PANDEO DE COLUMNAS INTEGRANTES.: -OLFER F. NONAJULCA PAUCAR -HENRY JUNIOR DOMADOR VELÁZQUEZ -ROY DANTE CASTILLO VENTURA -SAULO CASTILLO ROSAS INTRODUCCIÓN La aparición de deflexión por pandeo limita severamente la resistencia en compresión de un pilar o cualquier tipo de pieza esbelta. Eventualmente, a partir de cierto valor de la carga axial de compresión, denominada carga crítica de pandeo, puede producirse una situación de inestabilidad elástica y entonces fácilmente la deformación aumentará produciendo tensiones adicionales que superarán la tensión de rotura, provocando la ruina del elemento estructural. Además del pandeo flexional ordinario existe el pandeo torsional o inestabilidad elástica provocado por un momento torsor excesivo. Existen diferentes maneras o modos de fallo por pandeo. Para un elemento estructural frecuentemente hay que verificar varios de ellos y garantizar que las cargas están lejos de las cargas críticas asociadas a cada modo o manera de pandear. Los modos típicos son: Pandeo flexional. Modo de pandeo en el cual un elemento en compresión se flecta lateralmente sin giro ni cambios en su sección transversal. Pandeo torsional. Modo de pandeo en el cual un elemento en compresión gira alrededor de su centro de corte. Pandeo flexo-torsional. Modo de pandeo en el cual un elemento en compresión se flecta y gira simultáneamente sin cambios en su sección transversal. Pandeo lateral-torsional. Modo de pandeo de un elemento a flexión que involucra deflexión normal al plano de flexión y, de manera simultánea, giro alrededor del centro de corte CONCEPTO En específico, los elementos largos y delgados que se someten a una fuerza de compresión axial se denominan columnas, y la deflexión lateral que se produce se llama pandeo. Con mucha frecuencia, el pandeo de una columna puede llevar a una falla repentina y dramática de una estructura o mecanismo y, como resultado, debe prestarse atención especial al diseño de las columnas para que puedan soportar con seguridad las cargas previstas sin pandearse. La carga axial máxima que puede soportar una columna cuando está al borde del pandeo se llama carga crítica, Pcr, figura 13-1a. Cualquier carga adicional hará que la columna se pandee y, por lo tanto, sufra una deflexión lateral como se muestra en la figura 13-1b.Con el fin de comprender mejor la naturaleza de esta inestabilidad, considere un mecanismo dos barras consistente en barras rígidas sin peso que se conectan mediante un pasador, como se muestra en la figura 13-2a. Cuando las barras están en posición vertical, el resorte, con una rigidez k, se encuentra estirar y se aplica una pequeña fuerza vertical P en la parte superior de una de las barras. Esta posición de equilibrio puede alterarse al desplazar el pasador en A una pequeña distancia ¢, figura 13-2b. Como se muestra en el diagrama de cuerpo libre del pasador cuando las barras se desplazan, figura 13-2c, el resorte producirá una fuerza de restauración F = k¢, mientras que la carga aplicada P desarrolla dos componentes horizontales, Px = P tan u, que tiende a empujar al pasador (y a las barras) más lejos del equilibrio. Como u es pequeño, ¢ L u(L>2) y tan u L u. Así, la fuerza de restauración del resorte se convierte en F = kuL>2 y la fuerza perturbadora es 2Px = 2Pu. GRAFICO Con la formula presentada se puede obtener la carga critica ya sea multiplicando por el factor N según los tipos de articulaciones o sustituyendo la longitud L por la longitud efectiva Le. Sabiendo que Condiciones de Sujeción Empotrado - Empotrado Empotrado - Articulado Articulado - Articulado Empotrado – Libre N 4 2 1 ¼ Le ½L 0.7 L L 2L Carga De Pandeo De Euler Para Columnas Con Extremos Articulados A fin de formular las ecuaciones diferenciales que permitan determinar la carga de pandeo de una columna ideal, se debe permitir que ocurra un pequeño desplazamiento lateral del eje de la columna. Para la columna con extremos articulados e inicialmente recta de la Figura 1.a, lo anterior se indica en la Figura 1.b. Para el caso de la columna ligeramente flexionada de la Figura 1.b., el momento flector M en una sección cualquiera es −P v (x), que si se substituye en la ecuación diferencial de la elástica da por resultado: ESQUEMA IDEAL DE UNA COLUMNA si: 1. Determine el factor de fijación de los extremos, K, comparando la forma de conectar la columna a sus apoyos. 