Unidad 5: Dinámica del cuerpo rígido Parte A Fuerzas internas y externas al sistema – Centro de masa 𝑚1 y y 𝑚𝑖 𝑚2 𝑚𝑗 o 𝑖𝑛𝑡 𝑖𝑛𝑡 𝐹𝑖−𝑗 = −𝐹𝑗−𝑖 x 𝑖𝑛𝑡 𝑖𝑛𝑡 → 𝐹𝑖−𝑗 + 𝐹𝑗−𝑖 =0 o x 𝑥𝐺 σ 𝑚𝑖 . 𝑟Ԧ𝑖 𝑟Ԧ𝐺 = = 𝑦𝐺 σ 𝑚𝑖 𝑧𝐺 Cantidad de movimiento del sistema de partículas 𝑥𝐺 σ 𝑚𝑖 . 𝑟Ԧ𝑖 𝑟Ԧ𝐺 = = 𝑦𝐺 σ 𝑚𝑖 𝑧𝐺 𝒑𝒊 = 𝒎𝒊 . 𝒗𝒊 M . 𝑟Ԧ𝐺 = σ 𝑚𝑖 . 𝑟Ԧ𝑖 y Derivando ambos miembros 𝑃 = 𝑀. 𝑣Ԧ𝐺 = 𝑚𝑖 . 𝑣Ԧ𝑖 Si el sistema es rototraslatorio reducido al polo “o” 𝑃 = 𝑀. 𝑣Ԧ𝐺 = 𝑚𝑖 . (𝑣Ԧ𝑜 + 𝜔 × 𝑟Ԧ𝑖 ) o x 𝑃 = 𝑚𝑖 . 𝑣Ԧ𝑜 + 𝑚𝑖 . 𝜔 × 𝑟Ԧ𝑖 𝑷 = 𝑴. 𝒗𝒐 + 𝑴. 𝝎 × 𝒓𝑮 Cantidad de movimiento del sistema y y x o Traslación pura 𝑷 = 𝑴. 𝒗𝒐 o 𝑣Ԧ𝑜 = 0 𝑤 x Rotación pura 𝑷 = 𝑴. 𝝎 × 𝒓𝑮 Conservación de la Cantidad de movimiento del sistema 𝒅𝑷 = 𝑴. 𝒂𝒊 = 𝑭𝒆𝒙𝒕 𝒅𝒕 Si la fuerza neta exterior es nula 𝒅𝑷 𝒅𝒕 = 𝑴. 𝒂𝒊 = 𝟎 → 𝑷 = 𝒄𝒕𝒆 → ∆𝑷 = 𝟎 Momento cinético o momento angular Momento angular de una partícula 𝑳𝒊 = 𝒓𝒊 × 𝒎𝒊 . 𝒗𝒊 Momento angular de un sistema de partículas y 𝑤 𝑳 = (𝒓𝒊 × 𝒎𝒊 . 𝒗𝒊 ) 𝑳 = (𝒓𝒊 × 𝒎𝒊 . 𝒗𝒐 + 𝝎 × 𝒓𝒊 ) o x 𝑳 = (𝒓𝒊 × 𝒎𝒊 . 𝒗𝒐 ) + 𝒓𝒊 × 𝒎𝒊 . 𝝎 × 𝒓𝒊 𝑳 = ( 𝒎𝒊 . 𝒓𝒊 ) × 𝒗𝒐 + 𝒓𝒊 × 𝒎𝒊 . 𝝎 × 𝒓𝒊 𝑳= 𝑴 × 𝒗𝒐 + 𝑳𝒐 Conservación del Momento cinético o momento angular 𝒅𝒑𝒊 𝒅 𝒊𝒏𝒕 = 𝒎𝒊 . 𝒗𝒊 = 𝑭𝒆𝒙𝒕 + 𝑭 𝒊 𝒊−𝒋 𝒅𝒕 𝒅𝒕 M Tomando momento con respecto a “o” G (𝒓𝒊 − 𝒓𝒐 ) × 𝒎𝒊 . 𝒂𝒊 = (𝒓𝒊 − 𝒓𝒐 ) × 𝑭𝒆𝒙𝒕 + (𝒓𝒊 − 𝒓𝒐 ) × 𝑭𝒊𝒏𝒕 𝒊 𝒊−𝒋 Sabiendo que O 𝑳 = 𝒓𝑮 × 𝑴. 