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Alineamiento vertical ASHTOO

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Proyecto de Caminos
III.3. ALINEAMIENTO VERTICAL
El alineamiento vertical es la proyección sobre un plano vertical del desarrollo del eje de la subcorona. El
eje de la subcorona en el alineamiento vertical es la subrasante.
Los elementos que lo integran son las tangentes verticales y las curvas verticales (Fig. III.25).
Tangente
Vertical
PIV
Tangente
Vertical
Curva
Vertical
Curva
Vertical
PIV
Tangente
Vertical
Longitud
Pendiente
Fig. III.25. Esquema General de los Elementos del Alineamiento Vertical.
III.3.1. Tangentes Verticales
Se caracterizan por su longitud y pendiente y generalmente están limitadas por dos curvas sucesivas. La
longitud se mide desde el punto de terminación de la curva que le antecede y el punto de comienzo a la
que llega (Fig. III.25)
Longitud
Tangente
Vertical
Acotación utilizada
P% en XX.X m
∆H
Pendiente
∆L
P (%) =
∆H
(100)
∆L
Fig. III.25. Tangentes Verticales.
En cuanto alas diversas caracterizaciones que de las tangentes verticales se emplean se describen las
siguientes:
a) Pendiente Gobernadora: Es la pendiente media que teóricamente puede darse a la línea subrasante
para dominar un desnivel determinado y se puede mantener en una longitud indefinida.
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III-50
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De la pendiente gobernadora dependen los costos de construcción, costos de operación y
mantenimiento.
b) Pendiente Máxima: Es la máxima pendiente que se le puede dar al camino en una longitud
determinada. En el cuadro III.2 se observan los diferentes valores de pendiente máxima y gobernadora
para diferentes tipo de caminos. Según la normatividad SCT
Cuadro III.2. Relación de Pendientes Máximas y Gobernadoras para Proyecto
Camino
Tipo
E
D
C
B
A
Pendiente Gobernadora (%)
Plano
-
Tipo de Terreno
Lomerio
Montañoso
7
9
6
8
5
6
4
5
3
4
Pendiente Máxima (%)
Plano
7
6
5
4
4
Tipo de Terreno
Lomerio
Montañoso
10
13
9
12
7
8
6
7
5
6
c) Pendiente Mínima: Se fija para permitir el drenaje; cuando el trazo va en corte se recomienda 0.5%
para permitir el adecuado funcionamiento de las cunetas. En terraplenes la pendiente mínima es 0%.
d) Longitud Crítica: Es la longitud máxima en la que un camión cargado puede ascender sin reducir su
velocidad más allá de un límite previamente establecido (25 km/h). Los elementos que intervienen
para la determinación de la longitud crítica de una tangente son fundamentalmente el vehículo de
proyecto, la configuración del terreno, el volumen y la composición del tránsito.
Para el análisis de longitudes críticas se utilizan las curvas velocidad – pendiente - distancia tratadas en el
capítulo II. Como observación y precisión importante, es necesario que en este tipo de análisis se utilice la
velocidad de marcha en lugar que la de proyecto. Para precisar esto considere el siguiente ejemplo:
Ejercicio III.6: Calcular la velocidad de salida de la siguiente serie de pendientes y comente si en algunas
de las tangentes se alcanza la longitud crítica. También estime el tiempo de recorrido. Vp =90 km/hr, Veh.
Proy. DE-610.
-2%
+6%
-1%
+4%
0%
+2%
400
400
300
200
150
Estrategia de solución: Se utilizarán las gráficas de velocidad – pendiente – longitud para una relación
peso potencia correspondiente al vehículo de proyecto DE-610, tratadas en el capítulo II. Además como
velocidad de entrada se tomará la correspondiente a la de marcha para la de proyecto de 90 km/h, 79 km/h.
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Paso 1: Anteriormente se explicó detalladamente la utilización de las citadas gráficas. Como detalle
adicional para el cálculo del tiempo de recorrido empleado en cada tramo, primero se obtiene una
velocidad promedio entre la de entrada y la de salida, para después calcular el tiempo. Bajo esta secuencia
se complementa el cuadro siguiente:
Tramo
Longitud
(m)
Pendiente
(%)
Ve
(km/h)
A-B
B-C
C-D
D-E
E-F
400
400
300
200
150
+2.0
+4.0
-1.0
+6.0
-2.0
79
Vs
(km/h)
V
(km/h)
Tiempo
(seg)
Comentario Final:
III.3.2. Curvas Verticales
Son las curvas que unen a dos tangentes verticales consecutivas de alineamiento vertical, para que en su
longitud se efectúe el paso gradual de la pendiente de entrada a la de salida.