2. Calcule la longitud efectiva, L_e=KL 3. Calcule el valor mínimo del radio de giro de la sección transversal 4. Calcule la relación de esbeltez máxima con. 5. Con el módulo de elasticidad E, y la resistencia a la cedencia Sy del material, calcule la constante de columna Cc, 6. Compare el valor de SR con Cc ◦ Si SR>Cc use la fórmula de Euler para calcular la carga crítica de pandeo Crítico. ◦ Si SR<Cc use la fórmula de Johnson para calcular la carga crítica de pandeo crítico. COLUMNAS (COMPORTAMIENTOS Y TIPOS) El análisis de la capacidad de carga ultima de elementos comprimidos de hormigón armado es un problema de cierta complejidad. Las características propias de las piezas de hormigón armado: heterogeneidad, imperfecciones constructivas, fenómenos reológicos, imprecisión en el punto de aplicación de las cargas. Originan la inevitable presencia de momentos asociados con las fuerzas axiles actuantes (conceptos de excentricidad accidental) COMPORTAMIENTO DE UNA BARRA IDEALMENTE ELÁSTICA Donde n es un entero. En esta ecuación los valores característicos o auto valores para tal ecuación diferencial, que hacen posible una forma de pandeo, requieren que: Figura 2: Columna con extremos articulados y sus tres primeros modos de pandeo COLUMNA CON EXTREMOS ARTICULADOS Y SUS TRES PRIMEROS MODOS DE PANDEO Se supondrá en este caso que n puede ser cualquier número entero. Sin embargo, puesto que el interés se centra en el valor mínimo con que puede ocurrir el pandeo, n se debe tomar igual a la unidad. Por lo tanto, la carga crítica (o carga de pandeo de Euler) para una columna articulada en ambos extremos es: MARCO NORMATIVO Donde I debe ser el momento de inercia mínimo del área transversal de la columna y L la longitud de la misma. Este caso de una columna articulada en ambos extremos con frecuencia se lo denomina el caso fundamental. El código del ACI establece que el método de amplificación de momentos no debe utilizarse para el diseño de columnas cuya esbeltez (kl/r) supere 100. Pandeo en el campo elástico El caso más simple de pandeo en una estructura es la barra esbelta comprimida axialmente. Este tipo de problema fue planteado y resuelto por primera vez por L. Euler, dando a lugar el llamado Problema de Euler o Estabilidad de la barra según Euler. Euler nos plantea una serie de condiciones que tienen que darse para la solución de su problema y son: Forma de cálculo de los momentos extremos según la norma ACI 318-14 ACI (318-19 art. 6.6.4.4.1); art. 6.6.4.4.4 ACI318-19 R6.2.5.1 propuesto por el ábaco a través comentario CONDICIONES : 1. La barra es de un material perfectamente homogéneo y elástico, siendo la barra esbelta y de sección constante. Esto hace que se verifica la Ley de Hooke y en el estado de tensiones alcanzado no supera la tensión de proporcionalidad. 2. Los ejes y y z, son los principales de inercia, siendo también su eje idealmente recto. 3. Las tensiones que se generan al comprimir la barra no superan en ningún caso el límite elástico del material. Se consideran pequeñas deformaciones y pequeños desplazamientos. 4. El material esté libre de tensiones residuales. 5. Las cargas de compresión P aplicadas en las secciones extremas de la barra resultan de una distribución constante de tensiones normales sobre esas secciones. Esto implica que las cargas estén aplicadas exactamente en el centro de gravedad y en la dirección de la directriz de la barra. MARCO TEORICO Básicamente las columnas es un elemento estructural que trabaja en compresión, pero a su ubicación en el sistema estructural deberá también solicitaciones de flexión, corte y torsión. Las columnas llegan a la falla debido a tres casos: por fluencia inicial del acero en la cara de tensión, por aplastamiento del concreto en la cara en compresión o por pandeo. ARMADURA DE CONFINAMIENTO Y DE RESTRICCIÓN AL PANDEO Para obtener la armadura requerida por confinamiento, las Refs.[4 y 5] exigen, para estribos rectangulares y secciones potenciales de rótula plástica, una armadura total efectiva en ambas direcciones principales, Ash, que debe ser mayor de: Ast= Área total de acero longitudinal Ag= Área total de la sección de hormigón Ac= Área del núcleo de la sección de hormigón Ag/Ac≥ 1.20, relación de áreasm=fy/0.85f´c, ρtm≤0.40 sh = separación vertical de la armadura horizontal de estribos y estribos suplementarios h"la dimensión del núcleo de hormigón de la sección rectangular medida perpendicular a la dirección de análisis, entre los ejes del estribo externo. ф=1.0 si Pu, esfuerzo axial máximo, fue determinado a partir de principios del diseño por capacidad. fy= tensión de fluencia de armadura longitudinal fyt= tensión de fluencia de armadura transversal Además, para controlar el pandeo de las barras longitudinales, la separación de estribos, no deben exceder1/4 de la dimensión lateral mínima de la sección, ni 6 veces el diámetro de la barra longitudinal a restringir, y la sección de la armadura que las sujeta, Ate, debe ser tal que: Ver la Fig.2.16, detalles de armado en columnas tomada del IC-103-II. Lo que en forma simple expresa la ecuación (9) es que para sh=6db, el área transversal de los estribos debe ser almenos (1/16) veces el área de la/las barras transversales a sujetar. En la Fig. 2(a) se ve en un ejemplo el criterio de la Norma de NZ, Ref.