Vibraciones y ondas (A. P. French)

Indice analítico
Elasticidad y módulo de Young 52
Objetos flotantes 56
Péndulos 59
Agua en un tubo en U 61
Oscilaciones por torsión 62
«E l muelle de aire» 65
Oscilaciones de muelles cuya masa es grande 69
Amortiguamiento de las oscilaciones libres 72
Efectos que produce un amortiguamiento muy grande
P R O B L E M A S 80
V ib r a c io n e s fo r z a d a s y re so n a n cia
• Oscilador no amortiguado con impulsión armónica 90
El método del exponente complejo en el caso
dé oscilaciones forzadas 94
Oscilaciones forzadas con amortiguamiento 96
Influencia de la variación del término resistivo 102
Fenómenos transitorios 104
Potencia absorbida por un oscilador impulsado 111
Ejemplos de resonancia 116
Resonancia eléctrica 117
Resonancia óptica 120
Resonancia nuclear 123
Resonancia magnética nuclear 125
Osciladores anarmónicos 127
PROBLEMAS
128
O scila d o re s a c o p la d o s y m o d o s n o rm a le s
D os péndulos acoplados 139
Consideraciones de simetría 141
Superposición de modos normales 142
Otros empleos de osciladores acoplados 146
Frecuencias normales: método analítico general
Vibración forzada y resonancia para dos
osciladores acoplados 151
N osciladores acoplados 156
Cálculo de modos normales para N
osciladores acoplados 158
Propiedades de los modos normales para N
osciladores acoplados 161
Osciladores longitudinales 166
N muy grande 168
M odos normales de una red cristalina
PROBLEMAS
174
172
148
índice analítico
6
M o d o s n o rm a le s de sistem a s c o n tin u o s . A n á lisis d e F u rier
XI
183
Vibraciones libres de cuerdas alargadas 184
Superposición de modos sobre una cuerda 189
Vibración armónica forzada de una cuerda tensa 191
Vibraciones longitudinales de una varilla 193
* Vibraciones de columnas de aire 197
' Elasticidad de un gas 199
~ Espectro completo de modos normales 202
M odos normales de un sistema bidimensional 205
M odos normales de un sistema tridimensional 215
Análisis de Fourier 214
Análisis de Fourier en acción 216
M odos normales y funciones ortogonales 221
P R O B L E M A S 222
7
O ndas p ro g re siv a s
¿Q u é es una onda? 221
M odos normales y ondas en movimiento 228
Ondas progresivas en una dirección 255
Velocidades de las ondas en medios específicos
Superposición 240
* Pulsos de ondas 242
227
256
Movimiento de pulsos de onda de forma constante
Superposición de pulsos de ondas 257
* Dispersión: Velocidad de fase y de grupo 259
El fenómeno de corte 265
La energía de una onda mecánica 267
Transporte de energía mediante una onda 271
Flujo de cantidad de movimiento y presión
de radiación mecánica 275
Ondas en dos y tres dimensiones 274
P R O B LE M AS 276
8
251
E fe cto s d e b id o s a lo s lím ite s e in te rfe r e n c ia s
Reflexión de pulsos de ondas 285
Impedancia: Terminaciones no reflectoras 295
Ondas longitudinales en contraposición con las ondas
transversales: Polarización 297
Ondas en dos dimensiones 298
Principios de Huygens-Fresnel 500
Reflexión y refracción de ondas planas 505
Efectos Doppler y fenómenos relacionados 308
285
X II
índice analítico
Interferencias producidas por una doble rendija
Interferencias por rendijas múltiples
(redes de difracción)
320
Difracción por una sola rendija 324
Diafragmas de interferencias de sistemas
de rendijas reales 331
P R O BLE M AS 335
Bibliografía 341
Soluciones a los problemas 348
índice alfabético 353
314
Vibraciones y ondas
Éstos son los fe n ó m e n o s d e los m u elles y cu erp os elá sticos,
los cu a les, h asta a h o ra , que yo sepa,, n ad ie ha red u cid o
a reglas, de m od o que tod os los in te n to s para ex p lica r la
razón d e su fu erza y ela sticid a d en g en era l, h an sid o t o ­
ta lm en te in su ficien tes.
robert
hooke,
D e P o ten tia R e s titu tiv a (1678)
1
Movimientos
periódicos
las
v ib r a c io n e s
u oscilaciones de los sistemas mecánicos constituyen uno de
los campos de estudio más importantes de toda la física. Virtualmente todo
sistema posee una capacidad de vibración y la mayoría de los sistemas pueden
vibrar libremente de muchas maneras diferentes. En general, las vibraciones
naturales predominantes de objetos pequeños suelen ser rápidas, mientras que
las de objetos más grandes suelen ser lentas. Las alas de un mosquito, por
ejemplo, vibran centenares de veces por segundo y producen una nota audible.
La Tierra completa, después de haber sido sacudida por un terrem oto, puede
continuar vibrando a un ritmo de una oscilación por hora aproximadamente.
El mismo cuerpo humano es un fabuloso recipiente de fenóm enos vibratorios;
com o se ha escrito: 1
Después de to d o , nuestros cora zon es laten, nuestros pulm ones oscilan,
tiritam os cuan do tenem os frío, a veces roncam os, pod em os oír y hablar
gracias a que vibran nuestros tím panos y laringes. Las ondas luminosas
que nos perm iten ver son ocasionadas por vibraciones. N os m ovem os
porque hacem os oscilar las piernas. Ni siquiera pod rem os decir correcta­
mente “ v ib ra ción ” sin que oscile la punta de nuestra lengua... Incluso
los átom os que com p on en nuestro cu erp o vibran.
La característica com ún de todos estos fenóm enos es su periodicidad.
Existe un esquema de m ovim iento o desplazamiento que se repite una y otra
1 Según R. E. D. Bishop, en Vibration, Cambridge University Press, N. Y. 1965. Una
descripción general viva y fascinante de las vibraciones con referencia especial a los pro­
blemas técnicos.
3
4
Movimientos periódicos
vez. Este esquema puede ser sencillo o com plicado. La figura 1-1 muestra un
ejemplo de los dos casos — el ciclo más bien com plicado de variaciones de
presión dentro del corazón de un gato y la curva sinusoida
casi pura de las
vibraciones de un diapasón. En ambos casos el eje horizontal representa el avan­
ce continuo del tiempo y puede identificarse la duración del tiem po,
el período
T , dentro del cual se realiza un ciclo com pleto de vibración.
Fig. 1-1. (a) Variaciones de presión dentro del corazón de un gato. (Según
Straub en el libro de E. H. Starling, Elem ents o f H um an P h ysiology, Churchill,
London, 1907.) (b) Vibraciones de un diapasón.
En este libro estudiaremos cierto número de aspectos de los m ovim ientos
periódicos, y con estas bases discutiremos los fenómenos de ondas progresi­
vas que están estrechamente ligadas. Empezaremos con una breve descripción
puramente cinemática de las vibraciones. Después pasaremos a analizar algu­
nas de las propiedades dinámicas de los sistemas en v ib ra ción , aquellas
ca­
racterísticas dinámicas que nos permiten considerar el m ovim iento vibratorio
com o un problema físico real y no sólo com o un ejercicio matemático.
V IB R A C IO N E S S IN U S O ID A L E S
Concentraremos preferentemente nuestra atención sobre las vibraciones si­
nusoidales del tipo indicado en la figura 1-1 (b). Para ello podem os dar dos
razones — una física y otra matemática, ambas básicas para nuestro objetivo.
Vibraciones sinusoidales
5
,La razón física consiste en que realmente se presentan vibraciones puramente
sinusoidales en
una gran
variedad de sistemas mecánicos,
por fuerzas restauradoras
siendo originadas
que son proporcionales a los desplazamientos res­
pecto al equilibrio. Este tipo de m ovim iento es posible casi siempre si el des­
plazamiento es suficientemente pequeño. Si, por ejemplo, tenemos un cuerpo
sujeto a un muelle, la fuerza ejercida sobre el mismo cuando el desplazamien­
to respecto al equilibrio es x puede describirse en la forma
F(x) = ~ ( k i x + k 2x 2 + k 3x 3 + •* •)
donde klf k2, k3, etc., son una serie de constantes, y siempre podrem os encon­
trar un margen de valores de x dentro del cual sea despreciable la suma de
términos correspondientes a x2, x d, etc., de acuerdo con cierto criterio previo
(por ejemplo, hasta 1 parte en 10s o 1 parte en 106) en com paración con el
término — kxx 9 a no ser que el mismo k^ sea nulo. Si el cuerpo tiene masa m
y la masa del muelle es despreciable, la ecuación del m ovim iento del cuerpo
se reduce entonces a
d2x
- / n — = - k ix
A -
d t
que, com o puede comprobarse fácilmente, queda satisfecha por una ecuación
de la forma
x = A sen (wí + ?0)
(1-1)
en donde w = (fci/m)1/2. Esta breve discusión nos servirá para recordar que la
vibración sinusoidal — m ovim iento arm ónico simple— es una posibilidad muy
a tener en cuenta en las vibraciones pequeñas, pero también para que no ol­
videmos que es sólo una aproxim ación (aunque quizá muy buena) del m ovi­
miento real.
La segunda razón — matemática— de la profunda importancia de las vi­
braciones sinusoidales puras se debe a un fam oso teorema propuesto por el
matemático francés }. B. Fourier en 1807. De acuerdo con el teorema de
Fourier, cualquier perturbación que se repita regularmente con un período T
puede formarse mediante (o es analizable en) un conjunto de vibraciones si­
nusoidales de períodos T, T¡2, T ¡3, etc., con amplitudes seleccionadas de
m odo adecuado, es decir mediante una serie formada "por (para utilizar una
terminología musical) una frecuencia fundamental, y todos sus armónicos. In­
sistiremos en este punto más adelante, pero llamamos ahora la atención sobre
6
Movimientos periódicos
este teorema para que quede claro que no limitamos el objetivo o posibilidad
de aplicación de nuestro estudio al concentrarnos en el m ovim iento arm ónico
simple. Por el contrario, una total familiaridad con las vibraciones sinusoidales
nos abrirá la puerta a todos los problemas imaginables en que intervengan
fenóm enos periódicos.
D E S C R IP C IÓ N
D EL M OVIM IENTO A R M Ó N IC O SIM P LE
Un m ovim iento del tipo descrito en la ecuación (1-1), m ovim iento arm ónico
simple (M A S ),1 se representa en un gráfico x — t de la form a indicada en la
figura 1-2. Destaquemos las características más importantes de esta perturba­
ción sinusoidal:
x
Fig. 1-2.
1.
M ovim iento arm ónico simple de período T y amplitud A .
Está confinada dentro de los límites x = + A . La magnitud positiva A
se denomina amplitud del movimiento.
2.
El m ovim iento tiene un período T igual al tiempo transcurrido entre
dos máximos sucesivos o más generalmente entre dos m om entos sucesivos en
que se repitan tanto el desplazamiento x com o la velocidad dx¡dtt Dada la
ecuación básica (1-1),
x = A sen (wt + <pQ
)
1 Emplearemos con frecuencia
esta abreviatura.
Descripción del movimiento armónico simple
7
el período debe corresponder a un aumento de 2n en el argumento de la fun­
ción sinusoidal. A sí pues, se tiene
cc(t + T) + (po = (o)t + <po) +
de aquí que
( 1- 2)
La situación en t = 0 (o en cualquier otro instante señalado) queda com ple­
tamente especificada si se establecen los valores de x y dx/dt en dicho m o­
mento. En el instante particular t = 0, llamaremos a estas magnitudes x 0 y v0,
respectivamente. Entonces se tienen las identidades siguientes:
x 0 = A sen <p0
v0 = wA eos
Si se sabe que el m ovim iento viene descrito por una ecuación de la forma (1-1), pueden utilizarse estas dos relaciones para calcular la amplitud A
y el ángulo (p0 (ángulo de fase inicial del m ovim iento):
E1 valor de la frecuencia angular o> del m ovim iento se supone con ocid o por
otros medios.
vLa ecuación (1-1) tal y com o se ha escrito define una variación sinusoidal
de x con t para todos los valores de t, considerada com o una variable puramen­
te matemática, o sea de — x> a + <x>. C om o todas las vibraciones reales tienen
un principio y un final, no puede ser descrita solo por la ecuación (1-1) aunque
sea sinusoidal pura mientras dure. Si, por ejemplo, se iniciase un m ovimiento
armónico simple en t = tx y se parase en í = t2, su descripción completa en
términos matemáticos exigiría un total de tres ecu a cion es:
—
oo < t < t 1
2
t2 < t < se
x = 0
x = A sen (wt -f <p0)
x = 0
Esta limitación de la validez de la ecuación (1-1) com o descripción completa
de una vibración
armónica simple real deberá recordarse siempre. N o es
una sutileza matemática. A juicio de un criterio físico estricto, una vibración
8
Movimientos periódicos
no resulta ser efectivamente sinusoidal pura, a no ser que continúe un gran
número de períodos. Por ejemplo, si el oíd o pudiese recibir un ciclo com pleto
del sonido producido por un diapasón, vibrando com o en la figura 1-1 (b), la
impresión aural no sería en absoluto la de un tono puro con la frecuencia
característica del diapasón, sino más bien una discordancia de to n o s .1 Sería
prematuro, y en cierto m odo sin interés, estudiar el fenóm eno con más detalle
en este punto;
el problema afecta de nuevo al análisis de Fourier. Lo que
importa en este m om ento es darse cuenta de que las vibraciones armónicas
simples de un sistema físico real deben continuar durante largo tiempo, de­
ben representar lo que suele denominarse un estado estacionario de vibra­
ción, para que la ecuación (1-1) pueda utilizarse por sí misma com o una
descripción adecuada de las mismas.
R EP R ESEN TA CIÓ N M EDIAN TE UN V E C T O R R O TA TO RIO
Uno de los procedimientos más útiles para describir el m ovim iento armónico
simple se obtiene considerándolo com o la proyección de un m ovim iento circu­
lar uniforme. Imaginemos, por ejemplo, que se hace girar un disco de radio A
alrededor de un eje vertical con una velocidad de o> rad/seg. Supóngase que
se sujeta un taquito al borde del disco y que un haz horizontal de luz para­
lela proyecta la sombra del taco sobre una pantalla vertical, com o se indica
en la figura 1-3 (a). Entonces esta sombra realiza un m ovim iento armónico
simple con período 2?r/w y amplitud A a lo largo de una recta horizontal en
la pantalla.
De m odo más abstracto, podem os imaginar el M A S com o la proyección geo­
métrica de un movimiento circular uniforme. (Por proyección geom étrica en­
tendemos simplemente el proceso de trazar una perpendicular a una recta
dada desde la posición instantánea del punto P.) En la figura 1-3 (b) se indica
cóm o puede proyectarse el extremo del vector rotatorio O P sobre un diá­
metro de la circunferencia. En particular escogemos el eje horizontal Ox
com o recta base sobre la cual tiene lugar la oscilación real. La posición instan­
tánea del punto P se define entonces mediante la longitud constante A y el
1 La complejidad del sonido puede probarse de m odo más convincente utilizando un
analizador automático de ondas, pues se sabe que lo que oímos no es una réplica exacta de
la onda sonora incidente — el oído produce distorsiones. Véase, por ejemplo, M. A. Van
Bergeijk, J. R. Pierce y E. A . David, Waves and the Ear, Doubleday (Anchor Book), Nueva
York, 1960.
Representación mediante un vector rotatorio
9
(a)
Haz de luz
paralela
(b)
M ovim iento arm ónico simple com o p royección en su propio plano
de un m ovim iento circular uniforme.
Fig. 1-3.
ángulo variable 6. Coincidirá con el convenio normal de las coordenadas p o­
lares si escogemos el sentido contrario a las agujas del reloj com o positivo;
el valor' real de 6 puede escribirse entonces
6 = co/ + a
en donde a es el valor de 8 para t = 0.
C om o se especificó anteriormente, el desplazamiento x del movimiento
real viene dado por
x = A eos 8 = A eos(c¿t + a)
(1-3)
10
Movimientos periódicos
A primera vista, esta ecuación es diferente de la que sirvió para describir
el m ovim iento arm ónico simple, ecuación (1-1). Sin embargo, podem os fácil­
mente satisfacer la exigencia de que sean idénticas, porque para un ángulo 0
cualquiera se tiene
eos 6 = sen (d + ^
La identidad de las ecuaciones (1-1) y (1-3) exige que
A sen (wí + epo) = A eos (wí + a)
es decir,
sen (coi + 9o) = se n ^a>i + a + -
Son iguales los senos de dos ángulos si éstos son iguales o difieren en un
múltiplo entero de 2?r. Tom ando la posibilidad más sencilla, se puede escribir
<po = a +
-
(1_4)
La equivalencia de las ecuaciones (1-1) y (1-3) sometidas a las condiciones
anteriores nos permiten describir cualquier vibración armónica simple igual­
mente bien en función de un seno o de un coseno. Sin embargo, en buena par­
te de nuestro análisis futuro, resulta más aconsejable utilizar la form a coseno,
de m odo que pueda aprovecharse la descripción del desplazamiento com o la
proyección de un vector en rotación uniforme sobre el eje de referencia del
plano polar de coordenadas. El empleo de este m étodo en toda su riqueza
reposa en algunas ideas matemáticas que consideraremos en las secciones si­
guientes.
VECTO RES
R O TA T O R IO S Y
N Ú M ER O S C O M P LEJO S
El em pleo de un m ovim iento circular uniforme com o fundamento puramente
geom étrico para describir el M A S tiene más importancia de lo
Este m ovim iento circular,
que parece.
una vez establecido, define el M A S de amplitud A
y frecuencia angular w sobre cualquier recta contenida en el plano del círculo.
En particular, si imaginamos un eje y perpendicular al eje físico real O x del
Vectores rotatorios y números complejos
11
movimiento real, el vector rotatorio OP nos define, además de la verdadera
oscilación sobre el eje x , otra oscilación ortogonal sobre el eje y, de m odo que
X
= A
COS ( w f - f a)
(1-5)
y = A sen (W 4- a)
y aunque este m ovim iento sobre el eje y no tenga existencia real, podem os pro­
ceder com o si nos ocupásem os del m ovim iento de un punto en dos dimen­
siones, según describen las ecuaciones (1-5), con tal que al final aislemos sólo
el componente x, ya que únicamente este resultado es el que posee significado
físico en el m ovim iento así descrito.
y
Fig. 1-4.
R epresentaciones cartesianas y polares de un v ecto r rotatorio.
Existe un m odo carente de ambigüedad para establecer y mantener la
diferencia existente entre las com ponentes físicamente reales y no reales del
movimiento. Supóngase que un vector OP (fig. 1-4) tiene las coordenadas p o ­
lares (r, 0). Las com ponentes (x, y) rectangulares (cartesianas) vienen dadas,
com o es natural, por las ecuaciones:
x = r eos 6
y = r sen 6
El vector com pleto r puede expresarse entonces com o el vector suma de
estos dos com ponentes ortogonales. Si preferimos emplear la notación acos­
tumbrada del análisis vectorial, utilicem os el vector unitario i para designar
12
Movimientos periódicos
los desplazamientos a lo largo de x, y el vector unitario j para designar los
desplazamientos a lo largo del eje y. Pondremos entonces
r =* ix + ¡y
Pero sin sacrificar ninguna información, se puede definir el vector median­
te la ecuación siguiente:
r = x+ jy
(1-6)
T o d o lo que se requiere es un convenio inicial, mediante el cual se admita que
la ecuación (1-6) encierra las siguientes consecuencias:
1.
Un desplazamiento, com o x, sin ningún factor que lo califique, ha de
realizarse en una dirección paralela al eje x.
2.
El término j y ha de leerse com o una instrucción para hacer que el
desplazamiento y sea en una dirección paralela al eje y . De hecho, suele ser
costumbre prescindir del simbolismo vectorial introduciendo una magnitud z,
que ha de entenderse com o el resultado de sumar jy o x , es decir, es idéntica
a la definición de r. A sí pues, se tiene
z = * + Jy
(1-7)
A m p lie m o s ahora la interpretación del sím bolo /, considerándolo c o m o una
instrucción para realizar una rotación de 9 0 ° en sentido contrario a las agujas
del reloj al desplazam iento que precede. Considerem os los siguientes ejemplos
esp ecíficos:
a.
Para obtener la magnitud jb f se marca una distancia b sobre el eje x
y luego se hace girar 90° de m odo que termine hacia arriba equivaliendo a un
desplazamiento b a lo largo del eje y.
b.
Para formar la magnitud f b primero se obtiene jb, com o anteriormen­
te, y luego se le aplica otra rotación de 90° ,
com o
es decir, identificamos j2b
/ ( / / > ) . Pero esto nos lleva a su vez a una identidad importante. Dos
rotaciones sucesivas de 90° en el mismo sentido convierten al desplazamiento
b (en el sentido positivo de x) en el desplazamiento — b. De aquí que poda­
mos escribir la identidad algebraica
j2 -
-1
( 1- 8)
Vectores rotatorios y números complejos
13
La magnitud / puede considerarse así, hablando algebraicamente, com o la raíz
cuadrada de — 1. (Y — / e s otra raíz cuadrada que también satisface la ecua­
ción anterior.)1
(a)
(bj
(a) R epresentación de un vector en el plano
multiplicación de z por j equivale a una rotación de 90°.
Fig.
c.
1-5.
com plejo,
(b )
La
Supóngase que tom am os un vector z que tiene una com ponente x de
longitud a y otra com ponente y de longitud b (fig. 1-5). ¿Q ué es j z l Se tiene
z = a + jb
j z - ja + j 2b
= ja + (-b )
La suma de los dos nuevos vectores com ponentes del segundo miem bro de
esta ecuación se indica en la figura 1-5 (b).
¡La receta es consistente!
El
vector resultante jz se obtiene a partir del vector original z aplicándole una
rotación de 90°.
Aunque el lector no haya estudiado previamente estos conceptos, se dará
cuenta fácilmente de que estamos m oviéndonos en la línea divisoria (o más
adecuadamente sobre un puente) entre la geometría y el álgebra. Si las mag­
nitudes a y b son números reales, com o hemos supuesto en el ejem plo c, en­
tonces la com binación z = a + jb es lo que se con oce com o núm ero com plejo.
' El empleo del símbolo j por sj — 1 ha surgido espontáneamente debido a nuestro
enfoque cuasigeométrico. Sin embargo, se halla frecuentemente en textos de matemáticas el
símbolo i. Los físicos e ingenieros tienden a preferir la notación j, y reservan el símbolo i
para la corriente eléctrica , consideración importante, ya que las técnicas matemáticas desarro­
lladas aquí tienen una de sus aplicaciones más importantes en conexión con los problemas de
circuitos eléctricos.
14
Movimientos periódicos
Pero en térm inos geom étricos puede considerarse com o un desplazamiento so ­
bre cierto eje que form a un ángulo 6 con el eje x, de m od o que tg 6 = bja,
co m o se ve claramente en la figura 1-5 (a).
En esta representación de un vector p or un núm ero com plejo, tenem os un
m od o autom ático de seleccionar la parte físicamente de interés para el estudio
del m ovim iento arm ónico simple. Si, después de resolver un problem a de este
tipo mediante com plejos, obtenem os una respuesta final de la form a z = a + jb,
en donde a y b son núm eros reales, entonces es a la magnitud deseada y puede
desecharse la b.
Una magnitud de la form a jb sólo (siendo b real) se denom ina imaginaria
pura. D esde el punto de vista de las matemáticas, este térm ino es quizá p o co
afortunado, porque en la aplicación del con cep to de núm ero real a com plejo,
un com ponente “ imaginario” com o jb está en igualdad de condiciones que
un com ponente real com o a. Pero cuando se aplica al análisis de oscilaciones
m onodim ensionales, esta term inología se ajusta perfectam ente, co m o ya hem os
visto, a las partes físicamente reales y n o reales de un m ovim iento bidim ensional imaginado.
IN T R O D U C C IÓ N A L EX P O N EN T E C O M P L E JO
El estudio anterior puede parecer que no ha añadido gran cosa al análisis
inicial. Pero ya estamos preparados para nuestro objetivo fundamental, que
es la obtención de una función matemática hacia la que hem os dirigido este
desarrollo. Dicha función es la exponencial com p leja ,
o
para ser más co n ­
cretos, la función exponencial en el caso en que el exponente es el sentido
matem ático m encionado al final de la última sección. La introducción de di­
cha función recom pensa ampliamente nuestros esfuerzos por la facilidad que
supone en el m anejo de los problem as de oscilaciones. N o todos los beneficios
de este m étodo se verán inmediatamente, sino que serán cada vez más eviden­
tes cuando profundicem os en el tema.
E m pecem os considerando los desarrollos en serie de las funciones seno
y cosen o:
63
sen 6 = 6 ------ —
eos 0 = 1
O2
—
v
+
6>5
•••
e*
+ — ---------
(1-9)
(1-10)
In troducción al exponente com p lejo
15
Si no son familiares estos desarrollos, pueden obtenerse fácilm ente en ayuda del
teorema de T a y lo r .1
Formemos la siguiente co m b in a ció n :
92
eos 9 + j sen 9 = 1 + j9
.
2!
03
04
3!
4!
(L -ll)
Hemos visto que — 1 puede expresarse co m o f , de m od o que la ecuación an­
terior puede volverse a escribir del m od o sigu ien te:
(i9 f
eos 9 + j sen 9 = 1 + ]9 -\----- ——
(i9 f
+ — z-r— +
3!
2!
(i9)n
+ -^ -4 — +
n\
( 1 - 12 )
Sin embargo, el segundo m iem bro de esta ecuación tiene precisamente la
forma del desarrollo de la función exponencial, haciendo
a
A sí pues,
se
puede
el exponente
escribir la identidad siguiente:
eos 0 + 7 sen 9 = é 9
Este resultado
es
igual
(1-13)
muy im portante, hablando matemáticamente, porque propor­
ciona una conexión clara entre la geom etría plana (representada por las fu ncio­
nes trigonométricas) y el álgebra (representada por la función exponencial).
Fig.
1-6.
Interpretación
geom étrica
1 Según el teorem a de T aylor,
Por tanto,
f(x)
de
la relación
— /(O ) +
xf'( 0 )
de
+
Euler,
x^
— f " ( 0)
+
e iQ = eo s 0 + j sen 9-
•* *
2*
e*
e*
sen 0 = sen 0 + 0 eos 0 H-----------(— sen 0) + —
2!
(eos 0) • • •
3!
0*
eos 0 = eos 0 + 0(— sen 0) -1----------(— eos 0) -I
2!
0a
(sen 0) • • •
3!
16
Movimientos periódicos
R. P. Feynm an la consideraba “ com o joya asom brosa ... la fórm ula matemática
más n otable” . 1 Fue establecida por Leonhard Euler en 1748.
E xpongam os el carácter geom étrico del resultado. U tilizando los ejes “ real”
e “ im aginario” O x y O y (fig. 1-6), dibujem os O A de longitud igual a eos
y A P de longitud igual a sen 0. El vector suma de am bos es O P ; tiene evi­
dentem ente longitud unidad y form a el ángulo 0 con el eje x. C on mayor
generalidad, la multiplicación de cualquier núm ero com p lejo z p or e i0 puede
describirse, en términos geom étricos, co m o una rotación positiva de valor 0
del vector representado por z ,
sin
ninguna alteración en su longitud. (E jer­
cicio : C om probarlo.)
EM P LEO D EL EX PO N EN TE C O M P L E J O
¿P or qué constituye una contribu ción tan im portante al análisis de las vibra­
ciones la introducción de la ecuación (1-13)? La principal razón consiste en
la propiedad especial de la función exponencial de volver a aparecer después
de cada operación de derivación o integración, ya que los problem as en que
estamos interesados son aquellos en los que intervienen desplazam ientos pe­
riódicos y las derivadas respecto al tiem po de los m ism os. Si, co m o suele
ocurrir, la ecuación básica del m ovim iento contiene térm inos proporcionales
a la velocidad y a la aceleración, lo m ism o que al propio desplazam iento, en­
tonces el em pleo de cada función trigonom étrica para describir el m ovim iento
condu ce a una com plicada m ezcla de térm inos en seno y cosen o. Por e je m p lo :
Si
x = A cos(a)t + a)
entonces
dX = — a,A
A sen /(¿oí* +. a)
—-—
dt
a x
dt¿
2
,
✓
^
= —o) A cos(atf + a)
1 R. P. Feynman, R. B. Leighton y M. L. Sands, Feynman Lectures on Physics, V ol. I,
Addison-W esley, Reading, Mass., 1963.
Empleo del exponente complejo
17
Por otra parte, si trabajam os con la com binación x + jy, viniendo dados
x e y por las ecuaciones (1-5), se tiene:
z = A eos (o)t + a) 4- /A sen (wí + a)
es decir,
z = A e }'(“ *+a)
con
x = parte real de z 1
Entonces
dzZ
U
J
— = jo )A e
J0)Z
dt
,2
d z
diz
/ • \2 j j(ut+a)
(JO)) A e
=
2
—O) Z
i-'* *4 \
(C)
o) A
(a) V ector desplazam iento z y su p ro y ecció n real x. ( b ) V ector v e ­
locidad dzjdt y su p ro y ecció n real dxjdt. (c) V ector aceleración d2z/dt2 y su
proyección real d2xjd t2.
Fig. 1-7.
1 Abreviatura frecuente:
Re(z).
18
Movimientos periódicos
Estos tres vectores se indican en la figura 1-7 (utilizando tres diagramas sepa­
rados, porque son magnitudes de tres clases físicam ente
diferentes : despla­
zamiento, velocidad y aceleración). En cada caso se aprecia que la com p o­
nente de importancia física es la com ponente real del vector en cuestión y
la relación entre fases se observa a simple vista (dado que cada factor j ha
de entenderse com o un avance en el ángulo de fase de t t / 2). Éste es un ejem ­
plo muy sencillo, que no muestra realmente la potencia del m étodo, pero pronto
verem os otras aplicaciones más interesantes.
P R O B LEM A S
1-1 Consideremos un vector z definido por la ecuación z — zxz^ siendo zx =
a + jb y z2 = c + jd.
(a) Demostrar que la longitud de z es igual al producto de las longitudes
de zx y z2.
(b) Demostrar que el ángulo comprendido entre los ejes z y x es la suma de
los ángulos que forman por separado zx y z2 con x.
1-2 Consideremos un vector z definido por la ecuación z = z j z i (z2^ 0), siendo zx = a + jb y z2 = c + jd.
(a) Demostrar que la longitud de z es el cociente de las longitudes de zx y z2.
(b) Demostrar que el ángulo comprendido entre los ejes z y x es la diferencia
de los ángulos que forman separadamente zx y z2.
1-3) Demostrar que la multiplicación de cualquier número com plejo z por eí0
puede describirse, en términos geométricos, com o una rotación positiva en el
ángulo 0 del vector representado por z sin alteración de su longitud.
1-4 (a) Si z = A ei0, deducir que dz = jzdO y explicar el significado de esta re­
lación en un diagrama vectorial.
(b) Hallar los valores y direcciones de los vectores (2 4- js j3) y (2 — ;V 3 )2*
1-5
Para tomar las derivadas sucesivas de ejd respecto a 0, basta multiplicar
por j:
JAS
Demostrar que esta propiedad sigue siendo válida si se utiliza la representación
sinusoidal e iS = eos 0 + j sen 0.
1-6
Dada la relación de Euler ejQ = eos 0 4- ;'sen 0, hallar
(a) La representación geométrica de
Problemas
(b)
(c)
19
La representación exponencial de eos 9.
La representación exponencial de sen 9.
1-7 (a) Justificar las fórmulas eos 6 = (eíe -I- e~^)¡2 y sen 6 = (ej0— e^ )/ 2 /, uti­
lizando los desarrollos en serie correspondientes.
(b) Describir geométricamente las relaciones anteriores mediante diagramas
vectoriales en el plano xy.
1-8 Utilizando las representaciones vectoriales de sen 0 y eos 0, comprobar las
siguientes identidades trigonométricas:
(a) sen2 0 + eos2 9 = 1.
(b) eos2 9 — sen2 9 = eos 29.
(c) 2 sen 9 eos 9 = sen 29.
1-9 ¿Se puede pagar 20 céntimos de un objeto valorado
j 1 pesetas? (Recuérdese que eos 0* + j sen 9 = ei&.)
por un matemático con
1-10
Comprobar que la ecuación diferencial (Py/dx2 = ■— ky tiene por solución
y = A eos (kx) + B sen (kx)
siendo A y B constantes arbitrarias. Demostrar también que esta solución puede
escribirse en la forma
y = C co$(kx + á) = C Re[e,’(h + “)] = Re[(Ce7'a)e,'*-r]
y expresar C y a en función de A y B.
1-11 Una masa al extremo de un muelle oscila con una amplitud de 5 cm y una
frecuencia de 1 Hz (ciclos por segundo). Para t = 0, la masa está en su posición
de equilibrio (x = 0).
(a) Hallar las ecuaciones posibles que describen la posición de la masa en
función del tiempo, en la forma x = A eos (wí + a), dando los valores numéricos
de A, w y a.
(b) ¿Cuáles son los valores de x, dx/dt y d2x¡dt2 para t — 8/3 seg?
£-12 Un punto se mueve en una circunferencia con una celeridad constante de
50 cm/seg. El período de una vuelta completa es 6 seg. Para t = 0 la
rectaque va
del punto al centro de la circunferencia forma un ángulo de 30° con
el
ejex.
(a) Obtener la ecuación de la coordenada x del punto en función del tiempo,
en la forma x = A eos (wí 4- a), conocidos los valores numéricos de A, u> y a.
(b) Hallar los valores de x, dx/dt y d2x/dt2 para t = 2 seg.
“ ...E sa o n d u la ción , libre d e to m a r cu a lq u ier ca m in o . M e
a tr a e .”
m i c h a e l b a r s l e y (1937), O n his Julia, w a lk in g
(S e g ú n R o b e r t H errick )
2
Superposición de
movimientos
•
•
VIBRACIONES S U P E R P U E S T A S EN U N A D IM EN SIÓ N
EN muchos fenóm enos físicos interviene la aplicación simultánea de dos o más
vibraciones armónicas sobre el m ism o sistema. En acústica se presentan ejem ­
plos de este tipo con gran frecuencia. La aguja de un fonógrafo, el diafragma
de un m icroscopio o el tím pano se ven en general som etidos a una com bina­
ción complicada de estas vibraciones, dando com o resultado cierto despla­
zamiento resultante en función del tiem po. C onsiderem os algunos casos es­
pecíficos de este proceso de com binación, som etidos siempre a la siguiente
hipótesis fundamental:
La resultante d e d o s o m ás vibraciones arm ónicas e s sim p lem en te la suma
-de las vibraciones
aisladas.
En el estudio presente trataremos este punto
•Como un problema puramente matem ático. Sin embargo, al final se traduce
en una cuestión fís ic a :
¿Es igual el desplazamiento produ cido por dos per­
turbaciones, actuando conjuntam ente, a la superposición directa de los despla^zamientos que se observan cuando ambas actúan separadamente? La respuesta
ffl esta cuestión puede ser afirmativa o negativa según que el desplazamiento
¡sea o no estrictamente proporcional a la fuerza que lo produce. Si es válida
:1a adición simple, el sistema se dice que es lineal, y la mayoría de nuestras
■discusiones se limitarán a estos sistemas. Sin embargo, com o acabamos de
decir, por el m om ento nos lim itaremos al problem a puramente matemático
de sumar dos (o más) desplazamientos, que son funciones sinusoidales del
tiempo; la aplicación física de los resultados no se considerará ahora.
21
22
Superposición de movimientos
S U P E R P O S IC IÓ N
D E D O S V IB R A C IO N E S
D E IG U A L F R E C U E N C IA
Supóngase que tenem os dos M A S descritos por las ecuaciones siguientes:
xx = A \ eos (coi + a i)
X2 — A 2 cos(cct + tt2)
Su com binación tiene entonces la forma siguiente:
x — x i + X2 =
cos(cct + a i) -f A 2 cos(a)t + a 2 )
(2-1)
Es posible expresar este desplazamiento co m o una vibración arm ónica simple:
x = A eos (cct + a)
La descripción del M A S mediante el vector rotatorio proporciona un modo
muy elegante de obtener este
resultado geom étricam ente. En la figura 2-1 (a)
sea OP1 el vector rotatorio de longitud A lf que form a el ángulo (wf +
con
el eje x en el instante t. Sea OPt el vector rotatorio de longitud A 2 con el
ángulo (u)t -(- a2). Su suma es, por tanto, el vector OP definido por la ley del
paralelogramo. C om o OPl y OP2 giran con la misma velocidad angular o>,
puede considerarse que el paralelogram o OPiPP2 es una figura rígida que
gira en bloque con esta misma velocidad. El vector OP puede obtenerse com o
el vector suma de OPx y PXP (este últim o igual a OP2). C om o < N xOPx =
(b)
(a) Superposición de dos v ecto res rotatorios del m ism o período, (b)
Triángulo vectorial para la con stru cción del v ecto r rotatorio resultante.
Fig. 2-1.
Superposición de dos vibraciones de igual frecuencia
23
tat + «i y < K P XP = ojí + a2, el ángulo form ado por OPj y PiP es precisa­
mente «2— ctj. Por tanto, resulta
A 2 = A i 2 + A 2 2 + 2A \A 2 c o s (a 2 — « i )
El vector OP form a
un ángulo
[véase fig. 2-1 (b)] con el vector
OPv talque
A sen p = A 2 sen (a2— at)
y la fase constante a de la vibración viene dada directam ente por
a = a 1 + j3
El empleo del form alism o del exponente com plejo nos llevará muy
rectamente a
estos mismos resultados. Los vectores rotatorios OPx y
di­
OP2
se describen mediante las ecuaciones siguientes:
z 1 = A ie í(wf+“ ú
Z2 = A2eKut+az)
De aquí que la resultante venga dada por
Z = zi + z2 = A ^ «"*+ “ 1) + A 2é?/Cwí+“2)
Obsérvese la ventaja de utilizar la form a exponencial que nos perm ite se­
parar el factor com ún exp /‘(w£ -f ai) :
2 = ei(»t+al)[4 1
A 2e>(a2~ai)]
(2-2)
Recordando que e íe es precisamente la instrucción necesaria para aplicar una
rotación positiva 0, vem os que la com binación de los térm inos entre co r­
chetes especifica que ha de sumarse un vector de longitud A 2 a otro de lon ­
gitud A lf
existiendo
entre
am bos
el
ángulo
(a2— af) y
el primer
factor
exp [/ (íof + «i)J nos dice que el diagrama entero ha de girarse hasta la orien­
tación indicada en la figura 2-1 (b). Si no nos aprovechásem os de estas téc­
nicas geométricas, la tarea de com binar los dos térm inos separados de la
ecuación (2-1) sería fatigosa y m ucho m enos informativa.
En general no pueden simplificarse los valores de A y a correspondientes
a la perturbación resultante, pero conviene señalar el caso especial en que
son iguales las amplitudes que se com binan. Si llamamos 8 a la diferencia de
fase (a2— a j entre ambas vibraciones, a partir de la geometría del triángulo
24
Superposición de movimientos
vectorial de la figura 2-1 (b) se puede obtener, por simple inspección, los
resultados siguientes:
A = 2A\ eos /3 = 2A\ eos
(0
(2-3)
Se obtiene una com binación muy parecida a este tipo si se hacen funcionar
dos altavoces idénticos por el m ism o generador de señales sinusoidales y las
vibraciones sonoras se recogen con un m icrófon o en un punto bastante ale­
jado, com o se indica en la figura 2-2. Si el m icrófon o se mueve sobre la
recta OB, la diferencia de fase b aumenta constantem ente desde un valor ini­
cial cero en el punto O. Si la longitud de onda del sonido es m ucho más
corta que la distancia que separa los altavoces, puede observarse que la am­
plitud resultante se hace cero en varios puntos entre O y B y se eleva hasta
su valor m áxim o posible de 2 A X en otros puntos interm edios entre los ceros.
(En el capítulo 8 estudiarem os con más detalle estos casos.)
B
Micrófono
Si
xl
■ ■ ■ ■
Fig. 2-2. Montaje para detectar la diferencia de fase en función de la posición
del micrófono en la superposición de señales procedentes de dos altavoces.
S U P E R P O S IC IÓ N
D IF E R E N T E S ;
D E V IB R A C IO N E S D E F R E C U E N C IA S
P U L S A C IO N E S
Imaginemos que tenem os dos vibraciones de amplitudes diferentes A i, A 2j
y de frecuencias también diferentes <au w2. Evidentemente, en contraste con
Superposición de vibraciones de frecuencias diferentes; pulsaciones
el ejemploprecedente, la diferencia de
fase entre las vibraciones está
25
cam ­
biando continuamente. La especificación de alguna ‘diferencia de fase inicial
no nula carece de significado apreciable en este caso. Para simplificar el as­
pecto matemático supongamos, por tanto, que ambas vibraciones tienen una
fase inicial cero, y, por ello, pueden escribirse del m od o siguiente:
x i = A i eos coit
X2
En un
=
A 2 CO S C02Í
instante arbitrario cualquiera el desplazam iento com binado será
entonces com o el indicado en la figura 2-3 (<9X). Evidentem ente la longitud
OP del vector com binado
debe estar com prendida
siempre entre la suma
y la diferencia de A i y A 2; el valor del propio desplazam iento O X puede
estar comprendido entre pero y A j + A 2.
P
í
i
i
Fig. 2-3.
Superposición de vectores rotatorios de períodos diferentes,
A menos que exista alguna relación simple entre ^
miento resultante será una función
com plicada
y w2, el desplaza­
del tiem po, quizá sin que
llegue a repetirse nunca. La con d ición precisa para obtener una periodicidad
en el movimiento com binado
existan dos números enteros ^
es
que
sean
conm ensurables,
es
decir,
que
y n2 tales que
T = n \T \ — n 2T 2
(2-4)
Superposición de vibraciones de frecuencias diferentes; pulsaciones
25
el ejemplo precedente, la diferencia de fase entre las vibraciones está cam ­
biando continuamente. La especificación de alguna *diferencia de fase inicial
no nula carece de significado apreciable en este caso. Para simplificar el as­
pecto matemático supongamos, por tanto, que ambas vibraciones tienen una
fase inicial cero, y, por ello, pueden escribirse del m od o siguiente:
x i = A i e o s 0)11
X2 =
A% COS (j)2t
En un instante arbitrario cualquiera el desplazam iento
com binado
será
entonces com o el indicado en la figura 2-3 ( 0 X ) . Evidentem ente la longitud
OP del vector com binado
debe estar com prendida siempre entre la suma
y la diferencia de A i y A 2; el valor del propio desplazam iento O X puede
estar comprendido entre cero y A i + A 2.
Fig. 2-3.
Superposición de vectores rotatorios de períodos diferentes.
A menos que exista alguna relación simple entre ^
miento resultante será una función
com plicada
y w2, el desplaza­
del tiem po, quizá sin que
llegue a repetirse nunca. La con d ición precisa para obtener una periodicidad
en el movimiento
com binado
es
que
sean
conm ensurables,
es
decir,
que
existan dos números enteros nx y n2 tales que
T = n \T i = «2^2
(2-4)
26
Superposición de movimientos
El período del m ovim iento com binado es entonces el valor de T obtenido
com o decíam os anteriormente pero utilizando los valores enteros más pe­
queños de nj y n% que satisfagan dicha rela ción .1
------------------------------- ' r --------------- ----------------------------------- >.
■*-
'T
y
2
w
^
450/seg
100/seg
50/seg
0,01
0,02
t, seg
Fig. 2-4. Superposición de dos sinusoides de períodos conmensurables (Ti —
1¡450 seg, T% = 1/100 seg). (Fotografía de fon Rosenfeld, Education Research
Center, M.I.T.)
Aunque los períodos o frecuencias sean expresables com o un cociente de
dos enteros bastante pequeños, el aspecto general del m ovim iento no suel
ser sencillo. La figura 2-4 muestra la com posición de dos vibraciones sinusoí
1 Por ejemplo, si el cociente «i/w* fuese irracional (com o »J2) y no existiera ningi
momento, por largo que se considerase el tiempo, en que se repitiese la figura anterior fot
mada por el desplazamiento.
Superposición de vibraciones de frecuencias diferentes; pulsaciones
27
dales de 450 y 100 H z ,’ respectivamente. El período de repetición es 0,02 seg,
como puede deducirse de la con dición
mi
n2
450
100
que exige que nx = 9 y n2 = 2, de acuerdo con la ecuación (2-4).
En aquellos casos en que se form a una vibración a partir de otras dos
de períodos conm ensurables,
el
aspecto
de
la
resultante
puede
depender
marcadamente de la fase inicial relativa de las vibraciones que se combinan.
Este efecto se ilustra en las figuras 2-5 (a) y (b), en las que se han com binado
I
I
i
400/seg
600/seg
(a)
t
400/seg
600/seg
(b)
I
i
I
í
I
-0
Fig. 2-5. Superposición de dos sinusoides conmesurables de frecuencias 400
seg-1 y 600 s e g -1, cuyos máximos coinciden para t = 0. (b) Superposición de las
mismas sinusoides si sus ceros coinciden cuando t — 0. (Fotografía de Jon
Rosenfeld, Education Research Center, M.l.T.)
28
Superposición de movimientos
de la manera indicada dos vibraciones con valores dados de la amplitud y
frecuencia. A m b os casos difieren sólo en la relación de fases. Es interesante
indicar que si las dos fuesen vibraciones de aire incidiendo sobre el tímpano,
los efectos auditivos de ambas com binaciones serían casi indistinguibles. Pa­
rece ser que el oíd o hum ano es casi insensible a la fase en la m ezcla de vi­
braciones
arm ón icas;
las
amplitudes
y
frecuencias
dominan
la
situación,
aunque pueden producirse efectos auditivos notablem ente diferentes si la di­
ferencia de fase condu ce a unas form as de onda drásticamente diferentes,
com o puede ocurrir si se com binan con una relación de fase determinada
muchas vibraciones en lugar de dos solamente.
Si dos M A S tienen frecuencias m uy parecidas, la perturbación com bina­
da presenta lo que se denomina pulsación o batido. Este fenóm eno puede
describirse com o aquel en que la vibración com binada es básicamente una
perturbación con una frecuencia igual a la media de las dos frecuencias que
se com binan, pero
po , pero
con una amplitud que varía periódicam ente con el tiem­
de m od o que un
ciclo de esta variación incluye m uchos ciclos de
la vibración básica.
El efecto de la pulsación se analiza más fácilm ente si consideram os la
suma de dos M A S de igual am plitud:
x i — A eos coit
X2 =
A COS C02Í
Entonces por adición se tie n e 1
/coi — C02 \
/coi + C02 \
x = 2A eos ( — - ----- 1 ) eos ( — ---- 1 )
i
Puede ser conveniente recordar los siguientes resultados de trigonom etría:
eos (8 + <p) = eos 0 eos <p — sen 0 sen <p
eos (0 — cp) = eos 0 eos cp + sen 0 sen cp
Por lo tanto,
eos (0 +
+ eos (0 — <p) = 2 eos e eos <p
En esta identidad, sea 6 + cp = a y 0 — <p — p. Entonces
COS a
+
2
COS j8 =
En nuestro caso, basta poner « = w,f y
3
(a + 0\
COS I — - —
= co2í.
J COS
(2-5}
Superposición de vibraciones de frecuencias diferentes; pulsaciones
29
Evidentemente, esta suma, com o resultado puramente matem ático, puede rea­
lizarse para cualquier valor de ^ y o>2. Pero su descripción com o una pulsa­
ción sólo tiene significado físico si |wj— ■w2[
es decir, si en un
número apreciable de ciclos, la vibración se aproxim a a la sinusoidal con
amplitud constante y con frecuencia angular
+ <d2)/2.
La figura 2-6 desarrolla gráficamente el resultado de com binar dos vibra­
ciones con una relación de frecuencia de 7 :6 . Ésta es quizá la mayor rela­
ción que puede tenerse si aún querem os referirnos a la com binación com o
un batido. Puede
verse que
el desplazamiento
com binado
puede
ajustarse
dentro de una envolvente definida por el par de ecuaciones
, -t ^
/ W1 - £02 A
x = ± 2 A eos I
----- 1J
(2-6)
^ P e río d o de la pulsación^-
700/seg
600/seg
Fig. 2-6. Superposición de sinusoides de frecuencias sem ejantes (600 seg~ l y
700 s e g -1) co n o b je to de o b ten er pulsaciones. (Fotografía de Jon R osenfeld,
Education R esearch C enter, M .I.T.)
porque
el
factor
eos (ojj + w2) f /2 ,
rápidamente
oscilante
de
la
ecuación
siempre está com prendido entre los límites
ción (2-6) describe una m odulación
( 2 - 5 ) , es
decir,
± 1 y la ecua­
relativamente lenta de la amplitud de
esta oscilación. Si nos referim os a la figura 2-6, se ve que el tiem po trans­
currido entre ceros sucesivos de la perturbación m oduladora es un sem ipe­
ríodo del factor m odulador com o describe la ecuación (2-6), es decir, un
tiempo igual a 2n,/(|o>1— w2|). Esto tiene co m o consecuencia que la frecuencia
de la
pulsación, según se percibe con el oído, por ejem plo, con dos diapa-
30
Superposición de movimientos
sones ,
es sim plem ente la diferencia de sus frecuencias individuales y no
su mitad, co m o podría sugerir una primera impresión de la ecuación (2-5).
Así pues, considerando un caso específico, si están vibrando juntos dos dia­
pasones a 255 y 257 vibraciones por segundo, su efecto com binado será el
de la mitad del total de vibraciones (256 vibraciones por segundo) pasando
por un m áxim o de intensidad dos veces cada segundo.
S U P E R P O S IC IÓ N
D E M U C H A S V IB R A C IO N E S
D E LA M ISM A F R E C U E N C IA 1
Los m étodos que acabamos de describir pueden ampliarse fácilm ente a un
número arbitrariamente grande de vibraciones que se com binan. El caso ge­
neral no tiene gran importancia, pero existe un caso particular que es de
gran interés y tiene mucha aplicación. Es aquel caso en que se tiene una
superposición de varios M A S , todos con la misma frecuencia y amplitud y
con una diferencia de fase constante entre cada dos de ellos. Este problema
tiene particular importancia para el análisis de los efectos de interferencias
con focos múltiples en óptica y en otros procesos ondulatorios.
Este fenóm eno está representado en la figura 2-7. Supongamos que exis­
ten N vibraciones com binándose con amplitud A 0 y una diferencia de fase
entre dos sucesivas dada por el ángulo 6. A dm itam os que la primera vibra­
ción viene descrita, para mayor sencillez, por la ecuación
x — Ao eos cct
La perturbación resultante vendrá dada por la ecuación
X = A cos(cof + a)
j
\
C om o indica geométricamente la figura 2-7, los vectores form an los lados:
sucesivos de un polígono regular (incom pleto). Un polígono com o éste puede:
considerarse inscrito en una circunferencia de radio R y con centro C. Todos
los vértices (com o, por ejemplo, los puntos K y L) caen sobre la circunferen­
cia y el ángulo subtendido en C por cada am plitud aislada A 0 (por ejemplo,
KL) es igual al ángulo h entre vectores adyacentes. De aquí que el ángulo
i
Esta sección puede omitirse sin pérdida de la continuidad.
Superposición de muchas vibraciones de la misma frecuencia
Superposición de varios v ecto res rotatorios del m ism o p eríod o y di­
ferencias de fase con increm en to constante.
Fig. 2-7.
total OCP, subtendido en C p or el vector resultante A , sea igual a N&. Por
tanto, se pueden escribir las siguientes ecuaciones geom étrica s:
A = 2R sen (NS/2)
A 0 = 2R sen (<5/2)
Y en consecuencia,
A = A,
sen (NS/2)
sen (á/2)
(2-7)
Además, para el ángulo a form ado por la resultante A y el primer vector
componente, se tiene
a = Z.COB -
Z.COP
32
Superposición de movimientos
Por consiguiente,
( N -
1)5
( 2- 8)
De aquí que la vibración resultante a lo largo del eje x venga descrita po;
la ecuación sigu ien te:
ü)t +
sen (8/2)
( N — 1)5
CT-9)
Esta ecuación es básica para el análisis del com portam iento de una red de
difracción, que actúa precisamente co m o un dispositivo que obtiene de un
solo haz de luz un núm ero muy grande de perturbaciones iguales con iguales
diferencias de fase.
C O M B IN A C IÓ N
DE D O S V IB R A C IO N E S P E R P E N D IC U L A R E S
T o d o lo que hem os visto hasta ahora se refería a m ovim ientos arm ónicos so­
bre una sola dimensión, aunque para su análisis hayamos introducido el útil
concepto de vector rotatorio en un plano, de m od o que la proyección del
vector
sobre
una
determinada
dirección
representaría
el m ovim iento
real,
Estudiaremos ahora el problem a esencialm ente d iferen te de com binar dos vi­
braciones armónicas reales que tienen lugar sobre direcciones perpendicula­
res, de m od o que el m ovim iento real resultante es un m ovim iento verdade­
ramente bidimensional.
Este problem a tiene
un considerable
interés físico;
y su estudio aquí es adecuado porque su análisis se apoya en las mismas téc-j
nicas utilizadas anteriormente en este capítulo. El tipo de m ovim iento que
vam os a considerar puede ampliarse fácilm ente a oscilaciones tridimensiona­
les, cuya posibilidad debem os, en general,
adm itir, com o,
por ejem plo, en
el caso de un átom o ligado elásticamente dentro de la estructura esencial-,
mente tridimensional de una red cristalina.
Supongamos ahora, por tanto, que un punto sufre simultáneamente los si­
guientes desplazam ientos:
x = A i cos(coit + a i )
y = A
Este m ovim iento
puede
2
( 2 - 10)
COS(ü>21 + OL2)
conseguirse
mediante
una
doble
aplicación
de la
técnica del vector rotatorio, según se explica en la figura 2-8. Empecemos
dibujando dos circunferencias de radios A x y A z, respectivamente. La prime-'
Combinación de dos vibraciones perpendiculares
33
y
Representación geométrica de la superposición de vibraciones armó­
nicas simples y perpendiculares.
Fig. 2-8.
ra se utiliza para definir el desplazamiento x del punto Plf CxX. La segunda
se emplea para definir el desplazamiento y del punto P2, C2Y. Am bos des­
plazamientos describen conjuntamente la posición instantánea del punto P
respecto a un origen O que está situado en el centro de un rectángulo de la­
dos 2Ai y 2A2.
Una propiedad resalta inmediatamente. Cualquiera que sea la relación
entre las frecuencias y las fases de los movimientos que se combinan, el m o­
vimiento del punto P está siempre confinado dentro del rectángulo, y además
los lados de este rectángulo son tangentes a la trayectoria en todos los puntos
de contacto con la misma! Apenas puede decirse algo más que esto, sin
especificar algo más concreto sobre las frecuencias y las fases, excepto un co ­
mentario general sobre lo que ocurre si no son comensurables
y w2. En
1 Excepto, quizás, en el caso en que el movimiento resultante pasa por las esquinas del
rectángulo, en cuyo caso las condiciones geométricas en las mismas no están claramente
deñnidas.
FR E N C H 11-3
Superposición de movimientos
34
tal caso, la posición de P nunca volverá a repetirse y la trayectoria, si con­
tinuase durante tiem po suficiente, tendería, desde un punto de vista físico
aunque n o estrictamente m atem ático, a llenar la totalidad del interior del
rectángulo límite.
Los
ejem plos
más
interesantes
de
estos
m ovim ientos
com binados
son
aquellos en los que las frecuencias están en cierta relación numérica sencilla
y la diferencia de fases iniciales es alguna fracción simple de 2 tt. Se tiene en­
tonces un m ovim iento que form a una curva cerrada de dos dim ensiones, con
un período que es el m ínim o com ún m últiplo de los períodos aislados. El
problem a se estudia más fácilmente sobre ejem plos específicos, com o vere­
m os en seguida.
M O V IM IEN T O S P E R P E N D IC U L A R E S
D E F R E C U E N C IA S
IG U A L E S
M ediante una selección adecuada de lo que considerarem os
t =
0,
podemos
escribir las vibraciones com binadas de la form a sencilla siguiente:
x = A x eos (¿t
y = A
2
cos(cof + S)
siendo ó la diferencia de fase inicial (y en este caso, la diferencia de fase en
cualquier m om ento) entre am bos m ovim ientos. Particularizando aún más los
valores de S podem os obtener rápidamente un cuadro cualitativo de todos
los m ovim ientos posibles en el caso de que sean iguales las frecuencias que
se co m b in a n :
a.
3 = 0. En este caso,
x — A \ eos a)t
y = A 2 eos tct
Por lo tanto,
El m ovim iento es rectilíneo y tiene lugar sobre una diagonal del rec­
tángulo de m od o que x e y tienen siempre el m ism o signo, bien positivo
o negativo. Este m ovim iento puede representar lo que en óptica se denomina
vibración polarizada linealmente.
b.
3 = sr/2. Tenem os ahora
X =
A i COS o)t
y = A 2 eos (W + 7t/2) = — A 2 sen a>t
Movimientos perpendiculares de frecuencias iguales
35
Se obtiene fácilm ente la form a de la trayectoria haciendo uso de la ex­
presión sen2 wf 4- eos3 o>í = 1. Esto quiere decir que
A\* + A22
que es la ecuación de una elipse cuyos ejes principales coinciden con los
ejes x e y.
Obsérvese, sin em bargo, que las ecuaciones nos expresan algo más. Es­
tamos estudiando cinem ática, no geometría, y la elipse se describe en un
sentido definido. Cuando t empieza a crecer desde cero, x empieza a dism i­
nuir desde su m áxim o valor positivo e y empieza inmediatamente a ser ne­
gativo partiendo desde cero. Esto significa que la trayectoria elíptica tiene
lugar en sentido de las agujas d el reloj.
c.
d = ir. Se tiene ahora
x = A i eos cot
y = A 2 eos (cot + 7r) = — A 2 eos cot
Por lo tanto,
Este movimiento es com o el del caso a, pero se produ ce sobre la otra dia­
gonal del rectángulo.
d.
<5 = 3?r/2. Entonces resulta
x = Ai eos cot
Tenemos una elipse co m o en el caso b, pero el m ovim iento es ahora en
sentido contrario al de las agujas del reloj.
e.
¿ = 7T¡4. Obsérvese que hem os vuelto aquí al caso de una diferencia
de fase entre 0 y tt/2, es decir, intermedia entre los casos a y b. Es un caso
menos evidente que los acabados de ver, y nos lleva a la construcción gráfi­
ca de la figura 2-8. En la figura 2-9 se muestra ■la aplicación del m étodo
a este particular. Las posiciones de los puntos P x y P2 sobre las dos circun­
ferencias de referencia se han indicado en cierto núm ero de instantes sepa­
rados por un octavo p eríod o (es decir, tt/4w). Los puntos se numeran co n ­
secutivamente, em pezando con t — 0, cuando C XPX (véase fig. 2-8) es paralelo
36
Superposición de movimientos
Superposición de vibraciones armónicas sim ples perpendiculares con
diferencia de fase inicial de rr¡4.
Fig. 2-9.
al eje x y C2P2 form a el ángulo <5, es decir, 45°, m edido desde el eje y positi­
vo en sentido antihorario. Las proyecciones de estas dos posiciones corres­
pondientes de ? i y P2 nos da una serie de puntos de intersección, co m o se
ven en la figura 2-9, que representan las posiciones instantáneas del punto íj
cuando se mueve dentro del rectángulo. El lugar geom étrico definido por:
estos puntos es una elipse con ejes inclinados, descrita en sen tid o horario.
La ecuación analítica de esta elipse puede hallarse, si se quiere, eliminando*
t de las ecuaciones que definen x e y :
x — Ai eos toí
^
y — A 2eos (wt + 7t/4) = — — eos toí —
^
sen coi
V2
C on ayuda de este últim o ejem plo, podem os ver c ó m o se desarrolla el
diagrama de este m ovim iento
com binado cuando imaginamos que la dife-
Movimientos perpendiculares de frecuencias iguales!
-3 7
renda de fase ó aumenta de cero a 2tt. Partiendo del m ovim iento diagofcil
lineal para <5 = 0, el m ovim iento se transforma en elíptico en sentido horario,
llegando a tener una anchura máxima cuando S — t t / 2 , y luego se va cerrando
hasta que para ó = tt pasam os por una secuencia semejante de m ovim iento
elíptico (de sentido contrario ahora), hasta que para 6 = 2tt volvam os a una
situación que no se diferencia en nada de la correspondiente a <5 = 0. Esta
secuencia de m ovim ientos se ilustra en la figura 2-10.
37t/2
2ir
Fig 2-10. Superposición de dos movimientos armónicos simples perpendicula­
res de la misma frecuencia para diversas diferencias de fase iniciales.
En todos estos problem as se puede construir el m ovim iento
resultante
muy fácilmente mediante el m étodo gráfico. C om o en el últim o ejem plo, el
procedimiento consiste en señalar sobre la circunferencia de referencia una
serie de puntos correspondientes a sucesivos increm entos de tiem po iguales,
y en particular a subm últiplos convenientes del período, com o octavos, doceavos o dieciseisavos. Una vez familiarizados con el proceso en cuestión, se
puede hacer un diagrama más com pacto tom ando el rectángulo límite y con s­
truyendo solamente una sem icircunferencia sobre dos lados consecutivos.'P ara
•
aclarar esto, tom em os de nuevo el caso en que ^ = w2, <5 = ~/4. D ividiendo
las circunferencias de referencia en subm últiplos pares de 2x, siempre hay
dos puntos sobre la circunferencia que al proyectarse dan el m ism o valor del
desplazamiento. A sí pues, dibujando una sola sem icircunferencia, se puede
obtenex tanta inform ación com o con la circunferencia com pleta, sólo que ha­
38
Superposición de movimientos
brá que considerar dos veces la mayoría de los puntos, com o se indica en la
figura 2-11. Una vez num erados los puntos sobre la circunferencia de acuerdo
con la secuencia tem poral correcta se obtienen exactamente, igual que antes,
las intersecciones
que definen las coordenadas del m ovim iento
real.
(Para
evitar confusiones en esta versión condensada del diagrama hem os utilizado
letras en lugar de núm eros para identificar
dichas
intersecciones, a — 1,
b — 2, etc.)
Aunque los instantes escogidos no correspondiesen a subm últiplos pares
del período total (o ni siquiera a subm últiplos iguales) todavía podríam os in­
dicar sobre la semicircunferencia la secuencia correcta de puntos correspon­
dientes a una vuelta com pleta alrededor de la circunferencia de referencia.
8
Fig. 2-11,
diculares.
h
Construcción abreviada para la superposición de vibraciones perpen­
Basta imaginar que la circunferencia se ha plegado sobre su diám etro prin­
cipal, es decir, sobre el diám etro paralelo al com ponente del m ovim iento
que esta circunferencia describe. Pero resulta más simple emparejar los puntos
que acabam os de indicar.
M O V IM IEN T O S P E R P E N D IC U L A R E S CO N
D IF E R E N T E S ; F IG U R A S
F R E C U E N C IA S
D E L IS S A JO U S
Es un ejercicio sencillo y bastante entretenido ampliar el análisis anterior a
moviifflentos con frecuencias diferentes. Daremos algunos ejem plos para ilus­
trar la clase de resultados obtenidos.
Movimientos perpendiculares con frecuencias diferentes
Fig. 2-12.
39
Construcción de una figura de Lissajous.
En la figura 2-12 se ve la construcción que puede hacerse si w2 = 2 ^ y
S = jt/4. Hemos escogido dividir la circunferencia de referencia para el m ovi­
miento de frecuencia w2 en och o intervalos de tiem po iguales, es decir, en
arcos que subtienden 45°. Durante un ciclo com pleto de w2, se recorre m e­
dio ciclo solamente de <ou y los puntos situados sobre las circunferencias de
referencia se marcan de acuerdo con ello, teniendo en cuenta la diferencia de
fase inicial de 45°. Para obtener un período com pleto del m ovim iento co m ­
binado es necesario, c o m o es lógico, que se verifique un ciclo com pleto de
« i ; esto exige que, después de alcanzar el punto m arcado “ 9” , volvam os a
repetir las etapas a lo largo de la sem icircunferencia inferior y pasemos por
segunda vez por tod os los puntos correspondientes a una vuelta completa
alrededor de la circunferencia <o2. De este m od o term inam os con una trayec­
toria cerrada que se cruza a sí misma en un punto y que se repetiría inde­
finidamente. Esta curva se con oce con el nom bre de figura de Lissajous, en
honor de J. A . Lissajous (1822-1880), que hizo un am plio estudio de estos
movimientos. Si se introduce una ligera dism inución de la amplitud con el
tiempo el diagrama resulta aún más sorprendente. En la figura 2-13 se muestra
un conjunto de figuras de Lissajous con w2 =
iniciales distintas.
pero co n diferencias de fase
40
Superposición de movimientos
a>2 — 2oj,
g= 0
Fig. 2-13.
iniciales.
8 = tt/4
8 =r tt/2
8 = 37t/4
8=
77-
Figuras de Lissajous para w2 = 2<»i co n diversas diferencias de fase
Cuando se pasa a una relación de frecuencias aún más com plicadas, las
curvas resultantes son cada vez más variables, y en la figura 2-14 se dan al- :
gunos ejemplos. Estas figuras se generan fácilm ente si se tiene un control ¡
flexible sobre las frecuencias, amplitudes y fases si se aplican tensiones si- j
nusoidales diferentes a las placas deflectoras x e y de un osciloscop io do.'
rayos catódicos. Excepto en aquellos casos en que la figura de Lissajous pasa
por el vértice exacto del rectángulo límite, puede hallarse la relación de las
frecuencias que se com binan mediante inspección de la m ism a; viene dada ■
p or el cociente entre el núm ero de puntos de tangencia que la figura tiene con j
dos lados adyacentes de la figura. El lector puede buscar la justificación teó- '
rica de este resultado y com probar su exactitud en las diversas curvas de la
figura 2-14.
C O M P A R A C IÓ N
EN TR E L A S U P E R P O S IC IÓ N
D E M O V IM IEN T O S
P A R A L E L O S Y P E R P E N D IC U L A R E S
Resulta quizás instructivo hacer una com paración directa entre la superposi­
ción de dos vibraciones armónicas sobre la misma recta y la superposición
ortogonal de las mismas que origina las figuras de Lissajous. H em os procu­
rado representar esta relación en la figura 2-15 para el caso sencillo de dos
vibraciones de frecuencias y amplitudes iguales. La figura muestra dos vibra­
ciones sinusoidales com binadas para diversas diferencias de fase entre cero
y 7T. Las dos curvas inferiores de cada grupo muestran el desplazamiento ori­
ginal individual en form a de desviaciones en sentido y en un osciloscop io de
doble haz con una base de tiem po lineal. Encim a de este par de curvas se
obtiene la sinusoide que resulta de la suma directa de estas dos desviacio­
nes y . Finalmente, se muestran las figuras de Lissajous obtenidas suprimiendo
Comparación entre la superposición de movimientos paralelos y perpendiculares
41
Fig. 2-14. Figuras de Lissajous: diversas razones de frecuencia con distintas
■diferencias de fase. (Según J. H. Poynting, J. J. Thomson y W. S. Tucker,
Sound, Griffin, London, 1949.)
la base de tiem po del osciloscop io y aplicando las dos señales sinusoidales
primarias a las placas x e y.
Superposición de movimientos
8= 0
5 = tt/ 4
8 = tt/2
(a)
(b)
(C)
■8= 3ni 4
8 —TT
(d)
(e)
Fig. 2-15. Comparación de los resultados de sumar dos vibraciones armóni
cas (a) sobre la misma recta; (b) perpendiculares formando figuras de Lissa
jous. (Fotografías de fon Rosenfeld, Education Research Center, M.I.T.)
Problemas
Si las d o s
señ ales p rim a ria s
v ien en
dadas
por
A e o s wt y
43
A e o s (wt + ó)
se tienen los resu lta d os s ig u ie n te s :
Superposición paralela
y i = A eos on
y 2 — A eos (cot +
y
=
y\
+
y2
=
[Obsérvese la su ave d is m in u c ió n
5)
eos ^
«t +
|
d e a m p litu d p r o p o r c io n a l
a e o s (á /2 ) cu a n ­
do ¿ aum enta de c e r o a tt.]
Superposición perpendicular
x = A e o s co/
y =
E lim inando la d e p e n d e n cia
A e o s (oo/ +
e x p lícita
con
5)
el tie m p o ,
se tien e
x2 — 2 x y e o s <5 + z/2 = A 2 sen2 5
que define una elipse q u e d eg en e ra en una re cta para 6 = - /2 , c o m o se ve en
las fotografías.
PROBLEMAS
2-7
2-2
Escribir las expresiones siguientes en la form a z = R e [A e Jíwí+a)]
(a)
z
= sen wt + eos wí.
(b)
z = eos (u)t — 7t/3) — eos wt.
(c)
z = 2 sen wí + 3 eos mt.
(d)
z
= sen wt — 2 eos (wt — ni4) + eos wt.
Una partícula está som etida sim ultáneam ente a tres m ovim ien tos arm ónicos
simples de la m isma frecu en cia y en d ire cció n x. Si las am plitudes son 0,25, 0,20
y 0,15 mm, respectivam ente, y la diferencia de fase entre el prim ero y segundo
es 45°, y entre el segundo y tercero es 3 0 °, hallar la am plitud del desplazam iento
resultante y su fase relativa resp ecto al prim er com p on en te (de am plitud 0,25 m m).
2-3
Dos vibraciones sobre la m isma recta vienen descritas p or las ecuaciones
y\ = A eos 107i7
y 2 = A eos 127i7
44
Superposición de movimientos
Hallar el período de batido y dibujar un esquema cuidadoso de la perturbación
resultante durante un período de la pulsación.
2-4 Hallar la frecuencia del movimiento combinado en cada una de las siguien­
tes vibraciones:
(a) sen (2nt — V 2 ') + eos (27tí).
(b) sen (12n-í) + eos (13 ttí — 7r/4).
(c) sen (3í) — eos (nt).
2-5
Dos vibraciones perpendiculares vienen descritas por las ecuaciones
x = 10cos(57rt)
y = 10 cos(10irí + tt/3)
Construir la figura de Lissajous del movimiento combinado.
2-6
Construir las figuras de Lissajous de los movimientos siguientes:
(a) x = eos 2wt,
(b) x = eos 2wt,
(c) x = eos 2u)t,
y = sen 2oít.
y = eos (2wf — W4).
y = eos <of.
Es to ta lm e n te e v id e n te q u e la R eg la o L e y d e la N a tu ra le­
za d e tod os los cu e rp o s e lá s tic o s e x p r e s a q u e la fu e r z a que
tie n d e a resta u ra rles a su p o s ic ió n n a tu ra l es s ie m p r e p r o ­
p orcion a l a la d ista n cia o e sp a cio de d o n d e s e h a d esp la ­
za d o, b ien p o r e n r a r e c im ie n to , o s ea , p o r s ep a ra c ió n e n ­
tr e sí de sus d iversa s p a rtes , o b ie n p o r c o n d e n s a c ió n , es
d ecir, p or a cu m u la ció n d e las m ism a s a ce r c á n d o s e m u tu a ­
m en te. Y e s to es o b serv a b le, n o só lo e n los cu erp o s qu e
a ctú a n c o m o m u elles sin o e n cu a lq u ier o tr o , sea m eta l,
m ad era, p ied ra , tie rr a cocid a , p elo , c u e r n o , sed a , h u eso,
ten d o n es , vid rio, e tc . En cad a ca so h a y q u e estu d ia r las
fig u ra s p a rticu la res de los cu e rp o s d efo r m a d o s y los m o ­
dos v e n ta jo s o s o d e s v e n ta jo s o s d e d e fo r m a c ió n .
robert
hooke,
D e P o te n tia R e s titu tiv a (1678)
3
Vibraciones libres
de los
sistemas físicos
AL h a c e r l a a f i r m a c i ó n
que acabam os de citar sobre las propiedades elásticas
de los objetos, R obert H ook e más bien sim plificó en exceso la situación. Las
fuerzas restauradoras de cualquier sistema físico son sólo aproxim adam ente fun­
ciones lineales del desplazamiento, co m o se indicó al principio del capítulo 1.
Sin embargo, es notable que una gran diversidad de deform aciones de los sis­
temas físicos, entre los que podem os incluir alargamientos, acortam ientos, fle­
xión y torsión (o com binaciones de los m ism os) dan com o resultado fuerzas
restauradoras proporcionales al desplazamiento y por ello originan vibracio­
nes armónicas simples (o una superposición
de vibraciones armónicas). En
este capítulo considerarem os cierto núm ero de ejem plos de estos movimientos,
resaltando particularmente el m od o en que pueden relacionarse las caracte­
rísticas cinemáticas del m ovim iento con las propiedades que pueden calcularse
normalmente mediante medidas estáticas. Em pezarem os con un detenido exa­
men de un sistema que constituye un p rototipo para m uchos problemas de
oscilaciones
; una masa que sufre oscilaciones m onodim ensionales sometida
a una fuerza restauradora del tipo postulado por H ooke. Probablemente bue­
na parte del estudio de la sección siguiente será familiar, pero es importante
estar seguro de ello antes de pasar adelante.
PROBLEM A B Á S IC O
M A S A -M U E LL E
En nuestra primera referencia a este tipo de sistemas dada en el capítulo 1,
considerábamos que estaba com puesto por un solo objeto de masa m sujeto
a un muelle [fig. 3-1 (a)] o a otro dispositivo equivalente, por ejemplo, un
47
Vibraciones libres de los sistemas físicos
48
Fig. 3-1.
(a)
(b)
(a) Sistema masa-muelle, (b) Sistema masa-alambre.
alambre delgado [fig. 3-1 (b)], que proporciona una fuerza restauradora igual
al p rodu cto de cierta constante k por el desplazamiento respecto al equilibrio.
Esto sirve para identificar, en función de un sistema de un tipo particular­
mente sencillo, las dos características que son esenciales en el establecimiento
de m ovim ientos oscilantes:
1.
Una com ponente inercial, capaz de transportar energía cinética.
2.
Una com ponente elástica, capaz de almacenar energía potencial elástica.
A dm itiendo que la ley de H ooke es válida, se obtiene una energía poten­
cial proporcional al cuadrado del desplazamiento del cuerpo respecto al equi­
librio. A dm itiendo que toda la inercia del sistema está localizada en la masa
al final del muelle, se obtiene una energía cinética que es precisamente igual
a Im v 2, siendo v la velocidad del objeto. D ebe señalarse que ambas hipótesis
son particularizaciones de las condiciones generales 1 y 2 y que habrá muchos
sistemas oscilantes en que no se apliquen estas condiciones especiales. Sin
embargo, si un sistema puede considerarse com puesto efectivam ente por una
masa concentrada al final de un muelle lineal (“ linear' se refiere a su propiedad
elástica y no a su form a geométrica), entonces podem os escribir su ecuación
del m ovim iento mediante uno de estos dos p roced im ien tos:
1.
M ediante la ley de N ew ton (F = má),
— k x = ma
2.
Por conservación de la energía mecánica total (£ ),
%mv2 + \ k x 2 = E
Resolución de la ecuación del oscilador armónico
49
La segunda expresión es, naturalmente, el resultado de integrar la primera
respecto al desplazamiento x, pero ambas son ecu acion es diferenciales del m o­
vimiento del sistema. Es im portante poder recon ocer la presencia de estas
ecuaciones diferenciales siempre que surjan en el análisis de un sistema físico.
En forma diferencial explícita pueden escribirse del m od o sigu ien te:
d 2
2m ( ^ j
+ kx = 0
(3-1)
+ ik x 2 = E
(3-2)
Cuando se vea una ecuación análoga a éstas se puede llegar a la conclusión de
que el desplazamiento x es una función del tiem po de la form a
x = A cos(w¿ + a)
(3-3)
en donde w2 es el cociente (k/m) entre la constante k del muelle y la masa m.
Esta solución seguirá siendo válida, dadas las ecuaciones (3-1) o (3-2), aunque
el sistema no sea un ob jeto aislado sujeto a un muelle carente de masa.
Ha de señalarse que en la ecuación (3-3) la constante w queda definida en
todos los casos por los valores que posean m y k. La ecuación contiene otras
dos constantes, la am plitud A y la fase inicial a ,
que proporcionan entre las
dos una especificación com pleta del estado de m ovim iento del sistema para
t ~ 0 (u otro tiem po señalado) en cualquier caso particular. El enunciado ini­
cial de la ley de N ew ton de la ecuación (3-1) no contiene constantes a deter­
minar. La ecuación (3-2), que suele denominarse “ integral primera” de la ecua­
ción (3-1), es matemáticamente intermedia entre las ecuaciones (3-1) y (3-3)
y contiene una constante a determinar (la energía total E, que es igual a
kA2¡2). La introducción de una constante más en cada etapa de integración
de la ecuación diferencial original (ley de N ew ton) es siempre necesaria, aun­
que en algún caso particular la constante puede ser nula. Se puede imaginar
este proceso com o el inverso de aquel que, mediante derivación, hace desapa­
recer un término constante.
