kupdf.net alfred-tarski-introduccion-a-la-logica-y-a-la-metodologia-de-las-ciencias-deductivas

INTRODUCCIÓN ~
ALA LÓGICA
y a la metodología de
las Ciencias deductivas
alfred
tarski
TERCEQA
EDICION
INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA
ALFRED TARSKI
INTRODUCCIÓN
A LA LÚGICA
Y A LA METODOLOGfA
DE LAS CIENCIAS DEDUCTIVAS
T. R. BACHiu.ER 1 J . R. FUENTES
TEaCEu.
UT!HD.L COlDODO .L U
~1c16N
TDCDA IMGLM
O. CHATEAUBIUAND 1 M. A. DIClülANN
ESPASA-CALPE, S. A.
MADRID
19 7 1
ES
PROPIEDAD
C LpoH·Calp•, S. A ., 1951, 1968
lmpnH •n Lp•lla
Prw.d in Spoin
D•p~ilo
l•sal:- M. BJ.9-1977
ISBN d4-U9-64.90- 9
Tall•m gr1Jfieo1 .U la Editorial Eipao-Colpe, S. A.
c.,.,.mro J. lrdn. ... JZ,200. Madrid-34
íNDICE GENERAL
,..,._
PUH.010 DS LA. BDIOJÓlf IMOL:HA, •• • • •••••••• , , , • , •
DsL Pall:J'ACIO PS U
S DlOIÓN OaJOlltAL••
11
10
PBIJIC&B.A. PARTE
ELEMENTOS DE l.ÓGICA. MkrODO DEDUCTIVO
I.
Soau
BL
uso
Dlt VAJLliltLES
l. Conet&ntee y variables•.... ,., .... . ..............• , ..•
!. E~f=~:e; ~:i;:i~~!~~. ~-,.~~~!~~ .!~.~~~~ . ~~~¡:
3. Formación de propoeicionee por medio de variables. Propo1ioionee: univerul• y e•iet.enciale... , .•... , .•.....
f. Cu:aotificadore9 univerul y e::1iltenolaJ; variablell libree y
""...... .............. . ..... . ............. .
6. La importancia de lu variables eo matem•tioa. .
Ejeroioic..,.
....... .............. ..
II.
Boau
••
"••
32
38
37
J:L cü.cULO PROP08IOJOlUL
;: ~i:~ul~~~~~l:n~~~~¿~r:;:i:i~~~~~;;.
41
D. El uao de la im.plicaoión en matemátio.a.•... , . , .• , •. , . . . .
52
8. 1n!~~!ó~a.~~~-~~~~~~~~: ~~~~~~~~: ~~ ::
:t :¿:i~~ió!:'te·1.r=:~~&Si~d~·d;d¡~~ió~·.::::::: g;
fNDICE GEHDAL
~
~i: r~:!i~~°e~1~c~FoOll~;~=i~~; (~~¡¿~~ d~· .;_~
y tablM de verdad...................•.• , . , .•••. , . . •
14. Aplica.ción de lu Ieyee del OIUculo propotiicional a la infe.
renci&.. .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . .. .. .. .. . . .. .. .
15. Reglu de inferenci&. Demoe\C'&cii:>Del!I oomplet.1!111....
.. .. ..................
EjeroiciOlil.
Ill.
16.
GO
82
88
71
74
SOBRE L.&. T:mOaf.t. DJt L.6. IDaNTID.A.D
Co¡;,ct;~e~f¡~;d.~~~~~ ~.e~ .~l~~I.~ ~~~~º.¡~~·. ~~~~~:
17. Leyes Cundarnent.aleie de la. teoria de l• ident.idad........ .
18. IdentidMi de objet.oe e identidad do 1u.1 de11ignaoione1¡ uao
de ooinillu........... , . . • . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . .
19·
1
20. Los cuantifio-.doree num&iooe . . .. ......... . , . , ... . . , . .
L&cfrn·~:~.ºid!~tid~t~::.. ~~ . ~. ~~~~.·: .~ ~~. ~~:
Ejercioioe...
. . .. . . . . . . . . . . . . . . . .•.
IV.
Soa••
'º
81
84
a1
89
91
LA TSOa.f.a. DB OL.&.BU
21. Clasea y sus element.oa....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
ii:
&1::8~¡1::~~°yeecC~~~~.~~ -~~. ~-~~¡~~1~ -~~~·:
U. Relaoionee fwuia.ment.alea enue claaea............ . . . . . .
.~
:~: g¡::c!~~:~~1::Ná~-~r'.di~-d~~~i~.·c¡~
tinit:aa e infinitas. L& &rit~t.iea. como pMte de la lógiee..
Ejeroieioe
V.
So•as u. n:oaú
101
106
107
110
l>'S B&LAOlo~•
27. R'.olacionee, 1u.1 dominios 1 contndominioe, rel-.cionee y
funciones prol>09ioiooalee ooo doe Tariablee libree. , . . .
28. m1culo de relao1ooee.... '............. . .. . . . .. ..... . .
~~: ~~i~n:~~~~~:~=~~~; ~~éiri' ···y ·t~:
s1t.1vae....................... . .......... ~ ......
SI. Relaciones de orden. Ot.roe ojomploe de relaoionee...
32. Rela.oionea unJvoou o funeiones.. . .....................
33. Rela.oionea uno-uno o funoiooea biunivoeae, y oorreepon·
denciu biwúvoo.aa......... ..... ...................
3•. Relacionea mó.ltiplee. Funciooee d6 variu variablee y ope·
raciones
........•.•.• , , , . .
l HI
119
123
12t
127
129
13t
136
ae:.
Jmpori&Doia de Ja
Ejoroioi011......
VI.
lógica~
ok'M oienOiM..
.... . . . ........••.••....
·139
140
Boau BL K:iToDO D•DUOTIVO
se. Conatituyont.es fundament.alee de t.eorfu deduotivu; t6rm.inoa primitivOB y dednidoe, e:idomu y teoremas. .
37. Modelo e interpretación de una teoria deductiva •• ; . . . . . .
Si. Ley de deduooión: oaricter fonnal de las oienoiae deduo-
149
Ui!
tivaa..........•.•.•.• ... • .. . . ....................
39. Selección de Hiom&11 y Wnninoe primit.ivoe; .su indepen-
Hi8
fO. Form&liz.ación de definioionee y demoetracionea¡ teoriaa
deductiva.a formalizad.u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
U. Conaiatencia y completida.d de una teoría deductiva; pro·
HUI
dencia................ ... .... . ....................
Hl3
blema de decillión.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
'2. Cone&poióo &mpliad& de la meiodologh~ do lu oieneiu
Hl8
deduot.ivu.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ejercicios. .. . . . . . . . . . . . . . . . .
171
17'
SEGUNDA. PA.BTB
APLICACIONES DE LA LÓGICA Y DE LA
METODOLOGtA A LA CONSTRUCCIÓN DE
TEORiAB MATEMÁTICAS
VII.
CoMBTBUCCIÓN
UYU SOB- u
'3.
o• m u.
TE01tf.&. IU.TKllÁTIO.&.:
oanatU.CIÓN DJI: NÚlll:BOS
prirnit.ivOJi de la t.eoria en conatni.cción¡ a•iomu eobre Ju relacionee fundament.alee entre nómeroe.
T~rminoa
Lef:m~t=~~v~dt:.~ .~~~i~~~.~~~~~~~9'.':
"·
U . Otro. teoremu eobn!I IM nileeion ee fWldament.alee. .
'8. Ot.ru relaoioDee entre nW:neroe..
Ejeroicioe.. . .
191
lH
1116
Hl8
203
VIII.
CoNsnuco1óN 01: UNA n o• fA. 11.&.Tll:llÁTIO.&.:
UIY"a 809. . LA .A.DlCIÓN Y 8U8TJU.COIÓN
f7. Axiomas sobtt1 la adición; propiedades generalee de operaoionee; loe ooncsptoa de gnipo y de grupo abelia.no..
f8. Leyes conmutativa y &800iativa para un número cualquiera de eumandoa.
.
.
...
O. Leyes de monotonía para la adioi6n y •WI recfproou..
201
209
211
'º
f'll-
:r: ~i;E::J:-~~~!rí~:E~i:~~~~-:.:_::.... .. ~ti
53. Definicionea cuyo de6niendum contiene el &igno de igualdad.......................
222
64. Teoremu aobre la eustraccióo.,. . . . . . . . . . . . . . .
2%6
Ejeroicioe... . .
22tl
IX.
ÜON8IDBB..A.CION1l8 IBTODOLÓOICil
SOBRE LA noa.J.a. CONSTRmDA
66. Eliminación de axiom&11 •uperftuoa en el 1U.tema original.
6G. lndeJ;>&ndenoi& de loa u:iomu del aiatema aimplifl.cado., . .
6
08d:~:iu: ion~~~
IS?. Eli¡:=
re gruposim~j¡J!:tndl=~
abeliano ordeniado.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68. Bimpíl6ca.ción ultorior del &iatema de hiomu; f108ibles
trenaforma.ciones del eiatema d e ~nninOI primitivoa..
69. El problema de conaiatencia de la teoria construida. ..
tlO. El problema. de completidad de la teorla coJl8truida. .
Ejercicios...
233
237
239
242
248
249
251
X. EXTENSIÓN D• U. TBOIÚ.6. CONSTl\UIDA.
FuNo.uo:NT08 DB LA ~CA DE LOS N'Ó'llEROS
61. Primer sistema de axiomas para la aritmética. de loe n11m er08 reales.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82. Caracterización :méa detenida d el primer eistema de all.iomu; 11u11 ventaj&11 metodológica.e y deeventaja.e did&.cticaa ......... ..... ..... . . . ..... .... ........ .. . ...
63. Segundo 4iatema de axioma.a pua la aritnuStiea de loe riú·
me-roa reales.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6f. Caracterización mú detenid6 del aegundo aiat.ema de axlo.
mu¡ concepto. de cuerpo y de ouerpo ordenado. . . . . . .
66. Equivalencia de 101 d04I 11atemu de a x iomu; dmventaju
metodológicaa y ventaju didicticae del 11egundo sistema.
Ejercicios
.. .. .. .. ...... .. .. .. ...... .......
257
259
!61
263
28'1
266
271
GufA BIBLIOGRÁFICA••••
\
PREFACIO DE LA EDICIÓll lllGLESA
Eate libro ee una edición pa.rcialmente modificada y extendida
de mi libro Sobrt. la Lógica M~ '!/el M ttodo Deduaivo, que
apareció primeramente en polaco, en 1936, y luego, en 1937, en una
exa.ct& traducción e.leme.na (bajo el título: Einfii.hrung in dit ma.Uiematiaclu Logilc und dit M ethodologie rkr MatMmatilc). En su forma
original fue concebido como un libro científico popular; eu propóeito fue presentar al lego educado -de modo en el que pudieran
combinarse la exactitud cientlfica con la mayor inteligibilidad po·
aible--- una ide& cla.ra. de la_ podel'08& tendencia. del pens&miento
oontemporáneo que se halla concentrada alrededor de la lógica
moderna. Eet.& tendencia parle originalme11te de la tare& algo limitada de 80lidifica.r loe fundament.oe de la matem&tica. En eu
presente fa.se, sin embargo, tiene objetivos mucho mé.a amplioe.
Porque trata de crear un a.pauto conceptual unificado que proveería de un~ bue comó.n a. todo et conocimiento humano. Adem'8, tiende a perfec<:ionar y aguzar el método deductivo, que en
algunas cienciaa ee considerado oomo el ímíco medio permitido
para eetableoer verdades, y re&Jmente en todo dominio de la actividad intelectual es por lo menos un ine:trumento auxiliar india.
pensable para derivar conclusiones de suposiciones aceptadas.
La acogida que tuvieron la.a ediciones polaca y alemana., y es·
pecialmente algunas sugestiones hechas por críticos, dieron ori·
gen & l& idea. de hacer de la nueva edici6n no meramente un libro
científico popular, sino también un testo en el que pudiera ha·
aarae algún cureo univM11itario elemental sobre 16gica y metodolo·
12
gfa de laa ciencia.e deductivM. El e:rperinumto pe.reef& a.tr&ctivo,
en vi.et& de la ca.renda. de libroa de te:rto elementalea a.propi&dOI
en eetr. materia..
Pan llevar & cabo el e:.:perimento, fue neceea.rio b.cer vari011
cambios en el libro.
Algunas cuestiones y nociones muy funda.menta.lee fueron enteramente pa.aadaa por alto o superficialmente tocadas en lu
edicionea previa.s, sea a causa de au cará.cter más técnico, se& para
llOBlayar puntos que se preetan a controversia.. Como ejemploa
pueden citarse ciertos tópicoa, como la. diferencia entre el uao de
a.lgunaa nociones lógica.e en el desarrollo aistemá.tico de le. lógica,
por una parte, y en el lengua.je cotidiano, por otra; el método g&neral usado para la verifie&ción de la.e leyes del cálculo propoaicional, la neoeaidad de una dietinción clara entre lu palabras y
aue nombree. loa conce'.ptoe de claee universal y de clase nul&, 1u
oocionea fwidament&lee del c6Jculo de relaciones, y, finalmente, la
concepción de la metodología. como una. ciencia general de la.e
oienciu. En la presente edición eon trata.dos todoe e6toe tópiooe
{aunque no todoe en forma. igu&lmente detallad&), pues me pa.rece
que su fa.Ita oonetituye una laguna. esencial en cualquier libro de
lógica moderna. Consecuentemente, loe capftuloe de la primera
parte del libro, o parte general, han_ sido má.a o menoa ampliadoe;
en particul&r el capitulo BegUD_do, que está. dedicado al cálculo
propoeioiona.J., oontiepe mucho material nuevo. He agregado también muchos nuevos ejercicios a estos capítulos, y he aumentad.o
el número de indicaciones históricas.
Mientraa en Ju ediciones prHiaa el uso de elmbolos especiales
fue reducido al mini.me, oonaidero necesario en la presente edición
familiariz&r al lector con loe elementos del simbolismo lógico. Sin
embargo, en la. prictica. eete limboliamo 9e ha. u8&do en forma
muy reetringida y ha. sido limitado en su mayor parte a ejercicio&.
En laa ediciones previa& lot ejemploe relativo• e. laa con.eider•·
cionee generaJ.ee y a.batr&etaa fueron tomadoB principalmente de
la. matemática de la escuela. Becundaria¡ porque era. mi opinión, y
oontin6a Biéndol&, que la matecni.tica eleme~l y especialmente
el álgebra, a ca.usa de la simplicidad de BUl!I conceptos y de la
uniformidad de sue métodoa de inferencia, es particularmente
apropiad& para ejemplificar varioa feraómenoa fund&ment&lee de
na.turaleza lógica. y metodológica.. Sin embargo, en la presente
PREFACIO DE LA EDICIÓN INGLESA
13
edición, y en ospocial en loe pMAjea agregadoa, tomo ejemploe
mú frecuentemente de otroe dominioe, oon preferencia de la
vida diaria.
Independientemente de e&cl8 agregadoe, be vuelto a escribir
ciertas secciones cuyo dominio resulta!>.. algo dificultoeo par• loe
eetudiantee.
Laa cara.cterleticu eeencialee del libro permanecen in&ltert.du.
El prefacio de la. edición origin&I, la mayor parte del oua.J. ee b&lla
reimpreso en p&gin88 siguientes, dad. &l lector un& idea sobre el
e&rácter general del libro. Quid. oonTenga., sin emba.rgo, aefi&l&r
explloitamente lo que no debe eeperane de Mte.
En primer lugar, el libro no contiene una presentación lliste.
m!.t.ica. y eatrictamentA!I deductiva de la lógica.; es obvio que una
preeentación tal no eet4 dentro del alcance de un libro de teno
elemental. Mi intA!lnción fue originariamente incluir, en esta ed.lolóa,
un capftuJo a.dicion&l titulado Lo l6gka como ctmcia dt.ducfüia, el
cual, como iluetn.ción de tu obeerTacionee metodológiou genera.
lea que figuran en el Capitulo VI, hubiera eebozado un deearrollo
ei.etem•tioo de algunaa partea elementales de la lógica.. Por vt.ria.B
razones esta intención no pudo realiz.&rse; espero que en cierlo
modo ee vea. oompens&da. eeta omiaión por el buen mi.mero de
ejercicios nuevos sobre eate· tema que ee han incluido en el Capitulo citado.
En segundo lugar, aparte de doe puajee m'9 bien cortos, el
libro no da información a.oerea de la lógica ariatotélica tradicional,
y no oontieoe materi&lee tom&doa de ella. Pero creo que el espacio
dedicado aquí a la lógi0& tr&d.icional oorreeponde bastante bien
al eacaso papel a que esa lógica ha sido reducida en la ciencia moderna; creo también que esta opinión ee compartida por la mayorla
de loe Iógícot1 contemporáneo&.
Y, finalmente, el libro no traM. de problemu relativoe • lae
llamada lógica y metodología. de la.e ciencia.e empirie&S. Debo decir
que me inclino a dudar que haya una. «lógica de lM ciencias emplricaat especial, como opueeta a la lógica en general o a. la «lógica
de lae ciencias deductivABl (por lo meriol!I en lo que concierne a la
palabr& dógica. tal como ee uaa en eete libro ~ decir, como el
nombre de una disciplina. que M&liz.a el aignifioado de loe concept.ol!I
oomunea a toda.l!I laa cienci.aa y que eetablece laa leyes general.ea
"
por la.e que &e gobiernan loe eonceptoe)-. Pero éete • un probl&ma m'8 bien de palabra que de hecboe. De cualquier modo, la llHI•
todologia de la ciencia emptrica conat ituye un importante dominio
de la investigación cientifi.ca. El conocimiento de la. lógica M, por
impuesto, valio&O para el eetud.io de esa metodologfa., como lo ee
también en el caso de cualquier otra di&ciplin&. Debe admitirse, ain
embargo, que los conceptos y 108 métodos lógicos no han hallado,
haat& el presente, a.plica.ciones especlficae o fértiles en aquel do.
minio. Y ee al menos posible que eeta eitu&ción no sea. con.eecueoci& mera.mente del eatado en que ae hallan en la actuaJid&d 1611
inveetiga.ciones metodológie&&. Ella proviene, quizá., de la circunstancia. de que, pa.ra loa finee de un tratamient.o metodológico
adecuado, una ciencia empírica puede oonaiderarse, no aola.ment.8
como una teorla cientt6ca. --esto es, como un sistema. de afirma.
cionee diepuestu de acuerdo eon ciertae reglae- 11ino máa bien
como uu eattuctura compleja oompueeta en J*1'te por &firm&cio.
nea del tipo mencionado, y en pan.e por actividad.ea hwn&nu.
Agrigueae que, en sorprendente oposición al de&&rrollo de lae
ci&nciaa emplriC88 en si mismu, la metodologla de esta.a cienci&e &
duras penM puetie· jactarse de algunoe resultados precisos comparables con los de aquéllaa a pesar de los grandee esfuerzoe que
han sido realizados. Incluso l& tarea preliminar de ol&rificación
de ooncept.os que intervienen en este dominio, no ha sido a4.n
llevada a cabo sa.tisfa.ctorie.mente. Por tanto, un curso de metodología de las cienci&B empírie&S d ebe tener un carácter muy diferente del de un curso de 16gica., y debe est.ar dedicad.o en gran
parte a la valoración y !& crit ica de t.ent&tivaa indeeiM.& y de esfuerroe infructuoaoe. Por eeta.e y ot ra.a razones, veo eee&e& juati.&caci6n r.~cional p&r& combinar la diecueión de la lógica. con la
met.odologfa de las ciencia.e empíricae en un mismo curso.
Algunas obser vacionee toda.vi& en lo que se refiere al orden
del libro y & su uso como texto univereitário.
El libro está. dividido en dos partes. La primera presenta una
introducción general a la lógie& y a Ja metodologl& de lu ciencias
deductivas; la segunda mueetra por medio de un ejemplQ_ concreto
el tipo de aplicación que la lógica y la. metodologla encuentran
en la. conatrucci6n de las toori&s matemátiC88, y a.si da. una opor·
tunidad pa.ra asimilar y profundizar el conoci.mient.o adquirido
PRD'ACJO DE LA EDICIÓN lNGU&l
en: la primera pariA!I. Cada ea.pftuJo eet& completado por ejercioioe
OOnTenient.ee. Eo la.e ootae 61 pie ee han co11.11ignado brevee indi·
cacionee hiatdricaa.
Loa pasajes, e incluso lee eeccionee enteras, que ee hallan comprendidos por asteriacos •••, tanto al comenzar como al finalizar,
cóntienen material má8 difioultoeo o presuponen familiaridad con
otros pasa.jea que contienen material de tal lndole; éstos pueden
omitirse ein comprometer la integridad de las partes subsiguientes.
F.eto mismo ee aplica & los ejercicioe cuyOB númeroa están precedidos por Mteriecos.
Me parece que el libro contiene material suficiente para. un
curao de un afto completo. Sin embargo, su ordena.miento permite
que ee lo use con el mismo provecho en cul'808 de medio afto. Si
&e lo usa como texto ps.r& un curso de lógica en un dcpnrtamento
d e ñloaofJa durante medio &i\o, sugiero el eatudio completo de la
primera parte, inclusive loe p88aje$ de mayor dificultad, omitiendo
entera.mente la eegund& p&rte. Si el libro se usa en un curso de
medio año en un departe.mento de matemática -por ejemplo.
sobre fundamentoe de Ja rna.tem!tica.- sugiero el estudio de amba..'l
partee del libro, con omisión de loe po.aa.jea dificultoS08.
En todo ca.so, deseo recalcar la importancia de resolver lM
ejercicios en forma completa y cuidad.can; porque ellos no sólo
facilitan la asimilación de loe ~nceptos y de los principios discut.idos, sino que tocan muchoe problemas, para cuya discusión no
Re ha presenta.do oportunidad en el texto.
Me sentirla. muy aa.tisfecho si eate libro contribuyera. a la ampli& difusión del conocimiento lógico. El curso de los acontecimientoa históricos ha reunido en este pals a loa má.a eminente8
representantes de la. lógica conte.mporánea, y ha creado de etite
modo condicioneti eapecialmente favorablea para. el desarrollo del
pensamiento lógico. Estu condiciones favorables pueden , por aupueato, ser fácilmente desequilibrada& por efecto de otros factores
más poderosos. Es obvio que el futuro de In. lógica, o.si como el
de toda ciencia teórie&, depende esencialmente de la normaliza.
ción de laa rel&ciones politicaa y eociales de Ja humanidad, y,
por tanto, depende de f&ctoree que eee&pan ILI control de los cstu.
diosoa. profe&onales. No tengo iluai.onea acerca. de que el pensamiento lógico, en particular, tenga. un efecto verdaderamente eaen-
••
cial en el proceeo de normaliución do la.e relaciones hume.na..;
pero creo que la amplia difuei6n del conocimiento de la lógica.
puede contribuir poaitiV&mente a la aceleración de ese proceeo.
Pues, por una parte, al dar a loa conceptoa un eignificado prt!Cieo
y uniforme en eu propio campo y al inaietir en la necesidad de precisión y uniformidad seiilejantee en todo otro terreno, la lógica
oonduoe a la posibilidad de un mejor entendimiento entre aquelloe
que tienen el deseo de lograrlo. Y, por otra parte, al perfeccionar
y agudiza.r IOl!I instrument,()I! del pensamiento, ella dee&rrolla el
aen.tido critico de loe hombres, y en consecuencia hace menoe pro·
ha.ble que éat.os se vean e:drariadoa por todoa loe pseudora.zonamientoe a los cualee se hallan inceea.ntemente expueetoa en la. &e·
tualidad en vari&11 partea del mundo.
Dejo ezpreeión de mi má.a agradecido reconocimiento al doctor
O. H:sur:u, quien llevó a. ca.bola. traducción al ingUe de la edición
alemana. Deseo también expresar mi mú cálida gratitud al doctor
A. HonT.t.DTi:i, al seflor L. K. Kiu.nltR, al profesor E. N.t.oKL,
al profesor W. V. QUIN1t, al eeik>r M. G. WHITJ:, y eepecialmente
al doctor J. C. C. McKINsu y al dodor P. P. WutNER, quienee
fueron insustituibles en sua coneejoe y en su asistencia, mientraa
yo preparaba la edición ingleaa. También a.gra.dezco mucho al
aeiior K. L. ABRow au ayuda en la lectur& de las pruebas.
Al/red Ta.ralci.
UniTenidad de Harv&rd, septiembre de 1940.
Tanto Ja segunda edición (1946) como la presente tercera
edición de este libro son, esencialmente, reproclucciones fotcigráficaa de la primera edición norteamericana, y no ha sido poa.ible
:t~u=~~~1e:rr:!ú~e ~m~~~~_:n y~nh:ca~~jo~~:':i1;~~
detallea. En pa.rticular, en la presente edición ae ha.n agregado
muchos ejercicios nuevoa que dan al lector mayor oportunidad de
tBbajar con el simbolismo lógico. Además, la Gula Bibliográ/W
PREl'ACIO DE U. BDICJÓN INGLESA
17
inoluida al 6.oeJ del libro ha aido completamente reriae.da y pueeta
al di&. Deeeo a.gradecer a lectol'e8 y crlticoe por sua lltilea observacionee; estoy eepeeie.lmente agradecido a I& proíeaora. l..oUISB
H. LDI (CKIN) por su aaiatencia en la. preparación de la segunda
edición, y & la. ee&orit& JUDrm Na y al profesor W. B. Prrr por
eu aaistencia en coneiión con la preeente edición. El profesor
L. HBNIIN ha. hecho muchas eugerenci&s valioeas que han eido
incorpor&d&e al nuevo texto de la Gv.'4 Bibliográfica.
A. T.
Universidad de California, Berkeley, agoato de 1964.
l..,RODUOCl6N A U. L6G!CA.-:1
DBL PRBPACIO DB LA EDICIÓ!I ORIGl!IAL
En la opinión de muchOl!I legos, la matemá.tica M ya hoy una
ciencia muerta: después de haber a.lea.a.za.do un alto grado de
deaa.rrollo, se ha petri6e&do en una rigid& peñección. F.a éeta.
una forma completa.mente errdnea de ver Ja eituación; hay muy
pocoe dominioa de la investigación cíentffica que estén p&MDdO
en la actualidad por un periodo d e deearrollo tan intenso oomo
la matemá tie&. Además, eate desarrollo ea extraordinariamente
variado: la. matemática está. e.xtendiendo su dominio en todas laa
direcciones poeiblea, ee halla creciendo en alto, en a.ncho y en profundidad.. Se halla creciendo en alto, pues sobre el terreno de eue
vieju teorías, que llevan cientos cuando no miles de a.fioe de desarrollo, aparecen nuevoe y nllevoa problema.e, y siempre ee logran
reaultadoe má.s perfectoa. Ella crece en ancho, porque eue métodoe
penetran en otrM rama.a de laa ciencias, mientras su dominio de
inveatig&eión abarca. en modo creciente clasee máa genera.lea de
fenómenos, y siempre ee incluyen nueve.e teoria.e en el amplio
clrculo de la& disciplinas matem!ticu. Y, finalmente, ella crece
en profundidad puesto que 8\18 fundamentos ae a.rr&iga.n cada vez
más firmemente, sue m6todoe "" perfeccionan y 1!11'1 principioe ee
estabiliza n.
H a eido mi intención, en etite libro, dar a aquellos lectores que
ae interesan por la matemá tie& oontempor&nea., sin t.ener una re..
lación activa con ella, una idea muy general eobre aquella tercera
dirección del desarrollo matemitioo, esto es, eu creci.m.iento en
profundidad. Mi objetivo es familia riz.ar al lector con los concepto&
máa import&ntes de una disciplina. que se conoce oomo lógica.
20
matemática y que ha aido creada para eetablecer con mayor 6rmez& y profundidad loa fundamentoe de la matemática: esta dia·
ciplina , a. peaar de au bren exieUccia de un siglo eeouo, ha alcanzado ya un alto grado de peñección y deeempel\a actualmente
un papel tal en la totalidad de nuestro conocimiento, que traaciende con amplitud los limites que originariamente se le asign&ron. Ha sido mi intención moeira.r que los conceptos de la. lógica
penetran el cuerpo integro de la matemática, que ellos comprenden como C&SO& especia.lee a todos loe conceptos específicamente
matemáticos, y que las leyes lógica.a se e.plica.o constantemente
---en forma consciente o inoon&cient&- en los razon&mientos matemáticos. Para fina.liz&r, he tnt.a4o de presentar loe principios
máa impottantee que intervienen en la conatruceión de la.a teoría.a
matemá.ticaa -principios que conatituyen el material de otra die·
ciplina., la matodotogfa de Ja ma.temá.tica- y moat r&r cómo comienzan a uaarae aquelloa principios en la. práctica.
No ha. aido fé.cil llev&r a cabo la totalidad de este pla.n a tr&Téa
de un libro relativa.mente pequeAo, y ain preeuponer de parte del
lector algún conocimiento matemático especializado o algún en·
t rena.miento en razonamientos de caricter abstracto. A lo largo
de todo el libro se ha. intentado combinar le. mayor inteligibilidad
poaible con la concisión necesaria, mediant.e un cuidado continuo
en evit&r errores o inexactitudes cientlfi.cae. Se ha usa.do un len·
guaje que se desvía. lo menos posible del lengua.je de la vida diaria..
Se ha. hecho muy poco uso del eimboliamo lógico eapecía.lizado,
aunque este a:imboliamo es un inap~ia.ble instrumento que noe
permite combinar la concieión con la praci.9ión, alejando en alto
grado la. poe.ibilidad de ambigiiedMie. y ma.lentendidoa, y es por
ta.nto de esencia.! utilidad en todalJ tae coMideracionee má.e autilea.
La idea de un tratamiento aiatemá.tico ha eido abandonada. deede
el principio. Entre la abundancia de cuestiones que ee presentan,
aólo una.a pocaa han podido discutirse en detalle, otras sólo pudieron ser tratadas superficialmente, mientraa que hay otr88 aún
que han debido pa8&1'8e enteramente por alto, con la. conciencia
de que la selección de loa tópiooe discutidoo preeent.arla inevitablemente un e&ré.cter má.e o menoa arbitrario. En a.quelloa casoe
en loa coa.les la ciencia contemponlnea no ha. tomado a.ún una.
posición definida y ofrece variaa &alucionee posibles e igualment.6
8EL PBEP.tCIO DE U DICIÓN ORIGINAL
21
oorrectu, no era posible preeente.r objetivamente todo.a loe puntot
de 'rieta oonocidol. 116 aido neceet.rio deoidine en fa.vor de alguno
de elloa. Al tomar tale. decisiones be teoid.o cuid&do primeramente
no de que reault&ra.n oonformee a. mía inclinacionea peraonalee,
sino m'8 bien de elegir UD método de solución que fuera lo m'8
Wnple poeible y que ee preetara a af mismo & UD modo popult.r
de presentación.
No tengo la. ilusión de haber obviado completamente estas y
otnta difi.cult&dee.
PRIMERA PARTE
ELEMENTOS DE LÓGICA
MÉTODO DEDUCTIVO
SOBRE BL OSO DB VARIABLES
1.
80
Constantes 1 Yarlablel
Toda toorfa ciontUio. ee un ei.etema de propoeicionee1 que
aceptan como verdaderae y que pueden llama.ne LEYES o
JC?ftrnCUDOS ~os
o eimp!emente
.A.SEBCIONES.
En la ma-
t.emi.tica. estas aeeroionee ee 8iguen una& de otra.e en un orden
definido de acuerdo con ciertoe principiOl!I que serán diacutJ.d06 en
detalle en el Capítulo VI, y por lo gener&l van acompai\ad&B por
consideraciones destinadas a eetableoer au validez. Cons.ideracionea de eet.e tipo 8EI llaman PBO'ltaAS (o DBMQSTRACIONES), y lae
aserciones est&blecid&8 por ellM reciben el nombre de TEOBEMA.e.
Entre l&B expresiones y stmboloe que intervienen en los teoremas y demostraciones matem&ticoa, distinguimos CONST.iliTES y
V.tRIABLES.
En )Q aritmética., por ejemplo, intervienen con&tantes t.alee
como tnúmtro••, •cero• (.0.), cunot (•h), uuma• (•+•), y muehae
T
•1>ropo
~" lambl~n lo•
utane
•enunciado•
IDUnci.ttvu. (0. c. 'I M. D.)
• Por •arltm~tlcu entendemoe aqul la parte de la matemf.tlea q111 H ocupe de le
lavt1tl1aeldndeluproptedMieaif11Mraleidenll~delMnlaelo11qentrenll-
26
otra.e. Ca.da uno de eetoa términos tiene un eignificado lijo que
permanece in&lterado en el cureo de laa consideraciones.
C.Omo va.ria.bles utilizamoe ordinaria.mente letras &iel&du, en
la. aritmétie& por ejemplo, laa letru minúeculaa del a.lfa.beto latino:
MJt, tbt, cct, ... , ut, 'Y'· m. En oposición a las constante&, las va.riablea no poseen significado propio. Así, la pregunta:
¿Tiene uro tal o cual propit.dadl
por ejemplo:
ae puede contestar siemp~ afirma.tiva. o nega.tiva.mente; la respueet& puede ser verdadera o falea, pero en todo ca.ao tendrá sentido. En cambio, una pregunta que afecta a .1:, como por ejemplo:
no puede contestarse Bignificatinmente.
En algunos textoa de matem6.tie& elemental, especialmente loa
menoe recientes, ocasionalmente ee encuentran formula.cionee que
sugieren que es posible a.tribuir significado independiente a. las
Y ariables. Se dice, en efecto, que los símbolos en, tyt, ... designan
ciertos números o magnitudes, aunque no múmeros const&ntem
(como loa designados por l&S consta.ntea .O., •h, ... ), eino loe Uamadoa múmeros variabl~ o también, tm.agnitudee variableat.
Afirmaciones de este tipo tienen au origen en un gra.ve malentendido. El múmero va.ria.ble. z no podría poseer ninguna. propiedad
determinada; no podría ser, por ejemplo, ni poeitivo, ni negativo,
ni igual a. cero; la.e propiedades de tal número varia.dan de caeo
en caso: dicho número seria positivo unas veces, negativo otras,
y otras igua.I a. cero". Pero tale.a objetos no los enoontr&mos en el
ros'/ de luoperaclonuconello•. Con frtt11eada.., 11Kel Unnlno •ilgebn.o eu h.i1N
41 •lr'ltm6Uca•. particularmente en l& tllllft.aD&& eec11nd&rl&. J!emo. preferido le p&i&br&
oerttmUlcu porque, en matemiUca "perlo<, el i.tr.ioo •il.pbra• M reMn'& par& I& U.orla •ucho ni'- e.peclal de Ju &eu&eloua &lpbr1.icu. (Bn los dltlmo• allot el Wrmloo
~b- h• tomado 11u ..,ntldo mu ••Piio, que Mn ea. 1ln erobar¡o, dlreren.te del de
-.rtt•ttc...) BI tolrmlno •nlimeroo te u..n. e n e.ta te:1to con el Mntldo que en meteU·
u.,. M ulrn• h&bltU&lmtnte al 1'rml110 •nd-ro mi•: u d&elr, comprende e la. nd-ro.11
11Koero.1yalotíracdona:rlot,&iolr&elaDdlor•lnll,,....lo11&!M,&la.poallha.11io.
Q&tttl\'a.,peron.oelo1ndmtro1lm~1eompl1J01.
INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA
mundo en modo s.lguno; eu u:iet.encia contradice a laa leyes fundamenta.lee de nuestro ~neamieoto. A la claaüicaci6n de loe eim·
bolos en const.aD.tea y variablea, no correaponde, puee, una claai.6.ca.ción análoga de los m1meroe.
z. Expresiones que oonUtHD vulablel: hmoion• proposloionalel
y d•lpath'u
En vista. de que la.a variablea no poaeen significad.o por sí mi.amas, &1.888 como:
no constituyen propoeició~ alguna, no obst.anto adoptar la forma
gramatical de éata.a; no expreean una afirmación determinad& y
no pueden ser confirmad.as ni nifutadaa. De la expresión:
se obtiene una propoeición 801amente cuando se reemplaza. en el!&
u• por una constante que designe un número determinado. Si
en vez de ~ ponemos en ella, por ejemplo, el símbolo ch, resultará una proposición verdad.era; ai, por el contrario, ponemos clj,t,
tendremos una proposición falsa. Un& expresión como éet&, que
contiene varia.bles y que al reemplazar éatae por constantes determinadas se convierte en una. propoeición, recibe el nombre de
FUNCIÓN PltOPOSIOION.il.. L:is matemá.tiooa no utilizan eat& eqir&Bión a guato, porque eatán acoetumbradoe a uaar el término
•función• con otro aignifie&do. Con máa fr&euencia ae aplica. en eate
sentido la ei::preaión COONDICIÓN•; regularmente, el matemático
designa por J'ÓRld:OL.&.S a laa funciones proposicionalee y proposiciones compuestas exclusivamente por iúmbolo11 matemá.ticoa (sin
palabras del lenguaje corriente). como, por ejemplo:
:e+y=5.
En lugar de d'unción proposicionalt, a veces diremoa simplern.ente cpropoaicióm, aunque eólo en iLquellos casos en que no
pueda deslizarse ningón malent.&ndido. El papel de lu variables
28
AÚ'l:Ell 'til81ll
se ha comparado acertadamente mucha.a veces con el de loa ea¡w.oioa va.cloa de loa Cueetfonarioe: Mf como un cueetionuio no tiene
un contenido determinado huta no llenar sua hueco., te.mpooo
una función proposicional se oonvíerte "en una propoeición haet&
no insertar constantes en loe lugares de las varia.bles. Si como re.
sultMio de reemplazar const&ntea en lugar de variables (y naturalmente, de oonst.antea iguales en lugar de variables igualea) ae
obtiene una. proposición verdader•, diremos que los objetos designados por esa.a oonstantea S.\TISl"A.CEN la función proposicional
dada. Por ejemplo, los nóme!'08 1, 2 y 21/1 sa.tisfacen la. función
propoi!icional:
:r<3,
y en ca.mbio los nómeroa S, 4 y:t1/1 no la aatief&.cen.
Junto a la.a funciones propoaicion&lee, merecen tam.bi4n at.en·
ción otraa erprea.ionea en laa que 6guran uimiemo v&rie.blea, laa
llamada.a rtrlfCIONES DE810N&TIVU O DJ:8C1Ul'TIV.ü: Mtu llOD 9J:·
preeionee que ee tr&mforman en deeignacionea de objetos al aue\i.
tuir Jaa variablea por constantes. Por ejemplo:
ee una función designe.tiv&, pues ae obtiene la designación de un
determina.do número (por ejemplo, el námero 6), si en ella. reempla.za.moe fZ' por una consta.nte e.rbitrari& que designe un nómero (por
ejemplo,t2t).
Entre laa funcionea deaigna.tivaa que apueoen en la aritm~tica,
tenemos en particular laa Uame.daa upree.ionea al¡ebraicaa que
eet.án compuesta.e por varia.blee, conetantee num6ricaa y loe IÚD·
bolot de laa cuatro operacionee aritmética.a fund&m.entalee, oomo,
por ejemplo:
z-y,
2 · (z+y-z).
Por el contrario, la.e ecu&eionea algebra.icaa, es decir, las fórmula.a
compuesta.e por dos expreeionea algebraicas ligadM por el rdJn.
bolo
son funciones propoeioiooalea. Como ee sabido, reapeoto
de lu ecuaciones ee ha creado an la. matem6.tica una terminología
•=•,
INTRODUOCIÓN A LA LÓGICA
29
particular: a las variables que apar-toen en una ecuación ee Jae
lla.ma. incógnitas y a loa nó.meroe que eat.iefa.cen a. la ecua.ción,
ro.ices de ésta. Por ejemplo, en la ecuación:
r+ 6 - s.:z:
Ja variable ~ es una incógnit.a y loa números 2 y 3 las rafees de
I& ecuación.
De lM variables u., cy., ... empleadas en aritmética, se dice
que ESTÁN EN LUOAR D.1: DESIONACJONES DE NÚMEROS, o bien que
los números son v "'LORES de esas vari&bles. Con ello se quiere
decir aproximadamente lo que eigue: un& función proposicional
que contiene loa símbolos u., .y., ... , ee tranaforma en una proposición si dichoo símbolos se reemplu.a.n por conet.ant.ee que deeignan
números (y no por e:ipreeiones que d esignan operacionee con nóm&ros , relaciones entre mlmeros, o bien objeto11 que eatá.n fuera del
campo de la aritmética, como oon6guraciones geométrica.e, ani·
males, plantas, etc.). Análogamente, las variables que aparecen
en geometria están en lu8ar de designaciones de puntos y de figur88
geométricas. También puede d~inc que las funciones designativas
que se presentan en aritmética están en lugar de designaciones de
números. A veces se dice simplemente que los símbolos u., tyt, ... y
las funciones designativu construida.a con ellos, denot&n númeroe
o son designaciones de números, pero esto es sola.mente una terminologla abrevia.da.
3. Formacl6a de propo11&1one1 por medio de variables.
Proposiciones uah'tnales y ulsieoclales
Aparte del reemplazo de varia.ble! por const.antea hay aún
otro ca.mino por el cual pueden obtenerse proposiciones a partir de
funciones proposicionales. Conaideremoa Ja fórmula:
z+y=y + z.
Se trata. de una. función propoeicional que contiene dos va.ria.
blea, t.n e •!P y que es sa.tiafecha por cu&lquier par arbitrario de
30
ALJ'REO TARSKI
números; ei colocamoe oooatultee num6ricae our.Jeequ.ier& en luga.r
de tZt y de tyt, obtenemoa eiempre una fórmula verdadera.. Expre.
Amos brevemente eate hecho del aiguiente modo:
para kJdo número :z: y kJdo númt:ro y,
:i:
+y-
y
+ :z:.
r.. expresión as{ obtenida ea ya un& propoeición genuina y,
m'8
aún, proposición verdadera; reconocemos en ella. a. una. de las leyee
fundamento.les de la &ritmética, la lla.mada ley conmutativa de la
adición. Los más importantea teorema.a de la matem&tica. se formulan análogamente, en eapooial, tod&& las llamada.a PROPOSICIOM&S UNIV!:lt8A.LES O PROPOSICIONES DE OARÁCTER UNIVERSAL, las
cua.lee afirman que objetos arbitrarios de cierta categoría. (por
ejemplo: en el caao de la aritmética., números arbitrarios) tienen t&I
y tal propiedad. Debe notarse que en Ja formulación de propoaicionee univerealee se omite a menudo la.frue «para objtlof (o númtroa}
cvak,,quÑ=ra z, y, ...t y ~lla. debe ínaerta.rse mentalmente; ul, por
ejemplo, la ley conmutativa. de la suma puede da.ne simplemente
en la siguiente forma:
a:+y - y+:t.
t.&ta es un& costumbre bastante difundid&, a. la que también noe
atendremos nosotros en el cureo de la.e oonsidera.cíones posteriores.
C.Onaideremoe ahora la función proposícíon&l:
z > y+l.
Eeta fórmula no ee eatísfecba por cualquier par de n'1meroe: en
el cuo de coloca.r, por ejemplo, t.3• en lug&r de ezt y t4• en lugar
de tyt, ae obtiene una faleede.d:
3 > 4 + l.
Por conaiguiente, ai decimoe:
para número.t cualuquMra z t y, z > y
+ 1,
obt.enemoe una proposición indudablemente Bigní.fie&tiva, pero,
evidentemente, falsa. Por otra. parte, &s:isten paree de n'1meroe que
31
INT!lODUCCIÓN A LA LÓGICA.
satisfacen la función propoaicional oonaiderada: por ejemplo, el
result&do de reemplazar
por ... e ,,. por
e.s la fórmula ver.
da.dera:
•2•
u•
'>2 +l.
Esto se puede expresar brevemente como sigue:
para algunos númuoa z e y, z >y+ l,
o utilizando una forma de uso frecuente:
uiaUn númeroa z e g talu qm :r
>y+
l.
Laa expreaiones índicadaa &0n propo.sicíone.s verdader&l!; son
ejemplos de PBOPOSICIONIS EXISTENCIA.LES o PROPOSICIONES DE
c¿úCTER &XIBTENCUL, que afirman la existencia de objetoa (números, por ejemplo), con una detennínada propiedad.
Con ayuda de los métodos descritoa ee pueden formar propoaicionee p&rtiendo de cualquier función proposicional do.da; sin emb1Lrgo,
el obtener una. proposición verdadera o fa!&& depende del contenido
de !& función propoeiciona.l. El ejemplo siguiente puede servir de
ilustración. La. fórmula:
no ea satisfecha. por ningán námero; por lo ta.oto, si le antepone·
moa la.a palabras tpara t:ual.quier 1uinuro :n o 'SU:iste un núnu:ro z
tal qiu•, llegaremos siempre & un& proposición falsa..
En opoeición, tant:o a Ju propoaicionee univenalee como a
las exiatencialee, laa propoeicionee que no contienen variablea,
oomo por ejemplo:
3 + 2 ~ 2 + 3,
!lerán llamadas PBOPOSICIONU 81lf0l]U.RES. F.at.a. claaifica.ción no
ea exh&U8tiva, puee existen mucbaa proposiciones que no se pueden
encuadrar en ninguna de las tl'e8 cat.egorll!l.B indicadas. Como ejem·
plo tenemos la siguiente proposición:
para númuor cuaú,,quUra % e 71, tzi&te un númt1°o z tal que
Z=
y+z.
32
AinED 1'.tJtSKI
lM propoeicioooe de eete tipo eon a vecee Uamadae PROPOSICIO?JES
UJSTltNCIALU CONDIOJONADAS (para diferenciarlas de la.a propo·
eiciones existencialee conaider&du huta ahora, a. laa que podemoe
Ua.ma.r BXISTJ:NCULES •BSOLUTAB): ellas afirman la existencia. de
n6meros poseedores de una cierta propiedad, pero bajo la condición que ciertos otro!!!! nómeroe exilltan.
4.
Cuantificadores unlveraal J existencial; variables
Ubne 7 ltgaüs
Frll8e8 tAlee como:
para todo~ y todo y, ..
tria~n
z , y, ..• tak8 que
86 llaman CUANTIFICADORES; la primera. frase es un CUANTIFICADOR UNIVEBU.L y la. última es un CUANTIFICADOR EXISTENCIAL.
Los cuantificadores se conocen también como Ol'ERADORES; hay,
ein embargo, expresiones que se cuentan entre los operadores y
que son diferentes de los cuanti6.cadore11. En la. sección precedente
hemos tra.t.ado de explicar el significado de ambos cua.ntifica.dorea.
Para. hacer resa.lt&r su importancia puede decirse que sólo mediante el empleo explicito o implícito de operadores una ell:preaión
que contiene variables puede apareoer como propoaición, esto ea,
como el e11unciado de une. ~ción bien determinad&. Sin la ayuda
de operad.oree, quedaría. ell:cluido el uao de varia.blea en la. formu·
la.ción de loa teoremaa matemé.ticoe.
En el lengua.je corriente no ee b~ uso, por lo general, de
vari&bles, y por eete motivo W.mbién los cuanti.fica.dores eoo
innecesarios. En cambio, son de U80 frecuente cierta.e palabraa
que están estrechamente relacionadaa con los cua.ntificadorea;
eaaa pal&bra.a son, entre otraa: tcadm, dodot, tun cMrlot, talgúnt.
Par& aclarar en qué con.siete la relación entre dich&e paJabr&a
y los cuantificadores, obaervemoa que ezpresionee como lu
siguientee:
UITJlODUCCIÓH A LA. l.OOICA
tienen aproximada.mente el mismo aeotido que eata.s ot.ru expresiones, formadas con ayuda. de cuantifie&dorea:
y
erirle :r; taJ qiu :e u hombre y :z: u sabio,
respectivamente.
Por brevedad, loa cuant.ificadoree son reempla.zadoe
&
veoe.
por erpreeionea eimbólieu. Por ejemplo, podemoa convenir que
en lugar de:
y do
e:ri..JtenolYjdoa (011úmeroa)
86
%,
1J, •••
talu~
escriban las siguientes expresiones aimbólicaa:
A
s.r....
E
......
~
reepectiva.meote. (Entendi~od09e que la.a funciooee propoalciona.lee que .siguen & loa cua.ntiflcadoree deben colocane entre ~
rénteais.) De a.cuerdo con eeta conTencíón, el enuneiado que ae
dio al fina.l.i.zar la. aección pre<:edente oomo ejemplo de propoeición
e:tlstencial condiciona.da, toma la aíguiente forma:
(1)
Una. función propoeiciona.l en la que a.parecen las v&riablea
u., cyt, w, ... , ae transforma. automáticamente en una proposi·
ción cuando .e le antepone uno o varioa operad.ores que contengan
IHTBODVCCIÓH .. 14 LÓGICA.-1
a. todu aquella.e vari&blee. Si, en c..mblo, a1guna de laa •ari&blea
Do aparece entre loe operad.oMe, la referida ezpreeióo cootintl•
aiendo una. fw:ición proposicional ain llegar a eer una proposición.
Por ejemplo, la. fórmula:
:r:=v+z
98
convierte en una. proposición si ae le antepone una de lu fruee:
para n1úmwoa cualuquitra :r:, y, z;
uiaeen númm:M :r:, 11. z talu qiu,;
pira
'11
númuoa cualt.aquiem :r: ~ y, ui.tte un número z tal qut;
otra.a aim.ila.ree. Pero si .timplemente pre6jamoe el cuantificador:
ezUU un número z lal que o
~
&'60 no obtenemoa una proposición; la expreeíón lograda:
(II)
ea, aio embargo, una. función proposicional, pues ee convertiri
en una. proposición si reempl&z&moe c. e tyt por con.et.ante. y
dejamoe u:. inalterada, o bien anteponiendo a dicha expresión un
cuantificador adecuado, como, por ejemplo:
para 7'ÚmttO.t ~ierc z "-y o
t'.·
Con ett.o ee ve que entre lu v&riablee que intervienen en un.
fwloióo propoeicional pued.eo distinguirte doe grupoe: lu de primera o1ue - llamad.u V~LSB Ll>B.U o PBOPU&- Ntá.n ca.raotem.adaa por el hecho de que eu pre98D.ci& e& el factor decisivo
pan que Wl& expresión dada &ea función proposicional y no pro·
posición. Para obtener una proposición partiendo de una función
proposicional, deberán 8118tituiree eat.aa variables por constante. o
uiteponer a la función operadoree que contengan a dicha.a varia.bles; laa J'el!!Jtantea varia.bles, por el oontn.rio -las llamadu v ....
&LU!ILU LIQ.i.Dil o·.il'ilRNTD-- no varia.o en una tra.neformación
d6 etri& lndole. Por ejemplo, en la función propoeicionaJ (II) conai-
INTaODUCC:tÓH A LA LÓOlCA
derad.& ante. en e «yt eon variablet li~ y • •pareo& doe VCOlll
oomo variable ligada. Por otra pan.e, la upl'Mión (1) • una pro.
posición y por to tanto oontiene eolamente variablee lipdu.
•Depende por oompteto de la eetruotm& de la fu.nción propoaioional, y mti.a preoie&mente de la preeenci& y de la posición fe
loe oper&dol'&l!I, que una v&riable de dicha función proposicioñal
181. libre o ligad&. Eeto puede veree mejor eli un ejemplo oonoreto.
Conaideremoe la siguiente función proposicional:
<III)
ps1'G todo n.únwo :z:, n z
eriak U7'
ft.Úmtro
Z
= o o y .,. o, etlloftcu
fal pe
:Z:
= y•z.
F.et.a función comienza oon un oa&Dtüieador univeruJ qne oontime
& la variable en, y por lo tanto ~ variable, que a.parece trel
veoee n la f'lmción, 6gar& en todoe eeoa lug&re1 oomo variable
ligada; en el primer luga.r ell& forme. parte del cuut ifloador,
mientru que en loe otro11 doa lug&l"M, 11e dice qne ella e1tá. LIO•D•
roa J:L 017.ilfTil'IO.ADOB. La aituación de la variable e:• ee pareoida.
Porque, aunque el cuantificador inicial de (111) no contiene a. est.a
va.ria.ble, pod.emoe enoontr&r, ein embargo, una. función propoaioio-nal que forma. pa.rte de (III) y que comienza. con un cuanti.fioador
en el cual se hall& la va.ria.ble m; eea función parcial es la aiguiente:
(IV)
ui8U un nt1mtro z lal ~ :z: = y· z.
Loe doe lugan11 de la función (111) en loa oualea 6gon la. va.riable
en pertenecen a 1& función pa.rciaJ (IV). Por eet.a razón deoim.09
que toda.e lae preeenta.cionea de ta en la funoió1:1. (111) eon lig&dae;
en el primer lugar forma parte del cuantificador existencial y en
el l!legllndo lugar eetá. ligada por eee cuantificador. En cuanto & l&
varia.ble~' que también a.parece en (Ill), vemoe que no hay ni.ngón cuantificador en (ill) que oontenga a. esa. variable, y por lo
tanto ella 6gur& en (111) dos veces como va.ri&ble libre.
El hecho de que 101 cue.ntifi.c&doree lig&n v&ri&blee ---ee decir,
que elloe convierten las variablea libree en ligadas dentro de la
función proposicional que lOB aigue-- constituye una propiedad
eeencial de loe cuantificadores. & conocen varias otra.e expreaionea
QWI tienen una propiedad a.nl.lop; con algunas de eU.. noe enoon-
36
tr&remoiJ más adelante (en le.a Seccionea 20 y 22), mientrM que
&lgunae otru -talee eomo, por ejemplo, el aigno de iotegraldeeempe&.n un papel importante en la. matemif.tica auperior. La
palabra •opera.don ea el término general que ae u&& para deeignar
a toda& Ju expresionee que tienen eet.& propiedad.•
5. La Importancia de _lu nrtables en maiemáUoa
Como hemOl!I visto en la Sección 3, IM va.ria.bles deeempefian
un papel fundamental en l& formulación de loa teorema& matem6,.
tiooe. De lo dicho no se sigue, e.in embargo, que en principio eea
impoeible formular teonmas ein usar varia.blee. Pero en la. práctica,
talee formulacionee suelen preeent&r enormee dificult&dee, puee
propoaicionee relativa.mente eencillae uumirlan un. forma
COIXI·
plioada y oecura. C.Omo ilustra.ción oonaideremoe el siguiente teo.
rema de la. aritmética:
paranúmeroacualuquierazey,z'-'11 =
(z-y)·(~
+ :z:y + yl).
Sin ayuda de ve.ria.bles podemoa enunci&rlo diciendo:
ta di/ertncia cU las Urum.r poknciaa de dos númeroa cu.aluquW!ro
u igvnl al producto clt la dJftrtneia de eatoa 1i.timuo.t por una auma
tk tru .aumandoa, d primuo de loa cualu u el cuadrado dd primer
fttimtrO, el a~gundo d producto tk amboa y el tercero el cuadrad.o tkl
Np.ndo
AÚmtro.
.
Las variables poseen todavía otra significación, eeeoci.&l desde
el punto de viet& de la economfa del penaamieoto, para la.e demOBtr&cionee matemáticae. El lector lo comprender' f~ente,
eí ínteota prescindir de las variablee en cualquier demoetración
de 1aa que encuentre en el cureo de laa ooneideraciooee poeteriorea.
Debe obeervane que eetu demostraciones eoo mucho máe aenci.
1lu que lOB razonamiento& habituales que aparecen en dietintoe
dominioe de la matemé.tica. euperior; ei 119 intenta deeeovoh·er
eetce r&zona.mieotos sin l& ayuda de variables 119 presentarán difi.
cult&dea ooneidera.blee. Toda.vía. debemos advertir que a la introducción de laa vari&blee. debemoe el deu.rrollo de un m6todo tan
IN'fAObUCCIÓN A LA LÓQICA
81
fructífero p•.r& la. aolución de problemu matemáticos, como N el
método de lu ecua.cionee. Se puede a&rma.r, ein má.e. que la inv&nción de lae variables conetituye un punto culmine.nte en la
historia de la m&temá.tica: con estoe eimbolos el hombre ha adquirido un arma que he. allanado el camino para el inmenso deea.rrollo
de la. ciencia ma.temá.tica y para la aolidificación de slllJ funda·
mentos lógicosi,
BJerelelos
l. ¡Cuáles de las siguientes e:rpreeiones eon funcionee propoaicionalee y cuáles funeionee deeignat iTu!
(a.) :e u divilibk por 3,
(b) lo wma tk k>f fUÍmtf'OI z y 2,
(o) y'-,0,
(d)
,,. ~
(e)
:e + 2 <
...
y+ 3,
if)
I•+ 3)-ly + 6),
(g)
(h)
la madre iU :i: y z,
:i: ea la madre tk z.
2. Indice.r ejempl08 de funciones propoaicionales y designa.tivu del campo de la geomet:rf&.
3. Laa funcione& propoaieiona.lee que aparecen en la. a.ritmj.
tica. y que eólo contienen tul& variable (&unque 6eta puede intervenir, como ee na.tural, en varioa lugares de la función dada) ee
pueden dividir en tres categorfaa:
(i) funoionee que se satisfacen para todo número; (ü ) fun.
eionea que no se 11&tisfac.eo p&r& ningún número; (iii) funcioDftl
' 1- nrlablllll .., aUU.U.rou y a 111. LA uu.oed&d por lot 111atem•t1cw J lds!COI frie10.. a11uque ldlo IR clrc11mtanclu •PMl.alie9 p _ , . alillado-. Al comlenso del dalo :u·u.
prtlldp&l.meut.e b&Jo la 1111111ucla del -&am6Uoo tr.uc6a F. v11u (lHCl-1801), • co..
a tnbajar idlt.emf.t.leament. COll YU'IM>lfll y a 111&!'1&1 CODlllt.lnt.meRt.I •R coa·
aJO..radouumat.em'tlcu.Sllloallu.aldclaJ1lo1n:,debldoalah1trod.uccldRd1laaodóll
d1eU.11.U4e&dor, ft111lpapel d11&1nl1IMM en 11 lencuJeellntllco J ..~aWIM
la formu.l&d6n de teo...,m.u mat.emtttoi loU.l•H "" -011ocldo. Bito 1'11• en ¡n.11 pt.ria
el .U.to da! brtll.ate 16-¡leo J 1161oto aoltM-rtcuo C•. 8. Pmaft (181~111').
••D&d
qu,e ee eatisf'aoen para &lgunoe námeroe y no ee eatWa.oea pat6
º-·
iA odl de e.tu cate¡oriae pertenecen laa funcionea propoci.
oionalee aiguientea:
(a) z+2=5+z,
(b) .-~49,
(o) (y+2)·(y-2)<!1'.
(d) y+24>36,
(e) z=06.:i:<06z>0,
(f) •+24>•+361
4. Indicar ejemploe de teoremaa univmu.J.ea, erirteacialee
abeolutoa y es:ist«acialee oondicionadoe, del campo de la aritm6t.ie& y de la. geometría.
6.
Si a la función proposicional:
ae le &nteponen cu&ntificad.ores, ae podrán forma.r oon ella dia·
t.i.nt&I proposiciones; por ejemplo:
p:aro n.úmuoa cualuquiua. :re y, .:i: >y;
para un •timero eualquiera %, eriaU UA número y tal giu :r > y,
t.riree "" JlÚf!Uf"O y tal giu poro todo
JlÚJIW'O
:z:, :z: >y.
Formular toda.e estM proposiciooee (eei.e en total) y ertudiar
ou6lee de ellM aon verdaderu.
6. Repftue el Ejercicio fi oon 1.. funciones propoaicionale11
aiguientee:
y
:iudf'IJd.recüy
(suponiendo que en Mt& ó.lti.ma laa nriablee et y tyt eetán en
lugar de nombres de pereona.t1}.
IN'T&ODUCCIÓH A LA. LÓGICA
89
7. Indica.r una proposición dol lenguaje oorrient(I que t.enp
al milmo ligni&c.a.do que:
y no contenga ni cu&nti6cador'88 ni variablee.
8.
Sustitúy886 la propoeiCtón:
algu1UJ8 Hrpit:ftlu Ion.
tie:MnOSal
por otra con el mismo eignifie&do formulada. oon oue.ntiñca.d.orm
y va.ria.bles.
9. . DietlngaNA lae v&ri&blea libTM y ligad.u en lu eigaJentee
expres1onm:
(&) :t M divi.nbtt por y;
(b) paratodo:t, :t-y = z +(-y) ;
(e) ai :t<z, enlonce.u.ri1Uvn númuoyealqm :t<yey<z;
(d) para un número CMal.quMwa y, ft y >O, entona.a t:ri.u u11
n.úmero.; tal rpu :t - y•z,·
(e) 1i :t""" yt e y> O, ~ntonu.t para todo número%, z>-zl:
(f) ai eziitt un núnuro y tal qm :t >y', entonu.i ptira cualquier núnuro %, z > - %1 .
Formula.r lM anteriores u.p~onee reemplua.ndo loa OU&D.tifioa.
dol'M por loa almboloa introducidoe ian la Sección 4.
•10. Si en la. función proposicional (e) del ejercicio precedente
reemplazamoa &mb&a preaenta.cionee de la. v&ri&ble et por tyt, oh·
tenem08 un& expresión en la. cual tyt tiene algun&a preeentaaionee
libree y otra.a ligadae; ¡en qué lugares y por qu61
(En viat& de &lgunaa dificuU.adea al manejar expresiones en lae
cu&lee la. m.iem& varia.ble se preeenta libre y ligad&, a.Igunoe lógiooa
preS.eren evitar oomplet&mente el uao de t&lea expre111iouea y no
tratarlas como funcionea propoeioion&lee.)
••
•11. Determlneso de u.ne. manera general, bajo qué oondicionee una variable se presenta libre o ligada. en un cierto lug&r de
una. función propoeicional.
12. iQué ndmeroe &&tiefaoen la función propoeicion&l:
ui.tte un número y tal que z - y',
y qué númeroe a&tisfacen:
ezi.rteunAúmeroytalqiu z.y=l 1
•13, Además de l<MI símbolos de cuantifica.dores introducidos
en la Sección 4, introduciremoe en el Ct.pftulo II los slmboloa •-•,
•A•, tV•,
y u-tt para reemplaur respectivamente a. la.e ei·
guieatee e:s.preaionee del lenguaje corriente: nao• (mo u tl ea.to
t¡UQ), tyt, tOt, en ... , ~ ...• y '6Í, y a6f,o f'i•. Tradózcanee lu
siguientes fórmulas al lenguaje corriente:
•-+•
(a)
~
(b)
~[(O
<zl\z < y)I\ - (z+ l - y)],
(e)
~. [:z:
+y -
[-(:t<y)+-+(z=yVy<z)],
4-+ ~ [z
< z 1\ z <y]].
Recfprooamente, expréaen.ae lu aiguientee funciones propoeicionaJ.ee en afmbol011 lógico11:
(d)
para todo número z erilte" númtf'Ora y, z tal.u que y
<zy
z<z,
(e) pani1o4oz, zl+6 -= 6y n,y"6f.o.ti, z = 2óz = 3,
(f) uWkn ·z it y tala que z < y y no ea el ca.90 rpu para
todoz, z +2< y +2.
Seft.6leDSe en cada una de lA8 Cuncionee: propoeiciona.lea (&) - (f)
qu4§ v&riablee se presentan libree y cuáles ligadas. Si a.Igunu v&·
ria.blea ee presentan librea, deil88 ejemplos, siempre que sea posible,
de n-ómeros que sa.tisfacen y que no e&tisfacen la. función propoaicional. Pa.ra aquellas funcionea propoaicionalea que son propoai·
cionea, determ.ineee li aon Tetdaderaa o falaaa.
11
SOBRE EL CALCULO PROPOSICIONAL
8. Constantes. lógicas; la 16glca anttgua y la nueva ló¡lea
Las const.nntea considerada.s en toda. teoría cient.ffie& pueden el&·
JJifica.rse en dos grandCl!I grupos. El primero consta de loe términos
eapecificos de esa teoría.. Si se trato, por ejemplo, de la aritmética,
ésta.a serán términos que de8ign~ nómeros &isla.dos o claaes de
números, o relaciones entre númeroe, operaciones con nómeroa,
etcétera; entre otrM, perteneced.o a éstas las constantes que hemoe
indicado en la Sección l a modo de ejemplos. Ahora bien, en loa
enunciados aritméticos aparecen, ademá.a, términos de un ca.ráct.er mucho más general, a. saber, términos que encontramos 00118·
ta.ntemente, tanto en la vida. cottdiana. como en t.odos los dominios
posiblea de la ciencia. y que constituyen un medio imprescindible
para. la. comunica.ei6n del pensamiento humano y para lleva.r a
cabo ra.zon&mientos en cue.Jquier campo; ~ ~st.aa pertenecen ex·
presiones ta.tes como tM•, .y., .ot, tt.at, teadat, talgúm y otraa
varia.a. He.y una. diaciplina particular, la. LÓGIC..,, oomiderada
como ha.se de toda.a las demáii ciencias, que 11e ocupa de preoiar
el Bigníficado de t&lea términoe y de establecer lu leyee máe generales en que ellos intervienen.
Desde ha.ce ya. mucho tiempo la. lógica. ee ha. constituido como
una. ciencia autónoma., antes incluso que I& aritmética. y la geometrfa. Sin embe.rgo, s6lo en loe óltimos tiempos --después de un
largo periodo de eat.anca.miento caei absoluto- he. empezado eeta
disciplina a deearrolla.J'86 intemivamente, experimentando una
42
traneformación oomplet& y adoptando un carácter semejante 61. de
una diBciplina matemática; en eete nuevo aepecto ee U&ma t.ÓOIO&
Jü.TBIÚ.TJC¿ o DBDUOTIV¿ o SDIBÓLJCA, y a vecee también LO·
ofmci.&.. LA nueva. lógica sobrepasa en muchoe aepectos & la &ntigua -no sólo a e&u&& de la eolidez de eua fundamentoe y de la
peñección de loe métodoo empleados en su construcción, Bino
ant.e todo debido a la. riquM.& en oonceptoe inveetiga.d.oe y teoremas
b&Ua.doa. La lógica. tradicional oonat.ituye sólo una parte de la
nueva, parte que desde el punto de viat& de IM necesidades de
otraa ciencias, en pe.rticular de la matem&.tica., ea totalmente insignificante. Aaf, en el cuno de estAl libro tendremos pocas oportunidad.ea de extraer material de la lógica tradicional1 •
7. Bl oiloalo pr0Po11olonal. lfepol6D de propotJ.olon•;
oonJuol6n J CÜIJ1Ulcl6D de proposlclon•
Entre loe tirminoe de caráoter lógico, se e&racteriu un pequelio grupo compuesto por expresiones como mot, tyt, «ot,
tn ... ,
atoncu...t. Toda.a ella& eon biM conocida.e para noeotroa del
lengua.je corriente; con su ayuda ae forma.n proposiciones com.
puestas p&rtiendo de propoeicionea &imples. En la. gram!.tioa 88
encuentran entre lu ll&madaa conjunciones. Por este motivo, la
preeencia de l&a citadas ezpreeíonee no constituye propied&d eap&cl6c.a de ninguna. ciencia. p&rticul&r. Establecer el sentido y ueo
de mtoe términoe ea la ta.rea de la pa.rte más elemental y fund&ment&l de la lógica., Ua.ma.da oil.o01.0 PBOP08IOIONAL, OÜ.Ot7LO
IElfTDou..t. o (menoe felizmente) noW. DE u DBDtJOOIÓN1.
rae cr'M4a por AIJITÓftLH,
~ 11111
l"f .at.
•J>&nice•pellMdor sr'lelllO del 111\o o.....-.
{8844U). , ... .crtW. ~
nouD.ldo. . . IU DbrD
4e le 1611.ce mWIMUcl. dltt.mot1 cOMldeiw 111 sra• G.IÓ«lfo 1 m..WmiUoo
D
:n n , o. w. LSIUUI (1$(0- 171"). 81D •mb•flO. lu o bru lóCICU d4
. . el dMarrollo ulterior 4e IN IDTMil1M!lb
oL'fk!.o.
•1
~~~~
,.u, Loa·
tDl&obra
au ..SLL:
INfaoDuoc16N A LA LÓGICA
I>lacutiremoe ahora el aigniñcedo de loe t6rm.inoa m'8 impor.
tantee del cá.lculo propoeicional.
Con ayuda de la palabra. tnot ee forma la"NBO.a..OIÓN de cualquier
proposición; doa proposiciones, la primera de la.e cuales ee la nega.
oión de la segunda., se llaman OOl'fTB.il>l(7J'()BUl!!I. En el cilculo pro·
poeioion&l la p&labra mot se antepone & laa propo8icionea, mientras
que en el lenguaje ordin&ri.o es corriente colocarla con el verbo;
pero si se deseara coloe&rla. a.1 principio de la. proposición, deben
aer reemplazada por la. frase mo u tl mao qMU. As.i, por ejemplo,
la negación de la. proposición:
l u
Uft. ftÚnw"O
politfoo
dirá lo siguiente:
l no u un número politivo,
o también:
no u tl CtUO qut l
HtJ
un número pori#oo.
Cuando enunci&moe l& negación de una propoeición, e%pnsa.moe
oon ello la idea de que d.ioha proposición es fa.Isa.. Si la. propoeicióo
• efectivamente falsa., su negación es verdadera, mientras que
en C&80 contrario su negación ea falsa..
L& unión de doe (o m&e) propoe.icionee por la palabra tyt reen la llamada OONJUNCIÓN o PRODUCTO LÓGICO de propoai·
cionea. Laa propoBicionm unidas de eeta manera eon llam.adae
11ulta
JO.EllllBOQ (O OOMPONENTES) D• U. OONJtnfOIÓN O l'.1.(7J'()BK.13 DEL
no:Dtr(71'() 1.óo100. Si, por ejemplo, la.e propoeiciones:
2U
Uft. ft.úmero
2
llOD
unidas de esta. manera.,
11&
<
poftli'llO
3,
obtiene la conjunción:
2u un11o1Í1Mt"O pontioo y 2
< 3.
Afirmar la conjunción de doe proposi.cionea equivale a &firmar
que amba.e aon verdadera.e. Si 6sUi ea en realidad el oaao, entonoea
la conjunción ea verdadera; pero ei al meno11 una de tu componen·
tea ea falaa, entonoee toda. 1a conjunción ee f&laa.
Con la unión de propoticionee por la palabra co- ee obtiene
Ja DIBTVNOIÓN de proposicionee, llamad& también SUlli LÓOmi.;
Ju propoeicionee que forman la disyunción eon lla.madae llDl!ilBBOS (o COllPONBNTBS) DB LA DlSYUNOIÓN o 8U1U.ND08 DlC U
S'OlllA. LÓGICA., En el lenguaje corriente, la. palabra.
posee al
menos doa aigni.fica.oi.onee diatintaa. En el Ue.mado SBNTIDO NO
Jt:Z:OLUSIVO, la disyunción de doe propoaicionee expresa. simple-'
to•
mente que al menos un& de eUae ee verdadera., sin decir nada
10bre si a.mbaa son verdaderaa eimultá.nea.mente. En el segundo
aentido, llamado EXCLUSIVO, una. disyunción afirma., en cambio,
que una de las proposiciones ea verdadera. y la otra., por el contr&·
rio, fa.la&. SupongNnoe encontru en una. librería el a.nuncio:
Loa parroquianoa qiu uan 'P'ofuoru o utudim en 141
uGUda8 auperioru «mín /~ con un ducuenta,
to•
la pala.br&
ee U8&, ain duda., en eu primera. acepción, pueeto
que la rebaja. no se le niega & ·toe profesorea que al miemo tiempo
e&t.ud.ien en lu eeouelae superionB. En ca.mbio, ei al ruego de un
niAo de llevarlo de pa.eeo por 1a ma.da.na. y al teatro por la. ta.rde,
respondemos:
no, 1&oy inmoa tU ptJMO, o al Wltro,
nos eervimoe de la. pa.la.bra. co- &n 1u segunda. acepción, y& que
aolament.e penaa.moa a.tender a uno de los ruegoa. En la. lógie&
y en la. ma.temAtie& la. palabra _,, 89 usa. eiempre en el sentido
DO e:z:cluaivo; la. disyunción de doe propoaiciont.a ee oomiderad.a
verdadera si ambos o por lo menOll uno de 11ns m.iembroa e1
vfll'd.adero, y en Ca80 oonk&rio es oonsiderada fa.lea. Aei, por
ejemplo, puede afirma.ne:
aun 11&biendo que existen n6meros que son al mismo tiempo
poeitivoe y menorea que 3. Para evitar posibles ma.lentend.idoa
11erf. conveniente, tanto en el lengua.je corriente como en el cien·
tUioo, uar la pa.la.bra co• solamente en el primer sentido, y reem-
..
lNTl«IDUCCIÓN A LA LÓGICA.
plau.rla por la.
ei::p~ón
comput1116 t0 tMA... ,
• deeee emplearla. en el segundo aentido.
oM
.••• cuando
•Inclueo ai noa concretamos e JOB caao11 en que la. palabra '°'
aparece en su primer significado, encontramos muy not&blea diferenciaa entre eua U808 en el lenguaje diario y en lógica.. En el
ltmguaje copiún dos proposicionee ae unen mediante la palabra a
cuando ellaa tienen algó.n parenteeoo en forma y contenido. (Lo
mismo ee a.plica, aunque quid. en menor grado, al uao de la pala-·
br& tyt.) La. naturaleza de esta. conexión no es bien clara., y la.
deecripción y el a.ná.lieis detallado de la. mi.ama. ttopeza.rfa con
oonsiderablee dificultades. De cualquier modo, nadie que no estA
familiarizado con el lengua.je de la lógica oontem.porb.ea ae inolinaria a. conaiderar como expresión significativa, y menos a.ón, a
aceptar como verdacl.era, un. &... oomo la siguiente:
2·2 = lió Nuna Yorlcu una ciudad grandt:.
