Ecuaciones Diferenciales Clave de asignatura: SJ4B Profesor: Vladimir Juárez Abraham Materia Instituto Tecnológico de Matamoros Circuito LRC en Serie Etapa 4 del Proyecto Integrantes Kimberly Zaidaly Estrada Arzola 20260358 Jesús Fabiola Bautista Pérez 20260271 José Martin Andrade Martínez 20260336 Linda Sarahí Vargas Huerta 20260390 Edwin Orlando Rodríguez Cabriales 20260294 Especialidad: Ing. Mecatrónica Aula: R5 Grupo: B Horario de clase: 8am – 9am 4to (Enero – Junio) 06 de mayo del 2022 Semestre: H. Matamoros, Tamps. 1 Índice Introducción ................................................................................................................. 1 Capítulo 1. Marco de referencia .................................................................................. 2 1.1 Antecedentes y estado del Arte ..................................................................... 2 1.1.1 Charles Coulomb ................................................................... 2 1.1.2 Georg Simon Ohm .................................................................. 3 1.1.3 Alessandro Volta..................................................................... 4 1.1.4 Michael Faraday ..................................................................... 6 1.1.5 Gustav Kirchhoff ..................................................................... 7 1.2 Objetivos ......................................................................................................... 8 1.2.1 Objetivo general...................................................................... 8 1.2.2 Objetivos específicos ............................................................. 8 1.3 Planteamiento del problema .......................................................................... 8 1.4 Importancia y alcance .................................................................................... 8 Capítulo 2. Marco Teórico ........................................................................................... 9 2.1 Conceptos ...................................................................................................... 9 2.1.1 Resistencia. ...................................................................................... 9 2.1.2 Capacitor .......................................................................................... 9 2.1.3 Inductor ............................................................................................. 9 2.2 Caídas de voltaje en un circuito LCR en serie ............................................. 10 2.3 Teorías ........................................................................................................ 11 2.3.1 Solución de una ED con parámetros establecidos .............. 11 2.3.2 Sobreamortiguamiento ........................................................ 12 2.3.3 Amortiguamiento crítico ....................................................... 12 2.3.4 Subamortiguamiento ............................................................ 13 2 Capítulo 3. Metodología ............................................................................................. 14 3.1 Determinación de la ED para un circuito LCR .............................................. 14 3.2 Metodología para la solución de la ED resultante ........................................ 14 3.2.1 Solución de un ED mediante coeficientes constantes ..................... 15 3.2.2 Solución de un ED mediante la Transformada de Laplace .............. 15 Capítulo 4. Validación experimental ......................................................................... 16 4.1 Objetivos ....................................................................................................... 16 4.2 Desarrollo ..................................................................................................... 