MATEMÁTICA
Gerente editorial
Daniel Arroyo
Jefa de contenidos editoriales
Verónica Lombardo
Jefe del área de Matemática
Gabriel H. Lagoa
Editing
Belén Boscaroli
Autores
Aperturas: Pablo Amster
¿Para qué sirve?: Laura Pezzatti
Coordinadora del área
de Marcas y derechos
Amorina Scalercio
Jefe del departamento de Arte y diseño
Lucas Frontera Schällibaum
Diseñadoras de maqueta
Patricia Cabezas
Laura Porta
Diagramación
Olifant – Florencia Galeano & Valeria Miguel Villar –
Ilustrador
Pablo Zerda
Roxana Abálsamo
Adriana Berio
Silvana Mastucci
Nora Quirós
Fernando De Rossi
Fotografías
Archivo de imágenes de Grupo Macmillan
Thinkstock
Wikimedia commons
Corrector de estilo
Gabriel Valeiras
Gerente de Prerensa y Producción Editorial
Carlos Rodríguez
Matemática 5 ¿para qué sirve? / Roxana Abálsamo ... [et.al.]. - 1a ed. -Boulogne:
Puerto de Palos, 2013.
256 p. : il. ; 28x20 cm. - (Activados )
ISBN 978-987-547-590-8
1. Matemática. 2. Enseñanza Secundaria. I. Abálsamo, Roxana
CDD 510.712
© Editorial Puerto de Palos S.A., 2013.
Editorial Puerto de Palos S.A. forma parte del Grupo Macmillan.
Av. Blanco Encalada 104, San Isidro, provincia de Buenos Aires, Argentina.
Internet: www.puertodepalos.com.ar
Queda hecho el depósito que dispone la Ley 11.723.
Impreso en Argentina.
Printed in Argentina.
ISBN 978-987-547-590-8
La presente obra se ha elaborado teniendo en cuenta los aportes surgidos de los encuentros organizados por
el “Instituto Nacional contra la Discriminación, la Xenofobia y el Racismo” (INADI) con los editores de texto.
No se permite la reproducción parcial o total, el almacenamiento, el alquiler, la transmisión o la
transformación de este libro, en cualquier forma o por cualquier medio, sea electrónico o mecánico, mediante
fotocopias, digitalización y otros métodos, sin el permiso previo del editor.
Su infracción está penada por las leyes 11.723 y 25.446.
Primera edición.
Esta obra se terminó de imprimir en noviembre de 2013, en los talleres de F P Compañía Impresora,
Beruti 1560, Florida, provincia de Buenos Aires, Argentina.
MATEMÁTICA
MATEMÁTICA
Es una nueva propuesta que facilita el aprendizaje de la matemática a través de
691 actividades que favorecen la comprensión de los distintos temas.
En formato binarizado, la sección ¿Para qué sirve? conecta la matemática con la
vida cotidiana a través de una pregunta que surge constantemente en el aula.
capítulo
LOS CAPÍTULOS INCLUYEN LAS SIGUIENTES SECCIONES Y PLAQUETAS:
2
Sucesiones
Contenidos
8. Sucesiones.
9. Sucesiones aritméticas.
10. Sucesiones geométricas.
11. Análisis de sucesiones.
12. Clasificación de sucesiones.
Apertura: en esta sección, Pablo
una supuesta carrera con un
El filósofo griego Zenón de Elea imaginó
resultado muy curioso.
por un evento deportivo fuera de
“El mundo antiguo se ve alborotado
el más veloz de los hombres, y una
lo común: juegan una carrera Aquiles,
héroe concede al animalito una ventortuga. Nobleza obliga: el glorioso
ante la sorpresa de todos,
y,
correr...
a
taja inicial antes de comenzar
la
Aquiles llega al punto del que parte
nunca lo alcanza. Es que cuando
se ha movido un poco; nuevamente
tortuga, ella, lenta pero persistente,
más,
la tortuga se ha movido un poco
Aquiles intenta llegar a ella, pero
Amster, especialista en el área de la
matemática, ofrece textos relacionados
con la historia y evolución del
pensamiento matemático.
En el cuadro de
contenidos aparecen los
temas numerados para su
fácil identificación.
y así sucesivamente.”
deportivas, sino más bien en refuZenón no estaba interesado en lides
época. No se trata de negar el hecho
tar el pensamiento filosófico de la
alcanza a la tortuga; lo que está
“evidente” de que Aquiles efectivamente
infinitamente el espacio y el tiempo.
en juego es la posibilidad de dividir
pero motivaron siglos de una discuLos argumentos parecen sencillos,
con la aparición del moderno consión que recién empezó a resolverse
cepto de límite.
1. Lean atentamente y respondan.
más rápido
Borges, Aquiles corre diez veces
a. En un texto del escritor Jorge Luis
alcanzarla?
atrás de ella. ¿Cuánto recorre para
que la tortuga y parte diez metros
¿No es
se discutió durante muchos siglos?
b. ¿Por qué creen que este problema
tortuga?
evidente que Aquiles alcanza a la
Conector: invita a repasar
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
conceptos explicados en páginas
anteriores.
49
Ecuaciones exponenciales
InfoActiva: presenta
INFOACTIVA
Una ecuación exponencial es aquella
ecuación en la que la incógnita aparece
en el exponente.
Para resolver una ecuación exponencial
vamos a tener en cuenta:
1. ax ⇒ a > 0 ∧ a ≠ 1
En la página 20
2. ax = ax ⇒ x = x
pueden repasar
1
2
las propiedades de
3. Las propiedades de las potencias.
la potenciación.
definiciones, clasificaciones,
procedimientos básicos y
ejemplos de cada contenido
que facilitan la comprensión.
1
2
Resuelvan las siguientes ecuaciones
exponenciales.
a. 32x+1 = 81
32x+1 = 34 ⇒ 2x + 1 = 4 ⇒ x = __
3
2
b.
2x+1
x+2
_____
____
__
32x+2 = 38
3
__
x+2
3⇒
22x+1 = 22 ⇒ _____
1
= __
x = __
2x+1
2
4
7
c. 4x–2 + 4x + 4x+1 = 324
4x + x
___
1
4 + 4x . 4 = 324 ⇒ 4x . ___
42
16 + 1 + 4
81
x
3
4x . ___
16 = 324 ⇒ 4 = 4 ⇒ x = 3
(
) = 324
d. Sn = 1 + 3 + 9 + 27 + … + 3x = 3
280
Se utiliza la fórmula de la suma de n términos
x
3
.3–1
________
3–1 =
8
. r – a1
n
de una sucesión: S = a________
n
r–1
17
¿Para qué sirve?
PÁGINA 3
del otro.
ordenado de números, uno a continuación
Una sucesión es un conjunto orden
elementos.
naturale es una sucesión de infinitos
El conjunto de los números naturales
d los elementos de la sucesión.
no a cada uno de
Se denomina término
⇒ 3x = 2 187 ⇒ 3x = 37 ⇒ x = 7
e. 32x+1 – 2 . 3x – 1 = 0
3 . 32x – 2 . 3x – 1 = 0
Se usa una variable t = 3x ⇒ 32x = (3x 2 2
) =t
{
16
15
14
13
12
11
1100
INFOACTIVA
3 280
3x . 3 – 1 = 6 560 ⇒ 3x . 3 = 6 561
9
Sucesiones
64;
125;
216;
1;
8;
27;
↓
↓
↓
↓
↓
↓
a1
a2
a3
a4
a5
a6
encontrar un término general
ones se puede enc
En algunas sucesiones
del lugar que ocupa.
iera en función de
de un término cualquiera
216;…,
En la sucesión 1; 8; 27; 64; 125; 2
x
3t2 – 2t – 1 = 0 t1 = 1 ⇒ 3 = 1 ⇒ x1 = 0
↓
an
...
an (término enésimo), que es la fórmula
= n3.
el término general de la sucesión es an
misma, reemsucesión, o cualquier término de la
érmino general, se puede hallar la
Si se conoce el término
general.
naturales en el valor n del término
1
x
1
__
t2 = – __
3 ⇒ 3 = – 3 ⇒ x2 no es solución.
nú
números
Cuando la incógnita está en el exponente,
plazando en forma consecutiva los
se puede despejar aplicando en cada
1 ;...
1 ;... ; __
1 ; __
1 ; __
1 ; __
miembro el logaritmo
1 ; __
cuya base es la base de la potencia.
1
n
será: 1; __
__
2 3 4 5 6
sucesión es an = n , entonces la sucesión
Si el término general de una suce
ax = b
loga ax = log b ⇒ x . log a = log
natural un número real. f: →
b ⇒ x = log b
a
función que le asigna a todo número
a
a
Por lo tanto una sucesión es una fu
a
Hallen el valor de x.
10x–2 = 8
log 10x–2 = log 8 ⇒ (x – 2) . log 10 =
ticas
méétic
Sucesiones aritméticas
log 8 ⇒ x = log 8 + 2 ⇒ x = 2,903
obtiene sumando
cual cada término de la misma se
ucesión aritmética a aquella en la
Se denomina sucesión
razón aritmética.
llam
mero constante r llamado
al anterior un número
160
4+8
2+8
12
36 ...
28
20
12
4
20 + 8
Sucesión aritmética con r = 8.
28 + 8
debe verificarse
a
ucesión sea aritmética,
suc
una sucesión
ue una
que
ra que
Para
que: a2 – a1 = a3 – a2 = … = an – an–1 = r
eométricas
eométric
geomé
geométricas
i nes g
S
Sucesiones
término de la misma se obtiene multigeométrica a aquella en la cual cada
Se denomina sucesión geométri
constante q llamado razón geométrica.
plicando el anterior por un número
–9
3
3 . (–3)
27
–81
243 ...
34
Sucesión geométrica con q = –3.
–9 . (–3) 27 . (–3) 81 . (–3)
Para que una sucesión sea geométrica, debe
a3
a2 __
__
an
___
verificarse que: a1 = a2 = … = an–1 = q ⇔ a1
Conexión con
¿Para qué sirve?
n3
...
≠0
de comprensión
Test
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a = 12 y a3 = 0, ¿cuál es la razón?
a. En una sucesión aritmética, si 1
de x e y
de una sucesión aritmética en función
b. ¿Cómo se puede expresar la razón
con a = x y a8 = y?
Test de comprensión: incluye
preguntas básicas que permiten
evaluar la comprensión de la teoría
y revisar errores comunes.
7
Sucesiones aritméticas
9 ACTIVIDADES
ACTIVIDADES
12 Clasificación
de sucesiones
caso.
5. Completen con el dato que falta en cada
83
___
c. an = 153,32; a1 = 25; r = 25
24. Tengan en cuenta la siguiente sucesión
definida por recurrencia y resuelvan.
a =3
an = a1 =
2an–1 + 1 para n ≠ 1
n
a. Hallen los 10 primeros términos
de esta sucesión.
b. a120 = 1 345; r = –9
12
___
a. a1 = – 5 ; r = 5
{
menteACTIVA:
propone situaciones
problemáticas con
un mayor nivel de
complejidad.
b. ¿Es una sucesión monótona creciente?
¿Por qué?
n=
a1 =
a12 =
c. Calculen la suma de los términos
calculados.
términos.
6. Calculen la suma de los 30 primeros
ral es: an = –12 + 5n.
término general
a. Dada la sucesión aritmética cuyo
25. Tengan en cuenta los primeros siete
términos de esta sucesión y hallen
una fórmula definida por
recurrencia.
–23, …
b. Dada la sucesión: –4, –10, –16,
3; 16; 82; 412; 2 062; 10 312; 51 562;…
–6.
aritmética a1 + a3 = 18 y a5 – a2 =
sión ar
una sucesión
26. Resuelvan.
7. Resuelvan teniendo en cuenta que en
Fibonacci, matemático italiano del
siglo XIII, descubrió una sucesión
que tiene numerosas aplicaciones en biología, en ciencias de la
computación, en matemática y en
la teoría de juegos.
La sucesión es: 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13;
21; 34; 55; 89; 144; 233; 377; 610;
987; 1 597; 2 584; 4 181; 6 765;…
a. Hallen una fórmula por recurrencia
para la sucesión de Fibonacci.
a. ¿Cuál es la razón?
b. Calculen a1, a2 y a3.
Actividades: para cada tema
b. Construyan una nueva sucesión
donde cada término esté formado
por cocientes de términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci.
8. Tengan en cuenta los datos y resuelvan.
a = x; r = x – 3 con x D
1
a S10?
a. ¿Cuál es la expresión correspondiente
9x – 135
(9x + 27) . 5
c. La sucesión anterior ¿es convergente
55x – 135
o divergente? Si es convergente, indiquen
a qué número se
acercan sus términos.
es 13.
co
os consecutivos
dos términos
b. Calculen S10 si la diferencia entre
se proponen distintas actividades
que están organizadas de manera
secuencial.
27. Tengan en cuenta que el término general
de una sucesión aritmética es a
= 2 + 3n y resuelvan.
Escriban los 5 primeros términos
n
$1 000 y cada y hallen una fórmula de la misma sucesión, pero por
recurrencia.
notebook. Si empezó reservando
comprarse una n
Franco decidió ahorrar dinero para
d un año?
és de
tendrá después
mes agrega $260, ¿cuánto dinero
9. Lean atentamente y resuelvan.
37
mente ACTIVA
Una ciclista tarda 40 segundos en
dar la primera vuelta a una pista;
por los efectos
del cansancio, en cada vuelta tarda
6 segundos más que en la anterior.
a. Calculen los seis primeros términos
de la sucesión que representa los
segundos
que tarda por cada vuelta.
b. Definan la sucesión por recurrencia.
¿Qué tipo de sucesión es?
45
capítulo
2
CONTENIDOS
8*9*10*11*12
INTEGRACIÓN
28. Escriban el término general de las sucesiones.
37. Clasifiquen las sucesiones en convergentes,
33. Resuelvan.
y hallen
Indiquen si son aritméticas o geométricas
la razón.
0; 5; __12; 21;…__
a. –3;
__
__
b. 33 ; 2 . 33 ; 3 . 33 ; 4 . 33 ;...
c. 0,2; 0,02; 0,002; 0,0002...
d. –2; 3; 8; 13;…
e. 2; 6; 18; 54; 162; 486;...
29. Las siguientes sucesiones no son aritméticas
pedidos.
ni geométricas. Hallen los términos
a. 1; 2; 3; 9; 8; 7; 1; 2; 3; 9; 8; 7;...
a14 =
;
a120 =
en sucea. Los ángulos de un triángulo están
Calculen
sión aritmética de razón 30 grados.
cada ángulo.
están en
b. Los ángulos de un cuadrilátero
4 veces el
sucesión geométrica y el último es
segundo. Calculen dichos ángulos.
si son
divergentes u oscilantes. Luego, indiquen
y si son
monótonas crecientes o decrecientes
acotadas inferior o superiormente.
–n
4
_____
a. an = n + 1
n+1
c. cn = 3 . (–1)
;
u oscilantes.
siones en convergentes, divergentes
a.
y
20? ¿Por
a. ¿Puede tener un término que valga
qué?
términos
b. ¿Para cuál valor de n uno de los
vale 2,4?
31. Resuelvan.
genea. Una sucesión aritmética tiene término
a y el
ral an = –5 + 4n. Calculen la razón, 395
orden del término de valor 2 011.
= 4 y a2 = 2.
b. Una sucesión geométrica tiene a1
y a10.
Calculen la razón, el término general
a = 3, q = 2
c. Una sucesión geométrica tiene 1
k.
y Sk = 1 533. Calculen el valor de
q = –0,5 y
d. Una sucesión geométrica tiene
3
a = __. Calculen S15.
4
de
32. Los números 2 y 20 son los extremos
Hallen
una sucesión aritmética de siete términos.
los números que completan la sucesión.
b.
crecientes o decrecientes.
a. 1,2; 1,23; 1,234; 1,2345; 1,23456...
b. 0; 3; 5; 0; 3; 5; 0;…
c. 6,7; 6,07; 6,007; 6,0007;…
4
3
2
1
x
y
3
y
36. Tengan en cuenta la siguiente sucesión
2
resuelvan.
5; 5; 4; 4; 3; 3; 2; 2;...
a. ¿Es una sucesión monótona decreciente?
b. ¿Está acotada superior o inferiormente?
superiores y
c. Hallen, si es posible, tres cotas
tres cotas inferiores.
oscilante?
d. ¿Es convergente, divergente u
1
0
1
2
3
4
5
x
-1
270°
90°
–cos 30°
cos 60°
cos 210°
c. sen ^
_= sen (2/+ ^
_)
d. cos ^
_= cos (2/+ ^
_ 52. ¿En qué intervalo tiene exactamente
tres soluciones la siguiente ecuación?
2 . sen2 ^
_+ 2 . sen ^
_= 0
a. [0;/]
[
3
b. 0;__
2/
]
c. [0;2/]
d. [–/;/]
53. ¿Cuáles son las soluciones de la siguiente
ecuación en el intervalo [0;/]?
2 . cos 3^
_ = 1.
5
a. __
9 /
si n * 2
/
b. __
9
5
c. – __
9 /
2
d. __
9 /
54. Lean atentamente y resuelvan.
y
42. Tengan en cuenta la actividad anterior
marquen las opciones correctas.
de la sucesión
a. ¿Cuáles son las características
de término general an?
Es geométrica.
Es aritmética.
Tiene razón 12.
Tiene razón 5.
Es monótona creciente.
Es monótona decreciente.
– 7.
Se la puede definir con an = 12n
7.
Se la puede definir con an = 5n +
de la sucesión
b. ¿Cuáles son las características
de término general bn?
Es convergente a 0.
y
2
0
c.
cos 30°
a. sen ^
_ = –sen (2/ – ^
_)
b. cos ^
_= cos (2/ – ^
_)
b1 = –2
bn–1
bn = ___
2n
360°
51. ¿Cuáles son las igualdades correctas?
{
{
a las dadas?
b. cos 150°
__
una sucesión es an = 4 – n y resuelvan.
y represena. Escriban los 4 primeros términos
ten en un sistema cartesiano.
b. ¿Es monótona creciente o decreciente?
c. ¿Está acotada superior o inferiormente?
y/o supremo
d. Si es posible, hallen el ínfimo
de la sucesión.
e. Clasifiquen la sucesión en convergente,
b. bn =
-2
-4
-6
-8
-10
-12
-14
-16
35. Indiquen si estas sucesiones son monótonas
180°
tes sucesiones.5
a1 =
a. an = a = an–1 + 12 si n * 2
n
-1
de la
a. Calculen los primeros cuatro términos
de cada
sucesión formada por el perímetro
cuadrado que se va formando.
b. La sucesión ¿es aritmética o geométrica?
sucesión.
c. Escriban el término general de la
decreciente?
o
creciente
monótona
d. ¿Es
a. /
siguien41. Hallen los términos 2, 5 y 8 de las
x
5
4
3
2
1
0
-0,5
– 16 y respondan.
4n
_______
general an =
n
8
Marquen las opciones correctas
50. ¿Cuáles son las expresiones equivalentes
divergente u oscilante.
1
0,5
b50 =
30. Tengan en cuenta la sucesión de término
2
1
__
par
n si n es
1 si n es impar
___
2n
las suce38. Observen los gráficos y clasifiquen
b. 1; 2; 3; 4; 5; 11; 12; 13;…
b21 =
{
d. dn =
los puntos
En un cuadrado de lado 1 se unieron
otro cuadramedios de sus lados determinando
en
do en su interior. Se repitió el procedimiento
como
el segundo cuadrado y en los sucesivos
se ve en la figura.
1
__
negatia. La sucesión an = n2 ¿tiene términos
vos? ¿Es convergente?
a infinito
b. Escriban una sucesión divergente
negativo y una oscilante.
de
40. Tengan en cuenta que2 el término general
3
–n
n
______
b. bn = 2n
34. Lean atentamente y resuelvan.
capítulo
AUTOEVALUACIÓN
39. Resuelvan.
Una persona observa la terraza de
un edificio con un ángulo de elevación
de 55° y la de otro edificio
con un ángulo de elevación de 72°.
Se encuentra a 80 m del primer edificio
y a 60 m del segundo.
¿Qué altura tiene cada edificio, sabiendo
que la persona observa desde una
altura de 1,70 m?
edificio I
55°
72°
80 m
60 m
edificio II
a. 114,25 m y 184,66 m
c. 115,95 m y 186,36 m
b. 114,25 m y 186,36 m
d. 115,95 m y 184,66 m
55. ¿Qué fórmula conviene utilizar para
resolver el siguiente triángulo oblicuángulo?
___
__
c
ab
ac
______
a. ______
^ =
sen c
20°
Es divergente.
No tiene supremo.
Tiene supremo.
Está acotada.
No está acotada.
___
10 cm
a
8 cm
^
sen b
__
ab
bc
______
b. ______
^ =
sen c
sen ^
a
__
___
__
___
__
__
___
__
c. ac 2 = ab 2 + bc 2 – 2 . ab . bc . cos ^
b
__
__
d. ab 2 = ac 2 + bc 2 – 2 . ac
. bc . cos ^
c
b
47
196
46
Integración: incluye más actividades para
resolver en el cuaderno.
Autoevaluación: propone más actividades
para que cada alumno pueda evaluar los
conocimientos adquiridos durante el capítulo.
¿Para qué sirve?
¿Para qué sirve?: en esta
sección, Laura Pezzatti, especialista en
el área de la matemática, ofrece una
serie de textos que conectan los
contenidos de los capítulos con la vida
cotidiana y otras disciplinas con el
objetivo de responder a la pregunta
inicial que se plantea.
...
ve?
sirve
quéésir
raqu
Para
¿¿Pa
capítulo 7
contenido
39
icas
Funciones exponenciales y logarítm
describir utilizando
fenómenos. Muchos de estos se pueden
Las funciones nos permiten modelizar
Veamos algunos ejemplos.
funciones exponenciales y logarítmicas.
elementos inestables capaces de
físico que ocurre en el núcleo de
La radiactividad es un fenómeno
produciendo radiación. Este
núcleos de elementos más estables
transformarse espontáneamente en
y en aplicaciones
de energía nuclear, se usa en medicina
fenómeno se aprovecha para la obtención
que no tienen un balan-industriales. En general, las sustancias
son radiactivas.
ce correcto entre protones y neutrones
se puede modelizar
Resulta que la desintegración radiactiva
–h.t
n(t) es la cantidad de
con la función n(t) = n0 . e donde
tiempo t, n0 es la cantidad
radionucleidos en un instante de
es la llamada constante de
existente en el instante t = 0 y h
de cada elemento. Codesintegración radiactiva y dependerá
y predecir el compornociendo esta función se puede analizar
sustancias, así como su
tamiento radiactivo de las diferentes
velocidad de desintegración.
logarítmicas. Un ejemplo
sentidos tienen que ver con las funciones
Por otro lado, varios de nuestros
magnitud de un
que establece la relación entre la
conocido, es el llamado ley de Weber-Fechner,
propusieron que la relación
lo percibimos (P). Weber y Fechner
estímulo físico (S) y la forma en que
por debajo suyo no se perciS
__
S es el nivel de estímulo en el que
está dada por P = k . ln S0 donde 0
caso.
cada
de
dependerá
que
be sensación y k es una constante
( )
experimentado es cuando el
Una que seguramente todos hemos
Esta relación nos dice varias cosas.
pesa 100 o 102 kilos,
es difícil que podamos percibir si algo
estímulo físico es el peso. Por ejemplo,
pesa 100 y algo que
percibir algún cambio entre algo que
sin embargo es probable que podamos
percibir una
nos dice que probablemente no podamos
pesa 110 kilos. Pero esta misma relación
justamente la relación no es
y algo que pesa 1 010 kilos, pues
diferencia entre algo que pesa 1 000
en la magnitud del
exponenciales
cambios
los
relación es que
lineal. Lo que si nos garantiza esta
estímulo los podremos percibir linealmente.
Actividades
exponenciales.
pueden modelizar utilizando funciones
1. Investiguen qué otros fenómenos se
logarítmicas.
pueden modelizar utilizando funciones
2. Investiguen qué otros fenómenos se
la siguiente experiencia.
3. Reúnanse con un compañero y realicen
alguna cosa con determinado peso;
capítulo 8
contenido
47
Trigonometría
de un triángulo rectángulo que
establece una relación entre los lados
Así como el teorema de Pitágoras
medida de los otros dos, los
tercer lado una vez que conozco la
nos permite conocer la medida del
ángulo o un lado conociendo
permiten conocer la medida de un
teoremas del seno y del coseno nos
otros datos.
de Pitágoras para cualquier
que es una generalización del teorema
Por ejemplo, el teorema del coseno,
^
A, B y C son las medidas
C2 = A2 + B2 – 2 . A . B . cos a donde
triángulo, establece la siguiente relación:
medidas A y B. Esta relación
^
el ángulo formado por los lados de
de los lados de un triángulo y a es
de un triángulo, encontrar
la medida de dos lados y un ángulo
nos permite, por ejemplo, si conocemos
una relación entre
establece
parte,
otra
del teorema del seno, por
la medida del tercer lado. El caso
la
conocemos
si
ejemplo,
por
ángulos y lados que nos permite,
de un triángulo, encontrar la
medida de dos ángulos y un lado
medida de los otros dos lados.
sirve para calcular distancias.
Como vemos, la trigonometría nos
sentido es el que le permitió
Uno de los principales logros en este
los diferentes países. Uno de
a los cartógrafos realizar mapas de
sentido fue el denominado
los proyectos más conocidos en este
por el siglo XIX y que, entre
allá
Trigonométrica
Gran Planimetría
permitió descubrir el punto
otras cosas, cuenta la leyenda que
ese momento denominado
más alto sobre la Tierra en 1852, en
Everest, como hoy lo conocePico XV y luego, en 1856, llamado
de este proyecto.
mos, en honor a uno de los inspectores
en áreas como la astronomía, la cartografía
La trigonometría, además de ser utilizada
otras
“medir cosas”, también se aplica en
y la arquitectura principalmente para
y la biología para estudiar
disciplinas como la economía, la meteorología
y
periódicos. También los oceanógrafos
objetos que tienen comportamientos
los músicos hacen uso de ella.
Actividades
el teorema
1. ¿Cómo les parece que podemos deducir
del coseno?
de Pitágoras utilizando el teorema
calcular medidas
2. ¿Podríamos utilizar estos teoremas para
de lados de otros polígonos? ¿Cómo?
vendados y sostener
-Uno de los dos debe tener los ojos
ver, debe avisar cuancosas de igual peso. El que no puede
el otro irá agregándole, de a una,
y se anota el peso de inicio y el final.
do percibe un cambio en el peso
agregando cosas que pesen
algo que pese unos 100 g y se van
-Por ejemplo, pueden empezar con
peso.
ojos vendados perciba un cambio de
unos 10 g hasta que el que tiene los
de distintos pesos.
cosas
con
empezando
-Repitan varias veces la experiencia
?
obtenidos con la ley de Weber-Fechner
¿Cómo pueden relacionar los resultados
13
12
Índice general
Capítulo 1: NÚMEROS REALES ..................... 9
1. Números reales. Intervalos ................
2. Módulo de un número real. ...............
3. Ecuaciones e inecuaciones con
módulo. ..............................................
Integración ..........................................
4. Radicales. ...........................................
5. Operaciones con radicales. ................
6. Operaciones combinadas. ..................
7. Racionalización de denominadores. ...
Integración ..........................................
Autoevaluación ....................................
10
12
14
18
20
22
26
28
30
32
Capítulo 2: SUCESIONES ........................... 33
8.
9.
10.
11.
12.
Sucesiones. .........................................
Sucesiones aritméticas. ......................
Sucesiones geométricas. ....................
Análisis de sucesiones. ........................
Clasificación de sucesiones. ...............
Integración ..........................................
Autoevaluación ....................................
34
36
38
40
42
46
48
Capítulo 3: NÚMEROS COMPLEJOS ........... 49
13. El conjunto de los números
complejos. ..........................................
14. Módulo de un complejo. Complejos
conjugados. ........................................
15. Adición y sustracción. ........................
Integración ..........................................
16. Potencias de la unidad imaginaria.
Cuadrado y cubo de un complejo. ....
17. Multiplicación y división. ...................
18. Operaciones combinadas. ..................
19. Ecuaciones. .........................................
Integración ..........................................
Autoevaluación ....................................
50
52
54
56
58
60
64
68
72
74
Capítulo 4: CÓNICAS .................................. 75
20.
21.
22.
23.
Circunferencia. ....................................
Elipse. ..............................................
Parábola. ............................................
Hipérbola. ...........................................
Integración ..........................................
Autoevaluación ....................................
76
78
82
84
88
90
Capítulo 5: FUNCIONES ............................. 91
Funciones. ........................................... 92
Función inversa. ................................. 96
Interpretación y análisis de gráficos. . 98
Función lineal. .................................. 100
Función cuadrática. .......................... 104
Integración ........................................ 108
29. Ecuaciones cuadráticas. .................... 110
30. Sistemas de ecuaciones lineales. ..... 112
31. Sistemas de ecuaciones mixtos. ....... 116
Integración ........................................ 120
Autoevaluación .................................. 122
24.
25.
26.
27.
28.
Capítulo 6: FUNCIONES POLINÓMICAS Y
RACIONALES ....................................
32. Función polinómica. .........................
33. Análisis de la función polinómica. ...
Integración ........................................
34. Función racional. ..............................
35. Representación gráfica de funciones
racionales. .........................................
36. Función homográfica. .........................
Integración ........................................
Autoevaluación ..................................
Capítulo 8: TRIGONOMETRÍA .................... 171
123
124
126
130
132
134
138
142
144
Capítulo 7: FUNCIONES EXPONENCIALES Y
LOGARÍTMICAS .................................
37. Función exponencial. ........................
38. Logaritmos. .......................................
39. Función logarítmica. .........................
Integración ........................................
40. Ecuaciones exponenciales. ...............
41. Ecuaciones logarítmicas. ..................
Integración ........................................
Autoevaluación ..................................
Sistema de medición de ángulos. ...
Razones trigonométricas. ....................
Valores exactos y aproximados. ......
Ecuaciones trigonométricas. .............
Integración ........................................
46. Triángulos rectángulos. .......................
47. Teoremas del seno y del coseno. ....
48. Triángulos oblicuángulos. ................
Integración ........................................
Autoevaluación ..................................
42.
43.
44.
45.
172
174
178
180
182
184
188
190
194
196
Capítulo 9: ESTADÍSTICA
145
146
150
154
158
160
164
168
170
Y PROBABILIDAD .........................................
49. Estadística. .......................................
50. Intervalos de clase. ..........................
51. Parámetros de posición. ..................
52. Parámetros de dispersión. ...............
Integración ........................................
53. Combinatoria. ...................................
54. Permutaciones, variaciones y
combinaciones. .................................
55. Probabilidad. ....................................
56. Sucesos y probabilidad condicional.
Integración ........................................
Autoevaluación ..................................
197
198
200
202
206
210
212
214
218
220
224
226
Control de resultados ............................... 227
¿Para qué sirve?
Contenidos
1
1. Números reales. Intervalos.
2. Módulo de un número real.
3. Ecuaciones e inecuaciones
con módulo.
4. Radicales.
5. Operaciones con radicales.
6. Operaciones combinadas.
7. Racionalización de
denominadores.
De todos los conceptos matemáticos, hay uno que debería ser el más
sencillo de todos y sin embargo llevó más de veinte siglos entenderlo.
Casi toda la matemática, y con ella la ciencia, se apoya en el número,
principio fundamental de toda medida. Los pueblos más antiguos
emplearon fracciones de enteros y estaban felices con esto; según
cuenta la historia, recién a los pitagóricos les cupo el trago amargo de
encontrarse, cara a cara, con los irracionales, que son aquellos que no
pueden expresarse como cociente de enteros. Pero su definición rigurosa no es sencilla: a la antigüedad siguió la Edad Media y luego los
tiempos modernos, en los que Newton y Leibniz desarrollaron el denominado cálculo infinitesimal. Sin embargo, los irracionales seguían siendo, en algún sentido, un misterio. Hizo falta esperar al siglo XIX para
encontrar, por fin, una definición apropiada de “número real”.
1. Lean atentamente y respondan.
a. Los matemáticos ¿podían resolver problemas con números irracionales antes
del siglo XIX?
b. Si se quiere confeccionar un aro de 60 cm de diámetro, ¿se puede utilizar un
número racional cercano a π para calcular la cantidad necesaria de material?
a. Sí; porque la dificultad era teórica: definir los números reales. Esto no les impedía resolver cálculos. b. Sí, porque hay infinitos racionales tan cerca como se quiera de cualquier
irracional. En este caso conviene usar un número mayor que π para que no falte material.
capítulo
Números reales
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Números reales. Intervalos
¿Para qué sirve?
INFOACTIVA
PÁGINA 2
Los números reales ( ) están formados por los números racionales e irracionales.
Los números irracionales ( ) son aquellos que no pueden ser expresados como un cociente entre
dos números enteros.
Los números irracionales tienen infinitas cifras decimales no periódicas.
Al escribir
__ 3 __ su expresión decimal, en todos los casos se está realizando una aproximación.
32 ; 39 y π son números irracionales.
__
3
__
39 ~ 2,08008382…
32 ~ 1,41421356…
π ~ 3,14159265…
Densidad y continuidad
Entre dos números reales siempre existe otro número real. Se dice entonces que es un conjunto denso.
A cada número real le corresponde un punto en la recta y recíprocamente. Se dice entonces que
es un conjunto continuo.
Intervalos reales
Se denomina intervalo real a toda semirrecta o segmento de la recta real.
Si se utiliza paréntesis, significa que el extremo no pertenece al intervalo (intervalo abierto).
Si se utiliza corchete, significa que el extremo pertenece al intervalo (intervalo cerrado).
Los números mayores que a y menores que b se representan de la siguiente manera:
A: x ∈ ∧ a < x < b = (a;b)
a
b
Los números mayores o iguales que a y menores o iguales que b se representan de la siguiente
manera.
B: x ∈ ∧ a ≤ x ≤ b = [a;b]
a
b
Los números mayores que a y menores o iguales que b se representan de la siguiente manera:
C: x ∈ ∧ a < x ≤ b = (a;b]
a
b
Los números mayores o iguales que a se representan de la siguiente manera:
D: x ∈ ∧ x ≥ a = [a;+')
a
Expresen de dos maneras distintas la siguiente expresión. Luego, grafiquen.
Los números mayores que –5 y menores o iguales que 3.
A: x D ∧ –5 < x ≤ 3 = (–5;3]
–5
10
3
Test
de comprensión
1. Respondan
y expliquen las respuestas.
___
a. 310 y 1,414215 son números reales. ¿Cuál es racional y cuál, irracional?
b. ¿Cuántos números hay entre 1,3 y 1,31?
___
a. 310 es un número irracional, ya que tiene infinitas cifras decimales no periódicas y 1,414215 es un número racional
porque se puede expresar como fracción. b. Hay infinitos porque los números reales forman un conjunto denso.
ACTIVIDADES
Números reales. Intervalos
1
1. Dados estos números reales, indiquen cuáles son racionales y cuáles, irracionales.
a. 0,215215215...
e. –136
Racional
Racional
__
3
b. 4,134441334444….
Irracional
f. 37
Irracional
c. __52 π
Irracional
g. π – __31 π
Irracional
Racional
h. 1,141414…
Racional
4
______
d. 30,0016
2. Completen los cifras de los siguientes números irracionales respetando su ley de formación.
a. 3,1112131415161 7
1
8
1
9
2 …
b. –22,1871187711187 7
7
1
1
1
1 …
3. Escriban un número racional k que cumpla las condiciones pedidas
en cada caso.
__
a. 2 < k < 3
c. 2,449 < k < 36
5
Por ejemplo __
2.
Por ejemplo 2,4493.
__
b. 3 < k < π
__
d. – 38 < k < – 37
Por ejemplo 3,12.
Por ejemplo –2,5.
4. Escriban de dos formas distintas
los números que están representados en las rectas, teniendo en
__
cuenta que a = – __23 y b = 33 .
a.
a
b
-b
a
__
A: x D
b.
[
__
2 ≤ x ≤ 3 = __
2; 3
∧ __
3
3
33
]
__
B: x D
__
2 = – 3 ;– __
2
∧ 33 < x ≤ __
3
3
3
(
]
5. Escriban como intervalo real y grafiquen en la recta numérica.
a. Los números reales mayores que –3 y menores o iguales que π.
b. Los números reales mayores o iguales que __76 .
c. Todos los números reales positivos.
(–3;/]
[ __76;+')
(0;+')
11
2
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Módulo de un número real
INFOACTIVA
El módulo o valor absoluto de un número real es su distancia al cero sobre la recta real. Para todo
número real x, su módulo se expresa: |x|.
x
si x ≥ 0
∀ x ∈ : | x | = –x
si x < 0
{
|–3| = 3
Referencias
∀: para todo
⇒: entonces
: si y solo si
∪: unión
∧: y
∨: o
≠: es distinto a
|4| = 4
¨
«
«
©
«
«
ª
¨
«
©
«
ª
–3
|4| = 4
0
4
| –3 | = –(–3) = 3
Propiedades del módulo
1. | x | * 0
3. | x + y | ) | x | + | y |
| –2,1 + 1 | ≤ | –2,1 | + | 1 | ⇒ 1,1 ≤ 3,1
| –3,4 + (–2,1) | ≤ | –3,4 | + | –2,1 | ⇒ 5,5 ≤ 5,5
| –5,2 | = –(–5,2) = 5,2 ≥ 0
1≥0
1 = __
__
5 5
| |
2. | x | = | –x |
4. | x . y | = | x | . | y |
| –3,2 | = –(–3,2) ∧ | –(–3,2) | = 3,2
2 = – –__
2 = __
2 = __
2 ∧ –__
2
__
3
3
3
3
3
| |
| |
( )
| –4,7 . 5 | = | –4,7 | . | 5 | ⇒ 23,5 = 23,5
| –2,5 . (–4) | = | –2,5 | . | –4 | ⇒ 10 = 10
Para entender mejor las propiedades que siguen, se representan los siguientes intervalos reales.
–a
0
–a < x < a
x < –a
a
x>a
5. |x| > a ∧ a > 0 ⇒ x > a ∨ x < –a ⇒ x ∈ (–';–a) ∪ (a;+')
–a
0
|x| > a
a
|x| > 3 ⇒ x > 3 ∨ x < –3 ⇒ x ∈ (–∞;–6) ∪ (6;+∞)
|x| ≥ 1,8 ⇒ x ≥ 1,8 ∨ x ≤ –1,8 ⇒ x ∈ (–∞;–1,8] ∪ [1,8;+∞)
6. |x| < a ∧ a > 0 ⇒ –a < x < a ⇒ x ∈ (–a;a)
–a
0
|x| < a
|x| < 7 ⇒ –7 < x < 7 ⇒ x ∈ (–7;7)
3 ⇒ –__
3 ≤ x ≤ __
3 ⇒ x ∈ –__
3 ;__
3
|x| ≤ __
4
4
4
44
[
12
]
a
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Es cierto que | a – b | ≤ | a | + | –b |?
b. ¿Para cuáles valores de x se cumple | –x | = 2?
a. Sí, porque a – b = a + (–b) | a + (–b) | ) | a | + | –b |. b. x = –2 ∨ x = 2.
2
ACTIVIDADES
Módulo de un número real
6. Calculen los siguientes módulos.
__
a. | 16,14 | =
d. | –3 + 311 | =
16,14
__
__
b. | – 35 | =
__
–3 + 311
e. Si b < 0, | –b | =
35
c. | 1– (–5) – 12 | =
–b
f. Si a > 0, | a – 2a + 1,25a | =
6
0,25a
7. Completen con >, < o = según corresponda en cada caso.
a. | – __76 |
=
__
__
| __76 |
b. | 2 + 37 |
d. | –4 . 39 | =
__
= | 2 | + | 37 |
c. | 5 + (–12) |
<
| –5 |
e. | 3,5 – (–2,4) |
| –4 |
>
. |3|
| 3,5 | – | –2,4 |
f. Si a = 0 y b = 0, | a + b | =
+ | –12 |
|
a| + |b|
8. Expresen los valores que pueden tomar las variables. Luego, represéntenlos en la recta numérica.
a. | x | = 2
x = 2 ∨ x = –2
No tiene solución.
b. | x | = –5 El módulo no puede ser negativo.
c. | x | + 3 = 10 x = 7 ∨ x = –7
13 x = 31 ∨ x = –31
d. __31 . | x | – 6 = ___
3
e. | x | ) __41
[
1 ;__
1
x D –__
4 4
]
f. | y |> 3 y D (–';–3] F (3;+')
__
__
__
g. | h | < 36 h D (–36 ;36 )
(
__
) (
__
)
2
2
y D –';– 3__
F 3__
;+'
2
2
h. 2 . | y | – 32 * 0
__
9. Marquen las opciones correctas.
¿Cuáles son los valores que puede tomar la variable en cada caso?
a. | x | = 4 x * –2
x D [–2;+')
b. | y | * –2 y < 1
y D [–2;1)
c. –3 . | h | > –9 x & 1
h D (–3;1)
X x = 4
y D (–',–1]
X h D (–3;3) – {1}
x D [–2;4]
X y D (–',–2]
h D (1;3)
13
3
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Ecuaciones e inecuaciones con módulo
INFOACTIVA
Para resolver una ecuación, se debe aplicar la definición de módulo.
x
si x ≥ 0
|x| =
–x
si x < 0
{
Resuelvan las siguientes ecuaciones con módulo.
4 . | 2x – 5 | – 8 = x + 1 ← se elimina el módulo aplicando la definición.
∨
Si 2x – 5 < 0 ⇒ 4 . ( –2x + 5 ) – 8 = x + 1
Si 2x – 5 ≥ 0 ⇒ 4 . ( 2x – 5 ) – 8 = x + 1
5 ⇒ 8x – 20 – 8 = x + 1
Si x ≥ __
2
∨
5 ⇒ –8x + 20 – 8 = x + 1
Si x < __
2
5 ⇒ 7x = 29
Si x ≥ __
2
∨
5 ⇒ –9x = –11
Si x < __
2
29
5 ⇒ x = ___
Si x ≥ __
2
7
∨
5 ⇒ x = ___
11
Si x < __
2
9
0
1
2 5
__ 3
2
4
29
___
7
5
–2
–1
0
1
11
___
9
2 5
__ 3
2
4
29 ∨ x = ___
11 .
La solución es S: x = ___
9
7
Una inecuación se resuelve como una ecuación, salvo en el caso en que se divida o multiplique a
ambos miembros por un número negativo, lo que invierte el sentido de la desigualdad.
Resuelvan las siguientes inecuaciones con módulo.
a. | 3x + 5 | < 4 ← se elimina el módulo aplicando la definición.
Si 3x + 5 ≥ 0 ⇒ 3x + 5 < 4
∨
Si 3x + 5 < 0 ⇒ 3x + 5 > –4
5 ⇒ 3x < –1
Si x ≥ – __
3
∨
5 ⇒ 3x > –9
Si x < – __
3
5 ⇒ x < – __
1
Si x ≥ – __
3
3
∨
5 ⇒ x > –3
Si x < – __
3
∨
[ – __53;– __13 )
–2
5
– __
3
4
– __
3
–1
2
– __
3
1
– __
3
( –3;– __53 )
0
–4
–3
__–1
–2 – 5
3
0
1
5 ∪ – __
5 ;– __
1 = –3;– __
1
La solución es la unión de los intervalos. S: ( –3;– __
3)
3 3) (
3)
[
b. | 2x – 7 | + 5 > 3 + x
| 2x – 7 | > –2 + x ← se elimina el módulo aplicando la definición.
Si 2x – 7 ≥ 0 ⇒ 2x – 7 > –2 + x
∨
Si 2x – 7 < 0 ⇒ 2x – 7 < 2 – x
7 ⇒ x>5
Si x ≥ __
2
∨
7 ⇒ 3x < 9
Si x < __
2
7 ⇒ x>5
Si x ≥ __
2
∨
7 ⇒ x<3
Si x < __
2
∨
( 5;+∞ )
1
2
3 7
__ 4
2
5
( –∞;3 )
1
La solución es la unión de los intervalos. S: ( –∞;3 ) ∪ ( 5;+∞ )
14
2
3
4 7
__ 5
2
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Si | x | = k, ¿qué valores puede tomar k para que la ecuación no tenga solución?
b. Si | x | > k, ¿qué valores puede tomar k para que tenga solución?
a. k < 0, porque el módulo de un número no puede ser negativo. b. Siempre tendrá solución, pues si k > 0,
| x | puede ser mayor que ese positivo y si k < 0, para todo x, | x | > k.
3
ACTIVIDADES
Ecuaciones e inecuaciones con módulo
10. Resuelvan las siguientes ecuaciones con módulo.
d. –5 + | 3 – 3x | = –2
a. | 2 + x | = 5
x = 3 ∨ x = –7
x=0∨x=2
2 . |x – 5|
e. _________
–1=4
7
b. | 3 – x | = __61
19
45
25
___
x = ___
2 ∨x=– 2
17
x = ___
∨ x = ___
6
6
____
___
f. 7 . |x – 3125 | = 8 . | x – 325 | – 1
3
c. | 4 + 2x | = –10
No tiene solución, pues | 4 + 2x | * 0.
x=4∨x=6
11. Hallen los valores de a para que cada ecuación tenga la cantidad de soluciones pedidas.
a. | x – 2a | = a + 2, que tenga solución única.
Para que tenga solución única: a = –2.
b. | x – (–5) | = 9a – 2, que tenga dos soluciones distintas.
2.
Para que haya dos soluciones distintas: a > __
9
12. Lean atentamente y escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda.
La distancia entre dos puntos (a y b) se expresa: D(a;b) = | a – b |
a. Si | x – 4 | = 5 D(x;–4) = 5. F
c. Si | x + 4 | = 5 D(x;–4) = 5. V
b. Si | x – 4 | = 5 D(x;4) = 5.
d. Si | x + 4 | = 5 D(x;4) = 5.
V
F
13. Planteen la ecuación y resuelvan.
La distancia entre el doble de un número real y el opuesto de 10 es 18.
La ecuación es | 2x + 10 | = 18 y las soluciones son x = 4 y x = –14.
15
3
ACTIVIDADES
Ecuaciones e inecuaciones con módulo
14. Marquen las opciones correctas.
15
¿Cuáles son las soluciones de la ecuación __21 + 3 . | –6 + 5x | = ___
2 + 3?
15
15
___
a. x = ___
28 ∨ x = 8
15
28
___
c. x = ___
8 ∨ x = 8
28
8
___
X b. x = ___
15 ∨ x = 15
15. Resuelvan las ecuaciones y representen la solución en la recta.
c. 2 – 3x = –10 + 3 . | 2 – 2x |
a. | 1 – x | = 2x + 1
x=0
x = –2
d. | 3 – __21 x | – 4x = | – __21 x + 3 | + 4
b. 4 . |x – 4 | + 4 = 5 – x
No tiene solución.
x = –1
16. Marquen las opciones correctas.
2 a + 7 tenga como solución a [–6;12]?
a. ¿Cuál es el valor de a para que | x – 3 | ) __
5
X a = 5
a = –5
a = –25
b. ¿Cuál es el valor de b para que | 5x – b | > __21 b + 2 tenga como solución a –';– __51 F (1;+')?
(
)
X b = 2
b = –2
b=0
c
__
|
|
c. ¿Cuál es el valor de c para que x + 1 )2 + 3 no tenga solución?
c = –6
X c < –6
c > –6
17. Escriban las inecuaciones que representan cada situación y resuelvan.
a. Un número está a menos de 5 unidades de distancia con respecto a 2.
|x
– 2 | < 5; S: (–3;7).
b. Un número está a una distancia no menor de 4,5 unidades con respecto a 8.
|x
– 8 | * 4,5; S: (–';3,5] F [12,5;+').
c. El anterior de un número está a una distancia mayor de 4 unidades con respecto a 0.
|x
16
– 1 | > 4; S: (–';–3) F (5;+').
3
ACTIVIDADES
Ecuaciones e inecuaciones con módulo
18. Resuelvan las siguientes inecuaciones. Luego, representen la solución en la recta numérica.
a. | x + 6 | ) 3
d. | 2 – 2x | > 2
S: [–9;–3]
S: (–';0) F (2;+')
b. | 5 + 2x | < 2
e. 4 – | z + 1 | < 7 + 2z
7 __
S: – __
;– 3
2 2
S: (–2;+')
(
)
c. –14 . | __71 + x | > –7
9
5
;___
S: – ___
14 14
(
f. 1 – __21 . (3x + 4) ) 3 – | 1 + 2x |
[
10
S: – ___
7 ;6
)
]
19. Escriban una inecuación con módulo que tenga el conjunto solución pedido en cada caso.
a. S: [–2;4]
d. S:
|x
|x
– 1| ) 3
b. S: __21 ;__29
|
( )
+ 2 | *0
e. No tienen solución.
|
5
x – __
2 |x
+ 2 | 0
c. S: (–';–6] F [4;+')
f. S:
|x
|x
+ 1 | *5
– {4}
– 4 | 0
mente ACTIVA
Observen la siguiente resolución
y encuentren el error.
No se aplicó correctamente la propiedad
del módulo.
| –3z + 6 | ) 21
[ –3z + 6 * 0 ⇒ –3z + 6 ) 21 ]
∨
z D [–5;9]
| –3z
+ 6|
–3z + 6
–3z
z
)
)
)
*
21
21
15
–5 x D [–5;+')
[ –3z + 6 < 0 ⇒ –3z + 6 * –21 ]
17
INTEGRACIÓN
20. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según
23. Escriban las siguientes expresiones de dos
corresponda. Expliquen las respuestas.
maneras distintas.
a. Los números reales mayores que 4 y meno(4;18]; x > 4 ∧ x ≤ 18
res e iguales que 18.
b. Los números reales mayores que cero y
(0;21); x > 0 ∧ x < 21
menores que 21.
__
c. Los números reales menores que 38 .
d. Los números reales menores o iguales que
3
3
; x ≤ – __
.
d. –';– __
– __43 .
4
4
e. Todos__ los números
reales.
__
V
a. –5 es un número racional.
____
3
b. – 3729 es un número irracional.
F
c. 1,18 es un número racional. V
__
V
d. 35 es un número real.
(
F
e. 2/ = 6,283
f. __03 es un número racional. F
]
c. (–';38 ); x < 38 ; e. (–';+');
g. Todo número real es irracional.
F
h. Todo número irracional es real.
V
i. Existen números reales que son racionales e
24. Escriban como intervalos los números que
están representados en las __rectas. Tengan en
cuenta que a = – __23 y b = 33 .
a.
irracionales. F
j. La suma de dos números irracionales siempre es otro número irracional.
F
a
b
b.
k. Un número decimal periódico es racional.
V
–a
b
l. Todo número real tiene su inverso multiplicativo.
c.
F
–b
21. Completen las cifras de los siguientes números
irracionales respetando su ley de formación.
a. –0,3691215
1
b. 78,235711 1
c. 1,24816 3
8
2
3
2
1
6
d. –3,51015202 5
1
7
4
3
2
1
1
0
3
4
9
2
5
a
d.
…
a
–a
…
Solución a cargo del alumno.
…
4
25. Marquen las opciones correctas.
…
22. Escriban las siguientes expresiones como
intervalos. Luego, grafiquen en una recta.
(–';0)
a. –
f. | x – 3 | > __21
b. x * –1 [–1;+') g. | 2x – 1 | < 4 x * 1
[0;+')
c. +
h. | x | > 2 | x | ) 5
a. ¿Cuál es la inecuación cuyo conjunto solución es (–4;4)?
X | –x | < 4
– |x| > 4
|
x| ) 4
b. ¿Cuál es la inecuación cuyo conjunto solución es (–';–4] F [4;+')?
0
i. | x – 1 | < 1 | x |> 1
j. | x – 3 | ) 4 | x | * 2
d. (–';3/) F (3/;+'); e. [–5;5];
d. – {3/}
e. | x | ) 5
5
5
7
__
__
f. –';__
2 F 2 ;+' ; g. 1; 2 ; h. [–5;–2) F (2;5];
i. (1;2); j. (–';–2] F [2;7]
(
18
] [
)
[ )
|
x| > 4
X – | x | ≤ –4
|
x| ) 4
capítulo
CONTENIDOS
1
1*2*3
26. Marquen las opciones correctas.
¿Cuál es la expresión que representa cada intervalo?
[
] [ ]
a. –3;– __23 F __23 ;3
|
X
x | ) 1,5 | x |* 3
|
x | 1,5 | x | * 3
|
x | * 1,5 | x | ) 3
a. __56 . | 2,5x – 5 | ) 1 : __65
b. 9 – __47 . | 3 – x | > __41
c. | 5x + 4 | + 10 * 3 . | 5x
d. __32 . | x + 4 | – __35 . | x + 4 |
1
x + __
S: [1,6;2,4]
S: (–2;8)
[
8
__
d. S:
(
) (
)
e. S: (–';–1)
32. Planteen la inecuación y resuelvan.
__
__
X | y | & 4 y * 1 | y | * 33
__
y & 4 y * 1 | y | 33
__
y& 4 y 1 | y | 33
27. Escriban V (Verdadero) o F (Falso).
Expliquen las respuestas.
F
a. El triple de la distancia entre un número real
y 2 es menor que el doble del consecutivo de 4.
b. La quinta parte de la distancia entre un
número real y 1 es mayor o igual a –2.
4 ___
1 |
|
; 16 ; b. __
a. 3 . | x – 2 | < 10; S: – __
5 . x – 1 * –2; S:
3 3
(
)
33. Escriban en lenguaje coloquial las siguientes
expresiones.
a. 4 . | x + 9 | * 8
b. 1 ___
+ | x + 10 | = 7
___
4
3
c. 316 – | x – 8 | < – 327
Solución a cargo del alumno.
b. | a | = | b | a = b
F
34. Resuelvan las ecuaciones e inecuaciones del
c. | z | > | w | z > w F
ejercicio anterior. a. S = (–';–11] F [–7;+');
d. | –4 + (–6,1) | ) | –4 | + | –6,1 | V
35. Marquen las opciones correctas.
__
__
e. | –3 . 37 | = 3 . 37
]
+ 4 | + 2 S: – 5 ;0
) –5x + 4 . | x + 4 |
1
1
2
__
__
e. x2 – _____
6 > x – 2 . x + 2
b. [ 33 ;+') – {4}
a. | a | > 0 a > 0
31. Resuelvan las siguientes inecuaciones.
V
28. Resuelvan las siguientes ecuaciones.
35
37
, x = ___
a. – __71 + 4 . | –x + 9 | = __76 x = ___
4
4
1
__
b. | x – 2 | + 4,5 = –1,5 . | x – 2 | – 2 No tiene
solución.
c. 7x + | 1 – 3x | = 1 – __21 x x = 0
d. | x – a | – 2a = 2 . | x – a | – 3a a * 0
x = 2a, x = 0
29. Hallen los valores de w para que la siguiente
ecuación tenga la solución pedida en cada caso.
| x – w | – 2w = 2 . | x – w | – 3w w * 0
a. S: x = 0
b. S: x = 0 ∨ x = 6
a. w = 0; b. w = 3
30. Planteen la ecuación y resuelvan.
a. La distancia entre el triple de un número y
el opuesto de –5 es 7.
b. La diferencia entre 4 y la distancia entre el
doble de un número real y –1 es igual a –10.
2
a. | 3x – 5 | = 7 y S: x = 4 ∨ x = – __
3
b. 4 – | 2x + 1 | = –10 y S: x = –7,5 ∨ x = 6,5
b. S = {–4;–16}; c. S = (–';3) F (13;+')
a. ¿Cuál
es el conjunto solución de la ecuación
__
2 . 33 . | __83 + 2x | = 0?
No
tiene solución.
3.
X Su solución es x = – ___
16
3.
Su solución es x = ___
16
b. Si | x – a | ) 3a tiene como conjunto solución
a S: – __81 ;__41 , ¿cuál es el valor de a? (a > 0)
(
)
a = __81
a = __41
1
X a = ___
16
c. Si b > 0, ¿cuál es la inecuación que tiene la
siguiente solución?
x < –14b – 5 x > 16b + 5
|x
+ b | – 5b > 10b + 5
X | x – b | – 5b > 10b + 5
|x
– b | – 5b > –10b – 5
19
4
3
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Radicales
INFOACTIVA
Los números radicales son aquellas raíces que no tienen solución racional. Todos ellos son números
irracionales.
__ 3 __ __ 4 __
32 ; 39 ; 33 ; 34 ; son radicales.
Propiedades de la potenciación
a0 = 1 ⇔ a ≠ 0
1
⇔a≠0
a–n = __
an
n m
(a ) = an . m
an . am = an + m
an
___
= an – m ⇔ a ≠ 0
am
(a . b)n = an . bn
n
n
( __ba ) = __ban ⇔ b ≠ 0
Potencia de exponente cero.
Potencia de exponente negativo.
Potencia de otra potencia.
Producto de potencias de igual base.
Cociente de potencias de igual base.
Distributividad respecto de la multiplicación.
Distributividad respecto de la división.
Propiedades de la radicación
__
__1
La radicación se puede expresar como una potencia de exponente fraccionario: 3n a = an
__
1
__
2
3
37 = 7
__
1
__
3
5
__
4
4
__
5
3x = x
36 = 6
__
1 = x–__34
__
x3
3
4
Las propiedades de la radicación son análogas con las de la potenciación.
___
__
1
1 __
__
1
____
__
3a
Raíz de raíz.
3 m3a = ( am )n = an.m =
Distributividad respecto de la multiplicación.
3a . b = (a . b)n = an . bn = 3n a . 3b
Distributividad respecto de la división.
n
n
n
_____
1
__
__
___
__
( )
3
___
n
___
12
___
1
__
1
__
n __
bn
3b
__
1
__
m:r
___
n:r
m
__
n
__
n:r
___
12
Eliminación del radical.
3an = a ⇔ n es impar 3an = |a| ⇔ n es par
___
_____
____ 3 ___
___
5
7
3
5
___
___
Amplificación de índices.
2.2
____
4
___
__
n
332 = 325 = | 2 | = 2
336 = 362 = | 6 | = 6
__
3125 = 353 = 35
316 = 324 = 32
n
4
___
3 7 = 3 71.2 = 3 72 = 3 49
___
m.p
____
m
__
__
_____
7
3–128 = 3
(–2)7 = –2
3125 = 353 = 5
n.p ____
3am = a n = a n.p = 3am.p ⇔ p ≠ 0
__ 3.3 ____ 9 ___ 9 ____
3
n
__
an
a
3 __
____
= ___
1 = n
__
333 = 33
3
n
3am = a = a = 3am:r ⇔ r ≠ 0
____ 15 ___ 5 __
15
Simplificación de índices.
6
1
__
n
a
a
__
= __
b
b
m.n
3
__
3.2
___
6
__
3 x4 = 3 x4.2 = 3 x8
3 9 = 3 32.3 = 3 36 = 3 729
Extracción de factores de un radical
Existen factores, dentro de un radical, que pueden ser extraídos si el exponente de los mismos es
mayor o igual que el índice de la raíz. Para ello deben aplicarse las propiedades de la potenciación y
de la radicación.
______
_________
____________
___
__
__
_____
___
3
3
3
3 4
3
3 3 3
3
48x6y4 = 3
2 . 3x6yy3 = 3
2 . 23 . 3x6yy3 = 323 . 3x6 . 3
y . 32 . 3y = 2x2y . 3
6y (x ≥ 0; y ≥ 0)
3____
____
______
__
20
32x4
_____
81y6
3
4
4 4
4 4
__
2 x . 4 __
2 . 2 x = 4 ____
2x . 4 __
2 = ___
2
= 4 _______
4 4
34y2y4
y2 3y
y2
3
33 y 3
3
(x ≥ 0; y > 0)
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen sus respuestas.
_______
5 3 _____
a. ¿Qué propiedad de la radicación se puede aplicar a 3 32 . a6 ?_____
b. ¿Se puede cancelar el índice de la raíz con el exponente en 3(–7)2 ?
a. Se puede aplicar
___ producto
__ 15 __de índices de radicales y propiedad distributiva de la radicación con respecto
15
15
al producto. 32a6 = 32 . 3a6 .
_____
___
b. No se puede cancelar la raíz con el exponente por tener base negativa. 3(–7)2 = 349 = 7.
ACTIVIDADES
Radicales
4
36. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda.
___
__
3
__
a. b4 . b5 = b20 F
e. (a + b – c)2 = a2 + b2 – c2 F
i. 35a3 = 35 . a2 V
b. a10 : a4 = a6
f. (a . b4 . c–3)5 = a5 . b10 . c–5
j. 3x2 = x F
V
4
__
_____
d. (a : b)n = an : b
4
__
g. 3a7 = a7
c. d . d . d . d . d = 5d F
5
__
___
__
k. 336 a =
V
__
__
3a
11
F
__
h. 3a – b = 3a – 3b
F
__
F
l. 3a2 = | a | V
F
37. Reduzcan a la mínima expresión posible aplicando las propiedades de la potenciación.
c. (x–3 . z4)5 : (x–2 . z6)–3 =
a. (a2 . a9 : a5)7 =
a42
x–21 . z38
1
d. (v–3 . w5 . w4) : ( v5 . w–2 . __
w) =
b. (y5)–2 : (y3 . y4)3 =
y–31
v–8 . w12
38. Reduzcan
a la
mínima
expresión posible aplicando las______
propiedades
de la radicación.
______
__
__
__
__
5 4
10 6
2
4
5
3
2
a. 35 . 3x . 3x . 3x =
c. 3x . y . 3x . y8 =
7
__
5x6
6
__
x5 . y5
______
x15
b. 6 ___
. z18 =
y13
3
5
__
4
13
___
39. Resuelvan aplicando
propiedades.
__
__
54
a. __
+ 6–2 – 33 . 33 + __41
52
–3
( )
3 097
= _____
36
__
4
b. [ 32–1 : 2–2 ] 7 – 52 . 35 = 7
4
__
1
__
256
22
1
_____
__
__
–2
6
2 401 – 4 . 43 . 4 – 2
33
_______
3
_______
3(x + y)–1 . 3(x + y)4 =
__
___
18
3__8 . 3____
d. _________
– __41
32 . 3200
–3
( )
4
. 42 : __41
–5
( )
= –0,4
_______
e. 3625 . 34 . (–1)17 . (–2)5 = 480
______
_____
c.
12
(x + y)2
x2 . y– 6 . z3
___
_______
d. 3(x + y)3 .
–3
( )
164
= – ____
7
__
__
_______
6
3
12
81
f. 395 . 338 . 52 : ( 2 . 334 . 524 ) = ___
2
21
5
4
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Operaciones con radicales
INFOACTIVA
Radicales semejantes
Dos radicales son semejantes cuando tienen igual índice y el mismo radicando.
Términos
con__radicales __
semejantes.
Términos
con__radicales no
__ semejantes.
__
__
__
__
3
3
3
2 . 35 y 5 . 35
7 . 38 y –38
2 . 35 y 2 . 35
8 . 37 y 7 . 38
Adición y sustracción de radicales
Solo es__posible__sumar
términos que contienen
radicales semejantes.
__ o restar
__
__
4 . 33
3 – 33
__ + 2 . 3__
__ = 33 . (4
__ + 32__– 1) = 5 . 33 __
__
__
3
3
3
3 . 32 – 4 . 32 + 32 + 6 . 32 = 32 . (3 + 1) + 32 . (–4 + 6) = 4 . 32 + 2 . 32
Existen casos
en ___
los cuales ___
ciertos ___
radicales son__semejantes
de llevarlos
___ luego_____
___ a su mínima expresión.
__
8 4
8
3
–4 . 33 + 5 . 381 – 3 . 312 + 327 = –4 . 3__
3 + 5 . 3__
3 – 3 . 3___
22 . 3__+ 33___
__
3 + 5 . 3__
3 – 3 . 322 __
. 33 + 33__2 . 33
= –4 . 3__
3
3
3
3
= –4
__ . 3 + 5 . 3 – 3 . 2 . 3 +__3 . 3
= 33 . (–4 + 5 – 6 + 3) = –2 . 33
Multiplicación y división de radicales
Para efectuar cualquier multiplicación o división de radicales, estos deben tener el mismo índice.
La operatoria con radicales cumple con las siguientes propiedades.
Propiedad distributiva de la multiplicación y de la división respecto de la suma y de la resta.
a . __
(b ± c)
± c) . a__= ab
(b ___
± c) : a__= b __: a ±___
c : a __
__ __
__ = (b___
__ ± ac
__ ___
( 318 – 38 ) : 32 = 318
33 . ( 33 + 327 ) = 3__
3 . 33___
+ 33 . 327
2 – 38 : 32
__ : 3__
= 39 – 34 = 3 – 2 = 1
= 39 + 381 = 3 + 9 = 12
Cuadrado de un binomio y diferencia de cuadrados.
2
2
2
(a ± __b)2 =__a2 ± 2ab
(a __
+ b) .__(a – b)
__ = a__– b __
__
__ + b
__ __
__
2
2
2
2
(
(
(
)
(
)
)
( 32 – 33 ) = ( 32 ) – 2
(
)
3
3
3
3
3
3
3
3
3
.
2
.
3
+
3
7
+
5
.
7
–
5
=
7
–
5 )2
__
__
=7–5=2
= 2 – 2 . 36 + 3 = 5 – 2 . 36
Multiplicación y división de radicales de distinto índice
Para que los índices de dos o más radicales sean iguales, se debe calcular el mcm de los índices
de los __
radicales dados, obteniéndose así el mínimo común índice.
__
3 2
6
3__
a y3
x ___
← mcm(3;6)
= 6; ambos radicales deben tener índice 6.
__
__
3
3.2
6
6
3a2 = 3a2.2 = 3a4 y 3
x
Para multiplicar o dividir radicales de distinto índice, se los debe reducir a mínimo común índice y
luego aplicar las propiedades recíprocas de las distributivas de la radicación respecto de la multiplicación y división.
__
___________
__
n __
__ n __ n __
n
n
n __
a
n
3a
___
⇔b≠0
3a . 3b . 3c ... 3d = 3a . b . c ... d ∧ n __ =
b
3
3b
__
3
__
2.3
____
33 . 33 = 33
1.3
22
3.2
____
. 33
1.2
6
___
6
___
6
______
6
___
= 33 . 33 = 33 . 3 = 33
3
2
3
2
5
___
____
___
__
6.2 5.2
5
12 ___
33
33
310 = 1233
____
___ = ______
____
4.3 3.3 =
9
4 3
3
33
33
6
3
de comprensión
Test
1. Respondan y expliquen las respuestas.
__
__
__
__
a. Los términos 2 . 3v y –5 . 33 v ¿son semejantes? ¿Y__
32 y__38 ? __
______
___
__ __
__
30
7
7
7
7 2
4
b. ¿Qué propiedades de radicación se aplicaron en 3a . 3b3 . 3c4 = 3a2b3c__
? ¿Y __en 3x .33 x . 35 x = 3x31 ?
a. No __son semejantes,
pues en uno la __raíz es cuadrada y en el otro, cúbica. 32 y 38 son semejantes, ya
__
que 38 = 2 . 32 que es semejante a 32 . b. Propiedad recíproca de la distributiva de la radicación del mismo
índice con respecto al producto. Propiedad de reducción a común índice de radicales distintos en el producto.
ACTIVIDADES
Operaciones con radicales
5
40. Sumen y resten los términos con radicales semejantes.
__
27 __
___
. 2
4 3
__
__
a. 8 . 32 – 2 . 32 + __43 . 32 =
__
__
__
__
b. –3 . 33 + 4 . 35 – __21 . 33 + 12 . 35 =
___
____
___
c. 0,5 . 312 + 4 . 375 – 0,3 . 3108 =
___
____
____
___
d. 316x – 325x + __23 . 336x – 381z =
__
__
6
4
2
__
__
__
__
19 . 33
__
__
13 . 3x – 4 . 3z
__
11 b . 3 b
__
3
4
__
9
e. 3b + 2b . 3b – __41 b . 3b3 =
3
__
7
– __
2 . 33 + 16 . 35
( __52 c + __23 c
___
4
4
4
f. __52 . 3c5 + __23 . 3c9 – __71 . 3c13 =
2
__
– __71 c3 ) . 34 c
41. Resuelvan aplicando la propiedad distributiva o diferencia de cuadrado según corresponda.
__
__
___
__
4 . 32
__
__
__
___
d. 33 . ( –324 + 36 ) + 398 =
–3 . 315 – 12 . 333
___
__
___
__
__
a. –3 . 33 . ( 35 + 4 . 311 ) =
__
b. ( 2 . 32 + 5 . 35 ) . ( 3 . 35 + 32 ) =
_____
_____
__
__
e. ( 3100a7 + 336b5 ) . ( 10a3 . 3a – 6b2 . 3b ) =
___
100a7 – 36b5
11 . 310 + 79
__
__
__
__
c. ( 36 – 37 ) . ( 36 + 37 ) =
5
_____
___
5
_____
f. 332x10 . 35 xy . 3x4 . y4 . (x – y) =
2x4 . y – 2x3 . y2
–1
42. Resuelvan aplicando el cuadrado del binomio.
__
__
a. ( –2 . 33 + 3 . 32 )2 =
__
__
__
30 – 12 . 36
__
__
__
c. 2 . 33 . ( 33 + 32 )2 =
__
10 . 33 + 12 . 32
____
2
b. ( 3a7 – 4 . 39a11 ) =
a7 – 24a9 + 144a11
__
___
___
4
d. ( 5 . 35 – 8 . 320 )2 – 3252 =
600
23
ACTIVIDADES
Operaciones con radicales
5
43. Reduzcan a común índice los siguientes radicales.
4
__
3
__
__
12
12
___
__
___
__
65
60
___
260
__
21
__
__
___
60
60
___
___
___
60
60
___
3e24 y 3e18 y 3e70
__
__
91
c. 3c7 y 3c4
260
21
5
___
__
__
e. 3e2 ; 3e18 y 3e70
3b4 y 3b15
52
21
3d7 ; 3d3 y 3d
14
70
__
21
b. 3b2 y 3b3
70
__
7
d. 3d ; 3d y 3d
3a9 y 3a16
35
__
3
a. 3a3 y 3a4
77
__
__
143
f. 3f11 ; 3f13 y 3f7
__
1 001
___
3f 121 ;
3c35 y 3c16
1 001
___
3f 169 ;
1 001
___
3f 49 .
44. Resuelvan.
________
__
__
6
__
3
________
__ 4 __
a. 332 . 323 =
c. 352 . 3326 . 358 =
2
10
__
__
__
3
8
12
b. 334 : (335 . 337 ) =
8
3
___
12
__
9
__
d. 318 . 394 : 336 =
__
3
33
___
318
45. Escriban V (Verdadero) o F (Falso). Expliquen las respuestas donde escribieron F.
__
__
__
18
___
a. 33 a . 36 a . 39 a = 3a36
___
18
3a11
4
___
__
12
__
___
___
ay3
3___
c. _____
= 36 ay V
3
3ay4
__
4
__
d. 33 xy . 3x2 . 3y5 = y10 .
12
y2 .
3
x__
3x9 __ V
b. 3____
= _______
3
12
b . 3b4
3b4
24
F
_______
12
______
F
3x10 . y2
3x10 . y10
__
_____
_____
_____
3
2
3 x2 . y
xy . 3x2 . y
.y
3 xy
_____ . 3 x_____
__________
e. ___
5 =
2 .
100
10
3
3
3
___________
__________
3
_____
2
6
– 4x + 4
3x_______
f. 3_____________
= 3x – 2
6
2
3(x – 2)
F
1
F
3
___
xy . 3x2
_______
10
ACTIVIDADES
Operaciones con radicales
5
46. Resuelvan los siguientes cálculos hasta encontrar su mínima expresión.
3
___
5
12
327a
_______
20
33–1 . a–2
__
3
8
3
__
3t . 3tu
3 __
3u
__
__
3
5
. 3u___
:u
3t__
e. ___________
=
48 10
6
2
__ 3v
3
___
___3m . 3m
__
3v5
___
2
3m13
. 3v2
3v __
b. ________
=
4
3
12
___
m2___
. 3m5 : m
d. 3_____________
=
__
4
3
39a
____
a. ______
=
4
2
___
6
7
3x2 . 32x3
34x . ____
c. ______________
=
3
2
____
3
__
b3d11 . ____
3d5
3____
f. ___________
3 2
7 3 8 =
327x
2 x . 6 __
__
2
3
3
3b d . 3b d
___
21 37
3d__
_____
3
3b2
47. Marquen las opciones correctas.
__
__
__
__
8
4
4
8
a. ¿Cuál es la expresión simplificada de ( 3x5 – 3x5 ) . ( 3x5 + 3x5 )?
__
__
4
X x2 . 3x – x . 3
x
__
__
__
x . 3x – x2 . 34 x
__
x . 3x + x . 34 x
___
4x + 9y – 12 . 3xy
___
___ ?
b. ¿Cuál es la expresión simplificada de ___________________
2
(a – b) . ( 34x – 39y )
1
_____
a+b
1
X _____
a–b
a–b
5
__________
4
__________
10
__________
c. ¿Cuál es la expresión simplificada de 3a2 . b10 . c12 . 3a2 . b10 . c12 . 3a2 . b10 . c12 ?
20
_________
ab10c12 . 3a2 . b5 . c6
20
__________
20
X ab5c6 . 3a2 . b10 . c12
_____________
__________
ab5c . 3a2 . b10 . c12
___
(3 )
d. ¿Cuál es la expresión simplificada de __21 . __32 . x2 . v . w3 . – __94 v ?
3
3
______
_________
________
xw 6 __
2 5 3
X – ___
3 . 3v w
xw 6 __
2 2 3 3
___
3 . –3 x v w
xw 6 __
2 2 3 3
___
3 . 3x v w
3
3
3
_________
__
2
__
– b2 . a2
e. ¿Cuál es la expresión simplificada de a . 3a + a__________
– 3a3 ; con a > 0 y b & 1?
1 – b2
__
3a
a
__
. 3a
3
X a
25
6
5
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Operaciones combinadas
INFOACTIVA
Para resolver un cálculo combinando con radicales, se deben seguir estos pasos teniendo en cuenta la jerarquía de las operaciones y sus propiedades.
1. Se separa en términos.
2. Se escriben los radicales en su mínima expresión.
3. Se resuelven las potencias.
4. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones. Si es necesario, se obtiene el mínimo común índice
de los radicales para resolver.
5. Cuando sea posible, se reducen a su mínima expresión los radicales obtenidos en el paso anterior.
6. Se resuelven las sumas y restas entre los radicales semejantes.
Resuelvan los siguientes cálculos combinados.
__
___
__
__
a. 33 . 33
. 327
____
3243
___
5
3
___3 __
334 . 33__
3
32 . 3__
9 . 33
__
3
___
___
__
___
___
___
6
6
6
35 . 336 : 310 – 351 : 317 =
____ 3.2 ____
_______
___
1
__
2.3 1.3
6
6
35 . 362 . 2 : 310 – 351 : 17 =
b.
____
6
6
__
6
___
6
3125 . 36 : 310 –
6
__
33
___________
6
3125 . 6 : ___
10 –
6
3
75
______ –
6
3
25 . 3__ –
___
6
6
325 . 33 –
=
=
=
= ___
__
6
6
= ( 325 – 1 ) . 3
3
__
3__
3
6
33
__
6
3__
3
6
33
Hallen la mínima expresión posible.
__
5
__
3______
5___
. 35
4
325
2.10
____
20
___
20
___
3510___
. 354
__________
20 10
35
10
4
5 .5
3_______
5
10
20
__
__
2 . 36
__
__
__
___
+
3
– 2 . 324 + 8
–
2 . 36
+
11
–
+
11
–
+
11
–
__
__
–
2 . 36
2 . 322 . 6
___
__
2 . 36
=
_____
__
354 –
5
__
__
–
___
35
__
3 + ( 33 )2 – 2 . 33 . 38 + ( 38 )2 =
– 2 . 32 . 8 . __
8
_______
20
__
__
3 + ( 33 – 38 )2 =
– 2 . 32 . 38 . 3__
8
_______
____
5.4
351.10____
. 351.4
_____________
4.5 2.5
35
26
__
32 =
+ (4 . 3___
6 – 3 . 310 ) .___
312 – 3 . 3_____
+ 4 . _____
20 =
+ 4 . 3___
22 . 3__ – 3 . 3___
22 . 5__ =
+ 4 . 322 . 3__3 – 3 . 322 . 3__5 =
33 – 3 . 2 .__35 =
+ 4 . 2 . __
__
__
+ 8 . 33 – 6 . 35
= 17 . 33 – 6 . 35
=
__
2 . 322 . 36 =
__
4 . 36
5
__
__
= 35 – 6 . 36 + 11
de comprensión
Test
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Es __
correcta __la resolución___
del siguiente
cálculo?
__
__
__
__
__
9 . 33 – 6 . 33 . 32 + 2 . 354 = 9 . 33 – 6 . 36 + 2 . 3 . 36 = 9 . 33
__
__ 5 __ 15 __
3
3
b. ¿En qué orden se deben resolver las operaciones del siguiente cálculo? 34 + 34 . 34 : 34
a. Sí, es correcto. b. Primero se debe resolver la multiplicación y la división de radicales, y luego, si se
obtienen términos semejantes, se resuelve la suma.
ACTIVIDADES
Operaciones combinadas
6
48. Resuelvan.
__
__
__
3
____
3
__
4
3
__
4
6 + 3 . 33
__
____
______
1 + __
3405 4
d. _________
. 35 . 81–1 =
2
a. 32 . 36 . 33 – 3–27 . 33 =
__
32
__
(35 + 3 . 35 ) : 6
__
__
__
__
2
2
b. (36 + 35 ) + ( 36 – 35 ) =
e.