Además, el uso de la palabra «l" en el lengua.je cotidiano ae halla
in8uido por ciertos fe.ctoree de carioter paioológico. Por lo general,
afirmamos la disyunción de dos propoei.cionee sólo ei creem.oa que
una de ellas ea verdadera. pero ignoramos cuá.l. Si, por ejemplo,
mira.moa un prado a la. luz normaJ, no deoim.Ol!I que el prado ea
verde o azul, porque estamos en oondicionea de afirma:r una ooea
más simple y, a.J. miamo tiempo, m'8 fuerte, & ea.her, que.el prado
ee verde. A veces también tomMnoe el enunci&do de una disyunción como un reconocimiento por parte del que habla., en el eentido de que no ea.be cuál de loe doe miembroe de la dieyunoión ea
verdadero. Y ai más tarde noa convencemos de que nueetro interlocutor sabfa. que uno de lo. doe m.íembroa era fa.lao (y •bía
inclueo cul.1 era. el fa.hio), noe eentimoe inclina.doe a considerar
& la tot.aJ.ida.d de la disyunción oomo proposición fa.la, a.unqoe
el otro miembro fuera indudablemente verdadero. Im.aginemoe,
por ejemplo, que un a.migo nueetro, deepués de ha.Mnele pre.gunt&do cuándo dejari la ciudad, oonteeta. que lo hará. hoy, ma.fiana o pasado. Si máa tarde comprob&moe que en aquel momento nuestro a.migo ya. habia. decid.ido partir eee mismo di.a,
t.andremoa prob&blemente la impresión de haber sido oonfundidoe
u profeeo y que nuestro amigo noe dijo un& mentira.
••
Cuando introdujeron la palabra .ot en 1ua oooaidera.cionee,
los creadoree de la lógica C(Jntemporá.Det. deeea.ron, quizá UlCODI·
cientemente, eimplifi.e&r eu 1igni&cado y ha.cerio máa claro e m.
dependiente de todoe loe factores peioológiooa, en eapeci&I de la.
preaenci& o ausencia. de conocimiento. En consecuencia, ellos
extendieron el U90 de la palabra ..,., y decidieron coDBiderar la
diayunción de dos proposiciones cualesquiera., como un todo eig·
oi6cativo, aun cuando no hubien. entre ell&s ningún pa.renteeoo
de oont.enido o de forma; y dedd.ieron t&m.bién que l& verdad de
nnt. diayunción --aai como 1aa de una negación o mi& oonjunoióndependa exclusivamente de la. •erd&d de 1ue miembrOI. De eate
modo, una perBOn& que uae la palabra
en el sentido de la lógica
oontempori.nea, considerar& que la. expreaión anta meacionada:
to•
2 · 2 = 5 ó N'l,UMJ, York u una eiudo.d grande
es un& propoe.ición que tiene eenlido y que, ademM, ee verdadera,
pues eu segunda parte lo es eeguramente. De igual modo, ai supo.
nem.oa que el amigo al cual interrogamos sobre la fecha de m p&rt.ida ua6 la palabra. tot en eu significado estrictamente lógico, debemoe
coll8idera.r verdadera su reepueeta, independientemente de nuestra
opinión sobre sue intencionee.•
8.
Implicación o propoekll6n cond.lotoD&L La 1.mplleutón
ID IHlYO materl&J.
Si &e combin&n doe proposicionee por medio de Ju pala.bru
ui ... , tntoncu ...•, ae obtiene un& proposición compueet.a que recibe
el nombre de IJl[PLIC .&.CIÓN o PBOP081CIÓN OONDIOIONJ.L. L& clAu11ula 11ubordin&d.a, a la cual ee ha prefijado la palabra uit, se llama
.&JrfTEOll:DBNTE, y la clAmula principal, introducid& por la palabn.
~•• se llama CONSEOtTnTK. Al afirmar una implicación ee
úirm.a que no puede ocurrir que el ant.eoedente sea. verdadero y
el oonaecuente falso. Por lo ta.nto, una implicación 68 verdadera
en cualquiera de los siguientes tres casos: (i) el antecedente y el
oonaecuente son ambos verdaderos, (ü) el antecedente 68 fa.leo y
el oonaecuente es verdadero, (ili) el antecedente y el coneecuente
IOD ambos f'alao!; y sola.mente en el cu&rto caao posible, cua.ndo
INTmOl>UOCIÓN A LA LÓGICA
•1
el antecedente ee verdadero y el ooneecuente fallo, ee la implic.ación fat.a.. Se aigue qae ai &lguien acepta una propoaicidn oomo verdadera y al :mi.em.o tiempo acep16 eu antecedente como verdadero,
no puede dejar de aceptar el oonMCuente; y ei alguien acepta una
implicación como verdadera. y rechaza su consecuente como falllo,
debe rechazar también eu antecedente.
•Como en el caso de la disyunción, pueden obeerve.nie oonsi.
derables diferencias entre loe WI08 de la. implicaeión en lógica y
en el lenguaje cotidiano. Así también en el lenguaje ordinario,
tendemoa a unir doe propoeicionee mediante lu pala.bru vi... ,
eftlOnCU.•• t, sólo cuando eziste una cierta conexión entre sus formae
y aua. contenidos. Ea dificil caracterizar eat& conezión en sentido
genera.l y aólo algunu veoee resulta. relativ&mente clara eu naturaleza. A menudo aeociamoa en esta conexión la convicción de que
el ooJU1eCuente ee sigue neooa&riamente del antecedente, ee decir,
que si suponemot verdadero el antee«lente, nos vemos obligadoe
a tuponer verd&dero el con&eeuente (y que posiblemente podemoe
inclU&O deducir el consecuente a partir del antecedente sobre l&
ba&e de ciertae leyes generalee que no eiempre se pueden formular
ezpUcitamente). Aquí se manifiesta también un factor peioológioo
adicional; wrualmente formulamos y aoept&mos una. implicación
tólo si no tenemos un conocimiento eze.cto sobre si son verdad.eroe
o no el antee«lente y el consecuente. De otro modo el uso de una
implicación parece antinatural y su sentido y 11u verdad pueden
provocar algun& duda..
El siguiente ejemplo puede servir como ilustración. Consideremos l& ley filie&:
y
d~moele
Ja forma de una implicación que contenga va.ria.bles:
nzu
un md<ll, entottcu z u maleable.
Si creemos en la verdad <k est.& ley universal, creemos también en la. verdad de todos 11ue C&808 particulares, o sea de toda.a
las implicaciones que se pnedan obtener reemplazando u:. por
nombrea de materia.les arbitrarioa, tales como hierro, arcilla o
madera. Y en efecto sucede que toda.e laa propoaicionee que .ae
'
.il.P&ED TAUKI
obtienen de eete modo aatieía.oen IN oond.icionea dada.a mM &ni.bao
para que una implicación eea verdadera; nunca oourre que el e,n.
teoedente eea verdadero y el oonaecuente falao al miamo tiempo.
Notamo. ademú, que en cualquier& de •taa implicacio11e11 exWte
una •trecha. conexión entre el anteoedente y el consecuente, la
cual halla su expresión formal eo la ooinoidencia de loe sujetoa
de ambas proposiciones. F.atamoe convencidos de que, al tom&r
como verdadero el ant.eoed.ente de cualquiera de eet.aa i.mplic:&cio.
nea, por ejemplo, ·.U hierro u u" metalt, podemos deducir de Q
au oonaecuente, tel hierro u makablu, porque podemoe ha.cm referencia a la ley general de que todo met.&l ee malea.ble.
No obetante, algunu de laa propoeicionee discutidas hasta
ahora. parecen a.rtificiales y dudoeaa desde el punto de vi.ata del
lenguaje común. No se suscita ninguna. duda en la proposición
universal dada arriba, o en loa caaoe pe.rticula.ree que ae obtienea
reempla.zando c. por el nombre de UD m&t.erial del cual no M·
hemos ai ee Wl m etal o lli ee maleable. Pero ai reemplazamoe en
por thiurot, noe enoontramos ante _el caao de que el antecedente
y el ooneecuente son indud&blemeote verdaderoa¡ y entonoee pr&feriremoe US&r en vez de una implicación un& expreeión oomo é&ta:
An.ilogam.ente, si BW1titui.moe u:t por taf'cillat, obt:.enemos una. im.
plicaci.ón cuyo a.ntecedente ee mi.o y cuyo coneecuente e1 verda.dero, y tenderla.moa a. reemplazMla por la expresión:
Finalmente, li reemplaz&moe «A por ~. obtenemoe \LO&
implicación en la cual el antecedente y el oonaecuente eon amboe
f'aleoe; ai, en eet.e caeo, deeeamoe retener la forma de una impli·
mción, debermnoe alterar la forma gramaticsJ. de loe verboe:
Los lógi008, que deben a.tender_ a laa neoeaidadee de loe lengua..
j • científiooe, adoptaron con reapecto a la frue vL., ~...•
el mismo procedimiento que en el euo de la palabra. tot. Decidieron
INTaOOUCC?ÓN A LA LÓCICA
••
siroplificar y aclo.ra.r el aigni6cado do eeta fra.se, a.al como liberar!&
de fa.ctoret paioológicoa. Con este propósit<> extendieron el uao do
dicha fraae, considerando que una implic&ción tiene aentido aun
cuando no exilt& ninguna. conexión entre llJU8 dot m.iombroa o
hicieron depender la verdad o la falsedad de l& implicación eólo
de la verdad o la. fa.l&ed&d del antecedente y del ooD.11eCUente.
Para. caracteriza.r eate. situación brevemente, decimos que la lógica contemporánea usa lu DO'LIOAOIONltS EN SENTIDO ll!U.T:DlA.L,
o simplemente usa. Dll'LI<JACIOKU JIAT:&:BIALES; et:ito se opone &l
U80 de Dll"LI<JAOIÓN EN SENTIDO :l'OBJU.L O IMPLI<JA<JIÓN J'OBllALo
caso en el cual la. presencia. do una cierta conexión form.&l entre
el antecedente y el consecuente ea una condición indi!lpenaahle
para que la implica.ción tenga aentido y para que llM verdadera.
El ooncopto do implica.ción formal no ee, quil.&, euñciontemente
claro, pero en todo ea.ao ee máa eetreoho que el de implicación ma.
t.eri~; toda implicación formal con significado y · verdad.ar. ee
tambi6n una implicación mat.e:rial con significado y verdad.en.,
pero lo reciproco no ee cierto.
Pam ilustrar laa obeerva.cionea que preceden, oonsideremoe Ju
ou&\l'O proposiciones siguiente&:
n 2 · 2 = 4, mtoncu Ntu:00 York u una ciudad grande;
n 2. 2 = 5, entoncu Nut.ua YorJ: Muna ciudad grande;
n 2 • 2 - 4, e1ltcncu Nueoo Y orJ: u una ciudad pequeila.;
n 2 · 2 = 5, entoncu Nuaa Y orJ: M una ciudad pequda.
En el lenguaje cotidiano, dif1cilmonte ee a.tribuirla. aigniñcado a
eetal propoaicionea, y meooa aáo ee la.e conaiderarfa vord.doru.
De.ade el punto de vista de i.. lógica matemá.tica, por otra. pa.rt.e,
todaa ellu tienen significado, la t.eroora. ea fa.Isa. y la.e trea reatan.te.
aon verda.dera.s. Con ello no ae a.firma., por eupueeto, que tales
proposiciones eea.n particularmente relova.ntee doede cualquier
punto do vi.eta., ni que lu a.pliquemos oomo premisas en nueetraa
argumenta.cianea.
Serla. un error pensa.r que la. diferencia entre el lenguaje común
y el lengua.je de la lógico., diferencia. que hemos ea.cado a luz en
50
eete tu.to, tieoe carácter abeoluto, Mi como seria equivoeado
penaa.r que la.a regle.a eabozadaa arriba. acere& del uso de la.e pala.bru uL., entoncu...t en el lenguaje comdn no admiten excepoionee. En realidad, el uso de dichaa p&labraa fluctúa mAs o menoe,
y ei miramo• a nuestro alrededor, podemos encontrar C&808 en loa
cualee eee uso no concuerda con nuestras reglas. Imaginem08 que
un amigo nuestro se b&lla ante un problema muy dificult.oeo y
que nosotros no creemos qoo lo resuelva. Podemos expreear
nuestro descreimient.o en un&. forma burleec& diciendo:
ai ruuelvea ute probkma, yo
tM
comeré mi sombrero.
La int.enci6n de estas pe.labras ea absolutamente cla.ra.. Afum&m.Ol!I
con ellaa una implie&eión cuyo consecuente ea induda.blemente
fMeo; por lo tanto, pueeto que a&mamoe la verda.d de la implica-
ción en eu totalidad, con ello &firmamos al miamo tiempo la fal.
sedad del ant&oedente; es decir que expresa.moa la. convicción de
que nuestro a.migo no reeolvtd. el problema en que se halla empeii&d.o. Pero también es ab&olutamente claro que el antecedente
y el consecuente de nuestra implicación no eetán conectados en
ningón &entido, y por lo tanto tenemos un CMO típico de implicación ma.terial y no formal.
La divergencia en el uso de la &ase cai... , imtonce.a ...• en el
lengu&je ordin&rio y en lógica. ma.t.emátie& ha. estado en I& raiz
de la.rgufeima.a e inclu.eo &paaionad.aa discusiones, en las <malea,
dicho sea de paso, loe lógicoe prof'eeionalee tomaron a6lo un&
parte menor1. (Ea curioso que at1 preetara. una. atención conaidera.blemente menor a la diYergenci& análog& producida. en el oa.eo
de la pal&bra tO•.) Se ha objetado que los lógiooe, por causa. del
Ul!IO de la i.mpliC60ión material, llegaron a paradoja.e e incluso •
disparat.ee. Esto ha terminado en un clamor en. favor de la núorma.
de Ja lógica con el objeto de llegar a un acerca.miento entre la.
'K• l11toreunto 1101.ar q1111 el comle11M de eftlt. d1-cu.16n d•ta d11 I• aut.llQedML
1'1te1lllóeoíotr11¡¡oFU.O!I DI ){ffü.l.(IDtl lilelOJYut.d1Crllto)q11l110.. probatiMa1Dt1, dlvlll16 por primen. vn en I• llllo lDt"lt de la 161lc.. el 1110 de la lmplle&elOo. mAtert..l; Qtl UM1 t11 oponle el punto de vlM de •11 P1ee.tro, D10Do11n C101u1e, quJe11
propoal•Ul&l'le lmpllotclóneo un MUI00111U.ettred10, mll bl11nr11l1clonedocon lo
q.e he mo• llemedo equl elMntldo íGn<Lal. Un poco mU tard1(111el1l1lo111111t.N de
Crlet.o), y prob•bl1m1111tl ha.Jo la l11IU1111cl• de F1t.6lf, fueron dlacutldu varlu -lbLa
001cepclo11• dt le lmpllculóo IJ<I? lo& llóeofoa y ló¡lc.oa 1rte1oa di! la e.cuela Mt.olcfl
(•ncuyo.ucrlto&Mhall•nlo1prlmeroflfllbo-dale.üclllopropoa.lclo11&1).
1NT80DUOCIÓM A LA LÓGICA
"
lógica y el lengu&je ordin&rio en lo concerniente al uao de l.& implicación.
Es dificil conceder que eetaa criticas estén bien fundad.u. No
h&y fraae en el lenguaje ordinario que tenga un sentido p~iaa­
mente determinado. Serf& diffcil encontrar dos personas que UB&ran todas las pa.la.bras con el mi.emo sentido exactamente, e inclueo
en el lenguaje de una misma person& el aignificado de una miama
palabra varia de un periodo a otro de su vida. Además, el aignifica.do de lae palabra.s del lenguaje común ea por lo general ipuy
complicado; depende no solamente de la. forma exterior de la
pa.labr&, Bino también de l&e circunata.ncias en que ae la expreu
y & veces depende de factores paicológicos subjetivos. Si un hombre
de ciencia. desea introducir en au disciplina científica un concepto
de la vid& diaria y eeta.bleoer leyes generalee relativ&11 a eee COD·
copto, debe aiempre aclarar au contenido, hacerlo máa preciso y
máe &imple, y liber&rlo de atributos no eeencl&lea; no importa
a.qui que ese hombre de ciencia eea un lógico que eetudia ta. fraae
ui... , ~--·'o, por ejemplo, un ffaico que trata de eetableoer
el significado encto de la p&labra tmdalt. De cualquier manera
que el hombre de ciencia realice eu tarea, el uso del término tal
como él lo ha establecido ee deavfa mucho o poco de su uso en la
TI.da. corriente. Pero si él declara explícitamente en qué sentido ha
decidido usar ese término y act1ia de hecho en conformidad con
su decisión, nadie podr! objetar que su procedimiento lo conduce a resulta.dos sin eentido.
Sin embargo, a raf:z de laa discusiones que han tenido lugar,
a.lgunos lógicos han intenta.do reform.M' la. t.aoria de la i.m.plica.ción.
Por lo general ellos no niegan a 1& implicación materi&I un lugar
dentro de la. lógica. pero an.efao encontrar también otro concepto
de implica.ción , por ejemplo, de tal naturaleza que la poaibilidad
de deducir el consecuente del antecedente constituya una condición neceearia para la. verdad de la implicación; incluso deeean,
segón parece, colocar el nuevo concepto en primer plano. Eetu
tentativas son de fecha relativamente reciente, y es aún demasiado
tempr&no para juzgar en modo definitivo su valor1. Sin emb&rgo,
hoy parece ca.ai cierto que la teori&. de la implicación material eo1
La primen. tentativa de uta ladole f'IHI ru.!Juda por el 11.lóaoío y 16t;lco 11ortoa--
rlca1tO co11t.emp0r&n.0C. l. LUr.11.
"
AI..p:ED TAll8KI
bre~
en eimplieida.d a tod&& laa otra.a teorlas, y, en todo c.aao,
no debe oh•idaree que la lógiuedi&cada sobre este aimple concepto,
1& ha. convertido en un& bue eati9fa.ctoria. para loe máe oompli·
cadoe y 1utilee razonamientoe matemáticos.•
9. El
uso de Ja lmplloael6D en matemittoa
A las expreeiones lógicas uaada.s en otras ciencia.a y especia.1mente en la matemática. con máa frecuencia, pertenece la frase
e.ti ... , entone.u...•. Loe teoremaa matemáticos, y en es~cia.I, loe
de cará.cter universa.!, tienden a. U!ner forma de implicaciones.
En matemática el a.ntecMente es lla.mado Hil'ÓTl:SIS y el C01186ouente ea Ua.mado CONCLUSIÓN. C.Omo ejemplo sencillo de un
teorema. aritmético que tiene la forma de una implicación, podem08 mencionar el aiguiente:
ft
:t
u un número poftlivo, mlon.cu 2x u un
nú~ro
pGrieioo;
en el cual u u un número pruitivo• es la hipót.eeie y t2z u un
Mmuo poaitiva. ee la conclusión.
Además de eetaa formas cláaicaa, por decirlo as!, de teoremaa
matemt.tiooa, se encuentran oe&aionalment.e también otru for.
mulacionee en la8 que la. hipóteBle y la concluaión no están conectr.daa por la fraae Mi ... , tnton.a.t...•, sino de otra manera. distinta..
El teorema aca.b&d.o de indicar, por ejemplo, podemos reformular)o en cu.J.quier& de lu eiguientes formas:
tk: z u'"' núm.eJ"O pofttivo, M hgw: 2z u un. •Úmtro pofllioo;
la hipótuia: z u un número poaitivo, implica (o eiene como
con«c1Uncia) la concluaión.: 2z u un número poaitivo;
2z
la condición: z u un. número poMiioo, u 11Uficitnh para q..e
un número poafüvo;
Ha
paro que 2z aea un númao poaitWo, u auficie'Tlh que
ftÚmero poritiro;
:i:
ata un
l4 condición: 2z u un número poaitivo, ea 11«Uaria paro que z
Ha "" •úmero pofttivo;
lN'l'RODtlCCIÓN A LA LÓGICA
fJOrtl qiu z sea.· un
12:ti~ro
poaitivo, u Muaario que 2:.t
_.ta un
número positivo.
En lugar de afirmar \l11& prop<)eición condicional puede a6rmarae,
puee, que la bipóteBiti de la propo1ición Dn'LI<J.i. o TI1an co110
la conclusión, o que es UD& <JONDIOIÓN SUY.ICIBMTB
par& la oonclUB.ión; asimismo podemos expreea.rn.os diciendo que
la oonclueión s. s1ou11: de la hipótesis, o que es una. ClONDICIÓM
NBCJ:Silli pa.n. ésta. Un lógico tendría. mucho que objet&r oontn.
a.lgunu de las formulaciones indicad&a, pero en la matem.Atica
ae usan con frecuencia.
•Las objeciones que podrían surgir a.qui se refieren a aquelloa
enunciados en loa que aparee.e rJguna. de lu palabra.e tAJp6u.ti,n,
tCOftd~. te0mecuencM11 1 cae '6igue qiu•, timpli.ctu.
Pa.ra entender loe puntee eeenci&lee de eatu objeciones, ob·
eervemoe en primer luge.r que dichoe enuncladoa difieren en oontenído del enunciado dado al principio. MieDtrM en la formW.Ción
original habl&m08 BOlamente de n6meroe, propied&deti de nómeroe,
operaoíonee con nómero, etc. --ea decir, objetoe de que se ocupa
la ma.temá.tica-, en lu formuJacionee que ahora diacutimoa ee
habla. de hipótesis, conclusionee, condiciones, es decir, propoeicionea o funcionee propoeicionalee que aparecen en la matemática.
Puede haoeree notar en eeta ocuión que, en gener&l, la gente no
diatingue con baetante claridad loe términos que deL'lignan objeto&
de loe cuales &e ocupa una determinad& ciencia, de aquellos que
designan v&riu cla.eee de expreeionee que e.pa.recen en la formulación de eea ciencia. Eeto puede obeerv&ree oomo ce.so particular
en el dominio de la matemAtica., especialmeote en el nivel elemental. Ea de presumir que muy poooe están enterad~ de que ciertoe
términoe como •ecuadóru, tdeeigualdadt, tp0linom.iot o tfr&eeión
algebraicu, que ee encuentran • menudo en loe libroe de texto
de álgebra elemental, no pertenecen , eetrictamente hablando, &.!
dominio de la matemática. o al de la lógica., puesto que eeoa términos no dee.igna.n objetoe de eee dominio; las ecuacionee y laa
deeigualdad.ee son funcionee propoeiciona.Iee eepeciales, mientrae
que loa polinomios y las fracciones algebre.ic&l!I -especialmente
r.al como se los trata en loa teztoe elementa.lea- son casos particul!U"88 de funciones designe.tivaa (cf. Sección 2). Le. oonfueión proviene en'eate caeo del hecho de que términos de eae. clase se usan
OONSB<JUBNOli. a
&ecuentemeoto en la formulación de loe Uoremu matem4tiooa.
F.ate tipo de formulación ha llegado a aer de uso muy general, y
quiú no vale la pen& rechazarlo, porque no presenta. ningún peligro
particular¡ pero s1 va.ldrfa la pena 1"9CODOoer que, para cada t«lrema
formulado ooo la. ayuda de ta.lee términoe, eiiato otra. formulación,
lógicamente más correcta, en la cual esoa ~rminoa no apu:ecen.
Por ejemplo, el teorema.:
l.a tcUación.: zl
+ a + b = O ritM a lo más dol raku
puede expresa.ne de manera m4a conecta como sigue:
~
a lo má.r doa
11:&1~roa z
taha qm
~
+ a:z: + b = O.
Volviendo a la.a formul&cloaee objeta.blee de la implicación,
b&remoe rel&lt&r un punto mú importante todavia.· En eeu
formula.oionee afi.rmamoe que una propoeición, a 11&ber el anteco.
dente de la implica.ción, tiene otnr. -el oonaecuente de la impli·
c&ción- como conaecuencia, o bien que la segunda se sigue de la
primera. Pero, por lo general, cuando noe expresamos en esta. forma, pre8Uponem.os mentalmente que la acept.ación de la. primera
proposición oomo verdadera noe conduce necesaria.mente, por
uf deoir, a un& aceptación semejante relativa & la. eegunda propoeición (y que posiblemente eetamoe incluso en condiciones de
derivar la. segunda proposición de l& primera). Sin embargo,
como ya hemos viato en l& Sección 8, el aigni1icad.o de una implicaci6n tal como se entiende en lógica oontomporá.nea, no d6pende de que el ooneecuento tenga conexión alguna oon Sil a.ntocedente. Cualquier& que ee aient& eorprendido por el hecho de que
la ldgioa. considera con aentido e incluao como verdader. a la
siguiente expreeión:
n 2·2=
4, enloncu N~ Y orl: u una ciudad grande,
enoontrar6. aún más diñcultoeo reconcilia.rae con wia transformación de eea. frase tal como:
l.a hipóteria M- qiu 2 • 2 = 4 tieM como con.tuuencia
qiu Nwva Yorl: u Wlt1 ciudad gran&.
INTllODUOCtÓN .\ L.\ LÓGICA
Vemoa aal que eet&a maneras de formular o de traneforma.r una
propoaici6n condicional, conducen a erpresionea parad6jicu y
hacen mi& profunda& laa diecrepancias entre lengua.je común y
lógica ma.temá.t.ica. Ea éata Ja razón por la cual aquella.s propoR·
cionee han dad.o lug&r con frecuencia. a. varios malentendidos, y
han sido una. de la.a cau868 de lu apasionada& y a. menudo estériles
discuaiones que a.ntes hemoa mencionad.o.
Deade el punto de vista puramente lógico podemos eludir
todas las objeciones que hemos referido, estableciendo e:rplicitamente de un& vez por tod&S, que al ha.cer uso de laa expresiones
en cuestión, noe desliga.moa de su significado usual y lea a.tri.
huimos directamente el mismo contenido que a la proposición
condicional ordinaria. Pero e.to podría. reaultar inoonveniente en
otro aspeekl; porque be.y eitua.cionee -aunque no en la lógie&
mi.9ma, eino en un campo estrechamente relacionad.o con ella
como ee la metodología de las ciencia.a deductivas (cf. Capítulo Viten laa cualea ha.ble.mas de propoeicionee y de la relación de OODll&cuencia.e entre ell&l!I, y en las cuales uaamoa términos como rimpli.
eat y cae .Jig'Uۥ con un significado diferente al expuesto y que ea
mucbo más semejante al significa.do ordinario. Por lo tanto, aeri&
mejor evitar aquellas fonnulacionee en su totalidad, tanto más
cuanto tenemos a nuestra diapoeici6n varias expresiones que no
admiten ninguna objeción de las que hemos mencionad.o.•
to.· Equlv&leaola de proposiciones
V.amos a estudiar todavía otra e:rpresi6n del dominio del c&lcu·
lo proposicional. que en el lenguaje corriente aparece con menor
frecuencia, a saber, la frase ui, y 3Óto si•. Al unir d08 propoeicionee
cualesquiera. por medio de esta frase, ae obtiene una propoeición
oompuest& que se llama EQUIVA.LKNCl.a. Las proposiciones conectadas de esta manera reciben loa nombres de MIEMBRO lZQVIEB.DO
y MIEldl!RO DERECHO DE LA. EQUIVA.LKNCIA.. Al afirmar la. equivalencia. de dos proposiciones, ee ezcluye la posibilidad. de que una sea
verdadera y la otra falsa; por lo tanto, una equivalencia es verdadera si sue miembros izquierdo y derecho son o bien ambos verdade.
roe o bien ambos falsos; en ca&0 contrario, la equiV&lencia es fa.Isa.
56
El eentido de una equivalencia puede cara.eteriza.rae también
<le otra ma.ner&. Si en una proposición condicional intercambiamoe
antecedente y consecuente obtenemos una nueva. proposición que,
en eu relación con la propoeición original, llamamos PROPOSICIÓN
KEOÍPBOOA (o la ll.ECÍPROCA DE LA PROPOSICIÓN DA.D.6.). Tomemoe,
por ejemplo, como propoeición original la. implie&eión:
(I) ai z es un número -poaitioo, l!nloncu 2z
eJJ
un número poBitivo;
.n 2z ea un n:Úmel'O po.Utiw, ~ z u
un númao poaiiioo.
la reciproca. de esta propoaición será.:
(II)
Como mueetra. este ejemplo, & •eoee 1uoede que la. reciproca de
una. propotición verdadera ea aaimismo vetda.dera.. Para. ver, por
otra parte, que esto no es una regla general. bute. reemplazar
•2:n por czlt en (I) y en (11); la proposición (l) seguirá 1iendo
verdadera. mientras que (11) se vuelve falsa. Pero si se da el caao
que dos proposiciones oond.icionaleit, una de las cua.lee ee la. reciproca. de la otra,_ BOn a.mbu verda<leraa, entoncea podemos expreaar este hecho uniendo anteceder.te y oonsecuente de una cualquiera de elle.s por le.s palabru t8i, y "6lo ait. Asf, le.s dos propoeiciones anteriorea, la proposiciór.. original (I) y su reciproca (11),
pueden ser reemplazadas por una. 901& proposición:
z u un. n.úmtro po8itioo n, y .s6lo al, 2z ea un númtro poBÜivo
(en donde pueden permutarse entre 1í los dOll miembroa de esta
equivalencia.).
Por lo demáa, ee conocen otraa formula.cionee que expnsaan la
mi8ma idea, oomo por ejemplo:
rk: z
ui
un númtro porinvo, ae ftgu: 2z ui un n úrmro pofttivo,
yr~mtt!U;
ltu condicionu que z u.a un núnMro poafüvo y qtu 2z aw un
númtr0 poaitivo aon tqu.ivaknlu eftlre 8';
la condición. tk aer :z: un 11.úmero poritioo t.1 nuuana y au/iciath
para gut 2z ata un 7HÍmaro poaili.a;
57
INT&ODUOCIÓN A U. LÓCICA
pGrG
que z um un número pollftw u nuuorio y 1t1./icHnU
qut 2:r lt.ll un número poaitiw.
En general, en luga.r de unir dOB propoaicionee por l& frue
.ai, y '6lo .rit, se puede decir también que la ULACIÓN
DJ: CONSJ:·
vale en .t..lllBA.S DIBJ:OCIONBS entre esta.e doe propoeicionea, o que IM dos proposiciones eon EQUIV.t..LENTJ:S, o finalmente
que cada una de diche.e propoeicionee representa un& OONDIOIÓN
lfEOQA..U.A. y 8U"J'IOI&NTB pe.n. la otra.
cuz:Hoa
U. Formalaol6n de deft.DlcJones. Reglaa de definición
La. frase ui, g '6lo .ri•, ae utiliu muy a menudo para la. formula.·
ci6n de DBFINIOIONIS, ee decir, de oonvencionea que ettipula.n le
aentido que debe atribuiree a una eqireeión que haete. entonoee
no hubieee aparecido en la dieciplina oonaiderada y cuyo eentido
no pareze& oompnmaible inmediatamente de por Bf. Imagineee,
por ejemplo, que b&Bta ahora no ee hubiese uea.do en la aritmética.
el eimbolo e::;;• y que quiaiéeemoe introducirlo en loe ra.zonamien.
toe (oonaiderándolo, como de coatumbre, como a.brevi&tur& de la
expresión «menor o igual qut.t). En eete caao, deberíamos ante todo
definir el citad.o s.lm.bolo, es decir, aclarar su significación con ayuda., precies.mente, de e:r:prea.ionee oonocid&B ya por noeotroa y cuyo
sentido no deja.ee lug&r a ninguna. d uda.; con eet.e fin, eet&bleoeremoa la. definición siguiente, en la. que supondremos que a. loe efmboloa ya oonocidoa pertenece, entr& otros, el Bfmbolo «>•:
@mol pez
:lí y li, y-61.o tri,"° u tl CCl80 pt: z >y.
La definición recién formulada •típula. la equivalencia de lu
dOB funciones propoeicionales;
• ;:¡.
noud('tJIOquz>y;
ae puede decir, pues, que haoe poeible la tranefonnaaión de l1o
fórmula u: ~ yt en una upttiaión equivlolente • eU.. que ya no
••
contiene el elmbolo •$•y que eet& formulada. en términos conoci.
da.e por noeotros. Lo miamo vr.le para. cu•lquier fórmul• obtenida
a partir de u :;a yt reemplazando Ut e tyt por almboloa o expresiones arbitraria& que deeignen n6meroe. Por ejemplo, la fórmula:
88 equivalente a la proposición:
1W U
tl CtUOqut 3
+ 2 > 5;
como ésta es una proposición verdadera, también lo seré. la. fórmula
considerada. Del mismo modo, la. fórmula:
ea equivalente a la proposición:
noUÚcaat)qtuf.>2+ l
y a.hora. la.e dos serán f&lBM. Eat.a observación ee puede aplie&r
también a proposiciones más complejaa y a funciones propoaicionalee; transformando, por ejemplo, la proposición:
obtenemos:
ai nou elca.sogiu z >y, y nou tleuogue y > z, ~ M
esel(oCM() quz > z.
Brevemente, la definición indicada noe permite t ranaformar
cualquier proposición a.imple o oompueeta que contenga el símbolo «S • en otra. equivalente a ella que no contenga. dicho símbolo
-esto es, de traducirla & un lenguaje, po.- decirlo a.si, en que
no figure el símbolo • ~ •. En eato consiate precisamente el papel
que desempei'ian las definiciooea en lu disciplinas matemáticas.
Par& que una definición cumpla au propóaito, debemos tomar
algunas precaucionee en eu formulación. Con ~te fin se introdu-
INTRODUCCIÓN . A LA LÓGICA
59
cen regla.e eepeciaJee, lae ll&madae HOLAS DE DJ:nNtctóN, que
especifican cómo deben conatruirao correctamente Ju definiciones.
Sin entrar a una form.uladón precisa. de est..s reglas, solamente
advertiremos, que en virtud de eUM, toda definición puede adop·
tar le. forma de una equivalencia; el miembro izquierdo de ésta,
llamado DEl'INJBNDUK, debe ser una función proposicional breve
y gramaticalmente sencilla. que contenga la constante a definir;
el miembro derecho, llam&do DEl'llfI ENS, puede ser una función
proposicional de estructura arbitraria, que contenga solamente
consta.ntes cuyo sentido sea inmediatamente comprensible o ha.ya
sido ya definido anteriormente. En particular, no deberá aparecer
en el definiens, ni la constanU a definir, ni ninguna expresión
definida con au ayuda; en tales ca.soa, la. definición no serla. correcta,
contendrla un error conocido como ciRct7LO VICIOSO J:N LA DUI·
N ICJÓN (de Ja misma manera M babia de un ciB.cULO v1crnso EN
u Di:MOSTJUCJÓlf ei el argumento usado para. establecer un cierto
teorema se ha.ea en eae mismo teorema o en algún ot ro teorema que
ha aido demostrado con su ayuda). Para h&00r resaltar el carácter convencional de una definición y distinguirla de otras expresionea que tienen la forma de una equiv&lencia y, sin embargo,
no 110n definiciones, es conveniente anteponer a aquélla pala·
braa como tdeci1M8 que•. Se comprueba con facilidad, que la defi.
nición dada m&s arriba. del símbolo e::;;•. BB.tisfs.ce toda.e eet.aa
oondicionee; ella tiene como definiendum:
% ~ y,
y como definiene:
Hay que advertir, que en la formulación de definiciones, en
lugar de la f:raee vi, y .Wlo li•, el matemático usa con preferenci~
la.s pA.labraa vit, o t.!in caso quu; al formular, por ejemplo, la de·
fi:nición del símbolo c;:i •, es presumible que le hubiese dado la.
siguiente forma.:
decimrugut :z:
~
y, ai no u el ca&o que x >y.
Aparentemente, esta. definición sólo establece que el definiendum
ee conaecusncia del definien.s, pero no hace resaltar que la. rela.ción
de coneocuencia rige también en sentido inverao y no dice, por
coneiguiente. que el deftniendum y el definiena eon equivalentee
entre af. En realidad, tenemos a.qui una convención implicita, en
virtud de la cual, Isa fraset1 vi• o vn. ca.t0 qru•, cuando ua&du para
unir definiendum y definiens, eignifican exactamente lo mismo que
la frue en, y aól.o ai•. Puede agrega.ne que la forma de equivalencia no es la única. en que pueden formula.ne definiciones.
12. Leres del o61calo proposicional
Ha.hiendo fina.liza.do nuestra diacueión de laa expresionea más
importa.ntea del cá.J.culo proposicional, trat&remoa de clarificar
ahora el carácter de las leyet de eete cálculo.
C.Onaideremos la proposición siguiente:
ai l e.a un número posUioo y l
<
2, mtoncu l u un núnuro ptMitivo.
Esta propoaición ee indudablemente verdadera; en ell& figuran
IOlament.e constantes pertenecientes a loa dominios de la lógica
y la &ritmética. y, ein emb&rgo, a nadie ae le ocurrida incluir esta
propoeición como un teorema particular en ningún tratado de
matemática.e. Si refiexionamGll a qué circunstancias debemos atri·
huir eato llegamos a la conclusión de que desde el punto de vi.eta
de la aritmética. eete enunciado ca.rece por completo de interés:
no amplia en modo alguno nuestro conocimiento de loa n11meroa;
1u Terdad no depende en absoluto del contenido de los conceptee
&ritméticoe que figuran en él, aino aimplemente del aentido de l&a
palabraa e¡n, uit, ~. P&ra convenc.erse de ello eu.etituyamOI
en la proposición considerada loe componentes:
y
1<2,
por otras propoaicionee cualeequi61'& de un dominio arbitrario;
obt.enemoe entonces una eerie de proposiciones, verda.d.eru como
l• proposición original, por ejemplo:
l!'!TllODUCCIÓN A LA LÓCICA
61
1i una figura u un rombo y la mi.tma figura u un rután gulo,
uta figura u un rombo;
Bi koy u domingo y ha.u 1101, 4!nlonuB hoy tJJ domingo.
Par& expresar estos resultados en una forma má.e gener&I,
introduzcamos las varia.blea *P" y "1' estipulando que estos sfm.
bol08 no aon reemplazables por d esignaciones de números o de
otros objetos, sino por proposiciones; variables de este tipo se
rlenominan V.&.RIABLES PROPOSICIONALES. Además, en la propoei.
ción considera.da sustituiremos la expreaión:
l
eA
u n 1uímero poBi!ioo
por •pt, y la. fórmula:
1< 2
por "P; de eate modo obtcndremoe la. función proposicion&I:
.n p yq, 41n/.ona.J p.
Eat.a. función proposicional tiene la. propiedad de que, si en loe
Inga.rea de •pt y tqt se insertan proposiciones cualeaquiera, la.a propo&iciones obtenida.& son siempre verdaderM. A est& afirmación
se le puede da.r la forma. universal !!liguiente:
'J'O'Ta p y q c:ualuquit!ra:, 1i p y q, en/.on.eu p.
Ett.a proposición ea una. ley del cálculo propoaicion&l y recibe el
nombre de L BY DE Sllll"LI FICACIÓN de la. multiplica.ción lógica.. La
proposición que hemos considerado anlieB es sólo un caso particular
de 88t& ley. Aal como, por ejemplo, la fórmula.:
68
un ca.so particular del siguiente teorem11. general de la. arit-
mética.:
para númuo.. ~ra z e y, z·y = y·z.
62
En modo análogo pueden obtenerse otru leyoe del cálculo
proposicional. Da.moa a continuación algunoa ejemploa de talee
leyes;· en 1u formulación omitimoa el cuantificador universal
{tpartJ todo p, q, ... •)de acuerdo al ul:IO menciona.do en la Sección 3,
que, pa.ra el cálculo proposicional, ee ha convertido cui en una
regl&..
Bi p, entona.a p.
Si p, entonct8 q o p.
Si p implica q y q implit.a p, enton.cu p ai, y aólo ai, q.
Si p implica q y q implicar, entonce.a p implicar.
La. primera. de eetaa leyee recibe el nombre de L&Y DE IDENTI·
DAD; la segunda. el de LEY DB SDaLJ1'10.A.ClÓK do la adición lógica.,
y la cuarta., el de LEY DEL Srt.OOISM:O BI?OT:tnco.
Aei como loa teoremas aritméticos de carácter unive™'l afirm&n
algo acere& de las propiedadea de n6meros arbitrarios, puede deciree que las leyes del cálculo propoeicional afirman algo acere&
de le.s propiedade! de propoaicionea arbitra.ria.s. El hecho de que
en estoa leyes sólo aparecen Tariables que ocupan el luga.r de pro·
posiciones arbitr&rias, ea un& caracterfetica. del cálculo proposicional y ea I& que determiná. eu gran gener&lid&d y el alcance de
eue poeibilid&des de &plic&ción.
ta. Slmbollsmo del di.culo propoalelon.al; runelon• de verdad
J tablu de nrdad
Hay un método eimple y genera.!, llamado JdTODO DZ L.&8
TA.BL.&S Dll: V EBDA.D o llUTRICD, que noe ·permite, en cualquier
caao p&rticular, reconocer cu&ndo una. proposición dada del dominio del cálculo propOBicional ea verdadera, y cué.ndo, por lo tanto,
ella puede contarse entre la.e leyee de dicho cálculol.
Para describir este método conviene aplicar un eimboliamo
eepecial. Reemplaza.remo& las e:1preeiones siguientes:
'ltot&m6t.odotJ• n ••qor\poeoP&t&c & (a 0 qQ ..Df&h•ma.cltadoant.lrlon11<1nt.e;
cf.notal.nlap!e:.87).
INTll:OllUCCIÓN A U. LÓGICA
no; y; o:
63
li,y'6loli
.ti • .,~ ..•
por los slmbolos:
-;
J\;
V;
-+;
re&pectiv&mente. El primero de eetos símbolos debe eer colocado
a.l frente de la.s expresionea cuya negación se deeea obtener; loe
simboloa reeta.ntes se colocan enlre doa expresiones(•-• se escribe,
por lo tanto, en el lugar de la. pala bra c.entonce.n, mientras que la.
palabra t.tit es simplemente omitida ). De una o dos expresiones
má.s simples nos vemos conducidoe, de eeta manera, a expre111iones
más complicadas; y ei deeeamoe emplear eat&e última. para constntlr es.presiones aún más complicadaa, oolocamoea aquél.lasentr&
pa~ntesie.
Con la ayuda do variablee, parénteais y loe e.imboloe oonat.Antee
eonmgoadoe máe arriba (y a vecee también conetantea adicionales
de cará.cter similar y que no investigaremos aqui) eata.mos en condiciones de escribir todas las propoeicionea y funciones propoeici0nalea pertenecientes al dominio del cálculo proposicional. Aparte
de las va.riables propoaicionales, laa funcionee propoeicioneJe& mi.e
simples son la.s expreeiones:
-p,
pJ\q,
pVq,
p-+q,
(y otra.e expresiones similares que difieren de éstas solamente
en la forma de las variablea usada.e). C.Omo ejemplo de una función
proposicional compuesta consideramos la expresión:
(pVq)~(pAr) ,
lo cuo.l se lee, t raduciendo loo eimboloa al lenguaje oomón:
n poq, tmlonua p y r.
Una. expreeión más complicada todavla es la ley del silogismo hipotético dada m'8 arriba, que ahora toma la forma:
[(p-+q) /\ (q....,. r )} -+ (p-+ r).
Podemoa asegurarnos fá.cilmente de que toda función proposicional que e.parece en nuestro cálculo es una de la.e llamadas
..
ALP&ED TAUlil
Esto quiere decir que la verdad o falaecl&d
de cualquier propoaición obtenida. de aquella función al auatituir
las varia.blee por proposiciones, de~de excluaivamente de la
verdad o fa.l&edad de lae proposicionee que han reemplazado a lu
varia.bles. A.81 como para laa funciones proposicionales eimplee,
•-pt, tp /\ qt, etc., esto se deduce inmediatamente de laa indice.clones formuladas en las Secciones 7, 8 y 10 con respecto al significad.o que se atribuye en lógica a laa pa.Iabru mm, t:yt, etc. Pero
lo mismo puede decirse de la& funciones compueet&e. C.Onaideremoa,
por ejemplo, la función c(p V q) -+ (p /\ f')t. Una propoeición que
ae obtenga. de ella por sustitución, será. una implice.ción y, por lo
tanto, au verdad depender6. sólo de: la. verdad de au antecedente
y de au oonaecuente; pero la verdad del a.ntecedente, que ea una
d.iayuneión obtenida de cp V qt, depende sólo de la verdad de laa
propoaicionee colocadu en luga.r de t? y de tqt, y &nilogamente,
la verdad del oonaecuente depende de la verdad de laa propoai.cio·
nee que 1natituyan a tpt y a en. A.al, finalmente, se ve que la verdad
de toda. la propoeición obtenida. de la. función propoeiciooal que
&e oomidera, depende excluaiv&mente de la. verdad de laa propoafoionee que 8U8tituy&n & cpt, & tqt y a m.
Con el objeto de ver con toda enctítud cómo la. verdad o la.
f&laedad de una. proposición obtenida. por llUBtitución de un& fun.
ción propoeicional dada, depende de la. verdad o de l& falsedad.
de lu propoaicionea que euetituyen a. lu variables, conatrui.m.01 la
TilU. DJ: VEBDil> o IU.TRIZ de eea. función. Comem.a.remoe por
dar la. tabla. de verdad para la función •-pt:
:rulfotOlfM DE V:UDA.O.
_,l_::::t_
V
F
F
V
Y aquf teo.emoe I& tabla de •erdMl conjunta p&ra laa otru funcionee element&lee cp A qt, cp V qt, etc.:
__!!__J_I
V
F
V
F.
V
V
F
F
pAq
V
F
F
F
pVr¡
V
V
V
F
V
V
F
V
V
F
F
V
INTRODUCCIÓN A L\ LÓGICA
El eignitieado de e.te.e ~blN ee haoe inmediatamente compmllible si tomarnos Ju Jetru •V• y cFt como abreviaturu de cpropo8ición verda.deru y de tproposición falsu, reapectivamente. En
la. segunda tabla, por ejemplo, hallamoe en Ja eegunda linu y
deba.jo de 108 encabeza.mientoe ep, tqt y •P -+ qt, la.a letra.e d't,
1Vt y tVt respectivamente. O~moe de ello que una propo9ción obtenida de la implica.ción cp -+ tp ee verdadera si euetituimoe
rr por cualquier proposición falaa. y tqt por cu&lquier propoeioión
verdadera¡ esto eeU de acuerdo, por supuesto, con las obeervacionee hecha.e en la Sección 8. LM va.ria.blee •? y tqt que aparecen
en estas tabl.u pueden, natura.lmente, aer reempla.zadM por otra&
v&riables cu&.lesquiera.
Con la ayuda de la.a dOfl t&blaa antmiorea, llamad.u T.ULU
DI: YEB.Dill rtnfD.üll:NTil.ES, podemoe construir Till.ü DJC VDD.lt> DUIVill•S para cualquier función propoeiciooal compuesta.
La. tabla. para. la función •(P V e¡) -+ (p A r)•, por ejemplo, ee la
siguiente:
V
F
V
F
V
F
V
F
q
r
pVq
p/\r
(pVq)-+(p/\1')
V
V
V
V
V
V
F
V
V
F
V
V
F
V
V
F
F
V
V
F
F
F
V
V
F
V
V
V
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
V
Para ezplicar la. construcción de est.a tabla &j,moD01, por ejemplo,
en IN quinta. linea. botUontal (sin contar loe encabet.am.ientoe).
Sutituimoe c¡n y tqt por propoeicionee verdaderas y en por una
propolición falaa.. De acuerdo con la segunda tabla funda.mental,
obtenemoe entonoee de cp V qt una proposición verdadera. y de
cp A n una proposición falsa. De la. función total c(p V q) -+ (p /\. 1')t
obtenemos entonces una implicación con antecedente verdadero y
oomecuente falao; por lo tanto, y de nuevo con la ayuda. de la.
eegunda tabla fundamental (en la. cua.l 1111ponemoa a tpt y tqt
reemplazadas moment&nea.mente por •P V qt y tp A n), concluimoe que esa. implicación ea una. propoaición fa.IJa..
lMTllODUa:l6N A U
t.6GIC&.-6
66
A.CFRD> TAllSK..I
La.a lineas borit.ontalee que conaiait.n de aimboloe .v. y d'»
te lla.man FIU.8 de l& ta.bla, y lae Uneaa verticalee ee Uama.n 00·
LVMNd. Cada fil&, o más bien la pan.e de cada fila. que está. a la.
izquierda. de la barra vertical, representa una cierta. eustitución
de las variables por proposiciones Terdadera.a o falsM. Cuando ee
construye la matriz de una. función da.da., debe tenerse cuidado
de agot.&r todas 1aa poeiblee maneraa en las cuales las combina.oionea de elmbolos tVt y tF• puedan correlacionarse con lu v&riablea; y, por supueet.o, nunca. 96 escriben en la tabla doa filaa
que no difiers.n ni en el nómero ni en el orden de los eimboloe
tVt y tFt. Puede comprobar&& fácilmente que el número de filas
de una t&bla depende de manera simple del número de variables
diferente& que a.pe.recen en la función; si la función contiene
l, 2, 3 ... variables de dife~nt.e forma., au ma.tri.z tiene 21 = 2,
2* - t, 2* = 8, ... 6.lu. En cu&nto al número de Columnas. ea igual
al número de fu.ncionee propoeicionalee parcia.lee de diferente
forma que haya en la función dad& (donde la función total se
cuenta también entre sus funciones paroiales).
Esta.moa ahor& en condicionea de decir c6mo puede decidirse
si una proposición del cálculo proposicional ea verdadera. o no.
Como sabemos, en el cAiculo proposicional no hay diferencia exterior entre proposiciones y funciones proposicionales; la ónie&
diferencia consiste en el hecho de que la.e expreeiones considerada.a
como proposicionee son siempre completadas mentalmente por el
euanti6cador univel'68.L Para reconocer ai la. proposición dada es
verdadera., l& trat&mos como si fuera una función propoeicion.J.
y OOtlltruimoe la ta.bla de verdad pa.ra ella. Si, en la 11ltim& coIWDD& de esta tabla no &pe.rece ningún eimbolo cFt, entonoea
toda propoeición que ee obtenga de la. función dada por suatitución
19rá. verdader&; y por lo tanto nusetra proposición universal original (que se obtiene de la función proposicional prefijando mentalmente el cuantificador univeral). ea también verdadera. Si, eo
e&mbio, la última columna conttene por lo menoe un símbolo «F•.
nuestra proposición ea falsa..
Así, por ejemplo, hemoa visto que en la matriz construida
para la función t(p V q) ~ (p Ar)• el efmbolo tF. &p&reee cuatro
veces en la última. columna. Si, por lo tanto, consideramos a esta
expresión como proposición (t1Bto ea, ai le prefijamos las palabr&a
JNTRODUCCIÓ.'l A LA LÓGICA
67
•pera. p, q y ,. cualuqu~nJt). tenemos entonces una proposición
fa.le&. P or otra parte, puede verifica.ne fácilmente con la. ayuda
del método de las tablas de verdad, que todaa las leyes del cá.lculo
proposicional esto.blecidM en la Sección I!!, o eea las leyes de eimplificación, de identidad, etc., aon propoaicionea verdadera.a. La.
tabla para la ley de simplificación:
(p Aq)-+ p,
por ejemplo, es como sigue:
p Aq
-p-q-1- - (p
-A-q)-+
- p-
V V
V
V
F V
V F
F F
F
F
F
V
V
V
Damos aquí otras leyes importantes del cálculo propoeicional
cuy& verdad puede obtenerse de ·manera análoga:
- (pi\ - p),
(p /\ p) +-+p,
(p 1\ q) - (q 1\ p),
_[p 1\ (ql\ ,)]_ [(p l\q) 1\ ,],
pV,.., p,
(p Vp)4-+p,
(p V q) -
(q V p),
[pV (qV 'lJ-[(pVq) V'].
Las dos leyes de la primera Une& se lla.man, reftpectivamente,
LEY Dlt CONTRADICCIÓN y L'IY DEL TERCERO BXCLtrIDO; luego t&n emos la.a dos LEYES DE TA.UTOLOOf.1. (para Ja multiplica.ción y Ja.
adición lógica.e); Uinemoe luego las do1 L&YES COl'IM:trTATIVAS, y,
finalmente, las doe LBYSS ~socu:rrv.u. Ee ficil ver que el eignifi.
cado de eetae dos 6.ltimu leyee ee ha.ce muy oscuro ei tratamos
de expresa.ria.e en lenguaje ordinario. Esto muestra muy clara.
mente el valor del simbolismo lógico como instrumento preciso
para expresar peneamientoa complicados.
•Ocurre que el método de 1aa matrices noe lleva a a.ceptar
oomo verdadera.a algunas propoeicionee cuya verdad distaba mucho de ser obvia. antes de la. ~plic.ación de eee método. Damoe
a continua.ción aJgunoe ejemploe de proposiciones de es& cla.ee:
..
..u.nnt
Til8Hl
'P-(f-p),
- p-(p-q),
(p ~ q) V (q ~ p).
El heoho de que eetae propoeiciooee no eea.n inmediatt.mente
ob'riu, se debe principalmente a que ellaa aon una. m&nifeetación
del uao eapeclfi.co de la implicación C&J'&eterfstica de la. lógica.
moderna., esto es, el ueo de la implicación en sentido material;
Eat&a propoaiciones aaumen un cará.cter paradójico especial
li., cuando se las lee en tASrminos de lengua.je común, se reemplaza
la implicación por fre.eee que contengan timplicat o ue Mgua, o
11e& ai lee damoa, por ejemplo, la siguiente forma:
n 'P u vtf'd.ad.era, entone.u p fe ligue de cualquier q (en otraa
palabra.a: una ~ wrdockro l t ligue. tk cvalquiu fWO'PO·
~);
ri pu falaa, t:nloRa6 p implim cvalquier q (en otru pal&bl'&I:
faJ..a implU,, .,..iq,,;u !"~);
para p y q eualuquiua, o tMn p implk.a q, o bien q implica p
{en otra.e palabras: enh'e dol ~ arbitraria.a, por lo fMftOjll
una de dlaa implica la otra).
una~
Formuladas de est.e modo, flltae erpreeionee he.n. sido frecuentemente e&U!U de malentendidoe y de diacuaionea 11uper:8uu. Elrt.o
confirma entera.mente 1&11 obeerv&cionM h&ebu al fina.Iiz&r la Seoción 9.•
1'9 Aplloacl6D 4' lu ltJ• 4'1 Mloulo proposlcloul a la IDfeream.
Caai tocl.<>11 loa razonamient.oe en cualquier dilciplina oientifica
•tán buadoe, explicita o impllcit.amente, en leyes del cálculo
propoa:icion&l; vamos a motrt.rv en un ejemplo cómo ocurre eeto.
Dada. una proposición que tenga. la forma. de una implicación,
puede formar -aparte de la reo1proca (de la cua.J. ya hemoe
ha.blado en la Sección 10)--- doe proposiciones más: la. PBOPOSICIÓN
0011TB.llll4 (o la OONT&Alll..A. D• L.&. nDP08ICIÓN Dil>.&.) y la. P.80·
M
INTltOOUCCIÓN A LA LÓCICA
La propoiaioión oont.raria 98 obtiene
al reemplu.a.r antecedente y eorwecuente de Ja. propoeición dada
por su.e negacionee. La contrarreclproca ee el reeuJ.tad.o de intercambi&r anteoedente y consecuente en la. proposición contraria;
la contrarreciprooa. ea, por lo tanto, la reciproca. de la propoeición
contraria y también la contnt.ria de la proposición reciproca.
Laa propoe:iciones reciproca., contraria. y contrarrecfproca, junto
POSICIÓN OOlf'l'B.6.B.UOÓ'ROOJ..
oon la proposición original, 98 llama.o l'BOPOSICIONES OOKIV(U.DA.S. C.Omo ilustración con&ider&moe la. siguiente propoeición
condicional:
y formemoe sua tree propoaicionee conjuga.daa:
ft
~
u un. n.úmero pofiCivo, enetmcu z u un n.úmero p<>Ntfl'O;
n z no u un núnw:ro pofttloo, mlmlcu 2z no u
n 2z no u un n11.mero powitivo, mloncu z no u
un nútMrO poftnvo;
un n.11.mtf'O poatlivo.
En este ejemplo, todas lu proposiciones conjugadas obtenidu
de una. proposición verdadera BOn aaimismo verda.dera.s. Pero
esto no oclll'M en general; p&ra ver que ee posible que no aólo la
proposición recfproc& es fa.lBa (como ya. ae ha. mencionado en la
Sección 10), pero que t&mbién la proposición contraria. &e& fa.lae.,
a.unque l& proposición original aer. verdadera, ea suficiente reempla~ar &t por ct't en. laa proposiciones mencionadas má.a arriba.
A.si vemos que de la va.lid-. de una implicación no 98 puede
inferir nada a.cerca de la validez de la propoaición reclproca o de 16
contraria. La situación es difereote en el caeo de la cuarte. propoeíción conjugad&: siempre que una implicación ea verdadera,
t.&mbién lo m BU correepondient.e coutn.rreofproca. F.at.e hecho ee
puede veri.6C8!' en numero80ll ejemploe y encuentra su expreeión
en la llamad& L'.IY D'.I TUNSP08JCIÓN o DE OONTB.il'OSJCIÓM del
cálculo proposiciona.l.
Para. form.ul&r l& citada ley de un modo preciBo obeerv&remoe
que a t.od& implicación se le puede d&r la fonn& mquemática:
n 'P· tAlmlcu q;
?O
AU"IU:D 1'.utaKI
la propo.sición reciproca, adoptará entoncee la forma:
ai q, tnton.cu p;
la contraria. dirá:
.Ji no p,
mtom;u
no q;
y la contrarrecíproca:
lfi no q, enlonu6 no p.
La ley de contra.posición, según la. cual una proposición condicional implica la correspondiente propoaición contrarrecíproca., ae
puede formular de la siguiente manera:
ai: al p, en.toncu q, 4!n.tonu.8: ti no q, entone.u 110 p;
po.ra evitar l& acumulación de la palabra Mi», ee conveniente hacer
un pequel1.o cambio en la formulación:
·
(11)
de: .ti p,
~,u
q, ,,_ .tigue que: 8i no q, entoncu no p.
Queremos mostrar ahora, que con ayuda. de esta ley podemoa
derivar lo. proposición contrarredproca de una proposición condicional dn.da, por ejemplo, de la aserción (I).
La ley (Il) sigue siendo válida. si en ella sustituimos tpt y tqt
por proposiciones o funciones propoaicionales arbitrarias. En particular. podemos sustituir •1" y tqt por las expreaionee:
:e u un nWnero poaitivo
2z u un número poaitivo.
Si, por razones eetiliBticae, cambia.moa la posición de la p&labra
tnat, obtenemos:
tk: si z u un númtro pofiliw, entoncea 2z u un número
positivo, ae aigue que: ai 2z no u un número p!Mitivo, en.toncu z 110
u U'l'l 13.Únuro poaitivo.
(III)
71
INTllODUOCIÓN A LA LÓCIC4.
C.ompanmoa a.hora (I) y (lll): (111) tiene la forma de una implic&eión y (1) ee BU bipóteaia. Como tanto la implicación completa
como au hipóteei.a'i1a.n sido admitidas como verda.deru, también
deberá. admitirse como tal la. conclusión de la. implicación; ahora
bien, eat& ooncluai.ón ea precillamente l& oontra.rrecíproca de la
propoaición de que ae trataba;
(IV)
n
2:e no u un número poailioo, entonce.a x
poaü;oo.
7Kl
u un número
De e.ata. forma, todo el que conozca la ley de contraposición
puede considerar como verdadera la propoafoión contra.rreciproca,
siempre que ha.y& demostrado antea la propoaición original. Ademáa, como se verifica fácilmente, la proposición contr&ri& ea la
oontrarrecfproca de la Niclproca de la proposición original (ee
decir, la propoaición contraria pu~e obtenerse de la reciproca
reempl&za.ndo a.nteoedente y comecuente por 11ua negacionea e
interc.ambiá.ndoloe). Por esta razón, ai ee ha demoetra.do la reciproca de una propoeición dada, entonoea también la contraria
puede consideraree válida. Si, por lo tanto, ee han conseguido
demoatra.r dos propoaicionee -la origin&I. y BU reclproe&- es
euperfluo dar una demoetncióo eapeoial par& la.a dos propoeicionee
conjug&d&s restantes.
Puede mencion&l'86 aquJ que ae conocen a.lgunas variante&
de la. ley de contrapoaici6n. Una de ella.a ea la reciproca de (11):
dt.: si no q, tntoncu no p, ae aigtU fl'l.U: ai p, entmtcu q.
Eet.e. ·ley hace potible la deducción de la propoeición original partiendo de la cootrarreclpl'OQa, y de la contraria partiendo de la
reciproca.
15. Reglaa de lnfenneta. Demoetr&olonts eompletu
Ahora conaidera.remoe a.lgo máa dota.lladamente el mecanismo
de la demoetra.ción con ouya ayuda hemos demostrado la proposición (IV) en la Sección anterior. Ademá.a de 188 reglas de definición, de las que ya hemoe hablado, exiaUm t&mbién regla.e de un
carácter máa o menos parecido, a B&bet, lae BBGL48 DI: INn&BNCU.
72
o ••n.u Dlt 01u1osTUetóN. Eat.u regla.a, que no deben oonfun.
dine oon lae leyes lógica.e, &On iMtruccionea que eetipul&n cómo
t.nnllformar propoeicionee reconocida.e como verdaderae en n~vu
propo11ioionee verdader&11. En lu demoetracionee que hemos realizado antes, ae h&n usado dos de eetu reglas: la REGU. DE svsnTUmóN y l& de SEP.UU.CIÓN (también U..mada REOU. DE llODU8
POK•NS).
La regla. de sustitución dioe lo siguiente: ei ya ha sido reconocida como verdadera un& proposición de ca.rá.cter universal que
contiene variables propoaicion&lea, y ae sustituyen éstas por otras
variables propoaicionalee, o por funciones propoaicionalca o por
proposiciones -aobrentendi~ndoee que en los lugares de v11.riablee
iguales deber&n i.nsertaree expreeionee igu&lee-, la propoeición
obtenida. de eeta manera debe eer rtt0nocida oomo verdadera. Aplicando esta regla, obtuvimoa la proposición (m) a partir de (11).
Debemos &fta.dir, que la regla. de euetítución !MI puede a.plico.r tam.
b~n a otros tipos de variable&.. como, por ejemplo, a lo..s variablee
designan ndmeroe: en lugar de dichaa variables de·
beremoa insertar entonces expreaionea que designen ndmeroa.
Ut, tyt, ••• ,que
•La formula.ción de la regla de 8U8titución que hemoe indicado
aqu1, no ee muy precie&. Dicha regla ae refiere a aquellas propoeioionea que conste.n de un operador univers&l y de una función
propoaicion&l que contenga. vari&blea ligada.a por el cua.ntific&dor
universal. Si queremoa aplicar la regla. de sustitución, deberemoa
preacindir del cu&ntificador y coloc.a.r en lugar de la.e variables
ligad&e por aqu61, otra.a va.rie.blee o e%pf'Mionea completa.a (por
ejemplo, en luga.r de lae variableetpt, cqt, '"• .. ., funciones proposi.
cionalee o propoaicionee, en lugar de lu variables u-, .y., tzt, .. . ,
en cambio, expreaionea que designen ndz:oeroa)¡ si en la función
propoeiciona1 intervienen toda...ta otra& variables liga.das, ee dejarin inalteradas y ae ouidará. de que ellaa no figuren en lu expreaionea que se inserten; en cuo oeoesario, se le antepondrá. el
cuantificador universal a la expresión obtenida de eet& manera,
para lograr de ella. una proposición. Si a.plicamoe la regla de aue·
tituoión, por ejemplo, a la proposición:
para todo nú1M1'0 z uiltt ua 11úmtn> 11 lid gua z
+ 11 = ó,
73
INTaODtlCCIÓH A LA l.OOICA.
podcmoe obtener la. propoei.ci6o:
ezNkl "" 11.ÚmtrO y tal, que 3 + y
= 6,
o ta.mbí6n:
p¡.m todo número z uYk '"' ntfm.ero y lal qtU zl + y
= 6;
en eete caao se sustituye solamente u., sin modificar cyt. No debemos, sin embargo, suetituír m por una expresión que contenga. tyt,
ya que, &un siendo verdader& la propoaíción original, ee puede
lleg&r de est.& manera. a una proposición falM. Por ejemplo, si
auatituim.oa t3 - yt obtenem<MI:
tziM un. número y lal que (3 - y)
+y =
6.•
La. regla de separación, o modua pone1111, a.firm&, que ai ee ha.u
aceptado como verdadera.a doe propoeicionee, teniendo una de
ellaa la. forma de una implioac:ión y lliendo la otra. el antecedeote
de éat.&, también puede aceptarae como verdadero al consecuente
de la. implic:ac:ión (aparando•, por decirlo aai, el ooll86Cllente de la
implic:&ci.ón). Valiéndonoe de eet.& regla ha. sido deducida la pro·
poeición (IV) de las propoaicionee (III) y (I).
Ahora ae ve, que ca.da paao de la demoatreción de la proposición (IV) de.da máe arriba, b& conaiatido en la aplicación de una
regla de inferencia. a proposiciones previa.mente aoept&d.as como
verdadera.e. Talee demoetra.cíOMe eon Uam&daa OOMl't&'U.8. Po.
dri&mos cara.eterizar Jea dem.oetncionea completaa de una manera algo más precia&. Cada u.na de ellae conaiete en una auoesi.ón de
propoeicionee t.&lee q ue: Lu proposiciones inioial.• fueron previamente aceptada.e como verdaderaa; cada proposición 8UbeiguientAI
ae obti"ne de a.Igunaa de lae que lea preceden aplica.ndo 1lI1& regla
de inferencia; y, finalmente, la 6ltim& proposición es la. que se
quiere demoetrat.
Debe obaerv&me en este p11nto, qué fono& tan extremadamente
elemental --desde el punto de Yi8ta paicológioo--- adoptan loe
razonam.ient.os me.temátiCOf:I, graoiaa al conocimiento y aplicación
de las leyee de le. lógic& y de las ft81aa de inferenoi&: prooeeot com-
plie&d.01 de petul&miento pueden reducirse completamente a actividades tan eimplee como aon la obeervación atenta de propoaicionee
aceptadas como verdaderaa, la percepcíón de oonexionet eeitructuralee, puramente externaa, entre dichas proposiciones y la "'6lización de transformaciones mdnicu preecritas por lu reglu
de inferencia. Eet& claro, además, que procediendo de esta manera
la poeibilidad de comet.er errore111 en la demostr&cíón dísminuye
coneiderablemente.
Bjeretolol
1. lndie&r ejemplos de expreaionee eepecfficamente mat.em'ticaa de loa dominioa de la &ritm6tic.a. y de la geometrla.
2. Distinguir en laa doa propoeiclonee eign.ientee laa ezpreeionee eepecf6camente matem,ticu de aquellae expreeionea que perten&een al dominio de la lógica:
(a)
para número.t cualuquimi z e y,
nz
>O e y< O, mt<m-
°"' uiate un número z talque z <O y z = y·z.;
(b) para puntoa arbWrarioa A y B, uiate un punto C que uld
·6ihuzdo t:mre A y B y a la nWma di.rtaftcia tk A que de B.
3. Formar la conjunción de le.a negaciones de le.a funcionea
propoeicionales eiguientea:
z>3.
¡Qu6 número satisface esta oonjunciónt
4-. lnveetiga.r con cu#J. de laa dos si.gniñcacionea conocidas
figura la palabra tot en las eiguieotee proposiciones:
(a)
do.t camin.oa le utabmi a1Mrto8: traicionar a la -pat.Na o
morir;
(b) ri ganase mucho dinero o me 'P"emia.ae la loterla, empren.:
derla un IA.rgo
m;t.
JNTRODU()C(ÓN A LA LÓGICA
75
Indicar algunoa otros ejemploa en loa que la palabra co• ae
uae en au primera o en eu segunda signi6ca.ción.
•5.
Considérense la.e eiguientea proposicionee condicionales:
(a)
n hoy u
n 1wy u
(b)
(c)
(d)
(e)
luma, mtoncu mailana u marle.t;
lunu, enloncu maAana e.a aábado;
M 1wy u lunu, entoncu d 25 de diciembre u Na'llidM;
ai l-08 dueoa fuuan. eabaUoa, l-08 mendigoa cabalgarlan.;
n un número u diuiaible -por 2 y por 6, entonua es divihbll por 12;
(f) 6i 18 udivi!ible por 3 y por f, entonus 18 e.adi!Mi.ble por 6.
¡Cu1Uea de eat.&8 implicacionee ton verdadera.a y cuáles son fa.18&8
deede el punto de vista de la lógica matem6.ticat ¡En qué C&e06 la
cueetión del significado y de la verdad o falsed.a.d ofrecen alguna.
duda desde el punto de vista del lengua.je ordinario? Dirija.se
especial atención a la proposición (b) y ex&mÍneee la cuestión de eu
verdad haciéndola. depender del di& de la semana en el cual ella
88 formulada.
6. Poner los teoremas siguientes en forma de proposiciones
condicionales.
(a)
para fJ1U un. triángulo M4 equilátero, u au/iciente tpu. todoa
aua án.gu.lo.t aeGn. oon.grutntu;
la condición:
tta diMbk por 6.
(b)
:i:
u diviftbk 'P"" 3, u JtUUaria para qiu
:i:
Indicar atrae formulaciones para Ja.a dos propoaicionee expuaBt.&8.
7. ¡Es la condición:
au6.ciente, o neceaa.ri.a para que &e& vlllido:
76
8. Indicar formuls.cionea &Jtern&tivaa para laa propoaicionea
1iguientes:
(a.)
(b)
z u divi&ibk 'PO" 10 .n, y .slo ai, u divtribk por 2 y por t'i;
para qut un cuadr~látero .tta un paraklogramo u nuuorio
y mfícienU qm el punto dt. inter«ecién. dt. na diagonalu .rea lam·
biin el punto me.dio dt. éBku.
Indicar otros ejempl06 de teoremaa del campo de la aritmética
y de la geometrf& que tengan la forma de equivalencia.e.
9.
tCuálea de lae proposiciones aiguientea son verdadera.e?
(a.)
un eriángulo u Uóau1u ai, y aólo si, t.oda8
8'U8
aUu1'tU .!on.
