L𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑙é𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑏𝑒𝑟𝑖𝑙𝑖𝑜 𝑎 400°𝐶 𝑒𝑠: 𝑝 = 𝑝𝑟𝑡 [1 + 𝛼(∆𝑇)] 𝑝 = 4.0 𝑥 10−6 Ω. 𝑐𝑚 [1 + 0.0250 Ω. 𝑐𝑚 (400°𝐶 − 25°𝐶)] 𝐶° 𝑝 = 4.15 𝑥 10−5 Ω. 𝑐𝑚 𝐴ℎ𝑜𝑟𝑎, 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑏𝑒𝑟𝑖𝑙𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑏𝑖𝑑𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑚𝑝𝑢𝑟𝑒𝑧𝑎 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑎 r𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 5% 𝑑𝑒 𝑏𝑒𝑟𝑖𝑙𝑖𝑜 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑑𝑜 𝑎 400 °C 𝑦 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑏𝑒𝑟𝑖𝑙𝑖𝑜 𝑝𝑢𝑟𝑜 𝑎 400 °C. 𝐿𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑏𝑒𝑟𝑖𝑙𝑖𝑜 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑑𝑜 𝑎𝑙 5% 𝑎 400 °C 𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑏𝑒𝑟𝑖𝑙𝑖𝑜 𝑝𝑢𝑟𝑜 𝑎 400 °C 𝑦 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑏𝑒𝑟𝑖𝑙𝑖𝑜 𝑖𝑚𝑝𝑢𝑟𝑜 𝑝 = 𝑝𝑑 + 𝑝𝑇 𝑝𝑑 = 𝑝 − 𝑝𝑇 𝑝𝑑 = 5 𝑥 10−5 Ω. 𝑐𝑚 − 4.15 𝑥 10−5 Ω. 𝑐𝑚 𝑝𝑑 = 8.5 𝑥 10−6 Ω. 𝑐𝑚 𝑝𝑑 = 𝑏(1 − 𝑥)𝑥 8.5 𝑥 10−6 Ω. 𝑐𝑚 = 𝑏(1 − 0.05)0.05 8.5 𝑥 10−6 Ω. 𝑐𝑚 = 0.0475𝑏 𝑏 = 1.7895 𝑥 10−4 Ω. 𝑐𝑚 𝐿𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑒𝑙é𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑏𝑒𝑟𝑖𝑙𝑖𝑜 𝑎 200°𝐶 𝑒s: 𝑝 = 𝑝𝑟𝑡 [1 + 𝛼(∆𝑇)] 𝑝 = 4.0 𝑥 10−6 Ω. 𝑐𝑚 [1 + 0.0250 Ω. 𝑐𝑚 (200°𝐶 − 25°𝐶)] 𝐶° 𝑝 = 2.15 𝑥 10−5 Ω. 𝑐𝑚 𝑝𝑑 = 𝑏(1 − 𝑥)𝑥 𝑝𝑑 = 2.15 𝑥 10−5 Ω. 𝑐𝑚(1 − 0.1)0.1 𝑝𝑑 = 1.935 𝑥 10−6 Ω. 𝑐𝑚 𝑝 = 𝑝𝑑 + 𝑝𝑇 𝑝 = 2.15 𝑥 10−5 Ω. 𝑐𝑚 + 1.935 𝑥 10−6 Ω. 𝑐𝑚 𝑝 = 4.085 𝑥 10−5 Ω. 𝑐𝑚 Denominamos la conductividad eléctrica a 0°C como a Entonces su resistividad es 1/a reemplazamos en la ecuación: 𝑝 = 𝑝𝑟𝑡 [1 + 𝛼(∆𝑇)] 1 Ω. 𝑐𝑚 = 6.24 𝑥 10−6 Ω. 𝑐𝑚 [1 + 0.006 (0°𝐶 − 25°𝐶)] … 𝑒𝑐 1 𝑎 𝐶° Si quedemos duplica la conductividad eléctrica entonces será 2a Entonces su resistividad es 1/(2a) reemplazamos en la ecuación: 𝑝 = 𝑝𝑟𝑡 [1 + 𝛼(∆𝑇)] 1 Ω. 𝑐𝑚 = 6.24 𝑥 10−6 Ω. 𝑐𝑚 [1 + 0.006 (𝑇 − 25°𝐶)] … 𝑒𝑐2 2𝑎 𝐶° Dividimos ec1 y ec2 Ω. 𝑐𝑚 1 6.24 𝑥 10−6 Ω. 𝑐𝑚 [1 + 0.006 (0°𝐶 − 25°𝐶)] 𝐶° 𝑎 = 1 Ω. 𝑐𝑚 6.24 𝑥 10−6 Ω. 𝑐𝑚 [1 + 0.006 (𝑇 − 25°𝐶)] 2𝑎 𝐶° Ω. 𝑐𝑚 (0°𝐶 − 25°𝐶)] 𝐶° 2= Ω. 𝑐𝑚 [1 + 0.006 (𝑇 − 25°𝐶)] 𝐶° [1 + 0.006 2= 0.85 Ω. 