Antonio Lascurain Orive
CURSO BÁSICO DE
VARIABLE COMPLEJA
FACULTAD DE CIENCIAS, UNAM
2011
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Lascurain Orive, Antonio.
Curso básico de variable compleja 1 Antonio Lascurain Orive. -2a ed. -- México : UNAM, Facultad de Ciencias, 2011.
v, 218 p.: il.; 22 cm.-- (Las prensas de ciencias) (remas de
matemáticas).
ISBN 978-607-02-2182-8
Bibliografia:p.203-204
Incluye índice
l. Funciones de variables complejas. 2. Variables (Matemáticas).
l. Universidad Nacional Autónoma de México. Facultad de Ciencias.
11. t. 111. Ser. rv. Ser.
515.9-scdd20
Biblioteca Nacional de México
Curso básico de variable compleja
P· edición, 2007
2a edición, 2011
© D.R. 2011. Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Ciencias.
Ciudad Universitaria. Delegación Coyoacán
C. P. 04510, México, Distrito Federal
editoriales@ciencias.unam.mx
ISBN: 978-607-02-2182-8
Diseño de portada: Laura Uribe
Prohibida la reproducción parcial o total de la obra por cualquier medio,
sin la autorización por escrito del titular de los derechos patrimoniales.
Impreso y hecho en México.
A Adda Stel/a
A Guadalupe y Antonio
j¡
Prólogo
La variable compleja es una rama central de las matemáticas teóricas y
aplicadas, además de ser un pilar fundamental de la física. Una formación
matemática sólida incluye conocimientos de variable compleja, ya que ésta
proporciona una visión unificada del álgebra, el análisis, la geometría y
la topología. Más aún, temas estudiados al inicio de la licenciatura que
involucran pruebas largas o complicadas, como los círculos coaxiales o algunos
aspectos de la geometría analítica del plano, se comprenden de manera simple
y clara bajo la luz de la variable compleja. Asimismo, muchas integrales
reales impropias y algunas trigonométricas, solamente pueden resolverse con
la variable compleja. Hadamard llegó a decir que el camino más corto entre
dos verdades del dominio real pasaba por el dominio complejo.
La variable compleja es también fuente de dos ramas muy importantes en
la actualidad: la geometría no euclidiana y los sistemas dinámicos. Por una
parte, las transformaciones de Mobius complejas determinan en gran medida
lo que sucede en la geometría hiperbólica (cf. [3] y [15]); por otra~ el estudio
de la iteración de las funciones racionales complejas contribuye a entender
temas de gran relevancia en dinámica (cf. [4]).
El propósito de este texto es exponer en forma clara y sencilla los temas del
programa vigente, aprobado por el Consejo Técnico, de la materia Variable
Compleja 1 que se imparte en la Facultad de Ciencias de la Universidad
Nacional Autónoma de México (UNAM). Por ello, el libro está dirigido
principalmente a los alumnos de las carreras de física y matemáticas que
han aprobado los cuatro cursos de cálculo diferencial e integral. Asimismo, puede ser de utilidad para los estudiantes de las carreras de ingeniería
que encuentren difícil la comprensión de esta materia debido a la carencia
de pruebas formales en sus cursos; así como para los alumnos de la carrera de
Actuaría interesados en obtener una formación matemática más amplia. Es
preciso mencionar que los resultados se prueban rigurosamente, lo cual es
II
muy formativo para los estudiantes; este enfoque les permite además tener
la certeza de que sus cálculos son correctos.
Cabe señalar que aunque existen muchos libros muy buenos sobre el tema,
por ejemplo [1], [6], [8) y (12], muy pocos son adecuados para cubrir el temario
de la materia Variable Compleja I. Ciertamente, el texto más apegado al programa vigente es el de Marsden y Hoffman (12], sin embargo éste tiende a ser
enciclopédico, y difícil y complicado para un sector importante de alumnos,
lo cual incide en el alto índice de reprobación en esta materia.
El presente libro, basado en gran parte en el de Marsden y Hoffman [12],
pretende establecer los mínimos que el estudiante debe saber para aprobar
con la máxima calificación el curso de Variable Compleja I. El método es
completamente formal y pone énfasis en buscar la simplicidad en las pruebas.
Por ejemplo, el uso del número de Lebesgue permite simplificar la prueba de
la versión general del teorema de Cauchy que aparece en (12]. También, la
prueba del lema de las integrales de tipo Cauchy (que me enseñó Lipman
Bers) es más simple que la que aparece en [12).
En el primer capítulo se establecen los fundamentos básicos de la teoría,
esto es, el álgebra y la geometría de los números complejos, así como algunas
funciones muy importantes, entre éstas, la exponencial, el logaritmo y las
trigonométricas; se concluye con la teoría elemental de la analiticidad, a
saber, las ecuaciones de Cauchy-Riemann y la conformalidad. El segundo
capítulo trata de la integral compleja; después de establecer los resultados
y definiciones básicas, se prueba formalmente el teorema de Cauchy en su
forma general para curvas cerradas homotópicas. Este resultado, junto con el
lema de las integrales de tipo Cauchy, permite probar, sin mayor dificultad,
una cascada de importantes consecuencias como son las fórmulas integrales
de Cauchy, los teoremas de Liouville y fundamental del álgebra, la fórmula
de Poisson y muchas otras más. El tercer capítulo se inicia con el teorema
de Weierstrass (también llamado de la convergencia analítica), que es la base
para establecer los discos de convergencia de las series de potencias y el
teorema. de Taylor. Posteriormente se prueba el teorema de Laurent y se
estudian las singularidades aisladas, lo cual lleva a la prueba del teorema
del residuo. El libro concluye con la aplicación de este teorema al cálculo de
ciertas integrales reales impropias (de funciones racionales y otras definidas
por la transformada de Fourier) y de las integrales llamadas trigonométricas.
El aspecto geométrico de los fundamentos de la variable compleja no se
discute ampliamente en este texto, ya que no corresponde al temario vigente
de la materia Variable Compleja I, sin embargo algunas de estas importantes
111
ideas pueden consultarse en los primeros dos capítulos de [10]. Véase también
las notas de Santiago López de Medrano [5].
Deseo agradecer a diversas personas que contribuyeron de una u otra
forma a la realización de este trabajo. A Héctor Cejudo Camacho por el
trabajo esmerado y su empeño en la elaboración de las figuras. A Luis Rodrigo
Gallardo Cruz, que capturó la versión que publiqué en Vínculos Matemáticos,
en el año 2000, la cual fue muy útil para la realización del presente texto.
A José Lucio Sánchez Garrido por la elaboración de la Figura 2.25, y por la
captura de mi primera versión sobre este tema, en el año de 1992. Mi agradecimiento también a los estudiantes que se han inscrito como mis alumnos en
esta materia, enriqueciéndome con sus comentarios e intervenciones. Extiendo mi gratitud por igual a muchos de mis colegas por sus valiosas y pertinentes enseñanzas; en particular a uno de los dictaminadores del presente
libro, quien llevó a cabo una revisión muy cuidadosa. A Adda Stella Ordiales
agradezco su invaluable colaboración en la corrección de estilo y la edición
de este libro, así como por su constante apoyo y estímulo. Finalmente, a las
autoridades de la Facultad de Ciencias y de la Dirección General de Asuntos
del Personal Académico DGAPA, que me apoyaron para la publicación de
este libro con el proyecto PAPIME EN107-403.
Contenido
l. Fundamentos y analiticidad
1.1. Álgebra de números complejos . . . . . . . . . . .
1.1.1. e es un campo . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Significado geométrico de la multiplicación
1.1.3. Raíces n-ésimas de complejos .
1.1.4. Otras propiedades básicas . . .
1.2. Plano complejo extendido, continuidad
1.2.1. Continuidad . . . . . . . . . .
1.2.2. Proyección estereográfica y métrica cordal
1.3. Algunas funciones importantes .
1.3.1. La función exponencial
1.3.2. La función logaritmo . .
1.3.3. Potencias complejas . . .
1.3.4. Las funciones trigonométricas
1.4. Funciones analíticas . . . . . . . . . .
1.4.1. Diferenciabilidad . . . . . . .
1.4.2. Ecuaciones de Cauchy-Riemann, analiticidad .
1.4.3. Conformalidad . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Integración
2.1. Fundamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Versión particular del teorema de Cauchy, ideas intuitivas.
2.3. Teorema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Fórmula integral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Principio del máximo, lema de Schwarz y funciones armónicas
V
1
1
1
4
11
14
17
17
19
27
27
31
36
42
47
47
49
63
71
71
80
88
111
124
VI
3. Series y aplicaciones
3.1. Fundamentos y teorema de Weierstrass
3.2. Teorema de Taylor . . . . . . . . . . .
3.3. Series de Laurent, singularidades aisladas
3.4. Teorema del residuo, aplicaciones
CONTENIDO
139
.
.
.
.
139
154
166
183
Glosario de simbología
201
Bibliografía
203
Índice analítico
205
CAPÍTULO 1
Fundamentos y analiticidad
,
1.1.
Algebra de números complejos
1.1.1.
<C es un campo
Definición 1 El conjunto de los números complejos, denotado por C, consiste en todos los números de la forma a+ i b, donde a, bE R.
Es importante destacar que existe una correspondencia biunívoca de
con IR. 2 mediante la asociación
e
x + i y~-----+ (x, y).
Por ende, se pueden identificar los números complejos con los puntos del
plano. La parte real del número complejo a + i b es el número real a, y
la parte imaginaria es el número real b. De esta manera, al eje X se le
llamará eje real y al eje Y se le llamará eje imaginario. Si z E e, z = x+i y,
se escribirá
Re z = x e Im z = y.
Definición 2 Se define una operoción de suma y multiplicación escalar en
como sigue:
e
(x 1 + iy¡)
+ (x2 + iy2)
(x¡ + X2) + i(y¡ + Y2),
ax + iay, a E R.
a(x+iy)
1
2
1.1. ÁLGEBRA DE NÚMEROS COMPLEJOS
1f1Z
z+w
1
1
1
Figura 1.1: Suma de complejos y multiplicación por escalares
El significado geométrico de la suma y de la multiplicación escalar es el
usual en espacios vectoriales (véase la Figura 1.1). Es claro también que la
suma de complejos cumple las propiedades de conmutatividad, asociatividad,
y que también todo número complejo tiene un inverso aditivo, donde el elemento neutro es el origen. Obsérvese también que Re(z+w) = Rez+Rew
y que !m (z + w) =!m z + Imw. La definición del producto en C conlleva
la ecuación i = J=I.
Definición 3 Se define una operación de producto en C como sigue:
(a+ib)(x+iy)
=
ax-by+i(ay+bx).
Para recordar esta definición es útil notar que queremos i 2 = -1. El
significado geométrico de la multiplicación se discutirá en la siguiente subsección. Nótese que 1 +O i es un neutro multiplicativo. Esta operación de
producto es conmutativa, asociativa y distributiva. Probamos aquí la primera
y la última propiedad, quedando la segunda como ejercicio.
Escribiendo
(a+ i b)(c +id+ e+ i f)
ac- bd+ae- bf + i(ad+ be+ af +be)
= (a + i b) (e + i d) + (a + i b) (e + i f),
se prueba la distributividad. También, las ecuaciones
(a + i b)(e + i d)
ac-bd+i(ad+bc)
= (e + i d)( a + i b)
3
l. FUNDAMENTOS Y ANALITICIDAD
prueban la conmutatividad. Como se ve en estas igualdades, estas ~eyes del
producto son consecuencia de las mismas propiedades de los números reales.
Ahora, dado z = a + i b, z # O, un inverso multiplicativo de z es un
número w = x + iy tal que zw = 1, esto es
ax- by
bx+ay
1
O.
Este sistema tiene como única solución
x
=
a
a2 + b2'
y =
A w se le denota por z- 1 o por 1/ z. Hemos probado el siguiente resultado.
Teorema 1.1.1 El conjunto de los números complejos
po.
e
constituye un cam-
b
Figura 1.2: Norma de un complejo
Nótese que el campo de los números reales está incluido de manera natural
en los complejos, la asociación
x E IR~ x
+ Oi E e
es un monomorfismo de campos. Bajo esta identificación, se conviene en que
los reales son un subconjunto de los complejos. Se escribe simplemente x
para denotar x + Oi.
EJERCICIOS 1.1.1
l. Demuestre que el producto de números complejos cumple la ley asociativa.
4
1.1. ÁLGEBRA DE NÚMEROS COMPLEJOS
Figura 1.3: Argumento de un complejo z
1.1.2.
Significado geométrico de la multiplicación
Se define la norma o longitud de un número complejo z = a + i b de la
2 + b2 (véase la
manera usual para vectores del plano IR 2 , esto es, lzl =
Figura 1.2). Evidentemente, se tiene
va
IRe zl
::; lzl
y
llm zl ::; lzl.
Ahora, dado z cualquier complejo no nulo, si la longitud del arco en el
círculo unitario que va del vector e 1 al vector z/lzl (en el sentido contrario
a las manecillas del reloj) es (} y lzl = r, es claro que z puede expresarse
de la forma
r (cos (} + i sen 8)
(véase la Figura 1.3). También,
z = r (cos ,P + i sen ,P),
donde ,P es cualquier número de la forma () + 2 k 1r, k E Z. A estas expresiones se les llama polares; al número ,P se le llama el argumento de z, éste
se denota por arg z. Obsérvese que el argumento no está definido unívocamente, sin embargo, si es tomado en el intervalo [0,21r), éste es único. El
siguiente resultado describe la esencia de la acción geométrica del producto.
l.
FUNDA~IENTOS Y ANALIT ICIDAD
5
Figura 1.-1: El argumento del producto es la suma de los argumentos
.
371"
arg(-1) = -
2
arg( -i)( -i) = 3r.
arg(-1) = r.
Figura 1.5: El argumento del producto de -i por -i
Teorema 1.1.2 Pam c·ualesquiera z, w E C, se tiene
{i)
{ii}
izwl = lzllwl.
arg (.: w) = arg (z) + arg (w).
La afi rmación de la segunda parte del teorema se debe interpretar de tal
manera que si se toman valores arbitrarios de los argumentos de z y w, se
tiene que la suma ele éstos es uno de los argumentos del producto zw (véase
las Figuras 1.4 y 1.5).
DEMOSTRAC IÓN. Escribiendo
Z
=
T 1 (COSe 1
+ i sen e¡)
Y
W
6
1.1.
ÁLGEBRA DE NÚMEROS COMPLEJOS
se tiene
zw
=
r 1 r 2 [cos0 1 cos0 2 - sen0 1 sen0 2 + i (cos0 1 sen0 2 + senOt cos02)]
= r1 r2 [cos {0 1 + 0 2) + i sen {Ot
+ 02)],
D
lo cual prueba el teorema.
zw
w
1
Figura 1.6: Interpretación geométrica del producto con triángulos semejantes
El teorema anterior exhibe un hecho fundamental, multiplicar complejos
es sumar sus argumentos y multiplicar sus normas. Véase las Figuras 1.4 y
1.5. Es importante recalcar que en la segunda parte del Teorema 1.1.2, la
suma de los argumentos no necesariamente es el argumento del producto,
aun si se toman todos los argumentos en cuestión, en el rango de [0, 21r).
Por ejemplo, -i y -1 = (-i) ( -i) tienen argumentos 3 1r /2 y 1r, respectivamente. En este caso,
·
371"
37r
2 +2 =
3 1r
,
= 1r mod
2 1r.
Se sigue también del Teorema 1.1.2 que dados dos complejos z, w, w
tiene
f
O, se
7
l. FUNDAMENTOS Y ANALITICIDAD
es decir, la norma de un cociente es el cociente de las normas. Este hecho se
sigue de la siguiente ecuación
Otra interpretación geométrica del producto de dos números complejos
z y w se obtiene al dibujar dos triángulos semejantes, como se muestra en
la Figura 1.6. El Teorema 1.1.2 prueba que en efecto el punto z w es uno de
los vértices del triángulo descrito por w y el origen, ya que se sigue de la
proporcionalidad que
J:l
1
lzwl
-¡;¡-·
z
Figura 1.7: La función z
~----+
zi es una rotación de Tr/2 en el sentido positivo
Estas interpretaciones geométricas del producto también se pueden ver
en un contexto de funciones. Dada w E C se define 1/1 w : e --+ e como
'1/J w ( z) = z w, es decir, 1/J w es multiplicar por w, lo cual es rotar un ángulo
igual a arg w (donde O ::; arg w < 2 1r) en el sentido contrario al de las
manecillas, y aplicar una homotecia: contracción si lwl < 1, dilatación si
lwl > 1 (si lwl = 1 la función es solamente una rotación). Por ejemplo, '1/Ji
es una rotación de 1r /2 radianes en el sentido positivo (véase la Figura l. 7).
En general, para cualquier w, '1/Jw es una transformación lineal de 1R 2 en
8
1.1. ÁLGEBRA DE NÚMEROS COMPLEJOS
IR 2 , ya que es la composición de una rotación y una homotecia. Esto también
se puede probar directamente: si >.,¡.tE IR y Z¡, Z2 E e, entonces
Nótese que este mismo argumento muestra que esta función 'l/Jw también es
lineal como función de e en c.
Figura 1.8: La conjugación de un complejo
Definición 4 Dada z
por z, como a- ib.
= a + i bE C
se define el conjugado de z, denotado
La conjugación es precisamente la reflexión sobre el eje real (véase la
Figura 1.8). Evidentemente, = z, z + w = z + w y lzl = lzl. También es
inmediato que z = z si y sólo si z E IR.
El conjugado de un producto es también el producto de los conjugados,
esto es,
zw = zw.
z
Esto se sigue, ya que si z
= a +i b y
w
= e + id, se tiene
zw = ac-(-b)(-d}+i[a(-d)+(-b}c] = ac-bd-i(ad+bc}
zw.
Como en el caso de la norma, esta propiedad también se extiende al cociente,
esto es, dados z, w números complejos se tiene
(;;) =
~.
Un argumento, casi idéntico al que se usó, para probar que la norma de un
cociente es. el cociente de las normas, prueba este hecho.
9
l. FUNDAMENTOS Y ANALITICIDAD
Las siguientes tres propiedades, cuya prueba es inmediata, se usan frecuentemente y son de gran utilidad.
= lzl2
z +z = 2Re z.
z-z = 2ilmz.
zz
{1.1)
Figura 1.9: El inverso multiplicativo de un complejo
Cabe destacar algunos aspectos muy importantes de la primera de estas
identidades; por una parte exhibe de manera inmediata sin ningún cálculo el
inverso de un número complejo no nulo.
1
:; =
z
_1
·z
=
w·
Por otra parte, esta descripción del inverso multiplicativo de un número z
ilustra nuevamente la geometría que define la multiplicación de complejos:
el inverso es un número cuyo argumento es - arg z, esto es, es un número
que se encuentra en la semirrecta que va del origen a z. También, como al
multiplicar complejos se multiplican sus normas, el inverso de z está en el
círculo de radio 1/lzl. En resumen, el inverso de un número complejo no
nulo z se obtiene al reflejar dos veces: primero sobre el eje de las abscisas y
posteriormente sobre el círculo unitario {o viceversa)
z
z
1
z ~ z ~ lzl2 = lzl2 = :;'
cf. Figura 1.9.
10
1.1. ÁLGEBRA DE NÚMEROS COMPLEJOS
Obsérvese, que como multiplicar complejos es sumar sus argumentos, esto
también significa que dividir complejos es restar sus argumentos. Por ejemplo,
si se tienen tres puntos distintos en una recta Z¡, z 2 , z 3 , apareciendo en ese
orden, entonces necesariamente
Za- Z¡
'![!)+
---E~.
Z2- Z¡
Nótese que esta condición no sólo es necesaria sino también suficiente para
que tres puntos sean colineales.
Otra aplicación de la identidad (1.1) es que muestra la manera adecuada
(en la mayoría de los casos) de dividir números complejos, esto es,
z
zw
=
w
ww
zw
lwl 2 •
Por ejemplo:
(2 + 3 i)( 4 + 2 i) -_ 1
2+3i
20
- 10
4- 2i =
7 .
+ 10 t.
EJERCICIOS 1.1.2
l. Demuestre que
(TI = ~.
;!f)
2. Exprese ( <2
de la forma x
+ i y.
3. Demuestre que a es raíz de un polinomio real si y sólo si
a
lo es.
4. Sean Z¡, z2, z 3 , z 4 complejos en un cuadrilátero que aparecen en orden
cíclico y positivo, demuestre que estos complejos son concíclicos (esto es,
existe un círculo que los contiene) si y sólo· si Z3-Z2
zt-zí! ~ <O.
Z 1-Z4
5. Sean Z¡, Z2, Za E e tales que cumplen Zí!-ZJ
=
Z3-Zl
tres puntos determinan un triángulo equilátero.
6. Sea z
= x + iy,
pruebe que
ll=ll,
Z2-Z3
demuestre que estos
lxl + IYI :5 V21zl.
7. Demuestre que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonales es la suma de los cuadrados de los lados.
l. F U:-< DA~IENTOS
1.1.3.
11
Y ANALITICIDAD
Raíces n-ésimas de complejos
Con la interpretación geométrica de la multiplicación, conociendo el argumento de un número complejo veremos que se obtienen fácilmente sus
raíces n-ésimas. :tv!ostramos primero una fórmula para encontrar las raíces
cuadradas sin usar el argumento.
Proposición 1.1.3 Dado z = a + i b E C, z
exactamente dos raíces cuadmdas dadas por
±(
=f.
O, se tiene que z tiene
2
2
2
2
. /-a+Ja + b )
a+Ja +b
2
+l
2
V
si b >O.
y
Si z = a+i b, z =f. O, se busca w = x+i y tal que w 2 = z,
2
2
i. c. (x - y ) + i(2x y)= a+ ib. Esto nos da el sistema
D EMOSTRACIÓN.
a
(1.2)
b.
(1.3)
Elevando al cuadrado estas ecuaciones se tiene
x4+y~-2x2y2
a2 .
.J x2y2
b2.
y por consiguiente
x2+y2
=
Ja2+b2 .
Ahora, sumando y restando a esta última ecuación aquélla definida por (1.2)
se obtiene
F'inalmente, la proposición se sigue de la ecuación (1.3).
o
12
1.1. ÁLGEBRA DE NÚMEROS COMPLEJOS
Por ejemplo, las raíces cuadradas de 1 - 2 i son
El siguiente resultado se sigue directamente de la interpretación geométrica de la multiplicación (Teorema 1.1.2).
Corolario 1.1.4 {Fórmula de De Moivre)
Si
z = r·(cos8+i senO),
entonces
z" = r"(cosn8+i senn8).
Esta última fórmula nos permite encontrar las raíces n-ésimas de cualquier
complejo no nulo sin mayor dificultad (conociendo el argumento).
Teorema 1.1.5 Sea z = r(cos8 + isen8) E C, z =/: O, entonces z tiene
exactamente n raíces n-ésimas dadas por la siguiente fórmula
wk
=
vr [co~ (8+n2k7r) + t.sen (8 +n2k7r)] '
DEMOSTRACIÓN. Se busca
w"
=
w
= p(cos cp + i
pn(cosncp+i senncp)
k
=
O, 1, 2, ... , n - l.
sen cp), tal que w"
=
r(cos8+isen8),
de donde
pn
r,
y
8 + 2 k 7r,
ncp
k E .Z,
por lo cual
p=yr
y
<p
n
Finalmente, dos argumentos
definen la misma solución si y sólo si
8+2k¡1r
n
= 2m7r,
m E .Z.
= z,
esto es
l.
13
FUNDAMENTOS Y ANALITICIDAD
Esta última condición se cumple si y sólo si
k1- k 2 = mn,
m E Z,
por lo que tomando k= O, 1, 2, ... , n- 1 se obtienen todas las raíces.
O
Obsérvese que habiendo obtenido la primera raíz, las otras raíces se obtienen rotando esta raíz por un ángulo 21rfn, de manera consecutiva, en
el sentido positivo. Por lo que las raíces n-ésimas siempre describen un
polígono regular de n lados. Por ejemplo, una de las raíces cuartas de -16
es w 0 = 2(cos7r/4+isen7r/4) = 2(1/-/2+i/../2), las otras se obtienen
multiplicando por i,i 2 , y i 3 • Es decir, éstas son iw 0 ,-w 0 ,-iw 0 = w 0
(véase la Figura 1.10).
La fórmula de De Moivre es útil para expresar cos nO y sen nO en términos de cosO y sen O. Por ejemplo, tomando n = 3, se tiene
(cosO+ i sen0)
3
=
cos30 + i sen30.
El miembro izquierdo de esta expresión se puede desarrollar también usando
la fórmula del binomio de Newton obteniéndose
y tomando la parte imaginaria se tiene sen 30
=
3 cos 2 O sen O- sen 3 O.
-2
Figura 1.10: Raíces cuartas de -16
14
1.1. ÁLGEBRA DE NÚMEROS COMPLEJOS
EJERCICIOS 1.1.3
l. Calcule las raíces cuadradas de 3 + 4 i y de 1 + 2 i.
2. Calcule las raíces sextas de -64 y las raíces cúbicas de 8 i.
3. Demuestre que 1 + z + z 2 + · · · + z n- 1
de la unidad, z =/: l.
= O,
donde z es una raíz n-ésima
4. Demuestre la identidad 2:-1 = n~:: sen (1rnk). Sugerencia: factorizar la
expresión 1 + z + z 2 + · · · + zn- 1 usando las raíces n-ésimas de la unidad,
posteriormente evalúe en z = l.
sen
(n0+2o)
5. Demuestre que 1 +cosO+···+ cosnO = ~ + 2 sén(0/ 2) , donde O no es
un múltiplo par de 1r. Esta identidad se atribuye a Lagrange. Sugerencia:
calcular la parte real de 1 + z + z 2 + · · · + zn, donde z =cosO+ i senO.
1.1.4.
Otras propiedades básicas
Como en el caso real, los complejos también satisfacen la desigualdad del
triángulo y la de Cauchy-Schwarz.
Proposición 1.1.6 (Desigualdad del triángulo) Sean z, w E C, entonces lz + wl ~ lzl + lwl.
DEMOSTRACIÓN.
lz+wl 2 = (z+w)(z+w) = (z+w)(z+w) = zz+zw+wz+ww
2
= lzi +2Re(wz)+lwl
2
~ lzl 2 +2lwzl+lwl 2 = (lzl+lwl)
2
.
o
De la misma manera que sucede con los números reales, se cumple la
siguiente variante de la desigualdad del triángulo
llzl-lwll ~ lz-w!.
Esto se sigue ya que lzl = lz- w + wl ~ lz- wl + lwl, por lo cual se tiene
lzl-lwl ~ lz- wl, etcétera.
La desigualdad del triángulo y la fórmula de De Moivre son útiles para encontrar cotas superiores e inferiores. Por ejemplo, el supremo de la expresión
li z 4 + il en el disco {z llzl ~ V2} es 5, ya que
li z 4 + il ~ lzl 4 + 1 ~ 5,
15
l. FUNDAMENTOS Y ANALITICIDAD
y claramente este valor es tomado en ±v'2 y en ±v'2 i. Más aún, este valor
no es tomado en ningún otro punto, ya que si z = r (cos (} + i sen O), se tiene
lz 4 + 11 2 = lr 4 (cos40 + i sen40) + 11 2
= lr 4 cos40+1+ir 4 sen40I 2 = r 8 +2r 4 cos40+1.
Teorema 1.1.7 Sean z 1 , z2, ... , Zn y W¡, w2, ... , Wn dos n-eádas de números complejos, entonces se cumple la desigualdad de Cauchy-Schwarz
lz1 W¡ + ... + Zn Wnl $; vlz1l 2 + ''. + lznl 2 vlw1l 2 +' '' + lwnl 2 •
DEMOSTRACIÓN.
Una prueba muy ingeniosa es la siguiente. Se toma
u
y
V=¡;·
Bajo esta notación se tiene
n
n
O :S;
n
L
L
lzk- vwkl
L
2
(zk- vwk) (zk- vwk)
k:::l
k=l
n
n
n
zkzk-v¿zkwk-v'L:wkzk+vv'L:wkwk
k=l
k=l
k=l
=
a - v u - v u+ lvl 2 b
=
=
a - 2 Re
2
lul 2
(buu) + lvl
lul 2
= a-2-b-+-b-
k=l
a- 2 Re (v u) + lvl 2 b
2
b
=
2
lul
a--b-,
lul
a - 2 -b- + lvl 2 b
i.e.,
ab ~ lul 2 •
D
Una manera más natural de probar la desigualdad de Cauchy-Schwarz es
usar la siguiente igualdad atribuida a Lagrange,
Dejamos la comprobación de esta identidad como un ejercicio para el lector.
Es importante mencionar también que los números complejos son únicos,
como lo muestra el siguiente resultado
16
1.1. ÁLGEBRA DE NÚMEROS COMPLEJOS
Proposición 1.1.8 Sea K un campo que contiene a los reales y para el cual
toda ecuación cuadrática tiene solución, entonces K contiene a C.
DEMOSTRACIÓN.
Sea j E K solución a x 2 + 1 = 0. Afirmamos que
F
=
{x+jylx,yElR}cK
es isomorfo a C.
Sea el> : e --+ K dada por el> (x + i y) = X + j y. Claramente el> es un
homomorfismo de C en F y c/>{C) = F, por lo que basta mostrar que e/> es
inyectiva.
Si c/>(x¡ + i y¡) = cp(x2 + i Y2), entonces x 1 + j Y1 = x2 + j Y2, y necesariamente (x 1 - x2) + j (y¡- Y2) =O. Finalmente, si y 1 =1 y 2, se tiene
.
J=
X ¡ - X2
Y1- Y2
y x 2 + 1 = O tiene solución real, lo cual es absurdo, de donde y 1
x 1 = x 2 y K contiene un subcampo F isomorfo a C.
'
= y2,
D
Otro resultado que describe también la unicidad de los complejos es el
teorema de Frobenius, que dice que si K es un campo tal que 1R ~ K y
dima K < oo, entonces K= lR o K= C. La prueba de este resultado es
tema de un curso más avanzado, por lo que no se incluye en este texto.
Terminamos esta subsección describiendo las rectas y algunas de las cónicas
en el lenguaje de los números complejos. Por ejemplo, la recta que pasa por z 1
y con la dirección d~l complejo z 2 se expresa fácilmente en forma paramétrica
Véase la Figura 1.11. Por otra parte, el círculo de radio r con centro en a
está dado por
{z E C 1 lz- al = r }.
Asimismo, una elipse con focos en w 1 y w 2 , y semiejemayor l, se determina
por la siguiente expresión
De manera similar se puede denotar la ecuación de una hipérbola.
17
l. FUNDAMENTOS Y ANALITICIDAD
Figura 1.11: Recta descrita por dos números complejos
EJERCICIOS 1.1.4
l. Demuestre la identidad de Lagrange.
2. Sean z 11 z 2 , •••
, Zn
números complejos, ¿bajo qué condiciones se tiene que
lz1 + Z2 + · · · + Znl = lz1l + lz2l + · · · + lznl?
3. Encuentre el ínfimo de lz 3 + 2il en la región {z llzl
~
2},
y describa en
qué puntos se alcanza.
1.2.
1.2.1.
Plano complejo extendido, continuidad
Continuidad
Definición 5 Sea A e e, se dice que A es abierto en
€ >O, tal que D(z, €) = {w E C llw- zl <E} e A:
e si 'Vz E A existe
De los cursos de cálculo recordamos que los discos D(z, E) son abiertos.
Estudiaremos las funciones con dominio un subconjunto del plano complejo
(generalmente abierto) y con codominio C. A éstas se les llama funciones
complejas de variable compleja. Obsérvese que también se pueden pensar
como funciones de IR 2 en IR 2 • Usualmente denotaremos a estas funciones
como
f(x
+ iy)
= u(x + iy)
+ iv(x + iy),
18
1.2.
PLANO COMPLEJO EXTENDIDO, CONTINUIDAD
donde u y v son funciones reales. Algunas veces escribiremos también f(x, y),
u(x, y), etcétera.
Definición 6 Sea f: A e e--+
Se dice que lím f(z) = L si
e
y aE
e
punto de acumulación de A.
z-a
\:1 e > O 3 8 >O, tal que si O <
lz- al < 8,
se tiene que lf(z)-
Ll < e.
Siendo esta definición idéntica a la equivalente para funciones de IR 2 en
IR , todas las propiedades demostradas para dichas funciones son válidas en
nuestro caso, por ejemplo, la unicidad y el hecho de que el límite de la suma
es la suma de los límites. Más aún, las mismas demostraciones hechas en
cálculo real de una variable también sirven para probar lo siguiente:
2
(i) Si lím f(z)
z-a
=L1
y lím g(z)
z-a
= L2,
entonces
lím f(z) g(z) = L1 L2.·
z-a
(ii) Si lím f(z) = L1 y lím g(z) = L 2 , L 2 =/=O y g(z) =/=O \:1 z, entonces
z~a
z-a
'm
ll
z-a
f(z)
g(z)
L1
L2 ·
La continuidad se define igual que en los cursos de cálculo.
Definición 7 Sean A
si
ee
\:1 e> O 3 8 > O, tal que si
y
f: A--+ e, se dice que f es continua en Zo,
lz- zol < 8,
se tiene que lf(z) - f(zo) 1< e.
De nuevo como en cálculo, la suma, producto, cociente y composición de
funciones continuas son funciones continuas. Asimismo, la convergencia de
sucesiones de números complejos se define de manera idéntica al caso de IR n
Definición 8 Se dice que la sucesión de números complejos Zn, n E N,
converge a z 0 , si Ve> O existe N E N, tal que si n >N, se tiene entonces
que lzn- zol <E.
.
Por supuesto, el límite es único, y dadas dos sucesiones wn, Zn, n E N, se
tiene que si Wn--+ w y Zn--+ z, cuando n--+ oo. Entonces
l.
19
FUNDA~IENTOS Y Ai'\ALITICIDAD
(i)
(ii)
Wn
W
11
+ z,
---+ ;;
+ w,
cuando n
---+
oo;
z,---+ w z, cuando n---+
(iii) si w -:j; O,
~ ---+
Wn
-=-,
cuando n---+
lL'
Obsérvese que para una sucesión z,. n E N, se tiene que z,. -. z, cuando
n---+ oo, si y sólo si Re(z 11 )---+ Rez e I m(z,)---+ I mz, cuando n---+ oo.
Esto se sigue ya que
lz-z,l =
j (Rez- Re(zn)) 2 +(Imz- I m(z,)).2
Como en IR 11 • se dice que una sucesión z,., n E N, es de Cauchy, si dada
f > O 3N E N, tal que si n, m > N, entonces lz,- z 111 1<E. Se sigue
también como en los cursos de cálculo que una sucesión en
es convergente
si y sólo si es de Cauchy.
Usaremos con frecuencia para probar continuidad el siguiente hecho (válido en cualquier espacio métrico): un a función J : A e e-. e es continua en
z 0 E A si y sólo si para toda sucesión z,. n E N. tal que Z 11 _ , zo. cuando
n---+ oo. se tienef(z,) _, f(:: 0 ). cuando n---+ oo.
e
EJERCICIOS 1.2.1
l. Demuestre la última afirmación ele esta subsección.
2. Demuestre que una sucesión en IR 11 es de Cauchy si y sólo si es convergente.
Sugerencia: probar primero que un subconjunto infinito de un compacto tiene
un punto de acumulación.
1.2.2.
Proyección estereográfica y m étrica cordal
La proyección central descrita en la Figura 1.12 sugiere que el plano complejo
se puede pensar como la esfera unitaria en IR 3 sin el polo norte. Resulta natural entonces que el polo norte corresponda a un punto ideal que representa
al infinito.
Definición 9 Los p·unlos del plano complejo junto con
complejo extendido. denotado por C.
f orman el plano
20
1.2.
PLANO COMPLEJO EXTENDIDO, CONTINUIDAD
1
Figura 1.12: La proyección estereográfica
El incluir el símbolo oo es particularmente útil en el contexto de las
transformaciones de Mobius complejas
z
1---+
az+b
cz + d'
ad- be=/= O,
a,b,c,d E C.
Éstas son las únicas biyecciones meromorfas de
unitaria
(1.4)
e en e (cf. [10]). La esfera
llamada esfera de Riemann, es el modelo requerido para incluir el punto
al infinito. Para asociar cada punto en el plano con uno en § 2 usamos la
siguiente idea geométrica: se toma el plano x a = O como el plano complejo
e, y la línea que proyecta el polo norte ea= (0, o, 1) de la esfera de Riemann
a cualquier otro punto x = (x 11 x 2 , xa) en dicha esfera.
Esta línea cruza el plano complejo en un único punto, para encontrarlo
se parametriza
y se debe cumplir
[ea+ t (x- e3)] · e3 = O,
1 + t (x- e 3) · e3
t=
1
-1-x3
=
O,
21
l. FUNDAMENTOS Y ANALITICIDAD
De donde el punto asociado a x es
1
ea + - - - (x-ea)
1 -xa
X¡
X2
x 3 -1)
ea+ ( - - - - - 1- xa' 1- x 3 ' 1- xa
X¡
X2
( 1- xa' 1- xa'
=
o)
·
Una prueba geométrica de este hecho se obtiene observando que la proyección de x debe tener la dirección de (x 1 , x 2 ), y por semejanza se obtiene
que
lzl
-
1
=
Jx't +x?
1- x 3
(véase la Figura 1.12). Con base en estas ideas, se define la función
1/J : § 2 - {e 3} 1----+ e,
dada por
(x¡, x2, xa)
Se afirma que 1/J es una biyección de § 2
l.
~-----+
X¡+ ix 2
1-xa
•
{ea} al plano complejo C.
-
1/J es inyectiva. Para demostrar esto se construye la inversa. Obsérvese
que si z = 1/J (x 1 , x 2 , xa), como (x 1 , x 2 , x 3 ) E § 2, se tiene que
x[+x?
lzl2 = IX¡ +ix212
1- xa
(1- xa)
2
1-xj
(1- xa) 2
1 +x 3
1- x 3
y despejando
(1.5)
También
z+z
y
X¡
(z + z)(1- xa)
2
esto es,
z+z(
-2x1
2 )
lzl2+1 '
(1.6)
22
1.2.
PLANO COMPLEJO EXTENDIDO, CONTINUIDAD
Finalmente, como
z-z
se sigue que
z-z
(1.7)
Por consiguiente, 1/J es inyectiva, ya que z determina (x¡, x2, x3).
Obsérvese también que la función
7r(z)
z +z
= ( lzl 2 +1'
z- z
i(lzl 2 +1)'
-1)
lzl 2
lzl 2 +1
es inversa por la izquierda de 1/J.
2.
1/J es sobre. Un cálculo sencillo muestra que
derecha de 1/J (ejercicio).
7r es también una inversa
Haciendo corresponder oo con el polo norte e 3 , se obtiene una biyección
y el modelo buscado. A esta biyección se le llama la proyección
de § 2 en
estereográfica. Geométricamente es evidente que el hemisferio sur (x 3 < O)
corresponde al disco unitario
e
~
= {z E e llzl < 1}
y el hemisferio norte (x 3 > O) al exterior de este disco; la fórmula (1.5)
también muestra este hecho de manera analítica.
En esta representación esférica del plano complejo no hay una· interpretación fácil de la suma y el producto, su ventaja radica en que oo no
es un punto distinguido. Convendremos en que toda recta incluye al punto
oo. El siguiente resultado exhibe una propiedad fundamental de la proyección
estereográfica.
Proposición 1.2.1 Bajo la proyección estereográfica, rectas en
en e se transforman en círculos en § 2 y viceversa.
e y círculos
DEMOSTRACIÓN. Probamos primero que un círculo en la esfera se transforma
en una recta o un círculo en el plano. Un círculo en § 2 es la intersección de
un plano con la esfera, por lo que sus puntos satisfacen una ecuación de la
forma
a X 1 + bX 2 + C X 3 = d.
l.
23
Ft:i'\OA~IE:-ITOS y Ai'\ALITICIDAD
Por lo tanto, este círculo es la imagen bajo la proyección estereográfica de
un conjunto cuyos puntos satisfacen la siguiente ecuación en el plano
Escribiendo z = x
+ i y,
se obtiene
que es la ecuación de una recta o un círculo en el plano, dependiendo si d = e
o si d =J e (al completar cuadrados no se puede obtener un radio negativo,
puesto que se trata de la imagen de un conjunto no vacío).
Probamos ahora que una recta en el plano se transforma en un círculo en
la esfera. Una recta está definida por la ecuación
a x + by = c.
Estos puntos. bajo la proyección estereográfica. son llevados al conjunto de
puntos en la esfera definidos por la ecuación
X1
)
a ( l-x3 +
ax 1 +bx2
b(
X2
)
= e,
l - x3
= c( l -x3),
los cuales están contenidos en la intersección ele un plano y la esfera, es decir,
se t rata de un círculo. Como 7í(oo) = (0, O, 1) satisface dicha ecuación, este
círculo pasa por el polo norte, lo cual también es evidente a partir de la
construcción geométrica.
Finalmente, un círculo en el plano está definido por las siguientes ecuaciones
l z-al2=
7. 2,
(z- a)(z - a) =
2
lzl - a z- az + Jal 2
por lo que usando (1.5) . se tiene
l +x 3
-1-
X3
-2 Re (az)
2
1· ,
24
1.2.
PLANO COMPLEJO EXTENDIDO, CONTINUIDAD
Si a = a 1 + i a 2 , z = x + i y, entonces Re (a z) = a 1 x + a 2 y y la
imagen del círculo en la esfera está definida por las siguientes ecuaciones
1 +X3 - 2 (a1x+a2y ) = r 2 - a
1 12 ,
1-x 3
1 + X3
X1
X2
2
2
- - - 2 a 1 - - - 2a2-- = r -lal,
1- X3
1- X3
1- X3
1+x3- 2a1x1- 2a2x2 = (r 2 -lal 2)(1-x3)·
Se sigue entonces que estos puntos están contenidos en un plano y por lo
tanto constituyen un círculo en la esfera.
O
Es útil obtener en términos de z y z', puntos del plano complejo, una
fórmula de la distancia entre sus proyecciones en la esfera. Si denotamos éstas
por (x¡, x 2, x3) y (xt', xd, x:f), se tiene
2
2
2
(x1- x1' ) + (x2- x{ ) + (x3- x:{ ) = 2- 2(x1 x1' + x2x{ + x3x:{).