RESOLUCIÓN DE LA E C U A C IÓ N
D E L O S C IL A D O R
ARMÓNICO U TILIZ A N D O EX P O N EN T ES C O M P L E JO S
Como m odelo para cálculos futuros, considerem os la ecuación diferencial bá­
sica, ecuación (3-1), y obtengam os la solución familiar dada en la ecuación (3-3),
50
Vibraciones libres de los sistemas físicos
mediante el em pleo d d exponente com plejo. C om o en la solución no intervie­
nen de m od o esencial los valores aislados de k y m, sino sólo su cociente
k¡m , em pecem os por volver a escribir la ecuación (3-1) de la form a más com­
pacta siguiente:
~ + ux = G
(3-4)
dt2
en la que se afirma que la com binación lineal de x y su segunda derivada
respecto al tiem po es nula, o lo que es equivalente, que
dlx¡dt 2 es
múltiplo
de x. Sabemos que la función exponencial tiene esta última propiedad;
así
pues, se puede escribir:
X=
(3-5)
C ept
en donde (para que la ecuación sea dimensionalmente correcta) se ha incluido
un coeficiente
que
pt
C
con dim ensiones de una distancia y un coeficiente
sea adimensional, es decir,
p
p
de modo
tiene dim ensiones de (tie m p o )'1. Susti­
tuyendo en la ecuación (3-4) resu lta :
p 2C e pt + u ? C e pl
= 0
que puede satisfacerse para cualquiera t y C, siempre que
p 2 + go2 = 0
Por lo tanto,
P = ± /c o
(3-6)
A m b os valores de p satisfacen la ecuación original. C om o no tenem os ninguna
razón para eliminar alguno de ellos, hem os de aceptar am bos con su propio
valor de C. A sí pues, la ecuación (3-5) se convierte en
x =
C íe
+
C2e - ^ t
(3-7)
Interpretem os la ecuación (3-7) en función de la descripción mediante un
vector rotativo del M A S. El primer término de la derecha corresponde a un
vector Cx que gira en sentido antihorario con velocidad angular w, y el se­
gundo a un v ector C2 que gira en sentido horario con la misma velocidad. Am­
bos se com binan para dar una oscilación armónica sobre el eje x, c o m o se ve
en la figura 3-2 (a), si son iguales las longitudes de Cx y C 2. Pero C x y C 2í según
aparecen en la ecuación (3-7), no tienen por qué ser reales. Puede satisfacerse
la ecuación (3-7) igualmente bien si se hace girar Cx cierto ángulo a respecto
.a la dirección definida p or t, con tal que se haga girar a C 2 un ángulo — a
Resolución de la ecuación del oscilador armónico
51
(b)
Fig. 3-2. (a) Superposición de soluciones complejas de la Ec. (3-4) con
Ci = Ci. (b) Superposición de soluciones complejas de la Ec. (3-4) para án­
gulo de fase inicial distinto de cero .
respecto a —
y haciendo que ambos vectores sean de nuevo* Iguales, com o
se ve en la figura 3-2 (b ).1 Esta condición menos restrictiva conduce entonces
al resultado acostumbrado:
x
Cg—/(ttt+a)
= 2 C cos(cot + a)
= A cos(w/ + a)
Las magnitudes C\ y C¿ de la ecuación (3-7), o A y a en la anterior, repre­
sentan igualmente bien las dos constantes de integración. que deben introdu­
cirse en el proceso de pasar de la ecuación diferencial de segundo orden (3-4)2
a la solución final que exprese x en función de t.
El análisis anterior revela incidentalmente que puede producirse un m ovi­
miento armónico rectilíneo mediante la superposición de dos movimientos
circulares reales iguales y opuestos, que es una clase de proceso inverso a la
producción de una figura circular de Lissajous a partir de dos oscilaciones li­
neales perpendiculares iguales. (Am bos resultados tienen aplicaciones impor­
tantes en la descripción de la luz polarizada.) Habiendo llegado a la ecuación
final, vemos que x puede describirse com o la parte real de un vector rotato­
rio correspondiente precisamente al primer término de la ecuación (3-7)3. Así
1 Ninguna otra relación conduce a una oscilación exclusiva a lo largo del eje x. Razonar
sobre este punto.
2 El orden de una ecuación diferencial viene definido por la más alta derivada que aparece
en la ecuación.
3 O el segundo término solo, si se prefiere.
52
Vibraciones libres de los sistemas físicos
pues, en m uchos cálculos futuros admitiremos soluciones simples del tipo si­
guiente :
x = parte
Esta amplia
real de z, en donde z = A e i<tát+aJ
(3-8)
discusión, otra vez repetida, del oscilador arm ónico simple,
aunque considera sólo resultados muy familiares, puede ayudar a proporcionar
una visión másclara del m odo
tores rotatorios
de funcionar de la descripción mediante
vec­
del M A S y de la justificación de este m étodo.
E L A S T IC ID A D Y M Ó D U LO D E Y O U N G
Volvam os ahora a las propiedades de la materia que controlan la frecuencia
de un sistema tipo masa-muelle. Si consideram os un muelle helicoidal real,
el problema es com plicado. A l sujetar una carga a estos muelles, según se ve
en la figura 3-3, se originan dos efectos diferentes, ninguno de los cuales es
un proceso de alargamiento o deform ación simple. Si imaginamos un peso W
suspendido de un punto situado sobre el eje vertical de un muelle, su efecto
consiste en producir un par W R alrededor de los puntos situados sobre el eje
aproximadamente horizontal del alambre que form a el muelle. Un efecto de
esta a cción , el
principal
Fig. 3-3.
en
la mayoría de los m u elles,
es
Resorte de alambre con masa suspendida.
provocar
una
Elasticidad y módulo de Young
53
torsión del alambre alrededor de su propio eje, y el descenso del peso es fun­
damentalmente consecuencia de esta torsión. Pero existe otro e fe c t o : Las es­
piras del muelle se apretarán o aflojarán ligeramente, de m od o que el muelle
en su totalidad sufre una torsión alrededor del eje vertical. En este proceso
interviene una flexión de las espiras, es decir, una variación de su curvatura.1
El resultado final es ciertam ente expresable com o una proporcionalidad (con
constante k del muelle) entre la carga aplicada y la distancia que recorre la
carga, pero para relacionar la elasticidad con las propiedades físicas básicas
haremos bien en dejar de lado el muelle y pasar a problem as más directos.
El alargamiento simple de una varilla o alambre proporcion a el caso más
fácil de estudiar de todos. El com portam iento de este sistema en equilibrio
estático puede describirse así:
1.
Para un material determ inado form ado por unas varillas o alambres de
una sección recta de área dada, el alargamiento AZ bajo la acción de una fuerza
dada es proporcional a la longitud inicial Z0. El cociente adimensional A//?0 se
denomina deform ación
unitaria o sim plem ente deform ación. Este resultado
puede expresarse también diciendo que en un experim ento estático con una
varilla determinada, el desplazam iento de los diversos puntos a lo largo de un
eje son proporcionales a sus distancias respecto al extrem o fijo, com o se ve
en la figura 3-4 (a), ya que en este caso estático la fuerza AP aplicada en un
extremo da lugar a una tracción de valor AP a lo largo de toda la varilla.
lo
r..i
(
!
:
tbj
í
i
_2lo
.................
^
a/
2A/
'3
3"
A/
Ai
-A
P,
(a) E xtensión uniform e longitudinal de una barra bajo condiciones
estáticas, (b) Barras de d iferen tes seccion es A\ y A 2 bajo tensiones A P i y AP2.
i Un muelle se apretará o ^flojará más o menos, según el material con que esté cons­
truido.
Fig. 3-4.
54
Vibraciones libres de los sistemas físicos
2.
Tam bién resulta que, en el caso de varillas de un material determinado,
pero de secciones rectas con áreas diferentes, se obtiene la misma deformación
(AZ//0) aplicando fuerzas proporcionales a dichas áreas, c o m o se ve en la figu­
ra 3-4 (b). El cociente AP/A se denomina tensión y tiene dim ensiones de fuer­
za por unidad de área, coincidentes con la de la presión.
3.
Con tal que la deform ación sea m uy pequeña, m enor que un 0,1 %
aproximadamente de la longitud normal lD, la relación entre la tensión y la
deform ación es lineal, de acuerdo con la ley de H ooke. En este caso podemos
escribir
tensión
------------------- —
deform ación
A ^
= constante
El valor de esta constante para cada material se denom ina m ódu lo de elas­
ticidad de Young (en h onor del m ism o Thom as Y oung, que constribuyó a la
historia de la ciencia con sus experim entos de interferencias ó p tica s).1 Nor­
malmente se le representa por el sím bolo Y. Si llamamos dF a la fuerza ejer­
cida p or un alambre o varilla estirada o com prim ida sob re otro objeto, se puede
escribir
dF/A
-Y
d i¡l0
es decir,
dF=
-
—
lo
di
(3-9)
Si llamamos x al alargamiento y F a la fuerza, este resultado puede escribirse
también así:
F = -
(3-10)
lo
que corresponde entonces a la extrapolación norm al de la fuerza restauradora
debida a la deform ación de un cuerpo elástico e identifica la constante k
del muelle, en este caso a AY/l0. En la tabla 3-1 se relacionan los valores
aproxim ados del m ódulo de Y ou ng de algunos materiales sólidos conocidos.
Tam bién se muestran los valores aproxim ados de la carga de rotura, expresada
com o la tensión a que suele rom per el material. Obsérvese que el m ódulo de
Young representa una tensión correspondiente a un alargam iento del 100 %,
condición a que nunca se llega en la deform ación real de una muestra. El
fallo o rotura se produce cuando la tensión es m enor que este valor en dos
o tres órdenes de magnitud, es decir, para valores de la deform ación entre
0,1 y 1 %
N o es posible obtener, estirando un alambre o varilla, un cambio
i También aportó importantes conocim ientos para lograr el primer desciframiento de los
jeroglíficos egipcios de la famosa Rosetta Stone.
Elasticidad y módulo de Young
55
relativo de longitud tan grande c o m o el que se obtiene fácilm ente en el caso
de un muelle helicoidal.
PROPIEDADES A TRA CCIÓ N DE C IER T O S M A TERIA LES
Material
M ódulo de Young, IV/m2
X
X
X
X
X
1010
1010
1010
1010
11
2
5
4
10
00
o
i-H
20
6
12
9
6
ofH
O
rH
A cero
Aluminio
Cobre
Latón
Vidrio
Carga de rotura, N/m2
X
X 108
X 10*
X
X 108
H-i
oQO
TABLA 3-1:
Si se cuelga un cuerpo de masa m del extrem o de un alambre, el período
de las oscilaciones de m uy pequeña amplitud viene dado por
T = 2* \ h r £
(3 -iD
como puede verse a partir de la ley de la fuerza, ecuación (3-10). Considérese,
por ejemplo, una masa de 1 kg colgada de un alambre de acero de 1 m de
longitud y 1 m m de diám etro. Se tiene
2
A = ífL « 0,8 X 10~6 m2
A
4
Por tanto,
k = ~
lo
« 1,6 X 105 N /m
—
« 1,6 X 10 2 sec
Por consiguiente,
o sea
Se ve fácilm ente que este alambre se com porta com o un muelle muy rígido,
y las oscilaciones, además de ser de frecuencia muy elevada, deben tener una
amplitud muy pequeña, solam ente una pequeña fracción de un m ilím etro en
un alambre de 1 m ,
si n o debe sobrepasarse la carga de rotura del ma­
terial.
El resultado expresado en la ecuación (3-11) puede volverse a escribir de
un modo físicam ente más claro si incluim os el aum ento de longitud h que se
56
Vibraciones libres de los sistemas físicos
produce en equilibrio está tico cuando se cuelga primeramente el cuerpo de
masa m del alambre. Según la ecuación (3-10), se tiene
A Y i,
Por tanto,
mlp __ h
A Y~g
De aquí que, mediante la ecuación (3-11), se tenga
(3-12)
A sí pues, el período es el m ism o que el de un péndulo simple de longitud h.
Esto constituye un m odo muy directo de calcular el período basándose en una
medida simple del alargamiento estático sin necesidad d e un con ocim ien to de­
tallado de las características del alambre o del valor de la masa suspendida.
La probabilidad elástica m acroscópica que describe el m ódulo de Young
debe ser analizable, co m o es lógico, en función de las interacciones micros­
cópicas entre los átom os del material. Evidentemente, si la longitud total de
un alambre aumenta en el 1 % , esto significa que los espaciados interatómicos
individuales que tienen la misma dirección, aumentan también en un 1 %.
A s í pues, en principio, se puede relacionar el m ódu lo elástico a las propieda­
des atómicas según quedan descritas por la curva de energía potencial de las
fuerzas interatómicas. Sin embargo, no proseguirem os co n esta línea de aná­
lisis porque estamos preocupados sólo por la descripción m acroscópica. En
lugar de ello, pasaremos a la discusión de algunos otros ejem plos de movi­
m iento arm ónico simple.
O B JE T O S FLO T A N T ES
Si un objeto flotante se introduce o se saca un p o co del líquido a partir de su
posición norm al de equilibrio, surge una fuerza restauradora igual al aumento
o dism inución del peso del líquido desplazado por el ob jeto y se inicia un mo­
vim iento periódico. El caso resulta especialmente sencillo si el cuerpo flotante
tiene un área de su sección recta constante en la parte que corta a la superficie
del líquido. Un hidróm etro (fig. 3-5), com o los utilizados para m edir el peso
específico del ácido de una batería o de un anticongelante, es un ejem plo sim­
ple de este tipo de objetos.
Objetos flotantes
57
m
D en sím etro sim ple, capaz de oscilar verticalm ente cuando se despla­
za de su posición de flota ción normal.
Fig. 3-5.
Sea m la masa de hidrógeno y su densidad p. Llam em os A al área de su
sección recta. Entonces si el hidróm etro está a una distancia y por encima de
su nivel de flotación, el volum en del líquido es A y y la ecuación del m ovi­
miento se convierte (según la ley de N ew ton) en
d2y
r"A
=
~
g
p
A
y
donde
y
T
- 2 * ^
(3-13)
Por ejem plo, un tipo com ún de hidróm etro para baterías tiene m ^ 10 g
yA
0,25 cm 2. Supóngase que se co lo ca en una batería ácido de peso espe­
cífico 1,2. Entonces, utilizando el sistema M K S, se tiene
58
Vibraciones libres de los sistemas físicos
dando así
7 ^ 1
seg
A escala m ucho m ayor se puede considerar que se produce este tipo de
m ovim iento en un barco. Los costados de un barco grande son aproximada­
mente verticales y su fon do es más o m enos plano, c o m o en la figura 3-6. En
este caso podem os expresar de m od o conveniente la masa del barco en fun­
ción de su calado» h ;
m
Fig. 3-6.
=
pAh
S ección transversal de un buque flotando.
siendo p la densidad del agua y A el área de la sección recta horizontal del
barco en la línea de flotación. Sustituyendo esta expresión en la ecuación (3-1JJ
se tiene
que es, pues, exactamente igual a la ecuación del péndulo simple que también
podría haberse utilizado para las oscilaciones verticales de una masa colgada
de un alambre [ecuación (3-12)]. P or ejem plo, si el calado del barco es 10 m,
el período de las oscilaciones verticales deberá ser de unos 6 segundos. Este
m ovim iento no es, sin embargo, un com ponente im portante del esquema de
oscilaciones total del barco. El cabeceo y el balanceo, en donde n o interviene!
ninguna elevación o descenso importante de la posición del centro de masas
respecto a la superficie del agua, son excitados más fácilm ente por la acción
de las olas.
Péndulos
59
PÉNDULOS
El llamado “ péndulo sim ple” , indicado en la figura 3-7 (a), representa un sis­
tema oscilante muy familiar pero, sin em bargo, bastante más com plicado que
las oscilaciones m onodim ensionales que hem os considerado hasta aquí (aunque
debe admitirse que, al citar las oscilaciones verticales de objetos flotantes he­
mos omitido, p or conveniencia, la cuestión engañosa del m ovim iento del lí­
quido desplazado).
O
(a) Péndulo sim ple, (b ) Masa suspendida de form a arbitraria sobre
un eje horizontal (péndulo rígido).
Fig. 3-7.
El problema del péndulo es esencialmente bidim ensional, aunque su despla­
zamiento real venga especificado com pletam ente por un solo ángulo 0. Aunque
los desplazamientos son predom inantem ente horizontales, el m ovim iento de­
pende de m odo esencial del hecho de que existe un ascenso y descenso del
centro de masas con los cam bios correspondientes de energía potencial gravitatoria. De h ech o, el péndulo se adapta m uy bien a un análisis mediante el
principio de conservación de la energía y, puesto que el resultado final es
bastante familiar, p roporcion a un buen ejem plo de este m étodo, lo cual resulta
de gran valor al analizar sistemas más com plicados.
Refiriéndonos ahora a la figura 3-7 (a), se tiene que y <C x si el ángulo 6
es pequeño, y por ello, a partir de la geom etría de la figura,
21
60
Vibraciones libres de los sistemas físicos
siendo l la longitud de la cuerda . 1 El enunciado del principio de conservación
de la energía es
1
2 -U
17
\mv
+ mgy = E
A
A
donde
v2 = í1 d—X \12 ^+ í( d—y \I2
Dadas las aproxim aciones ya mencionadas, es suficientem ente correcto escribir:
1
(d x \ 2
1 mg
2
p
2” U ) + Í T ' - £
que puede apreciarse, de acuerdo con la ecuación (3-2), que define un movi­
m iento angular con u> = V g //•
C om o preparación para péndulos más com plicados obsérvese otro plantea­
m iento del problem a en función del desplazam iento angular 0. U tilizando di­
ch o desplazamiento, se tiene
v = / ^ ^ (e x a c t a m e n t e )
¿ y = l(\ — c o s 0 ) j « J/ 02
de m odo que nuestra ecuación aproxim aba de la conservación de la energía
es ahora:
(^ j
+ \m gl$ = E
Considerem os ahora un objeto arbitrario libre de oscilar en un plano verti­
cal. Supongamos que su centro de masas C está a una distancia h del punto
de suspensión, com o se ve en la figura 3-7 (b). E ntonces la ganancia de energía
potencial para una desviación angular 0 es m ghfóll. La energía cinética es la
de rotación del cuerpo co m o un tod o alrededor de O. C om o tod os los puntos
del cuerpo tienen velocidad angular dOjdt, esta energía cinética puede escri­
birse en la form a I(d9jdt)2l2, en donde 1 es el m om ento de inercia alrededor
del eje horizontal que pasa por O. D e aquí se tiene que
+
1
En el triángulo
2
x9 — 2ly — y2
ly.
ONP
\m g h f = E
se tiene (por el teorem a de Pitágoras)
P = (l —
t/)2 +
x\
D e aquí,
Agua en un tubo en U
61
En muchos casos es conveniente introducir el m om ento de inercia alrededor
de un eje paralelo que pasa por el centro de masas. Si se escribe dicho m o­
mento de inercia com o m k2, siendo k el “ radio de giro” del cuerpo, entonces
la energía cinética de rotación resp ecto cd cen tro de masas es m k2(d 0¡d íf¡2 , a la
cual debe añadirse la energía cinética asociada con la velocidad lineal instan­
tánea h(dO¡dt) del propio centro de masas. A sí pues, la ecuación de conserva­
ción de la energía puede escribirse también del m od o siguiente:
h
bm kÁ
+ imghd2 = E
de lo cual resulta
gh
2
co =
h2
2ir
+
k2
+ k2y /a
(3-15)
AGUA EN UN T U B O EN U
Si en un tubo en U de sección recta constante de brazos verticales se intro­
duce un líquido, com o se ve en la figura 3-8, tenem os un sistema que recuerda
al péndulo, pues, aunque el m ovim iento es bidim ensional, puede describirse
completamente, en función del desplazamiento vertical y de la superficie del
líquido respecto a su posición de equilibrio . 1 Supóngase que la longitud total
de la columna de líquido es l y que su sección recta es A . Entonces, si p es la
Fig. 3-8.
Líquido oscilante en un tubo en U.
i No hay necesidad, de hecho, de que los brazos laterales sean verticales, aunque sí de
recta; las secciones rectas no precisan ser iguales, pero sí las longitudes; y las
Conexiones de los tubos pueden ser también de diferente sección transversal, siempre que la
Jpropiada escala geométrica de los factores sea empleada para expresar el desplazamiento
a velocidad de alguna parte del líquido, en términos de aquélla, en ambos brazos laterales.
62
Vibraciones libres de los sistemas físicos
densidad del líquido, su masa total es pAL A dm itirem os que todas las por­
ciones del líquido se mueven con la misma velocidad, dyjdt. El aumento de
energía potencial gravitatoria en la situación indicada en la figura 3-8 corres­
ponde a tom ar una
colum na de líquido de longitud y , del tubo de la izquier­
da, elevándolo ala altura y y colocándola en la parte
superior de la columna
de la derecha. A sí pues, puede ponerse
U = gpAy2
La conservación
de la energía m ecánica nos da así la siguiente
if>Ai
e cu a ció n :
+ gpAy2 - E
y, por tanto,
2
2g
W = ~7~
Obsérvese la semejanza con la ecuación del péndulo simple, pero también una
pequeña diferencia:
una colum na de líquido en estas circunstancias tiene el
mismo período que un péndulo simple de longitud Z/2.
O S C IL A C IO N E S POR T O R SIÓ N
El desarrollo de un par restaurador y la existencia de una energía potencial
almacenada en un objeto som etido a torsión son hechos m ecánicos familiares.
Si el par M es proporcional al desplazamiento angular entre los dos extremos
de un objeto, se puede poner
M = —cB
(3-17|
siendo c la constante de torsión del sistema. La energía potencial almacenada
viene dada así por
Si la desviación angular 0 se ha aplicado a un cuerpo de m om ento inerciall
sujeto a un extrem o del sistema som etido a torsión (y si es despreciable la
Vibraciones libres de los sistemas físicos
63
propia inercia del sistema), podem os poner el principio de conservación de la
energía en la form a
il
y de aquí
O) = (3-18)
La relación existente entre la constante de torsión y las propiedades elás­
ticas básicas del material es m enos directa que la relación existente entra- la
constante de rigidez y el m ódu lo de Y ou n g en el caso de un alambre o varilla
estirados. El proceso esencial se denom ina deform ación de c o rte o cizalladura
del material. Supóngase que se tiene firmemente pegado por su base a una
mesa un bloque rectangular de cierto material, y que su cara superior se pega
también a una tabla plana [figura 3-9 (a)]. Entonces, al aplicar una fuerza h o­
rizontal P a la tabla, en dirección paralela a dos de las aristas de la cara supe­
rior del bloque, se producirá una deform ación co m o la indicada . 1 D os de las
caras laterales dejan de ser rectángulos transform ándose en paralelogramos.
Así pues, la deform ación puede caracterizarse mediante el ángulo de co rte o ci­
te )
(b)
(c)
Fig. 3-9. (a) Deformación por cizalladura de un bloque rectangular, (b) Par
actuando sobre barras rectangulares durante la deformación por cizalladura.
(c) Un tubo retorcido puede considerarse como una gran colección de barras
semejantes a las indicadas en (b).
1 La tabla, para mantenerse en equilibrio, debe suministrar una fuerza horizontal — P y,
también, un par de sentido contrario al del m ovim iento de las agujas de un reloj. De esta
manera el bloque no estará som etido a ninguna fuerza resultante de translación ni a ningún
par resultante.
Vibraciones libres de los sistemas físicos
64
zalla ,
a.
En función del desplazamiento transversal real x del extrem o superior
de un bloque de altura l, se tiene (aproximadamente)
Resulta que el ángulo de corte es proporcional al cociente entre la fuerza
transversal aplicada y el área A de la superficie superior del bloque. La pro­
porcionalidad de la tensión de corte P ¡A al ángulo de corte xjl se expresa por
el módulo de cizallamiento o m ódulo de rigidez, norm alm ente designado con n.
Si llamamos F ( = — P) a la fuerza ejercida sobre el tablero por el material
sometido a cizalladura, podem os escribir:
-F / A
-------a
n
o bien
—
nA
dF = —n A d a = — —
(3-19)
Estas relaciones son, pues, del m ism o tipo que las que obtuvim os en el
caso de deform aciones longitudinales , ecuaciones (3-9) y (3-1 0),
y el módu­
lo de rigidez tiene las mismas dim ensiones físicas que el m ódu lo de ífoung,
Para la mayoría de los materiales estos dos m ódulos son del m ism o orden de
magnitud, aunque lo norm al es que n sea significativamente m enor que Y. La
tabla 3-2 muestra los valores de am bos para la misma serie de materiales que
en la tabla 3-1. Tam bién contiene un tercer m ódulo , el denom inado
módulo
de compresibilidad, k, que expresa la resistencia que presenta una sustancia
al cambiar de volumen.
TABLA 3-2:
V A LO R ES DE LO S M ÓDULO S ELÁ ST IC O S
Y, Njm%
A cero
Aluminio
Cobre
Latón
Vidrio
10 X
n, N¡m2
K, N/m2
i
Material
o
X
X
1 0 10
X
1 0 10
X
1 0 10
X
1 0 10
6 X
X
1 0 10
4
X
o
1 0 10
o
X
O O
l“H
6 X 1 0 10
16
7
13
io—
H
O
X
o
9
o
O
H
O
1 2 X ÍO10
3
4,5
3,5
2,5
o
1
-H
o
o
H
6 X
8 X
Para iniciar el cálculo de los m om entos o pares restauradores procedentes
de los procesos de cizalladura, considerem os el caso indicado en la figura 3-9 (b),
«El muelle de aire»
65
Mediante dos tiras rectangulares del material en cuestión se conectan dos dís:os de radio r m ontados sobre un eje. Cuando uno de los discos se hace girar
jn ángulo pequeño 0, el extrem o de cada tira se m ueve transversalmente una
distancia rO. A sí pues, el ángulo de cizalladura viene dado por
r$
a ~ l
Si cada tira tiene un área de su sección recta A , proporciona una fuerza
restauradora, tangencial al disco, dada por
A rd
FTT = —nA~j
Esta fuerza equivale a un par, de valor rF, que es ejercido sobre el eje de
giro por cada una de las tiras.
Supóngase ahora que se tiene un tubo de paredes delgadas de radio m e­
dio r y espesor de pared Ar, com o se ve en la figura 3-9 (c). El tubo puede con ­
siderarse com puesto por una serie com pleta de tiras delgadas paralelas al eje
del cilindro, de m od o que todas ellas contribuyen a form ar el par restaurador
sobre este eje. A sí pues, el par AM que proporciona el tu bo cuando se da
a sus extremos un giro relativo 6 viene dado por
nAr26
A M = ------ —
en donde
A = 2irrAr
De aquí que
A„ .
Finalmente si, co m o sucede en la mayor parte de los casos, el objeto som etido
a torsión es una varilla cilindrica maciza, un alambre o una fibra, se obtiene
el par total sumando o integrando el resultado anterior. A sí se tiene
4
M = — — - 0 (cilindro m acizo)
( 3- 2 0 )
«EL M U ELLE D E A IR E»
Uno de los temas más im portantes que trataremos en este libro consistirá en
el análisis de las vibraciones de las colum nas de aire y la producción de soni­
dos musicales. C om o base útil para ello considerem os una columna de gas
66
Vibraciones libres de los sistemas físicos
Fig. 3-10.
Pistón en una colum na vertical de aire.
encerrada en un recipiente com o algo m uy parecido a un muelle. R ob ert Boyle
se imaginó de esta manera la elasticidad de un gas y el título de esta sección
procede del título del libro que escribió -sobre este tem a . 1 (La palabra “ mue­
lle’', en el sentido utilizado por Boyle, equivale realmente a la cualidad de
elástico.)
Para relacionar lo más posible nuestro estudio al análisis previo del sistema
masa-muelle, supóngase que tenem os un tubo cilindrico, cerrado en un extre­
m o, con un pistón de masa m bien ajustado, pero con libertad de movimiento,
co m o se ve en la figura 3-10. La colum na de aire encerrada actúa com o un
muelle muy fuerte, muy resistente frente a una com presión o tracción repen­
tina;
este efecto se com prueba claramente si se cierra el agujero de salida
de una bom ba de bicicleta con un dedo y se intenta m over el pistón de la
misma.
El pistón tiene cierta posición de equilibrio que variará según esté el tubo
horizontal o vertical. Si el tubo está vertical, com o se ve en la figura, la pre­
sión p del gas contenido en el tubo debe estar por encim a de la atmósfera
lo preciso para soportar el peso del pistón, de m od o semejante al alargamien­
to inicial de un muelle. Pero ahora, si el pistón se mueve una longitud y , alar­
gándose la colum na de aire, la presión interna desciende y co m o resultado se
1 Robert Boyle, New Experiments Physico-Mechanical Touching [es decir, concerniente]
the Spring of Air and Its Effects, Made for the Most Part in a New Pneumatical Engine,
Oxford, 1660.
«E l muelle de aire»
67
obtiene una fuerza restauradora sobre m. De h ech o, puede escribirse una
ecuación de la form a
F = AAp
siendo Ap la variación de presión.
¿Cuánto vale la variación de presión? Una primera idea puede obtenerse
calculándola a partir de la ley de B oyle:
pV — const.
que nos dará
pAV+VAp = 0
(3-21)
Ahora bien,
A V = Ay
V = Al
de modo que se tendrá
py
i
y, por consiguiente,
(3-22)
F =
Comparemos esta expresión con la ecuación (3-10) correspondiente al alar­
gamiento o acortam iento de una varilla maciza. A sí se ve que en la ecua­
ción (3-22) la presión p juega un papel análogo exactam ente al de un módulo
de elasticidad. Realm ente, dada la hipótesis de que es aplicable la ley de Boyle,
se trata del m ódu lo elástico del aire. Sin em bargo, no es el m ódu lo de Young,
pues éste se define únicam ente para una muestra sólida con sus propios lí­
mites naturales. (En las con dicion es en que hem os definido y m edido el m ó­
dulo de Young, la colum na de aire puede contraerse co n libertad lateralmente
cuando se estira y dilatarse lateralmente cuando se com prim e, mientras que
a un gas hay que proporcionarle un recipiente con paredes esencialmente rí­
gidas.) El m ódulo adecuado es el que corresponde a cam bios del volumen total
de la muestra asociados con una tensión uniform e constituida por un cambio
de presión en toda su superficie. Éste es el m ódulo de compresibilidad, K , al
que nos referim os anteriorm ente; se define en general mediante la ecuación
dP
68
Vibraciones libres de los sistemas físicos
R ecordem os que la ley de Boyle describe la relación entre la presión y el
volumen en el caso de un gas a temperatura constante. A sí pues, la ecua­
ción (3-21) condu ce a una definición del m ódulo de com presibilidad isoterma
de un g a s :
^isotermo
—P
(3 "24)
En el caso de un gas a presión atm osférica este m ód u lo es del orden de
10r> N ¡m2, es decir, cin co o seis órdenes de magnitud m enor que en el caso
de los materiales sólidos que nos son familiares (véase tabla 3-2).
Una cuestión importante es con ocer si la constante de rigidez de una c o ­
lumna de aire debe definirse ciertamente mediante la elasticidad isoterma. En
general, no es éste el caso. Cuando se com prim e repentinamente un gas se
calienta com o resultado del trabajo realizado sobre el m ism o; en otras pala­
bras, las partículas que lo com ponen se mueven más rápidamente en valor
m edio. H em os ignorado este efecto al utilizar la ley de B oyle para calcular la
variación de presión (y por tanto la fuerza restauradora) correspondiente a
una variación determinada de la longitud de la colum na de aire. C om o, de
acuerdo con
la teoría
cinética de los gases,
velocidad cuadrática m edia de
la presión esproporcional a la
las moléculas, este calentam iento
da com o re­
sultado una fuerza restauradora m ayor que la que obtendríam os en otro caso,
y el m ódulo elástico de la colum na de gas es, pues, m ayor que el valor p,
predicho por la ecuación (3-24). La experiencia confirm a esta conclusión. La
presión varía en un factor más grande que el inverso del cociente de los v o ­
lúmenes. En condiciones com pletam ente adiabáticas (ningún flujo de calor que
entre o salga del gas) la relación presión-volum en resulta ser la sigu ien te: 1
pVy
A partir de
= const.
(adiabática)
(3-25)
la cual se tiene
ln p + J ln V = const.
I ^ + -T- = o
p dV V
^adiabatica =
El valor
micos, 1,40
de
----- V
^ y
=
YP
(3 -2 6 )
la constante yes cercano a 1,67 en elcaso de gasesm on oató­
si son diatóm icos y menor que 1,40 para tod os los demás
gases
1 El fundamento exacto de la Ecuación (3-25) lo consideraremos cuando estudiemos la
velocidad del sonido en un gas.
Oscilaciones de muelles cuya masa es grande
69
(a temperatura ambiente). Esta elasticidad increm entada en condiciones adia­
báticas hace aumentar la frecuencia de todas las vibraciones en que intervie­
nen volúmenes cerrados de gases.
O SCILA C IO N ES DE M U E L L E S C U Y A M A S A E S G R A N D E
Hasta aquí hem os estudiado los muelles com o si no tuvieran inercia y actua­
sen como almacenes puros de energía potencial elástica. Esto, naturalmente,
es sólo una aproxim ación en el m ejor de los casos, y en ciertos casos la inercia
del propio muelle puede jugar un papel predom inante. C om o procedim ien­
to de atacar esta cuestión, considerem os el problem a, favorito de los autores
de textos de física, de un cuerpo de masa m sujeto a un muelle uniforme de
masa total M y cuya constante es k . 1 ¿E n qué difiere el período de oscilación
del que se tendría si el m uelle careciese de m asa? Incluso, sin hacer ningún
cálculo se puede predecir que el período se alargaría. Pero, ¿en cuánto?
Un m étodo de estudio sencillo (y aparentemente razonable) consiste en
suponer que las diversas partes del muelle sufren desplazam ientos prop orcio­
nales a sus distancias al extrem o fijo, com o se indica en la figura 3-11 (e igual
que en el caso de la extensión estática, co m o se ve en la fig. 3-4). Es posible,
M
Fig. 3-11.
Extensión uniforme de un muelle con masa.
1 Como se verá más adelante, en esta sección, este problema tiene un verdadero interés
si se lo considera en su contenido real.
70
Vibraciones libres de los sistemas físicos
entonces, calcular la energía cinética total del muelle en un instante cualquie­
ra cuando el alargamiento de su extrem o más delgado es x.
Supongam os que la longitud normal del m uelle es Z, y sea s una distancia
cualquiera a partir del extrem o fijo ( O ^ s ^ Z ) .
del m uelle com pren dido entre s y s
dM
Considerem os un elemento
ds. Su masa viene dada por
= y
ds
y su desplazamiento es la fracción s/Z de x. A sí pues, la energía cinética de
este pequeño elemento viene dada por
En un instante dado cualquiera la energía cinética total del muelle se obtiene
integrando la expresión anterior y considerando a d xjd t co m o factor constan­
te. De aquí resulta
El teorema de la conservación de la energía para el sistema com pleto se
convierte así en
dando
2=
W
k
m + M/
3
Esto equivale a tom ar un muelle sin masa y sumarle M /3 a la masa sujeta
a su extrem o.
Pero, ¿es cierto esto? Supongamos, por ejem plo, que consideram os un caso
extrem o en el que suprim im os la masa m, quedándonos con un sistema en
que el muelle propiam ente sea el depositario de toda la energía cinética lo
mismo que de toda la energía potencial elástica. ¿V en d rá dada la frecuencia
Oscilaciones de muelles cuya masa es grande
de sus vibraciones libres p or o> = V 3fc/M ?
71
¡La respuesta es no! El cálculo an­
terior supone la con d ición de alargamiento estático de un muelle uniforme
—alargamiento proporcional
a la distancia del extrem o
fijo. Pero esto es
cierto solamente si la fuerza deform adora es la misma en todos los puntos
a lo largo del muelle. Y si existe una distribución de masas a lo largo del
muelle sufriendo aceleraciones, esta con d ición posiblem ente no podrá aplicar­
se. Debe existir una variación de la fuerza deform adora con la posición a lo
largo del muelle. N uestra ecuación para w es sólo una aproxim ación;
justificado, sin em bargo, si M
está
m, en cuyo caso la fuerza a lo largo del
muelle es aproxim adam ente constante (mientras que, para m = 0 , la fuerza
restauradora debe disminuir hasta anularse en el extrem o libre, existiendo en
dicho punto una aceleración, pero no masa).
El ejem plo anterior, aunque tratado aquí im perfectam ente, proporciona un
enlace importante entre el sistema simple masa-muelle y las vibraciones libres
de un objeto alargado. Porque, naturalmente, una varilla vibrando libremente
o una colum na de aire se com porta precisam ente c o m o un muelle dotado de
masa sin ninguna otra sujeta en su extrem o. Será de im portancia central para
nosotros el análisis más exacto del com portam iento de un sistema así, lo
cual haremos en el capítulo 6 . Sin em bargo, de m om ento, podem os utilizar
el estudio aproxim ado anterior para prever el tipo de resultado que dará un
tratamiento exacto
; que la frecuencia v ( = w/2 ?r) de una oscilación libre de un
muelle uniform e de masa M y constante k tiene que tener la form a esencial
y = const. A -
(3-27)
(en donde la constante es un factor num érico puro), ya que esta com binación
de k y M es la única que tiene dim ensiones de frecuencia. Incluso podem os
dar un paso más. Garantizado que la ecuación (3-27) es válida, podem os sus­
tituir k y M en función de las dim ensiones lineales, de la densidad y del m ó­
dulo elástico del material. Supongamos, por ejem plo, que se tiene una varilla
maciza de longitud l, sección recta A , densidad p y m ódulo de Young Y.
Entonces tendrem os
M = Al
k = ~
[Ec. (3-10)]
y por tanto,
const.
ÍY
72
Vibraciones libres de los sistemas físicos
Es de esperar que una ecuación co m o ésta describa las vibraciones longi­
tudinales de una varilla, aunque la constante num érica siga estando indeter­
minada.
A M O R T IG U A M IE N T O D E L A S O S C IL A C IO N E S L IB R E S
Las vibraciones libres de un sistema físico real cualquiera desaparecen siem­
pre al cabo del tiempo. T o d o sistema de éstos tiene, inevitablemente, ciertas
características disipativas mediante las cuales se va perdiendo la energía me­
cánica de vibración. N uestro con ocim ien to con creto de la existencia de un
sistema vibrante exige implicar una pérdida de energía p or
su
parte , como,
por ejem plo, cuando oím os un diapasón co m o resultado de la energía comu­
nicada al aire y luego, a través del aire, a nuestros oídos. A sí pues, nunca
puede ser estrictamente correcto describir m atem áticam ente estas vibraciones
libres mediante una variación sinusoidal de amplitud constante. Considerare­
mos ahora cóm o se ve m odificada la ecuación de las vibraciones libres al in­
cluir fuerzas disipativas.
Concretarem os de nuevo nuestro estudio al sistema básico masa-muelle.
La figura 3-12 muestra un ejem plo real de la dism inución paulatina de las os­
cilaciones de este sistema. Para acentuar el am ortiguam iento, se sujetó un in­
dicador a la masa m óvil que estaba introducida en un cilindro lleno de líquido;
la fotografía por destello múltiple de la figura 3-12 (a) describe claramente el
curso del m ovim iento. La figura 3-12 (b) es un gráfico basado directamente
sobre medidas hechas en dicha fotografía.
La fuerza resistente que ejerce un fluido frente a un ob jeto m óvil es una
función de la velocidad del o b je to ; su valor queda bien representado por la
ecuación
R(v) = biv + b^o1
siendo v el m ódulo |v¡ de la velocidad. Esta fuerza resistente se ejerce en sen­
tido opuesto al de la propia velocidad. Siempre que v sea péqueña comparada
con el cociente b j b 2, podem os considerar que la fuerza resistente viene dada
por un solo térm ino lineal. En este caso el enunciado de la ley de Newton
para la masa m óvil puede escribirse en la form a
d x
(a)
Fig. 3-12. (a) Fotografía con destellos múltiples de oscilaciones libres con
amortiguamiento. La cámara fue desplazada lateralmente para separar las imá­
genes sucesivas. (Foto de Jon Rosenfeld, Education Research Center, M.I.T.)
(b) Gráfica de una oscilación amortiguada obtenida midiendo una fotografía
de este modo.
es decir,
m ^ + b ^ - + kx = 0
dt2
dt
(3-29)
74
Vibraciones libres de los sistemas físicos
o bien
en donde
7
b
2
m
k
(3-30)
m
C om o puede verse, el amortiguamiento queda caracterizado por la magnitud y}
que tiene dimensiones de frecuencia, y la constante w0 representa la frecuencia
angular del sistema en el caso de que estuviese ausente el amortiguamiento.
Busquem os ahora una solución de la ecuación (3-30). Harem os esto me­
diante el m étodo exponencial com plejo, adm itiendo que x es la parte real de
un vector rotatorio z, en donde z satisface a una ecuación co m o la ecuación
(3-30), es decir,
(3-30a)
Adm itam os una solución de la form a
z = A ejipt+a)
(3-31)
com o la ecuación (3-8), pero conteniendo dos constantes, A y a, a fin de ajustar
nuestra solución a los valores iniciales de desplazam iento y velocidad. Sus­
tituyendo en la ecuación (3-30 a) se tiene
( - / + Jpy + oo2)Aej(pl+a) = 0
Si esta ecuación ha de satisfacerse para to d o valor de f, tendrem os
- P 2 + j p y + ojo2 = 0
(3-32)
Esta con dición implica el em pleo de núm eros com p lejos; es decir, realmente
contiene dos condiciones, aplicando las partes real e imaginaria separadamen­
te. N o puede ser satisfecha si la magnitud p es real pura, ya que el término
jpy sería entonces una magnitud imaginaria pura sin que existiera otra expre­
sión que la contrarrestara. Pongamos, por tanto,
P = n +js
donde n y s son am bos reales. Por tanto,
p 2 = n2 + 2jns — s 2
Amortiguamiento de las oscilaciones libres
75
.Sustituyendo esta expresión en la ecuación (3-32) se tien e:
-n 2 -
2jns + j 2 + jrd - s i + o>02 = 0
Así obtenem os dos ecuaciones separadas:
Partes rea le s:
—n2 + s 2 — 5 7 + wo2 = 0
Partes imaginarias:
—2 ns + «'7 = 0
A partir de la segunda se tiene
7
* = 2
Sustituyendo s = y/2 en la primera ecuación se tiene entonces
é
2
2
y2
« = coo - -J
Volvam os ahora a la ecuación (3-31). Escribiendo p en form a compleja
n + js, resulta
2
=
=
'(nt+jst+a)
^ g —s t g j ( n t + a )
y de aquí
x = A e ~ 3t cos(«¿ + a)
Sustituyendo los valores explícitos de n y s se halla así la solución si­
guiente :
x = A e ~ ytl2 cos(cot + a )
donde
2
w
2
=a>0
2
,
1 K
b
(3-33)
,2
t ~9
— T
4 ^ ------m
4 m2
(3-34)
En la figura 3-13 puede verse la gráfica que representa la ecuación (3-33)
en el caso particular a = 0. Tam bién se indica en la misma la envolvente de
la curva oscilante am ortiguada . 1 Los ceros de la curva están igualmente es­
paciados con una separación de w At = ir, y lo m ism o sucede con los máximos
y mínimos sucesivos, pero éstos están sólo aproxim adam ente en el punto me­
dio entre los ceros. Evidentem ente, w puede identificarse com o la frecuencia
angular natural del oscilador am ortiguado.
i Ha sido ligeramente m odificada la notación, escribiendo A 0 en lugar de A para denotar
la amplitud del movim iento para t = 0.
76
Vibraciones libres de los sistemas físicos
Fig. 3-13.
Oscilaciones armónicas rápidamente amortiguadas.
La curva de la figura 3-13 se ha dibujado para un caso en que es rápida la
disminución de las vibraciones. Sin embargo, si el am ortiguam iento es peque­
ño, el m ovim iento se aproxim a a un M A S de amplitud constante durante un
cierto número de ciclos. En estas condiciones se puede expresar el efecto que
produce el amortiguamiento en función de una dism inución exponencial de
la energía mecánica total E. En efecto, si )■
tu, podem os decir que durante
un tiem po t las oscilaciones quedan bien definidas durante varios ciclos por
un M A S de amplitud constante A , tal que
A(t) = A oe~yt/2
(3-35)
A hora bien, la energía mecánica total de un oscilador arm ónico simple viene
dada por
E = \kA2
De aquí que, utilizando el valor anterior de A , se tenga
E(t) = %kAo2e-y*
es decir,
E(t) = Eoe~yt
(3-36)
Amortiguamiento de las oscilaciones libres
77
ɧ
Fig. 3-14. Disminución exponencial de la energía total durante el amortigua­
miento de las oscilaciones armónicas.
En la figura 3-14 puede verse esta dism inución de la energía total.
Se recordará que este análisis com pleto del p roceso de amortiguamiento
se ha basado en la hipótesis de que la disipación se debe a una fuerza resis­
tente proporcional a la velocidad. El caso sería m uy diferente (y bastante más
difícil de estudiar) si se aplicase alguna otra ley
de
resistencia , por ejem ­
plo, R(v) ~ v2. Sin em bargo, es interesante señalar que la dism inución expo­
nencial de la energía, según expresa la ecuación (3-35), puede deberse, y de
hecho así sucede, a m uchos tipos diferentes de procesos disipativos. Por ejem ­
plo, en un circuito eléctrico oscilante la disipación de energía por unidad de
tiempo en una resistencia es proporcional al cuadrado de la intensidad de
corriente, pero también -sucede lo m ism o con la energía eléctrica y magnética
del circuito. La situación es, de hecho, estrechamente análoga al oscilador
mecánico con am ortiguam iento viscoso.
En física atóm ica y nuclear existen también muchas interacciones que dan
lugar a un descenso exponencial de la energía de un sistema y que hace que
el comportamiento de estos sistemas sea análogo al de un oscilador mecánico
simple con am ortiguam iento viscoso. En consecuencia, el análisis de este o s­
cilador m ecánico proporciona cierta idea de lo que sucede en tod os los fenó­
menos semejantes, aunque sea un caso especial.
A partir del análisis anterior, es evidente que el oscilador amortiguado
está caracterizado por dos parámetros, w0 y y ( = b /m ). La constante w0 es la
frecuencia angular de las oscilaciones no amortiguadas y y es el inverso del
tiempo que se necesita para que la energía disminuya a Ije de su valor inicial.
Así pues, w0 y y son magnitudes con las mismas dimensiones. Para m ejor apli­
car nuestros resultados a diversas clases de sistemas físicos, definiremos un
78
Vibraciones libres de los sistemas físicos
parámetro llam ado el valor Q (inicial de la palabra inglesa quality) del sistema
oscilante, dado por el cociente de ambas m agnitu des:
_
too
Q = ~y
0 es un núm ero
(3-37)
puro, grande en com paración con
de sistemas oscilantes
la unidad
con pequeñas pérdidas de energía
cuando se trata
p or unidad de
tiem­
po. En función del valor Q , la ecuación (3-34) se transforma en
(‘"¿O
O,2 = o>02 ( 1 - - 4 - )
(3-38)
Si Q es grande en com paración con la unidad, caso del que nos ocuparemos
principalmente, la ecuación (3-38) da <o
q>0 y el m ovim iento del oscilador
[ecuación (3-33)] viene dado con m ucha aproxim ación por
x — A Q e-^ tl2Q cos(coof + a)
(3-39)
Puede señalarse que Q está estrechamente relacionado con el núm ero de
ciclos de oscilación durante los cuales la amplitud de la oscilación disminuye
en un factor e . Porque de acuerdo con la ecuación (3-39) se tiene
A(j) = /4oe~woí/2Q
M idam os el tiempo t en función del núm ero de ciclos com pletos de osci­
lación, n. Entonces, dada la aproxim ación <d
w0, p od em os poner t ^ 2írn/ü)0.
En función del número de ciclos transcurridos se puede escribir, por tanto,
A(n) -
A 0e~ nir/Q
(3—40)
de m od o que la amplitud disminuye en un factor e en unos Q/n ciclos de os­
cilaciones libres.
En función de w0 y Q, podem os volver a escribir la ecuación (3-30) en la
forma
d 2x . m dx
2
n
■ d f l + o ¿7 + " » ' - 0
( ,- 41)
Esta form a de escribir la ecuación diferencial básica de las oscilaciones libres,
incluyendo el am ortiguam iento, de una gran variedad de sistemas físicos, tan­
to m ecánicos co m o no m ecánicos, será en m uchos casos muy conveniente.
Efectos que produce un amortiguamiento muy grande
EFECTO S Q U E P R O D U C E UN A M O R T IG U A M IE N T O
79
M UY G RAN D E1
Se habrá notado que el establecim iento de la ecuación para las oscilaciones
amortiguadas libres [ecuación (3-33)] depende esencialm ente de nuestra habi­
lidad para introducir en ella la frecuencia angular o> definida por la ecuación
«
2
2
= too
y2
4
Pero, ¿qu é ocurre si w0 [ = (k¡m )1/2] es m enor que y / 2 ( = b ¡2 m )l En este caso
el movimiento deja de ser oscilante. Podem os conseguir una idea de la forma
que tendrá la solución al problem a refiriéndonos al análisis que precede a la
ecuación (3-33). A sí se halla que la ecuación diferencial del m ovim iento [ecua­
ción (3-30)] queda satisfecha por una solución de la form a
* = Re [A e -ytl2eHnt+a)}
en donde
Supóngase ahora que w02 < y2¡4. Entonces podem os poner
n 2 = — ( t 2/ 4 -
oj02)
y si extraem os la raíz cuadrada de n se tendrá
n = ± j ( 7 2/4 - ojo2) 172 =
Así pues, tenem os que e jnt =
lo cual define una dism inución exponen­
cial de x con í, de acuerdo con uno de estos dos exponentes posibles:
e-(y/2+0)t
0
e~(y/2-0 )í
Un análisis riguroso muestra que, en general, son necesarios am bos exponen­
ciales y que la variación com pleta de x con t viene dada por la siguiente
ecuación:
* = A 1e~ (yl2^ )t +~A2e - (y!2~(i)t
en donde
f y2
\ 1/2
^ = \ 4 ~ u°2)
(3-42)
1 No estrictamente necesario para los problemas oscilatorios pero íntimamente conectado
con ellos y añadido para completar su estudio.
80
Vibraciones libres de los sistemas físicos
Las dos constantes ajustables A x y A 2 (que pueden tener cualquier signo) per­
miten que la solución se ajuste a cualquier valor dado de x y dx/dt en un ins­
tante dado, por ejem plo, para t = 0 .
Una última cuestión puede plantearse en con exión con este movimiento
fuertemente am ortiguado. ¿Q u é ocurre si w0 y y¡2 son exactam ente iguales?
En este caso el segundo m iem bro de la ecuación (3-42) se reduciría a dos
térm inos del m ism o tipo y sólo quedaría una constante ajustable. Sin embar­
go, esta solución no es satisfactoria en absolu to;
seguim os necesitando dos
constantes ajustables. Resulta que la form a apropiada que tom a en este caso
la solución es
x = (A +
(3-43)
Puede com probarse por sustitución que esta expresión satisface la ecuación
básica del m ovim iento, ecuación (3-30), si w0 = y¡2 o
y = 2ü>0 exactamente.
Esta condición especial corresponde a lo que se denom ina amortiguamiento
crítico. En los sistemas m ecánicos reales suele ajustarse deliberadamente el
valor de la constante de am ortiguam iento y para que satisfaga esta condición
porque, en condiciones de am ortiguam iento crítico, si se aplica bruscamente
al sistema (previamente en reposo) una fuerza constante será seguida de una
suave aproxim ación a una nueva posición de equilibrio, desplazada respecto
a la anterior, sin oscilaciones. Este com portam iento es ventajoso en grado
sumo en las piezas m óviles de aparatos de m edida eléctricos y otros seme­
jantes, en donde se desea tom ar una lectura estable tan pron to co m o sea po­
sible después de haber con ectado el aparato de m edida o cerrado un inte­
rruptor,
PRO BLEM A S
3-1 Se cuelga de un muelle un objeto de 1 g de masa y se le deja oscilar. Para
í = 0, el desplazamiento era 43,785 cm y la aceleración — 1,7514 cm/seg2. ¿Cuál
es la constante del muelle?
3-2
Una masa m cuelga de un muelle uniforme de constante k.
(a) ¿Cuál es el período de las oscilaciones del sistema?
(b) ¿Cuál sería el período si la masa m se colgase de m odo que:
(1) Estuviese sujeta a dos muelles idénticos situados uno junto al otro?
(2) Estuviese sujeta al extremo inferior de dos muelles idénticos co­
nectados uno a continuación del otro? (Véase figura.)
Problemas
81
m
(1 )
m
(2)
(3-3 Una plataforma está realizando un movimiento arm ónico simple en direc­
ción vertical con una amplitud de 5 cm y una frecuencia de 1 0 / 7T vibraciones
por segundo. En el punto más bajo de su trayectoria se coloca un cuerpo sobre
la plataforma.
(a) ¿En qué punto se separará el cuerpo de la plataforma?
(b) ¿A qué altura ascenderá el cuerpo por encima del punto más alto al­
canzado por la plataforma?
¡3-4 Un cilindro de diámetro d flota manteniendo la parte l dé su longitud su­
mergida. La altura total es L. Admítase que no hay amortiguamiento. En el
instante í = 0 se empuja el cilindro hacia abajo una distancia B y se suelta.
(a) ¿Cuál es la frecuencia de la oscilación?
(b) Dibujar un gráfico de la velocidad en función del tiempo desde f = 0
a / = 1 período. Deberá incluirse la amplitud y fase correctas.
5-5 Una varilla uniforme de longitud L se sujeta por un clavo a un poste de
modo que dos tercios de su longitud están por debajo del clavo. ¿Cuál es el
período de las oscilaciones pequeñas de la varilla?
/5-6 Un arco circular de diámetro d se cuelga de un clavo. ¿Cuál es el período de
sus oscilaciones cuando las amplitudes son pequeñas?
5-7 Un alambre de longitud l0 se alarga en 10 ~3 lQ, cuando se cuelga de su extre­
mo inferior una cierta masa. Si se conecta este mismo alambre entre dos puntos
A y B, alejados l0 y situados en el mismo plano horizontal y de su punto medio
se cuelga la misma masa, com o se ve en la figura, ¿cuál es la depresión y en di­
cho punto y cuál es la tensión del alambre?
A
B
m
82
Vibraciones libres de los sistemas físicos
3-8 (a) Un objeto de 0,5 kg de masa se cuelga del extremo de un alambre de
acero de 2 m de longitud y 0,5 mm de diámetro (módulo de Young
= 2 X 1011 N/m2).
¿Cuál es el alargamiento del alambre?
(b) El objeto se levanta en una distancia h (de m odo que el alambre deja
de estar tirante) y luego se deja caer de m odo que el alambre recibe un tirón
súbito. La carga de rotura del acero es de 1,1 X 109 N /m 2. ¿Cuál es el valor po­
sible de h, que resiste el alambre sin romperse?
3-9 (a) Se cuelga una bola de acero maciza del extremo de un alambre de acero
de 2 m de longitud y radio 1 mm. La carga de rotura del acero es 1,1 X 109 N/m!.
¿Cuáles son el radio y la masa de la bola de mayor tamaño que puede soportar
el alambre?
(b) ¿Cuál es el período de las oscilaciones de torsión de este sistema? (Mo­
delo de cizalladura del acero = 8 X 1010 N/m2. M omento de inercia de la esfera
respecto a un eje que pasa por centro = 2MR2/5.)
3-10
Una varilla metálica de 0,5 m de larga tiene una sección recta rectangu
lar de 2 mm 2 de área.
(a) Puesta vertical la varilla y teniendo colgada una masa de 60 kg en su
extremo inferior, se produce un alargamiento de 0,25 mm. ¿Cuál es el módulo
de Young (N/m2) del material de la varilla?
(b) Se sujeta firmemente la varilla por su parte inferior, com o se indica en
el esquema, y en su parte superior se aplica una fuerza F en dirección y, cora
está indicado (paralela a la arista de longitud ib). El resultado es una flexión elás­
tica, dada por
Yab*
z
Problemas
83
Si se suprime la fuerza F y se sujeta a la parte superior de la varilla una masa m,
mucho mayor que la masa de la varilla, ¿cuál es el cociente de las frecuencias
de vibración en las direcciones y y x (es decir, paralelas a las aristas de longitud
b y á)l
ex
(c)
Se empuja la masa lateralmente en una determinada dirección transver­
sal y luego se suelta, con lo que describe una trayectoria com o la de la figura.
¿Cuál es el cociente entre a y b l
3-11 (a) Hallar la frecuencia de vibración en condiciones adiabáticas de una c o ­
lumna de gas encerrada en un tubo cilindrico, cerrado por un extremo y con un
pistón de masa m bien ajustado pero que puede moverse libremente.
(b) Una bola de acero de 2 cm de diámetro oscila vertícalmente en un
tubo de vidrio con un orificio de precisión montado sobre un frasco de vidrio
de 12 litros que contiene aire a la presión atmosférica. Comprobar que el perío­
do de oscilación deberá ser de 1seg aproximadamente. (Admitir que
las varia­
ciones de presión son adiabáticas, con y = 1,4. Densidad del acero = 7600 kg/m3.)
3-12 El movimiento de un oscilador lineal puede representarse mediante un grá­
fico en el que se muestra x en abscisas y dxjdt en ordenadas. La historia del os­
cilador resulta ser entonces una curva.
(a) Demostrar que esta curva es una elipse en el caso de un oscilador no
amortiguado.
(b) Demostrar (cualitativamente al menos) que si se incluye un término
de amortiguamiento se obtiene una curva en espiral hacia el origen.
3-13 Comprobar que x = A e~at eos mt es una posible solución de la ecuación
d2x
dx
+
«
+ “ Q* = o
2
y hallar a y w en función de y y w0.
3-14 Se cuelga un objeto de masa 0,2 kg de un muelle cuya constante es 80 N/m.
Se somete el objeto a una fuerza resistente dada por — bv, siendo v su veloci­
dad en mi seg.
(a) Plantear la ecuación diferencial del movimiento en el caso de oscila­
ciones libres del sistema.
(b) Si la frecuencia con amortiguamiento es V 3 /2 de la frecuencia sin
amortiguamiento, ¿cuál es el valor de la constante b l
84
Vibraciones libres de los sistemas físicos
(c)
¿Cuál es el valor Q del sistema, y en qué factor se reducirá la ampli­
tud del sistema después de 1 0 ciclos completos?
3-15 Muchos sistemas oscilantes, aunque el mecanismo de pérdida o disipación
no sea análogo al amortiguamiento viscoso, muestran una disminución exponen­
cial con el tiempo de su energía almacenada media, E = Eüe~^. Puede definirse
una Q para ellos utilizando la definición Q = wjy, siendo w0 la frecuencia angu­
lar natural.
(a) Cuando se pulsa en el piano la nota “ d o ” , su energía de oscilación
disminuye a la mitad de su valor inicial en 1 seg aproximadamente. La frecuen­
cia de dicha nota es 256 Hz. ¿Cuál es la Q del sistema?
(b) Si la nota correspondiente a una octava más alta (512 Hz) emplea
aproximadamente el mismo tiempo para perder su energía, ¿cuál es su Q1
(c) Un oscilador armónico libre y amortiguado, compuesto por una masa
m = 0 ,1 kg, que se mueve en un líquido viscoso de coeficiente de amortigua­
miento b (Fviscosa = — bv), sujeta a un muelle de constante k = 0,9 N/m, realiza
un movimiento oscilante amortiguado. Su energía media disminuye a 1/e de su
valor inicial en 4 seg. ¿Cuál es la Q del oscilador? ¿Cuál es el valor de £>?
3-16 De acuerdo con la teoría electromagnética clásica, un electrón acelerado
radia energía en la proporción K e2a2/c\ siendo K = 6 X 109N — m2/C2, e n c a r ­
ga del electrón (C), a = aceleración instantánea (m/seg2) y c = velocidad de la
luz (m/seg).
(a) Si un electrón estuviese oscilando a lo largo de una recta con frecuen­
cia v (Hz) y amplitud A , ¿cuánta energía emitirá durante 1 ciclo? (Suponer que
el movimiento queda adecuadamente descrito por x = A sen 2nvt durante un ci*;
cío cualquiera.)
(b) ¿Cuál es la Q de este oscilador?
(c) ¿Cuántos períodos de oscilación deberían transcurrir antes de que la
energía del movimiento disminuyese a la mitad de su valor inicial?
(d) Sustituyendo v por una frecuencia óptica típica (es decir, luz visible),
estimar numéricamente la Q aproximada y la “ vida mitad” del sistema radiante.
3-17 Un tubo en U tiene brazos verticales de radio r y 2r, unidos por un tubo
horizontal de longitud l cuyo radio aumenta linealmente de r a 2r. El tubo en U
contiene líquido hasta una altura h en cada brazo. Se pone a oscilar el líquido j
en un momento dado el líquido en el brazo más estrecho está a una altura y sobit
el nivel de equilibrio.
(a) Demostrar que
la
energía
potencial
del
líquido
viene
dada por
^ = I gpn-ry.
(b) Demostrar que la energía cinética de una pequeña porción cilíndrial
de líquido en el brazo horizontal (véase diagrama) viene dada por
Problemas
,!K __ i
-Kr2 dx
85
( dy\T
" - " ( T + V v W
[Obsérvese que si el líquido no se acumula en ninguna parte, el producto (velo­
cidad X sección recta) deberá tener el mismo valor en tod o punto del tubo.]
(c) Utilizando el resultado de la parte (b), demostrar que la energía ci­
nética total de todo el líquido móvil viene dada por
K = \pirr2(l + f h)
(Despreciar cualquier efecto debido a los codos.)
(d) A partir de (a) y (c), calcular el período de oscilación si l = 5h¡2.
3-18 Este problema es mucho más ambicioso que los problemas normales en el
sentido de que exige reunir mayor número de partes. No obstante, si se resuel­
ven las diversas partes com o se sugiere, se verá que aisladamente no poseen nin­
guna dificultad especial y que el problema completo sirve de ejemplo de la po­
tencia del método de la conservación de la energía para el análisis de problemas
de oscilaciones.
Sin duda se está familiarizado con el fenómeno de oscilaciones del agua
en una bañera. El movimiento más sencillo es, con cierta aproximación, aquel en
que la superficie del agua está inclinada com o se ve en la figura, pero está más
o menos lisa. Un fenómeno semejante se presenta en los lagos. Imaginemos un
lago de sección recta rectangular, com o se indica, de longitud L y con una pro­
fundidad del agua h(<^ L). El problema recuerda al de un péndulo simple, en el
86
Vibraciones libres de los sistemas físicos
que la energía cinética se debe casi por completo a un flujo horizontal del agua,
mientras que la energía potencial depende de variaciones de nivel del agua muy
pequeñas, El programa para calcular, aproximadamente, el período de las osci­
laciones es éste:
(a)
Imaginar que en un instante dado el nivel del agua en los extremos
es + y 0 respecto al nivel normal. Demostrar que la energía potencial gravitato*
ria de la masa de agua completa viene dada por
U = %bpgLy02
siendo b la anchura del lago. Para obtener este resultado basta con hallar el in­
cremento de energía potencial de un elemento situado a una distancia x del cen­
tro e integrar.
(b)
Admitiendo que el flujo del agua es predominantemente horizontal,
su velocidad v debe variar con x, siendo mayor para x = 0 y cero para x = ± 1 /2.
Com o el agua es incompresible (más o menos) podemos relacionar la diferencia
de velocidades de flujo en x y x + dx con el cambio por unidad de tiempo dyját
de la altura de la superficie del agua en x. Esto es úna condición de continuidd
El agua fluye hacia x a una velocidad vhb y hacia x + dx a una velocidad
(u + dv)hb. (Estamos admitiendo que y0
h.) La diferencia debe ser igual a
(bdx)(dy¡dt), que representa el aumento por unidad de tiempo del volumen de
agua contenido entre x y x + dx. Utilizando esta condición demostrar que
en donde
(c)
A partir de aquí demostrar que en un instante cualquiera la energía
cinética total asociada con el movimiento horizontal del agua viene expresada poi
Para obtener este resultado, se debe calcular la energía cinética del elemento di
agua comprendido entre x y x + dx (con volumen igual a bhdx) que se mueve coa
velocidad v(x) e integrar entre los límites x ~ ± L ¡2.
(d) Escribir ahora
K + U = const.
que es una ecuación de la forma
A
+ Byo2 = const.
Problemas
87
y define un M AS de un período determinado. Puede verse que este período de­
pende sólo de la longitud L, de la profundidad h y de g. [Nota: Esta teoría no
es realmente correcta. La superficie del agua es realmente una porción de onda
sinusoidal y no plana. Pero nuestra fórmula da un error inferior al 1 %. (La res­
puesta correcta es T — 2L¡\Jgh).]
(e)
El lago de Ginebra puede considerarse aproximadamente com o un de­
pósito rectangular de agua de unos 70 km de longitud y una profundidad media
de 150 m. El período de sus oscilaciones se observa que vale 73 minutos apro­
ximadamente. Comparar este resultado con la fórmula obtenida.
3-19 Una masa m descansa sobre una mesa horizontal sin rozamiento y está
unida a unos soportes rígidos mediante dos muelles idénticos de longitud sin de­
formar l0 y constante k (véase figura). A m bos muelles se estiran una longitud l con­
siderablemente mayor que Z0. Los desplazamientos horizontales de m respecto
i su posición de equilibrio se denominarán x (sobre AB) e y (perpendicular a AB).
y
B
— o —
(k)
i
(a)
Escribir la ecuación diferencial del movimiento (es
decir, la ley de
Newton) que rige las oscilaciones pequeñaá en dirección x .
(b) Escribir la ecuación diferencial del movimiento que
rige las oscila­
ciones pequeñas en dirección y (admitir que y
l).
(c) Calcular el cociente entre los períodos de oscilaciones sobre x e y en fun­
ción de l y Za.
(d) Si para t = 0 se deja libre la masa m desde el punto x = y = A 0 con
velocidad nula, ¿cuáles son sus coordenadas x e y en un instante posterior Z?
(e) Dibujar un gráfico de la trayectoria de m resultante bajo las condicio­
nes de la parte (d) si l — 9 Z0/5.
Si un
gallo in tr o d u c e
su ca b eza
en
un
r e c ip ie n te
v a cío d e vid rio y allí c a c a re a h a sta r o m p e r e l r e c i­
p ie n te , to d o e l c o s to será phgacLo.
El T alm ud (B a b a K a m m a , C a p ítu lo 2)
4
Vibraciones
forzadas
y resonancia
-EL c a p í t u l o
a n t e r io r
se refirió enteramente
a
las vibraciones libres de di­
versos tipos de sistemas físicos. V olvam os ahora a ciertos fenóm enos nota­
bles, de profunda importancia en toda la física, que se presentan cuando un
sistema de este tip o , es
decir,
un oscilador fís ic o ,
se som ete a una fuerza
impulsora periódica mediante un agente externo.
La palabra clave es “ resonancia” . T od o el m undo por lo menos está fam i­
liarizado cualitativamente con este fenóm eno, y probablem ente la caracterís­
tica más chocante de un oscilador im pulsado exteriorm ente es el m odo con
que una fuerza periódica de un valor fijo produce diferentes resultados de­
pendientes de su frecuencia. En particular, si la frecuencia impulsora se hace
muy próxima a la frecuencia natural, entonces (com o sabe cualquiera que ha
empujado un colum pio) suele hacerse la amplitud de oscilación muy grande
mediante aplicaciones repetidas de una fuerza muy pequeña. Este fenóm eno
se denomina resonancia. Una fuerza del m ism o valor aproxim adam ente, a fre­
cuencia bastante por encim a o por debajo de la frecuencia de resonancia es
mucho menos eficaz; la amplitud producida sigue siendo pequeña. A juzgar
por la cita mencionada al principio de este capítulo, el fenóm eno ha sido c o ­
nocido desde hace m ucho tiem po . 1 Es típico de este tipo de m ovim iento el
que el sistema im pulsado se vea obligado a aceptar cualquier frecuencia de re-
1 Como Alexander W ooks hace notar en su libro Acoustics (Blackie and Son, Londres,
1940): "Parece difícil creer que se proyectó dicha legislación para cubrir un caso que nunca
habría de presentarse.” Sin embargo, el ejemplo parece más bien extraño y H. Bouasse, el
físico francés que llamó la atención sobre este precepto del Talmud, señalaba que él mismo
había criado gran número de gallos, ¡y ninguno había adquirido el hábito de meter su ca­
beza dentro de recipientes de v id r io !
89
90
Vibraciones forzadas y resonancia
petición que tenga la fuerza im pulsora; al principio puede ponerse en eviden­
cia su tendencia a vibrar con su frecuencia natural propia, pero finalmente da
paso a la influencia externa.
Para obtener cierto conocim ien to inicial en la descripción teórica del fe­
nóm eno de resonancia, sin demasiadas com plicaciones en detalles analíticos,
empezaremos considerando el caso sencillo aunque físicam ente n o real, de
un oscilador en el que sea totalmente despreciable el efecto amortiguador.
O S C IL A D O R
NO A M O R T IG U A D O C O N
IM PU LSIÓ N
A R M Ó N IC A
Considerem os que nuestro sistema está form ado por la masa m situada sobre
un muelle de constante k e imaginemos la aplicación de una fuerza impulsora
sinusoidal F = Ftícosw t. El valor de \Jkjm, que representa la frecuencia angu­
lar natural del sistema, se designará por w0. Entonces la ecuación del movi­
miento, en la forma ma = fuerza neta, es
d2x
m — r = —kx + Fo eos coi
d t2
o bien
,2
m
dt2
4- kx = Fo eos coi
(4-1)
Antes de estudiar con detalle esta ecuación diferencial del m ovim iento con­
sideremos cualitativamente la situación. Si el oscilador se ve impulsado a partir
de la posición de equilibrio y se le deja oscilar por sí m ism o, oscilará con su
frecuencia natural w0. Una fuerza impulsora periódica, sin embargo, intentará
imponer su propia frecu en cia 1 w al oscilador. Por lo tanto, es de esperar que
el m ovim iento real, en este caso, se deba a la superposición de oscilaciones
correspondientes a las dos frecuencias w y w0. La solución matemática com­
pleta de la ecuación (4-1) es realmente una suma simple de am bos movimien­
tos. Pero debido a la inevitable presencia de fuerzas disipativas en cualquier
sistema real, las oscilaciones libres acabarán desapareciendo. La etapa inicial
en que los dos tipos de m ovim iento son importantes, se denom ina transitoria,
Sin embargo, después de un tiem po suficientemente largo el único movimiento
1 Para evitar molestas repeticiones, nos referiremos a <o simplemente com o “ frecuencia
en lugar de “ frecuencia angular” en textos donde no haya peligro de ambigüedad.
Oscilador no amortiguado con impulsión armónica
91
presente de hecho es la oscilación forzada, que continuará sin disminuir con
la frecuencia w. Cuando se alcanza esta con dición tenem os lo que se denomina
movimiento estacionario del oscilador impulsado.
Posteriormente analizaremos los efectos transitorios, pero de m om ento en­
focaremos nuestra atención exclusivam ente al estado estacionario de la osci­
lación forzada. En un oscilador no am ortiguado ideal el efecto de las vibracio­
nes naturales
nunca
desaparecería,
pero
tem poralm ente
ignorarem os
por
sencillez este m olesto efecto que la ausencia de am ortiguam iento origina en
el problema del m ovim iento forzado.
La característica más im portante del m ovim iento será su gran respuesta en
las proximidades de w = w0, pero antes de com prom eternos totalm ente a la
resolución de la ecuación (4-1) señalemos algunas características del m ovim ien­
to en los casos extrem os de valores m uy altos o m uy bajos de la frecuencia
impulsora w. Si la fuerza impulsora es de frecuencia m uy baja respecto a la
frecuencia natural de las oscilaciones libres, es lógico
que la partícula se
mueva esencialmente en fase con la fuerza .im pulsora con una amplitud no
muy diferente de F0/ k ( = FJmu)2), desplazam iento que produciría una fuerza
constante F0. Esto es equivalente a afirmar que el térm ino m (d2x/dta) en la ecua­
ción (4-1) juega un papel relativamente pequeño com parado con el térm ino kx
a frecuencias muy bajas, o en otras palabras, que la respuesta está controlada
por la rigidez del muelle. Por otra parte, cuando las frecuencias de la fuerza
impulsora son m uy grandes com paradas con la frecuencia natural de la oscila­
ción libre, se presenta el caso opuesto. El térm ino kx resulta pequeño co m ­
parado con m(d2x¡d t2) debido a la gran aceleración asociada con frecuencias
altas, de m odo que la respuesta queda controlada por la inercia. En este caso
es evidente una amplitud relativamente pequeña de oscilación de fase opuesta
a la fuerza impulsora, ya que la aceleración de una partícula en el movimiento
armónico está desplazada en fase 180° con su desplazam iento. A partir de
estas consideraciones no parece lógico que la amplitud de resonancia exceda
mucho de la que se tiene con frecuencias bajas o altas, pero esto lo justifica­
remos a continuación.
Para obtener la solución estacionaria de la ecuación (4-1) podem os escribir
x = C eos coi
(4 - 2 )
En otras palabras, estamos adm itiendo que el m ovim iento es armónico, de
la misma frecuencia y fase que la fuerza impulsora, y que no están presentes
las oscilaciones naturales del sistema. N o debe olvidarse^que' la hipótesis de
92
Vibraciones forzadas y resonancia
la ecuación (4-2) es sim plem ente de tanteo y debem os estar preparados para
rechazarla si no acertam os a encontrar un valor de la constante C, hasta aho­
ra indeterminada, tal que se satisfaga la ecuación (4-1) para valores arbitra­
rios de ü> y t. D erivando la ecuación (4-2) dos veces respecto a í se tiene
d X
dt2
2 y-,
= — co C eos <j¡t
Sustituyendo en la ecuación (4-1) tenem os así
—mo)2C eos coi -j- kfc eos cot = Fo eos c¡út
y de aquí
C
=
k -
F°
ma)2
=
Fo/m
co02 _ W2
(A-%\
La ecuación (4-3) define satisfactoriamente a C de tal m od o que la ecuación
(4-1) se satisface siempre. A sí pues, podem os considerar que el movimiento
forzado está ciertamente descrito por la ecuación (4-2), con C dependiente de
W de acuerdo con la ecuación (4-3). Esta dependencia se muestra gráficamente
en la figura 4-1. Obsérvese c ó m o C varía abruptamente de valores positivos
grandes a valores negativos grandes cuando w pasa p or el valor w0. El fenó­
m eno de resonancia p or sí m ism o está representado p or el hech o de que el
valor de C, sin tener en cuenta el signo, resulta infinitamente grande cuando
se cumple exactamente que w = w0.
Fig. 4-1. Amplitud de las vibraciones forzadas en función de la frecuencia
impulsora (admitiendo un amortiguamiento nulo). El signo negativo de la am­
plitud para w > w0 corresponde a un retraso de fase igual a n del desplaza­
miento respecto a la fuerza impulsora.
Oscilador no amortiguado con impulsión armónica
93
Aunque entre las ecuaciones (4-2) y (4-3) se describe de un m odo total­
mente adecuado la solución de este problem a dinám ico, existe otro procedi­
miento m ejor de llegar al resultado, más de acuerdo con nuestra descripción
general de los m ovim ientos arm ónicos. Este m étodo consiste en expresar x
en función de una vibración sinusoidal que tenga una am plitud A , mediante la
definición de una m agnitud positiva y una fase a para t = 0 .
x = A cos(cot + a)
(4 - 4 )
No es difícil ver que esto im plica la con dición A = |C| y que se dé a a uno
u otro de los dos siguientes valores, según la frecuencia impulsora w sea m e­
nor o mayor que w0:
co < coo:
oí
O) >
Oí =
0 )0 *
= 0
7T
La respuesta del sistema en tod o el intervalo de <o viene entonces repre­
sentada por curvas separadas para la amplitud A y para la fase a, com o se ve
en la figura 4-2. El valor infinito de A para <» = <■>„, y el salto discontinuo de
TC
(b)
co
Fig. 4-2. (a) Amplitud de absorción de las oscilaciones forzadas en función
de la fuerza impulsora, en el caso de amortiguamiento nulo, (b) Retraso de
fase del desplazamiento respecto a la fuerza impulsora en función de la fre­
cuencia.