16 Conclusiones .............................................................................................................. 20 Bibliografía ................................................................................................................. 21 3 Introducción En la carrera de Ingeniería Mecatrónica se generan esfuerzos para mejorar las competencias de los estudiantes en el área académica, haciendo énfasis en el análisis de circuitos eléctricos. Uno de estos es el análisis de la respuesta natural de los circuitos RLC, el cual consiste en determinar el comportamiento de las corrientes y tensiones que surgen cuando la energía almacenada en una bobina o condensador se libera súbitamente hacia una red. En el presente proyecto se establece una metodología en la cual se pueda experimentar con la respuesta natural del circuito y así poder obtener valores reales de medición. 4 Capitulo1. Marco de Referencia 1.1 Antecedentes y estado del Arte 1.1.1 Charles Coulomb (Angulema, Francia, 1736 - París, 1806) Físico francés. Su celebridad se basa sobre todo en que enunció la ley física que lleva su nombre (ley de Coulomb), que establece que la fuerza existente entre dos cargas eléctricas es proporcional al producto de las cargas eléctricas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Las fuerzas de Coulomb son unas de las más importantes que intervienen en las reacciones atómicas. Figura 1.1 Charles Coulomb Influido por los trabajos del inglés Joseph Priestley sobre la repulsión entre cargas eléctricas del mismo signo, desarrolló un aparato de medición de las fuerzas eléctricas involucradas en la ley de Priestley, y publicó sus resultados entre 1785 y 1789. Estableció que las fuerzas generadas entre polos magnéticos iguales u opuestos son inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia entre ellos, lo cual sirvió de base para que, posteriormente, Simon-Denis Poisson elaborara la teoría matemática que explica las fuerzas de tipo magnético. También realizó investigaciones sobre las fuerzas de rozamiento, así como acerca de la elasticidad de los metales y las fibras de seda. La unidad de carga eléctrica del Sistema Internacional lleva el nombre de culombio (simbolizado C) en honor de este ilustre físico. 5 1.1.2 Georg Simon Ohm (Erlangen, actual Alemania, 1789 - Munich, 1854) Físico alemán. Georg Ohm descubrió la ley de la electricidad que lleva su nombre, según la cual la intensidad de una corriente a través de un conductor es directamente proporcional a la diferencia de potencial entre los extremos del conductor e inversamente proporcional a la resistencia que dicho conductor opone al paso de la corriente. Figura 1.2 Georg Simon Ohm Dedicado desde el principio a los estudios de galvanoelectricidad, en 1827 publicó aspectos más detallados de su ley en un artículo titulado Die galvanische Kette, mathematisch bearbeitet (El circuito galvánico investigado matemáticamente), Finalmente, en 1833 aceptó una plaza en la Escuela Politécnica de Nuremberg. Posteriormente su labor comenzó a ser justamente valorada. En 1844, Claude Pouillet resaltó la importancia de sus intuiciones y al año siguiente Ohm recibía la medalla Copley de la Royal Society de Londres. En 1849 se le confería la cátedra de Física de Munich, donde fue también asesor de la administración de telégrafos. En honor a su labor, la unidad de resistencia eléctrica del sistema internacional lleva su nombre (ohmio). 