Ahora, usando (1.5), (1.6) y (1.7), se sigue que
=
c;¡:+z1) c::l::1)- (¡;¡.-:1) c::l;:1) +e;:: ~ ~) (:;:¡: ~ D
=
=
2zz' + 2zz' + lzz'l 2 -lzl 2 -lz'l 2 + 1
(1 + lzl 2) (1 + lz'l 2)
-2(z- z')(z- z') + (1 + lzl 2) (1 + lz'l 2)
(1 + lzl 2) (1 + lz'l 2)
(el último paso equipara numerador y denominador).
Por consiguiente,
2
2lz- z'l
)
(x 1 -x 1') 2 + (X2-X2') 2 + (X3-X31) 2 = 2-2 ( 1- {l+lzl2)(
+1z112)
1
-
4lz- z'l2
{1 + lzl 2) (1 + lz'l 2)"
Esta nueva fórmula de distancia en C es particularmente novedosa y útil
porque incluye el punto al infinito. En este caso, si z 1 = oo, se tiene
1
1
1
lzl 2 -1
X1X1 +X2X2 +X3X3 = lzl 2 + ,
1
25
l. FUNDAMENTOS Y ANALITICIDAD
por lo que
2
(x¡-X¡') 2 +{x2-xd) 2 +{x 3 -x3) 2 = 2-2 (lzl -l)
lzl2 + 1
Estos cálculos inducen la métrica buscada en
4
C.
Definición 10 Se define la métrica cordal en el plano complejo extendido de
la siguiente manera
Si
z 1 , z 2 =/:
si z 2
yfl + lz1l 2 '
OO.
=OO.
Como § 2 es un sub espacio métrico de R 3 , esta distancia define en efecto
una métrica en C. El término cordal proviene de que se miden cuerdas en
la esfera
Proposición 1.2.2 Las métricas cordal y euclidiana inducen la misma topología en C, es decir, definen los mismos abiertos en C. Además
de(zn, oo) ~-----+O
DEMOSTRACIÓN.
si y sólo si
lznl~---+
oo.
Para la primera parte hay que probar que la función iden-
tidad
Id:
CE~-----+
Ce
es bicontinua, donde CE es el plano complejo provisto con la métrica euclidiana, y Ce con la métrica cordal.
Si lzn- zl -+O cuando n -+ oo, entonces l7r(zn)- 1r{z)l -+ O cuando
n -+ oo, ya que la función 1r es continua, lo cual prueba que la función Id es
también continua. Ahora, por la continuidad de 1/J, si de(zn, z)-+ O cuando
n-+ oo, entonces 17r(zn)- 1r(z)l-+ O y lt/J7r{zn) -7/J1r{z)l = lzn- zl-+ O
cuando n-+ oo.
Para la segunda parte, sea z n, n E N, una sucesión en C, tal que
lznl-+ oo cuando n-+ oo, como
2
dc(zn, oo) = -y;:::l=+::::;::lz=n:;::;:l2'
26
1.2.
PLANO COMPLEJO EXTENDIDO, CONTINUIDAD
se sigue que de ( z n, oo) --+ O(ejercicio).
Por otra parte, si"" dc(zn, oo) --+ O cuando n--+ oo, dado e > O existe
NE, tal que si n > Nf., se tiene
2
<
(ya que se puede tomar
€
€
y por lo tanto
€2
lznl > M,
J<~
-1
< 2). Por lo que, dado M> O, tomando
4
M=J -1
se obtiene
lznl >
si n > Nf. Esto es,
€
tal que
'
lznl --+ oo.
O
Una de las virtudes de haber introducido la métrica cordal y el modelo
de la esfera de Riemann es que nos permite de manera casi inmediata probar muchas de las propiedades básicas de las transformaciones de Mobius.
El estudio de estas funciones, que son importantes en muchas ramas de
la,s_ matemáticas, permite al lector profundizar en los aspectos geométricos
de la variable compleja. Los ejercicios siguientes fueron ·planeados con ese
propósito, más información sobre el tema aparece en [10].
EJERCICIOS 1.2.2
l. Demuestre que la función estereográfica (x¡,
X2,
xa)
--+
xl~!: 2 de la
esfera de Riemann en el plano complejo extendido es suprayectiva.
· 2. Demuestre que si Zn
cuando n --+ oo.
--+
oo cuando n
--+
oo, entonces dc(zn, oo)
--+
O,
3. Las transformaciones de Mobius definidas en (1.4) se extienden a la esfera
de Riemann C como sigue: si e= O, T(oo) = oo, y si e=/: O, T(oo) =aje y
T( -d/e) = oo. Demuestre que estas funciones son continuas en dicha esfera
con la métrica cordal.
4. Demuestre que si A, B son matrices que representan (de la manera obvia)
dos transformaciones de Mobius J, g, respectivamente, entonces la matriz
BA representa la composición. gf, que también es de Mobius. Concluya
mostrando que estas transformaciones son funciones bicontinuas de la esfera
en sí misma, y que además constituyen un grupo.
27
l. FmmAMENTOS Y ANALITICIDAD
5. Demuestre que las transformaciones de Mobius son transitivas en ternas
de puntos de la esfera de Riemann. Sugerencia: Dada una terna, encuentre
una función de Mobius que la mande en 1, O, e oo.
6. Pruebe que las transformaciones de Mobius son composición de algunas
de las siguientes funciones: rotaciones, homotecias, traslaciones y z ---+ 1/ z.
Concluya mostrando que las transformaciones de Mobius preservan la familia
de círculos y rectas.
7. Demuestre que las transformaciones de Mobius son transitivas en la familia
de círculos y rectas.
8. Demuestre de dos maneras que el lugar de los puntos que cumple la
ecuación 1~::::: 1 = k, k E JR+, a, b E e, a =/: b, constituye una recta o
un círculo (llamado de Apolonio).
9. Sean a, e complejos, tal que no son ambos nulos, probar que 1 !:¡~ 1 = 1,
si lzl = l. Interpretar geométricamente.
10. Probar que la función z ---+ 1/ z es una rotación de
de Riemann alrededor del eje x.
1r
radianes en la esfera
11. Probar de manera analítica y geométrica que dados dos puntos z, w E e,
se tiene que sus proyecciones en la esfera de Riemann son antípodas si y sólo
si zw =-l.
12. ¿Cuál es la imagen de una recta por el origen bajo la función z---+ 1/z?
1.3.
Algunas funciones importantes
Antes de proceder a estudiar las funciones de variable compleja de manera general, exhibimos algunos ejemplos. Comenzamos extendiendo al plano
complejo algunas funciones muy importantes del cálculo real.
1.3.1.
La función exponencial
Recordamos de los cursos de cálculo que la función exponencial se puede
desarrollar en series de potencias, esto es, si x E IR, entonces
x2
ex
xa
x4
= 1 + x + -2! + -3!· + -4! + · · · .
28
1.3. ALGUNAS FUNCIONES IMPORTANTES
Pensando de manera intuitiva se puede sustituir en esta identidad x por
i y, y E R, y obtener
eiy
= 1 + iy + (iy)2 + (iy)3 + (iy)4 + ...
2!
reordenando los sumandos se tiene
(
1 - y2
2!
+ y4
4!
-
••• )
3!
+i
4!
(y - y3
3!
'
+ y5
-
... )
5!
'
lo cual sugiere
e i Y = cos y + i sen y.
Estas observaciones, junto con la propiedad del cálculo real e s+t
motivan la definición de la exponencial compleja.
=
es e t,
iy
------e-;.----/
/
1
Figura 1.13: La exponencial manda rectas horizontales en semirrectas por el
origen
Definición 11 Dado z E
e, z =X+ iy, se define
ex (cos y + i sen y).
ez como
Es inmediato de esta definición que esta función es una extensión de la
exponencial real y que
le%1 = ex,
por lo que esta función no se anula. También es evidente que si n E Z,
entonces
29
l. FUNDAMENTOS Y ANALITICIDAD
Obsérvese además que
arg (ez) = y.
En cierto sentido la geometría de la función exponencial es simple, por
ejemplo, la imagen de la recta horizontal 1m z = y bajo esta función es la
semilínea que surge del origen con argumento y, esto es, la que pasa por el
punto eiY = cosy+i sen y. Nótese que dicha recta, Imz =y, se transforma
biyectivamente en la semilínea abierta. Por otra parte, dada x E IR, la línea
vertical Re z = x se transforma en el círculo de radio ex, recorriéndolo un
número infinito de veces (veáse las Figuras 1.13 y 1.14).
Geométricamente también es claro que la función exponencial restringida
al rectángulo infinito
Ro= {zE<C
1 O~/mz<211'}
es inyectiva y cubre todo el plano complejo menos el origen (veáse la Figura
1.15). Es fácil visualizar el punto eiY, éste es el único punto en el círculo
unitario con argumento y, dicho de otra manera, 'V w E <C, w ::/: O,
eiargw
.~
1:1 .
=
.3~
Por ejemplo, e'2 = i, e~i = -1 y e'T = -i, véase la Figura 1.15. Como
en el caso real, la exponencial compleja distribuye la suma en producto.
,
,,
,,
--- -.... ........ '
1
1
X
1
1
1
1
' '\
\
\
'
\
\
\
\
' ' ' ............
Figura 1.14: La exponencial manda rectas verticales en círculos
30
1.3. ALGUNAS FUNCIONES IMPORTANTES
--------~-------
------- -lnr-:----
~i
----------------
e=
--------~~-íi----~
------____
--------+.o.-:-----l~i
____
...;;___
----------------------1-----
Figura 1.15: La exponencial manda el rectángulo infinito O ~ !m z < 2 1r
biyectivamente en e- {O}
Proposición 1.3.1 Dadas z, w E
e
ez+w
DEMOSTRACIÓN.
ez+w
=
Si z = x
e<x+s)+i(y+t)
= ex+s [cosy
=
+i y
se tiene
=
ez ew.
y w = s + i t, tenemos
ex+s (cos(y + t)
+i
sen(y + t)]
cost- sen y sen t + i (sen y cos t + sent cosy)]
= ex es
(cos y + i sen y) (cos t + i sen t)
como consecuencia del mismo hecho para variable real.
e z e w,
D
Esta proposición exhibe una segunda prueba de que la exponencial compleja no se anula, ya que 'Vw E e se tiene que ew e-w = e 0 =l. Como ya se
mencionó, los complejos de la forma 2 k 7r i, k E Z, son enviados al 1 bajo
la exponencial, de hecho estos puntos constituyen la preimagen de 1: si
ex (cosy
+i
sen y)
=
se sigue al tomar las partes imaginarias que y
partes reales que y= 2 k1r, k E Z, y x =O.
1,
= (entero) 1r,
y al tomar las
31
l. FUNDAMENTOS Y ANALITICIDAD
Proposición 1.3.2 La función exponencial compleja es periódica, todos los
periodos son de la forma 2 k 1r i, k E .Z.
DEMOSTRACIÓN. Se sigue de la Proposición 1.3.1 que 2 k 1r i, k E .Z, es un
periodo. Ahora, si w es un periodo, por definición
En particular, tomando z =O se tiene ew = 1, y w = 2k7ri, k E .Z.
o
Obsérvese que el mínimo periodo es 2 1r i.
EJERCICIOS 1.3.1
l. Sea A= {z E e 1 O< Rez < 2, -7r/2 < Imz
de A bajo la exponencial?
2. Exprese e (4+i ~) en la forma x
< 1rj2}. ¿Cuál es la imagen
+ i y.
3. Demuestre que la función exponencial compleja no está acotada en ninguna
semirrecta por el origen. Describa la imagen.
4. Demuestre que bajo la acción de la función exponencial, dos líneas horizontales, simétricas con respecto al eje x, se transforman en dos semirrectas
por el origen que son conjugadas una de otra.
5. ¿Qué puntos del plano complejo cumplen e i w = e Hii?
1.3.2.
La función logaritmo
Como en el caso real, el logaritmo es una inversa derecha de la exponencial,
sin embargo, dada la periodicidad de esta última función, se debe restringir
el codominio de logaritmo (para que también sea inversa izquierda). La afirmación de que la exponencial restringida al rectángulo horizontal infinito Ro
es inyectiva se puede generalizar (véase Ja Figura 1.16).
Proposición .1.3.3 La función exponencial restringida al rectángulo infinito
es biyectiva sobre
e- {0}.
32
1.3.
ALGUNAS FUNCIONES IMPORTANTES
(Yo+ 2r.)i
- - - - - - - - - 1 ________ _
Yoi
Figura 1.16: La exponencial manda el rectángulo infinito y 0 $ ! m z < y 0 +21i
biyectivamente en e- {O}
DEMOSTRACIÓ N.
Si e== ew, z, w E R Yo• entonces
e =-w= l
y
w-z= 21ini. nEZ.
Por lo cual z = w, ya que la distancia entre las partes imaginarias de dos
puntos cualesquiera en R y0 es menor que 21i. Por lo tanto e' 1 R y0 es
inyectiva. Ahora, dado u E e, u =f. O
tl
=
si y sólo si
loglui=X
y
eiargu
=
eiY .
La segunda ecuación tiene un número infinito de soluciones, una de las cuales
satisface y 0 $ y< Yo+ 21i. Por consiguiente, e z 1 R y0 es suprayectiva.
o
Nótese que en la prueba de la proposición anterior la asociación
1L
~----+
log lul
+i
arg
1L
establece una función inversa, lo cual sugiere la siguiente definición.
33
l. FUNDAMENTOS Y ANALITICIDAD
Definición 12 La función con dominio
correspondencia
e- {0},
log z = log 1z 1 + i arg z,
codominio Ryo y regla de
arg z E [Yo, Yo + 2 1r)
se llama rama de logaritmo.
Obsérvese que hay una infinidad de estas funciones; el problema es que un
mismo símbolo denota a todas ellas, por lo que se debe manejar con cuidado
la terminología. Reemplazando el dominio por una superficie de Riemann,
que tiene la forma de una espiral infinita, se puede definir de manera única
esta función (cf. [12) capítulo 6}; sin embargo, en este texto sólo discutiremos
las funciones con dominios que son subconjuntos de e - {o}.
Nótese que para que el logaritmo sea función, es necesario restringir el
codominio; por el momento éste será tomado de la forma
{x
+i Y E e
{x + i y E e
Yo < Y ~ Yo + 27r} ,
o
Yo ~ Y < Yo
Yo E IR,
+ 2 1T'} , Yo E IR.
logz
~
----
(yo+27r)i
Yoi
Figura 1.17: Las ramas de logaritmo mandan círculos concéntricos al origen
en intervalos verticales
La geometría de la función logaritmo es la inversa de la exponencial:
círculos concéntricos al origen se desarrollan en segmentos de líneas verticales,
y semirrectas que parten del origen se transforman en rectas horizontales.
Estas afirmaciones son evidentes al escribir la función en forma polar
log (re i 8 )
=
log r
+ i O,
34
1.3. ALGUNAS FUNCIONES IMPORTANTES
(véanse las Figuras 1.17 y 1.18).
Un ejemplo de estas funciones se obtiene tomando y 0 =O, y como intervalo para el argumento {0, 21r), en este caso
log {1- i)
=
Sin embargo, si Yo=
log 11- il
-1r,
+i
arg (1- i)
=
log
v'2 + i 7:.
y se toma el intervalo {-1r, 1r),
=
log{l- i)
log v'2- i
¡.
log z
~
(Yo+ t)i
Yoi
Figura 1.18: Las ramas de logaritmo mandan semirrectas por el origen en
líneas horizontales
Teorema 1.3.4 El logaritmo es la inversa de la exponencial en el siguiente
sentido: si log z representa una rama de logaritmo, entonces
e log z = z Vz E C - {O};
también, si se elige la rama Yo
~ y
< Yo + 2 1r, entonces
log (ez) = z
DEMOSTRACIÓN. Como logz
Recíprocamente, si z = x
V z E Ryo·
= log lzl + iargz,
+ i y,
donde Yo
~
y
< Yo + 2 1r, se tiene
l. F UNDA~IENTOS Y ANALITICIDAD
35
Eslo se sigue ya que arg (ez)
eligió la rama de logarit mo.
= arg{e'Y) =y, por la forma en la que se
o
:\ótese que en la proposición anterior si :; f/:. R yo· entonces no necesariamente log(ez) = z . por ejemplo, si y 0 =O, y:;= 2r.i. se tiene
log (ehi) = O. Posteriormente. se restringirá el dominio del logaritmo a conjuntos de la forma e- B yo · donde Yo es Ull real fij o y
B YO
= {z E e 1 z =te 1 !/U'
1 ::::
O}.
E l objeto de esta restri cción será lograr que el logaritmo sea un a función
continua .
Proposición 1.3.5 Sea log z la rama de logm'itmo cuyo ar-gumento toma
valores en [yo. Yo+ 2r.), y ::. w E e- {0}. entonces
log (:: w)
=
log:; + log U'
mód 2r. i.
D E~IOSTRACI ÓJ'\ . Por una parte.
logjzwl
=
logjzj+ logjwj,
y también
arg (;; w)
=
arg :; + arg w
mód 2 r..
o
Este último resultado se entiende mejor a la luz de un ejemplo: tornando la
rama cuyo argumento toma valores en [0, 2r.), mult.iplicamos los complejos
=
log (- ../2 i) + log (
~ - ~)
¡;:.
log v 2 + i
log ( -1- i)
- 1 - i,
ahora
= log ../2 + log 1 + i
l37i
--;¡- .
¡;:.
• 51i
log v ¿+ l-.
4
3
( r.
2
+
7
: )
por otra parte
y
l 37i
-1
51i
-1
----
2r..
EJERCICIOS 1.3.2
l. Calcule log (3- 3i) con las ramas [-r., r.), [0, 2r.) y [-~,
n.
3
2. Calcule todos los valores que toman las distint.as ramas de logaritmo de
l2
+;• .{;!
2 .
36
1.3. ALGUNAS FUNCIONES IMPORTANTES
1.3.3.
Potencias complejas
Se probó que dado un número complejo no nulo se cumple que
=
elogz
z,
para cualquier rama de logaritmo que se tome. Si n E N, se tiene entonces
que
nveces
Estas consideraciones sugieren cómo deben definirse las potencias complejas.
Definición 13 Sean z, w E C, z
define
:f
O, y log una rama de logaritmo, se
Por ejemplo, si
z
=
y
w=
se sigue, tomando la rama con valores en [-7r, 1r), que
zw
=
e
i( log 1- i:) = e ~4.
Obsérvese que, en general, es necesario elegir una rama de logaritmo para que
la asociación z --+ z w sea una función. Por ejemplo, como se vio en la sección
de las raíces n-ésimas, la asociación z --+ z 1/n toma n valores. En contraste,
la asociación w --+ z w es más simple, puesto que en este caso log z es una
constante. Es muy importante enfatizar que al tomar las distintas ramas de
logaritmo, los valores obtenidos difieren por factores de la forma
Esto se sigue ya que dada una rama de logaritmo denotada por z --+ log z,
cualquier otra es de la forma z --+ log z + 2 1r ni, n E Z, por lo cual todas
las posibles ramas de z w son de la forma
e w(Iogz+2rrni)
=
e w logz e w(2rrni),
n E
z.
En el ejemplo que acabamos de mencionar los otros valores de z w son
e¡
e i(2rrni)
=
e ¡-2rrn,
n E
z.
37
l. FUNDAMENTOS Y ANALITICIDAD
Nótese también que para z E e fija ( z =1 0), zW está unívocamente determinada, es decir, no depende de la rama de logaritmo que se elija, si y sólo
si w es un entero. Esto se cumple dado que
ew( 2 1rni)
<===>
= 1 Vn E Z
<===>
wn E Z Vn E Z
w E Z.
En consecuencia, si w no es un entero, para que la asociación z
función, hay que elegir una rama específica de logaritmo.
--+
z w sea
Proposición 1.3.6 Sean z E e, z # O, y pfq E Q fijos, donde p, q son
primos relativos y q es positivo, entonces zPfq toma exactamente q valores
que son las raíces q-ésimas de zP.
DEMOSTRACIÓN.
Basta analizar cuántos números distintos hay de la forma
e
l! (21rni)
q
,
n E Z.
Se tiene
p
-(n-m) E Z
q
<===>
(mód q),
n =m
puesto que (p, q) = 1, por lo que zPfq toma exactamente q valores. También, para cualquier rama z --+ log z se tiene
o
Proposición 1.3. 7 Sean z E e, z =1
toma un número infinito de valores.
DEMOSTRACIÓN.
Si w E
e - Q,
eW211'ni
<===> ew 2 1r(n-m)i
=
oy
w E
e- Q
fijos ' entonces zW
entonces
ew211'mi,
n,m E
z,
= 1 <=::=> w (n-m) E Z
<===> n =m.
38
1.3.
Una segunda prueba, para el caso w
Por lo que si ew 2 1rni
= ew 2 1rmi,
ALGUNAS FUNCIONES IMPORTANTES
= x + i y E <C -
R, se obtiene al escribir
al tomar normas se tiene que
D
Con base en el concepto de potencias complejas se pueden definir las
funciones que son raíces n-ésimas.
Definición 14 La función raíz n-ésima, denotada por
como
e
\Yz
o z l/n, se define
~
n '
donde log z es una rama del logaritmo.
Aunque existen una infinidad de estas funciones, se sigue de la Proposición
1.3.6 que para un complejo fijo no nulo existen exactamente n raíces nésimas. Más aún, éstas son las mismas que las descritas en la Proposición
1.1.5. Para mostrar esto se puede tomar la rama del logaritmo cuya parte
imaginaria toma valores en (0, 2 1r), la raíz n-ésima está dada entonces por
e
~
n
=e
(~+iQ)
n
n
=
i9
\YTen,
donde z = r e i 9 , () E (O, 2 1r). Como en las demostraciones de las Proposiciones 1.1.5 y 1.3.6, las otras n - 1 soluciones se obtienen rotando consecutivamente esta solución en el sentido positivo, por un ángulo de 2 1rfn, esto
es, multiplicando la solución por
e
(2:ki)
'
k= 1,2, ... ,n- l.
Analizamos ahora la geometría de algunas de estas funciones. La función
elevar al cuadrado
dobla el argumento y eleva al cuadrado la norma (ya que multiplicar complejos no nulos es multiplicar sus normas y sumar sus argumentos), por lo
l.
39
F UN DA ~IENTOS Y ANALIT ICIDAD
que transforma el primer cuadrante en la cerradura del semiplano superior
1Hi 2 . y ésta a su vez la transforma en todo el plano (véase la Figura 1.19).
z
Figura 1. 19: La función z-+ z 2 duplica el argumento
r
z-?
~
1
1
~
..;z
1
Figura 1.20: La función z -+ jZ, usando la rama [-7T, 1r), es la inversa de
z -+ z 2 , restringiendo el dominio de esta últ ima a la unióu del semiplano
derecho abierto con el eje imaginario inferior (abierto)
Las función z
está dada por
-+
-/Z,
defin ida al tomar la rama de logaritmo [0, 2 1r)
Zl---+
jZ
=
.O
vre'2,
donde z = 1· ei 0 . Como B/2 E [0, 1r), jZ es un real positivo o un punto en
el semiplano superior: el efecto es dividir el ángulo en dos, por lo cual esta
raíz cuad rada es una inversa (izquierda y derecha) de la función elevar al
cuadrado, cuando esta últi ma se restriuge a la unión del scmiplano superior
abierto 1Hi 2 y los reales positivos. En contraste, por ejemplo, J( - i)2 = i .
40
1.3.
ALGUNAS FUNCIONES IMPORTANTES
Por otra parte, si se toma la raíz cuad~ada v'z definida por la rama de
logaritmo [-1r, 1r), se tiene que v'z toma valores en el conjunto formado por
la unión del semi plano derecho y el eje imaginario inferior abierto (véanse
las Figuras 1.20 y 1.21). En general (a semejanza del logaritmo), cualquier
rama de la raíz cuadrada definida en C - {O} es una inversa derecha de la
función elevar al cuadrado. El siguiente resultado describe algunos aspectos
de la geometría de la función elevar al cuadrado.
1
Figura 1.21: La función z ~
v'z
usando la rama [-1r, 1r)
z 2 transforma las líneas verticales y
horizontales (excluyendo los ejes) en parábolas.
Proposición 1.3.8 La función z
DEMOSTRACIÓN.
Si z
= x + i y,
z2
Para analizar la recta 1m z
=
--7
entonces
x2
-
y 2 + 2x y i.
= e, e =F O,
hacemos un cambio de variable
2xe = t.
Con esta notación, la imagen de dicha recta consiste en los puntos de la
forma
u:,
-c
2
,
t),
tE IR,
lo cual define una parábola. El mismo análisis, aplicado ahora a las rectas
verticales Re z =e, e =F O, muestra que sus imágenes constituyen el lugar
de los puntos de la forma
41
l. FUNDAMENTOS Y ANALITICIDAD
que de nuevo definen una parábola. Nótese que la segunda familia de parábolas se obtiene al reflejar la primera familia por el eje imaginario.
D
En la Figura 1.22 se ilustra la prueba de la proposición anterior: la imagen
de la recta I m z = 1 es la parábola definida por
t2
tt---+- -1
4
que cruza al eje imaginario en ± 2 i y al eje real en -l. Asimismo, la imagen
de la recta I m z = 2 cruza a los ejes en ± 8 i y en -4. Si se toman ahora
las imágenes correspondientes a las rectas dadas por Re z = 1, 2, se obtienen
las otras parábolas que pasan por 1 y 4, respectivamente. En la sección de
conformalidad ti final de este capítulo se entenderá por qué estas parábolas
se intersecan ortogonalmente.
4
Figura 1.22: La función z
en parábolas
-+
z 2 transforma rectas verticales y horizontales
42
1.3. ALGUNAS FUNCIONES IMPORTANTES
EJERCICIOS 1.3.3
l. Calcule todos los valores de ( 1 - i) 4 -
2i,
z i y i w.
2. Describa la imagen del conjunto e- {O} bajo la función ~ definida por
la rama de logaritmo [-1r, 1r). ¿Cuál es la imagen de dicho conjunto bajo la
raíz cúbica definida por la rama de logaritmo [O, 21r)?
3. Demuestre que si w E lR, entonces
4. Exhiba z, w E
e,
lzwl = lzlw.
para las cuales no se cumpla
lzwl = lzllwl.
5. Demuestre que la función raíz cuadrada definida por la rama de logaritmo
[0, 21r) transforma las líneas verticales y horizontales de
{JR+ U {O}} en
ramas de hipérbolas.
e-
6. Sea w E
e- {O}
y .¡-una rama de la raíz ¿Se cumple
ffw
=
1/.jW?
1.3.4.
Las funciones trigonométricas
Como eiY = cosy + i sen y, se tiene que
cosy =
y
sen y
2i
Esto sugiere la siguiente definición.
Definición 15 'r/z E
e,
se definen las funciones trigonométricas
cosz =
senz
2
=
2i
Claramente estas funciones son extensiones de las correspondientes funciones reales. Es evidente también que estas funciones complejas cumplen las
identidades: cos z = cos(- z) y sen(- z) = - sen z. Además, heredan otras
de sus propiedades como funciones reales, como se muestra en el siguiente
resultado.
Proposición 1.3.9 Dadas z, w E
(i) sen 2 z + cos 2 z
=
e,
se cumplen las siguientes igualdades
1,
{ii) sen(z+w)
=
senz cosw+senw cosz,
(iii) cos(z+w)
=
cosz cosw-senz senw.
43 •
l. FUNDAMENTOS Y ANALITICIDAD
DEMOSTRACIÓN.
Probamos primero (i)
2
2
-
sen z + cos z -
e2iz-
2+
-4
(eiz- e-iz)2
2
i
e-2iz
e2iz
+
(eiz
+
+ e-iz)2
2
+ 2 + e-2iz
4
=l.
Para probar (ii), nótese que la expresión senz cosw+sen w cos z está dada por
(e'' ;t') (eiw ~ e-'w) + ( e'w ;tw) (e''~ e-iz)
ei(z+w)
+
+
ei(z-w) - ei(-z+w) - e-i(z+w)
ei(w+z)
+
=
ei(w-z)- ei(-w+z) - e-i(w+z)
4i
ei(z+w)- e-i(z+w)
=
2i
sen(z + w).
o
La prueba de (iii) es análoga a la de (ii) y queda como ejercicio.
Usando esta proposición se deriva fácilmente que las funciones sen z y
cos z son periódicas y su mínimo periodo es 2 1r (ejercicio). Además, se sigue
directamente de la Proposición 1.3.9 (ii) que la función coseno es la función
seno aplicada a la composición de la rotación por el origen de 1r radianes,
seguida de la traslación por 1r /2, esto es,
sen ( ~ -
z)
=
cos
z.
(1.8)
Es interesante que las funciones complejas seno y coseno se relacionan con
las funciones trigonométricas hiperbólicas reales, esto es, si tE IR se tiene
cosh t = cos(i t)
y
i senh t = sen(i t).
Probamos la segunda identidad, la prueba de la primera es más simple.
sen(i t)
=
ei(it) _ e-i(it)
2i
2
e-' ~e'
= i
(e'~e-')
=
isenht.
44
1.3.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
-2
-¡1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
...... ....
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
sen z
~
ALGUNAS FUNCIONES IMPORTANTES
''
''
'
,'
\
11'
2
, ... ,
,
.
Figura 1.23: Las función z
--+
,
... ...
1
'
'
-1/
1
1
,,
1
1
:2
1
,,
,
, ... '
1
\
\
14
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
,
,,
\ 1
\
\
\
''
''
' ' ..
. ....
sen z transforma rectas vérticales en hipérbolas
Para analizar la geometría de la función z --+ sen z mostramos primero
cuál es la imagen bajo esta función de las rectas verticales y horizontales,
para esto escribimos
senz
=
sen(x + iy)
sen x cos (i y)
+ sen (i y)
cos x
= sen x cosh y + i senh y cos x = u + i v.
En consecuencia, los puntos de la imagen de la recta Imz = y 0 , y 0
cumplen la ecuación de la elipse
u2
2
cosh y 0
+
(1.9)
f=
O,
v2
senh 2 y 0
= 1,
ya que sen 2 x + cos 2 x = l. Nótese que la imagen da un número infinito de
vueltas a dicha elipse.
También la imagen de la recta vertical Re z = x 0 , x 0 f=
k E Z,
satisface
\1r,
u2
v2
----- =
sen 2 x
cos 2 xo
cosh 2 y-senh 2 y
=
1,
0
y por lo tanto constituye la rama de una hipérbola (por conexidad es solamente una rama).
En el eje real, se sigue de (1.9) que sen z = sen x, por lo que éste se
transforma en el intervalo [-1, 1), que se puede pensar como una elipse
l.
45
FU:'IlDAMENTOS Y ANALITICIDAD
degenerada. Por otra parte, en el eje imaginario, se tiene sen z = i senh y, por
lo que se transforma en sí mismo, caso que también se puede considerar como
una hipérbola degenerada (cuando las dos ramas se juntan en una sola). Otros
casos degenerados suceden con las rectas Re z = 1r /2 y Re z = -1r /2, que se
transforman en los .segmentos reales [1, oo) y ( -oo, -1], respectivamente,
ya que en estos casos sen z = ± cosh y (esta situación límite es cuando las
ramas de las hipérbolas se doblan en un segmento, véase la Figura 1.23).
Claramente, este comportamiento se repite en todas las rectas verticales que
son de la forma Re z = 1rj2 + k1r, k E Z.
Intuitivamente es claro entonces que si restringimos la función seno a la
región
{zEc
1
-~<Rez<n.
ésta se transforma biyectivamente en C- {z 1 /m z =O, !Re zl ~ 1}. Dejamos
la verificación formal de este hecho como un ejercicio para el lector. Para
probar esto es útil usar la relación sen(1r-z) =sen z, que es una consecuencia
inmediata de la Proposición 1.3.9.
Terminamos esta sección analizando algunos aspectos de las funciones
inversas del seno. Para esto, si sen z = w, entonces
O {::::::} e2 i z
2i
-
2i w ei z
-
1
o.
Esta ecuación cuadrática tiene soluciones
2iw ± v'-4w 2
2
+4
=
iw±v'1-w2 •
Por lo que tomando las distintas ramas de logaritmo se obtienen todas las
preimágenes de w bajo la función seno. Esto es
i z = log ( i w
o
z =
± v' 1- w 2)
-i log (i w± v'1- w2) .
(1.10)
Por ejemplo, si w = O y se toma la rama de logaritmo cuyo argumento toma
valores en C21r, 32-r] se obtienen los valores O y 1r. Por consiguiente, todas
las preimágenes del O bajo la función seno son k 1r, k E Z.
46
1.4.
ALGUNAS FUNCIONES IMPORTANTES
Posteriormente mostraremos que la fórmula descrita en (1.10) nos permite, tomando ramas adecuadas, encontrar una función inversa (analítica)
del seno en la región e- {z 1 Imz =O, IRezl ~ 1}.
Una fórmula análoga se puede obtener para la función coseno. Las otras
funciones trigonométricas se definen como en el caso real, de la manera usual,
por ejemplo,
tanz
senz
=
cosz'
donde z f: k 1T + 1r /2, k E Z (es fácil verificar que éstos son los puntos donde
se anula el eoseno complejo).
EJERCICIOS 1.3.4
l. Pruebe la identidad cosh t
= cos(i t).
2. Pruebe que el mínimo periodo de las funciones sen z y cos z es 27T.
3. Pruebe el tercer inciso de la Proposición 1.3.9.
4. Resuelva cos z
= -1/2, cos z = O y
sen z
5. Demuestre la identidad sen z - sen w
= i.
= 2 sen ( z-;_w)
cos ( z~w)
.
6. Demuestrequeenlaregión {z E e I-7T/2 < Rez < 7T/2} lafunción senz
es inyectiva, probando que las imágenes de las restricciones de esta función
a segmentos horizontales son ajenas.
7. Demuestre que en la región {z E e 1 sen z es inyectiva, usando el Ejercicio 5.
1r /2
< Re z < 1r /2} la función
8. Demuestre que la función z ~ sen z transforma biyectivamente la región
{z E e 1 - 1rj2 <Re z < 7r/2} en la región e- {z 1 lmz =O, IRezl ~ 1}.
9. Describa la geometría de cos z en la región {z
Sugerencia: usar (1.8).
v
E
e
1
O < Re z < 1r}.
10. Sean log y
dos ramas cualesquiera de logaritmo y de la raíz cuadrada,
respectivamente. Demuestre que si z f: O, ±i, entonces se cumple la identidad
!% = cot (~, log v~
flli; ) .
47
l. F U/\ DA~IENTOS Y ANALITICIDAD
1.4.
Funciones analíticas
1.4.1.
D ifercnc iabilidad
Definición 16 Sea A abier·to en e, se dice que una función J : A ----¡
Fiferenciable en el sentido complejo en z 0 E A. si
e
es
,
f (z) - f(zo)
1Im
z-zo
Z -
derivada .
existP. Esfp limifP. 1/nmnr/o In
Zo
se drnotn ymr
J' -; ).
~¡
D e fi nic ión ) 7 Srru . 1 t~ hir.,-/o
(1
lwlotnurfa en : 0 E. \. s1
t"r cw¡lat! alruluiur rl
f
C. f : A dtfetC' nciabl
1'11
~
::::.
st r!tr·f" r¡ur
r 1 PI
·<
u/¿(/o
Ju e:; en caJa
f
(f
s rJ, fJ_tífim
("UIItf!!IJO rn I'.:}.JJ
;.o.
Es convenjente formular de esta manera la definición de anali ticidad puntual,
ya que por ejemplo la función z----¡ 1.::1 2 es diferenciable en el sentido complejo
en el origen, sin embargo como se podrá constatar posteriormente (usando el
Teorema 1.4.2) esta función no es holomorfa en ninguna vecindad del origen.
Se dice que una función f es holomorfa (o analítica) en A si lo es en cada
punto de A. Si la función es holomorfa en e se di ce que es enter·a.
Evidentemente. las funciones constantes son enteras y tienen derivada O.
también la función idéntica es entera y su derivada es la función constante
:: ----¡ 1 V z E C. Algunas propiedades de la analiticidad como las que mencionamos a continuacióu se prueban de manera idéutica al caso real (de una
variable) . por lo que se omiten las demostraciones. Primero, si f'( z 0 ) existe,
entonces f es continua en z 0 . También, si A es abierto en e y f y 9 son
analíticas en A, entonces
l.
af
+ f3 9 es analítica en A
(af+f3g)'( z)
2.
f
y
= a f' (z)+f3 9'( z) \:lzE A
y
Va,j3Ee.
9 es analít ica en A y
(Jg)'(::)
j'(z) 9(z) + j(z)9'(z) \:lzEA .
48
1.4. FUNCIONES ANALÍT ICAS
3. Si g(z) =!=O 'iz E A, entonces f jg es analítica en A y
(~)' (z)
f'( z) g(z)- f( z )g'(z)
'i z
(g(z))2
E A.
Nótese también que se sigue de manera inmediata a estos hechos que
cualquier polinomio a 0 +a 1 =+ · · ·+an z" es una función entera y su derivada
es a 1 + 2 a 2 z + · · · + n an z n-I. Estas propiedades implican asimismo que
cualquier función raciona l
ao+a1z+ ···+a nz"
bo + b1z+ ··· + bn z "
es analítica en e, excepto en los ceros de b0 +b1 z+ · · +b,. z"- Por supuesto,
la regla de la cadena se cumple para las funciones analíticas. Incluimos la
prueba de este hecho para mostrar la cabal analogía con el caso real.
"Proposición 1.4 .1 S ulll .4 . T3 abiFrtos rn 'C. I : .-1 - e y g : B - iQ
holomorfas, t ales que J (.-l) e B , mtoncc\., y o .f : .·\ - e es ho(omrnj(l r n
A
y
(_r¡ o f) '(:;)
z0
DEMOSTRACIÓN. Sean
E
= g'(f(z))
o
{
'i-
E
A.
A y f(z 0 ) = w 0 . Se define para w E B
g(w)- g(•uo) _
w- wo
h(w) =
f'(::)
g '(w )
o
si w =!= wo,
si w = w o.
Obsérvese que como g'(w 0 ) existe, h es cdntinua en B , y por lo tanto
lím (h o J)(z)
z- zo
= h(wo) =
O.
Ahora, 'i z E A reemplazando w por f( z) y despejando en la expresión de
arriba, se tiene (g o f)( z)- g(w 0 ) = [h(f(z)) + g'(wo)] [f(z) - w0 ], por lo
que si z =!= zo,
Finalmente, tomando el límite en esta expresión cuando z
el resultado.
l k. t ( Q\1ro
€()
1
1
C
---+
z 0 , se obtiene
G \- \?"re,_ t~ eÜUt.'f¡J ¡¡,( )"\
O
/l' {H
49
l. FUNDAMENTOS Y ANALITICIDAD
Por ejemplo, la función
z 4 + 2z 3 + 1
f(z)
z2 + 1
es holomorfa en e - {±i} y usando las observaciones anteriores se puede
calcular fácilmente su derivada
2z 5
+ 2 z4 + 4 z3 + 6 z2 (z2 + 1) 2
2z
EJERCICIOS 1.4.1
= f'(z)g(z) + f(z)g'(z).
zz (!2~:±i sea holomorfa, calcule la derivada.
IR 2 definida por f(x,y) = (x 2 + y 2 , O) (en
l. Demuestre la identidad (fg)'(z)
2. Encuentre una región donde
3
4
3. Sea f la función de IR 2 en
notación compleja z --+ lzl 2 ), calcule su matriz jacobiana.
4. Sea f (z) = p( z) / q( z), donde p( z), q( z) son polinomios sin raíces comunes
y de grados distintos, supóngase también que n es el mayor de sus grados
y que a es un complejo no nulo. Pruebe que la ecuación f(z) = a tiene
exactamente n soluciones contadas con multiplicidad.
1.4.2.
Ecuaciones de Cauchy-Riemann, analiticidad
Las funciones analíticas además de satisfacer propiedades queson comunes
al caso real constituyen una clase más restringida, por ejemplo, probaremos
que si una función es analítica, entonces tiene derivadas de todos los órdenes,
en el sentido complejo. El resultado clave que marca una
es decir, es
clara distinción entre estos dos tipos de funciones lo establece el Teorema
1.4.3.
Dado un abierto A en e y una función f : A --+ e, esta función también
se puede pensar como una función f : A e IR 2 --+ IR 2 • Recordamos del
cálculo que f es diferenciable en el sentido real en (x 0 , y 0 ) E A, si existe
una transformación lineal D !(xo, Yo) de IR 2 en IR 2 que satisface
coo
lím
(h, k)--+{0, O)
f(xo
+ h, Yo+ k) - f(xo, Yo) - D f(x
l(h, k)l
0 ,y0
)(h, k)
o.
50
1.4. FUNCIONES ANALÍTICAS
Usaremos en el siguiente teorema el hecho (fácil de probar) de que si g es
una función compleja tal que lím g(z) existe, entonces existen lím Reg(z)
z-+zo
z-+zo
y lím Img(z), y además
z-+zo
lím g(z) =
lím Re (g(z))
z-+zo
z-+zo
+
i lím /m (g(z)).
z-+zo
Teorema 1.4.2 Sean A abierto en e y f : A --+ e una función holomorfa
en z 0 E A, entonces si f(z) = u(z) + iv(z), se tiene
au
av
ax (zo)
ay (zo),
au
ay (zo)
av
- ax(zo).
DEMOSTRACIÓN.
Sea z 0 = x 0
(Ecuaciones de Cauchy-Riemann)
+ i y0 ,
por hipótesis
f'(zo) = lím f(z)- f(zo).
z-+zo
Z - Zo
En particular, si nos aproximamos a z 0 por la recta horizontal /m z
se tiene que
= y0,
f(x, Yo)- f(xo, Yo) _ u(x, Yo)- u(xo, Yo)+ i (v(x, Yo)- v(xo, Yo))
(x- xo) + i (Yo- Yo) x- X o
y tomandc::> el límite cuando x--+ x 0 , se obtiene
f'(zo)
=·
aau (xo, Yo)+ i aav (xo, Yo).
X
X
Esta última afirmación se sigue de la observación previa al teorema.
