
285
24
⋅
7
95
2
=
95
7
3 14
7
≈
⇔ x 2 − 4x + y 2 − 2y + z 2 + 6z + 14 =
si, d (P, π1) = d (P, π2). Així:
7x + 2y − z + 5
72 + 22 + ( −1)
⇔
⇔
(
(
2
=
−3x + 2y − 1
2
( −3 ) + 22
⇔
54 7x + 2y − z + 5 = 13 −3x + 2y − 1 ⇔
54 ( 7x + 2y − z + 5 ) = ± 13 ( −3x + 2y − 1) ⇔
) (
) (
)
)
⎧ 7 54 + 3 13 x + 2 54 − 2 13 y − 54 z + 5 54 + 13 = 0
⎪
⎨
⎪ 7 54 − 3 13 x + 2 54 + 2 13 y − 54 z + 5 54 − 13 = 0
⎩
32. — Trobem l'equació paramètrica de r:
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
x
=k
⎧ x = 3 k
⎪
⎪
= k ⇒ ⎨ y = 4 k
4
⎪
⎪ z = −2 k
z
⎩
=k
−2

• Considerem P ∈ r i Q ∈ s, i trobem [PQ ]:
3
y
P = (3k1, 4k1, –2k1)
 
• Imposem que els dos productes escalars [PQ ] ⋅ u i
 
[PQ ] ⋅ v siguin igual a zero:
(1 – 3k1, 1 + 2k2 – 4k1, 1 + k2 + 2k1) · (0, 2, 1) = 0
u
u2
resolució de Pàgs. 205 i 206
problemes mètrics
30. El pla mediador del segment AB és el conjunt de punts
P = (x, y, z) la distància dels quals és la mateixa als extrems
del segment, A i B:
148
2
(1 – 3k1, 1 + 2k2 – 4k1, 1 + k2 + 2k1) · (3, 4, –2) = 0
29. Activitat TIC.
3
2
Q = (1, 1 + 2k2, 1 + k2)

[PQ ] = (1 − 3k1, 1 + 2k 2 − 4k1, 1 + k 2 + 2k1)
Ara, podem trobar l'àrea del triangle:

SQ =
2
31. Un punt P = (x, y, z) és d'un pla bisector de π1 i π2, si i només
Calculem el punt de tall entre el pla i la recta SQ.
7
2
⇔ −x + 2y + z − 3 = 0
 ⎛ 23
25 29 ⎞
SQ = ⎜ −
,−
,
⎟ ⇒
⎝ 7
7
7 ⎠
23
25
29
⇒−
x−
y +
z +D = 0
7
7
7
23
25
29
P = (1, 0, 2 ) ⇒ −
⋅1−
⋅0+
⋅2+D = 0 ⇒
7
7
7
⇒ D = −5 ⇒ −23x − 25y + 29z − 35 = 0

PR =
2
⇔ ( x − 2 ) + ( y − 1) + ( z + 3 ) = x 2 + ( y − 5 ) + ( z + 1) ⇔
⎞
⎟ ⋅ ( −2, 3,1) = 0 ⇒
⎠
4 6 ⎞
, ⎟
7 7 ⎠
23
2
2
2
2
2
( x − 2 ) + ( y − 1) + ( z + 3 ) = x 2 + ( y − 5 ) + ( z + 1) ⇔
= x 2 + y 2 − 10y + z 2 + 2z + 26 ⇔
b) Calculem el pla que passa per P i és perpendicular a la
recta SQ. Per a això necessitem un punt, P, i un vector
normal al pla que és el vector director de la recta SQ.
⎧ −23x − 25y + 29z − 35 = 0
⎪
⎨
⎛ 9 4 6 ⎞
⎛
⎪ ( x, y , z ) = ⎜ , , ⎟ + k ⎜ −
⎝ 7 7 7 ⎠
⎝
⎩
⎛ 63
2
,−
,
⇒ R = ⎜
⎝ 95
19
⇔
Obtenim el sistema d'equacions:
−29k1 + 6k 2 + 5 = 0 ⎫
7
57
; k2 = −
⎬ k1 =
− 6k1 + 5k 2 + 3 = 0 ⎭
109
109
Per tant:
⎛ 21
28
14 ⎞
P = ⎜
,
,−
⎟
⎝ 109 109
109 ⎠

⎡PQ ⎤ = ⎛⎜ 88 , − 33 , 66 ⎞⎟
⎣ ⎦
⎝ 109
109 109 ⎠
• Així, l'equació vectorial de la perpendicular comuna a r
i s és:
⎛ 21
28
14 ⎞
(x, y , z) = ⎜
,
,−
⎟ + k (8, −3, 6)
⎝ 109
109
109 ⎠
Bloc 2. Geometria > UNITAT 7. Geometria mètrica

—— Trobem el vector w , perpendicular a r ′ i s ′:
 

u × v = (3, 4, −2) × (2, 6, −3) = (0, 5, 10) ⇒ w = (0, 1, 2)
• Determinem l'equació dels plans π i π ′:
c) Per a trobar la projecció Q de P sobre π, determinem la
recta r perpendicular a π i que conté P:
r: (x, y, z) = (2, 1, 5) + k (1, –3, 1)
El punt Q és el punt d'intersecció de r i π:
π:
x −1 3 0
y −1 4 1
z −2 2
= 10x − 6y + 3z − 4 = 0
⎫⎪
⎛ 20 17 53 ⎞
,
,
⎬ ⇒ Q = ⎜
⎟
⎝ 11 11 11 ⎠
( x, y , z ) = ( 2,1, 5 ) + k (1, −3,1) ⎭⎪
πʹ′:
x −2 2 0
y +2 6 1
z + 1 −3 2
= 15x − 4y + 2z − 36 = 0
Com que Q ha de ser el punt mitjà del segment PP ′, essent
P ′ = (x, y, z) el punt simètric:
x − 3y + z − 2 = 0
⎛ 20 17 53 ⎞ ⎛ 2 + x 1 + y
,
,
,
⎜
⎟ = ⎜
⎝ 11 11 11 ⎠ ⎝ 2
2
⎛ 18 23 51
⇒ P ' = ⎜
,
,
⎝ 11 11 11
• Expressem la recta t ′ que busquem com a intersecció
de π i π ′:
⎧ 10x − 6y + 3z − 4 = 0
t ʹ′: ⎨
⎩15x − 4y + 2z − 36 = 0
33. Siguin P = (x, y, z) els punts que compleixen la condició de
l'enunciat, és a dir, compleixen que:


d ( A,P ) = d ( A,B ) ⇔ AP = AB ⇔
2
2
⇔ x 2 + y 2 + z 2 − 4x − 2z = 0
34. Siguin P = (x, y, z) els punts que compleixen la condició de
l'enunciat, és a dir, compleixen que:

d (C,P ) = 8 ⇔ CP = 8 ⇔ ( x − 2, y + 3, z − 5 ) = 8 ⇔
⇔
2
2
2
( x − 2) + ( y + 3) + ( z − 5 ) = 8 ⇔
2
2

i

v = 1
2
⇒ A = ( 0, 0, −2 )
Per
 tant, la recta que passa per A i té com a vector director
v és:
x
6
⎛ 2 + x 1 + y 5 + z ⎞
,
,
⎟ ⇒ P ' = ( 4, 3, 9 )
⎝ 2
2
2 ⎠
b) Per a trobar la projecció Q de P sobre r, determinem el pla
π perpendicular a r que conté P. Com que els vectors directors de r són vectors normals de π:
⇔
2
12 + ( −2 ) + 22
8x + 2y + 6z − 48 = 0
⎪⎫
⎛ 56 119 19 ⎞
,
,
⎬ ⇒ Q = ⎜
⎟
⎝ 13 26 26 ⎠
( x, y , z ) = ( 2, 4, −1) + k ( 8, 2, 6 ) ⎪⎭
Com que Q ha de ser el punt mitjà del segment PP ′, essent
P ′ = (x, y, z) el punt simètric:
⎛ 56 119 19 ⎞ ⎛ 2 + x 1 + y 5 + z ⎞
,
,
,
,
⎜
⎟ = ⎜
⎟ ⇒
⎝ 13 26 26 ⎠ ⎝ 2
2
2 ⎠
⎛ 86 106 −46 ⎞
⇒ P ' = ⎜
,
,
⎟
⎝ 13 13
13 ⎠
=
z +2
2
=
2x − 2y − z − 2
2
22 + ( −2 ) + ( −1)
2
⇔
⇔ 3 ⋅ x − 2y + 2z + 4 = 3 ⋅ 2x − 2y − z − 2 ⇔
⇔ ( x − 2y + 2z + 4 ) = ± ( 2x − 2y − z − 2 ) ⇔
⎧ x − 3z − 6 = 0
⇔ ⎨
⎩ 3x − 4y + z + 2 = 0
Si P ∈ π, 8 · 2 + 2 · 1 + 6 · 5 + D = 0 → D = – 48
El punt Q és el punt d'intersecció de π i r.
y
5
d (P, π ) = d (P, π ') ⇔
x − 2y + 2z + 4
π: 8x + 2y + 6z + D = 0
π: 8x + 2y + 6z – 48 = 0
=
b) Siguin P = (x, y, z) els punts que equidisten de tots dos
plans. És a dir, s'ha de complir que:
que Q sigui el punt mitjà del segment PP ′:
( 3, 2, 7 ) = ⎜

k
2 = ( 6, 5, 2 )
−1
⎧ −2y + 2z + 4 = 0
x = 0 ⇒ ⎨
⇒ y = 0, z = −2 ⇒
⎩ −2y − z − 2 = 0
2
35. a) Trobem el punt simètric P ′= (x, y, z) imposant la condició

j
−2
−2
Per a trobar un punt d'aquesta recta donem el valor
x = 0, per exemple, i resulta:
⇔ ( x − 2 ) + ( y + 3 ) + ( z − 5 ) = 64
On observem que aquesta equació equival a l'equació d'una
esfera de radi 8 i centre (2, –3, 5).
⎞
⎟
⎠
te vectorial format per les components de les equacions
dels plans.
2
2
2
( x − 2 ) + y 2 + ( z − 1) = ( −2 ) + 12 + 02 ⇔
⇔ ( x − 2 ) + y 2 + ( z − 1) = 5 ⇔
5 + z ⎞
⎟ ⇒
2 ⎠
36. a) Busquem el vector director de la recta calculant el produc-
⇔ ( x − 2, y , z − 1) = ( −2,1, 0 ) ⇔
⇔
,
37. N'hi ha prou d'observar que la recta que busquem és la intersecció del pla π amb un pla π ′, perpendicular a π i que conté
r. Trobem el pla π ′:
π ′: (x, y, z) = (–1, 0, 7) + λ (2, 1, –6) + µ (1, 3, –5)
π' :
x +1 2 1
y
1 3 = 0 ⇔ 13x + 4y + 5z − 22 = 0
z − 7 −6 −5
La recta és:
⎧ x + 3y − 5z + 36 = 0
s : ⎨
⎩13x + 4y + 5z − 22 = 0
149
Bloc 2. Geometria > UNITAT 7. Geometria mètrica
Busquem ara la recta simètrica de r sobre π. Sabem que la
recta talla el pla en un punt. Sigui I = (–1, 0, 7) un punt de la
recta r que observem que també pertany al pla, ja que compleix la seva equació. Per tant, aquest punt és el punt
d'intersecció entre el pla i la recta r.
El volum del tetraedre és una sisena part del volum del
prisma format per tres vectors del tetraedre. Així:



OA = (1, 0, 0 ) ; OB = ( 0,1 5 , 0 ) ; OC = ( 0, 0, − 1 6 )
0
0
=
0 0 −1 6
VT =
(x, y, z) = (1, 1, 1) + k (1, 3, –5)
El punt Q és la intersecció de la recta amb el pla:
1
6
VP =
1
⋅
6
1
30
=
1
180
1
30
u3
39. a) La distància del punt C al pla coincideix amb el valor del
x + 3y − 5z + 36 = 0
⎫⎪
⎬ ⇒ Q = ( 0, −2, 6 )
( x, y , z ) = (1,1,1) + k (1, 3, −5 ) ⎭⎪
radi de l'esfera:
Com que Q ha de ser el punt mitjà del segment PP ′, essent P ′
= (x, y, z) el punt simètric:
r = d (C, π ) =
⎛ 1 + x 1 + y 1 + z ⎞
,
,
⎟ ⇒ P ' = ( −1, −5,11)
⎝ 2
2
2 ⎠
( 0, −2, 6 ) = ⎜
1 ⋅ 2 − 2 ⋅ 1 + ( −1) ⋅ ( −3 ) − 1
2
12 + ( −2 ) + ( −1)
⇒ r2 =
Aleshores, la recta simètrica
de r sobre π passa pel punt I i té

com a vector director IP ' = ( 0, −5, 4 ), és a dir, la recta:
recta r perpendicular a π i que conté P:
r: (x, y, z) = (1, 0 1) + k (1, 5, –6)
El punt Q és el punt d'intersecció de r i π:
⇒
3
2
3
2
2
2
( x − 2 ) + ( y − 1) + ( z + 3 ) =
38. a) Per a trobar la projecció Q de P sobre π, determinem la
6
=
2
Coneixent el radi i el centre de l'esfera, l'equació és:
r ′: (x, y, z) = (–1, 0, 7) + k (0, –5, 4)
2
3
b) Sigui π ′: x – 2y – z – k = 0 plans paral·lels a π. Per a trobar
el valor de k imposem que aquest pla també ha de ser
tangent a la superfície esfèrica, és a dir, que la distància
entre aquest pla i el centre C ha de ser 6 3. Aleshores:
x + 5y − 6z − 1 = 0
⎫⎪
⎛ 34 15 13 ⎞
,
,
⎬ ⇒ Q = ⎜
⎟
⎝ 31 31 31 ⎠
( x, y , z ) = (1, 0,1) + k (1, 5, −6 ) ⎭⎪
d (C, π ') =
1 ⋅ 2 − 2 ⋅ 1 + ( −1) ⋅ ( −3 ) + k
2
12 + ( −2 ) + ( −1)
2
6
=
⇔
3
Com que Q ha de ser el punt mitjà del segment PP ′, essent
P ′ = (x, y, z) el punt simètric:
⎧k = −1
⇔ ⎨
⎩k = −5
⎛ 34 15 13 ⎞ ⎛ 1 + x 0 + y 1 + z ⎞
,
,
,
,
⎜
⎟ = ⎜
⎟ ⇒
⎝ 31 31 31 ⎠ ⎝ 2
2
2 ⎠
⎛ 37 30
5 ⎞
⇒ P ' = ⎜
,
,−
⎟
⎝ 31 31
31 ⎠
Descartem el valor de k = –1 ja que ens quedaria el mateix
pla π. Per tant, el pla que busquem és:
π ′: x – 2y – z – 5 = 0
b) Sigui A = (0, 1, 0) un punt de la recta r. El vector director
de la recta és u = ( 0,1, 0 ) , ja que és paral·lela a l'eix OY.
Ara ja podem calcular la distància de P a r:

i

 
AP = (1, −1,1) ; AP × u = 1
0
 
j k
−1 1 = ( −1, 0,1)
1 0
 
AP × u
⇒ d (P, r ) =
=

u
02 + 12 + 02
2
( −1) + 02 + 12
=
40. Activitat TIC.
SÍNTESI
Pàg. 206
41. Si A pertany a la recta r ha de ser de la forma:
2
⎧ 2x = 2y − 2
r : ⎨
⇒ A = (k − 1,k, 2k − 1)
⎩ 2x = z − 1
Fem que aquest punt compleixi la condició de l'enunciat:


d ( A,B ) = 2d ( A,C ) ⇔ AB = 2 AC ⇔
c) Calculem primer els punts d'intersecció del pla amb els
eixos coordenats:
Sigui A el punt d'intersecció del pla amb l'eix OX, és a dir,
la recta formada pels pla y = 0 i z = 0. Així que, el punt és
A = (1, 0, 0).
Sigui B el punt d'intersecció del pla amb l'eix OY, és a dir,
la recta formada pels plans x = 0 i z = 0. Així que, el punt
és B = (0, 1/5, 0).
Sigui C el punt d'intersecció del pla amb l'eix OZ, és a dir,
la recta formada pels plans y = 0 i x = 0. Així que, el punt
és C = (0, 0, –1/6).
150
1 0
015
  
VP = ⎡⎣OA,OB ,OC ⎤⎦ =
Sigui P = (1, 1, 1) un punt de la recta r i calculem el seu simètric respecte del pla. Per a això determinem la recta perpendicular a π i que conté P:
⇔ ( 2 − k, −k, 2 − 2k ) = 2 (1 − k, −k,1 − 2k ) ⇔
⇔
2
2
2
2
( 2 − k ) + k 2 + ( 2 − 2k ) = 2 (1 − k ) + k 2 + (1 − 2k ) ⇔
2
2
(
2
⇔ ( 2 − k ) + k 2 + ( 2 − 2k ) = 4 (1 − k ) + k 2 + (1 − 2k )
2
)⇔
⇔ k = 0, k = 2 3
Com que el punt A està per sota del pla XY, la tercera coordenada de A ha de ser negativa, de manera que descartem el
valor de k = 2/3 i, essent k = 0, tenim que A = (–1, 0, –1).
Bloc 2. Geometria > UNITAT 7. Geometria mètrica
—— El pla YZ és el pla x = 0, que si l'intersequem amb la recta
r resulta que el punt d'intersecció és P = (0, 1, 1). Per tant,
la recta BP passa pel punt B i té vector director

BP = ( −1,1, 0 ) d'equació:
BP: (x, y, z) = (1, 0, 1) + k (–1, 1, 0)
Busquem el pla perpendicular a la recta pel punt C on el
seu vector normal és (–1, 1, 0), així que serà de la forma
–x + y + D = 0. Com que ha de passar pel punt C, tenim
que el pla té com a equació –x + y = 0.
Així, l'equació vectorial de r és:
(x, y, z) = (1, 0, 0) + k (3, 3, –1)
D'altra banda, observem que la trajectòria reflexada passa per
Q i pel punt A en el qual el raig incident canvia de direcció,
que no és altre que aquell que arriba al mirall. Dit d'una altra
manera, A = r ∩ π.
Determinem les coordenades de A:
Les equacions implícites de r poden obtenir-se a partir de les
contínues, immediates a partir de la vectorial:
Ara, intersequem aquest pla amb la recta BP i trobem la
projecció ortogonal de C sobre la recta BP:
x −1
⎧ x = y = 1 2
⎪⎧ −x + y = 0
⇒ ⎨
⎨
⎩ z = 1
⎩⎪ ( x, y , z ) = (1, 0,1) + k ( −1,1, 0 )
⎧ x − 1
=
⎪⎪
3
⎨
y
⎪
=
⎪⎩
3
⇒ C ' = (1 2 ,1 2 ,1)
42. Observem a la figura que el raig incident perllongat passa pels
punts P i Q ′, essent Q ′ el punt simètric de Q respecte del pla
del mirall, π.
Determinem, doncs, les coordenades de Q′.
y
=
3
y
3
z
−1
3
=
z
−1
⇒ x − y −1 = 0
⇒ y + 3z = 0
Hem de resoldre el sistema format per les equacions implícites de r i l'equació general de π:
x −y =1
⎫
⎪
⎬ ⇒ x = −2, y = −3, z = 1
⎪
3x + 2y − 2z = −14 ⎭
y + 3z = 0
Q ′ coincideix amb el simètric de Q respecte de la seva projecció ortogonal sobre π, Q ″. Trobem en primer lloc les coordenades de Q ″.
Les coordenades de A són, doncs, A = (–2, –3, 1).
Q ″ és la intersecció de π amb la recta r ′ perpendicular a π
que passa per Q.
La recta s, que conté la trajectòria del raig reflexat, és la que
passa pels punts Q = (4, –1, –5) i A = (–2, –3, 1).
Un punt d'aquesta recta és Q = (4, –1, –5), i un vector director

és n = (3, 2, −2), ja que és un vector normal de π i la recta és
perpendicular a π.
Un punt de la recta serà, doncs, Q = (4, –1, –5), i un vector

director és [QA] = (–2 – 4, –3 – (–1), 1 – (–5)) = (–6, –2, 6), o

1 
[QA] = (3, 1, –3).
també, u = −
2
L'equació vectorial de la recta és, doncs:
(x, y, z) = (4, –1, –5) + k (3, 2, –2)
Per a trobar el punt Q ″ = r ′ ∩ π, vegem per a quin valor de k el
punt corresponent de r ′, de coordenades Pk = (4 + 3k, –1 + 2k,
–5 – 2k), satisfà l'equació de π:
3 (4 + 3k) + 2 (–1 + 2k) – 2 (–5 – 2k) + 14 = 0
17k + 34 = 0 , k = – 2
Per tant, l'equació vectorial de s és:
(x, y, z) = (4, –1, –5) + k (3, 1, –3)
43. Sigui P = (x, y, z) un punt de l'espai que pertany al pla π: x +
z = 0 i compleix a més:
—— La seva distància a l'origen és d'una unitat:
1 = d (P, O) =
El punt Q ″ és, doncs:
Q ″ = (4 + 3 · (–2), –1 + 2 · (–2), –5 – 2 · (–2)) =
= (–2, –5, –1)
El punt que ens interessava era Q ′, que, ja que coincideix
amb el simètric de Q respecte de Q ″, ha de tenir unes coordenades Q ′ = (x, y, z), de manera que Q ″ sigui el punt mitjà del
segment QQ ′:
—— La recta que passa per O i P forma un angle de 45° amb el
pla
π ′: x – z = 0.

Sigui v = (x, y , z) un vector director de la recta i

n = (1, 0, −1) un vector normal del pla π ′:
 
v ⋅n
2
= sen 45º =   =
2
v n
⎛ x + 4 y − 1 z − 5 ⎞
(−2, −5, −1) = ⎜
,
,
⎟ ⇒
⎝ 2
2
2 ⎠
x ⋅ 1 + y ⋅ 0 + z ⋅ (−1)
=
x2 + y 2 + z2
⇒ Q ′ = (–8, –9, 3)
La trajectòria del raig incident és, doncs, sobre una recta que
passa per P = (1, 0, 0) i Q ′ = (–8, –9, 3).
Per tant, un punt de la recta és P = (1, 0, 0) i un vector direc
tor és [Q ʹ′P ] = (1 – (–8), 0 – (–9), 0 – 3) = (9, 9, –3), o també,

1 
[Q ʹ′P ] = (3, 3, −1).
v =
3
x2 + y 2 + z2
=
I com que
1+ 0 +1
=
x −z
x2
+ y 2 + z2
2
x 2 + y 2 + z 2 = 1, es compleix:
2
2
=
x −z
2
⇔1= x −z ⇔
⇔ x – z = 1 o x – z = –1
151
Bloc 2. Geometria > UNITAT 7. Geometria mètrica
Per tant, la perpendicular comuna és:
Així, s'ha de complir:
x2
+
⎧ −2x + y + z + 2 = 0
t : ⎨
⎩ −x + y + z = 0
x + z = 0 ⎫
x + z = 0 ⎫
⎪
⎪
2
2
2
+ z = 1⎬ o bé x + y + z 2 = 1⎬
⎪
⎪
x − z = 1⎭
x − z = −1⎭
y2
Finalment, intersequem aquesta recta amb les rectes r
i s:
Resolent aquests sistemes, obtenim:
⎛ 1
P1 = ⎜⎜ ,
⎝ 2
2
,−
2
⎛ 1
P3 = ⎜⎜ − ,
⎝ 2
2
2
,
⎧ x − 1 = y + 1 = z − 1
⎪
B = r ∩ t = ⎨ −2x + y + z + 2 = 0 ⇒ B = ( 2, 0, 2 )
⎪
⎩ −x + y + z = 0
⎛ 1
1 ⎞
2
1 ⎞
⎟⎟ , P2 = ⎜⎜ , −
, − ⎟⎟
2
2 ⎠
2 ⎠
⎝ 2
⎛ 1
1 ⎞
2
1
⎟⎟ , P4 = ⎜⎜ − , −
,
2
2 ⎠
2
⎝ 2
⎞
⎟⎟
⎠
⎧ ( x, y , z ) = ( 0, 0, 0 ) + k ( 2,1,1)
⎪
⇒ D = ( 2,1,1)
D = s ∩ t = ⎨ −2x + y + z + 2 = 0
⎪
⎩ −x + y + z = 0
44. Activitat TIC.
—— Rectes r i m:
45. a) En primer lloc, determinem la posició relativa de cada parell de rectes. Per a això, comprovem si els seus vectors
directors són linealment depenents.
Els vectors directors d'aquestes rectes són:


v r = (1,1,1)
—— Rectes r i s:
Per tant, r i m es tallen o es creuen. Escollim un punt P

  
de r i un punt P ′ de m i veiem si {v r ,v m ,PP '} són li-
Els vectors directors d'aquestes rectes són:

i


vr = 1
1

j
−1
0

k
0 = (1,1,1)
−1


1
1
v s = ( 2,1,1) ⇒
≠
2
1
Per tant, r i s es tallen o es creuen. Escollim un punt P

 
 
de r i un punt P ′ de s i veiem si {v r ,v s ,PP '} són linealment depenents o independents:

P = ( 2, 0, 2 ) ; P ' = ( 0, 0, 0 ) ; PP ' = ( −2, 0, −2 )
1 2 −2
⇒ 11 0 =2≠0
1 1 −2

 
 
Com que rang {v r ,v s ,PP '} = 3, les rectes es creuen.
Així que apliquem la fórmula que ens permet trobar la
distància entre dues rectes:

i
 
 

w = vr × vs = 1
2
 
 

⎡PP ',v r ,v s ⎤
⎣
⎦
d (r , s ) =

 

vr × vs
=
2
2

j
1
1
=
=

k
1 = ( 0,1, −1)
1
2
=
Calculem els peus de perpendicularitat, que són la intersecció de la perpendicular comuna amb aquestes rectes.
Calculem el pla π que passa per 
P
 =(2, 0, 2) pertanyent a r i té per vectors directors v r i w .
x −21 0
y 1 1 = 0 ⇔ −2x + y + z + 2 = 0
z − 2 1 −1
Calculem el pla π ′ que passa per
P ′ =
 (0, 0, 0) pertanyent a s i té per vectors directors v s i w .
152
11 1
⇒ 12 3 =0
11 1

  
Com que rang {v r ,v m ,PP '} = 2, les rectes es tallen en
un punt, així que, la seva distància és d (r, m) = 0 u.
Calculem el punt de tall resolent el sistema format per
les equacions de s i m:
⎪⎧ x − 1 = y + 1 = z − 1
A = r ∩ m = ⎨
⇒
⎪⎩ ( x, y , z ) = ( 3, 3, 3 ) + k (1, 2,1)
⇒ A = (1, −1,1)
—— Rectes s i m:


v s = ( 2,1,1)
2u
x 2 0
y 1 1 = 0 ⇔ −x + y + z = 0
z 1 −1
nealment depenents o independents:

P = ( 2, 0, 2 ) ; P ' = ( 3, 3, 3 ) ; PP ' = (1, 3,1)
Els vectors directors d'aquestes rectes són:
2
02 + 12 + ( −1)

1
1
v m = (1, 2,1) ⇒
≠
1
2

v m = (1, 2,1)
⇒
2
3
≠
1
3
Per tant, s i m es tallen o es creuen. Escollim un punt P

  
de s i un punt P ′ de m i veiem si {v s ,v m ,PP '} són li-
nealment depenents o independents:

P = ( 0, 0, 0 ) ; P ' = ( 3, 3, 3 ) ; PP ' = ( 3, 3, 3 )
2 1 3
⇒ 1 2 3 =3≠0
1 1 3

  
Com que rang {v s ,v m ,PP '} = 3, les rectes es creuen.
Així que apliquem la fórmula que ens permet trobar la
distància entre dues rectes:
Bloc 2. Geometria > UNITAT 7. Geometria mètrica
c) Siguin P = (x, y, z) els punts que equidisten dels punts Q
= (1, 1, 0) i A = (1, –1, 1). Aleshores, s'ha de complir que:


d (P,Q ) = d (P, A ) ⇔ QP = AP ⇔
  
i j k
  
w = v s × v m = 2 1 1 = ( −1, −1, 3 )
121
  
⎡PP ',v r ,v s ⎤
3
⎣
⎦
d (r , s ) =
=
=
 
2
2
vr × vs
( −1) + ( −1) + 32
3
11
⇔
u
2
2
2
2
2
( x − 1) + ( y − 1) + z 2 = ( x − 1) + ( y + 1) + ( z − 1) ⇔
2
2
2
x 2 −1
y 1 −1 = 0 ⇔ 4x − 7y − z = 0
z 1 3
Avaluació
1.
Calculem el pla π ′ que passa per P′
= (3,
 3, 3) pertanyent a m i té per vectors directors v m i w .
(pàg. 208)
L'angle que formen dues rectes és el mateix que formen els
seus vectors directors.

a) Siguin u = ( 2,1,1) el vector director de r. El vector director
de la recta s el trobem calculant el producte vectorial format per les equacions dels plans.

i

v = 1
0
x − 3 1 −1
y − 3 2 −1 = 0 ⇔ 7x − 4y + z − 12 = 0
z −3 1 3
Per tant, la perpendicular comuna és:
⎧ 4x − 7y − z = 0
t : ⎨
⎩ 7x − 4y + z − 12 = 0
b) Considerem el punt B = (2, 0, 2) pertanyent a r i P = (1, 1,


0)

 i trobem el vector BP i el producte vectorial de BP per
v r = (1,1,1) per a aplicar la fórmula de distància:

BP = ( −1,1, −2 )
  
i j k
 
BP × u = −1 1 −2 = ( −3,1, 2 )
1 1 1
 
2
AP × u
( −3 ) + 12 + 22
14
d (P, r ) =
=
=
u

u
3
12 + 12 + 12
El punt T pertany a la recta r, per tant, serà de la forma
T = (k, k – 2, k). Ara, imposem el següent:
d ( (1,1, 0 ) ,T ) =
⇔
3
⇔ (k − 1,k − 3,k ) =
2
2
(k − 1) + (k − 3 ) + k 2 =
2
14
2
⇔ (k − 1) + (k − 3 ) + k 2 =
14
3
Per tant, resulta que T = (4/3, –2/3, 4/3).
14
3
3
⇔
⇔k =
4
3
⇔
2
+ 12 + 12
2
22 + ( −1) + ( −1)
2
=
= 70º 31' 43, 61''
36


b) Siguin u = ( 3, −1, 2 ) i v = ( −1,1, 3 ) els vectors directors de
r i s, respectivament. Llavors:
⎧ ( x, y , z ) = ( 0, 0, 0 ) + k ( 2,1,1)
⎪
⎛ 24 12 12 ⎞
⇒ S = ⎜
s ∩ t : ⎨ 4x − 7y − z = 0
,
,
⎟
⎝ 11 11 11 ⎠
⎪
⎩ 7x − 4y + z − 12 = 0
14
22
= arccos
Finalment, intersequem aquesta recta amb les rectes r
i s:
 
j k
2 0 = ( 2, −1, −1)
−1 1
2 ⋅ 2 + 1 ⋅ ( −1) + 1 ⋅ ( −1)
α = arccos
⎧ ( x, y , z ) = ( 3, 3, 3 ) + k (1, 2,1)
⎪
⎛ 21 9 21 ⎞
⇒ M = ⎜
,
,
m ∩ t : ⎨ 4x − 7y − z = 0
⎟
⎝ 11 11 11 ⎠
⎪
7x
−
4y
+
z
−
12
=
0
⎩
2
⇔ −4y + 2z = 1
Calculem els peus de perpendicularitat, que són la intersecció de la perpendicular comuna amb aquestes rectes.
Calculem el pla π que passa per 
P = (0, 0, 0) pertanyent a s i té per vectors directors v s i w .
2
⇔ ( x − 1) + ( y − 1) + z 2 = ( x − 1) + ( y + 1) + ( z − 1) ⇔
3 ⋅ ( −1) + ( −1) ⋅ 1 + 2 ⋅ 3
α = arccos
32
2
= arccos
2.
2
+ ( −1) + 22
154
2
( −1) + 12 + 32
=
= 80º 43 ' 31, 8 ''
Apliquem la definició d'angle entre dos plans.


a) El vector normal del primer pla és nπ = ( 5, −1,1) . El vector
normal del segon pla és el producte vectorial format pels
vectors directors del pla.

i

nπ ' = 1
−1

j
2
0

k
3 = ( 5, −4,1)
5
Per tant, l'angle que formen és:
α = arccos
= arccos
5 ⋅ 5 + ( −1) ⋅ ( −4 ) + 1 ⋅ 1
52
2
+ ( −1) + 12
30
1134
2
52 + ( −4 ) + 12
=
= 27º 1'1, 64 ''



b) Els vectors normals són nπ = (1, 4, 0 ) i nπ ' = ( 0,1, 2 ) .
Així:
α = arccos
= arccos
1⋅ 0 + 4 ⋅1+ 0 ⋅ 2
12 + 42 + 02 02 + 12 + 22
4
= 64º 17 '13, 8 ''
85
=
153
Bloc 2. Geometria > UNITAT 7. Geometria mètrica
3 ⋅ 3 +1⋅1+ 3 ⋅1
α = arcsin
arcsen
32 + 12 + 32 32 + 12 + 12
13
= 64º 3 ' 24, 77 ''
209
= arcsin
arcsen
c) En primer lloc, determinem la seva posició relativa. Per a
això, comprovem si els seus vectors directors són linealment depenents:
=


b) Sigui nπ = ( −4, −1, 2 ) el vector normal del pla. El vector director de la recta el trobem amb el producte vectorial de
les equacions dels plans que formen la recta.

i


vr = 1
0

j
0
2

k
2 = ( −4, −1, 2 )
1

i


vr = 1
0

j
0
1


v s = ( −3, 6,1) ;

k
−1
0
1
≠
≠
1 = ( −1, 0,1) ⇒
−3
6
1
0
Per tant, r i s es tallen o es creuen. Escollim un punt A de r

 
 
i un punt A ′ de s i veiem si {v r ,v s , AA '} són linealment
depenents o independents:
( −4 ) ⋅ ( −4 ) + ( −1) ⋅ ( −1) + 2 ⋅ 2
α = arcsen
arcsin
2
2
2
2
( −4 ) + ( −1) + 22 ( −4 ) + ( −1) + 22
21
= arcsen
arcsin
4.
=
441
⇒
= arcsin
arcsen (1) = 90º
Com que la longitud d'un costat coincideix amb la distància
entre els seus extrems, que són dos vèrtexs del triangle, el
perímetre és:
P = long (AB) + long (BC) + long (CA) =
= d (A, B) + d (B, C) + d (C, A) =



= AB + BC + CA = ( −3, 5, 3 ) + ( 0, −8, 2 ) + ( 3, 3, −5 ) =
9 + 25 + 9 +
=
=
43 +
0 + 64 + 4 +
68 +
43 = 2
(
9 + 9 + 25 =
)
43 + 17 u
Observant els resultats anteriors, el triangle ABC és isòsceles.
Per tant, l'altura és la distància entre el punt A i el punt mitjà
del segment BC. Aleshores:
⎛ −2 − 2 6 − 2 3 + 5 ⎞
MBC = ⎜
,
,
⎟ = ( −2, 2, 4 )
⎝ 2
2
2 ⎠

h = d ( A,MBC ) = AMBC = ( −3,1, 4 ) =
=
5.

b) El vector normal del pla és n = (1, 4, −1) per tant:
12 + 42 + ( −1)
=
154
16 2
3
u
2
=
32
18

 
 
Com que rang {v r ,v s , AA '} = 3, les rectes es creuen. Així
que apliquem la fórmula que ens permet trobar la distància entre dues rectes:
 
i j

 

v r × v s = −1 0
−3 6
 
 

⎡ AA ',v r ,v s ⎤
⎣
⎦
d (r , s ) =
=

 

vr × vs
=
=

k
1 = ( −6, −2, −6 )
1
26
2
2
2
( −6 ) + ( −2 ) + ( −6 )
=
13
19
d) Com que no es compleix la relació:
1
2
( −3 ) + 12 + 42 = 26 u
1 ⋅ 9 + 4 ⋅ 2 + ( −1) ⋅ ( −3 ) + 12
−1 −3 6
0 6 −5 = −26 ≠ 0
1 1 0
5

a) Considerem el punt A =(0, –1, 3) i trobem el vector AP i el
producte vectorial de AP per u = ( 5, 2, −1) per a aplicar la
fórmula de la distància:

AP = ( 2, 2, 0 )
  
i j k
 
AP × u = 2 2 0 = ( −2, 2, −6 )
5 2 −1
 
2
2
AP × u
( −2 ) + 22 + ( −6 )
330
d (P, r ) =
=
=
u

2
2
2
u
15
5 + 2 + ( −1)
d ( A, π ) =

A = ( 0, 3, 0 ) ; A ' = ( 6, −2, 0 ) ; AA ' = ( 6, −5, 0 )
0
≠
−1
≠
7
1
≠
0
1
Els plans π i π ′ es tallen en una recta, per tant, la distància
entre ells és de 0u.

e) El vector normal de π és n = ( 3, −7, −2 ) i el vector director
de r el busquem a partir del producte vectorial:

i

u = 3
0
 
j k
−1 0 = ( −1, −3, 0 )
0 1
 
Com que n ⋅ u = ( 3, −7, −2 ) ⋅ ( −1, −3, 0 ) = 18 ≠ 0, la recta r
i el pla π es tallen en un punt, fet que implica que la distància entre ells és de 0u.
6. Comencem calculant els punts A i B que determinen el seg-
ment AB. El punt A és la intersecció del pla π amb l'eix OX i
el punt B és la intersecció del pla amb l'eix OY.
⎧ 2x + 3y
A = ⎨
⎩ y = 0, z
⎧ 2x + 3y
B = ⎨
⎩ x = 0, z
− z +1 = 0
=0
− z +1 = 0
=0
⇒x =−
⇒ y =−
⎛ 1
⎞
⇒ A = ⎜ − , 0, 0 ⎟
⎝ 2
⎠
2
1
1
3
⎛
⎞
1
⇒ B = ⎜ 0, − , 0 ⎟
⎝
⎠
3
Bloc 2. Geometria > UNITAT 7. Geometria mètrica
El pla mediador del segment AB és el conjunt de punts
P = (x, y, z) la distància de la qual als extrems del segment, A
i B, és la mateixa:


d ( A,P ) = d (B,P ) ⇔ AP = BP ⇔
⎛
⎞
⎛
⎞
1
1
, y , z ⎟ = ⎜ x, y +
, z ⎟ ⇔
⇔ ⎜ x +
⎝
⎠
⎝
⎠
3
2
2
⎛
1 ⎞
⎜ x + ⎟ + y 2 + z 2 =
⎝
2 ⎠
⇔
2
⎛
1 ⎞
x 2 + ⎜ y +
⎟ + z 2 ⇔
⎝
3 ⎠
2
2
⎛
⎛
1 ⎞
1 ⎞
⇔ ⎜ x + ⎟ + y 2 + z 2 = x 2 + ⎜ y +
⎟ + z 2 ⇔
⎝
⎝
2 ⎠
3 ⎠
1
2
1
2
2
2
2
2
⇔ x +x+
+ y + z = x + y +
y +
+ z2 ⇔
4
3
9
⇔ 36x − 24y + 5 = 0
7.
Un punt P = (x, y, z) és d'un pla bisector de π i π ′ si, i només
si, d (P, π) = d (P, π ′). Per tant:
x + 2y − 3z + 8
12
⇔
8.
(
(
+ ( −3 )
x + 5y
=
2
12 + 52
26 x + 2y − 3z + 8 =
⇔
14 x + 5y ⇔
26 ( x + 2y − 3z + 8 ) = ± 14 ( x + 5y ) ⇔
⇔
⎧
⎪
⇔ ⎨
⎪
⎩
+
22
) (
14 ) x + ( 2
)
14 ) y − 3
26 − 14 x + 2 26 − 5 14 y − 3 26 z + 8 26 = 0
26 +
26 + 5
26 z + 8 26 = 0


Com que u = ( 0, 4, −1) és un vector director de r, i v = ( 2, −1, 5 )
és un vector director de s, un vector director de la recta perpendicular comuna a r i s que els talla, t, és:

i
  
w = u ×v = 0
2

j
4
−1

k
−1 = (19, −2, −8 )
5
Calculem el pla π que passa
 per A = (3, 2, –1) pertanyent a r
i té per vectors directors u i w .
x − 3 0 19
y − 2 4 −2 = 0 ⇔ 34x + 19y + 76z − 64 = 0
z + 1 −1 −8
Calculem el pla π ′ que passa
per B = (–6, –1, 3) pertanyent a
 
s i té per vectors directors v i w .
x + 6 2 19
y + 1 −1 −2 = 0 ⇔ 18x + 111y + 15z + 174 = 0
z − 3 5 −8
⎛ 34
19
76 ⎞
≠
≠
⎟ , deCom que π i π ′ no són coincidents ⎜
⎝ 18
111
15 ⎠
fineixen implícitament la recta buscada:
⎧ 34x + 19y + 76z − 64 = 0
t : ⎨
⎩18x + 111y + 15z + 174 = 0
9.
a) Trobem el punt simètric P ′ = (x, y, z) imposant la condició
que Q sigui el punt mitjà del segment PP ′:
⎛ 2 + x 1 + y −3 + z ⎞
,
,
⎟ ⇒ P ' = ( 8, 3,17 )
⎝ 2
2
2 ⎠
( 4, 2, 7 ) = ⎜
b) Per a trobar la projecció Q de P sobre r, determinem el pla
π perpendicular a r que conté P. Com que els vectors directors de r són vectors normals de π:
π: 4x – 5y + z + D = 0
Si P ∈ π, 4 · 2 – 5 · 1 + 1 · (–3) + D = 0 → D = 0
π: 4x – 5y + z = 0
El punt Q és el punt d'intersecció de π i r.
4x − 5y + z = 0
⎪⎫
⎛ 34 31 19 ⎞
,
,
⎬ ⇒ Q = ⎜
⎟
⎝ 21 21 21 ⎠
( x, y , z ) = ( 2,1,1) + k ( 4, −5,1) ⎪⎭
Com que Q ha de ser el punt mitjà del segment PP ′, essent
P ′ = (x, y, z) el punt simètric:
⎛ 34 31 19 ⎞ ⎛ 2 + x 1 + y −3 + z ⎞
,
,
,
,
⎜
⎟ = ⎜
⎟ ⇒
⎝ 21 21 21 ⎠ ⎝ 2
2
2 ⎠
⎛ 26 41 101 ⎞
⇒ P ' = ⎜
,
,
⎟
⎝ 21 21 21 ⎠
c) Per a trobar la projecció Q de P sobre π, determinem la
recta r perpendicular a π i que conté P:
r: (x, y, z) = (2, 1,–3) + k (12, –7, 1)
El punt Q és el punt d'intersecció de r i π:
12x − 7y + z − 11 = 0
⎪⎫
⎬ ⇒
=
2,1,
−3
+
k
12,
−7,1
x,
y
,
z
(
) (
) (
) ⎭⎪
⎛ 158 118
294 ⎞
,
,−
⇒ Q = ⎜
⎟
⎝ 97
97
97 ⎠
Com que Q ha de ser el punt mitjà del segment PP ′, essent
P ′ = (x, y, z) el punt simètric:
⎛ 158 118
294 ⎞ ⎛ 2 + x 1 + y −3 + z ⎞
,
,−
,
,
⎜
⎟ = ⎜
⎟
⎝ 97
97
97 ⎠ ⎝ 2
2
2 ⎠
⎛ 122 42
297 ⎞
,
,−
⇒ P ' = ⎜
⎟
⎝ 97 97
97 ⎠
10. La recta demanada és la intersecció dels plans que passen
per P i contenen les rectes r i s.
Pla que conté P i r:


A = ( 3, 0, 0 ) ;u = ( 5, 2, −3 ) ; PA = (1, 2, −1)
x −3 5 1
y
2 2 = 0 ⇔ 2x + y + 4z − 6 = 0
z −3 −1
Pla que conté P i s:


B = ( 0,1,1) ;u = ( 2,1, 3 ) ; PB = ( −2, 3, 0 )
x 2 −2
y − 1 1 3 = 0 ⇔ −9x − 6y + 8z − 2 = 0
z −1 3 0
Amb això tenim que la recta que passa per P i talla les rectes
r i s és:
⎧ 2x + y + 4z − 6 = 0
m : ⎨
⎩ −9x − 6y + 8z − 2 = 0
155
Bloc 2. Geometria > UNITAT 7. Geometria mètrica
11. a) Calculem els vectors directors que formen el quadrilàter a
Calculem ara el punt Q ″ = r ′ ∩ π:
partir dels punts A, B, C i D:


AB = (1, 0, −1)
AD = ( 3, −3, 3 )


DC = ( 2, 0, −2 )
BC = ( 4, −3, 2 )
 
Observem que els vectors AB i DC són proporcionals, per
tant, hi ha dos costats del quadrilàter que són paral·lels.
D'altra banda, tenim que:
 
DC ⋅ AD = ( 2, 0, −2 ) ⋅ ( 3, −3, 3 ) = 0
 
DC ⋅ BC = ( 2, 0, −2 ) ⋅ ( 4, −3, 2 ) = 4 ≠ 0
El punt que ens interessava era Q ′, que, ja que coincideix
amb el simètric de Q respecte de Q ″, ha de tenir unes coordenades Q ′ = (x, y, z), de manera que Q ″ sigui el punt mitjà del
segment QQ ′:
Per tant, els costats DC i BC formen un angle recte, de
manera que tenim un trapezi rectangle.
La trajectòria del raig incident és sobre una recta que passa
per A = (–1, 1, –5) i Q ′ = (1, –3, 7). Aleshores, un punt de la

recta és P i un vector director és AQ ' = ( 2, −4,12 ) = 2 ⋅ (1, −2, 6 )
⎪⎧ 3x − y + z = 2
Q '' = ⎨
⇒ Q '' = ( −2, −2, 6 )
⎩⎪ ( x, y , z ) = ( −5,1, 5 ) + k ( 3, −1,1)
⎛ −5 + x −1 + y 5 + z ⎞
,
,
⎟ ⇒ Q ' = (1, −3, 7 )
⎝ 2
2
2 ⎠
( −2, −2, 6 ) = ⎜
costats

b) Calculem l'àrea del trapezi calculant el mòdul dels
AQ ' = ( 2, −4,12 ) = 2 ⋅ (1, −2, 6 ) . Així, l'equació contínua de r és:
AB, DC i AD:

AB =

AD =
12 + ( −1)
2
=
2;

DC =
22 + ( −2 )
2
=
8
2
32 + ( −3 ) + 32 = 27
 
AB + DC

2 +
⇒A=
⋅ AD =
2
2
8
⋅
27 = 11, 02u 2
12. Observem a la figura que el raig incident perllongat passa pels
punts A i Q ′, essent Q ′ el punt simètric de Q respecte del pla
del mirall π. Determinem, doncs, les coordenades de Q ′. Q ′
coincideix amb el simètric de Q respecte de la seva projecció
ortogonal sobre π, Q ″. Trobem en primer lloc les coordenades
de Q ″, que és la intersecció de π amb la recta r ′ perpendicular a π que passa per Q. Un punt d'aquesta recta és Q = (–5,
–1, 5), i un vector director és n = ( 3, −1,1), perquè és un
vector normal de π i la recta és perpendicular a π. L'equació
vectorial de la recta és:
r ′: (x, y, z) = (–5, –1, 5) + k (3, –1, 1)
156
r :
x +1
1
=
y −1
−2
=
z +5
6
D'altra banda, observem que la trajectòria reflectida passa per
Q i pel punt P en el qual el raig incident canvia la direcció, que
no és cap altre que aquell en què arriba el mirall. Dit d'una
altra manera, P = r ∩ π. Determinem les coordenades de P
resolent el sistema format per les equacions de r i de π:
⎧ 3x − y + z = 2
⎪
P = ⎨ −2x − y = 1
⇒ P = ( 0, −1,1)
⎪
⎩ 6x − z + 1 = 0
La recta s que conté la trajectòria del raig reflectit és la que
passa pels punts Q = (–5, –1, 5) i P = (0, –1, 1). Un punt de