COl'tgMUnlu;
o
14 condici.sn que z " u n.ecuaria y w.f~ potG que
un número -poaitivo;
dt. qut un cua4rilákro ata un cuadrado 3'4!! deduce que todoi
au.a ánguloa .ron ángulo.a recto., y redprocamnU:;
(d) para que z .tea ditrilible por 8, u necuario y au/ictenk
91U z .rea diviaibk 'por4ypM 2.
(b)
zS
1w
(e)
10. Suponiendo oonocidoa loe términos mú~ro natural•,
tprodudo• (o «eocientu, respectivamente), construir la definición
de la expreeión tdiviaibla dándole la. forma de una. equivalencia:
duimo8 qut z u divitribk por y, li, y sólo 8', ...
Formúlese del miamo modo la definición de la upreeión •par<IW<u;
¡qu' términoe del dominio de la geometría. deben auponeraie cono.
cidoe para. ello1
11. Tradüzcaae al lenguaje ordinario las &igu.ient.e. e:.:preaionea simbólica.e:
(a.)
(b)
(e)
(d)
<- p-+ p)-+ p,
(-
pVq)-(p~q),
-(pVq)-(p~q),
-pV[q-(p~q)).
INftOOUCCIÓH A. LA LÓCIC.l
77
Nótete con cepocial atención la diíicultad de diltingu.ir en el
lenguaje ordinario laa tMe dltimae upreeionee.
12. Formúlense las eiguientee e:1:preeionee en simbolismo lógico:
(a) .ti no p o no q, entonus no u el caso que p o q;
(b) .ti pimplicaqueqimplica r , tntoncupyqju""46implk.aAr;
(e) .ti r at aigiu tk p y ai r u, ftgiu tk q, mtoncu r at ftguc
dt p o q.
13. C.Onstrúyanse t&blu de verdad par& tod&11 lu funeionee
proposioionalee da.das en loa Ejercicios 11 y 12. Sup6ngue que
interprotanios e.tas funciotlfl6 como proposiciones (¿quá quiere
decir eatot), y determfneee cu&lee de eeae proposiciones eon verd&deraa y cuí.lee eon faleae.
14. Verifíquese por el método de laa te.blaa de verdad que las
siguientes proposiciones eon verdadera.e:
(a.)
,..,, ,.., p+-+p,
(b)
- (pl\q)-1- pV - q).
-(pVq)-(-pl\-q),
00
~l\~VrjJ-[~l\~V~l\rjL
~V~l\rjJ-[~V~l\~Vrji
La. proposición (a) ee !& LllY DE LA. DOBL'.S N:sGAOIÓll', lM propoei·
cionee (b) eon lae UamadM t.na I>B DB Mo:ao.ur1, y lae propo«i·
eionee (e) eon la.a LEY&S DtsTIUBU'ITVd (de la multiplicación
lógica con respecto e. la sume. y de la. wma lógic& con respecto a
la multiplic&ción).
Jó. Indiquen.se las tree conjugada.a (recíproca, contraria y
contrarrecJproe&) de cada una de 1aa propoaiciones siguientes:
(a)
nú~ro
el huAo que z u un 111imuo ptnitivo implica que -:t: u un
negativo;
1 ltltu le¡n
1878).
tu~ro.a
fonn.CLl-.du por el eml.KD.te Jóslco lqMa A. DI lCOIGJ.11' (1806-
78
(b) ai un euadrildttro u redchlgtdo, tftton.cu didto cuadril4U1'0
aení in.1cript,ib~ en un elrculo.
tCué.lea de las propos.icionea conjugadas eon verdaderaa1
Indicar un ejemplo de cuatro proposiciones conjugadas que
aean todas falsas.
16. Explica.r el siguiente hecho por medio de la ta.bla de
verdad correspondiente a la. función «p +-+ q»: si en una. proposición cualquiera alguna de sus part.ee que aea.n a. su ve-z. proposiciones (o funcionee propoeicionales) se reemplaz&n por propo·
aicionea (o funcione&) equivalente&, entoncm la nueva propoaición
tot&l que ee obtiene de e.ate modo ea equiva.lente a la. propoai.
ción ori~nal. Alguna.e de nuestru a.6rma.cionee y advertenoiaa
de la. Sección 10 dependen de este hecho; indie&r dónde se p«I·
eenta el caeo.
17.
Considérense las dos proposiciones siguiente&:
de: Bi p, tn.toncu q, ae livue-qiu: ai q, entoncu p;
(b) tk: ai p, entonce.a q, ae Mgw t¡&U1: ai no p, entoncu no q.
(a)
Supongamos que estas propo&icionee fueran leyes lógicas, tserl&
posible aplie&rlae en las demostraeionee matem!tica.a en modo
análogo & l& ley de oontr&poaición (cf. Sección 14)1 iQu'é propoei.
cianea conjugadas sed& poaible obtener de un& implicación dada.1
En consecuencia, i,puede mantenerae nuestra suposición de que
lea propo8iciones (a) y (b) eon verdaderu1
18. Confirmar la. conclusión que ae obtuvo en el Ejercicio 17
aplica.ndo el método de lae tablae de verdad a. las propoeicionee
(•)y (b).
19.
Consideremos las dos expresiones siguientes:
el httJw tk qm ayer fue lunu implica qiu hoy ea marlu;
el httJw tk qm hoy ea mmUa implica que mañana .rerd miir·
oolu.
lNftOOUCCIÓH A LA l.OOICA
"
! Quá proposición puede deducirae de ella.a de acuerdo con la ley
d&l ailogismo hipotético (cf. Sección 12)1
*20. Deearrólleee l& prueba completa de la proposición obtenida en el ejercicio precedente; óeenae laa propoaicionee y la.
ley del silogismo hipotético menciona.doe en el mismo, y apliquell&e -ademáa de l&& regl&a de aUBtitución y separación- la.
siguiente regla de inferencia: ai doe proposiciones cualesquiera eon
acepta.das como verda.deru, entonces su cqnjunción también ee
verdadera.
111
SOBRE LA TEORfA DE LA IDBllTIDAD
18.
Concepto. 16glcos fuera del cálculo proposicional.
Coneepto dfl ldenUdad
El cálculo propoeicional, al que hemoe dedicado el capitulo
anterior, constituye sólo una parte de la. lógica. Ea induda.blemente
Ja parte má.a fundamental, al menos en el sentido de que para
Ja. definición de conceptos y para la formulación y demoetración
de leyes lógicas no pertenecientes al cálculo proposicional, hay que
uaar los oonceptoa y leyes de dicho cálculo. Pero Mte no conatituye
de por ei una. base suficiente para la fundamentación de otru
ciencia8, ni, en particular, de la matemática; en las definicionee,
teoremu y demostra.cionea ma.temátiooa aparecen continuamente
distintos conceptos de otru partes de la lógica. En él!lte y en loe
dos capitulo& siguientes nos ocuparemos oon algunos de éstos.
Entre loe conceptos lógieoe no pert&necientes al cálculo propoeicional, el de más importancia ce, probablemente, el copcepto de
tDENTID.i.D. Aparece en frasea como:
z u UUnlico a y,
:i:
u lo mi.mio que y,
;z: e8 igualci y.
A esta.a tres expreeionee ee lea adjudica el mismo sentido. Para
abreviar, pueden reemplazaree por la. expresión simbólica.:
x=y.
INT&ODUCCIÓH A LA LÓGICA
81
EQ lugar de e1eribir:
z no u idhtlíc.o a y
empleamos l& fórmula.:
:t
oF y.
Las leyea generales que gobiema.n Wi expre5ionM anteriores
oonetituyen una parte de la lógica. que puede ser llamada TEOR1A
DB LA JDENTID.4.D.
17. Le111 fundamentales de la
"ºria de la ldenUda4
Entre las leyee lógicae referentes a.I oonoepto de identidad la
más fund&m.ent&l es:
l. z -= y si, y aólo si, z ne.u toda propiedad qru. tUm y, e y
tiem toda pro¡Mdad qut tÑ!JM! :z,
Podríamos decir, más simplemente:
:e = y si, y aólo si, z e y tienen toda prO']'Udad en común.
Se conocen otraa form.ulacionee qui!.& más evidentes, aunque
menoe oorTOCtM, de eat.6 mi.ema ley; por ejemplo:
Z - 'fl 8i, y 6Ólo ai, IQdo lo qtU: ¡nude rlecirae de UM tk loa objel<»
z o y, pw& lambiin tkcirK dd otro.
L& ley 1 fue enunciada por primera vez por LE1BNIZ1 (aunque
en términos algo diferente8) y puede, por lo tanto, ser llamada
LEY DE LEIBNIZ. Ella tiene l& forma de una equivalencia., y nos
permite reempl&zar la fórmula:
z - y,
'Cf.nota1.nl&pisln&'2.
INUOl>UC:C16H.t lJ. 1.ÓOU:)l.,-t
82
que es el miembro iiquierdo de la equivalencia, por eu miembro
derecho, esto es, por una. e:r.preeión en la cual el aimbolo de identidad ya no a.p&reoe. Con reapecto a su forma, por lo tanto, eet&
ley puede coneiderane como la definición del .símbolo'"""'• y ..t
fue considerada por LEillNIZ. (Por 1upueeto, ónicamente tendrla
aentido considerar aquí la ley de L!:JBNIZ como una. definición, si
•=•
el significado del afmbolo
noe pareciera. menos evidente que el
de las expresiones que a.parecen en el miembro de la ley, t&l como
u: ti~nt. toda propiedad qm tiene yt; cf. Sección ll.)
Como consecuencia de l& ley de l.m.BNIZ tenemos la siguiente
regla de gran importancia prictiu: s.i en un cierto contexto ae ha
aaumido o demostrado una identidad, por ejemplo:
:r- y.
entonces en cualquier fórmula. o proposición que ape.reica en dicho
conkxto puede reemplazarse el miembro izquierdo de la identidad
por su miembro derecho, por ejemplo trt por .yt, y recfprocamente.
Se entiende que si U:• tiene variaa presentaciones en una fórmul&,
algunaa de ellas pueden reemplaz&t&e por cyt y otraa dejarse inalteradas. Ha.y así, por lo tanto, un& diferencia. esencial entre la.
regla que a.hora. estamos considerando y la. regla de sustitución
diacutida en la. Sección 15, en la. cua.l no se permitían tales reempla·
zoa parciales de un sfmbolo por otro.
De la ley de
LEIBNIZ &e
puede deducir una. serie de otra.a
leyea pertenecientel!I e. la. teori& de la. identidad que son aplica.
da.a muy .a. menudo en consideraciones divera.a.a y Mpe:Ci.a.lmente
en demoetra.cionee ma.t..emá.ticas. Mencionaremoe aquí )e.e máa
importa.otee de éataa y al mismo tiempo iDdica:remoa esquemática.mente sus demoetracioneti, para. poner de m&Difieeto oon
ejemplos concretos que no ei:iate ninguna diferencia. eeencial
eotre loe razona.mientoe del dominio de la lógica y los del dominio
de la matemática.
II. Todo objeto u iyual. a ft mWmo: z = x.
DEllOSTRA.CJÓN. Sustituyendo en la. ley de LEIBNIZ, en en
lugs.r de .y., obtenemos:
INTROOUCCIÓ!f A LA. LÓGICA
83
Evidentemente eat& propotición puede aimplíficarBe omitiendo 11u
úl't.ima parte ty :r: tiem ...• (esto &e sigue directamente de l& ley de
t&utologi& enunciad& en la Sección 12). La. proposición toma en.
t.oDcea la siguiente form&:
:i:
= :r: .ti, y a&lo .ti, :r: túne toda propiedad que tiem :i:.
Obviament.e el miembro derecho de esta equivalencia ee satisía.ce
siempre (ya que, de acuerd.o a la ley de identidad de la Sección 12,
flli :e tiene una cierta propiedad, entoncee :i: tiene esa. propiedad).
Por lo tanto, el miembro izquierdo de la equinlencia. debe t.a.m.
bién a&tiafaceree; en otra.e pe.l&braa, tenemos siemp~:
z - :r:,
como ee trataba de demostra.r.
III. Si
:i:
= y, entoncee y =
z.
D:n10STRA.OIÓN. Sustituyendo Ut
ley de LJl:IBNIZ, obtenemos:
y-
:i:
por cy. e 'lP por en en la
.ti, y sólo .n, y tiem toda propidad que tiem :e, y :r: tiem
toda propi.e.dad IJ'I" tit.111. y.
Campa.remos esta proposición con la. formulación original de la ley
de LBIBNIZ. Tenemos entoncee doa equi,•alencia.a cuyoa miembros
derechos BOn conjuncione& que difieren únicamente en el orden
de sus miembros. Por lo t&nt.o, loa mi~mbroa derechos son equiva.
lentes (cf. la ley conmutativa de la. multiplicación lógica en I&
Sección 13), y loe miembroe izquierdos, esto ea, las fórmulas:
z=y e y=:e
deben eer también equivalentes. A fortiori, podemos afirmar que
la segunda. de eat&e fórmulM &e sigue de la primera., tal como dice
nuestra ley.
..
IV. Sia:=.y e
y=i.~a:=z:.
DEMOSTRACIÓN. Por hipót.e&a, lu doa fórmula&:
(1)
a:=y
(2)
y= z
ae asumen como válidas. De acuerdo a la ley de LEIBNIZ ee sigue
de la fórmula. (2) que todo lo que puede decirse de y puede también
decina de z. Por lo tanto, podemos reemplazar la vari&ble y
por m en la fórmula. (1), y obtener la f6rmula deseada:
V. Si a: = z e y = z, enlorticu a: = y; en otru
of:ljdoa igualu a un teruro eon igvalu mke d.
p&labrae, d<H
Eeta. ley puede demoetra.ne d., manera análoga a la precedente
(y puede también ser deducida de laa leyes 111 y IV sin
ley de LEIBNIZ).
U&al'
la
Laa leyes II, 111 y IV eon llamad.u LEYES Dlt Ul'LEIIVID.ü>,
DB 8DIBTRÍA. y DE TBAll'SITIVID&D para la rel&ción de identidad.
18. ldenttdad de objeto. e Identidad de 1U1 deelgnacloae&:
UIO dt
eolldllu
•Aunque el significado de erpreeionee talee como:
a:=- !I o a:'# y
parece Bel' evidente, esta.a erpreeionea aon a veoes objeto de mal·
entendidos. Parece obvio, por ejemplo, que la fórmula.:
una proposición verdadera, y ain embargo, algunoe dudt.n eu
verdad. En 110 opinión, eet& fórmula. parece indicar que loe 8ÍID.·
M
INTl.ODUCCIÓH A LA LÓGICA
..
bolos 13• y t2 + h son idént.icoe, lo cual ea evidentemente faleo,
puee e806 afmboloe tienen íormae completamente diatinta.e, y por
lo tanto no es cierto que todo lo que puede afirmarse de uno de
eeoe 11imbolos pueda tambi~n afirmarse del otro (por ejemplo, el
primer almbolo &itá. constituido por un BOio signo y el segundo no).
Con el objeto de suprimir dificultades de eete tipo, es conveniente ver con claridad un principio muy importante y general, del
cual depende la. utilidad del empleo de cualquier lenguaje. De
acuerdo con eate principio, cuando en una proposición deseamos
decir algo de cierto objeto, debemos usar el nombre o designación
de dicho objeto y no el objeto mismo.
La aplicación de eate principio no ofrece ninguna. duda mien.
tra.s el objeto del cual se babia. no &e& una. pa.la.br&, un aímbolo o,
en general, una e%presi6n de un lenguaje. Imaginemos, por ejem·
plo, que tenemos ante noeotros una pequel\a piedra. azul, y que
enunciamos la siguiente propoeición:
uta piedro ea azul.
En este ca.so, es de presumir que a nadie se le ocurriría. reempl&:1.&r
lae palabras «esta pWlrat, que oonBtituyen en conjunto la designación del objeto, por el objeto mlamo; ea decir, t&cbar o recortar
eataa palabras y colocar en su lugar la piedra. Porque si hiciéramos
eeo obtendrlamos una t.otalidad constituida en parte por un&
piedra. y en parte por palabr&&, y esto no ea una expresión lingüíatica, y mucho menos una propoaici6n verdadera.
Sin embargo, eete principio ea frecuentemente violado cuando
sucede que el objeto del cual ae habla. ee una palabra o un efmbolo.
Y, no obst.a.nte, la. aplicación del principio ea indieponaa.ble tambi~n
en eete cuo; porque, de otro modo, obtendria.mos una totalidad
que, a pe8&l' de ser una expre6ión lingületic&, no e:zprea&rl& nueetro
pensamiento, muy a menudo reeultarta ser un agregado de pal&braa
carente de significación. Conaideremoa, por ejemplo, las dos pala.bru eiguient.es:
,Eat.6 claro que la primera oonsiate de cuatro letre.a y que la
&e·
gund& es un nombre propio. Pero aupongamos que <lee.ea.moa ex·
86
AllRl:D TAJlSKI
presar eatoe pensamientos, que eon a.blolutamente oonectol!I, de
la. eiguiente manera:
(1)
(11)
bien~ de cualro lelnu;
Maria e,, un ~bre -propio.
Entonces, al hablar BObre palabr&e, habríamos usa.do las palabrae
miam&a y no sus nombres. Y ei ez:aminamos más de cere& lae expresiones (I) y (II), debemos admitir que la primera. no es en abeoluto una proposición, puesto que el eujeto sólo puede ser un BWI·
t.antivo y no un adverbio, mientras que la. segunda. podría. conaidere.rse como proposición significativa; pero, en todo c&SO, serla. una
proposición f&lsa, puesto que ninguna. mujer ee un nombre propio.
Pa.r11. evita.r eatas di6culta.dea podría.moa suponer que laa pal&bre.s •bien• y tMa'l'itM so emplean en contei:toe tales como (l) y (II)
con un significado distinto que eu
aigni6~o
ueu.a.1, y que ell&a
desempeñan a.qui la función de &er su propio nombre. Como general~ción de eete punto de vista deberiamoe admitir que cualquier
palabra. puede, a veces, funcionar oomo su propio nombre; para
usar la terminolog(a. de la lógica medieval, podri&mos decir que en
casos como éste, la pa.la.bra ea usa.da en SUPPOsmo JUTU.U.U.S.
por oposición a su uso en SUPPOSITIO PORJULis; esto es, en iru
significado ordinario. En oonaecuencia, toda palabra. del lenguaje
oomún o cient(fico poseeri& por lo menos dos significados diferentes, y no es necesario buscar ejempl08 muy leja.nos de Bitua.cionee
en las que podrían surgir serias dudas acerca de cuál de ambos
aignificados es el que debe entenderse. No deseamos aoept&r eat.&
consecuencia, y por lo tanto introduciremos la regla de que toda expresión debe ser diferente (por lo menos en eecritura) de su nombre.
Aparece entoncee el problema de formar nombre. para pala.bras y expresiones. Existen varios artificioa para lograrlo. El m'8
aimple de ellos ee basa. en la convención de que para formar el
nombre de una. expresión debe colocane esa expreeión entre
comillas. Sobre la base de eata convención los pensamientos que
intentamos formular en (l) y (11) pueden ahora enuncia.rae CO!TflOtamente y sin a.mbigüedad de eet.e modo:
(I' )
cbien• ~ tk cuatro ldnu:
{ll')
tMarl.at u un nombre propio.
IHT:RODllOCIÓN A LA LÓGICA
87
A la luz de eetae obaerv&cionee deaaparecen toda.a Jae poeiblet
duda.a acerca del 1igni6.oado y de la verdad de ciert.&8 í6rmulae
a~2+1.
Eat& fórmula contiene sfmboloe que designan ciertos números,
pero no contiene el nombre de ninguno de esos símbolos. Por lo
tanto, esta. fórmula a.firma algo acerca de números y. no acerca
de sfm bolos que designan númeroa; los númeroe 3 y 2 + l eon
evidentemente iguales, por lo cual la. fórmula. es una proposición
verdadera. Es claro que podemos reemplazar esta. fórmula. por
una. proposición equivalente que se refiera. a símbolos; a sa.ber,
podemos decir que 108 slm.bolos 4.- y t2 + h designan el mismo
número. Pero e11to no implica de ningún modo que los sfmboloa
mismos sea.n id6ntiooa; porque ee bien sabido que el mismo objeto
-y en pa.rticular, el mismo mimero- puede tener diferente&
deeígnaciones. Los slmbolos '3• y t:2 + h son, sin duda., diferentea,
y este hecho puede exp~ mediante una nueva fórmula.:
t:3• ::¡,a+ h,
lo cual no contra.dice en ab6oluto la fórmula. enuncia.da previ&mente1.•
19. La lgualdad en la arHm6tlea J en la geometrfa, y su relacl6a
con la id.enttdad 16glea
C.Otteidera.remoe a.qui la igualdad aritmética entre nóroeroe como
un CMO especial del conoepto general de identidad lógica.. Sin em·
bargo, debemoa advertir que hay matemé.ticos -contra el punto
de Tistfl. sustente.do e.qui- que no identifican el eigno •- •. u.suu.l
1 B11 •to! Ubro n.pekJDOll ~IMIWD<mt.! la co11.nucló11 nlatlva al Ul&O M 1u
comlilu. Sólo aos apartanmo. de ella . . ...,.. oca.1011•, como cor:r.culóu al u1&<1 c.r.dk:loHJ..
-.In cotnlllu, ..i .U..
....
:."'·
dldaem111udopor
<-rUcalu pequ11!.u o bu
.., lllaD. tamb"n en que 110
r eJ-pla. de
co.pn~ldot
por la menclo
uw tl.po pllloden 11K:1C111tlvM &&.blH 111. ut.I libro.
..
en ta. &ritmética, con o1 efmbolo de id.&0.tid&d lógica, no consideran
como necesariamente idéntiooa a loe nómeroe igualee y, por con.
eiguiente, consideran I& igualdad entre nómeroe, como un concepto
especifico de la aritmética. En relación oon ello, eetoa matemático.
se apartan de la ley de L1:l8N1Z en su forma general, aun retlono.
ciendo v&ria.s consecuenci&B de cará.cter men08 amplio resultantes
de aquélla e incluyéndolas entre IDB teoremas especificamente
matemáticos. Entre tales conaecuenci&a se hallan, por ejemplo,
las leyes II a V de la Sección 17, uf como otros teorema.a que esta.
blecen que si x =y, y :z: satisface a una fórmula construid& 6.XcluaiTamente con ayuda. de slmboloe a ritméticos, entonces también y
a&tisface dicha. fórmula, como por ejemplo, el teorema:
aix=y
y
z<z,!ntonouy<z.
Seg6n nueetra opinión, eete punto de vitta no se caracteriu
por ninguna ventaja. teórica en eepeeial, y en la práctica origina
grandee complicaciones en la eip09ici6n de la aritmética, ya que "
rechaza la regla general que permite -bajo la. hipótesis de que
una cierta. ecua.ción ea válida..- reemplazar en cualquier expree.ión
el miembro izquierdo de la ecuación por el miembro derecho; pero
como estos réemplazos son impreecindiblea en muchos razonamientos, se vuelve neceeario dar demoatracionea eepecialea de que
el reemplazo es legítimo par& cad& caao particular en que éste ea
aplica.do.
Pa.r& ilustrar C!'.St& a.ituación, conaideremos un eistema cualquiera de ecua.ciones con dos Yari&blea; por ejemplo:
• - y',
.. + !1' = 2<-3y + 18.
Si quieíéramos resolver ee\e eistem& de ecuaciones con ayuda
del llamado método de ewititucióo, formarla.moa un nuevo &ÍBte·
ma. de ecuaciones dejando l& primera sin cambiar, y reemplazando
todas las preeenta.ciones de Ut en la segunda por cy&.. Cabe pre.
guntarse ahora si esta transformación es legitima, es decir, si el
aegundo sistema es equivalente al primero. La respuesta ee Wmativa, sin duda alguna., independientemente del concepto de
igualdad entre nó.m.eJ"Oe que ee adopte. PeJ"O, ei el simbolo
•=•
••
denota. la identidad lógica, y a.ceptamoe la ley de LEiatni, Is.
MJpueeta aerá. entom~ee eYidente; eiendo:
•~y'.
eetari. permitido sustituir txt por ty't dondequiera que intervenga,
y reciproca.mente; en caao contrario, deberla fundamentarse eata
reapueata, y aunque en realidad- la. fundamentación no ofrecerla
ninguna dificultad, serla, ein emb&rg<>, larga y tedios&.
La situación ea completa.mente diatinta en relación con el concepto de identidad en la geomet.rie.. Cuando llamamos -igualea o
congruentes a dos fi.guraa geométricas, oomo, por ejemplo, doe
segmentos, doa ángulos o doa poUgonoe, no queremol!I afirmar, en
genera.), que dicha.e figura.a eee.n idéntica.e; con ello decimos aol&·
mente que eetu figura.a tienen el mi1mo tamal\o y la miama forma,
o oon otras pala.bru, si queremoa aerrirnoa de Ull modo de hablar
figurati.vo, aunque no oomplet&ment.e correcto, que se Ju puede
superponer de manera que coincidan entre si. As!, un triángulo,
por ejemplo, podrá tener doe o inclU80 loe trea lados iguales, pero
cierta.mente estos lados no aon Idénticos. He.y también casoe,
por otra parte, en los que ya no ee trata. de la igualdad geométrica
de dos figur&11, sino de su identidad lógica; por ejemplo, en un
tri'-ngulo isósceles la altura relativ. a la base y la mediatriz de
ésta no son e.ole.mente iguales en aentido geométrico, eon simplemente un mismo segmento. Por lo tanto, para evitar confuaión,
en aquelloa C&BOl!I en que no ee tcate de identidad lógica, seria. recomendable evit.ar el Mrmino «igualdad•; en luga.r de 6gur&11 igu&.lee en eentido geométrico, hablar eiempre de &gura.a congruentee y
reempla.zar el eimbolo •-• por otro aimbolo cualquiera., como pot
ejemplo, t;• (lo que, por lo de~, euele haoene a menudo).
20.
Los cuantmcad.01111 numéricos
Con ayuda del concepto de Klentidad se puede preciear el sentido de ciertas frases relacionadaa, por eu contenido y por au
función, con los cuantificadoree univenal y exiet.encia.l, pero que
poaeen un carácter má.s especial. Se trata de expresionee como
la.a aiguientee:
90
ezi.dt ol mtftOf u11., o a lo tumo un, o u.adomenlt UA, objdo z
ralqu<••.•
uilrm al menoi tloa, o a lo nmo doa, o e.zactamenU do., obfe·
loa%f.ellelqut ••. ,
y aa1 euceeiva.m.ente; ee puede denomina.ria.e <JUil'Til"IC.il>OBBB
NUJÓBIOOB. Aparentemente, en eetaa fraaes se preeent&n términoe
especifica.mente m&temá.ticoe, & -.her, loa numera.lea ni.no•, tdon,
etcétera.. Pero un análisis mi.e detenido muestre. que el contenido
de estas fr&Se8 (conaider&du en au tot.alidad) es de n&turaJerz.a
purammte lógica.. En la. expreai6n, por ejemplo,
lae palabrae tal
meft.Of
um pueden auetituine eimplemente pot
el articulo "''" liD &Iterar el eentido. La. Hpreeión:
ui.lk a lo IUmo un objdo pe aaliafaiu la condición dada
aigniJie& lo mismo que:
para blo :z: e y, .ri z e y tltdW/aen lci coMición dada, eAlmu:u :z:=y.
La. proposición:
t.:tMk uadamnle un. objdo qu.e atJtia/ace la cmidición dada
ea equiva.lente a la oonjunoi6n de laa doa expreaionee ~n mencionada.e:
ui8te al meMrd un objdo que talW/ace la cond~ dada, y Gl
miamo Cit:mpo, a lo .rumo un objdo que «Jli.8fau dicha condición.
A la expresión:
~
al meno.t do.t obfdol que MJliafacen la condición dada,
le &tribuimos el sentido aigniente:
tziaCm ob;dol
ti :z: '#y,
z e y tal.u qut z e y Mlti8/acen la condición. dada
INTRODUCCIÓN A LA Li>cICA
91
1 ee, por Jo tanto, equivalente e. l& negación de:
u:Mte a lo a-umo un obfdo que MllW/au lo ~ ciada.
De manera análoga se e::a:plica el llignificado de otru upreeion•
de esta categori&.
.
Para &clarar esto liltimo, preeentaremoe alguna.a propoaicionea verdaderas de la aritmética. en que intervienen cuanti.ficadoree
numéricos:
triste ezadamtnte u•
•Úrlltf'O
z tal qut
:i:
+ 2 = 6;
tri.aten emdamtRlt d<J8 AÚmerol 1/ taJu pe '!/ - 4;
ezi,,ten al mmoe d& nÚ1Mroa z ea/.u qut z + 2 < 8.
U parte de la lógie& en la eu&l ee eetablecen 1aa leyea general• de loe cue.ntidce.doree, ee llama HORÚ. J>E LJ.S v.a.1u..nua
il'ARENTICS o <J.Ü.CULO J'UNCIONil, aunque deberla ll&m&ne en
realidad. c.il.oULO D:& <JUilTO'IO.A.DOBJtS. Ha.ata &hora esta teoria
ae ha. ocupado principalmente de loe cua.ntificadorea univeraal y
existencial, mientras que no ee h& preatado mayor atención & loe
cuantificadores numéricos.
l. Demuéstrese la ley V de la Sección 17 usando uclu.eiva.mente lu leyes llI y IV (y, por lo tt.nto, tin UMr l& ley de LBmmz).
lnd.ica.ción: En la ley V, laa fórmulaa:
lle aeumen v6.lidas por hipótee.Ui. En virtud de l& ley III, inte~m­
biellll8 la.a va.ria.bles en la aegund& de est&a fórmulas, y luego
apllquese l& ley IV.
2.
Pruébeee la siguiente ley:
.ti :i:
=y, y= 21 y 21 =e, en1m1cu z =
uaa.ndo exclusivamente l& ley IV de la Sección 17,
t
3.
tSon verdadero.a laa propoeicionee que ee obtienen reempla.-
r.ando en las leyes III y IV delaSee<lión 17,el elmbolo •=' •por•~•!
*4. Sobre la base de la convención expuesta. en la Sección 18
aoorca del uso de comillas, det.erminar cmi.lee de lM siguientM e:1preeionea son proposicione8 verdaderas·
(a)
(b)
(c)
(d)
O M un enkro,
O Muna cifra qiu tient forma lk óvalo,
«Üt es un en.Uro,
tO• u una cifra qiu tiene forma de ótialo,
(o)
1,5 ~ 3/2,
(f) d ,5t ""' •3/2~.
(g)
(h)
2+2 .. 5,
'2 + 2• ~ ~•.
*5. P&l'a formar el nombre de una palabra se coloca esa
palabra entre comillas; par& formar el nombre de ese nombre ee
coloca, a su vez, el nombre de la palabra entre comillas, y uC
queda. la palabra misma comprendida entre comillas dobles. .Asl,
de Jaa tres expresiones siguientes:
Juan,
c.lt11J.m,
•"Juan"•
la 8"gunda. el!!I el nombre de la. primer& y la tercen. ee el nombre
de la aegunda. Sustitúyanae por turno las tres e:ipreeionea mencio·
nada.a en lugar de u. en las siguiente& funcionee proposicionales,
y determlnoee cuálea de laa doce propoeicionee obtenida.a eon
verdaderu:
(a)
(b)
(c)
(d)
:e u un hombre,
x ea t.l nombre de un hombre,
x es una ezprerión,
:e u una erpruión que: contiene comilla.a.
*6. En la. Sección 9 hemoa dado varias formulaciones de
proposiciones condicionales que &e encuentran en loe libros de
matemáticas. También hemos lla.mM!o la atención sobre el hecho
INTl\ODUCCIÓN A LA. LÓGICA
93
de que, en alguna.a de eet&a expreeionee, ee habla, no ~ de
números o de propiedo.dee de n~metoe, etc., eino acerca de eJ:·
preaiones {por ejemplo, proposiciones y funciones propoaicion&lea). Se sigue de lae observ&eionea hecbaa en la Sección 18 que eetaa
últimaa formulaciones requieren el uao de comillas. lndJquell8e !u
formulaciones que requieren el uso de comillas, y el lugar ei:a.cto
en que éat&s deben colocane.
•7. Sobre la base del principio gener&l relativo al uao de
nombres de objetos en propoaicionea que afirm&n algo a.cerca. de
e.908 objetos, podem08 someter la penúltima proposición de l&
Sección 12 (11Asf como loa teorema.a a.ritméticoa de Cará.cter universal. ..•) a. cierta critica. Sa.bemoe que laa variablee que aparecen
en la. a.ritmética. eetán en lugar de nombres de númeroa. ¡Eetán
la.a variable& que apa.rec:en en el CÁiculo propoeicional en lugar de
nombres de proposiciones o de propoeicionea! En conaecueucia,
¡.podemoa decir, ai deseamoa eer exa.ctoe, que lu leyes de eee
cálculo s.firma.n algo sobre la.a propoeicionee y sus propiedadeei
8. Consideremos un triil.ngulo cuyoa lados aea.n a, b y c.
Sean h", hb y he 188 tres altur&8 relativas a loe l&dos a, b, e; análogamente, sean m11, mb y me las media.trices, yª•• a,, y &e la.e biaectricee
de loe ángulos del triángulo.
Supongammi que el triángulo conai.dera.do sea i.sóscelee y que
sea a au base y by e loe lados iguales. tCuálee de loa doce segmento& indicados son entonces congruentes (es decir, igua.J.ea en &en·
tido geométrico) y cuáles idénticoaf E:iprésese la respuesta. oon
ayuda de fórmulat y utilfoeee para ello el símbolo e;:• pa.ra la
congruencia. y el efmbolo
para Ja identidad.
Reeuélvaae el mismo ejercicio bajo la hipóteaie de que el
triingulo considerado eea. equilátero.
•=•
9. AcU.reee la significación de las expresiones:
(a.)
(b)
ezi8ten a. lo aumo do& ob;doa qw aatiafaun la condici6n dado;
eziaten do.t objeto.! que Mllia/aoen la condición dada.
10. Determineee cu'1ee de laa proposiciones siguientes son
verdaderu:
..
+
(&) e.:ride emaam.ente u" •'1ntt'o z tal que .z
3 - '7-z;
(b) tÑCen emaa~ doa nlimtro.t .z taka qtu z:I + 4 - 42:;
(e) tziatenalo sumodO!lnúmerol y f.ok.fque y+ ó < l l -2y;
(d) ezúten por lo menoei tru ntímerw z talu que zS < 2::;
(e) para tocio número z, ~un nú.mero y tal que x
y= 2;
(f) para taro núnuro z, erUtte emctammte un número y tal que
z·y = 3.
+
11. tCómo puede expreet.r88, con ayuda de los cuantificad.oree
num.érioos, que la. ecue.ción:
tiene doe ra1cea1
12.
¡Qu~
numeroe z satúd'a.cen l& función proposicional:
uíatm ezactamnte doa núnuroa y talu ~ z
=
y" 1
Diatinganse en e&ta. función lu varia.bles librea y lig&d&B. •¡Hay
va.ria.bles liga.das por cuantificadores numérioos?•
13.
ConsidérMEJ I& aigu.iente función propoaicfonal:
~"
x, y, z, talu que x
z 7'- z e y:;. z.
(a)
<ti, y< a,
Erpréae&e (a) usando cuantificadores
num~rioo1.
z
< a,
z -:;, y,
Form.11leae (a)
tJMndo loe sfmboloa introducidoa en loa e&pítuloe l y I l •Tra.dúzcaee la eiguiente fórmula (b) al lengu11-je ordinario e in~nte&e
demostrar que ea equivalente a {a):
(b)
t;C(z <a/\'V< a)-+~ (z
< a/\z.;.
z/\y "f: z]].
IV
SOBU LA TBORlA DB CLASBS
21.
Clalel 1
eua elemenkll
Ademáa de loe objetos individuales &ialadoa, que llamaremoe
INDIVIDUOS, en la lógica se eetudian CL.l.SB:8 de objetos; en la vida
ootidia.n& a.si como en matemática, las cl&Se8 aon más & menudo
llam&d.as ClONJ'UNTOS. Por ejemplo, la. aritmética trata frecuentemente con conjuntos de námeroe y, en geometría, nuestro interéa
no se dirige ta.o.to a loa puntoll aislados como a loa conjuntos de
puntos (& ea.her, a laa configura.cionea geométricas). Claaea de
individuoe son Uemadaa OL.il&S I>B PBDl:&R OBDltN, Aunque con
menoa frecuencia, en nueatru investiga.cianea también enoontraremoe OL.&HS DB SEOtrNDO OBJ)Blf, ee decir, claeea que conaieten,
no de individuoa, aiao de cluea de primer orden. A vecee be.y que
oonsiderar también CU8P PS TKBO:S&, COilTO, ••• , ÓILDBN&S.
En este libro noa ocuparemoa cui exclueivamente de clasee de
primer o.rden, y sólo excepcionalmente ----oomo en la Sección 26Uindremoa que ocup&rnoe de daeee de segundo orden; sin embargo,
nueetraa oonsidere.ciones pueden aplica.rae casi 11in modificacionee
a clases de cualquier orden.
Para diatinguir entre indiriduoe y clases (y t&mbién entze
claaes de distintos órdenee), usamoe como variables letras de tipoe
diferentes y pertenecientes a diferentes alfabetos. Ee usual de.
aignM" loa objetos aisle.do&, como por ejemplo los números, por
letra.a minóaculae, y loa conjuntos de éatos por mayúscula.e, del
alfabeto latino; en la geometrla. elemental, en cambio, está mú
"
At.FRED TAllSKl
extendida la ooatumbre contraria: con lu letr&l!I m•ydaculaa ae
deaign&n punto., y COQ lae minú.eculae (latine.e o griegaa), COD·
juntoe de elloe.
La. parte de la lógica. en que ae analiz.a. el concepto de clase y
se eatudian aua propiedadee generales, se denomina TllORÍ4
CLASES; a veeea, eet.a. teoría ae trat. como una disciplina ma.tem'·
tic& autónoma., y como tal, se la ll&m& entoncee TllORÍA ODKB.il.
»•
DI: CONJUNT091.
En la teoria de clases, desempefian un papel fundamental
expresiones como laa aiguient.ee:
el objtto z u un. demento tk la daae K,
elobjdozperlen.euala~K.
la cla.te K rontif:M como demento d obfdo z;
<:oneideraremoe eataa erpreeionee como t.eniendo el mismo eigni·
&ca.do y laa auatituiremoe, por ra.r.onea de brevedad, por la f6rmula:
zeK.
Si, por ejemplo, J ea el conjunto de todoa loe nd.meroa enteros, loe
números J, 2, 3, ••• eerán eue elemento&, y loe números 2/3, 21¡1 , •••,
no pertenecerán, en cambio, a este conjunto; lu fórmulas:
lel,2el,3el,
son verdaderas, mientras que:
2/3el, 2 1/ 1 el,
80D
falau.
' 1.M prlG~lplot 6e l• ~ria. de d•.et• -mtJor dlel10, d• •<1.11di. p&rt. de ott& U.Orla
qu• 111H &<htanc. 11&111•ttmo. ~lclllo d• e~- .e e11cut11tta11 ya111 aoo1.a(d- aota 1
:'~:t~!1 &!Uno1::a ':'1~~ :/ ~~~~:m1:t~'!te!'.:08~ 11~!!'1'l':(ie:~~:~~~ f:i
l<I de1H1110.. to l)triicul&r, 11 anill•lll de lo• co11eepto1 de eoordllUlbllldad. D4-ro ur.
dlo1l, 1oantt1d '/ wden di que hable..moa 111 11 ha»euno dtl p.-11... o;apklllo y de
]01111bt!.11ule:u1n.
L& teor\1 de <0nJ11nW. d i Ctl'ITOI t i 1111& di lu dllclp!Lnu -hmilk:M que M 111•
cuent..nenunn\.&dodedeurroUoeapttJ1lme11telnh1L1L..0; 1usldeuJrN011&1Dl1Dto1
te h&tl h1trod11ddu en cu! todu lu pa!WI de la -ttm,tJca, 7 b&11 •Jen:t<k> wia l&OUOD·
c1.. ntLmub.ate y fl'llCU!era.
INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA
2Z.
97
a..... J ruoloDM proposlolooalee coa u.u vartable Ubre
Coneide~moa
una función propoaicionrJ oon una varia.ble li-
bre, por ejemplo:
1:>0.
Si le prefijamos las palabras:
(I)
el conjunto de todoa l08 númeroa z ta/u que
obtenemos la e:r.:preaión:
Esta expresión designa. un conjunto bien determinado, a saber,
el conjunto de todoa los números positivos; éste es el oonjunto
que tiene por elementos a loa número& que satisfacen la. función
propoei<:iona.1 dada., y sólo a. ellos. Si designa.moa eate conjunto
con el sfmbolo tP11 nuestra función se hace equivalente a:
zeP.
Podemos aplic&r un procedimiento aná.logo a cualquier ot.ra función proposicional. En aritmética. se pueden obtener de esta. manera varioe conjuntos de números, por ejemplo, el conjunto de
todoe loa números negativos o el conjunto de todoe loe números
que son mayores que 2 y menores que 5 (o sea que aatiafaoen la
función u: > 2 y z < 5•). Este procedimiento desempeña también
un papel importante en geometría, especialmente en la definición
de nueva.a cll\868 de configuraciones geométricaa; la superficie de
una eafer& se define, por ejemplo, como el conjunto de todos loa
puntos del eepacio que están a una determina.da. distancia de un
punto da.do. Es costumbre, en geometría., reemplaz.a.r las palabraa
tel c.onjunto J.e todoa f.oa puntes• por tel lugar gwmttrico de loa
pu?ÚOll•.
Ahora. daremos a las anteriores observaciones una forma general. Se admite en lógica que, a toda función proposicional que
••
contiene esa.eta.mente una variable libre, por ejemplo, en, oorrespoode eu.ct&mente un& cluo que tiene por elementos a loe
objetol que 1&tiafacen la función proposicional dada, y eolamente a elloe. Obtenemoe una designación de dicha claee colocando
antes de la función proposicional la. 11iguiente frase, que pertenece a las expresiones funda.ment&lea de la. teorl11. de clasee:
Si denotamos la claae en cuestión por medio de un solo símbolo,
por ejemplo cC., la fórmula:
xeC
eeri. -para todo z- equivalente a la función propoeicional
orig!Dal.
Se ve, por lo tanto, que cu&lquier función proposicional que
oooteng& a en como únic& variable libre puede traneforma.ne en
una función equivalente de la forma:
xeK
donde en luga.r de ur. debe colocane un& constante que deeigne
un& ola&e; en consecuencia, puede oonaiderarse la última fórmula
oomo la. forma máa general de función propoaicional con un& varia-ble libre.
Laa :&aaee (I) y (11) son reemplaza.da.a a veces por expresiones
aimbólicaa; podcmoe, po:r ejem.ple, oonTenir en uaar el eiguient.e
atmbolo con eae propósit.o:
~·
~nsideremos
a.hora la eiguient.e expftlllión:
la ou&l puede escrib:ine WllUldo aolamente símbolos:
1 e~(%
>
0).
99
INTllODUCCIÓN A LA LÓGICA
Eata exproeión ee
evidentemen~
una propoeición e inolueo una
propoeición verdadera; ella upreea, en forroa mú complicada., el
mÍ8DlO penaamiento que eeta eimple fórmula:
l >0.
En coneecuencia, esta. expresión no puede contener ninguna. va.riable libre, y la. variable «n que aparece en ella. debe ser ligada.
Puesto que, por otra parte, no halla.moa en la anterior expresión
ningún cuantificador, llegamoe a la. conclullión de que frl!l.8e8 ta.lee
como (I) y (II) se comportan como cuantificadores, o ee& que
ligan variables y, por lo tanto, deben ser contadas entre los operad.oree (cf. Sección 4)•
.Apga.mos que con frecuenci• ao prefija un operador como (l)
y (11) a laa funcionea propoeicionalee que ademú de en contienen
otraa v&ria.blea librea (eeto OCWTe en caa1 todoa los C&808 en que
t.alee open.cionM se aplican en geometria.). Las expreeionee a.a(
obtenidaa, como por ejemplo:
d eonjunto tk todoa lof númeroo z talu qiu z
> y,
no designan, sin embargo, ningun• clase definida.; ella.e son fun.
cionee deeigna.tiva.s en el sentido que ae estableció en la. Sección 2,
ee decir, se tra.nsforma.n en deeignacionee de clues lli reempla..
r.am.oa la.a varia.bles libres (pero no .:n) por consta.ntea &propiadaa.
Asf, en el 'dltimo ejemplo, podrla.moa reempla.zar ~ por tOt. •
De laa funcionoe propo&cioMlee oon una vwiable libro se a.fir.
ma a. menudo, que e%Jlrea&D una. determinada propiedad de
objetot, propiedad que afecta a. loa objeto. que la, aa.tiafacen y
eólo a. éstos (por ejemplo, la. función propoeicional -x u divinble
por 2t expresa. del número z la propiedad de ser divisible por 2,
o de aer pa.r). La. clue que corresponde a. esta. función oontendri.,
puea, como elemGnto8, todoe loe objetoa poaeedorea de la. citada.
propiedad, ~ a ni.ngón otro. De eeta forma, a toda propiedad de
objetoe ae le podr& ha.oer ool'l"e8ponder una clase univocamen~
determina.da.. Ahora. bien, también es verdader& la. reciproca:
a toda clase ae le puede e.signar una propiedad poaefda. exclueiva.mente por loa element.oe de dicha. clase; a u.her, la propiedad. de
100
.UlllED TAUKI
perUnecer a. ella. Por esto no ee neoeeuio, en la opinión de muehoe
lógicos, distinguir entre loa oonceptos de claae y propiedad.; en
ot.ru palabras, una tteorfa. de propiedadeet especial eerla inneo&saria, aiendo euficiente la teorla. de oluee.
Como aplicación de eetaa obeervaciones daremo• un& nueva
formulación de la. ley de Liwnm., La. formulación original (en la
Sección 17) oontenfa. el ténniDo ~; en la que aigue, que
le es equivalente, usamOB en e&mbio el Unnino tclaaet:
:t: - y ai, y sólo M, toda el<.ue qtU contit1u como demento a uno
tk loa objdoa z o y, tambiba eontUiu al otro como dmwtlo.
En esta. formulación de la ley de LEmMIZ se pone de m~
que el oonupto de identidad puede detinine en ~rm.inoa de la
teorladeclaeee.
28. Clue u1.....i ' olMo nula
Como ya sabemos, a cualquier función proposicional con una
varia.ble libre corresponde la claae de todos loe objetoe que ea.ti8fa.oen esta. función. E.ato ee puede aplicar ahora. a la.s dos aiguientea
funcionee particula.rell:
(l)
[A primera. de Mtu funciones es evidentemente aatíafecha por
todo i.Ddiriduo (véue Seooión 1'1). Por lo t&nto, la claee OOmMI·
pondiente
" e; (z ""' z)
contiene & todos los individuoe como elemento&; llama.moa a e11ta
claae la CLA.SB UNIVEBSAL y la denotamos por el efmbolo tV•
(o •h). La. segunda función propoaicional no es satisfecha por
ningún objeto. En ooneecuencia, la olue que le oor;responde
~(z
#:- z),
IH'l'IODUCCIÓH A LA LÓGICA
101
es denominada la. ou.n NtrLA o CLA.H VACfA y denota.da por cAt
(o .O.); no contiene ning6n ekm.ento. Podemoa reempla.za.r a.ho·
ra. a laa funciones propoaicionalee (1) por funciones equiv&lentee
de la. forma.:
zeK,
a a.her, por:
(II)
zeV,
ze A,
aiendo satisfecha. la. primera. pcrr cualquier individuo, y no ei6ndolo
por ninguno la segunda..
En lugar de emplear el concepto lógico general de individuo
dentro de una. detennin&d& teorl& ma.tem6.tica., es a. veoe11 má.1!1
conveniente especificar qu6 ee lo que NI conaidera como objeto:
individual dentro del marco de eea teorfa; ae denot&ri. entoncea
nuevamente por t Vt a la Claae de todoe eeoe objetoe y ee la. llamad
el UlfIVlm80 D• DUIOUILSO de la t.eorfa. En Ja aritm~tica., por ejem.
plo, el urúverso de diacuno eet.6. constituido por la clue de todoe
loe nó.meros.
•Se ha de not&r que V ea I& cl&ee de todos loe individuos, pero
no l& cleae que contiene como elementos a todos loe objetos poei.
bles, a sa.ber, también claae8 de primer orden, segundo orden y
aaí en &delante. Se preeent& el interrogante de B&ber si una. claae
tal de todos loa objetos poaiblee e.Date, y, de una manera. m!e
general, ei podemos oonsidera.r claaee m.o·homogéneaat que no
pertenezcan a un orden p&rtieular y que contengan como elemen.
toe tanto individuoa como cle.eee de divenoe órdooee. Est& ouee·
tión está. eatrecbamente relacionada con loe máa intrinoadoe problemaa de la lógica contem.pcrinea., a. aaber, la aaf denominada
.ilfTilfOKU. DB Rt18SSLL y la TBOBÚ Dll LOS TIPOIJ LÓGIOOIJ1• Una
diacmión de est& oue1tión irla m'8 allá de loe propóeitoe de este
libro. Solamente diremos aquí que rara. vez ea neoeea.ri.o oonaiderar
claaee mo.bomogéneast en matemá.tica. (excepto en la. teoría general de oonjuntos), y mucho menoe aó.n. en otras oienciaa.•
' BI concepto d• Upoe IOslco. lnVochtdcSo por 1trUSLL • pancldo al da ord. . 49
1111& claee, 7 pued9 - coneobldo but& como mu. 1111tn.clc!11 di • t i 'll!Umo; pnusllla·
clc!u QUI 110 aol&m1nto 111 rtlere • !u dMot. 111• t&mb\611 otrN ~ ~ 1Jeinpl(I, •
a
:e~:t:~'!:1i.e".=~:::::,:.'!.·~ l}P.!:.'!i,!-(~~i:•1t.trn'a1~.i:).
102
14. RelMlon• fundamental• eatrt oiu.
Entre d08 cl&BM arbitrariu K y L, pueden existir diverr.u
relaciones. Puede ocurrir, por ejemplo, que todo elemento de la
claae K se& aJ. mismo tiempo un elemento de la clase L; decimoe
entonoee que LJ. CLü:I K ES UN... SUJWL.t.SB DB LJ. C:U.SB L o eatl.
IlfOLUIDA. BN LA. <JLASE
Lo que TIBN B L.l RELA.OIÓN DE INCLU8IÓK
L; y decimoe que u. CIL&SB L INCLUYI: A LA OLA.·
K OOJIO SlJllOLAfJB. Expreaaremoe eato, brevemente, mediante
una de las fórmulas:
OON LA. CLASE
111:
KC:L
o
L::>K.
Al decir que K ea una eubclue de L no queremos e:icluir i.
poaibilidad de que t&mbién L aea. una eubclaae de K . En otras
palabru, K y L p ueden eer eubcla.aee una de ot ra; en tal caso,
11e aigue de una ley (dada m'8 ir.ha.jo) de Is. teoría de cl&IM!e
que K y L son idénticas. Si, por otra. parle, todo elemento de
la clase K es un elemento de Ja clase L, pero no todo elemento
de la olaae L es un elemento de la claae K, entoncee decimoa
que la. clase K es un& SOJICLUB PROPU o UD& PAJI.TE DB LJ.
OLüB L, y decimos que L INOLUY B A. K 00110 snOLA.SJ: PBOPU.
o 0011:0 l'.lll.TB. Por ejemplo, el conjunto de todos los númeroa
ent.eros ea un subconjwit.o propio del conjunto de todos loe mi·
mero& raeionalea; una. recta. incluye como parte & cada uno de
sua aegmentoa.
Deoimoe que dos cl&eee K y L ee INTH8B<a.N ai ellaa tienen el
menoa un elemento en común y . &demú, cada. un& oontiene el&.
mento. no oontenidos en l& otr&. Si cad& una de doe claeee tieM el
menoe un elemento (ee decir, ei eon no vacúr.e), pero si no tienen
elementos en comdn, decimos que son llUTUillEMTB BXCLUYD'·
1'B8 o DI&JtJNTil. Un circulo, por ejemplo, intereeca. & toda rei..1:.&
que Pl'86 por su centro, pero ee disjunto de toda. r&Ot& cuya dieta.ocia. aJ oentro ee ma.yor que el radio. El conjunto de todoe loe
n6meroe positivos interseca. al conjunto de todos los númeroa
racionales, pero el conjunto de todos los números positivos y el
conjunto de todos los númeroe negativos eon mutuamente e:J:•
oluyentes.
108
INTaoouocróN A LA. LÓGICA
Demoe a.lgcmoa ejemploe de leyee que oonc.iemen a
nee entre cla.eee arrib& meooioaad.u.
~
ret.cio-
Para toda claat K, K C: K.
Bi K e L y Le K, entonua K =L.
Si K e L y L
e
M, entonua K
e: M.
Si KM una aubclase M vacla de L, y 8i laa clase.a L y M..,..
di.a;untaa, mtoncu lat claau K y M ama. diajuntaa.
El primero de eetoa enunciados ae lis.me. Ll:Y DE Rl:l'LEUVID.!D
para la inclmrión o LEY DE IDEN'nD.!D de la teorfa. de IM c)Mflll!I.
El tercero &e llama LBY DB TIU.N91'JTVID.!D para. la. inclusión; junto
con ·el cuarto enanciado y con otroa de estructura análoga, forma
un grupo de enunciadoe que reiciben el nombre de LUIS D:st.
91LOOIBMO C.!TEOÓBIOO.
Una. propiedad caracterúitica de la clase universal y de la claee
nula que est.á. relacionada con el concepto de inclusión, ee la que
8" expresa oon la Biguiente ley:
Pamtodaclaac K , V::> Ky/\ C: K.
Bate enunciado parece a mucha gente bast!mte paradójico, &Obre
todo en su segunda parte, que ae refiere a la clase nula. Con el
objeto de demostrar eeta. eegunda parte, ootU1ideremoe la implica.eión:
aize/\,eftlon.cUzeK.
Cual~uiera
eea. el nombre que ooloquemOl!ll en el lugar de ca (y
tKt), el anteoed.ente de la. implicación aeri. una proposición falaa,
y, por lo tanto, toda.la. implicación~ una proposición verda.dera.
(como dicen a veces loe matem~ooe. la implie&ción ae satisface
tva.cuamentet). Entonoes podemoa decir que, ai un objeto cua.J.
quiera es elemento de la clsae /\, ea también elemento de la. ola..
ae K, y, por lo ta.nt.o, en virtud de la definición de inclusión,
tenemoe: /\ C: K. La primen. parte de la ley ae demuestra a.o&.
logamente.
,,.
Et f'-oil ver que, entre doe cluee oualeequ.iera, debe veri6·
alguna de laa relacíoEMe oomidend.M. Eeto ea e~reeado
par Ja Wguiente ley:
dl'N
Para cllue4 K y L cualuqui.era, o trim K - L, o bim K u
inclu~ a L como .nibcla.u
H interHCOa, o mm finalmente K y L
,Jidiuntaa; ningún par de utaa re1ac&onu ttakn simultá~.
•M aubclaat 'P"O'J)ia tk L, o titen K
ª°"
propia, o bien K y L
Par& entender ch~ra. e intuitivamente esta ley ee mejor imagi!llU'SO a las cla.ses K y L como fignna geométricas y considerar
todaa las posibles poaicionea en que pued& eeta.r una de e8t&8
6gun8 reepecto de la otr&.
Lea relacionea oonaider&das en eet& eeoclón puede MU' Uamadu
asLAOIONB8 tlTNDAlll'ElfT.6.1.1:8 ENTJU: 01.ABl:81•
Cui toda la lógica tradfoional (cf. Sección 6) puede reducine
a Ir. teori& de las relaciones fundamenta.lea entre claaes, ea decir,
a una pequeti& pe.rte de la teoria de clues. Aparentemente ambas
diaoiplinas ee diferencian por el hecho de que en la antigua. lógica
no interviene explicita.mente el oonoepto de clue. En lugar de
decir, por ejemplo, que la cl886 de loe caballos está. oontenid& en
la de loe mamíferos, en la. lógica antigua solla decirse que la pro·
piedad de ser mamífero ea poaelda por todo& loe caballos, o, simplemente, que todo caballo es mamífero. Laa leyes má.e importan.ta de la lógica tradicional son laa del silogismo cat.egórico,
que oorreeponden na.et.amente • la.e leyes de la teoría. de claeea
que hemoe citado mú arribe. a lu que bemoe dado eee nombre.
Por ejemplo, en la lógica antigua, la primera de laa leyes del silo.
gismo mencionadas anteriormente toma la lliguiente forma:
Si tod-0 .M u P y todo 8 u JI, mkmcu lodo 8 • P.
1Ata ea la ley mis f&mosa de IA lógica. tradicional, y
oomo la ley del silogismo
ee la oonoce
BÁBB.&JU..
• . . _ l'tl&do- 1'111ron ln,..Upd.M por prlmel'I n1 de
por 111 1D&t.e!Utloo fl'lncM J. D. OUOIO•B• (U1M8IO).
un&
manen. •U•IMU••
UITRODUCCIÓN 4 LA LÓCICA
106
36. Operaolon. ooa oiu.
Considerarem.oe &bon cien.u operaciones mediante 1&1 out.kie,
partiendo de cl&eer1 dadas, ee forman nuevas clMel!ll.
Dadas dos olaees cualeaquiera K y L, puede form&r&e una
nueva clase M que contiene como elementos aquellos, y .eolamea.
te aquelloe, objek>e que perteneoen al menos a una de lu cl&&eB K
y L; podría decirse qne la clue M se obtiene de la clase K agregándole loa elementos de la. cJue L . Eet.a opere.ción es llamad&
ADICIÓN DI: CU.SES, y la cl6&e M recibe el nombre de BUKA. o
UlfIÓN DB Lil OU.SBS K y L, y lile la designa con el almbOlo:
KUL (oK + L).
Otn opera.eión oon dos claeee K y L, llam.ada. IlllV1.TD't.I040IÓN
n:s OL4.BA, consiste en formv una. nueva claee M cuyoe elementoe son &quellOl!I, y 80lamente a.quelloe, objetos que pertenecen a
a mbas claaes K y L; esta clase.Mea ll&m&da el PltODUcro o llfTBBHOOIÓN DE L.&..S OL4.SES K y L , '1 ee deeignada. por el aimbOlo:
KnL(oK·L).
Esta.a dos operaciones se aplican freouentement.e en geometría;
a veces es especialmente cómodo aplica.rliui a la definición de
nuevas especies de figura.a geom&t.ricas. Admitido, por ejemplo,
qUfl ya aupiésemoa lo que &00 'nguloa ad.ya.cent.ea, entoneea el
eemiplano o ángulo llano podrla defi.nine como l& claeo unión
de doe ánguloe adya.oentea (oooaider&Ddo el ángulo como domi·
nio angular, ee decir, oomo una parte del pl&no limitada por dOI
eemirreotu l.l&m.adaa ladoe del 6.ngulo). Considerando a oontinn&oíón un clrwlo arbitrario y un i.ogu.lo cuyo vértice esté eituado en
el centro del ofroulo, la intenecoi6n de ambu figuru 11erá una
nueT& figura. llamada sector circul&r.
Vamoe a indicar doa ejemploe m"8 del e&m.JIO de la &ritmétioa:
la. aum.a del oonjunto de todoe loe números positivoe y de todoa
loe números nega.tivos, aer'- el conjunto de t.od.oa loe nómeroa
diatintos de O; la inter&e<lci6n del conjunto de todoe loe námeroa
pattl8 y del conjunto de t.od.oe loa nómeroa prim.OB eer4 nn con-
106
junto que te11dt& un eolo elemento, el número 2 (estAt nómero ee
el 6.n.ico nómero p&r y primo).
·
Para. la adición y multipliea.ción de oluea, valen divenu
leyee. Alguna.a llOD oomplet.Mneot.e aná.log&a a 1011 teoremu de la
aritmética. rel&tivoe a la adición y multiplicación de n'dmeroe
(preciament.e por esta razón ee han elegido IOl!I términoe cadi.ción•
y a:nultiplicaciów para. dtllligna.rlaa); oomo ejemplos mencionare.
moa las LEYES CONJl'tl'TATIVA.8
y
A.80CIA.TIVA.S de Ja adición
y
multiplicación de clases:
Pamda.aea cuakaquimiK yL,KUL = LUK yKnl= Ln K.
Paro.,¡,,,., K,L yM eualuquiua, K U (L U M) - (K U L) U M
yKn(LnM) = (KnL) nM.
La analogía con lOI teoremaa aritméticos oorreapondientee .,
vuelve evidente oue.ndo reempl&z.am08 loe símboloe •U• y cnt por
loe stmbolOl!I usuales
y e· t de adición y multiplicación.
Pero en cambio, otraa leyes difieren ooDBidere.blemente de lu
leyee: de la aritmétie&; un ejemplo C&J'acterletioo es la. llamada Ln'
•+•
DI: TA.UTOLOOÚ.:
Para toda c/.a.ae K, K U K
=K y
K
n
K = K.
F.ata ley ae vuelve obvia cuando refterionamos sobre el aignifioe.do
de lot aímboloa tK U Kt y cK. n Kt; ai, por ejemplo, a loa elementoe de l& ola.se K ae le a¡repn loe elemento& de esta m.iema olue,
en realidad no ee agrega aada y como resultado ae obtiene naev&.
mente la. claae K .
Queremoe mencionar •ú.n otra operación, que difiere de l&ll
operaciones de adición y multiplicación en que no ee realiz& oon
dos clsaes, sino con un& sola. bt.a ea l& operación que consiste
en formar, & partir de una claae dad& K, el llamad.o OOJll'LEllDTO
DB LA. OLA.SE K, eeto ee, la olaee de todos loa objetos que no per·
t.enecen a la clue K. El complementA> de la ola.se K se denota. por:
K'.
IN'T&ODUCCIÓN A LA LÓCICA
107
Si K ee, por ejemplo, el c.on.junt.o de todoa loa n6meros ent.erot,
eotoocee todM lae fra.ocionee y todos loa o6meroe m.ciooalee
perten~•K'.
Como ejemploe de leyes que MI refieren al concepto de oompl.&plemento y que establecen eus conezionee oon otros oonceptoe
oonaiderados ant.eriormente, damDft loa do11 enunciados Biguienka:
Para roda claae K,
K U K' - V.
Pamtadacl.aae K,
K nK' =A.
El primero de ellos llle llam• UY DBL TltBClltBO BXOLUIDO de la
teori. de claaell, y el eegundo LEY ni: OONmil>IOOIÓN de la teorla
de claeee.
Lu relaciones entNI cl8M18 y Ju operacionee con éet&a que
aoabamoe de tratar, y también loe oonceptoe de clase univeraal y
olue vacla, pertenecen a un& parte especial de la. teoría. de cluea;
oomo loa teoremas referentee a eBtaa relacionee y operacionee
tienen en au mayor parte un car6.ct.er de fórmulas llllnplea, y reouerd.&n teoreinae de la. aritmé&ioa, a esta. pliLl'te ee da el nombre
de CJlLcuLo DB OLilBS.
28. C1ues coordlnables. H•mero cardlDal 4• una clase. C.lasel
llDl&aa • ln1ln1&u. La arl&m6Uea GOmo parte de la 16gl.ca
•Entre loa reetantee ooooeptoe eetud.i&doa en J& teorú. de cl&NI, b&y un grupo que mereoe especial atención y que incluye
oonoeptoe talee· como loe de cluee ooordina.bl•, ndm.ero cardinal
de una olue, cl88el finita& e infi.n.itu. Deegraciada.mente, Mtoa son
oonoeptoa diffcilee que aquf .dio podrán aer tn.tadoa de manera
oupemoi&I.
Como ejemplo de doa OLüES OOOB.I>INA.BLJ:S o BQUIVALBKTBS,
pueden servir loe oonjuntoe de loe dedos de 1aa manoe derecha e
izquierd&; ambos aon coordina.bles, puea con loe dedos de 1aa doe
m&noa 18 pueden forma.r paree en los que: (i) t.od.o dedo figura
enotamente en un par, y (ii) todo par contiene un dedo de la
11lA
mano derecha y un dedo de I• i.eq'llierda. Eo el mismo M1Dtido,
eon ooordinablee, por ejemplo, loe tree ooojunt.oe aiguieotee: el
oonj1111to de todoe loa vértices, el oonjUDto de todoa lo• ánguloe y
el oonjunto de todos loe ladoe de un poUgono arbitrario. M'8 adelante, en la Sección 33, d&remoe una ~efu:ü.ción general y precisa
del oonoepto de clases ooordinablee.
Con.eideremoe ahora una claee oualquiera K; exist.e, ein duda,
una propiedad poseída por todaa laa claaea ooordinablee oon K y
por ninguna otra clase (a e&be.r, la. propiedad de ser coordina.ble
oon K); esta. propiedad. ee llamad& NÚllDo OilDllU.L, o NÚlilBO
DB ELEMENTOS o l'OTENCli DE u CLilE K. Esto puede ser expreeado de una. manera mM breve y- precisa, aunque quizá. mú
abatra.cta: el ndmero e&rdin&l de una ola.se K ee l& clMe de toda.8
laa claaee coordinables con K. So sigue de eeto que dos cl&ee11 K
y L tienen el mismo ndmero c&rdinal, si, y aólo ai, son ooordinablee.
En relación con el nó:mero de eua elementoe, la.e cluee ee clasifican en finitaa e infinitas; t1ntre Ju primeru ae distinguen lu
que oonst&n de ningdn, o exactamente uno, dos, tres, etc., elementos. Sobre la base de la. aritmétioa es como se definen eetoe
conceptos con la ma.yor sencillez. Se& en efecto, n un número
natural cu&lquiera. (esto ee, eo\ero no negativo); diremos qoe
u. CIL.lSB K OONllTA (o OONllI8TS) D:I n ELJ:llINTOll si K ee ooordi·
m~ble oon la clase de todos loa núm8l'08 naturales menores que n.
Según ello, una clase constari. en particular de 2 elementos,
ouando sea coordin&ble con la olue de tiodos loe númeroe na.turales menores qne 2, es decir, oon la. claae compuesta. por
loe númeroa O y l; del miemo modo, una. elue constará. de 3
elementoe oue.ndo. eoa ooordin&ble oon la. el.a.ee que ti.ene como ele.
mento& loe n11metoe O, 1 y 2. En gener&l, llamaremos J'CNITA
a UD& olue K, ai emte un o<amero natural n tal que la claBe
K conaiate de n eleme:ntoe; en caao oootrario direm.oe que K
98 INnNITA.
Se ha demoetrado, 11in embargo, que aún es posible otra manera de proceder: todos los ~rmínos últimam.ent.e oonsideradoa
pueden defi.nirse con ayuda de eK'preai.onee de carácter puramente
lógico sin recurrir a ning6.n concepto de la. aritmética. Podrlamoa
decir, por ejemplo, que la. clue K con.aist.e de en.otamente un
elemento, ei ella. u.tieú.ce lae condiciones siguientes: (i) eiiBte
un :r tal quezeK; (ü) para. todo y y i:, ai yeK y z,eK, entonOM
lNftODUCCIÓN 4. LA LÓOICA
109
y - i (•te.a doe oondicioM1 paedeo aer reemplar.adu por una
eola: cezirte esactamente un z tal que zeK•; cf. Sección 20).
Análogamente podemoe definir 1u fruee: tia claee K oomilte de
doe elementoet, da clue K consiste de tres elemento.. y aai suce.aivamente. El problem& se b&ee mucho m'8 dificil al tratar de
definir loa términos t:cl&ee finitat y telue infinita.; pero tambiéo
e.n estoa C&808 los esfuerzos para. resolver el problem& posi.tiv...
mente han tenido éxito (cf. Secdón 33), y, por consiguiente, todoe
loe conceptos conaideradoe queda.a incluidos en el dominio de la
lógica.
Esta cirounstancia lleva ooneigo una consecuencia de gran
interés y de importancia tre.eoendent&l; ee ha demostrado, en efeoto, que tamb~n el concepto mismo de número y todoe los demáa
del dominio de la aritm,tica, pueden deñnine dentro de la lógie&.
E.a realmente f&oil eet.ablecer el eentido de loe efmboloe que denotan a loe dietintoe niimeroe natunlee, ee decir, de loe aimboloe
.O., dt, dt, etc. Se puede decir, por ejemplo, que el mimero 1 ee
el n6mero de elementos de una clase que consiste de eie.ctament.e
un elemento (definición a.pa.rent.emente incorrecta, puee parece
como l!li en la. formulación de ella. ee cometiera. un círculo vicioeo, al
figurar en el definiem la. palabra tunt que precisamente ee trata
de definir; en ~dad, no se comete, sin emba.rgo, ningó.n error,
puee la frase da cla.ae coDBiste d e exactamente un elementot ea
oonsiderada. como un todo, y au sentido ha sido definido anteriormente). Tampoco ofuee dilicultadea el definir el conc.epto general
de nó.mero na.tW'al: un nó.mero nat ural ea el número ca.rd..inaJ. de
una. claae finita. A.demás, eatamos en situa.ción de definir toda.a la.e
opera.cionee con nómeroa natura.Jea, y e.mplia.r el conoepto de od.mero oon la introducción de tu fracciones, nótneroe negativoa e
in-acíonalee:, ein neceaida.d de ir más allá. de loe Umitee de la l6gie&.
Más a6n, podrf!toID.oe fundamentar t.od08 loe teoremu de l& aritmética. a.poyándonoa exclu.einmente en teoremas de la lógica
(para. eat.e fin sólo tendría.moa que amplia.r el eU:tema de leyes
16gicu con un enunciado intuitivamente menol!I evidente que loe
reet&ntee, llama.do AXIOJU. DB llffllfITUD, que a.firma. la. existencia
de una infinidad de objetos distint.oe). E.eta. construcción completa
aeria muy abetraot& y no dívulgt.ble oon facilidad, no aoomO<Un·
doae, por lo tanto, al ma.roo de una exposición elem.ent&I. de la
aritm~tiea.; tampooo trat.&remoe a
88té libro de adapt:amoa a
uo
esta ooncepción y con.eideraremoe • loa númeroe como individuoe
y no como propiedades ni como claaee de claaee. Pero el mero hecho
de ba.ber eido poe.ible deearrollar toda l• aritm~tica, incluyendo lu
dieoiplinu erigida.s eobni ella -álgebra, análisis, etc.-, como
partee de l& lógica pura., constituye una. de laa más grande. reaJ.i.
za.cionee de la.a inveetigacionee lógioae recientes1 ••
1. Se& K el conjunto de todo& loa nó.meroa menores que 3/4;
iou'1ee de Ju siguientes fórmulaa IOD verdaderaa:
OeK,
IeK,
2/3eX,
3/'eK
4/6eK 1
2. Cooa:ideremoa loa cua.tro coojuntos liguientee:
(•) d conjunto dt k>doa loe n úmero.!J -pofttit1oa,
(b) tl wnjunto dt k>doa loa ftÚcmerOr-' menoru pe 3,
(e) el conjunto de k>doa loa número.r z talu que :z: + 6 < 8,
(d) tl conjunto dt todo.t loi númuw :z: que aatitfaan la fu~
~u<2">.
¡Cu'1es de estos conjunto& aon idéntiooa y cuáles no lo son1
3. ¡Cómo ae llama en la. geometría. el oonjunt.o de todo.a loe
puntos del espacio cuya. distancia. a. un punto da.do o a una. recta.
dada. respectiva.mento no ee mayor que la. longitud de un ae~n·
to dado1
4-. Se&n K y L doe circuloe conoMtriooe, y sea el radio del
primero menor que el del segundo, J.t u&lea de l&a rehwionee diecu.
tidaa en }& Sección 24 rigen entte eetoe dol!I círculoel tRige la misma
relación entre las circunferenaiaa de loe círcul0111
I&"'*'"
' Lu I d - f'lmd&menU.111 &11 ..U e&mpo M oll1M11 • :ir..it1 (cf. 110t& 1111
U); IN d.arrolld por prlm1n. l11te.-11te o)n. Die ~·
(BrMla.11, 1184). LN ldeN . . FtaOI hl.11 111eo11tr&d.o ... raa1J.u.cd6D .........