94
Vibraciones forzadas y resonancia
cero a n del valor de a cuando se pasa por w0, carece de significado físico, pero,
com o verem os, representa un caso límite (m atem áticam ente) de lo que real­
mente ocurre en sistemas con am ortiguamiento n o nulo.
Puede verse la inversión real de la fase del desplazam iento respecto a la
fuerza im pulsora (es decir, desde perm anecer en fase hasta desfasarse 180°)
O
Fíg. 4-3. Movimiento de péndulos simples que se obtienen de la oscilación
armónica forzada del punto de suspensión a lo largo de la línea AB.
(a) (n<C ojo. (b) ^ > ü>o.
mediante el com portam iento de un péndulo simple que se acciona moviendo
su punto de suspensión hacia adelanté y atrás horizontalm ente con un movi­
miento arm ónico simple. En la figura 4-3 pueden verse los casos que se pre­
sentan para frecuencias bastante por debajo y por encim a de la resonancia.
Una vez establecido el estado estacionario, el péndulo se com porta com o si
estuviera suspendido desde un punto fijo correspondiente a una longitud ma­
yor que su longitud verdadera l para w <
y m enor que l para w >
En
el primer caso el m ovim iento de la lenteja del péndulo lleva siempre la mis­
ma dirección y sentido que el m ovim iento de la suspensión, mientras que en
el últim o caso es siempre de sentido opuesto.
E L M ÉTO D O D E L EX P O N EN T E C O M P L E JO EN E L C A S O
D E O S C IL A C IO N E S F O R Z A D A S
Habiendo estudiado este ejem plo simple de problem as de vibración forzada
en función de ondas sinusoidales, volvam os a repetirlo utilizando el método
El método del exponente complejo en el caso de oscilaciones forzadas
95
del exponente com plejo. Esto no tiene ningún m érito especial en lo que se
refiere al problem a presente, pero su técnica, que ponem os aquí com o ejemplo
en términos elementales, m ostrará ser muy ventajosa cuando la considerem os
en el caso del oscilador am ortiguado. N uestro programa es el siguiente:
1.
Em pezaremos con la ecuación física del m ovim iento dada por la ecua­
ción (4-1):
x
(a)
(b)
Fig. 4-4. (a) Representación compleja de la fuerza impulsora sinusoidal.
(b) Representación compleja del vector desplazamiento en la oscilación forzada.
2.
Im aginem os que la fuerza impulsora F 0 eos wt se obtiene co m o p royec­
ción sobre el eje x de un vector rotatorio F0 exp (7W ), c o m o se ve en la figu­
ra 4-4 (a), e imaginemos que x es la p royección de un vector z que gira con la
misma frecuencia o> [fig. 4-4 (b)].
3.
Escribam os ahora la ecuación diferencial que rige el com portam iento
de z :
(4-5)
4.
Ensayemos la solución
z - Aej{ut+a)
Sustituyendo en la ecuación (4-5) resulta
( - mo>2A + kA)eñut+a) = F0eia‘
que puede volverse a escribir del m od o siguiente:
Fq
. Fo
— — co sa — j -s e n a
m
m
(4-6)
96
Vibraciones forzadas y resonancia
Esta expresión se desdobla en dos condiciones, que corresponden a la par­
te imaginaria y real de am bos m iem bros de la e c u a ció n :
(coo2— co2)A = — eos a
m
F 0 sen a
0 = ------------
m
Claramente estos valores conducen a la vez a las soluciones representadas me­
diante los dos gráficos de la figura (4-2).
O S C IL A C IO N E S F O R Z A D A S C O N A M O R T IG U A M IE N T O
A l final del capítulo 3 analizábamos las vibraciones libres de un sistema masamuelle som etido a una fuerza resistente proporcional a la velocidad. Consi­
deraremos ahora el resultado que se obtiene al actuar sobre este sistema una
fuerza com o la que acabam os de considerar en la sección anterior. El enunciado
de la ley de N ew ton se convierte ahora
en
d2x
dx , _
tn — = —kx — b— + F q eos coi
clt*
dt
o bien
d 2x
~~j7ñ 4
dt¿
b dx , k
Fo
~j- H-----* = — eos coi
m dt
m
m
H aciendo fc/m = w02, bfm = y, esta expresión puede escribirse
d 2x
dx
2
Fo
— + 7 — + coo * = — eos coi
dt2
dt
m
(4-7
Busquem os ahora una solución estacionaria a esta ecuación.
V olvam os de nuevo al m étodo del exponente co m p le jo ; nuestra ecuación
básica se convierte en la siguiente:
2
d z . ^ dz ,
- + y 7i + „
Fo jut
z - - e ’
2
(4-8)
Supongamos ahora la solución siguiente:
z = A e ^ ' - S>
con
x = Re (z)
(4 - 9)
Oscilaciones forzadas con amortiguamiento
97
Obsérvese que hem os adm itido una ecuación ligeramente diferente para z
respecto a lo supuesto en la sección anterior;
hem os escrito la fase inicial
de z com o — <5 en lugar de + a. ¿P or qué hicim os esto? La clave se encuentra
en la ecuación (4-6). El segundo m iem bro de la ecuación puede leerse en tér­
minos geom étricos co m o la instrucción necesaria para tom ar un vector de
longitud F0/m y hacerlo girar el ángulo — a respecto al eje real. Volverem os
a obtener una ecuación m uy semejante ahora y conseguirem os simplificar el
problema si definimos nuestro ángulo, por lo m enos form alm ente, com o re­
presentando una rotación positiva (en sentido contrario a las agujas del reloj).
Es decir, ó es form alm ente un ángulo de fase positiva m ediante el cual la fuer­
za impulsora adelanta al desplazamiento.
Sustituyendo (4-9) en la ecuación (4-8) se obtiene
F0
m
( —oy2A + jlfcoA + ojo2A )e j(íat 5) — — e j(j>t
Por lo tanto,
(coo2 — co2)^4 + jyoiA = — e3&
m
(4-10)
Ahora verem os realmente la elegancia del m étodo del exponente com ple­
jo. Podemos considerar la ecuación (4-10) co m o una con d ición geom étrica. El
primer m iem bro nos dice que dibujem os un vector de longitud (<o02 — o>2)A , y
que luego perpendicularm ente a él dibujem os otro vector de longitud ywA. El
segundo m iem bro nos dice que dibujem os un vector de longitud F0/m for­
mando un ángulo <5 con el eje real. La ecuación exije que estas dos operacio­
nes nos lleven al m ism o punto, de m od o que los vectores form en un triángulo
cerrado, com o se ve en la figura 4-5 (a ) . 1 Evidentemente, se tiene
F J m
jywA
FJm
^90°
¡ L
] í
( u t, 2
—
u
«o2
2) A
A
(b)
(a)
Fig. 4-5.
A
Representación geométrica de la Ec. (4-10).
1 Puede preferirse leer el m iem bro de la izquierda de la Ecuación (4-10), considerándolo
literalmente com o una suma de tres vectores,
m 2A + jytaA + ( f ) 2ta2A
como se indica en la figura 4-5 (b)
98
Vibraciones forzadas y resonancia
(coo2 -
w2)A = — eos ó
m
p
ytúA = ------- sen 6
m
Por lo tanto,
[(coo2 -
tg <5(o>) =
0)2)2 + (7w)2]1'2
(4
yco
Cl)q2 --- O)2
Naturalmente estos resultados pueden obtenerse también sin introducir el
exponente com plejo. Simplemente se supone una solución de la form a
x = A eos (cot — 5)
(4-12)
Fig. 4-6. (a) Relación entre la amplitud y la frecuencia impulsora en el caso
de oscilaciones forzadas con amortiguamiento, (b) Fase del desplazamiento respecto a la fuerza impulsora en función de la frecuencia impulsora.
Oscilaciones forzadas con amortiguamiento
99
y se sustituye en la ecuación (4-7), lo cual nos conduce a la ecuación
(coo2 - o?)A cos(cof -
5) - 7o)A sen (cor -
F
5 )= — eos coi
Esta ecuación deberá resolverse entonces com o una identidad trigonométri­
ca cierta para todo valor de t. El análisis, ciertamente, no es difícil, pero es
menos transparente e instructivo que el otro.
En la figura 4-6 se indica la relación que existe entre la amplitud A y el
ángulo de fase A respecto a la frecuencia «> en el caso de un valor admitido
constante de F0. (Recuérdese que es el ángulo que la fuerza impulsora adelanta
al desplazamiento o bien el ángulo que el desplazamiento está retrasado res­
pecto a la fuerza impulsora.) Estas curvas tienen un aspecto general claro muy
parecido al de la figura 4-2 para el caso del oscilador no amortiguado. Com o
puede verse, a partir de la expresión que nos da la tangente de ¿ en las ecua­
ciones (4-11), el retraso de fase aumenta continuamente desde cero (para
w = 0) hasta 180° (en el límite w - k v ) ; pasa por 90° precisam ente cuando la
frecuencia es w0. M enos evidente resulta el hecho de que la amplitud máxima
se alcanza a una frecuencia
un p oco menor que o>0; sin embargo, en la ma­
yor parte de los casos de cierto interés práctico la diferencia entre wm y o>0 es
despreciablemente pequeña.
Éstas son algunas de las características calculadas para un oscilador amor­
tiguado forzado. ¿Cuánto se aproxima a las que presentan los sistemas físicos
reales? La figura 4-7 nos proporciona una respuesta en la forma de los resul­
tados experimentales obtenidos con el tipo de sistema físico que hemos estado
discutiendo. N o es un sistema natural, evidentemente, sino un sistema arti­
ficial, ideado específicamente para mostrar más claramente estas característi­
cas. Sin embargo, produce satisfacción el ver que el esquema de comportam ien­
to descrito por nuestros análisis matemáticos (que después de tod o podría no
tener ninguna relación con la realidad) corresponde muy bien al comportamiento
del sistema com puesto por un muelle real y un agente amortiguador viscoso
también real. Este sistema es el mismo para el que mostramos la disminución
de las oscilaciones libres en la figura 3-12.
Las características de la figura 4-6 pueden también exhibirse de un m odo
sencillo aplicando una fuerza impulsora de cierta frecuencia fija a una colección
Vibraciones forzadas y resonancia
Fig. 4-7. (a) Esquema de la “ Torre de Texas”, aparato de resonancia mecá­
nica desarrollado por J, G . King en el Educational Research Center, M.I.T.
(b) Curvas experimentales de resonancia de la amplitud y del retraso de fase
obtenidas con este aparato. (Medidas realizadas por G. / . Churinoff, M.I.T.,
clase de 1967 J
Oscilaciones forzadas con amortiguamiento
Fig. 4-8. Versión moderna del experimento del péndulo de Barton. (a) Es­
quema general del dispositivo. La luz estroboscópica emite un destello por
oscilación en un punto controlable del ciclo, (b) Desplazamientos de los pén­
dulos cuando la fuerza impulsora está pasando por cero (izquierda) y un mo­
mento después (derecha). En la última fotografía, obsérvese que los péndulos
más cortos se han movido en el mismo sentido que el accionamiento y los
más largos en sentido contrario, correspondiendo a 8 < 9 0 ° y 8 > 90 °, respec­
tivamente. (Fotos por fon Rosenfeld, Education Research Center, M.I.T.)
101
102
Vibraciones forzadas y resonancia
completa de osciladores de frecuencia naturales diferentes. Esto se hace fácil­
mente mediante una modificación de un dispositivo debido a E. H. Barton
(1918) en el que se cuelgan cierto número de péndulos ligeros de longitudes
diferentes de una barra horizontal que se hace oscilar a la frecuencia de reso­
nancia del péndulo situado en su mitad, com o se ve en la figura 4-8 (a). Cuan­
do se fotografían lateralmente los movimientos de los péndulos ligeros todos
se mueven con la misma frecuencia y están separados cualitativamente al me­
nos en las relaciones de fase que eran de esperar. Esto está indicado en la
figura 4-8 (b), que muestra los desplazamientos de los péndulos pequeños en
el instante en que la barra accionadora pasaba de la izquierda a la derecha a
través de posición de equilibrio y luego un instante ligeramente posterior.
Los péndulos cortos (para los cuales w0 > <o) tenían un S < 90°, los más largos
(en los cuales a>0 <o>) tenían un d > 9 0 ° , y así se movían en sentido contrario
al sistema accionador, y el péndulo en resonancia exacta se retrasaba 90°,
teniendo un desplazamiento negativo máximo cuando el sistema accionador
pasaba por cero.
IN FLU EN C IA DE LA V A R IA C IÓ N D EL TÉRM IN O R ESISTIV O
A l estudiar la disminución de las vibraciones libres al final del capítulo 3, in­
trodujimos el factor de calidad Q t un número puro igual al cociente w6/y.
Cuanto mayor es el valor de Q, menor es el efecto disipativo y mayor el nú­
mero de ciclos de oscilaciones libres para una disminución dada de amplitud.
Indicaremos ahora cóm o cambia el comportam iento del sistema resonante cuan­
do se hace variar la Q del sistema permaneciendo igual los demás parámetros.
Dispongamos la ecuación (4-11) (para A y tg á ) en forma más conveniente
para este objetivo. Sustituyendo primeramente y = w0/(? nos dará
A (« )
=
F o/m
[(w02 - « 2)2 + (W« 0/ e ) 2]l /2
tg 5(«) =
««o /e
(4“ 13)
O>02 — O)2
Además, resultará conveniente en muchas ocasiones utilizar w/w0 com o va­
riable en lugar de w. Teniendo esto en cuenta volveremos a escribir las ecua­
ciones (4-13) de la forma siguiente:
Influencia de la variación del término resistivo
103
A - - *
/MU>02
o bien
(4-14)
y
O)
U>0
En la figura 4-9 vem os varias curvas calculadas a partir de las ecuaciones
(4-14) que muestran las relaciones que existen entre la frecuencia y la ampli­
tud A y el retraso de fase 5 para valores diferentes de Q, La mayor parte de la
variación de 6 se produce en un intervalo de frecuencias que va aproximada­
mente desde o>0( l — 1¡Q ) hasta q>0(1 + 1/(7), es decir, en una banda de anchura
2w0IQ centrada en w0. En el lím ite Q - k x > el retraso de fase salta bruscamente
desde cero a
tt
en cuanto se pasa a través de oj0. Evidentem ente la frecuencia w0
es una propiedad im portante del sistema resonante, aunque no sea (excepto en
el caso de am ortiguam iento nulo) la frecuencia con la cual el sistema debería
oscilar cuando se le dejase en libertad.
La amplitud A pasa p or un m áxim o para cualquier valor de Q mayor que
1 /V 2 » es decir, para tod os los sistemas excepto los am ortiguados con mayor
intensidad. Esta amplitud máxima A m se presenta, c o m o indicam os anterior­
mente, a una frecuencia wm que es m enor que w0. Si llam am os A 0 a la amplitud
Fülk obtenida para w - ^ 0 , puede demostrarse fácilm ente que se obtienen los
siguientes resu ltados:
Am — Ao
Q
(4-15)
En la tabla 4-1 relacionam os algunos valores de wm/w0 y de A mjA 0 para va­
lores particulares de Q. Obsérvese que en la mayoría de los casos (Q > 5) el
pico de amplitud es casi igual a Q veces el desplazamiento estático para la
104
Vibraciones forzadas y resonancia
misma F 0l y se produce a una frecuencia muy próxim a a w0. Para la misma
frecuencia w0 la am plitud es precisamente Q A 0.
TABLA
4-1:
PARÁM ETRO S DE RESO N AN CIA
AM ORTIGUADOS
1/V2
1
2
3
5
»1
o
3
^ 1
3 1
Q
0
1 A /2 = 0.707
V i = 0.935
V a = 0.973
V t f = 0.990
i - 1/ 4e 2
DE
LO S
SISTEM A S
A-m!^ 0
1
2 /V 3 = 1.15
8/V T 4 = 2.06
18/V 35 = 3.04
50 /V 99 = 5.03
Q [1 + 1/(8 Q 2)]
La figura 4-9 nos indica cóm o varía con Q la nitidez del ajuste de un sistema
resonante. Para exponer el fenóm eno puede utilizarse el dispositivo form ado
por una colección de péndulos c o m o el de la figura 4-8 (a). Puede aumentarse
el valor de Q, sin variar w0, haciendo que las lentejas de los péndulos tengan
mayor masa. La figura 4-10 muestra las fotografías realizadas con una exposi­
ción larga de los péndulos prim ero descargados y luego con dos cargas dife­
rentes. En ella se revela claramente la m ejora en la nitidez del ajuste, aunque
no sean estrictamente com parables las amplitudes absolutas de oscilación en
las tres fotografías. En cada una de estas fotografías se ha sobrepuesto una
fotografía mediante un destello instantáneo que muestra la relación de fase
entre los distintos péndulos para diferentes Q, que se corresponde en todo
con la figura 4-9 (b).
F E N Ó M E N O S T R A N S IT O R IO S
Hasta aquí nuestro estudio ha considerado el estado estacionario co m o com ­
pletamente establecido, es decir, co m o si la fuerza im pulsora F0 eos <of hubiese
estado actuando desde siempre en el pasado, de m od o que se ha desvanecido
toda traza de cualquier vibración natural del sistema impulsado. Pero, como
es natural, en cualquier caso real la fuerza im pulsora se pone en acción en
un instante determ inado, que si no hay ninguna razón para lo contrario lo
denom inarem os t = 0 , y sólo algún tiem po después se obtienen nuestras con­
diciones de estado estacionario. Esta etapa transitoria puede ocupar realmente
un tiem po muy largo si el am ortiguamiento de las oscilaciones libres es extre-
Fenómenos transitorios
Fig. 4-9. (a) Amplitud en función de la frecuencia impulsora para diferentes
valores de Q, admitiendo que la fuerza impulsora tiene valor constante y fre­
cuencia variable, (b) Diferencia de fase en función de la frecuencia impul­
sora para varios valores de Q.
106
Vibraciones forzadas y resonancia
^p[ni--
m
«,
»
• *
# **
#
•#
*
-m
*
=*
»
^w*-- O
*
(a)
(b)
(c)
Fig. 4-10. Fotografía con la exposición de los péndulos de Barton (ej. fi­
gura 4-8) mostrando las propiedades de la resonancia. Las lentejas del pén­
dulo eran esferas de estirofoam de poco peso (procedentes del Kit de electrostáti­
ca del PSSC). (a) Péndulos descargados y , por tanto, con gran amortiguamiento,
mostrando una resonancia poco selectiva, (b) Las lentejas poseían una car­
ga ligera (con una chincheta), obteniéndose un amortiguamiento moderado
y una resonancia más selectiva, (c) Lentejas con carga alta (una chinche­
ta + una arandela), obteniéndose un pequeño amortiguamiento y un Q bas­
tante elevado. (Fotos por Jon Rosenfeld, Education Research Center, M.I.T.)
En los tres casos se ha superpuesto un destello instantáneo para mostrar las
reacciones de fase entre los péndulos.
madamente pequeño. Em pezarem os otra vez (debido de nuevo a su sencillez
matemática) con el caso en que el amortiguam iento es efectivam ente nulo.
Para hacer el problem a másexplícito, supongam os que tenem os
un sistema
masa-muelle que está en reposo hasta el instante t = 0. En este m om ento se
pone en funcionam iento la fuerza impulsora y a partir de entonces el movi­
m iento queda regido por la ecuación (4-1), que presentam os al principio de
este c a p ítu lo :
m
d2
~ + kx = Fq eos co/
(4-16)
+ (¿o2X = — eos ü)t
(4-17)
dt¿
o bien
dt2
m
A hora ya hem os visto cóm o conduce esta ecuación diferencial del movi­
miento forzado a la siguiente ecuación en x :
Fenómenos transitorios
107
Sin em bargo, esta. ecuación no contiene constantes ajustables de integra­
ción; la solución queda especificada com pletam ente p or los valores de m, o>0,
F 0 y o). Después de nuestras notas en el capítulo 3 sobre la necesidad de in­
troducir dos constantes de integración al resolver una ecuación diferencial
de segundo orden, puede el lector preguntarse qué pasó con ellas en este caso.
Más específicamente, y c o m o allí más empíricamente, busquem os lo que nos
dará la ecuación (4-17) en el instante t = 0, en el cual, de acuerdo con nues­
tra hipótesis presente, la fuerza impulsora se ha puesto en funcionamiento.
¡El resultado es im posible!
P or ejem plo, si suponem os w < w0, el desplaza­
miento para t = 0 adquiere inmediatamente un valor positivo. Pero ningún
sistema con inercia no nula, som etido a fuerza finita, puede desplazarse una
distancia no nula en tiem po cero. Y si suponem os w > w0, el resultado es un
absurdo aún m ayor , la
masa
debería m overse repentinamente con un des­
plazamiento negativo ba jo la acción de una fuerza positiva. Evidentemente,
la ecuación (4-17) no nos cuenta toda la historia y la parte transitoria es la
que nos resuelve el problem a.
M atem áticam ente, la situación es ésta. Supóngase que hem os encontrado
una solución, denom inada x u a la ecuación (4-16), de m od o que
d2x i
2
F0
—j-z- ir a>o xi = — eos cot
dt2
m
Y supongam os ahora que hem os hallado también una solución, denom i­
nada x 2, a la ecuación de la vibración libre, de m od o que
.2
a X2
,
2
*2
n
=
0
Por simple suma de estas dos ecuaciones tenemos
a t¿
m
Así pues, la com binación X\ 4- x 2 equivale a la solución de la ecuación del
movimiento forzado co m o si estuviese x t solamente. N o tenem os ninguna ra­
zón matemática para excluir la contribución debida a x 2; por el contrario,
nos vem os obligados absolutam ente a incluirla si hem os de tener en cuenta
las condiciones que se presentan cuando t — 0. P odem os decir prácticamente
lo mismo, aunque con m enos precisión, desde un punto de vista puramente
físico. Las oscilaciones que se obtienen de un impulso breve dado al sistema
para t = 0 poseerán ciertam ente la frecuencia natural <*>0. Sólo si se aplica
108
Vibraciones forzadas y resonancia
una fuerza periódica durante m uchos ciclos aprenderá el sistema que debe
oscilar con alguna frecuencia diferente w. A sí pues, es lógico que el m ovi­
miento, al m enos en sus etapas iniciales, contenga contribuciones debidas a
ambas frecuencias.
V olvien d o ahora a las ecuaciones precisas, la ecuación de la vibración li­
bre de frecuencia w0 contiene dos constantes ajustables , una
am plitud y una
fase inicial. Llamémoslas B y /? porque estamos utilizándolas para ajustar las
condiciones del principio del m ovim iento forzado. Entonces, de acuerdo con
las ideas resumidas anteriormente, proponem os que la solución com pleta de la
ecuación del m ovim iento forzado sea del m od o sigu ien te:
siendo
x — B eos (cooí + 0) + C eos coi
_ .
^
Fo/m
C002
—
(4-18)
co2
Podem os ahora adaptar la ecuación (4-18) de m o d o que se ajuste a las
condiciones iniciales (en este caso), que son x = 0 y dx/dt = 0 para t — 0 .
Para la condición respecto a x misma tenem os
0 = 2? eos p - f C
Adem ás, derivando la ecuación (4-18), se tiene
dx
—-— = — o)qB sen ((o0í + /3) —•wC sen wí
dt
De aquí que, para t = 0, resulte
0 = — . WoB sen j3
La segunda condición exige que
= 0 o n. T om an do la primera (el re­
sultado final es el m ism o en am bos casos) se tiene que B = — C, de modo
que la ecuación (4-18) resu lta :
x = C(cos coi — eos cooí)
(4-19)
lo cual es un ejem plo típico de batido o pulsación, co m o se ve en la figu­
ra 4-11 (a). En ausencia com pleta de am ortiguam iento estas pulsaciones con­
tinuarían indefinidam ente; no se alcanzaría nunca un estado estacionario co­
rrespondiente a la ecuación (4-17) sola. Quizá sea interesante hacer notar que
Fenómenos transitorios
(a)
(b)
Fig. 4-11. (a) Respuesta de un oscilador armónico no amortiguado frente a
una fuerza impulsora periódica, como la descrita por la Ec. (4-19). Estas pul­
saciones continuarían indefinidamente, (b) Comportamiento transitorio de un
oscilador amortiguado con una fuerza impulsora periódica lejos de la reso­
nancia. (c) Comportamiento transitorio a frecuencia de resonancia exacta, mos­
trando el crecimiento suave hasta alcanzar una amplitud estacionaria. (Fotos
de fon Rosenfeld, Education Research Center, M.I.T.)
110
Vibraciones forzadas y resonancia
las condiciones un instante después de t = 0 tienen ahora un sentido per­
fectam ente claro. Si
ü>„í
1, podem os poner
2 2
eos
~ 1 —
O) t
C O S C0QÍ 555 1
Por lo tanto,
x
Fp/m
(coq2 — c o V
coo2 — co2
2
_ 1
Fp ^
2 m
A sí pues, precisamente com o es lógico, antes de que
las fuerzas restaura­
doras tengan que intervenir en el ju ego la masa arranca
en el sentido de la
fuerza aplicada con una aceleración F 0/m.
Podem os preguntarnos si, dado que la ecuación (4-18) se justifica com o
una posible solución de la ecuación del m ovim iento forzado, es, en conse­
cuencia, la verdadera solución. D irem os solam ente que existe un teorem a de
unicidad para estas ecuaciones diferenciales y si hem os encontrado una so­
lución cualquiera con el núm ero exigido de constantes ajustables, es cierta­
mente la única y verdadera solución del problem a . 1
V olviendo ahora al caso más real en que se adm ite
que está presente el
amortiguamiento, podem os, sin más, postular la com bin ación siguiente de m o­
vim ientos libres y en estado estacionario:
x = Be yt¿2 cos(coit + /3) + A cos(cct — 5)
(4-20)
en donde
y A y d vienen dadas por la ecuación (4-11).
N o intentaremos aquí descender a los detalles puramente matem áticos para
ajustar los valores de B y p a los valores de x y dx/dt para £ = 0. Es seme­
jante a una versión más com plicada de lo que hicim os antes para el caso de
los osciladores no amortiguados. Sin embargo, en la figura 4-11 (b), mostra­
rem os el tipo de m ovim iento que se produce, en general semejante a un in­
tento de pulsaciones, seguido de un m ovim iento de am plitud constante a la
i Para un estudio más com pleto ver, por ejemplo, a W. T. Martin y E. Reissner, Elementary Differential Equations, Addison-W esley, Reading, Mass., 2.“ ed., 1961.
Potencia absorbida por un oscilador impulsado
frecuencia impulsora
oh
111
La figura 4-11 (c) muestra el efecto transitorio mucho
más sencillo que se presenta cuando el oscilador am ortiguado se ve impulsado
a su propia frecuencia natural.
POTENCIA A B S O R B ID A POR UN O S C IL A D O R
IM P U LS A D O
Con frecuencia tendrá im portancia e interés con ocer a qué ritm o debe ali­
mentarse la energía en un oscilador impulsado para mantener sus oscilacio­
nes a una amplitud fija. C om o en cualquier otro fen óm en o dinám ico, podem os
calcular la potencia instantánea P en función del p rod u cto de la fuerza im ­
pulsora por la velocidad :
_
dW
r dx
P = —— = F — = Fv
dt
dt
De nuevo considerem os el oscilador am ortiguado, para el cual (debido a
que no existen efectos disipativos) la inyección de potencia media debe resul­
tar nula. U tilizando las ecuaciones ya desarrolladas y adm itiendo la solución
de estado estacionario, se tiene
F — Fo eos o)t
X =
Fo/m
-------COQ2 — oo2
COS
~
O)t = C COS COt
Por lo tanto,
v — — toC sen <i>£
p = — tüCF0 sen w£ eos w£
Esta potencia de entrada, proporcional a sen 2o>£, es positiva la mitad del
tiempo, y negativa la otra mitad, de manera que su prom edio es cero en un
número entero cualquiera de sem iperíodos de oscilación. Es decir, la energía
se suministra al sistema durante un cuarto de ciclo y se extrae de nuevo du­
rante el siguiente cuarto de ciclo.
Volviendo ahora al oscilador forzado con amortiguam iento, se tiene
x = A cos(cot — 5)
Por lo tanto,
v = — (oA sen (w£ — ó)
Esto se puede escribir en la form a
v = — v0 sen (<út — 6)
112
Vibraciones forzadas y resonancia
en donde vQ es el valor m áxim o de v para valores cualesquiera de F0 y w. T o ­
mando el valor de A de la ecuación (4-14) se tiene
Foo)o/k
'too __ « y
, to
C00/
_i_
Q2_
(4-21)
1/2
El valor de v0 pasa por un m áxim o para w = oj0 exactam ente, fenóm eno que
podem os denominar resonancia de velocidad.
Considerem os ahora el trabajo y la potencia necesaria para mantener las
oscilaciones forzadas. Se tiene
P = — F0v0 eos wt sen (wí — ■S)
— — F qVqeos wí (sen wí eos S — eos <oí sen 5)
Es decir,
p = _
Siprom ediam os
(,FqVq eos S) sen u>í eos <oí + (F 0u0 sen <5) eos 2 <oí
lapotencia
de entrada
en un núm ero cualquiera
de ciclos el primer térm ino de la ecuación
(4-22)
entero
(4-22) resulta cero. Elpromedio
de eos 2 coi, sin embargo, es £ , 1 de m od o que la potencia de entrada media
viene dada por
P = JF 0u0 sen &= |(oAF0 sen <5
Con la ayuda de las ecuaciones (4-14) y (4-21), resulta ser
\
*bV >
1
p(w) ~ H ^
q 7
top
f/ cao
\to
<a\
ca
\ v
cao/
7
1
(4_23)
Esta potencia, com o la velocidad, pasa por un m áxim o para el valor w =
precisam ente cualquiera que sea el valor de Q . La potencia máxima viene
dada p or
0
0
Fo woQ
QFo
Pm ~ — Ü T ~ 2 ^ o
(4~24)
En la figura 4-12 (a) se muestra la relación existente entre P y w para di­
versos valores de Q. Puede señalarse que la potencia de entrada tiende hacia
cero para frecuencias m uy bajas y muy altas, y que excepto para valores ba1 Recuérdese, por ejemplo, que eos2wí = \ (1 + eos 2wí) y que
ciclo completo.
(eos 2wí)medio — 0 en un
Potencia absorbida por un oscilador impulsado
c
(0
o
ü_
Fig. 4-12. (a) Potencia media absorbida por un oscilador forzado en función
de la frecuencia para diversos valores de Q. (b) “ Agudeza ” de la curva de re­
sonancia determinada en función de la curva de potencia.
11 4
Vibraciones forzadas y resonancia
jos de Q las curvas son casi simétricas alrededor del m áxim o. E s conven ien te
definir una anchura para estas curvas de resonancia d e potencia tom ando la
diferencia entre aquellos valores de w para los cuales la p oten cia d e entrada
es la mitad del valor máximo. Esto puede hacerse de un m od o particularmen­
te claro y útil si Q es grande (com o sucede en la m ayoría de los casos de in­
terés). Esto significa que la resonancia está efectivam ente contenida dentro
de una banda estrecha de frecuencias próxim as a w0. Entonces es posible es­
cribir una form a aproximada de la ecuación para P(w) basada en el siguiente
cálculo elem en tal:
to o
2*
co _
00
cop
to o
2
—
to
tOCOo
_
( ^ o ~b to )(to o ~
aJ)
to to o
De aquí que, si w ^ a>0, podem os poner
to o
to
to
to o
^
2 to o (to o —
to ) _
2 (to o —
to o 2
to)
too
Sustituyendo este valor en el denom inador de la ecuación (4-23) se tiene
P(<*)
F
=
o2 w o
2kQ
1
4(coq — to)2
too2
F 02(w /Q)
2(fc/too2)
Q2
1
4(too — to)2 +
(too/ Q)2
A h ora nos hem os encontrado co m o antes la magnitud w0/(?- Es la cons­
tante de am ortiguamiento y (= b¡m ) la que caracteriza la velocidad con que
disminuye la energía de un oscilador am ortiguado en ausencia de una fuerza
im p u lsora:
E = E0e~(ú)°'Q)‘ = Eoe~rt
(4-25)
[Véase ecuación (3-36).] A sí pues, la ecuación anterior para P puede escri­
birse (recordando también que k = m ^o) en la siguiente form a sim plificada:
(aproximada) * » ) = ^
(4-26)
Potencia absorbida por un oscilador impulsado
115
Las frecuencias w„ + Ao>, para las cuales P(o>) desciende a la mitad del valor
máximo P(w0), se definen así por
4(Ato)2 = 7 2
Es decir,
(4-27)
Así pues, la anchura de la curva de resonancia para el oscilador impulsado,
medida por la potencia de entrada [figura 4-12 (b)], es igual al recíproco del
tiempo necesario para que las oscilaciones libres disminuyan a \¡e de su ener­
gía inicial. Podem os predecir que si un sistema tiene una respuesta de reso­
nancia m uy estrecha (m edida bien por la amplitud o p or la absorción de
potencia) la dism inución de sus oscilaciones libres serán m uy lentas. E inver­
samente, co m o es natural, si las oscilaciones libres dism inuyen rápida o lenta­
mente la respuesta del oscilador am ortiguado es respectivam ente ancha o es­
trecha. ¿Cuál es nuestro criterio para “ lento” o “ rápido” , “ ancho” o “ estrecho” ?
Las ecuaciones (4-26) y (4-27) nos dan las respuestas. Podem os decir que la
resonancia es estrecha si la anchura es solam ente una pequeña fracción de
la frecuencia de resonancia, es decir,
—
«
1
(4-28a)
030
Y podem os decir que la dism inución de las oscilaciones libres es lenta
si el oscilador pierde sólo una pequeña fracción de su energía en un período
de oscilación. A h ora bien, a partir de la ecuación (4-25) tenem os
Si para Ai ponem os el tiem po 2
que es aproxim adam ente igu.M A pe­
ríodo de la oscilación am ortiguada libre [ecuación (3-40)], tenem os
AE _
2ir7
E
O3o
A sí pues, una dism inución lenta significa que
—
« 1
(4-28b)
030
Com o y = 2Aw = iú0/Q, las condiciones descritas por las ecuaciones (4-28 a)
y (4-28 b) pueden expresarse a la vez diciendo que la magnitud sin dim en­
siones Q debe ser grande.
116
Vibraciones forzadas y resonancia
Esta relación entre la anchura de resonancia de la oscilación forzada y el
decrem ento de las oscilaciones libres es característica de una gran variedad
de sistemas físicos oscilantes y no sólo del oscilador m ecánico que estamos
utilizando aquí com o ejem plo. De hecho, siempre que un sistema físico» en
oscilación libre, muestre una pérdida exponencial de energía con el tiempo,
mostrará también una respuesta a la acción im pulsora con característica de
resonancia.
E JE M P L O S D E R E S O N A N C IA
En el curso de nuestros estudios hem os hecho varias referencias de pasada al
hecho de que m uchos sistemas que, superficialmente al m enos, tienen muy
p o co en com ún con una masa situada sobre un muelle, presentan, sin embargo,
un com portam iento de resonancia semejante. N o obstante, al concentrarnos
sobre el com portam iento de un sistema m ecánico simple, nuestro análisis re­
sultó m ucho más detallado y con creto. A h ora am pliaremos nuestro punto de
vista otra vez y direm os algo sobre la resonancia en varios sistemas muy dife­
rentes.
Si tuviéramos que ampliar nuestras ideas de este m od o, necesitaríamos
poder decir en térm inos más bien generales lo que entendem os por resonan­
cia, y podríam os empezar preguntándonos a nosotros m ism os:
¿Cuál es la
esencia real del com portam iento del sistema de masa y m uelle? D ejando de
lado las matemáticas podríam os contestar e s t o : El sistema es accionado me­
diante un agente externo, al que se hace variar uno de sus parámetros (la
frecuencia). La respuesta del sistema, medida por su am plitud y fase, o por
la potencia absorbida, sufre variaciones rápidas en cuanto la frecuencia pasa
a través de un cierto valor. La form a de la respuesta está descrita mediante
dos m agnitudes, una frecuencia w0 y una anchura y ( = wD/0
,
que caracteri­
zan las propiedades distintivas del sistema impulsor. La resonancia es el fe­
nóm eno que hace actuar el sistema bajo unas condiciones tales que la interac­
ción entre el agente impulsor y el sistema se ven am pliados a un máxim o. Sea
cualquiera el criterio particular aplicado, se puede decir que la interacción
tiene su m áxim o en
o cerca de este valor y que sus cam bios más marcados
se presentan en un margen de
± y aproxim adam ente respecto al máximo.
Cuando traslademos estas ideas al com portam iento resonante de otros siste­
mas físicos verem os que las magnitudes que caracterizan una resonancia no
Resonancia eléctrica
1 17
son siempre la frecuencia del poder absorbido y la amplitud. Esto se verá claro
en algunos de los ejem plos que discutirem os ahora.
R E S O N A N C IA E L É C T R IC A
Uno de los sistemas resonantes más familiares e im portantes es el sistema
eléctrico com puesto por un condensador y una bobina, com o se ve en la figu­
ra 4-13. El análisis de este sistema tiene una semejanza notable con los sistemas
\
/
c
L
i--------------------------- —
-----------------------------------1
i
Fig. 4-13. Condensador y autoinducción en serie: sistema eléctrico básico de
resonancia.
mecánicos que nos han estado ocupando hasta ahora. Considerem os prim e­
ro las oscilaciones libres, ignorando de m om ento cualquier proceso disipativo asociado con la resistencia eléctrica. Para empezar, describirem os breve­
mente el com portam iento eléctrico esencial de los com ponentes individuales.
El condensador es un aparato que sirve para almacenar carga eléctrica y la
energía potencial electrostática asociada a ella. Su capacidad C se define com o
la medida de la carga q aplicada a las placas del condensador dividida por el
valor de la diferencia de tensión que esta carga p rod u ce:
Por lo tanto,
La acción de la bobina exige una descripción un p o c o más detallada. Cuan­
do la corriente es continua la bobina no ofrece oposición al flujo de corriente,
pero si ésta varía con el tiem po, resulta que la bobina (que desde ahora en
adelante llamaremos autoinducción) actúa oponiéndose a dicho cam bio (ley
de Lenz). En estas circunstancias existe una diferencia de tensión VL entre los
extremos de la autoinducción, y esta tensión es proporcional al cam bio por
118
Vibraciones forzadas y resonancia
unidad de tiem po de la corriente i. La autoinducción L viene definida por la
relación
Esta ecuación expresa que para obtener una variación de corriente por uni­
dad de tiem po, dijdt, debe aplicarse entre los extrem os de la autoinducción
una tensión V L.
En un circu ito com puesto sólo por estos dos com ponentes, la suma de Vc
y VL debe ser cero, ya que siguiendo un trayecto imaginario a través del con ­
densador de la autoinducción llegaríamos de nuevo al m ism o punto del cir­
cuito. A sí pues, se tiene
—+
C
= 0
dt
A hora bien, existe una conexión íntima entre q e
(4-29)
debido a que la c o ­
rriente en el circuito es precisamente la variación de la carga p or unidad de
tiempo que pasa por un punto cualquiera del m ism o. Una corriente i que
fluye durante un tiem po dt por el con d u ctor unido a una placa del condensa­
dor aumentará la carga de dicha placa en la cantidad d q = i d t, de m o d o que
se tiene
di _ (fq_
~dt ” dfi
De aquí que la ecuación (4-29) puede escribirse
¿ $
+ ¿ , - 0
(4-30)
Pero esta expresión es totalm ente semejante a la ecuación diferencial bá­
sica del m ovim iento arm ónico simple para un sistema masa-muelle, en donde
q desempeña el papel de x , apareciendo L en lugar de m, y reemplazando la
constante k por 1¡C. Podem os así admitir con confianza la existencia de osci­
laciones eléctricas libres tales que
1
wo = —=
V
lc
Resonancia eléctrica
/
11 9
C
V0 eos
bit
R
L
nm ^
o
(a)
'T57P(b)
Fig. 4-14. (a) Condensador, autoinducción y resistencia en serie, (b) Conden­
sador, autoinducción y resistencia en serie impulsados por una tensión sinu­
soidal.
Considerem os ahora la perturbación que produce la introducción de una
resistencia de valor R, c o m o en la figura 4-14 (a). Para mantener una tensión
V * (= z 7 ? ) aplicada entre los extrem os de la resistencia se necesita una corriente i. A sí pues, la con d ición de caída de tensión neta nula en una vuelta
completa del circuito se transform a del siguiente m o d o :
Es decir,
o bien
(4-31)
En esta ecuación, R/L juega exactam ente el papel de la constante de amor­
tiguamiento y, y en dich o circuito la carga sobre las placas del condensador
(y la tensión V¿) sufrirá unas oscilaciones armónicas exponencialm ente amor­
tiguadas.
Finalmente, si el circu ito se ve im pulsado por una tensión aplicada alter­
na, tendrem os una ecuación típica del oscilador fo r z a d o :
2
d q
d fi
- -
(4-32)
C o m p a ra r:
(4-33)
La relación entre las ecuaciones (4-32) y (4-33) resulta incluso más íntima
si se considera la energía del sistema. Del m ism o m od o que Fdx es el trabajo
120
Vibraciones forzadas y resonancia
realizado por la fuerza im pulsora F en un desplazam iento dx, así resulta que
Vdq es el trabajo realizado por la tensión impulsora V cuando pasa a través
del circuito una cantidad de carga dq. Se puede considerar que en la oscila­
ción interviene la transferencia periódica de energía entre el condensador y
la autoinducción con una disipación continua de energía en la resistencia. La
com paración de las ecuaciones mecánicas y eléctricas sugiere la clasificación
de magnitudes análogas, com o se ve en la tabla 4-2.
TABLA 4-2:
PARÁM ETROS
DE RESO N AN CIA
Sistema mecánico
M EC Á N IC A
Y
E LÉC T R IC A
Sistema eléctrico
Desplazamiento x
Fuerza impulsora F
Masa m
Constante de fuerza viscosa b
Constante de muelle k
Carga q
Tensión impulsora V
Autoinducción L
Resistencia R
Inversa de la capacidad 1/C
Frecuencia de resonancia s¡k ¡m
Anchura de resonancia y = bjm
Energía potencial \kx 2
Energía cinética \m(dxjdt)2 = \m v2
Potencia absorbida en la resonancia
Frecuencia de resonancia 1IsfL C
Anchura de resonancia y = R/L
Energía de la carga estática \q2¡C
Energía electromagnética de la carga mó­
vil \ L (d q ¡d tf = \Lv1
Potencia absorbida en la resonancia V02/2R
F02¡2b
H em os estudiado este fenóm eno de la resonancia eléctrica con cierta ex­
tensión debido a su gran semejanza con la resonancia mecánica. Existen otros
ejem plos que, aunque de gran im portancia física, no estarán incluidos de modo
tan com pleto en este esquema, y hablarem os de ellos más brevemente.
R E S O N A N C IA Ó P T IC A
Existe una gran cantidad de pruebas de que los átom os se com portan como
osciladores con sintonía muy precisa en los procesos de em isión y absorción
de luz. Siempre que se produce la em isión de luz en condiciones tales que
los átom os radiactivos se ven aislados efectivam ente entre sí, co m o en un gas
a baja presión, el espectro está com puesto de líneas o rayas discretas y muy
estrechas; es decir, la energía radiada se concentra en unas longitudes de on­
das particulares. U n sólid o incandescente, por ejem plo el filamento de una
lámpara de incandescencia, emite un espectro continuo, pero aquí la situación
Resonancia óptica
121
es muy diferente, porque tod os los átom os de un sólid o están estrechamente
ligados a sus vecinos, produ ciendo un cam bio drástico en el estado dinám ico
de ios electrones que son responsables principalm ente de la radiación visible
o próxima a la visible.
Hasta ahora hem os hablado de átom os co m o osciladores que emiten sus
frecuencias características. Pero, ¿ c ó m o se ajusta esta descripción con la de
la radiación m ediante foton es y con el esquem a del p roceso radiactivo al ad­
mitir que el átom o sufre un salto de tipo cu á n tico? La respuesta no es obvia.
Antes del advenim iento de la teoría cuántica, se podría considerar que un
electrón describía una órbita circular dentro de un átom o y que emitía luz
a una frecuencia igual a su propia frecuencia orbital. Pero ahora sólo podem os
decir que la frecuencia de la luz está definida (m ediante E = hv) por la dife­
rencia de energía entre dos estados del á tom o;
cando la frecuencia por
no p od em os seguir identifi­
una vibración del propio átom o. Sin embargo, el
concepto del átom o c o m o oscilador sigue sobreviviendo en ciertos aspectos.
Si se analiza la luz emitida mediante un interferóm etro se ve que está c o m ­
puesta por trenes de ondas de longitud finita. La longitud de los trenes de
ondas, dividida por c, define un tiem po r que corresponde a la vida media de
los átomos
una serie
radiantes
de
átom os
en
su
estado
excitados
excitado,
disminuye
y
el
exceso
exponencialm ente
de
energía
según
la
de
ley
0-t/T(= e -yt) según se va radiando la energía. N i la descripción mediante fo ­
tones ni la descripción m ediante ondas solam ente nos d ice la historia, pero el
modelo del átom o co m o un oscilador am ortiguado proporciona una descrip­
ción aceptable de algunos aspectos im portantes del p roceso radiactivo.
Como hem os visto, la concom itancia de una frecuencia natural de oscila­
ción libre es una resonancia de absorción a cierta frecuencia aproximadamen­
te igual. En el caso de la luz visible las frecuencias son demasiado elevadas
1015 Hz) para poder medirse, pero podem os describir tanto la emisión com o
la absorción en función de las longitudes de ondas características. Probable­
mente el ejem plo más fam oso de absorción por resonancia de la luz lo p ro­
porcionan las líneas de Fraunhofer. Estas líneas son aquellas rayas oscuras
que se observan en un análisis espectral del S ol; se llaman así en honor de
Joseph von Fraunhofer, quien dibujó 576 de ellas en 1814 mediante un cuida­
doso estudio. La figura 4-15 (a) muestra una parte del espectro solar; las lí­
neas de Fraunhofer más señaladas a 5890 y 5896 Á se deben al sodio. La
figura 4-15 (b) muestra cualitativamente el aspecto que tendría una represen­
tación de la intensidad en función de la longitud de on d a ; la intensidad cae
122
Vibraciones forzadas y resonancia
LL
\5850
5890
■ÉM
5896
a
6000
(a)
Longitud
de
onda
Fig. 4-15. (a) Porción del espectro solar, mostrando las famosas líneas D del
sodio en 5890 y 5896 Á. (Según F. A . Jenkins y H. E. White, Fundamentáis
of Optics, McGraw-Hül, New York, 1957.) (b) Representación cualitativa de '
la intensidad del espectro solar en función de la longitud de onda, en el in­
tervalo indicado en (a).
bruscamente cuando se alcanza el valor de la longitud de ondas de las líneas
de Fraunhofer, pero no es nula. (N o fue Fraunhofer quien observó en primer
lugar las líneas de absorción , 1 pero sí fue el que prim ero se dio cuenta de
que la longitud de ondas de algunas de ellas coincidían con las rayas de emi­
sión brillantes producidas por las fuentes o fo co s de laboratorio. Sin embargo,
fueron K irchhoff y Bunsen en 1861 quienes hicieron una com paración detallada
del espectro solar con los espectros de arco y chispa de los elem entos puros.)
P odem os estar seguros de que las líneas o rayas de Fraunhofer son el
resultado de procesos de absorción por resonancia. P odem os describir este
proceso diciendo que la radiación continua procedente de la materia caliente
1 Fueron observadas inicialmente por W. H. Wollaston en 1802. Un estudio clásico refr
lizado en 1895 por el físico americano H. A. Rowlan dio com o resultado la clasificación dtj
1100 rayas. H oy se han catalogado alrededor de 26 000 rayas entre 3000 y 13 000 Á .
Resonancia nuclear
123
y relativamente densa- próxim a a la superficie del Sol se ve filtrada selectiva­
mente cuando pasa a través de los átom os existentes en los vapores más
tenues de la atmósfera solar. Esto sería más satisfactorio si se pudiese dibujar
la forma detallada de una línea de absorción óptica y relacionar su anchura
con el tiem po característico ( = 1 ¡y) correspondiente a la dism inución de la
emisión espontánea. Sin embargo, esto es extrem adam ente difícil de hacer.
La principal dificultad radica en el efecto D oppler. Existen pruebas directas
e indirectas que muestran que el p eríod o de vida típico de un átom o excitado
que emite luz visible es de 1 0 -8 segundos aproxim adam ente, de m od o que y
es próximo a 108 segundos-1. La frecuencia angular de la luz emitida, definida
mediante 2nc¡l, es aproxim adam ente igual a 4 X 1015 segundos-1. A sí pues,
podemos calcular la anchura de línea <U com o s ig u e :
** *
X
coo
=
1
coo
«
lp 8
4 X 1015
« 2 x io -
8
(De aquí que <U = 10 -4 Á para l = 5000 Á .) Pero, a n o ser que se tom en
especiales precauciones, los átom os em isores tienen m ovim ientos térm icos alea­
torios de varios centenares de m etros por segundo y así se puede estimar
un ensanchamiento por efecto D oppler de las líneas espectrales:
X
c
El efecto D oppler es, pues, aproxim adam ente, 100 veces mayor que cual­
quier efecto debido al período de vida verdadero del átom o radiactivo. Los
choques interatóm icos también perturban la situación, de m od o que las fo r­
mas de la resonancia de las líneas espectrales son más bien materia de inter­
ferencia que de observación espectroscópica directa.
RESONANCIA N U C L E A R
La bibliografía de la física nuclear contiene innumerables ejem plos de reso­
nancias nucleares; la figura 4-16 muestra una de ellas. Este proceso de reso­
nancia nuclear difiere fundamentalmente de las otras resonancias que hemos
discutido hasta aquí. El tema de la figura 4-16 es una reacción nuclear; el
gráfico muestra la p rod u cción relativa de rayos gamma cuando un blanco de
flúor se ve bom bardeado
con
protones de energías diferentes próximas
a
875 keV. Pero ¿cuál es el sistema resonante? N o es el flúor bom bardeado sino
124
Vibraciones forzadas y resonancia
Fig. 4-16. Emisión relativa de rayos gamma en función de la energía de los
protones de bombardeo en la reacción p + 19F —» ®Ne 4* y. [Según datos de
R. G. Herb, S. C. Snowden y O. Sala, Phys. Rev. 75, 246 (1949).]
el núcleo com puesto — 20N e en un estado excitado, llam ado 20N e*, formado
cuando un núcleo de flúor captura un protón. Este núcleo com puesto es in­
estable, y uno de sus m odos de desintegración es la em isión de rayos gamma.
El p roceso com pleto puede escribirse del m od o siguiente:
Í H + ^ F -> e * -,> e + T
(El subíndice muestra el núm ero de protones que hay en un núcleo, y el
índice el núm ero total de protones más neutrones.)
El parám etro controlable , la
variable independiente de la
interacción,
no es una frecuencia, sino la energía del protón bom bardeante. Esto define
una propiedad básica de resonancia: la energía total del 20Ne* en su sistema
en reposo. La respuesta del sistema se m ide, n o en función de la amplitud
Resonancia magnética nuclear
12 5
o de la potencia absorbida, sino en función de la probabilidad de que un
protón incidente origine la produ cción de un rayo gamma. Esta probabilidad
puede describirse en función del área efectiva del blanco (o sección eficaz, <r)
que cada núcleo de flúor presenta al haz de protones incidentes. Finalmente,
la forma detallada de la curva de resonancia es muy semejante en su forma
analítica a la aproxim ada (para Q alto) de la curva de potencia absorbida de
un oscilador m ecánico [ecuación (4-26) y fig. 4-12]. Una resonancia nuclear
como
la
de
la
figura
4-16
puede
describirse
correctam ente
mediante
la
ecuación
C
}
4 (£ 0 -
£ )2 .
(4-34)
p2
La energía E0 corresponde entonces al p ico de la curva de resonancia, y la
anchura total de la curva a la mitad de su altura máxima viene dada por r .
Definida de este m od o, la anchura r
de la energía es estrictamente análoga
a la anchura de frecuencia y de la resonancia m ecánica o eléctrica. La curva
a trazo lleno de la figura 4-16 se dibuja de acuerdo con la ecuación (4-34) uti­
lizando los valores apropiados de E0 y F, y puede verse que se ajusta de m odo
muy aceptable a los datos obtenidos.
R ESO N AN CIA M A G N É T IC A N U C L E A R
Como últim o ejem plo de resonancia en otros cam pos de la física, menciona­
remos el proceso según el cual los núcleos atóm icos, com portándose com o
imanes diminutos, pueden cambiar de orientación dentro de un cam po mag­
nético. Ello depende de un fenóm eno c u á n tic o : los átom os magnéticos están
limitados a adoptar sólo algunas posibles orientaciones discretas respecto a
un campo m agnético de dirección dada. Un protón, tom ando un ejemplo con ­
creto, tiene sólo dos orientaciones posibles, una que aproximadamente corres­
ponde con la orientación hacia el norte de una brújula normal, y la otra
correspondiente al sentido opuesto. Existe una diferencia de energía bien defi­
nida entre ambas orientaciones, correspondientes al trabajo realizado contra
las fuerzas magnéticas al hacer girar el imán nuclear de una posición a la otra.
Esta diferencia de energía es directam ente proporcional a la intensidad del
campo m agnético en que el p rop io protón se encuentra. A l iniciar fotones
con la energía precisa, puede conseguirse que el protón cam bie de una orien­
126
Vibraciones forzadas y resonancia
tación a la otra. Esto puede verificarse inyectando una radiación electromag­
nética con la frecuencia exactam ente correcta ; en el caso de protones en un
cam po de unos 5000 G la frecuencia de resonancia es próxim a a 21 M H z. Si
tod os los protones contenidos en 1 cm 3 de agua oscilasen de este m o d o podrían
llegar a producir (a través de la inducción electrom agnética) una tensión fá­
cilm ente detectable en una bobina de prueba o testigo. Si se mantuviese cons­
tante el cam po m agnético, se vería esta señal co m o una función resonante de
la frecuencia de la radiacción inyectada. Sin em bargo, es m ucho más con­
veniente utilizar una radiofrecuencia constante y claramente definida y hacer
variar la intensidad del cam po m agnético aplicado B. El valor de la señal de
resonancia magnética nuclear puede expresarse entonces com o
una función
resonante de la intensidad del cam p o:
V(B) = ---------- — ---------v }
4 (g 0 - B)2
(AB)2
(4-35)
+
siendo B0 la intensidad del cam po en la resonancia exacta y AB la anchura de la
resonancia a la mitad de la altura.
Fig. 4-17. Línea de la resonancia magnética de los protones en agua que
contiene MnSO± como catalizador paramagnético y obtenida a partir del com­
ponente de la señal de inducción nuclear que corresponde a la absorción. La
fotografía corresponde a la traza de un oscilador de rayos catódicos con la
deflexión vertical procedente de la señal ampliada y rectificada y la horizon­
tal correspondiendo a valores diferentes del campo constante. Según Nobel
Lectures: Physics (1942-62). Elsevier, Amsterdam, 1964.
D ebido a investigaciones totalm ente independientes sobre estos fenóme­
nos, recibieron el Prem io N obel de Física, en 1952, F. B loch y E. M . PurcelL
La figura 4-17 corresponde a la exposición que B loch hizo en aquel tiempo
al recibir dich o prem io.
Osciladores anarmónicos
127
O S C IL A D O R E S A N A R M Ó N IC O S
Hasta aquí en este capítulo to d o lo escrito se parece m ucho a una historia
afortunada. T o d o funciona bien. E scribim os una ecuación diferencial y en todos
los casos obtenem os una solución analítica que la cum ple exactamente. H e­
mos señalado sistemas físicos reales que aparentemente se com portan de m odo
perfecto con nuestro m od elo m atem ático m uy sencillo. ¿E s realmente la na­
turaleza tan acom odaticia? La respuesta es que, en ciertos casos, suficiente­
mente num erosos y variados co m o para tener una gran im portancia física,
un sistema puede realmente estar representado con notable exactitud por un
oscilador am ortiguado con una fuerza restauradora proporcional al desplaza­
miento y una fuerza resistente proporcional a la velocidad. Pero este caso es
realmente una gran suerte y de h ech o estam os trazando un cam ino demasiado
estrecho. Para apreciar cuán especiales y favorables son las situaciones que he­
mos estudiado verem os brevem ente la repercusión que tiene la m odificación
de las ecuaciones del m ovim iento.
Nuestra ecuación original para la oscilación libre de la masa en un muelle
sin am ortiguamiento fue la siguiente:
F = n ,d - ¿ =
- kx
Ésta es válida si el muelle obed ece una relación lineal (ley de H ook e) para
cualquier valor del alargamiento o de la com presión. Pero no hay ningún
muelle real que se com p orte de este m od o. M u ch os muelles necesitan utilizar
una fuerza ligeramente diferente para producir un alargamiento dado o una
compresión del m ism o valor. La asimetría más sencilla de este tipo está re­
presentada por un térm ino en
F
proporcional a
x 2.
Tam bién puede ocurrir que
el muelle sea sim étrico respecto a los desplazam ientos positivos y negativos
pero que no exista una estricta proporcionalidad entre
métrico mássencillo de
cional a
x
F
y
x .
Elefecto si­
este tipo está descrito por un térm ino en
F
propor­
3. Las ecuaciones del m ovim iento en estos casos pueden escribirse
del modo sigu ien te;
d~x
n o lineal, asim étrico: m ^
+ k x + ax2 = 0
(4 -3 6 a)
d ¿x
no lineal, sim étrico :
m
— —
d t2
+
k x
+
B xz
= 0
(4-36 b)
'
128
Vibraciones forzadas y resonancia
Si buscam os una solu ción de la form a x = A eos w0f en cualquiera de am­
bas ecuaciones anteriores encontrarem os que no vale dicha solu ció n ; el m o­
vim iento deja de ser describible por una vibración arm ónica de una sola fre­
cuencia «i)0. En su lugar tenem os lo que se denom ina un oscilador anarmónico.
El m ovim iento sigue siendo periódico, en el sentido de que (adm itiendo que
n o hay am ortiguam iento) un estado dado del m ovim iento se vuelve a presen­
tar a intervalos iguales T = 2tt/w0j pero en lugar de la relación x = A eos w0f
vem os que se necesita ahora una serie infinita de arm ónicos de w0 para des­
cribir el m ovim ien to; es decir, debem os poner
X
oo
= S
An
cos(nwo*
—
5n)
n=l
con ob jeto de tener una form a de £ que satisfaga la ecuación diferencial.
D e m od o semejante, una fuerza resistiva que varíe en la form a v2 o v2 en
lugar de v hace im posible una descripción analítica clara y sim ple del movi­
m iento de un oscilador am ortiguado.
¿Q u é ocurre si
fuerza restauradora,
se som ete un oscilador con térm inos no lineales (en la
en la fuerza am ortiguadora o en ambas) a una fuerza im­
pulsora sinusoidal?
No
intentarem os desarrollar la
respuesta y en su lugar
la dejarem os com o
un tema de consideración para
el lector. T om em os, por
ejem plo, un oscilador cuyas oscilaciones libres vengan descritas p or la ecua­
ción (4-36 a) adicionándole una fuerza viscosa pura (proporcional a dx/dt) y
adm itam os una fuerza im pulsora F = F 0 eos <*>£. A dm itam os que *x2
kx, pon­
gam os k/m = <ü02, y veam os si se puede determinar la frecuencia o frecuencias
w para las cuales el sistema presenta un com portam iento de resonancia. Des­
pués de investigar este problem a el lector se dará cuenta de que el oscilador
arm ónico simple recibe correctam ente este nom bre y se apreciará por qué los
físicos lo utilizan com o m od elo de un sistema vibrante siempre que puedan
justificarse aceptablemente.
PR O BLEM A S
4-1 Construir una tabla, que cubra el intervalo más amplio posible, de sistemas
resonantes que se presentan en la naturaleza. Indicar el orden de magnitud de
(a) el tamaño físico de cada sistema, y (b) su frecuencia de resonancia.
Problemas
129
4-2 Considerar el procedimiento de resolver el movimiento de estado estaciona­
rio de un oscilador forzado si la fuerza impulsora es de la forma F — F0 sen o>í
en lugar de Füeos w£.
4-3 Un objeto de masa 0,2 kg se cuelga de un muelle cuya constante es 80 N/m.
El cuerpo se somete a una fuerza resistente dada por — bv, siendo v su velocidad
(m/seg) y b = 4 N -m - 1 seg.
(a) Plantear la ecuación diferencial del movimiento en el caso de oscila­
ciones libres del sistema y hallar su período.
(b) Se somete el objeto a una fuerza impulsora sinusoidal dada por
F(t) = F 0 sen wt, siendo F0 = 2N y o> = 30 seg-1. En estado estacionario, ¿cuál
es la amplitud de la oscilación forzada?
4-4 Se conecta un bloque de masa m a un muelle cuyo otro extremo se mantie­
ne fijo. Existe también un mecanismo de amortiguamiento viscoso. Sobre este
sistema se han realizado las siguientes observaciones:
(1) Si se empuja horizontalmente el bloque con una fuerza igual a mg, la
compresión estática del muelle es igual a h.
(2) La fuerza resistente viscosa es igual a mg si el bloque se mueve con
una cierta velocidad conocida u.
(a) Para este sistema completo (en el que se incluye tanto el muelle como
elamortiguador) escribir la ecuación diferencial
zontales de la masa en función de m, g, h y u.
que
rige las oscilaciones hori­
Responder a las siguientes cuestiones en el caso de que- u = 3 \fgh\
(b) ¿Cuál es la frecuencia angular de las oscilaciones amortiguadas?
(c) ¿Qué tiempo ha de transcurrir, expresado en forma de un múltiplo de
s/kjg, para que la energía descienda en un factor l/el
(d) ¿Cuál es el valor Q de este oscilador?
(e) Este oscilador, inicialmente en su posición de reposo, se pone en mo­
vimiento repentinamente cuando t — 0 mediante un proyectil de masa desprecia­
ble, pero cantidad de movimiento no nula, que se mueve en sentido positivo de
las x. Hallar el valor del ángulo de fase 6 en la ecuación x = A e - ^ / 2 eos (wí — Ó)
que describe el movimiento subsiguiente, y representar x en función de t para los
primeros ciclos.
(f) Si el oscilador se impulsa con una fuerza mg eos <oí, siendo <o = \j2g¡h,
¿cuál es la amplitud de la respuesta del estado estacionario?
4-5 Un péndulo simple tiene una longitud (/) de un metro. En vibración libre
la amplitud de su oscilador disminuye en un factor e en 50 oscilaciones. El pén­
dulo seycoloca en vibración forzada moviendo su punto de suspensión horizon­
talmente con un movimiento armónico simple de amplitud un milímetro.
130
Vibraciones forzadas y resonancia
(a)
Demostrar que si el desplazamiento horizontal de 3a lenteja del pén­
dulo es x, y el desplazamiento horizontal del soporte es £, la ecuación del movi­
miento de dicha lenteja en el caso de oscilaciones pequeñas es
Resolver esta ecuación para el caso de movimientos estacionarios si £ = £0 eos wf
(poner w02 = g/Z).
(b) En la resonancia exacta, ¿cuál es la amplitud del movimiento de la
lenteja? (En primer lugar utilizar la información dada para hallar Q.)
(c) ¿Para qué frecuencias angulares es la amplitud la mitad de su valor
de resonancia?
4-6 Imaginemos un sismógrafo sencillo compuesto por una masa M colgada me­
diante un muelle de un montaje rígido sujeto a la Tierra, tal com o se indica. La
fuerza del muelle y la fuerza amortiguadora dependen del desplazamiento y de
la velocidad relativa de la masa respecto a la superficie de la Tierra, pero la
aceleración que tiene significado dinámico es la aceleración de M relativa a las
estrellas fijas,
(a)
Utilizando y para denominar el desplazamiento de Af respecto a la Tie­
rra y j? para designar el desplazamiento de la propia Tierra, demostrar que la
ecuación del movimiento es
Tierra
(b)
(c)
de
Hallar el valor de y (vibración de estado estacionario) si r¡ = C eos wf.
Dibujar un esquema de la amplitud A del desplazamiento y en función
<i>(suponiendo que C es el mismo para todos los valores de m).
(d) Un sismógrafo típico de período largo tiene un período de unos 30 seg
y un Q de 2 aproximadamente. Com o resultado de un terremoto violento la su­
perficie de la Tierra puede oscilar con un período de unos 20 minutos y con
Problemas
131
una amplitud tal que la aceleración máxima sea aproximadamente 1 0 ~ 9 m/seg2.
¿Cuál será el menor valor de A que sea observable si ha de ser detectado por
el sismógrafo?
j: 4-7 Consideremos un sistema con una fuerza amortiguadora que sufre unas os­
cilaciones forzadas con frecuencia angular w.
(a) ¿Cuál es la energía cinética instantánea del sistema?
(b) ¿Cuál es la energía potencial instantánea del sistema?
(c) ¿Cuál es el cociente entre la energía cinética media y la energía poten­
cial media? Expresar la respuesta en función del cociente o>/a>0.
(d) ¿Para qué valor o valores de o> son iguales la energía cinética media y
la energía potencial media? ¿Cuál es la energía total del sistema en estas con­
diciones?
(e) ¿Cóm o varía la energía total del sistema con el tiempo para un valor
arbitrario de w? ¿Para qué valor o valores de w es constante la energía total en
el tiempo?
4-8 Se somete una masa m a una fuerza resistente — bv que no es una fuerza
restauradora com o las que ejercen los muelles.
¡
(a) Demostrar que la forma de su desplazamiento en función del tiempo es
en donde y = bjm.
(
(b) Para t = 0 la masa está en reposo en la posición x
0. En ese instan­
te se pone en funcionamiento una fuerza impulsora F = F0 eos wt. Hallar .los va­
lores de A y de S en la solución de estado estacionario x = A eos (wí — S).
(c)
Escribir la solución general [suma de las partes (a) y (b)] y hallar los
valores de C y de v0 mediante las condiciones x = 0 y dx/dt = 0 para t = 0. Ha­
cer un esquema de x en función de t.
(a)
Un oscilador amortiguado forzado de masa m tiene un desplazamiento
variable con el tiempo dado por x = A sen w£. La fuerza resistente es — bv. A partir de esta información calcular cuánto trabajo se realiza contra la fuerza resistente durante un ciclo de oscilación.
(b)
En el caso de una frecuencia impulsora to menor que la frecuencia na­
tural to0, dibujar los gráficos correspondientes de la energía potencial, la energía
cinética y la energía total del oscilador en un ciclo completo. Cuidar que se seña­
len los puntos e intersecciones importantes con los valores de su energía y
tiempo.
4-10 La potencia de entrada para mantener las vibraciones forzadas puede calcu­
larse observando que esta potencia es la velocidad media con que se hace el
trabajo contra la fuerza resistente — bv.
vi oraciones iorzaaas y resonancia
(a) Comprobar por sí mismo que la velocidad instantánea de realización
de trabajo contra esta fuerza es igual a bv\
(b) Utilizando la ecuación x = A eos (w£ —- á), demostrar que la velocidad
media con que se realiza el trabajo es bw2A 2/ 2 .
(c) Sustituir el valor de A para cualquier frecuencia arbitraria y a partir
de aquí obtener la expresión de p según se desprende de la Ec. (4-23).
4-11 Consideremos un oscilador amortiguado con m = 0,2 kg, b = 4 N -m _1 seg
y k = 80 N/m. Supóngase que este oscilador se ve impulsado por una fuerza
F = F0 eos tot, siendo F0 = 2 N y w = 30 seg-1.
(a) ¿Cuáles son los valores A y S de la respuesta de estado estacionario
descrita por x = A eos (u>£—*S)1
(b) ¿Cuánta energía se ve disipada contra la fuerza resistente en un
ciclo?
(c) ¿Cuál es la potencia media de entrada?
4-12 Un objeto de masa 2 kg cuelga de un muelle de masa despreciable. El
muelle se alarga en 2,5 cm cuando se le
sujeta dicho objeto. Elextremo superior
del muelle se hace oscilar hacia arriba y hacia abajo con un movimiento armó­
nico simple de amplitud 1 mm. La Q del sistema es 15.
(a) ¿Cuál es io0 para este sistema?
(b) ¿Cuál es la amplitud de la oscilación formada para w = w0?
(c) ¿Cuál es la potencia media de entrada para mantener la oscilación
formada a una frecuencia 2 % mayor que w0? [Está justificado el empleo de la
fórmula aproximada Ec. (4-26).]
4-13 El gráfico muestra la curva de resonancia de potencia de un determinado
sistema mecánico cuando se ve accionado por una fuerza F0 sen
en donde
F0 = constante y w es variable.
Problemas
133
(a)
Hallar los valores numéricos de w0 y Q para este sistema.
(b)
Se suprime la fuerza impulsora. ¿Después de cuántos ciclos de oscila­
ción libre ha descendido la energía del sistema a 1 /e 5 de su valor inicial?
(e = 2,718.) (Con buena aproximación, el período de la oscilación libre puede ha­
cerse igual a 2 ;r/ü>0.)
4-14 La figura muestra la potencia media de entrada p en función de la fre­
cuencia impulsora en el caso de una masa situada sobre un muelle con amorti­
guamiento. (Fuerza impulsora = F 0 sen wt, siendo F0 constante y w variable.) La
Q es suficientemente elevada para que la potencia media de entrada, que es má­
xima para <o0, disminuya hasta la mitad del máximo para las frecuencias 0,98 w0
y 1 ,0 2 w0.
co
"O
0
£
co
“O
(0
4-*
c
0
0
"O
co
o
c
40
-*
o
O.
(a)
(b)
co
¿Cuál es el valor numérico de Q1
Si se suprime la fuerza impulsora, la energía disminuye de acuerdo
con la ecuación
E = Eoe- y 1
¿Cuál es el valor de y?
(c) Si se elimina la fuerza impulsora, ¿qué fracción de energías se pierde
por ciclo?
Se construye un sistema nuevo en el que se duplica la constante del mue­
lle, pero se mantiene sin variar la masa y el medio viscoso, y se aplica la misma
fuerza impulsora F Qsen wt. En función de las magnitudes correspondientes del
sistema original hallar los siguientes valores:
(d) La nueva frecuencia de resonancia ü>0'.
(e) El nuevo factor de calidad Q'.
(f) La potencia de entrada media máxima pm '.
(g) La energía total del sistema en la resonancia, E 0',
4-15 Se observa que las oscilaciones libres de un sistema mecánico tienen une.
cierta frecuencia angular wj. El mismo sistema, cuando se ve accionado por
134
Vibraciones forzadas y resonancia
una fuerza FQeos wí (en donde F0 = constante y w es variable), tienen una curva de
resonancia de potencia cuya anchura de la frecuencia angular a potencia mitad
del máximo es wj/5.
(a) ¿Para qué frecuencia angular se produce la máxima potencia de en­
trada?
(b) ¿Cuál es el valor Q del sistema?
(c) El sistema se compone de una masa m sobre un muelle de constan­
te k. En función de m y k, ¿cuál es el valor de la constante b en el término re­
sistivo — b v l
(d) Dibujar la curva de respuesta de la amplitud, marcando algunos pun­
tos característicos sobre la misma.
4-16
En el caso del sistema eléctrico de la figura, hallar
(a) La frecuencia de resonancia, w0.
(b) La anchura de resonancia, y.
(c)
La potencia absorbida en la resonancia.
1o COS cot
RS
C=P
o
4-17 El gráfico indica la potencia media absorbida por un oscilador cuando se
ve impulsada por una fuerza de valor constante, y frecuencia angular varia­
ble w.
(a)
En la resonancia justa, ¿cuánto trabajo por ciclo se efectúa contra la
fuerza resistente? (Período = 27r/w.)
x 106
jc 106 ( s e g - 1)
Problemas
135
(b)’ A la resonancia justa, ¿cuál es la energía mecánica total Eü del os­
cilador?
(c) Si se elimina la fuerza impulsora, ¿cuántos segundos transcurren an­
tes de que la energía disminuya a un valor E = EQe~xl
La v ib ra ción d e las p a rtícu la s ín te r c o n e c ta d a s c o n s titu y e
un p ro b lem a im p o r ta n te y p e c u lia r m e n te in te r e s a n te ... ha
de te n e r m u ch a s a p lica cio n es
lord
k e l v in
,
B a ltim o re L e c tu r e s
(1884)
5
Osciladores
acoplados y modos
normales
A
través
de
los
dos
CAPÍTULOS
precedentes
hem os lim itado nuestro análisis
a sistemas que tienen un tipo solo de vibración libre y que están caracteriza­
dos por una sola frecuencia natural. Sin embargo, un sistema físico real es
normalmente capaz de vibrar de m uchos m odos diferentes y puede resonar
a muchas frecuencias d istin ta s, com o
si
fuese un piano grande. D enomi-
namos a estas diversas vibraciones características m odos o, por razones que
serán claras más adelante, m od os norm ales del sistema. Un ejem plo sencillo
es una cadena flexible suspendida de uno de sus extrem os. Resulta que existe
una com pleta sucesión de frecuencias para las que cada punto de la cadena
vibra con m ovim ientos vibratorios arm ónicos de la misma frecuencia, de m odo
que la forma de la cadena permanece constante en el sentido de que los des­
plazamientos de sus diversas partes siempre están entre sí en razones fijas.
Los tres m odos prim eros (en orden ascendente de frecuencia) para una cade­
na de este tipo se pueden ver en la figura 5-1. De hecho, este objeto es sólo
monodimensional y la diversidad de m odos naturales de oscilaciones para o b ­
jetos bi y tridimensionales es aún mayor.
¿C óm o podrem os contar tod os estos num erosos m odos y calcular sus fre­
cuencias? La clave de esta cuestión radica en el hecho de que un objeto alar­
gado puede considerarse co m o un gran núm ero de osciladores sencillos aco-
i Este capítulo puede saltarse entero si se prefiere pasar directamente al estudio de las
vibraciones y de las ondas en medios continuos. Por otra parte, una familiaridad con el
contenido del capítulo presente, incluso en términos más bien generales, puede ayudar a apre­
ciar la secuencia, porque el sistema de muchas partículas proporciona el enlace natural en­
tre el oscilador sencillo y el continuo. Y además no es tan formidable matemáticamente com o
puede parecer a primera vista.
1 37
1 38
Osciladores acoplados y modos normales
(a)
(b)
(c)
Fig. 5-1. Los tres primeros modos normales de ana cadena vertical con un
extremo superior fijo. (La tensión en cada punto la proporciona el peso de
la cadena que hay debajo de dicho punto y por ello aumenta linealmente con
la distancia al extremo inferior.)
piados juntamente. Por ejem plo, un cuerpo sólido está com puesto de muchos
átom os o moléculas. Cada átom o puede com portarse com o un oscilador, vi­
brando alrededor de una posición de equilibrio. Pero el m ovim iento de cada
átom o influye en sus vecinos de m od o que, de hecho, todos los átom os del
sólido están acoplados entre sí. La cuestión resulta ser e n to n ce s: ¿ C óm o in­
fluye el acoplam iento sobre el com portam iento de los osciladores individuales?
Em pezarem os discutiendo con cierto detalle las propiedades de un sistema
form ado por sólo dos osciladores acoplados. El cam bio de uno o dos oscila­
dores puede parecer más bien trivial, pero este nuevo sistema tiene algunas
características nuevas y sorprendentes. M ás aún, al analizar su comportamien­
to desarrollaremos esencialmente todas las herramientas teóricas que necesi­
taremos para manejar el problem a de un número arbitrariamente grande de
Dos péndulos acoplados
osciladores
a c o p la d o s ,
que
es, en
últim o
término, lo
que nos
1 39
preocupa.
Y esto significa que, a partir de principios muy sencillos, podem os terminar
con una apreciación significativa de las propiedades dinámicas de algo tan co m ­
plicado co m o es una red cristalina. Éste no es un logro pequeño y saldremos
ganando con la pequeña cantidad extra de esfuerzo m atem ático que necesitará
nuestra discusión.
DOS P É N D U LO S A C O P L A D O S
Empecemos con un ejem plo muy sencillo. T om em os d os péndulos idénticos,
A y B, y conectém oslos con un muelle cuya longitud libre sea exactamente
igual a la distancia entre los péndulos, según se ve en la figura 5-2. M ovam os
el péndulo A lateralmente mientras se mantiene B fijo y luego dejem os am­
bos en libertad. ¿Q ué ocurre?
Fig. 5-2. (a) Péndulos acoplados en la posición de equilibrio, (b) Péndulos
acoplados, uno de ellos desplazado.
