Titulo Maestrante Obstáculos epistemológicos en la transición de la Aritmética al Álgebra: La generalización, un aspecto importante para introducir el álgebra en la escuela Código: 221422042 José Lizardo Jácome Cabrera Código: 221422035 Bayardo Jurado Ordoñez GESCAS Grupo de investigación Línea de Historia y epistemología de la evolución del pensamiento matemático investigación Asesor Andrés Chaves Resumen en Este proyecto de investigación pedagógica basado en los antecedentes de revistas latinoamericanas de educación matemática especializadas en el campo de la transición de castellano la aritmética al algebra, busca acortar esa brecha que hay entre estas dos y enfocados en la generalización con base en la búsqueda de patrones elaborar unas recomendaciones pedagógicas, apoyados en una prueba diagnóstica aplicada a estudiantes de grado octavo, identificar los obstáculos epistemológicos que impiden el avance del conocimiento. Con relación a nuestra temática específica de estudio, consideramos los siguientes ejes teóricos: 1. El álgebra como un conjunto de procedimientos para resolver problemas. 2. El álgebra como aritmética generalizada. 3. El álgebra como lenguaje para el estudio de las relaciones existentes entre cantidades que varían. (Oller Marcen, antonio. y Meavilla Segui, 2014) Palabras claves Algebra, transición, aritmética, obstáculos epistemológicos, generalización This pedagogical research project based on the antecedents of Latin American Abstract: Resumen en mathematics education journals specialized in the field of the transition from arithmetic to algebra, seeks to bridge that gap between these two and focused on generalization based inglés on the search for patterns to elaborate pedagogical recommendations, supported by a diagnostic test applied to eighth grade students, identify the epistemological obstacles that impede the advancement of knowledge. In relation to our specific subject of study, we consider the following theoretical axes: 1. Algebra as a set of procedures for solving problems. 2. Algebra as generalized arithmetic. 3. Algebra as a language for the study of the relationships between quantities that vary. (Oller Marcen, antonio. And Meavilla Segui, 2014) Key words: Algebra, transition, arithmetic, epistemological obstacles, generalization Palabras claves en inglés 1. Planteamiento del problema de indagación pedagógico: justificación, contextualización, aporte e innovación 1. Planteamiento del Problema Uno de los procesos matemáticos que presenta gran dificultad en el ámbito escolar es la transición de lo aritmético a lo algebraico, en este sentido la generalización empleando lenguaje algebraico se ha convertido en un dolor de cabeza para los estudiantes. Existe un gran número de investigaciones sobre la enseñanza y el aprendizaje del álgebra. Todas ellas hacen referencia a las dificultades, obstáculos y errores que manifiestan los estudiantes de diferentes grados respecto con la comprensión de conceptos algebraicos, como por ejemplo, el paso del lenguaje aritmético al algebraico que conlleva a la generalización, la comprensión del concepto de variable en la resolución de problemas, la comprensión y comunicación del lenguaje simbólico, los signos de agrupación y las ecuaciones lineales. Se ha observado que muchos estudiantes no manejan el significado de los símbolos que han aprendido formalmente porque utilizan el álgebra como algo mecánico y memorístico, más no como una herramienta que permite comprender generalizaciones, captar conexiones estructurales y argumentar en matemáticas (Arzarello, Bazzini, Chiappini 1995). También se ha encontrado la existencia de una literatura muy limitada sobre la creación de patrones a través de los cuales se generalizan expresiones matemáticas, así como la justificación de estas generalizaciones. Por lo tanto se hace necesario proporcionar herramientas que permitan mejorar y facilitar la enseñanza del álgebra. Es importante integrar la enseñanza de las matemáticas desde la primaria con el desarrollo de este pensamiento de una manera tal que sirva como puente entre la aritmética y el álgebra. (Warren, E., Cooper, 2007), han realizado experimentos de enseñanza del álgebra temprana donde se han centrado en la generalización de patrones Como lo afirma (Pérez, J. 2005) en su tesis Un papel fundamental para el desarrollo del pensamiento lógico – matemático de los estudiantes le dan a la generalización matemática, algunos autores como Mason J. y Socas M. entre otros, proponiéndola como un medio importante para iniciar al estudiante en el estudio del álgebra elemental o para reafirmar conceptos como el de función y expresiones algebraicas, introducir al estudiante en el concepto de variable y en sistemas de representación más abstractos como lo es el algebraico. Nuestra practica pedagógica nos permite evidenciar las dificultades u obstáculos que presentan los estudiantes en los procesos cognitivos involucrados en el aprendizaje del álgebra en secundaria, el álgebra y su lenguaje, el simbolismo algebraico, la abstracción y generalización 1.1 Justificación: El problema del aprendizaje del álgebra escolar constituye un tema aún no resuelto; los estudiantes de diferentes niveles educativos tienen dificultades en la comprensión de los diversos aspectos y usos que caracterizan a las variables (Trigueros y Ursini, 2003; Ursini, Escareño, Montes y Trigueros, 2005; Ochoviet y Oktac, 2011; Juárez, 2011) y suelen evitar el acercamiento algebraico (Ursini yTrigueros, 2006) como consecuencia de que no poseen una comprensión profunda del concepto (Herrera López et al., 2016). Autores como 21(Silver y Kenney 2001; Kaput, Carraher y Blanton, 2008) como se citó en Bautista et al., 2021, señalan que es habitual que los estudiantes experimenten dificultades en la transición de la aritmética al álgebra porque tienen poca o ninguna experiencia previa con el tema. Unido a lo anterior, otros autores (Butto, 2005; Cai y Knuth, 2011; Radford, 2014) como se citó en (Bautista et al., 2021), consideran que, la transición de la aritmética al álgebra no se debe realizar de manera abrupta, sino que sea un proceso progresivo y que se vaya adquiriendo grado tras grado, sin saltos ni rupturas. De ahí la importancia de iniciar el estudio del álgebra desde los primeros niveles de escolarización como lo señala en los estándares de competencia (Ministerio de Educación Nacional, 2006) con respecto al pensamiento algebraico que propone cultivar este pensamiento desde la Educación Básica Primaria