la recta serà P i un vector director PQ = ( −5, 0, 4 ) , així que
l'equació vectorial de s és:
s: (x, y, z) = (0, –1, 1) + k (–5, 0, 4)
BLOC 3. ANÀLISI
8#
En context
Límits
Hem obtingut la indeterminació ∞ – ∞. Multipliquem i dividim per l’expressió conjugada:
(pàg. 215)
a) Resposta suggerida:
Aquesta famosa frase procedeix de la pel·lícula Toy Story.
Des d’un punt de vista estrictament matemàtic, el concepte «més enllà de l’infinit» manca de sentit, ja que l’infinit es
defineix com una cosa que està més enllà de (és més gran
que) qualsevol cosa imaginable.
b) Resposta suggerida:
La «loteria» és una metàfora de l’atzar que, inevitablement,
forma part fonamental de les nostres vides.
El salt al límit que apareix en el text és el límit quan
l’interval de temps tendeix a zero.
La indeterminació que juga un paper fonamental en el text
és el producte 0 · ∞.
Problemes resolts
1.
−x 3 + 3x − 5
x →+∞
= lim
3
1
+
x4
x2
−1
3
5
+
−
3
x
x
x4
1+
x →+∞
x →+∞
⋅
=
=
1
lim
x2 + x + 3
b) lim
x 5 − 3x 2 − 5x
x →+∞
= lim
x →+∞
= lim
x →+∞
c) lim
x →+∞
(
− lim
x →+∞
−x 3 + 3x − 5
⎛ x + 2 ⎞
d) lim ⎜
⎟
x →+∞ ⎝ x − 3 ⎠
= −∞
=
1
3
1
+
+
x4
x5
x3
3
5
1−
−
x3
x4
=
3x 2 − 5x
3x 2 − 5x = ∞ − ∞
0
1
Ara calculem:
) = xlim
→+∞
3x 2 + x −
=
=
3x 2 + x + 3x 2 − 5x
6x
3x 2 + x +
=
3x 2 − 5x
∞
∞
∞
6x
3x 2 + x +
2x −1
5
lim
⎛
x + 2 ⎞x →+∞
= ⎜ lim
⎟
⎝ x →+∞ x − 3 ⎠
x +2
en 1 +
x −3
x +2
x −3
2x −1
5
2x −1
5
=
= [1+∞ ]
1
F (x)
−1 = 1+
x +2−x +3
x −3
5
1
= 1+
= 1+
x −3
x −3
5
⎛ x + 2 ⎞
lim ⎜
⎟
x →+∞ ⎝ x − 3 ⎠
=0
+x +
− 5x
3x 2 + x − 3x 2 + 5x
=
3x 2 − 5x
6x
x
=
lim
x →+∞
3x 2 + x
3x 2 − 5x
+
x
x
6x
x
lim
x →+∞
3x 2
x
3x 2
5x
+
+
−
2
2
x
x2
x
x2
6
lim
=
x →+∞
1
5
3+
+ 3−
x
x
6
6
3
=
=
= 3
3 + 3
2 3
3
Transformem
=
)
)
)⋅
. Per a eliminar aquesta
∞
indeterminació dividim numerador i denominador per x .
1+
x
3
x2
+
+
x5
x5
x5
x5
x2
x
−3
−5
5
5
x
x
x5
3x 2 + x −
3x 2
Hem obtingut la indeterminació
=
x →+∞
)=
3x 2 − 5x
3x 2 − 5x
x →+∞
=
a x valors cada vegada més grans, observem que les imatges per la funció racional prenen valors cada vegada més
petits. Així, podem concloure que:
3x 2 + x −
3x 2
= lim
0
Hem obtingut l’expressió que pot ser +∞, –∞ o ∞. Si donem
3x 2 − 5x
3x 2 + x +
x →+∞
=
x4 + x2 + 3
(
(
(
= lim
=
= lim
x →+∞
= lim
x →+∞
=
x2
3
x4
+
+
4
x
x4
x4
−x 3
x
5
+3
−
x4
x4
x4
3x 2 + x −
lim
(pàg. 232 a 234)
x4 + x2 + 3
a) lim
(
lim
x →+∞
⎡
⎛
⎢
⎜
⎢
1
= ⎢ lim ⎜1 +
x −3
x →+∞ ⎜
⎢
⎜
⎝
5
⎢⎣
⎞
⎟
⎟
⎟⎟
⎠
x −3
5
=
5
⎤ x −3 ⋅
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
2x −1
5
D’altra banda:
⎛
lim ⎜
x →+∞ ⎝
5
x −3
⋅
2x − 1
2x − 1 ⎞
=2
⎟ = lim
5 ⎠ x →+∞ x − 3
157
Bloc 3. ANÀLISI > Unitat 8. Límits
Per tant:
De la taula anterior concloem que lim+ f (x) = 0,2.
x →0
2x −1
⎞ 5
⎛ x + 2
lim ⎜
⎟
x →+∞ ⎝ x − 3 ⎠
2.
= e2
Com que la funció és:
⎧ 0,166x + 11,6
I(x) = ⎨
⎩13,34 + 0,348 (x − 15)
si 0 ≤ x ≤ 15
si x > 15
Per a x = 22 m3, la factura serà:
x
f (x)
– 0,1
0,215 686
– 0,01
0,201 597
– 0,001
0,200 160
– 0,000 1
0,200 016
– 0,000 01
0,200 002
13,34 + 0,348 (22 – 15) = 15,78 €
3.
a) La funció f (x) =
x →+∞
= 64 .
2 000
0,08 ⋅ 106 + 24 ⋅ 2 ⋅ 106
2 ⋅ 106
d) lim f (x) = lim
0,08 ⋅ 106 + 24x
x2 − 4
b) Hem de fer una taula de valors de f (x) =
per a
x +2
valors de la variable x cada vegada més propers a – 2 per la
dreta i una altra per a valors propers a – 2 per l’esquerra.
= 24,04 R
x
f (x)
– 1,9
– 3,9
– 1,99
– 3,99
– 1,999
– 3,999
= 24
x
x →+∞
Per tant, de l’observació de les dues taules anteriors, sembla ser que lim f (x) = 0,2.
x →0
0, 08 ⋅ 106 + 24 ⋅ 2 000
c) f (2 ⋅ 106 ) =
x →0
expressa el cost de
x
cada unitat.
b) f (2 000) =
D’aquesta taula concloem que lim− f (x) = 0,2.
0,08 ⋅ 106 + 24x
e) En la figura següent pots observar que el cost per unitat es
va apropant cada vegada més a 24.
Y
– 1,999 9
– 3,999 9
– 1,999 99
– 3,999 99
2 000
Observant la taula anterior, afirmem que lim + f (x) =
x →−2
= – 4.
24
1 000
2 · 10
f
1 000
Exercicis i problemes
5
2 · 10
2 000
X
(pàg. 235 a 238)
f (x)
– 4,1
– 2,01
– 4,01
– 2,001
– 4,001
– 2,000 1
– 4,000 1
– 2,000 01
– 4,000 01
x →−2
Pàg. 235
Les taules construïdes ens indiquen que lim f (x) = – 4.
a) Hem de fer una taula de valors de
f (x) =
x
– 2,1
Observant aquesta taula, podem afirmar que lim − f (x) = – 4.
1 LÍMITS DE FUNCIONS
4.
6
x →−2
5.
x −1
Si elaborem les taules de valors corresponents:
x −5
per a valors de la variable x cada vegada més propers a 0
per la dreta i una altra per a valors propers a 0 per
l’esquerra:
158
x
f (x)
0,1
0,183 673
0,01
0,198 397
0,001
0,199 840
0,000 1
0,199 984
0,000 01
0,199 998
f (x)
0,9
2
0,99
2
0,999
2
0,999 9
2
0,999 99
2
Per tant, lim− f (x) = 2.
x →1
x
Bloc 3. ANÀLISI > Unitat 8. Límits
De manera anàloga, lim+ f (x) = +∞.
x
f (x)
1,1
4,21
1,01
4,020 1
1,001
4,002 001
1,000 1
4,000 2
1,000 01
4,000 02
x →1
Per tant, com els dos límits laterals en el punt 1 prenen el valor + ∞, podem afirmar que lim f (x) = +∞.
x →1
7.
x →−∞
b) lim − f (x) = +∞
x →−2
c) lim + f (x) = –∞
x →−2
Per tant, lim + f (x) = 4.
x →−1
d) lim f (x) = ∞
x
f (x)
2,9
11,41
x →−2
e) lim− f (x) = –∞
x →1
2,99
11,9401
f) lim+ f (x) = –∞
2,999
11,994 001
g) lim f (x) = –∞
2,999 9
11,999 4
h) lim f (x) = 2
2,999 99
11,999 94
x →1
x →1
x →+∞
8.
Així, lim− f (x) = 12.
x →3
x
f (x)
3,1
12,61
3,01
12,060 1
3,001
12,006 001
3,000 1
12,000 6
3,000 01
12,000 06
a) Elaborem les taules de valors:
x
f (x)
x
f (x)
– 3,1
10
2,9
– 10
– 3,01
100
2,99
– 100
– 3,001
1 000
2,999
– 1 000
– 3,000 1
10 000
2,999 9
– 10 000
– 3,000 01
100 000
2,999 99
– 100 000
De les taules es dedueix que lim f (x) = + ∞ i lim− f (x) = – ∞.
+
Així, lim f (x) = 12.
+
x →3
x →3
x →3
—— Com que lim− f (x) = 2 ≠ 4 = lim+ f (x), no existeix lim f (x).
x →1
x →3
mit lim f (x), i el seu valor és 12.
b) Construïm una taula de valors:
x →1
x →1
En canvi, com que lim− f (x) = 12 = lim f (x), existeix el lí+
x →3
x →3
6.
a) lim f (x) = +∞
Construirem una taula de valors per a la funció f (x) =
2
(x − 1)2
quan la variable independent x s’apropi a 1 per l’esquerra i
x
f (x)
102
1,03 ⋅ 10–2
103
1,003 ⋅ 10–3
104
1,000 3 ⋅ 10–4
De l’observació de la taula es dedueix que lim f (x) = 0.
x →+∞
c) Construïm una taula de valors:
una altra quan s’aproxima a 1 per la dreta.
x
f (x)
0,9
200
0,99
20 000
0,999
2 000 000
0,999 9
200 000 000
Com que f (x) pren valors cada vegada més grans a mesura
que ens aproximem a 1 per l’esquerra, tenim lim f (x) = +∞ .
x
f (x)
– 102
– 9,71 ⋅ 10–3
– 103
– 9,97 ⋅ 10–4
– 104
– 9,997 ⋅ 10–5
De l’observació de la taula es dedueix que lim f (x) = 0.
x →−∞
d) Construïm una taula de valors:
x →1−
x
x
f (x)
1,1
200
1,01
20 000
1,001
2 000 000
1,0001
200 000 000
g (x)
102
20 833,3
103
2 008 032,1
104
200 080 032
De l’observació de la taula es dedueix que lim g (x) = +∞.
x →+∞
159
Bloc 3. ANÀLISI > Unitat 8. Límits
e) Construïm una taula de valors:
c) lim (2 ⋅ f (x)) = 2 ⋅ lim f (x) = 2 ⋅ 2 = 4
x →−1
x
g (x)
–102
19 230,8
–103
–104
x →−1
d) lim (f (x) ⋅ g (x)) = lim f (x) ⋅ lim g (x) = 2 ⋅ 7 = 14
x →−1
1 992 031,9
f (x)
e) lim
g (x)
x →−1
199 920 032
De l’observació de la taula es dedueix que lim g (x) = +∞.
x →−1
f)
x →−∞
x →−1
lim f (x)
x →−1
=
=
lim g (x)
x →−1
2
7
g (x )
→− 1
⎛
⎞xlim
lim (f (x)g (x ) ) = ⎜ xlim
f (x) ⎟
= 27 = 128
→−1
⎝
⎠
x →−1
f) Construïm una taula de valors:
13. a) lim
x
h (x)
102
–9 997
103
–999 997
104
–99 999 997
x →4
(
)
2x + 1 + x − 5 =
2⋅ 4+1 + 4 − 5 =3 – 1 = 2
b) lim (x – 1) = –1
x →0
lim (x 2 + 3 x + 5) = 5
x →0
Així, per les propietats dels límits, es compleix:
De l’observació de la taula es dedueix que lim h (x) = –∞.
lim (x 2 + 3 x + 5)x–1 =
x →+∞
x →0
g) Construïm una taula de valors:
(
x →0
x2 + 1 =
5
= lim (x 2 + 3 x + 5)
x
h (x)
–102
–9 997
–103
–999 997
–104
c) lim
x →2
–99 999 997
Així, per les propietats dels límits, es compleix:
lim ( (3x − 4) x 2 + 1 ) =
x →2
Sí, però el valor d’aquest límit ha de ser 0.
= lim (3x − 4) ⋅ lim
x →2
Per exemple:
f (x ) = x 2 ≥ 0 ∀ x ∈R
g (x ) =
d) lim
3
x →11
≤ 0 ∀ x ∈R
Així, per les propietats dels límits, es compleix:
de la funció en aquest punt.
ment lim f (x) = 2.
2x
x
7
x →11
x →0
10. Sí, ja que en la definició de límit en un punt no intervé el valor
Per exemple, f (x) =
3
x −4 =
x2 + 1 = 2 5
x →2
lim (x + 1) = 12
lim f (x ) = 0 = lim g (x)
x →0
= 5−1
lim (3 x – 4) = 2
x →−∞
–x 2
lim (x −1)
x →0
x →2
De l’observació de la taula es dedueix que lim h (x) = –∞.
9.
)
3
lim
x +1
x →11
no està definida en x = 0, però clara-
x −4
=
lim
3
x →11
x −4
lim (x + 1)
x →11
3
=
7
12
e) lim (x + 4) = +∞
x →+∞
x →0
lim (–x 2 – 5x + 2) = –∞
11. Sí, per exemple
x →+∞
ff (x)
(x) ==
Així, per les propietats dels límits, es compleix:
22
11
yiy gg(x)
en
(x) ==
en xx == 00
xx
xx
lim ((x + 4) ⋅ (–x 2 – 5x + 2)) =
x →+∞
= lim (x + 4) lim (–x 2 – 5x + 2) =
2
⎫
lim
= ∞ ⎪
⎪
x →0 x
f (x)
2
= lim
=2
⎬ lim
x
→0
x
→0
1
g
(x)
1
lim
= ∞ ⎪
⎪⎭
x →0 x
x →+∞
f)
x →+∞
= (+∞) ⋅ (–∞) = –∞
lim (5x 2 + x) = +∞
x →+∞
lim (–3) = –3
x →+∞
2 CÀLCUL DE LÍMITS
Així, per les propietats dels límits, es compleix:
1
1
lim (5x 2 + x)–3 = (+∞)–3 =
=
=0
x →+∞
(+∞)3
(+∞)
pàg. 235 i 236
12. lim f (x) = 2 ; lim g (x) = 7
x →−1
x →−1
a) lim (f (x) + g (x)) = lim f (x) + lim g (x) = 2 + 7 = 9
x →−1
x →−1
x →−1
b) lim (f (x) – g (x)) = lim f (x) – lim g (x) = 2 – 7 = –5
x →−1
160
x →−1
x →−1
g)
lim
x →−∞
x2 − 1
5x 3 + 6x
lim (–1) = –1
x →−∞
=0
Bloc 3. ANÀLISI > Unitat 8. Límits
Així, per les propietats dels límits, es compleix:
−1
⎛ x 2 − 1 ⎞
lim ⎜
⎟
x →−∞ ⎝ 5x 3 + 6x ⎠
= 0−1 =
f) lim ( 3x − 8 )
1
x →3
c) lim
x →−1
x
⎛ x 3 + x − 6 ⎞
⎟⎟ = (+∞)−∞ =
lim ⎜⎜
−4
⎠
⎝
1
=
(+∞)(+∞)
1
(+∞)
=0
(
)
x →1
⎛ 1 ⎞
e) lim ⎜ ⎟
x →+∞ ⎝ 4 ⎠
lim g (x) = –∞
)=
3
lim (x +1)
x →1
5
= e2
=
⎛ 1 ⎞(3 ⋅ (+∞) + 5 ⋅ (+∞) −1) ⎛ 1 ⎞+∞
= ⎜ ⎟
= ⎜ ⎟ = 0
⎝ 4 ⎠
⎝ 4 ⎠
2
lim h (x) = –∞
x →+∞
⎛ 9 − x 2
f) lim ⎜⎜
x →+∞ ⎝
−7
b) lim (f (x) + g (x)) = lim f (x) + lim g (x) = ∞ – ∞
x →+∞
x →+∞
x →+∞
lim (f (x) + h (x)) = lim f (x) + lim h (x) = ∞ – ∞
x →+∞
x →+∞
x →+∞
c) lim (f (x) + g (x)) = lim (x 2 – x 2 – 1) = lim (–1) = –1
x →+∞
x →+∞
x →+∞
lim (f (x) + h (x)) = lim (x 2 – x 2 – 3) = lim (–3) = –3
x →+∞
x →+∞
x →+∞
En l’apartat b, tots dos límits han donat l’expressió
∞ – ∞ i en l’apartat c hem obtingut que els límits són –1 i –3.
Així, l’expressió ∞ – ∞ és una indeterminació.
x 3 + 5x 2 + 8x + 4
x 2 + 4x + 4
=
lim (x 3 + 5x 2 + 8x + 4)
x →−2
lim (x 2 + 4x + 4)
=
x →−2
⎡ 0 ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ 0 ⎦
⎛ 9 − (+∞)2
= ⎜⎜
−7
⎝
⎞2x
⎛
9 − x2
⎟⎟
= ⎜⎜ lim
⎠
⎝ x →+∞ −7
3
⎞2 ⋅ (+∞)
⎛ −∞
⎟⎟
= ⎜⎜
⎠
⎝ −7
3
2x
→+ ∞
⎞xlim
⎟⎟
=
⎠
3
⎞2 ⋅ (+∞)
⎟⎟
= (+∞)(+∞) = +∞
⎠
5
→− ∞
⎛
⎞ xlim
=
g) lim (5 x3 + 1000)5 = ⎜ lim (5x 3 + 1000) ⎟
x
→−∞
x →−∞
⎝
⎠
= (5 ⋅ (–∞)3 + 1000)5 = (–∞)5 = –∞
(−6x +3)
→+ ∞
⎛
⎞xlim
h) lim 2−6x + 3 = ⎜ lim 2 ⎟
= 2(–6 ⋅ (+∞) + 3) = 2–∞ = 0
x →+∞
⎝ x →+∞ ⎠
17. a) lim x 3x + 2x − 8
x →3
Per a poder aplicar les propietats dels límits, primer comprovem el valor del límit radicant:
x2 − 5 − 2
x −3
2x + 1
x2 − 1
=
=
lim
x →3
(
x2 − 5 − 2
lim (x − 3)
x →3
)
⎡ 0 ⎤
= ⎢ ⎥
⎣ 0 ⎦
lim (2x + 1)
⎡ ∞ ⎤
= ⎢ ⎥
lim (x 2 − 1) ⎣ ∞ ⎦
e) lim x −
lim (3x + 2x − 8) = 3 3 + 2 ⋅ 3 − 8 = 27 + 6 − 8 = 25
x →3
I com que 25 > 0, obtenim
lim
x →+∞
x
x →3
lim
1
1
3x + 2x − 8 = lim (3x + 2x − 8)x →3 x = 25 3 =
x →3
3
25
x →+∞
⎛ x
x
4x 2
4x 2 ⎞
−
− lim
=
d) lim ⎜
⎟ = lim
2
x →3 ⎝ x − 3
x − 9 ⎠ x →3 x − 3 x →3 x 2 − 9
= [∞ − ∞ ]
(
x2 + 4
3x 2 +5x −1
x →+∞
x →+∞
3
x →1
x →+∞
x →+∞
( 5x ⋅
d) lim e x +1 = lim e
14. a) lim f (x) = +∞
c) lim
5⋅2−1 = 4
= (5 ⋅ (−1)) ⋅ 3 (−1)2 + 4 = −5
x →−∞
x →3
lim (5x − 1) =
x →2
⎞
⎛
⎞ ⎛
= ⎜ lim 5x ⎟ ⋅ ⎜ 3 lim (x 2 + 4) ⎟ =
⎝ x →−1
⎠ ⎝ x →−1
⎠
Així, per les propietats dels límits, es compleix:
b) lim
= [1∞ ]
⎛ 3 ⋅ 3 + 1 ⎞3−6
1
= ⎜
=
⎟
⎝ 2 ⋅ 3 − 1 ⎠
8
lim x = –∞
x →−2
x →3
lim (x −6)
⎛ 3x + 1 ⎞x −6 ⎛
3x + 1 ⎞ x →3
= ⎜ lim
=
b) lim ⎜
⎟
⎟
x →3 ⎝ 2x − 1 ⎠
⎝ x →3 2x − 1 ⎠
= −∞
x →−∞
15. a) lim
)
5x − 1 =
x →2
= 3+2⋅2−
⎞
⎟⎟ = +∞
⎠
=
x →3
x →2
x →2
−1
⎛
− 1 ⎞
lim ⎜
⎟
⎝ 5x 3 + 6x ⎠
x →3
= lim (3 + 2x) − lim
= lim (3 + 2x) −
es fa més negatiu, així:
x →−∞
(
= lim 3x − lim 8
lim x
x →3
lim x −3
16. a) lim ( 3 + 2x − 5x − 1 ) =
x →2
⎛ x 2 − 1 ⎞−1
lim ⎜
⎟
x →−∞ ⎝ 5x 3 + 6x ⎠
x2
x ⎞
⎟
x −3 ⎠
0
Per a saber si el límit és +∞, –∞, o ∞ observem que a mesura que x tendeix a –∞:
⎛ x 3 + x − 6
h) lim ⎜⎜
x →−∞ ⎝
−4
⎛
⎜
⎝
)
x 2 + 1 = lim x − lim
x →+∞
x →+∞
b) lim
x →−1
23x +1
x −2
Calculem per separat els valors dels límits del numerador i
el denominador:
x 2 + 1 = [∞ − ∞ ]
161
Bloc 3. ANÀLISI > Unitat 8. Límits
19. No existeixen dues funcions que compleixin la primera condi-
1
lim 23x +1 = 2− 3+1 = 2−2 =
ció, perquè la seva suma serà sempre +∞. Tanmateix, sí que
poden complir la segona. Per exemple, f (x) = x + 4 i g (x) = x.
4
x →−1
lim (x − 2) = −1 − 2 = −3
x →−1
lim f (x) = lim (x + 4) = +∞
En què
x →+∞
1
23x +1
1
lim
= 4 =−
x →−1 x − 2
−3
12
x →+∞
lim g(x) = lim x = +∞
x →+∞
x →+∞
lim (f (x) – g(x)) = lim (x + 4 – x) = 4
x →+∞
x →+∞
log 1 (5x 2 + 19)
2
c) lim
3LÍMITS DE FUNCIONS x 2 − 2x − 3
x →−1
HABITUALS
Procedint com en l’exemple anterior, tenim els valors següents:
lim log 1 (5x 2 + 19) = log 1 (5(−1)2 + 19) = log 1 24
x →−1
2
2
2
lim (x 2 − 2x − 3) = (−1)2 − 2(−1) − 3 = 1 + 2 − 3 = 0
x →−1
2
x2
lim
x →−1
x →3
x →−∞
0
2
=
x 2 − 2x − 3
2
x2
lim
x →1−
= −∞
0−
log 1 (5x 2 + 19)
log 1 24
2
0+
=
− 2x − 3
= +∞
Els dos límits laterals són diferents, i per tant el límit que
estem calculant no existeix.
⎛
d) lim ⎜⎜
x →4
⎝
(
3x 2 + 24 ⎞
⎟ ⋅ 3x
x − 2 ⎟⎠
x
2
)
3x 2 + 24 ⎞
⎟ =
x − 2 ⎠
(
lim 3x
x →4
x
2
) = 3⋅4
4
2
lim (x 2 – 2 x + 5) = +∞
x →+∞
g) lim (4 x 4 + 3 x 3 + 2 x 2) = +∞
h) lim (–x 3 – x + 1) = –∞
x →+∞
21. a) lim
x →1
b) lim
x →3
c) lim
x →0
Si calculem els multiplicants per separat obtenim:
⎛
lim ⎜
x →4 ⎝
f)
x →−∞
log 1 24
2
lim
x →1+
x →−2
c) lim (x 7 + 6 x 2 – 8 x) = (–1)7 + 6 (–1)2 – 8 (–1) = 13
e) lim (4 x 3 – 3 x 2 + 2 x) = –∞
2
Segons les propietats dels límits, aquest límit té valor ∞, i
per tant hem de calcular els seus límits laterals:
log 1 (5x 2 + 19)
x →0
b) lim (x 3 – 6 x) = (–2)3 – 6 (–2) = 4
d) lim (2 x 3 – 6 x 2) = 2 ⋅ 33 – 6 ⋅ 32 = 0
log 1 24
=
− 2x − 3
20. a) lim (–x 2 + 6 x – 8) = 0 + 0 – 8 = –8
x →−1
Per tant, el límit que estem calculant queda
log 1 (5x 2 + 19)
3 ⋅ 42 + 24
4−2
=
36 = 6
= 3 ⋅ 42 = 48
d) lim
x →0
e) lim
x →1
(
+ 24 ⎞
⎟ ⋅ 3x
x − 2 ⎠
3x 2
x
2
) = 6 ⋅ 48 = 288
6 + 22−0
=
1600
10
= 160 persones
L’endemà, x = 1, amb la qual cosa:
f (1) =
1600
6 + 22−1
=
1600
8
= 200 persones
lim f (x) =
162
1600
6 + 22−x
=
1600
6
=
2x 2 − 7x − 14
x + 12
x2 + 6
x 2 − 16
x2 − 4
27 − 30 + 4
18 − 21 − 14
12
−12
=−
= –1
1
17
=2
=4
x 3 + 2x 2 − x − 2
x2
=
+ 3x − 4
=
13 + 2 ⋅ 12 − 1 − 2
12 + 3 ⋅ 1 − 4
=
Simplificant les potències comunes de x – 1, es determina
el valor del límit:
lim
(x − 1) ⋅ (x 2 + 3x + 2)
x →1
f) lim
x →0
2x 3 + 2x 2 − 12x
x 3 − 4x 2 + 6x
(x − 1) ⋅ (x + 4)
=
=
Com que la indeterminació procedeix d’una funció racional, la podem eliminar extraient i simplificant els factors x
– 0 (és a dir, x) del numerador i del denominador:
2x 3 + 2x 2 – 12x = x ⋅ (2x 2 + 2x – 12)
Al llarg del temps (x → ∞) tenim:
x →+∞
x 3 − 10x + 4
1 + 10 + 1
1 + 5 − 18
x 2 + 3 x – 4 = (x – 1) ⋅ (x + 4)
nombre de persones que han emmalaltit són:
1600
=
x 2 + 5x − 18
x 3 + 2x 2 – x – 2 = (x – 1) ⋅ (x 2 + 3 x + 2)
18. Quan es detecta la malaltia, és en el temps x = 0, per tant, el
f (0) =
x 5 + 10x 2 + x
Hem obtingut una indeterminació. Per a eliminar-la, extraiem els factors x – 1 del numerador i del denominador:
Substituint aquests dos valors en el límit original,
⎛
lim ⎜
x →4 ⎝
Pàg. 236 i 237
= 266, 66 ≈ 267 persones
Bloc 3. ANÀLISI > Unitat 8. Límits
x 3 – 4x 2 + 6x = x ⋅ (x 2 – 4x + 6)
2x 3 + 2x 2 − 12x
lim
x ⋅ (x 2 − 4x + 6)
x →0
x2 − x − 2
g) lim
3x − 6
x →2
22 − 2 − 2
=
3⋅2−6
−3x
l) lim
= −2
02 − 4 ⋅ 0 + 6
=
=
0
0
⎫
⎬ ⇒
x 2 − 4x − 5 = (x + 1) ⋅ (x − 5) < 0 ⎭
⇒ lim−
x →5
Simplificant:
−3x
x 2 − 4x − 5
= +∞
—— Límit per la dreta:
lim
(x + 1) ⋅ (x − 2)
3 (x − 2)
x →2
x −5
x −5
= lim
2x − 10
1− x
=
1− 2
(2 − 2)2
=
=
2+1
= lim
2(x − 5)
x →5
(2 − x)2
x →2
−15
−3x < 0
3x – 6 = 3 ⋅ (x – 2)
i) lim
=
—— Límit per l’esquerra:
0
x 2 – x – 2 = (x + 1) ⋅ (x – 2)
x →5
52 − 4 ⋅ 5 − 5
Per a decidir el valor del límit, hem d’estudiar el signe dels
límits laterals:
Per a eliminar aquesta indeterminació, factoritzem numerador i denominador per x – 2:
h) lim
−3 ⋅ 5
=
x 2 − 4x − 5
= ∞.
x +1
x →−1
x →5
2 ⋅ 02 + 2 ⋅ 0 − 12
x2 + 5
Així, doncs, lim
x (2x 2 + 2x − 12)
= lim
=
=
x 3 − 4x 2 + 6x
x →0
x 2 + 5 > 0 ⎫
x2 + 5
= +∞
⎬ ⇒ lim +
x →−1
x + 1 > 0 ⎭
x +1
x →5
1
2
−3x < 0
⎫
⎬ ⇒
x 2 − 4x − 5 = (x + 1) ⋅ (x − 5) > 0 ⎭
=1
3
=
1
⇒ lim+
2
x →5
−1
—— Per a valors propers a 2 per l’esquerra:
1− x < 0
⎫
1− x
= −∞
⎬ ⇒ lim−
x →2 (2 − x)2
(2 − x)2 > 0 ⎭
—— Per a valors propers a 2 per la dreta:
lim
⎫
1− x
= −∞
⎬ ⇒ lim+
2
x →2 (2 − x)2
(2 − x) > 0 ⎭
x2 + 4
m) lim
x →+∞
x →2
(2 −
x)2
x −2
x →−∞
x2
= ∞.
= (x + 2) = +∞
= 1 ja que n = 2 = m
= 0 ja que n = 0 < m = 2
2x 2
3x 2 − x − 2
p) lim
x −2
x →+∞
− 2x − 1
1
x →−∞
x 2 − 4x − 5
(x + 2) (x − 2)
= lim
x2 − 1
n) lim
x →+∞
Així, doncs,
−3x
x →5
o) lim
1− x < 0
1− x
= −∞
Així, doncs,
0
Per a decidir si aquest límit és +∞, –∞ o ∞, hem d’estudiar
el signe de les imatges de valors propers a 2 en aproparnos per cada costat:
lim
−3x
x 2 − 4x − 5
x 2 − 12x + 12
= 3 ja que n = 2 = m
22. a) lim (3x 2 – 5 x + 2) = 3 ⋅ 42 – 5 ⋅ 4 + 2 = 30
= −∞.
x →4
b) lim (5x 2 + 3x + 2) = +∞ ja que 5 > 0
x →+∞
j)
lim
−7
=
−7
= , ja que el
+ 6x + 9
+ 6 ⋅ (−3) + 9
numerador és sempre negatiu i el denominador x2 + 6x + 9
= (x + 3)2, sempre positiu.
x →− 3
k) lim
x →−1
x2
x2 + 5
x +1
=
(−3)2
(−1)2 + 5
−1 + 1
=
6
0
Per a saber si el límit és +∞, –∞ o ∞, hem de calcular els
límits laterals:
—— Si ens apropem a –1 per l’esquerra:
x 2 + 5 > 0 ⎫
x2 + 5
= −∞
⎬ ⇒ lim −
x →−1 x + 1
x + 1 < 0 ⎭
—— Si ens apropem a –1 per la dreta:
c) lim
5x 2 − 6x + 7
4x − 1
x →−5
d) lim
x →2
lim
x →2
=
x 3 − 5x 2 + 6x
x2
−x −2
x 3 − 5x 2 + 6x
x2 − x − 2
2(2 − 3)
2+1
=−
=
=
23 − 5 ⋅ 22 + 6 ⋅ 2
22
= lim
x →2
−2−2
=
x (x − 2) (x − 3)
(x − 2) (x + 1)
0
0
=
2
3
e) Considerem P (x) = x i Q (x) = x2 + 4x + 4 = (x + 2)2.
Com que P (–2) ≠ 0 i Q (–2) = 0, calculem els límits laterals:
—— En prendre valors de x propers a –2, encara que més
petits, tenim:
163
Bloc 3. ANÀLISI > Unitat 8. Límits
⎫
x <0
P(x)
= −∞
⎬ ⇒ lim +
x →−2 Q(x)
(x + 2)2 > 0 ⎭
x
Així: lim
x 2 + 4x + 4
x →−2
f)
8x 2 + 3x − 5
lim
x →+∞
+ x +1
4x 2
=
= −∞
8
25. a) lim f (x):
x →1
Com que les imatges dels valors propers a 1 es calculen
mitjançant expressions analítiques diferents, segons que
siguin més petits o més grans que 1, considerem límits laterals:
lim f (x) = lim− (2x − 9) = 2 ⋅ 1 − 9 = −7 ⎫⎪
x →1
⎬ ⇒
lim+ f (x) = lim+ (−x) = −1
⎪⎭
x →1
x →1
=2
4
x →1−
23. a) Com que el preu de venda ve donat per la funció C (x) i
volem saber en quin moment la màquina valdrà la meitat
del preu de compra, hem de calcular el valor de x pel qual
C (x) = 30 000.
60 000
= 30 000 ⇒ 1 + 0, 4x = 2 ⇒ x = 2, 5
1 + 0, 4x
⇒ lim− f (x) ≠ lim+ f (x) ⇒
x →1
x →3
En aquest cas procedim de manera anàloga a l’apartat
anterior:
lim f (x) = lim− (−x) = −3
⎫⎪
⎬ ⇒
lim f (x) = lim+ (2x − 9) = 2 ⋅ 3 − 9 = −3 ⎪
⎭
x →3+
x →3
x →3−
b) Com que C (x) és una funció racional amb el grau del numerador més petit que el del denominador, tenim:
lim C(x) = lim
x →+∞
60 000
1 + 0, 4x
=0
24. a)Com que –3 < –2, l’expressió analítica de f en un entorn
de x = –3 és f (x) = x – 4, aleshores:
lim f (x) = lim (x – 4) = lim x – lim 4 = –3 – 4 = –7
x →−3
x →−3
x →−3
b) Com que x = –2 és un punt frontera entre dos intervals en
els quals f té diferent expressió analítica, hem de calcular
lim f (x) a partir dels límits laterals:
x →−2
lim f (x) = lim (x – 4) = –2 – 4 = –6
−
x →−2−
x →−2
lim + f (x) = lim (–x2 + 3x + 4) =
+
x →−2
x →−2
= –(–2)2 + 3 ⋅ (–2) + 4 = –6
Com que els límits laterals en x = –2 existeixen i coincideixen, concloem que existeix el límit de la funció en x = –2 i
el seu valor és:
lim f (x) = –6
x →−2
c) Com que l’expressió analítica de f és diferent per als punts
de l’esquerra d’1 i de la dreta d’1, hem de calcular els límits laterals per determinar el valor del límit:
lim f (x) = lim (–x 2 + 3x + 4) = –12 + 3 ⋅ 1 + 4 = 6
−
x →1−
x →1
lim f (x) = lim+ (2x – 1) = 2 ⋅ 1 – 1 = 1
x →1+
x →1
Com que els límits laterals de f en x = 1 no coincideixen, no
existeix lim f (x).
x →1
d) Com que 2 > 1, f (x) = 2x – 1 en un entorn de x = 2, aleshores:
lim f (x) = lim (2 x – 1) = 2 ⋅ 2 – 1 = 3
x →2
164
x →2
x →3
⇒ lim− f (x) = lim+ f (x) = lim f (x) = –3
x →3
x →3
x →3
c) lim f (x):
Això significa que el valor de la màquina amb el pas del
temps es va fent cada vegada més petit i si passen molts
anys pràcticament no tindrà cap valor.
x →−3
x →1
b) lim f (x):
Per tant, al cap de 2,5 anys la màquina tindrà la meitat del
valor de compra.
x →+∞
lim f (x)
x →1
x →5
En aquest cas les imatges dels valors propers a 5 tant per
l’esquerra com per la dreta es calculen amb la mateixa
expressió analítica, així:
lim f (x) = lim (2x – 9) = 2 ⋅ 5 – 9 = 1
x →5
⎛
26. a) lim ⎜
x →+∞
x →5
6x
⎝ 3x 2 − 4x
⋅
−3x 2 + 5 ⎞
⎟ =
x + 2 ⎠
⎛
⎞ ⎛
6x
−3x 2 + 5 ⎞
= ⎜ lim
⎟ ⋅ ⎜ lim
⎟ = 0 ⋅ (–∞)
2
⎝ x →+∞ 3x − 4x ⎠ ⎝ x →+∞ x + 2 ⎠
Per a eliminar la indeterminació, efectuem el producte de
fraccions:
⎛
6x
−3x 2 + 5 ⎞
lim ⎜
⋅
⎟ =
2
⎝ 3x − 4x
x + 2 ⎠
x →+∞
⎛ −18x 3 + 30x ⎞ ∞
= lim ⎜
⎟ =
x →+∞ ⎝ 3x 3 + 2x 2 − 8x ⎠
∞
Per a eliminar aquesta indeterminació, dividim numerador
i denominador per x 3:
lim
x →+∞
= lim
x →+∞
30x
−18x 3
+
3
x
x3
3x 3
2x 2
8x
+
−
x3
x3
x3
30
x2
2
8
3+
−
x
x2
−18 +
=−
18
3
=
= −6
⎛ 3x + 1 x 2 − 5 ⎞
b) lim ⎜⎜
⎟⎟ =
⋅
x →−∞ ⎝ x 2 − 2
−8 ⎠
⎛
3x + 1 ⎞ ⎛
x 2 − 5 ⎞
⎟ = 0 ⋅ (−∞)
= ⎜ lim
⎟ ⎜ lim
⎝ x →−∞ x 2 − 2 ⎠ ⎜⎝ x →−∞ −8 ⎟⎠
Efectuem el producte:
Bloc 3. ANÀLISI > Unitat 8. Límits
⎛ 3x + 1 x 2 − 5 ⎞
⎟⎟ =
lim ⎜⎜
⋅
x →−∞ ⎝ x 2 − 2
−8 ⎠
3x 3 + x 2 − 15x − 5
= lim
lim
∞
x2
15x
5
3x 3
+
−
−
x2
x2
x2
x2
8x 2
16
−
+
x2
x2
= lim
x →−∞
5
15
−
x2
x
16
−8 +
x2
x →−∞
x →+∞
=
⎛ x
7x − 3 ⎞
lim ⎜
−
⎟ =
⎝ x − 3
x 2 − 9 ⎠
x 2 − 4x + 3
x2 − 9
x →3
=
lim
x 2 − 4x + 3
x2 − 9
= 1+
=
=
3−1
=
3+3
2
6
=
⎛ 5 − x 2 ⎞
lim ⎜
⎟
x →−∞ ⎝ 3 − x 2 ⎠
=
3
⎛ 3x 2
6x 2 + 4 ⎞
−
d) lim ⎜
⎟ =
x →+∞ ⎝ x + 1
⎠
2x
3−
3x 2 +1
2
⎛
⎜
⎜
= lim ⎜ lim
x →−∞ x →−∞
⎜
⎜
⎝
⎛
3x 2 ⎞ ⎛
6x 2 + 4 ⎞
= ⎜ lim
⎟ − ⎜ lim
⎟ = ∞ − ∞
x
→+∞
x
→+∞
⎝
⎠
x + 1 ⎠ ⎝
2x
Per a eliminar la indeterminació, efectuarem la resta de les
fraccions:
x →+∞
2x 2 + 2x
3 − x2
−1 =
1
3 − x2
2
= 1+
⎛
1
= lim ⎜ 1 +
3 − x2
x →−∞ ⎜
⎜
2
⎝
x →− ∞
=e
=
b)
⎛ 4x − 3 ⎞
lim ⎜
⎟
x →+ ∞ ⎝ 4x + 2 ⎠
x2
6
⎞
⎟
⎟
⎟⎟
⎠
3− x2
2
⎛
⎜
1
⎜1 +
3
−
x2
⎜⎜
⎝
2
lim
⎛ 3x 2
6x 2 + 4 ⎞
lim ⎜
−
⎟ =
x →+∞ ⎝ x + 1
⎠
2x
= lim
5 − x2
x2
⎡
⎢⎛
⎢⎜
1
= lim ⎢⎜1 +
3
−
x2
x →−∞ ⎜
⎢⎜
⎢⎝
2
⎣
1
6x 3 − 6x 3 − 6x 2 − 4x − 4
= 1+
5 − x2 − 3 + x2
0
(x − 3) ⋅ (x + 3)
x →3
= 1(+∞)
Així:
0
(x − 3) ⋅ (x − 1)
= lim
3x 2 +1
2
3 − x2
Eliminem aquesta indeterminació factoritzant numerador i
denominador i simplificant els factors x – 3:
x →3
= −3
=
5 − x2
x →3
= lim
3x 2 +1
2
=
Per a resoldre la indeterminació 1∞, hem d’expressar la
1
base de la manera 1 +
i introduir F (x) en l’exponent:
F (x)
Per a eliminar la indeterminació, efectuarem la resta de
fraccions:
x2 − 9
2+0
lim
⎛
5 − x 2 ⎞ x →− ∞
= ⎜ lim
⎟
⎝ x →−∞ 3 − x 2 ⎠
⎛
x ⎞ ⎛
7x − 3 ⎞
= ⎜ lim
⎟ − ⎜ lim
⎟ = ∞ − ∞
⎝ x →3 x − 3 ⎠ ⎝ x →3 x 2 − 9 ⎠
x (x + 3) − 7x + 3
−6 − 0 − 0
=
2
27. a) lim ⎛⎜ 5 − x ⎞⎟
x →−∞ ⎝ 3 − x 2 ⎠
x →3
4
4
−
x2
x
2
2+
x
=
−6 −
x →+∞
=
=
2x 2 + 2x
= lim
⎛ x
7x − 3 ⎞
−
c) lim ⎜
⎟ =
x →3 ⎝ x − 3
x 2 − 9 ⎠
= lim
∞
4x
4
−6x 2
−
−
x2
x2
x2
2x 2
2x
+
x2
x2
= lim
3x + 1 −
= lim
−6x 2 − 4x − 4
lim
x →+∞
=
−8x 2 + 16
x →−∞
∞
=
Per a eliminar la indeterminació, dividim numerador i denominador per x 2:
∞
Per a eliminar aquesta indeterminació, dividim el numerador i el denominador per x 2:
3x 3 + x 2 − 15x − 5
2x 2 + 2x
x →+∞
=
−8x 2 + 16
x →−∞
−6x 2 − 4x − 4
= lim
3+
⎞
⎟
⎟
⎟⎟
⎠
2
⎤ 3 − x 2
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
3− x2
2
⋅
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
3x 2 +1
2
=
3x 2 +1
2
=
→− ∞
⎞ xlim
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
3x 2 +1
3− x2
=
1
x2
3
−1
x2
= e−3
lim
⎛
4x − 3 ⎞ x →+ ∞
= ⎜ lim
⎟
⎝ x →+∞ 4x + 2 ⎠
x2
6
= 1 (+∞)
165
Bloc 3. ANÀLISI > Unitat 8. Límits
Per a eliminar la indeterminació, expressem la base de la
1
:
manera 1 +
F (x)
4x − 3
4x + 2
= 1+
4x − 3
= 1+
4x + 2
4x − 3 − 4x − 2
Introduïm ara F (x) =
4x + 2
definició del nombre e:
⎛ 4x − 3 ⎞
lim ⎜
⎟
x →+∞ ⎝ 4x + 2 ⎠
lim
x →+ ∞
=e
c) lim (3x − 8)
x
x −3
x →3
x2
6
→− 2
⎛
⎞ xlim
= ⎜ lim (x + 3) ⎟
⎝ x →−2
⎠
1
Introduïm
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
= lim (3x − 8) x →3
x →3
⎛
⎜
⎜
= ⎜ lim
x →−2
⎜
⎜
⎝
= 1∞
lim
Ara bé, lim
x →−2
lim
x →−2+
1
en l’exponent i, aplicant les
3x − 9
propietats dels límits, fem aparèixer el nombre e:
x
x −3
x →3
⎛
1
= lim ⎜ 1 +
1
x →3 ⎜
⎜
3x − 9
⎝
⎛
⎜
= ⎜ lim
⎜ x →3
⎜
⎝
⎛
1
⎜ 1 +
1
⎜
⎜
3x − 9
⎝
lim
= e x →3
166
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
3x (x −3)
x −3
→3
⎞ xlim
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
= e9
1
1
x +2
3
x +2
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
3
x +2
1
3
⋅ (x + 2) ⋅
(x + 2)2
x +2
1
x +2
= ∞ perquè
lim
x →−2−
3
x +2
= –∞ i
= +∞ , aleshores:
x +2
3
3
3
x +2
3
x +2
= e –∞ = 0
= e +∞ = + ∞
Així, que el límit sigui e ∞ significa que els límits laterals no
coincideixen, és a dir, que no existeix límit.
=
e)
=
=
= e∞
lim +
⎛ x 2 + 5x + 6 ⎞ (x + 2)2
lim ⎜
= e x →− 2
⎟
x →−2+ ⎝
⎠
x +2
x (3x −9)
x −3
=
3(x + 2)
(x + 2)2
→− 2
⎞ xlim
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
lim −
⎛ x 2 + 5x + 6 ⎞ (x + 2)2
lim − ⎜
= e x →− 2
⎟
x →−2 ⎝
⎠
x +2
=
1
x
⋅ (3x − 9) ⋅
x −3
3x − 9
1
3x −9
3
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛
1
⎜ 1 +
1
⎜
⎜
x +2
⎝
= e x →− 2
1
1
3x − 9
lim (3x − 8)
:
3
⎛
1
= lim ⎜ 1 +
1
x →−2 ⎜
⎜
x +2
⎝
3x – 8 = 1 + (3x – 8) – 1 = 1 + (3x – 9) =
Introduïm ara F (x) =
F (x)
3
Per a eliminar la indeterminació, expressem la base de la
1
manera 1 +
:
F (x)
= 1+
1
⎛ x 2 + 5x + 6 ⎞ (x + 2)2
2
lim ⎜
= lim (x + 3) (x + 2) =
⎟
x →−2 ⎝
x →−2
⎠
x +2
=
x
x −3
= 1(+∞)
en l’exponent i obtenim l’expressió del
x +2
nombre e:
⎛ −5
x 2 ⎞
⎜
⎟⎟
⋅
→+ ∞ ⎜ 4x + 2
⎞xlim
6 ⎠
⎝
= e −∞ = 0
lim
=
x + 3 = 1 + (x + 2) = 1 +
=
4x + 2
−5
3
(x + 2)2
→− 2
⎞ xlim
⎟⎟
⎠
3
(x + 2)2
=
Expressem la base de la manera 1 +
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
−5x
12
24 +
x
⎛
(x + 2) ⋅ (x + 3)
= ⎜⎜ lim
x +2
⎝ x →−2
4x + 2
−5
x2
⎞ −5 ⋅ 4x + 2 ⋅ 6
⎛
⎜
1
= lim ⎜1 +
4x + 2
x →+∞ ⎜
⎜
−5
⎝
⎛
⎜
⎛
⎜
1
= ⎜ lim ⎜ 1 +
4x + 2
x →+∞ ⎜
⎜
⎜
⎜
−5
⎝
⎝
1
4x + 2
−5
en l’exponent i apliquem la
−5
3
(x +2)2
lim
⎛
x 2 + 5x + 6 ⎞ x →− 2
= ⎜ lim
⎟
⎝ x →−2
⎠
x +2
−1 =
= 1+
4x + 2
3
⎛ x 2 + 5x + 6 ⎞ (x + 2)2
d) lim ⎜
=
⎟
x →−2 ⎝
⎠
x +2
⎛ x 2 − 3 ⎞
lim ⎜
⎟
x →+∞ ⎝
x 2 ⎠
5x
6
=
lim
⎛
x 2 − 3 ⎞x →+ ∞
= ⎜ lim
⎟
⎝ x →+∞
x 2 ⎠
Transformem
x2 − 3
x2
5x
6
= 1(+∞)
en 1 +
1
F (x)
:
Bloc3. ANÀLISI > Unitat 8. Límits
x2 − 3
x2
= 1+
x2 − 3
x2
x2 − 3 − x2
= 1+
−1 =
−6x 2 − 2x
x →+∞
1
x2
−3
= 1+
x2
= lim
= −6
x2 + 1
Per tant:
⎛ x 2 + 3x + 2 ⎞−2x
lim ⎜
= e −6
⎟
x →+∞ ⎝
x 2 + 1 ⎠
Ara fem:
⎛ x 2 − 3 ⎞
lim ⎜
⎟
x →+∞ ⎝
x 2 ⎠
⎡
⎢
= lim ⎢
x →+∞ ⎢
⎢
⎢⎣
⎛
1
⎜ 1 +
x2
⎜
⎜
−3
⎝
28. a) Resulta la indeterminació 1∞.
5x
6
x2
−3
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
Transformem x 2 + x + 1 en 1 +
=
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
:
1
lim (x 2 + x + 1) x 3 =
x →0
⎡
⎢
= lim ⎢
x →0 ⎢
⎢
⎣
Per tant:
⎛ x 2 − 3 ⎞
lim ⎜
⎟
x →+∞ ⎝
x 2 ⎠
5x
6
+ 3x + 2
x2 + 1
x 2 + 3x + 2
x2
+1
= 1+
1
x3
⋅
Per tant:
1
en 1 +
= 1+
F (x)
:
x 2 + 3x + 2
x2
+1
x2 + 1
D’altra banda, es té:
⎛ 3x + 1
⎞
lim ⎜
⋅ (−2x) ⎟ =
⎠
x2 + 1
:
1
1
x2 − 4
Per tant, podem escriure:
lim (x 2 − 3)
x →2
⎛ x 2 + 3x + 2 ⎞−2x
lim ⎜
=
⎟
x →+∞ ⎝
x 2 + 1 ⎠
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
1
F (x)
x2 – 3 = 1 + x2 – 3 – 1 = 1 + x2 – 4 =
=
Ara fem:
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
b) Resulta la indeterminació 1∞.
−1 =
1
= 1+
= 1+
x2 + 1
x2 + 1
3x + 1
⎛
1
⎜ 1 +
x2 + 1
⎜
⎜
3x + 1
⎝
x →0
Transformem x 2 − 3 en 1 +
3x + 1
x 2 +1
3x +1
1
lim (x 2 + x + 1) x 3 = e +∞ = +∞
= 1+
x 2 + 3x + 2 − x 2 − 1
x →+∞ ⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
2 +x )
⎛
1 ⎞
x2 + x
= lim
lim ⎜ (x 2 + x) ⋅
= +∞
⎟
x →0 ⎝
x3
x 3 ⎠ x →0
lim (−2x )
⎛
x 2 + 3x + 2 ⎞x →+ ∞
= ⎜ lim
= 1(−∞)
⎟
⎝ x →+∞
x 2 + 1 ⎠
x2
⎛
1
⎜ 1 +
1
⎜
⎜
2 + x
x
⎝
⎤ (x
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
1
x 2 +x
D’altra banda:
= e0 = 1
⎛ x 2 + 3x + 2 ⎞−2x
lim ⎜
=
⎟
x →+∞ ⎝
x 2 + 1 ⎠
⎡
⎢
= lim ⎢⎢
x →+∞
⎢
⎢
⎣
1
1
x2 + x
Per tant, podem escriure:
⎛ −3 5x ⎞
−15x
lim ⎜
⋅
=0
⎟ = lim
x →+∞ ⎝ x 2
6 ⎠ x →+∞ 6x 2
Transformem
:
x 2 + x + 1 = 1 + (x 2 + x) = 1 +
− 3 5x
⋅
x2 6
D’altra banda:
f)
1
F (x)
3x +1
⋅ (−2x )
x 2 +1
⎡
⎢
= lim ⎢
x →2 ⎢
⎢
⎣
⎛
1
⎜ 1 +
1
⎜
⎜
2
x −4
⎝
5
x −2
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
=
1
x 2 −4
⎤ (x
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
2 −4) ⋅
5
x −2
D’altra banda:
⎛
5 ⎞
5 (x − 2)(x + 2)
lim ⎜ (x 2 − 4) ⋅
=
⎟ = lim
⎝
x − 2 ⎠ x →2
x −2
x →2
= lim (5 (x + 2)) = 20
x →2
Per tant:
lim (x 2 − 3)
x →2
5
x −2
= e 20
167
Bloc 3. ANÀLISI > Unitat 8. Límits
4
ASÍMPTOTES D’UNA
Pàg. 237 i 238
FUNCIÓ
que fa que la recta x = –2 també sigui una asímptota vertical.
Vegem ara si posseeix alguna asímptota horitzontal.
lim f (x) = lim
29. Sí. Per exemple:
x →−∞
⎧ 1
⎪
f (x) = ⎨ x
⎪ 0
⎩
si x ≠ 0
30. — Asímptotes verticals:
Hem de buscar en la gràfica els punts x0 en els quals
lim f (x) = ±∞ o lim f (x) = ±∞
x →+0
x →−0
En trobem tres:
lim f (x) = +∞ ⎫
⎪
⎬ ⇒ x = −2
lim + f (x) = +∞ ⎪
x →−2
⎭
x →−2−
És asímptota vertical per tots dos costats.
lim f (x) = lim (x − 2) = +∞
x →+∞
x →+∞
amb la qual cosa, la recta y = 2 és una asímptota horitzontal
quan x → –∞.
32. a)Cert. Per exemple, f (x) = tg x té com a asímptotes verticals
π
, k ∈ Z.
2
b) Cert. Per exemple, P (x) = 0 té asímptota ho­rizontal x = 0 i
Q (x) = x + 2 té asímptota obliqua y = x + 2.
les rectes x = k π +
33. Primer hem de determinar el valor del pendent a:
a = lim
f (x)
= lim
x
x →±∞
lim f (x) = −∞ ⎫⎪
x →1−
⎬ ⇒ x = 1
lim f (x) = +∞ ⎪
⎭
x →1+
x →±∞
= lim
x →±∞
lim f (x) = −∞ ⎫⎪
x →4−
⎬ ⇒ x = 4
lim f (x) = −∞ ⎪
⎭
x →4+
x →±∞
x →±∞
És asímptota horitzontal per l’esquerra.
cadascuna de les funcions que componen f i els seus respectius dominis de definició, és senzill concloure que
D(f ) =  − { 0}.
Per tant, hem d’estudiar els límits laterals de f en el punt 0.
lim f (x) = lim−
x →0
x +1
x
lim f (x) = lim+
x →0+
x →0
x
lim f (x) = lim−
x →2−
x →2
2x 2 + 1
x2 − 4
x →±∞
=
3x
2
x2
−
+
x2
x2
x2
4x 2
2x
6
−
+
2
2
x
x
x2
x →±∞
=
4x 2 − 2x + 6
−
= lim
= +∞
= +∞
−x 2 − 3x + 2
= lim
x →±∞
per tant, la recta x = 0 és una asímptota vertical. A més, tenim
168
4x 2 − 2x + 6
= lim
x +1
2
2x 3 − 2x 2 + 2 − 2x 3 + x 2 − 3x
= −∞
i
1
=
x →±∞
x →±∞
31. En primer lloc, estudiarem el domini de la funció. Si analitzem
x →0−
2−0+0
=
⎛ x 3 − x 2 + 1
x ⎞
= lim ⎜
−
⎟ =
x →±∞ ⎝ 2x 2 − x + 3
2 ⎠
= lim
És asímptota horitzontal per la dreta.
=
b = lim (f (x) – ax) =
lim f (x) = 0 ⇒ e = 0
x →+∞
=
Ara, podem trobar l’ordenada en l’origen, b:
lim f (x) = 1 ⇒ e = 1
x →−∞
1
1
+
x3
x
1
3
2−
+
x
x2
1− 0 + 0
=
—— Asímptotes horitzontals:
2x 3 − x 2 + 3x
1−
= lim
És asímptota vertical per tots dos costats.
x3 − x2 + 1
x2
1
x3
−
+
3
x
x3
x3
2x 3
x2
3x
−
+
x3
x3
x3
És asímptota vertical per tots dos costats.
Hem de calcular lim f (x) i veure si és real:
=2
x2 − 4
mentre que
si x = 0
està definida en x0 = 0 i x = 0 és asímptota vertical de f .
2x 2 + 1
x →−∞
2
3
+
x2
x
2
6
4−
+
x
x2
=
−1 −
−1 − 0 + 0
4−0+0
=−
L’asímptota buscada és, doncs, y =
=
1
4
1
2
x−
1
4
.
=
Bloc 3. ANÀLISI > Unitat 8. Límits
—— Perquè f (x) =
P(x)
an x n + an−1x n−1 + … + a1x + a0
=
Q(x)
bm x m + bm−1x m−1 + … + b1x + b0
en què an ≠ 0 i bm ≠ 0, tingui una asímptota obliqua, ha de
complir-se que:
f (x)
a = lim
∈ R − { 0} (1)
x
x →±∞
Com que x 2 + 1 ≠ 0 ∀ x ∈R, no existeixen asímptotes
verticals.
Suposem que n ≠ m + 1. Podria ser:
—— Asímptotes horitzontals:
x 3 + 4x 2
no és finit, no existeixen
Com que lim
x →±∞
x2 + 1
asímptotes horitzontals d’aquesta funció.
• n > m + 1:
f (x)
x
x →±∞
= lim
x →±∞
an x n + … + a0
= lim
bm
x →±∞
x m+1
an + … +
= lim
bm
x →±∞
P(x)
+ … + b0 x
a0
xn
b0
+…+
x n −1
x n − (m +1)
=
xQ(x)
—— Asímptotes obliqües:
=
Vegem si existeixen:
an
=
—— Asímptotes obliqües:
f (x)
3x − 1
= lim
= 0, no existeiCom que lim
x →±∞
x →±∞ (x + 2)x
x
xen asímptotes obliqües.
b) — Asímptotes verticals:
En efecte, demostrem que (1) ⇒ n = m + 1:
a = lim
Per tant, la recta y = 3 és una asímptota horitzontal per
tots dos costats.
0
=∞
lim (g(g(x)
(x)−−ax)
ax)==bb
==aayyi lim
x →±∞
x →±∞
g (x)
x
x →+∞
x 3 + 4x 2
= lim
x3 + x
x →+∞
x →+∞
f (x)
a = lim
x
x →±∞
P(x)
xQ(x)
bm x m+1 + … + b0 x
x →±∞
x →±∞
x →±∞
an x n + … + a0
= lim
= lim
= lim
=
=
a0
an x n
+…+
x m +1
x m +1
=
bm x m +1
b x
+…+ 0
m
+1
m
+1
x
x
an
+…+
a0
x m +1 = 0 = 0
b0
bm
bm + … +
xm
x m +1− n
Aleshores no es compleix (1).
Queda, doncs, demostrat que la funció només pot tenir
una asímptota obliqua si el grau de P, n, excedeix en
una unitat al de Q, m.
x →+∞
Els punts x0 en els quals el límit pot donar infinit es
troben entre els zeros del denominador:
x + 2 = 0 ⇔ x = –2
El límit en aquest punt és:
lim
x →−2
3x − 1
x +2
c) — Asímptotes verticals:
Com per a tot real x 0 lim e − x 2 = e − x 02 ∈ R , no té
x →x 0
asímptotes verticals.
—— Asímptotes horitzontals:
Com que lim e − x 2 = 0, la recta y = 0 és una asímptota
x →±∞
horitzontal per tots dos costats.
—— Asímptotes obliqües:
Vegem si existeixen els límits:
lim
lim
x x→±∞
→±∞
h(x)
h(x)
==aayyi lim
lim (h(x)
(h(x)−−ax)
ax)==bb
x x→+∞
→+∞
xx
a = lim
h(x)
x
—— Asímptotes horitzontals:
lim
x →±∞
3x − 1
x +2
1
x ex2
=
1
∞
=0
de la gràfica d’una funció f, tenim:
f (x)
x
[f (x) − mx] .
i n = xlim
→±∞
Així, com que sabem que la recta y = x + 4 és asímptota obliqua
de f, en aquest cas tenim m = 1 i n = 4. Per tant, analitzant els
límits corresponents, podem obtenir els valors de a i b.
1 = lim
=3
x →±∞
35. Si una recta, y = mx + n amb m ≠ 0, és una asímptota obliqua
x →±∞
La recta x = –2 és l’única asímptota vertical.
= lim
Com que a = 0, la funció h (x) no té asímptotes obliqües.
m = lim
=∞
=4
x2 + 1
Anàlogament, quan x tendeix a menys infinit. Aleshores
la recta y = x + 4 és una asímptota obliqua de la funció
per tots dos costats.
x →±∞
34. a) — Asímptotes verticals:
=1
4x 2 − x
b = lim (g (x) − x) = lim
• n < m + 1:
x →±∞
xx
a = lim
Aleshores no es compleix (1).
= lim
(x)
gg(x)
lim
lim
x →±∞
x →±∞
x →±∞
f (x)
x
= lim
x →±∞
ax 2 + 2x − 4
x2
− bx
⎡ ∞ ⎤
= ⎢ ⎥ = a
⎣ ∞ ⎦
Ja sabem que a = 1. Calculem ara b.
169
Bloc 3. ANÀLISI > Unitat 8. Límits
⎛ x 2 + 2x − 4
⎞
4 = lim [f (x) − mx] = lim ⎜
− x ⎟ =
x →±∞
x →±∞ ⎝
⎠
x −b
⎡ (2 + b)x − 4 ⎤ ⎡ ∞ ⎤
= lim ⎢
⎥ = ⎢⎣ ⎥⎦ = 2 + b
x →±∞ ⎣
⎦
x −b
∞
Per tant, b = 2.
5 ⋅ 83
+ 30 = 52,456140
50 + 82
Per la qual cosa la població d’aquí 10 anys serà de
52,456 140 habitants.
c) lim =
t →+∞
P(t )
t
=
b) lim – f (x) = –1
x →−1
d) ∃∕ f (2)
e) lim− f (x) = 0
x →2
f) lim+ f (x) = 0
x →2
g) f (3) = 2
h) lim− f (x) = 2
x →3
i)
lim f (x) = –1
x →3+
—— Com que lim – f (x) = –1 ≠ –2 = lim + f (x),
P(t )
lim (P
= (t ) – 5=t ) =
t →+∞
t
⎛ 5t 3 − 30t 2 + 60t − 40 − 5t 3 + 20t 2 − 270t
⎞
= lim ⎜⎜
+ 30 ⎟⎟ =
t →+∞
t 2 − 4t + 54
⎝
⎠
⎛ −10t 2 − 210t − 40
⎞
= lim ⎜
+ 30 ⎟ = 20
2
t →+∞ ⎝
⎠
t − 4t + 54
L’equació de l’asímptota obliqua és A (t ) = 5t + 20.
d) A (10) = 70
∃∕ lim f (x).
x →−1
Com que lim− f (x) = 0 = lim+ f (x),
Calculem l’error absolut:
x →2
Com que lim f (x) = 2 ≠ –1 = lim+ f (x),
−
52 456140
x →3
39. a) Per a saber quantes peces ha produït el treballador el primer dia, hem de calcular el valor de M (t ) per a t = 1.
⋅ 100 = 33 %
= 4 peces el primer dia.
20 ⋅ 12
12 + 4
A(100) = 520,000 000
Calculem l’error absolut:
⋅ 100 = 0,5 %
g) La població creix de manera que el nombre dels seus individus s’apropa cada vegada més al donat per l’asímptota.
t →+∞
20t
⎡ ∞ ⎤
= ⎢ ⎥ = 20
t + 4 ⎣ ∞ ⎦
Per tant, si un treballador continués indefinidament amb el
període de pràctiques, seria capaç de produir un nombre
de peces cada vegada més proper a 20.
40. — Asímptotes verticals:
Com que la funció és racional, les asímptotes verticals es
troben entre els zeros del denominador:
Ea = |517 462 192 – 520 000 000| = 2 537 808
Calculem l’error relatiu:
= 15 peces el dia 12.
b) Com que el grau del numerador i el del denominador de la
funció M (t ) és el mateix, tenim:
lim M(t ) = lim
Així el nombre aproximat d’habitants al cap de 100 anys és
de 520 000 000.
2 537 808
1+ 4
t →+∞
Així, el nombre d’habitants d’aquí a 100 anys és de
517 462 192.
517 462192
20 ⋅ 1
De manera anàloga,
f) P (100) = 517,462 192
Er =
x →3
x →3
∃∕ lim f (x).
M(12) =
Ea = |52 456 140 – 70 000 000| = 17 543 860
17 543 860
x →2
x →2
∃ lim f (x) = 0.
M(1) =
Així, el valor aproximat de la població és 70 milions
d’habitants.
37. Activitat TIC.
x →−1
x →−1
⎡ 5 (t 3 − 6t 2 + 12t − 8)
30 ⎤
= lim ⎢
+
⎥ = 5
2
t →+∞ ⎣
t (t − 4t + 54)
t ⎦
e) E r =
38. a) f (–1) = –2
x →−1
5
+ 30 = 29,259 259
50 + (−2)2
Per la qual cosa la població actual és de 2 9,259 259 habitants.
b) P(10) =
Pàg. 238
c) lim + f (x) = –2
(−2)3
36. a) P(0) =
SÍNTESI
x4 – 1 = 0 ⇔ x4 = 1 ⇔ x = ±1
Calculem els límits laterals en x = –1 i x = +1, candidats a
asímptotes verticals:
lim
x →−1−
lim
x →−1+
x 5 + 2x 2 − 5
⎫
= −∞ ⎪
⎪
⎬ ⇒ x = −1
5
2
x + 2x − 5
−4
=
= +∞ ⎪⎪
x4 − 1
−0
⎭
x4 − 1
=
−4
+0
És asímptota vertical per tots dos costats.
170
Bloc 3. ANÀLISI > Unitat 8. Límits
x 5 + 2x 2 − 5
⎛ x 5 + 4
x 3 + 1 ⎞
lim ⎜
−
⎟ =
x →+∞ ⎝ x 2 − 3
x 2 ⎠
⎫
= +∞ ⎪
x →1
x4 − 1
−0
⎪
⎬ ⇒ x = 1
5
2
x + 2x − 5
−2
=
= −∞ ⎪⎪
lim+
x →1
x4 − 1
+0
⎭
lim−
−2
=
És asímptota vertical per tots dos costats.
x 5 + 2x 2 − 5
lim
x4
x →±∞
1+
lim
x →±∞
−∞
c)Resulta la indeterminació
. Efectuant el quocient, es
−∞
té:
1
=
0−0
=
⎛ x + 5 −2x + 6 ⎞
lim ⎜
:
⎟ =
⎝ x 2
2x 3 + 1 ⎠
x →−∞
5
2
−
x5
x3
1
1
−
x
x5
1+ 0 − 0
=
=
lim (3x +5)
⎛ x 2 + 3 ⎞3x +5 ⎛
x 2 + 3 ⎞x →+ ∞
d) lim ⎜
= ⎜ lim
= 1(+∞)
⎟
⎟
x →+∞ ⎝ x 2 − x ⎠
⎝ x →+∞ x 2 − x ⎠
f (x) no té asímptotes horitzontals.
—— Asímptotes obliqües:
a = lim
f (x)
x
x →±∞
= lim
x5
x →±∞
= lim
1+
x →±∞
+
+
2x 2
5
x5
−
x5
x5
x
−
5
x
x5
5
2
−
x5
x3
1
1−
x4
2x 2
−5
x5 − x
x →±∞
x5
= lim
=
=
1+ 0 − 0
1− 0
x 5 + 2x 2 − 5 − x 5 + x
x4 − 1
x →±∞
= lim
x →±∞
= lim
x →±∞
= lim
x →±∞
2x 2 + x − 5
x4 − 1
1
5
2
+
−
x3
x4
x2
1
1−
x4
=
x2 + 3
−x
x2
en 1 +
x+3
x2 − x
1
F (x)
:
x2 + 3 − x2 + x
−1 = 1+
= 1+
x2 − x
=
1
x2 − x
x+3
= 1+
Ara calculem:
=1
=
=
x
5
2x 2
+
−
x4
x4
x4
x4
1
−
x4
x4
1+
x2 − x
=
⎛ x 5 + 2x 2 − 5
⎞
b = lim (f (x) − ax) = lim ⎜
− x ⎟ =
x →±∞
x →±∞ ⎝
⎠
x4 − 1
= lim
x2 + 3
Transformem
x5
⎞
⎟⎟ = +∞
⎠
⎛ 2x 4 + 10x 3 + x + 5
= lim ⎜⎜
x →−∞ ⎝
−2x 3 + 6x 2
=∞
0
= +∞
x →+∞
+
x5
lim
−1
x 4 − 3x 2
⎛ 4x
x 2 − 1 ⎞
4x 3 − 4x
lim ⎜
⋅
=4
⎟ = lim
2
x
→+∞
⎝ x + 1
x ⎠
x3 + x
=
2x 2
5
−
x5
x5
x4
1
−
x5
x5
x5
x 7 − x 5 + 3x 3 + 3x 2 + 3
x →+∞
b)Resulta la indeterminació 0 ⋅ (+∞). Efectuant el producte,
s’obté:
—— Asímptotes horitzontals:
x →±∞
= lim
⎛ x 2 + 3 ⎞3x +5
lim ⎜
=
⎟
x →+∞ ⎝ x 2 − x ⎠
⎡
⎢
= lim ⎢
x →+∞ ⎢
⎢
⎣
x +3
⎛
1
⎜ 1 + 2
x −x
⎜
⎜
x+3
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
x 2 −x
x +3
⎤ x 2 −2
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⋅ (3x +5)
D’altra banda:
⎛ x + 3
⎞
lim ⎜
⋅ (3x + 5) ⎟ =
⎝ x 2 − x
⎠
x →+∞
=
0+0−0
1− 0
3x 2 + 14x + 15
= lim
x →+∞
=0
x2 − x
=3
Per tant:
⎛ x + 3 ⎞3x +5
lim ⎜
= e3
⎟
x →+∞ ⎝ x 2 − x ⎠
La recta y = x és una asímptota obliqua de f per tots dos
costats.
41. a)Resulta la indeterminació (+∞) – (+∞). Efectuant la diferència, tenim:
42. Si una recta, y = mx + n amb m ≠ 0, és una asímptota obliqua
de la gràfica d’una funció f, tenim:
m = lim
x →±∞
f (x)
x
i n = lim [f (x) − mx].
x →±∞
171
Bloc 3. ANÀLISI > Unitat 8. Límits
En el cas que ens ocupa, l’equació de la recta obliqua és
y = x, per la qual cosa m = 1 i n = 0. Així, hem d’estudiar els
límits anteriors per intentar calcular a i b.
1 = lim
f (x)
x →±∞
= lim
x
x →±∞
ax 2 + bx + 5
x2
⎡ ∞ ⎤
= ⎢ ⎥ = a
⎣ ∞ ⎦
− 2x
Per tant, tenim a = 1. Intentem calcular ara b.
x2
⎛
⎞
+ bx + 5
0 = lim [f (x) − mx] = lim ⎜
− x ⎟ =
x →±∞
x →±∞ ⎝
⎠
x −2
⎡ (b + 2)x + 5 ⎤ ⎡ ∞ ⎤
= lim ⎢
⎥ = ⎢⎣ ⎥⎦ = b + 2
x →±∞ ⎣
⎦
x −2
∞
I així b = –2.
D’altra banda, el domini de la funció f (x) =
lim f (x) = lim−
x →2
lim f (x) = lim+
x →2+
x →2
x 2 − 2x + 5
x −2
x 2 − 2x + 5
x −2
0,9
1,42631579
0,99
1,49251256
0,999
1,49925013
0,9999
1,499925
0,99999
1,4999925
De la taula anterior concloem que lim− f (x) = 1, 5.
x →1
Per tant, de l’observació de les dues taules anteriors, tenim:
lim f (x) = 1, 5
= −∞
x →1
x+9 −3
b) Hem de fer una taula de valors de lim
per a
x
valors de la variable x cada vegada més propers a 0 per la
dreta i una altra per a valors propers a 0 per l’esquerra.
x →0
= +∞
Per tant, lim f (x) = ∞ i així tenim que la recta x = 2 és una
x →2
asímptota vertical de la gràfica de f.
Finalment, la funció no té asímptotes horitzontals ja que el
grau del numerador és més gran que el del denominador.
Avaluació
f (x)
x 2 − 2x + 5
és
x −2
 − { 2} , per la qual cosa estudiarem els límits laterals de la
funció en el punt x0 = 2.
x →2−
x
x
f (x)
0,1
0,166206
0,01
0,166620
0,001
0,166662
0,0001
0,166666
0,00001
0,166667

De la taula anterior concloem que lim+ f (x) = 0,16.
(Pàg. 240)
x →0
1.
a) lim f (x) = 2
x →3
b) lim+ f (x) = −1
x
f (x)
–0,1
0,167132
c) lim f (x) = −1
−
–0,01
0,166713
d) f (1) = 1
–0,001
0,166671
e) lim f (x) = 1
–0,0001
0,166667
f) lim+ f (x) = 2
–0,00001
0,166667
x →1
x →1
x →−3
x →2