____
__
__
( 3___814 – 32 + 5 . 30,02 ) . ( 32 + 1 )
4
2
=
1 __ __
2
– __
2 . 32 – 3
22
__
____
____
____
____
3
3
3
3
3
c. ( 3500 – 34 + 3108 ) . ( 3256 – 3500 ) =
3
__ 2
_____
3
_______
__
f. ( 0,3 . 3(–2)4 + 35 – 34
4
__
) . ( 33 3
3
___
3
___
3
+ 324 + 381 ) =
__
1 944
_____
5 + 648 . 33
–7 . ( 34 )
49. Hallen la mínima expresión posible.
__
__
__
_____
27
a. 3b4 + 2b . 3b2 – __31 . 3b3 . ______
=
512b16
(
3
6
9
1
__
b4
__
) 3
3
(
–2y
)
______
[
1
__
]
1
– __
3
__
____
____
y3
y5
3___
b. 3y – 3___
y + y2 . ( 325y – 349y ) =
__
______
c. ( 39x + 9 – 34x + 4 ) : –3 . (x + 1)2 =
_____________
3
2
_______
x + 25x
3x + 10
_____
d. _______________
– 3x2 + 5x =
5+x
3
0
27
7
6
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Racionalización de denominadores
INFOACTIVA
Racionalizar el denominador de una fracción es transformarlo en un número racional; por lo tanto,
siempre que en el mismo aparezcan radicales irracionales, se debe hallar una fracción equivalente a la
dada con denominador racional.
Primer caso: en el denominador hay un único radical.
2
___
__
4
33
1
___
__
33
__
__
__
3__
3__3
3 = ______
1 = ___
1 . ___
___
__
__
( 33 )2
33
33 33
___
3
3
___
=3
___
___
___
4 3
4
4
2__ . 3
3
. 333 = 2
. 34___
27 = 2_______
. 327
____
______
______
___ = 2
_____
= ___
4
4 3
4
4
3
33 33
33 . 33
334
2__
___
4
33
Si en el cálculo aparecen letras, se procede de la misma forma.
(x ≠ 0; y ≠ 0)
7
_____
____
5
3x2y4
7
_____
____
5
3x2y4
5
___
5
___
5
___
5
___
3
y
7______
. 3x3y
7 . ____
. 3x3y
3x___
3x3y = 7_______
7 . _____
____
= _____
= ________
= _______
5 3
5 2 4
5 2 4 3
5 5 5
xy
3x y
3x y
3x y x y
3x y
Segundo caso: el denominador es una suma o resta de uno o dos radicales de índice 2.
Para racionalizar este tipo de expresiones, se debe aplicar el producto de una suma de dos términos
por su diferencia: ( a + b ) . ( a – b ) = a2 – b2
Racionalicen y hallen la mínima expresión.
__ 15__
a. ________
37 – 32
__
__
__
__
__
__
__
__
. ( 37 +__32 ) __
37 + 15__. 32 15
. __
. 37 + 15 . 32 =
3__
7 + 3__
2 = ___________________
________
_______________
__ 15__ = ________
__ 15__ . ________
__ 15 __
= 15
= _______________
7–2
( 37 )2 – ( 32 )2
37 – 32
37 – 32 37 + 32 ( 37 – 32 ) . ( 37 + 32 )
__
__
__
__
. 37 + 15 . 32 = 3 . 37 + 3 . 32
_______________
= 15
5
__
b.
33 +__
2
_______
5 – 35
__
__
__
__
__
33 + 2 ) . ( 5 + 35 )
33 +__
33 +__
2 = _______
2 . ______
5 = (________________
5 + 3__
_______
__
__
5 – 35
5 – 35 5 + 35 ( 5 – 35 ) . ( 5 + 35 )
__
=
__
__
__
__
__
___
5 . 33 + 315 + 10 + 2 . 35 = _______________________
5 . 33 + 315 + 10 + 2 . 35
= _______________________
25 – 5
20
3___
3
3____
15
__
___
__
5 . 33 + 33 . 35__+ 2 . 5 + 2 . 35 =
___________________________
52 – ( 35 )2
__
___
= 4+
Si en el cálculo aparecen letras, se procede de la misma forma.
Racionalicen y hallen la mínima expresión. (x > 0; y > 0)
_______
__ 2 __
3x + 3y
__
__
__
__
__
__
__
__
2 . ( 3x – 3y )
2. 3x – 2 . 3y
2. 3x – 2 . 3y
3x – 3y
_______
__
__ = _________________
__
__
__
__ = ____________
__ 2 __ = _______
__ 2 __ . _______
__ 2
__ 2 = ___________
x–y
3x + 3y
3x + 3y 3x – 3y
( 3x + 3y ) . ( 3x – 3y ) ( 3x ) – ( 3y )
28
__
5
1 + 3___
+ __
20
2
10
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
3
__
a. ¿Cómo se racionaliza ____
?
3π
2 __
b. ¿Por cuánto hay que multiplicar la siguiente expresión para racionalizarla? ______
1 + 3a
__
1 – 3__
a
a. No se puede racionalizar porque π es un número irracional; b. Por ______
.
1 – 3a
ACTIVIDADES
Racionalización de denominadores
7
50. Racionalicen los cálculos que tienen un solo radical en el denominador y hallen
la mínima expresión.
__
2
__
a. ____
=
2 . __
__
11 311
9z
___
d. ____
8 11 =
4 __
b. ______
=
3 . 33
4 __
__
. 3
9 3
–5______
. 3v4 w3
e. __________
=
332 v3 w
5
2
– __
8 . 32vw
5__
c. ____
5 3 =
352
5abc
______
=
f. ________
4 11 2
5 . 3ab2 c3
_________
a2
311
35
5
3z
8
9 . 3z5
_______
z
____
__
3a b c
_____
4
_____
51. Racionalicen los cálculos que tienen una suma o resta con radicales en el denominador y hallen
la mínima expresión.
__
3 __
a. _______
=
37 – 2
2+ 7
_____
–x
35 _____
c. __________
=
1 – 35 + x
3
__ 3x __ =
b. ________
32 + 35
__
__
x . 35 – x . 32
_____
_______
5 – x + 325 – x2
3________________
–4 – x
__
__
9x – 4y____
____
d. ___________
= __23 . 3x – 3y
336x + 316y
52. Hallen la mínima expresión de los siguientes cálculos.
______
__
2__ + 1
33______
a. ________
=
332 – 1
_________
__
33 + 2 . 32
__
___
___
3y . 33 a
__
b. _______
+ 33 ay = 4 . 33 ay
3 2
y
3
29
INTEGRACIÓN
53. Escriban V (Verdadero) o F (Falso).
57. Resuelvan aplicando propiedades de la
Expliquen las respuestas donde escribieron F.
potenciación y de la radicación.
3
4
–3
a. (2 . 2 : 2 ) = 2
b. [ (4 ) ] = 4
3 –2 –3
5
__
18
_____
345
__
__
___
4
8
___
F
__
4
_____
___
4 6 __
F
h. 333 = 33
__
6
2
V
5 __ 3
10
___
__
___
__
1
__
8 3
b. ( 3a ) : ( a
c. e3 . ( e
1 2
__
5
)
__
– __54
__
.e .e
: __e1
( )
= 3e27
b. 32 : 316 .
1
__
2
c. ( 3
(
___
+ 327
___
3
d. 372 –
15
1
__
8
1
__
3
3
) –4
3( ____
5
–2
____
)
__
3
89
___
+ 3 . 32
4
=
__
15
. 34 =
+ 3243 ) . 3 . 3
__
1
__
4
. __31
( )
___
__
1 – 2 . 32
– __41
8
1
__
___
9 + 3200 . 25 . 372 =
3
16
___
. 7 – 25 . 38 ; e. 26 . 321 – 129; f. –198
3 3__
–4 . 35 ; h. 307;
___
____
____
___
___
___
___
__
__
3
__
____
e. –a . 3b2 . (b . 33 a – a . 3b ) = – 33 a4b5 + a2b
( )
___
b.
g.
___
__
2
3
. 63
–2
a. 6______
+
2
–
2 . 3 + __41
3
4
6
____
5
__
___
___
__
6
6
c. __32 . 3w3 – __21 . 3w3 + __61 . 3w9 = __5 . 3w3 – __21 . 3w
6
__
__
__
__
d. (9a . 3x + 5x . 3a ) . (9a . 3x – 5x . 3a ) =
56. Resuelvan.
–1
___
k. ( –3 . 3__3 + 6 . 3__12 )2 – 394___= 162
____
z9
___
___
a. 324y + 324z – 36y – 354z = 36y – 36z
__
__
__
_
_
8
4
8
4
b. 3t5 – 3t . 3t4 – __21 t . 3t2 = __21 t . 3t – 3t . 3t
___
10
– __21
___
3
45
. z3 . z5
d. z________
= 3z137
8
__
5
___
correspondan.
__
3
__
1
__
__
59. Resuelvan aplicando las propiedades que
5
= 3a
3
__
5
__
__
__
5
)
__
2
3
3
3
3
j. ( –6 . 327 + 325 ) = 36 . 3214 + 3210 – 192
= 3x3
1
2 __
__
3 2
__
__
__
radicales.
__
5
__
__
2
i. ( 4 . 35 – 5 . 36 ) = 230 – 40 . 330
55. Resuelvan. Expresen el resultado utilizando
6
__
___
g. 15 . 32 – 310 . (2 . 32 + 3 . 35 ) =
__
)
___
f. (2 . 311 – 11 . 32 ) . (2 . 311 + 11 . 32 ) =
__
137
____
– __31 5
__
h. (12 . 33 + 5 . 35 ) . (12 . 33 – 5 . 35 ) =
3256
1
2 __
__
__
____
__
__
45
8 . ____
32 . 38
b. __________
=2
9
a. ( x5 )2 : ( x
__
d. –4 . 36 . (2 . 3__
21 – 37 )__= –24.314 + 4 .342
__
__
e. (3 . 37 – 4 . 33 ) . (2 . 33 – 5 . 37 ) =
V
__
=
c. –0,25 . 3320 – 9 . 35 + 0,2 . 3405 = –9 . 35
exponentes
fraccionarios.
149
__ 5 __ 7 __
__
____
4
a. 33 . 333 . 335 : 33 = a140
5
0
7
____
__
33
54. Resuelvan. Expresen el resultado utilizando
__
__
: 3a
___
__
3
5 __ –4
49
a. –5 . 32 – 12 . 32 + __32 . 32 = – ___
. 32
__
__
__
__3
1
__
b. 5 . 37 – 8 . 38 + 3 . 37 – 17 . 38 =
____
i. 35 = 3125
__
10
58. Resuelvan
los siguientes cálculos.
__
__
__
3256 = 2
24
F
8
__
5
a . 3a
325
____
8
__
10
_______
__
d. [ a . ( 3a ) . ( 3a ) . ( 3a ) ]
V
f. 325 : 8 = 325 : 38
g. 3(–2)8 = –2
5
5 __ 2
3
e. 39 + 16 = 39 + 316
______
4
___
_____
__
5
___
__
__
c. 3b . 3b . 3b3 . 3b – b . 3b3 =
d. 38 . 3 = 38 . 33
______
___
__
3
F
__
__
8
–5
–3
3__4a . _____
39a
b. __________
+ ( __a1 ) . a2 : ( __a1 ) =
3a . 3 100a
V
__
5
c. 43 = 343
____
___
__
4
7
28
a. ( 333v ) . 3v3 . 3v4 = v2 . 3v9
210
F
2
= 117
8
__
__
____
__
f. 3x . 3y3 . (– 3y + 3y . 3x ) =
__
__
__
–3xy2 + 9 . 3x3y5
__
2
4
12
a3 + 4 . 3a5 – 28a2
g. ( 7 . 3a9 – 2 . 3a5 ) = 49 . 3___
__
___
__
____
3
12
2
4
3
32.3b
h. ( –8 . 3b5 + 316b3 ) = 64 .3b __+ 4 .3b –___
5
35
10
3
29
__
__
__ 2
3c2 + 4 . 3c17
14
7
i. ( –2 . 3c2 – 35 c ) – 4 . 3c8 =
d. 81a2x – 25x2a
60. Hallen el valor de a para que se cumplan
las siguientes
igualdades.
_______
__
a–1
a. 32
+
2
=
33
_______
b. 5a + __41 = –2
3
a. a = 1; b. No existe valor de a que satisfaga la
igualdad.
30
capítulo
CONTENIDOS
1
4*5*6*7
61. Escriban V (Verdadero) o F (Falso).
63. Tengan en cuenta el valor de c y calculen lo
Expliquen las respuestas donde escribieron F.
__
__
___
__
a. 32 . ( 38 – 318 )2 = –2 . 32 F
___
__
__
32 – 1
________
______
3 __1
__
__
. ( 36 a )2 + a2 . 3a =
______
___
_____
__
3 )[
__
(
c. a . 33 a – __81 a4
3
____
__
]
3
__
a .33 a F
–2
d. ( 3128 : 32 ) . 3–1 + ( 3m5 : 3381m5 ) = 5 V
3
3
3
4
__
c. a . ( 33 a )2
__
3 + 3w
__
__
X Ninguna de las anteriores. 25w + 1 + 10 . 3w
_________
______
__
1
3a . 3__a . 3a – ____
b. ___________
12 __ =
6
3a
3a
a3 . 3a–7
a
–a
11
___
12
a
X Ninguna de las anteriores. a24 – ___
a
17
___
__
1__
3b – ___
b =
3
________
__
c.
1 –__3b
______
3b
31 024 c d
__
1
__+ 37 =
c. _______
37 – 1
____
5 5 3 4
__
4 . 3c d
1 . (1 + __
__
37 )2
6
___
____
____
__
1
___
– 3500 + __
+ 345
3125 ___
d. ___________________
= 62 . (25 + 35 )
1 – 35 – 380
2 – 3__
2
3_______
__
e. ________
=
32 – 1
32__+ 32 __
__
__
2
y – 3 . 32
(____________
__
3y – 3 . 32 )
__ =
f. – 3__________
3 . 32 + 3y
18 – y
__
__
2
(32 + __1 )
a. _________
– 5 . 32 + 7 = 4 – 8 . 32
1 – 32
__
__
__
22 . 33 – 10
3 .__36 + 32 __
b. ______________
= ___________
13
1
1
__
__
32 + 3 . 36
2
¿Cuál es el resultado de cada una de las siguientes
expresiones?
X Ninguna de las anteriores.
__
–1 – 3b
__
5 c3 d2
_________
b. __________
=
5
12 6
66. Marquen las opciones correctas.
1 – 3b
+ 3b
3y
1
__
__
3a
__
y
4
__ = y2 . y3
a. ___
4
3
__
( 8__2 + 1 )
c. ________
= 11 – 6 . 32
(32 + 1)2
__
(
__
64. Racionalicen las siguientes expresiones.
4.
–1 + 3b
__
__
a. 17 + 12 . 32 ; b. 6; c. 11 + 12 . 32 ; d. 102 + 72 . 32
expresión.
_____
11
___
12
32 __
__
d. ________
d. c2 . ( __c1 + c ) =
__
65. Resuelvan hasta reducir a su mínima
___
12
__
. 3a
b. __c1 + c =
_______
__
3 – 3w
3
c. c2 – ( __c1 + c ) =
a. c2 =
3
62. Marquen las opciones correctas.
¿Cuál es la expresión equivalente a la dada en
cada caso?
__
__
a. (4 . 3w + 3w + 1)2 =
3
__
1__+ 32
c = _______
2 . 32
b. ( 345 + 35 ) . ( 3 . 35 – 3(–2)2 + 1 ) = 40 V
____
pedido en cada caso.
__
_______________
__
75 . (3 . 33 – 1)2
___
a. 3_______________
6
1 + 327
2
)
__
__
–25 . 33 + 30
__
2
2____________
. ( 3a – 3b )
( a – b )2
X 25 . 33 – 30
___
+ 2b – 4 . 3ab
________________
X 2a
2
(a – b)
Ninguna de las anteriores.
Ninguna de las anteriores.
_______
__
1 __+ 35
b. 2 . ______
3
__
35 – 1
______
__
36 + 32 . 35
_________
__
36 + 2 . 35
__
X Ninguna de las anteriores. 1 + 35
31
capítulo
1
AUTOEVALUACIÓN
Marquen las opciones correctas
en cuenta___los valores de x e y. Luego, respondan.
67. Tengan
__
x = 2 . 311 + 1; y = 344 – 1
¿A qué conjunto numérico pertenece x + y?
X a. Irracional.
b. Racional.
c. Entero.
68. ¿Cuáles expresiones son verdaderas?
a. Si a < 0.
|
a| = a
X | a | = –a
|
X | –2,3 + b | ) | –2,3 | + | b |
| –2,3 + b | < | –2,3 | + | b |
a| < a
b. Si b < 0.
X | –2,3 + b | = | –2,3 | + | b |
69. ¿Cuántas soluciones tiene la siguiente ecuación?
| 2x
+ 1 | + x = 3x
b. S: x = – __41 .
X a. No tiene solución.
c. S: x = __41 .
70. ¿Cuál__es el conjunto solución en _______
cada
_____caso?
2
–2
|
|
a. 4 + 35 – (2x – 4 ) ) 2 – x + 33(5–2)–2
97
S: ___
48 ;+'
[
X
97
33
___
S: –';___
48 F 16 ;+'
] [
(
)
__
___
)
Ninguna de las anteriores.
___
b. –16 . | x – 4 | – 7 . 33 > 375 + 348
__
__
__
X S = (4 – 33 ;4 + 33 )
__
S = (–4 – 33 ;–4 + 33 )
Ninguna de las anteriores.
71. ¿Cuál es la expresión equivalente a cada una de las siguientes?
________
3 4 ______
a. 33 a6 . b23 =
12
___
__
__
__
5
5
__
7 5
__
2 . 3h
3
12
__
__
X 4 . 3h – __1 . h . 3h
2
5
___________
___
a . 3b11
__
b. 3h – __21 . 3h6 + 3 . 3h =
5
___
X b . 3a . 123b11
ab . 3b11
_____
5
__
5
5
_____
c. 3a2 + 2ax + x2 . 3a + x : 36 a + x =
3
______
3
3a2 + x2
____
___
______
X a + x
3a2 – x2
___
___
3112 – 3448 +____
375 – 312
d. _______________________
=
1
__
3 ___
72 + 3327
___
–37 + 15 . 321
X ____________
4
__
___
15
–37 + ___
4 . 321
___
–37 – 15 . 321
____________
4
___
( 2 – 3x )2 + 316x – 2x
__
e. ____________________
=
2 – 3x
__
X 2 + 3x
32
__
2 – 3x
__
4 + 3h – __21 . h . 3h
__
–2 + 3x
Contenidos
2
8. Sucesiones.
9. Sucesiones aritméticas.
10. Sucesiones geométricas.
11. Análisis de sucesiones.
12. Clasificación de sucesiones.
El filósofo griego Zenón de Elea imaginó una supuesta carrera con un
resultado muy curioso.
El mundo antiguo se ve alborotado por un evento deportivo fuera de
lo común: juegan una carrera Aquiles, el más veloz de los hombres, y una
tortuga. Nobleza obliga: el glorioso héroe concede al animalito una ventaja inicial antes de comenzar a correr... y, ante la sorpresa de todos,
nunca lo alcanza. Es que cuando Aquiles llega al punto del que parte la
tortuga, ella, lenta pero persistente, se ha movido un poco; nuevamente
Aquiles intenta llegar a ella, pero la tortuga se ha movido un poco más,
y así sucesivamente.
Zenón no estaba interesado en lides deportivas, sino más bien en refutar el pensamiento filosófico de la época. No se trata de negar el hecho
“evidente” de que Aquiles efectivamente alcanza a la tortuga; lo que está
en juego es la posibilidad de dividir infinitamente el espacio y el tiempo.
Los argumentos parecen sencillos, pero motivaron siglos de una discusión que recién empezó a resolverse con la aparición del moderno concepto de límite.
1. Lean atentamente y respondan.
a. En un texto del escritor Jorge Luis Borges, Aquiles corre diez veces más rápido
que la tortuga y parte diez metros atrás de ella. ¿Cuánto recorre para alcanzarla?
b. ¿Por qué creen que este problema se discutió durante muchos siglos? ¿No es
evidente que Aquiles alcanza a la tortuga?
a. Se puede pensar como 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + ... = 11,1111...
b. El problema es “filosófico” y tiene que ver con la manera de pensar el tiempo y el espacio.
Para los antiguos, el infinito matemático no era un tema fácil de pensar: pasó mucho tiempo
hasta que se desarrollaron las ideas matemáticas necesarias para plantearlo en forma rigurosa.
capítulo
Sucesiones
8
7
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Sucesiones
¿Para qué sirve?
INFOACTIVA
PÁGINA 3
Una sucesión es un conjunto ordenado de números, uno a continuación del otro.
El conjunto de los números naturales es una sucesión de infinitos elementos.
Se denomina término a cada uno de los elementos de la sucesión.
1;
8;
27;
64;
125;
216;
↓
↓
↓
↓
↓
↓
a1
a2
a3
a4
a5
a6
n3
...
↓
...
an
En algunas sucesiones se puede encontrar un término general an (término enésimo), que es la fórmula
de un término cualquiera en función del lugar que ocupa.
En la sucesión 1; 8; 27; 64; 125; 216;…, el término general de la sucesión es an = n3.
Si se conoce el término general, se puede hallar la sucesión, o cualquier término de la misma, reemplazando en forma consecutiva los números naturales en el valor n del término general.
1 , entonces la sucesión será: 1; __
1 ; __
1 ; __
1 ; __
1 ; __
1 ;... ; __
1 ;...
Si el término general de una sucesión es an = __
n
n
2 3 4 5 6
Por lo tanto una sucesión es una función que le asigna a todo número natural un número real. f:
→
Sucesiones aritméticas
Se denomina sucesión aritmética a aquella en la cual cada término de la misma se obtiene sumando
al anterior un número constante r llamado razón aritmética.
4
12
4+8
12 + 8
20
20 + 8
28
36 ...
Sucesión aritmética con r = 8.
28 + 8
Para que una sucesión sea aritmética, debe verificarse que: a2 – a1 = a3 – a2 = … = an – an–1 = r
Sucesiones geométricas
Se denomina sucesión geométrica a aquella en la cual cada término de la misma se obtiene multiplicando el anterior por un número constante q llamado razón geométrica.
3
–9
3 . (–3)
27
–81
243 ...
Sucesión geométrica con q = –3.
–9 . (–3) 27 . (–3) 81 . (–3)
a
a
a
n
2
__3
___
Para que una sucesión sea geométrica, debe verificarse que: __
a = a = … = a = q ⇔ a1 ≠ 0
1
34
2
n–1
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Se puede definir una sucesión numérica como una función f: → ?
b. Una sucesión numérica ¿puede ser aritmética y geométrica simultáneamente?
a. No, porque el primer conjunto determina el lugar que ocupa cada término, por lo tanto el conjunto debe
ser los números naturales. b. Sí. Por ejemplo, la sucesión 0, 0, 0, 0, 0…
ACTIVIDADES
Sucesiones
8
1. Escriban 3 términos más para cada sucesión y el término general cuando sea posible.
__
__
__
__
__
__
a. 3, 9 ,15, 21, 27, 33 , 39 , 45 , …
d. 1, 32 , 33 , 2, 35 , 36 , 37 , 38 , 3 , …
Término general: an = –3 + 6n
Término general:
7
8
9
b. __32 , __43 , __54 , __65 , __76 ,
,
,
,…
8
9
10
1
1
1
1
e. __21 , __41 , __81 , ___
,
,
,…
16 ,
32
64 128
__
n+1
an = _____
n+2
Término general:
c. 9, –9, 9, –9, 9, –9, 9
1
an = __
2
( )
Término general:
f. 0, 3, –1, 4, –25, 1 000,
, –9 , 9 , …
Término general: an = 9 . (–1)
an = 3n
n–1
n
,
,
,…
Término general: No es posible.
2. Escriban los 5 primeros términos de estas sucesiones y también el término de orden 60.
89
7 __
13
1, 1, __
, 5 , ___
; a = _______
108 000
9 8 25 60
–2
______
a. an = 3n
n2
b. bn = –n
–1, –8, –27, –64, –125; a60 = –216 000
3
4; 6; 4; 6; 4; a60 = 6
c. cn = 5 + (–1)n
d. dn = 1 + __n1
(
n
)
9 ___
625 _____
61
2, __
, 64 , ____
, 7 776 ; a = ___
4 27 64 3 125 60
60
( )
60
3. Tengan en cuenta la siguiente sucesión, grafiquen el término a6 y resuelvan.
1
3
6
10
15
Encuentren una forma sencilla de calcular la cantidad de elementos que tendrán los siguientes términos.
Para encontrar cada término, se suma n al término anterior. Por ejemplo, a6 = 15 + 6 = 21.
4. Indiquen si las siguientes sucesiones son aritméticas o geométricas. Escriban la razón según
corresponda.
a. 2, 10, 18, 26, 34,...
Aritmética; r = 8
b. 0,5; 0,25; 0,125;…
Geométrica; q = 0,5
c. an = 9 – 5n
Aritmética; r = –5
d. 3, 7, 10, 17, 27, 44,…
Ninguna de ellas.
n
e. bn = 3 . __21 )
(
1
Geométrica; q = __
2
f. 1, 2, 3, 4, 5, 6,...
Aritmética; r = 1
35
9
8
10
11
12
13
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18
Sucesiones aritméticas
¿Para qué sirve?
INFOACTIVA
PÁGINA 4
En una sucesión aritmética cada término se obtiene sumándole al anterior un valor constante r.
a1 = a1 + 0r
a2 = a1 + 1r
a3 = a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r
El término general an es:
a4 = a3 + r = a1 + r + r + r = a1 + 3r
an = a1 + (n – 1) . r
an = an–1 + r = a1 + r + r + ... + r = a1 + (n – 1) . r
n – 1 veces
Para calcular un término determinado de una sucesión aritmética conociendo dos términos consecutivos, se deben seguir estos pasos.
Calculen a6 si a1 = –3 y a2 = 5.
1. Se halla la razón.
r = a2 – a1 ⇒ r = 5 – (–3) ⇒ r = 5 + 3 ⇒ r = 8
a6 = a1 + (6 – 1) . r ⇒ a6 = –3 + (6 – 1) . 8 ⇒ a6 = –3 + 5 . 8 ⇒ a6 = 37 2. Se calcula cada término.
La razón es igual a la diferencia entre dos términos consecutivos: r = ak – ak–1 ∧ k ∈
– {1}
Para calcular un término determinado de una sucesión aritmética conociendo otro término y la
razón, se deben seguir estos pasos.
Calculen a3 si a9 = –28 y r = –9
Se considera a a3 como primer término (a3 → a1) y a a9, por lo tanto, como séptimo (a9 → a7).
an = a1 + (n – 1) . r ⇒ a7 = a1 + (7 – 1) . r ⇒ –28 = a1 + 6 . (–9) ⇒ a1 = –28 + 54 ⇒ a1 = 26 → a3 = 26
Para calcular el número de términos de una sucesión aritmética, se deben seguir estos pasos.
Calculen el número de términos de la sucesión sabiendo que a1 = 5; a2 = 19; …; an = 145.
r = a2 – a1 ⇒ r = 19 – 5 ⇒ r = 14
an = a1 + (n – 1) . r ⇒ 145 = 5 + (n – 1) . 14 ⇒ 140 = (n – 1) . 14 ⇒ 10 = n – 1 ⇒ n =11
Suma de los términos de una sucesión aritmética
La suma de los n primeros términos de una sucesión aritmética se obtiene de la siguiente manera.
a1;
a2;
a3;
...
an–2;
an–1;
an
a1 + 2r + an – 2r = a1 + an
a1 + r + an – r = a1 + an
La suma de los n primeros términos es:
( a1 + an ) . n
Sn = ___________
2
a1 + an
Para calcular la suma de los términos de una sucesión aritmética se deben conocer el primer término, el último y la cantidad de términos.
Calculen la suma de todos los números pares comprendidos entre 46 y 112, inclusive.
112 = 46 + 2 . (n – 1) ⇒ 66 = 2 . (n – 1) ⇒ 33 = n – 1 ⇒ n = 34
(
)
46 + 112 . 34
⇒ Sn = 158 . 17 ⇒ Sn = 2 686
Sn = ______________
2
36
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. En una sucesión aritmética, si a1 = 12 y a3 = 0, ¿cuál es la razón?
b. ¿Cómo se puede expresar la razón de una sucesión aritmética en función de x e y
con a7 = x y a8 = y? a. r = –6; b. r = a8 – a7 = y – xy
9
ACTIVIDADES
Sucesiones aritméticas
5. Completen con el dato que falta en cada caso.
12
a. a1 = – ___
5; r = 5
a12 =
52,6
83
c. an = 153,32; a1 = ___
25 ; r = 25
b. a120 = 1 345; r = –9
a1 =
2 416
n=
7
6. Calculen la suma de los 30 primeros términos.
a. Dada la sucesión aritmética cuyo término general es: an = –12 + 5n.
S30 = 1 965
b. Dada la sucesión: –4, –10, –16, –23, …
S30 = –2 730
7. Resuelvan teniendo en cuenta que en una sucesión aritmética a1 + a3 = 18 y a5 – a2 = –6.
a. ¿Cuál es la razón?
r = –2
b. Calculen a1, a2 y a3.
a1 = 11; a2 = 9; a3 = 7
8. Tengan en cuenta los datos y resuelvan.
a1 = x; r = x – 3 con x D
a. ¿Cuál es la expresión correspondiente a S10?
(9x + 27) . 5
9x – 135
X 55x – 135
b. Calculen S10 si la diferencia entre dos términos consecutivos es 13.
745
9. Lean atentamente y resuelvan.
Franco decidió ahorrar dinero para comprarse una notebook. Si empezó reservando $1 000 y cada
mes agrega $260, ¿cuánto dinero tendrá después de un año?
1 000 + 12 . 260 = 1 000 + 3 120 = 4 120
Luego de un año tendrá $4 120.
37
10
9
11
12
13
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19
Sucesiones geométricas
INFOACTIVA
En una sucesión geométrica cada término se obtiene multiplicando el anterior por un valor constante q.
a1 = a1 . q0
a2 = a1 . q1
a3 = a2 . q = a1 . q . q = a1 . q2
El término general an es:
a4 = a3 . q = a1 . q2 . q = a1 . q3
an = a1 . qn–1
an = an–1 . q = a1 . q . q . q . q ... q = a1 . qn–1
n – 1 veces
Para calcular un término determinado de una sucesión geométrica conociendo dos términos consecutivos, se deben seguir estos pasos.
Calculen a6 si a1 = 2 y a2 = 8.
a2
8
__
q = __
a1 ⇒ q = 2 ⇒ q = 4
a6 = a1 . q6–1 ⇒ a6 = 2 . 45 ⇒ a6 = 2 . 1 024 ⇒ a6 = 2 048
1. Se halla la razón.
2. Se calcula cada término.
a
k
La razón es igual al cociente entre dos términos consecutivos: q = ___
ak–1 ∧ k ∈
– {1}
Para calcular un término determinado de una sucesión geométrica conociendo otro término y la razón,
se deben seguir estos pasos.
Calculen a4 si a11 = 8748 y q = 3.
Se considera a a4 como primer término (a4 → a1) y a a11, por lo tanto, como octavo (a11 → a8).
8 748 ⇒ a = 4 → a = 4
an = a1 . qn–1 ⇒ a8 = a1 . 38–1 ⇒ 8748 = a1 . 37 ⇒ 8748 = a1 . 2187 ⇒ a1 = ______
1
4
2 187
Para calcular el número de términos de una sucesión geométrica, se deben seguir estos pasos.
3 ; a = __
8.
1 ; ...; a = ___
Calculen el número de términos de la sucesión geométrica sabiendo que a1 = __
n
4 2 2
81
1
__
a
2
2
2
__
__
q =___
a ⇒q= 3 ⇒q=3
1
__
4
3 . __
8 = __
2
an = a1 . qn–1 ⇒ ___
81 4 ( 3 )
n–1
n–1
32 = __
2
⇒ ____
243 ( 3 )
5
n–1
2 = __
⇒ ( __
( 23 )
3)
⇒n–1=5⇒n=6
Suma de los términos de una sucesión geométrica
La suma de los n primeros términos de una sucesión geométrica se obtiene de la siguiente manera:
Sn = a1 + a1 . q + a1 . q2 + a1 . q3 + ... + a1 . qn–1
(1)
–
Sn . q = a1 . q + a1 . q2 + a1 . q3 + ...
2
3
Sn = a1 + a1 . q + a1 . q + a1 . q + ...
Sn . q – Sn = –a1
+ a1 . qn–1 + a1 . qn (2)
n–1
+ a1 . q
+ a1 . qn
Se multiplican ambos
miembros de (1) por q.
(1)
Se resuelve (2) – (1)
qn – 1
Sn . q – Sn = –a1 + a1 . qn ⇒ Sn . (q – 1) = a1 . (–1 + qn) ⇒ Sn = a1 . ______
q–1 ∧q≠1
38
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Si en una sucesión geométrica a4 = 8 y a5 = 4, ¿es cierto que la razón es 2?
b. Los términos de una sucesión geométrica de término general an = –2 . (–3)n–1, ¿son todos negativos?
1
1
a. No, la razón es __
2 ; b. No, por ejemplo, para n = 2, a2 = –2 . (–3) = 6.
ACTIVIDADES
Sucesiones geométricas.
10
10. Completen con el dato que falta en cada caso.
a. a1 = –9; q = 2
a11 =
–9 216
b. a25 = 122; q = __31
c. an = 2 048; a1 = 4; q = 2
a1 = 3,45 . 10–13
n=
10
11. Calculen la suma de los 11 primeros términos.
a. Sea la sucesión geométrica de término general an = 3 . 2n–1.
6 141
b. Sea la sucesión geométrica 3; 12; 48; 192; 768; …
4 194 303
12. Tengan en cuenta que las sucesiones son geométricas y resuelvan.
a. Encuentren 4 términos entre el término de valor 2 y el término de valor 486 de una sucesión.
____
5 486
Serán 6 términos en total contando los del enunciado. Se calcula q = ____
2 = 3; luego, los términos son 6,
18, 54, 162.
3
b. En una sucesión de razón 1,5, la suma de los dos primeros términos es 1,7. Calculen la suma de
los 5 primeros términos.
a1 + a2 = a1 + 1,5 . a1 = 1,7 Luego, a1 = 0,68 y s5 = 8,9675
c. El producto entre el segundo y el tercer término de una sucesión es 5 400. Calculen la razón y la
suma de los 12 primeros términos, si el primer término es 5.
a2 . a3 = ( a1 )2 . q3 = 5 400 luego q = 6 y la suma s12 = 612 – 1
13. Marquen las opciones correctas.
a. Si en una sucesión geométrica el primer término es 2 y su razón __21 , ¿cuál es el producto a20 . a21?
X 2 . ( __1 )39
2
2 . ( __41 )
39
4 . ( __21 )
39
b. Si en una sucesión geométrica a1 = x con x > 1 y q = a1, ¿cuál es la expresión de S5?
5
x_____
–1
x–1
6
–x
X x_____
x–1
5
x_____
–x
x2 – x
39
11
10
12
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19
20
Análisis de sucesiones
INFOACTIVA
Existen muchas situaciones en las cuales puede aplicarse el concepto de sucesión para resolver
diversos problemas de índole práctica.
Cotas superiores e inferiores
Una sucesión está acotada superiormente, si ∃ k ∈ / ∀ n ∈ : k ≥ an. Se dice que k es cota superior
en la sucesión.
Una sucesión está acotada inferiormente, si ∃ k ∈ / ∀ n ∈ : k ≤ an. Se dice que k es cota inferior
en la sucesión.
El supremo es la menor de las cotas superiores de una sucesión y el ínfimo es la mayor de las cotas
inferiores de una sucesión.
Una sucesión es monótona creciente, si ∀ n ∈ : an ≥ an–1.
Una sucesión es monótona decreciente, si ∀ n ∈ : an ≤ an–1.
Si el término general de una sucesión es
2 , entonces la sucesión será:
an = __
n
y
2
2 ; __
2 ; __
2 ;...
1 ; __
1 ; __
2; 1; __
3 2 5 3 7
1
En el gráfico de la derecha están representados
los valores que toma la sucesión.
1
0
2
3
4
5
6
7
x
Esta sucesión está acotada superior e inferiormente.
En este ejemplo, 2, 4, 8, 100, e, π, son cotas superiores y 0, –1, –3, – __43 , son cotas inferiores.
El supremo es 2 y el ínfimo es 0.
También se afirma que esta sucesión es monótona decreciente, al ser cada término menor que el
anterior.
y
Si el término general de una sucesión es
an = 2 – (–1)n, entonces la sucesión será:
3
2
3; 1; 3; 1; 3; 1; 3; 1; 3;…
1
En el gráfico de la derecha están representados
los valores que toma la sucesión.
0
1
2
3
Esta sucesión está acotada; admite cotas superiores y cotas inferiores.
El supremo es 3 y el ínfimo es 1.
Esta sucesión no es ni monótona decreciente ni monótona creciente.
{
3 si n es impar
Otra manera de definir esta sucesión es an = 1 si n es par
40
4
5
6
7
8
x
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. La sucesión 3, 3, 3, 3, 3,… ¿es monótona creciente o decreciente?
b. Para que una sucesión tenga ínfimo, pero no supremo, ¿qué condición debe cumplir?
a. Las dos, porque en ambas definiciones se pide que cada término sea menor o igual, o mayor o igual; en
ambos casos cumple con la igualdad. b. Tiene que estar acotada inferiormente y no acotada superiormente.
11
ACTIVIDADES
Análisis de sucesiones
14. Indiquen si las sucesiones son monótonas crecientes o decrecientes. Expliquen las respuestas.
–1
a. an = n_____
n
c. an = (–1)n . n
1 __
2 __
3
Monótona creciente, ya que 0 ) __
2 ) 3 ) 4 ...
Ninguna de ellas, porque la sucesión
es –1; 2; –3; 4; –5;...
d. a1 = 2 y an = a1 – an–1 para n ≥ 2.
b. an = –2n
Monótona decreciente, ya que –2 * –4 * –6 * –8...
Ninguna de ellas, porque la sucesión
es 2; 0; 2; 0; 2; 0;...
15. Indiquen si las sucesiones están acotadas. Escriban tres cotas inferiores y/o tres superiores, el
ínfimo y el supremo, cuando sea posible. Pueden ayudarse realizando un gráfico en sus carpetas.
a. 1; 0,8 ; 0,5 ; 0,1 ; 0,01 ; 0,001; 0,0001,…
Está acotada entre 0 y 1. Por ejemplo: 0, –1, –10 son cotas inferiores y 1, 2, 10 000 son cotas superiores.
El 0 es ínfimo y el 1 es supremo.
b. 4, 0, –4, –8, –12, –16, –20…
Está acotada superiormente. Por ejemplo: 4, 17, 22,5 son cotas superiores. El 4 es supremo. No tiene ínfimo.
c. 5, –5, 5, –5, 5, –5…
Está acotada entre –5 y 5. Por ejemplo: –6, –80, –100 000 son cotas inferiores y 5, 7, 12 340 000 son cotas
superiores. El –5 es ínfimo y el 5 es supremo.
1
16. Tengan en cuenta la sucesión definida por la fórmula bn = (1 + n)__n, completen la tabla y respondan.
b1
2
b2
1,732
b3
b4
b10
b101
b1 000
b10 002
1,587
1,495
1,271
1,047
1,007
1,001
a. La sucesión ¿es monótona creciente, monótona decreciente o ninguna de ellas?
La sucesión es monótona decreciente.
b. Si n crece infinitamente, los términos de esta sucesión ¿a qué número se aproximan?
Los términos se aproximan a 1.
c. ¿Está acotada? ¿Entre qué valores están comprendidos todos los términos de la sucesión?
Sí; la sucesión está acotada y para todo n, 1 ) bn ) 2.
41
12
11
13
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20
21
Clasificación de sucesiones
INFOACTIVA
Sucesiones convergentes
Cuando a medida que n crece, los términos de la sucesión se van acercando a un número, se dice
que la sucesión es convergente.
n–1
1
Si el término general de una sucesión es an = ( __
, entonces la sucesión será:
2)
1 ; __
1 ; __
1 ; ___
1 ; ___
1 ; ___
1 ;…
1; __
2 4 8 16 32 64
A medida que crece, la sucesión se va acercando a 0.
Se dice que la sucesión converge a 0 o que su límite es 0.
Sucesiones divergentes
Cuando a partir de un n ∈ , los módulos de los términos de la sucesión son mayores que cualquier
número positivo k, la sucesión es divergente.
Si el término general de una sucesión es an = 2n, entonces la sucesión será:
2; 4; 6; 8; 10; 12; 14;...
La sucesión diverge porque para cualquier número positivo k, existe un n tal que an > k.
Para k = 2 300 000, existe n = 1150 001, tal que an = 2 300 002 > k
A medida que crece, la sucesión se va acercando a valores cada vez más altos.
Se dice que la sucesión diverge a +∞ o que su límite es +∞.
Sucesiones oscilantes
Cuando una sucesión no es convergente ni divergente, es oscilante.
Si el término general de una sucesión es an = 2 – (–1)n, entonces la sucesión será:
3; 1; 3; 1; 3; 1; 3;...
Esta sucesión oscila entre los números 1 y 3.
En este caso, la sucesión no tiene límite. Por lo tanto, es oscilante.
Sucesiones definidas por recurrencia
Una sucesión está definida por recurrencia si para definir el término enésimo se utilizan términos
anteriores de la sucesión.
a1 = 1; a2 = a1 + 2; a3 = a2 + 3; …; an = an–1 + n a2 = 1 + 2; a3 = 1 + 2 + 3; a4 = 1 + 2 + 3 + 4
En general, tenemos que an es la suma de los n primeros números naturales.
n . (n – 1)
En este caso, se puede expresar con la fórmula: an = ________
2
42
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Si una sucesión tiene términos positivos, ¿se puede asegurar que es convergente a un número real?
b. ¿Qué condiciones debe cumplir una sucesión para ser divergente? ¿Y para ser oscilante?
a. No. No asegura que sea convergente. Para serlo, a medida que n crece infinitamente, sus términos deben acercarse a un número real. b. Para ser divergente, al crecer n infinitamente, el valor absoluto de sus términos deben
ser mayores que un número real positivo muy grande. Para ser oscilante, no debe ser convergente ni divergente.
12
ACTIVIDADES
Clasificación de sucesiones
17. Clasifiquen las sucesiones en convergentes, divergentes u oscilantes. Si es posible, calculen su límite.
a. 5; 4,5; 4, 3,5; 3,3; 3,1; 3,01; 3,001; 3,0001…
Sucesión convergente y su límite es 3.
b. 10; 100; 1 000; 10 000; 100 000; 10 000 000;…
Sucesión divergente y su límite se aproxima a infinito positivo.
c. –2; 3; –2; 3; –2; 3; –2; 3; –2; 3;…
Sucesión oscilante y no existe su límite.
18. Clasifiquen las sucesiones en convergentes, divergentes u oscilantes. Si es posible, calculen su límite.
a. an = __32
( )
n
4 ___
2 ; __
Sucesión convergente y su límite es 0, pues su desarrollo es __
; 8 ;...
3 9 27
b. bn = n2 – 3n
Sucesión divergente y su límite se aproxima a infinito positivo, pues su desarrollo
es –2; –2; 0; 4; 10; 18; 28; 40;…
–1
______
c. cn = 2n
n+1
5 __
7 __
3 __
1
11
__
Sucesión convergente y su límite es 2, pues su desarrollo es __
2 ; 1; 4 ; 5 ; 2 ; 7 ;...
d. dn =
{
3 si n es par
5 si n es impar
Sucesión oscilante y su límite no existe, pues su desarrollo es 5; 3; 5; 3; 5; 3;...
19. Indiquen para qué valores de t las sucesiones son convergentes, divergentes u oscilantes.
a. t; t2; t3; t4; t5;...
La sucesión es convergente para –1 < t < 1, divergente para t ≥ 1 y t < –1. Es oscilante para t = –1.
b. t2; t6; t10; t14;...
La sucesión es convergente para –1 ≤ t ≤ 1. Es divergente para t < –1 y t > 1. No es oscilante para ningún
valor de t.
2
3
4
c. _1t ; ( _1t ) ; ( _1t ) ; ( _1t ) ;...
La sucesión es convergente para t ≥ 1 ∧ t < –1 y divergente para –1 < t < 1 ∧ t ≠ 0. Es oscilante para t = –1.
43
12
ACTIVIDADES
Clasificación de sucesiones
20. Propongan para cada caso, si es posible, el término general de una sucesión que cumpla las
condiciones pedidas.
a. Una sucesión de términos negativos que sea divergente.
Por ejemplo, an = –3n, pues sus términos son –3; –6; –9;...
b. Una sucesión de términos positivos que sea convergente a 2.
199
5
1
__
____
Por ejemplo, bn = 2 – __
n , pues sus términos son 1; 1,5; 3 ;… ; 100 ;…
c. Una sucesión oscilante que cumpla que para todo n: –2 ) an ) 2.
gn = 2 . (–1)n es oscilante, sus términos son –2, 2, –2,... y está acotada entre –2 y 2.
d. Una sucesión convergente en 3 y que sea monótona decreciente.
5 __
5 __
–1
8
8
______
__
__
Por ejemplo en = 3n
n sus términos son 2; 2 ; 3 ;… es monótona decreciente, pues 2 ≤ 2 ≤ 3 ≤ ...
e. Una sucesión convergente a 0 que cumpla que para todo n: 0 an ) 1.
1
1 __
1 __
1
1
__
____
Por ejemplo: fn = __
n sus términos son 1; 2 ; 3 ; 4 ;… ; 100 ;…
21. Escriban V (Verdadero) o F (Falso). Expliquen las respuestas donde escribieron F.
a. Una sucesión de términos negativos siempre es convergente. F
Por ejemplo, an = –n tiene términos negativos y es divergente.
2
b. La sucesión an = __
es convergente a 0.
n3
V
c. Una sucesión oscilante tiene todos sus términos positivos. F
Por ejemplo, an = (–1)n.
22. Tengan en cuenta las siguientes sucesiones y resuelvan.
1
2
an = _____
n + 1 ; bn = n
a. Calculen los siguientes términos.
a1 =
b1 =
1
__
2
1
a2 =
b2 =
1
__
3
4
a10 =
b10 =
1
__
11
100
a100 =
1
___
101
b100 = 10 000
a1 000 =
1
_____
1 001
b1 000 = 1 000 000
a10 000 =
1
______
10 001
b10 000 = 100 000 000
b. Clasifiquen las sucesiones en convergentes, divergentes u oscilantes.
La sucesión an es convergente a 0 y la sucesión bn es divergente a infinito positivo.
c. Obtengan una fórmula para la sucesión cn = an + bn y para la sucesión dn = an . bn.
2
n
1
_____
2
cn = _____
n + 1 + n y dn = n + 1
d. Clasifiquen cn y dn en convergentes, divergentes u oscilantes.
cn y dn son divergentes.
23. Hallen el término general de una sucesión convergente a 3 que sea producto de una sucesión
divergente y una convergente a 0.
1
1
__
Por ejemplo, an = 3n . __
n , donde la sucesión 3n es divergente y n es convergente a cero.
44
12
ACTIVIDADES
Clasificación de sucesiones
24. Tengan en cuenta la siguiente sucesión definida por recurrencia y resuelvan.
{
a =3
an = a1 = 2a + 1 para n ≠ 1
n
n–1
a. Hallen los 10 primeros términos de esta sucesión.
Los 10 primeros términos son 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255, 511, 1 023, 2 047.
b. ¿Es una sucesión monótona creciente? ¿Por qué?
Es una sucesión monótona creciente, porque cada término es menor o igual que el siguiente.
c. Calculen la suma de los términos calculados.
S10 = 4 082
25. Tengan en cuenta los primeros siete términos de esta sucesión y hallen una fórmula definida por
recurrencia.
3; 16; 82; 412; 2 062; 10 312; 51 562;…
a1 = 3; a2 = 16; an = 5an–1 + 2 para n ≥ 3.
26. Resuelvan.
Fibonacci, matemático italiano del siglo XIII, descubrió una sucesión que tiene numerosas aplicaciones en biología, en ciencias de la computación, en matemática y en la teoría de juegos.
La sucesión es: 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144; 233; 377; 610; 987; 1 597; 2 584; 4 181; 6 765;…
a. Hallen una fórmula por recurrencia para la sucesión de Fibonacci.
f1 = f2 = 1 y fn = fn–1 + fn–2 para n ≥ 2.
b. Construyan una nueva sucesión donde cada término esté formado por cocientes de términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci.
b1 = 1 : 1 = 1; b2 = 2 : 1 = 2; b3 = 3 : 2 = 1,5;...
1; 2; 1,5; 1,666...; 1,6; 1,625; 1,6153...; 1,61904...; 1,6176...; 1,6181818...; 1,61797...; 1,61805...
c. La sucesión anterior ¿es convergente o divergente? Si es convergente, indiquen a qué número se
acercan sus términos.
Es una sucesión convergente y se acerca al número irracional 1,618033989..., también llamado número de oro.
27. Tengan en cuenta que el término general de una sucesión aritmética es an = 2 + 3n y resuelvan.
Escriban los 5 primeros términos y hallen una fórmula de la misma sucesión, pero por recurrencia.
Los 5 primeros términos son 5; 8; 11; 14 y 17. Una fórmula por recurrencia es a1 = 5 y an = an–1 + 3 para n ≠ 1.
mente ACTIVA
Una ciclista tarda 40 segundos en dar la primera vuelta a una pista; por los efectos
del cansancio, en cada vuelta tarda 6 segundos más que en la anterior.
a. Calculen los seis primeros términos de la sucesión que representa los segundos
que tarda por cada vuelta.
b. Definan la sucesión por recurrencia. ¿Qué tipo de sucesión es?
a. Los seis primeros términos son 40; 46; 52; 58; 64; 70.
b. Por recurrencia es a1 = 40 y an+1 = an + 6 si n > 1. Es una sucesión aritmética.
45
INTEGRACIÓN
28. Escriban el término general de las sucesiones.
Indiquen si son aritméticas o geométricas y hallen
la razón.
an = n2 – 4
a. –3;
0; 5; __12; 21;…__
__
__
__
b. 33 ; 2 . 33 ; 3 . 33 ; 4 . 33 ;... an = n . 33 n–1
1
1
___
an = __
c. 0,2; 0,02; 0,002; 0,0002...
5 . 10
an = –7 + 5n
d. –2; 3; 8; 13;…
an = 2 . 3n–1
e. 2; 6; 18; 54; 162; 486;...
( )
29. Las siguientes sucesiones no son aritméticas
ni geométricas. Hallen los términos pedidos.
a. 1; 2; 3; 9; 8; 7; 1; 2; 3; 9; 8; 7;...
a14 =
2
; a120 =
7
b. 1; 2; 3; 4; 5; 11; 12; 13;…
33. Resuelvan.
a. Los ángulos de un triángulo están en sucesión aritmética de razón 30 grados. Calculen
cada ángulo. 30°; 60°; 90°.
b. Los ángulos de un cuadrilátero están en
sucesión geométrica y el último es 4 veces el
segundo. Calculen dichos ángulos.
24°; 48°; 96°; 192°.
34. Lean atentamente y resuelvan.
En un cuadrado de lado 1 se unieron los puntos
medios de sus lados determinando otro cuadrado en su interior. Se repitió el procedimiento en
el segundo cuadrado y en los sucesivos como
se ve en la figura.
__
a. a1 = 4; a2 =__2 . 32 ;
a3 = 2; a4 = 32 .
b21 = 41 ; b50 = 95
__
2
b. Geométrica; q = 3___
.
2
30. Tengan en cuenta la sucesión de término
– 16
_______
general an = 4n
y respondan.
n
a. ¿Puede tener un término que valga 20? ¿Por
qué? No puede valer 20, porque n = –1
y n debe ser natural.
b. ¿Para cuál valor de n uno de los términos
vale 2,4? Para n = 10.
31. Resuelvan.
a. Una sucesión aritmética tiene término general an = –5 + 4n. Calculen la razón, a395 y el
orden del término de valor 2 011.
b. Una sucesión geométrica tiene a1 = 4 y a2 = 2.
Calculen la razón, el término general y a10.
c. Una sucesión geométrica tiene a1 = 3, q = 2
y Sk = 1 533. Calculen el valor de k.
d. Una sucesión geométrica tiene q = –0,5 y
a2 = __43 . Calculen S15.
a. 4; 1 575; 504.
1
1
__
b. __
2; 4 . 2
n–1
( )
. c. 10. d. –10,0000305
32. Los números 2 y 20 son los extremos de
una sucesión aritmética de siete términos. Hallen
los números que completan la sucesión.
5; 8; 11; 14 y 17.
__
32
c. an = 4 . ___
n–1
2
d. Monótona decreciente.
a. Calculen los primeros cuatro términos de la
sucesión formada por el perímetro de cada
cuadrado que se va formando.
b. La sucesión ¿es aritmética o geométrica?
c. Escriban el término general de la sucesión.
d. ¿Es monótona creciente o decreciente?
35. Indiquen si estas sucesiones son monótonas
crecientes o decrecientes.
a. 1,2; 1,23; 1,234; 1,2345; 1,23456...
b. 0; 3; 5; 0; 3; 5; 0;…
c. 6,7; 6,07; 6,007; 6,0007;…
a. Monót, crec.; b. No es monót. c. Monót. decrec.
36. Tengan en cuenta la siguiente sucesión y
resuelvan.
5; 5; 4; 4; 3; 3; 2; 2;...
a. ¿Es una sucesión monótona decreciente?
b. ¿Está acotada superior o inferiormente?
c. Hallen, si es posible, tres cotas superiores y
tres cotas inferiores.
d. ¿Es convergente, divergente u oscilante?
a. Sí. b. Superiormente. c. Cotas sup: 6; 8; 9.
d. Divergente.
46
capítulo
CONTENIDOS
8*9*10*11*12
37. Clasifiquen las sucesiones en convergentes,
divergentes u oscilantes. Luego, indiquen si son
monótonas crecientes o decrecientes y si son
acotadas inferior o superiormente.
–n
a. an = 4_____
n+1
3
–n
b. bn = n______
2n
Convergente a –1, monótona
3
decreciente, acotada entre –1 y __
2.
Divergente, monótona creciente,
acotada inferiormente.
Oscilante, no es monótona, está
acotada entre –3 y 3.
2
39. Resuelvan.
1
a. La sucesión an = __
¿tiene términos negatin2
vos? ¿Es convergente? No. Sí, es convergente a 0.
b. Escriban una sucesión divergente a infinito
negativo y una oscilante.
Por ejemplo, –1; –5; –9; –13;… es una sucesión
divergente y 2; –2; 2; –2;… es oscilante.
40. Tengan en cuenta que el término general de
una sucesión es an = 4 – __2n y resuelvan.
1
a. Escriban los 4 primeros términos y represen__
si n es par
10 _7_ ___
11 ,…
d. dn = n___
1
, , 18 , __
ten en un sistema cartesiano. 2, 3, ___
3 2 5 3
2n si n es impar
Convergente a 0, no es monótona, está acotada entre b. ¿Es monótona creciente o decreciente?
1
0 y __
2.
c. ¿Está acotada superior o inferiormente?
38. Observen los gráficos y clasifiquen las suced. Si es posible, hallen el ínfimo y/o supremo
siones en convergentes, divergentes u oscilantes.
de la sucesión.
a.
y
e. Clasifiquen la sucesión en convergente,
1
divergente u oscilante.
c. cn = 3 . (–1)
{
n+1
b. Es monótona creciente. c. Acotada entre 2 y 4.
d. El ínfimo es 2 y el supremo, 4. e. Convergente a 4.
0,5
41. Hallen los términos 2, 5 y 8 de las siguien0
1
2
3
4
5
x
–0,5
1 __
1
Oscilante entre – __
2 y 2.
–1
2
3
4
x
–2
–4
–6
–8
–10
–12
–14
–16
Divergente hacia infinito negativo.
c.
y
3
2
1
0
1
2
3
4
–1
Convergente a 0.
5
{
b1 = –2
b
n–1
bn = ___
2n si n * 2
1
1 ; b = – _________
1
__
b2 = – 2 ; b5 = – ____
960 8
2 580 480
y
1
{
b. bn =
b.
2
0
tes sucesiones.
a = 5 a2 = 17; a5 = 53; a8 = 89.
a. an = a1 = a + 12 si n * 2
n
n–1
x
42. Tengan en cuenta la actividad anterior y
marquen las opciones correctas.
a. ¿Cuáles son las características de la sucesión
de término general an?
Es geométrica.
X Es aritmética.
X Tiene razón 12.
Tiene razón 5.
X Es monótona creciente.
Es monótona decreciente.
X Se la puede definir con a = 12n – 7.
n
Se la puede definir con an = 5n + 7.
b. ¿Cuáles son las características de la sucesión
de término general bn?
X Es convergente a 0.
Es divergente.
No tiene supremo.
X Tiene supremo.
X Está acotada.
No está acotada.
47
capítulo
2
AUTOEVALUACIÓN
Marquen las opciones correctas
43. Respondan.
a. ¿Cuáles son los términos a1 y a20 de la sucesión aritmética que tiene r = –6 y S20 = 250?
a1 = –69,5 y a20 = 44,5
a1 = –44,5 y a20 = 69,5
X a = 69,5 y a = –44,5
1
20
b. ¿Cuál es el término a2 y la suma de los primeros 11 términos de la sucesión geométrica que tiene
a7 = –22 y q = __21 ?
a2 = 704 y S11 = 2 814,625
X a = –704 y S = –2 814,625
2
11
a2 = 704 y S11 = –2 814,625
44. Lean atentamente y respondan.
Pablo ahorra dinero todas las semanas. La primera semana guardó $20 y cada semana guarda $5
más que la anterior. ¿Cuánto dinero tendrá ahorrado después de 40 semanas? ¿Cuánto tendrá que
guardar en la semana número 30?
a. En la semana 40 tendrá ahorrados $4 700 y en la semana 30 deberá guardar $160.
X b. En la semana 40 tendrá ahorrados $4 700 y en la semana 30 deberá guardar $165.
c. Ninguna de las opciones anteriores es correcta.
45. ¿Cuáles son las características de la sucesión fn =
(–1)n
_____
1 + n?
a. Es una sucesión no acotada.
b. Es una sucesión divergente.
X c. Es una sucesión que tiene supremo __1 y ínfimo – __1 .
2
3
d. Es una sucesión convergente a – __21 .
X e. Es una sucesión convergente a 0.
46. Tengan en cuenta las sucesiones y respondan.
– 5n
a. an = 9______
2+n
¿Cuáles son las características de an?
X Es una sucesión monótona decreciente.
X Es una sucesión convergente a –5.
Es una sucesión oscilante.
{
b =6
b. bn = b1 = b + 2n si n * 2
n
n–1
¿Cuáles son las características de bn?
X Es una sucesión divergente.
Es una sucesión acotada superiormente y su supremo es 6.
X Es una sucesión acotada inferiormente y su ínfimo es 6.
48
Contenidos
3
13. El conjunto de los números
complejos.
14. Módulo de un complejo.
Complejos conjugados.
15. Adición y sustracción.
16. Potencias de la unidad
imaginaria. Cuadrado y
cubo de un complejo.
17. Multiplicación y división.
18. Operaciones combinadas.
19. Ecuaciones.
El italiano Girolamo Cardano es uno de los personajes
más pintorescos de la historia de la matemática: fue médico,
jugador (según dicen, algo tramposo) y pasó un buen tiempo en prisión acusado de herejía. Pero sus hallazgos matemáticos son muy importantes y variados. Entre otros, en su
Ars Magna propone el problema de disociar 10 en dos
sumandos cuyo producto sea 40. Si bien aclara que la cuestión es imposible, lo resuelve: su método le permite encon____
____
trar dos soluciones que escribe como 5 + 3–15 y 5 – 3–15 .
Esto no es más que un simple ejercicio, aunque tiene el
mérito enorme de ser la primera referencia escrita a los
números complejos. Claro que la historia a partir de allí no
es sencilla. Tiempo después otro italiano, Bombelli, logró
“dar sentido” a las expresiones de Cardano, aunque él
mismo reconoció que su razonamiento era “un tanto salvaje”. Más de un siglo después otro grande, el alemán Leibniz,
reconoció el valor del número imaginario aunque todavía sin
entenderlo del todo: en sus escritos, lo define como “una
especie de anfibio entre el ser y el no ser”.
1. Lean atentamente y respondan.
a. ¿Por qué les parece que costó tanto asimilar los números complejos dentro
de la matemática?
b. ¿Cómo se puede verificar que la solución de Cardano es correcta?
a. Abierta. Obviamente es chocante pensar en raíces cuadradas de cantidades negativas
porque eso no es posible con los números reales. Pero fueron aceptados porque se comprobó que resultaba de gran utilidad para resolver muchísimos problemas concretos.
b. Una____
manera sencilla
____ es pensarlo
____como una diferencia de cuadrados:
(5 + 3–15 ) . (5 – 3–15 ) = 52 – ( 3–15 )2 = 25 – (–15) = 40.
capítulo
Números complejos
13
12
14
15
16
17
18
19
20
21
22
El conjunto de los números complejos
¿Para qué sirve?
INFOACTIVA
PÁGINA 5
Los números complejos
La radicación
de base negativa e índice par no tiene solución en el conjunto de los números reales
____ 4 ____
(3–4 ; 3–25 ; 3–16 ; etc.), ya que no existe ningún número real que elevado a una potencia par dé por
resultado un número negativo.
___
Se define entonces un nuevo número, llamado i, cuyo cuadrado es igual a –1.
Dicho número es la unidad imaginaria en el conjunto de los números complejos.
__
3a
{
__
i = –1 ⇔ 3–1 = i
__
= b ⇔ b2 = a (–i)
2
= 1 . i2 = 1 . (–1) = –1 ⇔ 3–1 = –i
___
__
2
3–4 = ± i . 34 = ± 2i
___
__
i2 = –1
__
i = ±3–1
__
3–3 = ± i . 33 = ± 33 i
Representación gráfica y expresión cartesiana de un complejo
b
z = (a;b)
a
Se define al conjunto de los números complejos ( ) como:
= {(x;y) ∈ 2 / x ∈ ∧ y ∈ }
A cada número complejo le corresponde un punto del plano.
z = (a;b) ← Expresión cartesiana
Componente imaginario.
Componente real.
Todos los números de la forma (a;0) son números reales y los de la forma (0;b) son números imaginarios
puros.
Un número real es un número complejo cuya segunda componente es igual a 0.
k = (k;0)
El número imaginario de segunda componente igual a 1 es la unidad imaginaria.
i = (0;1)
Expresión binómica de un complejo
Para multiplicar un número complejo por un escalar, se multiplica cada componente del complejo
por el escalar.
z = (a;b) = (a;0) + (0;b) = a . (1;0) + b . (0;1) = a + bi ← Expresión binómica
Parte imaginaria [Im(z)]
Parte real [Re(z)]
z1 = (3;4) = 3 + 4i
z2 = (0;3) = 3i
50
z3 = (–1;1) = –1 + i
z4 = (–2;0) = –2
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. El conjunto de los números complejos ¿está incluido en el conjunto de los números reales?
b. Los números complejos ¿pueden tener solamente componente real?
a. No; b. Sí. La segunda componente es cero.
13
ACTIVIDADES
El conjunto de los números complejos
1. Resuelvan las siguientes raíces e indiquen si pertenecen al conjunto de los números reales o complejos.
____
a. 3–25 =
±5i. Complejo
___
3
5
±9i. Complejo
±35
d. 3–5 =
____
–2. Real
e. 3–32 =
__
__
___
–2. Real
b. 3–8 =
____
c. 3–81 =
i. Complejo
±3.
f. 39 =
Real
2. Resuelvan.
a. Representen los números complejos en un
par de ejes cartesianos.
a = (9;7), b = (15;21), c = (0;28)
b. Escriban la expresión binómica de cada
número complejo.
b
5
28 c
a
2
1
b
21
–5
14
0
–2
1
3
a
7
c
9
4
15
a=
3 + 2i
b=
c=
–5 – 4i
d. (–1;–2) =
–1 – 2i
–2 + 5i
3. Escriban la expresión binómica de los siguientes números complejos.
a. (–3;2) =
–3 + 2i
b. (0;5) =
5i
c. (7;0) =
7
4. Escriban la expresión cartesiana de los siguientes números complejos.
a. –3 + i =
(–3;1)
b. –i =
(0;–1)
c. 2 – __2i =
( 2;– __21 )
d. 3 =
(3;0)
5. Hallen los números reales x e y que verifiquen las siguientes igualdades.
a. (3 + xi) + (3i + y) = 5 + 2 i
x = –1; y = 2
b. (3x;5y) = 21 + i
1
x = 7 y = __
5
c. 5x + 0,5i – (3 – yi) = __31 ;__23
( )
2; y = 1
x = __
3
d. 3x + 4 . (x – 1) + 2 – __21 i = 7x – 2;– __21
(
)
Infinitas soluciones.
51
14
13
15
16
17
18
19
20
21
22
23
Módulo de un complejo. Complejos conjugados
INFOACTIVA
Módulo de un complejo
__›
A cada número complejo z = (a;b) le está asociado un vector v ,
con origen en el punto (0;0) y extremo en el punto (a;b).
De este modo se puede hacer corresponder un vector a cada número
complejo.
z = (a;b)
b
→
v
El módulo de ese vector es el módulo del complejo y se representa con la letra ρ.
______
ρ = | z | = 3a2 + b2
_______
_____
a
___
z = 2 + 3i | z | = 322 + 32 = 34 + 9 = 313
z = (a;b)
|z
|
b
ρ
=
Al ángulo ^
φ se lo llama argumento.
φ
a
Complejos conjugados
_
Dado un complejo z, se define como su conjugado z al complejo
que tiene su parte real igual y su parte imaginaria opuesta.
_
z = a + bi z = a – bi
z = (a;b)
b
Un complejo y su conjugado son simétricos respecto del eje x.
__
z1 = 4 + 2i z1 = 4 – 2i
__
z3 = –11i z3 = 11i
a
__
z2 = 1 – 5i z2 = 1 + 5i
–b
z = (a;–b)
__
z4 = –3 z4 = –3
Forma polar o trigonométrica de un complejo
{
a
^
cos ^
φ = __
ρ a = ρ . cos φ
b
__
^
sen φ = ρ b = ρ . sen ^
φ
z = a + bi z = ρ . cos ^
φ + i . ρ . sen ^
φ
^
^
z = ρ . (cos φ + i . sen φ ) ← Forma polar o trigonométrica
z = (a;b)
b
ρ=
|z
|
φ
a
a. Expresen
z = 4 +___
5i en forma trigonométrica.
_______el complejo
________
2
2
ρ = 34 + 5 = 316 + 25 = 341
5 = 1,25 ^
φ = __
tg ^
___ φ = arc tg 1,25 = 51º 20’ 24,7’’
4
z = 4 + 5i = 341 . (cos 51º 20’ 24,7’’ + i . sen 51º 20’ 24,7’’)
b. Expresen el complejo z = 8 . (cos 30º + i . sen 30º) en forma binómica y cartesiana.
cos 30º = 0,866 ∧ sen 30º = 0,5 z = 8 . (0,866 + 0,5i) z = 6,928 + 4i = (6,928;4)
52
de comprensión
Test
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Qué signo le corresponde a ρsi el argumento es negativo?
b. El conjugado de un número complejo ¿es igual a su opuesto?
a. El módulo es siempre positivo independientemente del argumento.
b. No siempre, solo en los casos que los números complejos tengan componente imaginaria.
14
ACTIVIDADES
Módulo de un complejo. Complejos conjugados
6. Hallen el módulo de los siguientes números complejos.
___
a. z1 = (–2;3)
|z| =
313
c. z3 = (–4;–3)
|z| =
5
b. z2 = –6 + 8i
|z| =
10
d. z4 = 3 + i
|z| =
310
___
7. Escriban dos números complejos distintos que tengan el mismo módulo.
Existen infinitas soluciones, por ejemplo 2 + 3i y –2 – 3i.
8. Hallen el conjugado de cada uno de los siguientes números complejos.
a. z1 = 2 – 3i
b. z2 = –1 + 13i
__
z1 =
__
z2 =
2 + 3i
–1 – 13i
z3 =
__
d. z4 = 2i
z4 =
9. Expresen en forma trigonométrica.
a. z1 = 2 + 2i
__
c. z3 = –2 – 7i
__
–2 + 7i
–2i
__
b. z2 = – 32 + 32 i
__
38 . (cos 45° + i . sen 45°)
2 . (cos 135° + i . sen 135°).
10. Expresen en forma binómica.
a. z1 = 2 . (cos 60° + i . sen 60°)
b. z2 = 4 . (cos 315° + i . sen 315°)
__
__
1 + 33 i
__
2 . 32 – 2 . 32 i
11. Observen la representación de los números complejos e indiquen su expresión binómica.
a.
b.
y
2__
33
1
y
4
l=
120°
π
6
–1
x
0
__
a=
–1 + 33
x
__
b = 2 . 33 + 2i
53
15
14
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Adición y sustracción
INFOACTIVA
Adición y sustracción gráfica de números complejos
y
6
Para sumar gráficamente dos números
complejos (z1 + z2), se pueden seguir estos
pasos.
1. Se traza la recta paralela al vector
asociado a uno de los números complejos
(z1 ) que pase por el otro (z2 ).
2. Se traza un vector con origen en z2
con el mismo módulo y sentido que z1. El
extremo de ese vector determina z3 (z1 + z2).
z3
5
4
z1
3
z2
2
1
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
3
4
5
x
y
Para restar gráficamente dos números
complejos (z1 – z2 ), se pueden seguir estos
pasos.
1. Se traza la recta paralela al vector
asociado a uno de los números complejos
(z2 ) que pase por el otro (z1 ).
2. Se traza un vector con origen en z1 con
el mismo módulo y sentido opuesto a z2. El
extremo de ese vector determina z3 (z1 – z2).
z2
3
z1
2
1
–3
–2
–1
0
–1
1
2
x
z3
–2
Adición y sustracción de números complejos
Para sumar o restar dos números complejos como pares ordenados, se suman o restan las componentes
reales e imaginarios, respectivamente.
(a;b) + (c;d) = (a + c;b + d)
(a;b) – (c;d) = (a – c;b – d)
(–4;3) + (–2;–5) = [–4 + (–2);3 + (–5)]
(–4;3) + (–2;–5) = (–6;–2)
(–4;3) – (–2;–5) = [(–4 – (–2);3 – (–5)]
(–4;3) – (–2;–5) = (–2;8)
Para sumar o restar dos números complejos en forma binómica, se suman o restan las partes reales
e imaginarias, respectivamente.
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i
(a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d) i
(–4 + 3i) + (–2 – 5i) = [–4 + (–2)] + [3 + (–5)] i
(–4 + 3i) + (–2 – 5i) = –6 – 2i
(–4 + 3i) – (–2 – 5i) = [–4 – (–2)] + [3 – (–5)] i
(–4 + 3i) – (–2 – 5i) = –2 + 8i
Adición y sustracción de complejos conjugados
54
La suma de dos complejos conjugados es igual
al duplo de la componente real.
(a + bi) + (a – bi) = (a + a) + (b – b)i = 2a
La resta de dos complejos conjugados es igual
al duplo de la componente imaginaria.
(a + bi) – (a – bi) = (a – a) + [b – (–b)] i = 2bi
(5 + 2i) + (5 – 2i) = (5 + 5) + (2 – 2)i = 10
(5 + 2i) – (5 – 2i) = (5 – 5) + [2 – (–2)] i = 4i
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
__
a. ¿La diferencia entre dos números complejos z1 y z2 es equivalente a la suma entre z1 y z2?
b. ¿Qué resultado se obtiene al sumar un número complejo y su conjugado?
a. No siempre, solamente si z2 tiene únicamente parte imaginaria.
b. El resultado de la suma siempre da un número que se encuentra sobre el eje real.
15
ACTIVIDADES
Adición y sustracción
12. Representen el número complejo que falta, sabiendo que z1 + z2 = z3.
a.
b.
z3
z3
z2
z2
z1
z1
0
0
13. Resuelvan. Verifiquen su resultado realizando la representación gráfica en una hoja.
a. (2;3) + (3;–1) =
=
(5;2)
c. (3;1) – (0;–2) =
b. (–1;3) + (7;2) =
=
(6;5)
d. (7;–2) – (7; 3) =
=
=
(3;3)
(0;–5)
14. Resuelvan cada una de las siguientes operaciones combinadas.
a. 3i + 2 + 3i – 5i =
3 11
i
c. 1 – __31 i – __41 + i + 5i = __4 + __
3
(
2+i
b. (3 + 2i) – (5 – 3i) + (– i) =
–2 + 4i
) (
)
21 i
d. 3 – 2i – –2 + __51 i + 3 – 2i = 8 – ___
5
(
)
15. Resuelvan mentalmente.
a. (2 + 3 i) + (2 – 3 i) =
4
d. (7 – 2 i) – (7 + 2 i) =
–4i
b. (–5 – i) + (–5 + i) =
–10
e. (1 + 4 i) – (1 – 4 i) =
8i
c. (7 – 5 i) + (5 i + 7) =
14
f. (19 i – 2) – (–2 – 19 i) =
38i
55
INTEGRACIÓN
16. Resuelvan.
_____
a. 3–169 =
____
b. 3_____
–12 =
c. 3–289 =
___
d. 3121 =
±3i
3
__
22. Hallen un número que cumpla con cada con-
____
e. 3216 = –6
___
__
±2 . 33 i f. 3–8 = ±2 . 32 i
___
__
±17i
g. 3–7 = ±37 i
____
±11
h. 3–36 = ±6i
17. Hallen la expresión binómica de los siguientes números complejos.
a. (–2;7) = –2 + 7i d. (–1;–1)= –1 – i
__ 3 __
__
__
3
b. (0;4) = 4i
e. ( 32 ;32 ) = 32 + 32 i
c. __31 ;0 = __31
f. (–5;–2) = –5 – 2i
( )
dición.
a. La componente real es el triple de la componente imaginaria. Por ejemplo, (15;5)
b. La componente imaginaria es el opuesto de 7
y la componente real es la mitad de dicho
número. __27 ;–7
c. Un número imaginario puro. Por ejemplo, (0;5)
d. Un número complejo que pertenezca a la
bisectriz del segundo cuadrante. Por ejemplo, (–4;4)
__
e. Un número complejo cuyo módulo sea 37 .
(
)
__
( 36 ;–1 )
18. Hallen la expresión cartesiana de los
siguientes números complejos.
a. –3 + 5i = (–3;5) d. 7 + 3i = (7;3)
__
__
(0;–5) e. –9 + 35 = ( –9;35 )
b. –5i =
(2;0)
c. –2 + __41 i = –2;__41 f. 2 =
(
números complejos.
a. –2 + 4i
d. (3;–2)
b. –1 – 2i
e. (6;1)
c. 6i
f. __21 ;0
( )
Solución a cargo del alumno.
20. Calculen el___módulo de cada número.
353
___
337
5
c. 5i
___
d. –3 – 3i 318
21. Observen el gráfico y escriban la expresión
binómica de cada número complejo.
_
z
–z
–3 + 5i
3 – 5i
–3 – 5i
2+i
–2 – i
2–i
i
)
19. Representen gráficamente los siguientes
a. 7 + 2i
b. 6 – i
23. Completen la tabla.
z
–i
–i
–1 – 2i
1 + 2i
–1 + 2i
–3 + 4i
3 – 4i
–3 – 4i
24. Lean atentamente y respondan.
a. La suma entre un número complejo y su
conjugado es 16 y el módulo de uno de ellos
es 10. ¿Cuál es ese número complejo?
b. La diferencia entre un número complejo y su
conjugado
es –10 i y el módulo de uno de ellos
___
es 334 . ¿Cuál es ese número complejo?
__
c. El módulo de un número complejo es 3 . 38 .
Si la componente real y la imaginaria son iguales, ¿cuál es ese número complejo?
a. z = 8 + 6i o z = 8 – 6i c. z = 6 + 6i o z = –6 – 6i
b. z = 3 – 5i o z = –3 – 5i
25. Hallen los valores de x e y para que se
5
–2
0
z3
z1
2
–5
z2
cumplan las siguientes igualdades.
1
__
a. (5x + 2;3y – 1) = (7;0) x = 1; y = 3
7
b. 7 – 2x – 5i = 3x – 5i x = __5
c. 2 + __35 x – (3y – 2) i = 2x – 3y i Absurdo.
d. 3x + 2 + (2y + 4) i = __31 x + (3y + 2) i + 10
e. 2 + (2 + 5y) i = 5x + 7 + [5y + 3 . (3 – x)] i
(
d. x = 3; y = 2
e. Absurdo.
z1 = 4 + 5i; z2 = –4 – 10i; z3 = 5i
56
)
capítulo
CONTENIDOS
3
13*14*15
26. Expresen los siguientes números complejos
31. Representen el número complejo que falta,
en forma trigonométrica.
sabiendo que z1 + z2 = z3.
__
a. z1 = 7 . 33 + 7i z1 = 14 . (cos 30° + i . sen 30°)
b. z2 = –2i
__
z2 = 2 . (cos 270° + i . sen 270°)
3
3
c. z3 = – __41 + 3__
z3 = __1 . (cos 120° + i . sen 120°)
4
2
z2
27. Expresen los siguientes números complejos
en forma binómica.
