GUIA3 Geometria Analitica

1
GUIA
GEOMETRIA ANALITICA
Sistema de coordenadas
Graficar P1  4,1 ;P2  2, 1 ;P3  3,.2 ; P4  0, 2 
1 hallar las distancias entre los puntos:
Distancia entre dos puntos
d
 x2  x1 
2
  y2  y1 
2
2 Demostrar que el triangulo entre los puntos
a)P1(1,3);P2(7,6);
b)P3(2,-1);P4(t,2);d=5
A(1,2);B(4,3);C(3,0) es isoceles.
Rta. a) 45 =6,71
b)P4(6,2);P5(-2,2)
Av. Mariscal Santa Cruz. Ed. Sagrados Corazones Nº1088 Piso 2 Of 3
Telf.: 2310608-71527467
Rta. 10 ;
10 ; 8
2
punto medio
x1  x2
2
y  y2
y 1
2
Punto de división
x=
x1  rx2
1 r
y1  ry2
y
1 r
x
Hallar el punto medio de
3
 2,1 , 10,5
Rta.  6,3
4 Hallar puntos que dividan al segmento entre p1(2,1);
p2(8,4) en 3 partes iguales
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3
5 Demostrar que es isósceles el triángulo situado entre los
puntos (2,1);(6,7);(8,5)
6 Demostrar que es rectángulo el triángulo situado entre
los puntos (1,3);(3,7);(7,0)
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4
LA RECTA.- Es el lugar geométrico de puntos que satisfacen a una ecuación lineal con dos variables de la forma: Ax  By  C  0
EC. general
Ax  By  C  0
EC. punto pendiente
y  y1  m  x  x1 
EC. pendiente ordenada
EC. de dos puntos
EC. absisa ordenada
y  mx  b
y  y1 y2  y1