De la taula anterior concloem que lim− f (x) = 0,16 .
g) lim− f (x) = 1
x →0
x →2
h) lim f (x) no existeix, perquè els límits laterals no coincideixen.
x →2
2.
x →0
a) Hem de fer una taula de valors de lim
x3 − 1
per a valors
−1
de la variable x cada vegada més propers a 1 per la dreta i
una altra per a valors propers a 1 per l’esquerra.
x →1
x2
5 x − 3x
per a vax
lors de la variable x cada vegada més propers a 0 per la
dreta i una altra per a valors propers a 0 per l’esquerra.
c)Hem de fer una taula de valors de lim
x →0
x
f (x)
x
f (x)
1,1
1,57619048
0,1
0,584958
1,01
1,50751244
0,01
0,517790
1,001
1,50075012
0,001
0,511518
1,0001
1,500075
0,0001
0,510895
1,00001
1,5000075
0,00001
0,510833
De la taula anterior concloem que lim+ f (x) = 1, 5,
x →1
172
Per tant, de l’observació de
 les dues taules anteriors, sembla ser que lim f (x) = 0,16 .
De la taula anterior concloem que lim+ f (x) = 0, 51.
x →0
Bloc 3. ANÀLISI > Unitat 8. Límits
x
f (x)
–0,1
0,446185
–0,01
0,503956
–0,001
0,510134
–0,0001
0,510756
–0,00001
0,510819
Asímptotes obliqües:
Comprovem que, ja que la funció f té asímptotes horitzontals en –∞ i en +∞, no pot tenir asímptotes obliqües.
lim
x
x →±∞
x →−2
x →−1
x →−1
lim− f (x) = lim−
x →−2
x →1
x →1
lim f (x) = lim+
b) Observant les gràfiques de f (x) i g (x) tenim: lim f (x) = 2 i
x →1+
x →1
lim g (x) no existeix, ja que els límits laterals són diferents:
x →1
lim g (x) = −1
lim g (x) = −2
x →1+
x →1−
Asímptotes horitzontals:
Per tant, no podem aplicar la propietat del límit del producte (L4.3) i el límit lim−[f (x) ⋅ g (x)] no existeix.
Hem de calcular el límit:
x →1
x →±∞ x 2
x →2
x →2
x3
x2
= lim
=1
x →±∞ x 2 − 1
x(x 2 − 1)
⎛ x 3
⎞
− x ⎟ =
b = lim [f (x) − x] = lim ⎜
x →±∞
x →±∞ ⎝ x 2 − 1
⎠
x
=0
= lim
x →±∞ x 2 − 1
a = lim
x →1
lim [f (x)]3 = 23 = 8
x →1
a) Asímptotes verticals:
x2
+ 2 = 0 No té solució
Per tant, no té asímptotes verticals.
Asímptotes horitzontals:
Hem de calcular el límit:
+2
horitzontal.
x
= lim
x →±∞
Per tant la recta y = x és una asímptota obliqua.
Els punts x0 en els quals el límit pot donar infinit es troben
entre els zeros del denominador:
x2
f (x)
x →±∞
d’un límit (L4.5) tenim:
x →−∞
= ±∞
Hem de calcular:
d) Atès que lim f (x) = 2, aplicant la propietat de la potència
2x
−1
Asímptotes obliqües:
es pot aplicar la propietat del quocient del límit (L4.4).
f (x)
no existeix.
Amb la qual cosa lim
x →2 g (x)
lim
= +∞
−1
Amb la qual cosa no té asímptotes horitzontals.
i lim g (x) = 0 . Atès que el límit del denominador és 0, no
x2 + 2
horitzontal.
x3
x2
x3
lim
c) Observant les gràfiques de f (x) i g (x) tenim: lim f (x) ≈ 1, 4
x →+∞
= −∞
−1
Per tant, la recta x = 1 és una altra asímptota vertical de f.
x →1
2x
= +∞
−1
x3
x2
x →−2
+2 = 0 →
=0
Així, la recta x = –1 és una asímptota vertical de f.
= lim f (x) + 5 ⋅ lim g (x) = 1 + 5 ⋅ (−1) = −4
lim
x3
x2
L4.2
lim [f (x) + 5 ⋅ g (x)] = lim f (x) + lim [5 ⋅ g (x)] =
x2
+2
= −∞
x2 − 1
x →−1
lim + f (x) = lim +
límit de la suma (L4.1) i del producte per una constant
(L4.2) obtenim:
L4.1
x3
lim f (x) = lim −
x →−1−
lim f (x) = 1 i lim g (x) = −1. Aplicant les propietats del
4.
x2
Per tant, estudiem el límit de la funció f en aquests punts.
a) Primer, observant les gràfiques de f (x) i g (x) tenim:
x →−2
+2
x →±∞
x 2 − 1 = 0 → x = ±1
x →0
x →−2
2
= lim
Els punts x0 en els quals el límit pot donar infinit es troben
entre els zeros del denominador:
Per tant, de l’observació de les dues taules anteriors, sembla ser que lim f (x) = 0, 51.
x →−2
x
x2
b) Asímptotes verticals:
x →0
x →−2
2x
= lim
Amb la qual cosa no té asímptotes obliqües.
De la taula anterior concloem que lim− f (x) = 0, 51.
3.
f (x)
x →±∞
= 2 → La recta y = 2 és una asímptota
5.
a) lim (−2x 2 − 3x + 5) = −∞ ja que el coeficient de segon
x →−∞
grau és negatiu.
x −1
0
=
: lim
.
0
0 x →1 x 2 − 1
Amb la qual cosa hem de simplificar la fracció algèbrica;
en aquest cas per( x – 1):
lim
x →1
= −2 → La recta y = –2 és una asímptota
0
b) A priori dóna una indeterminació
x −1
x2 − 1
= lim
x →1
x −1
(x + 1)(x − 1)
c) A priori dóna una indeterminació
de desenvolupar el numerador:
lim
x →0
(3 + x)2 − 9
x
= lim
x →0
= lim
x →1
0
0
=
1
2
. En aquest cas hem
9 + 6x + x 2 − 9
x
1
x +1
= lim
x →0
6x + x 2
x
173
Bloc 3. ANÀLISI > Unitat 8. Límits
b) Aplicant les propietats dels límits:
Extreure factor comú i simplificar de nou:
6x + x 2
lim
= lim
x
x →0
x ⋅ (6 + x)
x →+∞
x →0
x −2
lim
=
x 2 + 4x − 3
(−1) − 2
(−1)2 + 4 ⋅ (−1) − 3
=
1
2
toritzant el numerador, podem simplificar per( x – 2):
lim
x2 + x − 6
x −2
= lim
(x − 2)(x + 3)
x →2
x −2
f) A priori dóna una indeterminació
= lim (x + 3) = 5
x →2
0
. En aquest cas hem
0
de desenvolupar el numerador i operar:
(2 + x)3 − 8
lim
= lim
x →0
x
x 3 + 6x 2 + 12x
x →0
= lim
x 3 + 6x 2 + 12x + 8 − 8
=
x
lim
= lim
x →0
x
= lim (x 2 + 6x + 12) = 12
x ⋅ (x 2 + 6x + 12)
x
x →0
lim
(
)
4x 2 + 5 + 2x = lim
)
= +∞
x →−∞
4x 2 + 5 + lim 2x = ∞ − ∞
x →−∞
Arribem a una indeterminació del tipus ∞ – ∞. Per a resoldre-la, multiplicarem i dividirem pel conjugat:
(
x →−∞
= lim
x →−∞
x →0
3x 2 + 5x
c) Aplicant les propietats dels límits:
= lim
=
3x 2
Atès que arribem a una expressió en la qual el grau del
numerador és superior al grau del denominador.
lim
Extreure factor comú i simplificar de nou:
)=
+ 5x ) ⋅ ( 4x +
3x 2 + 5x
=
4x + 3x 2 + 5x
16x 2 − (3x 2 + 5x)
13x 2 − 5x
= lim
lim
2
x →+∞ 4x +
x
→+∞
3x + 5x
4x + 3x 2 + 5x
x →−∞
x 3 + 6x 2 + 12x
3x 2 + 5x =
x →+∞
x →+∞
x →−∞
x
x →0
(
( 4x −
lim
lim 4x −
x →+∞
. Amb la qual cosa
0
hem de simplificar la fracció algèbrica; en aquest cas fac-
x →2
lim 4x − lim
x →+∞
Arribem a una indeterminació del tipus ∞–∞. Per a resoldre-la, multiplicarem i dividirem pel conjugat:
0
e) A priori dóna una indeterminació
)=
3x 2 + 5x
= +∞ − (+∞)
d) Substituint x per –1:
x →−1
(
lim 4x −
= lim (6 + x) = 6
x
x →0
)
4x 2 + 5 + 2x =
(
)(
4x 2 + 5 + 2x ⋅
4x 2 + 5 − 2x
)
=
4x 2 + 5 − 2x
4x 2 + 5 − 4x 2
5
= lim
=0
2
2
x
→−∞
4x + 5 − 2x
4x + 5 − 2x
d) Substituint x per –1:
g) lim
4x 3 − x 2
= 4 perquè numerador i denominador són
(x + 1)3
del mateix grau, amb la qual cosa el límit és el quocient
entre els coeficients.
x →+∞
h) Aplicant la propietat del límit de la diferència (L4.1):
⎛ 0 ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠
Atès que el numerador i el denominador són del mateix
grau, el límit és el quocient entre els coeficients:
⎛ 3 − x ⎞
lim ⎜
⎟ − lim 2 = −1 − 2 = −3
3 + x ⎠ x →−∞
x →−∞ ⎝
0
. Amb la qual cosa
0
hem de simplificar la fracció algèbrica; en aquest cas per(
x – 2):
x −2
x2 − x − 2
= lim
x →2
x −2
(x + 1)(x − 2)
= lim
x →2
1
x +1
−1
0
= 0−∞ = +∞
=
1
3
Anomenem L el límit que pretenem calcular:
−1
⎛ x 2 − 2x ⎞5x ⎛ 1 ⎞−∞
a) lim ⎜
⎟ = ⎜ ⎟ = +∞
x →−∞ ⎝ 3x 2 + 5 ⎠
⎝ 3 ⎠
−1
x →1 (x −1)2
⎛ x 2 − 2x + 1 ⎞ (x −1)2
⎛ x 2 − 2x + 1 ⎞lim
L = lim ⎜
= lim ⎜
⎟
⎟
x →1 ⎝
x
→1
⎠
⎝
⎠
x +2
x +2
A continuació, prenguem logaritmes a banda i banda de la
igualtat i apliquem la propietat següent:
ln ( ab ) = b ln a
−1
⎡
x →1 (x −1)2
⎛ x 2 − 2x + 1 ⎞lim
⎢
lnL = ln ⎢ lim ⎜
⎟
x →1 ⎝
⎠
x +2
⎢⎣
= lim
6.
−1
Per tractar de confirmar el resultat, resoldrem aquest límit
d’una altra manera.
⎛ 3 − x ⎞
⎛ 3 − x
⎞
lim ⎜
− 2 ⎟ = lim ⎜
⎟ − lim 2
x →−∞ ⎝ 3 + x
⎠ x →−∞ ⎝ 3 + x ⎠ x →−∞
lim
e) Substituint x per 1:
−1
i) Aplicant la propietat del límit de la diferència (L4.1):
x →2
2
⎛ x 2 − 2x + 1 ⎞ (x −1)2
⎛ 12 − 2 ⋅ 1 + 1 ⎞ (1−1)2
lim ⎜
= ⎜
=
⎟
⎟
x →1 ⎝
⎠
⎝
⎠
x +2
1+ 2
⎛ 1
⎛ 1 ⎞
⎛ 2x ⎞
2x ⎞
lim ⎜
−
⎟ = lim ⎜ ⎟ − lim ⎜
⎟ =
x →+∞ ⎝ x
x − 1 ⎠ x →+∞ ⎝ x ⎠ x →+∞ ⎝ x − 1 ⎠
= 0 − 2 = −2
j) A priori dóna una indeterminació
2
⎡ −x ⎤ x −1 ⎡ −(−1) ⎤ −1−1 ⎛ 1 ⎞−1
lim ⎢
= ⎢
= ⎜ ⎟ = ∞−1 = 0
⎥
⎥
x →−1 ⎣ (x + 1)2 ⎦
⎝ 0 ⎠
⎣ (−1 + 1)2 ⎦
x →1
⎤
⎥
⎥ =
⎥⎦
⎛
x 2 − 2x + 1 ⎞
⋅ ln ⎜ lim
⎟
⎝ x →1
⎠
(x − 1)2
x +2
−1
Calculant els límits respectius, s’obté:
lnL = (−∞) ⋅ ln 0 = (−∞) ⋅ (−∞) = +∞
174
Bloc 3. ANÀLISI > Unitat 8. Límits
Per tant:
−1
⎛ x + 3 ⎞ x −3
⎛ 3 − x
−1
1 ⎞
−1
lim ⎜
= lim ⎜
⋅
=
⎟
⎟ = lim
x →3 ⎝ 2x
x →3 ⎝ 2x
⎠
x − 3 ⎠ x →3 2x
6
lnL = +∞ ⇒ L = +∞
Quedant així provat que:
−1
Per tant,
⎛ x 2 − 2x + 1 ⎞ (x −1)2
lim ⎜
= +∞
⎟
x →1 ⎝
⎠
x +2
1
−1
lim
⎛ x + 3 ⎞ x −3 ⎛
x + 3 ⎞x →3 x −3
f) lim ⎜
= ⎜ lim
= 1∞
⎟
⎟
x →3 ⎝ 2x
x
→3
⎠
⎝
2x ⎠
Transformem
x+3
2x
x+3
= 1+
2x
en 1 +
x+3
2x
1
F (x)
−1 = 1+
7.
:
3−x
= 1+
2x
1
2x
3−x
⎛ x + 3 ⎞
lim ⎜
⎟
x →3 ⎝ 2x
⎠
−1
x −3
⎡
⎢⎛
⎢⎜
1
= lim ⎢⎜1 +
2x
x →3 ⎜
⎢⎜
3−x
⎢⎣⎝
2x
⎞ 3−x
⎟
⎟
⎟⎟
⎠
→3
⎤xlim
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
2x
⎞ 3−x
⎟
⎟
⎟⎟
⎠
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦
lim f (x) = lim − ( −x + 3 ) = 4
Fixem-nos en el límit de l’exponent:
lim f (x) = lim + ( 3 ) = 3
x →−1+
= e x →3
x →−1
c) Com que els límits laterals de f en x = –1 no coincideixen,
no existeix lim f (x).
=
x →−1
8.
3−x
1
⋅
2x x −3
x →−1
b) Ara hem de calcular el límit per excés, l’expressió analítica
de f en aquest cas és f (x) = 3 amb la qual cosa:
3−x
1
⋅
2x x −3
3−x
1
⋅
2x x −3
lim
a) Com que hem de calcular el límit per defecte, l’expressió
analítica de f en aquest cas és: f (x) = –x + 3 amb la qual
cosa:
x →−1−
Ara hem de calcular:
⎡
⎢⎛
⎢⎜
1
= lim ⎢⎜1 +
2x
x →3 ⎜
⎢⎜
3−x
⎢⎣⎝
1
−1
−1
⎛ x + 3 ⎞ x −3
⎛ x + 3 ⎞ x −3
lim ⎜
= lim ⎜
=e 6
⎟
⎟
x →3 ⎝ 2x
x →3 ⎝ 2x
⎠
⎠
b) lim C(t ) = lim
t →+∞
t →+∞
30t
200 + t
= 30 g/L
Això significa que, a mesura que passa el temps, la concentració de sal en l’aigua pura del tanc tendeix a 30 grams
per litre, que coincideix amb la concentració de sal que té
l’aigua que s’aboca.
175
BLOC 3. anàlisi
9#
En context
Continuïtat
(pàg. 243)
a> Es proposa aquí un joc d'imaginació: suposem que, efectivament, la fletxa F segueix la trajectòria apropiada per a
encertar el lleó L en el punt X i l'instant tX, si totes dues
trajectòries fossin contínues. I imaginem que la trajectòria
del lleó no ho és, precisament en l'instant tX. Quines opcions apareixen?
Per exemple, podria succeir que:
En aquest cas, la trajectòria del lleó tindria una discontinuïtat evitable en el mateix instant en què la fletxa l'hagués
travessat.
Un possible desenllaç, corresponent a aquest cas, seria:
«Tinc la certesa que és la primera vegada que presencio
una meravella com aquesta: el lleó, que semblava condemnat a perir per la meva fletxa, de sobte s'ha esfumat,
ha desaparegut sense més ni més en el precís instant en
què li anava a travessar el cor. I el que és encara més increïble: ha reaparegut immediatament després, gairebé en
la mateixa posició, però completament a resguard de la
fletxa que ja se n'allunyava per l'esquena!…».
b> Es poden proposar alternatives semblants amb els altres
tipus de discontinuïtats i inventar les històries corresponents, per fantàstiques que siguin: es podria imaginar que
la trajectòria del lleó el porta fins a l'infinit, d'on podria tornar o no fer-ho; podria succeir una discontinuïtat de salt,
que permetés al lleó esquivar la fletxa però el desviés de la
trajectòria inicial, que condemnava el caçador, cosa que
permetria que tota la seqüència es repetís de nou, etc.
1. El punt x­0 = 2 és una discontinuïtat de f, ja que s'hi anul·la el
seu denominador; així que no està definida f (2) i, per tant, no
es compleix C1.
Per a veure que és evitable, hem de veure que es compleix C2:
lim f (x) = lim
x →2
= lim
x →2
x →2
+ 2x − 8
x −2
(x − 2) (x + 4)
x −2
si x = 2
També és contínua en (2, + ∞), ja que ve donada per una expressió racional el denominador de la qual només s'anul·la en
x = – 1, que no pertany a aquest interval.
Així, f serà contínua en R si i només si ho és en x = 2.
Per a imposar que f sigui contínua en x = 2, imposarem que
ho sigui lateralment, ja que l'expressió analítica de f (x ) és diferent segons x sigui més petita o més gran que 2:
f és contínua en x = 2 ⇔ f és contínua per l'esquerra i per la
dreta en x = 2 ⇔ lim− f (x ) = f (2) i lim+ f (x ) = f (2).
x →2
x →2
Ara bé, f (2) = 6 i els límits laterals, expressats en funció dels
paràmetres m i n, són:
lim f (x )= lim− (4m x – 2) = 4m · 2 – 2 = 8m – 2
x →2
x →2−
lim f (x) = lim+
x →2+
3x + n
x →2
=
x +1
6+n
3
=
n
3
=
3⋅2+n
2+1
=
+2
Per tant, f és contínua en R si i només si:
⎧ 8m − 2 = 6 ⇒ m = 1
⎪
⎨ n
⎪ + 2 = 6 ⇒ n = 12
⎩ 3
(pàg. 255 a 257)
x2
si x ≠ 2
expressió polinòmica en aquest interval.
t →t x
∃ L(t x )
Problemes resolts
⎧
x2 + 2 x − 8
⎪⎪ f (x) =
x −2
g (x) = ⎨
⎪ lim f (x) = 6
⎪⎩ x →2
2. La funció és contínua en (– ∞, 2), ja que ve donada per una
lim L(t ) = lim+ L(t ) = X
t →t x−
A més, com que f és contínua en R – {2}, ja que l'únic zero del
seu denominador és x0 = 2, la funció així definida serà contínua en R:
=
= 2+4 = 6
El límit de f en x0 = 2 existeix i és finit, de manera que efectivament es compleix C2 i tenim una discontinuïtat evitable.
Per a evitar la discontinuïtat, n'hi ha prou de definir la imatge
de x0 = 2 donant-li el valor que ha de prendre perquè sigui
contínua, xlim
→x 0 f (x ) = 6.
3. a) En virtut de les dades que ens proporciona el problema, és
immediat construir la funció que relaciona el pes de cada
carta amb el que ens costa enviar-la:
⎧ 0,25
⎪
⎪ 0,27
f (x) = ⎨
⎪ 0,29
⎪⎩ 0,31
si 0 < x < 20
si 20 ≤ x < 30
si 30 ≤ x < 40
si 40 ≤ x < 50
Tanmateix, per a obtenir una expressió més analítica
d'aquesta funció, podem considerar la funció part sencera,
E [x], i tenim que:
⎧ 0,25
si 0 < x < 20
⎪
f (x) = ⎨
⎡ x − 10 ⎤
⎪ 0,25 + E ⎢
⎥ ⋅ 0,02 si 20 ≤ x < 50
⎣ 10 ⎦
⎩
b) La representació gràfica de la funció és la següent:
176
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 9. continuïtat
Exercicis i problemes (pàg. 250 i 251)
Y
0,4
1
0,2
0
10
20
30
40
50
X
Observant la gràfica de la funció f, és immediat deduir que
és discontínua en els punts x = 20, x = 30 i x = 40.
CONTINUÏTAT D'UNA Pàg. 258 i 259
FUNCIÓ EN UN PUNT
6. Verificarem les tres condicions de continuïtat en x0:
a)C1: f (0) =
x −6
x2 + 2
x −6
x →0
C3: lim f (x ) = f (0) = – 3
x →0
Per tant, f és contínua en x0 = 0.
b) C1: g (0) =
x →+∞
C2:
lim h (x ) = lim (2x + 1 – 3 1 – x) = 2 – 3 = –1 < 0
x →0
x →0
⇒ lim f (x ) = – 3
lim h (x ) = lim (2x + 1 – 3 1 – x) = + ∞ – 0 = + ∞
x →+∞
= −3
⎫
= −3 ⎪
⎪
⎬ ⇒
C2:
lim+ f (x) = lim+
= −3 ⎪
⎪⎭
x →0
x →0 x 2 + 2
x →0−
equivalent a veure que existeix una solució de l'equació f (x ) =
= g (x ), o equivalentment, que la funció h (x ) = f (x ) – g (x ) =
= 2x + 1 – 3 1 – x té algun zero.
Com que:
+2
lim f (x) = lim−
4. Veure que les gràfiques de f i g es tallen en algun punt és
El teorema de Bolzano ens dóna l'existència de zeros de funcions contínues en intervals. Com que h és la diferència de
dues funcions contínues en R (ja que són composició
de funcions contínues en R), podem buscar un interval [a, b],
o equivalentment dues reals a i b, de manera que h (a) i h (b)
tinguin signe diferent.
−6
x →0
1
0 −1
= −1
⎫
1
1
=
= −1 ⎪
x −1
0 −1
⎬ ⇒
lim+ g (x) = lim+ (2x − 1) = 2 ⋅ 0 − 1 = −1⎪
⎭
x →0
x →0
lim g (x) = lim−
x →0−
x →0
per a reals suficientment grans h és positiva, i per a valors
propers al zero, h és negativa.
Per tant, pel teorema de Bolzano, existeix almenys un punt c
tal que h (c) = 2 c + 1 – 3 1 – c = 0. És a dir, l'equació
2x + 1 = 3 1 – x té almenys una solució.
C3: lim g (x ) = – 1 = g (0)
Per a determinar aquest punt en l'interval demanat, trobarem
el valor de la funció h en 0, 1, 2, 3…:
h (0) = 2 0 + 1 – 3 1 – 0 = 2 – 3 = – 1 < 0
h (1) = 2 1 + 1 – 3 1 – 1 = 2 2 – 3 0 = 4 – 1 = 3 > 0
Per tant, el punt de tall de les dues gràfiques es troba en
l'interval (0, 1).
5. Sigui x0 > 0. Hem de demostrar que existeix un real c tal que
c 2 = x0, i que, per tant, c =
x 0 (podem suposar c ≥ 0).
⇒ lim g (x ) = – 1
x →0
x →0
Per tant, g és contínua en x0 = 0.
7. Per a veure que una funció no és contínua en x0, n'hi ha prou
de veure que no es compleix alguna de les condicions en x0:
a) C1: Com que f és una funció racional i el seu denominador s'anul·la en x0 = – 5, f no està definida en x0 i, per
tant, no es compleix C1.
b) C1: g (– 5) = – 5 + 8 = 3
C2: Com que g té una expressió analítica diferent a cada
costat de x0 = – 5, hem de calcular el límit de g en x0 a
partir dels límits laterals.
lim g (x ) = lim (x + 8) = – 5 + 8 = 3
+
Podem pensar que el que busquem és una solució de l'equació x 2 = x 0 o, equivalentment, un zero de la funció
f (x ) = x 2 – x0.
Com que f és polinòmica, és contínua en R, així, si trobem dos
reals a i b en els quals f té signe diferent, el teorema de Bolzano ens assegurarà que existeix un punt c de l'interval que defineixen a i b en el qual f s'anul·la, que és el que volíem
demostrar.
Ara bé, observem que: f (0) = 0 2 – x0 = – x0 < 0
lim f (x ) = lim (x 2 – x0) = + ∞ ⇒ ∃ b suficientment gran en el
x →+∞
x →+∞
qual f (b) > 0.
Així, hem trobat dos reals, a = 0 i b, en els quals f té signe
diferent, per tant, existeix c ∈(0, b) tal que f (c) = 0, o sigui,
c 2 = x0, de manera que c és una arrel quadrada de x0.
x →−5+
x →−5
Com que lim −g (x ) = 23 ≠ 3 = lim +g (x ), podem afirmar
x →−5
x →−5
que no existeix lim g (x ) i, per tant, no es compleix C2;
x →−5
de manera que g no és contínua en x0 = – 5.
8. C1: f (5) = 4 · 5 + 4 = 24
C2:
lim f (x) = 4 ⋅ 5 + 4 = 24 ⎫⎪
⎬ ⇒
lim f (x) = 5 2 − 1 = 24 ⎪
⎭
x →5−
x →5+
⇒ lim f (x ) = 24
x →5
C3: lim f (x ) = f (5) = 24
x →5
Per tant, la funció és contínua en x0 = 5.
177
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 9. continuïtat
9. • x0 = – 1: f (– 1) = – 1 – 1 = – 2
Sigui ε > 0.
|
lim f (x ) = lim − (– x) = – (– 1) = 1 ≠ – 2 = f (– 1) ⇒
x →−1−
⇒ f no és contínua per l'esquerra en x0 = – 1, per tant, no
és contínua en aquest punt.
• x0 = 3: f (3) = – 3 2 + 2 · 3 + 5 = 2
lim− f (x ) = lim−(x – 1) = 3 – 1 = 2 = f (3) ⇒
x →3
x →3
⇒ f és contínua per l'esquerra en x0 = 3.
lim f (x ) = lim+ (– x 2 + 2x + 5) =
x →3+
| |
Així, si | x – 3 | < δ = ε, | f (x ) – f (3) | = | x – 3 | < ε
De manera que podem prendre δ = ε > 0.
Per tant, f és contínua en x0 = 3.
13. Ho farem a partir de la definició en funció dels límits laterals:
f és contínua per l'esquerra en x0 si i només si
lim f (x ) = f (x0)
x →3
= – 3 2 + 2 · 3 + 5 = 2 = f (3) ⇒
⇒ f és contínua per la dreta en x0 = 3.
Com que f és contínua lateralment en x0 = 3, f és contínua
en aquest punt.
10. Els punts de discontinuïtat són aquells en els quals s'interromp
la gràfica de la funció, i el tipus depèn del valor i l'existència
dels límits laterals en aquest punt:
|
| f (x ) – f (3) | = | x – 3 | – | 3 – 3 | = | x – 3 | = | x – 3 |
x →−1
x →x 0−
f és contínua per la dreta en x0 si i només si
lim f (x ) = f (x0)
x →x 0+
a) f (– 1) = – 1 + 2 = 1
lim f (x ) = lim − (x + 2) =
x →−1−
x →−1
= – 1 + 2 = 1 = f (– 1) ⇒
• x = – 3 és un punt de discontinuïtat, ja que els límits laterals
són infinits, per tant, és no evitable de salt infinit.
⇒ f és contínua per l'esquerra en x0 = – 1.
• x = – 2 és un punt de discontinuïtat, ja que els límits laterals
existeixen i són finits, però diferents, per tant, és no evitable
de salt finit.
x →−1+
• x = 1 és un punt de discontinuïtat, ja que els límits laterals
existeixen, són finits i coincideixen, però són diferents de
f (1), per tant, és evitable.
• x = 3 és un punt de discontinuïtat, ja que no existeix el límit
per la dreta, per tant, és essencial.
• x = 6 és un punt de discontinuïtat, ja que no existeix f (6),
i com que els límits laterals en aquest punt existeixen, són
finits i coincideixen, es tracta d'una discontinuïtat evitable.
11. La funció f és discontínua en x0 = 3 perquè no està definida la
imatge d'aquest punt, per tant, no es compleix C1.
Per a classificar la discontinuïtat hem de veure si es compleix
o no C2, i en cas negatiu, quin n'és el motiu:
lim f (x ) = lim− (x2 – 2) = 32 – 2 = 7
x →3−
x →3
lim f (x ) = lim+ (4 x – 5) = 4 · 3 – 5 = 7
x →3+
x →3
Com que els límits laterals existeixen, són finits i coincideixen, existeix lim f (x ) = 7 i és finit, per tant, es compleix C2.
x →3
Per tant, la discontinuïtat en x0 = 3 és evitable.
12. El fet que una funció f sigui contínua en un punt x0 signifi-
ca que la seva gràfica no s'interromp en aquest punt, és a dir,
que es pot dibuixar la gràfica de la funció en un entorn de x0
sense aixecar el llapis del paper.
lim f (x ) = lim + 3 = 3 ≠ 1 = f (– 1) ⇒
x →−1
⇒ f no és contínua per la dreta en x­0 = –1.
b) g (2) = E (2) + 2 = 2 + 2 = 4
lim g (x ) = lim− (E (x ) + x) =
x →2
x →2−
= lim− (1 + x) = 1 + 2 = 3 ≠ 4 = g (2) ⇒
x →2
⇒ g no és contínua per l'esquerra en x0 = 2.
lim
x →2+ g (x )
=
lim
x →2+ (2
lim
= x →2+(E(x ) + x) =
+ x) = 2 + 2 = 4 = g (2) ⇒
⇒ g és contínua per la dreta en x­0 = 2.
c) h(−3) =
(−3)2 − 9 = 0; h(3) =
lim h(x) = lim −
x →−3−
=
⇒ | f (x ) – f (x0) | < ε
Considerem el cas en què f (x ) = | x – 3 | i x0 = 3.
178
x2 − 9 =
x →−3
lim (x 2 − 9) =
(−3)2 − 9 =
x →−3−
= 0 = h (– 3) ⇒
⇒ h és contínua per l'esquerra en x­0 = – 3.
lim h (x ) no es pot definir, ja que si x és més gran que – 3
x →− 3+
però molt propera a aquest valor,
x 2 – 9 < 0 ⇒ i∃ h (x )
lim h (x ) no es pot definir, ja que si x és més petita que 3
x →3−
però molt propera a aquest valor,
x 2 – 9 < 0 ⇒ i∃ h (x )
Rigorosament, la definició és aquesta: f és contínua en x0 ⇔
⇔ ∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 | x ∈D (f ), | x – x0 | < δ ⇒
32 − 9 = 0
lim h(x) = lim+
x →3+
x →3
=
x2 − 9 =
lim (x 2 − 9) =
x →3+
32 − 9 = 0 = h(3) ⇒
⇒ h és contínua per la dreta en x­0 = 3
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 9. continuïtat
14. a)Hem d'estudiar la continuïtat de f a l'interior de l'interval, (0, 3), i la seva continuïtat lateral en els extrems,
a = 0 i b = 3:
• Si x 0 és un punt qualsevol de l'interval (0, 3),
Així, h és contínua per l'esquerra en b = 2.
Per tant, la funció h és contínua en [– 2, 2].
15. a)Hem d'estudiar la continuïtat de la funció en l'interval
(2, 4) i la continuïtat lateral en els extrems des de l'interior
de l'interval:
lim f (x ) = lim (x – 2) = x0 – 2 = f (x0), per tant, f és con-
x →x 0
x →x 0
tínua en l'interval (0, 3).
f (0) = 0 − 2 = −2
⎪⎫
• lim f (x) = lim (x − 2) = 0 − 2 = −2 ⎬ ⇒
⎭⎪
x →0+
x →0+
⇒ f és contínua per la dreta en a = 0.
f (3) = 32 − 11 = −2
⎫⎪
• lim f (x) = lim (x − 2) = 3 − 2 = 1⎬ ⇒
⎪⎭
x →3−
x →3−
• x0 ∈(2, 4):
lim f (x ) = lim (x – 1) = x0 – 1 = f (x0)
x →x 0
x →x 0
Per tant, f és contínua en x0.
• a = 2:
lim f (x ) = lim+ (x – 1) = 2 – 1 = f (2), per tant,
x →2
x →2+
f és contínua per la dreta en a = 2.
⇒ f no és contínua per l'esquerra en b = 3.
• b = 4:
Així, f és contínua en l'interval [0, 3).
lim f (x ) = lim− (x – 1) = 4 – 1 = f (4), per tant,
b) Hem d'estudiar la continuïtat de g a l'interior de l'interval,
(1, + ∞), i la seva continuïtat lateral en a = 1.
x →4−
x →4
f és contínua per l'esquerra en b = 4.
• x0 ∈ (1, + ∞):
Així, f és contínua en l'interval [2, 4].
lim g (x) = lim
x →x 0
x →x 0
x −1 =
x 0 − 1 = g (x 0 )
Per tant, g és contínua en (1, + ∞).
• a = 1:
b) Hem d'estudiar la continuïtat de la funció a l'interior de
l'interval, que és l'interval (– 3, + ∞), i la continuïtat per la
dreta en a = – 3:
• x0 ∈ (– 3, + ∞):
lim+ g (x) = lim+
x →1
x →1
x −1 =
lim (x − 1) =
=
x →1+
x0 > – 3 ⇒ x0 + 3 > 0
Per tant, g és contínua per la dreta en a = 1.
=
Així, g és contínua en l'interval [1, + ∞).
1
= g (x 0 )
x0 + 3
• a = – 3:
1
lim g (x) = lim +
x →−3+
si x ∈ [−2, 0]
si x ∈ (0, 2]
x+3
x →−3
1
=
=
lim + (x + 3)
x →−3
1
0
=
= +∞
Per tant, g no és contínua per la dreta en a = – 3.
• Si x0 ∈ (– 2, 0],
Així, g és contínua en l'interval (– 3, + ∞).
lim h (x ) = lim –x 2 = –x 02 = h (x0)
x →x 0
16. a)Com que f és una funció racional, és contínua en el seu
domini, és a dir, en el conjunt de punts en els quals no
s'anul·la el seu denominador. I és discontínua en els punts
que no pertanyen al seu domini, ja que no es compleix C1.
Calculem aquests punts:
• Si x0 ∈ (0, 2),
lim h (x ) = lim x 2 = x 02 = h (x0)
x →x 0
lim (x + 3)
=
Per tant, g és contínua en x = x0.
La funció h és contínua en (– 2, 2), ja que:
x →x 0
↓
1
x →x 0
c) Per a estudiar la continuïtat de h en [– 2, 2], primer
l'expressarem com una funció definida a trossos:
⎧⎪ −x 2
⇔ h(x) = ⎨
2
⎩⎪ x
=
x+3
x →x 0
0 = 0 = g (1)
⎪⎧ x(−x) si x ∈ [−2, 0]
h(x) = ⎨
⇔
⎩⎪ x ⋅ x si x ∈ (0, 2]
1
lim g (x) = lim
x →x 0
x →x 0
Estudiem ara la continuïtat lateral per la dreta de a = – 2
i per l'esquerra de b = 2:
• En a = – 2, es té:
h (– 2) = – 4 i lim +h (x ) = lim +–x 2 = – 4
x →−2
x →−2
Així, h és contínua per la dreta en a = – 2.
x 2 – 5x + 6 = 0 ⇔ x = 2 o x = 3
Per a veure quin tipus de discontinuïtat presenta f en
aquests punts hem de veure si es compleix o no C2, i per
què no es compleix si la resposta és negativa:
C2: lim f (x) = lim
• En b = 2, es té:
x →2
h (2) = 4 i lim− h (x ) = lim− x 2 = 4
x →2
x →2
= lim
x →2
x →2
x −2
x 2 − 5x + 6
x −2
(x − 2) (x − 3)
=
= −1
179
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 9. continuïtat
Així, es compleix C2, per tant, f presenta en x0 = 2 una discontinuïtat evitable.
x −2
C2: lim− f (x) = lim−
x →3
x 2 − 5x + 6
x −2
= −∞
(x − 2) (x − 3)
x →3
= lim−
x →3
x −2
lim+ f (x) = lim+
x →3
x 2 − 5x + 6
x −2
= +∞
(x − 2) (x − 3)
x →3
= lim+
x →3
⎫
= ⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬ ⇒
= ⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
x2 – 1 = 0 ⇔ x = –1 o x = 1
Calculem els límits laterals en aquests punts:
Si x < – 1 ⇒ x 2 – 1 > 0 ⇒
⎧
1
1
=
= −∞
⎪⎪ x lim
→−1+ x 2 − 1
0
⇒ ⎨
1
1
⎪ lim
=
= −∞
⎪⎩ x →1− x 2 − 1
0
Si x > 1 ⇒ x 2 – 1 > 0 ⇒
és una funció racional, per tant,
lim− g (x) = lim−
x →5
x →5
x+3
x −5
x+3
x −5
⎫
= +∞ ⎪
⎪
⎬ ⇒
= −∞ ⎪
⎪⎭
⇒ g presenta en x0 = 5 una discontinuïtat no evitable de
salt infinit.
= lim −
x →−1
x →−1
lim f (x) = lim +
x →−1
x →−1
x2 − x − 2
x +1
=
lim g (x) = lim +
Si definim la funció g de la forma:
x →−2
⇒ no es compleix C2,
lim g (x) = 2 ≠ −
x →−2−
1
7
= lim + g (x)
x →−2
Per tant, g presenta una discontinuïtat de salt finit en
x0 = – 2.
17. Perquè f sigui contínua en x = – 1, s'ha de complir (i amb això
n'hi ha prou) la condició C3:
f (– 1) = lim f (x )
Si calculem aquest límit:
x →−1
x2 − x − 2
x →−1
(x + 1) (x − 2)
x (x + 1)
=−
1
3
1
3
si x ∈ D(f ) = R − {−1, 2}
si x = −1
coincideix amb f en el domini d'aquesta última i és contínua
en x0 = – 1.
20. La funció f té una discontinuïtat en x0 = – 3 independentment
del valor de k, ja que no està definida en aquest punt; per
tant, no es compleix la condició C1.
x2 + x
=
−1 − 2
−1
Ara bé, si el numerador x 2 – 5x – 2k pren un valor L ≠ 0 en
x0 = – 3, aleshores no es pot complir C2, ja que:
=
=3
El valor de la imatge de – 1 ha de ser f (– 1) = 3.
18. Com que f és racional, els seus punts de discontinuïtat són els
zeros del denominador:
3
x →− 3
lim f (x) = lim
= lim
⎧
x +1
⎪⎪f (x) = 2
−x −2
x
g (x) = ⎨
⎪ lim f (x) = − 1
⎪⎩ x →−1
3
1
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬ ⇒
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
Perquè la discontinuïtat sigui evitable s'ha de complir C2, és a
dir, ha d'existir lim f (x ) i ser finit.
x →−1
x →−1
1
x →−1
=−
=
−1 − 2
⇒ lim f (x) = −
Per tant, es compleix C2.
x →−2
⎫
⎪
x+3
−2 + 3
1 ⎬ ⇒
=
= − ⎪
x −5
−2 − 5
7 ⎭
−1 − 2
x +1
(x + 1) (x − 2)
=
1
=
lim − g (x) = lim − (x + 4) = −2 + 4 = 2
x →−2+
180
−x −2
(x + 1) (x − 2)
x →−1+
= lim +
x +1
x2
x +1
Queda per a estudiar la continuïtat en x0 = – 2:
x →−2
= +∞
0
Per a veure que la discontinuïtat en x0 = – 1 és evitable, hem
de veure que es compleix C2:
x →−1−
Vegem quin tipus de discontinuïtat presenta g en x0 = 5:
x →5
1
(– 1)2 – (– 1) – 2 = 0, – 1 no pertany al domini de f, per tant, no
es compleix C1 i, per tant, f és discontínua en x0 = – 1.
lim f (x) = lim −
x–5=0⇔x=5
lim g (x) = lim+
=
19. Com que x 0 = – 1 és un zero del denominador, ja que
x −5
és contínua en el seu domini, que és el conjunt de punts
on no s'anul·la el seu denominador, i discontínua en els
altres punts, o sigui, en els zeros del seu denominador:
x →5+
x2 − 1
x →1
x →x 0
Per tant, g és contínua en x0.
1
⇒ lim+
lim g (x ) = lim (x + 4) = x0 + 4 = g (x0)
Si x 0 > −2, g (x) =
= +∞
0
Si – 1 < x < 1 ⇒ x2 – 1 < 0 ⇒
b) Si x0 < – 2,
x+3
1
=
−1
x2
x →−1
⇒ f té una discontinuïtat de salt infinit en x0 = 3.
x →x 0
1
⇒ lim −
lim f (x) = lim
x →−3
x →−3
x2 − 5 x − 2k
x+3
=
L
0
=∞
De manera que f presentarà una discontinuïtat de salt infinit
en x0 = – 3.
Per tant, el numerador s'ha d'anul·lar en x0 = – 3, de manera
que k ha de ser:
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 9. continuïtat
23. La funció part sencera, E, compleix que presenta una discon-
(– 3)2 – 5 · (– 3) – 2k = 0 ⇔
tinuïtat de salt finit en els nombres enters.
⇔ 9 + 15 – 2k = 0 ⇔ k = 12
Vegem si en aquest cas f té efectivament o no una discontinuïtat evitable:
x 2 − 5x − 24
lim
(x + 3) (x − 8)
lim f (x) =
= −3 − 8 = −11
x+3
x →−3
⎧
⎪
⎪⎪
E (x) = ⎨
⎪
⎪
⎪⎩
=
x+3
x →−3
L'expressió analítica de E és:
Per tant, f té una discontinuïtat evitable en x0 = – 3 si i només
si k = 12.
lim I(x ) = lim−(z – 1) = z – 1
lim f (x) = lim−
x →2−
m x 2 − 3x + 7
x −2
x →2
m ⋅ 22 − 3 ⋅ 2 + 7
=
=
0
lim f (x) = lim+
x →2+
mx2
m ⋅ 22 − 3 ⋅ 2 + 7
=
0
lim
x →2
=−
=−
1
4
lim
=
4m + 1
0
1
4
1 2
x − 3x + 7
4
=
x −2
lim
x 2 + 12x − 28
x →2
x −2
(x − 2) (x + 14)
x −2
x →2
Així, si m = −
1
24. Considerem la funció:
⎧⎪ 1 si x ∈ Q
f (x) = ⎨
⎩⎪ −1 si x ∈ R − Q
Aquests límits laterals existeixen i són infinits sempre que
4m + 1 ≠ 0.
1
Vegem què succeeix si 4m + 1 = 0, o sigui, m = − :
4
−
=−
1
4
x →z
Per tant, els límits laterals existeixen i són finits però no coincideixen. Així, E presenta una discontinuïtat de salt finit en z,
per a tot z ∈Z.
0
− 3x + 7
=
lim I(x ) = lim+z = z
x →z +
4m + 1
x −2
x →2
=
x →z
x →z −
del valor del paràmetre m, ja que el seu denominador s'anul·la
en aquest punt i, per tant, no es compleix la condició C1.
Ara bé, com que f és una funció racional:
…
Vegem que E presenta una discontinuïtat de salt finit en Z.
Sigui z un nombre enter:
21. La funció f té una discontinuïtat en x0 = 2 independentment
Perquè la discontinuïtat sigui no evitable de salt infinit, algun
dels límits laterals ha de ser ∞ (i han d'existir els dos).
…
−1 si −1 ≤ x < 0
0 si 0 ≤ x < 1
1 si 1 ≤ x < 2
f no és contínua en cap punt, ja que no existeix cap límit lateral de f en cap punt x0 ∈R:
Considerem 1 > ε > 0 qualsevol.
∀ δ > 0 , ∃ x1 ∈ Q , ∃ x2 ∈ R – Q
tals que:
| x1 – x0 | < δ, | x2 – x0 | < δ
i no pot ocórrer simultàniament que:
| f (x1) – f(x0) | = |1 – f (x0) | < ε
| f (x2) – f (x0)| = | – 1 – f (x0) | = | 1 + f (x0) | < ε
=
ja que en aquest cas, la desigualtat triangular ens diria que:
2 = | 1 + 1 | = | 1 + f (x0) – f (x0) + 1 | ≤
(2 + 14) = −4
, es compleix C2; de manera que no tenim
4
una discontinuïtat de salt infinit, sinó evitable.
Per tant, f té una discontinuïtat no evitable de salt infinit en
−1
x0 = 2 si i només si m ≠
.
4
≤ | 1 + f (x0) | + | 1 – f (x0) | < ε + ε = 2ε ⇒ 1 < ε
cosa que contradiu l'elecció del ε.
Com que podem prendre x1 < x0 i x2 < x0 o x1 > x0 i x2 > x0, això
demostra que no existeixen els límits laterals en cap punt, de
manera que f presenta una discontinuïtat essencial en tots els
punts.
En canvi, | f | = 1 és contínua en qualsevol punt, ja que és una
funció constant.
22. f presenta una discontinuïtat no evitable de salt infinit en x0 ⇔
els límits laterals existeixen i, almenys, un d'ells és infinit ⇒
lim (x ) = ± ∞ o lim+ f (x ) = ± ∞ ⇒ x = x0 és una asímptota ver-
x →x 0−
x →x 0
tical de f.
El recíproc no és cert, ja que pot ocórrer que x = x0 sigui
una asímptota vertical de f i no existeixi un dels límits laterals de f en x0. De manera que x0 seria una discontinuïtat
essencial.
2
PROPIETATS DE LES Pàg. 259
FUNCIONS CONTÍNUES
25. a) f (x ) = (x – 5)3 = x 3 – 15x 2 + 75x – 125 és una funció polinòmica, per tant, és contínua en el seu domini, D (f ) = R.
b) g (x ) = x e x és el producte de la funció identitat, x, contínua
en R, per la funció exponencial de base el nombre e, e x,
contínua en R, per tant, g és contínua en R.
181
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 9. continuïtat
c) h(x) =
x2 − 1
és una funció racional, ja que és contínua
x +6
en el seu domini, és a dir, en R – {– 6}.
d) i(x ) = log (x + 3) és la composició de la funció f (x ) = x + 3,
polinòmica i, per tant, contínua en R, amb la funció g (x ) =
= log x, contínua en (0, + ∞).
lim f (x ) = lim+(x 2 – 3) = 3 2 – 3 = 6 = f (3)
x →3
x →3+
Així, f és contínua en x = 3 si i només si 3 a – b = 6. (2)
Finalment, f és contínua en R, si i només si es verifiquen
simultàniament (1) i (2), és a dir, si a i b són la solució del
sistema:
Per tant, i = g 8 f és contínua en tots els punts x0 en els
quals g és contínua en f (x0) = x0 + 3, és a dir, en els punts
x0 tals que
x0 + 3 ∈(0, + ∞) ⇔ x0 + 3 > 0 ⇔ x0 > – 3 ⇔ x0 ∈(– 3, + ∞)
⎧ a − b = 3
3
3
,b = −
⇒a=
⎨
2
2
⎩ 3a − b = 6
27. La funció f és contínua en
Així, i és contínua en l'interval (– 3, + ∞).
e) j (x ) = x 3 −
x + 1 és la suma de la funció f (x ) = x 3, po-
linòmica i, per tant, contínua en R, amb la funció g (x ) =
= − x +1.
Així, serà contínua en tots aquells punts en els quals g ho
sigui. Hem d'estudiar, doncs, la continuïtat de g (x ) =
= − x +1.
La funció g (x )= − x + 1 és la composició de la funció
f 1(x ) = x + 1, contínua en R, amb la funció f 2(x ) =
= − x , contínua en [0, + ∞), per tant, g serà contínua en
els punts x0 en els quals f2 sigui contínua en f1(x0) = x0 + 1,
o sigui, en els quals:
f1(x0) = x0 + 1 ∈ [0, + ∞) ⇔
⇔ x0 + 1 ≥ 0 ⇔ x0 ≥ – 1 ⇔ x0 ∈ [– 1, + ∞)
Així, g = f2 8 f1 és contínua en [– 1, + ∞) i, per tant, la funció
j és contínua en l'interval [– 1, + ∞).
sin x 2
f) k (x ) =
· cos x, aquesta funció és el producte de les
funcions f (x ) = sin x 2 i g (x )= cos x.
La funció f (x ) = sin x 2 és la composició de la funció f1(x ) =
= x 2, contínua en R, amb la funció f2(x ) = sin x contínua en
R. Per tant, la funció f és contínua en R.
Així mateix, la funció cosinus és contínua en R, de manera
que k és producte de dues funcions contínues en R i, per
tant, és contínua en R.
26. La funció f és contínua en
(– ∞, 1) – (1, 3) – (3, + ∞)
independentment del valor de a i b, ja que és una funció polinòmica en cadascun d'aquests intervals.
Per tant, perquè la funció sigui contínua en R, n'hi ha prou
d'imposar que sigui contínua en x0 = 1 i en x0 = 3.
• x0 = 1:
lim f (x ) = lim− (2x + 1) = 2 · 1 + 1 = 3 = f (1)
x →1
lim+f (x ) = lim+ (ax – b) = a · 1 – b = a – b
x →1
amb independència dels valors de a i b, ja que està definida per
funcions polinòmiques i per funcions racionals els denominadors
de les quals no s'anul·len en el seu domini de definició.
Per tant, perquè la funció sigui contínua en tot el seu domini,
hem de calcular a i b de manera que sigui contínua en els punts
en els quals hi ha canvi de definició, és a dir, en x0 = 0 i x0 = 4.
• x0 = 0:
f (0) = −
x →1
Així, f és contínua en x = 1 si i només si a – b = 3. (1)
2a
3
lim f (x) = lim −
x → 0−
x →0
lim f (x) = lim +
x → 0+
x →0
2
x →3
2a
3
= f (0)
=2
2a
3
= 2, això és,
f (4) = 4 − b
lim f (x) = lim −
(x + 2) 2
= 18
2
lim + f (x) = lim + (x − b) = 4 − b = f (4)
x → 4−
x →4
x →4
x →4
Per tant, f és contínua en x0 = 4 si i només si 4 – b = 18, és
a dir, si b = – 14.
28. a)Tant les funcions polinòmiques com les exponencials són
funcions contínues en R. Per tant, l'únic punt de possible
discontinuïtat és x0 = 100. Analitzem la continuïtat en
aquest punt.
C1: f (100) = 10,2 · 100 = 1 020
C2:
lim f (x ) = k · 100 · e – 0,001·100 = 100 k e – 0,1
x →100+
lim f (x ) = 10,2 · 100 = 1 020 = f (100)
x →100−
Perquè la funció sigui contínua s'ha de complir:
k ⋅ 100 ⋅ e −0,1 = 1 020 ⇒ k =
10,2
e −0,1
= 11,27
b) Per a k = 11,27, f (400) = 11,27 · 400 · e – 0,001· 400 = 3 021,8.
El preu per unitat serà:
3 021,8
lim f (x ) = lim−(ax – b) = a · 3 – b = 3 a – b
=−
• x0 = 4:
f (3) = 3 2 – 3 = 6
182
x −3
(x + 2) 2
si a = – 3.
• x0 = 3:
x →3−
x 2− x + 2a
Així, f és contínua en x0 = 0 si i només si −
C2:
f (1) = 2 · 1 + 1 = 3
x →1−
(−∞, 0) ∪ (0, 4) ∪ (4, +∞)
400
29. Activitat TIC.
= 7,55 €
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 9. continuïtat
3
TEOREMES RELATIUS
Pàg. 259 i 260
A la CONTINUÏTAT
30. Les solucions de l'equació x 3 + 4x 2 – 2x – 8 = 0 coincideixen
exactament amb els zeros de la funció:
32. Sí. Per exemple:
• f (x ) = x 2 és positiva en els extrems de l'interval [– 1, 1],
f (– 1) = f (1) = 1 > 0, i té un zero, x0 = 0, en l'interval (– 1, 1).
• f (x ) = sin x és negativa en els extrems de l'interval
Per tant, podem reformular l'enunciat així:
⎡ π 3π ⎤
⎛ 3π ⎞
⎛ π ⎞
sin ⎜ − ⎟ = sen
sin ⎜
⎟ = −1 < 0, i té dos ze⎢ − ,
⎥, sen
⎣ 2
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
2 ⎦
Demostrar, usant el teorema de Bolzano, que la funció
f (x ) = x 3 + 4x 2 – 2x – 8 té un zero en l'interval (1, 2).
⎛ π 3π
ros, x0 = 0 i x1 = π, en l'interval ⎜ − ,
⎝ 2
2
f (x ) = x 3 + 4x 2 – 2x – 8
⎞
⎟.
⎠
Per a fer-ho, vegem si f compleix les hipòtesis del teorema de
Bolzano en l'interval [1, 2]:
33. El teorema de Bolzano ens dóna un criteri d'existència d'arrels
• f és una funció polinòmica, de manera que és contínua en
R; en particular, és contínua en l'interval [1, 2].
Vegem, doncs, si es compleixen les seves hipòtesis, en l'interval
[1, 2]:
• f pren valors de signe diferent en els extrems de l'interval:
f (1) = 1 3 + 4 · 1 2 – 2 · 1 – 8 = – 5 < 0
• f (x ) = e x – 3 és la diferència de dues funcions contínues en
R, de manera que és contínua en R; en particular, és contínua en l'interval [1, 2].
f (2) = 2 3 + 4 · 2 2 – 2 · 2 – 8 = 12 > 0
• Les imatges dels extrems de l'interval tenen signe diferent:
Com que es compleixen les hipòtesis del teorema de Bolzano,
es compleix la tesi: ∃ c ∈(1, 2) tal que f (c) = 0, que és el que
volíem demostrar.
f (1) = e 1 – 3 . 2,71 – 3 = – 0,29 < 0
31. El fet que les gràfiques es tallin en algun punt de l'interval
⎛ π π ⎞
significa que existeix algun real ⎜ ,
⎟ pel qual
⎝ 4 2 ⎠
⎛ π π ⎞
(x, f (x )) = (x, g (x )), x ∈ ⎜ ,
⎟ o equivalentment, f (x ) =
⎝ 4 2 ⎠
= g (x ).
Hem de demostrar, doncs, que l'equació sin 2x = 2x – 1
⎛ π π ⎞
té alguna solució en ⎜ ,
⎟:
⎝ 4 2 ⎠
sin 2x = 2x – 1 ⇔ sin 2x – 2x + 1 = 0
Així, n'hi ha prou de veure que la funció h (x ) = sin 2x – 2x + 1
⎛ π π ⎞
té algun zero en l'interval ⎜ ,
⎟ .
⎝ 4 2 ⎠
Reformulat d'aquesta manera, té la forma de la tesi del teorema de Bolzano. Si veiem que es compleixen les seves hipòtesis, haurem demostrat el que ens demanaven:
• h és suma de funcions contínues en R, de manera que és
⎡ π π ⎤
contínua en R; en particular, és contínua en: ⎢ ,
.
⎣ 4 2 ⎥⎦
• Les imatges dels extrems de l'interval tenen signe diferent:
⎛ π ⎞
⎛
π ⎞
π
π
sin ⎜ 2 ⋅
h ⎜ ⎟ = sen
+1 = 2−
>0
⎟ − 2 ⋅
⎝ 4 ⎠
⎝
⎠
4
4
2
⎛ π ⎞
⎛
π ⎞
π
h ⎜ ⎟ = sen
+1 = 1− π < 0
sin ⎜ 2 ⋅
⎟ − 2 ⋅
⎝ 2 ⎠
⎝
2 ⎠
2
⎛ π π ⎞
De manera que, efectivament, en el qual ∃ c ∈ ⎜ ,
⎟
⎝ 4 2 ⎠
h (c) = 0 ⇒ f (c) = g. (c) ⇒ les gràfiques de f i g es tallen en
⎛ π π ⎞
x 0 = c ∈ ⎜ ,
⎟
⎝ 4 2 ⎠
en un interval obert, que és el primer que volem demostrar.
f (2) = e 2 – 3 . 7,39 – 3 = 4,39 > 0
Per tant, es compleix la tesi:
∃ c ∈(1, 2) tal que f (c) = 0
El teorema de Bolzano ens ha permès demostrar l'existència
d'un zero de f, c, en l'interval (1, 2).
La demostració d'aquest teorema ens proporciona un mètode
constructiu per a determinar el valor d'aquest zero amb tantes
xifres decimals correctes com es desitgi: en el nostre cas, com
que ens demanen un error menor que 0,1, n'hi ha prou de
donar una xifra decimal de c.
Dividim l'interval [1, 2] en deu intervals de longitud 0,1:
[1, 1,1], [1,1, 1,2], [1,2, 1,3], …, [1,9, 2]
Calculem les imatges dels extrems d'aquests intervals i ens en
quedem un en el qual les imatges dels extrems tinguin signe
diferent. Per exemple (i en aquest cas només n'hi ha un),
l'interval [1, 1,1]:
f (1) = e 1 – 3 . – 0,29 < 0
f (1,1) = e 1,1 – 3 . 0,004 > 0
Tal com hem escollit l'interval, se segueixen complint les hipòtesis del teorema de Bolzano (ja que f segueix essent contínua en R), de manera que es complirà la tesi:
∃ c ′ ∈(1, 1,1) tal que f (c ′) = 0
Com que c ′ està entre 1 i 1,1, la seva distància al punt mitjà
1 + 1,1
d'aquest interval,
= 1,05 , serà menor que la meitat de
2
la longitud de l'interval:
|c ʹ′ − 1,05| <
1,1 − 1
2
= 0,05 < 0,1
Així, 1,05 és un zero de f amb un error menor que 0,1.
34. No, ja que no coneixem cap teorema que ens porti a aquesta conclusió. El teorema que coneixem que provaria que f té
un zero en l'interval (0, 3) és el teorema de Bolzano. Però la
funció no compleix la hipòtesi de continuïtat en [0, 3], ja que en
183
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 9. continuïtat
x = 1 ∈[0, 3] el denominador de la funció s'anul·la i, per tant,
no es compleix C1.
⎧ 1
⎫
=3
⎪⎪
⎪⎪
1
a
, b = −2
⎨
⎬ ⇒ a =
3
⎪b + 1 = 1⎪
⎪⎩
⎪⎭
a
35. Per a poder aplicar el teorema de Bolzano a f en l'interval [– π,
2π], s'han de complir les seves dues hipòtesis:
La funció f ha de ser contínua en [– π, 2π]:
Així, si a =
f és contínua en (– π, 0) – (π, 2π), ja que és suma de dues
funcions contínues en R i, per tant, en aquests intervals.
Si a ≠ 0, f és contínua en (0, π), ja que és producte de dues
funcions contínues en R i, per tant, en aquest interval.
Queda per veure la continuïtat en els punts frontera dels intervals, per la qual cosa és més còmode estudiar la continuïtat
lateral:
—— f ha de ser contínua per la dreta en x = – π:
punt c de l'interval [– π, 2π].
• Per a trobar aquest valor c, dividim l'interval tancat en
els subintervals en els quals f té expressió analítica diferent i veiem en quin (o quins) se segueix complint
aquest teorema, la qual cosa ens indicarà que en aquest
interval existeix un zero c de f.
[– π, 2 π] = [– π, 0] – [0, π] – [π, 2 π]
x →− π
= sin (– π) + 3 = f (– π)
i veiem en quin d'aquests subintervals es compleixen
les hipòtesis del teorema de Bolzano:
Així que f és contínua per la dreta en x = – π.
—— f ha de ser contínua per tots dos costats en x = 0:
lim f (x ) = lim− (sin x + 3) =
—— f és contínua en [– π, 2π], per tant, ho és en cadascun
dels tres subintervals considerats.
—— f (– π) = sin (– π) + 3 = 3 > 0
x →0
x →0−
i b = – 2, es compleix el teorema de Bolzano
3
en [– π, 2π], de manera que f s'anul·la com a mínim en un
Així, considerem
lim + f (x )= lim + (sin x + 3) =
x →− π
1
= sin 0 + 3 = 3 = f (0)
f (0) = sin 0 + 3 = 0 + 3 = 3 > 0
Així que f és contínua per l'esquerra en x = 0.
cos x
lim f (x) = lim+
x →0+
a
x →0
=
cos 0
a
=
1
a
Així que f és contínua per la dreta en x = 0 si i només si:
1
a
= lim+ f (x) = f (0) = 3 ⇔
x →0
1
a
f (π) =
=3
f (2π) = cos 2π + (– 2) = 1 – 2 = – 1 < 0
de manera que només es compleix la segona hipòtesi del
teorema de Bolzano en l'interval central, [0, π].
Així, existeix solució, en (0, π), de l'equació:
—— f ha de ser contínua per tots dos costats en x = π:
lim f (x) = lim−
x →π−
=
cos x
a
x →π
cos π
a
=−
1
a
f (x) = 0 ⇔
=
⇔ cos x = 0 ⇔ x =
c =
x →π
= cos π + b = – 1 + b
– 1 + b = lim+ f (x ) = f (π) =
x →π
=−
1
a
⇔b+
1
a
=1
—— f ha de ser contínua per l'esquerra en x = 2π:
lim f (x ) =
x →(2π)−
lim (cos x + b) =
x →(2π)−
= cos 2π + b = 1 + b = f (2π)
Així que f és contínua per l'esquerra en x = 2π.
Per tant, f és contínua en [– π, 2π] si i només si els paràmetres a i b verifiquen les dues equacions:
184
π
2
Per tant, f s'anul·la en:
lim f (x ) = lim+ (cos x + b) =
Així que f és contínua per la dreta en x = π si i només si:
cos x
=0⇔
1
3
x ∈(0, π)
= f (π)
Així que f és contínua per l'esquerra en x = π.
x →π+
cos π
= 3 ⋅ (−1) = −3 < 0
1
3
π
2
∈ (0, π) , (−π, 2 π)
x
no té zeros, ja que si en tingués algun
tg x
seria el zero del numerador, x = 0, però aquest punt no és del
domini de f, ja que també és un zero del denominador: tg 0 = 0.
36.La funció f (x) =
Per tant, f no pot tenir zeros en l'interval:
⎡ π 3 π ⎤
⎢ ,
⎥
⎣ 4
4 ⎦
—— No entrem en contradicció amb el teorema de Bolzano
atès que no es compleix una de les seves hipòtesis:
⎡ π 3 π ⎤
f no és contínua en ⎢ ,
⎥ , ja que:
⎣ 4
4 ⎦
x0 =
π
2
∉ D(f )
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 9. continuïtat
37. Si definim la funció:
f (x ) =
3x 4
–
4x 3
–
6x 2
+ 12x – 20
les solucions de l'equació corresponen, exactament, als zeros
de f.
Observem que:
f (0) = 3 · 0 4 – 4 · 0 3 – 6 · 0 2 + 12 · 0 – 20 = – 20 < 0
lim f (x ) = lim
x →−∞
x →−∞
3x 4
= +∞
lim f (x ) = lim 3x 4 = + ∞
x →+∞
x →+∞
Això ens diu que f té una arrel negativa i una altra positiva.
Així, vegem quin és el signe de f en els enters negatius i en els
positius per obtenir-ne la part sencera:
f (0) = – 20 < 0
Pel teorema de Bolzano, f té un zero en (– 2, – 1), per la qual
cosa la seva part sencera ha de ser – 2.
f (0) = – 20 < 0
f (2) = – 4 < 0
f (3) = 97 > 0
Pel teorema de Bolzano, f té un zero en (2, 3), per la qual
cosa la seva part sencera és 2.
38. Activitat TIC.
39. En primer lloc, estudiem la continuïtat de la funció f. Podem
considerar que f és una funció composta de dues funcions,
⎞
⎛
πx 3
⎜⎜
f = g  h , on g (x) = ln x i h(x) = 3 + x + .sen
Sabem
que g és⎟ una
2+ x + 2 ⎟
x
⎠
⎝
funció contínua en (0, + ∞). Analitzem ara la continuïtat de la
sin (π) ] = ln (5) = 1,61
f (2) = ln [ 5 + sen
Finalment, ja que f és contínua en [– 1, 2], f (– 1) = 0 i f (2) =
= 1,61, tenint en compte el teorema dels valors intermedis,
podem assegurar l'existència de a ∈ (– 1, 2) tal que f (α) = 1.
a) —L'interval [– 1, 2] és tancat d'extrems finits.
—— f (x ) = 2x 2 – 4x + 5 és polinòmica i, per tant, contínua en
R; en particular, contínua en [– 1, 2].
• Per a trobar-los, observem que la gràfica de f correspon a una paràbola amb les branques cap amunt (ja
que és un polinomi de grau 2 i el coeficient de x 2 és
positiu), per tant, s'aconsegueix el mínim absolut en
el seu vèrtex, d'abscissa:
x =−
b
2a
=−
−4
2⋅2
=1
Com que x = 1 ∈[– 1, 2], el mínim absolut de f en [– 1, 2]
s'aconseguirà en aquest punt, x1 = 1: m = (1, 3).
D'altra banda, el màxim absolut s'aconseguirà en algun dels extrems. Per a veure en quin, en comparem les imatges:
funció h.
x x +2
s'anul·la.
⎡
⎛ π ⎞⎤
f (−1) = ln ⎢ 2 + sen
sin ⎜ − ⎟⎥ = ln (1) = 0
⎝ 2 ⎠⎦
⎣
Així, es pot aplicar el teorema de Weierstrass a f en
[– 1, 2], per tant, existeixen x1, x2 ∈[– 1, 2] en els quals
s'aconsegueix el mínim i el màxim absoluts de f en [– 1,
2], m i M.
f (1) = – 15 < 0
πx 3
D'altra banda,
un interval, l'interval ha de ser tancat (d'extrems finits) i la
funció ha de ser contínua en aquest interval. Per tant:
f (– 2) = 12 > 0
2+
Per tant, estem en condicions d'afirmar que f és una funció
contínua en l'interval [– 1, 2].
40. Per a poder aplicar el teorema de Weierstrass a una funció en
f (– 1) = – 31 < 0
•
⎞
⎛
πx 3
⎟⎟ ∈ [−1,1] per a qualsevol vasabem que sen
sin ⎜⎜
2
⎝ x + x + 2 ⎠
lor de x, podem concloure que la funció f (x) és contínua
sempre que x > – 2.
és contínua en R perquè el denominador mai
Com que f (– 1) > f (2), el màxim absolut de f en
[– 1, 2] s'aconsegueix en x2 = – 1: M = (– 1, 11).
⎞
⎛
πx 3
⎟⎟ és contínua en R.
sin ⎜⎜ 2
• sen
x
+
x
+
2
⎠
⎝
b) —L'interval [0, 3] és tancat d'extrems finits.
⎞
⎛
πx 3
sin ⎜⎜
⎟ és contínua en R perquè
• h(x) = 3 + x + sen
2 + x + 2 ⎟
x
⎠
⎝
és una combinació lineal de funcions contínues en R.
Així, la funció f serà contínua en aquells punts x0 tals que
g és contínua en h (x0), és a dir, sempre que es verifi⎞
⎛
πx 3
⎟⎟ > 0 , o bé, de manera
qui que 3 + x + sen
sin ⎜⎜
2
⎝ x + x + 2 ⎠
⎛
πx 3
sin ⎜⎜
equivalent, x > −3 − sen
2
⎝ x + x + 2
f (– 1) = 11; f (2) = 5
⎞
⎟⎟ . Ara bé, com que
⎠
—— no és contínua en [0, 3], ja que en
g (x) =
5
x −2
x0 = 2 ∈[0, 3] s'anul·la el seu denominador, per tant,
2 ∉ D (g ), així que no es compleix la hipòtesi C1.
Per tant, no es pot aplicar el teorema de Weierstrass a
g en [0, 3].
c) — L'interval (– 2, 2) no és tancat.
Per tant, no es pot aplicar el teorema de Weierstrass a
h en l'interval (– 2, 2).
185
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 9. continuïtat
Per tant, com que g és contínua en [0, 4] i pren valors de signe
diferent en els extrems de l'interval, en virtut del teorema de
Bolzano, existeix α ∈ (0, 4) tal que g (α) = 0. Finalment, si tenim en compte la definició de la funció g, podem concloure que
existeix α ∈ (0, 4) tal que f (α) = f (α + 1).
d) —L'interval [– 3, 4] és tancat d'extrems finits.
+ 2x + 3 és polinòmica i, per tant, contínua
—— i (x ) =
en [– 3, 4].
–x2
Aleshores, podem aplicar el teorema de Weierstrass
a i en [– 3, 4], per tant, existeixen sengles punts
x1, x2 ∈ [– 3, 4] en els quals s'aconsegueixen el mínim
absolut, m, i el màxim absolut, M, de i en [– 3, 4].
Per a trobar-los, observem que la gràfica de i correspon
a una paràbola amb les branques cap avall (ja que el
coeficient de x 2 és negatiu); per tant, el màxim absolut
de i en R s'aconsegueix en l'abscissa del vèrtex:
x =−
b
2a
=−
2
2 ⋅ (−1)
SÍNTESI
Pàg. 260
44.
Y
3
2
=1
Com que x = 1 ∈ [– 3, 4], el màxim absolut de i en
[– 3, 4] s'aconseguirà en aquest punt, x2 = 1: M = (1, 4).
1
0
–4
–3
–2
1
2
3
5
6
7
X
–1
D'altra banda, el mínim absolut s'aconseguirà en algun
dels extrems. Per a veure en quin, en comparem les
imatges:
–2
–3
i (– 3) = – 12; i (4) = – 5
Com que i (– 3) < i (4), el mínim absolut de i en [– 3, 4]
s'aconsegueix en x1 = – 3: m = (– 3, – 12).
41. En virtut del teorema de Weierstrass, per a poder afirmar que
f està fitada superiorment i inferiorment en l'interval [– 2, 3]
i que aconsegueix els seus valors màxim i mínim absolut en
aquest interval, n'hi haurà prou de provar que f hi és contínua.
Com que f és una funció polinòmica, es té que és contínua en
tot R i, en particular, ho serà en l'interval [– 2, 3].
42. Les gràfiques de f i g es tallen ⇔ existeix un valor x pel qual
f (x ) = g (x ) ⇔ h (x ) = f (x ) – g (x ) = 0.
Així, n'hi ha prou de comprovar que h té un zero en l'interval
[a , b]. Per a fer-ho, veurem que h compleix les hipòtesis del
teorema de Bolzano en [a, b].
• h (x ) = f (x ) – g ( x ) és la diferència de dues funcions contínues en [a , b], per tant, és contínua en aquest interval.
• f (a < ) g (a ) ⇒ h (a) = f (a) – g (a < ) 0
• f (b) > g (b) ⇒ h (b) = f (b) – g (b) > 0
Pel teorema de Bolzano, ∃ c ∈(a , b) tal que h (c) = 0. Amb
la qual cosa queda demostrat el que es demanava.
43. Definim
Aquesta funció presenta:
• Dues discontinuïtats evitables: x = – 2, x = 2
• Una discontinuïtat no evitable de salt finit: x = 1
• Dues discontinuïtats no evitables de salt infinit: x = – 1
ix=4
• Una discontinuïtat no evitable essencial: x = 0
—— L'expressió analítica d'una funció la gràfica de la qual sigui
l'anterior és:
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
f (x) = ⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
si x < −2
−1
si x = −2
1
+3
x +1
log (x + 1)
cos
si −2 < x < −1
si −1 < x ≤ 0
π
x
(x − 3) (x − 2)
x −2
1
x −4
si 0 < x ≤ 1
si 1 < x < 4
si 4 < x
45. a) Com que f és una funció racional, és contínua en el cong (x) = f (x) − f (x + 1) =
junt de punts en els quals no s'anul·la el denominador.
⎤
⎛ π ⎞
⎡ π
= x sen
sin ⎜ x ⎟ − (x + 1) sen
sin ⎢ (x + 1)⎥
⎦
⎣ 4
⎝ 4 ⎠
La funció g és contínua en tot R perquè es tracta de la diferència de dues funcions que vénen donades pel producte
de funcions totes contínues en R, per la qual cosa, en particular, també és contínua en l'interval [0, 4]. A més,
⎛ π ⎞
2
g (0) = −sen
<0
sin ⎜ ⎟ = −
⎝ 4 ⎠
2
⎛ 5π ⎞
5 2
sin ⎜
g (4) = −5 sen
>0
⎟ =
⎝ 4 ⎠
2
x 2 − x − 2 = 0 ⇔ x = −1,
x =2
Per tant, f és contínua en R − {−1,2}. Ara, com que la funció no està definida en x0 = – 1 i x0 = 2, es té que f és
discontínua en aquests punts. Vegem quin tipus de discontinuïtat es presenta en cadascun.
• x0 = – 1:
lim − f (x) = lim −
x → −1
x → −1
lim f (x) = lim +
x → −1+
186
2
x → −1
x 2 + 5x − 14
x2 −x −2
x 2 + 5x − 14
x2 −x −2
= −∞
= +∞
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 9. continuïtat
46. a)Falsa. Pel teorema de conservació del signe, com que f és
Com que tots dos límits laterals són infinit, tenim que f
presenta una discontinuïtat no evitable de salt infinit en
x0 = – 1.
contínua en x0 = 2 ∈[1, 5] i f (2) = – 1 < 0, existeix un entorn Eδ (2) en el qual f és negativa. Per tant, f serà negativa
en
• x0 = 2:
(x − 2) (x + 7)
lim f (x) = lim
x →2
= lim
x →2
(x − 2) (x + 1)
x →2
x +7
x +1
Eδ (2) ∩ (2, 5) ≠ [
=
per tant, ∃ x ∈(2, 5) tal que f (x ) < 0.
b) Cert. Com que f és contínua en [1, 5] i com que f (1) = – 2 <
< 0 i f (5) = 3 > 0, es compleixen les hipòtesis del teorema
de Bolzano; per tant, ∃ c ∈(1, 5) tal que f (c) = 0. Per tant,
f talla l'eix OX en c ∈[1, 5].
=3
En x0 = 2, hem vist que la funció no està definida però sí
que existeix el límit i és finit, per la qual cosa la funció f
presenta una discontinuïtat evitable en aquest punt.
c) Fals (en general), ja que f podria tenir una gràfica com la
de la figura:
b) Asímptota vertical:
Com que ja hem comprovat que els límits laterals de f en el
punt x0 = –1 són infinit, podem afirmar que la gràfica de la
funció té una asímptota vertical d'equació x = –1.
Y
f (x )
A més, com que lim − f (x) = −∞, tenim que la corba tenx → −1
deix cap a – ∞ quan ens aproximem al punt x0 = – 1 per
l'esquerra. D'altra banda, com que lim + f (x) = +∞, tenim
x → −1
X
0
que la corba tendeix cap a + ∞ quan ens aproximem a
x0 = – 1 per la dreta.
Asímptota horitzontal:
lim f (x) = lim
x → ±∞
x 2 + 5x − 14
x2 −x −2
x → ±∞
=1
Com a conseqüència, podem afirmar que la gràfica de la
funció f té una asímptota horitzontal d'equació y = 1.
d) Cert, ja que la seva gràfica podria oscil·lar al voltant de l'eix
OX entre les abscisses x = 1 i x = 2.
Asímptota obliqua:
Y
La gràfica de la funció f no té cap asímptota obliqua perquè té asímptota horitzontal.
f (x )
c) Atès que la funció f presenta una discontinuïtat evitable en
x0 = 2, és possible definir de nou la funció perquè sigui
contínua en aquest punt.
⎧ f (x)
⎪
g (x) = ⎨
f (x) = 3
⎪ xlim
⎩ → 2
si
x ∈ R − { −1,2}
si
x =2
0
X
Així, la funció g coincideix amb f en el seu domini i a més
és contínua en el punt x0 = 2.
Y
15
e) Cert. Pel teorema dels valors intermedis, com que f és
contínua en l'interval
10
[1, 5] i 2, 5 ∈(f (1), f (5)) = (– 2, 3)
5
A
–15
–10
0
–5
f (x ) =
5
∃ c ∈(1, 5) # [1, 5] tal que f (c) = 2,5
x 2 + 5x − 14
x2 − x − 2
10
15
X
f) Cert. Pel teorema de Weierstrass, com que f és contínua en
[1, 2], aconsegueix el seu mínim absolut en aquest interval, m, i el seu màxim absolut en aquest interval, M, en
sengles punts x1 i x2 d'aquest interval; per tant, ∀ x ∈[1, 2],
m = f (x1) ≤ f (x ) ≤ f (x2) = M ⇒
–10
⇒ m ≤ f ≤ M en [1, 2]
és a dir, f està fitada en [1, 2].
187
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 9. continuïtat
Avaluació
g (0) = 02 – 3 = – 3
(pàg. 262)
1. Calculem els límits laterals de f en x0 = 0, recordant que la
funció valor absolut es definia a trossos:
⎧⎪ x
|x |= ⎨
⎩⎪ −x
x →0
x
x
−x
x →0
x
lim f (x) = lim+
x →0+
|x |
x →0
⇒ els límits laterals existeixen i són finits, però no coincideixen, per tant, no es compleix C2 i x0 = 0 és una discontinuïtat no evitable de salt finit.
=
|x |
x →0
= lim−
lim g (x) = lim− (5x + 2) = 5 ⋅ 0 + 2 = 2 ⎫⎪
x →0
⎬ ⇒
lim+ g (x) = lim+ (x 2 − 3) = 02 − 3 = −3 ⎪
⎭
x →0
x →0
x →0−
si x ≥ 0
si x < 0
lim− f (x) = lim−
= lim− (−1) = −1
c) En és contínua, ja que és
x →0
x
= lim+
x →0
Com que f (0) = – 1, tenim:
x →0
⇒ f és contínua per l'esquerra en x0 = 0.
lim = 1 ≠ – 1 = f (0) ⇒
x →0+
⇒ f no és contínua per la dreta en x0 = 0.
2. No, ja que si g és contínua en x0, en particular es compleix
En (0, + ∞), h (x ) = x – 5 és contínua perquè és polinòmica.
L'única possible discontinuïtat és x0 = 0. Vegem si ho és o
no, i de quin tipus en cas afirmatiu:
f (0) = 0 – 5 = – 5
Ara bé, com que f (x ) = g (x ) si x ≠ x0 i a l'hora de calcular un
límit és indiferent el valor de la funció en el punt considerat
(no cal que estigui definida en aquest punt), tenim que:
per tant, es compleix C1.
no existeix, ja que quan
x →0−
x →x 0
de manera que es compleix C2 per a f i, per tant, si té una
discontinuïtat en x0 aquesta ha de ser evitable (es pot evitar
redefinint f (x0) = g (x0)).
3. a)Com que f és racional, els seus punts de discontinuïtat són
aquells en els quals no està definida, que són els zeros del
denominador:
x2 – x – 2 = 0 ⇔ x = –1 o x = 2
Per a veure de quin tipus són, hem d'estudiar el compliment de C2.
= lim
x →−1
3x + 3
x2
3 (x + 1)
(x + 1) (x − 2)
−x −2
=
3
−1 − 2
=
= −1
