Solucionario Guía Homotecia y teorema de Euclides 2016

SOLUCIONARIO
SGUICES043MT22-A16V1
Homotecia y Teorema de
Euclides
1
TABLA DE CORRECCIÓN
GUÍA PRÁCTICA
HOMOTECIA Y TEOREMA DE EUCLIDES
Ítem Alternativa
Habilidad
1
C
Comprensión
2
B
ASE
3
E
ASE
4
B
ASE
5
A
Aplicación
6
C
Aplicación
7
C
Aplicación
8
C
Aplicación
9
C
Aplicación
10
A
Aplicación
11
C
Aplicación
12
D
Aplicación
13
E
Aplicación
14
D
Aplicación
15
E
Aplicación
16
A
Aplicación
17
D
ASE
18
D
Aplicación
19
D
Aplicación
20
A
Aplicación
21
D
ASE
22
E
Aplicación
23
C
ASE
24
A
ASE
25
C
ASE
2
1. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Geometría analítica
Comprensión
Al aplicar la homotecia al triángulo ABC, la transformación resultante, que corresponde al
triángulo DEF, está al otro lado del centro de homotecia, por lo tanto la razón de homotecia
debe ser menor que cero.
Por otra parte, como OC  OF , entonces el valor absoluto de la razón de homotecia (k)
debe ser un número menor que uno.
Por lo tanto, si k < 0 y |k| < 1, entonces – 1 < k < 0. Es decir, la razón de homotecia es
mayor que – 1 y menor que 0.
2. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
I)
Geometría analítica
ASE
Verdadera, ya que como el cuadrilátero ABCD es transformado mediante una
homotecia de razón 1,5 en el cuadrilátero EFGH, entonces la razón entre los lados
EF 3 18
homólogos es 3: 2. Por lo tanto:
  .
AB 2 12
II) Verdadera, ya que como las figuras son semejantes, sus perímetros están en la misma
razón que sus lados homólogos. Es decir, si la razón de homotecia es 1,5 = 3 : 2,
Perímetro EFGH
3 66
entonces:
.
 
Perímetro ABCD 2 44
III) Falsa, ya que si la razón de homotecia es 1,5 = 3 : 2, entonces
OA = 18, entonces OE = 27, ya que
OE 3
 . Luego, si
OA 2
OE 27 3

 . Entonces, AE = OE – OA = 9.
OA 18 2
Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son verdaderas.
3
3. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Geometría analítica.
ASE
Como la razón de homotecia es 1,25, entonces las medidas de los lados del triángulo DEF
con los lados respectivos del triángulo ABC se encuentran en la razón 5 : 4 (ya que
5 : 4 = 1,25). Luego:
I)
OF 5
 . Sustituyendo OC, se tiene
OC 4
OF 5
36  5
  OF 
 45
36 4
4
Verdadera, ya que
Como OF = 45 y OC = 36, entonces CF = 45 – 36 = 9.
II)
DF 5
 . Sustituyendo DF , se tiene
AC 4
35 5
35  4
  AC 
 28
AC 4
5
Verdadera, ya que
Luego, AC = 28.
III)
Verdadera, ya que si las medidas de los lados y segmentos están en la razón 5 : 4,
entonces las áreas se encontrarán en la razón 25 : 16. Por lo tanto:
2
Área DEF  5 
25
  
16
Área ABC  4 
Sustituyendo y despejando:
Área DEF 25
25  64

 Área DEF 
 100
64
16
16
Por lo tanto, las afirmaciones I, II y III son verdaderas.
4
4. La alternativa correcta es B.
Unidad temática
Habilidad
Geometría analítica
ASE
Como la razón de homotecia es 0,75, entonces las medidas de los lados del triángulo ABC
con los lados respectivos del triángulo DEF se encuentran en la razón 3 : 4 (ya que
3 : 4 = 0,75). Luego:
I)
BC 3
BC 3
28  3
y si FE = 28 entonces
  BC 