__
a. 9 . (cos 30° + i . sen 30°) = 4,5 . 3__3 + 4,5 i
b. 4 . (cos 150° + i . sen 150°) = –2 . 33 + 2i
__
c. 32 . (cos 225° + i . sen 225°) = –1 –__ i
__
d. 18 . (cos 315° + i . sen 315°) = 9 . 32 – 9 . 32 i
28. Resuelvan las siguientes sumas y restas de
números complejos en forma cartesiana.
8
7;__
a. (2;3) + 5;– __31 =
3
(–1;3)
b. (–1;0) + (0;3) =
(0;8)
c. (1;4) – (1;–4) =
(6;0)
d. (7;–8) – (1,–8) =
e. (2;–3) + (5;–1) – (–1;–3) = (8;–1)
3
1 ;– __
– __
f. –1;__23 – __41 ;3 + 1;__43 =
4 4
16 __
___
g. 5;– __31 + __31 ;0 – (0;2) =
;– 7
(
(
(
)
) ( ) ( )
) ( )
( )
(
(3
)
3
)
29. Resuelvan las siguientes sumas y restas de
números complejos en forma binómica.
a. (–3 + 2i) + (4 – 7i) = 1 – 5i
b. –i + (3 – i) =
3 – 2i
c. (–2 + 3i) – (5 + 2i) = –7 + i
d. (3 + 2i) – (8 – i) =
–5 + 3i
e. 2 + 3i – (5 – 4i) + (3 – 2i) =
5i
f. (1 – i) + (7 – i) – 1 – 3i =
7 – 5i
g. (4 – 8i) – 7 + 2i – (–3 – 4i) = –2i
1
z1
–2
–1
0
1
2
3
–1
32. Resuelvan mentalmente.
a. (3 + 2i) + (3 – 2i) =
b. (–1 + 3i) + ( – 1 – 3i) =
c. (3 – 5i) – (3 + 5i) =
__
__
__
__
d. ( 32 + 32 i ) – ( 32 – 32 i ) =
6
–2
–10i
__
2 . 32 i
33. Completen con los números que faltan en
cada suma.
6
4
z1
2
z2
–2
0
2
4
6
–2
z3
–4
30. Resuelvan en forma gráfica.
a. (–2;3) + (1;–2) =
b. (–1;–3) – (–2;–1) =
c. (–1 + i) + (5 – 3i) =
d. –3 – i + (–2 – i) =
e. 1 – 2i – (7 + i) =
f. –3 – i – (–4 + i) =
z3
2
z4
–6
Solución a cargo
–8
del alumno.
(
b. z + (
c. z + (
d. z + (
a. z1 +
2
3
2
)=z
; –6 ) = z
; –6 ) = z
; 0 )=z
4 ; –8
9
8
1
4
4
4
3
57
16
15
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Potencias de la unidad imaginaria. Cuadrado y cubo de un complejo
INFOACTIVA
A través de las propiedades de
unidad imaginaria i.
i0 = 1
i4 = i3
i1 = i
i5 = i4
2
i = –1
i6 = i5
i3 = i2 . i = –1 . i = –i
i7 = i6
la potenciación en , se puede hallar la potencia enésima de la
.
.
.
.
i
i
i
i
=
=
=
=
–i . i = –i2 = –(–1) = 1
1.i=i
i . i = i2 = –1
–1 . i = –i
i8 = i7 . i = –i . i = –i2 = –(–1) = 1
i9 = i8 . i = 1 . i = i
i10 = i9 . i = i . i = i2 = –1
i11 = i10 . i = –1 . i = –i
y así sucesivamente, se observa que:
i0 = i4 i8 = 1
i1 = i5 = i9 = i
i2 = i6 = i10 = –1
i3 = i7 = i11 = –i
i0 = 1
i1 = i
i2 = –1
i3 = –i
Los resultados de las potencias de i son 1, i, –1 y –i; se repiten periódicamente.
¨
©
ª
in = i4c+r = ( i4 )c . ir in = ir ∧ n 4
1
r c
El resultado de elevar la unidad imaginaria a un número natural n es igual a elevarlo al resto de la
división entera entre n y 4.
i75 = i3 = –i
i117 = i1 = i
i138 = i2 = –1
i164 = i0 = 1
75
3
117
1
138
2
164
0
4
18
4
29
4
34
4
41
Cuadrado y cubo de un complejo
Para elevar al cuadrado o al cubo un complejo, se desarrolla el cuadrado o el cubo de un binomio.
58
(4 + i)2 = 42 + 2 . 4 . i + i2
= 16 + 8i – 1
= 15 + 8i
(4 + i)3 = 43 + 3 . 42 . i + 3 . 4 . i2 + i3
= 64 + 48i – 12 – i
= 52 + 47i
(3 – 6i)2 = 32 + 2 . 3 . (–6i) + (–6i)2
= 9 – 36i – 36
= –27 – 36i
(2 – 5i)3 = 23 + 3 . 22 . (–5i) + 3 . 2 . (–5i)2 + (–5i)3
= 8 – 60i – 150 + 125i
= –142 + 65i
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Cuál es la forma práctica de hallar la potencia enésima de i ?
b. Las expresiones (a + bi)2 y (a2 + b2 . i2) ¿son equivalentes?
a. Dividir la potencia de i por cuatro, y luego elevar i al resto de la división.
b. No, se debe desarrollar el cuadrado del binomio.
16
ACTIVIDADES
Potencias de la unidad imaginaria. Cuadrado y cubo de un complejo
34. Resuelvan cada potencia de i.
a. i45 =
i
b. i17 =
i
c. i32 =
1
d. i30 = –1
e. i5 =
i
f. i19 = –i
35. Resuelvan las operaciones.
a. 3i3 + 5i6 – 3 – __51 i3 =
14
–8 – ___
5 i
22 – 5i
___
15
5
3
__
__
__
– ___
28 – 5 i
c. __53 i3 + __41 – __73 i20 + 32 + 32 i2 =
7 ___
+ 21 i
– __
4 10
d. __53 i21 – 3 – __23 i3 – __41 – i18 =
31
___
– 2i
e. __32 + 5i8 – 3i23 + __21 i10 – 5i9 = 6
19 __
5
___
+ i
2
4
f. – __43 + __23 i35 – (–1 – i12) + __27 – i27 =
b. – __31 + 5i3 – __54 i2 + 3 – 2i108 =
(
(
)
)
36. Unan
con la respuesta correcta.
__
a. 33 i35 . i29 =
b. i23 : i13 =
c. i30__. i12 : i =
d. 33 i18 : i13 =
e. i12 . i15 : i17 =
f. i13 : (i4 . i18) =
–1__
33 i
1
i __
33
–i
37. Desarrollen las siguientes potencias.
a. (3 – 5i)2 =
16 – 30i
b. (2 – 5i)2 =
–21 – 20i
c. (–1 + 3i)3 =
26 – 18i
d. (2 – i)3 =
2 – 11i
38. Hallen el valor de a para que se cumplan las siguientes igualdades.
a. (a + 2i)2 = 5 + 12i
b. (–3 + ai)2 = –40 – 42i
a=3
a=7
59
17
16
18
19
20
21
22
23
24
25
26
Multiplicación y división
INFOACTIVA
Multiplicación de complejos
Para multiplicar dos números complejos en forma binómica, se aplica la propiedad distributiva de
la multiplicación respecto de la suma (o resta).
(a + b i) . (c + d i) = ac + ad i + cb i + bd i2 = ac + ad i + cb i – bd = ac – bd + (ad + cb) i
(4 + 5 i) . (–2 + 6 i) = 4 . (–2) + 4 . 6 i + (–2) . 5 i + 5 . 6 i2 = –8 + 24 i – 10 i – 30 = –38 + 14 i
El producto de dos complejos en forma trigonométrica es otro complejo cuyo módulo es el producto de los módulos y su argumento es la suma de los argumentos de los complejos dados.
φ 1 + i . sen ^
φ 1 ) ∧ z2 = ρ2 . (cos ^
φ 2 + i . sen ^
φ2 )
z1 = ρ1 . (cos ^
^
^
^
Entonces, z . z = ( ρ . ρ ) . [cos ( φ + φ ) + i . sen ( φ + ^
φ )]
1
2
1
2
1
2
1
2
z1 = 6 . (cos 40° + i . sen 40°) ∧ z2 = 2 . (cos 50° + i . sen 50°)
z1 . z2 = 6 . 2 . [cos (40° + 50°) + i . sen (40° + 50°)] = 12 . (cos 90° + i . sen 90°) = 12 . (0 + i) = 12 i
Producto de complejos conjugados
El producto de dos números complejos conjugados es igual a la suma de los cuadrados de la parte
real e imaginaria.
_
_
_
_
_
z . z = (a + b i) . (a – b i) z . z = a2 – (b i)2 z . z = a2 – b2 . i2 z . z = a2 – b2 . (–1) z . z = a2 + b2
(5 + 6 i) . (5 – 6 i) = 52 + 62 = 25 + 36 = 61
(–3 – 4 i) . (–3 + 4 i) = (–3)2 + 42 = 9 + 16 = 25
División de complejos
Para dividir dos números complejos en forma binómica, se multiplican el divisor y el dividendo por
el conjugado de este último y luego se resuelven las operaciones resultantes.
+ 8 i + 3 i – 4 = _______
3 + 4 i = 2__________________
. 3 + 2 . 4 i + 3 i + 4 i2 = 6
2 + 11 i = ___
2 + ___
2 + i = _____
2 + i . ______
11 i
_____
____________
3 – 4i 3 – 4i 3 + 4i
25
25 25
9 + 16
32 + 42
6i = 5
. 6 i – 2 . 6 i2 = ________
5 – 2 i . __
30 i + 12 = ___
30 i = __
5i
5 – 2 i = _____
12 + ___
1 + __
_____
___________
3 6
–6 i
–6 i 6 i
36
36 36
62
El cociente de dos complejos en forma trigonométrica es otro complejo cuyo módulo es el cociente
de los módulos y su argumento es la diferencia de los argumentos de los complejos dados.
z1 = ρ1 . (cos ^
φ 1 + i . sen ^
φ 1 ) ∧ z2 = ρ2 . (cos ^
φ 2 + i . sen ^
φ2 )
z
ρ
1
1
__
__
^
^
^
^
Entonces, =
. [cos ( φ – φ ) + i . sen ( φ – φ )]
z2
ρ2
1
2
1
2
z1 = 9 . (cos 90° + i . sen 90°) ∧ z2 = 3 . (cos 30° + i . sen 30°)
__
z1 __
3
9
1 3
__
__
___
z2 = 3 .[cos (90° – 30°) + i . sen (90° – 30°)] = 3 . (cos 60° + i . sen 60°) = 3 . 2 + 2 i
(
60
__
) = __32 + __32 . 33 i
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. El producto de dos números imaginarios puros ¿pertenece al conjunto de los números reales?
b. El cociente de dos números complejos ¿da como resultado siempre un número complejo?
3i
a. Sí. b. Sí; teniendo en cuenta que los números reales son complejos. Por ej., __
= 3.
i
17
ACTIVIDADES
Multiplicación y división
39. Resuelvan las siguientes multiplicaciones.
a. (–2 + 3i) . (–2 – 3i) =
13
b. (4 – 5i) . (–2 – i) =
13 + 6i
__
__
__
__
c. ( 37 + 35 i ) . ( 37 – 35 i ) =
12
d. 5;__23 . 4;__31 =
39 ___
23
( ___
2;3 )
e. ( 32 ;–1 ) . ( 1;32 ) =
(2 . 32 ;1)
(
) (
)
__
__
__
__
__
__
__
__
(1;2 . 36 )
f. ( 33 ;32 ) . ( 33 ;32 ) =
40. Tengan en cuenta los números complejos y resuelvan las multiplicaciones.
z1 = 3 . (cos 135° + i . sen 135°); z2 = 2 . (cos 30° + i . sen 30°); z3 = 7 . (cos 60° + i . sen 60°);
z4 = 4 . (cos 315° + i . sen 315°); z5 = 12 . (cos 225° + i . sen 225°)
a. z1 . z3 =
d. z1 . z5 =
21 . (cos 195° + i . sen 195°)
36 . (cos 360 + i . sen 360°)
b. z4 . z2 =
e. z2 . z5 =
8 . (cos 345° + i . sen 345°)
24 . (cos 255° + i . sen 255°)
c. z3 . z5 =
f. z3 . z4 =
84 . (cos 285° + i . sen 285°)
28 . (cos 15° + i . sen 15°)
41. Completen la tabla.
z
_
_
z
z.z
2 + 6i
2 – 6i
40
–1 – i
–1 + i
2
5i
–5i
25
–3 + 4i
–3 – 4i
25
1 – 2i
1 + 2i
5
61
ACTIVIDADES
Multiplicación y división de complejos
17
42. Resuelvan las siguientes divisiones.
1 – 3i
a. ______
=
2 + 2i
1
– __
2 –i
1__– 2i
e. ______
=
+i
32 __
__
–2
+ 32 – ( 1 + 2 . 32 ) i
___________________
3
__
+ 3i
_______
b. –2
=
–3 – i
3__2 – i__
f. _________
=
32 + 33 i
3
11 i
___
– ___
10 10
33 – 2 + (36 + 32 ) i
–i
c. 3_____
=
2i
– 2i
g. 3______
=
1
__
__
__
3
1 __
– __
2 – 2 i
+i
2
14 ___
16
___
5 – 5 i
–__ 2i
d. 3______
=
5__ – 33__i
h. 3________
=
__
33 i
2–i
33 . – __
3
__
(
)
__
__
35___+ 33 i
1 – 315 i
________
4
43. Resuelvan las siguientes divisiones de números complejos expresados en forma trigonométrica.
a. z1 = 18 . (cos 90° + i . sen 90°) y z2 = 3 . (cos 30° + i . sen 30°)
z1
__
z = 6 . (cos 60° + i . sen 60°)
z2 =
b. z3 = 20 . (cos 150° + i . sen 150°) y z4 = 20 . (cos 100° + i . sen 100°)
z3
z = cos 50° + i . sen 50°
__
z4 =
c. z5 = 3 . (cos 60° + i . sen 60°) y z6 = 2 . (cos 30° + i . sen 30°)
3
z5
z = __
__
2 . (cos 30° + i . sen 30°)
z6 =
d. z7 = 2 . (cos 45° + i . sen 45°) y z8 = cos 30° + i . sen 30°
z7
z = 2 . (cos 15° + i . sen 15°)
__
z8 =
62
17
ACTIVIDADES
Multiplicación y división de complejos
44. Lean atentamente y resuelvan.
a. Hallen el valor de a para que el producto entre a + 5i y su conjugado sea igual a 29.
a = –2 o a = 2
b. Hallen el valor de a para que el producto entre a – 2i y su conjugado sea igual a 13.
a=3oa=–3
45. Hallen el valor de ^
φ para que se cumplan las condiciones pedidas en cada caso.
a. Si z1 = 2 . (cos 30° + i . sen 30°); z2 = 4 . (cos ^
φ + i . sen ^
φ ) y z1 . z2 es un número imaginario puro
positivo.
φ = 60°
a. ^
b. Si z3 = 9 . (cos 50° + i . sen 50°); z4 = 4 . (cos ^
φ + i . sen ^
φ ) y z3 . z4 es un número imaginario
puro negativo.
b. ^
φ = 220°
c. Si z5 = 3 . (cos 150° + i . sen 150°); z6 = 12 . (cos ^
φ + i . sen ^
φ ) y z5 . z6 es un número real positivo.
φ = 210°
c. ^
d. Si z7 = 6 . (cos 150° + i . sen 150°); z8 = 2 . (cos ^
φ + i . sen ^
φ ) y z7 . z8 es un número real negativo.
φ = 30°
d. ^
46. Hallen el valor de a para que z =
2
– ai
______
cumpla con la condición pedida en cada caso.
1+i
a. Sea un número real.
b. Sea un número complejo.
a = –2
Cualquier número real menos el –2.
mente ACTIVA
El producto de dos números complejos ¿es igual al producto de sus opuestos?
Sí.
63
18
17
19
20
21
22
23
24
25
26
27
Operaciones combinadas
INFOACTIVA
Las operaciones combinadas entre números complejos se resuelven respetando la jerarquía de cada
una de ellas.
1.° Se resuelven las potencias y raíces;
2.° se resuelven las multiplicaciones y divisiones;
3.° se resuelven las sumas y restas.
Los paréntesis alteran el orden de resolución de las operaciones.
. 4 + 3 . (–2 i) + i . 4 + i . (–2 i)
(3
+ i) . (4 – 2 i) 3_________________________
_____________
=
(5 + i)2
52 + 2 . 5 . i + i2
Se resuelven la multiplicación y el cuadrado del binomio.
– 6i + 4i + 2
_____________
= 12
25 + 10 i – 1
24 – 10 i
14 – 2 i . ________
= ________
24 + 10 i 24 – 10 i
Se resuelve la división.
14 . 24 + 14 . (–10 i) – 2 i . 24 – 2 i . (–10 i)
= ___________________________________
242 + 102
– 140 i – 48 i – 20
____________________
= 336
576 + 100
316 – 188 i
= __________
676
316 – ____
188 i
= ____
676 676
79 – ____
47 i
= ____
169 169
Se pueden realizar ciertas operaciones combinadas en forma trigonométrica.
z .z
1
2
Hallen _____
z
3
z1
z2
°
φ = –30
ρ=
z1 = 3 . (cos 45° + i . sen 45°)
z2 = 2 . (cos 120° + i . sen 120°)
5 . (cos 300° + i . sen 300°)
z3 = __
2
ρ
2
z1 . z2 _______________________
6 . cos 165° + i . sen 165°
_____
z3 = __
5 . (cos 300° + i . sen 300°)
2
64
φ = 45°
φ = –60°
2,5
12 . (cos 225º + i . sen 225º)
= ___
5
3
ρ=
12 . [cos (–135º) + i . sen (–135º)]
= ___
5
=
z3
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Cómo se resuelve un cálculo combinado que contiene potencias de la unidad imaginaria mayores
o iguales que 4?
b. ¿Es necesario separar en términos en un cálculo con números complejos?
a. Es conveniente primero transformarlas en su equivalente –1; 1, –i o i.
b. En todo cálculo combinado hay que separar en términos.
18
ACTIVIDADES
Operaciones combinadas
47. Resuelvan los siguientes cálculos combinados.
12
1______
– 17i
29
i – (3 + 2 i)
– 14i
_______
d. ________________
= –2
105
2–i
b. ______
=
2+i
6
– 3i
______
5
–2 + 3 i7
e. ________________
=
(–3 + i2) . (2 – i19)
3
+ 3 i2 + i
c. i_________
=
–1 – i7
3
__
2 . (1 + i)
i . (i – 2 i )
f. _______________
=
10
3–i
a. ________
=
2 i12 – 5 i3
14
(7 – i ) – (3 + 2 i)
33
3
4
(–1 – 2 i) . (i – i)
25
7
___
+ __1 i
20 5
7 ___
1
– ___
10 – 10 i
48. Unan cada cálculo con su solución.
2
(1 + 5 i)
a. _______
=
2 i3 – 3 i
–1 + i
12 i17
b. _________________
=
(3 + 2 i6) . (3 – 2 i7)
24
–2 – ___
5 i
3 i8 . (1 – 3 i7)
c. ____________
=
6 i7 – 3 i2
– __41 + __43 i
i13 – 5 i2
_________
d. 12
=
i3 – 3 i2
8i
+ 25 i2
e. 1_______
=
6 i3 + 9 i
+ 36 i
________
24
13
9 2
(2 – i )
f. _______________
7
12 =
(3 – i ) . (–1 – i )
+ 41 i
3_______
10
65
18
ACTIVIDADES
Operaciones combinadas
49. Resuelvan los siguientes cálculos combinados.
66
– 2 i3
2 i7
a. 3______
– ______
=
5+i
4 – i18
i32
– 2 i18
________
f. –7
– __
=
5 – 4 i20
i60
17 ____
___
+ 87 i
26 130
–6
3 + i20
3 i24
____
b. ______
19 + 5 – i3 =
3–i
+ 4 i6
i387
_______
g. –5
+ ___
=
3 + 3 i33
i386
31 ___
17
___
5 – 5i
5
3 __
– __
2 + 2i
5 i3
+ 2i
c. 3______
+ ______
=
5 – i15
4 – i18
–2 + i15
+ 11 i29
________
h. _______
+ 12
+ i500 =
4 + 4 i99
8 i66
53
23
____
– ____
i
130 130
5 __
7
– __
8 – 4 i
– 4 i20
+ 2i
d. 3______
– 5_______
=
i15
3 – i50
3
i___________
. (i2 – 3 i7)
5
– 3 i18
1 – 3 i30
_______
i. _______
+
=
40 –
6
2 – 3i
4i
–3 i
3 __
__
– 1i
4 2
77 __
3
– ___
12 – 4 i
– 4 i12
– 3 i4
e. 5_______
– 8______
=
–3 – i20
3 – i19
2
– 3 i7
–5
+ 3 i21
–2 + i
______
________
=
j. __________
+
–
32
13
12
i
i . (1 – 3i)
i – 3i
7 __
+ 1 i
– __
4 2
24 ___
13
– ___
5 + 5 i
18
ACTIVIDADES
Operaciones combinadas
50. Tengan en cuenta los números complejos y resuelvan las operaciones combinadas.
z1 = 3 . (cos 50° + i . sen 50°); z2 = 5 . (cos 200° + i . sen 200°);
z3 = 4 . (cos 30° + i . sen 30°); z4 = 9 . (cos 230° + i . sen 230°)
z4
d. _____
z .z =
z1 . z2
a. _____
=
z
3
15
___
. (cos 220° + i . sen 220°)
4
z4 . z2
b. ______
=
z
3
z3 . z4
e. ______
z .z =
1
3
15 . (cos 20° + i . sen 20°)
1
3 . (cos 180° + i . sen 180°)
z1 . z4
f. ______
z .z =
z2
c. _____
z .z =
1
1
3
__
. (cos 150° + i . sen 150°)
4
3
3
5
___
12 . (cos 120° + i . sen 120°)
2
27
___
. (cos 50° + i . sen 50°)
20
51. Resuelvan.
i
a. (3 – i32) . (4 – i20) – ________
=
5 i12 – 3 i2
i53 . (7 – 3 i24)
i12 . (1 – 3 i14)
d. ____________
+ ___________
=
50
i50 + 5i
2 . (i + 5 i)
1i
6 – __
8
3
11 i
___
– ___
13 13
21
– 3 i3
b. 5______
2 – i20
(
–1
)
3 – i12
: ______
=
2 – 3 i4
24
i3 . (3 – i38)
i___________
. (3 – 2 i5)
e. __________
–
=
39
38
i53 – 2
i –i
5
3
___
– ___
68 + 68 i
18 __
11
___
5 – 5i
5 + i30
3 i2
c. _______
: i25 + ______
=
5 – i18
–2 – i20
2 – 3 i12
2
f. __________
: ______
+ 1 – 3 i20 =
18
i . (i3 – 1) i15 – 3
4
1 __
– __
2 + 3i
1
–1 – __
2i
67
19
18
20
21
22
23
24
25
26
27
28
Ecuaciones
INFOACTIVA
(FXDFLRQHVFRQFRH¿FLHQWHVUHDOHV\VROXFLyQFRPSOHMD
Existen ecuaciones con coeficientes reales cuya solución es la raíz de índice par de un número negativo. Dichas ecuaciones no tienen solución en el conjunto de los números reales, pero sí en el de los
complejos.
Las soluciones complejas de una ecuación
cuadrática con coeficientes reales son complejos conjugados.
___
2
2
x + 9 = 0 x = –9 x = i . 3–9 x = ±3i
x2 – 3x + 8 = 0
_____________
______
____
___
___
___
3 ± 3(–3)2 – 4 . 1 . 8 3
± 39 – 32 3
± 3–23 3
± 323 i
23 i
3 + 3____
x1;2 = _________________
= __________
= ________
= ________
x1 = __
2
2.1
2
2
2
2
23 i
3 – 3____
∨ x2 = __
2
2
Para verificar una solución compleja, se procede de igual manera que para las soluciones reales.
(
___
23 i
3 + 3____
__
2
2
2
) –3.(
___
___
23 i
3 + 3____
__
2
2
___
)+8=
∨
___
(
___
23 i
3 – 3____
__
2
2
2
) –3.(
___
23 i + 3
23 i 2 – __
23 i + 8 =
9–3.3
9 + 2 . __
3.3
__
____
____
____
4
2
2
2
2
2
___
___
9 – __
9 + __
3 . 323 i – ___
23 – __
3 . 323 i + 8 =
__
4 2
4
2 2
∨
9+8=
9 – ___
23 – __
__
4
4
2
9+8=
9 – ___
23 – __
∨ __
4
4
2
9
– 23 – 18 + 8 =
___________
4
– 23 – 18 + 8 =
∨ 9___________
4
32 + 8 = 0
– ___
4
32 + 8 = 0
∨ – ___
4
(
)
∨
___
23 i
3 – 3____
__
2
2
___
)+8=
___
23 i + – 3
23 i 2 – __
23 i + 8 =
9+3.3
9 – 2 . __
3.3
__
____
____
____
4
2
2
2
2
2
___
___
9 + __
9 – __
3 . 323 i – ___
23 – __
3 . 323 i + 8 =
__
4 2
4
2 2
(
)
Para hallar una ecuación cuadrática, dadas sus soluciones complejas, se aplica el mismo procedimiento que con soluciones reales: (x – x1 ) . (x – x2 ) = 0.
x1 = 5 – 2 i ∧ x2 = 5 + 2 i
[x – (5 – 2 i)] . [x – (5 + 2 i)] = 0
2
x – x . (5 + 2 i) – (5 – 2 i) . x + (5 – 2 i) . (5 + 2 i) = 0
x2 – 5x – 2 i x – 5x + 2 i x + 25 + 10 i – 10 i + 4 = 0
x2 – 10x + 29 = 0
(FXDFLRQHVFRQQ~PHURVFRPSOHMRV
Las ecuaciones con números complejos deben resolverse aplicando las operaciones y propiedades
de los mismos.
3+i
–8 + 4i . ____
3z + 8 – z i = 4i z . (3 – i) = –8 + 4i z = ______
3–i 3+i
– 8i + 12i – 4 z = ________
–28 + 4i z = – ___
2i
14 + __
_______________
z = –24
10
9+1
5
5
También pueden plantearse ecuaciones con números complejos y solución real.
Hallen x e y reales que verifiquen: –3x + 5xi = y + 2 – 2yi
= y + 2 y = –3x – 2
{–3x
5x = –2y 5x = –2 . (– 3x – 2) 5x = 6x + 4 x = –4 ∧ y = 10
68
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Cómo se verifica la solución de una ecuación cuando da como resultado un número complejo?
b. Si z = 1 – 3i es solución de una ecuación de segundo grado, ¿cuál es la otra solución?
a. Se reemplaza el resultado en la variable. b. Es el conjugado, en este caso 1 + 3i.
19
ACTIVIDADES
Ecuaciones
52. Marquen las soluciones de las siguientes ecuaciones.
a. z2 + 25 = 0
X 5i
X –5 i
25 i
25 i
b. z2 – 3 = –13
___
___
X 310 i
___
313 i
___
X – 310 i
– 313 i
c. z2 + 3z + 3 = 0
__
__
3
3
3___
X – __
2 + 2 i
3
__
+ 3i
2 3
__
__
3
3
3___
X – __
2 – 2i
3
__
2 – 33 i
d. z2 + 26 = 2z
5i
X 1 – 5i
X 1 + 5i
–5 i
e. z2 – 2z = – 5
X 1 – 2i
X 1 + 2i
–1 – 2 i
–1 + 2 i
53. Resuelvan las ecuaciones. Luego, verifiquen las soluciones.
a. z2 – 2 . (z – 5) = 4z – 3
d. 5 . (z2 – 1) – (2 + z) = 4 . (z2 – 3) – 3z
3 ± 2i
–1 ± 2i
b. 3 . (z2 + 20) = 12z
e. 3 . [z . (z – 10) + (2 + z)] = –81 + 3z
2 ± 4i
5 ± 2i
c. z2 + 20 = 2 . (z – 3)
f. 5z2 – 3z + 10 = –3z . (z + 1) + 4 . (z2 + 1)
1 ± 5i
± __i . 36
__
2
69
19
ACTIVIDADES
Ecuaciones
54. Unan con flechas las ecuaciones que tienen el mismo conjunto solución.
a. z2 – 2z = –5
b. 3z . (z – 4) = – 15
c. 4 . (z2 – 4) + 2z = 2 . (10 + z)
d. z . (z – 2) – 3 = – 13
e. z2 = – 4
f. z2 – 3 . (z + 10) = –(43 – z)
g. z . (4 – z) = 13
h. 2z2 – 3z + 1 = z . (z – 1) – 9
i. z . (z – 3) = (9 – 3z)
j. 2z2 – 5z + 2 . (z2 – 3) = 3z – 26
k. z2 – 3 – 20z = – 20z – 7
l. z2 – 6 . (2z – 3) + 2 . (z2 – 1) = 1
55. Resuelvan las ecuaciones. Luego, verifiquen las soluciones.
– 2i
–i
a. z______
= 1____
3 + 2i
1+i
– 3i
– 3i
d. 5______
= 2______
z–i
i
z=2–i
32
z = – ___
+ ___
i
13 13
z–i
b. _____
=1–i
2+i
3–i
– 2i
e. ______
= z______
2 + 2i
i
z=3
5
z = 1 + __
2i
–3
c. z_____
= 2z – i
1–i
– 3i
2i
f. 1______
= ______
5i
z + 3i
9
4 __
3
z = – __
5 – 5i
z = –1 – 6i
56. Hallen una ecuación cuyas raíces sean los números complejos dados.
a. z1 = 2 – 3 i y z2 = 2 + 3 i
d. z1 = 1 – __21 i y z2 = 1 + __21 i
z2 – 4z + 13 = 0
5
z2 – 2z + __
=0
4
b. z1 = –7 i y z2 = 7 i
e. z1 = 2 – i y x2 = 2 + i
2
z2 – 4z + 5 = 0
z + 49 = 0
__
70
__
__
__
c. z1 = 1 – 36 i y z2 = 1 + 36 i
f. z1 = 2 – 35 i y z2 = 2 + 35 i
z2 – 2z + 7 = 0
z2 – 4z + 9 = 0.
19
ACTIVIDADES
Ecuaciones
57. Hallen los valores de x e y que verifiquen las igualdades.
a. (x + i) . (2 – y i) = 6 – y i
– 2i
c. x______
–1=i
1 – yi
x=y=2
x = 4; y = 3
– xi
b. 2______
= y – 4i
1+i
–3 + 2i + 2y
1
d. ___________
= _____
4 + xi
2+i
x = 6; y = –2
x = 7; y = 3
58. Lean atentamente y resuelvan.
__
x+i
a. Hallen el valor de x e y para que ______
sea equivalente a 32 . (cos 225° + i . sen 225°).
2 – yi
x = –5; y = 3
b. Hallen los valores de x para los cuales (1 + x i)2 es un número imaginario puro.
x = –1 y x = 1
__
+i
c. Hallen los valores de x para los cuales z = x____
tiene como módulo 3 5 .
1+i
x = 7; x = –7
59. Planteen la ecuación y resuelvan.
Sean z1 = x – 2 i; z2 = y + i; z3 = 17 – 7 i, hallen el valor de x e y sabiendo que z1 . z2 = z3.
(x – 2i) . (y + i) = 17 – 7i
3
x = 3 ∧ y = 5 o x = –10 ∧ y = – __.
2
mente ACTIVA
El número complejo 3 + 2i es una solución de una ecuación cuadrática cuyo coeficiente
principal es 1.
Hallen los valores del coeficiente del término lineal y del término independiente.
b = –6 y c = 13
71
INTEGRACIÓN
60. Calculen cada potencia de i.
1
16
a. i =
b. i23 =
c. i63 =
d. i14 =
e. i34 =
–i
–i
–1
–1
39
f. i =
g. i60 =
h. i106 =
i. i170 =
j. i81 =
65. Resuelvan las siguientes multiplicaciones.
–i
1
–1
–1
i
61. Resuelvan las siguientes operaciones.
a. 23 i5 – 12 i7 – 4 i =
31 i
b. 12 i19 – 3 i4 – 3 + 2 i12 =
–4 – 12 i
c. 43 i34 + 12 – 35 i20 + 15 i15 =
– 66 – 15 i
d. (2 – 3 i5) – (23 – 14 i7) + 3 =
–18 – 17 i
e. 56 i5 – (18 + 23 i15) =
–18 + 79 i
f. –(3 – 4 i9) – (3 – 12 i6) + (2 – 3i) = –16 + i
g. –(2 – i7) – (3 – i57) – (13 – 2 i8) = –16
h. 34 – i8 – (35 + 2 i6) + i69 =
i
62. Resuelvan teniendo en cuenta las propiedades de la potenciación.
a. 22 i45 : 2 i23 = –11
b. 2 i7 . 3 i29 = 6
c. 4 i34 . 5 i45 : 2 i28 = –10 i
1
__
d. i56 : (4 i32 . 2 i25) = – 8 i
63. Desarrollen las siguientes potencias.
2
2
a. (2 – 3i) = –5 – 12i f. (–7 + 2i) = 45 – 28i.
b. (3 + 3i)2 = 18 i
g. (1 – 2i)3 = –11 + 2 i
c. (1 – 4i)2 = –15 –8 i h. (2 + 3i)3 = –46 + 9 i
d. (8 – 2i)2 = 60 – 32 i i. (–1 + 2i)3 = 11 – 2 i
e. (2 + 3i)2 = –5 + 12i j. (–2 – 3i)3 = 46 – 9 i
64. Hallen el valor de a para que se cumplan
las siguientes igualdades.
a=4
a. (1 + 2i)2 = –3 + ai
2
a = –21
b. (2 – 5i) = a + 20i
2
c. (–3 + 7i) = –40 – 7ai a = 6
a = –4
d. (–a – 4i)2 = –32i
2
e. (7 + 2ai) = 13 + 84i a = 3
f. (2a – 5i)2 = –9 – 20ai a = –2 o a = 2
g. (–4 + ai)2 = 7 + 24i a = –3
a. (2 – 4 i) . (3 – 4 i) =
b. (–2 + 3 i) . (4 + 12 i) =
c. (–5 + 3 i) . (– 2 – i) =
d. (7 – 2 i) . (– 1 – i) =
e. (2 – 3 i) . (2 + 3 i) =
f. (5 – 7 i) . (5 + 7 i) =
g. (1 + 4 i) . (1 – 4 i) =
h. (17 – 3 i) . (17 + 3 i) =
–10 – 20i
– 44 – 12i
13 – i
– 9 – 5i
13
74
17
298
66. Tengan en cuenta los números complejos y
resuelvan las operaciones.
z1 = 3 . (cos 40° + i . sen 40°)
z2 = 2 . (cos 10° + i . sen 10°)
z3 = 12 . (cos 35° + i . sen 35°)
z4 = 6 . (cos 120° + i . sen 120°)
z5 = 2 . (cos 180° + i . sen 180°)
a. z2 . z3 =
b. z1 . z5 =
c. z2 . z4 =
d. z2 : z3 =
e. z5 : z2 =
f. z4 : z3 =
g. z2 . z1 =
h. z4 : z2 =
a. 24 . (cos 45° + i . sen 45°)
b. 6 . (cos 220°+ i . sen 220°)
c. 12 . (cos 130°+ i . sen 130°)
1
d. __ . (cos 335° + i . sen 335°)
6
e. cos 170° + i . sen 170°
1
f. __ . (cos 85° + i . sen 85°)
2
g. 6 . (cos 50° + i . sen 50°)
h. 3 . (cos 110° + i . sen 110°)
67. Resuelvan las operaciones teniendo en cuenta
que z1 = 1 – 3 i; z2 = 5 – i; z3 = 3 i; z4 = 1 – i.
__
a. z1 . z2 = 2 – 16i
b. z3 . z4 = 3 + 3i
__
c. z1 . z2 = 8 – 14i
__
__
d. z3 . z2 = 3 – 15i
z1 ___
1
8
___
e. __
z2 = 13 + 13 i
z4
1 __
1
__
f. __
z3 = – 3 – 3 i
z1
7
4
___
___
g. __
z2 = 13 – 13 i
z3
15
3
___
___
h. __
z2 = – 26 + 26 i
68. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según
corresponda.
a. La suma de dos números complejos conjugados
siempre es otro número complejo. V
b. La diferencia entre dos números complejos
F
Siempre es imaginario.
conjugados siempre es un número real.
c. El producto de dos números complejos conjugados siempre es un número real.
72
V
capítulo
CONTENIDOS
3
16*17*18*19
69. Determinen el valor de φ para para que
73. Resuelvan las ecuaciones. Luego, verifiquen
cumpla las condiciones pedidas en cada caso.
las soluciones.
__
1 ± 33 i
a. z . (z – 2) = 4
5± i
b. z2 – 5 . (z – 6) = 5z + 4
__
1 ± 33 i
c. z . (3z – 4) + 10 = 2 . ( z – 1)
__
d. 7 . (z2 – 1) + z = –26 + 3z . (2z + 1) 1 ± __3 . 32 i__
{ –33 i;0;33 i }
e. 3z3 – 6z + 15z = 0
a. z1 : z2 es un número imaginario puro positivo;
z1 = 12 . (cos 130° + i . sen 130°);
z2 = 4 . (cos ^
φ + i . sen ^
φ ).
l = 40°
b. z1 : z2 es un número imaginario puro negativo;
z1 = 5 . (cos 330° + i . sen 330°);
z2 = 2 . (cos ^
φ + i . sen ^
φ ).
l = 60°
c. z1 : z2 es un número real positivo;
z1 = 3 . (cos 50° + i . sen 50°);
z2 = 12 . (cos ^
φ + i . sen ^
φ ).
l = 50°
d. z1 . z2 es un número real negativo;
z1 = 6 . (cos 225° + i . sen 225°);
z2 = cos ^
φ + i . sen ^
φ.
l = 45°
70. Hallen los números complejos pedidos en
cada caso. a. Por ejemplo, z1 = 12 . (cos 90° + i . sen 90°)
y z2 = 4 . (cos 45° + i . sen 45°).
a. Dos números complejos cuyo cociente sea
z = 3 . (cos 45° + i . sen 45°).
b. Dos números complejos cuyo cociente sea
z = –3 . (cos 45° + i . sen 45°).
b. No es posible porque el cociente entre dos
números positivos es positivo.
71. Resuelvan los siguientes cálculos combinados.
13
4 – 2i
3i
3–i
29
b. ______
+ _______
– _______
= –2 + ___
8 i
i50 – i105
5 + 3 i20
i23 – i12
2
(3 – 2 i)
3 i27 . (3 – 5 i)
39 ____
122
c. ____________
– ________
= ___
17 – 17 i
i20 – 3
3 i20 – 5 i
5 i40
5
2 i3
________
__
d. ____________
–i
30
12
4 + 4 i12 – 3 i2 =
7
i . (i – 3 i )
25
las soluciones.
4i
+ 3i
a. z______
= _____
2–i
2+i
– 3i
+i
b. 1______
= 2_____
2+i
z+i
–i
–i
c. 3_____
= z____
i
1+i
3
16 __
___
5 – 5i
9
3
– ___
+ ___
i
10 10
2 – 3i
10 ___
– 2 i ___
1+i
+ 62 i
d. ______
= 5______
z – 2i
1 – i 29 29
75. Hallen una ecuación cuyas raíces sean los
números complejos dados.
a. z1 = 5 – 7 i y z2 = 5 + 7 i
b. z1 = 1 – 3 i y z2 = 1 + 3 i
c. z1 = __35 – 7 i y z2 = __35 + 7 i
__
__
d. z1 = 3 – 3__
7 i y z2 = 3 + 3__
7i
1
1
__
__
e. z1 = 2 – 33 i y z2 = 2 + 33 i
z2 – 10z + 74
z2 – 2z + 10
466
10
z + ____
z2 – ___
3
9
2
z – 6z + 16
13
z2 – z + ___
4
76. Hallen los valores de x e y que verifiquen la
–4 i
19 ___
–1
a. _______
– ___
+ __41 = – ___
– 1 i
20 15
i12 – 3 i3
3 i3
12
74. Resuelvan las ecuaciones. Luego, verifiquen
igualdad.
4x + i
a. x – i = ______
y + 2i
x=2y=3
y + 3i
1
b. _______
= ______
–4 + x i
2 + 2i
x=8y=1
3
i . (i – 2 i)
24
127 ___
12 i3
e. ___________
– _______
= – ____
+
i
4 i3 – 2 i
65
65
i20 . (i4 – 8 i)
i3 – 3 i24
3 i3
44 ___
27
f. 2________
+ ________
. 2 i26 = ___
–
i
i32 . i15
2 i12 – 3 i3
13 13
36
20
15
3
i . (2 – 5 i ) i_________
. (i – i)
31 ___
23
1
g. ____________
: 3 i18 – 4 i3 + _______
= – ___
+
i
i13 – 2 i2
i15 – 3 i2
20 20
3
12
i – 3i
1
1 i.
h. _______
: (i7 + i10) – ______
= –2 + __
i19 + i3
2
i60 – 2 i4
72. Calculen.
+3i
a. z . z2 para z = 2 . 1______
+ i18. –11 – 2 i
2+i
_
13
–2i
b. z . z para z = 3_______
.
2 – i5
13
___
5
77. Planteen la ecuación y resuelvan.
Sean z1 = a – 3 i; z2 = b – 6 i; z3 = 2 – 39 i, hallen
el valor de a y b sabiendo que z1 . z2 = z3.
5
a = 4 y b = 5 o a = __
2 y b = 8.
78. Determinen el valor de x para que el número
3 – xi
complejo z = ______
cumpla con la condición
1 + 2i
pedida en cada caso.
a. El vector correspondiente al número complejo esté incluido en la bisectriz del primer y tercer cuadrante.
b. El vector correspondiente al número complejo esté incluido en la bisectriz del segundo y
cuarto cuadrante. a. x = 9; b. x = –1
73
capítulo
3
AUTOEVALUACIÓN
Marquen las opciones correctas
79. ¿Cuál es el resultado de las siguientes raíces?
4
____
__
a. 3–48
3
3i
–6 i
X –6
_____
b. 3–216
4
X 2.3
3i
–3 i
6i
80. ¿Cuál es el resultado de las siguientes operaciones?
a. (3 + i) – (–5 + 3i) + 4 – i =
X 12 – 3 i
12 + 3 i
10 – 3 i
12 + 13 i
b. (–3 + 2 i) . (–5 + 3 i) =
–9 – 9 i
–9 – 19 i
X 9 – 19 i
9 + 19 i
13
1
___
___
10 + 10 i
13
1
___
___
10 – 10 i
– 3i
c. 5______
=
2 + 4i
14
– ___
10 i
13
1
___
X – ___
10 – 10 i
81. ¿Cuál es el resultado de las siguientes potencias?
a. (–3 – 5 i)2 =
16 + 16 i
–16 – 30 i
X –16 + 30 i
30 + 16 i
b. (–1 + 2 i)3 =
X 11 – 2 i
–11 – 2 i
–11 + 2 i
11 + 2 i
82. ¿Cuál es el resultado de las siguientes operaciones combinadas?
6
5
i . (3 + 2 i )
a. ____________
20
6 =
5 i . (1 – 3 i )
3
1
___
X – ___
20 – 10 i
3
1
___
___
20 – 10 i
i35
i26
b. ___________
+ ______
: i63 =
i7 – 3 i
i24 . (i5 – 3 i2)
3
1
___
– ___
20 – 10 i
1
1
___
___
20 + 10 i
3
3
3
1
___
___
___
X ___
20 – 10 i
20 – 10 i
1
1
___
– ___
20 – 10 i
1
1
___
– ___
20 – 10 i
83. ¿Cuáles son las soluciones de las siguientes ecuaciones?
a. z2 + 26z + 313 = 0
13 + 12 i
X –13 + 12 i
13 – 12 i
X –13 – 12 i
b. z2 – 6z + 21 = 0
___
–3 + 312 i
74
___
–3 – 312 i
___
X 3 + 312 i
___
X 3 – 312 i
__
4
X –2 . 3
3i
6
Contenidos
4
20. Circunferencia.
21. Elipse.
22. Parábola.
23. Hipérbola.
Hacia el año 430 a. C. se produjo en Atenas una terrible epidemia y la
población se vio rápidamente diezmada. Tras la muerte del gobernador
Pericles, varios hombres decidieron consultar el legendario oráculo de
Delfos, y la respuesta fue, según cuenta la leyenda, que la peste cesaría
si se duplicaba un altar de forma cúbica dedicado al dios Apolo. Los hombres duplicaron entonces cada uno de los lados, pero no sirvió, ya que el
volumen del cubo aumentó ocho veces. Poco tiempo después, un geómetra llamado Hipócrates de Quíos demostró que la duplicación es posible
x
si se pueden encontrar curvas que cumplan las relaciones __ax = __yx = ___
2a .
Algunas décadas más tarde, un sabio llamado Menecmo descubrió otro
hecho notable: las curvas mencionadas se pueden obtener como secciones de un cono. En los siglos siguientes, Apolonio escribió su famoso
tratado sobre las cónicas, en el cual, entre otras cosas, les da su nombre
definitivo: elipse, hipérbola y parábola. Pero pasaron muchos siglos
hasta que se pudo resolver el extraño problema planteado por los
dioses: la duplicación del cubo, que empleando únicamente regla
y compás es imposible.
1. Lean atentamente y respondan.
a. ¿Se puede duplicar un cubo? ¿O es imposible?
b. ¿Qué aplicaciones prácticas de las cónicas conocen?
a. Sí se puede duplicar el volumen de un cubo. La imposibilidad se refiere al hecho de
hacerlo usando únicamente regla y compás.
b. Abierta. Por ejemplo, la parábola se usa para la construcción de antenas satelitales,
reflectores, etc. Las elipses sirven para entender el movimiento planetario, con un foco
en el Sol.
capítulo
Cónicas
20
19
21
22
23
24
25
26
27
28
29
Circunferencia
¿Para qué sirve?
INFOACTIVA
PÁGINA 6
Se llama circunferencia al conjunto de puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo.
Ese punto fijo es el centro de la circunferencia y la distancia del centro a cualquier punto de la misma
se denomina radio.
Para determinar una circunferencia se necesita conocer su centro y su radio.
R
o: centro
o
R: radio
C(o;R)
Si se ubica la circunferencia en un sistema de ejes cartesianos, se obtiene la ecuación canónica de la misma.
El centro de la circunferencia es el punto (0;0).
y
R
x2 + y2 = R2
o = (0;0) x
El centro de la circunferencia está desplazado al punto (a;b).
Si se aplica el teorema de Pitágoras, se obtiene:
(x – a)2 + (y – b)2 = R2
Ecuación canónica de la circunferencia.
Si se desarrollan los cuadrados de los binomios
de la expresión (x – a)2 + (y – b)2 = R2, se obtiene
la ecuación general de la circunferencia.
y
y1
R
b
y1 – b
o
x1 – a
2
2
2
(x – a) + (y – b) = R
x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 – R2 = 0
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – R2 = 0
x2 + y2 – Ax – By + C = 0
0
a
x1
x
Ecuación general de la circunferencia
Hallen la ecuación canónica de las siguientes circunferencias:
a. Centro (4;–2) y R = 3
b. x2 + y2 + 4x – 12y + 4 = 0
x2 + 4x + y2 – 12y = –4
(x – a)2 + (y – b)2 = R2
(x2 + 4x + 4) – 4 + (y2 – 12y + 36) – 36 = –4
(x – 4)2 + (y + 2)2 = 9
(x + 2)2 + (y – 6)2 = 36
76
de comprensión
Test
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Cuál es el centro de la circunferencia (x + 1)2 + y2 = R2?
b. Dos circunferencias que tienen el mismo radio ¿son concéntricas?
a. El centro es el punto (–1;0).
b. No, deben tener el mismo centro.
20
ACTIVIDADES
Circunferencia
1. Indiquen el centro y el radio de cada circunferencia.
a. (x –2)2 + (y + 3)2 = 9
centro:
(
)
2 ; –3
b. (x + 1)2 + y2 = 25
radio: 3
centro:
(
)
–1 ; 0
radio:
5
2. Escriban la ecuación canónica de cada una de las siguientes circunferencias.
a.
b.
y
1
–6 –5
3
2
1
–3 –2 –1 0
y
p
p
4
c.
y
–4 –3
–2 –1 0
–1
4
x
3
–2
o
o
1
2 3 4 5 x
p
–3
2 o
–4
1
–5
–6
(x – 1)2 + y2 = 16
–2
0
–1
(x + 3)2 + (y + 3)2 = 9
1
2 x
x2 + (y – 2)2 = 4
3. Escriban la ecuación canónica
de cada circunferencia y grafíquenlas.
__
b. centro: __27 ;–3 y R: 4
(
a. centro: (–3;1) y R: 36
Ecuación canónica:
2
2
(x + 3) + (y –1) = 6
y
Ecuación canónica:
1
0
5
4
3
2
1
0
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0
)
1
x
–1–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
( x – __27 )
2
+ (y + 3)2 = 16
y
1
2 3 4
5 6 7 8 9
x
4. Hallen la ecuación general de cada circunferencia.
a. (x – 1)2 + (y + 4)2 = 25
x2 + y2 – 2x + 8y – 8 = 0
Ecuación general:
b. (x + 2)2 + (y – 5)2 = 16
x2 + y2 + 4x – 10y + 13 = 0
Ecuación general:
77
21
20
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Elipse
INFOACTIVA
Se llama elipse al conjunto de puntos de un plano, tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
p1
___
___
___
___
p1f1 + p1f2 = p2f1 + p2f2
f2
f1
p2
b1
Elementos principales de una elipse
El centro: o.
Los vértices: a1; a2; b1 y b2.
Los focos: f1 y f2. ___
La distancia focal: f1f2 = 2C.
____
El diámetro mayor: a____
a = 2A.
1 2
___
El diámetro
menor:
b
b = 2B. ___
___
___1 2
b2f2 + b2f1 = 2A 2b2f1 = 2A b2f1 = A A
a2
C
o
f2
f1
a1
B
A2 = B2 + C2
b2
C
C
__
Al cociente CA o __
A se lo denomina excentricidad. Como en la elipse C < A, entonces 0 ) A < 1.
En una circunferencia, C = 0, ya que los dos focos coinciden en el centro de la misma, por lo tanto
la excentricidad de la circunferencia es cero.
Cuanto más alejados están los focos del centro en una elipse, mayor es su excentricidad y se la ve
más “achatada”.
Ecuación de la elipse
Para determinar una elipse se necesitan conocer las coordenadas del centro y las medidas de los
diámetros. Ubicando la elipse en un sistema de ejes coordenados cartesianos, se obtiene la ecuación
de la misma.
y
El centro de la elipse es el punto (0;0).
y
f1
A
2
y
x2
__
+ __
=1
A2
B2
f2
B
0
f1
2
y
x2
__
+ __
=1
B2
A2
x
A
0
f2
El centro de la elipse está desplazado al punto (a;b).
y
(y – b)2
(x
– a)2
_______
+ _______
=1
A2
B2
b
B
f2
0
a
78
f1
A
x
B
x
de comprensión
Test
1. Respondan y expliquen las respuestas.
2
2
y
x
a. En la ecuación de la forma __
+ __
= 1 ¿qué curva se forma cuando A = B?
A2
B2
b. La distancia focal ¿es siempre menor que el diámetro mayor?
a. Una circunferencia. b. Sí.
21
ACTIVIDADES
Elipse
5. ¿Cuál es el gráfico que corresponde a la elipse
a.
y2
(x
– 2)2
_______
___
100 + 36 = 1?
X c.
b.
y
y
10
10
d.
y
y
6
6
–6
0 2
–4
8
0
x
6
x
0 2
–8
12
x
–2 0
–12
–6
8 x
–6
–10
–10
6. Tengan en cuenta la elipse de la actividad anterior y calculen lo pedido.
Distancia focal =
16
. Diámetro mayor =
20
12
. Diámetro menor =
.
7. Completen con la letra de la ecuación correspondiente.
(y – 5)2
y2 __
x2
___
B: 25
+ 4 =1
(x – 3)2
A: _______
+ _______
=1
4
16
a.
b.
(x – 5)2
c.
y
y
(y – 3)2
y2
2
x
___
D: 25
+ __
=1
4
C: _______
+ _______
=1
4
16
d.
y
y
9
5
2
5
5
3
–2
1 0
–1
1
5
9
0
–5
0
2
x
5 x
–2
x
0
–1
1
3
5 x
–5
C
B
8. Calculen 2la excentricidad de las siguientes elipses.
y
x2
___
a. ____
100 + 64 = 1
c = 6, entonces e = 0,6
A
D
2
y
x2
__
b. ___
25 + 9 = 1
c = 4, entonces e = 0,8
79
21
ACTIVIDADES
Elipse
9. Escriban las ecuaciones de las elipses.
a.
y
3,5
3
c.
y
5
2
4
1
2
–2
1
2
–3
–3,5
x
3
– 3)2
(x
+ 2)2 (y
_______
_______
+
=1
25
4
Ecuación:
b.
Ecuación:
y2
x2
_____
+ __
=1
12,25
4
d.
y
1
–1
2
3 4
x
2
–1
1
–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
1
–2 –1
3
5 6 7
y
x
3
–2
2
–3
1
–4
–4 –3 –2 –1
–5
+ 3)2
(x
– 4)2 (y
_______
+ _______
=1
9
4
Ecuación:
Ecuación:
–1
x
(y
– 1)2 (x
+ 2)2
_______
+ _______
=1
1
4
10. Completen con los elementos pedidos. Luego, grafiquen cada elipse en una hoja.
(y
– 3)2
(x + 2)2
_______
a. _______
=1
25 +
4
centro =
(y + 2)2
(x – 1)2
c. _______
+ _______
=1
9
36
(–2;3)
centro =
(1;–2)
__
___
a1 =
a2 =
(3;3)
(–7;3)
; b1 = (–2;5)
; f1 = (–2 + 321 ;3)
(–2;1)
(–2 – 321 ;3)
; b2 =
___
; f2 =
(y+ 1)2
(x
– 1)2
_______
b. ______
=1
25 +
4
a1 = (1;4)
a2 =
(1;–8)
; b1 = (4;–2)
; b2 =
(–2;–2)
__
; f2 =
(1;–2 – 3 . 33 )
(y – 2)2
(x – 3)2
d. _______
+ _______
=1
9
49
centro = (1;–1)
centro = (3;2)
___
___
80
; f1 = (1;–2 + 3 . 33 )
a1 = (1;4)
; b1 = (3;–1)
; f1 = (1;–1 + 321 )
a1 = (10;2)
; b1 = (3;5)
; f1 = (3 + 2 . 310 ;2)
a2 = (1;–6)
; b2 = (–1;1)
; f2 = (1;–1 – 321 )
a2 = (–4;2)
; b2 = (3;–1)
; f2 = (3 – 2 . 310 ;2)
___
___
21
ACTIVIDADES
Elipse
11. Grafiquen cada una___de las elipses y escriban las ecuaciones correspondientes.
a. a1 = (7;0); f1 = (333 ;0)
c. a1 = (3;7); a2 = (3;–3); f1 = (3;6)
y
y
5
4
3
2
1
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
Ecuación:
1 2 3 4 5 6 7
–1
–2
–3
–4
–5
7
6
5
4
3
2
1
x
–1
–2
–3
y2
x2
___
+ ___ = 1
49 16
Ecuación:
1 2 3 4 5 6 7
(y
– 2)2 (x
– 3)2
_______
+ _______
=1
25
9
__
b. a1 = (4;1); a2 = (–6;1); f2 = (–4;1)
d. b1 = (–2;7); b2 = (–2;–1); f1 = (–2 + 2 . 35 ;3)
y
y
7
6
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
Ecuación:
x
1 2 3 4 5 6 7
–1
–2
–3
–4
– 1)2
(x
+ 1)2 (y
_______
+ _______ = 1
25
16
x
–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
Ecuación:
–11 2 3 4 5
–2
–3
x
– 3)2
(x
+ 2)2 (y
_______
+ _______
=1
36
16
mente ACTIVA
Hallen la ecuación de la elipse sabiendo que el centro es (0;0), a1 = (6;0) y pasa por
__
el punto (4;35 ).
y2
x2 + __
___
=1
9
36
81
22
21
23
24
25
26
27
28
29
30
30
Parábola
INFOACTIVA
Se llama parábola al conjunto de puntos de un plano que equidistan de un punto fijo llamado foco
y de una recta llamada directriz.
{
____
___
P1f = P1d1
____
___
P2f = P2d2
P2
P1
f
D
d1
d2
Elementos principales de una parábola
D
El foco: f.
La recta directriz: D.
El vértice: v.
El eje: E.
La distancia del foco a la directriz: P.
E
v
f
P
Ecuación de la parábola
Para determinar una parábola se necesita conocer el valor de P y las coordenadas del vértice.
Si se ubica la parábola en un sistema de ejes coordenados cartesianos, se obtiene la ecuación de la misma.
El vértice de la parábola es el punto (0;0).
D
y
y
y2 = 2Px
x2 = 2py
f
f
x
x
D
a. y2 = 16x
D
b. y2 = –16x
y
y
c. x2 = 16y
d. x2 = –16y
y
y
D
4
D
4
–3
x
–4
4
x
–4
x
4
x
D
El vértice de la parábola está desplazado al punto (a;b).
y
(y – b)2 = 2P . (x – a)
D
P
b
a
82
f
x
–4
–4
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. El vértice de una parábola ¿está a la misma distancia del foco y de la directriz?
b. La recta directriz ¿es eje de simetría de una parábola?
a. Sí. b. No; el eje de simetría es perpendicular a la recta directriz y pasa por el vértice de la misma.
22
ACTIVIDADES
Parábola
12. Tengan en cuenta las parábolas y completen con la letra de la ecuación correspondiente.
a.
A: x2 = 6y; B: (y – 2)2 = 4 . (x + 3).
c.
y
y
6
0
–6
–3
3
6
x
3
6
x
0
–6
–3
b.
3
6
x
A
–6
d.
y
y
6
2
0
–6
–3
0
–6
–3 –2
2 3
6
x
–2
B
13. Escriban la ecuación de cada parábola y de cada recta directriz.
a.
b.
y
y
5
–3
0
–1
2
4
f
1
f
0
4
11
x
x
–3
Ecuación de la parábola: (y – 1)2 = 8 . (x – 2)
Ecuación de la parábola: (x – 4)2 = 16 . (y + 3)
Ecuación de la directriz: x = 0
Ecuación de la directriz: y = –7
14. Escriban la ecuación de cada parábola.
a. f = (0;3) y D: y = 1
b. f = (5;2) y D: x = –3
(y – 2)2 = 16 . (x – 1)
x2 = 4 . (y – 2)
Ecuación:
Ecuación:
83
23
22
24
25
26
27
28
29
30
31
32
Hipérbola
INFOACTIVA
Se llama hipérbola al conjunto de puntos de un plano, tales que el valor absoluto de la diferencia
de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante.
___
___
___
p1
___
| p1f1 – p1f2 | = | p2f1 – p2f2 |
f2
f1
p2
Elementos principales de una hipérbola
R1
El centro: o.
Los vértices: a1 y a2.
Los focos: f1 y f2. ___
La distancia focal: f1f2 = 2C.
____
El eje real: a1a2 = ____
2A.
El eje imaginario: b1b2 = 2B.
Las asíntotas R1 y R2, (rectas que, prolongadas indefinidamente, se acercan continuamente a
una curva sin llegar a encontrarla nunca).
b1
a2 o
f2
B
a1
A
b2
f1
C
R2
En la hipérbola se cumple que: C2 = A2 + B2.
C
Como en la hipérbola C > A, la excentricidad es mayor que uno __
A > 1 .
En una parábola C = A, por lo tanto la excentricidad de la parábola es uno.
(
)
Ecuación de la hipérbola
Para determinar la ecuación de una hipérbola se necesitan conocer las coordenadas del centro y los
valores de A y B. Si se ubica la hipérbola en un sistema de ejes cartesianos, se obtiene la ecuación de
la misma.
El centro de la hipérbola es el punto (0;0).
y
y2
x2
__
– ___
=1
A2
B2
y
y2
x2
__
– ___
=1
A2
B2
B
A
A
y = __ x
B
B
y = __ x
A
x
A
B
x
B
A
y = – __ x
A
y = – __ x
B
El centro de la hipérbola está desplazado al punto (a;b).
(y – b)2
(x
– a)2
_______
– _______
=1
A2
B2
y
b
B A
a
84
x
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. El eje real ¿siempre es paralelo al eje x?
b. ¿Cuántos ejes de simetría tiene una hipérbola?
a. No siempre; puede ser también paralelo al eje y. b. Tiene dos ejes de simetría.
23
ACTIVIDADES
Hipérbola
15. Marquen las respuestas correctas.
2
y2
x
__
¿Qué puntos pertenecen a la hipérbola __
9 – 4 = 1?
X b. (–3;0)
a. (0;–4)
___
2
X d. 310 ;– __
3
(
c. (–1;2)
)
16. Hallen la excentricidad de las siguientes hipérbolas.
(y
+ 1)2
(x – 4)2
_______
a. _______
25 = 1
64 –
y2
(x
+ 3)2
_______
b. ____
100 –
36 = 1
e = 1,18
e = 1,166
17. Escriban las ecuaciones de cada una de las siguientes hipérbolas.
a.
c.
y
y
4
2
–6
3
–3
x
–6
Ecuación:
–2
– 1)2
(x
+ 2)2 (y
_______
– _______
=1
9
16
Ecuación:
y2
x2 __
__
– 4 =1
9
b.
y
d.
y
–4
–1
Ecuación:
2
y2 __
__
– x1 = 1
4
x
3
–2
–2
1
1
x
x
(y
+ 2)2 (x
+ 1)2
_______
– _______
=1
25
9
Ecuación:
85
23
ACTIVIDADES
Hipérbola
18. Grafiquen las siguientes hipérbolas y completen.
a. a1 = (6;3) y b1 = (2;5)
b. a1 = (–1;1) y b1 = (–4;6)
y
6
y
5
3
3
1
–7
1
–5 –4 –3 –2
2
–1
–1
–4
x
x
6
–4
(
Centro =
A=
4
)
2 ; 3
Centro=
__
2
;B=
Ecuación:
2 . 35
;C=
A=
– 3)2
(x
– 2)2 (y
_______
_______
–
=1
4
16
( –4 ; 1 )
5
___
3
;B=
;C=
334
(y
– 1)2 (x
+ 4)2
_______
_______
–
=1
25
9
Ecuación:
19. Resuelvan.
a. Completen la siguiente tabla.
Centro
A
B
f1
f2
__
(0;0)
2
2 . 33
(4;0)
3
37
(2;1)
6
4
y2
x2 – ___
__
=1
4 12
(–4;0)
(4;0)
__
Ecuación de la hipérbola
(4;4)
y2 (x
– 4)2
__
– _______
=1
7
9
2
(y
– 1)2
(x
– 2)
_______
_______
–
=1
36
16
(4;–4)
___
___
( 2 + 2 . 313 ;1 )
(2 – 2 . 313 ;1 )
b. Grafiquen las hipérbolas del punto a.
–2
y
y
3
3
1
1
0
2
x
0
y
5
4
1
x
–4
–3
86
0
2
8 x
23
ACTIVIDADES
Hipérbola
20. Tengan en cuenta la ecuación 4x2 – 9y2 = 144 y resuelvan.
Sí; representa una hipérbola.
a. ¿Representa una hipérbola?
b. En caso de serlo, hallen la ecuación de la hipérbola y la distancia focal.
Ecuación:
y2
x2
___
___
–
16 = 1
36
___
Distancia focal:
4 . 313
21. Hallen la ecuación de la hipérbola que cumpla con las condiciones pedidas en cada caso. Luego,
grafiquen.
a. Un vértice es (8;0) y un foco es (10;0).
b. Eje real: 8; eje imaginario: 6; un foco es (–6;–3).
Ecuación:
y2
x2
____
___
100 – 36 = 1
Ecuación:
y
(y
+ 3)2
(x
+ 1)2
_______
_______
=1
9
16 –
y
6
–5
2
–8
–2 0
2
8
x
–1 0
3
x
-3
–6
-6
mente ACTIVA
Hallen las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola cuyos vértices son a1 = (3;–1) y
b1 = (–1;1).
3
1
1
1
__
__
__
y = __
2 x – 2; y = – 2 x – 2
87
INTEGRACIÓN
22. Completen la tabla y grafiquen.
26. Indiquen el centro, los vértices y los focos.
Luego, grafiquen las elipses. a. C: (–3;0),
Centro
Radio
Ecuación de la circunferencia
(0;0)
5
x2 + y2 = 25
(2;–3)
4
(x – 2)2 + (y + 3)2 = 16
__
(–1;4)
37
(x + 1)2 + (y – 4)2 = 7
(–3;0)
3
(x + 3)2 + y2 = 9
___
(5;–2)
2
2
(x –5) + (y + 2) = 15
315
a1 = (–3;4), a2 = (–3;–4),
b1 = (–1;0), b
__2 = (–5;0),
__
f1 = (–3;2 . 33 ), f2 = (–3;–2 . 33 ).
b. C: (–3;4),
(y
– 4)2
(x
+ 3)2
a1 = (4;4), a2 = (–10;4),
_______
_______
b. 49 + 36 = 1
b = (–3;10), b2 = (–3;–2),
___
___ 1
f1 = (–3 + 313 ;4), f2 = (–3 – 313 ;4).
y2
(x
+ 3)2
_______
a. ___
+
=1
4
16
27. Escriban las ecuaciones de las siguientes
elipses.
6
a.
23. Escriban la ecuación canónica de cada circunferencia.
C1: x2 + (y + 2)2 = 9
C2: (x – 2)2 + (y – 3)2 = 25
y
1
–7
8
–1
x
–6
b.
1
0
–1
y2
(x
+ 4)2
_______
___
+
=1
9
36
3
–3
–4
1 2 3
4
6 7 x
–2
1
–4
24. Hallen la ecuación canónica de las circunfe-
–3
–1 0 1
–1
–2
2
7
x
(y
– 1)2
(x
– 2)2
_______
_______
=1
9
25 +
rencias y determinen el centro y el radio. Luego,
28. Escriban las ecuaciones de cada parábola y
grafiquen.
a.
2
2
de
cada directriz.
2
2
a. x + y – 2x – 6y – 2 = 0 (x – 1) + (y – 3) =__12
y
C:
(1;3);
R
=
2
.
3
.
3
a.
b. x2 + y2 + 8x + 4y + 4 = 0
2
2
c. x2 + y2 – 10y + 16 = 0 b. (x + 4) + (y + 2) = 16
5
(y –2)2 = –8 . (x – 1)
C: (–4;–2), R = 4.
c. x2 + (y – 5)2 = 9; C: (0;5), R = 3.
D: x = 5
25. Marquen las opciones correctas.
f
v
¿Cuáles de las siguientes ecuaciones corresponden a elipses?
2
0
y2
2
b.
(x – 4)2 = –6 . (y – 2)
D: y = 5
2
y
x
X c. – ____
– ____
= –1
0,49
0,16
v
2
1
–1 0 1
–1
88
x
–3
x
__
a. – ___
25 + 4 = 1
X b. 9x2 – 1 = –25y2
2
–1
4
f
9
x
capítulo
CONTENIDOS
4
20*21*22*23
29. Escriban las ecuaciones de cada parábola y
33. Marquen las opciones correctas.
luego grafíquenlas.
a. f = (0;2) y D: y = 4 a. x2 = –42 . (y – 3).
b. (y – 2) = 8 . (x – 3).
b. v = (3;2) y D: x = 1 c. (x + 4)2 = –6 . (y – 1).
c. v = (–4;1) y f = (–4;–2)
¿Cuáles de las siguientes ecuaciones corresponden a
una cónica? Indiquen de qué cónica se trata.
a. x2 + y2 – 4x = x2 – y2
X b. x . (x –3) + 6 . (y + 1) = –y2
30. Marquen las opciones correctas.
¿Cuáles de los siguientes puntos pertenecen a la
parábola (x – 1)2 = 16 . (y + 3)?
(–2;5)
X (5;–2)
__
(0;4 . 33 )
X (1;–3)
31. Escriban las ecuaciones de cada hipérbola.
a.
y2
2
– 1)2
(x
– 2)2 (y
_______
– _______
=1
4
16
x
__
X c. ____
100 – 1 = – 4
X d. (y + 1)2 – 4 . (x – 1) = 0
X e. 36y2 = 4 . (x2 – 1)
34. Completen los gráficos con la letra de la
ecuación correspondiente.
A: y2 = –8x
D: y2 = 8x
(y – 1)2
(x – 2)2
B: _______
– _______
=1
9
4
3
a.
4
3
2
1
1
2
–2
6
x
–2
–2 –1 0 1
–1
–2
y
(y
+ 3)2 (x
– 1)2
_______
– _______
=1
1
9
2 3 4
5 6
x
F
y
1
–1
(y – 1)2
(x – 2)2
E: _______
– _______
=1
9
4
(y – 1)2
(x – 2)2
C: (x –2)2 + (y – 1)2 = 9 F: _______
+ _______
=1
9
4
y
b.
b.
Circunferencia.
c. Elipse.
d. Parábola.
e. Hipérbola.
2
x
3
2
1
b.
–3
–3 –2 –1 0
–1
–2
–3
–6
1
2 3
x
A
32. Grafiquen las siguientes hipérbolas, escriban
c.
las ecuaciones de las mismas e indiquen los
valores del centro, de A, B y C.
(y
+ 1)2
– 3)2
_______
_______
a. a1 = (8;–1) y b1 = (3;2) a. (x
–
= 1;
9
25
b. a1 = (–2;4) y b1 = (0;0) o: (3;–1);
A
=
5;
B
=
3;
___
.
c. a1 = (4;3) y b1 = (1;4) C =y2334(x
– 2)2
b. ___ –__ _______
= 1;
4
16
o: (–2;0),
A = 4; B2 = 2; C = 2 . 35 .
___
(y
– 3)
(x – 1)2
_______
c. _______
–
= 1; o: (1;3); A = 3; B = 1; C = 310 .
1
9
y
3
1
0
–2
2
5
x
–2
B
89
capítulo
4
AUTOEVALUACIÓN
Marquen las opciones correctas
35. ¿Cuál es la expresión canónica de la ecuación x2 + y2 + 4x – 10y + 20 = 0?
a. (x + 2)2 + (y – 5)2 = 20
X b. (x + 2)2 + (y – 5)2 = 9
c. (x – 5)2 + (y + 2)2 = 9
d. Ninguna de las anteriores.
36. ¿Cuál es la ecuación de la elipse cuyo semidiámetro mayor coincide con el radio de la circunferencia x2 + y2 – 6x – 4y – 12 = 0, el centro coincide con el centro de la misma y uno de los focos es (7;2)?
(y
– 2)2
(x – 3)2
_______
X a. _______
=1
25 +
9
(y
– 2)2
(x – 3)2
_______
c. _______
=1
25 +
4
(y
– 2)2
(x – 3)2
_______
b. _______
=1
25 –
9
d. Ninguna de las anteriores.
y2
x2
____
___
+
225
81 = 1?
37. ¿Cuál es el valor de la excentricidad de la elipse
a. 1,25
X c. 0,8
b. 0,6
d. Ninguna de las anteriores.
38. ¿Cuál es la ecuación de la siguiente parábola?
3
2
1
f
–4 –3 –2 –1 0 1
–1
–2
–3
2 3 4 5 6
7 8 9
x
v
a. (x – 3)2 = –12 . (y + 2)
X c. (x – 3)2 = 12 . (y + 2)
b. (x + 3)2 = 12 . (y – 2)
d. Ninguna de las anteriores.
39. ¿Cuál gráfico corresponde a la hipérbola
(y – 4)2
(x
– 3)2
_______
– _______
= 1?
4
16
X b.
a.
c.
d.
y
y
y
8
y
7
6
5
4
3
2
1
4
–1
1
3
5
x
–2 –1
6
5
4
3
2
1
7
x
–1
3
2
8
x
–1
4
6
x
40. En la hipérbola de vértices a1 = (7;2) y b1 = (1;10), ¿cuál es el valor de C?
__
a. 2 . 37
90
X b. 10
c. 6
d. Ninguna de las anteriores.
Contenidos
5
24. Funciones.
25. Función inversa.
26. Interpretación y análisis
de gráficos.
27. Función lineal.
28. Función cuadrática.
29. Ecuaciones cuadráticas.
30. Sistemas de ecuaciones lineales.
31. Sistemas de ecuaciones mixtos.
Las ecuaciones lineales y cuadráticas se conocen desde la Antigüedad:
los babilonios ya sabían cómo resolverlas y los griegos las emplearon
en diversos problemas geométricos. Pero fue recién en los tiempos
modernos cuando se empezó a pensar en tales ecuaciones a partir del
contexto más general de la teoría de funciones. En esta construcción
tuvo un rol fundamental un ilustre personaje que vivió en Italia en el
siglo XVII: se trata de Galileo, quien se basó en los principios de
Euclides como forma de entender el mundo. En sus estudios sobre el
movimiento de los cuerpos aparece “lo cuadrático” como modelo de
la variación de la posición respecto del tiempo. Para Galileo, la parábola ya no es tan solo un objeto geométrico sino, fundamentalmente,
un punto que se mueve; a partir de allí, el estudio matemático de la
naturaleza estuvo siempre basado en las funciones y sus propiedades.
1. Lean atentamente y respondan.
a. ¿Por qué les parece que las funciones matemáticas son importantes para
entender el mundo?
b. ¿Por qué Galileo considera la parábola como un punto en movimiento?
a. Para estudiar los distintos fenómenos se emplean modelos que se basan en relaciones
matemáticas.
b. Porque no le interesaba tanto la parábola como objeto matemático estático sino más
bien como parte de sus estudios acerca del movimiento de los cuerpos.
capítulo
Funciones
24
23
25
26
27
28
29
30
31
32
33
Funciones
INFOACTIVA
Una función es una relación entre dos variables en la cual a cada valor de la primera
(independiente) le corresponde un único valor de la segunda (dependiente).
El conjunto dominio de la función ( Df ) está formado por los valores que puede tomar la variable independiente. El conjunto codominio ( Cf ) está formado por todos los valores que puede tomar la variable
dependiente.
El conjunto imagen ( Im ) es un subconjunto del codominio formado por los valores que toma la función.
La imagen de x a través de la función f se denota con la expresión y = f(x).
f: A → B es función de A en B ⇔ ∀ x ∈ A: ∃! y ∈ B / y = f(x)
(∀ : “para todo”; ∃! : “existe un único”.)
La representación gráfica de una función es el conjunto de todos los puntos (x;y), para los cuales (x;y) es
un par ordenado de f.
Clasificación de funciones
Una función es inyectiva si y solo si a elementos distintos del dominio les corresponden imágenes
distintas en el codominio.
∀ x ∈ A: x1 ≠ x2 ⇒ f(x1) ≠ f(x2) ⇔ ∀ x ∈ A: f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2
f es inyectiva si no existe una recta paralela al eje x que pase por dos puntos de f.
f no es inyectiva si existe una recta paralela al eje x que pase por dos puntos de f.
Una función es sobreyectiva si y solo si a todo elemento del codominio le corresponde una preimagen
en el dominio.
∀ y ∈ B: ∃ x ∈ A / y = f(x)
Una función es biyectiva si y solo si es inyectiva y sobreyectiva.
Las siguientes funciones están definidas de [–3;5] → [–2;3]
y
3
0
–6
–3
1 2 3 4 5
x
–2
y
5
4
3
2
0
–6
1 2 3 4 5
–3
–2
92
x
f no es inyectiva porque existe una recta A, paralela al eje x, que
pasa por dos puntos de la función f.
f es sobreyectiva porque a todo elemento del codominio [–2;3]
le corresponde una preimagen en el dominio [–3;5].
f no es biyectiva porque no es inyectiva.
f es inyectiva porque no existe una recta A, paralela al eje x, que
pase por dos puntos de la función f.
f es sobreyectiva porque a todo elemento del codominio [–2;4]
le corresponde una preimagen en el dominio [–3;5].
f es biyectiva porque es inyectiva y sobreyectiva.
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. En una función ¿el codominio está incluido en la imagen o es al revés?
b. ¿Es cierto que si el conjunto codominio es igual al conjunto imagen, la función es sobreyectiva?
a. Es al revés.; b. Sí, porque significa que cada elemento del conjunto codominio tiene una preimagen.
24
ACTIVIDADES
Funciones
1. Marquen las opciones correctas.
¿Cuáles gráficos corresponden a una función de
a. X
b.
y
→ ?
c.
d. X
y
y
y
x
x
x
x
2. Escriban el dominio y la imagen de las funciones representadas en cada gráfico.
a.
c.
e.
y
y
y
2
1
2
x
–2
0
–1
1
2
x
–1
0
–2
; Im =
Df =
Df =
b.
d.