Com que es compleix C2, x0 = – 1 és una discontinuïtat
evitable.
lim f (x) = lim
x →2
x →2
3x + 3
x2 − x − 2
=
9
0
=∞
Com que els límits laterals en x0 = 2 són infinits, la discontinuïtat en x0 = 2 és no evitable de salt infinit.
b) En (– ∞, 0) – (0, + ∞), g és contínua perquè ve donada per
una expressió analítica polinòmica.
Així, l'únic punt possible de discontinuïtat és en x0 = 0.
Comprovem si ho és o no:
x
x →0
x tendeix a 0 per l'esquerra, tendeix a – ∞, i
1
com que la
x
funció sinus és periòdica de període 2 π, cada π unitats
passa de valer – 1 a valer 1, o viceversa; per tant, oscil·la
infinitament entre aquests dos valors, sense tendir, en conseqüència, a cap real.
Per tant, x0 = 0 és una discontinuïtat essencial.
4. La funció f té una discontinuïtat en x0 = – 2, ja que el seu denominador s'anul·la en aquest punt, per tant, no està definida
f (– 2) i, per tant, no es compleix C1.
El tipus de discontinuïtat dependrà del compliment de C2:
lim f (x) = lim
x →−2
=
3x 2 + 4x − k
x →−2
2x + 4
3 ⋅ (−2)2 + 4 ⋅ (−2) − k
2 ⋅ (−2) + 4
=
=
4−k
0
El valor d'aquest límit depèn del valor del numerador:
• Si 4 – k ≠ 0, o sigui, si k ≠ 4, és ∞; per tant, tenim una discontinuïtat de salt infinit.
• Si 4 – k = 0, o sigui, si k = 4, tenim una indeterminació que
0
podem resoldre descomponent
el numerador en factors
0
i simplificant:
lim
x →−2
188
1
lim h(x) = lim− sin
sen
lim f (x ) = lim g (x )
x →−1
, en
x
amb una funció contínua en R, g (x ) = sin x.
x →x 0
lim f (x) = lim
1
(– ∞, 0) – (0, + ∞)
C2, per tant, existeix lim g (x ) i és finit.
x →−1
x
composició d'una funció contínua, f (x) =
lim−f (x ) = – 1 = f (0) ⇒
x →x 0
1
sin
(− ∞, 0), h(x) = sen
= lim+ 1 = 1
x
x →0
Per tant, es compleix C1.
3x 2 + 4x − 4
2x + 4
=
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 9. continuïtat
⎛
2 ⎞
3 (x + 2) ⎜ x −
⎟
⎝
3 ⎠ = 3 ⋅ ⎛ −2 − 2 ⎞ = −4
= lim
⎜
⎟
x →−2
2 ⎝
3 ⎠
2 (x + 2)
Com que en (– ∞, 2) l'expressió de j és racional, només
serà discontínua en aquells punts d'aquest interval en els
quals s'anul·li el denominador:
x + 5 = 0 ⇔ x = – 5 ∈(– ∞, 2)
Així, en aquest cas tenim una discontinuïtat evitable.
Per tant, f té una discontinuïtat no evitable de salt infinit en
x0 = – 2 si i només si k ≠ 4.
5. a)La funció f és la suma de les funcions g (x ) = x 2
Així, j és discontínua en x = – 5.
Vegem si és contínua en x = 2 i x = 3:
• x = 2:
i h (x ) = ln(x – 4).
C1: j (2) = 3 · 2 – 1 = 5, per tant, es compleix C1.
La funció g és polinòmica i, per tant, contínua en R.
x →2
La segona és la composició de dues funcions,
h (x ) = (h2 8 h1) (x ), essent h1(x ) = x – 4 i h2(x ) = ln x.
Com que h1 és contínua en R, ja que és polinòmica, i h2 és
contínua en (0, + ∞), no estant definida en (– ∞, 0], la funció h és contínua exactament en els punts x ∈ R tals que
h1(x ) = x – 4 > 0, o sigui, en (4, + ∞).
D'altra banda, si considerem les funcions g 1(x ) = x 2
i g2(x ) = ln x, g = g2 8 g1. Com que g1 és contínua en R i g2
és contínua en el seu domini, D (g2) = (0, + ∞), la funció
g és contínua exactament en el conjunt de punts x ∈R tals
que g1(x ) = x 2 > 0 o sigui, en R – {0}.
4
7
x →2
C2: lim j (x ) = lim (3x – 1) = 3 · 3 – 1 = 8
−
−
x →3
x →3
lim j (x ) = lim+(2x + 2) = 2 · 3 + 2 = 8
x →3+
x →3
per tant, es compleix C2.
lim
C3: x →3 j (x ) = 8 = j (3), per tant, es compleix C3.
Així, j és contínua en x = 3.
Finalment, j és contínua en R – {– 5, 2}.
6. La funció f és contínua en
⎛
⎛ π π ⎞
⎛ π
⎞
π ⎞
,
⎜ −∞, − ⎟ < ⎜ −
⎟ < ⎜ , +∞ ⎟
⎝
⎝ 2 2 ⎠
⎝ 2
⎠
2 ⎠
ja que en cadascun d'aquests intervals la seva expressió analítica és una combinació lineal de funcions contínues en R.
π
Així, hem d'imposar que sigui contínua en x = −
i
2
π
:
x =
2
d) La funció i és el quocient de les funcions
D'una banda, si considerem les funcions f1(x ) = 2x i f2(x ) =
= cos x, tenim que f = f2 8 f1. Com que f­1 és contínua en R
i f2 també, f = f2 8 f1 és contínua en R.
=
C1: j (3) = 2 · 3 + 2 = 8
x + 1 i g (x ) = x 2 + 3, pof
dem expressar h com el seu quocient: h =
.
g
f (x ) = cos 2x i g (x ) = ln x 2
4
2+5
• x = 3:
c)Si definim les funcions f (x ) =
Així, h és contínua exactament en [– 1, + ∞).
=
Per tant, en x0 = 2, j presenta una discontinuïtat.
b) Considerem les funcions g1(x ) = 2 sin x i g2(x ) = e x. És clar
que g (x ) = (g2 8 g1) (x ), i com que tant g1 com g2 són contínues en R, la seva composició, g, és contínua en R.
D'altra banda, la funció g és polinòmica i, per tant, contínua en R. A més, g (x ) > 0 ∀ x.
x +5
x →2
lim j (x ) = lim (3x – 1) = 3 · 2 – 1 = 5
+
x →2+
Com que f és la suma de dues funcions contínues en
(4, + ∞) (i en cap altre punt), f és contínua en l'interval (4, + ∞) (i en cap altre punt).
La funció f és la composició de dues funcions: f = f2 8 f1,
essent f1(x ) = x + 1 i f2 = x . Com que f1 és polinòmica, és
contínua en R, i com que f2 és contínua en el seu domini,
que és [0, + ∞), tenim que f és contínua exactament en els
punts x tals que x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ – 1, que defineixen
l'interval [– 1, + ∞).
4
C2: lim− j (x) = lim−
—— x = −
π
.
2
⎛ π ⎞
⎛ π ⎞
sin ⎜ − ⎟ + b = −a + b
• f ⎜ − ⎟ = a ⋅ sen
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
•
lim
−
⎛ π ⎞
x →⎜ − ⎟
⎝ 2 ⎠
f (x) =
lim
−
⎛ π ⎞
x →⎜ − ⎟
⎝ 2 ⎠
(5sen
sin x) =
⎛ π ⎞
sin ⎜ − ⎟ = −5
= 5 sen
⎝ 2 ⎠
Perquè f sigui contínua per l'esquerra en x = −
Així, la funció
i =
– 5 = – a + b.
f
g
és discontínua en 0 i en els punts on s'anul·la g, que són
x = 1 i x = – 1. Així, i és contínua en R – {– 1, 0, 1}.
e) La funció j és contínua en (2, 3) – (3, + ∞), ja que en
aquests intervals ve donada per una expressió analítica
polinòmica.
π
2
•
lim
+
⎛ π ⎞
x →⎜ − ⎟
⎝ 2 ⎠
f (x) =
lim
+
⎛ π ⎞
x →⎜ − ⎟
⎝ 2 ⎠
(asen
sin x + b) =
⎛ π ⎞
sin x ⎜ − ⎟ + b =
= asen
⎝ 2 ⎠
⎛ π ⎞
= −a + b = −a + b = f ⎜ − ⎟
⎝ 2 ⎠
189
,
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 9. continuïtat
π
Per tant, f és contínua per la dreta en x = −
indepen2
dentment del valor de a i b.
—— x =
π
lim
−
⎛ π ⎞
x →⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
f (x) =
lim
−
⎛ π ⎞
x →⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
sin x + b) =
(asen
t → +∞
Per tant, f és contínua per l'esquerra en x =
π
2
indepen-
dentment del valor de a i b.
lim
+
= 2cos
f (x) =
π
2
lim
+
⎛ π ⎞
x →⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
(2cos x + 3) =
π
2
,
3 = a + b.
Per tant, perquè f sigui contínua en x =
π
2
i en x = −
π
2
, i amb això en R, els paràmetres a i b han de complir:
−5 = −a + b ⎫
⎬ ⇒ a = 4, b = −1
3 = a + b ⎭
[0,1) ∪ (1, +∞)
perquè està definida per una funció polinòmica i una funció racional el denominador de la qual no s'anul·la en el
seu domini de definició. Per tant, per a veure que p és
contínua, hem d'estudiar la seva continuïtat en el punt en
el qual canvia de definició, això és, en x0 = 1.
p(1) = 1 2 + 2 = 3
lim p(t ) = lim− (t 2 + 2) = 3
t →1
lim p(t ) = lim+
5t 2 − t − 1
t →1
t2
=3
t → +∞
5t 2 − t − 1
t2
=5
8. Podem reduir l'estudi de les solucions de l'equació
3 ln x = x a l'estudi dels zeros de la funció h (x ) = 3 ln x – x.
• La imatge dels extrems de l'interval té signe oposat:
h (1) = 3 ln 1 – 1 = 3 · 0 – 1 = – 1 < 0
h (3) = 3 ln 3 – 3 = 3 (ln 3 – 1) > 0
Es compleixen, doncs, les hipòtesis del teorema de Bolzano;
per tant, es compleix la seva tesi: ∃ c ∈(1, 3) tal que h (c) = 0.
Així, l'equació 3 ln x = x té una solució real en l'interval (1, 3).
9. Transformem el problema de buscar solucions de l'equació
lim p(t ) = 3
i a més se satisfà que
t →1
Per a fer-ho, buscarem un interval on es compleixi el teorema
de Bolzano que estigui contingut en (0, + ∞).
Com que a més ens demanen que donem un interval de longitud més petit o igual que 0,5, que contingui aquest zero,
podem mirar el signe de f en 0, 0,5, 1, 1,5…:
⎛ 1 ⎞
323
f (0) = −20; f ⎜ ⎟ = −
⎝ 2 ⎠
16
⎛ 5 ⎞
205
f (2) = −8 < 0; f ⎜ ⎟ =
>0
⎝ 2 ⎠
16
t →1
p(1) = lim p(t )
Com que f és parell si c > 0 tal que f (c) = 0, es compleix que
f (– c) = 0. Així, ens limitarem a veure si f té algun zero en
(0, + ∞).
⎛ 3 ⎞
275
f (1) = −20; f ⎜ ⎟ = −
⎝ 2 ⎠
16
Per tant,
,
la qual cosa ens permet concloure que p és una funció
contínua en el punt x0 = 1, i, en conseqüència, una funció contínua en tot el seu domini.
b) Contestar aquesta qüestió equival a comprovar si la funció
p (t) pren valors més grans que 5 per a algun t.
190
= 5 ⇒ p(t ) < 5
x 4 – x 2 – 20 = 0 en el de buscar zeros de la funció
f (x ) = x 4 – x 2 – 20.
7. a) La funció p és contínua en
Si t ∈ [0, 1]:
t2
• h és contínua en aquest interval, ja que és la suma d'una
funció contínua en (0, + ∞), 3 ln x, amb una funció contínua
en R, – x. Per tant, és contínua en (0, + ∞); en particular, és
contínua en [1, 3] , (0, + ∞).
Perquè f sigui contínua per la dreta en x =
t →1+
5t 2
Vegem, doncs, si h compleix les hipòtesis del teorema de Bolzano en [1, 3]:
+3=3
t →1−
<
Així, podem afirmar que la funció p (t) no pren valors superiors a 5, i, per tant, no serà necessari elevar l'altura del
mur.
⎛ π ⎞
sin
= asen
+ b = a + b = f ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
2
⎛ π ⎞
x →⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠
t2
lim p(t ) = lim
π
•
5t 2 − t − 1
A més,
⎛ π ⎞
π
• f ⎜ ⎟ = asen
sin
+b = a +b
⎝ 2 ⎠
2
•
Si t > 1:
5t 2 − t − 1 < 5t 2 ⇒
:
2
p (t) = t 2 + 2 ∈ [2, 3]
⎛ 5
⎞
⎛ 5 ⎞
Així, l'interval buscat és ⎜ 2,
⎟ i, per simetria, ⎜ − , −2 ⎟.
⎝ 2
⎠
⎝ 2 ⎠
10. Vegem que f és una funció contínua en l'interval [0, 1].
Per a fer-ho, considerem f com la composició d'unes altres
dues funcions, f = g  h , essent g (x) =
x , una funció con-
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 9. continuïtat
⎛ π
⎞
sin ⎜ 2 x ⎟ , una funció
tínua en l'interval [0, + ∞), i h(x) = sen
⎝ 2
⎠
contínua en R perquè es tracta de la composició de funcions
totes elles contínues en R.
Així, la funció f serà contínua en aquells punts x0 tals que g
és contínua en h (x0). Per tant, quedarà provat que f és contí⎛ π
⎞
sin ⎜ 2 x ⎟ ≥ 0 per a qualsevol
nua en [0, 1] si es té que sen
⎝ 2
⎠
x ∈ [0, 1].
Sigui x0 ∈ [0, 1]. Aleshores:
⎤
⎡ π
π x0
2 ∈ ⎢ , π ⎥ ⇒
⎦
⎣ 2
2
⎛ π x ⎞
⇒ sen
sin ⎜ 2 0 ⎟ ∈ [0,1]
⎝ 2
⎠
2x 0 ∈ [1, 2] ⇒
D'altra banda,
f (0) =
f (1) =
⎛ π ⎞
sin ⎜ ⎟ = 1
sen
⎝ 2 ⎠
sin (π) = 0
sen
En resum, hem vist que f és contínua en [0, 1], que f (0) = 1
i que f (1) = 0. Així, en virtut del teorema dels valors intermedis,
1
.
podem afirmar que existeix α ∈ (0, 1) tal que f (α) =
2
11. Segons el teorema de Weierstrass, f és una funció fitada en
[0, 2] si és contínua en aquest interval.
Ara bé,
x 2 − 4x + 3 = 0 ⇔ x = 1,
x =3
per la qual cosa el denominador de f s'anul·la en el punt
x0 = 1 ∈ [0, 2]. Això ens permet deduir que la funció f no és
contínua en el punt x0 = 1, i, en conseqüència, tampoc
és contínua en l'interval [0, 2].
Finalment, tenint en compte el teorema de Weierstrass, no
podem afirmar que f està fitada en l'interval [0, 2].
Zona +
(pàg. 263)
—— La teoria de jocs i els mercats
La relació a la qual fa referència la pregunta es pot resumir en
aquesta frase, extreta del document:
«En tant que l'espai al qual pertanyin aquestes estratègies sigui
compacte, i els beneficis dels jugadors siguin funcions contínues dels perfils d'estratègies, aquests jocs també tenen almenys un equilibri de Nash».
—— Funcions estranyes
Mitjançant petites modificacions de la funció de Dirichlet es
poden aconseguir moltes funcions amb comportaments estranys.
Tanmateix, seria molt més interessant que els alumnes miressin de proposar ells mateixos les seves creacions, encara
que no siguin tan estranyes. Una funció com la següent, que
es comporta com l'arrel quadrada en els intervals de la forma
[a , b) on a és un nombre natural parell i b és imparell, i no existeix per a la resta de nombres reals, pot ser perfectament proposada:
f (x) = (–1) E [x ] x
—— L'impost sobre la renda
Es tracta d'una típica tasca de treball cooperatiu, en la qual els
membres de cada equip han d'assumir determinats rols.
És important procurar que la totalitat de les tendències polítiques possibles quedin representades per algun grup. D'aquesta
manera, es pot aprofitar la dinàmica de classe per a debatre els
aspectes menys matemàtics de la qüestió: el paper dels impostos en les nostres societats, les diferències entre els impostos
directes i els indirectes, etc.
Quant a la relació de l'activitat amb el contingut de la unitat, és
important destacar que:
• El mecanisme que s'utilitza per a aconseguir la progressivitat
es fonamenta en els trams, que es poden representar com
una funció discontínua definida a trossos.
• Malgrat la discontinuïtat dels trams, la funció que relaciona
els ingressos d'un contribuent i la quantitat d'IRPF que finalment ha d'abonar és contínua i monòtonament creixent.
Aquesta és una bona oportunitat perquè els alumnes es familiaritzin amb la dinàmica de l'IRPF, al qual hauran de fer front com
a contribuents en el futur: retencions en les factures dels autònoms i en les nòmines dels treballadors, declaració de la renda…
—— El valor d'una divisa
A grans trets, el valor d'una divisa depèn, com el d'altres productes disponibles en els mercats, de l'oferta i de la demanda.
L'evolució d'aquest valor com a conseqüència d'aquestes forces és, fins i tot en els casos extrems, contínua.
Tanmateix, els Estats o les entitats supraestatals designades a
aquest efecte (com el Banc Central Europeu en el cas de l'euro)
tenen cert control sobre aquest mercat: poden intervenir-hi mitjançant canvis bruscs en els tipus de canvi (devaluacions o revaloracions) que, quan s'apliquen, introdueixen discontinuïtats
en el tipus de canvi.
191
BLOC 3. Anàlisi
10
En context
Derivades
I, d'altra banda:
(pàg. 265)
a> El mètode de les fluxions es basa a considerar que les
quantitats matemàtiques flueixen, és a dir, varien en el
temps i van traçant una corba. Aquestes quantitats (variables) s'anomenen fluents i la seva variació en el temps
(velocitat) s'anomena fluxió. La velocitat es correspon, per
tant, amb la derivada de la variable en el temps.
f (x ) = x 3 – 4x = x (x 2 – 4)
per tant les imatges dels punts
⎛ (2 3 )
f ⎜⎜
⎝ 3
— Segons Newton, la derivada d'una variable respecte
d’una altra és el quocient de fluxions d'aquestes dues
variables, per tant, la regla de la cadena s'expressa en
funció de les velocitats de les variables o, el que és el
mateix, les seves derivades (en el temps).
=
25(0 − 2)
2)2
+ 20 =
−50
5 + (0 −
5+4
50
=−
+ 20 = 14,4
9
=−
+ 20 =
25(t − 2)
lim P(t ) = lim
= lim
x →+∞
c) TVM [0, 10] =
x →+∞
25(t − 2)
5 + (t − 2)2
5 + (t − 2)2
⎞
2 3
⎟⎟ =
3
⎠
⎞
2 3
⎟⎟ = −
3
⎠
⎛ ⎛
⎜ ⎜ 2 3
⎜ ⎜⎝ 3
⎝
⎛ ⎛
⎜ ⎜ 2 3
⎜ ⎜⎝ 3
⎝
2 3 ⎛ 8 ⎞
⎜ − ⎟ = 16
3 ⎝ 3 ⎠
⎛ 2 3
⎜⎜
, − 16
⎝ 3
⎞
⎞2
⎟⎟ − 4 ⎟ =
⎟
⎠
⎠
3
9
⎞
⎞2
⎟⎟ − 4 ⎟ =
⎟
⎠
⎠
3
9
⎛ 2 3
3 ⎞
⎟⎟ y ⎜⎜ −
, 16
9 ⎠
3
⎝
3 ⎞
⎟
9 ⎟⎠
+ 20 =
3.
+ lim 20 = 0 + 20 = 20
P(10) − P(0)
3
Així, doncs, els punts demanats són:
b) Calculem el límit següent:
x →+∞
2 3
2 3 ⎛ 24 ⎞
⎜ −
⎟ = −16
3 ⎝ 9 ⎠
⎛ 2 3
f ⎜⎜ −
3
⎝
(pàg. 283 i 284)
a)Calculem la població actual que correspon a P (0):
P(0) =
i x =−
⎞
2 3 ⎛ 4 ⋅ 3
2 3 ⎛ 12 − 36 ⎞
− 4 ⎟ =
⎜
⎟ =
⎜
⎠
⎠
3 ⎝ 9
3 ⎝
9
=
1.
3
són:
— El fluent es correspon amb la primitiva en funció del
temps i la fluxió amb la variació en el temps o derivada
respecte del temps d'una variable.
Problemes resolts
2 3
x =
x →+∞
a) La funció ingressos i la funció beneficis són:
I (x ) = x p (x ) = x (50 – 0,06 x ) = 50x – 0,06x 2
B (x ) = I (x ) – C (x ) =
=
10 − 0
25(10 − 2)
+ 20 − 14,4
2
= 5 + (10 − 2)
=
10
200
+ 20 − 14,4
= 0,85
= 69
10
= (50x – 0,06x 2) – (0,02x 2 + 3x + 100) =
= – 0,08x 2 + 47x – 100
b) Calculem C ′(x ), I ′(x ) i B ′(x ):
C ′(x ) = 0,04x + 3
I ′(x ) = 50 – 0,12x
2.
f (x ) =
x3
– 4x
L'eix d'abscisses té per equació y = 0, és a dir, té pendent
m = 0.
Així, doncs, hem de buscar punts del gràfic de f (x ) tals que la
recta tangent a aquest gràfic en ells tingui pendent 0. Sabem
que el pendent de la recta tangent a f (x ) en x és f ′(x ). Volem
trobar (x , f (x )) tal que f ′(x ) = 0. Així:
f ′(x ) = 3x 2 – 4 = 0 ⇔
⇔ x2 =
4
3
⇔x =±
2
3
=±
B ′(x ) = – 0,16x + 47
Així, doncs, el cost, l'ingrés i el benefici marginals, aproximats, de produir la unitat 102 són:
CMg (102) = C ′(101) = 7,04 €
IMg (102) = I ′(101) = 37,88 €
BMg (102) = B ′(101) = 30,84 €
2 3
3
Per tant, el valor aproximat de CMg, IMg i BMg de la unitat
102 serà de 7,04 €, 37,88 € i 30,84 €.
193
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 10. DERIVADES
Exercicis i problemes
1
4.
TAXA DE VARIACIÓ MITJANA
f (4,01) − f (4)
a) TVM [4, 4,01] =
=
=
4,012
=
−0, 0099 − 0
=
=
2
=−
2
1
18
ln 2 − 0
Any 2015:
=
Trobem les corresponents taxes mitjanes de la variació:
TVM [0, 2] =
TVM [2, 4] =
TVM [4, 6] =
f (1) − f (0)
1− 0
−2
=
f (2) − f (−1)
2 − (−1)
VM = TVM[3,10] =
1
= −2
4−2
7,16 − 6,36
6−4
tgα = TVM[−2, 4] =
=
8 − (−1)
3
=3
f (10) − f (3)
7
7
6,36 − 5,64
= 0,36
= 0,4
el pendent de la recta secant en la gràfica de f (x) que passa
pels punts d'abscissa x = a i x = b. Aquest pendent és, al seu
torn, la tangent trigonomètrica de l'angle a format per la recta
secant i l'eix d'abscisses. Per tant:
=
10 − 3
4 ⋅ 102 − 2 ⋅ 10 + 1 − (4 ⋅ 32 − 2 ⋅ 3 + 1)
400 − 20 + 1 − (36 − 6 + 1)
= 0,32
10. La TVM d'una funció f (x) en un interval [a , b] coincideix amb
= ln 2
La velocitat mitjana en l'interval [3, 10] és la TVM de la funció
f (t) = 4t2 – 2t + 1 entre aquests instants de temps. Per tant:
=
2−0
Per la qual cosa en el tercer període es va produir un major
creixement del PNB.
El pendent de la recta coincideix amb la taxa de variació mitjana de la funció entre els dos punts d'abscissa que hem
considerat:
=
5,64 − 5
=
Sí, per exemple si f (x ) = – 2x es compleix que:
m = TVM [−1, 2] =
7.
Any 2013:
=
2−1
1
t = 2 ⇒ f (2) = 0,01 · 22 + 0,3 · 2 + 5 = 5,64
=6
3
f (2) − f (1)
=
=
381 − 31
7
=
350
7
=
=
f (4) − f (−2)
=
4 − (−2)
3 ⋅ 42 − 4 ⋅ 4 + 2 − [3 ⋅ (−2)2 − 4 ⋅ (−2) + 2]
7
48 − 16 + 2 − (12 + 8 + 2)
6
=
34 − 22
6
=
=2
És a dir, α = arctg 2 = 63,43°.
11. La TVM de la funció f (x) = x3 – x en l'interval [1, a] ha de valer
6, ja que la TVM coincideix amb la secant que passa per
aquests punts.
Per tant:
=
= 50 m/s
TVM[1, a] =
f (a) − f (1)
=
a 3 − a − (13 − 1)
=
a −1
a −1
a(a 2 − 1)
a(a + 1)(a − 1)
a3 − a
=
=
= a(a + 1) = 6
=
a −1
a −1
a −1
És a dir, hem de resoldre l'equació de segon grau
194
=9
7
Calculem el PNB corresponent als anys 2009, 2011, 2013 i
2015:
=
3−0
ln 2 − ln 1
399 − 336
=
t = 4 ⇒ f (4) = 0,01 · 42 + 0,3 · 4 + 5 = 6,36
(2 ⋅ 32 − 1) − (2 ⋅ 02 − 1)
3
= 32
Any 2011:
=3
= −4
3−0
=
19 − 12
2
t = 6 ⇒ f (6) = 0,01 · 62 + 0,3 · 6 + 5 = 7,16
f (3) − f (0)
(18 − 1) − (−1)
f (19) − f (12)
175 − 111
Per tant, el mòbil va més lent entre les 12 h i les 19 h.
=
0+2
8
5−3
=
t = 0 ⇒ f (0) = 5
3
0 − (−2)
TVM [0,1] =
6.
=
f (5) − f (3)
Any 2009:
0 − (−9)
f (0) − f (−2)
−1 − (8 − 1)
=
=
(2 ⋅ 02 − 1) − (2(−2)2 − 1)
d) TVM [1, 2] =
=
− 9 ⋅ 4 + 20)
9.
1 − (−2)
3
TVM [0, 3] =
=
TVM [12, 19] =
(42
f (1) − f (−2)
13 − 1 − ((−2)3 − 1)
TVM [3, 5] =
=
= −0, 99
0, 01
Calculem la taxa de variació mitjana de la velocitat mitjana del
mòbil en els dos intervals:
Pàg. 285
0,01
c) TVM [−2, 0] =
=
4,01 − 4
− 9 ⋅ 4,01 + 20 −
b) TVM [−2, 1] =
5.
8.
(pàg. 285 a 288)
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 10. DERIVADES
a(a + 1) = 6 ⇒ a 2 + a − 6 = 0 ⇒
−1 ± 1 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−6)
⇒a=
=
2⋅1
1± 5
2
⇒
= lim
(2 + h)2 − (2 + h) − (22 − 2)
h
h→0
= lim
4 + 4h + h 2 − 2 − h − 2
h
h→0
= lim
aquest període. A partir de la gràfica, trobem que el benefici
anual en cadascun d'aquests anys (en milions d'euros) és 10
i 60, respectivament. Per tant:
h (3 + h)
15. Calcularem la derivada de f (x) = 1 + x 2
1 + (0 + h)2 − 1 + 02
1 + h2 − 1
= lim
h
h→0
= lim
h( 1 + h 2 + 1)
h
= lim
= lim
h
h→0
8h − h 2
h
b) g ʹ′(1) = lim
= lim
= lim
h→0
= lim
h→0
= lim
h→0
−h 2 − 2h
−h − 2
(1 + h)2
h→0
h→0
1 − (1 + h)2
h(1 + h)2
h (−h − 2)
h (1 + h)2
=
=
f (2) − f (0)
2
3h 2 + 12h
= lim
h→0
2
=0
=
2
1
0
=
=
2−0
ln(2 + b) − ln(0 + b)
(ln(2 + b) − lnb) =
1
2
ln
2+b
b
Per a què TVM [0, 2] = ln 2, s'ha de complir:
1
=
h
( 1 + h 2 + 1)
2
ln
2+b
b
= ln 2 ⇒ ln
2+b
b
= 2 ln 2 =
= ln 22 = ln 4
i com que la funció ln x és injectiva, aquesta condició equival a:
=
h
h
16. a) TVM [0, 2] =
=
h
3(2 + h)2 − 1 − (3 ⋅ 22 − 1)
= lim (3h + 12) = 12
h→0
h→0
f (2 + h) − f (2)
h→0
= lim
= lim
=
h ( 1 + h 2 + 1)
= −2
h→0
= lim
h→0
=
= lim
= lim
h(1 + h)2
= lim (8 − h) = 8
h
h
1
1
−
2
12
(1 + h)
h
14. a) f ʹ′(2) = lim
(8 − h) h
g (1 + h) − g (1)
h→0
=
h→0
h→0
h2
h→0
=
=
h( 1 + h 2 + 1)
h→0
= lim
6(−1 + h) − (−1 + h)2 − 6(−1) + (−1)2
h→0
1 + h 2 − 12
= lim
=
=
h
( 1 + h 2 − 1) ( 1 + h 2 + 1)
h→0
punt:
h→0
0
1 + h2 − 1
f ʹ′(0) = lim
13. Hem d'aplicar la definició de derivada d'una funció en un
f (−1 + h) − f (−1)
0
=
Per a eliminar la indeterminació, multipliquem numerador i
denominador pel conjugat del numerador:
DERIVADA D'UNA Pàg. 285 i 286
FUNCIÓ EN UN PUNT
a) f ʹ′(−1) = lim
=
h
h→0
h→0
2
=
h
h→0
0 − 60
−60
=
= −20 M€
2015 − 2012
3
0 − 10
= −1, 25 M€
2015 − 2007
f (0 + h) − f (0)
f ʹ′(0) = lim
= lim
TVM [2007, 2015] =
el punt
x = 0 a partir de la definició:
a) De la mateixa manera:
b) Hem de calcular la TVM des que es va crear (2007) fins al
seu tancament (2015):
=
h→0
60 − 10
50
=
= 10 M€
2012 − 2007
5
TVM [2007, 2012] =
=
= lim (3 + h) = 3
h
h→0
12. El benefici mitjà entre els anys 2007 i 2012 és la TVM en
=
h
h→0
⎧ −1 + 5
⎪
=2
⎪
2
a = ⎨
⎪ −1 − 5 = −3
⎪
2
⎩
TVM [2012, 2015] =
g (2 + h) − g (2)
b) g ʹ′(2) = lim
2+b
=
h (3h + 12)
h
b
=
=4⇒b =
2
3
b) La taxa de variació instantània és la derivada de la funció
en el punt:
f ʹ′(0) = lim
h→0
f (0 + h) − f (0)
h
=
195
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 10. DERIVADES
18. L'equació de la recta tangent a la gràfica de f en x = 2 és:
⎛
⎛
2 ⎞
2 ⎞
ln ⎜ 0 + h +
⎟ − ln ⎜ 0 +
⎟
⎝
⎠
⎝
3 ⎠ =
3
= lim
h→0
h
y – f (2) = f ′(2)(x – 2)
Calculem f (2) i f ′(2):
2 ⎞
1 ⎛ ⎛
2 ⎞
= lim
⎟ − ln ⎟ =
⎜ ln ⎜ h +
h→0 h ⎝ ⎝
⎠
3 ⎠
3
• f (2) = – (2)2 + 6 · 2 – 3 = 5
• f ʹ′(2) = lim
2
1
h+
⎛ 3h + 2 ⎞ h
1
3
= lim
ln
= lim ln ⎜
⎟ =
2
h→0 h
h→0
⎝ 2 ⎠
3
1
⎞ h
⎛ 3h + 2
= ln lim ⎜
⎟
h→0 ⎝
2 ⎠
⎡
⎢
= ln lim ⎢
h→0 ⎢
⎢
⎣
= lim
= lim
⎞ h
⎟ =
⎟
⎟
⎠
h→0
=
3
2
f ʹ′(2) = lim
⎟
⎟
⎟
⎠
h
h→0
h→0
= lim
h→0
1
h
ln
=
=
3
8
ln e =
⎧(y − 6) = 1(x − 1)
⎧ y = x + 5
⇔ ⎨
⎨
⎩(y − 8) = 1(x + 1)
⎩ y = x + 9
20. Sí, és possible. Per exemple, la funció f (x ) = 1 té com a recta
tangent la recta y = 1.
Com que el pendent de la recta tangent és la derivada de la
funció en el punt, si la recta tangent és horitzontal tindrà pendent nul i, per tant, la derivada valdrà zero.
3
8
21. El pendent m de la recta tangent a la gràfica de la funció en
= ln (e)
3
8
x = 1 és tg α, essent α l'angle buscat, però a, més, aquest
pendent coincideix amb f ′(1). Així, doncs:
=
tg α = m = f ′(1)
Per tant, tg α = 4 ⇒ α = arc tg 4 = 75, 96°
3
22. La taxa de variació instantània en cada punt és la derivada
8
de p(t) = 48t 2 – 2t, que és la funció p ′(t) = 96t – 2. Per a t =
= 7, serà
17. La velocitat en un instant de temps és la derivada de la posició
p ′(7) = 96 · 7 – 2 = 670
en aquest instant de temps:
r (t) = t 3 – 1 ; r (2) = 8 – 1 = 7
v (2) = lim
= lim
= lim
h→0
h→0
h
h 3 + 3h 2 ⋅ 2 + 3h ⋅ 22 + 23 − 8
h→0
= lim
h→0
196
r (2 + h) − r (2)
h
h(h 2 + 6h + 12)
h
23. L'abscissa a de el punt de la gràfica de la funció f (x) =
(2 + h)3 − 1 − 7
= lim
h→0
=
=
Per tant, les rectes que busquem tenen pendent 1 i passen
per (1, 6) i (– 1, 8). Aquestes rectes són, respectivament:
1
⎟
⎟
⎟
⎠
h
Així, doncs, els punts de la gràfica (x , f (x )) tals que les rectes
tangents a la gràfica f (x ) en aquests punts té pendent 1 són
(1, f (1)) = (1, 6) i (– 1, f (– 1)) = (– 1, 8).
8
1
3 = lim ln ⎛⎜1 + 3h ⎞⎟ h =
8
h→0
⎝
8 ⎠
3
⎛
1
⎜ 1 +
8
⎜
⎜
3h
⎝
h (−h + 2)
⇔ x 2 = 1 ⇔ x = 1, x = – 1
h+
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
h→0
f ′(x ) = 3x 2 – 2 = 1 ⇔ 3x 2 = 3 ⇔
8 ⎞
1 ⎛ ⎛
8 ⎞
⎟ − ln ⎟ =
⎜ ln ⎜ h +
3 ⎠
h ⎝ ⎝
3 ⎠
8
⎞ 3h
= lim
a y = x + 4. Així, doncs, les rectes que busquem han de tenir
el mateix pendent que y = x + 4, és a dir, m = 1. A més, sabem que la recta tangent que passa per(x , f (x )) té pendent
f ′(x ). Per tant, hem de buscar (x , f (x )) tals que f ′(x ) = 1.
⎛
3h ⎞ h
= ln lim ⎜1 +
⎟ =
h→0 ⎝
8 ⎠
⎡
⎢
= ln lim ⎢
h→0 ⎢
⎢
⎣
h
19. Volem trobar rectes tangents a f (x ) = x 3 – 2x + 7 i paral·leles
⎛
⎛
2 ⎞
2 ⎞
ln ⎜ 2 + h +
⎟ − ln ⎜ 2 +
⎟
⎝
⎠
⎝
3 ⎠ =
3
= lim
h→0
h
= lim
−h 2 + 2h
=
y – 5 = 2(x – 2) ⇒ 2x – y + 1 = 0
2
f (2 + h) − f (2)
h
Si substituïm aquests valors, tenim:
3
ln e =
−(2 + h)2 + 6(2 + h) − 3 − 5
h→0
3
⎛
1
⎜ 1 +
2
⎜
⎜
3h
⎝
=
= lim (−h + 2) = 2
⎤ 2
3
⎥
⎥ = ln (e) 2 =
⎥
⎥
⎦
2
⎞ 3h
h
h→0
1
⎛
1
= ln lim ⎜ 1 +
2
h→0 ⎜
⎜
3h
⎝
f (2 + h) − f (2)
h→0
lim (h 2
h→0
h
h 3 + 6h 2 + 12h
h
+ 6h + 12) = 12
= x 2 – 7x + 1 tal que la recta tangent per aquest punt formi un
angle de 135° satisfà que f ′(a) = tg 135°.
=
=
Com que f′(x) = 2x – 7, aleshores f ′(a) = 2a – 7 i per tant:
2a − 7 = tg 135º ⇒ a =
7 + tg 135º
=3
2
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 10. DERIVADES
24. El pendent de la recta tangent a f en x = – 1 coincideix amb
f ′(– 1). Calculem la derivada de f:
h
h→0
f ′(x ) = (m x 3 + 2x 2 + 3x – 1)′ = 3m x 2 + 4x + 3
Determinem f ′(– 1):
Per tant, el valor de m perquè aquest pendent sigui 11 és:
11 = 3m – 1 ⇒ m = 4
y – f (a) = f ′(a)(x – a)
El punt d'abscissa x = –1 és (–1, f (–1)). Com que f (x) = x 2, tenim f (–1) = 1, i com que també f ′(x) = 2x, aleshores f ′(–1) =
= –2. Per tant, la recta tangent a la gràfica en el punt
(–1, 1) és y – 1 = –2(x + 1); y = –2x – 1.
Anàlogament, per al punt d'abscissa x = 1 tenim que f (1) = 1 i
f ′(1) = 2, per tant:
y – 1 = 2(x – 1); y = 2x – 1
El punt de tall de les dues rectes s'obté resolent el sistema de
dues equacions
y = −2x − 1⎫
⎬
y = 2x − 1⎭
h
Pàg. 286 i 287
= lim
h→0
h
=0
27. No. Considerem per exemple la funció f (x ) = | x | com una
funció definida a trossos:
⎧ −x si x < 0
f (x) = ⎨
⎩ x si x ≥ 0
Observem que f és contínua i derivable en R – {0}. Així, només hem d'estudiar la continuïtat en x = 0.
Comprovem si f compleix les tres condicions de continuïtat en
x = 0.
Per tant, f és contínua ∀ x ∈ R i derivable ∀ x ∈ R – {0}.
28. f '(x) = lim
f (x + h) − f (x)
h
h→0
= lim
=
3x 2h + 3xh 2 + h 3
= lim
h
h→0
h(3x 2 + 3xh + h 2 )
= lim (3x 2 + 3xh + h 2 ) = 3x 2
h
h→0
h
h→0
x 3 + 3x 2h + 3xh 2 + h 3 − x 3
= lim
(x + h)3 − x 3
= lim
h
h→0
h→0
= 2x · sin x + x 2 cos x
b) f (x ) = x · ln x ⇒
⇒ f ′(x ) = x ′ · ln x + x · (ln x )′ =
• Existeix el límit de f en x = 0 i és finit:
lim f (x) = lim+ x = 0
⎫⎪
⎬ ⇒ lim f (x) = 0
x →0
lim f (x) = lim− (−x) = −0 = 0 ⎪
⎭
x →0−
x →0
lim
lim
• x →0 f (x ) = f (0): x →0 f (x ) = 0 = f (0)
x →0
Per a comprovar que f no és derivable en x = 0 veiem que no
coincideixen les seves derivades laterals:
f (0 + h) − f (0)
=
• f ʹ′(0+ ) = lim+
h→0
h
1
= 1 ⋅ ln x + x
= ln x + 1
x
⎛ 1 ⎞ʹ′
⎟ = (x −5 )ʹ′ = −5 ⋅ x −5 − 1 =
⎝ x 5 ⎠
30. a) f ʹ′(x) = ⎜
= −5x −6 = −
5
x6
⎛
b) f ʹ′(x) = (10 x )ʹ′ = ⎜⎝ 10x
= 5x
−
1
2
=
3
2
1
2
x
d) f ʹ′(x) =
=
1
5
x
−
e) f ʹ′(x) =
(
4
5
(
3
1
−1
2
=
⎛
x
x3
3
2
⎞ʹ′
⎟ = 3 x
⎠
2
3
−1
2
=
x
2
=
4
⎞ʹ′
⎟ = 1 ⋅ 10x
⎠
2
x
=
5
1
2
5
=
⎛
⎜
c) f ʹ′(x) = ( x 3 )ʹ′ = ⎝ x
• Existeix f (0): f (0) = 0.
x →0+
=
h
Com que f ′(0+) ≠ f ′(0– ) ∃ f ′(0), o sigui, f no és derivable en
x = 0.
26. f (x ) = k
h→0
−h
⇒ f ′(x ) = (x 2)′ · sin x + x 2 · (sin x )′ =
Per tant, el punt on es tallen les tangents és el (0, –1).
k −k
h→0
29. a) f (x ) = x 2 · sin x ⇒
Per igualació s'obté que x = 0 i el valor de l'ordenada per a
aquest punt és y = –1.
f (x + h) − f (x)
= lim−
=
h→0
d'abscissa x = a, és a dir, en el punt (a , f (a)) és:
FUNCIÓ DERIVADA
h
h→0
= lim− −1 = −1
25. L'equació de la recta tangent a la gràfica f (x) en el punt
f ʹ′(x) = lim
h
−(0 + h) − 0
h→0
= lim+ 1 = 1
h
f (0 + h) − f (0)
• f ʹ′(0− ) = lim
−
= lim−
h
= lim+
h→0
h→0
f ′(– 1) = 3m (– 1)2 + 4 · (– 1) + 3 = 3m – 1
3
(0 + h) − 0
= lim+
)ʹ′ = ⎜⎝ x
⎞ʹ′
⎟ = 1 x
⎠
5
1
5
1
−1
5
=
1
55 x 4
ʹ′
)
⎛
= ⎜⎝ x
3
4
⎞ʹ′
⎟ = 3 ⋅ x
⎠
4
3
−1
4
=
197
=
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 10. DERIVADES
=
3
4
x
1
4
−
⎛
f) f ʹ′(x) = ⎜⎜
⎝
=−
3
2
x3
−3
=
−1
=
− 4) −
x 2 (2x)
2x 3
=
2x 3
− 8x −
(x 2 − 4)2
=
x ⋅ (e x )ʹ′
x ⋅ ex
=
(e x )2
2x)
2 x
2e x
f ʹ′(x) =
x
1
x
= 6x 2 ln x + 2x 2 =
15x 2
1
= 4x 3 ln x + x 4
– 24x + 3
4
x
= ln x
⎛ 1 + x
c) f ʹ′(x) = ⎜
⎝ 1 − x
d) f (x ) = 4 cos x – x ln x
=
⎛
1 ⎞
f ʹ′(x) = −4 sen x − ⎜ ln x + x
⎟ =
⎝
x ⎠
=
= – 4 sin x – ln x – 1
ln x
e) f (x) = x −
x
f ′(x ) = 7 ·
3x 7 – 1
=
2
3
x3
x
3
5
x
−1 =
⎞ʹ′
⎟ =
⎠
(1 + x )ʹ′(1 − x) − (1 + x)(1 − x )ʹ′
(1 − x)2
(0 + 1)(1 − x) − (1 + x)(0 − 1)
(1 −
x)2
=
=
2
(1 − x)2
= 6x ln 6 cos x – 6x sin x = 6x (ln 6 cos x – sin x )
35. a) f (x ) = (5x 2 – 3x + 1)4
= 2x
−
3
5
f (x ) = (h o g)(x ) on h (x ) = x 4
i g (x ) = 5x 2 – 3x + 1
21x 6
x 2 = x , per tant: f ʹ′(x) =
2
1
= 6x ln 6 cos x + 6x (– sin x ) =
⎛ 1 − ln x ⎞
x 2 − 1 + ln x
= 1 − ⎜
⎟ =
2
⎝ x
⎠
x2
=
= x 3 (4 ln x + 1)
d) f ′(x ) = (6x cos x)′ = (6x )′cos x + 6x (cos x )′ =
⎞
⎛ 1
⋅ x − ln x ⋅ 1⎟
⎜
⎠
⎝ x
f ʹ′(x) = 1 −
=
x2
2
x
= x ʹ′ ln x + x(ln x )ʹ′ − x ʹ′ = ln x + x
−1
x + cos x )
3x 7;
1
b) f ′(x ) = (x ln x – x )′ = (x ln x )′ – x ′ =
−1 =
x
sin x − (x + 7) cos x
sen
sin2 x
sen
34. a) f ′(x ) = (x 4 ln x )′ = (x 4)′ ln x + x 4 (ln x )′ =
c) f (x ) = e x · sin x; f ′(x ) = e x sin x + e x cos x =
198
6
h) El que haurem de fer ara és aplicar la fórmula de la derivada d'un quocient:
=
e 2x
1 − 2x
=
x
e x − 2x e x
b) f (x ) = 4 ln x – x
5
=
= 100x 4 – 48x 3 + 54x 2 – 12x + 4
f ′(x ) = 3 · 4x 3 + 5 · 3x 2 – 12 · 2x + 3 =
c) f (x) =
8
5
f ′(x ) = 5 · 20x 4 – 4 · 12x 3 + 3 · 18x 2 – 2 · 6x + 4 =
=
(e x )2
32. a) f (x ) = 3x 4 + 5x 3 – 12x 2 + 3x + 4
3
−
= 20x 5 – 12x 4 + 18x 3 – 6x 2 + 4x
( x )ʹ′ ⋅ e x −
(e x ) 2 2
b) f (x) =
5
x
g) f (x ) = (4x 3 + 2x ) (5x 2 – 3x + 2) =
ex −
x (1 −
33. a) f (x ) =
6
5x 5 x 3
= 6x 2 ln x + 2x 3 ⋅
⇒
ex
1
2
x
=
=
=−
= 2x 2 (3 ln x + 1)
x
e x (sin
−3 − 5
5
f ʹ′(x) = (2x 3 )ʹ′ ln x + 2x 3 (ln x )ʹ′ =
−8x
f ʹ′(x) = 4
5
x
f) f (x ) = 2x 3 ln x
=
(x 2 − 4)2
+
6
= e x (cos x – sin x )
(x 2 )ʹ′ ⋅ (x 2 − 4) − x 2 ⋅ (x 2 − 4)ʹ′
⇒ f ʹ′(x) =
=
=−
=−
e) f (x ) = cos x · e x
(x 2 − 4)2
12x 3
6
55 x 8
3
−1
5
f ′(x ) = 6 · 4x 5 – 4 · 5x 3 + 3 · 2x 2 = 24x 5 – 20x 3 + 6x 2
⇒
(x 2 − 4)2
e
5
−
2x
d) f (x ) = 4x 6 – 5x 4 + 2x 3 – 1
x
2x 2
3
f ′(x ) = (sin x )′ · e x + cos x (e x)′ = cos x · e x – sin x · e x =
x2 − 4
2x(x 2
=−
−3
=
2 x5
x2
b) f (x) =
=
⎞ʹ′
3
⎟ = − 3 x − 2
⎠
2
⎞ʹ′ ⎛ − 3
⎟ = ⎜⎝ x 2
⎟
⎠
1
= f ʹ′(x) =
=
f ʹ′(x) = −
44 x
5
−
x 2
31. a) f (x) =
=
3
=
2
x
3
Així, h ′(x ) = 4x 3 i g ′(x ) = 10x – 3
2
−1
3
=
2
x
3
−1
3
=
2
33x
Per tant,
f ′(x ) = h ′(g (x )) g ′(x ) = 4 (5x 2 – 3x + 1)3 (10x – 3)
b) f (x ) = cos (2x 2 – 5)
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 10. DERIVADES
d) i (x ) = ln (sin x 2) ⇒
f (x ) = (h o g )(x ) on h (x ) = cos x
i g (x ) =
2x 2
–5
Així, f ′(x ) = h ′(g (x )) g ′(x ) = [– sin
(2x 2
⇒ i ʹ′ (x) =
– 5)] 4x
↑
⎡h9(x) = – sen
sin x ⎤
⎢
⎥
⎣ g9(x) = 4
⎦
↑
⎡i = f + g + h; f (x) = ln x; g (x) = sen
sin x; h(x) = x 2 ⎤
⎢
⎥
⎣ Así, i9 = f 9(g + h)(g + h)9 = f 9(g + h) g9(h) · h9 ⎦
e) j (x ) = cos2 x 3 ⇒
c) f (x ) = ln (sin 3x )
⇒ j ′(x ) = 2 (cos x 3) · (– sin x 3) · 3x 2=
f (x ) = (f1 o f2 o f3)(x ) on
↑
[j = f + g + h; f (x ) = x 2; g (x ) = cos x; h (x ) = x 3]
f3(x ) = 3x, f 2(x ) = sin x i f1(x ) = ln x
Així, f ′(x ) = f ′1 (f2 ° f3)(x ) · (f2 ° f3)′(x ) =
= – 6x 2 sen x 3 cos x 3 = 6x 2 cos x 3 (– sen x 3)
= f ′1(f2 ° f3)(x ) · f ′2(f3(x )) · f ′3(x ) =
=
1
↑
⎡
⎢f 91(x) =
⎢
⎢f 92 (x) =
⎢
⎢f 93 (x) =
⎣
cos 3x
(cos 3x) ⋅ 3 = 3
sin 3x
sen
sin 3x
sen
f) k(x) =
cos x
sen
sin x ⇒ k ʹ′(x) =
= 3 cotg 3x
2 sen
sin x
↑
[k = f + g; f (x ) =
1
⎤
⎥
x
⎥
cos x ⎥
⎥
3
⎥
⎦
x ; g (x) = sin x]
39.Cada vegada que es deriva una funció polinòmica el seu grau
disminueix un ordre. Així, doncs, si a una funció polinòmica
de grau 6 la derivem 7 vegades la funció que obtindrem és la
funció idènticament nul·la.
Considerem, per exemple, la funció polinòmica P (x ) = – x 6 +
+ 2. La derivem 7 vegades:
3 − 1) cos(3x 3 − 1)9x 2 =
sin
d) f ʹ′(x) = 2sen(3x
3 − 1) cos(3x 3 − 1)
sin
= 18x 2sen(3x
P ′(x )= – 6x 5
sen x
sin
36. Com que tg x =
, podem aplicar la regla de la derivació
cos x
d'un quocient:
fʹ′(x) =
=
1
2x cos x 2
⋅ (cos x 2 ⋅ 2x) =
sin x 2
sin x 2
sen
sen
cos x cos x − sin
sen x(−sen
sin x)
cos2
cos2 x + sen
sin 2 x
=
cos2 x
P -(x ) = – 30 · 4x 3 = – 120x 3
P (4)(x ) = – 120 · 3x 2 = – 360x 2
P (5)(x ) = – 360 · 2x = – 720x
=
x
P 0(x ) = – 6 · 5x 4 = – 30x 4
P (6)(x ) = – 720
1
cos2 x
= sec2 x
P (7)(x ) = 0
40. De l'exercici anterior en podem deduir que, a partir de la deri-
37. a) f (x ) = tg 3x ⇒
1
⇒ f ′(x ) = h ′(g (x )) · g ′(x ) =
cos2 3x
↑
[f = h o g; h(x ) = tg x; g (x ) = 3x]
⋅3=
3
cos2 3x
vada enèsima, totes les derivades successives d'un polinomi
de grau n seran nul·les.
41. a)Segons la definició de funció derivada, derivada segona i
derivada tercera, tenim:
2
b) f (x ) = e x · sin 3x ⇒
2
2
⇒ f ′(x ) = 2x e x sin 3x + e x 3 cos 3x =
• f ʹ′(x) = lim
2
= e x (2x sin 3x + 3cos 3x )
38.Aplicarem que si f (x ) = (g ° h)(x ) ⇒
⇒ f ′(x ) = g ′(h(x )) · h ′(x )
a) f (x ) = (2x + 3)2 ⇒
⇒ f ′(x ) = 2(2x + 3) · (2) = 8x + 12
↑
[f = g + h; g (x ) = x 2, h (x ) = 2x + 3]
= lim
c) h (x ) = i cos x ⇒
⇒ h ′(x ) = i cos x · (– sin x ) = – sin x i cos x
↑
[h = f + g; f (x ) = i x; g (x ) = cos x]
h
= lim
h
h
h (4x + 2h)
• f ʹ′ʹ′(x) = lim
h→0
f ʹ′(x + h) − f ʹ′(x)
h
h→0
4(x + h) − 4x
h
h→0
• f ʹ′ʹ′ʹ′(x) = lim
h→0
4−4
h
= lim
h→0
f ʹ′ʹ′(x + h) − f ʹ′ʹ′(x)
h
h→0
= lim
=
= lim (4x + 2h) = 4x
h
h→0
= lim
=
2x 2 + 4x h + 2h 2 − 4 − 2x 2 + 4
h→0
= lim
=
2(x + h)2 − 4 − (2x 2 − 4)
h→0
b) g (x ) = sin 5x ⇒ g ′(x ) = cos 5x · 5 = 5 cos 5x
↑
[g = h + f; h (x ) = sin x; f (x ) = 5x ]
f (x + h) − f (x)
h→0
=
4h
h
= lim 4 = 4
h→0
=
= lim 0 = 0
h→0
199
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 10. DERIVADES
f (x + h) − f (x)
b) • f ʹ′(x) = lim
= lim
h→0
= lim
h→0
−1
x(x + h)
=
2x
x4
h (2x + h)
= lim
h→0
= lim
h→0
y – 0 = 1 (x – 1) ⇔ y = x – 1
45. a) f (x ) = x 3 + 2x + 10, en x = – 2:
=
=
⇒ f ′(­– 2) = 3 (– 2)2 + 2 = 3 · 4 + 2 = 14
f (– 2) = – 8 – 4 + 10 = – 12 + 10 = – 2
Així, doncs, la recta tangent té per equació
=
y + 2 = 14(x + 2) ⇔
x3
b) f (x ) = e x, en x = 0:
f ʹ′ʹ′(x + h) − f ʹ′ʹ′(x)
=
h
2
2
−
x3
(x + h)3
h
2x 3 − 2(x + h)3
x 3 (x + h)3
h
= lim
h→0
2x 3 − 2x 3 − 6x 2 h − 6x h 2 − 2h 3
h
x 3 (x
+
h)3
−6x 2 − 6x h − 2h 2
x 3 (x + h)3
=
=
=
h x 3 (x + h)3
h (−6x 2 − 6x h − 2h 2 )
f ʹ′(x) = e x ⎫
⎬ ⇒ f ʹ′(0) = 1
f (0) = 1 ⎭
f -(x ) = (2 · 3 · 3 ·
=2·3·3·
y – 1 = 1(x – 0) ⇔ y = x + 1
c) Calculem f (4) i f ′(4):
• f ʹ′(x) =
−6x 2
x6
=−
6
x4
4 =2
1
2 x
⇒ f ʹ′(4) =
3e 3x
=2·
33 e 3x
A partir d'aquestes derivades observem que l'expressió de la
derivada enèsima de f és:
f (n)(x ) = 2 · 3n e 3x
Així, doncs, l'expressió de f (34) és:
f (34)(x ) = 2 · 334 e 3x
43. f ′(x ) = (sin x )′ · cos x + sin x · (cos x )′ =
= cos x · cos x + sin x (– sin x ) = cos2 x – sin2 x
2
2
⎛ π ⎞ ⎛
π ⎞ ⎛
π ⎞
f ʹ′ ⎜ ⎟ = ⎜ cos
sin
⎟ − ⎜ sen
⎟ =
⎝ 4 ⎠ ⎝
4 ⎠ ⎝
4 ⎠
⎛ 2 ⎞2 ⎛ 2 ⎞2
⎟⎟ − ⎜⎜
⎟⎟ = 0
= ⎜⎜
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
—— Com que f ′(x ) és el pendent de la recta tangent a f (x ) en x
⎛ π ⎞
i f ʹ′ ⎜ ⎟ = 0, el pendent de la tangent a f (x ) = cos x sin x en
⎝ 4 ⎠
π
és 0 i, per tant, aquesta és paral·lela a l'eix d'abscisses.
4
1
2 4
=
1
4
• L'equació de la recta tangent a f (x ) en x = 4 és:
y −2=
f 0(x ) = (2 · 3e 3x )′ = 2 · 3 · 3e 3x = 2 · 32 e 3x
e3x )′
L'equació de la recta tangent a f (x ) en x = 0 és:
• f (4) =
=
42. f ′(x ) = (2y 3x )′ = 2 · 3e 3x
200
f ′(x ) = 3x 2 + 2 ⇒
⇔ y = 14x + 28 – 2 ⇔ y = 14x + 26
h→0
= lim
= ln x + 1, tenim:
f ′(1) = ln 1 + 1 = 0 + 1 = 1
2
h→0
h→0
x
1
x 2 (x + h)2
h→0
1
x2
2x + h
= lim
h x 2 (x + h)2
=
=−
x2 + xh
h→0
h x 2 (x + h)2
• f ʹ′ʹ′ʹ′(x) = lim
= lim
−1
= lim
− x 2 + x 2 + 2x h + h 2
h→0
h→0
ja que f ʹ′(x) = ln x + x
Sabem, d'altra banda, que aquesta recta passa per (1, f (1)) =
= (1, 1 · ln 1) = (1, 0). Així, doncs, l'equació de la recta és:
−1
−1
−x 2 + (x + h)2
−
x 2 (x + h)2
x 2 = lim
(x + h)2
h→0
h
h
h→0
= lim
h→0
en x = 1 és f ′(1).
x − (x + h)
−h
x(x + h) = lim
h→0 h x(x + h) =
h
• f ʹ′ʹ′(x) = lim
= lim
= lim
h
h→0
44. El pendent de la recta tangent en la gràfica de f (x ) = x · ln x
1
1
−
x +h
x
=
h
1
4
(x − 4) ⇒ y =
x
4
+1
d)Busquem primer el punt en què la gràfica de f (x ) talla l'eix
d'abscisses:
f (x) = ln x ⎫
⎬ ⇒ ln x = 0 ⇔ x = 1
y =0
⎭
1
⎫
⇒ f ʹ′(1) = 1⎪
⎬
x
⎪
f (1) = ln 1 = 0
⎭
f ʹ′(x) =
L'equació de la recta tangent a f (x ) = ln x en x = 1 és:
y – 0 = 1 (x – 1) ⇔ y = x – 1
46. El pendent de la recta tangent en aquests punts ha de ser el
mateix que el de l'eix d'abscisses, és a dir, 0. Així, doncs, hem
de buscar els punts (x, f (x )) i f ′(x ) = 0.
f ′(x ) = 3x 2 – 12 = 0 ⇒ x = ±2
Calculem f (2) i f (– 2):
f (2) = 23 – 12 · 2 = 8 – 24 = – 16
f (– 2) = (– 2)3 – 12 · (– 2) = – 8 + 24 = 16
Per tant, els punts buscats són (2, – 16) i (– 2, 16).
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 10. DERIVADES
47. f ʹ′(x) =
2x(x 2 + 1) − x 2 (2x)
=
(x 2 + 1)2
2
Si considerem x = 80 i substituïm en les fórmules, obtenim:
2x
(x 2 + 1)2
CMg (81) ≈ C ′(80)
2
1 ⎫
f ʹ′(1) =
=
=
⎪
(1 + 1)2
4
2 ⎪
⎬
1
1
⎪
f (1) =
=
⎪⎭
1+1
2
IMg (81) ≈ I ′(80)
BMg (81) ≈ B ′(80)
Calculem C ′(80), I ′(80) i B ′(80), a partir de les funcions
C ′(x ), I ′(x ) i B ′(x ), calculades en l'exercici resolt C.
L'equació de la recta buscada és:
y −
1
=
2
1
2
C ′(80) = 0,006 · 80 + 0,2 = 0,68 ⇒
(x − 1)
⇒ CMg (81) ≈ 0,68 €
Vegem en quin punt la tangent és paral·lela a l'eix d'abscisses.
Per a fer-ho, buscarem (x , f (x )) i f ′(x ) = 0.
2x
f ʹ′(x) =
(x 2 + 1)2
I′(80) = 4,9 – 0,02 · 80 = 3,3 ⇒
⇒ IMg (81) ≈ 3,3 €
= 0 ⇔ 2x = 0 ⇔ x = 0
B ′(80) = – 0,026 · 80 + 4,7 = 2,62 ⇒
⇒ BMg (81) ≈ 2,62 €
Així, el punt buscat és (0, f (0)) = (0, 0).
4
DIFERENCIAL D'UNA FUNCIÓ
Pàg. 201
48. Considerem la funció f (x) = x , sigui el punt x0 = 36 i
Per tant, el valor aproximat del CMg, l'IMg i el BMg de la
unitat 81 serà de 0,68 €, 3,3 € i 2,62 €, respectivament.
b) El cost marginal, l'ingrés marginal i el benefici marginal
exactes de la unitat 81 són:
h = –0,03.
CMg (81) = C (81) – C (80) =
1
, utilitzant l'aproximació de l'increment
2 x
per la diferencial, tenim
= 275,883 – 275,2 = 0,683
Com que f ′(x) =
IMg (81) = I (81) – I (80) =
= 331,29 – 328 = 3,29
f (x 0 + h) ≈ f (x 0 ) + f '(x 0 ) ⋅ h
35, 97 ≈ f (36) + f '(36) ⋅ h =
= 6+
1
12
36 +
1
2 36
BMg (81) = B (81) – B (80) =
⋅ ( −0, 03 ) =
= 55,407 – 52,8 = 2,607
⋅ ( −0, 03 ) = 5, 997500
Comparem els resultats obtinguts:
Er =
El valor exacte és 5,997 499, amb la qual cosa l'aproximació
és excel·lent.
49. Considerem la funció V (r ) =
= 0,005 m
4
3
Er =
Apliquem el concepte de la diferencial d'una funció:
DV . d V = V ′(r0)h
Aquest valor és una aproximació bastant bona a l'increment
exacte:
DV = V (r0 + h) – V (r0) =
=
4
3
π (1,005)3 −
4
3
π ⋅ 13 = 0,0631 m3
|3,3 − 3,29|
3,29
|2,62 − 2,607|
2,607
100 = 0,4 %
100 = 0,3 %
100 = 0,5 %
Per la qual cosa les aproximacions obtingudes en l'apartat
a) són molt semblants al valor real.
⎛ 4
⎞ʹ′
i, com que V ʹ′(r ) = ⎜ πr 3 ⎟ = 4πr 2, si substituïm els valors:
⎝ 3
⎠
2
0,683
Er =
πr 3 , r0 = 1 m i h = 5 mm =
d V = 4π r0 h = 4π · 12 · 0,005 = 0,062 8 m3
|0,68 − 0,683|
5
TEOREMES SOBRE FUNCIONS DERIVABLES
Pàg. 287
51. Vegem si f(x) = x3 − x2 satisfà les tres hipòtesis del teorema de
Rolle en [0, 1]:
• f continua en [0,1]: es verifica, perquè f és polinòmica.
• f derivable en (0,1): es verifica perquè f és polinòmica.
50. a)Les fórmules que ens donen el cost marginal, l'ingrés marginal i el benefici marginal de la unitat x + 1 són, respectivament:
CMg (x + 1) ≈ C ′(x )
IMg (x + 1) ≈ I ′(x )
BMg (x + 1) ≈ B ′(x )
• f(0) = f(1): f(0) = 03 − 02 = 0 = 13 − 12 = f(1), per tant, també es verifica.
Així doncs, f verifica les hipòtesis del teorema de Rolle, per
tant complirà la tesis d’aquest teorema:
∃ c ∈(0, 1) | f ′(c) = 0
201
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 10. DERIVADES
Per a calcular el valor de c, derivem f i igualem a 0 la derivada:
f ′(x) =
3x2
− 2x , ′ f(x) = 0 ⇔ x = 0 o x = 2/3.
c) La taxa de variació instantània coincideix amb la derivada,
per la qual cosa calculem C ′(t ):
C ′(t) = 1,25 · (– 0,22)e – 0,22 t = – 0,275i – 0,22 t
Com que 0 ∉ (0, 1), el valor de c es c = 2/3.
52. Vegem si f(x) = 4x3 − 4x satisfà les hipòtesis del teorema de
Així, doncs, la taxa de variació instantània en t = 3 és:
C ′(3) = – 0,275e – 0,22 · 3 = – 0,14
Lagrange:
• f continua en [0,2]: es verifica, ja que f es polinòmica.
57. Aplicant la definició de derivada en un punt:
• f derivable en (0,2): es verifica, ja que f es polinòmica.
f '(−1) = lim
El valor de c serà:
24 − 0
f (2) − f (0)
⇒ 12c 2 − 4 =
⇒
2
2−0
16
16
2
⇒c =
=
⇒ c2 =
12
12
3
=
h
(−1)3 + 3(−1)2 h + 3(−1)h 2 + h 3 + 1 − h − (−1 + 1)
h→0
= lim
h→0
= lim
h
−1 + 3h − 3h 2 + h 3 + 1 − h
h→0
PRIMITIVA D'UNA FUNCIÓ
Pàg. 288
53. Per a saber quines de les funcions són primitives de f(x) =
= xex derivem:
a) F ′(x) = ex (x – 1) + ex = x ex = f (x)
c) H ′(x) =
+x
–1≠x
54. La resolució és immediata utilitzant les taules de derivades.
55. a) La cotització mitjana és la TVM en els intervals de temps
considerats. Prenent-los de la taula
15 819,48 − 15 769,21
TVM[10,11] =
= 50,27
11 − 10
Aquestes dues equacions formen el sistema
2a + b = 1⎫
⎬
−2a + b = −11⎭
La resolució del qual dóna: a = 3 i b = –5.
59. a) Aplicant la regla de la cadena i tenint en compte la Taula
de derivades, tenim que
f ʹ′(x) =
b) De la mateixa manera, la cotització mitjana entre les 11:00
i les 12:00 va ser
=
15 888,81 − 15 819,48
TVM[11,12] =
= 69,33
12 − 11
=
Per tant, en el segon interval van obtenir els inversors més
guanys.
56. a)Sigui t1 = 1 h i t2 = 2 h. Així, la concentració al cap d'una i
dues hores és, respectivament:
1
C (t2) = C (2) = 1,25 · i – 0,22 · 2 = 0,8 g · L– 1
= 0,8 − 1 = −0,2
És negativa perquè C (t ) és decreixent, és a dir, el seu valor
disminueix a mesura que augmenta el temps.
1
4
1
−1
(x 5 − x 3 − 1) 4 (5x 4 − 3x 2 ) =
(x 5 − x 3 − 1)
4
−3
4
(5x 4 − 3x 2 ) =
5x 4 − 3x 2
4
4 (x 5 − x 3 − 1)3
b) De la mateixa manera
⎡ e x (e x − 1) − (e x + 1)e x ⎤
1
⎥ =
e x + 1 ⎢⎣
⎦
(e x − 1)2
ex − 1
+ 1 e x (e x − 1 − e x − 1)
=
−1
(e x − 1)2
− 1 −2e x
−2e x
=
x
2
+ 1 (e − 1)
e 2x − 1
f ʹ′(x) =
C (t1) = C (1) = 1,25 · i – 0,22 = 1 g · L– 1
2−1
h→0
Calculant directament a partir de la derivada de la funció donada f (x) = x 3 – x, que és la funció f ′(x) = 3x 2 – 1, obtenim el
mateix resultat:
Pàg. 288
C(2) − C(1)
= lim (2 − 3h + h 2 ) = 2
Anàlogament, f ′(–1) = –11 i també f ′(–1) = –2a + b, per tant
–2a + b = –11.
H (x) no és primitiva de f(x)
b) TVM [1, 2] =
=
=
ex
ex
ex
ex
60. a) Sabem que es compleix:
CMg (x + 1) ≈ C ′(x ) ⇒ CMg (15) ≈ C ′(14)
202
=
D'altra banda, com que f ′(x) = 2ax + b i que segons l'enunciat
f ′(1) = 1, serà també f ′(1) = 2a + b. És a dir, 2a + b = 1.
= f (x)
SÍNTESI
h
com que també f (0) = c, deduïm que c = 1.
G (x) és una primitiva de f(x)
ex
h
h→0
2h − 3h 2 + h 3
h→0
58. Com que la funció passa pel punt (0, 1) tenim que f (0) = 1 i,
b) G ′(x) = ex + x ex – ex = x ex = f (x)
ex
= lim
h
h(2 − 3h + h 2 )
= lim
=
f ′(–1) = 3 · (–1)2 – 1 = 2
F (x) és una primitiva de f(x)
ex
=
h
(−1 + h)3 − (−1 + h) − [(−1)3 − (−1)]
= lim
f ′(c) =
6
f (−1 + h) − f (−1)
h→0
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 10. DERIVADES
Així, doncs, calculem C ′(x ):
b) La velocitat instantània coincideix amb la derivada de r (t)
en aquest instant:
C ′(x ) = 6 · 2x + 840 = 12x + 840
r ′(t) = 3t 2 + 3
Per tant, el valor que ens demanen és:
Per tant, en t = 3 h:
CMg (15) ≈ C ′(14) = 12 · 14 + 840 = 1 008 €
v(3) = 3 · 32 + 3 = 30 km · h–1
b) Calculem I (x ) i B (x ):
I (x ) = x p (x ) = x (20 000 – x ) = 20 000x – x 2
5.
a) f (x) = 2x
–
1
2
3
⎛ 1 ⎞ – 1 – 2
–
→ (X ) = f ʹ′ 2 ⎜ – ⎟ X 2 2 = –X 2
⎝ 2 ⎠
B (x ) = I (x ) – C (x ) =
= 20 000x – x 2 – (6x 2 + 840x + 6 000 000) =
b) f ʹ′(x) =
= – 7x 2 + 19 160x – 6 000 000
=
Avaluació
1.
(pàg. 290)
=
El pendent de la recta secant coincideix amb la taxa de variació mitjana de la funció entre els dos punts d'abscissa considerats:
(x 2 + 1)2
3
2
6x − x + 6x − 1 − 6x 3 + 2x 2 − 4x
(x 2 + 1)
=
=
x 2 + 2x − 1
(x 2 + 1)2
1
x – In x
1 − In x
c) f ʹ′(x) x
=
x
x2
f (1) − f (−1)
0−2
=
= −1
1 − (−1)
2
TVM[−1,1] =
(6x − 1)(x 2 + 1) − (3x 2 − x + 2) ⋅ 2x
1
−1
d) f ʹ′(x) = (x − 1) 2
D'altra banda, prenem un dels dos punts pels quals passa la
recta: (1, f (1)). Com que f (1) = 0, la recta passa pel punt (1, 0).
f ʹ′(x) = −
1
2
−
= (x − 1)
−
(x − 1)
1 2
−
2 2
1
2
=−
1
2
−
(x − 1)
1
2
Per tant, l'equació de la recta secant és:
6.
El pendent de la recta tangent a la corba en el punt x = –2 és
f ′(–2). Per a calcular-la necessitem conèixer f (–2):
a) f ʹ′(x) = (2x 3 − 3x + 2)ʹ′(x 2 − 1) + (2x 3 − 3x + 2)(x 2 − 1)ʹ′ =
= (6x 2 − 3)(x 2 − 1) + (2x 3 − 3x + 2) ⋅ 2x =
= 6x 4 − 3x 2 − 6x 2 + 3 + 4x 4 − 6x 2 + 4x =
= 10x 4 − 15x 2 + 4x + 4
f (–2) = (–2)2 – (–2) – 6 = 0
sin 3x + x 2 ⋅ 3 cos 3x = 2x sen
sin 3x + 3x 2 cos 3x
b) f ʹ′(x) = 2x sen
y – 0 = –1(x – 1); y = –x + 1
2.
Aplicant la definició de derivada obtenim el pendent:
f '(−2) = lim
h
(−2 + h)2 − (−2 + h) − 6 − 0
h→0
lim
c) f ʹ′(x) = 3x 2 In x +
f (−2 + h) − f (−2)
h
h→0
lim
4 − 4h + h 2 + 2 − h − 6
h
h→0
lim
h→0
=
h 2 − 5h
h
d) f ʹ′(x) =
=
=
7.
= lim (h − 5) = −5
x3
= 3x 2 In x + x 2
x
1
sin x
cos x − In x sen
x
sin x)
f ʹ′(x) = e x (cos x − sen
sin x
f ʹ′ʹ′(x) = −2e x sen
sin x + cos x)
f ʹ′ʹ′ʹ′(x) = −2e x (sen
h→0
f iv (x) = −4e x cos x
3.
L'angle α que forma la recta tangent a f(x) en x = 1 amb l'eix
d'abscisses es pot obtenir a partir del pendent m:
m = tg α; α = arctg m
sin x − cos x)
f v (x) = 4e x (sen
8.
Com que el pendent es defineix com la derivada de f en el punt:
1
−1
f ′(x) =
x
a) f ʹ′(x) = 3(x 3 − 3x + 1)2 (x 3 − 3x + 1)ʹ′ =
= 3(x 3 − 3x + 1)2 (3x 2 − 3)
b) f ʹ′(x) = cos x
m = f ′(1) = 1 – 1 = 0
c) f ʹ′(x) =
Per tant, α = arctg (0) = 0°
4.
a) La velocitat mitjana en l'interval [2, 4] és la TVM de la funció
r (t) = t 3 + 3t + 1 entre aquests instants de temps. Per tant:
VM = TVM[2, 4] =
=
43
+ 3⋅ 4 +1−
(23
2
r (4) − r (2)
=
4−2
+ 3 ⋅ 2 + 1)
62
=
= 31km/h
2
( x )ʹ′ =
cos x
2 x
(x 2 − 3x )ʹ′
2x − 3
= 2
x 2 − 3x
x − 3x
d) f ʹ′(x) = sen
sin (senx)(senx)
sin
sin ' = − cos x ⋅ sen
sin (senx)
sin
e) f ʹ′(x) = 2 cos (3x − 1) [ cos(3x − 1) ]ʹ′ =
sin ( 3x − 1) ⎤⎦ ⋅ 3 =
= 2 cos (3x − 1) ⋅ ⎡⎣ −sen
sin (3x − 1)
= −6 cos (3x − 1) sen
203
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 10. DERIVADES
9.
a) Per definició, la velocitat és la funció derivada de la posició:
x 2 + 2x − 1
(x + 1)2
v (t) = r ′(t) = (t 3 −12t) ′ = 3t 2 − 12
La velocitat és nul·la quan:
El pendent m en x = 0 és:
v (t) = 0 → 3t 2 − 12 = 0
Per tant:
t 2 = 4 → t = ±2
Com que el temps és una variable positiva, la velocitat serà
nul·la en t = 2 s.
b) Per definició, l'acceleració és la funció derivada segona de
la posició, això és, la funció derivada de la velocitat:
a(t) = r ″(t) = (v (t)) ′= (3t 2 − 12) ′= 6t
Per tant, en t = 2 s l'acceleració és:
a (2) = 12 m·s–1
10. Hem de trobar la diferència d'àrea existent entre un quadrat
de costat 1 m i un altre de costat 1 + 0,000 5 m
Considerem la funció A (l) = l 2, amb l 0 = 1 m i h = 0,000 5 m. Si
aproximem l'increment de la funció per la diferencial de la funció, tenim:
m = f ′(0) = –1
b) Hem de trobar altres solucions de l'equació f ′(x) = –1, és
a dir:
Per tant:
x 2 + 2x – 1 = –(x + 1)2 ⇒ 2x 2 + 4x = 0 ⇒
⎧ 2x = 0 ⇒ x = 0
2x(x + 2) = 0 ⇒ ⎨
⎩ x + 2 = 0 ⇒ x = −2
Existeix un altre punt on el pendent de la recta tangent és
–1, es tracta de x = –2.
12. a) Les rectes paral·leles tenen el mateix pendent i la recta
y = x té pendent m = 1. Per tant, hem de trobar el punt
(x0, f (x0)) per al qual el pendent de la recta tangent en
aquest punt, és a dir f ′(x0) és 1.
Calculem la derivada de f i resolem l'equació f ′(x) = 1.
ΔA ≈ dA = Aʹ′(l 0 ) h
f ʹ′(x) =
Com que A ′(l) = 2l, si substituïm aquests valors:
11. a) El pendent de la recta tangent a f(x) pel punt x = 0 és f ′(0).
Calculem la derivada de la funció:
f ʹ′(x) =
2x(x + 1) − (x 2 + 1)
=
(x + 1)2
2x 2 + 2x − x 2 − 1
x 2 + 2x − 1
=
=
(x + 1)2
(x + 1)2
204
= −1
f ʹ′(x) = 1 ⇒
2x
x2 + 1
2x
x2
+1
= 1 ⇒ 2x = x 2 + 1
c) La recta tangent passa pel punt (1, f (1)):
f (1) = ln (12 + 1) = ln 2
Per tant, l'equació de la recta tangent és:
y – ln 2 = 1(x – 1); y = x – 1 + ln 2
bloc 3. ANÀLISI
11 #
En context
Aplicacions de les derivades
—— Passa per l'origen de coordenades:
(pàg. 293)
f (0) = 0 ⇒ d = 0
a> Resposta suggerida:
—— Presenta un extrem relatiu en (– 2, 0):
És preferible utilitzar optimitzar en comptes de maximitzar o
minimitzar per a englobar els dos casos, ja que el valor òptim
d'una funció pot correspondre al seu màxim o al seu mínim.
• f (– 2) = 0 ⇒ a (– 2) 3 + b (– 2) 2 + c (– 2) + d = 0 ⇒
⇒ – 8a + 4b – 2c + d = 0
b> Resposta suggerida:
• f ′(– 2) = 0 ⇒ 3a (– 2) 2 + 2b (– 2) + c = 0 ⇒
⇒ 12a – 4b + c = 0
El problema de la caixa és un problema d'optimització, on
es forma una caixa sense tapa amb una planxa quadrada
de costat fix, a la qual es retalla un quadradet en cada
cantonada. L'objectiu és maximitzar el volum de la caixa
en funció de la grandària del quadradet.
—— Presenta un extrem relatiu en x = −
Per tant, hem de resoldre el sistema d'equacions següent:
d = 0 ⎫
⎪
−8a + 4b − 2c + d = 0 ⎪
⎬
12a − 4b + c = 0 ⎪
4a − 4b + 3c = 0 ⎪⎭
c> Resposta suggerida:
Tots dos mètodes busquen optimitzar funcions per tal que
es compleixin una sèrie de restriccions. En el cas de la
programació lineal, la funció a optimitzar és sempre lineal,
mentre que en l'optimització de funcions aquesta pot prendre qualsevol forma. A més, les restriccions als valors que
pot prendre la resposta òptima tenen forma d'inequació en
el cas de la programació lineal, i d'equació de lligadura en
els problemes d'optimització que ens ocupen en aquesta
unitat.
Amplia
Es tracta d'un sistema compatible indeterminat. Una possible
solució és:
x →∞
Problemes resolts
1.
4
, b = 3, c = 3, d = 0
Així, f (x ) = 3x 3 + 12x 2 + 12x.
2.
P(t ) =
18(t − 1)
2 + (t − 1)2
+ 32, t ≥ 0
Per a determinar els extrems relatius trobem els valors de t
que compleixen P ′(t ) = 0.
P ʹ′(t ) =
18(t 2 − 2t + 3) − 18(t − 1)(2t − 2)
(2 + (t − 1)2 )2
=
18(−t 2 + 2t + 1)
(2 + (t − 1)2 )2
=
=
Perquè P ′(t ) = 0, s'ha de complir:
(pàg. 303)
1 + x2
= lim
x →∞
x
3
a=
– t 2 + 2t + 1 = 0 ⇔ t 2 – 2t – 1 = 0
Si introduïm el denominador en l'arrel quadrada, obtenim:
lim
:
⇒ 4a – 4b + 3c = 0
La solució òptima d'aquest problema és el valor del costat
del quadradet que maximitza el volum de la caixa.
La solució òptima d'aquest problema de la caixa es calcula
trobant el màxim de la funció volum de la caixa depenent
del costat del quadradet x. Com que el volum d'una cub és
el producte de les seves tres dimensions, tenim que V(x) =
= x · (60 – 2x)2. Per a trobar els extrems d'aquesta funció,
la derivem i busquem els zeros de la funció derivada.
Aquesta funció té dos extrems, un màxim i un mínim. El
màxim correspon a x = 10 cm, que és la solució que busquem.
3
⎛ 2 ⎞
⎛ 2 ⎞2
⎛ 2 ⎞
f ʹ′ ⎜ − ⎟ = 0 ⇒ 3a ⎜ − ⎟ + 2b ⎜ − ⎟ + c = 0 ⇒
⎝ 3 ⎠
⎝ 3 ⎠
⎝ 3 ⎠
Els problemes d'optimització en general busquen maximitzar o minimitzar una funció per tal de satisfer unes condicions determinades.
d> Resposta suggerida:
2
1 + x2
= lim
x →∞
x2
1
+1 =
x2
t =
0+1 = 1
(pàg. 313 a 316)
Hem de trobar coeficients a, b, c, i d perquè es compleixin les
condicions demanades.
4+4
2
= 1±
2
Com que t ≥ 0, l'única solució possible és t = 1 +
Trobem el signe de la segona derivada en t = 1 +
comprovar si es tracta d'un màxim.
Una funció polinòmica de tercer grau és la que té una expressió analítica del tipus:
f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d, a ≠ 0
2±
P ʹ′ʹ′(t ) =
−
2.
2 per a
18(−2t + 2) (2 + (t − 1)2 )2
−
(2 + (t − 1)2 )4
18(−t 2 + 2t + 1) 2(2 + (t − 1)2 ) 2(t − 1)
(2 + (t − 1)2 )4
205
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 11. APLICACIONS DE LES DERIVADES
Així, doncs, x = 1 és un punt d'inflexió de f, ja que f passa
de ser còncava a ser convexa, i és contínua en aquest
punt.
36(t − 1)(t 2 − 2t − 5)
P ʹ′ʹ′(t ) =
(2 + (t − 1)2 )3
El denominador sempre és positiu, així que hem d'analitzar el
signe del numerador per a t = 1 + 2 :
36(1 +
2 – 1) ((1 +
2 )2 – 2 (1 +
2 ) – 5) =
2 ≈ 2,4.
Per tant, el màxim s'aconsegueix en t = 1 +
0
(0, 1)
1
–2
= 100 ⋅ 0,089 7 L = 8,97 L
En aquest cas, D(f ) = R i f ′ no té discontinuïtats, per tant f
és derivable en R i f ′ és polinòmica. Així, consultant la
gràfica de f′, podem elaborar la següent taula de monotonia de f :
(– ∞, 0)
0
(0, 2)
2
(2, + ∞)
+
0
–
0
+
M
b) La taula de monotonia de f ens permet afirmar que f té un
màxim relatiu en x = 0 i un mínim relatiu en x = 2, i no té
més extrems relatius.
D'altra banda, per a trobar els punts d'inflexió, el millor que
podem fer és obtenir-los a partir de la taula de curvatura de
f, ja que no podem calcular explícitament les derivades
successives.
Sabem que els intervals de curvatura de f corresponen als
intervals en els quals f ″ té signe constant i aquests corresponen als de monotonia de f ′.
(– ∞, 1)
f ′(x )
f ″(x )
f (x )
1
(1, + ∞)
m
–
0
PI
5.
4
f (x) = 3x − 4x
1. Domini: D(f ) = ℝ.
2. Punts de tall:
• Eix OX. Hem de resoldre l'equació 3x − 4x = 0 que és una
equació difícil de resoldre. Tanmateix, si ens fixem en la funció, podem adonar-nos que és una funció contínua i, si escollim els punts adequats, obtenim:
f (0) > 0, f (1) < 0 i f (2) > 0.
Així, doncs, pel teorema de Bozen, podem afirmar que la
funció f tallarà l'eix OX en algun punt pertanyent als intervals (0, 1) i (1, 2).
• Eix OY. Resolem el sistema següent:
y = 3x − 4x ⎫
⎬ ⇒ (0,1)
x =0
⎭
3. Signe: En aquest cas, en no saber els punts exactes en què
la funció s'anul·la, l'única cosa que podem dir és que en els
punts del domini x < 0 i x > 2 la funció té signe positiu. De la
mateixa manera, podem afirmar que en un entorn del punt
x = 1 la funció prendrà valors negatius.
4. Simetria i periodicitat:
Com que f (−x) ≠ f (x) i f (−x) ≠ −f (x), f no és simètrica. Tampoc no és periòdica.
5. Asímptotes i branques infinites:
A.V. No existeixen, ja que f està definida en tot el seu domini.
A.H. No existeixen, ja que lim = ∞
x →∞
A.O.
+
N
3x − 4x
= lim
= −4
x →−∞
x
x
b = lim [f (x) − ax ] = lim [ 3x − 4x + 4x ] = 0
a = lim
f (x)
x →−∞
x →−∞
206
2
–2
m
Per tant, f és estrictament creixent en (– ∞, 0) i en
(2, + ∞), i estrictament decreixent en (0, 2).
x
1
–3
Per tant, hem de considerar els intervals en els quals f ′ té
signe constant, que seran els determinats pels zeros i les
discontinuïtats de f′ en D (f ).
f (x )
–1
–1
v3
a)Els intervals de creixement de f són aquells en els quals
f ′ > 0, i els de decreixement aquells en els quals f ′ < 0.
f ′(x )
X
0
–3
b) El consum cada 100 km a 90,9 km/h serà de:
x
f (x )
2
C ″(90,9) = 1,1 · 10 –5 > 0 ⇒ és un mínim
4.
N
3
3 ⋅ e 0,011v ((0,011)2 v 2 − 0,022v + 2)
1
(2, + ∞)
m
Y
3 ⋅ e 0,011v (0,011v − 1)
km
2
podem esbossar la gràfica següent de f:
Comprovem que es tracta d'un mínim.
100 km ⋅ C(90,9)
(1, 2)
PI
v2
C ′(v ) = 0 ⇔ 0,011v – 1 = 0 ⇔ v = 90,9 km/h
C ʹ′ʹ′(x) =
1
M
f (x )
a)La velocitat més econòmica serà la que produeixi un consum mínim. Trobem, per tant, C ′(v ) i determinem les velocitats que compleixen C ′(v ) = 0.
C ʹ′(v ) =
(– ∞, 0)
x
2 (– 4) < 0
= 36 ·
3.
c) Tenint en compte la informació que hem obtingut sobre f,
que podem resumir en la taula següent:
x →−∞
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 11. APLICACIONS DE LES DERIVADES
Tenim, per tant, que y = −4x és una asímptota obliqua per
l'esquerra.
Exercicis i problemes
Branques infinites: La gràfica acaba en una branca infinita,
ja que quan x tendeix a +∞ la funció tendeix també a +∞.
Però no comença per una branca infinita ja que en tendir x
a −∞ la funció s'aproxima a l'asímptota obliqua.
1APLICACIÓ DE LES DERIVADES 6. Intervals de monotonia i extrems relatius:
A l'ESTUDI DE FUNCIONS
6.
Calculem la funció derivada: f ′(x) = 3x ln 3 − 4.
f ´(x) = 0 ⇒ 3x ln 3 − 4 = 0 ⇒ 3x = 4 / ln 3 ⇒
= 1,18
ln 3
=