a partir de distintos caminos y acercamientos significativos para su comprensión, así un aspecto importante en el aprendizaje del álgebra corresponde a la utilización con sentido y al estudio formal de los objetos algebraicos, para lo cual es necesario ampliar la notación del lenguaje aritmético y utilizar las propiedades características de los sistemas numéricos (Ministerio de Educacion Nacional, 2006). De otro lado, el álgebra tiende a enseñarse como si se pudiera entender sin ningún problema, asumiéndose así una postura simple de sustitución de números por letras, en cuyo caso las letras no cobran significado y aparecen de manera aislada cuando en realidad supone la vinculación de procesos de generalización, simbolización y abstracción que requieren de la planificación de estrategias de enseñanza para ser abordados Kieran (como se citó en Burgos y Godino, 2019). Como docentes de matemáticas de básica secundaria, en nuestra práctica pedagógica de aula hemos observado en los estudiantes que al llegar al grado octavo se les dificulta el paso de la aritmética al álgebra, siendo un factor que afecta el desarrollo pleno de las competencias asociadas a las matemáticas. De acuerdo a lo anterior, se ve la necesidad de realizar una indagación que permita identificar algunos obstáculos epistemológicos que presentan los estudiantes de grado octavo de las dos instituciones en mención al pasar de la aritmética al álgebra especialmente en el proceso de generalización, partiendo de los hallazgos es importante plantear recomendaciones metodológicas que permitan evidenciar y superar los obstáculos epistemológicos en los estudiantes de grado octavo al igual de mejorar las competencias propuestas por los lineamientos curriculares de matemáticas y adoptar las competencias en situaciones cotidianas. 1.2 Contexto. Este proyecto de indagación pedagógica se llevará a cabo con dos grupos de estudiantes de grado octavo de las instituciones: IEM Luis Eduardo Mora Osejo de Pasto (Nariño) y la IER Jorge Eliecer Gaitán de Puerto Leguizamo (Putumayo), las dos instituciones pertenecen al sector público y los maestrantes de este proyecto desempeñan su labor docente con los estudiantes de este nivel educativo. Por mucho tiempo se ha evidenciado que en la población estudiantil de dicho nivel académico, se dificulta el paso de la aritmética al álgebra, siendo uno de los motivos por los cuales de grado séptimo a grado octavo haya un avance curricular que muchos de los estudiantes no están preparados para asumir; afectando la falta de comprensión y desarrollo de las competencias del pensamiento algebraico. Por lo tanto, este proyecto de indagación busca incidir en la mejora del paso de la aritmética al álgebra en especial en el proceso de generalización a través de algunas recomendaciones metodológicas de enseñanza que visualicen los obstáculos epistemológicos más frecuentes que presentan los estudiantes de las dos instituciones educativas, las cuales se propondrán en este proyecto y que buscan mejorar las competencias del pensamiento algebraico. Todo lo anterior motiva a la siguiente pregunta, la cual guía el proyecto: ¿Cuáles son los obstáculos epistemológicos que presentan los estudiantes del grado octavo de las instituciones: IEM Luis Eduardo Mora Osejo de Pasto (Nariño) y la IER Jorge Eliecer Gaitán de Puerto Leguizamo (Putumayo) al pasar de la aritmética al álgebra en el proceso de generalización. 1.3 Aporte e innovación. Este proyecto de indagación pedagógica permitirá identificar los obstáculos que presentan los estudiantes de grado octavo al realizar la transición de la aritmética al álgebra y comparar estos hallazgos con los encontrados en la literatura especializada que alude al objeto de estudio. A partir de la experiencia como docentes de grado octavo, se considera la importancia de la realización de este proyecto de indagación, debido a los bajos resultados académicos que han mostrado estudiantes del grado octavo de las dos instituciones en las cuales se llevará a cabo el proyecto de indagación. Por lo tanto, este proyecto beneficiará a los estudiantes del grado octavo y a las nuevas generaciones y en general a las dos instituciones educativas en las cuales desempeñamos nuestra labor docente. 2. Antecedentes del problema 2.1 Proceso de selección de los artículos y discriminación de tendencias de investigación: Para este apartado se ha tenido en cuenta como fuente de información las investigaciones publicadas en los artículos de diez revistas iberoamericanas, todas de divulgación virtual, de acceso gratuito y con título alusivo al campo de la educación matemática (educación matemática, matemática educativa y didáctica de las matemáticas). El periodo considerado es 2016 – 2021. Puntualmente se tuvieron en cuenta los artículos que aluden al tema de transición de lo aritmético a lo algebraico. Para esta selección; se procedió a identificar el tema de indagación en el título del artículo, si en el titulo no hace referencia se procede a revisar el resumen del artículo; si en el resumen no se encuentra el tema de interés se continua con la lectura de la introducción, si en ella no está el objeto de estudio, el paso siguiente es la lectura del artículo. Si en él hay alusión al tema de interés se selecciona y clasifica. El proceso de indagación revisado permitió identificar cuatro tendencias de investigación las cuales son: los estudiantes y sus prácticas (C1), Profesores y sus prácticas (C2), currículo (C3), materiales didácticos (C4). Además, de ellos se extrajeron 23 artículos encontrados se extrajeron un total de 40 citas las cuales se discriminan para los diferentes apartados de este articulo como son, antecedentes, planteamiento del problema, marco teórico. Las categorías establecidas se relacionan en la Anexo 1. 2.2 Tendencias de investigación En lo que sigue de este proyecto se escriben los aportes identificado en cada una de las tendencias de investigación reseñadas. 