SEMANA 2.1 - CONGRUENCIA DE TRIANGULOS

TEORÍA
2022-2
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
2a
TRIÁNGULOS CONGRUENTES
Definición.- Dos triángulos son congruentes si sus lados y ángulos son
respectivamente congruentes, de tal modo que a lados congruentes le
corresponden ángulos congruentes y viceversa.
B
E


a
c

A


b
a
c
C

D
 AB  DE

ABC  DEF  BC  EF

 AC  DF
b
A  D

B  E
C  F
F
TRIÁNGULOS CONGRUENTES
B
E


a
c

A


b
a
c
C
D

b
F
ABC  DEF
El orden de los vértices establece una correspondencia entre ellos:
 D, B  E y C  F.
Luego:
AB  DE, BC  EF y AC  DF
A   D, B  E y C  F
La congruencia de triángulos es una relación de equivalencia.
A
EJERCICIO 01
Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes
proposiciones
I. Si dos triángulos son congruentes, entonces los ángulos
correspondientes son congruentes.
II. Si dos triángulos son congruentes a un tercer triángulo,
entonces dichos triángulos son congruentes.
III. Si dos triángulos son equiláteros, entonces los triángulos son
congruentes
A) VFV
D) VVV
B) FVF
E) FFF
C) VVF
RESOLUCIÓN 01
Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones
I. Si dos triángulos son congruentes, entonces los ángulos
correspondientes son congruentes.
II. Si dos triángulos son congruentes a un tercer triángulo, entonces dichos
triángulos son congruentes.
III. Si dos triángulos son equiláteros, entonces los triángulos son
congruentes
I. (V) Por definición
II. (V) Por correspondencia
III. (F) No necesariamente, solo si los lados son congruentes.
Clave: C
EJERCICIO 02
En un triángulo ABC, se traza la ceviana BD, en el exterior
relativo al lado AB se ubica el punto P, tal que los ángulos ABP y
DBC son congruentes. Si los triángulos ABP y CBD son
congruentes, m∠ACB = 20 y m∠PBC = 120, entonces la medida
del ángulo APB es
A) 25
B) 30
C) 36
D) 52
E) 60
En un triángulo ABC, se traza la ceviana BD, en el exterior relativo al lado
AB se ubica el punto P, tal que los ángulos ABP y DBC son congruentes. Si
los triángulos ABP y CBD son congruentes, m∠ACB = 20 y m∠PBC = 120,
entonces la medida del ángulo APB es
RESOLUCIÓN 02
m∠BAP = x
P
Los triángulos ABP y DBC son congruentes
X
Entonces: BD = BP = a, BC = AB = b,
AP = DC = t y m∠PAB = m∠C = 20
a
t

B
120
∆ABC, isósceles
m∠BAC = m∠C = 20

b
a
A
20
20
D
20 + 20 + 20 + x = 120
b
∴ x = 60
t
20
C
Clave: E
TEORÍA
2022 - 2
POSTULADO Y TEOREMAS DE LA
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
2a
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
POSTULADO (CONGRUENCIA LAL)
Si dos triángulos tienen ordenadamente congruentes dos lados y el
ángulo comprendido entre los dos lados, entonces los triángulos son
congruentes.
E
B
A
c
c


b
C
D
ABC  DEF
b
F
EJERCICIO 03
En un triángulo equilátero ABC se trazan la ceviana BD y el triángulo
equilátero DCE (E punto exterior al triángulo ABC, relativo al lado AC). Si la
m∠ABD = 24, entonces m∠CAE es
A) 24
B) 27
C)30
D) 32
E) 36
En un triángulo equilátero ABC se trazan la ceviana BD y el triángulo
equilátero DCE (E punto exterior al triángulo ABC, relativo al lado
AC). Si la m∠ABD = 24, entonces m∠CAE es
RESOLUCIÓN 03
B
36
24
m
m
m
60
A x
60
60 C
D
∆DCB ≅ ∆ECA (L A L)
m∠DBC = m∠EAC = 36
∴ x = 36
60
E
Clave: E
EJERCICIO 04
En un triángulo ABC, mABC = 150. Sean los triángulos equiláteros AFC y BQC
tales que B, F y Q están en el mismo semiplano con respecto a la recta AC.
Calcule la medida del ángulo FQB.
A) 60
D) 90
B) 70
E) 75
C) 80
RESOLUCIÓN 04
En un triángulo ABC , mABC = 150. Sean los triángulos equiláteros AFC
y BQC tales que B, F y Q están en el mismo semiplano con respecto a la
recta AC. Calcule la medida del ángulo FQB.
Según el dato del problema:
F
Q
x
60
B
150
A