a) Forma de una curva vertical
y
PIV
P1(%)
P2(%)
Y
y
PCV
PTV
x
x
L
Fig. III.26. Forma de una curva vertical
De la Fig. III.26 y bajo las siguientes consideraciones se tiene que:
dV x
= ax = 0
dt
ó
d 2x
dt 2
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(en el sentido horizontal el vehículo se moverá a velocidad constante)
=0
III-52
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dV y
dt
= −g
(en el sentido vertical la aceleración será igual a la de la gravedad)
A partir de esto se asume que la curva vertical sigue un comportamiento de tipo parabólico de la forma:
y = Kx 2 + Px
Además, se conoce que en una parábola la relación de cambio de pendiente es constante, esto es:
d2y
dx
2
=r;
si se integra una vez se tiene
dy
= rx + C1
dx
aquí se observa que cuando
x=0
→
y que si
x=L
→
dy
= P1
dx
dy
= P2
dx
así que sustituyendo en la primer expresión los valores anteriores, primero la condición de frontera
será:
P1 = r (0 ) + C1
dy
= rx + P1
dx
C1 = P1
y el valor de la constante r (relación de cambio de pendiente por unidad de longitud) es:
P2 = rL + P1
así que
r=
P2 − P1
L
por lo que la pendiente en cualquier punto de la curva es
dy  P2 − P1 
=
 x + P1
dx  L 
integrando nuevamente
y=
1  P2 − P1  2

 x + P1 x + C 2
2 L 
y evaluando la condición de frontera C2 para cuando x = 0; y = 0
0=
1  P2 − P1 
0 + P1 (0 ) + C 2

2 L 
∴
C2 = 0
y la ecuación general de la curva queda con la forma:
 P − P1  2
y= 2
 x + P1 x
 2L 
(Ec. III.53)
En general las curvas verticales se rigen por la Ec. III.53 y pueden ser en cresta o en columpio como
puede observarse en la Fig. III.27.
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III-53
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(a) Curvas verticales en cresta
(b) Curvas verticales en columpio
Fig. III.27. Situaciones típicas de las curvas verticales.
En las curvas verticales también es común expresar su forma en función de desviación respecto a la
tangente (Y), que es la distancia entre la tangente de entrada y la curva vertical. De la misma figura III.26
se puede apreciar que:
P1 =
y +Y
x
por lo que
y = P1 x − Y
Sustituyendo en la Ec. III.53
P −P 
P1 x − Y =  1 2  x 2 + P1 x
 2L 
P −P 
Y =  1 2 x2
 2L 
(Ec. III.54)
b) Longitud de una Curva Vertical
La longitud de una curva vertical está dada por la distancia, en proyección horizontal, entre el PCV y el
PTV, y su determinación se basa en los cuatro criterios siguientes:
"
"
"
"
Criterio de comodidad
Criterio de apariencia
Criterio de drenaje
Criterio de seguridad
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b.1) Criterio de Comodidad: Por efecto de la aceleración centrífuga de curvas en columpio.
K=
L V2
≥
A 295
(Ec. III.55)
donde:
K=
A=
L=
Recíproco de la pendiente por unidad de longitud.
P1 - P2 (%) (En valor absoluto)
Longitud (m)
b.2) Criterio de Apariencia: Se aplica a curvas de visibilidad completa (curvas en columpio) para evitar al
usuario la impresión de un cambio brusco de pendiente.
K=
L
≥ 30
A
(Ec. III.56)
b.3) Criterio de Drenaje: Para curvas verticales en cresta o columpio, cuando están alojadas en un corte.
La pendiente debe permitir al agua escurrir.
K=
L
≤ 43
A
(Ec. III.57)
b.4) Criterio de Seguridad: La longitud de curva debe ser tal que en toda la curva se cumpla con la
distancia de parada; en algunos casos también se trata de cumplir con la de rebase. El cálculo de la
longitud se da, en cada caso, bajo dos criterios, cuando se cumple con la distancia de visibilidad dentro de
la curva (D<L) o cuando la distancia de visibilidad se logra en una longitud mayor a la de la curva (D>L).
En estos casos la longitud se calcula con la expresiones III.58 y III.59.
Para curvas en Cresta:
AD 2
C1
D<L
L=
D>L
L = 2D −
C1
A
Para curvas en Columpio:
AD 2
C2 + 3.5D
D<L
L=
D>L
L = 2D −
(Ecs. III.58)
(Ecs. III.59)
D
D
H
h
H
C 2 + 3.5 D
A
h
L
L
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Donde:
H=
H=
Altura de la vista del conductor
1.14 m (para distancia de visibilidad de parada y de rebase)
h=
h=
h=
Altura del objeto
0.15 m para distancia de visibilidad de parada
1.37 m para distancia de visibilidad de rebase
Además:
D=
L=
A=
Distancia de visibilidad (m)
Distancia de Visibilidad de Parada
Dp=
Dr=
Distancia de Visibilidad de Rebase
Longitud de la curva (m)
P1 - P2 (%)
Y en las Ecs. III.58 y III.59 las constantes C1 y C2 toman los siguientes valores:
Constante
C1
C2
Dp
425
120
Dr
1000
-
En todo caso la longitud de una curva vertical nunca deberá ser menor que 0.6 veces la velocidad de
proyecto. Para proyecto el criterio a seguir debe ser el de seguridad, que satisfaga por lo menos la
distancia de visibilidad de parada y en todo caso para curvas verticales en cresta alojadas en corte, deberá
revisarse el criterio de drenaje.
