Cálculo Integral i Cálculo Integral ii Cálculo Integral Serie de Textos Académicos de la Facultad de Ciencias de la Ingeniería de la UPSE TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN: 500 EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRAL INDEFINIDA Ing. Paulo César Escandón, MSc. Primera Edición Universidad Estatal Península de Santa Elena ECUADOR 2017 iii Cálculo Integral Fi cha Bibliográfica : Paulo César Escandón Panchana TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN: 500 EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRAL INDEFINIDA Primera Edición, 2017 Editorial UPSE ISBN: 978-9942-776-00-6 Formato: 17 x 24 cm # páginas: 330 Derechos Reservados © 2017 Uni versidad Estatal Península de Santa Elena Edi ci ones UPSE Aveni da La Libertad-Santa Elena Ci uda dela Universitaria UPSE http://www.upse.edu.ec ES TE LIB R O H A S ID O E VALUAD O B AJO EL S IS T EMA D E PAR ES ACAD ÉMICOS Y MED IANT E LA MOD ALID AD D E D OB LE CIEG O. Portada: Manuel Martínez Santana. No está permitida la reproducción total o parcial de esta obra ni su tratamiento o transmisión por cualquier medio o método sin autorización escrita de los editores. IMPRESO EN ECUADOR Pri nted in Ecuador iv Cálculo Integral Los años de experiencia como docente de matemáticas, me han llevado al reconocimiento de las diferentes dificultades que presenta el alumnado a la hora de comprender y aplicar las técnicas de integración en un curso de cálculo integral. Es por ello, que decidí volcar toda mi experiencia en un texto que fuera de ayuda para tales fines. Esta obra de título “Técnicas de Integración, 500 ejercicios resueltos de integral indefinida” está dirigida a todo estudi ante de ingeniería o ciencias exactas, así como para profesionales de ámbito no ingenieriles que presenten problemas ante la comprensión en la resolución de integrales indefinidas. Los lectores deben tener conocimientos en matemáticas básicas tales como, algebra, geometría, trigonometría, derivación, para la correcta comprensión del desarrollo del fundamento teórico de cada técnica de integración y así poder evaluar la aplicación favorable a cada problema planteado. EL texto se divide en 6 capítulos que abordan las cinco técnicas de integración fundamentales y los principios básicos a partir de los que fueron desarrolladas. Capitulo a capitulo se presenta el desarrollo teórico de la técnica de integración y su aplicación mediante 500 ejercicios diferentes, resueltos paso a paso, a tal fin de abordar las diversas circunstancias que puedan darse al resolver una integral indefinida concreta. Cabe destacar que en cada capítulo se proponen ejercicios para que el lector pueda resolverlos, con su respectiva respuesta, los mismos que simultanean las 5 técnicas de integración expuestas en los capítulos anteriores. El Autor v Cálculo Integral CONTENIDO AGRADECIMIENTO VIII INTRODUCCIÓN 1 1. INTEGRAL INDEFINIDA 2 1.1 CONCEPTO DE INTEGRAL INDEFINID A 1.2 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA INTEGRAL INDEFINIDA. 1.3 PROPIEDAD ES DE LA INT EGRAL IND EFINIDA 1.4 INTEGRAL ES TÁNDAR 1.5 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN 2 2. CAMBIO DE VARIABLE 6 3 4 4 5 2.1 EJERCICIOS. - CAMBIO DE VARIABLE 2.2 EJERCICIOS PROPUES TOS DE CAMBIO DE VARIAB LE 6 49 3. INTEGRACIÓN POR PARTES 50 3.1 EJERCICIOS DE INTEGRAC IÓN POR PARTES 3.2 EJERCICIOS PROPUES TOS DE INTEGRAC IÓN POR PARTES 51 105 4. SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA 106 4.1 EJERCICIOS DE INTEGRALES TRIGONOMÉTRICA CON S US TITUCIÓN 109 vi Cálculo Integral 4.2 EJERCICIOS PROPUES TOS DE S US TITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA: 185 5.INTEGRACIÓN TRIGONOMÉTRICA 186 5.1 EJERCICIOS DE INTEGRALES CON INTEGRACIÓN TRIGONOMÉTRICA. 189 5.2 EJERCICIOS PROPUES TOS DE INTEGRACIÓN TRIGONOMÉTRICA 242 6. FRACCIONES PARCIALES 243 6.1 EJERCICIOS CON FRACCIONES PARC IALES 6.2 EJERCICIOS PROPUES TOS DE FRACCIONES PARC IALES ABREVIATURAS APÉNDICE A APÉNDICE B APÉNDICE C REFERENCIAS B IBLIOGRÁFICAS 245 324 325 326 327 328 329 vii Cálculo Integral AGRADECIMIENTO Agradecimiento absoluto a mi creador Jehová, por la fortaleza y bendición que le da a mi vida. A mi esposa e hijos por ser mi mayor inspiración de esfuerzo y sacrificio. A la Universidad Estatal Península de Santa Elena por abrirme sus puertas para compartir mis conocimientos como docente de la asignatura Cálculo Integral. A mis estudiantes de pregrado que, con su dedicación y el interés por las matemáticas, hicieron posible este ejemplar. viii Cálculo Integral INTRODUCCIÓN Es importante determinar el concepto y propiedades de la integra l indefinida ya que permite realizar el proceso de integración de una forma específica. Este libro detalla los pasos a seguir para resolver ejercicios de integral indefinida por cualquiera de las técnicas de integración. Las técnicas de integración utilizan muchas veces teoremas básicos de las matemáticas, como una operación de suma, resta, división, raíz, potencia, factorización, trigonometría, etc., y la forma estratégica de cómo emplearla para la solución de un ejercicio de integrales. Cabe destacar la importancia de estas técnicas, ya que las mismas sirven en el proceso de la integral definida, encontrar el área de una región plana, el volumen de un sólido de revolución, la solución de una ecuación diferencial, demostrar el teorema de la transformada de Laplace, encontrar series de Fourier, etc. Sin duda alguna, este libro es preciso y oportuno para todas las asignaturas de CÁLCULO que se utilizan en la ingeniería básica de las universidades del Ecuador y del exterior. Por tal razón, muestra en detalle las técnicas de integración y resuelve ejercicios paso a paso. Los ejercicios se han colocado en una progresión adecuada, de acuerdo con su nivel de dificultad y abarca gran parte de las técnicas de integración y las propiedades fundamentales del cálculo integral. Además, considera teoremas básicos de diferenciación e identidades trigonométricas que son consideradas en el apartado apéndices. 1 Cálculo Integral 1. INTEGRAL INDEFINIDA 1.1CONCEPTO DE INTEGRAL INDEFINIDA Se tiene una función 𝒇(𝒙), existe otra función 𝑭′(𝒙) en todo el rango de x para el dominio de 𝒇 , que cumple la siguie nte igualdad: 𝑭′ (𝒙) = 𝒇(𝒙) Entonces existe una función 𝑭(𝒙) que se conoce como antiderivada o integral indefinida. Para la representación de esta integral se utiliza la simbología ∫ , de tal forma que el teorema se representa de la siguie nte manera: ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ 𝑭′ (𝒙) 𝒅𝒙 = 𝑭(𝒙) + 𝑪 Es decir que la función 𝒇(𝒙) es integrable mientras que la función 𝑭(𝒙) corresponde a la integral indefinida de esa función. A 𝑪 se la conoce como una constante de integración o una constante arbitraria que no afecta en nada al proceso de integrac ió n indefinida ya que al derivar una constante toma el valor de 0, por el contrario si existiera una condición inicial para los valores del rango (x) se tendría un valor diferente en 𝑪. (Purcell, E. et al., 2007) Por ejemplo: 𝑓(𝑥 ) = 8 𝑥 4 + 12 𝑥 2 + 24 𝐹 ′ (𝑥) = 32𝑥 3 + 24 𝑥 ∫(32𝑥 3 + 24 𝑥) 𝑑𝑥 = 8 𝑥4 + 12 𝑥2 + 𝐶 2 Cálculo Integral 1.2 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA INTEGRAL INDEFINIDA. Considerando la definición anterior, la integral indefinida de una función