AF = FC = AC y BQ = QC = BC
Sea mBCF = 
Entonces:
mFCQ = 60 − , mACB = 60 − 
Resulta que:
 FCQ   ACB (LAL)
Entonces:
C
mFQC = mABC
x + 60 = 150
x = 90
Clave: D
TEOREMA (CONGRUENCIA ALA)
Si dos triángulos tienen ordenadamente congruentes un lado y los ángulos
adyacentes a este lado, entonces los triángulos son congruentes.
B
E

A


b
C
D
ABC  DEF

b
F
EJERCICIO 05
En un triángulo ABC, m∠BAC = 40 y m∠BCA = 80. Se ubican los puntos D en
AB y E en AC tal que m∠ADE = 20 y m∠ACD = 40. Entonces, m∠ABE es
A) 8
B) 9
C) 10
D) 12
E) 15
En un triángulo ABC, m∠BAC = 40 y m∠BCA = 80. Se ubican los puntos D en
AB y E en AC tal que m∠ADE = 20 y m∠ACD = 40. Entonces, m∠ABE es
RESOLUCIÓN 05
B
m∠ABE = x = ?
60
a x
∆EDC ≅ ∆BDC (ALA)
BD = ED = a
D
20
a
x
A
40
E
80
80
∆BDE: isósceles
m∠DBE = m∠DEB = x
t
40
4080
∆EDB: ángulo externo
x + x = 20
C
∴ x = 10
Clave: C
EJERCICIO 06
En un triángulo ABC, recto en B, sobre el lado BC y en su exterior se
ubican los puntos P y E respectivamente tal que P – D – E, DE = BP y el
triángulo APC es isósceles. Si mCDE = 90, mACB = 20 y mEPC = 50,
entonces la medida del ángulo PEC es
A) 20
D) 60
B) 45
E) 65
C) 50
En un triángulo ABC, recto en B, sobre el lado BC y en su exterior se ubican
los puntos P y E respectivamente tal que P – D – E, DE = BP y el triángulo
APC es isósceles. Si mCDE = 90, mACB = 20 y mEPC = 50, entonces la
medida del ángulo PEC es
RESOLUCIÓN 06
E
ABP  PDC
40
50
A
x
D
B
APC, isósceles y APC
obtuso:
 AP = PC
20
P
Entonces:
50
40
20
C
EDC:
(ALA)
BP = DC
x = 45
Clave: B
EJERCICIO 07
En un triángulo ABC, la ceviana BN y la altura CH se intersecan en el punto
Q, M punto de AB (M-H-B) y mMNB = 90. Si MH = 3HB, mNBC = 60 y
mNQC = 75, entonces la medida del ángulo ACB es
A) 15
B) 30
C) 45
D) 60
E) 75
En un triángulo ABC, la ceviana BN y la altura CH se intersecan en el
punto Q, M punto de AB (M-H-B) y mMNB = 90. Si MH = 3HB,
mNBC = 60 y mNQC = 75, entonces la medida del ángulo ACB es
RESOLUCIÓN 07
x=?
B
15
K
H
TN  AB
60
∆BNM: Notable de 15 - 75
Q
TN = k
75
3K
∆BTN  ∆CHB
BN = BC
M
A
T
75
K 75
x
N
∆NBC: Equilátero
60
mBNC = 60
C
∆BAN: ang. Ext.
x = 45
Clave: C
TEOREMA ( CONGRUENCIA LLL)
Si dos triángulos tienen ordenadamente congruentes sus tres lados,
entonces los triángulos son congruentes
E
B
a
c
A
b
a
c
C
D
ABC  DEF
b
F
EJERCICIO 08
En un triángulo ABC, se ubican los puntos D en AC y E en BD tal que BE ≅
ED y BC ≅ DC. Si 2m∠BDC = 3m∠ABD = 6m∠BCE, entonces m∠BAC es
A) 9
B) 15
C)22,5
D) 30
E) 45
En un triángulo ABC, se ubican los puntos D en AC y E en BD tal que BE ≅
ED y BC ≅ DC. Si 2m∠BDC = 3m∠ABD = 6m∠BCE, entonces m∠BAC es
RESOLUCIÓN 08
m∠BAC = x
B
∆DEC ≅ ∆BEC (LLL)
2α 3α
m∠DCE = m∠BCE = α
E
A
x
D
3α
α
α
EC ⊥ BD
m∠EDC = 3α
∆BEC : 3α + α = 90
α = 22,5
C
∆ABD : x + 2α =3 α
x=α
∴ x = 22,5
Clave: C
EJERCICIO 09
En un triángulo ABC, se traza la ceviana BD, tal que mABD = mBCA y
mDBC = 2(mABD). Si DC = AB + AD y AB = DP, entonces mBAD es.
A) 58
D) 54
B) 60
E) 50
C) 64
En un triángulo ABC, se traza la ceviana BD, tal que mABD = mBCA y
mDBC = 2(mABD). Si DC = AB + AD y AB = DP, entonces mBAD es.
RESOLUCIÓN 09
Trazo DM: tal que DB = DM
B
Trazo MP: tal que MP = PC
𝜃 2𝜃
2𝜃
Dato:
DC=AB+AD
M
𝜃
A
x
D
𝜃
x
∆ABD ≅ ∆PDM LLL
𝜃
P
C
PC=A
D
m∠MPD = x
∆MPC: 2θ = x
∆ABC: x + 4θ = 180
x= 60
Clave: B
TEOREMA (CONGRUENCIA LLA)
Si dos triángulos tienen ordenadamente congruentes dos lados y el ángulo
opuesto al mayor de éstos dos lados, entonces los triángulos son
congruentes.
B
E
a>c
c
a
c

