Análisis de Fourier Objetivo Exponer las relaciones de la transformada de Fourier con las señales y los sistemas que las generan. Interpretar el significado físico de la Transformada de Fourier y sus propiedades. Representar las funciones racionales en el plano complejo y sus implicaciones en el comportamiento de las señales. El alumno deberá entender las las diversas propiedades de la transformada de Fourier con particular atención en las interpretaciones físicas respectivas. Al finalizar esta unidad el alumno deberá ser capaz de entender la importancia y utilidad las transformaciones directa e inversa de Fourier. 2 Introducción Composición de la Luz Desde la antigüedad se cuestiona la naturaleza de la luz y de sus fenómenos ópticos, en particular el significado del arcoiris. ● Los antiguos griegos asumían que la luz viajaba en línea recta. Por su parte la corriente pitagórica sostenía que cada objeto emitía un flujo ininterrumpido de partículas. A su vez Aristóteles concluyó que la luz viajaba en ondas. ● En 1637 Descartes publica una teoría sobre la refracción la luz y su naturaleza ondulatoria en analogía a las propiedades de propagación del sonido en distintos medios y los cambios de velocidad al pasar por ellos. ● Introducción Composición de la Luz En 1704 Newton publica en su obra «Opticks» su teorías sobre la reflexión y refracción de la luz, donde consideraba a esta última como un flujo de partículas y no como ondas. ● Sin embargo sus experimentos con prismas permitieron determinar que la luz está compuesta por componentes fundamentales « eigenvectores » los cuales combinados entre sí producen la luz blanca. ● Introducción Composición de señales La noción general es que cualquier señal podría estar compuesta por multitud de elementos individuales, e.g. Instrumentos musicales: ● Introducción Propósito del análisis de Fourier Ser capaz de expresar cualquier señal en términos de sus componentes básicos para su análisis o modificación. ● Cabe recordar que las señales son básicamente la descripción de un fenómeno físico. ● Resulta ser que las señales sinusoidales son justamente los componentes fundamentales de todas las señales existentes. ● Introducción Oscilaciones Existe una gran cantidad de sistemas dinámicos con patrones de movimiento circular (oscilatorios). ● http://www.animations.physics.unsw.edu.au/jw/phasor-addition.html Introducción Oscilaciones Introducción Oscilaciones ● Periodo (ts) Introducción Oscilaciones ● Periodo (ts) ● Frecuencia (1/ts) Introducción Facetas del análisis de Fourier ● ● Análisis : ● Del dominio del Tiempo al de la Frecuencia ● Determinar la contribución de distintas frecuencias ● Descubrir propiedades ocultas en este dominio Síntesis : ● Del dominio de la Frecuencia al del Tiempo Crear o ajustar señales a componentes específicos de frecuencia ● Un problema típico • Dada una señal de entrada x(t), ¿Cual es la señal de salida del sistema y(t) después de pasar