2.2.1 Los estudiantes y sus prácticas: En cuanto al rol de los estudiantes en el complejo camino de comprender la simbología algebraica y su trascendencia desde lo aritmético, a finales de la década de los ochenta, Kieran, citado por (Zapatera Llinares, 2018) advertía que “un área muy necesitada de la investigación matemática es el pensamiento algebraico”. Desde entonces numerosas investigaciones han sugerido promover el desarrollo de aspectos algebraicos en la Educación y fomentar cambios en la forma de pensar de los estudiantes que les conduzca al pensamiento algebraico. Por otra parte, (Carraher et al., 2008) dice que para adquirir el razonamiento algebraico temprano se debe aprender a generalizar, es decir, a identificar patrones y poder reconocer la norma; sin embargo, antes de emprender dicho aprendizaje, es necesario observar cómo el alumnado representa y razona por sus propios medios. Para (Zapatera Llinares, 2018) los estudiantes los cuales se enfrentaron a las pruebas tuvieron éxito en la generalización cercana y media y encontraron dificultad en la generalización lejana, solo algunos estudiantes que tuvieron flexibilidad en cambiar las estrategias alcanzaron el mayor nivel de éxito, utilizando la secuencia “estrategia aditiva sobre dibujo-estrategia funcional local-estrategia funcional global” De esta manera para (Zapatera Llinares, 2018) la generalización es uno de los procesos cognitivos más importantes de la actividad matemática, idea que complementa (Mason, J., Burton, L., y Stacey, 1992) al afirmar que las generalizaciones constituyen el verdadero nervio de la matemática y consideran a esta como la esencia del álgebra y una de las rutas fundamentales hacia ella. Dichas rutas se ven obstaculizadas, segùn Lee citado por (Zapatera Llinares, 2018) por la fijacion de una cierta estrategia y su resistencia a abandonarla, esto constituye en un obstáculo que impide generalizar a algunos estudiantes; por su parte (Orton, A., y Orton, 1994) centraron esta fijación en los enfoques recursivos que suponen un obstáculo para avanzar hacia la regla general. Dado que en los procesos de la generalización, existe una progresión en las cuestiones planteadas que pone de manifiesto los niveles de dificultad y de conocimiento que requieren. De esta forma los niveles de dificultad y de conocimiento son menores en las cuestiones de generalización cercana, y aumentan en la generalización lejana y en la expresión verbal de la regla general alcanzando niveles muy altos en la expresión algebraica de la regla. En consecuencia, los estudiantes de Primaria encuentran un nivel de dificultad muy alto en las cuestiones en las que tienen que expresar la regla general de forma algebraica mediante la utilización de indeterminadas. Aunque esta dificultad para utilizar las letras como variables ha sido atribuida frecuentemente a la inherente abstracción del álgebra y a limitaciones en el desarrollo cognitivo de los estudiantes (Zapatera Llinares, 2018). Así, y desde el punto de vista del aprendizaje, para introducir el pensamiento algebraico de forma rica y explícita, para Callejos y Rojas citados por (Zapatera Llinares, 2018) el profesorado debe conocer lo que los estudiantes son capaces de hacer, en el paso de la aritmética al álgebra desde la perspectiva del pensamiento algebraico, lo cual abarca aspectos como el pensamiento funcional, el pensamiento relacional, la generalización de patrones y la expresión de la generalización. 2.2.2 Los profesores y sus prácticas: Esta línea de investigación tiene varias vertientes de interés. Por un lado, está la discriminación de los obstáculos epistemológicos que suscitan la enseñanza de la aritmética en torno al aprendizaje del algebra. En este sentido se destacan los trabajos de Scheiter, Gerjets, y Schuh (2010) y de (Stacey y MacGregor, 1999). Estos autores señalan que en la educación primaria se privilegia la resolución de problemas aritméticos, puntualmente la tención recae en el desarrollo de habilidades encaminadas en la comprensión del problema, en la aplicación de procedimientos de solución y la construcción de esquemas mentales abstractos. Afirman que tal continuidad conduce a “una compulsión para calcular” que dificulta el empleo de las estrategias algebraicas en el momento de buscar, seleccionar y nombrar la incógnita o incógnitas apropiadas, impidiendo incluso pensar en construir una ecuación. Esta misma tendencia hace que el alumnado quiera trabajar con valores conocidos y no con incógnitas. En el mismo sentido, la otra vertiente recae en el planteamiento y solución de problemas, ya que para (Boletin Oficial del Pais Vasco, 2007; BOPV, 2016; Gasco, 2017) en los primeros cursos de la Educación Primaria, una vez conocidas las operaciones aritméticas, se comienzan a enseñar problemas que se resuelven empleando precisamente esas operaciones (resolución aritmética). Tras adquirir competencia en dichas técnicas, se da paso a la resolución algebraica, usualmente al inicio de la Educación Secundaria. Paulatinamente con la familiaridad de resolución de problemas permite la adquisición de multitud de competencias. En este sentido, se identifican tres grandes campos: la habilidad para entender el problema, la competencia para aplicar el procedimiento de resolución y la capacidad para construir esquemas mentales abstractos (Scheiter, Gerjets y Schuh, 2010). Además, no solo representa un objetivo para la enseñanza de las matemáticas, sino que es uno de los principales medios para hacerlo promoviendo hábitos de persistencia, curiosidad y confianza en situaciones desconocidas (National Council of Teachers of Mathematics, 2000). También podemos resaltar el papel importante del concepto matemático, un concepto matemático es un medio para organizar un conjunto de fenómenos. Con base en esta idea, Freudenthal (1983) sugiere comenzar la instrucción por los fenómenos y, a partir de ellos, enseñar al alumno a manipular los conceptos, como medios de organización de esos fenómenos. En este sentido, para Treffers, 1993 (citado por(Gómez & Cañadas, 2016) dice que “la realidad no solamente es un área de aplicación, sino que también es una fuente de aprendizaje”. El análisis fenomenológico de un tema de las matemáticas escolares es un procedimiento que permite establecer los fenómenos que dan sentido al tema, identificar los contextos que organizan esos fenómenos y las subestructuras que les sirven de modelo, y describir las relaciones entre esas subestructuras y esos contextos. La capacidad de un profesor para realizar el análisis fenomenológico de un tema contribuye a su habilidad para diseñar, seleccionar o adaptar tareas que promuevan el desarrollo de las competencias que le pueden permitir a los escolares “plantear, formular e interpretar problemas mediante las matemáticas en una variedad de situaciones” (OCDE, 2005, p. 75). Por consiguiente, el análisis fenomenológico es una herramienta con la que los profesores pueden analizar los temas matemáticos que enseñan. 