A
a

C
D
ABC  DEF
F
EJERCICIO 10
En un triángulo ABC, se traza la mediana BN, M punto medio de BN y AN = AB.
Si BN = 8 u y mCMN = 45, entonces la longitud del segmento AM es
A) 2
B) 5
C) 8
D) 4 5
E) 6 5
En un triángulo ABC, se traza la mediana BN, M punto medio de BN y
AN = AB. Si BN = 8 u y mCMN = 45, entonces la longitud del segmento
AM es
RESOLUCIÓN 10
B
x=?
∆ABN: AM  BN
4
Prolongo BN hasta Q
M
x
MQ  CQ
45
∆MQC: Notable de 45
4
A
QC = 8
C
N
4
8
Q
∆CQN  ∆ AMN
x=8
Clave: C
EJERCICIO 11
En el interior de un triángulo ABC se ubica el punto P tal que AB = BC = AP.
Si mABC = 100 y mPCA = 30, entonces la medida del ángulo PAC es
A) 8
B) 10
D) 18
E) 20
C) 15
En el interior de un triángulo ABC se ubica el punto P tal que AB = BC =
AP. Si mABC = 100 y mPCA = 30, entonces la medida del ángulo PAC
es
RESOLUCIÓN 11
Piden: mPAC=x
ABC: Isósceles
AH=HC=n y mABH = 50 = mHBC = 50
B
L
ALC: notable de 30 y 60
AL=n
50 50
n
50
A
x
ALP  CHB (LLAm)
mAPL = mHBC = 50
P
30
n
H
n
C
APC: 30 + x = 50
x = 20
Clave: E