El péndulo A oscila de lado a lado, pero su amplitud de oscilación dis­
minuye continuamente. El péndulo B, inicialmente sin desplazar, empieza a
oscilar gradualmente y su amplitud crece de m od o continuo. Pronto A y B
tienen amplitudes iguales. Puede pensarse que a partir de ahora ya no existirá
ningún cam bio adicional. Pero no es así, el proceso continúa. La amplitud de A
continúa dism inuyendo y la de B aumentando hasta que finalmente el despla­
zamiento de B es igual (o casi igual) al que se dio originalmente a A , y el
desplazamiento de A disminuye hacia cero. La con dición de partida casi se ha
invertido. A hora ya es fácil predecir lo que sigue. El m ovim iento de B se
.transfiere de nuevo hacia A , y así continúa. La energía, originalmente dada a A
1 40
Osciladores acoplados y modos normales
(y al muelle), no queda confinada a la oscilación de A , sino que se transfiere
gradualmente a B y continúa pasando sucesivamente entre A y B. La figu­
ra 5-3 muestra un registro de m ovim ientos reales de tales sistemas acoplados.
Los péndulos, cuyas lentejas eran pilas secas con lamparitas sujetas a ellas, se
suspendieron del tech o y se fotografiaron desde abajo por una cámara fo to ­
gráfica que se m ovía con velocidad constante a lo largo del suelo.
Fig. 5-3. Movimiento de dos osciladores idénticos acoplados
lamparitas sujetas a las lentejas). El péndulo número 1 estaba
reposo en su posición de equilibrio. Se observa fácilmente el
to del sistema. (Foto por fon Rosenfeld, Education Research
(péndulos con
inicialmente en
amortiguamien­
Center, M.I.T.)
Naturalmente, el responsable del com portam iento que se observa es el mue­
lle de acoplo. Cuando A oscila, el muelle tira y empuja sobre B. Proporciona
una fuerza impulsora que trabaja sobre B y lo pone en m ovim iento. A l mismo
tiem po, el muelle tira y empuja sobre A , a veces ayudando y a veces impi­
diendo su m ovim iento. Pero cuando B empieza a m overse, la acción del mue­
lle sobre A más bien im pide que ayuda. El trabajo neto realizado sobre A
durante una oscilación es negativo y la amplitud de A disminuye.
Cada uno de los m ovim ientos registrados en la figura 5-3, se parece al caso
de las pulsaciones entre dos m ovim ientos arm ónicos simples de la misma am­
plitud pero frecuencia diferente. Y esto es precisamente lo que son. Sin em­
bargo, no es sencillo explicarlo con detalle; nuestra apreciación de los fenó­
menos físicos nos ayudará aquí sólo de m od o cualitativo. Pero el problema
resulta ser muy sencillo si alteramos un p o co las condiciones de partida.
Consideraciones de simetría
141
C O N S ID E R A C IO N E S D E S IM E T R ÍA
Supóngase que separamos A y B lateralmente
en cantidades iguales [fig. 5-4 (a)]
y luego los dejam os en libertad. La distancia
entre ellos es igual a la longitud
del muelle de acoplam iento y, por lo tanto, el muelle n o ejerce ninguna fuerza
sobre ninguno de los péndulos. A y B oscilarán en fase y con amplitudes igua­
les, m anteniendo siempre la misma separación. Cada péndulo podría, igualmen­
te, ser libre (sin acoplar). Cada uno de ellos oscila co n su frecuencia natural
libre w0( = V g/0- Las ecuaciones del m ovim iento s o n :
xa = C eos cooí
x B = C eos cooí
^
siendo x A y x B los desplazam ientos de cada péndulo a partir de su posición
de equilibrio. Esto representa un m od o normal del sistema acoplado. Ambas
masas vibran a la misma frecuencia y cada una de ellas tiene una amplitud
constante (la misma para am bos).
Fig. 5-4. (a) M odo normal inferior de dos péndulos acoplados, (b) Modo nor­
mal superior de dos péndulos acoplados.
¿Cuántos m odos norm ales podem os hallar? Existe solam ente otro. Des­
placemos A y B lateralmente en cantidades iguales pero en sentidos opuestos
[fig. 5-4 (b )] y dejém oslos luego libres. A hora, el muelle de acoplamiento está
deformado;
un sem iciclo después se verá com prim ido y ejercerá esfuerzos.
La simetría del dispositivo nos dice que los m ovim ientos de A y B serán las
imágenes especulares uno del otro.
Si los péndulos fuesen libres y cualquiera de ellos se desplazara una dis­
tancia pequeña x , la fuerza restauradora sería m w/x. Pero en el caso presente
14 2
Osciladores acoplados y modos normales
el muelle de acoplam iento está estirado (o com prim ido) una distancia 2x y
ejerce una fuerza restauradora de 2kx, siendo k la constante del muelle. Así
pues, la ecuación del m ovim iento para A es:
,2
m ~T7r + mo)o2 xa + 2kxA = 0
at¿
o b ie n :
- j v + .(<*>o2 + 2ü) c2) xa = 0
at¿
en donde hem os puesto o>c2 = k/m. Ésta es una ecuación para el m ovim iento
arm ónico simple de frecuencia o/ dada por
,
, 2 , « 2 . 1 /2
( g . 2 k \ 112
u = (wo + 2o3e )
“ l7 + — )
En las condiciones iniciales dadas, su solución es:
x A = D coso)'t
(5-2a)
El m ovim iento de B es la imagen especular de A y, p or consiguiente:
xb
= —DcoscoV
(5-2b)
Cada péndulo oscila con m ovim iento arm ónico simple, pero la acción del mue­
lle de acoplo consiste en aumentar la fuerza restauradora y, por lo tanto, en
aumentar la frecuencia respecto a la de la oscilación, sin acoplam iento. Los
m ovim ientos de A y B en este tipo de oscilación que constituye el segundo
m od o normal, están siempre claramente desplazados en fase 180°.'
Quizá sea interesante señalar .que si se sujeta uno de los péndulos, la fre­
cuencia angular del otro, bajo la acción dé la gravedad más
elmuelle de
acoplo, esigual a (w02+ <dc2)1/2.A sí pues, si se considera este m ovim iento
com o
el característico en cierto sentido de un péndulo sólo, los m odos normales
tienen frecuencia que está desplazada por encima o por debajo del valor c o ­
rrespondiente al péndulo aislado. /
S U P E R P O S IC IÓ N
D E M O D O S N O R M A LE S
En los dos casos anteriores, una vez que empieza el m ovim iento, y en ausen­
cia de fuerzas de am ortiguam iento, continuará sin ningún cam bio. N o se pro-x
ducirá ninguna transferencia de energía desde un m od o de oscilación al otro.
Una razón im portante para la introducción de estos d os casós fácilm ente re­
sueltos es que cualquier m ovim iento de los péndulos, en que cada uno de
Superposición de modos normales
14 3
ellos parta del reposo, puede describirse com o una com binación de estos dos.
Veamos cóm o puede hacerse esto, x
•/
...........
h
Fig. 5-5.
Péndulos acoplados en una configuración arbitraria.
Considerem os un instante arbitrario cuando el péndulo A esté en x A y el
péndulo B en x B (fig. 5-5). El m uelle está alargado una cantidad V 4 — x B y, por
lo tanto, tira de A y de B con una fuerza cuya magnitud es k (x A— x B)y Así
pues, la magnitud de la fuerza restauradora sobre A e s :
m<¿Q2XA + k(xA —
xb )
mo)o2XB ~ k&A ~
xb )
y sobre B e s :
Por lo tanto, las ecuaciones del m ovim iento de A y B son :
m
d 2x
+ meoo x A + k(xA ~ x B) =- 0
dt¿
(5-3)
»2
d
X
m——
b
+
d t¿
Poniendo
de
nuevo
i
2
m eo o xb
,
,
~ k{xA
wc2 = k!m , /p od em os
—
x
Xb )
=
a
0
escribir
ambas
ecuaciones
del
modo siguiente:
d Xa
. ,
,
2
—n;— b (¿*>0 +
d t¿
i
2.
<¿c ) x a
d¿XB _ L r 2 _ L 2^
t t t —
d t¿
h
(w o
+
<*>c ) x b
A
2
— <¿c X b —
—
2
w c x a
u
—n
—
0
(^-4)
h
La primera ecuación, que describe la aceleración de A , contiene un térmi­
no en x B. Y la segunda ecuación contiene un término en x A. Estas dos ecua­
ciones diferenciales no pueden resolverse independientemente sino que deben
1 44
Osciladores acoplados y modos normales
resolverse simultáneamente. Un m ovim iento dado a A
n o perm anece confi­
nado en él, sino que influye en B, y viceversa.
Realmente, estas ecuaciones no son difíciles de resolver. Si las sumamos
se tie n e :
d
(x a +
Xb ) +
oiq2 ( x a
+
XB) =
o
y si restamos la segunda ecuación de la primera resulta
d2
— (xA - x B) + (coo + 2 cC c)(xA - x B) = 0
Éstas son ecuaciones familiares correspondientes a oscilaciones armónicas sim­
ples. En la primera la variable es x A + x B y la frecuencia es w0. En la segunda
variable es x A — x B y la frecuencia es o / = (oí02 -f- 2<uc2) 1/2. Estas dos frecuencias
coinciden precisamente con las correspondientes a los dos m odos normales
que hem os identificado previamente. Si ponem os x A + x B = q x y x A — x B ~ qz,
tenem os dos ecuaciones independientes en q x y q 2:
Soluciones posibles (aunque no las más generales) son :
qi = C eos (úqí
(caso especial)
q2 =
eos cd t
(5-5)
siendo C y D constantes que dependen de las condiciones iniciales. [Puede re­
conocerse la carencia de generalidad de las ecuaciones (5-5) por el hecho de
que hem os impuesto que las fases iniciales sean igual a cero.]
A q u í tenem os dos oscilaciones independientes. Representan otra descrip­
ción de los m odos normales representadas por las oscilaciones de las variables
<7i y <72, respectivamente, y estas variables se llaman, en consecuencia, coorde­
nadas normales. Las variaciones en el valor de q x se presentan con indepen­
dencia de las variaciones de q2 y viceversa.
En función de ^as coordenadas originales x A y x B, las soluciones s o n :
(caso especial)
xa = \(q\ + <3%) = JC eos toot + \D eos cd t
xb = %(qi — q%) &
eosco0í — \D eos <aft
Superposición de modos normales
145
Si C = 0, am bos péndulos oscilan con la frecuencia o/, y si D = 0, con la
frecuencia ü>0. Éstas son las frecuencias de los m odos norm ales individuales
y se denom inan frecuencias
normales. V em os que una característica de una
frecuencia norm al es que tanto x A c o m o x B pueden oscilar con dicha fre­
cuencia.
Apliquem os ahora las ecuaciones (5-6) al análisis del m ovim iento acopla­
do indicado en la figura 5-3. Las condiciones iniciales (para t — 0) son las
siguientes:
~ — = A0
di
A
- Ao
xa
x B =A 0
d X A
—— = „0
dt
d x B
Puede señalarse que las condiciones referentes a las velocidades iniciales son
cumplidas autom áticam ente por las ecuaciones (5-6), ya que la derivación res­
pecto a t nos da térm inos en sen w0í y se n w 'f solam ente, que son cero para
í = 0. A partir de las con d icion es referentes a los desplazam ientos iniciales
tenemos:
x A = Ao
xb
—0
= \C +
\D
= \C —
\D
Por lo tanto,
C = Ao
D —Ao
De aquí que con estas condiciones iniciales particulares obtengam os los si­
guientes resultados, volvien do a sustituir en las ecuaciones (5 -6 ):
xa
= i^ o (co s ojoí + coscoV)
xb
= f^ o (co sw o í — eos « 7 )
las cuales pueden volverse a escribir del m od o siguiente:
/V —
o)o \ / V
+ too \
x A - A o eos I
— / ) eos I -- —
tJ
(5-7)
( cof — to o \
((*>' + m \
x B = ^ o s e n (— ^----- 1 ) sen l
2—
/
Cada u na^de
ellas
es una
oscilación
sinusoidal
de
frecuencia
angular
(0/ 4- tüg)/2, m odulada en am plitud del m od o discutido en el capítulo 2. La
amplitud asociada con cada uno de los péndulos es cero en el instante en que
la amplitud asociada con el otro es
un
m á xim o, aunque el desplazam iento
real del últim o en un instante cualquiera después dependa del valor instan­
táneo de (<*>' + w0) f / 2 .
146
Osciladores acoplados y modos normales
O T R O S E JE M P L O S D E O S C IL A D O R E S A C O P L A D O S
Existen m uchos m odos diferentes de acoplar dos péndulos u otros oscilado­
res; considerem os algunos de ellos.
En la figura 5-6 m ostram os cóm o pueden acoplarse d os péndulos a través
de una masa auxiliar, m
M , conectada por cuerdas a los alambres de sus­
pensión principales. A partir de la simetría del dispositivo, puede admitirse
que los m odos norm ales serán los m ovim ientos para los cuales x B — ± xA.
Si x A = 4- x B = qu lá masa m se eleva y desciende con las masas principa­
les M , pero si x A = — x B = q2, la masa m estará a m ayor altura cuando las
masas M tengan su m ayor separación, y habrá descendido cuando las masas
se aproximen entre sí. A sí pues, existen dos frecuencias de m odos norma­
les diferentes, ninguna de las cuales (en general) es igual a la de un solo
péndulo aislado.
En la figura 5-7 se indican otros cuatro sistemas acoplados mecánicamen­
te. El primer diagrama representa dos péndulos que están m ontados sobre
barras rígidas, cuyos extrem os superiores están sujetos a un cable. Los pén­
dulos oscilan en planos perpendiculares al alambre. A m enos que los péndulos
oscilen en fase, con am plitudes iguales, el alambre de conexión se somete a
torsión y proporciona un par de acoplam iento que es proporcional a la dife­
rencia de los desplazamientos angulares.
Fig. 5-6.
Péndulos acoplados por una masa.
En la figura 5-7 (b) m ostram os otro sistema en el cual se suministra o se
proporciona el acoplam iento mediante fuerzas" restauradoras elásticas. Se mon­
tan dos masas pequeñas en los extrem os de una hoja de sierra (u otra tira
de un metal elástico) que sé sujeta en su centro a un soporte. Si una de las
masas se empuja hacia un lado, co m o está indicado, y luego se deja en liber­
tad, el m ovim iento se transfiere rápidamente a la otra masa a través de una
superposición típica de m od os normales.
Otros ejemplos de osciladores acoplados
(a)
(b )
(c)
(d )
14 7
(a) Péndulos rígidamente acoplados mediante una barra de torsión
horizontal, (b) Masas en los extremos de una cinta metálica, (c) Péndulo de
Wilberforce. (d) Bloque rectangular sobre muelles.
F ig. 5 -7 .
La figura 5-7 (c) muestra un dispositivo curioso co n o cid o co m o el péndulo
de W ilberforce . 1 Una masa con tornillos exteriores ajustables está suspendida
de un muelle espiral. Si la masa se estira hacia abajo y se deja en libertad, el
movimiento es al principio una oscilación vertical simple, pero según trans­
curre el tiem po se am ortigua esta oscilación y queda reemplazada por una os­
cilación rotacional vigorosa de la masa (alrededor de un eje vertical). Enton­
ces la oscilación lineal vertical se inicia de nuevo cuando la oscilación de ro­
tación empieza a debilitarse. Es im portante para el funcionam iento de este
luguete que los períodos de am bos tipos de m ovim iento sean casi iguales;
los tornillos'ajustables son los que perm iten conseguir dicha igualdad. El aco­
plamiento entre los m ovim ientos lineal y angular proced e del hecho de que,
como se m encionó en el capítulo 3, cuando un m uelle espiral se alarga, sus
extremos se tuercen un p o co , o inversamente si se som ete a torsión tiende
a alargarse o acortarse. Tirando de la masa hacia abajo y torciéndola a través
1 R e cib e este n om b re en h o n o r a L, R . W ilb erforce, P rofesor inglés de Física, que p u ­
blicó un estudio detallado de d ich o aparato en 1894.
14 8
Osciladores acoplados y modos normales
de un ángulo apropiado, es posible liberar el sistema de m od o que oscile en
un m od o norm al con am plitud constante en am bos com ponentes del movi­
m iento (lineal y angular).
N uestro últim o diagrama [fig. 5-7 (d)] representa un bloq u e rectangular
apoyado sobre d os muelles. Un m od o de este sistema es una oscilación ver­
tical en la cual el bloque permanece horizontal y am bos muelles se ven igual­
mente alargados o com prim idos. Pero existe otro m od o en el cual los muelles
sufren desplazamientos iguales y op u estos; el bloque entonces realiza una os­
cilación de giro alrededor de un eje horizontal sin cam bio en la altura de su
centro de gravedad. Un co ch e que descanse sobre sus suspensiones delanteras
y traseras tiene algún parecido con este dispositivo. Si la parte delantera se
levanta y se deja luego en libertad, puede resultar que la oscilación se trans­
fiera a la parte trasera algún tiem po después, si el am ortiguam iento no ha
llevado ya el sistema al reposo.
'
1
F R E C U E N C IA S N O R M A L E S : M ÉT O D O A N A L ÍT IC O G E N E R A L
Supóngase que no fuese fácil descubrir los m od os norm ales a partir de consi­
deraciones de simetría o que n o fueran fáciles de resolver las ecuaciones dife­
renciales simultáneas.
¿ C ó m o podríam os entonces encontrar una solución?
Hagamos uso de la característica que hem os estudiado en con exión con las
ecuaciones (5-6). Tanto x A c o m o x B pueden oscilar con una de las frecuencias
normales. Tom am os, por tanto,
XA
=
c eos 0)í
Xb = C ' eos C0/
y veam os si existen valores de w y C y C' para las cuales estas expresiones
sean soluciones de las ecuaciones (5-4):
^
at¿
1
d 2X B
+ (wo2 + 0>c2jx Á - 0>c2x b = o
,
/
2
,
2v
- ¿— (“ (too 4“ wc )xb
aí¿
2
_
0
Xa — 0
_
Si existen algunos valores adecuados de w, existirán entonces frecuencias
normales. Naturalmente, ya hem os visto que C y C deben tener la misma lon­
gitud, pero en nuestro enfoque presente al problem a actuarem os co m o si no
conociésem os esto todavía. Adem ás, la igualdad de C y C' es cierta única­
Frecuencias normales: método analítico general
1 49
mente en el caso m uy especial que hem os considerado y no en otros casos
más generales.
Sustituyendo las ecuaciones (5-8) en las ecuaciones (5-4), se tiene
( —co2 + coo2 + coc2)C
— coc2C '
— coc2C +
= 0
( —co2 + coo2 “I- c o ^ C 7 = 0
Para un valor arbitrario de w, éstas constituyen dos ecuaciones simultá­
neas para las amplitudes desconocidas C y C'. Si son ecuaciones independientes,
existe solam ente una solución — C = 0, C' = 0— ■, lo
cual significa simple­
mente que para un valor arbitrario de w, las ecuaciones (5-8) no son solución
del problema.
Pero si estas d os ecuaciones no son in dependientes, es decir,
gunda es sim plem ente un m últiplo de la p rim e ra ,
si la se­
entonces tenem os de hecho
sólo una ecuación para ambas amplitudes C y C'.vEn este caso, C puede tener
un valcir cualquiera. Pero una vez se ha escogido C, entonces resulta fijo C'.
¿Para qué valor de w son ambas ecuaciones no independientes y, por tan­
to, nos permiten obtener soluciones no nulas para C y C 'l A partir de la
primera ecuación, se tie n e :
C
“c
C'
— CO2 +
(5-9a)
COO2 +
C0c 2
y, a partir de la segunda :
2
C _
. 2
C
. 2
b)
CCc¿
Si C y C' no son ambas cero, los segundos m iem bros de estas ecuaciones
deben ser iguales. A sí pues,
2
<JÍC
— CO2 +
2
COO2 +
. 2 . 2
+ COO “r C0c
C0c 2
COc2
o bien
/
2 .
( — co
2 .
+
coo
~r o)c2A
)2
— (coc
/
2
2
2x2
)
De aquí que
2 ,
— CO
+
2 .
COO
T
.
—
±C0c
=
co o
2
co
2
,
~ r co c
2
±
.
Tenemos dos soluciones para w; llamémoslas o/ y o>" :
co/ 2
=
co"2 =
coo2 +
coo2
2 co c 2
2
ccc
150
Osciladores acoplados y modos normales
Las raíces cuadradas positivas de estas expresiones son las dos frecuencias nor­
males del sistem a; de nuevo hem os llegado otra vez a resultados que no nos
resultan familiares.
P odem os obtener ahora la relación entre C y C' para cada uno de los mo­
dos norm ales a partir de las ecuaciones (5-9). Para w = o/,
C
c'
y, para o> = <i>".
£
C'
+1
A sí pues, hem os llegado a dos form as específicas de las ecuaciones (5-8)
que son soluciones de las ecuaciones diferenciales acopladas del movimiento
[ecuaciones (5-4)]:
XA
X
b
=
—
c e o s coo/
C
COS coo/
D
COS Cú ' t
X
a
=
X
b
— —D
y
c o s c o '/
(5-10)
C om o la magnitud de la amplitud es arbitraria y está determinada sólo por
las condiciones iniciales, hem os utilizado dos sím bolos diferentes (es decir, C
y D ) para designar las amplitudes asociadas con ios m od os norm ales separa­
dos. Las ecuaciones diferenciales son lineales (sólo aparecen las primeras po­
tencias de x A, x B, d2x j d t 2, y d¿xBjd t2) y, por lo tanto, la suma de ambas solu­
ciones es también una s o lu c ió n :
. .. x A - C eos co0/ +
cosco'/
(caso especial)
^
^
,
xb — C eos coo/ — D eos co /
(5-11)
Otra vez de nuevo hem os obtenido las soluciones previam ente dadas por las
ecuaciones (5-6 ) . 1 Pero esta vez nuestro m étodo de enfoque ha sido puramente
analítico y general, sin acudir previamente a la simetría del sistema.
C om pletem os esta discusión dando la solución general a las ecuaciones de
la oscilación libre de este sistema acoplado. Puede verse fácilm ente que las
ecuaciones diferenciales (5-4) se cum plen igualmente adm itiendo soluciones
con fases iniciales n o nulas, aunque existe una relación de fase sistemática
i Existe un factor 2 que falta en las ecuaciones (5-10) cuando se comparan con las
ecuaciones (5-6), pero esto no constituye ninguna diferencia cuando uno fija los valores de
los coeficientes mediante los valores iniciales de xA y xB.
Vibración forzada y resonancia para dos osciladores acoplados
151
entre x A y x B en un m od o particular. Específicam ente, en lugar de las ecuacio­
nes (5-10) podem os, en general, tener las siguientes:
x A = C cos(coo/ + <*)
m od o in ferior:
„
,
Xb —C cos(a>o/ + a)
(5-12)
,
.
m od o su p erior:
xa
= D cos(a)'/ -f 0)
x B = —D eos(coV + /3)
La existencia de cuatro constantes ajustables nos perm ite entonces adaptar es­
tas soluciones a valores arbitrarios de los desplazam ientos y velocidades inicia­
les de am bos péndulos. E sto elimina la restricción de velocidad inicial cero
que necesitábam os para considerar que nuestras soluciones anteriores eran ca­
sos especiales.
VIBRACIÓN F O R Z A D A Y R E S O N A N C IA P A R A
DOS O S C IL A D O R E S A C O P L A D O S
Hasta aquí hem os considerado meramente las vibraciones libres de un sistema
de dos osciladores acoplados, descubriendo, por lo tanto, las frecuencias natu­
rales características (sólo dos de ellas) para las cuales el sistema es capaz de
vibrar com o una unidad. ¿P ero qué ocurre si el sistema se ve impulsado por
un agente externo con una frecuencia arbitraria? N uestra intuición, apoyada
por la experiencia real, nos dice que se producen grandes amplitudes de osci­
lación cuando la frecuencia im pulsora es próxim a a una de las frecuencias na­
turales, mientras que a frecuencias alejadas de éstas la respuesta del sistema
impulsado es relativamente pequeña. Considerarem os con detalle cóm o se pre­
senta este fenóm eno a partir de las ecuaciones del m ovim iento en el caso más
sencillo posible, dos péndulos idénticos acoplados con am ortiguamiento des­
preciable, para los cuales ya hem os identificado los m odos normales.
Nuestro estudio irá paralelo al análisis del oscilador aislado forzado del ca­
pítulo 4. C om o en aquel caso, adm itirem os que los efectos amortiguadores son
lo suficientemente pequeños com o para ser ignorados en la ecuación del m o­
vimiento, pero que, sin em bargo, quizá después de un núm ero muy grande de
ciclos de oscilación, los efectos transitorios han desaparecido de m odo que el
movimiento de cada péndulo se verifica a amplitud constante para la frecuen­
cia de la fuerza impulsora.
Supongamos, entonces, que se aplica al péndulo A
una fuerza impulsora
-armónica F0 eos wt (por ejem plo, m oviendo su punto de suspensión hacia ade­
152
Osciladores acoplados y modos normales
lante y hacia atrás sinusoidalm ente), controlándose el m ovim iento del péndu­
lo B solam ente por su propia fuerza restauradora y el m uelle de acoplamiento.
El enunciado de la ley de N ew ton para el péndulo B es precisam ente el mismo
que teníam os al considerar las vibraciones libres, y la ecuación para A se mo­
difica sólo en que hay que añadirle el térm ino E 0 c o s w í, aunque
esta adición
representa, naturalmente, un cam bio fundamental de la situación física. Nues­
tras dos ecuaciones del m ovim iento resultan ser así las siguientes [véanse ecua­
ciones (5-3) para las ecuaciones de vibración lib r e s ]:
d2x
m — — + mo)o
at¿
+ k (xA — x B)
xa
Fo eos ut
=
d2x
m —— + njwo Xb — k(xA — x B) = 0
dt¿
las cuales, dividiéndolas por m, resultan:
^
+ (wo2 + 0>c2 ) x a ~
dt¿
u c2 x b
= ~ eos wt
m
^
w c2 x a
=
+
(c o „2 +
w c2
)x
b
-
0
( u c2 =
^
En vez de ocuparnos de x A y x B separadamente, procederem os introduciendo
de una vez las coordenadas norm ales q x{ = x A + x B) y q2( = x A — x B), las cuales,
com o hem os visto, pueden utilizarse para caracterizar el m ovim iento del sis­
tema com o un todo. A ñadiendo las ecuaciones diferenciales anteriores se tiene:
d2Q\ ,
2
Fq
~~nñ
+ wo qi = — eos cot
dt2
m
(5-13a)
Restándolas, se tiene
dt2
+
o)f2(j2 = — eos o)t
m
(5—13b)
en donde
co' 2 = too2 + 2 toc2
La sim plificación del problem a es notable. Es precisam ente co m o si tuviésemos
dos osciladores arm ónicos de frecuencias naturales w y
ü>'.
Podem os claramente
describir las soluciones de estado estacionario m ediante las ecuaciones
q\ = C eos co/, en donde C =
q2 = D cosw t, en don d eD =
F o /m
too2 — co2
co ¿ — CO2
Las amplitudes C y D presentan exactamente el tipo de com portam iento de
resonancia que se ha indicado para un oscilador sencillo en la figura 4-1. Ha-
Vibración forzada y resonancia para dos osciladores acoplados
.biéndoloobtenido, podem os extraer la dependencia con la
amplitudesindividuales A
153
frecuencia de las
y B de am bos péndulos, para los j^ue tenemos
xA =
A eos cot en donde A = £ (C + D )
xB =
B eos o)t en donde B = J (C — D )
Éstas nos dan los siguientes resu lta d os:
A(w) =
B(a>) =
F0
_
(ft>Q2 + <*>c2) — <*>2
m (coo2 — co2)(c o '2 — ¿o2)
17
Fq
2
03c
m
( o jo 2 — ío 2 ) ( ü / 2 — co 2 )
(5-15)
Las variaciones de estas magnitudes con w se indican en la figura 5-8. En
la región de frecuencias dom inadas por la resonancia inferior, los desplaza-
03
Oi
Fig. 5-8. Respuesta forzada de dos péndulos acoplados con amortiguamiento
despreciable. Los modos normales tienen frecuencias a>o y <*>'. (a) Amplitud del
primer péndulo en función de la frecuencia impulsora O í = Ooe + w'2)1/2]
(b) Amplitud del segundo péndulo en función de la frecuencia impulsora.
154
Osciladores acoplados y modos normales
mientos de A y B son siempre del m ism o signo, es decir, están en fase entre
sí. En la región de frecuencias dominadas por la resonancia superior, los
desplazamientos son de signo opuesto y por tanto están desfasados en 180°.
La introducción de un am ortiguam iento no nulo conduciría, co m o con el caso
del oscilador sencillo impulsado, a una variación suave de fase con la frecuencia
al pasar a través de la resonancia.
Podría com entarse una característica particular de la figura 5-8, porque
parece (y es) físicamente imposible. Ésta consiste en el hech o de que a una
cierta frecuencia wj entre las resonancias, tenem os que A = 0 y B n o es cero.
A partir de las condiciones admitidas del problem a es evidente que la im­
pulsión forzada periódica del péndulo B depende del m ovim iento del péndulo A.
En cualquier sistema real sería esencial la presencia de una pequeña oscilación
del péndulo A . La frecuencia ^ a la que se presenta esta situación aparente­
mente anómala es precisamente la frecuencia natural de un péndulo aislado,
teniendo sujeto un muelle de acoplam iento, bajo la circunstancia de que el
otro péndulo se mantenga totalm ente fijo — <ox = (<o02 + o>02)1/2. En ausencia completa de fuerzas am ortiguadoras, la presencia de una fuerza im pulsora arbitra­
riamente pequeña de frecuencia u>x causada por pequeñas vibraciones del pén­
dulo A , produciría una respuesta extraordinariamente grande en el péndulo B.
La existencia de fuerzas am ortiguadoras, aunque sean pequeñas, destruiría este
caso y, com o consecuencia, la amplitud A(q>), aunque fuese m uy pequeña cerca
de o>!, nunca sería totalm ente cero. Sin em bargo, esta descripción completa
necesitaría ahora la consideración detallada del sistema form ado por una com­
binación de un par de osciladores con am ortiguam iento y la com plejidad del
análisis se vería aumentada.
El punto principal que ha de aprenderse de este análisis es la confirmación
de que se pueden escribir los m odos norm ales del sistema acoplado mediante
las observaciones de la resonancia y que los m ovim ientos estacionarios de las
partes com ponentes en la resonancia son exactamente co m o correspondería al
m ism o sistema en vibración libre para la misma frecuencia.
V A R IO S O S C IL A D O R E S A C O P L A D O S
Cualquier cuerpo m acroscópico real, co m o un trozo de material sólido, contie­
ne muchas partículas y n o dos solam ente; éste es el m otivo más fuerte que te­
nemos para considerar el problem a de un núm ero arbitrario de osciladores
semejantes , acoplados juntos. El trabajo de las secciones previas nos ha prepa­
Varios osciladores acoplados
155
rado el cam ino. Nuestra investigación de este sistema nos puede llevar a una
descripción de las oscilaciones de un m edio continuo, y de aquí, mediante una
transición sencilla, al análisis de los m ovim ientos ondulatorios.
Sería posible para n osotros pasar directam ente desde la ley de N ewton a
una m ecánica del con tin u o . 1 Pero el cam ino que hem os escogid o,vía d é lo s m o­
dos de oscilación de los sistemas acoplados, es más rico y, en esencia, es más
correcto , porque
n o existe ninguna cosa semejante a un m edio realmente
continuo. M ás aún, el lector puede estar interesado en saber que nuestro ca­
mino presente es el que tom aron precisam ente N ew ton y sus sucesores. Quizá
por ello se m erece una digresión introductoria.
N o m ucho tiem po después que N ew ton, dos m iem bros de la notable fami­
lia Bernoulli (Jean Bernoulli y su h ijo Daniel) em prendieron un estudio deta­
llado de la dinámica de una línea de masas conectadas. D em ostraron que un
sistema de N masas tiene exactam ente N m odos de vibraciones independien­
tes (para el m ovim iento en una dim ensión solamente). Entonces, en 1753, Da­
niel Bernoulli enunció el principio de superposición para dich o sistema — esta­
bleciendo que el m ovim iento general de un sistema vibrante puede escribirse
como una superposición de sus m od os norm ales.
(Se recordará que anterior­
mente, en este capítulo, desarrollam os este resultado para el sistema de dos
osciladores.) Con palabras de León Brillouin, que ha ten ido una contribución
fundamental en la teoría de las vibraciones de las redes cristalinas: 3
Esta investigación realizada por la familia Bernoulli puede decirse que
constituye el principio de la física teórica com o constituyente distinto
de la mecánica, en el sentido de que es el primer intento de formular
leyes para el movimiento de un sistema de partículas en lugar de las
correspondientes a una partícula aislada. El principio de superposición
es importante, puesto que es un caso especial de una serie de Fourier,
y en su tiempo se amplió hasta llegar a ser un enunciado del teorema
de Tourier.
(Veremos unas nociones del análisis de Fourier en el capítulo 6 .)
, Después de este preám bulo volvam os ahora al análisis detallado de un
sistema de N partículas.
1 Como se m encionó en la nota a pie de página del principio de este capítulo, puede ha­
cerse esto pasando directamente al capítulo 6.
8 L. Brillouin, Wave Propagation in Periodic Structures, Dover, Nueva York, 1953.
156
Osciladores acoplados y modos normales
N O S C IL A D O R E S A C O P L A D O S
En nuestro estudio del m ovim iento de un sistema de dos osciladores, concen­
tramos nuestra atención a las oscilaciones que pueden expresarse en forma
longitudinal.
L os m ovim ientos de las lentejas de los péndulos se produjeron
a lo largo de la línea que los unía. El tratam iento es muy semejante, como
verem os pron to, en el caso de oscilaciones transversales en donde las partícu­
las oscilan en una dirección perpendicular a las líneas que las une. Y com o las
oscilaciones transversales son más sencillas de visualizar y de mostrar que las
oscilaciones longitudinales, analizaremos las oscilaciones transversales de un
sistema p rototipo de m uchas partículas.
Considerem os una cuerda elástica flexible a la que se sujetan N partículas
idénticas, cada una de masa m, igualmente distanciada una longitud /. Man­
tengamos fija la cuerda en d os puntos, uno de ellos a una distancia 1 a la iz­
quierda de la primera partícula y el otro a una distancia / a la derecha de la
partícula N (fig. 5-9).
Fijo
Fijo
•------ •------ »
0
Fig. 5-9.
1
2
•----------------- . i r -----------------•
3
+
A T - l / V N
~•
+
1
N partículas equidistantes a lo largo de una cuerda sin masa.
Las partículas se señalan de 1 a IV o de 0 a iV + 1 si incluim os los dos
extrem os fijos y los consideram os co m o si fueran partículas con desplazamien­
to nulo. Si la tensión inicial de la cuerda es T y si nos lim itam os nosotros
m ismos a desplazamientos transversales pequeños de las partículas, entonces
podem os ignorar cualquier aumento de la tensión de la cuerda cuando las par­
tículas oscilan. Supóngase, p or ejem plo, que la partícula 1 se desplaza a y x y la
partícula 2 a y2 (fig. 5-10); entonces la longitud de la cuerda entre ellas resulta
ser V = Z/cos alt Para «i
1 rad, eos a ^ l — ax3/2 y V *** Z(1 + ax2/2). El aumen­
to en longitud es W ¡2 , y cualquier increm ento de tensión que -sea proporcional
a este valor puede ignorarse en com paración con los térm inos proporcionales
a la primera potencia de al9
,0
1
N
N+ 1
Fig. 5-10. Diagrama de fuerzas para las masas en una cuerda larga desplaza­
das transversalmente.
N osciladores acoplados
1 57
En la configuración que se muestra en la figura la com ponente x resultante
de fuerza sobre la partícula 2 es — T cosa t + T c o s a 2 =
— aa2), que es
una diferencia entre dos potencias de segundo orden en a. Para valores peque­
ños de «i y «2 es m uy pequeña y n o prestarem os atención sobre dicha dife­
rencia en lo que sigue.
La figura 5-10 muestra una configuración de las partículas en un cierto ins­
tante de tiem po durante su m ovim iento transversal. N o s restringiremos a des­
plazamientos y pequeños com parados con L La com ponen te y de la fuerza
resultante sobre una partícula típica, por ejem plo la partícula p, es
Fp = — T sen
+ T sen ap
Los valores aproxim ados de los senos s o n :
sen ap_i —
sen a„ =
y* — yv-i
l
y p + i^ y *
P or lo tanto,
T
T
FP = - - j ( y P - y p- 1 ) + -j O v+i - y P)
y esto debe ser igual a la masa m multiplicada por la aceleración transversal
de la partícula p. A sí pues,
d2
+
2o)02yP — m 20 v + i
+
yP- i) — o
(5-16)
en donde hem os puesto
T
T ñ i~
2
0 )0
P odem os escribir una ecuación semejante para cada una de las N partícu­
las. A s í pues, tenem os un sistema de N ecuaciones diferenciales, una para cada
Valor de p de 1 a N . Recuérdese que y 0 = 0 e y^+i = 0.
Puede ser interesante considerar los casos especiales sencillos de las ecua­
ciones (5-16) para N = 1 y N = 2. Si N = 1, se tiene
15 8
Osciladores acoplados y modos normales
Ai
(a)
(b)
N =
N = 2
(c)/v =
2
1 (cü = ü>0 V 2)
Modo inferior (<o = o*,)
Modo su p e rio r (o> = a>„ V
3)
Fig. 5-11. Modos normales de los dos sistemas más sencillos de cuerdas car•
gadas. (a) N = 1, en un modo solamente, (b) N = 2f modo inferior, (c) N ~ 2,
modo superior.
que es un m ovim iento arm ónico transversal de frecuencia angular w0V 2 =
(2T/ml)1/2, com o se puede ver directam ente al considerar la figura 5-11 (a). Si
N = 2, se tiene
4 y2 I O 2
+ 2 coq y 2 -
2
ü)0 y i = 0
Estas ecuaciones son semejantes a las ecuaciones (5-4) para dos péndulos
acoplados, pero ahora tenem os la sim plificación de que w0 == <*>c, de m o d o que
w02 + wc2 en las ecuaciones (5-4) corresponden a 2w02, y wc2 resulta ser w02 aquí.
Las frecuencias angulares de los m odos norm ales en este caso están en una
relación numérica definida; sus valores reales son w0 y w„V 3 . Los m odos para
N = 2 pueden verse en las figuras 5-11 (b) y (c). La configuración real de las
cuerdas hace casi evidente por sí misma la relación entre las frecuencias na­
turales en este caso, pero en cuanto pasem os a núm eros m ayores de partículas
los resultados son bastante menos evidentes y debem os recurrir a un tipo más
general de análisis.
C A L C U L O D E M O D O S N O R M A L E S P A R A N O S C IL A D O R E S A C O PLA D O S
Aplicaremos básicam ente la misma técnica analítica a las N ecuaciones dife­
renciales que previam ente utilizábamos para dos ecuaciones sólo. Buscamos los
Cálculo de modos normales para
modos norm ales;
N osciladores acoplados
159
es decir, buscam os soluciones sinusoidales de m odo que
cada partícula oscile con la misma frecuencia. P ongam os:
*
yv = A „ eos wí
(p = 1, 2 , . . . , N )
(5-17)
donde A p y q> son la am plitud y la frecuencia de vibración de la partícula p. Si
podemos encontrar valores de A p y w para las que las ecuaciones (5-17) satis­
fagan las N ecuaciones diferenciales (5-16), habrem os satisfecho nuestro ob je­
tivo. Obsérvese que la velocidad de cualquier partícula puede obtenerse a par­
tir de las ecuaciones (5-17) y que vale
du
_ _ L = — . ü)Af sen o>f
dt
(p = 1, 2 , . . N )
A sí pues, escogiendo las ecuaciones (5-17) c o m o una solución de tanteo, es­
tamos restringiéndonos autom áticam ente a la con d ición lím ite adicional de que
cada partícula tenga una velocidad cero para t = 0 ; es decir, cada partícula par­
te del reposo.
Sustituyendo las ecuaciones (5-17) en las ecuaciones diferenciales (5-16), ten­
dremos :
( — co2 +
2a>o2) ^ i — co o 2
(A 2
+
A o)
=
0
( — oí2 + 2o3o2)A 2 — o)o2(A 3 + A i ) — 0
♦
( — co2 +
( — co2 +
2 coo
2coo
2) A p
2)A x
-
Ü>0 2( A P + 1
—
ü) q 2(A x + i
+
A p^ 1)
— A n ^. 1)
=
0
= 0
Este sistema de aspecto form idable de N ecuaciones simultáneas puede es­
cribirse de m od o más com p acto co m o sigue:
( —co2 + 2a>o 2)A P — w o2( ^ P- i + A p + i) = 0
(p = 1 , 2 , . . . , A )
(5-18)
N uestra con d ición lím ite inicial, que exige que los extrem os han de mante­
nerse fijos equivale a decir que A 0 = 0 y A N + 1 = 0.
La cuestión que nos estam os preguntando es si las N ecuaciones pueden
satisfacerse utilizando el m ism o valor de ü>2 en cada una de ellas. V im os anterior­
mente có m o enfrentarnos co n este problem a cuando sólo intervenían dos osci­
ladores acoplados. La hipótesis de que existía una solución (distinta de la tri­
vial consistente en que todas las amplitudes fuesen igual a cero) conducía a
lb ü
Osciladores acoplados y modos normales
ciertas restricciones sobre los cocientes de las amplitudes [según expresaban las
ecuaciones (5-9)]. A q u í tenem os la misma situación en este problem a más com­
plejo. Si volvem os a escribir las ecuaciones (5-18) de la siguiente form a
Á’-' +
Ap
- = ÍL + Jíl
<p _ 1 ,2 ........................................(5-19)
o)o
vem os que, para cualquier valor particular de w, el segundo m iem bro es cons­
tante y, por lo tanto, el cociente de la izquierda debe ser una constante inde­
pendiente del valor de p. ¿Q u é valores pueden asignarse a los coeficientes A v
de m od o que esta con dición sea satisfecha y que al m ism o tiem po den A 0 = 0
y An + 1 = 0?
N o pretenderem os resolver la ecuación (5-19), sino sim plem ente fijar la aten­
ción en un resultado notable que da la clave del problem a. Supóngase que la
amplitud de la partícula p puede expresarse en la form a
A„ -
C sen
(5-20)
siendo 0 un cierto ángulo. Si se utiliza una ecuación semejante para definir las
amplitudes de las partículas adyacentes p —d y
p + 1 , ten drem os:
A p_i + A p+1 = C[sen (p — 1)<9 + sen (p + 1)0]
= 2 C sen p0 eos 0
Pero C sen pd es precisam ente A p, de m od o que tenem os
Ap~ l j Ap± 1 = 2 eos e
/\p
•
( 5- 21 )
Esto significa que la receta representada por la ecuación (5-20) es acertada.
El segundo m iem bro de la ecuación (5-21) es una constante independiente de
p, que es precisam ente lo que necesitam os aquí para tener una con dición equi­
valente a la ecuación (5-19). Puede utilizarse para satisfacer todas las N ecua­
ciones (5-18) de que partimos. T o d o lo que queda es encontrar el valor de 0.
Esto puede hacerse im poniendo el requisito de que
A p = 0 para p = 0 y
p = N + 1. La primera con d ición se satisface autom áticam ente; la última será
satisfactoria si (N + 1)0 se hace igual a cualquier m últiplo entero de n. A sí pues,
podem os escribir
(AT+
1)0 =
m
(n
=
1 ,2 ,3 ,...)
Propiedades de los modos normales
161
Sustituyendo el valor de 0 en la ecuación (5-20) se tiene
a *
= csen G v ? r )
(s ~2 3 )
También se determinan las frecuencias permitidas de los m odos normales,
ya que a partir de las ecuaciones (5-19) a (5-22) se tiene
Ap+i
+
A ,-i
=
~ “ 2 +
Ap
W
=
2 cos/ _
coo2
^
)
+ 1 /
Por lo tanto,
- w [‘ - cos( « t t )]
Hallando la raíz cuadrada de esta expresión, resulta
to = 2 coo sen
1 2 ( N + 1).
(5-24)
PR O PIED A D ES D E L O S M O D O S N O R M A L E S P A R A N
O S C IL A D O R E S A C O P L A D O S
Habiendo obtenido las soluciones matemáticas de este problem a de N oscilado­
res acoplados, exam inem os más de cerca los m ovim ientos que las ecuaciones
describen.
Prim ero observem os que, de acuerdo con la ecuación (5-24), los diferentes
valores del núm ero entero n definen distintas frecuencias de m od o normal. Por
consiguiente, es apropiado señalar cada m od o, y su frecuencia distintiva, por
el valor de n. A sí pues, p o n d re m o s:
^
= 2 u °sen [ ~
^
]
(5-25)
Ahora debem os darnos cuenta de que el m ovim iento de una partícula dada
(u oscilador) depende del núm ero que tiene a lo largo de la recta (p) y del nú­
mero que designa su m od o (n). La amplitud de su m ovim iento puede así es­
cribirse del m od o siguiente:
Apn = C „ s e n ( ^ ~ j
(5-26)
162
Osciladores acoplados y modos normales
en donde C n define la am plitud con la que está excitado el m od o particular n.
El desplazam iento real de la partícula p cuando la colección entera de partícu­
las está oscilando en el m od o n se obtiene, por tanto, m ediante
(5—27)
y p n (f) == A p n COS 03nt
en donde co„ y A pn vienen dadas por las ecuaciones (5-25) y (5-26), respectiva­
mente. La ecuación anterior implica que cada partícula está en reposo en el
instante t = 0, pero com o en el caso de dos osciladores p od em os satisfacer con­
diciones iniciales arbitrarias poniendo
y pn(t) = Apn cos(o>„/ — 5„)
(5—27a)
en donde a cada m od o diferente puede asignársele su propia fase Sn.
¿Cuántos m odos norm ales existen? V im os que con dos osciladores acopla­
dos existen precisamente d os m odos normales. Si la intuición del lector le dice
que con N oscilaciones deben existir só lo N m od os independientes, estará en
lo c o r r e c to .1 Sin em bargo, este h ech o aparece un p o c o oscu recid o en las ecua­
ciones (5-25) y (5-26), porque los valores de wn y A pn están definidos por cada
valor entero de n. El punto a señalar es, sin em bargo, que más allá de n = N
las ecuaciones no describen ninguna situación físicam ente nueva.
Podem os hacer esto más claro, en cuanto a lo que se refiere a las frecuen­
cias
de los m odos, con la ayuda de la figura 5-12, que es
un gráfico
de la ecua­
ción (5-25),m odificada de m od o que se define w co m o siempre positiva.
A l pa­
sar de n — 1 a n — N encontram os N diferentes frecuencias características.
Para n = N + 1, que corresponde a n¡2 en abscisas, se alcanza una frecuencia
máxima o>max ( = 2<t>0), pero no corresponde a ningún posible m ovim iento porque,
2
2
/
Fig. 5-12. Gráfico de la frecuencia de los modos en función de su número.
Es conveniente representar wn en función de nxféfN + I) y no en función
de n.
1 Éste es el caso de un sistema monodimensional. Dos dimensiones dan 2N, tres dimen­
siones dan •3N.
Propiedades de los modos normales
163
como muestra la ecuación (5-26), todas las amplitudes A pn son cero para este
valor de n. Para n = N + 2 se tiene
wjv+ 2 = 2coosen
\( N + 2 ) t ]
l_2(A+ 1)J
= 2 o>osen| 7r —
- 2 a>osen
Nir
2 ( N + 1).
Mr
2 { N + 1)J
Por consiguiente,
WJV+2 = COtf
Análogam ente,
= u>N_lf y así sucesivam ente. Y se obtiene una duplica­
ción semejante en to d o el intervalo siguiente de N + 1 valores de n.
Es m uy sencillo ver que las amplitudes relativas de las partículas en un
modo norm al se repiten tam bién ellas mismas. A sí, por ejem plo, se tiene, se­
gún la ecuación (5-26),
Ap,n+ 2 = C¡\r+2 sen
P (N +
.
N +
= Cir+2sen[2/wr = —CV+2 sen
/ pNir \
\ N +lJ
lP , N
y es fácil dem ostrar que se produ ce una propiedad semejante para tod o valor
de n > N + 1.
Veam os el aspecto que tienen los diversos m od os norm ales. El primer modo
normal viene dado por n = 1. Los desplazam ientos de la partícula son:
y v i = C isen
\ N + 1)
C O S COIt
(p = 1 , 2 , . . . , N)
En un instante dado de tiem po, el factor C l eos <axt es el mismo para todas
las partículas. Solamente el factor sen [pn¡{N + 1)] distingue los desplazamien­
tos de las distintas partículas. La curva pintada de blanco en la figura 5-13 (a)
es una representación del sen [px¡{N + 1)] en función de p, cuando p varía
continuamente de 0 a N 4- 1. Sin em bargo, las partículas reales están situadas
en los valores discretos de p = 1,2, . . . , A L La curva sinusoidal es, por consi-
164
Osciladores acoplados y modos normales
(a)
t
\"
Li.
(b)
Fig. 5-13. (a) Representación de sen [px¡(N + 1)] en función de p. Las par­
tículas están en las posiciones definidas por los valores enteros de p y están
unidas por segmentos rectilíneos de la cuerda, (b) Posiciones de las partícu­
las en diversos instantes para el modo inferior.
guíente, sólo una guía para situar a las partículas, y la cuerda se com pone de
segmentos rectilíneos que conectan las partículas.
Cuando t aumenta todas las partículas oscilan en la dirección y con frecuen­
cia wj. En la figura 5-13 (b) se muestra un con ju n ta com p leto de curvas sinu­
soidales para diferentes valores de p y las correspondientes situaciones de las
partículas. Para el segundo m odo, n = 2 y
Los desplazam ientos de* las partículas en diferentes instantes de tiem po se
indican en la figura 5-14. Si resultase que el núm ero de partículas fuese impar,
existiría una partícula en el centro de la línea y en este m od o debería perma­
necer en reposo, com o se indica en la figura 5-14. Recuérdese que w2 difiere
de a>x y, por consiguiente, este diagrama oscila con una frecuencia diferente
que el anterior, casi el doble de grande, de hecho.
En la figura 5-15 vem os un conjunto de diagramas de m odos normales para
una serie de cuatro partículas situadas sobre una cuerda tirante. A sí se ve de
m odo muy elegante c ó m o el diagrama de los desplazam ientos vuelve a trazar
sus trayectorias después de alcanzar n — 5, aunque las curvas sinusoidales que
Propiedades de los modos normales
165
Esta partícula queda sin desplazar
Fig. 5-14. Posiciones de las partículas en diversos instantes para el segundo
modo (n — 2).
leterminan las diferentes A pn son todas distintas. Estos esquemas para un va­
lor pequeño de N nos perm iten también apreciar el h ech o notable de que los
desplazamientos de todas las partículas en cada m od o para este tipo de sis­
tema estén situados sobre una curva sinusoidal, aunque la cuerda que los c o ­
lecta pueda seguir una trayectoria totalm ente diferente.
n = 1
n = 6
n = 2
n =1
n = 3
n = 8
n —A
Fig. 5-15. Modos de una cuerda vibrante con pesos , N = 4. Obsérvese que
n = 6, 7, 8 y 9 repite las curvas de n = 4, 3r 2 y 1 con signo opuesto. (Adap­
tado de J. C. Slater y N. H . Frank, Mechanics, McGraw-Hill, Nueva York,
1947.)
166
Osciladores acoplados y modos normales
O S C IL A C IO N E S L O N G IT U D IN A LE S
C om o se explicó anteriorm ente, hem os preferido considerar las vibraciones
transversales en lugar de las longitudinales, c o m o una base para analizar el
com portam iento de un sistema que com prende un gran núm ero de osciladores
acoplados. El o jo y el cerebro pueden considerar de un simple vistazo lo que
le está ocurriendo a cada una de las partículas cuando una cuerda co n masas
se pone a oscilar transversalmente. Pero ahora vam os a ver có m o se aplica
el m ism o tipo de análisis de un sistema de partículas con ectados por muelles
a lo largo de una línea recta, y lim itados a m ovim ientos sobre dicha recta.
Esto puede parecer un sistema m uy artificial, pero una línea de átom os en un
cristal está sorprendentem ente bien representada por dich o
m odelo
y
lo
m ism o ocurre también, aunque en extensión menor, en una colum na de gas.
(b )
-líl
-Ifa
Fig. 5-16. (a) Masas acopladas por muelles, en equilibrio, (b) Masas acopla­
das por muelles después de un pequeño desplazamiento longitudinal.
A dm itirem os de nuevo que las partículas son de masa m y cuando están
en reposo están separadas p or distancias 1 [fig. 5-16 (a)]. Pero ahora las fuerzas
restauradoras las suministra el alargamiento o com presión de los m uelles; la
constante del m uelle para cada uno de ellos puede describirse co m o mw0l
Sean los desplazam ientos de las masas a partir de su posición de equilibrio
f* . - v ^n1 [véase fig. 5 -1 6 (b)].
La ecuación del m ovim iento de la partícula p será la sigu ien te:
= " Ja,o2( f P+ i -
fp ) -
kiwo2(Íp -
f-p -i)
1 Utilizamos la letra griega § a fin de reservar x para la distancia total desde un
extremo.
Oscilaciones longitudinales
167
es decir,
+ 2 ü) q2£p — too2(£p-f-i +
£p -
1) = 0
(5-28)
Esta expresión tiene precisam ente la misma form a que la ecuación (5-16);
así sabemos ya que m atem áticam ente todas las características que hem os des­
cubierto para las vibraciones transversales de la cuerda cargada tienen su con ­
trapartida en este nuevo sistema. Es decir, el m ovim iento de la partícula p en
el m od o normal n viene dada por
) — Cn senj
p rv K
N + í
CO S ü) n t
en donde
o>n = 2 coosen
nir
| _ 2 (A T + 1 )J
(5 -2 9 )
A hora resulta posible un estudio cuantitativo muy elegante de estos siste­
mas mediante el em pleo de suspensiones gaseosas, en las cuales se obtiene un
flujo de aire (a presiones ligeramente superiores a la atm ósfera) que sale de ori­
ficios situados en una superficie soporte con objeto de proporcionar un apoyo
— Curva calculada
Fig. 5-17. Valores experimentales de la frecuencia de un modo vn, represen­
tada en función del número del modo para una línea de masas acopladas por
muelles idénticos. [Obsérvese que la abscisa es n/(N 41) en lugar den;éste
permite que se ajusten a la misma curva teórica los datos correspondientes
a dos valores diferentes de N (N = 6 y N — 12).] [Según R. B.
Runk, J.L.Stull
y O. L. Anderson, Am. J. Phys., 31, 915 (1963).]
168
Osciladores acoplados y modos normales
casi com pletam ente libre de rozam iento para los objetos que se deslizan sobre
su superficie. La figura 5-17 muestra el resultado de m edidas hechas con uno
de estos aparatos.1 Las masas en cada uno de ellos fueron alrededor de 0,15 kg,
y las constantes del m uelle eran tales que la frecuencia o>0 valía 5,68 seg-1.
La figura muestra las frecuencias observadas vn( = wn/2 n) de los diversos mo­
dos norm ales representadas en función de la variable n/(N + 1). El gráfico con­
tiene medidas hechas con un sistema de seis masas (y siete muelles) y con
otro sistema, más largo, pero por lo demás totalm ente semejante, de 12 ma­
sas (y 13 muelles). C om o w„ valía lo m ism o para am bos, el resultado de los
dos sistemas deberá adaptarse a la c u r v a :
n
7r\)
vn = 0)71 = — sen I -------------2tr
7T
\N + 1 2 /
Puede verse que los valores experimentales se ajustan extremadamente bien
a los teóricos.
N M UY GRANDE
Supongamos ahora que perm itim os que el núm ero de masas en un sistema aco­
plado llegue a ser muy grande. Para ser explícito en su estudio, consideremos
el caso de las vibraciones transversales de partículas sobre una cuerda so­
metida a tensión. Una cuerda real, precisam ente por ello, es de h ech o ya una
colección de un gran núm ero de átom os muy juntos. D e nuevo podem os otra
vez estar seguros de que nuestras conclusiones se aplicarán igualmente bien
a la línea de masas conectadas por muelles en la vibración longitudinal.
Hagamos que N aumente, pero al m ism o tiem po, hagam os que disminuya
el espaciado l entre las partículas vecinas, de m od o que la longitud de la
cuerda, L = (N + 1)/, perm anezca constante. Tam bién disminuirá la masa de
cada partícula de m od o que la masa total, M = N m , perm anezca también
constante.
¿Q u é ocurre con las frecuencias norm ales? H em os visto que
"• “ 2" ” K ,Í 2 < í 7 T T j .
i
R. B. Runk, J. L. Stull y O. L. Anderson, Am. /. Phys., 31, 915 (1963).
N muy grande
16 9
en donde w0 = (T/ml)l/2. Considerem os prim ero los m odos normales para los
que el núm ero de m od o n es pequeño. Entonces cuando N se hace muy gran­
de, podem os poner
sen
mr
mr
2 { N + 1)J
2(N + 1)
Por consiguiente,
T \ 112
\ m l)
Y /2
nir
2(N + 1)
\m /l)
YVK
(N + 1)1
pero (N
4- 1)/ —L, longitud total de la cuerda, y mjl es la masa por unidad de
longitud
(densidad lineal) que llamaremos p. A sí pues, aproximadamente,
ü>n =
1,2,...)
(n =
(5 -3 0 )
En particular,
7r / r ' 1/2
« ! « z
y entonces
= wwlt Las frecuencias norm ales son m últiplos enteros de la fre­
cuencia inferior u>lm Sin em bargo, recuérdese que esto es sólo una aproximación,
si bien para n m ucho m enor que N es una aproxim ación excelente.
¿Q ué se puede decir sobre el desplazamiento de las partículas? Previamen­
te hemos visto que en el m od o n el desplazamiento de la partícula p es
_
/
ypn — Cns e n r
ptlT T
\
^ —) eos cont
En lugar de llamar la partícula por su valor p t podem os especificar su distancia
x desde el extrem o fijo de la cuerda. A h ora bien,
x = pl
De aquí que
ptlT
pltVK
nwx
N + 1
(N + 1)1
L
Enlugar de y pn, podrem os escribir y n(x, t),
con lo cual queremos significar
el desplazamiento y en el instante t de la partícula situada en x ,cuando la
cuerda está vibrando en el m od o n. A sí pues,
yn(x,t) = Cns e n ^ ^ j c o s o ) nt
(n = 1 , 2 , . . . )
(5-31)
Cuando N se hace m uy grande, los valores de x, que sitúan a las partículas,
están cada vez situados más cerca unos de otros y x puede considerarse co m o
170
Osciladores acoplados y modos normales
una variable continua que va de 0 a L. Las curvas sinusoidales de blanco de las
figuras 5-13, 5-14 y 5-15 son ahora las configuraciones reales de la cuerda en
sus diferentes m odos. N o hay que emplear mucha imaginación para conectar
dichos m ovim ientos con la posibilidad de perturbaciones ondulatorias que se
mueven a lo largo de la cuerda, pero no seguiremos sobre este tema de mo­
mento.
C onsiderem os ahora el m odo posible más alto, n = N . Si N es muy gran­
de, tenem os:
(5-32)
wmax
En este m odo (com o verem os en seguida), cada partícula tiene en to d o ins­
tante un desplazamiento que es de signo opuesto a los desplazam ientos de sus
vecinos más próxim os y — excepto para aquellas partículas cerca de uno y otro
extrem o de los extrem os fijos— estos desplazam ientos son de valor casi igual.
A sí pues, para el caso de las oscilaciones longitudinales el caso es un poco
parecido al indicado en la figura 5-18 (a), y para el caso más fácil de ver de las
oscilaciones transversales se parece a la figura 5-18 (b).
(a)
Fig. 5-18. (a) Vibraciones longitudinales en el modo superior de una línea de
masas acopladas por muelles, (b) Vibraciones transversales en el modo supe­
rior de una línea de masas sobre una cuerda sometida a tensión.
Esta relación entre los desplazamientos adyacentes puede deducirse con
ayuda de la ecuación (5-2 6):
H aciendo n = N , se tiene
Oscilaciones longitudinales
171
que puede escribirse c o m o
A p ,n
= Cjvsen(/?7r — a P)
en donde
an =
Pir
N + 1
Primero, obsérvese que al pasar de p a p + 1, se invierte el signo de la ampli­
tud, debido a que el ángulo pn cam bia de un m últiplo impar a otro par de 'ir
(o viceversa) y el ángulo ap es m enor que n para to d o valor de p (puesto que
p ^ N ) . Esto hace que los valores sucesivos de { p n — ap) estén m cuadrantes
opuestos. A sí pues, podrem os escribir
A.
(m od o su p rem o,« = N )
pir
sen —
N + 1
■dp+i
sen
(p +
(5-33)
1 >7T
_ N + 1 J
Obsérvese ahora que, aparte de la alternancia del signo, la ecuación (5-33) des­
cribe una distribución de amplitudes que se ajustan sobre una curva equiva­
lente a media sinusoide dibujada entre los dos extrem os fijos, com o se ve en
la figura 5-19 para el caso de vibraciones transversales de una línea de m asas.1
Así pues, en la m ayor parte de la región central de la línea los desplazamien­
tos son casi iguales y opuestos. C onsiderem os, por ejem plo, una línea de
1000 masas. Entonces para 100 ^ p ^ 900 las amplitudes sucesivas difieren en
menos del 1 % . Es sólo hacia los extrem os de la línea cuando el aspecto difiere
marcadamente de la figura 5-18 (b). Es entonces fácil de ver por qué la frecuen­
cia debe ser casi igual a 2w0. Considerem os la partícula p de la figura 5-19. Si
p
Fig. 5-19. Amplitudes de una línea completa de partículas en el modo su­
perior para una cuerda fija por ambos extremos.
1 Obsérvese que este resultado es válido para el m odo más alto incluso para valores
pequeños de N , véase, por ejem plo, el cuarto diagrama de la figura 5-15.
17 2
Osciladores acoplados y modos normales
su desplazamiento en cierto instante es y, el desplazamiento de sus vecinos es
aproximadamente — y en ambos casos. A sí pues, si la tensión en las cuerdas
que la conectan es T, la com ponente transversal de la fuerza debida a cada
una de ellas es aproximadamente (2y/l)T, y la ecuación del movimiento de P
viene dada por
d2y ~
m w ~ - 2T l
o bien
d2y
—L «
dt2
4T
. 2
v = —4wo y
mi
(Recuérdese que los valores de los desplazamientos transversales se han exa­
gerado grandemente en los diagramas;
y
realmente estamos suponiendo que
com o es normal.) La ecuación anterior define así un movimiento ar­
m ónico simple de frecuencia angular aproximadamente
2<a0
y
una pequeña
consideración adicional nos convencerá de que la frecuencia exacta es lige­
ramente m enor que 2o>0, tal com o exige la ecuación (5-32).
En toda nuestra discusión de los m odos normales hasta ahora hemos re­
calcado fundamentalmente, con buenas razones, las condiciones iniciales que
se
aplican
com o, por ejemplo, que los extremos de una línea de masas es­
tán fijos o libres. Sin embargo, el lector habrá apreciado durante esta última
discusión que las propiedades de los m odos muy altos de una línea de muchas
partículas depende relativamente p oco sobre las condiciones límites precisas,
aunque los m odos inferiores dependen críticamente de ellos. A sí pues, el
cálculo anterior de la frecuencia de los m odos más elevados del sistema exige
sólo apreciar que los desplazamientos de partículas sucesivas son aproximada­
mente iguales y opuestos. Habríamos llegado al mismo valor aproximado de
las frecuencias del m odo más elevado si hubiésemos admitido que un extre­
mo de la línea estaba fijo y el otro extremo libre. Sin embargo, hay que darse
cuenta de que esto es sólo aproximadamente cierto y en principio debe con ­
siderarse la influencia de las condiciones límites precisas.
M O D O S N O R M A LES DE UNA RED C R IST A LIN A
N o haremos más que tocar este tema, el cual, de hecho, exigiría un libro en­
tero para hacerle justicia. Sin embargo, el análisis de la sección anterior so­
porta los fundamentos de la descripción de los m odos vibratorios de los sólidos.
Esto no es demasiado sorprendente, porque, com o ya se ha señalado, la inter­
Modos normales de una red cristalina
173
acción entre átom os adyacentes es, en cuanto a lo que se refiere a los peque­
ños desplazamientos, notablem ente parecida a la de un muelle. Y la estructura
de un sólido es una red de m ayor o m enor regularidad, justificando la com pa­
ración frecuente utilizada de una red cristalina a un sistema de muelles tri­
dimensionales respecto a su com portam iento vibratorio.
Si intentam os ¿p lica r las ecuaciones (5-29) y (5-30) a un sólido, podem os
pensar en una línea de átom os a lo largo de una de las direcciones principales
de la red, de m od o que /* es la masa total de tod os los átom os por unidad
de longitud, o sea, la masa de un átom o dividida por la separación interató­
mica L ¿P ero cuál es la tensión T I En el capítulo 3 introdujim os una indica­
ción clara necesaria para el cálculo de la constante del m uelle debida a las
fuerzas elásticas internas. D im ensionalm ente, el cocien te
T/p es el mismo
que el cociente Y/p del m ód u lo de Y ou n g d ividido por la densidad. El empleo
de esta relación se sugiere incluso con más intensidad cuando pensamos en
los muelles alargados que se indican en la figura 5-16. A sí pues, considerare­
mos la posibilidad de describir las frecuencias de vibración del cristal v ( = w/2^r)
a través de la sigiiiente r e la ció n :
siendo
V, =
„
=
'
(5-34)
C om o hem os visto (véase tabla 3-1), en el caso de los sólidos los valores de
Y son del orden de 10llN /m 2, de m od o que com o las densidades son del orden
de 104 kg/m 3, el cociente Y/p es del orden de 107 m2/seg2. La distancia inter­
atómica l es del orden de 10~10 m. A sí pues, te n d re m o s:
vq ^
1013 seg-1
Ésta es la frecuencia más elevada que la red puede soportar. Los modos
más bajos vienen bien descritos p or los análogos de la ecuación (5-30):
,A
1 /2
siendo L el espesor del cristal. A sí pues, la frecuencia más baja de vibración
de un cristal de un cm a través del m ism o será del orden de 105 Hz.
V olvien d o al m od o más alto posible, resulta que en él los átomos adya­
centes se ven desplazados en sentidos opuestos el uno al otro (véase fig. 5-18).
Dicho m ovim iento puede estimularse con gran eficacia haciendo incidir la
luz sobre un cristal ión ico tal co m o el cloruro de sodio, en el cual los iones
Na+ y C l“ serán siempre ñnpulsados en sentidos opuestos por el cam po eléc-
174
Osciladores acoplados y modos normales
Fig. 5-20. Transmisión de radiación infrarroja a través de una película del­
gada de cloruro de sodio (0,17 n). [Según R. B. Barnes, Z. Physik, 75, 723
(1932).]
trico de la onda luminosa. Según nuestro cálculo aproxim ado, es posible que
se presente una condición de resonancia entre la luz y la red a una frecuencia
del orden de 1013 H z, que corresponde a una longitud de onda del orden de
3 X 10~5 m, o sea 30¡i. Esto corresponde al infrarrojo. La figura 5-20 muestra
un elegante ejem plo de dich o tipo de resonancia, que da co m o resultado una
absorción incrementada de la luz por el cristal a longitudes de ondas en las
proxim idades de 60^. Se observó utilizando una lámina extremadamente del­
gada de cloruro
sódico
de
un espesor de sólo 10~7 m aproximadamente.
PROBLEM AS
5-7 El mejor m odo de familiarizarse con el comportamiento de los sistemas os­
cilatorios acoplados consiste en construirse uno mismo y experimentar con él en
diversas condiciones. Inténtese preparar un par de péndulos idénticos, unidos
por una pajita que puede adaptarse a diversas distancias a lo largo de los hilos
(véase esquema). Estudiar los movimientos de las oscilaciones tanto en el plano
de los péndulos (cuando se mueve uno hacia el otro o alejándose del otro) y los
movimientos perpendiculares a este plano. Procúrese medir los períodos del modo
normal y también el período de transferencia del movimiento de uno al otro y
viceversa. ¿Los resultados se ajustan a lo que se describe en el texto?
Problemas
175
(y m ip O
m
m
5-2 Se unen dos péndulos idénticos mediante un muelle de acoplamiento ligero.
Cada péndulo tiene una longitud de 0,4 m y están situados en un lugar en donde
g = 9,8 m/seg2. Estando conectado el muelle de acoplo, xse sujeta uno de los
péndulos y se encuentra que el período del otro es de 1,25 seg exactamente.
/ ^ (a) Si ninguno de los péndulos está sujeto» ¿cuáles son los períodos de los
dos nu>4os normales? /
! (b) \ ¿Cuál es el intervalo de tiempo entre dos amplitudes posibles máximas
sucesivas de un péndulo después que uno de ellos se retira lateralmente y luego
se deja en libertad?
5-3 Una masa m cuelga de un muelle de constante k. En la posición de equili­
brio estático la longitud del muelle es l. Si se retira lateralmente y luego se deja
en libertad, el movimiento subsiguiente será una combinación de (a) oscilaciones
pendulares y (b) alargamiento y compresión del muelle. Sin utilizar apenas las
natemáticas, considérese el comportamiento de este dispositivo com o un sistema
acoplado.
5-4 Dos osciladores armónicos A y B, de masa m y constantes kA y kB, respec­
tivamente, se acoplan juntos
mediante un muelle de constante kc . Hallar las fre­
cuencias normales o/ y w" y describir
los modos normales de oscilación si
¥ = ^A^B'
5-5^ Se acoplan dos osciladores idénticos sin amortiguar A y B, cada uno de
ellos de masa m y frecuencia natural (angular) w0, de tal m odo que la fuerza de aco­
plo ejercida sobre A es am{d2x^jdt\
y la fuerza de acoplo ejercida sobre B
es am(d2xA/dt2), siendo a una constante de acoplo de magnitud menor que 1. Des­
cribir los modos normales del sistema acoplado y hallar sus frecuencias.
5-6 Dos masas iguales situadas sobre una vía horizontal de aire sin ningún ro­
zamiento, se mantienen entre soportes rígidos mediante tres muelles idénticos,
como se indica en la figura. Los desplazamientos a partir del equilibrio sobre la
línea de los muelles están descritos mediante las coordenadas xA y xB. Si una de
tas masas se sujeta, el período T (= 2n-/a>) correspondiente a una vibración com ­
pleta del otro es 3 seg.
1 76
Osciladores acoplados y modos normales
A
B
(a) Si ambas masas están libres, ¿cuáles son los períodos de los dos hk
dos normales del sistema? Dibujar gráficos de xA y xB en función de t en cada
modo. Para t = 0, la masa A está en su posición de reposo normal y la masa B
se ve empujada lateralmente a una distancia de 5 cm. Las masas se dejan en
libertad estando en reposo en ese instante.
(b) Escribir una ecuación para el desplazamiento subsiguiente de cada masa
en función del tiempo.
(c) ¿Qué duración (en segundos) caracteriza la transferencia periódica del
movimiento de B a A y vuelta de nuevo a B? Después de un ciclo, ¿se reproduce
exactamente la situación que teníamos para t = 0? Explicar.
/5-7
Se conectan dos objetos, A y B, cada uno de ellos de masa m, mediante
muelles, según se ve en Ja figura. El muelle de acoplo tiene una constante kc9
y los otros dos tienen una constante k0. Si se sujeta B, A vibra a una frecuencia
de 1,81 seg-1. La frecuencia v, del m odo normal inferior es 1,14 seg-1.
(a)
Comprobar personalmente que las ecuaciones del movimiento de A
y B son:
(b)
Poniendo to0 = \ZkJm, demostrar que las frecuencias angulares
de los modos normales vienen dadas p or:
vi
=
ojo,
0)2
=
[ o) q 2
+ (2kc/m)]x/2,
y que la frecuencia angular de A cuando se sujeta B(xb = 0 siempre) viene dada
por
o)a = [too2 4- (kc/m) ] 1/2
(c) Utilizando los datos numéricos anteriores, calcular la frecuencia espera­
da (v2) del m odo normal más alto. (El valor observado fue 2,27 seg-1.)
(d) A partir de estos mismos datos calcular el cociente k j k 0 de las dos
constantes de los muelles.
y w2
Problemas
1 77
5-8 (a) Se aplica una fuerza F en el punto A de un péndulo, según está indi­
cado. ¿Para qué ángulo 0 (<^ 1 radian) se presenta la nueva posición de equili­
brio? ¿Qué fuerza F', aplicada a m, produciría el mismo resultado?
Dos péndulos idénticos compuestos de masas iguales montados sobre vari­
llas rígidas y sin peso se disponen del m odo indicado. El acoplamiento lo pro­
porciona un muelle ligero (no deformado cuando ambas varillas son verticales
y colocado en la situación indicada).
(b) Escribir las ecuaciones diferenciales del movimiento para oscilaciones de
pequeña amplitud en función de 01 y 02. (Despreciar el amortiguamiento.)
(c) Describir el movimiento de los péndulos en cada uno de los modos
normales.
(d) Calcular las frecuencias de los modos normales del sistema.
[Indicación: Puede explotarse la simetría del sistema con ventaja, particu­
larmente en las partes (c) y (d), en tanto que las respuestas obtenidas de este
modo sean comprobadas en las ecuaciones.]
p-9\ La molécula de C 0 2 puede asemejarse a un sistema constituido por una
mása central m 2 unida por muelles iguales de constante k a dos masas m 1 y mz
(siendo m3 = m^.
O 16
w,
c 12
k
m2
O16
k
m3
(a) Plantear y resolver las ecuaciones para los dos m odos normales en los
cuales las masas oscilan a lo largo de la recta que une sus centros. [La ecuación
del movimiento para ra3 es mz(d2xz/dt2) = — k(xz — x2) y pueden escribirse ecua­
ciones semejantes para mx y ma.]
(b) Haciendo mx — mz — 16 unidades, y m 2 = 12 unidades, ¿cuál será el
cociente de las frecuencias de ambos modos, admitiendo que fuese aplicable esta
descripción clásica?
178
Osciladores acoplados y modos normales
Se unen dos masas iguales según se indica mediante dos muelles de cons­
tante fc. Considerando sólo el movimiento vertical, demostrar que las frecuencias
angulares de los dos m odos normales viene dada por w2 = (3 ± */5)k/2m y que,
por tanto, el cociente entre las frecuencias de los m odos normales vale
(V 5 + 1)/(V5 — 1). Hallar el cociente de amplitudes de las dos masas en cada
m odo separado. (Nota: N o es necesario considerar las fuerzas gravitatorias que
actúan sobre las masas, porque son independientes de los desplazamientos y, por
tanto, no contribuyen a las fuerzas restauradoras que causan las oscilaciones. Las
fuerzas gravitatorias simplemente originan un desplazamiento de las posiciones
de equilibrio de las masas y no hay que hallar cuál es el valor de dicho despla­
zamiento.)
5 -H El esquema muestra una masa M* sobre un plano sin rozamiento unida a un
soporte O mediante un muelle de rigidez fc. La masa M 2 está sujeta a la M x me­
diante una cuerda de longitud l.
sen 6 ^ tan 0
x2
Xi
T ~
y partiendo de F — ma, deducir la ecuación del movimiento de Afj y M 2:
M\X\ = —kx i + M 2 ~ (X 2 — x i)
M
2X 2
=
—
(X2 — ATl)
Problemas
179
(b) Para Mj = M 2 = M , utilizar las ecuaciones para obtener las frecuen­
cias normales del sistema.
(c) ¿Cuáles son los movimientos de m odo normales para M l = M 2 = M
y gl > fc/M?
Se unen dos masas iguales m a tres muelles idénticos (constante del mue­
le k) sobre una superficie horizontal sin rozamiento (véase figura). Un extremo del
sistema está fijo; el otro se impulsa hacia adelante y hacia atrás con un despla­
zamiento X = X 0 eos (*>t. Hallar y dibujar esquemáticamente gráficos de los des­
plazamientos resultantes de ambas masas.
>12
A
B
—O —'W ülP —O —'WTO
nRRRT
k
m
k
m
k
Se sujeta por sus extremos a dos soportes fijos una cuerda de longitud 31
y masa despreciable. La tensión en la cuerda
es T.
( a ) / S e sujeta una partícula de masa m a una distancia l de un extremo de
la cuerda, com o está indicado. Escribir la ecuación para las oscilaciones trans­
versales pequeñas de m y hallar el período.
(b) Se une una partícula adicional de masa m a la cuerda com o se ve en
la figura, dividiéndola en tres segmentos iguales cada uno de ellos con tensión T.
Dibujar el aspecto de la cuerda y la posición de las masas en los dos modos
normales separados de las oscilaciones transversales.
(c) Calcular w para aquel m odo normal que tenga mayor frecuencia.