2.2.3 Currículo: Para una mejor comprensión de los conocimientos matemáticos, se debe recurrir a la historia en ella podemos evidenciar la evolución de dicho pensamiento. Por su parte (Sessa., 2005) reflexiona sobre la historia del álgebra y alerta sobre el uso “ingenuo” de la historia de la matemática en la enseñanza y el aprendizaje. Considera que el conocimiento de los “caminos” de la historia representa una vía de acceso a mayores niveles de complejidad acerca de la naturaleza de los objetos matemáticos. De la misma manera Azcárate y Deulofeu (1990) destacan en este sentido que no se trata de enseñar la historia de un concepto en un período o períodos determinados, sino que constituye un instrumento básico para el enseñante y supone un conocimiento imprescindible para la elaboración de una didáctica determinada. Este conocimiento, le permitirá adquirir una visión más amplia de la que se obtiene a partir de las definiciones de una teoría acabada, a la que se llega después de un largo camino. Además, aclaran, que si las nociones matemáticas se reproducen en la enseñanza como formalmente son presentadas en una teoría acabada pueden conducir a graves errores epistemológicos y didácticos. Para (Socas, 1997), la principal dificultad en el aprendizaje de las matemáticas ha sido, el aspecto deductivo formal. Si bien es cierto el abandono el aspecto deductivo formal se ha estimado adecuado en la educación secundaria, esto no incluye el abandono del pensamiento lógico, por ser este una destreza de alto nivel que resulta necesaria para alcanzar niveles de competencia matemática. 2.2.4 Material didáctico: El problema del aprendizaje del álgebra escolar constituye un tema no resuelto; estudiantes de diferentes niveles educativos tienen dificultades en la comprensión de los diversos aspectos y usos que caracterizan a las variables, para (Herrera López et al., 2016) En este mismo sentido, el estudio de Escalante y Cuesta enfatiza la existencia de dificultades en el proceso de trasferencia del lenguaje natural al lenguaje algebraico. Por su parte (Oller Marcen, antonio. y Meavilla Segui, 2014) consideran que La transición entre la aritmética y el álgebra es un tema de investigación interesante y permanente en la didáctica de la Matemática. En este sentido, el análisis del carácter algebraico o aritmético de ciertos problemas escolares aparece como un aspecto relevante a la hora de diseñar trayectorias didácticas que faciliten dicha transición. Por su parte para (da Silva et al., 2021) manifiestan que el material didáctico manipulativo debe ser de uso cotidiano en los diferentes niveles educativos, estos mismos autores tomando la idea de Castro Olivera y Tinti (2019) afirman que el producto educativo es el resultado de la investigación de “ un profesor-investigador que tiene la iniciativa de buscar medios y métodos para mejorar su desempeño profesional y que pueda producir conocimientos y materiales para mejorar eficazmente la calidad de la enseñanza (p. 243). En el mismo sentido (Jurado, 2021) propone que este tipo de productos deben establecer conexión entre el álgebra, la aritmética y la geometría; en la actualidad hay numerosas investigaciones en torno a la creación de problemas de matemáticas con propósitos didácticos y desarrollo de competencias docentes. Las experiencias didácticas que involucran la creación de problemas e invención de juegos sus formas adecuadas de exaltar la creatividad y facilitan el aprendizaje de las matemáticas, Vigotsky (2012), afirma que en todo acto creador, los factores intelectuales y emocionales resultan igualmente necesarios y que el sentimiento y pensamiento son los que mueven la creación humana. Por tanto, el profesor debe estar dispuesto a buscar y desarrollar actividades que conlleven a investigar y debe mostrar interés y empatía por este proceso, cautivando a los estudiantes; según Camargo (2020), citado por (da Silva et al., 2021) el profesor debe movilizar siempre las tareas con claridad evitando ambigüedades al tratar los conceptos pertinentes a las tareas de exploración-investigación Como conclusión y resultado de la revisión bibliográfica expuesta en este apartado evidencia que la investigación de la transición de la aritmética al algebra no privilegia como objeto de reflexión lo concerniente a errores y a fallas aritméticas. Al contrario, tiende a centrar la investigación en la búsqueda de patrones y generalización de los mismos enfatizando en los obstáculos que presentan los estudiantes en este proceso, centrando con mayor énfasis en lo epistemológico. Este proyecto radica su importancia en el desarrollo del pensamiento algebraico y el grado de abstracción de los estudiantes al enfrentarse a situaciones problema que implican generalidad. 3. Marco teórico-conceptual En el camino de las matemáticas, el problema del aprendizaje del álgebra escolar es un tema no resuelto; estudiantes de diferentes niveles educativos tienen dificultades en la comprensión de los diversos aspectos y usos que caracterizan a las variables (Herrera López et al., 2016) los cuales se convierten en obstáculos que no permiten el avance. Obstáculo: El concepto de obstáculo fue introducido por primera vez por el filósofo francés Bachelard en el contexto de las ciencias experimentales y bajo la denominación de obstáculo epistemológico, este ha sido uno de los grandes aportes realizado por Bachelard a la moderna teoría del conocimiento, que las cataloga como dificultades psicológicas que no permiten una correcta apropiación del conocimiento objetivo (Villamil Mendoza, 2008) Los obstáculos epistemológicos reconocibles en la historia de la Matemática permiten comprender ciertas dificultades que se evidencian en el aprendizaje del conocimiento matemático Para Bachelard citado por (Malisani, 1999) el obstáculo epistemológico, ... se conoce afrontando un conocimiento anterior, destruyendo los conocimientos mal adquiridos o superando aquello que en el espíritu mismo obstaculiza la espiritualización. Un obstáculo epistemológico se incrusta en el conocimiento no formulado. Costumbres intelectuales que fueron útiles y sanas, pueden después de un tiempo obstaculizar la investigación. Referente al concepto de obstáculo epistemológico propuesto por Bachelard, para ciencias experimentales, es necesario referirse al matemático especialista en didáctica de las matemáticas Guy Brouseau quien adapto este concepto a la didáctica de las matemáticas escolares. En palabras de (Barrantes, 2006) los obstáculos epistemológicos no son necesariamente conocimientos erróneos sino tipos de conocimiento que están obstaculizando