por él? X(t) y(t) ? Filtro t Recurrimos a las transformaciones para evitarnos complicaciones Un problema típico • Si tenemos un filtro pasa bajos de primer orden con un resistor R y un capacitor C: • El sistema se describe mediante la ec. diferencial: RCy' (t )+y(t )=x (t ) Recurrimos a las transformaciones para evitarnos la integración de la respuesta del sistema Convolución • Operador matemático (*) que combina 2 funciones de entrada, e.g.: x(t) y h(t) para producir una tercera: y(t) y (t ) x (t ) h (t ) x (t )h ( )d • La cual expresa la magnitud del traslape de la función x(t) y la función h(t) a medida que una señal se recorre sobre la otra. Convolución Suavizado Convolución • La convolución es muy utilizada en el procesamiento de imágenes (e.g.: Difuminado gaussiano 2D) * = Delta de Dirac δ(t) Convolución con la delta de Dirac δ(t) • La convolución de una señal con la delta de Dirac (t) produce simplemente la misma señal a la salida Convolución como operador de retardo • La convolución con una delta recorrida (t-) produce un corriemiento (retardo) de la señal original (x(t-)). (t-) Propiedades de la Convolución • Debido a que la convolution es un operador lineal, entonces posee las típicas propiedades lineales: – – – – Conmutatividad Asociatividad Distributividad Multiplicación escalar Resolviendo usando la convolución • El filtro pasa bajos de primer orden: • El sistema se describe por su respuesta al impulso: • Solución: Convolución con la respuesta al impulso x(t) Resolviendo usando la convolución • La Convolución es tardada y costosa para calcularse. • Sugerencias de salidas y(t). Interpretación Física Jean-Baptiste Fourier en 1807: Cualquier función periódica puede ser reescrita como una suma ponderada de senos y cosenos de diferentes frecuencias. Conocidas como Series de Fourier Construcción: Pulsos cuadrados Otros ejemplos La T. de Fourier expande esta idea • Cualquier señal (periódica y no-periódica) en el dominio del tiempo puede descomponenrse en series de senos y cosenos en el dominio de la frequencia. T. de Fourier: Definición Formal +∞ F(ω)=∫−∞ f (x)e −j ω x dx 1 +∞ j ωx f (x)= ∫−∞ F(ω)e d ω 2π • Convención: Con Mayúsculas se identifican las variables transformadas al dominio de la frecuencia: • Transformada directa: F{ x(t) } = X() or X(f) • Transformada Inversa: F-1{Y() or Y(f) }= y(t) (=2f) TF entrega números complejos • Se produce una salida con números complejos – Los coeficientes Coseno son reales – Los coeficientes Seno son imaginaios Planos Complejo • Los números Complejos pueden representarse: 1) Combinación de parte real + parte imaginaria: x +iy 2) Amplitud + Fase A and Representación alternativa de TF • Los números complejos pueden también ser representados como: amplitud + fase. Ejemplos de transformada de Fourier Señales rápidas vs señales lentas Ejemplos de transformada de Fourier Dominio del tiempo t Dominio en la Frecuencia Real Real Real Ejemplos de transformada