Análogamente, aproximándose ahora por la recta vertical Re z = x 0 ,
la expresión
f(z)- f(zo)
z- zo
se puede escribir como
u(xo, y)- u(xo, Yo)+ i (v(xo, y)- v(xo, Yo))
(xo- xo) + i (y- Yo)
· u(xo, y) - u(xo, Yo)
v(xo, y) - v(xo, Yo)
=
i(y - Yo)
+
Y - Yo
51
l. FUNDAMENTOS Y ANALITICIDAD
Nuevamente tomando el límite, ahora cuando y--+ y 0 , se obtiene
'
f (zo)
1 au
8y
.
8v
8y
8v
8y
. 8u
8y
= -:- - (xo, Yo) + - (xo, Yo) = - (xo, Yo) - z - (xo, Yo).
''t
Igualando estas dos expresiones para f'(z 0 ), se obtienen las ecuaciones de
Cauchy-Riemann.
D
Nótese que la prueba del resultado anterior proporciona fórmulas explícitas para la derivada, dadas por
1
1
¡f'(z)
i
8u
.8v
av
.8u
= 8 x(z)+z 8 x(z) = 8 Y(z)-z 8 Y(z).
-~~ --~~~~----~-
!__ -·-·--·-- ·-.
Obsérvese que se tienen también otras expresiones de la derivada en términos
de las parciales de u(z) (o de las de v(z)). El lector podrá notar asimismo
que en el enunciado del Teorema 1.4.2 se pudo haber reemplazado la hipótesis
de analiticidad por diferenciabilidad compleja, ya que solamente se usó esta
propiedad en la prueba. Dicho teorema establece condici.ones)'('~'l!ara.
que una función sea analítica; el siguiente importante I:~§.tJJ.t.ªQQ._g~.m~taliza
este hecho estableciendo_condiciQnes~uficiente~-~--!!!?~~Ij~_ _........\ ___ .__...A, __ ...-"",
,}.
.A
_,.'\
/··,.
___ ........ _____ .,..··- .• _ _ •··•
_,.,
.
;
...
/Teorema 1.4.3·-séa ~ z 0 . ~ ún jiüñto en un conjunto abierto A, y f: A--+ C:
una función, entonces f es holomorfa en zo si iJ sólo si en una vecindad,...,
) de z 0 , f es diferencia_Me en el sentido real y satisface las condiciones de )
j
-:~-Rierñ~f!:r-?C·~~·~;:·~~-{¿¡,:j:~~~~-¿,;;;~~~._~)~-·
--..--
·.· ·· ··
· ~ · .. ----.. · ·
.e
~~ COl\ \:;'\ Y\IJ ()..~ ,
Una consecuencia fundamental de este teorema es el hecho de que cualquier
función J : A --+ C (A abierto en C) con derivadas parciales continuas en
una vecindad de z 0 E A, y que además satisface las condiciones de CauchyRiemann (en dicha vecindad), es analítica.
Para demostrar el teorema se necesita primero un lema que muestra la
relación que hay entre las dos descripciones de la función lineal en 1R 2 que
resulta de multiplicar por un complejo, a saber, en términos de complejos, y
en términos de matrices reales de dos por dos.
Lema 1.4.4 Una matriz ( ~ ~) con entradas reales representa bajo multiplicación matricial, la multiplicación por un número complejo si y sólo si a = d
y b =....,.c. El número en cuestión es a+ ic o a- ib.
52
1.4. FUNCIONES ANALÍTICAS
La operación conmutativa de multiplicar por el número
DEMOSTRACIÓN.
a + i e, en notación compleja, está dada por
(x + iy) ~----+(a+ ie) (x + iy)
=
(ax- e y)+ i (ex+ ay).
Esta función líneal es también la definida por la matriz ( ~ ~e), ya que
(: -;.e) (:)
= (ax- e y, ex+ ay).
Viceversa, si la matriz ( ~ ~) representa la multiplicación por a+ i {3, se
sigue que para todo número complejo X + i y E C, se tiene
(: :) (:) = (ax-{Jy,{Jx+ay),
es decir,
ax+by = ax-{3y,
ex+dy = {3x+ay.
En particular, tomando los valores particulares (1, O) y (0, 1) se obtiene
=
a
a,
e
=
{3,
b
=
-{3 y d
=
a.
o
El Teorema 1.4.2 y el lema anterior permiten probar ahora sin gran dificultad el resultado principal.
DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA
1.4.3. Si
f es holomorfa en z 0 , entonces
V z en una vecindad de z 0 existe
, f(w)- f(z)
1lm
W-+Z
que denotamos por
W- Z
'
f ' (z). Este límite es equivalente a
, f(w)- f(z)- f'(z) (w- z)
1Im
(w- z)
w-+z
=o,
que a su vez equivale a
lím lf(w)- f(z)- f'(z) (w- z)l
w-+z
lw- zi
o,
53
l. FUNDAMENTOS Y ANALITICIDAD
o usando coordenadas reales,
, lf(w)- f(z)- Dfz (w- z)l
1Im
w-+z
=o,
lw- zl
donde D fz es la matriz que define el número complejo f ' (z) (en virtud del
Lema 1.4.4).
Este último límite muestra que f es diferenciable .en el sentido real en z
y que satisface las condiciones de Cauchy-Riemann en ese punto. Este lema
muestra también que todos los pasos son reversibles.
D
El Teorema 1.4.3 permite también exhibir otros importantes ejemplos de
funciones holomorfas. Denotaremos también a f ' (z) por
d (f(z))
dz
. 1
o s1mp emente
df
dz.
Proposición 1.4.5 La exponencial es entera y su derivada es ella misma.
DEMOSTRACIÓN. Como ez
e00 real ; además
=
excosy
+ iex seny,
y
au
By(z) =
se tiene que ez es de
clase
au
-(z)
ax
=
ex cosy
av
= -(z)
8y
-ex sen y
av
= - Bx(z).
Se sigue pues del Teorema 1.4.3 que e z es analítica 't/z E C, y que
D
5
Otros ejemplos se derivan de este resultado, por ejemplo, la función ez -4
es entera y su derivada es (5 z 4 ) e zs. También, se tiene que las funciones sen z
y cos z son enteras. Además, como en el caso real
d (sen z)
dz
=
cosz
y
eiz)
2i
i-
d(cosz)
dz
-senz.
Esto se sigue ya que
d (sen z)
dz
El otro caso es análogo.
(
(e-iz)
2i (-i)
cosz.
54
1.4. FUNCIONES ANALÍTICAS
Las ecuaciones de Cauchy-Riemann permiten también detectar fácilmente
funciones que no son holomorfas, por ejemplo, la función f(z) = z. Si denotamos f = u+ iv, se tiene V z que u(z) = x y v(z) = -y, por lo
que
8u
8x (z)
y
= 1 =F -1 =
8v
8y (z)
f no es holomorfa en ningún punto del plano.
Volviendo al caso general de las funciones holomorfas, resulta que sus
partes reales e imaginarias tienen propiedades muy distintivas, como se muestra a continuación.
Definición 18 Sea A un abierto en e y u : A --+ 1R una función de clase
se dice que u es armónica en A si Vz E A se tiene
e2 ,
82 u
8x2 (z)
82 u
+ 8y2 (z) =
O.
A esta expresión se le llama el laplaciano de u y se le denota por \! 2 u.
Proposición 1.4.6 Sea A un abierto en e y f : A --+ e holomorfa, entonces u, v son funciones armónicas en A, donde f(z) = u(z) + iv(z).
DEMOSTRACIÓN. Probaremos en el siguiente capítulo que si una función es
holomorfa, entonces es de clase 00 en el sentido complejo, por lo que basta
verificar que los laplacianos de u y v son cero. Como en A se tiene
e
8u
8x
8v
8 2u
8 2v
se sigue que
8x 2 = 8x8y
8y '
También se tiene
8u
8y
8v
8 2u
- 8x ' por lo que 8y2
2
8 v
---8y8x
En consecuencia, al sumar ambas ecuaciones se tiene \! 2 u = O. La prueba
para la función v es análoga.
D
En algunas aplicaciones a la física es conveniente expresar las condiciones
de Cauchy-Riemann en coordenadas polares: para encontrarlas se usa la función polar definida de (0, 27r} x JR+ en JR 2 por
T(O, r)
=
(r cosO, r senO),
l.
FüNDA~IENTOS
55
y A :-IALITICIDAD
donde JR+ = {x E IR 1 x > 0}. Se restringe el ángulo a (0, 211') , ya que
de otra manera, si, por ejemplo, se toma como dominio (0, 211'] x JR+, se
tendría que r- 1 no es continua en el eje real positivo. Esto se puede mostrar
tornando la sucesión
la cual converge a 1, sin embargo
2rri
r -! (e -, )
=
e: .1)
no converge a r- 1 (1) = (211', 1) . Véase la Figura 1.24. Es claro que un
argumento similar se aplica si se toma como dominio [O, 271') x JR+.
r-1
/
1
"
'
,
~
X
\
1
1
1
1
1
1
rx
1
1
\
''
/
/
-~-
1
27f
Figura 1.24: La función polar inversa no es continua en IR 2
Proposición 1.4. 7 Sea A 1ma 1·egión en IC- JR+ y
anal-ítica, j (z) = u(z)
+
+ iv(z) . Entonces \1(8, r)
-T
T
av (8, r)
-
f) 7'
E
-
{O}
f : A -+ IC una función
r - 1(A)
y
ofJru (8. 1·),
donde 'ii. =u o T y v = v o T. A estas igualdades se les llama ecuaciones de
Cmtchy-Riemann en forma polar.
56
1.4. FUNCIONES ANALÍTICAS
DEMOSTRACIÓN.
l
Tomando T(O, r) = z, z E A, se tiene
-(z)
au - -(z)
av
(-r
a
a
sen o cosO)
av
au
r cosO senO
( -(z)
-(z)
ax
ax
au
av
cosO -(z)senO -(z)
-r senO ax (z)- r cosO ax (z)
au
av
ax
ax
av
au
( -r sen 0 aavX ( Z) + T COS 0 aauX ( Z) COS 0 a
X (Z) + sen 0 aX (Z)
D(J o T)(O, r) =
X
X
l
l
Por consiguiente, como esta última matriz es precisamente
au
ao(0, r)
( av
ao(0, r)
se sigue la proposición.
ar (0, r)
au
av
ar (0, r)
O
Nótese que el resultado anterior se puede adaptar a dominios diferentes a
e -JR+, variando el argumento, esto es, tomando otras funciones polares con
dominios (y 0 , Yo+ 2 1r) x nt+. Existe un resultado análogo al Teorema 1.4.3
para coordenadas polares: si A es una región en e-JR+ y f: A--+ e es diferenciable en el sentido real y se satisfacen las condiciones de Cauchy-Riemann
en forma polar, se concluye que f es analítica en A. La demostración queda
como ejercicio para al lector. De nuevo, esta situación también se aplica a
otros dominios.
Una manera de probar la analiticidad de una rama de logaritmo en un
cierto dominio, es usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann polares. Para
poder hablar de la derivada del logaritmo, se necesita restringir el dominio
para que esta función sea continua. Esto sucede ya que en los dominios donde
se definió originalmente la función rama de logaritmo no resulta ser continua.
Por ejemplo, si se toma la rama con valores del argumento en (y 0 , Yo+ 2 1r] la
sucesión ei(yo+l/n), n E N, converge a eiYo, cuando n--+ oo, sin embargo
log (ei(yo+l/n)) no converge a log(eiYo) = (y 0 +27r)i, véase la Figura 1.25.
Si se toma el intervalo [y 0 , y 0 + 2 1r), un argumento similar se aplica.
57
l. FUNDAMENTOS Y ANALITICIDAD
Por consiguiente, consideraremos dominios de la forma
(1.11)
donde By 0
{z E
e
1
Z
= teiYo, t 2 0}.
log z
~ -------- y~~-----
Figura 1.25: El logaritmo no es continuo en
e - {O}
Proposición 1.4.8 Sea f la rama de logaritmo definida en e- B Yo y cuyo
argumento toma valores en (Yo, Yo + 2 1r), entonces f es holomorfa en este
dominio y
f'(z) =
DEMOSTRACIÓN. En forma polar, si
f (z)
!z
z = r e i 6 se tiene
= log r
+ i O.
Como log r y O son funciones de clase C 1 de r y O, también lo son de
x y y. Esta última afirmación se puede comprobar usando el teorema de la
función inversa aplicado a la transformación polar T( o' T) = (r cose' r sen 8).
En consecuencia, para probar que esta rama de logaritmo es holomorfa en el
dominio <C - B Yo, basta verificar que se cumplen las ecuaciones de CauchyRiemann polares. Usando la notación de la Proposición 1.4.7, esto se obtiene
directamente
au
ao = o
av
8r
y
av
ao
58
1.4. FUNCIONES ANALÍTICAS
Para calcular la derivada se observa primero que
!
r
ar(z),
ax
por lo cual
f '( z )
= a (log r) (
aX
) . a o( ) = ! a r ( ) . a o( )
z +za X z
r a X z +za X z.
Ahora, estos valores los podemos encontrar con la matriz inversa del jacobiano de la función polar, esto es, como
DT(O
r) (-r
=
'
sen O cosO)
sen O '
r cos O
se sigue que el determinante de esta matriz es -r y
.
*) (ao::(z)
senO
1
DT- (T(O, r))
donde T( O, r)
=
(
=
r
*
cosO
-(z)
ax
= z. Por consiguiente
cos O
r
. sen O
r
J'(z) = - - z -
1
.
-(x-zy)
r2
z
= lzl2
=
1
z
o
Posteriormente, usando el teorema de la función inversa complejo daremos
una prueba muy simple de esta proposición. También, en el siguiente capítulo
mostraremos dominios de analiticidad del logaritmo más sofisticados.
Definición 19 A la roma de logaritmo cuyos argumentos toman valores en
( -1r, 1r) se le llama la rama principal.
Por ejemplo, usando la rama principal la función z ~-----+ log(z 2 ) es bolomorfa en
A = <C - {z 1 Re z = O} .
Esto se sigue ya que si z E A, entonces z 2 =F O y arg (z 2 ) =F 1r. Sin embargo,
si se busca una región de analiticidad se debe restringir el dominio a uno de
los dos semiplanos.
59
l. F UNDMIE:"<T OS Y ANALIT !CIDA D
Se pueden construir otras funciones enteras con las potencias, por ejemplo,
si se toma un complejo no nu lo b y cualquier rama de logarit mo, se tiene
q ue la función f (z ) = b• es entera y su derivad a está dada por (Iog b) bz.
Esto se sigue de la regla de la cadena , ya que b• = e (Iog b} • .
Proposición 1.4.9 Si se fija ·un a m ma de logaritmo, la func·ión z ~----+
es analí tica en la región de analiticidad de dicha rama de logaritmo. y
zb
d(.::b) = b zb-l
dz
S e sobreentiende que z b y .:: b-
l
usan la mism a rama de loga1'itrno .
D E MO STRACI Ó N . La función z b = eb Jogz es holomorfa en el dominio de la
rama de logarit mo elegida debido a la regla de la cadena. Ahora
donde
zb
y
zb-l
usan la misma rama de logar itmo.
O
Obsérvese que zb es entera si b E N U {0} . zb es holomorfa en C- {O}
si b E íZ, y si b !!f. íZ, los dom inios de analiticidad de las funciones z -> zb
son los descritos por la Proposición 1.4.9.
Un caso de particular importancia en la P roposición 1.4.9 es la fu nción
raíz. n-ésima, z ~----+ z 11" . U na función de este tipo es analítica en cualquier
región de la forma (1.11), y en ese dominio
Term inamos esta sección exhibiendo los dominios d e analiticidad de otras
funciones que, de manera similar a las ramas de logaritmo y a las potencias
p resentan en la frontera de su domin io líneas de cm-te y puntos de corte. que
se les llama también de ramificación.
Por ejemplo, para la función g(z) = J e= + 1 podemos elegir el dominio
de la rama principal de logarit mo para z -> jZ . Por lo tanto, para encont rar
un dominio de analiticidad de la fu nción g(z) se necesita caracterizar
{zE C
1
e=+ l s:; O} .
60
1.4. F UNCIONES ANALÍTICAS
Primero, ex+iy E ~ si y sólo si y = k rr. k E Z. Si k es par e= = ex > O.
Si k es impar e 2 =-e"', en este caso -ex+ 1 :::; O, siempre que 1 :::; e"", lo
cual se cumple si y sólo si x 2: O. Por consiguiente
A= C-{x+iy ECix2: 0, y =(2n+1)rr,nEZ}
es la región buscada, y
d((ez+ 1)Í/2)
ez (e=+ 1)- 112
dz
Vz E A
2
(véase la Figura 1.26) .
., .
..,rrl
1fi(
-1fi e> '
Figura 1.26: Dominio de analiticidad para z ____, ~
Mostramos ahora que tomando la ram a ele la raíz definida por la rama de
logari tmo con argumento en (O, 27r) , la función
z ._____,
vlz2=l
es analítica en C - B , donde
B = {zEC 1 Jmz= O, 1Rezl2: 1}
(véase la Figura 1.27) . P ara esto, basta observar que z E B si y sólo si se
cumplen las condiciones
Re(z 2 - 1)
> O
y
Im(z 2 - 1)
O.
l.
FUNDA~IENTOS Y ANALITICIDAD
z
Figura 1.27: Dominio de analiticidad para z
Una segunda descripción de la función j z 2
expresión
-
---+
j z2 - 1
1 está dada por la siguiente
(1.12)
donde ·r; , f);, i = 1, 2, se determiua n de acuerdo con la F igura 1.27, bajo las
condiciones O < B1 < 2 11 y -11 < B2 < 11 . Para probar esta afirmación,
obsérvese primero que si J'Z+1 es raíz cuadrada de z + 1 y .;z=-I es raíz
cuadrada de z - l. entonces J'Z+1 j z - 1 es raíz cuadrada de
Ahora, se toma para defini r .;:z=l la rama de logaritmo con valores en
(O, 2 11), por lo que esta función es holomorfa en
e-
{X+ i y E e 1 y
= 0 , X ;::::
1}.
Es claro también de la Figura 1.27 que, como la función .;z=-I está definida
por
z
f---+
e 4{logl: - 1l+i arg(z-1)) '
d onde O < a rg z < 2 11. se tiene que
vz=1
Finalmente, para
es holomorfa en
=
J'Z+1 se toma la
e-
{x
...¡¡:¡ e'0¡ / 2.
ra ma principal. por lo que esta función
+iyEe
1
y=
o, x::::;
1}.
62
También, como z + 1
otro caso, que
1.4. FUNCIONES ANALÍTICAS
=
z- (-1), se sigue de la Figura 1.27, como en el
JZ+I =
~ ei82/2.
Por consiguiente, la función descrita en (1.12) es holomorfa en
e - { z 1I m z = o, IRe zl
~
1}.
Más aún, las dos descripciones mencionadas de v'z'2"'=1 definen la misma
función, dejamos la verificación de este hecho como ejercicio para el lector.
EJERCICIOS 1.4.2
l. Verifique directamente que se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann
para la función z ~ 3 z 3 + 2 z.
2. Sea A una región en e- IR+ y f : A ~e diferenciable en el sentido
real y tal que cumple las ecuaciones de Cauchy-Riemann en forma polar,
demuestre que f es analítica en A.
3. Demuestre que las dos descripciones que se exhibieron de J z 2 - 1 al final
de esta sección, son la misma función. Sugerencia: usar un argumento de
conexidad y continuidad.
4. Demuestre que la función z
plano. ·
~
sen z no es holomorfa en ningún punto del
5. Encuentre un dominio de analiticidad para la función z ~ log(z-.. 7 + i)
y calcule la derivada, donde log denota la rama de logaritmo con valores en
7T 57T)
(2
1 2.
6. Encuentre un dominio de analiticidad para la función z ~ log( e z. + 1) y
encuentre la derivada, donde log denota la rama (0, 2 1r) de logaritmo.
7. Demuestre que la función f(z) = z 5 /lzl 4 , si z =/:O, y f(O) =O, cumple las
ecuaciones de Cauchy-Riemann en el origen, sin embargo no es diferenciable
en dicho punto. Sugerencia: aproximarse al origen por una recta a 45°.
8. Encuentre una región de analiticidad para la función z ~
la rama principal de logartimo. Calcule la derivada.
Jz3 -
1 usando
J
9. Encuentre una región donde la función z ~
JZ + 1 sea holomorfa,
usando la rama (0, 2 1r) para definir la raíz. Calcule la derivada.
10. Exhiba una familia infinita de funciones de
sentido real pero no analíticas.
e
en
e
diferenciables en el
63
l. FUNDAMENTOS Y ANALITICIDAD
11. Usando la Proposición 1.4.12, pruebe que si f es una función holomorfa
en la región A = {z E e 1 lz - 101 < 10- 10 }, y se tiene que su imagen
está contenida en la recta Re z = -3, entonces f es constante.
1.4.3.
Conformalidad
La regla de la cadena para funciones de varias variables reales junto con las
ecuaciones de Cauchy-Riemann proporcionan una interesante y fundamental
interpretación geométrica de las funciones holomorfas.
Teorema 1.4.10 Sea 'Y : [a, b) ~e una curva diferenciable contenida en
una región A, supóngase también que f : A ~ e es holomorfa, entonces
f o 'Y es una curva diferenciable y
(f o -y) 1 (t)
DEMOSTRACIÓN.
=
j 1 (-y(t)) 'Y 1(t)
Vt E [a, b).
La regla de la cadena real implica que
(Jo -y) '(t)
=
D J('Y(t)) 'Y 1 (t).
A su vez, la demostración del Teorema 1.4.3 dice que esto puede escribirse
como
(f o 'Y) 1(t) = f '('Y(t)) 'Y '(t).
o
El Teorema 1.4.10 conlleva la geometría local de las funciones analíticas;
muestra que en los puntos donde no se anula la derivada, la función, infinitesimalmente, es aproximadamente una rotación en el sentido positivo,
seguida de una homotecia -las cuales pueden ser triviales-. Para mostrar
esto, suponemos que bajo las hipótesis del teorema, se tiene también que
Vt E [a, b) "Y 1( t) =/: O y f 1('Y( t)) =/: O. Ahora, si denotamos a la curva
imagen f o "Y por 4>, se tiene
4> 1(t) = f'("Y(t))
1
f' (t),
y por consiguiente 4> 1 (t) =/: O. Más aún, la dirección de la tangente a 4> en
4>(t) está determinada por
arg 4> '(t)
=
arg f 1 ( -y(t))
+ arg "Y 1 (t) (mód 2n}
Esto dice que el ángulo que forman las tangentes a 4> en 4>( t) y a "Y en
"Y(t) es argf 1 ("Y(t)), es decir, no depende de la curva -y, sólo depende del
punto z = "Y(t) y de la función f (véase la Figura 1.28).
64
1.4. FUNCIONES ANALÍTICAS
f
~
;'(t)
~;(t)
Figura 1.28: Las funciones conformes rotan positivamente las tangentes
Estas hipótesis también implican que curvas cuyas tangentes forman un
ángulo (} en z se transforman en otras curvas cuyas tangentes forman un
ángulo (} en f(z). Esto se sigue, al tomar dos curvas diferenciables ')'¡, ')' 2 ,
con derivadas no nulas que se intersecan en un punto z E A, denotando las
curvas imágenes por e/> 1 , e/> 2 , y restando las siguientes expresiones
arg c/> 1'(t) = arg f'("Y 1(t)) + arg ')' 1'(t) (mód 21r)
arg <i>2'(t) = arg J'("Y2(t)) + arg "Y2'(t) (mód 21r),
donde ')' 1(t)
= "Y2(t) = z.
Véase las Figuras 1.29 y 1.30.
f
~
11
Figura 1.29: Las funciones conformes preservan ángulos
Hemos probado algo de gran importancia: las funciones holomorfas con
derivada no nula preservan ángulos. A esta propiedad se le conoce como
65
l. FUNDAMENTOS Y ANALITICIDAD
conformalidad. En el contexto de funciones complejas de variable compleja,
una definición precisa es la siguiente.
Definición 20 Sea A una región en e y
f es conforme en z E A, si f'(z) f O.
J: A--+ e
analítica. Se dice que
Esta definición se generaliza a funciones de Rn en Rn (cf. [3), p. 7). Un
ejemplo no trivial de esta propiedad de preservar ángulos se presenta con la
ortogonalidad de las rectas verticales y horizontales en el plano que la función
exponencial transforma en círculos concéntricos al origen y semirrectas por
el origen, respectivamente (los cuales también se intersecan ortogonalmente).
Véase la Figura 1.15.
L
f
~
zo
Figura 1.30: Efecto local de una función conforme
Por otra parte, si la derivada de una función holomorfa en un punto es
nula, entonces no se preservan los ángulos. Por ejemplo, la función z --+ z 2
tiene derivada nula en el origen y transforma el eje real positivo en sí mismo,
mientras que transforma el eje imaginario positivo en el eje real negativo, por
lo cual, en el origen, un ángulo recto se transforma en otro de 1r radianes
(véase la Figura 1.19).
Otra propiedad que se relaciona con el término conforme, es el cambio
lineal de escala. Bajo las hipótesis del Teorema 1.4.10, si la función f es
conforme en z 0 E A, se sigue de la desigualdad del triángulo que
,~'!'. 1/(z~ =~~zo) 1 =
1/'(Zo)l.
66
1.4. FUNCIONES ANALÍTICAS
Este límite significa que la razón de contracción (o dilatación) lineal de
cualquier segmento (que comience en z 0 ) bajo f es, en el límite, constante, y
no depende de la dirección que se elija. Por supuesto, este cambio, en general,
varia de punto a punto.
En particular, si 'Y(t) = z 0 y 'Y'(t) =f. O, se tiene
lct>'(t)l
=
1
lf ('Y(t))II'Y'(t)l,
esto es, los vectores tangentes a curvas por z 0 se dilatan o contraen por el
factor lf'(zo)l (o se preservan en norma, si lf'(zo)l = 1).
Resumiendo, una transformación conforme, infinitesimalmente, cerca de
z, es aproximadamente una rotación por un ángulo arg f 1 ( z) seguida de
una homotecia por un factor lf ' (z) 1· Dicho de otra manera, si una función
es conforme en un punto z, y se tiene un vector tangente w a una curva
diferenciable por z, entonces el vector tangente a la curva imagen en f (z)
se obtiene al rotar w .por arg f 1 ( z) y al multiplicar su norma por 1f 1 ( z) 1·
Por ejemplo, si f(z) = z 4 - z 2, se tiene que f '(z) = 4 z 3 - 2 z, y
entonces f'(-i) = 6i, por lo que infinitesimalmente, f cerca de -i es
aproximadamente una dilatación por un factor de 6, seguida de una rotación
de 71' /2. Más precisamente, dada una curva diferenciable 'Y por -i con vector
tangente w en dicho punto, la curva f o 'Y tiene como vector tangente en
f( -i) el vector 6 i w.
Teorema 1.4.11 (De la función inversa) Sea f : A ~ e holomorja,
donde A es una región en e, supóngase también que f 1 es continua en
A, y conforme en z 0 E A. Entonces existen abiertos U y V en e, tales
que z 0 E U y flu es una biyección sobre V. Más aún, ¡- 1 : V ~ U es
holomorfa y "i/w E V, si w
= f(z)
se tiene
(f-1) l(w) =
1
f 1(z)"
DEMOSTRACIÓN. Se tiene que
aaxu (z o)
Dj(zo) =
det Df(zo)
( av(z )
8x O
-~:(zo))
'
y
au(z O)
8x
lf'(zo)l 2 =f. O.
67
l. FUNDAMENTOS Y AI'ALITICIDAD
Por consiguiente. usando el teorema de la función inversa para funciones de
IR" en IR", se deduce que existen abiertos U y V en C. .:: 0 E U ta les que
Jiu : U ----> \f es una biyección; ¡-t es diferenciable en el sentido real en \f .
y V z E U se tiene
Por lo que ¡ - ' satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann en V y por lo
tanto es analítica. Además
(
f
_ 1 ,
) (J(z))
=
1
( 8 u() .8v( ))
d et Df(z) 8x z - z 8x z
!'(::)
= lf'(z)l2 =
1
!'(.::)"
o
La hipótesis de que la derimda deba ser continua fue necesario incluirla en
esta fase del texto. sin embru·go no es necesaria. ya que como se mostrará en
el siguiente capítulo, si una función es holomorfa, entonces tiene derivadas
de todos los órdenes en el sentido complejo. Por otra parte. obsérvese que el
Teorema 1.4.11 establece una biyección local y no global. como puede fácilmente detectarse en el ejemplo f (z) = z 2 , ya que esta función en cualquier
vec indad del origen !lO es biyectiva. Véase la Figura 1.19.
A manera de una aplicación del teorema de la función inYersa se exhibe
uHa segunda prueba ele que las funciones rama de logari Lmo son holomorfas en
sus dominios ele analiticidad, con derivada z ----> 1/.:: . Usando la notación de la
P roposición 1.4.8, probamos que la rama de logar itmo d efin ida en C- B y 0 , y
cuyo argu mento toma valores en (yo, Yo+ 2 1r ), es holomorfa en ese dominio
y su derivada está dada por z ----> 1/z. P ara esto restringimos el dominio de
la exponencial a la banda infinita
R y0 = {z E C 1 Yo< Im z <Yo+ 27r}.
Si denotamos a esta restricción como f . se sigue entonces del Teorema 1.-l. ll
que la función inversa ¡-t es analítica en C- B yo · ya que V.:: E Ryo
~,l ás
aún. escribiendo w
= e" .
donde Yo < I m z < Yo
(rl) ' (w) = _1_
f'( z)
=
+ 2 1r,
~ = ~e•
w
se tiene
68
1.4. FUNCIONES ANALÍTICAS
Se puede deducir también del Teorema 1.4.11 que existe una función inversa del seno, que es holomorfa en la región e - {z 1 I m z = O, 1Re z 1 ~ 1}.
Esto se sigue de la descripción que se hizo anteriormente sobre la geometría
de la función seno, y del hecho de que en la franja IRe zl < 7r /2, la función
seno no tiene singularidades, esto es, puntos donde la derivada se anule (en
los puntos ±7r /2 la función se ramifica, es dos a uno). Se tiene entonces
que la función z --+ sen z es una biyección conforme entre ambas regiones.
Sin embargo, no es evidente qué ramas se pueda tomar en la relación (1.10)
para la raíz cuadrada y para el logaritmo, de tal manera que esta fórmula proporcione la inversa. Un análisis detallado, considerando los distintos
cuadrantes, muestra que tomando doblemente la rama principal, se tiene
que en efecto w --+ -i log (iw + J1- w 2 ) define la inversa en la región
e - {z 1I m z = O, 1Re z 1 ~ 1}. Dejamos la verificación de este resultado
como ejercicio para el lector.
Se concluye este capítulo probando que una función holomorfa definida
en una región con derivada nula es constante. Para esto, observamos primero
que si A es una región en e y z, w E A, entonces existe una poligonal
(esto es, una curva formada por un número finito de segmentos de recta
consecutivos no alineados) totalmente contenida en A que une z con w.
Dejamos la verificación de este hecho al lector.
Proposición 1.4.12 Sea A una región en e y f : A
que f'(z) =O 't/ z E A, entonces f es constante en A.
--+
e
analítica, tal
DEMOSTRACIÓN. Sean z, w E A y 'Y : [a, b] --+ A una poligonal que une z
con w. Entonces existe una partición a = x 0 < x 1 < x 2 . . . < x n = b, tal
que "YI [xi_ 1 , xi] es diferenciable, i E {1,2, ... ,n}. En dichos subintervalos
se tiene
(fo"Y)'(t) = f'("Y(t)) "f 1 (t) =O,
escribiendo
f
= u
+ i v,
esto implica que
d (U O ")') (t) = O = d (V o ")') ( )
dt
dt
t '
por lo que estas funciones son constantes (en los subintervalos) y
't/ i E {1, 2, ... , n}. Por lo cual f(z) = f(w).
D
l.
FUNDAMENTOS Y ANALITICIDAD
69
EJERCICIOS 1.4.3
1 Interprete .geométricamente la no conformalidad de la función z --+ z 4 en
el origen.
2. Describa el comportamiento infinitesimal de la función f(z) = 3 z 2 + 2
cerca de 1 + i.
3. Demuestre que en una región del plano complejo, cualesquier dos puntos
se pueden unir por medio de una poligonal. Sugerencia: usar un argumento
de conexidad.
4. Sea B = {z E e 1 lmz =o, IRezl 2: 1} demuestre que usando (doblemente) la rama principal de logaritmo, la función z--+ i log (i z +JI- z 2 )
es una biyección conforme de e- B en {z E e IIRezl < ~}. Esta transformación es una inversa de la función seno.
5. Demuestre que si una función f es conforme en un punto z, entonces la
matriz jacobiana de f en z es el producto de una matriz escalar por una
matriz ortogonal especial (elemento de 80(2)).'
6. Demuestre que si una función g es holomorfa en un dominio D y se anula
en todo punto su derivada n-ésima, entonces la función es un polinomio de
grado menor o igual a n-l. Sugerencia: aplicar inducción sobre n.
CAPÍTULO
2
Integración
En este capít11lo se prueban algunos de los resultados más importantes de la
variable compleja como son el teorema y las fórmulas integrales de Cauchy;
posteriormente se muestran algunas de sus consecuencias, a saber, los teoremas de Liouville y fundamental del álgebra, y varios otros, como el principio
del máximo y la fórmula de Poisson que soluciona el problema de Dirichlet
en el disco. El uso del número de Lebesgue permite simplificar la prueba
de la versión general del teorema de Cauchy -para homotopías de curvas
cerradas- que aparece en el libro de Marsden-Hoffman [12].
2.1.
Fundamentos
En esta sección se establecen las propiedades básicas de la integración compleja y el teorema fundamental del cálculo complejo.
Definición 21 Sea h: [a, b] --+e, h(t) = u(t)
funciones continuas. Se define
¡·
h(t)dt
como
¡•
+ iv(t), donde u y
u(t)dt+i
¡•
V
son
v(t)dt.
Definición 22 Sea 'Y: [a, b] --+e una curva C!)ntinua. Se dice que 'Y es de
clase C 1 por tramos, si existe una particiÓn a = X O < X 1 < ... < X n = b de
[a, b], tal que 'Vi E {1, 2, ... , n} rl (xi-b x¡) es diferenciable y la restricción
de -y' al intervalo (xi_ 1 , x¡) tiene una extensión continua a [xi-b xi]·
71
72
2.1. FUNDAMENTOS
Integraremos principalmente a lo largo de curvas que sean de clase e 1 por
tramos. La integración sobre curvas solamente continuas se usará únicamente
en la parte teórica de la prueba del teorema de Cauchy.
Definición 23 Sea A una región en <C, f: A--+ <C una función continua
y 'Y : (a, b] --+ A una curva de clase 1 . Se define
e
l
f(z)dz
como
{
f('y(t))'y'(t)dt.
e
Se extiende esta definición en forma natural a curvas de clase 1 por tramos
(sumando cada contribución). Recordamos del cálculo que si se tiene una
curva 'Y : [a, b] --+ A de clase e1 , donde A es una región en R 2 y g : A --+ R
es una función continua, entonces se definen las siguientes integrales llamadas
de línea:
l
g(x, y) dx = {
l
g(x, y) dy = {
g (x(t), y(t)) x'(t) dt
y
g (x(t), y(t)) y'(t) dt,
donde 'Y(t) = (x(t), y(t)). El siguiente resultado muestra que la integral
compleja está formada por cuatro integrales de línea.
Proposición 2.1.1 Sean f(z)
la Definición 29. Entonces
l
f(z) dz =
l
DEMOSTRACIÓN.
es de clase
e1 '
= u(z) +iv(z)
(u(x, y) dx- v(x, y)dy] + i
y 'Y(t)
l
= (x(t), y(t))
como en
[u(x, y) dy + v(x, y)dx] .
Sin perder generalidad se puede suponer que la curva 'Y
y en este caso se tiene
f( 'Y(t)) 'Y '(t) = [u (x(t), y(t)) + i v (x(t), y(t))] [x '(t) + i y '(t)]
= u (x(t), y(t)) x'(t)- v (x(t), y(t)) y'(t)
+ i [u (x(t), y(t)) y'(t) + v (x(t), y(t)) x'(t)].
D
73
2. INTEGRACIÓN
Una forma de recordar la fórmula anterior es escribir
f (z) dz
=
(u + i v) (dx + i dy)
=
u dx - v dy + i (u dy + v dx).
Escribiremos algunas veces I-r f por I-r f(z) dz.
Si 'Y 1 : [a, b] ~ e y 'Y 2 : [b, e] ~ e son curvas de clase 1 por tramos,
tales que 'Y1(b) = 'Y2(b), se define la curva 'Y1 + 'Y2 : [a, e] ~e por
e
_ {'Y 1 (t) si tE [a, b],
('Y1 +'Y2 )(t ) 'Y2(t) si tE [b, e].
Ahora, si esta nueva curva está en el dominio de continuidad de una función
compleja f, se sigue de la misma propiedad para integrales reales que
1 "Yl +"Y2
f
=
1
f+1 f.
"Yl
"Y2
Por otra parte, si A es una región en
continuas y 'Y es una curva en A de clase
directamente de la definición que
e, f, g : A
e
1
~ e son funciones
por tramos, entonces se sigue
Esta observación y la siguiente proposición implican que la integral compleja,
a semejanza de la real, es lineal.
Proposición 2.1.2 Sea A un·~ región en C, f : A ~ e una función continua, 'Y una curva en A de clase 1 por tramos y a E e, entonces
e
DEMOSTRACIÓN. Basta probar la proposición para curvas de clase
e
resultado es consecuencia de la siguiente afirmación: dada h : [a, b]
continua y a E C, se cumple la siguiente propiedad
¡•
a h(t) dt = a
¡•
h(t) dt.
1
•
~
El
e
74
2.1. FUNDAMENTOS
Esto se sigue, ya que suponiendo válida la afirmación se tiene
raf = J.b af(-y(t))-y'(t)dt = o: J.b f(-y(t))-y'(t)dt = a }'Yrf.
}'Y
a
.
a
Para probar la afirmación, sean
entonces
¡•
¡•(e
o:= e+ id
y h(t)
= h 1 (t) + ih 2 (t),
+id) (h 1 (t) + i h2(t)) dt
[eh 1 (t)- dh 2(t)J dt + i ¡•[eh 2 (t) + dh 1(t)J dt
= (e+ id) (/.• h 1 (t) dt + i
¡•
h 2 (t) dt) .
o
También, dada A una región y 'Y: (a, b] -4 A de clase C 1 por tramos,
se define --y(t) =-y( a+ b- t), es decir, --y recorre la misma curva que -y,
pero en sentido inverso. Ahora, si f : A -4 C es una función continua, se
sigue del teorema de cambio de variable real (aplicado dos veces) que
r
/_--y f = - J'Y f.
(2.1)
Usaremos el siguiente resultado de cálculo para probar que la integral
compleja no dependé de la parametrización. Recordamos que una parametrización unitaria es aquella cuyos vectores tangentes tienen norma l.
o
X
• •
t(C)
Jk(t(C))
•
k(O) k(x)
Figura 2.1: Parametrización unitaria, x E [O, f(C)] va a un punto k(x), cuya
distancia a lo largo de e de k(O) es precisamente X
75
2. INTEGRACIÓN
e la curva descrita por
la función g : [a, b] ----> IR" de clase e 1 . y con derivada no nula en todo [a, b].
1
Si e : [a. b] ----> [0, C(e)] es la función longitud, i. e., C(t) = fa lg'(s)l ds y
1
t.p = c- . entonces la 7Jarametrización de e dada po1· go<p: [0, C(e)]--> IR"
es unitaria.
Teorema 2.1.3 (Parametrización u nitaria) Sea
Es ilustrativo constatar que Vt E [0, e(e)], g o <p(t) es el punto que se
encuentra a una distancia t de g(a) a lo largo de
(véase la Figura 2.1).
e
Corolario 2.1.4 Sean g : [a , b] ---->IR" y f: [e, d] ---->IR" dos parametrizaciones de una Cttrva
de clase e 1 , tales que g'(t) =f. 0 \ft E [a, bj,
f'(t) =1- O Vt E [e, d], g(a) = f( c) y 9(b) = f(d). Entonces existe un
e
difeomorfismo h : [a, b] ----> [e, d], tal que f oh= g.
DEMOSTRAC IÓN. Por el teorema de parametrización unitaria existen clifeomorfismos <p 1 : [0, e( e)] ----> [a, b] y <fJ2 : [0, e( e)] ----> [e, d] tales que g o <p 1
y f o <p 2 son parametrizaciones unitarias. Debido a la descripción ele una
parametrización unitaria 9 o <p 1 = f o <p2, por lo tanto, g o <p 1 o <p2 1 =f. O
Ahora, sean A una región en e, f : A ----> e continua y 9 1 : [a 1 , b ¡] ----> A ,
92 : [a 2 , b2 ] ----> A dos parametrizacioncs que recorren una curva ¡ en A en el
mismo sentido, y que tienen derivada no nula. Se sigue entonces del Corolario
2.1.4 que existe un clifeomorfismo <p, tal que 9 1 o <p = 9 2 , por lo que si se
escri be f o g 1 (t) 9((t) = u(t) + iv(t), se tiene
t ' f(g¡(t)) g1'(t)dt
la,
=
1:
=
rb, [u(t) +iv(t)] dt
la,
rb, [u (t.p(s)) <p ' (s) + iv (t.p(s)) <p '(s)] ds
la,
2
f o g 1 (<p(s)) g¡' (t.p(s)) <p'(s) ds =
1:,
f (92(s)) 92(s) ds.
como consecuencia del teorema ele cambio de variable.
Se concluye que si ¡' sólo se anu la en un número fini to de puntos.
entonces J, f no depende de la pammetrización (se sobreentiende que las
parametrizacioncs recorren la curva en el mismo sentido) .
Corno ejemplo calculamos J,(Re z) dz, donde ¡ es el segmento ele línea
que une el origen con el punto - 1- i. Se puede pa.rametrizar ¡ : [0, 1] ---->e
76
2.1.
como 'Y(t)
= -t- it.