~"'o::,~t. eD ~J'Í'I JI~.. di W a!Hlllil> y B.tl&HLL (d. DOt& 1 -
p
~
••.u.
111
6. Dilnijenee dOI cuadradOI
K y L do manora que eeWo en
una de IM relaoionee s:iguMnt.ea:
K - L,
ú cuaModo K u """ parl< P'OtM dú cuadrado L,
el cuadrado K incluye al L como una 'Jlllf'k propia,
loa C'lliJdradoa K y L • intaauan,
loa twadtutloa K y L «>"' tf.M;uflloa.
(a)
(b)
(e)
(d)
(e)
¡Cu&lea de eetoa caaoa 86 eliminan, (i) si loa cuadrad.os eon
oongruenUie, y (ü) si en vez de loa cu&dradoa ee conaideran sus
oontornoe1
6. 8e&D z e y doa oómeroe &rbitr&rioe, y z < y. El conjunto
de todos loa nWneroe no menoree que z y no mayore1 que y, ee
llama, oomo • aabido, intecv&lo de e:1:tremos z e y; ee designa
mte oonjunto con el afmbolo t[z, y]•.
tCuálea de laa fórmulaa ind.icadu
&
continuación
llOD
dJidaa:
[3, 6) e [3, 6),
[4, 71 e [6, 101.
(o) [-2, 4) ::> [-3, 6),
(d) [-7,I]::> [-6,-2] I
(•)
(b)
¡Cuálee de lu rela.cionee fundamentalee rigen entre loe in-
te"alo.:
(•)
(f)
(g)
[2, •l y [5, 8],
[3, 6) y [3 '/,. 6 '/,],
[!'/,. 7) y [- 2, 3 '/,) l
7. ¡F.a la. siguiente proposición (que tiene la. misma eetructura
que las leyes del silogismo dadaa en la Sección 24) verdad.en:
ft K e.a diajufllo tk L y L Jia;uftlo de M, mlonul K u_
di.ajuato de JI t
112
8. Traducir laa siguiente& fórmula.e en Urminoa del lenguaje
ordinario:
(a)
:i: - y-~[:a:eK.-.yeKJ,
(b)
K - L-~[:a:eK,......:a:eL].
tCuáles de las leyes mencionadas en laa Secciones 22 y 24 son
expresa.das por estas fórmulas! ¡Qué modifica..cionee es necesario
efectuar en ambos miembroe de la. equive.11omcia (b) para obtener
una definición del símbolo cC• o•~•!
9. Sea ABO un triángulo arbitrario y D un punto cualquiera
situado aobrc el segmento BC, iQU6 figuras 11on formadas por la.
euma de loa dos triánguloe ABD y ACD y cuáles por su productol
E&preee.r la. re1pueeta oon fórmul&a.
10. Representar un cuadrado cualquiera:
(a.)
(b)
como euma de doa trapezoides,
como intereección de doe triángulos.
ll. ¡Cuálee de l~ fórmule.s dadas a. continuación son venladeraa (compa.rar con el Ejercicio 6):
(>)
(b)
(e)
tdl
[2, 3'/,] u [3, 6] = [2, 5],
[-1, 2] U [O, 3] - [O, 2],
n [3. 7] - (- 2, 8),
¡2, 4'/,J n 13. 6J = 12. 3! !
[ - 2, 8]
En aquellaa fórmulu que eon fa.18&8, corregir la exprel!lión que
aparece a la derecha del slmbolo •- •.
12. Sean K y L doo clases cualesquier&. ¡Qué cla.sea son K U L
y K n L en caso que K C: LT En particular, ¡qué cl&Se8 son
KUV, xnv. AULy AnLT
Indicación: Al contestar la eegund& pregunta t6ngase preeente
una ley de la Sección 24 relativa a lu c1asee V y A.
lNTIODUCCIÓN A LA LÓGICA
13. DomoMtreae que para cluea K, L y M eu&l.ee,quier& ee
a&tiaf'a.oen laa aigu.ientes fórmulu:
(•) KCKUL y K'::IKnL,
(b) KO(LUM)-(KOL)U(KOM) y KU(LOM)-(KUL) n (K UM),
(e) (K')'-K,
(d) (KUL)' - K'nL' y (K nL)'- K' UL' .
.LU fónnolu (a) se llaman LBTKS DI: 8IllPLD10AOIÓN (para la
adición y multiplicación de cluea); la.e fórmulas (b) son 168 uus
Dl8'DD!IUTIV.ü (para. la multiplicación de ol81Je8 oon respecto a
la adición y para la adición con rMp&Cto a la multiplica.oión); la
fórmula (e) ce la. LBY DKL OOKJ"L:IKmf!O DOBLE; 6.n&lmente, la.a
fórmulaa(d)10n laa L:ITU DE D• MoBO.u para l&teoriade otuw.
¡Ouálee de eatu Jeyee oorreeponden • teoremaa de la 1Vitm6tioa1
Indicación: Pan probar la primera de las fórmulaa (d), px
ejemplo, baat& probar que las clue& (K U L)' y K' n L' oonatan
de loe mismos elementos (el. Sección 24}. Par& eeto, aoU.reee,
U8&1ldo las de1inicionee de la Seooión 25, cuándo un objeto z pert.eo:eoo a la clue (K U L)' y co&ndo pertenece a la claae K' n L'.
•If. Eriate una import.ant.& semejanza estructural (indicad.a
por la analogía. de eua nombres) eDt.re la.e leyee del cálculo propoaioional enunciadaa en !u Secciones 12 y 13 y en el Ejeroicio 14.
del Capitulo II, por un la.do, y lu leyes del cálculo de claaee da.d&a
en l&e Seoclonee 2' y 25 y en el ejercicio preoedent:e, por el otro.
Deeorfbaee en detelle 64 qu6 ee b6I& eeta. aemejanza., y tr¿teee de
enoontrv una explicación general de eete fenómeno.
En la. Beooión H hemoe tratado la ley de oontrapoeición del
oiloW.o proposicional; formular la ley análoga para el o6loulo de
o1.....
15.
Con ayuda del llimbolo:
~
•or.uoa.Inlapf.tiu11.
ALJ'llED TAUIC.l
introducido en l& Sección 22, podomoe eecribi.r la dofi.ni.ción de
auma de doe clues del siguiente modo:
KUL=<;[zeKVzeL};
pero también es posible dar a esta definición
equivalencia (sin usar aquel simbolo):
1111
forma usual de
[ze(K U L)]+-t [zeK V :teL].
Form.ó.lenae an&logamente de a.m baa maneras, las definiciones
de: claae universal, cla.ae nula., producto de dos clase.e y complement.o de una cla&e.
16. t.. diferencia. de dos cleaee dada.a, K y L, en eimboloa,
K-L, u la claae M de6nida. por:
M
= <; [zeK /\....,
(x eL)].
Si K ea la clase de todoe los númeroB enteroe y L la claae de todoe
loe enteroe nega.tivoe, ¡qué cluee eon K-LyL-K1 ¡eu¿tee
de laa siguientes igua.ldadea ean a&tiafec:haa por toda.e las cluea:
~-~UL-KU~
y
K-~-~-L
L-(K-L)-L 1
•17. í.Exiate a1gún polígono en el que el conjunto de todoa
aua la.doa aea. coord.i.nable con el de toda.a .SUI diagona.J.eel
•18. Juan trabaja 1.oa lunee, mi6coolee y riemee, mientru
que Pedro tra.baja loe lunea, martes, miércoles y juevee. Sea K el
conjunt.o de loa días de la sema.na en que JU&D trabaja, y L el
conjunt.o de loe día.e en que Pedro trabaja. iQué porcentaje del
níimero de elementoa de K U L ea el número de elemento& de
K n L1 Contéet.ese la misma pregunta reemplazando K n L por
K - L (cf. Ejercicio 16).
•19. Para ca.d& una de l&a doa expresiones siguientes eacrl·
bue una fórmula equivalenl:.6 ua&ndo ú.nie&ment.e símbolos lógi006:
INTRODUCCIÓN A LA. LÓGICA
(&)
(b)
'°"'"'
la d<we K
d< do< d<menloo,
la clale K COMta <k ,,e.a~.
•20.
¿Cuálee de loe aiguientee conjuntos son finitos y cuálet
infinitoa:
(t.) el conjunto de todos loe números natura.lea z ta.les que
O < z y z<4,
(b) el conjunto de todoe loe números raciona.lea z ta.les que
O<x y z<4.
(o) el conjunto de todoe los números irra.cional.es z t.alee que
0<zyz<4t
21. Est&blkeaae, pa.ra cada una. de la.e expre&ionee aiguientee,
si ee tr&t.a. de un. propoeieión, una función propoeicional, una
deeigna.ción o una función d<eeigna.tin, y especifiqueee qué va·
ria.bles ae presentan libl'ftl y cul.lee ligad.u:
[zl = 9/\0 < :t),
(a)
~
(b)
x'\[KCL'-';'[•eKA -(ze L)Jl,
(e)
K n
(d)
9e ~ [;(•~y')).
~[ye
LA - (yeK)],
V
SOBllB LA TBORL\ DE llBLACIOllES
27. Relaelon-. 1u domln.IOI 1 eontnd.omln.tM; relaclon•
J llllloloDll p,.podoto.....
dot n.rtableo Ubnl
'°"
En loa capituloe &nterioree hemoe ya encontrad.o algunu U ·
entre objétoe. Como ejemploe de rela.cionee entre d08
objetoa podemos tom&r identidad (igualdad) y diversidad (de&i.gualdad). A ve~ leemoa la fórmula:
UOIONES
oomo sigue:
o ta.mbién:
la~
44.
~ad
rige entre
i:
e y,
•=•deeigna la relación de identidad. De
y decimOB que el eúobolo
manera análoga, la fórmul&:
ee lee a. veces:
IHTMODUOC'IÓN A. LA LÓCll!A.
y
117
dice que el almbolo e"' dee1gna la relación de divenidad.
Hemoe enoontrado también ciertu relacionee que rigen entre et..
1!188, • sa.ber, laa relaciones de inclusión, de i.nteneca.rae, de eer
diejuntu, etc. Discutirem.OI a.ho,.. algunoa conceptoe pert.enecWltee a la TBORú. general DB aBL.A.CION:IB, que constituye una parte
eepecial y muy importante de la lógica, en la cual 18 oonai.dena
relaciones de e&ri.cter enteramente arbitrario y ee establecen leyee
genera.lee sobre ellas!.
Para facilitar nueetraa conaideracionee, introduciremos varia.blee eepecialee tRt, t81, ... , que ae uaan par& denotar relacione&.
En lugar de expresiones como:
11&
y:
nOI
aerriremos de Iu abreviaturas Bimbólicaa:
zRg
y (ua&ndo el simbolo de negación del cá.lculo proposicional, cf. Sección 13)
1"MpE!Ctivament.e.
Todo objeto que tenga la. rttlación R con a1gón objeto y podemoe llamarlo un ft.l:D&OESOIL OOM -..P:aoro • LA. JUCL.A.OIÓlf R;
todo objeto y pa.ra el oual ezift6
wi
objeto z tal que
zBy,
llam&do un SUOBSOB. OON B.BSPBOTO .l. LA. :uL.lCIÓN R. X.. clue
de todoe loe predeoeeoree con niepecto a la. rel&ción R ee ll&made.
88
118
el DOllllflO y la. claae de todoe loe suceeoree el OONTIUllOIQlfJO
(o DOllDIIO uotrsoco) DE u. HU.OIÓN R. Alf. por ejemplo,
todo individuo e8 un predeceeor y un euceaor con reapecto a la
relación de identidad, de modo que ta.nto el dominio como el
contrad.ominio de est& ftllación ee la clase universa.l.
En 1& teoría de relacionee -lo mismo que en la t.eorla de cla.podemoa distinguir relaciones de diversos órdeneti. Laa BB·
aquellaa que rigen entre indiTi-
IM!&-
W.CIONES DB PRil(EB. OBDBN 800
duoa; la.e BBL.6.0IONES DB 8BOUNDO ORDEN 800 aquellas que rigen
entre cl88e8, o relacionea, de primer orden; y así euce&ivamente.
La eituación ea a.qui m!e complicada, ya que debemos considerar
relaciones cmUl'.a$ cuyos predeceeoree eon, diga.m.oa, individuos, y ewi euoeaores, claaee; o cuyoa predecaorea
IOD, por ejemplo, cla.see de primer orden, y eue ,euceaorea, clasea
de eegu.ndo orden. El ejemplo m'8 importante de una relación de
eate tipo ea la relación que rige entre un elemento y una clase a
la. cual éste pertenece; como ee l'900rd&rá de la. Sección 21, eet&
nllación es denotada por el efmbolo e. Como en el caao de clasea,
nuestras ooDBidera.cionea se referirtn principalmente a relaciones de
primer orden, aunque loe oonceptAla diacutidoa a.qui pueden, y, en
algunCNI C&IOB, seri.n, aplioadoe & relaciones d-e órdenes 11uperiores.
~uentemente
Asumiremos que & cada. función proposicional con dos varia·
bles libree tzt e tyt, oorreeponde un& relación que rige entre loa
objetos z e y si, y sólo 11.i, ellos &&t:iafa.oen la función proposicio116l
dada; de acuerdo con esto, ae dice que una función proposicional
O()n laa vari&blea librea t:n e tyt e~ una rel&ción entre los ob·
jetoe :e e y. Por ejemplo, l& función propoaiciont.1:
:e+y = O
upreea la relación de tener el signo opueeto o, brevemente, de aer
opuestos; l011 ndmel'Ol!I z e y están eo la. rela.ción de ser opueatol si,
y 9610 si, :e + y = O. Si denotamoe eeta relación por el etmbolo dh,
entonoea laa fórmulas:
zOy
y:
INTRODUCCIÓN A U
LÓGICA
119
son equiveJeotea. Del milmo modo, toda función propo«icion&t
que contenga loe &mboloe et e ~ como 11nicaa variablee libree,
9C podrá trauaforma.r en otra. fórmula equivalente de la forma.:
zBy,
•R• &pareoerá. una conBt&nte que de&i.gne
en donde en el lugar de
una relación. La fórmula.:
zRy
puede considerarse, pues, como la forma. general de Wl& funcí6n
proposicional con dos va.ria.bles libree, de la misma. manera que
oonaiderá.bamoa la fórmula:
zeK
como expreeión general de una función proposicional con una
varia.ble libre (cf. Sección 22).
28. Ctloalo de nlaoloaes
La teoría de relaciones ee tlD& d e l&8 rama.a más deaa.rrolladu
de la lógica matemá.tica. Una parte de ella, el IJlLcroLo DE JU[L.j.·
1.."IONES, es a.nálcga al c!lculo de claaea, siendo su fin principal el
eata.blecimiento de leyes form&lee que rigen las operaciones por
medio de la.a cualee ee oon.11tmymi relacionee a. partir de otraa
d&daa.
En el cálculo de relacionee conaideramoe en primer lugar un
grupo de conceptoa que aoo aoalogiu exact&e de loe empleadoa
en el cilculo de claaea; se loe denota generalmente por loe miemoe
llÍmbolos y ee rigen por leyee bastante eimilaree. (Naturalmente
podrla.mos emplear un conjunto de llÚDboloe distinto en el cáJ.oulo
de relaciones, a fin de evitar ambigüedades, tomando por ejemplo
loa aimboloe del cálculo de cl&llftl y poniándole un punto & O&da. uno.)
Tenemos a.sí en el cálculo de rela.cionee dos relaciones especia.lea, la --..&.OIÓN 1JNlVEB8AL V y la BJCLA.OIÓN NOLA. A, rigiendo
la primera. entre todo par de ind.ividuoe, y }& segunda. entre
ninguno.
120
Tenemoe ademú divereM relaciones entre rela.oionoe, por ojem.
plo, la ~CIIÓ!f DB INOLUSlóX; declmot que la relación R ~
en 1a relación 8, en ámboloe:
DfOWID.A.
RCB,
si, eiempre que R rige entre dos objetos, 8 también rige entre elloe;
o, expree&do en otros ténninoe, ai para :z: e y cualesquiera, la
fórmula:
zRy
implica:
zSy.
&bemoe, por ejemplo, en bue a la. aritm,tic., que aiempre que
z < y.
ent.onoes
por lo tanto, 1& rela.oión de eer menor está incluida. en la relación
de diversidad.
s;
RC.ByBCR,
llimult.A.neamente, ee decir, ei Ita r11l&cionee R y 8
miamoe objotoe, entonoee eon id6otiou:
~n
entre loe
R ~ B.
ademM la SUK.&. o
eimbólioamente:
Tenemoe
Ql(lÓN DI: D08 BKL.A.CIIONU
B
RUB,
y el J'JlODV<JTO o INTBBSltOOIÓX DS R y 8, llimbólicamente:
ROB.
T
8,
C. primera relación, R U 8, rige entre do. objeto&, ai, y eólo li,
al menoe una de lM ~le.ciooee R y 8 rige entre elloe: ea otroe t«minot, la fónnul&:
z(RU8)y
ee equiv&lente
&
la condición:
zRy
o
:t8y.
De manera. similar se define el producto de dos rela.ciooea, empleándoae eola.m.ente 1.. palabra tgt en luga.r de to•. Aeí, por ejemplo, si R M l& rel.&ción de paternidad (es decir, un& rela.ción que
rige entre doa personas :re y si, y e6lo ai, :tea el padre de y), y 8
ea la relación de matenüd&d, entonoee R U S ee )& rela.ción de
progenitW'&, mientra.a que R n 8 ee en este caao la rel&Ción nula.
Tenemoe finalmente la.
NE(U.OIÓJ{
o el
COllCPLJDIENTO D& OlU.
:am..móN R denotado por:
R'.
Ea un& ~ladón que rige entre doe objetoo ei, y eólo si, la. relación
R no rige entre elloe:; en otroe términos, para. z e y ou&leequiera,
laa fórmulM:
:tR'y
y
,.., (zRy)
aon eqoiveJentee. Se ha. de notar que 1i una rel&eión Mt.Á repreaent.ada por una conatante, entonooa su complemento es frecuentement.e denotado por el 6Ímbolo que se obtiene tachando a la
oon.stante oon un& b&rT& vertio&I u oblicua. Por ejemplo, 11. negacióo de la relaoión < es geoer&lment.e denotada. por e i: 1, y DO
por e<'•.
Hay tambibl en el cáfoulo de relacionea oonoeptos enterameot.e nuevos, sin an!logoa en el c6.lculo de claaee.
En primer lugar tenemoe doe relaciones especi&lee, la ID:PTI·
y la DIVmLSID.&D entre individuoe (oon l.a8 que ya esta.moe
Dil
ffUDiliarizados por consideracionea anteriores). En el oáloulo de
relaciones se laa denota. por medio de súnboloa eepecialee, a •·
her, ... y cD•, y no por 108 súnboloe t=• y e~• empleados en otru
partea de la lógie&. Eecribim.oe Mf:
122
.unED TAltllll
:zly
y
:zDy
z - y
y
s"' y.
en lugar de:
Loe slmboloe e- • y
~=ente par&
•7'• ee emplean en el oAlculo de relaciones
denot&r la identidad. y diversidad entre rela-
Tenemos a.qui además una operación nuev& muy interesante
e import&nte, con cuyo empleo formamos en base a dos rel&cionea R y 8 una tercera. relación llamada. el PKOnucro ltELATITO
o OOKPOSICIÓN DB R y 8 (en oontn.poeición al mllimo, el producto
ordin&rio 89 a Veoel!!J llamado PBODUCJrO ilBOLUTO). El producto
relativo de R y 8 ee denote.do por el eimbolo:
R/8;
rige entnl doa objetoe z e y si, y eólo 11i, e:riate un objeto z tal que
tenemos al mismo tiempo:
:z;R:z
y
:By.
.Aaf, por ejemplo, si R es la relaci6n de ser eepo.!O, y 8 la rela.ci6n de ser hija, ent.oncea R/8 rige entre doa personu :i: e y si
ha.y una. persona. z tal que :e ee eapoeo de z y z es hija. de y;
por lo tanto, l& relación R/8 coincide con la. relación de ser y«·
no. Tenemoe a.quí ademú otn operación de un O&l'áct..er ai.mil&r,
ouyo reellltado
ee: llama ta. 1!101'.A. s.zu.nv... :os D08 B.BUOIO?fa.
Eet& operación no deeempell& un papel muy importa.nte y no eeri
definid& a.qui.
Tenemos finalmente una operación similar a la. de formación
de R', a saber, un& operación que permite formar n. partir de una
relación R una. nueva relación denominada. OONVEBBA DE R,
que es denotada. por:
B.
R rige entre z
e IJ si, y aólo si, R rige entni y y z.
Cuando una relaoión .U. repnermt.ada por wia consta.nte, em,.
La. rel&ción
tNTBODUOCIÓN A LA LÓGICA
128
plea.moe a menudo para denot&l' a au oonveraa. el milmo aimbolo
impreeo eo aentido opueeto. Por ejemplo. la oonvena de i. re[a.ci6o < ee la relación >, puesto que pua z e y cualesquiera,
IK>D equiv&leotel laa fórmulu:
En vist& del cará.cter m'8 bien eapeci&lizado del c!lculo de
relaciones, no noe internaremoe m'8 a.qui en loa detalles del mismo.
29. Algunas propiedad• de relaolon•
Tntaremoa ahora a.quella. pan.e de la teoria de rela.cionee ca.ya
tarea conaiate en poner de m&nitieeto e investigar tipoa especialee
de relacionee que apare~n frecuentemente en otraa cienciaa y,
en particular, en la matemática..
Llamaremos a un& rela.ción R RBBLB:IIV.i. EN LA. CLüB K, ai
t.odo elemento :t de la clase K tiene I& relación R consigo mismo:
zRz:
por el contrario, si ningún elemento de esta cl&ae tiene la ret...
ci6n R oonaigo mismo:
.... (zR:z:).
entoncea la relación Rae dioe DllP'LSDV.i. EN u. OUS• K. la
relación R ea llamad.a. SIK:tr:aIO.i. •N u. cuas E ei, p&n todo
par de ele.m entoa z e y de la claae K, la f6rmu1a:
implic& aiempre la fórmula:
yRz.
En cambio, si la fórmula:
implica aiempre:
~(yRz),
entonoee la. relación B ee di~ ~CJ.j. :u u CL.UJ: K. Le. relación R ee Uam.da. TB.ilfl!IITIVA BN u. OLüB K si, para trell elementos cuaJ.eaqoiera.a:, y, z de la clase K, lu condiciones:
:r;Ry
e
yBz
eiempre implican:
:r;Rz.
Finalmente, ai para dos elementos diferentes cualesquiera a: e y
de l& eta.se E, nJ.e por lo meDOfl una de laa i6rm.ulaa:
a:Ry
e
yB:t,
es decir, ei. la relación R rige entre do& elementoa dist.intoe arbitrarios de K en al. menoe un& dirección, entoncee la. rel&ei6n ee
llama OOKBXA EN LA CLA.8B K.
En caso que K se& la. clue universal (o, en todo C&BO, el univeno de diecurao de la ciencia. en que estamos interesados, ci. Sección 23) ee ueual decir brevemente: rela.ci6n reflexiva., si.métrica,
etcétera., en lugar de: relación refteziva, simétrica, etc., en la
clueK.
,_...
30. RtlaelODll llm.al&Utlmtllte nOtJIVU, llm'trlou
EBtaa propiedades de lu relacionm ae pmíentan & menudo
agrupadas. Son muy comunes, por ejemplo, aquellaa relacioIMlll
que aJ. m.illmo tiempo eon reflezivaa, ei.DÍétricaa y tra.naitiYaa. Un
ejemplo típico de ésta.a es la relación de identidad; la ley 11 de la
Sección 17 expresa que esta relación es reflexiva, por la ley m
l& identidad es una. relación aimétrica, y, eegún la ley IV, ea tranaitiva (eeto justifica loe nombrea dadoe a eataa leyes en la Seoción 17). Muohoe otl'Ol!!I ejemploe de relacione1 de eete tipo pueden
encontrarse en el dominio de la geoui.etrla. La relación de con-
INTaODUOC'IÓN A LA LÓGICA
126
gru.encia en el conjunto de tod<* loe 118g1Dento. (o de ooaBgure.ciooee geomtlitrfou &rbitn.riu) ee n4uiva, puesto que todo segmento
• ooogru:ente consigo mimno; simétrica, pues de ter' un tegmento congruente oon otro, ee ligue que t.ambitlin el aegundo lo ee oon
el primero; y transitiva, puee, si el 119gD1ento A. m congruente oon
el B, y el B congruente con el aegmento C,entonoee el aegmento.A
m también congruente oon el eegmento O. Laa m.isma8 tree propiedadee eon poeeídas, por ejemplo, por la relación de eemejam.a
entre poHgonoe, la de paralelismo entre rectas (uumiendo que
toda recta ee paralela. a sí mi.ama) y -fuera. del dominio de la
geometrfa- por l&B relacioDfl8 de eer de la misma edad entre
peraonaa, o de sinonimia entre p&Ja.bre.a.
Toda relación que se& aJ. mismo tiempo ndle:riva, irim.l!itrioa y
tr.neitiva puede tomarse como un& especie de igna.ldad; en lagU"
de decir que uo& ta.1 relación rige entre doe objetoe, podemoe decir,
en eete eentido, que eetoe doe objetoe eon igualee en eete o ea
aquel upeoto, o -de una forma m'8 preoiaa- que ciertM propiedadee de dichoe objetoe eon idénticu. En vez de decir, por
ejemplo, que doe eegmentos eon oongroentea, doa pereonaa de la.
miam& edad o doe pala.brae einónimu, podemoe e.fi.rmar que doe
aegmentoe eon igua.J.ee respecto _de su longitud, que la. edad de
am.baa pereonu ee la. miJuna. o que loa a:ignificadoe de laa doe palabru eon idéntiooa.
•A modo de ejemplo ind.icaremoe cómo ee puede eetablecer
UD6 bue lógica para. talee fonnaa de expresión. Para tal fin, Ell!l'tU·
diemo. la. rela.ción. de aemeja.m.a. eDtre polfgonoe: lla.ma.remoa forma
del polfgono P al oonju.nto de todoe loe poligoooe aemejaotee
• P (o, ueaodo una terminologt& m'8 corriente: la propiedad oomó.D
poeeida por todoe loe poligollOI eemejaotee • P y por ningó.D
otro). Aaí, form.u eon ciertos ooojuntoe de poligonoe (o propiedad• de poligonoe; ver lu obeerncionee al final de la Sección 22).
Haoíendo ll80 del hecho menoionado anteriormente que la. relaoión de semejanza. ee refiuíva, simétrica y tramritiva., podemoa
&hora mostrar fá.oilmente que todo polfgono perteneoe a uno y 11610
un oonjunto t&l; que doe poligonoa eemejaotee pertenecen siempre
al miml.o conjunto; y que doe pollgoooe que no son semejantes
pertenecen a conjuntos diferenta. Do esto ee sigue de inmediato
que lu OO. ueroionea:
126
ALftlED TAUK..I
loa poUgonoa P y Q titMR lo múma forma (ee deoir,
laa/°""""PyQ.,.~)
aon equivalentes.
El lector advertirá inmediatamente que, en el ourso de oonai.der&eiones p~entee, ya. hemoe empleado una manera de pro·
ceder análoga, a. saber, en la. Sección 26, al pa.ear de la. e::r:pree.í.6n:
a. la. exptee..ión equinlente:
f.tu rJaau K y L MMft tl mi.tmo nú.mero cardinal.
No ee dificil demoetrar que eete procedimiento es aplicable
a toda relación re8exiva., eimétrioa. y tn.naitiva, Exiete inolueo
una ley lógica, llamada PRil'l'Cil"IO DB ilSTRA.OOIÓN, que proporciona el funda.mento teórico general pan el prooedi.miento de que
hemos tratado; ein embargo, renunoiam.os a.qui a la. formulr.oión
e:r.:aot. de este principio.•
No b&y ningdn tér:m.i.no univel'Mlmente aoept.ado para. deaignar Ia. totalidad de 1aa rela.oiOnee aimultá.neam.ente refluina,
aimétricae y tranaitivas. A Yeoe&e& lu.ll&maen general1ou.u..o.ui:r.a
o •QtrIVü.BNOU.S. Pero el ~rmino tigualdadt ae reeena. a veo.
pal'• relacionea particularee de la oategoria en ooneidera<:ión, y
dos objetoe eon llamados igualee ai UD& ta.l relación rige entnl elloe.
A.si, por ejemplo, como dijimoe eo la Sección 19, ea frecuente
b&bl&r en la. geometría. de eegmentoe igualee, en lugar de ees·
mentoe congruentes. Debemoe inaiatir un& vez más en que eerla
preferible evitar esta. claee de eq>reeionea. Su uso lleva. a. ambigüedad.81!11 e infringe la oon•enoión eegdn la. cua.1 lu expreeionee
Ggoaldadt e tidentidadJ aon sinónim.u,
127
81. Retaoloaes de orden. Otrot eJemplot de nlaoloDel
Otro tipo muy oomún de nilacionee lo oonatitnyen aquellu
que son aaimétricu, t.raoaitivu y oonuu en una. clase dada K
(puede moatra.ree que tal.ea relacione& deben ser también irre8exivaa en la. clase K). Decimoe que un& relación con estas propied&dea OBDICN.á. IJ. CLASE K; o también, que la. claae K es OBDERillA.
ro.a 14 BEI..A.CIÓN R. Consideremoe, por ejemplo, la relación de
ser menor (o, como diremoe ocaaionalmente, la rele.ción menor
qru); ell& ea asimétrica. en cualquier conjunt.o de números, ya que
ai z e y aon dos números cu&l.esquier& y ai
::r:<y.
entoncee
y< z,
eedecir
,.., (y <z);
ea transitiva., puea las fórmulas:
'z<y
e
r<z
siempre implican:
::r:< z:
finalmente, es ooneza, pues de doe números diatintoa, uno de el1o6
debe aer menor que el otro (también ee irrefiexiva, ya que ningó.n
número ee menor que af m.iamo). Todo conjunto de nómeroa ea,
por lo tanto, ordenado por la relación de ser menor. Aeimiamo, la
relación de aer mayor repretenta otra. relación de orden para cualquier conjunto de námerot11.
Estudiemos ahora la relación d e llM' de máa edad. C.On facilidad.
oomprobamoe que éet.& es itre&e:riva, aaimétrica y transitiva eo
oualquier conjunto de peraonae. Sin embargo, no es neoee&riameote conexa: puede oourrir muy bien que a un mismo conjunto
dado pertenezcan doe personae que aean precisa.mente de l& misma
edad; eeto es, que ha.yan nacido en el mismo instante, no rigiendo
entre ella.a, por consiguientA!I, la relación de aer de má.8 edad en
ningún sentido. Si, por otra pvte, en el conjunto considerado no
128
bnbieeo ta.lee peno0&e, entonoee dicho oonjunto ce ordena.do por
la rela.cióa eer de m"8 edad.
Se conocen numeroeoa C&ll08 de relacionea no pertenocientel!I a
ninguna de 1u do• categorlu eetudiadaa haat& ahora. Conaiderem<>1
algunoa ejemplOB.
La relación de deeigualdad ea irrefle:dva en cualquier OOD·
junto de objetos, puesto qne ning6.n objeto.es distint.o de ef miemo;
ee simétrica, pues, si
t&mbián será.
11 t' z;
ain emba.rgo, no ee tr&nsiti•a, y• que laa fórmula.a:
"%
,,P. y
e
'!l f'- z:
no implican la: fórmula:
pero, como f!.cilmente se oomprueba., ella es conexa..
La relación de inclusión entre cl.uee es, en virtud de la ley de
identidad y una de la.e leyes del ailogiamo (cf. Sección 24), r&fteI:in y tnmsitiva.; ella no m eimtStric.a ni t&mpoco aaim.étrica,
ya que l& fórmula.:
KCL
no implica ni. excluye la fórmula:
LCK
(mt&a doe fórm.ulu se utiefacen simultáneamente, si, y eólo si, lu
olattee K y L son idénticas); por 6ltimo, puede verse flcilmente
que ella no ee conexa. De este modo, la relación de inoluaión
se distingue por 8118 propiedadee de otras rel&oiones oonaideradu
huta ahora..
tNTIODUCClÓH A LA. LÓGtCA
82. Rel&elones UDJtoou o runclonet
Trataremos ahora con alg{ln detalle Wl& oa.tegorla aumameate
importa.nte de rela.cionee. Diremoe que una relación R ea una
BltUCIÓN UNÍVOCA. o J'UlfOIONA.L o aimplemente una J'tJlfOIÓN
cuando a todo objeto y le corresponde, a lo sumo, un objeto z tal
que :t R y; en otras pala.brae, 8.i lea fórmula.e:
:tRy
y
zRy
implie&.n siempre la. fórmula:
Loe tuQ6!'0ree con rewpecto a t. ret.eión R. e.to " · aquelloa objeto11 y para. loa cuales ~ten objetoe z talea que
zBy,
VALOB:BS DBL ABOUllll:NTO, y loe predeoeeoree 800 loa V.U.O·
RBS Dll: u
J'UNOIÓN R. Sea R una funoión arbitraria., e y uno
son loa
cualquiera. de sus valoreii del .rgumento; indicaremOl!I el linico
valor :z: de la función correspondiente al valor y del a.rgumento
con el aimbolo tR(y)•; consiguientemente, reemplaz&m.Oll l& fórmula:
por:
• - R(y).
Para denotar rela.cionea funcionalee, 11e a.ooetumbra. a WIAI', especialmente en matemática., letra.a como •ft, tp, ... ,en vez de laa variables tRt; tB•, ... A.si, encontramoa fórmulas como laa siguientes:
• - f(y),
• - g(y), ... ;
la fórmula.:
•~f(y).
"º
por ejemplo, ae lee de la siguiente manera:
_,,,,.,...,.¡ d
la /...,,;/m f angna (o i..u
ddarpmmto
..io. •al ..io. y
o bien
zu"'l"'1wd<wd<lafuMón fqu<~alwd<wy
cklarpf'Mftlo.
(Se acostumbra. también uu.r la va.ri&ble m para denot&r el nJor
del argumento y la va.ri&ble ty1 para denotar el valor de la función.
No nos ad.heriremos & est.a. ooatumbre, y seguiremos UBa.D.do en
e ttp en el orden opuesto, ya que esto ea má& conveniente en eoneiión con la. notación general oe&da. en la. teorla de relacionee.)
ED. muchos teztos elemeo.talee de álgebra ee encuentra. una. de.
linición del concepto de función que es bastante diferente de l&
delinición que bemoe adoptado. La relación funcional ea ca.ra.cte.
rizada. en ello11 como una relación entre doa magnitudes o númeroe
rva.riablem: la cvariable independieotet y la rva.ri&ble dependiente.,
que dependen una de la otra. de manera t&1 que un& v&riación de
la. primera. da. luga.r a una v&riación de la 118gUD.d&. En la. e.ctualidad
ya no deberia.n emplea.rae definiciones de este tipo, pues ellaa no
pueden reaistir ningun& critica lógica; eon restos de un periodo eli.
que ae trat.ó de distinguir entre magnitudes toomtanlieD y tv&riableet (cf. Sección 1). Aquellaa peraonaa que quien.o. da.r a&tisfac.
ción a. la.a exigencia.a de l& cHlnci& aetua.l, sin romper por completo
con 1& tradición, pueden coneernr la. terminología antigu& y
cmplea.r, junto con loe t6n:a.inoe tv&lor del argumento• y tT&k>r de
la fwlci60t, la.e e%pl'Mionee tTalor de la variable independiente. y
rvalor de la. variable dependieatet.
El ejemplo más simple de una 1'$l&ción funoional está dado por
la relación de identidad. ()cuno ejemplo de una función tomad& de
la rid& cotidiana, coll8ideremoe la relaoión expresad& por l& fun.
ción propoeicion&l:
z u padre de y.
&ta ea una relación funcional, ya que pan. tod.& persona. y, existe únicamente una. persona. :: que es padre de y. Pa.ra indicar e.1
INTRODUCCIÓN A LA LÓCICA
urácter funcional de oeta relación, insertamos la palabra telt en
la formulación anterior:
z:u el padre rk y,
en lugar de la cual podemoe eecribir tambi6n:
Una t&l alteración de la. expreeión original, insertando el articula
definido, tiene, en lenguaje ordinario, eJC&ct&mente el mismo propóaito que la transición de la. fórmula:
•By
a la fórmula:
•-R(y)
en nuestro 11im.boliamo.
El concepto de función deaempelia. un papel muy importante
en laa ciencias ma.temá.ticu. Hay ni.mu enteras de la. matemática
superior dedicada.e exclU8ivamente al eetudio de cierto& tipoe d~
rel&Cionea funcionales. Pero también en m&tem&tie& elemental,
eapeciaJ.m.ente en álgebra. y trigonometri&, encontra.m.011 gran ná·
mero de relaciones funcionalee. Por ejemplo, las relaciones expreeadaa por fórmula.a ta.lee como:
:1:+y-6,
2:
- ti.
z - togll y,
z - een y.
Vamos a estudiar con máa ateoción la 11egunda. de eetu fórmulu.
A t.odo nómero '!/ corresponde un 110lo nó.mero z t&I que z = y',
de modo que la fórmula expftl&& efectivamente una. relación fun.
cional. Loa vaJ.orel!I del argumento de esta función son nómerol
arbitr&rios y los valoree de la función, en cambio, solamente nómeros no negativos. Si deeignamos esta. función con el simbolo •/t.
la fórmula:
toma la forma:
Evidentemente, e t e tyt podr6o reempluarae en ella por efmboloe: que deeigna.n nó.meroa determinados, Ya que, por ejemplo,
4 - (-2)'.
podremos afirmar que
4-/(-2);
Jque corresponde al
nJ.or del argumento - 2.
Por otra. parte, también en el dominio de la matemática ele·
mental encontra.moe numeroeae relacionee que no son funcionee.
Por ejemplo, la relación de eer menor ee ciertamente no fun.
cioDal, puesto que pn todo n6.mero y uieten una infinidad de
n6m9l'08 z talee que
4, ee, por consiguiente, el valor de la función
3:
<y.
T&mpoco ee funcional la relación entre nómeroe :z: e y e:s:preeada
por la fórmula.:
ya que, a un mismo nómero y pueden corresponder doe n'Ó.meros z
dietintoa para loe que la fórmula. ee válida; por ejemplo, al nóm&ro 4, le oorreeponden loe nómeroe 3 y - 3. Puede ha.oerse notar
que lu relacionee entre nWneroe, como la recién considerad&, que
Km expresadaa por ecuacionee y que hacen correeponder a cada
n6mero y dos o mM núm.eroe z, eon a vecea llamad.u en matem!tioa funciones mult.fvoou o mult.iformee (en oposición a funcionea tmfvooaa, eeto ee, a fonoionea en el sentido ordinario). Parece
inoonveniente, sin embargo-por lo menos en un nivel elemental-,
llamar funciones & tah• relaoionee, ya que esto tiende 'Ó.llicamente
a oeoureoer la. distinción tl86DaiaJ. entre la noción de función y la.
noaión más general. de relación.
En la. aplioaci6n de la. ma.temWca a laa ciencias empírioaa, sobre
todo, laa funoionea deeempe6&D un papel eepeci&lmente importante.
INTRODUCCIÓN A U
L6o1c.+..
1as
Al eetudiar la dependencia entre doe tipoa de me.gnitudee tom.a.c!&t
del mundo ezterior, pmcun.moe de ordinario da.rle a dicha depea·
dencía la forma de una fórmula matem&tica que nos permita deter·
minar exactamente una de lu magnitudes por medio de la otr&;
tal fórmula representa siempre una relación funcional entre ambol
tipos de magnitudes. RecordeJDOB como ejemplo l& oonocid& fórmu·
l& de Ia.ffsica.:
•=490,51'
que establece la dependencia de la distancia a, recorrida por
un cuerpo ca.yendo libremente, del tiempo t empleado en r&OO·
rrerla (siendo la distancia. media en oentfmetroe y el tiempo en
aegundos).
•Pa.ra concluir nueetr&e obeorvacionee 110bre relacione1 fun.
cionalee, queremoa recalcv que el ooncepto de función Q'1e ert&moe considerando abor& di.B.ere eeencialmente de loa oonoeptoa de
función proposicional y de función designa.tiva tra.t&dps en la
Sección 2. Eetricta.mente hablando, loe términos tfunción propoei·
cional» y «función de&igoativae oo pertenecen a.l dominio de l&
lógica o de la ma.tem&tica.; elloe denotan ciertas categorlu de
expresiones que sirven para formar enunciad.ca lógioos y ma~
m&.tiooa, pero no denotan objetoe tra.tadoe en ellos (cf. Sección 9),
Por otra parle, el término cfunciónt en su nuevo sentido ee una
expreeión de C&l'á.cter puramente lógioo que deeigna un cierto
tipo de objeto ti atado en la. lógica y l& matemática. Sin duda, hay
una conexión entre eatoa oonoepkle que, apro:rimada.m.ente, puede
deecribirae como. aigue. Si l& variable ta 88 unida por el al.mbolo
a u.na función deeigna.tiva que oontiene a 'Y" como única.
variable, por ejemplo, a V
2y 31, entoncea la fórmula reaul·
tante (que ea una función proposicional):
•=•
+ +
expreea una rel&ción funcional;- o, en otrae pal&bru, la relación
que rige entre aquelloe, y solamente aquellos, números z e 11 que
aa.tiafacen eet& fórmula, ee una función en el nuevo sentido. Eata
88 un& de las razones por l&a cualee eetoe conceptos son tan a menudo oonfundidoa."'
83.
RelaoJODU UD~DO O [UDClODe5 blunfvoe&S,
1 oorrapondenclu blunlvoeu
Entre lu relacionea funcionaJee merecen atención ttipecial l•
esto es,
relacionee funcionales en que no eolamente a todo valor del argu·
mento y corresponde un solo valor de la función x, sino también,
recipk'oca.mente, a todo valor z ~ la función corret5p0nde un eolo
valor y del e.rgumento; ellaa pueden ser definidas también como
aquellas rel&cionee con la. propiedad de que tanto ellas como aus
rec(procaa (cf. Sección 28) &an univocas.
Si / ea una función biunívoca., K una clue arbitraria. de awi
valores del argumento, y L l.r. claee de los valoret de la función
correspoodientei a loe elemea.toa de K, decimos que la función I
.uuo• :1roirivoc....ar&NTE u CLUE K so:a:as u. OL.lSlt L, o que
llamadas BBL&OIONES UNO·UNO o PUNCIONES BIUNÍVOCil,
Jl:aTilLJWB
tJlf•
KKN7'08 DB
K
Y
COBBJCSPONDJU'tCU. BIONÍVOC• BNTBB LOS ELB·
L.
Aftadiremos a continuación algunos ejemplos. Consideremos
una. semirrecta. cualquiera; designemos por
BU punto de origeo
y elijamos un cierto segmento como segmento unidad.. Sea además
Y un punto a.rbitrario situado aobre la semirrecta.. Como ea sabido, el eegm.ento OY puede ser medido, es decir, podemos aaignade un número no negativo z al que lla.mo.mos BU longitud. Como
este número depended. exclusi.v&mente de la posición del punto Y,
podremoa designarlo por el e.ímbolo •/( Y)'t y tendremoa, por con.aiguiente, que:
•O•
• - /(Y).
Ahora bien, también reclprocameote para ca.da m1mero no negat.iTo .:a:: podemos construir un t\.n.ico segmento OY situado aobre la
semirrecta oonsider&da., cuya longitud sea igual a :r; en otraa
pal&braa, a. todo .:a:: corresponde euot&mente un punto Y tal que
•~/(Y) .
La función f es, putti, biun!voca.; establece una correspondencia.
biunívoca entre loe puntos de la. semirrecta y 1011 n"dmeroa no
INTRODUCCIÓN A LA l'.DGICA
136
nega.tivoa (eerla. igualmente simple eet&bleoer una corresponden.
cla bhmfvooa entre loe punto& de tod& la. rect& y tod03 los nómeroe
realee). Otro ejemplo lo oooatituye la relaoión expresada por la
fórmula:
Z=-y.
tata
ea un& función biuofvoca., porque a todo número z le co.
neaponde un único mimero y que eatisf&ce la fórmula. dada;
oon f&eilida.d ee ve que dicha función a.plica biunívoca.mente,
por ejemplo, el oonjunt.o de todoe loa números positivos sobre
el de todos loa núm61'08 nega.tivoa. Por último, conaideraremoa
la relación expresada. por la. fórmula.:
z - 271,
e.aumiendo que en ella., el IBÚDbolo 'Y't denota 11nicame nte nómeroe
naturales. Se trata de nuevo de Wl& función biunívoca.; ella &!ig·
na a. cada. nómero natural y un nómero par 2y, y recfprcicamen~.
a todo n1imero par :t exactamente un número y tal que 2y = :t,
a -.ber, el n1imero y= 1/ 1 z. Con ello la. función ooDBiderada eeta.
bleoe un& correepondencia. biunlvoca entre nó.meroe naturales cua.
h11tquiera y números naturr.J.ee paree. Aun podíamos t.oma.r de la
geometrla numeroefsi.m.os ejemploe de funciones y corresponden·
ciae biunívocas (ai.metrfu, coline&eionee, etc.).
•Gracias a l& circWll:lta.nci& de disponer del concept.o de co.
rreepondencia biunívoca, eetamoe ahora. en ai.tua.ci6n de este.bleoer
con esa.ctitud la definición de un concepto que ant.ea eólo pudito.os
ca.ra.oteriz.&r de un modo intuitivo y poco preciso. Se tr&ta. del
concepto de ooordinabilida.d de claaea (cf. Sección 26). Ahora d,ire..
moe que dos clasee K y L eon coordinablee, o que t ienen el mismo
número cardin&l, ei e:riete una. función que eetablece una. correg..
pondencia biuofvoca entre loe elementos de ambas cle.aea. En
virtud de eeta definición, de loe ejemplos recién estudiad.ce &e
desprende que el oonjunt.o de loe puntos de una semirrecta. cual.
quiera es coordina.ble con el de todOfl los niim.eros no negativoa;
el de todoe loe nómeroe poei~ivoe oon el de todos los nómeroa
negativos y el de todOB loe nó.meroe naturales oon el de loe nóme.
roe na.tura.lee paree. El 1iltim.o ejemplo es particulannente instntc·
•••
tiYo: mue.tr& que un.a ele.te puede aer coordin•ble oon un. de sue
aubcluee propia.e. A primera vista, este renltado puede pe.reoer
pandójioo • algunoe lectoree, ya que UJu.Jmente se compan.n
eólo clues finitas oon reapeot.o al número de sus elementos y, en
efecto, un& cleae finita tiene un número ca.rdinal mayor que cada
una de eus partea, L& paradoja deaapareoe al recordar que el
conjunto de todos loe nó.meroa naturales ea infinito y que nada noe
autoriza. a a.<h:cribit a. lae claeee infinitas propiedades obee"adu
exclusivamente en las ola&ee finitaa. Es digno de notar&e que no
aólo el conjunto de loe nómeroa nat.uralee, Bino cualquier clue
infinita es ooordinable con una de ma subclases propias. Est& pro·
piedad ea ca.racterfstica, por oonlliguient.e, de 188 clases in.finit&s
y permite distinguirlaB de l&a fin.itas: un& clase finita puede defi.
nine, a.implemente, como una claee que no ea coord.inable con
ningw:l& de eua eubcl&ael3 propias. (Sin embargo, eeta. de6nición
lleva ooneigo una dificultad lógica, en cuya. d.iecueión no no. de·
tendremos aquL)l•
34. Belaolonu ml\lUpltt. hlloloDtl de varlu nrlabl•
1 operaelo. .
Hasta. a.hora hemoe estudiado 6nioamente RBL.A.OIO~ BIIU·
esto es, relaciones que rigen entre doa objeto!. Sin embargo,
lllil,
en v&rias ciencl88 encontramos a menudo B.EL..i.OIONBS TBB.NAlllil
y, en genera.1, BELA.CJONll:l!I KÓl.TU'LU. En geometri&, por ejemplo,
l& 1'flt.ción de estar entre constituye un ejemplo tfpico de rel&ción
terna.ria; ella rigci entre tree pw:itoe de un& recta y ea e:z:preaad&
limbólicamente por la fórmula:
A/B/C
que ae lee:
IHTaODUCCIÓN A LA LÓCICA
137
· T ambi'n l& &ritm,tie& provee numef'OIOI ejemploe de relacionee
temariu; ha.eta menciooa.r l& relación que rige entte tree nóme·
roa :i-, 1f, &, cuando el primero ee l& auma de loe otrot1 doe:
z- y+z,
uf como otra.s relaciones similares como las expree&das por laa
siguientes fórmulas:
z=y- z,
:z:=y · z,
:r=y: z.
La relación que rige entre cuatro punt.oa, A, B, O y D. ei, y sólo ei,
l& distancia entre loa doa primeroe ee igual a la. dietancia entre
loe doe 1\ltimoe, o oon otru palabrae, cuando loa eegmentoa A B y
OD BOn congruentes, puede eerrir de ejemplo de relación cu&terne.ria. Otro ejemplo ea ,la relación que rige entre cuatro nl\meroa,
:r:, y, z y t, cua.ndo forman una proporción:
:r::y - z : t
De lo. totalidad de 1u relaciones múltiples, conviene destacar
la.e relaciones funcionales oorrespondient.ee a lae relaciones fun.
d ona.les bina.ria.a. Por razonea de sencillez noe limita.remos a la
discusión de relaciones temariae de este tipo. R es lla.m.ada una
:u.u.016N JVlfOION.A.L TDN.illi si a. todo par de objetos y, z le
oorresponde a lo sumo un objeto z que tiene con &qu, lloa la rela.ción dada. Deeigna.t'emoe este objeto unfvocamente determinado,
siempre que exiat&, o bien por el aimbolo:
R(y,z)
o bien por el idmbolo:
(que toma &hora un lignificado diferente del que tem.. en la teorfa
de relaoiones binarias).
138
Para e:z:preaar, por lo tanto, que Jt ae enouentra 00J1 y y z en la
relacl6n funoion&l R. disponemoe de doe fórmulu:
z= R(y,2)
z c:o; yRz.
A eet& doble notación simbólica oorresponde t&mbién una. dobll'J manera de expreearae. Al a.pliear la not.ación:
z=R(y,z),
la relación R m ll&m.ad& un& 1"UNOIÓN; par& distinguir entre
relacionea funcionales binariaa y temariaa, b&bla.remos en el primer ca.so de 117NOIONU DIC UN& VilUBLJ: o DB UN .&BOUlllENTO,
y en el segundo, de rtl'lfOIONBS DE DOS V.illliBLE8 o DB DOS ....a.u.
1n::nos. Análogamente, Ja.a re~ionee funcion.alce cuaternaria.e ee
llamarán TaNOIONlt8 DB TU8 V.t..&U..BJ.U O DI: rBU ~Ulll:NTOS,
etcétera.. Par& la deeignación de funciones de un número a.rbitra.rio de argumentos, ee emplea.o de ordinario laa variables •/•,
•v-, ...; l& fórmula:
ee lee:
z u el va1.or dt la función / que cotTUfJOfUU a loa valorea
yy
Z
dd llf'17Umenlo.
En el caso de utilizt.r la. not6ción ai.mbólie&:
z - yRz,
ea ooniente llamar a la. relación B OPZJU.OIÓN o, especifi.camente,
OJ>KJU.OIÓN Bnt.lB.1..6.; lti. fórmula. que se acaba. de indicar 11e1 lee:
z u el ruultado dt lkoor a cabo la operación. R eon y y z;
en eate ceso, en lugar de la. l&tr& 1Rt, suelen empl6&1'8e otra&,
en particular la letra. tO.. Como ejemplos, pueden eervir la.a
cuatro opera.ciones fundamentales de la aritmética: adición, eu&tn.cción, multiplicación y división, ui oomo l&ll opera.cionea lógi-
INTaODUCCIÓN A LA LÓGICA
189
CM de adición y multiplice.ción de cluee o relaciones (véan.ee laa
Seccionee 2li y 28). El contenido do loa oonoeptoa de función de
doe vari&blee y de operación binaria, ee evidentemente el mismo,
Q~ deberfamoe advertir que lambién a. lu funciones de una
•aria.ble se laa llam& a veces operaciones y, en particular, opu..,.
cioxBS uiu.BI..A.8¡ en el cá.J.culo de claaee, por ejemplo, la formación
del complemento se comiden oomo operación y no oomo función.
A peaa.r de que la.s relacione& múltiplee desempeñan un pa.pel
importante en vari&e ciencí&s, la teori& genera.I de éstas est! todavía. en su etapa inicial; aJ hablar de rel&ciones o de la teoría de
relaciones se piensa por lo regular &n rela.cionee bin&riM. Sólo una
ciertA categoría. de relacíonee ternari&e ee b eetudia.d.o h&at& ahora
oon mayor det&lle, a. u.b«: una ca~rls. de operacionce bina.ri&e
de laa que, como prototipo, puede eerrir la adición aritmética. CO·
rriente. Esta.e iDveet.iga.cionee ee completan en el ámbito de una
diacipliD& m&temática eepecial, la teori& de grupos; en la aegunda.
parte de eate libro veremOl!I algunoll conceptos de eat& teorla., y,
por lo tanto, ciertas propiedades generales de operaciones binaria&.
86. Importan.ola de la l60oa para otras olenolu
Hemos hablado de loe oonoeptoe más import&nt.ee de la lógica
oontemporá.nea.. Y al hacerlo, hemoa conocido algunas leyes (muy
poca.a, por lo demú) relativu a eetoa conct1ptos. No tenia.moa,
sin embargo, la intención de establecer la liet& completa de l01
ooncoptoe y teoremaa lógicoe de que noa aerrimoe, o aobre 1011 cuales
noe apoya.moe, en argi.lmeo.toe oientfficos. Por lo demás, eeto no
ee necesario para el estudio o ejercicio de otraa ciencia.a, inclusive
la matem&tica, cuya relación con la lógica es eapeoi&lmente cercana. La lógica se considera jUBt.i.ficada.mente como la base de
t.odaa laa otras cienciae, por el h&eho de que en todo razonamiento
emplea.moa concoptoa del dominio de la lógica., y porque toda
inferencia. conecta procede de aouerd.o con las leyes de esta disciplina. Pero esto no implioa. que un conocimiento profundo de
lógica sea condición necesari& para el pensar correcto; incluso loe
matemáticos profesioneJee, que por lo genei-a.l no cometen errores
aJ razonar, no conocen de ordinario l& lógica huta. el grado de
140
saber toda.e Iae leyes de 6eta en lM que 11!1 apoyan inoonec~nte­
mente. No obata.nte, no cabe ninguna duda de que el conocimiento
de la lógica poeee una gran importancia práctica. para todo aquel
que desee pena&r e inferir oorreetamente, pues perfecciona lu
facultad.ea inn&tu o adquirid&& pva ello y permite evitar errores
en caeoe especi&lmente críticos. También desde el punto de vitlt.9
teórico deeempeiia la. lógica un papel tl'&ll8oendent&l en la oonst.rucción de teorlaa matem#.ticaa; este problema se trat&rl. en el
e&pftulo próximo.
l.
Molltra.r ejemploe de nil&ciones de loa dominioe de la arit.-
métie&, la geometría., la. fíaica. y la vida. ootidia.na.
2. Conaideremoe t. relaciión de patenüdad, ee decir, la. reta..
ción expreead.a por la función propoeicional:
z ea padre de y.
¡Pertenecen todos loe seres humanoe al dominio de esta. rel&eión1
tPertenecen todos elloa a1 contndomínio1
S. C.Onsidérense las eiet.e re.lacionee eiguientee entre per&On&e,
a. saber:. ser padre, madre, hijo (en eentido genérico, 11in discrimina.ción de sexo), hermano, hermana, marido, esposa. Denota.remos
eataa relaciones con los lllmboloa: IPt, IMt, db, t:B•, IS•, tPt y
tBt, tetpeetivamente. Aplica.oda v&riaa operacionee de6.nid&a en le.
Seooión 28, podemoe balla.r a.uev&a f61.acionee que en alguooe cuoe
tienen nombres eimplee en el lenguaje ordinario, por ejemplo
tP/8' designa la relación de 1191' yerno, como puede oomprobuwe
fi.cilmente. Enoontr&r, ai ee posible, nombrm ei.m.plee ~ lu
siguientes tt11&cionee:
B, f, FUE, PUB, P/M, M/B, B/ii:, P/(FUB),
¡s¡ii:¡ u 11'/(l/i)J
Expreea.r oon Ja. ayuda de loe afmboloe «Pt, dh, etc., junto oon
loe afmboloa del cáJ.culo de relaciones, lu tt1l&oione1 de aer prop-
141
n.itor (O ee& padre on eentido gen6rioo, lin d.iacriminación del
sexo), hermano (lin diacrimiucl6n de sez:o), Dieto (sin diaerimi-
D.&ción de eezo). nuera., suegra.
Erplicar el significado de l68 eigoientee fórmulas y determinM'
cuá.lea de ellaa aon verdaderu:
PC:ll', i~s, PUll~ií, r111~P, B/SC:B, SC:H/B.
4. ConsidéreD&e laa doe fórmulu aignientes del cá.Iculo de
rela.oionea:
R/S ~ S/R
y
(R/S) -
S¡I!.
Mué8treee medi&11te un ejemplo qne la primera no iñempre se
aa.ti.sfa.ce, y demu6streee que la ~da se u.tis:fa.ce para relacionee
B y S cu.leequiera.
lDdicación: Consid&Ne qu6 iDgnifioado tiene decir que la :mlaci6n
(o sea la reciproca de la relación R{B) o que la relación
(1fís>
S¡ft rigen entre dos objetos z e y.
6. Form:6Iense simbólicamente Ju definiciones de t.odoe loe
t..Srminoe del o&J.culo de relr.ciooee diecutidoe en la Seoción 28.
lndic&ción: La definición de euma de dos rela.cionee, por ejemplo, tiene la siguiente fonru.:
[<(R U S)y] ... [(• By) V (•By)].
6. t Qu6 propiedad~ de lu tratade.t en la Sección 29 eon
poaeidae: por lu relaciones lliguienloell:
(a) la. relación de divisibilidad en el oonjunto de loe nómeroe
natura.lee;
(b) l& relación de eer relativamente primo en el conjunto de
loe n\\meroe n&turalea (doe 06.meroe na.tura.lee ae llaman rel&tiv&menfie primos oue.ndo m mhi.mo oomún divisor es l);
(o) la. relación de oongruenoia en el conjunto de todos loe
poligono1;
1<2
(d) la relación de ser de mayor longitud en el conjunto de
todoe loe segmentos;
(e)
la relación de aer perpendicul&r en el conjunto de todaa lu
rectu de un plano;
(f) la rela.ción de simultaneidad en la. ele.se de tod.Oll los fe.
nómenoa fieiooa;
(g) la rel&eión de preceder temporalmente en la. clase de
todos los aoontecimientoe ffaiooa;
(h) la. relación de parenteeco en la clase de las peraonaa;
(i) la rela.ción de patemid&d en la clase de tod&e las personaa;
(j) la relación de intel'&6Cción en el conjunto de toda& 1&e
oonñguracionea geométric.as1
7.
tEe toda relación (en una clue da.da) o bien redeliva. o
irrefiexiva, o bien si.métrica. o aaimétrie&1 Indicar ejemplos.
8. Llamaremos INTB.üi'SITIV" EN u. CLüE K & Ja. relación R,
ei para tres elementos cualesquiera .z, 11 y z de K, la.a fórmulaa:
.zRy
e
yR z
implican la fórmula:
-(zR z).
¡Cuálee de las rela.cíonee citadas en lOR Ejercicios 3 y 6 eon
intranaitivaa! Indie&r otros ejemplos de relaciones intr&naitivaa.
1Ea toda rol.ación, o bien transitiva, o bien intr&Mitiva1
•9. Mostr&r cómo ee puede pual' de la upreeión:
las redaa a y b
6'0n
paraklaa
a la expresión equivalente:
y cómo definir, en conexión oon eato, la expresión tia direr.d&ft
4' una rectat.
DlftOMJCCIÓH A LA LÓOICA
ua
:8'ga.ee el m.iamo ejercicio ooa laa es:preeionee eigu.ientee:
1<u 1ongm.1u dt
w. .......,.. A By en ... ;.,..i...
i Qué ley lógica ae &plica p&ra: elJo1
lndie&eión: Vée.nae laa obeerva.eionee de la Sección 30 rela.tiva.a
al oonoepto de semej&DZ&.
10. Diremoa que doe idgnoe, o doa expreaionee compuesta.a
por v&rioa aign.08, eon J:QUUOIDfltS, si no ee diferencian en na.da
reepeeto de la forma, lino a lo eumo respecto de su poaición en el
espacio, oomo, por ejemplo, reepeoto del lugar en donde han aido
impniaaa; en cuo oont.rario, loe Uamaremoa NO J:QlJD'OBKBS, Por
ejemplo, en la. fórmula.;
apa.recen va.ria.bles equiformm a amboa lados del signo de igualdad, y en la. fórmula.:
z
=r
v&ri&bles no equiformea. ¡De cuint..oa signos consta. l& fórmula
z+y=y+z1
¡En ouMltoe grupoe pueden claai.6.oarae dichos aígnoe de manera
que sigo.os equiformee pertene&ean al m.íemo grupo y eigooe no
equiformes pertenezcan & grupoe dietintoe!
tCu'1es de laa propiedackm Hprmadu en la. Sección 29 110n
poaefdaa por Isa relaoionee de equiformidad. y no equiformidadl
•n. Sobre la. bue del nmult.ado del ejercicio anterior, expliqueee por qué ae puede decir de Bignos equiformea que son
iguales respecto de su l'OBlilli, o que tienen la. misma. forma, y
c6mo puede definiree el término tla f0f"fll4 dd aigno dadot (véaee
Ejercicio 9).
...
Ea una COltumbre extendid& llamar igualee & loe aignoe equiiormee e inclueo tra.tarloe como ei fueran un mismo eigno. Suele
deciree, por" ejemplo, que en i.. expresión:
interviene una misma variable a ambos lad.011 del símbolo
tC6mo puede expresarse eato con mayor exactitud1
•+•.
•12. La ma.nera. inexacta de h&blar eobre la. que hemos lla.mado la. atención en el Ejercicio 11, ha sido UBad& v&riaa veces en
eet:e libro (ya hemos dicho que no conbatiremos laa costumbres
profundamente a?Ta.igad&11). Indic.ar laa inexactitudes de este tipo
que apa.recen en la.e .P'sina.a 36 y 82, y explicar cómo podri&n eer
evitada.s.
Daremoe otro ejemplo de eete tipo: cuando se babia de fun.
cianea propoaicionalea con una variable libre, ae pieilA eu funciones en las que todas lu vari&blee librea aon equiformea. tCómo
puede formula.rea con eX&Ctitud I& etj>reaión:
13. Consideremos el conjunl.o de todos loe círculos eituadoe
en un mismo plano y con- un miarno centro común, Mostrar que
este conjunto queda ordenado por medio de la relación de aor
parte. tSeria. esto verdad, 1:1i loe clrculos no estuviesen en un mismo
plano o no fuesen oon00ntriooe1
14. Conaidera.remos una relación entre palabra& del idioma
cutellano que aerá. llamada la ~lación de PBJ:OBDBNOLI. (l:N
Eiplican1111os a.qui el sigIJfi.ca.do de eete
término por medio de ejemploe. La p&l&br& canimab precede a la
pal&br& tperrot, p ueeto que la primera. empieza oon ta• y I& 11&gunda oon
y tat ocupa un lugar anterior a •pt en el alfabeto
cutellano. La. palabra cairu precede a la palabra talimañat, ya
que amba.a oomienzan con la misma letra (o mejor dicho con
letraa equiformes; cf. Ejercicio 10), en tant.o que la segunda
letra de la primera palabra, esto ee tit, ocupa. un lugar anterior
en el alfa.beta castellano a la segunda. letra de I& segunda. pala.OBl>EN LEXlCOOBÁnCO) .
•?.
146
INftODtJOC!6N A l.l LÓGICA.
bra, eeto • tl.t. AnAlogara.ente, ecobrtt precede a te000t y m.al.dirol
precede a nnal6nt. Finalmente, td.ol.ort precede a. tdolorOIOI, y&
que la.e cinco primerae letra& de eetaa pa.la.braa son laa mismas,
y la primera. pal&bra conet& eolamente de ellu, mientra.e que
la aegunda. posee además otra.e; análogamente, cpan precede a.
~··
Eacribir las siguientes pala.braa en line&, de modo que entre
dos cualesquiera la de la. izquierda preceda. a la. de la derecha.:
carroña, arma,
aalir, am, c.or?'o, aakn, probkma, armazón, 08la.
Trá.teee de definir 11. rela.ción de precedencia entre palabra.a
de la. manera mú genera.l potrible. Mostrar que esta. relaci6n
ord.ena el conjunto de todaa le.e palabra.e del idioma. CMtellano.
Se6álen&e algunaa aplie&eionee prictlcu de esta relación y eJ:pli·
queee por qué ee dioe que ettableoe un orden lellioogr'6co.
15. Considérense una relación arbitraria. R y eu neg&eión R'.
Moetra.r que les siguientes propoeicíonee de la. teorla. de rela.oionea
son verdaderas:
(a.) n la n.laci6n R u rql1.zfoa m la clue K, entonu.8 la rtlaei6n R' u im/kziM tn. uia cltut;
(b¡ ai la rdaci6n R u ftmilriaJ en la daae K, entonua la
rtlaeión R' u tam.bibt. aimM~ a la cla.Je K;
•(o) .ti la relacKm R u aaimierita m la ~ K, entonus la.
relacaOtl R' u re/lu:iva. y COflUd d uia ela.ae;
•(d) aila~RutranntiVGv~mlaclcue K, ~
la relaci6n R' u konaNiva m uci cla.le.
tSon también verdaderu lu reclproc&8 de 68t88 propoeicioneal
16. Muéstrese que, ei la relación
R tiene una de lu propie-
dades estudi&daa en la Seoción 29, t.. relación conversa.
B
Jl<>llM
la miam& propiedad.
•17. Lu propiedades de relacionee que fueron introducidas
en la. Sección 29 pueden upreer.r f6.cilmente en términOll del c!lcu-
146
lo de relacioooe, admitiendo que la claee K a la cual eau propi&dadee ae tefieren ea la cla.ae unin-1. La.e fórmula.e:
R/R e: R
y
o
e: R U R,
por ejemplo, expresan que la relación R es transitiva y ooneu.,
reepectiV&mente. Explica.r por qué; recordar el eignificado del
aímbolo •D• de la. Sección 28. Eq>re6&1' a.ná.logamente que la
relación R ee simétrica., asimét.rie& o intransitiva (véase Ejercicio 8). iQué propiedad de relaciones eetudiada en el presente
capitulo se exprea por la. fórmula:
R/R C:I l
18. Eetudiar cuálee de la.a rela.clonea expreeadae por W f.Srmu.
laa indicadu a continU6Ción aon funciones:
(•)
(b)
2z+3y - 12,
z'~y'.
z+2>y-3,
(d) •+y - y',
(•) :z: es madre dt y,
(f) z es hija dt y.
(o)
¡Cuáles de la.a rela.ciones ooneiderada.a en el Ejercicio 3 son fun-
cioneet
19. ConaideremOll la función expresada. mediante la fórmul&:
¡Cuál ee el conjunto de los valorea del a.rgumento y cuál el de loe
• aloree de la. función 1
•20. tCu6.les de las funcioDfllt indicadas en el Ejercicio 18
son biunivocas1 Dar otros ejem.ploe de funciones biunivocu.
•21. Con.aidórele la función. erpreeada por la. fórmula:
'"
•=3y+l.
Moetrar que ae trata de un• funoióo biunivoe& que aplica biunf.
voca.mente el intervalo [0,1] eobre el [1,4-] (cf. Ejercicio 6, Capitulo IV). t Qué conaecuenoi& puede extraerse de aquí respecto a
loa números cardinales de dichoe intervaloat
•22. C.Onaidéreee la función expreaada. por la fórmula:
z=2y;
tomando como ejemplo el ejercicio anterior, moatrar con ayuda.
de est.a. funoióo que el conjunto de todos loe nlimeroe es coordinable ooo el conjunto de loa oámeroa poaitivoa.
88
•23. Moetrar que el oonjunto de todos loe númeroa natura.lee
ooordin&ble con el de todoe loe nómeros ímp&m1.
2'. Indicar ejemplos de relaciones mliltiplee de los dominioe
de la aritmética y de la geometrá.
26. tCoálee de las rel.a.oiooee ternarias expresad.u por lM
fórmulu Biguientee eon funciones:
(a)
(b)
(o)
(d)
:i:+y+iz=O,
z•y > 2z,
"11'+y'+,.
". '
z+
2-
26. Enumerar aJgunae leyee de la. flmoa que esta.blezcan la
eziatenoia. de relaciones funcionales entre doa, tres y cuatro magnitudes.
?:1. ConeideremOB l& relación de estar entre expresad& Kimb6lfoamente por la fórmula A/B/O, donde .A., B y O son tree
puntoa diferentes del pla.no (af. pág. 136). Escribir simbólicamente
laa aiguientes proposiaionea:
...
(a) Para pu1ltiol cualuquimi A, B, C y D, ai B utá entre
A y C y también tnl1't A y D. en.tonw O ut6 entre A y D.
(b)
Paru. 'JNnl<M cualuquimi A y B, ai A y B ion d~in.tofl,
un pmdo C ~ q¡u. B no ulá tNre A y C ni C utá
rntoncu ezíak
entre By A ni A e.alá
ent1't
By C.
Tradúzcanse t&mbién las siguientes fórmula.e &J. lenguaje ordinario:
(o)
(d)
~!¿!
[(B,.O/\ A/B/D/\A/O/D)~(A/B/OVO/B/D)J,
E [A " O/\ A - (A/ B/ O)].
A,C
A
¡Cuá.lea de laa propoaicionea (a)- (d) aon verda.deraaf (no 11uponet
que loa puntos en cuestión eet.úl neoesariamente alineados).
•28. Coneidérenee la.e trell aiguient.ee fórmulae oon la operación binaria O:
f.', (zOy =y O.i:),
.!~ ((z:
Oy)Oz - zO(y Oz)],
~11.~(:r=yOz).
Sustituir sucesivamente en estas fórmulas la.8 aim.boloe de lM
cuatro operaciones aritmétJ.cas: +. -, ·, y :, en lugar de O.
lCuáles de las propoeicione11 N!!Sult.a.ntea ROn verdA.deras1
VI
SOBRE BL !idTODO DEDUCTIVO
86.
CoDIUtuJtntM tund&men&alea de teorfaa deductivas;
prtmlUvoa 1 cleftnid.~ u1om.u 1 &eoremu
~rm.lnOI
A continui.ción intent&remoe exponer loe principios fundamentales que se aplican en la ooDBtrucción de Ja lógica y la matemática1. El a.náliais det&llado y la evaluación critica de etl08
principioa constituyen la tarea de una disciplina. especial il&mad&
HETODOLOOÚ. DE LAS OIBMCJli.8 DltDUOTIV.&S O ~DOLOGf..a. DE
u XATEIÚ.TIOA. Para el que ae ocupa de una. ciencia o intenta
eatudiarla, es indudablemente importante t.ener conocimient.o del
mét.odo que se emplea en la construcción de esa ciencia.; en el caso
de la. matemática veremos que el oonoci.mitmto de este método ee
de importancia. fundamental, ya que sin tal conocimiento es imposible aprehender l& natur&leza de la. matemática.