6 1.1.3 Alessandro Volta (Como, actual Italia, 1745 - id., 1827) Físico italiano que inventó la primera pila eléctrica generadora de corriente continua. Desde joven mostró una gran afición al estudio de los fenómenos naturales. Figura 1.3 Alessandro Volta A los dieciocho años mantenía ya correspondencia con los principales electrólogos europeos. De 1765 a 1769, con la ayuda de su amigo Guilio Cesare Gattoni, sacerdote, se dedicó particularmente al estudio de los fenómenos eléctricos, que interpretó de manera muy personal. Volta publicó su primer texto, De vi attractiva ignis electrici ac phaenomenis inde pendentibus, que cabe considerar el germen de toda la doctrina eléctrica de Alessandro Volta. En 1775, su interés por la electricidad le llevó a inventar un artefacto conocido como electróforo, empleado para generar electricidad estática. Un año antes había sido nombrado profesor de física del Colegio Real de Como. En 1778 identificó y aisló el gas metano, y al año siguiente pasó a ser catedrático de la Universidad de Pavía. En 1780, un amigo de Volta, Luigi Galvani, observó que el contacto de dos metales diferentes con el músculo de una rana originaba la aparición de corriente eléctrica. Volta llevó a cabo diversos experimentos acerca de los fenómenos comprobados por Galvani, y al considerar los efectos de una excitación provocada en los nervios por la electricidad 7 común. En 1794, Volta comenzó a experimentar con metales únicamente, y llegó a la conclusión de que el tejido animal no era necesario para producir corriente. Este hallazgo suscitó una fuerte controversia entre los partidarios de la electricidad animal y los defensores de la electricidad metálica. Hacia 1796-97, con el empleo de sus electroscopios y de su condensador, Alessandro Volta comprobó experimentalmente la existencia de un desequilibrio eléctrico, que llamó "tensión", entre dos metales distintos cualesquiera. Este descubrimiento fundamental le indujo a tratar de conseguir la multiplicación de tales desequilibrios mediante oportunas cadenas de conductores en contacto. En el curso de las investigaciones que llevó a cabo por espacio de tres años pudo comprobar una serie de propiedades que le permitieron la construcción de la primera pila eléctrica. La demostración, realizada en 1800, del funcionamiento de la primera pila eléctrica puso fin a las anteriores controversias y certificó la victoria del bando favorable a las tesis de Volta; un verdadero triunfo, que, sin embargo, no alteró la bondadosa serenidad del ilustre científico. Un año más tarde, Alessandro Volta efectuó ante Napoleón una nueva demostración de su generador de corriente. Impresionado, el emperador francés nombró a Volta conde y senador del reino de Lombardía. El emperador de Austria, por su parte, lo designó director de la facultad de filosofía de la Universidad de Padua en 1815. Descubierta la pila, toda la actividad de Volta se orientó hacia el estudio de sus propiedades estrictamente eléctricas, como la intensidad y la conductividad, campo en el que realizó ya algunos importantes avances y anticipó otros. Hombre excepcional por cultura, amplitud de juicio, vigor de ingenio, fuerza dialéctica, habilidad experimental, rectitud moral y fe religiosa, el sabio falleció admirado y llorado por todo el mundo de la ciencia, y legó a la posteridad el claro ejemplo de su vida y el gran beneficio de su obra. La unidad de fuerza electromotriz del Sistema Internacional lleva el nombre de voltio en su honor desde el año 1881. 8 1.1.4 Michael Faraday (Angulema, (Newington, Gran Bretaña, 1791 - Londres, 1867) Científico británico, uno de los físicos más destacados del siglo XIX. Michael Faraday nació en el seno de una familia humilde y recibió una educación básica. A temprana edad tuvo que empezar a trabajar, primero como repartidor de periódicos, y a los catorce años en una librería, donde tuvo la oportunidad de leer algunos artículos científicos que lo impulsaron a realizar sus primeros experimentos. Figura 1.4 Michael Faraday Tras asistir a algunas conferencias sobre química impartidas por sir Humphry Davy en la Royal Institution, Faraday le pidió que lo aceptara como asistente en su laboratorio. Pronto se destacó en el campo de la química, con descubrimientos