1(Rez) dz =
Por lo cual 'Y'(t)
= -1- i
FUNDAMENTOS
y
1\-t)(-1- i) dt
1' +
(t
t2
.t2)1
( -+z-
it) dt
2
~------.....__-....,
2
1
o
1+i
1
Figura 2.2: La curva 'Y determinada por el perímetro del cuadrado formado
por los puntos O, 1, 1 + i e i
Como un segundo ejemplo evaluamos J'Y (I m z) dz, donde 'Y es el perímetro
del cuadrado formado por los puntos O, 1, 1+i e i. Se parametriza 'Y como
'Y
(t)
=
¡
~(3-+ (tt)-+
o~
1
1) i
~
2~
i
(4--:-t)i
3
~
t
t
t
t
~
~
1,
2,
~
3,
~
4,
véase la Figura 2.2. De esta manera
1
(Imz) dz
=
1'
'Y
3
=
L
j=O
1'
"+1
Im ('Y(t)) 'Y'(t) dt
1
3
0(1) dt + J.'tt -1)(i) dt + /. (1)( -1) dt +
=
(t; -t) 1> -1+ ( -4t+ t;)l>
~.· (4- t)( -i) dt
= -1.
77
2. INTEGRACIÓN
Recordamos que la longitud de una curva de clase C1 'Y: [a, b]
está dada por
--+
e
l('y) = J.\r'(t)i dt.
El siguiente importante resultado -análogo al caso real- que exhibe cotas
superiores para la norma de una integral, se usará frecuentemente.
Teorema 2.1.5 Sean A una región en
tramos y f: A --+ e continua. Entonces,
{i) si lt('Y(t)) 1 :::; M 'v't
(ii)
E
[a, b],
e, 1: [a,
b] --+A de clase C1 por
li ti :::;
se tiene
M l('y);
li ti :::; { lt('Y(t)) 1 ll''(t)i dt.
La integral
J.' lt('Y(t)) lll''(t)l dt se denota por J,ltlldzl.
DEMOSTRACIÓN. La primera parte (i) es consecuencia de la segunda (ii),
para probar esta última se afirma que si g: [a, b] --+ e es continua, entonces
1{
g(t) dtl
:::; { lg(t)l cit.
Esta afirmación prueba (ii) al tomar g(t) = f('Y(t))'Y'(t).
El truco para probar la afirmación es expresar la integral de manera polar.
Escribiendo
1.•
g(t) dt = re;•,
se sigue de la afirmación en la prueba de la Proposición 2.1.2 que
r = e-;s
1.•
g(t) dt =
1.•
e-;• g(t) dt.
También, se sigue de la definición de integral que
r = Re( r) = Re (J.• e-;B g(t) dt) =
1.•
Re
(e-; 8 g(t)) dt.
78
2.1. FUNDAMENTOS
Finalmente
11.• g(t) dtl =
r =
¡•
Re (e-•• g(t)) dt
~ ¡•¡e-•• g(tJI dt
= ¡•lg{t)l dt.
o
Ilustramos el teorema con un ejemplo, si 'Y es el semicírculo inferior unitario recorrido en el sentido positivo, entonces usando la primera parte del
Teorema 2.1.5 se tiene
2ez 1 < tr2e
-dz
'Y 5z
5'
1¡
ya que en el círculo unitario la norma de la exponencial es ecost, t E (0, 2 tr].
Algunas veces se usan integrales del tipo
fldzl, éstas se definen como
b
'Y
fa f ('Y(t)) I'Y'(t)l dt, donde 'Y es una curva de clase C 1 por tramos que
está definida en el intervalo (a, b] y que toma valores en una región donde la
función f es continua. Terminamos esta sección con el teorema fundamental
del cálculo complejo que, al igual que el caso real, permite calcular integrales
de manera inmediata, sin hacer muchas cuentas.
J
Teorema 2.1.6 (Fundamental del cálculo complejo) Sea A e e una
región y f: A-+ e continua, supóngase también que f = g', donde g: A-+ e
es holomorfa, y que 1: [a, b] -+A es una curva C1 por tramos en A. Entonces
l
f
= g(-y(b)) - g(-y(a)).
En particular, si la curva es cerrada, es decir, 'Y(b)
= 'Y(a),
lt =o.
DEMOSTRACIÓN.
l t
f =
Si 'Y es de clase
f(-y(t))'Y'(t)dt =
=
C1
t
g'('Y(t))'Y'(t)dt
t
(g o-y)'(t)dt
Y('Y(b))- g('Y(a)),
la última igualdad se sigue fácilmente al escribir g o 1(t) = u(t) + iv(t) y
aplicar dos veces el teorema fundamental del cálculo real. El caso general se
sigue sumando todas las contribuciones.
O
79
2. I NTEGRACIÓN
Como ejemplo evalua mos J, 3 z 2 dz. donde -y es el segmento de la elipse
dada por 2x 2 + y 2 = 1 que une z = i y z = - 1//2 en el sent ido posit iYo
(en general. siempre que se integre sobre círculos, eli pses o cun·as simples
cerradas. se tomarán las curvas orientadas positivamente. es decir, al recorrerlas, la región acotada que delimitan estará a la i~quierda). En virt ud del
Teorema 2.1.6 no es nécesario parametrizar la elipse, ya que
Por lo cual
1
3 z 2 dz =
1
(-l):l .
.j2
1
- i .J
.
- - - + t.
2/2
Es crucial notar que si se toma cualquier otra curva que una. i con -1//2.
se obtiene el mismo resultado. ya que la función :: _, .:: 3 es entera.
El siguie nte ejemplo es de particular importancia y se usará posteriormente. Sea -y el círculo de radio r alrededor de a E C y n E Z . entonces
si n
.¡:.-l.
si n =-l.
Esto se sigue, ya que
si n ~ O o n ~ -2,
(z- a)"
= ~ (-- . (z- a)n+l)
1
dz
n+1
en C- {a }, y por el Teorema 2.1.6
1
(::-a)" dz
O.
Por otra parte. si n = -1 parametrizando -y como -y(B) = a + 7' e; 0 . donde
BE [0. 2rr]. se t iene que -y'(B) = i r e;o y
l
_ l_d.., - { 2"
ire;o
dB
.., ::-a - - l o (rei 9 +a)- a
1·:,.. illq)() Jialll e destacar que 110 cxi:-.t<'
{OJ l' \1\'il <kri\·;Hln ~<'<1 :
llliiiÍo <'11 :_·
=
i
{o2rr dB = 2rri .
lo
fu 11<¡,·"' h<dolllorfa co11 do· 1 : . Si c ·~ta fiiiJ('ÍÚII <'XÍ:-.t it•ra.
II ÍII~IIIIil
80
2.2. \" ERSIÓ:'\ PART ICULAR DEL TEOitE~ I A DE CAUCIIY . IDEAS INTUITIVAS
IJs;tllClo t•l 1 !'OI"<' I ll ; l "2.l .ü
~<'
tPndría
dondt• -. t•s ('1 dr ·u lo un ita rio. si u t'luhar •o t'slo cont rndic(' PI ·úkulo lwcho
t•l <'.i<>mplo nntr'rior. Rt•conlt• lnos qw· la id('!ll iJad
1'11
d
- (lo • ')
d:
s \·;ílida ~obnwnt< • t'll d dOininio dt· aw1 lit icidad dt· al"tlll;l milla d' ugaritllto. C'onto \ ' fl t' discut ic'>. t•llo!!,a rit 1110 110 t ·~ una funcit'n¡ cont inua t'll ::: - {0} ,
y por lo tn nto tn mpoco pu('d(' st·r holo111orfa t'll dicho lli.llninio.
EJ E RC ICIOS 2. 1
l. Demuestre la identidad (2.1) .
2. Calcule J.. , 3 z'1 dz. donde ¡ es c ualquier curva de clase C 1 por t ramos
que une i con 7.
3. Sea¡: [0 , 2 1r] __, C dada por ¡(t ) =i+4+ 3 e; 1 y f (z) = (z-i- 4)- 7 ,
calcule J.., f .
J.., J,
4 . Calcule
donde f (z) = Imz y¡ es el segmento de línea que une 2
con -i. ¿Se cumple R e (J.., !) = J.., R e f?
5. Demuestre que 1J.., JI ::; ~ log 2, donde f(z) =sen z y ¡ es el segmento
en el eje imaginario que une el origen con (log 2) i.
6. Calcula r
el origen.
2.2.
f-r ~
y
J1 ldozl .
donde ¡ es el círculo de radio 2 con centro en
Versión particular del teorema de Cauchy,
ideas intuitivas
Es didáct.ico exhibir de manera int.ui t.iva algunas ideas geométricas relacionadas con el teorema de Cauchy. sin embargo en las pruebas formales
de las secciones subsecuentes no se usanín estos resultados. R ecordamos que
una curva simple cerrada es una curva cont.inua que sólo se a utointerseca en
81
2. l NTECRACIÓ!\
sus puntos finales, es decir, si 1 : [a, b] ~ e es una parametrización de dicha
curva, la única autointersección es ¡(a) = 1(b).
Figura 2.3: Una curva simple cerrada separa en dos componentes al plano
El famoso teorema de Jorclan ele la topología (cf. [14] capítulo 4) establece
que una curva simple cerrada divide a e en dos componentes: a la componente acotada se le llama el interior de ¡, y a la no acotada se le llama el
exterior. Éstas se denotan por I nt(¡) y Ext(¡) respectivamente, véase la
Figura 2.3. Nótese que una curva simple cerrada no necesariamente es un
objeto simple, ya que este conjunto puede constituir un fractal, por ejemplo,
el conj unto límite de un grupo cuas ifuchsiano cf. [15], p. 226.
Una manera fácil de probar una versión particular del teorema de Cauchy
es aplicando el teorema de Grcen que se estudia en los cursos de cálculo.
Este teorema establece que si A es una región en e que contiene una curva
simple cerrada ¡ y a su interior, de tal manera que este último es una
región elemental en el sentido de los cursos de cálculo, y se t ienen defin idas
dos funciones reales P y Q de clase C 1 en A , resulta que
iP(x,y)dx+Q(x. y)dy =
j
( ~~(x. y) - ~:(x.y))
dA.
i>lt("'/)
Este teorema se genera liza a otro tipo de curvas, por ejemplo, a aquellas
cuyos interiores se pueden descomponer en un número fin ito de regiones
elementales, al bisectar con segmentos verticales y horizontales (cf. [13], p.
357) .
82
2.2. VERSIÓN PARTICULAR DEL TEOREMA DE CAUCHY, IDEAS INTUITIVAS
Teorema 2.2.1 (De Cauchy, versión particular) Sea A una región en
e que contiene una curva 'Y como la descrita arriba, y a su interior, supóngase
también que f: A ---+ e es analítica y j' es continua, entonces
DEMOSTRACIÓN.
i / i<
=
U
Escribiendo j =u+ i v,
+ i V){ dx + i dy)
ay
J (_avax _ au)
Int('y)
=
i dx -
dA+i
U
V
dy + i
[i
J (auax _ 8v)
8y
U
dy + V
dx]
dA= O.
Int(-y)
La penúltima igualdad es consecuencia del teorema de Green, la última de
O
las ecuaciones de Cauchy-lliemann.
Se verá después que la condición f' continua es consecuencia de que f
sea analítica. Más aún, probaremos de manera rigurosa en la siguiente sección
una versión mucho más general de este importante resultado.
El teorema de Cauchy es de gran utilidad para calcular integrales, por
ejemplo, si se tiene la función f(z) = esenz, y 'Y es el cuadrado determinado
por ± i, ± 1, entonces como f es entera tenemos, sin necesidad de calcular,
i
e''"" dz = O.
También, si 'Y es el círculo -3 i + 2e i 0 , O ::; () ::; 2 1r y log z denota la rama
de logaritmo definida por (1r /2, 57r /2), se sigue que J'Y log z dz = O, ya que
dicha rama de logaritmo es holomorfa en una región que contiene el círculo
y a su interior.
Es crucial notar que si la función no es holomorfa en el interior de la
curva, entonces la integral no necesariamente es O. Recordamos para esto
el ejemplo de la integral sobre un círculo concéntrico al origen de la función
z ---+ 1/ z. A continuación damos una versión intuitiva del Teorema de la
deformación 2.3.12. Este teorema es uno de los más importantes del curso y
tiene como consecuencia inmediata la versión general del Teorema de Cauchy
2.3.13.
83
2. l i\TEGRAC!Ói\
Figura 2...1: Teorema de la deformación, Yersión intuit iva
T eore m a 2.2.2 (De la d e fo r m a ció n , ver sión intuitiva ) Sea f unafunC'ión analítica en una región A que contiene una cm'va sim¡Jle cen-ada 'Y 1 .
Supóngase también que 'Y 1 puede ser deformada continuamenl.e en A a otra
cu1'Va simple cerrada 1 2 , de tal manera que a la región comp1·endida entre
estas curoas se le puede aplicar el teorema de Creen. Entonces
l !=f!
1 1
12
Posteriorme nte se defin irá fo rmalmente esta idea de la deformació11, se d irá que
'Y 1 es homotópica a 1 2 .
D EMOSTRACIÓN . [I NTUITIVA] Se traza m1a curva auxi lia r u como en la
F igura 2.4. A la curva ¡ 1 + u - "/2 - u se le puede a plicar el teorema de
Cauchy, ya que aunque esta curva 110 es simple cerrada, se pueden tomar
copias paralelas a u obteniendo una curva simple cerrada T. como en la
Figura 2.-1. y después tomar el límite. De esta manera
JJ
= O.
1 1+U-')'2- U
por lo que
1 + 1 -1 -1
f
11
u
f
f
12
u
f
o.
Lo cual implica
D
84
2.2. VERSIÓN PARTICULAR DEL TEOREMA DE CAUCHY, IDEAS INTUITIVAS
Podemos aplicar este resultado para conocer el valor de algunas integrales,
por ejemplo, si 'Y es una curva simple cerrada que no contiene al cero, pero
lo contiene en su interior, y se le puede aplicar el teorema de Green, entonces
se tiene que
f~
}--y z
dz
=
27ri.
Para mostrar esto se puede tomar un círculo suficientemente pequeño alrededor del origen de tal manera que esté contenido en el interior de 'Y· Si denotamos a este círculo por A, se intuye entonces que 'Y se puede deformar
continuamente a A -esta última afirmación se puede probar rigurosamente
usando nociones básicas de la topología algebraica-, por lo que usando el
teorema de la deformación se sigue la igualdad de arriba.
El teorema de la deformación se puede generalizar como mostramos a
continuación. Sean "(¡, "( 2 , ••• , 'Yn curvas simples cerradas en el interior de
otra curva simple cerrada 'Y, de tal manera que a la región comprendida
entre 'Y y las curvas 'Y i, i = 1, 2, ... , n se le puede aplicar el teorema de
Green. Supóngase también que f es analítica en una región que contiene al
conjunto
entonces
{f
}--y
=
t{
¡,
k=l
J'"Yk
(2.2)
véase la Figura 2.5, para el caso n = 2. Para mostrar la validez de este
resultado de manera intuitiva se dibujan curvas auxiliares u¡, u 2 , ••• , un
que unan 'Y con 'Y 1 , 'Y 2 , ••• , 'Y n respectivamente, de esta manera se construye
una curva simple cerrada r, cf. Figura 2.5. Ahora, ya que el interior de T
está contenido en el dominio de analiticidad de /, se tiene
f.¡= o.
Además, salvo cantidades que se pueden hacer arbitrariamente pequeñas,
T consiste en recorrer 'Y en la dirección original, "(¡, 7 2 , ••• , 'Yn negativamente y u 1 , u 2 , .•. , un en ambas direcciones. Estas últimas contribuciones
se cancelan obteniéndose (2.2).
85
2. I NTEGRACIÓN
Figura 2.5: Teorema de la deformación generalizado, versión intuitiva
Definición 24 Se dice que una región A en IC es simplemente conexa, si
toda curva continua cerrada 1 en A se puede deformar (en A) a tma curva
constante (es decir, a un punto). En este caso se dice que 1 es homotópica
a un punto.
Intuitivamente A es simplemente conexa si no tiene hoyos (véase la Figura 2.6). Con esta definición. el teorema de Cauchy se puede reescribir como
sigue: sea f analítica en una región simplemente conexa A con derivada
continua. y 1 una cun·a simple cerrada en A a la que se le puede aplicar el
teorema de Green. entonces
1! = o.
A continuación mostramos un ejemplo intuit ivo que muest ra que si una
función es holomorfa en la vecindad agujerada de un punto, y además es
86
2.2. VBRSIÓN PARTICULAR DBL TEORBMA DE CAUCIIY, I DEAS INTU ITI VAS
acotada en esa vecindad, entonces se comporta como una función holomorfa.
Sea A el disco agujerado { z E e 1 O < iz - zol < 1·} y f analítica en A,
supóngase también que la función está acotada por i\J en A. Resulta bajo
estas hipótesis que si -y es una curva simple cerrada en A que contiene en
su interior a z 0 , y a la que se le puede aplicar el teorema de Green, se tiene
(2.3)
Esto se sigue del teorema de la deformación, ya que intuitivamente es claro
que -y se puede deformar a un pequefio círculo al rededor de z 0 . Si el radio
de dicho CÍrculo es E, escribiendo C, = {Z E e llz- zol 1 =E}, se tiene
por el Teorema 2.1.5
Como esto es cierto para toda E (suficientemente pequeña) , se sigue (2.3) .
Este hecho es natural. ya que posteriormente demostraremos que si una función es holomorfa en un disco agujerado y además está acotada, entonces es
holomorfa en todo el disco.
Terminamos esta sección con un resultado sobre ciertos casos donde las
integrales sobre curvas que unen dos puntos fijos , no dependen de las curvas
que se tomen.
@
Figura 2.6: Región que no es simplemente conexa y región que sí lo es
87
2. I NTEGRACIÓN
Teorema 2.2.3 (De independencia de trayectorias, ) Sea A una región simplemente conexa en e y f : A ...... e analítica, entonces si 'Y 1 y
"/2 son dos cu1'Vas que unen z 1 con z2 en A , de tal manera que juntas
constituyen una curoa simple cerrada a la que se le puede aplicar el teorema
de Creen, se tiene
1!=1!
'Y2
1'1
DEMOSTRACIÓN. [INTUITIVA] Sea 'Y = "f¡ - "! 2 , entonces el resultado se
sigue del teorema de Cauchy, puesto que
1! = 1f-1f
'Y
"Y l
o
')2
(véase la Figura 2.7).
o
Figura 2.7: Teorema intuitivo de independencia de trayectorias
Cuando se haya probado el Teorema de la deformación ( 2.3.12) será evidente que este resultado se generaliza a cualesquier dos curvas de clase C 1
por tramos, que unan z 1 con z 2 , independientemente de que éstas se autointersequen.
88
2.3.
TEORE~IA DE CAUCHY
EJERCICIOS 2.2
l. Calcule la integral de f( z)
= e1: 1";
en el círculo {z llzl
= 2}.
2. Calcule frz -ii=S log z dz, donde log z es la rama principal de logar itmo.
3. Calcule frzl=l/ 2
(0, 27i) .
2.3.
J.Z2=1 dz , donde
la raíz se define tomando la rama
Teorema de Cauchy
En esta sección se probará de manera formal una versión muy general del
teorema de Cauchy que se aplica a curvas cerradas de clase C 1 por tramos,
simples o no, y no se usará el teorema de Green. Se prueba primero una
versión local que es pieza clave en la prueba del caso general.
~
~
R2
'-
~
~ h
I:±:J
R3
~
Figura 2.8: Prueba del lema de Goursat
~
R
89
2. INTEGRACIÓN
Teorema 2.3.1 {Lema de Goursat) Sean A una región en e, j: A
analítica y R =[a, b] x [e, d] e A, entonces
J. f
=
--+
e
o.
8R
DEMOSTRACIÓN. Para cada rectángulo P denotaremos por I(P) a fap f.
Bisectando el rectángulo R al dividir la base y la altura en partes iguales,
se obtienen cuatro subrectángulos que denotamos por R 11 R 2 , R 3 y R 4 •
Como las fronteras comunes de estos subrectángulos Ri, i = 1,2, 3, 4, se
cancelan
4
I(R)
=
4
L I(Ri)
y
i= 1
II{R)I ~
L II(Ri)l'
i=1
por lo que alguno de los Ri satisface
Denotamos a dicho subrectángulo R 1 . Iterando este proceso (véase la
Figura 2.8), se obtiene una sucesión de rectángulos R, R 1 , ... , R k, . . . que
cumplen
(i) R :::> R 1 :::> R 2 .•. ,
(ii) II(R)I ~ 4k II(Rk)l,
(iii) Rk tiene diámetro D/2k, donde D es el diámetro de R.
Se afirma que el conjunto
k=1
consiste exactamente en un punto. Es claro que no puede contener más de
un punto, ya que diam(Rk) --+
Para probar que no es vacío se puede
tomar un punto z k en cada subrectángulo R k, y se tiene que la sucesión
zk, k E N, es de Cauchy, ya que si l ~k
o:
90
2.3.
TEOREMA DE CAUCHY
Por lo tanto, 3 Zo E e, tal que Zk __. Zo, cuando k__. oo, y como todos los
rectángulos R k son cerrados, z 0 está en la intersección de todos ellos.
Ahora, como
{
laRk
zdz = O = {
laRk
dz,
se sigue que
{
laR k
También, como
f
[(f(z)- f(zo)- (z- zo)f'(zo)] dz.
es analítica en z 0 , dado e> O existe
~>O,
tal que
1/(z)- f(zo)- (z- zo)f'(zo)l < e lz- zol,
si 1z - z 0 1 < ~.
Finalmente, si k es suficientemente grande se tiene que diam(Rk)
por lo que en virtud del Teorema 2.1.5 se tiene
<
~'
y usando (ii)
II(R)I $ 4k II(Rk)l $ 4k
eD!~8R)
eDi(8R),
lo cual implica I(R) =O.
D
Usaremos para la prueba del caso global, la siguiente generalización del
lema de Goursat.
-
zo
0
0
0
.-R
0
0
0
Figura 2.9: Prueba de la generalización del lema de Goursat
91
2. INTEGRACIÓN
Corolario 2.3.2 Sean A una región en C, y f: A~ C una función continua, supóngase también que esta función es holomorfa en A- z 0 , donde
z 0 E R e A, y R es el interior de un rectángulo. Entonces
J. f = o,
8R
DEMOSTRACIÓN. Suponemos primero que Zo E aR. Se subdivide R como se
describe en la Figura 2.9. En dicha partición se denota por R 17 R 2 , R 3 , R 4
y R 5 a los subrectángulos que no contienen a z 0 , y por R* al que sí lo
contiene (si z 0 es un vértice son cuatro los subrectángulos, sin embargo el
procedimiento es el mismo). Se tiene por el lema de Goursat que
J.
8R
5
f =
I: J.
i= l
Ahora, por compacidad
f
1
oR¡
f
+
J.
oR•
está acotada en
Lti :,;
f =
R
J.
oR•
f.
por un real positivo M,
M f(&R•).
Como evidentemente f.(8R*) se puede hacer tan pequeña como se quiera, se
sigue que
J.
f
= .0.
8R
Si z 0 E Int R, el argumento anterior claramente se puede aplicar, en este
caso se obtienen nueve subrectángulos.
D
Nótese que el corolario anterior se generaliza a cualquier función que sea
continua en toda la región, y holomorfa salvo quizá en un número finito
de puntos. Para probar este hecho, basta subdividir el rectángulo en subrectángulos que solamente contengan un punto donde la función podría no
ser holomorfa. El siguiente teorema es otro ingrediente básico para la prueba
del Teorema de la deformación {2.3.12).
Teorema 2.3.3 (Local de la primitiva) Sean f: A ~ C analítica, donde
A es una región en C. Supóngase también que R = [a, b] x [e, d] e A, ·entonces existe g: U ~ C analítica tal que g' = f en U, donde U e A es
una vecindad abierta de R.
92
2.3. TEOREMA DE CAUCHY
/
1
J
z
_
__,
R
z+h
zo
Figura 2.10: Prueba del teorema local de la primitiva
D EMOSTRACIÓN. Usando el Lema 2.3.11 se puede suponer que existe otro
rectángulo P, tal que R e Int Pe A, y tal que los lados de P son paralelos
a los de éJR. Sea z 0 el vértice inferior izquierdo de P, para cada z E Int P
se definen >..., y '1/Jz como las poligonales descri tas en la Figura 2.10, que
unen z 0 con z. Explícitamente, si z = x + i y y zo =X o+ i Yo,
Az(t)
=
si t E [0, 1],
{ x o+i(yo + t(y-yo))
x o+(t- 1)(x-xo)+iy
si t E[l , 2].
De manera análoga se parametriza '1/Jz.
La función primitiva, es decir, aquella cuya derivada es
al definir
g(z) =
f.
J,
se va obtener
r
J>..
Para probar que g es holomorfa en Int P y que g'(z) = f(z) para toda
z E Int P, notamos primero que se sigue del lema de Goursat que
r
1
JAz J = v~ J
Ahora, si h E lR es suficientemente pequeña
g(x + h, y)- g(x, y)
=
1
T¡.
f(x, y) dz,
93
2. INTEGRACIÓN
+ h, y),
donde Th es el segmento horizontal que une (x, y) con (x
la variación vertical de Th es nula, se obtiene
al tomar x como parámetro para
h <O, ya que en este caso
r~+h
=
g(x + h, y)- g(x, y)
y como
f(t, y) dt,
lx
Nótese que esto se cumple también si
Th.
= - {x
g(x + h, y) - g(x, y)
f(t, y) dt.
lx+h
Por consiguiente
g(x + h, y) - g(x, y)
1 ¡x+h
h
=
h1
X
f (t, y) dt •
{2.4)
Se afirma que
l~ (
1 ¡x+h
h Jx
)
j(t, y) dt
=
f(x, y).
{2.5)
Esto se demuestra en forma similar al teorema fundamental del cálculo. Por
continuidad, dada e > O existe 8 > O, tal que lf(t, y)- f(x, y)l < e, si
lt - xl < 8. Por lo cual, si O < h < 8
r
r
h1 lx x+h f(t, y) dt- f(x, Y) 1 = 11h lx x+h (f(t, y) - f(x, y)) dt 1
1
~
1 {x~
jhj lx
lf(t, y)- f(x, Y)l dt ~
eh
h =
e.
La primera igualdad es cierta ya que fxx+h f(x, y) dt = hf(x, y), y la penúltima desigualdad se sigue de la prueba del Teorema 2.1.5.
El caso h < O se demuestra en forma similar y queda como ejercido. Por
lo tanto se cumple la igualdad (2.5). Escribiendo
g(z) = g 1 (z)
+ ig2(z)
y
f(z) = u(z) + iv(z),
se sigue entonces de la relación (2.4) que en lnt P
8g¡
. 8g2
ax =
-+'t-
ax
u+iv.
94
2.3.
TEOREMA DE CAUC!IY
Usando ?j; z en lugar de .>. z se obtiene de manera similar
éJg1
-+ 2. -éJg2éJy
éJy
.
= -v + tu.
Esencialmente, esto se sigue ya que al tomar como parámetro el segmento
vertical, aparece en la derivada el valor i; dejamos la verificación de los
detalles al lector. Finalmente, como u y v son continuas y las parciales de
g 1 , g 2 existen y están relacionadas por las ecuaciones de Cauchy-Riemann,
g es analítica en Int P, y en dicho conjunto
g'
= f.
D
1
1
2
o
Figura 2.11: Curvas homotópicas
El siguiente resultado es consecuencia inmediata del teorema fundamental
del cálculo complejo y del de la primitiva local.
Corolario 2.3 .4 Bajo las hipótesis del Teorema 2.3 .3, si además ¡ es una
curva cerrada de clase C 1 por tramos en R , se tiene
1¡ = o.
95
2. INTEGRACIÓN
El siguiente resultado, que se usará posteriormente, generaliza el teorema
de la primitiva local y se sigue del Corolario 2.3.2, ya que en la prueba del
teorema de la primitiva local se usó la analiticidad de la función J, solamente
para aplicar el lema de Goursat. Nótese que como f es continua, las parciales
de 91 , 92 lo son, lo que asegura la analiticidad de 9 (junto con la validez de
Cauchy-Riemann).
Corolario 2.3.5 Se puede generalizar el Teorema 2.3.9, debilitando las hipótesis, suponiendo solamente que f es continua en A y analítica en A-{z 0 },
donde z 0 es un punto arbitrario en R.
Habiendo probado los resultados locales necesarios para probar el Teorema de la deformación {2.3.12), se introducen ahora algunas definiciones y se
prueba un caso particular.
Definición 25 Sea A una región en e, se dice que las curvas lo: [a, b] --+A
y 1 1 : [a, b] --+ A son homotópicas {como curvas cerradas) en A, si existe
una función continua H: [a, b] x [0, 1] --+A, que cumple
(i) H(s, O) = lo(s),
{ii) 'Vt E [0, 1],
H(s, 1) = 11(s),
se tiene
H(a, t)
=
H(b, t).
Es conveniente pensar a la segunda variable como el tiempo, así, en el
tiempo O se está en la curva ')'o y en el tiempo 1 en ')' 1 . Esta definición
exhibe la forma rigu'rosa de.decir que ')'o es deformable a 1 1 (véase la Figura 2.11). Obsérvese que las curvas s --+ H(s, t) se pueden autointersecar,
nótese también que una curva constante es cerrada. Mostramos ahora un
ejemplo: sea A la región {z E e 11 < lz- (7 + i)l < 4}, entonces los círculos lz- {7 + i)l = 2 y lz- (7 + i)l = 3 son homotópicos en A como curvas
cerradas. La homotopía está dada por
H(s,t)
=
7+i+(2+t)eis,
donde sE [0, 27r], y tE (0, 1], véase la Figura 2.12.
Definición 26 Se dice que una región A en e es simplemente conexa, si
cualquier curva continua y cerrada es homotópica, como curva cerrada, en
A a una curva constante, es decir a un punto.
96
2.3.
TEOREMA DE CAUCHY
Figura 2.12: Círculos homotópicos en un anillo
A las curvas descritas en la definición anterior que se pueden deformar a
un punto, algunas veces se les llama nulhomotópicas.
D efinición 27 Se dice que un subconjunto A de !PI." es convexo si dados
dos puntos cualesquiera en A, el segmento que los une también está en A.
Esto es, Vx 1,x 2 E A y Vt E [0, 1] se tiene
x 1 +t(x 2 - .x 1) E A.
Al segmento {x E !PI." 1 x = x 1 + t(x 2 - x 1 ), t E [O, 1]} se le llama la
combinaciónconvexade x 1 y x 2 , también seescribecomo (1 - t)x 1 +tx 2 .
Algunos ejemplos de regiones convexas son los discos y los semíplanos, por
ejemplo, si z 1 ,z2 E D(z 0 , 1·) = {z 1 lz - zol < 1·}, entonces
ltz2 + (1 - t)z ¡ - zol
= lt(z2- zo) + (1 - t)(z¡- zo)l <
t1· +
(1 - t)r = r,
donde t E [0, 1], véase la Figura 2. 13. Nótese que la intersección de regiones
convexas es convexa. El siguiente resultado muestra que en las regiones convexas una curva se puede deformar en cualquier otra.
Proposición 2. 3.6 Sea A una región convexa en e y 'Y o, 'Yt: [a, b] --+ A
do s curvas continuas y cerradas, entonces 'Yo es homotópica a 'Y 1 en A.
DEMOSTRACIÓ N.
Se define una homotopía H: [a, b]
H (s, t) = t--y 1 (s)
X
+ (1 - t )'Y0 (s),
[0, 1] --+e como
97
2. I NTEGRAC IÓN
donde O 5 t 5 l. Puesto que lo y ¡ 1 son continuas, también lo es H ,
además, para t fija,
H (a, t) = t¡1(a) + {1- tho(a) = t¡¡(b)
+ {1- tho(b)
H (b. t),
por lo que s--+ H (s, t) es una curva cerrada.
Finalmente,
H (s, 1)
y como A es convexa, V (s,
=
t)
¡ 1 (s),
E
H (s, O)
=
¡ 0 (s),
[a, b] x [0, 1], se tiene que H (s, t) E A. D
Figura 2.13: Los discos son convexos
Como consecuencia inmediata de esta proposición, se sigue el siguiente
resultado al tomar una curva continua y cerrada, y una curva constante.
Corolario 2.3. 7 Una región convexa es simplemente conexa.
Definición 28 Se dice que una homotopía como la descrita en la Definición
25 es de clase 1 por tramos, si las restricciones a segmentos horizontales
o verticales son de clase e 1 por tramos.
e
98
2.3.
TEORE~IA DE CAUCHY
1
o
a
b
Figura 2.14: Prueba del teorema ele la deformación para homotopías ele clase
por tramos
e1
Teorema 2.3.8 (De la de formación para homotopías e1 por tramos)
Sean A e e una región, J: A --+ e una función analítica, 'Yo: [a, b] --+ A y
1' 1 ; [a, b] --+ A CU7'Vas cerradas de clase 1 por tramos. supóngase también
que existe una homotopía H ; [a, b] X [0, 1] --+ A de clase 1 por tramos
entre ellas. Entonces
e
e
Para probar el teorema se necesita el lema que se enuncia a continuación.
La prueba de este res ul tado se sigue fácilmente usando técnicas básicas de la
topología de IR"; queda como ejercicio para el lector: alternati,·amente este
resultado puede consultarse en [2]. p. 89.
};=
Le ma 2.3.9 Sea M un subconjunto compacto de JR.n. y sea {U1 1 una
cubierta abier·ta de Al. Entonces existe un número ó > O, llamado número
de Lebesgue de la cubierta, tal que si 1V es un subconjunto de .\I de diámetr·o
menor a ó, entonces IV e Ui para alguna j.
[Del Teorema 2.3.8] El conjunto compacto H ([a, b] x [0, 1])
puede cubri rse por medio de un conjunto finito de rectángulos abiertos R 1 ,
con la propiedad de que para cualquier j , JI R i = g/, donde 9i es una
D EMOSTRACIÓN.
99
2. INTEGRACIÓN
función analítica en una vecindad de R;. Esto se sigue por compacidad,
usando el teorema local de la primitiva.
Ahora, la colección {H- 1 (R;)} es una cubierta abierta de [a, b] x [0, 1].
Sea Ui un abierto en IR 2 tal que U;n([a, b] x [0, 1]) = H- 1 (R;), y sea ó el
número de Lebesgue de la colección {U;}. El siguiente paso es subdividir el
rectángulo [a, b] x [0, 1] en una colección de subrectángulos cerrados {W¡}
definidos por una retícula de diámetro menor a ó, véase la Figura 2.14.
Obsérvese que como para cada i, Wi e H- 1 (R;) para alguna j, se
tiene que H(Wi) e R;, y dado que H(8Wi) es una curva cerrada C 1 por
tramos,
r
1 =o,
JH(oWi)
ya que en R i, f es la derivada de una función. Por consiguiente, como se
cancelan todas las integrales definidas por los segmentos verticales y horizontales que no forman parte de la frontera de [a, b] x [0, 1], al ser recorridas
en ambos sentidos, se tiene que
o=
¿ Jr
i
H(oWi)
1=
1 -1
1
'Yo
J.
'Yl
Nótese que la función H restringida a {a} x [0, 1] define la misma curva
que la definida por la restricción de H a {b} x [0, 1], pero esta última se
recorre en sentido contrario, por lo que estas contribuciones se cancelan. O
Es didáctico constatar que en la prueba del teorema anterior las curvas
H(8Wi) no son necesariamente simples y pueden intersecarse unas con otras.
Para probar el teorema de la deformación en su forma general se necesitan
dos lemas. El primero, que se enuncia a continuación, establece que toda
curva continua se puede aproximar por otra curva de clase C 1 por tramos.
Lema 2.3.10 Sea A: [a, b] ---. e continua y E > O, entonces existe una
curva 'Y= [a, b]---. e C 1 por tramos, tal que IA(s) -')'(s)l < € para toda
sE (a, b).
DEMOSTRACIÓN. Sea E> O, por continuidad uniforme existe una partición
a= s0 < s 1 < ... < sn = b, tal que para i = 1, 2, ... , n- 1 se tiene
100
2.3. TEOREMA DE CAUCHY
Se define la curva 'Y como la poligonal que une los puntos .X(sk)· Más
precisamente, V k E {1, 2, ... , n} se define
'Y
1
[sk-1, sk] = '1/Jk o </>k,
donde c/J k: [s k-b s k] --+ [0, 1] está dada por
,¡.,
( )
o/k S
_
-
S- Sk-1
'
Sk- Sk-1
y 1/Jk: [0, 1]--+ e por
'1/Jk(t) = t.X(sk)+(1-t).X(sk-d·
De esta manera, "fl[sk-b sk] describe el segmento que une .X(sk-1) con
.X(sk)· Además, es una composición de funciones afines, y es, por lo tanto,
de clase 1 , es decir, 'Y es de clase 1 por tramos. Véase la Figura 2.15.
Finalmente, si sE (sk-b sk), por construcción se tiene que .X(sk-1) y
.X(sk) pertenecen al disco D(.X(s), e), además "f(s) está en el segmento que
une .X(sk-1) con .X(sk)· Por consiguiente, como los discos son convexos se.
tiene que
I'Y(s)- .X(s)l < e.
e
e
Aplicando este razonamiento a cada subintervalo se sigue el resultado.
Figura 2.15: Una curva continua se puede aproximar por una de clase
por tramos
O
e1
En el contexto del lema anterior se dirá que A y 'Y son curvas e-cercanas.
A continuación probamos que la distancia entre dos conjuntos ajenos en IRn,
uno compacto y otro cerrado, se alcanza.
Lema 2.3.11 Sean A, B subconjuntos ajenos de e, B cerrado y A compacto. Entonces existen u E A y vE B, tales que lu- vi ~ lz- wl, para
cualesquiera z E A, w E B.
2.
101
[ ;"\ITEGRACIÓN
DEMOSTRACIÓN. Se puede suponer que B también es compacto, puesto
que si z 0 E B y M = diam(A U {zo} ), se tiene que D(z 0 , 2M) n B, que es
compacto, contiene a todos los puntos de B que estén más cerca de A que
z 0 . Para demostrar esta afirmación tómese z 1 E B , tal que
d(z 1 . A) < d(zo, A) .
Como la función distancia es continua y A es compacto, existe w 1 E A tal
que
d(z 1 , A) = d(z 1 , w 1 ),
por lo tanto,
véase la Figura 2.16.
Finalmente. si B es compacto, A x B es un subconjunto compacto de
IR 4 , ya quesi AcD(0,7· ¡) y B c D(O,T2), AxBcD(O,.jT'( +Ti) ,
y también si (zn, w,) --+ (z, w), n E N, donde Z 11 E A y Wn E B , entonces (z, w) E A x B , por lo que el lema es consecuencia de que la función
(z, w) t - t iz- wl es continua.
D
Figura 2.16: La distancia entre un compacto y un cerrado se alcanza
Para probar el Leorema de la deformación de manera general sólo nos falta
definir la integral de una fu nción sobre una curva continua (cerrada) que no
102
2.3.
TEOREMA DE CAUCHY
necesariamente sea de clase e1 por tramos. Para esto, sea A una región en
e, /:A -+ e una función analítica, A: (a, b] -+ A una curva continua y
cerrada, € = d(A([a, b]), A e) y -y 1 , -y 2 dos curvas cerradas, de clase C 1 por
tramos, €-cercanas a A. Nótese que ambas curvas están en A.
D~finimos una homotopía entre 1' 1 y -y 2 como sigue
H(s, t) = t-y 1 (s) + (1- t) -y 2 (s).
Es claro que esta homotopía es de clase e1 por tramos cuando se restringe
a segmentos verticales y horizontales, además H toma valores en A, ya
que 'r/ s, -y 1 (s) y -y 2 (s) están en el disco D(A(s), €) que es convexo. Por
consiguiente, se sigue del Teorema 2.3.8 que
1f 1f.
=
'Yl
'Y2
Definición 29 Sean A, f, A y
clase
e1
€ como arriba, y 1' una curva cerrada de
por tramos, €-cercana a A, entonces
Las observaciones anteriores muestran que esta integral está bien definida.
Finalmente, probamos el teorema de la deformación.
Teorema 2.3.12 (Teorema de la deformación) Sea A una región en e
y ')'o, 1'1 dos curvas cerradas de clase e 1 por tramos, que son homotópicas
como curvas cerradas en A. Supóngase también que f: A -+ e es holomorja,
entonces
1!=1J.
'YO
'Yl
DEMOSTRACIÓN. Sea H: [a, b] x (0, 1]
rradas entre 1'o y 1' 1, y
€
=
d(H([a, b]
-+
X
A una homotopíade curvas ce-
[0, 1]), Ac).
Como H es uniformemente continua, existe 8 > O tal que si
103
2. 11\TEGRAC IÓN
entonces
IH(s 1, t 1)- H(s2 , t2)l < c/2.
Sean O = t o < L1 < ... < L"
=1
tales que
IL1 -Li+d < ó VjE {O, l.. . . ,n- 1}.
Denotamos por >. 1, a Hl([a, bJ x t 1 ), obsérvese que
l>. t,(s)- >. t,+ 1 (s)i < c/2 Vj.
Ahora. la curva 'Yo es e 1 por tramos, mientras que .>.. 1 1 puede ser sólo
continua, pero como por construcción son c/2-cercanas se sigue de la definíción que
1
1 =
1"0
r
1
}Jo. ,, '
ya que d (>. 1, ([a, b]), A e) 2:: d (H ([a, bJ X [0, 1]), N) = f. .
El siguiente paso es tomar una curva auxiliar 1/J 1 , e 1 por tramos, que
sea c/2-cercana a >. 1 , . Esta nue\·a curva es f.- cercana a >. 1 2 , ya que
por lo que
1 J= r J= 1 J= r J
1"0
·1,!1¡
/ ,,,
/ ,,2
Iterando este proceso se obtiene el resul tado deseado. Esto se puede hacer,
ya que Vj si 1/J es una curva (e 1 por tramos) f.- cercana a 'Yt,, como
d
('1 1, ([a. b]) . N) 2::
d (H ([a, bJ x [0. 1]), A e)
=
e,
se tiene por definición que
o
Es importante destacar que esta versión general se aplica a curvas que se
pueden intersecar, o también a curvas que se autointersecan. A continuación
mostramos un ejemplo: sean 'Y el círculo unitario 1.:::1 = 1 y
!(::)
= :: 2 -
1
1/ 4.