Los principioe que vamoa
&
eetud.iar tienen por objeto &aegu·
rar al conocimiento adquirido en lógica y matemática el ID&yor
grado posible de claridad y cert.eu.. Desde este pwito de viata
aeria ide&l un procedimiento que permitiese aclar&r el significado
de cada expreeión que a.parece en la ciencia. considerada, y jwitificar cada una de BU8 aaercionee. Ea fM:il ver que este ideal no ea
160
realiza.ble. En efecto, cuando eo tn.ta de explicar el lignifica.do de
un& expresión ha.y que emplear, oeoee&rWneate, otraa upreaioaee;
y para explicar el aigni6ca.do de eeu erpnejonee, ein ~r ea u.n
circulo vicioso, MI debe ~ a su vez & otrM expreeionee, y
aaf 1JUoeaivamente. Tenemos uf el oomiem:o de un proceeo que
nunca podría. termin&rse, y que puede ca.racteriza.ree, hablando
figurativa.mente, como un ILEOBBBO INnlfITO -un regru.ma in
infinitum. La. .situación ea anAioga en lo que se refiere a. la. jwiti.fi.cación de laa aserciones de la ciencia considerada., ya que para
eeta.blecer la v&lidez de una aeerción ea neceeario usar otra.e, y
(ai queremos evit&r un circulo vicioao) esto conduce nuevamente
a. un regreso in.finit.o.
A manera de comprom.iao entre ce& ideal inaaf!lquible y la.a
poaibilidadet realiza.bles, han surgido ciertos principios aobre la
oonstrucción de disciplina.a m&&emátiCM, que pueden ser deecritoe de la. manera. siguiente.
Al emprender la construcción de una determinad& di&ciplina,
diatinguimos ante todo un pequeii.o grupo de expreaiones de ell&
que nOfll pe.rezca.n inmedia.tamente oomprenaiblee; lu expreaionee
este grupo serán Ua.madae TiBllINOS l'BDIITIVOB o NO DDil'fI·
DOS y las emplea.remos sin explica.r 1JU a:igniñcadt\. Al mi.mi.o
tiempo adoptamos el principio: DO utiliz.a.r ninguna de Ja.e demM
expreeioDes de la. di.eciplin& ooneidenda., en ta.o.to au significado
DO se haya determinado previameote ooD ayuda de loa téim.inO!I
primitivO!I y de expresiones de la diaciplina cuyo aigníficad.o ya
b&ya sido explicado. La proposición que de eeta manera determina
el significado de un t6rm.it1o • ll&mad& una PDllf'IOIÓN, y lM
eqreeionea cuyoa aigniñca.doe eon aai determinadoe reciben el
oombre de Ttlulnfoe DuunDOe.
Prooedemoa análogamente con reepeoto a lu uercionee de la
disciplina. ooDSiderad&. ElegimO!I algunu de ástaa ......:.i a. que noe
pa.rezoa.n más evidente&- como .ümwtONJtS l"BJKlTIVU o .u:IOKAB (t.ambiéo referidos a menudo oomo POSTm.il)()S, aunque en
e&t.e libro no se usari. dicho t«mioo en este sentido t'Aonioo); loe
aceptaremos como verdadero& .l!i.n en modo alguno establecer ra.
n.lidez. Por otra. parte, toda otra aaerción aerá aoeptad& eomo
verd&dera sólo ei hemoa podido estableoer 11U. validez W1&Ddo 1ini·
ce.mente uiomae, definiciones y a.quellae aserciones cuy& validez
de
IMTRODUOC'JÓN A LA. LÓCICA
151
by& aido establecida previamente. C.omo ea bien sabido, aeercionee eet.ablecidu de 6lta. manera son lla.mada..a dJ:BOION ES
DBXOSTJU.D-'.S o TJ:OUJUS, y el prooeeo por el cual ee lu eetablecfl
ee llamado una DBlllOSTILAOIÓN. Mú generalmente, si dentro de la
lógica o la ma:temá.tica eet&blecemoe un enuncia.do en base &
otros, nos referimOl!!I a eete proceeo como un& DKRIV-'.CJÓK o DEDUOOIÓK, y decimos que el enunciado establecido ha sido DERI·
T-'.DO o DEDtrOIDO o ee OONSMJO ENOIA. de esos otros enunciadoa.
L& lógica matemática actual es una disciplina oonetruida de
acuerdo con los pri.."lcipios que &e&bamos de exponer; deegraciada.mente no ha. sido posible, dentro d el estrecho marco de eete libro,
da.r debida atención a eete importante hecho. Cualquier otra dieciplina construida de a.cuerdo con eetoa principios debe b&a&r&e
en la lógica.; por aa( decir, presupone b~ lógica.. Esto quiere decir
que todas las expreaionee y leyes d e la ·lógica. ae t ratan ea pie de
igua.ldad oon loa términoe primitivoe y a:riomaa de la disciplina
en oon.atrucción; los ténniD08 lógicoa ee UMD, por ejemplo, en la
formulación de loa u.ioma.a, teoremas y definiciones ain neoeeidad
de explica.rae su significado, y las leyes lógicas MI aplican en demoatracionee ain establecer previamente su validez. En la conatrucción de algunQ8 disciplina.a ee conveniente a veces presuponer,
en eee mismo sentido, no sólo la lógica., sino además ciertas disciplinas me.temáticas construidas pre'ri&Qlente¡ por razones de breveda.d podemos denominar ta.lee teorías, junto con la 16gica., laa
DJSCIP'LllUS Pllll:OBDEKTES J. Id. DlSCIPLilU D-'.DJ.. Aai, la. lógica
no preeupone ninguna disciplina. precedente; en la oonstrucción
de la. aritmética como disciplina. matemática etpeeial se presupon.e
la lógica e.amo única dietiplina precedenUi; por otra parte, en el
caao de la. geometría es ventajoeo -aunque no inevitable- pr$suponer no sólo la lógica, sino también la arit mética.
En relación con laa ólt.im88 obeervaciones ea n eoeeario hae«
algunas rectificaeionee en la. formulación de loe principioe expueatoa anteriorrilente. Antes de emprender la construcción de una.
disciplina deben enumerane lu disciplinas precedentes; todos loa
requiaitoe referente& & la. definición de expreeionee: y demoatra.cíón
de a.aercionee se aplio&rán, puee, BOia.mente & lu expresiones y
aaercionee especffie&l!!I de la. disciplina. en oon.atrucción, es deoir,
a lu que no pertenecen a lae diaciplinae precedentes.
152
El método de construcción de 'Ol'l.a diaciplin& baudo en Wl&
obaerY&eión estricta de loe principioe Hpuestoe mú &rrib&, te de·
nomina JÓTODO DBDt1arIVO, y !u dieoiplinaa OODBtruidM de eeia
manera ee llaman TBOBÚB DBDUOTIV.si. Está oada vez mú
Htendida la. opinión de que el m6todo deductivo ea el l1nioo rugo
eeencial que distingue • la.a dieciplinaa ma.tem!ticaa de toda otra.
oiencia; no aólo es toda disciplina matemática. una. teoría. deduo.
tiva, sino que, recíprocamente, t.oda teoría. deductiva ee una. dieoi.
plina matemática (de acuerdo a este punto de vista la lógica de·
ductiva eetá incluida entre las di9ciplinaa matemáticas). No entr&·
remoe aquí en la discusión de laa razones en favor de este punto
do viata; solamente obaerva.remoe quo pueden da.ne argumento& do
peso on eu favor.
87. Modelo e lDMrpre&aol6D •e una Morla cle4uoUva
Como resulta.do do una aplicación aiatemátíca de los prinoipioe
preeentadoe en la 88Coióu precedente, laa teorías doductivu ad·
quieren ciertas cara.ct.eríetiou inte«ieantee o importa.ntee que describiremoa &qui. Como la& cueetiones que vamos a discutir &0n de
un carácter &lgo complicado y abetra.cto, tra.t&remoe do elnoid&rlu
por medio de un ejemplo concreto.
Suponga.m08 que noe interea&n hechos generales sobre la. oon·
gruencia de aegmentoe, y que deeea.moe construir este fragmento
da goometrfa. como una teorla deductiva oepecial. Para ello estipula.moa qua las variables a t, l)'t, et, .•• , dellignan .eegm.ent-06.
Como t6rm.in.oe primitiYoe elegimoe loa sfmboloe cSt y e:-•. El
primero de ellol ea u.n& &~reriatura del Urmino cd etm~mo dt
INTRODUCCIÓN A U. LÓGICA
153
todoa los .e~; ol eegundo deeigna la relación de oongruenda,
de modo que la. fótm.ula.:
debe leer.e como sigue:
loa segmenlOf z
e y
ami
congruentes.
Adoptaremos adem"8 dos axioma.a:
Anolli l. Para todo elemento z dd wn;unto S, z ~ z (en
otras p&l&bras: todo aegmento u congnunk consigo mismo).
A.noM.A.
n.
p4ra, elemtnto..t cualuquiero z, y, z del con;uw s.
z, e~ z
y (en otras palabras:®' ugm.entod
con un Ururo aon congruentu entre 8').
si z ::: z e y
con~
=
=
De eetoe axiomas ae pueden deducir vll.rioa teoremll.l!I eobre la
congruencia. de segmentoe, como por ejemplo:
T11:0B11:11A
I. Para elemenlos cvaluquitro y, z dd con;unto
S,
ai y ~z. enlon.ceaz ~y.
TEORltMA. 11.
t.oS,aiz~y
e
Para elemen.k>a cualuquiera z, y, z del con;un.
y~z,enlonce.tz ::: z.
LQS demoetraciones de eetoe dos teoremas aon muy fá.cilea.
Como ejemplo, eaboza.remos la. demoatf'&()ión del primero.
Sustituyendo ~ por ttt en et Axioma 11, obtenemoe:
para ekmenloa ~y, z del conjunto S,
si z ~ z e y~ z, mtoncu z::: y .
En la hipótesis de este enunciado, aparece la fórmula:
'Z ;::'
z,
que indude.blemente es v6.lida, en rirtud del Axioma. 1, y, por lo
ta.ntio, podremos omitirla.. De esta manera se obtiene el teorema
en oueetión.
C.On reepocto a. eeta.e aencillu consideraciones deeeamoe be.oer
las siguienwa obaerva.cion~ . )
Nneetra. teorla. deductiva. en minia.tura se basa. en un eiatema.
de a.:iiom&11 y términos primitivoa adecuBdamente eeleccionado.
Nueatro conocimiento de loa objetos denotados por loa términoe
primitivoa, ea decir, de los segmentoa y de su congruencia, es muy
amplio y no ee a.gota.do de ninguna. maner& por los axiomaa adoptadoa. Pero este conocimiento es, por decir &11f, asunto privado
nuestro y no ejerce la más mínima in8uencia sobre la construcción
de nueetra. teoría.. En pa.rt.ícular, al deducir teoremas de IOB a:riom&s no hacemos ningún empleo de este conocimiento, y noe
comportamoa como ei no comprendiéramos el contenido de los
oonc.eptoa involucra.do en nuestras consideracionea, y como si no
eupién.moa nada de ellos que ya no hubiera eido éxpreaa.men~
afirmado en loa uioma.e. Deepncia.moe, como se dice general·
mente, el eigni&cado de loe términos primitivos que bemoe adoptado, y enfocamoa nueetl'a atención exclUBivamente sobre la forma
de los axioma.a en que se dan est.08 términos.
Eato implie& una coneecuencia muy eigni.ficativa e interee&nte.
Reemplacemos loe términos primitivos en todos loa axiomas y
teoremas de nuestra teoría por Yaria.blee adecuadas, por ejemplo,
el aim.bolo tSt por la varia.ble cKt que denota. cl&l!eS, y el eúnbolo
por la varia.ble tRt que denota rel&eionee (a fin de simplificar nueatra discusión, no conaider&remoe aquf teoremas que
contengan términoa definidoa). Laa a6rmaciones de nuestra t.eorla.
ya. no aerán má.e Prl?poaicionea, sino ae transformarán en funcionea
proposicionales que contienen doe varia.bles libres, tKt y tRt, y
que e~n. en general el hecho de que la. relación. R tiene eata.
o aquella. propiedad e.n la. cl&ae K (o, con ma.yor precisión, QU:8
eat& o a.quella. relación rige en~ K y R, v6aae Sección 27). Por
ejemplo, como se puede ver fácil.mente, el A..:Doma. 1 y loe Teoremaa I y II expresará.n e.hora que la rela.ci6n R es re8exiva, simé·
trica y transitiva., respectivamente, en la cla.ae K . El Axioma 11
expreea.rá. una propiedad pa.re. la. que no tenemos ningún nombre
especial. y a la que nos referiremoe oomo propiedad P; ea la propiedad siguiente:
•=::•
pani dtmenki.t z, y, z cuak.tquitf-11 dt. la cltut K, ,;
zRz t yR:, tnlolua zRy.
1NTRODUCCIÓN A LA lÍIGICA
Pueeto que en las demoet.racionoe de nueetra teorl& no he.ce·
moa uso de ninguna. propied&d de la. clue de segmentos y de la.
relación de congruencia, salvo aquellu que fueron expUcitamente
enunciadas en loe axiom&11, · todW .demoetración puede eer oonai.
derablemente generalizada, pues puede &er &plicada a cualquier
clase K y a cua.lquier relación R que tenga esas propiedad.ea.
Como resultado de una generaliz&ción de es& naturaleza. de lu
demOl!1tre.ciones, podemos oorrelaciona.r oon cua.lquier teorema. de
nuestra. teorfa una ley general correepondiente al dominio de la.
lógica., a. ea.her, a. la teoría de relaciones, y que afirme que toda.
relación R que ee reflexiva y tiene la. propiedad P en la. clue K
poaoo también la propiedad expreea.d& en el teorema. considerado.
Aaí, por ejemplo, la.e dos leyes Biguientee de la teorfa. de relacione111
COITMponden a lOll Teorflm&e l y [[:
I'. Toda rtlaci6n R
pr~
([lle u re//,tzi,t>tJ. m la cla.st K y lient la
P en ua elaat u bmbitn aimétriofl .en K .
11'. Toda rtlación R qru u n/lu:iva m la clase K y lielu 14
Fopitdad P tn e&a clase u tamhi-én. INJnsiliva en K,
Si una. relación R ea retl.eziva y tiene la. propiedad P en una
c1aae K, decimos que K y R forman juntas un MODELO o una
&B.il.IZ4.CIÓN del eist.ema de axioma.a de nuestra teorfa., o eimplemente que ea.tisfacen a. loa a.Doma.a. Por ejemplo, un modelo del
sistema de Womaa esté. oonetituido por la. clase de loe segmen.
tos y la relación de congruencia., ea decir, loa objetos denotad.01
por loa tórminoe primitivoe; Mturalmente eete modelo aatisfa.oe
también todoe loa teoremas deducidoa de loa aziomaa. (P&r&
hablar con exactitud, deberlamoe decir que un modelo no e&·
tisfa.ce las afirmaciones miamae de la teoría, ei.no 1&8 funciooel!I
proposicionales obtenidu de dicb.u afirma.cianea reemplazando
loe términOl!I primitivoa por variablee.) Empero, este modelo
particular no desempeña ning(m pa.pel privilegiado en la construcción de la teoria.. Por el oontrario, sobre la base de leye111
lógica.e universa.lee como I' y 11' llegamos a. la conclusión general de que cualquier modelo del aiatema de axiomas e&til!lfa.ce
todoa lo& teoremas deducidoe de eet08 axioma.a. En consideración
de eat.e hecho también se ha.ce NJÍtlr'eDcia. al modelo del aíat.flma.
156
de ax.iom11o11 de nueetra teorla oorno a un
3ú. misma.
.MOD:SLO DI'!
LA TEO·
Eetamot en condicionea de exhibir mucboa modeloa difere·n.
tes pa.ra nuestro eittema de iuiomu, aun en el dominio de la
lógica y de le. matemática. Para obtenm un modelo de ea& naturaleza., elegimos en cualquier otra. teori& deductiva doe constantes,
aean d(t y «lb (denotando la. primera una clase y la última una
rel&c::ión), luego reempla.za.moe a .St por dú y a e~• por •R• en
todo el Biatem&, y finalmente demostramos que laa proposiciones
aal obtenidas son teoremas, o posiblemente axiomas, de la nuen teoría. Si logra.moa realiur eeto oon éxit.a, decimos que hemos halla.do un& INTKlt.PB.E'UCIÓN del sistema. de axioma.a -y, al
miamo tiempo, de toda nuestra teoría deductiva...- dentro de la.
otra. teoría deductiva. Si reemplaza.moa ahora loa términoe primitivos .S• y • ;;¡ • por •X. y •ltt, no aol&mente en loa axioma.e,
sino también en todoa loa teorema.e de nueetra. teoria, pode.
moe estar aeguroa por adelantado de que todu laa proposiciones
asi obtenidaa aerán proposiciones verdaderas de la nueva teoría
deductiva.
Daremos aquí dos ejemploe ooncret.oe de interpret&cionea de
nueatra. teoría. en minia.tura.. Reemplazamos en los Axioma.e I y JI
el símbolo tS• por el símbolo de la clase universa.l cV1, y el eímbolo ·~· por el signo de identidad
Como se puede observar
inmediatamente, loa arioma.e 11e tranaforman entonoe. en leyea
lógicas (en efecto, le.a Leyea 11 y V de la Sección 17 de m&nera
ligetamente modificad.a.). L& clue universal y la relación de identidad oonetituyen, por lo tanto, un modelo del sietema. de a.riomaa,
y nuestra t.eorla ba. hallado una iot.erpretación dentro de la lógica..
Aal, si en loe Teorema.e 1 y 11 reempla.z&.moe loe eim.boloa tlt y
•':::• por loe efmboloa cV• y
podemos eat.ar aeguroe de que
Uega.remoB a. proposiciones lógiC&S •erdaderaa. (En efecto, eet.mOB nuevamente familiarizadoe oon ellas; vé&ee Leyee III y IV
de la. Sección 17.)
•
A oontinua.ción coneideramoe el conjunto de todos loe número11, o cualquier otro conjunto de números, denotándolo por .X•.
Llamamos equiva.lentes a doa n\\.meroe :z: e y, en sfmboloe:
•=•·
•=•,
:z: : y,
INftODUCCIÓH A LA LÓGICA
ai au diferencia z - y es
Wl
entero; a.el tenemoe, por ejemplo:
11¡, . 51¡,,
mientras no ea el caso que
3
:;;;¡
21¡,.
Si ahoro. loa términos prim.itivoa son reempl&ze.dos en &mboe
&xiomas por dh y f:!!!:I, se puede demostrar fácilmente que 168
proposicionee result.a.ntee son teorema.a verda.deros de la a.ritm&tica. Asf nuestra. teoría. poaee un& interpretación en la a.ritmétioe.,
puea el conjunto de ndmero1 ]( y la relación de equivalencia ~
oonstituyen Wl modelo del Ñtem& de u:iomu. Y nuevamente Mtamoe aeguroa, e.in nin¡6n ru.onamiento especial, de que los Teoremu 1 y 11 ae tranaf'on:oari.a en propoei:oionee aritmétioae verda.dene li son 10metidoe a la miam• tramformación que loa. u:iomu.
Loa hechos genereJee deeoritos mM arriba. tienen muchu
aplioacionea interesantes en la& investigaciones metodológicu. Iluatraremos esto aquí por medio de un solo ejemplo; mO!Jtraremoe
cómo ee puede probar -en baae a eat.oa hechos- que no se pueden
deducir ciert&a propoeicionee de nueetro eiatema de a.x:iomu.
Consideramos la siguiente propoa:ición A (formulada. sol&ment:.e
en términos lógicos y en los térmlnoe primitivos de nuestra teorla):
~ z t y dtl CO?ljunlo 8 ptlM lolqu.e 11.0
qru z ::; y (en otru paJabru: ui8kn do6 ugmmeoa qut
A. ErimA dol
u d
talO
ftOIOtlctm~).
Est& proposición parece eer indudablemente verdadera. No
obet&nte, ningdn intento par• eu demoetnción en bue a. loe
Aiiomu 1 y n puede dar un remlt&do positivo. As( surge la conjetura de que la Propoeición A no puede ser deducida. de ninguna
manera de nuestros u::iomae. A 6n de confirmar esta conjetura
&rgumentamos de la manera Biguiente. Si la Propoeición A pndiera. ser probada. en base a noeatro sistema. de axiomas, entonce&,
aegón sabemos, todo modelo de eet.e sistema satisfarla & la propoaición; por lo tanto, eí podemoe indicar un modelo de sistema.
de uiomu tal que no aatiafap l• Proposición A, proba.moe con
158
ello que eeta proposición no puede ser deducida de loe A..xiomM 1
y II. Ahora bien, la obtención de un modelo tal no preeent& ninguna. dificultad. Consideremoa, por ejemplo. el conjunto de todoe
los enteros 1 (o cualquier otro conjunto de entero1, por ejemplo,
el conjunto oonaistente en loe númeroa O y l eolamente) y la
relación de equivalencia. ;;;¡ entre números que fue discutida. anteriormente. Sabemos ya en bue & las observ&ciones precedentes
que el oonjunto 1 y la relación
oonatituyen un modelo de nueatro sistema de axiomas; empero, la Propoeici6n A no es N.tisfecha
por este modelo, puea no hay doe enteroa :i:: e y que no sean equivalentes, ee decir, cuya diferencia no sea un entero. Otro modelo
conveniente para este fin eet.A. constituido por una clue a.rbitraria.
de individuos y por la relación u.nivere:a.I. V que rige entre doe individuos cualeequiera.
El tipo de razona.miento recién aplicado eo oonooe como el
=
x.BToDO DB DBMOS'l'B.A.OIÓN POa B:lllIBIOIÓll DB t1N llOD&I.0 O
FO:& IllTERPBKTAOIÓN.
Los hechos y conceptoa discutM!oa aquí pueden ser relacion&doe con otras teorías deductivas s in efectuar un cambio eeenci&I.
En la sección próxima tra.t&remoe de deeoribirlos en un modo
ha.et.ante general.
81.
LeJ de dedueel6D; eará.cier formal de las Ol8DOfaa ded.UCltlTM
•C,Onaideramoa una. t&orí& deductiva cualquiera baMda. eobre
llD sistema de términos primitivos y axiomas. A in de aim.pli.6o&r
nueetru conaideracionee, 8Uponemoe que eet& teorla preeupone
1<>lament6 la lógica, ee decir, l& lógica ee la única teoría que preoede a la teoría dada (véue Seoción 36). Ima.gin.emoa que en todu
lu afirmaeionee de nueetra. teorfa loa términos primitivoe eoo
reempla.zad.os en su totalidad por variables adecuadas (oomo en
la Sección 37, y nuevamente por razones de simplicidad no cooaider&m.08 los teoremas que contienen términos definidoa). Lae
&firm.acionee de la teoría. considerada ee tr&DBforman en funcione&
proposicionales que contienen como variablee libree los BÚXlboloa
que han reemplazado & loa t:.érminoe primitivos, y que no contienen
otraa oonatantes que lM pertenecieotm a la lógica. De.dos ciertoe
INT~OUOCIÓH A U
LÓGfc.l
159
objetoe, ae puedo detm:n.in.ar si eati.afa.oen todoa loe axiomu de
nueetra. t.eoria, o dicho euoiamente, todaa laa funciones propo&ioiooalet obtenidu de en.oe uiom.aa del modo reci~n deecrito
(es decir, si loe nombrea o designacionee de eeoe objetos produoen
propoaioionee verdaderas al &el' oolooadoe en el lugar de las v&ri&blm librea de lae funcione& propoeioionalea; vMae Sección 2). Si
eeto suoede, diremos que loe objetos que se oomidera.n constituyen
un llOD:sLO o una JU.A.LD.a.OIÓ!f DJ:L 81STUU. D:& .t.XXOll.48 de
nueetra teoría deductiva.; a veoea también decimos que oonnituyen un llOD:sLO DB LA TEOai.a. DBDtrarrv..t. misma. De manera
bastante análoga podemoe determinar ai los objetos dados no
110lam.ente sa.tisfa.oen al sistema de ariomaa, sino tambi~n a cualquier otro aiatema. de afirm&eionea de nue&tra teoría, y si, por lo
tanto, oomtituy en un modelo de eete .e.iltema (no se excluye la
posibilidad de que el aistema cooeilt& de una aola afirmación).
Un modelo del sietema de uiomae 991'. oonetituido , por ejemplo, por loe objetoe que son denot.dos por los Unninoe primitivoe
de la teoria dada, puesto q~ npooemoe que todos loa uiomu
BOD proposioionea verdaderas; este modelo aa.tiaface, ns.turalmente,
todoa loa teoremas de nueetn teorla. Pero en lo que ae refiere a la
oonstruoción de nuestra teoria., eirt.e modelo no ooupa. ningó.n lug&r
de preferencia. entre todos loe d emáe modelos. Cua.ndo decimos
eate o aquel teorema de loe axiom.aa, n o pensamos en las propiedades eapeoifiou de ese modelo, y solamente empleam.oa a.quellae
propiedades que están explicit&mente enunciada.a en loa a.xiomae
y que por lo t&nto son poeeJdaa por todo modelo del sistema. de
&.riomae. En oonaecuenci&, toda demostración de un teorema p&r·
ticul&r de nuestra. teoría. puede aer &%teodida a todo modelo del
eiatema de uiomu y puede eer e.el tra.Daformad.a en un argumento
mucho mfwi general, no ya pert.enecieote a nuestra. teoría, Bino a
la lógica; y como resultado de eet& generalizaci.ón obt.enemoe un
enunciado de lógica general (como Ju leyee I' y 11' de la. eeccióo
preoedente) que establece el hecho de que el teorema. en oueetión
ee satisfecho por todo modelo de nuestro sistema de ariomae. LA
ooncluaión final a que a.rribamoe de eet& ma.nera puede ser expr&aada bajo la. forma siguiente:
Todo twrema tk una ktMa. ddvdivo dada u MJJi.8/Wio f>I"'
cuolquiu modtJo del ai.IUma tk aziomaa de uta koria; y ademáa, a
160
todo ttort?M eorrupon& u11. enun.etado gtnef'Ol gw puede aer formu,.
lado y ,u...,,,..,, <knt'O <kl ...,.. .U la 16g;.. y '/"< utabU.. el
1tuJlO ck que el teorema ~n cuun6n u «JNft.eho por cualquier modelo
ck ua noturakza.
Tenemos aquí una ley general del do'1lini,o de la metodología
de las cienci&a deductivu que, cuando se formula. de me..nera algo
mí.a preciN, se conoce bajo el nombre de LEY DE DJ:DUOOIÓN (o
TD>Bnt.t. DI: DEDUOOIÓN)l.
La. tremenda importancia práctica de esta. ley reeult& del
heoho de que generalmente eet&m.oe en oondicionee de exhibir
numeroaoa modeloe del matema de a.riomaa de una teoria partieu.
lar, ann ain abandona.r el campo de la.a ciencia.e deductivas. A fin
de llegar & un modelo t.i hMta. eeleociona.r detenninada.e conat&n·
tea de otra teoria. deductiva. cualquiera (que puede ser lógica o una
teori& que presuponga a la lógica). oolocarl.a.t en loa as..ioma.e en
Juga.r de 101 t&minoa primitivoe y demoetrar que· la.e proposicioD88 obtenidas de esta ma.nera eon ueroionm de Mt& otra teoría.
Deoimoe en eet.e caeo que bemoe hallado una interpretación del
aiatema. de &xiomu de la teorla original dentro de la otra teorl&.
(En p&rticula.r, puede ocurrir que laa oonstantea elegidas pert.enee.
oa.n a. la. teorla originalmente considerada, en ouyo C&80 eJgunoa
de loe términos primitivOB h6IRa pueden haber perm&necido innria.blea; se dice entonces que el aistema de uiomaa dado ha ha.ll&do
un& nueva interpretación dentro de l& teorla que ee oon.eidera..)
También someteremoa loa teonimaa de la teoría original a una
transform.ACión &n&log&, reempl&Z&Ddo loa términoe pri.m.itivoe en
su totalidad por Ja.e eonet&ntee que h&rl eido empleadaa en la interpretación de loe uiomae. En baee a la ley de deducción podemot
estar entonoea seguro• por adela.nt&do de que de esta manera ee
llega & propoaicionee que son aeercionee de la nueva teoría. Pod&mOB formular eeto de la mMM1r& siguiente:
Tocloa loa ettmmu dt:molttradof tobrt la fHut de un .riBtema de
mMma8 dado aigum aindo vcWdo.t poni cualquW interpre.taci6n
del aiatema .
. •ta l•J ca. dMCUblerta ladepeudkns.m.ate por d
(lD0S-10S1)7al· autor.
lotlloo l'raDcM J. BUllLUD
JNTltODlJCCl6N A LA. LÓCICA
161
Dar una dem.01traclón especi&J para cu&Jquier& de estos teoreme..e
tramformadoa ea redundante; en todo cuo aeri& una labor de
ind.ole puramente meoáaica, pue11 9eria wficiente truladac el
OOITt!lpOndiente argumento del campo de la teorla origin•l y someterlo & la.a mimnaa tramd'ormacionea que han sido ejecutada&
con respeoto a loa ariomu y teoremaa. Toda. demoatración dentro
de una teoría deductiva contiene, potenoi&lmente, por decir aef,
una e&ntidad ilimitad& de otn.e dem.oatracionea análoga.e.
Loe hechoa descritos más arriba demuestran el gran valor
del método deductivo dee<le el punto de vista. de 1& economía. del
peoaa.mient.o huma.no. Son t&mbién de gran &Je.anee en cuanto a
su importancia teórica., aunque fuer& solamente por el hecho de
que establecen un funda.~t.o para divereoa argumentos e inveati¡aoionee dentro de la. metodología de lu ciencias deductivu.
En particular, la ley de deducoión ee la bue teórica par& toda.e
Ju asi denominadas DBX08TIU.CJONA l'OB IlfTBBl'BBT.ACIÓJ(; ya
bemoa encontrado un ejemplo de talea demoatracionee en la eeoción preoedente, y nos encontraremos con varioa otl'Ol!I ejemplos
en la eegunda pa.rte de este libro.
Por razones de exactitud ee puede agregar que la.e con.eideracionee expueetas somen.mente aqui son aplicablee a cualquier
teoria deductiva en cuya conatnicoi6n eet6 presupuesta la lógica,
mientraa que eu aplicación a la lógica misma. origina ciertas difi·
cult&dea que preferirla.mas no diaeutit aquí. Si una t.eorla. deduetin determinad& pl'ellnpone algunae otra.a t.eorfae, &demáe de la
lógica, .J.gnnae de 1&11 formulaciones dadae máa arriba uumen una
forma algo mM complicada,
La fuente oomó.n de lOl!I fenómenos metodológicoe diflcutido.
aquf ee el hecho puntualizado en la 98CCÍÓD precedente, a a.her,
que en la construcción de una teoría deductiva. deepreciamoa el
lignificado de loa a.::.:iomae y t.omamoe en cuenta 90l&mente eu
forma. Ee por esta razón que al referirse a eatos fenómenoe ee
ha.bl& del o.AB!rou. puramente ..OBIUL
lu ciencia& deductina y de tod.08 108 razonamientoa efectuados dentro de eataa
cienoiaa.
De tiempo en tiempo ee h..Uan propoaioionee que reca.J.can el
e&rá.oter formal de la mate~tiea. de modo paradójioo y en.gen.-
de
162
do; si bien eon fundameot&l.meote ooneot&e, esta.a propoeioion•
pueden llegar & ser un& fuente de oeouridad y oonfuaión. Ea u.1
como ae oye y huta oca.eion&lmute M lee que no ae puede •tribuir
ningún contenido definido a loe conceptoe matemá.tiooe; que en
lu matemáticas no sabemOll realmente de qué Ntamoe hablando,
y que no eatamoe intereeadoe en saber ai nuestr&l!!I uercionee eon
verdadera.e. Ta.lea juicios deberla.n &el' encarados más bien orf.ticamente. Si al construir una teorf& uno ee comporta. como llli no
comprendiera. el significado de los términos de es& disciplina,
eato no ea lo mismo que neg&r & eeoe términos todo eignüicado. Se
admite que aJgunu veces ae de.rrolla una. teoría deductiva sin
atribuir un aigni.fi.cado deifinido a 8114 términoe primitivoe, tr&t&ndo
aaí a eatoa 6.ltim.oa como si fuera.n variables; en este caao decim.011
que tratamoe a la teori& como un 818T:tMA. J'OBll'...il. Pero Mt.a ee
una situación oomparative.mente rara (ni ha aido tomada en enea.
t& eD nueetr& caracterización general de la.e teorfae ded.uctivu
dada. e~ la Sección 36), y sol&mente oourre cundo ee posible dar
Tariu interpretacionee al eietema de Womu de dicha. teoría, e1
decir, si se dispone de v&rias maneras de atribuir significadoe
ooncretos a los té1minoe que se preeente.n en l& teorla., pero cuando
no deseamos d&r preferencia por adela.nta.do & ninguna. de eeas
m&neraa:. Por otra parte, ee de auponer que un sistema formal pua
el que no pudiéramos dar ningu:o& interpretación no int:.erea&ria
a nadie.
Para. concluir dirigiremos la atención & ciertos ejemplos intereeantee de interpreta.cione11 de d.i.scipl.inaa m&temáticas que eon
mucho máe importante.e que loe dadoe en la. Sección 37.
El aiatem& de aziom48 de la uitmética se puede interpretar
en la geometrla.. Dad& un& recta &rbiiraria es poeible definir rel&cioneB entre sus puntóe y operacion• oon elloe que eat.Wagan
t.odos lOB axiomas de la. aritmétictt., y por lo tanto, todoe loe teoremaa: referentes & las correspoodientm rela.cionee entre nómeroe ~
operaciones sobre ellos. (Eato eat& intima.mente rel&cionado oon
una oirounst.a.ncia que cita.moa en la. Sección 33; a saber, la poai.bilidad de eeta.blecer una. correepondencia. biunívoca entre loe pun·
toa de una recta. y todoa los nó:meroe.) Reclpro.::amente, el sistema
de axiomas de la geometrla admite una interpretación en la aritmética. F.atoa l'ftlulta.dos tielKIJI. múltiples aplicaciones. Por ejem-
INT&ODUCX:IÓN A. LA. LÓGICA.
163
plo, pueden emplea.ne con.6guncion&e geométricas para obt.ellel'
una imagen vilual de ve.rioe beehoa en el ca.nipo de la aritmética,
procedimiento conocido con el nombre de m6t.odo gráfico; por ot.ro
la.do, ee posible investigar hechos goomét.ricoe con la &yuda de
m6todoa a.ritméticoe o algebr&icoe ----eiiste incluso una rama eapecial de la geometría, conocida oomo geometría &n&litica, que
tiene como objeto la.e inveatigacionee de eete tipo.
La aritmética, como ya hemoe viato, puede construirse como
pacte de la lógica (cf. Sección 26). Pero si tratamos la aritm1Uica
como teoría. deductiva independiente, basad.a en un aiatema. propio de términoa primitivos y a:riomu, eu relación oon la lógica
puede describirse como sigue: la aritmética posee una. interptt1t&ci6n dentro de la. lógica (eobnmtendiendo que la. 16gica incluye
el u:ioma. de inti.nitud; e(. &ceión 26); en otru pa.labru, ee poei·
bltl definir dentro de la lógica ooocept.oe ta.lee que a.a.t.iaf'age.o todoe
lOI a:liomu, y, por conaiguient.e, todoe loa teoremu, de la aritmética. Si recordamos que La geomet.ria tiene una interpretación
dentro de la aritmética, Uepmoe a la ooncluaión que la geometría
puede interpretane tambi6o dentro de la lógica.. TodOll eetoe ~
aultad.os aon eumamente eignifica.tivoe desde el punto de vista
metodológico.•
&9. Seleeelón de utomu J Urm!Dos prlmtUvos; 111 lnd.ependtnoll
Diaoutiremoe ahora. &lgunoe problemae de natur&leza. un pooo
máa espeoia.l que, ein embargo, ee refieren a component.ee funda..
menta.lee del método deductivo, • eaber, la elección de thminoci
primitivos y a:liomaa, a.ai eomo la oonatrucción de deñnioione1 y
demostracionee.
F. importante danie cueo'6 que tenemOll gran libertad m la
lelecoión de términoe primitivoe y uiomu; eeri& oomplet&mmte
erróoeo creer que determinaclaa e xpreefonee no pueden de&nine
de. ninguna. ma.nera, o oreeJ" en la. imposibilidad fundamental de
d91D08tr&r ciertos teore!D&8. .Llema.remoe J:QUJV.il.BNTBB • doe
e:istemaa de propoeicionee de una teorla dada., cu&il.do toda propoai.ción del primer sistema pueda eer derivada. de la.e propoaicionee del aegundo y de 10& teoremas de lae teoría.a preoed.entee, y
reciproca.mente, toda proposición del aegundo pueda deriv&ree de
,..
Ju propoaicione1 del primero (ti Wl& m.iama propOli.oi6a figura ea
ambot liatemu no ee neoeea.rio deducirla.). Imaginemoe &hora que
hubi6eemoa baaa.do una teoría deductiva sobre un 1iatema deter·
minado de u:iomaa y que en eil tranacureo de eu ootlltruccióo noe
enoontriaemoe con un ~ma de propoalcionee que fueee equiva.}BDte &J. de a.xiolll&e en el eeniido que ae aca.ba de indie&r. (Un
ejemplo oonoreto de ello noe lo ofreoe el fragmento de teori& de
oongruenoia. de segmentos que hemos tratado en la Sección 37; ee
f&cil ver que el sistema de Womaa de dicha teorf. ee equiva.J.ente
al aiatem& de propoaioionee form&do por el Axioma I y loe Teoremaa 1 y II.) Si ae preeent&ra eat& aitu&ci6n, entonces, deede el punt.o de vista. teórico, seria posible rooonatruir la t.eorfa de tal manera
que laa proposiciones del nuevo sist&na ee t.oman como az:iomu,
mientn.t que loe Womaa inieieJm ae demuestnn como tooMm&e.
locluso no ee eeenci&l la circumtanoia que 101 nuevoa u::iomaa
teogan, en un principio, menor grado de eridenci&, ya que toda
propoeioión ee vuelve evidente haata cierto punto cuando ha aido
derivada de une. manera convincente a partir de otraa propoaioioDeB evidentes. Todo eeto 86 aplica igualmente ----mutatia trH'·
tafldia- a los términos primitivoa de una teoría. deductiva; el llÍB·
tema de estos términos puede reempl&.7.&rse por cualquier otro
sistema de términoa de l& teoria en cuestión, siempre que los doa
sistemas· sean EQUIVALENTES en el aentido de que cada término
del primer sistema pueda definine mediante términos del aegundo
juntamente con términos pertenecientes a Isa teorfaa precedentes,
y rooJprocamente. No 611!1 por razones teóriou (o, al menoe, no es
tola.m.ente por eatu razonm) que decidimoa aeleoclona.r un. cierto ai.stema de términos primitivoe y u:iomae en logar de ot:ro.
poaibles ei.etemu equivalentee; otroe faotoree -pri.ctiooe, di~
ticos, inclusive eetétiooe- int«vieneo en eeta. deciaión. Algwiae
veces se tn.ta. de elegir loa túminoe primitívoil y u:iomM mú
limplee, en cuyo caso podría aer deee&ble 118&1' el menor nó.mero
posible; o podemos preferir ténninoe primitivos y uiomaa talee
qua n08 permitieran, en la manera m'8 simple, definir aquelloa
términos y demostr&r aquellaa propoaioiones de una teoría dada
en que estamos especie.lment.e interea&doe.
En estrecha. conexión con· eatu observaoionm surge otro pro..
blema. Funda.ment.aJ.mente, tzat&moe de obtener siatem.M de uio.
INTROtlUCClóN A LA ÚIOICA.
...
ma.s que no oontengan uercionee super6uaa, eato ee, aaercione.
que pueda.n derivane de loe "'t&ntee axioma.a y que, por lo tanto,
podri&D incluirse entni loa teoreu111.11 de la t.eorla en construcción.
Un listema de &xiomu ~este Upo es llamado INDEl'BNDIENH
(o un SI8TD.A. DB .ADOIUS llUTU.üUNTll: INDEPBNDll:NTltS). También procuramos que el ai.etem& de thminos primitivos ee& INDB·
PDDIBNTJ:, eeto ee, que no oont.enga términos superfluos que pue-d-.n definine a partir de loe rmtaotea. A menudo, sin embargo,
no ae insiste en estos postulados metodol6giooa por razones pric.
tioaa (didicticu), pa.rticularment.e en aquelloe casoa en que la
omisión de un a.xiom& o t.érm.ino primitivo superfluo ca.uaa.ria.
grandes oomplicacioneH en la. conatrucoi6n de la teorfe..
to. rormalll&ct6D dt de!lnlcloDM r 41m.oetraolont1;
&eorlu d"uoetne rormalladal
Se oonaidera oon razón el mM:odo deductivo como el máe ptt·
feeto de todos loe que pued&n emple&ree en la. coDBt.rucción de
una ciencia.. Elimina en gr&do sumo la posibilidad de im.precisionee
y enoree, sin caer por ello en un regreeo infinito; gracias a su apli·
ca.oíón, toda duda. niforente al contenido de loe conceptos y a
la verdad de las asercionea de una teori& da.da se reducen consid&rablemente, y a lo m&e pueden afectar a loa pocos términos
primitivos y uiomu.
F.sta afirmaoi6n, 11in emb&rgo, debe tomane con cierta reserva..
La aplicación del mj\todo deductiyo aólo proporcionad. el resultado deeeado cuando toda.a lM definicionea y demoetre.cione.
oumpl&n IN cometido, ee decir. si Ju de6nfoionee acl&ran por
completo el sentido de lot conoepto. de6nidoe.. y 1&1 demoetracioD89 ll08 oonvenoen totalmeote de la validez de loe t.eoremu a 11181'
probadoe. No ee fMril comprobar ai ambas satisfacen efectivamente
eetu exigenci&s; por ejemplo, ea muy posible que un ra.zonami8Jlto
plenamente oonvincente pM& una penona, pa..ra otra no 118& ni
aiquíera comprensible. Para elimin&r toda duda de esta cla&e, la
metodología actual tiende a reempla.zar la valoraci6n subjetiva.
en la comprobación de definicionee y dem.Olltraciones por criterioe
de natunJeza. objetiva. y a ha.cer depender la. decisión 110bre OO•
rrección de lu mismae exclusiva.mente de eu estructUJ'a. es decir,
..
,
de su forma externa. Con eete prop69ito, ee .enuncian aBOLU o•
DBPTlflCJÓN y BJ:OU.9 DB DEMOSTJUOIÓN (o DS DUltUNOU). Lu
primeraa nos dicen qué forma deben tener lu proposiciones que
BOn usadas como definicionee en la t.eorfa en oonaideraclón, y laa
segundas describen el tipo de transformaciones a que pueden
1tOmeterae los enunciadoe de eeta teoría, para derivar otru propoeicionee & partir de elloe; toda. definición debe formularse de
acuerdo con 1aa regla.a de definición, y cada. demostración debe Ml'
OOKPLBT.l, esto ee, debe consistir en una aplicación suoeeiva de
lu reglas de demostración a. propoaicion"8 previamente reoonocidaa como verdad.eras (cf. Secciones 11 y 15). Elltos nuevoa poatuladoa metodológicoe pueden deaign&rae como poatnlados de YOBIU.LIZACróN D:a: DBJ"INIOIONQ y DEllOSTIUOIONB8; una disciplina
conatroida de acuerdo con esto. nuevos poatuladoe ee ll&ma.da. un&
TEOJLÚ. :Dl:DtrarIV¿ YO&lülJUD.&.I,
•Mediante los poetuladot1 de form&lizacíón, el carácter formal
de la. matemá.tica ee acentúa coneiderablemente. Y a en una et&pa
anterior del desarrollo del método deductivo, vimos cómo en la
construcción de un& disciplina matemá.tica debíamos pre1cindir
del eigni.&cad.o de todas las expreaiones eapecffie&a de ella, y comporta.moa, por consiguiente, como ei en luga.r de diohaa expresi.o·
nea apareciesen varia.bles desprovista& de todo sentido propio. Ea.
cambio, a loa oonoepkNI 16giooa podfamoa atribuir 11u signi.6.cado
uaual; en relación oon ello podrl&moa tratar l011 axiom&B y teorema.a de una teoría matemática., 11i no como propo&cionee, por Lo
menos como funciones proposicionales, o sea como expreeionea
que preecntan la forma gramatical de propoe.icionee y ez:preee.n
cierta& propieda.dea de objetos o relacione& entre '8toe. Deducir
un teorema de a.xiomaa aoept.ada& (o de teoremas demoatrad-OI
previamente) en. lo millmo que m03trar de un modo oonvinoent.e
que todoa los objekNI que se.til!facen loa axiom&11 también eatisf&...
ceo el teorema en cuestión; las demostraciones matem6.ticu no
diferían demasiado de consideracionee de la vida ootidi&na. Ahor&,
ain embargo, debemoa prescindir ain excepción de los signiftcad.oe
' Loe prlmero1 lnWnto. de ezponer lu t - * dadnctln.. de
lll&Dlr&
rormallsed& ee
debH e Fa101, &l que y& hemoa clt&do doa vec.1 (cf. nol.& 2 en l.&"'•· 42). En laa obru
dool lógtco !)lll&co B. LJlitrllWBU (\886-IHlt)nt.oproceeodefonu.llsacló11 &lca11aó tll<llJ
&l.\o D.inl: una de 1u. eo11tr1bueloD11 te ...a rormul1M:ló11. n:ul.& y u.h&u1t1.e d1 IM
ncl&alildll!.D.ie.lóD.
INTBODuca:ÓN A LA lhJICA
de todae lae ezpresiones que enoontremoa en la d.ieeipli.na dada,
y debemoe proceder en la tarea de construir un& teorfa deductiva
como ai sua enunciadoe fueran configuraciones de 1ignoa desprovisto. de todo contenido; cada demostración ooneiatirá. eh.ora en
90meter loa az::i.omaa o los teoremas previamente demoetradOI &
una aerie de tra.nsformaeionee puramente ext.ernaa.•
A la luz de la.a exigencias aetualee, 1& lógica ee vuelve l& bue
de las ciencias matemáticas en un sentido mucho m'8 completo
que antes. Y a no podemoa eetar aatiafechoe con l& oonriooi6n que
-dada nueetra capacidad innata o adquirida para pensar correo.
tamente--- nuestros a.rgumentoe eet.án de a.cuerdo con las regle.e
de la lógica. Para d&r una demoetr&ción completa de un teorem&
es ne.oeaario realizar lu tra.núormaoionee preecritM por IM reglu
de demoetraeión, no a6lo en la.e a.eerciones de la t«>rfa que noa oouJ>6, lino tambi6o en lae de la. l6gica (y de Ju ot1&1 teoriu prece.
dentee); y para ello debemoe t6a.ea- una lista completa. de todaa lae
leyee lógicaa a nueetra. dispolición que 1e aplie&n en las demCJB..
tr&Cionee.
Solamente en virtud del demvrollo de la lógie& deduotiTe
eeta.moe hoy, al menos teórie&meote, en poeición de presentar
fornaalizadamente eu&lquier di8ciplin& matemática. Sin embargo,
en l& práctica esto todavía preaenta grandes complicaciones; lo
que ae gana en exa.ctitud y corrección metodológica. ee pierde en
claridad e inteligibilidad.. Este problema es, deepuée de todo,
b&at.ante nuevo; laa investigacionea relevantes no han sido ad.n
definitivamente concluida.e, y hay r&21('1nee par& espera.r que su
ulterior dea&JTOllo traiga, eventnalmente, ai.m.pli.&e&cionea eeen.
cia.lee. Seria, por lo tanto, prematoro actualmente, en una pre&ea·
t&oi6n popular de cualquier puto d& l.& matemática, aat.i.á&oer
plenamente loe pottuladoe de formalización. En partfonlar, eeri&
pooo 111mB&to demand&r que eo un texto oorriente de alguna W...
ciplina matemática 1aa demostracione1J de los teorema.e ae den en
forma oomplet&; ee de esperar, sin embargo, que el autor de un
libro de texto ee~ intuitivamente aeguro que todas l!JllS demostnoiones puedan lleva.ne a e. forn1&, y aun que desarrolle aoe oonaideraciones a tal punto que un leotor oon alguna priotie& en el
pena&miento deductivo y con aufi.oiente oonocimiento de la lógioa
oont.emporánea., se& capaz de llenar laa l.agunaa iwta.ntee sin
mucba difioult&d.
..
,
41.
CODlllteocla 1 complel:NM de ana Morla dedaoUta;
problema de dtolll6n
Consideraremofl ahora doe oonooptoa metodológicos que tienen
gran importancia. desde el punto de vista teórico, aunque en la
práotica eean de poca si.gnifica.oióo. Son éatoa loa conceptoft de
OON9I8TBNOli y OOlll'LETIDAD.
Una. teoría. deductiva ae dice OOH8ISTENTB o NO OONTB.ADIOTOBIA si ningún par de a.eercionee de ella se contradice, o, en otra.e
palabras, si de todo pa.r de enunciadoa oontradict:.orioa (cf, Secnión 7) al menoe uno no puede aer demoetrado. Por otra parta,
una teoría. ee dice OOKPLru. 11i de todo par de enunciados oontra.diotorios formulados ezclwsivamente en thminoa de la. teoría. considerada (y de teorlaa que la preceden), al menos uno puede ser
demoatrado en ella.. Decimoa que un enunciado puede aer llll'V'TA·
DO en una teoría dada si su negación puede demottr&n1e en ee&
teoría. U8&lldo Mt& terminolog(a podemos decir que un& teoría
deductiva. ee consistente lli ninguna propoeición puede ser demoe.
trad& y refutada en ella; una teorla ee complet&, por otra. parte,
ai toda. proposición formulada BD tárminoa de esta. teoría puede BEJr
demostrada o refutada en ella, Loe términos cconaistentet y coomple1.ot se &plioan no sólo a la teorla. misma., sino también al eistema.
de Womaa sobre el cual ella. eat& baaa.da..
Procuremo11 obtener ahora una. id.e& olara de la lligni.fica.ci6n de
eat.aa dos nociones. Toda. disciplina., a.un aquellae construida.a con
plena. corrección en todos loe upectoa metodol6gicoa, pierde 11u
nlor ute nueatroe ojoa si teoemoe mot.ivoa pa.ra aoapeeh&r que
no toda.11 11wi e.eercionee eon YerdadNM. Por otra. p&rte, el valor
de una. dilciplina. eerá tanto mayor, ouauto mayor eea el n úmero
de proposiciones verdaderu que puedan establel!el'M en ella.
Deede este punto de vista, una diacíplina. puede conaiderane ideal
ai contiene entre 1us aserciones todas laa proposiciones verdad.e..... y ninguna. fal&, que eean relevantes pa.ra. .ella. Una propoei·
cí6n ea oomiderada relevante si eet.& formulada. completa.mente en
t.érm.inoa de la disciplina oonaiduada (y aus disciplinaa preoedentee); después de todo, no puede espera.rae que, por ejemplo, eo la
arit.métioa. puedan demoetn.ree todaa laa proposioionee verdaderaa, inclUlive aqnellaa que conti.eoeo oonoeptoe de química. o bio-
INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA
..
,
Jogla. Imaginem.oe &bon. que o.na teoría deduotin ee inoouiit~te. ee deoir, que entre eu.a u:iomaa y teoremu a.preoeo. dot
propoüoionee oontradictoriu; uaando una ley lógioa bien oonocida., & ea.her, Ja ley de contradiooión (cf. Seooión 13), ee sigue que
uno de eetoe enuncia.doe debe IMl fa.l!Jo. Si, por otra parte, uumi·
moe que la teori& ea incompleta., entonoee exiaten doe propoeioionee.
oontradictoria.a re1eva.nt.ee, ninguna de laa cuaJ.ee puede Bel' demoatrad& en eea. disciplina.; Bin embargo, por otra.· ley lógica, Ja ley del
teroero excluido, un& de lu doe propoa:icionea debe ser verdadera.
Vemoe aaí que una teoría. no realiza nuestro ideal & menos que 866
oonailtente y completa. (con esto no queremoe implicar que toda
diaciplin& coilllllitente y oomplet& debe, ipao fado, ser un& reeJiu..
ción de nuestro ideal, esto ea, que debe oontener entre iru.11 &Mrciones & todaa laa propoeicior:tee Terda.d.era.e y Wlic.amente a ellaa).
El problema que bemoe estado oon.eideraodo tiene a.do otro
aapeoto. El deearrollo de toda ciencia. deduotin oonaiete en formular en JOB Wrminos de eet.& cienoía problemas del tipo •tu tal y
lal d CG1101• e intentar decidirloe eobr" la bue de loe axioma& que
ae han aeumido. Está. claro que todo problem& de eete tipo puede
ser decidido en Una de doe posibles maneras: afirmativa. o negativamente. En la primer& alternativa, la reepueeta es: dal y tal u d
caaot; y en la segunda: dal y tal no u d ca.aot. La conaietencia y la
oompletidad. del sistema de axiomas de una teo:ria deductiva noe
garantizan que todo problema del tipo mencionado puede decidirse en la teoría, y ademM, decidine de manera ónice.; la conail·
tenci& excluye la posibilidad que un problema pueda decidirle de
doe maneraa, esto es, a6rmativ& o negativamente, y la completidad nos aaegu.ra que puede eer decidido en aJ menot ua& manera.
Hay un problema eatrecham&Dte relacionado con el probkma
de oompletidad, aunque mú general, que ooncierne a teorlaa tanto
incompletu como completa.a. Eelie problema conaiste en hall&r,
par• una teoría deduotiva dada, un método general que noe permi·
t& decidir para todo enunciad.o partlcuJa.r formulado en términoe
de esta teoría., si éste puede o no demoetra.ree en ella. :Eete i.mpor.
t.&nte problema es conocido como eJ PBOBLBIU. DB DJWI8IóN1•
170
Sólo conocemoe un número ftducido de teorfy deduotiva.s de
Ju cuaJee ha eido posible demoetnr que aon oonaiatentee y oompletae. teta& eon, por lo geoera.1, teoriae elementalee con una
eetructur& lógica simple y una. variedad limitada de oonceptoe.
Como ejemplo podemoa mencionar el cAlculo proposicional, qae
ha sido discutido en el CapJtulo 11, siempre que Mte sea conaide.
ndo como un& teoría independiente y no como parte de la lógica
(sin embargo, al aplicar el término •complete.t & esta. teorfa., éste
ea usado en un sentido ligeramente diferente). Quizá. el ejemplo
más interesante de una teoría oonaistente y completa está dado
por la geometría elemental; tenemos en mente a la geometría
limitada. a aquellos confinee dentro de loa cuales fue enseil.&da por
eigloe en la.a escuelas como parte de la matemá.tie& eilement&l,
es decir, una. disciplina en la que te inv~tigan laa propiedades
de vario• tipoe eepeci&les de 6guraa geométricu
~mo
ser rec-
tui, planoe, triánguloe, circul~. pero en la. que no aparece el
oonoepto general de oonfigura.ción geométrica (un conjunto de
puntoe)1 •
La situación cambi• radicalmente en cu.nto pa.ea.moe & oonsiderar cienci&ll tales como l& aritmética. o I& geometrl• superior.
Probablemente, na.die que tr&baje en eet&e ciencias duda. de su
oonaistencia.; pero a pe8Al' de ello, como se deeprende de las inveetigaeionee metodológicaa m'8 rooientea, un• demostración eetricta de au conaistencia preeenta grandes dificultades de naturaleza
funda.mental. La. aitua.ción reepecto a.l problema de completida.d
ee aún peor; en efecto, la &ritmétlca. y la geometría. superior aon
inoomplet.u, ya que h& sido posible form.ul&r problemu de carácter puramente aritm6tieo '() geométrico que no pueden &el'
poeitiva ni negativamente decididoe en e8a8 dieciplinae. Podri&
suponene que eate hecho ea simplemente un reeultado de la. im,.
perfección de IOI sistemas de ariomaa y métodos de demoatr&ción
de que disponemos actualmente, y que una. modifioe.ción adecuada. de éatoa (por ejemplo, una. e.aterullón del ai.Btema de &xi.omu)
do- lmport&Dte. aobn IOI l'tl.D.dt.me11tos de I& mat.m•ua. Onclu t. H tmlm1llo 9dcM
CODOeptoa J lltttb!Ml'IU han aldo dlUm.meot. al objeto de lot<!!llllvt.11 l11Yut.lpclo11M pOt
•1UDer01011-tom•t1c011Jióslco.eo11.tnapori11-.
' Lt. primtrt. dtm01tracl60 de eampMtldad. del e&lculo 11tt1poalclo11.t.I (J, DOJ' co.11111ptea,i.., el priJllef nitultado politlyo de tu IDY.ala:1eloo• acarea doi I& compi.tldt.d
dt teorlul M debe al .lórloo 11.ort.&f,-riet.oo :&. L. POii' (18117·11154). La dam01t.rui<*
de compleUdt.d de I& pom1kla elam111.&al M
..i aulttr.
d•
171
puede, en el futuro, lleYar • eiliemae completo... Sin embargo,
inestigacion.ee mú profundu han moetrado que eata conjetura
• MT6nea: nunoa ee logr&ri. oooatruir UD& teori& deductiva ooallistente y completa. que conteng• oomo teoremu & todoe loe eounciadoe verd&d.eroe de la. uit!Mtica o de la geometría superior.
Ademú, tampoco el problem& de deciaión tiene r¡¡olución positiva
oon respecto a. eetaa diaciplinu; es imposible dar un método
general que not permita. diferenci&r entre aquellos enunciados
qa& pueden ser demostrados en eataa disciplina.a y aquelloa que no
pueden ser demostrados, Todoa eetoa reeultadoa se extienden &
muchas otras teoriu deductív&e, y , en particule.r, & tod&e aquella&
que o bien presuponen la &ri.tm6tica de loa números enterca (m
decir, la teori& de laa cuatro opencionee &ritméticu báaicaa aobM
enteroa) o que contienen reeureoa au6cient.ee pa.ra. deearrollar eeta.
t«irla. •Aaf, por ejemplo, eetot r1MRJ.ltadoe pueden aer aplicado.
a. la teorla. general de claaee (oomo te sigue de laa obeervacionee ll
linl de la. Sección 26)1.•
Eli vista de eetas ó.ltimu obeervaciones, se entiende por qué
loe oonoeptos de ooneiltencia. y oompletidad -a. pe8&l' de eu
importancia. teórica.- ejercen, eo la pri.ctioa., poca inB.ueneia.
aobre la. comtrucción de teorlaa dedootívaa.
42.
Concepcl6n ampll&da . . la me&od.ologfa de laa clenolal
cleduUns
Laa inveirt..igaciones rel.&tivaa a. la. ooneistenoia y t. la. completi·
dad ee cuentan entre loe fa.ct.oree m'8 importantes que contribu.
yeron a la eztena:ión co,nsiderable del dominio de loe estudioe
metodológiooe, y que e&U8&l'On incluao u.a e&mbio fund&mental eo
el ~ de la metodologfa de tu oienciaa deductiva&. Aquella
oonoepoión de la metod.ologia que fue indic&dt. aJ. comiemo del pre.
11811.te ca.pitnlo ee ha. hecho, durante el dee&1T01lo histórico del tema,
ya demaai&do eetrecha.. El anüiais y t.. valoración critica. de loa
métodoe que ee t.pllca.n en la. pdctica. para. la. construcción de las
ciencia.a deductivas, he.n dejado de 961" el ezcluaivo (o aun el prin.
172
cip&l) objeto de la metodología. La metodologi& de lu cienciaa
deductiva.a ee ha. tra.neformado en una teoría. general de t.. cien.
ciaa deductivaa, aai como la aritmétie& ee la teorfa. de loa u'timcoe
y la. geometria ee la teori& de las oonfiguraciOnea geométricu. En
Ja metodología. cont.emporánea investigamos la8 teorlu deductivu
oomo totalidad.ea, 881 como laa propoaicionm que lM con.etituyen;
ooDBideramos loa elmboloa y lu expresiones de que eatán compuee.
taa esaa propoeicionee, lae propted&dea y los conjuntos de expreaionee y propoeiciones, lu relacionee que rigen entre eU.. (como
la relación de consecuencia, por ejemplo), e incluao relacione& entre
expresiones y loe objeto8 a que 86 refieren dichas expreaionea (te.lee
como la. relación de design&ción); eet.&blecemoe también leyes ge neralea relativa.a & eetot conceptos.
•Por lo tanto, ae mgue que loe térmiDoe que deeign.an upte·
lionee que a.parecen en lu teorfaa deductivas, propiedades de
eeaa expresiones y relaciones entre ella.e, no pertenecen al dominio
de la lógica, sino &l de la metodología de laa ciencias deductivae.
Esto ee aplica. en parlicul&r a va.rioe de loa términos introducidoe
y empleadoa en los &nteriOl'ftl capftulos de eete libro, talee como
tmn'.abla, •función propoMcionalt, tcmnlificadon, ~. y
muchos otros. Para que nos ap&rer.c& m'8 clara la diferencia entre
Wrminoe lógicos y t.érminoe metodológicos, consideremoa un pa.r
de paJabraa talee como «Jt y tdiayunci6m. La palabra t0• pertenece,
por aupueeto, a la lógica - a saber, al cálculo propoaicional-, a
peaar de que se uaa. t.n.mbián en toda otra. ciencia, y por lo t&nto,
en particular, en la metodología. La pala.bra tdiayunci.6n.., por otra.
parte, que deaigna. propoaiciooee eoutruidaa con la a.yud& de la
palabra t0•, • un ejempto tipioo de ~rmino metodológico.
El lector quizá se sorprenda de que en capftu1oa relat.ivoe a
la lógica empleemOB tantoe t6nninos metodológiooe. La ell:pliot.oión de esto, sin embargo, ea relativamente simple. Por una pwte,
una cierta circunsta.ncia desempena aquí un papel sobre el cn&l
ya hemos llamado la atención en la Sección 9: existe, entre loe
JógiOOB y loe me.temáticos, la coetumbre de US&l' frases que contienen términos metodológicoe en luga.r de expreeionee de carácter
puramente lógico o matemé.tioo, y ello obedece a veces sólo a razones de eetilo; en el preeente trabajo hemos heoho cierta oonceeión a esta ooatumbrti. Pero, por otra parte, un factor mí.a
INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA
importa.nte debeflloa considerar aquí: no bemoa intentado en este
libro oonatruir la. lógica en forma tiat.emó.tica, eino que aolameute
hemos bblado acerca de la lógica y hemos diacutido y ooment.do
eue oonceptoe y 8\18 leyes. &bemoe, e~ embargo (Sección 18),
que cuando se babi& de e:.:prehones Jógjcas deben usarse loe nombree de eeu expresiones; o eea t6rminoe que ya pertenecen a la
metodología. Si desarrolü.ramos la lógica en forma de una teorla
deductiva, ein h&eel' en &beoluto ningó.n comentario eobre ella,
entonces loe términos metodológicoe apa.reoerla.n eolamente en la
formulación de las regl&& de definición y de inferencia..•
Debido a la evolución por la que ha pasado la metodología.,
la. investigación en eete ca.mpo ee ha visto necesitada de a.plie&r
mi6todoa nuevoe, má.e sutiles y mM precieoe. L& metodología &e
ba trane!ormado en u.na ciencia como la.a que ella miama estudia:
ha a.sumido la forma de una. diaciptm. deductiva. Debido a lo
erlell80 del dominio de inveetig&eionee, la expresión da metodología de la.e ciencia.e deducti.-aat no pareoe ya but&nte apropiad&;
en verdad UD.etodología- significa eolamente el& ciencia del m&.
toda.. En consecuencia, esta expreaión ea reempla.zada a menudo
por otras; por ejemplo, por el nombre (no del todo feliz) de n.oRÍA DK u DEllOSTJU.OIÓN•, o bien por el término (mucho mejor)
de m:KT.il.ÓGIC"- Y JO:Tilf.A.TDIÁTIO&t, que aigni.fioa aproximadamente lo mismo que tia ciencia de la lógioa. y de la matem.átiou.
Aún otro término se ha puesto en uao recientemente, t8IN'U.XIB Y
!lltM..!NTICA. DB u..s 0IBNCIA1J DBOIJCTIV.!Bt, el cual pone de ma.n.ifieeto l& a.n&logía que existe enLre la. metodología de lM cienciu
dcductivae y la gramá.tica. del lenguaje cotid.iano1 .
' La mdodolo¡ia d.1 IM cleoc.Ju ~... . ea •11 •11Udo am UMlo
plln. jo'l't n. Su deurrollo l11Ce11a11'0 eomNUÓ .olsm11a\e
DMllMDl.a(y,p.orloqUI P'1"91'•. llldeptDdl. .t.tlDllDl.a) aD
tl111;e11bajo lal11llu1ocl1 d e![IL!lll.TJ1'.B1111u·11,7
l.dlllll.,U:I y Ltlll.L811"1~ (cr. aotu 1 H .. "'-· lH, 1 111 la
y . ..
La l>bra fuodameuC&l. de B'.ILHAT 1 Bu11.i.H 111 .t.a domlato ..
Mr
•
(Bedl11, leH-leH). El •pan.io -111411 1 loe Mpect.ol lllO.Olco. C!• la 11•w.
.,_.f.t
Gno""""""'
dl~pl111af'11.611dllcut.lda.eala.11er\t.oldelllllaofoyl6&1«>11orteam1rla&DO(dlOll&iia
•le1Úll) R. CllB'u; 1u primen obre 111-. dlnoeid.11 ee
<Vl1na, 10J4l.
~ ~
dw fbr8M
EJtrclclot
l. El cálculo de cluea que íue coneider&do en el Capitulo IV
puede constl'llirse como teoria. deductiva. separada, presuponiendo aola.mente el cálculo proposicional. En eeta oonetrucción consideraremos & los eúnbolOlil: 1Vt, •/\•, •C• y a. todoe 108 eignoa de
operacionet1 introducidos en la Seeción 25 como términos primitivos. Adoptamos, a.demii.s, loe nueve axiomss aiguientes1 :
A.no...._ I.
Á:r.JQM,j.
II.
Axlo...... III.
.A.XIo...... IV.
.WoJU V.
K e K.
Si K e L y Le M, entoncu K e .M.
K u L e M .ti, y aólo .ti, K e .M y L e M .
M e K n L .ti, y 1ólo ,;, M e K 11 M e: L .
K n (LU JI) e: (K nL)U 1KnM).
K C V.
Axl:O!ü VI.
Axxo!ü VII. /\ e K.
Ano14A VIII. V C K U K'.
A.no...... IX.
K nK' e/\.
De estos a.xiome.s pueden deduciree varios t.eoremaa. Demué&tnmae, en particular, los teoremaa aiguientee (ha.ciendo ueo de 1u
indicaciones de que van aegu.idoa):
TBOBRIU.
I. K U K C K.
•JI•
Indica.ción: En el Axioma m , reemplazar .L. y
por tK1.
Nóteee que el miembro derecho de la equivalencia a.ef obtenida
11e aatiaface para cualquier claee K (Axioma. I); por lo tanto, el
miembro izquierdo tambit§n debe eatiafa.oerse.
Tll:O:U!U. II.
K
e
K
n K.
• ll:l .dltem& u:lom,tlco que M u:-poo~ .. &abe -ndalment. a 8olllllD•• (cf. nota 1
ID ,. p'c. 117). Vartoo al.lt'!IDM u:lo-"ko& ll• J>IM para el c'lcnlo de ola.- f'IMll'M
,..bJk:ail.oa por el m&tlD!AtJco norte&11wuiuno JI:. V. HUltrlll'Ol'Oll (1874-lOU), H.tor
!:.
~·i::i:~=~~i°:1'"ek':~rt;,"tr'..:.':.=1!:m~1:l:'t!~r::mt:i'.'!:'~6t:
111 DDM&trtbn7eD.ID.-O.D llpl!.e&do.....,..coaauaUrml111M1prtmltJV01, Mlt 11.1.m&
-.u&1ae11.t1íL&ouD•Boou,.nhoo.or••.:!'NdorG.BooLS(o1'.notal111.ll.p4&.d).
INTRODtJCaÓN A
1..4.
175
LÓGICA
Ind.iee.eión: La demoetra<:ión ee an'loga a Ja del Teorema l,
pero ee bua en 101 A.Jiomu IV y l.
KCKULyLCKUL.
Tzmum..t..Ill.
Indicación: En el A.Dom& lll, oolóqueee tK U Lt en luga.r de
1Mt; nótese que el miembro izquierdo de l& equivalencia ee 6&o
t.iafa.ce siempre en virtud del Axioma. l.
K n L e K y K n L e L.
TEORDIA. IV.
Indicación: Demostración análoga a l& del Teorema IIl.
T•oa:uu. v.
xuL e
L
u x.
Indicación: En el Al:ioma 111 eUJtitúya.ee «L U K• en lugar de
Jl•, y oomp&reae el miembro derecho de la equivalencia &Bi
obtenida con el Teorema 111 (donde t.Kt debe ser reemplazado
por cLt y cLt por c.Kt),
TEOBEM.A. VI. K
n Le L n K .
Indicación: Demostración aniloga a la. del Teorema V, pero ee
baaa. en el Axioma IV y en el Teorema IV.
Tlr:oREM..A. VII.
Si Le .M, enton.ct.t K U Le K U JI.
Indicación: Suponiendo que la hipóteaia del teorema se u.tiafaoe, derfven&e la.e fórmulu:
KCKUM
(La. primera
y
LCKUM
de eetu fórmulu se obtiene directa.mente del
Teorema III, y la. segunda puede deducirse de la hipóteeis y
del Teorema. III mediante el Axioma ll.) ApUquese el Axioma 111
& aquellas fórmulas.
TEOREMA. VIII. Si Le M, entonaa K
n Le K n M.
Indicación: Demostración similar a la. del teorema. precedente.
116
Tito•- IX. K n L e K n (L u M) y K n M e K n
(LUM).
Indicación: En el Teorema. 111, reempláceae «.Kt por tLt y
lL. por cMt; & las fórmulas aat.obten.ida.e apllquese el Teorema Vlll.
T•O•DU.X. (K nL) u (K nM) e Kn (LUM).
Indicación: Este teorema puede deducirse del Axiom& IIl y
del Teorema IX.
Loa Axioma.a 111 y IV, que deeempel'l.an el papel m'8 importante en la demostración de los teoremas precedentes, se denominan
(para. I& adición y para la multiplicación
de claaes).
LltY'.18 Dlt COlll'OSICIÓN
2. En el oá.lculo de <:laee1 cuya oonstruoción fue eabou.d& en
el ejercicio precedente, podemos introducir el signo de identidad •- •, definiéndolo como eigue:
DUINIOlÓN
I. K
= L,
Bi, y .slo Bi, K
e: L
y L e K.
A p&rtir de los axiomas y de loa teoremas del Ejercií'io l,
uf como de la. definición precedente, derlvense los Biguientea
teoremas:
Tlto&:uu XI. K
= K.
lndie&ción: Póngaae tK• en el lug&r de ú.t en la Definición l
y a.pUqueee el Asioma l.
T:so&BJU. XII. Bl K - L; enlcncu L - K.
Indicación: En la Definición 1 reemplácese tlü por tLt y cLt
por c.Kt; oomp&reee la proposición a.si obtenida con la Defini.
ción 1 en au formulación original.
fioBUU.XIll.
Si K - L g L - M,
~
K - M.
Indicación: Este teorema puede derivarse de la Definición J
y del Axioma 11.
INTaODUCCIÓN A LA. LÓCICA.
m
boUJU.X!V. KUK=K.
lndioaoión: En la Definición 1 reempl&oeee «lít por cK U Kt,
y tLt por tKt; aplíquense loe Teoremas I y III (colocando tK•
en el luga.r de tú).
TsoB.Dli XV. K
nK
= K.
Indicación: La. demOBtrac:ión ea &MJ.og& & la del teorema. preoedente.
'hoanu XVI. KU L = LU K.
lndica.ción: Por el
Teo~m&
KUL<:LUK
V se tiene:
ylamb~n
LUK<:KUL.
Aplique.e a OllltM fórmulu la Definición l.
hoUK.6.XVII. KnL=LOK.
Indicación: Demoatra.ción similar a la. del teorema. anterior.
boBBJU XVIII. K
n (L u JI) = (K n L) u (K n M).
Indica.oión: Este teorema ea un. consecuencia. de l& Definioión I, del A.xiom& V y del Teorema X.
'hoBll:K.A. XIX.
KU K' =V.
Indicación: Ee~ teorema puede deducine, con ayuda de la
Definición I, del Axioma VI (en el cual debe reempl&zarM tKt
por tK U Kt) y del Axioma VIII.