como el benceno y las primeras reacciones de sustitución orgánica conocidas, en las que obtuvo compuestos clorados de cadena carbonada a partir de etileno. En esa época, el científico danés Hans Christian Oersted descubrió los campos magnéticos generados por corrientes eléctricas. Basándose en estos experimentos, Faraday logró desarrollar el primer motor eléctrico conocido. En 1831 colaboró con Charles Wheatstone e investigó sobre fenómenos de inducción electromagnética. Observó que un imán en movimiento a través de una bobina induce en ella una corriente eléctrica, lo cual le permitió describir matemáticamente la ley que rige la producción de electricidad por un imán. Los descubrimientos de Faraday fueron determinantes en el avance que pronto iban a experimentar los estudios sobre el electromagnetismo. 9 1.1.5 Gustav Kirchhoff (Königsberg, Prusia, 1824 - Berlín, 1887) Físico alemán. En 1845 enunció las denominadas leyes de Kirchhoff, aplicables al cálculo de tensiones, intensidades y resistencias en el sí de una malla eléctrica; entendidas como una extensión de la ley de la conservación de la energía, se basaban en la teoría del físico Georg Simon Ohm, según la cual la tensión que origina el paso de una corriente eléctrica es proporcional a la intensidad de la corriente. Figura 1.5 Gustav Kirchhoff En 1847 ejerció como Privatdozent (profesor no asalariado) en la Universidad de Berlín, y al cabo de tres años aceptó el puesto de profesor de física en la Universidad de Breslau. En 1854 fue nombrado profesor en la Universidad de Heidelberg, donde entabló amistad con Robert Bunsen. Merced a la colaboración entre los dos científicos se desarrollaron las primeras técnicas de análisis espectrográfico, que condujeron al descubrimiento de dos nuevos elementos en 1860 y 1861, el cesio y el rubidio (número atómico 55 y 37 en la tabla periódica de los elementos). En 1875 fue nombrado catedrático de física matemática en la Universidad de Berlín. Publicó diversas obras de contenido científico, entre las que cabe destacar Vorlesungen über mathematische Physik (1876-1894) y Gessamelte Abhandlungen (1882, ampliada con un suplemento en 1891). 10 1.2 Objetivos. 1.2.1 Objetivo General. Diseñar e implementar un módulo de Pruebas para Circuitos Eléctricos en Corriente Continua para el análisis de la respuesta natural en un circuito RLC. 1.2.2 Objetivos Específicos. Construir un circuito eléctrico RLC que facilite el análisis de la respuesta natural en corriente continua Analizar el comportamiento de los voltajes y corrientes con fuentes de excitación y aplicando cambios de frecuencia. Realizar pruebas experimentales para el estudio y la aplicación de estos circuitos. 1.3 Planteamiento del Problema. Este proyecto toma como enfoque principal el dar a conocer la relación que presentan las ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones en la rama de la electrónica, así como poner en practica los conocimientos previamente obtenidos en la asignatura análisis de circuitos y coadyubarse mutuamente para facilitar la comprensión y obtener un mejor aprendizaje tanto de manera teórica así como práctica. 1.4 Importancia y Alcances. En el presente proyecto se diseñará e implementará un módulo de pruebas que permita analizar el comportamiento de los voltajes y corrientes que surgen del análisis de la respuesta natural del circuito RLC, el cual será implementado de forma experimental, recopilando datos reales y teóricos. Como consecuencia, se espera que los estudiantes de la carrera de ingeniería mecatrónica tengan la capacidad de comprender el análisis de un circuito RLC y además comprender el uso que presentan las ecuaciones diferenciales en la predicción de su comportamiento. 