104
2.3. TEORE~IA DE CAUCHY
Figura 2.17: Homotopía entre el círculo unitario y la curva
'1/J
Una manera de calcular J.., fes obtener una deformación de ¡ a una
nueva cun·a w formada con los círculos de radio 1/ 4 con centros en -1/ 2 y
1/ 2 (que denotamos por ¡ 1 y ¡ 2 , respectivamente), junto con el intervalo
(-1/ 4, 1/ 4], recorrido en ambos sentidos, como se muestra en la Figura 2.17.
Es claro, a partir de dicha figura, que se puede construir una homotopía de
manera explícita, que no pase por los puntos ± 1/ 2 (ya que en estos puntos
la fui1ción no es holomorfa). Deben parametrizarse las curvas '1/J y ¡ de tal
manera que se pueda llevar a cabo la deformación descrita en la figura. Con
el objeto de precisar esta idea, mostramos como debe ser la parametrización
en un primer intervalo que puede tomarse como (0, n/ 2]. La curva w se
parametriza de manera natural, esto es. w(s) = 1/ 2 + ei&/-1. en cambio ¡
se debe parametrizar adaptándose a 1p, esto se puede obtener escribiendo
¡(s) = 1/ 2 + ke is , donde el número k debe cumplir
1~ + kei•r =
l.
Al resolver esta ecuación se obtiene
k
(ejercicio).
=
Jcos 2 s + 3- coss
2
105
2. INTEGRACIÓN
Es claro que este proceso puede continuarse y así obtener la homotopía,
la cual se define como sigue
H(s, t)
=
+ (1- t) 1/J(s),
t')'(s)
H: [0, 47r + 1] x [0, 1] ~e- {±1/2},
esto es, se toma la combinación convexa correspondiente al momento t entre
las dos curvas, el número 4 1r + 1 acontece al tomar las contribuciones de
todos los subintervalos. Nótese que de hecho la homotopía no intersecta los
interiores de los discos que rodean ')' 1 y ')' 2 . Por consiguiente, es posible
aplicar el teorema de la deformación (a pesar de que la curva 1/J no es simple),
y obtener
[ f = [ f + [ f,
}'Y
J'Yl
1"'(2
ya que las contribuciones en el intervalo· [-1/4, 1/4] se cancelan. Ahora,
1
z
2
-
1/4
1
z -1/2
1
z + 1/2'
y usando el teorema de Cauchy se sigue que
[
dz
[
dz
[
dz
}'Y z 2 - 1/4 = }'Y z- 1/2 - }'Y z + 1/2
1
1
o- 27ri.
1
Un cálculo análogo aplicado ahora a ')' 2 , muestra que
1,
1
= 2 ro i,
y por ende
1
1
= O.
En muchos casos es importante apelar a la intuición para encontrar homotopías. Por otro lado, usando herramientas básicas de la topología algebraica
en muchos casos puede detectarse si dos curvas son homotópicas o no lo sÓn.
La versión general del teorema de Cauchy es una consecuencia inmediata del
teorema de la deformación.
--+ e analítica y
por tramos, que es homotópica a un punto en A,
Teorema 2.3.13 ( Cauchy) Sean A una región, f: A
'Y una curva en A,
entonces
e1
1j =o.
En particular, cuando A es simplemente conexo, esto se cumple si 'Y es
cualquier curva cerrada de clase 1 por tramos.
e
106
2.3 .
TEO RE~ IA DE CAUCI-IY
D EMOSTRACIÓ N. Si ¡:[a. bj---+ A es homotópica a 'lj; : [a, b] ---+ A, w(t ) = zo,
para algún z 0 E A, se sigue del teorema de la deformación y de la definición
de integral que
11 =
"r
r 1 =o.
},¡,
o
A
Figura 2. 18: En las regiones simplemente conexas se aplica de manera inmediata el teorema de Cauchy
Esta versión general del teorema de Cauchy nos permite detectar de manera fo rmal que muchas integrales son nu las, por ejemplo, sea A la región que
consiste de intersecar el semi plano {z 1 I m z > Re z} con el disco D( -1 , 2) ,
y ¡ cualquier curva cerrada de clase C L por tramos en A. Entonces
j.
z2
"r
+ z + 1 dz =
O,
z
esto se sigue del teorema de Cauchy, ya que dicha región al ser convexa es
simplemente conexa, y la función que se está integrando es holomorfa: en A,
nótese que la curva ¡ puede autointersecarse, por lo que es necesaria esta
nueva versión del teorema de Cauchy. Véase la Figu ra 2. 18.
Existe un importante teorema de la topología que complementa al tem·ema de Jordan y permite establecer que el interior de cualquier curva simple
107
2. I NTEGR ACIÓ N
cerrada es simplemente conexo. Se dice que dos subconjuntos A, B en IR"
son homeomorfos si existe una biyección f : A -> B , tal que tanto f como
¡-1 son continuas.
Teo rem a 2.3.14 (Shoenfties) Sea 1 una curva simple cerTada en e, entonces I nt 1 es homeom orfo al disco unitario cerTado b. = { z llzl ::; 1}.
Una prueba de este resultado puede consultarse en [14], pp. 68-69. Este
teorema es de gran utilidad en nuestro contexto, pues nos dice que el interior
de una curva simple cerrada, por complicada (y tipo fractal) que sea, es
una región simplemente conexa. Esto se sigue, ya que si se denota por f el
homeomorfismo que va de I nt 1 en b. y se tiene cualquier curva cont inua
A : [a, b] -> I nt1; como b. es simplemente conexo, existe una homotopía
H: [a, b] x [0, 1]-> b., tal que H l[a, b] x {O} = fo A y H i[a, b] x {1} es
un punto . Por lo que al tomar ¡ - 1 o H se tiene la homotopía buscada.
Estas observaciones per miten detectar, vía el teorema de Cauchy, que
muchas integrales son nulas. Por ejemplo, sean A la región determinada por
el interior de una curva simple cerrada A y p(z ) un polinomio cuyas raíces
no están en A , entonces si 1 es una curva cerrada C 1 por tramos en A , se
t iene
1P~:)
=
O.
El teorema de la defo rmación permite también probar un teorema global de
la primi tiva.
Teorema 2.3.15 (De la primit iva ) Sea A una región simplemente conexa
y sea f : A -> e holomorfa, entonces existe g : A _, e holomorfa, tal que en
los puntos de A se cumple
g'(z) = f( z) .
A demás, esta función g , llamada primitiva, es única salvo una constante.
D EMOSTRACIÓN . La unicidad es inmediata: si g¡ , 92 : A-> e son dos primitivas, se sigue entonces del Teorema 1.4. 12 que h(z) = g 1 (z) - g 2 (z) es
constante, ya que h '(z) = O.
Para la existencia , se define
g(z)
r=f,
}"
108
2.3.
TEOREMA DE CAUCHY
donde u es un punto fijo en A y dicha integral significa integrar f a lo
largo de cualquier curva en A, C 1 por tramos, que una u con z. El teorema
de Cauchy implica que la función g está bien definida, pues al tomar dos
trayectorias se forma una curva cerrada.
Ahora, si z, z 0 E A, se tiene
g(z)- g(zo) - f(zo)
z- z 0
1
= --
z - zo
¡z f
zo
=
_1_
z- zo
- -1z - zo
(lz.f -lzo ¡) - f(zo)
u
u
¡z f(zo)
zo
1
= --
z - zo
¡z (f(w)- f(zo)) dw.
zo
Finalmente, por continuidad, 'V f > O existe una 8 > O, tal que si
lz- zol < 8, se tiene lf(z)- f(zo)l < f. Tomando 8 de tal manera que
D(z 0 , 8) e A, se sigue del Teorema 2.1.5 que si O< lz- zol < 8, entonces
l
g(z)- g(zo)- f(zo)l
z- Zo
=
1
1
¡z (f(w)- f(zo)) dwl
lz- zol izo
1
::; lz- zo l f lz - zol =
f,
ya que se puede usar como curva de integración el segmento de línea que une
z con z 0 • Por consiguiente, g es analítica y g'(z 0 ) = f(z 0 ).
D
Terminamos esta sección con un resultado que permite establecer dominios de analiticidad· para las ramas de logaritmo más sofisticados que los que
se presentaron en el primer capítulo.
Teorema 2.3.16 Sea A una región simplemente conexa que no contiene al
O, entonces existe g:A--+ C analítica tal que
= z. Además, g es única
salvo constantes de la forma 2 7T' ni, n E .Z.
eg(z)
DEMOSTRACIÓN. Probamos primero la existencia de dicha función. Por el
Teorema 2.3.15 existe una función analítica g definida en A, tal que
1
Vz E A.
z
g'(z) = -
Ahora, fijando z 0 E A, este punto está en el dominio de alguna rama de
logaritmo que denotamos por log z, y se puede redefinir g sumándole una
constante, de modo que g(z 0 ) = log z 0 , por lo que
= z0 .
eg(zo)
2.
109
IN.TEGRACIÓN
Afirmamos que
eu(z}
= z V z E A.
Para demostrar esto tómese
eu(z}
f(z)
Como O rt A,
f
= -.
z
es holomorfa en A, y como g'(z) = 1/z se tiene
J'(z)
= ~ (e•C•l) ~ + e•C•l (- :. ) = O,
por lo que f es constante en A. Puesto que f(z 0 ) = 1, dicha constante es
1, y eu(z} = z Vz E A.
Para probar la unicidad se observa primero que si se tiene una función
holomorfa en una región que cumple eu(z} = z, se sigue al derivar dicha
expresión que g'(z) = 1/z. Ahora, si se tienen dos funciones holomorfas en
A que satisfacen
eU 1 (z}
=
z
y
e 92 (z}
=
z Vz
E
A,
entonces eu 1 (z}-u 2 (z} = l. Finalmente, tomando de nuevo un punto z 0 E A,
se tiene g 1(z 0 )-g 2 (z 0 ) = 21rni, n E Z, y como gl(z)- gl(z) =~-~=O,
la función g 1 - g 2 es constante, por lo que
g1(z) = g2(z)+21rni VzEA.
o
A la función g descrita en el teorema anterior se le llama rama de
logaritmo y se denotará también como log z. Esta función generaliza el
tipo de dominios de analiticidad para el logaritmo que se describieron en
el primer capítulo. Por una parte, incluye todos esos dominios, ya que si
Byo = {z E 1 z = teiYo, t ~ 0}, entonces
Byo es simplemente conexo
y por la unicidad del teorema, la rama correspondiente es precisamente una
de estas funciones, ya que Vz E C, z =f O, se tenía elogz = z. También, esta
nueva definición incluye dominios más sofisticados, como el que se muestra
en la Figura 2.19.
e
e-
EJERCICIOS 2.3
l. Probar los dos detalles faltantes en la prueba del Teorema 2.3.3.
2. Pruebe formalmente que el semiplano {z 1 1m z ~ m Re z
es convexo.
+ b,
m, b E 1R}
110
Vl. TEORE~IA
DE CAUCHY
3. Demuestre el Lema 2.3.9.
4. Exhiba dos subconjuntos cerrados ajenos de C, cuya d istancia sea O.
.5. Calcule el valor del número k mencion ado en el ejemplo que aparece a continuación del Teorema de la deformación (2.3.12), y encuentre la parametrización de la curva 1 en el intervalo [11j2, 1í] .
6. Demuestre formalmente que el anillo A = {z 1 1 < lz - zol < 2} no es
simplemente conexo, donde z 0 es cualquier punto del plano.
7. Sea 1 el triángulo descrito por los puntos i, 2 i y 2 i - 1, demuestre de
dos maneras que f-r log(z 3 ) dz es nula, donde log denota la rama principal
de logaritmo.
8. Calcule
!¡zl=2
dz
z2+1 ·
9. Sea A una región estrella desde w, es decir, si z E A. entonces el segmento
+ t (z- w) e A. donde tE [0. 1]. Pruebe que A es simplemente conexa.
w
10. Sea 1 la elipse
2
x4
+y 2 = l. demuestre formalmente que I-r z~l
= 21í i.
Figura 2.19: Dominio de analiticidad para una rama de logarit mo
111
2. l:-ITEC RACIÓ N
2.4.
Fórmula integral de Cauchy
En esta sección se pruebau las fórmulas integrales de Cauchy, lo cual conlleva
el hecho de que las funciones analíticas son de clase C"" . Se exhiben también
algunas de las consecuencias de estas fórmulas. como el teorema de Liouville
~' el teorema fundamental del álgebra.
Figura 2.20: Curva de índ ice 2 con resp ecto a l origen
En primera instancia se define el índice de una. curva cerrada de clase C 1
por t ramos, con respecto a un punto que no está en la curva. De m anera
intuitiva, el índice es el número de vueltas que la curva efect úa alrededor del
punto (\'éase la Figura 2.20). P a ra precisar esta idea rigurosamente, hacemos
a ntes unas obselTaciones que moti\'an la definic ión . Recordamos de la sección
2.1 que
J
(.::-.::o)"dz
={o .
2 7i 1
ll
,¡, -
l.
n =- l.
1=-=ol=•·
Esto se genera liza a curvas que consisten en recorrer n veces dicho círculo,
por ejemplo, la curva r( l) = .:: 0 +ei 1, tE [0, 27i n], rodea. n veces al punto
.::o, y se tiene que
j
d.::
')"'--o
2 7i in.
o
1
27i i
j
d.::
1 .::-.:: 0
n.
112
2.4. FÓRMULA INTEGRAL DE CAUCHY
Más aún, si '1/J es una curva cerrada de clase C 1 por tramos, tal que z 0 ~ '1/J
y 'Y es homotópica a '1/J en e - {z o}' se sigue entonces del teorema de la
deformación que
1
dz
27ri}.,¡, z-zo = n.
r
Es natural pensar que al ser 7 y '1/J homotópicas, estas curvas deben rodear
el mismo número de veces a z 0 •
También, es intuitivamente claro que una curva simple cerrada de clase
e1 por tramos 'Y, que contiene a z 0 en su interior (esto es, rodea a z 0 una
sola vez), es homotópica a un pequeño círculo alrededor de z 0 , por lo que
-1
2 1ri
¡
"Y
1d z =
-z- zo
±1.
Por otra parte, si z 0 E Ext "(, entonces la función z!zo es holomorfa en una
región que contiene a la curva 'Y y a su interior, por lo que el teorema de
Cauchy implica que
_1_ {_l_dz =O
27ri}"Yz-zo
'
ya que en virtud del teorema de Shoenflies, la curva 'Y es nulhomotópica en
1
el dominio de analiticidad de -z-zo
-. Esto último se sigue, dado que la homotopía que deforma el círculo unitario en el origen se puede jalar a deformar
'Y en un punto de su interior. Las ideas anteriores desembocan en la siguiente
definición.
Definición 30 Sea 'Y una curva cerrada de clase e 1 por tramos en e, y
z 0 E e- 'Y· El índice (o número de vueltas) de 'Y con respecto a z 0 se
define como
dz
1
27ri}"Yz-zo.
r
Este número se denota por I('Y, z 0 ). Nótese que la curva
1(t)
=
z 0 +reit,
O:s;t:s;21rn,
tiene índice n con respecto a z 0 , en cambio
-"((t)
=
zo + r e-it
n>O,
113
2. INTEGRACIÓN
tiene índice. -n. Ahora, si 'Y y 1/J son dos curvas cerradas de clase C1 por
tramos que no pasan por z o' y 'Y es homotópica a 1/J en e - {z o} ' entonces
se sigue del teorema de la deformación que
!('y, zo)
= 1(1/J, zo).
En este momento se intuye que el índice debe ser un entero, como se prueba
a continuación.
Teorema 2.4.1 Sea "(:[a, b]
por tramos, entonces
--+
e- {z 0 }
una curva cerrada de clase C1
l("f, zo) E Z.
DEMOSTRACIÓN.
Abusando un poco de la notación, es natural considerar la
función
g(t) =
l
a
'Y'(s)
t
'Y
( )
S
-
Zo
ds,
ya que g(b) = 27ril('Y; z 0 ). Ahora, si tE [a, b] y 'Y es de clase C 1 en una
vecindad de t, aplicando el teorema fundamental del cálculo a las partes real
e imaginaria del integrando, se sigue que
1
.
g (t) =
'Y
'Y'(t)
(t)
- zo
(2.6)
.
Por consiguiente, en dichos puntos se tiene
.5!_
dt
(e-g(t)
('Y(t)- z 0 ))
=
e-g(t)
(-'Y'(t)) {'Y(t)- zo)
'Y(t)- zo
+ e-g(t) "f'(t) =
O,
y e-g(t) ('Y(t) - z0 ) es constante por tramos. Más aún, dicha función es
continua, puesto que g(t) es continua. Esta última afirmación se sigue de
la definición de curva e1 por tramos y de la continuidad de integrales con
discontinuidades simples. Se concluye entonces que e-g(t) ( 'Y(t)- z 0 ) es constante, en particular
e-g(a)
('Y(a)- zo)
=
e-g(b)
y como 'Y( a) = "f(b), resulta que e-g(b) =
g(b) = 21rni, n E Z. Esto es, l("f, z 0 ) = n.
("f(b)- zo),
e-g(a)
=
e0
(2.7)
=
1, por lo_ cual
D
114
2.4.
FÓRMULA INTEGRAL DE CAUCHY
La motivación de considerar la función e-g(t) (1(t) - z 0 ) en la prueba
del teorema anterior surge, ya que en virtud de la relación (2.6), la función g se puede pensar intuitivamente como log(')'(t) - z 0 ) + cte y como
e-log('Y(t)-zo) (T(t) - z 0 ) = 1, se sigue que la función e-g(t) (T(t) - z 0 ) también debe ser constante, lo que permite encontrar fácilmente el valor g(b)
usando (2. 7).
Figura 2.21: Homotopía entre elipse y círculo permite calcular el índice
Obsérvese que si ')' es una curva simple cerrada de clase C 1 por tramos,
entonces
1nt(1) = {z E C 1 1(1, z) # O} ,
es decir, se puede definir el interior de una curva en forma analítica y no
topológica, usando la integral que define el índice. Mostramos ahora un ejemplo, sea 1/J(t) = cost + i (4 sent), tE [0, 61r), es decir, la curva consiste en
una elipse centrada en el origen, que se recorre tres veces en el sentido positivo, por lo que la curva debe tener índice tres con respecto al origen. Para
probar esto de manera formal se toma 1(t) = cost + isent, t E [0,61r],
115
2. ( NTECHACIÓ:'\'
entonces
H (S. t )
=
cos S
+ i (..J -
3 t ) sen S
es una homotopía entre 'l/J y ..)', véase la Figura 2.21. Por lo que se sigue que
! (!/;, O)= 3.
Teorema 2.4.2 (Fórmula integral de Cauchy ) Sea A una Tegión, 1 una
cw ·ua ceTTada e 1 poT tmmos homolÓ]Jica a un punto en A. f: A --+ e
analítica y z E A - 1 · entonces
f (z) ! (¡. .::)
J
= - 1-.
2711
1
f (w) dw.
w-z
:'\ótcse que si la cun·a es simple. esta fórmu la es espectacular. ya que d ice
que los Yalorcs que toma f en 1 determinan los Yalm·es de f en el interior
de ¡.
D EMOSTRACIÓN. El teorema de Cauchy se generaliza a funciones que son
continuas en una región A y que son holomorfas en A- {z 0 } , donde z 0 es
u11 pun to en A. La razón es que la herramienta que se usa para d emostrarlo
es el Teorema 2.3.3 (local de la primitiva), que puede ser sustit uido por su
generalización, el Corolario 2.3.5 que debilita las hipótesis.
Sea z E A - 1 fija . se define
=
g(w)
=
{
f(u2, ~(.::)
si w =1- .::.
J '(.::)
si w
= .::.
Se Lie11e que g es analítica en A - {.::} y continua en A. por lo que la
obsermció11 anterior implica q ue
i
g
o.
F inalmente,
O
=
f
f(w) clw. ..,w-z
J
7
f( .::) dw
w-;;
J
f (w)
.
- - dw - 2 71~ f( z) I (¡, ::).
"r w-::
o
116
2.4. FÓRMULA INTEGRAL DE CAUCHY
Es importante observar que esta fórmula es muy útil para calcular integrales, por ejemplo,
1
ezz dz
=
27ri e 0
27ri.
lzl=5
También, si se quiere calcular
1
ez +cosz d
z- ~
z,
lz-11=1
se puede encontrar una homotopía explícita procediendo como en la Figura
2.22 (ejercicio), y aplicar el teorema de la deformación, por lo que esta integral
es igual a
e z + cos z dz = 2 1r z. ( e !2 + cos ~ ) .
- - -1
z-2
Para poder establecer el hecho de que las funciones analíticas tienen
derivadas de todos los órdenes, se necesita un importante lema. Al lector
no familiarizado con convergencia de funciones se le sugiere leer la primeras
páginas del capítulo 3, antes de estudiar la demostración de este resultado.
2
Figura 2.22: Homotopía entre círculos tangentes
117
2. INTEGRACIÓN
Lema 2.4.3 (Integrales de tipo Cauchy) Sean 'Y= [a, b]--?
por tramos, cp : 'Y([a, b]) --? e continua, n E .Z, n =/; 0, y
e1
g(z)
=
e
una curva
1
¡p(w) (w- z)n dw,
entonces g es analítica y eoo en el sentido complejo en
Además, si n = -1, para cualquier k E N, .
k( ) - k r
g z .
1
"Y ( w
e- 'Y([a, b]).
cp(w)
d
- z) k+l w.
Nótese que esta fórmula se puede recordar derivando respecto a z dentro del
signo de integral. Usaremos el resultado siguiente, que será demostrado en el
capítulo 3 (Teorema 3.1.13). Sean 'Y una curva de clase 1 por tramos en
una región A, y f n' n E N, una sucesión de funciones continuas definidas en
'Y y que además convergen uniformemente a una función f en 'Y, entonces
e
lím
lfn = ¡J.
n-oo "Y
"Y
DEMOSTRACIÓN DEL LEMA. Para demostrar el lema basta probar que para
'Y y cualquier sucesión hk, k E N, que converja a cero,
cualquier z 0 E
se tiene
e-
g(zo + hk)g(zo)
h
~
-n
k
1(
w- z 0 )n-1 cp (w ) dw,
"Y
ya que esto implica que g es derivable en z 0 y que
g'(zo)
=
-n
1
(w- zo)n-l ¡p(w)dw,
e iterando este proceso inductivamente se demuestra el lema.
Ahora,
g(zo + hk)- g(zo) =
hk
1
"Y
(w- zo- hk)n- (w- zo)n ( )d
cp w w,
hk
así que es suficiente demostrar que
(
(w-zo-hk)n-(w-zo)n) cp ()
w
hk
~
-n (w - z 0 )n-1 cp ()
w
118
2.4.
FÓRMULA INTEGRAL DE CAUCHY
uniformemente en 'Y. Esto equivale a probar que
(w- Zo- hk)n- (w- Zo)n
n-1
~-----+ -n (w- zo)
hk
uniformemente en 'Y, ya que al ser esta curva un conjunto compacto, la
función r.p alcanza un máximo en ella. Escribimos para abreviar, u= w- z 0 ,
probamos este hecho por casos.
Figura 2.23: Prueba del lema de las integrales de tipq Cauchy
Si n >O,
1
(u-
hz):- u"+ nu•-•1
=
1-nu•-l + (;)u•-• h•- (;)u•- h: + · · · + nu•-•1
3
~
C
(lhkl + lhkl 2 + · · · + lhkln- 1 ),
para alguna constante c. Esta última desigualdad se justifica por la compacidad de "(, que implica que las normas lul = lw- zol están acotadas
superiormente (véase la Figura 2.23). Como el último término converge a O,
cuando k --+ oo, y no depende de w, este argumento demuestra la convergencia uniforme para este caso.
Si n <O, escribiendo m= -n, se tiene
119
2. INTEGRACIÓN
= ~~
hk
=
l
((u m- (u- hk)m))
(u- hk) m -u m
mhkum-1- {m) h~ um-2
2
hk(u-hk)mum
+
+...
nun-11
-1
+n~1
~ 1(u-m;~-1
+nu•-•l+c'{lhkl+lhkl2+···+1hklm-1)
k mum
5 1(u-:.)m u - u:'+ll +
~'
para alguna € >O, si k es suficientemente grande. La primera desigualdad
se sigue de que lul y lu- hki están también acotadas inferiormente, debido
a la compacidad de 'Y, véase la Figura 2.23.
Finalmente
1
m
m 1
(u- hk)m u - um+l
=
lmum-m(u-hk)ml
(u- hk)m um+l
donde e" es una constante. Esta última expresión converge de manera uniforme a O, lo cual termina la demostración del lema.
o
La fórmula integral de Cauchy junto con el lema sobre integrales de tipo
Cauchy tienen como consecuencia casi inmediata el hecho de que las funciones
holomorfas tienen derivadas de todos los órdenes en el sentido complejo.
Teorema 2.4.4 (Las funciones holomorfas son
una función holomorfa en una región A. Entonces
e
Xl
complejo) Si
J
es
i} f tiene derivadas de todos los órdenes en el sentido complejo;
e
ii} si 'Y es una curva cerrada, 1 por tramos, homotópica a un punto en
A, y z E A-"(, se tiene \:1 k E {0, 1, 2, ... } que
fk(z) l("f, z)
donde
f0
= f.
= ~
2 7r i
1
1 (w
f(w)
dw
- z) k+l
'
(2.8)
120
2.4. FÓRMULA INTEGRAL DE CAUCHY
Nótese que la fórmula {2.8), llamada fórmula integral de Cauchy para la
derivada k-ésima, cuando k > O, generaliza la fórmula integral de Cauchy
mencionada en el Teorema 2.4.2.
DEMOSTRACIÓN. Probamos primero i) Dada z 0 E A, existe r >O tal que
D(z 0 , r) e A. Sea 1/J el círculo 8D(z 0 , r), recorrido una vez positivamente.
Como 1(1/l, z 0 ) = 1, se sigue de la fórmula integral de Cauchy que para
cualquier z en I nt 1/J,
f(z) =
~
27rt
1
f(w) dw.
wW-Z
Como ésta es una integral de tipo Cauchy, el Lema 2.4.3 permite concluir
que f es C00 en D{z 0 , r), y por lo tanto en la región.
Para probar la segunda parte obsérvese que dicho lema también implica
que la función
I( 'Y' z) = 21 . { _1_ dw
7rt}'Yw-z
es analítica y e00 en el sentido complejo en e - 'Y' de hecho es localmente
constante por tomar valores enteros.
Ahora, por la fórmula integral de Cauchy, si z E A - 1 se tiene
r
1
f(z) l({, z) = - 2.
f(w) dw.
1rzJ.rw-z
Finalmente, aplicando de nuevo el lema, ahora a la función G(z) definida
por f(z) l({, z), se obtiene inductivamente que
k
G {z)
k!
k
= f {z) I {1, z) = -2 7rt.
¡
7
f(w)
) k+l dw,
w-z
(
k E N.
D
Este último teorema tiene muchas consecuencias de enorme importancia
en la variable compleja, como las que se muestran a continuación. Además,
es también de gran utilidad para calcular integrales, por ejemplo, si se quiere
calcular la integral
1.
lw-11=1
sen w + 3 w 4 d
(w- 1) 3
w.
121
2. INTEGRACIÓN
Escribiendo f(w) = senw + 3w 4 , como lz -11 = 1 eshomotópica a un
punto en el dominio de analiticidad de f(w), se sigue de la fórmula integral
de Cauchy para la segunda derivada que
! 2 ( 1) =
4
_2_ [
sen w + 3 w dw,
21ri Jlw-11=1 (w- 1) 3
además, al derivar la función f dos veces se tiene f 2 ( w) = - sen w + 36 w 2 ,
por lo que el valor de la integral es 1r i (- sen 1 + 36). El siguiente importante
resultado establece cotas para las derivadas k-ésimas y tiene como corolario
inmediato el teorema de Liouville.
Teorema 2.4.5 (Desigualdades de Cauchy) Sea f: A--+ C holomorfa,
donde A es una región en C. Supóngase también que D(z 0 , R) e A y que
'V z E 8D(z 0 , R), se tiene lf(z)l ~ M, entonces
f k (zo) 1
1
k' M.
~ R~
DEMOSTRACIÓN. Usando la fórmula de Cauchy para la derivada
tiene
k- ésima se
f(w)
d
(w- zo)k+l w,
por lo que
k!:..
D
El siguiertte sorprendente resultado no se cumple en la variable real, por
ejemplo, la función X --+ sen X + COS X es de clase C00 en los reales y ciertamente está acotada.
Corolario 2.4.6 (Teorema de Liouville) Sea
da, entonces f es constante.
J: e --+ e
entera y acota-
DEMOSTRACIÓN. Utilizando el Teorema 2.4.5 para la primera derivada se
tiene que si M es una cota superior para los valores de la función, entonces
IJ'(z)l
~
!vi
R
'V z E
e
y
'V RE JR+.
122
2.4. FÓRMULA INTEGRAL DE CAUCHY
Por consiguiente, la función derivada
tanto f es constante. ·
f se anula en todo el plano y por lo
1
O
A su vez el teorema de Liouville proporciona una prueba bastante simple del teorema fundamental del álgebra, como se muestra a continuación.
Recordamos que a los ceros de los polinomios se les llama raíces.
Teorema 2.4. 7 (Teorema fundamental del Álgebra) Cualquier polinomio con coeficientes complejos y no constante tiene al menos una raíz.
DEMOSTRACIÓN. Sea p(z) = anz" + an_ 1z"- 1 +···+a o un polinomio con
coeficientes complejos, n 2:: 1, y an :/= O. Si p(z) :/= O 'V z E C, entonces la
función 1/p(z) es entera. Para z :/= O, se puede escribir
1
1
p(z)
1
an-1
. ao'
an+--+···+z
zn
por lo que al tomar el límite cuando z--+ oo, se tiene
,
1liD
%.......... 00
1
-()
pz
=o.
Por consiguiente, existe M tal que si lzl > lvl, se tiene 11/p(z)l <e. También, esta función está acotada en el compacto D(O, M), por lo que 1/p(z)
está acotada en todo el plano. En este caso, se tendría por el teorema de
Liouville que la función 1/p( z) sería constante, y por ende el polinomio
p( z), lo cual es una contradicción.
O
El siguiente interesante teorema muestra, esencialmente, que si las integrales de una función continua en curvas cerradas se anulan, entonces la
función es holomorfa.
Teorema 2.4.8 (Teorema de Morera) Sea f continua en una región A,
supóngase también que I-r ¡ = o para toda curva cerrada e 1 por tramos ,
en A, entonces f es holomorfa en A, y además tiene una primitiva, es
decir, f = g 1 , donde g es una función holomorfa en A.
DEMOSTRACIÓN. Recordamos que en la prueba del teorema de la primitiva,
la condición I-r f = O equivale a la posibilidad de definir, fijando u E A, una
función g: A --+ C holomorfa tal que
g(z) =
J.z f(z) dz.
123
2. 11\TECRACIÓN
Se probó (Teorema 2.3.1 5) que bajo tales condiciones g es holomorfa en la
región A y que g'(z) = f(;;). F'inalmente, usando ahora el Teorema 2.4.4,
se sigue que f = g' también lo es.
O
Otra consecuencia del hecho de que las funciones holomorfas son de clase
• es que si una función es continua en una región y holomorfa, salvo
quizá en un punto. entonces en realidad la fu nción es holomorfa en toda
la región. Esta situación eYidentemente se generaliza a un número finito de
puntos.
e
00
Corolario 2.4.9 Sea f continua en una 1·egión A y analítica en A- {z 0 },
entonces f es analitica en A.
DEl\IOSTRAC IÓl'\. Se puede tomar un rectángulo contenido en la región, tal
que tenga al punto .: 0 en su interior. aplicando entonces el Corolario del
teorema de la primiti,·a local (2.3.5). y posteriormente el Teorema 2.4.-1 se
sigue el resultado.
O
EJERCICIOS 2...1
l. Demuestre que un polinomio de grado mayor o igual a 1 no es constante.
2. Exhiba de manera explícita la homotopía descrita en la Figura 2.22.
3. Calcule la integral
.
-l. ealcule la mtegral
r
J ¡o-!1='
r
J izl=l
c<:'-•l+cos(2o+i)
o-l
e <•- 2 ) +scn(2 z+ 1)
z
d-
-·
dz.
5. Sea f una función entera. tal que Re f(z) > O 'v' z, pruebe que dicha
función es constante.
6. Pruebe formalmente que el índice de la curYa 1 con respecto al origen es
-2. donde 1(s) = i + 2 e-i•. 1 : [0. -l 7i']--+ C.
7. Demuestre que la función g(z) = l¡w-J•I=S (l~1z'l .. dw es holomorfa en el
complemento del círculo {w 11w - 3 il = 5}. Calcule su derivada.
e
8. Sea 1 una curva simple cerrada 1 por tramos y f una fu nción que es
holomorfa en una región que contiene a 1nt(t). Supóngase también que la
función se anula en la cur\'a. pruebe que la función f se anu la también en
el interior de la CUITa.
9. Sea f una función entera. tal que lf(z)l :::; .\JI zl ", si 1=1 > R, pruebe
que dicha función es un polinomio de grado menor o igual a n.
124
2.5.
2.5.
Principio del máximo, lema de Schwarz
y funciones armónicas
PRINCIPIO DEL MÁXIMO, LEMA DE SCHWARZ Y FUNCIONES ARMÓNICAS
En esta última sección continuamos con las aplicaciones de la fórmula integral
de Cauchy, como son el principio del máximo para funciones holomorfas y
para funciones armónicas. También se prueba el lema de Schwarz, así como
otras importantes propiedades de las funciones armónicas, en particular la
fórmula de Poisson que establece la solución al problema de Dirichlet en el
disco. El siguiente notable resultado establece que el valor de una función
holomorfa en el centro de un disco es el promedio de sus valores en el círculo.
Teorema 2.5.1 (Propiedad del valor intermedio) Sea
una región A y D(z 0 , r) e A, entonces
f(zo)
=
1
2
7r
f analítica en
1211' f(zo +re iO) d8.
0
DEMOSTRACIÓN. Parametrizando 8D(z 0 , r) como -y( O)
aplicando la fórmula integral· de Cauchy se tiene
·1
f( )
1
1
f(zo) = - .¡_z_ dz y f(zo) = 2 1r~ -yz-zo
21r~
211'
0
f(
zo +.:e
re'
iO)
irei 0 d8.
o
El siguiente resultado muestra que una función holomorfa no puede tener
máximos locales.
Teorema 2.5.2 Sea f analítica en una región A. Supóngase también que
lf(z)l ::; lf(zo)l 't/z E D(zo, ro), entonces f es constante en D(zo, ro).
DEMOSTRACIÓN. Se puede suponer que f(z 0 ) E JR.+. Esto se sigue ya que
si f(z 0 ) = w y w f. JR.+, entonces la función w- 1 f también satisface las
hipótesis del teorema, y además es constante si y sólo si f lo es. El truco es
usar la función real no negativa
g(z)
= f(zo)- Re (f(z)).
125
2. l KT EGRACIÓN
Si r < r 0 , se tiene al usar la propiedad del valor intermedio aplicada a
que
e
En consecuencia, como la función
integral es cero, se tiene que
g (zo + r e' 0 )
-t
=
g(:: 0 +re ;o) es real no negativa y su
0
Ve E
[0. 21ij,
y como este argumento se aplica para cualquier r
Re (J(z))
=
f
<
1· 0 ,
se sigue que
j(zo) V z E D(::o . ro).
Finalmente, el resultado se sigue de las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
O
Teorema 2.5.3 (Principio d e l máximo) Sea J: A - t e una función continua, donde A es una región acotada en C, supóngase también que f 1 A
es analítica. Entonces el supremo de los valores if(z)i, :: E A, se alcanza en
aA , y si en algún punto de A se alcanza este valor máximo, f es constante.
zo E aA tal que lf(zo)l > if( z)i V z E A, no
hay nada que probar. De otra manera (por compacidad) existe z 0 E A, tal
que lf(zo)l ~ lf (z) l V z E A.
Sea f( z 0 ) = w 0 , denotamos por g a la restricción de f a la región A.
Escribiendo B = g- 1 (w 0 ), se sigue ele la versión local q ue el conjunto B es
abierto en A y por lo tanto en C . Si f no es una función constante, entonces
la restricción g tampoco lo es, y g- 1 (IC- { w 0 } ) es un conjunto abierto, no
vacío, en A (y en IC). Bajo estas hipótesis, la región A es la unión de dos
conjuntos abiertos y ajenos, lo que contradice que es un conj unto conexo.
Por consiguiente, la fu nción g es consLante, y por ende f también.
O
DEMOSTRAC IÓN. Si existe
Al principio del máximo también se le conoce como el teorema del módulo
máximo. Este teorema tiene una gran im portancia teórica y también es ele
gran utilidad para encontraT cotas superiores de ciertas funciones holomorfas.
Por ejemplo, para encontraT el supremo de leos::! en [-1, 1] x [- 1, 1] se
puede escribir
cos(x + i y)
cos x cosh y - i sen x senh y,
126
2.5. PRINCIPIO DEL MÁXIMO, LEMA DE SCHWARZ Y FUNCIONES ARMÓNICAS
y al tomar la norma al cuadrado se tiene
lcoszl 2 = COS 2 X cosh 2 y + sen 2 X senh 2 y
cos 2 x cosh 2 y + (1- cos 2 x)(cosh 2 y- 1) = cosh 2 y+ cos 2 x- l.
Por el principio del máximo, el supremo de leos zl se toma en la frontera del
rectángulo, por lo que se sigue de la expresión obtenida qu~ éste se alcanza
en el eje imaginario, cuando se maximiza la parte imaginaria de z. Por
consiguiente, el valor máximo está dado por cosh 1, y éste es tomado en
±i.
Nótese que en general si A es una región en .!Rn y f : A -+ .!Rm es
continua y localmente constante, entonces f es constante. Esto se sigue, ya
que si la función toma el valor y 0 , y no es constante, entonces se puede
descomponer la región A en dos abiertos ajenos no vacíos: la preimagen de
y 0 y la preimagen de su complemento. Volviendo a las funciones complejas,
obsérvese que una función holomorfa f definida en una región A, que no
se anula en ningún punto, no puede tener mínimos locales estrictos, ya que
en este caso la función 1/f tendría un máximo local estricto, lo que contradice el principio del máximo. Sin embargo, la función f(z) = z alcanza un
valor mínimo estricto en el origen. El siguiente resultado es una importante
aplicación del principio del máximo que describe las funciones holomorfas
del disco en el disco que fijan al origen. Esencialmente estas funciones son
rotaciones o contracciones hacia el origen.
Teorema 2.5.4 (Lema de Schwarz) Sea f: ~ -+ ~ holomorfa, donde
~ = {z llzl < 1}. Supóngase también que f(O) =O, entonces lf(z)l ~ !zl
V z E ~ y lf'(O)I ~ l. Más aún, si existe zo E ~. tal que lf(zo)l = Izo!,
entonces f es una rotación.
DEMOSTRACIÓN.
Sea
f(z)
g(z) =
¡
si z '#O,
z
f'(O)
si z =O,
resulta que g es holomorfa en ~ - {O} y continua en ~. por lo que se
sigue del Corolario 2.4.9 que g es holomorfa en ~. Ahora, en el círculo
lzl = r, r < 1, se tiene
127
2. INTEGRACIÓN
lg(z)l = f(z) = lf(z)l ~ ~'
1
z
1
r
r
por lo que se sigue del principio del máximo que 'r/ z E D(O, r)
lg(z)l
~
1
-, es decir,
r
lf(z)l
~ 1:1.
r
Fijando z, y tomando el límite cuando r--. 1, en ambas desigualdades, se
tiene que en ~' lf(z)l ~ lzl y lg(z)l ~ 1, en particular lf'(O)I = lg(O)I ~ l.
Finalmente, si para algún punto zo i: O se cumple que lf(zo)l = lzol,
entonces la función g alcanza el máximo en un punto del interior, por lo que
en virtud del Teorema 2.5.3 es constante (esto se formaliza tomando cualquier
disco cerrado en ~ que contenga a z 0 en su interior). Se concluye entonces
que f(z) = k z, para alguna constante k, más aún como lf(zo)l = lzol, se
sigue que lkl = l.
O
A continuación extendemos el principio del máximo a las funciones armónicas. Se demostró que las partes, real e imaginaria, de una función analítica
son armónicas de clase C00 • El recíproco, que es consecuencia del teorema
de la primitiva, también es cierto.
Teorema 2.5.5 Sea A una región y u: A --. IR armon2ca, entonces u es
de clase C 00 y para cualquier z 0 E A, u es la parte real de una función
holomorfa en una vecindad de z 0 . Si además A es simplemente conexa,
entonces existe una función f: A --. C holomorja, tal que Re f = u.
DEMOSTRACIÓN. Basta probar la segunda parte, ya que el disco D(z 0 , r)
es simplemente conexo. Considerando las ecuaciones de Cauchy-Riemann es
natural definir
au
.au
g(z) = ax(z)- z By(z), z E A.
Se afirma que g es analítica en A. Escribiendo g = g¡ + i 92, se tiene que
en la región A
8g¡
8 2u
8 2u
8g2
y
2
8y2'
8y
8x
8x
por lo cual
8g¡
8x
8g2
ay
8 2u
8x 2
+
8 2u
8y2
o.
128
2.5. PRINCIPIO DEL MÁXIMO, LEMA DE SCHWARZ Y FUNCIONES ARMÓNICAS
También, en dicha región
=
y
de donde
8g¡
+
8g2 =
o,
8y
8x
2
ya que u es de clase C • Al cumplirse las ecuaciones de Cauchy-Riemann se
concluye que la función g es holomorfa.
Usando ahora el teorema de la primitiva, existe f: A --+ e holomorfa, tal
que en la región A se tiene f' = g. Escribiendo, f = f 1 + if2 , se sigue
f'
= a f¡
ax
-
i a¡l = g
8y
=
au - i a u
ax
8y'
por lo que f 1 = u + k para alguna constante k E lR, y u = Re (f - k).