de Fourier Dominio del tiempo t Dominio en la Frecuencia Función Coseno Ejemplos de transformada de Fourier Dominio del tiempo t Dominio en la Frecuencia Función Seno Ejemplos de transformada de Fourier Dominio del tiempo t Dominio en la Frecuencia Real Real « DC component » Propiedades de la T de Fourier • Aditividad F {a (t ) b(t )} A( ) B ( ) • Multiplicación escalar F {ka (t )} kA( ) • Convolución en el tiempo t F {x (t ) h (t )} F {x (t )}F {h (t )} X ( ) H ( ) • Convolución en la frecuencia F −1 { X ( ω)∗H ( ω) }=2πx( t )h (t ) FT : dualidad tiempofrecuencia Dominio del Tiempo Dominio en Frecuencia “Angosto” “Amplio” “Amplio” “Angosto” Multiplicación Convolución Convolución Multiplicación Box Sinc Sinc Box Gauss Gauss Real + Par Real+Par (sólo cosenos) Real + Inpar Im + Inpar (sólo senos) Etc.. Etc.. Ejemplo : Transformada Fourier ¿ Que pasa cuando el ancho de banda |Y(f)| de una señal de voz (limitada a 5 kHz) se multiplica por un coseno f = 15 kHz? (i.e.: Modulación en Amplitud radio AM ) Solución FT Dominio del tiempo Dominio de la frecuencia FT Gaussian Blur Dominio del espacio 2D Dominio de la frecuencia Teorema de muestreo • Con el fin de ser utilizado dentro de un sistema digital, una señal continua debe ser convertida en una secuencia de valores discretos. • Esto se hace mediante el muestreo de la señal continua en intervalos regulares de tiempo. • Pero en qué intervalo? Teorema de muestreo • El muestreo puede realizarse al multiplicar la señal mediante un tren de pulsos (impulsos): Aliasing • Si la frecuencia de muestreo es muy baja en comparación de la frecuencia de la señal, ocurrirá el efecto aliasing: Una señal diferente será representada (i.e.: un alias) Análisis de Fourier del P. de Muestreo • La transformada de Fourier de un tren de pulsos de frecuencia fs es otro tren de pulsos con intervalo 1/fs , pero en el dominio del tiempo: Dominio del tiempo Dominio de la frecuencia Análisis de Fourier del P. de Muestreo Dominio del tiempo -fmax fmax • El Aliasing ocurre si fs <2 fmax – Frecuencia de Nyquist = fs / 2 Dominio de la frecuencia Análisis de Fourier del P. de Muestreo Dominio del tiempo -fmax fmax • El Aliasing ocurre si fs <2 fmax – Frecuencia de Nyquist = fs / 2 Dominio de la frecuencia Análisis de Fourier del P. de Muestreo Muestreo continuo : Nyquist & Shannon ● El teorema de muestreo sirve de puente entre las señales analógicas y las digitales, al relacionar ambos tipos de señales bajo la siguiente fórmula: sin (π(t−nT S )/T S ) x(t )= ∑ x [n] π(t−nT S )/T S n=-∞ ∞ Transformada Discreta de Fourier Facetas del análisis de Fourier ● ● Análisis : ● Del dominio del Tiempo al de la Frecuencia ● Determinar la contribución de distintas frecuencias ● Descubrir propiedades ocultas en este dominio Síntesis : ● Del dominio de la Frecuencia al del Tiempo Crear o ajustar señales a componentes específicos de frecuencia ● Transformada Discreta de Fourier Marco matemático ● Aplicación en señales de longitud finita : ● Vectores / arreglos en ℂN El análisis de Fourier básicamente representa un cambio de sistema coordenado ● Dicho cambio permite observar el mismo fenómeno desde una perspectiva completamente distinta. ● Si el cambio de sistema coordenado es el adecuado, podemos descubrir características antes ocultas para el marco de referencia anterior. ● Transformada Discreta de Fourier Marco matemático Transformada Discreta de Fourier Marco matemático Transformada Discreta de Fourier Sistema coordenado para ℂN Se propone un sistema de coordenadas con N vectores 2π ● w k [n]= e j N nk n ,k =0,1,. .. , N−1 Donde n representa el índice que apunta o recorre los N-elementos en cada vector, mientras que k es el índice que indica de cual vector del conjunto también N se está tratando. ● ● El sistema se propone como un sistema ortogonal Transformada Discreta de Fourier Sistema coordenado para ℂN Se propone un sistema de coordenadas con N vectores 2π ● w k [n]= e j 2π nk N j N nk n ,k =0,1,. .. , N−1 El elemento e representa una exponencial compleja cuya frecuencia fundamental ω está definida por: 2π El índice k determina la frecuencia ω= k N fundamental del vector ortogonal ● Transformada Discreta de Fourier Sistema coordenado para ℂN ● Usando la notación vectorial k {w } k=0,1,. .., N −1 con w (k ) n =e j 2π nk N se define el sistema de vectores ortogonales Transformada Discreta de Fourier Sistema coordenado para ℂN ● Usando la notación vectorial k {w } k=0,1,. .., N −1 con w (k ) n =e Im 2π j nk N w1 [3] 1 w1 [2] w1 [1] 2π/N -1 w1 [0] -1 Re 1 k=1 Transformada Discreta de Fourier Sistema coordenado para ℂN ● Usando la notación vectorial k {w } k=0,1,. .., N −1 con w (k ) n =e 2π j nk N Im 1 w2 [2] w2 [1] (2π/N)*2 Re -1 w2 [0] 1 w1 [3] -1 k=2 Transformada Discreta de Fourier Sistema coordenado w(0) ∊ ℂN Re Im N = 64 Transformada Discreta de Fourier Sistema coordenado w(0) ∊ ℂN Re w Im (0) n =e j 2π n⋅0 N =1 N = 64 Transformada Discreta de Fourier Sistema coordenado w(1) ∊ ℂN Re Im N = 64 Transformada Discreta de Fourier Sistema coordenado w(1) ∊ ℂN Re Im N = 64 2π ω= (1) N Transformada Discreta de Fourier Sistema coordenado w(2) ∊ ℂN Re Im N = 64 Transformada Discreta de Fourier Sistema coordenado w(2) ∊ ℂN Re Im N = 64 2π ω= (2) N Transformada Discreta de Fourier Sistema coordenado w(3) ∊ ℂN Re Im N = 64 Transformada Discreta de Fourier Sistema coordenado w(3) ∊ ℂN Re Im N = 64 2π ω= (3) N Transformada Discreta de Fourier Sistema coordenado w(4) ∊ ℂN Re Im N = 64 Transformada Discreta de Fourier Sistema coordenado w(5) ∊ ℂN Re Im N = 64 Transformada Discreta de Fourier Sistema coordenado w(12) ∊ ℂN Re Im N = 64 Transformada Discreta de Fourier Sistema coordenado w(16) ∊ ℂN Re Im N = 64 Transformada Discreta de Fourier Sistema coordenado w(16) ∊ ℂN Re Im N = 64 2π ω= (16) = π 64 2 Transformada Discreta de Fourier Sistema coordenado w(17) ∊ ℂN Re Im N = 64 Transformada Discreta