–2
x
; Im = [2;+')
; Im = {2}
Df =
f.
y
y
y
5
3
–2
0
2
0
1
2
3
4 x
x
–2
0
–2
–4
1
3 x
–3
–4
–2
Df = [–2;1]
1
–1
; Im = [–2;3]
Df =[–4;–2) F [0;3]
; Im = [–2;0] F (2;5]
Df =
+
; Im = (–';0)
93
24
ACTIVIDADES
Funciones
3. Hallen el dominio de cada función.
3
a. f(x) = _____
1 –x
__
2
Df =
5–x
b. f(x) = _______
x2 – 25
Df =
e. f(x) = 3x + 4
Df =
f. f(x) = ln( 5x –2 )
Df =
1
– __
2
{ }
– { 5;–5 }
c. f(x) = x2 – 25
Df =
g. f(x) = –e5x
Df =
h. f(x) = ln( 3x )x
Df =
( __52;+')
x__– 2
d. f(x) = _______
2
3x – 9
Df =
+
(–';–3) F (3;+')
4. Completen con las imágenes pedidas en cada caso.
1
a. f(x) = ______
x2 + 5
1
__
f(–2) = 9
f __51 =
( )
25
____
126
1
___
f(–5) = 30
__1
b. g(x) = _______
2
–2
3x __
__
2
– 1
g( –32 ) = – 3___
2
g(–2) = No está definida.
g(0) =
94
1
– __
2
______
c. h(x) = log(3x)
e. n(x) =3x2 + 4
h(–3) =
n(–4) = 2 . 35
h __31 =
0
10
h ___
3 =
1
( )
__
n(0) =
2
__
( )
n(1) =
35
d. m(x) = e–3x
f. p(x) = 2– x + 1
m – __31 = e
p(–1) = 4
( )
m __31 =
( )
__1
e
p(1) =
1
m(0) =
1
p(2) =
1
__
2
24
ACTIVIDADES
Funciones
→ .
5. Marquen las opciones correctas. Tengan en cuenta que son funciones definidas de
a. ¿Cuáles funciones son inyectivas?
X
y
y
y
x
x
y
x
x
b. ¿Cuáles funciones son sobreyectivas?
X
X
y
y
y
x
x
y
x
x
c. ¿Cuáles funciones son biyectivas?
X
y
y
x
y
x
y
x
x
mente ACTIVA
Definan un dominio y un codominio para que las funciones sean biyectivas.
a. f(x) = x2
c. h(x) = __x1
1
2
b. g(x) = x + 1
d. i(x) = _____
x+1
Solución a cargo del alumno.
95
25
24
26
27
28
29
30
31
32
33
34
Función inversa
¿Para qué sirve?
INFOACTIVA
PÁGINA 7
Dada f: A → B / y = f(x) se puede obtener una función inversa f –1: B → A / x = f –1(y) que solo existe
en el caso de que la función f sea biyectiva.
Para obtener la fórmula de la función inversa, se debe realizar un cambio de variables.
f:
→
/ f(x) = 2x – 5
y
2
0
–4
f es inyectiva porque no existe una recta A paralela al
eje x que pase por dos puntos de la función f.
f es sobreyectiva porque a todo elemento del codominio
le corresponde una preimagen en el dominio.
f es biyectiva porque es inyectiva y sobreyectiva.
4 x
y+5
5
1 y + __
= x ⇒ x = __
y = 2x – 5 ⇒ _____
2
2
2
Realizando el cambio de variable se obtiene la función inversa.
→
f –1:
–5
5
1 x + __
/ f –1(x) = __
2
2
Las representaciones gráficas de dos funciones inversas son simétricas respecto de la función y = x.
f:
→
/ f(x) = x3 – 2 y f –1:
→
_____
3
/ f –1(x) = 3
x+2
y
f(x) = x3 – 2
5
f(x) = x
_____
3
f –1(x) = 3
x+2
0
–2
5
–5
96
x
de comprensión
Test
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Si f(x) = 3x + 2, ¿cuánto vale f –1(2)? ¿Y f –1(5)?
b. ¿Es cierto que f(x) = – __31 x y g(x) = 3x son funciones inversas?
4
a. f –1(2) = – __ y f –1(5) = 1; b. No, porque la inversa de f(x) sería f –1(x) = –3x.
3
25
ACTIVIDADES
Función inversa
6. Marquen las opciones correctas.
¿En cuáles de los siguientes gráficos están representadas funciones inversas?
a. X
–2
b.
c.
d.
y
y
y
y
2
2
4
2
1
1
0
–1
1
x
2
1
0
–1
–1
–1
–2
–2
1
x
0
–1
1
2
3
x
–1
0
–2
4 x
–1
–3
c. Una de las curvas no es función.
7. Determinen un dominio para cada función de manera que se pueda obtener la función inversa.
Luego, hallen la inversa de cada función e indiquen su dominio.
a. f(x) = 3x – 6
f –1(x) =
1x+2
__
3
;
b. g(x) = 4x + 2
g –1(x) =
x_____
–2
4
;
c. h(x) = 2x2 + 3
Df =
d. k(x) = x3
Df =
k –1(x) =
–1
x–3
2
3 _____
e. l(x) = 3x + 1
Dg =
l –1(x) =
–1
+
Dh =
–1
[3;+')
; Dk =
–1
_____
Dh =
;
3 __
3x
Dg =
x2 – 1
Dl =
m –1(x) =
(_______
x – 1 )2
2
[–1;+∞)
; Dl =
[0;+∞)
Dm =
[0;+∞)
; Dm =
[1;+∞)
–1
___
f. m(x) = 32x + 1
_____
h –1(x) =
Dk =
–1
97
26
25
27
28
29
30
31
32
33
34
35
Interpretación y análisis de gráficos
INFOACTIVA
Analizar el gráfico de una función consiste en describir el comportamiento de la misma.
Se debe tener en cuenta:
La continuidad y el dominio.
Las variables que relacionan la función.
Intersecciones con los ejes, máximos y mínimos.
Intervalos de crecimiento, de decrecimiento y constantes.
Distancia (en m)
y
t El siguiente gráfico representa a qué distancia
(en metros) se encuentra una persona de su casa
en función del tiempo transcurrido.
500
400
300
200
100
0
1
3
13
15 x
5
7
9
11 13
Tiempo (en meses)
15 x
5
7
9
11
Tiempo (en min)
a. ¿Cuáles son las variables independiente y dependiente?
La variable independiente es el tiempo y la dependiente es la distancia.
b. ¿Cuál es el dominio de la función?
Es una función continua definida para 0 ≤ x ≤15.
c. ¿Dónde se encuentra la persona en x = 0?
La persona se encuentra en su casa.
d. ¿En qué momento alcanza la máxima distancia a su casa?
En el minuto 4.
e. En algún momento ¿la distancia se mantiene constante?
Sí, entre el minuto 6 y el 10.
f. ¿Cuáles son los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función?
La función crece en (0;4) y decrece en (4;6) y (10;15).
Ganancia (en $)
y
t El siguiente gráfico representa la ganancia
mensual (en $) de una empresa.
50.000
40.000
30.000
20.000
10.000
0
1
3
a. ¿Cuáles son las variables independiente y dependiente?
La variable independiente es el tiempo y la dependiente es la ganancia.
b. ¿Cuál es el dominio de la función?
Es una función discontinua definida para 1 ≤ x ≤ 12 ∧ x ∈ ∧ x : tiempo en meses.
c. ¿En qué mes se obtuvo la mayor ganancia? ¿Y la menor?
En el mes 7 ($50 000). En el mes 1 ($10 000).
d. ¿En qué meses obtuvo la misma ganancia?
En los meses 6, 9 y 10 ($40 000) y en los meses 5 y 8 ($45 000).
98
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Según la convención, ¿es cierto que la variable independiente siempre se coloca en el eje x y la
dependiente, en el eje y?
b. En un intervalo de crecimiento, ¿se representan valores correspondientes al eje x o al eje y?
a. Sí, es correcto. b. En cada intervalo se representan los valores de x en los cuales la función crece.
26
ACTIVIDADES
Interpretación y análisis de gráficos
8. En el siguiente gráfico se representa la altura de un avión desde que sale del aeropuerto de Salta
hasta que llega al aeropuerto de Buenos Aires.
a. Completen las coordenadas del gráfico.
Altura (m)
y
10 000
8 750
6 250
0
1
__
6
1
__
3
1
__
2
5
__
6
1
7
__
6
3
__
2
13
___
6
x
Tiempo (h)
b. ¿Cuál es la variable independiente? ¿Y la dependiente?
Variable independiente: tiempo; variable dependiente: altura.
c. ¿Cuánto tiempo duró el viaje?
2 horas y 10 minutos.
d. ¿Cuál fue la altura máxima? ¿Cuánto tiempo tardó en llegar a esa altura?
10 000 m; 30 minutos
e. ¿Cuántas veces voló a una altura constante? ¿Cuánto tiempo voló a esa altura?
Voló dos veces a una altura constante. En total, 40 min.
f. ¿Cuántas veces estuvo a 4 km de altura? 2 veces.
g. ¿A qué altura estaba luego de 1 hora y 10 minutos de viaje? ¿Y luego de 2 horas?
A 10 000 m de altura. A 2 500 m de altura.
h. ¿En qué momentos ascendió? ¿Y cuándo descendió? Escriban los intervalos de crecimiento y de
decrecimiento.
Ascendió durante la primera media hora y desde 1 h hasta 1 h 10 min. Descendió desde los 50 min hasta 1 h
5
7
3 ___
13
1
__
__
__
y desde 1 h 30 min hasta 2 h 10 min. Crece en 0;__
2 y 1; 6 . Decrece en 6 ;1 y 2 ; 6 .
( ) ( )
( ) (
)
i. ¿Cuál fue la distancia total del viaje?
No se puede saber cuál fue la distancia total del viaje porque lo que se representa en el gráfico es la altura.
99
27
26
28
29
30
31
32
33
34
35
36
Función lineal
INFOACTIVA
Una función lineal es aquella de la forma f(x) = ax + b, siendo a y b números reales.
Los coeficientes principal e independiente de la función reciben los nombres de pendiente y ordenada
al origen, respectivamente.
La representación gráfica de una función lineal es una recta.
La pendiente de una recta es el cociente entre la variación de la variable dependiente (Δy) y la
variación de la variable independiente (Δx) de cualquier punto de la misma.
y2 – y1
Δy
___
a = ______
x – x = Δx
2
1
La ordenada al origen es el valor donde la recta interseca al eje y.
y
f(0) = b
y2
Δy
y1
Δx
b
0
x1
x2
x
Ecuaciones de la recta
La ecuación de una recta se puede expresar de distintas formas.
Ecuación explícita
Ecuación implícita
Ecuación segmentaria
y
x
__
__
y = ax + b
cx + dy + e = 0
m + n = 1
↑ ↑
Abscisa al origen. Ordenada al origen.
Dos rectas son paralelas si y solo si sus pendientes son iguales.
M: y = a1x + b1 ∧ P: y = a2x + b2 ∧ M // P a1 = a2
Dos rectas son perpendiculares si y solo si sus pendientes son inversas y opuestas.
1
M: y = a1x + b1 ∧ N: y = a2x + b2 ∧ S N a1 = – __
a
2
Las siguientes fórmulas permiten encontrar la ecuación de una recta.
Dada su pendiente (a) y un punto que pertenece a la misma ( x1;y1 ).
Dados dos puntos que pertenecen a la misma ( x1;y1 ) y ( x2;y2 ).
100
y – y1 = a . (x – x1 )
y – y1
x – x1
______
______
y2 – y1 = x2 – x1
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Es cierto que en y = x + __21 , la ordenada al origen es __21 y la pendiente es 0?
b. ¿Es cierto que las rectas y = – __31 x e y = 3x + __31 son perpendiculares?
1
a. La ordenada al origen sí es __
2 , pero la pendiente es 1.
b. Sí.
27
ACTIVIDADES
Función lineal
9. Marquen las opciones correctas.
¿Cuáles de las siguientes funciones tienen pendientes negativas?
a. X f(x) = –3x + 2
f(x) = __31 x – 5
b.
c. X f(x) = – __32 x – __41
d.
f(x) = 7x – 1
10. Completen con la función correspondiente a cada gráfico.
f(x) = 2x + 2; g(x) = 2x – 2; h(x) = –2x + 2; i(x) = –2x – 2
a.
b.
c.
y
y
1
–2
–2
0
–1
1
0
–1
y
1
1
2
d.
y
1
x
2
2
0
–1
–1
–1
–2
–2
2
1
1
x
x
2
–1
–1
h(x) = –2x + 2
g(x) = 2x – 2
0
1
2
x
2
x
–1
i(x) = –2x – 2
f(x) = 2x + 2
11. Escriban la fórmula correspondiente a cada una de las funciones.
a.
b.
y
c.
y
4
–2
–1
2
3
6 x
0
–1
f(x) = –0,5x + 3
1
2
x
1
–1
1
–2 0
–2
y
0
2
2
d.
y
1
2
–2
x
0
–1
–1
–3
–1
–2
–4
–2
f(x) = 4x – 2
f(x) = –2x – 4
1
f(x) = x
12. Grafiquen las siguientes funciones lineales.
b. f(x) = __45 x – 4
a. f(x) = – __21 x + 5
5
y
y
1 2 3 4 5 6
-1
2
4
6
8
10
x
x
-4
101
27
ACTIVIDADES
Función lineal
13. Escriban la ecuación explícita y segmentaria de cada una de las rectas.
a.
b.
c.
y
y
y
y
1
1
1
2
0
–1
d.
1
2
3
0
x
1
2
1
4 x
3
–1
0
2
3
x
d. G: y = __23 x – __32 ; H: y – __23 x = __23
G
//
H
–1
–1
1
–1
0
–1
1
2
x
–2
–2
2x–2
y = __
3
1x+1
y = – __
4
y=2
1
y = __
2x–1
y
x + ___
__
=1
3 –2
y __
x
__
1 + 4 =1
y
__
2 =1
y
x + __
__
=1
2 –1
–2
–1
14. Hallen la ecuación segmentaria de las rectas dadas.
a. y = – __31 x – 3
b. y = –4x + __51
c. y = __32 x – __34
d. y = – __25 x + 2
e. y = –4
x +
___
–9
x
____
0,05
y
___
=1
–3
y
+ ___
=1
0,2
y
x + __
___
=1
0,8 2
y
___ = 1
–4
y
x ___
__
=1
2 + __
4
–3
15. Relacionen las tres ecuaciones que definen a la misma recta.
a. y = –3x + 3
b. y = –3x – 3
c. y = 3x – 3
d. y = 3x + 3
y
e. __x1 + ___
=1
y–3
f. __x1 + __3 = 1
y
x
__
g. __
–1 + 3y = 1
x
___
h. __
–1 + –3 = 1
i. y – 3x – 3 = 0
j. y + 3x – 3 = 0
k. y + 3x + 3 = 0
l. y – 3x + 3 = 0
a con f y j.; b con h y k.; c con e y l.; d con g e i.
16. Hallen la ecuación de la recta, teniendo en cuenta las condiciones pedidas.
a. La ecuación segmentaria de una recta cuya pendiente es – __31 y pasa por el punto (–2;–1).
y
x
___
1 = ___
–5 + – 5
__
3
b. La ecuación segmentaria de una recta que pasa por los puntos (2;2) y (–2;–8).
y
x + ___
__
=1
6 –3
__
5
17. Completen con // o ⊥ según corresponda, cuando sea posible.
102
a. A: y = – __21 x + 2; B: y = 2x – 5
A
B
b. C: y = 7x + __31 ; D: y = __71 x – 2
C
D
e. I: y + 4x = __21 ; J: y = – __41 x – 2
I
c. E: y = –5x – 4; F: y = –5x + __41
E
F
f. K: y + __43 x = –5; L: __34 x = y – 2
K
//
J
L
27
ACTIVIDADES
Función lineal
18. Hallen la ecuación de la recta pedida según las condiciones dadas.
a. Una recta que pasa por el punto (4;3) y es paralela a y = –2x + 2.
y = –2x + 11
b. Una recta que pasa por el punto (2;–1) y es perpendicular a y = __51 x – 3.
y = –5x + 9
19. Hallen gráfica y analíticamente la ecuación de la recta solicitada.
a. Una recta paralela a A y que pase por el
punto (4;–2).
c. Una recta perpendicular a C que pase por el
origen de las coordenadas.
y
A
y
4
3
2
1
4
3
2
1
C
–5 –4 –3 –2 –1 0 1
–1
–2
–3
2 3 4 5
–5 –4 –3 –2 –1 0 1
–1
–2
–3
x
2 3 4 5
x
y = – __41 x – 1
y = – __21 x
b. Una recta paralela a B que pase por el
punto (1;1).
d. Una recta perpendicular a D que pase por el
punto (0;2).
y
y
4
3
2
B
1
–5 –4 –3 –2 –1 0 1
–1
–2
–3
y=
2x – 1
4
3
2
1
D
2 3 4 5
x
–5 –4 –3 –2 –1
–1
–2
–3
y=
0 1
2 3 4 5
x
1
__
2x+2
mente ACTIVA
a. ¿Cuántas rectas perpendiculares a otra se pueden trazar? Infinitas.
b. ¿Cuántas rectas paralelas a otra y que pasen por un punto determinado se pueden
trazar? Una.
c. ¿Cuántas rectas que pasen por dos puntos determinados se pueden trazar? Una.
103
28
27
29
30
31
32
33
34
35
36
37
Función cuadrática
¿Para qué sirve?
INFOACTIVA
PÁGINA 8
A la función polinómica de segundo grado f(x) = ax2 + bx + c, siendo a, b y c números reales y a ≠ 0,
se la denomina función cuadrática.
Los términos de la función reciben los siguientes nombres: f(x) = ax2 + bx + c
Término cuadrático
Término independiente
Término lineal
La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola.
Gráfica de la parábola
Para realizar el gráfico de una parábola, f(x) = ax2 + bx + c, se deben calcular los elementos de la
misma y luego representarla.
Raíces de la parábola.
Son los puntos de intersección de la parábola con el eje x. Es decir, cuando f(x) = 0.
________
–b ± 3b2 – 4ac
x1;2 = ______________
2a
y
(Δ = b2 – 4ac) ← Discriminante
Vértice de la parábola.
Las coordenadas del vértice son: v = ( xv;f(xv ) )
Ordenada
al origen
Raíz x1
x1 + x2
xv = ______
2
–b
xv = ___
2a
Vértice
7
6
5
yv = f(xv)
Punto simétrico
a (0;4)
3
2
1
–2 –1
–1
–2
Raíz x2
1 2 3
4 5 6 7 8
x
Eje de simetría
Eje de simetría.
Es la recta que tiene por ecuación x = xv.
Ordenada al origen.
Es el punto de intersección de la parábola con el eje y. Es decir, cuando f(0) = c.
Ecuación polinómica, canónica y factorizada
La función cuadrática puede ser expresada de distintas formas.
Se desarrolla el cuadrado de un binomio.
Polinómica
f(x) = ax2 + bx + c
Se aplica la propiedad distributiva.
Se buscan las raíces.
Canónica
f(x) = a . (x – xv)2 + yv
104
Se busca el vértice.
Factorizada
f(x) = a . (x – x1 ) . (x – x2 )
de comprensión
Test
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. En una función cuadrática, ¿qué valores puede tomar el discriminante para que tenga dos raíces
reales? ¿Y para que tenga solo una? ¿Y para que no tenga ninguna?
b. Si una función cuadrática tiene raíces complejas, ¿corta al eje x en algún punto?
a. Para que tenga 2 raíces reales, Δ > 0; para que tenga una sola, Δ = 0
y para que no tenga ninguna, Δ < 0. b. No.
28
ACTIVIDADES
Función cuadrática
20. Completen con el ítem de la función correspondiente en cada caso.
b. y = (x + 1)2
a. y = x2 + 1
y
–2
d. y = (x – 1)2
c. y = x2 – 1
y
y
y
3
3
3
3
2
2
2
2
1
1
1
1
0
–1
1
x
2
–2
0
–1
–1
1
x
2
–2
0
–1
–1
1
2
x
–2
0
–1
–1
b.
1
2
x
–1
d.
a.
c.
21. Marquen las opciones correctas.
a. ¿Cuál es la parábola que corresponde a la función y = x2 – 2x + 2?
X
y
–2
y
y
3
3
3
1
2
2
2
1
1
1
0
–1
y
2
x
1
–1
–1
–2
0
1
–1
2
x
–1 0
–1
1
2
x
–1
0
1
2
x
–1
b. ¿Cuáles de las siguientes funciones tienen raíces reales?
X y = –4x2 + 2x
y = –3x2 – 2
y = x2 – 2x + 6
y = x2 + 5
22. Tengan en cuenta el gráfico de la función y escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda.
y
–1
3
a. Δ < 0 F
2
b. Tiene raíces reales. V
1
c. Alcanza su valor mínimo en el vértice. F
0
–1
1
2
3
4 x
d. Crece en el intervalo (–∞;2). V
e. Tiene ordenada al origen negativa. V
–2
105
28
ACTIVIDADES
Función cuadrática
23. Completen la siguiente tabla. Luego, grafiquen las funciones en una hoja.
a
b
c
Vértice
Eje de
simetría
Raíces
reales
Ordenada
al origen
Conjunto
imagen
y = __21 x2 – 8
y = x2 + 5x + 4
1
__
2
0
–8
(0;–8)
x=0
4y–4
(0;–8)
[–8;+')
1
5
4
(–2,5;–2,25)
x = –2,25
–4 y –1
(0;4)
[–2,25;+ ')
y = –3x2 + 6x
–3
6
0
(1;3)
x=1
0y2
(0;0)
(– ';3]
y = –x2 + 2x – 3
–1
2
–3
(1;–2)
x=1
No tiene.
(0;–3)
(– ';–2]
Función
24. Hallen la fórmula correspondiente a cada gráfico.
a.
c.
e.
y
y
y
4
1
1
–3
–2
0
–1
1
x
3
0
–1
–1
–1
–2
–2
–3
–3
–4
–4
1
2
3
x
2
1
–2
0
–1
1
x
2
–1
y = x2 + 2x – 3
y = 4x2 – 16x + 12
b.
y = –4x2 + 4
d.
f.
y
y
y
5
2
1
4
1
–1
1
–1
–2
–3
2
3
3
–1
1
–3
106
3
2
1
–2
–4
y = –2x2 + 6x – 4
2
–1
–1
1
–1
3
1 2
__
y = – __
2x +x+ 2
y = 3x2 – 6x + 5
2
x
28
ACTIVIDADES
Función cuadrática
25. Hallen la forma polinómica, canónica y factorizada de las siguientes funciones cuadráticas.
a. El coeficiente principal es __41 y tiene raíces en x = –2 y x = 6.
1 x2 – x – 3; y = __
1 . (x – 2)2 – 4; y = __
1 . (x + 2) . (x – 6)
y = __
4
4
4
b. El coeficiente principal es –2 y tiene raíces en x = – __21 y x = __41 .
2
1
1
1
__
__
y = –2x2 – __
2 x + 4 ; y = –2 . x + 8
(
)
9
1
1
__
+ ___
; y = –2 . x + __
2 . x– 4
32
(
)(
)
c. El coeficiente principal es –1 y el vértice es (–2;1).
y = –x2 – 4x – 3; y = – (x + 2)2 + 1; y = – (x + 3) . (x + 1)
d. El coeficiente principal es __52 y el vértice es (3;–1).___
(
)(
___
13 __
10
10
2 2 ___
12
2
2
3___
3___
___
__
2
y = __
5 x – 5 x + 5 ; 5 . (x – 3) – 1; y = 5 . x – 3 – 2 . x – 3 + 2
)
26. Grafiquen las funciones de la actividad anterior en un mismo par de ejes coordenados. Luego, escriban el máximo o el mínimo y el intervalo de crecimiento y de decrecimiento de cada función.
a. Máx =
; Mín =
y
6
5
4
3
2
1
–6 –5 –4 –3 –2 –1
c.
–1
–2
–3
–4
–5
–6
Crece:
(2;+')
b. Máx =
d.
Crece:
01
2 3 4 5 6
b.
; Decrece:
(2;–4)
(–';2)
9
( __81 ;___
32 )
; Mín =
( –';__81 ) ; Decrece: ( __81 ;+' )
x
c. Máx =
(–2;1)
a.
Crece:
(–';–2)
d. Máx =
Crece:
; Mín =
; Decrece:
; Mín =
(3;+')
; Decrece:
(–2;+')
(3;–2)
(–';3)
mente ACTIVA
En la función y = __21 x2 + bx + c, la distancia entre las raíces es 6 y xv = –1.
Hallen los valores de b y de c.
b = 1; c = –4
107
INTEGRACIÓN
27. Clasifiquen las siguientes funciones.
30. Calculen el dominio de cada función.
y
a. f: [–3;3] → [–3;3]
3
2
1
Sobreyectiva
–3 –2 –1
–1
–2
–3
0 1
2 3
x
a. f(x) = –3x + __31
1 (–3;+')
_____
e. f(x) = ______
b.
f(x) = x2 – 4
f. f(x) = 3x + 1
3x + 3
_____
3
2x
+5
x
______
______
c.
f(x) = x + 3
– {–3} g. f(x) = 4x – 1
_____
d. f(x) =
1
– __
4
{ }
1
x + __21 – __1 ;+' h. f(x) = ___
3 __
2
3x
3
[
)
– {0}
31. Hallen la función inversa de cada función.
b. f: [–3;3] → [–3;3]
y
3
2
1
Inyectiva
–3 –2 –1 0 1
–1
–2
–3
2 3
x
28. Indiquen el dominio y el codominio para que
cada gráfico represente una función.
a.
y
4
3
2
1
–4 –3 –2 –1 0 1
–1
–2
–3
2 3 4 x
_____
a. f(x) = __51 x + 8
d. f(x) = 3x + 3
b. f(x) = 5x2 – 2
e. f(x) = x3 – 1
+2
______
c. f(x) = 3x
2x + 1_______
f. f(x) = 33 x + 2 (x – 2)3
__
_____
3
1
2
x–2
__
______
2
a. 5x – 40; b. __
5 x + 5 ; c. 3 – 2x ; d. x – 3; e. 3x + 1
3
32. El siguiente gráfico representa la recaudación
por entradas vendidas según el tipo de ubicación,
para un festival durante un fin de semana.
Precios por ubicación:
Súper Pullman (filas 1 a 16): $400.
Pullman: $250.
Campo: $200.
Cabecera: $100.
Recaudación
(en miles)
y
300
Df =
[–4;4]
; Co =
[–2;4]
200
b.
y
150
4
3
2
1
–4 –3 –2 –1
–1
–2
–3
Df =
[–1;2]
100
1
; Co =
2 3 4 x
Valor de
la entrada
0
100
[–2;3]
29. En la actividad anterior, ¿cuántos dominios
diferentes se pueden hallar? ¿Y codominios?
Un único dominio e infinitos codominios.
108
250
200 250 300
400
x
a. ¿Cuál es la variable dependiente? ¿Y la independiente? Recaudación y valor de entrada.
b. ¿Cuál es el dominio? Dom = {100;200;250;400}
c. ¿Qué ubicación tuvo mayor recaudación?
d. ¿Cuál fue la recaudación del fin de semana?
e. ¿Cuántas entradas de cada ubicación se venc. Campo. d. $900 000.
dieron?
e. Súper Pullman: 500; Pullman: 1 000; Campo: 1 500;
Cabecera: 1 500.
capítulo
CONTENIDOS
5
24*25*26*27*28
33. Hallen la ecuación explícita de la recta que
37. Escriban fórmulas que puedan representar a
tenga la pendiente y pase por el punto dado en
cada caso.
y = 2x + 3
a. Pendiente: 2; a = (1;5)
y = –2
b. Pendiente: 0; a = (3;–2)
1
__
y = –5x
c. Pendiente: –5; a = – 5 ;1
3
3
__
y = __
d. Pendiente: 2 ; a = (2;–4)
2x–7
y = –4x + 5
e. Pendiente: –4; a = __21 ;3
las funciones.
a.
(
4
3
2
1
)
( )
d.
1
– __
3
4
2 ; d. y = – __
1
c. y = __
x – __
2x–3
3
3
36. Hallen lo pedido para cada una de las
siguientes funciones. Luego, grafíquenlas.
Dominio, imagen, raíces, vértice, eje de
simetría, crecimiento, decrecimiento y
máximo o mínimo.
a. – __21 x2 + 3x – __25
b. x2 + 2x + 3
c. 2x2 + 3x – 4
d. –(x + 1)2 + 2
e. (3x – 12) . (x – 5)
f. – __21 x2 + 4x
Por ejemplo, a. Df = ; Im = (–∞;2]; x1 = 1; x2 = 5;
v(máx) = f(3) = 2; eje: x = 3; C: (–∞;3); D: (3;+∞).
x
y
f(x)
4
3
2
1
8
con las condiciones pedidas en cada caso.
Luego, grafiquen.
a. La recta que pasa por el punto (–2;1) y es
paralela a la recta y = – __31 x + 3. y = – __31 x + __31
b. La recta que pasa por el punto (4;–3) y es
23
paralela a la recta y = __52 x. y = __52 x – ___
5
c. La recta que pasa por el punto (–1;–2) y es
perpendicular a la recta y = – __43 x + 5.
d. La recta que es perpendicular a la recta
y = 2x – __21 y pasa por el punto (–2;–2).
2 3
b.
+ 1 = 1; e. 1 + –4 = 1
__
35. Hallen la ecuación de la recta que cumpla
Pueden ser:
f(x) = x2 + 1
g(x) = x2
h(x) = x2 – 3
f(x)
–3 –2 –1 0 1
–1
h(x) –2
–3
34. Hallen la ecuación segmentaria de la recta
que pase por los puntos dados en cada caso.
y
x ___
__
a. a = (2;4); b = (1;–1) a. __6 + __1 = 1;
–
6 y
5
b. a = (–1;1); b = (3;4)
x + __
b. ___
7 =1
7
__
c. a = (2;–3); b = (–4;1)
– 3 __
4
y
x + ___
c. ___
=1
d. a = (5;2); b = (–3;–1)
5
5
__
– 2 – __
3
e. a = (1;0); b = (2;4) ___
y
x
x
__
__x ___
g(x)
y
–3 –2 –1 0 1
–1
–2
38. Escriban
corresponda.
g(x)
2 3 4 5
h(x)
Pueden ser:
f(x) = (x + 1)2
g(x) = x2
h(x) = (x – 3)2
x
V (Verdadero) o F (Falso) según
a. Si el coeficiente principal de una función
cuadrática es positivo, el vértice de la función
es un mínimo. V
b. Si una función tiene raíces complejas, el gráfico corta al eje x en un solo punto.
F
c. El intervalo de crecimiento representa todos
los puntos donde la función es positiva.
F
d. Si las raíces de una función cuadrática son
–2 y 6, el eje de simetría es x = 4. F
e. Para calcular el eje de simetría de una función cuadrática, se suman las raíces y se divide
por dos.
V
109
29
28
30
31
32
33
34
35
36
37
38
Ecuaciones cuadráticas
INFOACTIVA
Una ecuación de segundo grado es aquella cuya forma general es:
ax2 + bx + c = 0 ∧ a D ∧ b D ∧ c D ∧ a ≠ 0
Ecuaciones incompletas
Si b = 0, la ecuación de segundo
grado es incompleta de la forma ax2 + c = 0.
__
2
Se debe tener en cuenta que 3x = | x | cuando está igualado a un número real positivo.
2
9 =0
2x2 – ___
50
x +5=0
– __
3
9
x2 = ____
100
1 x2 + 1 = 0
__
9
x2 = 15
____
__
9
3x2 = ____
100
3
| x | = ___
10
3 ; x = – ___
3
x1 = ___
10 2
10
__
3
x2 = –9
___
___
x ; x D ⇒ x = 3–9
3x2 = 315
___
|
___
___
x1 = 315 ; x2 = –315
__
x = ± i . 39
x | = 315
x1 = 3 i; x2 = –3 i
Si c = 0, la ecuación de segundo grado es incompleta de la forma ax2 + bx = 0.
Se debe tener en cuenta que: m . n = 0 m = 0 ∨ n = 0
2
2x2 – 4x = 0
x + __
1x = 0
– __
5 2
2x = 0
–5x2 – __
3
2x . (x – 2) = 0
1 x + __
1 =0
x . ( – __
2)
5
2 =0
–x . ( 5x + __
3)
=0
{2x
x–2=0
{
x1 = 0; x2 = 2
5
x1 = 0; x2 = __
2
x=0
1 x + __
1=0
– __
2
5
{
–x = 0
2=0
5x + __
3
2
x1 = 0; x2 = – ___
15
Ecuaciones completas
Si la ecuación es completa, o sea que ninguno de sus coeficientes es nulo, los valores de x que la
verifican se hallan aplicando la siguiente fórmula.
________
–b ± b2 – 4ac
3
x1;2 = ______________
2a
Δ > 0 ⇒ x1 D
∧ x2 D
2
–3x + 7x – 4 = 0
________________
__
–(7) ± 3(7)2 – 4 . (–3) . (–4) –7
± 31 = ______
–7 ± 1 ⇒ x = __
4; x = 1
x1;2 = _______________________
= _______
1
–6
3 2
–6
2 . (–3)
Δ = 0 ⇒ x1 D
∧ x2 D
–2x2 + 8x – 8 = 0
________________
x1;2
–(8) ± 3(8)2 – 4 . (–2) . (–8)
= _______________________
2 . (–2)
Δ < 0 ⇒ x1 D
__
± 30 = __
8=2 ⇒x =x =2
_______
= –8
2
1
4
–4
∧ x2 D
5x2 + 6x + 5 = 0
______________
2
____
–(6) ± 3(6) – 4 . (5) . (5) –6
± 3–64 = –6
± 8 i ⇒ x = – __
3 – __
3 + __
4 i; x = – __
4i
_______
x1; x2 = _____________________
= _________
1
10
5 5 2
5 5
10
2 . (5)
110
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Es correcto decir que 0x2 es igual a x2?
b. ¿Es cierto que si el discriminante es menor a cero, la ecuación no tiene solución?
a. No, porque 0x2 = 0 y x2 = 1x2. b. No tiene solución en el conjunto de los números reales, pero sí tiene
solución en el conjunto de los números complejos.
29
ACTIVIDADES
Ecuaciones cuadráticas
39. Resuelvan las siguientes ecuaciones.
a. x2 – 5 = 15
d. x2 + 6 = –x2 + 4x
x2 = 20
2x2 – 4x + 6 = 0
___
|
x | = 320
__
__
__
x1 = 2 . 35 ; x2 = –2 . 35
__
x1 = 1 + 32 i; x2 = 1 – 32 i
e. x2 + x = 4 + __31 x
b. 4x2 – x = 2x
2x–4=0
x2 + __
3
4x2 – 3x = 0
x . (4x – 3) = 0
___
___
37
37
1 + 3____
1 – 3____
x1 = – __
; x2 = – __
3
3
3
3
3
x1 = 0; x2 = __
4
f. (x – 3)2 = 16
c. (2x – 1) . (x + 3) = –3
2x2 + 6x – x – 3 = –3
2x2 + 5x = 0
x . (2x + 5) = 0
x2 – 6x + 9 = 16
5
x1 = 0; x2 = – __
2
x1 = 7; x2 = –1
x2 – 6x – 7 = 0
40. Planteen la ecuación y resuelvan sabiendo que la solución es negativa.
a. El cuadrado del siguiente de un número, aumentado en el triple de dicho número, es igual a 1.
¿Cuál es ese número?
(x + 1)2 + 3x = 1
x2 + 2x + 1 + 3x = 1
x . (x + 5) = 0
x = –5
b. El anterior del cuadrado de un número desconocido aumentado en su cuádruple da como resultado el doble del mismo número. ¿Cuál es ese número?
x2 – 1 + 4x = 2x
__
x2 + 2x – 1 = 0
x = –1 – 32
41. Simplifiquen y resuelvan la ecuación.
3
1
__1
__
2
– __
5 . (–10x + 3x) = 5 . – 5 x – 1 . (–x + 1) – 5x
(
)
3
3
__
2x2 – __
5 x = (–x – 5) . (–x + 1) – 5 x
2x2 = x2 – x + 5x – 5
x2 – 4x + 5 = 0
x1 = 2 + i, x2 = 2 – i
111
30
29
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36
37
38
39
Sistemas de ecuaciones lineales
INFOACTIVA
Clasificación de los sistemas
Un sistema de ecuaciones lineales es aquel que posee al menos dos ecuaciones lineales.
Los sistemas de ecuaciones lineales se clasifican de la siguiente manera.
Sistema Compatible Determinado (SCD): tiene una única solución. Las rectas se cortan en un punto.
Sistema Compatible Indeterminado (SCI): tiene infinitas soluciones. Las rectas son coincidentes.
Sistema Incompatible (SI): no tiene solución. Las rectas son paralelas.
Métodos para la resolución analítica de un sistema
Sustitución: se despeja una de las variables en una de las ecuaciones y luego se la reemplaza en la otra.
Igualación: se despeja de ambas ecuaciones la misma incógnita y luego se igualan las ecuaciones.
Sumas y restas: se multiplica una de las ecuaciones por un número de manera que, mediante una
suma o una resta de ecuaciones, se cancele uno de los términos con variable.
{
4 x – 5y = __
1
__
3
2
2
– __
x + 2y = 7
3
+
4 x + 4y = 14
⇒ – __
3
4 x – 5y = __
1
__
3
2
4 x – 5.
__
3
29
1 – ___
4 x = __
__
3
2 10
4 x = –72
__
3
4 x + 4y = 14
– __
3
29 ⇒ y = – ___
29
0x – y = ___
2
2
.2
29 = __
1
(– ___
2 ) 2
x = –54
{
S: (–54;–
145
____
2
)}
Determinantes: para resolver un sistema de ecuaciones lineales, se pueden usar determinantes.
Un determinante se resuelve de la siguiente manera:
a b
=a.d–c.b
c d
Para resolver un sistema se utiliza la regla de Cramer:
{
e b
f d
ax + by = e
cx + dy = f
a e
c f
.d – f .b
= e__________
a .d – c .b
x=
a b
c d
Por ejemplo,
{
1 x + 3y = 2
__
2
4 y = –3
–2x + __
3
2 3
4
–3 __
3
x=
=
1
__
2
3
4
–2 __
3
112
4 – (–3) . 3
2 . __
3
____________
4 – (–2) . 3
1 . __
__
2 3
a .f – c .e
= ___________
a .d – c .b
y=
a b
c d
35
___
3 = __
7
___
= 20
___ 4
3
1 2
__
2
–2 –3
y=
=
1 3
__
2
4
–2 __
3
1 . (–3) – (–2) . 2
__
2
______________
1 . __
4 – (–2) . 3
__
2 3
3
7 ;__
S: ( __
4 8)
{
5
__
3
2 = __
= ___
20 8
___
3
}
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
{
y = x2 + 1
a. ¿Cuántas soluciones tiene el siguiente sistema? y = x2 – 1
b. ¿Es correcto decir que un sistema compatible siempre tiene una única solución?
a. No tiene solución.
b. No, porque puede tener infinitas soluciones. En ese caso, sería compatible indeterminado.
30
ACTIVIDADES
Sistemas de ecuaciones lineales
42. Marquen las opciones correctas.
a. ¿Cuáles de los sistemas tienen como solución al punto (–2;3)?
X
{x2x=+1 y– =y –1
–y=3
{–3x
x−y=5−y
{–y−4 == 7x –+ 2x2y
{xx –+ y1 == –5−y
b. ¿Cuáles de los sistemas son compatibles determinados?
{xx =– yy =– 57
+ 3y = 1
{–2x
6y = 2 + 4x
X
{2xx −=24=+−2yy
{2x−3y– +8 2x= 3y= 10
43. Determinen los valores de k para que el sistema cumpla la condición en cada caso.
{
–2x + ky = 2
4x − 5y = k
5
__
a. SCD k ≠ 2
5
__
c. SI k = 2
b. SCI No existe.
44. Resuelvan los sistemas por el método de sustitución.
{ x – 2y = 6
a. 2x + 5y = 3
S: {(4;–1)}
{
–4x – 2y = __1
b. –4x – y = 72
S:
{ ( – ___278 ;___132 ) }
{
– __3 x = –9 + 3y
c. 6x2 – 6y = –18
S: {(0;3)}
d.
{
5
2
__
__
6x – 4y = 3
1
__
1 – 2 y = – __65 x
No tiene solución.
113
30
ACTIVIDADES
Sistemas de ecuaciones lineales
45. Resuelvan los sistemas por el método de igualación.
a.
{
3
1
__
__
2 x – 2 y = –6
. (x – 3y)
3__________
= –18
2
Infinitas soluciones. S:
{
4x
– 3y
_______
= 15
b. –2x–3+ y = –20
S:
105
{ ( ____
2 ;85 ) }
c.
{ ( x;__3x + 4 ) }
{
S:
d.
{
S:
5x + __72 = –4y + 2
–y + 1
–6x + 1 = ______
2
109
40 ____
;
{ ( ____
371 371 ) }
7x + __51 y = –3x + __41
2
1
__
__
5 y + 5x = – 4
5
1 ;– __
{ ( ___
20 4 ) }
46. Resuelvan los sistemas por el método de sumas y restas.
a.
{
1
__
2x –
1
__
5y =
4
__
5 y = –3
2 – __21 x
S: {(2;5)}
{
3
__
x + __1 y = y – 8
4
4
b. 2y
–8+x=0
S:
114
40 ___
; 56
{ ( – ___
9 9 )}
{
4x = 5y + 1
c. 4 . (x – 3) = 5 . (y – 1)
No tiene solución.
d.
{
S:
3x – __21 y = –1
4x
–2
______
–2=y–1
5
17 ___
;– 25
{ ( – ___
26 13 ) }
30
ACTIVIDADES
Sistemas de ecuaciones lineales
47. Planteen los sistemas y resuelvan.
a. Un quiosquero ahorra monedas de $0,50 y $0,10 para poder dar vuelto. Si hay 850 monedas de
esos valores por un total de $225, ¿cuántas monedas tiene de cada una?
x + y = 850
{ 0,50x
+ 0,10y = 225
S: {(350;500)}
Tiene 350 monedas de $0,50 y 500 monedas de $0,10.
b. Las edades de Camila y Florencia suman 105 años, pero Florencia tiene 13 años menos que
Camila. ¿Cuántos años tiene cada una?
{ xx ++ 13y ==105y
S: {(46;59)}
Florencia tiene 46 y Camila 59.
48. Resuelvan aplicando el método de determinantes.
{
{ –12y = –12 – 2x
– __1 y + 5 = –2x
a. x 4– 4y = 2x – 5
S:
{
c. x – 2 = 6y
25 ___
20
{ ( – ___
11 ; 11 ) }
No tiene solución.
{
8
– 10y
_______
=x
Infinitas soluciones. S:
–2
y = 5 + x_____
d. 2x = y + 44
b. –x +2 4 = 5y
+4
{ ( x;–x______
5 )}
S:
34 ___
40
{ ( ___
7 ; 7 )}
mente ACTIVA
Determinen el valor de a y b para que el siguiente sistema cumpla con las condiciones pedidas en cada caso.
{xax– =ayy= b
a. SCD a ≠ ( 1, b D
b. SCI a = (1, b = 0
c. SI a = (1, b ≠ 0
115
31
30
32
33
34
35
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38
39
40
Sistemas de ecuaciones mixtos
INFOACTIVA
Los sistemas de ecuaciones formados por una ecuación de primer grado y otra de segundo, o por
dos ecuaciones de segundo grado, se denominan sistemas mixtos.
Intersección entre parábolas y entre parábolas y rectas
Para reconocer cuántas soluciones tiene un sistema mixto, se analiza el discriminante (Δ) de la ecuación
cuadrática que surge de resolver el sistema por el método de igualación o sustitución.
Δ>0
Dos puntos
de intersección.
Δ=0
Un punto
de intersección.
y
Sistema formado por una
recta y una parábola.
y
x
{
y = mx + d
y = ax2 + bx + c
La recta es tangente
a la parábola.
y = ax2 + bx + c
y = dx2 + ex + f
x
La recta es exterior
a la parábola.
y
y
{
y
x
La recta es secante
a la parábola.
Sistema formado por
dos parábolas.
Δ<0
Ningún punto
de intersección.
y
x
x
x
tHallen las soluciones del sistema formado por una ecuación de primer grado y otra de segundo.
{
2 x–3
y = __
3
1 x = __
1 ⇒ 2 . __
2y – 3x2 – __
( 23 x – 3 ) – 3x2 – __13 x = __12 ⇒ –3x2 + x – __76 = 0
3
2
7 = –13 < 0 ⇒ La solución no es real; no se intersecan en ningún punto.
Δ = 12 – 4 . (–3) . – __
6
( )
tHallen las soluciones del sistema formado por dos ecuaciones de segundo grado.
{
7 x + ___
17
y = –x2 – __
2
2
1 x2 – __
1 x – 14
y = __
2
2
7 x + ___
17 = __
1 x2 – __
1 x – 14
–x2 – __
2
2
2
2
Se igualan las ecuaciones.
3 x2 + 3x – ___
45 = 0
__
2
2
Se resuelve la ecuación cuadrática obtenida.
_______________
3 . – ___
45
____
–3 ± 32 – 4 . __
2
2
–3
± 3144
_____________________
__________
x1;2 =
=
3
3
2 . __
2
3
116
(
)
⇒ x1 = 3; x2= –5
Se reemplaza en alguna de las ecuaciones originales para obtener el valor de y en cada punto.
7 . 3 + ___
17 = –11 ⇒ y = –11
x1 = 3 ⇒ y1 = –32 – __
1
2
2
S: {(3;–11); (–5;1)}
7
17
__
___
2
x2 = –5 ⇒ y2 = –(–5) – 2 . (–5) + 2 = 1 ⇒ y2 = 1
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Un sistema mixto formado por una recta y una parábola, ¿puede tener infinitas soluciones?
b. ¿Es cierto que para saber cuántas soluciones tiene un sistema mixto de dos ecuaciones cuadráticas,
se debe analizar el discriminante de cada una?
a. No. Porque para que suceda eso, las ecuaciones deben ser equivalentes.
b. No; hay que analizar el discriminante de la ecuación cuadrática que surge de igualar ambas ecuaciones.
ACTIVIDADES
Sistemas de ecuaciones mixtos
31
49. ¿Cuáles de los siguientes sistemas no tienen puntos de intersección?
{ yy –= 1–x= +2x4
2
{ yy =+ 2xx –= 41
2
{
y + x2 = 16
y = x2 – 8x + 15
X
{
y = x2 – 8x + 15
y + x2 = 4
50. Calculen cuántas soluciones tiene cada uno de los sistemas.
a.
{ xx +– y2==3y
2
d.
Dos.
b.
{
{
3
__
2y = x + 1
2
y = –5x + 2
y – 2 = __41 x
y + 3 = __31 x2
Dos.
y = –2x2 + 1
1 2
__
2x + 1 = y
Uno.
e.
Dos.
c.
{
{
y = –x2 + 6x – 9
y = 3x2 + 5x – 1
Ninguno.
f.
{
y = __21 x2 – 4x + 6
y = __81 . (x – 4)2
Dos.
117
31
ACTIVIDADES
Sistemas de ecuaciones mixtos
51. Determinen los valores de k para que cada sistema tenga la cantidad de soluciones indicadas.
{
{
y = 5x2 – 10x
a. y = –6x – k
4
k < __
5
Dos soluciones:
Una solución:
y = 4x2 – 2x
b. y = 2x2 + k
4
k = __
5
Ninguna solución:
1
k > – __
2
Dos soluciones:
1
k = – __
2
Una solución:
4
k > __
5
Ninguna solución:
1
k < – __
2
52. Completen con el ítem correspondiente en cada caso.
a.
{
y = __41 x2 + __43 x – 1
y = – __21 x + 2
{
y = (x + 2)2 – 1
b. y = –x2 + 3
c.
c.
{
y = __41 x2 – __43 x – 1
y = __21 x + 2
{
y = (x – 2)2 – 1
d. y = x2 + 3
a.
2 3 4 x
1
d.
y = (x – 2)2 – 1
1
2 3 4 x
y
–2 –1
–1
–2
4
3
2
1
1
–2 –1
–1
–2
2 3 4
h.
x
–4 –3 –2 –1
–1
–2
2 3 4 x
2 3 x
1
2 x
y
4
3
2
1
1
1
b.
y
4
3
2
1
2 3 4 x
y = (x + 2)2 – 1
e.
y
1
{
h. y = x2 + 3
y
f.
4
3
2
1
{
y = __41 x2 – __43 x – 1
y = – __21 x + 2
4
3
2
1
–4 –3 –2 –1
–1
–2
y
118
{
g.
f. y = –x2 + 3
y
4
3
2
1
–2 –1
–1
–2
{
y = __41 x2 + __43 x – 1
y = __21 x + 2
g.
y
4
3
2
1
–2 –1
–1
–2
e.
–4 –3 –2 –1
–1
–2
4
3
2
1
1
2 x
–4 –3 –2 –1
–1
–2
ACTIVIDADES
Sistemas de ecuaciones mixtos
31
53. Resuelvan en forma analítica los siguientes sistemas. Luego, verifiquen los resultados realizando
los gráficos correspondientes en una hoja.
a.
{
y = 3x2 – 3x – 3
y = 3x – 6
d.
S: {(1;–3)}
b.
{
e.
No tiene solución.
{
)
(
)}
{
y = –2x2 – 6
y = 4x2 + 2x + 2
No tiene solución.
2
y = – __32 x – 1 + 2
c.
y = – __31 x + 1
15 __
;– 1
S: (0;1); ___
4 4
{
y = 2x2 + 4x – 4
y = –(x – 3)2 – 1
No tiene solución.
y = – __51 x + __51
y = __51 x2 + __53 x + __57
(
{
f.
{
y = 3x2 + 1
y = (x – 1)2
S: {(0;1);(–1;4)}
mente ACTIVA
Encuentren la ecuación de una recta que tenga el vértice y la ordenada al origen de
y = x2 – 2x + 5. Luego, realicen el gráfico del sistema.
y = –x + 5
119
INTEGRACIÓN
54. Escriban V (Verdadero) o F (Falso).
58. Hallen los valores de b para que la siguiente
a. Si el discriminante de una ecuación cuadrática
V
es negativo, las soluciones son complejas.
b. Si el discriminante de una ecuación cuadrática
es cero, la solución es única.
V
ecuación tenga las soluciones pedidas en cada
caso.
x2 + bx = – 25
b < –10 ∨ b > 10
a. Dos soluciones.
b = 10 ∨ b = –10
b. Una solución.
c. Ninguna solución. –10 < b < 10
c. En una ecuación cuadrática que no tiene término lineal, una de sus soluciones es cero.
F
55. Marquen las opciones correctas.
2
X x = 8x
X (x – 5) . (–x + 1) = 3
2
2
3 − 4x = 4 . (–x + 3)
b. ¿Cuáles son las soluciones de la ecuación
x2 + x – 6?
x 1 = 2 y x2 = 3
X x = 2 y x = –3
1
2
x1 = −2 y x2 = 3
x1 = −2 y x2 = −3
56. Relacionen cada ecuación con su solución.
a. x2 – 25 = 0
e. x1 = 5 y x2 = 5
b. (x – 5)2 = 0
f. x1 = –5i y x2 = 5i
c. (x + 5)2 = 0
g. x1 = 5 y x2 = –5
d. –x2 – 20 = 5
h. x1 = –5 y x2 = –5
a. y g.; b. y e.; c. y h.; d. y f.
57. Resuelvan las siguientes ecuaciones.
___
a. __21 . (x – 2)2 – 5 = 0 x = 2 ± 310
___
x = –2 ± 310
b. (x + 2)2 = 10
___
1
x = 2 ± 310 i
c. __2 . (x – 2)2 = –5
___
x = –2 ± 310 i
d. (x + 2)2 = –10
e. 7x . (–x + 2) = –3 + 2 . (x2 + x)
f. 7x . (x – 2) = –3 + 2 . (–x2 – x)
g. 7x . (x + 2) = 3 + 2 . (x2 – x)
h. 7x . (–x__ – 2) = 3 + 2 . (–x2___+ x)
± 379
2 ± 37
1 ; g. –8
1
________
e. _______
; f. 1 y __
; h. –3 y – __
5.
5
3
3
120
analítica y gráfica. Luego, clasifíquenlos.
{ 2x – y = 4
a. x – 3y = 6
a. ¿Cuáles de las siguientes expresiones son
ecuaciones cuadráticas?
X 2x2 – x2 + 5 = 3x
59. Resuelvan los siguientes sistemas de forma
b.
c.
{
{
3x = y – __41
1
__
3y + 1 = x
( __56;– __58 )
SCD
No tiene solución.
SI
8y + 16 = 7x Infinitas soluciones.
y + 2 = __87 x SCI
7
S: x;__
8x – 2
{(
)}
60. Planteen y resuelvan los sistemas.
a. Eduardo y Cintia comparten una cuenta en el
banco de $14 300. Si Eduardo tiene el 25% de
lo que tiene Cintia aumentado en $3 000,
¿cuánto dinero del depósito le corresponde a
cada uno? Cintia $9 040 y Eduardo $5 260.
b. ¿Cuál es la amplitud de los ángulos de un
triángulo acutángulo e isósceles, si la diferencia
entre el ángulo mayor y el menor es 30°?
c. La suma de un número y el doble de otro es
igual al triple de cuatro, y la diferencia entre el
quíntuplo del primero y el doble del segundo
es igual a la mitad de 96. ¿Cuáles son esos
x + 2y = 12, 5x – 2y = 96 : 2
números? x = 10, y = 1.
d. Unos amigos fueron al cine con sus hijos. La
entrada para los adultos costaba $45 y la de
los menores, $30, siempre cada uno.
Compraron una gaseosa por adulto a $18 cada
una y un paquete de pochoclos por niño a $20
cada uno. Si en las entradas gastaron $495 y
en las consumiciones $270, ¿cuántos adultos y
cuántos niños fueron al cine?
b. 70°, 70°, 40° o 80°, 50°, 50°. d. 45x + 30y = 495,
18x + 20y = 270; adultos: 5, niños: 9.
capítulo
CONTENIDOS
29*-30*-31
62. Escriban V (Verdadero) o F (Falso).
61. Marquen las opciones correctas. Luego,
resuelvan los sistemas analíticamente.
¿Cuál gráfico representa a cada sistema?
a.
{
5
a. Un sistema es compatible determinado si
y = __41 x – 1
y = x2 – x – __43
tiene infinitas soluciones. F
b. Un sistema formado por ecuaciones de rec-
X
tas paralelas es incompatible. V
y
S:
4
3
2
1
{(
15
3 __
1;– __
; 1 ;– ___
4 4 16
)(
)}
c. Un sistema formado por dos ecuaciones de
rectas secantes tiene infinitas soluciones.
F
d. En un sistema mixto formado por una ecua-
–4 –3 –2 –1 0 1
–1
–2
2 3 4
x
ción lineal y otra cuadrática, si el discriminante
de la ecuación cuadrática es cero, el sistema
tiene solución única.
y
e. En un sistema mixto formado por dos ecua-
1
–4 –3 –2 –1 0 1
–1
–2
–3
–4
{
F
2 3 4
x
ciones cuadráticas, si el discriminante de una
de las ecuaciones es positivo, el sistema tiene
dos soluciones. F
63. Hallen el conjunto solución de los sistemas,
y = –x2 – 4x – 2
de forma analítica y gráfica.
b. y = –(–x + 1)2 – 1
{ y = x + 2x + 3
2
X
y
S: { (0;–2) }
2
1
a. y = –2x + 3
b.
–4 –3 –2 –1 0 1
–1
–2
–3
–4
2 3 4 x
c.
{
e. {
y = 5x2 – __25 . (x + 1)
No tiene solución.
y = __54 x – 4
2
– 2x + 1
y = x__________
3
y = – __32 x + __31
3
2
1
f.
{
S:
{ ( 0;__31 ) }
y = x2 + 3
d. y = 5x2 + 3
y
01
–4 –3 –2 –1
–1
–2
–3
–4
{
{
S: {(0;3);(–4;11)}
S: {(0;3)}
y = –x2 + 4x – 6
y = x2 + 2
No tiene solución.
y = x2 + x – 6
y = – __51 x . (x – 29)
S: {(5;24);(–1;–6)}
2 3 4 x
121
capítulo
5
AUTOEVALUACIÓN
Marquen las opciones correctas
64. ¿Cuáles son los gráficos que pueden corresponder a una función biyectiva?
X b.
a.
y
c.
y
x
d.
y
x
y
x
x
65. ¿Cuáles son las funciones que tienen la ordenada al origen indicada?
a. – __45
y = – __45 x + __45
5
X y = – __
4 x – 1,25
5
5
__
X y = __
4x – 4
b. __32
y = – __31 . (x + 2)2 + __32 X y = __31 . (x + 1)2 + __31
y = – __31 x2 – __32
y = –1,26x + 1,25
X y = – __1 . (x + 2)2 + 2
3
66. Lean atentamente y respondan.
Un día de examen se dispuso utilizar un cierto número de aulas. Si se ubicaban 21 alumnos por
aula, faltaban 13 asientos; pero si se ubicaban 24 alumnos por aula, quedaban libres 8 asientos.
Se pide la cantidad de alumnos presentes y aulas utilizadas ese día.
a. ¿Cuál es el sistema que representa la situación?
21x – 13 = y
{ 24x
+y=8
21x + 13 = –y
{ 24x
−y=8
21x – 13 = y
{ 24x
+ y = −8
X
21x + 13 = y
{ 24x
−y=8
b. ¿Cuál es la solución del problema?
x = 15; y = 328
X x = 7; y = 160
x = 9; y = 173
x = 5; y = 92
67. Respondan.
a. ¿Cuál es el sistema que se corresponde con el siguiente gráfico?
y
2
1
0 1
–4 –3 –2 –1
–1
–2
–3
–4
{
y = –x2 – 2
y = −x2 + 4x – 4
2 3 4 x
{
y = –x2 – 2
y = −x2 – 4x – 4
X
{
y = –x2 + 2
y = −x2 + 4x – 4
{
y = –x2 + 2
y = −x2 – 4x – 4
b. ¿Cuál es la solución del sistema?
X
122
( __23;– __41 )
( __41 ;– __23 )
( __32;– __41 )
( __41 ;– __32 )
6
Contenidos
32. Función polinómica.
33. Análisis de la función
polinómica.
34. Función racional.
35. Representación gráfica de
funciones racionales.
36. Función homográfica.
La ciencia moderna, en especial a partir de Newton, se
caracterizó por el afán de explicar objetivamente la realidad
por medio de modelos matemáticos, en los cuales las funciones tuvieron un rol fundamental. Por tal motivo, el teorema que publicó en 1712 el matemático inglés Brook Taylor
cobraría, con el correr de los tiempos, una importancia
extraordinaria. Gran parte de la matemática se expresa
mediante funciones reales; entre ellas, los polinomios constituyen los ejemplos más simples, pues su construcción solo
requiere de las operaciones de suma y multiplicación. Lo
que Taylor demostró es que una gran cantidad de dichas
funciones, y sin duda todas las que aparecen en las aplicaciones concretas, pueden aproximarse mediante polinomios
de una manera fácil de calcular. Los polinomios de Taylor
permiten obtener valores aproximados de funciones de un
modo notable, dando origen a algoritmos que todavía
emplean las calculadoras y computadoras actuales.
1. Lean atentamente y respondan.
__
Según el teorema de Taylor, para valores de x cercanos a 1, 3x se puede
(x
– 1)2
(x
– 1)3
– 1)
______
_______
_______
aproximar mediante el polinomio f(x) = 1 + (x
. ¿Cuál es
–
+
2
___
___
8
16
el valor aproximado de 31,1 ? ¿Y de 31,2 ? Comparen los resultados usando la
calculadora.
Los valores aproximados respectivos son: 1,0488125 y 1,0955, mientras que los valores
“exactos” (aunque obviamente, no del todo) son 1,048808848 y 1,095445115.
capítulo
Funciones polinómicas
y racionales
32
31
33
34
35
36
37
38
39
40
41
Función polinómica
¿Para qué sirve?
INFOACTIVA
PÁGINA 9
Una función de la forma f(x) = an xn + an–1 xn–1 + ... + a2 x2 + a1 x + a0, siendo n un número natural y
an, an–1, ..., a2, a1, a0, números reales, es una función polinómica.
Si an ≠ 0, entonces la función es de grado n.
El dominio de las funciones polinómicas es el conjunto de los números reales ( ).
Las funciones polinómicas son continuas.
El orden de multiplicidad de una raíz es el número de veces que esa raíz se repite como tal.
f(x) = 2x4 . (x + 2)3 . (x – 1) = 2x . x . x . x . (x + 2) . (x + 2) . (x + 2) . (x – 1)
x1 = 0 → x1 tiene orden de multiplicidad 4.
x2 = –2 → x2 tiene orden de multiplicidad 3.
x3 = 1 → x3 tiene orden de multiplicidad 1.
El conjunto de positividad (C+) de una función polinómica está formado por todos los valores del
dominio para los cuales la función es positiva.
C+: x ∈ Df ∧ f(x) > 0
El conjunto de negatividad (C–) de una función polinómica está formado por todos los valores del
dominio para los cuales la función es negativa.
C–: x ∈ Df ∧ f(x) < 0
Teorema de Bolzano
Si una función f(x) es continua en un intervalo de su dominio, y tiene distinto signo en los extremos
del mismo, entonces la función tiene por lo menos una raíz real en ese intervalo.
y
f(b)
a
f(c)
f(a)
x1
b
x2
c
x
f(a) < 0 ∧ f(b) > 0 ⇒ f(x1) = 0 ∧ x1 D (a;b)
f(b) > 0 ∧ f(c) < 0 ⇒ f(x2) = 0 ∧ x2 D (b;c)
Usando el teorema de Bolzano, determinen si la siguiente función tiene al menos una raíz en el
intervalo (–2;1).
1x + 3
f(x) = 3x5 – 2x3 + __
2
1 . (–2) + 3
f(–2) = 3 . (–2)5 – 2 . (–2)3 + __
2
f(–2) = 3 . (–32) – 2 . (–8) – 1 + 3
f(–2) = –96 + 16 – 1 + 3
f(–2) = –78
1.1+3
f(1) = 3 . 15 – 2 . 13 + __
2
1
__
f(1) = 3 – 2 + 2 + 3
9
f(1) = __
2
f(–2) < 0 ∧ f(1) > 0 ⇒ f(x1) = 0 ∧ x1 ∈ (–2;1)
124
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Cuál es el grado de la siguiente función? f(x) = 3x5 – 2x + 1
b. ¿Cuáles son las raíces de la siguiente función? ¿Cuál es el orden de multiplicidad de cada una?
f(x) = (x + 3)4 . (x – 2)
a. La función es de grado cinco. b. –3 es de orden cuatro y 2 es de orden uno.
32
ACTIVIDADES
Función polinómica
1. Escriban en cada caso una función que cumpla con el orden de multiplicidad de las raíces indicadas.
a. 0 es una raíz de orden 2, y –2 es de orden 1.
c. –1, –2 y –3 son de orden 1.
f(x) = x2 . (x + 2)
f(x) = (x + 1) . (x + 2) . (x + 3)
b. 3 es de orden 3, y –3 es de orden 2.
d. 2 es de orden 3, y 0 es de orden 4.
f(x) = (x – 3)3 . (x + 3)2
f(x) = x4 . (x – 2)3
2. En la actividad anterior, ¿cuántas funciones posibles hay en cada caso?
Infinitas. Porque puede variar el coeficiente principal.
3. Para cada uno de los siguientes gráficos, indiquen los intervalos de positividad y negatividad.
a.
c.
y
y
2
2
1
–5 –4 –3 –2 –1 0
1
2
3 4
5
x
–5 –4 –3 –2 –1–1 0 1
2
3 4
5
x
2
3 4
5
x
–2
–2
–3
–4
C+ = (–3;2) F (2;+')
C+ = (2;+')
C– = (–';–3)
C– = (–';–1) F (–1;2)
y
b.
y
d.
2
2
1
–5 –4 –3 –2 –1 0 1
–1
2
3 4
5
–5 –4 –3 –2 –1
x
0 1
–2
–2
–3
–4
C+ = (–';–3) F (–3;2) F (2;+')
C+ = (1;2) F (4;+')
C– =
C– = (–';1) F (2;4)
4. ¿Cuáles son las funciones que tienen al menos una raíz en el intervalo (–1;3)?
X a. f(x) = x3 – 3x – 2
b. f(x) = x2 – 2x – 8
X c. f(x) = x3 – 6x2 + 9x – 4
125
33
32
34
35
36
37
38
39
40
41
42
Análisis de la función polinómica
¿Para qué sirve?
INFOACTIVA
PÁGINA 10
Para realizar el gráfico aproximado de una función polinómica, se pueden seguir estos pasos:
1. Se expresa su fórmula en la forma factorizada: f(x) = an . (x – x1) . (x – x2) ... (x – xn–1) . (x – xn).
Para ello, es importante recordar el teorema de Gauss y el teorema del resto.
Teorema de Gauss: Si P(x), de grado n, con coeficientes enteros y término independiente no nulo,
p
admite una raíz racional __
q (fracción irreducible), entonces p es divisor del término independiente y q lo
es del coeficiente principal.
Teorema del resto: El resto de P(x) : (x − a) es P(a).
2. Se determinan las raíces, que indican las intersecciones con el eje x, y su orden de multiplicidad:
a. Si el orden de multiplicidad es par, la gráfica de la función toca el eje x, pero no lo atraviesa.
b. Si el orden de multiplicidad es impar, la gráfica de la función atraviesa el eje x.
3. Se hallan los intervalos de positividad (C+) y negatividad (C–), para lo cual se buscan los valores del
dominio entre dos raíces consecutivas para determinar si la función es positiva o negativa en ese intervalo.
Grafiquen la función polinómica f(x) = 2x3 + x2 – 7x – 6.
1. Se busca la forma factorizada:
3 ; ±3; ±2; ± __
1 ; ±1.
a. Por teorema de Gauss, las posibles raíces racionales son: ±6; ± __
2
2
b. Se aplica el teorema del resto para buscar una de las raíces.
← 1 no es raíz de f(x).
f(1) = 2 . 13 + 12 – 7 . 1 – 6 = –10
3
2
← –1 es raíz de f(x).
f(–1) = 2 . (–1) + (–1) – 7 . (–1) – 6 = 0
c. Se aplica la regla de Ruffini:
2
1
–7
–6
–2
1
6
–1
–6
0
Cálculos auxiliares
(–1) . 2 = –2
(–1) . (–1) = 1
+
–1
2
(–1) . (–6) = 6
f(x) = (x + 1) . (2x2 – x –6)
_______
–b ± 3b2 – 4ac para factorizar 2x2 – x –6.
d. Se usa la fórmula _____________
2a
_______________
–(–1) ± 3(–1)2 – 4 . 2 . (–6) _____
x2;3 = _______________________
= 1 4± 7
2.2
3
x2 = 2 ∧ x3 = – __
2
3
f(x) = 2 . (x + 1) . (x – 2) . x + __
2
(
y
15
)
10
5
2. Todas las raíces tienen multiplicidad 1. Entonces,
la gráfica atraviesa el eje x en todas sus raíces.
–3
3 ;–1 F (2;+') y C– = –';– __
3. C+ = ( – __
( 32 ) F (–1;2)
)
2
–2 –3 –1
2
0
–5
–10
–15
126
1
2
3
x
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Es cierto que el gráfico de la función f(x) = x . (x – 2)2 . (x + 3)2 no atraviesa al eje x?
b. Si en una función polinómica, C+ = (–∞;2) y C– = (2;+∞), ¿en x = 2 hay una raíz?
a. No es cierto, la atraviesa en x = 0. b. Sí.
33
ACTIVIDADES
Análisis de la función polinómica
5. Realicen los gráficos teniendo en cuenta las características indicadas.
a. 3 es una raíz de multiplicidad 1, la ordenada
al origen es (0;–3).
c. C+ = (–';2) F (2;+').
b. 1 y –1 son raíces de multiplicidad 1, la ordenada al origen es (0;–2).
d. C+ = (–';0) F (3;+'), 3 es una raíz de multiplicidad 3, y 2 es una raíz de multiplicidad 4.
Solución a cargo del alumno.
6. Observen los gráficos y completen las fórmulas. Luego, calculen la ordenada al origen.
a.
b.
y
y
6
4
4
2
2
–3
–2
–1
0
1
2
–4
x
–3
–2
–1
0
1
2
3
x
–2
–2
Las soluciones no son únicas.
f(x) = x
1
.
(
x+1
Ordenada al origen:
) 1 .(
(0;0)
x+3
)1
f(x) = __81 .
(
x+4
Ordenada al origen:
)1 .(
x–1
)2
( 0;__21 )
127
33
ACTIVIDADES
Análisis de la función polinómica
7. Expresen las siguientes funciones en forma factorizada.
a. f(x) = x3 – 3x – 2
d. f(x) = x3 – 2x2 – 5x + 6
f(x) = (x – 2) . (x + 1)2
f(x) = (x + 2) . (x – 1) . (x – 3)
b. f(x) = x2 – x – 6
e. f(x) = x3 – 4x
f(x) = (x + 2) . (x – 3)
f(x) = x . (x – 2) . (x + 2)
c. f(x) = x4 – 2x2 + 1
f. f(x) = x4 + 4x + 3
__
f(x) = (x – 1)2 . (x + 1)2
__
f(x) = (x + 1)2 . (x – 1 + 2 . 32 i) . (x – 1 – 2 . 32 i)
8. Observen el gráfico y marquen las opciones correctas.
y
3
2
1
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
7
x
–1
–2
a. ¿Cuál es el conjunto de positividad de la función?
X (2;+')
(–2;2)
(–';–2) F (2;+')
b. ¿Cuál es la ordenada al origen?
(–2;0)
(0;2)
X (0;–2)
c. ¿Cuál es la multiplicidad de las raíces?
X –2 es par y 2 es impar.
–2 es par y 2 es par.
2 es impar y 2 es impar.
d. ¿Cuál es la fórmula factorizada de la función?
f(x) = (x – 2) . (x + 2)2
128
f(x) = __41 . (x – 2)2 . (x + 2)
X f(x) = __1 . (x – 2) . (x + 2)2
4
33
ACTIVIDADES
Análisis de la función polinómica
9. Realicen el gráfico de las siguientes funciones polinómicas.
a. f(x) = x3 – 4x
–3
–2
d. f(x) = x7 – 6x6 + 12x5 – 8x4
y
3
y
2
2
1
1
–1
0
1
2
3
x
–4
–3
–2
–1
0
–1
–2
–2
–3
–3
1
2
3
x
e. f(x) = –x2 + 4x – 4
–2
y
y
2
2
1
1
–1
0
1
x
–3
–2
–1
0
–1
–1
–2
–2
c. f(x) = x3 – x2
–3
–2
–1
b. f(x) = x2 + 6x + 9
–5
–3
1
2
3
x
f. f(x) = x4 – 2x2 + 1
y
y
2
2
1
1
–1
0
1
2
3
x
–3
–2
–1
0
–1
–1
–2
–2
–3
–3
1
2
4
x
129
INTEGRACIÓN
10. Escriban la fórmula de una función polinómica
13. Tengan en cuenta los datos y resuelvan.
que cumpla con las condiciones pedidas en cada
caso.
a. La función es de grado 3.
x1 = –2; raíz de orden 1.
x2 = –1; raíz de orden 2
f(0) = 4
b. La función es de grado 4.
x1 = –5; raíz de orden 2.
x2 = –1; raíz de orden 2.
f(0) = 3
c. La función es de grado 3.
x1 = 3; raíz de orden 2.
x2 = 2; raíz de orden 1.
f(–1) = 2
d. La función es de grado 3.
x1 = 2; x2 = –1; x3 = 3
f(–3) = 4
f(x) = x4 – ax3 + bx2
x1 = 5 y x2 = –3 son raíces de la función.
a. Hallen los valores de a y de b. a = 2; b = –15
b. Indiquen todas las raíces del polinomio y su
5 y –3 de grado 1 y
grado de multiplicidad. 0 de grado 2.
c. Escriban la función polinómica en forma factorizada. f(x) = x2 . (x – 5) . (x + 3).
d. Realicen el gráfico aproximado.
e. Indiquen: dominio, ordenada al origen, conjunto de positividad y conjunto de negatividad.
Df = ; Ordenada al origen: (0;0);
C+ = (-–';–3) F (5;+'); C– = (–3;0) F (0;5)
14. Hallen las raíces, la ordenada al origen y los
conjuntos de positividad y negatividad de las
funciones representadas.
y
a.
4
2
Solución a cargo de los alumnos.
11. Usen el teorema de Bolzano para verificar si
las funciones tienen una raíz en los intervalos
indicados.
No.
a. f(x) = x3 + 2x2 en (1;2)
3
__
2
b. f(x) = x + 3x + 2 en – 2 ;2 Sí.
Sí.
c. f(x) = x3 – 4x en (1;3)
3
No.
d. f(x) = x – 4x en (–5;–3)
e. f(x) = x4 – 3x + 2 en (–1;1) Sí.
f. f(x) = x4 – 3x + 2 en (–1;0) No.
(
–2
–1
0
1
2
x
–2
)
–4
a. Raíces: –1 y 2; ordenada: –2;
C+: (2;+'); C–: (– ';–1) F (–1;2)
b.
y
3
12. Para cada una de las siguientes funciones
indiquen: raíces, ordenada al origen, conjunto de
positividad y conjunto de negatividad.
a. f(x) = x2 . (x + 2)
b. f(x) = (x – 3)2 . (x + 3)2
c. f(x) = (x + 1) . (x + 2) . (x + 3)
d. f(x) = x4 . (x – 2)3
e. f(x) = 2x . (x – 2)2 . (x + 3)
f. f(x) = 3x . (x + 2) . (x – 1) . (x – 3)
a. –2 y 0; (0;0);(–2;0) F (0;+'); (–';–2)
b. 3 y –3, (0;81), (–';3) F (–3;3) F (3;+'); no tiene;
c. –1, –2 y –3; (0;6); (–3;–2) F (–1;+'); (–';–3) F (–2;–1);
d. 0 y 2; (0;0); (2;+');(–';0) F (0;2)
e. 0; 2 y –3; (0;0); (–';–3) F (0;2) F(2;+'); (–3;0);
f. 0, –2, 1 y 3; (0;0); (–';–2) F(0;1) F(3;+'); (–2;0) F (1;3)
130
2
1
–2
–1
0
1
–1
b. Raíces: –1 y 1; ordenada: 1;
C+: (–';–1) F (–1;1) F (1;+')
2
x
capítulo
CONTENIDOS
6
32*33
15. Observen el gráfico y marquen las opciones
17. Realicen, en cada caso, un gráfico que cumpla
correctas.
con las características indicadas.
a. Tiene a x = 2 como raíz doble y a x = –1
como raíz de orden 1.
b. Tiene a x = –3 como raíz de orden 1 y a
x = –1 como una raíz de orden 4. La ordenada
al origen es (0;–4).
c. Tiene tres raíces de orden 1: x = –2; x = 1;
x = 3 y el intervalo de negatividad es
(–';–2) F (1;3).
d. Tiene dos raíces x = 0 y x = 3 y el intervalo
de positividad es (3;+')
y
4
2
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
x
–2
–4
–6
Solución a cargo de los alumnos.
a. ¿Qué tipo de orden de multiplicidad tiene la
raíz x = –4?
X Par.
Impar.
b. ¿En cuáles intervalos la función es positiva?
(3;+∞) X (–∞;–4) X (–4;–1) X (2;+∞)
c. ¿En cuáles intervalos la función es negativa?
(–4;–1)
(–∞;–4) X (–1;2)
(–3;0)
d. ¿Cuáles intervalos verifican el teorema de
Bolzano?
(–3;–2) X (–2;1)
(–5;–3)
e. ¿Cuál es el grado de la función?
(2;+∞)
X 4
2
3
f. ¿Cuál es la ordenada al origen?
5
(–2;0)
(0;–4)
(–4;0)
18. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) teniendo
en cuenta la siguiente función. Expliquen los
casos donde escribieron F.
f(x) = (x – 2) . (x + 1)2
a. El gráfico de la función atraviesa al eje x en
el punto (1;0). F
La imagen de 1 es -4.
b. En x = 2 hay una raíz de orden 1. V
c. En x = 1 hay una raíz de orden 2. V
d. La función f(x) es de grado 2.
F
Es de grado 3.
e. La ordenada al origen de f(x) es (0;1). F
Es (0;–2)
f. C+: (–1;2).
F
(2;+')
g. C+: (–';–1) F (2;+'). F
(2;+')
X (0;–2)
19. Factoricen las siguientes funciones y realicen
16. Respondan.
2
Dada la función f(x) = (x – a) . (x – b)
(con a < b), su conjunto de negatividad es
C–: (b;+').
a. ¿Cuál es el conjunto de positividad?
b. ¿El valor de la ordenada al origen es positivo o negativo?
c. ¿Las dos raíces pueden ser positivas?
el gráfico de cada una.
a. f(x) = x3 – 8x2 + 16x f(x) = x . (x – 4)2
b. f(x) = x3 + 3x2 f(x) = x2 . (x + 3)
c. f(x) = x3 – x f(x) = x . (x – 1) . (x + 1)
d. f(x) = x4 – 2x3 + x2 f(x) = x2 . (x – 1)2
e. f(x) = x3 – 7x – 6 f(x) = (x + 2) . (x + 1) . (x – 3)
f. f(x) = x3 + 3x2 – 4x – 12
f(x) = (x + 3) . (x + 2) . (x – 2)
a. C+: (–';a) F (a;b). b. Es positivo. c. Sí.
131
34
33
35
36
37
38
39
40
41
42
43
Función racional
INFOACTIVA
P(x)
Una función de la forma f(x) = ____
, siendo P(x) y Q(x) polinomios ∧ Q(x) no es nulo, es una función
Q(x)
racional.
3
2
x + 3x – 2 es una función racional.
f(x) = 2___________
x2 – 4x + 9
Para calcular el dominio de una función racional, se iguala el denominador a 0 (ya que ese es el
valor que no puede tomar) y se hallan los valores de x. El dominio es el conjunto de los reales menos
los valores de x encontrados.
Para calcular el conjunto imagen de una función racional, se iguala la función a y y se despeja x.
Los valores que no puede tomar y son los que no pertenecen a la imagen.
Una asíntota es una recta.