Nótese que se ha probado también que cualquier función armónica es de clase
00
' al ser la parte real de una función holomorfa.
o
e
Obsérvese que el resultado también es válido si se sustituye Re f por
lmf, ya que Im(if) =Re f.
Definición 31 Se dice que u y v son arm6nicas conjugadas (o simplemente
conjugadas) en una regi6n A, si existe una funci6n f holomorfa en A, tal
que f = u+iv.
Corolario 2.5.6 Sea A una regi6n simplemente conexa en
arm6nica, entonces u tiene una conjugada en A.
e
y u: A
--+
IR
Existe un método para encontrar la función armónica conjugada, que
ilustramos con un ejemplo. La función u(z) = x 3 - 3xy 2 , z = x + iy, es
armónica en el plano (ejercicio); para encontrar su conjugada derivamos y
aplicamos las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Si v es la conjugada armónica
de u (ésta existe ya que e es simplemente conexo), se tiene
av
ax(z)
=
6xy,
Integrando la primera ecuación con respecto a x se obtiene
129
2. INTEGRACIÓN
donde g 1 (y) es una función que no depende de x. Integrando la segunda
ecuación, ahora con respecto a y, se obtiene v(z) = 3x 2 y- y 3 + g 2 (x),
por lo que al igualar las dos expresiones se tiene -y 3 + g 2 (x) = g 1 (y), y
necesariamente g 2 (x) es una constante, por lo cual
v(z)
=
-y 3 + 3x 2 y +constante.
Algunos lectores podrán reconocer en este ejemplo la función z -+ z 3 , y
los cálculos parecerían innecesarios, sin embargo, el propósito fue decribir el
método.
Obsérvese que las ecuaciones de Cauchy-Riemann implican que la conjugada es única salvo una constante aditiva. Recordamos de los cursos de
cálculo que el vector gradiente en un punto, de una función de 1R n en IR,
es ortogonal a su curva de nivel (la preimagen de dicho punto bajo la función). Véase la Figura 2.24. El siguiente notable resultado exhibe que la
propiedad de ser armónicas conjugadas conlleva información geométrica importante (véase la Figura 2.25).
\7u(x,y)
Figura 2.24: Las curvas de nivel son ortogonales al gradiente
Teorema 2.5.7 Sean u y v arm6nicas conjugadas en una región A que
toman los valores a 1 y a 2 , respectivamente. Supóngase también que los
gradientes en todos los puntos de las curvas de nivel para estos valores no se
anulan. Entonces si estas curvas se intersecan, lo hacen ortogonalmente.
Se sigue del teorema de la función implícita que u- 1 (a 1) y
son curvas diferenciables. Basta demostrar que para cualquier punto
DEMOSTRACIÓN.
1
v- (a 2 )
130
2.5.
PRI:-ICIPIO DEL ~¡ ,\x t ~IO . L EMA DE SCIIWAHZ Y Ft::\CIO:\ES AR~IÓN ICAS
en la intersección
O,
'Vu · 'Vv
que es lo mismo que
O.
lo cual se sigue de las ecuaciones de Cauchy- Riema nn.
o
Figura 2.25: Curvas ele ni,·el de las funciones armónicas conjugadas determinadas por ;; -. :: 2
ü n ejemplo donde se ,·isualiza claramente este resultado es con la función
f( ;;) = z 2 . que tiene como partes real e imaginaria a
y
v(x,y ) = 2 .t.IJ,
respectivamente. Las curvas de nivel constituyen las fam ilias de hipérbolas
que se intersecan ortogonalmente. como se describe en la Figura 2.25. A continuación se prueban los principios del má:.,.imo y el mínimo para funciones
armónicas. los cuales se siguen de los correspondientes resultados para funciones holomorfas.
131
2. INTEGRACIÓN
Teorema 2.5.8 (Del valor intermedio para funciones armónicas) Si
u es una función armónica en una región A que contiene a D(z 0 , r), entonces
u(zo) =
1
2
7r
/.211' u(z
0
+rei 9 )d8.
0
DEMOSTRACIÓN. Usando el Lema 2.3.11 se puede suponer que existe r 1 > r,
tal que D(z 0 , r 1 ) e A. Se sigue entonces del Teorema 2.5.5 que existe una
función f analítica en D(z 0 , r¡), tal que Ref =u. Finalmente, usando
ahora el teorema del valor intermedio para funciones analíticas se tiene
f(zo)
=
1
2
7r
/.211' f (zo + rei 8 ) dO,
0
y tomando partes reales se obtiene el resultado.
D
Teorema 2.5.9 Dada u una función armónica en una región A, tal que
alcanza un máximo local en z 0 E A, i. e., existe r, tal que u(z 0 ) ~ u(z),
Vz E D(z 0 , r), entonces u es constante en dicho disco.
DEMOSTRACIÓN. Existe f holomorfa en D(zo, r) tal que Re f =u. Ahora,
la función e f también es holomorfa en ese disco, y
Como la exponencial real es creciente, los máximos de u son los de e u, por
lo que aplicando el principio del máximo para funciones holomorfas, se sigue
D
que el es constante en D(z 0 , r), por lo tanto también lo son e u y u.
Teorema 2.5.10 (Principio del máximo para funciones armónicas)
Si A es una región acotada en e, u : A ---. IR es continua, y u 1 A es
armónica, entonces el supremo de los valores u( z), z E A, se alcanza en
BA. Más aún, si en algún punto de A se alcanza este valor máximo, u es
constante.
DEMOSTRACIÓN. Se aplica un argumento de conexidad casi idéntico al que
se usó en el correspondiente teorema para funciones holomorfas.
D
También se cumple el principio del mínimo para funciones armónicas. Si
A es una región acotada en e, u : A ---. IR es una función continua, tal
132
2.5.
PRINCIPIO DEL MÁXIMO, LEMA DE SCHWARZ Y FUNCIONES ARMÓNICAS
que u 1 A es armónica, entonces el ínfimo de los valores u(z), z E A, se
alcanza en 8A, y si en algún punto de A se alcanza este valor mínimo, u
es constante. Para demostrar este resultado, basta aplicar el principio del
máximo para funciones armónicas a la función -u.
Estos últimos resultados permiten, como en el caso de las funciones bolomorfas, encontrar cotas, en este caso superiores e inferiores. Por ejemplo, si
u(x+iy) =ex cosy, entonces el valor mínimo de esta función armónica restringida al rectángulo [0, 1] x [0, 1] se debe tomar en la frontera, por lo que
este valor mínimo es e 0 cos 1 = cos 1, el cual es tomado en i.
Terminamos este capítulo con una breve introducción al problema de
Dirichlet y su solución en el disco mediante la fórmula de Poisson. Dada una
región A en e acotada y una función Uo : 8A --+ 1R continua, el problema
de Dirichlet consiste en encontrar una función continua u : A --+ 1R, de tal
manera que u!A sea armónica y ui8A = u 0 •
El problema de Dirichlet tiene solución si 8A es suficientemente lisa
(véase [1] pp. 240-243). Las técnicas que se usan son bastante sofisticadas y
corresponden a un curso más avanzado de la variable compleja. Sin embargo,
en todos los casos, es muy fácil probar que si existe una solución, ésta es
única.
Teorema 2.5.11 Si el problema de Dirichlet tiene solución, ésta es única.
DEMOSTRACIÓN. Sean u y v soluciones y cp = u- v, entonces cp es
armónica en A y cp = O en 8A. Se sigue enton.ces del principio del máximo
para funciones armónicas que cp ( z) :::; O 'Vz E A, y del principio del mínimo
que cp (z) ~O 'V z E A. En consecuencia, cp (z) =O 'V z E A.
D
Para resolver el problema de Dirichlet en el disco abierto, primero se
prueba una fórmula que expresa los valores que toma una función armónica
en el interior de un disco, en términos de los valores que toma en su frontera, es decir, el equivalente a la fórmula integral de Cauchy para funciones
holomorfas adaptado a funciones armónicas.
Teorema 2.5.12 (Fórmula de Poisson) Sea u : D (0, r)
y también armónica en D (0, r), entonces si p < r
--+
1R continua
133
2. INTEGRACIÓN
Figura 2.26: Puntos inversos: truco para probar la fórmula de Poisson
DEMOSTRACIÓN. Como u es armónica en D (0, r), que es simplemente
conexo, existe f: D (0, r) --+ C analítica, tal que u= Re f.
Sean O < t < r y 'Yt el círculo lwl = t, usando la fórmula integral de
Cauchy se tiene
= ~
f(z)
1
f(w) dw,
21rz 'Yt w- z
lo cual se cumple para toda z en el disco abierto D(O, t). La estrategia es
modificar esta expresión en otra más adecuada, para poder separar la parte
real. Para esto se toma el inverso de z con respecto al círculo lwl = t, que
está dado por
z
A este punto lo denotamos por z. Claramente, este punto es el inverso, ya
que lziiZI = t 2 , véase la Figura 2.26. Obsérvese que z E Int('Yt) si y sólo
si E Ext('Yt). Por lo tanto 'V z E Jnt('Yt), se tiene
z
_1_1
2 7rZ.
f (w) d
-
w
'Yt W- Z
= O·
'
ya que dicha función es holomorfa en una región que contiene a Int('Yt)·
Usando esta observación obtenemos la siguiente expresión para f(z)
f(z)
~ ~
2 7r z
1
'Yt
1
f(w) ( --
w- z
-
~)
w- z
dw.
134
2.5. PRINCIPIO DEL MÁXIMO, LEMA DE SCHWARZ Y FUNCIONES ARMÓNICAS
Como
lwl = t,
podemos simplificar el integrando
1
1
w-z
w-z
=
1
1
w-z
t2
w--
1
w-z
+ w (w-z-)
z
lwl 2
-
wz + wz - lzl 2
w
lw- zl2
Obteniéndose
f(z) =
1
27ri
2
r
f(w) (lwl -lzl ) d
I.,e wlw-zl
w.
Parametrizando "Yt (8) = tei 0 ,
2
2
e E [0, 27r],
(2.9)
si z = p eicp, se tiene
Al tomar las partes reales de esta última expresión, casi se obtiene la fórmula
de Poisson
(2.10)
El problema es que se necesita sustituir el círculo "Y t por la frontera del disco
D(O, r), para ello se usa un argumento de continuidad uniforme.
Manteniendo p y <p fijos, la fórmula se cumple 'V t, tal que p < t < r.
También, u es continua en D (0, r) y el denominador del integrando no se
anula (si t > p), ya que es mayor o igual a
t 2 +p 2 -2pt
= (t-p) 2 >o.
Se concluye que si p y <p son fijos, la función
135
2. INTEGRACIÓN
es continua en el compacto
{
(fJ, t) O ~ fJ ~ 2 1r, -r+p
- ~ t ~ r} ,
1
2
y por lo tanto uniformemente continua.
€
En particular, si se toma una sucesión tn --+ r, n E N, se sigue que dado
- rl < ó, se tiene
> O existe ó > O, tal que si lt n
lg(fJ,tn)-g(fJ,r)l <€ VfJE [0, 27r).
Por consiguiente, escribiendo g (t n, fJ) = g n (fJ) , se sigue que las funciones
9n convergen uniformemente en fJ a 9r (fJ) = g (r, fJ), por lo que
1
/.21T 9n(fJ) df)
-2
7r o
1---+ -
1
/.21T 9r(fJ) dfJ.
2 7r o
Esto se sigue del resultado equivalente al Teorema 3.1.13 para funciones reales
de variable real. La pruebas de ambos resultados (caso real y caso complejo)
son casi idénticas. Alternativamente, una prueba para el caso real se puede
consultar ~n (16) p. 162.
Finalmente, como todas las integrales de la sucesión son la misma, a saber
u (pe i cp) , se sigue la fórmula de Poisson.
O
La fórmula de Poisson resuelve el problema de Dirichlet en el disco abierto
--+ lR continua, la solución se obtiene
al definir
D(O, r), esto es, dada u 0 : {lzl = r}
. = r2- p2 /.21T
27r
r
u(pe''P)
0
2 -
uo(reiO)
dfJ,
2r p cos(fJ- cp) + p 2
si p < r y u (r ei<P) = u 0 (r ei'P). Resulta que u es continua en D(O, r), y
es armónica en D(O, r). La prueba de la continuidad no es simple, ésta se
puede derivar de [1] pp. 167-168. Sin embargo, podemos probar ahora que la
solución es armónica en el interior del disco, para esto necesitamos primero
un lema.
Lema 2.5.13 La fórmula de Poisson se puede reescribir como
2
1
{ 1T Re
u(z) = 2 1r } 0
donde w
= rei 6 •
(ww-+ zz) u
0
(w) dfJ,
136
2.5. PRINCIPIO DEL MÁXIMO, LEMA DE SCHWARZ Y FUNCIONES ARMÓNICAS
DEMOSTRACIÓN. En la prueba de la fórmula de Poisson (2.9) y (2.10) se
mostró que si w = r e i 0 , entonces
u (z) = -
1o (lwllw- zllzl
2
2
1
2 7r
2
-
7r
)
u 0 (w) dO.
2
Esto se probó primero para w = te i 0 , t < r y luego mediante convergencia
uniforme para w = r e i 9 • En consecuencia, el lema se sigue de las siguientes
identidades
~ [lwl
2
-
2
wz + wz -lzl 2 wz -lzl 2 + lwl 2 - zwl
+
lw- zl 2
lw-zl 2
z
z
w -]
w-z + w-z +w-z
w+z]
w-z
=Re
(w+z).
w-z
o
Volviendo a la solución del problema de Dirichlet para el disco, escribiendo
= z, se sigue del lema que
pe i cp
u (z) =
2
1
{ 7r Re (w + z) u o (w) d(J
w- z
2 1r } 0
-
1
Re [ 2 "
Re
t• (: ~:)
[~
{
uo (w)
do]
(w + z) u0 (w) dw].
27r'l Jlwl=r
W- Z
W
Finalmente, la función
G ( z)
=
_1. {
2 1r 'l }lwl=r
(u o (w)) dw +
W -
Z
_1. {
2 7r 'l }lwl=r
(
z uo (w) ) dw
W (W -
Z)
es analítica coo en C- {lwl = r }, ya que es la suma de una integral de tipo
Cauchy con el producto de la función idéntica con otra integral de ese tipo.
Por lo que la función u es armónica en el interior del disco {z llzl < r }.
137
2. INTEGRACIÓN
La solución al problema de Dirichlet en el disco D(O, r) resuelve también
el problema para otras regiones conformemente equivalentes, ya que usando
la biyección conforme se puede jalar la solución a estos otros conjuntos. Cf.
[12) p. 347.
EJERCICIOS 2.5
l. Encuentre el valor máximo de la función z
y diga en qué punto (o puntos) se alcanza.
--+ 1 sen z 1
en [O, 1) x [-1, 1]
2. Encuentre, integrando parciales, la función armónica conjugada de la función u(x + i y) = cos x cosh y.
3. Encuentre, integrando parciales, la función armónica conjugada de la función u(x+iy) = 14xy+2y.
4. Calcule el valor máximo y mínimo de la función u(x + iy) = 2{x 2 - y 2 ) + x
en el conjunto [-2, 1] x [0, 1], y diga en qué punto (o puntos) se alcanzan
estos valores.
5. Sea f una función holomorfa en ~ = {z llzl < 1}, tal que
para toda z, demuestre que esta función es constante.
lf(z)l
~ 3
6. Sea A una región acotada y J, g funciones continuas de A en los complejos. Supóngase también que estas funciones son holomorfas en la región y
que coinciden en la frontera; pruebe que son iguales.
7. Demuestre que la función u( x, y)
complejo.
= x3 -
3 x y 2 es armónica en el plano
8. Pruebe que no existe una función holomorfa f:
y f(z) = i, para alguna z E~.
~--+ ~'
tal que f(O) =O
9. El teorema del mapeo de Riemann establece que si A es una región simplemente conexa del plano complejo, y distinta de éste, entonces A es conformemente equivalente a ~. Más aún, si f : A --+ ~ es una biyección
conforme, tal que manda un punto zo E A al origen y f'(z 0 ) >O, entonces
f es única. Demuestre esta última afirmación.
CAPÍTULO
3
Series y aplicaciones
En este capítulo veremos que la analiticidad de una función se puede definir
en términos de una serie de potencias convergente. Se desarrollarán los importantes teoremas de Weierstrass, Taylor, Laurent y del residuo. Al final
se aplica este último resultado para calcular integrales reales impropias y
trigonométricas.
3.1.
Fundamentos y teorema de Weierstrass
Recordamos del primer capítulo que una sucesión compleja Zn, n E .N, converge a z, si V€ >O 3 N, tal que si n >N, entonces lzn- zl < €.
E:
Definición 32 Se dice que la serie infinita
1 a k {de números complejos)
converge a s si la sucesión de sumas parciales (es decir, la sucesión con
términos s n = E~=l a k ) converge a s.
00
Se escribirá
L a = s,
o simplemente
k
La
k
=
s.
k=l
Se mencionó también que el límite de una sucesión es único y que una
sucesión es convergente si y sólo si es de Cauchy. En el caso de las series, esto
se traduce en el importante criterio de convergencia que ·sigue.
Proposición 3.1.1 (Criterio de Cauchy) La serie
y sólo si V€ >O 3N, tal que sin;::: N, se tiene
I: akl <
€
Vp=1,2,3, ....
1k:::n+l
139
E: a
1
k
converge si
140
3.1. FUNDAMENTOS Y TEOREMA DE WEIERSTRASS
En particular, para p = 1 se obtiene un criterio útil de divergencia.
Corolario 3.1.2 Si
E: a k converge, entonces a k--+ O.
1
El recíproco del corolario no es cierto: la serie armónica E~=l ~ diverge
{véase la Proposición 3.1.6}, sin embargo ~ --+O, cuando n--+ oo.
E: a k
Definición 33 Se dice que la serie
serie
1 lakl converge.
E:
Proposición 3.1.3 Si la serie
converge.
1
E: a k
1
converge absolutamente si la
converge absolutamente, entonces
DEMOSTRACIÓN. Aplicando el criterio de Cauchy, dada
que si n > N, entonces
E
> O existe N, tal
n+p
Í: lakl
<
E
'v'p E N.
k=n+l
E: a converge.
D
Obsérvese la utilidad de esta proposición, ya que la serie E: lakl es real
Usando de nuevo el criterio de Cauchy, esto implica que
1
k
1
y se pueden aplicar criterios de convergencia para series reales. A continuación
probamos varios de estos criterios a manera de repaso de los cursos de cálculo.
Proposición 3.1.4 La serie geométrica real
E:o
1
1- r'
si
lrl
< 1, y diverye si
DEMOSTRACIÓN.
sn
lrl
Escribiendo
= 1 + r + · · · + r n,
por lo cual
~ l.
Sn- rsn
se sigue que r s n
= 1- rn+l,
Sn =
y
1- rn+l
1- r ·
r k converge a
141
3. SERIES Y APLICACIONES
Si
lrl < 1,
como
rn+l = ±e<n+1)Joglrl--+ O,
cuando n--+ oo, se tiene
1
Sn~----+ 1-r·
Por otra parte, si lrl > 1, entonces lrn+ 1 1--+ oo, y la serie diverge. Si r = 1,
s n = n + 1 --+ oo, y la serie también diverge. Finalmente, si r = -1, s n = O
si n es impar y sn = 1 si n es par, por lo que la serie no converge.
D
Proposición 3.1.5 (Prueba de la comparación de series reales) Si la
serie L:~ 1 bk converge, donde bk 2:: O, y O~ a k~ bk, V k E N, entonces
L:~ 1 a k también converge. Si L:~ 1 Ck diverge, y O ~ ck ~ dk, se sigue
que la serie L:~ 1 d k también diverge.
DEMOSTRACIÓN. Aplicando el criterio de Cauchy, la serie L:~ 1 a k converge, ya que a k + · · · + a k+p ~ b k + · · · + bk+p- Asimismo, si J\!f > O existe
j E N, tal que ¿{,= 1 dk 2:: L:{~ 1 ck 2:: J\!f (ya que una sucesión creciente
de números positivos diverge si y sólo si no es acotada), por lo que L:~ 1 dk
diverge.
D
Proposición 3.1.6 (Prueba de las series p reales) La serie
converge si p > 1, y diverge si p ~ l.
E:=l n -v
Si p ~ 1, entonces n- 1 ~ n-P (puesto que nx es creciente), por lo que E:=l n-P diverge si la serie armónica E:=l n- 1 es divergente. Esta última diverge, ya que como
DEMOSTRACIÓN.
1 2:: 1
1
1
2
1
1
>
2
1
1
1
-+2:: -+4 4
3 4
2
1 1 1 1
1 1 1 1
-+-+-+2:: -+-+-+5 6 7 8
8 8 8 8
1
-
2
1
2'
142
3.1.
FUNDAMENTOS Y TEOREMA DE WEIERSTRASS
al sumar las desigualdades, se sigue que 2::~= 1 ~ diverge a oo.
Ahora, si p > 1, como xP = e (Iogx) P es creciente
82 k-
1
=
+ ... +
1
(1
1) (1
1
1
1)
1P + 2P + 3P + 4P + 5P + 6P + 7P
c2k~l)P + (2k}+ l)P + ... + (2k ~ l)P)
2
2k- 1
1
1
::; 1+-+···+
1+--+···+----,---...,..--2P
(2k-1)P
2P2-1
(2k-1)P(2k-1)-1
1
1
1
1
1+
- - +(2P-l
--+
1 .
2P-1
)2 · · · + (2p-1) k-1 < 1 - 2 p-l
La última desigualdad se sigue ya que ( 1/2) P- 1 = e (Iog!) (p- 1> < l. Por lo
tanto las sumas parciales de 2::~= 1 nP están acotadas superiormente. En
consecuencia, 2::~= 1 nP converge.
O
Nótese que si 2::~ 1 a k es una serie de números positivos decreciente,
es decir, an+l ::; an 'íln, y si 2::; 1 2j a 2 ; converge, entonces 2::: 1 ak
converge también. A este criterio se le llama prueba de la condensación de
Cauchy, esencialmente la prueba se sigue de las siguientes desigualdades:
a1
a2 + a3
a4 +as+ a6
+ a7
::;
<
a 1,
2a2,
::; 2 2 a 4,
etcétera.
Proposición 3.1.7 (Prueba de la razón para series reales) Supóngase
que
lím 1an+11
an
n--+oo
existe y es menor que 1, entonces 2::: 1 a k converge absolutamente. Si el
límite es mayor que 1 la serie diverge, y si el límite es 1 puede ocurrir
cualquiera de las dos cosas.
DEMOSTRACIÓN.
Sea
n--+oo
Si r < 1, tomando r 1
1an+ll
, m--.
11
an
1
tal que r < r < 1, existe N E N, tal que si n ;::::: N
r=
la::'l
< r'.
3.
143
SERI ES Y A PI. ICt\CIONES
Esto implica que la 1\'+pl < la 1\·l (r 1 )1' . y por comparac10n 2:;, 1 la N-pi converge, es decir,
1 a k cmwerge absolu tamente.
Si r > 1, sea r 1 tal que T > r 1 > l. de nuevo existe ¡\ · E N . tal que si
¿:;:
n
>
¡\ '
an+1' > ,.
1
a,
) " , por lo que laN+pl no converge a O
, cuando p--+ oo,
y por consiguiente,
'
1 a¡,. cliverge.
1
Finalmente, las series
1 a k. a¡,. = l. V k E N, y 2:;:"= 1 n- ', p > 1,
divergen y convergen, respectivamente, sin embargo
y
iaN+pl >
laNI (r
1
¿:;:
¿:;:
1
l'un a,.+1
an
n-c:x::
1
y
lím
(n + 1 )~'
1
n-oo
lím
11-oc
(
-11n +1
r
l.
n~'
o
Proposició n 3 .1.8 (Prueba d e la r aíz para series reales) Supóngase
que
lím
n-oo
V'laJ
e.?:isle y es igual a r. Entonces, si r < 1 la se1'ie ¿:;: 1 a k converge absolutamente. si ¡· > 1 la serie divery¡e y si el límite es 1 ambas cosas pueden
suceder·.
Si r < l. tomando r < r 1 < 1, existe N E N. tal que si
< r', es decir. la,.l < (r')" . por lo cual
1 a~; con\'erge
DEl\ IOSTRAC!ÓN.
¿:;:
n > .\'. la,l "
absolutamente.
Si r > 1, tomando r > r' > l. existe .\' E N, ta l que si n > N, entonces
lan l 1111 > r'. ~· lanl > (r') 11 • así que lím la, l =1 O y por consiguiente
11
n-oo
2:~ 1 a k diverge.
Finalmente. la serie armónica d i\·erge y la serie
'
l 1111
11-00
{ f-l ·
n
=
l 1111
'
n-oo
2::;"= 1 n~·
l
l
n"
e ( ~)
n
l,
converge. pero
144
3.1.
FUNDAMENTOS Y TEOREMA DE WEIERSTRASS
por la regla de L'Hópital, y
,
1lm
n-+oo
{f.1
1
- = 1'lm
n2
n-+oo e ( ñ
1 {logn2) )
lím
n-+oo
1
=
l.
D
Regresamos al contexto de series complejas, a continuación se describen
los resultados básicos sobre convergencia uniforme de sucesiones y series de
funciones complejas de variable compleja.
Definición 34 Sea A e e y f n: A --+ e, n E N, una sucesión de funciones.
Se dice que f n--+ f uniformemente en A, si Vf.> O existe N E N, tal que
si n > N, entonces
lfn(z)- f(z)l < f
V z E A.
Definición 35. Sea A e e y g k: A --+ e, k E N, una sucesión de funciones.
Se dice que L:~ 1 9k(z) converge uniformemente a g, si Ve> O existe N,
tal que si n > N, entonces
lt, 9k(z)- g(z)l < •
\1 z E A.
Figura 3.1: Convergencia uniforme y convergencia no uniforme
La idea intuitiva de convergencia uniforme y no uniforme se puede observar en los ejemplos (de funciones reales) que aparecen en la Figura 3.1. En
145
3. SERIES Y APLICACIONES
nuestro contexto de funciones complejas de variable compleja, la convergencia uniforme se puede establecer en términos de sucesiones de Cauchy como
lo muestra el siguiente resultado.
Teorema 3.1.9 (Criterio de Cauchy para convergencia uniforme) Si
A e e, y fn: A --. e, n E N, gk: A --. e, k E N, son sucesiones de
funciones. Entonces
i) f n(z) converge uniformemente en A si y sólo si 'ti f >O existe N E N,
tal que sin> N, se tiene lfn(z)- fn+p(z)l < t:, 'tfz E A y 'tfp E N;
ii} la serie de funciones E~ 1 gk(z) converge uniformemente en A si y
sólo si 'tft: >O existe N E N, tal que sin> N, IE~!~+l gk(z)l < t:,
'tfzEA y'tfpEN.
DEMOSTRACIÓN. Basta probar la primera afirmación, ya que la segunda es
consecuencia de aplicar dicho resultado a las sumas parciales de E~=l g k( z).
La prueba de la necesidad es casi inmediata, si f n --. f uniformemente
en A, 'ti f >O existe N E N, tal que si n >N, se tiene
I/n(z)- f(z)l <
t:/2 'ti z E A, lo que implica
I/n(z)- f n+p(z)l =:; I/n(z)- f(z)l + lf(z)- f n+p(z)l < f
'ti z E A.
Para probar la suficiencia, nótese que si el criterio de Cauchy es cierto,
para cada z E A existe límn-oo f n(z), cuando n--. oo, que denotamos por
f(z). Este límite siempre existe, ya que los complejos constituyen un campo
completo, es decir! cualquier sucesión de Cauchy converge.
Ahora, dada f > O existe N E N, tal que si n > N, entonces
I/n(z)- f n+p(z)l <
t:/2 'ti z E A y V'p E N.
También, 'ti z E A existe Pz E N, tal que
IJ(z)-
ya que f(z)
= límn-oo
f N+pz {z)l < t:/2,
f n(z). Por lo cual, si n >N y z
f (Z) - f n(Z) 1 =:; 1f (Z) - f N+p z ( Z) 1
1
y
fn
--.
f uniformemente en
A.
E
A, se tiene
+ 1f N+P z ( Z) - f n(Z) 1 <
f,
O
146
3:1. FUNDAMENTOS Y TEOREMA DE WEIERSTRASS
Como se mostró en el capítulo anterior, la convergencia uniforme es útil
en la variable compleja. El siguiente resultado, que se generaliza a un contexto más amplio, es otra instancia donde se constata la importancia de la
convergencia uniforme.
Teorema 3.1.10 Sean f n: A---.. e, n E N, una sucesión de funciones continuas que convergen uniformemente en A e e a una función f, entonces
f es continua. Más aún, si g k : A ---.. e, k E N, son funciones continuas y la
serie l:%: 1 g k (z) converge uniformemente en A a una función g, entonces
g es continua.
DEMOSTRACIÓN. Como la suma finita de funciones continuas es continua,
basta demostrar el teorema para sucesiones. Para esto, dada € > O y un
punto z 0 E A, sea N E N tal que
lf N(z) - f(z)l < €/3 'V z E A.
También, como
entonces
f N es continua en zo existe 8 >O, tal que si lz- zol < 8,
lf N(z) - f N(zo)l < €/3,
Por consiguiente, si 1z - z o1 < 8,
lf(z)- f(zo)l ~ lf(z)- f N(z)l+lf N(z)- f N(zo)l+lf N(zo)- f(zo)l <
€.
o
Probablemente el criterio más útil para detectar convergencia uniforme
es el que establece el siguiente resultado.
Teorema 3.1.11 (Prueba M de Weierstrass) Sea A e e y f n: A ---..e,
n E N, una sucesión de funciones, supóngase también que existe una sucesión
de reales no negativos lv! n, n E N, que satisfacen
i} lf n(z)l ~ M n 'V Z E A,
00
ii)
L
lv! n converge.
n=l
Entonces,
L:%: 1 fk(z)
converge de manera uniforme y absoluta en A.
1-l i
3. SEIUES Y APLICACI O;>;ES
D Et-.IOSTRACI ÓN.
que I:~!!;+t .\1 k'
Como
I:::C=t .\1,.
< e, V n > .Y
converge. da da
Tl+p
n~p
I:
e> O C'xiste A E N. tal
y V p E N. por lo cual
l!k-(=)1 <
k=n+1
¿
k·=,+l
-'1k' < ( V.: E A.
Es decir, las hipótesis del criterio de Cauchy se a plican ( Proposición 3. 1.9),
por lo que las series
lh(z)l y
h(z) convC'rgen un iformemente
~A.
O
¿;:,,
¿;:,,
.\ <·ont i tiii <H'i<'lll <·xh ihitno" 11n <'j<'llipl<' dond<· ~<· aplica i<t pnwha :-.1 <k
. C'on:-Jdnc <' la ;:,f'riC'
..
Escribiendo f
Deuotando r" = ¡\1 ,., se sigue la a firmación, ya que
geométrica convergente.
:l:;;"=1 i\1 k
es una serie
Es interesante obsetTar que esta función f( .:) . en contraste, no con\'erge
uuiformemente en ~ = {.:E C 11=1 < 1}. Si así fuera, la serie :l:;:'= 1 xn"
convergería uni fo rmemente en [0. 1). Esto sign ifica que pa ra toda ~ > O
existe .V E N. tal que si n ~ 1Y. se t iene
.1:"
.r"+'
n+1
.r"+P
n+p
- + - - + .. · + - - <
n
e V.r E [0. 1)
.\' Vp E N.
Ahora. como la serie armónica di\'erge. existe pE N. tal que
1
N
1
-+ .. ·+ - -. >
N+p
2c.
(3 .1)
148
3.1.
F UNDA~I ENTOS Y TEOREMA DE \ 'VEIERSTH.ASS
También exist e x E [0, 1), tal que xN+p > ~ (esto se sigue de la cont inuidad
de la fun ción x--+ .1:"' y el teorema del valor inter med io rea l). Juntando esta
información se obtiene
XN
:rN+Il
N+ ··· + .\"+p >
N+
:r
(
"
1
1
¡\'+ ··· + A+p
)
>
f
(xn decrece cua udo n--+ oo) . lo cual contradice (3.1).
Sin embargo, obsér vese que la fun ción f(::) es continua en 6 , puesto que
V z E 6 existe r > O. tal que ::E D(O, r). y en dicho disco hay convergencia
uniforme: por lo que en virt ud del Teorema 3. 1.10. f es continua en una
vecindad de z y por ende en 6. De hrcho , como ,·eremos a continuación.
esta fun ción es holomo rfa en el disco uni tario.
Es fácil d emostra r que nna ~nce::.iún d • funcion ·~ ctllllph•Ja:-- dPfinida:- en
IP"it'lll . 1 dt· ::' ctHJ\'t'l""t' ;¡ 1111;1 f¡¡¡wit'lll f IIIIÍfonnt'I JH'IIIt' t'll di~c·os CC'rrado:-- de· . 1 ,¡ ~úl11 s i co11,. ·rg · llllj(onncllll'II Lc• t'll coll!p;w l o~ dP . 1 \ <'jí"rrtrio).
Bajo 1':-il a,; hipt'nesi::. .-.e d ice qu • l<.l sLICCSión con,·m:gc.;- numw.lnu n/1 C'll A. El
sig uiente teorema es uno de los resultados más importantes de la variable
compleja.
t
1111a
Teo rema :3.1. l2 ( \Ycje r strass) Sta 1 tuw n !JÍ ' 1
1) Si
J:, . n
f"
f,/ f'
qw
ii.) Si
(J k,
f
oJC..
N . 1 ·' mw .'u' f'-<iá n ¡[, fw wl()nr., u..nlllff¡w,, r n .1, ta[f'.'
!1nnn11lmc ulr r u
f'n lnnn ·' f r·.~ oua lftica . .4 ckmás.
k (:- N.
1'8 1/TIII
Lk'=J y, (:)
!11 ;,erte
1
·'lll'l".qifh, rl~ftmr'lune;, onolf/ic;w,_cu . l, Lales que,
W III'II!JI 1/ lii'IIWlinenlr
n A. 11 ww ftmciÓ7 g,
en.lunees 11 ,., llnol!tim tn . \. . ld11nú.~. q' ( ::)
1/tcnl~; lj ll . 1
2::~.:,. 1
-'h'(::.) normal-
· Es ta propiedad no es cierta en el caso rea l, pues convergencia uniforme no
implica que la s ucesión de las derivadas converj a a la deriva da de la función
límite, por ejemplo, si
·)
f n (X
=
sen(nx)
.jñ
,
se t iene que
f (x) =
lím J,.(x) = O,
n-oo
y es fácil ver que la convergenc ia es uniforme en IR. Sin embargo.
fn' (x) = .jñ cos(nx).
149
3. SERIES Y APLICACIONES
y fn' (O)= .¡ñ no converge a f'(O) =O. Para probar el teorema de Weierstrass se necesita un resultado adicional que establece un principio fundamental: bajo la hipótesis de convergencia uniforme, se pueden intercambiar
·
los signos de límite e integral.
Teorema 3.1.13 ( J lím = lím J) Sea 7: [a, b] ~ A una curva de clase
C 1 por tramos, donde A es una región en C.
i} Si f n, n E N, es una sucesión de funciones continuas definidas en 'Y
que convergen uniformemente a una función f en dicha curva, entonces
ii} Si 9k, k E N, es una sucesión de funciones continuas definidas en 'Y,
tales que 2:~ 1 9k(z) converge uniformemente en 'Y, entonces
es decir, la serie se puede integrar término a término.
DEMOSTRACIÓN.
Dada
€
>O existe N, tal que si n > N,
lfn(z)- f(z)l <
€
V z E 'Y,
así que
por lo cual se sigue la primera parte del teorema. La prueba de la segunda
parte se obtiene al aplicar i) a la sucesión de sumas parciales, ya que la
O
integral es distributiva con respecto a una suma finita de funciones.
DEMOSTRACIÓN. [Del teorema de Weierstrass] Solo es necesario demostrar
i), ya que ii) se sigue de aplicar i) a la sucesión de sumas parciales, puesto
que la derivada es distributiva con respecto a una suma finita de funciones.
Primero demostraremos que f es holomorfa en A. Dada la convergencia
uniforme esta función es continua. Sea z 0 E A y rE JR+, tal que D(z 0 , r)
esté contenido en A. Como D(z 0 , r) es simplemente conexo, se sigue del
150
TEOilE~IA DF. WP.IEilSTRASS
3.1. F UNDMIENTOS Y
teorema de Cauchy que ·[1 fn = O, para cualquier curva cerrada 'Y de clase
e 1 por tramos en D(zo . r), y 'r:/ n E N. Ahora, como ¡ ,. -> .f unifonllelllenLe
en ¡, se sigue del Teorema 3.1. 13 que j~ f = O. Siendo esto cierto para
cualquier curva con estas especificaciones, el teorema ele I\1forera im plica que
f es holomorfa en D(z 0 , r).
-----/
/
""
....
''
\
1
'
1
1
1
1
\
1
'\1
1
1
\
1
1
1
\
''
' -----,
' .... ..... ___ _
A
1
/
/
"
Figura 3.2: Prueba del teorema de v\"eierstrass
Falta demostrru· que j,.' -> f' uniformemente en discos cerrados. Hay que
probar que dados f.> O y D(z 0 . r) e A . rxisLe .\"E N tal que si n >N.
IJ,.'(z)- !'(.:)1 <f. 'r:/:; E D(.:o. r) .
Usando el Lema 2.3.11 se puede encont rar t > r. tal que D(.: 0 . 1) e A. Si
se denota por ¡ la frontera del disco D(::o, t), usando la fórmula integral de
Cauchy se t iene
J,.'(z) - f '(::)
1
2 7ii
1
'
J,.(w)- f (w)
_ ~) 2
dw 'r:/z E D(z 0 . r) .
(w
~
(3.2)
Obsérvese que si w E~¡ y :; E 0 (:: 0 . r) . lw- zi 2: l-T (1·éase la Figura 3.2).
También. por la continuidad uniforme en discos cerrados. dado un número
¡.¡ > O, existe N E N. tal que si n > .\". se tiene
l!"(u)- f(u)l < ¡t
'rftt E
D(::o. t) .
151
3. SERIES Y APLICACIONES
Por consiguiente; se sigue de (3.2) que para toda z E D(z 0 , r), si n >N, se
tiene
1
¡.t
¡.t t
lfn'(z)- J'(z)l ~ 27T (t- r)2 27Tt = (t- r)2'
Finalmente, escribiendo
€
¡.tt
=
(t- r) 2 '
o
y despejando ¡.t se sigue el resultado.
Obsérvese que aplicando el teorema de Weierstrass repetidas veces se obtiene que fnk ~ Jk uniformemente en discos cerrados. Nótese que el teorema
de Weierstrass no supone convergencia uniforme en la región A. Por ejemplo,
la serie E~= 1 zn/n converge en !:l., pero no uniformemente; sin embargo,
como converge uniformemente en D(O, r), r < 1, converge uniformemente en
cualquier disco cerrado de !:l., por lo cual se aplica el teorema de Weierstrass
y E~= 1 zn jn es holomorfa en /:l.. Además su derivada es E~=l zn-1, la
cual converge uniformemente en discos cerrados de /:l..
En algunos casos, el teorema de Weierstrass permite detectar si una serie
de funciones representa una función holomorfa, por ejemplo, la función
L :3
oo
f(z)
=
n
n=1
es analítica en .ó.. Esto se sigue de dicho teorema, ya que si M n
E~= 1 NI n converge y
~: 1 <
1
por lo que E~= 1
: 3 Vz
E
= 1/n 3 ,
t.,
z: converge en forma absoluta y uniforme en .ó... Más aún
n
oo
00
n-1
n-1
f'(z) = ~ ~ = ~ _z- .
L...J
n3
n=l
L...J
n=1
n2
El teorema de Weierstrass establece la analiticidad de una función muy
importante en la teoría de los números, a saber, la función ( (zeta) de
Riemann definida por
00
((z)
=
L
n=1
n-z,
152
F' UNDA~IENTOS Y TEOREMA DE \V EIERSTRASS
3.1.
donde n -: = e-:logn y log denota la rama principal de logaritmo. l\Iostramos
que esta función es holomorfa en la región
A = {.::-ECI Re.::-> 1}.
11
Figura 3.3: Dominio de analiticidad de la funcion zeta de Riemann
Para probar esto, se toma D un disco cerrado en A y <: la distancia de
D a la recta Re z = 1, véase la Figura 3.3. Si z = x ..1.. i y,
Ahora. si .::-E D. x 2: 1 +E y ln-:1 = n-r:::; n-(l+<l . puesto que la función
n 1 = e 11ogn es creciente. Escribiendo.\!,.= n-(1+<)_ ¿ :;:, .\/,.es
una serie p convergente. por lo cual usando la prueba l\I de \\"eierstrass,
se t iene que ¿ :=, n-: converge en forma absoluta y uniforme en D. Se
sigue entonces del teorema de Weierstrass que la función ( de Riemann es
holomorfa en A , Más aún
t-+
00
('(z)
-
L
(log n) n-= .
u=l
Además. esta l!llima serie converge nonnalmenle en A.
3. SERIES Y APLICACIONES
153
Figura 3.4: El dominio de analiticidad de la serie geométrica compleja es !::::.
Terminamos esta sección con un ejemplo. Calculamos
Para encontrar el valor de la integral se toma D un disco cerrado en !::::., E la
distancia de D al círculo 81::::. y Mn = (1- E)", véase la Figura 3.4. Como
la serie E~=O M n es convergente, se sigue que E~=O z" converge en forma
absoluta y uniforme en D. Aplicando entonces el teorema de Weierstrass se
tiene que E~=o z" es holomorfa en !::::., y por lo tanto
EJERCICIOS 3.1
l. Sean fn : [0, 1] ~IR, n E N, las funciones dadas por fn(x) = x", demuestre que estas funciones convergen puntualmente pero no uniformemente.
2. Demuestre que una sucesión de funciones complejas definidas en una región
A de C converge a una función f uniformemente en discos cerrados de A
si y sólo si converge uniformemente en compactos de A.
154
3.2.
TEOREMA DE TAYLOR
3. Demuestre que g(z) = E~=O (z-\)n es una función holomorfa en la región
{z E C llz- 11 > 1}, calcule su derivada.