Com que f ′ no té discontinuïtats, considerem els intervals
(−∞, 1,18) i (1,18, +∞).
INTERVALS
(−∞,1,18)
(1,18, +∞)
−
+
Signe de f ′
Calculem el valor de la derivada de la funció en el punt i decidim a partir del signe si és creixent o decreixent en el punt:
⎛ x 2 + 1
b) f ʹ′(x) = ⎜
⎝ x − 1
⇒ ln(3x ) = ln(4 / ln 3) ⇒ x ln 3 = ln(4 / ln 3) ⇒
ln(4 / ln 3)
⎞ʹ′
2x(x − 1) − (x 2 + 1) ⋅ 1
=
⎟ =
⎠
(x − 1)2
x 2 − 2x − 1
(x − 1)2
52 − 2 ⋅ 5 − 1
f ʹ′(5) =
(5 − 1)2
xent en x = 5.
c) f ʹ′(x) = ( 2 − x 3 )ʹ′ =
Monotonía
7. Intervals de curvatura i punts d'inflexió:
L'equació f ″(x) = 0 no té solució, per tant no existeixen
punts d'inflexió.
A més, f ″(x) és positiva en tot el domini. Així, doncs, f és
convexa en tot el seu domini.
f (x)
−1
0
1
1,5
2
3
73/9
13/3
1
−1
−0,8
1
15
6
0
–1
−0 + 0 + 2
(0 + 2)2
=
1
2
>0⇒f
és estrictament crei-
b) f ′(x ) = (x 2 + cos x ) ′ = 2x – sin x ,
f ′(π) = 2π – 0 > 0 ⇒ f és estrictament creixent en x = π.
f ′(– π) = – 2π – 0 < 0 ⇒ f és estrictament decreixent en
x = – π.
Hem de trobar els zeros de la derivada de la funció i veure
quin signe té en ells la derivada segona:
(6x 2
1
3
– 2x )′ = 12x – 2
f ″(0) = 12 · 0 – 2 = – 2 < 0 ⇒ f té un màxim relatiu
en x = 0.
3
–1
,
(x 2 + 2)2
f ″(x ) =
4
–2
2 2 − x3
a) 0 = f ʹ′(x) = 6x 2 − 2x ⇔ x = 0 o x =
5
–3
−3x 2
xent en x = 0.
8.
7
> 0 ⇒ f és estrictament crei-
−x 2 + 2x + 2
f ʹ′(0) =
Així, doncs, ja podem representar gràficament la funció
f (x) = 3x − 4x.
Y
8
Hem de calcular la derivada de la funció i avaluar-la en el punt
per a veure quin és el seu signe:
⎛ x − 1 ⎞ʹ′
1 ⋅ (x 2 + 2) − (x − 1) ⋅ 2x
a) f ʹ′(x) = ⎜
=
⎟ =
2
⎝ x + 2 ⎠
(x 2 + 2)2
=
Per a finalitzar l'estudi, podem calcular alguns valors de la
funció:
−2
7
3
=−
<0⇒f
2
2 2 − 13
és estrictament decreixent en x = 1.
7.
Calculem la derivada segona: f ″(x) = 3x (ln 3)2.
=
−3 ⋅ 12
f ʹ′(1) =
Per tant, f és estrictament decreixent en (−∞, 1,18) i estrictament creixent en (1,18, +∞). Aleshores, per a x = 1,18 la
funció presenta un mínim relatiu.
x
Pàg. 317 i 318
a) f ′(x ) = (2x 3 – x 2) ′ = 6x 2 – 2x, f ′(2) = 20 > 0 ⇒ f és estrictament creixent en x = 2.
Resolem l'equació f ′(x) =0:
⇒x =
(pàg. 317 a 320)
1
2
3
X
⎛ 1 ⎞
1
f ʹ′ʹ′ ⎜ ⎟ = 12 ⋅
− 2 = 2 > 0 ⇒ f té un mínim relatiu en
⎝ 3 ⎠
3
x =
1
3
.
–2
207
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 11. APLICACIONS DE LES DERIVADES
x 2 − 2x − 1
b) 0 = f ʹ′(x) =
d) f (x) =
⇔
(x − 1)2
⇔ x 2 – 2x – 1 = 0 ⇔ x = 1 –
f ʹ′ʹ′(x) =
=
f ʹ′ʹ′(x) = −
(2x − 2) ⋅ (x − 1)2 − (x 2 − 2x − 1) ⋅ 2(x − 1)
f ʹ′ʹ′(3) = −
e) f (x) =
4
2)=
< 0 ⇒ f té un màxim relatiu en x =
(− 2 )3
2.
f ʹ′ʹ′(1 +
4
2)=
( 2
)3
> 0 ⇒ f té un mínim relatiu en x = 1
3x 2
−6x ⋅ 2 2 − x 3 − (−3x 2 ) ⋅ 2
(2 2 −
−12x 2 − x 3 −
=
4(2 −
4( 2 −
x3
−3x 2
2 2 − x3
)2
=
9x 4
2 − x3
=
)3
3x 4 − 24x
4( 2 − x 3 )3
3 ⋅ 14 − 24 ⋅ 1
f ʹ′ʹ′(1) =
x
f ′(x )
(– ∞, 0)
0
–
0
f (x )
4⋅( 2−
(0,
3
2)
–
∃
3x 2,
f ′(x ) =
6x 2
– 6x,
f ″(x ) = 12x – 6
f ″(0) = 12 · 0 – 6 < 0 ⇒ f és còncava en x = 0.
f ʹ′ʹ′(x) =
f ʹ′ʹ′(5) =
208
x −1
4
< 0 ⇒ f és còncava en
1
cos2 x
, f ʹ′ʹ′(x) = 2
3π
4
sen
sin x
cos 3 x
=
⎞3
⎟⎟
⎠
.
f ″(x ) = 9e –3x + 1, f ″(– 2) = 9e 6 + 1 > 0 ⇒ f és convexa en
x = – 2.
x −2
b) f (x) =
x2 + 1
f ʹ′ʹ′(2) =
2x 3
−
, f ʹ′(x) =
12x 2
−x 2 + 4x + 1
(x 2 + 1)2
− 6x + 4
(x 2 + 1)3
−40
125
< 0 ⇒ f és còncava en x = 2.
11. a) 1. f ′(x ) = (x 3 – 3x 2 – 9x + 1) ′ = 3x 2 – 6x – 9
3x 2 – 6x – 9 = 0 ⇒ x = – 1 o x = 3
f ″(– 3) = 6 · (– 3) – 2 < 0 ⇒ f és còncava en x = – 3.
c) f (x) =
−21
a) f (x ) = e –3x + 1, f ′(x ) = – 3 e –3x + 1
f ″(x ) = 6x – 2
x2 + 1
=
Els zeros de f ′ són:
a) f (x ) = x 3 – x 2, f ′(x ) = 3x 2 – 2x,
–
)3
3π
2
sen
sin
⎛ 3π ⎞
4
2
f ʹ′ʹ′ ⎜
= 2⋅
⎟ = 2
3π
⎝ 4 ⎠
⎛
2
cos 3
⎜⎜ −
4
2
⎝
f ʹ′ʹ′(x) =
Hem de calcular la derivada segona de cada funció i avaluarla en el punt demanat per a veure quin signe té:
b) f (x ) =
13
els punts considerats:
Per tant, x = 0 no és un extrem relatiu de f, aleshores f no
té extrems relatius.
2x 3
,
2 2 − x3
10. Hem de calcular la derivada segona i veure quin signe té en
4( 2 − x 3 )3
f ″(0) = 0, per tant amb això no en tenim prou per decidir.
Per tant, estudiarem el creixement i el decreixement de la
funció f a partir d'una taula:
9.
−3x 2
= – 4 < 0 ⇒ f és còncava en x =
=
x 3)
−12x (2 − x 3 ) − 9x 4
x3
< 0 ⇒ f és còncava en x = 3.
3x 4 − 24x
f) f (x) = tg x, f ʹ′(x) =
⇔ −3x 2 = 0 ⇔ x = 0
2 2 − x3
f ʹ′ʹ′(x) =
1
( 32 − 1 )3
x = 1.
2.
c) 0 = f ʹ′(x) = −
1
2 − x 3 , f ʹ′(x) =
f ʹ′ʹ′(x) =
,
x2 − 1
( x 2 − 1 )3
=
((x − 1)2 )2
(x − 1)3
1–
=
2
4
f ʹ′ʹ′(1 −
+
2 ox=1+
x
x 2 − 1 , f ʹ′(x) =
, f ʹ′(x) =
x 2 − 2x − 1
(x − 1)2
,
4
4
2.Els intervals que hem de considerar són (– ∞, – 1),
(– 1, 3) i (3, + ∞).
3.Elaborem una taula en la qual indicarem la monotonia
de f a partir del signe de f ′:
x
f ′(x )
(x − 1)3
(5 − 1)3
Com que f i f′ són polinòmiques, no tenen punts de
discontinuïtat.
> 0 ⇒ f és convexa en x = 5.
f (x )
(– ∞, – 1)
–1
(– 1, 3)
3
(3, + ∞)
+
0
–
0
+
∃
∃
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 11. APLICACIONS DE LES DERIVADES
Per tant, f és estrictament creixent en (– ∞, – 1) i en
(3, + ∞), i estrictament decreixent en (– 1, 3).
3. Elaborem la taula de monotonia de f :
x
⎛ x − 1 ⎞ʹ′
b) 1. f ʹ′(x) = ⎜
⎟ =
⎝ 2x + 1 ⎠
=
f ′(x )
1 ⋅ (2x + 1) − (x − 1) ⋅ 2
(2x +
1)2
=
1)2
La funció f ′ no té zeros, per tant el numerador mai no
s'anul·la.
Els punts de discontinuïtat de f′ són els zeros del denominador:
1
(2x + 1)2 = 0 ⇔ x = −
2
f ′(x )
–
+
f (x )
⎛ 1
⎞
⎜ – , +∞ ⎟
⎝ 2
⎠
∃
+
Els zeros de f′ són:
2x
x
x2 − 1
Per tant, f és estrictament creixent en (– ∞, 0) i estrictament decreixent en (0, + ∞).
12. Hem de calcular la derivada i determinar-ne els zeros i els
punts de discontinuïtat, ja que és el signe de f ′ el que ens
permet estudiar la monotonia de f :
a) 1. f ′(x ) = (x 4 – 4x 3 + 4x 2 – 1) ′ = 4x 3 – 12x 2 + 8x
3.El signe de f ′ en cada interval ens indica la monotonia de
f en aquest interval, d'acord amb la taula següent:
x
x
=
x2 − 1
f ′(x )
=0⇔x =0
2.Els intervals determinats pels zeros i els punts de discontinuïtat de f′ són:
(– ∞, – 1), (– 1, 0), (0, 1) i (1, + ∞)
–
∃
(0, 1)
1
(1, 2)
2
(2, + ∞)
–
0
+
0
–
0
+
f (x )
Per tant, f és estrictament decreixent en (– ∞, 0) i en
(1, 2), i f és estrictament creixent en (0, 1) i en
(2, + ∞).
f té un mínim en x = 0: m = (0, – 1)
f té un màxim en x = 1: M = (1, 0)
⎛ 4
⎞ʹ′
4
1
2x − 4
+ ln x 2 ⎟ = −
+
⋅ 2x =
b) 1. f ʹ′(x) = ⎜
⎝ x
⎠
x2
x2
x2
Els zeros de f ′ són:
0 = f ′(x ) ⇔ 2x – 4 = 0 ⇔ x = 2
3. Elaborem la taula de monotonia de f:
f ′(x )
0
f té un mínim en x = 2: m = (2, – 1)
x 2 − 1 = 0 ⇔ x = ±1
(– ∞, – 1) – 1
(– ∞, 0)
D'altra banda, com que f és contínua, dels seus intervals de creixement i decreixement podem concloure:
Els punts de discontinuïtat de f ′ són aquells en els quals
s'anul·la el denominador:
x
∃
(– ∞, 0), (0, 1), (1, 2) i (2, + ∞)
⎛
1 ⎞
Per tant, f és estrictament creixent en ⎜ −∞, − ⎟ i en
⎝
2 ⎠
⎛ 1
⎞
⎜ − , +∞ ⎟ .
⎝ 2
⎠
2 x2 − 1
–
2.Els intervals que hem de considerar són els definits pels
zeros de f ′(ja que no té discontinuïtats):
∃
c) 1. f ʹ′(x) = ( x 2 − 1 )ʹ′ =
0
f′(x ) = 0 ⇔ x = 0, x = 1 o x = 2
2
1
+
Com que f és polinòmica, no té discontinuïtats.
3. Elaborem la taula de monotonia de f :
⎛
1 ⎞
⎜ −∞, – ⎟
⎝
2 ⎠
(0, + ∞)
Els zeros de f són:
⎛
1 ⎞
2. Hem de considerar els intervals ⎜ −∞, − ⎟ i
⎝
2 ⎠
⎛ 1
⎞
.
−
,
+∞
⎜
⎟
⎝ 2
⎠
x
0
f (x )
3
(2x +
(– ∞, 0)
(– 1, 0)
0
(0, 1)
1
(1, + ∞)
Els punts de discontinuïtat de f són els zeros del denominador:
–
0
+
∃
+
x2 = 0 ⇔ x = 0
f (x )
Per tant, f és estrictament decreixent en (– ∞, – 1) i (– 1,
0), i estrictament creixent en (0, 1) i (1, + ∞).
d) 1. f ′(x ) = (e–x 2)′ = e –x2 · (– 2x ) = – 2xe –x 2
Els zeros de f ′ són: – 2xe –x 2 = 0 ⇔ x = 0. f ′ no té punts
de discontinuïtat, ja que és producte de dues funcions
contínues en R.
2.Els intervals que hem de considerar són (– ∞, 0) i
(0, + ∞).
2.Hem de considerar els intervals determinats pels zeros i
els punts de discontinuïtat de f:
(– ∞, 0), (0, 2) i (2, + ∞)
3.La taula de montonía de f, completada amb els seus
extrems relatius, és:
x
f ′(x )
f (x )
(– ∞, 0)
0
2
(3, + ∞)
–
∃
0
+
∃
m
(0, 2)
209
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 11. APLICACIONS DE LES DERIVADES
Per tant: f és estrictament decreixent en (– ∞, 0) i en
(0, 2), f és estrictament creixent en (2, + ∞) i f té un mínim relatiu en x = 2: m = (2, 2 + ln 4).
Per exemple, la funció f (x ) = x 3 és creixent en R, tanmateix, la
primera derivada f ′(x ) = 3x 2 és zero en x = 0.
Y
1
c) 1. f ʹ′(x) = ( 3 − x )ʹ′ = −
3
2 3−x
2
Com que f′(x ) < 0 ∀ x ∈ D (f ′) = (– ∞, 3) = D (f ) – {3}, f
és estrictament decreixent en (– ∞, 3), i no té extrems
relatius.
1
13. Per a estudiar la monotonia de la funció f, hem de, primera-
–2
–1
ment, calcular-ne la derivada i trobar-ne els zeros, com també
els punts de discontinuïtat.
f '(x) =
(−2x + 1)(x 2 + 1) − (−x 2 + x − 1)2x
=
(x 2 + 1)2
–
f (x )
–2
sió analítica de la forma:
A continuació, elaborem una taula en la qual estudiem la monotonia de f ′ en funció del signe de la seva derivada.
f ′(x )
X
2
18. Una funció polinòmica de tercer grau és la que té una expres-
+ 1 = 0 ⇒ x = ±1
(–∞, –1)
1
(x 2 + 1)2
A més, el denominador de f ′no s'anul·la mai, per la qual cosa
no hi ha punts de discontinuïtat.
x
0
–1
−x 2 + 1
Per tant, els zeros de f ′ són:
–x2
f (x ) = x 3
–1
(–1, 1)
1
(1, +∞)
+
0
–
0
m
M
Així, tenim que f és estrictament decreixent en (−∞, −1) ∪ (1, +∞)
i és estrictament creixent en (-1, 1).
D'altra banda, a la vista de la monotonia de la funció, podem
⎛
3 ⎞
concloure que f té un mínim relatiu en el punt ⎜ −1, − ⎟ i un
⎝
⎠
2
⎛
1 ⎞
màxim relatiu en ⎜1, − ⎟.
⎝
2 ⎠
14. Per exemple f (x ) = x 3 en x = 0:
f ′(x ) = 3x 2 i f ′(0) = 0
Tanmateix, es tracta d'un punt d'inflexió.
15. Sí. Per exemple, x | té un mínim relatiu en x = 0, on és contínua però no derivable (ja que és un punt angulós).
16. Sí, és possible, ja que el creixement o decreixement d'una
funció depèn del signe de la seva primera derivada, no del
signe de la pròpia funció. Per exemple, la funció f (x ) = – x + 3
entre – ∞ i 3.
f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d, a ≠ 0
Hem de trobar coeficients a, b, c i d perquè es compleixin les
condicions demanades.
• Passa pel punt (0, 1):
f (0) = 1 ⇒ d = 1
• Passa pel punt (1, 0):
f (1) = 0 ⇒ a + b + c + d = 0
• En el punt (1, 0) la recta tangent a la gràfica té un pendent
nul:
f ′(1) = 0 ⇒ 3a + 2b + c = 0
• El punt (1, 0) és un punt d'inflexió:
f ″(1) = 0 ⇒ 3a + b = 0
Resolem el sistema d'equacions:
d
a +b +c +d
3a + 2b + c
3a + b
=1
=0
=0
=0
⎫
⎪⎪
⎬ ⇒ a = −1, b = 3, c = −3, d = 1
⎪
⎪⎭
Així, doncs, la solució és: f (x ) = – x 3 + 3x 2 – 3x + 1.
19. a) 1. f (x ) = x 3 – x 2 – 8x, f ′(x ) = 3x 2 – 2x – 8, f ″(x ) = 6x – 2
Els zeros de f ″ són: 0 = 6x − 2 ⇔ x =
1
3
f ″ no té punts de discontinuïtat, per tant és polinòmica.
Y
2.Els intervals definits pels zeros (i els punts de disconti⎛
⎞
1 ⎞ ⎛ 1
nuïtat) de f ″ són ⎜ −∞,
⎟ i ⎜ , +∞ ⎟ .
⎝
⎠
⎝
⎠
3
3
f (x ) = − x + 3
3.Elaborem una taula en la qual indicarem la curvatura de
f a partir del signe de f ″:
x
0
X
17. Sí, i passarà sempre que la funció sigui creixent i derivable en
l'interval i que (a , f (a)) determini un punt d'inflexió.
210
f ″(x )
f (x )
⎛
1 ⎞
⎜ −∞,
⎟
⎝
3 ⎠
1
3
⎛ 1
⎞
⎜ , +∞ ⎟
⎝ 3
⎠
–
0
+
∃
N
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 11. APLICACIONS DE LES DERIVADES
⎛
1 ⎞
Per tant, la funció és còncava en ⎜ −∞,
⎟ i convexa en
⎝
3 ⎠
⎛ 1
⎞
⎜ , +∞ ⎟ .
⎝ 3
⎠
b) 1. g (x ) = x 3 – 3x + 2, g ′(x ) = 3x 2 – 3
g ″(x ) = 6x
Per tant, i és convexa en els intervals de la forma
((2k – 1)π, 2k π) i còncava en els de la forma
(2k π, (2k + 1)π), essent k ∈Z.
⎛
1
π ⎞
e) j (x) = cos ⎜ x −
i (x)
sin x =
⎟ = sen
⎝
2
2 ⎠
1
i ʹ′ʹ′(x) per la qual cosa j″ i i ″ tenen l'els
Els zeros de g ″ són: 0 = 6x ⇔ x = 0
Per tant j ʹ′ʹ′(x) =
g ″ és polinòmica, ja que no hi trobem punts de discontinuïtat.
mateix signe i els mateixos zeros. Així, tenen els mateixos
2.E ls intervals que hem de considerar són(– ∞, 0) i
(0, + ∞).
3. La taula de curvatura de g és:
x
k ″(x ) = e x (x + 2)
0
(0, + ∞)
–
0
+
k ″ és contínua, per tant no té punts de discontinuïtat.
∃
N
2. Hem de considerar els intervals (– ∞, – 2) i (– 2, + ∞).
g (x )
Per tant, g és còncava en (– ∞, 0) i convexa en
(0, + ∞).
hʹ′(x) =
hʹ′ʹ′(x) =
intervals de concavitat i convexitat.
f) 1. k (x ) = x e x, k ′(x ) = e x (x + 1),
(– ∞, 0)
g ″(x )
c) 1. h(x) =
2
Els zeros de k ″ són: 0 = e x (x + 2) ⇔ x = – 2
3. Elaborem la taula de curvatura de k:
x
x2
(– ∞, – 1)
–2
(– 2, + ∞)
–
0
+
k ″(x )
1− x
k (x )
2x − x 2
(1 − x)2
N
Així, doncs, k és còncava en (– ∞, – 2) i convexa en
(– 2, + ∞).
2
20. Hem de trobar els zeros de la derivada segona i estudiar el
(1 − x)3
h ″ no té zeros, ja que el numerador mai no s'anul·la.
signe de la derivada tercera (o de la primera derivada que no
s'anul·li a partir de la tercera) en aquests punts:
Els punts de discontinuïtat de h″ són els zeros del denominador:
a) • 0 = f ʹ′ʹ′(x) = 6x − 2 ⇔ x =
(1 – x )3 = 0 ⇔ x = 1
2.Els intervals que hem de considerar són (– ∞, 1) i
(1, + ∞).
3. Elaborem la taula de curvatura de h:
(– ∞, 1)
1
(1, + ∞)
h ″(x )
+
∃
–
h (x )
N
∃
x
Per tant, h és convexa en (– ∞, 1) i còncava en
(1, + ∞).
d) 1. i (x ) = 2 sin x , i ′(x ) = 2 cos x ,
i ″(x ) = – 2 sin x .
– 2 sin x = 0 ⇔ x = k π, k ∈Z.
i ″ no té discontinuïtats, ja que sin x és una funció contínua en R.
2. Hem de considerar els intervals:
1
.
3
1
b) • 0 = f ʹ′ʹ′(x) = 12x − 6 ⇔ x =
2
⎛ 1 ⎞
• f ʹ′ʹ′ʹ′(x) = 12, f ʹ′ʹ′ʹ′ ⎜ ⎟ = 12 > 0 ⇒ f té un punt d'inflexió
⎝ 2 ⎠
1
.
en x =
2
... ((2k – 1)π, 2k π) 2k π (2k π, (2k + 1)π) (2k + 1)π ...
i ″(x )
+
0
k (x )
N
∃
–
4
(x − 1)3
no té solució, per tant f ″ no té ze-
ros i, per tant, f no té punts d'inflexió.
1
( x 2 − 1 )3
no té solució, per tant f no té
punts d'inflexió.
3. Elaborem la taula de curvatura de i:
x
x =
d) • 0 = f ʹ′ʹ′(x) = −
(k π, (k + 1)π), k ∈Z
3
⎛ 1 ⎞
• f ʹ′ʹ′ʹ′(x) = 6, f ʹ′ʹ′ʹ′ ⎜ ⎟ = 6 > 0 ⇒ f té un punt d'inflexió en
⎝ 3 ⎠
c) • 0 = f ʹ′ʹ′(x) =
Els zeros de i″ són:
1
0
∃
e) • 0 = f ʹ′ʹ′(x) =
3x 4 − 24x
4( 2 − x 3 )3
⇔ 0 = 3x 4 − 24x ⇔
⇔ x = 0 o x = 2, però x = 2 no és del domini de f , per
tant només hem de considerar x = 0.
211
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 11. APLICACIONS DE LES DERIVADES
• f ʹ′ʹ′ʹ′(x) =
f ʹ′ʹ′ʹ′(0) =
3x 6 − 120x 3 − 96
8( 2 − x 3 )5
−96
8( 2
f) • 0 = f ʹ′ʹ′(x) = 2
• f ʹ′ʹ′ʹ′(x) =
b) 1. f (x ) = (x + 1)5, f ′(x ) = 5(x + 1)4
,
f ″(x ) = 20(x + 1)3
Els zeros de f ″ són:
< 0 ⇒ f té un punt d'inflexió en x = 0.
)5
sin x
sen
cos 3 x
0 = 20(x + 1)3 ⇔ x = – 1
Com que f ″ és polinòmica, no té discontinuïtats.
⇔ 0 = sen
sin x ⇔ x = k π, k ∈R.
2. E
ls intervals que hem de considerar són (– ∞, – 1) i
(– 1, + ∞).
sin 2 x
2 + 4 sen
f ʹ′ʹ′ʹ′(k π) =
3. L a taula de curvatura de f, completada amb els seus
punts d'inflexió, és:
cos 4 x
2 + 4 sen
2+0
sin 2 (k π)
=
=2>0⇒
cos 4 (k π)
1
x
i els punts de discontinuïtat, ja que és el signe de f ″ el que
ens permet estudiar la curvatura de f:
f ʹ′ʹ′(x) = 4 −
x
a) xlim
→0
1
x2
⇔x =±
1
2
, pero
però x = −
1
2
1
2
1 − 1 − x2
x2
1
= lim
2 1 − x2
x →0
∉ D(f )
PI
N
=
⎡ ∞ ⎤
ln x + 1 ⎡ ∞ ⎤
= ⎢ ⎥ = lim
= ⎢ ⎥ =
⎣ ∞ ⎦ x →+∞ e x
⎣ ∞ ⎦
ex
1
1
= lim x = lim
=0
x →+∞ e x
x →+∞ xe x
.
c)
lim x 2e −3x = [ ∞ ⋅ 0 ] = lim
x →+∞
x2
x →+∞
2x
= lim
x →+∞
3e 3x
⎡ ∞ ⎤
= ⎢ ⎥ =
⎣ ∞ ⎦
e 3x
2
⎡ ∞ ⎤
= ⎢ ⎥ = lim
=0
⎣ ∞ ⎦ x →+∞ 9e 3x
4
lim
4
d) lim ( 2x 2 − 1) x −1 = [1∞ ] = e x →1 x −1
( 2x 2 −1−1)
x →1
lim
⎛
1 ⎞
⎜ 0,
⎟
⎝
2 ⎠
1
2
⎛ 1
⎞
⎜ , +∞ ⎟
⎝ 2
⎠
–
0
+
N
⎛
1 ⎞
Per tant, f és còncava en ⎜ 0,
⎟ i convexa en
⎝
2 ⎠
⎛ 1
⎞
⎜ , +∞ ⎟ .
⎝ 2
⎠
D'altra banda, com que f és contínua, dels seus intervals de curvatura podem concloure que f té un punt
1
d'inflexió en x = :
2
23. lim
ln x
lim
= e ⎣ 0 ⎦ = e x →1
x −1
1− x
x →1
⎡ 0 ⎤
⎢ ⎥
8x 2 −8
= e x →1
3. La taula de curvatura de f és:
⎛ 1 1
⎞
PI = ⎜ ,
− ln 2 ⎟
⎝ 2 2
⎠
1 − x2
2x
x →+∞
⎛
⎞
1 ⎞ ⎛ 1
⎜ 0,
⎟ y ⎜ , +∞ ⎟
⎝
⎠
2 ⎠ ⎝ 2
f (x )
⎡ 0 ⎤
= ⎢ ⎥ = lim
⎣ 0 ⎦ x →0
1
=
2
x ln x
b) lim
2. E
ls intervals determinats en D(f ) = (0, + ∞) pels zeros i
discontinuïtats de f ″ són:
212
+
x
x2
Els punts de discontinuïtat de f són els zeros del deno1
: x 2 = 0 ⇔ x = 0, però x = 0 ∉ D (f ); per
minador de
x2
tant no cal considerar-lo.
f ″(x )
0
22. Aplicarem la regla de l'Hôpital en la resolució de tots els límits.
1
Aleshores, només té sentit el zero x =
x
–
Per tant, f té un punt d'inflexió en x = – 1,
PI = (– 1, 0), en el qual passa de ser còncava en
(– ∞, – 1) a ser convexa en (– 1, + ∞).
,
Els zeros de f ″ són:
0= 4−
(– 1, + ∞)
f (x )
21. Hem de calcular la derivada segona i determinar-ne els zeros
1
–1
f ″(x )
⇒ f té un punt d'inflexió en x = k π, k ∈ Z.
a) 1. f (x) = 2x 2 + ln x , f ʹ′(x) = 4x +
(– ∞, – 1)
= lim
x →1
16x
1
=
= e16
1
+1
0
x
=
=0
(ln x)2
1
− ln x −
En la resolució d'aquest límit es produeix un doble error. En la
primera igualtat, s'ha aplicat la regla de l'Hôpital de manera
errònia. Si l'apliquem correctament, tenim que
lim
x →1
1− x
⎡ 0 ⎤
(1 − x) '
−1
= ⎢ ⎥ = lim
= lim
= lim(−x)
⎣ 0 ⎦ x →1 (ln x) ' x →1 1 x →1
x
ln x
en comptes de
lim
x →1
1− x
ln x
1
− ln x −
+1
⎡ 0 ⎤
⎛ 1 − x ⎞'
x
= ⎢ ⎥ = lim ⎜
⎟ = lim
⎣ 0 ⎦ x →1 ⎝ ln x ⎠ x →1
(ln x)2
D'altra banda, la segona igualtat també és falsa. Mentre que
en la resolució posa
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 11. APLICACIONS DE LES DERIVADES
lim
x1 = 1,5, x2 = 1,416666…, x3 = 1,414215…, x4 = 1,414213…,
x5 = 1,414213…
1
+1
0
x
=
=0
(ln x)2
1
,
− ln x −
x →1
en realitat, si substituïm de manera adequada, obtenim
lim
1
+1
0
x
=
(ln x)2
0 ,
27. Per a calcular una arrel de l'equació e x =
− ln x −
x →1
Per tant, l'aproximació de 2 obtinguda aplicant el mètode
de Newton és 1,414213... .
24. Sí, qualsevol funció que sigui en el mateix interval creixent i
còncava tindrà una primera derivada positiva però decreixent
en aquest interval, ja que que la segona derivada serà negativa.
La seva derivada és f '(x) = e x +
mula del mètode de Newton és
RESOLUCIÓ D'EQUACIONS: Pàg. 318
MÈTODE DE NEWTON
25. Calcular una arrel de l'equació x 5 + 5x + 1 = 0 equival a trobar
un zero de la funció f (x) = x5 + 5x + 1. Com que
lim f (x) = lim (x 5 + 5x + 1) = −∞
x →−∞
,
lim f (x) = lim (x 5 + 5x + 1) = +∞
x →+∞
1
x2
, aplicarem el
1
x
.
, per la qual cosa la fór-
1
xn
1
+
x n2
e xn −
x n+1 = x n −
Per exemple, la funció f (x ) = – x 2 és creixent entre – ∞ i 0 però
la seva derivada, f ′(x ) = – 2x és decreixent.
x →−∞
x
mètode de Newton per a la funció f (x) = e x −
és a dir, una nova indeterminació.
2
1
e xn
Iniciant el procés amb el punt x0 = 1, obtenim aleshores la
successió:
x1 = 0,537882…, x2 = 0,566277…, x3 = 0,567142…, x4 =
0,567143…, x5 = 0,567143…
Així, doncs, podem concloure que r = 0,567143… és una
1
.
solució de l'equació e x =
x
28. Activitat TIC.
x →+∞
i en ser la funció f contínua en R, pel teorema de Bozen, podem assegurar que la funció té almenys un zero. A més, com
que
f′(x) =
5x4
+5>0
en tot R, la funció és creixent en tot el seu domini i podem
afirmar d'aquesta manera que la funció talla l'eix d'abscisses
en un únic punt.
Per a tractar de localitzar aquest zero de f, utilitzarem el mètode de Newton amb punt inicial x0 = –1. Prèviament, tenint en
compte la funció f i la seva derivada f ′, tenim que l'expressió
de la fórmula del mètode de Newton és la següent:
x n+1 = x n −
x n5 + 5x n + 1
5x n4
+5
Així, prenent x0 = –1 i si substituïm en la fórmula anterior, tenim que
= –0,5, x 2 = –0,211764…, x 3 = –0,200004…, x 4 =
–0,199936…, x5 = –0,199936…
3OPTIMITZACIÓ DE FUNCIONS
29. La finestra deixarà passar la màxima quantitat de llum quan la
seva superfície sigui màxima.
Considerem x i y les dimensions de la finestra. La seva superfície és:
S = xy
De l'enunciat deduïm que la longitud del marc, és a dir, el
perímetre, ha de ser de 4 m.
2x + 2y = 4 ⇒ yi = 2 – x
Així, doncs, la superfície és:
S = x (2 – x ) = 2x – x 2
Calculem els extrems de la funció S (x ). Per a fer-ho, en trobem la derivada:
x 1
Per tant, una aproximació de l'arrel de l'equació x5 + 5x + 1 =
0 és r = –0,199936…
26. Sabem que
2 és una de les solucions de l'equació
x2 – 2 = 0. Per a calcular una aproximació de 2 , només cal
aplicar el mètode de Newton a la funció f (x) = x 2 – 2.
Tenim que la seva derivada és f ′(x) = 2x, per la qual cosa la
fórmula del mètode de Newton és:
x n+1 = x n −
x n2 − 2
2x n
Així, doncs, prenent com a punt inicial x0 = 2, obtenim els
punts següents:
Pàg. 318 i 319
S ′(x ) = 2 – 2x
i resolem l'equació S ′(x ) = 0:
2 – 2x = 0 ⇒ x = 1 ⇒ y = 2 – x = 1 ⇒ S (1) = 1
Trobem el valor de la segona derivada de S (x ) per a x = 1:
S ″(x ) = – 2 ⇒ S ″(1) < 0
Per tant, la finestra deixarà passar la màxima llum si és una
finestra quadrada de dimensions 1 m × 1 m.
30. 1.La funció que volem optimitzar és la que ens dóna la superfície del camp.
Si anomenem b la longitud del costat del terreny que dóna
al camí i h la d'un dels costats que comencen en el camí,
l'expressió analítica de la funció és:
213
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 11. APLICACIONS DE LES DERIVADES
32. El preu de la fusta serà: p (t ) = 4 – 0,125 (t – t0). El preu de
S (b, h) = b · h
2. Podem relacionar les variables a partir del coneixement del
cost de la tanca:
venda de la fusta serà el producte del preu per metre cúbic
multiplicat pel volum. Així, doncs:
P (t ) = V (t ) · p (t )
Terreny
P (t ) = i 0,05 t · [4 – 0,125 (t – t0)]
Trobem la primera derivada del preu total i la igualem a zero
per a determinar els extrems relatius.
Camí
1 800 = 5b + 0,625b + 0,625h + 0,625h
1 800 = 5,625b + 1,25h
P ′(t ) = 0,05 · e0,05 t [4 – 0,125 (t – t0)] + e0,05 t · (– 0,125)
P ′(t ) = e0,05 t [0,05 · 4 – 0,05 · 0,125 (t – t0) – 0,125]
aleshores,
h=
−5,625 b + 1800
1,25
= −4,5b + 1440
Per tant, l'expressió de la funció que s'optimitzarà depenent d'una sola variable és:
S (b ) = b · h = b · (– 4,5b + 1 440)
3. Busquem els extrems relatius de S(b ):
P ′(t ) = 0 ⇔ 0,2 – 6,25 · 10 –3 (t – t0) – 0,125 = 0
P ʹ′(t ) = 0 ⇔ t − t 0 =
0,075
6,25 ⋅ 10− 3
; t = t 0 + 12
Calculem la segona derivada per a determinar si es tracta
d'un màxim.
P ′(t ) = e0,05 t [0,075 – 6,25 · 10 –3 (t – t0)]
0 = S ′(b ) = 1 · (– 4,5b + 1 440) + b (– 4, 5) =
= – 9b + 1 440 ⇔ b = 160
Fem la comprovació que b = 160 correspon a un màxim
de S:
P ″(t ) = 0,05 · e0,05 t [0,075 – 6,25 · 10 –3 (t – t0)] +
+ e0,05 t (– 6,25 · 10 –3)
P ″(t ) = e0,05 t[– 2,5 · 10 –3 – 3,125 · 10 –4 (t – t0)]
S ″(b ) = – 9 ⇒ S ″(160) < 0 ⇒ b = 160 és un màxim relatiu.
P ″(t0 + 12) = e0,05 (t 0+12) · (– 0,006 25) < 0 ⇒
Com que S és derivable i no té més extrems relatius,
b = 160 és també un màxim absolut.
El moment més rendible per a talar els arbres serà 12 anys
després que el seu preu sigui 4 €/m3.
La superfície màxima que podem trobar és:
S (160) = 160 · (– 4,5 · 160 + 1 440) = 115 200 m2
31. S (t ) =
– 0,2 (2t 3
–
45t 2
– 4 200t – 60) =
S ′(t ) =
– 1,2t 2
– 0,4t 3
+
9t 2
+ 840t + 12
+ 18t + 840
Trobem els punts que anul·len S ′.
S ′(t ) =
– 1,2t 2
+ 18t + 840 = 0 ⇔
15 ± 152 + 4 ⋅ 700
2
33. 1.La funció que volem optimitzar és la que ens dóna el valor
de la maragda després de dividir-la, que dependrà del pes
de cada tros.
Si anomenem x el pes d'un tros i y el pes de l'altre, podem
expressar analíticament aquesta funció:
V (x, y) = k · x 2 + k · y 2 = k · (x 2 + y 2)
⇔ t 2 – 15t – 700 = 0 ⇔
⇔t =
⇒ és un màxim
=
 t = 35
 t = −20
essent k ∈ R+ la constant de proporcionalitat que ens dóna
el valor d'un tros de maragda a partir del quadrat del seu
pes.
2. Podem transformar V (x, y) en funció d'una sola variable si
imposem que el tros de maragda que es vol dividir pesa 16
g:
La solució t = – 20 no és vàlida perquè no té sentit un temps
negatiu.
16 = x + y ⇒ y= 16 – x
S ″(t) = – 2,4t + 18 ⇒ S ″(35) = – 66 < 0
Així, V (x, y) té aquesta expressió analítica com a funció de
x :
Calculem l'interval de temps que considerem, si som a l'any
2000:
2000 – 1945 = 55
Així, doncs, estem considerant S (t ) en l'interval [0, 55].
Hem vist que en (0, 55) S tan sols té un extrem relatiu i sabem
pel teorema de Weierstrass que ha de tenir un màxim i un
mínim absoluts en [0, 55]. Per aquesta raó, en considerem
els extrems:
S (0) = 12; S (35) = 23 287; S (55) = 6 887
Per tant, el nombre mínim de socis va ser 12 i el màxim
23 287.
214
V (x ) = k (x 2 + y2) = k (x 2 + (16 – x )2) =
= k (2x 2 – 32x + 256)
3. Busquem els extrems relatius de V :
V ′(x ) = k (4x – 32), V ′(x ) = 0 ⇔ x = 8
Com que 2k > 0, la gràfica de V és una paràbola amb les
branques cap a dalt, per tant x = 8 correspon al vèrtex, que
és un mínim absolut.
Perquè el valor final de la maragda sigui mínim, l'hem de dividir en dos trossos de 8 g cadascun (i perquè sigui màxim, no
l'hem de dividir).
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 11. APLICACIONS DE LES DERIVADES
4
REPRESENTACIÓ GRÀFICA Pàg. 319
DE FUNCIONS
7. Curvatura i punts d'inflexió:
f ″(x ) = 6x – 2
f ʹ′ʹ′(x) = 0 ⇔ x =
34. a) 1. Domini: D (f ) = R, ja que f és polinòmica.
2. Talls amb els eixos:
0 = f (x ) = x 3 – x 2 – 8x ⇔
1+
33
x
= 3,37,
2
1−
x =
33
f (0) =
03
–
02
–8·0=0
3. S
igne: Considerem els intervals determinats pels zeros
de f, ja que no té discontinuïtats en ser f polinòmica, i
veiem, per tant, quin és el seu signe en cadascun dels
intervals:
x
(– ∞, – 2,37)
– 2,37
(– 2,37, 0)
–
0
+
f (x )
1
–
0
+
PI
N
3
f (x )
—— Amb l'eix OY:
⎛ 1
⎞
⎜ , +∞ ⎟
⎝ 3
⎠
⎛
1 ⎞
⎜ −∞,
⎟
⎝
3 ⎠
f ″(x )
= −2,37 y x = 0
2
3
Com que f ″ no té discontinuïtats en ser polinòmica, els
intervals que hem de considerar són els que defineixen
els seus zeros, és a dir:
—— Amb l'eix OX:
⇔x =
1
⎛
1 ⎞
Per tant, f és còncava en l'interval ⎜ −∞,
⎟, és convexa
⎝
3 ⎠
⎛ 1
⎞
en l'interval ⎜ , +∞ ⎟ i té un punt d'inflexió en
⎝ 3
⎠
1
x =
.
3
Amb aquesta informació, en podem elaborar la gràfica:
Y
f (x ) = x 3 − x 2 − 8 x
5
x
0
(0, 3,37)
3,37
(3,37, + ∞)
f (x )
0
–
0
–
0
–5
5
10
X
4. Simetries i periodicitat: No en té, per tant:
–5
f (– x ) ≠ f (x ) ≠ – f (– x )
5. Asímptotes i branques infinites:
–10
f no té asímptotes ja que és una funció polinòmica no
constant ni lineal.
f té branques infinites en + ∞ i – ∞, ja que:
b) 1. Domini: D (g ) = R, ja que g és polinòmica.
2. Talls amb els eixos:
lim f (x) = +∞, lim f (x) = −∞
x →+∞
x →−∞
—— Amb l'eix OX:
6. Monotonia i extrems relatius:
0 = g (x ) = x 3 – 3x + 2 ⇔
Calculem f ′ i n’estudiem el signe en els intervals determinats pels zeros i els punts de discontinuïtat:
—— Amb l'eix OY:
f ′(x ) = 3x 2 – 2x – 8
f ʹ′(x) = 0 ⇔ x = 2 y x = −
g (0) = 0 3 – 3 · 0 + 2 = 2
4
3
Com que f′ no té discontinuïtats en ser polinòmica, considerem la taula:
x
f ′(x )
f (x )
⎛
4 ⎞
⎜ −∞,
⎟
⎝
3 ⎠
+
−
4
3
0
M
⇔ x = 1 i x = –2
⎛ 4
⎞
⎜ – , 2 ⎟
⎝ 3
⎠
2
(2, + ∞)
–
0
+
m
⎛
4 ⎞
Així, f és estrictament creixent en ⎜ −∞, − ⎟ i en
⎝
3 ⎠
⎛ 4
⎞
(2, + ∞), i és estrictament decreixent en ⎜ − , 2 ⎟ .
⎝ 3
⎠
3.Signe: Com que g és polinòmica considerem els intervals donats pels zeros de g i calculem el signe en
aquests intervals:
x
g (x )
(– ∞, – 2)
–2
(– 2, 1)
1
(1, + ∞)
–
0
+
0
+
4. Simetries i periodicitat: No en té, ja que:
g (– x ) ≠ g (x ) ≠ – g (– x )
5. Asímptotes i branques infinites:
g no té asímptotes en ser polinòmica de grau major que
1.
g té branques infinites en + ∞ i – ∞, ja que:
215
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 11. APLICACIONS DE LES DERIVADES
3.Signe: Considerem els intervals determinats pel seu
únic zero, x = 0 i el seu únic punt de discontinuïtat,
x = 1.
lim g (x) = +∞ , lim g (x) = −∞
x →+∞
x →−∞
6. Monotonia i extrems relatius:
Calculem g ′ i n'estudiem el signe en els intervals donats
pels zeros, ja que no té discontinuïtats:
x
0
(0, 1)
1
(1, + ∞)
+
0
–
∃
–
h (x )
g ′(x ) = 3x 2 – 3
g ′(x ) = 0 ⇔ x = – 1 i x = 1
(– ∞, 0)
4. Simetries i periodicitat: No en té, ja que:
Així, considerem la taula següent:
x
h (– x ) ≠ h (x ) ≠ – h (– x )
(– ∞, – 1)
–1
(– 1, 1)
1
(1, + ∞)
+
0
–
0
+
g ′(x )
g (x )
M
5. Asímptotes i branques infinites:
• La recta x = 1 és una asímptota vertical, ja que:
lim h(x) = ∞
x →1
m
Per tant, g és estrictament creixent en (– ∞, – 1) i (1,
+ ∞), estrictament decreixent en (– 1, 1) i presenta un
màxim en x = – 1 i un mínim en x = 1.
• h no té asímptotes horitzontals, ja que:
lim h(x) = −∞, lim h(x) = +∞
x →+∞
• A.O.:
7. Curvatura i punts d'inflexió:
Calculem g ″ i n'estudiem el signe en els intervals donats
pels seus zeros, ja que no té discontinuïtats en ser polinòmica:
h(x)
lim
x →±∞
0
(0, + ∞)
–
0
+
g ″(x )
⎛ x 2
⎞
= lim ⎜
+ x ⎟ =
x →±∞ ⎝ 1 − x
⎠
x2 + x − x2
= lim
1− x
x →±∞
g (x )
PI
N
Per tant, g és còncava en (– ∞, 0), convexa en
(0, + ∞) i en x = 0 presenta un punt d'inflexió.
Així, doncs, podem representar la gràfica de g :
Y
= lim
x →±∞
= −1
Així, y = – x – 1 és asímptota obliqua de h, pels dos
costats.
Calculem h ′ i considerem els intervals donats pels seus
zeros i les seves discontinuïtats:
3
⎛ x 2
hʹ′(x) = ⎜
⎝ 1 − x
2
g ( x ) = x 3 − 3x + 2
=
1
0
–1
x
1− x
=
6. Monotonia i extrems relatius:
4
–3
= −1 = a
x − x2
x →±∞
x →±∞
Així, doncs, en resulta la taula següent:
(– ∞, 0)
x
x2
= lim
lim (h(x) − (−x)) =
g ″(x ) = 6x ⇒ g ″(x ) = 0 ⇔ x =0
x
x →−∞
1
2
3
–1
2x (1 − x) − x 2 (−1)
(1 − x)2
⎞ʹ′
⎟ =
⎠
=
2x − x 2
(1 − x)2
h ′(x ) = 0 ⇔ x = 0 i x = 2
X
h ′ té una discontinuïtat en x = 1
Així, doncs, considerem la taula següent:
c) 1. Domini:
D (h ) = {x ∈ R | 1 – x ≠ 0} = R – {1}
h ′(x )
2. Talls amb els eixos:
h (x )
—— Amb l'eix OX:
h (x ) = 0 ⇔
x2
h(0) =
(– ∞, 0)
0
(0, 1)
1
(0, 1)
2
(0, + ∞)
–
0
+
∃
+
0
–
m
∃
M
=0⇔x=0
—— Amb l'eix OY:
216
x
02
1− 0
=0
Així, doncs, h és estrictament creixent en (0,1) i (1, 2) i
estrictament decreixent en (– ∞, 0) i (2, + ∞). A més,
presenta en x = 0 un mínim relatiu i en x = 2 un màxim
relatiu.
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 11. APLICACIONS DE LES DERIVADES
7. Curvatura i punts d'inflexió:
Calculem h ″, els seus zeros i discontinuïtats i, a partir
d'aquests punts, determinem els intervals on estudiem
el signe de h ″.
⎞ʹ′
⎟ =
⎠
⎛ 2x − x 2
hʹ′ʹ′(x) = ⎜
⎝ (1 − x)2
=
(2 − 2x)(1 − x)2 − (2x − x 2 ) 2(1 − x)(−1)
(1 − x)4
=
h ″(x )
+
h (x )
N
x →−∞
6. Monotonia i extrems relatius:
2
1
f no té asímptotes, ja que és una funció polinòmica no
constant ni lineal.
x →+∞
=
(1 − x)3
(– ∞, 1)
5. Asímptotes i branques infinites.
f té sengles branques infinites en + ∞ i – ∞,
lim f (x) = +∞ y lim f (x) = −∞. ja que
Com que h ″ no té zeros i té una discontinuïtat en
x = 1, en resulten aquests intervals:
x
4.S imetries i periodicitat: No en té, ja que f (– x ) ≠
≠ f (x ) ≠ – f (– x ) per a algun x .
Hem de calcular f ′ i estudiar-ne el signe en els intervals
determinats pels seus zeros i els seus punts de discontinuïtat:
f ′(x ) = (2x 3 + 3x 2 – 12x + 7) ′ = 6x 2 + 6x – 12
Els zeros de f ′ són:
(1, + ∞)
0 = 6x 2 + 6x – 12 ⇔ x = – 2 o x = 1
–
Així, h és convexa en (– ∞, 1) i còncava en (1, + ∞).
Com que f ′ és polinòmica, no té discontinuïtat, per tant
els intervals que hem de considerar són:
x
Per tant, la representació gràfica de h és:
f ′(x )
Y
x2
h (x ) =
1− x
7
(– ∞, – 2)
–2
(– 2, 1)
1
(1, + ∞)
+
0
–
0
+
f (x )
M
m
5
Així, doncs, f és estrictament creixent en (– ∞, – 2), té un
màxim relatiu en (– 2, 27), decreix estrictament entre
– 2 i 1, arriba a un mínim relatiu en (1, 0) i torna a créixer estrictament en (1, + ∞).
3
1
–9
–7
–5
0
–1
–1
–3
3
5
7
9
X
7. Curvatura i punts d'inflexió:
–3
–7
Hem de calcular f ″ i estudiar el seu signe en els intervals determinats pels seus zeros i els seus punts de
discontinuïtat:
–9
f ″(x ) = (6x 2 + 6x – 12) ′ = 12x + 6
–5
Els zeros de f ″ són: 0 = 12x + 6 ⇔ x = −
35. Estudiem els set aspectes útils per a fer la representació de
cadascuna de les funcions:
2. Talls amb els eixos:
x
—— Amb l'eix OX:
0 = f (x ) = 2x 3 + 3x 2 – 12x + 7 ⇔
f ″(x )
7
f (x )
2
ó x =1
—— Amb l'eix OY:
3.Signe: Considerem els intervals determinats pels zeros i
els punts de discontinuïtat de f i veiem quin és el seu
signe en cadascun:
f (x )
⎛
7 ⎞
⎜ −∞, − ⎟
⎝
2 ⎠
–
−
7
2
0
⎛
1 ⎞
⎜ −∞, − ⎟
⎝
2 ⎠
2
⎛ 1
⎞
⎜ − , +∞ ⎟
⎝ 2
⎠
0
+
PI
N
−
–
1
⎛
1 ⎞
Per tant, f és còncava en l'interval ⎜ −∞, − ⎟ , té un
⎝
2 ⎠
f (0) = 2 · 03 + 3 · 02 – 12 · 0 + 7 = 7
x
2
Com que f ″ és polinòmica, no té discontinuïtats, per
tant els intervals que hem de considerar són:
a) 1. Domini: D (f ) = R, ja que f és polinòmica.
⇔x =−
1
⎛ 7
⎞
⎜ − , 1⎟
⎝ 2
⎠
1
(1, + ∞)
+
0
+
⎛ 1 27
, PI = ⎜ − ,
⎝ 2 2
2
⎛ 1
⎞
ser convexa en l'interval ⎜ − , +∞ ⎟.
⎝ 2
⎠
punt d'inflexió en x = −
1
⎞
⎟ , i passa a
⎠
Amb aquesta infomació, podem elaborar una gràfica
com la que s'adjunta:
217
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 11. APLICACIONS DE LES DERIVADES
Els zeros de f ″ són:
Y
40
x
10
0
–10
3
= 0,42 o x = 1 +
3
= 1,58
3
Com que f ″ és polinòmica, no té discontinuïtats. Per
tant, els intervals de curvatura de f són:
30
–20
3
f ʹ′ʹ′(x) = 0 ⇔ x = 1 −
f (x ) = 2x 3 + 3x 2 − 12x + 7
10
20
⎛
3
⎜⎜ −∞, 1 −
3
⎝
3
+
0
f (x )
N
PI
–10
3
1+
x
3
⎛
⎜⎜1 –
⎝
3
f ″(x )
X
b) 1. Domini: D (f ) = R, ja que f és polinòmica.
⎞
⎟⎟ 1 −
⎠
3
3
3 ⎞
⎟
3 ⎟⎠
, 1+
–
⎛
⎜⎜1 +
⎝
⎞
, +∞ ⎟⎟
⎠
3
3
f ″(x )
0
+
f (x )
PI
N
Els punts d'inflexió de f són, d'acord amb aquesta taula:
2. Talls amb els eixos:
PI = (0,42, – 8,56), PI = (1,58, – 8,56)
—— Amb l'eix OX:
La gràfica que podem elaborar de f a partir d'aquestes
dades és:
0 = f (x ) ⇔ x = – 1 o x = 3
—— Amb l'eix OY:
Y
f (0) = 0 4 – 4 · 0 3 + 4 · 0 2 – 9 = – 9
9
3.Signe: Si considerem els intervals determinats pels zeros de f (ja que no té punts de discontinuïtat):
7
5
x
(– ∞, – 1)
–1
(– 1, 3)
3
(3, + ∞)
+
0
–
0
+
f (x )
1
–5
0
–3
4.Simetries i periodicitat: No en té, ja que f (– x ) ≠ f (x ) ≠
≠ – f (– x ) per a algun x .
Com que lim f (x) = +∞, f té branques infinites pels
x →±∞
dos costats.
f ′(x ) =
4x 3
–
12x 2
9
X
–7
–10
c) 1. Domini: D (f ) = R, ja que f és polinòmica.
—— Amb l'eix OX:
+ 8x
f (x ) = 0 ⇔ x 8 – 1 = 0 ⇔ x = ± 1
Els zeros de f′ són: f ′(x ) = 0 ⇔ x = 0, x = 1 o x = 2. Com
que f ′ és polinòmica, no té discontinuïtats. Per tant, els
intervals de monotonia de f són:
(– ∞, 0)
0
(0, 1)
1
(1, 2)
2
(2, + ∞)
–
0
+
0
–
0
+
m
M
m
Els extrems relatius de f són, d'acord amb aquesta taula:
—— Amb l'eix OY:
f (0) = 0 8 – 1 = – 1
3.Signe: Elaborem una taula amb els intervals determinats
pels zeros de f:
x
f (x )
(– ∞, – 1)
–1
(– 1, 1)
1
(1, + ∞)
+
0
–
0
+
4. Simetria i periodicitat:
m = (0, – 9), M = (1, – 8), m = (2, – 9)
7. Intervals de curvatura i punts d'inflexió:
f ″(x ) = 12x 2 – 24x + 8
218
7
2. Talls amb els eixos:
6. Intervals de monotonia i extrems relatius:
f (x )
5
–5
f és polinòmica de grau major que 1, per tant no té
asímptotes.
f ′(x )
1
–3
5. Asímptotes i branques infinites:
x
f (x ) = x 4 − 4 x 3 + 4 x 2 − 9
3
f (x ) = f (– x ) ⇒ f parell
No és periòdica.
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 11. APLICACIONS DE LES DERIVADES
5. Asímptotes i branques infinites:
—— Amb l'eix OY:
• No té asímptotes ja que és una funció polinòmica.
• Té branques infinites ja que:
6. Intervals de monotonia i extrems:
x
f ′(x ) = 8x 7 ⇒ f ′(x ) = 0 ⇔ x = 0
Així, com que f′ és contínua, els intervals que hem de
considerar són els que ens dóna el seu únic zero:
(– ∞, 0)
0
(0, + ∞)
–
0
+
f ′(x )
f (x )
=
0−2
1
2
3.Signe: Elaborem una taula amb els intervals determinats
pels zeros i discontinuïtats de f:
lim f (x) = +∞
x →±∞
x
0 −1
f (0) =
(– ∞, 1)
1
(1, 2)
2
(2, + ∞)
+
0
–
∃
+
f (x )
4. Simetria i periodicitat:
No és simètrica, ja que f (– x ) ≠ f (x ) ≠ – f (– x ), ni tampoc
periòdica.
5. Asímptotes i branques infinites:
m
• La recta x = 2 és una asímptota vertical, ja que:
Així, doncs, f té un mínim en x = 0, és estrictament creixent en (0, + ∞) i estrictament decreixent en
(– ∞, 0).
7. Intervals de curvatura i punts d'inflexió:
f ″(x ) = 56x 6 ⇒ f ″(x ) = 0 ⇔ x = 0
Com que f ″ és contínua, hem de considerar els intervals
donats pel zero de f ″.
lim f (x) = ∞
x →2
x −1
= 1, per tant y = 1 és una asímptota hox −2
ritzontal de f pels dos costats.
• xlim
→±∞
• No té asímptotes obliqües ni branques infinites, ja
que té una asímptota horitzontal pels dos costats.
6. Intervals de monotonia i extrems:
x
(– ∞, 0)
0
(0, + ∞)
f ″(x )
+
0
+
f (x )
N
f ʹ′(x) =
N
Així, doncs, f és convexa en (– ∞, 0) < (0, + ∞), per la
qual cosa no té punts d'inflexió.
A partir d'aquesta informació es pot representar gràficament la funció f :
−1
(x − 2)2
Com que f ′(x ) < 0 ∀ x ∈ D (f ′) = R – {2}, f és estrictament decreixent en (– ∞, 2) i en (2, + ∞), per tant no té
extrems.
7. Intervals de curvatura i punts d'inflexió:
f ʹ′ʹ′(x) =
Y
2
(x − 2)3
Com que f ″(x ) = 0 no té solució, no existeixen punts
d'inflexió, i els intervals de curvatura vindran determinats únicament per les discontinuïtats:
4
f (x ) = x − 1
8
3
x
(– ∞, 2)
2
(2, + ∞)
–
∃
+
∃
N
f ″(x )
2
f (x )
1
Per tant, f és còncava en (– ∞, 2) i convexa en (2, + ∞).
0
–2
2
X
Així, amb tota la informació, la gràfica de f és:
Y
6
4
d) 1. Domini:
f (x ) =
D (f ) = {x ∈ R | x – 2 ≠ 0} = R – {2}
x −1
x −2
2
2. Talls amb els eixos:
—— Amb l'eix OX:
O = f (x) =
–4
x −1
x −2
⇔ x −1 = 0 ⇔
⇔x=1
–2
0
4
6
8
X
2
4
219
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 11. APLICACIONS DE LES DERIVADES
f ″ no té zeros, ja que el seu numerador és constant, i
només té una discontinuïtat, en x = 4; per tant, els intervals de curvatura són els que apareixen en la taula de la
dreta.
e) 1. Domini: Com que f és racional, el seu domini és:
D (f ) = R – {x ∈R | x – 4 = 0} = R – {4}
2. Talls amb els eixos:
—— Amb l'eix OX:
x
0 = f (x ) ⇔ x 2 – 8x + 12 = 0 ⇔ x = 2 o x = 6
—— Amb l'eix OY:
02 − 8 ⋅ 0 + 12
f (0) =
4
(4, + ∞)
f ″(x )
+
∃
–
f (x )
N
∃
= −3
0−4
3.Signe: Si considerem els intervals definits pels punts de
discontinuïtat i els zeros de f en el seu domini:
x
(– ∞, 4)
La gràfica que podem elaborar amb tota aquesta informació és:
Y
(– ∞, 2)
2
(2, 4)
(4, 6)
6
(6, + ∞)
7
–
0
+
0
0
+
5
−
4
f (x )
y
=
x
3
4.Simetries i periodicitat: No en té, ja que f (– x ) ≠ f (x ) ≠
– f (– x ); per a algun x .
1
5. Asímptotes i branques infinites:
–5
0
–1
–1
–3
1
3
5
6
8
10
f (x ) =
x 2 − 8 x + 12
x −4
X
• La recta x = 4 és una asímptota vertical, ja que
lim f (x) = ∞.
x →4
–5
• f no té asímptotes horitzontals, ja que
lim f (x) = ±∞ .
–7
x →±∞
f (x)
• a = lim
x
x →±∞
x 2 − 8x + 12
= lim
x 2 − 4x
x →±∞
=1
f) 1. Domini:
⎛ x 2 − 8x + 12 − x 2 + 4x ⎞
b = lim (f (x) − ax) = lim ⎜
⎟ =
x →±∞
x →±∞ ⎝
⎠
x −4
−4x + 12
= lim
2. Talls amb els eixos:
—— Amb l'eix OX:
= −4
x −4
x →±∞
D (f ) = R – {x ∈ R | x 2 – 2x = 0} = R – {0, 2}
Per tant, la recta y = x – 4 és asímptota obliqua pels dos
costats.
0 = f (x ) ⇔ (x – 1) 3 = 0 ⇔ x = 1
—— Amb l'eix OY:
f no talla l'eix d'ordenades, ja que:
6. Intervals de monotonia i extrems relatius:
f ʹ′(x) =
(2x − 8) ⋅ (x − 4) − (x 2 − 8x + 12) ⋅ 1
4)2
(x −
x 2 − 8x + 20
=
0 ∉ D (f ) ⇒ ∃ f (0)
=
3.Signe: Si considerem els intervals determinats pels zeros i els punts de discontinuïtat de f:
(x − 4)2
f ′ no té zeros, ja que x 2 – 8x + 20 és irreductible, i té
una discontinuïtat en x = 4, per tant, els intervals que
hem de distingir són els que apareixen en la taula de la
dreta.
x
(– ∞, 4)
4
(4, + ∞)
+
∃
+
f ′(x )
f (x )
x
(– ∞, 0)
(0, 1)
1
(1, 2)
(2, + ∞)
–
+
0
–
+
f (x )
4.Simetries i periodicitat: No en té, ja que f (– x ) ≠ f (x ) ≠
≠ – f (– x ) per a algun x .
5. Asímptotes i branques infinites:
• x = 0 i x = 2 són asímptotes verticals, ja que:
∃
lim f (x) = lim f (x) = ∞
x →0
• f no té asímptotes horitzontals, ja que:
7. Intervals de curvatura i punts d'inflexió:
f ʹ′ʹ′(x) =
(2x − 8) ⋅ (x −
4)2
=−
220
−
(x 2
− 8x + 20) 2(x − 4)
(x − 4)4
8
(x − 4)3
x →2
lim f (x) = ±∞
=
x →±∞
• a = lim
x →±∞
f (x)
x
= lim
x →±∞
(x − 1)3
x 3 − 2x 2
=1
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 11. APLICACIONS DE LES DERIVADES
Amb tota aquesta informació, elaborem la gràfica següent:
b = lim (f (x) − ax) =
x →±∞
⎛ (x − 1)3
⎞
= lim ⎜
− 1x ⎟ =
x →±∞ ⎝ x 2 − 2x
⎠
Y
4
−x 2 + 3x − 1
= lim
x →±∞
=
3
(x ) =
= −1
x 2 − 2x
Per tant, y = x – 1 és asímptota obliqua pels dos costats.
–3
2
(x − 1)3
x 2 − 2x
–2
1
X
0
–1
6. Intervals de monotonia i extrems relatius:
f ʹ′(x) =
=
x
x 2 − 2x
x →±∞
y
= lim
−1
x 3 − 3x 2 + 3x − 1 − x 3 + 2x 2
1
3
4
5
6
–2
3(x − 1)2 ⋅ (x 2 − 2x) − (x − 1)3 ⋅ (2x − 2)
(x 2 − 2x)2
=
x 4 − 4x 3 + 3x 2 + 2x − 2
=
(x 2 − 2x)2
g) 1. Domini: D (f ) = R, ja que x 2 i e x tenen com a domini R.
Els zeros de f ′ són:
2. Talls amb els eixos:
—— Amb l'eix OX:
0 = f ′(x ) ⇔ 0 = x 4 – 4x 3 + 3x 2 + 2x – 2 ⇔
⇔x=1–
0 = f (x ) = x 2e x ⇔ x = 0
3 = – 0,73
—— Amb l'eix OY:
3 = 2,73
x=1ox=1+
f (0) = 0 2 · e 0 = 0
Els punts de discontinuïtat de f ′ són els zeros del denominador:
(x 2 – 2x )2 = 0 ⇔ x 2 – 2x = 0 ⇔
3.Signe: Com que fno té discontinuïtats, hem de considerar els intervals definits pels seus zeros:
4.Simetries i periodicitat: No en té, ja que f (– x ) ≠ f (x ) ≠
≠ – f (– x ) per a algun x .
⇔x=0ox=2
Els intervals de monotonia són, finalment, aquells que
apareixen determinats pels zeros i els punts de discontinuïtat de f ′:
5. Asímptotes i branques infinites:
• f no té asímptotes verticals, ja que:
lim f (x) = f (a), ∀ a ∈ R
x →a
x
(– ∞, – 0,73)
– 0,73
(– 0,73, 0)
(0, 1)
1
+
0
–
0
0
f ′(x )
f (x )
• f no té asímptota horitzontal per la dreta, ja que
lim x 2e x = +∞ , però y = 0 és asímptota horitzontal
x →+∞
per l'esquerra:
M
lim x 2e x = lim
x
f ′(x )
f (x )
(1, 2)
(2, 2,73)
2,73
(2,73, + ∞)
–
–
0
+
x →−∞
x →−∞
∞·0
m
= lim
x →−∞
Els punts x = – 0,73 i x = 2,73 corresponen a extrems
relatius:
Donada la complexitat dels càlculs que hem d'efectuar,
efectuarem la representació gràfica prescidint d'aquest
punt.
Observem, tanmateix, que com que f ′(1) = 0 i
x = 1 no és un extrem relatiu, x = 1 ha de ser un punt
d'inflexió, PI = (1, 0).
e−x
= lim
x →−∞
2x
−e − x
L’Hôpital
=
L’Hôpital
= lim 2e x = 0
x →−∞
• f no té asímptota obliqua per la dreta, ja que:
a = lim
M = (– 0,73, – 2,60), m = (2,73, 2,60)
7. Intervals de curvatura i punts d'inflexió:
2
x2
e−x
x →+∞
x 2e x
x
= lim xe x = +∞
x →+∞
• f té una branca infinita per la dreta, ja que
lim x 2e x = +∞ .
x →+∞
6. Intervals de monotonia i extrems relatius:
f ′(x ) = (x 2e x) ′ = 2xe x + x 2e x = e x (x 2 + 2 x )
Els zeros de f ′ són: f ′(x ) = 0 ⇔ x = – 2 o x = 0.
221
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 11. APLICACIONS DE LES DERIVADES
Com que f ′ és contínua, els intervals de monotonia de f
són els determinats pels zeros de f ′:
x
(0, 1)
1
(1, + ∞)
–
0
+
f (x )
x
(– ∞, – 2)
–2
(– 2, 0)
0
(0, + ∞)
+
0
–
0
+
f ′(x )
f (x )
M
m
Els extrems relatius són M = (– 2, 0,54) i m = (0, 0).
4.Simetria i periodicitat: No en té, ja que D (f ) = (0, + ∞).
5. Asímptotes i branques infinites:
• f només pot tenir com a asímptota vertical la recta
x = 0:
7. Intervals de curvatura i punts d'inflexió:
lim x 2 ln x = lim
f ″(x ) = e x · (x 2 + 2x ) + e x (2x + 2) = e x (x 2 + 4x + 2)
x →0
x →0
Els zeros de f ″ són:
0·∞
f ″(x ) = 0 ⇔ x 2 + 4x + 2 = 0 ⇔
⇔ x = –2 –
2 = – 3,41 o x = – 2 +
2 = – 0,59
Com que f ″ no té discontinuïtats, els intervals de curvatura de f són els determinats pels zeros de f ″:
(– ∞, – 3,41) – 3,41 (– 3,41, – 0,59) – 0,59 (– 0,59, + ∞)
x
f ″(x )
+
0
f (x )
N
PI
–
0
+
PI
N
Els punts d'inflexió són PI = (– 3,41, 0,38) i
PI = (– 0,59, 0,19).
Amb tot això, podem traçar aquesta gràfica:
= lim −
lim f (x) = 0 (la qual cosa ens serà d'utilitat).
• f només pot tenir una asímptota horitzontal per la dreta:
lim x 2 ln x = +∞
x →+∞
Per tant, no té asímptotes horitzontals.
• f només pot tenir una asímptota obliqua per la dreta:
–3
–2
–1
x
= lim x ln x = +∞.
x →+∞
5
• f té una branca infinita per la dreta.
4
6. Intervals de monotonia i extrems relatius:
f ʹ′(x) = 2x ⋅ ln x + x 2
2
–4
x 2 ln x
Per tant, f no té asímptotes obliqües.
3
–5
=0
2
x →0
x →+∞
6
–6
x2
Per tant, x = 0 no és asímptota vertical, sinó que
Y
–7
1
= x + 2x ln x
x
Els zeros de f ′ són:
1
0
=
L’Hôpital
x →0
a = lim
f ( x ) = x 2e x
1
ln x
x
= lim
2
1
x →0
−
x3
x2
1
2
X
–1
f ʹ′(x) = 0 ⇔ x = e
−
1
2
= 0,61
f ′ és contínua en el seu domini, (0, + ∞), per tant els
intervals de monotonia de f són:
–2
x
h) 1. Domini:
0,61
(0,61, + ∞)
–
0
+
f ′(x )
D (f ) = D (x 2) > D (ln x ) =
= R > (0, + ∞) = (0, + ∞)
2.Talls amb els eixos:
f (x )
M
f té un mínim en m = (0,61, – 0,18).
7. Intervals de curvatura i punts d'inflexió:
—— Amb l'eix OX:
0 = f (x ) = x 2 ln x ⇔ x = 1
—— Amb l'eix OY:
No talla l'eix d'ordenades, ja que:
0 ∉ D(f)
3.Signe: Hem de considerar els intervals definits en D (f )
pels zeros de f, ja que aquesta no té discontinuïtats:
222
(0, 0,61)
f ʹ′ʹ′(x) = 1 + 2 ln x + 2x
1
x
= 3 + 2 ln x
Els zeros de f ″ són:
f ʹ′ʹ′(x) = 0 ⇔ x = e
−
3
2
= 0,22
f ″ és contínua en el seu domini, (0, + ∞); per tant els
intervals de curvatura de f són:
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 11. APLICACIONS DE LES DERIVADES
x
x
(0, 0,22)
–1
(0,22, + ∞)
–
0
+
f ′(x )
PI
N
f (x )
f ″(x )
f (x )
f té un punt d'inflexió en:
(– ∞, – 2)
–2
(– 2, 0)
0
(0, + ∞)
+
0
–
0
+
M
m
f té dos extrems relatius: M = (– 2, 0) i m = (0, – 4).
PI = (0,22, – 0,07)
Amb aquestes dades podem representar gràficament f
de manera aproximada:
7. Intervals de curvatura i punts d'inflexió:
f ″(x ) = 3(x + 2) + 3x · 1 = 6 x + 6
Els zeros de f ″ són x = – 1, i com que no té discontinuïtats
(perquè és polinòmica), els intervals de curvatura de f són:
Y
6
5
4
x
3
f (x ) = x 2 ln x
2
–2
–1
1
2
3
(– 1, + ∞)
–
0
+
PI
N
f (x )
X
0
–3
–1
f ″(x )
1
–4
(– ∞, – 1)
4
–1
f té un punt d'inflexió en x = – 1, PI = (– 1, – 2).
–2
La gràfica de f és:
Y
0,4
0,6
0,8
7
1
6
f (x ) = (x + 2)2 (x − 1)
5
36. Estudiem els aspectes de f que ens ajuden a representar-ne la
3
gràfica:
1
1. Domini: D (f ) = R, ja que f és polinòmica.
–7
–5
–3
–1
0
X
3
5
7
9
2. Talls amb els eixos:
—— Amb l'eix OX:
–5
0 = f (x ) = (x + 2) 2 · (x – 1) ⇔
–7
⇔ x = –2 o x = 1
–9
—— Amb l'eix OY:
D'acord amb els punts 6 i 7 de l'estudi de f, per a representar-la gràficament podem afirmar:
f (0) = (0 + 2) 2 · (0 – 1) = – 4
3. Signe: hem de considerar els intervals determinats pels
zeros de f , ja que no té discontinuïtats:
x
f (x )
(– ∞, – 2)
–2
(– 2, 1)
1
(1, + ∞)
–
0
–
0
+
4. Simetries i periodicitat: no en té, ja que – f (x ) ≠ f (– x ) ≠
≠ f (x ) per a algun x .
5. Asímptotes i branques infinites:
f no té asímptotes, ja que és polinòmica de grau més gran
que 1.
f té branques infinites per tots dos costats, ja que
lim f (x) = ±∞.
x →±∞
f ′(x ) = 2(x + 2) · (x – 1) + (x +
Els punts (– 2, 0) i (0, – 4) són màxim i mínim relatiu de f,
respectivament, i no hi ha més extrems relatius.
f és còncava en (– ∞, – 1) i convexa en (– 1, + ∞), i (– 1, – 2)
és un punt d'inflexió.
37. f (x) =
x2 + x − 5
x −2
a) Una funció racional no està definida en aquells punts en
els quals s'anul·la el denominador.
x–2=0⇒x=2
Per tant, el domini de f és D (f ) = R – {2}.
—— Talls amb els eixos:
6. Intervals de creixement i extrems relatius:
2) 2
f és estrictament creixent en (– ∞, – 2) i en (0, + ∞), i estrictament decreixent en (– 2, 0).
·1=
Eix OX: f (x) = 0 ⇔ x 2 + x − 5 = 0 ⇔ x =
−1 ±
= 3x (x + 2)
Els zeros de f ′ són x = – 2 i x = 0.
f ′ no té discontinuïtats, ja que és polinòmica, per tant, els
intervals de monotonia de f són els determinats pels zeros
de f ′:
21
2
⎞
⎛ −1 − 21
⎞
⎛ −1 + 21
⎜⎜
, 0 ⎟⎟ i ⎜⎜
, 0 ⎟⎟
2
2
⎠
⎝
⎠
⎝
Eix OY: f (0) =
02 + 0 − 5
0−2
=
5
2
⎛ 5 ⎞
⇒ ⎜ 0, ⎟
⎝ 2 ⎠
223
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 11. APLICACIONS DE LES DERIVADES
d) Representació gràfica:
b) Asímptotes verticals:
Com que f no està definida en x = 2, hem d'estudiar el límit
de la funció en aquest punt.
x2 + x − 5
lim− f (x) = lim−
x →2
x −2
x →2
x2
lim f (x) = lim+
x →2+
10
= −∞
8
+x −5
x −2
x →2
Y
12
6
= +∞
4
f (x ) =
Per tant, la recta x = 2 és una asímptota vertical de la gràfica de f.
–8
Asímptotes horitzontals:
x2 + x − 5
lim f (x) = lim
x →±∞
x −2
x →±∞
–6
0
–2
4
6
8
X
–2
= ±∞
38. f (x ) = 2 log x 2
La funció f no té asímptotes horitzontals.
Asímptotes obliqües:
1. Domini: D (f )= R – {0}, ja que x 2 sempre és positiu.
L'asímptota obliqua d'una funció f és una recta de la forma
y = mx + n, amb m ≠ 0, en la qual es verifica que:
2. Talls amb els eixos:
m = lim
f (x)
n = lim [f (x) − mx ] .
i
x
x →±∞
x →±∞
Per tant, calculem aquests límits per determinar l'asímptota
obliqua de la funció f.
m = lim
f (x)
x
x →±∞
= lim
x2 + x − 5
x 2 − 2x
x →±∞
=1
c) Per estudiar la monotonia i els extrems relatius de f, derivarem la funció i calcularem els zeros de f ′.
f '(x) =
(x − 2)2
=
(–∞, 1)
1
(1, 2)
+
0
–
f (x )
f (0) no existeix.
3. Signe: si considerem els intervals determinats pels zeros
de f i l'únic punt de discontinuïtat de la funció:
f (x )
(– ∞, – 1) – 1
+
0
2
M
f ′(x )
f (x )
3
(3, + ∞)
–
0
+
(0, 1)
1
(1, + ∞)
–
∃
–
0
+
5. Asímptotes i branques infinites:
—— La recta x = 0 és una asímptota vertical, ja que:
lim f (x) = −∞
x →0
—— No té asímptotes horitzontals.
—— Tampoc té asímptotes obliqües.
6. Intervals de monotonies i extrems relatius:
f ʹ′(x) =
m
Per tant, f és estrictament creixent en ( −∞,1) ∪ ( 3, +∞ ), i estrictament decreixent en (1, 2 ) ∪ ( 2, 3 ). A més, la funció té un
màxim relatiu en el punt (1, 3) i un mínim relatiu en el punt
(3, 7).
4
x
No té zeros en la primera derivada, per tant, els intervals
de monotonia són:
x
(2, 3)
0
f (x ) = f (– x ).
f ′(x )
x
(– 1, 0)
4. Simetries i periodicitat: té simetria parell, ja que
(x − 2)2
Ara, construirem una taula en la qual estudiarem el comportament de f en funció del signe de f ′ en els intervals
que determinen els zeros de f ′ i els seus punts de discontinuïtat.
x
—— Amb l'eix OY:
x 2 − 4x + 3
f '(x) = 0 ⇔ x 2 − 4x + 3 = 0 ⇔ x = 1 y x = 3
f ′(x )
0 = f (x ) ⇔ x = 1 o x = – 1
No és periòdica.
Així, l'asímptota obliqua de f és la recta y = x +3.
(2x + 1)(x − 2) − (x 2 + x − 5)
—— Amb l'eix OX:
x
⎡ x 2 + x − 5
⎤
n = lim [f (x) − x ] = lim ⎢
− x ⎥ =
x →±∞
x →±∞ ⎣
⎦
x −2
3x − 5
=3
= lim
x →±∞ x − 2
224
–4
x2 + x − 5
x −2
(– ∞, 0)
0
(0, + ∞)
–
∃
+
f (x )
∃
7. Intervals de curvatura i punts d'inflexió:
f ʹ′(x) = −
4
x2
No té zeros en la segona derivada, d'on els intervals de
curvatura són:
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 11. APLICACIONS DE LES DERIVADES
(– ∞, 0)
x
f ″(x )
0
–
f (x )
(0, + ∞)
∃
+
∃
N
x2
• lim f (x) = lim
x →+∞
= lim
x →+∞
La gràfica que podem elaborar de f a partir d'aquestes dades és:
1−
4
4
−
x2
x →+∞
=
x2
=1
x2
així, y = 1 és una asímptota horitzontal per la dreta.
• No té asímptotes obliqües per la dreta, ja que té una
asímptota horitzontal.
Y
3
6. Intervals de monotonia i extrems:
2
x
–4
–3
–2
0
–1
1
2
3
4
⋅x −
x2 − 4
f ʹ′(x) =
1
x2 − 4 ⋅ 1
=
x2
X
=
–1
4
x2
x2 − 4
Com que
f ′(x ) > 0 ∀ x ∈ D (f ′) = (– ∞, – 2) < (2, + ∞)
f és estrictament creixent en (2, + ∞) i no té extrems relatius.
7. Intervals de curvatura i punts d'inflexió:
39. a) 1. Domini:
⎞
⎛
x
−4 ⋅ ⎜ 2x x 2 − 4 + x 2
⎟
2 − 4 ⎠
⎝
x
f ʹ′ʹ′(x) =
=
x 4 ⋅ (x 2 − 4)
D(f ) = (D( x 2 − 4 ) > D(x)) − {x ∈ R | x = 0} =
= ({x ∈R | x 2 – 4 ≥ 0} > R) – {0} =
=
= {x ∈R | x 2 ≥ 4} – {0} = (– ∞, – 2] < [2, + ∞)
2. Talls amb els eixos:
x2 − 4
x
⇔
x2
3
3.Signe: construïm una taula amb els intervals determinats pels zeros de f en el seu domini:
Y
3
(–∞, –2)
–2
2
(2, +∞)
2
–
0
0
+
1
4. Simetria i periodicitat:
–4
És una funció imparell, ja que:
(−x)2 − 4
−x
=−
x2 − 4
x
∉ D(f )
Amb tota aquesta informació, podem elaborar una gràfica aproximada de f com la següent:
0 ∉ D (f), per tant, f no talla l'eix OY.
f (−x) =
6
de manera que f no té punts d'inflexió, i com que
f ″(x ) < 0 ∀ x ∈(2, + ∞), f és còncava en (2, + ∞).
—— Amb l'eix OY:
f ′(x )
2
⇔x =±
−4 =0⇔
⇔ x2 – 4 = 0 ⇔ x = ±2
x
(x x 2 − 4 )3
0 = f ″(x ) ⇔ – 12x 2 + 32 = 0 ⇔
—— Amb l'eix OX:
0 = f (x) =
−12x 2 + 32
–3
–2
–1
0
f (x ) =
x2 − 4
x
y =1
1
2
3
4
5
X
y = −1
–2
= −f (x)
Per tant, n'hi ha prou d'estudiar f en
D (f ) > [0, + ∞) = [2, + ∞)
ja que la part en l'altra semirecta s'obté fent una simetria respecte de l'origen.
5. Asímptotes i branques infinites (en [2, + ∞)):
• Si tingués una asímptota vertical seria x = 0, però
com que la funció no està definida en un entorn
d'aquest punt, no té sentit parlar d'asímptota vertical.
–3
b) 1.Domini: com que la funció és radical d'índex parell, el
seu domini és el conjunt de punts en els quals el denominador és més gran o igual que zero:
D (f ) = {x ∈R | x 2 + 4 x – 5 =
= (x – 1) · (x + 5) ≥ 0} = (– ∞, – 5] | [1, + ∞)
2. Talls amb els eixos:
—— Amb l'eix OX:
225
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 11. APLICACIONS DE LES DERIVADES
0 = f (x) =
x 2 + 4x − 5 ⇔
x 2 + 4x − 5
= lim
⎧ x = 1
⇔ x 2 + 4x − 5 = 0 ⇔ ⎨
⎩ x = −5
= lim −
x →−∞
—— Amb l'eix OY:
0 ∉D (f ), per tant, f no talla l'eix OY.
x2
x2
= lim − 1 +
x →−∞
3.Signe: com que f és arrel quadrada, f (x ) ≥ 0, ∀ x ∈ D (f).
=
− x2
x →−∞
4x
+
−
x2
4
−
x
5
5
=
x2
= −1
x2
∞–∞
4. Simetria i periodicitat: no en té, ja que:
b = lim ( x 2 + 4x − 5 − (−1) ⋅ x) =
f (x ) ≠ f (– x ) ≠ – f (x ) per a algun x .
x →−∞
5. Asímptotes i branques infinites:
• f no té asímptotes verticals, ja que no hi ha punts en
els quals f es dispari a ∞.
= lim
• xlim
→±∞
= lim
x 2 + 4x − 5 = +∞, per tant, f no té asímpto-
x 2 + 4x − 5
x2
= lim
x2
x →+∞
= lim
4
1+
x →+∞
+
x
4x
x2
−
−
5
x2
= lim
x →−∞
5
=
− 1+
+ 4x − 5 + x
4−0
=
= lim
x2
x2
x →+∞
f ʹ′(x) =
4−0
1+ 0 − 0 +1
=
x →−∞
226
x
f ′(x )
x 2 + 4x − 5
x
=
x +2
=
x 2 + 4x − 5
(– ∞, 2)
(2, + ∞)
–
+
f (x )
7. Intervals de curvartura i punts d'inflexió:
1⋅
x 2 + 4x − 5 − (x + 2)
f ʹ′ʹ′(x) =
=2
Per tant, y = x + 2 és asímptota obliqua per la dreta.
a = lim
x 2 + 4x − 5
Pel que fa a la seva monotonia, podem donar la taula
següent:
5
x
=
4
5
1+
−
+1
x
x2
x →+∞
2x + 4
2
Per tant, f no té extrems relatius.
=
5
4x
−
x
x
4x
5
x
+
−
+
x2
x2
x
= −2
0 = f ′(x ) ⇔ 0 = x + 2 ⇔ x = – 2 ∉D (f )
4−
= lim
=
+ 4x − 5 −
x 2 + 4x − 5 + x
x →+∞
=
6. Intervals de monotonia i extrems:
∞
= lim
4
5
−
−1
x
x2
− 1+ 0 − 0 −1
∞
x2
5
x
=
Per tant, y = – x – 2 és asímptota obliqua per l'esquerra.
( x 2 + 4x − 5 − x)( x 2 + 4x − 5 + x)
x2
5
4x
−
x
x
4x
5
x
+
−
−
x2
x2
x
4−
x →−∞
x →+∞
x →+∞
x2
x2
= lim
=1
b = lim ( x 2 + 4x − 5 − 1 ⋅ x) =
x2
−
=
x2
∞–∞
= lim
=
∞
=
x2
x →+∞
x 2 + 4x − 5 − x
=
x
= lim
x 2 + 4x − 5 − x 2
x →−∞
=
∞
x 2 + 4x − 5
x →+∞
x 2 + 4x − 5 − x
x →−∞
tes horitzontals.
• a = lim
( x 2 + 4x − 5 + x)( x 2 + 4x − 5 − x)
x 2 + 4x − 5
=
x +2
x 2 + 4x − 5
=
−9
(
x2
+ 4x − 5 )3
Com que f ″(x ) < 0 a ∀ x ∈ D (f ″), f és còncava en el seu
domini i no té punts d'inflexió.
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 11. APLICACIONS DE LES DERIVADES
Amb tota aquesta informació, podem fer una gràfica de
f com la següent:
f ʹ′ʹ′(x) = −
Y
=−
9
7
2
x
−x
+
=
2
=
y
−
3
Amb tota aquesta informació, podem traçar una gràfica
aproximada de f com la següent:
f (x ) = x 2 + 4 x − 5
1
– 11
–9
–7
–5
–3
5
( 5 − x 2 )3
Com que f ″(x ) < 0 ∀ x ∈D (f ″), f és còncava en el seu
domini i no té punts d'inflexió.
y
5
⎞
x
⎟
5 − x 2 ⎠ =
⎛
5 − x 2 − x ⋅ ⎜ −
⎝
5 − x2
1⋅
Y
–1 0
–1
3
1
5
7
9
11
X
3
2
c) 1. Domini:
f (x ) = 5 − x 2
1
D (f ) = {x ∈R | 5 – x 2 ≥ 0} =
= {x ∈R | x 2 ≤ 5} = [– 5 ,
–4
5]
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
X
–1
2. Talls amb els eixos:
40. Activitat TIC.
—— Amb l'eix OX:
0 = f (x) =
5 − x2 ⇔ 0 = 5 − x2 ⇔
41. Activitat TIC.
⇔ x = ± 5 = ± 2,24
42. Sigui f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d. Imposem les condicions que
—— Amb l'eix OY:
s'observen en la figura:
f (0) =
5−
02
5 = 2,24
=
• La gràfica de f passa pels punts (– 1, 0), (0, 4) i (2, 0):
3. Signe:
f (x) =
5−
x2
≥ 0 ∀ x ∈ D(f ) = [− 5 ,
5]
4. Simetria i periodicitat:
5 − (−x)2 =
5 − x 2 = f (x).
Per tant, n'hi ha prou que estudiem la gràfica de f en
[0, + ∞) > D (f ) = [0, 5 ] i fem una simetria respecte
de l'eix d'ordenades.
5 ]).
5. Asímptotes i branques infinites (en [0,
f no té asímptotes verticals, ja que no hi ha punts en els
quals f es dispari a ∞.
• f no pot tenir asímptotes horitzontals ni obliqües, ni
branques infinites, ja que la variable no pot tendir a ∞
sense sortir del domini de f.
6. Intervals de monotonia i extrems:
f ʹ′(x) =
−2x
2 5 − x2
x
=−
5 − x2
0 = f ′(x ) ⇔ x = 0
Construïm una taula amb els intervals que els zeros de