 21.
28 4
FE 4
4
Luego, BC es igual a 21.
Verdadera, ya que
24 3
OA 3
24  4
y si OA= 24 entonces
  OD 

 32 .
OD 4
OD 4
3
Como OD = 32 y OA = 24, entonces AD = 8.
II) Verdadera, ya que
III) Falsa, ya que
h AB
hDE

3
9
3
94
y si hAB  9 entonces
  hDE 
 12 . Luego, la
4
hDE 4
3
medida de la altura que cae sobre el segmento DE es igual a 12 y no 16.
Por lo tanto, solo I y II son verdaderas.
5. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Geometría analítica
Aplicación
Como al triángulo ABC se le aplica una razón de homotecia igual a – 2,5 para transformarlo
en el triángulo DEF, entonces la razón entre los lados homólogos de los triángulos es 5 : 2.
Esto implica que las alturas también están en esa razón. Además son triángulos semejantes,
los ángulos interiores son respectivamente congruentes, como se indica en la figura:
F
EF 5
EF 5
 

8
2
BC 2
58
es decir, EF 
 20
2
B
Luego,
30º
60º
D
O
8
A
30º
60º
G
E
C
5
Finalmente, como el triángulo EFG es la mitad de un triángulo equilátero de lado 20, la
altura FG sería igual a la mitad del lado por
3 , es decir FG = 10 3.
6. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
Aplicación
Dadas las condiciones, es posible aplicar el teorema de Euclides
AC2 = AD · AB
AC2 = 4 · 9
(Aplicando raíz cuadrada)
AC  4  9 = 2 · 3 = 6 cm
7. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
Aplicación
Triángulo ABC es isósceles rectángulo y la altura AD es transversal de gravedad. Luego, D
es punto medio de BC y AD = BD = DC.
Aplicando Pitágoras al triángulo ADC, se obtiene:
A
(8 2 ) 2  AD 2  DC 2
128  2 AD
64  AD
8 2
8 2
2
45º
45º
B
2
C
D
8  AD
6
8. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
Aplicación
Si AE : EB = 2 : 1, entonces AE = 2k y EB = k, para k en los reales positivos. Entonces:
C
AB = AE + EB = 9
2k + k = 9
3k = 9
k =3
Por lo tanto, AE = 6 y EB = 3.
A
6
E
3
9
Aplicando teorema de Euclides para determinar el valor de la altura
EC 2 = AE ∙ EB = 6·3 = 18
EC  18  9  2  3 2
Entonces, Área ABC 
AB  CE 9  3 2 27 2


2
2
2
9. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
Aplicación
Dadas las condiciones, es posible aplicar el teorema de Euclides en el triángulo ABC
rectángulo en C. Entonces
CD² = AD ∙ DB
6² = 4 ∙ x
36 = 4x
9=x
Por lo tanto, el valor de x es 9.
7
B
10. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
Aplicación
Si AB : BC  1 : 2 , entonces AB = 3.En un triángulo
rectángulo, si un cateto es el doble del otro, entonces la
hipotenusa corresponde al cateto menor por raíz de 5.
B
En este caso: AC  3 5 .
6
C
3
D
Aplicando teorema de Euclides
A
AB  BC  3  6  6
BD 
 
 
AC
5
3 5 
11. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
Aplicación
Dado que no hay antecedentes para saber si ABC es triángulo rectángulo, se debe calcular
por separado los segmentos AD y DB, a través del teorema de Pitágoras, y luego sumar
ambos segmentos para obtener AB.
2
2
AD  DC  AC
AD² + 2² = 3²
AD² + 4 = 9
AD² = 5
AD =
2
2
2
(Reemplazando)
C
5
DB  DC  BC
DB² + 2² = 4²
DB² + 4 = 16
DB² = 12
3
2
(Reemplazando)
A
DB = 2 3
Por lo tanto, la medida de AB = (AD + DB) =
8