de Fourier Sistema coordenado w(23) ∊ ℂN Re Im N = 64 Transformada Discreta de Fourier Sistema coordenado w(30) ∊ ℂN Re Im N = 64 Transformada Discreta de Fourier Sistema coordenado w(31) ∊ ℂN Re Im N = 64 Transformada Discreta de Fourier Sistema coordenado w(32) ∊ ℂN Re Im N = 64 Transformada Discreta de Fourier Sistema coordenado w(32) ∊ ℂN Re Im 2π ω = ⋅32 = π 64 N = 64 Transformada Discreta de Fourier Sistema coordenado w(33) ∊ ℂN Re Im N = 64 Transformada Discreta de Fourier Sistema coordenado w(34) ∊ ℂN Re Im N = 64 Transformada Discreta de Fourier Sistema coordenado w(35) ∊ ℂN Re Im N = 64 Transformada Discreta de Fourier Sistema coordenado w(61) ∊ ℂN Re Im N = 64 Transformada Discreta de Fourier Sistema coordenado w(62) ∊ ℂN Re Im N = 64 Transformada Discreta de Fourier Sistema coordenado w(63) ∊ ℂN Re Im N = 64 Transformada Discreta de Fourier Sistema coordenado: Ortogonalidad ● Prueba: N−1 〈w (k ) ,w (h) 〉= ∑ (e n =0 * : conjugado * 2π j nk N )e j 2π nh N Transformada Discreta de Fourier Sistema coordenado: Ortogonalidad ● Prueba: ∑ (e * 2π j nk N N−1 2π (h−k ) n N N −1 〈w (k ) ,w (h) 〉= )e n =0 * : conjugado 〈w (k ) ,w (h) 〉= ∑e n =0 j j 2π nh N Transformada Discreta de Fourier Sistema coordenado: Ortogonalidad ● Prueba: N−1 〈w (k ) ,w (h) 〉= ∑e n =0 I) h=k → e j 2π (0)n N j 2π (h−k ) n N Transformada Discreta de Fourier Sistema coordenado: Ortogonalidad ● Prueba: N−1 〈w (k ) ,w (h) 〉= ∑e n =0 I) h=k → e j 2π (0)n N = 1+i0 j 2π (h−k ) n N Transformada Discreta de Fourier Sistema coordenado: Ortogonalidad ● Prueba: N−1 〈w (k ) ,w (h) 〉= ∑e j 2π (h−k ) n N n =0 I) h=k → e j 2π (0)n N = 1+i0 N −1 ∑ n=0 =N Transformada Discreta de Fourier Sistema coordenado: Ortogonalidad ● Prueba: N−1 〈w (k ) ,w (h) 〉= ∑e j 2π (h−k ) n N n =0 N −1 II) h≠k usamos la propiedad : ∑ n= 0 N 1− a a = 1 1−a n Transformada Discreta de Fourier Sistema coordenado: Ortogonalidad ● Prueba: N−1 〈w (k ) ,w (h) 〉= ∑e j 2π (h−k ) n N n =0 N −1 II) h≠k usamos la propiedad : ∑ n= 0 N −1 ∑e n=0 j 2π n N = 1− e j 2π (h−k ) 1−e j 2π (h−k ) N N 1− a a = 1 1−a n Transformada Discreta de Fourier Sistema coordenado: Ortogonalidad ● Prueba: N−1 〈w (k ) ,w (h) 〉= ∑e j 2π (h−k ) n N n =0 N −1 II) h≠k usamos la propiedad : ∑ n= 0 N −1 ∑e n=0 j 2π n N = 1− e j 2π (h−k ) 1−e j 2π (h−k ) N N 1− a a = 1 1−a n Transformada Discreta de Fourier Sistema coordenado: Ortogonalidad ● Prueba: N−1 〈w (k ) ,w (h) 〉= ∑e j 2π (h−k ) n N n =0 N −1 II) h≠k usamos la propiedad : 1 N −1 ∑e n=0 j 2π n N = 1− e j 2π (h−k ) 1−e j 2π (h−k ) N ∑ n= 0 N 1− a a = 1 1−a n Transformada Discreta de Fourier Sistema coordenado: Ortogonalidad ● Prueba: N−1 〈w (k ) ,w (h) 〉= ∑e j 2π (h−k ) n N n =0 N −1 II) h≠k N −1 ∑e n=0 usamos la propiedad : 0 j 2π n N = 1− e j 2π (h−k ) 1−e j 2π (h−k ) N ∑ n= 0 N 1− a a = 1 1−a n Transformada Discreta de Fourier Sistema coordenado: Ortogonalidad ● Prueba: N−1 〈w (k ) ,w (h) 〉= ∑e j 2π (h−k ) n N n =0 N 〈w (k ) ,w (h ) 〉= para