5-13
m
m
o
i
l
K n = Cn sen
5-14
Para adquirir cierta familiaridad con la ecuación
pmr
ip n
T í)
[Ec. (5-26) del texto], que describe las amplitudes de las partículas unidas en
los diversos m odos normales, tomar el caso N = 3 y tabular, en un esquema
3 X 3, los valores numéricos relativos de las amplitudes de las partículas (p = 1,
2, 3) en cada uno de los m odos normales (n = 1, 2, 3).
180
Osciladores acoplados y modos normales
H-
A *—
1
o —
o —
O -------
m
m
m
5-15 Se sujeta a puntos fijos A y B, separados una distancia 4 l, una cuerda elás­
tica de masa despreciable, estirada hasta tener una tensión T, la cual lleva tres
partículas de masa m igualmente espaciadas, según se indica.
(a) Suponer que las partículas tienen desplazamientos transversales pe­
queños yv y 2 e yz, respectivamente, en un instante dado. Escribir la ecuación di­
ferencial del movimiento de cada masa*
(b) El aspecto de los modos normales puede hallarse dibujando las curvas
sinusoidales que pasan por A y B. Dibujar estas curvas de m odo que sirvan para
hallar los valores relativos y los signos de A lt A 2 y A z en cada uno de los posibles
modos del sistema.
(c) Poniendo y t = A x sen « í, y z = A 2 sen wí en las ecuaciones (a), utilizar
los cocientes A 1 : A 2 :A z de la parte (b) para hallar las frecuencias angulares de
los m odos separados.
5-16 Considerando un sistema de N osciladores acoplados asociados a una fre­
cuencia o) < 2w0 (es decir, y 0 = 0, y N+1 = h eos wí)* Hallar las amplitudes resultan­
tes de los N osciladores. [Indicación: Las ecuaciones diferenciales del movimiento
son las mismas que en el caso sin impulsar (sólo son diferentes las condiciones
límites). De aquí que pueda ensayarse A v = C sen ap, y determinar así los va­
lores necesarios de a y C. (Nota: Si w < 2w0, a es com plejo y las ondas se amor­
tiguan exponencialmente en el espacio.)]
5-17 Se demuestra en el texto que la frecuencia del m odo normal elevada de
una línea de masas puede hallarse considerando una partícula cerca de la mitad
de la línea, rodeada por partículas que tienen desplazamientos casi iguales y de
sen tid o op u e sto que el de la p rop ia partícula. D em ostrar que pu ede calcularse
la misma frecuencia considerando la primera partícula de la línea, sometida a la
tensión en los segmentos de la cuerda que lo unen al extremo fijo y a la par­
tícula 2 (véase la figura 5-19 y el estudio relacionado con ella).
A h o ra n os v a m o s a o cu p a r d e u na d e las ram a s m á s a n ­
tigu a s de las M a tem á tica s, la te o r ia d e la cu erd a v ib ra n te,
qu e tie n e sus ra ic es e n las id ea s d el m a te m á tic o g rieg o
P itá gora s.
norbert
w ie n e r
,
I A m a M a th e m a tic ia n (1956)
6
Modos normales de
sistemas continuos.
Análisis de Fourier
n u estras
d is c u s io n e s
en este capítulo no se limitarán a las cuerdas vibrantes.
Si fuese así se podría preguntar cuál es su im portancia real. Después de todo,
¿quién, fuera de una cierta parte de la com unidad de los m úsicos, depende de
las cuerdas tensas com o m edio de vida? Sin embargo, a través de un análisis
completo de este sistema físico casi absurdamente elem ental, a
través de la
comprensión de su dinámica, de sus vibraciones naturales y de sus respuestas
a frecuencias diferentes ,
estam os introduciendo unos resultados y conceptos
que tienen contrapartida en tod o el reino de la física, incluyendo la teoría
electromagnética, la m ecánica cuántica y tod o lo demás. N o estamos intere­
sados fundamentalmente en el estudio de la cuerda por sí mismo, sino porque
proporciona un punto de partida casi ideal. En particular, en cuanto a lo que
a la mecánica se refiere, podem os pasar desde el análisis de la cuerda al com ­
portamiento vibratorio de casi cualquier sistema que pueda considerarse con
estructura continua. Finalmente, a una escala m icroscópica suficientemente pe­
queña este análisis debe fallar; com o sabemos, ténem os que volver de nuevo
a la descripción de cualquier parte de material co m o com puesta por un gran
número de partículas discretas, con
una interacción
m uy intensa entre sí.
Éste fue el tema del capítulo 5. Pero cualquier elem ento n o material, suficiente­
mente grande com o para ser visto o tocado, es prácticam ente homogéneo y
continuo, de m od o que es aconsejable, y en la mayor parte de los casos jus­
tificable, hacer un análisis sencillo de su com portam iento desde este punto
de vista m acroscópico. D ich o análisis, entonces, será la base de todo lo que
hagamos en el presente capítulo.
183
184
Modos normales de sistemas continuos. Análisis de Fourier
V IB R A C IO N E S U B R E S D E C U E R D A S A L A R G A D A S
C om o decía la cita del principio de este capítulo, el estudio de las cuerdas vi­
brantes tiene una larga historia. Naturalmente, la razón consiste en el empleo
musical, desde tiem po inmemorial, de cuerdas tensas. Se dice que Pitágoras
había observado cóm o la división de una cuerda tensa en dos segmentos daba
sonidos agradables si la longitud de dichos segmentos estaban en una razón
simple. N os interesan aquí, sin embargo, no los efectos musicales sino el hecho
m ecánico básico de que una cuerda, con am bos extrem os fijos, tiene un nú­
m ero de estados de vibración natural bien definidos, c o m o se ve en la figura 6-1.
D ichos estados se denom inan vibraciones estacionarias, en el sentido de que
cada punto de la cuerda vibra transversalmente con un m ovim iento armónico
Fig. 6-1. Vibraciones de una cuerda en diversos modos simples (n = 1, 2, 3,
5). (Según D. C. Miller, The Science o f Musical Sounds, Macmillan, Nueva
York , 1922.)
Vibraciones libres de cuerdas alargadas
185
simple de amplitud constante, cuya frecuencia de vibración es la misma para
todas las partes de la cuerda. Dichas vibraciones estacionarias representan lo
que se denominan m od os norm ales de la cuerda. En tod os ellos, excepto en el
inferior, existen puntos en que los desplazamientos perm anecen nulos en todo
instante. Éstos son los n od os; las posiciones de amplitud máxima se denominan
antinodos. U no puede pensar así que estos estados básicos de vibración son
estacionarios en el sentido adicional de que los n odos perm anecen en puntos
fijos sobre la cuerda. Esto se ve de m od o especialmente claro en la figura 6-1,
debido a que las fotografías se han tom ado con exposición.
Consideremos ahora la dinámica de dichas vibraciones. Supondrem os que
la cuerda tiene una longitud L, con sus extrem os fijos en los puntos x = 0,
x = L. Supondrem os además que la cuerda posee una densidad lineal unifor­
me (masa por unidad longitud) igual a p. y que está som etida a una tensión T. 1
Supongamos que en algún instante la configuración de cierta parte de la cuer­
da sea co m o la indicada en la figura 6-2. En el capítulo 5 consideram os el
problema equivalente para partículas puntuales unidas por una cuerda sin
masa y dem ostram os entonces que, con u n a . buena aproxim ación, la tensión
permanece invariable cuando el sistema se deform a desde ~su configuración de
equilibrio. A sí pues, para el caso de un segm ento corto de la cuerda de lon­
gitud Ax, la fuerza neta que actúa sobre él viene dada por
F u — T sen (i9 + A0) — T sen 9
F x = T eos (9 -f A9) — T eos 9
x
x + Ajc
Fig. 6-2. Diagrama de fuerzas de las vibraciones transversales de un segmento
corto de una cuerda con masa.
1 En este capítulo
(bración.
el sím b olo
T no
se
empleará
para
designar
el p eríodo
de
una vi
18 6
Modos normales de sistemas continuos. Análisis de Fourier^
siendo 0, 0 -f A0 las direcciones de las tangentes a la cuerda en los extremos
del segmento, es decir, en x y x + Ax.
Estamos adm itiendo que el desplazamiento transversal y es pequeño, de
m odo que 0 y 0 + A# son ángulos pequeños. En este caso te n e m o s:
Fy ~ T A 6
Fx « 0
La ecuación que rige el m ovim iento transversal del segm ento es, pues (muy
aproxim adam ente)
TAS = (txAx)ay
(6-1)
♦
A h ora bien, 19 encierra la variación de y con x para un valor dado del
tiem po t, y au im plica la variación de y con t para un cierto valor de x. Por
ello, al escribir la ecuación (6-1) en función de x, y , t hem os de utilizar deri­
vadas parciales, resultando así la relación siguiente:
taftÓy
g
~dx
d2tf
sec2 <9Aó1— — — Ax
cJx2
Pero s e c 0 * * * l, y así
También
di2
A sí pues, la ecuación (6-1) se transform a en
oz 2 y
T d
oz 2 v
Ax = flA xJ
Por lo tanto,
i2
i2
o y __ M
dx 2 ~ T dt2
(6- 2)
A partir de esta ecuación resulta claro que T/fx tiene la dimensión del
cuadrado de una velocidad y ésta resultará ser la velocidad con que las ondas
progresivas recorren una cuerda larga que tengan estos valores de p. y de 1 .
Sin embargo, no considerarem os este aspecto de las cosas hasta el capítulo 7,
Por el m om ento, definirem os simplemente la velocidad v mediante la ecuación
1/2
(6-3)
Vibraciones libres de cuerdas alargadas
1 87
y volvemos a escribir entonces las ecuaciones (6-2) en la forma siguiente más
compacta:
ti
*2 = i
dx 2
V2 dt2
(6-4)
Buscaremos ahora la solución de esta ecuación correspondiente al tipo de si­
tuación representado físicam ente mediante una vibración
estacionaria. Esto
significa que tod os los puntos de la cuerda están m oviéndose con una depen­
dencia temporal de la form a eos o>í, pero que la am plitud de este m ovim iento
es una función de la distancia x de este punto al extrem o de la cuerda. (Nues­
tra dependencia tem poral admitida exigirá que cada punta de la cuerda sea
estacionaria instantáneamente para t = 0. Si esto no fuese así cabría intro­
ducir un ángulo de fase inicial.)
Así pues, admitamos
y(x, t) = f (x) eos ü)t
(6-5)
Esto nos da entonces
— = — ÜJ f ( x ) COS OJt
ot¿
z 2y
o
J2f
d
f
dx 2 ~~
° 0S ^
(Obsérvese que, co m o f es, por definición, una función solam ente de x, pod e­
mos escribir d¿f/dx2, en lugar de una derivada parcial.) Sustituyendo estas de­
rivadas en la ecuación (6-4) nos da e n to n ce s:
,2,
2
df _
dx 2
v2 J
r
Pero ésta es la ecuación diferencial familiar que satisface una función seno
o coseno. R ecord an d o que hem os definido x = 0 co m o correspondiente a uno
de los extrem os fijos de la cuerda, con desplazamiento nulo en tod o instante,
sabemos que una solución aceptable debe tener la form a
f ( x ) = /is e n ^ 0^ )
(6-6)
Pero tenemos la con dición lím ite adicional de que el desplazamiento es siem­
pre cero para x = Z. Por tanto, se cum plirá también
A sen f
= 0
Por tanto,
—— — mr
v
(6-7)
188
Modos normales de sistemas continuos. Análisis de Fourier
siendo n un núm ero entero positivo cualquiera.
Es conveniente introducir el núm ero de ciclos p or unidad de tiempo, v,
igual a
w/2 tt.
Las frecuencias de las vibraciones estacionarias permitidas vienen
dadas así por
68
( -)
donde n, de acuerdo con este cálculo, puede ser 1, 2, 3, ... hasta infinito.1
Un m od o muy expresivo de describir la form a de la cuerda en cualquier
instante y en cualquier m od o particular n, se obtiene teniendo en cuenta que
la longitud total de la cuerda debe acom odarse exactam ente a un número en­
tero de curvas mitad de una sinusoide, según indica la ecuación (6-7). Por lo
tanto, podem os definir una longitud d e onda, l n, asociada con el m od o n, tal
que
2L
(6-9)
n
Entonces podem os poner
o) _
V
nir
2 tt
Án
Por tanto, teniendo en cuenta la ecuación (6-6), la form a de la cuerda en d
m odo n está caracterizada por la ecuación sigu ien te:
( 6- 10)
y la descripción com pleta del m ovim iento de la cuerda es, pues, la siguiente:
27 i X
y n(x, t) = A n sen —;— eos <ant
( 6 - 11)
en donde
C om o todas las frecuencias posibles de una cuerda dada tensa son, de
acuerdo con el análisis anterior, sim plem ente m últiplos enteros de la frecuen­
cia más baja posible, wlf se tiene un interés particular en este m od o básico,
el fundamental. La frecuencia de este m od o fundamental es la que define
lo que con ocem os co m o tono característico de una cuerda vibrante y, por lo
1 La forma esencial de esta dependencia funcional de v con I , I
por Galileo.
y ¡i fue descubierta
Superposición de modos sobre una cuerda
18 9
tanto, la que define para n osotros la tensión necesaria para obtener una nota
determinada de una cuerda con masa y longitud dada.
Ejemplo.
La cuerda E de un violín ha de ajustarse a una frecuencia de
640 Hz. Su longitud y masa (desde el puente a su extrem o) son 33 cm y 0,125 g,
respectivamente. ¿Q u é tensión se necesita?
A partir de la ecuación (6-8) tenem os
1/2
y pondremos /* igual a m/L, siendo m la masa total. Esto nos da entonces
T — 4mLvi2
= 4(1.25 X 10~4)(0,33)(6,4 X 102) 2
(MKS)
« 68 N
Esto es, por tanto, una tensión de 15 Ib.1, aproxim adam ente.
La tensión total de las cuatro cuerdas de un violín es de alrededor de 250
newtons.
SUPERPOSICIÓN DE M O D O S S O B R E U N A C U E R D A
En un instrumento de cuerda com o un piano, la cuerda se golpea una vez en
cierto punto escogido. En el m om ento del im pacto y durante un breve ins­
tante posterior, la cuerda se ve bruscam ente empujada hacia un lado de dicho
punto y su form a no se parece a una cuerda sinusoidal. U n p o co después, sin
embargo, se establece un m ovim iento que es una superposición sencilla del
modo fundamental y algunos de sus arm ónicos inferiores. Es un hecho físi­
camente muy im portante que estas relaciones pueden presentarse simultánea­
mente y, para tod os los efectos, independientem ente las unas de las otras.
Esto puede suceder debido a que las propiedades del sistema son tales que
la ecuación dinámica básica (6-2) es lineal, es decir, solam ente se presentan
las primeras potencias del desplazam iento y en tod os los puntos de la misma.
Si llamamos y u y 2, y :i, etc., a las diversas soluciones individuales de esta ecua­
ción, correspondientes a los diversos arm ónicos individuales, entonces su suma
satisface también la ecuación básica y, por lo tanto, el m ovim iento descrito
puede considerarse co m o resoluble en estas com ponentes individuales. La fi-
* Diez newtons «=; 2,2 Ib.
190
Modos normales de sistemas continuos. Análisis de Fourier
Fig. 6-3. Vibraciones compuestas de una cuerda formada por combinaciones
de modos simples. (Según D. C. Miller, The Science o f Musical Sounds, Macmillan, Nueva York , 1922.)
gura 6-3 muestra algunos ejem plos de dichas vibraciones com puestas o super­
puestas. Puede mostrarse su independencia mutua deteniendo rápidamente el
m ovim iento transversal de la cuerda en un punto que sea un n od o para al­
gunos arm ónicos pero n o para otros. Aquellas vibraciones com ponentes para
las que el punto es un n odo continuarán sin verse afectadas;
las otras se
apagarán. A sí pues, por ejem plo, si una cuerda de piano se hace sonar fuer­
tem ente pulsando la tecla y ésta se mantiene pulsada, si luego la cuerda se
toca en un tercio de su longitud, todas las vibraciones com ponentes se detie­
nen excepto los múltiplos tercero, sexto, etc., de las frecuencias fundamen­
tales.
Este principio de independencia y superposición para diversos m odos nor­
males del sistema vibrante tiene una importancia fundamental para el análisis
de perturbaciones com plicadas;
realmente, es el fundam ento del análisis de
Fourier. El fenóm eno tal y com o se manifiesta en una cuerda vibrante fue
estudiado claramente por primera vez por Daniel Bernouilli en 1753. Debido
a que una cuerda real n o se ve en la práctica perfectam ente descrita mediante
nuestras ecuaciones idealizadas, la independencia de los m odos separados no
será realmente com pleta, aunque en alguna circunstancia puede suceder así.
Vibración armónica forzada de una cuerda tensa
191
VIBRACIÓN A R M Ó N IC A F O R Z A D A D E U N A C U E R D A T E N S A
Como hem os visto anteriorm ente, las vibraciones libres de uría cuerda con am­
bos extremos rígidamente fijos está/lim itada estrictam ente a la frecuencia fun­
damental y a sus m últiplos enteros. Pero ahora, com o hicim os en el capítu­
lo 4 para el caso de un oscilador arm ónico simple, considerarem os la respuesta
de la cuerda a una fuerza impulsora periódica. A fin de tene> una discusión
simple y bien definida, im aginem os que el extrem o de la cuerda x = L perma­
nece fijo firmemente, pero que el extrem o en x = 0 está vibrando transver­
salmente con una cierta frecuencia angular arbitraria y con una amplitud B.
C om o en la ecuación (6-5), supondrem os una solución estacionaria de la
forma
y(x, t) = f ( x ) eos ü)t
pero som etida ahora a las condiciones siguientes:
y(0, i) = B eos o)t
y (L , 0 = 0
La ecuación básica del m ovim iento es todavía la ecuación (6-4), de m odo que
f(0 debe ser una función sinusoidal de x. Escribirem os, por tanto,
f(x) = A sen (K x 4- a)
De la ecuación (6-4) resulta K = w/u, de m od o que
f(x) = A s e n (^ +
Esto se parece a la ecuación (6-6) excepto en que tiene un parámetro ajustable a. A partir de la con d ición lím ite en x = L, tendfem os entonces
(f+■)
sen l
Por lo tanto,
oíL
—
F o t) = 0
-
+
a =
P tt
V
siendo p un entero. A partir de la con d ición lím ite para x = 0, se tiene
B = A sen a
Por lo tanto,
b
A =
sen ^ p x — — ^
<6- 12)
192
Modos normales de sistemas continuos. Análisis de Fourier
Lo que im plica este resultado es que, para una am plitud dada del desplaza­
m iento forzado en el extrem o terminal, la respuesta de la cuerda com o un
todo será m uy grande siempre que la frecuencia im pulsora esté cerca de una
de las frecuencias naturales definidas por la ecuación (6-8). Realm ente, de
acuerdo con la ecuación (6-12), la am plitud im pulsora resultará infinitamente
grande a las frecuencias naturales exactas, y la situación a frecuencias próxi­
mas será p o co más o m enos co m o la indicada en la figura 6-4. Sin embargo,
sabemos que la existencia de las fuerzas am ortiguadoras eliminarán estos in­
finitos no reales y que el com portam iento real sim plem ente será que A/B
para o>
1
o>n.
La característica más im portante del resultado anterior es que puede ob­
tenerse una gran respuesta forzada con una pequeña am plitud impulsora ha­
ciendo que la fuerza im pulsora actúe en un punto que esté p róxim o a un nodo
de una de las vibraciones naturales. Sin em bargo, com o es evidente, no puede
ser exactamente un n od o, porque p or definición no se puede im poner ningún
m ovim iento allí. Adem ás, en cualquier sistema real, el tipo de respuesta de
gran amplitud indicada en la figura 6-4 se produce sólo después de una am­
pliación de la fuerza im pulsora periódica pequeña en varios períodos de vi­
bración. N o existe ningún procedim iento m ágico de alimentar instantáneamen­
te en el sistema la gran energía representada por la am plitud resonante de la
vibración. Se parece m ucho más al crecim iento lento de una oscilación forza­
da y amortiguada durante la etapa transitoria, c^m o indicábam os en la figu­
ra 4-11 (c).
Fig. 6-4. Configuraciones de una cuerda que se hace vibrar un poco por de­
bajo y por encima de la frecuencia natural de un modo normal de vibración.
[Cualquiera que lea esto y que esté fam iliarizado también con el diseño
de pianos puede estar un p o co confu ndido por este m od o de accionar o im­
pulsar una cuerda en un n od o o p róxim o a él para obtener una respuesta de
Vibraciones longitudinales de una varilla
193
resonancia. Porque en la práctica los martillos del piano golpean en la cuerda
a una distancia que es aproxim adam ente un séptim o de su total longitud. Y el
objeto y el efecto conseguido consiste en suprimir el arm ónico séptimo cuyo
sonido no es agradable, y no para resaltarlo, co m o el análisis anterior podría
implicar. El punto interesante consiste en que cualquier desplazamiento no
nulo en un punto que sea precisam ente el n od o de un arm ónico determinado
no representa, cuando se aplica energía mediante un impulso simple (com o
término opuesto a un im pulso periódico), un m edio de excitar dicha vibración
particular natural del sistema.]
H abiendo visto alguna vez las características básicas de las vibraciones li­
bres y forzadas de una cuerda, volvam os ahora a algunos otros sistemas que
presentan el m ism o tiem po de com portam iento.
V IB R A C IO N E S L O N G IT U D IN A L E S DE U N A V A R IL L A
Cuando se golpea el extrem o de una varilla metálica, se producen vibraciones
de frecuencias muy altas pero audibles. Si la varilla está adecuadamente suje­
ta, por
ejemplo,
mediante una m ordaza delgada en su punto m ed io ,
las vi­
braciones persisten durante bastante tiem po. La Q del sistema, especialmente
en el caso de la más baja d^- las frecuencias naturales posibles, es bastante alta
y pueden, en algunos casos, dar com o resultado un ton o sorprendentemente
puro.
En el capítulo 3 vim os brevem ente las propiedades de este tipo de sistema
en conexión con el problem a de un cuerpo unido a un muelle de gran masa.
Allí com probam os que la frecuencia natural de vibración debe ser proporcio­
nal a \¡ Y¡f>, siendo Y el m ódulo de Y ou ng y /> la densidad. A hora considerare
mos el caso con más cuidado.
El problem a es realmente m ucho más parecido ál de la cuerda tensa, pero
como verem os es bastante difícil de visualizar debido a que el desplazamiento
es en la misma dirección que x y no transversal a x. Utilizarem os el símbolo ;
para designar el desplazamiento a partir de la posición de equilibrio de cada
partícula de la variable que estaba inicialmente a una distancia x de cierta
sección que se supone fija (o permanentemente desacelerada). Consideraremos
entonces la ecuación del m ovim iento de esta fina lámina de la varilla con te­
nida entre x y x + A.v, que está en el estado no perturbado [véase figura 6-5 (a)].
194
Modos normales de sistemas continuos. Análisis de Fourier
x x+
Ax
00
Fig. 6-5. (a) Varilla de masa apreciable. (b) La misma varilla después de un
desplazamiento longitudinal bajo condiciones no estáticas. La sección sombrea­
da contiene la misma cantidad de materiales que la parte sombreada de (a).
Entonces, co m o se indica en la figura 6-5 (b) (en la cual, naturalmente, los
desplazamientos están m uy exagerados), el material que se muestra sombreado
es primeramente com p rim id o y luego estirado. Se ve em pujado en sentidos
opuestos por las fuerzas Fx y F %. A h ora bien, el valor de F 1 depende de la va­
riación relativa de las separaciones interatómicas en x. Análogam ente, este
valor depende de la variación fraccionaria o relativa de separación en x + Ax.
Estas fuerzas serán en general ligeramente diferentes. C om o resultado de la
deform ación, sin em bargo, tod o el material de nuestra lámina está en un es­
tado de tensión y podem os definir un valor m edio de esta tensión en función
de la deform ación total. La longitud de la lámina (originalm ente Ax) ha aumen­
tado en A|. Por lo tanto,
deform ación m edia =
^ ■
Ax
tensión m edia = Y — ^
Ax
A h ora nos daremos cuenta de que podem os definir la tensión en un valor
particular de x com o el valor de Y(d£/dx) en dich o p u n to .1 Y entonces, para
un punto Ax bastante alejado, tendrem os:
/
.
^
d(tensión)
(tensión en x + Ax) = (tensión en x ) 4---------Ax
ox
1, Obsérvese la derivada parcial, debido a que la tensión en un punto x dado varía
también con t.
Vibraciones longitudinales de una varilla
195
Así pues, si el área de la sección recta de la varilla es a, tenemos
El = a Y
dx
F2 = a Y ^ - + a Y ^ \ A x
dx
OX%
2
y así
F2 - Fi = olY ^ A x
dx2
Esto termina la parte conceptualm ente difícil del cálculo.
Apliquem os ahora la ley de N ew ton al material com pren dido entre $ y
x + Ax, Si la densidad es p, su masa es pa Ax. Su aceleración es la segunda de­
rivada respecto al tiem po del desplazamiento, que coin cid e con ? en el lími­
te de valores m uy pequeños de Ax [véase figura 6-5 (b)]. De aquí resulta
^2l
aY —
Ij2l.
A x-paA x —
o sea
=
dx2
= L Ú .
Y dt2
(6-13)
V2 dt2
K
J
con v = (Y /p )1/2. E sto es realmente semejante a la ecuación (6-2) para la cuer­
da tensa y podem os empezar a buscar soluciones del tipo
- £(*, O = / ( * ) eos coi
(6-14)
Sin embargo, existe una im portante diferencia de con d icion es límites. En la
mayoría de las circunstancias no tendrem os am bos extrem os de la varilla fijos.
Esto puede disponerse así, pero norm alm ente la varilla estará fija bien por un
extremo, dejando el otro extrem o libre, o en el centro, en cuyo caso ambos
extremos están libres.
Considerem os ahora el caso en que un extrem o está fijo. Este caso casi
coincide con nuestra consideración anterior y prim itiva de la oscilación de
un muelle co n masa (capítulo 3). Supongam os que el extrem o fijo coincide con
x = 0, y el extrem o libre corresponde a x = L. Sabemos que la ecuación (6-13)
implica una variación sinusoidal de l con x en cualquier instante, y así se pue­
de escribir
f(x ) =
(6-15)
como en la ecuación (6-6).
Lacon d ición x = L , debe expresar el h ech o
de
bre. En térm inos
tensión en ese
físicos esto significa que la
que éste es un extrem o li­
punto es cero.
M odos normales de sistemas continuos. Análisis de Fourier
196
Ningún material adyacente está tirando del extrem o de la varilla en dicho
punto, e inversamente tam poco existe ningún material adyacente que haya
de ser acelerado. De aquí que, para x = L, resulte
F = ccY P = 0
ox
Según las ecuaciones (6-14) y (6-15), esto significa
c°s ( ^ ) = o
o bien,
coL
= (n - J)7r
(6-16)
siendo n un entero p o s itiv o .1 Las frecuencias naturales de la varilla vienen
dadas así por
(n Vn
=
2L
|)i?
* “
2L
4 /t A 1 /2
.
.
(6-17)
U tilizando la con d ición dada por la ecuación (6-16), se puede ver que la
longitud de la varilla debe acom odar un núm ero entero de cuartos de longitud
de onda de curvas sinusoidales. Los tres m odos inferiores se muestran esque­
máticamente en la figura 6-6, pero hay que recordar que los desplazamientos
son realmente longitudinales y no transversales.
Fig. 6-6. Modos normales longitudinales de una varilla con masa apreciable
sujeta en un extremo . Para mayor claridad se han representado los desplaza­
mientos longitudinales como si fuesen transversales.
1 El empleo de (n —
modos 1, 2, 3, etc.
en lugar de (n + \)tz en la Ec. (6-16) nos permite numerar los
Vibraciones de columnas de aire
197
El m od o inferior de una varilla de este tipo, fija por un extremo, tiene una
frecuencia que viene dada por
1/2
vi = — I — J
(6-18)
Supóngase, por ejem plo, que tenem os una varilla de alum inio de 1 m de
larga. Tendríam os, en este caso,
6 X 1010 kg/m /seg3
/> ~ 2,7 X 103 k g/m 3
lo que daría
vi ~ 1200 Hz
Es interesante com parar nuestro resultado exacto, ecuación (6-18), con el
que obtuvim os en el capítulo 3 (véase su discusión en pág. 61). A dm itiendo
(erróneamente) que la tensión y la deform ación en cualquier instante durante
la vibración tienen los m ism os valores a lo •largo de toda la longitud de la
varilla, se encuentra la fórm ula siguiente para la frecuencia de una varilla fija
por un e x tr e m o :
(« r o n e o )
I
27T \ m )
1/2
2ttL
En lugar del coeficiente \ de la ecuación (6-18), deberíam os tener V3/2^ =
1/3,6, lo que nos originaría un valor de las frecuencias sobreestim ado en un
10 % aproximadamente.
V IB R A C IO N E S D E C O L U M N A S D E A IR E
Es evidente que una colum na de aire, o cualquier otro gas, representa un sis­
tema casi equivalente a una varilla sólida. Cada uno de ellos tiene su elastici­
dad interna y la com paración con que em pezam os en el capítulo 3 puede co n ­
tinuarse a la luz de nuestro estudio presente.
Con una colum na de aire es interesante considerar tod os los m odos que
pueden obtenerse teniendo un solo extrem o abierto o bien los dos. Un extre­
mo abierto representa (aproxim adam ente, a cualquier frecuencia) una.*condi­
ción de variación de presión nula durante la oscilación y un lugar de máxim o
movimiento del aire. Por otra parte, un extrem o cerrado es un lugar donde el
198
Modos normales de sistemas continuos. Análisis de Fourier
(b )
Fig. 6-7. (a) Los tres primeros modos normales de un tubo abierto sólo por
un extremo, (b) Los tres primeros modos normales de un tubo abierto por
ambos extremos.
m ovim iento es nulo y máxima la variación de presión. Si el aire está contenido
en un tubo con un extrem o cerrado y el otro abierto, el m od o de vibración
y la frecuencia asociada viene definido por uno de los casos representados en
la figura 6-7 (a), en los que tod os tienen un n o d o en un extrem o y un antinodo
en el otro. P ero es posible, c o m o se ve en la figura 6-7 (b), obtener otras se­
ries de vibraciones dejando am bos extrem os del tu bo abiertos, obteniendo,
por tanto, un antinodo de desplazam iento en cada extrem o. En el caso de un
tubo con una longitud dada, las frecuencias posibles son entonces todos los
múltiplos enteros de la frecuencia del m od o inferior co n un extrem o cerrado,
primer
diagrama de
la
figura 6-7. Los m últiplos impares pertenecen todos
al caso del tubo cerrado y los m últiplos pares al del tu bo abierto. Puede seña­
larse que los m od os alternados en la secuencia del extrem o abierto (aquellos
que tienen un n od o en el centro) corresponden a los m od os de extremos ce­
rrados de una colum na de longitud Lj2. Puede señalarse también que un tubo
con am bos extrem os cerrados tiene la misma serie de frecuencias naturales
Elasticidad de un gas
19 9
que uno con am bos extrem os abiertos, aunque difiere de él por el intercambio
de posiciones entre los n od os y an tin od os.1
E L A S T IC ID A D D E UN G A S
La descripción precedente nos perm ite numerar las frecuencias relativas en
una colum na de aire, pero considerarem os ahora la frecuencia absoluta para
una colum na de gas de una longitud dada. N os interesa esencialmente la eva­
luación correcta de la velocidad v que aparece en la ecuación diferencial bá­
sica, semejante a la de la ecuación (6-13). Y esto significa que debem os uti­
lizar un m ódulo de Young, F. En el capítulo 3 señalamos que el m ódulo de
un gas estaba definido por la ecuación
K = —V —
dV
y que para las oscilaciones de un gas las variaciones de p y V tenían lugar en
condiciones adiabáticas, con dicion es
en las
que no hay transferencia de ca­
lor , lo cual significa que la temperatura se eleva y desciende y que, por tanto,
la ley de Boyle no describe la relación entre p y V. A h ora haremos un cálculo
explícito.
Supóngase que un tu b o de área de sección recta A y longitud /, cerrado
por un pistón, contiene gas a una presión p y cuya densidad es p (fig. 6-8). De
acuerdo con la teoría cinética de un gas ideal, la presión viene dada por
p = ip u 2cm
(6-19)
1 Las vibraciones de las columnas de aire en los instrumentos musicales reales encie­
rran muchas sutilidades que no hemos indicado en esta explicación. Los tipos básicos de los
modos son, sin embargo, muy parecidos a los enumerados aquí. Un tubo de órgano normal
siempre tiene un antinodo en su boca (en el extremo inferior) y puede estar cerrado o abier­
to en la parte superior. Una flauta es esencialmente semejante a un tubo de órgano abierto,
pero los instrumentos con lengüeta o boquilla (incluyendo los tubos de órgano de boquilla
y los instrumentos de metal en los que los labios actúan com o lengüetas), el extremo en el
que está dicha lengüeta es aproximadamente un extremo cerrado; el otro extremo natural­
mente abierto. La lengüeta actúa com o un agente impulsor a la frecuencia de resonancia de
la columna de aire. Alimenta de energía en un punto aproximándose a un nodo de despla­
zamiento , muy parecido al caso de la cuerda que está impulsada por un extremo. Si se
desea más inform ación sobre estos puntos y otros temas fascinantes de la física de la mú­
sica, pueden recomendarse los siguientes libros com o punto de partida: Arthur Benade.
Horns, Strings and Harmony, Doubleday (Science Study Series), Nueva York, 1960; Sir
James Jeans, Science and Music, Cambridge University Press, Nueva York, 1961; Jess J.
Josephs, The Physics o f Musical Sound, Van Nostrand (Momentum Books), Princeton, N.J.,
1967; John Backus, The Acoustical Foundations of Music , W. W. Norton, Nueva York, 1969.
200
Modos normales de sistemas continuos. Análisis de Fourier
Fig. 6-8.
Tubo con un pistón.
en donde v2cm es la velocidad cuadrática media de las m olécu la s.1 Si la masa
total del gas en el tubo es m, podem os volver a escribir la ecuación (6-19) del
m odo siguiente:
m
P =
3A l
v cm
Y esto puede escribirse de un m od o más sencillo si introducim os la energía
cinética total de traslación, E k9 de todas las partículas:
Ek=
i m v 2cm
Sustituyendo este valor, encontram os
2
P
Ek
3A l
(6- 20)
Considerem os ahora un m ovim iento del pistón que produzca un cam bio de
presión en toda la colum na de gas, de tal m od o que el trabajo realizado sobre
el gas por el pistón se almacena dentro del gas, representando así una varia­
ción de su energía interna. La fuerza necesaria para prodúcir una compresión
es esencialmente igual a pA , de m od o que el trabajo realizado sobre el gas,
com o consecuencia de una variación de longitud, M, de la colum na de gas,
viene dada por
AW = -pA M
y así es positiva si M es negativa. Si adm itim os que este trabajo se emplea
exclusivamente en aumentar la energía cinética de traslación de las moléculas,
A Ek = —pAhd
1 El sufijo cm significa raíz cuadrática media.
( 6- 21)
201
Elasticidad de un gas
Sin embargo, la variación de longitud M viene acompañada por variaciones de
p lo m ism o que de E k; a partir de la ecuación (6-20) tenemos, diferenciando,
2 f 1 » «-i
3A \ l
P
A l\
/2 7
Por lo tanto,
A __ 2
P
3Al
M ( 2 Ek\
l\ 3 A l )
Pero, con la ayuda de las ecuaciones (6-20) y (6-21), esto se transforma en
Ap = é r l (- p A A l ) - T
,
(p)
Al
= -% P j
Como el área de la sección recta de la colum na de gas se supone que perma­
nece sin variar, el valor de Al/l puede igualarse al cam bio relativo de volumen
AV/V. De aquí que resulta
Ap
^adiabatica
^
~A
5
3~ ^
(6 -2 2 )
Este valor puede com pararse con el m ódu lo elástico isoterm o, que coincide
con p (véase capítulo 3). La velocidad v definida por este valor adiabático de K
viene dada, pues, por
• -
(^ r
Realmente esta expresión es válida para algunos gases, pero no para to ­
dos, y no para el aire m ism o. ¿Cuáles son las hipótesis que hem os hecho para
obtenerla? En prim er lugar, que el trabajo realizado sobre el gas en la com ­
presión se utiliza com pletam ente para aumentar la energía del gas, en lugar de
producir pérdidas en form a de calor hacia el material que lo rodea; en segun­
do lugar, que esta energía retenida dentro del gas pasa enteramente a elevar
la energía cinética de traslación de las m oléculas, en lugar de utilizarse en par­
te para aumentar la energía de sus m ovim ientos in tern os..
La primera con d ición parece que se satisface en las vibraciones acústicas
de todos los gases. Sin em bargo, la segunda con d ición es válida sólo para m o ­
léculas que realmente se com portan com o bolas de billar macizas , lo cual se
concreta en particular a los gases m on oatóm icos He, N e, A , etc. Para otros
gases, incluyendo el aire, parte del trabajo realizado sobre (o por) el gas da
como resultado variaciones en las rotaciones o vibraciones internas de las
202
Modos normales de sistemas continuos. Análisis de Fourier
moléculas. D e aquí que pai^
ma variación dada de volum en, la variación de
la energía cinética de traslación , que determina la presión de acuerdo con la
ecuación
(6 -2 0 ), es m enor que lo que implicaría nuestro cálculo, y así, com o
dijim os en el capítulo 3, la elasticidad de un gas en la vibración adiabática
puede expresarse en la form a
^adiabatioa
YP
(6"23)
en donde 1 < y ^ -y .
En el caso del aire el valor de y resulta ser próxim o a 1,40, y en este caso
a la temperatura ambiente y presión
P « 1,0 X lo 5 N /m 2
p — l,2 k g /m 3
A sí pues, por ejem plo, si tenem os un tubo de 1 m de largo, cerrado en un
extrem o, su m od o más b a jo tendría, por analogía con la ecuación (6-18), una
frecuencia dada por
=
*
- L f e V /2
4L\p/
“ 84Hz
*
E S P E C T R O C O M P L E T O DE M O D O S N O R M A L E S
En las secciones anteriores hem os estudiado las vibraciones naturales, llama­
das también m odos normales, de diversos tipos de sistemas físicos. Dejando
a un lado la diferencia de detalle, los sistemas se supusieron que tenían las
siguientes características en co m ú n :
1.
T o d o sistema se consideró que era m onodim ensional y de longitud li­
mitada.
2.
T o d o sistema se consideró que tenía una estructura continua y uni­
form e.
3.
T o d o sistema se sometía a condiciones limites en sus extremos.
4.
T o d o sistema venía controlado por fuerzas restauradoras proporciona­
les a la separación del equilibrio.
Se dedujo a partir de estas condiciones que cada sistema poseía una serie
com pleta de m odos distintos de vibración, estando cada m od o caracterizado
Espectro completo de modos normales
203
por un núm ero m odal n, una frecuencia vn y una longitud de onda kn, estan­
do esta última relacionada simplemente con la longitud L del sistema y con el
número m odal. Tam bién se vio que las frecuencias características variaban
linealmente con n para cualquier sistema dado. H agam os ahora algunas pre­
guntas sobre dichos resultados.
Prim ero:
¿C uántos m od os diferentes puede tener un sistema dado? Si se
acepta nuestro estudio del problem a, el núm ero de m od os distintos es infinito,
aunque discreto.
¿E s esto cierto?
N o del tod o.
Si se ha seguido la dis­
cusión del últim o capítulo se habrá aprendido que una línea de N partículas
interaccionantes tienen un total de N m odos norm ales diferentes de vibración
de un tipo dado (por ejem plo, transversales puros o longitudinales puros).
Por ejemplo, una varilla de 1 m de largo deberá considerarse co m o constitui­
da por líneas de átom os separados unos de otros en distancia del orden de 1 Á.
Así pues, se tendría sólo unos 1010 m odos norm ales y n o un núm ero infinito.
Pero naturalmente 1010 es un núm ero elevadísim o, casi infinito para la ma­
yoría de las consideraciones físicas. Sin embargo, el punto principal consiste
en que podem os obtener un conju nto o serie com pleta, o esp ectro, de todos
los m odos normales posibles de un sistema dado y podem os asegurar que,
permitiendo que el núm ero de m odos n tom e tod os sus valores posibles desde
1 hasta N o desde 1 hasta infinito, habrem os enum erado tod os ellos.
Segundo:
¿Cuáles son las longitudes de onda perm itidas de las vibracio­
nes estacionarias sobre un sistema uniform e m onodim ensional de longitud
dada L1 Esto depende de las condiciones límites. H em os estado prestando una
atención especial al caso en que el desplazam iento es cero en am bos extre­
mos. En este caso, com o hem os visto, la longitud de onda l n viene dada por
la relación particularm ente sencilla, ecuación (6-9):
n
Este resultado es puramente geom étrico, en el sentido de que depende sólo
de la form a de las ecuaciones de m ovim ientos, y que n o tiene nada que ver
con magnitudes tales com o la elasticidad y densidad del m edio. Es válido para
cualquier valor de n.
En tercer lugar, ¿qu é podem os decir sobre las frecuencias de los m odos
normales? ¿Se mantiene la linealidad de vn en función de n para m odos muy
elevados, del m ism o m od o que parece mantenerse con gran exactitud para
aquellas primeras docenas de arm ónicos que sólo son de importancia en los
204
Modos normales de sistemas continuos. Análisis de Fourier
fenóm enos acústicos? Deberá recordarse que, para un sistema con am bos ex­
tremos fijos teníamos el resultado especialmente , sencillo
ecuación (6-8):
no
Vn ~ 2L
donde v es una velocidad que aparece co m o únicamente definida por las pro­
piedades de inercia y restauradoras del m edio. Pero esta proporcionalidad
sencilla de vn con yi no es en general cierta. Para un sistema sencillo monodimensional, la frecuencia aumenta m enos rápidamente cada vez con el número
m odal hasta que se alcanza una frecuencia límite correspondiente al número
nodal más elevado posible, N, com o se ve en la figura 6 -9 .1 El sistema no es
capaz de vibración a ninguna frecuencia más elevada que ésta. En el tipo de
sistema m onodim ensional que hem os descrito, este fenóm eno está ligado muyi
directam ente al hech o de que el núm ero de partículas que participa en el mo­
vim iento no es infinitamente grande. Sin em bargo, la proporcionalidad de vn
con n es un resultado más bien especial y cesa de aplicarse con toda genera­
lidad cuando pasamos a sistemas bi y tridim ensionales.2 Sin embargo, sigue
siendo válida la característica im portante de que un sistema dado monodi­
mensional, con condiciones específicas lím ites, posee un conju nto numerable
(aunque infinito) de m odos naturales característicos de vibración.
Vn
Fig, 6-9. Variación de la frecuencia modal con el número de modos hasta la
frecuencia máxima posible en el caso de un sistema monodimensional. En la
zona sombreada la relación entre vn y n es casi lineal.
1 Para otra discusión, refiérase al capítulo 5.
2 Incluso en un sistema monodimensional que se considera como continuo en estruc­
tura, la relación entre las frecuencias modales resulta ser muy diferente si el sistema es
no uniforme , por ejemplo, una cuerda tensa cuyo espesor aumenta continuamente desde
un extremo al otro, o (como se indica en la fig. 5-1) una cadena uniforme que cuelga ver­
ticalmente, en la que la tensión disminuye de un modo continuo desde la parte superior
hacia la parte inferior.
Modos normales de un sistema bidimensional
205
Term inem os esta discusión general de los m od os normales dirigiendo nues­
tra atención a d os características a las que ya nos hem os referido, que son
de gran im p ortan cia:
1.
Las cond icion es lím ites, co m o se aplica en este caso a los dos extre­
mos del sistema m onodim ensional, juegan un papel decisivo en la determina­
ción del carácter de los m od os normales.
2.
Dada la linealidad de nuestras ecuaciones básicas del m ovim iento, al­
gunos, o todos, de los m od os norm ales de vibración pueden coexistir con va­
lores relativos arbitrarios de am plitud y fase.
MODOS N O R M A L E S D E UN S IS T E M A B ID IM E N S IO N A L
Volvamos ahora nuestra atención a una consideración breve de los m odos nor­
males de los sistemas que son esencialmente bidim ensionales, tales com o una
hoja elástica o una placa metálica delgada tensas. C om o en el caso de los sis­
temas m onodim ensionales, la especificación de las condiciones lím ites, ahora,
principalmente sobre los bordes ,
limita los m ovim ientos permisibles a algu­
nos casos particu lares: los m odos norm ales que son consistentes con las con ­
diciones límites establecidas. El carácter preciso de los m odos normales puede
ser un indicativo m uy adecuado de las simetrías que un sistema físico dado
posee.
El caso más sencillo a considerar es el de una membrana vibrante rectan­
gular. Por analogía co n el caso m onodim ensional de una cuerda vibrante, una
membrana rectangular con un lím ite exterior fijo tiene m odos normales que
pueden describirse mediante senos y cosenos del m o d o siguiente:
z(x, y, t) = Cnin2 s
e
n
s e n c o s
« 12 *
en donde las frecuencias de m o d o normal son :
(6-24)
\ 2 1 1 /2
Aquí
Nu/
L\^/
\^y/J
S = fuerza/unidad longitud (tensión superficial)
o- = m asa/unidad de área
nY, n2 = 1, 2, 3, ...
Lxy Ly = longitudes de los lados de la membrana.
206
Modos normales de sistemas continuos. Análisis de Fourier
Esta ecuación puede parecer bastante com pleja, p ero su estructura puede
claramente reconocerse si se com para con la ecuación para los m odos normales
de una cuerda te n sa :
en donde
El p rod u cto de las funciones seno en la ecuación (6-24) garantiza que los des­
plazamientos z sean siempre cero a lo largo de los lím ites, y el valor de w está
caracterizado por dos enteros en lugar de uno. Si se desea, podem os imagi­
nar la membrana com pleta co m o una serie com pleta de cuerdas tensas para­
lelas unas a las otras a lo largo (por ejem plo) de la dirección x, en la que todas
han de satisfacer a dicha dirección. Pero estas cuerdas deben considerarse
también c o m o conectadas lateralmente a lo largo de líneas paralelas a la di♦
rección y satisfaciendo alguna otra con d ición de longitud de onda entre y = 0
e y = Ly.
La dinámica real puede construirse considerando un trozo rectangular pe­
queño de la membrana en ciertos puntos arbitrarios x e y [véase fig. 6-10 (a)].
La tensión superficial S actúa co m o una cierta fuerza p or unidad longitudinal
ejercida en la superficie y perpendicular a cualquier línea considerada. Así
pues, si nuestro trozo tiene bordes de longitud Ax y Ay, la fuerza en el plano
xz en cada extrem o es SAy, y la fuerza en el plano yz es SAx. La masa del
trozo es o* Ax Ay. C onsiderando ahora la vista lateral en el plano xz, como
1
Ig
x
(a)
x
+
Ax
(b)
Fig. 6-10. (a) Diagrama de fuerzas para un área pequeña Ax Ay de una mem­
brana elástica. (b) Sección recta del diagrama de fuerzas en el plano xz.
Modos normales de un sistema bidimensional
207
se ve en la figura 6-10 (b), la situación es parecida a la que se ve en la figur
ra 6-2. La fuerza transversal debida a la curvatura de la membrana en el pla­
no xz viene dada por
d2z
SA yA dx = 5 -r - f A xA y
dx¿
Pero la membrana está curvada en el plano yz tam bién y la fuerza, debido
a esto, viene dada por
d2z
SAxABy = S -r-^ A xA y
ayz
La fuerza total es la suma de ambas, y la masa que se ve acelerada es cr tsx Ay.
De aquí que la ecuación del m ovim iento (ma = F) se convierta en
2
a
a d2z
aA x A y —
d 2z
„ fí d
\
, d
~ z\, A A
= S (\dx2
— ++ d—yz)) A x Ay
o bien
>>2
^2
o z . o z
dx2 + dy2
n2
( Taz
S dfi
(6_25)
Esta ecuación del m ovim iento es una am pliación directa de la ecuación (6-2).
Reconociendo que pueden existir vibraciones estacionarias de la formal
Z(x9y, t) = f(x ) g ( y ) eos cct
llegamos de m od o muy directo a las expresiones exactas para f, g y w que se
dan en la ecuación (6-24).
Com o dijim os en la últim a sección, las frecuencias m odales para un sis­
tema bidim ensional no presentan, en general, relaciones numéricas sencillas,
ni incluso
en
el caso de la geom etría más sencilla posible, un cuadrado.
Por otra parte, los puntos de desplazam iento cero para tod os los valores de t
están unidos por líneas nodales, rectas paralelas a los lados del rectángulo
que corresponden de un m od o m uy sencillo a las
condiciones
geométricas*
impuestas en los límites.
En la figura 6-11 m ostram os los m odos inferiores de un rectángulo que
es casi un cuadrado. Sus lados se tom aron con longitudes 1,05 L y 0,95 L, dan­
do así un área casi exactam ente igual a L2. Es conveniente expresar las fre­
cuencias posibles com o m últiplos de la frecuencia
-le r
definida por
208
Modos normales de sistemas continuos. Análisis de Fourier
C012 / COI
W12/U1
n i no
1
1
re ctá n gu lo
cuadrado
( 0 , 9 5 X 1 . 0 5 ) (1,00 X 1,00)
V 2
(= 1 ,41 )
1,42
rectángulo
cuadi
(0 9 ü X 1 05) ( 1 . C 0 X 1 i
n2
3
3,05 — ,
1
(= 3 .1 6 )
2
1
2,18
—
_
1
2
2.21
1
3
3,30 — I
3
2
3.56 — ,
y/5
( = 2.24)
—
VÍ 3
(-3 .6 1 )
2
2
2,84
V/8
2
( = 2 ,8 3 )
3.69 —
3
Fig. 6-11. Modos normales de una superficie rectangular plana comparados
con los de un cuadrado de la misma área. Las zonas sombreadas y sin sombrear
tienen desplazamientos opuestos perpendiculares al plano del diagrama y que
pasan por cero en las líneas nodales.
Ésta es la frecuencia más baja con la que podría vibrar una membrana cua­
drada de lado L si estuviera fija a lo largo de dos aristas opuestas y estuviese
libre en las otras dos. A partir de la ecuación (6-24), las frecuencias de modos
normales de nuestro rectángulo vienen dadas por
(
\2
nh )
/
+ f e
\ 211/2
) .
En la figura 6-11 pueden verse las líneas nodales (rayadas) con unos sombrea­
dos que muestran las porciones de la membrana que tienen desplazamientos
en la misma dirección para cualquier instante dado.
Las frecuencias de m od os normales para una membrana perfectamente cua­
drada serán V2w:j V5wi,
etc. H em os escogido deliberadamente una mem­
brana que no es exactam ente un cuadrado para dirigir nuestra atención a una
Modos normales de un sistema bidimensional
209
característica interesante e importante. Obsérvese la tendencia de los m odos
de nuestro rectángulo para clasificarse ellos m ism os en parejas en las que los
valores nx y n 2 (si son diferentes) están intercam biados. Las frecuencias de
estos m odos emparejados son muy similares y com prenden a la frecuencia
que ambos m odos tendrían en el caso de ser una membrana perfectamente
Fig. 6-12. Modos normales de una película jabonosa. (Demostración realizada
por el Prof. A . M . Hudson utilizando una película jabonosa especialmente re­
sistente compuesta de una disolución de detergente, glicerina y un poco de
azúcar.)
210
Modos normales de sistemas continuos. Análisis de Fourier
cuadrada. El caso límite ,
el cuadrado p e r fe c to ,
es lo que se denom ina de­
generado; una frecuencia sola puede corresponder a dos diagramas de vibra­
ción distintos geom étricam ente y el núm ero de m odos norm ales sería mayor
que el núm ero de frecuencias diferentes. Existen otras circunstancias también
en las que las vibraciones de una membrana rectangular pueden ser degene­
radas. Por ejem plo, si el cociente Lx¡Ly es expresable c o m o una razón de en­
teros, pueden encontrarse por lo m enos dos series diferentes de los números
(«i, n2) que conduzcan al m ism o valor de la frecuencia. Este fenóm eno de de­
generación es importante, no solam ente en la m ecánica clásica sino también
en los sistemas atóm icos y nucleares. C om o ejem plo, en el m od elo original de
tipo Kepler del átom o de hidrógeno, desarrollado por Bohr y Sommerfeld, se
describe el electrón co m o viajando alrededor del protón en ciertas órbitas
“ permitidas’" ,
no solam ente las circulares que propuso originalm ente Bohr,
sino en una diversidad de elipses que corresponden a diferentes valores del
m om ento cinético orbital. M uchas de estas órbitas diferentes corresponden
en la form a más sencilla de la teoría a la misma energía total del electrón,
pero el hecho de que son todas diferentes es im portante cuando hay que
contar el núm ero de estados distinguibles que dispone un electrón en un
átomo.
Las vibraciones de películas de jabón, form adas sobre un m arco de alam­
bre que define un límite rígido, proporciona una dem ostración muy expresiva
©
v -i —
2,13^
o
= 2,92 vx
Fig. 6-13. Modos normales de un disco. Las zonas sombreadas y sin sombrear
tienen desplazamientos de sentidos opuestos que pasan por cero en las líneas
nodales.
Modos normales de un sistema bidimensional
211
de los m odos normales. La figura 6-12 muestra dos de los m odos de una
membrana rectangular obtenida de este m od o. Otra clase muy importante de
vibraciones en sistemas bidim ensionales se obtiene cuando el límite es circu­
lar. Si tom am os de nuevo este lím ite co m o fijo, los m od os normales expresan
la simetría del dispositivo mediante círculos con cén tricos y líneas diametrales.
Es posible una gran variedad de vibracion es;
la figura 6-13 ilustra los seis
modos inferiores de d ich o sistema.
En una película de jabón pueden excitarse m od os más com plejos de sis­
temas rectangulares y
circulares haciéndoles
accionar
mediante un altavoz
próximo que está em itiendo la frecuencia apropiada. La figura 6-14 muestra
algunos ejem plos. En esta fotografía las líneas blancas son refllexiones de los
puntos en donde los desplazam ientos son m áxim os, n o las líneas nodales.
E. F. Chladni (1756-1827) ideó un m étod o para hacer visibles las vibracio­
nes de una placa metálica sujeta en un punto o apoyada en tres o más puntos.
Arena fina espolvoreada sobre la placa se queda en reposo a lo largo de las
líneas nodales en donde n o existe m ovim iento. La placa puede excitarse pul­
sándola con un arco de violín o m anteniendo un trozo pequeño de hielo seco
contra la placa. Si se toca con un dedo en algún punto se impedirán todas las
oscilaciones excepto aquellas para las cuales una línea nodal pasa a través del
Fig. 6-14. Máximos desplazamientos de los modos de películas jabonosas. (Fo­
tos por Ludwig Bergmann, suministradas por el Prof. U. Ingard, M.l.T.)
212
Modos normales de sistemas continuos. Análisis de Fourier
-pun to tocado. La figura 6-15 ilustra algunas figuras particularmente hermosas
de Chladni obtenidas por M ary Waller.
Fig. 6-15. Figuras de Chladni mostrando las líneas nodales. (Según Mary
Waller, Chladni Figures: A Study in Symmetry, Bell, Londres, 1961.)
Modos normales de un sistema tridimensional
213
MODOS N O R M A L E S DE UN S IS T E M A T R ID IM E N S IO N A L
Un trozo m acizo de cualquier material tiene siempre cierto grado de elasti­
cidad y, en consecuencia, tiene un espectro de m od os norm ales de vibración.
Esto será cierto e incluso si , com o en el caso de las cuerdas y membranas
que acabamos de estu d ia r,
imaginamos que sus límites se mantienen fijos.
Por ejemplo, un material c o m o la jalea que llene com pletam ente un recipiente
más o menos rígido puede ponerse a vibrar de un m od o com p lejo si al re­
cipiente se le da un golpe repentino.
En el caso de sistemas m onodim ensionales y bidim ensionales, hem os podi­
do discutir y describir los m odos característicos de la oscilación transversal
de un m odo bastante claro. Cuando pasamos a los sistemas tridimensionales
ya no nos queda ninguna dirección de repuesto, co m o en el caso anterior, a lo
largo de la cual podía verse que tenía lugar el desplazam iento. Por lo tanto,
nos conform arem os con señalar que se puede plantear para el caso de tres
dimensiones una ecuación diferencial del m ovim iento que tiene una analogía
estricta con las ecuaciones que hem os desarrollado previam ente para una o dos
dimensiones. La
ecuación será de la form a
€
*
dx 2
+
?
*
dy2
*
26)
*
dz2
v2 dt2
en donde v representa cierta velocidad característica ,
K
por ejem plo, la velo­
cidad definida por el valor de s/Kjp, donde K es el m ódulo de com presibili­
dad adecuado. La magnitud escalar puede entonces ser el valor de la presión
en una posición y tiem po dados. A l estudiar las vibraciones norm ales de una
varilla o de una colum na de aire estábamos realmente utilizando una reduc­
ción monodimensional de esta ecuación. El m edio en aquellos casos era cier­
tamente tridimensional pero decidim os limitar nuestra atención a las vibracio­
nes que se podían describir en función de una coordenada de posición sola­
mente.
Ahora nos dam os cuenta que deben especificarse las condiciones límites
jara todas las superficies exteriores del sistema. En el caso de un bloque rec­
tangular, fijo en tod os sus límites exteriores, podem os
imaginar una serie
de
iodos normales muy parecidos a los de la membrana rectangular. Pero ahora
los puntos nodales coin ciden con una serie de superficies y cada vibración
lormal debe estar caracterizada por un conju nto de tres enteros, en lugar de
los (membrana) o de uno (cuerda). Sin embargo, no debem os intentar ir más
214
Modos normales de sistemas continuos. Análisis de Fourier
allá de este punto. En lugar de ello volverem os ahora al estudio de los proble­
mas m onodim ensionales y de la coexistencia de un cierto núm ero de modos
norm ales en dich o sistema.
A N Á L IS IS D E F O U R IE R
Supóngase que tenem os una cuerda de longitud L fija en sus dos extremos.
Entonces, com o hem os visto, podría vibrar en uno cualquiera del infinito nú-*
mero de m odos normales (som etidos a ciertas hipótesis acerca de su dinámica).
Teniendo en cuenta la necesaria libertad de selección tanto de la amplitud
com o de la fase de un m od o norm al, pondrem os
y n(x, t ) = ^ ns e n ^ ~ ^ cos(cont -
Sn)
(6-27)
Adem ás, podem os imaginar que tod os estos m od os son perm itidos, por el mo­
mento, de m od o que el m ovim iento de la cuerda está especificado completa­
mente mediante la siguiente ecu a ción :
y(x, t)
= X ) ^nSen^— ^ eos
(a)nt — Sn)
(6-28)
El m ovim iento real de la cuerda, naturalmente, puede ser muy difícil de llegar
a ver , pero en tanto que estén justificadas las hipótesis físicas que conducen
a la ecuación (6-27), podem os admitir que es posible una síntesis arbitraria
de este tipo.
Im aginem os ahora que se hace una fotografía mediante destellos del siste­
ma oscilante. E sto nos mostrará su configuración en cierto tiem po especifica­
do í0. Las magnitudes eos (w„f0— ¿n) pueden considerarse entonces com o una
serie de núm eros fijos, y el desplazam iento de la cuerda en cualquier valor
designado x puede escribirse del m od o sigu ien te:
> '0 ) = ¿
3 * sen ( ~ z ^
en donde
(6-29^
Bn ~
COS(c0n^0
5 «)
Hagamos ahora la siguiente afirm ación : Es posible tom ar cualquier form
de perfil de la cuerda, descrita p or y en función de x entre x = 0 y x = í
( som etidas a las cond icion es y — 0 para x — 0 y x — L) y analizarla en utuj
serie infinita de funciones sinusoidales co m o las dadas en la ecuación ( 6 -2 %
Análisis de Fourier
<215
Puede parecer que existe una arbitrariedad grande en la afirmación ante­
rior. Dicha arbitrariedad desaparece, sin embargo, si se considera la cuerda
continua com o el límite, para N -►
de una fila de N partículas conectadas.
Aquí es donde lo que hem os aprendido en las discusiones del capítulo 5 vie­
ne en nuestra ayuda. P odem os ver claramente que para un núm ero finito de
partículas existen precisam ente N m odos normales. La descripción de cada
uno de estos m odos hacía intervenir dos constantes ajustables , amplitud y
íase. Cualquier m ovim iento de las N partículas, bajo la influencia de sus
interacciones mutuas, era entonces describible en térm inos de una superpo­
sición de m odos normales. Y la existencia de un total de 2N constantes ajus­
tables nos perm itía asignar valores arbitrarios
del desplazam iento y v eloci­
dad inicial a cada partícula. Nuestra afirmación presente es la consecuencia
lógica de la aplicación de este resultado a un núm ero arbitrariamente gran­
de de partículas conectadas.
Naturalmente, n o existe ningún sistema físico real donde el núm ero de
partícula sea infinito. A sí pues, al pasar a este límite estamos, de hecho, tras­
ladando nuestro problem a desde el m undo de la física al m undo de las ma­
temáticas. Y la ecuación (6-29) , un enunciado notablem ente simple ,
es la
base de una de las técnicas más poderosas en toda la física matemática ; la
del análisis de Fourier. El gran m atem ático francés Lagrange (1736-1803),
que hizo de la m ecánica su tema particular, desarrolló la teoría de la cuerda
vibrante del m od o preciso que hem os escogid o para nuestro estudio, y ya
en 1759 pudo enunciar el resultado expresado en la ecuación (6-29). Pero otro
matemático francés, J. B. Fourier (en 1807), fue el prim ero en afirmar que
podía describirse una función com pletam ente arbitraria en un intervalo dado
mediante una serie de este tipo. D e hecho, es un resultado extraordinaria­
mente extraño, va contra el sentido com ún y, sin em bargo, es cierto. Consi­
deremos brevem ente un ejem plo específico de su aplicación pero primero se­
ñalemos otro resultado que está contenido en nuestra solución dinámica de
un sistema vibrante.
Considerem os
el
movimiento^ transverso general de la cuerda continua,
según viene dada por la ecuación (6-28). De acuerdo con nuestros cálculos
originales de la cuerda continua, según se desarrolló en este mismo capítulo,
las frecuencias
véase la
ecuación
son múltiples enteros de una frecuencia fundamental o)X
(6-11) y el
análisis precedente. Si ahora fijamos nues­
tra atención sobre un valor particular de x, podem os escribir A n sen (mx/L)
como un coeficiente constante C n, y así tendrem os
216
Modos normales de sistemas continuos. Análisis de Fourier
y (0 =
Cn cos(u»f — 5n)
donde o>„ = «coi
(6-30)
n= 1
Lo que afirma esta expresión es que cualquier m ovim iento posible de un pun­
to cualquiera de la cuerda es p eriódico en el tiem po 27r/<*>1> en donde u>x es la
frecuencia del m od o más bajo, y además que este m ovim iento periódico puede
escribirse com o una com binación, con las amplitudes y fases adecuadas, de vi­
braciones sinusoidales puras en las que se com prenden tod os los armónicos
posibles de «j. Éste es entonces un análisis de Fourier en el tiem po, y no
en el espacio. Puede observarse que los desarrollos expresados por las ecua­
ciones (6-29) y (6-30) son de una form a ligeramente diferente. N o solamente
uno de ellos está constituido por senos y el otro por cosenos, sino que tam­
bién, si cubrim os el intervalo com pleto de las variables, vem os que m x¡L va­
ría en un m últiplo entero de ir, mientras que nwxí varía en un m últiplo entero
de 2*7. Sin embargo, puesto que nuestro interés consiste sólo en representar
la función dentro del intervalo designado y no fuera de él, la diferencia no
debe p reocu p arn os.1
A N Á L IS IS D E F O U R IE R EN A C C IÓ N
Para poner en práctica el análisis de Fourier, debem os determinar los coefi­
cientes de las funciones com ponentes sinusoidales o cosinusoidales. El proce­
so de hacer esto se denom ina análisis arm ónico, y las propiedades de las fun­
ciones seno y cosen o hacen que el tema sea m uy sencillo.
Considerem os el desarrollo de y(x), según viene d ado por la ecuación (6-29),
hx)
-
1 Realmente en el intervalo 0 < c o 1t < 7 ü , puede ajustarse una función arbitraria y{t)
mediante expresiones incluso más sencillas que la Ec. (6-30) y en estricta analogía a la
Ec. (6-29). Puede describirse en función sólo de coseno o de seno del m odo siguiente:
solamente: y(t) = ^
C »cosm oií
seno solam ente: y(t) = ^
C« sen n u j
coseno
Com o la representación en coseno es una función par de aht y la representación seno es
una función impar, ambas representaciones se com portan de manera muy diferente en el
intervalo tz <. o>ií < 2:r.
Análisis de Fourier en acción
217
^Supóngase que deseam os con ocer la am plitud asociada co n un valor particular
de n , por ejem plo nx. Para hallarla m ultipliquem os am bos miembros de la
ecuación por sen {n ^ xjL ) e integrem os respecto a x en tod o el intervalo de
cero a L\
En el segundo m iem bro aparece una serie infinita de térm inos. Pero conside­
remos ahora las propiedades de un integral cuyo integrando es un producto
de senos. D ado dos ángulos cualesquiera, 0 y
<p,
tenem os
eos (6 — cp) = eos 6 eos tp + sen 0 sen qp
eos {& + cp) = eos 0 eos tp — sen 0 sen cp
Por lo tanto
sen 6 sen cp = ^[cos (0 — cp) — ■eos (0 + cp)]
De aquí que podamios
os poner
Por lo tanto,
/
( nirx\
( «i7tx\ ,
L
sen
) d x - 2 ic(n — « i )
L
^
Si ponem os los límites x = 0, x = L, los valores de sen (n ± n^nx/L son to ­
los nulos. A sí pues, a primera vista parece que hem os anulado por com pleto el
segundo m iem bro de la ecuación (6-31). Pero observem os entonces que la mag­
nitud (n — n{) aparece en el denom inador de una de lasintegrales. A sí pues,
in = nu
tenem os una integral de la form a 0/0. Y resulta
que todos los térm inos sean cero, éste no lo es. Porque
que ha de calcularse es la sig u ien te:
a su vez que aun­
si n — nu la integral
218
Modos normales de sistemas continuos. Análisis de fourier
,E1 término cosen o n o contribuye nada entre los lím ites dados, pero la otra
parte nos da L/2. A sí pues, llegamos a la siguiente id en tid a d :
es decir,
Bn = \
y (* )sen^ p ^ dx
(6-32)
Esta ecuación nos determina la am plitud de Bn asociada co n un valor dado
cualquiera de n en el análisis arm ónico de y(x).
Si y(x) es una curva puramente empírica, el cálcu lo de los coeficientes de
Fourier Bn es cuestión de calculadoras o de una integración gráfica. Pero si la
forma de y (x ) puede describirse m ediante una función analítica exacta, pode­
m os obtener una fórm ula general para tod os los valores de Bn• Para aclarar el
Fig. 6-16. (a) Función a analizar ; diente de sierra triangular, (b), (c), (d) Sín­
tesis parcial de Fourier utilizando 2, 5 y 10 términos, respectivamente.
Análisis de Fourier en acción
219
procedimiento, considerem os el perfil indicado en la figura 6-16 (a). Éste es
parecido a la form a de la cuerda tensa sujeta sólo por un extremo. (Natural­
mente, para x = L exactam ente debem os tener y = 0 ;
sin embargo, estamos
admitiendo que nuestra ecuación para y también es válida para puntos arbitra­
riamente próxim os al extrem o.) El cálcu lo de Bn se desarrolla entonces del
modo siguiente:
( JVKX\ .
kx s e n l I dx
Integrando por partes, se tiene
B n =
L_
fíTT
2k
L
2k
/
X COS
L /J o
\ T
L
/J o
eos
nir
TVKX
X COS
fl'K
r)M
rnrx
nw
seni
rnrx
2kL eos nw
7T
n
Se observa que los valores de Bn caen en dos categorías, según n sea par o im­
par, debido a que el valor del eos mr alterna entre los valores + 1 y — 1. De
hecho, tenem os
« im p a r : Bn =
n p a r:
2kL
H7T
2kL
Bn =
nn
Sin embargo, si se desea se pueden representar ambas series mediante la fór­
mula
Bn =
( - y
.rt+i 2 kL
nv
Ahora es cosa sencilla tabular las diversas amplitudes (tabla 6-1). A sí pues,
puestra descripción del perfil triangular resulta s e r :
, N 2kL í
( ttatN
1
y(x) = — |sen( — ] - - sen
( ¥ )
7T
\L
fc las figuras 6-16 (b)-(d) se indican lo s resultados de sintetizar diversos núheros de térm inos, utilizando los coeficientes num éricos cuyos cinco primetos se relacionan en la tabla 6-1. Incluyendo términos adicionales podem os haIcer que el ajuste sea tan bueno com o queramos. Y es m uy notable que, con
220
Modos normales de sistemas continuos. Análisis de Fourier
TABLA 6-1:
VALORES DE BJkL
BJkL
n
•
2
1
=
7r
1
2
= — 0,318
7T
2
3
=
3 7T
1
4
0,212
= — 0,159
2 tt
2
5
0,636
=
57T
0,127
sólo algunos p ocos térm inos co m o los que hem os utilizado, se pueda simular
la tendencia general de un perfil que difiere tan radicalmente de una curva
sinu soidal, especialmente
una
que se separa tanto del cero en uno de sus
extremos.
Las curvas sinusoidales en función d e las cuales se ha h ech o este análisis
de Fourier representan un ejem plo de lo que se denom inan fu nciones ortogo­
nales. La descripción “ ortogon al” perteneció originalm ente, com o es natural,
a la geometría. La ortogonalidad de d os funciones sinusoidales en el análisis
de Fourier está descrita p or el resultado
J
sen( ^
^
sen( ^ f ~ J d x
=
0
Pa ra
n2
(6-33)
Esto puede, a primera vista, parecer que n o tiene ninguna conexión con la
con d u cción geom étrica, pero n o es así, porque si tenem os dos vectores, A y B,
la con d ición de que sean ortogonales (perpendiculares) entre sí es que su pro­
ducto escalar sea cero. En función de sus com ponentes esto puede escribirse
A XBX
AyBy -\- A tBz = 0
(6-34]
Ahora bien, si reem plazam os la integral continua de la ecuación (6-33) por una
suma respecto a un núm ero muy grande, N , de térm inos separados (com o po­
díamos hacer si estuviésem os calculando la integral m ediante m étodos numé­
ricos), y escribir un valor particular de x co m o x p, en donde
PL
Modos normales y funciones ortogonales
221
Así pues, la ecuación (6-33) debería ser reemplazada p or la siguiente:
Si escribim os la con d ición de ortogonalidad de d os vectores ordinarios en la
forma
3
2
A pB p = 0
para A 1 B
vemos que en un sentido puramente form al la diferencia entre ambas afirma­
ciones es sim plem ente que en una de ellas intervienen magnitudes que están
completamente descritas por sólo tres com ponentes, mientras que la otra ne­
cesita N com ponentes (y, en el límite, un gran núm ero hasta infinito). La p o ­
sibilidad de analizar una función arbitraria en función de una serie de funcio­
nes ortogonales (no necesariam ente senos o cosenos) es una de las técnicas
más impoi'tantes y ampliamente usadas en la física teórica y en ingeniería.
MODOS N O R M A L E S Y F U N C IO N E S O R T O G O N A L E S
Terminaremos con algunas notas que nos hagan volver a los sistemas físicos
reales. H em os visto c ó m o las vibraciones características de una cuerda uni­
forme pueden describirse (idealm ente) m ediante funciones sinusoidales que son
ortogonales en el sentido que acabam os de tratar. Cada m od o diferente puede
existir independientem ente de tod os los demás, y así se puede, en principio,
cambiar la amplitud asociada con un m od o normal sin influir sobre ninguna de
las otras. En este sentido, el adjetivo norm al aplicado a los m odos individuales
es una caracterización cierta de su
independencia
mutua, del tod o análogo
a la independencia mutua de los desplazam ientos a lo largo de direcciones per­
pendiculares.
Esta ortogonalidad también se mantiene dinámicamente. La energía total
de una cuerda vibrante en una superposición de sus m od os normales es exac­
tamente la suma de las energías correspondientes a los m od os individuales. Si
se escribe la expresión para la suma de las energías cinética y potencial para
un segmento pequeño de la cuerda en un cierto valor arbitrario de x> se ve
que se com pone de d os térm in os: (1) térm inos en los que intervienen los cua­
drados del seno o cosen o del m ism o argumento, perteneciendo a un m odo sim­
ple; (2) términos en los que intervienen produ ctos de senos o cosenos de di­
ferentes argumentos, representando térm inos cruzados de m odos diferentes.
222
Modos normales de sistemas continuos. Análisis de Fourier
Debido a la con d ición de ortogonalidad, ecuación (6-33), los térm inos del tipo 2
se hacen tod os cero cuando se suma la energía para toda la longitud de la
cuerda. A s í pues, los m odos básicos son realmente ortogonales dinám icos en­
tre sí de un m od o com pleto.
Nuestra discusión de esta independencia, u ortogonalidad, de los m odos nor­
males de un sistema em pezó realmente con el análisis de los m ovim ientos de
dos péndulos acoplados en el capítulo 5. Podíam os haber escogido aceptar
nuestra sugerencia de pasar el capítulo 5 sin estudiar en una primera lectura.
Se haya h ech o esto o no, puede resultar interesante volverse a referir al prin­
cipio del capítulo 5 en este punto y concentrarse en seguir la línea principal
del desarrollo desde allí, de m od o que se siga el h ilo com ú n que corre a tra­
vés de tod o el tema.
PROBLEM AS
6/ í
Una cuerda uniforme de 2,5 m de longitud y 0,01 kg de masa se somete a
'una tensión de 10 N.
(a)
¿Cuál es la frecuencia de su m odo fundamental? f
7 ' (b)
Si se pulsa transversalmente la cuerda y luego se toca en un punto a
0,5 m de su extremo, ¿qué frecuencias persistirán?
£*2 Una cuerda de longitud L y masa total M se estira mediante una tensión T.
¿Cuáles son las frecuencias de los tres m odos normales inferiores de oscilación de
la cuerda cuando éstas son transversales? Comparar estas frecuencias con las tres
frecuencias de modos normales de 3 masas cada una de ellas de valor M /3 separa­
das a intervalos iguales sobre una cuerda sin masa sometida a una tensión T y cuya
longitud total es L.
L
L
L
4
4
4
o —
M
o —
M
o
M
3
3
3
6-3 La deducción de las vibraciones libres de una cuerda tensa que se da en el
texto ignora la gravedad. ¿Está justificada esta omisión? ¿Cóm o se haría el aná­
lisis si hubiera que incluir los efectos gravitatorios?
6-4 Demostrar que el análisis del texto para vibraciones libres de una cuerda
horizontal es también válido para una cuerda vertical si T
mg.
Problemas
6-5
223
Una cuerda estirada de masa m, lon gitud L y tensión T se ve impulsada por
dos fuentes, una en cada extrem o. A m b as fuentes tienen la m isma frecuencia v
y amplitud A, p ero están desfasadas exactam ente 180° entre sí. ¿Cuál es el va­
lor más pequeño posib le de w consistente co n las vib ra cion es estacionarias de la
cuerda?
6-6
Se sujeta una varilla u n iform e en el cen tro, d eja n d o am bos extrem os libres.
(a)
¿C uáles son las frecuencias naturales de la varilla en la vibración lon gi­
tudinal?
6-7
(b)
¿C uál es la lon gitu d de onda del m o d o en ésim o?
(c)
¿ D ó n d e están los n o d o s para el m o d o en ésim o?
D educir la ecu ación de onda para las vibracion es de una colum na de aire. El
resultado final deberá ser
d2£
p d2£
dx¿ “
K dP
en donde \ es el desplazam ien to a partir de la p o sició n de equ ilibrio, p es la den­
sidad máxima y K el m ó d u lo elástico.
6-8
D em ostrar que para la v ib ra ción de una colu m n a de a ir e :
(a)
U n extrem o abierto representa una co n d ició n de variaciones de presión
nula durante la oscila ción y de aquí un lugar en el que se presenta qn m ovim iento
máximo del aire (un an tin odo).
(b)
U n extrem o cerra d o es un lugar de m ovim ien to ce ro (un n o d o ) y de
aquí uno de variación de presión máxim a.
6-9
Una habitación tiene d os paredes opuestas que están alicatadas. Las paredes
restantes, el suelo y el tech o están recubiertas co n un material absorbente del s o ­
nido. La frecuencia más baja para la cual es acústicam ente resonante la habitación
es 50 Hz.