x  x1 x2  x1
x y
 1
a b
Hallar las ecuaciones de las rectas que poseen las siguientes características
7 Pendiente m=2 y pasa por el punto (3,1)
8 Pendiente m=-3/4 y pasa por el punto (0,3)
9 Pendiente m=0 y pasa por el punto (4,3)
10 Pendiente m=2 e intersecta al eje y en -1
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5
11 Pendiente igual a -1/2 e intersecta al eje x en 5
12 Pasa por los puntos (1,2);(5,4)
x  2y  5  0
13 Pasa por los puntos (1,4);(5,2)
x  2y  3  0
14 Pasa por los puntos (5,2);(5,6)
x  2y  9  0
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x 5  0
6
Paralelismo
Perpendicularidad
m1  m2
m1  
1
m2
Hallar las rectas paralelas y perpendiculares a las siguientes rectas que pasan por el punto indicado
15
2 x  y  8  0; Po  5,3
16
2 x  y  7  0; x  2 y  11  0
17
x  3  0; Po  6,3
2 x  3 y  12  0; Po  5,4
2 x  3 y  22  0; 3 x  2 y  7  0
x  2 y  1  0 paralela por  2, 2  perpendicular por
 6,5 
18
x  6  0; y  3  0
x  2 y  2  0 ; 2 x  y  17  0
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7
INTERSECCIÓN ENTRE RECTAS
Hallar los puntos de intersección entre los siguientes puntos
2x  y  8  0
19
2x  3y  2  0
20
3x  4 y  1  0
5 x  y  18  0
 3,2
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 4, 2 
8
2 x  3 y  17
x  3y  6  0
21
22
2x  6 y  6  0
5 x  2 y  14
¿?
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 4,3
9
Distancia de un punto a una recta
d
23 Hallar la distancia entre las rectas y los puntos indicados
24
3x  4 y  24  0; P 8,5
Axe  Bye  C
A2  B 2
2 x  3 y  12  0; P  4,5
4
25
6 x  8 y  8  0; P  2,5
26
x  2 y  2  0; P  4,3
2
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3.05
0
10
"el baricentro de un triángulo, punto de
intersección de sus medianas, es su centro de
gravedad"
Se denomina ortocentro al punto donde se cortan
las tres rectas que contienen a las tres alturas de
un triángulo.
El incentro.- Punto de intersección de las tres
bisectrices de un triángulo.
Una mediana de un triángulo es una recta que une
un vértice del triángulo con el punto medio del
lado opuesto a dicho vértice.
Se denomina altura de un triángulo a la
perpendicular trazada desde un vértice del
triángulo al lado opuesto o a su prolongación
La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que pasa
por el vértice del ángulo y lo divide en dos partes
iguales
27
1.- punto medio
2.- ecuación 2 puntos
3.- resolver la ecuación
1.- recta perpendicular
por el vértice opuesto
2.- resolver el sistema
1.-distancia de un punto
a un recta
2.- Resolver el sistema
Hallar las ecuaciones de los lados del triángulo ubicado entre los puntos A(2,0);B(8,2);C(4,6); luego hallar el
Baricentro , ortocentro e incentro
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11
Es el lugar geométrico de puntos (x,y) ; cuya distancia a un punto fijo llamado centro es
constante e igual al radio
Centro
Ecuación con centro
Ecuación general
Circunferencia
C  0,0 
C  h, k 
x2  y 2  R2
 x  h
2
  y  k   R2
2
x2  y 2  R2
x 2  y 2  Dx  Ey  F  0
Hallar la ecuación general de la circunferencia, que poseen las siguientes característica
28
centro  0,0 ;Radio 3
x2  y 2  9
29 C 4 ,3 ; pasa por el origen
28.1
30
C5,3 ; R  2
C5,4 ; Diametro  6
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12
31
Tiene un diametro entre  2,1 ; 10,7 
32
Tiene un diametro entre 1,6 ;  5,0
33
Centro  3,4 ; tangente al eje Y
34
Centro :  5, 2 ; Tangente al eje X
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13
Hallar el centro y el radio de las siguientes circunferencias
35
x2  y 2  7  0
36
 0, 0  ,
37
x2  y 2  6x  4 y  3  0
3,2 ,4
7
x 2  y 2  6 x  4 y  12  0
38
400 x 2  400 y 2  400 x  320 y  61
 3,2 ,5
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 1 2 , 2 5  , 3 4
14
La parábola.- es el lugar geométrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada, llamada directriz, y a un
punto fijo que se denomina foco.
La parabola
Vértice
Ecuación
Foco
Directriz
Ecuación general
LR  4 p
 h, k 
 0, 0 
 h, k 
 0, 0 
 h, k 
 0, 0 
 h, k 
 0, 0 
 x  h
2
 4p y  k
x 2  4 py
 x  h
2
 4 p  y  k 
x 2  4 py
y  k
2
 4 p  x  h
y 2  4 px
y  k
2
 4 p  x  h 
y 2  4 px
x 2  Dx  Ey  F  0
 h, k  p 
yk  p 0
 0, p 
y p0
 h, k  p 
yk  p 0
x 2  Dx  Ey  F  0
 0,  p 
y p0
x 2  4 py
 h  p, k 
xh p 0
y 2  Dx  Ey  F  0
 p,0
x p 0
y 2  4 px
 h  p, k 
xh p 0
y 2  Dx  Ey  F  0
  p, 0 
x p 0
y 2  4 px
x 2  4 py
Hallar la ecuación general de la parábola, que satisface las siguientes características:
39
Vertice  0,0 ;Foco  2,0
40
Vertice  0,0 ;Foco  0,3
y 2  8x  0
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x 2  12 y  0
15
41
Vertice  2,3 ; Foco  3,3
42
Vertice  3,1 ;Foco  3,3
x 2  6 x  8 y  17  0
y 2  4 x  6 y  17  0
43
Vertice  4,0 ; Foco 1,0 
44
Vertice  3, 2 ;Foco  3,2
x 2  6 x  16 y  23  0
y 2  12 x  48  0
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16
45
Vertice 1,3 ; directriz: y+2=0
46
Vertice  3,3 ; lado recto entre  5, 1 ; 5,7 
y 2  8 x  6 y  33  0
y  12 x  6 y  57  0
Hallar el vértice y foco de las siguientes parábolas
47
y 2  12 x  0
48
y 2  20 x  6 y  29  0
 0,0 ;  3,0
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1,3 ;  6,3
17
49
y 2  8x  4 y  4  0
50
x 2  6 x  24 y  33  0
 0,3 , 2,3
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 3,1 ; 3,7 
18
La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos
fijos llamados focos es constante.
Lado recto
Excentricidad
Relación
c
Elipse
2b 2
2
2
2
e
a b c
forma
centro
Ecuación
 x  h
 h, k 
a
2