h=k 1−e j 2 π (h−k ) 1− e 2π j (h−k ) N =0 para h ≠k Transformada Discreta de Fourier Sistema coordenado: Ortogonalidad La definición de N vectores ortogonales forman el sistema coordenado para el espacio ℂN ● El espacio aún no es ortonormal ya que los vectores no están normalizados. ● ● El factor de normalización deberá ser : 1 / √N 〈w (k) ,w (k) 〉=N Transformada Discreta de Fourier Sistema coordenado ● Notación de la señal : w k [ n ]= e ● 2π j nk N n , k=0,1,. .. , N −1 Notación vectorial : {w (k) } k=0,1,. .. , N−1 (k) n con w = e j 2π nk N Transformada Discreta de Fourier Expansión del Sistema ● Análisis : X k = 〈w ● (k) , x〉 Síntesis : 1 x= N N −1 ∑ Xk w k=0 (k) Transformada Discreta de Fourier Expansión del Sistema ● Análisis : X k = 〈w ● (k) , x〉 Síntesis : 1 x= N N −1 ∑ Xk w (k) k=0 Ya que el sistema NO está normalizado, se incluye 1/N en la fórmula de Síntesis Transformada Discreta de Fourier Expansión del Sistema ● Señal en notación vectorial : ̄x = ∑ xk e −(k) Transformada Discreta de Fourier Expansión del Sistema ● Señal en notación vectorial : ̄x = ∑ xk e −(k) δ [n−k ] Transformada Discreta de Fourier Expansión del Sistema ● Señal en notación vectorial : ̄x = ∑ xk e −(k) Transformada Discreta de Fourier Expansión del Sistema ● Señal en notación vectorial : ̄x = ∑ xk e −(k) Síntesis 1 ̄x = N N −1 ∑ Xk k=0 w (k) Transformada Discreta de Fourier Expansión del Sistema ● Señal en notación vectorial : ̄x = ∑ xk e −(k) Síntesis 1 ̄x = N N −1 ∑ Xk k=0 w (k) Transformada Discreta de Fourier Expansión del Sistema ● Señal en notación vectorial : ̄x = ∑ xk e −(k) Componentes sinusoidales Síntesis 1 ̄x = N N −1 ∑ Xk k=0 w (k) Transformada Discreta de Fourier Expansión del Sistema ● Señal en notación vectorial : ̄x = ∑ xk e −(k) Componentes sinusoidales Síntesis 1 ̄x = N N −1 ∑ Xk w k=0 X k = coeficientesobtenidos durante el análisis (k) Transformada Discreta de Fourier Expansión del Sistema: Forma matricial ● Análisis : X =W x ● Síntesis : 1 H x= W X N Transformada Discreta de Fourier Expansión del Sistema: Forma matricial ● ● −j WN = e Si se define : 2π N Se puede definir la matriz W, con W [k,n] = [ 1 1 W= 1 1 1 W1 W2 W N −1 W 1 W2 W4 … 1 W3 W6 2 ( N −1 ) 3( N −1) W W … 1 … W ( N −1 ) … W 2 ( N −1 ) … W ( N −1 )2 ] kn N Conjugado de cada vector en cada renglón Transformada Discreta de Fourier Expansión del Sistema: Forma matricial X =W x Transformada Discreta de Fourier Expansión del Sistema: Forma matricial X =W x 0 → DC -1/8 → 1/8 fc -2/8 → 1/4 fc -3/8 → 3/8 fc +f -4/8 → 1/2 fc -5/8 → 5/8 fc -6/8 → 3/4 fc -7/8 → 7/8 fc -f Transformada Discreta de Fourier Expansión del Sistema: Forma matricial ● Análisis : X =W x ● Síntesis : 1 H x= W X N Transformada Discreta de Fourier Expansión del Sistema: Forma matricial ● Análisis : X =W x X Nx1 ← W NxN x Nx1 ● Síntesis : 1 H x= W X N x Nx1 ← W H NxN X Nx1 Transformada Discreta de Fourier Expansión del Sistema: Viendo la señal ● Análisis : X[k]= N −1 ∑ x [ n]e −j 2π nk N , k =0,1,2,. .. , N−1 n=0 Señal de N puntos en el dominio de la frecuencia ● Síntesis : 1 x [ n] = N N−1 ∑ X [k ] e j 2π nk N , n=0,1,2,. .. , N −1 k =0 Señal de N puntos en el dominio del tiempo Transformada Discreta de Fourier DFT de x[n] = δ[n], N −1 X[k]= x[n] ∈ ℂN −j ∑ δ [n] e n= 0 2π nk N N=16 Transformada Discreta de Fourier DFT de x[n] = 1, x[n] ∈ ℂN N −1 X[k]= −j ∑e n=0 2π nk N = N δ[ k ] N=16 Transformada Discreta de Fourier DFT de x[n] = 3cos(2πn/16), x[n] ∈ ℂ64 2π x [ n] = 3cos n 16 ( ) 2π x [ n] = 3cos ( 4n ) 64 [ 3 x [ n] = e 2 j 2π 4n 64 −j +e N=64 ω=2π/64 jω −j ω e +e cos ω = 2 2π 4n 64 ] = 32 [ e 3 x [ n] = ( w 4 [ n]+ w 60 [n] ) 2 j 2π 4n 64 +e j 2π 60n 64 ] Transformada Discreta de Fourier DFT de x[n] = 3cos(2πn/16), x[n] ∈ ℂ64 X [ k ] = 〈w k [n] , x [n]〉 〈 〈 3 = w k [n] , w 4 [ n]+ w60 [n] ) ( 2 〉 〈 3 = w k [n] , w 4 [n] + 2 X[k]= 96 0 para k = 4 ,60 para los demás 〉 3 w k [n] , w 60 [ n] 2 〉 Transformada Discreta de Fourier DFT de x[n] = 3cos(2πn/16), x[n] ∈ ℂ64 Re Im Transformada Discreta de Fourier DFT de x[n]=3cos(2πn/16 + π/3), x[n] ∈ ℂ64 2π x [ n] = 3cos n+ π 16 3 ( ) 2π x [ n] = 3cos ( 4n + π ) 64 3 [ 3 x [ n] = e 2 j 2π 4n 64 [ e 3 x [ n] = e 2 jπ 3 jπ 3 −j +e 2π 4n 64 N=64 ω=2π/64 −j π 3 e w 4 [ n]+ e −j π 3 ] w 60 [n ] ] Transformada Discreta de Fourier DFT de x[n]=3cos(2πn/16 + π/3), x[n] ∈ ℂ64 X [ k ] = 〈w k [n] , x [n]〉 X[k]= 〈 〉 〈 π 3 j3 wk [ n], e w 4[ n ] + 2 j π /3 X[k]= 96 e − jπ/3 96 e 0 π 3 −j 3 w k [ n] , e w 60 [ n] 2 para k = 4 para k = 60 para los demás 〉 Transformada Discreta de Fourier DFT de x[n]=3cos(2πn/16 + π/3), x[n] ∈ ℂ64 Re Im Transformada Discreta de Fourier DFT de x[n]=3cos(2πn/16 + π/3), x[n] ∈ ℂ64 |x[k]| ∠x[k] Transformada Discreta de Fourier DFT de x[n] = 3cos(2πn/10), x[n] ∈ ℂ64 2π 2π 2π 6< < 7 64 10 64 Debido a que no coincide con los componentes primarios del espacio, se necesita hacer la transformación numérica N=64 ω=2π/64 Matlab / Octave N=64; n=[0:N-1]; x=3*cos((2*pi*n)/10); res=fft(x); Transformada Discreta de Fourier DFT de x[n] = 3cos(2πn/10), x[n] ∈ ℂ64 Re 6y7 Im 58 y 59 Transformada Discreta de Fourier DFT de x[n] = 3cos(2πn/10), x[n] ∈ ℂ64 |x[k]| 6y7 ∠x[k] 58 y 59 Transformada Discreta de Fourier DFT de Escalón de longitud-M ∈ ℂ64 N=64 M −1 X[k]= ∑ h =0 δ [ n−h] , n=0,1,. .. N −1 M=4 Transformada Discreta de Fourier DFT de Escalón de longitud-M ∈ ℂ64 M −1 X[k]= ∑ δ [ n−h] , n=0,1,. .. N−1 h =0 Aplicando la transformada: ● N −1 X[k]= ∑ x [ n]e −j n=0 X[k]= 1−e −j 1−e 2π kM N 2π −j k N 2π nk N M−1 = ∑ e −j 2π nk N n=0 M −1 ∑ n=0 M 1−a a = 1− a n Transformada Discreta de Fourier DFT de Escalón de longitud-M ∈ ℂ64 1−e X[k]= −j 1−e 2π kM N −j − j π kM N X[k]= e e Real 2π k N −j α 2 e j π kM N [e [e −j π k N sin π Mk N X[k]= sin π k N ( ( 1−e ) −jα jπ k N )e −e −j π kM N −j π k N −e ] − j π ( M− 1) k N (e jα 2 −e ] 2j sin α 2 Imaginaria −j α 2 ) Transformada Discreta de Fourier DFT de Escalón de longitud-M ∈ ℂ64 sin π Mk N X[k]= sin π k N ( ( ) )e − j π ( M− 1) k N ∣ ∙ ∣= 1 X [ 0] = M, a partir de la definición de la sumatoria X [ k ] = 0 si el factor Mk / N es entero (0≤k < N ) ∠ X [k ] es linear para todo k (excepto en los cambios de signo en la parte real) Transformada Discreta de Fourier DFT de Escalón de longitud-4 ∈ ℂ64 Re Im 16 32 N = 16 M 48 Transformada Discreta de Fourier DFT de Escalón de longitud-4 ∈ ℂ64 |x[k]| ∠x[k] 16 32 N = 16 M 48 Transformada Discreta de Fourier DFT de Escalón de longitud-4 ∈ ℂ64 ∠x[k] La fase en realidad no se limita a un intervalo de 2π sino que progresa junto con la magnitud de la señal. ● Muchos paquetes (e.g. Matlab/Octave) la representan sin embargo alrededor del intervalo [ -π, π ] ● ● La fase pude extenderse adicionando múltiplos de 2π Transformada Discreta de Fourier Interpretación de la Transformada |x[k]| 0 N/2 frecuencias < π (ccw) N-1 Transformada Discreta de Fourier Interpretación de la Transformada |x[k]| 0 N/2 N-1 frecuencias > π (cw) Transformada Discreta de Fourier Interpretación de la Transformada |x[k]| 0 bajas frecuencias N/2 Altas frecuencias N-1 bajas frecuencias Transformada Discreta de Fourier Interpretación de la Transformada DFT de x[n] = 1 (mínima vel.), x[n] ∈ ℂ64 |x[k]| 0 bajas frecuencias N/2 Altas frecuencias N-1 bajas frecuencias Transformada Discreta de Fourier Interpretación de la Transformada DFT de x[n] = cos(πn) |x[k]| DFT de x[n] =(-1)n 0 bajas frecuencias (máx. vel.), N/2 Altas frecuencias x[n] ∈ ℂ64 N-1 bajas frecuencias Transformada Discreta de Fourier Distribución de Energía ● Teorema de Parseval: N −1 2 ∥x∥ = 1 ∣x [n ]∣ = ∑ N n=0 2 2 ∑∣α k∣ N −1 ∑ ∣X [ k ]∣ 2 k=0 La magnitud cuadrática del k-ésimo coeficiente de la DFT es proporcional a la energía de la señal contenida en la frecuencia ω = (2π / N) k Transformada Discreta de Fourier Distribución de Energía |x[k]| 4 DFT de x[n] = 3cos(2πn/16), 60 x[n] ∈ ℂ64 La energía está concentrada en los 2 componentes de la DFT (4:CCW y 60:CW) que corresponden a la única frecuencia de la señal. Transformada Discreta de Fourier Distribución de Energía |x[k]| DFT de x[n] = escalón M=4, x[n] ∈ ℂ64 La energía está distribuida principalmente en las bajas frecuencias aunque se aprecia que casi TODOS los componentes de la DFT participan en la señal. Transformada Discreta de Fourier Simetría de los Coeficientes 0 1 2 3 4 5 N=6, Longitud par 0 1 2 3 4 N=5, Longitud impar ∣X [ k ]∣ =∣X [ N−k ]∣ para k =1,2,. .. ,[ N /2] Correspondencia de los coeficientes Transformada Discreta de Fourier Simetría de los Coeficientes Para determinar representar la magnitud en realidad sólo es necesario emplear [N/2]+1 coeficientes 0 1 2 3 4 5 N=6, Longitud par 0 1 2 3 4 N=5, Longitud impar FT Gaussian Blur Dominio del espacio 2D * = Dominio de la frecuencia Which Transform to Use? Continuous Domain Discrete Domain Signal Processing Fourier T. Discrete F.T. (DFT/FFT) Control Theory Laplace T. z-Transform Application