𝒗𝒐 + 𝑳𝒐 = (𝒓𝒊 − 𝒓𝒐 ) × 𝒎𝒊 . 𝒗𝒊 Derivando ambos miembros 𝒅𝑳 𝒅𝑳𝒐 = 𝒗𝑮 × 𝑴. 𝒗𝒐 + 𝒓𝑮 × 𝑴. 𝒂𝒐 + = (𝒗𝒊 − 𝒗𝒐 ) × 𝒎𝒊 . 𝒗𝒊 + (𝒓𝒊 − 𝒓𝒐 ) × 𝒎𝒊 . 𝒂𝒊 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒗𝑮 × 𝑴. 𝒗𝒐 + 𝒓𝑮 × 𝑴. 𝒂𝒐 + 𝒅𝑳𝒐 𝒊𝒏𝒕 = (−𝒗𝒐 ) × 𝒎𝒊 . 𝒗𝒊 + [(𝒓𝒊 − 𝒓𝒐 ) × 𝑭𝒆𝒙𝒕 + (𝒓 − 𝒓 ) × 𝑭 𝒊 𝒐 𝒊 𝒊−𝒋 ] 𝒅𝒕 𝒅𝑳𝒐 𝒗𝑮 × 𝑴. 𝒗𝒐 + 𝒓𝑮 × 𝑴. 𝒂𝒐 + + 𝒗𝒐 × 𝑴. 𝒗𝑮 = 𝑴𝒆𝒙𝒕 𝒐 𝒅𝒕 Trabajo y Potencia 𝑴𝒆𝒙𝒕 𝒐 𝒅𝑻𝒊 = 𝑭𝒊 ∗ 𝒅𝒓𝒊 = 𝑭𝒊 ∗ 𝒗𝒊 . 𝒅𝒕 𝒅𝑻 = 𝑭𝒊 ∗ 𝒗𝒊 . 𝒅𝒕 Para un sistema en rototraslación y 𝒗𝒊 = 𝒗𝒐 + 𝝎 × 𝒓𝒊 − 𝒓𝒐 𝒅𝑻 = 𝑭𝒊 ∗ [ 𝒗𝒐 + 𝝎 × 𝒓𝒊 − 𝒓𝒐 ]. 𝒅𝒕 𝑤 𝒅𝑻 = ( 𝑭𝒊 ∗ 𝒗𝒐 + 𝑭𝒊 ∗ [ 𝝎 × 𝒓𝒊 − 𝒓𝒐 ]). 𝒅𝒕 𝒅𝑻 = 𝑭𝒆𝒙𝒕 ∗ 𝒗𝒐 + 𝑴𝒆𝒙𝒕 𝒐 ∗ 𝝎 . 𝒅𝒕 o x Dividiendo todo por 𝒅𝒕 𝒅𝑻 𝑷𝒐𝒕 = = 𝑭𝒆𝒙𝒕 ∗ 𝒗𝒐 + 𝑴𝒆𝒙𝒕 𝒐 ∗𝝎 𝒅𝒕 Energía cinética y 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝑇𝑖 = 𝑚𝑖 . 𝑣Ԧ𝑖2 → 𝑻 = σ 𝑚𝑖 . 𝑣Ԧ𝑖2 𝑤 Para un sistema en rototraslación 𝒗𝒊 = 𝒗𝒐 + 𝝎 × 𝒓𝒊 − 𝒓𝒐 o 𝟏 𝑻 = 𝑚𝑖 . [ 𝒗𝒐 + 𝝎 × 𝒓𝒊 − 𝒓𝒐 ]2 𝟐 x 𝟏 2 𝑻 = [ 𝑚𝑖 . 𝒗𝒐 + 𝟐. 𝑚𝑖 . 𝒗𝒐 + 𝝎 × 𝒓𝒊 − 𝒓𝒐 ] + 𝑚𝑖 . 𝝎 × 𝒓𝒊 − 𝒓𝒐 𝟐 Si “o” coincide con “G” Si “𝑣𝑜 = 0” 𝟏 2 𝑻 = . 𝑴. 𝒗𝒐 + 𝑴. 𝒗𝒐 ∗ 𝝎 × 𝒓𝑮 𝟐 Energía cinética de traslación Energía cinética mixta 𝟏 + . 𝑰𝒐 . 𝝎𝟐 𝟐 Energía cinética de rotación 2 ] Energía cinética 𝟏 2 𝑻 = . 𝑴. 𝒗𝒐 + 𝑴. 𝒗𝒐 ∗ 𝝎 × 𝒓𝑮 𝟐 y Si “o” coincide con “G” 𝟏 𝟏 2 𝑻 = . 𝑴. 𝒗𝒐 + . 𝑰𝒐 . 𝝎𝟐 𝟐 𝟐 𝑤 Si “𝑣𝑜 = 0” o 𝟏 + . 𝑰𝒐 . 𝝎𝟐 𝟐 x 𝟏 𝑻 = . 𝑰𝒐 . 𝝎𝟐 𝟐 Si “𝝎 = 0” 𝟏 2 𝑻 = . 𝑴. 𝒗𝒐 𝟐