11 Capitulo 2. Marco Teórico Se sabe que existen varias herramientas que mejoran el proceso de aprendizaje-enseñanza en ingeniería sobre el análisis de Circuitos Eléctricos, por lo cual, se considera indispensable conocer sobre el tema de los elementos que componen los circuitos RLC 2.1 Conceptos 2.1.1 Resistencia. Se define como resistencia eléctrica a la mayor o menor oposición que provocan los materiales conductores al paso de la corriente eléctrica. La resistencia eléctrica (Símbolo R) tiene por unidad el Ohm (símbolo Ω). Describe que la resistencia eléctrica nos ayuda a distinguir y a conocer el tipo de elemento que estamos usando, de esta manera podemos saber si un conductor es bueno o malo por su nivel de resistencia, un buen conductor posee una baja resistencia y un mal conductor presenta una alta resistencia. 2.1.2 Capacitor. Elemento usado normalmente para almacenar energía en pequeñas proporciones. La configuración más básica del condensador es el que está formado por tres componentes, dos de tipo conductor y un aislante. Estos materiales tipo conductores tiene el nombre de placas y el material que funciona como aislante tiene el nombre de dieléctrico. 2.1.3 Inductor. Los inductores, poseen núcleos de aire, hierro o ferrita. La inductancia es medida en Henrios (H). Cuando se emplea un inductor con el fin de bloquear el flujo de interferencias con frecuencia alta, se los denomina estranguladores. Según una bobina está constituida principalmente por un alambre enrollado sobre un núcleo, este alambre enrolla el núcleo ”N” veces, la corriente que pasa por este alambre crea un campo magnético y este campo es proporcional al número de vueltas que se da alrededor del núcleo y a la corriente que circula por este alambre. 12 2.2 Caídas de voltaje en un circuito LRC en serie Inductor. Para un inductor la Ley de Faraday relaciona la diferencia de potencial VL y la inductancia presentada en este en términos de variación de corriente, la cual se expresa como 𝒅𝒊 𝑽𝑳 = 𝑳 𝒅𝒕 (2.1) Resistor. Para la resistencia la Ley de Ohm establece que la caída de potencial es proporcional al producto de la resistencia por la intensidad de corriente que pasa a través de ella, de manera que 𝑽𝑹 = 𝒊𝑹 (2.2) Condensador. En el caso de un condensador (almacén de carga eléctrica), se crea una diferencia de potencial en cada uno de sus extremos definido así la diferencia de potencial VC en términos de una carga q, como 𝒒 𝑽𝑪 = 𝑪 (2.3) Segunda ley de Kirchhoff. Estableciendo las caídas de voltaje de los tres componentes en base a términos de carga, se puede establecer una ecuación diferencial de segundo orden 𝑽𝑳 + 𝑽𝑹 + 𝑽𝑪 = 𝑬(𝒕) (2.4) La corriente i(t) esta estrechamente relacionada con la carga q(t) siendo la intensidad de corriente i la derivada de una carga q respecto a un tiempo t, expresado como 𝒊 = 𝒅𝒒/𝒅𝒕, entonces la derivada de la i se puede expresar también como la segunda derivada de q, 𝒊′ = 𝒅²𝒒/𝒅𝒕². Sustituyendo 𝒅²𝒒 𝒅𝒒 𝒒 𝑳 𝒅𝒕² + 𝑹 𝒅𝒕 + 𝑪 = 𝑬(𝒕) (2.5) Por lo tanto, la respuesta del sistema se conocerá como i(t) 13 Una vez establecida la corriente i como respuesta del sistema y la segunda ley de Kirchhoff expresada como una ecuación diferencial de segundo orden se puede desarrollar la siguiente conjetura: Si el voltaje suministrado E es igual a cero, es decir, cuando el sistema esta apagado, tendremos una ED Lineal Homogénea, de la forma 𝒅²𝒒 𝒅𝒒 𝟏 𝑳 𝒅𝒕² + 𝑹 𝒅𝒕 + 𝑪 𝒒 = 𝑬(𝒕) = 𝟎 (2.6) Sabiendo esto ahora puede desarrollarse una ecuación auxiliar Lm² + Rm + 1/2C=0 Al ser E(t)=0 se dice que las vibraciones eléctricas del circuito son libres. 