f ′ ens determinen en el domini de f:
x
f ′(x )
f (x )
(– 5 , 0)
0
+
0
(1)
4 = f (0) ⇒ d = 4
(2)
0 = f (2) ⇒ 8a + 4b + 2c + d = 0
(3)
• El punt (0, 4) és un màxim relatiu i el (2, 0) és un mínim
relatiu; per tant, f ha de complir:
És una funció parell, ja que
f (−x) =
0 = f (– 1) ⇒ – a + b – c + d = 0
5)
(0,
–
M
7. Intervals de curvatura i punts d'inflexió:
0 = f ′(0) ⇒ 0 = c(4)
0 = f ′(2) ⇒ 0 = 12a + 4b + c
(5)
0 > f ″(0) ⇒ 0 > 2b(6)
0 < f ″(2) ⇒ 0 < 12a + 2b
(7)
• El punt x = 1 és un punt d'inflexió:
0 = f ″(1) ⇒ 0 = 6a + 2b
(8)
0 ≠ f ″′(1) = 6a ⇒ a ≠ 0
(9)
Imposem que es compleixin les condicions (1), (2), (3), (4),
(5) i (8):
−a + b − c + d
d
8a + 4b + 2c + d
c
12a + 4b + c
6a + 2b
=
=
=
=
=
=
0
4
0
0
0
0
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬ ⇒ a = 1, b = −3, c = 0, d = 4
⎪
⎪
⎪
⎭
Observem que per a aquests valors es compleixen (6), (7)
i (8), per la qual cosa f (x ) = x 3 – 3x 2 + 4.
43. Estudiem primerament com ha de ser la derivada en l'interval
[2, + ∞).
• C o m q u e f (x) =
aquest interval.
3
2
x − 5 en x ∈ (2, 4), f ʹ′(x) =
3
2
en
227
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 11. APLICACIONS DE LES DERIVADES
• Com que f (x ) = 1 en (4, + ∞), f ′(x ) = 0 en aquest interval.
• Com que, en x = 2 i x = 4 la gràfica de la funció presenta un
pic, es té que ∃ f ′(2) i ∃ f ′(4).
Ara deduirem la forma aproximada de la gràfica de f ′ en
l'interval (– ∞, 2), a partir dels intervals de monotonia i convexitat.
• Monotonia i extrems relatius: f ′ és estrictament creixent allà
on (f ′)′ és positiva i estrictament decreixent allà on (f ′)′ és
negativa.
Ara bé, com que (f ′)′ = f ″, resulta que f ′ és estrictament
creixent allà on f és convexa i estrictament decreixent allà
on f és còncava. Per tant:
⎛
1 ⎞
(– ∞, – 1) – 1 ⎜ −1,
⎟
⎝
2 ⎠
x
f (x )
PI
f ′(x )
m
⎛ 1
⎞
⎜ , 2 ⎟
⎝ 2
⎠
1
2
(2, 4)
3
PI
N
2
(4, + ∞)
x −5
0
2
• Curvatura i punts d'inflexió: no sabem com obtenir-los a
partir de la gràfica de f sense passar per la de f ′.
Podem representar f ′ a partir del resum de les seves característiques següent:
(– ∞, – 2) – 2 (– 2, – 1) – 1 (– 1, 0)
Interval
+
Signe f ′
0
–
0
⎛
1 ⎞
⎜ 0,
⎟
⎝
2 ⎠
0
+
1
Interval
2
Signe f ′
⎛ 1 ⎞
⎜ , 1⎟
⎝ 2 ⎠
1
+
0
Per tant, la funció de beneficis és la diferència entre els ingressos i els costos, és a dir,
B(x) = I(x) − C(x) = 60x − 0, 5x 3 − (10 + 22, 5x) =
= −0, 5x 3 + 37, 5x − 10.
Ara, per esbrinar la quantitat de kg de bombons que s'han
d'elaborar diàriament per a obtenir els màxims beneficis, hem
de derivar B (x ) i calcular el valor de x per al qual es té el
màxim de la funció.
B ʹ′(x) = −1, 5x 2 + 37, 5
Tanmateix, com que estem calculant kg de bombons, només
ens serveix la solució x = 5. Per provar que és un màxim de la
funció B (x ), vegem que la derivada segona en aquest punt és
negativa.
B" (x ) = –3x ⇒ B" (5) = –15 < 0
Per tant, perquè els beneficis siguin màxims, s'han d'elaborar
diàriament 5 kg de bombons.
46. f (x) =
–
3
2x 2 + 3
(x + 1)2
a) Una funció racional no està definida en aquells punts en
els quals s'anul·la el denominador.
(– 1, 0) (– 1, 0) (2, + ∞)
2
( x + 1) = 0 ⇔ x = −1
0
2
M
Monotonia
d'ingressos és I (x ) = x(60 – 0,5x 2) = 60x – 0,5x 3.
Finalment, si el preu de cada kg de bombons ve donat per la
funció 60 – 0,5x 2, per obtenir els màxims beneficis, cada kg de
bombons s'ha de vendre a 60 – 0,5 · 52 = 47,5 €.
m
Monotonia
45. La funció de costos és C (x ) = 10 + 22,5x mentre que la funció
B ʹ′(x) = 0 ⇒ −1, 5x 2 + 37, 5 = 0 ⇒ x 2 = 25 ⇒ x = ±5
1
3
M
Per exemple, f (x ) = cos x és tres vegades derivable, és
estrictament decreixent en (0, π) però f ″′(x ) = sin x > 0 en
aquest interval.
Per tant, D (ƒ) = R – {–1}.
—— Talls amb els eixos:
Y
2
Eix OX: f (x) = 0 ⇔ 2x 2 + 3 = 0 ⇔ x 2 = −
1
3
2
No hi ha punts de tall amb l'Eix OX.
–6
–5
–4
–3
0
–1
1
2
3
4
5
6
X
Eix OY: f (0) =
–1
2 ⋅ 02 + 3
(0 + 1)2
= 3 ⇒ ( 0, 3 )
b) Asímptotes verticals:
SÍNTESI
Pàg. 233 i 319
44. a) Falsa, ja que x = a pot ser un punt d'inflexió.
Per exemple, f (x ) = x 3 té derivada tercera, f ′(0) = 0, però
x = 0 no és un extrem relatiu, sinó un punt d'inflexió.
b) Fals, ja que podem tenir un punt d'inflexió, x 0, tal que
f ′(x0) ≠ 0.
Per exemple, f (x ) = x 3 + x té derivada tercera, f ″(0) = 0,
però f ′(0) = 1; de manera que la recta tangent a la gràfica
de f en x = 0 té pendent 1 i, per tant, no és horitzontal.
c) Fals, ja que el creixement de f ve donat pel signe de f ′, no
de f ″′.
228
Com que f no està definida per a x = –1, hem d'estudiar els
límits laterals de la funció en aquest punt.
lim − f (x) = lim −
x →−1
x →−1
lim f (x) = lim +
x →−1+
x →−1
2x 2 + 3
(x + 1)2
2x 2 + 3
(x + 1)2
= +∞
= +∞
Per tant, la recta x = –1 és una asímptota vertical de la
gràfica de f.
Asímptotes horitzontals:
lim f (x) = lim
x →±∞
x →±∞
2x 2 + 3
(x + 1)2
=2
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 11. APLICACIONS DE LES DERIVADES
Així, la recta y = 2 és una asímptota horitzontal de la gràfica de la funció f.
e) Representació gràfica:
Y
Asímptotes obliqües:
Com que f té asímptota horitzontal, podem afirmar que no
té asímptotes obliqües.
c) Per estudiar la monotonia i els extrems relatius de f, derivarem la funció i calcularem els zeros de f ′.
f '(x) =
=
4x(x + 1)2 − (2x 2 + 3)2(x + 1)
4x(x + 1) −
(2x 2
(x + 1)3
(x + 1)4
+ 3)2
4x − 6
=
(x + 1)3
f (x ) =
=
5
–10
f ′(x )
–1
⎛
3 ⎞
⎜ −1, ⎟
⎝
2 ⎠
+
–
f (x )
3
⎛ 3
⎞
⎜ , +∞ ⎟
⎝ 2
⎠
2
0
+
m
⎛ 3
⎞
, +∞ ⎟ i estrictament decreixent en
⎝ 2
⎠
( −∞, −1) ∪ ⎜
⎛
3 ⎞
⎜ −1, ⎟ . A més, posseeix un mínim relatiu en el punt
⎝
2 ⎠
⎛ 3 6 ⎞
⎜ , ⎟ .
⎝ 2 5 ⎠
d) Estudiarem la curvatura i els punts d'inflexió de la funció f fent servir la derivada segona i els zeros que
té.
f ''(x) =
4(x +
− (4x − 6)3(x +
1)2
=
(x + 1)6
4(x + 1) − (4x − 6)3
−8x + 22
=
=
(x + 1)4
(x + 1)4
f ''(x) = 0 ⇔ −8x + 22 = 0 ⇔ x =
x
(–∞, –1)
–1
11
4
té f (–2) = –5 i f ′(–2) = 0. Per tant, calcularem a i b tenint en
compte aquestes dues condicions.
f (−2) = −5 ⇒
10
−2a + b
= −5 ⇒ −2a + b = −2 (1)
Calculem ara la derivada de f:
(2x − 1)(ax + b) − (x 2 − x + 4)a
(ax +
b)2
=
ax 2 + 2bx − 4a − b
(ax + b)2
f '(−2) = 0 ⇒ 4a − 4b − 4a − b = 0 ⇒ −5b = 0 ⇒ b = 0
Així, com que b = 0, en virtut de la igualtat (1), podem concloure que a = 1.
La segona part de l'exercici, consisteix a estudiar la monotonia
i els extrems relatius de la funció següent:
f (x) =
x2 − x + 4
x +1
Per a fer-ho, el primer que farem serà calcular-ne la derivada.
Si tenim en compte la derivada obtinguda anteriorment, n'hi
haurà prou de substituir els valors a = 1 i b = 1.
f '(x) =
x 2 + 2x − 5
(x + 1)2
Ara, els zeros de f ′ són:
11
4
f '(x) = 0 ⇒ x 2 + 2x − 5 = 0 ⇒ x = −1 ±
De nou, tornarem a construir una taula en la qual analitzarem la curvatura i els punts d'inflexió de f segons el signe
de f ″.
⎛
11 ⎞
⎜ −1,
⎟
⎝
4 ⎠
X
10
47. Com que la funció f té un extrem relatiu en el punt (–2, –5), es
f '(x) =
Per tant, podem afirmar que f és estrictament creixent en
1)3
5
2
I ara construirem una taula en la qual estudiarem el comportament de f en funció del signe de f ′.
(–∞, –1)
0
–5
3
f '(x) = 0 ⇔ 4x − 6 = 0 ⇔ x =
x
2x 2 + 3
(x + 1)2
⎛ 11
⎞
, +∞ ⎟
⎜
⎝ 4
⎠
f ′(x )
+
+
0
+
f (x )
∪
∪
Pl
∩
⎛
11 ⎞
Aleshores, f és convexa en ( −∞, −1) ∪ ⎜ −1,
⎟ i cònca⎝
4 ⎠
⎛ 11 58 ⎞
⎛ 11
⎞
,
, +∞ ⎟ . A més, en el punt ⎜
va en ⎜
⎟ hi ha un
⎝ 4 45 ⎠
⎝ 4
⎠
punt d'inflexió perquè la funció canvia de curvatura.
6
A més, la derivada presenta una discontinuïtat en el punt
x = –1.
Per tant, elaborarem una taula tenint en compte tot això, en la
qual podrem estudiar la monotonia i els extrems relatius de f
en funció del signe de f ′.
x
(−1, −1 +
f ′(x )
–
f (x )
6)
−1 +
6
0
(−1 +
6 , +∞)
+
m
f és estrictament creixent en (−∞, −1 − 6 ) ∪ (−1 + 6 ,+∞) i és
estrictament decreixent en (−1 −
6 , −1) ∪ (−1, −1 +
A més, f té un màxim relatiu en x = −1 −
en x = −1 +
6 ).
6 i un mínim relatiu
6.
229
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 11. APLICACIONS DE LES DERIVADES
48. Podem expressar f com una funció definida a trossos:
⎪⎧ x 2 − 4 si x 2 − 4 ≥ 0 ⇔ x 2 ≥ 4 ⇔ |x | ≥ 2
f (x) = ⎨
⎩⎪ 4 − x 2 si x 2 − 4 < 0 ⇔ x 2 < 4 ⇔ |x | < 2
Per determinar els zeros de f ′, hem de considerar cadascun dels intervals en els quals l'expressió analítica de f és
la mateixa, calcular f ′ i trobar els zeros que té que estiguin
dins de l'interval considerat:
• En (– ∞, – 2) < (2, + ∞), f (x ) = x 2 – 4 ⇒
o sigui,
⎪⎧ x 2 − 4 si x ≤ −2 o x ≥ 2
f (x) = ⎨
⎩⎪ 4 − x 2 si −2 < x < 2
⇒ f ′(x ) = 2x, i com que 2x = 0 ⇔
a) L'expressió analítica de f en els intervals (– ∞, – 2),
(– 2, 2) i (2, + ∞) és polinòmica, per tant, f és derivable en
aquests intervals.
Estudiem la derivabilitat en els punts restants:
f (−2 + h) − f (−2)
h
h→0
(−2 +
= lim−
h)2
= lim−
h 2 − 4h + 4 − 4
h
h
4 − ( 4 − 4h + h 2 )
h
h→0
així, x = 0 és un màxim relatiu de f.
4 − (−2 + h)2 − 0
h→0
= lim+
⇒ f ″(0) = – 2 < 0
f (−2 + h) − f (−2)
h→0
=
= lim+ (−h + 4) = 4
h→0
• x = 2:
= lim+
h
h→0
=
4 − ( 4 + 4h + h 2 )
= lim−
=
h
h→0
=
h
4 − (2 + h)2 − 0
= lim−
Com que f (– 2) = f (2) = 0 i |x 2 – 4| ≥ 0 ∀ x ∈ R, observem
que x = – 2 i x = 2 són mínims relatius i absoluts de f.
Com que lim f (x) = +∞ , no hi ha màxim absolut de f,
x →±∞
per tant, x = 0 només és màxim relatiu.
Resumint:
• (– 2, 0) i (2, 0) són mínims absoluts (i relatius) de f;
• (0, 4) és màxim relatiu de f;
f (2 + h) − f (2)
h→0
Encara ens queden per estudiar els dos punts on f no és
derivable.
Per acabar, ens falta comprovar si x = 0 és màxim absolut.
=
Com que f ′(– 2 –) = – 4 ≠ 4 = f ′(– 2 +), ∃ f ′(– 2), per tant,
f no és derivable en x = – 2.
f ʹ′(2− )
f ′(x ) = – 2x ⇒ f ″(x ) = – 2 ∀ x ∈ (– 2, 2) ⇒
=
x →0
f ʹ′(−2+ ) = lim+
= lim+
=
= lim− (h − 4) = −4
h
h→0
−4−0
h
h→0
• En (– 2, 2), f (x ) = 4 – x 2 ⇒ f ′(x ) = – 2x, i com que – 2x =
= 0 ⇔ x = 0 ∈ (– 2, 2), x = 0 és un possible extrem relatiu de f.
Per veure si realment ho és, calculem f ″ i l'avaluem en
aquest punt:
• x = – 2:
f ʹ′(−2− ) = lim−
⇔ x = 0 ∉ (– ∞, – 2) < (2, + ∞) f no té extrems relatius en
aquesta part del domini de f.
• f no té màxim absolut.
c) D'acord amb la indicació, representem primerament
x 2 – 4 (que és una paràbola parell, amb les branques cap
amunt, que talla l'eix d'abscisses en x = ± 2 i té vèrtex en
0 = f ′(x ) = 2 x ⇒ x = 0, o sigui, en (0, 4)) i després fem
una simetria respecte de l'eix d'abscisses de la part de la
gràfica que està en el semiplà y < 0:
= lim− (−h − 4) = −4
h→0
f ʹ′(2+ ) = lim+
f (2 + h) − f (2)
h
h→0
(2 + h)2 − 4 − 0
= lim+
h
h→0
= lim+
h→0
4 + 4h + h 2 − 4
h
=
Y
Y
9
9
7
7
Simetria
5
=
3
5
3
respecte de OX
1
1
= lim+ (4 + h) = 4
h→0
–3
–1
0
3
X
–3
–1
0
3
X
–3
Com que f ′(2 –) = – 4 ≠ 4 = f ′(2 +), ∃ f ′(2 +), per tant, f no
és derivable en x = 2.
De manera que f és derivable en R – {– 2, 2} i no ho és en
x = – 2 ni en x = 2.
b) Els extrems relatius que siguin punts de derivabilitat
de f (o sigui, de R – {– 2, 2}) es trobaran entre els zeros de
f ′.
230
49. 1. La funció que s'ha d'optimitzar és el temps invertit en el
recorregut total t, que serà la suma del temps invertit a recórrer el tram al llarg del camí t1, més el temps invertit a
recórrer el tram camps a través t2. Suposem que el caminant es desvia en un punt P.
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 11. APLICACIONS DE LES DERIVADES
50. Fem un esquema gràfic del dipòsit.
r
h
Segons les equacions del moviment rectilini uniforme, es
té:
tram AP: t 1 =
6−x
5
z
; tram PC: t 2 =
4
2r
Veiem que la superfície de la base quadrada serà (2r)2 i la
superfície de la paret cilíndrica, 2πrh. Tenint en compte les
dades de cost, podem escriure:
6−x
t (x, z) =
z
+
5
πr2
C = 70 (2r)2 + 60 ⋅ 2πrh
Substituint h podem expressar el cost en funció d'una variable:
4
2. En l'esquema anterior podem observar la relació que hi ha
entre x i z:
z2 = x2 + 9 ⇒ z =
6−x
x2 + 9
+
5
C = 70 ⋅ 4 · r 2 + 60 ⋅ 2πr
x2 + 9
Aquesta relació ens permet expressar t com a funció d'una
sola variable:
t (x, z) =
1
5
+
x
4
x2
+9
⇔ r 3 = 60 ⋅ 2
+9
⇔r =
i resolem l'equació t'(x) = 0:
5x − 4 x 2 + 9
20 x 2 + 9
Per comprovar que x = 4 és un mínim relatiu, analitzem els
intervals de monotonia, ja que el càlcul de la derivada segona es complica:
Interval
(0, 4)
4
(4, 6)
Signe f ′
–
0
+
t = t 1(4) + t 2 (5) =
5
+
4
70 ⋅ 8
126
r2
126
r2
⇔
⇔
=3
La derivada segona de C tindrà dos termes positius quan
substituïm la r per 3; per tant, C ″(3) > 0. Això ens garanteix
que en r = 3 hi ha un mínim de C. En conseqüència, les dimensions més econòmiques seran
14
π
m.
51. Si f passa pel punt (0, 1):
Veiem, doncs, que la funció té un mínim relatiu en x = 4.
En aquest cas el temps total invertit és:
5
60 ⋅ 2
r=3mih=
m
2
3
126
70 ⋅ 8
14
126
=
h=
π
π 32
=0⇒x =4
Monotonia
126
C ʹ′ = 0 ⇔ 70 ⋅ 8r = 60 ⋅ 2
5x − 4 x 2 + 9
20
=
r
C ʹ′ = 70 ⋅ 8r − 60 ⋅ 2
x2
πr2
Derivant i igualant a zero deduirem el valor òptim de r:
4
=
126
126
= 70 ⋅ 4 · r 2 + 60 ⋅ 2
3. Calculem els extrems relatius de la funció t (x). Per a ferho, trobem la derivada:
t '(x) = –
126
126 = V = πr 2h ⇒ h =
Per tant, l'expressió algèbrica de la funció que ens dóna el
temps total és:
=
33
20
h.
Tal com hem plantejat el problema, queden exclosos els casos
en què es fa tot el recorregut pel camí o camps a través.
1 = f (0) = 0 − 0 + 0 + c ⇒ c = 1
El pendent de la recta 18x − 2y + 1 = 0, paral·lela a la tangent
18
= 9.
a f en (0, 1), val m = −
−2
La funció derivada de f val:
f ′(x) = 3ax2 − 12x + b
Per tant:
En el primer cas, el temps invertit és
segon,
AC
4
=
45
4
AB + BC
5
=
9
5
h, i en el
h.
Veiem, doncs, que en tots dos casos el temps és superior. Per
tant, el caminant s'haurà de desviar després d'haver recorregut 6 − x = 6 − 4 = 2 km.
9 = f ′(0) = 0 − 0 + b ⇒ b = 9
La derivada segona de f val f ″(x) = 6a x − 12.
Si en x = 2 hi ha un punt d'inflexió, la derivada segona en
x = 2 s'ha d'anul·lar:
0 = f ″(2) = 6a ⋅ 2 − 12 ⇒ a =
12
12
=1⇒a=1
231
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 11. APLICACIONS DE LES DERIVADES
L'expressió analítica de f serà:
e
, el temps, Δt1, que necessiΔt
tarà el cotxe per a recórrer els 300 km (que equivalen a
300 000 m) serà:
53. D'acord amb la relació v =
f ″(x) = x 3 − 6 x 2 + 9x + 1
La funció derivada de f serà:
f ′(x) = 3x 2 − 12x + 9
Δt 1 =
En els extrems relatius, la primera derivada s'anul·la. Haurem
de, per tant, buscar els valors de x que anul·len la primera
derivada:
x =
Δt2 = 10n
El temps total, T, emprat en la carrera en funció del nombre
de canvis de pneumàtics, n, valdrà:
La derivada segona de f és f ″(x) = 6x − 12. Substituint per 3
i 1 en f ″(x) sabrem si hi ha màxim relatiu, mínim relatiu o punt
d'inflexió.
T (n) = 5 400 + 5n2 − 31n + 10n =
= 5 400 + 5n2 − 21n
El valor de n que minimitza el temps T haurà d'anul·lar la primera derivada de T (n) respecte de n:
f ″(1) = 6 − 12 = −6 < 0 ⇒
⇒ hi ha un màxim relatiu en x = 1
0 = T ʹ′(n) = 10n − 21 , n =
f ″(3) = 18 − 12 = 6 > 0 ⇒
= 0 no té solució, la funció no talla l'eix
Atès que f (0) = 1, la funció talla l'eix vertical en el punt
(0, 1).
b) La derivada és:
Avaluació
1.
f ʹ′(x) = e −x 2 +2x (−2x + 2) = 2e −x 2 +2x (1 − x).
La derivada només s'anul·la per a x = 1. Per a qualsevol
valor de x inferior a 1 la derivada és positiva i en qualsevol superior és negativa; per tant, la funció creix en (−∞, 1)
i decreix en (1, +∞). Després, el punt (1, e) és un màxim
relatiu.
⎡ 0 ⎤
e x + e −x − 2 ⎡ 0 ⎤
= ⎢ ⎥ = lim
= ⎢ ⎥ =
x →0
⎣ 0 ⎦ x →0 1 − cos x
⎣ 0 ⎦
x − senx
⎡ 0 ⎤
e x − e −x
e x + e −x
= ⎢ ⎥ = lim
=2
= lim
x →0
⎣ 0 ⎦ x →0 cos x
senx
—— A.H.: lim e −x 2 +2x = lim e −x 2 +2x = 0. Per tant, y = 0
ln x
—— A.O.: no té asímptotes obliqües.
d) La representació gràfica és:
1
1
x
lim
⎛ x 3 ⎞ x 2 −4
⎜
c) lim ⎜
= [1∞ ] = e x →2 x 2 −4 ⎝ 8
⎟
x →2 ⎝ 8 ⎠
Y
3
lim
x 3 −8
⎛
⎡ 0 ⎤
⎢ ⎥
lim
3x 2
3
⎞
−1⎟
⎠
lim
1
⎛ x 3 −8 ⎞
⎜
⎟
8 ⎠
= e x →2 x 2 −4 ⎝
=
3
= e x →2 8(x 2 −4) = e ⎣ 0 ⎦ = e x →2 16x = e 8
2,5
f(x) = e–x
2
2
1
⎤
⎡
ln
x
∞
x
= ⎢ ⎥ = lim
d) lim x 3 ln x = [ 0 ⋅ ∞ ] = lim
1
3
x →0
x →0
⎣ ∞ ⎦ x →0
−
x3
x4
⎛ x 3 ⎞
= lim ⎜ −
⎟ = 0
x →0 ⎝
3 ⎠
+ 2x
1,5
1
0,5
232
e x − e −x − 2x
1
⎡ ∞ ⎤
1
= ⎢ ⎥ = lim x = lim
=0
b) lim
x →+∞ x 2 + 2
x →+∞ 2x 2
⎣ ∞ ⎦ x →+∞ 2x
x →−∞
és una asímptota horitzontal en els dos costats.
–1,5 –1 –0,5
–0,5
(pàg. 322)
Per resoldre els límits següents, apliquem la regla de l'Hôpital sempre que apareguin indeterminacions del tipus
0 ∞
i
.
0 ∞
a) lim
c) — A.V.: no té asímptotes verticals.
x →+∞
= 2,1
És evident que en una carrera no es poden fer 2,1 canvis de
pneumàtics (només és possible un nombre enter de canvis);
per tant, direm que l'escuderia ha de fer 2 canvis de pneumàtics.
52. a) El domini de la funció és tot R.
2 −2x
21
10
T ″(2,1) = 10 > 0, la qual cosa garanteix que hi ha un mínim
per a t = 2,1.
⇒ hi ha un mínim relatiu en x = 3
Com que e −x
horitzontal.
300 000
=
3 ⋅ 105
2
5 400 + 5n − 31n
El temps, Δt2, que emprarà en n canvis de pneumàtics serà:
12 ± 6 ⎪⎧ 3
=
⎨
⎪⎩ 1
6
6
=
= 5 400 + 5n 2 − 31n
0 = 3x 2 − 12x + 9
12 ± 122 − 108
e
v
0,5
1
1,5
2
2,5
3
X
2.
=
Sí, és possible, ja que el creixement o decreixement d'una funció depèn del signe de la primera derivada, no del signe de la
funció mateixa. Per exemple, la funció f (x ) = x + 3, entre – ∞
i – 3.
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 11. APLICACIONS DE LES DERIVADES
4.
Y
a)D (f ) = R – {– 1, 5}, ja que x = – 1 i x = 5 són les úniques
rectes de la forma x = k , k ∈ R, que no tallen la gràfica de
f.
⎛ 1
⎞
Els punts de tall amb l'eix OX són (– 3, 0), ⎜ , 0 ⎟ ,
⎝ 2
⎠
(4, 0) i (6, 0), i amb l'eix OY és (0, 1).
f (x ) = x + 3
A. V.: x = – 1 i x = 5 són asímptotes verticals.
A. H.:y = 2 és una asímptota horitzontal per la dreta.
0
3.
A. O.: f no té asímptotes obliqües.
X
b) f és estrictament creixent en els intervals (– ∞, – 1),
(3, 5) i (5, + ∞), i estrictament decreixent en l'interval
(– 1, 3).
Sigui f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d.
Vegem quines condicions han de satisfer els coeficients perquè la derivada segona sigui x – 1:
f té un únic extrem relatiu: un mínim en m = (3, – 2).
f és còncava en els intervals (– ∞, – 3) i (5, + ∞), i convexa
en els intervals (– 3, – 1) i (– 1, 5).
f ′(x ) = 3ax 2 + 2bx + c, f ″(x ) = 6ax + 2b
Per tant: f ″(x ) = x – 1 ⇔ 6ax + 2b = x – 1 i com que els polinomis són iguals si i només si tenen iguals tots els coeficients
del mateix grau, aquesta igualtat és equivalent al sistema:
6a = 1 ⎫
1
1
,b = −
⎬ ⇒ a =
2b = −1⎭
2
6
f té un únic punt d'inflexió en PI = (– 3, 0).
5.
f ʹ′(x) =
Per tant, les funcions buscades són les de la forma:
f (x) =
1
6
x3 −
1
3
1
= f (4) =
6
2
⋅ 43 −
1
2
0 = f ʹ′(4) =
1
2
1
2
x2 − x + c
⋅ 42 − 4 + c ⇔ c = −4 (2)
• En tercer lloc, com que f (n )(x ) = 0 ∀ x ∈ R si n ≥ 4, s'ha de
complir f ″(4) > 0:
f ″(x ) = x – 1, f ″(4) = 4 – 1 = 3 > 0
així que aquesta condició ja es compleix.
Els coeficients c i d han de satisfer, doncs, les relacions (1)
i (2):
4c + d = −3
c = −4
⎫⎪
⎬ ⇒ c = −4, d = 13
⎭⎪
La funció buscada, és, doncs:
P(x) =
1
6
x3 −
1
2
x 2 − 4x + 13
ax 2 + 2abx + b − 1
(x + b)2
D'altra banda, sabem que la recta y = –2x –1 és una asímptota obliqua de f; així, doncs:
−2 = lim
f (x)
x →±∞
x
−1 = lim [f (x) + 2x ] .
i
x →±∞
Analitzant el primer límit, tenim que:
⋅ 42 + c ⋅ 4 + d ⇒
• En segon lloc, f ha de tenir un extrem relatiu en x = 4, i com
que f és derivable en aquest punt (perquè és polinòmica),
s'ha de complir f ′(4) = 0:
=
a + 2ab + b -1= 0. (1)
−2 = lim
f (x)
x
x →±∞
= lim
ax 2 + x + 1
x 2 + bx
x →±∞
=a
Finalment, sabent que a = –2 i tenint en compte (1), deduïm
que b = –1.
⇒ 4c + d = – 3 (1)
f ʹ′(x) =
(x +
b)2
Si fem f ′(1) = 0, obtenim:
⎛
1 ⎞
• En primer lloc, ha de passar pel punt ⎜ 4, − ⎟ :
⎝
3 ⎠
1
(2ax + 1)(x + b) − (ax 2 + x + 1)
x 2 + cx + d, c, d ∈ R
⎛
1 ⎞
Imposem que ⎜ 4, − ⎟ sigui un mínim relatiu:
⎝
3 ⎠
−
Com que la funció f té un extrem relatiu en x = 1, f ′(1) = 0.
Per tant, la seva derivada serà:
6.
Podem determinar els màxims i mínims relatius de f a partir
de l'estudi de la seva monotonia, i els seus punts d'inflexió a
partir de l'estudi de la seva curvatura.
• Monotonia: el signe de la funció f ′ ens informa de la monotonia de f.
D'acord amb la gràfica de f, podem construir la taula de
monotonia de f següent:
x
f ′(x )
(– ∞, 1)
1
(1, 4)
4
(4, 10)
–
0
+
0
+
10 (10, + ∞)
0
–
f (x )
Com que f és contínua (perquè és derivable), deduïm:
⎫
ff és
es decreixent
decrecienteenen(–(−∞,
∞, 1)1) ⎬ ⇒
ff és
es creixent
crecienteenen(1,
(1,4)4)
⎭
⇒ f té un mínim relatiu en x = 1
⎫
ff és
es creixent
crecienteenen(4,
(4,10)
10)
⎬ ⇒
ff és
es decreixent
decrecienteen
en(10,
(10,++∞)
∞) ⎭
⇒ f té un màxim relatiu en x = 10
233
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 11. APLICACIONS DE LES DERIVADES
• Curvatura: el signe de la funció f ″ ens informa de la curvatura de f.
La funció f no té asímptotes horitzontals.
Asímptotes obliqües:
Podem obtenir el signe de f ″ a partir de la gràfica de f ′ perquè f ″ = (f ′)′, per tant, f ″ serà positiva allà on f ′ sigui estrictament creixent i negativa allà on f ′ sigui estrictament
decreixent.
L'asímptota obliqua d'una funció f és una recta de la forma
y = mx + n, amb m ≠ 0, en la qual es verifica que:
m = lim
Per tant, és possible deduir la curvatura de f directament a
partir de la monotonia de f ′:
(– ∞, 2)
x
f ′(x )
2
(2, 4)
M
f (x )
4
(4, 7)
m
N
7
x →±∞
M
m = lim
N
f ʹ′(x) =
convexaen
en(4,
(−∞,
ffésesconvexa
7) 2) ⎫
⎬ ⇒
cóncavaen
en(7,
(2,+4)
ffésescòncava
∞) ⎭
Talls amb els eixos:
(3, 0)
(0 − 3)2
0 −1
= −9 ⇒ ( 0, −9 )
Com que f no està definida per a x = 1, hem d'estudiar el
límit de la funció en aquest punt.
lim f (x) = lim−
x →1−
x →1
lim f (x) = lim+
x →1+
x →1
x −1
(x − 3)2
x −1
= −∞
(–1, 1)
0
–
lim f (x) = lim
x →±∞
x →±∞
x −1
(x − 1)2
1
(1, 3)
3
(3, +∞)
–
0
+
M
m
Per tant, f és estrictament creixent en ( −∞, −1) ∪ ( 3, +∞ ),
i estrictament decreixent en ( −1,1) ∪ (1, 3 ) . A més, posseeix
un màxim relatiu en el punt (–1, –8) i un mínim relatiu en
(3, 0).
=
(2x − 2)(x − 1)2 − (x 2 − 2x − 3)2(x − 1)
(x − 1)4
(2x − 2)(x − 1) − (x 2 − 2x − 3)2
(x − 1)3
= ±∞
=
=
8
(x − 1)3
Òbviament, la derivada segona no s'anul·la mai, per la qual
cosa no en tenim cap zero.
De nou, construirem una taula en la qual analitzarem la curvatura i els punts d'inflexió de f segons el signe de f ″:
x
Asímptotes horitzontals:
(x − 3)2
f (x )
= +∞
Per tant, la recta x = 1 és una asímptota vertical de la gràfica de f.
234
–1
+
f ''(x) =
b) Asímptotes verticals:
(x − 3)2
x 2 − 2x − 3
d) Estudiarem la curvatura i els punts d'inflexió de la funció f fent servir la derivada segona i els zeros que
té.
Eix OX: f(x) = 0 ⇒ (x – 3)2 = 0 ⇒ x = 3
Eix OY: f (0) =
(x −
=
1)2
(–∞, –1)
f ′(x )
Per tant, el domini de f és D (f ) = R – {1}.
2(x − 3)(x − 1) − (x − 3)2
Ara construirem una taula en la qual estudiarem el comportament de f en funció del signe de f ′:
x
x–1=0⇒x=1
=1
x2 − x
f ʹ′(x) = 0 ⇔ x 2 − 2x − 3 = 0 ⇔ x = −1 i x = 3
⇒ f té un punt d'inflexió en x = 7
a) Una funció racional no està definida en aquells punts en
els quals s'anul·la el denominador.
x →±∞
c) Per estudiar la monotonia i els extrems relatius de f, derivarem la funció i calcularem els zeros de f ′.
⇒ f té un punt d'inflexió en x = 4
x −1
x
(x − 3)2
= lim
Així, l'asímptota obliqua de f és la recta y = x -5.
⇒ f té un punt d'inflexió en x = 2
(x − 3)2
x →±∞
⎡ (x − 3)2
⎤
n = lim [f (x) − x ] = lim ⎢
− x ⎥ =
x →±∞
x →±∞ ⎣ x − 1
⎦
−5x + 9
= −5
= lim
x →±∞
x −1
convexaen
en(–(−∞,
ffésesconvexa
∞, 2)2) ⎫
⎬ ⇒
cóncavaen
en(2,
(2,4)4) ⎭
ffésescòncava
f (x) =
f (x)
x →±∞
Com que f és contínua, podem deduir:
7.
n = lim [f (x) − mx ] .
i
x
Per tant, calculem aquests límits per determinar l'asímptota
obliqua de la funció f.
(7, + ∞)
convexaen
en(2,
(−∞,
ffésescòncava
4) 2) ⎫
⎬ ⇒
f
es
cóncava
en
(2,
f és convexa en (4, 7)4) ⎭
f (x)
(–∞, –1)
1
(1, +∞)
f ′(x )
–
+
f (x )
∩
∪
Aleshores, f és còncava en (–∞, 1) i convexa en (1, +∞).
A més, la funció no té cap punt d'inflexió, ja que en el punt
x = 1 no està definida.
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 11. APLICACIONS DE LES DERIVADES
e)
La concentració en t = 1 serà C (1) = k g/l.
Y
Per tant, la concentració màxima es produirà passada 1 h
i serà de k g/l.
15
10
5
–15
–10
–5
0
5
10
f (x ) =
–10
15
Zona +
X
La natura és econòmica en totes les seves accions
(x − 3)2
x −1
—— Principi de Fermat
El trajecte seguit per la llum quan es propaga entre dos
punts és el que implica un temps mínim.
–15
8.
1.Si anomenem x el preu de lloguer mensual en euros i y el
nombre d'apartaments llogats, l'expressió analítica de la
funció que s'ha d'optimitzar és:
B (x, y ) = x · y
2. Podem relacionar les dues variables tenint en compte que
per cada 5 euros que augmenta el preu del lloguer, x ,
el nombre d'apartaments llogats, y, disminueix en una unitat.
Per tant, es compleix:
x = 160 + 5k
y = 200 − k
⎫⎪
160 − x
⇒
⎬ ⇒ y − 200 = −k =
⎪⎭
5
⇒ y − 200 = −
⇒ y =−
1
5
1
5
(x − 160) ⇒
x + 232
Així, podem expressar B com a funció únicament de x:
⎛ 1
⎞
B(x) = x ⋅ y = x ⋅ ⎜ − x + 232 ⎟
⎝ 5
⎠
3. Determinem els extrems relatius de B:
⎛ 1 ⎞
⎛ 1
⎞
0 = B ʹ′(x) = ⎜ − x + 232 ⎟ + x ⋅ ⎜ − ⎟ =
⎝ 5 ⎠
⎝ 5
⎠
=−
2
5
x + 232 ⇔ x = 580
Vegem que x = 580 correspon a un màxim de B:
B ʹ′ʹ′(x) = −
2
5
⇒ B ʹ′ʹ′(580) = −
2
5
<0⇒
⇒ x = 580 és un màxim relatiu de B.
Com que la funció B és derivable, el fet que no tingui mínims relatius ens assegura que x = 580 és un màxim absolut.
El lloguer que produeix més benefici a l'agència és de 580 €.
9.
(pàg. 323)
Per trobar la concentració màxima, calculem C ′(t ) i la igualem
a zero.
C ′(t ) = k · e 1–t · (1 – t )
C ′(t ) = 0 ⇔ 1 – t = 0 ⇔ t = 1
Comprovem si es tracta d'un màxim amb la segona derivada:
C ″(t ) = k · e 1 – t (t – 2)
—— Principi de mínima acció
Entre dos instants qualssevol (inicial i final), un sistema físic evoluciona seguint la trajectòria que minimitza l'acció,
on l'acció és el producte de l'energia del sistema pel
temps.
Aquest principi es va anar generalitzant amb el pas dels
anys i es va arribar a formular en termes més complexos,
que queden lluny del nivell del curs.
—— Segona llei (o principi) de la termodinàmica
En un estat d'equilibri, els valors que prenen els paràmetres característics d'un sistema termodinàmic tancat són
tals que maximitzen el valor d'una certa magnitud que
està en funció d'aquests paràmetres, anomenada entropia.
Les matemàtiques s'inventen o es descobreixen?
• Es pretén que s'entauli un debat interessant sobre la natura
mateixa del quefer dels matemàtics, que fàcilment pot requerir que els participants mobilitzin les seves idees més
fonamentals sobre com és el món que ens envolta i quin
paper hi tenim.
• L'equip encarregat de defensar que les matemàtiques s'inventen pot procedir per atac a la tesi contrària (com es pot
harmonitzar l'existència prèvia de les lleis matemàtiques
que obeeix la natura i el principi de la ciència moderna que
nega l'existència d'un projecte en la natura?). D'altra banda,
s'ha d'esforçar a explicar per què, si no hi ha projecte, la
natura sembla obeir lleis matemàtiques i mitjançant quin
mecanisme l'ésser humà sembla capaç de desxifrar aquestes lleis.
• L'equip encarregat de defensar que les matemàtiques es
descobreixen s'ha d'esforçar a argumentar que la natura
obeeix a lleis matemàtiques i a explicar com pot passar això
sense l'existència d'un projecte o, alternativament, fer-se
fort en aquesta idea de projecte i argumentar que la tesi
que la natura no el té o no n'és un no és fonamental per al
matemàtic ni per a produir ciència moderna.
• És important que el docent romangui com a espectador o
moderador en casos puntuals, i que deixi que el debat es
desenvolupi sense interferències.
C ″(t ) = – k e 0 = – k < 0 ⇒ és un màxim
235
BLOc 3. ANÀLISI
12 #
Integrals i aplicacions
En context (pàg. 325)
• L'àrea A 2 del recinte limitat per la recta y = – x + 8, l'eix OX
i les rectes x = a i x = 8.
a> Resposta oberta.
Per calcular aquestes àrees, hem de trobar el valor de a:
b> Resposta oberta.
3a = – a + 8 ⇒ a = 2
c> Resposta oberta.
Per tant:
Problemes resolts
1.
A = A1 + A2 =
(pàg. 354 a 356)
∫ (4ax 2 −
6x
a
4ax 3
) dx =
−
3
6x 2
2a
+C
= 3 ⋅ (2 − 0) + (32 − 14) = 24 ⇒ A = 24u 2
Podem comprovar geomètricament el resultat calculant directament l'àrea del triangle:
F (0) = C = 1
F (1) =
3
−
3
a
+C = 1 ⇒
4a
3
=
3
a
⇒a=±
A=
3
b ⋅h
4.
Si F és una primitiva de f, F ′= f, aleshores el signe de la funció f ens permet obtenir la monotonia i els extrems relatius
de F.
(−∞, 0)
0
(0, +∞)
F ′(x) = f (x)
–
0
+
F (x)
m
Fem una representació aproximada per veure la disposició
d'aquest triangle.
x − x2
= x2 − x
(x + 1)(x + 2)
x − x 2 = (x 2 − x)(x + 1)(x + 2)
0 = (x 2 − x)((x + 1)(x + 2) + 1) =
= x(x − 1)(x 2 + 3 x + 3) ⇔ x = 0 o x = 1
b)Com que els punts de tall són 0 i 1, i les funcions f i g són
contínues en [0, 1], l'àrea que ens interessa és:
A=
=
1
∫ 0 (f (x) − g (x)) dx
x−
1 ⎛
x2
∫ 0 ⎜⎝ (x + 1)(x + 2)
=
⎞
− (x 2 − x) ⎟ dx
⎠
Per aplicar la regla de Barrow, calculem la integral indefinida:
x − x2
⎛
⎞
− x 2 + x ⎟ dx =
⎠
⎛
⎞
4x +2
− x 2 + x ⎟ dx =
= ∫ ⎜ −1 + 2
x
+
3
x
+
2
⎝
⎠
4
x
+
2
= ∫ (−x 2 + x − 1) dx + ∫
dx =
x2 + 3 x + 2
∫ ⎜⎝ (x + 1)(x + 2)
Y
y = 3x
y = –x + 8
A1 A2
1 a
= 24 ⇒ A = 24u 2
2
f (x) = g (x),
L'única de les tres gràfiques que presenta un comportament
compatible amb aquesta taula és la a. Per tant, l'única gràfica
que pot ser-ho d'una primitiva de f és la a.
3.
(8 − 0) ⋅ (3 ⋅ 2)
a) Trobem els punts de tall entre les dues funcions f i g(x) =
= x2 – x (que defineix la paràbola):
D'acord amb la gràfica de f, podem deduir el comportament
següent de qualsevol primitiva seva F:
x
=
2
2
Atès que a > 0, el resultat és a = 3/2.
2.
=
8
⎤
⎡ x 2 ⎤ ⎡ x 2
= 3⎢
+ 8x ⎥ =
⎥ + ⎢ −
⎦2
⎣ 2 ⎦0 ⎣ 2
Com que la funció primitiva compleix F (0) = F (1) = 1, així:
4a
8
2
Calculem la funció integral F (x) de la funció:
F (x) =
2
∫ 0 3x dx + ∫ 2 (−x + 8) dx
=−
X
x3
3
+
x2
2
−x+
∫
4x +2
x2
+ 3x + 2
dx
i per calcular la nova integral:
4x +2
x2 + 3 x + 2
De la seva observació deduïm que l'àrea A és la suma de:
• L'àrea A1 del recinte limitat per la recta y = 3x, l'eix OX i les
rectes x = 0 i x = a, on a és l'abscissa del punt de tall entre
les dues rectes de l'enunciat.
=
=
A
x +1
+
B
x +2
=
A(x + 2) + B (x + 1)
(x + 1)(x + 2)
4 x + 2 = (A + B) x + 2 A + B
4 = A + B ⎫
⎬ ⇒ A = −2, B = 6
2 = 2 A + B ⎭
∫
4x +2
x2 + 3 x + 2
dx =
∫
−2
x +1
dx +
∫
6
x +2
= −2 ln x + 1 + 6 ln x + 2 + C
237
dx =
4x +2
x2 + 3 x + 2
=
=
A
x +1
B
+
x +2
=
Bloc 3. ANÀLISI > UNItAt 12. integrals i aplicacions
A(x + 2) + B (x + 1)
(x + 1)(x + 2)
4 x + 2 = (A + B) x + 2 A + B
∫
3
∫0 x
4 = A + B ⎫
⎬ ⇒ A = −2, B = 6
2 = 2 A + B ⎭
−2
6
4x +2
dx = ∫
dx + ∫
dx =
x +1
x +2
x2 + 3 x + 2
⎛ f (x 0 )
f (x 6 ) ⎞
≈ h ⋅ ⎜
+ f (x1) + ... + f (x 5 ) +
⎟ =
⎝ 2
2 ⎠
=
= −2 ln x + 1 + 6 ln x + 2 + C
1
(
2
3
∫0 x
1
⎤
⎡ x 3
x2
A = ⎢ −
+
− x − 2 ln x + 1 + 6 ln x + 2 ⎥ =
⎦0
⎣ 3
2
=
1
⎡ x 3
x2
(x + 1)2 ⎤
= ⎢ −
+
− x − ln
⎥ =
⎣ 3
2
(x + 2)6 ⎦0
⎛ 5
12 ⎞
22 ⎞ ⎛
= ⎜ −
− ln
⎟ − ⎜ 0 − ln
⎟ =
6
⎝ 6
3 ⎠ ⎝
26 ⎠
= −
5.
6
+ ln
36
28
5
27
+ 2 ln
6
16
⇒ A = 0, 21 u 2
= −
= 0, 21 ⇒
Apliquem la fórmula del mètode dels trapezis i de Simpson
amb n = 6.
3−0
6
=
1
2
1
6
( 4(
2 +
6.
S 2 = f (1) ⋅
⎛ 3 ⎞ 1
1 1
1
1
5
+ f ⎜ ⎟ ⋅
=
⋅
+
⋅
=
3
⎝
⎠
2
2
2
1 2
2
6
2
Per tant, l'àrea A considerada és:
0,58 =
7.
= 0,83
Calculem l'àrea per defecte:
9 3
Sn = 1 · f (–4) + 1 · f (–2) + 1 · f (–1) = 4 + 4 + 1 = 9 u2
4
Calculem l'àrea per excés:
Sn = 1 · f (–3) + 1 · f (–3) + 1 · f (–2) = 5 + 5 + 4 = 14 u2
5 11
4
2 INTEGRAL DEFINIDA
E=0+0
P=2 2 +2 5
+
5 11
4
4. Apliquem la fórmula del mètode dels trapezis:
238
6
f (x0) = 4; f (x1) = 5; f (x2) = 4; f (x3) = 1
3. Trobem els extrems, els parells i els imparells:
4
5
I calculem les seves imatges per la funció:
4
f (x6) = 0
9 3
= s2 ≤ A ≤ S 2 =
x0 = –4, x1 = –3, x2 = –2, x3 = –1
35
f (x4) = 2 5
+
7
12
Prenem quatre punts d'abscisses:
f (x2) = 2 2
4
Pàg. 357
1
f (x) = x 9 − x 2
35
(pàg. 357 a 362)
El procediment 2 ens dóna aproximacions per excés. Per
exemple:
2. Calculem les imatges d'aquests punts per la funció integrant:
I=
)
35 + 9 3 + 5 11 ≈ 8, 78
⎛ 3 ⎞ 1
1
1
1
1 1
7
s2 = f ⎜ ⎟ ⋅
+ f (2) ⋅
=
⋅
+
⋅
=
3
⎝ 2 ⎠ 2
2
2
2 2
12
2
x4 = 2; x5 = 2,5; x6 = 3
f (x5) =
(E + 2P + 4I ) =
3
El procediment 1 ens dóna aproximacions per defecte. Per
exemple:
x0 = 0; x1 = 0,5; x2 = 1; x3 = 1,5;
f (x3) =
h
1 ÀREA SOTA UNA CORBA
Per tant, els punts d'abscissa considerats són:
f (x1) =
5)+
Exercicis i problemes
= 0, 5
f (x0) = 0
9 − x 2 dx ≈
Per tant, el mètode de Simpson és més precís.
1. Dividim l'interval [0, 3] en sis parts iguals. Per a fer-ho,
calculem h:
h=
)
35 + 2 2 + 9 3 + 2 5 + 5 11 ≈ 8, 41
5. Apliquem la fórmula de Simpson:
Per tant, d'acord amb la regla de Barrow:
5
9 − x 2 dx ≈
8.
Pàg. 357
Atès que la integral definida d'una funció positiva en [a, b]
coincideix amb l'àrea de la regió definida per la gràfica de la
funció, l'eix d'abscisses i les rectes x = a i x = b, podem calcular fàcilment:
1
∫ 0 f (x) dx
= 1⋅ 4 +
= A1 + A2 =
1⋅1
2
=
9
2
1
∫ 0 g (x) dx
= 1⋅ 3 +
= B1 + B2 =
1⋅ 2
2
=4
Bloc 3. ANÀLISI > UNItAt 12. integrals i aplicacions
4
Y
∫1 f (x) dx
Y
≈ s6 = 0, 5 ⋅ f (1) + 0, 5 ⋅ f (1, 5) + 0, 5 ⋅ f (2) +
+0, 5 ⋅ f (2, 5) + 0, 5 ⋅ f (3, 5) + 0, 5 ⋅ f (4) =
+2, 875 + 2, 5 = 13, 625
g (x
f(
x)
)=
=
x
2x
+
4
+3
= 0, 5 ⋅ 2 + 0, 5 ⋅ 3, 75 + 0, 5 ⋅ 5 + 0, 5 ⋅ 5, 75 +
+0, 5 ⋅ 5, 75 + 0, 5 ⋅ 5 = 1 + 1, 875 + 2, 5 + 2, 875 +
A2
Calculem ara les integrals corresponents a cada subinterval:
B2
A1
3
1
B1
1
X
1
∫1 f (x) dx
≈ 0, 5 ⋅ f (1) + 0, 5 ⋅ f (1, 5) + 0, 5 ⋅ f (2) +
+0, 5 ⋅ f (2, 5) = 0, 5 ⋅ 2 + 0, 5 ⋅ 3, 75 + 0, 5 ⋅ 5 +
+0, 5 ⋅ 5, 75 = 1 + 1, 875 + 2, 5 + 2, 875 = 8, 25
X
1
4
∫ 3 f (x) dx
≈ 0, 5 ⋅ f (3, 5) + 0, 5 ⋅ f (4) =
= 2, 875 + 2, 5 = 5, 375
1
∫ 0 (f (x) + g (x)) dx
1
∫ 0 (f (x) − g (x)) dx
=
= C1 + C2 =
= 1⋅ 7 +
1⋅1
= D1 +
1⋅ 3
=
3
2
Comprovem que es compleix ID.1:
17
2
=
1
∫ 0 f (x) dx + ∫ 0 g (x) dx
2
9.
1
∫ 0 (f (x) + g (x)) dx
1
1
=
=
=
9
=
2
∫ 0 (f (x) − g (x)) dx
1
∫ 0 f (x) dx − ∫ 0 g (x) dx
9
=
2
17
x
2
5
8
11
14
17
2
y
0,69
1,61
2
2,42
2,64
2,83
=
b
=
f (x) = g (x) ⇔ 2x − x 2 = x 2 − x − 2 ⇔
1
−4=
2
ox =2
Observem que tenim 5 intervals i calculem h:
c
b
∫ a f (x) dx + ∫c f (x) dx
per a a < c < b. En el nostre cas, l'interval d'integració és
[1, 4]. Prenem un valor interior qualsevol d'aquest interval,
per exemple, c = 3. Així, la propietat ID.4 afirma que:
4
1
⇔x =
2
La propietat ID.4 ens diu que
∫ a f (x) dx
INTEGRACIÓ PER MÈTODES Pàg. 357
NUMÈRICS
10. Donada la taula
=
+4=
1
1
I com que 13,625 = 8,25 + 5,375, comprovem que, efectivament, es compleix la propietat ID.4.
2
17
=
2
2
=
1
3
4
∫1 f (x) dx = ∫1 f (x) dx + ∫ 3 f (x) dx
Dividim l'interval [1, 4] en n subintervals, per exemple,
n = 6, i aixequem els rectangles inferiors corresponents:
17 − 2
h=
5
=3
Apliquem la fórmula del mètode dels trapezis:
17
∫2
f (x) dx ≈
⎛ 0,69
2,83 ⎞
≈ 3 ⎜
+ 1,61 + 2 + 2,42 + 2,64 +
⎟ = 31,29
⎝ 2
2 ⎠
11. Apliquem la fórmula del mètode dels trapezis prenent
n = 5, ja que es consideren sis punts d'abscissa:
Y
7
2
∫1 f (x) dx
6
5
⎛ 4
2 ⎞
+ 3,89 + 3,58 + 3,14 + 2,59 + ⎟ =
≈ 0,2⎜
⎝ 2
2 ⎠
= 3,24 ⇒ A = 3,24u 2
4
12. Dividim l'interval d'integració en 8 parts iguals:
3
2
h=
1
0
1
2
3
4
5
6
7
X
Els subintervals són [1, 1,5], [1,5, 2], [2, 2,5], [2,5, 3],
[3, 3,5], [3,5, 4]. El valor aproximat de la integral en tot
l'interval és:
1− 0
= 0,125
8
Construïm la taula corresponent:
x
0
0,125
0,250
0,375
0,5
y
0,250
0,249
0,246
0,242
0,235
239
Bloc 2. ANÀLISI > UNItAt 9. INTEGRACIÓ
x
0,625
0,750
0,875
1
y
0,228
0,219
0,210
0,200
14. Activitat TIC.
15. La integral definida que hem de calcular és:
8
∫4
Aplicant el mètode dels trapezis:
x + 2 dx
1
⎛ 0,250
0,200 ⎞
de +generar
aleatoris en l'interval [0, 1]
dx ≈ 0,125⎜
+ 0,249 + 0,246 + 0,242 + 0,235 + 0,228Hem
+ 0,219
0,210 + 20 nombres
⎟ = 0,232
⎝
i
ho
fem
amb
la
funció
+4
2
2 ⎠ ALEATORI() d'un full de càlcul:
0,200 ⎞
,249 + 0,246 + 0,242 + 0,235 + 0,228 + 0,219 + 0,210 +
⎟ = 0,232
u1
0,0483
u11
0,5812
2 ⎠
1
∫0
x2
u2
0,3116
u12
0,8776
u3
0,9824
u13
0,2895
u4
0,0893
u14
0,3380
u5
0,1066
u15
0,5766
u6
0,4304
u16
0,9874
u7
0,0882
u17
0,5909
u8
0,4960
u18
0,9806
P = 0,246 + 0,235 + 0,219 = 0,7
u9
0,0271
u19
0,3080
I = 0,249 + 0,242 + 0,228 + 0,210 = 0,929
u10
0,2801
u20
0,8257
Ara apliquem el mètode de Simpson dividint l'interval també
en 8 parts:
h = 0,125
Per tant, usem les dades de la taula per a calcular la suma
dels valors extrems E, els valors de lloc parell (excepte els extrems) P i els valors de lloc imparell I:
E = 0,25 + 0,2 = 0,45
Aplicant la fórmula de Simpson:
1
h
dx ≈
(E + 2P + 4I ) =
x2 + 4
3
1
=
( 0, 45 + 2·0, 7 + 4·0, 929 ) ≈ 0, 232
24
1
∫0
13. Apliquem la fórmula del mètode de Simpson amb n = 4.
1. Dividim l'interval en 4 parts iguals:
Calculem h:
h=
8−4
4
=1
Així, els punts d'abscissa considerats són:
x0 = 4; x 1 = 5; x 2 = 6; x 3 = 7; x 4 = 8
2. Calculem les imatges d'aquests punts per la funció integrant f (x) =
x +2:
f (x 0 ) = f (4) =
6
f (x1) = f (5) =
7
f (x 2 ) = f (6) =
8
f (x 3 ) = f (7) =
9 =3
f (x 4 ) = f (8) =
10
∫4
=
240
1
3
x + 2dx ≈
4,193
x11
6,325
5,246
x12
7,510
x3
7,930
x13
5,158
x4
4,357
x14
5,352
x5
4,426
x15
6,307
x6
5,722
x16
7,950
x7
4,353
x17
6,364
x8
5,984
x18
7,922
x9
4,108
x19
5,232
x10
5,120
x20
7,303
La integral demanada es calcula segons
A≈
b−a
N
N
∑ f (xi )
i =1
Per la qual cosa hem de trobar ara les imatges dels valors de
la taula anterior:
f (x11)
2,885
f (x2)
2,692
f (x12)
3,084
f (x3)
3,151
f (x13)
2,675
8
f (x4)
2,521
f (x14)
2,711
7 +3
f (x5)
2,535
f (x15)
2,882
f (x6)
2,779
f (x16)
3,154
f (x7)
2,520
f (x17)
2,892
f (x8)
2,826
f (x18)
3,150
f (x9)
2,472
f (x19)
2,689
f (x10)
2,668
f (x20)
3,050
6 + 10
4. Apliquem la fórmula de Simpson:
8
x1
x2
2,489
P =
I =
xi = a + (b – a ) · ui
on a = 4 i b = 8. Així obtenim la nova taula de nombres aleatoris ja en l'interval [4, 8]:
f (x1)
3. Trobem els extrems, els parells i els imparells:
E =
Com que l'interval d'integració no és el [0, 1] sinó el [4, 8],
haurem de fer la transformació lineal següent dels nombres
aleatoris anteriors:
h
3
(E + 2P + 4I ) =
( 6 + 10 + 2 8 + 4 7 + 4 ⋅ 3) = 11,28
Bloc 3. ANÀLISI > UNItAt 12. integrals i aplicacions
A≈
8−4
⋅ (2, 489 + 2, 692 + 3,151 + 2, 521 + 2, 535 +
20
+2, 779 + 2, 520 + 2, 826 + 2, 472 + 2, 668 + 2, 885 +
+3, 084 + 2, 675 + 2, 711 + 2, 882 + 3,154 + 2, 892 +
+3,150 + 2, 689 + 3, 050) = 11,17
El valor que es va obtenir pel mètode de Simpson en l'exercici
13 va ser 11,28. El valor exacte d'aquesta integral és precisament 11,28. Per tant, el mètode de Simpson ha resultat ser
més precís, encara que és una mica més laboriós.
16. Es procedeix de la mateixa manera que en l'exercici anterior.
f (x1)
0,264
f (x11)
0,520
f (x2)
0,299
f (x12)
0,468
f (x3)
0,294
f (x13)
0,450
f (x4)
0,406
f (x14)
0,342
f (x5)
0,325
f (x15)
0,325
f (x6)
0,280
f (x16)
0,455
f (x7)
0,257
f (x17)
0,265
f (x8)
0,246
f (x18)
0,448
f (x9)
0,186
f (x19)
0,293
f (x10)
0,413
f (x20)
0,332
a) Hem d'avaluar ara la integral:
5
3
∫2
x3 + 1
A≈
3−2
(0, 264 + 0, 299 + 0, 294 + 0, 406 + 0, 325 +
20
+0, 280 + 0, 257 + 0, 246 + 0,186 + 0, 413 + 0, 520 +
dx
Generem 20 nombres aleatoris en l'interval [0, 1] amb un
full de càlcul utilitzant la funció ALEATORI():
+0, 468 + 0, 450 + 0, 342 + 0, 325 + 0, 455 + 0, 265 +
+0, 448 + 0, 293 + 0, 332) = 0, 343
El valor exacte és 0,322.
u1
0,6190
u11
0,0501
u2
0,5049
u12
0,1311
u3
0,5205
u13
0,1632
u4
0,2451
u14
0,3869
u5
0,4308
u15
0,4313
u6
0,5627
u16
0,1537
u7
0,6433
u17
0,6147
u8
0,6818
u18
0,1651
u9
0,9565
u19
0,5234
u10
0,2314
u20
0,4148
Com que l'interval d'integració no és el [0, 1] sinó el [2, 3],
haurem de fer la transformació lineal següent dels nombres aleatoris anteriors:
xi = a + (b – a) · ui
on a = 2 i b = 3. Així obtenim la nova taula de nombres
aleatoris ja en l'interval [2, 3]:
b) Ara hem d'avaluar:
1
∫ 0 e x dx
2
Generem 20 nombres aleatoris en l'interval [0, 1] amb un
full de càlcul utilitzant la funció ALEATORI().
Com que l'interval d'integració és el [0, 1], no cal efectuar
cap transformació lineal:
x1
0,278 5
x11
0,358 1
x2
0,146 6
x12
0,408 9
x3
0,769 2
x13
0,044 3
x4
0,985 2
x14
0,598 7
x5
0,664 3
x15
0,207 4
x6
0,923 4
x16
0,512 3
x7
0,139 5
x17
0,120 2
x8
0,710 9
x18
0,457 4
x9
0,150 4
x19
0,106 7
x10
0,048 7
x20
0,972 2
x1
2,619
x11
2,050
x2
2,505
x12
2,131
x3
2,521
x13
2,163
x4
2,245
x14
2,387
x5
2,431
x15
2,431
x6
2,563
x16
2,154
x7
2,643
x17
2,615
f (x1)
1,081
f (x11)
1,137
x8
2,682
x18
2,165
f (x2)
1,022
f (x12)
1,182
x9
2,957
x19
2,523
f (x3)
1,807
f (x13)
1,002
x10
2,231
x20
2,415
f (x4)
2,640
f (x14)
1,431
f (x5)
1,555
f (x15)
1,044
f (x6)
2,346
f (x16)
1,300
f (x7)
1,020
f (x17)
1,015
f (x8)
1,658
f (x18)
1,233
f (x9)
1,023
f (x19)
1,011
f (x10)
1,002
f (x20)
2,573
La integral demanada es calcula segons
A≈
b−a
N
N
∑ f (xi )
i =1
Per la qual cosa hem de trobar ara les imatges dels valors
de la taula anterior:
La integral demanada es calcula segons
A≈
b−a
N
N
∑ f (xi )
i =1
Per la qual cosa hem de trobar ara les imatges dels valors
de la taula anterior:
241
Bloc 3. ANÀLISI > UNItAt 12. integrals i aplicacions
1− 0
A≈
(1, 081 + 1, 022 + 1, 807 + 2, 640 + 1, 555 +
20
+2, 346 + 1, 020 + 1, 658 + 1, 023 + 1, 002 + 1,137 +
f)
⎛ 1
∫ ⎜⎝ x
= ln|x | −
+1,182 + 1, 002 + 1, 431 + 1, 044 + 1, 300 + 1, 015 +
+1, 233 + 1, 011 + 2, 573) = 1, 404
El valor exacte és 1,463.
4
20. a)
INTEGRACIÓ PER MÈTODES Pàg. 358-360
ALGèBRICS
17. a)
∫ x 7 dx
=
b
∫ 5x dx
=
c)
∫
d)
18. a)
19. a)
7+1
5x
=
b)
∫ x − 4 dx
x − 4+1
=
+C = −
−4 + 1
2+1
x 1+1
1+1
x3
+ x +C =
c)
= 3∫
=3
b)
x3
∫
dx +
ex
∫
=
d)
∫
=
242
∫
∫ (x −
=
e)
3
x2
∫
2
⎛
⎜ x −
⎝
x2
2
x ) dx = ∫ x dx −
↑
12
−
5
3
dx − ∫ cos x dx =
2
3
x
3
2
+C =
1 ⎞
⎟ dx =
↑
x ⎠
12
− 2 x +C
∫
x4
x2
+
2
− 5x + C
2
∫ f (x) dx = ∫ (3x + 2 4 x )2 dx =
= ∫ (9x 2 + 12x 4 x + 4 x ) dx =
x
∫x
1+
1
4
9
4
1
∫x2
dx + 4
dx =
3
16
4
3
x9 +
8
x3 +C
3
∫ f (x) dx = ∫ (3 sin x + 5 cos x) dx
= 3 ∫ sin x dx + 5 ∫ cos x dx =
=
⎞ʹ′
2 sin x cos x
=
⎟ =
⎠
cos 4 x
1
=
cos2 x
c) G ʹ′(x) = (− ln(cos x))ʹ′ =
1
cos x
sin x = tg x
d) I ′(x ) = (5 – ln (cos x ))′ = 0 + tg x = tg x
12
ex
5
= 2 tg x
x2
5
−
x2
2
x dx −
Per tant, les úniques primitives de f són G i I.
11
5
3
∫
−
∫ cos x dx =↑
e x dx −
ex
− sin x + C
22. a)
x dx =
2x x
3
∫
1
x
∫
8 3 x dx = 8 ∫ x
3
= 6x
+C
=
− 5x + C =
2
b) H ʹ′(x) = (1 + tg2 x)ʹ′ = 0 + 2 tg x ⋅ (tg x )ʹ′ =
12
c)
x5
x2
+
4
⎛ 1
a) F ʹ′(x) = ⎜
⎝ cos2 x
1
= 2 tg x
cos2 x
dx =
− cos x + C
2
⎛ 5 x
⎞
⎜ e − cos x ⎟ dx =
↑
⎝ 3
⎠
dx =
de f (x ) = tg x , les derivarem i veurem si la funció obtinguda
és f.
11
∫ (x + sin x) dx =↑ ∫ x dx + ∫ sin x dx
=
x2
21. Per veure si les funcions de l'enunciat són o no primitives
+ ex + C = x 3 + ex + C
3
1
∫
= −3 cos x + 5 sin x + C
∫ (3x 2 + e x ) dx =↑ ∫ 3x 2 dx + ∫ e x dx =↑
12
x4
−2
5
= 3x 3 +
+
x2
dx +
x
x2
+ 12
+4
+C =
=9
9
3
3
4
2
=
1 ⎞
1
1
dx + ∫
dx =
⎟ dx = ∫
x 3 ⎠
x
x3
1
x −3+1
+ C = ln |x | −
+C
= ln |x | +
−3 + 1
2x 2
⎛ 1
∫ ⎜⎝ x
x5
x3
+ x2 + x + C
3
1
+C
x
= 9 ∫ x 2 dx + 12
x
5 5 3
+C =
x x +C
3
8
+1
5
dx =
∫ (x + 1)2 dx = ∫ (x 2 + 2x + 1) dx
= ∫ x 2 dx + ∫ 2x dx + ∫ 1 dx =
= ∫ x 2 dx + 2 ∫ x dx + ∫ dx =
+2
+C
3
+1
5
3
x 2+1
1
3x 3
1
∫
∫ f (x) dx = ∫ [x 4 − 2x 3 + x − 5] dx =
= ∫ x 4 dx − 2 = ∫ x 3 dx + ∫ x dx − 5 ∫ dx
=
+C
8
+C
ln 5
dx =
x4
x8
+C =
∫ 5 x 3 dx = ∫ x 5
=
b)
1
x 7+1
1 ⎞
⎟ dx =
↑
x 2 ⎠ 12
+
b)
∫
1
3
1
dx = 8
+1
x3
+C =
1
+1
3
x +C
6x 2
dx = 6 ∫ x
x
3
2−
1
2
dx = 6 ∫ x
3
2
dx =
+1
x2
12 2
=6
+C =
x x +C
3
5
+1
2
dx =
c)
∫ 3 cos x dx
= 3 ∫ cos x dx = 3 sin x + C
Bloc 3. ANÀLISI > UNItAt 12. INTEGRACIÓ
d)
∫
=
1
1
23. a)
∫
=
b)
c)
1
1
x −4 + C =
16
1
5
∫
5
dx =
5x + 1
1
=
∫ 2e 2x −1 dx
2
1
26. a)
1
dx =
2x + 3
1
=
2
∫ 2(2x + 3)
d)
24. a)
∫
1
2
c)
2
(x 4 − 3x)6
b)
dx =
x
cos
2
∫ x 2 ex
∫
=
1
3
ex3
x2
3
dx =
∫
x
2
(x 4 − 3x)5+1
=
+C
5+1
1
3
⋅ 3x 2 e x 3 dx =
x3 + 2
∫
1
3
1
dx =
3
x3 + 2
=
+C =
∫ ex
3
3
ln x
x
dx =
∫
x
∫
=
f)
1
2
ln2 x + C
sine x
+C
=−
= − ∫ cos5 x ( −sin x ) =
cos6 x
6
3
4
3
=
4
ln(1 + x 8 ) + C
1
, g (x ) = arc tg x
x
∫ e 2x +1 ⋅ 4x dx
2
=
↑
e 2x 2 +1 + C
cos 2x
dx =
1 + sin 2x
1
−
∫ (1 + sin 2x)
2
1
2 ⋅
2 cos 2x dx =
↑
1 + sin 2x + C
∫ e x sine x dx
∫
= − cos e x + C
↑
e 3x
1+
e 3x
dx =
1
1
∫
3
1 + e 3x
⋅ 3e 3x dx =
↑
1
x
f (x ) =
=
c) Reconeixem ara també l'estructura [f (x)]n f ′ (x), excepte
una constant, amb f (x) = cos x i n = 5. Per tant:
∫ cos5 x sin x dx
8
↑
1
3
, g (x ) = 1 + e 3x
ln(1 + e 3x ) + C
27. a) 1. Substituïm la variable x per t.
ln x dx =
cos e x dx
1
⋅ 8x 7 dx =
f (x ) = sin x , = g (x ) + e x
b) Reconeixem l'estructura cos f (x) · f ′(x) de la taula de primitives, amb f (x) = ex, per tant:
ex
1
(1 + x 8 )
f (x )= (1 + x )− 2
g (x )= sin 2x
dx =
i n = 1.
1
∫
3x 2 dx =
Per tant, aplicant l'expressió corresponent en la taula de
primitives:
∫
tg (3x 2 − 2x + 1) + C
1
1
[f (x)]n f ′(x)
x
8
∫
=
ln |x 3 + 2| + C
1
2
+C
6
↑
1
+C
dx =
dx =
1+ x8
1
2
25. a) En aquesta integral reconeixem l'estructura
on f (x) = ln x, f '(x) =
sin6 x
=
dx =
( 3x − 1)
cos2 ( 3x 2 − 2x + 1)
f (x ) = e , g (x ) = 2x 2 + 1
e)
x2
⋅3⋅
x7
∫ 3x e 2x +1 dx
=
dx =
− 2x + 1)
∫2
x
dx = ln |sin x | + C
sin x
∫
c)
+C
x3 + 2
3x 2
1
3
dx = 2 sin
2
(
3x 2
f (x ) =
d)
cos x
∫
=
∫
2x + 3 + C
+C
6
∫ cotg x dx
=
d)
1
dx = 2 ∫
2
6x − 2
cos2
∫ sin5 x cos x dx
=
∫ (x 4 − 3x)5 (4x 3 − 3) dx
=
b)
x
cos
2
∫
1
dx =
f (x ) = x 5 ; g (x ) = sin x
1
1 (2x + 3) 2
=
+C =
1
2
2
1
e 2x −1 + C
−
2
3x − 1
cos2 ( 3x 2 − 2x + 1)
=
ln |5x + 1| +C
∫ e 2x −1 dx
∫
4
1
d) Observem en la Taula 2 que aquesta integral mostra l'esg '(x)
tructura
, excepte una constant, amb g (x) =
cos2 g (x)
= 3x2 – 2x + 1. Per tant:
=
∫
dx =
5x + 1
5
∫ x −5 dx
+C
16x 4
1
1
4
1
x −5 dx =
x −5+1 + C = −
4 −5 + 1
=−
1
∫
dx =
4x 5
Per a fer-ho, efectuem el canvi de variable
= t.
1
3
x + 2 = t.
Per tant:
1
3
dx = dt ⇒ dx = 3dt
Substituint en la integral:
⎛ 1
⎞8
∫ ⎜⎝ 3 x + 2 ⎟⎠ dx
=
∫ t 8 ⋅ 3dt
2. Calculem la nova integral:
∫ 3t 8 dt
= 3 ∫ t 8 dt = 3
t9
9
+C =
t9
3
+C
243
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 12. INTEGRAls i aplicacions
3. Desfem el canvi de variable:
∫
1
∫
⎞9
⎛ l
x
+
2
⎟
⎜
8
⎛ l
⎞
t9
⎠
⎝
+C = 3
+C
⎜ x + 2 ⎟ dx =
⎝ 3
⎠
3
3
3
3
=
3
Substituint en la integral:
1
∫
dx =
sen
sin x
1
−
t 2 dt
dt = ∫
t
=
3
x
x
cos x
∫
t
+C = 2 t +C
1
2
∫
1−
3
x
x
dx =
3
2
dt
∫
1
1+t
1
∫
1+t
3x
1 + 3x
3
x2 −
2
6
6
t 5dt =
4
6
( x)
7
−
6
7
3x
dx
1 + 3x
dt
3x
dt
t
1
=
1 + t t ln 3
ln 3
1
=
ln(1 + t ) + C ʹ′
ln 3
dt
ln 3
dt
=
t ln 3
∫
1
1+t
dt =
Desfem el canvi de variable:
∫
dt = ln |1 + t | + C
3x
1+
3x
=
dx = ln |1 + t | + C = ln |1 + e x | + C =
dx =
1
ln 3
1
ln 3
ln(1 + t ) + C ʹ′ =
ln(1 + 3x ) + C
29. No, ja que s'ha usat el canvi de variable t = sin x per a transformar la integral; però quan s'ha desfet el canvi, s'ha pres t =
x . El càlcul correcte és:
= ln(1 + e x ) + C
sin 4 x cos x dx
∫ sen
dx
∫ t 4 dt
=
=
t5
5
sin 5 x
sen
+C ⇒
5
+C
t = sin x
1 + 2x = t 3 ⇒ 2dx = 3t 2dt ⇒ dx =
3t 2
2
=
∫
1
3
1 + 2x
3 1 2
3
t dt =
2 t
2
∫
dx =
1 + 2x
dx =
I ara desfem el canvi de variable
244
3t 2
1
3
∫
3
4
30. a)
sin 5 x ⋅ cos x dx
∫ sen
∫ t 5 dt
=
↑
=
t = sen
sin x
dt = cos x dx
dt =
2
t3
3 t2
3
∫ t dt = 2 2 + C ʹ′ = 4 t 2 + C ʹ′
1
3
∫
dt = cos x dx
dt
Substituint aquestes expressions en la integral inicial:
∫
+C =
x6 x +C
7
∫
dx =
3. Desfem el canvi de variable:
1 + 2x
t2
( x)
2
3x = t ⇒ 3x ln 3dx = dt ⇒ dx =
∫
dx =
1 + ex
1− t3
∫6
Substituïm aquestes expressions en la integral donada:
t
2. Calculem la nova integral:
1 + ex
7
3
3
t 7 + C ʹ′ =
∫
Substituint en la integral:
ex
t6
6
t4 −
=
e x dx = dt ⇒ dx =
6t 5dt =
Ara desfem el canvi de variable, tenint en compte que
t = 6x :
c) 1.Substituïm la variable x per t . Per a fer-ho efectuem el
canvi de variable e x = t. Per tant:
ex
3
dx = 2 t + C = 2 sen
sin x + C
sen
sin x
∫
1 − t6
∫
dx =
3. Desfem el canvi de variable:
3
dx
x
⎛ t 4
t 7 ⎞
−
= 6 ∫ t 3 (1 − t 3 ) dt = 6 ∫ (t 3 − t 6 ) dt = 6 ⋅ ⎜
⎟ + C ʹ′
⎝ 4
t ⎠
dt
t
2. Calculem la nova integral:
1
1−
∫
cos x
∫
1
x
Substituïm aquestes expressions en la integral:
cos x dx = dt
∫
3
x = t 6 → dx = 6t 5dt
Per tant:
28.
1−
∫
Per a fer-ho efectuem el canvi de variable sin x = t.
∫
t 2 + C ʹ′ =
4
(1 + 2x)2 + C
4
b) 1. Substituïm la variable x per t .
∫
3
dx =
1 + 2x
b)
∫
x7
1+ x8
dx =
↑
1
8
t = 1 + x8
dt = 8 x 7 dx
t 2 + C ʹ′
=
1
8
ln(1 + x 8 ) + C
∫
1
t
dt =
1
8
t6
6
+C =
sen
sin 6 x
+C
6
ln |t | + C =
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 12. INTEGRAls i aplicacions
c)
∫ 3x e 2x +1 dx
2
dt
∫ 3et
=
↑
=
4
3
∫ et dt
4
u = ln x ⇒ du =
=
t = 2x 2 + 1
dt = 4 x dx
=
d)
3
4
3
et + C =
cos 2x
∫
Per tant, aplicant la fórmula d'integració per parts:
1
dx =
1 + sen
sin 2x
x2
ln x − ∫
2
1
x2
ln x −
x dx =
=
2 ∫
2
x 2 (2 ln x − 1)
+C
=
4
∫ x ln x dx
e 2x 2 +1 + C
4
1
∫
↑ 2
dt =
t
t +C =
t =1+sen
sin 2x
dt =2 cos 2x dx
=
i)
=
↑
sin t dt
∫ sen
F (x) =
= − cos t + C =
F ′(x) =
=
= − cos e x + C
∫
e 3x
1 + e 3x
dx =
1
∫
↑ 3
1
t
dt =
1
3
ln |t | +C =
c)
e 3x
t =1+
dt = 3e 3x dx
=
1
3
1⎤
1 ⎡
2x(2 ln x − 1) + x 2 2 ⎥ =
x ⎦
4 ⎢⎣
1
(4x ln x − 2x + 2x) = x ln x
4
sin dx
∫ x senx
u = x ⇒ du = dx;
sin x ⇒ v = − cos x
dv = sen
ln(1 + e 3x ) + C
Aplicant ara la fórmula d'integració per parts
sin x dx
∫ x sen
En el mètode de conversió a integral immediata, identifiquem una funció g (x ) i la seva derivada en l'integrant.
= −x cos x −
∫ − cos x dx
=
sin x + C
= −x cos x + ∫ cos x dx = −x cos x + sen
La comprovació és immediata. Derivem la funció
En el mètode de substitució, definim una nova variable
com una funció t = g (x ) i transformem dx en dt a partir
d'aquesta relació:
F (x) = −x cos x + sen
sin x + C
F ′(x) = − cos x − x(−sen
sin x) + cos x = x sen
sin x
t = g (x ) ⇒ dt = g ′(x ) dx
El mètode de conversió a integral immediata és més ràpid,
però requereix el reconeixement previ de la funció g (x ) i
de la seva derivada en l'integrant, la qual cosa sol ser difícil.
d)
∫ x 5 ln x dx
En l'integrant, identifiquem
u = ln x ⇒ du =
∫ xe xdx
1
x6
dx; dv = x 5dx ⇒ v =
dx
x
6
Per tant:
Identifiquem en l'integrant u i dv i obtenim du i v:
u = x ⇒ du = dx; dv =
e x dx
⇒v =
x6
x6 1
x6
x5
ln x − ∫
dx =
ln x − ∫
dx =
6
6 x
6
6
6
6
6
1 x
x (6 ln x − 1)
x
ln x −
+C =
+C
=
36
6
6 6
∫ x 5 ln x dx =
ex
Ara apliquem la fórmula d'integració per parts
∫ u dv
∫ xe x dx
= uv − ∫ v du
Comprovem el resultat derivant la funció
F (x) =
= xe x − ∫ e x dx
L'última integral obtinguda és immediata:
∫ xe x dx
F ʹ′(x) =
= xe x − e x + C = e x (x − 1) + C
=
Comprovem per derivació de la funció
F (x) = e x (x − 1) + C que la integració és correcta:
F ′(x) = e x (x − 1) + e x ⋅ 1 = xe x − e x + e x = xe x
b)
x 2 (2 ln x − 1)
+C
4
Identifiquem en l'integrant les expressions u i dv:
—— Els dos procediments són, en realitat, el mateix: es basen
a reconèixer una funció auxiliar en l'integrant.
31. a)
x2
x
x2 1
dx =
ln x − ∫ dx =
2
2 x
2
x2
1 x2
ln x −
+C =
2 2
2
Fem la comprovació derivant la funció
t = ex
dt = e x dx
f)
=
1 + sen
sin 2 x + C
sin e x dx
∫ e x sen
1
x2
dx; dv = xdx ⇒ v =
x
2
∫ x ln x dx
En l'integrant identifiquem u i dv així:
32. a)
x 6 (6 ln x − 1)
+C
36
1 ⎡ 5
1 ⎤
6x (6 ln x − 1) + x 6 6 ⎥ + C =
36 ⎢⎣
x ⎦
1
(36x 5 ln x − 6x 5 + 6x 5 ) = x 5 ln x
36
∫ 2xe 3x dx
Identifiquem en l'integrant les expressions corresponent a
u i a dv:
u = 2x ⇒ du = 2dx; dv = e 3x dx ⇒ v =
1 3x
e
3
245
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 12. INTEGRAls i aplicacions
I apliquem ara la fórmula d'integració per parts:
2 3x
1 3x
xe − ∫
e dx =
3
3
2
1
1
−
∫ e 3x dx = 3 xe 3x − 9 e 3x + C =
3
2e 3x (3x − 1)
+C
=
9
∫ 2xe 3x dx
=
b)
2 3x
xe
3
Hi identifiquem u i dv de manera similar a abans
u = cos x ⇒ du = −sen
sin x dx;
=
dv = e 3x dx ⇒ v =
∫ e 3x cos x dx
Aquí fem
=
1
1
5dx =
dx;
5x
x
dv = dx ⇒ v = x
u = ln 5x ⇒ du =
3
sin x dx
∫ e 3x sen
∫x
1
x3
dx; dv = x 2dx ⇒ v =
x
3
sin x dx
∫ e 3x sen
x3
x3 1
ln x − ∫
dx =
3
3 x
3
3
1
x
x3
x
ln x −
x 2 dx =
ln x −
+C =
=
∫
3
3
9
3
x 3 (3 ln x − 1)
+C
=
9
3
sin x dx =
e 3x sen
sin x dx
∫ e 3x sen
1
∫ e 3x cos x dx
=
⎤
sin x dx ⎥ =
∫ e 3x sen
⎦
sin x dx
∫ e 3x sen
=
10
9
u = 2x + 8 ⇒ du = 2dx; dv = e x dx ⇒ v = e x
sin x dx
∫ e 3x sen
1
3
e 3x
Per tant:
sin x dx
∫ e 3x sen
=
1
3
=
1
3
e 3x sen
sin x −
e 3x sen
sin x −
1
3
∫
1
3
e 3x cos x dx =
∫ e 3x cos x dx
En aquest cas, la nova integral obtinguda no és immediata.
Però si tornem a repetir el mètode d'integració per parts
per a aquesta integral, arribarem a obtenir una altra vegada la integral original, que podrà ser aïllada en l'expressió
resultant.
És a dir, tornem a repetir el mètode per a la integral
∫ e 3x cos x dx
9
e 3x cos x +
sin x dx
∫ e 3x sen
3
1
9
e 3x sen
sin x −
=
1
3
sin x dx
∫ e 3x sen
1
9
=
e 3x cos x;
e 3x sen
sin x −
1
9
e 3x cos x
⎤
9 ⎡ 1 3x
1 3x
e cos x ⎥ =
sin x −
⎢ e sen
⎦
10 ⎣ 3
9
1 3x
3 3x
e sen
e cos x + C =
=
sin x −
10
10
e 3x (3 sen
sin x − cos x)
+C
=
10
+ 8) − 2e x + C = e x (2x + 6) + C
dv = e 3x dx ⇒ v =
1
sin x dx
∫ e 3x sen
sin x dx
∫ e 3x sen
= e x (2x + 8) − ∫ 2e x dx =
u = sen
sin x ⇒ du = cos x dx;
1
sin x −
e 3x sen
En definitiva:
I apliquem la fórmula:
e x (2x
9
3
sin x dx +
∫ e 3x sen
∫ (2x + 8)e x dx
∫ (2x + 8)e x dx
1
1
Ara podem aïllar la integral original:
=
Fem les identificacions
246
3
sin x −
e 3x sen
=
−
∫ x 2 ln x dx
33. a)
1
=
És a dir:
=
1
e 3x cos x +
1
∫−
És a dir:
∫ x 2 ln x dx
u = ln x ⇒ du =
d)
e 3x cos x −
3
3
3
1 ⎡ 1 3x
1
1 3x
sin x −
e sen
=
⎢ e cos x +
⎣
3 3
3
3
1 3x
1
1 3x
e sen
e cos x −
=
sin x −
9
9
3
1
dx =
x
= x ln 5x − ∫ dx = x ln 5x − x + C =
= x(ln 5x − 1) + C
c)
1
1
=
Si ho escrivim tot tenim:
I per tant:
= x ln 5x −
e 3x
3
i per tant:
∫ ln 5x dx
∫ ln 5x dx
1
b)
=
∫ −2e x cos x dx
La forma de procedir és igual que a l'apartat a), i consisteix
a aplicar dues vegades el mètode d'integració per part, fins
a obtenir de nou la integral original.
En la primera aplicació del mètode identifiquem:
u = − cos x ⇒ du = sen
sin x dx;
dv = 2e x dx ⇒ v = 2e x
Per tant
∫ −2e x cos x dx
= −2e x cos x −
sin xdx
∫ 2e x sen
=
= −2e x cos x − 2 ∫ e x sen
sin xdx
Tornem a aplicar el mètode d'integració per parts a la nova
integral:
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 12. INTEGRAls i aplicacions
Escrivint-ho tot:
sin xdx
∫ e x sen
∫ x 2e 2x dx
u = sen
sin x ⇒ du = cos x dx;
dv = e x dx ⇒ v = e x
Per tant:
sin xdx
∫ e x sen
∫ e x cos x dx
sin x −
= e x sen
Escrivint-ho tot:
∫ −2e x cos x dx
∫ e x cos x dx ⎤⎦ =
sin x + 2 ∫ e x cos x dx
= −2e x cos x − 2e x sen
És a dir:
∫ −2e x cos x dx
sin x + 2 ∫ e x cos x dx
= −2e x cos x − 2e x sen
Aquí fem les identificacions
u = 2x − 4 ⇒ du = 2dx;
dv = sen
sin x dx ⇒ v = − cos x
Per tant:
sin x dx =
∫ (2x − 4) sen
= −(2x − 4) cos x − ∫ −2 cos x dx =
= −(2x − 4) cos x + 2 ∫ cos x dx =
Ara podem aïllar la integral original:
sin x;
∫ −2e x cos x dx − 2 ∫ e x cos x dx = −2e x cos x − 2e x sen
sin x;
= 2 ∫ −2e x cos x dx = −2e x cos x − 2e x sen
∫
1
−2e x cos x dx =
∫
sin x ) + C
( −2e x cos x − 2e x sen
2
−2e x cos x dx = −e x cos x − e x sen
sin x + C =
= −e x ( cos x + sen
sin x ) + C
c)
= −(2x − 4) cos x + 2 sen
sin x + C
34. a) Expressem els radicals com a potències d'exponent fraccionari i tenim en compte que la integral d'una suma és la
suma d'integrals:
∫ x 2e 2x dx
=
⎛ x
2 3 x ⎞
⎟⎟ dx =
dx = ∫ ⎜⎜
+
x5
x 5 ⎠
⎝ x 5
2x 1/ 3 ⎞
+
⎟ dx = ∫ ( x −2dx + 2x −13/6 ) dx =
x 5/2 ⎠
x + 23 x
∫
En aquesta integral també cal aplicar el mètode d'integració
dues vegades, però ara per aconseguir que la nova integral
sigui immediata.
⎛ x 1/2
∫ ⎜⎝ x 5/2
u = x 2 ⇒ du = 2x dx;
1
2
1
=
−2 + 1
e 2x
Per tant:
=
=
1
2
1
2
x 2e 2x −
x 2e 2x −
∫ 2x
1
2
e 2x dx =
dv =
∫ xe 2x dx
=
e 2x dx
=
1
2
1
2
2
xe 2x
−
1
4
=
1
2
=
1
2
∫
1
2
e 2x
e 2x dx =
∫
=
1
2
∫
2
∫ 2(x − 2)e x −4x +1 dx
2
2
tant.
e 2x
1
∫ (2x − 4)e x −4x +1 dx
c) L'integrant té l'estructura
⇒v =
xe 2x −
1
+C =
13
+1
−
6
1
12
+C = −
− 6
+C
x
7 x7
∫ (x − 2)e x −4x +1 dx
La nova integral no és immediata, però sí més senzilla.
Aplicant de nou el mètode d'integració per parts, aconseguirem fer-la immediata:
u = x ⇒ du = dx;
=
13
−
+1
x 6
b) Reconeixem l'estructura ef (x)f ′(x), excepte una constant.
∫ xe 2x dx
∫ xe 2x dx
x −2+1 + 2
7
−
2
x 6
7
−
6
= −x −1 +
∫ x 2e 2x dx
∫ x −2 dx + ∫ 2x −13/6dx
=
En la primera aplicació del mètode:
dv = e 2x dx ⇒ v =
=
sin x dx
∫ (2x − 4) sen
sin xdx =