4. Pruebe que la sucesión z n = (-i) n + ~, n E N, no converge y que en
cambio Zn = (2 +i} :!, n E N, sí es convergente.
5. Sea g(z)
= E~=l e-n cos (nz), demuestre que esta función es holomorfa
en la región { z E
1 1 < 1m z < 1}. Sugerencia: e~ discos cerrados,
acotar superiormente las funciones de la serie con los términos e-nf, donde
E es la distancia del correspondiente disco a la frontera de la región.
e
6. Explique por qué la función g(z) = E~=l 7i (logn) 3 n-z es holomorfa
en { z E e 1 Re z > 1}.
!:
7. Demuestre que la serie E~=l
8. Sea g(z) = E~-l 2 i - 2zn
-
Z
n+l
,
converge.
demuestre que esta función es holomorfa en
el abierto {z E e 1 lzl "# 1}. Sugerencia: para el complemento del disco
unitario acotar superiormente en discos cerrados los términos de la serie por
funciones de la forma zkn , donde k es un real positivo apropiado al disco en
cuestión.
9. Sea g(z) = E~=l (2- 3i} n!~n' pruebe que esta función es holomorfa en
e- {0}. Calcule la integral i¡zl=2 g.
10. Pruebe que la serie E~=l ~ converge, pero no absolutamente. Sugerencia: usar el criterio de las series alternantes de los cursos de cálculo.
3.2.
Teorema de Taylor
En esta sección demostraremos que f es analítica si y sólo si f. se puede
expresar localmente como una serie de potencias, llamada serie de Taylor, la
cual es de la forma
f(z)
=
f: ¡n(~o) (z-
n=O
zo) n.
n.
Esta propiedad es otra instancia donde el cálculo real es distinto del complejo. Por ejemplo, la función
f(x) = {
~-x-'
::
X
f; 0,
X=
0,
3.
155
SERIES Y A PLICACIONES
es de clase C 00 real y jk(O) =O, V k E N (ejercicio); sin embargo, f no es
idénticamente O cerca de O, por lo que f no tiene una expansión en series
de Taylor alrededor del origen.
D efinición 36 Una serie de potencias compleja es una serie de la forma
oc
L
a,(.:::-.:: 0 )" .
donde
zoEC
y
a,EC
Vn .
n= O
El resultado que sigue es mu.v importante. esencialmente dice que si una
serie de potencias converge en un punto específico. entonces converge hacia
dentro de dicho punto de manera normal y absoluta.
Lema 3.2.1 (Abe!) Si pam algún complejo z 1 la ser-ie de potencias
00
L
an (.::-
zo) n
n= O
converge, entonces dicha serie conver:ge de manem normal y absoluta en
D (zo, 1.::¡- zol).
D E!v!OSTRACIÓN . Sea r 1 = iz 1 - zo l, se tiene que como la ni r{' ~ O, cuando
n ~ oo, dicha sucesión está acotada, digamos por un real positivo M. Ahora,
si r < r 1 , basta probar que la serie converge de manera absoluta y uniforme
en D(z 0 , 1·), ya que cualquier d isco cerrado en D(z 0 , r 1 ) está contenido en
uno ele estos otros discos centrados en z 0 . Para probar esto sea
M,= M
como
f; <
1,
2::::;"=0
ion( z -zo)"i
.,.
(
~)
71
,
i\1, converge. Además, en D(z 0 • r),
~
ia, ir "
= ia, ¡r"r¡" ~
r¡''
]}/ (!r. ._)"
1
por lo que la prueba P. l de Weierstrass implica el resultado.
o
El siguieate teorema es~ablece un resul tado fundamental: cualquier serie
de potencias converge dentro de un círculo y d iverge fuera de éste.
156
3.2.
TEOREMA DE TAYLOR
Teorema 3.2.2 {Radio de convergencia) Sea E::O=o an(z-z 0 )n una serie de potencias, entonces existe un número R E [0, oo], llamado mdio de
convergencia, tal que si lz- z 0 1 < R la serie converge, y si lz- zol > R la
serie diverge. La convergencia es normal y absoluta en D(z 0 , R).
Al círculo lz- zol = R se le llama círculo de convergencia, y al número R
se le llama radio de convergencia.
DEMOSTRACIÓN. Sea
R =
sup {r
<:: O 1
t.
la.l r"
converge}.
Se afirma que R es el radio de convergencia.
Dada r < R, existe r 1 tal que r < r1 < R y E::O=o lanl rt converge,
esto quiere decir que la serie E::O=o an(zo+rt-zo) n converge absolutamente
y por lo tanto también es convergente. Se sigue entonces del lema de Abel
que E::O=o an(z- zo) n converge en forma absoluta y uniforme en D(zo, r).
Ahora, si 1z 2 - z o1 > R y la serie E::O=o a n (z 2- z o) n converge. Escribiendo r 2 = lz 2 - z 0 1 y tomando R < s < r 2 , se sigue del lema de Abel que
E::O=o an(z- zo)n converge de manera uniforme y absoluta en D(zo, s). En
particular, si z = z o+ s, se tiene que la serie E::O=o 1a n 1 s n converge, lo cual
contradice la definición de R. Finalmente, como la convergencia es uniforme
en D(z 0 , r) Vr < R, también lo es en cualquier disco cerrado de D(z 0 , R).
D
Nótese que el teorema anterior conlleva mucha información, por ejemplo,
si una serie de potencias de la forma E::O=o an(z- 3) n converge en z = 1,
entonces no puede divergir en z = 4, ya que por el lema de Abel el radio de
convergencia es mayor o igual a 2, por lo que la serie debe ser convergente
para z = 4. También, este resultado del radio de convergencia junto con
el teorema de Weierstrass tienen como corolario casi inmediato el siguiente
hecho.
Teorema 3.2.3 (Las series de potencias son holomorfas) La serie de
potencias
00
L
an (z- zo)n
n=O
es holomorfa en el interior del círculo de convergencia.
3.
157
SERIES Y APLICACIONES
DEMOSTRACIÓN.
e~mas.
El resultado se sigue de que las funciones an(z- z 0 ) n son
O
El teorema de Weierstrass permite también derivar término a término,
y expresar los coeficientes de la serie con los valores de las derivadas de la
función en zo.
Teorema 3.2.4 (Coeficientes de Taylor) Sea f(z) = L:~=O an (z-z 0)n
una serie de potencias, R el radio de convergencia y z E D(z 0 , R), entonces
00
y
J'(z) =
L
nan (z- zo)n-l.
n=1
Más aún, el radio de convergencia de esta nueva serie es también R.
A estos coeficientes se les llama de Taylor
DEMOSTRACIÓN. Por el teorema de Weierstrass,
00
f'(z) =
L
nan (z- zo) n- 1 'V z E D(zo, R).
n=l
Si L:~=l nan (z1- zo)n-l converge, donde z1 E ( D(zo, R))c, se tendría
que la sucesión n la ni rt- 1 , n E N, estaría acotada, donde r 1 = lz 1 - z 0 1.
Esto implica que la sucesión la ni
n E N, también está acotada Se sigue
entonces de la prueba del lema de Abel que L:~o an(z- z 0 ) n converge en
D(z 0 , r 2 ), donde r 1 > r 2 > R, lo cual contradice la definición de R. Por
consiguiente, el radio de convergencia de la serie ¿:~= 1 nan(z- z 0 )n-l es
de nuevo R.
Para demostrar la primera parte, se evalúa la serie y sus derivadas en z 0 :
f(zo)=ao, f'(zo)=a¡, como f"(z) = L:~= 2 n(n-l)an(z::....zo)n- 2,
se tiene f" (z 0 ) = 2! a 2 . Iterando el proceso de derivar la serie de potencias,
inductivamente se sigue que
rr,
00
fk(z)
=
L
n(n-l)(n-2)· .. (n-k+l)an(z-zo)n-k,
n=k
y evaluando en z 0 se obtiene Jk(zo) = k! a k.
o
Los criterios de la razón y de la raíz reales se pueden adaptar a criterios
para encontrar el radio de convergencia de series de potencias complejas.
158
3.2.
TEOREMA DE TAYLOR
Teorema 3.2.5 (Criterios de la razón y de la raíz) Sea R el radio de
convergencia de E~==O an(z- zo)".
, - lanl
· o es oo, entonces dicho l'zmite es R .
i) Si 11m
- - enste,
n-+oo
1an+l 1
ii) Si lím y!ja"J existe, o es oo, entonces R
n-+oo
si p ::f O, oo,
si p = oo,
si p =O,
donde p = lím y!ja"J
- n-+oo
DEMOSTRACIÓN. Como se vio en la demostración del Teorema 3.2.2, el radio
de convergencia está dado por
Para probar i) escribimos L
= n-+oo
lím
- 1a nl y consideramos primero el caso
1an+l 1
O< L < oo. Aplicamos el criterio de la razón real a la serie
Si O< r < L, entonces
E~==O
lanl r".
y por lo tanto la serie E~==O lanl r" converge. En cambio, si L < r, dicho
límite es mayor a 1 y la serie E~==O la ni r" diverge. Para el caso L = oo se
tiene que Vr
n+l
lím 1an+l 1r
n-+oo lanl rn
= o,
(3.3)
y la serie converge en todo el plano. En contraste, si L = O para cualquier
valor r, el límite en (3.3) es oo. Por lo tanto, R, el radio de convergencia,
es L en todos los casos.
Para probar ii) consideramos primero el caso pE (0, oo). Se tiene que la
serie E~==O 1a n 1 r n converge o diverge, conforme a que
lím y!ja"Jr
n-+oo
(3.4)
3.
159
S e RIES Y APLICACIONES
\llaJ
sea menor o mayor que 1, respectivamente. Como lím,_ 00
= p, esto
equivale a decir que p 1· sea menor o mayor a l. es Lo es, r < 1/ p, o r > 1/ p,
por lo que 1/ p es el radio de convergencia. Si p = O, el límiLe en (3.4) es O
Vr y R = oo. En cambio, si p = oo, dicho límite es oo V r y R = O.
D
El criterio de la raíz para series de potencias se puede enunciar de tal
ma nera que se aplica a cualqu ier caso. Específica111ente, el radio de convergencia R de la serie de potencias L:::'=o o,(.: - .: 0 ) " esLá dado por 1/ p,
donde
p = lim sup ~
y lim sup es el supremo de los puntos de acumulación de la sucesión
y!jllJ.
n E N. Esta fórmula se le atribuye a Hadamard. la prueba queda como
ejercicio para el lector. alternat ivamente se puede consultar en [1] p. 39. A
continuación mostramos unos ejemplos.
La serie L:::'=o;; " tiene radio de convergencia l. puesto que a, = 1
Vn E N. y
lím
n-oc
la"l =
la,+ 11
l.
Por otra parte. la serie L:::"=o ~.·; tiene radio de convergencia oo, es deci r.
es una función entera. ya que a, = 1/n ! y
la,l =
,
11111
1un
' ( n + 1) = oc.
- --
1Q H+l 1
H-00
I:::"=o
En contraste. la serie
71-00
2 n 1;;" tiene rad io de com·ergencia O. puesto
que
1,1111
n-:x>
Para la serie
"'oo
la,l =
la n+II
--
11111
'
n- oc
1
--
n+ 1
= O.
="" a¡)licamos el cri terio de la raíz. se tiene e¡ue
L...,n= O n
1- al
1111
n-oo
-
n"
' 1 -l =
= 1111
n-oo n
o.
por lo que el radio de convergencia es oo, y la serie n'prescnla una fu nción
entera.
Se probó que una serie de potencias es una fu nción holomorfa en el disco
de convergencia. El resultado recíproco también se culllple, es decir, cualquier
función holomorfa es representable locahncnte por un a serie de potencias, por
lo que ambas propiedades son equiva lentes.
160
3.2.
TEOREMA DE TAYLOR
Teorema 3.2.6 {Taylor) Sea f holomorfa en una región A, tal que el
disco D(z 0 , r) e A, entonces Vz E D(z 0 , r)
f(z)
f: ¡n(~o)
=
n=O
(z- zo)n.
n.
A esta serie se le llama serie de Taylor. Por ejemplo, la función exponencial
f (z) = e z es entera y Vn E N se tiene f n ( z) = e z, en particular f n (O) = 1,
y
L;
n=O n.
oo
ez =
n
VzEe.
Antes de probar el teorema de Taylor se necesita un lema y una observación.
Lema 3.2.7 La serie de potencias E~=O zn converge de manera normal y
absoluta en !:1 a
1
1-z
En particular, la serie converge uniformemente en los círculos
r <l.
lzl =
r, donde
DEMOSTRACIÓN. Como ya se mencionó, el radio de convergencia de esta
serie es 1, por lo tanto se sigue la primera parte del lema. Para calcular
el límite, nótese que la misma prueba usada para la serie geométrica real,
muestra que
Sn = 1 + z + z 2
+ · · · + zn
1- zn+l
=
1- z
'
por lo cual
lím Sn
n-+oo
ya que
=
lzn+ll = lzln+l--+ O,
lím
n-+oo
1- zn+l
1
-
z
cuando n--+ oo.
1
1- z'
O
Por otra parte, nótese que si E~=O g n ( z) converge uniformemente en
un subconjunto A de e y cp : A --+ e es una función acotada, entonces
E~=O <p( z) g n ( z) converge uniformemente en A a cp( z) E~=O g n ( z). Esto
es cierto, ya que si lcp(z)l < M V z E A, entonces en virtud del criterio de
161
3. SERIES Y APLICACIONES
Cauchy para convergencia uniforme se sigue que dada
n >N, se tiene
lcp(z) gn(z)
€
> O 3 N, tal que si
+ · · · + cp(z) gn+p(z))l = lcp(z)l lgn(z) + · · · + gn+p(z)l
€
::; M M=
'v'zEA y 'v'pEN.
€
DEMOSTRACIÓN. [Del teorema de Taylor)] Sea t > r tal que D(z 0 , t) e A,
y 1'(9) = z 0 + t e i 6 , O ::; 9 ::; 21r. Por la fórmula integral de Cauchy, si
z E D(z 0 , t), entonces
f(z) =
1
27ri
1
'Y
f(w) dw.
w-z
Ahora se aplica el truco de Taylor, esto es,
1
1
w-z
w- zo- (z- zo)
1
(w- zo)
1
( 1-~)
W-Zo
1
=
w-zo
L ( ~)n
w-zo
00
n=O
Usando el Lema 3.2.7, se observa que para z fijo esta serie converge uniformemente en ')', ya que al variar w, los valores ~=:~ están todos en un círculo
concéntrico al origen de radio menor a 1, véase la Figura 3.5.
Ahora, la función w--+ ~~~~, w E')', está acotada, ya que es continua
en un compacto. Por lo que se sigue de la observación previa a la prueba que
~ f(w) (z- zo)n
L._¿
n=O
(w- zo)n+l
converge uniformemente en ')' a
f(w)
w-zo
f(w)
w-z
162
TEORE~IA DE TAYLOH
3.2.
La. convergencia. uniforme permite aplicar el Teorema 3.1.13 y se tiene
r
},
f(w) dw
'W-
r (~
L.,
=
} .,
z
n=O
"Y
J(w) (z- zo)" ) dw
(w-zo)"+J
l
=~~ "Y
f(w ) (z- zo)"
dw .
(w- zo) n+L
00
Finalmente, la fórmula integral de Ca.uchy para la n-ésima derivada implica
q ue V z E D(zo, t)
j(z)
=
1 .
~ 7r1
-?
r wj(w)
dw
- z
00
},
=
f
1
1 .:. w_,..)
-:---~
. . ( ---:-:- dw
(z - zo)"
,. (w- zo) n +L
2 7r i
n=O
(z- zo)"
¡n(~o) .
n.
n=O
En particular, la fórmula ele Taylor se cumple V z E D(z 0 , r ).
-----.-"
w
('(@)
oz \
1
1
1
....
'
' \1
1
1
\
7
'\
1
1
1
1
1
\
\
o
' ' ___ __.....
A
/
'
-----
""'
/
Figura 3.5: Prueba del teorema ele Taylor
Obsérvese que se sigue del teorema de Taylor y del Teorema 3.2.3 que si
A es una. región en e y f: A --> e es una función. entonces f es analítica
en A sir sólo si V zo E A se tiene que si D(zo . r) e A, entonces JID(zo , r)
es representable como una serie de potencias. :\ótese que esta a firmación es
163
3. SERIES Y APLICACIONES
válida, incluso si D(z 0 , r) no está contenida en la región A (ejercicio). También, es muy importante destacar que la representación en series de Taylor
es única (ya que los coeficientes, llamados de Taylor, están determinados por
las derivadas de la función en el punto z 0 ). A continuación mostramos un
ejemplo.
Usando la rama principal de logaritmo, calculamos la serie de Taylor de
f(z) = log(l + z) alrededor del O. Esta función es holomorfa en
e - {z E e
1
Re z < -1, /m z = O} ,
por lo que el radio de convergencia es mayor o igual a l. Ahora,
J'(z) = z:l'
2! (-1) 2
(z+1) 3 '
-1
J"(z)
(z+1) 2 '
e inductivamente se tiene
(n - 1) ! ( -1) n- 1
(z+l)"
ya que derivando esta última expresión se tiene
¡n+l(z)
n(n -1)! (-1)(-1)"- 1
(z + 1)"+ 1
=
n! (-1)"
(z + l)n+l ·
Por lo cual, f(O) = log(l) =O, f '(O) = 1, f "(O) = -1 y
f"(O) = (n- 1)! (-1)"-1,
y la serie de Taylor está dada por
log(1
oo
+ z) = "'
~
n=O
(
n-
1) 1 ( 1) n-1
· n!
Z 11
oo
n
= "'(-l)n-l ~.
~
n=O
n
Por último, si z = -1, la serie está dada por - L::=o ~' la cual diverge, y
por consiguiente el radio de convergencia es exactamente l.
Terminamos esta sección mostrando que la series de potencias se pueden
multiplicar de manera similar a los polinomios. Específicamente, si f y g
son funciones analíticas en D(z 0 , r) y
00
f(z) =
L
n=O
an (z- zo)",
g(z)
164
3.2. TEOREMA DE TAYLOR
son sus representaciones en series de potencias, entonces
f(z) g(z) =
~ (~ a bn-k)
k
(z- zo)" V z E D(zo, r).
(3.5)
Para probar esto, primero generalizamos la regla de Leibnitz. Se afirma
que
(f g)n (z)
=
t
k=O
(n)k ¡k (z) gn-k (z),
donde f 0 = f y g 0 = g. Esto se demuestra inductivamente. El caso n = 1
es la muy conocida regla de Leibnitz. Ahora, suponiendo válida la fórmula
para n- 1, es decir,
(f g) n-1 (z) =
r; 1)
n-1
(
n~
¡k (z) 9 n-1-k (z),
se tiene derivando que (f g) n ( z) es igual a
n-1
(
{;;
=
n
n-1
~ 1) ¡k+t (z) g•-•-• (z) + {;
t. (~ =D
¡• (z) g•-• (z) +
=
~ (~) , . (z) g•-• (z)
+
~
r
(
n
~
(n ~
(z) g(z)
1) ¡• (z) g•-• (z)
1
)
¡• (z) g•-• (z)
+
/(z) g" (z),
lo cual prueba la afirmación.
Finalmente, probamos (3.5). Usando la afirmación y los coeficientes de
Taylor, se tiene que
t (n)
(f g)nl(zo) = ~
fk (zo) gn-k (zo)
n.
n. k=O k
n Jk(zo) 9 n-k (zo)
n
=
~ (n-k)!=
akbn-k·
L
k=O
L
k=O
Como aplicación encontramos la serie de Taylor de z~1 alrededor de O.
Se demostró que si lzl < 1, l~z = E~=O zn, y por la unicidad de la serie
165
3. SERIES Y APLICACIONES
de Taylor, ésta es precisamente su serie. Por lo tanto, usando {3.5) se tiene
que la serie de Taylor de (- 1 ~J z 3 está dada por
Si z = 1, esta serie diverge, por lo que el radio de convergencia es l.
Como un segundo ejemplo calculamos los primeros términos de la serie
de Taylor, alrededor del O, de la función ~~:. Usando (3.5), se tiene
3ez
1
= 3
_ z
=
3 {1
+ z + z 2 + z 3 + · · ·)
[l+(z+z)+ (z22
(
2
1+z+
z
!
2
3
+ 3z ! + · · ·)
+z•+z•) + (z63 +~a +za+za) +···].
EJERCICIOS 3.2
l. Demuestre que la función f: 1R ~ 1R definida por f(x) = e-xy f(O) =O, es de clase coo real y que Jk(O) =O, Vk E N.
2
,
si x
=/:O,
2. Demuestre que se pueden debilitar las hipótesis del lema de Abel, suponiendo solamente que la sucesión lanl r¡, n E N, está acotada.
3. Diga por qué si una serie de potencias de la forma ¿~=O an (z- (i + l))n
converge en z =O, entonces no puede divergir en z = i.
4. Demuestre que el radio de convergencia de la serie L:~=O an(z - z 0 )n
está dado por 1/p, donde p = lim sup y'fa,J.
5. Encuentre el radio de convergencia de las siguientes series: L:~=O 2 n z n,
~oo
zn
~oo
L.m=O 2 n Y L.Jn=O
z3n
(27) n
•
6. Demuestre que si A es una región en e, f : A ~ e es una función
holomorfa y D(z 0 , r) e A, entonces JID(z 0 , r) es representable como una
serie de potencias convergente en dicho disco.
7. Encuentre las series de Taylor de las funciones sen z y cos z alrededor del
origen, y pruebe formalmente que éstas son en efecto dichas expansiones.
8. Sea w E e, w =/: O. Encuentre la expansión de Taylor de la función
z ~ z w, definida por la rama principal, alrededor de l.
9. Encuentre la serie de Taylor de la función z ~ cos(z 3 )
origen.
+2
alrededor del
166
3.3. SERIES DE LAURENT, SINGULARIDADES AISLADAS
10. Encuentre los primeros tres términos de las series de Taylor de las funciones: z ~ (cos z) e 2 z alrededor de 1r /2, y z ~ tan z alrededor del origen.
Sugerencia: usar (3.5).
11. Sea A una región en e, f: A~ e una función holomorfa y D(z 0 , r) el
mayor disco abierto, centrado en z 0 , contenido en la región A. Demuestre
que si la función f no está acotada en D(z 0 , r), entonces r es el radio de
convergencia de la serie de Taylor para esta función alrededor de z 0 •
12. Exhiba una función f que sea holomorfa en una región A, tal que no se
pueda extender a otra función holomorfa definida en una región mayor (que
contenga a A), y con la propiedad de que para un punto z 0 E A, el disco de
convergencia de la serie de Taylor definida por J, alrededor de dicho punto,
no está contenido en A. Sugerencia: usar la rama principal de logaritmo y el
punto -1 + i, recuérdese que las distintas ramas sólo difieren por constantes.
13. Derivando la serie geométrica encuentre la expansión de Taylor de la
función (1 - z) -J alrededor del origen.
3.3.
Series de Laurent, singularidades aisladas
En esta sección se discute el caso en que una función f es analítica en un
anillo; se muestra que esta función tiene una expansión en series, llamadas
de Laurent. El caso particular en que el anillo es de la forma D(z 0 , r)- {z 0 },
es muy importante, ya que el análisis de la singularidad z 0 permite aplicar
la teoría al cálculo de integrales impropias reales, como se mostrará al final
del capítulo. Primero se establece un lema dual al de Abel.
Lema 3.3.1 (Dual de Abel) Sea bn, n E N, una sucesión de números
complejos. Si la serie
00
b
(3.6)
(z- :o)"
~
converge en un punto z 1 , entonces la serie converge de manera absoluta en
{Z
donde
r 1 = lz 1 - z0 1.
E
e r¡
1
< lz- Zol},
Más aún, converge uniformemente en los conjuntos
{z E
e
1
r ::;
lz - zol ,
r > r 1} .
3.
167
SERIES Y APLICACIONES
/
...
-------
....
/
/
/
1
''
'
1
'
\
\
1
\
1
1
\
1
\
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
•
IZo+ 1'2
1
1
1
1
\
1
\
1
\
/
\
''
/
/
'''
/
.....
-------
...
...
/
/
Figura 3.6: Prueba del teorema de Cauchy para el an illo
1\ótese que el lema implica que la serie converge normalmente en el conjunto
{zECir 1 < lz-zol }.
D EMOSTRACIÓN . Como la serie converge en el punto z 1 , la sucesión
n E N, está acotada por un número Af. Basta probar que si
T
>
1· 1 ,
!41,
r,
la serie
(3.6) converge de manera absol uta y uniforme en
{Z
EC
1
T
$
lz - Zol } .
Esto se sigue de la prueba tvl de Weierstrass, ya que
1
bn
1 <
(z- zo)" -
l!:.:J
7'"
=
l!:.:J
Tj'
Tí' T"
< M
-
(77·.' )"
D
O tro ingrediente necesario para probar el teorema de Laurent es una
fórmula similar a la integra l de Cauchy, la cual se cumple en una región anular. Este resultado permite expresar la función en términos de dos integr ales
que, como se verá posteriormente, una representa una función holomorfa
hacia adentTO del anillo, y la otra, una función holomorfa hacia afuera del
anillo.
168
3.3.
SERIES DE LAURENT, SINGULARIDADES AISLADAS
Lema 3.3.2 (Fórmula de Cauchy para el anillo) Sea f holomorfa en
el anillo
A = { z E e 1 r1 <
lz- zol <
r2},
y "(j(9) = z 0 +ti ei 8 , j = 1,2, donde r1 < t 1 < t2 < r2, y ()E [0, 21r].
Entonces 'V z E
tal que t1 < lz- zol < t2, se tiene
e
f(z)
= ~1
2 7r ~
f(w) dw -
w- z
'Y2
~1
2 7r ~
.¡
f(w) dw.
'Yl
w- z
DEMOSTRACIÓN. Dada z fija en el anillo determinado por ')' 1 y ')' 2 (véase
la Figura 3.6), se define
g(w)
f(w)- f(z)
w-z
=
f'(z)
z,
si w
=1=
si w
= z.
Puesto que g es analítica en A - { z} y continua en A, g es holomorfa en
A (en virtud del Corolario 2.4.9). Ahora, como ')' 1 es homotópica a ')' 2 en
A, se sigue que
1 'Y2
g(w) dw - 1 g(w) dw
=
O,
'Yl
esto es,
f(w) dw- f(z)1 ~ - 1 f(w) dw
1'2 w- z
'Yl w- z
11'2 w- z
+
f(z)1
'Yl
~
=O.
w- z
Como el segundo sumando es - f (z) 2 1r i y el cuarto es O (por el teorema
de Cauchy), esta igualdad establece el lema.
D
Teorema 3.3.3 (Laurent) Sea f holomorfa en el anillo
A= {z E
e 1r1
<
lz- zol
< r2}.
Entonces Vz E A se tiene
oo
f(z)
= ~
·?; (z _bnzo)n'
oo
an (z- zo)n
+
(3.7)
la convergencia es absoluta en A y uniforme en subanillos de A de la forma
A!~
= {z E e 1 s1
donde r1 <S¡< s2 < r2.
::;
lz- zol ::;
s2},
3.
169
SERIES Y APLICACIO:"'iES
,. ,.
------
... ...
/
/
'
/
/
/
''
'
/
/
' '\
1
1
1
1
\
\
1
~
1
A
,,
1
1
1
1
1
\
1
1
1
1
\
\
''
As'
s,
/
/
''
/
/
''
'
/
/
-------
/
/
Figura 3.7: Prueba del teorema de Laurent
A la serie descrita en (3.7) se le llama de Laurent.
Sean 1· 1 < t1 <S¡, s2 < l2 < 7"2 y ')' ¡ y 1'2 como en
el Lema 3.3.2. Tomando :: E I nt 1'2 fija y w E -y 2, se sigue de la misma
manera que en la prueba del teorema de Taylor que
D EMOSTRACIÓN.
1
w-z
y
f (w)
w-z
oo
~
L.....,
n=O
(z- zo)"
(w- zo)"+t
uniformemente en -y 2 . Por consiguiente
f(w )
170
3.3. SERIES DE LAURENT, SINGULARIDADES AISLADAS
Escribiendo
1
27ri
an
L
se obtiene
1
27ri
L
f(w)
dw,
(w- zo)n+l
00
f(w) dw
=
w-z
L:
an (z- zo)n.
(3.8)
n=O
Como la serie converge 'r/ z E Int1 2 , se sigue del lema de Abel que también
converge en forma absoluta y uniforme en A:~, ya que este anillo está contenido en el disco D(z 0 , t2).
Por otra parte, si z es un punto fijo en el exterior de 'Y 1 y w E 'Y 1 ,
entonces
-1
w-z
1
z- zo- (w- zo)
=
1
1
(z- zo)
_ w- zo)
(1
z- zo
~ (w-zo)n
1
Z-
=
Zo
L.,¡
Zo
Z-
~ (w-zo)n
(z- Zo) n+ 1.
=
L.,¡
n=O
n=O
Nótese que en esta última serie la convergencia es uniforme en /¡, y por
consiguiente se puede integrar la serie término a término, obteniéndose
-1
2 7r i
J.
= ~J.
f(w) dw
"Y 1 W -
2 7r Z
Z
=~J.
27rz
"Y1
"Y 1
(f:
n=
0
(w- zo)n f(w)) .dw
(Z -
Z o) n+l
(f:
(w- zo)n-1 f(w)) dw
n=1 (z- zo)n
= ~ ~ f"Y 1 f(w) (w- zo)n- 1 dw_
L.,¡
(z- zo) n
n=1
Obsérvese que los numeradores de los términos de esta última serie son constantes y no dependen de z. Por lo cual, escribiendo
bn
=2
1
.
7r z
J.
"Y1
f(w)(w- zo) n- 1 dw,
3.
171
SERI ES Y APLICACIO!\ES
se tiene que
-11
21Tt
-y,
J(w) dw
=
w-z
f.
rt=l
bn
(3.9)
(z-zo)".
Esta últ ima serie converge V z E Ext¡ 1 , por lo que se sigue del Lema 3.3.1
que la convergencia es uniforme y absoluta en conjuntos de la forma
{ zECilz-zol2:s , s > t¡} .
En particular, también converge de esta manera en el anillo cerrado
A!; .
Finalmente. aplicando el teorema de Cauchy para el ani llo y las identidades (3.8) y (3.9) se obtiene que
=; a"
00
J(;;)
b,
00
(z-zo)"
+ ~ (z-zo)"'
A:;
ele manera absoluta en el an illo A, y uniforme en subanillos
(ya que
O
cualqu ier punto de A pertenece a uno de estos subanillos cerrados) .
Corolario 3.3.4 (Unicidad de la expans ión d e La u rent) Sea f halomorfa en el anillo A = { z E C Ir 1 < lz - z 0 1< r 2 }. supóngase también
que
oc
f(z)
= ""'
L.t
an (;; - zo)"
n=O
+
bn
oo
L
n=1
'r/z E A.
(z- zo)"
(3.10)
donde ambas se1'ies conve1-gen independientemente. Entonces
a, = - 1 .
2 1T t
1
1'
(
w
J(w)) n+l dW
__
""0
Y bn = - 1 .
donde ¡(B) = z 0 + 1·ei0 . O.::; O.$ 21r y r
2 1T 2
1
1
J(W )(W- Zo )"-' dw,
1'
< r < r2.
1\ótese que lo que dice este res ultado es que la serie de Laurent es única, es
decir, solo depende de la función f , del punto z 0 y de los radios del an illo.
A los números a., y bn se les llama coeficientes de Cauchy.
DEI\ IOSTRACIÓN. Por el lema de Abel y su dual. las series en (3. 10) convergen
uniformemente en f", por lo que también lo hacen las series
f(z)
oo
""' a u (;;-=o) n-(k+l )
L.t
n=O
oo
bu
+ ""'
L.t (z- zo)"+k+J ·
n=l
172
Si
k~
3.3. SERIES DE LAURENT, SINGULARIDADES AISLADAS
O, integrando término a término se tiene
1
'Y
(
f(z)
z _ z ) k+l dz = 2 1r i a k.
0
También, si k< O, se tiene
1( f(z~•
dz = 27rib_.,
z- zo + 1
'Y
y escribiendo n =-k, se sigue el resultado.
O
Algunas veces conviene usar la expresión unificada de la expansión de
Laurent, esto es
00
f(z) =
L Cn (z- zo)n,
-oo
donde
1
-27ri
1
'Y
f(w)
(w- Zo ) n+l dw.
Presentamos ahora un ejemplo, calculamos la serie de Laurent para la
función
1
f(z) = z 2 - z 3'
alrededor del origen, en el anillo con radios r 1 = O y r 2 = l. Nótese que
f(z) =
(1 ~ z)
c
2)'
recordamos que la serie geométrica compleja está dada por E~== o zn y que
que converge en !:l.. Por lo cual, podemos multiplicar esta serie por 1/z 2
puntualmente en el disco (salvo el origen), y obtener (por unicidad) que la
serie de Laurent está dada por
f(z)
1
1
= -z 2 + -z + 1 + z + · · · .
Como un segundo ejemplo (menos trivial) consideramos la función
1
f(z) = - z2 + 1
173
3. SERIES Y APLICACIONES
y calculamos su serie de Laurent alrededor de z 0 = i, para el anillo con
radios r 1 =O y r 2 = 2. Podemos descomponer la función como sigue:
1
-i
1
i
z2 + 1 = (z- i) (z + i) = 2(+- i)
+
2(z + i)"
z!i
Ahora,
es analítica cerca de z 0 = i, por lo que usando el truco de Taylor,
descrito en la prueba del Teorema 3.2.6, se tiene (escribiendo w = -i)
1
1
z+i
(-i)- z
=
00
1
1
-2i
-2i ( 1 - z-i)
--.
-2z
L
n=O
(
z_;;")n ,
lo cual es válido si lz- il < 2 (véase la Figura 3.8). Por consiguiente
1
z2 + 1
= ~z
(
")
00
1
(z - i)
")n (z - i)
+ 4~ ~
1
(
n
es la serie de Laurent buscada.
w=-i
Figura 3.8: Truco de Taylor:
w_:z =
w-zo_!<z-zo)
1
1
(w-zo) ( 1
w-zo
-.!.=!J!..)
Un caso de gran importancia es cuando se tiene una función holomorfa
en un anillo degenerado, esto es, una región de la forma
A
=
{z E
e 1 o < lz- zol < r,
donde
o<
r ::;
OO.
{3.11)
174
3.3. SERIES DE LAURENT 1 SINGULARIDADES AISLADAS
En este caso se aplica el teorema de Laurent y en el anillo A se tiene
Al punto z 0 se le llama singularidad aislada de f. En este caso existen
exactamente tres posibilidades excluyentes:
i) bk
~
o y bt = o 'V e> k,
ii) bk
~
O para un número infinito de k' s,
iii) bk
=o
'Vk.
En el primer caso se dice que f tiene un polo de orden k en z 0 , en el
segundo que f tiene una singularidad esencial en z 0 y en el tercero que zo
es una singularidad removible de f. Obsérvese que en este último caso f es
analítica en una vecindad de ·z 0 • Si el orden de un polo es 1, se dice que es
un polo simple.
Nótese que para conocer el tipo de singularidad, basta encontrar la serie
de Laurent. Por ejemplo, la función
2
3
2!
3!
ez- 1
1 (
z ' z
)
-= -5 1+z+-+-· .. -1
5
z
z
1
1
1
1
= -4+ - +
--+
-···
2
3
z
2z
3!z
4!z
tiene un polo de orden 4 en el origen. La siguiente definición es sumamente
importante, como se verá en la última parte de este libro.
Definición 37 Sea z 0 una singularidad aislada de unafunción f, al número
complejo b1 en la expansión de Laurent {3.7) se le llama el residuo de f en
el punto zo.
En el ejemplo previo a la definición, se tiene entonces que el residuo es 1/24.
A una función que es bolomorfa en C, excepto por polos (como en dicho
ejemplo) se le llama meromorfa. Los residuos son muy útiles para calcular
integrales, como se muestra en el siguiente resultado y en la última sección
del libro, donde se calculan integrales reales impropias.
3.
175
SERI ES Y APLICACIO/':ES
Corolario 3.3.5 Sea f analítica en una región que contiene un anillo de la
forma (3.11) y b 1 el rcsid1w en zo . Si ¡ es cualq1ticr cír·culo con centro en
z 0 , y contenido en el anillo, entonces
i
D EJ\ IOSTRAC IÓN .
f(::) dz
21iib¡.
Los coeficientes de Cauchy están dados por
en pa rtic ula r. tomando /,;
=
o
1 se sigue el resultado.
f\ lostramos ahora un ejem plo donde se a plica eslt' resul tado. Recordamos
que Vw E C se cumple e u• = 1 + w+ ~; + ~;: + · · ·, en part icula r si z :f. O
y w = 1/ z. se tiene que
1
oc
1
e• = ' \ ' L._¿ n!z".
n=O
y se sigue de la unicidad de las series de Laurent que O es una singularidad
eseucial de z-+ e~ . Además. como el resid uo es 1 se tiene que Vr > O
Los siguientes cuat ro resul tados establecen criterios pa ra distinguir los diversos tipos de singularidades. Éstos se atribuyen principalmente a Riemann.
Proposición 3.3.6 Sea A una región. Zo E A y f: A - {zo}
entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes.
i} :: 0 es una singularidad removible de f.
ii) f(z) está acotada en una vecindad agujerada de z 0 .
iii) lím f(z) e:riste.
=-=o
iu) lím f(z) (::;- zo)
=-=o
O.
-'e
analítica.
176
3.3. SERIES DE LAURENT, SINGULARIDADES AISLADAS
Evidentemente i) implica las otras tres condiciones. También ii) o iii) implican iv), por lo que basta probar que iv) implica que z 0
es una singularidad removible de f. Para esto se prueba que los coeficientes
bk en la expansión de Laurent son O. Por hipótesis, dada € > O existe
8 > O, tal que lf(z)llz- zol < e si O < lz- z0 1 ::; 8. En particular, si
lw- zol = 8, se tiene lf(w)l < e/8. Se puede tomar 8 < 1 y tal que
{z E e 1O< jz- zol $ 8} e A. Por lo cual
DEMOSTRACIÓN.
1
f(w) (w- zo)k-l dw,
lw-zol=c5
y aplicando el Teorema 2.1.5
lbkl ::;
2..
:. 8k-1 2 7T" 8
27r 8
=
€
8k-1 <
€.
Por consiguiente
o
Proposición 3.3. 7 Sea A una región, z 0 E A y f: A - { z 0 }
entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes.
~
e
analítica,
i} z 0 es un polo de orden menor o igual a k, o una singularidad removible.
ii} f(z) (z- z 0) k está acotada en una vecindad agujerada de z 0.
iii) lím (z- z 0) k f(z) existe.
z-zo
iv} lím (z- z 0) k+l f(z)
z-zo
=
O.
DEMOSTRACIÓN. Si z 0 es una singularidad removible o un polo de orden
menor o igual a k, se tiene de la expansión de Laurent que (z - z 0 ) k f (z) es
analítica y se siguen ii), iii) y iv). Como ii) o iii) implican iv), basta probar
que iv) implica que z 0 es removible o un polo de orden ::; k.
Usando la Proposición 3.3.6, resulta que (z-z 0) k f(z) tiene una singularidad removible en z 0. Ahora, la serie de Laurent de (z- z 0) k f(z) se obtiene
multiplicando la de f(z) por (z- z 0)k (por unicidad), por lo que f(z) no
177
3. SERIES Y APLICACIONES
puede tener un polo de orden mayor a k (o una singularidad esencial), ya
que esto implica que (z- z 0 )k f(z) no es holomorfa en una vecindad de z 0 .
D
La Proposición 3.3.6 permite detectar singularidades removibles que aparentemente no lo son, por ejemplo, la función
f(z) = 5 senz
z
tiene en el origen una singularidad removible, ya que
, 5 sen z =
- -z) = 1
1m
11m, z (5-sen
z
z-0
O.
z--+0
Otra prueba de este hecho se obtiene al escribir la serie de Laurent
5 sen z
z
= ~ (z _
z
3
z +z
3!
5
=
_ ••• )
5!
5 _ 5z
3!
2
+ ~ _ ...
4!
.
Corolario 3.3.8 Sea A una región, Zo E A y f: A- {zo}--+ e analítica,
entonces z 0 es un polo simple si y sólo si lím f (z) (z - z 0 ) existe y no es
O. Este límite es el residuo de
f en zo.
z-+zo
DEMOSTRACIÓN. Se sigue de la Proposición 3.3.7 que si lím f(z) (z- z 0 )
n-+oo
existe, entonces z 0 es una singularidad removible o un polo simple. Si el
límite no es O, entonces z 0 es un polo simple (en virtud de la Proposición
3.3.6). El recíproco y la segunda parte son consecuencia de la expansión de
Laurent.
D
Por ejemplo, la función
ez
f(z) = -
4z
tiene un polo simple en el origen con residuo 1/4, dado que
ez
lím- z
z-+0
4z
1
= -.
4
Corolario 3.3.9 Sea A una región, Zo E A y f: A- {zo}--+ e analítica,
entonces z 0 es un polo de orden k ~ 1 si y sólo si existe g : V --+ e
holomorja, donde V es una vecindad de z 0 en A, g(z 0 ) :/:O, y se cumple
f(z) (z- zo) k
= g(z).
178
3.3. SERIES DE LAURENT, SINGULARIDADES AISLADAS
DEMOSTRACIÓN. Si f tiene un polo de orden k en z 0 , entonces se sigue
de la expansión de Laurent que g(z) = f(z)(z- z 0 ) k es analítica en una
vecindad V de zo y g(zo) #O, ya que g(zo) = bk.
Viceversa, si g(z) = f(z)(z- z 0 ) k es analítica y g(z 0 ) f; O, se sigue de
la Proposición 3.3. 7 que f tiene una singularidad removible o un polo de
orden ~k en z 0 . Se trata de un polo de orden exactamente k, pues de otra
manera al expander f en series de Laurent se tendría que g(z 0 ) =O.