5  2 3 cm.
4
2
D
B
12. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
Aplicación
Aplicando el teorema de Euclides de la altura y las proyecciones resulta
AD
12²
144
6
2
 CD  DB
= CD · 24
= CD · 24
= CD
(Reemplazando)
(Despejando)
Como en el  ADC uno de los catetos es el doble del otro (6 y 12), entonces la medida de la
hipotenusa es igual al cateto menor por
5 , en este caso es decir mide 6 5 .
13. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
Aplicación
Aplicando el teorema de Euclides respecto al cateto, resulta:
n  12  n  1  n  1  MR
n 2  2n  1  n 2  2n  1  n  MR  MR
 4n  n  MR  MR
 4n  MR(n  1)
4n
 MR
n 1
Por lo tanto, la expresión que representa el valor de MR en función de n es
9
4n
.
n 1
14. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
Aplicación
Según la figura, por teorema de Pitágoras FG = 3 (Trío Pitagórico). Por otro lado,
aplicando el teorema de Euclides de la altura y las proyecciones
EG
4²
16
16
3
2
 FG  GH
= 3  GH
= 3  GH
(Reemplazando)
(Despejando)
= GH
Aplicando el teorema de Euclides respecto al cateto, se tiene
2
EH = GH  FH
16  16 
 3  
EH² =
3 
3
16 25

3 3
400
EH ² =
9
20
EH =
3
(Reemplazando)
EH ² =
Por lo tanto, la medida de EH es
(Aplicando raíz cuadrada)
20
.
3
10
15. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
Aplicación
Completando las condiciones del enunciado en la figura
C
16
D
9
A
B
Luego:
I)
Verdadera, ya que, aplicando teorema de Euclides:
AD2 = DB ∙ CD
AD2 = 9 ∙ 16
AD2 = 144
AD = 12
II)
(Aplicando raíz cuadrada)
Verdadera, ya que, aplicando teorema de Euclides:
AC2 = CD ∙ CB
AC2 = 16 ∙ 25
AC2 = 400
AC = 20
III)
(Reemplazando)
(Reemplazando)
(Aplicando raíz cuadrada)
Verdadera, ya que, aplicando teorema de Euclides:
AB2 = DB ∙ CB
AB2 = 9 ∙ 25
AB2 = 225
AB = 15
(Reemplazando)
(Aplicando raíz cuadrada)
Por lo tanto, ninguna de las afirmaciones es falsa.
11
16. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
Aplicación
Como el triángulo ABC es rectángulo en C, AC = 12 y AB = 13, entonces, por tríos
pitagóricos, BC = 5. Luego
I)
Verdadera, ya que el área del triángulo se calcula
AC  BC 12  5
= 30
Área 

2
2
C
12
II) Falsa, ya que, aplicando teorema de Euclides
AC2 = AD ∙ AB
122 = AD ∙ 13
144
 AD
13
(Reemplazando)
(Despejando)
D
13
III) Falsa, ya que, aplicando teorema de Euclides
BC2 = DB ∙ AB
52 = DB ∙ 13
25
 DB
13
A
5
(Reemplazando)
(Despejando)
Por lo tanto, solo la afirmación I es verdadera.
12
B
17. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
ASE
a2
De acuerdo a la imagen, se cumple que a² = p(p + q)  p 
;
( p  q)
b² = q(p + q)  q 
b2
a b
y h(p + q) = ab  h 
. Luego:
( p  q)
( p  q)
I)
 a2 


2
p  ( p  q)   a 2   a 
a






Falso, ya que
(para a ≠ b y a ≠ 0)


2
2



b
q
b  b
b



 ( p  q) 
II)


p 

Verdadera, ya que
h 


a2 

p  q   a2  a


a  b   a  b  b

p  q 
III)


h 

Verdadera, ya que
q 


a b 

p  q   a b  a


b2   b2  b

p  q 
Por lo tanto, solo II y III tienen siempre el mismo valor que
a
.
b
18. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
Aplicación
 