[4], para evaluar elsuministro de armadura de confinamiento, pero teniendo en cuenta las barras transversales que son efectivas para evitar el pandeo de las barras longitudinales. Se observa que se debe hacer un corte en cada dirección, adyacente a los bordes, para ver qué barras y sus secciones se pueden considerar que restringen el pandeo. En ese ejemplo, para restringir el pandeo de las 4 (cuatro) barras longitudinales de borde (en este caso, idéntica situación en las 2 direcciones y en las 4 caras), se disponen de: MARCO TEORICO Pandeo Elástico De Columnas Con Diferentes Restricciones En Sus Extremos Procedimientos iguales a los estudiados en la sección anterior se pueden utilizar para determinar las cargas de pandeo elástico de columnas con diferentes condiciones de borde. Las soluciones de tales problemas son muy sensibles a las restricciones de extremo. Por ejemplo la carga crítica de pandeo para una columna empotrada en su base, Figura 3.b, con una carga vertical en su extremo libre. superior, es: Análisis de columnas cortas Análisis de columnas intermedias Análisis de columnas largas Elección del tipo de columna La figura 20-29 (adaptada de MacGregor), muestra los diagramas de interacción para tres columnas que tienen la misma área, la misma calidad de concreto (280 kg/cm2 ) y la misma cuantía de acero de refuerzo longitudinal (2 %). La idea es determinar cual de ellas es la más eficiente, desde el punto de vista de su resistencia. Para excentricidades pequeñas (e/h < 0.1) y cargas axiales importantes la columna más eficiente es la zunchada o con espiral ya que tiene mayor capacidad de carga axial. Esto se debe al factor de reducción de resistencia de 0.75 comparado con el valor de 0.7 para columnas con estribos, y también al hecho de que la Norma permite mayores cargas axiales en columnas con espirales, hecho que se comprueba al comparar las ecuaciones 20-10 y 20-12. De acuerdo a la Norma, la capacidad de carga de una columna zunchada en la zona de excentricidades bajas, es un 14% mayor que una columna, de la misma área y cuantía de refuerzo, con estribos. Para excentricidades e/h > 0.2 una columna con estribos y con armadura en dos caras (en las caras alejadas del eje de flexión) es más eficiente que disponer la misma armadura en las cuatro caras y más eficiente aún sería usar una sección rectangular. Construcción de los Diagramas de Interacción Normalmente la construcción de diagramas de interacción se logra variando la posición del eje neutro. Para cada posición supuesta del eje neutro (cj) se calcula la resistencia de la sección (Pnj – Mnj), hasta lograr describir completamente el diagrama. Otra posibilidad, en algunos casos más conveniente, consiste en ir variando la deformación en el acero de tracción más alejado del borde en compresión, fijando para ello algunos valores típicos de εs. En la figura 20-30 se ilustra este método. Este procedimiento es totalmente equivalente al de ir variando la posición del eje neutro, descrito en el párrafo anterior. Para cada valor de 𝛼 que se adopte tendremos: DISEÑO DE EFECTO DE COLUMNAS En este caso extremo la carga crítica es sólo 1/4 de la correspondiente al caso fundamental. Para una columna empotrada en un extremo y articulada en el otro, Figura 3.c: En tanto que para una columna empotrada en ambos extremos, Figura 3, d: Las dos últimas ecuaciones indican que mediante la restricción en los extremos las cargas de pandeo críticas van aumentando notablemente por encima del caso fundamental. Todas las fórmulas anteriores pueden asemejarse al caso fundamental siempre que en vez de la longitud real de la columna se utilice la longitud efectiva de la misma. Esta longitud resulta ser la distancia entre los puntos de inflexión de las curvas elásticas o las articulaciones, si las hay. LONGITUD EFECTIVA DE COLUMNAS CON DIFERENTES RESTRICCIONES La longitud efectiva de una columna, Le, en el caso fundamental es igual a L, pero en los casos anteriores es 2L, 0,7L y 0,5L, respectivamente. Para el caso general, Le = KL, donde K es el factor de longitud efectiva, el cual depende de las restricciones en los extremos. Ecuación de Euler para columnas articuladas (columna de Euler) Se trata de encontrar la carga crítica a la cual se produce el colapso de la columna (inestabilidad elástica), en tal caso se producirá una deformación de la columna como la de la figura. P P A y x l Mf P y B Considerando la columna bajo una carga axial P, y designando por y la deflexión experimentada desde el punto A y tomando el eje x vertical y dirigido hacia abajo se establece el siguiente análisis a partir del diagrama de cuerpo libre: Mf Se recordará que: = -P y 2 d y dx2 E IƟ d2y Py + dx2 sea; E I E IƟ =0 Ɵ Que es una ecuación diferencial ordinaria, lineal, homogénea de segundo orden, con coeficientes constantes. Haciendo: p2 = P E IƟ Resulta d2y p2y + 2 dx =0 Para esta ecuación diferencial se tiene una solución del tipo: y =A*sen(px)+ B*cos(px) Donde A y B son constantes que dependen de las condiciones de borde, que, para nuestro caso son: 1. X=0 y=0, con lo cual B=0 2. X=L y=0, con lo cual A sen (px) =0. La primera es la solución trivial A=0 lo que implica que y=0 (columna recta) La segunda solución es sen (pl) =0 pl = nπ. Sabiendo que p2 = P/EI, obtenemos: 2 nπ EI Pcrít = dx2 Esta es la “Ecuación de Euler”, en honor al matemático Leonhard Euler (1707-1783). De otra forma: nπ2EI Ɵ Pcrít L2 Para el caso de columna con sección circular o cuadrada, el momento de inercia I Ɵ de la sección transversal es el mismo respecto a cualquier eje centroidal y la columna se curvará en un lado u otro lado dependiendo de las condiciones de borde. Para otras secciones la carga crítica debe calcularse haciendo I Ɵ = I Ɵ mín. Si el valor del esfuerzo correspondiente a la carga crítica es el esfuerzo crítico crít y haciendo I=Ak2; en donde A es la sección transversal y k es el radio de Inercia, entonces: σcrít = Pcrít /A = π2 E k2 / L2 de donde: Se define L/k como la relación de esbeltez característica de la columna, designada por la letra griega λ. (Porras, 2012) Diseño de Columnas Esbeltas de Hormigón Armado – Teoría – ACI 318-19 Sin embargo, el problema es más complejo de lo que parece, pues el proceso es iterativo ya que el momento generado por el efecto P-Δ, a su vez genera otro desplazamiento de la columna con nuevas excentricidades y un nuevo momento de segundo orden, incrementado al anterior, hasta que toda la estructura converja en el equilibrio o colapse. Menos mal existen programas que pueden hacer este tedioso trabajo por nosotros. Momentos de Primer + Segundo orden en ELU Cuando afrontamos el problema de columnas, la norma ACI indica que los momentos extremos de primer y segundo orden (estáticos y P-Delta) deben incrementarse para salvar excentricidades accidentales no tomadas en cuenta, y cambio de rigideces de la sección de la columna por fisuración. Asumiremos en este texto que los momentos P-Δ ya han sido calculados (por el programa de tu preferencia) y que el momento M en los extremos de la columna se compone por la suma de los momentos producto de cargas verticales más los momentos producto de cargas laterales. EJERCICIOS DE APLICACIÓN El estudio de columnas esbeltas puede hacerse extenso, sin embargo procuraré en este artículo resumirlo lo más posible para el caso más general. Te recomiendo que si ya entiendes el tema de columnas esbeltas, sigas esta teoría junto con el ejemplo que puedes encontrar en el Ejemplo anterior de diseño a pandeo de columna esbelta de Hormigón Armado. En el ejemplo de diseño a pandeo de columna esbelta de Hormigón Armado. Enunciado Se plantea un pórtico sencillo para entender el ejemplo. Consiste en dos niveles de pórtico cuyas cargas ya han sido linealizadas hacia la viga Las resistencias de los materiales son las siguientes: f’c = 20 MPa fy = 410 MPa Ec = 4700 (f’c)^0.5 donde f’c se introduce en MPa y Ec resulta en MPa k = factor de longitud efectiva = 1 (caso más desfavorable) Se pide diseñar la columna inferior derecha bajo las cargas mostradas. Cálculo del momento de diseño por pandeo La teoría de columnas esbeltas sometidas a pandeo la puedes encontrar https://es.slideshare.net/roy_foker01/concreto-armadoijuanortegagarcia https://www.libreriaingeniero.com/2020/07/diseno-de-estructuras-de-concreto-armadoteodoro-harmsen.html https://marcelopardo.com/ejemplo-de-diseno-a-pandeo-de-columna-esbelta-de-hormigonarmado/ https://marcelopardo.com/columnas-esbeltas-de-hormigon-armado-teoria-aci-318-19/ https://es.slideshare.net/Mensajes125/7-columnas Diseño de Concreto Armado Ing. Blasco Blanco