O
Este último resultado establece condiciones necesarias y suficientes para
que una singularidad aislada sea un polo de orden k. Por ejemplo, la función
ez +7
f(z)
= (z- 1)5
tiene un polo de orden 5 en z = l. El conocimiento de los ceros de las
funciones permite también establecer criterios para detectar polos.
Definición 38 Sea f analítica en una región A, se dice que f tiene un cero
de orden k en zo E A, si f(zo) =O, ¡r(zo) =O \Ir< k, y Jk(zo) f; O.
Por ejemplo, f(z) = z 3 tiene un cero de orden 3 en el origen, ya que
f(O) =O, f'(O) =O, f"(O) =O y f 3 (0) = 3!. El siguiente resultado brinda
una forma alternativa de definir los ceros de una función.
Proposición 3.3.10 Una función J, holomorfa en una vecindad de z 0 ,
tiene un cero de orden k en dicho punto si y sólo si se cumple que
f(z)
= (z- zo)k g(z),
donde g(z) es analítica en una vecindad de z 0 y g(z 0 ) f; O.
DEMOSTRACIÓN. Probamos primero la necesidad. Si z 0 es un cero de orden
k, entonces en una vecindad
00
f(z)
=
L
an (z- zo)n,
ak f; O.
n=k
Si z f; z 0 se puede factorizar (z- z 0 )k, obteniéndose
00
f(z)
= (z- zo)k
L
n=k
an (z- z 0 )n-k
3.
179
SERI ES Y APLICACIONES
(nótese que la igualdad se cumple Lambién para z = z 0 ) . Es claro que ambas
series convergen o divergen si mu ltáneamente, por lo que esta nueva serie
representa una función holomorfa que podemos denotar por g(z) . obsérvese
que g(z 0) = ak # O. La suficiencia se sigue de manera inmediata ya que la
serie de Taylor es única.
O
Pro p osició n 3.3.11 Sea f holornmfa en una vecindad de z 0 , entonces f
tiene un cero de m·den k en :: 0 si y sólo si 1/f tiene un polo de orden k
en :: 0 .
D EMOSTRACIÓN.
Si
f tiene un cero de orden
k en z 0 , entonces
f(z) = (z- zo)k g(z).
donde g es holomorfa en una vecindad de z 0 y g(z 0 )
1
( g(z) (z- =o ·
)k )
1
# O.
(z- zo)k = - () si z
gz
Como
# zo.
se sigue que la función (z/(z))• es holomorfa en una vecindad agujerada de
z 0 ; además zo es una singularidad removible (en virtud de la Proposición
3.3.6, ya que 1/ g es holomorfa en una vecindad de ;; 0 ) . 1\Iás aún, como el
valor de la función (z/(z))k en zo es g(;o) # O (por continu idad ), se concluye
del Corolario 3.3.9 que z 0 es un polo de orden k ele la función 1/ f.
Inversamente, si 1/ f tiene un polo de orden k en z 0 , entonces se sigue
del Corolario 3.3.9 que
_ (z- zo) k
f (z)
g (z ) -
es analítica en una vecindad de z 0 ~ g(z 0) # O. Por lo tanto en una vecindad
agujerada de z 0 se t iene
f(z)
(z- z 0)k
1
g(z)
(nótese que f no se puede anular en puntos cercanos a z 0 ) . Como 1/ g es
holomorfa en una vecindad de z 0 , la función (:~~z!) k tiene una singularidad
removible en z 0 . Además, su valor en dicho punto es a(~ol #O. Finalmente,
si z # .:: 0 se sigue que
f(::)
(
k
1
.:; - zo ) ()'
g z
180
3.3. SERIES DE LAURENT, SINGULARIDADES AISLADAS
la igualdad también se cumple en z 0 , ya que este punto es una singularidad
removible de j, puesto que (z- z 0 ) k 9 {z) es holomorfa en una vecindad del
punto z 0 . Por consiguiente, f tiene un cero de orden k en z 0 •
O
Corolario 3.3.12 Sea f una función holomorfa en una vecindad de z 0 ,
donde este punto es un cero de orden k. Supóngase también que h es halomorfa en una vecindad de z 0 y h(z 0 ) =f. O, entonces h/ f tiene un polo de
orden k en zo.
Se sigue de la Proposición 3.3.11 que 1/f tiene un polo
de orden k en zo, por lo que g(z) = (z/(z))k es holomorfa en una vecindad
de z 0 y g(z 0 ) =f. O. En consecuencia, g(z 0 ) h(zo) =f. O y como
DEMOSTRACIÓN.
h( z ) g (z )
=
(z- z 0 ) k h(z)
f(z)
es holomorfa en una vecindad de z 0 , resulta que
k en z 0 •
h/f
tiene un polo de orden
O
Mostramos ahora un ejemplo donde se puede aplicar este corolario. Sea
f(z)
=
co~z,
z
entonces f tiene un polo de orden 3 en el origen. Esto se tiene, ya que z 3
tiene en ese punto un cero de orden 3 y cos O = l. Otra manera de probar
este hecho es mediante la serie de Laurent
2
cos z = _.!.._ (1 - z
z3
z3
2!
+z
4
4!
-
... )
=
_.!.._ z3
_!_ + ~ - ...
2z
4!
·
Nótese que el residuo es -1/2. El siguiente resultado, que es consecuencia de
los Corolarios 3.3.12 y 3.3.8, permite simplificar en muchos casos el cálculo
de residuos para polos simples.
*t'
Corolario 3.3.13 Sea f(z) =
donde h, g son funciones holomorfas en
una vecindad de un punto z 0 , tales que h(z 0 ) =f. O, g'(z 0 ) =f. O y g(z 0 ) =O,
entonces z 0 es un polo simple de f (z) con residuo
h(zo)
g' (zo)'
181
3. SERIES Y APLICACIONES
DEMOSTRACIÓN.
Basta probar la segunda afirmación. Ésta se sigue al es-
cribir
g(z) = g' (zo) (z- zo) + g ";~o) (z- zo) 2 + · · · = (z- zo) 1/J(z),
y observar que 1/J(z) es holomorfa en una vecindad de z0 y 'l/J(z 0 )
= g' (z 0 ).
D
Por ejemplo, la función
z 1---+
1
--
1 + z4
i11'
tiene un polo simple en a= eT
y su residuo está dado por
-a
1
4a 3 =
--¡-·
Si una función f tiene un polo de orden k en z 0 , entonces los valores
de los puntos cercanos a z 0 tienden a oo, más precisamente
lím
z-+zo
1 f(z) 1
=
(3.12)
oo.
Esto es cierto, ya que f(z) = (z~~~)k, donde g es holomorfa y g (z 0 ) =f: O,
por lo cual en una vecindad agujerada de z 0
lf(z)l 2::
m
lz- zol k'
m
>o.
Esto implica (3.12), puesto que
lím
Z-+Zo
m
lz- zolk
=OO.
Sin embargo, en el caso de singularidades esenciales el comportamiento
es mucho más complicado, de hecho es espectacular, como lo describen los
siguientes resultados.
Teorema 3.3.14 (Gran teorema de Picard) Sea f una función hotomorfa en una vecindad agujerada V de z 0 , donde este punto es una singularidad esencial. Entonces f toma en V cualquier valor en el plano complejo, salvo una excepción. En dicha vecindad, cualquiera de estos valores son
tomados un número infinito de veces.
182
3.3. SERIES DE LAURENT, SINGULARIDADES AISLADAS
La demostración de este teorema corresponde a un curso más avanzado,
véase [11] pp. 343-344 y (17] p. 283. Una versión más débil se puede enunCiar
y probar.
Teorema 3.3.15 (Casorati-Weierstrass) Sea z 0 una singularidad esencial de una función f y w E e, entonces existe una sucesión Zn, n E N,
tal que Zn ~ Zo y f(zn) ~ w.
DEMOSTRACIÓN. Si el teorema no es cierto, se sigue que existe w E
y una vecindad V de z 0 , tal que
lf(z)- wl >
Ahora la función
f
e, f > o
'V z E V- {zo}.
1
g(z) = f(z) - w
es holomorfa en V- {z 0 }, y como lg(z)l < 1/f 'V z E V- {z 0 }, se tiene que
g tiene una singularidad removible en z 0 • Más aún, z 0 es un cero de orden
k, k;:::: O, de g. El cero es de orden finito, ya que de otra manera se tendría
g(z) =O en V, lo cual no sucede (g no se anula en V- {z 0 } ). Por lo tanto,
1/g tiene un polo de orden k en z 0 , o es holomorfa en z 0 ; además, en esta
vecindad agujerada V - { z o},
1
g(z) = f(z) - w y
1
f(z) = g(z)
+ w,
lo que implica que f tiene un polo de orden k en z 0 , o es holomorfa en z 0 •
Estas afirmaciones contradicen las hipótesis y por ende se sigue el teorema.
o
Es útil recordar la geometría de la función exponencial para entender
de manera intuitiva la fuerza de estos teoremas. Para esto considérese el
comportamiento de la función z ~ e1fz cerca del origen. Terminamos esta
sección con un último ejemplo. Se quiere analizar el comportamiento de la
función
z3
f(z)
=
(ez -1)3
en una vecindad del origen. Para esto se estudia primero la función dada
por g(z) = ez; 1 , esta última tiene una singularidad removible en el origen,
una manera de probarlo es tomar la expansión de Laurent. Más aún, como
183
3. SERIES Y APLICACIONES
g(O) = 1, se tiene que la función glz) también es holomorfa en una vecindad
del O, y por ende la función f tiene una singularidad removible en el origen.
EJERCICIOS 3.3
l. Demuestre que se pueden debilitar las hipótesis del lema dual de Abel,
suponiendo solamente que la sucesión lbnl jr¡, n E N, está acotada.
2. Encuentre el residuo de la función
e.t-I-z
z4
en el origen.
3. Encuentre la serie de Laurent y los residuos en el anillo O < lzl < oo de
las funciones E2!.!
y cos(1/ z).
z3
4. Encuentre la expansión de Laurent de la función z(z- 1~(z-a) en los anillos:
O < izl < 1 y 1 < izl < 3.
5. Calcule f¡zi==B sen(1/ z) dz.
4
6. Describa el tipo de singularidad en el origen de -"""z--
(cosz-1) 2
1rz en cada una de sus singularidades.
1r cot 1rz dz.
7. Calcule los residuos de
8. Calcule
f¡z_ 71 = 1/ 2
1r cot
9. Suponiendo el gran teorema de Picard, pruebe el pequeño teorema de
Picard: una función entera no constante toma todos los valores complejos,
salvo (quizá) uno de ellos.
10. Demuestre de dos maneras que la función
origen, ¿Cuál es el residuo?
3.4.
E2!.!
z2
tiene un polo doble en el
Teorema del residuo, aplicaciones
Terminamos este texto probando uno de los resultados más importantes de
la variable compleja básica, el teorema del residuo. Este resultado, que generaliza el teorema de Cauchy y la fórmula integral de Cauchy, es particularmente importante por su aplicación al cálculo de integrales reales impropias
y trigonométricas que no se pueden resolver mediante el cálculo real. Se probarán y darán ejemplos de tres de estas aplicaciones: el cálculo de ciertas
funciones racionales impropias, el de las integrales trigonométricas y el de
algunas transformadas de Fourier. Otros métodos se pueden consultar, por
ejemplo, en [12] capítulo 4.
184
3.4. TEOREMA DEL RESIDUO, APLICACIONES
Teorema 3.4.1 (Teorema del residuo) Sea A una región en e que contiene a los puntos Z¡, Z2, ... ' Zm y f: A- {z¡, Z2, ... 'Zm} ---+e una función analítica. Supóngase también que 'Y es una curva cerrada de clase C 1
por tramos en A- {z 1, z 2, ... , zm}, que es homotópica a un punto en A,
entonces
¡
f
'Y
= 2rri
t
Res(!, z;) !("!, z;),
j=l
donde Res (j, z i) es el residuo de f en z i.
Antes de demostrar el teorema formalmente, exhibimos una prueba intuitiva
para curvas simples. El resultado es consecuencia del teorema generalizado
de la deformación, dado que por la fórmula de los coeficientes de Cauchy se
tiene que
2rribt(z;) =
[_,;l=r;
f(z) dz,
donde b 1 ( z i) es el residuo en z i y r i es suficientemente pequeño.
DEMOSTRACIÓN. Dada j E {1, 2, ... , m} existe r i >O, tal que
expander en series de Laurent en
ya que z i es una singularidad aislada de
fija se tiene
f se puede
f. En particular, para alguna z i
Recordamos que la parte singular, es decir, L:~=l (z~z"i>n' converge en
el conjunto e- {zi} y lo hace uniformemente en {z E e 1 lz- Zjl 2:: €},
para cualquier € >O (en virtud del lema dual de Abel). Por lo cual, usando
el teorema de Weierstrass se tiene que
es holomorfa en e - {z i}. Denotamos esta parte singular de j alrededor de
z i por Si ( z), y se procede de manera análoga con las otras singularidades.
3.
185
SERIES Y APLICACIONES
Ahora, la función
m
g(z} = J(z} -
2:::: sk (z)
k=1
es holomorfa en A- {z 1 , z 2 , ... , Zm}· Se afirma que Z¡, z 2 , ... , Zm son
singularidades removibles de g. Para demostrar esto, obsérvese que en una
vecindad {z E C 1 O < 1z - z i 1 < r i} tal que no contenga a otras singularidades, se tiene
00
f(z) =
L
an(Z- Zj)n
+
sj (z};
n=O
y también en dicha vecindad
g(z) =
oo
j-1
m
n=O
k= 1
k=j+l
2: an(z- Zj)n- L S k (z)- L
S k (z},
por lo cual lím g( z) existe, ya que S k ( z) es holomorfa en z i, 'V k
z-zi
f.
j.
Consecuentemente, g es holomorfa en A, y el teorema de Cauchy implica
que
Para calcular J'i' S j' nótese que S j es de la forma 2: ~=1 (z_!Znj) n ' la cual
converge uniformemente en el exterior de cualquier círculo alrededor de z i.
En particular, la convergencia es uniforme en 1 y se puede integrar término
a término, por lo que
¡sj
1
00
=
2:
n=l
¡
'i'
bn
(z-zj}n
dz.
Estas integrales son todas cero si n f. 1, ya que 1 es una curva cerrada y
los integrandos son derivadas de otras funciones; en consecuencia
o
Recordamos de los cursos de cálculo algunos hechos sobre integráles impropias, antes de proceder a las aplicaciones al cálculo de integrales reales.
186
3.4. TEOREMA DEL RESIDUO, APLICACIONES
Definición 39 Sea
impropia
f : IR --+ IR una función, entonces se dice que la integral
co
-co
/_
{x2
f(x) dx = x!~co
Jx
X¡-+-CO
f(x) dx
1
está bien definida, si el límite existe y es finito.
Si denotamos el límite por L, esta definición dice que dada
N 11 N2 E N, tal que si x 1 <-N¡ y x2 > N2, entonces
1[' f(x)dx - Ll <
f
> O existen
f.
Nótese que si foco f(x) dx y f~co f(x) dx están bien definidas, entonces
también lo está lím
f(x) dx. Esto se sigue, ya que dada f > O existen
N 1 , N 2 E N, tal que si x 1 < -N 1 y x 2 > N 2, se tiene
f_O:
1[
1~
f(x)dx - L 1 <
donde
Por lo cual
1:
f(x)dx
1[' j(x)dx -
lf' f(x)dx - Lol < 2'
f
y
y
L2 =
(L, +
J."" f(x) dx.
L•)l < •·
Es útil recordar el criterio de comparación para funciones no negativas:
si O ~ h(x) ~ g(x) y foco g(x) dx está bien definida, entonces foco h(x) dx
también lo está, dado que la función H(t) = J0t h(x) dx es creciente y acotada.
.
Usaremos el siguiente hecho: si la integral foco lf(x)l dx está bien defini00
da, entonces también lo está la integral f0 f(x) dx. Esto se sigue por comparación, ya que O~ f(x) + lf(x)l ~ 2lf(x)l Y f = (f + lfl) -lfl.
J_O:
Definición 40 Sea f: IR--+ IR, se dice que
f(x) dx está bien definida
en el sentido débil o condicionado, si existe lím ¡_:r f(x) dx, cuando r--+ oo.
3.
187
SERI ES Y APLICACIONES
Evidentemente, si J_':, f(x ) dx está bien definida. también lo está en el
sentido condicionado (y por supuesto el límite es el mismo). El recíproco no
es cierto, por ejemplo. si f(x) = x. entonces
lím
r~oo
¡r
f(x) dx = O,
-r
sin emba rgo, es claro que f_':, x dx no está bien definida en el sentido de
la Definición 39. Int uitivamente, pa ra que la inLegral im propia J_':, f( x) dx
esté bien defin ida es necesario que las áreas que determina la función al
converger a ± oo se hagan pequeñas (véase la Figura 3.9) .
Figura 3.9: En las integrales impropias bien definidas, los valores de la función
se acercan a O conforme x --+ ± oo
Teo r e ma 3.4.2 Sea f analítica en C. excepto por un número finito de
sing1tlaridades, los cuales no son reales. Supóngase también que
lf(z )1 ::S
k
lzl 2
si
lzl
~ R,
R. k E JR+.
(3.13)
y que f toma valores reales en IR, entonces
¡:
f(x) dx
=
27i i
-27ii
L
{Residuos de f en el semiplano superior}
L {Residuos de f
en el semiplano inferior}.
188
3.4. TEOREMA DEL RESIDUO, APLICACIONES
Figura 3.10: Curva de integración para las funciones racionales definidas en
el Teorema 3.4.2
DEMOSTRACIÓN. Sea 'Y r como en la Figura 3.10, donde r > R se toma suficientemente grande para que todas las singularidades de f en el semiplano
superior estén en el interior de 'Yr· Por el teorema del residuo
2 1r i
L {Residuos de f
en el semi plano superior} .
(3.14)
Además
Lf = Lf(x)dx+ Lf(z)dz,
(3.15)
donde T r es el semicírculo superior de radio r.
Ahora, la integral J_C:, f(x) dx está bien definida, ya que las integrales
00
f~oo f(x) dx y J0 f(x) dx lo están. Esta última afirmación se sigue de la
condición (3.13), puesto que
{x lf(x)l dx ::; {x ~2 dx = ~ - ~ ~ ~'
JR
)R x
R
X¡
R
1
1
cuando x 1 --+ oo. Por lo que J0 f(x) dx está bien definida, análogamente
se muestra que también lo está f~oo f(x) dx. En particular,
00
¡_:
f(x) dx =
r~~
¡_:
f(x) dx.
189
3. SERIES Y APLICACIONES
Finalmente,
}~
1
f(z) dz
O,
Tr
puesto que
IL
f(z)
dzl ::; :,
1r
r =
~
1r
>---->O,
cuando r --+ oo. Juntando esta información, el teorema es consecuencia
inmediata de {3.14) y (3.15). La segunda igualdad para el semiplano inferior
se obtiene de forma análoga.
O
Este teorema se aplica a ciertas funciones racionales, como se muestra en
el siguiente corolario. La prueba de este resultado se sigue básicamente del
hecho de que en un polinomio el término de grado mayor domina a los otros,
cuando se analiza el comportamiento en el infinito.
Corolario 3.4.3 Las hipótesis del Teorema 3.4.2 se cumplen si j(z) es una
función racional de la forma p( z) / q( z), donde p( z) y q( z) son polinomios
reales, grado [q(z)] 2:: 2 + grado (p(z)] y q(z) no tiene ceros en el eje real.
DEMOSTRACIÓN.
entonces m 2:: n
que
Sean p(z) = an z" + · · · + ao y q(z) = bm zm + · · · + bo,
Se afirma que existen k¡, k 2 , R E JR.+, R > 1, tales
+ 2.
lp(z)l ::; k1 lzl n
si
lzl >
1,
Y
lq(z)l 2:: k2lzl m
Esta afirmación implica el corolario, puesto que si
Ahora, si
lzl > 1
ip(z)i ::;
También
lzl > R,
si
lzl >
se tiene
se sigue la afirmación para el numerador, ya que
lanllz"l + · · · + laol ::; lanllzl" + · · · + laollzl"
= (la ni + · · · + laol) lzl n.
R.
190
3.4. TEOREMA DEL RESIDUO, APLICACIONES
por lo que
y
lq(z)l ~ lbm zml - lbm-1 Zm- 1
1bol·
B = lbol + lb1l + · · · + lbm-11 y lzl > 1, entonces -1/lzil > -1,
1
-
.. ·
-
Si
por lo cual
1
lq(z)l > lzlm- Übmllzl - lbm-11 - · · · 1
~ lzl m- {lbmllzl - B) ·
j E N,
l;t:~1)
En consecuencia, basta probar que
o
lo cual se cumple tomando k2 <
lbml
y
D
Para ilustrar una aplicación del Teorema 3.4.2 y del Corolario 3.4.3 evaluamos
00
1
- --dx.
/_
6 +1
_
X
00
El integrando claramente satisface las hipótesis del Corolario 3.4.3, y las
singularidades son
donde {3 = a 2 , véase la Figura 3.11. El Corolario 3.3.13 muestra que estas
singularidades son polos simples y exhibe una fórmula para los residuos.
Basta considerar las singularidades en el semiplano superior, es decir, a, i,
y -a. Sus residuos son, respectivamente,
1
6a 5
-a
6'
1
-i
1
Y 6(-a) 5
3.
19 1
SERI ES Y AP LICACIONES
P or consiguiente
¡
00
1
7ii ( - 1
. -
--dx
-oo xG
+1
3
.
a+ a )
puesto que a: = ~ + ~ . A continuación establecemos la a plicación del teorema del residuo al cálculo de las integrales llamadas t rigonométricas.
a{3 = i
Figura 3.11: Polos de la función z---+
I}: 6
Teorema 3.4.4 Sea R (x, y) una función racional en dos variables x, y , y
f (z) =
Supóngase también que
f no tiene polos en el círculo 1mitario. entonces
rh R (cos B, sen B) dB
Jo
iz
=
27ii
L
:E Ll.
Res(!, z) .
192
3.4. TEOREMA DEL RESIDUO, APLICACIONES
DEMOSTRACIÓN. Sea !(e) =cose+ isene, e E (0, 27r], se sigue entonces
del teorema del residuo que
¡f
=
27ri
L
Res(f,z).
ze.ó.
"Y
El número de singularidades de f es finito, ya que al evaluar R en los
puntos de la forma [~ (z + ~), f¡ (z- ~)], si z #O, se puede multiplicar
el numerador y el denominador por una potencia adecuada de z y obtener
una función racional en z.
Finalmente,
11 ~ 1. 1
2
•
(e' 0 ) ie' 0 d6
!.
21T
R(cose, sene) de.
0
D
Nótese que en el resultado anterior, la fórmula que define la función f se
puede recuperar fácilmente al recordar la parte final de la prueba del teorema.
· Como ejemplo evaluamos
!.
2 1T
0
Sea 1( e) = cose + i sen e y
J
de
---,
b+cose
b> l.
como en el teorema, entonces
-2i
-2i
z 2 +2bz+1
donde
-2b± J4b - 4 -- - b± yo~~211.
2
Por lo cual, la función f tiene dos polos simples en a 1 y a 2 , el primero
está en .ó., ya que Jb 2 - 1 < 1 + b, y claramente el otro ( a 2 ) está en el
exterior de .ó.. Ahora,
2
a¡, a2 --
Res (f, a¡) =
lím f(z) (z- a 1 )
Z-+ct¡
-2i
-i
Jb2=1"
193
3. SERIES Y APLICACIONES
Por consiguiente
Nótese que también fo1r b+~!s 0
hecho como ejercicio.
_1r_
~·
Dejamos la verificación de este
Para concluir este libro se desarrolla una última aplicación del teorema
del residuo al cálculo de integrales definidas por la transformada de Fourier.
Se evaluarán integrales del tipo
¡:
cos(ax) f(x) dx
y
¡:
sen(ax) f(x) dx,
donde a> O.
Definición 41 Sea f : e ~e meromorfa, tal que toma valores reales en
la recta real y no tiene polos reales, a la función definida por
g(t)
=
¡:
f(x) e-itx dx,
tER,
se le llama la transformada de Fourier de f.
Esta función es de gran importancia tanto en la física como en varias ramas
de la matemática. Obsérvese que para algunos valores puede estar definida,
y para otros no.
Proposición 3.4.5 Sea
f: IR~ IR, tal que J_:O f(x) dx está bien defini-
da, entonces también lo están fo
00
f {x) dx y J~oo f {x) dx.
DEMOSTRACIÓN. Se afirma que si se tiene una sucesión Xn, n E N, tal que
Xn ~ oo, entonces g(xn) = foxn f (x) dx es una sucesión de Cauchy. Para
probar esto obsérvese que si E > O, entonces existen N 1 , N 2 E N, tales que
si t 1 ::; -N 1 y t 2 ~ N 2, se tiene
11.'' f(x)dx -
Ll
<
~·
194
3.4. TEOREMA DEL RESIDUO, APLICACIONES
donde L =
se tiene
J_:,
f(x)dx. Por lo cual, si
l{m f(x)
d:J:
+ ¡:~
Xn, Xm
f(x) d:J: -
1:~
> N2, digamos
f(x) dx
+
L -
Xn
< Xm,
Ll
Por consiguiente, se sigue la afirmación, esto es, g(xn) es una sucesión convergente, digamos a un real m.
Ahora, si Yn, n E N, es otra sucesión real tal que Yn ~ oo, cuando
n ~ oo. Se tiene por el mismo argumento que g(yn) converge a un número
real m 1 , y necesariamente m 1 = m, puesto que el razonamiento anterior
implica que si s y t son suficientemente grandes, entonces fst f(x) dx es
00
tan pequeña como se quiera (s < t). Por lo cual, J0 f(x) dx está bien
definida. Igualmente lo está J~oo f (x) dx (usando un argumento análogo).
o
Obsérvese que la proposición anterior también es válida, si la función
toma valores complejos, ya que la misma prueba se aplica para este caso.
f
Teorema ·a.4.6 Sea J analítica en
e, excepto por un número finito ·de
singularidades, los cuales no son reales. Supóngase también que f(z) ~ O,
cuando z ~ oo, entonces
¡:
eiax
f(x) dx
está bien definida y es igual a
21i i
L {Residuos de e
donde a > 0 y 1HI 2 = { z E
DEMOSTRACIÓN.
ciones:
iaz
f(z) en 1HI 2 },
e 1 1m z > 0}.
Dada e > O, sea R tal que cumple las siguientes afirma-
195
. SERIES Y APLICACIONES
i) si
lzl >
.. ) 2R
11-R<
ea
R,
lf (z)l <
entonces
, {a€ f}
mm--
3' 3 '
aR > 1,
1 y
iii) las singularidades de
en el disco D(O, R).
eiaz
f(z) que son puntos de IHI 2 están contenidas
Nótese que ii) se puede aplicar, dado que el límite de la función x--+ e2a~ es
O, cuando x --+ oo. Obsérvese también que las singularidades de eiaz f(z)
son las mismas que las de f (z). Esto último es consecuencia del Corolario
3.3.9 y del Teorema 3.3.15, ya que la exponencial es entera y no nula.
y¡i
•
•
•
•
~~
"Y
•
•
~
X¡
X2
Figura 3.12: Curva de integración para la transformada de Fourier
Para probar el teorema se toma la curva de integración 'Y descrita en la
Figura 3.12, donde y 1 > x 11 x2 > R. Se sigue entonces del teorema del
residuo que
/, e'•z f (z) dz = 21T i
L {Residuos de e'•z f(z)
en IHI 2 }.
Por otra parte, al parametrizar 'Y de manera natural se tiene
1
eíaz
~
f {z) dz =
11
+
12
+
13
+ /_ x
2
-X¡
e í ax f {X) dx,
196
3.4. TEOREMA DEL RESIDUO, APLICACION,
donde
Yl
/¡ =
1
o
eia(x2+iy)f(x2+iy)idy,
X2
-
1
eia(x+iyt) f (x
+ i Yt)
dx
y
-X¡
Yl
/3
= -
1
o
eia(-xt+iy) j(-X¡
+ iy)
idy.
Ahora
Análogamente j/ 31 ~ e/3. También,
II2I :::;
1:: .-•••
lf(x
+ iy,)l dx
:::;
i e-••• (x2 + x,)
La última desigualdad se sigue ya que la función x -+ e!z es decreciente,
cuando x -+ oo (derivando se verifica que esto se cumple si a x > 1). Por lo
que
2y 1 < 2R < l.
eay¡ - eaR Finalmente, juntando estas desigualdades se tiene
11:: e'""
f(x)dx - 27ri
L; {Residuos de
e••z f(z) en IH! 2
}1
197
3. SERIES Y APLICACIONES
si x 1 , x 2 > R. Por consiguiente
¡_:
L {Residuos de eiaz f(z)
eiax f(x) dx = 27ri
en lHI 2 }.
D
Existe un teorema análogo para el caso a< O. Bajo las mismas hipótesis
se tiene que
L {Residuos de f
- 2 1r i
en el semiplano inferior}.
Este hecho se muestra de manera similar, la única diferencia es que el rectángulo de integración se construye en el semiplano inferior.
Corolario 3.4.7 Bajo las hipótesis del Teorema 3.4.6, si además f toma
valores reales en la recta real, entonces
y
¡_:
¡_:
cos(ax) f(x) dx '= Re
sen(ax)j(x)dx
DEMOSTRACIÓN.
Re
f(z) e'•z en
llll
2
}]
Im [21riL {Residuos de f(z)eiaz en lHI 2 }]
Como
{X2
[1_x eiax f(x)dx
1
=
[2 .-i L {Re&iduos de
l
=
1X2
-x
1
Re [eiax f(x)] dx
=
• {X2
_x cos(ax)f(x)dx,
1
1
el primer resultado se sigue al tomar límites. El segundo se prueba de manera
análoga.
D
Corolario 3.4.8 Sea f(z) = :~~~ una función racional, donde el polinomio
q(z) no se anula en los reales y se tiene que grado [q(z)] ;::: grado [p(z)] + 1,
entonces se cumplen las hipótesis del Teorema 3.4.6.
DEMOSTRACIÓN. Sean n, m los grados de p(z) y q(z), respectivamente.
Como en la prueba del Corolario 3.4.3 existen números reales positivos k¡, k 2
198
3.4. TEOREMA DEL RESIDUO, APLICACIONES
y R > 1, tales que si lzl > 1, se tiene jp(z)l :5 k1lzln, ysi lzl > R, entonces
jq(z)l ~ k2lzl m. Por lo cual
jp(z)l < kl lzln < ~
jq(z)l - k2 lzl m - k2 lzl'
lzl ~ R,
si
por lo que f(z) --+O, cuando z--+ oo.
D
Mostramos ahora un ejemplo. Calculamos
oo
/_
-oo
x senx d
x2 + m2 x,
donde m> O. Para esto se calcula primero
X
oo
/_
_
00
X
2
eix
+m 2 dx.
Se sigue del Corolario 3.4.8 que se cumplen las hipótesis del Teorema 3.4.6.
Es claro que la función
z eiz
g(z) = z2 + m2
tiene exactamente dos polos, que son simples, en
calcular el residuo en i m. Se tiene
Res (g, im) =
± i m,
por lo que basta
imei(im}
zeiz
lím 2
(z-im)
=
z-+im z +m 2
2im
e-m
2
Por consiguiente
¡_:
xeix
dx
x2+m2
27Ti
(e~m)
1ri
(e-m).
En particular,
00
/_
-oo
x senx dx
x2 +m2
=
7r
(e-m)
y
oo
/_
-oo
x cosx dx = O.
x2 + m2
Nótese que en virtud de la Proposición 3.4.5, como la función x --+
es par, se tiene que
00
o
/.
x senx dx
x2 + m2
=
1r
(e-m)
2
x sen~
x 2 +m
3.
199
SERIES Y APLICACIONES
Esto se sigue, ya que haciendo un cambio de variable x
que
= {r -X sen( -x)
x senx dx
lo
x2+m2
~
-x =u se tiene
dx
(-x)2+m2
1°
_ ¡-r u sen u du
lo u2 +m2
-r
u sen u d
u2 +m2
u,
por lo que
lím
r-+oo
'\
l
x senx dx
r
x2
-r
+ m2
=
2 lím
r-+oo
!.
O
r
x senx d
x
X2
+m 2
•
EJERCICIOS 3.4
l. Demuestre que el teorema del residuo implica el teorema de Cauchy y la
fórmula integral de Cauchy.
2. Calcule
foo
-oo
3. Calcule
J02 2 _ 5~no d().
x+l
x4 +1
dx .
71'
4. Calcule r 2 71'
Jo
d8
1-2bcos6+b2'
b > l.
dx, a > o.
5. Calcu1e
roo x2
COSX
Jo
+a
6. Calcule
foo
x+!
dx.
-oo x4 +6x +25
7. Calcule
J0
.
8. Calcule
71'
1+!~ 26
roo ~
x4+1
Jo
•
dx.
9. Pruebe que 2 J071' b+~o d() =
f02
rr
b+~o d(), b > l.
G !osario de simbología
f: cerradura del conjunto A en el plano complejo.
rg z: argumento de z.
1y 0 = {z
E
e
j Z = teiYo, t 2:: 0}: semirrecta desde el origen.
'A: frontera del conjunto A en el plano complejo.
~) : coeficiente binomial.
z = ei z +::ze-i z : coseno complejo.
)S
=e
)Sh t
i
t~e-it : coseno hiperbólico real.
': los números complejos.
1
con derivada continua.
:
00
con derivadas de todos los órdenes.
:
e u {00 }:
=
)j(x 0 ,y 0 ),
=
[{!22
dz
el plano complejo extendido.
Dfz, Df(z): matrices jacobianas.
=
1:.1
= f '(z)
dz
límw-z
/(w)-/(z) ·
w-z
·
derivada comple1a
~ ·
z, A): distancia del punto z al conjunto A.
(z, r)
= {w E e jjw- zj < r }:
= {z E
~(z,
e jjzj < 1}:
disco abierto.
el disco unitario abierto.
w): distancia cordal de z a w.
r+iy)
=
ex (cosy
+i
sen y): exponencial compleja.
r;t ¡: exterior de la curva ~.
~:
derivada k-ésima .
.t: gradiente de
u.
201
202
GLOSARIO DE SIMBOLOGÍA
IHI 2 = {z
E
C 1 Imz > 0}: el semiplano superior abierto.
r
Imz: parte imaginaria del complejo z.
fab (u(t) + iv(t))dt = fab u(t) dt + i fab v(t) dt: integral de curva en el plano.
f-r f = f-r f(z) dz = fab f('Y(t)) 'Y '(t)dt: integral compleja.
J u dA:
¡
integral doble.
R
/
fzw f(u) du: integral sobre cualquier curva de z a w.
Int1: interior de la curva
J f =
1:
!¡z-al=r
~~
f : integral sobre el círculo { z llz - al = r}.
lz-al=r
f(x) dx
= .!~oo
*
{' f(x) dx.
Xl--00
V 2 u = ~ (z) +
(z): laplaciano.
i(1): longitud de la curva 'Y·
log z
= log lzl + i
arg z: rama de logaritmo.
N: los números naturales.
~~: derivada parcial de u con respecto a x.
zw
= e w Iog z:
potencia compleja.
Q: los números racionales.
Re z: parte real del complejo z.
Res(!, z): residuo de f en z.
1R: los números reales.
= {x E 1R 3 1 lxl = 1}: la esfera unitaria.
sen z = ei .. ;~-i .. : seno complejo.
§
2
p.-
senh t = e i t -;_e-i t : seno hiperbólico real.
00
La
k
=
¿:,0 a k
= a o + a 1 + a2
+ a 3 + ...
k=O
Z: los números enteros.
.
\
/'
1
j
Bibliografía
[1] A HLFORS, L . V .. Complex Analysis, rvicG raw-Hill. 1966.
[2] B ARTLE, R. G . , The Elements of R eal Analysis, John W iley and Sons,
~ ew
Yor k, 1967.
[3] BEA RDON, A . F .. The Geometry of Discrete Groups. Grad uatc Texts
in Mathema tics 91 , Springer-Ver lag . 1995.
[4]
I teration of Rational Functions, G radua tc Texts in Mat hema t ics 132 . Springer-Yerlag. 1991.
[5] C ANO F rGUEROA C . , Notas de variable compleja, Tesis de licencia t ura,
UNAM, Facultad de C iencias, 2003 .
[6] CONWAY, J. B .. H mctions of One Com plex Variable, Grad uate Tcxts
in i'vlathemat ics 11 , Spri nger-Ver lag, 1978.
[7] I-IERSTEIN, l. N ., Tapies in Algebra, Xerox Collegc P ublishing, 1964.
[8] J ONES, G . A . y D . SrKGERi\IA NN. Com plex Functions. Cambridge
UniversiLy P ress, 1987.
[9] L ANG , S ., Linea1· A lgebra, Addison vVcslcy, 1972.
[l O] L ASCURAI N O RIVE, A . . Una introducción a la geom etría hiper·bólica
bidimensional, U TAfvi , Facultad ele Ciencias, 2005 .
[11] MARKUSHEVICH, A . I. , Themy of Fu nctions of a Com plex Variable,
volume III. Prentice Ha ll. 1967.
[12] l-IOFFMAN , M . y J . E. MARSDEN, B asic Com plex An alysis, W. H.
Freema n ancl Compa ny, 1996.
203
,
204
BIBLIOGRAFÍA
(13) MARSDEN, J. E. y A. J. TROMBA, Cálculo vectorial, Fondo Educativo
Interamericano, 1981.
[14) MOISE, E. E., Geometric Topology in Dimensions 2 and 3, Graduate
Texts in Mathematics 47, Springer-Verlag, 1977.
(15) MUMFORD, D., C. SERIES y D. WRIGHT, lndra's Pearls, Cambridge
University Press, 2001.
[16)
RUDIN,
W., Principios de análisis matemático, McGraw-Hill, 1980.
[17) TITCHMARSH, E. C., The Theory of Functions, Oxford University
Press, 1939.
,
lndice analítico
Abel
lema de, 155
lema dual de, 166
abierto, conjunto, 17
analítica, función, 47
Apolonio, círculos de, 27
argumento, 4
armónica, función, 54
convexo, conjunto, 96
cordal, métrica, 24
corte
líneas de, 59
puntos de, 59
coseno, función, 42
criterio de la raíz para series de potencias, 158
criterio de la razón para series de
potencias, 158
Casorati-Weierstrass, teorema de,
182
Cauchy
coeficientes de, 171
desigualdades de, 121
fórmula del anillo de, 168
fórmula integral de, 115
fórmula integral para la derivada k-ésima de, 120
integrales del tipo, 116
sucesiones de, 19
teorema de, 105
Cauchy-Riemann
ecuaciones de, 50
ecuaciones polares de, 54
cero de orden k, 178
conforme, función, 65
conjugada armónica, 128
conjugado, 8
continuidad, 18
convergencia uniforme, 144
De Moivre, fórmula de, 12
deformación, teorema de la, 102
derivada compleja, 47
desigualdad de Cauchy-Schwarz, 15
diferenciable en el sentido complejo, 47
Dirichlet, problema de, 132
eje
imaginario, 1
real, 1
entera, función, 47
exponencial, función, 27, 28
Fourier, transformada de, 193
función inversa, teorema de la, 66
función raíz n-ésima, 38
funciones trigonométricas, 42
Goursat
205
r
206
ÍNDICE ANALÍTICO
generalización del lema de, 91
lema de, 88
Hadamard, fórmula de, 159
holomorfa, función, 47
homeomorfismo, 107
homotópicas, curvas, 95
homotopía de clase 1 por tramos,
97
e
índice, 112
infinito, punto al, 19
integral de una función compleja
sobre una curva, 72
integral impropia, 186
Jordan, teorema de, 81
Lagrange, identidad de, 15
laplaciano, 54
Laurent, teorema de, 168
Lebesgue, número de, 98
Leibnitz, regla de, 164
límite: 18
Liouville, teorema de, 121
logaritmo
analiticidad del, 57
definición, 33
propiedades, 34
rama de, 108
rama principal, 58
· módulo máximo, 125
Mobius, transformaciones de, 20
meromorfa, función, 174
Morera, teorema de, 122
números complejos
multiplicación de, 2
definición, 1
parte imaginaria, 1
parte real, 1
propiedades aritméticas de, 2
sucesiones de, 18
suma de, 1
unicidad, 16
normal, convergencia, 148
Picard, gran teorema de, 181
plano complejo extendido, 19
Poisson, fórmula de, 132
polo
de orden k, 174
simple, 174
potencias complejas, 36
primitiva, 92
teorema de la, 107
teorema local de la, 91
principio del máximo, 125
principio del máximo para funciones
armónicas, 131
propiedad del valor intermedio para
funciones armónicas, 131
propiedad del valor intermedio, 124
proyección estereográfica, 21
raíz
n-ésima, 12
cuadrada, 11
radio de convergencia, 156
ramificación
líneas de, 59
puntos de, 59
residuo, 174
teorema del, 184
Riemann
esfera de, 20
función zeta de, 151
ÍNDICE ANALÍTICO
Schwarz, lema de, 126
seno, función, 42
series
p, 141
de Laurent, 168
de potencias, 155
de Taylor, 160
Shoenflies, teorema de, 107
simple cerrada, curva, 81
simplemente conexo, 96
singularidad
aislada, 174
esential, 174
removible, 174
Taylor
coeficientes de, 157
teorema ele, 160
truco de, 161
teorema
fundamental del álgebra, 122
fundamental del cálculo complejo, 78
Triángulo, desigualdad del, 14
trigonométricas, integrales, 191
vVeierstrass
prueba M de, 146
teorema ele, 148
207
Curso básico de variable compleja,
editado por la Facultad de Ciencias de la
Universidad Nacional Autónoma de México,
se terminó de imprimir el 25 de marzo de 2011
en los talleres de Navegantes de la Comunicación Gráfica, S.A. de C.V.
Pascual Ortiz Rubio No. 40, San Simón licumac
Delegación Benito Juárez, C.P. 03660. México, D.F.
El tiraje fue de 500 ejemplares.
Está impreso en papel cultural de 90 grs.
En su composición se utilizó tipografia limes New Roman
de 11:13.5, 12:14 y 18:20 puntos de pica.
lipo de impresión: offset.
El cuidado de la edición estuvo a cargo de
Rosanela Álvarez Ruiz.