2.3 Teorías 2.3.1 Solución de una ED con parámetros establecidos Si ahora deseamos determinar la corriente con condiciones iniciales se puede hacer mediante algún método de resolución para una ED No Homogénea. El primer paso será resolver la ED Homogénea asociada, de la cual se obtendrá una ecuación auxiliar Lm² + Rm + 1/2C=0, resolviendo esta nos encontraremos con tres casos dependiendo del valor del discriminante R²-4L/C, los cuales pueden ser Sobreamortiguamiento R²-4L/C>0 Raíces reales distintas Amortiguado critico R²-4L/C=0 Raíces reales iguales Subamortiguado R²-4L/C<0 Raíces complejas conjugadas 14 2.3.2 Sobreamortiguamiento Sistema en el cual el oscilador no pasa nunca por la posición de equilibrio, o lo hace solo una vez, siempre permaneciendo en el caso trivial 𝑞0 ′ = 𝑞0 = 0. Esto sucede debido a la gran fricción que experimenta el sistema, la cual no deja oscilar alrededor de un estado de equilibrio. Su solución general es de la forma 𝒒(𝒕) = 𝑪𝟏 𝒆−𝑹𝒕/𝟐𝑳 + 𝑪𝟐 𝒆−𝑹𝒕/𝟐𝑳 (2.7) Figura 2.1 Raíces reales distintas 2.3.3 Amortiguamiento crítico En este caso el sistema nunca pasa por un estado de equilibrio a no ser que, y de ser así este no saldría de ella pues las amortiguaciones son tan grandes que impiden las oscilaciones, este caso es muy difícil de conseguir debido a que un sistema practico está constantemente cambiando. La solución general de este caso es de la forma 𝒒(𝒕) = 𝒆−𝑹𝒕/𝟐𝑳 (𝑪𝟏 + 𝑪𝟐 𝒕) (2.8) 15 Figura 2.2 Raíces reales iguales 2.3.4 Subamortiguamiento Al tratarse de un discriminante negativo las raíces características son raíces conjugadas por lo cual la solución general será 𝒒(𝒕) = 𝒆𝜶𝒕 (𝑪𝟏 𝒄𝒐𝒔(𝜷𝒕) + 𝑪𝟐 𝒔𝒆𝒏(𝜷𝒕)) (2.9) Figura 2.3 Raíces Complejas Conjugadas 16 Capítulo 3. Metodología Para llevar a cabo el módulo de practica asignemos valores para demostrar los cálculos previamente establecidos. 3.1 Determinación de la ED para un circuito LCR Si consideramos un circuito LCR simple (conectado en serie) formado por una sola malla la cual contiene al Inductor L, al resistor R y al capacitor C. Figura 3.1 Figura 3.1 Circuito LRC en serie. Tomada de Ecuaciones diferenciales (pág.25), por Dennis Z. Gill, McGraw Hill. 𝑽𝑳 + 𝑽𝑹 + 𝑽𝑪 = 𝑬(𝒕) (3.1) Es posible determinar la corriente del circuito al aplicar la segunda ley de Kirchhoff, la cual establece que el voltaje E(t) generado en una malla es igual a la sumatoria de las caídas del voltaje de los componentes en dicha malla; en este caso se podría establecer la siguiente ecuación: 𝒅²𝒒 𝒅𝒒 𝟏 𝑳 𝒅𝒕² + 𝑹 𝒅𝒕 + 𝑪 𝒒 = 𝑬(𝒕) = 𝟎 (3.2) 3.2 Metodología para la solución de la ED resultante Una vez que ya sabemos establecer la ecuación diferencial para un circuito LCR se buscará la solución a ésta, dicha solución puede ser calculada a través de diversos métodos que permitan resolver ecuaciones diferenciales lineales. 17 3.2.1 Solución de un ED mediante coeficientes constates Se cuenta con un circuito LRC en el cual se desea conocer la carga y la corriente en función de un tiempo t cuando el voltaje suministrado E(t)= 30sen(2t). Dicho circuito tiene una inductancia L=0.25H, una resistencia R=10Ω y una capacitancia C=0.001F. Considere que el sistema se enciende cuando t=0s y la carga inicial 𝑞0 = 0C 𝟏 𝟒 𝒒′′ + 𝟏𝟎𝒒′ + 𝟏𝟎𝟎𝟎𝒒 = 𝟑𝟎𝒔𝒆𝒏(𝟐𝒕) (3.3) Para comenzar con la resolución de este problema primero debe resolverse la ED homogénea asociada la cual sería: 𝟏 𝟒 𝒒′′ + 𝟏𝟎𝒒′ + 𝟏𝟎𝟎𝟎𝒒 = 𝟎 Determinado su ecuación auxiliar, obtenemos 𝟏 𝟒 (3.4) 𝒎𝟐 + 𝟏𝟎𝒎 + 𝟏𝟎𝟎𝟎 = 𝟎 Considerando las condiciones iniciales al desarrollarla se encontrará una solución yc =q(t) =𝒆−𝟐𝟎𝒕 (𝑪𝟏 𝐜𝐨𝐬(𝟔𝟎𝒕) + 𝑪𝟐 𝐬𝐞𝐧(𝟔𝟎𝒕)) (3.2) 3.2.2 Solución de un ED mediante la Transformada de Laplace La ecuación diferencial obtenida está en función del tiempo, por ello es necesario llevarla hacia un dominio s, al tener parámetros establecidos resulta más sencillo efectuar esta transformación mediante la Transformada de Laplace, la cual nos permite trabajar con ecuaciones algebraicas de primer grado, facilitando el trabajo. Posteriormente también se aplicará la Transformada Inversa de Laplace para obtener la respuesta en función al tiempo. 