Entre las funciones racionales se pueden estudiar diferentes casos particulares:
Una función de la forma f(x) = __kx , siendo k un número real, es una función de proporcionalidad
inversa.
Dominio: El denominador de la función debe ser distinto de cero: x ≠ 0.
Df = – {0}
La recta de ecuación x = 0 es asíntota vertical (A. V.) de la función.
Imagen:
y = __kx ⇒ x = __ky ⇒ y ≠ 0
Im = – {0}
La recta de ecuación y = 0 es asíntota horizontal (A. H.) de la función.
k
Una función de la forma f(x) = ____
, siendo k un número real y Q(x) un polinomio que no es nulo.
Q(x)
Dominio:
El denominador de la función debe ser distinto de cero: Q(x) ≠ 0.
5
f(x) = _____
x–3
x – 3 = 0 ⇒ x = 3 → 3 es el valor que no puede tomar x.
Df = – {3}
La recta de ecuación x = 3 es asíntota vertical (A. V.) de la función.
Imagen:
5
f(x) = _____
x–3
5 ⇒ x – 3 = __
5 ⇒ x = __
5 + 3 → 0 es el valor que no puede tomar y.
y = _____
y
y
x–3
Im = – {0}
La recta de ecuación y = 0 es asíntota horizontal (A. H.) de la función.
132
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
3
x
2
a. La función f(x) __
x ¿es racional? ¿Es equivalente a x ?
3
b. ¿Es cierto que el codominio de la función f(x) = _____
x + 2 puede ser ? ¿Y la imagen?
a. No, porque es igual a x2, aunque su dominio es
34
– {0}. b. Sí, puede ser. La imagen es
– {0}.
ACTIVIDADES
Función racional
20. Marquen las opciones correctas.
a. ¿Cuáles funciones son racionales?
–5
X f(x) = _____
x–1
x3
X f(x) = __
4
–1
f(x) = x_____
–5
4
x
x
f(x) = __
x3
4
c. f(x) = _____
x–3
3
X d. f(x) = __
x
b. ¿Cuáles funciones son de proporcionalidad inversa?
3
X f(x) = – __
x
x
b. f(x) = ___
–2
21. Unan cada función con su dominio.
2
a. f1(x) = _____
x+2
Df =
– {2}
2
e. f5(x) = ______
–x – 2
2
b. f2(x) = _____
x–2
Df =
– {–2}
2
f. f6(x) = _______
1 x+1
__
2
2
c. f3(x) = ______
–x + 4
Df =
– {4}
2
g. f7(x) = ________
1
__
–2 x – 2
2
d. f4(x) = _______
1 x+2
__
2
Df =
– {–4}
2
h. f8(x) = _______
1 x–1
__
2
22. Escriban el dominio, la imagen y las asíntotas de las siguientes funciones.
5
a. f(x) = ______
3x + 4
Df =
4
– – __
3
A. V.:
4
x = – __
3
{ }
3
c. f(x) = ______
4x + 3
=
; Im
; A. H.:
– {0}
y=0
1
b. f(x) = ______
2x – 1
Df =
1
– __
2
A. V.:
1
x = __
2
{ }
Df =
3
– – __
4
A. V.:
3
x = – __
4
{ }
=
; Im
A. H.:
– {0}
y=0
4
d. f(x) = – __
x2
=
; Im
; A. H.:
– {0}
y=0
Df =
A. V.:
– {0}
x=0
= (–∞;0)
; Im
A. H.:
y=0
133
35
34
36
37
38
39
40
41
42
43
44
Representación gráfica de funciones racionales
INFOACTIVA
Para representar una función racional, se deben seguir estos pasos:
1. Se determinan los conjuntos dominio e imagen.
2. Se hallan las ecuaciones de las asíntotas.
3. Se hallan distintos puntos de la función, entre ellos los puntos de intersección con los ejes.
En el caso de la función de proporcionalidad inversa, las asíntotas siempre
son x = 0 ∧ y = 0; por lo tanto no hay intersección con los ejes.
3.
Representen la función f(x) = __
x
1. Df = – {0} ∧ Im = – {0}
2. Asíntota vertical: x = 0; asíntota horizontal: y = 0
3. Se hallan distintos puntos de la función.
x
f(x)
–3
–1
–2
__
–3
2
–1
–3
1
3
2
3
__
2
3
1
y
4
3
2
3
2
f(x)= 3
x
1
y =0
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
x
–1
–3
2
–2
–3
–4
x =0
En el caso de esta función, la asíntota horizontal siempre es y = 0; por lo
tanto no hay intersección con el eje x.
y
5 .
Representen la función f(x) = ______
2x – 3
4
3→D =
3
1. 2x – 3 = 0 ⇒ x = __
– __
f
2
2
5
5
5
______
__
__
y = 2x – 3 ⇒ 2x – 3 = y ⇒ x = y + 3
{ }
(
) . __12
5 + __
3→C =
⇒ x = ___
f
2y 2
3
2
5
3
– {0}
1
3;
2. Asíntota vertical: x = __
2
asíntota horizontal: y = 0.
3. Se hallan distintos puntos de la función
y se representa gráficamente.
y =0
–3
–2
–1
0
1
2
–5
7
5
f(x)= 2x – 3
–1
–5
3
x
–2
–1
0
1
2
3
f(x)
– 5__
7
–1
– 5__
3
–5
5
5
__
3
–2
–3
–4
134
x=3
2
3
4
x
de comprensión
Test
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. En la función y = __kx ¿las asíntotas coinciden con los ejes cartesianos para cualquier valor de k?
b. ¿Es cierto que ninguna función racional tiene intersección con el eje y?
a. Sí, porque es una función de proporcionalidad inversa.
b. No, depende de cuál es el valor de la asíntota vertical.
35
ACTIVIDADES
Representación gráfica de funciones racionales
23. Completen la siguiente tabla. Luego, grafiquen cada función.
Función
Dominio
Imagen
A. V.
A. H.
f(–1)
f(1)
f(2)
f(x) = 4__x
– {0}
– {0}
x=0
y=0
–4
4
2
3
g(x) = ______
2x + 1
–2
h(x) = _____
1
– – __
2
– {0}
1
x = – __
2
y=0
–3
1
3
__
5
1
– – __
2
– {0}
1
x = – __
2
y=0
4
4
– __
3
4
– __
5
4
p(x) = _____
3–x
– {3}
– {0}
x=3
y=0
1
2
4
{ }
{ }
1
x + __
2
y
p(x)=
4
3–x
5
2
h(x)=
x+ 1
3
4
3
2
4
f(x)= x
1
–9
–8
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
3
g(x)= 2x + 1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 x
–1
–2
–3
–4
–5
135
35
ACTIVIDADES
Representación gráfica de funciones racionales
24. Grafiquen las siguientes funciones.
3
a. f(x) = ______
2x – 3
3
d. f(x) = ______
1
__
2x +
4
y
3
–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2
y
2
4
1
2
–1
0 1
2
3
4
5
6
7
8 x
–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2
–1
–1
–2
–2
–4
0 1
2
0
1
0 1
2
3
4
5
6
7
8 x
–3
5
b. f(x) = ___
2x
3
e. f(x) = – ___
4x
y
3
y
2
20
1
10
–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2
–1
0 1
2
3
4
5
6
7
8 x
–4
–3
–2
–1
–10
–1
–20
–2
2
3
4 x
–3
–2
c. f(x) = _____
x+3
–2
f. f(x) = _______
1 x–2
__
2
y
3
y
–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2
4
2
2
1
–1
0 1
2
3
4
5
6
7
8 x
–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2
–1
–2
–1
–4
–2
–3
136
3
4
5
6
7
8 x
35
ACTIVIDADES
Representación gráfica de funciones racionales
25. Completen con el ítem de la función correspondiente.
k
a. f(x) = ______
con k < 0; a < 0, b = 0
ax + b
k
c. f(x) = ______
con k < 0; a > 0; b < 0
ax + b
k
b. f(x) = ______
con k > 0; a > 0; b < 0
ax + b
k
d. f(x) = ______
con k < 0; a > 0; b = 0
ax + b
c.
d.
y
–7
–6
–5
–4
–3
–2
y
2
2
1
1
–1
0
1
2
3
4
5
6
7
x
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
–1
–1
–2
–2
–3
–3
a.
–6
–5
–4
–3
–2
2
3
4
5
6
7
x
1
2
3
4
5
6
7
x
b.
y
–7
1
y
2
2
1
1
–1
0
1
2
3
4
5
6
7
x
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
–1
–1
–2
–2
–3
–3
26. Escriban en cada caso una ecuación de la función de la forma f(x) =
k
______
.
ax + b
a. Tiene asíntota vertical x = 2 y la ordenada al origen es (0;3).
–6
Por ejemplo, f(x) = _____
x–2.
b. Tiene asíntota vertical x = –1 y la ordenada al origen es (0;2).
2
Por ejemplo, f(x) = _____
x+1.
mente ACTIVA
Matías necesita representar la relación entre la base y la altura de los rectángulos
que tienen 36 cm2 de área y decide expresar la base en función de la altura.
a. Escriban la función con la que debe trabajar Matías.
b. ¿Cuál es el dominio de la función? ¿Y la imagen?
c. ¿De qué tipo de función se trata?
d. Represéntenla gráficamente.
36
a. b = ___
. b.
h
+
;
+
. c. Función de proporcionalidad inversa. d. Solución gráfica.
137
36
35
37
38
39
40
41
42
43
44
45
Función homográfica
¿Para qué sirve?
INFOACTIVA
PÁGINA 11
+ b
______
Una función de la forma f(x) = ax
, siendo a, b, c y d números reales ∧ c ≠ 0, es una función
cx + d
homográfica.
Dominio de una función homográfica
d
El denominador de la función debe ser distinto de cero: cx + d ≠ 0 ⇒ x ≠ – __
c
d
__
Por lo tanto: Df = – – c
d
La recta de ecuación x = – __
c es asíntota vertical (A. V.) de la función.
{ }
Imagen de una función homográfica
Im = – { __ac }
La recta de ecuación y = __ac es asíntota horizontal (A. H.) de la función.
Representación gráfica
+b
______
Para representar una función homográfica de la forma f(x) = ax
, se debe:
cx + d
1. Determinar los conjuntos dominio e imagen.
2. Encontrar las ecuaciones de las asíntotas.
b
3. Determinar el punto de intersección con el eje y: x = 0 ⇒ f(0) = __
d
ax
+b
b
______
4. Encontrar el punto de intersección con el eje x: cx + d = 0 ⇒ x = – __
a
3x – 1 ⇒ a = 3; b = –1; c = 1; d = –2
f(x) = ______
x–2
–2 ⇒ D =
– – ___
– {2} ∧ Im =
f
1
2. A. V.: x = 2 ∧ A. H.: y = 3
1. Df =
{
3 ⇒I =
– __
m
1
}
{ }
– {3}
y
8
–1 ⇒ f(0) = __
1 → 0;__
3. f(0) = ___
( 12 ) es punto
–2
2
de intersección con el eje y.
7
3x – 1 = 0 ⇒ x = ___
1 → __
⇒ x = __
4. ______
– –1
( 13;0 ) es punto
3
3
x–2
de intersección con el eje x.
11
2
Para realizar una gráfica más aproximada, se pueden
calcular otros puntos de la función.
4
6
5
y =3
3
138
x
f(x)
–1
0
4
__
3
1
__
2
1
__
3
0
1
–2
–1
3
8
–2
4
11
___
2
–3
2
3x – 1
f(x)= x – 2
4
3
1
1
2
–4
–3
–2
0 1
–1
3
1
2
3
x =2
4
x
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
3x + 2
a. La función f(x) = ________
¿es una función homográfica?
1
__
–
2
+ 2x
–2 – 3x
b. ¿Cuál es la asíntota horizontal de f(x) = _______
–2x + 3 ?
3
a. Sí. b. No, la asíntota horizontal es y = __
2.
36
ACTIVIDADES
Función homográfica
27. Indiquen el dominio de cada función.
2x – 1
a. f(x) = _______
1 x+3
__
2
3
– – __
2
1
x + __
4
_____
c. f(x) =
1
x – __
2
1
– __
2
3x + 2
b. f(x) = ______
1
__
3
d. f(x) = _______
3x + 4
{ }
3x –
1
– ___
12
{ }
{ }
1
__
x+2
4
4
– – __
3
{ }
28. ¿Cuál es el conjunto imagen de cada función?
+2
______
a. f(x) = 3x
x
X
– {3}
– {2}
2x – 1
b. f(x) = ______
4x + 3
– {1}
– __43
{ }
X
– __21
– {3}
X
– __21
– {3}
X
– {2}
{ }
x–3
c. f(x) = ______
2x – 1
– {–3}
{ }
2x
d. f(x) = _____
x+5
29. Unan con flechas cada ecuación con las asíntotas correspondientes.
x+1
a. f(x) = ______
2x – 3
A. V.: x = __23 y A. H.: y = __23
+3
______
b. f(x) = 2x
x+2
A. V.: x = –2 y A. H.: y = 1
–2
______
c. f(x) = 3x
2x – 3
A. V.: x = __23 y A. H.: y = __21
x
d. f(x) = _____
x+2
A. V.: x = –2 y A. H.: y = 2
30. Escriban en cada caso una función homográfica que cumpla con las condiciones.
a. A. V.: x = 2; A. H.: y = 1
+3
Por ejemplo, f(x) = x_____
x–2
b. A. V.: x = – __41 ; A. H.: y = __21
–3
______
Por ejemplo, f(x) = 2x
4x + 1
139
36
ACTIVIDADES
Función homográfica
31. Tengan en cuenta la siguiente función y calculen las preimágenes pedidas.
5x + 2
h(x) = ______
1
__
3x –
2
a. h(a) = 0
a=
–2
d. h(d) = 1
d=
5
b. h(b) = –4
b=
c. h(c) = 4
c=
–5
4
0
4
7
e. h(e) = __29
e=
1
f. h(f) = __
4
f=
1
2
–1
2
32. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda.
a. x = – __21 es A. H. F
4
b. f(0) = –6 V
2
c. Df =
3
4
–8
–6
–4
–2
–1
2
0
–2
2
4
6
8
– – __21
{ }
V
d. y = __43 es A. V. F
e. Im =
– – __43
{ }
F
f. Raíz: (0;–6) F
–4
g. C+ = –';– __21 ∪ (4;+') V
–6
h. C–
(
)
1
= ( – __2 ;4 ) V
mente ACTIVA
Tengan en cuenta los datos de la función de la actividad 32 y hallen su fórmula.
– 12
_______
f(x) = 3x
4x + 2
140
36
ACTIVIDADES
Función homográfica
33. Grafiquen las siguientes funciones.
+5
______
d. f(x) = 2x
x+2
3x – 1
a. f(x) = ______
2x – 3
–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2
y
y
4
4
2
2
–1
0 1
2
3
4
5
6
7
8 x
–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2
–1
–2
–2
–4
–4
–6
–6
–8
–8
1
__
x+3
2
b. f(x) = _______
2x – 3
0 1
2
3
4
5
6
7
8 x
0 1
2
3
4
5
6
7
8 x
0 1
2
3
4
5
6
7
8 x
+3
______
e. f(x) = –x
2x – 1
y
y
4
3
2
2
1
–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2
–1
0 1
2
3
4
5
6
7
8 x
–2
–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2
–1
–4
–1
–6
–2
–8
–3
–4
c. f(x) = x_____
x–3
+3
_______
f. f(x) = –2x
–x + 1
y
y
4
3
2
2
1
–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2
–1
0 1
2
3
4
5
6
7
8 x
–2
–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2
–1
–4
–1
–6
–2
–8
–3
141
INTEGRACIÓN
34. Hallen el dominio de las siguientes funciones
38. Marquen las opciones correctas.
racionales.
¿Cuál es el conjunto imagen de cada función?
3x – 2
a. f(x) = _______
1
__
2
– 3x
a. f(x) = x______
x3 – 1
4
x +1
b. f(x) = ______
x2 – 4
3
–x
c. f(x) = x_____
x+1
x
d. f(x) = _____
x2 + 1
+ x2
e. f(x) = x_____
x+3
4
f. f(x) = _____
x3 + 1
– {1}
2
– {2;–2}
– {–1}
{ }
– {8}
X
– {–1}
– {4}
1
2x + __
2
c. f(x) = ______
x–3
X
– {3}
– {2}
– – __41
– – __31
– {3}
{ }
x–2
d. f(x) = ______
3x + 1
2
a. f(x) = _____
x–5
–3
b. f(x) = ___
x
X
Solución gráfica a
cargo del alumno.
36. Escriban una función racional que cumpla
con las condiciones indicadas en cada caso.
a. Que tenga a x = 2 como raíz y a x = –1
–2
como asíntota vertical. x_____
x+1
b. Que tenga a x = 3 como asíntota vertical y
a (0;–1) como la ordenada al origen.
c. Que tenga – {2} como dominio y – {2}
como conjunto imagen.
d. Que tenga a y = 3 como asíntota horizontal
3x
–9
+3
+1
______
______
y f(3) = 0. b. x_____
; c. 2x
x –2 ; d. x + 1 .
x–3
– __31
{ }
{ }
39. Hallen el dominio y la asíntota vertical de
cada función.
x+1
a. f(x) = ______
3x – 4
4
4
– __
; x = __
3
3
– {–1}; x = –1
{ }
–x
b. f(x) = 4_____
x+1
–2
______
c. f(x) = 3x
2x – 4
x–6
d. f(x) = ______
3x + 1
– {2}; x = 2
1 ; x = – __
1
– – __
3
3
{ }
40. Tengan en cuenta las funciones dadas y
escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda.
–1
______
a. f(x) = 2x
x–3
Las soluciones no son únicas.
37. Hallen las asíntotas de cada función.
Df =
F
– {–3}
Im =
– __21
{ }
F
F
2
a. f(x) = _____
x+5
x = –5; y = 0
A. V.: x = 3
V
A. H.: y = __21
b. f(x) = __7x
x = 0; y = 0
Raíz = __21 ;0
V
f(0) = 2
x–3
c. f(x) = ______
2x + 1
1
1
__
x = – __
2; y = 2
4x – 1
d. f(x) = _______
1 x+2
__
2
–2 + x
e. f(x) = ______
3x + 6
______
f. f(x) = 3x–6– 2
142
– __32
– {6}
x+1
b. f(x) = _______
1 x–2
__
4
35. Grafiquen las siguientes funciones.
–5
c. f(x) = _____
x+2
1
d. f(x) = ___
2x
X
– {4}
– {–3}
– {–1}
x+2
( )
F
+2
_______
b. f(x) = –3x
–5 + 2x
x = –4; y = 8
Df =
– __25
{ }
2
x = –2; y = ___
–3
A. V.: x = – __25
2; y = 0
x = __
3
Raíz = 2__3 ;0
(
)
V
F
V
Im =
– __53
{ }
A. H.: y = – __23
f(0) = 1 F
F
V
capítulo
CONTENIDOS
34*-35*-36
41. Calculen el valor de a y b en cada caso.
43. Marquen las opciones correctas.
¿Cuáles son las funciones que cumplen con las
condiciones pedidas en cada caso?
a. Una asíntota es x = 3.
– 3 __
3
1
______
; es raíz; A. H.: y = __
a. f(x) = ax
3.
bx + 1 2
+3
______
b. f(x) = ax
; Df =
bx – 1
– __41 ; Im =
– __41 .
{ }
{ }
a. a = 2;
+a
______
c. f(x) = 2x
; 2 es raíz; A. H.: y = 4. b = 6;
bx + 1
b. a = 1;
–3
______
d. f(x) = ax
; f(0) = 1; Im = – {3}. b = 4;
x–b
1
c. a = –4; b = __
2 ; d. a = 3; b = 3.
2
–2
f(x) = x______
x–3
–2
X f(x) = x_____
x–3
–2
f(x) = x_____
x+3
42. Observen los gráficos y completen con el
b. Las asíntotas son x = –2 y y = –2.
número que corresponde a cada ítem.
–2
______
f(x) = 3x
x+2
+3
______
3
a. f(x) = 2x
x+2
–2
_______
f(x) = –2x
x–3
–3
______
1
b. f(x) = 2x
x–2
–2
_______
X f(x) = –2x
x+2
+3
______
2
c. f(x) = 2x
x–2
d. x = –2 es asíntota.
c. El dominio es
3
e. El punto __23 ;0 es raíz.
( )
f. El dominio es
6
1
– {–2}.
1
– {–1}.
2
–2
f(x) = x______
x–1
2
–2
X f(x) = x______
x+1
x2 –2
f(x) = ______
3x – 3
3
y
d. Una asíntota es y = –2.
2
2
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
7
x
–2
f(x) = x______
x–3
–2
–2
______
f(x) = 2x
x–3
–4
–2
______
X f(x) = 2x
–x – 3
–6
e. La ordenada al origen es (0;–2).
–2
______
X f(x) = 2x
x+1
2
y
2
–2
f(x) = x______
x–1
4
2
+2
f(x) = x______
x+1
2
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
6
7
x
–2
f. Es de proporcionalidad inversa.
2
–2
f(x) = x______
x–3
–4
–2
______
f(x) = 2x
x–3
3
–2
X f(x) = ___
x
y
4
44. Grafiquen las siguientes funciones.
2
–7
–6
–5
–4
–3
–2
–1
0
–2
–4
1
2
3
4
5
6
7
x
x+1
a. f(x) = ______
2x – 4
Solución a cargo del alumno.
–x
b. f(x) = 3_____
x+1
–1
______
c. f(x) = 4x
x+4
–3
______
d. f(x) = 3x
x+1
143
capítulo
6
AUTOEVALUACIÓN
Marquen las opciones correctas
45. ¿Cuál es el grado de la función (x – 2)2 . (x – 3)2?
a. 2
b. 3
X c. 4
46. Tengan en cuenta la función polinómica f(x) = x3 . (x – 2)2 . (x + 1) y respondan.
a. ¿Cuál es el orden de multiplicidad de x = 0?
2
1
X 3
No tiene.
3
X No tiene.
3
No tiene.
b. ¿Cuál es el orden de multiplicidad de x = 1?
2
1
c. ¿Cuál es el orden de multiplicidad de x = 2?
X 2
1
47. ¿Cuál es el intervalo de negatividad de la función f(x) = (x – 2) . (x + 3)?
a. [–3;2]
X c. (–3;2)
b. (–3;+')
48. ¿En qué intervalos se puede asegurar que la función f(x) = x2 + x – 6 tiene una raíz?
a. (–2;–1)
b. (–2;0)
X c. (–2;3)
49. ¿Cuáles son las raíces de la función f(x) = x3 – 3x + 2?
X b. 1 y –2
a. –1 y 2
50. Tengan en cuenta la función f(x) =
c. 1 y 2
2
_____
x – 1 y respondan.
a. ¿Cuál es la ordenada al origen?
(0;–1)
(1;0)
b. ¿Cuál es la preimagen de 4?
–7
2
__
3
X (0;–2)
(2;0)
3
X __
3
__
4
2
51. Tengan en cuenta la función f(x) =
2x
–3
______
y respondan.
3x – 6
a. ¿Cuál es el dominio de la función?
X
– {2}
– __21
{ }
– {–2}
b. ¿Cuál es la asíntota horizonal de la función?
x=2
2
X y = __
3
y = __21
c. ¿En cuál punto de la gráfica la función corta al eje x?
( 0;__21 )
144
(2;0)
X
( __23;0 )
Contenidos
37.
38.
39.
40.
41.
7
Función exponencial.
Logaritmos.
Función logarítmica.
Ecuaciones exponenciales.
Ecuaciones logarítmicas.
Cuenta la historia que Pitágoras, el gran filósofo y sabio, caminaba por
la calle cuando escuchó los sonidos que provenían de una herrería.
Observando los golpes que daba el herrero con su martillo descubrió que
las leyes que rigen a los sonidos se basan en proporciones; más tarde
probó golpeando recipientes llenos de líquidos y haciendo vibrar cuerdas
de distintas longitudes, para concluir que la regla es siempre la misma. Si
una cuerda vibra con cierta frecuencia, al partirla y tomar la mitad vibra el
doble de rápido y la nota que se produce es la misma, una octava más
aguda. Si, en cambio, se toman sus dos terceras partes, la frecuencia se
multiplica por __23 y la nota es lo que se llama una quinta respecto de la
original. Esto le bastó para construir la escala musical con 12 notas (contando los sostenidos) que se relacionan a través de una proporción constante. Lo que Pitágoras no podía saber, en ese entonces, es que veinte
siglos más tarde su descubrimiento iba a perfeccionarse con ayuda de los
logaritmos. A modo de ejemplo, los logaritmos sirven para averiguar cuál
es una nota x, si se conoce su frecuencia y la frecuencia de do.
1. Lean atentamente y respondan.
a. Para construir la escala musical, ¿se habrá dividido en 12 partes iguales?
b. Si la frecuencia de la es 440 y la de la siguiente la es 880, ¿cómo calcularían
las frecuencias de las notas intermedias?
a. No, porque la relación es proporcional constante, lo que indica que la frecuencia de
cada nota se obtiene multiplicando la anterior por una constante. b. Para calcular la
frecuencia (F) entre la primera la y la siguiente, se multiplica por 2. Como hay 12 notas,
cada una de las cuales se obtiene multiplicando la frecuencia
de la anterior por una
__
12
constante (c), se obtiene FLA2 = 2FLA1 = FLA1 . c12 ⇒ c = 32 .
capítulo
Funciones exponenciales
y logarítmicas
37
36
38
39
40
41
42
43
44
45
46
Función exponencial
¿Para qué sirve?
INFOACTIVA
PÁGINA 12
Se denomina función exponencial a toda función de la forma f(x) = k . ax – b + c ∧ a > 0 ∧ a ≠ 1.
Funciones de la forma f(x) = ax
1. 0 < a < 1
2. a > 1
1
f(x) = __
3
x
( )
–2
y
y
2
2
1
1
0
–1
–1
x
1
2
y = 0 → A. H.
Funciones de la forma f(x) = k . ax ∧ k D
–2
f(x) = 3x
0
–1
–1
x
1
2
y = 0 → A. H.
– {0}
y
f2(x)
5
Modifica el valor de la ordenada.
f1(x)
4
f(x) = k . ax
k
f1(x) = 3x
3
f3(x)
1
x
2
x
5
f2(x) = 2 . 3
f3(x) = 5 . 3
2
1
–2
2
x
f1(x)
4
3
f(x) = ax–b
b
Corrimiento
f1(x) = 3x
0
No tiene.
f2(x) = 3x+1
–1
1 hacia la izquierda.
1
1 hacia la derecha.
f3(x) = 3
1
y
Indica el corrimiento sobre el eje x.
x–1
0
–1
Funciones de la forma f(x) = k . ax – b
y = 0 ← A. H.
f3(x)
f2(x) 2
1
–2
0
–1
Funciones de la forma f(x) = ax + c ∧ c D
y = 0 ← A. H.
1
2
x
3
y
4
Indica el corrimiento sobre el eje y.
3
f(x) = ax + c
x
c
Corrimiento
A. H.
2
0
No tiene.
y=0
f2(x)
f2(x) = 3 + 1
1
Hacia arriba, 1.
y=1
f1(x)
f3(x) = 3x – 1
–1
Hacia abajo, 1.
y = –1
–2
f1(x) = 3
x
f3(x)
146
y=1
1
0
–1
–1
1
2
x
y=0
y = –1
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. En la definición de función exponencial k . ax–b, ¿por qué a no puede ser 1?
b. ¿Cómo tiene que ser la función exponencial g(x) para que resulte simétrica a f(x) = k . ax
con k > 0 con respecto al eje x?
a. Porque si a = 1 la función f(x) = k . ax–b = k . 1x–b = k es
c. ¿Cuándo una función exponencial es decreciente? un número real k, por lo tanto f(x) = k, que es una función constante.; b. g(x) = –k . ax; c. Cuando a < 1.
37
ACTIVIDADES
Función exponencial
1. Completen las tablas y grafiquen f1(x), f2(x) y f3(x) en un mismo eje y f4(x), f5(x) y f6(x) en otro.
a. f1(x) = 2x
x
–2
–1
0
1
2
f1(x)
1
__
4
1
__
2
1
2
4
b. f2(x) = 3 . 2
y
x
x
–2
–1
0
1
2
f2(x)
3
__
4
3
__
2
3
6
12
f2(x)
–2
–1
0
1
2
f3(x)
3
– __
4
3
– __
2
–3
–6
–12
d. f4(x) = __21
f1(x)
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2
–1
–2
–3
–4
f3(x)
–5
c. f3(x) = –3 . 2x
x
5
4
3
2
1
3
4 5
x
3
4 5
x
x
( )
x
–2
–1
0
1
2
y
f4(x)
4
2
1
1
__
2
1
__
4
5
4
3
2
1
e. f5(x) = 3 . __21
f3(x)
x
( )
x
–2
–1
0
1
2
f5(x)
12
6
3
3
__
2
3
__
4
–1
0
1
2
–3
3
– __
2
3
– __
4
f. f6(x) = –3 . __21
–5 –4 –3 –2 –1 0 1 2
–1
–2
f (x)
–3 5
–4
–5
x
( )
x
f6(x)
–2
–12
–6
f4(x)
2. Hallen los valores de a y k para que la función g(x) = k . ax cumpla con la condición pedida en cada caso.
x
a. Que sea simétrica a f(x) = __31 con respecto al eje x.
( )
b. Que sea simétrica a f(x) = ( __51 )
c. Que su imagen sea (–';0).
x
con respecto al eje y.
1
k = –1; a = __
3
k = 1; a = 5
k = –1; existen infinitas soluciones para a. Por ejemplo, a = 20.
d. Que pase por los puntos (1;3) y (2;6).
3
k = __
2; a = 2
147
37
ACTIVIDADES
Función exponencial
3. Grafiquen las siguientes funciones en los mismos ejes de coordenadas. Luego, resuelvan.
f(x) = 5x; g(x) = 5x + 1; h(x) = 5x – 2; i(x) = 5x – 5.
a. Completen con las ordenadas al origen de
cada función.
y
9
8
7
h(0) = 25
5
g(0) =
i(0) =
1
_____
3 125
b. Completen con las imágenes o preimágenes
según corresponda.
6
5
4
3
2
1
f(–1) =
g(–2) =
0 1
–5 –4 –3 –2 –1
1
___
1
f(0) =
2 3
4 5 6 7
x
1
__
5
1
__
5
1
__
h(1) = 5
i(2) =
( 3 ) = 125
1
g( –3 ) = ___
25
1
____
125
( ) = 25
1
i( 2 ) = ____
125
h 4
f
4. Tengan en cuenta las funciones exponenciales dadas y hallen g(x) y h(x).
b. f(x) = __31
x
( )
a. f(x) = 4x
y
g(x)
–3
–2
x+2
g(x) = y = 4
–1
y
f(x)
6
h(x)
g(x)
f(x)
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
1
2
; h(x) =
3
x
y = 4x–1
–3
–2
1
__
g(x) = y = 3
h(x)
6
–1
0
1
x+1
( )
2
3
x–2
; h(x) =
( __31 )
5. Tengan en cuenta la relación entre las fórmulas de g(x) y h(x) con f(x) y completen.
f(x) = k . ax
1
f(–2) = ___
18
f(–1) = __61
a. g(x) = k . ax+2
1
__
g(–2) = 2
1
___
g(–4) = 18
g(0) =
148
9
__
2
f(0) = __21
f(1) = __23
f(2) = __29
b. h(x) = k . ax–3
( ) = __23
g( –3 ) = __61
1
g( –4 ) = ___
18
g –1
h(1) =
h(4) =
h(5) =
1
___
18
3
__
2
9
__
2
( 5 ) = __29
h( 3 ) = __21
h( 2 ) = __61
h
x
37
ACTIVIDADES
Función exponencial
6. Grafiquen las siguientes funciones de la forma f(x) = k . ax + c y completen la tabla.
a. f(x) = 4x + 1
b. g(x) = 4x – 1
c. h(x) = 2 . 4x + 1
d. i(x) = –4x – 1
y
6
5
4
3
2
1
–5 –4 –3 –2 –1
–1
–2
–3
–4
Funciones
1 2
3
k
a
c
Imagen
1
4
1
(1;+')
y=1
1
4
–1
(–1;+')
y = –1
h(x) = 2 . 4 + 1
2
4
1
(1;+')
y=1
i(x) = –4x – 1
–1
4
–1
(–';–1)
y = –1
x
f(x) = 4 + 1
x
g(x) = 4 – 1
x
x
4 5 6 7
Asíntota
7. Unan con flechas la función con la asíntota horizontal correspondiente.
a. f(x) =
b. f(x) =
c. f(x) =
d. f(x) =
e. f(x) =
3x – 3
5x+3 – 2
x+2
( __31 )
3 + 2 . 4x–2
1
__
x–3
5 .5 + 2
y
y
y
y
y
=
=
=
=
=
0
–2
–3
2
3
8. Completen con los datos pedidos. Luego, grafiquen cada función en sus carpetas.
a. f(x) = 25 . __51
x–2
Df:
; Im: (–1;+')
( )
f(0) = 624
C+:
(–';4)
b. g(x) = –8 . 2x–1 + __21
–1
; A. H.: y = –1
; C–:
(4;+')
1
__
; Im: ( –'; 2 )
Df:
7
__
f(0) = – 2
C+:
1
__
; A. H.: y = 2
(–3;+')
; C–: (–';–3)
mente ACTIVA
¿Cuáles son las raíces de las siguientes funciones?
a. f(x) = 3x – 1
b. g(x) = 9 . 3x + __31
c. h(x) = –4 . 2x+3 + __81
a. (0;0); b. No tiene. c. (–8;0)
149
38
37
39
40
41
42
43
44
45
46
47
Logaritmos
INFOACTIVA
La logaritmación es una operación entre dos números reales a y b, llamados base y argumento, respectivamente, que se define como:
loga b = c ac = b ∧ a > 0 ∧ a ≠ 1 ∧ b > 0
log2 16 = 4 ⇔ 24 = 16
Existen dos logaritmos cuya notación es especial:
el decimal (base 10), que se simboliza log10 b = log b;
el natural o neperiano (base e ≅ 2,71), que se simboliza loge b = ln b
Aproximadamente.
Propiedades de los logaritmos
1. loga 1 = 0 ⇔ a0 = 1
log3 1 = 0 ⇔ 30 = 1
2. loga a = 1 ⇔ a1 = a
1
1 = 1 ⇔ __
log__1 __
( 12 ) = __12
2
2
3. loga (xy) = loga x + loga y ∧ x > 0 ∧ y > 0
log5 (5 . 25) = log5 5 + log5 25 = 1 + 2 = 3
4. loga __yx = loga x – loga y ∧ x > 0 ∧ y > 0
81 = log 81 – log 27 = 4 – 3 = 1
log3 ___
3
3
27
5. loga bn = n . loga b
log6 2164 = 4 . log6 216 = 4 . 3 = 12
Para calcular logaritmos en los cuales el argumento no es potencia de la base, se debe recurrir a
un cambio de base, utilizando logaritmos con bases convenientes o logaritmos decimales o neperianos,
los cuales pueden resolverse con la calculadora científica.
log b
log b
log 8
log 8
ln b
c
6. loga b = ______
= _____
= ____
logc a
log a
ln a
2
ln 8
log16 8 = _______
= ______ = _____
log 16 log 16 ln 16
2
150
de comprensión
Test
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Es cierto que log2 64 = log2 32 + log2 32?
log2 81
b. ¿Es correcta la siguiente igualdad? log3 81 = _______
log2 3
a. No. Por ejemplo, log2 64 = log2 32 + log2 2.
b. Sí.
38
ACTIVIDADES
Logaritmos
9. Calculen aplicando la definición.
a. log3 27 =
3
8
f. log__3 ___
=
2 27
b. log7 49 =
2
g. log3 –9 = No existe.
1
c. log2 ___
16 =
–4
d. log5 0,04 =
e. log10 0,0001 =
–3
h. loge 1 =
–2
–4
0
i. ln e =
1
j. ln __e1 =
–1
10. Indiquen V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda.
a. log3 7 + log5 9 = log8 (7 + 9)
b. log3 242 = 2 . log3 24
F
V
c. ln (3 . 27) = 3 . ln 27 F
d. ln (10 . 11) = ln 10 + ln 11 V
log 5
V
e. log8 53 = 3 . _____
log 8
log 41
f. log941 = ______
log 9
V
11. Resuelvan aplicando propiedades.
__
a. log3 ( 27 . 33 ) =
__
b. ln ( e3 . 3e ) =
__
( 3)
2 . 3 __21 =
__
1
____
. 35
125___
________
e. log5 3
=
325
__
3
33 . 27
f. log3 _______
=
81
___ 1 __ =
g. log7 _________
5
349 . 37
__ 1
__
33 . 9
______
h. log3 81 =
0,001
___
i. log _____
( 310 )
7
__
2
5
__
2
8__ =
c. log2 ___
32
d. log8
7
__
2
3
=
2
__
9
19
– ___
6
2
– __
3
9
– ___
10
11
– ___
2
21
– ___
2
151
38
ACTIVIDADES
Logaritmos
12. Calculen los siguientes logaritmos sin usar calculadora.
a. log4 8 + log4 512 =
6
d. log6 1 080 – log6 5 =
3
b. log18 486 + log18 12 =
3
e. log 0,0002 – log 2 =
–4
c. log15 75 + log15 45 =
3
f. log2 224 – log2 7 =
5
13. Calculen los logaritmos aplicando propiedades. Tengan en cuenta las siguientes igualdades.
log 2 = 0,301030; ln 4 = 1,3862.
a. log 4 =
0,60206
b. log 256 =
2,40824
c. log 4 096 = 3,61236
d. log __41 =
–0,60206
e. ln 16 =
2,7724
1
f. ln ___
16 =
–2,7724
g. ln 64 =
4,1586
____
h. ln 3256 =
2,7724
14. Expresen los siguientes logaritmos en función de a y b sabiendo que log7 2 = a y log7 3 = b.
__
a. log7 6 =
a+b
b. log7 12 =
2a + b
d. log7 36 =
1
__
2 . (a + b)
3
__
e. log7 39 =
3
__
2 b
__
c. log7 72 =
3a +2 b
152
__
f. log7 ( 32 . 33 ) =
1 a + __
1
__
2 b
2
38
ACTIVIDADES
Logaritmos
15. Expresen los siguientes cálculos como un solo logaritmo.
a. log 3 + 2 . log 4 – __23 . log 100 =
c. 2 . log 3 + __21 . log 9 – 5 . log 1 =
6
log ____
125
log 27
b. log __32 – log __59 + log 27 =
21
d. log 25 + 2 . log 21 + log ___
25 =
1
log 21
16. Completen la siguiente demostración de una de las propiedades de los logaritmos.
loga (x . y) = loga x + loga y
Supongamos que:
{
loga x = P a
loga y = Q a
loga (x . y) = loga ( a . a
p
(
(
q
p
=
q
=
) loga a p +
x
y
q
(Por definición de logaritmo).
(Por definición de logaritmo).
(Por propiedad de la potenciación).
) . log a (Por propiedad de los logaritmos).
p
q
+
) . 1 (Por propiedad de los logaritmos).
p
q
Luego, log (x . y) = (
+
)
p
+
q
a
a
Como loga x = P ∧ loga y = Q loga (x . y) = loga x + loga y
17. Expresen como un solo logaritmo.
a. log5 x + log25 x3 =
5
__
2 log5 x
b. log2 x3 – 3 log2 x2 + log2 x =
2
log2 ( __x1 )
+3
c. log (x + 3) – log x_____
2 + log x =
log 2x
–2
d. log5 x_____
x + 3 + log5 (x + 3) + log5 x =
log5 ((x – 2) . x)
153
39
38
40
41
42
43
44
45
46
47
48
Función logarítmica
INFOACTIVA
Se define función logarítmica de base a, a la función inversa de la función exponencial de base a.
f(x) = y = loga x ⇔ ay = x ∧ x > 0 ∧ a > 0 ∧ a ≠ 1
t f(x) = y = log3 x ⇔ 3y = x
Df = (0;+∞) ∧ Cf =
A. V.: x = 0
0
Intersección con el eje x: f(x) = 0, entonces log3 x = 0 ⇒ 3 = x ⇒ x = 1
y
x
y = log3 x
3
1
__
9
1
__
3
–2
2
–1
1
1
0
3
1
9
2
–3
–2
g(x) – 3x
f(x) = log3 (x)
0
–1
1
2
3
x
–1
–2
t f(x) = log3 x + 1
Df = (0;+∞) ∧ Cf =
A. V.: x = 0
1
Intersección con el eje x, f(x) = 0, entonces log3 x + 1 = 0 ⇒ 3–1 = x ⇒ x = – __
3
x
y = log3 x + 1
1
__
9
1
__
3
–1
1
1
y
2
3
2
9
3
f(x) = log3 (x) + 1
1
0
–1
0
1
2
3
x
–1
–2
t f(x) = y = ln (x – 1) ⇔ ey = x – 1
A. V.: x = 1
x – 1 > 0 ⇒ x > 1 ⇒ Df = (1;+∞) ∧ Cf =
Intersección con el eje x, f(x) = 0, entonces ln (x – 1) = 0 ⇒ e0 = x – 1 ⇒ x = 2
y
x
x=1
y = ln (x – 1)
f(x) = log3 (x – 1)
2
2
0
e+1
1
e2 + 1
2
3
e +1
3
1
0
–1
–1
–2
154
1
2
3
4
5
x
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Es cierto que la función y = loga x puede tomar valores negativos?
b. Si se tiene el gráfico de una función de la forma y = ax, ¿es posible saber cuál es el gráfico de la
función y = loga x? a. Sí, para valores 0 < x < 1, y < 0; b. Sí, porque las funciones y = ax e y = loga x son
simétricas con respecto a la recta y = x.
39
ACTIVIDADES
Función logarítmica
18. Completen la tabla, hallen el dominio y grafiquen cada una de las siguientes funciones logarítmicas.
a. y = log4 x
b. y = log x
x
1
___
16
y = log4 x
–2
1
__
4
1
4
16
x
1
____
100
1
___
10
1
10
100
0
1
2
y = log x
–2
–1
0
1
2
1
2
–1
y
y
2
2
1
1
–1
1
2
3
4
5 x
–1
–1
–1
–2
–2
Df: (0;+')
3
4
5 x
Df: (0;+')
19. Grafiquen sobre un mismo eje de coordenadas y completen.
a. f(x) = log2 x
b. g(x) = log__1 x
c. h(x) = log3 x
2
d. i(x) = log__1 x
3
y
f(x) = log2 x
4
3
h(x) = log3 x
2
1
–1
–1
–2
–3
–4
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
x
24
i(x) = log__1 x
3
g(x) = log__1 x
2
Df: (0;+') ; Cf:
+
–
; Raíz de f: x = 1 ; f(0) = ∃ ; A. V.: x = 0 ; C f : (1;+∞) ; C f : (0;1)
Dg: (0;+') ; Cg:
+
; Raíz de g: x = 1 ; g(0) = ∃ ; A. V.: x = 0 ; C g: (0;1)
Dh: (0;+') ; Ch:
+
–
; Raíz de h: x = 1 ; h(0) = ∃ ; A. V.: x = 0 ; C h: (1;+∞) ; C h: (0;1)
Di: (0;+') ; Ci:
; Raíz de i:
x = 1 ; i(0) =
∃ ; A. V.: x = 0 ; C +:
i
–
; C g: (1;+∞)
(0;1) ; C –:
i
(1;+∞)
155
39
ACTIVIDADES
Función logarítmica
20. Completen escribiendo la función correspondiente.
y
a. f(x) = log3 (x + 1)
2
b. g(x) = log3 (x – 1)
1
c. h(x) = log3 (x + 3)
–2
d. i(x) = log3 (x – 3)
0
–1
1
2
3
4
5
6
7
x
8
–1
–2
h(x)
f(x)
g(x)
i(x)
21. Tengan en cuenta la actividad anterior y completen.
Df: (–1;+'); Cf:
+
–
; Raíz de f: x = 0 ; f(0) = 0 ; A. V.: x = –1 ; C f : (0;+∞); C f : (–1;0)
Dg: (1;+') ; Cg:
; Raíz de g: x = 2 ; g(0) =
∃ ; A. V.:x = 1
Dh: (–3;+'); Ch:
; Raíz de h: x = –2 ; h(0) =
1 ; A. V.:x = –3 ; C +: (–2;+∞) ; C – : (–3;–2)
h
h
Di: (3;+') ; Ci:
; Raíz de i:
x = 4 ; i(0) =
+
–
; C g: (2;+∞) ; C g: (1;2)
∃ ; A. V.: x = 3 ; C +i :
(4;+∞); C –i :
(3;4)
22. Completen la tabla.
Función
Dominio
A. V.
log7 x
(0;+')
x=0
log8 (x + 1)
(–1;+')
x = –1
log (x – 3)
(3;+')
x=3
ln (x + 5)
(–5;+')
x = –5
log__1 (x – m)
(m;+')
x=m
5
23. Tengan en cuenta la función y resuelvan.
f(x) = log4 (x + 2)
a. Grafiquen.
b. Hallen su función inversa y grafíquenla.
y
f–1(x) = 4x – 2
3
2
f–1(x) = 4x – 2
f(x) = log4 (x + 2)
1
–3
c. Completen con el dominio y el codominio
de cada función.
Df: (2;+') ; Cf:
Df –1:
156
;
; Cf –1: (–2;+') .
–2
0
–1
–1
–2
–3
1
2
3
4
x
39
ACTIVIDADES
Función logarítmica
24. Tengan en cuenta la función y resuelvan.
f-1(x) y
f(x) = ln x – 3
a. Grafiquen.
b. Hallen su función inversa y grafíquenla.
6
4
f–1(x) = ex+3
2
–6
c. Completen con el dominio y el codominio
de cada función.
Df: (0;+'); Cf:
0
–2
2
4
6
8
10 x
–2
–4
;
–6
; Cf –1: (0;+') .
Df –1:
–4
f(x)
25. Tengan en cuenta las funciones dadas y escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda.
f(x) = log2 x; g(x) = log2 x + 1; h(x) = log2 (x + 1).
V
a. f(x) y g(x) tienen el mismo dominio.
b. f(x) y h(x) tienen el mismo dominio. F
c. f(x) y g(x) tienen la misma imagen.
V
d. f(x) y h(x) tienen la misma imagen. V
e. La asíntota vertical de g(x) es x = 1. F
f. La asíntota vertical de h(x) es x = 1. .
F
26. Completen la tabla tomando como referencia f(x) = log x y m > 0.
Función
Dominio
log x + 1
(0;+')
Codominio
Desplazamiento
A. V.
1 unidad hacia arriba
x=0
log x – 2
(0;+')
2 unidades hacia abajo
x=0
log (x + 1)
(–1;+')
1 unidad hacia la izquierda
x = –1
log (x – 3)
(3;+')
3 unidades hacia la derecha
x=3
log (x + m)
(–m;+')
m unidad hacia la izquierda
x = –m
log x + m
(0;+')
m unidad hacia arriba
x=0
mente ACTIVA
Una función logarítmica f(x) tiene dominio (–9;+∞) y codominio .
a. La función inversa ¿es exponencial? a. Sí, siempre es exponencial.
b. ¿Cuál es el dominio y el codominio de esa función inversa?
b. Dominio: ; codominio: (–9;+∞).
157
INTEGRACIÓN
27. Grafiquen las siguientes funciones.
30. Indiquen la asíntota que corresponde en
cada caso.
a. f(x) = 6x + 2
b. f(x) = 9x–1 – 3
x
c. f(x) = __41 – __23
d. f(x) = 8x
e. f(x) = 12x + 3
f. f(x) = 4 – 5x
x
a. f(x) = 4
b. g(x) = 2 . 4x
c. h(x) = –4x
( )
x
d. p(x) = __41
x
e. q(x) = – __41
( )
( )
y=2
y = –3
3
y = – __
2
y=0
y=3
y=4
f. r(x) = 5 . 4x
g. s(x) = 5 . __41
31. Marquen las opciones correctas.
x
( )
h. t(x) = –5 . (__41 )
x
x
a. ¿Cuál es la imagen de f(x) = –2 . __31 ?
( )
Solución gráfica.
X (–';0)
(–2;+')
28. Grafiquen la función y = 7x–1 y respondan.
a. ¿Cuál
b. ¿Cuál
c. ¿Cuál
d. ¿Cuál
e. ¿Cuál
f. ¿Cuál
es
es
es
es
es
es
el
la
el
el
la
la
dominio?
imagen?
(0;+')
conjunto de positividad?
conjunto de negatividad? No tiene.
raíz de la función?
No tiene.
ordenada al origen?
0;__1
(
7
)
29. Grafiquen la función f(x) = 7x + 1 y escriban
V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda.
a. El dominio de la función son todos los
números reales. V
b. La imagen de la función son todos los
números reales. F
c. La función tiene asíntota horizontal en
x = 0. F
d. La función corta al eje de ordenadas en
y = –7. F
e. La función tiene asíntota vertical en
x
b. ¿Cuál es la asíntota de f(x) = __23 + 1?
( )
y = __23
X y = 1
No tiene.
x
c. ¿Cuál es la ordenada al origen de f(x) = __23 + 1?
( )
X (0;2)
(2;0)
(0;1)
32. Dadas las siguientes funciones exponenciales, indiquen dominio, imagen, ordenada al origen, asíntota horizontal, conjunto de positividad
y conjunto de negatividad. Luego, grafiquen sin
realizar tabla de valores.
x
a. Df: ; Im: (1;+'); f(0) = 2;
a. f(x) = __31 + 1
A. H.: y = 1; C+: .
b. g(x) = 4x+1 – 2 b. D : ; I : (–2;+'); g(0) = 2;
( )
g
m
1
1
__
–
A. H.: y = –2; C+: – __
2 ;+' . C : –';– 2 .
(
)
(
)
33. Observen los gráficos y completen con la
letra de la función que corresponde.
a. f(x) = 8x + 1
b. g(x) = __81
c. h(x) = 8x+1
x
d. p(x) = __81
( )
–x
( )
y
g(x)
x = 1. F
6
f. La función es creciente. V
g. La intersección de la función con el eje y es
5
4
(0;2). V
p(x)
3
2
f(x)
1
h(x)
–3
158
–2
–1
0
1
2
3
x
capítulo
CONTENIDOS
7
37*38*39
34. Observen los gráficos y escriban una fórmula
37. Hallen el valor de las siguientes expresiones
que se corresponda con cada uno.
a. y = 2x + 1
sabiendo que ln a = 3 y ln b = 5.
a. ln a2 + ln b2 = 16
y
a
b. ln ( __
= –6
b)
3
4
3
2
1
0 1
–3 –2 –1
b. y = 2x+3
2
3
x
y
3
ab
3__
3a
___
__
e. ln b = – 27
__
3
1
__
b
3__
f. ln ___
= 6
3a
a. ¿Cuál es el dominio f(x) = log6 (x – 1)?
6
4
X (1;+')
(–';–1)
b. ¿Cuál es el dominio f(x) = log6 x + 1?
2
0 2
x
f. log 100 =
g. log3 81 =
8
h. log__2 ___
=
3 27
i. log__1 25 =
5
16
j. log__7 ___
49 =
2
c. ¿Cuál es la asíntota de f(x) = log6 x + 1?
X x = 0
3
x
y
1
___
16
1
__
4
4
1
0
16
–4
No tiene.
d. ¿Cuál es la ordenada al origen de f(x) = ln (x + e)?
–1
–2
(0;e)
(0;e – 1)
X (0;e + 1)
e. ¿Cuál es la raíz de f(x) = __21 . log6 x – 1?
36. Completen las tablas, hallen el dominio y
Df: (0;+').
x = –1
4
4
grafiquen.
a. f(x) = –2 . log4 x
X (0;+')
(–';0)
35. Calculen los siguientes logaritmos.
3
a. log2 8 =
b. log7 49 = 2
1
c. log__1 ___
= 4
2 16
2
2
d. ln e =
e. log 1 000 = 3
8
38. Marquen las opciones correctas.
8
–10 –8 –6 –4 –2
___
c. ln 3ab = __3
1
___
d. ln ____
= – __8
3
3
(–6;0)
X (36;0)
No tiene.
39. Observen el gráfico de la función de la
forma y = loga (x + b) y respondan.
a. ¿Cuál es el valor de a? a = 3
b. ¿Cuál es el valor de b? b = 1
c. ¿Cuál es el dominio de la función?
d. El codominio de la función ¿puede ser ?
2
c. (–1;+'). d. Sí.
y
b. g(x) = log5 x + 1
x
y
1
___
25
1
__
5
–1
0
Df: (0;+').
2
1
0
–1
1
1
–1
25
3
–2
125
4
1
2
3
4
5
6
7
8
x
159
40
39
41
42
43
44
45
46
47
48
49
Ecuaciones exponenciales
INFOACTIVA
Una ecuación exponencial es aquella en la que la incógnita aparece en el exponente.
Para resolver una ecuación exponencial, hay que tener en cuenta:
1. ax ⇒ a > 0 ∧ a ≠ 1
2. ax = ax ⇒ x1 = x2
3. Las propiedades de las potencias.
1
2
En la página 20
pueden repasar
las propiedades de
la potenciación.
Resuelvan las siguientes ecuaciones exponenciales.
a. 32x+1 = 81
3
32x+1 = 34 ⇒ 2x + 1 = 4 ⇒ x = __
2
b.
2x+2
____
__
32x+3 = 38
x+3
_____
3
__
3⇒x=0
x+3 = __
22x+2 = 22 ⇒ _____
2x+2 2
c. 4x–2 + 4x + 4x+1 = 324
1 +1+4
4x + 4x + 4x . 4 = 324 ⇒ 4x . ___
___
16
42
81 = 324 ⇒ 4x = 43 ⇒ x = 3
4x . ___
16
(
) = 324
d. Sn = 1 + 3 + 9 + 27 + … + 3n–1 = 3 280
qn – 1
Se utiliza la fórmula de la suma de n términos de una sucesión: Sn = a1 . _____
q–1
x–1
3 – 1 = 3 280
1 . _______
3–1
3x–1 – 1 = 6 560 ⇒ 3x–1 = 6 561 ⇒ 3x–1 = 38 ⇒ x – 1 = 8 ⇒ x = 9
e. 32x+1 – 2 . 3x – 1 = 0
3 . 32x – 2 . 3x – 1 = 0
Se usa una variable t = 3x ⇒ 32x = (3x)2 = t2
3t2 – 2t – 1 = 0
{
t1 = 1 ⇒ 3x = 1 ⇒ x1 = 0
1 ⇒ 3x = – __
1 ⇒ x no es solución.
t2 = – __
2
3
3
En algunos casos, para resolver las ecuaciones exponenciales es necesario despejar la incógnita. Para
esto, se aplica en cada miembro el logaritmo cuya base es la base de la potencia.
ax = b
loga ax = loga b ⇒ x . loga a = loga b ⇒ x = loga b
Hallen el valor de x.
10x–2 = 8
log 10x–2 = log 8 ⇒ (x – 2) . log 10 = log 8 ⇒ x = log 8 + 2 ⇒ x = 2,903
160
de comprensión
Test
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Cuál es la solución de la siguiente ecuación? 8x = 0
b. ¿Es cierto que la solución de 2 x = 8 es x = 4?
a. No tiene solución. b. No. La solución es x = 3 porque 23 = 8.
40
ACTIVIDADES
Ecuaciones exponenciales
40. Unan las ecuaciones con su solución.
a. 3x = 243
b. 5x = 625
c. 2x + 1 = 257
d. 2x + 1 = 8 192
e. 22x = 2x + 1
x
x
x
x
x
=
=
=
=
=
8
1
5
12
4
41. Completen para que se cumpla la igualdad.
a. 3
–2
6
–3
5
b.
c. 7
d. 10
= 729
–2
g. 3
= 0,01
5
. 2 = 486
2
1
= ____
125
e.
3
3
1
= ___
49
f. 3
. 2 = 18
h. 312 : 3
: 6 = __29
i. 3
3
7
= 243
. 4 = 108
42. Escriban como una sola potencia.
a3x
a. ___
ax =
a2x
3x + 1
.a =
b. a______
a2x
ax + 2
c. ( a2x )3 . a3x =
a9x
21x
d. [ ( a3x )2 . ax ]3 = a
43. Resuelvan las siguientes ecuaciones.
a. 2 x + 5 = 256
d. 25x + 3 = 5x + 2
x=3
x = –4
__
b. 5x + 3 : 25 = 35
1
x = – __
2
e.
4x + 1
____
332x –
1
x = __
4
9
__
2
= __91
____
c. 7x – 3 . 98 = 14
x=2
f. 332x – 2 = 93x + 2
x = –1
161
40
ACTIVIDADES
Ecuaciones exponenciales
44. Hallen las raíces de las siguientes funciones.
a. f(x) = 3x + 1 + 3x + 3 – 10
c. h(x) = 9 x + 5 – 3x – 2
x = –1
x = –12
2x + 3
3
d. i(x) = ____
– 81
33x + 1
b. g(x) = 7x + 1 – 6 . 7x – 1
x=0
x = –2
45. Marquen las opciones correctas.
¿Cuáles son las soluciones de las siguientes ecuaciones?
a. 3 . 2x + 2 – 5 . 2x – 1 = 76
X 3
–3
8
32x + 1
b. ____
– 17 . 3x = 30
3x – 2
X 1
____
x+1
c. 34
–1
1
__
2x + 3
+4
= 1 056
3
x+2
d. __23
( )
1–x
+ __32
30
( )
–4
X 4
X –2
2
x
11
– 2 . __23 = ___
27
( )
3
__
2
46. Resuelvan las siguientes ecuaciones.
a. __41
x+1
( )
+ __41
x+2
( )
= 1 280
x = –6
b. 5 . 3x + 1 + 2 . 3x + 1 = 7
x = –1
c. 4x + 1 + 4x + 2 – 320 = 0
x=2
162
d. 2x + 1 + 2x + 3 + 2x – 1 = 168
x=4
x
e. __31 – 2 . __31
( )
x+2
( )
= 21
x = –3
f. 7x + 1 + __71
–x–2
( )
x = –2
53
– 3 . 7x = ___
49
40
ACTIVIDADES
Ecuaciones exponenciales
47. Resuelvan las siguientes ecuaciones.
a. 2 x + 2 + 2 . 4x = 160
x=3
h. 32x – 5 . 3x – 2 = –8
x = 1; x = log3 2
b. 42x – 3 . 22x = 4
x=1
i. 42x – 5 . 4x+2 + 1 024 = 0
x = 2; x = 3
c. 2x – 72 = –4x
x=3
j. 7x – 71 – x = 6
x=1
d. 72x + 4 . 7x + 3 = 0
No tiene solución.
x
15
e. 5x – ___
5 = 2
( )
x=1
k. 92x – 82 . 32 . (x – 1) + 1 = 0
x = 1; x= –1
l. 16x + 31 . 22 . (x – 2) = __81
x = –2
x
27
f. 3x – ___
3 = 26
( )
No tienen solución.
g. 22x – 3 . 2x+1 + 8 = 0
x = 1; x = 2
m. 252x + 7 . 52x + 10 = 0
No tiene solución.
1
n. 43x – 23x – 2 = – ___
64
x = –1
163
41
40
42
43
44
45
46
47
48
49
50
Ecuaciones logarítmicas
INFOACTIVA
Las ecuaciones logarítmicas son aquellas en las que la incógnita aparece afectada por un logaritmo.
Para resolver ecuaciones logarítmicas, hay que tener en cuenta:
En la página 150
1. loga x ⇒ a > 0 ∧ a ≠ 1
pueden repasar
las propiedades de
2. loga x1 = loga x2 ⇒ x1 = x2
los logaritmos.
3. Las propiedades de los logaritmos.
4. Se deben verificar las soluciones para asegurar que no se obtengan logaritmos nulos o negativos.
Resuelvan las siguientes ecuaciones logarítmicas.
a. log 3 + log (6 + x2) = 2 . log (4 + x)
log [3 . (6 + x2)] = log (4 + x)2
3 . (6 + x2) = (4 + x)2
18 + 3x2 = 16 + 8x + x2
2
2x – 8x + 2 = 0
x1 = 2 + 33 ∧ x2 = 2 – 33
x
3 . log x = 5 + log ___
10
3 . log x = 5 + log x – log 10
3 . log x – log x = 5 – 1
2 . log x = 4
log x = 4 : 2
log x = 2
x = 100
__
__
b.
c. ln x + ln (x – 2) = 2 . ln (x – 1)
ln [x . (x – 2)] = ln (x – 1)2
x . (x – 2) = (x – 1)2
x2 – 2x = x2 – 2x + 1
0 = 1 ← absurdo. No tiene solución.
d.
log (9 + x2)
__________
=2
log (4x + 3)
log (9 + x2) = 2 . log (4x + 3)
log (9 + x2) = log (4x + 3)2
9 + x2 = (4x + 3)2
9 + x2 = 16x2 + 24x + 9
17x2 + 24x = 0
x . (17x + 24) = 0
164
x1 = 0 ← Es solución.
24 ← No es solución porque hace negativo al argumento.
x2 = – ___
17
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Es cierto que logx x = 1 para todo x D ?
b. ¿Cuál es el valor de x en la ecuación log3 –x = –2?
1
a. No. Solo para x > 0 y x ≠ 1.; b. x = – __
9
41
ACTIVIDADES
Ecuaciones logarítmicas
48. Unan cada ecuación logarítmica con su solución.
a. log3 (x + 2) = 5
b. log2 (x – 1) = 3
c. log__1 (x + 3) = –2
2
d. log2 (–x – 1) = 1
e. log x = 3
x
x
x
x
x
=
=
=
=
=
–3
1
241
9
1 000
49. Resuelvan aplicando la definición de logaritmo. Luego, verifiquen la solución.
a. log2 x = 3
x=8
b. log5 x = –1
1
x = __
5
c. log3 (x + 2) = 2
x=7
d. 3 . log5 x = 3
x=5
e. ln x = 2
x = e2
f. ln (–x) = –1
1
x = – __
e
50. Resuelvan las siguientes ecuaciones.
a. log2 (x + 3) – log2 (x – 5) = 3
43
x = ___
7
b. log2 x + log2 __8x = 1
x=4
c. log3 x2 + log3 x – 3 = 0
x=3
d. log3 (x + 2) + log3 (x + 1) = log3 (x2 – 1)
No tiene solución.
e. log5 x + log5 (2x – 1) – log5 (2x + 2) = 0
x=2
f. log (x – 1) – log (x – 3) = log 2
x=5
165
ACTIVIDADES
Ecuaciones logarítmicas
41
51. Hallen las raíces de las siguientes funciones logarítmicas.
a. f(x) = log3 4x + log3 __9x
d. i(x) = log2 (3x + 1) + log2 (x – 3) – 3
b. g(x) = log x5 – 2 log x2 + 3
e. j(x) = log7 (2x + 1) – log7 (x – 5)
3
x = __
2
11
x = __
3
1
x = _____
1 000
No tiene solución.
c. h(x) = log2 (x – 1) + log2 (3x + 1) – 2
5
x = __
3
f. k(x) = 5 . log5 x – log5 x3 – 2
x=5
52. Marquen las opciones correctas.
¿Cuáles son las soluciones de las siguientes ecuaciones?
3
a. log5 (x – 2) – log5 (x + 3) = log5 ___
13
7
X __
2
__
7
3______
__
b. 3log3 x4 + 4 . log3 3x = 4
2
X 3
2
c. log2 (x – 1) – [log2 x + log2 (x + 1)] = log2 (2x – 3) – log2 x
4
2
–2
__
d. ln x – ln 3x + __51 . ln x–2 = __21
X e5
X 2
3
1
__
__
3
__
2
__
6
e2
e2
5
– __51
e. log3 3x – log3 3x = log3 35
X __1
5
53. Resuelvan las siguientes ecuaciones aplicando previamente cambio de base.
a. 5 . log4 x – 7 . log2 x = –27
x = 64
b. log6 x – log216 x = log6 4
x=8
21
c. log3 x + log9 x = log27 x + ___
6
x = 27
166
11
d. log5 x2 + log125 x – log25 x = __
3
x = 25
76
e. log2 x3 – log8 x2 + log32 x = ___
15
x=4
245
11
____
f. __37 . log4 x + __29 . log64 x – __
6 . log16 x = 4
x = 242
41
ACTIVIDADES
Ecuaciones logarítmicas
54. Resuelvan las ecuaciones.
a. log2 (9 – 2x) + log2 x = 2
1
S: __
2 ;4
g. log125 x – log5 x = –2
S: 125
(x – 4)
b. log2 (x + 3) + log2 ______
+ log2 (x – 1) = 2
(x + 3)
S: 5
h. log2 x + log4 x – log16 x = 5
S: 16
c. log3 (x2 – 6x – 7) – log3 (x – 7) = log2 4
S: 8
i. log2 x + log4 x2 – log16 x4 = 5
S: 32
d. log 7 x2 – 4 = 0
j. log3 x2 + 9 log27 x2 = 4
__
__
S: –33 ;33
S: –49;49
e. log (x + 1)2 – log (x + 2) = log 2x
__
k. log2 (x – 1)2 – log2 (x2 – 4x + 3) = log2 4
11
S: __
3
S: –1 + 32
f. log6 x + log6 (1 – x) = 1
No tiene solución.
l. log3 __x1 = 6 – 2 . log3 x
S: 729
mente ACTIVA
¿Es correcta la resolución de la siguiente ecuación?
(ln x)2
ln x
(ln x)2 = ln x ⇒ ______
= ____
⇒ ln x = 1 ⇒ x = e
ln x
ln x
No es correcta porque al dividir por ln x no se tiene en cuenta que no puede ser 0.
167
INTEGRACIÓN
55. Completen las siguientes igualdades.
7
a. 2
¿Cuántas soluciones tienen las siguientes ecuaciones?
a. 5x = 4x
= 128
0
b. 345
=1
5
c. 3
1
__
2
e.
g. 5
Una
i. 4
X Infinitas.
exponenciales.
a. 52x + 25x = 250
b. 2x+2 + 2x+1 + 2x = __87
. 3 = 375
11
= 36
29
c. 5x+1 – 5x + 5x+2 = ____
625
d. 10x + 10x+1 – 110 = 0
e. 72x – 56 . 7x + 343 = 0
f. 22x – 17 . 2x–3 = – __41
. 2 = 32
= 256
¿Cuáles son las soluciones de cada ecuación?
a. 23x+2 = 32
X x = 1
x = 10
x=0
X x = – __1
3
x=3
x = –4
X x = 2
____
353x+2 = 5
x = __31
c. 3x+1 + 3x = 36
x=4
X x = –2
x = __21
x=2
x
. 31 – 1 = ___
1
e. 3_________
27
22
x = __31
1
x = ___
27
X x = –3
f. 7x+1 + 7x – 8 = 0
x=8
3
x = __
2
x = –3
x = –4
x=1
x = 1; x = 2
x = –3; x = 1
60. Tengan en cuenta la siguiente función e
indiquen el valor de x que corresponde en cada
caso.
f(x) = 4x . 2
a. f(x) = 512
x=4
b. f(x) = 32
x=2
1
___
c. f(x) = 32
x = –3
d. f(x) = –1
No es posible.
61. Hallen las raíces de las siguientes funciones.
d. 5x+2 – 1 = 0
X x = 0
57. Respondan.
¿Es correcta la siguiente resolución?
e2x = ex
ex
e2x
___
__
ex = ex
ex = 1
x=0
Sí, porque ex no puede ser 0.
168
Ninguna.
?
59. Resuelvan las siguientes ecuaciones
= 16 807
56. Marquen las opciones correctas.
b.
Infinitas.
= 16
2
j. 82 . 4
10
___
3 –x
Ninguna.
–x
( )
–4
h. 613 : 6
2
b. 3x = __31
= 100 000
f. 73 . 7
3
X Una
= 243
5
d. 10
58. Marquen las opciones correctas.
No tiene.
x=1
a. f(x) = 4x + 4x+2 + 4x–1 – 69
x+3
x
x+1
b. g(x) = 5 + 5 – 5 – 3 025 x = 2
c. h(x) = 9x – 90 . 3x + 729 x = 2; x = 4
No tiene.
d. i(x) = 2x+2 + 2x+3 + 2x
x
x
x
=0
e. j(x) = e + 3 . e – 4
1
2x
x
x = __
f. k(x) = 3 + 4 . 9 – 15
2
x = 1; x = 2
g. l(x) = 32x – 4 . 3x+1 + 27
62. Respondan.
¿Para cuáles valores de x se cumple cada igualdad?
a. 12___
. 32x = 8___
748
x=3
x x+6
x–1 2x
b. 33 = 33
x=3
capítulo
CONTENIDOS
7
40*41
63. Observen el gráfico de la función y = 2x + 2 + 3
66. Resuelvan las siguientes ecuaciones logarít-
y respondan sin resolver la ecuación. Luego, verifiquen la respuesta.
micas.
a. log2 (x + 2) + log2 (5x + 2) = 8 x = 6
b. log6 (x + 10) + log6 (x – 2) = 2 x = 6
c. log4 x – log4 (x – 1) = 1 x = __34
d. log2 x + log8 x – 3 . log64 x = __35 x = 4
e. 5 . log2 x2 – 26 . log2 x + 5 = 0 x = 32
f. log3 x2 + 3 . log3 x = 10 x = 9
g. (log3 x)2 + 3 . log3 x + 2 = 0 x = __1 ; x = __1
y
7
6
5
9
3
4
3
67. Hallen las raíces de las siguientes funciones.
2
a. f(x) = log5 x + log5 33 x – log5 x2 – __34 x = 25
b. g(x) = –3 . log4 x + 2 . log4 x5 – log4 x8 + 3
1
–3 –2 –1
1
___
__
0 1
2
c. h(x) = (log4 x)2 – 2 . log4 x – 3 x = __41 ; x = 64
d. i(x) = log125 x – log5 x2 + log25 x3 + __31
x
1
31 x = __
e. j(x) = log4 x – __81 + log4 x + ___
4
4
¿Cuál es la solución de 2x + 2 + 3 = 4?
(
x = –2
)
(
)
64. Marquen las opciones correctas.
f. k(x) = log__1 (x + 13) – log__1 (x + 31) – 1
¿Cuáles son las soluciones de las siguientes ecuaciones?
a. log5 (x + 2) = 2
g. l(x) = log (3 – x2) – log x – log 2
X x = 23
x=8
3
x = 27
b. log5 (2x + 5) = log5 (x + 3)
X x = –2
x = __21
x=2
X x=5
x=6
d. 2 . log3 (x + 2) = log3 729
X x = 25
x=5
x=3
e. ln (x + 3) = 2
x=e
x=1
X x = e2 – 3
f. 4 . log3 x – log3 9 + 2 = 0
x=0
X x=1
1
b. x = 64; d. x = ___
25 ; f. x = –4; g. x = 1
68. Respondan.
¿Cuáles son los valores de x para los cuales las
siguientes funciones tienen la misma imagen?
f(x) = log 2 + log (11 – x2)
g(x)= 2 . log (5 – x)
1
x = 3; x = __
3
c. log2 (x – 1) + log2 (3x + 1) = 6
x = –5
3
No tiene.
65. Lean atentamente y respondan.
El logaritmo de base cinco del logaritmo de base
tres de un número es igual a uno.
¿Cuál es ese número?
69. Hallen las soluciones de las siguientes ecuaciones.
a. 4 . log3 x = 20
b. 3x + 2 = 2
c. 3x = 2x + 1
d. e2x = 20
e. 3x + 2 = 21 – 2x
x = 243
x = –1,37
x = 1,71
x = 1,5
x = 5,23
70. Respondan.
¿Para cuáles valores de x se cumple cada igualdad?
a. 3 + log3 (x + 2) = 5 x = 7
b. 3 + log3 (x + 2)2 = 5 x = 1; x = –5
x = 243
169
capítulo
7
AUTOEVALUACIÓN
Marquen las opciones correctas
71. ¿Cuál es el gráfico que corresponde a f(x) = 4x+1 – 2?
–6
y
y
X a.
–4
y
b.
c.
4
4
4
2
2
2
0
–2
2
4
x
–6
–4
0
–2
2
4
x
–6
–4
0
–2
–2
–2
–2
–4
–4
–4
2
4
x
72. Tengan en cuenta la función f(x) = log2 (x + 1) – 3 y respondan.
a. ¿Cuál es su dominio?
X (–1;+')
(1;+')
(3;+')
b. ¿Cuál es su imagen?
(3; +')
c. ¿Cuál es la asíntota vertical?
x=3
d. ¿Cuál es su raíz?
(3;0)
X (7;0)
(1;0)
e. ¿Cuál es la ordenada al origen?
(0;3)
X (0;–3)
(0;0)
X
(1;3)
X x = –1
x=1
73. ¿Cuál es el gráfico de la función de la actividad anterior?
a.
X b.
y
c.
4
y
y
2
2
2
–4
–4
–2
–2
0
2
4
6
x
–4
–2
0
–2
–2
–2
–4
–4
–4
–6
–6
0
2
4
6
x
74. ¿Cuáles son las soluciones de las siguientes ecuaciones?
a. 3x + 1 – 3x + 2 – 3x = –63
X x = 2
x = –3
x = –63
b. 22x – 3 . 2x + 1 + 5 = 0
X x = 1; x = 5
x = 1; x = –5
x = –1; x = 5
c. log5 (x + 98) + log5 (32 – x) = 4
x = –98; x = 27
d. log6 x3 – log36
x = 12
170
X x = –93; x = 27
x = –27; x = 93
14
x4 + __54 . log216 x5 = ___
3
x=6
X x = 36
2
4
6
x
Contenidos
8
42. Sistema de medición
de ángulos.
43. Razones trigonométricas.
44. Valores exactos y aproximados.
45. Ecuaciones trigonométricas.
46. Triángulos rectángulos.
47. Teoremas del seno y del
coseno.
48. Triángulos oblicuángulos.
Unos doscientos años antes de nuestra era, la ciudad de
Alejandría fue testigo de un sorprendente hecho: con ayuda
de apenas una vara, Eratóstenes logró calcular en forma
aproximada la circunferencia de la Tierra. Por supuesto,
hace falta algo más que una vara: se dice que Eratóstenes
necesitó además la ayuda de un regimiento de soldados y,
lo más importante de todo, algo de trigonometría. ¿Cómo es
esto? Eratóstenes sabía que en Asuán, durante el solsticio
de verano, los objetos verticales no proyectaban sombra y
se le ocurrió que, midiendo las sombras en Alejandría y
conociendo las distancias entre ambas ciudades, entonces
podría hacer el cálculo. Dicho y hecho: mandó al regimiento
a contar los pasos hasta Asuán (una pequeña caminata de
casi 1 000 km), después midió la sombra proyectada por
cualquier arbolito alejandrino y... ¡ listo !
1. Lean atentamente y respondan.
a. ¿Por qué en Asuán los objetos verticales no proyectaban sombra? ¿Por qué en
Alejandría sí?
b. ¿Para qué otros cálculos podrá usarse la trigonometría?
a. El texto se refiere a un momento determinado en el que el sol está justo encima de
Asuán. Por lo tanto, no proyecta la sombra de objetos verticales allí, pero sí los proyecta en
Alejandría, ya que el sol no está encima de esa ciudad. b. Abierta. Cualquier problema de
resolución de triángulos requiere de la trigonometría. Por ejemplo, el cálculo de distancias
entre planetas o estrellas, o algo más cotidiano como el GPS.
capítulo
Trigonometría
42
41
43
44
45
46
47
48
49
50
51
Sistema de medición de ángulos
INFOACTIVA
Para medir ángulos se utilizan distintos sistemas de medición.
Sistema sexagesimal: la unidad de medida en este sistema es el grado sexagesimal (1°), que se
obtiene al dividir el ángulo recto en 90 partes iguales.
1 recto
1° = ______
90 ⇒ 1 recto = 90°
Sistema circular: la unidad de medida en este sistema es el radián.
Se llama radián al ángulo central que abarca un arco de circunferencia cuya longitud es igual al radio
de la misma.
a
___
r = ob
R
___
_
o
b
ab = ob
^
_ = 1 radián
ab
^
___
_ = ___
ob
Equivalencia entre los sistemas
Los ángulos centrales son proporcionales a los arcos que intersecan, por lo tanto:
___
^
360° ___
360°
1 radián
2/___ob
_
___
___
___
___ ⇒ ______
= ___________
⇒ _______
= ______
= 360° ⇒ 2/ = 360°
ab
long C(o;ob)
ob
2π ob
ob
En la siguiente tabla figuran algunas equivalencias entre los dos sistemas de medición de ángulos.
172
Sistema sexagesimal
Sistema circular
90°
/
__
2
180°
/
270°
3/
__
2
360°
2/
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
/
a. ¿Es cierto que 1° equivale a ____
180 radianes?
b. Si en la calculadora aparece como resultado 125,2°, ¿es equivalente a 125° 2’?
a. SÍ. b. No, equivale a 125° 12’.
42
ACTIVIDADES
Sistema de medición de ángulos
1. Marquen las opciones correctas.
/
a. ¿Cuál ángulo es equivalente a __
3?
90°
120°
X 60°
30°
b. ¿Cuál ángulo es equivalente a 45°?
/
__
2
/
X __
4
/
__
3
/
2
X __
5 /
X 10°
c. ¿Cuáles ángulos son agudos?
/
X __
100°
8
2. Calculen en grados sexagesimales.
a. 4/ =
720°
c. 2 radianes = 114° 35’ 30’’
e. __45 / =
/
b. __
6 =
30°
d. 1,5 / =
f. 2,75 / =
270°
225°
495°
3. Expresen los siguientes ángulos en radianes, en función de /.
a. 120° =
b. 225° =
2 /
__
3
5
__
/
4
c. 315° =
d. 100° =
7 /
__
4
5
__
/
9
e. 135° =
f. 270° =
3 /
__
4
3
__
2 /
4. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. Expliquen los casos donde escribieron F.