a la adquisición de un nuevo, de esta forma el conocimiento es funcional en un contexto es disfuncional en otro más amplio, posterior mente el propio Barrantes plantea: Brousseau propone que el interés didáctico de un problema tiene que estar basado en el desempeño del estudiante, sus ensayos, experiencias, los rechazos que haga y las consecuencias de estos rechazos; también la frecuencia con que el estudiante está dispuesto a cometer errores y la importancia de estos errores. Desde esta perspectiva, los problemas más interesantes serán aquellos que permitan franquear un verdadero obstáculo. La presencia de errores y dificultades en dicha transición motivan a Brousseau a precisa las condiciones que debería satisfacer un conocimiento para poder ser declarado un “obstáculo”: • Un obstáculo es un conocimiento. • Un obstáculo tiene un dominio de “validez”. • Un obstáculo resiste y reaparece. • Un obstáculo es constitutivo del saber. Basado en estas condiciones Brousseau propone una arqueología de los obstáculos, donde plantea los diversos orígenes de estos, según el desarrollo del sujeto y la incursión en modelos culturales específicos: El Ontogénico, que tiene que ver con todo lo relacionado con las limitaciones del sujeto en algún momento de su desarrollo; El Didáctico, que son todos los obstáculos que se adquieren o aparecen por el modo de enseñar o por la escogencia de un tema o una axiomática en particular. A la vez que didáctico puede ser sociocultural; Los Epistemológicos, son los obstáculos que ciertos conceptos tienen para ser aprendidos, es propio del concepto. Cabe resaltar que en este proyecto se abordara solamente obstáculos de origen epistemológico y referente al paso de la aritmética al álgebra específicamente para la categoría de la generalización. Por otra parte (Barrantes, 2006) concluye que “Un obstáculo se manifiesta por los errores que no son debidos al azar. Son errores que aparecen una y otra vez, son reconocibles, se sabe que van a aparecer y que persisten.” Al respecto Una cierta relación entre obstáculo y error lo hace (Malisani, 1999) “El error no es sólo el efecto de la ignorancia, de la duda o del azar, como suponían las teorías conductistas del aprendizaje, sino que es la consecuencia de un conocimiento anterior que se manifiesta falso o no apropiado a una nueva situación”. De este modo la fijación de ciertas tendencias o estrategias y la resistencia a abandonarlas se convierten en un obstáculo para el nuevo conocimiento. Por lo cual otros investigadores hacen clasificaciones de los obstáculos epistemológicos. Al respecto es importante referenciar a (Socas, M 1997) citando a Bacherard, quien interpreta a los obstáculos epistemológicos como causas de estancamiento e incluso de regresión. En este mismo sentido Socas resalta la idea de obstáculo de Tall (1989) quien en su trabajo “Different Cogniteve Obstacles in a Technological Paradigm” los llama como obstáculos cognitivos y distingue dos tipos: Obstáculos basados en secuencia de un tema, este surge fundamentalmente del hecho de que ciertos conceptos tiene un grado de complejidad y es preciso familiarizarse con ellos en cierto orden. Obstáculos basados sobre casos simples, este se da por someter al estudiante a casos simples por un periodo sustancial de tiempo antes de pasar a casos más complejos. Socas tomando las ideas de Bachelard y Brouseau concluye que un obstáculo es un conocimiento adquirido, no una falta de conocimiento, sino algo que se conoce positivamente que tiene un dominio de eficacia y se utiliza para producir respuestas adaptadas a un contesto, pero que resulta ineficaz cuando se cambia el contexto y produce respuestas inadecuadas e incluso incorrectas. Otra clasificación de obstáculo epistemológico dada por Bachelard alude (Mora Zamora, 2002) en su artículo “Obstáculos epistemológicos que afectan el proceso de construcción de conceptos del área de ciencias en niños de edad escolar” en el cual destaca unos tipos de obstáculos: La experiencia básica o conocimientos previos. Los individuos antes de iniciar cualquier estudio, tienen ya un conjunto de ideas muy propias acerca de cómo y por qué las cosas son como son. Estas ideas o conocimientos previos pueden ejercer una potente influencia que puede limitar el proceso de aprendizaje. El obstáculo verbal. Las palabras de índole técnica y científica las que pueden inducir a dificultades de comunicación, El peligro de la explicación por la utilidad. El utilitarismo plantea una serie de problemas a la hora de definir un término, pues existe la tendencia de reducirlo y sintetizarlo de tal manera que se pretende explicar o definir un concepto solamente mediante la idea de utilidad o beneficio. El obstáculo animista. La tendencia de explicar ciertos fenómenos o definir ciertos conceptos haciendo analogías con la naturaleza animada. Se puede concluir que los obstáculos epistemológicos aparecen cuando las dificultades y los errores persisten en el tiempo y se reúsan a desaparecer El acercamiento al algebra Los primeros acercamientos al algebra se realizan en los primeros años de la enseñanza secundaria, para (Palarea, 1998) el acercamiento al "Álgebra" se puede considerar para todos los niños y todas las edades en cuanto es un modo de pensar, sirve como método de aprehender y de explicar interrelaciones, permite una manera de llegar a la generalidad por la vía de lo particular y descubrir los "modelos" que se presentan en lo cotidiano; cabe resaltar a Posada, (2006) citado por (Henry & Irene, 2018) manifiestan que dicha interpretación en el contexto escolar debe ser entendida como una forma de pensamiento matemático que brinda a los estudiantes herramientas conceptuales y procedimentales para identificar, caracterizar y formalizar relaciones, por lo cual puede verse como un proceso que demanda ciertas competencias que se deben estudiar desde la educación básica primaria, por este motivo, el Ministerio de Educación Nacional (MEN) integra el álgebra en la escuela, ya que las dificultades en el aprendizaje de las matemáticas son debidas a múltiples situaciones que van desde una deficiente planificación curricular hasta la naturaleza misma de las matemáticas, que se manifiesta en el simbolismo y proceso de pensamiento pasando por el desarrollo cognitivo de los estudiantes como también por las actitudes afectivas y emocionales. Palarea plantea, “La interpretación que está más en consonancia con el desarrollo histórico del Álgebra en sus tres etapas: retórica, sincopada y