'ho:&Dl.l. XX. K
n K' =
A.
Indicación: Apliquenee la De6nici6n I y loa .Axioma.a VII y IX.
Obaervar mtá.J.ee de loe u:i.omu o teorema.a de este ejercicio y
del preoedente eon ya oonooidoe del Capítulo IV (o del ill). Reoordar 1111& nombftll!!I.
178
3. Supongamoe que en el sistema de cf.J.culo de el.Mee diicu·
tido en loe Ejercicioe 1 y 2 introducimos un nuevo efmbolo •Jt que
denota. una cierta relación entre claaee y se define como 1igue:
KJLlli, ya6loai, 11-i K C Lni Le: K ni K nL= A.
¡F.a este. relación idénticr. a alguna de la.e rela.cionee definidas en
la Beoción 241
Denotaremos la. relación de eer disjunto entre clasee por el
aímbolo •)(•. ¡,Cómo puede eer definido eete eúnbolo en nuestro
eiatema de MJ.culo de cluea1
4. Indicar a.lgunas interpretacionca en la aritm6tica y en la.
geometría. del sistema de aDomu considerado en la Scooión 37.
iPuede toma.ne como modelo de eete mt.ema de uiomae al
conjunto de todos loa númeroe junto con l.& relación atr menor
pe entre nlllneroa? iEe un modelo el conjunto de toda.e lu rect&8
y la. relación de paralelismo entre ellaa1
5. En el fragmento de la geometMa. que hemos examinado
en la Sección 37, la relación de eer m'8 corto entre segmentoe puede definirse de la. manera siguiente:
Dtcimoa q1U z u m4a e.orto~ y (en almboloe: z < y) ri .% 11! y
c.on~ con un aegmn.to que u pa1'U
de'!/; en otru palabr&11, ai ze9, yes, y .tí tziste un. z Cal gut
z: e 8, z: C: y, z 1' 11 11 z z.
'°" all!gmen.loa, y ti :r: u
=
DiBting&DM en eat.& propollicíóo el definien.dum y el definiemi;
ínveatigueae a qué disciplinu (o qué partee de la lógica, como se&
el caao) pertenecen loe Urminoe con que lf6 ha. formula.do el definien.8. ¡Satisface eet.& definición loa prinoipioe- met.odológiooe ge..
DK&les de la. Sección 36 y laa regLaa de definición de la Sección 11 l
8. ¡Es completa. la demostración del Teorema. I indicad& en
la Seooión 37 ai aólo se tiene en cuenta las regla.a de demostraoión
expuMtaa en la. Sección 161
INT&ODUCCIÓN A U
lASGICA
179
7. Ademé.e de loe Teoremae I y 11, pued&Jl derivane loe si·
guientee teoremu de loe u::i.omae de la Becclóra 37:
TBOUJU ID. Para e4men'°'9 cuakaquiera :r:, y, z da con:r:~y y :r::;:z, enlonGu y :;:z.
junto s. n
Tll:oBJDU IV. Para ekmcnlo.!I cuale.aquiero :r:, y, z del conjun..
eos,n:r::;:y e y:;:z,enton.cuz~:r:.
TBOB.Dli V.
Para~
eualuquiua :r:, y, z, t rhl amjva-
to s. n :r:::: y, y::: z y z ::: '·
~ :r:::: ~.
Dem.ostr&r con precisi6n que el llistema que comist.e de loe
Axiomas I y Il es equivalente, en el aentido eetableeido en la
Sección 39, a cada uno de loe 8iat.emu eiguieo.tee (pudiendo
admitine cada uno de ~. por con1iguient.e, oomd nuevo listema de u:íomu):
(e.)
(b)
(o)
(d)
el eillt.ema formado por el Axiom& I y loe Teoremas 1 y II;
el sistema formado por el Arioma 1 y el Teorema. 111;
el sistema formado por el Arioma 1 y el Teorema IV;
el aistema formado por el Arioma 1 y los Teoremas IyV.
8. Sobre el ejemplo de las obaernoionee hechas en la Secoión 37, formular leyee genere.lee de la teoría de relaciones que representen una generalizaoión de }09 result&doe obtenidoe en el
ejercicio precedente.
lndioación: F.et.M leyee pueden dane, por ejemplo, en forma
de equiv&l.eo.oias empeza.ndo oon las p&la.braa:
Jl"rO- que una rtlaci6n B M.a. re/lafoa y ltnga "la ~
P en. u.na clan K u nueaario y aujicit:nk ~-·.
9. C.ODBideremos el sistema de propoeicionee (a) del Ejer.
cioio 7.
lndicv modeloe que 11.t.isfapn
180
.'1l&ED TAUlll
(a} laa doe primera.e propoeiclonee del ailtema y no la teroera;
(b) la primera y teroen. propoeición y no la eeguoda;
(e) Jae doe óltimu y no la primen..
En viat& de la e:ristenci& de tales modelos, ¿qué puede oonoluiree sobre l& posibilidad de derivar una. cualquiera de las tree
proposiciones a partir de lu otraa!;
eetaa propoaicionee mutua.mente independientee1 (cf. Secciones 37 y 39).
'"°º
IO. Se deplora oca.sionalmente la. falta de coincidencia de loe
distintos tratadoe de geometría.: proposiciones tratada.a en muchoe
de Mtoe como lieoremu son a.d.m.itid&a en otros como a.Dom&11, y
por lo tanto, lin demortr&eión, ¡eat.á.n juatificad&a eeta.a objeeionee1
•11. En la. Sección 13 hemoe tratado el método de laa tablu
de verdad, el cual nos permite decidir, en cualquier caeo parti.cular, Bi una propoeición dada perteneciente al cálculo proposicional
ee verdadera. y, por lo tanto, si ella puede ser aceptada como una.
ley de dicho cálculo. Cuando MI aplica eete método, puede olvidarBe
oompletamente el significado atribuido a los BÚD.boloe t:V• y tF•
que aparecen en la.a tablae de verdad; puede decirse que eet.e
método ee reduce a. e.plica.r, en la. construcción del cé.lculo proposicional, dos reglas, la primera de la.a cua.les ee análoga a las regla.a
de definición, y la. eegunda. es &niloga a. las reglas de demostración.
De -.cuerdo oon la primera regla, 8i deseamos introducir en el
ml.onlo proposicional un tármino oonat&nte, debemo1 em.peza.r por
ooDStruir la tabla de verdad fwldament&l para la función proposicional máe eimple (y al miemo tiempo la más general) que oontenga a eee t&mino. De acuerdo con la aeganda. regla, ei deeet.mOI
aceptar una propoeición (que oonteng& 190lamente aquellas oonet&ntee para lu oua.lee ya ee han construido lu t&blaa de verdad
fundamentalee) oomo ley del oilculo proposicional, debem.oa OOD8·
truír la tabla. de verdad derivada para. esta. proposición y verifioa.r
que el efmbolo cFt no apareoe ninguna vez en la. última columna.
de dicha ta.bla.
Si ae oomtruye el cAlculo proposicional vali4§nd011e excluaiT&·
mente de est&a dos reglas, dicho oilculo asume un ca.ráoter similar al de Lu teoriae deduoti'f'M forma.lizad.a,a. Ju.tiflqueee flllta
111
afirma.ción toma.ndo como b&ee lu oonaideracione1 de la Sección 40. Nótenae, sin emb&:r10, algunas diferencie.e entre eete
rn6todo de oonatruccióo. del c.Llculo propoeicional y loe priacipioe
genera.lee diecutid011 en la Sección 36 relativos a la conetrucción
de laa teoría.a deductivu. Con el método que eet&moa oomidera.ndo, ¿es posible distinguir loa términos primitivos de loa defini.
dOB en el °'1.culo propoeicionalT &Qué otra distinción se pierde &quil
•12. Con le. aplicación del método de la.a ta.bias de verdad taJ.
oomo se lo expuso en el ejercicio preoedente, podemOl!I introducir
en el oálculo propoeicional nunoe términoa que no fueron disc::utidos en el Capítulo II. PodemOl!I, por ejemplo, introducir el lim.bolo .at, conaidera.ndo la. función propoeiai.onal:
oomo "breviatura de la expresión:
ni p niq.
Comtrúyue la tabla de verdad fundamental p&ra. esta función.
la. cua.l debe concordar con el aigni&cado intuitivo e.dscrito al
afmbolo .&, y luego verifiqueee, con ayuda de lu tabla.a de verdad
derin.das, que lu aiguient.ee propoeicionee son verdaderas y pue.
den ser aceptada.B como leyes del olJculo proposicional:
-p-(pAp),
(p V g)- [(p Ag) A (pAg)],
(p~~-l~A·A~A~A~A~~
•is. E:rilte un m~todo para oomtruir el~culopropollicioneJ.
oomo teorfa deduct.in formalizada., diferente del que 1e expu.eo
en el· Ejercicio l l y que concuerda enteramente con todoe loe
prinoipioe preeentiwloe en laa Secciooes 36 y 401. Podemoe, por
ejemplo, adoptar loe Rmboloe
y •-• (of. Seooión 13)
oomo ~OI primitivoe, y l.ae ei.ete propoeicionee aiguienteB como
uiomu del ~culo propoeioion.al:
•-+•, ..,_..
• -.ea m6\odo U - ta
orl11111 •
ra.o• (ol. mo~ 2 •n la Ñ. '2).
182
AxI0111.1.
l.
p-+(q-+p)
AD01U.1I.
[p ~ (p
Ano.u. III.
Axzolllli IV.
(p-+ q)-+ ((q -+"r)-.. (p-+ r)}
~q)) ~
ÁIIOIU. V.
(p-t--toq)-+ (q-+ p)
(p
~2>
(p+-tq)-+ (p-+ q)
AxioKA. VI.
(p-+q)-+ [(q-+ p) -+ (p+-+q)]
AxioKA. VII.
(-q-+ ..... p)-+(p -+q)
Ademú, oonvenimoa en aplicar en las demostraciones doe re..
glaa de inferencia. con 1ae cU&Je. ya eet&moe familie.rizadoe, a
11aber, la.a regla.e de suetitución y de aeparaoión. (Para poder
formular con ezactitud eetu reglae, y en eapeoi&l la de 8tl8titu.
ci6n, deberíamos establecer oómo ba.n de tll&l'll8 loe p~ntesie
y eepeoi6ca.r qué expnllionee deben oooeiderane en nueetro
cálculo como funoionm proposiaionalm y pueden, en oonaecueocia., 9'1r sustituidaa por variablt18; esto no pl'811enta gran dificultad.)
Con a.yuda. de eetaa regLae de inferencia, eetamoe ahora. e.o
condicionee de deducir varioe teoremaa a partir de nuestroa
uiomaa. Dense, en particular," laa dem.Ol!tr&cionea oompletaa
de loe siguientes teoremas (haciendo uso de las indicacionee
que loe siguen).
TBOBBMA.
l. p -+ p
Indica.ci6n: Suat.itó.yaae tpt por .q. en loa Axiomaa I y II;
nót.eee que la primera propoe:ición Mf obten.ida coincide oon el
antecedente de la 1egunda, y de a.cuerdo oon ello apUqoeae la
regla.de aepa.ra.cióo.
TBOHlll.A. 11.
p -+ f(p -+ q) -+ ((p -+ q) -+ q]I
Indioa.oión: En el Aziom& 1 niemp1'oeee Cf* por c(p -+ q)t; en
el Axioma. 111 reemplé.oenBe *P't· tqt y en por c(p ~ q)•, cpt y tqt,
reepectiva.mente. Nótese que el oooaecuente de la primera. implicación aai obtenida. coincide con el a.ntecedente. de la. eegunda..
Ahora. reemplá.oeee, en el A.noma. III, tqt por el a.nteoedente
de la. segunda implicaeión y trt por au con.eeouente (dejando
INTRODUCCIÓH A LA LÓGICA
183
invariable tpt, que 88 el a11t.ecedente, de la primera implica.ci6n). Luego &pUquete doa vecee la regla de eepan.ci6n. Eata. de·
moatraci6n ee un ejemplo típico de r&Zonamiento buado en el
.Axíoma. III, el cual ee otra fonna de la ley del ailogillmo hipotético (cf. Secoión 12).
T1:0B.E111.A Ill. p-+ [(p-+q)-+q]
Indicación: Le. demostración ea aná.loga & la del Teorema 11.
Del Axioma. II derívese, por sustitución, la proposición:
1 (p-+q)-+ [(p-+ q) ... q) }-+ [(p-+q)-+qJ.
C.Ompáreae el antecedente de eata. proposición con el oon.aeouente
del Teorema. II; de &euerdo con esto, bágaae una austituci6n
conveniente en el Axioma IH y apUqueee doe vecee la regla de
9epa.ración.
Tl:ORll:l!lA IV.
[p-+ (q-+ r)J-+ [q-+ (p-+ r)]
Indicación: Del Axioma 111 derfveee, por 8U8titución, la proposición:
(1)
(p-+ (q-+r)]-+ { [(q-+ r)-+r]-+ (p-+r) I·
Además reemplá.oense, en el Ai:iorna III, f?, tqt y m por
tqt, •[(9-+r)-+r]• y c(p-+ r)•, reepectinmente. Nóteee que el
antocedente de la implicación a8' obtenida puede t&mbiAn obtonerae por. euatituoión a partir del Teorema III. Rea.Jioeee eat6
euatitución y, por medio de la regla de eeparación, obténgaae:
(2)
1 [(q-+r)-+rJ-+(p-+rll-[q-+(p-+r)].
Nóteee ahora que el consecuente de (l) es igual al antecedente
de (2); y, de acuerdo con eeto, proolida.ee oomo en la demoetra.ción del Teorema II (aplicando nuevamente el A..rioma fil). El
Teorema IV 1118 lla.ma LBY DB 00Mll1JT40IÓN.
TsoJWU V.
-p-+(p-+q)
•••
ID.clicaa:i.ón: Del Alioma. 1 de.ri'vllll!le por aust.itución:
-p-(-q-+-p).
Nótese que el consecuente de esta. proposición coincide con el
antecedente de uno de loa axiomu; y luego procédMe como en la
demoatración del Teorema. 11.
TEO:uau. VI. p- (- 'P -+q)
Indicación: Hágase en el Teorema IV una eustitución ta.J. que
el antecedente de la implicación que resulte se& el Teorema V,
y luego aplíquese la regla. de separación. Tenemos aquf un ejemplo tlpico de ruonam.iemto b&&ado en la ley de conmutación.
Tsou11U..VII.
--p-+(q-+p)
Indicación: La demostración ee anA.loga a la del Teorema II.
Del Teorema. V y del Axioma. VII derlvense laa propoaicionea:
--p-(-p--ql
y
(-p-+-q)-(q-p).
Compl.renBe los &ntecedentee y los consecuentes de esta.a propoaicionea,
°h:OUJU.
VIII.
,.., - p -+ p.
Indicación: Razón&ltl como en la. demostración del Teorema VI;
der:lveee primero, de loe Teoremu IV y VII, Ja propoeieión:
q-<-
'V
p-p).
En eet& proposición oolóqueee cualquiera. de nueetroe axioma&
en el lugar de tqt, y apliqueee la regla de aeparación.
TEoBBJU. IX.
p~...,
..., p
Indicación: Rea.Ucenae 11ruati.tuoionea oonvenient.ea en el .ADGma VII y en el Teorema. VDI de modo tal que pueda a.plioane
la regla. de aeparación.
INTllODUCCIÓN lt U. LÓGICA
T.so~
..
,
X..... -P-P
Indicación: Eete teonim• puede obteoeree del A.zi0Dl6 VI y de
loe Teoremu VIII y IX ha.ciendo una suatitución en el AJioma VI
y aplicando dos VecN la regl~ de eepa.ración.
*lf. Para introducir WrminoedefinidOl!I en elsi8temadeoá.Jou.
lo proposicional expuesto en el ejercicio precedente, debemoa
aceptar una regla de definición. De acuerdo con eet& regl• (vÑM
Sección 11 ), toda definición tiene la form.& de une. equiv&lencia.
El definiendum ea une. ezpreeión que contiene, además de v&ria.blee
propoeicione.les, e61o una constante, a saber, el término que ee deeea.
definir; ningdn afmbolo debe a.parecer doe veces en esta ez:presión.
El defu:Uen.e ee una función propoeicione.l a.rbitraria que contiene
exa.ct&mente lae misma.e variables que el de&nieodum, 7 que no
contiene m'8 conat&ntee que loe Un:ninoe primitivOl!I o loa previa.mente de6nidoe. A.á, por ejemplo, podemos ·a.oept.ar la.s liguieotel
definicionee para. loe eimboloe tVt y tl\t:
D&fitfIOIÓN
I.
(pVq)t-+(-p-+q)
DBl'IlfIOIÓN
II.
(pAq)-+..., (- 'PV -q)
De laa &nterioree de6nicionee y de loe uiomu y loe teoremaa
del Ejercicio 13, deducir loa eignientea teoremas oon •yuda de la&
f'l!l8l&e de 1118titución y de sepua.oión:
TsoulU. XI.
(- p -+q)-+ (pVq)
Indioación: En el Axioma V fll8titliyue tp por c(p V f}t y
lllP por e( - p -+ q)t, compáreee la propoeición aaI ob~da oon la
Definición 1 y •pllqueae la regla de •pvaoión.
T.oUJU.XIl. pV- p
Indicación: Fate teorelll6 poed.a deducine de loe Teoremu XI
y 1 mediante dos •plicaoionea de la regla de suatituoión y una de
la regla de sepa.ración.
boUJU XJJI. p
~
(p V f)
186
Indicación: La demoetn.cióo de baa en el Axioma 111 y en
loe Teoremas VI y XI, y ee muy similar a la del Teort!lm& II (1&
regla de sultitución ee aplica al A.moma. III ónioameote).
(p/\q)-+ - (- pV -q)
T11:0RDU. XIV.
Indicación: La. demoetncióo, que ee b&a& en el Arioma IV y
en la Definición II, es análoga a la del_ Teorema XI.
TEOBJ:HAXV.
-
-(p/\q} -1> - (-pV-q)
Indic.a.eión: La. demoatr&ción ee basa. en el Axioma III y en loe
Teorema.a VIII y XIV, y ee similar & la del Teorema II. En el
Teorema VIII reempUooese tpt por t(p A q)• y compárese el con.
eecuente de la implicación aaf obtenida con el ant.eoedente del
Teorema XIV.
T1mBJUU. XVI. ( - p V ,.., q) -+ ,.., (p /\ q)
Indicación: Hága.ise en el Axioma VII una sustitución tal que el
a.nteoedente de la implicación que reeulte sea el Teorema XV.
Ti:OUllli XVII.
,.... p -+ - (p /\ q)
Indicación: E.ta demoetr&eión ee también an!loga a la del
Teorema 11. En el Teorema XIII 8U8titóyaae tpt por e- pt y tip
por •- qt; compilreae la. proposición resultante con el Teorem&
XVl.
TBoasau XVIII. (p /\ q) -+ p
Indicación: Ded.4zcue e1te t;eon,ma del Axioma VII y del Teorema XVII.
Nótese cuále. de loe axiomas y loe teoremas de eet.e ejercicio y
del preoed.ent.e noe son familir.rea deade que estudia.mee el Capitulo II, y :recuérdense 11ua nombres.
•15. Formular un.e. deiinición del afmbolo t.6.t (vÑ.811 Ej&r<1ioio 12) de a.ouerdo con la regla de definfoión est&bleoida. en el
IHTIOOUCCIÓH A LA LÓCICA
187
ejercicio precedente; en el delin.iens deben aparecer doa constantes: ..... ,y •A•.
•16. Verificar, por el Dtodo de lu t&blaa de verdad, que
todoe los axiomas y laa defi.nicionee dados en loe Ejercicioe 13 y 14
(y también ,la definición propueat.a en el Ejercicio 16) eon proposi-
cionee verdaderu. 'fié.tese de deducir de esto que todos los teore·
me.a deriva.bles de loa a.xiomu y laa definicionee menciona.dos por
aplicación de las reglas de 8Ultitución y de sepa.re.ción, deben
resultar también proposiciones verdadera.a s.i se los investiga con
el método de las ta.bias de verdad.
(Es posible mostrar t.ambién que, reclprocamente, toda propoeición del cálculo proposicional cuya verda.d pueda. ver:ifi.ca.ree
por el método de lu ta.blu dl!I verdad ee, o bien uno di!! loa uiom&a
o de las definiciones, o ee deriva.ble de elloa por medio de nueetra.s
ttglaa de inferencia. -con lo cual ee demoetrarf&, coneecuentemente, que loe doa métodoa de comtrucción del cálculo propoeiciona.I discutidos en el Ejercicio 11 por un& parte y en loa Ejercicioe 13-14 por la otra, son completamenteequivalent.ee. Pero aeta.
tarea. es mucho más dificultosa.)
•17, Uno de los métodoa de construir el cálculo proposicional
diacutido en loe Ejercicios 11 y 13-1( da una. eolución inmediata.
del problema. de decisión (cf. Sección 41) de este cé.lculo, y nos
permite demostrar muy flcilmente que el cé.lculo proposicional ea
una. teorfa deductiva. consistente. iCuál ee eete método y cómo
pul!lde ser proba.da nuestra &firmaci.ónt
•1s.
Una de laa leyes del cAJ.culo propoeicioll&l diee:
para p y q arbUrarim,
M
p y no p, entorn:u q.
Sobre la. ba.&e de eet& ley lógiea, eeta.blézOa..90 la siguiente ley
metodológica:
Bi el riatema <k IJZ'ioma:a de cualqvitf' tuJrla tkdudiva qiu preaupcme el cálculo~ e.t i~. entoncu kJda, 'JWO·
pomi6n formulada en Urminoa tU t.ata Uorla ptutk au derivada tU
e.te aittema de azi.otna.
188
•19. Se eabe que la siguiente ley metodológica. e1 vl.Jid&:
Si tl riarnna tk ~ tk una law4a ddudim u compldo,
y- ft u. at¡r~ga al ~ urta ~ cualpkra formulada et1
UnniM1 ck uta et.orla 'Ptf'O
~blt m ella, enlcmcel d a..
teftla de azioma6 tzlendido tk uta fPIGMrO u ·~·
"°
1Por quéf
•20. Seftá.lenae t.odos aqneUoe tMminoe que se preeent.an en
al Capitulo II y que, de a.cuerdo a 1aa obeerva.oionea hech&e en la
Sección 42, pertenecen al dominio de la metodología de lM cifln.
ciM deductiv&IJ.
SEGUNDA PARTE
APLICACIONES DE LA LÓGICA Y DE LA
METODOLOG(A A LA CONSTRUCCIÓN
DE TEORlAs MATEMÁTICAS
VII
CONSTBllCCION DB UNA TBOB1A IL\TBIÚTICA:
LIYEI SOBRE LA ORDINACIÓN DB ll'OMEROS
ta. T6rm1Dos prlmlUvos .. la Noria .a oomtruccl6n; n:lomu
1obn las relaolone1 fuDUmental• entre ntamero1
Como ya. disponemos de ciertoe oonooimientos de lógioa y de
metodología, int.enta.remoe ahora la fundamentación de un& teorfa me.temática. particular, muy elemental. por lo demáa; eeto
eerá. p&ra. nosotros una buena OO&lión para. coneolid&r, profun.
dizar, e incluso ampliar, los oonooimientoe que &ea.bamoe de
adquirir.
La. teorla con que noe T&m<>lt a ocupar, conatituye un fragmento de la &ritmética de loe nómeroa real.ea y contiene propoei-
oionce referente& a lu rele.cionee fund&mcnt.alee entre elloa: la.a de
a.at oomo lu operaoionee mia tencillaa con
ntameros: la. adición y la. euetra«lión. E.ta teoría preeupone o:clu-
mayor que y menor que,
aivamente la lógica.
Tomuemos como térm.inoe primitivoe loa cuatro siguieo.ter.
número rd,
aer menor pe,
ur mayor que,
192
En lugu de tnúmtro rfalt, di.r&moe aimplement.o tRúmerot
como hut.& aquf. En lugar de la •xpreeión mú~Ot. ea mM
conveniente emplear la expreeióu w:on;vnW tk IOdol lo8 númtron,
que por abreria.r 1uetituinmloe por el 1linbolo dft; para expnu.r,
pU88, que .z es un número, eeoribitemoa:
.zelf.
Podrlamoe estipular, por otra parte, que el univm"SO de discW'80
de nuestra teoría oonBillta. ó.nicamente de números rea.lee y que
va.ria.bles ta.les como en, tyt, . .. , eetén exclusiva.mente en lug&r
de nombres de números; en t&t caso, el Mrmino múmtro rtalt
jteiria. inneoes&rio en la formula.ción de loa enuncia.dos de nuMtr&
t.eoria., y cua.ndo fuera neoee&rio, el efmbolo tlf• podri& ser reem.
plaza.do por .V• (cf. Sección 23).
Lu expresiones tea mayor ~ y tu menor que. .eerán trat&daa
como entidades que consisten de una 110I& palabra; se reemplaza.
•>• •<•·
rán, reepectiva.mente, por loe eimboloe
y
En vez de
mo u mayor qtu• y mo u menor quet ue&remoe loe elmboloe
oonientea e :::i- • y e 1: •· Ademú, en TK de cla .ruma tk lo8 númerwi
(.vmand<>a) z e yt o de~ ruu.lfad¡) tk la adición tk loa núnw:-
roa
:e "- ,,., eecribiremoe como de ooetumbre:
z+y.
Con lo cu.t, el símbolo .Xt deaign&ri. un cierto conjunto, loe
,Jmbolot •< •y•>•, determiJ1a,de,enla.ciooea binaria.a, y finalmente,
o& limbolo «+•. um. opera.oión binari&.
Entre lot a.:domae de la disciplina 001111iderada podemoe det·
t:a.o&r doe grupoe: loe uiomu del primero expreean propiedadee
fundamenta.lea de la.a relacione& meMr qru y mayor qru y loa del
119gUDdo ee refieren principalmente a. la adición. Vea.moa por ahora
Joe uiomas del primer grupo; eon en t<>teJ cinco:
A..noiu. l. Para n.úmaoa cualuquUra
pat"4 tltmtntoa cualuqukta del
~ :¡;.
>
'11·
um;vmo
2:
e y (ea decir,
:;z;. - y o :;z;. <y
X), vak:
1..
1Hft0bt10CIÓH A LA LÓOICA.
ÁDOlf.t.2. Siz<y,~.- <z.
AJ:IolU.3. Siz>y.~y :Jo :r-.
Anolf.t.,, Siz<y e y<z.~z<z.
A.noJU.6. Siz>y e r>z,~z>z.
Loa u::i.oIItM expneetol, oomo igualmente todos loe teorema& de
car!.cter universal de la aritmát.ioa que afirman que -nó.mero11
a.rbitrarioe z, y, •.• satisfacen esta o aquella. propiedad, deberiao
oomeDZ&l' en realidad. oon las palabraa tpam númeroa cualuquiero z,
y, ...to cpara-elem.efttoe~z, y, ... ddc.onjuflloll•o,
aimplemente, cpam z, y, , .. cuolurqvien:u (si Mtipulam<M!I que lu
variables Ut, tyt, ... denotan ó.nicamente nó.mmoe). Como deee.moe Mlaptamoe & l& oostu.m.bre nferid& en 1& Secoión 3, preeo:in·
diremoa de eetaa ftaaee muy • me.nudo, ag:regáodolM, e:iD embargo,
mentalmente; esto afecte. tao.t.o a loe a.s:iomaa oomo a loe teo..
remu y definiciones que apveoen en el transoUl'llO de nnmtru
oon&deracionm. Por ejemplo, eJ Axioma. 2 debem leene del
modo siguiente:
Para z e y cualuquiml (o pm1 ~ ~
c.onfunlo JI), A z < y, entmu:u y -e: z.
%
e y lid
El Aiiom& 1 recibe el nombre de LEY DÚJL DJ: TlLIOOTOlld.A
(la ley fuerte de trioot.omia ~ introducid& mú adelante). M&dia.nte los Aiiomu 2...5 MI expreea que las relacione.· '"4ym' ~ y
mtnor tJtU son a.aim'trieaa y tra.naitina en el oonjunto X (of. Sección 29); de acuerdo oon ello lM Uam.arema. ur:u D:& .u:on:TIW. y DB TJt¿MSITIVID¿J) para lu relaciones map pe y menor'
que. Los u:iomaa del primer grupo y loe t.eoremu deducidoe de
ellos te denom.in&n, en au tot&lidad, uru SOBB.11 LA 01mmu.OIÓN DJ: NÚll:D.CIS.
La.a relaciones < y >, junto a la relación lógioa de identidad -=, serán referidalJ aquJ como altLA.OIOlOB WND.ilDNT.á.LU
IUfTU: NÚllDOS.
44. Leyes de lrr•OnlTldad. J&ra 111 nlaoloo11 flmdamtntalee.
Dem01traokln11 IDdlreeW
De 1011 a.xiomlWI admitid011, deduciremos ahor& una eerie de
teorem&11; como ni en éste ni en el capítulo siguiente ee persigue
un& exposición sistemática, eo!&mente expondremos aquelloe que
puedan servirnos para. acla.rar ciertoe conceptos y resultados de
lógica y metodología.
D21i1osTB.A.CIÓN: Admit&moe que nuestro teorema fuese fal-
so; babrla entonoea un mtmero :r que aatiaf'aría a la fómula
eiguiente:
(1)
El Axioma 2 ee refiere a. nlimeros arbitra.rica z e y (que no tienen
por qué ser distintoH) y MgUi.ri. aiendo válido, por lo ~to, aun
cuando en el lugar de fY) se iMerte la variable t:n; obtendrla.moe
con ello:
(2)
ftz<:r,enton.u.t:r..t:;:z.
De (l) y (2) resulta. in.medi&t.amente:
esta. conaeouencia est6 en contradicción evidente con la fórmula (1J.
Debemos, pues, rechazar la eupoeición inicial y reconocer el teorema como demostrado.
Moetr&remos &hora. cómo trt.mformar este argumento en 1lDA
demostra-0ión completa, uaando, por razones de ol&ridad, el e:imboliamo lógico (cf. Seccione& 13 y 16). Noa apoyaremos~& ello
en la ley del cáJ.culo proposicional llamada. LJ:Y DB :unuano
m ~UJU>UK:
INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA
195
(p-+..., p)- - ,,,
(1)
u.moa ademé.a el Axiom& 2 en la. lligaient.e form& eimbólie&:
(z<y)-+- (y<z)
(II)
La demoatración se basari ezclwrinmente en las dos propoeicionea (I) y (II). En primer lug•, aplicaremos & (I) l& regla. de
auetitución, reemplaza.ndo «pt por t(:z < z)t:
(III)
[(z < z)-+..., (a::< z)]-+ .... (a::< z)
A continuación aplica.remo.e l&
nigl& de auatitución a la. proposición (Il) reempla.za.ndo en ella tyt por en:
(z < z)-+..., (z<a::)
Fína.lmente, oomprobamoe que la propoeición (IV) es I• hipóteeUi de la. proposición condicional (ill); podemOB &plic&r a ambae
I• regla. de sepa.ración,· por oonaiguiente, y llegar de est.& maner& a
la fórmula.:
(V)
...., (:r<z)
que ea precisa.mente la. forma. si..m.b6lica del teorema que querl&mos demostra.r.
La demostr&eión del Teorema.: l npnamt& un caeo de lae U...
ma.daa DEMOSTB.¿CIOlflt8 DfDillBCl'U, o también l>DI08T&&CIONU
roa :itED110'nO ~ ilSDBllVK. Pueden ~. en ~ner&l,
de la m&nera siguiente: para demostrar un teorema admitimoe
primera.mente q ue el teorema. fueee fallo, y 88 deducen de ello
ciertas comecuenciaa que nos obligan a reohazar l& aupoe.ioión
iníoial. La.a demostraciones indi.rectu eetA.n muy erlendidaa en Ir.
matemática; pero no hay por qaé suponer que caigan toda.e bajo
• • • 1..,, Jllllkl a otra~ cm ...n..11
(- •-+•>-+•.
.-o aombn:
ha 111.llo uada 1n much,. arsame11toe l:nCrtneados a lm&drbmenta lmporta.ntM •• ló&lca
y mat.emiU- JU 1óPoO y llUtam.itloo IN.llMo G. T.U:W.'l'I (1181--111011) dedl.oó a H Mlklrt.1111A mo~ espealal..
...
lo eequema de la demoetraci6n del Teorema l; máe bien noa bemot
enfrentado aquí oon una forma de demostra.ción indirecta relatí·
nmente rara. MI.e e.delante encontraremos ejemploa mu.cho mú
tfpioos de demostraciones de esta índole.
EJ eietema. de axiomaa que beDlOIJ adoptado es completamente
aimátrioo reepeoto de loe aimboloe •<•y
Por taJ. motivo, de
todo teorem& referente a la relación mmor ~ inferimoa automi.ti.oamente otro referente a l& relaoi6n mayor ~" laa demoatr&oionea de ambos Mrán oompletameot.e análogas, JBf que podremos
prescindir en absoluto de la del aegundo. En particul&r, al Teorema 1 correeponder& el siguiente:
•>•.
Tlr:oB.ltlU. 2.
Nin.g1¿11. ntimero u mayor que n minno: z ).
:t:.
Mientru que la. relación de identidad - , como Mt.bemoa por
lógica, • reBeDva., loa Teoremu 1 y 2 mueetran que lu otra.a doe
r@}a.cionee fundament.alea entre n6meros, < y > ,son irrefl.e.rivaa;
eeto. teoremu son llamadoe, por lo tanto, LBYBS DB IBBD'LBD·
TID.ü> (pa.ra. laa rela.oionee menor qau y mayor qw).
Eat.a.bleoeremOB a continuación el teorema. siguiente:
'hoBBM.A.3.
z>ya-i,y16'4ai,y<z.
DnloaTB.1..CIÓR.
Debemoe mostrar que la.a fórmula.a:
z> y
e
y<z
aon equivalentes, o ee.a que ee puede deducir la primera de la.
eegunda y recíproca.mente (Téue Sección 10).
Supondremos primero que
y< z.
(1)
Según el Axioma l, siempre debe oourrir al menoe uno de loe tna
(2)
z - y, z
< y,
o z >y.
INnotltkX:IÓN A LA LÓOICA
Si fuese z - y, en virtud del& ley fund&ment&l de !& teori& de la
identidad, o aea. de la. ley de Lsnnnz (cf. Sección 17). en la fórmula (l) podrfa.moe auatituir la. varia.ble ci:t por tyt; obte!indrlamo.
ent-Onoee:
y<r.
en evidente contradicción oon el Teorema l. Será, puee:
(3)
%
:#y.
Ahora bien, también ea v&lido:
(4)
pues, eegón el Aziom& 2, las fórmulu:
no pueden aer v1Uida.e llimultAne&mente. De &CUerdo con (2), (3)
y (4-), debemos admitir que sed& el tercer caso:
z > r.
(6)
Con lo cual hemoa demostrado que la fórmula. (5) se deduce de la
fórmul& (l); a.n&log&mente 911 puede establecer la implicación en
eentido opueat.o. Ambas IJOD, puee, efectiva.mente equivalentel,
c.q.d.1
El Teorema 3 eetableCEJ que 1u relacione.
< y > son recfpro-
ca.e (cf. Sección 28).
°hoUJU. 4. Si z :# y, meonca z
<
y o y
< z.
Dm.toeTUOIÓN. Como
' J.u Jetni. <e.q.d.1 IOll I& &bruiad6e. ...al
-...
IÜ J& HpJ111.16D OCOIDO q111JiamDI ...
96g6n el Axioma 1 ten.ema.:
z<y
o
;1;>y;
de la segunda de eetaa fórmulu 11e deduce, de acuerdo con el
Teorema 3:
y<z.
Tenemoe, pum:
c.q.d.
:t<1J O
'!J<Z,
Del miamo modo ee puede demoetrar el:
Ti:oB.Dl'.A. 6. Si z '#; y, entomu z >y o y
> z.
Loe Teoremaa 4 y 6 ee denominan t.:EYJS I>B OOlfBJJÓN para
Ju relacion• mmor qu y mayor que, y expresan que ambu relacioD88 son oonexaa. Loe Axiomas 2-6, junto a los Teoremas 4 y 6,
ponen de maoifielto que el conjunto lf de númeroe queda ordenado por la relaci6n < a.si como por ->.
'hoBDIA 6. Doa fl.Úmtf'Of ctUJluquitra :e e y aalit/actn uno,
y sólo una, de la.a lr'U fórmulaa: z - y, z <y, o z >y.
Dltllo8TlimÓlf. Del .A%:i.oma 1 ee desprende que un& al menoe de las fórmolaa ind.ioad&e d ebe eat.isfacene. Pa.ra demoatzar
que lu fórmulu:
ett ucluyen, prooederemoe como en la demoetraoión del Teorema 3:
1W1tituiremOlll en Ja eegunda de ella.e «n ·por tyt· y así Uegaremoe a
una oontradioción ·oon el Teorema l. De una man8l'a. a.ná.Ioga
mostrari&m.oa I& inoompatibilidad de laa fórmulas:
:i- - y
y
z >y.
Finalmente, ta.m.poco pueden lu fórmulas:
INTaODucaÓN A LA. LÓGICA
nler sirDuJtáneamente, puee en virtud del Teorema 3, tendrfamoe
entonce&:
z<y
e
y<z,
lo que contradice al Axioma 2. Do este modo, dot1 númeroa cualesquiera. 11&tisfa.ri.n a. una, y sólo a una, de las fórmuJas coo.rri.
deradae, c.q.d.
Llamamos al Teorem& 6,
LBY FUBRTJ: DJ: TBICOTOJIÍA,
o sim·
plemente LBY DB TBIOOTOldÍA. Con ayuda. de la frase to bien:•.. ,
o bien...t, en el sentido propuesto en la Sección 7, éste puede
formularse abreviada.mente como sigue:
Para númtr08 cualuqu~m z e y valdrá, o bien. z =y, o bien
z <y, o bien z >y.
48. otru nlaolo. . entre nQmNOt
Además de la8 relaciones fundament&lee, tod&via hay otras
relaciones en la. aritmética. que deaempef'ian un pa.pel muy importante: la relación, que ya conodt.moe, de deeigualdad .¡, y las
relaciones :i:;; y ;;i., de que habl&remoe ahora.
El lrignificado del Bfmbolo 4 :i:;; • 110 explica por la definición si.
guiente:
DznNICIÓN
l. DUJimoaqzuz :i:;; yai,yaóloai,z - yo:r; <y.
• .. y
deberi. leerae: u u menor o igual que yt o tz u a lo Wmo igual a y.,
Aunque el contenido de 1u definiciones indicada.a parece eetar
claro, la experiencia mueatra., sin embargo, que su aplioaci6n
pr&ctíca. es el origen de algnnu confusiones. Algunas penonaa
creen haber entendido peñect&m.ente el sentido del sfm.bolo 4 :i:;; •,
y a pesar de ello ee reeisten a aplicarlo a nt\meroe deteimina.doa.
No solamente rechazan como falsa la f6rm.nla:
1
"º·
200
por ejemplo -en Cito caao oon n.zón-, lino que consideran tam.biéD oarentee de eeo.tido, incluso !aleas, fórmulaa como:
o" o
o
o"
l;
manteniendo que no tiene eentido decir que O " O o que O E; I,
ya que ee Mbe que O - O y O < 1. En otras pa.la.br8l!I, no es poeible m08trar ningún pa.r de námeroe que, en su opinión, satisfaga
la fórmula:
MI
Esta opinión ee obviamente falsa.. Precisamente por ser O < l,
aigue que la proposición:
0=1
o
0<1
• verdadera, puee la dillyu.acióo de dOl!I propoeicionee: • verdad.e.
ra aiempre que lo sea una de ellae (cf. Sección 7); pero, de acuerdo
oon I& Definición l, dich& disyunción ea equivalente a la fórmula:
o" l.
Por el mismo motivo ee también ·yerdadera. la fórmula.:
o" o.
El origen de Mtol malentendidos hay que bWIO&l'lo, presumiblemente, en ciertos hábitoe de .. 'ti.da cotidiana c•eobre loe que
ya bemoe ll&mado la atención &l 6nal de la Sección 7•). En el
leoguaje corriente ea uaual a.firmar la. die:yu~ción de doe propomciones 11610 llÍ sabemos que una de ellu • verdadera lliD saber
oual. No ee noe ocurre decir que O = l o O < 1, &lHlque esto ee
indudablemente verdadero, ya que podemot decir algo DlÁ8 aim·
ple que ea al mismo tiempo lógicamente más fuerte, a saber,
que O < l. Sin embargo, en conaidera.oi.onea matem&ticas no 111
aiem.pre ventajOkl enunciar todo lo que oonooem°' en su íorma.
máa fuerte. Por ejemplo, &firma.moa muoh&s veces que un cuadrilit.ero dado es un pa.ralelogramo, aun cuando nbemOll que dicho
cuadrfi¿tero Oll u.o euadtado, y baoemoe eet<> siempre que qllel'&-
IHTaODUCCl6!-t A LA L0GICA
201
mo& ha.oer ueo de un teo~ genoral refereato a pa.ralelogramoe
arbitrarioa. Por la miama razón puede ocurrir que sepamoa que un
número z lle& menor que 1 (por ejemplo, el m1mero O), y & peMr
de ello eola.mente afirmem<:ifl que z
l, es decir, que z - l o
°'
z< l.
lndicaremoe aquí do&
TBOREKA. 7.
X
~remas
referent-es a la rela.ción l!i; •
,s;; y ai, y a6lo ai,
Z )-
y.
Eete Uorem& se deduce inmediatamente del
Teorema 6, o ee& de la ley de tricotoml&. En efecto, ei es
Dz•OsTRA.OIÓN.
z" y,
(1)
y, por OOnsiguiente, aegdn la Defi.nición l,
(2)
z -Y
o
z <y,
entonces, la. fórmula:
no podrá. ser válida. Recfprocamente, si
(3)
deberá aer v'1ida la Córmul& (2) y nueva.mente, aeg6n la Defini.
ción l, valdrá te.mbi6n la fórmW. (1). Con eUo, las Córmulae (1)
y (3) MriD equivalente, c.q.d.
En la terminología de la Sección 28, el Teorema 7 afirma que
la relación =so; ea la negación M 1t. relación >.
Por stt estructura., el Teorema. 7 podrla toma.ne oomo de6nioión del afmbolo •=so;•, ddnici.ón diCerente de la origina.l, aunque
equivalente a ella. El enunciado de este teorema puede también
oontribuir a ditdpa.r definitivamente toda dud& eobre el mo del
llimbolo t=s;;t, ya que nadie dudui. de la verdad de fórm.ulae oomo:
o" o y o" 1,
202
puee la. primer& de ella.a es equivalente a l& fórmula:
º~º
y la. segunda, a la fórmula.:
Si desea.moa podemoe evitar el
pre en 1JU lugar
•:1>•.
'fi:OBBlU.8.
W10
del 11lmbolo
t" •,
usando siem-
z<yai.,y ldlo ai, zE;yyz'#y.
DJ:MOSTB.t.OIÓN.
Si
z < y,
(1)
entonoea, segdn la De&nición 1,
(2)
y &demás, teniendo en cuenta el teorema de tricotomía., no podd,
ser válida. la, fórmula.:
z=y.
Recíprocamente, e.i es válida la fórmula (2), en virtud de la. Defi.
nición l valdrá:
(3)
z< y
o
z=y;
pero 1i, al mismo tiempo, tenemos:
z~
y,
deberemos reoonooer como vi.lid.a la primel'a> pal'te de la diayun·
ción (3), ea deoir, la fórmula (l). La implicación vale, por lo tanto,
en ambos !eD.tidoe, c.q.d.
Pu&remoa por alto &lgunoe otroe teoremu que afeotan t&m·
bián a la relación :E;;, m ~ll1llar, teoremu eeg6n loe caalel
208
INTaODtk'.lCtÓH 11. LA LÓGICA
dicha. rela.ción ea refleaiva. y traneitiva; por Jo demM, la demoetra..
ción de 6et.oe no ofrece Ja menor di&cultad.
La delinición del eimbolo • ~ • ee oompletam.ente anl.loga a.
la Delinición l; de loe teoremas relativos a. Ja relación :E; , ee
obtienen automáticamente teoremaa relativos a. la. rela.ción ;i. ai ee
autituyen loe efmboloe c:i;;t,
y •>•por·~•. •>•y•<•,
respectiva.mente.
•<•
La.a fórmulas del tipo:
:r - y ,
en la.a que en luga.:r de tn e tyt aparezca.ri. oonatantee, variablee, o
expreeionee compueetM que deeignen númeroe, ee denominarán
ECtJACIONzs, oomo de ordinario~ análogamente, llama.remos DESI·
Otrü.D.u>ES (u nwrmo U'T:al'.OTO) a fórmulas como:
:t<y
o
%
>y,
re&pectiva.mente; en la.e DUIOtr.t.LDil>JtS u
cluimos fórmulu de Ja forma.:
:t ,¡:. y,
% "
y,
o
% ~
BltNTIDO A.lll"LIO
in·
11·
Laa Hpreaionee que &pa.ttlSC&D en estaa fórmulu a la izquierda.
.o a la dereaha. de loa afmboloa
•-•,•<•.etc., recibiri.n loe nombre.
de XJDOBOS JZQ1'ID.D08 0 DDaOBOI I>B LA BO'C'ACllÓN O DJ: U
DUIOU.il.Dü>, relp&Otiv~te.
l. Considerem08 laa doe relacionee entre peraon&8: l& de eer
de mayor estatnra. que y Ja de eer de menor esta.tura. que. ¡Qué
condición debe cumplir un conjunto de personas para constituir
nn modelo para el· primer grupo de u:iomaa, junto a. laa citadu
~....t (of. Boooión 37).
AU'BID TAUJU
2.
C.Ooveogamos en que l&. fórmula:
upreee que loe o\llneroe :a: e y e&tiafaoen & una de lu doe condicionee aiguientee: (i) el valor abeoluto de :a: ee menor que el
valor abeoluto de y, o (ü) loa nlorea a.baolutoe de ambos oómeroa
aoo iguales, pero siendo el nó.mero :a: negativo e y positivo; atribuy&mos, análoga.mente, & I& fórmul&.:
:a: · >y
el mismo significado que e. la fórmula:
BMl.ndoee en la &ritmética, m01trar que· el conjunto de todoe
JOB n\llneros y lae relaoionee < ·.Y ·> aaf definidaa, constituyen
un modelo para el primer grupo de a.xiomaa.
Indicar ejemploa de otras interpretaci.onee de eetoe u..iomu
en l& aritmética y en la geometri&.
3. Del Teorema l, deddzcaee la proposición:
.ri z <y, eMonu.t :a: :;,y.
Recíprocamente, dedó.zce.ee el Teo~ma 1 del teorem• eipUeeto,
ain Taleree de otroa teonimu del& aritm~tica. tSon indirect&a Ml·
bae demoet.raciooee1 tCaen bajo el eequcm& de la demoetraeión
del Teorema 1 de la Sección '4. T
4-. Gener&liz&r la demostración del Teorema 1 de la Seeción 4-4 y eet&blecer aeí la eiguiente ley general de la t.eorf& de
relacionee (cf. obeerv&oionee en la Sección 37):
k>da f'elación R a.rimilric.a m la elat K u lambiin irnflu:iva
mMllcla..
O. Mostrar lo ligu.iente: si e& admit.e el Teorem& 1 oomo un
nuevo axioma, de éste y del Axioma f 88 puede deducir el Mltigao
206
INTBODUOCIÓH A LA LÓCIC.l
Axioma 2 como teorema. Gener&liu.ndo eat.e razonamiento, demoetra.r la. siguiente ley general de la teorfa de rela.oionee:
!oda
Yel.a.ci6n
R i"t/kziva y trouitiw e:n. la elaat K u también
aaimttri<.o m t.111 clan.
•6. Al fina.J. de la Sección '4 hemos tr&tado de explica.r por
qué puede omitirse la. demostración del Teorema 2. Est.&8 obeerva.cionee constituyen une. aplicación de ciertas considera.cionea
generales formule.daa en el Capitulo VI. Expliquese esto en detalle,
y, en particular, eepeciffquense laa consideraciones referidas.
7. TradúzcaMe loa 11iguientee teorema.a al lenguaje ordine.rio
y demuéatreselo11 a partir del primer grupo do a.xiomas:
(•)
f,[•=y-(-(•<y)l\-(y<•))J;
(b)
~[a:< y-+~
[a:< zVz <y]].
8. Del Axioma 4 y de la. Definición l ded:ó.zcanse loe teoremu
11iguientee:
ai x <y e: y ::;;; z, en.lonu.t z < z;
aiz=s;:ye:y<z, ~ :e <z;
(e) ai z :s;: y, y < z, y .z :s:; t, tntoncu z
(a)
(h)
<t.
E:zpreear eetot toore01a.e en lengu.je eimbólioo.
9. Demoetra.r que las relacione111 is;; y ;it; aon reflexivas, transitivu y oonoxu. ¡Son ai.m~tricu o uim6trie&l!ll .
10. Demostrar que entre doe nómeroe cualeequier& rigen
exacta.monte trel!!I de lu seis relaciones aiguientee: - , <, >, #,
"y;,.
U. Tanto la rocfproca oomo la negMñón de cada un& de laa
relaoionee indicada.e en el ejercicio antaior eatán tambWn entre
la.e aeia relt.cionea. Demoatn.rlo con preoi.sión.
21)6
•12. iEntro cuálee de Lae nlacionee dada.e en el Ejeroioio 10
rige la relación de incluaiónl 4Cu'1 eeri. la IWD&, el produoto y el
producto relativo de cu&lquier par de esaa relacionee1
Indicación: Recu6rdenae loe términos explie&doa en la Sección 28. No se omitan p&reS formadoa por doe rel&cionea igualea,
y recuérdese que el producto relativo puede depender del orden
de los factorea (cf, Ejercicio 6 del Ca.pítulo V). En total deben
examina.me 36 p&re8 de relaciooee.
vm
COllSTRUCCIÓll DE UllA TEORfA JU.TBIIATICA:
LEYES SOBRE LA ADICIÓM Y 8USTRAC:CI0K
47. Axlomu sobre la ad.lel6n; Jl'Opltdad• generales
de openolon•; loe ooaHptos de Pllpo J d.• ¡rupo abellano
Paaa.m.01 ahora. a estudiar el segundo grupo de a.:riomu que
conata. de las seil propoeicionee e.iguientee:
A.DOMA. 6. Para n.úmmira tualea¡uiera y, z, en.te un número :r
tal que z - y + z; en otr&e palabraa: ai y e lf y z e M, entoncu
rambim y+ zelf.
A.noau.7. z+y=y+:r:.
A.XlOllA. 8. :z: +(y +2) = (z +y) +z.
Al:Io>U. 9. Para Aúmt1'oa cuolupiera z e y ui8te
Ufl
núnu.
roitalquez - y+z.
< %, entonul :t' + y < :t' + %.
Si y > z, mtmw:::u z + y > z + z.
A.DOIU 10. Si y
Ail:OIU. ll.
Por ahora. 0011 ocuparemoe ooo laa cuatro primeras propoei.
oionee del eegundo grupo, ee decir, oon loe A.x.io:m&8 6-9; éstos
atribuyen a. la adición una. eerie de propiedades sencillas que
enoontramos también a menudo en el estudio de otra.a pa.rteB de
la lógica y la. matem1i.tie&.
208
Para la designación de eetaa propiedades introduciremos al·
gunoe t,¿rmino1 especia.lea. Por ejemplo, diremoa que una operación O es B.B.t.LlZilLB u :u. CLUB K o que la. claee K ee CJURA.·
B.i.JO u. OPER&OIÓN O, si el reaultado de efectuar la' opera·
ci6n O con dos elemento& cualesquiera. de la clase K es de nuevo
un elemento de K; en otra& palabras, si para cualquier par de
elementos y, z de l& claae K, eriete un elemento z de esta. clue
tal que
:z:= yOz.
I>•
La operación O es llamada CONlfUTA.TIVA EN u. C:U.SE K, ai el
reault.&do de la operación no depende de la ordenación de loe el&mentos de K con loe cu&lee s& Jleva. & ca.bo, o dicho con máa exac-
titud, ei para. doe elementoe cualesquier&
tenemos:
;r;
e y de dicha cla.ee,
zOy = yOz.
La operación O se llama .üOOU.TIV.A. BN u. OUSB K, si el reeult&do ea independiente del modo como ee agrupen loa elementoa, o
mis precisa.mente, ei para tres elementoe cualesquiera ::i:, y y z
de la clue K, se cumple la condición:
x0(y0z}=(z0y)Oz.
Decimos que la operación O es tNVltBTIBLB .&. DDKOIU o INVD'l'l·
BLE A IZQUIERDA EN LA CLASE K , ei, pe.r& dos elementoa cua.leequiera. x, y de la claae K, exiate siempre un elemento z de esa claee
t.al que:
respectiva.mente. Una operación que sea simultáneam~nte invertible a. derecha. y a. izquierda., ee Ua.ma. eimplemente INYUTIBLI:
EN LA OLüB K; como ee: fá.eil ver, toda. operación conmutativa
que se& invertible a. derecha o a. izquierda. es invertible. Ahora
diremos que una clase K 68 un OBUPO OOM BBSPIWI'O A l i OP:l.&A·
OIÓM O, si eeta operación ee: realizable, a.aoci&tiva e invertible
en K; si, ad.emáa, la operación O ee conmutativa., la. olaae K ea
llama.da un Gii.UPO il:n.lilfO OOlf BltSPl:CTO Ali OPEB..lCIÓN o.
El concepto de grupo, y en pa.rt.i.cular el de grupo a.bella.no, se trata
lNTKODUOCIÓN A LA. L6o1CA
,.,.
en unt. diaciplina matemátic. eepecial, la llamada noaú. DB
oatJ?Os, de que bemoe bblt.doe n el Capitulo Vl.
En caso de que la clue K ee& la. clase Wliveraa.l (o el univentG
de discurso de la teoría oonaiderada, cf. Sección 23), omitinimoe
UBua.lmente la referencia • e.ta clase al emplear términos tale1
como trealizablet, tconmut&ti't"u, etc.
De acuerdo con la. terminología introducida. más a.rrib•, loa
A:J'.iom&a 6-9 reciben loe nombree de LEY DB REALIZA.Bn.IDAD,
LJ;Y OONKUTATIV.l, LJ:Y A.BOOli.TIVA y LltY DB INVEBSIÓN A DBdOJl.l para la opere.ción de adición, 1'88p8Ctivamente. Eetoe cuatro
a.riom&11 reunidos, eeta.blecen que el conjunto de todoa loe números
oonetituye un grupo abeliano oon respecto & la a.d.ición.
48. Leftl ooamu&&Uwa 1 uoolattva para an aQmtro
oulqQJen. dt SWm&Ddot
El Az:íom& 7, M decir, la ley oonmut&tiv&, tal como la hemoe
expuesto, se refiere a doa nWneroe, y el A:l'.ioma 8 o ley aaociativ&
a trae. Sin embargo, se puec:Mn ecrt.&bleoer muchas otra.a leyes conmutativa.e y a.eociativa.s relativ&a a un nWnero a.rbitrario de
dmeroe; por ejemplo, la fónnW.:
•+¡y-¡' .¡-y+(•+.¡
ea un ejemplo de ley
fórmula:
oon~:at&tiva
p&r&
tree 1JWD&ndoa, y la
• + [y+ (• + •)) - [(• +y) + •) + •
repreeent& una de l&I leyes uociativu pt.n. ouatro ewna.ndoe.
Aó.n hay otros teore1DUJ de car6cler mino, oada uno de loa oU&hlll
afirta.a que -ha.bla.ndo en gtinenl- en el result.&do de la adición
ao ejercen ninguna. influencia oiertaa alteraciones, tanto en el
210
orden, como en la. distribución de loe fWlla.odoa en grupoe. Como
ejemplo, espoodremoe el siguiente teorema.:
TEOUllU. 9.
z+ (y+z) = (z+ z)
DBKOSTB.&CIÓN.
+y.
De loa Aiiomu 7 y 8
11e
obtienen por me-
dio de sustituciones conveniente&:
(l)
(2)
z
+ (z+ y)=(% +z) +y.
En virtud del& ley de LEIBNIZ y teniendo en cuent.a (l). IWltitoiremoe en (2) u + r por f'J + n y llega.remoa aaf & la. fórmula
deaeada.:
z
+ (y + z) =
(:r
+ z) + y.
De ma.nera. &n&loga podemoe deducir todu la8 leym conmatativaa y aaociativaa relativas a núm8l'Oll arbitrarios de suma.odoe,
de loa Axioma.e 7 y 8, con la ayuda eventua.I del Axioma 6. Di.oboe
teoremas se a.plica.o 1. menudo e_n )& práctica par& la transformación de expresiones a.J.gebr&icaa. Por tra.naformación de una. expresión que designe un nómero, entendemos una va.ri&ción tal
que nos lleve a otra expresión que deeigne el mismo nó.mero y que,
por lo tanto, podrá aer rele.eionad& con la expresión origin&l me.
d.iante el signo de iguaid&d; las expreaionea máa frecuentemente
aometidaa a tales traneform&cionee eon a.quellu que contienen
variablee, eiendo, por COllBiguiente, funcionea deeignativaa. En rirtud de lu leyes con.mutativu y uociativu, podemoe tratlllt'on:aar
expresionea a.rbitraria8 de tipoe t&lee como:
eef.o es, expresiones compueet&a de conet&ntée y va.riablee numéri.caa aeparadae por eimboloa de Mlioión y por p&rénteeis: en cualquiera de ell&a podemOB permutar a voluntad tantos aimboloa
nwnérioos como pa.rénte&ia (con tal que la expresión rermlt&nte
no pierda sentido con la tra.nspoeici6n de lOB parént.esis).
IHT&OllUCClóN A LA. LÓGICA
211
48. Lete1 de monotolúa trara la ad1ol6a 1 1u rMiproou
Nos ooupanmot ahor& de loe Ammae 10 y 11; éato8 son lu
Jlamadsa LBY• DB llONOTONÚ para Ja adición con reepecto a la.e
relacionee menor qw y mayor que. Se dice, más gener&lmente, que
la operación binaria ee llONÓTONA. BN LA. OLA.SB K OON BUHO'J'O .&. u BJCL.A.OIÓN BDU.lLli R, si, para elementos cualesquiera. z,
v. z de la olase K, la fórmula:
o
gRz
(:z:Oy) R (zOz),
ee decir, cu&ndo el Neultado de la operación O realizada sobre 10&
elementos z e y ee encuentra en I& relación .B con el reeultado
de dicha operación re&lizada sobre loa elementos z y z. (En el cuo
de operacionee no conmutativu, deberemos distinguir, estrictamente hablando, entre monotonia & derecha y monotonía a U:quíerda; la propiedad que acaba.moa de definir se Ua.maré. monotonía a derecha..)
La operación de adición ee monótona, no solamente respecto
de lu rel&cionee mtn0r qw y mayor p.e -como se deduce de loa
Axioma.a 10 y 11-, sino ta.mbián respecto de lu restantes relaoionee entre n6.meros discutida.a en la Sección '6. Moatraremoa
eato solamente para la rel.aoión de identidad:
TBOUJU 10. Si y = i , tnloftcu z
+ y = z + i.
+
D;u:osnu.m ÓN. La 1U1Da :z:
y, ouy& existencia garantiza. el
Axioma 6, es igual. a sf miema (eeg6n la Ley II de la Sección 17):
z+y=z + y.
Teniendo en ouenta 1a hipóteeil del teorema, en el aegundo miembro de la igualdad indicada ee pod1' imstituir la. va.ria.ble t¡¡t por et,
obteoiéndoee la fórmula deee&od6:
212
L& recíproca del Teorema 10 ea
T:soB.Bll.t. 11. Si
tambi~n
a:+ y =a: + :r,
verdadera:
t1llonal y
=- :.
Esbozaremos dos dem011tracionee del mismo. La primera, b&..
Moda en la ley de tricotomi& y en loe Axiomas 6, 10 y 11, ea ret.tivamente eencill&. Pa.ra nueet.ra ñoal.idad ulterior necesitamos, sin
emb&rgo, otra demostración que, aunque oouidera.blemente mi.e
complica.da, se basa exclusivamente en los .Axiomas 7-9.
PBnnm..6. DEMOSTJU.OIÓN. Sapongamoe que el teorema. en cuestión fueae falso; e:riatirlan entonoee números a:, y y z para loa cua.lea va.ldrla:
(1)
a:+y=z.+z,
y
(2)
Como a: + y y z + z son nd.meroe (Aiioma. 6), t.eniendo en cuen·
t& Ja. ley de tricotomi&, ésto& BAtiafaoen sólo una. de lu fórmulu:
por oonaiguiente, como por (1) ea vMid& la primera de dichaa
fórmulaa, laa otras aer'-n a.utom&ticamente eliminad.u. Tendr&
moe, puea,
(3)
Por otra. parte, ei a.plicamoe de nuevo la. ley de tricotomía, de la
deaigu&ldad (2) concluiremoe que
Lo.ego, por los Axiomae 10 y 11:
INTllOOUOCIÓH A LA 1.00JCA
218
LM coadicione11 (3) y (4) ee oontndicen.. t. 1upoaición Lnioíal
queda aal refutada, y el teorema debe collliderene d emoetra.do.
•SxoUND.6. Dl:lllO&Tl!L.t..OIÓN.
Aplica.remos el Axioma 9 en el
que sustituiremOl!I en por fY' y u. por tut. Se pnede concluir entonces, que exiate un número u que satisface la fórmula:
y= y+u;
oomo, según el Axioma 7,
y+u=u+y,
y la relación deigu&ldadeatr&D&itiva (cf. Ley IV dela Sección 17),
obtenemoe:
(1)
y=•+y.
A continuación aplioaremoe el AKioma 9 por segunda vm, sustituyendo en él tzt por m y m por tw; obtenemoa as! un nómero tt que ea.ti.ef'ace la igualdad:
(2)
z=y+ti.
Teniendo en onent& (1), ae puede sustituir en (2) la va.ria.ble tyt
por la expreai.6n cu + y., y obtenemoa entonoee:
.Z-==(-w+y)+"·
Como ademú, en' virtud del& ley aeooi&-t.in (Axioma 8) la fórmula:
v + IN+ •) - (v+ y)+•
ee v6.lid&, apliC&1ld o la Ley V de la Sección 17 llegamoe a la
fórmula:
a::""' u
+ (y + tt).
Ea virtud de (2), podem~ reemplaza.r a.qui ty + vt por cn (ua&n·
do la ley de LmBlfIZ), de modo que finalmente obtenemos:
(3)
.Z=M+z.
"'
Apliquemoe el A:riom.. 9 por tercera vez, pero IUStituyeodo
ahora tn, tyt y o por ew, ~ y nDt, reepectivameo.te. De este
modo concluimos la eiiatenci& de un nillnero w tal que
U=z+
tJJ¡
es v&lida, valdrá. ta.mbién:
(<)
u-to+z.
En virtud de (4), de (l) ae obtiene:
y= (w +.:r) +y;
como, debido a la. ley uociativ&, también resulta que:
"'+ (z + y) = (w + z) + y,
esta f6rm.ul& se convierte en:
(6)
Teniendo en cuenta la hipótesi.a del teorem& t. dem08trt.r, 11uatituyamoa en la igualdad (6) u+ yt por v +u, con lo cual llega.-
mee a:
(8)
y= w
+ (z + z).
Nueva.ment.e en virtud de la ley uociativa, se obtiene:
w + (:i:+z) =(to +z) +z,
que en combinación con (6) noe proporciona.ni la. fórmula:
y=(w+z)+z.
216
IHTaODUCCl'ÓN A LA LÓGICA
Ea virtud de (4), podemoe reempla.zu- aqo1 no +
eet& manera obtenemoe:
%1
por
tu.t.
De
r - •+z.
(7)
De lu íguaJdades (7) y (3) ee sigue que:
r - z,
c.q.d.•
Haremos aquí algunas obee.rvacíones rel&ciona.da.s con la primer& demoetr&ción del Teorema 11. Lo mierno que en la. demostración del Teorema l, ella. ee un ejemplo de demoatración indi.
recta. El esquema de e11t& demoetrM:ión se puede repreaenta.r de
la. aiguiente manera.. Para demostrar W)& propoaicióu, por ejemplo tpt, suponemos que dieba propoeicióa ee fa.lea, ee decir,
uumimoa Ja. propoeición en.o pt. De eet& hip6teeis deriva.moe uoa.
conJeeuencia tqt, ee decir, demoetramoe la. implicación:
ri no p, mton.cu q
(en el c.&80 presente esta oonsecuenoia tq:t es la conjunción de las
condiciones (3) y (.f) que aparecen en la. demostración). Por otr&
parte, empero, podemoe prob&r (o bien en virtud de leyes generalee
de l& lógica, como en la demoetr&ción considerada, o bien en
virtud de teoremas demostrados pn1viamente dentro de la dieciplina ma.temá.tiea en que ee llev&.n a. cabo todos estos argumentos)
que la. con9eeuencia. obtenida ee falaa, e11to es, que tn.a qt es vá.lida;
esta.moa obligadoa entonces a ttteb.azar l& hipóteeia de p&rti.d& y a
reoonocer como nrdadera. la propoeición •pt. Si di6eemoe a eete,
r&iona.miento Ja forma de una. demostración oomplet&, en ell&
deeempefiarfa un papel eaenoial una. ley lógica que oonatituye Uil6
variante de la ley de oontra.poeición que ya. conocemos de 1~
Sección 14 y que dioe lo siguiente:
De: ri no p, entoncu q,
as ftgw qw: ri no q, mtoncu p.
La. demoetraoión en consideración ee diferencia ligeramente de
la. del Teorema 1. En la de Mte partíam0& de la hipót.eeis de qne el
teorema era. falso p&r& llegar a l& conclusión de que el mismo era
nrdadero, ea decir, derivamoe una. conaecuenoi& en contradicción
216
directa con la bipóteeis aau.m.id&; M¡uf en cambio, de un.a. bipót:.elia
•náloga hemoe deducido una coneecuoncia cuy.. falledad. ooooo(a.
mo!!I por otro lado. F..ta diferencia. no ee, sin emba.rgo, esencial;
110bre 1.. bue de leyes lógicu no ofrecerla ninguna dificultad Uenr
la demostración del Teorema l (como igualmente, cut.lquier otra
forma de inferencia indirecto.) • la forma del esquema expuesto.
Lo mismo que el Teorema 10, pueden invertine también Ju
otra.a dos leyes de monot.onfa, ee decir, loe A.xiom&a 10 y 11:
Si z+ y <z + z, tnlon.ee.! y< z.
TBoRBJU.13. Siz+y>z+z,m.lonce.ry>z.
TBOUJU.12.
Am.boa se demuestran con facilidad tomando como modelo la
dercu>atra.ción del Teorema. l.
50. SlsCemu cerradot de proposlolon•
Hay una ley lógie& general cuyo conocimiento simplifica conaiderablemente la. demostración de loe tres últimos teorem.1111 (ll,
12 y 13). E8 hrt&, J& llamada LEY DB LOS SISTDlAS <Jll:BB.W08 O LBY
DB IIA.UBn.1; ella. permite en alguno& 06808, cuando hemos probMlo varias proposiciones condicionalea, inferir de la forma de
eat& propoa:iciones, la validez de laa oorrespondientee propoaici0DfJ8 recíproCM.
Suponga.moa dad.u algunaa implica.oionm, tres por ejemplo,
a. la.a que daremos la aigu.ieote forma esquemática:
~ Pi tnloncu q1;
n Pt entmM:u q,;
ai p,, e"'°""4I q,.
Diremos que estas tree proposiciones form&n un SISTJDU. OE:Jl.B¿DQ,
cuando eus a.ntecedent.es agoten todoe los ca.eos poaiblee, esto ee,
cuando aea verdadera.
• B11 bonor del m&tem.iUoo u-&& I •. W• .B.l.u• • (11'75-1811).
217
y IU8 00099cuet1tee eo m::cluy61l mutuamente:
" q¡, entonua no q,;
n q,. tmámce.a "° q,.
n q,, ~ no q,;
La ley de loa eiatemaa oerradoa a.firma que, si son vetdaden.s oiertu
prop>llieiones oondicionalee que constituyen un sistema cerrado,
entoDOM t&m.bién son nrdaderae Lu correspondientes proposiciones reofprocaa.
El ejemplo más sencillo de aiatema. cerrado ee un sistema. oompuesto por dos propoeicionee, une. propoeición oondicion&l:
n p, ntmacu q,
y la. propoaioión oontr&ria.:
n no p, tMonou "° q.
En este caeo, para demodrv lu dOll propoaicionee reoiprocu,
no ee necesario siquiera apoy&r88 eo la ley de I011 sistemaa cerra..
doe; bMt&ria. a.plioar lu ley• de oontn.poaioión.
El Teorema 10 y loe Axiomae 10 y 11 constituyen un aiatema.
cerrado de tres propoaioionea, como ee ded.uoe de la ley de triootomia.: oomo entre dos nd.meroa lll'bitrarioa rige exe.crtamente una
de laa tres relacionea =, < y >. laa hip6telliadedichaa tres proposiciones, e1 deoir, laa fórmul.ae:
v=z,
y<s.
w>z,
agotan todoe loe oaeoa potiblee, miectraa que na oonclueionee,
esto "'· laa fórm.ulu:
z + y - z +~
z + y < z + z:,
z + y>z+~
ee excluyen mutua.mente. (La ley de tri.ootomia in:aplie& todavía
más: no sólo las tres primeru fónnulaa agotan todos los C&&Oe
posibles, Bino que ee e:s:oluym entre id, y laa tres últimas no eola~
mente se excluyen, sino que agotan &demás todos loe caeoe poei·
bl•; sin embargo, Mt.a. oiromurt&Doia ea·irreleva.nte para. noeotroe.)
Por el mero heoho de oouti.tuir Qll listema oorn.do laa tree pro-
218
poeicionee indicadu, deben
eet
Ttlr'daderoe los Teorem..aa
ree(.
pt0008 11 -13.
En la gi"Ometrla elemental encontramos numeroeoe ejemploi
de siatemaa oerradoe; por ejemplo, al eDDlinar la poaición rela..
tin. de doa circul011 noa enoootl'&mOll oon un aist:.ema oerrado,
compuesto por cinco propoeioionea. Par& terminar, advertiremoe
todavía. que quien no conozca Ja ley de loe eistema.s cerrad.oe,
pero intent& probar las reclprocaa de la.a proposiciones que forman un siatema de esta. clase, podrá a.plicar a.utomé.ticamente la
forma de inferencia que hemoe empleado en la. primera demo&traoión del Teorema. 11.
51.
CoDMCUIDCIM d• las
1.,..
de mono&onf&
Loe Teoremu 10 y 11 ee puedeo reeumir en u.no sólo:
y - .i
.ti,y«Woti,
z+y - z +z.
Del miamo modo se pueden oombin&r loa Axiomaa 10 y 11 con loe
Teoremas 12 y 13. Loe teoremu aa:f obtenidos se designan oomo
LBT:SS DE nu!TSF'OBJU(l'(ÓN •QUTY.&LDTJ: Dll :sotrA.OIONES T DB·
1!1101'.il.Dil>M por medio de la. adfoi6n . El cont.enido de estoll teoremaa se describe a. veces de la siguiente mll.Jlera.: si a amboe
miembros de una igualdad o deeigu&ld&d se euma un mí8mo
número, sin cambill.I' el signo de igu&ldad o deaigu&ldad, se obtendrá. una igualdad o desigualdad e,quivalente a la primera.(eviden tomente, eeta. formulación no ee completamente coJTecta., ya que
loe miembroe de talee iguald&dee o deaigualdadea no son númeroe,
aino expreeionea, a le.e qv.e no ee posible sumar nt\mero alguno).
Loe teoremas conaiderados tienen un papel importante en I• ~
lucióp de ecuaciones e inecuaciooee.
Deduciremoa una coDBecuenoia mi.a de las leyee de monotonia.