𝑐𝑚 Ω. 𝑐𝑚 [0.006 𝑇 + 0.85 Ω. 𝑐𝑚 ] 𝐶° 2= 0.85 1 [0.006 𝑇 + 0.85 ] 𝐶° 1 𝑇 + 1.7 = 0.85 𝐶° 1 0.012 𝑇 = −0.85 𝐶° 0.012 𝑇 = −70.83 °𝐶 𝑒𝑛 °𝐾 𝑇 = 202.17 °𝐾 Determinamos datos: 𝐽 = 5000 𝐴 𝑐𝑚2 𝑞 = 1.6 𝑥 10−19 𝐶 𝑒− 𝑎 = 3.2087 𝐴 = 3.2087 𝑥 10−8 𝑐𝑚 𝑐 = 5.209 𝐴 = 5.209 𝑥 10−8 𝑐𝑚 Sabemos que: +2 𝑍𝑀𝑔 =2 𝑒° 𝑣𝑎𝑙 Pero solamente la mitad de la valencia actúan como portadores de energía por lo que cada átomo de magnesio contribuye con un solo electrón portador de carga Mg +2 Sabemos que el volumen en una estructura HCP es: 𝑉= √3 2 𝑎 𝑐 2 𝑉= √3 (3.2087 𝑥 10−8 𝑐𝑚)2 (5.209 𝑥 10−8 𝑐𝑚) 2 𝑉= √3 (3.2087 𝑥 10−8 𝑐𝑚)2 (5.209 𝑥 10−8 𝑐𝑚) 2 𝑉 = 4.6445 𝑥 10−23 𝑐𝑚3 Determinamos nt 𝑧 𝑥 𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 2𝑥2𝑒− 𝑛𝑡 = 4.6445 𝑥 10−23 𝑐𝑚3 𝑒− 22 𝑛𝑡 = 8.6123 𝑥 10 𝑐𝑚3 𝑛𝑡 = Pero solo la mitad de los electrones de valencia actúa como portadores de carga, por lo tanto: 8.6123 𝑥 1022 𝑛𝑡 = 𝑒− 𝑐𝑚3 2 𝑛𝑡 = 4.3063 𝑥 10 22 𝑒− 𝑐𝑚3 Por último, sabemos que: 𝐽 = 𝑛. 𝑞. 𝑣̅ 𝑣̅ = 𝐽 𝑛𝑞 reemplazamos 5000 𝑣̅ = 𝐴 𝑐𝑚2 4.3063 𝑥 1022 𝑥1.6 𝑥 10−19 𝑣̅ = 0.725680970 𝑐𝑚 𝑠 𝐶 𝑒− Para el silicio a) Sabemos que: 𝜎 = 𝑛𝑞(𝜇𝑒 + 𝜇𝑛 ) 𝜎 𝑛= 𝑞(𝜇𝑒 + 𝜇𝑛 ) Donde q es la carga de electrón 𝑞 = 1.6 𝑥 10−19 𝐶 𝑒− Reemplazamos 5 𝑥 10−6 Ω−1 𝑐𝑚−1 𝑛= 𝐶 𝑐𝑚2 𝑐𝑚2 1.6 𝑥 10−19 + 500 (1900 𝑒− 𝑉. 𝑠 𝑉. 𝑠 ) 𝑛 = 1.3021 𝑥 10 10 𝑒− 𝑐𝑚3 b) La fracción total de electrones en la banda de valencia que se excitan por la banda de conducción: 𝑁º 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑎𝑑𝑎 á𝑡𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑒𝑙𝑑𝑎 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑒𝑙𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 2( 𝑥 4 𝑎𝑡𝑜𝑚𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑒𝑙𝑑𝑎 𝑎𝑡𝑜𝑚𝑜 ) (5.4307 𝑥 10−8 𝑐𝑚)3 4.9948 𝑥 1022 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑚3 La fracción de electrones excitados respecto a todos los disponibles en la banda de valencia es simplemente es: 𝑒− 1.3021 𝑥 10 𝑐𝑚3 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 4.9948 𝑥 1022 𝑐𝑚3 𝑒− −13 2.6069 𝑥 10 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 10 c) la constante no sabemos que: 𝐸𝑔 ) 2𝑘(𝑇) Donde T es temperatura en °K y k es la conductividad eléctrica K: 8.62 x 10-5 eV/°K 𝑛0 : 𝑛. 