simbólica, sugiere que la forma más convencional de concebirla es como la rama de las Matemáticas que trata de la simbolización de las relaciones numéricas generales, de las estructuras matemáticas, y, de las operaciones de esas estructuras. En este sentido, el Álgebra escolar se interpreta como una "aritmética generalizada" y como tal involucra la formulación y manipulación de relaciones y propiedades numéricas.” En relación al Álgebra escolar afirma que un estudio del desarrollo histórico del Álgebra sugiere que, actualmente, es concebida como una rama de las Matemáticas que trata de simbolizar relaciones numéricas generales y estructuras matemáticas y de operación sobre estas estructuras. Cabe resaltar que el proyecto de indagación pedagógica trata al Álgebra como Aritmética generalizada y en consecuencia, las letras forman parte de modelos que permiten generalizar las propiedades numéricas. El adquirir el concepto de variable supone la conjunción de dos procesos: Generalización, que permite pasar de un conjunto de situaciones concretas a algún aspecto común a todas ellas, y, simbolización, que permite expresar de forma abreviada lo que tienen en común todas las situaciones, (Palarea, 1998) cuando se habla del concepto de variable, se incluyen múltiples significados, y cada uno de ellos se corresponde con las distintas formas de enfrentarnos a la generalización. Este análisis del desarrollo del simbolismo algebraico y sus reglas de transformación le permite hacer distinción entre: usar letras para representar incógnitas, en resolución de ecuaciones; usar letras para representar datos, expresando soluciones generales, y usar letras como herramienta para proveer reglas que expresen las relaciones numéricas, que surgen en Lenguaje Algebraico en momentos históricos diferentes. La generalización matemática hace parte importante de la resolución de problemas complejos, está ligada estrechamente al razonamiento matemático y necesita de un lenguaje exclusivo para su expresión, lo que la coloca como parte importante dentro de los procesos de pensamiento matemático y hace que su enseñanza se fundamente en algunos documentos legales como la Ley general de Educación, los Lineamientos curriculares y los Estándares curriculares. Por otra parte la generalización de patrones es uno de los contextos en los que es posible empezar a desarrollar formas de pensamiento algebraico en la Educación Primaria. Investigaciones recientes han mostrado que los estudiantes de los primeros cursos son capaces de comprender algunos aspectos de la generalización de patrones antes de ser introducidos el álgebra formal (Callejo, Ma Luz, 2015). Es importante resaltar que desde hace algunos años, la importancia de los patrones en matemáticas ha sido tal que ha habido un cambio significativo en lo que la comunidad científica entiende por saber y hacer matemáticas. Los patrones matemáticos se consideran la estructura que permite modelizar las reiteraciones que se observan en el entorno, y la esencia y corazón de las matemáticas, es por esto que un acercamiento a la idea de patrón incluye términos como secuencia, serie, orden, predecible, regularidad o estructura, entre otras. Todas ellas son relevantes y permiten acotar la esencia de la noción de patrón. Para las matemáticas básicas, un patrón se puede describir como cualquier regularidad predecible que, por lo general, implica relaciones lógicas, numéricas o espaciales. Dichas relaciones constituyen la estructura del patrón, el cual se rige por una regla que recoge esas relaciones. Con el conocimiento y la importancia del trabajo con patrones y la generalización en Matemáticas, los Núcleos de Aprendizaje Prioritarios (Ministerio de Educación, 2011) y el Diseño Curricular (Ministerio de Educación, 2014), espera que los alumnos construyan referencias para realizar, analizar y modelizar las transformaciones algebraicas que representan la equivalencia de expresiones que conlleven a la generalización. Además, se plantean distintos asuntos didácticos respecto de la resolución y la expresión de las soluciones de un problema, pues el proyecto de enseñanza ve necesidad de tratar situaciones problemáticas que se puedan resolver por distintos caminos o procedimientos, que no tengan solución, que admitan varias soluciones y que una fórmula sea reconocida como la respuesta a un problema. Cuando los alumnos crean fórmulas durante la resolución de diferentes actividades, estas pueden ser distintas (es decir, un alumno puede encontrar distintas expresiones o en un curso puede haber diferentes) y todas ellas ser correctas, pues cuentan o calculan lo mismo para cada valor de la variable. Por medio de este tipo de situaciones se construye la noción de equivalencia de expresiones algebraicas. Es así que cuando se trabaja en las escuelas desde cinco pensamientos que posibilitan el desarrollo de habilidades comunicativas y de razonamiento frente a las matemáticas (pensamiento variacional, numérico, métrico, aleatorio y pensamiento espacial y sistemas geométricos), y se hace énfasis en los procesos de comunicación, modelación, resolución de problemas y ejercitación de procedimientos como parte del quehacer pedagógico al interior del aula, es promover el aprendizaje de las matemáticas en contextos cotidianos, de la matemática misma y de otras disciplinas; al respecto en los Lineamientos Curriculares de Matemáticas [LCM] promueven que el pensamiento varacional se empieza a trabajar desde los primeros años de la educación tomando mayor relevancia al cursar los primeros años de la enseñanza secundaria, estos lineamientos buscan incentivar el espíritu investigativo de los actores. 4. Objetivos a alcanzar en el desarrollo de la investigación Proponer recomendaciones metodológicas de enseñanza relacionadas con obstáculos 4.1 Objetivo epistemológicos referentes al proceso de generalización en la transición de la aritmética al general álgebra, de los estudiantes de grado octavo de las instituciones educativas: IEM Luis Eduardo Mora Osejo y IER Jorge Eliecer Gaitán. 