= −2e x cos x − 2 ∫ e x sen
= −2e x cos x − 2 ⎡⎣e x sen
sin x −
1
x 2e 2x − ∫ xe 2x dx =
2
1 2x ⎤
1 2 2x ⎡ 1
x e − ⎢ xe 2x −
e ⎥ =
=
⎣ 2
⎦
4
2
1
1
1 2 2x
x e −
xe 2x +
e 2x + C =
=
2
4
2
1 2x
=
e ( 2x 2 − 2x + 1) + C
4
Ara identifiquem
cos x
1+
2sen
sin 2 x
(
2 sen
sin x
)
2
1
e x 2 −4x +1 + C
2
g '(x)
2
[ g (x) ] + 1
dx = ∫
2 cos x
1+
=
excepte una cons-
cos x
1+
dx =
(
2
2
=
2
sin x
2 sen
)
arctg
(
dx =
)
sin x + C
2 sen
d) Ara l'estructura que reconeixem és [f (x)]n f ′ (x):
247
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 12. INTEGRAls i aplicacions
1
1 2⎛ x ⎞
ln ⎜ ⎟dx =
⎝ 3⎠
3
x
1 3⎛ x ⎞
ln ⎜ ⎟ + C
=
⎝ 3⎠
3
∫
35. a)
∫
8x 3 + 4
x 4 + 2x − 1
x4
2
∫
1
t
∫
dx =
1 − 4 cos 2x
c)
∫
1
∫
↑ 8
1
t
dt =
1
8
P(t ) =
ln |t | + C =
=
∫
dx
x2
0,04
1
ln |1 − 4 cos 2x | + C
8
e cotg x
dx = − ∫ e t dt = −e t + C =
↑
sen
sin 2 x
tg x
ln(cos x)
dx = −
↑
1
t
20
∫ − x2
1−
4e
dt = − ln |t | + C =
20
5
−t
100
20
u = ln2 x ⇒ du = 2 ln x ⋅
2
2
dt +
∫
cos 2t
2
1 + cos 2t
2
dt =
1
2
t+
1
4
∫ x ln2 x dx
dt
sen
sin 2t + C '
Només ens queda desfer el canvi de variable, tenint en compte que
248
x
dx =
2 ln x
x
dx
x2
2
Per tant:
En l'últim pas, s'ha fet ús de la igualtat trigonomètrica subministrada a l'enunciat (cosinus de l'angle doble). Ara la integral
resultant es pot descompondre en una suma d'integrals immediates:
1
1
dv = xdx ⇒ v =
sin 2 t = cos t , de manera que
tenim que 1 − sen
∫
+ 1,5
+1
Fem les identificacions:
1 − sen
sin 2 t cos t dt
1 − x 2 dx = ∫ cos2 t dt =
−t
100
∫ x ln2 x dx
sen
sin 2 t + cos2 t = 1
∫
+1
+1
4e
38. a)
1 − x 2 dx = ∫
dt =
+C =
x
Així, la funció P serà:
Si recordem l'expressió trigonomètrica
1 + cos 2t
20
P (0) = 5,5 ⇔ 4 + C = 5,5 ⇔ C = 1,5
Substituïm aquestes expressions en la integral original
∫
dx =
—— Si P (0) = 5,5, calculem C:
x = sent
sin → dx = cos t dt
∫
+1
+C = 4 ⇔ 4 +C = 4 ⇔ C = 0
dx canvi x = sin t
∫
)
dt =
2
+C
−t
100
P(t ) =
∫
( 4e
−t
100
20
Així, P(t ) =
sin x) dx = −tg x dx
(−sen
cos x
= − ln |ln(cos x)| +C
36.
100
−t
e 100 dt
D'altra banda sabem que P (0) = 4:
t = ln (cos x )
x2
4
0,8e 100
20
4e
P(0) = 4 ⇔
∫
=
=
1
dt =
∫ p(t ) dt = ∫
−0,8
= −e cotg x + C
∫
x 1 − x2 + C
−t
t = cotg x
1
dt = −
dx
sen2 x
sin
d)
2
Així, es té:
t = 1− 4 cos 2x
dt = 8 sen
sin 2x dx
=
1
−t
dt = 2 ln |t | +C =
sen
sin 2x
arcsen
sin x +
2
2x 1 − x 2 + C =
4
x = 4e 100 + 1 ⇒ dx = −
= 2 ln |x 4 + 2x − 1| +C
b)
1
1
sin x +
arcsen
2
1 − x2
37. Considerem el canvi de variable:
↑
t = x 4 +2x −1
dt = (4x 3 +2) dx
= 2∫
1
1 − x 2 dx =
=
dx =
+ 2x − 1
sin 2t =
1 − sen
cos t =
dx =
4x 3 + 2
= 2∫
t = arcsen
sin x
sin t = x
sen
⎡ ⎛ x ⎞ ⎤ ⎡ ⎛ x ⎞ ⎤′
ln ⎜ ⎟ dx =
⎟
3 ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ 3 ⎠ ⎥⎦
∫ ⎢⎣ln ⎝⎜
=
=
x2
2
x2
2
ln2 x −
ln2 x −
∫
2 ln x x 2
x
2
dx =
∫ x ln x dx
Aquesta última integral ja s'obté aplicant de nou el mètode
d'integració per parts. Ja la vam obtenir en l'exercici 33 apartat b):
∫ x ln x dx
Per tant:
=
x 2 (2 ln x − 1)
4
+C
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 12. INTEGRAls i aplicacions
∫ x ln2 x dx
1
=
b)
x2
=
2
ln2 x −
x 2 (2 ln x − 1)
4
∫ ( x 3 + 5x 2 − 2 ) e 2x dx
+C =
−∫
x 2 ( −2 ln2 x − 2 ln x + 1) + C
4
1
2
( 3x 2 + 10x ) e 2x dx
1
−
∫ cos(ln x) dx
Aplicarem el mètode de separació per parts identificant u i dv
de la següent manera:
1
u = cos(ln x) ⇒ du = −sen
sin (ln x)
= x cos(ln x) +
∫
∫ −x
sen
sin (ln x)
1
x
dx =
∫ ( 3x 2 + 10x ) e 2x dx
−∫
1
x
1
2
sin (ln x) +
= x sen
∫
1
x
dx =
∫ cos(ln x) dx
( 3x 2 + 10x ) e 2x
1
dv = e 2x dx ⇒ v =
∫ ( 3x + 5 ) e 2x dx
sin (ln x) dx =
∫ sen
sen
sin (ln x) − ∫ cos(ln x) dx
sin (ln x) −
+x sen
2
1
−
u = 3x + 5 ⇒ du = 3dx
= x cos(ln x) +
= x cos(ln x) +
1
∫ ( 3x + 5 ) e 2x dx
cos(ln x) dx
∫ cos(ln x) dx
e 2x
Encara no hem obtingut una integral immediata, per laixò
tornem a aplicar la fórmula a l'última integral obtinguda:
En aquest moment tornem a tenir la integral inicial, per
després, recapitulant:
= x cos(ln x) + x
2
( 3x 2 + 10x ) e 2x −
2
− ∫ ( 3x + 5 ) e 2x dx
Per tant:
∫ x cos(ln x)
=
( 6x + 10 ) e 2x dx =
dx
dv = 1dx ⇒ v = x
= x sen
sin (ln x) −
1
És a dir
sin (ln x) dx
sen
u = sen
sin (ln x) ⇒ du = cos(ln x)
=
1
2
=
=
1
2
2
e 2x
(3x + 5)e 2x −
(3x + 5)e 2x −
1
2
3
2
(3x + 5)e 2x −
∫
∫ e 2x dx
3
4
3
2
e 2x dx =
=
e 2x + C
Per tant, ajuntant-ho tot:
∫ ( x 3 + 5x 2 − 2 ) e 2x dx
És a dir
2 ∫ cos(ln x) dx = x cos(ln x) + x sen
sin (ln x)
En definitiva
−
1 ⎧ 1
⎨ ( 3x 2 + 10x ) e 2x
2 ⎩ 2
1
( x 3 + 5x 2 − 2 ) e 2x −
2
⎡ 1
3 2x ⎤⎫
− ⎢ (3x + 5)e 2x −
e ⎥⎬
⎣ 2
⎦⎭
4
=
i operant:
∫ cos(ln x) dx
1
2
=
[ x cos(ln x) + x
sen
sin (ln x) ]
2
+C =
x [ cos(ln x) + sen
sin (ln x) ] + C
∫ ( x 3 + 5x 2 − 2 ) e 2x dx
−
1 ⎧
⎨
2 ⎩
∫ ( x 3 + 5x 2 − 2 ) e 2x dx
Identifiquem en l'integrant u i dv:
u = x 3 + 5x 2 − 2 ⇒ du = ( 3x 2 + 10x ) dx
dv =
Per tant:
−
∫ ( 3x 2 + 10x ) e 2x dx
dv = e 2x dx ⇒ v =
sen
sin (ln x)dx
c)
( x 3 + 5x 2 − 2 ) e 2x
2
−
Amb les identificacions
Tornem a aplicar el mètode a la nova integral:
=
( x 3 + 5x 2 − 2 ) e 2x
u = 3x 2 + 10x ⇒ du = ( 6x + 10 ) dx
= x cos(ln x) −
∫ cos(ln x) dx
2
1
Tornem a aplicar la fórmula una altra vegada per a la nova
integral
Aplicant la fórmula:
sin (ln x) dx
∫ sen
=
1
∫ ( 3x 2 + 10x ) e 2x dx
dv = 1dx ⇒ v = x
∫ cos(ln x) dx
2
dx
x
=
e 2x dx
⇒v =
1
2
e 2x
⎛ 1
= e 2x ⎜
⎝ 2
1
( x 3 + 5x 2 − 2 ) e 2x −
2
⎫
1
1
3
( 3x 2 + 10x ) e 2x − (3x + 5)e 2x − e 2x ⎬⎭ =
2
2
4
3 2 2x
1 3
2
2x
=
( x + 5x − 2 ) e − x e −
4
2
5
1
3
2x
2x
−
xe +
( 3x + 5 ) e − e 2x =
2
4
8
5 2
3 2 5
3
5
3 ⎞
3
x +
x −1−
x −
x+
x+
−
⎟ =
2
4
2
4
4
8 ⎠
⎛ 1
7 2 7
1 ⎞
= e 2x ⎜ x 3 −
x −
x+
⎟
⎝ 2
4
4
8 ⎠
=
249
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 12. INTEGRAls i aplicacions
39. a) Descomponem el denominador de la forma
1
A
=
(x + 1)(x − 2)2
x +1
B
+
C
+
x −2
Obtenim ara les diferents primitives:
∫
(x − 2)2
Reduint el segon membre a comú denominador:
1
=
(x + 1)(x − 2)2
A(x −
(x + 1)(x − 2)2
∫
I igualant els numeradors:
2
1
3
x = 0 ; 1 = A ⋅ 4 −B ⋅ 2 +C =
2B =
4
9
1
+
9
4
− 2B +
9
−1
(x
− 1)3
3
∫
∫
∫
x +1
B
x −2
C
(x − 2)2
dx = ∫
dx = ∫
dx = ∫
19
x +1
−1 9
x −2
9
9
dx = −
13
9
dx =
(x − 2)2
3
1
∫
dx =
1
∫
1
dt =
2x − 3
+ 2)
ln x − 2 + C2
1
∫
3
x2 − 1
x 2 (x
∫
(x + 1)(x − 2)2
=
9
ln x + 1 −
1
9
(x − 1)3
=
A
x −1
+
=
A
+
x
1
(x − 2)2
dx
1
∫ t −2 dt
+ 2)
ln x − 2 −
(x − 1)2
(x − 1)3
=
=
1
+
2(x − 1)2
1
3(x − 2)
+C
B
+
x2
C
x +2
D
+
x = –1 ; 0 = −A + B + B + D = −A −
(x + 2)2
+
(x − 1)3
x = 0 ; −3 = A − B − 1 ; A − B = −2
x = –1 ; −5 = 4A − 2B − 1 ; 4A − 2B = −4 ; 2A − B = −2
1
4
3
4
1
4
+C +
3
4
;
2A − 2C = 1
C
x = 1 ; −1 = C ⇒ C = −1
La solució de la qual és A = 0 i B = 2.
+C
Els valors dels coeficients s'obtenen donant valors adequats a x :
x = 1 ; 0 = 9A + 9B + 3C + D = 9A −
9
4
+ 3C −
3A + C = 1
Resolem el sistema d'equacions
2A – 2C = 1
3A + C = 1
Els coeficients els trobem substituint x per un valor adequat
2A – B = –2
2(x − 1)2
x 2 − 1 = Ax(x + 2)2 + B(x + 2)2 + Cx 2 (x + 2) + Dx 2
Igualant numeradors: 2x – 3 = A( x – 1)2 + B(x – 1) + C
250
2
x −1
x = 0 ; −1 = 4B ⇒ B = −
(x − 1)3
A– B=2
1
Igualem numeradors:
A(x − 1)2 + B(x − 1) + C
Resolem el sistema d'equacions
+ C ʹ′ =
2t 2
x 2 (x + 2)
Reduint el segon membre a comú denominador:
2x − 3
1
x = –2 ; 3 = 4D ⇒ D =
B
dx
(x − 1)3
dt = − ∫ t −3 dt =
dx = −
b) Descomponem el denominador de la forma
2x − 3
+ C1
Ax(x + 2)2 + B(x + 2)2 + Cx 2 (x + 2) + Dx 2
=
Per tant, la integral demanada és:
1
−1
x −1
Reduïm ara el segon membre a comú denominador:
(x − 2)2
t2
3
3
1 −1
1
= − t + C ʹ′ = −
+ C3
3
3(x − 2)2
dx
t3
(x − 1)3
x 2 (x
Aquesta última integral es resol amb el canvi de variable
x – 2 = t ; dx = dt
1
∫
dx =
2
+ C ʹ′ = −
t
c) Descomponem el denominador de la forma següent:
ln x + 1 + C1
1
−1
∫
x2 − 1
1
dx =
(x − 1)3
dx =
∫
Ara obtenim les diferents primitives:
A
2
dt = 2 ∫ t −2 dt = −
La integral demanada és:
1
1
−1 ⇒ B = −
3
dx
(x − 1)2
La resolem també aplicant el mateix canvi de variable, x –
1 = t ; dx = dt:
∫
1
2
t2
C
∫
Els valors dels coeficients s'obtenen substituint x per un
valor adequat:
x = –1 ; 1 = A ⋅ 9 ⇒ A =
∫
dx =
(x − 1)2
1 = A(x − 2)2 + B(x + 1)(x − 2) + C(x + 1)
x=2; 1=C ⋅3 ⇒C =
2
dx = ∫
Aquesta integral es resol aplicant el canvi de variable x – 1 =
t ; dx = dt:
+ B(x + 1)(x − 2) + C(x + 1)
2)2
B
(x − 1)2
les solucions del qual són A =
3
8
iC = −
1
8
Ara ja podem resoldre les integrals
∫
A
x
dx =
∫
1/ 4
x
dx =
1
4
ln x + C1
3
4
;
+ C2
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 12. INTEGRAls i aplicacions
∫
B
∫
C
x +2
1/ 4
∫−
dx =
x2
∫−
dx =
1/ 4
(x +
1
(x +
=
1
42. 1. Trobem els zeros de f :
+ C2
4x
x 3 + 2x 2 – 5x – 6 = 0 ⇔
⇔ x = – 1, x = 2 o x = – 3
ln x + 2 + C 3
4
3/4
∫
dx =
2)2
4
∫ x −2 dx
dx = −
x +2
D
∫
1
dx = −
x2
dx
2)2
Aquesta última integral es resol aplicant el canvi x + 2 = t ;
dx = dt
∫
3/4
(x + 2)2
=−
3
dx =
3
1
∫
4
t2
+ C ʹ′ = −
4t
dt =
3
∫ t −2 dt
4
3
⎛
3 ⎞
2. En ⎜ −5,
⎟ només hi ha dos zeros de f , x = – 3 i x =
⎝
2 ⎠
– 1; després l'àrea demanada és:
=
∫
x 2 (x + 2)
dx =
1
1
ln x +
4
4x
−
1
4
ln x + 2 −
3
4(x + 2)
+C
2
3
A=
∫
⎡
⎤
cos x dx = ⎣ sen
sin x ⎦ π =
π
π
2
2
π
= |0 − 1|= 1 ⇒ A = 1u 2
2
x 2 – 2x – 15 = 0 ⇔ x = – 3 o x = 5
2. Els dos zeros es troben entre – 4 i 7, després l'àrea demanada és:
∫−4
3
f (x) dx +
16
3
2 725
+
5
∫−3
f (x) dx +
7
∫5
∫ f (x) dx = ∫ (x 2 − 2x − 15) dx
x3
3
192
=
11941
192
11941
192
x3
3
2
2
−1
−1
= [e x ]2−1 = e 2 − e −1 =
u2
e3 − 1
2
∫ −1 e x dx
⇒A=
e
e3 − 1
e
=
u2
44. L'àrea demanada és la següent:
Y
9
f (x) dx
7
6
5
=
4
3
2
1
0 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
X
–2
− x 2 − 15x
Finalment:
A = F (−3) − F (−4) + F (5) − F (−3) +
+ F (7) − F (5) =
68
⇒
de f , l'eix d'abscisses i les rectes x = – 1 i x = 2 coincideix amb:
− x 2 − 15x + C
F (x) =
=
192
43. Com a f (x ) = – i x < 0 ∀ x ∈ R, l'àrea A delimitada per la gràfica
La primitiva obtinguda en fer C = 0 és:
175
+ −
− 27 +
3
3
119 ⎛ 175 ⎞
13
256
56
+−
− ⎜ −
+
+
=
⎟ =
⎝
⎠
3
3
3
3
3
325 2
325
⇒A=
u
=
3
3
= 27 −
2 725
+ −
3
⇒A=
Per calcular les integrals, usarem la regla de Barrow:
=
+
16
+
3
A = − ∫ f (x) dx = − ∫ −e x dx =
41. 1. Trobem els zeros de f :
−3
128
=
128
π
= sen
sin π − sen
sin
A=
= −
+ k π, k ∈ Z
⎛ π
⎞
2. La funció f no té zeros en ⎜ , π ⎟ ; per tant, l'àrea dema⎝ 2
⎠
nada és:
=
⎤ 2
⎡ x 4
2x 3
5x 2
+ ⎢
+
−
− 6x ⎥ =
⎦−1
⎣ 4
3
2
40. 1. Trobem els zeros de f :
π
∫ −12 (x 3 + 2x 2 − 5x − 6) dx
⎤−1
⎡ x 4
2x 3
5x 2
+ ⎢
+
−
− 6x ⎥ +
⎦−3
⎣ 4
3
2
Págs. 360 i 361
cos x = 0 ⇔ x =
+
+
⎤−3
⎡ x 4
2x 3
5x 2
= ⎢
+
−
− 6x ⎥ +
⎦−5
⎣ 4
3
2
5APLICACIONS DE LA
INTEGRAL DEFINIDA
∫ − 3 (x 3 + 2x 2 − 5x − 6) dx
+
3
La integral demanada és
x2 − 1
−1
+
+ C4
4(x + 2)
−3
∫ −5 (x 3 + 2x 2 − 5x − 6) dx
A=
L'àrea segons la regla de Barrow és:
S =
8
∫ 0 (−x + 8) dx
⎡ x 2
⎤8
= ⎢ −
+ 8x ⎥ =
⎣ 2
⎦0
⎛ 82
⎞ ⎛ 02
⎞
= ⎜ −
+ 8 ⋅ 8 ⎟ − ⎜ −
+ 8 ⋅ 0 ⎟ =
⎝ 2
⎠ ⎝ 2
⎠
= −32 + 64 = 32u 2
Com que l'àrea demanada és un triangle, prou aplicar la fórmula corresponent a l'àrea d'aquesta figura:
S =
base × altura
2
=
8×8
2
= 32u 2
251
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 12. INTEGRAls i aplicacions
El resultat és el mateix.
45. 1. Trobem els zeros de f (x ) = x 3 – 3x 2 + 2 x :
2
∫ −1 (−x 2 + 3x + 8) dx
=
f (x ) = 0 ⇔ x = 0, x = 1, x = 2
[0, 1] i [1, 2]
L'àrea buscada serà:
1
2
∫1 (x 3 − 3x 2 + 2x) dx
+
51
=
∫ 0 (x 3 − 3x 2 + 2x) dx
2
⇒A=
⇔ tg x =
1
1
1
1
1 2
⎤2
⎡ x 4
+ ⎢
+
=
⇒A=
u
− x 3 − x 2 ⎥ =
⎦1
⎣ 4
4
4
2
2
sen
sin x
x 3 + x 2 – 10x + 8 = 0 ⇔ x = – 4, x = 1 o x = 2
2. Els zeros de f determinen els següents intervals:
1
∫ −4−4 f (x) dx
+
2
2
∫11 f (x) dx
1
∫ −−144 (x 33 + x 22 − 10x + 8) dx
+
∫11
+
π
; per tant,
2.Entre 0 i π hi ha un únic punt de tall x =
4
l'àrea buscada serà:
π
sin x) dx
∫ 04 (cos x − sen
A=
+
π
⎡
⎤
= ⎣ sen
sin x + cos x ⎦ 4 +
0
π
sin x) dx
∫ π (cos x − sen
⎡
⎤π
+ ⎣ sen
sin x + cos x ⎦ π =
=
2 −1+1+
A=
− 10x + 8) dx =
=
2
3+
41
2
=
⇔x=0ox=4
2.Els punts de tall defineixen un únic interval, [0, 4], per
la qual cosa l'àrea limitada per les gràfiques és:
A=
= 4,7
2. com que no existeixen punts de tall en [– 1, 2], l'àrea demanada és:
4
∫ 0 (f (x) − g (x)) dx
=
4
∫ 0 (x 2 − 3x) − (−x 2 + 5x)) dx
=
=
− 2x − 8 ⇔
= −1,7 o x =
2
∫1 (3x − x 2 ) dx
f (x ) = g (x ) ⇔ x 2 – 3x = – x 2 + 5x ⇔
1. Trobem les abscisses dels punts de tall de les gràfiques de
f i g:
f (x) = g (x) ⇔ x =
=
=
dues funcions:
geomètric:
x2
2
∫1 (f (x) − g (x)) dx
∫1 (4x − x 2 − x) dx
47. Seguirem el procediment analític, més exacte i ràpid que el
252
2 = 2 2 ⇒ A = 2 2 u2
50. a) 1. Calculem els punts de tall entre les gràfiques de les
43 ⎛ 208 ⎞
8
43
−
=
=
− ⎜ −
⎟ +
⎝
⎠
12
3
3
12
875
11
443
443 2
=
⇒A=
u2
=
+
12
12
6
6
2
2 =
2
⎡ 3x 2
10
7
13
13 2
x 3 ⎤
−
=
⇒A=
u
= ⎢
−
⎥ =
⎣ 2
3
6
6
6
3 ⎦1
2
3
3
⎤2
⎡ 44
+ ⎢ x + x − 5x 22 + 8x ⎥ =
⎦11
⎣ 4
3
⇔x =
2 − 1 + −1 −
4
+
x 33
⎤
⎡ x 44
− 5x 22 + 8x ⎥ +
= ⎢
+
⎦−4
⎣ 4
3
−4
41
+
2. Com que entre 1 i 2 no hi ha punts de tall, l'àrea del recinte comprès entre les dues funcions i les rectes x = 1 i x = 2
és:
=
⎤11
3−
+kπ ,k ∈ Z
f (x ) = g (x ) ⇔ 4x – x 2 = x ⇔ x = 0 o x = 3
L'àrea buscada és, doncs:
x 22
4
49. 1. Trobem els punts de tall entre f i g:
[– 4, 1] i [1, 2]
(x 33
u2
π
=1⇔ x =
cos x
4
46. 1. Trobem els zeros de f :
2
2
2
sin x = cos x ⇔
f (x ) = g (x ) ⇔ sen
=
⎤
⎡ x 4
⎡ x 4
3x 3
2x 2 ⎤
+ ⎢
−
+
− x 3 − x 2 ⎥ +
⎥ = ⎢
⎦
⎦0
⎣ 4
⎣
3
2 1
4
=
51
funcions:
2
1
=
48. 1.Calculem els punts de tall entre les gràfiques de les dues
+
1
⎡ x 4
3x 3
2x 2 ⎤
= ⎢
−
+
⎥ +
⎣ 4
3
2 ⎦0
A=
=
⎤2
⎡ x 3
3x 2
58 ⎛ 37 ⎞
+
+ 8x ⎥ =
− ⎜ −
= ⎢ −
⎟ =
⎦−1
⎣ 3
⎝ 6 ⎠
2
3
2. Aquests zeros determinen els següents intervals:
A=
2
∫ −1 (f (x) − g (x)) dx
A=
4
∫ 0 (2x 2 − 8x) dx
= −
64
3
−0 =
=
⎤4
⎡ 2x 3
= ⎢
− 4x 2 ⎥ =
⎦0
⎣ 3
64
3
⇒A=
64
3
u2
b) 1.Calculem els punts de tall entre les gràfiques de les
dues funcions:
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 12. INTEGRAls i aplicacions
f (x) = g (x) ⇔ x 3 − 3x = −
x2
⇔ x = −2,
2
A=
3
x =0ox =
∫ −2 (f (x) − g (x)) dx
+
∫
∫
2
= 1 + 2 + 1 = 4 ⇒ A = 4u 2
(f (x) − g (x)) dx =
—— Si apliquem la regla de Barrow:
2π
53. a) Per a calcular l'increment de velocitat apliquem la fórmula
corresponent:
v (5) − v (2) =
3
⎡ x 4
3x 2
x 3 ⎤ 2
−
+
+ ⎢
⎥ =
⎣ 4
2
6 ⎦0
=
+
3
64
=
192
⇒A=
937
192
v (t ) =
u2
∫ (t − 1) dt
1 = v (0) =
f (x) = g (x) ⇔ 2x − x 2 = x 2 − x − 2 ⇔
1
2
v (t ) =
ox =2
⎡ 1 ⎤
2. Aquests punts defineixen un únic interval, ⎢ − , 2⎥ , per
⎣ 2 ⎦
tant, l'àrea buscada és:
2
∫ − 1 (f (x) − g (x)) dx
A=
=
2
∫− 1
2
=
2
2
x(7) − x(3) =
24
7 ⎛
∫ 3 ⎜⎝
⇒A=
125
24
W =
cos x = 0 ⇔ x =
u2
π
2
+ k π, k ∈ Z
y x =
, per tant l'àrea A del recinte que delimi2
2
ta amb l'eix d'abscisses en aquest interval coincideix amb:
x =
2
02 − 0 + C ⇒ C = 1
t 2 − t + 1 ms−1
⎞
⎡ t 3
⎤7
t2
110
− t + 1⎟ dt = ⎢
−
+ t ⎥ =
m
⎣ 6
⎦3
⎠
2
2
3
6
=
6
∫ 2 (5x 2 + 3x − 2) dx
=
⎡ 5
⎤
3 2
1160
x − 2x ⎥ =
J
= ⎢ x 3 +
⎣ 3
⎦
2
3
2
6 INTEGRAL INDEFINIDA
Pàg. 361
55. Com que la velocitat és la derivada de la posició en funció del
temps, el vector de posició i la velocitat es relacionen per:
r(t ) =
2. En [0, 2π], la funció f (x ) = cos x té 2 zeros:
3π
2
1
t2
∫ 2 F (x) dx
52. 1. Calculem els zeros de f :
π
1
54. Per a calcular el treball realitzat per la força en la mateixa di-
=
2
125
t 2 − t + C ms−1
6
⎤2
⎡ 2x 3
3x 2
14 ⎛ 13 ⎞
+
+ 2x ⎥
=
− ⎜ −
= ⎢ −
⎟ =
⎦− 1
⎣ 3
2
⎝ 24 ⎠
3
=
2
recció que el desplaçament, utilitzem l'expressió:
∫ − 1 (−2x 2 + 3x + 2) dx
=
1
Aleshores:
(2x − x 2 − (x 2 − x − 2)) dx =
2
=
El valor de C s'obté d'imposar la condició v (0) = 1:
51. 1. Trobem els punts de tall entre f i g :
⇔x =
⎡ 1
⎤5
15
= ⎢ t 2 − t ⎥ =
ms−1
⎣ 2
⎦2
2
5
∫ 2 (t − 1) dt
b) Per poder calcular el desplaçament entre els instants 3s i
7s, és necessari trobar l'expressió de la velocitat instantània:
⎛ 10 ⎞
99
= 0 − ⎜ −
−0 =
⎟ + −
⎝ 3 ⎠
64
937
cos x dx = [ sen x ]0 = 0 − 0 = 0
Clarament, obtenim un valor diferent al de l'àrea anterior,
perquè la funció f (x ) = cos x canvia de signe en [0, 2π].
⎛
⎛ x 2 ⎞ ⎞
⎜ x 3 − 3x − ⎜ −
⎟ ⎟ dx =
⎝ 2 ⎠ ⎠
⎝
99
2π
∫0
0
⎡ x 4
3x 2
x 3 ⎤
−
+
= ⎢
⎥ +
⎣ 4
2
6 ⎦−2
10
=
= |1 − 0| + |−1 − 1| + |0 − (−1)| =
⎛
⎛ x 2 ⎞ ⎞
= ∫ ⎜ x 3 − 3x − ⎜ −
⎟ ⎟ dx +
−2 ⎝
⎝ 2 ⎠ ⎠
+
2
3π
0
3
2
0
2π
∫ 3π cos x dx
π
⎡
⎤2π
⎤
⎤ 2 + ⎡ sen
sin x ⎦ 3π =
= ⎡ sen
sin x ⎦ π2 + ⎣ sen
x
sin
⎣
⎣
⎦0
2
Per tant, l'àrea buscada és:
A=
cos x dx +
2
+
⎡ 3 ⎤
[−2, 0] yi ⎢ 0, ⎥
⎣ 2 ⎦
3
2
0
∫ π2
cos x dx +
2
2. Els punts de tall determinen dos intervals:
0
∫
3π
π
2
0
∫ v(t )dt + C
Per tant:
r(t ) =
∫ [(t − 1)i + atj + (b + 2)k ] dt
=
⎞
⎛ t 2
at 2
= ⎜
− t ⎟ i +
j + (b + 3) t k + C
⎠
⎝ 2
2
Fent t = 2 en l'expressió de r (t) obtinguda anteriorment;
253
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 12. INTEGRAls i aplicacions
⎞
⎛ 22
a22
r(2) = ⎜
− 2 ⎟ i +
j + (b + 3) 2 k + C = 2a j + 2(b + 3) k
⎠
⎝ 2
2
La constant d'integració la trobem tenint en compte que
r(2) = 6j + 4k. Efectivament, comparant ambdues expressions:
2a = 6 ⇒ a = 3 ; 2(b + 3) = 4 ⇒ b = −1
Per tant el vector de posició és:
3
4
=
=
4
243
4
243
4
−
3
−
4
3
; C =
4
3
4
243
4
−
4
35
−
=
4
3
F (x) =
3
4
(
3
4
243
27
−
4
4
27 3 =
)
4
=
243
=0
4
3
4
3
x4 =
4
x3 x
60. Sabem que el conjunt de totes les primitives de f és la seva
56. Se satisfà que
integral indefinida:
∫ (6x − 3) dx , és a dir y (t ) =
− 3x + C
3x 2
La constant d'integració l'obtenim sabent que y (2) = 5
y (2) = 3 ⋅ 22 − 3 ⋅ 2 + C = 5 ; C = −1
La funció demanada és y (t) = 3t 2 – 3t – 1
57. El conjunt de totes les primitives de f és la seva integral indefinida:
∫ f (x) dx = ∫ (3x 2 − 4x + 3) dx
∫ f (x) dx
=
∫ (x 2 + 4x − 1) dx
1 = F (1) =
13
F (x) =
58. Calculem la funció integral F (x) de la funció f (x) = i–x:
Com que la primitiva demanada és F (x) =
C =2
–e–x
+ 2.
59. El procediment és igual que en l'exercici anterior. Trobem la
funció integral F (x) de la funció f (x):
F (x) =
∫ 3 x dx
=
=
∫x
1
3 dx
4
3
1
x
3
+C =
x
4
4
3
La funció integral és F (x) =
3
4
x
4
3
+1
x3
=
+C =
1
+1
3
4
3
+C
+C
⎛
243 ⎞
La funció F (x) passa pel punt ⎜ 27,
⎟ , per tant
⎝
4 ⎠
243
F (27) =
4
+ 2x 2 − x −
1
3
1
3
+ 2(−1)2 − (−1) + C ⇒
⇒C =−
8
3
Per tant, la primitiva buscada és:
F (x) =
Com que la funció F (x) passa pel punt (0, 1), ha de complirse que F (0) = 1, per tant
3
3
= −e −x + C
F (x) = −e −x + C
x3
(−13 )
La primitiva en qüestió és, doncs, x 3 – 2x 2 + 3x + 9.
− 1 + C = 1;
+ 2x 2 − x + C
b) Trobem el valor de C pel qual la primitiva F s'anul·la en x =
– 1:
0 = F (−1) =
⇒C=9
−e −0 + C = 1;
3
+ 2 ⋅ 12 − 1 + C ⇒ C = −
3
3 = (– 1)3 – 2 · (– 1)2 + 3 · (– 1) + C = – 6 + C ⇒
∫ e −x dx
x3
Per tant, la primitiva buscada és:
D'elles, la que passa per (– 1, 3) és la que té per constant
d'integració:
F (x) =
=
a) Trobem la funció primitiva F que passa per A = (1, 1) imposant aquesta condició i aïllant C:
=
= x 3 − 2x 2 + 3x + C
x3
3
+ 2x 2 − x −
8
3
61. El conjunt de primitives de f és:
∫ f (x) dx = ∫ ln x dx
Aquesta integral pot solucionar-se per parts:
∫ ln x dx =↑ ln x ⋅ x − ∫ x ⋅
1
x
dx = x ln x − x + C
⎧
⎫
1
⎪ u = ln x ⇒ du =
dx ⎪
⎨
⎬
x
⎪⎩dv = dx ⇒ v = ∫ dx = x ⎪⎭
a) El valor de C perquè la gràfica de la primitiva F passi per
A = (1, 3) és:
3 = F (1) = 1 · ln 1 – 1 + C = 1 · 0 – 1 + C ⇒
⇒C=4
Per tant, la primitiva buscada és:
F (x ) = x ln x – x + 4
b) Perquè la primitiva F s'anul·li en x = e, la constant
d'integració ha de ser:
0 = F (e ) = e · ln e – e + C = e · 1 – e + C = C
La primitiva buscada és:
F (x ) = x ln x – x
254
3
−
4
243
274 =
34 =
243
És a dir, C = 0, i la primitiva demanada és
⎞
⎛ t 2
3t 2
r(t ) = ⎜
− t ⎟ i +
j + 2t k
⎠
⎝ 2
2
y (t ) =
243
27 3 + C =
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 12. INTEGRAls i aplicacions
62. Realitzem un dibuix orientatiu, tenint en compte que la recta
té pendent k > 0:
0
k
∫ −k (x 3 − k 2 x) dx + ∫ 0 (k 2 x − x 3 ) dx
A = A1 + A2 =
0
Y
⎡ x 4
⎡ k 2 x 2
k 2 x 2 ⎤
x 4 ⎤
= ⎢
−
−
⎥ + ⎢
⎥ =
⎣ 4
2 ⎦−k ⎣ 2
4 ⎦0
y = kx
⎛ k 4 ⎞ k 4
k4
−0=
= 0 − ⎜ −
⎟ +
⎝ 4 ⎠
4
2
Com ens diuen que el valor d'aquesta àrea és 4:
y = x2
1
=
k
k4
8=A=
A
⇒k =
4
16 = ±2
I, com que k > 0, la solució és k = 2.
X
1
2
64. Calculem les abscisses dels punts de tall entre les dues paràboles:
–x 2 = x 2 − bx ⇒ x = 0
Calculem les abscisses dels punts de tall entre la recta i la
paràbola:
kx = x 2 ⇔ x = 0 o x = k > 0
Per tant, tenint en compte a partir de la gràfica que la recta
sempre està per sobre de la paràbola, l'àrea compresa entre
elles és:
A=
k
∫ 0 (kx − x 2 ) dx
k
⎡ kx 2
x 3 ⎤
k3
k3
= ⎢
−
−0=
⎥ =
⎣ 2
3 ⎦0
6
6
com que sabem que aquesta àrea és de 288:
288 = A =
k3
6
o
x =
b
2
El primer extrem d'integració dependrà de qual sigui el signe
de b, però com en qualsevol cas només hi ha dos punts de
tall, l'àrea del recinte considerat serà:
A=
=
∫
b
2
0
b
∫ 02 (–x 2 − (−x 2 − bx)) dx
=
b
(–2x 2
⎡ 2x 3
b3
bx 2 ⎤ 2
+ bx) dx = ⎢ −
+
⎥ =
⎣
⎦
3
2 0
24
Perquè l'àrea sigui 9:
⇒ k = 12
9=A=
63. Realitzem un dibuix orientatiu, tenint en compte que la recta
té una pendentk 2 > 0.
b3
24
⇒ b = 6 ⇒ b = ±6
65. Realitzem un dibuix orientatiu, tenint en compte que la paràY
y=
k3
k 2x
bola y = x 2 – bx té les branques cap amunt i passa per
l'origen.
Y
A2
–k
y = x3
k
y = x 2 – bx
X
A1
X
A
–k 3
y = – x2
Calculem les abscisses dels punts de tall entre la recta i la
funció cúbica:
k 2x = x 3 ⇔ x = – k, x = 0 o x = k
Com ens diuen que k > 0, aquests punts de tall determinen
els intervals:
[– k, 0] i [0, k]
Per tant, tenint en compte que, la recta està per sota de la
cúbica en [– k, 0] i per damunt en [0, k], l'àrea de la regió
compresa entre la recta i la fucnió és:
Calculem les abscisses dels punts de tall entre les dues paràboles:
−x 2 = x 2 − bx ⇒ x = 0 o x =
b
2
Depèn del signe de b quin sigui el primer extrem
d'integració, però com en qualsevol cas només hi ha dos
punts de tall, l'àrea del recinte considerat serà:
255
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 12. INTEGRAls i aplicacions
68. Sigui V (x) el volum del dipòsit quan han transcorregut x hores.
b
∫ 02 (−x 2 − (x 2 − bx)) dx
A=
∫
=
b
2
0
(−2x 2 + bx)) dx =
b
bx 2 ⎤ 2
⎡ 2x 3
= ⎢ −
+
⎣
3
El ritme de canvi ve donat per la primera derivada, V ′(x), i és
igual a la funció f (x):
=
=
⎥
2 ⎦0
b3
dV
b
−0 =
24
dt
3
Per tant V (x) és una primitiva de f (x):
24
V (x) =
Perquè l'àrea sigui 9:
|b| 3
9=A=
24
38
∫ 38e −0,02t dt = ∫
38
=
0,02
0,02
Per tant, el volum d'aigua del dipòsit ve donat per la funció
V (x) = 25x 2 − 750x + 5000
(−0,02)e −0,02t dt =
[
Quan el dipòsit es buidi, V (x) = 0. Resolent l'equació de segon
grau:
25x 2 − 750x + 5000 = 0
e −0,02t + C = −1900e −0,02t + C
9
∫ 0 38e −0,02t dt
P(9) − P(0) =
9
−1900e −0,02t 0
]
obtenim les solucionis x = 10 h i x = 20 h. El dipòsit s'haurà
buidat quan hagin transcorregut 10 h, i per tant la segona solució no té ja sentit físic.
69. a)Sabem que la funció de costos és una primitiva de la fun-
=
ció
= 312,986 598 > 0
c) Calculem la població mitjana:
=
9−0
9
67. Escrivim l'equació de la següent forma:
dN(t )
N(t )
∫ ⎜⎝ 6 −
Determinem el valor de k tenint en compte el cost de funcionament (x = 0):
Per tant la funció de costos és:
=
C(x) = 6x − 4 x + 84 000
b) Fabricar 400 unitats costa:
C(400) = 6 ⋅ 400 − 4 400 + 84 000 = 86 320 €
70. Calculem F sabent que és primitiva de f :
∫ −λdt
F (t ) =
Ambdues integrals són immediates i donen:
∫ −0,198 ⋅ e −0,22t
dt = −0,198
∫ e − 0,22t dt
⎛ −1 − 0,22t
⎞
e
+ C ⎟ = 0,9e − 0,22t + C
= −0,198 ⋅ ⎜
⎝ 0,22
⎠
lnN(t ) = −λt + C
on C és una constant d'integració. Per trobar-la, cal tenir en
compte que en el temps t = 0, el nombre d'àtoms sense
desintegrar és N0, és a dir, N (0) = N0. Substituint
lnN(0) = −λ ⋅ 0 + C ⇒ C = lnN 0
Trobem C imposant que F (1) = 1:
F (1) = 1 ⇔ 0,9 · i – 0,22 + C = 1 ⇔ C = 0,28
Així, la de la funció buscada és:
F (t ) = 0,9 i – 0,22 t + 0,28
Per tant
lnN(t ) = −λt + lnN 0 ; lnN(t ) − lnN 0 = −λt
ln
N(t )
N0
= −λt
;
N(t )
N0
=
;
71. L'àrea demanada ve donada per la integral definida
k
∫0
e −λt
⎡ x 3 ⎤k
k3
x 2dx = ⎢
⎥ =
⎣ 3 ⎦0
3
com que l'àrea val 72u 2
És a dir:
N(t ) = N 0e −λt
k3
3
256
2 ⎞
⎟ dx = 6x − 4 x + k
x ⎠
C(0) = 6 ⋅ 0 − 4 0 + k = 84 000; k = 84 000
= −λdt
D'aquesta manera, veiem que el primer membre solament
depèn de N (t) i el segon de t . Quan és possible fer això en
una equació diferencial, es diu que l'equació diferencial és de
variables separables. Això ens permet integrar tots dos membres:
∫
⎛
= 34,776 289
Així, la població mitjana és de 34 776 289 habitants.
N(t )
x
Busquem la funció de C (x ):
312,986 598
dN(t )
2
CMg (x + 1) = 6 −
Per tant, la població en aquest període ha augmentat.
P(9) − P(0)
= 25x 2 − 750x + C
V (0) = 25 ⋅ 02 − 750 ⋅ 0 + C = 5000 ⇒ C = 5000
b) Calculem la població entre els anys 2000 i 2009, que correspon al període [0,9]:
=
∫ (50x − 750) dx
Ara bé, V (0) = 5 000,
⇒ |b|= 6 ⇒ b = ±6
66. a) Trobem P una primitiva de p :
P =
= 50x − 750
= 72; k 3 = 216; k =
3
216 = 6
=
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 12. INTEGRAls i aplicacions
72. El ritme de canvi de és θ(t )
dθ
dt
dθ
dt
2. Prenem C = 0:
, i per tant
∫ x ex
3. Apliquem la regla de Barrow:
=
1
∫0 x ex
És a dir, θ(t ) és un primitiva de f(t):
∫
θ(t ) =
10t
1 + (5t 2 + 1)2
dt =
1
dx = [e x (x − 1) ]0 = 0 − (−1) = 1
b) Apliquem el mètode dels trapezis amb n = 4.
10t
dt
1. Dividim l'interval [0, 1] en quatre parts iguals:
x0 = 0, x1 = 0,25, x2 = 0,5
Amb el canvi 5t 2 + 1 = x ; 10t dt = dx s'obté una integral immediata:
∫
dx = x e x − e x = e x (x − 1)
∫
dx
x3 = 0,75, x5 = 1
2.Construïm una taula amb els punts que hem obtingut i
les seves imatges per la funció integrant:
=
1 + (5t 2 + 1)2
1 + x2
= arctan x + C ʹ′ = arctan(5t 2 + 1) + C
És a dir:
θ(t ) = arctan(5t 2 + 1) + C
x
0
0,25
0,5
0,75
1
y
0
0,321
0,824 4
1,587 8
2,718 3
3. Apliquem la fórmula dels trapezis:
La constant d'integració es troba tenint en compte que, tal
π
com mostra l'esquema, θ(0) =
:
4
π
π
; arctan1 + C =
;
θ(0) = arctan(5 ⋅ 02 + 1) + C =
4
4
π
π
+C =
⇒C = 0
4
4
Per tant, l'angle girat per la càmera ve donat per:
1
∫0 x ex
⎛ 0
2,718 3 ⎞
+ 0,321 + 0,824 4 + 1,587 8 +
≈ 0,25⎜
⎟ =
⎝ 2
⎠
2
= 1,0231
c) Desenvolupem el mètode de Simpson amb n = 4:
Els punts 1 i 2 són com en l'apartat b.
3.Calculem la suma de les imatges dels valors extrems:
e = 0 + 2,718 3 = 2,718 3
θ(t ) = arctan(5t 2 + 1)
D'altra banda, l'altura h de l'objecte es relaciona per l'angle
girat per la càmera segons:
h = 5 tan θ
tal com s'observa en l'esquema. Per tant l'altura en funció del
temps és:
h = 5t 2 + 1
4.Calculem la suma de les imatges dels valors de lloc parell, excepte els extrems:
P = 0,824 4
5.Calculem la suma de les imatges dels valors de lloc imparell, excepte els extrems:
1 = 0,321 + 1,587 8 = 1,908 8
6. Apliquem la fórmula de Simpson:
1
∫0 x ex
SÍNTESI
Pàg. 362
=
0,25
73. La integral definida entre dos punts és un nombre real, mentre que una primitiva és una funció.
definició de primitiva:
H ʹ′ = f ⎫
⎬ ⇒ f = H ʹ′ = g
H ʹ′ = g ⎭
1
∫ 0 x e x dx a partir de la regla de Barrow:
1.Calculem la integral indefinida aplicant el mètode del
canvi de variable:
u = x ⇒ du = dx
dv = e x dx ⇒ v = e x
Així, es té:
∫ x ex
dx = x e x −
∫ ex
3
h
dx ≈
3
(E + 2P + 4I) =
(2,718 3 + 1,648 8 + 7,635 2) = 1,000 2
76. Per definició de primitiva, es complirà F ′ = f.
74. No, perquè si H és primitiva de dues funcionis f i g, es té, per
75. a)Calculem
dx ≈
dx = x e x − e x + C
Així, el signe de f ens informarà sobre la monotonia i els extrems de la funció F.
Concretament, a partir de la gràfica de f podem construir la
següent taula:
x
(– ∞, – 3)
–3
(– 3, – 1)
–1
(– 1, – 0)
F ′(x ) = f (x)
+
0
–
0
+
M
F (x )
m
x
0
(0,2)
2
(2, + ∞)
F ′(x ) = f (x)
0
–
0
+
F (x )
M
m
257
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 12. INTEGRAls i aplicacions
Concloem, doncs, que qualsevol primitiva F de f :
Considerem la primitiva que resulta en fer C = 0:
• És creixent en (– ∞, – 3) ∪ (– 1, 0) ∪ (2, + ∞).
F (x) =
• És decreixent en (– 3, – 1) ∪ (0, 2).
• Té màxims relatius en x = – 3 i x = 0.
5
1.
∫0
(pàg. 364)
Apliquem el mètode dels trapezis per a n = 4 ja que a
l'enunciat ens donen 5 valors d'abscisses:
⎛ 1, 05
≈ 0, 25 ⎜
+ 1, 27 + 1, 62 + 2,14 +
⎝ 2
2, 73 ⎞
+
⎟ = 1, 73 ⇒ A = 1, 73u 2
2 ⎠
1
∫ 0 f (x) dx
Ara apliquem el mètode de Simpson amb n = 4, h = 0,25 E:
I = 1,05 + 2,73 = 3,78
⎡ 2
( x+4
dx = ⎢
⎣
3
x+4
=
2.
3
f (x) dx ≈
h
3
(E + 2P + 4I ) =
b)∫ 0
2
−2
Calculem la integral definida:
∫ (x 3 + 1) dx
=
dx
Per calcular la integral definida fem el canvi de variable:
u = x+4.
u =
x+4 ⇒
⎧ x = u 2 − 4
⎪
⇒ ⎨
1
1
dx =
dx ⇒ dx = 2u du
⎪du =
2 x+4
2u
⎩
Substituint en la integral inicial i calculant la integral en la
variable u, es té:
x
∫
=
∫ x 3 dx + ∫ dx
x+4
dx =
∫
∫ (2u 2 − 8) du =
x4
∫
258
x+4
x4
4
+ x +C
−4
u2
u
2u 3
3
2u du =
− 8u + C
+x
4
∫ −2 (x 3 + 1) dx
⎡ x 4
⎤2
= ⎢
+ x ⎥ =
⎣ 4
⎦−2
⎛ 24
⎞ ⎛ (−2)4
⎞
= ⎜
+ 2 ⎟ − ⎜
+ (−2) ⎟ = 4
⎝ 4
⎠ ⎝ 4
⎠
⎧ −x
si x ≤ 0
2
d)∫ −3 f (x) dx sent f (x) = ⎨
⎩ x 2 + 1 si x > 0
Apliquem la propietat corresponent i obtenim:
2
∫ −3 f (x) dx
=
=
0
2
∫ −3 f (x) dx + ∫ 0 f (x) dx
0
dx =
2
(
x+4
3
)
3
− 8 x + 4 +C
=
2
∫ −3 −x dx + ∫ 0 (x 2 + 1) dx
Ara apliquem la regla de Barrow a cadascun dels sumands.
Calculem la integral indefinida de les funcions que defineixen f:
∫ −x dx
∫ (x 2 + 1) dx
−x 2
=
2
=
x3
3
+ C1
+ x + C2
Considerem la primitiva de cadascuna d'elles, que resulta
en fer C1 = 0 y C2 = 0 :
F1(x) =
−x 2
2
Desfent el canvi de variable, obtenim que:
x
=
Determinem la integral definida mitjançant la regla de Barrow:
π
x+4
⎤5
14
− 8 x + 4 ⎥ =
⎦0
3
c)∫ (x 3 + 1) dx
2
⎡
⎤ 4
a)∫ cos 2x dx = ⎢ 1 sen
sin 2 x ⎥ =
⎣ 2
⎦0
⎛
1
π ⎞ 1
sin ⎜ 2 ⋅
sin 2 ⋅ 0 =
=
sen
sen
⎟ −
⎝
2
4 ⎠ 2
1
π
1
1
1
=
sen
−
sen
(1 − 0) =
sin
sin 0 =
2
2
2
2
2
x
3
Nota: També es pot obtenir aquest resultat aplicant la regla
de Barrow a la integral que resulta després de substituir x
per u .
( 3, 78 + 2 ·1, 62 + 4 · 3, 41) ≈ 1, 72
π
4
0
5
−8 x+4
)
x
F (x) =
Per tant, l'àrea es pot aproximar per:
0, 25
3
3
I = 1,27 + 2,14 = 3,41
∫0
)
x+4
Considerem la primitiva que resulta en considerar C = 0:
P = 1,62
1
(
Calculem la integral definida a partir de la regla de Barrow:
• Té mínims relatius en x = – 1 i x = 2.
Avaluació
2
F2 (x) =
x3
3
+x
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 12. integrals i aplicacions
Determinem la integral definida aplicant la regla de Barrow:
2
∫ −3
0
∫ −3
f (x) dx =
0
Calculem la nova integral:
∫ (2 + t 2 ) ⋅ t ⋅ 2 t dt
2
−x dx + ∫ (x 2 + 1) dx =
0
3.
a)
b)
c)
∫
6
3
2
∫
x
−2
∫ (x 4 + 8 x + 1)
⋅
1
x
1
⋅
2
= 2 t dt
x
Substituint en la integral:
1 + ln x
∫
dx =
x
∫
t 2 2 t dt
Calculem la nova integral:
⋅ 2 dx =
∫t
2
2 t dt = 2 ∫ t 2 t dt =
3
t3 +C
Desfem el canvi de variable:
1 + ln x
x
dx =
2
(1 + ln x)3 + C
3
c) Substituïm la variable x per t .
(x 3 + 2) ⋅ 4 ⋅
1
4
Aleshores:
cos x dx = dt
dx =
Substituint en la integral:
=
sin 3 x dx
∫ cos x ⋅ sen
∫ t 3 dt
+C
⎛ 2 ⎞x
⎜ ⎟
⎛ 2 ⎞
⎝ 5 ⎠
+C
⎜ ⎟ dx =
2
⎝ 5 ⎠
ln
5
∫ t 3 dt
x −2 =t
Aleshores:
x − 2 = t 2 ⇒ dx = 2 t dt
⇒ x = 2 + t2
t4
=
4
+C
Desfem el canvi de variable:
x
sin3 x dx
∫ cos x ⋅ sen
5.
a)
=
1
4
sen
sin 4 x + C
∫ (5 x − 2e x )2 dx
Desenvolupem primer el quadrat de la integral:
∫ (5 x − 2 e x )2 dx
=
∫ (25 x 2 − 20 xe x + 4 e 2x ) dx
Per tant, realitzant per parts la primitiva, amb el canvi u =
x i dv = exdx, obtenim
∫ xe xdx
= xe x −
∫ e x dx
= e x (x − 1) + C
Per tant la integral inicial serà:
Substituint en la integral:
x x − 2 dx =
=
Calculem la nova integral:
+C =
a)Substituïm la variable x per t i efectuem el canvi de variable
∫
dx
Per a això efectuem el canvi de variable sin x = t
4(x 4 + 8 x + 1)
∫
(x − 2)5 + C
1 + ln x = t
(x 3 + 2) dx =
−2 + 1
1
dx =
2
5
Aleshores:
(sen
sin x)4+1
+C =
4+1
4
1 (x 4 + 8 x + 1)−2+1
4
(x − 2)3 +
3
Per a això efectuem el canvi de variable
x5 + C
=
∫ (x 4 + 8 x + 1)−2 (4 x 3 + 8) dx
5x
6
dx =
−2
2x
5
∫
+ 8 x + 1)2
4
x − 2 dx =
+C
∫ (x 4 + 8 x + 1)
=−
4.
x
=
=
+C =
1
+1
6
6
⎛ 3 x
⎞
⋅
dx = 2 ⎜⎜
+ C ⎟⎟ =
2 x
⎝ ln 3
⎠
x
t5 +C
b) Substituïm la variable x per t .
1
+1
6
−
2
5
1 + ln x = t 2 ⇒
cos x dx =
x3 + 2
1
dx =
x
∫ (x 2 + 2 x + 1) dx
(x 4
=
1
6
−
∫
=
∫x
1
⋅3
ln 3
g)
=
−
t3 +
=
Desfem el canvi de variable:
dx = ln x + C
(sen
sin x)5
+C
5
3 x
dx = ∫ 3
x
2∫ 3
f)
∫x
x3
+ x2 + x + C
sin4 x
∫ sen
∫
x
dx =
x
x3
1
∫
=
∫ (x + 1)2 dx
=
i)
1
∫
=
d)
x −1 dx
3
2
⎡
⎤
⎡
⎤
9
14
55
= ⎢
+ x ⎥ =
+
=
⎥ + ⎢
⎣ 2 ⎦−3 ⎣ 3
⎦0
2
3
6
−x 2
4
=
∫ (4 t 2 + 2 t 4 ) dt
=
∫
(2 + t 2 ) ⋅ t ⋅ 2 t dt
∫ (5 x − 2 e x )2 dx
25
x3
3
=
− 20 e x (x − 1) + 2 e 2x + C
259
dv = dx ⇒ v = x
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 12. integrals i aplicacions
∫ u dv
b)
∫ x 2 cos
x
1
Considerem
= x ln x −F (x)
⋅ resulta
dx = xen
ln xfer− C
x +=C0 i calcu∫ ln x ladxprimitiva
∫ x que
x la regla de Barrow
lem la integral definida mitjançant
dx
2
Fem el canvi
2
u =
∫1 ln x dx = [ x ln x − x ]12 = 2 ⋅ (ln 2 − 1) + 1 = 2 ln 2 − 1 = 0, 39
⇒ du = 2 x dx
x
x
dv = cos
dx ⇒ v = 2 sen
+C
sin
2
2
x2
7.
∫
x2
cos
= x2 − x
(x + 1)(x + 2)
x − x 2 = (x 2 − x)(x + 1)(x + 2)
dx =
2
x
sin
= 2 x 2 sen
2
x
= 2 x 2 sen
sin
2
Calculem ara la integral
x
0 = (x 2 − x)((x + 1)(x + 2) + 1) =
sin dx
∫ 2 x ⋅ 2 sen
2
−
x
− 4 ∫ x sen
sin
∫ x sen
x
2
= x(x − 1)(x 2 + 3 x + 3) ⇔ x = 0 o x = 1
dx
2.Com que els punts de tall són 0 i 1, i les funcionis f i g són
contínues en [0, 1], l'àrea que ens interessa és:
dx amb el canvi
2
x
= −2 x cos
x
2
x
= −2 x cos
x
+ 4 sen
sin
2
−
2
∫ −2 cos
x
2
=
c)
x
sin
dx = 2 x 2 sen
x
2
+ 8 x cos
x
2
sin
− 16 sen
⎞
− x 2 + x ⎟ dx =
⎠
⎛
⎞
4x +2
− x 2 + x ⎟ dx =
= ∫ ⎜ −1 + 2
x
+
3
x
+
2
⎝
⎠
4x +2
2
= ∫ (−x + x − 1) dx + ∫
dx =
x2 + 3 x + 2
x
2
+C
=−
Fem el canvi
dv = x 2dx ⇒ v =
x − x2
∫ ⎜⎝ (x + 1)(x + 2)
∫ x 2 ln x dx
1
dx
x
x3
x3
3
+
x 2 ln x dx =
x3
=
3
x3
3
6.
ln x −
ln x −
∫
x3
9
x3
3
x2
3
=
ln x −
∫
∫
−x+
4x +2
x3
3
⋅
1
x
=
dx
4x +2
x2 + 3 x + 2
dx
dx =
No existeix cap zero de f en (1,2 0), aleshores:
A = ∫ 2 ln x dx
A = ∫12 ln x dx
A = ∫ 21 ln x dx
A = ∫1 ln x dx
1
1
Per realitzar aquestauintegral
femduel =canvi
1 dx
= ln x ⇒
u = ln x ⇒ du = 1x dx
u = ln x ⇒ du = 1x dx
dx du
⇒v = x
u =dv
ln x== ⇒
dv
dx ⇒ v= =xx xdx
dv = dx ⇒ v = x
dv = dx ⇒ v = x
= uv − v du
∫∫ uu dv
dv = uv − ∫∫ v du
Apliquem l'expressió ∫ u dv = uv − ∫ v du
∫ u dv = uv − ∫ v du
1
ln
x
dx
=
x
ln
= x ln x − x + C
∫∫ ln x dx = x ln xx −− ∫∫ xx ⋅⋅ 1x1 dx
dx = x ln x − x + C
x
x dx = x ln x − ∫ x ⋅ 1 dx = x ln x − x + C
∫∫ ln
ln x dx = x ln x − ∫ x ⋅ x dx = x ln x − x + C
x
2
2
2 ln x dx = [ x ln x − x ] 2 = 2 ⋅ (ln 2 − 1) + 1 = 2 ln 2 − 1 = 0, 39
∫
1
1
x
ln
x
−
x
ln
x
dx
=
=
2
⋅
(ln
2 − 1) + 1 = 2 ln 2 − 1 = 0, 39
[
]21
260 ∫21
x dx = [ x ln x − x ]12 = 2 ⋅ (ln 2 − 1) + 1 = 2 ln 2 − 1 = 0, 39
∫∫12 ln
ln x dx = [ x ln x − x ]1 = 2 ⋅ (ln 2 − 1) + 1 = 2 ln 2 − 1 = 0, 39
A
x +1
+
B
x +2
=
A(x + 2) + B (x + 1)
4 = A + B ⎫
⎬ ⇒ A = −2, B = 6
2 = 2 A + B ⎭
x3
⎛
1 ⎞
⎜ ln x −
⎟
3 ⎝
3 ⎠
=
(x + 1)(x + 2)
4 x + 2 = (A + B) x + 2 A + B
∫
4x +2
x2 + 3 x + 2
dx =
∫
−2
x +1
dx +
∫
6
x +2
dx =
= −2 ln x + 1 + 6 ln x + 2 + C
Trobem els zeros de f : ln x = 0 ⇔ x = 1
1
2
x2 + 3 x + 2
Aplicant el mètode d'integració per parts:
∫
x2
i per calcular la nova integral:
+C
3
=
⎞
− (x 2 − x) ⎟ dx
⎠
∫ 0 ⎜⎝ (x + 1)(x + 2)
⎛
+C
u = ln x ⇒ du =
x−
1 ⎛
x2
Per aplicar la regla de Barrow, calculem la integral indefinida:
dx
Per tant, la integral que volíem calcular queda com:
2
1
∫ 0 (f (x) − g (x)) dx
A=
u = x ⇒ du = 1d x
x
x
dv = sen
+C
sin dx ⇒ v = −2 cos
2
2
sin dx
∫ x sen
2
x − x2
f (x) = g (x),
x
­
1.Trobem els punts de tall entre les dues funcionis f i g(x) =
x2 – x (que defineix la paràbola):
Tenim
∫ x 2 cos
∫ v du
= uv −
Per tant, d'acord amb la regla de Barrow:
⎤1
⎡ x 3
x2
A = ⎢ −
+
− x − 2 ln x + 1 + 6 ln x + 2 ⎥ =
⎦0
⎣ 3
2
1
⎡ x 3
x2
(x + 1)2 ⎤
= ⎢ −
+
− x − ln
⎥ =
6
⎣ 3
2
(x + 2) ⎦0
⎛ 5
12 ⎞
22 ⎞ ⎛
= ⎜ −
− ln
⎟ − ⎜ 0 − ln
⎟ =
6
⎝ 6
3 ⎠ ⎝
26 ⎠
= −
5
6
+ ln
36
28
= −
5
+ 2 ln
27
6
16
⇒ A = 0, 21 u 2
= 0, 21 ⇒
Bloc 3. anàlisi > UNITAT 12. integrals i aplicacions
8.
10. Si anomenem C a la funció del valor del capital en cada mo-
Imposem la condició que ha de complir f:
2
∫ 0 f (x) dx
2=
2
∫ 0 (ax 2 + bx + c) dx
=
=
ment, el seu creixement instantani vindrà donat per C ′.
Expressem el fet que el creixement continu va ser del 1 %:
⎡ ax 3
⎤2
bx 2
8a
= ⎢
+
+ cx ⎥ =
+ 2b + 2c
⎣ 3
⎦
2
3
0
0 = f (0) = a ⋅ 02 + b ⋅ 0 + c = c
Cʹ′(t ) =
Cʹ′(t )
Resolem el sistema:
C(t )
8
⎫
a + 2 b + 2 c ⎪
⎪
⎬
⎪ ⇒ a = −9, b = 13, c = 0
⎪⎭
4 = a +b +c
3
0=c
9.
∫
En aquest problema, les funcions que s'han de considerar
són f (x) = x 2 y g (x) = 2 x 2 i les abscisses són a = 0 i b = k,
per tant:
A=
k
∫0
(2x 2 − x 2 ) dx =
=
k3
3
−0 =
k3
3
Perquè aquesta àrea sigui de 72
72 = A =
k3
3
k
∫0
⎡ x 3 ⎤k
x 2 dx = ⎢
⎥ =
⎣ 3 ⎦0
essent k > 0
siendo
u 2,
⇒k =
3
el valor de k ha de ser:
Cʹ′(t )
C(t )
dt =
ln(C(t )) + k1 =
b
∫ a g (x) − f (x) dx
=
1
100
Considerem la integral indefinida de cadascun dels dos membres de la igualtat, les resolem i agrupem les constants:
L'àrea A limitada per les gràfiques de les dues funcionis f i g
entre les abscisses x = a i x = b és:
A=
C(t )
Operem i s'obté:
4 = f (1) = a ⋅ 12 + b ⋅ 1 + c = a + b + c
2=
1
100
ln(C(t )) =
1
100
1
∫
100
1
t + k2
100
t
t + k 3 ; C(t ) = e 100
dt
+k 3
t
t
= e 100 ⋅ e k 3 = k ⋅ e 100
A l'inici de l'any, la facturació va ser de 10 milions d'euros,
C(0) = 10. Per tant:
0
C(0) = 10 = k ⋅ e 10 = k ; k = 10
Per trobar la facturació a finals d'any, calculem C(12):
1
C(12) = 10 ⋅ e 100
· 12
= 11,275
Així, la facturació a finals d'any serà d'11,275 milions d'euros.
23 ⋅ 33 = 6
261
BLOC 4. PROBABILITAT I ESTADÍSTICA
13
En context
Probabilitat
2.
(pàg. 371)
b> Probablement alguns alumnes es resistiran a canviar la
seva elecció inicial, per por d’acabar equivocant-se quan
havien encertat en primera instància. D’altres amb més
criteri probabilístic, molt probablement pensaran que no té
cap importància canviar de porta o no, ja que des del moment en què hi ha dues portes per triar, la probabilitat de
totes dues és la mateixa. Cap d’aquestes respostes és correcta.
Considerem l’esdeveniment A: produir-se una tempesta de
gran magnitud en les properes 24 hores i B: generar-se ones
de més de 4 metres.
Segons l’enunciat es té:
P (A) = 0,85
Per la fórmula de probabilitat condicionada tenim que:
P(B /A) =
c> El protagonista de la pel·lícula decideix, sense dubtar, que
el millor és canviar de porta.
d> Efectivament, en canviar de porta la probabilitat
d’emportar-se el cotxe és de 2/3, enfront d’1/3 si es manté
l’elecció inicial.
1.
3.
P(A)
⇒
Considerem els esdeveniments següents:
A: practicar futbol
B: practicar bàsquet
D’acord amb l’enunciat, tenim que:
P (A) = 0,2 P (B) = 0,15 P (A ∩B) = 0,1
a) P(A ∩ B /A ∪ B) =
(pàg. 387 i 388)
=
L’espai mostral són els 6 nombres que podem marcar a cada
papereta dels nombres compresos entre l’1 i el 49. Així, el
nombre de casos possibles és:
C 49,6
P(B ∩ A)
⇒ P (A ∩B) = P (B/A) ⋅ P (A) = 0,85 ⋅ 0,03 = 0,025 5
Que les probabilitats són aquestes es pot demostrar de manera relativament senzilla si es té en compte que el presentador
ha de decidir quina porta obrir, de manera que en aquest
concurs hi ha tres «experiments». Assignant probabilitats a
cada experiment individual i calculant la probabilitat de cada
experiment compost s’arriba a la conclusió adequada.
Problemes resolts
P (B/A) = 0,03
,
Ens demanen trobar la probabilitat P (A ∩B).
P(A ∩ B)
P(A ∪ B)
b) P(A/B) =
⎛ 49 ⎞
= ⎜
⎟
⎝ 6 ⎠
=
=
P((A ∩ B)(A ∪ B))
0,2 + 0,15 − 0,1
P(A ∩ B)
P(B)
0,2 − 0,1
1 − 0,15
P(A ∪ B)
0,1
=
=
= 0,4
P(A) − P(A ∪ B)
1 − P(B)
=
= 0,117 6
a) Considerem l’esdeveniment A: no encertar cap nombre.
4.
El nombre de casos favorables a A és:
R: ser ros
⎛ 43 ⎞
C 43,6 = ⎜
⎟
⎝ 6 ⎠
M: ser morè
Així, com que el conjunt de resultats és equiprobable podem considerar la regla de Laplace:
⎛ 43 ⎞
⎜
⎟
⎝ 6 ⎠
P(A) =
=
⎛ 49 ⎞
⎜
⎟
⎝ 6 ⎠
=
43 ⋅ 42 ⋅ 41 ⋅ 40 ⋅ 39 ⋅ 38
49 ⋅ 48 ⋅ 47 ⋅ 46 ⋅ 45 ⋅ 44
Considerem els esdeveniments:
A: tenir ulls blaus
Segons les dades de l’enunciat:
P (R) = 0,25
P (M) = 0,75
P (A/R) = 0,45
P (A/M) = 0,2
a) Segons el teorema de la probabilitat total:
= 0,436
b) Considerem l’esdeveniment A: encertar els sis nombres.
P (A) = P (M) ⋅ P (A/M) + P (R) ⋅ P (A/R) =
= 0,75 ⋅ 0,2 + 0,25 ⋅ 0,45 = 0,262 5
El nombre de casos favorables a A és 1.
b) P (A) = 1 – P (A) = 1 – 0,262 5 = 0,737 5
Apliquem la regla de Laplace:
c) Pel teorema de Bayes:
P(A) =
1
= 7,151 ⋅ 10−8
⎛ 49 ⎞
⎜
⎟
⎝ 6 ⎠
P(M /A) =
P(M) ⋅ P(A/M)
=
P(M) ⋅ P(A/M) + P(R) ⋅ P(A/R)
P(M) ⋅ P(A/M)
0,75 ⋅ 0,2
=
=
= 0,5714
P(A)
0,2625
263
Bloc 4. PROBABILITAT I ESTADÍSTICA > UNITAT 13. probabilitat
8.
d) Pel teorema de Bayes:
P(R /A) =
=
P(R) ⋅ P(A /R)
P(M) ⋅ P(A /R) + P(M) ⋅ P(A /M)
P(R) ⋅ (1 − P(A/R))
P(R) ⋅ (1 − P(A/R)) + P(M)(1 − P(A/M))
0,25 ⋅ (1 − 0,45)
=
=
0,25 (1 − 0,45) + 0,75 (1 − 0,2)
0,25 ⋅ 0,55
= 0,1864
=
0,25 ⋅ 0,55 + 0,75 ⋅ 0,8
=
b) A i C són compatibles atès que si obtenim un rei es verifiquen tots dos alhora.
=
c) B i D són incompatibles ja que B ∩ D = ∅.
d) Tenim que A ∩ C ∩ D = ∅. Per tant A, C i D són esdeveniments incompatibles.
e) Si obtenim un rei de copes es verifiquen A, B i C, per tant,
són esdeveniments compatibles.
f) Tenim que A ∩ B ∩ D = ∅. Per tant, A, B i D són esdeveniments incompatibles.
Exercicis i problemes (pàg. 389 a 392)
1
5.
EXPERIMENTS I ESDEVENIMENTS
Pàg. 389
ALEATORIS
a)És aleatori, ja que encara que coneguem les condicions en
les quals es produeix l’experiment, no podem predir-ne el
resultat.
L’espai mostral és Ω = {cara, creu}
b) És determinista, atès que sabem que si no s’agita, l’oli no
es barreja amb l’aigua, si no que hi queda a sobre.
c) És aleatori, atès que no podem saber de quin coll és la
carta extreta fins que no veiem quina és aquesta carta.
6.
a)A i B es poden verificar simultàniament si obtenim un rei
de copes, per tant, són esdeveniments compatibles.
9.
No necessàriament.
Per exemple, en l’experiment aleatori consistent a llançar un
dau i veure el resultat, els esdeveniments A = {1} i B = {4} són
incompatibles, ja que A ∩B = ∅, però els seus complementaris no ho són:
A ∩ B = {2, 3, 4, 5, 6} ∩ {1, 2, 3, 5, 6} = {2, 3, 5, 6} ≠ ∅
2 DEFINICIONS DE PROBABILITAT
10. La probabilitat de qualsevol esdeveniment A està compresa
entre 0 i 1.
En efecte:
a)L’espai mostral està format pels possibles colls d’una baralla espanyola:
∅ # A # Ω ⇒ P (∅) ≤ P (A ) ≤ P (Ω) ⇒
↑
P2
Ω = {oros, copes, espases, bastos}
b) A = {1 O, 2 O, 3 O, 4 O, 5 O, 6 O,
7 O, 8 O, 9 O, 10 O, 11 O, 12 O}
B = {1 C, 2 C, 3 C, 4 C, 5 C, 6 C,
7 C, 8 C, 9 C, 10 C, 11 C, 12 C,
1 B, 2 B, 3 B, 4 B, 5 B, 6 B,
7 B, 8 B, 9 B, 10 B, 11 B, 12 B}
c) Es verifiquen els esdeveniments que incloguin les cartes
de coll bastos entre els seus elements. Així doncs, es verifica B però no A.
7.
⇒ 0 ≤ P (B) ≤ 0,6
Així, la probabilitat de B estarà compresa entre 0 i 0,6.
12. Ser home i ser solter són dos esdeveniments compatibles, així
doncs:
P (home) =
P (solter/a) =
A ∩ B : {2 E, 3 E, 4 E, 5 E, 6 E, 7 E, 8 E, 9 E, 10 E,
11 E, 12 E}
B = B = {1 O, 1 C, 1 E, 1 B}
264
8
P (home ∪ solter) =
12
1
2
4
24
+
3
3
=
24
1
1
=
24
P (home ∩ solter) =
b) B = B: obtenir un as
d) Com que les lleis de De Morgan indiquen que A ∪ B = A
∩ B seria el mateix cas que l’apartat c).
P1 y A2 ⇒ P(∅) = 0
↓
⎬ ⇒ ∅ ⊆ B ⊆ A ⇒ P(∅) ≤ P(B) ≤ P(A) ⇒
∅ ⊆ B ⎭
a) A ∩ B : obtenir una espasa que no sigui l’as.
A ∪ B = {2 O, 3 O, 4 O, 5 O, 6 O,
7 O, 8 O, 9 O, 10 O, 11 O, 12 O,
2 B, 3 B, 4 B, 5 B, 6 B,
7 B, 8 B, 9 B, 10 B, 11 B, 12 B,
2 C, 3 C, 4 C, 5 C, 6 C,
7 C, 8 C, 9 C, 10 C, 11 C, 12 C}
↑
P1 i A2
P2
↓
11. B ⊆ A ⎫
Escrivim els esdeveniments següents per compressió i extensió:
c) A ∪ B : no obtenir una espasa ni un as.
Pàg. 389
1
=
−
2
1
6
1
6
=
2
3
13. Els esdeveniments A, B, C i D tenen les relacions d’inclusió
següents:
A ÷B
;
A ,C
B÷C
;
;
A ÷D
B÷D
C÷D
Així, només podem ordenar els esdeveniments A i C:
A, C ⇒ P (A ) ≤ P (C)
Bloc 4. PROBABILITAT I ESTADÍSTICA > UNITAT 13. probabilitat
3 CÀLCUL DE LA
PROBABILITAT
⎛ 6 + 2 − 1 ⎞ ⎛ 7 ⎞
7!
CR6,2 = ⎜
= 21
⎟ = ⎜ ⎟ =
2
2
2
!5!
⎝
⎠ ⎝ ⎠
PÀG. 389 i 390
14. L’espai mostral són els 100 000 números, així el nombre de
Calculem el nombre de casos favorables a A: 9.
casos possibles és 100 000.
Calculem el nombre de casos favorables a B: 6.
a) Sigui A: guanyar el premi comprant 4 números.
Apliquem la regla de Laplace:
El nombre de casos favorables a l’esdeveniment A són 4.
Aplicant la regla de Laplace tenim que:
P(A) =
4
=
100000
1
9
P(A) =
21
= 0,428 6
P(B) =
6
21
= 0,285 7
17. Com que tots els resultats són equiprobables, podem aplicar
25000
la regla de Laplace.
El nombre de casos possibles és VR5,2 = 5 2 = 25
b) Sigui A: la papereta premiada acaba en 2.
Casos favorables a A: 10 000.
El nombre de casos favorables és:
Per la regla de Laplace:
(1, 3), (2, 2), (3, 1) són els únics resultats pels quals es verifica l’esdeveniment A =«la suma dels nombres és igual a 4»,
per tant, hi ha 3 casos favorables.
Casos favorables a A
3
Per tant, P(A) =
=
possibles
Casos posibles
25
P(A) =
10000
100000
=
1
10
= 0,1
c) Sigui A: la papereta premiada acaba en 24.
18. a)Considerem l’esdeveniment A: treure quatre cartes de bas-
Casos favorables a l’esdeveniment A: 1 000.
tos.
Per la regla de Laplace:
P(A) =
1000
100000
=
1
100
Casos possibles:
= 0,01 ⇒ P(A) = 0,99
15. En aquest cas l’espai mostral està constituït per totes les fitxes
del joc de dòmino:
Ω = {(0, 0), ( 0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (0, 5), (0, 6),
(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
(2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
(3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4, 4), (4, 5), (4, 6),
(5, 5), (5, 6),
(6, 6)}
⎛ 48 ⎞
48 !
48 ⋅ 47 ⋅ 46 ⋅ 45
C 48,4 = ⎜
=
⎟ =
44 ! 4 !
24
⎝ 4 ⎠
Casos favorables a l’esdeveniment A:
⎛ 12 ⎞
12 !
12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9
C12,4 = ⎜
=
⎟ =
8! 4!
24
⎝ 4 ⎠
Com que els resultats són equiprobables apliquem la regla
de Laplace:
P(A) =
48 ⋅ 47 ⋅ 46 ⋅ 45
12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9
D’altra banda, els esdeveniments A i B són:
b) Com que es retornen les cartes a la pila tenim els esdeveniments següents:
A ={(5, 5)}
B = {(4, 6), (5, 5)}
A1: extreure bastos en la primera extracció
Aplicant la regla de Laplace tenim que:
P(A) =
1
28
= 0,0357
P(B) =
2
28
=
1
14
A2: extreure bastos en la segona extracció
= 0,0714
16. En aquest cas, l’espai mostral és el conjunt format pels parells
A3: extreure bastos en la tercera extracció
A4: extreure bastos en la quarta extracció
Són esdeveniments independents, així:
que poden formar-se amb les puntuacions dels dos daus,
sense importar l’ordre.
P (A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4 ) =
= P (A1) ⋅ P (A2) ⋅ P (A3) ⋅ P (A4) =
Si considerem l’esdeveniment A: guanyar, tenim que:
A = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 3), (2, 5), (3, 4), (3, 6), (4, 5),
(5, 6)}
Si considerem l’esdeveniment B: perdre, tenim que:
B = {(1, 3), (1, 5), (2, 4), (2, 6), (3, 5), (4, 6)}
Observa que no considerem el 0 com un nombre parell.
Calculem el nombre de casos possibles.
= 0,0025
=
12
48
⋅
12
48
⋅
12
48
⋅
⎛ 12 ⎞4
= ⎜
⎟ = 0,0039
48 ⎝ 48 ⎠
12
19. L’espai mostral associat a aquest experiment és:
Ω = {(c, c, c), (c, c, +), (c, +, c), (+, c, c),
(+, +, c), (+, c, +), (c, +, +), (+, +, +)}
que té 8 resultats, i tots els esdeveniments elementals són
equiprobables.
265
Bloc 4. PROBABILITAT I ESTADÍSTICA > UNITAT 13. probabilitat
a) Per la regla de Laplace: P (tres cares) =
1
8
, ja que l’únic
n(C)
n(C) = 3 → P(C) =
n(Ω)
= 0,1
cas favorable és (c, c, c).
b) Si A és l’esdeveniment «obtenir almenys una creu»:
22. a) Sabem que, dels 50 bombons, el 30 % són d’avellana:
n(Av ) = 0,3 · 50 = 15
P (A ) = 1 – P (A) =
↑
P1
D’aquests, 10 són quadrats i els 5 restants són rodons. El
60 % dels bombons de la caixa són quadrats:
= 1 – P (no obtenir cap creu) =
= 1 – P (tres cares) = 1 −
1
8
=
n() = 0,6 · 50 = 30
7
Sabent que dels 50 bombons totals n’hi ha 30 que són
quadrats, el nombre de rodons serà 20. Si n’hi ha 5 de
rodons d’avellana, del total de 20 rodons, n’hi ha d’haver
15 de rodons de licor. Dels 30 bombons quadrats, 10 són
d’avellana, per la qual cosa els 20 restants seran quadrats i de licor.
8
c) Els casos favorables són:
(+, +, c), (+, c, +), (c, +, +), (+, +, +)
un total de 4.
b) Si escollir qualsevol bombó té la mateixa probabilitat, podem emprar la regla de Laplace per a calcular les probabilitats de A, B i C.
Així doncs, per la regla de Laplace:
4
P (més creus que cares) =
8
=
1
2
20. Creem la taula de contingència amb les dades de l’enunciat:
Avellana
Licor
Total
Rodó
5
15
20
«1»
«2»
«3»
Total
Quadrat
10
20
30
D1
1
2
3
6
Total
15
35
50
D2
2
2
2
6
Total
3
4
5
12
a) Per a determinar la probabilitat d’obtenir un «2», hem
d’observar el total de la columna del «2», amb la qual cosa
tenim:
P(2) =
4
12
=
1
3
b) Per a determinar la probabilitat de saber si ha estat del D1,
el «3» que hem obtingut, n’hi ha prou amb mirar la fila del
3
D1, i es correspon amb .
5
21. a) L’espai mostral està format per tots els resultats possibles:
⎧1,1; 1,2; 1,3; 1,4; 1,5; 2,1; 2,2; 2,3; 2,4; 2,5;⎫
⎪
⎪
⎪ 3,1; 3,2; 3,3; 3,4; 3,5; 4,1; 4,2; 4,3; 4,4; ⎪
Ω = ⎨
⎬
⎪ 4,5; 5,1; 5,2; 5,3; 5,4; 5,5; 6,1; 6,2; 6,3; ⎪
⎪⎩ 6,4; 6,5
⎪⎭
Si comptem els esdeveniments, n (Ω) = 30.
b) A priori tots els esdeveniments són igualment possibles, de
manera que podem calcular la probabilitat de A, B i C a
partir de la regla de Laplace. Així:
A = {1,1; 2,2; 3,3; 4,4; 5,5}
n(A) = 5 → P(A) =
n(A)
n(Ω)
= 0,167
B = { 2,2; 2,4; 4,2; 4,4; 6,2; 6,4}
C = {1,1; 3,3; 5,5}
P(A) =
P(B) =
P(C) =
n(A)
n(Ω)
n(B)
n(Ω)
n(C)
n(Ω)
=
=
=
20
50
15
50
30
50
= 0,4
= 0,3
= 0,6
23. a) Es tracta d’un dau amb 6 cares, cadascuna d’elles caracteritzada amb una lletra diferent, que es tira 7 vegades. Per
a calcular el nombre de resultats possibles d’aquest experiment hem de trobar les variacions amb repetició de 6 elements presos de 7 en 7.
n(Ω) = VR6, 7 = 67 = 279 936
b) De totes les possibilitats trobades a l’apartat anterior, solament una forma la paraula PLATAN. Si considerem que
totes són igualment probables, podem aplicar la regla de
Laplace:
P(A) =
n(A)
n(Ω)
=
1
279 936
= 3,57 ·10−6
24. Si suposem que la distribució dels llocs es fa a l’atzar, totes les
configuracions possibles (resultats de l’experiment aleatori
consistent a distribuir aquests nois i noies a la taula) són equiprobables, per tant, podem calcular la probabilitat d’un esdeveniment utilitzant la fórmula de Lagrange:
P(A) =
Casos favorables a A
possibles
Casos posibles
El nombre de casos possibles són totes les configuracions
possibles:
PC5 = (5 – 1)! = 4! = 24
266
3
= 1−
4
4
P(L <C) = 1 − P(L <C) = 1 − P(L <C ) =
Bloc 4. PROBABILITAT I ESTADÍSTICA > UNITAT 13. probabilitat
1
7
=
8
8
P(C) = P(L <C) − P(L) + P(L >C) =
= 1−
El nombre de casos favorables a A són les configuracions en
les quals les noies s’asseguin juntes:
=
Asseiem una de les noies en una cadira.
L’altra noia es pot asseure a la seva dreta o a la seva esquerra.
12
Així doncs, P(A) =
24
3
−
8
4
1
+
3
=
4
8
P(C) =
x
3
=
40
8
3 ⋅ 40
⇒x =
8
= 15
Per la qual cosa, hi ha 15 empleats amb carnet.
b) Per a saber si L i C són independents calculem P (L ∩ C) i ho
comparem amb P (L) · P (C):
1
=
7
Si x és el nombre d’empleats amb carnet:
Per a cada possibilitat, els tres nois es poden col·locar en
qualsevol ordre.
Per tant, el nombre de possibles configuracions és
2 ⋅ P3 = 2 ⋅ 3! = 12.
1
=
2
1
D’altra banda, P(B) = 1 − P(A) = 1 −
2
P(L) ⋅ P(C) =
1
=
2
3
3
⋅
4
8
9
=
1
≠
32
4
= P(L >C)
Per tant, L i C són dependents.
4
PROBABILITAT Pàg. 390 i 391
CONDICIONADA
25. Per la probabilitat condicionada tenim:
P(B /A) =
P(A ∩ B)
P(∅)
=
P(A)
=
P(A)
0
P(A)
↑
P (∅) = 0
Apliquem la regla de Laplace per a obtenir P (A ∩B) i P (B):
P(B) =
12
48
=
P(B)
4
1
48
=
1
4
1
8
; P(L <C ) =
3
4
3
1
=
4
4
P(L <C) = 1 − P(L <C) = 1 − P(L <C ) =
1
7
=
8
8
P(C) = P(L <C) − P(L) + P(L >C) =
8
−
3
4
+
=
1
10
= 1−
1
+
7
−
1
70
=
16
=
70
8
35
8
=
35
27
35
c) P (hi ha exactament una escala avariada) =
=
P(L >C) = 1 − P(L <C) = 1 − P(L <C ) =
7
1
70
↑
A
= P (A) + P (B) – 2P (A ∩ B) =
A partir d’aquestes dades, obtenim:
=
=
3= (P (A) – P (A ∩B)) + (P (B) – P (A ∩ B)) =
Les dades de l’enunciat són:
= 1−
7
= P (A ∪B) = P (A) + P (B) – P (A ∩B) =
↑
(A ∩B ) ∩ ( A ∩ B) = ∅
C = «tenir permís de conduir»
= 1−
⋅
= P (A∩ B) + P (A ∩ B) =
12
L = «ser llicenciat»
4
10
7
1
= P ((A∩ B) ∪ (A ∩ B)) =
1
27. a) Considerem els esdeveniments:
; P(L >C ) =
1
= P (A ∩ B) = P ( A ∪ B ) = 1 – P (A ∪B) =
1
Així doncs, per l’expressió de la probabilitat condicionada, tenim:
P(A ∩ B)
1
P(B) =
b) P (no hi ha cap escala avariada) =
48
=
,
a) P (com a mínim n’hi ha una d’avariada) =
1
P(A ∩ B) =
1
10
P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B) =
d’espases i B: obtenir una figura.
3
Com que la probabilitat coincideix amb el límit de les freqüències relatives, les dades de l’enunciat ens diuen que:
P(A) =
26. Hem de calcular la probabilitat P (A/B), sent A: obtenir el rei
P(L) =
B l’esdeveniment «l’escala mecànica B està avariada».
=0
(Suposem que P (A) ≠ 0.)
P(A/B) =
28. Sigui A l’esdeveniment «l’escala mecànica A està avariada», i
1
4
=
1
10
+
1
7
−2⋅
1
70
=
15
70
=
3
14
29. a)Per a calcular la probabilitat de l’esdeveniment ? ∩ H,
utilitzem la regla de Laplace, ja que escollim l’alumne a
l’atzar i per tant tots tenen la mateixa probabilitat.
P(? ∩ H) =
=
Casos favorables a ? ∩ H
Casos possibles
posibles
Nombre
nois en
a Humanitats
Número
dede
chicos
humanidades
Nombre de
d’alumnes
Número
alumnos
92
=
= 0,130 7
704
=
=
3
8
267
Bloc 4. PROBABILITAT I ESTADÍSTICA > UNITAT 13. probabilitat
b) Per definició de probabilitat condicionada:
P(H /?) =
P(N 2 /N1) =
P(H ∩ ?)
P(?)
Per una banda, P(H ∩ ?) = P(? ∩ H) =
P(A) =
92
704
Casos favorables a ?
306
704
92
306
⋅
2
7
=
3
28
P(B) =
5
8
⋅
3
7
15
=
56
3
8
P(N 2 /N1) =
3
8
Per tant:
P(A) =
=
3
8
P(N 2 /N1) =
=
Casos posibles
possibles
Nombrededechicos
nois
306
Número
=
=
704
Número
de
alumnos
Nombre d’alumnes
Així, P(H /?) =
3
7
b) Si hi ha reemplaçament els esdeveniments N1 i N2 són independents, així:
Per l’altra, d’acord amb la regla de Laplace:
92
704
P(N 2 /N1) =
7
Per tant:
a)
↓
P(?) =
2
= 0,300 7
3
8
⋅
3
8
=
9
64
P(B) =
5
8
⋅
3
8
=
15
64
32. Siguin A, B i C els esdeveniments «el primer sèrum té èxit»,
«el segon sèrum té èxit» i «el tercer sèrum té èxit», respectivament.
30. No, atès que si sabem que se n’ha produït un, aleshores podem assegurar que no s’haurà produït l’altre.
L’enunciat ens diu que aquests esdeveniments, i per tant els
seus complementaris, són independents.
Per exemple, en l’experiment consistent a llançar una moneda, els esdeveniments A = {cara} i B = {creu} són incompatibles (atès que A ∩ B = ∅), però:
Atès que el pacient es curarà si, i només si, algun dels tres
sèrums té èxit:
P(A ∩ B) = P(∅) = 0 ≠ P(A) ⋅ P(B) =
1
2
⋅
1
2
=
1
4
31. Definim els esdeveniments N1: la 1a bola és negra i N2: la 2a
bola és negra. Elaborem un diagrama en arbre en el qual assenyalem la probabilitat que es verifiqui l’esdeveniment corresponent a cada branca.
P(N2 /N1)
N2
P(N1
P (el pacient es cura) = 1 – P (el pacient no es cura) =
= 1 – P (A ∩ B ∩ C ) = 1 – P (A) ⋅ P (B) ⋅ P (C ) =
↑
Independència
= 1 – 0,1 ⋅ 0,05 ⋅ 0,08 = 0,999 6
33. Elaborem un diagrama en arbre:
N2)
C
(1, C)
+
(1, +)
C
(2, C)
+
(2, +)
C
(3, C)
+
(3, +)
C
(4, C)
+
(4, +)
C
(5, C)
+
(5, +)
C
(6, C)
+
(6, +)
1
N1
3
8
N2
P(N2/N1)
5
8
N2
2
P(N1 N2)
3
N1
N2
4
Així doncs, la probabilitat buscada en tots dos casos, a) i b),
dels esdeveniments A i B és:
P (A) = P (N1 ∩ N2) = P (N1) ⋅ P (N2/N1)
5
P (B) = P (N 1 ∩ N2) = P (N 1) ⋅ P (N2/N 1)
A més, per la regla de Laplace:
P(N1) =
3
8
⇒ P(N1) =
5
8
Procedim a calcular P (N2/N1) i P (N2/ N 1), tenint en compte si
reemplacem o no la primera bola:
a) Després de la primera extracció, a l’urna només hi queden
7 boles. A més, si la primera bola extreta ha estat negra
només queden 2 boles negres i si ha estat blanca encara
queden 3 boles negres.
268
6
Marquem els casos favorables a l’esdeveniment A i els favorables a l’esdeveniment B. Els casos favorables a l’esdeveniment
A ∪ B són tots els que hem marcat (favorables a A o a B), i
com que els resultats són equiprobables, la regla de Laplace
ens diu:
P(A ∪ B) =
Casos favorables a A ∪ B
Casos possibles
posibles
=
9
12
=
3
4
Bloc 4. PROBABILITAT I ESTADÍSTICA > UNITAT 13. probabilitat