dada, se escribe siempre con una constante de integración. Si una función f(x) está definida en un intervalo y F(x) es un antiderivada (integral indefinida) de f(x), entonces el conjunto de todas las antiderivadas de f(x), viene dado por las funciones: 𝑭(𝒙) + 𝑪, siendo C una constante arbitraria o de integración. Al interpretar el significado de la constante de integración, se observa el hecho de que la función f(x), es la derivada de la función F(x), es decir que, para cada valor de x, f(x) le asigna la pendiente de F(x). Si se dibuja en cada punto (x, y) del plano cartesiano un pequeño segmento con pendiente f(x), se obtiene un campo vectorial, como el que se muestra a continuación. Figura 1. Esta figura muestra la gráfica de las diferentes antiderivadas de la función f(x)=x; es decir ∫ 𝒙 𝒅𝒙 = 𝟑; 𝑭𝟏(𝒙) = 𝒙𝟐 𝟐 + 𝟑; 𝑭𝟐(𝒙) = 𝒙𝟐 𝟐 𝒙𝟐 𝟐 + 𝑪 ;𝒔𝒊 𝒚 𝒔𝒐𝒍𝒐 𝒔𝒊 𝑭𝟏(𝒙) = + 𝟏; 𝑭𝟑(𝒙) = 𝒙𝟐 𝟐 + 𝟎; 𝑭𝟒(𝒙) = 𝒙𝟐 𝟐 𝒙𝟐 𝟐 + −𝟏 Entonces el problema de encontrar una función F(x), tal que su derivada sea la función f(x) se convierte en el problema de encontrar una función de la gráfica de la cual, en todos los puntos sea tangente a los vectores del campo. 3 Cálculo Integral En la figura 1 se observa cómo al variar la constante de integración se obtienen diversas funciones que cumplen esta condición y son traslaciones verticales unas de otras. (Purcell, E. et al., 2007) 1.3 PROPIEDADES DE INDEFINIDA LA INTEGRAL Según (Demidovich, B. et al., 2001) se tienen los siguie ntes teoremas: La integral de una constante por una función: siendo 𝑩 una constante y 𝑓 (𝑥) una función. ∫ 𝐵 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐵 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 La integral de la suma o resta de funciones: ∫ (𝑓(𝑥 ) ± 𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 La integral de una potencia: ∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑛+1 + 𝐶, 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑛 ∈ 𝑅 𝑠𝑖 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑛 ≠ −1 𝑛+1 1.4 INTEGRAL ESTÁNDAR A continuación, se cita las siguientes integrales estándar o inmediata: ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 + 𝐶 1 ∫ 𝑢 𝑑𝑢 = ln 𝑢 𝑑𝑢 + 𝐶 ∫ 𝑎𝑢 𝑑𝑢 = 𝑎𝑢 ln 𝑎 𝑑𝑢 + 𝐶 4 Cálculo Integral ∫ 𝑆𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = − 𝐶𝑜𝑠 𝑢 𝑑𝑢 + 𝐶 ∫ 𝐶𝑜𝑠 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑆𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 + 𝐶 En el apéndice C se encuentran más integrales estándar. 1.5 TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN Las técnicas de integración nos permiten obtener una función que sea integrable por medio de teoremas definidos durante el proceso de integración, como son: Cambio de variable. Integración por partes. Integración Trigonométrica. Sustitución Trigonométrica. Fracciones Parciales. 5 Cálculo Integral 2. CAMBIO DE VARIABLE Este método de integración se utiliza cuando no se encuentra una integral inmediata o estándar. Se tiene ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 , se puede realizar el siguiente cambio de variable, 𝒙 = 𝒖(𝒕) 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒅𝒙 = 𝒖′ (𝒕) 𝒅𝒕, donde 𝒖(𝒕) es una funció n derivable. Entonces ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = ∫ 𝒇(𝒖(𝒕)) 𝒖′ (𝒕) 𝒅𝒕 Para realizar el cambio de variable se debe reemplazar por la nueva función 𝒖(𝒕) y completar el diferencial con respecto a la misma función en t, de tal forma que se pueda integrar inmediatamente. (Demidovich, B. et al., 2001) 2.1EJERCICIOS. - CAMBIO DE VARIABLE 𝒙 𝒙 𝟏. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟓 (𝟑) 𝒄𝒐𝒔 (𝟑) 𝒅𝒙 Solución.- Cambio de Variable 𝑥 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 ( ) 3 1 𝑥 𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠 ( ) 𝑑𝑥 3 3 3𝑢6 = 3 ∫ 𝑢5 𝑑𝑢 = +𝐶= 6 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒔𝒆𝒏𝟔 (𝒙/𝟑) +𝑪 𝟐 𝒙 𝒙 𝟐. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟕 (𝟐) 𝐬𝐞𝐜 𝟐 (𝟐) 𝒅𝒙 Solución.- = 2 ∫ 𝑢7 𝑑𝑢 = 2𝑢8 +𝐶= 8 𝒕𝒂𝒏𝟖 (𝒙/𝟐) 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: +𝑪 𝟒 Cambio de Variable 𝑥 𝑢 = 𝑡𝑎𝑛 ( ) 2 1 𝑥 2( ) 𝑑𝑢 = sec 𝑑𝑥 2 2 6 Cálculo Integral 𝒓𝟑 𝟓 𝟑. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒓𝟐 (𝟏𝟖 − 𝟏) 𝒅𝒓 Solución.- 6𝑢6 = 6 ∫ 𝑢5 𝑑𝑢 = +𝐶= 6 𝟔 𝒓𝟑 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: ( − 𝟏) + 𝑪 𝟏𝟖 Cambio de Variable 𝑟3 𝑢 = ( − 1) 18 𝑟2 𝑑𝑢 = 𝑑𝑟 6 𝟒. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙𝟏/𝟐 𝒔𝒆𝒏(𝒙𝟑/𝟐 + 𝟏)𝒅𝒙 Solución.- 2 2 = ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑢)𝑑𝑢 = − cos 𝑢 + 𝐶 = 3 3 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝟐 𝐜𝐨𝐬(𝒙𝟑/𝟐 + 𝟏) + 𝑪 𝟑 Cambio de Variable 𝑢 = 𝑥 3/2 + 1 3 𝑑𝑢 = 𝑥 1/2 𝑑𝑥 2 𝟓. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙𝟏/𝟑 𝒔𝒆𝒏(𝒙𝟒/𝟑 − 𝟖) 𝒅𝒙 Solución.- 3 3 ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑢)𝑑𝑢 = − cos 𝑢 + 𝐶 = 4 4 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝟑 𝐜𝐨𝐬(𝒙𝟒/𝟑 − 𝟖) + 𝑪 𝟒 𝟏 +𝒙 𝟔. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟏+ √𝒙 Solución.- Cambio de Variable 4 𝑢 = 𝑥3 − 8 4 𝑑𝑢 = 𝑥 1/3 𝑑𝑥 3 𝒅𝒙 Cambio de Variable 𝑑𝑥 𝑥 +∫ 𝑑𝑥 = 1 + √𝑥 1 + √𝑥 𝑢 = (1 + √𝑥) (𝑢 − 1) 2 (𝑢 − 1)(2) 2(𝑢 − 1) ∫ 𝑑𝑢 + ∫ 𝑑𝑢 = 1 𝑢 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑥 −1/2 𝑑𝑥 2 (𝑢 − 1) 3 𝑢−1 1 2∫ 𝑑𝑢 + 2 ∫ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑢 𝑢 2√𝑥 3 2 (𝑢 − 3𝑢 + 3𝑢 − 1) 𝑢−1 𝑥 = (𝑢 − 1) 2 2∫ 𝑑𝑢 + 2 ∫ 𝑑𝑢 𝑢 𝑢 𝑑𝑥 = 2(𝑢 − 1) 𝑑𝑢 𝑢 𝑑𝑢 𝑢(𝑢2 − 3𝑢 + 3) − 1 2 (∫ 𝑑𝑢 − ∫ ) + 2 ∫ 𝑑𝑢 = 𝑢 𝑢 𝑢 ∫ 7 Cálculo Integral 2𝑢 − 2 ln|𝑢| + 2 (∫ 𝑢2 − 3 ∫ 𝑢 + 3 ∫ 𝑑𝑢 − ∫ 𝑑𝑢 )= 𝑢 2𝑢3 − 3𝑢2 + 6𝑢 − 2 ln|𝑢| + 𝐶 = 3 3 2 ( 1 + √ 𝑥) 2 2(1 + √𝑥) − 2 ln|(1 + √𝑥)| + − 3 ( 1 + √ 𝑥) 3 + 6(1 + √𝑥) − 2 ln|(1 + √𝑥)| + 𝐶 = 2 2 + 2√𝑥 − 2 ln|(1 + √𝑥)| + (1 + 3√𝑥 + 3𝑥 + 𝑥 √𝑥) 3 − 3(1 + 2√𝑥 + 𝑥) + 6 + 6√𝑥 − 2𝑙𝑛(1 + √𝑥) + 𝐶 = 2 2 −4 ln|(1 + √𝑥)| + 5 + 4√𝑥 + − 𝑥 + 𝑥√𝑥 + 𝐶 = 3 3 2𝑢 − 2 ln|𝑢| + 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝟒 𝐥𝐧|(𝟏 + √𝒙)| + 𝟐 𝟏𝟕 𝒙√ 𝒙 + 𝟒√ 𝒙 − 𝒙 + +𝑪 𝟑 𝟑 𝟏 𝟕. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒄𝒐𝒔 (𝟐 𝒙) 𝒅𝒙 Cambio de Variable 1 𝑢= 𝑥 2 1 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 2 Solución.- 2 ∫ cos 𝑢 𝑑𝑢 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝐶 = 𝟏 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟐 𝒔𝒆𝒏 ( 𝒙) + 𝑪 𝟐 𝟖. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓:∫ 𝒕𝟐 √𝒕𝟑 + 𝟏 𝒅𝒕 Solución.3 1 1 1 𝑢2 ∫ √𝑢 𝑑𝑢 = ∫ 𝑢1/2 𝑑𝑢 = +𝐶= 3 3 3 3/2 𝟐 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: √(𝒕𝟑 + 𝟏)𝟑 + 𝑪 𝟗 𝟗. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓:∫ Solución.- 𝒙 𝒅𝒙 − 𝟏) (𝟑𝒙𝟐 1 𝑑𝑢 1 = ∫ 3 = ∫ 𝑢−3 𝑑𝑢 = 6 𝑢 6 Cambio de Variable 𝑢 = 𝑡3 + 1 𝑑𝑢 = 3𝑡 2 𝑑𝑡 Cambio de Variable 𝑢 = 3𝑥 2 − 1 𝑑𝑢 = 6𝑥 𝑑𝑥 8 Cálculo Integral = 1 𝑢−2 𝑢−2 +𝐶 = − +𝐶 = 6 −2 12 (𝟑𝒙𝟐 − 𝟏)−𝟐 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − +𝑪 𝟏𝟐 𝒚𝟐 + 𝟐𝒚 𝟏𝟎. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟑 𝒅𝒚 √𝒚𝟑 + 𝟑𝒚𝟐 + 𝟒 Solución.- 1 𝑑𝑢 1 1 𝑢2/3 = ∫ 1/3 = ∫ 𝑢−1/3 𝑑𝑢 = +𝐶= 3 𝑢 3 3 2/3 13 = √𝑢2 + 𝐶 = 2 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏𝟑 √(𝒚𝟑 + 𝟑𝒚𝟐 + 𝟒)𝟐 + 𝑪 𝟐 𝟏𝟏. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒘 𝒅𝒘 (𝟏 + 𝒘)𝟑/𝟒 Solución.