(a)
Se p rod u ce un ru id o co m p le jo en la -h a b ita ción que excita sólo a los dos
modos inferiores, de tal m o d o
que cada m o d o tiene su m áxim a amplitud para
í = 0. H acer un esquem a del asp ecto del desplazam iento para cada m od o separa­
damente en fu n ción de x para t = Ü; t = 1/200 seg y t = 1/100 seg.
(b)
Se observa que el desplazam iento m áxim o de las partículas de p olv o en
el aire (que n o se p rod u ce necesariam ente en el m ism o instante en cada posición )
en diversos pu ntos entre las paredes es la siguiente:
£máx
L /4
L/2
+ IO jLÍ
+ 10M
3 L /4
-1 0
m
¿Cuáles son las am plitudes de cada uno de los dos m o d o s separados?
224
6 -10
Modos normales de sistemas continuos. Análisis de Fourier
P uede constru irse un láser c o lo c a n d o un tu b o de plasm a en una cavidad re­
sonante óp tica form ad a p o r dos espejos planos de alta reflectividad, que actúan
co m o paredes rígidas para las ondas lum inosas (véase figura). El o b je to del tubo de
plasma es p rod u cir luz excita n d o m o d o s norm ales de la cavidad.
Tubo de plasma
r ~
-
/
(b)
(a)
(a)
¿C uáles son las frecu en cias norm ales de la cavid ad reson an te? (Expre­
sar la respuesta en fu n ción de la distancia L entre los espejos y la velocid ad de
la luz c.)
(b)
Suponer que el tu b o de plasma em ite luz centrada en una frecuencia
v0 = 5 X 10u H z c o n un anch o espectral Av, c o m o se ve en el esquem a. El valor
de Av es tal que to d o s los m o d o s norm ales de la cavidad cuya frecu en cia está den­
tro de + 1,0 X 10y H z de v0 se verán excitados p or el tu b o de plasma.
(1)
¿C uán tos m o d o s se han ex cita d o si L — 1,5 m ?
(2)
¿C uál es el m ayor valor de L que s ó lo será e x cita d o
(de m o d o
que el láser
tendrá solam ente
una frecu en cia
un m o d o normal
de salida)?
(c = 3 x
108 m /seg.)
-6 -lp
(a) Hallar la energía total de vib ra ción de una cu erda de lon gitu d L fija
erí am bos extrem os, que oscila en su m o d o característico n c o n una amplitud A.
La tensión de la cuerda es T y su masa total es M . (Indicación: Considérese la
energía cin ética integrada en el instante en que la cuerda es rectilínea de modo
que n o ha alm acen ado ninguna energía p oten cia l resp ecto y p or encim a de la que
tendría cu an d o n o estuviese v ib ra n d o en a b solu to.)
(b)
bran do en
C alcular la energía total de v ib ra ción de la m ism a cuerda, si está vi­
la siguiente su p erp osición de m o d o s norm ales.
>’(*, t) = Ai sin
eos b>it + A 3 sin
eos
(D ebería com p rob arse que es la sum a de las energías de los dos m o d o s tomados
separadam ente.)
6-12
U na
sión T, se
libre.
cuerda de lon gitu d L está sujeta en am bos extrem os y tiene una
ten­
em puja lateralm ente a una distancia h en su cen tro y luego se deja
Problemas
(a)
¿C uál es la energía de las oscilacion es siguientes?
(b)
¿ C o n qué frecu en cia reaparecerá la form a in dicad a en la figura?
225
(Admitir que la tensión perm anece invariable d e b id o a un pequeño increm ento de
longitud causada p or los desplazam ientos transversales.) [Indicación: En la parte
(a), considerar el trabajo realizado con tra la tensión para dar a la cuerda una de­
form ación inicial.]
6-13
C onsidérese un c u b o u n iform e de la d o L en que la velocid a d de onda ca­
racterística es v. D em ostrar que para este sistema el n ú m ero total de m odos de
vibración corresp on d ien tes a las frecuencias entre v y v + dv e s :
4 L 3v2 Av/tt2 v 3
[Indicación: C o m o vL ¡ ttv = (n^
tos,
si
ttu/L «
Av «
+ n.,- + /r32)1/2 considérese una red cúbica de pun­
pon ien d o x = nlt y = n2t z ~ nv El núm ero de puntos en cualquier región de
esta red es, p or lo tanto, igual al volu m en dé dicha región, y los m od os corres­
pondientes a una frecu en cia dada v corresp on d en a aquellos puntos situados a una
distancia r = vL'rrv del origen. El resultado deseado es, p o r tanto, 4nr2Ar. ¿Cuál se­
ría el resultado para un cu a d ra d o ? ¿Para una varilla?
respuesta si se considerase en lugar
de un cu b o
¿C óm o
severía alterada
un s ó lid o o rto é d rico de
la
lados a,
b y el]
6-14
Hallar las series de F ourier para las fu n cion es sigu ientes:
(a)
y(x) = A x(L — x).
(b)
y(x) = A sen (-x/ L).
(O ^x^L):
¡ A sen (l-ñxjL), 0 ¿ C x ^ L ¡ 2
<C»
6-15
» W = |oi L , 2 < . ! ! I .
Hallar las series de F ourier para el m o v im ie n to d e una cuerda de lon gi­
tud L si
(a) y( x, 0) = A x(L (b ) y( x, 0) = 0;
x ); (d y/d t)t=0 = 0.
(dy/dí)t=o
= Bx(L -
x).
¿E stá c o m p u e s to el o c é a n o d e a g u a , d e ola s o de am bas
cosa s? A lg u n o de m is p a sa jer o s in v ita d os e n e l A tlá n tic o
op in a b a n c o n é n fa sis q u e e l o c é a n o e sta b a c o m p u e s to
de o la s; p e r o y o p ien so qu e la r es p u e sta ord in a ria y sin
p r e ju icio s d eb ería ser qu e e stá c o m p u e s to d e agua.
s ir
arthur
e d d in g t o n
,
N ew P a th w a y s in S c ie n c e (1935)
7
Ondas
prog resivas
¿Q UÉ E S U N A O N D A ?
par a m u c h a
gente
, quizá para la mayoría ,
la palabra “ onda” trae a la men­
te una descripción de un océano, con las olas barriendo la playa procedentes
del mar abierto. Si se ha exam inado y pensado sobre este fenóm eno puede que
se saque la apreciación de que a pesar de toda su grandeza contiene algún
elemento de contradicción. A l ver las crestas cabalgando, se adquiere un cier­
to sentido de asalto m asivo por el agua sobre la tierra, y verdaderamente las
ondas pueden hacer un gran daño, lo que equivale a decir que son portadoras
de energía , pero, a pesar de tod o, cuando las ondas u olas han roto y vuelto
hacia atrás, el agua está prácticam ente en el m ism o sitio respecto a la playa
que estaba antes. La avalancha hacia delante no significa un movimiento físico
del agua. Las olas largas del mar abierto se mueven rápidamente y van muy
lejos. Las olas que alcanzan la costa de California tienen sus orígenes en las
tormentas del Pacífico del Sur a una distancia superior a los 15 000 km y
han recorrido esta distancia a una velocidad de 60 km por hora o más aún.
Evidentemente, el m ism o mar no se ha m ovido de este m odo espectacular;
simplemente ha jugado el papel de agente mediante el cual se transmite un
cierto efecto. Y aquí tenem os la característica esencial de lo que se denomina
movimiento ondulatorio. (Se transmite una propiedad de un lugar a otro por
medio de un m edio, pero el m edio en sí m ism o no se transporta. Puede rela­
cionarse un efecto local a una causa distante y existe una diferencia de tiem ­
po entre la causa y el efecto que depende de las propiedades del m edio y
encuentra su expresión en la velocidad de la onda. T od os los medios materia­
227
228
Ondas progresivas
les, sólidos, líquidos
y gases,
pueden transportar energía e inform ación por
m edio de on das y nuestro estudio de los osciladores acoplados y de los m odos
normales nos ha indicado la manera de com prender este im portante fenómeno.
Aunque las olas u ondas en el agua son del tipo más familiar de ondas,
están también entre las más com plicadas para analizar en función de los pro­
cesos físicos subyacentes. Por lo tanto, no tendrem os m ucho que decir sobre
ellas. En lugar de esto, volverem os a nuestro punto de partida inicial, la cuer­
da tensa, sobre la que hem os aprendido muchas cosas que ahora pueden apli­
carse a la discusión presente.
M O D O S N O R M A L E S Y O N D A S EN M O V IM IEN TO
Para provocar un m od o normal con creto en una cuerda tensa, se podía hacer
un m olde de la misma zona exactamente de la cuerda en su amplitud máxi­
ma en este m odo y ajustar la cuerda a él. Entonces, m ediante la eliminación
repentina de esta ligadura de la cuerda, se obtendría una vibración continua
de este m od o solamente.
Sin embargo, es m ucho más fácil establecer el m od o haciendo vibrar un
extrem o de la cuerda de lado a lado en un m ovim iento arm ónico simple
con la frecuencia del m od o deseado. ¿P ero qué sucede realmente en este caso?
La vibración estacionaria no se produce inmediatamente. Lo que ocurre es
que empieza a trasladarse una onda en m ovim iento a l o largo de la cuerda.
En un instante dado cualquiera* es una función sinusoidal de x [fig. 7-1 (a)].
Pero cuando la onda en su avance alcanza el extrem o fijo de la cuerda (x = L)
allí se produce un proceso de reflexión (que considerarem os con más cuidado
en el capítulo 8) y el m ovim iento de tod os los puntos de la cuerda se obtiene
mediante el efecto resultante de estas dos perturbaciones que viajan en sen­
tidos opuestos [fig. 7-1 (b)]. Y después que la onda reflejada ha vuelto al ex­
tremo desde el que se produ jo el impulso, desarrollará una onda estacionaria
que es precisamente el m od o normal deseado (si la frecuencia es la correcta
en relación con la longitud, la tensión y la masa por unidad de longitud de
la cuerda) [fig. 7-1 (c)]. A partir de ahora la cuerda continúa vibrando de la
manera característica de un m odo norm al; es decir, cada punto de la misma
continúa vibrando transversalmente en un m ovim iento arm ónico simple y cier­
tos puntos nodales permanecerán permanentemente en reposo [fig. 7-1 (d)J.
Una vez que se ha establecido así el m od o normal, y se mantiene el requisi-
Modos normales y ondas en movimiento
229
« MAAAAAA/V
Fig. 7-1. (a) Generación de una onda móvil,
jada. (c) Onda estacionaria resultante (modo
(d) La misma onda estacionaria que en (c),
desplazamientos son mucho menores que los
(b) Onda móvil más onda refle­
normal) en su amplitud máxima.
pero en un instante en que sus
máximos.
to de alimentar de energía a la cuerda por el m edio accionador, el extremo
para x = 0 se mantiene estacionario.
En este punto podem os introducir con m ucha utilidad resultados de nues­
tro análisis form al de los m od os norm ales de una cuerda tensa. V im os que una
cuerda continua de longitud L , fija en am bos extrem os, podría en principio
vibrar con un núm ero infinito de m odos normales. E stos m odos vienen des­
critos por la ecuación
/
( nirx\
yÁ x, t) = A „ sen l — I eos u>nt
(7 _ i)
en donde
{T es la tensión de la cuerda y
la masa por unidad de longitud.) Se recorda­
rá que n es un entero y que si se idealiza al caso de una cuerda verdaderamen­
te continua, entonces n puede obtener cualquier valor hasta infinito.* Hagamos
uso ahora de ciertas matemáticas elementales para transformar la ecuación (7-1)
1 Sin embargo, recuérdese que n tiene un límite superior finito y también que la
Ec. (7-2) para
es sólo una aproximación, que falla cuando n es grande.
230
Ondas progresivas
en una form a diferente. D ados dos ángulos cualesquiera, 0 y q>, tenem os la
iden tidad:
sen (0 + <p) + sen (0 — <?) = 2 sen 0 eos <p
Por lo tanto,
sen 0 eos q) = A [sen (6* + q>) + sen (0 — cp)]
A plicando este resultado a la ecuación (7-1), tenem os
sen
( mrx
/ mrx
COS Cúnt — 2
\ .
sení—
( nirx
wní ) + sen!
De aquí que el m od o norm al enésim o para una vibración transversal de la
cuerda puede describirse mediante la ecuación sigu ien te:
,
N
y n(x, t)
, ,
( nirx
\
= i A ns e n l —
, . .
( mrx ,
unt ) + i A ns e n y —
+ o;nt
(7-3)
Si además hacem os uso de la ecuación (7-2) para o>n, tenem os
y n(x, t) = i A nsen
mr /
-t
(7-4)
+ i A nsen
Finalmente, com o vim os al estudiar los m odos norm ales en el capítulo 6, y
com o es evidente en cualquier caso desde el punto de vista dimensional de
la ecuación (7-4), podem os definir una velocidad característica v mediante la
ecuación
1/2
(7-5)
Procederem os ahora a com probar que la ecuación (7-4) es una descripción
matemática explícita de dos ondas m óviles que van en sentidos opuestos.
Supóngase que fijam os nuestra atención sobre el prim ero de los dos térmi­
nos del segundo m iem bro de la ecuación (7-4). Éste tiene la form a siguiente;
y ( x 9 1) = A
sen
2 tt .
T
(*
x
“
w )
(7-6)
en donde A = 2L/n. Si imaginamos prim ero que el tiem po se congela en un
instante particular cualquiera, el perfil de la perturbación es una onda sinu­
soidal con una distancia entre crestas (o entre cualquier otros dos valores su­
cesivos de x que tienen los m ism os valores de los desplazam ientos y de sus
Modos normales y ondas en movimiento
231
pendientes). La magnitud A es naturalmente la longitud de onda de la pertur­
bación particular. Fijem os ahora nuestra atención sobre cualquier valor de y,
qué corresponda a ciertos valores de x y de í, y preguntém onos dónde en­
contraremos el m ism o valor de y en un instante ligeramente posterior, t + At.
Si el sitio apropiado es x + Ax, deberíam os tener
*
y(x> O = y (x + Ax, t + A t)
Por lo tanto,
2tt .
sen T 0 c - v t )
= sen( y [(* + Ax) - v(t + A t)]j
Se deduce de esto que los valores de Ax y Ai están relacionados a través de la
ecuación
Ax — v At = 0
es d ecir,
Ax
= v
At
Lo que im plica esto es que, com o se indica en la figura 7-2, la onda se mueve
como un tod o en el sentido positivo x con velocidad v .
1
......................................................................
Fig. 7-2. Desplazamiento incremental de la onda qne se mueve en dirección
de las x positivas.
De un m od o exactam ente semejante, podem os ver que el segundo térmi­
no de la ecuación (7-4) describe una onda de la misma longitud de onda,
pero m oviéndose en el sentido negativo de las x con velocidad v. La onda es­
tacionaria parece ser precisam ente equivalente desde un punto de vista ma­
temático a la superposición de estas dos ondas de la misma longitud de onda
y amplitud m óviles en sentido opuesto. Sin embargo, al decir esto debem os
introducir una calificación importante. La curva descrita por la ecuación (7-6)
y su contrapartida con (x + vt) en el argumento de la función sinusoidal, re­
presentan ondas sinusoidales de longitud infinita, es decir, que se define auto-
232
Ondas progresivas
B
v
- ------------------------ L -----------------------------
Fig. 7-3. Dos ondas sinusoidales exactamente semejantes y la onda estacionaria resultante.
máticamerite que existen para tod o valor de x y para to d o valor de t, según
dichas ecuaciones. P ero el sistema que hem os escogido co m o nuestro punto
de partida era una cuerda de longitud finita L y no una cuerda de longitud
infinita. A sí pues, nuestra nueva descripción del m od o norm al en función de
ondas m óviles n o es realmente correcto. Sin embargo, es fácil ver lo que hay
detrás de la discrepancia encontrada. La figura 7-3 muestra varias etapas su­
cesivas en la marcha de dos ondas que se mueven en sentidos opuestos. Tam­
Ondas progresivas en una dirección
233
bién muestra el resultado de sumar las ordenadas de ambas de m odo que se
obtenga el desplazam iento resultante en función de x . En los puntos A y B,
distantes L, este desplazam iento es cero en to d o instante (com o se requería
naturalmente que fuese d ado el enunciado original del problem a). Los puntos
intermedios varían exactam ente de acuerdo con la ecuación (7-1). Se puede
decir entonces que respecto a las con dicion es entre x = 0 y x = L, la des­
cripción de trenes de ondas infinitas es correcta. El h e ch o de que no exista
una perturbación fuera de estos lím ites es una con d ición física que ya se tuvo
en cuenta cuando escribíam os las ecuaciones de un m o d o norm al mediante
la ecuación sencilla
( n* x i
y n(x, t ) = ^ nsenl — ) eos wnt
ya que, naturalmente, la función sen (n^x/L) es totalm ente semejante a una
función que se extiende sobre el dom inio entero de las x. Pensamos que de­
beríamos haber sido más cu id ad osos;
la descripción adecuada de la cuerda
vibrante en función de las funciones continuas de x debe desarrollarse del
modo siguiente para tres regiones diferentes:
— co < x < 0:
y (x , 0 = 0
0 < x < L: yn(x, r) = i4ns e n ^ ~ ^ j eos conf
(7-7)
L < x < <x>: y {x , 0 = 0
Era im portante hacer las advertencias anteriores porque,
com o se
señaló
primero en el capítulo 1, es dem asiado fácil olvidar las lim itaciones que las
condiciones límites reales juegan en una situación física dada. Se corre el
riesgo, impensadamente, de perm itir que una descripción se extienda más allá
de los límites de su validez. Pero habiendo dich o esto utilicem os ahora nues­
tra imaginación para ampliar la aplicación de nuestras ideas.
ONDAS P R O G R E S IV A S EN U N A D IR E C C IÓ N
En la última sección vim os cóm o un m od o normal de vibración de una cuer­
da tensa podría describirse co m o una com binación de dos ondas sinusoidales
progresivas idénticas una a la otra excepto en el sentido del m ovim iento. ¿P or
qué no suponer, entonces, que en una cuerda suficientemente larga podría ser
posible mantener una onda sinusoidal que se m oviese sólo en un sentido? La
234
Ondas progresivas
t
Fig. 7-4.
Generación de una onda móvil sobre una cuerda larga.
La iniciación de esta onda debería llevarse a cabo exactam ente com o se indicó
en la figura 7-1 (a). Pero imaginemos ahora que el extrem o fijo de la cuerda
está muy alejado , es decir, que la longitud total L de la cuerda es muy gran­
de comparada con la longitud de onda á. Después de un cierto núm ero de
oscilaciones en x = 0 , el extrem o frontal de la perturbación se ha movido
fuera del cam po de visión (fig. 7-4), y la descripción de tod o lo que vemos
a la derecha del plano x = 0 está contenido en la ecuación [ecuación (7-6)]
y (x , t) = A sen
27r
La generación de esta onda se obtiene co m o resultado de hacer oscilar
trem o
izquierdo de la
el ex­
cuerda arriba y abajo en un m ovim iento arm ónico sim­
ple de amplitud A y con una frecuencia v dada por
v = ^
(o o? = 27rc/X)
(7-8)
A
Explícitam ente, la ecuación para y en función de t para x = 0 es
y 0(f) = - ^ s e n ^ ^ — ^ = — Asenut
El aspecto de la cnerda en cualquier instante dado, t0, viene descrito por
y(x , /o ) = A sen
27r
(x -
Vto)
* *------<p0 ^
= AA sen!( 2^
—
1
en donde cp0 es un ángulo constante para el objetivo de esta descripción ins­
tantánea del aspecto de ja onda. Si el extrem o de la cuerda en x = 0 estu­
viera en reposo hasta t = tu luego vibrase sinusoidalm ente de t = tx a t = t2}
y luego se mantuviese otra vez en reposo de t2 en adelante, entonces aparece­
ría sobre la cuerda un tren de ondas sinusoidales de longitud limitada conte­
nido en cualquier instante entre x = x x y x = x 2, c o m o se indica en la figu­
ra 7-5. El extrem o delantero de la perturbación más alejado del extremo
Ondas progresivas en una dirección
235
w vw w v
i
ü
X
= 0
Fig. 7-5.
Tren móvil de ondas finitas.
x = 0 corresponde al com ien zo de la vibración para t = tu y el extrem o tra­
sero de su term inación a t — t2. En efecto, tenem os
XI —
X2 — v ( t 2
—
ti)
Esto es un ejem plo particular de un resultado m uy im p orta n te:
La propagación de la onda a lo largo de la cuerda a velocidad constante v
es, de h ech o, un m edio d e transform ar la variación d e desplazam iento con el
tiempo en una posición fija en la variación correspon d ien te del desplazamiento
con la posición en un tiem p o cualquiera . 1
Para cualquier perturbación sinusoidal pura la velocidad de la onda v se
define co m o el p rodu cto 7v [véase la ecuación (7-8)]. Y de acuerdo con la ecua­
ción (7-5), el valor de v para las ondas en una cuerda tensa tiene el mismo va­
lor s/Tjf}., para todas las longitudes de ondas. Esta falta de dependencia de
v con v o X n o es cierta generalmente para m ovim ientos ondulatorios. De m o­
mento, sin em bargo, nos lim itarem os n osotros m ism os a casos en los que pue­
da admitirse com o válida.
Escribam os ahora la ecuación diferencial que gobierna la propagación de
una onda m onodim ensional co m o la descrita por la ecuación (7-7). Ésta será
una relación entre las derivadas parciales del desplazam iento y respecto a
x y t. Tenem os así
¿Deberíamos entonces escribir la ecuación diferencial de la onda com o
dy
dx
1 dy
v dt
1 Existe una sutilidad escondida aquí. C om o veremos posteriormente, no se puede tomar
como cierto que una vibración sinusoidal de vibración limitada en el tiempo genera una
onda sinusoidal pura de extensión limitada en el espacio. Pero existirá todavía una corres­
pondencia entre lo que ocurre en el fo co o fuente y lo que aparece en la cuerda.
236
Ondas progresivas
N o hay nada que nos lo impida, pero rom pería un p o c o nuestro estilo, ya que
la ecuación anterior se aplica sólo a las ondas que se mueven en el sentido
positivo de las x. Supongamos la ecuación
2tt / .
.
y = /ísen y (x + v t)
de una onda que se mueve en el sentido negativo de las x. Entonces tendríamos
dy
2 tt .
2tt
t - = — A eos
(x + vt)
dx
A
2ttü
dy
dt
2ir
A eos y (* + vt)
y de aquí
= 4. i ^
dx
v dt
Sin embargo, obteniendo las segundas derivadas, llegam os a una relación
que es cierta para las ondas sinusoidales de cualquier longitud de onda que
se mueven en am bos sentidos:
d2y
V2 dt2
1
dx 2
(7-9)}
v
N o es ninguna sorpresa que esta ecuación sea idéntica a la del m ovim iento con
la que iniciam os el capítulo 6 [ecuación (6-4)] y que nos con d u jo a los modos
normales de una cuerda tensa o cualquier otro sistema m onodim ensional con­
tinuo som etido a fuerzas restauradoras lineales.
V E L O C ID A D E S D E L A S O N D A S EN M E D IO S E S P E C ÍF IC O S
Cualquier sistema gobernado por la ecuación (7-9) es un sistema en el que
pueden viajar ondas sinusoidales de cualquier longitud de onda con veloci­
dad v. Entonces puede ser un tema de interés calcular el valor de v en cual­
quier caso particular. P or ejem plo, supóngase que se estira una cuerda o alam­
bre que tiene /x = 0,5 g/m con una fuerza de 100 N . Para ondas trasversales
sobre dicha cuerda tendrem os
V
=
«=> 450 m /seg
Por otra parte, si se estira hasta la misma tensión una cuerda o un trozo de
tubería de goma con una masa por unidad de longitud de 1 kg/m , llevará
ondas a una velocidad sólo de 1 0 m por segundo, lo cual realmente es todavía
más rápido.
Velocidades de las ondas en medios específicos
237
H em os desarrollado la ecuación (7-9) en función de las ondas transversales
solamente; pero c o m o vim os en el capítulo 6 , las vibraciones longitudinales
de una colum na de material elástico están regidas por una ecuación de la mis­
ma form a exactam ente:
dx 2
v2 dt2
Ésta es la ecuación diferencial básica para ondas de com presión que se
mueven a lo largo de una d im en sión , ondas de un tipo que pueden englobar­
se juntas bajo el título general de sonido, aunque sólo es detectable por un
oído hum ano un lim itado intervalo de sus frecuencias. En este punto es ade­
cuado considerar la velocidad de dichas ondas sonoras en materiales dife­
rentes.
1.
Barras o varillas sólidas.
El valor de v para ondas que se mueven a lo
largo de una barra o varilla viene definida por el m ódu lo de Y oung y la
densidad:
La tabla 7-1 muestra algunos datos del m ódu lo de Y oung, de la densidad
y de las velocidades calculadas y observadas del sonido en diversos materiales.
TABLA 7-1:
Material
Aluminio
Granito
Níquel
Plata
Plomo
Pyrex
M ÓDULOS DE YO U N G Y V ELO CID A D DEL SON IDO
Y , N /m 2
6,0
5,0
21,4
7,5
~ 1,6
6,1
X
X
X
X
X
X
1010
1010
1010
1010
1010
1010
kgjm 3
2,7
2,7
8,9
10,4
11,4
2,25
X 103
X 103
X 103
X 103
X 103
X 103
V Y /p , m /seg
v, m /seg
4700
4300
4900
2680
1190
5200
5100
~ 5000
4970
2680
1320
5500
Com o puede verse, son velocidades típicas de varios millares de m/seg, y no
es demasiado malo el acuerdo existente entre los valores calculados y los o b ­
servados. Es interesante recordar que el m ódulo de Y oung se basa en m edicio­
nes estáticas, mientras que la propagación del sonido depende de la respuesta
del material a tensiones rápidamente alternativas, de m odo que no es de espe­
rar un acuerdo demasiado exacto. Adem ás, el em pleo del m ódulo de Y ou ng su­
pone que el material puede expansionarse o contraerse lateralmente (muy lige­
238
Ondas progresivas
ramente, co m o es natural) cuando la onda de com presión o de expansión pasa
por él. Pero el material del interior del cu erp o no posee esta propiedad; la
resistencia a la deform ación se ve, de hecho, aumentada y se eleva la veloci­
dad calculada. Sin embargo, la diferencia no es enorm e (es del orden del 15 %),
y para el objetivo de la presente discusión n o la considerarem os más.
La velocidad de estas ondas elásticas en sólidos es notablem ente elevada.
Una onda de com presión en granito, p or ejem plo, tal cq m o podría ser genera­
da en un terrem oto, tiene una velocidad de unos 5 km /seg y recorrerá casi una
sem icircunferencia com pleta alrededor de la Tierra en el espacio de una hora.
2.
Columnas de líquidos.
Un líquido, co m o un gas, está caracterizado en
un com portam iento elástico por su m ódu lo de com presibilidad, K . En gene­
ral, los líquidos son bastante más com presibles que los sólidos, sin ser mu­
chísim o menos densos; esto significa que las ondas del sonido se mueven en
los líquidos más lentamente que en los sólidos. El caso más im portante es el
del agua. El volum en de agua disminuye en un 2,3 % por la aplicación de una
presión de unas 500 atmósferas (1 atm ^ 10" N /m 2). E sto da un m ódulo de
com presibilidad de 2,2 X 109 N /m 2, y com o su densidad es
10* kg/m 3, se
tiene
1500 m /seg
Este valor es muy próxim o al real y la mayoría de los líquidos transportan
ondas de com presión a una velocidad del orden de 1 km /seg.
3.
Columnas de gas.
V im os en el capítulo 6 có m o las frecuencias de vi­
bración de un gas dependen del m ódulo adiabático de elasticidad que puede
diferir m uy significativamente del m ódulo isoterm o. Esta gran diferencia se
produce debid o a la alta com presibilidad de un gas, lo cual significa que se
hacen sobre él cantidades sustanciales de trabajo, si se varía la presión. Aun­
que las vibraciones en un sólido o en un líquido pueden ser también adiabá­
ticas, su mucha m enos com presibilidad equivale a decir que muy poca energía
puede aceptarse de este m od o y los m ódulos elásticos isoterm os y adiabáticos
no son muy diferentes.
En el capítulo 6 señalábamos que el m ód u lo de elasticidad adiabática de
un gas venía dado por
Velocidades de las ondas en medios específicos
239
de m od o que
•Para el aire, y
1,4, p
1,2 kg/m 3, y esto da
v ~ 340 m /seg
Es interesante prestar un p o co más de atención a la ecuación (7-11). La
ecuación general de los gases para una masa m de un gas efectivamente ideal
de peso m olecular M es
siendo R la constante de los gases y T la temperatura absoluta. C om o el c o ­
ciente m/V es precisam ente la densidad p, la ecuación (7-11) nos dará
- - C
f r
<7' ,2)
La velocidad del son ido en un gas será, por tanto, (a) independiente de la
presión o de la densidad, (b) proporcional a la raíz cuadrada de la temperatu­
ra absoluta, y (c) inversamente proporcional a la raíz cuadrada del peso m o­
lecular. Los resultados (a) y (b) son correctos para cualquier gas, al menos en
un am plio intervalo de p o de T, y (c) es válido si com param os diversos gases
del m ism o tipo m olecular (por ejem plo, tod os diatóm icos).
La otra característica particularmente interesante de la ecuación (7-11) vie­
ne a luz si recordam os el cálculo de la presión de un gas dado por la teoría
cinética elemental. Este cálcu lo condu ce al resultado
[ecuación (6-19), pá­
gina 199]:
V — $pv2**
en donde vcm es la raíz cuadrada de la media cuadrática de la velocidad de las
moléculas. Por lo tanto, a partir de este resultado tenem os
1/2
{*£ \
V c m~ \ p )
-
(7-13)
Comparando las ecuaciones (7-11) y (7-13), vem os que la velocidad del sonido
en un gas, según viene dada por nuestro cálculo, es aproximadamente igual a
la velocidad media de las propias m oléculas. C om o la inform ación de que un
extremo de una colum na de gas ha experim entado un choque (por ejemplo)
debe ser transportada por las propias m oléculas, esta igualdad aproximada de
240
Ondas progresivas
la velocidad del sonido y de la velocidad m olecular (a unos p o co s de cientos
de metros por segundo) tiene una lógica adecuada.
S U P E R P O S IC IÓ N
H emos visto cóm o es posible que una cuerda tirante vibre en una superposi­
ción constituida por una selección arbitraria de sus m odos normales. Consi­
derem os ahora el problem a estrechamente relacionado con el anterior de pro­
vocar ondas progresivas de varias longitudes de ondas diferentes sobre una
cuerda larga u otro m edio semejante. Para empezar con ello, considerem os el
caso muy sencillo de dos ondas de igual amplitud, ambas m oviéndose a lo largo
del sentido positivo del eje x, descrito separadamente por ecuaciones de la for­
ma de la ecuación (7 -7 ):
27r ,
y i = A sen — (x M
2 ti■
y 2 = Asen — (x .A2
x
vt)
(7-14)
vt)
Según hem os aprendido sobre la superposición lineal de los desplazamien­
tos en sistemas que obedecen a ecuaciones del tipo de la ecuación (7-9), sabe­
mos que el desplazamiento resultante es precisam ente la suma de y 1 y de y2.
De aquí tenemos
+ se n
y = y\ + y 2 = A
2tt ,
X2
C om o ambas ondas tienen (adm itim os) la misma velocidad v, la perturba­
ción com binada se mueve con una estructura de form a invariable, del mismo
m odo que una onda de una sola longitud de onda es c o m o una curva sinusoi­
dal rígida m oviéndose a lo largo del eje a velocidad v. La form a de la combi­
nación se considera más fácilmente si hacem os t = 0 ; entonces tenemos
y — A
( 27 rx \
( 2 7 XX
Tal com binación, para dos longitudes de ondas que no sean muy diferen­
tes entre sí, se indica en la figura 7-6. Recuerda precisam ente el caso de las
pulsaciones, que estudiam os en el capítulo 2. Realm ente es un fenóm eno pul­
sante, aunque la m odulación de amplitudes es aquí una función de la posición
Superposición
241
2A
Fig. 7-6. Superposición de dos ondas móviles de longitudes de onda ligera­
mente diferentes.
en lugar del tiem po. A l estudiar estas ondas superpuestas (y en otras con exio­
nes también, es extrem adam ente conveniente introducir el recíproco de la lon ­
gitud de onda). Esta m agnitud k ( = 1/A) se denom ina n úm ero de onda; es el
número de longitudes de onda com pletas por distancia unidad (y, natural­
mente, no necesita ser un entero ) . 1
En función de los núm eros de ondas, la ecuación para la onda superpuesta
puede escribirse del m od o sigu ien te:
y = A [sen 2nkxx -f sen 2irk2x]
o bien
y = 2 / l c o s [ 7r(&i — ¿ 2 ) * ] sen^27r^1 ^
x'j
(7-15)
La distancia de p ico a p ico del factor de m odulación se define por la va­
riación de x correspondiente a un aum ento de n en la magnitud x(kx — k2). Lla­
mando a esta distancia D , tenem os
D —
1
_
ki — A:2
X 1 X2
X2 — Xi
Si las longitudes de onda son casi iguales, podem os escribirlas en la forma
Á, i + AA, y así tenem os (aproxim adam ente)
VAtención! Debido que la com binación 2iz¡\ se presenta con gran frecuencia en la des­
cripción matemática de las ondas, ha resultado una práctica común en la física teórica
utilizar el término número de onda y el sím bolo k para designar esta combinación que es
igual a 2nk en nuestra notación presente.
242
Ondas progresivas
Esto significa que un núm ero de longitudes de onda dadas aproximadamen­
te por x/AA está contenido entre dos ceros sucesivos de la curva envolvente de
la m odulación.
La p rod u cción de estas ondas que se m ueven superpuestas sobre una cuer­
da puede llevarse a cabo im poniendo simultáneamente dos frecuencias y am­
plitudes de vibraciones diferentes en un extrem o de la cuerda. E sto se expresa
matemáticamente considerando el caso para x = 0 correspondiente a los des­
plazamientos definidos p or las ecuaciones (7-14). Entonces tenem os
El cociente 2 ttu/A define la frecuencia angular
o>
de cada vibración, y así te­
nemos
2/o(0 = — A [sen o)Xí + sen w2í]
Éste es entonces un caso explícito de pulsaciones en el tiem po y vem os aquí
un ejem plo particular del m odo en que una perturbación dependiente del tiem­
po en el fo co genera una perturbación dependiente del espacio en el medio.
Esta superposición de ondas se ilustra de un m od o particularmente bello
mediante las ondas sonoras. En la transmisión del son ido de una fuente a un
receptor tenemos una aplicación dual del principio que acabam os de señalar.
En la fuente o fo c o existe cierta variación del desplazam iento con el tiempo,
com o resultado del cual se produ ce un tren de ondas sonoras que se mueve
alejándose del foco. En cierto tiem po posterior estas ondas o alguna parte de
ellas caen sobre un detector produ ciendo en él un desplazam iento dependiente
del tiem po, el cual idealmente tiene exactam ente la misma form a que la que
se produjo en la fuente. La figura 7-7 muestra algunos ejem plos escogidos
e ilustra el m od o en el que los arm ónicos de un instrum ento dado se combi­
nan para generar un diagrama que repite el m ism o una y otra, vez. Los diagra­
mas representan la respuesta al receptor, pero podem os imaginar en cualquier
instante una perturbación del aire, periódica en la distancia, a la cual corres­
ponda la señal recibida.
PU LSO S DE O N D AS
Puede pensarse que una onda es co m o algo que envuelve una sucesión com­
pleta de crestas y valles, pero esto no es en absoluto necesario. Realmente, se
Pulsos de ondas
243
Fig. 7-7. Formas de onda de (a) flauta; (b) clarinete; (c) oboe; (d) saxofón.
(Según D. C. Miller, Sound Waves and Their Uses, Macmillan, Nueva York,
1938.)
presentan innumerables casos en el que un solo pulso aislado de perturbación
viaja de un lugar a otro a través de un m e d io , por ejem plo, una palabra ais­
lada de felicitación o de m ando pronunciada en v o z alta de una persona a otra.
Los pulsos de este tipo pueden producirse tom ando un muelle estirado (o cuer­
da elástica) y produciendo en él una deform ación
lo c a l, por ejemplo, torcien­
do un extrem o y luego m anteniéndolo fijo. La figura 7-8 muestra el co m ­
portamiento siguiente a un pulso de este tipo. Se mueve a lo largo del mismo
a velocidad constante, de m od o que en cualquier instante sólo está perturba­
244
Ondas progresivas
da una sección limitada del muelle, y las regiones antes y después están qui­
tas. El pulso continuará m oviéndose de este m od o hasta que alcance el extre­
mo más alejado del muelle, en cuyo punto se produ ce un p roceso de reflexión
en cierto m odo. Sin embargo, en tanto que el pulso continúa ininterrumpido,
parece que conserva la misma form a, co m o se ve en la figura 7-8. ¿C ó m o po.
demos relacionar el com portam iento de estos pulsos con lo que hem os apren­
dido de las ondas sinusoidales? La respuesta la suministra un análisis de
Fig. 7-8. Generación y movimiento de un pulso sobre un muelle, mostrado
mediante una serie de fotografías tomadas con una cámara tomavistas de cine.
(Según Physical Science Study Commitee, Physics, Heath, Boston , 1965.)
Pulsos de ondas
245
Jourier, y en el estudio siguiente verem os cóm o puede hacerse esta conexión.
Es un estudio que com pensa sobradamente, porque nos deja libres para con ­
siderar la transmisión de cualquier señal, sea cual sea.
Imaginemos primeram ente una cuerda inmensamente larga que se hace os­
cilar por un extrem o hacia arriba y hacia abajo en un m ovim iento arm ónico
simple con un período de una hora. Para concretar las cosas, supongamos que
la cuerda tiene una tensión de 100 N y que su densidad lineal es de 1 kg/m.
Así resulta una velocidad de ondas s/T/p de 10 m /seg, y la longitud de onda
será esta misma velocidad v dividida por la frecuencia v ( = 1/3600 seg-1) o, lo
que es equivalente, a la velocidad multiplicada por el p eríod o (3600 seg), lo que
nos da A = 36 000 m. Im aginem os que nuestra cuerda es varias veces mayor
que este valor, digamos, por
ejem plo, 100 km . Este
m ontaje con creto es
físicamente absurdo, pero la consideración del m ism o nos ayudará a desarro­
llar las ideas esenciales.
Supóngase ahora que hacem os oscilar el extrem o de la cuerda con una
combinación de arm ónicos de la frecuencia básica. El segundo arm ónico ge­
nerará ondas sinusoidales de longitud de onda 18 0 0 0 m, el trigésimo sexto
armónico generará ondas de longitud aproxim adam ente igual a 1 km, y el
armónico núm ero 36 000 generará ondas de longitud de 1 m. Citamos estos
valores co m o ejem plos específicos, pero el punto principal a señalar es que
podemos enfrentarnos con la posibilidad de superponer millares y millares de
vibraciones sinusoidales diferentes al extrem o accion ado de la cuerda, todos
los cuales son m últiplos enteros de la misma frecuencia básica (extremada­
mente baja) y que tod os darán origen a ondas que se m ueven a lo largo de la
cuerda a la misma velocidad. En consecuencia, tendrem os m oviéndose a lo
largo de la cuerda un diagrama de perturbación repetitivo, básicamente seme­
jante al indicado en las figuras 7-6 y 7-7, pero en los que la distancia de re­
petición será enorm em ente larga, e igual, de hecho, a la longitud de onda
asociada con la frecuencia básica de 1 h _1.
Pero introduzcam os ahora las posibilidades notables implicadas en el teo­
rema de Fourier. Su característica consiste en que, co m o vim os en el capítulo 6
[ecuación (6-30)], cualquier diagrama del desplazamiento dependiente del tiem ­
po que se repita a sí m ism o periódicam ente (con una periodicidad de 2 tt/wj)
puede expresarse com o una com binación lineal de la serie infinita de arm ónicos
representada por wj y por tod os sus m últiplos enteros:
00
y(O =
3C
n=l
cneos (« 0)1 /
-
5„)
(7-16)
246
Ondas progresivas
líM
1 ..........
\ /
W1
2T
------------------
Wi
A
—
t
V\
25
Fig. 7-9. Ejemplos de perturbaciones repetidas periódicamente que son nulas
en la mayor parte del período de repetición.
Y su inverso es que podem os sintetizar cualquier diagrama repetitivo por me­
dio del espectro com pleto de arm ónicos de la frecuencia básica toj/2 - . Ahora,
en particular, podem os imaginar una perturbación que es nula en la mayoría
del período de repetición ; en la figura 7-9 se muestran algunos ejemplos. De
acuerdo con el teorema de Fourier, cada una de ellas y cualquier otra función
repetitiva del tiem po parecida, puede construirse a partir de las vibraciones
sinusoidales, que individualmente son siempre funciones continuas del tiem­
po. La ausencia de cualquier desplazamiento sobre la m ayoría del período de
repetición 2 ~/o)t se consigue precisamente por la com binación correcta de ar­
m ónicos, dan do com o resultado una anulación com pleta de la perturbación en
esta región, pero, sin embargo, proporcionando la perturbación particular dada
no nula sobre la parte del período, co m o era de desear.
Es conveniente señalar que la ecuación (7-16) [que es idéntica a la ecua­
ción (6-30)] implica que son necesarias tanto las funciones seno com o coseno
de
para la representación de una función periódica arbitraria, pues te­
nemos
C n eos (raojt — ¿„) = A n sen m oj + Bn eos nm-f
Sin embargo, ciertas form as de y(t) serán describibles en función de las
funciones sinusoidales o cosinusoidales solamente. Específicamente, si y(t) es
una función par de t, de m odo que /(— t) = + f(t) para cualquier valor de í,
entonces el análisis de Fourier exige funciones cosen o solam ente;
mientras
Pulsos de ondas
247
Sim etría par
y(0
(a)
\
O
^
"i
Nw
/
—2ir/w j — JT/'W]
- r \
O1
■ y
7r/<jjj
i - v
Itr/tíi
>(0
0 »)
O
w
Simetría
- 2 /«, '
■
t
1
T/B , f V A / N
71
2t /
u i
impar
>■(/)
(el
O
'
■■
wl; Ul N >
2 ir// u i
- 2 ir/ a;!
>■(/)
id)
° K
I
^
—
'
; 1 Wl V
—2r/u)i
V
27t/ü?i
Fig. 7-10. Desplazamiento del origen para conseguir simetría en diversos ti­
pos de pulsos.
que si se tiene una función impar, de m od o que f(— t) = — f(t), entonces bas­
tará solamente con las funciones seno. Este tipo de sim plificación será siem­
pre posible si la función y(f) tiene una simetría impar o par respecto al punto
medio del tiem po. Sin embargo, se debe desplazar el origen de t para aprove­
charse de esta simetría. A sí, por ejem plo, en la figura 7-9 (a) la función y(t),
compuesta de 2\ ciclos de una onda sinusoidal seguida por una perturbación
nula, no es ni par ni impar respecto al origen de tiem po indicado. Por otra
parte, si se desplaza el origen al punto 0 \ que corresponde a la cresta central
del tren de ondas sinusoidales, la función es una función par respecto a O'.
Análogamente, cualquier núm ero en tero de ciclos de una onda sinusoidal, re­
petida a intervalos regulares, podría representarse com o una función impar
mediante el apropiado desplazamiento del origen. En estos casos un período
de repetición
t= +
tt/oju
aislado
se
mide
más
convenientem ente
entre
t = —
y
que entre 0 y 2^/wj. La figura 7-10 ilustra la aplicación de este
procedimiento a unos pulsos típicos pares o impares.
248
Ondas progresivas
E jem plo . 1
Supóngase que deseamos obtener una onda en la form a de 100
ciclos del arm ónico
milésim o , que ocupará una décim a del período de repe­
tición básico, seguido por una perturbación 0 durante el 90 % restante del
tiempo. Esto recordaría el caso indicado én la figura 7-10 (d). A l referirnos al
punto m edio del tren de ondas la función viene descrita por las ecuaciones si­
guientes en el período de repetición entre — ¡n/wi y + tt/wi :
y (t) = A osen N m t
y (0 =
0 < |/| <
moi
10 0 ?r
—— <\t
0
Nu\
ir
cüx
< —
( 7 ~ 17)
en donde
N = 1000
C om o la función es impar, es analizable en función de una serie com pleta de
funciones sen n ^ t solamente [es decir, tod os los ángulos de fase Sn en la ecua­
ción (7-16) son iguales a ít/2] :
00
y (0 = X I C„sen/*coií
(7-18)
n= 1
Y se obtienen los coeficientes C n a través de la propiedad de ortogonalidad
de las funciones senos respecto a la integración en un período com pleto Injup.
.w
dado que n1y ^ n 2
(0
f
sen n ^ t sen n ^ t dt =
—ir/«j
— dado que m = n2
iwi
A sí resulta, después de multiplicar la ecuación (7-18) por sen wa>xí y de in­
tegrar, el resultado
/
ir/«j
y (/)se n «w i/ dt
-ir/ coj
En esta expresión sustituimos el valor de y(t) dado por las ecuaciones (7-17),
que nos da, por tanto,
/
lOOir/Vcoj
- 100 ir¡Nui
1
__
sen Nn^t sen n ^ t dt
Esta parf e puede suprimirse sin ninguna pérdida de la continuidad.
Pulsos de ondas
(Obsérvese que los lím ites de integración son ahora
±
249
\%n¡NtúU debido a
que fuera de estos límites el integrando es nulo.) Calculem os esta integral uti­
lizando la relación
sen Ntúit sen n ^ t = £[cos (N — ri)o¡xt — eos (N + n)o}Xt]
Por lo tanto,
senMoi/sen«coi/í/r =
ri)o)\t
h s e n( N(#——«)o>i
sen(JV + ri)<¿\t
( N 4- n)coi
]
Incluyendo los límites de í, vem os que <úXt tom a los valores + 10On/N. A sí te­
nemos
f m i r ( N - n )
_
100ir(JV +
n)
js e n
—-----sen
N
c ^ mAo\
L
7r v
(N “
(N + «)wi
»
Aquí introducirem os una aproxim ación. Obsérvese que el primer término
dentro de la llave tiene un denom inador muy pequeño para n ^ N , mientras
que el denom inador del segundo térm ino es siempre grande. El valor máximo
posible del num erador en cada caso es la unidad. A sí en la mayoría de los
casos es posible ignorar el segundo término, lo cual nos perm ite escribir una
expresión aproxim ada simplificada para las amplitudes C n:
r
„
C'n ~
. Jsen
Ao
7T \
100w(N -
n)
N
N — n
o bien
ÍOOAo /sen 0n\
,
„
100tt(N —
n
)
~ ñ ~
en donde e ' = —
ñ—
Estos valores de C n son de valor apreciable sólo en las proximidades de
n= N. La función
(sen 0n)/0n es la unidad para 0n = 0 y tiende a
cero para
0* = ± 77 (más allá
de cuyo valor oscila entre valores negativos y luego posi­
tivos con una amplitud que decrece de m od o constante ) . 1 Si N — 1000, com o
hemos adm itido, entonces 0n = + n para N = ± 10. Y esto significa que el
espectro de nuestro grupo de 100 ciclos de N = 1000 es, fundamentalmente,
un agregado de contribuciones com o la indicada en la figura 7-11, en el que
el mismo n = 1 0 0 0 proporciona la amplitud aislada más grande.
1 La aparición de valores negativos de C„ puede, com o en el caso de nuestro
estudio del
oscilador forzado, describirse mediante una variación de fase de 7 c. Por tanto, se pueden descri­
bir estas contribuciones en función de valores positivos de Cn asociadas con fases de dn iguales
i 3ic/2 (o — 7t/2) en lugar de tc/2.
250
Ondas progresivas
Cn
do
10
‘
980
990
1000
1010
1020
Fig. 7-11. Espectro de frecuencias (amplitud en función de la frecuencia ob­
tenida mediante un análisis de Fourier) de una señal compuesta por 100 ci­
clos de una onda sinusoidal pura repetida a intervalos de tiempo de 1000
ciclos.
Si perm itim os que nuestra vibración escogida continúe durante un gran
número de ciclos, su espectro en función de los arm ónicos puros, mantenidos
indefinidamente se estrechará hasta que, en el lím ite de un núm ero infinita­
mente grande de ciclos, podríam os, co m o es natural, dejarlo só lo con el ar­
m ónico puro N = 1000. Por otra parte, un pulso constituido solamente por
algunos ciclos de una frecuencia arm ónica dada, requeriría el em pleo de un
espectro excesivamente amplio (es decir, m uchos arm ónicos con amplitudes
com parables) en su síntesis de Fourier . 1 Esta con exión esencialmente inversa
entre la duración de un pulso y la anchura de su espectro de frecuencias es
muy fundamental. Este tipo de resultado es precisamente aquel al que dirigi­
mos nuestra atención en el capítulo 1 , dando efectivam ente una advertencia
en el sentido de que las perturbaciones perfectamente puras no existen real­
mente, pero naturalmente, una vibración sinusoidal que continúe (por ejem­
plo) durante un m illón de ciclos está muy cerca de ser un espectro de frecuen­
cias com puesto de una raya nítida solamente.
V olvam os ahora a los aspectos más cualitativos de una vibración repetida
con largos intervalos de quietud intermedios. Considerarem os esta vibración,
originada en un lugar dado, co m o si se analizase en su espectro completo de
1 Deberá comprobar el propio lector que el análisis precedente implica esta propiedad.
Movimiento de pulsos de onda de forma constante
251
componentes de Fourier. A h ora bien, siempre que la velocidad de onda aso­
ciada con cada com ponen te de frecuencia sea precisam ente la misma, estas
vibraciones intermitentes pero periódicam ente repetidas darán lugar a pulsos
aislados, igualmente separados, que se m ueven a través del m edio. Con nues­
tra cuerda muy larga, por ejem plo, se podría imaginar la posibilidad de gene­
rar pulsos de ondas de la clase indicada en la figura 7-9 (c), con una longitud
total de algunos m etros y separados por la distancia básica de repetición de
36 kilómetros. Para tod os los demás intentos y objetivos estas perturbacio­
nes serían aisladas e individuales. Desde luego, no se necesita mucha imagi­
nación para ver que los principios del análisis de Fourier pueden prolongarse
hasta un lím ite en que el período de repetición es infinitamente largo, y así,
por tanto, constituye la distancia repetición de una form a ondulatoria en la
onda que se propaga. P odem os considerar la descripción de un diagrama ais­
lado no repetido del desplazam iento en función del tiem po de la posición,
como una función de un espectro com pleto (con tin uo) de perturbaciones sinu­
soidales con período o longitud de onda que se extiende hasta valores infini­
tamente grandes.
Es precisamente en estos térm inos que acabam os de escribir y som etidos
a la condición de que la velocidad de las ondas sinusoidales puras sea inde­
pendiente de su frecuencia o longitud de onda, co m o podrem os enfrentarnos
con la propagación sin ningún cam bio de form a, de pulsos aislados arbitrarios
a través del m edio. Considerem os ahora algunas características del m ovim ien­
to de dichos pulsos.
MOVIMIENTO D E P U L S O S D E O N D A D E F O R M A C O N S T A N T E
Dado un pulso que satisface las condiciones estudiadas anteriormente, proce­
demos a discutir su com portam iento en térm inos muy generales. Supóngase
que se mueve un pulso de izquierda a derecha y que en un instante que de­
nominaremos t = 0 , viene descrito por una cierta e c u a ció n :
y<í=o) = f ( x )
Si el pulso co m o un to d o está m oviéndose a una velocidad v, entonces en
m instante posterior t el desplazam iento que originalmente existía para cierto
valor particular de x (digam os x2) resulta que está ahora en x 2, siendo
X2 = x i + vt
252
Ondas progresivas
A l
Fig. 7-12.
X2 ~
X l
“h Vt
Movimiento de un pulso móvil arbitrario.
La ecuación del pulso para este nuevo valor de t puede obtenerse dándose
cuenta de que una descripción del pulso en el tiem po t tiene el m ism o aspecto
que una descripción para t = 0 excepto en un desplazam iento del origen de
x en la distancia vt (véase fig. 7-12). Podem os expresar matemáticamente esto
diciendo que el desplazamiento trasversal, para cualquier valor de x y t, viene
dado por
y(x, t) = f ( x - vt)
La elección
(749 )
de esta form a analítica puede com probarse, co m o en el caso
particular de una onda sinusoidal pura, considerando la con dición necesaria
para que se encuentre un valor particular de y en (x + &x, t + Ai) después
de haber sido previamente observada en (x, í). De m od o semejante un pulso
que se m ueve de derecha a izquierda viene descrito por
y(x, O = g(x + vt)
La form a
exacta de las funciones f y g carece
(7- 20)
de im portancia. Todo lo
que
im porta es que y deberá ser expresable en función de x ± vt, A sí pues,
por
ejem plo, podríam os
definir una cierta form a de pulso m oviéndose de iz­
quierda a derecha mediante la ecuación
**• o - p + v
-
w )2
™
En la figura 7-13 (a) se indican diversos im pulsos para t = 0 y para un tiem­
po ligeramente posterior. El p ico del pulso deberá ser de una altura b y deberá
pasar por el punto x = O para t = 0. El pulso disminuirá hasta la mitad del
m áxim o de altura en los puntos x = v t ± b y deberá disminuir hasta menos
del 10 % de su altura de p ico para \x — vt\ > 3b. Y se podrá escribir cualquier
núm ero de form as de pulso posibles, utilizando funciones de potencias, ex­
ponenciales o. trigonom étricas, etc. Pero tod os estos pulsos se moverían del
mismo m odo conservando su form a y m oviéndose a la misma velocidad v si
se describen correctam ente mediante una u otra de las ecuaciones (7-19) y (7-20),
Movimiento de pulsos de onda de forma constante
253
y
(a)
0
x
dy
dt
(b)
x
Fig. 7-13. (a) Desplazamiento incremental del pulso descrito por la Ec. (7-21).
(b) Distribución de las velocidades transversales durante el desplazamiento
incremental del pulso.
Es muy im portante para una com prensión de las ondas apreciar la forma
en que el m ovim iento de un perfil de onda a lo largo de su dirección de pro­
pagación (* ) puede ser la consecuencia de los desplazam ientos de partículas a lo
largo de una dirección puramente trasversal (y). A sí, por ejem plo, el pulso de
la figura 7-13 (a) se m ueve hacia la derecha porque en cualquier instante, el
desplazamiento trasversal de tod os los puntos a la izquierda del p ico está dis­
minuyendo y el desplazam iento de tod os los puntos a la derecha del p ico está
aumentando. Es una consecuencia autom ática de estos m ovim ientos que el
desplazamiento del p ico se presente a valores cada vez m ayores de x según va
pasando el tiem po.
Calculemos la distribución de las velocidades transversales para el pulso des­
crito por la ecuación (7-21). La velocidad transversal de cualquier partícula del
medio (muelle, cuerda o cualquier otra cosa) es la velocidad con que cambia
y con t para un cierto valor dado de x , es decir,
254
Ondas progresivas
en donde utilizam os la notación de derivada parcial, apreciando que y es una
función tanto de x co m o de t y que estamos m anteniendo fijo x. A sí, a partir
de la ecuación (7-21) tenem os
Vy
[/b2 -
(x - v t W d t [b +
Vt) 1
es decir,
_
Vy X’ ^
2 b3(x -
vt)v
[¿2 + (x - vt)212
(7_22)
Esta ecuación define la velocidad transversal en cualquier punto y en cual­
quier instante. Supóngase ahora que deseam os la distribución de velocidades
transversales para t — 0 , cuando el p ico del pulso está pasando a través del
punto x = 0. H aciendo £ = 0 en la ecuación (7-22) resulta
vy(x, 0 ) -
2b vx
El gráfico de esta distribución de velocidades se indica en la figura 7-13 (b),
y es fácil ver cóm o estas velocidades, operando durante un tiem po corto Ai,
dan origen a pequeños desplazam ientos vectoriales que desplazan el pulso como
un tod o del m odo indicado en la figura 7-13 (a). D ebe apreciarse naturalmen-.
te que la distribución de velocidades en sí misma se m ueve con el pulso de
m odo que la condición vv = 0 se satisface siempre en el p ico del pulso. La
form a de la ecuación (7-22) im plica esta con dición , porque muestra que vv
com o el m ism o y, es una función de la variable com binada x — vt.
El lector habrá apreciado ya que existe una con exión íntima entre la velo­
cidad transversal y la pendiente del perfil del pulso. Por supuesto (véase fig. 7-14)
que un dibujo instantáneo de un pulso muestra una pequeña porción del mis­
m o a lo largo de la línea recta A B . La pendiente puede medirse por el cociente
A'B/AA'. Pero en algún intervalo co rto de tiem po At la línea se moverá a
A'B'\ este tiem po viene dado por
AÁ
A t = ----v
siendo v la velocidad con la que se mueve el pulso. Sin em bargo, si limitamos
nuestras observaciones al valor particular de x indicado por la línea vertical,
veremos que el desplazam iento transversal varía de PB a P A ' cuando el pulsease
mueve. La cantidad de este desplazamiento es precisamente el valor negativo
de la distancia A 'B, y la velocidad transversal asociada es
- A'B/At = -ü íA 'B / A A ’).
Movimiento de pulsos de onda de forma constante
255
Fig. 7-14. Relación entre el desplazamiento transversal de un medio y el des­
plazamiento longitudinal de un pulso móvil.
Expresemos esto en un lenguaje de derivadas parciales. La pendiente A B j A A
es el valor de AyjAx para cierto valor fijo de t, y del estudio anterior podem os
ver que (en el lím ite) es válida la siguiente relación;
v1t
= — v dy
dx
Com o v y es el valor Ay¡At para algún valor fijo de x, podem os escribir al­
ternativamente esto de la form a
Vy
“
dy
dy
di ~ ~ Vdx
Así pues, la velocidad transversal en cualquier punto es directamente pro­
porcional a la pendiente del perfil del pulso en dich o punto.
Podemos com pletar este análisis recordando que el m ism o v viene definido
como el valor límite de Ax¡At para cierto valor fijo de y, es decir,
dx
v =
dt
Reuniendo tod os estos datos se obtiene el siguiente resu lta d o:
dy
dy dx
dx ~dt
(7-23)
La ecuación (7-23) decepciona puesto que parece ser simplemente la regla
de la cadena utilizada en las derivadas ordinarias, pero hay que observar el
signo menos. Lo que tenem os aquí es un caso especial de un tipo más general
de fenómenos, en el que cierta magnitud y es una función tanto de la posición
como del tiem po. Puede variar de un lugar a otro para un instante dado y
puede variar con el tiem po en un lugar determinado. D os observaciones suce-
256
Ondas progresivas
s iv a s d e y, s e p a ra d a p o r u n tie m p o A i y e n p o s ic io n e s d is ta n te s Ao: d ife rirá n
e n to n c e s u n a c a n tid a d A y q u e p u e d e e x p re s a rs e d e l m o d o s ig u ie n te :
La variación total de y viene dada, pues, por
dl = dl + ü d
Jdt
siendo v la velocidad
A x /A í.
dt ^
(7-24)
dx
K
}
El operador djdt + v d ¡d x se suele denom inar deri­
vada con vectiva . Define el m odo de obtener la variación tem poral de y si el
propio punto de observación se hace m over con una definida velocidad, como
por ejemplo, a través del m ovim iento global de un fluido. Y si en la ecuación
(7-24) se inserta la condición dy/dt = 0, esto corresponde a fijar nuestra aten­
ción sobre un valor particular de y, co m o hem os hech o ciertamente al definir
el m ovim iento de un punto de desplazamiento dado en un perfil de pulsos
arbitrario. Pero esta condición, d yjd t = 0, conviene entonces la ecuación (7-24)
en el enunciado especial que se expresa en la ecuación (7-23).
Es fácil ver que nuestra: ecuaciones generales, ecuación (7-19) y (7-20), sa­
tisfacen ambas la misma ecuación diferencial básica del m ovim iento ondula­
torio. [Naturalmente, nos hem os asegurado de esto previamente, al apreciar
en primer lugar que tal pulso m óvil es una superposición de ondas sinusoida­
les que obedecen todas ellas a la ecuación (7-9).] T enem os las dos ecuaciones
\g(x + vt)
Para la primera de ellas, tenem os
dy
df
d{x — vt)
dx
d(x — vt)
dx
= /'
en donde / ' es la derivada de f respecto al argumento com pleto (x — vt). Deri
vando de nuevo,
k2
9\íi
d yv
d*2
m
siendo f " la segunda derivada de f respecto a (x — vt). D erivando ahora con
respecto a t,
dy =
d(x - vt) =
dt
J
dt
3
y después de una segunda derivada,
—
y
/ \ 2 />/f
2 y.//
= (-,) /" = p /"
Superposición de pulsos de ondas
257
Comparando estas dos derivadas segundas, vem os que
o y _ 2d y
dfi ~ V dx2
que reproduce así la ecuación (7-9). Y si seguim os el m ism o procedim iento
con la función g(x 4- vt), que describe una perturbación arbitraria que se mue­
ve en el sentido negativo de x, la única diferencia consiste en que aparece com o
resultado de cada derivada respecto a í un factor + v en lugar de — v. Así
pues, después de dos derivadas, las funciones f y g se ve que obedecen a la
misma ecuación.
SU P ER P O S IC IÓ N D E P U L S O S D E O N D A S
En la última sección nos lim itábam os a la consideración de pulsos individua­
les. Pero una de las características más im portantes e interesantes del com por­
tamiento de dichos pulsos es que dos de ellos, m oviéndose en sentidos opues­
tos, pueden pasar uno p or encima de otro y salir del encuentro con sus iden­
tidades separadas. A q u í vem os de nuevo trabajando la superposición de un
modo muy notable. La figura 7-15 muestra quizás el tipo de superposición
más sorprendente. D os pulsos sim étricos se mueven en sentidos opuestos. Son
exactamente semejantes, excepto que uno es positivo y el otro es negativo.
Cuando pasa el uno a través del otro, llega un m om ento en que el muelle com ­
pleto o la cuerda está sin deform ar; es com o si los pulsos se hubiesen aniqui­
lado el uno al otro y así, en cierto sentido, ha ocurrido. Pero la intuición nos
diría que cada pulso iba llevando una cantidad positiva de energía, que no
puede simplemente olvidarse. Y realmente, los pulsos reaparecen de nuevo .1
¿Pero qué es lo que conserva la m em oria de los m ism os a través de la fase
desplazamiento cero, de m od o que vuelvan a recuperar intacta su forma ori­
ginal? Es la velocidad de las diferentes partes del sistema. La cuerda en el
instante de deform ación transversal cero tiene una distribución de las veloci­
dades transversales características de los dos pulsos superpuestos, y la dis­
tribución de velocidad de un pulso positivo sim étrico m oviéndose hacia la de­
recha es exactamente la misma que la de un pulso negativo semejante o bien
moviéndose hacia la izquierda. Esto viene im plicado por la ecuación (7-23),
1 Leonardo da Vinci, uno de los observadores más agudos de todos los tiempos, estudió
las ondas ampliamente y se dio cuenta del resultado de esta superposición pero no supo discer­
nir el mecanismo. Así escribió: “ Todas las impresiones producidas por las cosas que chocan
sobre el agua pueden penetrar una en otra sin ser destruidas. Una onda nunca penetra en la
otra, sino que solamente retroceden desde el punto en donde se encontraron.” Véase The
Notebooks of Leonardo da Vinci, traducido por Edward McCurdy, Braziller, New York, 1956
Ondas progresivas
258
y\T ‘
Fig. 7-15. Superposición sucesiva de dos pulsos que son inversos uno res­
pecto al otro tanto de derecha a izquierda como de arriba abajo y que se
mueven en sentidos opuestos,
\
puesto
que
ble, pero
invirtiendo los signos tanto de dy/dx y de dxldt resulta vy invaria­
es también
aparente
de m od o inm ediato si se hace un dibujo de
ambos pulsos cuando aparecen en dos instantes sucesivos. A sí pues, los des­
plazamientos transversales se contrarrestan, pero las velocidades transversa­
les se suman, y durante este solo instante la energía total del sistema reside
en la energía cinética asociada con dichas velocidades. Pero concentrándonos
por el m om ento sobre el aspecto puramente cinem ático del problema.
Para algunos objetivos puede ser conveniente adm itir form as geométricas
sencillas de los perfiles de los p u lsos, tales
com o
el rectángulo, triángulo y
trapezoide indicados en la figura 7-16. Con un pulso triangular, por ejemplo,
la velocidad transversal es la misma en todos los puntos a lo largo de cada
lado del pulso, y las consecuencias de la superposición de dichos pulsos se
analizan con facilidad. Sin em bargo, deberá observarse que dichas formas no
tienen significado físico. A sí el paso de un pulso rectangular exigiría que la
velocidad transversal fuese infinitamente grande en los lados verticales del
pulso cuando éste pasa y cualquier perfil de pulso con esquinas (com o las del
Dispersión; velocidad de fase y de grupo
Fig. 7-16.
259
Idealizaciones geométricas de tipos sencillos de pulso.
trapecio) im plica unas variaciones discontinuas en la velocidad transversal, lo
cual a su vez significa aceleraciones infinitas que exigen fuerzas infinitas. Por
tanto, cualquier pulso real tiene las esquinas redondeadas y sus lados con
pendientes, por exótica que sea su form a.
D IS P ER S IÓ N ; V E L O C ID A D D E F A S E Y DE G R U P O
Hemos dado la ecuación de una onda sinusoidal progresiva en la forma [ecua­
ción (7-7)]
y (x , t) = A sen
T
(*
"
D í)
Para una cuerda tensa, considerada con una distribución continua de masa,
tenemos la relación [ecuación (7-5)]
1/2
(?)
•De acuerdo con estas ecuaciones, una cuerda dada, bajo una tensión d e­
terminada, transportará ondas sinusoidales de todas las longitudes de ondas
a la misma velocidad v. Sin embargo, ésta es una idealización que ciertamente
no se cumplirá totalm ente para ninguna cuerda real. Señalábamos esta lim ita­
ción más particularmente en el capítulo 5, en la discusión de los m odos norm a­
les de una línea de masas conectadas. A sí se obtu vo que para una cuerda de
longitud L, fija en sus extrem os, la longitud de onda Xn que podía asociarse
con un m od o normal, n, era 2 L/n , lo m ism o que para una cuerda continua,
260
Ondas progresivas
pero que la frecuencia de m od o v„ no era simplemente proporcional a n. En
lugar de ello, com o se vio, la frecuencia modal venía dada por
vn — 2 ^osen
n7r
L2 ( N + 1)J
De m odo que el valor de 2v0 definía un lím ite superior a la frecuencia p o­
sible de cualquier línea com puesta de un núm ero finito (M) de masas [ver écuación (5-25), página 161]. Para n < ^ N , este resultado se reducía al caso de una
cuerda continua con vn proporcional a n. Pero al aumentar n, los valores de vn
aumentarían menos rápidamente cada vez de lo que exigiría esta proporciona­
lidad.
Por tanto, en general, es lógico que en una cuerda las ondas sinusoidales
puras de alta frecuencia y longitud de onda corta tiendan a m overse con ve­
locidades menores que las ondas más largas. Éste es un ejem plo de lo que se
denomina dispersión, variación de la velocidad de la onda con la longitud de
onda.
El fenóm eno de la dispersión se ha hallado en m uchos tipos diferentes de
medio, con diferentes m ecanism os físicos básicos. Y lo que deseam os resaltar
no es el análisis muy especial que nos ha con d u cid o a la propiedad dispersiva
de una cuerda form ada por una serie de cuentas, sino al hecho de la propia
dispersión. La palabra sugiere una separación de lo que en principio estaba en
un solo lugar, y esto es exactam ente lo que encierra. V erem os lo que sucede
cuando la luz blanca pasa a través de un prisma y se dispersa en diferentes co­
lores. La velocidad de las ondas de la luz roja en el vidrio es m ayor que la
correspondiente a las ondas de luz azul, y la refracción de la luz que entra en
el prisma viene dada por la ley de Snell:
sen i
sen r
__
__ c
v
de m odo que el ángulo de refracción varía con el co lo r de acuerdo con la va­
riación de velocidad. En un problem a m onodim ensional la dispersión signifi­
caría que dos trenes de ondas largos pero lim itados, de longitud de onda di­
ferentes, se irían separando cada vez más con el tiem po, si inicialmente esta­
ban solapados. Adem ás cada tren de ondas individuales, form ado por una mez­
cla de ondas sinusoidales puras de velocidades ligeramente diferentes, resulta­
ría distorsionado y más disperso al pasar el tiem po. Solamente una onda si­
nusoidal pura de extensión realmente infinita, con una sola longitud de onda
y frecuencia se m overía con una velocidad definida en un m edio dispersivo.
Dispersión; velocidad de fase y de grupo
261
(Naturalmente, la dispersión puede ser despreciable en circunstancias particu­
lares y para el caso especial de las ondas de luz en el vacío parece ser estric­
tamente nula.)
Para estudiar las consecuencias de la dispersión más concretamente, con ­
sideraremos dos ondas sinusoidales de longitudes de ondas ligeramente dife­
rentes, m oviéndose en el m ism o sentido (pero quizá con velocidades diferen­
tes) a lo largo de cada cuerda. Supongamos para simplificar que tienen amplitu­
des iguales y que vienen descritas por las ecuaciones siguientes:
z/i = A sen 2n(kxx — vjí)
y 2 — A sen 2?r(k2x — v2f )
^
^
Éstas son muy parecidas a las ecuaciones (7-14) que escribíam os con objeto
de calcular laform a ondulatoria de estas dos
locidad.Sin em bargo, p or conveniencia
ondas que
tienen la misma
ve­
en el m anejo de lasecuaciones, utili­
zaremos el núm ero de ondas k en lugar de 1 /A, incluyendo explícitamente la
frecuencia v en lugar del cociente v ¡l. En general, suponem os que estas dos
ondas tienen velocidades características diferentes:
V\
VI = — =
ki
V2
V2 = — =
V l\ l
V2 \ 2
k2
La superposición de estas dos ondas nos da una perturbación combinada
del m odo sigu ien te:
y = A fsen 2*{kiX — v^) + sen 2n(fc¿x — v2f)]
U tilizando las mismas relaciones trigonom étricas que hem os empleado an­
tes, esta expresión se transforma en
y = 2A cos7r[(&i — k2)x — (vi — v2)t]
X sen 2?r
ki + k2
2
x
vi + v2
— t
2
Para t = 0 esto nos recuerda a las ondas superpuestas de la figura 7-6. Pero
consideremos ahora lo que ocurre al pasar el tiem po. La expresión anterior
para y puede interpretarse c o m o una onda rápidamente alternativa de longi­
tud de onda corta, m odulada en amplitud mediante una envolvente de longitud
de onda larga. Estas dos perturbaciones con form a de ondas se mueven. Pero
las dos tienen velocidades diferentes. Un lugar de amplitud máxima necesa­
riamente se mueve con la velocidad de la envolvente.
262
Ondas progresivas
Si las dos ondas com binadas son de casi la misma longitud de onda pode­
mos simplificar nuestra descripción para perturbación com binada poniendo
k\ — k '2 = Ak
k\ +
k2
vi — V2 — Av
.
------ = k ----------
V\ +
V2
- ----- = v
Entonces tenemos
y = 2A eos 7-(x &k — t Av) sen 2?r(kx — vi )
(7-26)
En esta expresión podem os identificar dos velocidades características. Una
de ellas es la velocidad con la que se mueve la cresta perteneciente al nú­
mero de onda m edio k. Esta velocidad se denom ina velocidad de fase, vp:
vp = ^ = v\
La otra es lavelocidad
con que se mueve laenvolvente
do a que esta última encierra un grupo de
ondas cortas,
(7-27)
m oduladora. Debi­
la velocidad en cues­
tión se denomina velocidad de grupo, vQ:
¡Av
vQ = TT
Ak
dv
-77
dk
00.
(7-28)
La velocidad de fase es la única clase de velocidad que hem os asociado
hasta ahora con una onda. Se le da este nom bre porque representa la veloci­
dad que podem os asociar con un valor fijo de la fase en la perturbación de
onda corta básica, es decir, representa el avance de x con t para un punto de
desplazamiento cero.
La velocidad de grupo es de gran im portancia física, porque tod o tren de
onda tiene una extensión finita y excepto en aquellos casos raros en donde se
sigue el m ovim iento de una cresta de orden individual, lo que observamos es
el m ovim iento de un grupo de ondas. Adem ás, resulta que el transporte de
energía en una perturbación ondulatoria tiene lugar a la velocidad de grupo.
Para tratar estas cuestiones con eficacia se necesita utilizar, no simplemente
dos ondas sinusoidales, sino un espectro com pleto, suficiente para definir un
pulso aislado o grupo de ondas en el m od o que hem os discutido anteriormen­
te. Cuando se hace esto, el valor de la velocidad de grupo sigue viniendo dado
por la ecuación (7-28).
La existencia de la dispersión, co m o es natural, con d u ce a implicaciones
importantes para este procedim iento de analizar un pulso arbitrario en sinusoi­
des puras. Si estas sinusoides tienen diferentes velocidades características, la
El fenómeno de corte
263
forma de la perturbación debe variar al pasar el tiempo. En particular, un
pulso que esté altamente localizado inicialm ente resultará fatalmente cada
vez más disperso.
Un ejem plo notable de la diferencia entre velocidades de fase y de grupo
lo proporcionan las ondas en agua profunda, denom inadas’ ondas de gravedad!’
Estas ondas son grandemente dispersivas. La velocidad de onda para una lon­
gitud de onda bien definida, que debem os ahora denom inar velocidad de fase,
es proporcional a la raíz cuadrada de la longitud de onda. A sí podem os es­
cribir
vp = ^
C a\ 1 / 2 = Ck
1/2
siendo C una constante. Pero vv = vjk, según la ecuación (7-27). De aquí te­
nemos
r , 1/2
v = Ck
Por lo tanto,
dv_ _ X r ,- i i2
dk
2
Pero dvjdk es la velocidad de grupo y así resulta
de m odo que las crestas de las ondas com ponentes se verán correr rápidamen­
te a través del grupo, crecien do prim ero en amplitud y luego desapareciendo
de m odo aparente de nuevo. Puede observarse este efecto curioso sobre la su­
perficie del mar o en algún otro sitio con agua profunda.
Las ondas sonoras en los gases, co m o las demás vibraciones elásticas que
hemos considerado, son
no
dispersivas, al menos en la extensión que nues­
tra descripción teórica es correcta. Ésta es una circunstancia afortunada. Ima­
ginemos el caos y la angustia auditiva que resultaría si los sonidos de fre­
cuencias diferentes se m oviesen a velocidades diferentes a través del aire. El
escuchar una orquesta sería una verdadera pesadilla. Naturalmente, cabrían sus
compensaciones , podríam os, por
ejem plo, analizar sonidos con un prisma de
gas, com o podem os analizar la luz con un prisma de vidrio. Pero com o seres
humanos podem os estar contentos de que esta posibilidad no se verifique.
EL FEN Ó M EN O D E C O R T E 1
Estrechamente relacionado con la propiedad de la dispersión es el efecto nota­
ble con ocid o co m o c o r te . Este térm ino describe la incapacidad de un medio
1 Esta sección puede omitirse sin pérdida de continuidad.
264
Ondas progresivas
dispersivo para transmitir ondas por encima (o posiblem ente por debajo) de
una frecuencia crítica. El efecto está im plícito en el análisis de los m odos nor­
males de una línea de N masas separadas, para las cuales vim os [véase ecua­
ción (5-24)] que
wn _ 2o o)0 sen (I
I
en donde L = (N 4- 1)/. Podem os imaginar que la longitud L de la línea se
aumenta indefinidamente sin cambiar la separación l entre las masas adyacen­
tes. En este caso el número de ondas
k n( =
n¡2L) resulta ser, de hecho, una
variable continua, y podrem os escribir la relación entre la frecuencia v y el nú­
mero de ondas
y
k
del m odo sigu ien te:
v(k)
— 2v0 sen
(7-29)
(n kl)
Evidentemente, la ecuación (7-29) n o perm ite cualquier valor de
v(k)
mayor
que 2v0. A sí pues, se observa (com o ya se estudió en la página 162) la existen­
cia de una frecuencia de m od o norm al máxima vm(2v0 = w0/tt). Esta frecuencia
vm corresponde a un núm ero de ondas
k m
7r k m l =
tal que
7r/2
para una longitud de
onda Am = 21. Pero si tuviésem os una línea
com o ésta, n o habría
nada que nos im pidiese agitar un extrem o a una fre­
cuencia m ayor que vm. ¿Q u é ocurre, de hecho, en este caso?