𝑒𝑥𝑝(− Reemplazamos: 𝑒− 1.107 𝑛0 : 1.3021 𝑥 10 . 𝑒𝑥𝑝(− ) eV 𝑐𝑚3 −5 2𝑥28.62 x 10 (25 + 273°𝐾) °K 𝑒− 10 𝑛0 : 1.3021 𝑥 10 . 𝑥 1.5188 𝑥 10−3 3 𝑐𝑚 𝑒− 7 𝑛0 : 1.9776𝑥 10 𝑐𝑚3 10 Para el Germanio a) Sabemos que: 𝜎 = 𝑛𝑞(𝜇𝑒 + 𝜇𝑛 ) 𝜎 𝑛= 𝑞(𝜇𝑒 + 𝜇𝑛 ) Donde q es la carga de electrón 𝑞 = 1.6 𝑥 10−19 Reemplazamos 𝐶 𝑒− 𝑛= 1.6 𝑥 10−19 0.02 Ω−1 𝑐𝑚−1 𝐶 𝑐𝑚2 𝑐𝑚2 + 1820 (3800 𝑒− 𝑉. 𝑠 𝑉. 𝑠 ) 𝑛 = 2.2242 𝑥 10 13 𝑒− 𝑐𝑚3 b) La fracción total de electrones en la banda de valencia que se excitan por la banda de conducción: 𝑁º 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑎𝑑𝑎 á𝑡𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑒𝑙𝑑𝑎 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑒𝑙𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 4( 𝑥 4 𝑎𝑡𝑜𝑚𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑒𝑙𝑑𝑎 𝑎𝑡𝑜𝑚𝑜 ) (6.4912 𝑥 10−8 𝑐𝑚)3 5.8498 𝑥 1022 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑚3 La fracción de electrones excitados respecto a todos los disponibles en la banda de valencia es simplemente es: 𝑒− 2.2242 𝑥 10 𝑐𝑚3 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 5.8498 𝑥 1022 𝑐𝑚3 𝑒− −11 3.8022 𝑥 10 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 13 c) la constante no sabemos que: 𝐸𝑔 ) 2𝑘(𝑇) Donde T es temperatura en °K y k es la conductividad eléctrica K: 8.62 x 10-5 eV/°K 𝑛0 : 𝑛. 𝑒𝑥𝑝(− Reemplazamos: 𝑒− 0.67 𝑛0 : 2.2242 𝑥 10 . 𝑒𝑥𝑝(− ) eV 𝑐𝑚3 −5 2𝑥28.62 x 10 (25 + 273°𝐾) °K − 𝑒 𝑛0 : 2.2242 𝑥 10 13 . 𝑥 1.9685𝑥 10−2 3 𝑐𝑚 𝑒− 11 𝑛0 : 4.3783 𝑥 10 𝑐𝑚3 13 Para el Estaño a) Sabemos que: 𝜎 = 𝑛𝑞(𝜇𝑒 + 𝜇𝑛 ) 𝜎 𝑛= 𝑞(𝜇𝑒 + 𝜇𝑛 ) Donde q es la carga de electrón 𝑞 = 1.6 𝑥 10−19 𝐶 𝑒− Reemplazamos 0.9 𝑥 105 Ω−1 𝑐𝑚−1 𝑛= 𝐶 𝑐𝑚2 𝑐𝑚2 −19 1.6 𝑥 10 + 2400 𝑒 − (2500 𝑉. 𝑠 𝑉. 𝑠 ) 𝑛 = 1.1480𝑥 10 20 𝑒− 𝑐𝑚3 b) La fracción total de electrones en la banda de valencia que se excitan por la banda de conducción: 𝑁º 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑎𝑑𝑎 á𝑡𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑒𝑙𝑑𝑎 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑒𝑙𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 4( 𝑥 4 