34. Podem resoldre el problema construint un diagrama en arbre:
36. Com que es tracta d’un experiment aleatori compost, elaborem un diagrama en arbre:
1ª extracció
2ª extracció
B
1
6
R
B
1
N
B
R
1
6
1
2
2
3
3
4
4
5
1
6
5
6
6
7
1
6
1
3
2
4
3
5
4
6
5
7
6
8
1
4
2
5
3
6
4
7
5
8
6
9
1
5
2
6
3
7
4
8
R
N
B
N
2
1
6
R
N
1
6
(N, N)
B, R i N indiquen que s’ha obtingut una bola blanca, vermella
o negra, respectivament.
Observem que només un camí condueix a l’esdeveniment
A = «Dues boles negres». Per a calcular-ne la probabilitat,
hem de conèixer la probabilitat de cadascuna de les branques
que componen aquest camí, però aquesta depèn de si hi ha
reposició o no.
1
6
1
6
3
1
6
A la primera extracció, tenim 2 boles negres d’un total de
3 + 3 + 2 = 8 boles, per tant, per la regla de Laplace la probabilitat de la primera branca és:
2
8
=
1
4
Si no hi ha reposició, a la segona extracció tindrem 2 – 1 = 1
bola negra d’un total de 8 – 1 = 7 boles, per tant, la probabili1
tat de la segona branca és , i per tant:
7
P(A) =
1
4
⋅
1
7
=
1
P(A) =
4
⋅
1
4
=
4
1
6
1
6
5
1
6
1
6
16
sisteix a llançar 2 vegades un dau és:
Ω = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6),
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6),
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6),
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6),
(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6),
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
Així, el nombre de casos possibles és 36 i el nombre de casos
favorables a A: obtenir un 5 en cada dau és 1. Per tant, aplicant la regla de Laplace:
1
36
9
6
10
1
6
2
7
3
8
4
9
5
10
6
11
1
7
2
8
1
1
6
35. L’espai mostral de considerar l’experiment compost que con-
P(A) =
5
1
6
28
Si hi ha reposició, a la segona extracció estarem igual que a la
primera, per la qual cosa la probabilitat d’aquesta segona
1
branca és la mateixa que la de la primera, , i per tant:
4
1
1
6
1
6
6
1
6
3
9
4
10
5
11
6
12
En total, el nombre de casos possibles és:
VR6,2 = 62 = 36
i com que tots són equiprobables, podem calcular les probabilitats utilitzant la regla de Laplace.
Marquem amb un cercle els casos favorables a l’esdeveniment
A i els comptem, per la qual cosa:
269
Bloc 3. PROBABILITAT I ESTADÍSTICA > UNITAT 10. probabilitat
P(A) =
4
=
36
1
P(M / A) =
9
Marquem amb un quadrat els casos favorables a
l’esdeveniment B i els comptem, per la qual cosa:
P(B) =
3
36
=
1
12
Subratllem els casos favorables a l’esdeveniment C i obtenim:
P(C) =
10
36
=
5
112
2 300
18
P(N) = P(A) ⋅ P(N / A) + P(B) ⋅ P(N /B) +
+ P(C) ⋅ P(N /C) =
= 0,45 ⋅ 0,48 + 0,2 ⋅ 0,1 + 0,35 ⋅ 0,04 =
= 0,25
38. Tenim dades sobre els dies de precipitació en dos observato-
P(O)
T =
365
= 0,252;
P(VE ) =
= 0,249;
P(I)
(H) =
92
365
90
Sabent que, en triar una persona pot ser del barri A, del B, o
del C, per a calcular la probabilitat que sigui músic hem
d’utilitzar el teorema de la probabilitat total:
P(M) = P(A) ⋅ P(M / A) + P(B) ⋅ P(M /B) +
+ P(C) ⋅ P(M /C) =
40. Tot científic de la convenció parla anglès o alemany (o tots dos
idiomes).
Per tant, els 100 – 80 = 20 que no parlen anglès parlen només alemany.
Com que n’hi ha 40 que parlen alemany i d’aquests només 20
no entenen l’anglès, hi haurà 40 – 20 = 20 que parlin anglès i
alemany, i per tant, 80 – 20 = 60 que només parlin anglès.
Ens trobem, doncs, en la situació de la figura, on I indica
«parla anglès» i A, «parla alemany».
365
I
A
= 0,247.
E ) ⋅ P(L /V
E) +
P(L) = P(P) ⋅ P(L /P) + P(V
(H)⋅ P(L /I)
+ P(O)
T ⋅ P(L /O)
T + P(I)
H) = 0,252 ⋅ 0,043 +
+ 0,252 ⋅ 0,011 + 0,249 ⋅ 0,066 + 0,247 ⋅ 0,111 =
= 0,057
b) Repetim el procés per al cas de Sant Sebastià, i tenim:
E) +
P(L) = P(P) ⋅ P(L /P) + P(VE ) ⋅ P(L /V
(H)⋅ P(L /I)
T ⋅ P(L /O)
T + P(I)
+ P(O)
H) = 0,252 ⋅ 0,413 +
D’altra banda, com que suposem que els científics de la convenció no es poden entendre en cap altre idioma, dos científics escollits a l’atzar no s’entendran sense l’ajuda d’un
intèrpret si, i només si, un d’ells parla anglès però no alemany
(o sigui, pertany a I ∩ A) i l’altre parla alemany però no anglès
(o sigui, pertany a I ∩ A), és a dir, cadascun ha de pertànyer a
una de les dues regions ombrejades en el dibuix.
Les possibilitats que fem una elecció així són les que es mostren en el diagrama en arbre següent:
Primer
Primer
científico
= 0,381
60
100
El resultat pot diferir lleugerament si considerem un any de
traspàs o si assumim que la probabilitat de cada estació és
la mateixa i val 0,25.
39. La probabilitat de ser dels barris A, B i C és:
P(C) =
5 000
950
5 000
= 0,46;
P(B) =
1750
5 000
= 0,35;
= 0,19.
A continuació calculem la probabilitat de ser músic (M) sabent que un individu és del barri A, B o C.
270
Segon
científic
Segundo
científico
científic
+ 0,252 ⋅ 0,315 + 0,249 ⋅ 0,385 + 0,247 ⋅ 0,411 =
P(A) =
20
20
60
= 0,252;
a) En el cas de Las Palmas, si anomenem L l’esdeveniment
«dia de pluja»:
2 300
= 0,037;
P(M /C) = 0,1.
ris desglossats per estacions .Volem saber quina és la probabilitat que un dia a l’atzar plogui en cadascun dels observatoris
independentment de l’estació; per fer-ho podem utilitzar el
teorema de la probabilitat total. Comencem calculant la probabilitat que un dia sigui de primavera, estiu, tardor o hivern
suposant que no es tracta d’un any de traspàs:
92
65
1750
= 0,054
la població de tres ciutats no compri un producte. Sabent que
aquest ciutadà pot viure en els municipis A, B i C, podem utilitzar el teorema de la probabilitat total. Considerarem N: no
comprar.
365
91
P(M /B) =
= 0,46 ⋅ 0,049 + 0,35 ⋅ 0,037 + 0,19 ⋅ 0,1 =
37. Volem saber la probabilitat que un ciutadà triat a l’atzar entre
P(P) =
= 0,049;
20
100
I
A
I
A
20
99
60
99
I
A
I
A
Les possibilitats de cada branca es poden calcular utilitzant la
regla de Laplace, obtenint les que s’indiquen al dibuix.
Per tant, la probabilitat p buscada és:
p =
60
100
⋅
20
99
+
20
100
⋅
60
99
=
8
33
= 0,242 4
Bloc 4. PROBABILITAT I ESTADÍSTICA > UNITAT 13. probabilitat
41. Elaborem un diagrama:
5 PROBABILITAT BAYESIANA
B
1
3
(C, B)
Pàg. 392
43. Considerem els esdeveniments següents:
A1: ser metge holandès
C
1
2
A2: ser metge belga
2
3
A3: ser metge luxemburguès
N
B: estar a favor de la vacuna
B
2
3
1
2
Tenim que A 1 , A 2 i A 3 formen un sistema complet
d’esdeveniments i que:
(+, B)
+
1
3
P({+, B}) =
1
2
1
2
⋅
⋅
1
=
3
2
3
=
1
6
+
1
3
=
≠0
P(A3 ) =
P(A2 ) =
70
250
65
250
≠0
≠0
Així, podem aplicar la fórmula del teorema de Bayes:
P (A3/B) =
1
6
=
1
P(A 3 ) ⋅ P(B /A 3 )
P(A1) ⋅ P(B /A1) + P(A 2 ) ⋅ P(B /A 2 ) + P(A 3 ) ⋅ P(B /A 3 )
=
3
Finalment, segons D2, si sumem les dues probabilitats, obtenim la probabilitat de A:
P(A) =
250
N
Per a calcular la probabilitat de cada branca utilitzarem la regla de Laplace. Segons D1, la probabilitat de cada camí és:
P({C, B}) =
115
P(A1) =
0,28 ⋅ 0,65
0,46 ⋅ 0,75 + 0,26 ⋅ 0,60 + 0,28 ⋅ 0,65
= 0,266 5
44. Siguin H, D i V els esdeveniments «és home», «és dona» i «ha
votat», respectivament.
1
L’enunciat ens diu que:
2
42. Siguin A, B i C els esdeveniments «la troba en el primer manual», «la troba en el segon» i «la troba en el tercer», respectivament.
P (V/H) = 0,735
P (V /D) = 0,429
P (H) = 0,48
P (D) = 0,52
atès que les probabilitats són els límits de les freqüències relatives.
Els esdeveniments A, B i C són independents, i per tant també
ho són canviant qualsevol d’ells pel seu complementari.
a) Com que H i D són un sistema complet d’esdeveniments,
el teorema de la probabilitat total ens diu que:
a) P (la troba només en un manual) =
P (V) = P (H) ⋅ P (V/H) + P (D) ⋅ P (V/D) =
= P ((A∩ B ∩ C ) ∪ (A ∩ B ∩ C ) ∪
= P (H) ⋅ P (V/H) + P (D) ⋅ (1 – P (V /D)) =
∪ (A ∩ B∩ C)) = P (A ∩ B∩ C ) +
= 0,48 ⋅ 0,735 + 0,52 ⋅ (1 – 0,429) = 0,649 7
Independència
↓
b) Pel principi de la probabilitat composta:
+ P (A ∩ B ∩ C ) + P (A ∩ B ∩ C) =
P (V ∩ H) = P (H) ⋅ P (V/H) = 0,48 ⋅ 0,735 =
= P (A ) ⋅ P (B) ⋅ P (C ) + P (A) ⋅ P (B) ⋅ P (C ) +
+ P (A) ⋅ P (B) ⋅ P (C) = 0,5 ⋅ 0,4 ⋅ 0,3 +
+ 0,5 ⋅ 0,6 ⋅ 0,3 + 0,5 ⋅ 0,4 ⋅ 0,7 = 0,29
b) P (la troba exactament en dos manuals) =
= P ((A ∩ B ∩ C ) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪
∪ (A ∩ B ∩ C)) = P (A ∩ B ∩ C ) +
+ P (A ∩ B∩ C) + P (A ∩ B ∩ C) =
= P (A) ⋅ P (B) ⋅ P (C ) + P (A) ⋅ P (B) ⋅ P (C) +
+ P (A) ⋅ P (B) ⋅ P (C) = 0,5 ⋅ 0,6 ⋅ 0,3 +
+ 0,5 ⋅ 0,4 ⋅ 0,7 + 0,5 ⋅ 0,6 ⋅ 0,7 = 0,44
c) P (la troba en els tres manuals) =
= P (A ∩ B ∩ C) = P (A) ⋅ P (B) ⋅ P (C) =
= 0,5 ⋅ 0,6 ⋅ 0,7 = 0,21
=
= 0,352 8
c) Per la fórmula de Bayes:
P(M /V ) =
=
P(M) ⋅ P(V /M)
P(H) ⋅ P(V /H) + P(M) ⋅ P(V /M)
P(M) ⋅ (1 − P(V /M))
P(V)
=
0,52 ⋅ (1 − 0,429)
0,6497
=
=
= 0,457 0
45. Siguin E i P els esdeveniments «l’individu està malalt» i «la
prova dóna positiva».
Com que la probabilitat és el límit de les freqüències relatives,
les dades de l’enunciat ens diuen que:
P(E ) =
1
145
= 0,0069
P (P/E) = 0,96 P (P/E ) = 0,06
271
Bloc 4. PROBABILITAT I ESTADÍSTICA > UNITAT 13. probabilitat
Per la fórmula de Bayes prenent com a sistema complet
d’esdeveniments E i E :
P(E ) ⋅ P(P /E )
P(E /P) =
b) P (S1/S 2) = 1 – P (S 1/S 2) = 1 – 0,225 8 = 0,774 2
48. Activitat TIC
=
P(E ) ⋅ P(P /E ) + P(E ) ⋅ P(P /E )
(1 − 0,0069) ⋅ 0,06
=
= 0,9
0,0069 ⋅ 0,96 + (1 − 0,0069) ⋅ 0,06
49. Activitat TIC
SÍNTESI
46. Considerem els esdeveniments següents:
Pàg. 392
50. a) Els casos en què el nombre acabi en 32 són:
M: freqüentar la discoteca tenint menys de 20 anys
032, 132, 232,…932.
N: freqüentar la discoteca tenint 20 anys o més
H: ser noia
Per tant, els casos favorables són 10 i els casos possibles
són els mil nombres que entren al sorteig. Utilitzant la fórmula de Laplace tenim:
V: ser noi
Segons les dades de l’enunciat, es té:
P (M) = 0,55
P(… 32) =
P (N) = 0,45
10
1 000
=
1
100
b) Els casos favorables i els casos possibles seran els mateixos de l’apartat anterior. Per tant, la probabilitat serà
1
d’
.
100
P (H/M) = 0,3 ⇒ P (V/M) = 1 – 0,3 = 0,7
P (H/N) = 0,25 ⇒ P (V/N) = 1 – 0,25 = 0,75
a) Segons el teorema de la probabilitat total:
P (H) = P (M) ⋅ P (H/M) + P (N) ⋅ P (H/N) =
51. Elaborem un diagrama en arbre:
= 0,55 ⋅ 0,3 + 0,45 ⋅ 0,25 = 0,277 5
b) Segons el teorema de Bayes:
1
4
P(N /H) =
=
P(N) ⋅ P(H /N) + P(M) ⋅ P(H /M)
0,45 ⋅ 0,25
0,1125
=
=
= 0,4054
0,45 ⋅ 0,25 + 0,55 ⋅ 0,3
0,2775
2
1
4
1
4
1
P(M) ⋅ P(V /M)
P(M /V ) =
P(M) ⋅ P(V /M) + P(N) ⋅ P(V /N)
0,55 ⋅ 0,7
=
= 0,5329
0,55 ⋅ 0,7 + 0,45 ⋅ 0,75
1
4
=
1
4
segon plat està sana» i S2 l’esdeveniment «la cirera que hem
escollit del segon plat està sana».
Com que totes les cireres del primer plat tenen la mateixa
probabilitat de caure i totes les del segon plat, la mateixa probabilitat de ser escollides:
P(S 2 /S1) =
20
19
25
P(S 2 /S1) =
=
=
18
25
4
5
4
5
⇒ P(S1) =
5
1
(3, 1)
(3, 3)
4
1
4
1
(4, 2)
2
3
1
4
4
7
P(S1) ⋅ P(S 2 /S1)
(2, 4)
3
1
4
25
25
4
2
3
4
6
P(S1) ⋅ P(S 2 /S1) + P(S1) ⋅ P(S 2 /S1)
7
1
⋅
7
25
5
=
=
= 0,225 8
4
6
1
7
31
⋅
+
⋅
5 25
5 25
272
1
4
1
4
a) Apliquem el teorema de Bayes prenent com a sistema
complet d’esdeveniments S1 i S 1:
P(S1 /S 2 ) =
3
1
⇒ P(S 2 /S1) =
⇒ P(S 2 /S1) =
2
1
4
(2, 2)
2
1
4
47. Sigui S1 l’esdeveniment «la cirera que ha caigut del primer al
16
(1, 3)
3
1
4
c) Pel teorema de Bayes:
P(S1) =
(1, 1)
1
P(N) ⋅ P(H /N)
(4, 4)
Per a calcular la probabilitat de cada branca utilitzem la propietat D1, juntament amb la regla de Laplace:
P({1, 1}) =
=
P({1, 3}) =
P({2, 2}) =
1
4
1
4
1
4
⋅
⋅
⋅
1
4
1
4
1
4
=
=
=
1
16
1
16
1
16
Bloc 4. PROBABILITAT I ESTADÍSTICA > UNITAT 13. probabilitat
P({2, 4}) =
1
4
1
P({3, 1}) =
P({4, 2}) =
P({4, 4}) =
1
1
1
1
1
1
=
4
1
⋅
4
=
4
⋅
4
=
4
⋅
4
=
4
⋅
4
P({3, 3}) =
1
⋅
=
4
Com que:
1
16
P (A) ⋅ P (B) = (1 – P (A)) ⋅ (1 – P (B)) =
1
= 0,08 ⋅ 0,82 = 0,065 6 = P (A ∩ B)
16
Concloem que els esdeveniments A i B són independents.
1
55. Sigui E: patir la patologia i P: el resultat de la prova és positiu,
16
és a dir, segons la prova pateix la malaltia. Segons les dades
de l’enunciat:
1
16
P(E ) =
1
16
P(A) =
16
+
1
16
+
1
16
+
=
1
16
8
16
+
=
1
16
1
+
1
16
+
1
16
+
1
16
=
2
P(E /P) =
A: es devalua el dòlar en el transcurs d’una sessió de borsa.
=
B: es devalua el franc suís en el transcurs d’una sessió de
borsa.
Sabem que es compleix:
P (A ∪B) = P (A) + P (B) – P (A ∩ B)
Avaluació
1.
Substituint per les dades de l’enunciat, tenim:
2.
A2: triar la segona urna
a) Ser seguidor d’algun equip significa ser seguidor de A o ser
seguidor de B. Com que els dos esdeveniments són compatibles, la probabilitat de la seva unió serà:
b) No ser seguidor de cap equip, significa no ser aficionat.
També és l’esdeveniment complementari de A <B . Per
tant:
d’esdeveniments. Com que P (A 1 ) = P (A 2 ) = P (A 3 )
1
= P(A4 ) =
≠ 0 apliquem el teorema de la probabilitat total:
4
P (B) = P (A1) ⋅ P (B/A1) + P (A2) ⋅ P (B/A2) +
P(A >B) = 1 − P(A <B) = 1 − 0,81 = 0,19
c) Per a esbrinar els que només són aficionats de A, hem de
restar els seguidors de tots dos equips als seguidors de A.
+ P (A3) ⋅ P (B/A3) + P (A4) ⋅ P (B/A4) =
4
9
4
⋅
3
11
+
= 0,09
= 0,58 + 0,35 − 0,112 = 0,81
Es compleix que A1, A2, A3 i A4 formen un sistema complet
1
=
P(A <B) = P(A) + P(B) − P(A >B) =
B: extreure una bola vermella
+
0,000 1 ⋅ 0,99
0,000 1 ⋅ 0,99 + 0,999 9 ⋅ 0,001
)
a) A = {1, 3, 5}
A4: triar la quarta urna
4
( ) (
(pàg. 394)
A3: triar la tercera urna
⋅
P(E ) ⋅ P(P /E )
P(E ) ⋅ P(P /E ) + P E ⋅ P P /E
c) C = {1, 4, 6}
A1: triar la primera urna
1
)
b) B = {4, 5, 6}
0,43 = 0,4 + 0,06 – P (A ∩ B) ⇒
⇒ P (A ∩B) = 0,4 + 0,06 – 0,43 = 0,03
53. Considerem els esdeveniments:
(
P P /E = 0,001
Hi ha anàlisis amb resultats positius que corresponen a persones que pateixen la patologia i d’altres que no la pateixen.
Volem saber quina és la probabilitat que un pacient estigui
malalt si l’anàlisi indica que ho està. Per a distingir entre tots
dos emprem la fórmula de Bayes:
52. Considerem els esdeveniments següents:
=
( )
= 0,000 1 → P E = 1 − P(E ) = 0,999 9
P(P /E ) = 0,99;
Finalment, segons D2, tenim:
1
1
10 000
1
4
⋅
5
7
+
1
4
⋅
1
2
P (només A) = 0,58 – 0,12 = 0,46
= 0,4829
d) Ser aficionat d’un sol equip és ser-ho només de A o ser-ho
només de B. Els que només ho són de A s’han calculat a
l’apartat anterior (0,46). Calculem de la mateixa manera
els que només ho són de B.
54. D’acord amb les lleis de De Morgan:
A ∩B = A∪B
P (només B) = 0,35 – 0,12 = 0,23
per tant:
P (A ∩ B) = P ( A ∪ B ) = 1 – P (A ∪ B) =
= 1 – (P (A) + P (B) – P (A ∩ B)) =
P (només A o només B) = 0,46 + 0,23 = 0,69
= 1 – P (A) – P (B) + P (A) ⋅ P (B) =
↑
A i B independents
= 1 – 0,92 – 0,18 + 0,92 ⋅ 0,18 = 0,065 6
Per tant:
3.
Per a saber si els esdeveniments A i B són independents, hem
de veure si es compleix P (A ∩B) = P (A) ⋅ P (B).
273
Bloc 4. PROBABILITAT I ESTADÍSTICA > UNITAT 13. probabilitat
Atès que totes les boles tenen la mateixa probabilitat de ser
escollides, podem calcular la probabilitat d’un esdeveniment
utilitzant la regla de Laplace:
P(A) =
Casos favorables a A
= P (H ) ⋅ P (D) = (1 – P (H)) ⋅ P (D) =
= (1 – 0,6) ⋅ 0,7 = 0,28
=
Casos posibles
possibles
Nombre de boles
3
3
Número
bolasblanques
blancas
=
=
=
3+5
8
Número
Nombre de
de bolas
boles
P(B) =
b) P (només la dona viu 50 anys més) = P (H ∩ D) =
c) P (cap viu 50 anys més) = P ( H ∩ M
D)=
= P (H ) ⋅ P (M
D ) = 0,4 ⋅ 0,3 = 0,12.
6.
Casos favorables a B
=
possibles
Casos posibles
2+2
4
1
Número
bolas ≤ 2
Nombre de boles
=
=
=
=
3+5
8
2
Número
bolas
Nombre de boles
a) Si hi ha reposició, el nombre de resultats possibles és:
VR40,2 = 40 2 = 1 600
Els resultats favorables a l’esdeveniment A1 ∩ A2 són els
obtinguts en treure una de les 12 figures en primer lloc i
una de les 12 figures (atès que hi ha reposició) en segon
lloc, o sigui, 12 ⋅ 12 = 144.
Casos favorables a (A ∩ B)
=
possibles
Casos posibles
Número
de boles
bolasblanques
blancas ≤ 2
Nombre de
=
=
Númerode
deboles
bolas
Nombre
2
2
1
=
=
=
3+5
8
4
P(A ∩ B) =
Per tant, P(A1 ∩ A 2 ) =
3 1
3
1
⋅
=
≠
= P(A ∩ B), con8 2
16
4
cloem que els esdeveniments A i B no són independents.
Per tant, P(B 1 ∩ B 2 ) =
Sigui E l’esdeveniment «espanyol» i J l’esdeveniment «menor
de 30 anys» en l’experiment aleatori consistent a escollir a
l’atzar una persona que va pujar l’Aneto aquest estiu. Les dades de l’enunciat, tenint en compte que les probabilitats són
el límit de les freqüències relatives, són:
= 1−
P(E ) − P(J ∩ E )
P(E ) ↑
P(E )
E = (J ∩ E ) ∪ ( J ∩ E )
(J ∩ E ) ∩ ( J ∩ E ) = ∅
P(J ∩ E )
P(E )
b) P(J /E ) =
=
=
P(E ) − P(J ∩ E )
Per tant, P(A1 ∩ A 2 ) =
=
7.
=
11
130
10 ⋅ 9
40 ⋅ 39
=
3
52
Siguin O, C, E i B els esdeveniments «treure el rei d’oros», «rei
de copes», «rei d’espases» i «rei de bastos», respectivament,
de la baralla de 4 cartes.
Els esdeveniments O, C, E i B formen un sistema complet
d’esdeveniments en l’experiment aleatori compost descrit a
l’enunciat, per tant, la probabilitat de l’esdeveniment
A = «treure el rei d’espases de l’última baralla» es pot calcular utilitzant el teorema de la probabilitat total:
↑
Teorema de la probabilitat total
= 0,8 ⋅ 0,4 + (1 – 0,8) ⋅ 0,3 = 0,38
Siguin H i M els esdeveniments «l’home viu 50 anys més» i
«la dona viu 50 anys més», respectivament.
P (A) = P (O) ⋅ P (A/O) + P (C) ⋅ P (A/C) + P (E) ⋅
Considerem que H i M són independents, per la qual cosa
⋅ P(A/E ) + P(B) ⋅ P(A/B) =
també ho seran H i M, H i M
D,iH iM
D.
+
Independents
↓
274
1
16
Els resultats favorables a l’esdeveniment B1 ∩ B2 són els
obtinguts en treure un dels 10 oros en primer lloc i un dels
9 restants (atès que no hi ha reposició) en segon lloc, o sigui, 10 ⋅ 9.
c) P ( J ) = P (E) ⋅ P (J /E) + P (E ) ⋅ P ( J /E ) =
= P (H) ⋅ P (D) = 0,6 ⋅ 0,7 = 0,42
12 ⋅ 11
=
a) P (tots dos viuen 50 anys més) = P (H ∩ D) =
=
40 ⋅ 39
Per tant, P(B 1 ∩ B 2 ) =
P(E )
P(E )
P(J ∩ E )
= 1−
= 1 − P(J /E ) = 1 − 0,6 = 0,4
P(E )
5.
100
1600
Els resultats favorables a l’esdeveniment A1 ∩ A2 són els
obtinguts en treure una de les 12 figures en primer lloc i
una de les 11 restants (atès que no hi ha reposició) en segon lloc, o sigui, 12 ⋅ 11.
= 1 − P(J /E ) = 1 − 0,3 = 0,7
P(J ∩ E )
9
100
V40,2 = 40 ⋅ 39
P ( J /E ) = 30% = 0,3
P(J ∩ E )
=
b) Si no hi ha reposició, el nombre de resultats possibles és:
P (E) = 80% = 0,8 P (J/E) = 60% = 0,6
a) P(J /E ) =
144
1600
Els resultats favorables a l’esdeveniment B1 ∩ B2 són els
obtinguts en treure un dels 10 oros en primer lloc i un dels
10 oros (atès que hi ha reposició) en segon lloc, o sigui,
10 ⋅ 10 = 100.
Com que P(A) ⋅ P(B) =
4.
Com que totes les cartes tenen la mateixa probabilitat de sortir, és vàlida la regla de Laplace per a calcular probabilitats.
8.
1
4
⋅
2
49
+
1
4
⋅
1
49
1
4
=
⋅
1
49
5
196
+
1
4
⋅
1
49
+
= 0,025 5
Considerem l’experiment aleatori consistent a escollir un bolígraf a l’atzar.
Bloc 4. PROBABILITAT I ESTADÍSTICA > UNITAT 13. probabilitat
Siguin A, B, C els esdeveniments «tipus A»,«tipus B» i «tipus C».
Si n indica el nombre d’unitats produïdes de cadascun d’ells,
la regla de Laplace ens diu que:
P(A) =
1
n
, P(B) =
1
n
, P(C) =
,
P (D/B) = 0,003 ,
P(L ) =
1
n
P (D/C) = 0,007
P(L / A) =
P (E/B ∩ D) = 0,8
Siguin A i L els esdeveniments «es produeix un accident» i
«dia amb pluja», en l’experiment consistent a escollir un dia
d’aquesta setmana.
P(A/D ∩ E ) =
↑
P(A ∩ D ∩ E )
P(D ∩ E )
2
7
=
P(L ) ⋅ P(A /L )
P(L) ⋅ P(A /L) + P(L ) ⋅ P(A /L )
=
5
⋅ 0,004
7
= 0,1111
=
2
5
⋅ 0,08 +
⋅ 0,004
7
7
P (E/C ∩ D) = 0,9
9.
P(L) =
7
Per a calcular la probabilitat que ens demanen, P (L / A), considerem el sistema complet d’esdeveniments {L, L } i apliquem el teorema de Bayes:
Sigui E l’esdeveniment «el control de qualitat té èxit». D’acord
amb l’enunciat:
P (E/A ∩ D) = 0,7 ,
5
P (A / L ) = 0,004 P (A / L) = 0,08
Sigui D l’esdeveniment «defectuós». Com que les probabilitats
són el límit de les freqüències relatives, tenim que:
P (D/A ) = 0,015
Com que les probabilitats són els límits de les freqüències relatives:
El que ens demanen és:
P(A ∩ D ∩ E )
P(A ∩ D ∩ E ) + P(B ∩ D ∩ E ) + P(C ∩ D ∩ E )
↑
=
↑
Definició A, B, C són un sistema complet d’esdeveniments Fórmula de la probabilitat composta
=
P(A) ⋅ P(D /A) ⋅ P(E /A ∩ D)
P(A) ⋅ P(D /A) ⋅ P(E /A ∩ D) + P(B) ⋅ P(D /B) ⋅ P(E /B ∩ D) + P(C) ⋅ P(D /C) ⋅ P(E /C ∩ D)
=
Zona +
=
1
⋅ 0,015 ⋅ 0, 7
n
= 0,5469
1
1
1
⋅ 0,015 ⋅ 0,7 +
⋅ 0,003 ⋅ 0,8 +
⋅ 0,007 ⋅ 0,9
n
n
n
(pàg. 303)
—— De pel·lícula…
La probabilitat que una determinada combinació de sis nombres extrets de 49 possibles sigui premiada és la mateixa per a
totes les combinacions de sis nombres 7,151 · 10–8, tal com es
calcula a l’activitat 1 d’aquesta unitat.
—— Probabilitats i vida
Encara que la sensibilitat de la prova diagnòstica sigui molt alta,
la baixa prevalença de les malalties rares fa que, segons la interpretació bayesiana, la probabilitat que el pacient que ha donat positiu estigui efectivament malalt sigui molt baixa. La
situació canvia si hi ha altres símptomes de la malaltia, o altres
signes que permetin reduir l’espai mostral inicial, sobre el qual
s’aplica la prova diagnòstica.
275
BLOC 4. PROBABILITAT i ESTADÍSTICA
14#
En context
Distribucions de probabilitat
3.
(pàg. 397)
Calculem p (X ≤ 2) = p (X = 0) + p (X = 1) + p (X = 2).
a> Respostes obertes.
El professor/a pot suggerir als alumnes la següent activitat
sobre el tema de la unitat: calcular la mitjana i la desviació
estàndard d'alguna magnitud relacionada amb els alumnes de la classe, i calcular probabilitats utilitzant les taules
de la distribució normal.
b> Sí, les boles es distribueixen sempre de la mateixa manera. La distribució queda en forma de campana. Si ho repetíssim diverses vegades, per tant, la distribució final de les
boles seria molt semblant.
⎛ 4 ⎞
⎛ 4 ⎞
p (X ≤ 2) = ⎜
⎟ ⋅ 0,31 ⋅ 0, 73 +
⎟ ⋅ 0, 30 ⋅ 0, 74 + ⎜
0
⎝ 1 ⎠
⎝
⎠
⎛ 4 ⎞
+ ⎜
⎟ ⋅ 0,32 ⋅ 0,72 = 0,2401 + 0,4116 + 0,2646 =
⎝ 2 ⎠
= 0,9163 = 91,63 %
4.
1.
(pàgs. 418 a 420)
Distribució binomial: B (15, 0,85).
⎛ 15 ⎞
p (X = 15) = ⎜
⎟ ⋅ 0,8515 ⋅ 0,150 = 0,087 35 = 8,735 %
⎝ 15 ⎠
c> Probablement, seguiria la famosa campana de Gauss.
Problemes resolts
Distribució binomial: B (4, 0,3).
5. P(R > 250) = 1 − P(R < 250) = 1 −
Creem la taula amb els valors de la variable, els valors de la
funció de probabilitat i els de la funció de distribució:
= 1−
250
∫0
250
∫ −∞
250
0, 001dr = 1 − 0, 001 ⋅ [ r ]0
f (r ) dr =
= 1 − 0, 25 = 0, 75
Per tant, la probabilitat que en un dia es generin més de 250
kg de residus és del 75 %.
xi
–5
–4
–3
–2
–1
0
pi = f (xi)
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
F (xi)
1/36
3/36
6/36
10/36
15/36
21/36
xi
1
2
3
4
5
pi = f (xi)
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
F (xi)
26/36
30/36
33/36
35/36
36/36
1
µ = −5 ⋅
σ2
=
(−5)2
36
1
⋅
36
+
−4⋅
(−4)2
1
− ... + 5 ⋅
Ens demanen::
F (10) = P(X ≤ 10) → substituïnt, obtenim:
10
10 + 2
=0
36
36
2
1
2
⋅
+ ... + 5 ⋅
= 5,83
36
36
7.
1
2
3
4
5
pi = f (xi)
1/12
2/12
1/12
2/12
1/12
F (xi)
1/12
3/12
4/12
6/12
7/12
xi
6
pi = f (xi)
2/12
1/12
1/12
1/12
F (xi)
9/12
10/12
11/12
12/12
µ = 1⋅
σ 2 = 12 ⋅
2
12
12
+2⋅
+ 22 ⋅
1
12
σ =
2
12
10
+ ... + 122 ⋅
1
12
1
12
10,35 = 3,21
12
= 0,833
La funció temperatura segueix una variable contínua:
P (21 ≤ t ≤ 27)
Estandaritzem la variable i resulta:
⎛ 21 − 23
27 − 23 ⎞
P ⎜
≤Z ≤
⎟ =
⎝
⎠
5
5
P (–0,4 ≤ z ≤ 0,8) que, buscant en les taules:
P (0,8) – P (0,4) = 0,7881 – 0,3446 = 0,4435
Aquesta és la probabilitat que es presentin màximes entre 21°
i 27° durant els 30 dies de juny. Ho calculem en dies:
12
+ ... + 12 ⋅
10
Ens demanen:
xi
1
=
X : N(23, 5)
Creem la taula amb els valors de la variable, els valors de la
funció de probabilitat i els de la funció de distribució:
8
Sabem que la funció de distribució és:
F (t ) = P(X ≤ t )
5,83 = 2,415
σ =
2.
2
6.
= 5,25
− 5,252 = 10,35
30 · 0,443 5 = 13,3 dies
És a dir, 13 dies.
8.
La funció segueix una distribució N (70, 3).
a) Hem de calcular P (60 ≤ X ≤ 65). L'estandaritzem i obtenim:
⎛ 60 − 70
65 − 70 ⎞
P ⎜
≤Z ≤
⎟ =
⎝
⎠
3
3
= P(−3,33 ≤ Z ≤ −1,67) = 0,047 5 − 0,000 4 = 0,0471
277
Bloc 4. PROBABILITAT I ESTADÍSTICA > UNITAT 14. DISTRIBUCIONS DE PROBABILITAT
Aquesta és la probabilitat que el pes d'un estudiant estigui
entre 60 i 65 kg. Per tant el nombre d'estudiants és:
0,047 1 · 500 = 24 estudiants
b) Igual que en el cas anterior, ens demana P (X ≤ 64).
L'estandaritzem i obtenim:
⎛
64 − 70 ⎞
P ⎜ Z ≤
⎟ = P ( Z ≤ −2 ) = 0,022 8
⎝
⎠
3
500 · 0,022 8 = 11 estudiants
Hem de calcular k perquè P (X ≤ k) = 0,2. Com que es tracta
d'una N (65, 18), i si busquem en les taules:
k − 65
18
En concret, aquesta variable aleatòria pot prendre valors compresos entre 1 + 1 = 2 i 6 + 6 = 12. Per tant, el seu recorregut
és:
R (X ) = {2, 3,…, 11, 12}
13. És una variable aleatòria contínua perquè pot prendre qualseEn particular, com que el temps màxim d'espera és de 7 minuts, la variable X pren valors dins de l'interval (0, 7], la qual
cosa ens permet concloure que:
R (X ) = (0, 7]
= −0,84
2
D'això, deduïm:
k = 65 – 0,84 · 18 = 49,88
De la mateixa manera, per calcular el segon factor, podem
calcular k ′, que compleixi:
P(X ≥ kʹ′) = 0,15
kʹ′ − 65
= 1,034;
18
kʹ′ = 18 ⋅ 1,034 + 65 = 83,61;
kʹ′ = 83,61
Les puntuacions que han de marcar el pas d'un grup al següent són 49 i 83.
10. La variable que explica el nombre de llars que tenen almenys dos
televisors segueix una distribució binomial B (50, 0,6).
Podem resoldre l'exercici com a aproximació de la binomial
per la normal:
possibles.
⎧ 1
⎪
⎪ 16
⎪ 1
⎪ 4
⎪
⎪ 3
f (x) = ⎨
⎪ 8
⎪ 1
⎪
⎪ 4
⎪ 1
⎪
⎩ 16
si x = 0
si x = 1
si x = 2
si x = 3
si x = 4
c) La funció de distribució tindrà la següent expressió algèbrica:
n = 50; p = 0,6; q = 0,4 → n · p = 30
50 ⋅ 0,6 ⋅ 0,4 = 3,46
Perquè es pugui aproximar a una distribució, N (30, 3,46).
De manera que, aplicant la correcció de Yates, obtenim:
P(20 − 0,5 ≤ X ) = P(19,5 ≤ X )
P(20 − 0,5
X ) = P(19,5
≤ X)
que≤triplicando,
obtenemos:
que tipificant,
obtenim:obtenemos:
que triplicando,
⎞
⎛ 19,5 − 30
P
≤ Z ⎟ = P ( −3,03 ≤ Z ) = 0,998 1
⎛ 19,5 − ⎜⎝30 3,46⎞
⎠
≤ Z ) = 0,998 1
P ⎜
≤ Z ⎟ = P ( −3,03
⎠
⎝ 3,46
⎧ 0
⎪
⎪ 1
⎪ 16
⎪
⎪ 5
⎪
F (x) = ⎨ 16
⎪ 11
⎪ 16
⎪
⎪ 15
⎪ 16
⎪
⎩ 1
si x < 0
si 0 ≤ x < 1
si 1 ≤ x < 2
si 2 ≤ x < 3
si 3 ≤ x < 4
si x ≥ 4
15. Determinarem el valor de k i, per a això, sabem que la suma
(pàg. 421 a 424)
1 VARIABLES ALEATÒRIES
14. Si llancem quatre monedes a l'aire, podem obtenir 16 casos
b) La funció de probabilitat tindrà aquesta expressió algèbrica:
k = 49,88
Exercicis i problemes
DISTRIBUCIONS DE pàg. 421 i 422
PROBABILITAT DISCRETES
a) Considerant X: «Explica el nre. de cares que s'obtenen», la
variable serà discreta, ja que es poden comptar i ordenar
els valors que pot prendre.
Buscant en les taules, obtenim:
de les probabilitats ha de ser igual a 1.
pàg. 421
11. Les variables aleatòries descrites als apartats a) i d) són discretes perquè només poden prendre valors naturals dins d'un
cert rang. En canvi, les dels apartats b) i c) són contínues
perquè poden prendre qualsevol valor dins d'un interval.
278
pot prendre uns valors naturals determinats.
vol valor dins l'interval.
El nombre d'estudiants és:
9.
12. Es tracta d'una variable aleatòria discreta perquè només
0,25 + 0,1 + 0,2 + 0,1 + 0,05 + k = 1 → 0,7 + k = 1 →
→ k = 0,3
μ = 4 ·0,25 + 5 · 0,1 + 7 · 0,2 + 8 · 0,1 + 10 · 005 + 11 · 0,3 =
= 7,5
σ2 = 42 · 0,25 + 52· 0,1 + 72 · 0,2 + 82 · 0,1 + 102 · 0,05 +
+ 112 · 0,3 – 7,52 = 7,75
Bloc 4. PROBABILITAT I ESTADÍSTICA > UNITAT 14. DISTRIBUCIONS DE PROBABILITAT
21. Donada la funció de probabilitat d'una variable discreta X:
7,75 = 2,78
σ =
16. Procedim de la mateixa manera que en l'exercici anterior.
a) Calculem el valor de k:
a) k · log3 9 + k · log3 27 + k · log3 81 = 1
2k + 3k + 4k = 1 → k = 1/9
b) p (X ≤ 9) = p (X = 9) = 1/9 log3 9 = 2/9
0,05 + 0,15 + k + 0,2 + 0,1 = 1 → k = 0,5
b) p (X ≥ 4) = p (X = 4) + p (X = 5) = 0,2 + 0,1 = 0,3
p (X < 3) = p (X = 1) + p (X = 2) = 0,05 + 0,15 = 0,2
p (X > 25) = p (X = 27) + p (X = 81) =
= 1/9 log3 27 + 1/9 log3 81 = 1/9 · 3 + 1/9 · 4 = 7/9
17. Confeccionem la taula de la funció probabilitat (suposarem
que la baralla és de 40 cartes).
a)
0€
1€
x
5€
i
pi
24/40 = 0,6
12/40 = 0,3
xi
9
27
81
pi
2/9
3/9
4/9
c) μ = 9 · 2/9 + 27 · 3/9 + 81 · 4/9 = 47
4/40 = 0,1
b) μ = 1 · 0,3 + 5 · 0,1 = 0,8
σ2 = 92 · 2/9 + 272 · 3/9 + 812 · 4/9 – 472 = 968
968 = 31,11
σ =
El joc no és equitatiu, ja que l'esperança matemàtica, és a
dir, la μ , és diferent de zero.
18. Sabem que X = {1, 2, 3}, μ = 2,2 i σ = 0,6.
xi
1
2
3
pi
a
b
c
⎫
⎫
a +b +c =1
a = 0,1 ⎫
⎪
⎪
⎪
⎬ → a + 2b + 3c = 2, 2 ⎬ → b = 0,6 ⎬
⎪
⎪
⎪
a + 4b + 9c = 5, 2 ⎭
c = 0,3 ⎭
a + 4b + 9c − 2,22 = 0,62 ⎭
a +b +c =1
a + 2b + 3c = 2, 2
19. Com sabem que p (X ≤ 3) = p (X = 3) + p (X = 1) +
+ p (X = 0) = 0,65
b + a + 0,2 = 0,65 → a + b = 0,45
Coneixem també que p (X ≥ 3) = p (X = 3) + p (X = 4) +
+ p (X = 6) = 0,75
b + 0,1 + c = 0,75 → b + c = 0,65
Sabem que la probabilitat total és igual a 1:
a + b + c + 0,3 = 1 → a + b + c = 0,7
Resolent el sistema, obtenim:
a = 0,05; b = 0,4; c = 0,25
Ara calculem els següents paràmetres:
22. a) La funció de distribució de la variable és:
⎧ 0
⎪
⎪ 1
⎪ n
⎪
⎪ 2
F (x) = ⎨ n
⎪....
⎪
⎪ n − 1
⎪
⎪ n
⎪⎩1
b) µ = 1 ⋅
=
1
n
1
n
=
si 1 ≤ x < 2
si 2 ≤ x < 3
si n − 1 ≤ x < n
si x ≥ n
1
+3⋅
n
1
1
n
1
1
n
1
+ 22 ⋅
n
1
+ ... + n ⋅
n
(1 + 2 + 3 + ... + n) =
σ 2 = 12 ⋅
=
+2⋅
si x < 1
1
n
+ 32 ⋅
=
n
(n + 1) ⋅ n
⋅
2
1
n
n +1
=
+ ... + n 2 ⋅
2
⎛ n + 1 ⎞2
− ⎜
⎟ =
n ⎝ 2 ⎠
1
2
(n + 1) =
(1 + 4 + 9 + ... + n 2 ) −
−
=
6
4
⎛ 2n + 1
(n − 1)
n + 1 ⎞
n2 − 1
−
=
= (n + 1) ⎜
⎟ = (n + 1)
⎝ 6
⎠
12
12
4
n
⋅
4
(n + 1)(n + 1)
n(n + 1)(2n + 1)
23. En primer lloc, elaborem la taula de resultats.
μ = 0 · 0,2 + 1 · 0,05 + 3 · 0,4 + 4 · 0,1 + 6 · 0,25 = 3,15
σ2 = 02 · 0,2 + 12 · 0,05 + 32 · 0,4 + 42 · 0,1 +
+ 62 · 0,25 – 3,152 = 4,326
σ =
4,326 = 2,08
20. Calculem el valor de k:
2k − 4
+
2k − 4
+
k −2
=1
5
2
1
4k − 8 + 10k − 20 + 10k − 20 = 10
24k = 58
k =
1
2
3
4
5
6
1
1
3
2
5
3
7
2
3
2
5
3
7
4
3
2
5
3
7
4
9
4
5
3
7
4
9
5
5
3
7
4
9
5
11
6
7
4
9
5
11
6
Per tant:
29
xi
1
2
3
4
5
12
pi = f (xi)
1/36
3/36
7/36
5/36
7/36
xi
6
7
9
11
pi = f (xi)
1/36
6/36
4/36
2/36
279
Bloc 4. PROBABILITAT I ESTADÍSTICA > UNITAT 14. DISTRIBUCIONS DE PROBABILITAT
24. Es tracta d'una distribució binomial en què n = 9 i p = 0,2.
Així, utilitzant les taules o mitjançant un full de càlcul, tenim:
a) P (X < 3) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) = 0,7382
b) P (X ≠ 0) = 1 – P (X = 0) = 1 – 0,1342 = 0,8658
9
c) P (X ≥ 4) =
∑ P(X
= k) = 0,0856
28. B (15, 0,72)
a) p (X = 15) = 0, = 0,007 2
b) p (X = 0) = 0,281 5 = 5,097 · 10–9
⎛ 15 ⎞
c) p (X = 13) = ⎜
⎟ ⋅ 0,7213 ⋅ 0,282 = 0,115 0
⎝ 13 ⎠
29. B (4, 0,3)
k =4
d) P (X ≤ 9) = 1
a) p (X = 2) = 0,265
25. B (4, 0,6) n = 4, p = 0,6, q = 0,4
b) B (6, 0,45)
µ = n ⋅ p = 4 ⋅ 0, 6 = 2, 4
p (X > 3) = p (X = 4) + p (X = 5) + p (X = 6) = 0,255
σ 2 = n ⋅ p ⋅ q = 4 ⋅ 0, 6 ⋅ 0, 4 = 0, 96
30. El 55 % són dones i el 25 % dels directius també són dones.
σ =
σ2 =
0, 96 = 0, 98
La funció de probabilitat de la variable X ~ B (4, 0,6) és la següent:
⎧ ⎛ ⎞
⎪⎪ ⎜ 4 ⎟ ⋅ 0, 6 x ⋅ 0, 44−x
f ( x ) = ⎨ ⎝ x ⎠
⎪
⎪⎩
0
⎧ 0, 0256
⎪
⎪ 0,1536
⎪⎪ 0, 3456
f (x) = ⎨
⎪ 0, 3456
⎪ 0,1296
⎪
⎪⎩ 0
a) B (5, 55/100) = B (5, 11/20)
⎛ 5 ⎞ ⎛ 11 ⎞3 ⎛ 9 ⎞2
p (X = 3) = ⎜
⎟ ⋅ ⎜
⎟ ⋅ ⎜
⎟ = 0,337
⎝ 3 ⎠ ⎝ 20 ⎠ ⎝ 20 ⎠
b) B (5, 0,25)
si x = 0,1, 2, 3, 4
en un altre cas
31. B (50, p )
si x = 0
si x = 1
µ =n⋅p →p =
si x = 2
si x = 4
en un altre cas
La funció de distribució de la variable X ~ B (4, 0,6) coincideix
amb la funció de probabilitat acumulada. Per tant:
si x < 0
si 0 ≤ x < 1
si 1 ≤ x < 2
si 2 ≤ x < 3
si 3 ≤ x < 4
si x ≥ 4
26. n = 10 000; p = 0,02
50
= 0,4
⎫
⎬ ⇒ n = 5, p = 0, 3
σ 2 = 1, 05 ⇒ n ⋅ p ⋅ (1 − p) = 1, 05 ⎭
Per tant, hem de determinar les funcions de probabilitat i de
distribució d'una variable aleatòria X ~ B(5, 0,3).
⎧ ⎛
⎪⎪ ⎜ 5
f ( x ) = ⎨ ⎝ x
⎪
⎪⎩
a) B (12, 0,25) és un experiment aleatori amb dos possibles
resultats: èxit i fracàs.
⎛
⎞
b) p (X = 4) = ⎜ 12 ⎟ ⋅ 0,25 4 ⋅ 0,758 =
4
⎝
⎠
12 !
⋅ 0,254 ⋅ 0,758 = 0,193 6
=
8! 4!
c) μ = n · p = 12 · 0,25 = 3
σ2 = n · p · q = 12 · 0,25 · 0,75 = 2,25
⎞
⎟ ⋅ 0, 3x ⋅ 0, 75−x
⎠
0
⎧ 0,16807
⎪
⎪ 0, 36015
⎪ 0, 3087
⎪
= ⎨ 0,1323
⎪
⎪ 0, 02835
⎪ 0, 00243
⎪
⎩ 0
27. n = 12; p = 0,25
280
20
µ = 1, 5 ⇒ n ⋅ p = 1, 5
196 = 14
2,25 = 1,5
=
la distribució binomial. Tot i així, és possible deduir-los a partir
de la mitjana i la variància de la variable aleatòria, resolent un
sistema de dues equacions amb dues incògnites.
σ2 = n · p · q = 10 000 · 0,02 · 0,98 = 196
σ =
n
32. En aaquest cas, no coneixem els paràmetres n i p associats a
μ = n · p = 10 000 · 0,02 = 200
σ =
µ
σ2 = n · p · q = 50 · 0,4 · 0,6 = 12
si x = 3
⎧ 0
⎪
⎪ 0, 0256
⎪⎪ 0,1792
F ( x ) = P ( X ≤ x ) = ⎨
⎪ 0, 5248
⎪ 0, 8704
⎪
⎪⎩1
⎛ 5 ⎞ ⎛ 1 ⎞3 ⎛ 3 ⎞2
p (X = 3) = ⎜
⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = 0,088
⎝ 3 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠
si x = 0,1, 2, 3, 4, 5
en un altre cas
si x = 0
si x = 1
si x = 2
si x = 3
si x = 4
si x = 5
en un altre cas
⎧ 0
⎪
⎪ 0,16807
⎪ 0, 52822
⎪
F ( x ) = P ( X ≤ x ) = ⎨ 0, 83692
⎪
⎪ 0, 96922
⎪ 0, 99757
⎪
⎩1
33. B (15, 0,25)
si x < 0
si 0 ≤ x < 1
si 1 ≤ x < 2
si 2 ≤ x < 3
si 3 ≤ x < 4
si 4 ≤ x < 5
si x ≥ 5
=
Bloc 4. PROBABILITAT I ESTADÍSTICA > UNITAT 14. DISTRIBUCIONS DE PROBABILITAT
a) p (X = 0) = 0,7515 = 0,013 4
b) p (X ≥ 1) = 1 – p (X = 0) = 1 – 0,013 36 = 0,986 6
c) p (X = 15) = 0,2515 ~ 0
d) p (X ≥ 8) = p (X = 8) + p (X = 9) +…+ p (X = 15)
p (X
p (X
p (X
p (X
p (X
p (X
p (X
p (X
p (X
p (X
p (X
p (X
p (X
p (X
p (X
p (X
⎛ 15 ⎞
= 8) = ⎜⎛ 15 ⎟⎞ ⋅ 0,258 ⋅ 0,757 = 0,01310
= 8) = ⎝⎜ 8 ⎠⎟ ⋅ 0,258 ⋅ 0,757 = 0,01310
⎝ 8 ⎠
⎛ 15 ⎞
= 9) = ⎜⎛ 15 ⎟⎞ ⋅ 0,25 9 ⋅ 0,756 = 3,398 ⋅ 10−3
= 9) = ⎝⎜ 9 ⎠⎟ ⋅ 0,25 9 ⋅ 0,756 = 3,398 ⋅ 10−3
⎝ 9 ⎠
⎛ 15 ⎞
= 10) = ⎜⎛ 15 ⎟⎞ ⋅ 0,2510 ⋅ 0,755 = 6,796 ⋅ 10−4
= 10) = ⎝⎜ 10 ⎠⎟ ⋅ 0,2510 ⋅ 0,755 = 6,796 ⋅ 10−4
⎝ 10 ⎠
⎛ 15 ⎞
⎛
= 11) = ⎜ 15 ⎟⎞ ⋅ 0,2511 ⋅ 0,754 = 1,028 7 ⋅ 10−4
= 11) = ⎝⎜ 11 ⎠⎟ ⋅ 0,2511 ⋅ 0,754 = 1,028 7 ⋅ 10−4
⎝ 11 ⎠
⎛ 15 ⎞
= 12) = ⎜⎛ 15 ⎟⎞ ⋅ 0,2512 ⋅ 0,753 = 1,145 ⋅ 10−5
= 12) = ⎝⎜ 12 ⎠⎟ ⋅ 0,2512 ⋅ 0,753 = 1,145 ⋅ 10−5
⎝ 12 ⎠
⎛ 15 ⎞
= 13) = ⎜⎛ 15 ⎟⎞ ⋅ 0,2513 ⋅ 0,752 = 8,800 ⋅ 10−7
= 13) = ⎝⎜ 13 ⎠⎟ ⋅ 0,2513 ⋅ 0,752 = 8,800 ⋅ 10−7
⎝ 13 ⎠
⎛ 15 ⎞
= 14) = ⎜⎛ 15 ⎟⎞ ⋅ 0,2514 ⋅ 0,75 = 4,19 ⋅ 10−8
= 14) = ⎝⎜ 14 ⎠⎟ ⋅ 0,2514 ⋅ 0,75 = 4,19 ⋅ 10−8
⎝ 14 ⎠
⎛ 15 ⎞
= 15) = ⎜⎛ 15 ⎟⎞ ⋅ 0,2515 = 9,313 ⋅ 10−10
= 15) = ⎝⎜ 15 ⎠⎟ ⋅ 0,2515 = 9,313 ⋅ 10−10
⎝ 15 ⎠
3
DISTRIBUCIONS DE PROBABILITAT CONTÍNUES págs. 422 a 424
36. En primer lloc, per definició de la funció de densitat, k ha de
1=
F (x) = P(X ≤ x) =
0,24 = 0,489 9
b) B (20, 0,4)
c) μ = n · p = 20 · 0,4 = 8
σ2 = n · p · q = 20 · 0,4 · 0,6 = 4,8
σ =
4,8 = 2,1908
⎛ 20 ⎞
⎟ ⋅ 0,412 ⋅ 0,68 = 0,035 5
d) p (X = 12) = ⎜
⎝ 12 ⎠
+∞
0 dx =
1
6
x
∫ −∞ 0 dt
=0
Si 0 ≤ x ≤ 6:
0
x
∫ −∞ 0 dt + ∫ 0
F (x) = P(X ≤ x) =
1
6
1
dt = 0 +
x
⋅ [t ]0 =
6
x
6
Si x > 6:
F (x) = P(X ≤ x) =
= 0+
1
0
6
∫ −∞ 0 dt + ∫ 0
1
dt +
6
x
∫ 6 0 dt
=
6
⋅ [t ]0 + 0 = 1
6
Així, la funció de distribució és:
⎧ 0
⎪
⎪ x
F ( x ) = P ( X ≤ x ) = ⎨
⎪ 6
⎪⎩1
si x < 0
si 0 ≤ x ≤ 6
si x > 6
P ( X ≤ 3 ) = F (3) =
3
6
=
1
2
P (2 ≤ X < 7) = P ( X < 7) − P ( X ≤ 2) =
⎛1000 ⎞ ⎛ 1 ⎞7 ⎛ 364 ⎞993
P(X = 7) = ⎜
= 0, 0148
⎟ ⋅ ⎜
⎟ ⋅ ⎜
⎟
⎝ 7 ⎠ ⎝ 365 ⎠ ⎝ 365 ⎠
σ =
6
Si x < 0:
persones nascudes el 22 de Gener. Es tracta d'una variable
que verifica les condicions d'una distribució binomial de paràmetres n = 1 000 i p = 1/365, és a dir, X ~ B (1 000, 1/365).
Per tant, la probabilitat és:
σ2 = n · p · q = 1 · 0,4 · 0,6 = 0,24
0
∫ −∞ 0 dx + ∫ 0 k dx + ∫ 6
Per determinar la funció de distribució, distingirem tres casos:
34. Considerem la variable aleatòria X que indica el nombre de
μ = n · p = 1 · 0,4 = 0,4
=
6
p (X ≥ 8) = p (X = 8) + p (X = 9) + … + p (X = 15) = 0,017 3
a) B (1, 0,4)
+∞
∫ −∞ f (x) dx
ha de valer 1. Per tant:
= 0 + k ⋅ [ x ]0 + 0 = 6k ⇒ k =
Per tant:
35. p = 0,4
+∞
∫ −∞ f (x) dx
ser positiva. A més,
= F (7) − F (2) = 1 −
2
6
=
4
6
=
2
3
37. Per definició de funció de densitat, k ha de ser positiva A més,
+∞
∫ −∞ f (x) dx
= 1. Així:
+∞
∫ −∞ f (x) dx
1=
=
2
4
6
+∞
∫ −∞ 0 dx + ∫ 2 k dx + ∫ 4 2k dx + ∫ 6
4
6
0 dx =
= 0 + k ⋅ [ x ]2 + 2k ⋅ [ x ]4 + 0 = 2k + 4k = 6k ⇒ k =
1
6
Calculem ara la mitjana, la variància i la desviació típica.
µ=
+∞
∫ −∞ x ⋅ f (x) dx
=
2
4
∫ −∞ x ⋅ 0 dx + ∫ 2 x ⋅
1
6
dx +
+∞
1
1
4
6
dx + ∫ x ⋅ 0 dx =0 +
⋅ [ x 2 ]2 +
⋅ [ x 2 ]4 +
6
3
12
6
20
26
+0 = 1 +
=
= 4, 33
6
6
6
+∫ x ⋅
1
4
i) p = 0
281
Bloc 4. PROBABILITAT I ESTADÍSTICA > UNITAT 14. DISTRIBUCIONS DE PROBABILITAT
σ2 =
1
4
+∞
∫ −∞ x 2 ⋅ f (x) dx − µ2 = ∫ 2 x 2 ⋅
− 4, 332
1
=
18
−18, 75 = 1, 25
⋅[
4
x3 2
]
+
1
9
⋅[
6
x3 4
σ2 =
σ =
]
6
6
1
4
3
152
dx + ∫ x 2 ⋅
28
− 18, 75 =
+
9
dx −
−
9
1
+∞
1
2
1, 25 = 1,12
F (x) = P(X ≤ x) =
dt +
4
∫2
1
4
1
dt =
[t ]10 +
2
1
4
= 1−
∫0
1
2
dt =1 −
1
2
1
1
0
[t ] = 1 −
b) P (T > 3 ) = 1 − P(T < 3) = 1 −
2
[t ]24 =
1
2
+
1
2
=1
=
=
1
2
3
∫ −∞ f (t ) dt
=
1=
∫ −∞ f (x) dx
5
+∞
∫ −∞ 0 dx + ∫ 0 kx dx + ∫ 5
=
0 dx =
3
2
3
∫ 2 f (x) dx = ∫ 2
25
x dx =
1
3
[ x 2 ]2
25
=
3
1
3
2
1
5
∫ −∞ 0 dt + ∫ 2
dt +
3
x
∫ 5 0 dt
=
5
⋅ [ t ]2 + 0 = 1
⎧ 0
⎪
⎪ x
2
F ( x ) = P ( X ≤ x ) = ⎨
−
3
⎪ 3
⎪⎩1
si x < 2
si 2 ≤ x ≤ 5
si x > 5
P ( 7,5 ≤ X ≤ 15 ) = 1 − P ( X ≤ 7,5 ) = 1 − 0,5 = 0,5
d)
P ( 9 ≤ X ) = 1 − P ( X < 9 ) = 1 − 0,8 = 0,2
Així doncs f (x) ≥ 0 per a tot x.
= 0+
1
b
1
b−a
b−a
dx +
+∞
∫b
1
3
=
1
2
Imagen 10
O
–1
1
2
X
b−a
b) Anàlogament, observem:
Imagen 11
> 0.
Y
0 dx =
–3
–2
–1
O
1
1,64 2
X
b
[ x ]a + 0 = 1
b) Per a a = 2 i b = 5, calculem la funció de distribució. En
aquest cas, la funció de densitat és la següent:
⎧ 1
⎪
f ( x ) = ⎨ 3
⎪ 0
⎩
2
P ( Z ≤ −2,38 ) = 1 − P ( Z ≤ 2,38 ) = 1 − 0,991 3 = 0,008 7
Assumim que a < b; així b – a > 0 i, per tant,
a
6
−
42. a) Si observem la figura, obtenim:
–2,38 –2
41. a) Vegem que f és una funció de densitat
∫ −∞ 0 dx + ∫ a
7
P ( X ≤ 3, 5 ) = F (3, 5) =
Y
c)
282
x
⋅ [ t ]2 =
2
1
5
lors en aquesta funció.
7,5 − 5
2,5
P ( X ≤ 7,5 ) =
=
= 0,5
5
5
a)
8−5
P (2 ≤ X ≤ 8) = P (5 ≤ X ≤ 8) =
= 0,6
5
b)
=
3
P ( 6 < X ) = 1 − P(X < 6) = 1 − F (6) = 1 − 1 = 0
40. En ser una funció de distribució, només cal substituir els va-
+∞
3
1
⎛ 4
2 ⎞
1
2 ⎞ ⎛
= F (4) − F (3) = ⎜
−
⎟ − ⎜1 −
⎟ =
⎝ 3
3 ⎠
3
3 ⎠ ⎝
⎡ x 2 ⎤
25
2
= 0 + k ⋅ ⎢
k ⇒k =
⎥ + 0 =
⎣ 2 ⎦0
2
25
∫ −∞ f (x) dx
dt = 0 +
c) P ( 3 ≤ X ≤ 4 ) = P(X ≤ 4) − P(X ≤ 3) =
0
5
P(2 < X < 3) =
3
−
1
x
Per tant, la funció de distribució és:
= 1. Així:
+∞
x
= 0+
39. Per definició, k ha de ser positiva. A més, s'ha de verificar que
∫ −∞ f (x) dx
=
2
∫ −∞ 0 dt + ∫ 2
F (x) = P(X ≤ x) =
⎛ 1 1
⎞
⎛ 1
⎞
3 1
1
1
1
= 1 − ⎜ ∫
dt + ∫
dt ⎟ = 1 − ⎜ [t ]0 +
[t ]23 ⎟ =
2
⎝ 0 2
⎝ 2
⎠
4
4 ⎠
4
+∞
=0
Si x > 5:
1
∫ −∞ f (t ) dt
a) P (T > 1) = 1 − P(T < 1) = 1 −
x
∫ −∞ 0 dt
Si 2 ≤ x ≤ 5:
Per tant, f(t) és una funció de densitat.
1
Si x < 2:
F (x) = P(X ≤ x) =
38. f (t) ≥ 0 per a tot t
∫ −∞ f (t ) dt = ∫ 0
Per determinar la funció de distribució, hem d'estudiar tres
possibilitats:
si x ∈ [ 2, 5 ]
si x ∉ [ 2, 5 ]
P ( Z ≤ 1,64 ) = 0,949 5
c) P ( Z ≥ 0,82 ) = 1 − p ( Z ≤ 0,82 ) = 1 − 0,793 9 = 0,206 1
d) P ( Z ≥ −1,03 ) = P ( Z ≤ 1,03 ) = 0,848 5
e) A partir de la figura, hem de buscar:
Bloc 4. PROBABILITAT I ESTADÍSTICA > UNITAT 14. DISTRIBUCIONS DE PROBABILITAT
Imagen 12
⎛
55 − 50 ⎞
a) P ( X < 55 ) = P ⎜ Z <
⎟ = P ( Z < 1,25 ) = 0,894 4
⎝
⎠
4
Y
–3
–2
O
–1
1,5
1
3
2
X
P (1,5 ≤ Z ≤ 3 ) = P ( Z ≤ 3 ) − P ( Z ≤ 1,5 ) →
→ 0,998 7 − 0,933 2 = 0,065 5
f) P ( −0,79 ≤ Z ≤ 0,79 ) = P ( Z ≤ 0,79 ) − P ( Z ≤ −0,79 ) →
→ P ( Z ≤ 0,79 ) − (1 − P ( Z ≤ 0,79 ) ) = 2P ( Z ≤ 0,79 ) − 1 =
= 2 ⋅ 0,785 2 − 1 = 0,570 4
43. a) P ( Z ≤ k ) = 0,990 4
Hem de calcular 0,990 4 a la part central de les taules, que
correspon a k = 2,34.
b) A causa de la simetria de les taules, hem de calcular
0,951 5 en la part central de la taula, i canviar el resultat de
signe, tenint-ne en compte la simetria.
P ( Z < 1,66 ) = 0,9515
⎛
45,6 − 50 ⎞
b) P ( X ≤ 45,6 ) = P ⎜ Z <
⎟ = P ( Z < −1,1) =
⎝
⎠
4
= 1 − P ( Z < 1,1) = 1 − 0,864 3 = 0,135 7
⎛
60,4 − 50 ⎞
c) P ( X > 60,4 ) = P ⎜ Z >
⎟ = P ( Z > 2,6 ) =
⎝
⎠
4
= 1 − P ( Z < 2,6 ) = 1 − 0,995 3 = 0,004 7
⎛
46,26 − 50 ⎞
d) P ( X > 46,26 ) = P ⎜ Z >
⎟ =
⎝
⎠
4
= P ( Z > −0,94 ) = P(Z < 0,94) = 0,826 4
⎛ 52 − 50
54 − 50 ⎞
i) P ( 52 < X < 54 ) = P ⎜
<Z ≤
⎟ →
⎝
⎠
4
4
→ P ( 0, 5 < Z ≤ 1) = 0,841 3 − 0,6915 = 0,149 8
f) P(47,25 < X ≤ 53,48) =
⎛ 47,25 − 50
53,48 − 50 ⎞
= P ⎜
<Z ≤
⎟ =
⎝
⎠
4
4
= P(−0,69 < Z ≤ 0,87) = P(Z ≤ 0,87) − P(Z < −0,69) =
= P(Z ≤ 0,87) − P(Z > 0,69) = 0,807 8 − (1 − 0,754 9) =
P ( Z > −1,66 ) = 0,9515
= 0,562 7
k = −1,66
Imagen 13
c) P ( −k < Z < k ) = 0,985 → per calcular k.
46. Per ser la distribució normal simètrica:
P ( −k < X < k ) = 0,95
Y
Obtenim que:
P ( −k < X < k ) = P ( X < k ) − P(X < −k) =
–3
–1 –k
–2
O
k 1
2
3
X
Segons la figura anterior, obtenim:
P ( Z < k ) = 0,985 +
1 − 0,985
2
= 0,992 5
Busquem a la part central de la taula i obtenim:
k = 2,43.
44. a) P (X > 65). En ser 65 la mitjana, obtenim que la probabilitat
és P (X > 65) = 0,5.
b) P (60 < X < 70) = P (65 – 5 < X < 65 + 5) = 0,682 6
c) P ( 65 < X < 70 ) = por simetría =
1
2
P ( 60 < X < 70 ) =
1
2
0,682 6 = 0,341 3
d) P ( 55 < X < 60 ) = P ( 65 − 2σ < X < 65 − σ ) = 0,135 9
i) P ( 60 < X < 80 ) = P ( X < 80 ) − P ( X < 60 ) =
P ( X < 65 + 3 ⋅ 5 ) − P ( X < 65 − 5 ) = 0,998 7 − 0,158 7 = 0,84
f) P ( X < 55 ) =
=
1
2
1
2
[1 − P(55 < X < 75) ] =
[1 − P(65 − 2 ⋅ 5 < X < 65 + 2 ⋅ 5) ] = 0,022 8
45. X és una variable aleatòria N (50, 4). Hem d'estandarditzar-la
per a calcular les probabilitats:
= P ( X < k ) − [1 − P(X < k) ] =
= 2P ( X < k ) − 1 = 0,95 → P ( X < k ) = 0,975
En estandarditzar i buscar a la part central de la taula de valors de la distribució normal, obtenim:
k −1
2
= 1,96 → k = 1 + 2 ⋅ 1,96 = 4,92
47. Es tracta de N (150, 10).
⎛ 135 − 150
165 − 150 ⎞
a) P (135 < X < 165 ) = P ⎜
<Z <
⎟ =
⎝
⎠
10
10
= P ( −1,5 < Z < 1,5 ) = 2P ( Z < 1,5 ) − 1 = 0,933 2 − 1 = 0,866 4
b) P ( X − 150 X 0 ) = 0,25 P (150 − X 0 < X < 150 + X 0 ) = 0,25
Estandarditzant obtenim:
⎛ −X 0
X ⎞
X
P ⎜
< Z < 0 ⎟ = 0,25 → Z 0 = 0,32 → 0 = 0,32 →
⎝ 10
10 ⎠
10
→ X 0 = 3,2 pares
48. P ( 3 − 0,5σ < X < 3 + 1,5σ ) =
⎛ 3 − 0,5σ − 3
3 + 1,5σ − 3 ⎞
<Z <
= P ⎜
⎟ →
⎝
⎠
σ
σ
→ P ( −0,5 < Z < 1,5 ) = 0,933 2 − (1 − 0,6915 ) = 0,624 7
49. Per resoldre tots dos apartats, hem d'estandarditzar la variable i així poder utilitzar les taules de la distribució normal estàndard.
283
Bloc 4. probabilitat i estadística > UNITAT 14. DISTRIBUCIONS DE PROBABILITAT
4APROXIMACIÓ DE LA DISTRIBUCIÓ 2
X ~ N(30,
BINOMIAL PER LA NORMAL
⎛ 27 − 30
31 − 30 ⎞
a) P(27 ≤ X ≤ 31) = P ⎜
≤Z ≤
⎟ =
⎝
2
2 ⎠
53. Es tracta d'una distribució binomial de paràmetres: n = 400 i
= P(−2,12 ≤ Z ≤ 0, 71) = P(Z ≤ 0, 71) −
p = 1/2.
P(Z ≤ −2,12) = P(Z ≤ 0, 71) − [1 − P(Z ≤ 2,12) ] =
L'exercici ens demana:
= 0, 744 2
P(180 ≤ nre. cares ≤ 210)
La probabilitat que en un dia es venguin entre 27 i 31 diaris és del 74,42%.
⇒
2
= 1, 28 ⇒ k = 1, 28 ⋅
n ⋅ p = 200 ≥ 5
2 + 30 = 31, 81
50. Resposta suggerida:
Els alumnes han de respondre aquesta activitat amb l'ajuda
de la fórmula precisa de l'aplicació informàtica de full de
càlcul que utilitzin i aprofitant la simetria de la corba normal.
Per esbrinar la sintaxi de la fórmula poden consultar l'ajuda del
programa. Per exemple, en Microsoft Excel es tracta de:
DISTR.NORM.N (X;mitjana;desv_estàndard;acumulativa)
Una altra manera de resoldre l'activitat seria utilitzar el fullde
càlcul per buscar l'àrea sota la funció de densitat:
1
7 2π
e
− ( X −134 )
1
2
= 200; σ =
400 ⋅
1
2
⋅
1
2
=
100 = 10
⎛
1 ⎞
Així, podem aproximar la B ⎜ 400,
⎟ a la variable aleatòria:
⎝
2 ⎠
X  N ( 200, 10 )
P(180
P
210 )→
→apliquem
aplicamoslalacorrecció
correcciónde
deYates
Yates
(180 ≤ XX ≤≤210)
P (180 − 0,5 ≤ X ≤ 210 + 0,5 ) = P (179,5 ≤ X ≤ 210,5 ) =
⎛ 179,5 − 200
210, 5 − 200 ⎞
≤Z ≤
= P ⎜
⎟ = P ( −2,05 ≤ Z ≤ 1,05 ) =
⎝
⎠
10
100
= P (1,05 ) − (1 − P ( Z ≤ 2,05 ) ) = 0,8531 + 0,979 8 − 1 = 0,832 9
⎛
1 ⎞
⎟
⎝
3 ⎠
Les aproximacions a Y ~
54. a) P(X ≤ 10) si X és B ⎜100,
pana de Gauss.
b) Mitjana aritmètica:
100
µ = n ⋅ p = 400 ⋅
2
49
51. a) Dibuixant l'histograma veiem que s'aproxima a una cam-
17100
n ⋅q ≥ 5
Per tant:
En el 90 % de les ocasions es venen com a màxim 31,81
diaris.
f (X ) =
Calcularem la probabilitat utilitzant l'aproximació a la distribució normal.
En primer lloc, veurem que es compleixen els requisits:
⎛
k − 30 ⎞
b) P(X ≤ k) = 0, 9 ⇒ P ⎜ Z ≤
⎟ = 0, 9 ⇒
⎝
2 ⎠
k − 30
pàg. 424
⎛
1
1 2 ⎞
⎟;
N ⎜⎜100 ⋅ , 100 ⋅
⋅
3
3 3 ⎟⎠
⎝
Y  N ( 33,3, 4,714 )
= 171
Hi apliquem la correcció de Yates, i ens queda:
I la desviació típica: 7,5.
La distribució serà una normal de mitjana 171 i desviació
típica 7,5, és a dir, N(171, 7,5).
52. Mitjana aritmètica: 254 / 50 = 5,08
⎛
10,5 − 33,3 ⎞
P ( X ≤ 10,5 ) = P ⎜ Z ≤
⎟ = 0
4,714
⎠
⎝
⎛
29,5 − 33,3 ⎞
P ( X > 30 ) = P (Y ≥ 29,5 ) = P ⎜ Z ≥
⎟ =
4,714
⎠
⎝
= P ( Z ≥ −0,81) = P ( Z ≤ 0,81) = 0,791 0
Desviació típica: 1,91
b) P(10 ≤ X ≤ 18) si X ~ B(50, 0,4)
Construïm el següent quadre:
La podem aproximar a:
Classe
Classe
estandarditzada
Pi
fi
[0, 2]
[–2,65, –1,61]
0,049 7
0,06
[2, 4]
[–1,61, –0,56]
0,234
[4, 6]
[–0,56, 0,48]
[6, 8]
[8, 10]
fi − Pi
fi − Pi
50 ⋅ 0,4 ⋅ 0,6
)
Pi
Ja que n · p i n · q > 5
0,010 3
0,2
X ~ B(50, 0,4) passa aN (20, 3,464)
0,2
0,034
0,14
0,396 7
0,44
0,043 3
0,109
[0,48, –1,52]
0,251 3
0,24
0,011 3
0,044
P (10 ≤ X ≤ 18 ) = P ( 9,5 < Y < 18,5 ) =
[1,52, 2,57]
0,059 2
0,06
0,000 8
0,000 14
⎛ 9,5 − 20
18,5 − 20 ⎞
= P ⎜
<Z <
⎟ =
3,464 ⎠
⎝ 3,464
L'error més gran és 0,2 = 20 % que permet valorar l'ajust com a bo.
284
(
N 50 ⋅ 0,4,
I utilitzant la correcció de Yates:
P ( −3,03 < Z < −0,43 ) = 0,998 8 − 0,666 4 = 0,332 4
Bloc 4. probabilitat i estadística > UNITAT 14. DISTRIBUCIONS DE PROBABILITAT
c) De la mateixa manera, aproximem la distribució binomial
B (20, 0,55) a la distribució normal, ja que n · p > 5 i
n · q > 5.
(
N 20 ⋅ 0,55,
20 ⋅ 0,55 ⋅ 0,45
Y
1,5
)
1
N (11, 2,225 ) ⋅ P ( X = 10 ) = P ( 9,5 ≤ X ≤ 10,5 ) =
0,5
f (x )
⎛ 9,5 − 11
10,5 − 11 ⎞
≤Z ≤
= P ⎜
⎟ = P ( −0,67 ≤ Z ≤ −0,22 ) =
2,225 ⎠
⎝ 2,225
= 0,748 6 − 0,5871 = 0,161
–3
0
–1
+∞
∫ −∞ f (x) dx
⎛
11,5 − 11 ⎞
P ( X ≥ 12 ) = P ( X ≥ 11,5 ) = P ⎜ Z ≥
⎟ =
2,225 ⎠
⎝
⎛
0,5 ⎞
= P ⎜ Z ≥
⎟ = P ( Z ≥ 0,225 ) = 1 − 0,589 0 = 0,411
2,225 ⎠
⎝
0
∫ −2
=
1
x +2
4
dx +
2
2
∫0
3
−x + 2
4
X
dx =
⎤0
⎤2
1 ⎡ x 2
1 ⎡ x 2
+ 2x ⎥ +
+ 2x ⎥ =
⎢
⎢ −
⎦−2 4 ⎣ 2
⎦0
4 ⎣ 2
1
1
1
1
=
[ −2 + 4 ] + [ −2 + 4 ] = + = 1
4
4
2
2
=
55. Es tracta d'una distribució binomial B (25, 0,7). Perquè encerti més de 10 tirs, n'ha d'encertar 11, 12, …, 25. Per tant calcularem la probabilitat pel nombre contrari
P (X ≤ 10). Aproximem B (25, 0,7) a N (17,5, 2,29), ja que n ·
p = 17,5 > 5 i n · q > 5.
Per tant, queda provat que f és una funció de densitat.
a) P(X ≤ 0) =
⎛
10,5 − 17,5 ⎞
= 1 − P ⎜ Z ≤
⎟ = 1 − P ( Z ≤ −3,06 ) =
2,29
⎠
⎝
= 1 − 0,998 9 = 0,0011, por lo que:
= 1 – 0,9989 = 0,0011, per la qual cosa:
P ( X > 10 ) = 0,998 9
P (X ≤ 10) = 0,9989
0
1
∫ −1 f (x) dx
b) P(−1 ≤ X ≤ 1) =
1
∫0
=
56. La mitjana és n · p = 200 · 0,4 = 80. Es tracta d'una distribució
binomial B (200, 0,4) que aproximem a N (80, 6,93).
L'exercici ens demana:
−x + 2
4
=
4
dx =
=
0
∫ −1
x +2
4
dx +
⎤0
⎤1
1 ⎡ x 2
1 ⎡ x 2
+ 2x ⎥ +
+ 2x ⎥ =
⎢
⎢ −
⎦−1 4 ⎣ 2
⎦0
4 ⎣ 2
dx =
⎤ 1 ⎡ 1
⎤
1 ⎡ 1
3
3
3
+ 2⎥ +
+ 2⎥ =
+
=
⎢ −
⎢ −
⎦ 4 ⎣ 2
⎦
4 ⎣ 2
8
4
8
c) P(X > 1) =
P ( X = 80 ) = P ( 79,5 ≤ X ≤ 80,5 ) =
x +2
0
∫ −∞ f (x) dx = ∫ −2
⎤0
1 ⎡ x 2
1
1
+ 2x ⎥ =
[ −2 + 4 ] =
⎢
⎦−2
4 ⎣ 2
4
2
=
P ( X > 10 ) = 1 − P ( X ≤ 10 ) = 1 − P (Y ≤ 10,5 ) =
⎛ 79,5 − 80
80,5 − 80 ⎞
= P ⎜
≤Z ≤
⎟ = P ( −0,07 ≤ Z ≤ 0,07 ) =
6,93 ⎠
⎝ 6,93
= 0,027 9 + 0,027 9 = 0,055 8
–2
+∞
∫1
f (x) dx =
⎤2
1 ⎡ x 2
1
−
+
2x
⎢
⎥ =
⎦1
4 ⎣ 2
4
2
∫1
−x + 2
4
dx =
⎡
⎤
1
1
− 2⎥ =
⎢ −2 + 4 +
⎣
⎦
2
8
60. Es tracta d'una distribució N (180, 2) i ens demanen:
P ( X > X 0 ) = 0,01 ⇒ P ( X ≤ X 0 ) = 0,990 0
P ( Z ≤ Z 0 ) = 0,990 0
SÍNTESI
Pàg. 424
57. Perquè el joc sigui equitatiu, μ = 0.
1
6
⋅ 20 +
2
3
Z0 = 2,33 que resulta 2,325
p (X < 2) = p (X = 0) + p (X = 1) = 0,918 5
b) μ = 5 · 0,1 = 0,5
59. A la vista de la representació gràfica de la funció f, podem
deduir que f (x) ≥ 0 per a tot x.
→ X 0 = 184,65
els fusibles defectuosos, es tracta de B (1 000, 0,02), que
aproximat: N (1 000 · 0,02, 4,42). Ens demana P (X ≥ 27) =
= P (X ≥ 26,5), que estandarditzant resulta:
⋅5−
x =0
6
6
x = 10 €
5 ⎞
⎟ ⋅ 0,10 ⋅ 0,95 = 0,590 49
0 ⎠
5 ⎞
⎟ ⋅ 0,11 ⋅ 0,94 = 0,328 05
1 ⎠
2
61. B (1 000, 0,98) per ser fusibles no defectuosos. Per calcular
⎛
26,5 − 20 ⎞
P ⎜ Z ≥
⎟
4,42 ⎠
⎝
58. B (5, 0,1)
⎛
a) p (X = 0) = ⎜
⎝
⎛
p (X = 1) = ⎜
⎝
X 0 − 180
P ( Z ≥ 1,47 ) = 1 − 0,929 2 = 0,070 8
Avaluació (pàg. 426)
1.
Amb les dades de la taula i els valors que ens donen, trobem
a, b i c per poder calcular els altres paràmetres.
p (X ≤ 2) = 0,7 →p (0) + p (1) + p (2) = 0,7 → 0,1 + a + b = 0,7
p (X ≥ 2) = 0,75 → p (2) + p (3) + p (4) = 0,75 →
→ b + c + 0,2 = 0,75
0,1 + a + b + c + 0,2 = 1
285
Bloc 4. probabilitat i estadística > UNITAT 14. DISTRIBUCIONS DE PROBABILITAT
Resolem el sistema:
b) P ( Z ≤ 1,45 ) = 0,926 5
a + b = 0, 6
⎫
0,6 + c = 0,7 ⎫
⎪
b + c = 0, 55 ⎬ →
⎬ →
a
+ 0,55 = 0,7 ⎭
⎪
a + b + c = 0,7 ⎭
a = 0,15 ⎫
→
⎬ → b = 0,45
c = 0,1 ⎭
µ = 1 ⋅ 0,15 + 2 ⋅ 0,45 + 3 ⋅ 0,1 + 4 ⋅ 0,2 = 2,15
c) P ( Z ≥ 0,76 ) = 1 − P ( Z ≤ 0,76 ) = 1 − 0,776 4 = 0,223 6
d) P ( Z ≥ −1,36 ) = P ( Z ≤ 1,36 ) = 0,913 0
i) P ( 0,78 ≤ Z ≤ 1,2 ) = P ( Z ≤ 1,2 ) − P ( Z ≤ 0,78 ) = 0,102 6
f) P ( −0,94 ≤ Z ≤ −0,45 ) = P ( Z ≤ 0,94 ) − P ( Z ≤ 0,45 ) =
= 0,826 4 − 0,673 6 = 0,152 8
σ 2 = 12 ⋅ 0,15 + 22 ⋅ 0,45 + 32 ⋅ 0,1 + 42 ⋅ 0,2 − 2,152 =
= 1,427 5
σ =
2.
5.
1,427 5 = 1,195
⎛
295 − 320 ⎞
a) P ( X < 295 ) = P ⎜ Z <
⎟ = P ( Z < −1) = 0,158 6
⎝
⎠
25
n = 7; p = 0,68; B (7, 0,68)
⎛
345 − 320 ⎞
b) P ( X > 345 ) = P ⎜ Z >
⎟ = P ( Z > 1) =
⎝
⎠
25
= 1 − P ( Z < 1) = 1 − 0,841 4 = 0,158 6
a) Perquè es tracta d'un experiment aleatori amb dos possibles resultats: èxit i fracàs.
b) μ = 7 · 0,68 = 4,76
σ2 = 7 · 0,68 · 0,32 = 1,523 2
σ =
6.
P ( 95 ≤ X ≤ 110 )
P ( 95 ≤ X ≤ 110 )
Que tipificando nos queda:
Que estandarditzant
queda:nos queda:
Queens
tipificando
⎛ 95 − 100
110 − 100 ⎞
P ⎜⎛ 95 − 100 ≤ Z ≤ 110 − 100 ⎟⎞ → P ( −0,33 ≤ Z ≤ 0,66 ) →
⎠⎟ → P ( −0,33 ≤ Z ≤ 0,66 ) →
P ⎝⎜ 15
≤Z ≤
15
⎝
⎠
15
15
→ P ( Z ≤ 0,66 ) − (1 − P ( Z ≤ 0,33 ) ) = 0,377 9
→ P ( Z ≤ 0,66 ) − (1 − P ( Z ≤ 0,33 ) ) = 0,377 9
⎛ 7 ⎞
⎟ ⋅ 0,685 ⋅ 0,322 = 0,312 6
c) p (X = 5) = ⎜
⎝ 5 ⎠
d) p (X ≥ 4) = p (X = 4) + p (X = 5) + p (X = 6) + p (X = 7)
7 ⎞
⎟ ⋅ 0,684 ⋅ 0,323 = 0,245 2
4 ⎠
7 ⎞
⎟ ⋅ 0,685 ⋅ 0,322 = 0,312 6
5 ⎠
7 ⎞
⎟ ⋅ 0,686 ⋅ 0,321 = 0,2215
6 ⎠
7 ⎞
⎟ ⋅ 0,687 = 0,067 2
7 ⎠
b) P ( X − 100 ≤ k ) = 0,5
P (100 − k ≤ X ≤ 100 + k ) = 0,5
Com que la variable és simètrica i estandarditzant, obtenim:
(100 + k ) − 100 = 0,675
15
k = 10,1
Per tant, l'interval serà:
Sumant-les totes, resulta que p (X ≥ 4) = 0,846.
3.
La variable aleatòria X, que explica el nombre de peces defectuoses, segueix un model binomial de paràmetres n = 6 i p = 0,1, és
a dir, X ~ B(6, 0,1).
⎛ 6 ⎞
a) P(X = 1) = ⎜ ⎟ ⋅ 0,1 ⋅ 0, 95 = 0, 354 3
⎝1 ⎠
(100 − 10,1 ≤ X ≤ 100 + 10,1) = ( 90, 110 )
7.
—— Utilitzem l'aproximació de Yates:
P
( X >> 175
) = 11 −− PP (( XX << 175
) = 11 −− PP ((YY << 175,5
)=
P
P (( X
X > 175
175 )) =
= 1 − P ( X < 175
175 )) =
= 1 − P (Y < 175,5
175,5 )) =
=
−
150
⎞⎞⎞⎟ = 1 − P ( Z < 2,49 ) =
⎛⎛⎛⎜ Z < 175,5
175,5
−
150
=
1
−
P
175,5 − 150 ⎟ = 1 − P ( Z < 2,49 ) =
=1
10,
247 ⎠⎟⎠ = 1 − P ( Z < 2,49 ) =
=
1−
−P
P ⎜⎝⎜⎝ Z
Z <
<
10,
10, 247
247 ⎠
⎝
=
1
−
0,993
6=
= 0,006 4
4
=
=1
1−
− 0,993
0,993 6
6 = 0,006
0,006 4
b) P(X ≥ 1) = 1 − P(X < 1) = 1 − P(X = 0) =
⎛ 6 ⎞
= 1 − ⎜ ⎟ ⋅ 0,10 ⋅ 0, 96 = 1 − 0, 531 4 = 0, 468 6
⎝ 0 ⎠
⎛ 6 ⎞
c) P(X = 6) = ⎜ ⎟ ⋅ 0,16 ⋅ 0, 90 = 0, 000 001
⎝ 6 ⎠
La probabilitat que les sis peces siguin defectuoses és del
0,000 1 %.
4.
Utilitzant les taules, obtenim:
a) P ( Z ≤ −1,28 ) = 0,100 2
286
Es tracta de B (500, 0,3), que aproximem a N (150, 10,247),
ja que compleix:
500 · 0,3 > 5 i 500 · 0,7 > 5
La probabilitat que una de les peces sigui defectuosa és
del 35,43 %.
La probabilitat que almenys una de les peces sigui defectuosa és del 46,86 %.
Es tracta d'una variable N (100, 15):
a) Ens demana:
1,523 2 = 1,2341
⎛
p X = 4) = ⎜
⎝
⎛
p (X = 5) = ⎜
⎝
⎛
p (X = 6) = ⎜
⎝
⎛
p (X = 7) = ⎜
⎝
N (320, 25)
8.
Es tracta d'una distribució B (100, 0,4), que aproximat a la
normal queda N (40, 4,89).
⎛
29,5 − 40 ⎞
a) P ( X ≥ 30 ) = P ( X ≥ 29,5 ) = P ⎜ Z ≥
⎟ =
4,89 ⎠
⎝
P ( Z ≥ −2,14 ) = P ( Z ≤ 2,14 ) = 0,983 8
⎛
45,5 − 40
b) P ( X ≥ 4,6 ) = 1 − P ⎜ Z ≤
4,89
⎝
⎛
P(X ≤ 50) = P ( X ≤ 50,5 ) = P ⎜ Z ≤
⎝
⎞
⎟ = 1 − 0,909 = 0,091
⎠
50,5 − 40 ⎞
⎟ = 0,973 8
4,89 ⎠
Bloc 4. probabilitat i estadística > UNITAT 14. DISTRIBUCIONS DE PROBABILITAT
9.
a) És possible, ja que l'histograma s'ajusta bastant a una
campana de Gauss.
b) µ =
c) σ =
0,5 ⋅ 2 + ... + 9,5 ⋅ 2
125
=
608,5
125
= 4,868
Zona +
(pàg. 427)
—— La mostra, sí que és important
Una mostra serà representativa si s'ha seleccionat seguint un
mètode apropiat i té la grandària adequada per a la precisió
desitjada de les conclusions.
4,168 576 = 2,04
fi − Pi
Classe
Classe
estandarditzada
Pi
fi
fi − Pi
[0, 1)
[–2,38, –1,89)
0,015 3
0,016
0,000 7
0,045
[1, 2)
[–1,89, –1,40)
0,051 4
0,064
0,012 6
0,02
[2, 3)
[–1,40, –0,91)
0,100 6
0,12
0,019 4
0,19
[3, 4)
[–0,91, –0,42)
0,155 8
0,16
0,004 2
0,02
[4, 5)
[–0,42, 0,07)
0,190 7
0,176
0,014 7
0,07
[5, 6)
[0,07, 0,56)
0,184 4
0,152
0,032 4
0,17
[6, 7)
[0,56, 1,05)
0,140 8
0,144
0,003 2
0,02
[7, 8)
[1,05, 1,54)
0,085 1
0,104
0,018 9
0,22
[8, 9)
[1,54, 2,03)
0,040 6
0,048
0,007 4
0,18
[9, 10)
[2,03, 2,52)
0,015 3
0,016
0,000 7
0,045
Pi
Els mètodes de mostreig més habituals són el mostreig aleatori
simple, el mostreig aleatori sistemàtic i el mostreig aleatori estratificat.
—— El 77,2 % de share
Per mesurar les audiències, s'utilitza un aparell anomenat audímetre, que s'instal·la a les cases d'una mostra de teleespectadors que a Espanya, en 2012, era de més de 4 500 llars.
La bondat de l'ajust és bastant fiable com queda demostrat en la
taula.
287
MATEMÀTIQUES 2
BATXILLERAT
SEGON CURS
Recursos didàctics. Orientacions i solucionari
Projecte i edició: grup edebé
Direcció
Direcció
Direcció
Direcció
Direcció
General: Antoni Garrido González
de l'àrea de Productes Educatius: Esteban Lorenzo Domínguez
de l'àrea de Ciències i Tecnologia: Josep Estela Herrero
Pedagògica: Santiago Centelles Cervera
de Producció: Joan López Navarro
Equip d'edició d'edebé:
Edició: Pau Barberà Fàbregas i Víctor Gómez Jiménez
Pedagogia: Santiago Centelles Cervera
Disseny gràfic i cobertes: Lluís Vilardell Panicot
Col·laboradors:
Coordinació de text: Ángela García Lladó, Eduscopi (Toni Pou Pujades i Salvador Ferré Benedicto) i Santi Manguán Esteban
Redacció: Maria José Cañas Porcuna, Eduard Nus, Alberto Blanco, Sandra Borja, Anna Llorca, Luís Dubarbie, José Molina, Esther Rueda,
Manuel Collados i Álvar Íbeas
Assessoria: Yolanda Barranco, Juan José Bonilla, Susana Marín i Estefania Sanchez Muñozr
Fotografies: Thinkstock i arxiu edebé
Il·lustració: Kepa A. de Gamboa Azazeta (INTIPIXEL)
Preimpressió: Reverté-Aguilar, S.L.
ADVERTIMENT: Totes les activitats que conté aquest llibre s'han de fer en un quadern a part. Els espais inclosos en les activitats són únicament indicatius i la seva finalitat, didàctica.
Qualsevol forma de reproducció, distribució, comunicació pública o transformació d’aquesta obra només pot ser duta a terme amb l’autorització dels
seus titulars, tret de les excepcions previstes en la Llei. Adreceu-vos a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos) si necessiteu fotocopiar o
escanejar cap fragment d’aquesta obra (www.conlicencia.com; 91 702 19 70 / 93 272 04 45).
El llibre inclou una selecció acurada d’enllaços de pàgines web que edebé considera que poden ser d’interès. Tanmateix, aquestes pàgines no li
pertanyen. Per tant, edebé no pot garantir-ne la permanència, ni la variació dels seus continguts i tampoc no es pot fer responsable dels possibles
danys que es puguin derivar de l’accés o de l’ús de les pàgines.
Els editors han fet tot el possible per localitzar els titulars dels materials que apareixen citats en l’obra. Si involuntàriament se n’ha omès cap, els
editors repararan l’error
És propietat de grup edebé
© grup edebé, 2016
Passeig de Sant Joan Bosco, 62
08017 Barcelona
www.edebe.com
ISBN 978-84-683-2747-1
Imprès a Espanya
Printed in Spain
EGS - Rosari, 2 - Barcelona