Para hallar lo que ocurre volvam os a la ecuación que
de masas
relaciona lasampli­
tudes de las masas sucesivas en el sistema acoplado que vibra a cierta fre­
cuencia v (o ü>). A partir de la ecuación (5 -1 9 ) tenem os la siguiente relación
entre las amplitudes A p_i, A py A p+i para tres partículas sucesivas (véase pág. 161);
A p -i + A p + 1 = - v 2 + 2 vq
Ap
vo2
^
Considerem os el tipo de descripción que esta ecuación nos da para diver­
sos valores de v.
a.
y = 0. En este caso,
Ap — 2"(¿4p_i -j- Ap+i)
La amplitud varía linealmente con la distancia
-equilibrio simplemente
estático [fig. 7-17 (a)]
a lo largo de la recta; es un
con un extrem o
de la línea que
Ef' fenómeno de corte
Fig. 7-17.
oo
(b)
(c)
(d)
(c)
(0
265
Relaciones de amplitudes para partículas en una cuerda impulsada
de izquierda a derecha, (a) Equilibrio estático, v = 0. (b) v < v0. (c) v = */2vo
(d) M odo superior v = 2r0. (e) v > 2 vo. (f) v > 2v0.
se ve em pujado transversalmente desde la posición de reposo normal. La lon ­
gitud de onda eficaz es infinita.
b.
v
v0. A h ora tenem os
Ap ^
2^Ap~ 1
Ap-\-l )
Cualquier am plitud es m ayor que el valor m edio de dos adyacentes, pero
no demasiado. El efecto consiste en producir una ligera curvatura hacia el eje
de una curva suave que une las partículas [fig. 7-17 (b)], lo cual asegura una
forma sinusoidal.
c.
v = V 2 v 0. Éste es un caso muy especial. A h ora ten em os;
A p -i +
A p+\ _
Ap
Recuérdese que esto debía satisfacerse para cada serie de tres masas consecu­
tivas y no sólo para una de ellas en con creto. Esto exige que
Ap~j-i —
A p —i
266
Ondas progresivas
pero parece no exigir ningún requisito al cociente A p_ i/A p. A sí pues, la si­
tuación podía ser com o la indicada en la figura 7-17 (c). La longitud de onda
asociada con esta frecuencia es evidentem ente 41, siendo l la distancia entre
partículas. Esta conclusión viene confirm ada por la ecuación (7-29), que para
k = 1/4/ nos da
77
r-
v = 2v0 sen — = v 2 v0
d.
v = 20v. Esto representa la frecuencia máxima vm para un m od o nor­
mal. A partir de la ecuación (7-30) tenemos
A p =
— ^ (A p~ i
+
A p+{)
Ello exige una alternancia de desplazamientos positivos y negativos del
mismo tamaño, com o se ve en la figura 7-17 (d) y com o se vio al final del ca­
pítulo 5. La longitud de onda es 21, de nuevo con la conform idad de la ecua­
ción (7-29),
e.
v > 2v0. Supóngase que v es m ayor que 2v0, pero no demasiado. Enton­
ces A p tiene signo opuesto al valor m edio de A v_x y A p+1, y además
\Ap\ < 2\Ap~~i +
Esto implica una ligera curvatura, alejándose del eje, de las curvas suaves
que unen partículas alternadas. Si es la parte izquierda de la línea la que se
está agitando, entonces la figura 7-17 (e) sería una representación razonable de
los desplazamientos. Las amplitudes alternarían de signo, y sus magnitudes
disminuirán en proporción geom étrica, es decir, exponencialm ente. Éste es el
fenóm eno de corte.
Pongamos
V =
2v 0 + Av
y hagamos iguales a — (1 4- /), los cocientes A v_ d A p, A p/A p+u etc., siendo f
una fracción pequeña. A partir de la ecuación (7-30) tenem os
Ap- 1
Ap
A p + 1 = -~u_
^
A p
vo2
^
Por lo tanto,
-i
—(2vo + A v f
La energía de una onda mecánica
267
Por consiguiente,
-1
-
/ -
(1 -
f + f ■■ ■) -
- W n2 +
VQ2
+ ^
+ 2
Es decir,
—2 — /
9
4 Av
+ ••• = - 2 - —
vo
De aquí que, aproximadamente,
/ /w \1/2
/
Cuanto más nos alejamos de la frecuencia crítica vm, más drástica es la
atenuación según nos m ovem os a lo largo de la línea, c o m o se sugiere com pa­
rando las figuras 7-17 (e) y (f).
f.
v
2 v0. E sto nos lleva al caso de estar m uy alejados de la frecuencia
crítica de corte. A hora será prácticam ente correcto poner
Ap—i _ _ _
¿ p
VQ2
A sí pues, por ejem plo, si v = 2vm = 4v0, será casi cierto decir que sólo la
primera partícula de la línea (la única que se ve agitada por un agente externo)
mostrará cualquier respuesta apreciable;
el resto de la línea se com portará
casi co m o una estructura rígida.
LA E N E R G ÍA D E U N A O N D A M E C Á N IC A
En un instante cualquiera las partículas de un m edio que transportan una
onda están en diversos estados de m ovim iento. Evidentemente, el m edio está
dotado de una energía en su estado de reposo normal. Existen contribuciones
de energía potencial de la deform ación lo m ism o que de la energía cinética del
movimiento. Calcularem os la energía total asociada con una longitud de onda
completa de una onda sinusoidal sobre una cuerda tensa. Para enfocar este
problema, considerarem os en primer lugar un pequeño segmento de la cuerda,
tan co rto que pueda considerarse com o recto, que está com prendido entre
x y x + dx, co m o se ve en la figura 7-18. Harem os las hipótesis normales de
que los desplazamientos de las partículas de la cuerda son estrictamente trans­
versales y que el valor de la tensión T no varía por la deform ación de la
cuerda a partir de su longitud y configuración normales.
268
Ondas progresivas
dx ______
x+dx
Fig. 7-18. Desplazamiento y alargamiento de un segmento corto de cuerda
que transporta una onda elástica transversal.
La masa del segmento pequeño es ¡xdx y su velocidad transversal (uy) es
dy/dt. D e aquí que para este segm ento tengamos
' cinética
■ 'f
a íl dy\
energía
= iki\xax
— I2
y podam os definir una energía cinética por unidad de longitud, que se denom i­
na densidad de energía cinética, para dicho m edio m on od im en sion al:
densidad de energía cinética =
dx
\vt /
2
(7-31)
Puede calcularse la energía potencial hallando el increm ento de longitud
de la cuerda cuando se deform a. Este alargamiento, m ultiplicado p or la ten­
sión constante admitida T, es igual al trabajo realizado en la deform ación. Así
pues, para el segmento, tenemos
energía potencial = T(ds — dx)
en donde
ds = (dx + dy )
211/2
= dx
[■+(87
Si admitimos que los desplazamientos transversales son pequ eñ os, de modo
que dy/dx <¿ 1 , podem os aproximar la expresión anterior utilizando el desarro­
llo del binom io con sólo dos términos, poniendo así
ds — dx ~ \
dx
- V
^ \^x /
-
Por lo tanto,
2
energía potencial « \T
(8
( t - ) dx
La energía de una onda mecánica
269
De aquí que tengamos
dU
1
/a \ 2
——
— T (— ]
(7-32)
dx
2
\dx)
Es interesante señalar que las densidades de energía cinética y de energía
densidad de energía potencial =
potencial dadas por las ecuaciones (7-31) y (7-32), son iguales. Porque, com o
hem os visto, una onda que se mueve sobre el muelle tiene la forma
y(x, t) = f ( x ± vt) = f ( z \
en donde
1/2
©
A sí p u e s ,,
% Por lo tanto,
f
- k » v « í
~
- i
que son igual puesto que T = fiv2. A unque n o pueda adm itirse que esta igual­
dad de las dos densidades de energía es válida en todas las situaciones con ­
cebibles, está de acuerdo con lo que sabem os sobre la división en partes igua­
les (en valor prom edio) de la energía total de los sistemas m ecánicos sencillos
som etidos a fuerzas restauradoras lineales.
Supóngase ahora que tenem os en particular una onda sinusoidal descrita
por la ecuación
y (x , t) = Asen 27n/
^
(7-33)
Entonces para cualquier valor dado de x tenem os
u ( x , i)
dy
= — — l i r v A eos 2 i r v
ot
=
wo eos 2 i r v
H)
H)
en donde u0( = 2xvA ) es la velocidad máxima del m ovim iento transversal. C on ­
sideremos esta distribución de velocidades transversales en el instante t = 0 .
En este instante tenem os
,
.
u (x )
( 2irvx\
( — 2 ttv x\
= wo eos I — -— I =
uq
eos I
-
I
270
Ondas progresivas
C om o v/v = 1 /A, esta expresión puede escribirse igualmente
u (x ) = uo cos
La densidad de energía cinética viene dada así por
dK
—
i
= ^flU
2
=
i
2 ^ 0
2
eos
Ua
2
( ¥
)
La energía cinética total en el segm ento de cuerda entre x = 0 y x = A viene
dada así por
K = %nuo2J
dx
eos2
es decir,
K = Í(Xm)«o
(7-34)
Ésta es la energía cinética asociada con una longitud de onda com pleta de
la perturbación. (Puede com probarse fácilmente que se obtiene la misma res­
puesta integrando la densidad de energía cinética entre dos valores cualesquie­
ra de x separados por
A
en un instante dado.)
La energía potencial en la misma porción de la cuerda debe ser igual, com o
ya hem os visto, a la energía cinética. Con objeto de ser más explícitos, lleva­
remos a cabo el cálculo. A partir de la ecuación (7-33) tenem os
dy
dx
2irvA
cos 2 irv
v
H)
Así pues, para t = 0 resulta
/ 2
7
w , =0" ”
tvA
( 27tio:\
“ i r cos
2ttA
( 27r;t\
~ ~ ~ r cos \ v )
De aquí que la densidad de energía potencial (ecuación 7-32) venga dada por
dU
2w2A^T
2 Í2ttx\
dx ~
X2
° OS
X
i j
Integrando una longitud de onda se tiene entonces
2 A2r
V , í A l
A
Poniendo T = fW2 = /n-2/ 2, esto nos da
U = tr2A 2ixv2\
puede observarse que esigual en valor a K ,
utilizamos la identidad uñ = 2 ttvA .
(7-35)
dado por la ecuación
(7-34), si
Transporte de energía mediante una onda
271
La energía total por longitud de onda, E, puede escribirse
E = £tA¿i)«o2
(7-36)
y es igual a la energía cinética que tendría un trozo de la cuerda de longitud X
si toda ella se m oviese co n la velocidad transversal máxima uQ asociada con la
onda.
Aunque hem os escogid o hacer este cálculo para una onda sinusoidal, pue­
den obtenerse resultados equivalentes para otros tipos de form as de ondas
(véase el problem a 7-23 para un ejem plo de éstos).
TR A N SP O R T E D E E N E R G ÍA M ED IA N T E U N A O N D A
Imaginemos que se está haciendo oscilar transversalmente un extrem o de una
cuerda muy larga de m od o que genere una onda sinusoidal que se mueve a lo
largo de la misma. Los cálculos de la sección anterior exigen claramente que
este proceso debe^ llevar con sigo una entrada continua de energía. Para cada
nueva longitud X que se pone en m ovim iento por la onda, debe suministrarse
la cantidad de energía dada por la ecuación (7-36). Por tanto, el trabajo equi­
valente a esta energía debe ser suministrado por el agente exterior (la fuente
o fo co ) situado al extrem o de la cuerda. Veam os cóm o puede com probarse esto.
Considerem os la misma ecuación de onda sinusoidal que en la última sec­
ción [ecuación (7-33)]:
y(x, t) = A s e n 2 v v (t - ^
A dm itirem os que la cuerda tiene un extrem o en x = 0 y que está siendo
accionada en dich o punto (fig. 7-19). La fuerza impulsora, F, igual en m ódulo
a la tensión, T, debe estar aplicada en una dirección tangente a la cuerda, com o
Fig. 7-19. Generación de una onda sinusoidal en una cuerda tensa, mostrando
el vector de la fuerza aplicado en un instante arbitrario.
272
Ondas progresivas
se ve en la figura. El m ovim iento del punto extrem o, que se admite como
puramente transversal, viene dado por la ecuación
y Q(t) = A sen 2-v t
La com ponente de F en la dirección de este m ovim iento transversal viene
dado por
A partir de la ecuación (7-33) tenem os
dy
2irvA
(
x\
— = ------------eos 2irv (t -------)
dx
v
\
v/
Por lo tanto,
_
Fv =
27T v A T
eos 2ttví
V
Ahora podem os calcular el trabajo realizado en un tiem po cualquiera median­
te la integral de F y dyQ:
W = j F y dyo =
zos 2ñvt d (A sen 2ttví)
J
(2 tv A T T f
2j
= ------- — J eos 2'kví dt
Podem os expresar este resultado de m od o más sencillo observando que
2ttvA es la velocidad máxima u0 del m ovim iento transversal. A sí pues, pode­
mos escribir
W =
eos2 27rW dt
J
Calculemos este trabajo para un período com pleto de la onda, tom ando la
integral de t = 0 a t = 1/v. Entonces se tiene
Wcido =
«n2r
2v
• 1/
I
Jo
V
(1 + eos 47TVt) dt
El térm ino eos 4 » ví no contribuye en nada a este ciclo com pleto, de modo
que tenemos
w clcl0 =
2uv
(7-37)
C om o T = ¡w2 y v = v ¡l, esto puede expresarse de las form as siguientes:
W dco =
M áuW
=
2 - V A V
(7 -3 8 )
¿Qué es una onda?
273
que son precisam ente el doble de los valores de la energía cinética y potencial
por longitud de onda, dados en las ecuaciones (7-34) y (7-35).
El trabajo realizado p or unidad de tiem po, según viene descrito por la p o­
tencia media de entrada P, se obtiene tom ando la ecuación (7-37), que da el
trabajo por ciclo y m ultiplicándolo p or el núm ero de ciclos por unidad de
tiempo (v ). Esto nos da
W®
(Recuérdese que T =
(7-39)
iv2.) A sí se observa que P es igual a la energía total
por unidad de longitud que la onda añade a la cuerda (¿/*w02) multiplicada por
la velocidad de la onda (u), lo cual puede considerarse (por lo m enos hasta
que la onda alcanza el otro extrem o de la cuerda) c o m o la longitud adicional
de cuerda por unidad de tiem po que se ve envuelta en la perturbación. La
energía n o se retiene en la fu e n te : fluye a lo largo de la cuerda, que actúa así
como un m edio para transporte de energía de un punto a otro, siendo la ve­
locidad de transporte igual a la velocidad de onda v . 1 (N ótese que cuando una
porción dada de la cuerda ha entrado a form ar parte del m ovim iento ondu­
latorio, su energía m edia perm anece constante.)
FLUJO D E C A N T ID A D D E M O V IM IEN TO Y P R ESIÓ N
DE R A D IA C IÓ N
M E C Á N IC A
Es natural que, asociado al transporte de energía p or una onda mecánica,
exista también el transporte de cantidad de m ovim iento. Y es tentador supo­
ner que el cociente del transporte de energía y el transporte de cantidad de
movimiento es esencialmente la velocidad de onda v (de m od o muy parecido
a com o al cociente de la energía y la cantidad de m ovim iento para una par­
tícula, excepto en un factor de i) . Sin em bargo, esto n o es en general así.
El cálculo de la cantidad de m ovim iento de la onda encierra una considera­
ción detallada de las propiedades del m edio y los resultados pueden ser sor­
prendentes. Por ejem plo, se llegaría a la conclusión de que las ondas longitu­
dinales en una barra que obedece exactam ente a la ley de H ooke no puede
llevar cantidad de m ovim iento en absoluto. El m edio perfectamente elástico
1 A quí estamos admitiendo que no existe dispersión. Si el m edio es dispersivo, resulta que
la velocidad de grupo es la que caracteriza la velocidad de transporte de energía.
274
Ondas progresivas
,en este sentido no existe, pero el cálculo del flujo de cantidad de movimiento
en un m edio real resulta ser entonces un tema bastante sutil y difícil.
Una cuestión estrechamente relacionada con la del flujo de cantidad de
m ovim iento es la fuerza mecánica ejercida por las ondas sobre un objeto que
las absorbe o las refleja. Está bien establecido, por ejem plo, que las ondas lon­
gitudinales en un gas (ondas sonoras) ejercen una presión sobre una superficie
colocada en su camino, y la existencia de esta presión debe estar ciertamente
asociada con un transporte de cantidad de m ovim iento por las ondas. En este
caso particular la fuerza ejercida sobre una superficie por las ondas viene
dada ciertamente en cuanto a su orden de magnitud por el flujo de energía por
unidad de tiem po dividido por la velocidad de la onda, relación que es vá­
lida
exactamente
para las
ondas
electromagnéticas.
Sin
embargo,
una vez
más deberá resaltarse que el resultado preciso depende de las hipótesis que
hagamos sobre la ecuación de estado (es decir, sobre la ecuación que relaciona
los cam bios de tensión y de densidad) del m edio. La existencia de flujo de
cantidad de m ovim iento y de fuerzas longitudinales asociadas, depende esen­
cialmente de la
son
com patibles
falta de
linealidad en las ecuaciones del m ovim iento que no
con soluciones de onda estrictamente sinusoidales. Esto co­
loca al problem a fuera del propósito de nuestra discusión presente, de manera
que no lo continuarem os más . 1
O N D A S EN D O S Y T RES D I M E N S I O N E S
En el capítulo 6 vim os algunos ejem plos de los m odos normales de sistemas
que
eran
esencialmente
bidimensionales,
películas
de
jabón
y
placas muy
delgadas. El caso más sencillo es el de una membrana (siendo un buen ejem­
plo de la misma una película de jabón) sometida a una tensión uniforme S
(por unidad de longitud) medida a lo largo de cualquier línea trazada en su
plano. Si empleamos coordenadas rectangulares x, y en el plano de la mem­
brana y describim os los desplazamientos transversales en función de una ter­
cera coordenada, 2 , según hem os visto, se obtiene la siguiente ecuación de
onda:
9
o‘
d~z
d z
9
1
dx^ + 6^2 = ~c2
d “z
í7"40)
1 P a r a u n a d i s c u s i ó n m á s c o m p l e t a d e l a c a n t i d a d d e m o v i m i e n t o d e l a s o n d a s y de su
p r e s i ó n , v é a s e e n el a r t í c u l o “ R a d i a t i o n P r e s s u r e i n a S o u n d W a v c " , p o r R. T. B e y e r , A m . ]. Phys.,
18.
( i 9 ) 0 ) , y el l i b r o d e R . B. L i n d s a y , M e c J i a n i c a l R a d i a t i o n , M c G r a w - H i l l , N e w Y o r k , 1960.
Ondas en dos y tres dimensiones
275
La velocidad de onda v viene dada por
2
V
=
5
<T
—
siendo o- la densidad superficial (es decir, la masa por unidad de área) de la
membrana.
Si
la simetría de dich o sistema
ción (7-40) y obtener soluciones de
es rectangular, es posible aplicar la ecua­
la form a de ondas planas o rectas,
de la
forma
z(x, y, t) = f ( a x + py - vt)
La superposición de ondas de este tipo, en un sistema con límites rectan­
gulares, corresponde a los m od os norm ales com o los que hem os visto en la
figura 6 - 1 1 .
Si, por otra parte, la simetría natural del sistema es circular, co m o podía
ser, por ejem plo, si las ondas estuvieran generadas en una membrana haciendo
que un punto de la misma entrase en m ovim iento transversal, lo apropiado
es introducir coordenadas polares planas r, 0 en lugar de x e y. Limitémonos
nosotros m ism os a un caso com pletam ente sim étrico en el que el desplaza­
miento z es independiente de 0 para un valor dado de r. Entonces la ecua­
ción (7-40) pasa a tener la form a sigu ien te:
(simetría cilindrica) — 4 - i ~ = — —
V
7 dr2 T r dr
v2 dP
(7-41)
K
}
Las ondas m óviles que representan las soluciones de esta ecuación son
frentes de ondas circulares en expansión. Se puede apreciar más o m enos in­
tuitivamente que la amplitud de vibración resulta m enor cuando r aumenta,
debido a que la perturbación se reparte en perím etros de circunferencia de
radios crecientes. Las soluciones precisas, se obtienen en función de unas fun­
ciones especiales denom inadas de Bessel.
A valores suficientem ente grandes de r, el segundo m iem bro de la ecua­
ción (7-41) resulta casi despreciable com parado con el primero, y en cierta
aproximación se convierte en el de una onda recta de amplitud constante.
(Más exactamente, la amplitud dism inuye aproxim adam ente com o 1/vV.) N a­
turalmente, ésta es la impresión que se tiene si se está muy lejos del origen
de las circulares y se ve sólo una pequeña porción del perímetro del centro de
onda.
Finalmente, podem os plantear una ecuación de ondas para un m edio tri­
dimensional, com o un bloque de sólido elástico o el aire no confinado en un
tubo. Esta ecuación también se citó en el capítulo 6 :
276
Ondas progresivas
a2* , a2* , a2*
+
dx2
dy2
dz2
i a2*
^
v2 dt2
(7-42)
siendo T cierta variable tal com o la magnitud local de la presión. La combi­
nación de los operadores diferenciales del primer m iem bro se denom ina lapia­
daría (en honor de P. S. de Laplace, m atem ático casi contem poráneo de Lagrange'' y suele dársele el sím bolo especial
V 2 (que se denom ina “ delta cua­
drado” ). A sí pues, escribam os la ecuación (7-42) en la form a alternativa
V2 q> = ——
(7-43)
v2 dt2
C om o en el caso del m edio bidim ensional, si tenem os un sistema con si­
metría rectangular lo adecuado es buscar soluciones de ondas planas de la
ecuación de ondas:
¥ (x, y, z, t) = f ( a x + &y + y z - vt)
Pero, por otra parte, si se sugiere por sí misma la simetría esférica, como
en el caso de las ondas que se generan si tiene lugar una pequeña explosión
a cierta profundidad de la T ie r r a , incluiríamos el radio r y dos ángulos para
definir la posición de un punto. Para un sistema en que la am plitud de onda
depende de r solamente, la ecuación diferencial se reduce a la siguiente:
d2&
2 d'fr
1 d2^
(simetría esférica) -r-y + - -r - = — —
/ dr2
r dr
v2 dt2
(7-44)
Es fácil com probar que esta ecuación se satisface por ondas armónicas sim­
ples cuya amplitud disminuye inversamente con r:
(J
T (r, t) —
r
sen 2tt(v£ — kr)
(7-45)
R ecordando que el flujo de energía en el caso de una onda monodimensional es proporcional al cuadrado de la amplitud, se puede ver en la ecuación
(7-45) que el valor m edio tem poral de [T(r, f)]2, multiplicada por el área 4?rr2
de una esfera de radio r, define la velocidad de salida de energía que es inde­
pendiente de la distancia del fo c o puntual que genera las ondas. En ausencia
de disipación o de absorción, esto es precisamente mi resultado lógico.
P R O B L EM A S *
7-1
Comprobar que las ecuaciones siguientes pueden utilizarse para describir la
•misma onda progresiva:
Problemas
277
y = A sen 2n(x — vt)/k
y = A sen 2n{kx — vi)
/
y = A sen 2n[(xjX) — (f/T)]
^
y — — A sen o)(t — x¡v) ^
y = A Im{ exp {j2ir(kx — vi)] }
7*2Í La ecuación de una onda transversal que se mueve a lo largo de una cuerda
viene dada por y — 0,3 sen tt (0,5 x — 50 í), en donde y y x están en centímetros y
t en segundos,
(a) Hallar la amplitud, la longitud de onda, el número de ondas, la frecuen­
cia, el período y la velocidad de la onda.
(b) Hallar la velocidad transversal máxima de cualquier partícula en la
cuerda.
¿Cuál es la ecuación para una onda longitudinal que se mueve en el sentido
de las x negativas con amplitud 0,003 m, frecuencia 5 seg - 1 y una velocidad de
3000 m/seg?
Una onda de frecuencia 20 seg - 1 tiene una velocidad de 80 m/seg.
(a) ¿A qué distancia están dos puntos cuyos desplazamientos estén separa­
dos 30° en fase?
(b) En unpunto dado, ¿cuál es la diferencia
de fase entre dos desplaza­
mientos que se producen en tiempos separados por 0 , 0 1 seg?
7j3f Se tensa una cuerda uniforme larga de densidad de masa 0,1 kg/m con una
fuerza de 50 N. Un extremo de la cuerda (x — 0) se hace oscilar transversalmen­
te (sinusoidalmente) con una amplitud de 0 ,0 2 m y un período de 0 , 1 seg, de
modo que se generan unas ondas que se mueven en el sentido de las x positivas?
(a) ¿Cuál es la velocidad de las ondas?
(b) ¿Cuál es la longitud de onda?
(c) Si en el extremo impulsor (x = 0) eldesplazamiento (y) para
t = 0
es 0 ,0 1 m con dyjdt negativa, ¿cuál es la ecuación de las ondas que se mueven?
un pulso necesita 0 , 1 seg para recorrer de un extremo a otro
una cuerda larga. La tensión de la cuerda se obtiene haciéndola pasar sobre una
polea y colgando un peso que tiene 1 0 0 veces la masa de la misma.
(a)
(b)
¿Cuál es la longitud de la cuerda?
¿Cuál es la ecuación del tercer m odo normal?
Una cuerda muy larga de la misma tensión y masa por unidad de longitud
que la del problema 7-6 tiene una onda móvil sobre ella con la ecuación siguiente:
278
Ondas progresivas
y{x, t) = 0,02 sen
tt( x
— vt)
en don de x e y están en m etros, t en segundos y v en la v e lo cid a d de onda (que
puede calcularse). Hallar el desplazam iento transversal y la v e lo cid a d de la cuer­
da en el pu nto x — 5 m en el instante t = 0,1 seg.
7 -8
Se observan dos puntos en una cuerda cu an d o una on d a m óv il pasa p or ella.
Los puntos están en x x = 0 y x» = 1 m. Los m ovim ien tos transversales de los dos
puntos resultaron ser del m o d o sigu iente:
y 1 = 0,2 sen 3 - t
y 2 = 0,2 sen (3ttt + 7r/8)
(a)
¿Cuál es la frecu en cia en hertz?
(b)
¿C uál es la lon gitud de on d a ?
(c)
¿C o n qué v elocid a d se m ueve laon d a ?
(d)
¿D e qué m o d o se m ueve la on d a ?
Explicar c ó m o puede llegarse a esta
con clu sión .
/ A ten ción ! C onsiderar con cu id a d o si existe alguna am bigüedad debida a la
cantidad lim itada de in form a ción que se ha dado.
7-9
U n pulso triangular sim étrico de altura m áxim a 0,4 m y lon gitu d total 1,0 m
se m ueve en el sentido p ositiv o de las x sobre una cuerda en la que la velocid ad de
onda es 24 m /seg. Para t = 0, el pu lso está situ ad o totalm en te entre x = 0 y
x = 1 m. D ibujar un gráfico de la v elocid a d transversal en fu n ció n del tiempo
para x = x2 = +
7 -10
1 m.
El extrem o (x = 0) de una cuerda tensa se m ueve transversalm ente con
una v elocid a d constante de 0,5 m /seg durante 0,1 seg (em p ezan d o en t — 0) y
vuelve a su p osición n orm al durante los siguientes 0,1 seg, de n u evo a velocidad
constante. El pu lso de on d a resultante se m ueve c o n una v e lo cid a d de 4 m/seg.
(a)
D ibujar el esp ectro de la cuerda para t = 0,4 seg, y para t = 0,5 seg.
(b)
D ibujar un gráfico de la v e lo cid a d transversal en fu n ció n
de x para
t = 0,4 seg.
7-11
Suponer que un p u lso de onda m óvil está d escrito p o r la ecu ación
b3
') = b2 + i x - vt)2
con b = 5 cm
y
v = 2,5
cm /seg. D ibujar el perfil del
pu lso
com o
aparecería
cuan do t = 0 y t = 0,2 seg. P or su stracción directa de las ordenadas de ambas
curvas obtener una d escrip ción apropiada de la v e lo cid a d transversal en función
de x para t = 0,1 seg. Com pararla c o n la que se obtien e ca lcu la n d o dyjüt para un
valor de t arbitrario y lu ego h a cien do t = 0,1 seg.
Problemas
7-12
279
La figura m uestra un pu lso sobre una cuerda de longitud 100 m co n extre­
mos fijos. El pulso se m ueve hacia la derecha sin ningún cam bio de form a a una
velocidad de 40 m /seg.
i
t
lm
..............................
0
lm
1 m
en —
UU III
^^
r
I
I
(a)
H acer un d ib u jo claro que m uestre el m o d o en que la velocid ad trans­
versal de la cuerda varía c o n la distancia sobre la m ism a en el instante en que el
pulso está en la p osición indicada.
(b)
¿C uál es la v elocid a d
transversal m áxim a de la cuerda (aproxim ada-
mente)?
(c)
Si la masa tota l de la cuerda es de 2 kg, ¿cu á l es la tensión T sobre
(d)
E scribir una ecu a ción para y(x, i), que describa num éricam ente las o n ­
ella?
das sinusoidales de lon gitu d de on d a 5 m y am plitud 0,2 m, que se m ueven hacia
la izquierda (es decir, en el sen tido negativo de la x ) sob re una cuerda m uy larga
hecha del m ism o material y b a jo la m ism a tensión que anteriorm ente.
7-13
U n p u lso que se m ueve sobre una cuerda tensa viene d escrito por la ecua­
ción sigu ien te:
A3
y (.x,t) =
£2 + (2x -
Ut )2
(a)
D ibujar el gráfico de y en fu n ció n de x para t = 0.
(b)
¿C uáles son la v e lo cid a d del p u lso y su sen tido del m ovim iento?
(c)
La v elocid a d transversal de un pu n to da do de la cuerda se define p or
Vy
dt
Calcular v u en fu n ción de x para el instante t = 0, y dem ostrar p or m edio de un
dibujo lo que esto nos d ice sobre el m ov im ien to del pulso durante un tiem po
corto Ai.
1-14
U n la zo cerrad o de una cuerda u n iform e se hace girar rápidam ente a una
cierta velocid a d constante w. La masa de la cuerda es M y el radio es R. C o m o
Ondas progresivas
280
resultado de su rota ción se p ro d u ce una tensión T “ circu n feren cia lm en te” en la
cuerda.
(a)
C on sid era n d o la aceleración centrípeta instantánea de un p equ eñ o seg­
m en to de la cuerda, dem ostrar que la tensión debe ser igual a M io2R /2 tt.
(b )
Se d eform a repentinam ente la cuerda en un pu n to, h a cien d o que apa­
rezca una protuberancia c o m o se ve en el diagram a. D em ostrar que esto podría
prod u cir una distorsión de la cuerda que perm aneciese estacionaria respecto al
la boratorio, sin tener en cuenta los valores particulares de M , w y R. P ero ¿no
sucedería nada m ás? (R ecuérdese que los pu ntos en una cuerda pueden moverse
en los dos sentidos.)
7-15
D os pulsos idén ticos de am plitudes iguales p ero opuestas se aproxim an uno
al o tro al propagarse sobre una cuerda. C u an do t = 0 están en la p o sició n indi­
cada en la figura. D ibujar a escala la cuerda y el perfil de v e lo cid a d de los elemen­
tos de masa de la cuerda para t = 1 seg, t = 1,5 seg, t = 2 seg.
| ^ l0 c m -| 2cm
1
Tk
lOcm
2 cm
7-16
20cm
lO cm /se g
Se desea estudiar el m ovim ien to vertical bastante rápido del co n ta c to mó­
vil de un in terruptor que fu n cion a m agnéticam ente. Para ello, se sujeta el con­
tacto a un extrem o (O ) de un sedal h orizon tal de masa total 5 g (5 X 10~3 kg) y
longitud total 12,5 m. El o tro extrem o del sedal pasa sob re una polea pequeña
y sin rozam ien to, colgán d ose una masa de 10 k g de su extrem o, c o m o se ve en
la figura. El co n ta cto se hace fu n cion a r de m o d o que el in terruptor (inicialmente
abierto) pasa a su p o sició n cerrada, perm anece cerra d o durante un tiem po corto
y se abre de n u evo. U n p o c o después la cuerda se fotog ra fía u tilizando una lám­
para de destellos de alta v e lo cid a d y se ve que está d eform ad a entre 5 y 6 m, como
se ve en la figura, (x = 0 es el p u n to O en d on d e la cuerda está conectada al
con tacto.)
V////A
0
(a)
1 0 kg
(b)
¿Qué es una onda?
281
(a) ¿Durante cuánto tiempo estuvo el interruptor completamente cerrado?
(b) Dibujar un gráfico del desplazamiento del contacto en función del
tiempo, tomando t — 0 com o el instante en que el contacto empezó primeramen­
te a moverse.
(c) ¿Cuál era la velocidad máxima del contacto? (Se presentó durante el
cierre o la abertura del interruptor?
(d)
7-17
¿Para qué valor de t fue tomada la fotografía? (Admitir g = 10 m/seg2.)
Se superponen en un medio las dos ondas siguientes:
y ± = A sen (5x — lOf)
y 2 — A sen (4x — 91)
en donde x está en metros y t en segundos.
(a) Escribir una ecuación para la perturbación combinada.
(b) ¿Cuál es su velocidad
de grupo?
(c) ¿Cuál es la distancia entre los puntos de amplitud nula en la pertur­
bación combinada?
7-18 El movimiento de la onda de longitud de onda corta ( ^ ,1 cm) en agua
está controlado por la tensión superficial. La velocidad de fase de estas ondas
viene dada por
en donde S es la tensión superficial y p la densidad del agua.
(a) Demostrar que la velocidad de grupo para una perturbación formada
por longitudes de ondas próximas a una longitud dada X es igual a 3up/2.
(b) ¿Qué implica esto acerca del movimiento observado de un grupo de
ondas que se mueven en la superficie del agua?
(c) Si el grupo se compone solamente de dos ondas, de longitud de onda
0,99 y 1,01 cm, ¿cuál es la distancia entre las crestas del grupo?
7-J9 La relación entre la frecuencia v y el número de ondas k para las ondas de
un cierto medio están indicadas en la figura. Hacer un razonamiento cualitativo
(y explicar las bases del mismo) sobre los valores relativos de las velocidades de
grupo y de fase para cualquier longitud de onda en el intervalo representado.
282
Ondas progresivas
7-20
C onsiderem os un tu bo en U de sección recta u n iform e c o n dos brazos ver­
ticales. Sea la lon gitud total de la colum na de líqu id o 1. Im aginem os que el lí­
q u ido está oscila n d o arriba y abajo de m o d o que en un instante cualquiera los
niveles de los brazos laterales están a ± y resp ecto al nivel de equ ilibrio y todo
el líqu ido tiene la v elocid a d d y/d t.
(a)
E scribir una expresión para la energía poten cia l más la energía ciné­
tica del líqu ido y a partir de ahí dem ostrar que el p e río d o de oscila ción es -\/2l¡g.
V
i .
T
A
(b) Imaginar que puede utilizarse una serie de estos tu bos para definir una
sucesión de crestas y valles c o m o en una onda de agua (véase el diagram a). Toman­
do el resultado de (a) y la co n d ició n / «
21 im plicada p or esta analogía, deducir
que la velocid a d de las ondas en el agua es sem ejante a (gX)1/2/^ (adm itir que sólo
una pequeña fra cción de líq u id o está en los brazos verticales del tu b o en U).
(c)
U tilizar el resu ltado exacto, v = (g>./2-)1/2, para calcular la velocidad de
las ondas de longitud de on d a 500 m en el océan o.
7-21
C onsiderem os un sistem a de N
oscilad ores a cop la d os (N
1), cada uno
de ellos separados de sus v ecin os más próxim os p or una distancia l.
(a)
Hallar la lon gitu d de onda y la frecu en cia del m o d o n de oscilación.
(b)
Hallar las velocid ad es de fase y de grupo para este m o d o . ¿Cuáles son
para los casos en que n < ^ N y n = N
7-22
+ 1?
Se nos da el problem a de analizar la dinám ica de una línea de coch es que
se m ueven sobre una carretera de una sola vía. U n m o d o de en foqu e a este pro­
blema es adm itir que la línea de co ch e s se com p orta c o m o un grupo de oscilado­
res acoplados.
¿ C ó m o se plantearía este problem a de un m o d o tratable? Hacer
bastantes hipótesis.
7-23
Se m ueve transversalm ente un extrem o de una cuerda tirante a velocidad
constante uu durante un tiem po
t ,
y se vuelve a llevar a su p u n to de partida con
velocid ad — uu durante el intervalo siguiente r. C o m o resultado se produce un
pulso triangular sobre la cuerda que se m ueve a lo largo de ella c o n velocidad v,
Calcular las energías cinética y potencial asociadas co n el pu lso y dem ostrar que
su suma es igual al trabajo total realizado por la fuerza transversal que ha de apli­
carse al extrem o de la cuerda.
7-24.
C onsiderem os una on d a sinusoidal longitudinal £ = £0 eos 2rík(x — - vt) que
se m ueve a lo largo de una varilla de densidad de masa p, área de la sección recta
Problemas
283
S y m ó d u l o de Y o u n g Y. D e m o s t r a r que si la tensión de una varilla se debe sola­
mente a la presencia de una ond a, la de ns id a d de energía cinética es lf)S(<)il<)t)-,
y la d en si d a d de energía
cinética p o r
longitud
potencial
\YS(()'¿¡(/xf. D e m o s t r a r así que la energía
de o n d a y la energía
ambas iguales a \(/>S7)u{¡, s i e n d o
7-25
es
potencial
po r
longitud de on d a son
la v e l o c i d a d má xima de la partícula (<)íl<)t).
C o m p r o b a r que la e c u a c i ó n de o n d a
para una o n d a
c o n simetría esférica
[Ec. (7-44)] se ve satisfecha p o r o n d a s a rm ó n ic a s simples cu ya amplitud disminu­
ye inversamente c o n r.
V erem o s e n e s te c a p ítu lo c ó m o los so n id o s se p e le a n , lu­
ch a n , y cu a n d o tie n e n igu a l in ten sid a d se d e s tr u y e n el
u n o al o tr o , d an d o lu gar al s ile n c io .
robert
ball,
W o n d ers o f A c o u s tic s (1867)
Efectos debido a
los límites e
interferencias
el c a p í t u l o
a n t e r io r
se refería a las ondas, que podían imaginarse m ovién­
dose ininterrumpidamente en un m edio especificado. Este capítulo se dedica
especialmente a algunos de los efectos que tienen lugar cuando una onda en
movimiento se encuentra co n una barrera, o un m edio diferente, o pequeños
obstáculos. Tales efectos representan un cam po enorm e de estudio y la presen­
te descripción no pretende ser más que un primer vistazo del análisis de es­
tos fenóm enos. Em pezarem os con nuestro sistema anterior, la cuerda tensa,
q considerarem os lo que ocurre cuando una onda que se mueve sobre una
cuerda se encuentra con una discontinuidad de cualquier clase.
REFLEXIÓ N D E P U L S O S D E O N D A S
Al estudiar la conexión entre las ondas estacionarias y las móviles sobre una
cuerda tensa, hicim os necesariamente algunas referencias a las condiciones
que existen en los dos extrem os de cualquier cuerda de longitud limitada. Se­
ñalábamos que, com o nos dice la experiencia, podem os producir una onda es­
tacionaria agitando el extrem o de una cuerda, y generando por lo tanto una
onda m óvil que sufre ciertos procesos de reflexión en el extrem o más aleja­
do. Las ondas que van y que vuelven se com binan entonces para producir un
diagrama de ondas estacionarias con n odos en posiciones fijas.
M ás cuantitativamente, apreciaremos que un m od o norm al dado produci­
do sobre una cuerda con extrem os fijos puede considerarse com o la superpo­
sición de dos ondas sinusoidales de amplitud, longitud de onda y frecuencia
iguales, que se mueven en sentidos opuestos.
285
286
Efectos debido a los límites e interferencias
Para concretar más, observarem os que son equivalentes los dos enunciados
siguientes:
M o d o n o rm a l:
D os ondas m ó v ile s:
Si escogem os la segunda definición, y fijam os nuestra atención sobre las
condiciones en x = 0 o x = L, tenem os
2/( 0 , 0 =
y(L, t) =
~ y ~ sen (— wí) + —2~ sen wf
Esto quiere decir que estas ondas que se mueven en sentidos opuestos deben
producir en tod o instante desplazamientos iguales y opuestos en los extremos
fijo s , lo c u a l es, c o m o es n a tu r a l, to ta lm e n te n e c e s a rio . E l p u n to p rin c ip a l
es que esta misma con dición debe definirla el proceso de reflexión para cual­
quier onda m óvil cuando se encuentra con un lím ite rígido.
Echem os una segunda ojeada a otro proceso de superposición de este tipo.
En conexión con la figura 7-15, estudiábamos la superposición de dos pulsos
simétricos de desplazamientos opuestos que se m ovían en sentidos opuestos
a lo largo de una cuerda. En este ejem plo puede señalarse un hecho interesan­
te : El punto sobre la cuerda en el que se encuentran los dos pulsos permanece
en reposo en tod o instante. La onda pasa a través de él en sentidos opuestos
sin causar ningún desplazamiento del punto en ningún instante. Podría consi­
derarse el punto co m o rígidamente fijo en la pared sin alterar el diagrama de
ondas de ninguna manera. Esto nos da la clave de lo que ocurre cuando un
pulso de onda incide sobre el extrem o de una cuerda que se mantiene esta­
cionaria:
Se refleja un pulso de desplazamiento opuesto en dich o extremo
que viaja en sentido contrario hacia el foco.
Esta reflexión invertida no es tan misteriosa cuando consideram os que la
llegada de un desplazamiento positivo ejercerá una fuerza hacia arriba sobre
el soporte que mantiene el extrem o fijo (véase fig. 8-1). Según la tercera ley de
Newton, el soporte ejerce una reacción en sentido opuesto hacia la cuerda, ge-
Pulsos de ondas
Fig. 8-1. (a) Reflexión en un extremo fijo, (b) Reflexión en un extremo li­
bre. La reflexión puede considerarse como si la cuerda se extendiese indefi­
nidamente más allá de su terminación real y el pulso continuara dentro de la
parte imaginaria como si el soporte no existiese, mientras que al mismo tiem­
po un pulso “ virtual” que ha estado moviéndose en la parte imaginaria se
mueve dentro de la parte real formando así el pulso reflejado. La naturaleza
del pulso reflejado depende de que el extremo esté fijo o libre. (Figura adop­
tada de F. W. Sears y M . W. Zemansky, University Physics, 3.a ed., 1 parte,
Addison-Wesley, Reading, Mass., 1963.)
287
288
Efectos debido a los límites e interferencias
nerando así un pulso de polaridad opuesta que se m ueve hacia atrás en direc­
ción del fo co.
Si el extrem o de la cuerda estuviese com pletam ente libre para moverse
(por ejem plo, si estuviese sujeto a un anillo sin masa situado sobre una varilla
vertical sin rozam iento ) , 1 la llegada de un pulso positivo ejercería una fuerza
de reacción hacia arriba que retrocedería hacia la cuerda, creando un pulso.de
polaridad positiva. Este pulso positivo se transmite entonces a lo largo de la
cuerda. La reflexión desde un extrem o libre produce así un pulso de la misma
polaridad que se mueve hacia el foco.
Si se sujeta una cuerda con cierta tensión y masa p or unidad de longitud
a otra cuerda con diferente /x, en general tendrá lugar cierta reflexión (lo mis­
m o que alguna transmisión) en la discontinuidad. Para ver cuantitativamente
cóm o ocurre esto, considerarem os un pulso de la form a fx( t — x¡v x) moviéndose
a lo largo de una cuerda tensa de densidad lineal filt que está unida a una cuer­
da de densidad lineal u2 en x = O (fig. 8-2 ) . 2 A dm itien do la reflexión parcial
y una transmisión parcial en la unión, los desplazam ientos transversales en las
dos cuerdas puede admitirse que vienen dados por las siguientes ecuaciones:
>.Cr, < > - / . ( < /
} ’2(X, t) = / 2 [ ( -
Fig. 8-2.
+ í ( ' + f )
\
(8_1)
Reflexión y transmisión en una unión entre cuerdas diferentes.
1 Otro m odo de obtener un terminal libre consiste en sujetarlo a una cuerda de mucho
menor masa.
2 Escribir el pulso en la form a f(t — x/v) en lugar del habitual f(x — vt) es más apropiado
en este análisis debido básicamente a que cuando una onda pasa de un m edio a otro, la lon­
gitud de onda cambia, pero la frecuencia no. Así pues, asociamos los factores cambiados con
la coordenada x y
no con la í.
v
;&
jt '
Reflexión de pulsos de ondas
289
C om o los extrem os de las dos cuerdas permanecen en contacto entre sí, los
desplazamientos transversales, y, en el punto x = 0 , deben ser los mismos para
ambas cuerdas. Adem ás, en cada instante las cuerdas deben unirse con iguales
pendientes y tener iguales tensiones; en otro caso el elemento de masa repre­
sentado por la unión recibiría una aceleración muy grande. A sí pues, tenemos
las dos condiciones siguientes:
yi(0, t) = y2(0, t)
es decir,
/ i « + 8 i(0 = M 0
(8-2)
-i * . ' < > ) ( 8 - 3 )
Integrando la ecuación (8-3), tenemos
V2fl(t) -
V2gl(t) =
(8-4)
Despejando g1 y f2 en función de fx en las ecuaciones (8-3) y (8-4), se tiene
M
(8-5)
+ n
MO -
2“
/■ (')
V2 + l?1
Tal y com o hem os dicho, las ecuaciones (8-5) son simplemente una descrip­
ción
del estado de las cosas en x = 0 para unvalor arbitrario de
go, introducirem os un elem ento de rozam iento
t.Sin
embar­
algo sutil pero muy im portan­
te. Lo que las ecuaciones (8-5) hacen es relacionar los valores de fx, gi y / 2 para
el mismo valor de su argumento. Para un valor dado cualquiera, digamos
este argumento, tenemos
g i(r ) =
const.
X
y
/i(t )
/ 2( r ) =
const.
X
/j(r ).
t,
de
Pero no
nos estamos restringiendo a interpretar r co m o el valor de t para x = 0. Puede
utilizarse para definir tod os los demás valores de x y t que están relacionados
de la manera exigida por el enunciado básico de una onda m óvil dada. A sí
pues, se define la función fx com o una función del argumento t — x ¡ v x y se
define la función gx co m o una función del argumento t + x ¡ v x. Supóngase que
ambos argumentos se hacen igual al m ism o valor t, com o exige la ecuación (8-5).
Evidentemente, no podem os utilizar el m ism o par de valores de x y de t para
ambos; por lo tanto, indiquem os los valores com o x ft tf y xQ, tQ. Entonces te­
nemos
xf _ ,
.
290
Efectos debido a los límites e interferencias
Si hacemos tf — tg = t, debem os tener
Xg =
~Xf
E sto significa que el desplazamiento asociado con el pulso gt en un instante
dado cualquiera para un valor determinado de x, está directam ente relacionado
con el valor de / 2 que se calculó para el m ism o instante en la posición — x.
De m od o específico, de acuerdo con las primeras ecuaciones (8-5), tenemos
gi(t + ~ ) =
\
Ci /
Ü2
Vi
\
ü\/
( 8- 6 a)
Y lo que esto quiere decir es que el pulso reflejado, además de aparecer dis­
minuido en el factor (v2— Vi)¡(v2 + Ui) se invierte de derecha a izquierda con
respecto al pulso incidente. Si ua < vu también se invierte la parte de arriba
hacia abajo.
D e m odo semejante podem os relacionar la form a de onda transmitida f 2 con
la forma de onda incidente / 2. Para un valor dado de t los valores correspon­
dientes de x (llamémosle Xi y x 2) están definidos por la relación
T - t _ í i = t _ f?
Vi
V2
De aquí que x 2 ~ (Vz/v^Xu y las segundas ecuaciones (8-5) exigen que pon­
gamos
J
\
, - E
»
v2 }
£
í
\
V2 + Vi
i
\
)
VI)
<8- 66 )
Esto nos dice que, com parado con el pulso incidente, el pulso transmitido
sufre no sólo un cam bio en altura sino también un cam bio de escala a lo lar­
go de x.
A l utilizar las anteriores relaciones ha de señalarse que si el pulso
incide
desde el sentido negativo de las x y si la unión se tiene en x = 0 , entonces las
funciones fi y ga representan físicamente desplazamientos reales sólo si x ^ 0 ,
mientras que f2 representa desplazamiento físicamente real sólo si x ^ 0. Así,
por ejemplo, al utilizar la ecuación ( 8 -6 a), hallamos el desplazamiento real
en el pulso reflejado g x para cierto valor negativo de x, considerando cuál ha­
bría sido el desplazamiento del pulso incidente fi si hubiese continuado en la
región de valores de x positivos y m ultiplicando luego por el factor (v2—
(t>2 + Ui). En la figura 8-3 m ostram os el desarrollo de los pulsos reflejados y
Reflexión de pulsos de ondas
z»i
Tiempo
/ V
-4
K
A-
-1
0
\
A
A
v—
a
/
.A T L
+1
+ 2
+ 3
+6
Fig. 8-3. Reflexión y transmisión parcial de un pulso de onda triangular en
la unión de dos cuerdas. El pulso incidente desde la cuerda en la que es ma­
yor la velocidad de onda, (vi — %vi.)
transmitidos a partir de un pulso incidente determ inado para el caso particu­
lar v2 = Vi/2 .
C om o casos extrem os de la ecuación ( 8 -6 a) tenem os los siguientes:
a.
Cuerda 2 de masa infinita:
1'2 = 0
b.
Cuerda 2 sin masa o ausente:
L‘2 = 20
Estos dos casos representan entonces las dos situaciones indicadas en la
figura 8-1. La figura 8-4 muestra algunos ejem plos reales de la reflexión y
transmisión de pulsos que se mueven a lo largo de muelles estirados.
292
Efectos debido a los límites e interferencias
(a)
(b)
(c)
Fig. 8-4. Fotografías de pulsos que se encuentran en el límite entre dos me­
dios diferentes. (a) Pulso que pasa de un muelle ligero (derecha) a otro más
pesado. En la unión el pulso parcialmente se transmite y parcialmente se re­
fleja. Se observará que el pulso reflejado está invertido, (b) Pulso que pasa
de un muelle pesado (izquierda) a otro ligero. En la unión el pulso parcial­
mente se transmite y parcialmente se refleja. El pulso reflejado no está in­
vertido. (c) Pulso en un muelle reflejado en una unión con un hilo muy ligero.
El pulso entero retorna sin invertirse. La parte borrosa de la fotografía in­
dica que las partículas del hilo se están moviendo a velocidad elevada cuando
pasa el pulso. ¿Puede determinarse el sentido del movimiento en cada foto­
grafía? (Fotografías según Physical Science Study Committee, Physics, Heath,
Boston , 1965.)
Impedancia: terminaciones no reflectoras
293
IM P E D A N C IA : T E R M IN A C IO N E S NO R E F L E C T O R A S 1
El tipo de com portam iento estudiado en la última sección puede considerarse
de un m od o m uy claro introduciendo el con cepto de impedancia mecánica de
un sistema físico som etido a fuerzas impulsoras. Se define esta impedancia
com o el cociente entre la fuerza im pulsora y la velocidad del desplazamiento
asociado. Se observará aquí una semejanza fuerte con el concepto eléctrico de
resistencia, que es la razón entre una tensión aplicada y la corriente asociada
(siendo la corriente la velocidad con que fluye la carga). Pero en los sistemas
mecánicos y eléctricos semejantes, existen en general una diferencia de fase
entre la fuerza im pulsora y la velocidad (o entre la tensión y la corriente). La
ley de Ohm expresa una relación en la que la tensión y la corriente están
siempre en fase. A sí, p or ejem plo, si aplicam os en los extrem os de una resis­
tencia una tensión dada p or
V = V q eos co/
Entonces la corriente resultante viene dada por
/ — 7o eos oit
en donde
/
0
-
R
Pero si, por ejem plo, se aplicase esta misma tensión alterna en las placas
de un condensador, sería la carga q t y no la corriente 7, la que estaría en fase
con la tensión, porque tendríam os
q = CV
7 = dq
dt
De aquí que, si
V = Vqeos wí
tenemos
7 = — . loCVf, sen wí
es decir,
7 = 7o eos
(-+1)
1 Esta sección puede omitirse sin pérdida de continuidad. (Pero no es difícil y puede ser
muy instructiva, dando alguna aclaración sobre las propiedades de los elementos básicos de los
circuitos eléctricos.)
294
Efectos debido a los límites e interferencias
en donde
h = (¿CVo
Existe así una diferencia de fase de 90° entre V e / en este caso. Y si se
conectan la resistencia y el condensador en serie aplicando la tensión a la
com binación, entonces la diferencia de fase no será 0 o ni 90°. Por lo tanto,
en estos casos más generales, el cociente entre la tensión impulsora y la co­
rriente posee tanto un m ódu lo com o una fase y la magnitud que encierra la
especificación de estos conceptos se denom ina la impedancia del sistema. Se
recordará que la relación entre la fuerza impulsora y el desplazamiento en el
oscilador m ecánico con
am ortiguam iento (capítulo 4) tenía m ucho de este
m ism o carácter, y, com o en dich o caso, el em pleo de magnitudes complejas
proporciona un m od o sencillo y econ óm ico de presentar tanto las relaciones
de amplitud co m o las de fase. De hecho, es costum bre caracterizar la impe­
dancia mediante una magnitud com pleja, Z , y expresar la tensión y la corriente
mediante la técnica de los exponentes com plejos. A sí, para definir la impedan­
cia de un condensador, pondríam os
Voejb>l
q
=
C V oeiat
I = ~
=
= jw C V 0elut
dt
jw C V
Por lo tanto,
Z
^ = J c
I
ju C
Volviendo ahora al tema de las ondas m óviles sobre una cuerda, consideremos
primero la generación de dicha onda mediante la aplicación de una fuerza im­
pulsora transversal en un punto cualquiera. A dm itam os que la cuerda está
a la derecha de este punto de m od o que la onda generada es de la forma
y(x, í ) - / ( f -
x/v)
Entonces tenemos
f- -
- Tt
-
H ' ■0
[Obsérvese que la fuerza ejercida sobre la cuerda es el valor negativo de
T dyjdx (véase fig. 8-5).]
Impedancia: terminaciones no reflectoras
Fig. 8-5.
295
Condiciones en el extremo accionado de una cuerda tirante.
Definam os así la im pedancia Z m ediante la ecuación
Z = ^
= -
v»
(8-7)
v
Como v = s/Tifi, esto identifica para n osotros lo que podem os denominar im­
pedancia característica de la cuerda en función de su tensión y de su densi­
dad lin e a l:
Z = ( 7 » 1/2
(8-8)
Esta magnitud es real pura; la fuerza impulsora y la velocidad están siempre
en fase una respecto a la otra, en term inología eléctrica, esta impedancia es
puramente resistiva.
Considerem os ahora, en estos m ism os térm inos, las condiciones en una
unión entre dos cuerdas diferentes. C om o antes, escogerem os x = 0 en el pun­
to de unión y adm itirem os una onda incidente en el sentido negativo de las x
a lo largo de la cuerda 1. A sí pues, las ecuaciones (8-1) describen de nuevo la
forma de la solución que esperam os:
«('■ '> -
( ' - 5 i) +
ñ
(' +
r
)
En x = 0 exigim os
0»
=
Fy
=
/ l ' ( 0
+
g l'it)
=
/ 2 '(0
(8-9)
? / i ' ( 0
Vi
-
-g l'it)
Vi
=
n m
)
Ü2
(En la segunda ecuación pedim os sólo que las fuerzas transversales sean las
mismas. Por ejem plo, se podría imaginar una diferencia entre los valores de
las tensiones Tu T2 si se conectasen dos cuerdas tensas mediante un anillo
situado sobre una varilla lisa, simulando una unión rígida respecto al despla­
zamiento a lo largo de las x, pero no ofreciendo ninguna resistencia a lo largo
del eje de las y.)
¿yb
fciectos debido a los límites e interferencias
Introduciendo las impedancias características Z lf Z 2 de las dos cuerdas, te­
nemos así las dos con d icion es siguientes:
/ i ' ( 0 + g i '( 0 = / 2'( / )
Z i / i ' ( 0 - Z ig if (t) = Z 2f i (t)
A partir de aquellas ecuaciones podem os obtener resultados semejantes a los
de las ecuaciones (8-5) y (8-6), excepto que ahora tenem os
gi(0, í) = | ^ | / 1(° , o
*
/ 2 (°, O = Z i i ^
2
8 10)
( -
/iC 0» O
V em os que en estos térm inos, la cantidad de reflexión que se produce cuan­
do una onda m óvil encuentra una unión viene especificada enteramente por la
impedancia característica que presenta a la onda en la unión. N o tiene por qué
existir otra cuerda, sino que puede ser cualquier otra cosa caracterizada por
un cierto valor de Fy¡vy. De nuevo apreciam os en la ecuación (8-10) los dos
resultados ya estudiados: (1) impedancia infinita Z 2, dando gi(0, t) = — /i(0, t)
y (2) impedancia cero Z 2, dando g^O, t) + ^(0, t).
Considerem os ahora la posibilidad de reflexión nula. De acuerdo con la
primera de las ecuaciones (8-10) esto se consigue haciendo Z 2 = Z a. Un modo
de cum plir esto consiste en disponer de otra cuerda con exactamente la mis­
ma tensión y densidad lin ea l, lo cual, com o es natural, n o es ninguna u n ió n , .
Otro m od o [ecuación (8-8)] consiste en tener una segunda cuerda de tensión
y densidad lineal diferentes, pero de tal m od o que T2,u2 = T ^ . P ero un tercer
procedim iento con siste en ten er el extrem o d e nuestra prim era cuerda intro­
ducido d en tro de un d ep ósito d e aceite de la consistencia adecuada. Estamos
muy familiarizados con la ley de la resistencia viscosa, que en el caso de ve­
locidades bajas da una fuerza proporcional a la velocidad, y ésta es precisa­
mente la ley que necesitábam os para definir una impedancia constante de acuer­
do con la definición básica expresada en la ecuación (8-7). Naturalmente, esta
proporcionalidad no es suficiente; el valor real de F/v debe ser igual al valor
de \/T¡x para la cuerda. A q u í tenem os la posibilidad de una terminación ideal
para la cuerda. Las ondas que se mueven a lo largo de la cuerda en un sentido
avanzan dentro del depósito de aceite y se anulan. Term inando la cuerda de
este m odo, podem os hacer que se com porte co m o si fuese infinitamente larga;
se dice que la carga, representada por el depósito de aceite, está perfectamen­
te ajustada a la cuerda. T od a la energía que se transporta al extrem o de la
Ondas longitudinales en contraposición con las ondas transversales
297
cuerda por las ondas que avanzan se recoge y absorbe allí. La analogía con
el problem a de transportar energía eléctrica de una fuente a una carga tan
eficazmente co m o sea posible es muy claro, y este tema del ajuste de im pe­
dancia correcta es, naturalmente, de enorm e importancia práctica; otro ejem ­
plo de la ubicuidad de los problem as que pueden relacionarse con el com por­
tamiento de una cuerda sencilla tensa.
Una última nota sobre esta cuestión de las uniones.
N o existe ninguna
cosa semejante a una transición abrupta com pletam ente de un medio a otro.
Existirá siempre alguna distancia no nula (aunque sea sólo un diámetro ató­
m ico) sobre la que se produzca la transición. Los cálculos del tipo que hemos
hecho describirán el caso muy bien si la longitud de la región de transición
es muy pequeña com parada con la longitud de onda que interviene. Pero si
la longitud de onda es suficientemente pequeña o la transición suficientemente
gradual se puede dejar de tener una reflexión apreciable. Un caso extremo es
una variación com pletam ente suave imaginaria de las propiedades a lo largo
de. la cuerda. Por ejem plo, considerem os la cuerda uniform e colgando verti­
calmente (con p — constante pero T increm entando linealmente con la distan­
cia de arriba abajo) c o m o se ve en la figura 5-1; o una cuerda de grosor uni­
forme som etida a una tensión constante en toda ella. Estos ejemplos no tienen
ninguna discontinuidad identificable a la que pueda aplicarse la ecuación (8-1)
y (8-9). Una onda incidente sufre un cam bio de longitud de onda suave y pue­
de llegar al extrem o lejano de un m od o m uy diferente al que tenía inicialmen­
te. Estos sistemas cuidadosam ente graduados se utilizan con frecuencia en la
propagación de ondas acústicas y eléctricas.
O N D A S L O N G IT U D IN A L E S EN C O N T R A P O S IC IÓ N
T R A N S V E R S A L E S : P O L A R IZ A C IÓ N
CON
LAS ONDAS
Quizá sea apropiado en este m om ento com entar brevemente los tipos básicos
de perturbaciones ondulatorias, transversales
y
longitudinales ,
que hem os
encontrado al estudiar la propagación de ondas monodimensionales.
La cuerda tensa es esencialmente un portador de ondas transversales. Un
muelle largo, por otra parte, es capaz de transportar tanto perturbaciones trans­
versales com o longitudinales. En este aspecto un muelle es una analogía m ejor
que un sólido real, que también puede llevar ondas transversales (cizalladura)
com o longitudinales (de com presión). Una columna de líquido o de gas, en
contraste con un sólido, n o tiene ninguna resistencia elástica al cam bio de fo r ­
298
Efectos debido a los límites e interferencias
ma y sólo la tiene a la variación de densidad. A sí pues, una colum na de un
fluido (por ejem plo, aire) puede transportar sólo ondas longitudinales, excep­
to , y
ésta es una excepción muy im p ortan te,
cuando la gravedad o la ten­
sión superficial proporciona un efecto equivalente a una fuerza restauradora
elástica contra las deform aciones transversales.
Con las ondas transversales puede ser necesario apreciar la existencia po­
sible de dos direcciones diferentes de polarización para
las vib ra cion es, per­
pendicular entre sí y a la dirección de propagación. Incluso puede ser que
estos diferentes estados de polarización tengan velocidades de ondas distintas
asociadas
con
ellas, com o por ejem plo en un m edio cristalino en que los es­
paciados interatóm icos son más pequeños en una dirección que en otra. Así
pues, es concebible que en un cristal anisótropo puedan existir tres velocida­
des de onda a lo largo de una dirección
dada, una para las ondas longitudi­
nales y dos para las diferentes direcciones de la polarización transversal. Cuan­
do consideram os una onda m onodim ensional de cualquier tipo que se encuen­
tra con un límite o barrera, los resultados desarrollados en las últimas dos
secciones describirán lo que ocurre. Sin embargo, es interesante señalar que
una interfase determinada puede com portarse de m od o diferente respecto a las
ondas longitudinales y transversales. Supongamos, por ejem plo, que tenemos
agua en reposo dentro de un depósito con paredes verticales lisas. La inter­
fase agua-pared actúa entonces com o un límite casi com pletam ente rígido res­
pecto a las ondas longitudinales, pero com o un extrem o totalm ente libre res­
pecto a las ondas transversales. Si se producen ondas estacionarias, la pared
representará un n od o para las vibraciones longitudinales del agua pero un
antinodo para las vibraciones transversales.
O N D A S EN
DOS
D IM E N S IO N E S
En este m om ento dejarem os los problem as puramente m onodim ensionales para
dedicar alguna atención a Tos fenóm enos que, en su mayoría, exigen un espacio
por lo menos bidim ensional (por ejem plo, ondas sobre una superficie) para
que puedan aparecer. Éstos son fenóm enos en los que interviene una variación
en la dirección de una onda móvil, o que com prende la superposición de per­
turbaciones que llegan a un punto dado desde direcciones diferentes. Estos
mismos fenóm enos también pueden presentarse esencialmente en la propa­
gación de ondas en tres dimensiones, pero los casos bidim ensionales son más
Ondas en dos dimensiones
299
sencillos de considerar y poseen la mayoría de las ideas importantes para su
estudio.
Básicamente, trataremos con diversos tipos de soluciones para la ecuación
de onda bidim ensional, co m o se expresaba en una u otra de las dos formas
citadas en el capítulo 7 [ecuaciones (7-40) y (7-4 1 )]: 1
n2
Oz
dx2
n2
n2
. Oz
1 o z
dy2
v2 dt2
+
( 8- 11)
t i + I ͣ = 1 t i
dr2
r dr
v2 dt2
Sin em bargo, en su m ayor parte podrem os referirnos fundamentalmente a dos
formas especiales de o n d a s :
1.
Ondas planas u ondas rectas (siendo esta últim a una descripción más
apropiada para las ondas sobre una superficie). Estas ondas se generan por
oscilaciones de un objeto recto o plano de dim ensiones lineales grandes com ­
paradas con la longitud de la onda.
2.
Ondas circulares, generadas por un ob je to cuyas dim ensiones lineales
son pequeñas com paradas con la longitud de onda. (Estas ondas en tres d i­
mensiones se denominarían esféricas.)
C om o m encionábam os en el capítulo 7, las ondas circulares se transfor­
marán a gran distancia del fo co en ondas rectas efectivas, que a menudo sim­
plifican el análisis de su com portam iento. En particular, a un valor de r gran­
de podem os, en cierta aproxim ación, ignorar el posterior decrecim iento de la
amplitud que se debía tener en cuenta en principio si había que estudiar un
cambio adicional de r. Esta sim plificación se aplica particularmente a la c o n ­
sideración de los efectos de las interferencias debidas a dos o más fuentes
pequeñas.
N o vam os a resolver las ecuaciones (8-11) en sentido riguroso. En lugar de
ello, em pezarem os con la hipótesis de que tenem os ondas rectas o circulares
y considerarem os su com portam iento en diversas situaciones físicas. En prin­
cipio, una solución com pleta y exacta a cualquier problem a de propagación de
ondas exigiría resolver la ecuación diferencial básica sometida a las restriccio­
nes representadas por las condiciones particulares en todos los límites. M u y
pocos casos pueden analizarse exactamente de este m odo, y así se recurre a
1 Obsérvese que la segunda ecuación es un caso especial basado sobre la hipótesis de que
el desplazamiento z es independiente de la dirección 0.
300
Efectos debido a los límites e interferencias
ciertas aproxim aciones físicam ente razonables que en la mayoría de los casos
están totalm ente justificadas por el éxito que se obtiene. En la mayoría de
estos tratamientos aproxim ados reside un con cepto que fue primeramente in­
troducido por C. Huygens en 1678 y desarrollado posteriorm ente por J. A . Fresnel en 1816 y años posteriores. Este con cep to es que, cuando una onda pro­
gresa a través de un m edio, se puede considerar cada punto sobre el frente
de ondas que avanza co m o un nuevo fo co . El desarrollo detallado de esta idea
es el tema de la sección siguiente.
PRIN CIPIO DE H U Y G E N S - F R E S N E L
Supóngase que se produce una perturbación en cierto punto de un depósito
de agua, por ejemplo,
se
tira un pequeño objeto en el agua, o se toca la
superficie con la punta de un lá p iz .
Entonces se crea un pulso de onda circu­
lar en expansión. Ignorando los efectos de la dispersión, podem os decir que
el pulso se expande a cierta velocidad v. ,Si el pulso se crea en el origen para
t = 0, entonces las partículas del m edio a una distancia r del origen se ponen
en m ovim iento cuando t = r/v, El punto de vista de Huygens era que los efec­
tos que se producían en r +
Ar
en el instante t +
A r/v
podía adscribirse a la
agitación del m edio en r en el instante £, tratando así la perturbación de modo
explícito com o algo que se traslada de un punto a otro adyacente a través del
m edio.LTanto Huygens c o m o Fresnel aplicaron esta idea a la propagación de
la luz, en la cual el com portam iento del m edio está más allá de la observa­
ción. Sin em bargo, es muy probable que la descripción de estos hechos fuese
sugerida por el com portam iento observado de las ondas en el agua. En par­
ticular, si las ondas que se mueven alejándose de una fuente o fo co se en­
cuentran con una barrera que posee sólo una pequeña abertura (“ pequeña”
significa de una anchura pequeña com parada con la longitud de onda), esta
abertura parece actuar exactamente c o m o una fuente puntual, a partir de la
cual se extienden ondas circulares. En la figura 8-6 se muestra este fenómeno.
N o importa que las ondas originales sean rectas y circulares; lo que hace la
pequeña abertura es actuar com o fo c o de ondas circulares en cualquier caso.
Esto es muy razonable, porque el efecto de la barrera es suprimir toda la
propagación de la perturbación original excepto la que se propaga a través de
la abertura en la cual el desplazamiento del m edio está libre de comunicarse
,al otro lado.
Principio de Huygens-Fresnel
(a)
301
(b)
Fig. 8-6. Generación de ondas elementales de Huygens en una abertura pe­
queña con que se encuentra un frente de onda que avanza, (a) Ondas prin­
cipales circulares. (Según R. W. Pohl, Physical Principies o f Mechanics and
Acoustics, Blackie, London, 1932.) (b) Ondas primarias rectas. (Según la pe­
lícula “ Ripple Tank Phenomena”, Parte II, Education Development Center,
Newton, Mass.)
El principio de Huygens explica fácilm ente el hech o de que un pulso de
onda circular no im pedido da lugar a un frente de onda circular subsiguiente
y que un pulso recto da origen a un frente de onda también recto. La figu­
ra 8-7, tom ada del libro original de H u ygen s,1 indica cóm o, dado un frente de
A
Fig. 8-7. Construcción de un frente de onda por el método de Huygens.
[Según C. Huygens, Treatise on Light (traducido por S. P. Thompson), Dover,
Neiu York, 1962.)
1 C. Huygens,
York, 1962).
Treatise
on
Light,
1960
(traducido
por
S.
P.
Thompson
Dover,
New
302
Efectos debido a los límites e interferencias
onda circular HBG1, se desarrollará en un tiem po posterior un frente de onda
circular DCEF. E sto es así debido a que cada punto, c o m o el B, da origen a un
elem ento de onda circular KCL, y la totalidad de estos elem entos generan un
refuerzo a lo largo de la línea DCEF que es tangente a todas ellas en un ins­
tante dado. Este lugar geom étrico está caracterizado por el hecho de que las
distancias más cortas entre él y el frente de onda original es en tod os los
puntos igual a vM, siendo Ai el tiem po transcurrido desde que el frente de
onda estaba en HBGI. Una construcción semejante para un frente de onda
recto im plica que éste genere un frente de onda subsiguiente paralelo a sí
mismo.
Sin embargo, existe algo más de lo que se ve a simple vista. La construc­
ción de Huygens, com o acabam os de describir, definiría dos frentes de ondas
siguientes y no uno sólo. Adem ás de un frente de onda nuevo que se aleja de la
fuente, debía existir otro correspondiente a un frente de onda que se mueve
hacia la fuente. Pero sabemos que esto no ocurre así. Si el m od o de Huygens
de visualizar la propagación de la onda ha de ser aceptable, debe incorporar
la propiedad unidireccional de una onda m óvil. Esto puede obtenerse exigiendo
que la perturbación iniciada a partir de un punto dado en el m edio en un
instante determinado no es igualmente intensa en todas direcciones. Especí­
ficamente, si O (fig. 8-8) es la fuente original verdadera, y S es el origen de
un elemento de ondas de Huygens, y P es el punto en que ha de registrarse
la perturbación, entonces el efecto en P debido a la región próxim a a S es una
función f(0) del ángulo 6 entre OS y SP. En particular, f(0) = 6 para 6 = n.
Por lo que a nuestro estudio presente se refiere, la construcción de Huygens
ofrece una contribución útil pero esencialmente cualitativa al análisis de la
propagación de onda. Realm ente hacer algo más es verdaderamente muy di-
Fig. 8-8. El punto S sobre una onda circular en expansión originada en O,
actúa como una fuente o foco secundario cuyo efecto en P depende de la
oblicuidad 0 y de la distancia SP.
Reflexión y refracción de ondas planas
303
fícil. Las propiedades de los fo co s secundarios se deben definir sobre un frente
de onda que avanza, de tal m od o que produzcan el efecto preciso que se re­
quiere. Una form ulación matem ática precisa del principio de Huygens en estos
términos fue publicada por H. H elm holtz en 1859 y se desarrolló adicionalmente por G. K irch h off en 1882.1 A pesar de su artificialidad, el método es
de gran valor en el análisis de las interferencias ópticas que se producen cuan­
do un haz de luz está parcialmente interrum pido por obstáculos. Y aun sin
las matemáticas se puede utilizar, co m o verem os, el m étod o de Huygens com o
guía para el estudio.
C on gran frecuencia, estamos tratando con ondas sinusoidales continuas,
y no con pulsos individuales, e incluso un pulso individual es describible, com o
hemos visto, en función de la superposición de un tren de onda infinita a tra­
vés del análisis de Fourier. Esto significa que podem os considerar en todo ins­
tante cada punto de una superficie arbitrariamente escogida com o una /uente
secundaria de elem entos de ondas de Huygens. A unque las ondas mismas estén
avanzando, la am plitud de la perturbación sinusoidal en un punto dado cual­
quiera es independiente del tiem po. Esto significa que una vez que se hayan
tenido en cuenta las fases relativas de las perturbaciones que llegan a un punto
dado a partir de cualquier superficie designada, puede despreciarse la depen­
dencia explícita con el tiem po. Esto resultará más claro cuando consideremos
los problem as específicos en dirección e interferencia.
R EFLEX IÓ N Y R E F R A C C IÓ N DE O N D A S P L A N A S
Com o hicim os con las ondas en una cuerda, en general, podém os esperar úna
reflexión parcial y una transmisión parcial de las ondas en un m edio cuando
se encuentra con un lím ite o frontera entre los diferentes medios. Pero con
ondas en dos o tres dim ensiones, debem os ahora también considerar los p o ­
sibles cam bios de dirección.
1 Esto era válido para una propagación de ondas en tres dimensiones. Realmente, y de
modo sorprendente, la form ulación y empleo del principio para dos dimensiones es más difí­
cil y menos claro que en caso de tres. Pero esto es un punto sin importancia, inadecuado
para discutirlo aquí. Para un estudio más com pleto del principio de Huygens, ver B. Rossi,
Optics, Addison-W esley, Reading, Mass, 1957, o (para un estudio matemático com pleto)
B. B. Baker y E. T. Copson, The Mathematical Theory of Huygens’ Principie, Oxford University
Press, New York, 1950.
304
Efectos debido a los límites e interferencias
Fig. 8-9. (a) Reflexión y refracción mediante la construcción de Huygens.
(b) Prueba de la ley de Snell mediante la construcción de Huygens.
El caso más sencillo es aquel en que una onda recta incide sobre una fron­
tera o límite recto. Entonces tenem os el com portam iento familiar de la refle­
xión y refracción descrito por las leyes de Snell. Estos resultados se obtienen
fácilmente por m edio de la construcción de Huygens. En la figura 8-9, la línea
A A ' representa un frente de onda recto en el instante en que el punto A inci­
de en la frontera. En un instante posterior, el frente ha avanzado en el medio
original a la posición BB' [fig. 8-9 (a)]. Cada punto sucesivo a lo largo de la
frontera entre A y 5 , cuando es alcanzado por el frente de onda, resulta ser
el centro de un nuevo elem ento de onda de Huygens, elem ento que avanza en
el segundo m edio y que retrocede en el m edio original. Las tangentes a estos
elementos de ondas serán los nuevos frentes de onda.
Un p o co más tarde, los frentes de onda originales tocan a la frontera en el
punto C f [fig. 8-9 (b)]. En el m ism o instante el elem ento de onda que partió
anteriormente del punto A , extendiéndose hacia atrás en el m edio original,
habrá adquirido un radio A C ". La línea C 'C ", tangente a este últim o elemen­
to de onda, será también tangente a tod os los elem entos de onda que surgen
de los puntos a lo largo de la frontera entre A y A ' . 1 La línea C 'C " es un
nuevo frente de onda. Y a partir de la geometría de la figura, si llamamos i e í
1 Deberá com probar el lector por sí mismo que esto es así.
Reflexión y refracción de ondas planas
305
,a los ángulos form ados por los frentes de onda incidente y reflejado con el
límite o frontera, tendrem os
sen * “
A 'C
AC"
AC
A C ~ ~ S tnt
El ángulo form ado por la frontera y el frente de onda es igual al ángulo exis­
tente entre la normal a la frontera y la norm al al frente de onda. Pero esta
última dirección representa lo que podríam os denom inar la dirección de los
rayos (al m enos en óptica), es decir, la dirección de un haz estrecho de ondas
progresivas.1 A sí pues, los ángulos i e i' representan los ángulos de incidencia
y reflexión para los rayos que inciden sobre una frontera recta.
(Realm ente, el estudio anterior del proceso de reflexión puede parecer di­
fícil de reconciliar con la propiedad norm almente exigida de los elementos de
ondas secundarias de Huygens, según la cual deberá existir una amplitud que
tiende a cero en sentido hacia atrás. Sin em bargo, se puede argüir que la pre­
sencia de una frontera brusca crea un caso nuevo y diferente, en el que resulta
posible la produ cción de un elem ento de onda intenso hacia atrás.)