4.2 Objetivos Preguntas o Productos específicos cuestiones que guiarán la consecución de cada uno de los objetivos Identificar los Identificar los 1. Caracterización OE1: obstáculos obstáculos de los obstáculos epistemológicos que epistemológicos epistemológicos la literatura que la literatura encontrados en la especializada señala especializada literatura en el proceso de señala en el especializada de generalización en la proceso de las matemáticas. transición del generalización en lenguaje aritmético la transición del 2. Cuestionario al lenguaje lenguaje para identificar algebraico. aritmético al obstáculos lenguaje epistemológicos. algebraico. Identificar los ¿Qué obstáculos 1. Listado de OE2: obstáculos que epistemológicos obstáculos presentan los presentan los evidenciados en estudiantes de las estudiantes de los estudiantes de dos instituciones, en grado octavo de las dos el proceso de las dos instituciones. generalización instituciones en 2. Apartado de un asociados a la el proceso de artículo en el cual transición del generalización se describan los lenguaje aritmético al lenguaje algebraico. OE3: Analizar diferencias y similitudes en los resultados obtenidos en las dos instituciones en las cuales se realizará el proyecto de indagación pedagógica, después de aplicar el instrumento de indagación. asociados a la transición del lenguaje aritmético al lenguaje algebraico? ¿Los obstáculos epistemológicos encontrados son los mismos en los estudiantes de las dos instituciones? obstáculos epistemológicos encontrados. 3. Presentación en un evento académico. 1. Comparativa de obstáculos entre los estudiantes de las dos instituciones. 2. Recomendaciones metodológicas para abordar los obstáculos epistemológicos encontrados. 3. Ponencia en un evento académico. 5. Materiales y métodos 5.1 Naturaleza de la investigación 5.1.1 Metodología: Esta investigación se enmarca en el paradigma de la investigación cualitativa, entendida como "una actividad sistemática orientada a la comprensión de fenómenos educativos y sociales, a la transformación de prácticas y escenarios socioeducativos, a la toma de decisiones y también hacia el descubrimiento y desarrollo de un cuerpo organizado de conocimientos" (Sandín Esteban, 2013) p. 123), cuyas principales características de acuerdo a (Sandín Esteban, 2013) son: Depende del contexto, entendiendo que los fenómenos, en nuestro caso educativos, no pueden ser comprendidos adecuadamente por fuera de su contexto natural y no construido ni modificado. La experiencia con los participantes se aborda de manera holística; es decir analiza al participante desde sus múltiples interacciones que lo caracterizan, la importancia del investigador como el instrumento principal, que a través de la interacción con la realidad recoge datos sobre ésta, siendo necesaria una formación de éste a nivel teórico y metodológico que le permita ser sensible ante sus fenómenos de estudio Otra característica de la investigación cualitativa es su carácter interpretativo, desde dos visiones: la del investigador que trata de justificar, elaborar o integrar sus hallazgos en un marco teórico y la del investigador que desea acercarse a la experiencia personal de los participantes desde sus significados y la visión del mundo. 5.1.2 Diseño Metodológico: De acuerdo a nuestro proyecto de indagación pedagógica se centra en un diseño de investigación cualitativo de enfoque fenomenológico, ya que para llevar a cabo una investigación bajo este enfoque, es indispensable conocer la concepción y los principios de la fenomenología así como el método para abordar un campo de estudio y mecanismos para la búsqueda de significados, cuyo propósito principal es explorar, describir y comprender las experiencias de los estudiantes con respecto a un fenómeno y descubrir los elementos en común de tales vivencias (Hernández Sampieri et al., 2014). Además se fija su objetivo en la develación de las concepciones de los actores educativos en torno a un fenómeno concreto relacionado con el área de Matemática en especial en el estudio del paso de la aritmética al algebra y recopilar información que permita identificar y descubrir si los estudiantes logran establecer relaciones entre el pensamiento aritmético y el pensamiento algebraico y que obstáculos presentan al llegar al estudio del álgebra en el grado octavo. 5.2 Población y criterios de selección Los participantes de la investigación serán los estudiantes del grado octavo de la institución Jorge Eliecer Gaitán de Puerto Leguizamo (Putumayo) y la institución Luis Eduardo Mora Osejo de la ciudad de Pasto, la selección de los participantes se hizo por conveniencia ya que son los grupos de estudiantes que los maestrantes tienen a cargo. Son estudiantes que están en un rango de edad entre los doce (12) a dieciséis (16) años, que cursan el grado octavo de educación básica un grupo de población rural y pertenecientes a la institución Jorge Eliecer Gaitán de carácter oficial, ubicada en el corregimiento de Puerto Ospina población rivereña a orillas del rio putumayo, otro grupo pertenece a la institución Luis Eduardo Mora Osejo es de carácter oficial ubicada en zona urbana del municipio de Pasto, los dos grupos en su mayoría pertenecen a los estratos 1 y 2. Además esta selección fue de común acuerdo entre los maestrantes ya que el objetivo es aplicar las recomendaciones que el proyecto sugiere para la enseñanza del al álgebra, en especial la búsqueda y generalización de patrones. 5.3 Instrumentos de recolección y unidades de análisis de datos En este apartado del proyecto de indagación pedagógica analizaremos como los estudiantes se enfrentan ante una situación problema que involucra generalización y la búsqueda de patrones, cuál es su grado de abstracción y la dificultad que presentan en este proceso. Los instrumentos de recolección de datos que se utilizarán en el proyecto de investigación pedagógica serán: Cuestionario los cuales vayan enfocados en la búsqueda o evidencia de los obstáculos que los estudiantes puedan presentar al desarrollar la prueba, que serán previamente elaborados por los maestrantes, analizados y validados a juicio de expertos. Observación participante de la actividad programada por los maestrantes que permitirá establecer los tipos de obstáculos que presentan los estudiantes. Este instrumento de validación implica una complejidad mayor en tanto el investigador observador es a la vez el profesor que gestiona la clase. Este análisis estará enmarcado en los obstáculos que presentan los estudiantes al enfrentarse a una situación problema con el uso de variables y de incógnitas, para ello utilizaremos la clasificación que hace Bachelard de estos obstáculos Unidades de análisis Tipos de preguntas que hagan los estudiantes durante el desarrollo Respuestas de los estudiantes al cuestionario Distintas formas o procedimientos de llegar a la respuesta 5.4 Etapas para el desarrollo del trabajo de campo La Tabla 1 relaciona las etapas y actividades