- =∫ Cambio de Variable 𝑢 = 𝑦 3 + 3𝑦 2 + 4 𝑑𝑢 = 3(𝑦 2 + 2𝑦)𝑑𝑦 𝑢−1 𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑢 = ∫ 3/4 𝑑𝑢 − ∫ 3/4 = 3/4 𝑢 𝑢 𝑢 Cambio de Variable 𝑢 = 1+𝑤 𝑤 =𝑢−1 𝑑𝑢 = 𝑑𝑤 = ∫ 𝑢1−3/4 𝑑𝑢 − ∫ 𝑢−3/4 𝑑𝑢 = = ∫ 𝑢1/4 𝑑𝑢 − ∫ 𝑢−3/4 𝑑𝑢 = 1 1 𝑢5/4 𝑢4 4 = − 1 + 𝐶 = 𝑢5/4 − 4 𝑢4 + 𝐶 = 5/4 5 4 1 4 = (1 + 𝑤) 5/4 − 4(1 + 𝑤) 4 + 𝐶 = 5 44 4 = √(1 + 𝑤) 4 (1 + 𝑤) − 4 √(1 + 𝑤) 1 + 𝐶 = 5 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟒 𝟒 𝟒 (𝟏 + 𝒘) √(𝟏 + 𝒘) − 𝟒 √(𝟏 + 𝒘)𝟏 + 𝑪 𝟓 9 Cálculo Integral 𝟏𝟐. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙𝟐 √ 𝒙 − 𝟒 𝒅𝒙 Solución.- = ∫(𝑢 + 4) 2 √𝑢 𝑑𝑢 = 1 =∫(𝑢2 + 8𝑢 + 16) (𝑢2 ) 𝑑𝑢 = = ∫(𝑢5/2 + 8𝑢3/2 + 16 𝑢1/2 )𝑑𝑢 = 3 = ∫ 𝑢5/2 𝑑𝑢 + 8 ∫ 𝑢2 + 16 ∫ 𝑢1/2 𝑑𝑢 = Cambio de Variable 𝑢= 𝑥−4 𝑥=𝑢+4 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑢7/2 𝑢5/2 𝑢3/2 +8 + 16 +𝐶= 7/2 5/2 3/2 2 16 32 = 𝑢7/2 + 𝑢5/2 + 𝑢3/2 + 𝐶 = 7 5 3 𝟐 𝟏𝟔 𝟑𝟐 √(𝒙 − 𝟒) 𝟓 + √(𝒙 − 𝟒) 𝟑 + 𝑪 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: √(𝒙 − 𝟒)𝟕 + 𝟕 𝟓 𝟑 = 𝟑 𝒓𝟓 𝟏𝟑. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒓 (𝟕 − ) 𝒅𝒓 𝟏𝟎 𝟒 Solución.- = −2 ∫ 𝑢3 𝑑𝑢 = − 2 =− 𝑢4 +𝐶= 2 𝑢4 +𝐶 = 4 Cambio de Variable 𝑟5 𝑢 = (7 − ) 10 𝑟4 𝑑𝑢 = − 𝑑𝑟 2 𝟒 𝒓𝟓 ) 𝟏𝟎 +𝑪 𝟐 (𝟕 − 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝟏𝟒. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ Solución.- 𝟏 𝒅𝒕 𝟑 + 𝒕𝟐 𝑑𝑢 1 𝑢 =∫ 2 = 𝑡𝑔−1 ( ) + 𝐶 = 2 𝑎 +𝑢 𝑎 𝑎 𝟏 𝒕 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒕𝒈−𝟏 ( ) + 𝑪 √𝟑 √𝟑 Cambio de Variable 𝑎 = √3 𝑢 =𝑡 𝑑𝑢 = 𝑑𝑡 10 Cálculo Integral 𝟏𝟓. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙 𝒔𝒆𝒏( √𝒙𝟐 +𝟒 ) √𝒙𝟐 +𝟒 𝒅𝒙 Solución.- = ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = − cos 𝑢 + 𝐶 = 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂:− 𝐜𝐨𝐬 (√𝒙𝟐 + Cambio de Variable 𝑢 = ( 𝑥 2 + 4) 1/2 𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 √𝑥 2 + 4 𝟒) + 𝑪 𝟏𝟔. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙𝟔 (𝟕𝒙𝟕 + 𝝅)𝟖 𝒔𝒆𝒏(𝟕𝒙𝟕 + 𝝅)𝟗 𝒅𝒙 Solución.- Cambio de Variable 𝑢 = (7𝑥 7 + 𝜋) 9 𝑑𝑢 = 441 𝑥 6 (7𝑥 7 + 𝜋) 8 𝑑𝑥 1 ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = = 441 1 =− cos 𝑢 + 𝐶 = 441 𝟏 𝟗 𝐜𝐨𝐬(𝟕𝒙𝟕 + 𝝅) + 𝑪 𝟒𝟒𝟏 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝟏𝟕. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 𝒙√𝟐𝒙 + 𝟏 Solución.Cambio de Variable 2 𝑢 = √2𝑥 + 1 ; 𝑢 2 = (√2𝑥 + 1) ; 𝑑𝑢 = =∫ 𝑢 ( 𝑢2 − = 2∫ 2 1 )𝑢 𝑑𝑢 −1 𝑢2 𝑑𝑥 √2𝑥 + 1 𝑑𝑢 = ∫ ; ; 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑢 𝑢2 − 1 2 =𝑥 ; 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑑𝑢 2 𝑑𝑢 =∫ 2 = −1 𝑢 −1 ( ) 2 𝑢2 −2 ∫ 𝑑𝑢 = 1 − 𝑢2 1 √2𝑥 + 1 + 1 |+𝐶 = = −2 ( ) ln | 2 √2𝑥 + 1 − 1 11 Cálculo Integral −(ln|√2𝑥 + 1 + 1| − ln|√2𝑥 + 1 − 1| + 𝐶 ) = 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: −𝐥𝐧 |√𝟐𝒙 + 𝟏 + 𝟏 | + 𝐥𝐧 |√𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟏| + 𝑪 𝟏𝟖. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐥𝐧|𝟐𝒙| 𝒅𝒙 𝐥𝐧|𝟒𝒙| 𝒙 Solución.- ln|2𝑥| − ln |4𝑥| 𝑑𝑥 = 𝑥 ln|2𝑥| ln|4𝑥| ∫ 𝑑𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 ∫ Cambio de Variable 𝑢 = ln 2𝑥 ; 𝑣 = ln 4𝑥; 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 = ; 𝑑𝑣 = 𝑥 𝑥 ∫ 𝑢 𝑑𝑢 − ∫ 𝑣 𝑑𝑣 = 𝑢2 𝑣 2 − +𝐶 = 2 2 (𝐥𝐧 𝟐𝒙)𝟐 (𝐥𝐧 𝟒𝒙)𝟐 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − +𝑪 𝟐 𝟐 𝟏𝟗. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒅𝒙 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟒 𝒙 Solución.𝑆𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑡𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑖𝑡𝑎𝑔ó𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + cos 2 𝑥 = 1 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + cos 2 𝑥 =∫ 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 cos 4 𝑥 𝑆𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 : 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 = 2 4 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 cos 4 𝑥 1 1 ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 = 4 2 cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 2 𝑥 ∫ 𝑆𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑡𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑖𝑡𝑎𝑔ó𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑠𝑒𝑛 2 𝑥 + cos 2 𝑥 = 1 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + cos 2 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 cos 2 𝑥 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 ∫ sec 2 𝑥 sec 2 𝑥 + ∫ ∫ 𝑑𝑥 + 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 cos 2 𝑥 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 ∫ sec 4 𝑥 + ∫ 12 Cálculo Integral ∫ sec 2 𝑥(1 + tan2 𝑥 )𝑑𝑥 + ∫ 1 1 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 = 2 cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 ∫ sec 2 𝑥 + sec 2 𝑥 tan2 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ sec 2 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ csc 2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ sec 2 𝑥 tan2 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ sec 2 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ csc 2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ sec 2 𝑥 tan2 𝑥 𝑑𝑥 + 2 ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ csc 2 𝑥 𝑑𝑥 = Cambio de Variable 𝒖 = 𝐭𝐚𝐧 𝒙 𝒅𝒖 = 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝒙 ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 + 2 ∫ sec 2 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ csc 2 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑢3 + 2 tan 𝑥 − cot 𝑥 + 𝐶 = 3 𝒕𝒂𝒏𝟑 𝒙 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: + 𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝒙 − 𝐜𝐨𝐭 𝒙 + 𝑪 𝟑 𝟐𝟎. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐭𝐚𝐧𝟑 𝒙 𝒅𝒙 Solución.- ∫ tan2 𝑥 tan 𝑥 𝑑𝑥 = Cambio de Variable 𝑢 = tan 𝑥 𝑑𝑢 = sec 2 𝑥𝑑𝑥; 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 sec 2 𝑥 𝑆𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑡𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 sec 2 𝑥 − 1 = 𝑡𝑎𝑛 2 𝑥 = ∫(sec 2 𝑥 − 1 ) tan 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(sec 2 𝑥 tan 𝑥 − tan 𝑥) 𝑑𝑥 = = ∫ sec 2 𝑥 tan 𝑥 𝑑𝑥 − ∫ tan 𝑥 𝑑𝑥 = = ∫ sec 2 𝑥 𝑢 = 𝑑𝑢 − ∫ tan 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢 𝑑𝑢 − ∫ tan 𝑥 𝑑𝑥 = sec 2 𝑥 𝑢2 + ln|cos 𝑥| + 𝐶 = 2 13 Cálculo Integral 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙 + 𝐥𝐧|𝐜𝐨𝐬 𝒙| + 𝑪 𝟐 𝟐𝟏. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐜𝐨𝐭 𝟒 𝒙 𝒅𝒙 = Solución.Cambio de Variable 𝑢 = cot 𝑥 𝑑𝑢 = −𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 ; 𝑑𝑥 = − 𝑆𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑡𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑢 csc 2 𝑥 𝑐𝑠𝑐 2 x − 1 = cot 2 𝑥 = ∫ cot 2 𝑥 cot 2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ cot 2 𝑥 (𝑐𝑠𝑐 2x − 1) = = ∫(csc 2 𝑥 cot2 𝑥 − cot 2 𝑥 ) 𝑑𝑥 = = ∫(csc 2 𝑥 cot2 𝑥 − csc 2 𝑥 + 1 ) 𝑑𝑥 = = ∫ csc 2 𝑥 cot 2 𝑥 𝑑𝑥 − ∫ csc 2 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 = = ∫ csc 2 𝑥 𝑢2 (− 𝑑𝑢 ) + cot 𝑥 + 𝑥 + 𝐶 csc 2 𝑥 =− ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 + cot 𝑥 + 𝑥 + 𝐶 = − 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝟑 𝑢3 3 + cot 𝑥 + 𝑥 + 𝐶 𝒄𝒐𝒕 𝒙 + 𝐜𝐨𝐭 𝒙 + 𝒙 + 𝑪 𝟑 𝟐𝟐. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ (𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝒘) − 𝟏 𝒅𝒘 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒘 Solución.𝑆𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑜𝑟𝑖𝑔𝑒𝑛 𝑒𝑛 : 2 𝑠𝑒𝑛 𝑤 𝑑𝑤 𝑑𝑤 − ∫ = 2 cos 𝑤 cos 2 𝑤 𝑠𝑒𝑛 𝑤 = 2∫ 𝑑𝑤 − ∫ sec 2 𝑤 𝑑𝑤 = cos 2 𝑤 𝒔𝒆𝒏 𝒘 𝑑𝑢 (− ) − ∫ sec 2 𝑤 𝑑𝑤 = = 2∫ 2 𝑢 𝒔𝒆𝒏 𝒘 =∫ Cambio de Variable 𝑢 = cos 𝑤 𝑑𝑢 = −𝑠𝑒𝑛 𝑤 𝑑𝑤 𝑑𝑢 𝑑𝑤 = − 𝑠𝑒𝑛 𝑤 14 Cálculo Integral 𝑑𝑢 − ∫ sec 2 𝑤 𝑑𝑤 = − 2 ∫ 𝑢−2 𝑑𝑢 − ∫ sec 2 𝑤 𝑑𝑤 = 𝑢2 𝑢−1 2 2 = −2 − tan 𝑤 + 𝐶 = − tan 𝑤 + 𝐶 = − tan 𝑤 + 𝐶 −1 𝑢 cos 𝑤 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟐 𝐬𝐞𝐜 𝒘 − 𝐭𝐚𝐧 𝒘 + 𝑪 = −2 ∫ 𝟐𝟑. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 𝒔𝒆𝒏𝟓 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟑 𝒙 Solución.𝑆𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑡𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑖𝑡𝑎𝑔ó𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑠𝑒𝑛 2 𝑥 + cos 2 𝑥 = 1 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + cos 2 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛5 𝑥 cos 3 𝑥 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 cos 2 𝑥 ∫ =∫ 𝑑𝑥 + 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛5 𝑥 cos 3 𝑥 𝑠𝑒𝑛5 𝑥 cos 3 𝑥 1 1 =∫ +∫ = 3 3 5 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥 =∫ 𝑆𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑡𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑖𝑡𝑎𝑔ó𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑠𝑒𝑛 2 𝑥 + cos 2 𝑥 = 1 =∫ 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + cos 2 𝑥 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + cos 2 𝑥 ∫ 𝑑𝑥 + 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛3 𝑥 cos 3 𝑥 𝑠𝑒𝑛5 𝑥 cos 𝑥 𝑆𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑒𝑛 ∶ 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 cos 2 𝑥 ∫ + 𝑠𝑒𝑛3 𝑥 cos 3 𝑥 𝑠𝑒𝑛3 𝑥 cos 3 𝑥 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 cos 2 𝑥 ∫ +∫ + = 𝑠𝑒𝑛5 𝑥 cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛5 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 ∫ +∫ +∫ +∫ 𝑑𝑥 = 3 3 3 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛5 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 ∫ + 2∫ +∫ 𝑑𝑥 = 3 3 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛5 𝑥 ∫ 𝑆𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑡𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑖𝑡𝑎𝑔ó𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑠𝑒𝑛 2 𝑥 + cos 2 𝑥 = 1 ∫ 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + cos 2 𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 3 𝑥 +2∫ 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 + cos 2 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 1 𝑑𝑥 + ∫ ∗ 𝑑𝑥 = 3 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛4 𝑥 15 Cálculo Integral ∫( 𝑠𝑒𝑛 𝑥 1 ) 𝑑𝑥 + 3 cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥 1 cos 𝑥 ) 𝑑𝑥 + 2 ∫( + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛3 𝑥 + ∫ cot 𝑥 csc 4 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 1 1 cos 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 + 2 ∫ 𝑑𝑥 + 2 ∫ 3 cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛3 𝑥 + ∫ cot𝑥 csc 2 𝑥 csc 2 𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 1 1 cos 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 + 2 ∫ 𝑑𝑥 + 2 ∫ 3 cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛3 𝑥 + ∫ cot𝑥 csc 2 𝑥 (1 + cot 2 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫( 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥 ∗ 1 cos 2 𝑥 ) 𝑑𝑥 +3∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥 cos 𝑥 1 +2∫ ∗ + ∫ cot 𝑥 csc 2 𝑥 + cot 3 𝑥 csc 2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 2 𝑥 𝑑𝑥 ∫ tan 𝑥 sec 2 𝑥 + 6 ∫ 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥 + 2 ∫ cot 𝑥 csc 2 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑡𝑥 csc 2 𝑥 + ∫ cot 3 𝑥 csc 2 𝑥 ∫ tan 𝑥 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 + 6 ∫ 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥) + 3 ∫ cot 𝑥 csc 2 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ cot 3 𝑥 csc 2 𝑥 𝑑𝑥 = Cambio de Variable 𝑢 = tan 𝑥 𝑑𝑢 = sec 2 𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = 2𝑥 𝑑𝑣 = 2 𝑑𝑥 𝑤 = cot 𝑥 𝑑𝑤 = − csc 2 𝑥 𝑑𝑥 1 𝑑𝑣 − 3 ∫ 𝑤 𝑑𝑤 − ∫ 𝑤 3 𝑑𝑤 = 𝑠𝑒𝑛 𝑣 𝑢2 3 𝑤4 = + 3 ∫ csc 𝑣 𝑑𝑣 − 𝑤 2 − +𝐶 2 2 4 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 3 1 = + 3 ln|csc𝑣 − cot 𝑣| − cot 2 𝑥 − cot 4 𝑥 + 𝐶 2 2 4 = ∫ 𝑢 𝑑𝑢 + 3 ∫ 16 Cálculo Integral 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: + 𝟑 𝐥𝐧|𝐜𝐬𝐜 𝟐𝒙 − 𝐜𝐨𝐭 𝟐𝒙| 𝟐 𝟑 𝟏 − 𝐜𝐨𝐭 𝟐 𝒙 − 𝐜𝐨𝐭 𝟒 𝒙 + 𝑪 𝟐 𝟒 𝟐𝟒. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫(𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙 + 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙) Solución.- = ∫ 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑠 3𝑥 𝑑𝑥 Cambio de Variable 𝑢 = 2𝑥 𝑣 = 3𝑥 𝑑𝑢 = 2 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 3 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 = 2 3 𝑑𝑢 𝑑𝑣 + ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑣 2 3 1 1 = ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 + ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑣 𝑑𝑣 2 3 1 1 1 1 = − 𝑐𝑜𝑠 𝑢 + 𝑠𝑒𝑛 𝑣 + 𝐶 = − 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 + 𝐶 2 3 2 3 −3 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + 2 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 = +𝐶 6 = ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 (𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙 − 𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙) + 𝑪 𝟔 𝟐𝟓. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ √ 𝒙 √𝟏 + 𝒙√𝒙 𝒅𝒙 Cambio de variable Solución.- = ∫ √𝑥 √1 = 1 + (𝑥. 𝑥 ⁄2 ) 𝑑𝑥 3 ∫ √𝑥 √1 + 𝑥 ⁄2 𝑑𝑥 = ∫ (𝑥 1⁄ 2 ) (1 + = ∫ (𝒙 𝟏⁄ 1 𝟐 ) (𝑢 ) ⁄2 𝑥 1⁄ 3⁄ 2 2) 𝑑𝑥 2𝑑𝑢 𝟏 3𝒙 ⁄𝟐 1 2 𝑢 ⁄2+1 2 1 = ∫ 𝑢 ⁄2 𝑑𝑢 = . +𝐶 3 3 1⁄ + 1 2 𝑢 =1+𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 = 3 2 𝑥 3⁄ 2 1⁄ 2 2𝑑𝑢 3𝑥 1⁄ 2 𝑢 = 1 + 𝑥 3⁄2 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 = 3 𝑥 1⁄2 2 2 𝑑𝑢 𝑑𝑥 3 𝑥 1⁄2 17 Cálculo Integral 3 3⁄ 2 𝑢 ⁄2 2 2 3 4 3 2 = . + 𝐶 = . 𝑢 ⁄2 + 𝐶 = (1 + 𝑥 ⁄2 ) + 𝐶 3 3 ⁄ 3 3 9 2 3 4 4 3 = √(1 + 𝑥 ⁄2 ) + 𝐶 = (1 + √𝑥 3 ) √1 + √𝑥 3 + 𝐶 9 9 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟒 (𝟏 + 𝒙√ 𝒙)√𝟏 + 𝒙√ 𝒙 + 𝑪 𝟗 𝟐𝟔. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐬𝐞𝐧𝝅𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝝅𝒙 𝒅𝒙 Solución.𝑑𝑢 1 = ∫ sen 𝑢 cos 𝑢 = ∫ sen 𝑢 cos 𝑢 𝑑𝑢 𝜋 𝜋 1 𝑑𝑣 ) = ∫ sen(𝑢) 𝑣. (− 𝜋 sen (𝑢) 1 1 𝑣2 𝑣2 = − ∫ 𝑣 𝑑𝑣 = − . + 𝐶 = − +𝐶 𝜋 𝜋 2 2𝜋 1 = − cos 2 𝑢 + 𝐶 2𝜋 𝟏 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝝅𝒙 + 𝑪 𝟐𝝅 Cambio de Variable 𝑢 = 𝜋𝑥 𝑑𝑢 = 𝜋𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 𝜋 𝑣 = cos 𝑢 𝑑𝑣 = −sen 𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑢 = − sen 𝑢 𝟐𝟕. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟑 𝐜𝐬𝐜 𝟐 𝟐𝒙 𝒅𝒙 Solución.3 = 3 ∫ csc2 2𝑥 𝑑𝑥 = ∫ csc 2 𝑢 𝑑𝑢 2 3 = (−cot𝑢) + 𝐶 2 𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑢 𝟑 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝐜𝐨𝐭 (𝟐𝒙) + 𝑪 𝟐 Cambio de Variable 𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑢 = 2𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 2 18 Cálculo Integral 𝟏 𝟏 𝟐𝟖. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐬𝐞𝐜 𝟐 (𝟐 𝝅𝒕) 𝐭𝐚𝐧 (𝟐 𝝅𝒕) 𝒅𝒕 Solución.- Cambio de Variable 1 𝑢 = 𝜋𝑡 2 1 𝑑𝑢 = 𝜋𝑑𝑡 2 2 𝑑𝑡 = 𝑑𝑢 𝜋 2 = ∫ sec 2 𝑢 tan 𝑢 𝑑𝑢 𝜋 2 𝑑𝑣 = ∫ 𝑣 tan 𝑢 𝜋 tan 𝑢 2 2 𝑣2 = ∫ 𝑣 𝑑𝑣 = . + 𝐶 𝜋 𝜋 2 2 𝑣 = + 𝐶 𝑆𝑒 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎 𝑣 𝜋 sec 2 𝑢 = + 𝐶 𝑆𝑒 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎 𝑢 𝜋 𝟏 𝐬𝐞𝐜𝟐 (𝟐 𝝅𝒕) 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝝅 𝟐𝟗. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝑣 = sec 2 𝑢 𝑑𝑣 = tan 𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑢 = tan 𝑢 +𝑪 (𝐚𝐫𝐜 𝐬𝐞𝐧 𝒙)𝟐 √𝟏 − 𝒙𝟐 Solución.- =∫ (sen −1 𝑥) 2 √1 − 𝑥 2 = ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 = 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: =∫ 𝑢2 √1 − 𝑥 2 . √1 − 𝑢3 +𝐶 3 (𝐬𝐢𝐧−𝟏 𝒙)𝟑 𝟑 𝟑𝟎. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝑥2 𝑑𝑢 Cambio de Variable 𝑢 = sen −1 𝑥 1 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 √1 − 𝑥 2 𝑑𝑥 = √1 − 𝑥 2 𝑑𝑢 +𝑪 𝒆𝟐𝒙 √ 𝒆𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 Solución.- =∫ =∫ (𝑒 𝑥 ) 2 √𝑒 𝑥 + 1 𝑒𝑥 √𝑒 𝑥 + 1 𝑑𝑥 𝑆𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 . 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑆𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 19 Cálculo Integral =∫ (𝑢2 − 1) . 2𝑢 𝑑𝑢 𝑢 Cambio de Variable 𝑢 = √𝑒 𝑥 + 1 𝑢2 = 𝑒𝑥 + 1 𝑢2 − 1 = 𝑒𝑥 𝑆𝑒 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑚𝑖𝑒𝑚𝑏𝑟𝑜𝑠 2 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(𝑢2 − 1) 2 𝑑𝑢 = ∫(2𝑢2 − 2) 𝑑𝑢 = 2 ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 − 2 ∫ 𝑑𝑢 (𝑢3 ) 𝑢2 − 3 )+ 𝐶 − 2𝑢 + 𝐶 = 2𝑢 ( 3 3 (𝑒 𝑥 + 1) − 3 𝑒𝑥 + 1 − 3 ) + 𝐶 = 2(√𝑒 𝑥 + 1) ( )+𝐶 = 2(√𝑒 𝑥 + 1) ( 3 3 𝑒𝑥 − 2 )(√𝑒 𝑥 + 1) + 𝐶 = 2( 3 =2 𝟐 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: (𝒆𝒙 − 𝟐)(√𝒆𝒙 + 𝟏) + 𝑪 𝟑 𝟑𝟏. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ √𝟏 + 𝐬𝐞𝐧𝟐(𝒙 − 𝟏) 𝐬𝐞𝐧 (𝒙 − 𝟏) 𝐜𝐨𝐬(𝒙 − 𝟏) 𝒅𝒙 Solución.- = ∫ √1 + sen2 (𝑢) sen(𝑢) cos(𝑢) 𝑑𝑥 = ∫ √1 + 𝑣 2 . 𝑣. cos(𝑢) 𝑑𝑣 cos(𝑢) = ∫ √1 + 𝑣 2 . 𝑣. 𝑑𝑣 = ∫ √𝑤 . 𝑣. 3 𝑑𝑣 2𝑣 1 = ∫(𝑤) 2 1⁄ 2 Cambio de Variable 𝑢 = (𝑥 − 1) 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑣 = sen (𝑢) 𝑑𝑣 = cos 𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑢 = cos 𝑢 𝑑𝑤 Cambio de Variable 1 𝑤 ⁄2 = . +𝐶 𝑆𝑒 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎 𝑤 𝑤 = 1 + 𝑣2 2 3⁄ 2 𝑑𝑤 = 2𝑣 𝑑𝑣 1 3 𝑑𝑤 = (1 + 𝑣 2 ) ⁄2 + 𝐶 𝑆𝑒 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎 𝑣 𝑑𝑣 = 3 2𝑣 1 3 = (1 + sen2 𝑢) ⁄2 + 𝐶 𝑆𝑒 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎 𝑢 3 1 1 3 = (1 + sen2 (𝑥 − 1)) ⁄2 + 𝐶 = √(1 + sen2 (𝑥 − 1)) 3 + 𝐶 3 3 20 Cálculo Integral 1 = √(1 + sen2 (𝑥 − 1)) 2(1 + sen2 (𝑥 − 1)) + 𝐶 3 𝟏 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: (𝟏 + 𝐬𝐞𝐧𝟐(𝒙 − 𝟏))√(𝟏 + 𝐬𝐞𝐧𝟐(𝒙 − 𝟏)) + 𝑪 𝟑 𝟑𝟐. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ Solución.- =∫ =∫ cos 𝜃 𝜃 1⁄ 2 √ 𝜽 𝐬𝐞𝐧𝟐 √𝜽 𝒅𝜽 1⁄ 2) = −2 csc𝜃 1⁄ 2 𝑑𝑢 = 𝑑𝜃 𝑑𝑢 = 1⁄ 2 1 2 𝜃 −1⁄ 2 𝑑𝜃 1 1⁄ 𝑑𝜃 2𝜃 2 1⁄ 𝑑𝜃 = 2𝜃 2 𝑑𝑢 1 2𝜃 ⁄2 𝑑𝑢 sen2 (𝑢) cos 𝑢 cos(𝑢) 𝑑𝑣 ∫ = 2∫ 𝑑𝑢 = 2 . sen2 (𝑢) 𝑣 2 cos(𝑢) 𝑑𝑣 = 2 ∫ 2 = 2 ∫ 𝑣 −2 𝑑𝑣 𝑣 𝑣 −1 2 =2 + 𝐶 = − + 𝐶 𝑆𝑒 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎 𝑣 −1 𝑣 1 = −2 + 𝐶 𝑆𝑒 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎 𝑢 sen 𝑢 1 1 = −2 + 𝐶 = −2 +𝐶 1 sen 𝑢 sen (𝜃 ⁄2 ) 𝜃 𝑐𝑎𝑚𝑏. 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑢 =𝜃 1⁄ 2 sen2 (𝜃 cos 𝑢 1⁄ 2 𝐜𝐨𝐬 √ 𝜽 Cambio de Variable 𝑣 = sen 𝑢 𝑑𝑣 = cos 𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑢 = − cos 𝑢 1 𝑢 = 𝜃2 1 −1 𝑑𝑢 = 𝜃 2 𝑑𝜃 2 2𝑑𝑢 𝑑𝜃 = 1 − 𝜃 2 + 𝐶 𝑆𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒: 1 = 𝑐𝑠𝑐 𝑠𝑒𝑛 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝟐 𝐜𝐬𝐜√𝜽 + 𝑪 𝟑𝟑. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫(𝒔𝟑 + 𝟐𝒔𝟐 − 𝟓𝒔 + 𝟓)(𝟑𝒔𝟐 + 𝟒𝒔 − 𝟓) 𝒅𝒔 Solución.- 𝑑𝑢 = ∫ 𝑢(3𝑠 2 + 4𝑠 − 5) . 2 3𝑠 + 4𝑠 − 5 2 𝑢 = ∫ 𝑢 𝑑𝑢 = +𝐶 𝑆𝑒 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎 𝑢 2 Cambio de Variable 𝑢 = 𝑠3 + 2 𝑠2 − 5 𝑠 + 5 𝑑𝑢 = 3𝑠 2 + 4 𝑠 − 5 𝑑𝑠 𝑑𝑢 𝑑𝑠 = 2 3𝑠 + 4 𝑠 − 5 (𝒔𝟑 + 𝟐𝒔𝟐 − 𝟓𝒔 + 𝟓)𝟐 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: +𝑪 𝟐 21 Cálculo Integral 𝟏𝟖 𝐭𝐚𝐧𝟐 𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝒙 𝟑𝟒. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 (𝟐 + 𝐭𝐚𝐧𝟑 𝒙) Solución.- =∫ 18𝑢2 𝑑𝑢 . sec 2 𝑥 ( 2 ) 3 (2 + 𝑢 ) sec 𝑥 =∫ 18𝑢2 18 𝑢2 𝑑𝑣 ∫ 𝑑𝑢 = . (2 + 𝑢3 ) (2 + 𝑣) 3𝑢2 =∫ 6 6 𝑑𝑣 = ∫ 𝑑𝑤 (2 + 𝑣) 𝑤 = 6∫ 𝑑𝑤 𝑤 = 6 ln 𝑤 + 𝐶 𝑆𝑒 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎 𝑤 = 6 ln(2 + 𝑣) + 𝐶 𝑆𝑒 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎 𝑣 = 6 ln(2 + 𝑢3 ) + 𝐶 𝑆𝑒 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎 𝑢 Cambio de Variable 𝑢 = tan 𝑥 𝑑𝑢 = sec 2 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = sec 2 𝑥 𝑣 = 𝑢3 𝑑𝑣 = 3𝑢 2 𝑑𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑢 = 2 3𝑢 𝑤 = 2+𝑣 𝑑𝑤 = 𝑑𝑣 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟔 𝐥𝐧(𝟐 + 𝐭𝐚𝐧𝟑 𝒙) + 𝑪 𝟑𝟓. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ √𝐜𝐨𝐭 𝒚 𝐜𝐬𝐜𝟐 𝒚 𝒅𝒚 Solución.- 𝑑𝑢 ) = ∫ √𝑢 csc 2 𝑦 ( − csc 2 𝑦 = − ∫ √𝑢 𝑑𝑢 = − ∫ 𝑢 1⁄ 2 𝑑𝑢 Cambio de Variable 𝑢 = cot 𝑦 𝑑𝑢 = − csc 2 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑢 𝑑𝑦 = − csc 2 𝑦 1 𝑢 ⁄2 +1 =− +𝐶 1⁄ + 1 2 3 𝑢 ⁄2 2 3 =− + 𝐶 = − 𝑢 ⁄2 + 𝐶 𝑆𝑒 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎 𝑢 3⁄ 3 2 𝟐 𝟑 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − (𝐜𝐨𝐭𝒚) ⁄𝟐 + 𝑪 𝟑 22 Cálculo Integral 𝟑𝟔. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟏 √𝒕 (𝐜𝐨𝐬 √ 𝒕 + 𝟑)𝒅𝒕 Cambio de Variable 1⁄ 𝑢= 𝑡 2+3 1 1⁄ 𝑑𝑢 = 𝑡 − 2 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 𝑑𝑢 = 1⁄ 2𝑡 2 1⁄ 𝑑𝑡 = 2𝑡 2 𝑑𝑢 Solución.- 1 1⁄ 2 + 3) 𝑑𝑡 . 2𝑡 1⁄ 2 =∫ 1 cos (𝑡 𝑡 ⁄2 =∫ 1 cos 𝑢 𝑡 ⁄2 1 𝑑𝑢 = 2 ∫ cos 𝑢 𝑑𝑢 = 2 sen 𝑢 + 𝐶 = 2 sen (𝑡 1⁄ 2 + 3) + 𝐶 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟐 𝐬𝐞𝐧(√𝒕 + 𝟑) + 𝑪 𝟑𝟕. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟏 𝟏 𝟏 𝐬𝐞𝐧 ( ) 𝐜𝐨𝐬 ( ) 𝒅𝜽 𝜽𝟐 𝜽 𝜽 Solución.- =∫ 1 sen (𝑢) cos(𝑢) . (−𝜃 2 𝑑𝑢) 𝜃2 = − ∫ sen(𝑢) cos(𝑢) 𝑑𝑢 = − ∫ sen(𝑢) 𝑣 . (− = ∫ 𝑣 𝑑𝑣 = = 𝑣2 +𝐶 2 Cambio de Variable 1 𝑢= 𝜃 1 𝑑𝑢 = − 2 𝑑𝜃 𝜃 𝑑𝜃 = −𝜃 2 𝑑𝑢 𝑣 = cos 𝑢 𝑑𝑣 = −sen 𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑢 = − sen 𝑢 𝑑𝑣 ) sen 𝑢 𝑆𝑒 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎 𝑣 cos 2 𝑢 + 𝐶 𝑆𝑒 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎 𝑢 2 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝟐 ( ) + 𝑪 𝟐 𝜽 𝟑𝟖. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫(𝜽𝟒 − 𝟐𝜽𝟐 + 𝟖𝜽 − 𝟐)(𝜽𝟑 − 𝜽 + 𝟐) 𝒅𝜽 = Solución.- Cambio de Variable 𝑢 = 𝜃 4 − 2𝜃 2 + 8𝜃 − 2 𝑑𝑢 = 4𝜃 3 − 4𝜃 + 8 𝑑𝜃 𝑑𝑢 = 4 (𝜃 3 − 𝜃 + 2) 𝑑𝜃 𝑑𝑢 𝑑𝜃 = 3 ( 4 𝜃 − 𝜃 + 2) 𝑑𝑢 4(𝜃 3 − 𝜃 + 2) 𝑢 1 1 = ∫ 𝑑𝑢 = ∫ 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑢2 + 𝐶 4 4 8 𝟏 𝟒 𝟐 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: (𝜽 − 𝟐𝜽𝟐 + 𝟖𝜽 − 𝟐) + 𝑪 𝟖 = ∫ 𝑢(𝜃 3 − 𝜃 + 2) . 23 Cálculo Integral 𝟑 𝟑𝟗. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒕𝟑 (𝟏 + 𝒕𝟒 ) 𝒅𝒕 Solución.- = ∫ 𝑡 3 𝑢3 . 𝑢4 𝑑𝑢 4𝑡3 1 = ∫ 𝑢3 𝑑𝑢 4 1 1 = . = 𝑢4 + 𝐶 = 4 4 16 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 (𝟏 + 𝒕𝟒 )𝟒 + 𝑪 𝟏𝟔 𝟒𝟎. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 𝒙√ 𝒙𝟐 −𝟏 Solución.- Cambio de Variable 1 =∫ . √𝑥 2 − 1 𝑑𝑢 𝑥 𝑥√𝑥 2 − 1 1 1 = ∫ 2 𝑑𝑢 = ∫ 2 𝑑𝑢 = 𝑥 𝑢 +1 𝑆𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑒𝑠𝑡á𝑛𝑑𝑎𝑟 ∫ Cambio de Variable 𝑢 = 1 + 𝑡4 𝑑𝑢 = 4𝑡 3 𝑑𝑡 𝑑𝑢 𝑑𝑡 = 3 4𝑡 1 𝑢 2 + 𝑎2 1 𝑢 = tan −1 ( ) 𝑎 𝑎 𝑢 = √𝑥 2 − 1 2𝑥 𝑑𝑢 = 2√𝑥 2 − 1 𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 √𝑥 2 − 1 √𝑥 2 − 1 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 𝑥 2 2 𝑢 =𝑥 −1 𝑥 2 = 𝑢2 + 1 = tan−1 (𝑢) + 𝐶 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝐭𝐚𝐧−𝟏 (√𝒙𝟐 − 𝟏) + 𝑪 𝟏 𝒆 ⁄𝒙 𝟒𝟏. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟐 𝒅𝒙 𝒙 Solución.- =∫ 𝑒𝑢 2 𝑒𝑢 ∫ . 𝑥 𝑑𝑢 = . −𝑥 2 𝑑𝑢 𝑥2 𝑥2 = − ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = −𝑒 𝑢 + 𝐶 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: −𝒆 𝟏⁄ 𝒙+ Cambio de Variable 1 𝑢= 𝑥 1 𝑑𝑢 = − 2 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 2 𝑑𝑢 𝑪 24 Cálculo Integral 𝟒𝟐. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐬𝐞𝐧𝟑 𝒙 √𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙 = Cambio de Variable Solución.- =∫ 𝑢 = cos 𝑥 sen2 𝑥 sen 𝑥 𝑑𝑥 √cos𝑥 𝑑𝑢 = − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 2 =∫ sen 𝑥 sen 𝑥 1⁄ cos 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑆𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑡𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚𝑒𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑖𝑡𝑎𝑔ó𝑟𝑖𝑐𝑎 =∫ =∫ (1 − cos 2 𝑥) sen 𝑥 1 cos ⁄2 𝑥 (1 − 𝑢2 ) sen 𝑥 1 u ⁄2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 𝑆𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 . (− −1⁄ 2 𝑑𝑢 = − ∫(1 − 𝑢2 )u − 𝑑𝑢 (1 − 𝑢2 ) 𝑑𝑢 ) = −∫ 𝑑𝑢 1 sen 𝑥 u ⁄2 −1⁄ 2 = − ∫ (u 1 −𝑢 3⁄ 2 ) 𝑑𝑢 5 u ⁄2 𝑢 ⁄2 + +𝐶 1⁄ 5⁄ 2 2 5⁄ 5 2𝑢 2 2 cos ⁄2 𝑥 1⁄ 1⁄ = −2u 2 + + 𝐶 = −2 cos 2 𝑥 + +𝐶 5 5 2√cos 5 𝑥 = −2√cos 𝑥 + + 𝐶 = −10√cos 𝑥 + 2√cos 5 𝑥 + 𝐶 5 1 = (2√cos 5 𝑥 − 10√cos 𝑥) + 𝐶 5 −1⁄ 3 2 𝑑𝑢 + ∫ 𝑢 ⁄2 = −∫ u 𝑑𝑢 = − 𝟏 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: (𝟐(𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙)√𝐜𝐨𝐬 𝒙 − 𝟏𝟎√𝐜𝐨𝐬𝒙) + 𝑪 𝟓 𝟒𝟑. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ (𝐫 𝟏⁄ 𝟑 + 𝟐) 𝟒 𝟑 √𝐫 𝟐 𝐝𝐫 Cambio de Variable Solución.( u) 4 =∫3 √r2 1⁄ 3 3 √r 2 du = 3 ∫ u4 du = 3 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟓 𝟑 𝟏⁄ (𝐫 𝟑 + 𝟐) + 𝐜 𝟓 u5 5 +c = 𝑢 = 𝑟 3+2 1 2⁄ 𝑑𝑢 = 𝑟 − 3 𝑑𝑟 3 3 𝑑𝑢 𝑑𝑟 = − 2⁄ 𝑟 3 25 Cálculo Integral 𝟏 𝟒𝟒. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ (𝐭 + ) 𝐭 Solución.1 3⁄ 2 t2 = ∫ (t + ) t = 𝐭𝟐 − 𝟏 ( 𝟐 ) 𝐝𝐭 𝐭 1 ( 2 − 2 ) dt = 3⁄ 2 1 = ∫ (t + ) t 3 ∫ u ⁄2 𝟑⁄ 𝟐 t t (1 − 5 1 ) dt = t2 u ⁄2 2 5 du = + c = u ⁄2 + c 5⁄ 5 2 𝟐 𝟏 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: (𝐭 + ) 𝟓 𝐭 𝟓⁄ 𝟐 Cambio de Variable 1 𝑢 =𝑡+ 𝑡 𝑢 = 𝑡 + 𝑡 −1 1 𝑑𝑢 = 1 − 2 𝑑𝑡 𝑡 +𝐂 𝟒𝟓. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐬𝐞𝐧 𝐱 ∙ 𝐬𝐞𝐧 (𝐜𝐨𝐬 𝐱) 𝐝𝐱 Solución.- = − ∫ sin u du = cos u + c = Cambio de Variable 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑢 = − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝐜𝐨𝐬(𝐜𝐨𝐬 𝐱) + 𝐜 𝟒𝟔. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐬𝐞𝐜 𝐱 ∙ 𝐭𝐚𝐧 𝐱 𝐜𝐨𝐬(𝐬𝐞𝐜𝐱) 𝐝𝐱 Solución.- = ∫ cos u du = sen u + c = Cambio de Variable 𝑢 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑑𝑥 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝐬𝐞𝐧(𝐬𝐞𝐜𝐱 ) + 𝒄 𝐱𝟑 𝟒𝟕. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟑 𝐝𝐱 (𝐱 𝟐 + 𝟒) ⁄𝟐 Solución.- x ∙ x2 1 u −4 ∫ du = 2 u3⁄2 1 1 3 1 3 = ∫(u − 4) u− ⁄2 du = ∫ u− ⁄2 − 4 u− ⁄2 2 2 =∫ 3 dx (x 2 + 4) ⁄2 = Cambio de Variable 𝑢 = 𝑥2 + 4 𝑥2 = 𝑢 − 4 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥 26 Cálculo Integral 1 1 1 u ⁄2 u− ⁄2 1 1 1 = [ 1 −4 ] + c = [2u ⁄2 + 8 u− ⁄2 ] + c = 1 2 2 − 2 2 1⁄ 1 − ⁄2 2 = u + 4u +c = 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: √𝐱 𝟐 + 𝟒 + 𝟒 √𝐱 𝟐 + 𝟒 +𝐂 𝟒𝟖. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ √𝟑 𝐱 𝟐 + 𝟏 𝐱 𝐝𝐱 Solución.3 1 1 1 u2 = ∫ u2 𝑑𝑢 = +𝑐 = 6 6 3 Cambio de Variable 𝑢 = 3𝑥 2 + 1 𝑑𝑢 = 6𝑥 𝑑𝑥 2 𝟑 𝟏 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: (𝟑𝒙𝟐 + 𝟏)𝟐 + 𝑪 𝟗 𝟒𝟗. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟒 𝐬𝐞𝐧 𝐱 𝒅𝒙 (𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝐱) 𝟐 Solución.- =− ∫ 4 du = −4 ∫ u−2 du = u2 Cambio de Variable 𝑢 = 1 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑢 = − 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥 u−1 4 = −4 + c = +c = −1 u 𝟒 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: +𝐜 𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝐱 𝟓𝟎. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐲𝟐 − 𝟏 𝒅𝒚 (𝐲 𝟑 − 𝟑𝐲) 𝟐 Solución.1 3(y2 −1) y3−3y) 2 = ∫( 3 1 u−1 = ∙ 3 −1 1 du 3 1 1 u2 dy = ∫ = +c = − ∙ +c = 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 3 u 𝟏 +𝐂 − 𝟑𝐲) Cambio de Variable 𝑢 = 𝑦 3 − 3𝑦 𝑑𝑢 = 3 𝑦 2 − 3 𝑑𝑢 = 3 (𝑦 2 − 1) 𝑑𝑦 𝟑 (𝐲 𝟑 27 Cálculo Integral 𝟓𝟏. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ √ 𝐱𝟑 𝟏−𝟐𝐱 𝟐 𝐝𝐱 Solución.- = ∫ x 3 (1 − 2x 2 ) −1⁄2 Cambio de Variable 𝑢 = 1 − 2𝑥 2 𝑑𝑢 = −4 𝑥 𝑑𝑥 𝑢−1 𝑥2 = − 2 1−𝑢 2 𝑥 = 2 dx = 1 1 = − ∫ 4x ∙ x 2 (1 − 2x 2 ) − ⁄2 dx = 4 1 1−u 1 ) (1 − 2x 2 )− ⁄2 4𝑥 𝑑𝑥 = = − ∫( 4 2 1 1 1 1 − u −1⁄ 1 u− ⁄2 − u ⁄2 2 )u = − ∫( du = − ∫ du 4 2 4 2 1 3 1 1 1 u ⁄2 u ⁄2 1⁄ −1⁄2 2 ∫ = − ∙ u −u du = − [ 1 − 3 ] + c 4 2 8 2 2 1 2 3⁄ 1 1⁄ 1 3⁄ 1⁄ = − [2 u 2 − u 2 ] + c = − u 2 + u 2 +c = 8 3 4 12 1 1 1 3 − (1 − 2x 2 ) ⁄2 + (1 − 2x 2 ) ⁄2 + c 4 12 𝟏 𝟏 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − √𝟏 − 𝟐𝐱𝟐 + √(𝟏 − 𝟐𝐱𝟐 )𝟑 + 𝐜 𝟒 𝟏𝟐 𝟓𝟐. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐱 𝟐 + 𝟐𝐱 √𝐱 𝟑 − 𝟑𝐱 𝟐 + 𝟏 Solución.- = ∫(x 2 + 2x) 1 (x 3 − 3x 2 + 1) − ⁄2 dx = 1 1 1 u ⁄2 2 1 1 = ∫ u− ⁄2 du = ∙ 1 + c = u ⁄2 + c 3 3 3 2 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: Cambio de Variable 𝑢 = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 1 𝑑𝑢 = 3𝑥 2 − 6𝑥 𝑑𝑢 = 3( 𝑥 2 + 2𝑥) 𝑑𝑥 𝟐 √𝐱 𝟑 − 𝟑𝐱 𝟐 + 𝟏 + 𝐂 𝟑 28 Cálculo Integral 𝟓𝟑. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝟑√𝐭 √𝐭 𝐝𝐭 Solución.- = ∫ sec 2 (3t 1⁄ 2 ) ∙ t− 1⁄ 2 2 dt = ∫ sec 2 u du 3 1⁄ 𝑢 = 3𝑡 2 3 1⁄ 𝑑𝑢 = 𝑡 − 2 𝑑𝑡 2 2 2 1 = tan u + c = tan 3t ⁄2 + c 3 3 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: Cambio de Variable 𝟐 𝐭𝐚𝐧 𝟑√ 𝐭 + 𝐜 𝟑 𝟓𝟒. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐬𝐞𝐧 𝟐𝐱 √ 𝟐 − 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝐱 𝐝𝐱 Cambio de Variable 𝑢 = 2 − 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥 1 1 = ∫ 2 sen 2x √2 − cos 2x dx = ∫ √u du 𝑑𝑢 = 2 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑑𝑥 2 2 Solución.- 3 3 (2 − cos 2x) 1 1 u ⁄2 u ⁄2 1 = ∫ u ⁄2 du = ∙ 3 + c = +c = 2 2 3 3 2 3⁄ 2 +c √(𝟐 − 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝐱)𝟑 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: +𝐂 𝟑 𝟓𝟓. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐱 (𝐱 𝟐 + 𝟏)√𝟒 − 𝟐𝐱 𝟐 − 𝐱 𝟒 𝐝𝐱 Solución.- Cambio de Variable 𝑢 = 4 − 2𝑥 2 − 𝑥 4 𝑑𝑢 = −4𝑥 − 4𝑥 3 𝑑𝑢 = −4(𝑥 + 𝑥 3 )𝑑𝑥 1 = − ∫ −4 (x 3 + x) √4 − 2x 2 − x 4 dx = 4 1 1 1 = − ∫ √u du = − ∫ u ⁄2 du = 4 4 3 3⁄ 1 u ⁄2 1 3 1 = − ∙ 3 + c = − u ⁄2 + c = − (4 − 2x2 − x4 ) 2 + c 4 6 6 2 𝟏 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − √(𝟒 − 𝟐𝐱 𝟐 − 𝐱 𝟒 )𝟑 + 𝐂 𝟔 29 Cálculo Integral 𝟓𝟔. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐲 √𝐲 𝟐 − 𝟒 𝐝𝐲 Solución.1 2 1⁄ 2 1 ∫ √u du = ∫ u 2 3 du = 3 1 u ⁄2 u ⁄2 = ∙ 3 +c= +c = 2 3 2 3⁄ (y2 − 4) 2 3 +c Cambio de Variable 𝑢 = 𝑦2 − 4 𝑑𝑢 = 2𝑦 𝑑𝑦 √( 𝐲 𝟐 − 𝟒 ) 𝟑 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: +𝐂 𝟑 𝟓𝟕. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐳 (𝟐𝐳 𝟐 − 𝟑) Solución.- 𝟏⁄ 𝟑 4 u ⁄3 𝐝𝐳 1 1 1 = ∫ u ⁄3 du = ∙ 4 + c = 4 4 3 3 4⁄ 3 4 (2z 2 − 3) ⁄3 + c = u 3+c = 16 16 𝟑 𝟑 √(𝟐𝐳𝟐 − 𝟑)𝟒 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: +𝐜 𝟏𝟔 𝟓𝟖. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐭𝟑 √𝐭 𝟒 + 𝟗 Cambio de Variable 𝑢 = 2𝑧 2 − 3 𝑑𝑢 = 4𝑧 𝑑𝑧 𝐝𝐭 Solución.- 1 4t 3 1 du = ∫ 4 dt = ∫ 1 = 4 √t + 9 4 u ⁄2 1 1 1 u ⁄2 −1 = ∫ u ⁄2 du = ∙ 1 + c = 4 4 2 1 1⁄ 1 4 1 = u 2 + c = ( t + 9) ⁄2 + c = 2 2 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: √𝐭 𝟒 +𝟗 𝟐 Cambio de Variable 𝑢 = 𝑡4 − 9 𝑑𝑢 = 4𝑡 3 𝑑𝑡 +𝐂 30 Cálculo Integral 𝟓𝟗. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫(𝐱 + 𝟏) 𝐭𝐚𝐧𝟐(𝟑𝐱 𝟐 + 𝟔𝐱) 𝐬𝐞𝐜 𝟐 (𝟑𝐱𝟐 + 𝟔𝐱) 𝐝𝐱 Solución.