2
y k
b
Focos
2
1
2
 x  h
 h, k 
b
2
2
y k

a
2
2
1
x2 y 2

1
b2 a 2
 0, 0 
a
Vértices
Ecuación general
F  h  c, k 
V  h  a, k 
F '  h  c, k 
V '  h  a, k 
B '  h, k  b 
F   c, 0 
V   a, 0 
B  0, b 
F '  c, 0 
V '  a, 0 
B '  0, b 
 h, k  c  ;  h, k  c 
V  h, k  a 
B  h  b, k 
x2 y 2

1
a 2 b2
 0, 0 
LR 
a
 0, c  ;  0, c 
B  h, k  b 
V '  h, k  a 
B '  h  b, k 
V  0, a 
B  b, 0 
V '  0, a 
B '  b, 0 
Ax 2  By 2  Dx  Ey  F  0
Ax 2  By 2  F  0
Ax 2  By 2  Dx  Ey  F  0
Ax 2  By 2  F  0
Hallar la ecuación general de la elipse, que satisface las siguientes características
51
Centro :  0,0 ;semiejes mayor y menor; 4;2
Semieje Mayor paralelo a x
52
Centro :  2,1 ;semiejes mayor y menor; 6;3
Semieje Mayor paralelo a x
x 2  4 y 2  16  0
x 2  4 y 2  4 x  8 y  28  0
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19
53
Verticies :  5,0 ; focos :  4,0 
54
Focos  3,0 ;excentricidad : e  3 5
9 x 2  25 y 2  225  0
55
vertices  10,0 ;e  0,8
16 x 2  25 y 2  400  0
56
vertices  0, 6 ; focos  0, 4
9 x 2  25 y 2  900  0
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9 x2  5 y 2  180
20
57
vertices  0, 5 ;e  0,8
58
vertices  1,6 9,6 ; focos 1,6 5,6 
60
16 x 2  25 y 2  128x  300 y  756  0
Fo cos  3, 2 ;  5, 2 ;e  13
25 x 2  9 y 2  225  0
59
vertices  2,1 6,1 ;e  0,5
3x 2  4 y 2  12 x  8 y  32  0
8 x 2  9 y 2  64 x  36 y  92  0
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21
Hallar el centro y semi ejes mayor y menor de las siguientes elipses
61
x 2  4 y 2  64  0
63
x  4 y  4x  0
62
x 2  4 y 2  4 x  32 y  32  0
64
4 x  y  16 x  6 y  75  0
 0,0 ;8; 4
2
2
 2,4 ; 6;3
2
2
 2,0 ; 2;1
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 2,3 ;10,5
22
Una hipérbola.- es el lugar geométrico de los puntos de un plano, tal que el valor absoluto de la diferencia de sus
distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.
Lado recto
Excentricidad
Relación
c
Hipérbola
2b 2
2
2
2
e
c b a
forma
centro
 h, k 
Ecuación
 x  h
a
 0, 0 