T:soBEJU.14. Si :z: + z: < y+ t, mtoncu :z:<y o z<t
DncoSTlliOIÓN. Supongamoe primero que la conolwñón del
toorema fuese fa.Isa.; no eerla ent.onoee .i: menor que y ni z menor
JMftODUCC'IÓH A LA ÚIGICA
que e. De acuerdo con la ley de t.riootomi&, te concluida de a.qa.f
que una de la.s doa f6rm.ul.M:
:Z:=
y
~mbién
y
o
z >y,
una de lu doe fómudaa:
Z=f
O
z>t,
deben ser válida.e. Tendtemoe que diacutir, pues, la.a cuatro poli·
bilidadea siguientes:
z=t,
(l)
z=y
y
(2)
:z:=y
y
z>t,
(3)
:z:>y
y
z - 1,
(<)
:z:>y
y
z>J.
CoDBideremoa ant.e todo el prim« cuo; a.sumimos, por oomi.·
guiente, la. validez de laa doa igualdades (1). En virtud del Teorema. 10, de la. primera. deducimos:
z+:z:= z +y;
como, por el Axioma 7, también eon Tálidu la.e fórm.ulaa:
:z:+z=z+z
y
z+r - Y+. ~
aplicando doa veOIJI la ley de tn.Daitividad pan. la. relación de
identidad, inferimoa:
(5)
z+z = r+z.
De la segunda de lu igualdad.ea admitida&, ee decir, de la fórmul&:
Z=f,
obtenemoe nueva.mente en vinud del Teorema 10:
(8)
220
que, junto oon (6), da:
(7)
R&zonando exactamente del miamo modo {&plicando loe Axiomas 4, ó, 10 y 11), en cada uno de los reet&ntes casos (2), (3) y (4),
obtenemos la desigualdad:
(8)
En cualquier caso debe 861' v.&lida una de la.a fórmulaa (7) u (8),
Como z + z e y+ t eon nó.meroa (A.rioma 6), se aigue de la ley de
tricotomía que la fórmula:
.z+a:<tt+t
no puede ser v'1ida.
Así, de la hipóteeie de que la conclusión es f&lsa. hemoe llegado
una contradicción inmediata con la hipótesi!! del teorema. Debe
rechazarse tal suposición y reconocer que la. conclusión del teor&ma ae sigue, efectivamente, de la hipótesis.
&
El razonamiento que se acaba de exponer se incluye entre 1ae
demostraciones indirecta.e; con aólo una modificación de detalle
ae lo podría. llevar a la forma eaquemática. descrita en la Sección 49 en relación con la primen demostración del Teorema 11.
Sin embargo, formalmente el CW'80 del razonamiento ea aquí algo
distinto del de la demoatra.ción de loe Teoremaa 1 y ll. L& ilúe.
reri.ci& pnaenta. el eiguiente eequema. A 6n de demostrar UD6
proposición que preeente la forma de una implicación, por ejem·
plo, la. proposición:
aip.~q.
uumiremoe que el con&eouente d e la. propoBición, es decir, tqt, es
falso (pero no l& proposición completa); de esta snpoaición, eeto
ea, de mo tp, ee infiere que l& hipóteaia ee f&ls&, ee decir, que CM pt
ee válida. En otras pal&braa, en lugar de demostra.r la. proposición
en cuestión, se da una. prueba de su oontr&rrecíprooa.:
ftMq,~nop,
INTBODUCCIÓN A LA LiMllCA.
221
y de 6eta ee puede inferir le. nlider. de la propoeición origi.ul.
L& bue para una inferencia de este tipo ee encuentra en una ley
del cálculo propoeiciou&l q~ &6rma que la verdad de la propoeición contra.rrecíproca implica siempre la de la proposición original (cf. Sección 14).
Jnferencias de eet.a forma son muy oomunee en tods8 las diaciplinM ma.tem&tiaaa; éeta ee la variedad máa corriente de demos.
tra.cionea indirectas.
52.
Deftnlcl6n d1 1utraeel6n; operaclon• lnvemu
Moetremoe cómo puede introdaeine el concepto de .tJU8tn.eeión
&n nuestraa conaideracioMl!!I. Pua ello en.&bleooremoe ante todo
el siguiente teorema:
T1:o:e.mu. 16. Para doi 11úmero.!i cualuqv.tml y, z e.:riak uadaun_nVmero :e tal qoue y - z +:e.
~
DDIOSTliOIÓN. Por el Axioma 9 aa.bemos que existe al m&noe un número :e que eatid'MJe la fórmula.:
y=z+:e.
Debemos moetra.r que no eriete mY de un tal nó.mero; en otraa
palabra.a, que doa nómeroe caaleequiera u y v que aatiñacen dicha
fórmW. aon idénticos. Sea., poee,
y=z+u
e
y - z+v.
Ueando laa leyea de tranaitiridad y IJimetri& para la rel&aión - ,
• deduce inmediatamente de lu ó.ltimaa igualdadea que:
z+u=z+t1,
de donde, por el Teorema 11, obtenemos:
222
En.te, aaí, exactamente un nó.mero z {cf. Sección 20) tal que:
c.q.d.
E11te inico número z de que trata el teorema. expueeto, M designa. con el símbolo:
y-z¡
ae leerá. como de costumbre tia diferencia tntn l06 númeroa y y a
o tel ruultado de awtraer el número z dd número yt. La. definición
precis& del concept.o de difenincia, ea:
DBl"IlfICIÓN 2.
DuifMd que z - y - z Bi, y 1161.o si, y ""' z
+ 2:,
Un.a opera.ción 1 es llame.da JlfVJtRSJ. ... DDECJU DE u OH·
:UOIÓN O BN u OUSB K, si lae opera.cionee O. e 1 eatisfa.oen l&
siguiente condición:
p¡m daMntoa cualuquiuo z, y, z tk la claae K, tenemoa:
z = yJz si, y a6lo ai, y=- zOz.
De manera aimila.r ee define el concepto de INVEBBA A IZQUUBD.&
D:ILA.OPBJU.CIÓN O. Si la.opera.ctón Oeaoonmut.ativaen la.cla.eeK,
entonoos ambas inversaa ---:-ª derecha y a izquierda- coinciden, y
podemos habl&r simplemente de la DIVEBSA. DE LA Ol'ltll.ACIÓN O
(o también, de la OPBB.A.OIÓN lNVSBBA DI: O). De a.ouerdoa.eet.at«irm.inología, la Definición 2 8IJ>Nl6& MID.cillam.ente que la. sustracción
ee l& inveraa. a derecha. (o, eimplemente, la inversa) de l.& &dición.
53. DeDDlolon• 01110 dennleDdara contiene el llp.o de Igualdad
•:r...
De6nición 2 es un ejemplo de un tipo de definición empl&&da muy a. menudo en matemática.. &taa definicionee estipulan
el eignificado de un sfm.bolo que designa. un 110lo objeto o una
open.ción sobre un número dado de objetos (en otras pala.bra&, una
función con un número e.rbitrario de argumentos). En toda defini.
ción de esta. claae, el definiendum adopt& la forma de una. ecuación:
:z =
···~
223
IN'nODUCCIÓN A LA ÚICICA
en el miembro derecho de ella aparece el m.tamo aúQholo que
intent&moe d96nit, o bien un& función d-.igna.tiva conetruida oon
dicho simbolo y determinadu variablee .,., m, ... , eeg11D que el
eúnbolo en cueiltión deeigne un objeto 6nioo, o una . operación
sobre objetos. El definiena "puede MI' una función propoeici.onal de
cua.lquier forma., que contenga la.a miema.s v&riablee librea que
aparecen en el definiendum, y que enuncie que el objeto % --eventualmente junto con loe objeto& y, z, .••- .ea.tisf'a.ce tal y tal
condición. La Definición 2 eet:6bleoe el significado de un Bimbolo
que designa una operación BObre dos números. Toda.vía. a.ti.a.diremos otro ejemplo de definiciones de eete tipo, la definición del
símbolo tOt que designa. un nó.mero:
duimo.1
gUe
%-
O, 8', 11 4ÓÚl #i, para lodo número y " aalidfaa
14 f6m>ul<" y
= y.
+•
De8nicionee de eete tipo llevan consigo wi peligro: ai al 011tablecerlu no ae observan lu precaucionea necesariaa, pueden conducir
fácilmente a oo'ntradiccionee. Un ejemplo concreto e.ciaran\ eeto.
Dejemoe por el momento nuestras inveetiga.ciones, y supongamos que en la. aritmética dispusiáemoe ya del eimbolo de multiplicación y quieiéaemoa definir con eu ayuda el símbolo de
división. Par& eet.e objeto, eetableceriamos la definición siguiente,
inspirándonos. en la Definición 2:
duimoaqu
z = 11: :z
6i, y86loft,
y= z·z.
Si -.hora. reemplaza.moa en esta definición tyt y CD por cOt, y ut
primero por d• y luego por d•, y si obeervamoe que la.e fórmula.a:
0 - 0·1
y
0 - 0·2
eon verdaderM, obte.nemoa inmediata.mente:
1=0:0
Como doe
0088.8
y
2 - 0:0.
iguales a una tercera BOD iguales entre sí, 0eg..
l = 2,
lo que ee evidentemente abellf'do.
...
No ea dificil moatrar la e&uaa de esta· a.nomaUa.. Tanto en 1.6
Definición 2, como en la definición de oOcient.e oonaiderad&, el
de6niens tiene la forma. de UD& función .proposicion&l con tree va.
riablee librea en, tyt y m. A cada. una de ta.lee funcionee propoeicíonaJee corresponde una. relación ternaria. que rige entre loa ndmeroe :z:, y y z si, y sólo si, estos n<uneroe satisf&cen dicha. función
proposicional (cf. Sección 27); el objeto de la. definición en cuestión,
ea precisamente introducir un e:ímbolo pa.r& deeigna.r dich& rela.ción. Ahora. bien, si ae da al de6niendum la fonn&:
:z:=y- 2
o
z=y:z
respectivamente, se eupone de a:.ntemano que dicha rel&ción es
unív0e& (ea decir, una operación, o una función; cf. Seoción 34) y
que en consecuencia, a. doa nómeroe cu&leequiera y, z oo~nde
&
lo sumo un número z que M encuentra con ellos en la rela.ción
en cuestión. Pero la univocidad de la relación no ea evidente de
antemano, y debe ser establecid& primero. En la Definición 2 lo
hemos hecho, pero no en el caeo d el cociente, y tampoco seria. poe.ible hacerlo, pues la relación en eueetión no ee unívoca en un caso:
en efecto, ei
y=O y
z =O,
esiete una. infinidad de nó.meros :r, para loe cua.J.ee
Si, por lo tanto, ae quiere formular la definición de cociente en la
forma expueeta ain introducir contradiccionee, deber• e:icluirse de
alguna manera (por ejemplo, agregando oondicionee adicionalee
en el definíena) el cuo en que loe doe números y, z eon iguales• O.
La.e conaideraciontiB anterioree llevan a. l& siguiente conclusión:
• tod& definición del tipo de la Definición 2 debe preceder un
teorema que corresponda eu.ct&mente al Teorema 15, 0800 ee, un
teorema. que establezca. la. existeacia de un solo nó.mero :i: que
aa.tiafa.ga al definiens. (Aquí ee plallte& la. cuestión de si es neceeario prob&r la existencia. de enotamente un número, o de si bastada
con demostrar la. esietenci& de a lo aumo un número con esta
propiedad; no discutiremos &qui Olf.6 problema. algo más dificil.)•
IHTaODUOCIÓtl A LA LÓGICA
2211
64. Teonmu aok'I Ja natraoe16D
Sobre la bue de la De6nioión 2 y de lu leym de adición,
pueden d emoetl"&I11e e.in difioo.ltad alguna loe teoremaa fundameo.
ta.lee de l& teoría de la IJWltnocióo, oomo, por ejemplo, l& ley de
realizabilid&d, laa leym de monot.onia. y lae leyes de transform.oión equivalente de eoua.oionee y deaiguald&dee por medio de la
auirtn.cción. Perteneoen tambi&I. a eat& oategoria &quellOB teoremaa que ha.ceo posible la transform&ción de las lla.madaa mm.u
e.Jgebra.iC&S, e11 decir, de e:r:prmionea compueata.e por oonet&ntee y
varia.blea numéricas &epa.rad.a.e. por loe aignoe «+•, 1--t asf como
por ~teeia (en te.lee expreeionea l!IB preaoinde a menudo de
loa últimos en virtud de reglaa eepecialea). Ezpon.dremoa oomo
ejemplo, un teorema perteneciente a la categoría citada:
Ta:ou11.A. l6. z
+ (y -
z) - (z + y)- z.
DZKOSTIU.CIÓN. Segó.n el Aiioma 9, a loa n-6meroa f1 y z
oorreeponde un nó.mero u tal que
(l)
Y=•+ti;
por la Definición 2 esto implica:
(2)
•=•-··
En. Ti.rtud de la ley oon.mut.ati.va, ten.emoe:
Debido a (l), en el miembro derecho de eet& iguald&d ee podrá
auatituír tyt por u + •, con lo oual ae obtiene:
(3)
.:r::+y=(•+•l+.:r::.
Por otra parte, del Teorema 9 ee aigue qne:
(<)
•+ (.:r::+ •)= (•+•) +~.
226
Como d08 nómeroe igu&IN • un tercero, aon igueJee entNJ .á,
de (3) y (4) ae lnliero'
(6)
%
+y
=i
z
+ (:¡: + u).
Ahora, como :i: + y y z + u eon números (Al:iom& 6). er;i. la
Definición 2 podemos sUBtituir u: + w y u + yt en lugar de u.
e tyt. Entonces, en virtud de (5) ee -.tisfaoe el de6niene, y, por
oone.iguiente, también ee Mtisfará el definiendum:
z +u= (z
+ y)-z.
Teniendo en cuenta (2), en e.ta 6ltim.a igualdad ee podri. euetituir tut por •y - :n, lleg&ndoeo finMmenU a.:
z
+ (y-%) -
(z
+ y)-z,
.
c.q.d.
-
Con esto damoe por terminada la ooDBtrucción de nuestro
fragmento de aritmética.
l. C'.onsideremos 101 tres e.i.ttemas siguientes, cada. uno de loa
cuales consiste de un conjunto, doe relacionee y una. operaci6n:
(a) el conjunto de todos loe números, las relacione@ ~ y ~,
y la. operación de adición;
(b) el conjunto de todoe loe númeroe, lM rola.cionee < y >
y la operación de mu.ltiplica.ción;
(e) el conjunto de todoe Ioe número& positivos, 1u relaciones
<y > y la. operación de multiplicación.
Eatudi&r cuáles de dichos eistemaa oonatituyen modeloe para
el aiatem& de A.riomaa 1-11 (cf. Sección 37).
2. Comideremos una recta cua.lquier&, & l& que llamaremoe
recta numérica: designemoe loe puntoe de ésta por laa letras tXt,
... Elij&mos sobre I& recta un punto origen O yun punto
unidad U distint.o de O. Sean &hora X e Y doa puntos distinto&
• Y•, .Z•,
221
INTRODUCCIÓN A LA LÓGIC4
de nuestra lloea. Coo.aideremoa doa aem.irTecta.e, un. oon origen
en O y que paea por U, la otra ooo origen en X y que paaa por Y.
J)iremoe que el punto Z precede al punto Y, en eimboloe:
x<: Y,
ei, y &6lo si, laa doe eemirreotaa eon idéntiou o UD& de ellas -no
import& cuál- ea pa.rte de l• otra. En este mismo ca.so diremoe
también que el punto Y aigue al punto X, en aímbolos:
Y::>z.
El punto Z ee llamado la. •um. de loe punto. X e Y ai iu.tisfa.oe
lu liguientea condiciones: (i), fil eegmento OX ee congruente oon
el eogmento YZ; (ü), lli O<: X, entonoee Y<: Z, y ai O:> Z,
entoncee Y
Z . LA euma de loe puntoe X e Y 1e denota por:
:>
X-i- Y.
Haciendo uso dfl loe tflOremaa de l& geometría, mostrar que fil
conjunto dfl los puntos de la recta. numérie& (o más sencillo, la
propia recta nu.m.érie&), con 1.ai relaciones<:: y:> y la operación+.
oonstituye un modelo del sistema de axiomas adoptad.o, y por lo
tanto, dicho sistema tiene una interpretación en la geometría..
3. Analieemoe cuatro optiracionee A, B, G y K, qufl uignfln
un tercer nó.mero a otroe doa s.rbit.ra.rioe, lo mismo que la suma..
Como reau.lta.do de la operación A eobre loa númeroe z e '11 ooDlideraremoe eiempre el número z, y oomo reeultado de la opera.ción B eobre ell<>1, el nó.me.ro y, ee decir:
zAy = z,
zBy = y.
Con IOI eim.bolOI c:eGyt, uKyt deaign&rem.08 a aqufll de loa
n6m.6l'Oll z o v que 11e& no menor o no mayor que el otro, reepec·
t.ivamente; por oonsiguiente, t.eoemoe:
zGy - z
zGy =y
y
y
zK!i=Y
zK.y = i
eocaaoqufl
en caao qufl
z;;i.y;
z
<y.
228
iCu'1ee de laa propied&dea referidas en la Sección •7 eon po·
eeidu por eat.u cua.tro oper&cioneet i Conatituye el conjunto de
tOOos los número& un gru.po n.pecto de alguna de dichu operacionel!J y en particular, un grupo abelianot
4. Se& F la claae de todos loe conjuntos de puntos, esto es, de
todaa lea oonfi.gura.cionea geométricu. ¡Son realiza.bles, oonm.utativsa, 880Ciativas e invertibles en la clase F lae oper&eionea de
adición y multiplie&eión de conjuntos definidoe en la. Sección 261
,Constituye la clase F un grupo, y en particular, un gntpo abeliano,
respecto de alguna de dich&s operaciones?
5. Moetrar que el conjunto d e todoa loe nómeroe no es un
grupo abelia.no respecto de la. multiplicación y af lo ea, en e&mbio,
cada uno de loe conjuntoa aigui&ntee, reepeeto de ta. m.iam.a operación:
(a) el conjunto de todos loe nó:meroe di.etintoe de cero;
(b) el conjunto de todoe loe númeroe positivos;
(e) el conjunto que coll8iste de los dos números l y - l.
6. Consideremos el conjunto M que coneiate de loe doe n\\.
meros O y 1, y definamos en ~!l la operación
mediante 1u fórmu-
+
la.e eiguientea:
0+0~1+1~0.
0+1 - 1-i-O=l.
Det.ermina.r ei el conjunto K ee un grupo abeliano reepecto de la
operación
+.
7. C.0Mideremoe el conjunto • que ooneiete de loe tres n-ó,.
meroe O, 1 y 2. Definir una operación
con loe elementoe de
díoho conjunto de ma.nera que Mt.e 11& oonviert& en un grupo
abeliano con respecto a dicha opera.oión.
+
8. Demoetrar que ningá.n oonjunto que oo~ de doe o tftll
ndmeros distintos puede aer un grupo abeliano nwpeoto de la
lNTllODUCCIÓN A LA LÓGICA
229
adición. ¡E:sistiri. algdn conjunto que oonsilte de un solo nómero
que sea un grupo &belia.no reepecto de I& mi.ama operación1
9.
Deducir de I011 Axiomu 6.8 loe lliguientee teoremu:
(a) z+(y+z)=(z+z)+'t/:
(b) •
+ [y + (> + I)] -
(1
+ y) + (< + •).
10. iCuintu expresionee pueden obtenerae a partir de e&d.a
una de laa siguientes:
ai .se laa transforma exclusiva.ment.6 en baae a los Axioma.a 6-81
ll. Formula.r la definición geoeral de monoton1a a izquierda
de una oper&eióa O reapecto de una relación R.
12. En bue a l011 axiomu aaumidoe por nosotros y a loe teorema& deducidos de ellos, demoetral' que la &dición ea una oper&ción monótona. en el conjunto de todoe los nó.meroa, respecto de
laa relaciones ..¡. , :i:;; y ;l!: •
13. ¡Es la. multiplicación una operación monótona reepecto
de 1&a relaciones < y >
en el conjunto de todoe loe nó.meroe,
en el conjunto de ~08 loa nú.meroe poaitivoa,
(e) en el conjunto de todoe loe númeroe negativoe1
(&)
(b)
14. tCuAlee de 1ae opera<:ionee definidaa en el Ejercicio 3 eoo
monótonaa respecto delaarel&eiooee - , < , >, .,,- ,:E; y ~ 1
115. ¡Son mon6tonu la adición y multiplicación de ol1111e11
reapecto de la relación de inclusiónt ¡Y reepecto de las reetantee
relaciones entre clues que expuaim08 en la Sección 241
16. De loe axiomas admitidos ded'lizcase el eiguient.6 teorema:
n z<v
y z<•. nlonct.t
z+z<y+t.
2"0
Su.etitóya.eo en eeta. propoeici.óo el sh:nbolo
•<• por loe •>•,
•=•, ·~•. ·~·y , ,u, e i.Dveetigueee cu•lea de laa propoaicionee
obtenidu de eeta ma.ner& &on verdaderu.
17. Indica.r ejemplos de eistemaa
en la aritmética y en la geometria..
oerrad.011
de propoeicionee
is.
De los &xiom&8 MUDlidoe dedózca.n.ee los eiguientee teo-
(a)
(b)
n
%
+ z = y+ y,
efttoncu
z =y;
.n % + % < y + y, entonu.a % <y;
(o) • li ~ + z >Y + y, ntont.u :z: >y.
Indicación: Demu6strenee primero loe t.eoremae reclproeoa
(uae.ndo loe reeult&doa del Ejercicio 16), y obtérveee que ooMti-
tuyen un sistema cerrado.
•19. Si de los Axiomas 6-9 sol&mente, pu~e deducirle un
cierto teorema., éste podr4. erlenderee a grupos a.bella.nos arbitr..
rioa, puesto que toda clase K, que aea un grupo abeliano rmpecto
de una operación O, constituid, junto oon dich& operación, un
modelo para. loe A.Jiomaa 6-9 (cf. Secciones 37 y 38). Esto a.feota,
en particul&r, &J. Teorema 11 (en virtud de su segunda demoatra.ción); valdrá, por lo tanto, el siguiente tooMm& general de la
teoría de grupoe:
ai
zeK, y eK, ze K y zOy - zO:, mtoncu y = z.
Dar una demostración riguroea de eete teorema.
Mostrar, por otra. parte, que el Teorema (a) del Ejercicio 18
no puede ser extendido a. grupos abelianos cua.J.ee(¡uiera, exhibiendo un ~jemplo de un& clase K y una. operación O con lae siguientes
propiede.dee: (i). la clase K ea un grupo a.beliano con respecto a
la. operación O, y (ii), e:rieten doe elementoe distint.oa: z, y en la.
olaee K ta.les que zOz - 110y (of. Ejeroioio 6). i& posible, por
INTllODUCCiótf A LA LÓGICA
231
oon.eiguiente, derivar el Teorema. (a) de 108 Axioma.e 6-9 eole.mente!
20. Tnnsformar la. demoetración del Teorema 14 de manera
que tome la forma del esquema que indie&mOl!I en la Sección 49
en relación con la primera. demoatración del Teorema 11.
21. ¡,Puede a.firmarse que la división es la. opere.ción inverea.
de la multiplicación en el conjunto de todos loa números?
22. iExisten operaciones inveraaa (en el conjunto de todoa
lc>a números o en el de toda.!!. I&& configuraciones geométrica.a) para
las operaciones que e:rpueimoa en loe Ejercicios 3 y 41
23. ~Qué operación es 1& inven& a derecha, o a izquierda,
respectivamente, de la sustracción (en el conjunto de todoe loe
números)?
•24. En la Sección ó3 indicamos, a modo de ejemplo, la defi.
nición del efmbolo .O.. Para tener la seguridad de que ésta no
puede lleva.rnoe a ninguna oont.radiceión debe estar precedida por
el teorema siguiente:
e.:eiaU ez.adatMnte un númeTo z tal que, pam cualquiu núml!ro 11
11 + Z =y.
kMmos;
Demostrar eate teorema apoyándoee solamente en loe ADo.
ma.e 6-9.
25. Formular 1&8 propoaicionee que e:rpreaan que la 1ua·
trM:ción es realizable, conmutativa, aaociativa, invertible a.
derecha y a izquierda, y monótona. a derecha. y a izquierda,
reepecto de la relación menor que. Investigar cuáles de dichas
propoeiciones son verdadenwi, y demoatra.rla.s, cuando sea el
ca.ao, eobre la. base de nuestrol a.Doma.a y de la Definición 2 de
la Sección ó2.
26.
De nuestros aziomae y de la De6nición 2, dedúzcanee loe
tooremaa aiguient,eo;
2!2
(a) :t-(y+ z) - (:z-y)-z,
(b) • - ( y - • )=(•-yl+ ..
(e)
z+y"""z-[(z-y)-z].
•21. U8&11do la ley de n!&lizabílidad de la l!lustracción y del
Teorema (e) del ejercicio &nterior , d emoatrar el teorema 11iguiente:
para ~ un conjunto K tk númm1.1 ua un grupo abeliaao
ru'f'Ulo lh la adición., u 1ltCUOrio '!/ 611.fic~:nk qm la diferencio
entre doa nú~roa cuakaquUJra ck didw amjunto, putemzca lambth
al umjunto K (ee decir, qiu. laa f6rmvüu :reK e yeK impliqutn
.Mm.prez-yeK).
Utiliur eet.e teorema pa.ra encontrar ejemploe de conjun~
que 80&.ll grupoe a belianos respecto de la adición.
nu.a:u~riooe
28. F..acribir en aimboloe lógicoe todos loe a.xiomu:, definioionee y teorema.s dadoe en loe doa últimOl!I cap(tul08.
Indicación: Antes de formular simbólicamente el Teorema 16,
póngaeelo en una forma equivúente de la que b&yan sido eliminadoa los oU&Dti.ficadoree numériooe en virtud de lu explica.clones da.das en la Sección 20.
•29. Escribir en ai.mboliamo lógico la.111 fórmulal!I que expreaan
el hecho de que una claae K es un grupo abeliano respecto de la
opera.ción O (de acuerdo a. la. definición dada en la Sécción 47).
Comid.6tcme ademé.e IM tres (órm.ul&e siguionte.:
(a)
..~r[(z e K/\y eK)~zO ve K),
(b)
.,~ ,[(a: e K
(e}
Ay e K A z: e K ) -+ (z O y) Oz ""' z O(y Oz:)],
~.,[(zeK AyeK)-+ ~[z:eK
/\z =y O z: Az= z: Oy]].
Tri.teee de demostrar que esta.a tres fórmula.a d&n ona definición
equivalente de )& expresión:
IX
CONSIDERACIONES •ETODOLÓGICAS SOBRE
LA TEORfA COllSTRUIDA
56. Bllm1Dacl6n d• ulo111&1 aaperDaoa en el 11s&ema orlglnal
En los doa ce.pitulo11 a.nteriol'ftl vimoa a grandea rugoa loa fundamentos de una. teorla ma.temé.tie& elemental que constituye un
fragmento \;le l& aritmética. En éete, &fi&diremoe algunM obeerYacionee de carácter metodológico relativas aJ. aietema. de axiomaa
y términoa primitivos que eirve de base a dicha toorl&.
Ante todo, intent.aremoe ha.oer intuitivas con ejemploa concreto8 las observaciones que bici.moa en la. Sección 39 sobre pro·
blemu como el de la a.rbitrariedad en la elección de a.xiomaa y
términos prim.itivoa, la posibilidad de prescindir de axiomu aup&r:8uoa, y otros.
Comencemos pregunt&ndonoe ai el siMt.em& de Axiomu 1-U
que hemos a.doptado -que llamaremoa, por brevedad, &lS'H·
:.u. V - contiene acaso axiomas euperfluoa, esto ea, axi.omae que
pueden deducirse de loe reet&ntee del sistema.. No ee dificil oonteetar a dicha pregunta, y preciaament.e, en sentido afirmativo. En
efecto, tenemos:
Tna tk loa arioma8 rW Sialema. V, a saber, uno tk loa .Azio11, ~ ltr
"'°" 4 o 5, el AzWma 6 y uno ck loa .Aziomoa 10 u
4m...io.c1eio....ia.... - .
...
DbOSTa.4.CJÓN.
En primer Jugar moetra.moa que
cualquiera tk loa Arioma.t 4 o 5 pwde at.r derivado
cid otro con ayuda de loa~ 1-3.
(I)
Pa.ra ello observemos que l• demoetración del Teorema. 3 ., b6M
exclusiva.mente -directa. o indirecta.mente--- en los Ariom&1 1-3.
Por otra. parte, disponiendo de antemano del Teorema 3, el Axioma. 5 se puede deducir del Axioma 4. (o viceversa) por el siguiente
razon&mient.o:
Si
t.
y>z,
entonces, por el Teorema 3,
y< %
y
z < y;
a.plicando el Axioma 4 (oon u. reempla.zado por m y m por u.)
obknemoe:
z<.z,
que, por el Teoren,ta 3 nuevamente, implica:
:e >z,
es decir, la oonclwñón del A.rioma. 6.
Do manera aoálog& puede probaree que:
(II)
....iqu""'¡¡,'°'A"'°'""' IOu ll 1"'«1<..,.¡¡,,.;""4o
tkl otro con ayuda de /Qf Arioma.t 1-3.
Fina.Jmente, tenemoe:
(ID)
el Axioma 6
~
dtnmrsit ~loa A:ciomaa 7-9.
*La demoetJ'&ción de esta última aserción no ee tan sencilla,
y recuerda. 1& segunda demoeiraci6n del Teorema 11. Supoog..
moe dad°' doe númerol!ll arbitn.rioa z e 71; por aplicacióu culidruple
JNTtlOOUOCl:6N A LA LÓGICA
del Axioro& 9 podemoe auceeivameote introducir cuatro nuov08
oúmeroa u, w, • y v quo Mtiafa.cm lu eigujentoe fórmulas:
(1)
y - y+ V,
(2)
u- :i+ ID,
(3)
y=to+z:,
!')
Z=tJ+t1.
Teniendo en cuenta. la ley conmutativa, de (l) se deduce que
Y=
u+ y;
1i ae combina. esta igualdad e;ou (4) y ee razona dol miam.o modo
que en la demostración del Teorema 11, haciendo UIO de la ley
aeociativa ee llega a la fórmula:
(6)
z - u+ z.
Partiendo de (5) y (2) Uegamoe a:
Z=(:z:+to)+z:,
de donde, nueva.mente en virtud de la ley aaociativa,
z=:z:+(w+z).
que, en virtud de (3), impli(l4l.:
(8)
z: - :e + y.
Aá hemos mostrado que pan. doe nWneros cua.lmquiera. :e e y
eDte un número z:, para el cual vate (6), que ea, precillameo.te,
lo que ae tr&t&b& de demoet.r&r.
Debemoa &greg&r que el rAZOOaDliento que se acaba de mbour no aólo es aplica.ble a la. adición, .lino t&m.bMn -de &cuerdo e.
288
l&e obeena.cionee genen.lee de tu Secclonea 37 y 38- a oualquier
otra. operación: toda operaci6o. O que 1ea coDIDutativa, aaooiatin
e ínnrtlble a derecha en una clue K, ~también realizabki e.o
""' olaae, y la clue K oomtituiri. entonoee un grupo abeliaoo
n!8pOOto de dicha operaoión (cf'. Sección 47).•
De la.e consideraoionea espueetu se desprende que el Siatema V contiene &1 meno& tres az:i.omu superduoe; por oonaiguient-e,
ee podrá reempl&z&r éste por otro lliatem& equiv&lente integrado
por loe ocho uiom~ eiguientaa:
A.DOMA l ', Pam n1'mtnlr' cualuquiml z e y u vdlido: :z: =
o z<y o :z:>y.
A.nolU.2'. Si :z:<y, e~ y(: z.
A:llOlü 3'. Si z > y, eNonet.a y :1- z.
A.DOllU. .4'. Si z < y e y < z, mtoncu z
Axlo•~6'. z+y =y+ z.
A.noiu. 6'. z +~y+ z) - (z +y)+ z.
Anolli 7'.
mero z kJlqv.e z
Para nÚflltt'oa
=y+ z.
A:lloJU. 8'. Si. y
Llama.rema1
< z,
8I8T'DU
~
nContt1 z
"
< z.
z e y u:i8k •• ,..¿_
+ y < :t: + z.
V' a este Utema de uiomM; tenemo.
.hora el lliguiente resultado:
Compara.do OOD el original, el DlHIYO siBtema. aimpliicado pre.
aenta cíertM lagunas de&de el punto de vista est.6tico y di<Üotioo: ya no es llim.4Strico respecto de loa dos s1m.boloe primitivoe
y•>•, ya que en este sistema ae admiten sin demoetración oiert.M
propiedad.ea de la relación < , mientt&a que otna propiedad.ce
oomplet&m.ente a.nálogu de la relación > tienen que ser demoetradu; falta tambi9 en el miamo el A.Doma 6, de carácter elemental
e int.oiti.vo, pero cuya deducción, a partir de loa &:riom&8 oonteDidoe en el Siatem& V', ofrece a1funaa dificultades.
•<•
INT1lODUCCIÓN A LA. l.OOICA
237
56. lo4epend.enola dt loe ulomu dtl 111Cema llmpl1Dcado
Ahor& 1urge la cueetión de Ñ el Sistema V' contiene aún a.xiomaa 1uperfluoe. Podemos mostrar que no es éate el caao:
P&ra. est&blecer l& propoeición metodológica que ac&b&m.oe
de formula.r emplea.remoe el mátodo de demoatración por int«pretación, que ya h& sido U&ado en un oa.ao pa.rlicula.r en la
Sección 37.
Debemos mostrar que ningón axioma del Sistema V' ea deducible de loe reet&ntel. Limi~monoe, por ejemplo, al Axioma 2'.
Si en los Womu del Sistema V' auatituimoe el eimbolo e<•
por •=e;•. sin Jllnguna otr& altttación, veremoe con facilidad. que a
co~uencia de dicha traneformación ninguno de loe axiomu,
ea.lvo el 2', pierde su v&lidez. Loe Aiiomu 3', 6' , 6' y 7' , que oo
oontenian el símbolo•<•. quedar!.n ina.lterad.oe, y de loe Axiomu
l', 4' y 8' ee obtienen, en virtud de la. austi.tución citada, ciertoe
teoremaa aritméticos, cuya demostración, sobre la. base de loe
Sistemaa V o V' y de la. Definición 1 del símbolo c:!O;t (e{. Seo·
ción 46), no presentan difi.cult.ad.ee. Puede, pues, &firma.rae que el
conjunto N de todoe loe nó:meroe, la.a relaciones E; y > y l& operación de adición oon11tituyeo un modelo para loa Axiomu l' y
3'-8'; el aiatema. de est:oa siete a.riomaa encuentra con ello una
nueva interpret:&cíón arit~tie&. Por otra parte, no Mri& dificil
Yet que la propoeición lograda al trane:íonna.r el A.s.iom& 2' ee
falaa., ya que en la aritm,tica ee demueetra. í&cilmente 10 negación;
la. fórmulr.:
no siempre excluye:
y Ei: z,
pueeto que e:i:iaten númeroe z e y que 1&tisf&0en &l. miamo tiempo lu doa deeigualdadee:
238
(caeo que eólo ee presenta. evidentemente cu&ndo lo.e nómerot
z e y son iguales). Si, por lo tanto, uno cree en h~ coneietencia de la
aritmética (cf. Sección 41), uno debe aceptar el hecho de que l&
propoeici6n obtenida del Axioma 2' no es un teorema de eeta
di.aciplina.. Y de esto se sigue que el A.Doma. 2' no es deducible
de los restantes axiomae del Siatema V'; de lo contrario, eate
axioma no podría deja.r de ver Válido en una interpret&ción que
hace d.J.i.doe a loa otroa axiomu (cf. oonaideracionea análogas en
la Sección 37).
U9&1ldo el mismo m6todo de razonamiento, pero aplica.ndo
ot.raa interpretacionee, podemos obtener .,¡ mismo resultado para
cualqui"ra de los otros axioma&.
•En general, el m6todo de d emoetra.ción por int.erpret&eión
puede deecribine como sigue. Se tra.t& de moatrar que cierta
proposición .A n o es CONeCuenci& de cierto sietema 6 de a:liomu
u ok'oe enunciadoe de una teorla deductiva dada. Con este pro·
pó!ito, oonaideramoa una teorfa deductiva arbitraria X. cuya
ooomtencia aaumiremoa (puede tratarse, en pa.rticular, de l&
miam& teorfa a l& que pertenecen los enunciados del siatema 6 ).
Tratamos entonceB de enoontr&r, dentro de esta. teoría, um. interpret&ción del sütem& 6 tal que no la propoaición A, Bino 1n1
negación se tra.naf'orm.e en un teorema. (o, poeiblement.e, un a.xioma) de la teoría X. Si logramoe hacerlo, pOOemos aplicar ]& ley
de deducción enunciada en la Sección 38. Como 11&bem011, ee signe
de eat.& ley que, si la sentencia A puede derivarse de loa enunciados del si.atema.
ella oontlnuari siendo vüida en cuaJquier
interpretación de eete eietem&. En oon.eecuenoi&, el mero he<:bo
de ezistir una. interpretación de 6 en la a.cual A no ee v4.lida.,
ee una. prueba de que eet& propoeición no puede eer deriv.da. del
llistem& 6 . Hablando mú Nt.rictament.e, ee una prueba de la
proposición condicional:
e.
:Ea fí.cil ver por qué debemoe incluir la hipótesis de que la teori& X
ee coneiatente. De lo contrario, la teoria X podría. contener enter
8UI uiolD&l!ll y teoremae doa propoeicionea oontn.dictoriM, 1 ea,.
INTRODUCCIÓH A U
LÓGICA
...
tonoee no podriamoa concluir que X no contiene la propoeieión .A
(m'8 precisa.mente, la interpretación de .A), del hecho que X con.
tiene 1.. negación de A; de eet& manera uueetro argumento no
89g1lirl& lliendo válido.
Pa.ra. llegar por el camino expueeto & una prueba exhauati.va
de la independencia de un sistema dado de u:i.omas, deberá. apli·
ca1'88 el método descrito tantas •eoee como &Domas haya en el
sistema considerado; cada a::cioma ee tomará sucesiva.mente como
la proposición A, mientras que 6 oonaistirá de loe restantea a.Do.
mas del Bi.eteme..•
57. Bllmlnacl6n de térmlnos prlmltl'fOS anperDuos y 1nbllgu1en&1
slmpllttcacl6n del sls&em.a de u.lomas; concepto de grupo •bella.no
ordtDdo
Volvamoa de nuevo al Siat.ema V'. Siendo bite independiente,
será imposible simplificarlo desechando a::ciomM super:8uoa; pero
podrá lograrse una simplificación por otro camino distinto. Comprobamoe, en efecto, que loa Uirminos primitivos del Sistema V'
no son independientes entre si. En la lieta de Uirm.inoe primitiv011
puede eliminarse uno cualquiera de loe símbolos «<• o c>t, y
definirlo a partir del otro. Esto puede verse fácilmente del Teorema. 3; teniendo en cuenta eu forma, este teorema puede ser considerado como una definición del elmbolo «>• mediant.e el sfmbo.
lo•<•, y si permutamos en él loe dos miembro11 de la. equivalencí.&,
podremo11 considerarlo también como definición del aimbolo
medi&nte el efmbolo
(en amboa oaaos oonvendri anteponer a1
teorema las pala.brae C<hcimo.t qut.t; c(. Sección 11 ). Desde el punto
de vista didáctico, podri&n hacene algunaa objecionee a eemejante
reducción, ya que loa términos•<• y•>• tienen significados igualmente claroe y la.a relaciones denotadas por ellos ~ propiedades completamente análoga.e; por consiguiente, pudiera. parecer
artificial considerar uno de estoe térmín08 inmediatamente comprensible, mientras que el otro debe aer primero definido con au
ayuda; estas objecionee,,ain embargo, no son convincente&.
•>•
•<•
Si, preacindiendo de razonea did.M:ticu, decidimos eliminar uno
de loa eimboloa en cuestión de la liata de términoa primitivaa, ee
240
preeent&rá el problema de dar a nuestro lirt.ema de a.z.iom.MI Wl6
forma en que no aparezClill términoa de&nidoe (direm.oe de puo
que éate • un poatul&do metodológico del que a meaudo ee pmscinde en la. prictica; en geometrla eepecialmente, loe a.z.iomu ae
formul&n de ordinario con l& ayúda de términoa definidoe, para
&OeDtuar au sencillez y claridad). Eete problema no preeent.a
ninguna. dificult.ad; tod.& fórmula del tipo:
2:
>y.
ae reemplazará. en el Sietema V' simplemente por la fórmula:
que, en virtud del Teorema. 3, ee equ.iva.lente a l& primera. Ee
fácil ver que el Axioma. 1 puede reemplaza.ne por la ley de cone:Dón, ea decir, por el Teonima. f, ya que cad& UD& de eatu doe
propoaicionea ea deducible de la otra en virtud de las leyes gen•
ralee de la lógica. (del cálculo propoeicional, exactamente); el Axioma 3 se transformará ahora. en una &imple euatitución del Axioma. 2,
y puede ser omitido por eete motivo. Ae1 llegamos al sistema
compuesto por loa siete a.xiomaa sigui&ntee:
y;~ z<y o y<z.
Si 2: <y, ttUoatu y< z.
Si % < y e y < z:, tntonaa z < z.
z+y - y+z.
z + (y + z) - (a: + y) + z.
Axlolli l". Si z -:F
ADolli 2".
ADoJU. 3".
A.Dollif".
.llloau 6".
Axlolli 6".
muo z tal qw z
AD.oiu.7".
Para númuoa" cuoluquiera z e y, e:riak '"' nú.= y + z.
Si y < z, e~ z+y < z+z.
Este Bistem& de uiomae, llamado SISTlllU. V", reeulta entoocea equinlente & cada und de loe dos Biltemaa a.nterioree, V y V',
Al decir esto cometem.OB, ain embargo, nn& inexactitud, y& qne ee
impoeible deducir de loa &Iiomae del Sistema. V" laa propoeicioDM de loa Sil!ltemu V o V' en que intervenga el aimbolo •> t,
INTIODUCCJ:ÓH A LA LÓGICA
mientru oo ee agregue al Siltema V" la. definición de dicho
almbolo. Como ea e&bido, a eeta definición puede darle la forma
aiguiente:
DDllflCIÓM l". Decimot qw z >y, .ri, y a6lo "· 11
<:t.
También sabemos que esta ó..ltima. propoeición puede demoetrane
basá.odoee en los Sistema.e V o V' , si se la trat& no como definición, si.no como un teorema. corriente (suprimiendo entonces lu
palabra.a tdecimoa que.). La equivalencia de loa tres sistema.e en
cueatión puede ahora formul&l'98 como sigue:
El Sintma V" jumo con la Definición I" u ~·~
a cada uno d.t. lol SWmM V y V'.
Siempre que .e eompa.ren doe eiatemu de nioma.e que, a.unque
equivalentes, eo parte al me:noe contengan términos primitivoe
diferentes, será. necesaria. un& formulación como la. que a.cabamoe
de ver.
El Siltema. V" ~ ca.racteriza vent&josa.mente por la. simplicidad de su estructura. Su.e tres primeros axioma.e .ee refieren
a la relación mnor que y juotoe establecen que el conjunto B
eeU. ordenado por eeta. rel.&ción; loa tres siguientes se refieren
a la adioión y expresan que W oonatituye un grupo abeliano
reepecto de dicha operación; el último axioma -1& ley de monot.onfa...- eat&blece final.mente cierta dependencia entre la. rel.&oióo menor que y la operación de adición. Decimoe que una.
claae K
el t1D. ORC'l"O ilZ~O OJll>J:lfillO Jl.S8J'ICCTO DJ: L6. U•
U.OJÓN R y u. OPBB.&CIÓN O, si, (i) la claae K eet4 ord~
por la relaaión R, (ü) la clue K ee un grupo abeliano reepeoto
de la. oper&oión O, y (ili) la operación O e1 ti>.onóton& en la cla.se K reepeoto de la rel&eión R. De acuerdo a eata. terminología,
puede decine qne medi.&nte el aist.ema. de axiomaa V" el conjunto
de todoe lOI 111imeros queda caracteriza.do .como un grupo abe.
llano ordenado respecto de le. rele.ción menor f'U y de la operaaióu
de adición.
Pueden mta.bleoerae loa aiguientea hechOI oonoemientee &1 Bi&-
t.emr. V":
llft~IÓMAU.LÓGICl.L.-11
242
Bl SWma V" u un~ lMtpendieftl.etk~. y ademcú
todoa IW tbmino1 primitiVOI, a aaber, tlh,
y •+•, aon mutuo.
ment.e intú.pen4ie1Uu.
•<•
Omitimoe la demoetr&eión de este enunciado. Obeerva.remoe
it0lamente que par& eeta.blecer la. independencia. mutua de loe
términos primitivos, debe &plicane nueva.mente el método de
demoetr&ción por interpret.acidn que, en este Ca&O, presenta. una
forma algo más complicad&; por falta de espacio no describiremoe
lu modificaciones a que deberfamoa someter dicho método pua
lograr eete propósit.o.
68. Slmpllftcac16n alterlor del alltema de u10111&1; P01lble1
traurorma.eloaes del
~ma
dt &6rm1Doa pr1ml.t1••
Como es obvio, el Sistema V" puede 1ustítuine por cualquim'
otro eiBtema de proposiciones equinJentea. Aquí expondremoe un
ejemplo p articularmente sencillo de un sistema. de est& cl&&e; él!Jt(I,
que puede ser llamado SISHIU. V "' y que contiene loe m.i.Bmoe
t.érm.inoe primitivos que V", oonata solamente de cinco pro·
poaiciones:
Si :r:-:# y, entonu.t z <y o y< x.
Si :e< y, aúonu.t y <: z •
.Anoiu. 3"'. z +(y+ 21)""" (:t + z) 11·
A.DOM.A. 4-'" , Para númef'Od cuoluquiem z t y, ui6te u11. nú.
mero z colqut :t =y+ %.
A.IlO'llLI. 6 '" . Si z + z < y + f, entoncu z < y o z < t
ÁIIOM.A. l'".
AnoM..A. 2"'.
+
Mostn.remos que:
DDrOSTJU.OIÓN. Ohllervemoe en primer lugar que todos lOI
u:iomaa del Sistema V"', o bien eatÁn contenidos en el Sistema V
(el Axioma 2'" coincide, en efecto, oon el Axioma. 2, y el Axioma 4"'
INTltODUCCIÓN A. LA LÓGICA
con el Axioma Y), o pueden demoetrUM en baee a dicho sistema
(loe Axiomas l "', 3"' y~,,, ~cidea con loa Teoremas 4. 9 y 14,
mpectinmente). Ahora bien, como loe Sietemae V y V" eon
equív&lentes, segó.u aa.bf&moe por la. Sección 57 (siempre ae podr4.
&greg&r al Sistema V" la befinicióa l"), también podremos afirmar que todas las propo&icione& del Sistema V'" serán demostr&blea en base al Sistema V". Sófo falta.rá., pues, deducir de lol
axiomas del Sistema V"' lae propoaicionee de V" que faltan ea
aquél, ea decit, los Axiomas 3", 4", 5" y 7". Eet& tarea ee algo
máa difícil.
•Comenzaremos coa loe A.riomaa 4" y 5".
(1)
El arioma , .. pu<M"' duio>ado dd 8'81<"'4 V'".
Aplica.re.moa el As.ioma 4-"' & doe ndmeros arbit.r&rioe z e y (iDlel'tando tzt en el lugar de cyt, y reclprocamente); habrá &Id un
número z ta.l que:
(1)
Si en el Axioma 3"' e118Utuim.oe ademáa cy. por en, ee obtendré.
eat.onoes:
(2)
%
+ (z + z) -
(z
+ z) + z.
Teniendo en cuenta (l), en el primero y eegundo miembro de la.
tegund& igualdad (2) podremoe reempla.zar u + n por ty1; oon
ello obtenemoe el ADom& 4!':
z+ y = y +z.
(11)
El Axioma 5"
~ aer deriwdo del
Siatema V"'.
En efect.o, por el Axioma 3"' (oon tyt SWJtit.uido en lugar de m y
recfprocamente), obt.enemoe:
en Yirtud de la ley conmut&tin, ya deducida en (1), en eeta. fórmu·
la ae podñ reemplazar e+ Y' por 'Y+ n, obteniéndoee el Ano·
ma6":
z + (y+z) = (z +y)+ z.
P&r& fa.cilita.r l& deducción de loe A.xíom8a 3" y 7", moetra..
remoa primero de qué m&nera. pueden deducirse algunoe de loe
teorema.e y a.Domas indicadOB en loe capftulOB anteriorea & p&rtir
del Sistema V"'.
(ill)
El Teorema l pue.d.e au dnivado del SWma V'".
Basta obaervar que la demostración del Teorema l ezpueet& ea
la Sección 44 ae apoya exclueivam.ente en el A.sio111a 2, que,
por eu parte, ·coincide con el ADoma 2'" del Siltema V"'.
(IV)
El Arioma 6 pue.d.e ttr derivad.o dd Siafttna V "'.
Hemos visto en la. Sección 66 que el Axioma. 6 ee podfa. deducir
de los Axiomas 7, 8 y 9. Loe Axiomas 7 y 8 coinciden reepectiv...
mente con lOB Axiomaa 4" y 6", y podrán demoatn.rae, por lo
tanto· en virtud de (I) y (II), de los axiomas del Sistema V"'.
El Axiom& 9 aparece en el Sistema V'" como Axioma 4"'. Por
consiguiente, el A.xíom& 6 &erif. deducible del Sistema V"'.
(V)
El Ttm!fM 11 puedt. au derivado dd Simma V"'.
En la eegunda demostración del Teorema. 11, como fue indi·
cada en t. Sección 49, 'Wl&moe eolamente loa Axioma.e 7, 8 y 9. El
t.eorem& ooneiden.do ee podrif., puee, deducir del ·Sietema V'" por
lae mismu razonee que el Axioma 6; véue (IV).
(VI)
El Teonma 12 puede 11er derivado del Bimma V"'.
Supongamos que l& hipóte&ie del Teorema 12 aea v&lida:
z+y<z+z;
...
INTllODUCCIÓH A U. LOOiCÁ
y apliquemoe el Axioma 6"', reemplazando fJJ1 él m, tJI' y di por
_,., en y en, respectivamente. Se sigue que una de lu fórmulu:
z<:i:
o
y<z
debe ser vá.lida; 1& primer& posibilidad debe aer recha.zada pu61to
que oontradice el Teorema l que, oomo ya. se ha mostrado, ee
derivable en el Sistema V"'; cf. (111). Por lo tanto, la ooncluai6o
del Teorema 12 debe ser vé.lid&:
y<z.
(VII)
El A:rioma 3" f'W'Ú aer dmvado dá Si.atema V"'.
A.ruma.moa laa hipótesis del A.Dom& 3", eeto ee, lu fórmul&ll:
(1)
(2)
y
<z.
Si fueee:
y+:z:=y+z,
de a.cuerdo con el Teorem& 11, que ya ha eido demoetrado en (V),
tendría.moa:
Podriamoe, pnee, suetituir an por
CD
en (l) y llegar
C0.11
ello a:
: <y.
Elta conclusión debe rechazare&, porque, en virtud del Axioma 2"', cont radice la desigualdad (2). Aaf tenemoa:
(3)
Como y + z e y + z son ndmeroe (Axioma 6), en virtud del Axioma l"' ee deduce de (3) qn"e un& de laa liguientm fórmulu debe
valer:
...
En Ja segunda de Iaa fórmulaa C'). podemoe, en virtud del Axioma 4'', ya deducido antee, euatituir cy + :i:t por c:z + yt; aal
llegamos&:
y
+z < ::t +y.
Ahora aplicamoe a la última fórmula. el Axioma 6"', donde reempla.z&mos cyt, en e ttp en loe lugU'88 de ut, tyt y tt», ttl8pC!Ctivamente, Llegamos de eet& manera a la. siguiente con.secuencia:
y< z
o
z <y;
pero eat& consecuencia debe rechazarse, pues en virtud del A.z.io.
ma. 2'", ella contradice la.e fórmulas (1) y (2) que constituyen'. Ju
bipóteaia del Axioma 3" . Volvemoe, por lo tanto, a la primera de
laa fórmulas (4), y aplicamos el Teorema 12, que. según bemoa
visto en (VI), ea derivable, con e t reempla.za.do por .y., y recf.
procamente; aa.I obtenemoe:
z
< z,
ee decir, la conclusión del Axioma 3"'.
(VIll) El Arioma 7" pwde ur tUrivado da Siatema V"'.
L& manera de razonar es anAJ.oga a la. precedente, si bien
bastan~
m'8 .eencilla.. Supondremoe la hipótesis del Axioma 7":
(I)
y<z.
Si fu_eee:
ee aeguírla. del Teorema 11 que:
y =z;
entonces en (1) podri&moa :reemplaz.&r ~por m y as1 llega.ri&moa
a una contradicción con el teorem& 1 que ya h& lido derivado
en (III). Valdri, por lo t&nto:
INTRODUCCIÓN A LA. LÓGICA
247
de dondo eo doduoe por ol Ai.ioma l"':
(~
%+y<z+z
%+z<z+~
o
En virtud del Teorem& 12, la. segund& de eeta.a deBi.guld&dea
DOB da:
z<y,
lo que contradice nueetra hipót.eaia (1) en virtud del Axioma 2"'.
Debemos, puee, admitir la primera de las de8igua.l.dad.ee (2):.
z+y<:t+z,
que ea prooiaamonte la ooncluai.ón del Arioma 7".•
Bemot visto de eet& manera que tod.u lae propoeicionee del
Sistema. V" se pueden inferir del Siatema V "' y reciprooament.e;
oon ello LOS SISTBKü V" T V'" SON, BRarIV.ill:sMTB, BQUI·
El Sistema V"' ee indudablemente m'8 sencillo que el V" y,
por lo tant.o, m'8 sencillo aó.n qoe loa Sistemas V y V'. EB pa.rticularmente interesante la. oomparaci.6n entre los Sistemas V y V'";
a causa. de las euoeeiva.s reducciones que hemos llevado a. ca.bo, el
número original de u..iomaa se ha reducido en má.s de la mitad.
Por otra. parte, debe advertirae que alguna.a propoaicionee del
Siatrlmi. V"' (a a.her, loa A.z..iomaa 3'" y 6'") tienen UD cari.cteT
menos natura.1 que loa axior:oae de los reeta.ntes eietemaa y laa
demoetracionee de algw:ioe teorema.a a'l1n muy elementalee reaul.
tan aquJ relativamente mú diffciJN y oomplica.daa que aobre la
bue de 108 otroe lliatem&I.
Lo miml.o que un sistema de axiomaa, un sistema. de ~rminoe
primitivos puede reem.pla.zarae tambh\n por otro sistema eqniva.leute. Eato afecta. en particul.a.r al eist.ema de los tree t.érmino8 ti'•,
y e+• que intervienen oomo 6.niooa ténninoe primitivoe en
los az:ioID.88 ~Illliderad.oa lilt.im&mente. Si, por ejemplo, -en este
aiatema. se IUStituye el efmbolo
por «:lit•. obtendnimoa un
litt.e1Da eqninleute, ya que el aegnndo de diohOll sfmboloe eo
•<•
•<•
...
podJ&- de&.nir en Mrminoa del primero y el Teorema 8 noa diee
que el primero es definible en términos del tegundo. Ta.I tr&Nfor·
mación del aiatema de t6rminoe primitivos no ofrece ninguna
vent.aja; en especial. no a.porta nada a la. simplifi.cacid'n de loe
axiomaa, pudiendo parecer al lector, máa aooatumbrado quid. al
uao del slmbolo
que al del elmbolo •"•· algo a.rtificial. Se
puede obtener otro sistema equivalente reempla.zando el símbolo
•+•por•-•; pero tampoco esta transformación serla ventajosa.
Para concluir debemos eeí\a.la.r que ae conocen otros eistemu de
términoe primitivos, equiv&lentea a loa que hemos tratado, compueatoe solamente por dos t.érminoe.
•<•
69. El problema de consistencia de la teorta oomtndd&
Trataremoa ahora. brevemente otroa problemas metodológieoa
ooncerníentes &l fragmento de aritmética considerado máa &rriba;
6lltoe son loe problemu de conaiet.encia. y de oompletidad (cf. $ec.
cióo 41). Como es irrelevante referirnoe & uno u otro de 108 eistemu equivalentes considerados, nos referiremos siempre al Sistema. V.
Si creemos en l& consistencia de toda. la aritmética (bipóte&ia
que hemos asumido previamente y que asumiremos nuevamente
en nuestras consideraciones poat.ariorea), ent.onoe11 con más razón
debemos aceptar que:
Pero mientra.e que los intentoe de demoltrar riguroeament.e la
conaistencia de toda la &ritmética han tropezado con didcultadee
"8enciales (cf. Sección 41), una demostración de eate tipo para el
Sistema V no eólo ee poeible, pero inclu11ive relativamente aimple.
Un& ra.zón para est.o es el hecho de que la. variedad de teoremaa
que pueden derivarse del aistema de axioma.e V es· realmente
muy pequeii&; por ejemplo, ea imposible contestar en base a este
aiatema una pregunta. tan elemental como la de lli existen nlimeroe.
Ellta circunstancia. facilita. oonsi.derablemente la dem08tración de
que el fragmento de aritmética considerado no contiene n.ingó.n
par de ~mu oontradiotorioe. Sin embargo, aeria oompletlt-
INnoDUCCIÓN A U. l.ÓCICA
...
mente impoei.ble con loe med.ioe a nuostn disposición esbozar l.&
demoetraoión de ooDSisteDcia o a un tratar de dar al leotor l.& idea
fundamental de la miem&; oeto requerirla. un oonocimiento mucho
máa profundo de lógica y, como trabajo prelimin&r, eeri& nece.
aario reooDBtruir l& parte en cufllltión de la aritmética como teoría
deductiva formalizad.a (cf. Sección 40). Puede agrogane que ai
enriquecemos el Sistema V con una. sol& proposición que afirme
Ja. existencia de &J. menoe doe nómeros distintos, entonces ei intento de probar la consistencia del Biatem& &xi.omá.tico así ampli&do encontrarla. las mismas dificnltadee que en el caso del sist.ema
p&ra la t.ot&l.idad de la. aritmética.
60. '.11 problema de oompleadad. de la &eorfa construida
E n comparación con el problema de coneistencia, el problema
de completidad del Sistema V puede aer tratado mucho mú
fácilmente.
Existen numero808 problemas formula.doe exclusivamente en
términoe lógicos y términoa primitivoe del Sistema V que no
pueden decidirse sobre la bue de este sistema. En el párre.fo a.o.te.
rior hemos trata.do precisamente uno de ta.les problemas. Otro
ejemplo lo constituye el enunciado según el cual para todo m1mero :r existe un mlmero y tal que
z =- y+y.
Sobre la. base de loa axi.omas del Sistema V, no ea posible n.i
demostrar ni refutar eet.6 proposición; resulta eato de la siguiente
consideración. Con el eimbolo df• deeignamoe el .cónjunto de todoe
loa nllmeroe rea.lea; el conjunto JI comprende, puea, tanto I011 nómeros enteros como loa fraccionarios, tanto loe racionalee como
loe irrMlionaJee. Pero ee fi\cil ver que ninguno de los axi.omu del
Sietema V, y por lo tanto ninguno de los teoremas ded.uciblee
del mismo, pierden su validez si designa.moa con el eimbolo tX'•
el conjunto de todos los n6meroe enteros (positivos y negativoe
incluyendo el O) o el conjunto de todoe los nlimeroe racionaltie;
todas 6IJt&8 propoeioionea comervarian su validez si la pa.Labr•
mftmtrm lñgniñca.ee tnú1'Mf'O ~ o tl'lúmero racicmcUt. En el
primer ca.so la propoeición indicada, según la cual para todo námero e:Wtiría otro igual a au mitad, aeria falaa., y en el segundo, en.
cambio, seria. verda.der&. Si logrúamoe demostrar eeta. propotñ.
ción en bue al Sistema V, lleg&rfamos con ello a una contradio·
oióo en la. &ri.tm6tica de loe números enteros; en cambio, ai pu~
aemoe refutarla, llegaríamos a una contradicción en la aritmética
de loe námeroa r&cionalee.
El argumento que acab&moe de esbozar pertenece a la catego.
ria de las demostr&cionee por interpretación (cf. Secciones 37
y 66); para a.cla.ra.rlo lo reformularemoa ligeramente. Des.ignemoa por dt el conjunto de todoa loa números enteros y con tR•
el de loa racionales. Da.remos e.hora. doe interpretaciones aritméticas del Sistema. V en la.e que loe símbolos•<•,
y
con·
terven la miem& interprota.<::ión conocida, y el afm.bolo tN"t, en cambio, que e%plicita. o implicit&monte inteniene en todos loa aJiomaa,
eerá reempl&zado en la. primera interpretación por tlt, y por dlt
en la segunda.. (Dejaremoa de lado aqui las obeerva.cionee hechu
en la Sección 43 sobre la poe.ible eliminación del eimbolo dft, ya.
que esto complie&l'Í& ligeramente nueatro razona.miento.) Todos
loa axiomas del Sistema V conservan au validez en ambae int«'·
preiacionee; en cambio, la proposición:
•>• •+•
para todo número z eziate uti •úmuo y tal qm
z =y+ y,
aólo ee satisface en la segunda interpretación, mientras que en la
primera, por el contrario, ea •'fida eu negación:
"° pam lodo númUo z eziM un número y tal qtU
z - y+ y.
Bajo la hipótesis de la conaiatencia de la &ri.tmética, de l& primera.
interpretación ae concluye que la proposición coneiderad& no ea
demostrable en base al Siatema V, y de la aegu.nda, que dicha
proposición tampoco ee refutable.
Hemos demostrad.o Mi que e:riat.eo. dos propoeicionee oontn..
dictoriaa, formuladae e~chusivament.e on t6rminos lógiOOB 7 tk·
INT'llODU<X:l6H A LA LÓGICA.
261
JUinoe primitivoa de la teori& mat.em,tica oontiderad&, n.i.ttgu.a.a.
de laa cu&Jee puede deducitae del aiatema de uiom.. de tal teoria.
En coneecuoncia, tenemoa:
l. Convengamoe que la f6rmula.:
z<·y
eignific.a. lo mismo que:
~+
1 <y.
Sustituya.moe en loa a.xiomu del Si.tema. V" de la. Sección 67 el
11lmbolo •< •por•< ·•. Determineee cuále& axiomas CODIMll'Van 8U
validez y cuálee no y conclúyue aeJ que el Az:iom& l" no ee deducible de loa reata.ntem,. tCómo se llama. el método de inferencia
ua&do aquft
2. Siguiendo las lineas de la demoetra.ción de independencia
esbozada. en la Sección 66 pAnoel Axioma 2', mostrar que el Axioma 2" no ee deducible de loa reat&nt:ee aiiomu del Sistema V".
3. De8ignemoe por el eímbolo •Ñ• el conjunto compuesto por
loe nómeroa O, l y 2. Delinamoa la relación
entre loa element.ol
de dicho conjunto, estipulando que ta.1 relación rige eolameate en
loe tree caaoa aiguientea:
<:
o< l,
l
<2,
+
2
<o.
Defina.moe ademú la operación
con los elementos del con·
junto li mediante la.e fórmulas eíguientea:
o.+o-1-i-2-2-i-1-o,
o .¡_ 1 - 1 -i- o - 2 -i- 2 - l,
o.+2-1.+1-2-i-o-2.
262
En loa ax.ioJDM del Si.etem& V", roem.pláoen.e loa términ.oa ¡:iri-
•+•.
miLivoe por Jt•.• .(,y
reepectin.mente (y la palabra. mú.merot por la expresión tUM ck W. tru número.r O, l y 2'); moatn.r de este modo que el Axioma 3" no se puede deducir de loe
.............
4-. Par& demoatrM" mediante una interpretación que el Axioma 4.'' no es deducible de loa reet&ntee axiomas del Sistema V"
baat& sustituir en todoe ell08 el efmbolo de e.dición por el eimbolo
de una de las cuatro operaciones mencionadas en el Ejercicio 3
del Capitulo VIII. Averiguar cuál de dichas operaciones ee la
que debe aer uaada.
6. C:Onaideremoa la opera.ción •e• que eatiefa.ce a la. fórmu.li.:
<El> y= Z · (• +y).
Moetr&r con ayuda. de ella., que el Axioma 6" no puede deducin&
de los reets:ntes u..iom~ del Siatem& V".
6. Comtruir un conjunto de números tal que junto a. la relación < y a la operación +, no e&tiaf'aga el Axioma 6", pero eea.
un modelo para loe restantes axiomas del Sistema V". 1Quá
oon.aecuenci& se puede extraer de aquf relativa a la. deducibilidad
del Axioma. 6"1
7. P&ra mostr&r que el Aiioma 7" no puede demoatra.ne
sobre la. baao de loa reeta.ntea uiomaa del Sietema. 'V", pueden
euatituirae en todoa elloe .doa de loe términoe primitivoe de ett.e
Bistema, por loe correepondientee elmboloa introducidoe en el Ejercicio 3, dejando invariable el tercer t6rmino primitivo. Det«mi·
nar qui§ t.érmino debe perma.neoer in&ltera.do.
8. Loe resulta.dos obtenidoe en loa Ejercicios 1-7, muestra.o
que ninguno de loa axioma.a del Sistema V" puede deducirae de
loe reetantes. Lleva.r a. cabo demoatra.cionee de independencia
an!logu pa.ra. loe axioma.a del Sistema V' de la Sección 66 y
el Siat.em& V"' de le. Sticción 58 (usando, en parte, l&e interpreta.oionee aplicadaa en }09 ejercicioe anteriol'M}.
...
INTROllUCCIÓS A LA LÓGICA
9 Moetrar en bue al eietema de ar.iomae V" que, todo
conjunto de m1meroe que oonstituya UD grupo a.beliano respecto
de la adición, ee al mi.amo tiempo UD grupo abeliano ordena.do
reepecto de la relación menor que y de la operación de adición.
[Ddie&r ejemploe de ta.lee conjuntos de nó.meros.
10. En el Ejeroicio 5 del Capitulo VITI, expusimos ejemplos
de oonjuntoa numéricos que cooatitufan grupos abelia.noe respecto
de la multiplicación. tCoAle& de dichoa oonjuntoe son grupoe
· a.beli&noa ordena.dos reepoot.o de la rela.ción menor que y de la
operación de multiplicación, y cuAlea not
11. Ua&r el resultado obtarido en el Ejercicio 10 p&ra. d&r
una. nuov& domo.tración de la independencia del Anoma 7" de loa
reetantee uiomae del Siatema V" (cf. Ejercicio 7).
•12. Demostrar el siguiente teorema. eobre la. bue del
ma de axioma.a V":
a1
~
.ut..
por lo mmoa doa 1nímeroa di.di"'°6, ~ para todo
nú~ro :z: t:ri.nt u~ mímuo y tal que :z: < y.
Generalizando este reeult&do, demostrar el aiguiente teorema
genera.1 de la teoría de grupoa:
.ri 7.a ela8e K u "" grufJO abdimw tWdmado ru'J)tC«J dt l.a ffia.
ci6n R y de l.a operaci.6n. 0, y a1 K titM al tunoa doa ~.
~ poni t.odo demtftfo :z: dt K ~ "" tkmenlo y tk K , tal
gue:z:By.
Demostrar haciendo 11110 de este teorema, que ninguna clMe
que eea un grupo abeliAno ordenado puede oomt&r de doa, tree, ...
elementos; ¡puede cowrt&r de uno 110lot (Véue el Ejercicio 8
do! C&pftulo VIII.)
•13, Mostr&r que el ai&tema de Anomae l"-3" (de la Seoción 67) ea equivalente al sistema oompueeto por el A.rloma l' y
la. proposición siguiente:
n
:z: <y,
y< z, z < '· i < • y
u<"• mtotM:u " -t: :z:.
,..
Generalizando eete rwulta.do, demostrar el aiguiente toorem•
de la teorfa de relaeionee:
para que una claae K ata ord.enaJa por fa rdaci6n R, u nuuario
y nficienk que dicha rdacma, GdotmiW ck Hf' eontm- en. K, cumpla
f.a condici6n siguienk:
ft z, y, z, t, u y v aon. demenlo.J cualt..tquUra de K, yzRy, yRz,
z.Rt,tRuyuRt1,~noudea.t0quevRz.
•14. Usando los cooaidera.oionea de la.e Secciones '8, 66 y
58, moetrar que los tres si..etemaa de propoaicionea Biguientea eon
&quivalentee:
(a) el sistema de loe A.J:::iomu 6·9 de la Sección. 47;
(b) el &iatema de loe.Axiomu f".6" de la Sección 67;
(e) el sistema de loe Axiomu 3"' y 4"' de la Sección 68.
Como genera.lización de este rmult.ad.o, formular nuevu definiciones de la. expreeión:
que reaulten equiV&lentee pero máa eimplee que la formulada
en la Sección 47; eacrlbanae 1611 definicionm en símboloe (cf. Ejercicio •29, en pág. 232).
•16. Conaideremoe el siguiente
loe a:liomu:
~ma
V"" compueeto por
Al:IolU. l "". Si z ,,¡. y, ~ z < y o y < z .
A.DoJU. 2'"'. Si z < y, y< z:, z < t, t < u y u < 11, ~
CU V
1::
Z.
Á.DOJU.3'"'.
:i:+ (y+ z) =(a: +z) +y.
A.::iIOl'llA 4"".
Para nti.meroa tualuquitsa z e y e:eiak u• nV.-
mero z tal que
=y+ z.
AuOIU. 5"". Si y< :z,
:i:
nblul
z + 11 <
~
+ :z.
tNT•ODUCCIÓtf A LA LÓCICA.
"'
Uaando loe ·r eaultados de loe Ejercicioe 13 y 14, moetra.r que
el Sistema V"" ea equivaleo.te • ca.da uno de loe SU.tema.e V"
y V'".
16. En la.Sección 68 afinu"amoe que el aistema de loa términos primitivos dft, «<• y «+• es equiv&Jente al de los términos
•Nt, «"•y«+•; en realidad a esta. atirm&ción deberíamos 1.d&dir que eetoa eist.emae son eqa.ivtJentes oon respecto 1. un de.
termina.do sistema de proposiciones, por ejemplo, oon respecto
a.! Sistema V"' de la. Sección 68 y la. Definición 1 de la See.
ción 46. Explicar por qué es neceeari& tal aclaración. Dicho
en general: ipor qué es necesario referirae siempre & un deter.
minado aiatema de propoEcionee, cnando queremoa eeta.blecer
)& equivalencia de doe si&temu de términOI (en el eentido de
la Sección 39)!
• ¡ 7. Consideremoe el Silrt.ema V"'" oompueeto por 108 siete
ariomaa siguientes:
Axiolli l ""'. Pam númtl'OI ~iera :a: e y, tenemoa:
o y"z.
Axlolli 2""'. Si z ~ y e y " z, entoncu z = y.
A.nolU. 3"'". Si :a: " y e y E; z, entone.u :a: E; z.
ÁXlOJU 4-""', 2J +y - '!J + z . .
A.Do!rU.6""'. z+ (y+ z)-(z +y)+ z.
A.DOM.A 6"'". PBNJ ndfl'W'Of cualuqtlitra z e y, ezUU un. nú.
mero:: talque z= y+::.
ADOIU. 7""'. Si y 'i ::, mlo7N:u z + !1 <.z + a:.
•"Y
M:óstr&r que los eistemu de axiomas V" (de la Sección 67)
y V"'" ae convierten en sistemaa de proposiciones equivaJ.entea
agregando al primero de éstos la Definición 1 de la Sección 46
y al segundo el Teorema 8 de la Sección 46, considerando dicho
teorema oomo definición del stmbolo «<•· ¡,Por qué no puede
decine eimplemente,. que los Sistema.e V'"" y V" son equ.iva.
lentes?
A.U'UD TAUIU
18. Tom.ndo como ejemplo loe u-gumentoa de la Seeción GO,
moeitrar que con el 1iatema de uiomu V, la propoeición liguieat.e
no puede dem0ttrane ni refutane:
ri z
<
z, entoncu e:eille un número '!/ tal que z
<y e
!/ < i.