/
a. 90° = __
2 V
f. 82,5° = 82° 50’ F
/ F
b. 180° = __
2
c. 4 /= 360°
d. 180 /= 180°
/= 180°
F
720°
F
e. 21° 4’’ = 75 840’’
g. 137,5° = 137° 30’
V
/ F
h. 120° = /+ __
2
2 /
__
3
180° /= 32 400°
i. __41 /+ __61 /= 75°
F
j. __47 /– /= 135°
75 604’’
82° 30’
V
V
173
43
42
44
45
46
47
48
49
50
51
52
Razones trigonométricas
¿Para qué sirve?
INFOACTIVA
PÁGINA 13
Se llaman razones trigonométricas a las que relacionan las longitudes de los lados de un triángulo
rectángulo con los ángulos agudos del mismo.
Razones directas
Razones recíprocas
cateto opuesto
sen ^
_ = ______________
hipotenusa
→
hipotenusa
cosec ^
_ = ______________
cateto opuesto
cateto adyacente
cos ^
_ = _______________
hipotenusa
→
hipotenusa
sec ^
_ = _______________
cateto adyacente
cateto opuesto
tg ^
_ = _______________
cateto adyacente
→
cateto adyacente
cotg ^
_ = _______________
cateto opuesto
Hipotenusa
Cateto
opuesto
_
Cateto adyacente
Según el cuadrante en donde se ubica el ángulo, las razones trigononométricas pueden ser positivas
o negativas.
y 90° = __/ rad
2
x
^
^
^
^
II
I
Si 0° < ` < 90° (cuadrante I): sen ` > 0; cos ` > 0; tg ` > 0
y
^
^
^
^
Si 90° < ` < 180° (cuadrante II): sen ` > 0; cos ` < 0; tg ` < 0 180° = / rad
0° = 2/ rad
_
x
^
^
^
^
Si 180° < ` < 270° (cuadrante III): sen ` < 0; cos ` < 0; tg ` > 0
^
^
^
^
Si 270° < ` < 360° (cuadrante IV): sen ` < 0; cos ` > 0; tg ` < 0
III
IV
3
270° = __
2 / rad
Identidades trigonométricas
Las identidades trigonométricas son igualdades en las cuales aparecen razones trigonométricas y
resultan verdaderas para cualquier valor de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo.
Para demostrar o resolver una identidad trigonométrica se desarrollan uno o ambos miembros de la
misma, tratando de obtener expresiones equivalentes. Para ello se utilizan las relaciones que se establecen entre las razones trigonométricas de un mismo ángulo.
a. 1 + tg2 ^
_= sec2 ^
_
^ = cosec2 _
^
b. 1 + cotg2 _
^ + 1) . (sen _
^ – 1) = –cos2 _
^
c. (sen _
sen2 ^
_ = ______
1
_ + ______
cos2 ^
______
2^
_
_ cos2 ^
cos _ cos2 ^
cos2 ^
_ = ______
sen2 ^
_ + ______
1
______
2^
_
sen _ sen2 ^
_ sen2 ^
^ – 1 = –cos2 _
^
sen2 _
^ + sen2 _
^=1
cos2 _
^ + cos2 _
^=1
sen2 _
^ + cos2 _
^=1
sen2 _
d. cosec ^
_. tg ^
_= sec ^
_
2
e. (sen ^
_+ cos ^
_) = 2. tg ^
_. cos2 ^
_+ 1
sen ^
_ = _____
1 . _____
1
_____
^
sen _ cos ^
_ cos ^
_
sen ^
_ . cos ^
sen2 ^
_ + 2 . sen ^
_. cos ^
_+ cos2 ^
_= 2 . _____
_. cos ^
_+ 1
^
cos _
sen2 ^
_+ cos2 ^
_+ 2 . sen ^
_. cos ^
_= 2 . sen ^
_. cos ^
_+ 1
1
Los casos a., b., c. y e. se verifican por la relación pitagórica. El caso d. se verifica por llegar a la
misma expresión en ambos miembros.
1 = _____
1
_____
cos ^
_ cos ^
_
174
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Es cierto que el producto entre una razón trigonométrica y su recíproca siempre es igual a 1?
¿Y el cociente?
b. En un triángulo rectángulo, si sen _ = cateto opuesto, ¿cuál es el valor de la hipotenusa?
a. Sí. El cociente es igual al cuadrado de la razón trigonométrica. b. La hipotenusa vale 1.
43
ACTIVIDADES
Razones trigonométricas
5. Tengan en cuenta el siguiente triángulo y completen.
c
_
`
a
b
___
__
ab
__
a. sen ^
_ = ___
bc
___
d. cosec ^
_ = ___
bc
ab
___
___
^
bc
___
k. sec ` = ___
bc
__
ab
__
c. tg ^
_ = ___
ac
__
^
ab
__
h. cos ` = ___
bc
__
e. sec ^
_ = ___
ac
bc
^
bc
__
j. cosec ` = ___
ac
bc
__
__
ac
__
b. cos ^
_ = ___
__
__
^
ac
__
g. sen ` = ___
ab
___
__
^
ac
___
i. tg ` = ___
ac
___
f. cotg ^
_ = ___
ab
^
ab
__
l. cotg ` = ___
ac
ab
6. Resuelvan usando la calculadora.
a. sen 46° =
0,7193
f. sen ^
_ = –0,76 ^
_= 310° 32’ 9’’ o 229° 27’ 51’’
b. cos 132° 10’ =
–0,6713
^
^
g. cos `= 0,85 `=
31° 47’ 18’’ o 328° 12’ 42’’
^
^
h. tg b= –1,532 b=
123° 8’ o 303° 8’
c. tg 222° 25’ 36’’ = 0,9139
d. sen 305° 12’ =
–0,8171
^= 0,14 t
^=
i. sen t
8° 2’ 52’’ o 171° 57’ 8’’
e. tg 125° =
–1,4281
j. cos ^
¡= –0,9 ^
¡=
154° 9’ 29’’ o 205° 50’ 31’’
7. Expresen teniendo en cuenta el siguiente cuadrado.
d
c
_
___
a. ao en función de ^
_. ___
___
___
___
___
ob
ao = cos ^
_ . ab ∨ ao = sen ^
_ . ab ∨ ao = ____
___
tg ^
_
__
b. ac en función de ^
_.
__
^
c. bc en función de `.
__
__
___
sen ^
_
cos ^
_
__
ab
bc
ac = ______
∨ ac = ______
o
`
__
^ __ __
oc
bc = cos `. ac ∨ bc = ______
__
^
cos `
a
b
175
43
ACTIVIDADES
Razones trigonométricas
8. Dadas las siguientes gráficas, escriban las razones trigonométricas pedidas.
a.
c.
3
–1
_
t
1
–1
sen ^
_ =
cos ^
_ =
tg ^
_ =
___
__
3______
. 310
10
___
10
3___
10
^=
sen t
2
– 3___
2
^=
cos t
2
– 3___
2
__
^=
tan t
3
b.
1
d.
3
¡
`
4
–2
–2
^
sen ` =
^
cos ` =
^
tg ` =
__
___
3
___
. 13
13 3
___
13
–2 . 3___
13
3
– __
2
5
– 3___
5
sen ^
¡ =
2 __
__
5 . 35
1
– __
2
cos ^
¡ =
tg ^
¡ =
9. Tengan en cuenta el dato y calculen las razones pedidas. Recuerden que los ángulos son del
primer cuadrante.
a. cos ^
_ = __52
__
3
^ = 3___
c. tg t
2
^
_ = 66° 25’ 19’’ sen ^
_ =
_ =
tg ^
0,9165
^ = 40° 53’ 36’’ sen t
^=
t
^=
cos t
2,2913
0,6547
0,7559
__
^
2
b. sen ` = 3___
2
^
` =
^
tg ` =
176
d. cosec ^
¡ = 2,366
^
cos ` =
45°
1
__
2
3___
2
^
¡ =
25° 8’’
cos ^
¡ =
sen ^
¡ =
0,9063
0,4227
43
ACTIVIDADES
Razones trigonométricas
10. Verifiquen las siguientes identidades.
a. cotg ^
_ . sen ^
_= cos ^
_
cos ^
_
______
. sen ^
_ = cos ^
_
sen ^
_
cos ^
_ = cos ^
_
1
b. sec ^
_. tg ^
_. cosec ^
_= ______
2 ^
cos _
sen ^
_ ______
1 . ______
1
1
______
______
.
=
cos ^
_ cos ^
_ sen ^
_ cos2 ^
_
1
1
______
______
=
cos2 ^
_ cos2 ^
_
–1
c. (sec ^
_– cos ^
_) . (sen ^
_) = tg ^
_
^
cos ^
_ ______
sen ^
_
sen ^
_
sen ^
_ sen ^
_
1
_ = ______
_
1 – cos2 ^
sen2 ^
____________
– ______
= sen _ ⇒ ____________
= ______
⇒ ____________
⇒ ______ = ______
cos ^
_ . sen ^
_ sen ^
_ cos ^
_
_
_
cos ^
_ cos ^
_
cos ^
_ . sen ^
_ cos ^
cos ^
_ . sen ^
_ cos ^
2
d. (sen ^
_+ cos ^
_) – 1 = 2 . sen ^
_. cos ^
_
sen2 ^
_ + 2 . sen ^
_ . cos ^
_ + cos2 ^
_ – 1 = 2 . sen ^
_ . cos ^
_
sen2 ^
_ + cos2 ^
_ – 1 = 0
1–1=0⇒0=0
–1
e. cotg ^
_+ tg ^
_= tg ^
_. (sen2 ^
_)
^
cos ^
cos2 ^
_ ______
_ + sen2 ^
_
sen ^
_ ______
1
1
1
1
______
+ sen _ = ______
.
= ____________
⇒ ______________ = ____________
⇒ ____________
sen ^
_ cos ^
_ cos ^
_ sen2 ^
_
sen ^
_ . cos ^
_
cos ^
_ . sen ^
_
sen ^
_ . cos ^
_ cos ^
_ . sen ^
_
f. (sen ^
_+ cos ^
_) . tg ^
_– sec ^
_= sen ^
_– cos ^
_
2 ^
sen2 ^
_
_ ______
_ – 1
sen2 ^
1 = sen ^
______
_________
+ sen ^
_ – ______
_ – cos ^
_ ⇒ ______
– 1 = –cos ^
_ ⇒ sen
= –cos ^
_
^
^
^
^
cos _
cos _
cos _ cos _
cos ^
_
–cos2 ^
_
= –cos ^
_ ⇒ –cos ^
_ = –cos ^
_
⇒ _______
cos ^
_
c
mente ACTIVA
_
Demuestren que si en un triángulo rectángulo el
sen ^
_ = cos ^
_, el triángulo es isósceles.
___
__
___
__
ab
ac
__ = ___
__
sen ^
_ = cos ^
_ ⇒ ___
⇒ ab = ac ⇒ El triángulo
bc
bc
abc es isósceles.
a
b
177
44
43
45
46
47
48
49
50
51
52
53
Valores exactos y aproximados
INFOACTIVA
La tabla muestra los valores exactos de las funciones trigonométricas de ángulos particulares.
_
sen ^
_
cos ^
0°
/
__
6 = 30°
0
1
__
2
1
/
__
4 = 45°
__
__
3
3___
2
1
1
__
2
0
2
__
__
3
3___
2
2
3___
2
__
3
3___
3
0
/
__
2 = 90°
2
3___
__
_
tg ^
/
__
3 = 60°
1
33
No existe.
Relaciones entre las funciones trigonométricas de un mismo ángulo del cuadrante I
Las funciones trigonométricas de ángulos de cualquier cuadrante se pueden relacionar con funciones
trigonométricas de ángulos del cuadrante I.
Ángulos suplementarios:
/ ^
/ ^
__
^
sen ^
_ = cos ( __
2 – _) ∧ cos _ = sen ( 2 – _)
sen ^
_ = sen (/ – ^
_) ∧ cos ^
_ = –cos (/ – ^
_)
Ángulos que difieren de /:
sen ^
_ = –sen (/ + ^
_) ∧ cos ^
_ = –cos (/ + ^
_)
Ángulos que suman 2/:
sen ^
_ = –sen (2/ – ^
_) ∧ cos ^
_ = cos (2/ – ^
_)
Ángulos que difieren de 2/:
sen ^
_ = sen (2/ + ^
_) ∧ cos ^
_ = cos (2/ + ^
_)
Ángulos opuestos:
sen ^
_ = –sen (–^
_) ∧ cos ^
_ = cos (–^
_)
Ángulos complementarios:
Escriban cada expresión trigonométrica como una expresión de un ángulo del primer cuadrante.
Luego, resuelvan.
1
a. sen 150º = sen (180º – 30º) = sen 30º = __
2
__
2
b. cos 225º = cos (180º + 45º) = –cos 45º = – 3___
2
__
c. tg 300º =
3
– 3__
__
sen
(360º – 60º) ________
2 = –33
–sen
60º
_______________
____
=
=
cos 60º
1
cos (360º – 60º)
__
2
__
33
2__ = 2____
1__ = ___
11 π = ___________
1
1 = ___
_____
d. sec ___
π
π =
__
__
6
3
(
cos 2π –
6
)
cos
6
3__
3
2
5 π = __________
1
1 = __
1
_____
e. cosec __
π 1 =2
π =
__
__
6
(
sen π –
178
6
)
sen
6
__
2
33
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Si sen ^
_ = –sen (–^
_), ¿es correcto pensar que cos ^
_ = –cos (–^
_)?
b. ¿Es cierto que sen 330° = sen 30°?
a. No, porque ambas funciones no se identifican con el mismo cateto. b. No, porque también se debe considerar el cuadrante al que pertenece el ángulo, para evaluar el signo sen 330° = –sen 30°.
44
ACTIVIDADES
Valores exactos y aproximados
11. Marquen las opciones correctas.
a. ¿Cuál es el seno de 210°?
1
__
2
X – __1
2
__
__
3
3___
2
3
– 3___
2
/
b. ¿Cuál es la tangente de __
4?
0
–1
X 1
sen ( / – ^
_)
X −sen ( –^
_)
No existe.
c. ¿Cuál es el seno de ^
_?
/ ^
sen __
2 – _
(
)
X sen ( 2/ + ^
_)
12. Unan con una flecha las relaciones que pertenecen al mismo ángulo.
/
a. sen ( / – __
8)
/
–cos __
8
/
b. cos ( /+ __
8)
/
cos ( – __
8)
/
c. tg ( – __
8)
/
sen __
8
/ __
/
d. sen ( __
2 – 8)
/
–sen __
8
/
e. cos __
8
/
–tg __
8
/
f. sen ( 2/– __
8)
/
cos __
8
13. Resuelvan buscando la equivalencia con un ángulo del primer cuadrante.
__
3
3___
2
a. sen __31 / =
( )
e. –cos __23 / =
( )
__
b. cos – __45 / =
(
)
2
– 3___
2
__
c. tg __35 / =
( )
– 33
1
11
– __
d. –sen – __
2
6 / =
(
)
0
__
– 3
f. –tg __34 / = 3
( )
__
2
3___
g. sen __43 / = 2
( )
__
2
3___
h. –cos __47 / = – 2
( )
179
45
44
46
47
48
49
50
51
52
53
54
Ecuaciones trigonométricas
INFOACTIVA
Las ecuaciones trigonométricas son aquellas en las que la incógnita está afectada por una función
trigonométrica. Se pueden resolver utilizando distintos procedimientos.
Los siguientes son ejemplos de la resolución de ecuaciones trigonométricas.
Hallen los valores de ^
_que hacen verdaderas las ecuaciones, sabiendo que ^
_D [0;2/)
a. 2 . sen ^
_– 1 = 0
1⇒^
_= __
_= 30º ∨ ^
_= 150º
sen ^
2
1
_) + 1 = __
b. cos (π – ^
2
1⇒ ^
–cos ^
_= – __
_= 60º ∨ ^
_= 300º
2
3
_= __
c. cos2 ^
4
__
3
cos ^
_= ± 3___
2
__
3⇒ ^
cos ^
_= + 3__
_= 30º ∨ ^
_= 300º
2
__
3⇒ ^
_= – 3__
_= 150º ∨ ^
_= 210º
cos ^
2
_– 2 . sen ^
_= –1
d. sen2 ^
_+ 1 = 0
sen2 – 2 . sen ^
_– 1) = 0
(sen ^
2
_= 1 ⇒ ^
_= 90º
sen ^
_– 3 . sen ^
_= 1
e. 4. sen2 ^
_– 3 . sen ^
_– 1 = 0
4. sen2 ^
_)
4 . t2 – 3t – 1 = 0 (t = sen ^
1
_= 1 ∨ sen ^
_= – __
sen ^
4
^
_= 90º ∨ ^
_= 194º 28’ 39,04’’ ∨ ^
_= 345º 31’ 20,96’’
180
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Cuántas soluciones tiene la ecuación sen2 ^
_ = __21 en el intervalo [0;/)?
b. ¿Es cierto que el cos ^
_ nunca puede ser 1?
3
/ ^
a. Tiene 2 soluciones: ^
_1 = __
y _2 = __ /. b. No. Por ejemplo, cos 0° = 1.
4
4
45
ACTIVIDADES
Ecuaciones trigonométricas
14. Marquen las opciones correctas.
__
2
/
3___
a. ¿Cuál es la solución de cos ( x + __
6) = 2 para x D [0;2/)?
/
X ___
12
19
X ___
12 /
/
– ___
12
19
– ___
12 /
b. ¿Cuál es la solución de 2 . sen2 x = 1 para x D [0;/)?
5
__
4/
7
__
4/
/
X __
3
X __
4/
4
15. Relacionen cada ecuación con su solución, sabiendo que ^
_ D [0;2/).
4
/ __
__
3; 3 /
a. sen ^
_ = __23
b. cos ^
_ = – __1
__
11
__67 /; __
6 /
2
c. tg ^
_ = 33
No existe.
d. 2 . sen ^
_ = –1
5
/ __
__
3; 3 /
e. 4 . cos ^
_ = 2
__32 /; __34 /
__
7
/ __
__
6; 6 /
f. 3 . tg ^
_ = 33
16. Encuentren los valores de ^
_ D [0;2/) que verifiquen las ecuaciones.
a. 2 . cos ^
_ – 1 = 0
5
/ __
S: __
; /
3 3
(
)
3
/ __
S: __
; /
4 4
__
b. 4 . sen ^
_+ 2 . 33 = 0
4
5
/; __
/
S: __
3
3
__
c. tg ^
_+ 33 = 0
5
2 /; __
/
S: __
3
3
/
1
__
d. sen ( _+ __
4) = 2
7
S: ___
12 /
__
2
e. cos ^
_– __23 / + 3___
2 = 0
f. sen2 ^
_ – __43 = 0
4
5
/ __
S: __
; 2 /; __ /; __ /
3 3
3
3
g. cos2 ^
_– 1 = 0
S: /; 0
h. cos2 ^
_ – 2 . cos ^
_+ 1 = 0
S: 0
181
INTEGRACIÓN
17. Completen la tabla.
20. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según
Sistema sexagesimal
Sistema circular
135°
3
__
/
4
3
__ /
2
/
__
4
5
__
4 /
270°
45°
225°
177° 53' 14''
3
–135°
5
__
4 /
7
__
/
6
5
___
18 /
210°
50°
corresponda.
a. Si el seno de un ángulo es __21 , la secante es
2.
F
b. Si la cosecante de un ángulo es 3,2, el seno
es 0,3125. V
c. La cotangente de un ángulo es igual a la
inversa de la tangente del ángulo complementario.
F
d. La cosecante de un ángulo es igual a la
inversa del coseno del mismo ángulo. F
18. Marquen las opciones
correctas.
__
3
^
a. Si sen ^
_ = 3___
2 y 90° < _ < 180°, ¿cuál es el
^
coseno de _?
__
3
3___
2
1
__
2
X − __1
2
3
− 3___
2
__
__
__
33
1
−1
c. Si cos ^
_ = __21 y ^
_ < 90°, ¿cuál es el seno de ^
_?
__
__
3
− 3___
2
3
X 3___
2
− __21
1
__
2
d. Si cos ^
_ = __21 y ^
_ < 90°, ¿cuál es la tangente
^
de _?
__
__
–33
X 33
0
No existe.
19. Hallen los ángulos de las siguientes expresiones.
a. cosec ^
_= 1,753
^
b. sec ` = 3,094
^
c. cotg b = 0,251
^ = 10,75
d. sec t
e. cosec ^
¡ = 2,09
f. cotg ^
a = 5
182
entre la hipotenusa y el cateto adyacente del
__
3
^
b. Si sen ^
_ = 3___
2 y 90° < _ < 180°, ¿cuál es la
tangente de ^
_?
X –33
e. La secante de un ángulo es igual a la razón
34° 46’ 54’’
71° 8’ 35’’
75° 54’ 35’’
84° 39’ 45’’
ángulo.
V
f. Si el seno de un ángulo es 0,5, el ángulo
mide 60°.
F
g. El coseno es positivo en ángulos que pertenecen a los cuadrantes I y II.
21. Resuelvan las siguientes identidades.
cotg ^
_ ______
a. ______
= 1^
sec ^
_
sen _
^
^
^
^
b. cosec `– sen `= cotg `. cos `
^. tg t
^ + cos t
^ = cos–1 t
^
c. sen t
d. 1 – sec2 ^
¡ = –tg2 ^
¡
2 ^
e. (1 – sen a) . cosec2 ^
a = 1
^
^
f. (cosec m – cotg m). sen ^
m = 1 – cos ^
m
sen2 ^
/
g. _________
= 1 – cos ^
/
1 + cos ^
/
^
^
h. 1 – cosec2 ` = cotg2 `
^
^
^
^
i. (cotg b+ 1). sen b = sen b + cos b
2 ^
^
. cosec2
_______________
^– cos2 t
^= cos
j. cotg2 t
2 ^
sec
Solución a cargo del alumno.
28° 35’ 8’’
11° 18’ 36’’
F
capítulo
CONTENIDOS
8
42*43*44*45
_.
22. Expresen cada relación en función del sen ^
_________
a. cos ^
_=
^
b. tg _ =
c. cotg ^
_ =
d. cosec ^
_=
e. sec ^
_=
_
sen ^
_________
a. ±31 – sen2 ^
_ b. _____________
±31 – sen2 ^
_
_________
2 ^
±
1
–
sen
_
1
3
____________
______
c.
d.
sen ^
_
sen ^
_
corresponda.
23. Tengan en cuenta los datos y calculen el
valor de las funciones
pedidas.
__
2
a. sen ^
_= – 3___
y
180°
< _< 270°
2
__
2
^
– 3___
1
cos ^
_=
2
; tg _=
__
__
^
–32
–32
cosec ^
_=
_=
sec
;
__
__
^
–33
; tg `=
^
2 __
– __
3
2
33
; sec `=
3
– 3___
2
c. tg ^
¡ = 1 y 0° < ^
¡< 90°
__
2
3___
sen ^
¡=
2
cotg ^
¡=
1
a. Si el seno de un ángulo es negativo, el
ángulo pertenece al segundo o tercer cuadrante.
F
Al 3° o al 4°.
b. Si el coseno de un ángulo es positivo y el
seno del mismo ángulo es negativo, el ángulo
^
^
b. cos ` = __21 y 270° < `< 360°
^
cosec `=
^
_= 15° 4’
27. Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según
1
_________
e. ____________
±31 – sen2 ^
_
^
sen `=
26. Tengan en cuenta los datos y hallen el valor
_.
de ^
^
_ pertenece al primer cuadrante.
cos (55° + ^
_) = 0,342
pertenece al cuarto cuadrante.
V
c. Si un ángulo pertenece al segundo cuadrante,
la tangente de dicho ángulo es positiva.
F
d. Si la tangente de un ángulo es positiva,
__
^
; cos ¡=
^
; cosec ¡=
2
3___
entonces dicho ángulo pertenece al tercer
2
__
32
cuadrante.
F
O al 1.°.
e. Si el coseno de un ángulo es positivo y la
24. Expresen como funciones del primer cuadrante.
16
a. sen ___
9 / =
2 /
–sen __
9
cuarto cuadrante.
/
__
3
/
– tg __
4
f. La tangente y la secante de un ángulo no
–cos
b. cos __34 /=
c. tg __43 /=
25. Hallen todos los valores ^
_ entre [0;2/].
a. sen ^
_ = 0
^
b. sen
_ = 1 __
3
^
c. sen _ = – 3___
S: /; 2/; 0
d. cos ^
_ = –1
e. cos ^
_ = __1
S: /
2
2__
2
f. cos ^
_ = 3___
2
g. tg ^
_ = –1
__
h. tg ^
_ = – 33
__
3
i. tg ^
_ = 3___
3
tangente es negativa, el ángulo pertenece al
/
S: __
2
4
5
__
S: 3 /; __
/
3
5
/ __
; /
S: __
3 3
7
/ __
S: __
; /
4 4
V
están definidas para valores que anulan el
seno. F
El coseno.
g. Si un ángulo pertenece al segundo cuadrante, el seno y la tangente son negativos.
F
28. Resuelvan las ecuaciones considerando los
_ D [0;2/].
valores de ^
5
/ __
a. ^
_ = __
; /
4 4
/
= 0
a. cos ^
_ + __
(
4
)
3
_ = __
/
b. ^
3
7
/; __
/
S: __
4
4
5
2
__
__
S: 3 /; 3 /
4
b. sen 2^
_ + 1 = 0
/ __
2 /
__
^
c. _ = 3; 3
/
c. 2 . sen 2^
_ – __
=
1
2
5
13
_ = ___
/; ___
/
d. ^
/
24
24
d. 2 . cos 2^
_ + __
4 = –1
7 __
11
__
^
e. _= /; 6 /; 6 /;
e. 2 . sen2 ^
_ + sen ^
_ = 0
7
/ __
S: __
; /
6 6
f. cos2 ^
_ – cos ^
_ = 0
(
(
)
)
0; 2/
3
/ __
f. ^
_= __
2; 2 /; 0; 2/
183
46
45
47
48
49
50
51
52
53
54
55
Triángulos rectángulos
INFOACTIVA
Resolver un triángulo rectángulo consiste en averiguar la longitud de sus tres lados y la amplitud
de sus ángulos agudos.
Un triángulo rectángulo queda determinado con dos de sus lados o con un lado y uno de sus ángulos agudos.
Resolución de triángulos rectángulos
Dados dos catetos o un cateto y la hipotenusa.
Datos:
Dos catetos
__
bc = 12,1 cm
__
Cateto e hipotenusa
{ ab = 8,6 cm
c
__
^
Hallen b , ^
c y ac.
__
Para calcular
ac se puede________
aplicar
de Pitágoras:
___________________
__
__
__
__ el teorema
__
__
__
2
bc2 = ab
+ ac2 ⇒ ac = 3bc2 – ab2 ⇒ ac = 3__________
(12,1 cm)2 – (8,6 cm)2 ⇒
_____________________
__
__
__
2
2
ac = 3146,41 cm – 73,96 cm ⇒ ac = 372,45 cm2 ⇒ ac ≅ 8,51 cm
a
b
^
Para calcular
__ c se debe recurrir a una función trigonométrica que vincule los datos con el ángulo:
8,6 cm
ab
__ ⇒ sen ^
c = ________
⇒^
c = arc sen 0,71 ⇒ ^
c ≅ 45º 17' 43,7''
sen ^
c = ___
12,1 cm
bc
^
Para calcular
__ b se razona de forma análoga:
^ __
^
^
8,6 cm
ab ⇒ cos ^
cos b = ___
b = ________
⇒ b = arc cos 0,71 ⇒ b ≅ 44º 42' 16,3''
12,1 cm
bc
Dados un ángulo agudo y uno de sus lados.
Ángulo agudo y cateto
c
{
^
b = 35º
Datos: __
ab = 12 cm
__
Ángulo agudo e hipotenusa
__
Hallen ^
c , ac y bc.
Para calcular ^
c se aplica la propiedad de los ángulos agudos:
^
^
^
c + b = 90º ⇒ ^
c = 90º – b ⇒ ^
c = 90º – 35º ⇒ ^
c = 55º
a
__
b
Para calcular
ac se debe recurrir a una función trigonométrica que vincule los datos con el lado:
__
__ __
__
^ __
^ ___
ac
__
tg b = ⇒ ac = ab . tg b ⇒ ac = 12 cm . tg 35º ⇒ ac ≅ 8,4 cm
ab
__
Para calcular
en__forma análoga:__
__ bc
__
__se razona
^ __
ab ⇒ bc = _____
ab ⇒ bc = _______
12 cm ⇒ bc ≅ 14,65 cm
cos b = ___
cos 35º
bc
184
^
cos b
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Si se tienen como datos un cateto y un ángulo agudo adyacente, para averiguar el resto
de los elementos del triángulo, ¿se deben emplear las relaciones trigonométricas?
b. Si se tienen como datos dos catetos, ¿qué relación trigonométrica se puede aplicar para
averiguar un ángulo? a. Sí. b. La tangente.
46
ACTIVIDADES
Triángulos rectángulos
29. Resuelvan los siguientes triángulos rectángulos.
c
a.
a
c.
___
__
ab
= 10,5 cm
__
bc = 7,2 cm
cb = 9,2 cm
^
b = 32°
a
b
__
ac = 12,73 cm ; ^
a = 34° 26’ 20’’ ; ^
c = 55° 33’ 40’’
b.
c
c
b
___
d.
a
__
ab
= 5,5 cm
__
bc = 12,8 cm
b
__
^
ac = 11,56 cm ; b = 64° 33’ 8’’ ; ^
c = 25° 26’ 52’’
30. Calculen
el perímetro de cada triángulo.
___
c
a. cd = 6 cm
a
d
; ac = 5,75 cm
c
___
a
__
ab = 10,85 cm ; ^
a = 58°
bc = 7,3 cm
^
a = 61°
b
^
b =
29°
___
3,54 cm
6,38 cm
; ab =
c
b. ad = 7 cm
^
c = 40°
b
___
__
; ac =
a
d
b
__
Perímetro = 12 . 33 cm
Perímetro =
54,93 cm
185
46
ACTIVIDADES
Triángulos rectángulos
31. Lean atentamente y resuelvan.
a. Una escalera de 5,5 cm se apoya en una pared formando un ángulo con el piso de 71°. ¿A qué
altura de la pared llega la escalera?
5,20 m
escalera
pared
piso
71°
b. Se debe colocar una rampa de 2,8 m de largo para facilitar el acceso a un edificio cuya entrada
se encuentra a 1,2 m de altura. ¿Qué ángulo forma la rampa con el suelo?
25° 22’ 37’’
rampa
suelo
c. La sombra de un árbol que mide 3,5 m a cierta hora del día es de 6,2 m. ¿Qué ángulo forman
los rayos del sol con el árbol?
60° 33’ 16’’
rayo de Sol
árbol
sombra
d. Una escalera mide 225 cm de longitud. Cuando está totalmente abierta, la distancia entre el pie
de la escalera con su soporte es de 98 cm. ¿A qué altura se encuentra el extremo superior de la
escalera?
2,20 m
escalera
soporte
e. Un niño remonta un barrilete desde una altura de 1,32 m y está usando 25 m de hilo. Si el
ángulo que forma el hilo con el suelo es de 35°, ¿a qué altura se encuentra el barrilete?
14,34 m + 1,32 m = 15,66 m
altura desde
donde sostiene
el niño
35°
hilo
suelo
186
46
ACTIVIDADES
Triángulos rectángulos
32. Lean atentamente, realicen un gráfico que represente la situación y resuelvan.
a. Se quiere apoyar una escalera de 4,8 m de longitud contra una pared. Si para que no haya peligro de que se caiga, debe formar un ángulo de 35° con la pared, ¿a qué distancia se debe ubicar
la base de la escalera?
2,75 m
b. Un poste de electricidad de 5 m de altura tiene que sujetarse con dos tensores desde su extremo superior hasta el piso. Si los tensores deben formar ángulos de 50° con el suelo, ¿cuántos
metros se necesitan?
13,05 m
c. La sombra de una persona de 1,70 m de alto, generada por un foco de luz, es de 3,40 m. ¿Qué
altura tiene el foco si se sabe que este se encuentra a 4 m de esa persona?
3,70 m
d. Un teodolito determina que desde un punto ubicado en el suelo hasta la cima de un monte hay
40°. Si ubica el teodolito a 300 m del punto anterior más cerca de la base del monte, dicho ángulo
es de 65°. ¿Cuánto mide el monte?
413,54 m
mente ACTIVA
¿A qué altura se encuentra sentado un
observador que está en la terraza de la
casa?
Altura de la casa: 16,09 m.
Casa
x ∧ tg 65° = __
x
tg 50° = _____
y
y+6
115°
50°
6m
187
47
46
48
49
50
51
52
53
54
55
Teoremas del seno y del coseno
INFOACTIVA
Los teoremas del seno y del coseno son dos de los teoremas más usados en trigonometría.
Teorema del seno
En todo triángulo los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.
___
c
__
__
ac
bc
ab
______
= ______
= ______
^
sen ^
c
sen ^
a
sen b
a
b
Este teorema se puede demostrar de la siguiente manera:
^ ___
H
H
__
__
sen ^
a = ___
ac ∧ sen b = bc
__
__
^
H = ac . sen ^
a ∧ H = bc . sen b
c
H
__
^
ac . sen ^
a = bc . sen b
__
a
__
__
ac
bc
______
= ______
^
sen ^
a
sen b
b
__
__
sen b
sen c
ac
ab
Análogamente, se puede determinar que ______
= ______
.
^
^
__
__
__
sen b
sen c
ac
bc
ab
Por lo tanto, ______
= ______
= ______
.
^
^
^
sen a
Teorema del coseno
El cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos
lados menos el doble del producto de dichos lados por el coseno del ángulo que determinan.
___
__
c
___
__
__
2
2
bc = ab + ac2 – 2 . ab . ac . cos ^
a
__
___
__
___
__
^
2
2
2
ac = bc + ab – 2 . bc . ab . cos b
___
__
__ __
__
2
2
ab = bc + ac2 – 2 . bc . ac . cos ^
c
a
b
El teorema de Pitágoras es un caso particular del teorema del coseno.
__
___
__
___ __
c
bc = ab + ac – 2 . ab . ac . cos ^
a
__
2
2
2
___
2
2
__
___ __
bc = ab + ac2 – 2 . ab . ac . cos 90°
__
2
___
2
__
bc = ab + ac2
a
188
b
56
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. En los triángulos rectángulos, ¿se verifica el teorema del seno?
b. ¿Es cierto que si se conocen los tres lados de un triángulo, se puede utilizar el teorema
del coseno para averiguar cualquiera de sus ángulos interiores?
a. Sí, es válido para todos los triángulos. b. Sí.
47
ACTIVIDADES
Teoremas del seno y del coseno
33. Observen los triángulos y completen teniendo en cuenta el teorema del seno o del coseno.
c
a.
b.
c
20°
17 cm
9,75 cm
45 cm
33,4 cm
120°
40°
a
sen 20°
22 cm
17,77 cm
sen 40°
sen 120°
_____________ = _____________ = _____________
17,77
25°
a
b
33,4
45
2
9,75 =
2
17
b
2
+ 22
– 2 . 17
. 22
. cos 25°
34. Tengan en cuenta los datos y verifiquen si las medidas de los triángulos son correctas usando el
teorema del seno o del coseno.
^
a. __
a = 46°; ^
c = 52°;
__
bc = 7 m; ac = 11 m
No.
^
b. ___
a = 20°; ^
c = 125°;
__
ab = 15 m; ac = 12 m
No.
^
c. ___
b = 49°; ^
c = 108°;
__
ab = 30,43 m; bc = 12,5 m
Sí.
___
^
d. __
a = 59°; ab = 11 m;
__
bc = 16 m; ac = 9 m
No.
___
^
e. __
c = 131°; ab = 24,57 m;
__
bc = 13 m; ac = 14 m
Sí.
___
^
f. __
b = 27°; ab = 4,7 m;
__
bc = 4,7 m; ac = 2,5 m
No.
189
48
47
49
50
51
52
53
54
55
56
57
Triángulos oblicuángulos
INFOACTIVA
Un triángulo es oblicuángulo cuando ninguno de sus ángulos interiores es recto, y resolverlo es
hallar el valor de sus tres ángulos y sus tres lados. Para ello hay que aplicar los teoremas del seno,
del coseno y la propiedad de la suma de sus ángulos interiores, que es igual a 180°.
Se pueden presentar distintos casos.
Dos lados y el ángulo comprendido
Un lado y dos ángulos
Los tres lados
Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos
Para resolver un triángulo oblicuángulo dados sus tres lados, se pueden seguir estos pasos.
^ ^
1.
aplica__
el teorema del
__ Se __
__ coseno para calcular a y b .
__
2
2
bc = ac2 + ab – 2 . ac . ab . cos ^
a
__
__
c
__
bc2 – ac2 –__
ab2
cos ^
a = ____________
__
9 cm
–2 . ac . ab
(9 cm)2 – (6,2 cm)2 – (4,8 cm)2
cos ^
a = _________________________
⇒^
a ≅ 109° 8’ 41,35’’
– 2 . 6,2 cm . 4,8 cm
6,2 cm
__
__
__ __
^
ac = ab2 + bc2 – 2 . ab . bc . cos b
__2
__
a
__
2
^ __
ac2 – ab
bc2
__ –__
cos b = ____________
–2 . ab . bc
^ (6,2 cm)2 – (4,8 cm)2 – (9 cm)2
^
cos b = _________________________
⇒ b ≅ 40° 36’ 3,82’’
–2 . 4,8 cm . 9 cm
2. Se aplica la suma de los ángulos interiores de un triángulo para calcular ^
c.
^
^
a + b +^
c = 180°
^
^
c = 180° – ^
a–b
^
c = 180° – 109° 8’ 41,35’’ – 40° 36’ 3,82’’ ⇒ ^
c ≅ 30° 15’ 14,83’’
190
4,8 cm
b
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Si se quiere resolver un triángulo oblicuángulo teniendo como datos dos ángulos y un
lado, ¿se puede aplicar el teorema del seno para obtener cualquiera de los otros dos lados?
b. ¿Es cierto que para aplicar el teorema del coseno alcanza con tener dos lados y un ángulo?
a. Sí, pero dependiendo de qué lado se busque, se puede necesitar calcular el otro ángulo teniendo en cuenta
la suma de los ángulos interiores de un triángulo. b. No, el ángulo debe ser el formado por esos dos lados. De
lo contrario se debe utilizar el teorema del seno para conocer los otros ángulos.
48
ACTIVIDADES
Triángulos oblicuángulos
35. Calculen lo pedido en cada caso.
a.
d.
c
c
57°
22°
58 cm
100 cm
63°
45°
a
a
b
___
__
^
ab = 54,59 cm ; ac = 56,37 cm ; b =
__
60°
c
b.
b
___
^
bc = 76,82 cm ; ab = 40,70 cm ; b =
e.
113°
c
40°
11 cm
9 cm
40 cm
60 cm
76°
a
b
a
___
^
ab = 7,09 cm ; ^
a = 54° 38’ 14’’ ; b = 85° 21’ 46’’
___
^
b = 40° 18’ 20’’ ; ^
c = 63° 41’ 40’’ ; ab = 55,43 cm
c
c.
c
f.
15 cm
b
16 cm
27 cm
a
29 cm
b
^
^
a = 21° 24’ 12’ ; b = 20° 23’’ ; ^
c = 138° 35’ 25’’
a
40 cm
38 cm
b
^
^
a = 73° 47’ 7’’ ; b = 40° 24’ 8’’ ; ^
c = 65° 48’ 45’’
191
48
ACTIVIDADES
Triángulos oblicuángulos
36. Observen las figuras y calculen lo pedido en cada caso.
___
__
a. Calculen los lados del paralelogramo si ac = 80 cm y bd = 72 cm.
___
d
c
__
___
__
ad = bc = 62,30 cm; ab = cd = 43,71 cm.
70°
a
b
b. Calculen el perímetro del siguiente triángulo.
c
Perímetro = 212,5 cm
27°
65°
a
b
90 cm
c. Calculen la diagonal del trapecio isósceles.
d
Diagonal: 21 cm.
c
15 cm
63°
a
b
23 cm
d. Calculen la longitud de cada lado del siguiente pentágono regular.
e
___
ab = 35,23 cm
a
d
57 cm
b
c
37. Observen el gráfico y respondan.
a. ¿Cuál es la distancia de cada barco hasta el faro?
Barco A: 3 402,75 m; barco B: 3 248,99 m.
barco A
71°
faro
1560 m
82°
barco B
b. ¿Cuál es la distancia entre los dos árboles?
árbol
15 m
Poste
63°
17 m
192
árbol
Distancia: 16,81 m.
48
ACTIVIDADES
Triángulos oblicuángulos
38. Planteen y resuelvan las siguientes situaciones.
a. Un árbol que se encuentra a 1 780 m de una montaña (A) y a 2 013 m de otra montaña (B),
forma un ángulo entre ambas de 38°. Calculen la distancia entre ambas montañas.
1 254,38 m
b. Una persona ubicada en una plaza observa dos casas, una de ellas a 150 m y la otra a 120 m,
formando un ángulo de 100°, aproximadamente. ¿A qué distancia se encuentran ambas casas?
207,73 m
c. La distancia entre Santa Rosa y Rosario es de 526 km; entre Rosario y Lobos, de 288 km y entre
Lobos y Santa Rosa, 495 km. Si se toma cada ciudad como el punto de un triángulo, ¿qué ángulo
se forma con Lobos como vértice?
79° 38’ 9,9’’
d. Dos carreteras rectas se cruzan formando un ángulo de 57°. Un edificio (A) está situado a 576 m
de ese cruce y otro edificio (B), a 403 m del mismo cruce. Calculen la distancia entre ambos edificios.
491,26 m o 864,31 m (porque se puede pensar que está del otro lado de la ruta, con ángulo de 123°).
mente ACTIVA
c
Dado el triángulo __
abc oblicuángulo,
__
calculen la altura ch, ac y ^
a.
4 cm
__
ch = 2,68 cm
__
ac = 6,59 cm
^
a = 23° 56’ 38’’
a
h
9 cm
42°
b
193
INTEGRACIÓN
39. Tengan en cuenta la siguiente figura y los
datos dados en cada caso y resuelvan.
p
m
n
___
___
a. mp = 12,3 cm; mn = 15,7 cm
___
n = 38° 4’ 36’’;
Calculen ^
n, ^
p y np. ^
41. Lean atentamente y resuelvan.
a. Un teodolito determina que desde un punto
en el suelo hasta la cima de una montaña hay
un ángulo de elevación de 30°. Si luego el teodolito se ubica 200 m más cerca de la montaña, el ángulo de elevación es de 45°. ¿Cuál es
la altura de la montaña?
273,21 m.
montaña
___
^
p = 51° 55’ 24’’; np = 19,94 cm
___
___
b. mn = 8,7 cm; mp = 13,4 cm
___ ___
Calculen n^, ^
p y np. np = 15,98 cm;
^
^ = 57° 22’’
p =
___32° 59’ 38’’; n___
c. np = 10,5 cm; mp = 4,9 cm
___
n = 27° 49’ 5’’;
Calculen ^
n, ^
p y mn. ^
___
^
p = 62° 10’ 55’’; ___
nm = 9,29
___ cm
^
d. p = 45° 50’; mp = 314 cm
___ ___ ^
Calculen
mn, np___y n .
___
30°
45°
200 m
b. Calculen la altura de un edificio, sabiendo
que proyecta una sombra de 230 m cuando los
rayos del sol forman un ángulo de 13° 15’ con
el horizonte. 54,16 m
sol
mn = 3,85 cm, np = 5,37 cm, ^
n = 44° 10’
__
___
e. ^
n = 39° 20’’; np = 2 . 33 cm
___ ___ ^
Calculen
mp, mn
y p.
___
___
edificio
mp = 2,18 cm, nm =___
2,69 cm, ^
p = 50° 59’ 40’’
___
f. ^
p = 62°; mn = 3 15 cm
___ ___
Calculen ^
n , mp y np.
___
___
^
n = 28°, np = 4,39 cm, mp = 2,06 cm
40. Indiquen el valor de los ángulos solicitados
en cada caso.
a.
b.
42. Hallen el perímetro y el área de los triángulos abc y abd.
a
d
c
7 cm
Perímetro trián. abc = 45,89 cm,
área trián. abc = 88,96 cm2.
Perímetro trián. abd = 28,88 cm,
área trián. abd = 35,22 cm2.
12 cm
4 cm
_
a
13° 15’
^
_= 34° 51’
b
51°
b
c
`
^
`= 48° 21’ 59’’
8 cm
c
43. Escriban V (Verdadero) o F (Falso).
a. En todo triángulo los lados son proporcionales
a
b
9 cm
c
c.
5 cm
b. El teorema de Pitágoras es un caso particular
4 cm
a
a
^
a= 63° 12’ 42’’
con tener los tres ángulos como datos.
c
15 cm
del teorema del seno. F
c. Para aplicar el teorema del coseno alcanza
b
3,5 cm
d.
a los cosenos de los ángulos opuestos. F
^
¡ = 29° 55’ 35’’
F
d. Cuando se aplica el teorema del coseno
alcanza con tener tres lados como datos. V
a
194
¡
13 cm
b
capítulo
CONTENIDOS
8
46*47*48
44. Verifiquen los datos de los siguientes triángulos. Redondeen a los centésimos.
a.
a. Se quiere calcular la distancia entre dos árboles que están separados por un lago. Se sabe
que un poste está a 13 m de un árbol y a 16 m
del otro y que el ángulo comprendido es de
65°. ¿Cuál es la distancia entre los árboles?
b. Un mojón marca el origen de dos bicisendas
que se abren con un ángulo de 53° 20’. Dos
ciclistas parten del mojón por caminos diferentes y recorren 103 m y 135 m, respectivamente.
¿Qué distancia los separa?
c
No se verifica.
10,62 m
4,2 m
110°
a
b
3,5 m
b.
c
Se verifica.
14,81 m
48. Lean atentamente y resuelvan.
12,1 m
a. 15,79 m. b. 110,58 m.
49. Calculen el área y el perímetro de las
42°
55°
a
siguientes figuras.
a. d 9,85 cm
b
17,95 m
c
45. Resuelvan los triángulos aplicando el teorema del seno cuando sea posible.
c
a.
70°
a
^
c = 58°
___
bc = 9,29 cm
__
ac = 3,53 cm
b
d
b.
100°
22°
a
50°
b
8 cm
b.
a 20 cm
c
c
Área: 102,20 cm2
Perímetro: 46,38 cm
^
b = 44° 52’ 32’’
^
c = 38° 7’ 28’’
__
ac = 11,25 cm
a
Área: 109,3 cm2
Perímetro: 43,84 cm
9 cm
18°
7 cm
97°
8 cm
b
46. Calculen lo pedido en cada caso.
b
c.
e
a. El área de un triángulo equilátero cuyo lado
es de 12 cm.
b. El perímetro de un rectángulo cuya diagonal
mide 24 cm y el ángulo formado por esta y
uno de sus lados es de 36°.
f
a
c
10 cm
b
a. 62,35 cm2. b. 67,04 cm.
47. Tengan en cuenta los datos y calculen los
d.
lados y ángulos restantes.
__
a. ^r = 29°;__^t = 47°; st =__ 12,9 cm
^t = 43°, rs = 16,4 cm; st = 5 cm
__
__
__
c
d
12 cm
38°
^
s = 104°, rs = 19,46 cm; rt = 25,82 cm
__
b. ^r = 12°;__^
s = 125°; rt__= 19,7 cm
17 cm
Área: 183 cm2
Perímetro: 73,54 cm
25° 45’ 32”
a
e.
Área: 259,8 cm2
Perímetro: 60 cm
d
b
d
c
c. rs = 33 cm; st = 27 cm; rt = 39 cm
^r = 43° 2’ 57’’,__^t = 56° 32’ __
42’’; ^
s = 80° 24’ 21’’
__
d. rs = 1,5 cm; st = 1,6 cm; rt = 2,9 cm
^t = 20° 23’’; ^
s = 138° 35’ 25’’; ^r = 21° 24’ 12’’
__
__
e. ^
s =
__ 100°; rs = 6 cm; st = 9 cm
rt = 11,65 cm, ^t = 30° 28’ 38’’; ^r = 49° 31’ 22’’
Área: 98,05 cm2
Perímetro: 42,52 cm
8 cm
130°
a
b
195
capítulo
8
AUTOEVALUACIÓN
Marquen las opciones correctas
50. ¿Cuáles son las expresiones equivalentes a las dadas?
a. /
X 180°
360°
270°
90°
b. cos 150°
X –cos 30°
cos 30°
X cos 210°
cos 60°
51. ¿Cuáles son las igualdades correctas?
X a. sen ^
_ = –sen (2/ – ^
_)
X c. sen ^
_= sen (2/+ ^
_)
X b. cos ^
_= cos (2/ – ^
_)
X d. cos ^
_= cos (2/+ ^
_ 52. ¿En qué intervalo tiene exactamente tres soluciones la siguiente ecuación?
2 . sen2 ^
_+ 2 . sen ^
_= 0
3
X b. 0;__
2/
[
a. [0;/]
]
X d. [–/;/]
c. [0;2/]
53. ¿Cuáles son las soluciones de la siguiente ecuación en el intervalo [0;/]?
2 . cos 3^
_ = 1.
/
X b. __
9
5
X a. __
9 /
c. – __95 /
d. __92 /
54. Lean atentamente y resuelvan.
Una persona observa la terraza de un edificio con un ángulo de elevación de 55° y la de otro edificio
con un ángulo de elevación de 72°. Se encuentra a 80 m del primer edificio y a 60 m del segundo.
¿Qué altura tiene cada edificio, sabiendo que la persona observa desde una altura de 1,70 m?
edificio I
55°
80 m
72°
edificio II
a. 114,25 m y 184,66 m
X c. 115,95 m y 186,36 m
b. 114,25 m y 186,36 m
d. 115,95 m y 184,66 m
60 m
55. ¿Qué fórmula conviene utilizar para resolver el siguiente triángulo oblicuángulo?
c
20°
10 cm
a
196
8 cm
b
___
__
ab
ac
a. ______
= ______
^
^
sen c
sen b
___
__
ab
bc
X b. ______
= ______
sen ^
c
sen ^
a
___
__
___ __
__
^
2
2
c. ac 2 = ab + bc – 2 . ab . bc . cos b
___
__
__
__
__
2
2
d. ab = ac 2 + bc – 2 . ac . bc . cos ^
c
Contenidos
9
Estadística.
Intervalos de clase.
Parámetros de posición.
Parámetros de dispersión.
Combinatoria.
Permutaciones, variaciones y
combinaciones.
55. Probabilidad.
56. Sucesos y probabilidad
condicional.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
Los censos tienen un origen muy antiguo: tanto en
Egipto, unos 3 000 años antes de Cristo, como en el libro
Números en la Biblia, se encuentran referencias a diversos
conteos de población. Luego, los griegos y los romanos
perfeccionaron estas prácticas, tanto con fines militares
como tributarios. Esta es la idea inicial de la estadística,
palabra que refiere sin duda a la noción de Estado; sin
embargo, su estudio como rama de la matemática es mucho
más reciente. El verdadero origen de los métodos estadísticos hay que rastrearlo, más que en los aburridos conteos de
habitantes, en recursos a veces muy ingeniosos para hacer
inferencias. Por ejemplo, ¿cómo hacer para calcular la altura
de una muralla contando unas pocas filas de ladrillos? Pero
para los historiadores la estadística no nació contando personas ni ladrillos, sino en un trabajo escrito en el siglo IX
por un filósofo llamado Al-Kindi, en donde el análisis de
frecuencias se emplea con fines más bien detectivescos: el
desciframiento de mensajes secretos.
1. Lean atentamente y respondan.
a. ¿Por qué son importantes los métodos estadísticos?
b. Los métodos estadísticos ¿son siempre confiables? ¿Por qué?
a. Por ejemplo, la estadística se usa en muchísimos ámbitos, desde las ciencias experimentales hasta las sociales.
b. Los métodos estadísticos permiten inferir a partir de muestras de poblaciones. Si bien
los cálculos matemáticos son precisos y exactos, esto no quiere decir, por ejemplo, que las
predicciones hechas por la estadística sean certeras. La propia estadística proporciona
medidas para estimar el error cometido al efectuar cierta inferencia.
capítulo
Estadística y
probabilidad
49
48
50
51
52
53
54
55
56
Estadística
¿Para qué sirve?
INFOACTIVA
PÁGINA 14
Un gráfico estadístico permite hacer una rápida lectura de los datos recolectados de una muestra. La
utilización de los distintos gráficos dependerá del tipo de variable utilizada y de la información que se
quiera brindar. Si la variable es cualitativa, los gráficos más convenientes son el circular o el de barras.
Gráfico circular
Los gráficos circulares sirven para mostrar y comparar los porcentajes, ya que muestran la cantidad
de datos que pertenecen a una misma categoría como una parte proporcional de un círculo.
En cada sector circular se representa una variable y se la puede identificar con su porcentaje correspondiente.
El ángulo central correspondiente a cada sector circular se calcula de la siguiente manera:
absoluta . 360°
_______________________
Ángulo central = Frecuencia
Total de observaciones
La siguiente tabla muestra el resultado de una encuesta realizada a 120 personas acerca de su
destino elegido para las vacaciones.
Destino elegido
x: destino elegido
13,3%
f
Porcentaje
Noroeste argentino
16
13,3%
Noroeste argentino
Nordeste argentino
35
29,2%
Nordeste argentino
Centro-oeste argentino
18
15%
Sur argentino
27
22,5%
Extranjero
24
20%
20%
Centro-oeste argentino
29,2%
22,5%
Sur argentino
Extranjero
15%
Destino elegido
Los gráficos de barras muestran la frecuencia correspondiente a cada categoría de la variable, y permiten
compararlas entre sí.
Se puede utilizar tanto para las variables cualitativas
como para las cuantitativas discretas.
Frecuencia absoluta
Gráfico de barras
40
35
30
25
20
15
10
35
27
24
18
16
5
0
Noroeste
argentino
Nordeste Centro-oeste
Sur
argentino argentino argentino
Extranjero
Esquema tallo-hoja
El esquema tallo-hoja permite resumir datos numéricos, de dos o más dígitos, cuando la muestra es
grande.
Generalmente es utilizado con el fin de ordenarlos y poder estudiar la característica de la distribución. Para construir el esquema, se toma cada dato y se lo divide en dos partes: el tallo, que contiene
todos los dígitos menos el último y las hojas, que es el último dígito.
198
59
¨
Tallo © 60
ª
61
1124588
34588
122
¨
«
©
«
ª
Si se tienen los pesos (en kg) de 20 boxeadores
de la categoría ligero, el esquema es el siguiente.
59,8
59,4
59,1 61,2 59,8
59,5
60,4
61,1 59,2 60,8
60,3
59,1
61,2 60,8 60,5
Hojas
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Si en un sector de un gráfico circular se debe representar una variable de frecuencia absoluta 16
y el total de las observaciones es 36, ¿es cierto que su ángulo central debe ser de 16°?
b. ¿Qué tipo de gráficos conviene utilizar para comparar las frecuencias absolutas de las variables?
a. No, el ángulo debe ser de 160°. b. Los gráficos de barras.
49
ACTIVIDADES
Estadística
1. La siguiente tabla muestra la distribución de alumnos de una institución por niveles de enseñanza.
Determinen en cada caso el ángulo central y construyan un gráfico circular.
Nivel de estudios Frecuencia absoluta Porcentaje
Inicial
440 alumnos
20%
Primario
550 alumnos
25%
Secundario
1 210 alumnos
55%
^
_
=
90°
Nivel primario
^
`= 72°
Nivel inicial
Nivel inicial: 72°.
^a= 198°
Nivel secundario
Nivel primario: 90°.
Nivel secundario: 198°.
2. Observen el gráfico de barras que muestra los deportes que practican los alumnos de 5.° año y
10
5
3
un
o
s
Ni
ng
Te
ni
le
y
Vo
ll
nd
Ha
c. Completen el gráfico.
ba
l
0
Bá
Handball: 14 alumnos, voley: 11 alumnos, tenis: 3 alumnos.
14
11
Fú
tb
o
b. ¿Cuántos alumnos eligieron handball, voley y tenis,
si representan el 20,59%, 16,18% y 4,41%, respectivamente?
15
ue
t
Básquet: 22,06%, fútbol: 29,41%, ninguno: 7,35%.
20
sq
resuelvan.
a. ¿Qué porcentaje representa básquet, fútbol y ninguno, si en total hay 68 alumnos?
3. El siguiente esquema tallo-hoja muestra las edades de cierta cantidad de personas.
a. ¿Cuántas personas fueron encuestadas?
17 personas.
Tallo
Hojas
b. ¿Qué porcentaje de personas supera los 17 años?
1 0, 0, 2, 4, 7, 9
70,59%
2 1, 4, 4, 5
c. ¿Qué porcentaje está entre 18 y 30 años?
3 4, 4
4 1, 5
29,41%
d. Si se realiza un gráfico circular, ¿qué ángulo central debe tener
el sector circular que representa a las personas entre 30 y 50 años?
5 1, 9
7 8
84° 42' 21,18''
199
50
49
51
52
53
54
55
56
Intervalos de clase
INFOACTIVA
Cuando se cuenta con un gran número de datos cuantitativos, es conveniente organizarlos de manera
tal que resulte más rápida su lectura.
Para ello se puede recurrir a una distribución de frecuencias agrupadas en intervalos de clase con
las siguientes características:
Todas las clases deben tener la misma amplitud.
Cada dato debe pertenecer exclusivamente a una clase.
En lo posible no deben quedar clases vacías.
Para poder armar los intervalos de clase, se deben identificar el menor y el mayor dato de la distribución, y establecer el número de intervalos que se desea.
Dato mayor – Dato menor
Amplitud de cada intervalo = _______________________
Número de intervalos
Los datos correspondientes al recuento de plaquetas de 100 pacientes son: 160; 161; 165;…;
ml y se los quiere distribuir en 6 intervalos de clase.
400 ____
mm3
400 – 160
Amplitud de cada intervalo = __________
6
Amplitud de cada intervalo = 40
Habrá 6 intervalos de amplitud 40
Límite inferior
[ a
Dato incluido
Límite superior
;
b )
Dato no incluido
Se debe elegir un representante de cada intervalo. En general, el punto medio del intervalo llamado
marca de clase (xn).
límite inferior + límite superior
xn = ___________________________
2
f
xn
F
[160;200)
13
180
13
[200;240)
25
220
38
[240;280)
22
260
60
[280;320)
14
300
74
[320;360)
10
340
84
[360;400)
16
380
100
Un histograma es un gráfico de barras que se utiliza para
representar intervalos de clase.
Un histograma cuenta con:
Una escala horizontal, en la cual se indican el límite inferior
y el superior de cada intervalo de clase.
Una escala vertical, en la cual se indican las frecuencias de
las distintas clases.
25
Frecuencia absoluta
Recuento de plaquetas (mil/mm3)
22
16
14
13
10
0
160
200
240
280
320
Plaquetas (mil/mm3)
200
360
400
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Se tienen los datos de las estaturas de 50 personas, donde el más bajo mide 168 cm y el más
alto, 198 cm. ¿Es conveniente distribuirlos en 15 intervalos? ¿Cuál sería el rango de cada intervalo?
b. ¿Es posible representar en un histograma la relación entre razas de perros y su frecuencia?
a. Puede ser, pero dependerá de lo que se quiera analizar. La amplitud sería de 2 cm.
b. No, el histograma se utiliza para datos cuantitativos, no sirve para datos cualitativos.
50
ACTIVIDADES
Intervalos de clase
4. Lean atentamente y resuelvan.
En una empresa se analizaron los ingresos (en pesos) de una semana y se obtuvieron los siguientes datos.
3 145 15 879 6 914 4 572 11 374 12 764 9 061
8 245 10 563 8 164 6 395 8 758 10 755
7 415 9 361 11 606 3 517 7 645 9 537 8 020 12 848 8 438 6 347 5 151 5 253 5 656
21 333 9 280 7 538 7 414 11 707 9 144 7 424 25 639 10 274 4 683 5 045 5 768
5 089 6 904 9 182 12 193 12 472 8 494 6 032 16 012 9 282 3 331 5 889 5 345
a. Realicen una tabla de intervalos de clase que esté comprendida en [0;30 000). Solución gráfica.
Solución gráfica.
b. Representen los datos en un histograma.
c. ¿En qué intervalo se encuentran las ganancias menos frecuentes? ¿Cuál es su porcentaje?
En [20 000;25 000) y [25 000;30 000). 2% cada una.
5. Resuelvan.
a. Completen la tabla que muestra el peso
de los atletas de una competición.
c. Realicen un histograma.
Peso (en kg) Cantidad de atletas Marca de clase
[46;52)
30
49
[52;58)
90
55
[58;64)
130
61
[64;70)
100
67
[70;76)
40
73
[76;82)
50
79
[82;88)
10
85
b. ¿Qué porcentaje de atletas pesa entre 58 y 76 kg?
60%.
Solución gráfica.
6. Lean atentamente y resuelvan.
a. Si las marcas de clase de un histograma son 10 000, 11 000, 12 000, 13 000, 14 000 y 15 000,
respectivamente, ¿cuáles son los intervalos de clase?
[9 500;10 500), [10 500;11 500), [11 500;12 500), [12 500;13 500), [13 500;14 500), [14 500;15 500).
b. Inventen una situación en la que se puedan utilizar los intervalos del ítem anterior y realicen en
una hoja un histograma que la represente.
Por ejemplo: los salarios de los empleados de la sección comercial de una empresa son los siguientes:
9 800; 10 200; 11 500; 11 000; 11 300; 13 200; 14 400; 15 400; 14 400; 15 100; 15 050; 13 400.
201
51
50
52
53
54
55
56
Parámetros de posición
INFOACTIVA
Se llama media aritmética (o promedio) al cociente entre la suma de los productos resultantes de multiplicar cada valor de la variable por su correspondiente frecuencia absoluta, y el total de observaciones.
Y x1 . f1 + x2 . f2 + ... + xn . fn Y
xn . fn
x = _______________________
= _______
n
n
_
La tabla muestra las notas obtenidas por 50 alumnos en un examen de ingreso.
x:
notas
f
x.f
F
1
2
2
2
2
3
6
5
3
1
3
6
4
7
28
13
5
7
35
20
6
10
60
30
7
6
42
36
8
7
56
43
9
5
45
48
10
2
20
50
Y x . f = 297
n = 50
El promedio de las notas del
Yx
_
.f
n
n
297
____
examen es: x = ______
n = 50 = 5,94
La mediana es el valor de la variable que ocupa la
posición central o el promedio de los dos datos centrales.
Si se divide la población en dos partes ( __n2 = 25 ), la
mediana es el valor de la variable que contiene dicha
frecuencia acumulada F. (me = 6)
La moda es el valor de la variable de mayor frecuencia
absoluta. (mo = 6)
Parámetros de posición para datos agrupados en intervalos
Se aplican las fórmulas utilizando la marca de clase:
x
f
xn
xn . f
F
1
12
55
660
12
2
8
65
520
20
3
15
75
1125
35
4
27
85
2295
62
5
18
95
1710
80
Y xn . fn = 6 310
Cálculo de la media aritmética.
_
Yx
.f
_
n
n
6 310
______
x = ______
n ⇒ x = 80 ⇒ 78,875
n
__
–B
_____
Cálculo de la mediana: me = A + 2 C . D
n
n: población. Se debe localizar a __
2 en la frecuencia acumulada
y ver a qué clase pertenece. Dicha clase es la clase principal.
A: límite inferior de la clase principal.
B: frecuencia acumulada de la clase que antecede a la principal.
C: frecuencia absoluta de la clase principal.
D: amplitud de la clase principal.
40 – 35 . 10 = 81,85
me = 80 + _______
27
Intervalo modal: intervalo de clase con mayor frecuencia.
Intervalo modal: [80;90)
202
n = 80
Gráfico de frecuencias acumuladas
80
70
62
60
50
40
35
30
n 20
12
2
10
0
50
60
70
80 90 100
me = 81,85
de comprensión
Test
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Es cierto que se obtiene la misma mediana tomando los siguientes datos sueltos que
agrupándolos en intervalos de amplitud 2?
1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 9
b. ¿Qué diferencia hay entre la moda y la clase modal?
a. Empezando por [0;2), sí, da 5. Si se toman otros intervalos u otra amplitud, la mediana puede variar.
b. La moda es el valor de mayor frecuencia absoluta y la clase modal es el intervalo que contiene a la moda.
51
ACTIVIDADES
Parámetros de posición
7. Lean atentamente y resuelvan.
Un profesor de economía da clases en dos divisiones del último año de la escuela secundaria y quiere
analizar el rendimiento de sus alumnos.
Notas de 5.° año A: 5, 4, 5, 5, 8, 6, 5, 7, 7, 7, 3, 8, 10, 10, 10, 2, 1, 5, 7, 8, 5, 6, 9, 4, 6, 4.
Notas de 5.° año B: 2, 2, 2, 5, 6, 7, 8, 8, 8, 8, 4, 3, 8, 10, 10, 10, 8, 8, 8, 6, 6, 10, 10, 4, 6, 7.
¿Cuál curso tuvo menor rendimiento promedio?
Promedio de 5.° año A: 6. Promedio de 5.° año B: 6,69. Tuvo menor rendimiento 5.° año A.
8. Resuelvan.
Los resultados al lanzar un dado 300 veces están representados en la siguiente tabla.
Resultados
1
2
3
4
5
6
f
55
56
60
f4
40
f4 + 9
Calculen la frecuencia de 4 y de 6 teniendo en cuenta que la media aritmética es 3,336.
f4 = 40; f6 = 49
9. Calculen la mediana y la moda teniendo en cuenta los datos disponibles en cada caso.
a. 12 - 15 - 21 - 11 - 7 - 10 - 14 - 8 - 15
me = 12 y m0 = 15
b. 23,5 - 12,8 - 21,2 - 10,8 - 14,7 - 18,6 - 21,5 - 12,1 - 23,5 - 13,4 - 16,2 - 23,5
me = 17,4 y m0 = 23,5
10. Lean atentamente y resuelvan.
Las alturas de 42 árboles de una determinada especie figuran en la siguiente tabla:
Altura (cm)
[5;15)
[15;25)
f
9
7
[25;35)
[35;45)
[45;55)
15
8
3
_
a. ¿Cuál es la altura media de los árboles? x = 27,38 cm
b. Calculen la moda y el intervalo modal. mo = 30 cm y el intervalo modal: [25;35).
c. ¿Qué altura marca la mediana de la muestra? me = 28,33 cm
_
d. Ordenen de menor a mayor la media aritmética, la moda y la mediana. x < me < mo
203
51
ACTIVIDADES
Parámetros de posición
11. Tengan en cuenta el siguiente gráfico y resuelvan.
El siguiente gráfico de frecuencias absolutas muestra el peso en kg de 65 personas adultas.
16
a. Construyan en una hoja una tabla donde indiquen:
intervalos, marcas de clase, frecuencia absoluta y frecuencia acumulada. Solución a cargo del alumno.
b. Calculen la media, mediana y moda.
14
12
10
_
8
x = 79,76 kg, me = 79,06 kg, mo = 75
6
4
c. Construyan en una hoja un gráfico de frecuencias acumuladas. Solución a cargo del alumno.
2
0
50
60 70 80 90 100 110 120
d. ¿Cuántas personas superan en peso el valor de la moda? ¿Qué porcentaje representa?
31 personas y representa el 47,69% de la población tomada.
e. ¿Qué porcentaje deberían bajar las personas que pesan 115 kilos, aproximadamente, para acercarse al valor promedio?
Deberían bajar aproximadamente el 30% de su peso actual.
12. Tengan en cuenta la tabla donde se representa la cantidad de palabras por frase de una página
de una novela contemporánea y resuelvan.
Cantidad de palabras
[1;4)
[4;7)
[7;10)
[10;13)
Cantidad de frases
4
37
59
27
a. ¿Cuál es la media de la cantidad de palabras por frase?
_
x = 8,0748
b. ¿Cuál es la clase modal? ¿Qué número representa la moda?
La clase modal es el intervalo [7;10) y la moda es 8,5.
c. ¿Qué porcentaje de la muestra representa el intervalo modal?
46,45% de la muestra.
13. Marquen las opciones correctas.
Si los siguientes datos expresan la ganancia mensual de 30 comerciantes (en miles de pesos) de un
importante shopping, ¿cuál es la ganancia mensual promedio?
72
175
150
204
80
150
150
129,3
80
95
150
80
95
175
X 129,03
80
95
255
72
95
255
72
95
129,33
115
95
175
150
115
150
150
150
150
150
Ninguna de las anteriores.
51
ACTIVIDADES
Parámetros de posición
Tallo
14. Marquen las opciones correctas.
El diagrama de tallo y hojas muestra las edades de 20 personas que están en una sesión de reiki.
¿Qué edad representa la mediana?
X 33,5
34,5
Hojas
2
0344459
3
113466799
4
0015
35,5
Ninguna de las anteriores.
15. Tengan en cuenta la tabla que representa la venta de calzados deportivos para mujer en una
casa de deportes y resuelvan.
Talle del calzado
34
35
36
37
38
39
40
Cantidad vendida
400
550
1 670
1 500
685
135
60
a. Calculen la media aritmética, la moda y la mediana.
_
x = 36,433; mo = 36; me = 36.
b. Si se quiere saber cuál fue el calzado más vendido, ¿qué parámetro es más representativo?
La moda, porque en este caso interesa el valor de mayor frecuencia. La mediana casualmente es 36, pero
no es representativa de lo que se está buscando porque tiene que ver con la distribución de la muestra.
16. Tengan en cuenta la fórmula y resuelvan.
_
30,5 . 5 + 31,5 . 7 + 32,5 . 8 + 33,5 . 12 + 34,5 . 25 + 35,5 . 31 + 36,5 . 22 + 37,5 . 12 + 38,5 . 8 + 39,5 . 4
x = _____________________________________________________________________________________
134
a. ¿Cuál es la media aritmética?
_
x = 35,20
b. Realicen en una hoja una tabla indicando los intervalos, las marcas de clases, las frecuencias absolutas
y las frecuencias acumuladas. Solución a cargo del alumno.
c. Calculen la moda y la mediana.
mo = 35,5 y me = 35,32
d. Realicen en una hoja un histograma y el gráfico de frecuencias acumuladas en la misma representación. Solución a cargo del alumno.
mente ACTIVA
Se registró la estatura de los alumnos de un colegio y se obtuvieron los siguientes
datos.
La mediana es 169,89 cm y está en el intervalo [169,5;174,5).
58 alumnos están en el intervalo [169,5;174,5) y 33 están en el anterior.
n – 33
__
¿A cuántos alumnos se encuestó?
2
______
169,89 = 169,5 +
58
.5
n = 75
205
52
51
53
54
55
56
Parámetros de dispersión
INFOACTIVA
Desviación estándar
La desviación estándar mide la dispersión de los datos con respecto al promedio.
Dos alumnos A y B rindieron la
misma cantidad de evaluaciones y
obtuvieron distintas calificaciones.
Si se busca el promedio de las calificaciones, ambos tienen el mismo
promedio 7, pero B tiene un rendimiento más estable que A.
_
Notas de A
(xi – x)2
(xi – x)2
4
(4 – 7)2 = 9
8
(8 – 7)2 = 1
10
(10 – 7)2 = 9
7
(7 – 7)2 = 0
4
(4 – 7)2 = 9
7
(7 – 7)2 = 0
10
(10 – 7)2 = 9
6
(6 – 7)2 = 1
__________
_
Se define como varianza: m =
___
Y
( xi – x )2 . fi
___________
n
_
Notas de B
La desviación estándar es: m =
3
_
Y
( xi – x )2 . fi
___________
n
__
36
mA = 3___
4 =3
2 ≅ 0,71
mB = 3__
4
El valor de este parámetro es mayor cuando los datos están muy disgregados o dispersos y es
menor cuando están más concentrados. Como mA > mB, entonces A es más disperso que B.
Coeficiente de variación
El coeficiente de variación expresa la desviación estándar como un porcentaje de la media aritmética.
___________
_ 2
Y
( xi – x ) . fi
___________
m
__
_____________
_n
Coeficiente de variación: Cv = _x . 100 ⇒ Cv =
. 100
x
3
Para los alumnos del ejemplo anterior, el coeficiente de variación es:
0,71
3 . 100 ⇒ Cv ≅ 43% Cv = _____
CvA = __
. 100 ⇒ CvB ≅ 10%
A
B
7
7
Cuando el coeficiente de variación es inferior al 30%, la distribución es bastante homogénea. Se
utiliza para comparar la homogeneidad de dos series de datos, aun cuando estén expresadas en distintas unidades. A medida que el coeficiente de variación disminuye, se observa una mayor homogeneidad en los datos, o lo que es lo mismo, los datos están más concentrados alrededor del promedio.
_
_
216 ⇒ x ≅ 6,35
x = ____
34
_____
99,78
m = ______
⇒ m ≅ 1,71
34
3
1,71
Cv = _____
. 100 ⇒ Cv ≅ 27%
6,35
La distribución es bastante homogénea.
206
_
x: nota
f
x.f
(xi – x)2 . fi
3
2
6
22,45
4
3
12
16,57
5
6
30
10,94
6
8
48
0,98
7
4
28
1,69
8
7
56
19,06
9
4
36
28,09
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Si una muestra A tiene mayor media que otra B, ¿la muestra A tiene los datos más dispersos?
b. Si dos muestras tienen la misma desviación estándar, ¿sus datos están dispersos de igual forma?
a. No, se debe calcular la desviación estándar. b. No, porque se debe tener en cuenta también el valor de la
media aritmética.
52
ACTIVIDADES
Parámetros de dispersión
17. Tengan en cuenta los datos de cada muestra y resuelvan.
A: 8, 8, 9, 9, 9, 9, 10, 9, 10
B: 1, 3, 9, 6, 9, 11, 14, 13, 15
C: 1, 15, 11, 8, 8, 11, 9, 9, 9
a. Realicen en una hoja una tabla de frecuencias absolutas y acumuladas para cada caso.
b. Calculen la media aritmética, la mediana y la moda de cada muestra. ¿Qué tienen en común?
_
Los tres conjuntos tienen x = me = mo = 9.
c. ¿Qué muestra se desvía menos con respecto a la media?
mA = 0,67; mB = 4,5946; mC = 3,4960. El conjunto que se desvía menos con respecto a la media es A.
18. Tengan en cuenta la tabla del sueldo mensual de los empleados de una empresa y resuelvan.
Sueldo (en $)
5 000
5 600
6 000
6 700
7 000
8 200
10 000
Empleados
5
4
6
12
10
5
3
¿Cuánto se desvían los sueldos con respecto a la media?
El sueldo promedio es de $6 773,3 y los sueldos se desvían de la media $1 218,45.
19. Lean atentamente y resuelvan.
En un colegio, los alumnos deben elegir con qué profesor cursar biología. Registraron las calificaciones de
los profesores y los organizaron en la siguiente tabla.
_
x
m
Profesor Pistilo
6,5
2,3
Profesora Corola
6,5
0,6
a. ¿Qué profesor debe elegir un alumno que aspira a tener la nota máxima?
Con el profesor Pistilo, ya que las notas de los alumnos son más variadas y, si bien puede haber más aplazos,
suele haber notas más altas también.
b. ¿Y un alumno que se conforma con aprobar con 6?
Elegiría a la profesora Corola, pues sus notas están cercanas al promedio del curso, 6,5. Seguramente no hay
notas tan altas, pero tampoco muchos aplazos.
207
52
ACTIVIDADES
Parámetros de dispersión
20. Marquen las opciones correctas. Expliquen las respuestas.
Se realizó un estudio de las estaturas (en cm) de los jugadores de tres equipos de un colegio.
Balvanera
Pachanga
Los Estón
x
173,2
176
170,1
m
3,7
6,2
4,1
_
a. ¿Qué equipo tendrá al jugador más alto?
X Pachanga
Balvanera
Los Estón
Pachanga tiene el promedio más alto y la desviación mayor, así que es casi seguro que tendrá el jugador
más alto.
b. ¿Cuál es el equipo con la distribución más homogénea?
X Balvanera
Pachanga
Los Estón
Balvanera tiene la distribución más homogénea porque tiene el coeficiente de variación más bajo.
Cv Balvanera = 2,13%, Cv Pachanga = 3,52% y Cv Los Estón = 2,41%.
21. Observen la tabla donde se registran los resultados de arrojar dos dados y sumarlos. Luego, resuelvan.
Números
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Veces
3
8
9
11
20
19
16
13
11
6
4
a. Calculen la media aritmética, la varianza y la desviación estándar.
_
x = 7,025, m2 = 5,9244, m = 2,4340
b. Obtengan el coeficiente de variación y decidan si la muestra es homogénea.
Cv = 34,65%. No es homogénea porque supera el 30%.
22. Marquen las opciones correctas.
Los resultados de un examen de inglés están agrupados en la siguiente tabla.
Intervalo
Frecuencia
[80;89)
4
[89;98)
[98;107)
10
21
[107;116) [116;125) [125;134) [134;143)
23
9
5
3
a. ¿Cuál es la media aritmética y la desviación estándar?
_
x = 108 y m= 17,19
_
x = 108 y m= 19,19
X Ninguna de las anteriores.
_
x = 108,5 y m = 12,5
b. ¿Cuál es el coeficiente de variación?
Cv = 15,91%
208
X Cv = 11,52%
Ninguna de las anteriores.