18 Capítulo 4. Validación experimental 4.1 Objetivos Objetivo General. Analizar la respuesta natural de un circuito RLC en serie. Objetivos específicos. Determinar la constante de tiempo y frecuencia natural del sistema. Medir el voltaje en la salida y la constante de tiempo del circuito en diferentes valores de frecuencia-tiempo. Representar mediante graficas los resultados. 4.2 Desarrollo Plantear un circuito RLC con valores de R = 300 (Ω), L = 1.16 (H) y C = 2 (μF), el cual será energizado con un generador de señales (5Vp-señal cuadrada). Figura 4.1 Diagrama esquemático de un circuito RCL serie Calcular la frecuencia natural del sistema (𝜔𝑜) y el coeficiente de amortiguamiento (ξ) del circuito 𝜔𝑜 = 1 √𝐿𝐶 = 1 √(1,16)(2𝑥10 − 6) 𝜉= = 656,5 [𝑅𝑎𝑑/𝑠] 𝑅 300 = = 129.3 2𝐿 2(1.16) 19 Utilizar el simulador Multisim para graficar el voltaje de salida (Vs) del capacitor con una frecuencia de 10 Hz (usando la función TRANSIENT ANALYSIS) Figura 4.2 Grafica del voltaje en el capacitor de un circuito RCL Tabla 4.1 Valores simulados de voltaje en el capacitor de un circuito RCL Tiempo (s) Voltaje (V) 90 1.97 180 5.55 300 7.65 600 3.6 900 5.7 1200 4.61 20 Posteriormente se realiza la medición del voltaje máximo de salida y Tiempo de ascenso con los diferentes valores de frecuencia que se muestran en la tabla 4. Figura 4.3 Voltaje máximo y tiempo de ascenso de un circuito RCL Tabla 4.2 Valores simulados de voltaje máximo y tiempo de ascenso en un circuito RCL Frecuencia (Hz) Voltaje (V) Tiempo de ascenso (s) 10 10.3 172.8 20 10.5 172.8 50 9.19 172.2 100 16.2 172.8 200 2.26 85.2 400 0.450 41.7 21 Resultados. La constante de tiempo nos indica el tiempo en que se carga completamente el capacitor. Después de 5 veces la constante de tiempo el voltaje en el inductor alcanza el 99% del voltaje máximo. El coeficiente de amortiguamiento nos indica cuán rápido decae la respuesta natural a su estado final. Figura 4.4 Grafica de comparación de los resultados obtenidos del voltaje de salida en un circuito RCL Tabla 4.3 Porcentajes de error en el circuito RCL analizado Datos Teóricos Datos Prácticos Error Porcentual 1.97 1.82 7.61% 5.55 5.1 8.11% 7.65 7.2 5.88% 3.6 3.15 12.50% 22 Conclusiones El principal objetivo del proyecto se cumplió llevando a cabo el análisis de la relación establecida entre las ecuaciones diferenciales y el uso practico que estas poseen para predecir el comportamiento de los sistemas seleccionados a análisis, tal como en este caso lo fue el circuito RLC en serie. El desarrollo de las ecuaciones diferenciales durante la validación experimental permitió obtener datos teóricos los cuales generaron un porcentaje de error entre los datos éstos y los datos prácticos. Algunos de estos errores fueron muy elevados, debido a que los elementos empleados en las pruebas; como el inductor, no tienen el mismo valor nominal utilizado en el simulador. Fue posible observar que el aumento o disminución de la señal de frecuencia, provoca una variación en los valores de la constante de tiempo y del voltaje máximo, dependiendo de la configuración del circuito RLC. Debido a que la impedancia del capacitor o inductor está en función de la frecuencia. También fue posible concluir la constante de tiempo, ésta indica el tiempo en que se carga completamente un capacitor. Después de 5 veces la constante de tiempo el voltaje en el condensador o inductor alcanza el 99% del voltaje máximo o mínimo, respectivamente. 23 Bibliografía Zill, G. Dennis (2008), Matemáticas Avanzadas Para Ingeniería, Vol.1, Ecuaciones Diferenciales, Loyola Marymount University. EDO 2do Orden pág.25 Ejemplo pág.80 Redes pág.97 Fernández, Tomás y Tamaro, Elena. En Biografías y Vidas. La enciclopedia biográfica en línea [Internet]. Barcelona, España, 2004. Disponible en https://www.biografiasyvidas.com/biografia/v/volta.htm «Biografia de Charles Coulomb» «Biografia de Georg Simon Ohm» «Biografia de Alessandro Volta» «Biografia de Michael Faraday» «Biografia de Gustav Kirchhoff». 24