para el desarrollo del proyecto en el trabajo que se realizara con los participantes de la indagación pedagógica. Tabla 1: Etapas para el desarrollo del proyecto No. Etapa Actividad Ya que el tema de indagación pedagógica está 1 Definir la población enmarcado en el estudio del algebra, el grupo al cual está dirigido son estudiantes del grado octavo de las instituciones en las cuales desempeñan su labor docente sus maestrantes. Se diseñara un cuestionario con situaciones 2 Diseño y validación del cuestionario problema que implique generalidad y búsqueda de patrones. El cuestionario previamente diseñado y validado a 3 Aplicar el instrumento juicio de expertos se aplicara a los estudiantes para la solución del mismo En esta etapa tomaremos los resultados de las 4 Análisis de los resultados prueba propuesta para detectar los tipos de obstáculos en los que incurren los individuos Con base en los resultados encontrados se elabora 5 Diseño de la propuesta unas recomendaciones y propuesta de enseñanza 5.5 Etapas para el desarrollo del proyecto (y articulación con los objetivos específicos) Tabla Articulación con objetivos específicos No. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Etapas OE1 Identificar los obstáculos epistemológicos 1. Revisión bibliográfica de literatura especializada que la literatura especializada señala en el enfocada en los diferentes obstáculos presentados proceso de generalización en la transición del durante la transición la aritmética al álgebra. lenguaje aritmético al lenguaje algebraico. OE2 Identificar los obstáculos que presentan los 2. Diseñar y construir el instrumento de recolección estudiantes de las dos instituciones, en el de información (cuestionario-taller). Se diseñará un proceso de generalización asociados a la cuestionario, el cual permita identificar los obstáculos epistemológicos más frecuentes. transición del lenguaje aritmético al lenguaje 3. Validar el instrumento de recolección de información: será validado a juicios de expertos. algebraico. 4. Aplicar el instrumento de recolección de información: Se aplicará el cuestionario a los estudiantes de grado octavo de las dos instituciones educativas, con el propósito de encontrar los obstáculos epistemológicos recurrentes presentados en la transición de la aritmética al álgebra. 5. Revisar y analizar la información obtenida de las respuestas dadas por los estudiantes a las preguntas planteadas en el cuestionario y en las preguntas e inquietudes realizadas durante la aplicación de la prueba y cuando se realice la socialización de las respuestas correctas del cuestionario. OE3 Analizar diferencias y similitudes en los resultados obtenidos en las dos instituciones en las cuales se realizará el proyecto de indagación pedagógica, después de aplicar el instrumento de indagación. 6. Comparar la información aportada por otros autores sobre los obstáculos presentados durante la transición de la aritmética al álgebra teniendo en cuenta la generalización y los resultados obtenidos en los cuestionarios desarrollados por los estudiantes. 7. Proponer recomendaciones, sugerencias metodológicas a partir de los hallazgos encontrados, con el objetivo de minimizar dichos obstáculos encontrados y que presentan mayor recurrencia en los estudiantes al transitar de la aritmética al álgebra. 6. Cronograma de actividades (y articulación con las fases de la investigación) En este apartado relacionamos los tiempos en los cuales se realizar cronológicamente el desarrollo del proyecto de indagación pedagógica cada una de sus etapas están en el Anexo 2 7. Referencias bibliográficas Referencia Bibliográfica Arzarello, Bazzini, C. (1995). The construction of algebraic knowledge : towards a socio-cultural theory and practice The construction of algebraic knowledge : towards a socio-cultural theory and practice. January. Barrantes, H. (2006). Los obstáculos epistemológicos. 1(2). Bautista, José L-Pérez, Martha Hilda Bustamante-Rosario, Amaya, T. (2021). 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Categorización de citas por artículo Revistas Link de ingreso Educación matemática https://www.revista-educacionmatematica.org.mx/revista/ https://www.relime.org/ 1Relime Unión: Revista iberoamericana de educación matemática Avances de investigación en educación matemática Redimat https://union.fespm.es/index.php/UNI ON http://www.aiem.es/index.php/aiem https://hipatiapress.com/hpjournals/ind ex.php/redimat/index PNA. Grupo de Investigación Didáctica http://www.pna.es de la Matemática: Pensamiento Numérico Educación matemática en la infancia http://www.edma06.es/index.php/edma0-6 Revista Chilena de educación https://www.sochiem.cl/revistamatemática rechiem/index.php/rechiem Bolema: Boletim de Educação http://www2.rc.unesp.br/bolema Matemática Educación matemática unión matemática http://inmabb.criba.edu.ar/revuma/rev argentina uma.php FUENTE: propia No. De articulo 23 8 34.8% 5 21.74% 2 8.7% 3 13,04% 1 4.34% 2 8.7% 1 4.34% 1 4.34% 0% 0% No. De artículos por No. categoría Cita C1 C2 C3 C4 40 3 6 2 2 13 Referencia articulo 23 8 2 3 3 3 1 1 7 5 1 1 6 2 1 1 8 3 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 del Anexo 2 Tabla 2: Etapas para el desarrollo del proyecto de indagación pedagógica FASES DE LA INDAGACIÓN Escritura del proyecto de indagación pedagógica. Diseño y validación de los instrumentos de recolección de la información. Diseño de la propuesta didáctica. Socialización de resultados. Escritura del artículo. FASES DE LA INDAGACIÓN Escritura del artículo. ACTIVIDADES A REALIZAR Revisión bibliográfica y antecedente. Descripción del problema de investigación. Sustentación del proyecto. Diseño del cuestionario de indagación. Validación del cuestionario por juicio de expertos. Aplicación del cuestionario de indagación. Análisis de los resultados del cuestionario, de las preguntas que puedan surgir durante su aplicación y en la socialización de las respuestas. Diseño de la propuesta didáctica con recomendaciones, sugerencias y actividades, para tratar de minimizar los obstáculos más recurrentes encontrados. Validación por juicio de expertos de la propuesta didáctica. Presentación de la primera ponencia. Presentación de la segunda ponencia. Diciembre Enero Febrero Marzo Abril Mayo Año 2021 – 2022 Junio Julio Agosto Septiembre Otubre Noviembre OCTUBRE NOVIEMBR E Escritura del trabajo. ACTIVIDADES A REALIZAR Escritura, socialización y sustentación del trabajo. AÑO 2022-2023 DICIEMBRE ENERO FEBRERO MARZO ABRIL MAYO JUNIO JULIO AGOSTO SEPTIEMBR E