Ejercicio III.7: Calcular la longitud de las curvas verticales si las pendientes de entrada y salida son las
que se muestran. Además se considera una velocidad de Proyecto 60 km/h.
PIV1
+ 5%
- 5%
L1
L2
+ 5%
PIV2
Estrategia de Solución: Se aplicarán las ecuaciones III.55 a III.59 retomando cada uno de los criterios
definidos anteriormente. Asimismo en el caso de criterio de seguridad únicamente se considerará la
distancia de visibilidad de parada.
Paso 1: Calculo de la longitud de la curva No. 1 (en cresta).
-
Diferencia de pendientes:
A = P1 − P2 = 5 − (− 5) = 10
Criterio de Drenaje:
L ≤ 43 A = 43(10) = 430 m (no mayor que esta longitud)
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-
Criterio de Seguridad:
Para una velocidad de proyecto de 60 km/h la de marcha es de 55 km/h. Por lo que la distancia de
visibilidad de parada será:
Dp = 0.278Vt +
V2
254( f + p )
Dp = 0.278(55)(2.5) +
(55)2
254(0.340 )
Dp = 73.25 m
Revisando primero para la condición D < L
L=
AD 2 (10)(73.25)2
=
= 126.25m
425
425
∴
73.25 < 126.25 OK
(Si no se calcularía para la condición D > L)
Por lo que la longitud de la curva No. 1 es:
L = 140 m
(7 estaciones); Además se cumple con el criterio de drenaje.
Nótese que no se aplican los criterios de comodidad y apariencia ya que únicamente se utilizan en
curvas en columpio.
Paso 2: Calculo de la longitud de la curva No. 2 (en columpio).
-
Criterio de Seguridad:
Revisando D < L
AD 2
L=
120 + 3.5 D
(
10 )(73.25)2
L=
= 142.55
120 + 3.5(73.25)
73.25 < 142.55 (Cumple D < L)
-
AV 2
295
L=
(10)(60)2
295
= 122.03m
L ≥ 122 m
Criterio de Apariencia:
L = 30 A
-
L = 160 m (8 estaciones)
Criterio de Comodidad:
L=
-
∴
m
L = 30(10) = 300
L ≥ 300 m
L ≤ 43(10)
L ≤ 430 m
Criterio de Drenaje:
L ≤ 43 A
Aquí rige el de apariencia L =300 m (15 estaciones) cumpliendo con seguridad, comodidad y
drenaje, aunque como se comentó, no es muy usual diseñar por criterio de apariencia.
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III-57
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Comentario Final: En el siguiente cuadro se resume las longitudes necesarias para las dos curvas
verticales. En la de cresta rige el criterio de seguridad y en la curva en columpio rige el de apariencia.
Curva Columpio Comodidad Columpio Apariencia Drenaje Seguridad
1
2
122
[300]
430
430
[140]
160
Ejercicio III.8: Calcular la longitud necesaria para una curva vertical que se requiere diseñar para unir una
tangente de entrada de 4% y una de salida de 2% (ambas positivas). La velocidad de proyecto es de 60
km/h. Considere únicamente criterio de seguridad.
Estrategia de solución: Para la solución de este ejercicio se aplicará únicamente la Ec. III.58 ya que la
curva es en cresta y el cálculo solamente se hará por criterio de seguridad.
Paso No. 1: Cálculo de la longitud de la curva
A=4–2=2%
y para una velocidad de proyecto de 610 km/h Dp = 73.25 m.
Revisando para D < L:
L=
AD 2 2(73.25)2
=
= 25.25m No se cumple ya que 73.25 > 25.25 m
425
425
Revisando para la otra condición D < L:
L = 2D −
425
425
= 2(73.25) −
= −66 m
A
2
El valor es negativo (resultado ilógico)
¿ Qué valor tomar para L?
Lo que pasa es que en la curva siempre se ve el objeto, o sea, desde muy lejos, la curva no limita
la visibilidad. Por lo que se procederá a proponer la longitud mínima
L = 0.6V = 0.6(60) = 36 m
L = 40 m
( 2 estaciones)
Comentario Final: El resultado final se emitió a partir de una interpretación lógica y práctica de la
aplicación de las expresiones desarrolladas para tal caso.
OBSERVACIÓN: Para calcular la longitud de una curva vertical también pueden utilizarse los valores de
K que se establecen en las Normas para proyecto geométrico de la SCT. Se obtiene K y a partir de conocer
A se despeja el valor de L. Aquí únicamente se contempla el criterio de seguridad:
K=
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L
A
(Páginas 26- 27 Normas SCT)
L = KA
III-58
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