52
ACTIVIDADES
Parámetros de dispersión
23. Lean atentamente y resuelvan.
El siguiente gráfico representa la distribución de diferentes muestras. Todas estas curvas tienen la
misma media aritmética (18). La desviación estándar determina el grado de apuntamiento de la curva.
Cuanto mayor sea el valor de esta, más se dispersan los datos en torno a la media, y la curva es más
plana. Un valor pequeño de este parámetro indica, por tanto, una gran probabilidad de obtener datos
cercanos al valor medio de la distribución.
18
Completen con el color de la curva correspondiente a cada desviación estándar.
a. m = 3,01
b. m= 3,0112
c. m= 3,012
d. m= 3,001
Naranja
Amarilla
Verde
Azul
24. Resuelvan.
Un entrenador de básquet realizó un histograma de marcas de clase con las estaturas (en cm) de 96
varones pensando en formar equipos homogéneos.
f
30
25
a. Calculen la media aritmética y la desviación estándar.
27
_
x = 170,83 cm; m = 7,42 cm.
20
22
15
16
b. La muestra ¿es homogénea?
13
10
La muestra es homogénea, ya que el
Cv = 4,34 % < 30%
8
5
6
4
0
157,5 162,5 167,5 172,5 177,5 182,5
187,5
Altura (en cm)
mente ACTIVA
Las siguientes curvas responden al modelo de distribución de Gauss llamado “campana de Gauss”.
La fórmula genérica de esta distribución es
1
x–x
__
_____
1___
f(x) = _______
. e– 2 . ( m )
m . 32/
Determinen las fórmulas de cada curva.
_
_
x = 0; m2 = 1
_
x = –2; m2 = 0,5
0,6
0,5
0,4
2
1 . e– __21 x ;
___
Verde: f(x) = ____
0,3
0,2
0,1
2
32/
0
–5 –4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
2
+2
___
1__ . e– __21 . ( x_____
30,5 )
violeta: f(x) = ___
3/
209
INTEGRACIÓN
25. Observen la tabla donde se registran las
27. Marquen las opciones correctas.
camisas vendidas en un negocio y resuelvan.
¿Cuáles son los parámetros de posición asociados
a los siguientes datos? 1 - 1 - 1 - 3 - 4 - 5.
Talle de la
camisa
Cantidad
vendida
37
90
39
38
42
105
S
110
L
63
XL
44
a. Realicen una tabla con los porcentajes de
cada talle y la frecuencia acumulada.
b. ¿Qué porcentaje de camisas se vendió de los
talles mayores a 42? Aprox. el 48,22%.
c. ¿Cuántas camisas se vendieron entre el talle 39
y el L inclusive? ¿Qué porcentaje representa de
toda la venta? 316 camisas; aprox. el 70,22%.
d. Realicen un gráfico de barras con la frecuencia absoluta y un gráfico circular con la frecuencia porcentual.
26. Observen la tabla donde se registran la
cantidad de hermanos (x) que tiene cada alumno
de un colegio y resuelvan.
x
f
0
70
1
140
2
97
3
45
4
350
5
12
6
15
7
5
8
3
a. Calculen la media _aritmética y la moda.
3x
b. Hallen A, si A = ___
mo + 3,5 . mo.
c. Determinen el porcentaje de la moda y la
frecuencia acumulada posterior al valor que
representa.
_
a. x = 2,82; mo = 4. b. A ≅ 16,115. c. 47,48%; 714.
210
_
X a. m = 1; m = 2 y x = 2,5
o
e
_
b. mo = 1, me = no existe y x = 2,5
c. Ninguna de las anteriores.
28. Resuelvan.
El promedio de las edades de tres primos es
17 años. ¿Puede alguno de ellos tener 60 años?
¿Por qué? No, porque alguno de los otros primos
tendría edad negativa.
29. Tengan en cuenta los datos y resuelvan.
23 - 25 - 27 - 25 - 31 - 25 - 23 - 29 - 31 - 31 - 31
a. Calculen la media aritmética.
b. ¿Qué dato habría que agregar para que la
media aritmética sea exactamente 27?
c. Calculen la mediana de la muestra original y
de_ la modificada.
a. x = 27,36; b. 23; c. La original 26 y la otra, 27.
30. Tengan en cuenta el registro que realizó la
profesora de literatura de una prueba de velocidad
de lectura de palabras por minuto y resuelvan.
72, 54, 70, 80, 40, 105, 102, 71, 96,
81, 58, 57, 80, 81, 73, 99, 57, 74,
87, 48, 90, 47, 109, 90, 69, 79, 75,
52, 72, 81, 91, 56, 67, 66, 79, 90,
106, 100, 87, 104, 75, 101, 53, 98, 99.
a. Si se quieren agrupar los datos en 7 intervalos,
¿qué amplitud debería tener cada uno? 10
b. Realicen una tabla de frecuencias absolutas
y acumuladas, indicando las marcas de clases.
c. Calculen la media aritmética, la moda, la
mediana, la varianza, la desviación estándar y
la clase modal.
d. La muestra ¿es homogénea? ¿Por qué?
e. Realicen un histograma de frecuencias absolutas y un gráfico de frecuencias acumuladas.
_
c. x = 79; me = 74,1304; mo = 75; clase modal: [70;80);
m2 = 339,56; m = 18,43. d. Sí (Cv = 23,33% < 30%).
capítulo
CONTENIDOS
9
49*50*51*52
2 - 4 - 6 - 8 - 10
a. Calculen la media aritmética, la varianza y la
desviación estándar.
b. Sumen 30 a cada uno de los datos iniciales
y vuelvan a calcular los parámetros anteriores.
c. Escriban una conclusión sobre el efecto que
se produce en la media y en la desviación
estándar cuando se le suma
un valor constante
_
a.
x
=
6;
m2 = 9,6; m = 3,1.
_
a los datos iniciales.
2
35. Observen el histograma que representa las
edades de un grupo de personas y resuelvan.
14
12
Frecuencias
31. Tengan en cuenta los datos y resuelvan.
10
8
6
4
2
0
22
31
40
b. x = 36; m = 9,6; m = 3,1.
c. A x se le suma la constante y m no varía.
32. Observen las muestras y resuelvan.
_
_
B: x = 49; m = 8,3.
A: x = 13,6; m = 2,3.
Calculen el coeficiente de variación de cada muestra y expliquen cuál muestra tiene los datos más
agrupados alrededor de la media.
Cv(A) = 16,91% y Cv(B) = 16,94%. Muestra A.
49
58
67
76
Marcas de clase
_
a. Realicen una tabla con los intervalos de
clase, la frecuencia absoluta y acumulada.
b. Calculen la media aritmética, la mediana y la
_
moda. x = 46,975; me = 46,75; mo = 49.
c. La muestra ¿es homogénea?
Cv= 29,21%. Es homogénea porque es menor a 30%.
33. Lean atentamente y resuelvan.
36. Respondan.
Se pesaron las bolsas de batatas que empacó
una envasadora y se realizó el siguiente registro.
Peso (kg)
f
[50;110)
7
¿En cuál de las siguientes muestras los datos
están más dispersos respecto de la media?
A: 1; 5; 8; 11; 15; 19.
B: 125 000, 132 000, 137 000, 136 000, 140 000,
141 000. Cv(A) = 47,78% y Cv(B) = 2,49%.
[110;170)
55
Los datos están más dispersos en la muestra A.
[170;230)
90
37. Lean atentamente y respondan.
[230;290)
75
El gráfico muestra tres distribuciones que tienen
media aritmética 0.
[290;350)
38
a. ¿Qué peso representa cada intervalo de
clase? 80 kg; 140 kg; 200 kg; 260 kg; 320 kg
b. ¿Qué pesos representan para la media aritmé_
tica y para la mediana? x = 218,57 kg; me = 217 kg.
c. Si el coeficiente de variación es del 53%,
¿qué peso toma la desviación estándar?
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
m = 115,84 kg.
34. Lean atentamente y resuelvan.
La muestra A tiene coeficiente de variación 56% y
una desviación estándar de 3,6, mientras que la
B tiene coeficiente de variación 48% y una desviación estándar de 1,6. ¿Qué muestra tiene una
media
aritmética
mayor?
_
_
xA = 6,42 y xB =3,3.
La media de la muestra A es mayor que la de B.
0
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
a. ¿A qué curva corresponde cada desviación
estándar? m1: verde; m2: azul; m3: roja.
m1 = 2,3; m2 = 5,6; m3 = 10,7
b. ¿Cuál distribución tiene los datos más dispersos?
c. ¿Es posible calcular los coeficientes de variación?
b. La roja. c. No se puede calcular el coeficiente de
variación porque la media aritmética es nula.
211
53
52
54
55
56
Combinatoria
¿Para qué sirve?
INFOACTIVA
PÁGINA 15
Factorial de un número
Se denomina factorial de n (n!), siendo n un número natural, al producto de todos los números
naturales desde 1 hasta n.
n! = n . (n – 1) . (n – 2) ... 3 . 2 . 1 ∧ 0! = 1
a. 1! = 1
b. 2! = 2
c. 3! = 3 . 2 .1 = 6
d. 4! = 4 . 3 . 2 .1 = 24
e. 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
El factorial de un número es igual al número por el factorial de su anterior.
¨
«
«
«
«
«
©
«
«
«
«
«
ª
n! = n . (n – 1) . (n – 2) ... 3 . 2 . 1 = n . (n – 1)!
(n – 1)!
5! = _____
5 . 4! = 5
a. __
4!
4!
3! = ________
3!
1
b. __
= ____
6! 6 . 5 . 4 . 3! 120
5! 5! = 5!
5 . 4 . 3! = ___
10
________
c. ____
3
6! 3!
6 . 5! 3!
Número combinatorio
Siendo k y n dos números pertenecientes a
o
y n ≥ k, se define como número combinatorio n sobre k a:
Número combinatorio n sobre k:
6!
6! = 6
. 5 . 4! = 15
______
a. 6
= _________
= ____
4! 2
4
4! (6 – 4)! 4! 2!
( )
n!
( nk ) = _________
k! (n – k)!
. 7 . 6 . 5! = 56
8!
8! = 8
________
b. 8
= _________
= ____
3 . 2 5!
3
3! (8 – 3)! 3! 5!
( )
Propiedades de los números combinatorios
1. ( n0 ) = 1
2. ( n1 ) = n
3. ( nn ) = 1
n!
n!
= ___
( n0 ) = _________
1 n! = 1
0! (n – 0)!
n!
= _________
=n
( n1 ) = ________
1! (n – 1)!
(n – 1)!
n . (n – 1)!
n!
n!
= ____
( nn ) = _________
n! . 1 = 1
n! (n – n)!
4. ( nk ) = ( n n– k )
n!
n!
n!
n!
= _________
= _________________
= __________________
= ( n n– k )
( nk ) = _________
k! (n – k)!
(n – k)! k!
(n – k)! (n – n + k)!
(n – k)! [n – (n – k)]!
5. ( k n– 1 ) + ( nk ) = n k+ 1
(
)
n! (n – k + 1)
n! k
n!
n!
+ _________
= ___________________
+ __________________
=
( k n– 1 ) + ( nk ) = ________________
(k – 1)! (n – k + 1)! k! (n – k)!
k! (n – k)! (n – k + 1)
k . (k – 1)! (n – k + 1)!
n! k + n! (n – k + 1)
(k + n – k + 1) . n!
n! (n – k + 1)
(n + 1)!
n! k
= ____________
+ ____________
= _________________ = ________________ = = ____________
= n k+ 1
k! (n – k + 1)!
k! (n – k + 1)!
k! (n + 1 – k)!
k! (n – k + 1)!
k! (n + 1 – k)!
(
212
)
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿Es cierta la siguiente igualdad? 78! = 77! . 78
b. ¿Es cierto que 53 y 52 son iguales? Verifiquen la respuesta sin hacer la cuenta.
( ) ( )
a. Sí. Por propiedad, n! = (n – 1)! . n. b. Sí, se verifica con ( nk ) = ( n n– k ).
53
ACTIVIDADES
Combinatoria
38. Calculen operando con factoriales.
a. 5! 2! =
240
b. 5 . 8! = 201 600
1
__
3! 4
5
c. ____
5! =
15!
2 730
d. ___
12! =
39. Hallen el valor de x.
5! 21!
2
. 5!
____
a. 2x + ______
3! 20! = 4! 1!
x = –205
6! 5!
1!
_____
b. _____
4! 5! x = (4! – 3!) . 3! 2!
1
x = ___
20
40. Simplifiquen a su mínima expresión.
13! . (n + 2)!
a. ______________
= 312 + 156n
(n + 1)! . (6 + 5)!
2
6! . (2n + 3)!
b. ___________
= 480n + 1 200n + 720
3! . (1 + 2n)!
41. Resuelvan los siguientes números combinatorios.
10
a. 52 =
2
a__________
+ 3a + 2
2
c. ( a +a 2 ) =
b. 73 = 35
d. 42 + 64 = 21
( )
( )
( ) ( )
42. Resuelvan.
a. ( x +x 1 ) = 83
39
b. 5 39
+ 2z = 2z – 2
x = 55
z=9
( )
(
) (
)
213
54
53
55
56
Permutaciones, variaciones y combinaciones
INFOACTIVA
Permutaciones
Una permutación sin repetición es cada una de las formas posibles de ordenar n elementos distintos.
Pn = n!
¿De cuántas maneras se pueden ubicar 8 personas en la misma cantidad de asientos?
P8 = 8! = 40 320 → Se pueden ubicar de 40 320 maneras distintas.
Cantidad de veces que se
repite cada elemento
_,`,b, ... a
Permutación con elementos repetidos: P n
n!
= ___________
_! `! b! ... a!
¿Cuántos números
distintos de 8 cifras se pueden formar con las cifras 1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5?
2
2,3
3!
4
.
5
. 6 . 7 . 8 = 3 360 → Se pueden formar 3 360 números distintos.
8!
_____
____________
P 8 = 2! . 3! =
2 . 3!
Variaciones
Variaciones sin repetición de elementos son las diversas formas que existen para agrupar m elementos distintos en grupos diferentes de n elementos.
m!
V n = _______
(m – n)!
m
Los grupos son distintos cuando tienen los mismos elementos, pero en distinto orden o por lo menos
un elemento distinto. Por lo tanto, en la variación importa el orden que tengan los elementos en el grupo.
¿Cuántos números distintos de 4 cifras distintas se pueden formar con los números 1, 2, 3, 5, 6 y 8?
6
6! = __
6! = 6
. 5 . 4 . 3 . 2! = 360 → Se pueden formar 360 números distintos.
____________
V 4 = _______
2!
(6 – 4)! 2!
m
Variaciones con elementos repetidos: V’ n = mn
¿Cuántos números distintos de 4 cifras se pueden formar con los números 1, 2, 3, 5, 6 y 8?
6
V’ 4 = 64 = 1 296 → Se pueden formar 1 296 números distintos.
Combinaciones
Combinaciones sin repetición son las diversas formas que existen para agrupar m elementos diferentes
en grupos distintos de n elementos, de manera tal que los grupos difieran en por lo menos un elemento.
m!
__________
Cn = ( m
n ) = n! (m – n)!
m
De un grupo de 9 personas, ¿cuántos equipos distintos de voley se pueden armar?
9
9!
9! = 9
. 8 . 7 . 6! = 84 → Se pueden armar 84 equipos distintos de voley.
_________
C6 = 9
= _________
= ____
6! 3 . 2
6! (9 – 6)! 6! 3!
6
( )
m
Combinaciones con repetición: C’ n = ( m + nn – 1 )
Al arrojar cinco dados simultáneamente, ¿cuántos son los resultados posibles?
6
– 1 = 10 = ____
. 9 . 8 . 7 . 6 . 5! = 252 → Existen 252 resultados posibles.
10! = 10
________________
C’ 5 = 6 + 5
5! 5!
5! 5 . 4 . 3 . 2
5
5
(
214
) ( )
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. ¿En qué se diferencia una variación de una combinación?
m
m
b. ¿Es cierta la siguiente relación? V n ≥ C n
a. En que en una variación importa el orden y en la combinación, no.
b. Sí, es cierta porque la combinación se calcula igual que la variación, pero quitándole elementos.
54
ACTIVIDADES
Permutaciones, variaciones y combinaciones
43. Resuelvan estas situaciones problemáticas utilizando permutaciones.
a. ¿Cuántos anagramas hay de la palabra SEIS?
4! – 1 = 23. Hay 23 anagramas porque SEIS no es anagrama de sí mismo.
b. ¿De cuántas formas distintas se pueden colocar 12 lápices de colores en su caja?
12! = 479 001 600
44. Marquen las opciones correctas.
a. ¿Cuántos números de 4 cifras distintas se pueden formar con 4, 8, 3 y 7?
9
12
X 24
36
b. ¿Cuántos números impares de 4 cifras distintas se pueden formar con 4, 8, 3 y 7?
9
X 12
24
36
c. ¿Cuántos números menores que 7 000 y de 4 cifras distintas se pueden formar con 4, 8, 3 y 7?
9
X 12
24
36
d. ¿Cuántos números mayores que 5 000 y de 4 cifras distintas se pueden formar con 4, 8, 3 y 7?
9
X 12
24
36
45. Resuelvan estas situaciones problemáticas utilizando variaciones.
a. ¿Cuántos números de 4 cifras distintas se pueden formar con los números 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9?
840 números distintos.
b. Un docente debe distinguir a tres de sus 14 alumnos con menciones especiales. Una por el
mejor rendimiento en matemática, otro por su rendimiento en historia y otro por mejor compañero.
¿De cuántas maneras se puede realizar la distinción?
2 184 maneras distintas.
c. Una asamblea de 20 personas tiene que elegir entre sus miembros un presidente, un vice y un
secretario. ¿De cuántas maneras puede realizarse la elección?
6 840 elecciones.
46. Calculen el valor de n.
n+1
a. V 1 = 3
n=2
n
b. V 2 = 56
n=8
215
54
ACTIVIDADES
Permutaciones, variaciones y combinaciones
47. Resuelvan.
a. ¿Cuántos números distintos de 5 cifras distintas pueden formarse con los números 2, 3, 4, 7, 8 y 9?
720 números.
b. En la final de natación competirán cinco nadadores. ¿De cuántas formas distintas puede quedar
conformado el podio?
60 formas.
c. ¿De cuántas maneras se puede elegir un delegado y un suplente en un curso de 25 alumnos?
600 maneras.
48. Calculen.
a. C 3 =
c. C 3 . P6 – 72 =
120
7 179
10
5
( )
7
5
6
6
b. C 4 – V 4 . C 2 =
–5 395
C
d. ___47 + 5! – P3 =
V2
689
____
6
49. Lean atentamente y respondan.
a. ¿Cuántas diagonales tiene un hexágono? ¿Y un polígono de n lados?
( 62 ) – 6 = 9
2
n
– 3n
De un polígono de n lados es C 2 – n = n_______
.
2
b. En una parada de colectivo suben 10 personas. Si solo hay 4 asientos disponibles, ¿de cuántas
maneras pueden ubicarse?
10
V 4 = 5 040
c. ¿Cuántas posibilidades tiene un entrenador de básquet de elegir los jugadores que comenzarán
un partido si cuenta con 8 jugadores?
( 85 ) = 56
216
54
ACTIVIDADES
Permutaciones, variaciones y combinaciones
50. Lean atentamente y resuelvan.
Si hay 27 letras distintas, ¿cuántos conjuntos diferentes de iniciales pueden formarse en cada caso?
a. Las personas tienen exactamente dos nombres y un apellido.
273 = 19 683
b. Las personas tienen a lo sumo dos nombres y un apellido.
273 + 272 = 20 412
c. Las personas tienen a lo sumo tres nombres y un apellido.
274 + 273 + 272 = 551 853
51. Resuelvan.
En un hospital se utilizan cinco símbolos para clasificar las historias clínicas de sus pacientes: los dos
primeros son letras y los tres últimos son dígitos. Si utilizan 25 letras, ¿cuántas historias clínicas pueden hacerse en cada caso?
a. Las letras y los números se pueden repetir.
625 000
b. Los números se pueden repetir, pero las letras no.
600 000
52. Marquen las respuestas correctas.
Un centro de investigación cuenta con 5 matemáticos y 7 físicos. Se quiere formar una comisión de 2 matemáticos y 3 físicos.
a. ¿Cuántas comisiones distintas se pueden armar?
X 350
35
3 500
Ninguna de las anteriores.
b. Si ya se eligió a un físico, ¿cuántas comisiones distintas se pueden formar?
X 150
15
1 500
Ninguna de las anteriores.
c. Suponiendo que hay dos matemáticos que no se llevan bien y, por lo tanto, si eligen a uno, no
eligen al otro, ¿cuántas comisiones distintas se pueden formar?
300
150
35
X Ninguna de las anteriores.
( C 52 – 1 ) . C 73 = 9. 35 = 315
mente ACTIVA
Tres atletas participan de una competencia. Si puede haber empate, ¿cuántos
resultados posibles hay? Hay 13 resultados posibles.
217
55
54
56
Probabilidad
INFOACTIVA
Un experimento aleatorio es aquel cuyo resultado depende del azar; por ejemplo, arrojar un dado,
sacar una carta de un mazo o una bolilla de un bolillero, etc.
Un suceso S es uno de los resultados posibles y el espacio muestral E es el conjunto de todos los
resultados posibles de un experimento aleatorio; por ejemplo, al arrojar un dado, el espacio muestral
es: 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
de casos favorables
#S
_________________________
La probabilidad de que un suceso ocurra es P(S) = Número
= ___
∧ 0 ≤ P(S) ≤ 1.
#E
Número total de casos
En una bolsa hay 10 fichas iguales con los siguientes colores: 1 verde, 3 azules, 4 blancas y 2 rojas.
El espacio muestral se puede definir como E = {verde, azul, blanca, roja}, pero al calcular el número
total de casos posibles, hay que considerar la cantidad de fichas de cada color. #E = 10
La probabilidad de sacar una ficha de un color determinado es:
1;
P(verde) = ___
10
3;
P(azul) = ___
10
4;
P(blanco) = ___
10
2.
P(rojo) = ___
10
Se consideran ahora dos sucesos A y B en un espacio muestral E.
En una bolsa hay 10 bolillas iguales numeradas del 1 al 10. → E = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} ∧ #E = 10
Suceso A: sacar una bolilla con un número par. → A = {2; 4; 6; 8; 10} ∧ #A = 5
Suceso B: sacar una bolilla con un número mayor que 6. → B = {7; 8; 9; 10} ∧ #B = 4
#(A ∩ B)
La probabilidad de que A y B ocurran se llama probabilidad compuesta: P(A y B) = ________
#E
¿Cuál es la probabilidad de extraer una bolilla par y mayor que 6?
#(A ∩ B)
2
P(A y B) = ___
10
#E
#(A ∪ B)
La probabilidad de que A o B ocurra se llama probabilidad total: P(A o B) = ________
#E
¿Cuál es la probabilidad de extraer una bolilla par o mayor que 6?
#(A ∪ B)
7
P(A o B) = ___
10
#E
En algunos casos, los sucesos sobre un mismo espacio muestral pueden relacionarse entre sí.
En una bolsa hay 4 bolillas verdes y 4 azules y se realiza una extracción.
4 = __
4 = __
1 ∧ P(azul) = __
1 , es igualmente probable sacar una bolilla verde o azul.
P(verde) = __
8 2
8 2
218
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Medir el perímetro de una circunferencia de radio 2 cm ¿es un experimento aleatorio?
b. La probabilidad de que ocurra un suceso ¿puede ser 1? ¿Y mayor que 1?
a. El suceso no es aleatorio, es un resultado ya determinado. b. Sí, cuando el número de casos favorables
coincide con el número total de casos. No puede ser mayor que 1.
55
ACTIVIDADES
Probabilidad
53. Tengan en cuenta el experimento de arrojar dos dados equilibrados y anotar su suma; luego, resuelvan.
a. Escriban el espacio muestral. E = {(1;1),(1;2),(1;3),(1;4),(1;5),(1;6),(2;1),(2;2),(2;3),(2;4),...,(6;6)}, #E = 36
b. Calculen las siguientes probabilidades.
3
1
___
= ___
P(10) = 36 12
18
___
= __1
P(que la suma sea impar) = 36 2
6
___
= __1
P(que la suma sea un múltiplo de 2 y de 3 a la vez) 36 6
54. Lean atentamente y resuelvan.
Una caja contiene 25 caramelos de frutilla y 5 de menta. Si se extraen 2 caramelos al azar, ¿cuál es la
probabilidad de que ambos sean de frutilla? ¿Y de que ambos sean de menta? ¿Y de distinto gusto?
25
5
25
5
C2
C2
C
. C1
125
300
10
1
____
___
____
______
P(f-f) = ___
= ____
= 0,2874.
30 = 435 = 0,6897; P(m-m) =
30 = 435 = 0,02299; P(f-m) =
30
435
C2
C2
C2
55. Resuelvan.
a. Se lanzan al aire dos monedas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener a lo sumo una vez cara?
3
__
4
b. Se extraen simultáneamente dos cartas de una baraja española de 40. ¿Cuál es la probabilidad
de que las dos sean espadas?
9
3
1 . ___
__
= ___
52
4 39
c. Se lanzan al aire dos dados de 4 caras numeradas del 1 al 4. ¿Cuál es la probabilidad de que la
suma de los números obtenidos sea mayor que 5?
3
6
___
= __
8
16
56. Lean atentamente y resuelvan.
En una encuesta se consultó a 80 personas sobre si escuchaban radio o veían televisión antes de ir a
dormirse. 60 dijeron que veían televisión y 30, que escuchaban radio.
a. Si se encuestaron a 80 personas, ¿cómo es posible que se hayan obtenido 90 resultados?
Al menos 10 personas tuvieron que haber elegido las 2 opciones.
b. Si todas las personas eligieron al menos una opción, ¿cuál es la probabilidad de que, al elegir
una encuesta al azar, esté marcada solo la opción televisión? ¿Y de que esté marcada solo la
opción radio?
50
5
20
1
___
__
= __
P(tv) = ___
8 ; P(r) = 80 = 4 .
80
219
56
55
Sucesos y probabilidad condicional
INFOACTIVA
Sucesos mutuamente excluyentes e independientes
Dos sucesos son mutuamente excluyentes cuando no pueden ocurrir al mismo tiempo.
En este caso: P(A y B) = 0
Si A y B son mutuamente excluyentes, P(A o B) = P(A) + P(B)
Si A y B no son mutuamente excluyentes, P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B)
Dos sucesos son independientes cuando el hecho de que ocurra uno de los dos no altera la probabilidad de que ocurra el otro.
En una bolsa hay 4 bolillas verdes y 4 azules y se realiza una extracción.
4 = __
4 = __
1 ∧ P(azul) = __
1 , es igualmente probable sacar una bolilla verde o azul.
P(verde) = __
8 2
8 2
Si se saca una bolilla y no se reintegra a la bolsa, la probabilidad de sacar verde o azul en la segunda
extracción cambia, ya que cambian #V o #A y #E = 7. Se dice entonces que los sucesos son dependientes.
Si se saca una bolilla y se reintegra a la bolsa, la probabilidad de sacar blanco o negro en la segunda
extracción es igual que en la primera. Se dice entonces que los sucesos son independientes.
Para averiguar una probabilidad compuesta, se puede utilizar la siguiente fórmula.
Probabilidad de que sucedan A y B a la vez: P(A y B) = P(A) . P(B/A)
Si A y B son independientes: P(A y B) = P(A) . P(B)
Probabilidad condicional
Se llama probabilidad condicional a los casos donde se quiere conocer la probabilidad de un suceso
sabiendo que ha ocurrido otro.
P(A y B)
Probabilidad de B si se conoce A: P(B/A) = ________
P(A)
Si A y B son independientes: P(B/A) = P(B)
En el caso de la bolsa con bolillas:
Experimento: sacar una bolilla y luego sacar otra sin reponer la primera.
¿Cuál es la probabilidad de sacar una bolilla verde en la segunda extracción si en la primera se retiró
también una verde?
4 . __
3
__
P(A y B) _____
8 7 __
=
=3
P(B/A) = _______
7
4
P(A)
__
8
Experimento: sacar una bolilla y luego sacar otra habiendo repuesto la primera.
¿Cuál es la probabilidad de sacar una bolilla verde en la segunda extracción si en la primera se retiró
también una verde?
4 = __
1
porque son sucesos independientes.
P(B/A) = P(B) = __
8 2
220
Test
de comprensión
1. Respondan y expliquen las respuestas.
a. Se lanzó un dado seis veces y se obtuvieron seis 2. ¿Cuál es la probabilidad de que vuelva a salir 2?
b. Al lanzar una moneda, los sucesos “cara” y “ceca”, ¿son mutuamente excluyentes?
1 si el dado es equilibrado. No depende de las extracciones anteriores.
a. La probabilidad sigue siendo __
6
b. Sí, pues al lanzar una moneda puede salir cara o ceca, pero nunca las dos posibilidades a la vez.
56
ACTIVIDADES
Sucesos y probabilidad condicional
57. Clasifiquen estos sucesos en independientes o mutuamente excluyentes.
En una urna hay dados rojos y verdes.
a. Se determinan los sucesos A: sacar un dado rojo y B: sacar un dado verde.
¿A y B son sucesos mutuamente excluyentes?
Sí, porque no pueden ocurrir al mismo tiempo.
¿Cuál es la probabilidad de sacar un dado verde o un dado rojo?
P(A o B) = P(A) + P(B) = 1; porque solo hay dados rojos y verdes.
b. Se hacen dos extracciones con reposición y se determinan los siguientes sucesos:
C: sacar un dado verde en la primera extracción.
D: sacar un dado verde en la segunda extracción.
¿C y D son sucesos independientes?
Sí, porque la segunda extracción no depende de la primera.
¿Cuál es la probabilidad de sacar dos dados verdes?
P(C y D) = P(C) . P(D). No se puede saber porque no se conocen las cantidades.
58. Resuelvan.
Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes, P(A o B) = __87 y P(A) = __21 , ¿cuál es la probabilidad de B?
3
P(A o B) = P(A) + P(B) ⇒ P(B) = P(A o B) – P(A) = __
8
59. Lean atentamente y resuelvan.
a. Una caja contiene 30 lámparas, de las cuales 5 están quemadas. Si se extraen 2 lámparas al
azar, en forma sucesiva y sin reposición, ¿cuál es la probabilidad de extraer dos lámparas buenas?
¿Y si luego de extraer la primera, se repone?
20 ___
___
; 25
29 36
b. En una biblioteca hay 5 libros de química, 4 de geografía y 3 de contabilidad. Si se extraen 2 libros
al azar en forma sucesiva y sin reposición, ¿cuál es la probabilidad de que el primer libro extraído sea
de contabilidad y el segundo, de química? ¿Y que los dos libros sean de geografía?
5 ____
15
1
____
= ___
; 12 = __
11
132
44 132
221
56
ACTIVIDADES
Sucesos y probabilidad condicional
60. Lean atentamente y resuelvan.
En una urna hay: 6 fichas verdes (3 con la letra A y 3 con la B); 2 fichas rojas (1 con la letra A y otra
con la B) y 2 fichas blancas con la letra A.
a. Construyan una tabla de doble entrada donde aparezcan los datos del problema.
Fichas verdes
Fichas rojas
Fichas blancas
Total de fichas
Letra A
3
1
2
6
Letra B
3
1
0
4
Total
6
2
2
10
b. Si se extrae una ficha con la letra A, ¿cuál es la probabilidad de que sea verde?
1
__
2
c. Si se extrae una ficha roja, ¿cuál es la probabilidad de que tenga la letra B?
1
__
2
d. Si se extrae una ficha con la letra B, ¿cuál es la probabilidad de que sea blanca?
0
61. Resuelvan.
a. Se encuestó a 200 personas sobre la preferencia de 4 tipos de productos y se obtuvieron los
siguientes resultados.
Producto
A
B
Ama de casa
14
Empleado
10
Profesional
12
Empleo
C
D
6
10
30
5
20
35
15
8
35
Si se selecciona al azar una de las personas que no es empleado, ¿cuál es la probabilidad de que
prefiera el producto C?
18
____
= 0,1385
130
Si se selecciona al azar una de las personas que prefiere el producto D, ¿cuál es la probabilidad
35
____
= 0,35
de que sea profesional? 100
b. En un estudio realizado a un grupo de trabajadores se determinó el grado de escolaridad máximo
alcanzado y el nivel de ingresos. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
Ingresos
Altos
Medios
Bajos
Secundario
18
27
5
Universitario
26
38
16
Posgrado
9
15
9
Escolaridad
Si se selecciona al azar un trabajador que ha realizado un posgrado, ¿cuál es la probabilidad de
9
___
= 0,2727
que tenga ingresos altos? 33
Si se selecciona al azar un trabajador que tiene ingresos medios, ¿cuál es la probabilidad de que
27
___
= 0,3375
haya estudiado hasta el secundario? 80
222
56
ACTIVIDADES
Sucesos y probabilidad condicional
62. Resuelvan.
Una compañía de telefonía celular realiza llamados para ofrecer un servicio de larga distancia.
Se sabe que en 4 de cada 10 llamados se encuentra al responsable de la línea y que, cuando esto
ocurre, 3 de cada diez aceptan el servicio ofrecido.
Al realizar un llamado, ¿cuál es la probabilidad de que el responsable de la línea esté en su casa y
acepte el servicio ofrecido?
P(casa) = 0,40; P(acepta/casa) = 0,30; P(casa y acepta) = P(casa) . P(acepta/casa) = (0,40) . (0,30) = 0,12
63. Lean atentamente y resuelvan.
a. Se extraen cinco cartas de a una de un mazo de 52 naipes franceses. ¿Cuál es la probabilidad de
obtener en todas las extracciones un as, si se reponen los naipes luego de cada extracción? ¿Y si
no hay reposición?
4
P(todos ases c/r) = ___
52
5
( )
= 0,0000027
No es posible porque solo hay 4 ases.
b. Un jugador de básquet tiene un promedio de 80% al lanzar tiros libres. Si realiza 4 intentos,
¿cuál es la probabilidad de que convierta todos? ¿Y de que enceste al menos un lanzamiento?
P(convierta todos) = 0,84 = 0,4096
P(que acierte 1 o más) = 1 – P(ninguno) = 1 – 0,24 = 0,9984
64. Marquen las opciones correctas.
En un grupo de amigos el 80% está casado. Entre los casados, el 90% tiene trabajo. Un 5% no está
casado ni tiene trabajo.
a. ¿Qué porcentaje de los amigos no tiene trabajo?
X 13%
33%
80%
Ninguna de las anteriores.
b. Si uno de los amigos tiene trabajo, ¿qué probabilidad hay de que esté casado?
X 0,83
0,72
Ninguna de las anteriores.
0,8
c. Si uno de los amigos no tiene trabajo, ¿qué probabilidad hay de que esté casado?
X 0,62
0,72
0,8
Ninguna de las anteriores.
mente ACTIVA
Marcos, que tiene problemas para despertarse y llegar a tiempo a clase, se pone 3 despertadores para evitarlo. La probabilidad de que cada uno funcione correctamente es de
0,95.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que solo uno de los despertadores falle?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que llegue puntualmente a clase?
a. P(solo uno falle) = 3 (0,05)(0,95)(0,95) = 0,1354.
b. P(Al menos 1) = 1 – P(ninguno) = 1 – 0,000125 = 0,999875
223
INTEGRACIÓN
65. Simplifiquen a la mínima expresión posible.
101! (n + 4)! (n + 3)!
a. _________________________________
(98 + 2)! (1 + n)! (n2 + 9 + 6n) (n + 2)!
(n – 2)!
n
b. C 2 . 52 _______
3n! . P4
( )
a. 101 . (n + 2) . (n + 4). b. 40.
66. Apliquen las definiciones y propiedades
necesarias y hallen el valor de la incógnita.
5
26! 4!
a. 1! 3! x + ___________
7 800 . 24! 2! – 3 = V 2
( )
[
( )]
2! . (y – 2)! y
b. 3y – __________
2
(y –1)!
3
5.V
8
3
: P2 = _____
336
432 formas distintas.
67. Lean atentamente y resuelvan.
a. Juan tiene que repartir 7 monedas iguales
entre 7 amigos. ¿De cuántas formas distintas
las puede repartir. ¿Cómo podrá repartirlas si
hay 3 amigos que no quieren ninguna?
b. El dueño de una empresa debe elegir un
director, un gerente y un jefe de sección entre
un grupo de 20 empleados. ¿De cuántas formas
distintas puede hacer su elección?
c. Un escritor visitó un curso de un colegio
secundario y ofreció sortear 4 novelas de su
autoría entre los 25 alumnos. ¿De cuántas formas diferentes se pueden distribuir los libros?
¿Y si las 4 novelas fuesen iguales?
d. Una promotora de perfumes importados
debe obsequiar 48 muestras de un perfume a
15 personas que están reunidas. Si cada una
recibe al menos 3 muestras, ¿de cuántas formas puede hacer la distribución?
e. Enrique prepara ramos de 12 rosas para regalar. Los arma con flores rojas, blancas y rosas,
pero en cada ramo no coloca más de 6 rosas
rojas. ¿Cuántos ramos distintos puede regalar?
f. ¿Cuántas palabras de 13 letras pueden formarse con las letras de la palabra
REPETIDAMENTE? ¿En cuántas de ellas no aparecen consecutivamente las dos T?
7
20
a. P7 = 5 040. C 3 = 35. b. V 3 = 6 840.
c. V
= 303 600. C
25
4
= 12 650.
d. C = 680. e. 45.
f. 129 729 600; 109 771 200.
224
324 formas distintas.
z
a. x = 2,5. b. y = 5. c. z = 0; no es solución.
25
4
17
3
a. En un programa de TV donde se debaten
temas científicos, se sientan alrededor de una
mesa circular 3 matemáticos, 3 físicos, 3 químicos y 2 filósofos. Si las personas que pertenecen a una misma disciplina deben sentarse juntas, ¿de cuántas maneras pueden ubicarse?
33 formas distintas.
c. z . ( 5z ) . [C 6 ]–1 = 6 . V 2
z
68. Marquen las opciones correctas.
X Ninguna de las anteriores. 10 368
b. Se lanzó 6 veces un dado con los siguientes
resultados: salió dos veces el 1, una vez el 3 y
el resto fueron números pares distintos. ¿De
cuántas maneras puede haber ocurrido el suceso, sabiendo que en el primer tiro salió un 4?
360
X 60
30
Ninguna de las anteriores.
c. ¿Cuántos grupos de cuatro, tres, dos y una
letras se pueden formar con las letras de la
palabra MESA?
X 15
16
24
Ninguna de las anteriores.
d. ¿En cuántas de las permutaciones del número 63 814 465 los dígitos impares aparecen, de
izquierda a derecha, en forma creciente?
840
X 1 680
3 360
Ninguna de las anteriores.
capítulo
CONTENIDOS
9
53*54*55*56
69. Resuelvan.
74. Tengan en cuenta los datos y resuelvan.
Seis amigos llegaron juntos a realizarse un estudio
médico y sortean el orden en el que serán atendidos. ¿Cuál es la probabilidad de que hayan quedado
ordenados por edad de mayor a menor?
A y B son sucesos, P(A) = 0,3 y P(B) = 0,27.
a. Hallen P(A yB) si A y B son mutuamente
excluyentes.
b. Hallen P(A o B) si A y B son mutuamente
excluyentes.
c. Hallen P(A y B) si A y B son independientes.
70. Lean atentamente y resuelvan.
Pablo tiene una caja con 16 autitos de colección
extranjera y 4 de colección nacional. Decide extraer dos al azar para regalarle a Fernando.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos sean
12
de colección nacional? ____
380
b. ¿Cuál es la probabilidad de que sean uno
64
extranjero y otro nacional? ____
380
71. Se arrojan 3 dados equilibrados.
Calculen las siguientes probabilidades.
1
____
a. Que salgan tres 6.
216
3
b. Que salgan dos 3 y un 4. ____
216
c. Que no salgan tres 2.
215
____
216
72. Tengan en cuenta el experimento y resuelvan.
Se extraen tres bolas en forma sucesiva y sin
reposición de una caja que contiene 6 bolas rojas,
4 blancas y 5 azules.
a. Calculen la probabilidad de que la primera
sea roja; la segunda, blanca y la tercera, azul.
b. Calculen la probabilidad de que las tres
bolas sean del mismo color.
4
34
a. ___
; b. ____
91
455
73. Lean atentamente y resuelvan.
a. Se escriben en tarjetas las letras de la palabra CLAVE y se colocan en una fila al azar.
¿Cuál es la probabilidad de que las vocales
queden juntas? __52
b. Se hornean 180 galletitas: 83 con nueces,
60 con frutas secas y el resto con trozos de
chocolate. Si se extraen dos galletitas al azar
sin reposición, ¿cuál es la probabilidad de
sacar las dos veces una galletita con nueces?
0,2112
a. 0. b. 0,57. c. 0,081.
75. Lean atentamente y resuelvan.
En una oficina hay 100 calculadoras, de las cuales
60 son científicas y 40 son graficadoras. De las
calculadoras científicas hay 40 nuevas, mientras
que de las graficadoras hay 10 usadas. Un empleado toma una calculadora al azar y descubre
que es nueva.
¿Cuál es la probabilidad de que sea científica? ¿Y
de que sea graficadora?
4 __
3
__
7; 7
76. Se realizó un estudio para saber si el color de
pelo de las personas está asociado con el color de
los ojos y se obtuvieron los siguientes resultados.
Ojos
Cabello
1 = ____
1
__
720
6!
verdes
azules
otros
castaño
oscuro
70
30
20
rubio
20
110
50
a. Se selecciona una de estas personas al azar.
¿Cuál es la probabilidad de que su pelo sea castaño oscuro, si se sabe que sus ojos son verdes?
b. Los sucesos tener el pelo rubio y tener los
ojos azules ¿son independientes? Expliquen la
respuesta.
7
a. __
= 0,78; b. No, porque P(R/A) ≠ P(R).
9
77. Se lanzan dos dados las veces necesarias
hasta que salgan dos números iguales.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que esto suceda
671
_____
antes del quinto lanzamiento?
1 296
b. ¿Cuál es la probabilidad de que esto suceda
5 3
__
después del tercer lanzamiento?
6
c. Si suponemos que no sucede en el primer
lanzamiento, ¿cuál es la probabilidad de que se
3
necesiten más de 4 lanzamientos? __65
( )
( )
225
capítulo
9
AUTOEVALUACIÓN
Marquen las opciones correctas
78. En la siguiente tabla se registró la edad de las personas que viajaron en un micro que realizó un
tour por la ciudad de Buenos Aires.
Edad
[40;50)
[50;60)
[60;70)
[70;80)
f
15
43
25
7
a. ¿Cuál es la edad promedio de las personas que viajaron en ese micro?
De 56 a 57.
X De 57 a 58.
De 58 a 59.
Ninguna de las anteriores.
60
Ninguna de las anteriores.
b. ¿Cuál es la mediana de la muestra?
50
X 57
c. ¿Qué frecuencia porcentual tiene la clase modal?
45%
46%
47%
X Ninguna de las anteriores.
47,78%
47%
Ninguna de las anteriores.
d. ¿Cuál es el coeficiente de variación?
X 14,35%?
25,34%
79. ¿De cuántas formas pueden ubicarse 6 matrimonios en una mesa circular, si cada hombre debe
estar rodeado por dos mujeres y los miembros de cada pareja deben estar juntos?
a. 2 592
b. 2 952
c. 2 925
X d. Ninguna de las anteriores.
1 440
80. Respondan.
a. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una bolilla impar múltiplo de 3 de una caja donde hay 33 bolillas
numeradas del 0 al 32?
12
___
33
7
___
33
5
X ___
Ninguna de las anteriores.
33
b. Se sabe que cuando se enfrentan los equipos de básquet Bohemios y Filósofos, el primer equipo
lleva ganado el doble de los encuentros que el otro. Si se vuelven a encontrar, ¿cuál es la probabilidad de que pierda Bohemios?
1
__
2
2
__
3
3
__
4
X Ninguna de las anteriores.
1
__
3
81. En un curso de secundario hay 21 mujeres y 17 varones. De ellos, 3 mujeres y 4 varones son
zurdos.
a. ¿Cuál es la probabilidad de elegir una persona zurda, si se sabe que es varón?
4
X ___
17
3
___
17
7
___
17
Ninguna de las anteriores.
b. ¿Cuál es la probabilidad de elegir una mujer, si ya se sabe que es una persona diestra?
21
___
38
226
18
X ___
21
21
___
38
Ninguna de las anteriores.
Control de resultados
capítulo
16.
Por ejemplo, a. a = 5
1
1. Números reales. Intervalos
1.
Por ej., a. Racional.
17.
a. (–3;7) b. (–';3,5) ∪ [12,5;+')
c. (–';–3) ∪ [5;+')
3.
[
10
f. – ___
7 ;6
e. (–2;+')
Por ejemplo:
5
a. __
2 b. 3,12 c. 2,4493 d. –2,5
__
[
__
]
2 ≤ x ≤ 3 ; __
2; 3 .
Por ej., a. __
3
3
33
)
]
19.
Solución a cargo del alumno.
MENTEACTIVA
Solución a cargo del alumno.
5.
2. Módulo de un número real
6.
e. –b
f. 0,25a
20.
a. V c. V e. F g. F i. F k. V
b. F d. V f. F h. V j. F l. F
21.
Por ejemplo, a. 1; 8; 2; 1; 2; 4.
7.
a. = b. = c. < d. = e. > f. =
8.
Por ej., a. x = 2 ∨ x = –2.
22.
a. (–';0) b. [–1;+') c. (0;+')
d. (–';3π) ∪ (3π;+') e. [–5;5]
5
7
__
f. –';__
2 ∪ 2 ;+'
(
] [
)
h. [–5;–2) ∪ (2;5]
j. (–';–2) ∪ [2;7]
9.
Por ej., a. x = 4.
3. Ecuaciones e inecuaciones
con módulo
10.
a. x = 3 ∨ x = –7
(
i. (1;2)
)
27.
a. F
)
b. F c. F d. V
b.
34.
a. (–';–11) b. x = –4; x = –16
c. (–';3) ∪ (13;+')
35.
3
Por ej., a. x = – ___
.
16
36.
a. F c. F e. F g. V i. V k. F
b. V d. F f. F h. F j. F l. V
37.
Por ej., a. a42.
38.
Por ej., a. 5x6.
39.
3 097
a. _____
36
164
c. – ____
7
d. –0,4
b. 7
e. 480
81
f. ___
2
5. Operaciones con radicales
40.
27 __
a. ___
. 2
4 3
__
__
11 b . 3 b
e. __
3
4
3 2 __
2
1 3 4 __
__
f. __
5 c + 2 c – 7 c . 3c
(
e. V
)
41.
___
___
a. –3 . 3___
15 – 12 . 333
b. 11 . 3__10 + 79 c. –1
d. 4 . 32
e. 100a7 – 36b7
4
3
2
f. 2x . y – 2x . y
42.
__
Por ej., a. 30 – 12 . 36 .
13.
4 y –14.
14.
Solución a cargo del alumno.
29.
a. w = 0
44.
a. 2
15.
a. x = 0
b.
30.
2
a. x = 4; x = – __
3
b. x = –7,5; x = 6,5
d. F
c. x = –2
d. x = –1
b. w = 3
__
7
b. – __
2 . 3__3 + 16 .__35
d. 13 . 3x – 4 . 3z
28.
37
35
a. x = ___
; x = ___
4
4
b. No tiene solución.
c. x = 0
d. x = 2a; x = 0
b. V
e. (–';1)
33.
Solución a cargo del alumno.
c. 19 . 33
26.
Por ej., a. |x| ≥ 1,5 ∧ |x| ≤ 3.
f. x = 4 ∨ x = 6
c. V
[ )
25.
Por ej., a. |–x| < 4.
45
25
___
e. x = ___
2 ∨x=– 2
12.
a. F
(
__
19
2
b. a > __
9
5
g. 1;__
2
23.
Por ej., a. (4;18]; x > 4 ∧ x ≤ 18.
24.
2 ; __
Por ej., a. – __
3
33
17
∨ x = ___
b. x = ___
6
6
c. No tiene solución.
d. x = 0 ∨ x = 2
11.
a. a = –2
32.
4 ___
a. – __
; 16
3 3
]
4. Radicales
INTEGRACIÓN 1.2.3
Por ej., a. (–3;/].
a. 16,14
c. 6
__
__
b. 35
d. –3 + 311
) (
(
Por ej., a. 7; 1; 8; 1; 9; 2.
4.
[
18.
9 ___
5
7 __
3
___
a. [–9;–3] b. – __
2 ;– 2 c. – 14 ; 14
d. (–';0) ∪ (2;+')
2.
31.
8
a. [1,6;2,4] c. – __
5 ;0
b. (–2;8)
d.
43.
___
__
12
12
Por ej., a. 3a9 y 3a16 .
8
__
b. 33
c. 10
3
___
d. 318
45.
a. F b. V c. V d. F e. F f. F
227
63.
__
a. 17 + 12 . 32
b. 6
46.
______
12
Por ej., a. 33–1 . a–2 .
64.
__
4
Por ej., a. y2 . 3y3 .
6. Operaciones combinadas
48.
__
__
__
3
4
a. 6 + 3 . 33 d. ( 35 + 3 . 35 ) : 6
1 __ __
2
b. 22
e. – __
2 . 32 – 3
c. –7 . (34 )
49.
1
a. __
4
2
1 944
f. _____
5 + 648 . 33
50.
2 __
Por ej., a. __
11 . 311 .
51.
__
Por ej., a. 37 – 2.
52. _________
__
a. 33 + 2 . 32
e. F
f. V
b. 2
15
__
b. 1 – 2 . 32
57.
__
28
a. v2 . 3v9
8
b. __
5
11.
a. 6 141
AUTOEVALUACIÓN
13.
1 39
Por ej., a. 2 . __
2 .
68.
a. |a| = –a
b. |–2,3 + b| = |–2,3| + |b| y
|–2,3 + b| ≤ |–2,3| + |b|
[
g. F
h. F
i. V
__
)
( )
11. Análisis de sucesiones
14.
a. Mon. crec.
b. Mon. decr.
__
__
1 .h. h
b. 4 . 3h – __
3
2 ___
–37 + 7 . 321
d. ____________
4
5
137
____
45
__
b. ( 4 – 33 ;4 + 33 )
71.
__ 12 ___
a. b . 3a . 3b11
5
capítulo
c. a + x
__
e. 2 + 3x
1.
d. 8
Por ej., a. 33; 39; 45. an = –3 + 6n.
c. 0
__
10
d. a2 . 3a7
2.
59.
___
___
Por ej., a. 36y – 36z .
4.
60.
a. a = 1
9. Sucesiones aritméticas
Solución a cargo del alumno.
Por ej., a. Arítmética; r = 8.
b. No existe.
a. 52,6
b. 2 416
c. 7
d. V
6.
a. 1 965
62.
Por ej., a. Ninguna de las ant.
18.
Por ej., a. Convergente; 0.
19.
Por ej., a. Conver. si –1 < t < 1;
diver. si t ≥ 1 y t < –1; osc. si t = –1.
7 __
13
Por ej., a. 1; 1; __
; 5 ; ___
.
9 8 25
89
_______
a60 = 108 000 .
5.
b. –2 730
7.
a. –2 b. a1 = 11; a2 = 9; a3 = 7
228
16.
La tabla se completan con:
2; 1,732; 1,587; 1,495; 1,271;
1,047; 1,007; 1,001.
a. Mon. decr. b. 1. c. 1 ≤ bn ≤ 2.
8. Sucesiones
c. 117
c. F
15.
a. Esta acotada entre 0 y 1.
b. Esta acotada superiormente.
c. Esta acotada entre –5 y 5.
17.
Por ej., a. Convergente; 3.
3.
b. V
c. Ninguna.
d. Ninguna.
12. Clasificación de sucesiones
2
58.
49 __
Por ej., a. – ___
. 2.
3 3
61.
a. F
b. 4 194 303
12.
a. 6; 18; 54; 162 b. 8,9675
c. q = 6; s12 = 612 – 1
67. a.
55.
__
5
Por ej., a. 3x3 .
56.
__
3
89
a. ___
+ 3 . 32
4
10.
a. –9 216 b. 3,45 . 10–13 c. 10
c. 11 – 6 . 32
66.
__
Por ej., a. 25 . 33 – 30.
70.
97
a. ___
;+'
48
___
b. 4 . 33 ay
54. ____
149
a. a140
10. Sucesiones geométricas
__
69. a.
INTEGRACIÓN 4.5.6.7
c. F
d. V
b. 745
$4 120
22 . 33 – 10
b. ___________
13
d. 0
7. Racionalización de denominadores
53.
a. F
b. V
65.
__
a. 4 – 8__. 32
__
1
b. –2y c. – __
3
b
a. 55x – 135
9.
47.
__
__
Por ej., a. x2 . 3x – x . 34 x .
__
3
8.
__
c. 11 + 12 . 32 __
d. 102 + 72 . 32
20.
Por ej., a. an = –3n.
21.
a. F
b. V
c. F
22.
Solución a cargo del alumno.
23.
1
an = 3n . __
n
24.
Por ej., a. 3; 7; 15; 31; 63; 127;
255; 511; 1 023; 2 047.
25.
a1 = 3;capitulo
a2 = 16; an = 5an–1 + 2;
para n ≥ 3.
2
25. Opuestos de un número y
26.
valor
absoluto.
Solución
a cargo del alumno.
41.
14.Por ej., a. a1 = 17; a2 = 53; a3 = 89.
a. 9
42.b. 45
Solución a cargo del alumno.
26. Orden y representación
AUTOEVALUACIÓN
numérica
1.
27.
a. 3 701 a cargo del alumno.
Solución
b. 45 861:
c. 270 MENTEACTIVA
Solución a cargo del alumno.
2.
a. 9INTEGRACIÓN 8.9.10.11.12
28.b. 45
Por ej., a. an = n2 – 4.
3.
29.a. 3 701
b. 2;
45 7861:
a.
b. 41; 95
c. 270
30.
4. a. No.
b. 10
a. 9
31.b. 45
a. 4; 1 575; 504. c. 10
5. __1
1 n–1
b.
4 . __
d. –10,0000305
a. 32 ;701
2 .
b. 45 861:
32.c. 270
5; 8; 11; 14 y 17.
43.
1. a. a1 = 69,5 y a20 = –44,5.
a. a9 = –704 y s = –2 814,625.
b.
2
11
b. 45
44. a.
2.
45.a.c.3 y701
e.
b. 45 861:
46.c. 270
a. Conv. a –5.
3. b. Diver. y acotada inferiormena.
te. 9Su ínfimo es 6.
b. 45
6.
33.a.
a.
b.
b.
6.
2.
( )
9
30°;
45 60°; 90°.
24°; 48°; 96°; 192°.
7.
34.a. 3 701
__
Por45ej.,861:
a. a1 =__4; a2 = 2 . 32 ;
b.
ac.3 =
2; a4 = 32 .
270
35.
8.
crec. c. Mon. decr.
a.
a. Mon.
9
b. No es mon.
9.
36.a. 3 701
a.
b. Sí.
45 861:
b. Superiormente.
c. Cotas sup: 6; 8; 9.
10.d. Divergente.
a. 9
37.b. 45
Por ejemplo, a. Convergente a
aco11.–1, monótona decreciente,
3
__
tada
entre –1 y 2 .
a. 3 701
b. 45 861:
38.c. 270
1 __
1
Por ej., a. Osc. entre – __
2 y 2.
12.
39.a. 9
Solución
a cargo del alumno.
b. 45
40.
13.
7 ___
18 __
10 __
11
___
Por
a. 3 ej.,
701 a. 2; 3; 3 ; 2 ; 5 ; 3 ;…
b. 45 861:
c. 270
4.
a. 3 701
capítulo
b. 45 861:
c. 270
3
13. El conjunto de los números
5.
complejos
1. a. 9
b. 45ej., a. ±5i; complejo.
Por
a. 3 701 a cargo del alumno.
Solución
b. 45 861:
3. c. 270
Por ej., a. –3 + 2i.
7.
4. a. 9
b. 45ej., a. (–3;1).
Por
8.
5.
9.
2; y = 1
701
a. 3
x=
–1; y = 2 c. x = __
3
b. 45 861:
1
b. x = 7; y = __
5 d. Infinit. sol.
14.a.Módulo
de un complejo.
9
Complejos
conjugados
b. 45
6.
___
a. 313
7.
___
b. 10
c. 5
capitulo
d. 310
5
Solución a cargo del alumno.
30. Opuestos de un número y
8.
valor
absoluto.
Por ej., a. 2 + 3i.
1.
9. a. 9
__
Por45
ej., a. 38 . (cos 45° + i. sen 45°).
b.
10.
2.
__
Por
a. 9 ej., a. 1 + 33 i.
3.
11.a. 3 701 __
__
a. –1
b. 2 . 33 + 2i
33
b.
45 +861:
15.c.Adición
y sustracción
270
12.
4. Solución a cargo del alumno.
a. 9
13.b. 45
Por ej., a. (5;2).
5.
14.a. 3 701
3 __
a.
i
c. __
+ 11
i
b. 245+ 861:
3
4
c. 270
21 i
b. –2 + 4 i
d. 8 – ___
5
6.
15.a. 9
a.
b. 445 c. 10 – 2i e. 8 i
b. –10 d. –4i
f. –15 – 10i
7.
INTEGRACIÓN 13.14.15
a. 3 701
16.b. 45 861:
Por
ej., a. ±3i.
c. 270
17.
8.
Por
a. 9ej., a. –2 + 7i.
18.
9.
Por3ej.,
a.
701a. (–3;5).
b. 45 861:
19.
Solución a cargo del alumno.
10.
20.a. 9___
___
___
a.
53 b. 337 c. 5 d. 318
b. 345
21.
11.
Por
701z1 = 4.
a. 3 ej.,
b. 45 861:
22.c. 270
Solución a cargo del alumno.
12.
23.a. 9
Por
b. 45ej., fila 1: 3 – 5i; –3 – 5i.
24.
13.
Por
a. 3 ej.,
701a. z = 8 + 6i o z = 8 – 6i.
b. 45 861:
25.c. 270
1 d. x = 3; y = 2
a. x = 1; y = __
3
7
14.b. x = __
e. No existe.
5
a.
9
c. No existe.
b. 45
26.
14.Por ej., a. 14 . (cos 30° + i. sen 30°).
a. 9
27.b. 45
__
Por ej., a. 4,5 . 33 + 4,5 i.
13.
28.a. 3 701
b.
8
Por45ej.,861:
a. 7;__
.
3
c. 270
( )
29.
Por ej., a. 1 – 5i.
30.
Solución a cargo del alumno.
229
31.
Solución a cargo del alumno.
32.
a. 6 b. –2
__
c. –10i
d. 2 . 32 i
33.
a. 4; –8 b. 9; –6 c. 8; –6 d. 1; 0
16. Potencias de la unidad
imaginaria. Cuadrado y cubo
de un complejo
34.
Por ej., a. i.
35.
14
a. –8 – ___
5 i
43.
a. 6 . (cos 60° + i . sen 60°)
b. cos 50° + i . sen 50°
3
c. __
2 . (cos 30° + i . sen 30°)
44.
a. a = 2 o a = –2 b. a = 3 o a = –3
45.
a. 60° b. 220° c. 210° d. 30°
22 – 5i
b. ___
15
31
e. ___
– 2i
6
MENTEACTIVA
Solución a cargo del alumno.
5
3
__
c. – ___
28 – 5 i
19 __
5
f. ___
+ 2
i
4
18. Operaciones combinadas
47.
– 17i
a. 1______
29
– 3i
b. 6______
5
36.
__
Por ej., a. con 33 .
37.
a. 16 – 30i
b. –21 – 20i
3
c. __
2 . (1 + i)
c. 26 – 18i
d. 2 – 11i
38.
a. 3
17. Multiplicación y división de
complejos
39.
a. 13
__
c. 12
e. (2 . 32 ;1)
__
39 ___
23
___
b. 13 + 6i d. 2 ; 3 f. (1;2 . 36 )
(
)
40.
a. 21 . (cos 195° + i . sen 195°)
b. 8 . (cos 345° + i . sen 345°)
c. 84 . (cos 285° + i . sen 285°)
d. 36 . (cos 360° + i . sen 360°)
e. 24 . (cos 255° + i . sen 255°)
f. 28 . (cos 15° + i . sen 15°)
41.
Por ej., fila 1: 2 – 6i; 40.
42.
1
a. – __
2 –i
3
11 i
– ___
b. ___
10 10
__
– 14i
_______
d. –2
25
7
e. ___
+ __1 i
20 5
7
i
f. – ___
– ___
10 10
48.
24
Por ej., a. con –2 – ___
5 i.
b. 7
3
1 __
c. – __
2 – 2i
__
2 – i)
d. 33 . (– __
3
__
–2 + 32 – (1 + 2 . 32 ) i
e. ____________________
3__
__
__
f. 33 – 2 + ( 36 + 32 ) i ___
1 – 315 i
14 ___
16
h. ________
g. ___
5 – 5 i
4
49.
17 ____
a. ___
+ 87 i
26 130
31 ___
17
b. ___
5 – 5 i
53
23
c. ____
– ____
i
130 130
3
1
d. __
– __ i
4 2
7 __
e. – __
+ 1i
4 2
6i
f. ± 3___
c. 1 ± 5i
2
54.
Por ej., a. con j.
55.
a. 2 – i
9
b. 3
4 __
3
c. – __
5 + 5i
32
d. – ___
+ ___
i
13 13
5
e. 1 + __
2i
f. –1 – 6 i
56.
a. z2 – 4z + 13 = 0
b. z2 + 49 = 0
c. z2 – 2z + 7 = 0
5
d. z2 – 2z + __
=0
4
2
e. z – 4z + 5 = 0
f. z2 – 4z + 9 = 0
57.
c. x = 4; y = 3
a. x = y = 2
b. x = 6; y = –2 d. x = 7; y = 3
58.
a. x = –5; y = 3
b. x = –1 o x = 1
c. x = 7 o x = –7
f. –6
5
3 __
g. – __
2 + 2i
5 __
7
h. – __
8 – 4i
77 __
3
i. – ___
12 – 4 i
24 ___
13
j. – ___
5 + 5 i
50.
15
a. ___
. (cos 220° + i . sen 220°)
4
b. 15 . (cos 20° + i . sen 20°)
5
c. ___
12 . (cos 120° + i . sen 120°)
3
. (cos 150° + i . sen 150°)
d. __
4
59.
3
x = 3 ∧ y = 5 o x = –10 ∧ y = – __
2
MENTEACTIVA
Solución a cargo del alumno.
INTEGRACIÓN 16.17.18.19
60.
Por ej., a. 1.
61.
a. 31i
b. –4 – 12i
c. – 66 – 15i
d. –18 – 17i
e. –18 + 79i
f. –16 + i
g. –16
h. i
62.
a. –11
c. –10i
e. 3 . (cos 180° + i . sen 180°)
27
. (cos 50° + i . sen 50°)
f. ___
20
51.
1
a. 6 – __
8i
3
11 i
d. ___
– ___
13 13
5
3
b. – ___
+ ___
i
68 68
18 __
11
e. ___
5 – 5i
4
1 __
c. – __
2 + 3i
1
f. –1 – __
2i
19. Ecuaciones
52.
Por ej., a. 5i y –5i.
230
d. –1 ± 2i
e. 5 ±
__ 2i
d. 2 . (cos 15° + i . sen 15°)
46.
a. a = –2
b. Cualquier nro. real menos el –2.
7 ___
d. – __
+ 21 i
4 10
53.
a. 3 ± 2i
b. 2 ± 4i
b. 6
63.
a. –5 – 12i
b. 18i
c. –15 –8i
d. 60 – 32i
e. –5 + 12i
1
d. – __
8i
f. 45 – 28i
g. –11 + 2i
h. –46 + 9i
i. 11 – 2 i
j. 46 – 9 i
64.
a. 4
c. 6
e. 3
b. –21 d. –4 f. –2 o 2
g. –3
65.
– 20i
e. 13
a. –10 capitulo
b. –44 – 12i
f. 74
c. 13 – i
g. 17
25.d. Opuestos
de h.
un298
número y
–9 – 5i
2
valor absoluto.
66.
1. a. 24 . (cos 45° + i . sen 45°)
a. 36 .701
b.
(cos 220° + i . sen 220°)
b.
45. (cos
861: 130° + i . sen 130°)
c. 12
1
c.
270
__
d. . (cos 335° + i . sen 335°)
6
e.
2. cos 170° + i . sen 170°
1
f.
a. __
29 . (cos 85° + i . sen 85°)
b. 6
45. (cos 50° + i . sen 50°)
g.
h. 3 . (cos 110° + i . sen 110°)
3.
67.a. 3 701
8
1 + ___
b. 245– 861:
a.
16i
e. ___
i
13 13
c. 270
1
1
__
__
b. 3 + 3i
f. – 3 – 3 i
4.
4
7
c.
g. ___
– ___
i
a. 89 – 14i
13 13
b. 45
15
3
___
___
d. 3 – 15i
h. – 26 + 26 i
5.
68.a. 3 701
c. V
a. V
b.
45 861: b. F
c. 270
69.
6. a. 40° b. 60° c. 50° d. 45°
a. 9
70.b. 45
Solución a cargo del alumno.
7.
71.a. 3 701
19 ___
127 ___
a. –45___
– 1 i
e. – ____
+ 24
i
b.
20861:15
65
65
c. 270 ___
29
44 ___
27
___
b. –2 + 8 i
f. 13 – 13 i
8. ___
39 122
31 ___
c. 17 – ____
g. – ___
+ 23 i
17 i
20 20
a. 9
5
1
d. __
–i
h. –2 + __
2i
9. 7
a. 3 701
72.
b. 45 861:
13
b. ___
a. –11 – 2i
5
73.
__
10.
a.
a. 19 ± 33 i
b. 5
b.
45± i__
c. 1 ± 33 i
11.
74.a. 3 701
3
16 __
___
a.
b. 45
5i
5 –861:
10 ___
c. –270
___
+ 3 i
b.
9
10
__
d. 1 ± __3 . 32 i__
e. { – 33 i;0;33 i }
76.
14.a. x = 2; y = 3 b. x = 8; y = 1
a. 9
77.b. 45
5
a = 4 y b = 5 o a = __
2 y b = 8.
26. Orden y representación
numérica
78.
a. 9
b. –1
1.
a. 9 AUTOEVALUACIÓN
79.b. 45 __
__
4
4
a. 2 . 33 i y –2 . 33 i
b. –6
2.
80.a. 3 701
13
1 – ___
b.
45 –861:
a. 12
3i b. 9 – 19i c. – ___
i
10 10
c. 270
81.
3.
a.
a.
b.
82.
4. a.
a.
83.b.
c.
a.
–16
9 + 30i
45
b. 11 – 2i
3
1 i
– ___
– ___
20 10
3
3
b. ___
– ___
i
20 10
3 701
45 861:
270 + 12i
–13
b. 3 + 312 i
16
___
capítulo
10.
12.
a. 9
a. A
b. 45
4
20.a. Circunferencia
3 701
b. –1; 0; 5.
2.
7.
a. (x
9 – 1)2 + y2 = 16
b. (x
45 + 3)2 + (y + 3)2 = 9
c. x2 + (y – 2)2 = 4
8.
3. a. 3 701
3)2 + y2 = 6
a. (x
b.
45+861:
9. b.
a.
4. b.
a.
b.
( x – __27 )
2
9
45
x2 + y2 – 2x + 8y – 8 = 0
x2 + y2 + 4x – 10y + 13 = 0
5
10 ___
d. ___
+ 62 i
29 29
12.
75.a. 9
2
2
a.
b. z45– 10z + 74 d. z – 6z + 16
13
e. z2 – z + ___
b. z2 – 2z + 10
4
13. 2 ___
466
____
c.
– 10
z
+
a. z3 701
3
9
b. 45 861:
c. 270
X en c. de un número y
30.VaOpuestos
valor absoluto.
6.
1. 16; 20; 12.
a. 9
7. b. 45
b. B
a. C
2.
8. a. 9
3. a. e = 0,6
a. 3 701
b. 45 861:
(y – 1)2 = 8 . (x – 2); x = 0
3 701 2
(x – 4) = 16 . (y + 3); y = –7
45 861:
270
x2 = 4 . (y – 2)
(y – 2)2 = 16 . (x – 1)
9
45
c. A
15.
13.
Va X en b. y d.
a. 3 701
b. 45 861:
16.
c. 270
b. e = 1,166
a. e = 1,18
14.
17. 2 y2
a. x9 __
a. __
– 4 =1
9
b. 45
y2
5.
c. 2 – 3i
13.
11.
a.
a.
b.
b.
c.
14.
a.
12.
b.
a.
b.
b. B
23. Hipérbola
+ (y + 3)2 = 16
capitulo
21. Elipse
2
– 2)
(x – 3)
8. c. (y
_______
+ _______
=1
9
a. 9 25 2
2
(y – 3)
(x + 2)
d. _______ + _______ = 1
36
16
9.
a. 3 701
MENTEACTIVA
b. 45 861:
Solución a cargo del alumno.
22. Parábola
6.
1. b. 45 861:
a. 2;
c.
270–3; 3
7.
11.a. 3 2701 y2
x
___
___ = 1
a.
b. 49
45 +861:
16
– 1)2
(x
+ 4)2 (y
c. 270
_______
b. 25 + _______ = 1
2
5.
a. 9
b. 45
9. c. (x
270
– 3)2
+ 2)2 (y
_______
a. _______
+
=1
25
4
2
2
4. (x
(y
+
3)
–
4)
_______ + _______ = 1
b.
a. 9 9
4
b. 45y2
x2
__
c. _____
+
=
1
12,25
4
– 1)2 (x
+ 2)2
5. (y
_______
d.
+ _______
=1
1
a. 3 701
4
b. 45 861:
10.c. 270
Por ej. a. Centro = (–2;3),
6. a1 = (3;3), a2 = (–7;3),
a.
9 (–2;5), b = (–2;1),
b1 =
___ 2
___
b. 45
f1 = (–2 + 321 ;3), f2 = (–2 – 321 ;3).
d. D
b. e = 0,8
2
x
b. __ – __
1 =1
14. 4
2
a. (x
9 + 2)2 (y – 1)
c. _______ – _______
=1
9
16
b. 45
d.
13.
a.
18.b.
a.
c.
(y
+ 2)2 (x
+ 1)2
_______
– _______
=1
25
9
3 701
45–861:
– 3)2
(x
2)2 (y
_______
– _______
=1
270
4
16
(y – 1)2 (x
+ 4)2
b. _______
– _______
=1
25
9
231
19.
__
a. Por ej. fila 1: 2 . 33 , (4;0),
y2
x2 ___
__
–
= 1.
12
4
y2 (x – 2)2
b. ___ – _______
=1
4
16
b. Solución gráfica.
20.
___
y2
x2 ___
a. Sí. b. ___
–
= 1 c. 4 . 313
36
16
21.
y2
x2
___
a. ____
–
=1
100
36
+ 3)2
(x
+ 1)2 (y
_______
b.
– _______
=1
9
16
MENTEACTIVA
Solución a cargo del alumno.
INTEGRACIÓN 20.21.22.23
22.
Por ej. fila 1: x2 + y2 = 25.
23.
C1: x2 + (y + 2)2 = 9;
C2: (x – 2)2 + (y – 3)2 = 25
26.
Por ej. a. C: (–3;0),
a1 = (–3;4), a2 = (–3;–4),
b1 = (–1;0), b
= (–5;0),
__2
__
f1 = (–3;2 . 33 ), f2 = (–3;–2 . 33 ).
b. A
1x + 2
a. f–1(x) = __
3
x
–2
b. f–1(x) = _____
4
–3
c. f–1(x) = x_____
2
__
d. f–1(x) = 33 x
e. f–1(x) = x2 – 1
3
c. B
AUTOEVALUACIÓN
2
(x – 1)
f. f–1(x) = _______
2
36. a.
26. Interpretación y análisis de
gráficos
37. c.
8.
38. c.
Solución a cargo del alumno.
39. b.
9.
Va X en a. y c.
40. b.
10.
a. h(x) b. g(x) c. i(x) d. f(x)
capítulo
5
11.
Por ej. a. f(x) = –0,5x + 3.
24. Funciones
12.
Solución a cargo del alumno.
1.
Va X en a. y d.
27. Función lineal
2.
13.
y
2 x – 2; __
x + ___
a. y = __
= 1.
3
3 –2
a. Df = ; Im =
b. Df = [–2;1]; Im = [–2;3]
c. Df = ; Im = [2;+')
d. Df = [–4;–2) ∪ [0;3];
Im = [–2;0) ∪ (2;5]
e. Df = ; Im = {2}
f. Df = +; Im = (–';0)
3.
1
– __
2
{ }
a.
b.
2
f. __
5 ;+'
(
4.
)
g.
y
1 x + 1; __ + __
x
b. y = – __
1 4 = 1.
4
y
c. y = 2; __
2 = 1.
y
1
x __
__
d. y = __
2 x – 1; 2 + –1 = 1.
14.
x +
a. y = ___
–9
x
b. y = ____
0,05
– {–5;5} c.
d. (–';–3) ∪ (3;+')
e.
h.
+
25 ___
1 ; ____
a. __
; 1
9 __
126 30
2
1
b. – 3__
– 1; ∅; – __
2
2
__
__
c. ∅; 0; 1
e. 2 . 35 ; 2; 35
1
1
f. 4; 1; __
d. e; __
e; 1
2
31. (x – 2)2 (y – 1)2
a. _______ – _______
=1
4
16
232
7.
35. b.
30.
Va X en (5;–2), (1;–3).
(y + 3)2 (x – 1)2
b. _______ – _______
=1
1
6
Va X en a.
_____
34.
a. F
– 1)2
(x – 2)2 (y
b. _______
+ _______
=1
25
9
29.
a. x2 = –4 . (y – 3)
b. (y – 2)2 = 8 . (x – 3)
c. (x + 4)2 = –6 . (y – 1)
6.
33.
Va X en b., c., d. y e.
27. y2 (x + 4)2
a. ___ + _______
=1
9
36
28.
a. (y – 2)2 = –8 . (x – 1). D: x = 5.
b. (x – 4)2 = –6 . (y – 2). D: y = 5.
25. Función inversa
– 3)2
(x – 1)2 (y
_______
c. _______
–
=1
1
9
24.
a. (x – 1)2 + (y – 3)2 = 12
b. (x + 4)2 + (y + 2)2 = 16
c. x2 – (y – 5)2 = 9
25.
Va X en b. y c.
MENTEACTIVA
Solución a cargo del alumno.
32. (x – 3)2 (y + 1)2
a. _______
– _______
=1
25
9
y
___
=1
–3
y
___
+ 0,2 = 1
y
x ___
c. __
=1
2 + __
4
–3
y
y
x + __
d. ___
= 1 e. ___
=1
0,8 2
–4
15.
Por ej. a. con f. y j.
16.
y
y
x
x + ___
___
__
a. ___
=1
–5 + __
5 = 1 b. __
–3
6
–3
5
5.
Por ej. a. Segunda opción.
17.
a. y f. ⊥ ; c. y d. //.
18.
–2x + 11 b. y = –5x + 9
a. y = capitulo
2
19.
1 x –de
1
25.a. Opuestos
y
y = – __
1 c.uny número
= – __
2x
4
valor absoluto.
b. y = 2x + 1
1
d. y = __
2x + 2
1.
a. 3 701 MENTEACTIVA
Solución
b.
45 861:a cargo del alumno.
c. 270
53.
14.a. S: {(1;–3)}
b.
a. No
9 tiene solución.
15 __
b.
45 (0;1); ___
c. S:
;– 1
{
24.
5. a. y = x2 + 2x – 3
a. 3y =
701–2x2 + 6x – 4
b.
b. y45= 861:
c.
4x2 – 16x + 12
c. 270 __1
3
d. y = – 2 x2 + x + __
2
6. e. y = –4x2 + 4
a. y9= 3x2 – 6x + 5
f.
b. 45
25.
7. Por ejemplo, a. y = __1 x2 – x – 3;
4
a. 3 701
1 861:
2
.
(x
–
2)
–
4;
yb.=45__
4
c. 270
1 . (x + 2) . (x – 6)
y = __
4
8.
26.a. 9
Por ej., a. Mín = (2;–4);
9. crece: (2;+'); decrece: (–';2).
a. 3 701
MENTEACTIVA
b. 45 861:
Solución a cargo del alumno.
31. Sistemas de ecuaciones
10.
mixtas
a. 9
49.b. 45
La cuarta opción.
11.
50.a. 3 701
a.
b. Dos.
45 861:c. Dos.
b.
c. Dos.
270 d. Uno.
e. Ninguno.
f. Dos.
51.
12.
4
4
__
__
Por
a. 9ej. a. Dos: k < 5 ; una: k = 5 ;
b. 45
4
ninguna: k > __
5.
13.
52.a. 3 701
Solución
b. 45 861:a cargo del alumno.
c. 270
4
)}
f. S: {(0;1);(–1;4)}
1.
MENTEACTIVA
a. 9
Solución
a cargo del alumno.
b.
45
28. Función cuadrática
20.
2.
Solución
a cargo del alumno.
9
a.
b. 45
21.
3. Por ej. a. Tercera opción.
22.a. 3 701
b. V c. F d. V e. V
a. F45 861:
b.
c. 270
23.
1
4. Por ej. fila 1: __
2 ; 0; –8; (0;–8);
a.
x =9 0; 4 y –4; (0;–8); [–8;+')
b. 45
(4
No tiene
solución.
26.d. Orden
y representación
e. No tiene solución.
numérica
INTEGRACIÓN 29.30.31
2.
54.a. 3 701
c. F
a. V
b.
45 861: b. V
c. 270
55.