•J9. Moatl'&l' que eobre la bue del eiatema de a.Domas V, la
eiguiente propolición no puede demoatra.me ni refutanie:
~ ~~ [(y
<
z) A (z < z)}.
•20. En el presente e&pftulo hemoa empleado el método de
dmnostraci6n por interpreta.ción para. eet.ableoer la independencia
o la. iDoompletidad de un ai.etecn& de axiomae. E1te m.iamo mét-Odo
ee usa también eo. lae investigaeionee eobre coo.aiateo.cia.. En efecto,
tenemoe • nuee:t:a w.po.ición la eiguiNite ley metodológica que
ee ooneecuencia de la ley de deducción:
Si la koria tkducfüia 6 tkM •na inkrprdacKSn. m la twrlo
lialudiva X y la teona X u ~. entoncu la tema 6 u
también.~.
Moetn.r que eete enuncia.do ea correcto. En la. Secci6n 38 ee
han hecho varia.a obeerva.cionee eobre posibles interpretacionea
de l& aritmética y la. geometrla.; aplicando la ley que acab&moe
de enunciar, deducir de eetu obeerv&cionea coD8eCU.enciu aobre
i.~ conai.ltencia de la a.ritmética y la. geometría y su relaci6n
oon la ooneiat.enoi& de la lógica.
X
B1TllllSIÓll DB LA TBOBIA COllSTRUIDA
FUKDAlllllTOS DI LA ARITlllTICA DE. LOS lfllMIROS
BBAUI
81. Primer 1llMma clt ulomaa para la arltméUtla
de lol •0.merot real•
El sistema. de u:io:maa V ea inauficiente par& fundament&r
tod.& la. aritmétioa. de loa ndmeroe 1"8&1ea, ya que -aegá.n hemoe
visto en la Sección 60--- numeroeoa t.eoremas de eeta. disciplina
no pueden ser ded.uoidoe de loe u:iomaa de eate Bistema, y ademú,
por otro motivo no menos importante e, incident&l.mente, bastan.
te &nálogo: puede moatrarae una serie de conoeptoe del campo de
la. aritmética no definibles con •:ruda d11 loa términoa primitiToe
del Sistema V. A.al, el Sistema V no noa permite definir loa
eimbolot de moltipliOM!ión y de división, ni aiquiera. eímboloe
talee cc.mo •lt, c2•, eto.
Surge inmediatamenWI la. cue.tiÓD de oómo podemoe tl'&ll8formar o oomplementar nuestro eistema de uiomu y t.érminoe
primitivoe de modo c;le logr&r una bue suficiente p&r& coDl!mllr
toda la aritmética de loa n6meroe rea.lee. Eete problema p~e
eer &olucionad.o de va.ria& maneru. F.eboz&rem.Ol!I aquí dos IMtodoa diferentes de aoluoión1 ,
1 :l:l prt- .i.t.ema de Nlom&t pua ~ a. Nlt-4tlo. 4' ¡,,. 11.limerm _._ tMI
PDblloadot11.eldollMIOporBn.lla.r,..w--... ..t6Nlacr:lonado-el.i.a.ma. utt,
QIHI nNm,,. ~M. btM d• 1900 , . .. eoaoelaa oQoil . . . . _ d• .wo-
258
~da ~l =!1~~~~~;!~:1:~°ik~top~~
mitivoa de e111te sistema., agregaremos la palabra tuno•, que como
de costumbre, euatituirtlmoa por el aimbolo dt y complementa.
redl08 loe axioma.e con cuatro nUeva.e proposiciones; ae( obteodremoe un nuevo SIST:SIU. 'Zft que contendrá. los cuatro términoe
primitivos «lf•,
y th y constar6. de loe nueve &Iiomae
que tranecribimoe expUcitamente:
•<•, •+•
A.nolrU. 1t. 8 z .¡.y, mt.oncu z <y o y< z.
A.nolrU. 21". Si z < y, enttmeu y <: z.
ÁDOlU. 3t. Si z < %, ~ uW un 11.tÍnuro y tal qiu
z<y e y<z.
ADOlU. 4t. Si K y L aon. con;unto1 arbitrario.a ~ númtrOI
(ee decir, ,; K e N y L e: X), qu.e 60&/acen. la condición:
pat'a todo z
moa: z <y,
~
a K y lodo y ?!rkmciente a L, ttne-
si z u un elemento cualquiml tk K t y un tkmnat.o cualqutera
tk L, y .ri :z: ..¡, z t y .¡, i:, tntontu :z: < z y z <y.
A.Do-..@.
.i:+ (y+ z)- (z+ z) +y.
6'. Paro númeroi ~iu'a z t y, e:ei4t.t "'" Mmero z tal qw z :::1 y+ z.
Ax:IOJU.7f. Si :z: + z < 11+i, mtoncu z < y o z < t.
ADOIU
Ax!OIU.
St.
A:DOllA 9'.
1 E
1
lf.
<1+
l.
INT&ODUCCIÓN A LA LÓCICA
,..
82. cane&erllaol6n mú detta.lda del primer llnema d• ulomu;
11111 ven&aJu metodol6glcu r denen&aJu. dldMIUcu
Loa axiomaa expuesto. en l& eección &n.terior ae dividen en
tres grupos. En. el primero, compuesto por los -Axiomaa lf-4t,
apareoen eólo dos términos primitivos, df• y •<•; en el segundo,
al que pertenecen loe Axiomas 6t-7', además de loe ant.eriorea
aparece t.ambién el símbolo •+•, y finalmente en el tercer grupo,
compueeto por loe A.xiomaa et y 9t, figora además el eimbolo tb.
Entre loe axiolD.&8 del pPimer grupo, encontramos doe que
hasta a.hora no conocl&moe: loe Aiiomaa 3t y 4t. El A.xi.cm& 3t
recibe el nombre de LEY D• DBXSID.il> pa.ra l& rela.ción meMr
que; expresa que dicha rela.ción ee den.ea en el oonjunto de todOI
loe númeroe. En general, deoimoe que una rela.ción B ee D11:1uu. u
u. OUB• K , li pan doe elementos oualeequiera z e " de dicha
claee, la fórmula:
zRy
implica siempre l& existencia de un elemento z de l& clue K tal que
zRz
y
zRy.
DE OONTINUID.il> para. l& relación
o -'.DOll.j. DE OONTDnJID.il>, o tambien -'.:rJOll.j. Dll:
El Axioma 4t se denomina LBT
menor
que
D11:mnoND 1; ei queremos eetableoer de un modo general laa con.dicionee bajo lu ouitJ.ee la. relación B ae denomina OON'l'INl:r-'. mr
u.. CUBii: K, baatará reempluar en. el Axioma. 4'. df• por t.K• (y
como es natura.!, la. palabra m.úmer0t por la upreeión telemento
ik la dcue K •), como t&mbi~n •<•por tBt. Si, en. particular, la
olue K está ordmiada por l& nilaoión R y Mt& es densa .o continu.
en K, diremos que K ecrt.á 09.DD-'.D.A. DDBill:KMT:B u OBDB.A.D&.
001'TllfUillDTB, respeotivame:nt.e.
El Axioma. 4t es menoe e'ridente y máa complicado que loa
reetantee¡ ee diferencia de elloa en que no sólo intervienen en 'I
260
AllU:D TAlt8ll:1
número.. individuales, sino conju.nt.oe de ellos. Pa.ra da.rle a eete
&i:ioma una fonD6 m"8 aimple y oompreD&ible, seri 001:1.•eniente
formul&r laa siguientes definiciODftl;
lhcimoa que el conjunto de núme'oa K
PREOBDB
al ocmjunlo L
at, y a6lo ft, lodo 111d.mero de K u mmor que todo número de L.
Dt.eimoa que el número z BBPAR.á. loa wnjunlo.t 11.umiricoa K y L
ri, N aólo ai, para doa elemen.lof cualeaquiera z de K e y de L, amboa
cU.nit&I<» de z, tenemtM: z < z y z < y.
En base & eetu definiciones el axioma de continuidad 11t1 puede
form.'lllar de una manera. muy aencilla.:
Si '"' conjun.ID de AÚmtf'Of preude a otro, entoru:u ui8U ol
u,. ntÍmero que at.paf't di.cAol r,onju.M».
me'IOI
Tod08 los u:i.omaa del segundo grupo son conocidoe para
noeotroe por oon&deracionea anteriores. Loe del tercer grupo,
r.unque nuevoe, son de un contenido t.an simple y obvio que &petl68
neoeeitan explie&eión. Basta observar que si a.ntepusiéramoa al
A.Dom& Qt la.a defi.picionee del almbolo t:Ot y de la expresión múmtro poailivm, éste podrla. reempla2.&rae por la fórmula:
0<1
o por la proposición:
luunnúmt1'0polilivo.
Lol .\Domas 11, 21', 6t, 6f y 7t oomtituyen eza.otameo.te lo que
hemos llamado Sistema V"', que lo 1XlÍIJmo que su equivalente V " ,
oaraoteriz.a. el conjunto de todoe los n1imercN1 como un grupo
abeliano ordenado (váase Sección 67). Si tenemOfl en cuenta el
oontenido de loe Axi.omaa 3'. 4', st y 91, agregados en dltimo
Wrmino, e] lristem& completo podr& oara.cteriu.ne de la siguiente
111 Swma Vt "'P'UO
tWmtlot U
Un
""""°
.z .w.Ao de .,... .z con.;..""' de """- io.
GbtliaAO oÑtNldo
fk
nMMlml
lkMIS y COfMift11G
INTIOllUCCIÓH .\ LA LÓCIC.4.
2d1
ruptt:lo ~ la relaei6n < 11 U. lo opuaci6n 4t odickm, y dUM.gtU 8
dkho conjunto un Mto dtfMfltO poftti'flO l.
Desde el punto de vi.et. met.odológioo el Sistem& Vt poeee
nriall ventaju. Ee en ap&rieocia el mú aencillo de todoe loe
eiatemaa oonocidoe que proporcionan una. baae suficiente pua
la. fundamentación de toda la uitm6tioa.. Exceptuado el .Axioma. }t, que puede deducirse de loe restantes (aunque no de un
modo sencillo), todoe loe otros uiomu del sistema., oomo lfMli.
miBmo loa tér:minoa primitivoe que intervienen en ellos, son independientes entre 1L El Ta!or didáctioo del aistema oonaidendo
es, en cambio, inoomparablemen~ menor porque la. eenoillez
de loe fundamentos origi.na import.antes oomplicacionea en la
construoción ulterior. JA defurición de multiplicación, lin ir mM
lejoe, y la deducción de laa 1eyee fundamentales para erta oparadón no ae puede Ueva.r a cabo oon facilidad. Cui deede el
principio hay que utilize.r eee:noialmen~ en 10. &rgUIDentoe el
Hioma. de continuidad (lin su ayuda, por ejemplo, no ee podria
demostrar en el Sistema Vt la eDstenci& del nómero 1/ 1 , ee decir, un número y t&1 que 11
1J -= l) y lae inferenciae baeadu
en eete uioma ofrecen de ordinario al principiante diicultadea
oomid.erablea,
+
8B. Stcundo •ll&ema .. u1omu para la añim6Uca
dt lOI atlmtHI l'Mltl
Por laa razones e:qmest.M, vele la pena bUIOU' otro listema de
u:iomaa tobre el que te pueda. construir la aritmética. Un tal U.
tema puede obtenene de la me.nera. liguiente. TomareDlOll oomo
punto de partida el lliaJtema V". Se adopt&ri.n tree nuevoe Wrminos primitiv<>1, a uber: tcerot,
y tproduclot; como de ooetumbre, reemplazaremoe loe doe primeros términoe por loa a1mboloe 4()t 1 ch, y en el lugll' de la eqireeión W producto !U loa """"·
roa (o /adoru) :i: e '!P (o W ruulblo dt la mu.Uiplicación. ck loa
JJVmeroi z e '!/t), eacribiremoe tz ·r. .A.d.emáB de e111to, a6adi.remoe
al liatema treoe DU6T08 uiomae; de elloe oonooem.oe ya. doe, el
as:ioma de oontinuid&d y la ley de ree.J.iubilidad de l& adición. En
definitiva lleg&m.m de mte modo al liat.em.& Vtt, oompuest.o por
"'"°'
•••
•<•. •+•, tOt, • • • y dt, y por lu
l6i.e Urminoe primitivos: d'•,
veinte propoaicioDee eigW.entee:
Bi z 'J* y,~ z< y o y<z.
Si z <y, mloncu y < z.
Si z < y 1 y< z, entoncu z < z.
Si K y L 80ft etmju'Pllof cualuqu.Wa <k n.'4mm»
~ aatiafaun la condición:
A:nolU. ltt.
AD:oJU. 2ft.
A:nolli 3tt,
A:noau. 4tt.
7Jtlra todo z ~a K y lodoy~ aL, kMmoa: z<y,
~ tzW un número z qru MJtW/au lo wndi.ei.6n:
n z ea Uft. tltmmlo cualquitra tk K e 11 "" ekmtnlo cualquiera
deL,yliz"z e 11,.z,~z<:r: '11 z<y.
A.:rtolU. r;tt. Para númeroa cualup.iem y, a:, uNle un ntímtro z tal qut z-y+z (en otru pala.bru: ai ye X y zell',
enloncu y + z e N).
A:noJU. 611. z +y= y + z.
AD:ol!lli 711'. z + (y+z) = (z+ y) +z.
Auoau. Stt. PtJra n1Í1Mr0rl cuale.tquiera z e y, uMtt un "'·
mero a: talqruz - y+z.
.A.Dolll..A 9tt. Siy<z, entoncuz+y<z+:r:.
Anou l()tf. O e N.
A.noiu. un. z +o= z.
A:nolU. 12". Para número11 eualuquiera y, 1, ~ un •V.
mero z tal pe z = y · z (en otru palabru: li y e K y ze K, ~
tonca'
y· z e X).
A:noJU.13". z·y - y·z.
AnoJU 14tt. z· (y· z) - (z· y)· z.
A.nolU. lij11', Para nÚnurOI cuakaquittu z e y, n 11:;, o, a'°"""~un número z talque z = r·z.
A.:lloJiU.16". Si O<z 1 r<z, entoncu z·11<z·1.
263
IN'TSODUCCIÓH A LA LÓCICA
AD:oJU. 17't. %·(y+%)'=(%· y)+ (z·z).
Axro-...18". 1 e S.
AxloJU. 19". z · 1 = z.
A:nolli 20tt. o ,¡,. l.
M.
C&raeterlael6n mú detenida del 11gundo 11stema de a:domu;
eonoepios de oaerpo 1 de eaerpo ordenado 1
En el Sistema. V", lo mismo qna en el Sietema Vt, podemoe
di..sti.ngnir tres grupos de axiomaa. En loe .A.xiom&8 ¡tt_4tt, int&-
grantee del primero, a6lo intervienen 10& doa términos primitivoe
tllt y •<•; en el segundo, compueeto por loe Axiom.&e 6tt.ntt,
apareoen adem'8 otroe doe é.tnboloe: el e:igno de adición
y el
aimbolo .O.; finalmente, en el tereer grupo, formado por los Axiomu 12't-20tt, dmempeflan el papel mú importante el eimbolo
de multiplioación
el aimbolo ih.
Todoe loe uiomaa de loa doe primeroe grupos, oon excepción
de lOtt y Utt IKID ya conooidoe. Loe Axiomas Iott y lltt junto.
eetab!ecen que O ee un elemento unidad (& derecha.) de adición.
En general, ae dice que "' ea un SLDOlfTO UNIDill A DBRK<JB.A o
A IZQUIBBDA DI: LA OPD.AOIÓN 0 Df LA OLASll K, si U pertenece
a K y li todo elemento z de K aatisf.oe la. fórmula.:
•+•
•·•y
zO•=z,
o
•Üz=z,
respeótivamente. Si u ee al mil!:no tiempo un elemento UJ1i.
dad a derecha y a izquierda, eatoooee ea llamado eimplemeate
~ tnnDAD DB LA OPI&AOIÓN
0 -
LA CLüJI
K ; rmuJ.t&
olaro que en el OMO de una operación conmutativa O, todo
elemento unidad a dereaba o • izquierda es simplemente un
elemento unidad.
En loa tree primeroe uiomae del teToor grupo, esto ee, en IOI
Az.iomae 12" • 14", reconocemoe lae uns DB ~~.
OONXUT.6.TIVID.A.D y A800UTrVIDil> de la muJtlpllCAción; ~
oorreeponden exa<:tamente • loe Axiomu 5tt.7'f. Loe Axiomu
16tt y 16tt 8e ll&m~ LBT DB JNVD.l'IBILIDil> .A. DBBll<JH.6. par"'
la multiplicación y LJ:y DE llWMOTONÚ. de la multiplie&eión con
respecto a la. relación mmor que. Eetoe. axiomu corresponden a
laa leyee de invertibilidad y inoootonia de ta. adioión, t.unque no
enctamente. La diferenci& reai.de en el hecho de que sus hipóteaia oontienen las condiciones reetrictivas ty # Ot y tO < :n; & pee&l"
de aua nombres, por lo tanto, no noa permiten afumar simplemente que la. multiplicación tlll!I invertible, o que ea monóton& oon
reapecto •la rela.eión < (en et aentido de laa Secoionee 4.7 y 49).
El Axioma 17'1' .-.tableoe una conexión fundamental e11tte la
adición y la multiplioa.oióo; 61 la. llamada. uv DIBTBIJl"UTIV..A. (o,
eetrictamente hablando, LEY DB Dl8'l'"&IttJTJVII>~ ... DBBBOB..6.)
de la multiplicación reepecto de la adición. En general, la opera..
oión p es llamada. DISTBIBtrnT.A. ... D;sJU.CJJU o ... IZQUDJLD.A. BSS·
PBOTO ... l i OPBB..A.OIÓN :IN u: OLABB K si tr"8 elemento. cutJee.
quier• z, y, z de la claae K satisfacen la. fórmula.:
o
zP(y O•) - (zPy) O (•Pz),
(• Oy) p, - (<Pz) O (gPz),
respeot.iva.m.ente. Si la. operación P ea oonmut&tivt., lu nooioDfllll
de diatributiTidad, a dereoha. y • izquierda, coinciden, y decimoa
lii:aplemente que la operaoióll P 61 Dlllft.U"UTIV.A. uaHOTO »• LA
OPD.AOIÓN O.KM u
K.
•
Loe tn8 111.t.imoa uiomaa M refieren al ndmero l. Loe Aziomaa 18" y 191' juntol ~que 1 •un elemento unidad a
derecha. de la. multipliOt.Oióo. El oout.enido del Axioma 2Qf1 no
neoesit& aclaración; el pape.l que deeempefta 6llte u::i.oma en la.
oonstruoción de la aritmética eé mocho mayor de lo que pudiera
pa.reoer en principio, ya que &in él aeria. imposible mostr&r que el
oonjunto de todoa loa ndmeroe ee in.fbµt:.o.
01.ü•
i . t:.otalidad de tu propied&dee uignadaa a la adición y • la
mult.iplicación por loe Aiiomu 5tt-8'f, 12"'-16" y 17"1 ltlelea
INTRODUCX:IÓN A LA LÓGICA
265
reeumirae en la. afirmación de que oetoe aliomaa establecen que
el ooojunto W es uo
O'O'EBPO
(o, m'8 precisamente, un
001:&PO
OOMlftl'l'.A.TIVO) USPDJTO D• Lü OPD.6.0IOns DE .illIOlÓl'f T
llULTl!'LIO.A.OIÓN. Si, ademú, ee tienen en cuenta loe axiomaa de
orden ¡tt.stf y los u:iom&a de monotonía. 9tt y J6tt, se dioe
que el conjunto lf es un OUKBrO OILDSN.illO BKl!IPEOTO DE LA.
'BJa..&.OIÓN
<
Y
i.ü
OPD&OIONBS DB ADICIÓN Y llULTD'LIO.A.CIÓN,
El leotor 89 de.r4. ouenta fácilm.ent.e del modo de extender el con·
oepto de cuerpo, o el de cuerpo ordenado, a cla.se8, operaciones y
relaoionee arbitraria.a. Si alin tenemoa en cuenta el axioma de
oonti.nuidad 4tt, &11Í como loa Axiomas lott, IItt ·y t8tt.2()tt,
refl!lftlDtes a los námeroa O y 1, el contenido del sistema de axiomaa Vtt podrá caraot:«is&nM! como aigue:
Bl Ñterna de a.tiomtM Vtt tzprUa que el eonjunlo de tod.ol lo.
1''1Ímerol U U1l cutrpO eor.ci1'111Gmeftk onknoáo ruptdO tÜ les rtlcsci6n < y laa ~ t:k adici6ft y muleiplM:ación, y ditein~ "'
uk t:Amjunlo dos ekmentoa tl\/erenlu O y 1, d primero de b ~
u ""' demtnto wddad tk la ad~ y d .ttpndo "" ekmmto untdad
d< la mu/j;plka.:ió..
86. Bt¡alftlenela de IOI •• ddtmaa de ul.omu; denentlju
me&odol6gleu 1 nntaju dW6otltu del Hg1llldo slltema
Loa Sist;emaa Vt y Vtt aon equinlent.M (mejor dioho, lo eon
li al primero 118 agrega la ddniaión del lhnbolo tOt, y la. del simbolo de moltiplia.oión, íol"mlli6clM ambu oon. ayuda. de los térmi·
noe primiti:roe de dfoho sistema). Sin embargo, la demostn.ción
de la equivalenoi& no ea fMDI. En realidad, la deducoióu de loe
uiomaa del primer eiltem6 a pwtir de loe del eegundo, no ofreoe
mayor dificultad.; pero en lo qoe a la tarea. opuesta. 89 refiere, ya
19 sígu.e de nueetna obeervaoionee anteriores que, eobre la bue
del primer Biatem&, tanto la deflnioión de multiplicación como 16
demoatración de laa leym 1Mou ref91"8D.tes a mta. opera.ción (qae
8¡an.n. oomo uioIDM en el_eepndo mtema) preaent&n. difi.oolta.dee oonlider&bles.
En el upeot.o metod.ológioo, el Biatema Vt aventaja OOD·
liderablemen.te al Siatema.
El n1llnero de.los a.x:iomaa en
vn.
266
eete último ee mM de doa veces mayor. Loa aJ:iomaa no son
independientee entre si; por ejemplo, loe Axiomu 5" y 12",
ee decir, lu leyes de zulizabilidad de la adición y la multiplicación, pbeden derivane de loe J'88ta.ntea uiomaa, o, ei se
conserva.n. Mtoe, Mgunoe otroe, como loe Axioma.e 6tt, Utt y 14.tt
podr&n ser eliminsdoe. Tampoco son independientes entre 1111 loe
términos primitivoa; tres de elloe, a saber: •<•, tOt y ch, 80D
deliniblee nliéndoee de loe reet&ntee (~r ejemplo, en la $ec.
ción 53 ae indicó una. de las poaiblea definiciones del sfmbolo t0t•), con lo que el nlimero de a.riomaa puede ser nuevamente
reducido.
De eat& manera. el Sistema Vtt admite importa.otee ai.mpliñe&cionea de varioe tipos; a conaecueocia. de eet.aa aim.pliñca.cionee W.
ventaja.e did&ctioe.e del m.i.!lmo e& red.noon, y Mt.&8 ere.n ~bnente
grandes. Sobre la· bue del liatema Vtt ee posible desa.rrollar eill
di.6cult&dea laa p&rtee mú im.portt.ntee de la aritmética de Loe
númel'Ol!I reales: la. teorfa de lu relaoionee ftmdamentalee entre
n6meros, la teori& de lu ouatro operaciones a.rí.tm.éticu elemeotalea: adición, SU8tr&ooión, mu.lt.iplic.aoi.ón y división, la teorla de
ecuacionea, desigualdad.ea y funciones linea.lee. Loe métodoe de
inferencia que son aplicados aqnf tienen un ca.rl.cter muy natural
y oomplete.mente elemental; eo. particular, el axioma de oontinuidad no interviene p&I'& nada. ea esta etapa.; no entra. en juego
haat& llegar & la teorfa. de laa trm opera.oionee arit!Mt:icaa t1n1perioreet: potenciMd6n, ra.die&Oión y logaritma.oi6n, siendo incliapenaable para la. demoatra.cióo de la. exiStencia de ndmeroe irracionalee. No parece oonooene otro lliatema. de uiomu y tAnninoll
prim.itivoa que o&ezoa una bue mé.a "Hntajoa& pan ana ooutrucción elemental y, al ·mismo tiempo, estriot.a.m&Ate dedactiv&,
de l& a.ritmática de loe númeroe realel.
·
-
l. Mostrar que el conjunto de todoa loa núm.eroa poaitivoa,
la rel&ción <, U. operación de mnltiplioac.i6n y el número 2 oonatituyen un modelo para el sistema. de &xiomae Vt y que, por lo
tant.o, eete sistema posee aJ menoe doe interpretaoionee diatintae
on la aritmética..
lNTm:ODUCC'IÓN A LA LÓGICA
2. iCu!lee de lae rela.cionee citadas en el Ejercicio G <Mil
C.pitulo V aon denaul
•s. tCómo podem.oe upreeu ~el simbolismo del c!lculo
de reJaclone&- el hecho de que l& relaoión R m deDA (en I& cl&ee
univenal)l ¡Cómo podemos expreeu por un& ecuaoión del cálculo de rel&cionee el hecho de que l& relación R ee transitiva y densat (cf. Ejercicio 17 del ~pltulo V).
4, ¡Cuf.lee de loe oonjuntoe numériooe siguientee quedan ordenados deDMID.ente mediante la relación <:
(a) el conjunto de todos loe n6.m.eroa naturalm,
(b) el oonjUDto de todoe loe n6meroa enteroe,
(o) el conjunto de todoe loa n6meroe raoion&lf9,
(d) el oonjunto de todoe loa o~ positiTI>B,
(e) el conjunto de todoe loe oómeroe diltintoa de 01
•ó. Pan. demostrar aobre la bue del aiatema do u::i.omaa 'Vt
que el número 1/ 1 existe, ee decir, la. exiatenoia. de un números:
tal que:
•+ • = 1,
ruon&remOB como lligne. Se& K fil oonjunt.o de todoe loe número. z
talee que:
:c+z<l,
y, ao.Alogamente,
que:
9N
L el oonjuot.o de todos loa n11merocl y t&kie
1 < Y +: Y·
Demostraremoe primeramente qoe el conjunto K precede al conjunto L. Aplice.ndo ahora el u::i.oma de continuidad obtenemoe
un número r; que &ep&r& ambos ºconjuntos. Mostraremoe a ·oontinnaaión que el. número z no puede pertenecer al conjunto K (puee,
en ouo contrario habría en Mte un n6.m.ero z que Miria mayor
..
,
qt1.e z) ni tampoco a L, de donde ae concluir& que z es el ndmero
bueoa.do, esto ea, que
z+z - 1.
Desa.rrólleae en detalle la demoeir&ción eebozad&.
•&. Generalizando el razonamiento del ejercicio anterior, demoetrar sobre la base del Si.etema Vt el teorema siguiente:
T. Para todo número .z uWu un •tímtro y tal que :z: = y
+ y.
Compirea& el reaultado obtenido con laa ol>Mrvacionee de la. Seeción 60.
•7. En el Si.ttema VT, reempli.oeee el Axioma 3t por el Teo·
rema· T del ejercicio anterior. Moetrar que el siltema de proposioionee ob~Dido de esta. form. ee equiv&lente &J. Sistema Vt.
Indicación: Pa.ra deducir el Axioma 3t del sistema modificado,
llWJti.t1iyaae en el Teorema T, a+ .n por cet; en virtud de la
hipóteeis del Axioma 3t, podrá moatraree oon facilidad que el
n6mero y satisface la oonclueión. de este axioma.
•s. Usar el método de demoetra.ción por int.erpret&ción pan.
mOlltrw que deepuY de suprimir el Arioma )t en el Sietema Vt,
ae obtiene un lliatema de &Domu independientea entre af.
•e.
Indicar una
iDte~t.aci6n
geométrica, de loe Siatemu
Vt y 'lJt'I medi&nte una utenaióD. del Ejercicio 2 del Capitulo VID.
•10.
Eecrlbe.nse en simbolismo 16gioo todos loa u::i.omu de·
loa Sistema.e 'VI' y
Vtt.
11. iTienen elemento unidad a derecba, a izquierda. o lim·
plemente elemento unidad en el. oonjunto de todot loe nó.m.eroa,
l& 8U8tracoión, la. diviai.ón y lu operaoionea menoiolllldu en el
Ejeroicio 3 del Capitulo VIII1
INTllODUOCtÓN A LA LÓGICA
•••
,Poeeen laa oper&aion• de adioión y muJtipliC60i6n de conjuntot de puntot elementoe unidad en la claae de todoe loe
conjuntol de puntoel
•12. Demostn.r que toda opefaoión conmutativa en UD& clue
a. lo sumo un elemento wlldad en éat&. Generalizando el
resultado obtenido en el Ejercicio U del C...pitulo Vlll, demoetnr
el siguiente teorema de la. teoria. de grupos:
portee
.ri la daae K u un. grupo abdiano ruptt:to de la opuaci6n. O,
eJUon.cu dicha <>?!ración. polllt'á tmdammte un. denunto unidad
en.laclaal'.K.
•
C.Onaideremoe laa einoo oper&cion• e.ritauSticaa de adición,
eU8Uacoión, multiplie&ción, división y potenciación. Formulu- laa
propoeioionea que afirman que ceda una de eataa operaoionee ee
diatributiva a. dereoba. y a izquierda reepecto de la.a demú (en
tot.&l, habrá ouarenta de dicha.e proposioionee). ¡Cuáles de ellaa
tt0n verd&derae1
13.
1'. Resolver el mismo problBma que en el ejercicio a.nt.erior
oon Iaa cuatro operl!Mlionee A, B, G y K que introduji.m.oe en el
Ejercicio 3 del Capitulo VIll. Hoatrv adem.'8 que toda opera.oión
que sea rea.liza.ble en un conjunto de números será. dietributiv.i.
a izquierda. y a dereoha. en este oonjunto, reapecto de 1&11 opera.cioD.M Ay B.
16. ¡Es distributiva la Wción de claeee r-.pect:.o de Ja intenección, y viceverut (af. Ejercicio 16 del Ca.pitulo IV).
16. ¡Cuá.Ie1 de loe conjuntoe numéricos citadoe en el Ejercioio 4 eon ouerpoe ordenadoe reepecto de la telación < y de la
adición y multiplioa.ción1
17. DemOIJlirar que el conjunto oompueeto por los núm.exoe O
y l ea un cuerpo reepecto de i. operación .f. definida en el Ejercicio 6 del Capitulo vm y de la multiplM:iaoión.
270
18. Determinar dos oper&cionea con loe Dómeroe O, 1 y 2, de
manera que el conjunto de "8toe comtituya un cuerpo respecto
de eea.a operacionea.
19.
iCómo se puede definir el simbolo th con ayuda de la
multiplica.ción1
20. En base al Sistema VH pnede demoatl'&l'96 el siguiente
teorema:
~[O< z~~(z - 11· y)].
Admitiendo que dicho teorema estuviese y& demoetrado, deducir
con eu ayud&, de loa a.riomu del Sistema Vtt, la siguiente pro·
posición:
¡~uede ha.ea.ne en eete teorema l& obtervación que hicimoe
en la Sección 65 respecto a una posible reducción en el nfunero
de términos primitivoa del Sistema Vtt!
•21. Demostrar el Teorema T del Ejercicio 6 sobre la baae
del Sistema Vtt. Compárese esta demoa~mción con la que propusimos en el Ejercicio 6, con referencia. al Sistema Vt; ¡cuál de
eataa dos demostra.cionea ea mt\8 dificil y exige mayor conocimiento de conceptos lógieoa?
Indicación: Para. demoatr&r el Teorema T a partir del Si.et&ma Vtt, a.pliqueee el Axioma. J5tt, reemplazando tyJ por d + h
y ..u por tyt (a.ntee habrá. que mottav que 1+1 ea distinto de O);
aaJ obtenemoe un número y del que, oon ayuda de loa Ari>IDU I 3tt,
171' y I9tt, puede moatrarae fkilmente que aa.tiaface la fórmula
dada en el Teorem& T.
•22. Deducir del Sistem&Vtt todoa loa uiomaa del Sistema Vt.
lndie&eión: Pan la deduoción del Axioma 31" UÚlnu& que el
Teorema. T del Ejeroioio 6 estavieee ya demostrado en bue al
Siatema Vtt (véase el ejercicio anterior), y prooédase a. contínua.ci6n de la misma ma.uera qae eci ol Ejercicio 7.
GUIA BIBLIOGRAFICA
En esta. última sección recomendaremos &l lector e.Igunoe Ji.
broe que pueden ayudarlo a. profundizar y ampliar loa conoci·
mientoe a.dquiridos· aqu1. En nueetro campo la. literatura se b&
ellriquecido conaidera.blemente y, en particular, eaU. bien proviat6
de terlof pan cunoe: uniV"eraitario. de diversoa nivele&. El autor
no pretende eetar familiarizado oon toda. la. literatura relevante y
reconoce plenamente que au a.precia.ción de la literatura existente
---aobre la cual ha basado la. selección que se preeent& m!s al:iajo--ee a. menudo &Ita.mente subjetiva y a veces accidental.
Al prep&r&r esta. guia bibliogri.6.ca bemoe tratado de seleccionar trabajos que nos han parecK:lo calificados para estudioa independientes, omitiendo a.lgunoe libroa que pueden ser usad.08 con
6rito como texto bajo la. gula de un profesor. Una gra.n pa.rt&
de nuestra. ti.et& cona~ en libros de nivel introductorio o inter-
medio, cada uno de loa <males cubre una variedad considerablemente a.mplia. de temaa; pero también mencionamos, frecuenW!men.
te ein diecuaión, a.lgunoa tr&ba.joa &va.11%&doa y monogra.fla.a u:p&cializada.a. Aquellol!I libroa cone.ideradoe diffcilee para principiantes
eetán indicados por aeteriscol!I.
Eete libro ea un t rabajo de divulgación, cuya. tercera edición
-que ha. dado lugar a. l& presente traducción castellana.-- eat&b&
destinada principalmente a lect.oree de babia inglesa. Por lo
tanto, a. igua.lda.d. de condicionea, hemos dado preferencia a. libroe
publicados en inglés1 • En el caao de libros no escritos original.
• Bl 'OD.loo libro menelonedo por .i eutor 46' q110 ni.te ane vei.lón CMtella11a H Bú·
lllt"'N ok ldgie<J l•dr«<J de D. HIL. .&T J W . .A.CUUU.»111, publJCl.do por Edltorl• I
T..e-,8. A.,M&drtd.1092,21JJl4,&liw(cf.p6c.21t). -(0. C. y M.D.)
A.thED TAll9Kl
mente en ing16e y poeteriormente traducidoe a. eeo id.iom&, noe
referiremos (con UD& ucepción) a. la. traducción iDgleu.. En el
caso de UD libro con dos o m'8 ediciones, referimoa e1:olu.iva..
mente a. I& últim& edición a.parecida..
Hemos intentado dividir loa libros de eet.& guía en v&rioe gro·
pos, de acuerdo con eu tema.. El lector notar!., sin embargo, de
nuestras breves deacripcionee de eet.oe libl"08, que la. clasilie&ción
no ee excluyente: varios tr&bajoe pueden ser ubicadoe en m'8
de UD grupo.
A.
Desarrollo ab&emillco lle la 16glca
C.Omo ae seftaló en el prefa.cio, 89t& obra no contiene una. pnieea·
t.&ci6n de la lógica como dieciplina. deductiva formalizad&. La
primer& ta.rea. para el lector que proyect& oontínU&r llUS estudioe ea
eek dominio e.a, naturalmente, fa.miliarízane con un . deearrollo
sistemático y eetrict.&mente deductivo de, por lo m.enoe, lae partea
máa elementales y báeica.a de la lógio&. &taa 11an loe llamadoe
c!lculo proposicional, teoría de loe oua.ntifi.oadol"'8 (también conocida oomo cálculo funcional de primer orden o restringido, o t&mbi6n como cálculo restringido de predicadoe), y la. teoría de la. ident.i.dad. Para eet.a ta.rea podemoa reoomendar loa aiguientee libroe:
D. llD.Bu.T y W. ACKD.IU.?fll, Principlu of JlcdMmatitxll
Logit, Chelae& PublWllng Company, Nueva York, 1960, I I I + 1'12
págin...
A. CmraoB, lmrotltu:Wm to JltJIAema&.al Logle, vol. l, PrínI + 376 páginas.
oeton Univers:ity Presa, Prinoet.on, 1968,
IN'l'SODtJCC1ÓH A L4 LÓOICA
En •t.& libro .. dieouten. 1• tn.ilmae partee de la 16gioa que
eD
el prec.dente. Sin embargo,, la diaouei6n ee mucho mM det.allMia.
: a:=. :1:::u~~tii:.o;;~~~~Je·::o:O':!!d:,;!~
~~~b;a &l=u:i~~n=n=:i:r:ci:º:'m~~t;cr:°;e'd.
oui6n de t.eorfu formalir.adaa, 4&1ee como nombre, denotación, ftg.
ni/icado, connante, tiariabk. et.e. El libro está provisto de numero·
908 ejercicioe int.ereaantee y contiene muchas y valiol588 referenciu
hiat.óricaa. Un eetudio aietemé.tico de esta. obr& no ea tarea ft.cil,
J:ic:!
~°:~r 1~~8Jdeh&~alib!~U::!~ ~d~dÜ~~~.~c=a=
encontr&ri. en Inwoduction to Lo(fic. de CllUBC•, un medio eJ:celent.e
:!.!idc!:r&r
-~=: ~~~~4: f~té d:"!ic~~o=C:PJ:1c~~!ci~
mientoa en aquellu pa.rtM de la lógfoa cubiertu por 41.
D. K..u.iu y R. Mon...ovs, Logic. Teehniquu o/ FOf'mal
&.oacming, Barcourt, Br&ee & World, Inc., Nueva York, 1964,
X+ 350pá.ginaa.
De acuerdo a lo que loe autoree decl&l'&D. en el prefacio, reco·
mendamos eete libro en primer lugar a aquello. leotoree iDteresadoa,
no t.&nto en la lógica como cien(lia. (y en lo. resultadol!I metodol6gfooe conce.rnientee a ella), eino principalmente en la lógica como
=~c!i~=dr=..c~ ~t:-"t:C.~~;;e~i:~tr::i:~t~
::i::. ~r:1o ~f ü':o':f~!:1:rt.á1~u°!~e~6~ t:a:=f:¡:~~
1
~~~:ll::~ó~6fó00·C: =j!io;,.~~J.j::v:n":·v!i~~~ iC:
uf lla.roadoe mftodo1 de deducción natural¡ la adopción de eate
m4todo ha 1ido motivad.a., 11.parenkmlent.e, por el deseo de hacer
d.~~~'::~Del~ ::Z~lo n~~ :i:¡J:abl:::!~~id~i 8:-é:d~
•clMico• aplicado en loe libroe ao\ee mencionlMioa; aunque igualmeote riguroao, el m étodo de loe a.utore11 puede no igualar al m4todo •olúioo• en l!limp licidad iaUio8eca y valor pa:r& la lógice. como
ciedtlia. En lol!I óltimOIJ ce.p(tuloe loa autoreB ee ocupan de !u apli·
oaoiomM de Ja lógica a la formafu.aoión de algunoa fregmentoe de
Ja ma.t.emitic& y discuten ciertoe "6picoa (te.lea como definicionee y
operad.oree que ligan variablee) relevan\ee p&ra eet&s aplicaciones
que eon frecuentemente deeouidadoa en teJ:tol!I de lógica.
El lector que desee eirtudi.r.r putee avanzadas de l& lógica
(de &lguna& de laa cualee loe C&pltuloe IV y V de nueetro libro
dan una. id&& euperfici&l e inadecuada) puede obtener &lguna
lln'~IÓMALl.t6alCA.-11
274
informa.ción inttoduotoria. on loe libros de BILBDT·AOKDlUJOf
y ClltrBOB. En 1&1 eiguientee obru puede encontr&ree u.na p~­
eentación mucho mú extenaa:
•R. C.niuP, Introductlon lo Simbol~ Logic and ita A.ypl\cotiona, Dover PublicationB, Inc., Nueva York, 1958, nv + 241
págll>ae.
El espectro de tópicos diecutidoe en este libro ea muy amplio.
Loe aistemaa de lógica esbozadoa en él incluyen laa teorlu de ol88B11
..
fi:Oace!i°d~t1ll!º:n e:f~~~~aj~º: ~~~~ c;w~=i:s:.C-:id~
m'8 abr.jo. Ademáa, es ext.eneamente i\J\&lizada la importante dil!tinci~n entre nocionea 1intl.cticaa y S&m.ánticu que a.p&reeen en la
deecr1pción de un eilltema lógi'?º• aon dl8Cutidoa lo• problem&e ge-
ne.ralee que aurgen en la.a aphceclonoe de la lógie& a otraa cien·
ciu, y ae conat.ruyen eietemu &lliom,ticoe para. ve.ria.e teoriM
m&temiticu y fragmentos de cienciu ~pfricaa. El énfaaia eat4
pueeto funda mentalmente en un anáJis111 de loa conceptoe y no
t.ant.o en un desanollo deductivo de teorlu o en Wl& e:ii:po1ici6n
de loa resultadoe obtenid06. EJ eetudio de este libro puede ofrecer
dificult.adee debido a la preeen~i6n concisa y frecuentement.e
eequemática..
•A. N. WHITEBEAD y B. RUSSEIL, Principia Malli.emalk.a,
Cambridge University Presa, C&mbridge, vol. l, 1925, n.VJ + 674
páginas; vol. 2, 1927, XXXI+ 742 págs.; vol. 3, 1927, VIII+ 491
páginas. (Algunas partes del volumen l h&n a.parecido t&mbi.Sn
en una. edición no encua.dems.da. bajo el titulo Principia MatJtana,.
!k,a to •$6, 1966, XLVI + 410 P'ginae.)
Eetr. obra., que ya. ha •ido cita.da varia.a vecee &n &I tr&neCUtfKI del
presente libro, a.ón ea, induda.blement.e, el traba.jo mú repreeent.ativo de la lógica moderna. Contiene una preHnta.ci6n •iltemática
eah&ustiva. de un extenso •iatema de lógica que constituye una
aae adecuada para. 101 fundamentos de la ma.temtitica; 1in embargo,
el de&&rrollo no eetá a. la altura de loe eetriotoa requisitos de la
met.odologfa. actual. El trabajo MU prepondere.ntemente escrito m.
¡;
~rgu:l:s8;:1:1!:ºtL!~~~::'J:.:!bdem;t~~:1;;}~~~6:~=
tar un eetudio completo de esta obra (a menoe 9,Ue esté eapecialmente
~~~i:i~~=~!!: !1~~6~6f;6nm~e=)~r!'b..!:
inetnictiva. e inspira.dora.
INTRODUCCIÓN A LA LÓCICA
216
Pua concluir, mencion&moa doe monogra.fiaa, ca.d& una con
un contenido eapeci&liu.do:
•J. B. Ross:u y A. R. TvllQUETI'B, Many-valtud Logk4,
Nortb-Holland PubliBhing Company, Amsterdam, 1952, 124 páginaa. (Studiee in Logic r.nd the Foundatioll8 of Mathematica.)
J. H. WooDGEB, The Te.eAniqut o/ Tlwny OonatrudUm, The
Univereity of Chicago Prese, Cbicago, 1939, vn + 81 págs. (International Encyclopeclia of Unified Science, voL 2, núm. ó.)
B. Teor1a general de ooD)untol
La teorl& gener&l de conjuntos -eea trata.da como una parte
de l& lógic& (ha.jo el nomb«i de teoría de olaaee y relacionea) o
preeent&d& como una disciplilla matemática independiente- ocupa una poaición excepcional en el dominio de la ciencia deductin,
ya que junto oon la. lógica elemenWLI, forma la. base para un deearrollo riguroeo de caai toda otra teorla deductiva.. Por lo tanto, será
importante para el lector familiarizarse con las nociones y reeult&.dos de la teoría. de con:juntoe, y aprender cómo puede aeta teoría
aer desarrolle.da riguroaamente como un& disciplina s.istemá.tica.
P. R. Ril.Koe, NaitJt. Sd Tltemy, D. van Nostra.nd Company, Ino., Prinoeton, 1960, VD+ 104 páge. (The University Seri.ee
in Undergraduate Mathema.tiea.)
A pesar de la impreei6n 9_Ue pueda provocar la palabra •in¡onua.
en 1u título, este peque6o hbro contiene un deMrrollo asiom6tioo
-inteligible y precilo- da
elemento• de
de coojuntoe,
aunque
ptwtajN
meoo1 ;-;iuemé.tico del tero.a..
no rico
contenido ma.te-
loe
la teorl&
hubiera eido deeeable un tratamiento
El libro ee en
:'J;r:;._e p::b\:::n~,~: ~:a:d:e!ªd;8°.;{:c:! c~:mi:ic':
en muchoa
oontem~rá.ziec>8
que ee han :x;:ialir.ado en alguna otra rama de la
:':ill !~°.:oc'::~o~:~~':ir;: la :.arl: ~;:e~afd~~~nj:i~~º· puede
8
P. Sorn.s, .A.:riomatie Set 'l'httwy, D. van Nostra.nd Compaoy, Inc., Prinoeton~ 1960, xn + ~ p&ga. (The Univeraity Seriee
in Undergradnate Mathem&tiCfl.)
278
Reoomui.~mot eete libro como ten.o muy ..t.iafactorio d9 nivel
intermedio. CubN m.M material que el libro de &!.Moa. Si .. am.
pli&ra el 11ltimo e&pftulo, que trata del llamado a:idoma de eleoeióa.
d" modo que abarcara lM implicaciones de eate axioma en la wi&.mftio& de ndmeroe cardinale11 como tambi4§n en ot.ru plllrtm de la
teoría de conjuntOll, el libro llenarla empliu necaida.d•. En efeo\o,
llltisfaria plenamente la neceui<IM de todoa aquelloe leotoree inierelllldoa en le. t.eorfa de conjunt.oe como herramienta indiapenaable
para el deu.rrollo riguroao de o&.ru teoriaa dentro y fuera de la mat.emá.tioa. La preeentación ea aimliúü.ea, precia& y ol&r&.
W. V. Qtrm:E, Set Th,wry aad it.t Logk, The Belknap ~ ol
Harva.rd Univen.ity .Preee. Cambridge, 1963, xv + 359 P'gin&a.
Eat.e libro aer' ó.til princip&hn6nto para a9uellom lectoree que
hayan mtudiado los elemeo.to. de t.eorfa de oon1unto. en otrofl t.e:ii:.
toe '1 mt4hl intereud.OI en la formalización y 1011 fundamenta.. llllio.
mAtioo. de eata teoria. En priooipio el libro 1610 presupone oono·
oimieat.oe de 1M part.418 elemeu.c.lee de Jógie& (pero no de teoría de
conjunt.ot); .. diioui.o. upUoie. au.nque hr9ve~t.e alguaoe problemu l6¡ic01 y metodoló¡poo. relaüv011 al d.arrollo de la toOria
de oonjunto.. Como eDteo muobo9 métod011 inoompatiblm de for.
malizar y axiomatizar l& teoria de oonjunt.o., el autor intenta d rrollar los primeros ea.pitulM de ella sobre una ba&e neutra o tcaai.
neutnM oon respecto a todoe eeoe métodos. (Podría ponerse en üouei6n el éxito completo de eete intento.) Mú adelante ee da cuenta
de variu axiomatizacionea diverpnt.es que se oonooen.
•w.
SIEBPIÑina, Cardinal and Ordinal Numbua, P&Illltwowe
Wyd&wniot.wo Naukowe, V&re0Ti&, 1968, 487 págs. (Po!U:a Aka.dem.ia. Nauk. Monograñe Matematiozne, vol. 34.)
Fata obra presenta
1:
un&
e1:J>Ollici6n ei:hauativa y completa huta
~~~ ddee ::'ri1..W::Sco011~~n;!°:' 1!~~dd~ ~::,=.tili~
de conjunt.ot y la de lae rela.cionee de orden y buen orden. X.. pre-
i:;i:"~u~~oª:1: ~~:~=~~~
=.
q:::
rmult.&ri. dificil recoutruir todo el deearrollo eobn uua bue &XiQ.
müioa. Un raego c&racteristico de la obra ee una eepanr.ei6n tajan·
te entre loe reeultadoe obtenidoe mediante el axioma de elección
1 aquellos ee:tablecidOll ein. hacer ueo de ee:te axioma; para mucho8
88'tudioeoe de la teorla de oonjuntoe, el a.Doma de elección reeulta
el menoe obvio de todos loa alUomaa uaualmente adoptados en dioha
t.eorla. El lector interesado en teorla de conjuntoa como-rama independiente de la matemAtioa· y que uf desee eetudi&rla, hall..,.
ftlio9a esta obra¡ Jaa nUllWll"ClllMI relarenoiaa bibliogrMou faoilitari.n
..tudios posterior..
IHTllODUCCIÓN A LA ÚICICA.
m
Jndicamoe otroe tNI tre.b&joe: loe doe primero. aoo libroe de
nivel avant.ado cuyo c.;:intenido ee"'- r&la.cionado oon loe libroe de
SU'PJ':SS y Qunnc, y el ~ ee una monografla. oorta que oont;iene profundoe reeultadoe en la metamatemiLtica de la teoria de
conjuntos y ha ejercido gran i.ofluencia en investigaciones poste.
rioree en eate dominio:
•P. BDN.t..Yl!I, Ariomatic 8d Tltttwy. Con una introducción
bistórie& por A. A. FB.Ar:n:sx.. Nortb.Holle.nd Publi.Bhing Com·
pa.ny, Amsterd&m, 1958, vm + 226 págs. (Stud.iea in Logio and
the Foundatiom of Mathematice.)
•A. A. FBilNXBL y Y. Bü-Hn.LZL, Foundation.a of 80 TM,o,y,
North-Holland Publishing Company•.Amat.«d.a.m, 1968, % + "4.lfi
página.a (Studiee in Logic a.nd t.he Foundationa of Mathematioa.)
•K. GoDBL, TM C~ of lk A:iom of Choiu anti of CM
<fflu.raliud Contlnuum-Hypothui# wilh tM Azioma of Sd Tll.tory¡.
Prinoeton Univeraity Preee, Princeton, J961, 66 páge. (Annala of
Mathematice Studiee, nWn. 3.)
C. Fandamentol l6glecJ1 1 eonJanUltu de la arltm6Uca
Al desarrollar una teoría deductiva preeuponem~ a. menudo
la téorla de oonjunt.oe (junto a la lógica elemental y posiblemente
otras teorlaa); aplioam011 entonoea el prooedimiento deecrito en la
P'gina lfiO y aignient.M, esto ea, ez.hibimoe loe términ011 primit.iToe,
formula.moa lOll u:iomaa, etc. Si.n embargo, en el caeo de la &ritm6·
tic.a. -laa teorfaa de ndmeroe naturales, entercia, raciona.lea, rea.lee
y complejoa-- y de otru parte9 de la maWim,tica oonat.ruidaa
directa.mente a. partir de la aritm~tica (como ser, toda la llamada
matem,tíca. clásica, inoluyeodo el aoiUiiria y el álgebra. clú:ieo11}
disponemos de otro método: eatu diBoiplinaa pueden aer constru.idu
ailnplemenWi como partee de la teorfa de conjuntos (o de un eiete·
ma extendido de lógica que incluya 1& teoria. de cla.eee y relaeionee1).
278
Elt.o ee, toda.a su.a nociones pueden eer deti.n.idu en t«minot de
nocionee conjuntietaa, y todoa swi teorem.ae pueden ser derivadoe
de eetu definicionee jUDto con lae leyee de la teori& de oonjuntoe.
Recomendamo1 a los lectores interesados en este importante upecto de la. teoría. de oonjuntoe (y ~e la lógica), loe eiguientee libroe:
S. FE!'ERMilf, TM Number 8~. Fcni:nJationA o/ Algebra
and Analyris, Addiaon·Wel!lley Publiahing Company, lno., Ref.d.
ing, 1964:, 111 + 418 págs. (Addiaon-Wesley Series in Matb.ematics.)
L. HENim, W. N. SJOTH, V. J. V.ilUN:&&u, M. J. W.A.LSll, &lraciAg El.t~ MatAtmatic.8, Tbe Ma.cmillan Comp1.11y, Nueva
York, 1962, XVIII + 418 pá.ga. (Allmd.oerfer Mathematie11 Serim.)
me::!.°:w~:~.:0d:r~~:.~~C-d!nt&c~: id!ª~V:J. ~~lo;
doe métodos para desarrollar la aritm6t-ica , con un& -.lved&d: en
el aegundo libro la aritmética de loe n ómeroa natur&lee ee deeMTOlla
exclusivamente como una teoria axiom6.tica y lu construcoionem poa·
t.eriores se llevan a cabo d entro de la t.eorfa de oonj1Ulto. enri~ue­
cida con esta aritmética. En general, el primer libro N de un mTel
m'8 a vanzado, 1u presentación, aunque muy cle.r&, ee mM coociM.
y formal, y eu discuaión incluye la arit.mética. de loe números com-
C~08e!o~~av::°!r~f~~o~f!°t!r;Ja ~!!!~~:e:¡~~
mente BCCeflible a lectoree ein e ntrenamiento avanzado (aun al
precio de cometer algunas inexactit udes formatee menorea), la pre961!.t.&ción está hecha en un eatilo rela.cionado con el de la me.tem'·
~c.::;ti=u;~p¡:c::~Ínyixel~Si•I ~~~:~~e~~ :i
t..xto incluye un e&pltulo 80bre toorf& general de conju.ot.oa que. &
~~~tf!:!:-U~~ip'i:~ :::.. r:ie:e~larZTei';~ h:~:;,
que llevó a la axiomat.iu.cióo de la Morfa..
Como lectura adicional ngerim011 un libro mucho mí.a antiguo oon la. misma. orientación, origina.Jm.enttl morito en alemAn,
aotuaJ.mente diaponible en traducción inglea&:
G. Fua11:, The Foumlaliofu o/ Antlametic• .A Logko-.MatAmtolical Enquiry into ""- OonupC o/ N umbU'. (Texto inglés y alemú.
a doble página..) PhilOBOphical Librwy, Inc., Nueva York, 1960,
+ 119 págmu.
=
JNTllODUccJON A LA. LÓCICA
Eete libro (al 9ue
~e~ \ºsf.:ry '!
)'&
noe hHnoe referido en la nota 1 de le.
219
P'·
:'J:=: =:~~u~:~i::ºl.: !;!~~~~
dinariamente bien merito y con.tiene una eetimula11te preMnt.ación
de lu ideu búicu que 11Ubyaoeo en el d""8.1Tollo de fa aritméti<la
como parte de la teoria de clues.
D. Metodologfa de las elenetu deductlns (mttal6gloa
1 metamatemtiloa)
El Mrmino mietodologfa. de las ciencia.a deductiviw se U&&
aquí en el sentido gener&liz.ado expueeto en la Sección 42, pá..
ginaa 171 y eubaigu.ient.es. P&r& aer recomendable como texto
aatillfaatorio de metodología a. nivel introductorio o intermedio,
un libro deberla eontea.er un dtllan'Ollo eietemá.tioo y fá.cilmente
inteligible de loe elementoe de eet.a ciencia, a. ea.ber, definiciones
precieae de le.e nocionee metodológicaa mú importantes, formulaoionM y deriva.clones de teoremas que esta.blezcan propiedt.dea
bá.s:icu de ellM, y a.plicacionee de eet.118 nocionee y reeultadoe
metodológicoe generales a teorlae deductivae eapeci&lee. Ademl.e
el deea.rrollo tendría. que satiña.cer los requisitos de rigor aplicados
hoy dia. a. tocl.a. ciencia. deductiva.. No conocemOB ningún libro que
a.tiafag& plenamente eetaa condiciones. Loe traba.jos que discutiremos o indica.remos a.qui, o bien ofrecen una. concepción re&·
tringida de la. metodología., o &00 trata.doe de nivel avanzado; o
finalmente, tienen el O&ráoter de monogr&fia.e que ee ocupan de
DOcionN metodológicu pa.rt.icul&ftl8.
•P. Louna?f, MM~, Bibliographieches Institut,
Mannheim, 1962, 173 págs. (B. l . Hochachultaachenbücher, vol. 26.)
El autor prel!l&Dta el material deede un punto de vista flloeóflco
definido, que podda llame.ne oonñructiVlfllllo metamat.erú.tico1•
Eat.e punto de viet.a elimina de la metama~mátie& muohu
formas de inferen.oi& normalmente uaadaa en lópca y materú.tica,
a pesar de que lae temiu t.ratada8 en laa di901Jaionea metamatem6tiou no eetÑl sujetM a. tal limitación. Por ooDBiguiente, algunM
280
partee de la. rnet.&rn&t.emitio& CODl.empori.nea DO ICI d.ilouten para
~~d:~~b=u~h;ºd!":!;~~uJ-:3!d;:::c~~¡1!¡:i~
del •I llamado teorema de compl~icidad del ~culo do predioed.011.)
Para el lector 1in conocimiento previo d1l punto de vimta cowrt.ruo·
tivi.sta, alguno• de loe argumentoe do mto libro podriab parecw
indebidamente complicados, y algunu de Ju dilltinoionee inint.eli-
f!'.;;
~::~: :~~~~~;':ib0::,~ i:\::~:c!6:9!~i!::i_e~
e informativa a importante& &ectoree del& metaipat.em!tica. Con
ayud& de este libro puede (amilierizane con el método de &ritmeti-
=~:i~:, lau':;a:;~~n':;!;i~:~oooS:~ªu:J:i:.~ 1:tC:ió:e!:.!i~~::
para e111tabrecer Jos profundos resultados de G6Dl!:L y CeuBc11 &abre
incompletidM e indecidibilidad de la aritmética (que hemos mencionado en lae piga. 168 y aigutentee); y también puede obtener
información sobre inveatig&cionee. relativa.e a la eompletid&d .y
docidibilidad de algunu otrs.s ioorlM deductivu, en pan.ioular del
'1gebra element.al. !A preeentación ee clara en ¡enera.l¡ loa &r-gu•
1Dento1 ion a vece& demuiado eoncieoa como para 1er coavineentee
para un principiante.
S. C. Kr.un, lntroductiim to Mdamathanatica, D. van Noe.
tr&nd Company Inc., Nueva York, 1952, x + 550 págs. (Uni-.er&ity Series in Higher Mathematice.)
~te ea un extenso trat&do do nivel avanza.do, cuyo estudio
requiere un serio mifuen:o por puta del lector. Sin embargo, esta
obra no con11tituye una deecripción exhauativa de la metalógica
y la metilm&temática contempor'-nea.a: au e.lcance eo restringe a.
problem88 metodológicos de la a.ritm~tica de números natural~ y
del cileulo do prodic&doa. La Parlie I contiene entre otroa t.6p1coa
una discusión de alguna.e poeicionee filoe~cu importa?~ refe·
rentee a la lógica 1.. matem6tica. en pa.rttcular del intu1c1oniamo¡
en otra.a pal"te8 de libro, en ~rticula.r ª!' el óltimo capitulo, puede
encontrane mucha información eobre a11temaa lógicos que co~­
ponden al punto de viata intuicioniat.a y aobro raaultadoe met.alógieoe
relavantea. La mayor parte del material contenido en Ja. Parte 11
r
~!'~fr: fu:!°i:~t¿:a-~:~~=n~iJeilib~~~ i:;:~ee1~l; :o~t~:U':
una. exposición del mét.odo de arihnetización de la meta.matemática,
d:rivea:t¡:~d:x¡:ai~~!~ªr~~:U:t!~ei~onb':e in~i!;'r:tiáadun:
indecidibilidad de Ja aritmética. En la Parte IV, la última del lihf'o,
pueden eneontrarae reeulta.doa m et.a.lógfooa básicos sobre el cüculo
de prodieadoa y wta diaouai6n del problema de la conai9t.encia de I•
aritmética.
INTaOOUOCIÓH A LA LÓGICA
•A.
281
Com-pltk TM.oriu, Nortb-Holland Publishing
Company, Amaterdam, 1966, 129 págs. (Studiee in Logic and the
Found&tíona of Mathematica.)
RoaCM&ON,
•A. MosTOWSKI, Senkncu Uftd.e.cidable in. Formaliud ArithmeAn Erpoaition o/ tM Thmry o/ Kurt G&Ul, North-Holland
Publiahing Company, Amet.erd&Úi, 1952, vm + 117 págs. (Studiee
in Logic and the Found&tiona oí Mathema.tice.)
~ic.
•A. T.lBSII, A. MosrowsB.I y R. M. RoBINSON, Unduidabl.e
Theoriea, North-Holland Publiahing Company, Amsterdam, 1953,
+ 98 pá.gs. (Studies ín Logic and the Founda.tiqne of M&·
:u
them&tiea.)
B. Fudamen&os allomitklos de &eoriu ma&emittou partloalans
El lector que haya estudiado la segunda parte de nuestro Libro
puede desear &prender má.e ~ de los tema.e alli diecutidoe.
Puede deeear, por ejemplo, familiariza.rae con otros ejemploe de
teoriaa axiomáticas, estudiar m'8 profunda.mente loe problemae
mek>dológiooa: relacionadoe con el prooeeo de axiomatización, o
ver una presentación m'8 detallad& de loe tópicos di.scutidoe en el
6.ltimo e&pftulo. Enoontra.rá. mucho material relevante en varioe
libros mencionados en A, B y C. Como lectW'&e adicionales 1ugerimoe dos monografiu mM antigua.a que la m&yorla. de loe otf'O!I
libros de nuestra lista., pero que de ninguna manera. están paaa.da.a
de moda y pueden aer tod&vf& intef'C&antea y estimulantes:
E. V. Hll'lmlfOTON, TM Fundamtntal ~o/ Alg~bra.
Monograph IV (páge. l l!'i l -207) ea MQ1Wg-ra.plw on Topic.9 o/ Jfo.
dtm MatMmmK.a Rekvam Co tM Ef.emenCa.ry FUld, editado por
J. W. A. You1m, con una introducción de M. Kl.ntB, Dover
Publications, Inc., Nueva York, 1955, XVI+ 416 páginas.
Recomenda.moe eete trabajo (publicadO por primera v1n en 1914)
a aquello1 lectores íntereeadoe en lae conaidera.ciones contenid&.11
en loe doe di.timos capftuloe de m1eet.ro libro. Encontrarián en 61
:i:.;io~6~-=ro\6JC:C: ioec1~~:n::o.~~~ti= 1:!
la. &ritm6tic&. de númeroe real.a y oomplejoe.
282
J. W. Yotnfo, IM:tuf'U °" Fundameftl.al COflU1'Ú o/ A~hra
an.4 <Jwmdry, Ma.cmillaa Co., Nuev& York, )930. VII+ 247 pa.ginae.
Eete peque6.o y muy informativo tra-ba¡o, contiene muohu e
intereunt.ee discU11ionfl6 y ejemploe del donu.nio de la metodologia
de la matemática..
Un trab&jo de carácter completamente distinto es:
•D. HJLBJCBT, Grundlogtn der Oeomdrit. Con revisiones y
a.péndices de P. BBlt.NAYS_- B. G. Teubner VeÍ-lagageeellechaft,
Stuttg&rt, 1956, vn + 251 p&ge. Hay también una traducción
inglesa. de una antigua edición alemana: Tlu FaundalioM o/ Gtomtlry, The Open Court Publiah.ing Company, Chiea.go, 1902,
YlI + 143 pl.ginaa.
Hemoe hecho referenci1111 & ee4e libro en la. m1t.& l de ta página 162.
Fue publicado por primera vez en 1899, y variu de lu edfoionem
eublliguient.ee fueron complementadas con referencias a algunoe
des&1Tolloa poateriorea. El libro ha t.enido una influencia decisiva
en inveatigacionea aobre 108 fundamento& axiomiticoe de la geometri& y aún hoy loe eepeciaJiai- en este campo lo Ntudian con eep&-
cial atención. Al leerse eete libro debe t.enerse en cuente. que no
~~~e =~~ol~c~e':;o;:'oe!:=:i!t:t~~menw
J'.
IUJtoria •
en loe
la 16gtca
Puede encontr&ne materi&l biatórioo valioao en varios de loe
libros ante& discutidos o meo.cionadoa, que no eat6n ~ífic&.
mente dedicadoa a la hiatoria de la lógica. Esto tam.bi~n MI aplioa
al siguiente libro:
·
C. l. LBWIB, .A Burw,y o/ BymbolW; Logic, University of Cali.
fornia Presa, Berkeley, 1918, Y1 + (()6 páginaa.
Sugerimoa muy eapecialment.e la _parte hiatórioa de e&te libro,
ya que ofreoe abundante información mtereMnte e iruitructiva aobre
el deaarrollo de la lógica moderna, El reato de Mte libro .W. fuera
de dpooa.
INTllODUCCIÓH A L.l LÓGICA
283
Loe doe traba.joe siguientes tratan exoluaivamento de b.ietoria
de la lógica.:
H. Soe:ox.z., Conciae Himry o/ Lo~. Philoaophical Library,
Inc., Nueva York, 1961, 140 p&ginu.
•r. M. BoOK:tNSKI, A Hlatory o/ Formal Logic, Univereity oí
Notre Da.me Presa, Notre Dame, 1961, XXII + 1567 págin&e.
tato& ee un t rat.&do comprensivo de historia de la lógica, t&llM>
t.radiciona.I como moderna, que incluye temu raramente upuee~
como, por ejemplo, la hietoria de la 16$ica h indd. Puede eer eepeeialmenW ú til para loe eetudi09C.Nt de historia de la lógica. ya que
contiene una extensa eoleeeión de traducciones ingleeM de puie.jee
de tezt.os origine.lee.
Puede ser impo~nte para loa lectores interesados en l& hietoria. de la. lógiea ea.her que n rioe de loe trabajoe oitadoe en este
libro por eu signifie&eión histórica, son ahora fácilmente accesiblee en nuevaa ediciones y, en algunos CB808, en tr&ducclonea
ingleeaa. :ltete es el caso, en particula.r, de loe trabajos de FREOE
y lln.BuT mencionados en C y B. Menciona.moa &demás: .
G. BooLB, An Jn~igali<m o/ the Law o/ Tkought, 01& WhicA
are FounJd. cM MatMmatícal Thtoriu of Logic and Probcbilitiu,
Dover Publicat iom, Inc., Nuen York, 1961, v + tv + 424 p&gjnu.
G. PUosofla de la l6gka J la matemiUca
En eete libro hemos tenido escasa. oportunidad. de dieontir
problema.a concernientes a. la lógica y a. los funda.mento. de la
ma.tem!tica usualmente collllidendoe como 610866cos (por ejem.
plo, el problema. de la. verdad de loe a.z:iom&11 de la. lógica y la. ma.
temática, o el de la. ez:istencil. de claaee y relaoionea). Ta.lee pro-
...
blemae, ai.n embargo, ha.o preocu¡»do a muchoe .tudioeoe y no
son, de manera alguna, irrelevan\el para el deearrollo de la. lógica.
Un punto de vista filosó6.oo adoptado por un lógico puede influir
decidid&mente 11u elección de temu de Ntudio, NI ml§todoe
de inveetiga.ción y au apreciación de lol!I rmult&d.oe obtenidoe por
'l y otroe. Recomendamos al lector que deeee una orientación
general sobre deearrolloe en la filoeoff& de la lógica. y la matem¿...
tica, los siguientes dos libroa -el primero de elloe una antología,
y el segundo un extenso traba.jo que cubre un amplio espectro
de t.ema.s:
P. BBN.i.CEBRil'
y
H.
PuTNüt, editoree,
Ph~y
o/
M~­
matiu. Sekded Rtadinga. (Con un& introducción de loe editores.)
Prentice-Hall, Inc. Englewood Cliffa, 1964, VII + 538 págs. (Prent.ioe-He.Jl Pbiloeophy Series.)
•E. W. BBTK, TM. FovmlatWm6 o/ .MatM.maliu. A Sludy '"
llae Philowphy of ScMna, Nortb-Holl&nd Publiehing ~mpa.ny,
Ameterdam, 1969, XXVI + 741 pá.ga. (Stud.iea in Logio a.nd the
Foundation.a of Mathemat.i.ca.)1
Hemos clasificado eete libro corno filoeófico, ya q_ue. como el
a11tor afirma en el pref&cio, uno de 1ua motivoe princ1pale111 al ...
oribirlo fue •el detJeO de eetrechai- !azoe enire inveetiga.oión ea
fund8.mentoe y filosofía general, y proporcion&r t.e.nto • filóeofoe
como a matem!ticos una amplia preaontación de problema y reeult.a.dos con comentariow talee que ayuden a moetrar au import:.&ncia
:~=i:::~N;e·~~~:c:n:~::,~ o:~: ~~Ce~=:~
darlo para un estudio 1ietemÁtieo. Contiene, 1in embargo, vuta
información 1obre todo el dominio de que no• heinoe int.ef'eMdo
~~:i:;~n!°:e!d~i::-unb~~tr'rn:~:!J~ &~i::!·rJ:i<!:r-=
o bra con la •peranza. de encontrar en ella, a falta de una esplioación
adecuada, por lo meno• algunu reíerenciu bibliogr6.fi.cu, algunu
obeervacionee hilltóricu pertinentes, o alguna diacuaión aobre lu
implicaciones filoeóficaa.
Mencionamos, finalmente, Wl& monografia especializada que
puede eer incluida. en A o en G:
...
A. Bs:Y'mfo, lntu'"°'""". .4• iftlroduetion, North-Rou..nd
PubliahiDg Compony, Amsterd&m, 19M, vm + 132 páp. (Studi..
in Logic and the Foundatiom of Mathemati09.)
Para concluir, deeeamoe mencionar que exiet.e una eociedad
internacional, The Asaooiation far Bymbolic Logic, que reúne la
m&yori& de los investigad.orea cientL6ooe en los campos de la. lógica y la metodología. de la. m&Umitica. Eet& inltitución tiene au
public.a.ción trimestral, TM Jountal of Spbolic Logk,, que oonti&ne contribuciones origina.lea, como también resetiaa crltica.a de
toda la. liter&tura a.ctual en el e&mpo de la lógie&. El volumen 1,
1936, contiene una bibliografla ellauativa (comple1I1ent&da eueta.ncialmente en el volumen 3, 1938, con agregadoe menoree en
volúmenea poaterioree), compila.da por CsuBce:, de todaa lu publicaciones en el dominio de la. lógica matemá.tica haat&el afto 1936;
un indioe de la. litera.tura publicada posteriormente aparece cada
dos afioa. Una contribución ulterior a la bibliograffa de la. lógica
ee el volumen 26, 1961, que ~otiene lndioea que ab&rca.n todo el
ma.terial de loe veinticinco voló.menee preoedentes. Existen también
otros periódicoe, oomo también ooleccionee de libroe dedicada.a
excluaivamente a la8 publicaciones aobre lógica y met.odologfa.
Mencionaremos espeicffica.mente la aerie Studiu in. Lo~ and IM
Foundati.on.a of MaJM.matia (Nortb-Holland Publishing Compe.y,
Amaterdam), en la que, antee de 1964, ya habían aido publicadoe
unoe cu&11111t& libroe, on eu mayoría t11onografíaa eapecialiudaa,
pero también unaa pocaa obraa de eará.cter mú genec&l.
La Aseociation for Symbolic Logic realiza dos o tnie reunionee
anua.lea en loa Eatadoe Unidos y otros palaee. Cada pocoe aftoa ee
realiza un Congreso I nternacional de Lógica, Metodología y Filoaoffa de la Ciencia; el prito.ero de ellos tuvo luga.r en 1960. Frecuentemente ae realizan simpoaioe dedicadoa: a problemaB o ramu
eepecia.lee de la investigación lógica. LM acta8 de est.oe congreeoe
y aimpoeios, a menudo publicadaa oomo libros aeparados, son
·fuentee vaJiOM8 de información aobre loa desarrollos má.s recientee
en eate campo.
Impreso rn
E~ 1•a i1a
Prinled in Spain