2
Focos
y  k
b
2
2
1
x2 y 2

1
a 2 b2
 0, 0 
 h, k 
2
y  k
a
2
2

 x  h
b
LR 
a
2
2
1
y2 x2

1
a 2 b2
a
Vértices
F  h  c, k 
V  h  a, k 
F '  h  c, k 
V '  h  a, k 
B '  h, k  b 
F   c, 0 
V   a, 0 
B  0, b 
F '  c, 0 
V '  a, 0 
B '  0, b 
 h, k  c  ;  h, k  c 
V  h, k  a 
B  h  b, k 
 0, c  ;  0, c 
B  h, k  b 
V '  h, k  a 
B '  h  b, k 
V  0, a 
B  b, 0 
V '  0, a 
B '  b, 0 
Ecuación general
Ax 2  By 2  Dx  Ey  F  0
Ax 2  By 2  F  0
Ax 2  By 2  Dx  Ey  F  0
Ax 2  By 2  F  0
Hallar la ecuación general de la hipérbola, que satisface las siguientes características
65
C  0,0 ; semieje real e imag:3,2 Eje real a X
4 x 2  9 y 2  36  0
66
C  3,1 ; semieje real e imag:6,4 Eje real a X
4 x 2  9 y 2  24 x  18 y  117  0
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23
67
V  4,0 ; F  5,0
68
V  6,0 ;e  5 3
9 x 2  16 y 2  144  0
69
V  3,0 ;e  3 2
16 x 2  9 y 2  576  0
70
V  0, 2 ; F  0, 4 
5 x 2  4 y 2  20  0
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x 2  3 y 2  12  0
24
71
V  3,3 , 7,3 ;F  2,3 ;  4,7 
72
5x 2  4 y 2  50 x  24 y  69  0
V  2, 4 , 4, 4 ;e  2
3x 2  y 2  18 x  8 y  8  0
Hallar centro y semiejes de las siguientes Hipérbolas
73
4 x 2  9 y 2  144  0
74
x 2  4 y 2  6 x  8 y  11  0
 0,0 ; 6; 4
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3,1 ; 4; 2
25
75
5x 2  6 y 2  30 x  48 y  81  0
76
 3,4 ;
9 x 2  4 y 2  72 x  8 y  176  0
6; 5
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 4,1 ;3; 2
26
EC. punto pendiente
y  y1  m  x  x1 
EC. pendiente ordenada
y  mx  b
EC. de dos puntos
EC. absisa ordenada
y  y1 y2  y1

x  x1 x2  x1
x y
 1
a b
3
4.- La recta expresada en forma general: 3x+4y-12=0 ; sela
escribe en otras formas.
Rta.
x y
3
3
  1 ; m   ; Tan    ;143,13º
4 4
4
4
5.- Determinar si los puntos P1(4,3);P2(2,5); pertenece a
una recta: x-2y+2=0
Rta. P1yP2 Ɛ a la recta (porque satisfacen su ecuación)
6.- Hallar la intersección entre las rectas: L1: 2x+3y-17=0 y
L2: 3x-5y+3=0
Rta. X=4 ; y=3
6.- Hallar los puntos de intersección con los ejes
coordenados de la recta L: x+2y-6=0
Rta. Y=3 ; x=6
7.- Hallar las ecuaciones generales de las rectas, que
poseen las siguientes características
a) m=1/2; Ordenada al origen: b=1
Rta.x-2y+2=0
b) m=2; pasa por el punto P1(3,1)
Rta.2x-y-5=0
c) Pasa por los puntos: P1(0,1);P2(3,2)
Rta.x-3y+3=0
d) Intersecta a la abscisa y ordenada en: 5;4
respectivamente
Rta.4x+5y-20=0
e) Su ordenada al origen es 3; pasa por P1(4,1)
Rta.x+2y-6=0
8.- Hallar pendiente y el ángulo de inclinación de la recta:
2x-3x-2=0
Rta. m=2/3 ; Ɵ=33,39ᵒ
9.- Hallar la ecuación recta, que pasa por el punto: P1(2,1)
con un ángulo de inclinación de 60ᵒ.
Rta. 1,73x-y-2,46=0
10.- Se halla el ángulo entre las rectas L1: 2x-y-3=0 ; L2: x—
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27
3y+1=0
Rta. Ɵ=45ᵒ
11.- Las rectas L1,L2 son paralelas (//)
Rta. m1  m2  2
12.- Las rectas L1,L2 son perpendiculares (  ) L1: x+3y-9=0
; L2: 3x-y-7=0
Rta. m1 
1
m2
13.- De la recta: x-2y=1. Hallar su paralela por P1(2,2), su
perpendicular por P2(6,5)
Rta. 2x+y=17
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