3. Solución a cargo del alumno.
a. 9
56.b. 45
Por ej. a. con g.
4.
57.a. 3 701
___
a. x45=861:
2 ± 310___
b.
b. x270
= –2 ± ___
c.
310
c. x = 2 ± 310___i
5. d. x = –2 ± __
310 i
a. 9 _______
2 ± 37
e. x =
3
b. 45
1
f. x = 1 o x = __
3
___
6.
± 379
a. 3x =
701–8_______
g.
5
b. 45 861:
1
h.
x
=
–3
o
x = – __
c. 270
5
58.
7.
a. b9 < –10 o b > 10
b. b
45= –10 o b = –10
c. –10 < b < 10
8.
59.a. 3 701
a. SCD
b.
45 861: b. SI
61.
capitulo
Solución a cargo del alumno.
5
62.
30. Opuestos de un número y
a. F absoluto.
b. V c. F d. F e. F
valor
2.
c. S:
{ ( 0;__31 ) }
d. S:
a.
9 {(0;3)}
3. e. No tiene solución.
f. S:
{(5;24);(–1;–6)}
a.
3 701
b. 45 861:
1
1
__
__
2
5. b. y = 3 . (x + 1) + 3 ;
a. 3 701
1 . (x + 2)2 + 2
yb.=45– __
3861:
c. 270
66.
21x + 13 = y
6. a. 24x – y = 8 b. x = 7; y = 160
a. 9
67.b. 45
y = –x2 + 2
3 __
1
a. y = –x2 + 4x – 4
b. __
2 ;– 4
7.
a. 3 701
b. 45 861:
c. 270
{
{
(
capítulo
8.
)
6
a. 9
32. Función polinómica
1.
9.
a. f(x)
= x2 . (x + 2)
3 701
b. f(x)
= (x – 3)3 . (x + 3)2
45 861:
c. f(x) = (x + 1) . (x + 2) . (x + 3)
d. f(x) = x4 . (x – 2)3
10.
2. a. 9
Infinitas.
b. 45
3.
11.
Por
701a. C+ = (–3;2) ∪ (2;+');
a. 3 ej.
–
C
=
b. 45(–';3).
861:
c. 270
4.
12.Va X en a. y c.
a. 9
33.b.Análisis
de la función poli45
nómica
c. SCI
60.
9.
a. Cintia
$9 040 y Eduardo $5 260.
9
b. 70°;
45 70°; 40° o 80°; 50°; 50°.
c. 10 y 1. d. 5 adultos y 9 niños.
63.
1.
a. S:
9 {(0;3);(–4;11)}
b. No
45 tiene solución.
c. 270AUTOEVALUACIÓN
64. b.
4.
65.a. 9
5
5
5
a. y45= – __
x – 1,25; y = __
x – __
b.
4
4
4
5.
13.
Solución
a. 3 701 a cargo del alumno.
b. 45 861:
6. c. 270
Solución a cargo del alumno.
14.
7. a. 9
a.
b. f(x)
45 = (x – 2) . (x + 1)2
b. f(x) = (x + 2) . (x – 3)
14.c. f(x) = (x – 1)2 . (x + 1)2
d. f(x)
a.
9 = (x + 2) . (x – 1) . (x – 3)
e. f(x)
b.
45 = x . (x – 2) . (x + 2) __
f. f(x) = (x + __
1)2 . (x – 1 + 2 . 32 i)
.
(x
–
1
–
2
.
32 i)
13.
a. 3 701
8. b. 45 861:
Por
ej. a. (2;+').
c. 270
9.
Solución a cargo del alumno.
233
INTEGRACIÓN 32.33
10.
Solución a cargo del alumno.
11.
a. No.
b. Sí.
c. Sí.
d. No.
e. Sí.
f. No.
12.
Solución a cargo del alumno.
13.
Solución a cargo del alumno.
14.
Solución a cargo del alumno.
39.
a.
MENTEACTIVA
Solución a cargo del alumno.
b.
c.
4
4
– __
; x = __
.
3
3
– {–1}; x = –1.
– {2}; x = 2.
d.
1 ; x = – __
1.
– – __
3
3
36. Función homográfica
27.
Solución a cargo del alumno.
28.
Por ej. a.
– {3}.
29.
3
1
__
Por ej. a. A. V.: x = __
2 ; A. H.: y = 2 .
30.
Solución a cargo del alumno.
15.
Por ej. a. Par.
31.
2
a. – __
5
b. 0
16.
a. C+: (–';a) ∪ (a;b).
b. Positivo.
c. Sí.
17.
Solución a cargo del alumno.
18.
a. F b. V c. V d. F e. F f. F g. F
19.
a. f(x) = x . (x – 4)
b. f(x) = x2 . (x + 3)
c. f(x) = x . (x – 1) . (x + 1)
d. f(x) = x2 . (x – 1)2
e. f(x) = (x + 2) . (x + 1) . (x – 3)
f. f(x) = (x + 3) . (x + 2) . (x – 2)
34. Función racional
20.
Solución a cargo del alumno.
21.
Por ej. a. con Df =
26.
Solución a cargo del alumno.
– {–2}.
22.
Por ej. a.
4
; I = – {0};
Df = – – __
3 m
4
__
A. V.: x = – 3 ; A. H.: y = 0.
{ }
35. Representación gráfica de
funciones racionales
23.
Solución a cargo del alumno.
24.
Solución a cargo del alumno.
25.
Solución a cargo del alumno.
32.
a. F
b. V
4
c. __
7
1
e. __
2
5
d. – __
4
1
f. – __
2
c. V
d. F
e. F
f. F
g. V
h. V
MENTEACTIVA
Solución a cargo del alumno.
33.
Solución a cargo del alumno.
INTEGRACIÓN 34.35.36
34.
a.
b.
c.
– {1}
– {2;–2}
– {–1}
d.
e.
f.
{ }
{ }
40.
a. F; V; V; F; F; F.
b. V; F; V; F; V; F.
41.
a. a = 2; b = 6.
b. a = 1; b = 4.
1
c. a = –4; b = __
2.
d. a = 3; b = 3.
42.
a. 3 b. 1 c. 2 d. 3 e. 2 y 3 f. 3
43.
– 2.
Por ej. a. x_____
x–3
44.
Solución a cargo del alumno.
AUTOEVALUACIÓN
45. c.
46. a. 3 b. No tiene.
c. 2.
47. c.
48. c.
49. b.
– {–3}
– {–1}
35.
Solución a cargo del alumno.
50. a. (0;–2)
51. a.
3
b. __
2
3
2 c. __
– {2} b. y = __
2 ;0
3
( )
36.
Solución a cargo del alumno.
37.
a. x = –5; y = 0.
b. x = 0; y = 0.
1
1
__
c. x = – __
2; y = 2.
d. x = –4; y = 8.
2.
e. x = –2; y = – __
3
capítulo
37. Función exponencial
1.
Solución a cargo del alumno.
2.
2 ; y = 0.
f. x = __
3
38.
Por ej. a.
7
1
a. k = –1; a = __
3
b. k = 1; a = 5
c. k = –1. Para a, inf. sol.
3
d. k = __
2; a = 2
– {6}.
3.
Por ej. a. f(0) = 1; g(0) = 5;
1
1
_____
h(0) = ___
25 ; i(0) = 3 125 .
234
4.
39. Función logarítmica
2
= 4x+2; h(x) = 4x–1
a. g(x) capitulo
1
b. g(x) = __
3
( )
x+1
1
; h(x) = __
3
( )
x–3
25. Opuestos de un número y
5.
valor
absoluto.
Solución a cargo del alumno.
1.
6. a. 3 701
Solución
b.
45 861:a cargo del alumno.
c. 270
7.
2. Por ej. a. con y = –3.
a. 9
8. b. 45
Solución a cargo del alumno.
3.
a. 3 701 MENTEACTIVA
Solución
b.
45 861:a cargo del alumno.
c. 270
numérica
9.
4.
d. V e. V f. V
2
__
9
19
e. – ___
6
2
__
f. – 3
7
__
6. b. 2
a. __
59
c.
b. 245
9
g. – ___
10
11
h. – __
2
21
___
i. – 2
12.
7.
a. 3
6 701
b. 3 c. 3 d. 3 e. –4 f. 5
a.
b. 45 861:
13.c. 270
a. 0,60206
e. 2,7724
f. –2,7724
8. b. 2,40824
c. 3,61236
g. 4,1586
a.
9
d. –0,60206
h. 2,7724
9.
14.a. 3 701
1
a. a45+ 861:
b
d. __
b.
2 . (a + b)
3
e. __
2b
b. 2a + b
1
1
__
10.c. 3a + 2b
f. __
2a + 2b
a. 9
15.b. 45
6
a. log ____
c. log 27
125
11.
b.
d. log 21
a. 31 701
b. 45 861:
16.c. 270
Solución a cargo del alumno.
12.
17.a. 9
5
a.
b. __
45. log5 x c. log 2x
2
13.b.
a.
b.
c.
2
log2 ( __x1 )
3 701
45 861:
270
20.
1. Solución a cargo del alumno.
a. 9
21.b. 45
Solución a cargo del alumno.
2.
22.a. 3 701
Por
fila 1: (0;+'); x = 0.
b. 45ej.861:
c. 270
23.
3. a. Solución a cargo del alumno.
a. f9–1(x) = __1 x – 2
b.
4
b. 45
c. Solución a cargo del alumno.
4.
24.a. 3 701
a. Solución
a cargo del alumno.
b.
45
861: x+3
–1
b.
f
(x)
=
e
c. 270
c. Solución a cargo del alumno.
5.
25.a. 9
a.
b. V
45 b. F c. V d. V e. F f. F
( )
38. Logaritmos
Por9 ej. a. 3.
a.
b. 45
10.
5. a. F b. V c. F
a. 3 701
11.b. 45 861:
7
__
a.
d.
c. 2270
18.
14.
Solución
a cargo del alumno.
a. 9
b. 45
19.
del alumno.
26.Solución
Orden ay cargo
representación
d. log5 ((x – 2) . x)
26.
6.
Por
a. 3 ej.
701fila 1: (0;+'); ; 1 hacia
arriba;
x = 0.
b. 45 861:
c. 270
MENTEACTIVA
7. Solución a cargo del alumno.
a. 9
. .
b. 45INTEGRACIÓN 37 38 39
27.
8. Solución a cargo del alumno.
a. 3 701
28.b. 45 861:
a.
d. No tiene.
e. No tiene.
9. b. (0;+')
1
a. 9
f. 0;__
c.
7
b. 45
29.
a. V
c. F
e. F
g. V
b. F
d. F
f. V
( )
capitulo
5
30.
y=2
=0
30.a. Opuestos
de d.
uny número
y
b.
y
=
–3
e.
y
=
3
valor absoluto.
3
__
c. y = – 2
f. y = 4
1.
31.
a.
Por9 ej. a. (–';0).
b. 45
32.
2. Solución a cargo del alumno.
a. 9
33.
3.
a. 3
f(x)701b. g(x) c. h(x) d. p(x)
a.
b. 45 861:
34.c.
a.
4.
35.
a.
a.
b.
b.
270
y = 2x + 1
9
3 c. 4
45
2 d. 2
b. y = 2x+3
e. 3
f. 2
g. 4 i. –1
h. 3 j. –2
5.
36.
a.
3 701 a cargo del alumno.
Solución
b. 45 861:
37.c. 270
7
8
a. 16
c. __
e. – __
2
3
6.
8
1
b.
d. – __
f. __
a. –6
9
3
6
b. 45
38.
7. Por ej. a. (1;+').
a. 3 701
39.b. 45 861:
a.
=3
c. (–1;+')
c. a270
b. b = 1
d. Sí.
8.
40.a. Ecuaciones
exponenciales
9
40.
9. Por ej. a. con x = 5.
a. 3 701
41.b. 45 861:
Por ej. a. 6.
42.
10.
a. a92x b. ax+2
b. 45
43.
11.a. x = 3
701– __1
a. 3x =
b.
2
b. 45 861:
c.
x
=
2
c. 270
44.
12.
a.
a.
b.
b.
x9 = –1
x45= 0
c. a9x
d. a21x
d. x = –4
1
e. x = __
4
f. x = –1
c. x = –12
d. x = –2
45.
13.
Por
a. 3 ej.
701a. 3.
b. 45 861:
46.c. 270
a. x = –6
14.b. x = –1
c.
a. x9 = 2
d. x = 4
e. x = –3
f. x = –2
b. 45
47.
a.
14. x = 3
b.
a. x9 = 1
c.
b. x45= 3
d. No tiene.
13.e. x = 1
f.
tiene.
a. No
3 701
g.
x
=
1; x = 2
b. 45 861:
h.
x
=
c. 270 1; x = log3 2
i. x = 2; x = 3
j. x = 1
k. x = 1; x = –1
l. x = –2
m. No tiene.
n. x = –1
235
41. Ecuaciones logarítmicas
48.
Por ej. a. con x = 1.
60.
a. x = 4
b. x = 2
49.
a. x = 8
1
b. x = __
5
c. x = 7
61.
a. x = 1
d. No tiene.
b. x = 2
e. x = 0
1
c. x = 2; x = 4 f. x = __
2
g. x = 1; x = 2
d. x = 5
e. x = e2
1
f. x = – __
e
50.
43
a. x = ___
7
b. x = 4
c. x = 3
51.
3
a. x = __
2
b. x = 0,001
5
c. x = __
3
d. No tiene.
e. x = 2
f. x = 5
f. x = 5
65.
x = 243
d. x = 25
e. x = 4
f. x = 242
54.
1
a. __
2; 4
g. 125
e. –1 + 32
h. 16
i. 32__ __
j. –33 ; 33
11
k. __
3
f. No tiene.
l. 729
MENTEACTIVA
Solución a cargo del alumno.
236
2.
a. 720°
d. 270°
b. 30°
e. 225°
c. 114° 35’ 30’’ f. 495°
5.
7.
72.
a. (–1;+')
b.
3
f. __
2 π
c. F
d. F
e. F
f. F
g. V
h. F
i. V
j. V
___
ab
__ .
Por ej. a. ___
___
___
a. Por ej. ao = ab__. cos ^
_.
__
bc
.
b. Por ej. ac = ______
sen ^
_
__
__
^
c. Por ej. bc = ac . cos `.
8.
68.
1
x = 3; x = __
3
58.
Por ej. a. Una.
5
d. __
π
9
bc
1
e. x = __
4
g. x = 1
71. a.
5
b. __
π
4
6.
1 ; x = 64 f. x = –4
c. x = __
4
57.
Sí.
3
e. __
π
4
Por ej. a. 0,7193
1
d. x = ___
25
b. x = 64
70.
a. x = 7
7
c. __
π
4
43. Razones trigonométricas
d. x = 4
e. x = 32
f. x = 9
67.
1
a. x = ___
25
56.
Por ej. a. x = 1.
2 π
a. __
3
4.
1 ; x = __
1
g. x = __
3
9
55.
Por ej. a. 7.
59.
3
a. x = __
c. x = –4
2
b. x = –3
d. x = 1
e. x = 1; x = 2
f. x = –3; x = 1
Por ej. a. Va X en 60°.
a. V
b. F
66.
a. x = 6
b. x = 6
4
c. x = __
3
69.
a. x = 243
b. x = –1,37
c. x = 1,71
INTEGRACIÓN 40.41
1.
3.
63.
x = –2
8
42. Sistema de medición de
ángulos
6
b. x = __
5
64.
Por ej. a. x = 23.
53.
a. x = 64
b. x = 8
c. x = 27
__
62.
a. x = 3
11
d. x = __
3
e. No tiene.
52.
7
Por ej. a. __
2.
b. 5
c. 8
d. –49; 49
capítulo
c. x = –3
d. No tiene.
___
3 . 310
Por ej. a. sen ^
_ = ______
;
10
___
10
cos ^
_ = 3___
; tg ^
_ = 3.
10
d. x = 1,5
e. x = 5,23
b. x = 1; x = –5
AUTOEVALUACIÓN
c. x = –1 e. (0;–3)
d. (7;0)
73. b.
74.
a. x = 2
c. x = –93; x = 27
b. x = 1; x = 5 d. x = 36
9.
Por ej. a. ^
_ = 66° 25’ 19’’;
sen ^
_ = 0,9165; tg ^
_ = 2,2913.
10.
Solución a cargo del alumno.
MENTEACTIVA
Solución a cargo del alumno.
44. Valores exactos y aproximados
11.
1
Por ej. a. – __
2.
12.
π
Por ej. a. con sen __
8.
13. __
3
a. 3___
2
2
capitulo
e. 0
__
2
b. – 3__
2
__
f. –33
__
__
25. Opuestos
de un3___
número y
c. –3absoluto.
3
g. 22
valor
__
2
h. – 3__
1. d. – 1/2
2
a. 3 701
45.b.Ecuaciones
trigonométricas
45 861:
14.c. 270
19
π
___
Por ej. a. ___
12 y 12 π.
2.
15.a. 9
b. 45ej. a. con No existe.
Por
3.
16.
a.
a.
b.
b.
c.
5
π 701
__
3
; __
π
3
3861:
45
4
5
__
__
π; 3
π
270
3
5
2
__
__
4. c. 3 π; 3 π
97 π
a. ___
d.
12
b. 45
π __
e. __
; 3π
4 4
4
5
π __
f. __
; 2 π; __
π; __
π
3 3
3
3
g. π; 0
h. 0
INTEGRACIÓN 42.43.44.45
5.
17.
a. 3 701
3
Por
fila 1: __
π.
b. 45ej.861:
4
c. 270
18.
1
__
6. Por ej. a. – 2 .
a. 9
19.b. 45
a. 34° 46’ 54’’ d. 84° 39’ 45’’
7. b. 71° 8’ 35’’ e. 28° 35’ 8’’
a.
3 701
c. 75°
54’ 35’’ f. 11° 18’ 36’’
b. 45 861:
20.c. 270
c. F
e. V
g. F
a. F
8. b. V
d. F
f. F
a. 9
21.
9. Solución a cargo del alumno.
a. 3 701
22.b. 45 861: _________
Por ej. a. ±31 – sen2 ^
_.
10.
23.
a. 9
Solución
a cargo del alumno.
b. 45
24.
π
π
2 π b. –cos __
11.a. –sen __
c. –tg __
3
4
a. 3 7019
b.
45
861:
25.
c.
Por270
ej. a. π; 2π; 0.
12.
26.
a.
15°94’
b. 45
27.
13.a.
a.
b.
b.
c.
F
c. F
3V 701 d. F
45 861:
270
e. V
f. F
f. F
28.
14.a.
a.
b.
b.
π __
__
; 5π
4 4
93
__
π
45
4
π
2π
; __
c. __
3 3 y representación
26. Orden
5
13
numérica
π; ___
π
d. ___
24
24
7
11
__
__
1. e. π; 6 π; 6 π
a. π9 __
; 3 π; 0; 2π
f. __
b. 2452
46.
2. Triángulos rectángulos
29.a. 3 701 __
Por
a. ac = 12,73 cm;
b. 45ej.861:
^
a =270
34° 26’ 20’’; ^
c = 55° 33’ 40’’.
c.
30.
3.
__
a. 12
b. 54,93 cm
9 . 33 cm
b. 45
31.
d. 2,20 m
4. a. 5,20 m
b.
70122’ 37’’ e. 15,66 m
a. 325°
c.
33’ 16’’
b. 60°
45 861:
c. 270
32.
c. 3,70 m
5. a. 2,75 m
b.
m
d. 413,54 m
9
a. 13,05
b. 45
MENTEACTIVA
6. Solución a cargo del alumno.
a. 3 701
47.b.Teoremas
45 861: del seno y del
coseno
c. 270
33.
7. Solución a cargo del alumno.
a. 9
34.b. 45
a. No.
c. Sí.
e. Sí.
d. No.
f. No.
8. b. No.
a. 3 701
48.b.Triángulos
oblicuángulos
45 861:
35.
___
9. Por ej. a. ab = 54,59 cm;
__
a. 9= 56,37; ^
ac
b = 60°.
b. 45
36. ___ __
a.
= bc = 62,30 cm;
___ ad __
capitulo
ab = cd
= 43,71 cm.
b. P = 212,5 cm
c. Diag
___ = 21 cm
30.d.Opuestos
ab = 35,23de un número y
5
valor absoluto.
37.
1. a. A: 3 402,75 m; B: 3 248,99 m.
a.
9
b. Dist.:
16,81 m.
b. 45
38.
2. a. 1 254,38 m b. 207,73 m
a.
9 38’ 9,9’’
c. 79°
3. d. 491,26 m o 864,31 m
a. 3 701
b. 45 861:
c. 270 MENTEACTIVA
Solución a cargo del alumno.
4.
a. 9 INTEGRACIÓN 46.47.48
39.b. 45
Por ej. a. ^
n = 38° 4’ 36’’;
___
5. ^
p = 51° 55’ 24’’; np = 19,94 cm.
a. 3 701
40.b. 45 861:
c.
270 51’
a. 34°
c. 63° 12’ 42’’
b. 48° 21’ 59’’ d. 29° 55’ 35’’
6.
41.a. 9
b.
45
a. 273,21
m
b. 54,16 m
7.
42.
a.
701
Por3ej.
Per. Trián abc = 45,89 cm.
b. 45 861:
43.c. 270
b. F
c. F
d. V
a. F
8.
44.a. 9
a. No se verif. b. Se verif.
9.
45.a. 3 701
b.
Por45ej.861:
a. ^
c = 58°;
__
__
bc = 9,29 cm; ac = 3,53 cm.
10.
46.
9
cm2. b. 67,04 cm.
a. 62,35
b. 45
47.
11.Por ej. a. ^
s = 104°;
__
__
a. 3
rs
= 701
19,46 cm; rt = 25,82 cm.
b. 45 861:
48.c. 270
b. 110,58 m.
a. 15,79 m
12.
49.a. 9
b. 45ej. a. Á: 109,3 cm3;
Por
P: 43,84 cm.
13.
a. 3 701
AUTOEVALUACIÓN
861:b. –cos 30° y cos 210°.
50.b.a.45
180°;
c. 270
51. a., b., c. y d.
14.
52.a.b.9 y d.
b. 45
53. a. y b.
14.
54.a.c.9
b. 45
55. b.
13.
a. 3 701
b. 45 861:
c. 270
237
capítulo
9
49. Estadística
1.
Niv. in.: 72%; prim.: 90%;
secun.: 198%.
2.
a. Por ej. Básquet: 22,06%.
b. Por ej. Handball: 14 alumnos.
3.
a. 17 pers.
b. 70,59%
c. 29,41%
d. 84° 42’ 21,18’’
17.
a. Solución a cargo
_ del alumno.
b. A, B y C tienen x = me = mo = 9.
c. La muestra de A.
18._
x = $6 773,3; m = $1 218,45.
34.
La muestra A.
20.
a. Pachanga.
b. Balvanera.
35.
Solución a cargo del alumno.
a. Por ej. fila 1: 49.
22.
Por ej. a. Ning. de las ant.
5.
b. 60%
6.
Solución a cargo del alumno.
51. Parámetros de posición
7.
5.° año A.
8.
f4 = 40; f6 = 49
9.
33.
a. 80 kg; 140 kg; 200 kg;
260_ kg; 320 kg.
b. x = 218,57 kg; me = 217 kg.
c. m = 115,84 kg.
b. Corola.
Solución a cargo del alumno.
4.
32.
Cv(A) = 16,91% y
Cv(B) = 16,94%. Muestra A.
19.
a. Pistilo.
21. _
a. x = 7,025; m2 = 5,9244;
m = 2,4340.
b. Cv = 34,65%
50. Intervalos de clase
23.
a. Naranja.
b. Amarilla.
36.
En la muestra A.
37.
a. m1: verde; m2: azul; m3: roja.
b. La roja.
c. No.
53. Combinatoria
c. Verde.
d. Azul.
24. _
a. x = 170,83 cm; m = 7,42.
b. Cv = 4,34%
MENTEACTIVA
Solución a cargo del alumno.
38.
a. 240
b. 201 600
1
c. __
5
d. 2 730
39.
a. x = –205
1
b. x = ___
20
40.
a. 312 + 156n
b. 480n2 + 1 200n + 720
10.
_
Por ej. a. x = 27,38 cm.
INTEGRACIÓN 49.50.51.52
25.
a. Solución a cargo del alumno.
b. Aprox. el 48,22%.
c. 316 camisas; aprox. el 70,22%.
11.
_
Por ej. b. x = 79,76 kg;
me = 79,06 kg; mo = 75.
26. _
a. x= 2,82; mo = 4.
b. A ≅ 16,115. c. 47,48%; 714.
12.
_
Por ej. a. x = 8,0748.
27.
Solución a cargo del alumno.
13.
Solución a cargo del alumno.
28.
No.
44.
Por ej. a. 24.
14.
Solución a cargo del alumno.
29. _
a. x = 27,36
b. 23
c. La original 26 y la otra, 27.
45.
a. 840
15.
_
Por ej. a. x = 36,433; me = 36;
mo = 36.
30.
Solución a cargo del alumno.
a. me = 12; mo = 15
b. me = 17,4; mo = 23,5
16.
_
Por ej. a. x = 35,20.
MENTEACTIVA
Solución a cargo del alumno.
238
52. Parámetros de dispersión
31. _
a. x_ = 6; m2 = 9,6; m = 3,1.
b. x _= 36; m2 = 9,6; m = 3,1.
c. A x se le suma la constante y
m no varía.
41.
a. 10
b. 35
+ 3a + 2
c. a__________
2
d. 21
42.
a. x = 55
b. z = 9
2
54. Permutaciones, variaciones
y combinaciones
43.
a. 23
b. 479 001 600
b. 2 184
46.
a. n = 2
47.
a. 720
48.
a. 120
b. –5 395
c. 6 840
b. n = 8
b. 60
c. 600
c. 7 179
689
d. ____
6
49.
a. 9
INTEGRACIÓN 53.54.55.56
b. 5 040
c. 56
50.
a. 19 683 b. 20 412
51.
a. 625 000
c. 551 853
65.
a. 101 . (n + 2) . (n + 4).
b. 40.
66.
a. x = 2,5.
b. y = 5.
c. z = 0; no es solución.
b. 600 000
52.
Por ej. a. 350.
MENTEACTIVA
Solución a cargo del alumno.
67.
a. 5 040; 35.
b. 6 840.
c. 303 600; 12 650.
d. 680.
e. 45.
f. 129 729 600; 109 771 200.
55. Probabilidad
53.
Solución a cargo del alumno.
68.
Por ej. a. Ning. de las anteriores.
54.
Por ej. P(frut-frut) = 0,6897.
69.
55.
3
a. __
4
70.
12
a. ____
380
3
b. ___
52
3
c. __
8
1
____
720
64
b. ____
380
56.
Solución a cargo del alumno.
71.
1
a. ____
216
56. Sucesos y probabilidad
condicional
72.
4
a. ___
91
34
b. ____
455
73.
2
a. __
5
b. 0,2112
57.
a. Sí; 1.
b. Sí; no se puede saber.
58.
74.
a. 0.
3
__
8
59.
20 ___
a. ___
; 25
29 36
1
b. __
11
60.
a. Solución a cargo del alumno.
1
b. __
2
1
c. __
2
215
c. ____
216
3
b. ____
216
b. 0,57.
c. 0,081.
75.
4 __
3
__
7; 7
76.
a. 0,78
b. No.
d. 0
61.
a. 0,1385; 0,35
b. 0,2727; 0,3375
77.
671
a. _____
1 296
5
b. __
6
( )
3
5
c. __
6
( )
3
62.
Por ej. P(casa) = 0,40.
AUTOEVALUACIÓN
78.
a. De 57 a 58. c. Ning. de ant.
b. 57
d. 14,35%
63.
a. 0,0000027; 0
b. Por ej. P(todos) = 0,4096.
79. d.
64.
Por ej. a. 13%.
MENTEACTIVA
Solución a cargo del alumno.
80.
5
a. ___
33
81.
4
a. ___
17
b. Ning. de las ant.
18
b. ___
21
239
5
MATEMÁTICA
FIN
¿PARA QUÉ
SIRVE?
Índice
NÚMEROS REALES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
SUCESIONES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
SUCESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS. . . . . . . . . 4
NÚMEROS COMPLEJOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
CÓNICAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
FUNCIÓN INVERSA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
FUNCIONES CUADRÁTICAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
TEOREMA DE BOLZANO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
POLINOMIOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
FUNCIONES HOMOGRÁFICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS. . . . . . . 12
TRIGONOMETRÍA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
ESTADÍSTICA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
COMBINATORIA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
¿¿PPaarraaqquuééssirirvvee..?.
capítulo 1
contenido
1
Números reales
Si tuvieran que decir 10 números entre 0 y 9 “al azar”, ¿dirían, por ejemplo, “1, 1, 1, 1, 2, 2,
2, 2, 3, 3”? ¿O “1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1”? ¿Y si tuvieran que decir 100 dígitos al azar? ¿Están
pensando en algo para decirlos? ¿Qué significa al azar? Si buscamos en el diccionario, la
definición es: “sin orden, sin planeamiento, aleatoriamente”. Con lo cual, si para decir cien
números al azar pensaron en algo, lo más probable es que no hayan sido dichos al azar.
¿Qué estrategias podemos tener para ir diciendo números “al azar”? Una posibilidad es
elegir un número (no entero) e ir diciendo los dígitos que están después de la coma.
Ahora ¿qué pasa si el número que elegimos es un número racional? ¿Es una secuencia
de números al azar? ¿Nos damos cuenta de esto enseguida? ¿De qué depende?
Si un amigo les va diciendo las cifras que aparecen en el desarrollo decimal de un
número racional, ¿podrían anticipar en algún momento qué va a decir, sin saber
el número en cuestión? Esto dependerá un poco de qué número sea; si el núme1 = 0,3333333333..., entonces será muy fácil anticiparse. Ahora si el número
ro es __
3
1
es _________________
, la tarea será más compleja. ¿Cuántos números tendremos que
999999999999999
escuchar para poder anticiparnos correctamente? Entonces si el número que elegimos es racional, por más que
tenga infinitas cifras decimales, sabemos que tienen un período y esto nos daría un ciclo. Por eso, si escuchamos atentamente, podríamos descubrir este ciclo y entonces, a partir de ahí predecir los números siguientes.
Para solucionar parcialmente esto, podemos elegir un número racional cuyo período sea muy largo, con
un ciclo de 1 000 dígitos, por ejemplo: al decir 100, 200 o 500 de estas cifras no será descubierto nuestro
patrón. Esto es en parte lo que se conoce como números pseudoaleatorios, porque si bien con estos ciclos
grandes alcanza para algunas aplicaciones, no es un número completamente al azar.
De esta manera, vemos que no todos los números son racionales, pues podríamos generar números
con cifras decimales al azar, que no tengan ningún ciclo. Ahora, no todos los números no racionales
tienen el mismo “grado de azar”. Por ejemplo, el número
0,101001000100001000001000000100000001... no es un número racional pues no tiene período, pero
uno podría predecir cómo continúa la secuencia. En cambio, es más difícil predecir la secuencia de / que
es 3,141592653589793238462643383279502884197169... ¿Encuentran algún patrón en este número?
Hemos encontrado entonces una estrategia para decir números al azar: los números irracionales nos
sirven para esto, aunque como hemos visto, algunos funcionan mejor que otros. De todas formas, es
una herramienta teórica, pues ¿cómo hacemos para saber los decimales de /?
En conclusión, los números racionales no alcanzan para llenar toda la recta, pues quedarían estos agujeros de “números al azar”, ya que los racionales son esos números “con período, con ciclo, con plan,
con orden” y eso no es todo lo que hay. Llenar la recta agregando los números irracionales es lo que
facilita el estudio de funciones y es su verdadera utilidad.
Actividades
1. Escriban 25 números entre 0 y 9 utilizando algún patrón para generarlos.
2. Intercambien con un compañero los números que escribieron y encuentren el patrón que utilizó.
Solución a cargo del alumno.
2
capítulo 2
contenido
8
Sucesiones
A veces, para convencernos de que tiene sentido estudiar un objeto matemático, conviene empezar
por ver dónde aparece. ¿Hay ejemplos? ¿Son muchos? ¿Nos interesan esos ejemplos?
Anotar algo cada día es un buen ejemplo de sucesión; podemos anotar cuántas horas dormimos,
cuánta plata gastamos, con cuánta gente conversamos, qué comimos o el precio de algo que nos
queremos comprar.
Para ampliar un poco el panorama, observemos el mundo que nos rodea.
Cada día podríamos tomar nota de la forma de la Luna, de la temperatura mínima o máxima, del
nivel de dióxido de carbono en la atmósfera, etc. O cada año podría interesarnos anotar la cantidad
de habitantes de nuestra ciudad, país o del mundo entero.
¿Y para qué nos sirven todas estas anotaciones? Una de las mayores utilidades es ver si podemos
encontrar alguna regularidad en esos datos que luego nos podría servir para entender el funcionamiento o predecir cómo será su futuro comportamiento e inclusive intentar modificarlo a largo plazo.
Así, por ejemplo, si anotamos el estado de la Luna cada día, podríamos encontrar que se repite cada
28 días. ¡Hecho ya hoy conocido! Así, podemos saber que la Luna tarda 28 días en su giro alrededor
de la Tierra, lo que nos permite predecir cuándo habrá luna llena, luna nueva, etc.
Día 1
Día 5
Día 12
Día 15
Día 19
Día 22
Día 25
Día 29
Si en cambio estudiamos las temperaturas mínima y máxima de la ciudad donde viviimos, podríamos ver que se van modificando: son más altas en los tres meses que
corresponden a la estación que hoy llamamos verano, y luego empiezan a bajar durante los siguientes tres meses para finalmente bajar más en lo que hoy conocemos
como invierno. También podríamos comparar qué pasa año tras año. ¿Se mantiene
el ciclo? ¿Van aumentando lentamente? ¿Se hacen más caóticas?
Así como la observación de estas sucesiones nos llevó a conocer el ciclo de la Luna
o el de las estaciones, tomando nota de otros datos hoy en día podríamos descubrirr
nuevos ciclos de la naturaleza o de lo que nos interese conocer. Por ejemplo, podríamos
intentar responder preguntas tales como: ¿En qué mes me conviene comprar eso que tanto quiero?
¿Cuántos habitantes tendrá el mundo en el año 2050? ¿Pasará nuevamente las 400 ppm (partes por
millón) el nivel diario de dióxido de carbono en la atmósfera?
Actividades
1. ¿Cómo continúa la siguiente sucesión de números? ¿Por qué?
2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37;...
2. Encuentren algo que les gustaría estudiar: el comportamiento de algo de la naturaleza cada
día, la cantidad de goles de un jugador de fútbol, la performance de un tenista, su humor o el
de otra persona, la evolución de sus ahorros o gastos, el precio de algo; y tomen una cantidad
suficiente de datos. Luego, realicen alguna predicción. ¿Qué tan exactas son ellas?
1. 41; 43; 47;… es la sucesión de números primos.
2. Depende de lo que elijan; la idea es que sea una tarea abierta y que vean si encuentran alguna
regularidad y la puedan describir y ver cómo seguiría. Lo importante es saber que estas predicciones
no son exactas.
3
¿¿PPaarraaqquuééssirirvvee..?.
capítulo 2
contenido
9
Sucesiones aritméticas y geométricas
Muchos alguna vez han pensado en cómo pueden invertir su dinero para ganar lo más posible.
Si hoy tenemos $10 000, ¿qué hacemos? Una opción muy común es constituir un plazo fijo.
Un plazo fijo nos da un interés de 1% mensual (este 1% se calcula en base al capital inicial puesto),
suponiendo que ese 1% está fijo, es decir, no varía dependiendo de la cantidad de meses que se
ponga ni por la cantidad que se deposite, ¿conviene ponerlo por 30 años o renovarlo todos los meses
reinvirtiendo las ganancias? ¿O da lo mismo?
Veamos cómo van quedando ambas sucesiones del dinero que puede obtenerse mes a mes en un año:
Sin renovar: 10 000; 10 100; 10 200; 10 300; 10 400; 10 500; 10 600; 10 700; 10 800; 10 900; 11 000;
11 100; 11 200.
Renovando mes a mes: 10 000; 10 100; 10 201; 10 303,01; 10 406,04; 10 510,10; 10 615,20; 10 721,35;
10 828,57; 10 936,85; 11 046,22; 11 156,68; 11 268,25.
En un año la diferencia entre las dos opciones es de $68,25. ¿Valdrá la pena entonces renovarlo cada mes? ¿Qué diferencia habrá a lo largo de 30 años?
Como seguir escribiendo cada opción se haría muy largo, ya que 30 años son 360 meses y nos
faltarían aún 348 cuentas en cada una, conviene intentar encontrar las fórmulas generales.
¿Cómo son?
La opción de no renovar (1) está descripta por 10 000 + 100 . n, donde n es el número de mes.
En la renovación mes a mes (opción 2) es más difícil encontrar la fórmula general, ya que se debe aumentar el 1% de lo que tengo el mes anterior. Como para aumentarle a una cantidad el 1% se puede
multiplicar por 1,01, iterando este razonamiento queda 10 000 . (1,01)n, donde n es el número de mes.
Reemplazando n por 360 (meses que hay en 30 años) en cada fórmula, obtenemos la cantidad total
que tendremos luego de 30 años en cada caso.
Opción 1: 10 000 + 100 . 360 = 46 000
Opción 2: 10 000 . (1,01)360 = 359 496,41
Claramente nos conviene la opción 2, ya que es casi 8 veces mayor esta cantidad que la otra.
Nuevamente la matemática nos sirvió para modelizar un comportamiento de la realidad. En este caso,
a través de sucesiones. Una vez establecidos los modelos, pudimos compararlos y responder acerca
de qué decisión nos convenía tomar.
La opción de no renovar está descripta por una sucesión aritmética y la de renovación mes a mes rein
reinvirtiendo las ganancias, está descripta por una sucesión geométrica. En economía, se conoce a la
primera opción como interés simple, mientras que a la segunda se la llama interés compuesto.
to.
Con el análisis que hemos hecho podemos decir que las inversiones con interés compuesto nos pueden dar mucha ganancia a largo plazo, pero este es el momento de citar a
Keynes (uno de los economistas más influyentes del siglo XX): “Los períodos largos son
una guía engañosa para los temas de actualidad. A largo plazo estamos todos muertos”.
Actividades
1. ¿Qué conclusiones podemos sacar acerca del crecimiento de una sucesión aritmética
y de una sucesión geométrica?
2. Investiguen quién fue John Maynard Keynes.
4
1. Si ambas crecen, el crecimiento es más rápido en las sucesiones geométricas que en las aritméticas.
Para ver esto podemos pensar, por ejemplo, lo siguiente. Arrancamos del 1 y “nuestro número” es 2,
la aritmética en cada paso suma 2, mientras que la geométrica en cada paso multiplica por 2; acá se
ve que voy a ir más rápido multiplicando que sumando.
2. Economista británico cuyas ideas tuvieron una fuerte repercusión en las teorías y políticas económicas.
capítulo 3
contenido
13
Números complejos
Uno de los pasatiempos favoritos de los matemáticos del siglo XV y XVI fue el de resolver ecuaciones.
No conformes con resolver algunas ecuaciones particulares, muchos de los más reconocidos matemáticos intentaban encontrar las fórmulas generales para resolver las ecuaciones de tercer grado[1] y cuarto
grado[2]. Ese era uno de los grandes desafíos de la época.
Una de las complicaciones que tenían era que para hallar dichas soluciones muchas veces debían calcular
raíces cuadradas de números negativos. Por ejemplo, necesitaban números que elevados al cuadrado dieran como resultado –1. Sabemos que este problema no tiene solución en los números reales, ya que todo
número real al cuadrado da como resultado un número mayor o igual a 0, es decir, no puede dar –1.
Después de todo, ¿por qué tendrían que diferenciarse en cuanto a su conjunto solución las ecuaciones
x2 – 1 = 0 y x2 + 1 = 0? Bueno, la primera es equivalente a x2 = 1 y la segunda a x2 = –1.
Si todas las ecuaciones de grado 1 —de la forma ax + b = 0 con a ≠ 0— tienen exactamente una solución
real, ¿por qué habría ecuaciones de grado 2 —de la forma ax2 + bx + c = 0 con a ≠ 0— con 2 soluciones y
otras con 0 solución? Lo más razonable sería que tuvieran todas 2.
Para solucionar este problema nace el número imaginario, que más tarde se lo llamaría i, como i2 = –1
entonces, la ecuación x2 + 1 = 0 ahora tendría 2 soluciones i y –i. De este modo, surgieron los números
complejos que tienen la forma a + bi donde a y b son números reales.
Lo más llamativo es que ahora todas las ecuaciones —de grado 1, grado 2, grado 3,..., grado 80,...—
tienen una solución en este nuevo conjunto de números. Es decir, para poder hallar soluciones a este
tipo de ecuaciones no es necesario agregar nada... ¡nos alcanza con los números complejos!
Además, si pensamos un poco más en lo anterior, la cantidad de soluciones complejas de una ecuación de grado n ¡es exactamente n! —contadas con multiplicidad, ampliaremos esto en los capítulos de
función cuadrática y función polinómica—.
Este es un ejemplo de cómo surge un nuevo objeto matemático —los números complejos—, cuando intentamos resolver un problema intramatemático —encontrar soluciones
de ecuaciones—, que más tarde se usa en otros campos —en este caso, los números
complejos se utilizan en física e ingeniería— al hablar, por ejemplo, de circuitos eléctricos,
s,
potencias, ondas electromagnéticas o mecánica cuántica.
Y así la ciencia se retroalimenta: problemas matemáticos dan origen a nuevos objetos
y teorías matemáticas que luego se pueden aplicar a otros campos, en los que surgen
nuevos problemas que se traducen matemáticamente y hacen que cobren más sentido
algunos objetos o teorías matemáticas o simplemente exigen nuevas creaciones, y así
todo va evolucionando.
Actividades
1. ¿Por qué la afirmación de que toda ecuación de grado 1 o más tiene solución implica que
una ecuación de grado n tiene n soluciones (con multiplicidad)?
2. Hallen algún método para encontrar las soluciones de cualquier ecuación de segundo grado.
1. Si tengo una ecuación de grado n, entonces (utilizando la propiedad mencionada) si n ≥ 1 tiene una solución a1, divido mi ecuación por x – a1 y me queda (x – a1) . (ec. de grado n – 1). Si n – 1 ≥ 1, entonces (utilizando la propiedad mencionada) tiene una solución a2. Divido mi ecuación por x – a2 y me queda
(x – a1) . (x – a2) . (ec. de grado n – 2)... Siguiendo con este proceso se obtienen las n soluciones, eventualmente algunas repetidas (por eso contadas con multiplicidad). 2. Hay varios, si la ecuación es de la forma
–b
c
__
ax2 + bx + c = 0, uno puede ser el de encontrar dos números que sumados den ___
a y multiplicados a .
[1]
[2]
ax + bx + cx + d = 0 con a ≠ 0
ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 con a ≠ 0
3
2
5
¿¿PPaarraaqquuééssirirvvee..?.
capítulo 4
contenido
21
Cónicas
Hay objetos matemáticos que nacen para dar respuestas a problemas de la vida
cotidiana o problemas de otras ciencias. Otros objetos matemáticos simplemente
nacen por el interés que algunos matemáticos tienen en estudiarlos o, eventualmente, para poder arribar a soluciones de problemas intramatemáticos. Lo
curioso es que muchos de estos últimos pueden resurgir varios siglos después,
dando respuestas a preguntas de otras ciencias. Es el caso de las cónicas.
Las cónicas empezaron a ser estudiadas en el siglo III a. C., un poco por diversión y
otro poco para intentar resolver los tres famosos problemas griegos: la duplicación del
cubo, la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo. Y reaparecieron en escena en el
siglo XVII cuando Johannes Kepler, en su rol de “Matemático imperial de Rodolfo II”, se puso
ycho
a estudiar la órbita de los planetas. Para esto utilizó los datos que había conseguido Tycho
Brahe, quien había obtenido medidas muy precisas de las posiciones de los planetas y de las estrellas.
Kepler intentó encontrar un modelo que se adaptara a esos datos: empezó con la idea de ver qué
circunferencias se ajustaban a la descripción de estas órbitas, pero luego se convenció de que los
datos experimentales no encajaban con esta figura y fue en búsqueda de otras figuras que las
describieran. Así, encontró que los planetas describían órbitas elípticas que tenían al Sol como uno
de los dos focos[3], resultado que se conoce como la Primera Ley de Kepler. También,
analizando estos datos, descubrió que la velocidad de los planetas no es
constante, sino que se mueven más rápidamente cuando están más cerca
del Sol que cuando están más alejados: este hecho se conoce como la
Segunda Ley de Kepler.
Si bien la órbita de los planetas tiene forma de elipse, esta elipse
se acerca bastante a una circunferencia. No es así el caso de la
órbita de los satélites o cometas, que es elíptica, pero está lejos de
ser una circunferencia.
La astronomía es una ciencia que ha atrapado a muchos científicos de
todos los tiempos. Sin duda, el conocimiento del Universo, ese espacio gigante
y desconocido, nos llena a todos de curiosidad. Muchos de los astrónomos de todos los
siglos han sido además grandes matemáticos, como es el caso de Kepler. La matemática ha sido,
como en este caso, la herramienta para describir y entender cuestiones astronómicas. También la
astronomía ha ayudado a darle más sentido a algunos objetos matemáticos.
Actividades
1. Investiguen quién fue Rodolfo II.
2. ¿Cómo les parece que podemos medir qué tan cerca está una elipse de ser una circunferencia o qué tan redondeada o deforme es?
3. Cuando los aviones se desplazan a una velocidad mayor que la del sonido generan una
onda de choque que tiene forma de cono, así que al intersecar la tierra (plana localmente) se
forma una cónica. Este hecho se conoce como “curva del estampido supersónico”. Investiguen
cuál es la cónica que se forma.
6
1. Rodolfo II fue emperador del Sacro Imperio Romano Germánico desde 1576 hasta su muerte. Le interesaban
la astrología, la magia y los juguetes mecánicos, especialmente autómatas, relojes y máquinas de “movimiento
perpetuo”. Muchas de las grandes maravillas de la ciudad de Praga se construyeron durante su reinado.
2. Lo medimos haciendo el cociente entre la semidistancia focal y su semieje mayor (se llama excentricidad).
3. Se forma una hipérbola.
[3]
En la página 78 del libro encontrarán información sobre las características de la elipse.
capítulo 5
contenido
25
Función inversa
¿Todos los procesos se pueden deshacer? Claramente la respuesta a esta pregunta es un no rotundo.
En principio, el paso del tiempo es algo que no podemos deshacer: ni las cremas antiage, ni los tratamientos estéticos ni todas las operaciones del mundo podrían revertir este hecho.
Pero no es necesario pensar tan filosóficamente para darnos cuenta de que hay muchass
cosas que no podemos deshacer. Una vez que pelamos una manzana, no podemos
volver a ponerle la cáscara; si mezclamos tempera de dos colores, tampoco podemos reevertir este proceso. Sin embargo, hay otros procesos que sí se pueden deshacer, como
por ejemplo si ponemos agua durante un tiempo en el congelador, se obtiene hielo; y
luego, sacando ese hielo del congelador y esperando un rato, se vuelve a obtener el
agua en estado líquido.
A las funciones podemos pensarlas como procesos, y como hemos dicho, no todos los
procesos pueden deshacerse. Por ejemplo, si una función toma siempre el valor 1, es
decir, f(x) = 1 para todo x D , independientemente del número al que se la aplique,
entonces no se puede deshacer este proceso pues, ¿adónde iría el 1? Sabemos que
tiene que ir un único valor, pero ¿cuál elegir? Si pensamos que f(2) = 1, para deshacer
el proceso tendríamos que mandar el 1 al 2; pero si pensamos que f(3) = 1, para deshacer el proceso
tendríamos que mandar el 1 al 3, y no podemos mandarlo a 2 y a 3 a la vez, con lo cual esta función
no se puede deshacer.
Es diferente el caso de la función que a todo número le suma 5 pues, ¿qué sería deshacer este proceso?
Efectivamente, a todo número restarle 5. Si hemos sumado 5, al restar 5, deshacemos el proceso.
Otra función que también se puede deshacer es la función que a cada persona le asigna su número de
DNI. Deshacerlo sería asignarle a cada número de DNI —considerando solo los números válidos— esa
única persona.
Para que un proceso se pueda deshacer, necesitamos que la función tenga ciertas características. En el
caso de las personas y los DNI, cada persona tiene un DNI y cada número de DNI válido le corresponde a una persona. Este poder ir y volver de forma unívoca es lo que nos permite deshacerlo.
Por ejemplo, Martín Pérez —hablamos de personas que son únicas y no de nombres que sí se pueden
repetir— tiene DNI 43678130 y nadie más en toda la Argentina tendrá este DNI. Entonces si preguntamos quién tiene DNI 43678130, la única persona es Martín Pérez. Por otro lado, todos los números de
DNI válidos corresponden a alguna persona. Esto es lo que hemos llamado inyectividad y sobreyectividad de una función y acá vemos cómo es necesario entonces pedir que la función sea biyectiva: para
poder obtener este proceso que lo deshace, llamado en este caso función inversa.
Actividades
1. ¿Qué pasaría si en el ejemplo de los DNI consideramos todos los números naturales en vez
de solo los números de DNI válidos?
2. Describan simbólicamente las funciones sumar 5 y restar 5 y comprueben que efectivamente
son funciones inversas.
3. Las funciones multiplicar por 8 y elevar al cuadrado ¿tienen sus funciones inversas?
1. No se podría definir el proceso inverso pues habría números que no identificarían a ninguna persona.
2. Sumar 5: f(x) = x + 5; restar 5: g(x) = x – 5. f: → /y = x + 5 ⇒ y – 5 = x, cambiando de variable
queda f–1: → /y = x – 5. g(x) = f–1(x).
3. La función inversa a multiplicar por 8 es dividir por 8. En cuanto a elevar al cuadrado en principio no tiene
inversa, pues 2 y –2 van ambos a 4, pero si la consideramos solo con dominio en los números no negativos
entonces es biyectiva y su inversa es sacar raíz cuadrada.
7
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capítulo 5
contenido
28
Funciones cuadráticas
Las funciones cuadráticas describen fenómenos que van desde la física y la matemática hasta la medicina y la arquitectura.
Un ejemplo intramatemático en el que aparecen es en el intento de buscar
dos números que cumplan ciertas relaciones cuando se los suma y se los
multiplica, por ejemplo, que su suma sea 10 y su producto sea 20,16.
Las relaciones cuadráticas aparecen en química cuando se describe la
disociación de un cierto ácido y en biología, por ejemplo, cuando se estudian los efectos nutricionales de ciertos organismos.
Ahora describiremos un ejemplo que, si bien corresponde a la física,
todos lo hemos experimentado y tiene que ver con nuestros pasos.
Imagínense caminando. Una posibilidad es que, por ejemplo, mantengamos siempre el mismo ritmo y caminemos una cuadra por minuto. En este
caso, si pasaron 15 minutos, habremos recorrido 15 cuadras; si pasaron 20,
recorrimos 20 cuadras y si pasaron 30 minutos, hicimos 30 cuadras. Así, se
determina una relación lineal c = t, donde t es la cantidad de minutos que
pasan y c, la cantidad de cuadras que se recorren.
¿Qué sucede si en vez de tener un ritmo de caminata constante vamos acelerando? Por ejemplo,
durante nuestra primera hora de caminata recorremos 16 cuadras y durante la segunda hora, 24.
Supongamos, como en el ejemplo anterior, que el término constante es cero. ¿Qué ecuación describe ahora la cantidad de cuadras recorridas en cierto tiempo (t) —medido en horas—? Haciendo las
cuentas obtenemos que c = 4t2 + 12t modeliza lo que queremos. Si reemplazamos t por 1, nos queda
c = 16; y si reemplazamos t por 2, nos queda c = 40, lo que también es correcto pues en la primera
hora se recorren 16 cuadras y en la segunda, 24, entonces 16 + 24 = 40, la cantidad de cuadras que
se recorren en dos horas. Si ahora tomamos t = 3, nos queda que c = 72, lo que indica que en la
tercera hora se recorren 32 cuadras (72 – 40 = 32); es decir, seguimos aumentando la velocidad.
Por otro lado, si analizamos bien estos números —16, 24 y 32—, cada hora recorremos 8 cuadras más
que la hora anterior; esto significa que aumenta en 8 las cuadras recorridas. Por lo tanto, si bien el
ritmo de caminata no es constante, sí lo es la aceleración que justamente en este caso es 8. Si la aceleración no fuera constante, no se podría modelizar la situación con una función cuadrática.
Actividades
1. Resuelvan el primer problema presentado (ejemplo intramatemático).
2. Si c = t2 modeliza una situación de movimiento a través del tiempo, ¿cuál es la aceleración?
3. La caminata de Alexis se describe mediante c = 5t2 + 10t. ¿Qué aceleración tiene Alexis?
4. Establezcan alguna relación entre la ecuación cuadrática y la aceleración.
1. Los números son 2,8 y 7,2. 2. La aceleración es 2. 3. La aceleración de Alexis es 10.
4. Siendo a el coeficiente principal de la función cuadrática, la aceleración es siempre igual a 2a.
8
capítulo 6
contenido
32
Teorema de Bolzano
El teorema de Bolzano tiene múltiples aplicaciones. Veamos qué nos dice Bolzano de una manera práctica. Las ciudades suelen tener algunas calles importantes que indican el cambio de nombre de sus calles
transversales de un lado y otro. Bueno, lo que nos dice Bolzano no es otra cosa que: si estábamos de un
lado de esa calle y luego estamos del otro lado, en algún momento cruzamos esa calle —considerando
que no salimos de la ciudad y entramos por otro lado, no volamos ni otra cuestión por el estilo—.
Con este hecho aplicado a los polinomios se obtiene un resultado muy interesante. Tomemos cualquier
polinomio de grado impar y supongamos que el coeficiente principal es positivo —si es negativo sale de
forma similar— evaluando el polinomio en un número positivo muy grande, nos dará mayor a 0. Si, en
cambio, evaluamos el polinomio en un número negativo muy chico, nos dará menor a 0. Con lo cual, utilizando el teorema de Bolzano[4] podemos concluir que hay un número real donde el polinomio vale 0. Esto
es útil pues nos garantiza que tenemos una raíz real del polinomio,
cosa que ni siquiera es cierta para el polinomio x2 + 1, porque sus
dos raíces son complejas; y, en general, si uno está resolviendo
ecuaciones, quiere soluciones reales.
Volviendo al caso de las calles, el teorema de Bolzano nos permite
deducir que, para ir de una calle determinada a otra, hay que
cruzar todas las que están en el medio. En términos matemáticos,
si una función continua vale –2 en un punto y 8 en otro, entonces
además de que en algún momento toma el valor 0, también toma
todos los valores intermedios entre –2 y 8. Este hecho se conoce
como teorema de los valores intermedios.
Otro famoso resultado que también se deduce de utilizar el teorema
de Bolzano es el siguiente. Si tenemos una función continua en el
intervalo [a;b], tal que la imagen de esta función cae en el intervalo
(a;b), entonces existe un punto x en [a;b] tal que f(x) vale exactamente x; es decir, no hay chances de que
todos los puntos “sean movidos” por esa función f. Este hecho se conoce como teorema del punto fijo y es
válido también en otros contextos y dimensiones.
Se comenta que Brouwer, autor material de este teorema, se inspiró al observar su taza de café
y dijo: “Cuando revolvemos el azúcar, parece siempre haber un punto inmóvil”. De esta forma
dedujo que en todo momento, hay un punto de la superficie que no ha cambiado de lugar. No es
del todo exacto que uno lo pueda ver mientras revuelve su taza de café, pero ¡pueden intentarlo!
Obviamente, Brouwer luego lo demostró con toda rigurosidad matemática. También se comenta
que otros matemáticos habían conseguido con anterioridad demostrar este resultado.
De interpretar el teorema del punto fijo en otros contextos y dimensiones se puede concluir, por
ejemplo, que no nos podemos peinar sin que aparezca un remolino —de hecho, este resultado se conoce
como el teorema de la bola peluda—. Otra conclusión es que en todo momento debe haber al menos un
punto del planeta donde no hay viento, que solo es un corolario del famoso teorema anterior.
Actividades
1. Enuncien y demuestren el teorema de los valores intermedios.
2. Enuncien y demuestren el teorema del punto fijo.
1. Sea f: [a;b] → continua y f(a) < f(b) ⇒ ∀ m ∈ [f(a);f(b)] ∃ x ∈ (a;b)/f(x) = m. Sale de utilizar el teorema
de Bolzano en [a;b] para g(x) = f(x) – m para cada m en la imagen de f. (recordar que f(a) < m < f(b)).
2. Sea f: [a;b] → [a;b] continua ⇒ ∃ x ∈ (a;b)/f(x) = x. Sale de utilizar el teorema de Bolzano en [a;b] para
g(x) = f(x) – x. Recordar que la imagen de f (a;b), es decir f(a) > a y f(b) < b.
[4]
Podemos utilizarlo pues los polinomios son funciones continuas.
9
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capítulo 6
contenido
33
Polinomios
Los polinomios son expresiones que involucran una o más variables y que se construyen utilizando únicamente sumas y multiplicaciones. Esto hace que sean expresiones “simples”, pues
involucran operaciones que todos podemos hacer. Por eso, muchas veces se intenta que las
descripciones de los fenómenos que estamos estudiando se modelicen a través de polinomios, ya
que de esta forma resultan más sencillas de estudiar. Inclusive muchas veces se intenta q
que estos
polinomios sean de grado 1, 2 o 3 para que el análisis sea aún más efectivo.
Los polinomios aparecen, por ejemplo, en el cálculo de alineación de antenas elec-tromagnéticas, para modelizar cómo se propaga cierta enfermedad o para estudiar
el comportamiento de algún mercado.
Un ejemplo muy interesante aparece en matemática financiera cuando se quiere
estudiar las variaciones de las sumas de dinero a través del tiempo —lo que se
conoce como ecuaciones de valor—. Por ejemplo, se puede determinar cuánto val-drá dentro de un cierto tiempo una suma de dinero de la que hoy se dispone. En
estos ejemplos aparece lo que se conoce como la tasa mensual de interés (i); así,
si hoy tenemos $1 000, el mes que viene tendremos $1 000 . (1 + i), y si consideramos que ese dinero nos vuelve a dar sus intereses —lo que se denomina interés compuesto—,
dentro de dos meses tendremos $1 000 . (1 + i)2 y dentro de k meses, $1 000 . (1 + i)k.
Supongamos que Patricio tenía que pagar $100 000 en 3 meses, $150 000 en 6
meses y $200 000 dentro de un año. Como alternativa, le propone al acreedor pagarle $472 000 en 5 meses. ¿Cuál sería en este caso la tasa de interés mensual que
rendiría la deuda? La ecuación que modeliza esta situación está dada por:
100 000 . (1 + i)3 + 150 000 . (1 + i)6 + 200 000 . (1 + i)12 = 472 000 . (1 + i)5
—en el miembro izquierdo está la deuda que tenía y en el derecho cómo efectivamente ofrece pagarla—.
La ecuación anterior es equivalente a:
100 000 . (1 + i)3 + 150 000 . (1 + i)6 + 200 000 . (1 + i)12 – 472 000 . (1 + i)5 = 0
Reemplazando 1 + i por x nos queda P(x) = 100 000x3 + 150 000x6 + 200 000x12 – 472 000x5 = 0;
es decir, que el problema se resuelve encontrando una raíz de un polinomio de grado 12. Para encontrar esta raíz hay que tener en cuenta que el interés mensual siempre está en ciertos rangos de
valores. En este ejemplo nos queda que una raíz aproximada es
x = 1,01548 y como x = 1 + i nos queda 1,01548 = 1 + i lo que nos da un interés i = 0,01548 que
implica un interés mensual del 1,548% y se encuentra en un rango razonable.
Actividades
1. Expliquen por qué en el mes 2 tenemos $1 000 . (1 + i)2 y en el mes k tendremos
$1 000 . (1 + i)k.
2. Verifiquen que evaluando el siguiente polinomio en x = 1,01548 efectivamente nos queda un
valor muy cercano a 0. 100 000x3 + 150 000x6 + 200 000x12 – 472 000x5
1. Si el interés es i entonces en el primer mes tendremos $1 000 + $1 000 . i = $1 000 . (1 + i). Es
decir, cuando pasa un mes obtenemos (1 + i) veces el dinero que teníamos. Así entonces en el
segundo mes vamos a tener (1 + i) veces el dinero que teníamos en el mes 1, es decir,
(1 + i) . $1 000 . (1 + i) = $1 000 . (1 + i)2 y así en el mes 3 tendremos (1 + i) veces lo que tenía en
el mes 2, es decir (1 + i) . $1 000 . (1 + i)2 = $1 000 . (1 + i)3. Siguiendo con este razonamiento tendremos en el mes k: $1 000 . (1 + i)k. 2. Solución a cargo del alumno.
10
capítulo 6
contenido
36
Funciones homográficas
Pensemos en una bolsa llena de aire. Si ejercemos presión sobre esta, el aire ocupará menos lugar,
disminuirá su volumen, con lo cual podríamos decir, a grandes rasgos, que “a mayor presión, menor
volumen”. También podríamos pensarlo al revés: si un gas está “guardado” en un recipiente grande,
al moverse las partículas no se chocarán tanto como si el gas estuviese guardado en una cajita
chiquita, en cuyo caso se chocarían mucho y terminaría ejerciendo más presión. Entonces, podríamos
sostener que “a menor volumen, mayor presión”. Ahora bien, ¿estas conclusiones se contradicen?
Justamente, allá por el siglo XVII, Robert Boyle se encontraba estudiando estas relaciones. Al
hacer algunos experimentos y anotar las mediciones obtenidas, descubrió que si la temperatura se mantenía constante, entonces Presión . Volumen = k, donde k es una constante.
k
En otras palabras, podemos decir que Volumen = _______
, lo cual nos está diciendo que,
Presión
si pensamos el volumen (V) de un gas en función a la presión (P), obtenemos que esta
relación está dada por una función homográfica
k
V = f(P) = __
. Así, por ejemplo, si la presión se aumenta
P
al doble, el volumen se reduce a la mitad. Esta ecuación
y
se conoce como la Ley de Boyle-Mariotte y es tan solo un
7
ejemplo en donde aparecen estas funciones.
Otro ejemplo traído de la economía es el modelo creado por
William Phillips, llamado precisamente la curva de Phillips
que modeliza la relación entre el desempleo y la inflación.
En 1958, Phillips publicó un trabajo en donde analiza esta
relación utilizando datos de Inglaterra durante el período
1861-1957. En ese entonces, pudo observar que esta es una
relación inversa: cuando el desempleo es muy bajo, la inflación es alta, en cambio, cuando el desempleo es muy alto, la
inflación es baja. Esta teoría ha tenido algunas modificaciones.
Tasa de inflación
6
5
La curva de Phillips
4
3
2
1
0
1
2
3
4
5
6
Tasa de desempleo
7
x
Obviamente esto es un modelo teórico simplificado que
usó Phillips para intentar explicar algunas de las complejas relaciones económicas que se dan en
la sociedad. Además, para obtener más precisiones al respecto se deberían tener en cuenta otras
variables. De todos modos, para convencerse de por qué este hecho suena razonable, podemos
pensar que, cuando baja el desempleo, los trabajadores tienen más ofertas de empleos para elegir,
entonces los empleadores, para atraer y mantener a sus empleados, aumentan los salarios. Esto aumenta el poder adquisitivo de las personas y genera un aumento en la demanda de productos; los
empleadores contratan más gente para satisfacer esa mayor demanda, y el ciclo se sigue repitiendo.
En algún momento de esta repetición esa mayor demanda llevará a un aumento de precios.
Una vez más la matemática ha servido para modelizar y describir fenómenos. ¡Busquen más ejemplos!
Actividades
1. Cuando respiramos, se produce la Ley de Boyle-Mariotte, ¿cómo les parece que sucede?
2. Supongamos que en el lejano país de Kumnchenkin la curva de Phillips está descripta por la
siguiente función que relaciona el porcentaje de inflación en función de la tasa de desempleo.
9
y = __31 . x + __x . ¿Qué sucede si el desempleo es nulo? ¿Cómo interpretamos en términos económicos la asíntota horizontal de esta función?
1. Cuando inhalamos, el diafragma baja y así el volumen de los pulmones aumenta; cuando exhalamos,
el diafragma sube, generando más presión y entonces el volumen de los pulmones disminuye.
2. Si el desempleo es nulo, tenemos un 9% de inflación. La asíntota se puede interpretar como que
independientemente de la tasa de desempleo siempre voy a tener un porcentaje positivo de inflación
1 —.
—en este caso la A. H. es y = __
3
11
¿¿PPaarraaqquuééssirirvvee..?.
capítulo 7
contenido
39
Funciones exponenciales y logarítmicas
Las funciones nos permiten modelizar fenómenos. Muchos de estos se pueden describir utilizando
funciones exponenciales y logarítmicas. Veamos algunos ejemplos.
La radiactividad es un fenómeno físico que ocurre en el núcleo de elementos inestables capaces de
transformarse espontáneamente en núcleos de elementos más estables produciendo radiación. Este
fenómeno se aprovecha para la obtención de energía nuclear, se usa en medicina y en aplicaciones
industriales. En general, las sustancias que no tienen un balan-ce correcto entre protones y neutrones son radiactivas.
Resulta que la desintegración radiactiva se puede modelizar
con la función n(t) = n0 . e–h.t donde n(t) es la cantidad de
radionucleidos en un instante de tiempo t, n0 es la cantidad
existente en el instante t = 0 y h es la llamada constante de
desintegración radiactiva y dependerá de cada elemento. Conociendo esta función se puede analizar y predecir el comportamiento radiactivo de las diferentes sustancias, así como su
velocidad de desintegración.
Por otro lado, varios de nuestros sentidos tienen que ver con las funciones logarítmicas. Un ejemplo
conocido es el llamado ley de Weber-Fechner, que establece la relación entre la magnitud de un
estímulo físico (S) y la forma en que lo percibimos (P). Weber y Fechner propusieron que la relación
S
está dada por P = k . ln __
S0 donde S0 es el nivel de estímulo en el que por debajo suyo no se percibe sensación y k es una constante que dependerá de cada caso.
( )
Esta relación nos dice varias cosas. Una que seguramente todos hemos experimentado es cuando el
estímulo físico es el peso. Por ejemplo, es difícil que podamos percibir si algo pesa 100 o 102 kilos,
sin embargo es probable que podamos percibir algún cambio entre algo que pesa 100 y algo que
pesa 110 kilos. Pero esta misma relación nos dice que probablemente no podamos percibir una
diferencia entre algo que pesa 1 000 y algo que pesa 1 010 kilos, pues justamente la relación no es
lineal. Lo que si nos garantiza esta relación es que los cambios exponenciales en la magnitud del
estímulo los podremos percibir linealmente.
Actividades
1. Investiguen qué otros fenómenos se pueden modelizar utilizando funciones exponenciales.
2. Investiguen qué otros fenómenos se pueden modelizar utilizando funciones logarítmicas.
3. Reúnanse con un compañero y realicen la siguiente experiencia.
-Uno de los dos debe tener los ojos vendados y sostener alguna cosa con determinado peso;
el otro irá agregándole, de a una, cosas de igual peso. El que no puede ver, debe avisar cuando percibe un cambio en el peso y se anota el peso de inicio y el final.
-Por ejemplo, pueden empezar con algo que pese unos 100 g y se van agregando otras cosas de
unos 10 g hasta que el que tiene los ojos vendados perciba un cambio de peso.
-Repitan varias veces la experiencia empezando con cosas de distintos pesos.
¿Cómo pueden relacionar los resultados obtenidos con la ley de Weber-Fechner?
12
1. Hay muchos; por ejemplo, el interés compuesto o el crecimiento de algunas poblaciones.
2. Hay muchos, por ejemplo ph para medir acidez y alcalinidad o la escala musical.
3. Según la ley de Weber-Fechner se debería percibir el cambio de peso en relación con el peso inicial;
así, por ejemplo, se percibe cambio entre 100 y 110 gramos, entre 1 y 1,1 kilos y entre 10 y 11 kilos.
capítulo 8
contenido
47
Trigonometría
Así como el teorema de Pitágoras establece una relación entre los lados de un triángulo rectángulo que
nos permite conocer la medida del tercer lado una vez que conozco la medida de los otros dos, los
teoremas del seno y del coseno nos permiten conocer la medida de un ángulo o un lado conociendo
otros datos.
Por ejemplo, el teorema del coseno, que es una generalización del teorema de Pitágoras para cualquier
triángulo, establece la siguiente relación: C2 = A2 + B2 – 2 . A . B . cos ^
a donde A, B y C son las medidas
de los lados de un triángulo y ^
a es el ángulo formado por los lados de medidas A y B. Esta relación
nos permite, por ejemplo, si conocemos la medida de dos lados y un ángulo de un triángulo, encontrar
la medida del tercer lado. El caso del teorema del seno, por otra parte, establece una relación entre
ángulos y lados que nos permite, por ejemplo, si conocemos la
medida de dos ángulos y un lado de un triángulo, encontrar la
medida de los otros dos lados.
Como vemos, la trigonometría nos sirve para calcular distancias.
Uno de los principales logros en este sentido es el que le permitió a los cartógrafos realizar mapas de los diferentes países. Un
proyecto de los más conocidos fue el denominado Gran Planimetría Trigonométrica allá por el siglo XIX y que, entre otras cosas,
cuenta la leyenda que permitió descubrir el punto más alto sobre
la Tierra en 1852, en ese momento denominado Pico XV y luego,
en 1856, llamado Everest, como hoy lo conocemos, en honor a
uno de los inspectores de este proyecto.
La trigonometría, además de ser utilizada en áreas como la astronomía, la cartografía
y la arquitectura, principalmente para “medir cosas”, también se aplica en otras
disciplinas como la economía, la meteorología y la biología para estudiar
objetos que tienen comportamientos periódicos. También los oceanógrafos y
los músicos hacen uso de ella.
Actividades
1. ¿Cómo les parece que podemos deducir el teorema
de Pitágoras utilizando el teorema del coseno?
2. ¿Podríamos utilizar estos teoremas para calcular medidas
de lados de otros polígonos? ¿Cómo?
/
1. Si en el teorema del coseno reemplazamos gama por __
2 (90°)
^
entonces cos a = 0 nos queda el enunciado del teorema de
Pitágoras para triángulos rectángulos.
2. Cualquier polígono se puede dividir en triángulos, entonces
conociendo las medidas en los triángulos en el que queda dividido,
puedo conocer todas las medidas del polígono en cuestión.
13
¿¿PPaarraaqquuééssirirvvee..?.
capítulo 9
contenido
49
Estadística
La estadística no solo se utiliza para estudiar las características de una población en particular o para
anticipar el resultado de una elección. Se usa también, por ejemplo, para analizar la competitividad
de una empresa, para estudiar cuáles son los factores que nos predisponen a cierta enfermedad, para
predecir el clima y para analizar patrones en el tránsito.
Otra de las aplicaciones de la estadística es la criptografía. Desde tiempos remotos ha sido de gran interés poder transmitir un mensaje sin
que una tercera persona pueda interceptarlo y descubrirlo. Para esto, la
idea es encriptar un mensaje y mandarlo de modo tal que el destinatario
pueda desencriptarlo, aunque no así un posible interceptor. Hoy en día
es de gran interés el estudio de esta rama de la matemática, pues de ella
depende el tráfico seguro de información en la red, como por ejemplo,
claves, números de tarjetas de crédito, etc.
Un método muy simple de encriptar un mensaje es sustituyendo una letra
por otra o por un nuevo símbolo. Por ejemplo, si sustituimos cada letra por la
siguiente en el abecedario, la palabra “estadística” pasa a ser “ftvbejtvjdb” y si
cambiamos la a por la e y dejamos igual el resto, nos queda “astedistice”. A este
método se lo conoce como método de sustitución.
Para poder descifrar textos encriptados con el método de sustitución, se puede recurrir al análisis estadístico de frecuencias de
las diferentes letras del abecedario. Por ejemplo, el análisis de
frecuencia del idioma español –que obviamente es diferente al de
otros idiomas— está dado por la siguiente tabla.
Letra
%
Al tener esta información estadística, descifrar textos encriptados
con el método de sustitución descripto anteriormente es bastante
accesible. Hoy en día, los algoritmos de encriptación son bastante
más complejos, como por ejemplo, el algoritmo RSA que debe
su nombre a sus tres creadores de la Universidad de Standford:
Rivest, Shamir y Adleman.
Letra
%
Letra
a
12,53
j
0,44
r
6,87
b
1,42
k
0,01
s
7,98
c
4,68
l
4,97
t
4,63
d
5,86
m
3,15
u
3,93
e
13,68
n
6,71
v
0,90
f
0,69
ñ
0,31
w
0,02
g
1,01
o
8,68
x
0,22
h
0,70
p
2,51
y
0,90
i
6,25
q
0,88
z
0,52
Actividades
1. ¿Cuáles son las seis letras más frecuentes en los textos en español?
2. Desencripten la siguiente frase sabiendo que se ha encriptado con un algoritmo de sustitución.
“Pzjruzj hj rxzgxz ei ewejzix rjh dxtjs auw puwdj whrjhtzxz wh ruxoauiwz exhuxo, yx auw wo gzxh
vxojz dw ox wdurxrijh hj rjhsistw wh xtibjzzxzsw dw dxtjs, sihj wh pzwpxzxz xo rwzwbzj x pwhsxz
pjz su pzjpix ruwhtx y xsi oowgxz x rjhjrwz xogj auw hj figuzw wh ojs oibzjs.”
Xobwzt Wihstwih
3. ¿Cómo hicieron para desencriptar el mensaje anterior? ¿La frecuencia de las letras era exactamente la descripta anteriormente? ¿Por qué les parece que pasa esto?
14
%
1. A-E-O-N-R-S.
2. “Procuro no cargar mi memoria con datos que puedo encontrar en cualquier manual, ya que el gran
valor de la educación no consiste en atiborrarse de datos, sino en preparar al cerebro a pensar por su
propia cuenta y así llegar a conocer algo que no figure en los libros.” Albert Einstein
3. No es exactamente la misma frecuencia. En general, en los análisis estadísticos se necesitan textos
más largos para que la proporción se dé con mayor exactitud.
capítulo 9
contenido
53
Combinatoria
La combinatoria es una rama de la matemática que se utiliza no solo en el estudio de probabilidades, sino también en el estudio de las formas de los espacios y en problemas de optimización. A
continuación, les presentamos un ejemplo de la vida cotidiana.
Juan fue al negocio de Lucio a hacer unas compras. Gastó $38,20 y pagó con $40. Lucio, que
quiere gastar la menor cantidad posible de monedas, le dio de vuelto una moneda de $1, una
de $0,50, una de $0,25 y una de $0,05.
Al otro día Juan volvió al negocio de Lucio, gastó $23,35 y pagó con $25.
Lucio le devolvió una moneda de $1, una de $0,50, una de $0,10 y una de
$0,05, siempre teniendo en cuenta que quiere gastar la menor cantidad
de monedas posible.
Lucio utiliza un método que le permite siempre dar el vuelto a sus clientes
según una premisa: gastar la menor cantidad de monedas posible. Primero,
se deshace de las monedas más grandes —todas las que pueda— y va
bajando ordenadamente a las más chicas. Por ejemplo, para el primer vuelto
que le dio a Juan, empezó con las monedas de $1 peso (solo “entró” una);
luego, siguió con las de $0,50 (una también), con las de $0,25 (una), con lass de
$0,10 (ninguna) y, finalmente, con las de $0,05 (una).
Un día, Lucio le contó a Juan el método que utilizaba y este le dijo que ese método no sirve en todos los contextos y le dio la siguiente explicación: “Si en vez de contar con monedas de $1, $0,50,
$0,25, $0,10, $0,05 y $0,01, contáramos con monedas de $1, $0,50, $0,25, $0,12, $0,05 y $0,01,
¿cómo haríamos para dar $1,86 de vuelto? Con tu método tendríamos que dar una moneda de $1,
una de $0,50, una de $0,25, dos de $0,05 y una de $0,01, o sea, 6 monedas. Sin embargo, se podría optar por dar de vuelto una moneda de $1, una de $0,50 y tres de $0,12, o sea, 5 monedas.”
El método o algoritmo de Lucio es un algoritmo denominado goloso o voraz, ya que consiste en
elegir la opción óptima en cada caso, a la espera de que esto resulte en una opción óptima en
general. Si bien este algoritmo funciona en el caso de nuestro país y muchos otros que usan monedas de $1, $0,50, $0,25, $0,10, $0,05 y $0,01 —pueden probar por qué— no serviría en el caso
de que se reemplazaran, por ejemplo, las monedas de $0,10 por las de $0,12. Para estos casos
habrá que buscar otros tipos de algoritmos y encontrar la opción óptima.
Actividades
1. ¿De cuántas formas diferentes puede darle Lucio el primero de los vueltos a Juan, sin utilizar
su método?
2. Tengan en cuenta el ejemplo propuesto por Juan y encuentren otros vueltos en donde el
método de Lucio tampoco sirva.
3. Inventen otro ejemplo distinto al de Juan donde sea posible dar el vuelto, pero con el método de Lucio, no.
1. Hay varias opciones; por ejemplo, tres monedas de $0,50 y tres monedas de $0,10.
2. Hay muchas opciones; por ejemplo, para un vuelto de $0,48.
3. Hay muchas opciones; por ejemplo, en un país con monedas de $0,50, $0,30, $0,12 y $0,05 y un vuelto
de 86 centavos.
15
¿PARA QUÉ
SIRVE?
FIN