𝑎𝑡𝑜𝑚𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑒𝑙𝑑𝑎 𝑎𝑡𝑜𝑚𝑜 ) (5.6575 𝑥 10−8 𝑐𝑚)3 8.8358 𝑥 1022 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑚3 La fracción de electrones excitados respecto a todos los disponibles en la banda de valencia es simplemente es: 𝑒− 1.1480𝑥 10 𝑐𝑚3 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 8.8358 𝑥 1022 𝑐𝑚3 𝑒− −3 1.2995 𝑥 10 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑟𝑒𝑠 20 c) la constante no sabemos que: 𝐸𝑔 ) 2𝑘(𝑇) Donde T es temperatura en °K y k es la conductividad eléctrica K: 8.62 x 10-5 eV/°K 𝑛0 : 𝑛. 𝑒𝑥𝑝(− Reemplazamos: 𝑒− 0.08 𝑛0 : 1.1480𝑥 10 . 𝑒𝑥𝑝(− ) eV 𝑐𝑚3 −5 2𝑥28.62 x 10 (25 + 273°𝐾) °K 𝑒− 20 𝑛0 : 1.1480𝑥 10 𝑥 0.6256 𝑐𝑚3 − 𝑒 𝑛0 : 7.1819𝑥 10 19 𝑐𝑚3 20 Sabemos que la conductividad se expresa por: 𝐸𝑔 𝜎 = 𝑛0 𝑞(𝜇𝑒 + 𝜇𝑛 )𝑒𝑥𝑝(− ) 2𝑘(𝑇) Reemplazamos en cada caso a) silicio 10 𝑥 10−6 Ω−1𝑐𝑚−1 = 1.9776𝑥 10 7 𝑒− 𝐶 𝑐𝑚2 𝑐𝑚2 1.107 1.6 𝑥 10−19 (1900 + 500 ) 𝑒𝑥𝑝(− ) eV 𝑐𝑚3 𝑒− 𝑉. 𝑠 𝑉. 𝑠 2𝑥28.62 x 10−5 (𝑇) °K 1.107 10 𝑥 10−6 Ω−1 𝑐𝑚−1 = 7.5940𝑥 10 −9 Ω−1 𝑐𝑚−1 𝑒𝑥𝑝(− 2𝑥28.62 x 10−5 1.3168 𝑥 10−3 = 𝑒𝑥𝑝(− 1.107 2𝑥28.62 x 10−5 eV (𝑇) °K ) eV (𝑇) °K ) Aplicamos logaritmo natural 1.107 −6.6326 = − eV 2𝑥28.62 x 10−5 (𝑇) °K 1.107 𝑇= eV 2𝑥28.62 x 10−5 (6.6326) °K 𝑇 = 291.5843 °𝐾 b) Germanio 𝑒− 𝐶 𝑐𝑚2 𝑐𝑚2 0.67 1.6 𝑥 10−19 (3800 + 1820 ) 𝑒𝑥𝑝(− ) eV 𝑐𝑚3 𝑒− 𝑉. 𝑠 𝑉. 𝑠 2𝑥28.62 x 10−5 (𝑇) °K 0.67 0.04 𝛺−1𝑐𝑚−1 = 3.93696 𝑥 10−4 𝛺−1𝑐𝑚−1𝑒𝑥𝑝(− ) eV 2𝑥28.62 x 10−5 (𝑇) °K 0.04 𝛺−1 𝑐𝑚−1 = 4.3783 𝑥 10 11 0.67 1.01660 𝑥 102 = 𝑒𝑥𝑝(− 2𝑥28.62 x 10−5 eV (𝑇) °K ) Aplicamos logaritmo natural 1.107 1.01660 𝑥 102 = − 2𝑥28.62 x 10−5 eV (𝑇) °K En este caso la temperatura en °K sale negativa por lo que no existe una temperatura donde de duplique la conductividad eléctrica a temperatura ambiente. c) Estaño 𝑒− 𝐶 𝑐𝑚2 𝑐𝑚2 0.08 𝑥 1.6 𝑥 10−19 (2500 + 2400 ) 𝑒𝑥𝑝(− ) 3 eV 𝑐𝑚 𝑒− 𝑉. 𝑠 𝑉. 𝑠 2𝑥28.62 x 10−5 (𝑇) °K 0.08 1.8 𝑥 10−5 𝛺−1𝑐𝑚−1 = 5,6306 104 𝛺−1𝑐𝑚−1𝑒𝑥𝑝(− ) eV 2𝑥28.62 x 10−5 (𝑇) °K 0.08 −10 1.8 𝑥 10−5𝛺−1𝑐𝑚−1 = 7.1819𝑥 10 19 3.1968 𝑥 10 = 𝑒𝑥𝑝(− 2𝑥28.62 x 10−5 eV (𝑇) °K Aplicamos logaritmo natural 0.08 −21.8637 = − 2𝑥28.62 x 10−5 𝑇= 0.08 2𝑥28.62 x 10−5 𝑇= eV (𝑇) °K eV (21.8637) °K 0.08 2𝑥28.62 x 10−5 eV (21.8637) °K 𝑇 = 6.3924 °𝐾 )