El proceso de refracción se analiza de un m od o semejante. Refiriéndonos
de nuevo a la figura 8-9 (b), debem os especificar el radio del elemento de onda
de Huygens que ha avanzado ya hacia el segundo m edio desde el instante en
que el frente de ondas estaba en A A ' al instante en que toca al límite en C f.
Entonces C 'C ", trazado tangente a este elem ento de onda (y a todos los de­
más elem entos de ondas en este instante), es el frente de onda en el medio 2.
Si las velocidades de las ondas en los dos m edios son v1 y v2, respectivamente,
y el tiem po que interviene es Ai, tendrem os
A 'C = v i A t
AC" =
v 2 At
El ángulo de refracción r es el ángulo com prendido entre C 'A y C ' C ".
Por lo tanto,
Vi At
sen t = — — —
AC
sen r =
v2 At
AC
Por lo tanto,
sen i
Vi
sen r
v2
( 8 - 12)
1 Esta ortogonalidad de la dirección de los rayos y del frente de ondas puede parecer evi­
dente, pero realmente cesa de ser válida en medios anisótropos, en las que los elementos de
.ondas de Huygens pueden ser elípticos en lugar de circulares.
306
Efectos debido a los límites e interferencias
El problem a de calcular las amplitudes reales de las ondas reflejada y
transmitida no es trivial. Ciertamente, no es un problem a aislado. Las ondas
longitudinales (de com presión) se com portan de m od o diferente a las ondas
transversales, y en este m ism o caso aquellas situaciones en que el desplaza­
m iento es perpendicular al plano de la figura 8-9 (com o sería el caso con ondas
de agua) difieren de la situación en que los desplazamientos están contenidos en
el plano de la misma. Es decir, con ondas transversales el com portam iento de­
pende del estado de polarización. D ebido a esta com plejidad, no intentaremos
analizar dichos problemas. Pero puede señalarse que cuando la incidencia es
normal (i = 0) tenemos de nuevo un problem a esencialmente monodimensional. Sin embargo, existe todavía una distinción entre perturbaciones longitu­
dinales y transversales, co m o hem os ya m encionado para el caso de un medio
fluido en contacto con un límite efectivam ente inm óvil pero liso. En este caso
existirá efectivamente el 100 % de reflexión de cualquier onda incidente. Pero
si la onda es longitudinal, el lím ite actúa co m o si fuese com pletam ente rígido
y el desplazamiento de la onda reflejada en dich o límite debe ser igual y opues­
to al de la onda in cid en te; mientras que si la onda es transversal, el límite no
ofrece ninguna resistencia y la reflexión tiene lugar sin inversión del signo
del desplazamiento (véanse nuestras discusiones anteriores sobre los problemas
de los límites o fronteras m onodim ensionales).
En la figura 8-10 m ostram os ejem plos de la reflexión y refracción de ondas
de agua, según se observa en una cubeta.
En la refracción, se puede ver claramente la variación de la longitud de
onda (en el factor usM ) que se produce cuando la perturbación pasa al segun­
do medio.
N o presentaremos aquí ningún estudio de la reflexión o refracción de on­
das circulares en fronteras rectas o curvas. Sin em bargo, tales casos pueden
analizarse fácilm ente en función del com portam iento de los elementos de on­
das de Huygens. Se ve claramente cóm o los espejos y las lentes modifican los
frentes de onda incidentes conduciendo al enfoque o desenfoque y a otros
fenóm enos, que pueden describirse com o m odificaciones de las trayectorias
de los rayos de acuerdo con la ley de Snell.
En la cuestión específica de la refracción quizá sea interesante señalar que
se produce un cam bio de dirección del frente de onda siempre que la veloci­
dad de las ondas varía con la posición. Esto puede suceder dentro de un solo
m edio en ciertas condiciones. Por ejem plo, la velocidad de las ondas de com­
presión (sonido) en gases es una función de la temperatura. [Específicamente
Reflexión y refracción de ondas planas
Fig. 8-10. (a) Reflexión de ondas rectilíneas en el agua en una frontera rígi­
da (i = 45°). (b) Refracción de las ondas en el agua en la frontera entre zo­
nas de diferente profundidad y, por tanto, con distintas velocidades de onda.
(Según la película “Ripple Tank Phenomena” . Parte 1, Education Development
Center, Newton, Mass.)
307
308
Efectos debido a los límites e interferencias
v ~ \'T , véase capítulo
7 , ecuación (7-12).] A sí pues, si existe un gradiente
de temperaturas en un gas, las ondas que se mueven a través del mismo se
desviarán progresivamente. De nuevo, si el m edio está en m ovim iento de tal
m odo que sus diferentes partes tienen velocidades distintas, se producirá re­
fracción. En el aire cerca de la superficie de la Tierra puede existir un gra­
diente de temperaturas así com o un gradiente de velocidades. Dependiendo de
sus signos y de la dirección de propagación de las ondas, un tren de ondas
sonoras puede desviarse hacia arriba de la superficie de la Tierra o hacia abajo.
En últim o caso puede existir una audibilidad increm entada del sonido a dis­
tancias considerables.
E F E C T O D O PPLER Y F E N Ó M E N O S R E L A C IO N A D O S
Si la fuente de una perturbación periódica se mueve respecto al m edio, se mo­
difica el diagrama de ondas produ cido por dicha perturbación. El caso más
sencillo es el de una fuente que se mueve en línea recta a velocidad constan­
te. Existen dos casos m uy diferentes, según que la velocidad de la fuente sea
menor o mayor que la velocidad de la onda que genera. Estos dos casos se
indican esquemáticamente en la figura 8-11. Se muestra la posición de la fuen-
iSq £ 4 Si
00
(b)
Fig. 8-11. Frentes de ondas sucesivas producidos a intervalos iguales de tiem­
po por (a) foco que se mueve con una velocidad menor que la onda, (b) foco
moviéndose con una velocidad superior que la onda.
?
1
Efecto Dopler y fenómenos relacionados
309
te o fo co , S, en una sucesión de intervalos iguales de tiempo. Por ejemplo,
éstos podrían ser instantes en los que la fuente genera un pulso breve, o dis­
tantes separados por un período de una vibración sinusoidal continua de la
fuente. En cualquier caso, una circunferencia con una posición dada de S
com o centro representa el lugar de los puntos influidos en un instante subsi­
guiente determ inado por las ondas que se difunden a partir de S.
Sea u la velocidad de la fuente, y v la de las ondas. Entonces en un instan­
te t después de la iniciación de una de las ondas circulares, el radio del frente
de onda es vt y el fo c o se ha m ovido una
distancia u t. Si u < v, tenemos un
caso co m o el indicado en la figura 8-11 (a).
Los frentes de onda circulares es­
tán com prendidos uno dentro del otro. La distancia de los sucesivos frentes de
onda es m enor a lo largo del sentido del m ovim iento de la fuente y mayor en
sentido opuesto. Si el intervalo de tiem po entre las posiciones sucesivas de S
indicadas en la figura 8-11 (a) lo llamamos x, entonces esta separación de los
frentes de ondas es (u — w)x y (u + u)x, Pero vx representa la distancia entre
las fuentes de onda en cualquier dirección si la fuente esestacionaria. A sí pues,
existe una variación sistemática de longitud de onda con la dirección para las
ondas emitidas desde una fuente m óv il; éste es el efecto Doppler. En particu­
lar, tenemos
^min
— Xo 1 1
;)
I
Xmáx ®
Xq
La situación es más com plicada para otras direcciones, pero puede anali­
zarse sencillamente si la distancia de la fuente al punto de observación es
V
muy grande com parada con una longitud de onda. V em os un caso del tipo
indicado en la figura 8-12. Los puntos m arcados con S0 y Sn representan las
posiciones de la fuente para t = 0 y para t = m ( n períodos más tarde). C om o
la velocidad de la fuente es u, resulta
SoSn = x n = unr
Como el punto de observación, P, se supone muy alejado, el ángulo S0PSn es
muy pequeño. Esto significa que los frentes de onda que llegan a P proceden­
tes de S0 y Sn (y en tod os los puntos interm edios que va ocupando la fuente)
son casi paralelos. Supóngase que la onda TV0 procedente de S0 ha alcanzado
justamente a P. Esto define un tiem po tP igual a rQfv. La onda procedente de Sn
partió en t = m ; así en el tiem po tP ha estado viajando sólo durante un tiem ­
po tP — m ; su frente de onda está en W n, y tenemos
SnQ = v{tP — nr)
= ro — vnr
310
Efectos debido a los límites e interferencias
P
<Q
Mo
Wn
S 0
Fig. 8-12. Ondas que llegan a un punto distante P procedentes de un foco
que se mueve de So a Sn.
La distancia entre los frentes de onda puede considerarse igual a QP o Q'P
(siendo la diferencia entre ellos insignificante).
Si ponem os SnP = r„, tenemos
QP = rn - SnQ = rn - ro +
vht
Pero si trazamos una perpendicular desde Sn a la línea SQP, resulta también
que N P
rn (de nuevo debido a la pequeñez del ángulo S0PSn), de m odo que
Q'P í=; QP ~ unr — unr eos 8
Pero Q'P o QP com prende n longitudes de onda de la perturbación según
se observan en la dirección 0 respecto a la fuente m óvil. Así,
(8-13)
Esto significa de m od o sencillo que el efecto D oppler depende de la componente do la velocidad de la fuente en la dirección del observador. La frecuen-
Efecto Dopler y fenómenos relacionados
311
d a a la que los frentes de onda sucesivos pasan a través del punto de o b ­
servación P es la velocidad de la onda dividida por la longitud de onda. A sí
pues, resulta
^
V
j
vo
u eos 6
(8-14)
v
Esta última ecuación es el enunciado más apropiado del efecto Doppler en
acústica, porque el efecto correspondiente se detecta mediante la variación del
tono de la nota recibida de un fo c o o fuente m óvil.
V olvam os ahora al caso en el que la velocidad de la fuente supera a la ve­
locidad de la onda. Esto nos da una situación sem ejante a la indicada en la
figura 8-11 (b). Supongamos que la fuente está en S0 en el instante t = 0. En­
tonces en el tiem po posterior t = m , la fuente está en Sn, siendo S0Sn = nux,
y el frente de onda procedente de S0 ha alcanzado o adquirido un radio igual
a nv%. En la posición de Sn en dich o instante, las ondas están solamente a
punto de generarse. Si se dibujan las líneas tangentes desde S« al frente de onda
circular procedente de S0, estas líneas son también tangentes a todas las demás
circunferencias intermedias. En nuestra experiencia anterior, la construcción
de Huygens sugiere que el resultado a obtener es un refuerzo de los elementos
de onda a lo largo de estas líneas, que actúan así c o m o un frente de onda
recta que se mueve alejándose a la velocidad v. El ángulo a que forman estos
frentes de onda con la línea del m ovim iento de la fuente se define mediante
la relación
S*P
sen “ =
~
s &
V
r=
~
/O
( W 5 )
El cociente ujv se denom ina núm ero de M ach, y el ángulo a 'es el ángulo de
Mach (existe solamente si el núm ero de M ach es mayor que 1).
La figura 8-13 muestra dos ejem plos reales de los diagramas de ondas ge­
nerados en una cubeta de ondas con una fuente m óvil para un número de
Mach m enor y m ayor que 1.
Para ver más claramente que el lugar geom étrico de las ondas circulares
para u > v actúa com o un frente de onda recto concentrado, considerem os
los instantes de llegada de las ondas circulares sucesivas a un punto P bastante
alejado de la fuente m óvil. Podem os referirnos otra vez a la figura 8-12. Su­
pongamos de nuevo que una onda parte de S0 cuando t = 0, y que otra onda
312
Efectos debido a los límites e interferencias
Fig. 8-13. Ondas en el agua producidas en una cubeta de ondas por un foco
móvil. (De la pelíchla “ Ripple Tank Phenomena” , Parle III, Education Development Center, Newton, Mass.) (a) Velocidad del foco inferior que la ve­
locidad de la onda (efecto Doppler). (b) Velocidad del foco mayor que la ve­
locidad de la onda (onda de choque).
Efecto Dopler y fenómenos relacionados
313
parte de Sn cuando t = m . Los tiem pos de llegada de estas ondas a P vienen
dados por
r°
to = —
v
i
U = nr + A sí pues,
ro - rn
tn — to = n r --------------u
P ondrem os de nuevo r0— r„ ^ x n eos 0, lo que da
('
tn —
tO «
UT ( 1
Evidentemente, si u < v, tn es siempre
u eos d\
------------------ 1
m ayor que t0 , es decir, las ondas -lle­
gan en el m ism o orden en que se em itieron. Pero si u > v, la secuencia de
tiempos depende de 0. Y en particular, existe un valor de 0 para el que todos
los frentes de onda llegan a P en el m ism o instante. Llam ando a este ángulo 0O»
tenemos
eos 0o = (8-16)
u
Este valor de 0 es el com plem ento del ángulo de M ach y define la dirección
perpendicular al frente de onda recto, a lo largo de la cual viaja esta región de
concentración de los elem entos de ondas circulares. En estos términos pueden
entenderse la produ cción de efectos co m o el del estam pido sónico. Si un fo c o
S está m oviéndose [fig. 8-14 (a)] a una velocidad m ayor que la velocidad de
onda, y un observador está en P, una línea trazada desde P form ando un án­
gulo 00 con la dirección del m ovim iento de la fuente o fo c o intersectará a la
línea de m ovim iento de la misma en un punto S0. Un tiem po r0/v después de
que la fuente pase a través de S0, P recibirá repentinamente la acumulación de
los elem entos de onda que han sido generados por la fuente en una distancia
corta desde S0 en adelante, pero que alcanzan a P simultáneamente.
En este instante la fuente misma ha recorrido una distancia ur0/v más allá
de S0 ; véase figura 8-14 (a). A ntes de este instante, P no recibía ninguna per­
turbación. Después que la acum ulación ha pasado más allá de P existirá una
llegada continua de elem entos de
onda normales , pero sin aprovecharse del
refuerzo produ cido por su llegada simultánea, de m odo que pueden ser dem a­
siado débiles para ser apreciables.
En la práctica, un avión que se mueve con velocidad supersónica genera un
estampido doble, debido a la form ación de dos frentes de onda principales, uno
314
Efectos debido a los límites e interferencias
(a)
Fig. 8-14. (a) En la dirección B0 = are cos(vju), los pulsos procedentes del
foco móvil (u > v ) se acumulan simultáneamente en el punto de observación P.
(b) Producción del estampido sónico.
en su parte delantera y el otro en su cola. A m bos, para un avión que se mue­
ve horizontalm ente a velocidad constante, se producen en la form a de super­
ficies cónicas que se transportan junto con el avión [véase fig. 8-14 (b)]. Su
intersección con el suelo tiene form a hiperbólica. Cuando este diagrama barre
cualquier punto particular, se oye en dich o punto el estam pido s ó n ic o .1
IN T E R F E R E N C IA S P R O D U C ID A S POR U N A D O B L E R E N D IJA
Consideraremos ahora más explícitamente lo que ocurre cuando una onda que
avanza se ve obstruida por un obstáculo o barrera. Desde el punto de vista del
1 Para una explicación más completa, véase, por ejemplo, el artículo “ Estampido sónico”
por H. A. Wilson, Jr., Scientific American, enero 1962, pp. 36-43.
Interferencias producidas por una doble rendija
315
■principio de Huygens, cada punto sin obstruir en el frente de onda original
actúa com o una nueva fuente y la perturbación más allá de la barrera es la
superposición de todas las ondas que se extienden a partir de estas fuentes
o focos secundarios. D ebido a que tod os los fo co s secundarios son producidos
por la onda original, existe una relación de fase bien definida entre ellas. Esta
condición se denom ina coherencia e im plica a su vez una relación de -fases
sistemática entre las perturbaciones secundarias cuando ellas llegan a cualquier
otro punto más alejado. C om o resultado, existe un diagrama de interferencias
característico en la región más allá de la barrera.
El caso más sencillo, y que es básico para el análisis de tod o lo demás, con­
siste en considerar la onda original com pletam ente obstruida excepto en las
aberturas arbitrariamente estrechas. En un sistema bidim ensional dichas aber­
turas actúan co m o fo co s puntuales. El caso análogo para ondas en tres dimen­
siones sería el de dos rendijas largas paralelas que actuasen co m o focos linea­
les. D iscutim os brevem ente un dispositivo de esta clase en el capítulo 2, cuando
considerábamos primeramente la superposición de vibraciones armónicas, y el
lector probablem ente estará fam iliarizado también con dich o dispositivo en
conexión con el histórico experim ento de Thom as Y ou ng (realizado alrededor
de 1802) que expuso la interferencia de las ondas lum inosas de un m odo in­
confundible.
En la figura 8-15 indicam os un frente de onda que se aproxima a dos ren­
dijas Si y S2, que se admiten que son iguales y muy estrechas. Por sencillez
supondremos que las rendijas están igualmente alejadas de un punto que actúa
com o fo c o primario de la onda. A sí pues, las fuentes secundarias Sl y 5-> están
en fase entre sí. Si la onda original es una perturbación armónica simple con ­
tinua, Sl y S2 generarán a su vez ondas arm ónicas simples. En un punto arbi­
trario P, la perturbación se obtiene sumando las contribuciones que llegan en
un instante dado desde
y S2. En general, necesitarem os considerar dos efec­
tos característicos:
1.
Las perturbaciones que llegan a P procedentes de S, y S« difieren en
amplitud por una doble razón. En primer lugar las distancias rx y r_. son dife­
rentes, y la amplitud generada por una perturbación circular en expansión
disminuye al aumentar la distancia al foco. En segundo lugar los ángulos
y
son diferentes, y un elem ento de onda de Huygens tiene una amplitud* que
disminuye (com o vim os anteriorm ente en conexión con la fig. 8-8) al aumentar
la oblicuidad.
316
Efectos debido a los límites e interferencias
Frentes de ondas
procedentes de un foco primario
Fig. 8-15.
2.
Interferencias por una doble rendija.
Existe una diferencia de fase entre las perturbaciones en P , corres­
pondientes a la diferencia de tiem po (r2 — ri)/v, siendo v la velocidad de la
onda.
Estudiemos ahora los casos en que las distancias rx y r2 spn grandes com­
parados con la distancia entre Si y S2. Entonces la diferencia entre las amplitu­
des debidas a Sz y S2 en P es despreciable. Pero sigue persistiendo la posibili­
dad de una diferencia de fase im portante entre ambas perturbaciones, y ésta
es la que dom ina el aspecto general del diagrama de ondas resultante. Vemos
las consecuencias típicas en la figura 8-16, que es una fotografía hecha en la
cubeta de ondas. Existen ciertos lugares, líneas m odales, en los cuales la
perturbación resultante es casi cero en to d o instante. Es fácil calcular sus po­
siciones. En un punto cualquiera de la figura 8-15, c o m o P, el desplazamiento
en función del tiem po tiene la fprma
Interferencias producidas por una doble rendija
^
317
^ ( 'f'
Fig. 8-16. Interferencias de ondas de agua por una doble rendija. (Según la
película “Ripple Tank Phenomena” , Parte II, Education Development Center,
Newton, Mass.)
si la dependencia tem poral de las perturbaciones en Si y S2 depende del eos wí.
La ecuación (8-17) encierra el hecho de que una secuencia dada de desplaza­
mientos en un fo c o cualquiera da origen, en un instante posterior r/v, a una
secuencia semejante en un punto alejado a una distancia r. Así pues, si p od e­
mos hacer A i ^ A 2 ( = A 0, por ejem plo), entonces
318
Efectos debido a los límites e interferencias
Introduciendo la longitud de onda A = v/v — 2nv¡u>t tenem os así
ypO )
— ri)
= 2 A q cos cct cos
(8-18)
Se define una línea nodal por la condición de que la cantidad ^(r2— rx)/A es un
múltiplo impar de A/2. A sí pues, podem os escribir
= Qn + \ )\
o bien
r2— rl = (n + \)l
(líneas nodales)
(8-19)
siendo n un entero cualquiera positivo o negativo (o cero). Las líneas nodales
son así una serie de hipérbolas que dividen la región com pleta detrás de las
rendijas de un m odo bien definido. D entro de las zonas entre las líneas noda­
les se puede dibujar una segunda serie o familia de hipérbolas que definen lí­
neas de
desplazamiento
de lasrendijas
m áxim o, en el sentido de que a una distancia dada
y entre dos líneas nodales .dudas la am plitud de la perturbación
resultante alcanza su valor m áxim o. Es fácil de ver que
la con d ición para
que esto ocurra es
r2— Vi = n i
(m áxim os de interferencia)
(8-20)
El parámetro importante que gobierna el aspecto general del diagrama de
interferencias es el cociente adimensional entre la separación de la rendija d
y la longitud de onda A. Este h ech o se manifiesta en su form a más sencilla si
consideram os las condiciones que se presentan a una distancia grande de las
rendijas , es decir,
r ^ > d . Entonces (refiriéndose de nuevo a la fig. 8-15) pue­
de ponerse el valor de r2— rx igual a d sen O con error despreciable. De aquí
que la condición para los m áxim os de interferencia resulte ser
d sen 0n = n i
ni
sen 0n = ——
(8-21)
d
y la amplitud en cualquier dirección arbitraria viene dada por
A(d) = 2A0 cos ^
5 ^
(8-22)
A partir de esta expresión vem os que la interferencia a una distancia gran­
de de las rendijas es esencialmente un efecto direccional. Es decir, si se ob­
Efectos debido a los límites e interferencias
319
servan las posiciones de los n odos y de los m áxim os de interferencia a lo lar­
go de una línea paralela a la que une las dos aberturas, las separaciones linea­
les de los m áxim os (o cero) adyacentes aumenta en proporción a la distancia
de las rendijas.
Las características generales del diagrama de interferencias en el caso de
un sistema de doble rendija se ilustran de m od o m uy aceptable en la figu­
ra 8-17 para dos valores diferentes de d¡L Éstos no son diagramas de ondas
reales, sino que son simulados, obtenidos superponiendo dos series o familias
Fig. 8-17. Diagramas de Moiré con los que se obtienen aproximadamente las
interferencias producidas por una doble rendija. (Hecho con el equipo de
“Moiré Patterns” , distribuido por Edmund Scientific Co., Barrington, N. J.)
(Foto por Jon Rosenfeld, Educalion Research Center, M.I.T.)
320
Efectos debido a los límites e interferencias
de circunferencias con cén trica s.1 Un interés especial se tiene con frecuencia
en el caso de que d ¡l es muy grande. Esto sucede especialmente en interfe­
rencias ópticas, en donde la longitud de onda ( ~ 6 X 10~7 m) es, por lo común,
extremadamente pequeña comparada con la separación entre rendijas (típica­
mente ~ 0,1 mm). En estas condiciones ( l / d ^ 10 2) podem os sustituir sem9n
por 0n en la ecuación (8-21), de m od o que la separación angular entre dos má­
xim os sucesivos de interferencias resulta ser k¡d, m uy aproxim adam ente. A de­
más, a una distancia dada D de las rendijas, los m áxim os de interferencia su­
cesivos están igualmente separados, con una separación de D ljd .
IN T E R F E R E N C IA S POR R E N D IJ A S M Ú LT IP LES
(R E D E S DE D IF R A C C IÓ N )
A l estudiar el problem a de la doble rendija hem os indicado con cierto detalle
cóm o se form ó el diagrama de interferencias. P ero en casos más com plicados
nos limitaremos nosotros m ism os a considerar el estado de la interferencia
a distancias que son grandes comparadas con las dim ensiones lineales del sis­
tema de aberturas. Esto nos permite admitir lo sigu ien te:
1.
Porciones igualmente anchas (no obstruidas) del frente de onda origi­
nal dan contribuciones de la misma amplitud en cualquier punto que se con­
sidere.
2.
Las líneas trazadas hasta un punto de observación dado desde las di­
versas partes sin obstruir del frente de onda original son casi paralelas.
Analicem os en estos términos el diagrama de interferencias debido a una
disposición de N rendijas igualmente separadas. C om o sucede en el caso de
la doble rendija, adm itirem os por el m om ento que las rendijas individuales
tienen todas la misma anchura, que es muy pequeña. Llam em os d a la separa­
ción entre rendijas adyacentes. A dm itirem os que las diversas rendijas están
todas accionadas en fase, com o sucedería si la onda fundamental fuese plana
o recta (es decir, procedente de una fuente primaria muy alejada) y paralela
al plano de la rendija (fig. 8-18). La diferencia de trayectoria para las ondas
secundarias que llegan a un punto P procedentes de rendijas adyacentes es
1 Realizados con el equipo de los diagramas de Moiré construidos por Edmund Scientific Co.,
Barrington, N.J.
Interferencias por rendijas múltiples
321
S e cortan en
un punto P
Onda
Fig. 8-18.
prim aria
Interferencias por una rendija múltiple.
igual a d sen 6. Esto define entonces una diferencia de tiem pos d sen 6¡v y una
diferencia de fases 8 dada por
6—
wd sen 6
2nd sen 0
v
X
(8-23)
El desplazamiento resultante en P tiene así la form a
yp (t) — Aoco$(w t — <pi) + ^ocos(cor — <p\ — 5)
+ /4ocos(cor — ipi — 25) + * ■- (hasta N términos)
en donde
= 2nrx¡X es la diferencia de fases que corresponde a la distancia
de la primera rendija al punto P.
Y a hem os considerado este problem a de superposición en el capítulo 2. La
amplitud A de la resultante se obtiene tom ando el vector suma de N vectores
de longitud A 0, cada uno de los cuales form a un ángulo 6 con su vecino p ró ­
ximo (véase fig. 2-7). El resultado es
A = A(
sen (N 8/2)
sen (8/2)
(8-24)
C onsiderem os ahora la form a en que A depende del ángulo 0, dada por la
ecuación (8-23) para 8. Es especialmente aclaratorio hacer esto con la ayuda
322
Efectos debido a los límites e interferencias
Ao
»
A(\
■ ► ■■ ■ ■►
(a) 5 — 0, 2 x, 4x, etc.
(c) 5 * 3ir A ' ( - 54')
(e)8 - 5tt/.V ( — 90f)
( / ) « = 6:r//V(= 705°)
Fig. 8-19.
( S ) 5 = 7», ,V ( ~ ¡26“)
Diagramas vectoriales para redes de difracción
(jV
(=
(=
(=
- 10). (a) 8 = 0, 2x, 4x, <?te. (¿) 5 = 2 x /N
J6 °). (C) 5
= ( = 54°).(¿0 5= 4 * / N
72°). ( e)8 = 5ir/N ( = 90°). (f) 8 = bx/AT
705°). (g)a - 7x/AT( = 72(5°).
de una serie de diagramas vectoriales co m o los indicados en la figura 8-19
para el caso particular N = 10.
1.
Cuando
6 = 0, los vectores com binados están
y se suman de este m o d o :
A = NAq
tod os sobre una recta
Difracción por una sola rendija
323
Por lo tanto, esto representa la mayor amplitud resultante posible. También
se verifica para cualquier valor dado de 6 de la ecuación (8-21). Es decir, una
distribución de N rendijas, separadas d, posee m áxim os principales en las mis­
mas direcciones que en el sistema de dos rendijas de la misma separación.
2.
Cuando 5 = 2-/N, 4-t¡N, 6tt/N, etc., los vectores combinados forman
un polígono cerrado y se tiene
A
=
0
Se puede ver esto igualmente bien a partir de la ecuación (8-24), porque en to­
dos los casos el ángulo N b¡2 es un m últiplo entero de ?r, haciendo que el nu­
m erador sea cero.
3.
Entre estos ceros existirán valores de 8, y por tanto de 0, que definen
m áxim os interm edios del desplazamiento. Éstos se denom inan máximos sub­
sidiarios del diagrama de interferencias de rendijas múltiples, y sus amplitudes
son m ucho m enores que las amplitudes de los m áxim os principales, aunque
sus posiciones angulares precisas y sus amplitudes relativas no sean fácilmen­
te calculables, co m o se descubrirá si se intenta hacer dich o cálculo para los
valores m áxim os de A m ediante la ecuación (8-24). En la figura 8-19 la am­
plitud en el diagrama (c) para S = 3?r¡N es aproxim adam ente igual a la del pri­
mer m áxim o subsidiario y es solam ente un quinto del correspondiente al má­
xim o principal.
4.
Después de N —^1 ceros y N — 2 m áxim os subsidiarios, llegamos al
valor 8 = 2 -, que define el m áxim o principal siguiente del diagrama de d i­
fracción.
La figura 8-20 es una com paración de las variaciones de amplitud con 8 c o ­
rrespondientes a una d oble rendija y a un sistema de 10 rendijas con igual
separación entre ellas. (N ótese la diferencia de las escalas verticales.) El as­
pecto de estas curvas, semejante a pelotas que rebotan, es el resultado de
considerar A siempre positiva, mientras que la ecuación (8-24) definiría valo­
res alternativamente positivos y negativos entre los pares sucesivos de ceros.
El efecto de la utilización de más rendijas consiste en agudizar los m áxim os
principales. Naturalmente, es precisamente esta propiedad la que hace que una
red de difracción sea una herramienta de gran valor en espectroscopia, porque
implica una resolución angular muy nítida para la luz de una longitud de onda
dada. La m ayor parte de la intensidad se concentra dentro de unos interva­
los angulares muy estrechos alrededor de las direcciones de los m áxim os prin-
324
Efectos debido a los límites e interferencias
Fig. 8-20. (a) Variación de la amplitud con la diferencia de fase en el caso
de una interferencia por doble rendija. (b) Variación de la amplitud con la
diferencia de fase en el caso de interferencias por diez rendijas.
cipales ; los denom inados máxim os de orden cero, prim er orden, segundo or­
den, etc., según diagrama. La figura 8-21 muestra un diagrama de interferencias
de rendijas múltiples (N = 8) producidas en una cubeta de ondas. La concen­
tración efectiva de ondas consiste precisamente en tres haces " , uno de orden
cero y dos de primer orden, se muestra claramente. (¿ P o r qué no están pre­
sentes órdenes superiores?)
D IF R A C C IÓ N POR U N A S O L A R EN D IJA
Es claro que ninguna rendija individual o abertura puede ser arbitrariamente
fina, y este hecho da origen al com portam iento de interferencia característico
Difracción por una sola rendija
325
Fig. 8-21. Interferencia por ocho rendijas de ondas de agua. (Según la pelí­
cula “Ripple Tank Phenomena” , Parte II, Education Deuelopment Center,
Newton, Mass.)
de las diversas regiones de una sola rendija. H em os evitado discutir esto an­
teriormente debido a que el análisis del problem a de N-rendijas proporciona
una base de interés para ello. La figura 8-22 es un diagrama muy aumentado
de una rendija aislada estrecha, de anchura b. Adm itam os que todas las partes
de la misma se ven perturbadas en fase por una onda plana incidente. A hora
bien, si la perturbación en la parte más alejada de la rendija ha de estudiarse
a un ángulo 6 respecto a lo normal, com o está indicado, existirá una diferen­
cia de trayectos neta de b sen 0 desde los dos lados de la rendija al punto de
observación y una diferencia de fases asociada de 2 rrb sen 0/A. Si imaginamos
la rendija dividida en un gran número de tiras de anchuras iguales As, una
326
Efectos debido a los límites e interferencias
Frentes de onda incidentes
Fig. 8-22.
Difracción por una rendija.
cualquiera de ellas a una distancia s de un extrem o de la rendija, produce en
el punto de observación un desplazamiento proporcional a As con una fase
igual a 2 -s sen 9¡X (relativo a las ondas que proceden del bord e de la rendija).
Si aceptamos esta descripción del caso, podem os hallar las amplitudes resul­
tantes en función de 0 construyendo un diagrama vectorial co m o el de la fi­
gura 8-19 para las redes de difracción. E llo correspondería a hacer N = s/As
y 8 = 2 -A ssen tf//. Pero, co m o es natural, esta subdivisión en un núm ero finito
de tiras es artificial. Lo que vam os a hacer es imaginar el lím ite de esta des­
cripción cuando As - » 0 y N - » cv. A sí tenem os una variación continua de la
fase en proporción a la distancia a lo largo de toda la rendija. La implicación
de esto es que nuestro diagrama vectorial se transforma en un arco circular
continuo con las siguientes propiedades:
1.
El ángulo entre las tangentes de sus dos extrem os es la diferencia
de
fase total 2-b sen 9¡l.
2.
La longitud del arco corresponde a la amplitud total que proporciona
la rendija (para valores dados de r y 9) si todas las partes de la misma pudie­
sen de alguna form a producir sus efectos en fase entre sí. Si se ignora el factor
de oblicuidad de las ondas elementales de Huygens, esta longitud del arco es
siempre igual a la am plitud A 0 producida para 9 = 0 (a una distancia r
la rendija).
dada de
Difracción por una sola rendija
<p =
2i?b sen 0
V" = 3jr
Fig. 8-23.
327
w
- =
4r
o* « 5iT
Diagramas vectoriales para la difracción por una rendija.
El cálculo de la am plitud resultante es ahora una cuestión simple. En la fi­
gura 8-23 indicam os la base para dich o cálculo. Para un valor dado de la di­
ferencia de fases total cp, el diagrama vectorial resulta ser un arco circular de
radio R tal que
A q = Rip
La amplitud resultante A
en estas condiciones es la cuerda de este arco, y
viene dada por
A = 2R sen (cp/2)
A sí pues, tenemos
A = A,
sen (<p/2)
siendo
<p
xb sen 0
(8-25)
<p/2
Esta variación de la am plitud resultante con la dirección es, pues, de la
form a (sen
a )/a ,
siendo
a
= cp/2. Esta función (más formalmente identificada
co m o una función de Bessel de orden cero) tiene un cero siempre que cp/2 sea
un múltiplo entero de tt. Su aspecto general se indica en la figura 8-24 (a). En
la figura 8-24 (b) se ha vuelto a dibujar sin considerar el signo, y su gran pa­
recido con la curva de la amplitud de una red de difracción se aprecia enton­
ces más fácilm ente [fig. 8-20 (b)].
A partir de este análisis se deduce que una rendija sola puede dar origen
a un diagrama de difracción con un sistema de líneas nodales, com o se ve
328
Efectos debido a los límites e interferencias
Fig. 8-24. Variación de la amplitud con la dirección en la difracción en una
rendija (2 = nb sen0/A, siendo 0 la dirección de observación y b la anchura de
la rendija). (a) Amplitud junto con la fase (como se indica con el signo + o — ).
(b) Valor absoluto de la amplitud.
en la figura 8-25. Es esencialmente más parecido al diagrama existente alre­
dedor del m áxim o central (de orden cero) de una red de difracción que al
diagrama de una doble rendija. Los m áxim os subsidiarios son relativamente
débiles; sus amplitudes son aproximadamente proporcionales a los valores del
(sen a)/a para a = 3^/2, 5tt/2, etc., es decir, para <p = 3?r, 5rr, etc. (N o exacta­
mente, debido a que los m áxim os no se presentan a estos valores precisos de
la fase.) Relativamente a una amplitud de 1 para x = 0, estos otros máximos
tendrían amplitudes de alrededor de 2/3jt (0,21), 2/5n (0,13), etc. (véase figu­
ra 8-24)
Obsérvese que los prim eros ceros se presentan para direcciones tales que
la diferencia de cam inos desde los dos lados de la rendija es precisamente una
longitud de onda com pleta. Esto tiene sentido si se imagina la rendija simple
constituida por dos rendijas contiguas, cada una de la anchura b l2. La dife­
rencia de cam ino entre las ondas procedentes de los centros (o cualquier otra
Difracción por una sola rendija
Fig. 8-25.
D ifr a c c ió n
de
ondas
de
agua e n una rendija.
( Según
329
la película
“ Ripple Tank P h e n o m e n a ” , Parte II, E d u ca tion D e v e l o p m e n t C en ter, N ew ton,
Mass.)
pareja de puntos correspondientes) de estas dos partes es entonces //2 , que es
la con dición de interferencia destructiva. Pueden entenderse de un m odo se­
mejante las otras líneas nodales de una rendija simple.
Deberá recordarse siempre que tod o nuestro estudio pertenece a puntos de
observación que están alejados de la rendija o rendijas. Esto es particular­
mente importante ahora que nos hem os dado cuenta de las consecuencias
de la anchura finita de la rendija. Porque, com o es natural, en posiciones pró­
ximas a una rendija, se ve la influencia de la misma de un m odo más directo.
Una parte del frente de onda incidente, de anchura b , pasa a su través y se
produce una gran perturbación en esta región, mientras que todos los demás
330
Efectos debido a los límites e interferencias
puntos situados en la parte alejada de la barrera están en una som bra geom é­
trica. ¿H asta dónde podem os ir antes que nuestra descripción en función de
los ángulos de difracción sea irrelevante? Podem os establecer un criterio com o
el siguiente: El m áxim o central del diagrama de difracción de una rendija de
anchura b se extiende en un intervalo de ángulo ± Qm, siendo
a = —
A
sen 0m
b
[Esto está im plicado en la ecuación (8-25).] A una distancia D de la rendija
(figura 8-26), este m áxim o definiría una dispersión lineal igual a ± D tg O m. Por
otra parte, una imagen puramente geom étrica de la rendija siempre sería de
anchura b. A sí pues, la difracción es dom inante si es válida la siguiente con­
dición :
D tg 0m >
b
Si A es pequeño com parada con b, podem os poner tgO m ^ sen 0m = X/b, y nues­
tra condición se transforma en
*2
D »?A
Fig. 8-26.
Condiciones necesarias para la difracción de Fraunhofer.
(8-26)
Diagramas de interferencias de sistemas de rendijas reales
331
Este im portante criterio define las condiciones para lo que se denomina difrac­
ción de Fraunhofer>, es el tipo que hem os estado discutiendo.
D IA G R A M A S D E IN T E R F E R E N C IA S D E S IS T E M A S
D E R E N D IJ A S R E A L E S
H abiendo estudiado la influencia de la anchura de una rendija finita, estamos
ahora en condiciones de analizar los diagramas de difracción o de interferen­
cias (los térm inos son esencialmente intercam biables) de cualquier barrera per­
forada. Sin embargo, al hacer esto considerarem os no la amplitud resultante,
sino la
intensidad, es decir, la velocidad a la que la onda resultante libera
energía a una región de una dim ensión dada en diversos puntos. Ahora bien,
para una onda de una frecuencia o longitud de onda dada er un medio deter­
minado, la potencia transportada por la onda es proporcional al cuadrado de
la amplitud. A sí pues, nos vem os lim itados esencialmente a calcular A 2 en
función de la dirección a cierta distancia dada de la abertura que difracta.
Considerarem os los casos específicos de una sola rendija, doble rendija y ren­
dija múltiple (red).
1.
R endija aislada.
ecuación (8-25), tenemos
En el caso de la rendija aislada, basándonos en la
nb sen 0
siendo a = ------l
(8-27)
La figura 8-27 muestra un herm oso ejem plo de un diagrama de éstos, obte­
nido por R. W . Pohl con ondas sonoras. La longitud de onda l fue de 1,45 cm
(correspondiente a una frecuencia supersónica de unos 23 kHz), y la anchura
de la rendija b fue 11,5 cm . La segunda versión del diagrama es un diagrama
polar, en él la distancia m edida desde el origen a cualquier punto de la curva
es proporcional a la intensidad en dicha dirección particular.
Una vez que hem os apreciado que es A 2, y no A , el que proporciona una
medida de la magnitud mas
im p ortan te, el flujo de energía , se aprecia me­
jor la importancia que tiene el m áxim o central com parado con los otros. Las
alturas (teóricas) de los m áxim os subsidiarios más importantes, es decir, aque­
llos más próxim os al m áxim o central, solamente son del orden de un 5 % del
332
Efectos debido a los límites e interferencias
-
10
10°
°
20°
1 /
/
20° l
\ 1
1
0
00
(b)
Fig. 8-27. (a) Difracción en una rendija de ondas sonoras (X = 1,45 cm). (b)
Diagrama polar del mismo esquema. La longitud del segmento entre O y la
curva en cualquier dirección da la intensidad relativa en dicha dirección. (Se­
gún R. W . Pohl, Physical Principies o f Mechanics and Acoustics, Blackie,
London, 1932.)
central, y alrededor del 93 % de la energía total transmitida está comprendida
entre los ceros a am bos lados del m áxim o central. Incidental mente, al elevar
al cuadrado las ordenadas en las curvas semejantes a las de la figura 8-24 (b)
se originan discontinuidades de pendientes en los ceros (com probar por sí
mismo que esto se deduce de las ecuaciones).
2.
D oble rendija.
En este caso tenem os una com bin ación de dos efectos
, el diagrama de difracción característico de una sola rendija y la interferen­
cia entre las dos rendijas. La intensidad viene dada por una expresión de la
forma
1(6) = 4/o
/sen a V
\ a /
COS
i r
\2 /
(8-28)
en donde a = (nb sen 0)¡l y 5 = {I d sen 0)¡k. A q u í Z0 es la intensidad máxima
(para 0 = 0) que se obtendría de una rendija sola. La ecuación anterior está
basada en la ecuación (8-22) para dos rendijas de anchura despreciable, com ­
binada con la ecuación (8-27).
Diagramas de interferencias de sistemas de rendijas reales
333
M edidas cuidadosas en un diagrama de interferencias de doble rendija re­
velarían esta m odulación del efecto de interferencia básico mediante el diagra­
ma de una sola rendija. La separación d (medida entre centros) es necesaria­
mente mayor (y quizá m ucho m ayor) que la anchura b de una rendija individual,
de m od o que la anchura angular de la m odulación de una sola rendija es
significativamente m ayor que la separación angular entre los picos de inter­
ferencias. Si las rendijas son extremadamente estrechas comparadas con su
separación, el diagrama com p leto de las rendijas puede estar com prendido den­
tro del m áxim o central del diagrama de difracción de una sola rendija. La
figura 8-28 (a) (de nuevo según Pohl) es un diagrama de interferencia acústico
obtenido en estas condiciones (b¡d
1/10). La figura 8-28 (b) es un diagrama
de doble rendija óptico, para el cual bjd *=*
Los lím ites de la intensidad im­
puestos por el factor de difracción de una sola rendija se indican muy ade­
cuadamente en este caso.
Es interesante com entar el factor 4 de la ecuación (8-28). Para 6 = 0 la
intensidad debida a las dos rendijas es cuatro veces m ayor que la debida a una
sola rendija. Sin em bargo, co m o es claro, la energía total transportada por las
ondas a través de dos rendijas es sólo el doble de la que pasa por una sola
rendija. El aum ento en un factor de más de dos en algunas direcciones se
com pensa por la existencia de intensidades cero
en
otras direcciones , a lo
largo de las líneas nodales. La interferencia es esencialm ente una distribución
de la energía disponible.
3.
R ed de difracción.
La fórm ula apropiada en este caso es la com bina­
ción de la ecuación (8-27) con la ecuación (8-24). E sto nos da
/W _ , o ( ^ Y
sen( TV8/2)
_ sen(5/2) j
(8 -2 9 )
[Puede com probarse que para N = 2 esta expresión reproduce la ecuación
(8-28).] Un estudio cuantitativo de los detalles finos de dichos diagramas de
rendijas múltiples para ondas mecánicas (por ejem plo, sonidos) no es sencillo;
cualquier laboratorio ordinario contiene to d o tipo de superficies extrañas y
objetos que difunden las ondas y dan un fon d o imposible de evitar. La figu­
ra 8-29, sin embargo, exhibe las principales características del diagrama c o ­
rrespondiente. Éste se obtu vo (por R. W . Pohl) utilizando redes de siete ren­
dijas y sonidos de longitud de onda de 1,45 cm.
C om o sucede en el caso del sistema de doble rendija, podem os notar la
redistribución de la energía disponible. Si ignoramos la variación del factor
Efectos debido a los límites e interferencias
(a)
Fig. 8-28. Diagramas de difracción en una doble rendija, mostrando la in­
fluencia de la anchura de la rendija aislada, (a) Diagrama acústico con
A = 1,45 cm. (Según R. W . Pohl, Physical Principies o f Mechanics and Acoustics,
Blackie, London, 1932.) (b) Diagrama óptico con A = 7300 Á . [ Según
A . P. French, J. G. King y D. J. Cronin, **A n Interference Fringe Photometer'\
Am. J. Phys., 33, 628 (1965).]
Problemas
335
Fig. 8-29. Diagrama de intensidades de una red en difracción acústica (N = 7)
para A = 1,45 cm. (Según R. W . Pohl, Physical Principies of Mechanics and
Acoustics, Blackie, Londont 1932.)
(sen a/a)2, cada máxim o principal alcanza una intensidad igual a N2 multiplica­
da por la que se origina con una sola rendija. Sin em bargo, la anchura de este
máxim o es sólo alrededor de 1¡N de la separación entre máximos. La com bi­
nación de estos factores da una intensidad integrada igual a N veces la debida
a una sola rendija.
PROBLEM AS
8-1 Se conectan juntas dos cuerdas de tensión T y densidades máximas
y /¿2*
Consideremos una onda móvil incidente sobre su límite. Hallar el cociente entre
la amplitud reflejada y la amplitud incidente y el cociente entre la amplitud trans­
mitida y la amplitud incidente en los casos en que p . J = 0, 0,25, 1,4, cv>.
8-2 Se conectan juntas dos cuerdas de tensión T y densidades másicas ^ y y 2.
Consideremos una onda móvil incidente en el límite entre ambas. Demostrar que
el flujo de energía de la onda reflejada más el flujo de energía de la onda trans­
mitida es igual al flujo de energía de la onda incidente. [Indicación: El flujo
336
Efectos debido a los límites e interferencias
energético de una onda (la densidad de energía multiplicada por la velocidad de
la onda) es proporcional a A %
¡v, siendo A la amplitud y v la velocidad de la
onda.]
R
8-3 Consideremos el circuito indicado en la figura. Calcular el valor de la re­
sistencia X para obtener la máxima disipación de potencia en ella.
L
8-4 Consideremos el circuito indicado en la, figura. ¿Qué valor de w produce
la máxima disipación de potencia en la resistencia R1 (Indicación: Considérese
la impedancia del circuito.)
8-5 Una onda plana de sonido en el aire incide sobre la superficie del agua con
incidencia normal. La velocidad del sonido en el aire es de unos 334 m/seg y la
velocidad en el agua es de unos 1480 m/seg.
[Las condiciones límites apropiadas en el caso de ondas longitudinales son
la continuidad del desplazamiento de una onda y de la Dresión de la onda. La
última viene dada por K(d%ldx), en donde K es el módulo de compresibilidad del
medio. (Esto se deduce de Ap = — XAV/V = — XA£/A:c). Com o la velocidad de
onda v viene dada por (X /p)1/2, los coeficientes de reflexión y transmisión son expresables en términos de p y v solamente.]
(a) ¿Cuál es la amplitud de la onda sonora que entra en el agua, expresa­
da com o una fracción de la amplitud de la onda incidente?
(b) ¿Qué fracción del flujo de energía incidente entra en el agua?
8-6 (a) Puede observarse que las ondas en el agua avanzan hacia la costa te­
niendo sus frentes de ondas casi siempre paralelos a la misma, independientemen­
te de la dirección del viento. Observando el hecho de que la velocidad de las
ondas en el agua disminuye cuando disminuye la profundidad del agua, utilizar
el principio de Huygens para explicar este fenómeno.
(b) Para hacer más específico el análisis de (a), admitir que las ondas ini­
cialmente moviéndose en dirección x entran en una región en la que su veloci-
Problemas
337
,dad v tiene una variación sistemática con la distancia y perpendicular a la di­
rección de movimiento. (Por ejemplo, x podría ser la dirección paralela a la costa
e y sería entonces la dirección perpendicular a la costa.) Demostrar que la di­
rección de las ondas empezarán a seguir el arco de circunferencia de radio R
tal que
dv/dy
8-7 (a) Como se desarrolló en el texto [Ec. (7-12)], la velocidad del sonido en
un gas es proporcional a la raíz cuadrada de la temperatura absoluta T. Utilizar
este hecho y el resultado del problema anterior para demostrar que cuando existe
un gradiente térmico en dirección vertical (z) las ondas sonoras se curvarán ini­
cialmente con un radio de curvatura
R =
2T
dT/dz
(b) En un día calmado, la temperatura de la atmósfera resulta disminuir
más o menos linealmente con la altura. Dibujar la trayectoria de los rayos de
sonido emitidos desde un fo co suspendido a bastante altura en la atmósfera.
Adm itiendo que la velocidad del sonido al nivel del suelo es de 330 m/seg, es­
timar la distancia adicional horizontal a la que un avión que vuela a 4500 m
empezará a resultar audible a un observador sobre el suelo, si la temperatura
disminuye 1 °C por cada 150 m de aumento de altura.
8-8 (a) Un coche de policía, moviéndose a 90 km/h, pasa junto a un inocente
peatón mientras suena su sirena que tiene una frecuencia de 2000 Hz. ¿Cuál es
el cambio total de frecuencia de la sirena según la oirá el peatón?
(b) El coche de policía continúa por la calle cuyo extremo final está blo­
queado por una pared alta de ladrillo. ¿Qué oirá el peatón cuando las reflexio­
nes acústicas de la pared se superpongan al sonido que le llega directamente de
la sirena?
8-9 Los átomos de sodio térmicamente excitados emiten luz de longitud de onda
característica X ^ 600 Á. Resulta que la radiación de una fuente de vapor de
sodio no es perfectamente monocromática, sino que contiene una distribución
de longitudes de onda en el intervalo (6000 + 0,02) Á. Si este ensanchamiento de
la línea del sodio se debe predominantemente al efecto Doppler (lo cual es cierto),
determinar la temperatura aproximada de la fuente de sodio. (Velocidad de la
luz = 3 X 108 m/seg.)
8-10 Lord Rayleigh, en su famoso tratado The Theory o f S ofm diV ol. II, Sec. 298),'
hacía notar que si un observador pudiese alejarse de un recital de música a una
velocidad exactamente el doble de la del sonido, “ oiría una pieza musical en el
338
Efectos debido a los límites e interferencias
tiempo y tono correcto, pero en sentido temporal contrario” . Aunque esto pare­
ce ciertamente posible, pensar en los detalles que encierra este resultado tan
curioso.
8-11 Las ondas sonoras se mueven horizontalmente de un fo co a un receptor.
Admitir que el fo co tiene una velocidad u, que el receptor tiene una velocidad v
(en la misma dirección) y que está soplando un viento de velocidad w desde el
foco hacia el receptor. Demostrar que, si el fo co emite sonido de frecuencia v0,
y si la velocidad del sonido en el aire
calmado
es V, la frecuencia que registra
el receptor viene dada por
+
V — v
V =
w
V Q T -------------- ;-------
V —
u +
w
Obsérvese que si las velocidades del fo co y del receptor son iguales, la existencia
del viento no constituirá ninguna diferencia para la frecuencia observada de la
señal recibida.
8-12 El texto, pág. 309-310, desarrolla la teoría del efecto Doppler para una
fuente o foco móvil, con un observador distante en una dirección $ respecto al
movimiento del foco. Se demuestra [Ec. (8-14)] que la frecuencia recibida viene
dada por
v{6) = -
j
v°
u eos 6
V
(a)
Demostrar que si el fo co está en reposo y el observador tiene una ve*
locidad — u, de m odo que la velocidad relativa del fo co y del observador es la
misma que antes, la frecuencia detectada por el observador viene dada por
t/ü\
(*
I
"COS0\
v (i9) = vo I 1 4-------- —
I
(b) Hallar la diferencia aproximada entre v y v'. Es un tema de gran im­
portancia física el que en las ondas de la luz en el vacío no existe dicha diferen­
cia en contraste con las ondas sonoras en el aire; sólo aparece en el resultado
la velocidad relativa de la fuente y el observador. Ésta es una de las caracterís­
ticas reseñada en la teoría especial de la relatividad de Einstein, de acuerdo con
la cual no existe ningún medio identificable respecto al cual la velocidad de la
luz tenga cierta velocidad característica.
8-13 Un fo co de sonido de frecuencia v0 se mueve horizontalmente a velocidad
constante u en la dirección x a una distancia h por encima del suelo. Un obser­
vador está situado en el suelo en el punto x = 0; 3a fuente pasa sobre dicho
punto cuando t = 0.
(a)
Demostrar que la señal recibida en un tiempo cualquiera tR en el sue­
lo fue emitida por el fo co en un tiempo anterior ts, tal que
Problemas
339
1/2
(i - ^
ts = tn - -^ h 2 ( l -
+ «V
(b)
Demostrar que la frecuencia de la señal recibida es una función de
tiempo de emisión ts, dada por
v(ts
t>0
) =
V
(t fi +
« 2 / s 2 )1 /2
(La expresión para v en función del tiempo de recepción tR es mucho más com­
plicada.)
(c)
Se observa que la frecuencia del sonido recibido de uno de estos fo ­
cos es de 5500 Hz cuando la fuente está alejada y aproximándose; y disminuye
a 4500 Hz cuando la fuente está alejada y se aleja aún más. Además, se observa
que la frecuencia disminuye de 5100 H z a 4900 Hz durante un tiempo de 4 seg
cuando la fuente pasa sobre nosotros. Deducir la velocidad y la altitud de la
fuente. Aproximar lo necesario para simplificar el cálculo. (Este tipo de análisis
se utiliza para deducir la velocidad y la altitud de los satélites terrestres a partir
de la Variación con el tiempo de la frecuencia recibida de un transmisor de radio
del satélite.)
8-14 (a) Se coloca una fuente de sonido S de longitud de onda X a una distan­
cia pequeña d de una pared plana y reflectora. Demostrar que así se originaría
un diagrama de interferencias del mismo tipo que el que se produciría si la pared
estuviese ausente y se colocase una segunda fuente S' a una distancia d detrás
de la pared. Probar que este “ fo co imagen” tendría que estar desfasado 180°
con S y considerar las implicaciones que esto origina para el diagrama de inter­
ferencia resultante en comparación con el debido a un dispositivo normal de una
fuente doble en que ambas están en fase.
(b) Si se coloca un equipo de alta fidelidad a 0,30 m de una pared, ¿qué
margen de audiofrecuencias producirán dos o más franjas de interferencias en
una habitación de tamaño moderado (por ejemplo, de 3,6 X 4,9 m)? ¿Si estu­
viésemos sentados a 3,6 m del equipo, con la cabeza situada a 0,09 m de la
pared, ¿qué frecuencias tenderían a ser suprimidas por efecto de las interfe­
rencias?
8-15 Consideremos una red de difracción de N rendijas estando las rendijas
separadas 0,05 mm y siendo X = 5000 Á.
(a) ¿Cuántos órdenes de máximos principales existen aproximadamente?
(b) ¿Cuál es el cociente de las dos amplitudes A y A 0? (A 0 es la amplitud
que resultaría si N = 1.)
340
Efectos debido a los límites e interferencias
(c) Demostrar que la respuesta a la parte (b) se reduce al resultado dado
en el texto para el caso de un sistema de dos rendijas si N = 2.
(d) Si TV = 100 hallar (aproximadamente) el cociente de la amplitud del
primer máximo subsidiario a la del máximo principal.
8-16 Se realiza un experimento de difracción de Fraunhofer utilizando luz de
longitud de onda 5000 Á con una rendija de 0,05 mm de anchura.
(a)
¿ A qué distancia deberá estar la pantalla de d e te c ció n ?
Si se u tiliza un sistema de dos rendijas, ¿cuál es el cociente entre las
(b)
intensidades del primer máximo lateral y la del máximo central, si la distancia
entre los centros de las rendijas (idénticas) es 0,1 mm? ¿0,05 mm?
8-17 Un sonido de frecuencia 2000 Hz cae en incidencia normal sobre una pa­
red elevada en la que existe un orificio vertical de 45 cm de ancho. Un hombre
está paseando paralelo a la pared a una distancia de 15 m de ella por la parte
más alejada. ¿En qué margen de distancia oirá una intensidad de sonido mayor
que el 50 % del valor máximo? ¿Mayor que el 5 % ?
Soluciones a
los problemas
C A P ÍT U L O
1-4
$z =
1-9
1
(b) r, -
\¡7, tg 0X = V 3 /2 ; r2 = 7,
— 2 0 1 (tg 0 2 =
—
4V3).
Sí; vale casi 21 cents.
1-10
C = (A3 + £ 2)1/2; tg a = - ^ B / A .
1-11
(a) A — 5 cm ; w= 2n seg-1; a =
dxjdt =
1-12
+ tt/2. (b) (Para a — + tt/2)
x
= 5\f3¡2 cm;
cm /seg; ct¿x/dtQ = — 10\/37r2 cm/seg2.
(a) A = 150/tt cm ; o> = 7r/3 seg-1; a = 7r/6.
(b) * = — 75\0/*r cm ; dxjdt = — 25 cm /seg;
d2xjdt2 — 25xjs/'$ cm/seg2.
C A P ÍT U L O 2
2-2
Los valores de (A,
a)
son (a) V2, — ?r/4; (b) 1, — 2tt/3;
(d) 2 — a/2 , 3ít/4.
2-2
2 -i
A ~ 0,52 mm;
1 seg.
8 ~ 33,5°.
2-4
(a) v = 1 seg"1; (b) 6,25 seg -1; (c) 0,49 seg-1.
C A P ÍT U L O 3
3-1
k = 25 dyn/cm. o •OH fcyu/at'*.
3-2
(a) T0 = 2n(mjkyf2\ (b) TJ\/2i (c) s/2T,.
347
(c)
V13, — tg-1(2/3);
348
Respuestas a los problemas
3-3
3-4
3-5
(a) y = 2,5 cm ; (b) 1,25 cm.
(a) «o = (g/01/a.
27r(2L/3g)1/2.
3-6
3-7
27t{dlgfl\
y = IJ20; tensión = 5 X peso del objeto.
3-8
3-9
3-10
(a) 0,25 mm ; (b) 0,23 m.
(a) 22 cm radio, 360 kg; (b) 66 seg.
(a) 5,9 X 1011 N/m2; (b) b¡a\ (c) 1,5.
3 -U
3-14
3-15
3-16
ríodo
(a) u = h P A I m W .
(b) sKbNseg/m; (b) 0 = 1.
(a) Q0 = 512ír/loge 2; (b) 2 0 o; (c) Q = 12, b = 0,025kg/seg.
(a) 8t t V A ^ / c 3; (b) m c ^ - v K e 2-, (c) (0 logc 2)/2tt; (d) Q ~ 2,5 X 107; pe­
de semidesintegración ~ 5 X 10-9 seg.
3-1 7
(á ) - 2 7 r ( 2 h l g y / \
3-19 fe) TJTy = ( l — ljiy/z-, (d) x(t) = A 0cos (2k/my^t,
y(t) = A 0 cos [2k(l —
C A P ÍT U LO 4
4-3
4-4
(a) T = jr/5VT seg; (b) 1,3 cm.
(b) (35g/36h)V2; (c) 3(*/g)i/»; (d) 0 = 3; (e) 8 = *r/2; (f) 0,90/t.
4-5
4-6
4-8
4-9
4-11
4-12
4-13
(b) 15,7 cm ; (c) u.0 + 0,017 seg -1.
(d) Aproximadamente 200 Á.
(b) A =
<d2 + y2)1/2; tg S = — y/w.
(a) rrZwi2. ,u0*
(a) 1,3 cm, Í3 0 °; (b) 0,063 J; (c) 0,30 W .
(a) 19,8 s e g -1; (b) 1,5 cm ; (c) 0,086 W.
(a) (o„ = 40 seg -1, 0 = 20; (b) 16.
4-14
4-15
4-16
4-17
(a) 0 = 25; (b) y= O,O4a,0; (c) 0,08tt; (d) V2<v, (e) V 2 0 ; (f) P ro; (g) Ev
(a) 1,005b)!; (b) 0 = 5 (muy aproximadamente); (c) 0,2(mk)1/2 (aprox.).
(a) b,0 = (LC)-V2; (b) y = 1¡CR-, (c) Pm = 1¿R¡2.
(a) 2tt X 1 0 -5 J; (b) 10“ 3 J; (c) 10-* seg.
C A P ÍT U LO 5
*>5-2
(a) 1,27 seg, 1,23 seg; (b) 40 seg (aprox.).
'
Respuestas a los problemas
349
Si kc2 = kAkB, </ = [(kA + kB + fcc)/m ]1/2, o," = (kc¡m)V\
5-5 ü) = co0(l ± a)-V2.
5-6
(a) \/óT seg, 3 ^ 2 seg;
T"
(c) 3\/2(v^~+ l)/2 seg.
5-7 (c) 2,29 seg-1; (d) kJ kQ= 1,52.
5-5 (d) (glL)V*;[(glL) + (2ka?ImV)]V\
5-9 (d) (11/3)1/2 = 1,91.
5-10 En el m odo “ lento” , cociente de amplitudes (superior/inferior) = (V5 — l)/2 ;
en el m odo rápido, cociente = (V 5 + l)/2.
5-11 (b) o 2 = [k¡2M) + (gil)] ± [(k ¡2 M f + (g/Z)2]1/2.
5-75 (a) Período = 2 n ( 2 m l ¡ 5 T (c) «> = (3J/mZ)1/2.
5-75
(c) (2 — V2)V2a,0, V 2 c 0,
(2 + V 2)1/2w0, en donde w0 = (T/mZ)1/2.
5-76 a = cos-1[l — ((o2/2w02) ] ; C = fc/sen [a(N + 1)].
*
C A P ÍT U L O 6
6-7 (a) vx = 10 seg-1; (b) v = 50, 100, 150, etc., seg -1 (todos los múltiplos en­
teros de 50 seg-1).
6-2 vA = nVl (n = 1, 2, 3),
= T /4 M L ;
v*
0,84vx,
l,5 5 v lf 2,04vj.
6-5 ü) =
7t(T/LM )V 2.
;
6- 6 (a) Wa = [(2n—
(b)
= £/(« — *);
(c) x = L(n — £ + k)¡(2n — 1) (k = 0, . . . , n — 1, . . . ) .
6-9
6-10
6-77
6-12
6-74
(b) A,, = 10 /x, A 2 = 10(1 — 1/V 2)
(a) vn = nc¡2L; (b) (1) 21, (2) 15 cm.
(a) (A W T )/ 4 L ; (b) (A,2 + 9 A 2)^T/4L.
(a) TL{[ 1 + (2/z/L)2] 1/2— l } ~ 2 r ^ 2/L ;
(b) cada 2(ML/T)V2 seg.
y(x) = '£i™=1Bn sen (mrxIL), en donde
_ í 8AL2/(n;r)3 n impar
(a) '
(b)
(C)
n” |
0
n par;
Bx = A , Bn = 0, si n
1;
.
(— 1y*+W 4A
\ ------- — ----- 7- ----- n impar
= )
n(n2
4)
A¡2
n= 2
0
n par, njA 2.
B
—
350
6-15
Respuestas a los problemas
y(x, t) =
^
(a)
Cn sen {n'xjL ), en donde
^
(
C« = ¡
8AL? eos (nw^KnnY n impar
0
n par;
( 8BL2 sen (nta^/nVo^
(b)
C» = |
0
n impar
n par
(Wl = frecuencia angular del m odo
inferior).
C A P ÍT U L O 7
7-2 (a) A — 0,3 cm, X = 4 cm, K = 0,25 cm _1,v = 25
T — 0,04 seg, v = 100 cm /seg; (b) 15?r cm/seg.
7-3 f = 0,003 sen 2;r[(x/600) 4- 5í)].
7-4 (a)jm ; (b) 72°.
7-5
(a) 22,4 m/seg; (b) 2,24 m ; (c) y(x, í) = 0,02
seg-1,
sen(2,80a: — 62,8í 4- 0,52).
7-6
(a) 10 m ; (b) y = A sen (3;rx/L) eos (30ttí)*
7-7 y = cero; d y ¡ d t ~ 6 m/seg.
7-5 (a) v = 1,5 H z;
(b) A =
■^
m, n
16n — 1
= 1, 2, 3, . . . para la onda con movimiento positivo,
16
m, n = 1, 2, 3, . . . para la onda con movimiento negativo;
16n + 1
(c) v — 4- 8/5 m/seg, etc., u = — 24 m/seg, etc.;
(d) datos insuficientes.
7-12 (b) vy(máx)
4 m/seg; (c) J = 32 N ;
(d) y{x, t) = 0,2 sen 2tt(8í + x/5).
7-73 (b) v = u/2, dirección = 4- x;
( \ dy
(c)
—
dt í= o
4ó 3u
(¿>2 + 4*2) 2
x.
7-16 (a) 8 X 10-4 seg; (c) umax = 12,5 m/seg, durante la apertura;
(d) f = 1,2 X lO-2 seg.
7-77
(a) z/(x, í) = 2A eos
C-T')’
(b) 1 m/seg7 (c) 2tt m.
7-75 (c) 30 cm.
7-20 (c) 28 m/seg
63 millas/hora.
7-27 (a) An = 2l(N 4- 1)/n ;
= 2w0 sen [nn-/2(iV 4- 1)];
,(b)up(n) = tonXJ2n,
Respuestas a los problemas
Vg(n) = [2lu0(N + 1)/tt] sen
(.n
+
351
l)7 r ~
[2(N + 1).
sen
nir
L2(AT + 1)J
C A P ÍT U L O 8
8-1
8-3
gJh = 1, 1/3, 0, — 1/3, — 1; fJh = 2, 4/3, 1, 2/3, 0.
X = R para disipación máxima.
8-4 ü> = (.LC) ~^2 para disipación máxima cuando se dan L, C y R.
8-5 (a) 5,5 X 10"4; (b) 1,1 X 10 -3.
8-7 (b) Unos 32 kilómetros.
8-8 (a) Variación total de frecuencia = 320 Hz.
8-9 T ~ 900°K.
8-12 (b) v(<9) — v'(0) ~ vq( u eos 6/vf.
8-13 (c) velocidad ~ 0 ,Iv = 33 cm /seg; altura de330
a360 m.
8-14 (b) Todas las audiofrecuencias por encima de1300 H z; múltiplos enteros
de 2200 Hz (aproximadamente).
8-15 (a) 100; (b) A ¡A 0 = sen (IOOttV sen 6)/sen(100?r sen 0); (d) 1/5.
8-16 (a) Una distancia mucho mayor que 5 mm.
(b) para d = 0,1 mm, el cociente es 0,44 aproximadamente; para d — 0,05 mm.,
el cociente es 0,05 aproximadamente.
8-17 //Jmax ^ 0,5 para unos 2,4 m a cadalado del máximo;
f/fmax
0,05 para unos 4,8 m a cada lado del máximo.
índice alfabético
Amortiguamiento crítico, 80
de las oscilaciones libres, 72
Amplitud, 6
Análisis armónico, 216
de Fourier, 183, 214, 216
Anderson, O. L., 167, 168
Ángulo de corte, 63
de Mach, 311
Antinodos, 185
Chladni, figuras de, 212
Churinoff, G. J., 100
Da Vinci, Leonardo, 257
David, E. A., 8
Deformación, 53
de corte, 63
unitaria, 53
Densidad de energía cinética, 268
Densímetro simple, 57
Derivada convectiva, 256
Diagrama polar, 331
Diagramas de interferencias de sistemas de
rendijas reales, 331
de Moiré, 319
Diferencia de fase, 23
Difracción de Fraunhofer, 330
por una sola rendija, 324
Dispersión, 259, 260
Doppler, Efecto, 308
Ball, Robert, 283, 284
Barnes, R. B., 174
Barsley, Michael, 20
Barton, E. H., 101, 102, 106
Barton, péndulo de, 101, 106
Batido, 28
Bergmann, Ludwig, 211
Bernoulli, Daniel, 155, 190
Bernoulli, lean, 155
Beyer, R. T., 274
Bishop, R. E. D., 3
Bloch, F., 126
Bohr, N., 210
Bouasse, H., 89
Boyle, ley de. 67
Boyle, Robert, 66
Brillouin, León, 155
Bunsen, R. W., 122
Cálculo de modos normales para N oscila­
dores acoplados, 158
Cizalladura, 63
Cizallamiento, módulo de, 64
Coherencia, 315
Compresibilidad, módulo de, 64, 67
isoterma, módulo de, 68
Coordenadas normales, 144
Corte, 263
tensión de, 64
Cronin, D. J., 334
Chladni, E. F., 211
Ecuación del oscilador armónico, 49
Eddington, sir Arthur, 266
Efecto Doppler y fenómenos relacionados,
308
Efectos debidos a los límites e interferen­
cias, 285
Elasticidad, 52
de un gas, 199
Energía cinética, densidad de, 268
de una onda mecánica, 267
Espectro completo de modos normales, 202
Euler, Leonhard, 15
Euler, relación de, 15
Exponente complejo en el caso de oscilacio­
nes forzadas, método del, 94
Fase, diferencia de, 23
Fenómeno de corte, 263
Fenómenos transitorios, 104
Feynman, R. P., 16
Figuras de Chladni, 212
353
354
índice alfabético
Figuras de Lissajous, 38
Flujo de cantidad de movimiento y presión
de radiación mecánica, 273
Fourier, análisis de, 183, 214, 216
Fourier, J. B., 5, 214, 215, 216
Frank, N. H., 165
Fraunhofer, Joseph von, 121
Límites e interferencias, efectos debidos a
los, 285
Lindsay, R. B., 274
Líneas de Fraunhofer, 121
Líquido oscilante en un tubo en U, 61
Lissajous, figuras de, 38
Lissajous, J. A, 39
F ra u n h ofer, d ifr a c c ió n d e , 330
L o n g itu d
de
onda,
188
A ín e a s U e , 1 2 1
frecuencia angular, 90
de la pulsación, 29
Frecuencias normales, 145
método analítico general, 148
French, A. P., 334
Fresnel, J. A., 300
Funciones ortogonales, 220, 221
Galilei, G., 188
Gas, elasticidad de un, 199
Helmholtz, H., 303
Herb, R. G., 124
Herrick, Robert, 20
Hookc, ley de, 45
Hooke, Robert, 1, 45, 47
Hudson, A. M., 209
H uygen s, C ., 300, 301
Huygens-Fresnell, principio de, 300
Impedancia, 293
característica, 295
eléctrica, 294
mecánica, 293
terminaciones no reflectoras, 293
Ingard, U., 211
Interferencias, 285
producidas por una doble rendija, 314
por rendijas múltiples, 320
Jenkins, F. A., 122
Kelvin, Lord, 136
King, J. G., 100, 334
Kirchhoff, G., 122, 303
Lagrange, J. L., 215
Laplace, P. S., de, 276
Leigthon, R. B., 16
Lenz, ley de, 117
Ley de Boyle, 67
de Hooke, 45
de Lenz, 117
de Snell, 260
Mach, ángulo de, 311
número de, 311
Martin, W. T., 110
MAS, 6
Método del exponente complejo en el caso
de oscilaciones forzadas, 94
Miller, D. C., 184, 190, 243
Modos normales, 137, 185
de sistemas continuos, 183
de un sistema bidimencional, 205
de un sistema tridimensional, 213
de una red cristalina, 172
espectro completo de, 202
para N osciladores acoplados, cálculo de,
158
para N osciladores acoplados,, propie­
dades de los, 161
superposición, de, 142
y funciones ortogonales, 221
y ondas en movimiento, 228
sobre una cuerda, superposición de, 189
Módulo de cizallamiento, 64
de compresibilidad, 64, 67
de compresibilidad isoterma, 68
de elasticidad de Young, 52, 54
de rigidez, 64
Módulos elásticos, 64
Moiré, diagramas de, 319
Movimiento armónico simple, 6
de un pulso móvil arbitrario, 252
de pulsos de onda de forma constante, 251
estacionario del oscilador impulsado, 91
ondulatorio, 227
Movimientos periódicos, 3
perpendiculares con frecuencias diferentes,
38
con frecuencias iguales, 34
superposición de, 21
Muelle de aire, 65
Nodos, 185
Número complejo, 13
de Mach, 311
de onda, 241
índice alfabético
Objetos flotantes, 56
Onda, número de, 241
mecánica, energía de una, 267
Ondas circulares, 299
circulares, 299
de gravedad, 263
en dos dimensiones, 298
en dos y tres dimensiones, 274
en medios específicos, velocidades de las,
236
en m ovim iento, 228
esféricas, 299
finitas, tren m óvil de, 235
móviles, superposición de dos, 241
planas, 299
reflexión de, 303
refracción de, 303
progresivas, 227
pulsos de, 242
en una dirección, 233
rectas, 299
sonoras, velocidad de, 237
Oscilaciones armónicas rápidamente amorti­
guadas, 76
de los sistemas m ecánicos, 3
de muelles cuya masa es grande, 69
forzadas con amortiguamiento, 96
m étodo del exponente com plejo en el
caso de, 94
libres, amortiguamiento de las, 72
por torsión, 62
Oscilador arm ónico, ecuación del, 49
impulsado, m ovim iento estacionario del, 91
potencia absorbida por un, 111
no amortiguado con impulsión armónica,
90
Osciladores acoplados, 137, 156
cálculo de m odos normales para, 158
propiedades de los m odos normales para,
161
vibración forzada y resonancia para dos,
151
anarmónicos, 127
longitudinales, 166
Parámetros de resonancia eléctrica, 120
mecánica, 120
Péndulo de Barton, 101, 106
simple, 59
de W ilberforce, 147
Péndulos, 59
acoplados, 139
355
Perturbaciones ondulatorias, 297
Pierce, J. R., 8
Pitágoras, 184
Pohl, R. W ., 301, 331, 333, 334, 335
Polarización, 297
Potencia absorbida por un oscilador impul­
sado, 111
Poynting, }. H., 41
Principio de Huygens-Fresnel, 300
Problema básico masa-muelle, 47
Propiedades de los m odos normales para N
osciladores acoplados, 161
Pulsación, 28
Pulso m óvil arbitrario, m ovim iento de un,
252
Pulsos de ondas, 242
reflexión de, 285
superposición de, 257
de form a constante, m ovim iento de, 251
Purcell, E. M., 126
Radiación m ecánica, flujo de cantidad de
m ovim iento y presión de, 273
Rayleigh, Lord (J. W . Strutt), 337
Red cristalina, m odos normales de una, 172
Redes de difracción, 320
R eflexión de ondas planas, 303
de pulsos de ondas, 285
R efracción de ondas planas, 303
Reissner, E., 110
Relación de Euler, 15
Resonancia, 89
ejem plos de, 116
eléctrica, 117
parámetros de, 120
magnética nuclear, 125
mecánica, parámetros de, 120
nuclear, 123
óptica, 120
Rigidez, m ódulo de, 64
Rosenfeld, )on, 26, 27, 29, 42, 73, 101, 106,
109, 140, 319
Row land, H. A., 122
Runk, R. B., 167, 168
Sala, O ., 124
Sands, M. L., 16
Sears, F. W ., 287
Sem iperíodo, 29
Simetría cilindrica, 275
esférica, 276
356
índice alfabético
Sistema bidimensional, modos normales de
un, 205
masa-alambre, 48
masa-muelle, 48
tridimensional, modos normales de un, 213
Sistemas continuos, modos normales de, 183
Slater, J. C., 165
Snell, ley de, 260
Snowden, S. C., 124
Sommerfeld, A., 210
Número complejo, 13
Sonido, 237
Starling, E. H., 4
Straub, H., 4
Stull, J. L., 167, 168
Superposición, 240
de dos vibraciones de igual frecuencia, 22
de modos normales, 142
de modos sobre una cuerda, 189
de ‘movimientos, 21
paralelos y perpendiculares, 40
de muchas vibraciones de la misma fre­
cuencia, 30
de ondas móviles, 241
de pulsos de ondas, 257
de vibraciones de frecuencias diferentes, 24
paralela, 43
perpendicular, 43
Taylor, teorema de, 15
Tensión, 54
de corte, 64
Teorema de Taylor, 15
Thomson, ]. }., 41
Torre de Texas, 100
Transporte de energía mediante una onda,
271
Tren móvil de ondas finitas, 235
Tucker, W. S., 41
Van Bergeijk, M. A., 8
Variaciones libres de cuerdas alargadas, 184
Vectores rotatorios, 10
Velocidad de fase, 262
y de grupo, 259
de grupo, 262
de ondas sonoras, 237
Velocidades de las ondas en medios especí­
ficos, 236
Vibración armónica forzada de una cuerda
tensa, 191
forzada y resonancia para dos osciladores
acoplados, 151
Vibraciones, 3
de columnas de aire, 197
estacionarias, 184
forzadas, 89
libres de los sistemas físicos, 47
longitudinales de una varilla, 193
perpendiculares, 32
sinusoidales, 4
superpuestas en una dimensión, 21
Vinci, Leonardo da, 257
Waller, Mary, 212
White, H. E., 122
Wiener, Norbert, 181
Wilberforce, L. R., 147
Wilberforce, péndulo de, 147
Wollaston, W. H., 122
Wood, Alexander, 89
Young, módulo de elasticidad de, 52, 54
Young, Thomas, 54, 315
Zemansky, M. W., 287