Aplicando el teorema de Euclides, se cumple que RP
despejando resulta 6² = 2RQ  RQ =
2
 RM  RQ . Reemplazando y
36
= 18.
2
Luego, MQ = RQ – RM = 18 – 2 = 16. Por lo tanto, la medida de MQ es 16.
13
19. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
Aplicación
 
Aplicando el teorema de Euclides, se cumple que CD
2
 AD  DB . Reemplazando y
despejando resulta 2² = AD1  AD = 4.
     AC  . Reemplazando
2
Aplicando el teorema de Pitágoras, se cumple que AD  CD
2
2
y despejando resulta 4² + 2² = AC²
Por lo tanto, la medida de AC es 16  4  20  4  5  2 5 .
20. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
Aplicación
Como un cateto mide el triple que el otro (p y 3p), entonces la hipotenusa vale 10 p .
Aplicando el teorema de Euclides que relaciona la altura y los lados del triángulo
rectángulo, resulta x =
p 3p
10 p

3p2
10 p

3p
10
.
Por lo tanto, el valor de x en términos de p está dado por la expresión
3p
10
.
21. La alternativa correcta es D.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
ASE
Como el cuadrado tiene lado 4 y RA = SB = 1, entonces AS = DR = 3. Luego, por trío
pitagórico se cumple que RC = DS = 5.
Aplicando el teorema de Euclides, se cumple que DT  RC  DR  DC . Reemplazando y
12
despejando resulta DT  5 = 3  4  DT =
= 2,4
5
14
Por lo tanto, la medida del segmento TS es (DS – DT) = (5 – 2,4) = 2,6
22. La alternativa correcta es E.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
Aplicación
Según el teorema de Euclides, en un triángulo rectángulo, la altura al cuadrado es igual al
producto de las proyecciones. Como la altura mide x y las proyecciones miden 3x y 12,
planteando el teorema de Euclides resulta:
x2 = 3x · 12
x = 3 · 12 = 36
(Dividiendo por x)
Por lo tanto, el valor de x es 36.
23. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
ASE
Como ABCD es un rectángulo, entonces DC = AB = 25. Luego, DP = 25 – 16 = 9.
Trazando la altura desde P hasta el lado AB, es posible aplicar el teorema de Euclides en un
triángulo rectángulo, un cateto al cuadrado es igual al producto de su proyección por la
hipotenusa. Como la proyección mide 9 y la hipotenusa mide 25, se puede plantear:
AP 2 = 9 · 25
AP = 9 ·
AP = 3 · 5
AP = 15
(Aplicando raíz cuadrada)
25
(Resolviendo)
Por lo tanto, el valor del segmento AP es 15.
15
24. La alternativa correcta es A.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
ASE
(1) AC = 5 cm. Con esta información y la del enunciado, es posible determinar la medida
de BD mediante el teorema de Pitágoras y de Euclides, ya que en el  ACD, por trío
16
pitagórico, AD = 3 cm, luego por Euclides, 16 = 3 · BD  BD =
cm.
3
50 2
cm . Con esta información y la del enunciado, no es
3
posible determinar la medida de BD , ya que con la fórmula del área se puede
25
determinar que AB =
cm y al aplicar el teorema de Euclides se obtienen dos
3
16
medidas para BD , 3 cm y
cm, al no saber qué proyección es mayor, no se puede
3
determinar la medida de BD .
(2) El área del triángulo ABC es
Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola.
25. La alternativa correcta es C.
Unidad temática
Habilidad
Geometría de proporción
ASE
(1) AB = 12. Con esta información, no es posible determinar el valor del trazo BC, ya que
se desconoce si el ángulo en C es recto, por lo que no es válido aplicar teorema de
Euclides.
(2) AC  BC . Con esta información, no es posible determinar el valor del trazo BC, ya que
se desconocen los valores de los otros segmentos.
Con ambas informaciones, sí es posible determinar el valor del trazo BC, ya que se
cumplen las condiciones para aplicar el teorema de Euclides.
Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas.
16