- Cambio de Variable 𝑢 = 𝑡𝑎𝑛 (3𝑥 2 + 6𝑥) 𝑑𝑢 = (6𝑥 + 6) 𝑠𝑒𝑐 2 (3𝑥 2 + 6𝑥) 𝑑𝑥 𝑑𝑢 = 6(𝑥 + 1) 𝑠𝑒𝑐 2 (3𝑥 2 + 6𝑥) 𝑑𝑥 1 ∫ 6 (x + 1) tan(3x 2 + 6x) sec 2(3x 2 + 6x) dx = 6 1 1 u3 1 3 = ∫ u2 du = ∙ + c = u +c= 6 6 3 18 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝐭𝐚𝐧𝟑 (𝟑𝐱 𝟐 + 𝟔𝐱) + 𝐜 𝟏𝟖 𝟔𝟎. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐲𝟑 𝐝𝐲 (𝟏 − 𝟐𝐲 𝟒)𝟓 Solución.1 − ∫ −8 y 3(1 − 2y 4 )−5 dy = 8 u−4 1 1 1 − ∫ u−5 du = − ∙ +c= +c= 8 8 −4 32u4 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: Cambio de Variable 𝑢 = 1 − 2𝑦 4 𝑑𝑢 = −8𝑦 3 𝑑𝑦 𝟏 +𝐜 𝟑𝟐(𝟏 − 𝟐𝐲𝟒 )𝟒 𝟔𝟏. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐬 √𝟑𝐬 𝟐 + 𝟏 𝐝𝐬 Solución.- 1 6s 1 1 = ∫ ds = ∫ u− ⁄2 du = 2 6 √3s + 1 6 1 1 1 u ⁄2 u ⁄2 ∙ 1 +c= +c = 6 3 2 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: Cambio de Variable 𝑢 = 3𝑠 2 + 1 𝑑𝑢 = 6𝑠 𝑑𝑠 √𝟑𝐬𝟐 + 𝟏 +𝐜 𝟑 31 Cálculo Integral 𝟏𝟔𝐱 𝟒 𝟔𝟐. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟑 𝐝𝐱 √𝟐𝟓𝐱 𝟓 + 𝟒 Solución.- Cambio de Variable 𝑢 = 25𝑥 5 + 4 𝑑𝑢 = 125 𝑥 4 𝑑𝑥 x4 = 16 ∫ 1 dx = (25x 5 + 4) ⁄3 1 du 16 1 ∫ 1 = ∫ u− ⁄3 du = = 16 ∙ 125 u ⁄3 125 2 16 u ⁄3 16 3 2⁄ 24 2⁄ = ∙ 2 +c = ∙ u 3+c= u 3+c 125 125 2 125 3 24 2 (25x5 + 4) ⁄3 + c = 125 𝟐𝟒 𝟑 √(𝟐𝟓𝐱 𝟓 + 𝟒)𝟐 + 𝐜 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏𝟐𝟓 = 𝟔𝟑. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫(𝐞 𝐱⁄ 𝐚 𝐱⁄ 𝟐 𝐚) + 𝐞− 𝐝𝐱 Solución.- = ∫𝑒 2𝑥⁄ 𝑎 + 2 𝑒 + 𝑒− 2𝑥⁄ 𝑎 𝑑𝑥 = ∫𝑒 2𝑥⁄ 𝑎 𝑑𝑥 + ∫ 2 𝑑𝑥 + ∫ 𝑒 − =∫𝑒 2𝑥⁄ 𝑎 2𝑥⁄ 𝑎+ 2 + 𝑒− 𝑑𝑥 a du 𝑎 = ∫ 𝑒𝑢 + ∫ 2 𝑑𝑥 + ∫ 𝑒 𝑢 ∙ (− 𝑑𝑢) = 2 2 𝑎 𝑎 = ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 + ∫ 2 𝑑𝑥 − ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 2 2 𝑎 𝑢 𝑎 𝑢 = 𝑒 + 2𝑥 − 𝑒 + 𝑐 = 2 2 𝒂 𝟐𝐱 𝒂 𝟐𝐱 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒆 ⁄𝐚 + 𝟐𝒙 − 𝒆− ⁄𝐚 + 𝒄 𝟐 𝟐 2𝑥⁄ 𝑎 𝑑𝑥 = Cambio de Variable 𝑢= 2𝑥 𝑎 ; 𝑑𝑢 = 𝑎 𝑑𝑢 2 𝑎 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 2 𝑢 = − 2𝑥⁄𝑎; 2 𝑑𝑢 = − 𝑑𝑥 𝑎 𝑎 𝑑𝑢 − = 𝑑𝑥 2 ( 𝒂𝒙 − 𝒃 𝒙 ) 𝟐 𝟔𝟒. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 𝒂𝒙 𝒃 𝒙 Solución.- =∫ (𝑎 2𝑥 − 2𝑎 𝑥 𝑏 𝑥 + 𝑏 2𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑎𝑥 𝑏 𝑥 32 Cálculo Integral =∫ 𝑎2𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 2 𝑎𝑥 𝑏 𝑥 𝑏 2𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑎 𝑏 𝑥 𝑎 𝑏𝑥 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 2 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑏 𝑎 𝑥 𝑎 𝑏 𝑥 = ∫ ( ) 𝑑𝑥 − ∫ 2 𝑑𝑥 + ∫ ( ) 𝑑𝑥 = 𝑏 𝑎 𝑎𝑥 𝑏 𝑥 𝑎𝑥 𝑏 𝑥 Cambio de Variable 𝑢 =𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑆𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑒𝑠𝑡á𝑛𝑑𝑎𝑟 ∫ 𝑎𝑢 𝑑𝑢 = 𝑎𝑢 ln 𝑎 𝑎 𝑢 𝑏 𝑢 𝑎 𝑥 𝑏 𝑥 ( ) ( ) ( ) ( ) 𝑏 𝑎 = 𝑏 𝑎 − 2𝑥 + 𝑎 = − 2𝑥 + +𝑐 𝑏 ln 𝑎 − ln 𝑏 ln 𝑏 − ln 𝑎 ln ( ) ln ( ) 𝑏 𝑎 𝑎 𝑥 𝑏 𝑥 ( ) ( ) 𝑏 𝑎 = − 2𝑥 − +𝑐 ln 𝑎 − ln 𝑏 ln 𝑎 − ln 𝑏 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝒂𝒙 𝒃 𝒙 ( 𝒙 − 𝒙 ) − 𝟐𝒙 + 𝒄 𝐥𝐧 𝒂 − 𝐥𝐧 𝒃 𝒃 𝒂 𝟐 𝟔𝟓. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒆−( 𝒙 +𝟏 ) ∙ 𝒙 𝒅𝒙 Cambio de Variable 𝑢 = (𝑥 2 + 1) 𝑑𝑢 1 1 −𝑢 −𝑢 −𝑢 = ∫𝑒 ∙ = = ∫ 𝑒 𝑑𝑢 = (−𝑒 ) + 𝑐 = 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥 2 2 2 𝑑𝑢 = 𝑥 𝑑𝑥 1 −(𝑥 2 +1) 2 − 𝑒 +𝑐= Solución.- 2 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝟏 𝟐 𝒆 (𝒙𝟐 +𝟏 ) +𝒄 𝟐 𝟔𝟔. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐱 ∙ 𝟕𝐱 𝐝𝐱 Solución.- = ∫ 7𝑢 𝑑𝑢 𝑆𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 ∫ 𝑎 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑎𝑢 +𝑐 ln 𝑎 2 = ∫ 7𝑢 𝑑𝑢 1 7𝑢 1 7𝑥 )+𝑐 = ∙ = ( +𝑐 = 2 2 ln 7 2 ln 7 Cambio de Variable 𝑢 = 𝑥2 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 = 𝑥 𝑑𝑥 2 𝟐 𝟕𝒙 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: +𝒄 𝟐 𝐥𝐧 𝟕 33 Cálculo Integral 𝒅𝒙 𝟔𝟕. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒏 √𝒙 Solución.- =∫ = 𝑑𝑥 (𝑥) 1⁄ 𝑛 1 ∫ 𝑢− ⁄𝑛 = ∫(𝑥) − 𝑑𝑢 1⁄ 𝑛 1 = 𝑢−𝑛+1 Cambio de Variable 𝑢 =𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑛−1 𝑢 𝑛 +𝑐 = 𝑛−1 +𝑐 = 𝑛 𝒏−𝟏 𝒏𝒙 𝒏 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: +𝒄 𝒏−𝟏 𝟔𝟖. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ (𝐧 𝐱) 𝟏−𝐧 𝐧 𝐝𝐱 Cambio de Variable 𝑢 = 𝑛𝑥 𝑑𝑢 = 𝑛 𝑑𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑛 Solución.- 1−n 𝑑𝑢 1 = ∫ 𝑢 n 𝑑𝑢 = 𝑛 𝑛 1 −n 1− 𝑛+ 𝑛 1 = +1= = n 𝑛 𝑛 = ∫𝑢 1−n n ∙ 1 1 1 𝑢𝑛 𝑛 1 = ∙ + 𝑐 = ∙ 𝑢 𝑛 + 𝑐 = (𝑛 𝑥 ) ⁄𝑛 + 𝑐 = 𝑛 1 𝑛 𝑛 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒏√𝒏 𝒙 + 𝒄 𝟔𝟗. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐚𝟐𝐱 − 𝟏 𝒅𝒙 Cambio de Variable 3𝑥 Solución.𝑢= 2 𝑎 2𝑥 𝑑𝑥 3 ∫ ∫ = 𝑥 𝑑𝑥 − 𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑎 ⁄2 𝑎 ⁄2 2 𝑥 𝑥 𝑥 − − 2𝑥 𝑢=− = ∫ 𝑎 ∙ 𝑎 2 𝑑𝑥 − ∫ 𝑎 2 𝑑𝑥 = 2 𝑢 3 𝑥 𝑎 𝑑𝑢 = − 𝑑𝑥 ∫ 𝑎 2𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑎 − 2 𝑑𝑥 𝑆𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 ∫ 𝑎 𝑢 𝑑𝑢 = 2 √ 𝐚𝐱 2 = ∫ 𝑎 𝑢 𝑑𝑢 − ∫ 𝑎 𝑢 ∙ −2 𝑑𝑢 3 ln 𝑎 34 Cálculo Integral 2 2 𝑎𝑢 𝑎𝑢 = ∫ 𝑎 𝑢 𝑑𝑢 + 2 ∫ 𝑎 𝑢 𝑑𝑢 = ∙ +2∙ +𝑐 3 3 ln 𝑎 ln 𝑎 3 3 𝑥 2 𝑎 2𝑥 2 𝑎 − ⁄2 2 𝑎 2𝑥 𝑥 ( = ∙ + = + 𝑎 − ⁄2 ) + 𝑐 3 ln 𝑎 ln 𝑎 ln 𝑎 3 𝟑 𝟐 𝒂 𝟐𝒙 𝟏 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: ( + 𝒙⁄ ) + 𝒄 𝐥𝐧 𝒂 𝟑 𝒂 𝟐 𝟕𝟎. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ (𝐚 𝟐⁄ 𝟑 −𝐱 𝟐⁄ 𝟑 𝟑 ) 𝐝𝐱 Solución.- = ∫ (𝑎 2⁄ 3 3) − 3 (𝑎 = ∫ 𝑎 2 𝑑𝑥 − ∫ 3 𝑎 = 𝑎2𝑥 − 3 ∫ 𝑎 = 4⁄ 3 4 𝑎 2 𝑥 − 3 𝑎 ⁄3 2 2⁄ 2 2 2 2 3 ) (𝑥 ⁄3 ) + 3 (𝑎 ⁄3 ) (𝑥 ⁄3 ) 4⁄ 3 𝑢 𝑥 2⁄ 3 2⁄ 3 𝑑𝑥 + ∫ 3 𝑎 2⁄ 3 2⁄ 3 𝑢 𝑑𝑢 + 3 ∫ 𝑎 5 𝑥 4⁄ 3 4⁄ 3 − (𝑥 2⁄ 3 3 ) 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 − ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 − ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 7 𝑥 ⁄3 𝑥 ⁄3 𝑥 3 2 + 3 𝑎 ⁄3 7 − + 𝑐 5⁄ ⁄3 3 3 9 4 9 2 𝑥3 5 7 = 𝑎 2 𝑥 − 𝑎 ⁄3 ∙ 𝑥 ⁄3 + 𝑎 ⁄3 ∙ 𝑥 ⁄3 − + 𝑐 5 7 3 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟒⁄ 𝟑 𝟏𝟎𝟓 𝒂𝟐 𝒙 − 𝟏𝟖𝟗 𝒂 ∙𝒙 𝟓⁄ 𝟑+ 𝟐⁄ 𝟑 𝟏𝟑𝟓 𝒂 ∙ 𝒙 𝟕⁄ 𝟑− 𝟏𝟎𝟓 𝟑𝟓 𝒙 𝟑 +𝒄 𝟕𝟏. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫(√𝐱 + 𝟏)(𝐱 − √𝐱 + 𝟏) Solución.- = ∫(𝑥√𝑥 − √𝑥 ∙ √𝑥 + √𝑥 + 𝑥 − √𝑥 + 1) 𝑑𝑥 = ∫(𝑥√𝑥 − 𝑥 + 𝑥 + 1)𝑑𝑥 Cambio de Variable 𝑢=𝑥 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 = ∫(𝑥√𝑥 + 1)𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 √𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥(𝑥) 1⁄ 2 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 35 Cálculo Integral 5 𝑢 ⁄2 = 𝑑𝑢 + ∫ 𝑑𝑥 = +𝑥 +𝑐 5⁄ 2 2 5⁄ 2 2 𝑥 2 √𝑥 = 𝑥 2 + 𝑥 + 𝑐 = √𝑥 2 ∙ 𝑥 2 ∙ 𝑥 + 𝑥 + 𝑐 = +𝑥 +𝑐 5 5 5 3 ∫ 𝑢 ⁄2 𝟐 𝒙𝟐 √ 𝒙 + 𝟓𝒙 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: +𝒄 𝟓 𝟕𝟐. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐞𝛉 𝐝𝛉 𝐜 + 𝐚 𝐞𝛉 Solución.- 𝑑𝑢 1 1 𝑑𝑢 1 ∙ = ∫ = ln 𝑢 + 𝑐 = 𝑎 𝑢 𝑎 𝑢 𝑎 𝟏 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝐥𝐧|𝒄 + 𝐚 𝐞𝛉 | + 𝒄 𝒂 =∫ 𝟕𝟑. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ Cambio de Variable 𝑢 = 𝑐 + a eθ 𝑑𝑢 = a eθ dθ 𝑑𝑢 = eθ dθ 𝑎 𝟑𝐱 𝟐 + 𝟐 𝐝𝐱 𝐱−𝟏 Solución.𝑆𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑜𝑟í𝑔𝑒𝑛 𝑒𝑛: =∫ 3𝑥 2 2 𝑥2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 = 3 ∫ 𝑑𝑥 + 2 ∫ 𝑥 −1 𝑥 −1 𝑥 −1 𝑥 −1 𝐴 𝑥 2 𝑠𝑒 𝑙𝑒 𝑠𝑢𝑚𝑎 1 𝑦 𝑠𝑒 𝑙𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎 1: (𝑥 2 − 1) + 1 𝑑𝑥 Cambio de Variable 𝑑𝑥 + 2 ∫ = 𝑢=𝑥 𝑥 −1 𝑥 −1 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) + 1 𝑑𝑥 = 3∫ +2∫ 𝑢 = 𝑥−1 𝑥−1 𝑥−1 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) 1 𝑑𝑥 ) 𝑑𝑥 + 2 ∫ = 3 (∫ + 𝑥 −1 𝑥−1 𝑥−1 1 𝑑𝑥 = 3 (∫(𝑥 + 1) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥) + 2 ∫ (𝑥 − 1) 𝑥−1 𝑑𝑥 𝑑𝑥 )+2∫ = 3 (∫ 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑥−1 𝑥 −1 𝑑𝑢 𝑑𝑢 = 3 (∫ 𝑢 𝑑𝑢 + ∫ 𝑑𝑥 + ∫ ) + 2 ∫ 𝑢 𝑢 = 3∫ 36 Cálculo Integral 𝑢2 + 3𝑥 + 3 ln 𝑢 + 2 ln 𝑢 + 𝑐 2 3 = 𝑥 2 + 3𝑥 + 3 ln(𝑥 − 1) + 2 ln(𝑥 − 1) + 𝑐 2 3 3𝑥 2 + 6𝑥 + 10 ln(𝑥 − 1) = 𝑥 2 + 3𝑥 + 5 ln(𝑥 − 1) + 𝑐 = +𝑐 2 2 =3 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝐥𝐧(𝒙 − 𝟏)𝟏𝟎 +𝒄 𝟐 𝟕𝟒. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ √𝐦 + 𝐧𝐲 𝐝𝐲 Cambio de Variable 𝑢 = 𝑚 + 𝑛𝑦 𝑑𝑢 = 𝑛 𝑑𝑦 𝑑𝑢 = 𝑑𝑦 𝑛 Solución.- = ∫(𝑚 + 𝑛𝑦) 1⁄ 2 𝑑𝑦 1 𝑑𝑢 1 1 𝑢 2+1 1 )+𝑐 = = = ∫ 𝑢 ⁄2 𝑑𝑢 = ( 1 𝑛 𝑛 𝑛 +1 2 3 1 𝑢 ⁄2 2 3⁄ 2 √(𝑚 + 𝑛𝑦) 3 + 𝑐 = ∙ +𝑐 = 𝑢 2 +𝑐 = 𝑛 3⁄ 3𝑛 3𝑛 2 1 ∫ 𝑢 ⁄2 2 √(𝑚 + 𝑛𝑦)2 (𝑚 + 𝑛𝑦) + 𝑐 3𝑛 𝟐 (𝒎 + 𝒏𝒚)√𝒎 + 𝒏𝒚 + 𝒄 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟑𝒏 = 𝟕𝟓. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐱 𝐧 √𝐚𝐱 𝐧+𝟏 + 𝐛 𝐝𝐱 Solución.- = ∫ 𝑥 𝑛 (𝑎𝑥 𝑛+1 + = ∫𝑢 1⁄ 2 1 𝑏) ⁄2 𝑑𝑢 = 𝑎(𝑛 + 1) 𝑑𝑥 Cambio de Variable 𝑢 = 𝑎𝑥 𝑛+1 + 𝑏 𝑑𝑢 = 𝑎 (𝑛 + 1) 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 𝑑𝑢 = 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 ( 𝑎 𝑛 + 1) = 1 1 1 𝑢 ⁄2+1 1⁄ 2 ∫ = 𝑢 𝑑𝑢 = ∙ +𝑐 𝑎 (𝑛 + 1) 𝑎(𝑛 + 1) 1⁄ + 1 2 3 1 𝑢 ⁄2 1 2 3 = ∙ +𝑐 = ∙ 𝑢 ⁄2 𝑎 (𝑛 + 1) 3⁄ 𝑎 (𝑛 + 1) 3 2 37 Cálculo Integral 2 √(𝑎𝑥 𝑛+1 + 𝑏) 3 + 𝑐 ( 3𝑎 𝑛 + 1) 2 √(𝑎𝑥 𝑛+1 + 𝑏) 2 (𝑎𝑥 𝑛+1 + 𝑏) + 𝑐 = ( 3𝑎 𝑛 + 1) 𝟐 (𝒂𝒙𝒏+𝟏 + 𝒃) √(𝒂𝒙𝒏+𝟏 + 𝒃) + 𝒄 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟑𝒂(𝒏 + 𝟏) = 𝟕𝟔. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐜𝐬𝐜 𝟐 𝟑𝐱 ∙ 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝐱 𝐝𝐱 Solución.Se aplica el equivalente de csc x = 1 sen x 1 =∫ ∙ cos 3𝑥 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛2 3𝑥 𝑑𝑢 1 𝑑𝑢 =∫ = ∫ 2 2 3𝑢 3 𝑢 1 1 𝑢−2+1 1 𝑢−1 = ∫ 𝑢−2 𝑑𝑢 = ∙ +𝑐 = ∙ +𝑐 3 3 −2 + 1 3 −1 1 1 1 = − ∙ +𝑐 = − +𝑐 = 3 𝑢 3 sen 3𝑥 𝟏 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝐜𝐬𝐜 𝟑𝒙 + 𝒄 𝟑 𝟕𝟕. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ Solución.- 𝒅𝒙 𝟐𝒙 𝐥𝐧 𝟑𝒙 1 𝑑𝑥 = ∫ 2 𝑥 ln 3𝑥 1 3 𝑑𝑢 3 𝑑𝑢 3 = ∫ = ∫ = ln 𝑢 + 𝑐 2 𝑢 2 𝑢 2 𝟑 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝐥𝐧|𝐥𝐧 𝟑𝒙| + 𝒄 𝟐 Cambio de Variable 𝑢 = sen 3𝑥 𝑑𝑢 = 3 cos 3𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 = cos 3𝑥 𝑑𝑥 3 Cambio de Variable 𝑢 = ln 3𝑥 1 𝑑𝑢 = 3𝑥 1 3𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑥 38 Cálculo Integral 𝟏 𝟕𝟖. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐞 𝐱𝟐 𝐱𝟑 𝐝𝐱 Solución.- = ∫e 1 x2 = ∫ 𝑒𝑢 ∙ ∙ 𝑥 −3 𝑑𝑥 𝑑𝑢 1 = − ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = −2 2 1 2 = − 𝑒 −𝑥 + 𝑐 = 2 𝟏 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝒆 𝟐 𝟏 𝐱𝟐 Cambio de Variable 𝑢 = 𝑥 −2 𝑑𝑢 = −2𝑥 −3 𝑑𝑥 𝑑𝑢 − = 𝑥 −3 𝑑𝑥 2 +𝒄 𝟑 𝟒 𝟕𝟗. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫( √𝐞𝐱 ) 𝐝𝐱 Solución.- 4 4𝑥 ∫ 𝑒 ⁄3 = ∫( 3√ex ) 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 3 3 = ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = 4 4 3 𝑢 3 4𝑥 (𝑒 ) + 𝑐 = 𝑒 3 + 𝑐 4 4 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: Cambio de Variable 4𝑥 𝑢= 3 4 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 3 3 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 4 𝟑 𝟑 𝟒𝒙 √𝒆 + 𝒄 𝟒 𝟖𝟎. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐜𝐨𝐭 𝒙 (𝟐 + 𝐥𝐧|𝐬𝐞𝐧 𝒙|) 𝒅𝒙 Solución.- 𝑢1+1 +𝑐 = 1+ 1 (2 + ln(sen 𝑥 )) 2 𝑢2 +𝑐 = +𝑐 2 2 = ∫ 𝑢 𝑑𝑢 = = Cambio de Variable 𝑢 = 2 + ln( sen 𝑥) 𝑑𝑢 = cot 𝑥 𝑑𝑥 4 + 4 ln|sen 𝑥| + ln |sen 𝑥 |2 2 𝑆𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜𝑠 𝑛 ln|𝑚| = ln|𝑚| 𝑛 4 4 ln|sen 𝑥 | = + 𝑙𝑛|sen 𝑥| + = 2 + 2 𝑙𝑛|sen 𝑥| + 𝑙𝑛|sen 𝑥| + 𝑐 2 2 2 39 Cálculo Integral = 2 + 3 𝑙𝑛|sen 𝑥| + 𝑐 = 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟐 + 𝒍𝒏|𝐬𝐞𝐧 𝒙|𝟑 + 𝒄 𝟖𝟏. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ ( 𝟐 𝟑 𝟒 − + ) 𝐝𝐱 = (𝐱 + 𝟏)𝟑 (𝐱 + 𝟏 )𝟐 (𝐱 + 𝟏 ) Solución.- 2 3 4 𝑑𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 3 2 (x + 1) (𝑥 + 1) (x + 1) dx 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = 2∫ −3∫ +4∫ 3 2 (x + 1) (𝑥 + 1) (x + 1) 𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑢 = 2 ∫ 3 − 3∫ 2 − 4 ∫ 𝑢 𝑢 𝑢 =∫ Cambio de Variable 𝑢 = 𝑥+1 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑢−3 𝑑𝑢 − 3 ∫ 𝑢−2 𝑑𝑢 − 4 ln 𝑢 + 𝑐 𝑢−2 𝑢−1 −3∙ − 4 ln 𝑢 + 𝑐 −2 −1 = −(𝑥 + 1) −2 + 3(𝑥 + 1) −1 − 4 ln 𝑢 + 𝑐 = 2∙ 𝟏 𝟑 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − (𝒙+𝟏)𝟐 + (𝒙+𝟏) − 𝟒 𝐥𝐧|𝒙 + 𝟏| + 𝒄 𝟖𝟐. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ √𝒕 𝒅𝒕 𝒕 +𝟏 Solución.- Cambio de Variable 𝑢 = √𝑡 𝑢2 = 𝑡 2 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑑𝑡 𝑢 𝑢2 =∫ 2 2𝑢𝑑𝑢 = 2 ∫ 2 𝑑𝑢 𝑢 +1 𝑢 +1 𝑆𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑚𝑎𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑢2 + 1 − 1 𝑢2 + 1 1 ∫ ( ) 𝑑𝑢 . 𝑑𝑢 = 2 − 2 2 2 𝑢 +1 𝑢 +1 𝑢 +1 1 1 ) 𝑑𝑢 = 2 (∫ 𝑑𝑢 − ∫ 2 = 2 ∫ (1 − 2 𝑑𝑢) 𝑢 +1 𝑢 +1 1 = 2 ∫ 𝑑𝑢 − 2 ∫ 2 𝑑𝑢 𝑢 +1 1 1 𝑢 𝑆𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑏á𝑠𝑖𝑐𝑎 ∫ 2 2 = 𝑡𝑎𝑛 −1 = 2∫ 𝑎 +𝑢 𝑎 𝑎 = 2𝑢 − 2 (𝑡𝑎𝑛−1 𝑢) + 𝐶 = 2√𝑡 − 2𝑡𝑎𝑛 −1 √𝑡 + 𝐶 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟐(√ 𝒕 − 𝒕𝒂𝒏−𝟏 √ 𝒕) + 𝑪 40 Cálculo Integral 𝟖𝟑. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒕(𝟑𝒕 + 𝟐)𝟑/𝟐 𝒅𝒕 Cambio de Variable Solución.- = ∫ 𝑡(3𝑡 1 + 2) ⁄2 . 3 𝑑𝑡 = 3 𝑢 = √3𝑡 + 2 𝑢 2 = 3𝑡 + 2 𝑢2 − 2 𝑡= 3 2𝑢𝑑𝑢 = 3𝑑𝑡 2𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑡 = 3 ∫ 𝑡(√3𝑡 + 2) 𝑑𝑡 𝑢2 − 2 3 2𝑢 𝑢 𝑑𝑢 3 3 2 2 = ∫ (𝑢2 − 2) 𝑢4 𝑑𝑢 = ∫(𝑢6 − 2𝑢4 ) 𝑑𝑢 9 9 2 = (∫ 𝑢6 𝑑𝑢 − 2 ∫ 𝑢4 𝑑𝑢) 9 2 𝑢7 2𝑢5 2 7 4 5 )+ 𝐶 = = ( − 𝑢 − 𝑢 +𝐶 9 7 5 63 45 2 4 1 1 (3𝑡 + 2) ⁄2 . 7 − (3𝑡 + 2) ⁄2 . 5 + 𝐶 = 63 45 2 4 7 5 (3𝑡 + 2) ⁄2 − (3𝑡 + 2) ⁄2 + 𝐶 = 63 45 =∫ 𝑆𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒𝑛 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑟 𝑙𝑜𝑠 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑐𝑎𝑙𝑒𝑠: 2 4 √(3𝑡 + 2) 6(3𝑡 + 2) − √(3𝑡 + 2) 4(3𝑡 + 2) + 𝐶 63 45 2 4 (3𝑡 + 2) 3 √(3𝑡 + 2) − (3𝑡 + 2) 2√(3𝑡 + 2) + 𝐶 = 63 45 𝟐 𝟒 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: (𝟑𝒕 + 𝟐)𝟐 √(𝟑𝒕 + 𝟐) ( (𝟑𝒕 + 𝟐) − ) + 𝑪 𝟔𝟑 𝟒𝟓 = 𝟐⁄ 𝟑 𝟖𝟒. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙(𝟏 − 𝒙) Solución.- = ∫ 𝑥(1 − 𝑥) = ∫(1 − 1⁄ . 2 3 𝒅𝒙 𝑑𝑥 Cambio de Variable 1⁄ 𝑢 = (1 − 𝑥) 3 𝑢 3 = (1 − 𝑥) 𝑢3 )(𝑢) 2 (−3𝑢2 𝑑𝑢) = −3 ∫(1 − 𝑢3 )𝑢4 𝑑𝑢 = −3 ∫(𝑢4 − 𝑢7 )𝑑𝑢 = −3 (∫ 𝑢4 𝑑𝑢 − ∫ 𝑢7 𝑑𝑢) = −3 ( −3(1 − 𝑥) = 5 1⁄ . 5 3 3(1 − 𝑥) + 8 𝑢5 𝑢8 − )+𝐶 5 8 1⁄ . 8 3 3(1 − 𝑥) = 8 8⁄ 3 𝑥 = 1 − 𝑢3 3𝑢 2 𝑑𝑢 = −𝑑𝑥 𝑑𝑥 = −3𝑢 2 𝑑𝑢 3(1 − 𝑥) − 5 5⁄ 3 41 Cálculo Integral = 15(1 − 𝑥) 8⁄ 3 − 24(1 − 𝑥) 40 5⁄ 3 1 8 5 (15(1 − 𝑥) ⁄3 − 24(1 − 𝑥) ⁄3 ) + 𝐶 40 1 8 5 = (15(1 − 𝑥) ⁄3 − 24(1 − 𝑥) ⁄3 ) + 𝐶 40 1 3 3 = (15 √(1 − 𝑥) 6(1 − 𝑥) 2 − 24 √(1 − 𝑥) 3 (1 − 𝑥) 2 ) + 𝐶 40 1 3 3 = (15(1 − 𝑥) 2 √(1 − 𝑥) 2 − 24(1 − 𝑥) √(1 − 𝑥) 2 ) + 𝐶 40 = 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 (𝟏 − 𝒙) 𝟑√(𝟏 − 𝒙)𝟐 (𝟏𝟓(𝟏 − 𝒙) − 𝟐𝟒) + 𝑪 𝟒𝟎 𝟖𝟓. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 − 𝟔𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝟏𝟐 Solución.- Cambio de Variable 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑢 = cos 𝑥 𝑑𝑥 𝑥= 𝑢−3 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 𝑎2 = 3 𝑑𝑢 𝑑𝑢 =∫ = 2 (𝑢 − 3) 2 + 3 𝑢 − 6𝑢 + 12 𝑑𝑥 1 𝑥 ∫ 2 → 𝑡𝑎𝑛−1 ( ) + 𝐶 𝑥 +3 √3 √3 1 𝑢 − 3 ) +𝐶 𝑡𝑎𝑛−1 ( √3 √3 ∫ 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 √𝟑 𝒕𝒂𝒏−𝟏 ( 𝒔𝒆𝒏 𝒙 − 𝟑 √𝟑 𝑎 = √3 )+𝑪 𝟖𝟔. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙√𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 Solución.- ∫(𝑢2 − 1) 𝑢 2𝑢 𝑑𝑢 = 2 ∫(𝑢2 − 1) 𝑢2 𝑑𝑢 = 2 (∫ 𝑢4 𝑑𝑢 − ∫ 𝑢2 𝑑𝑢) = 2 [ 𝑢5 5 − 𝑢3 3 ]+𝐶 = 1 5 1 3 2 2 [(𝑥 + 1) 2 ] − [(𝑥 + 1) 2 ] + 𝐶 = 5 3 𝟐𝟐 𝟐𝟐 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: √(𝒙 + 𝟏)𝟓 − √(𝒙 + 𝟏)𝟑 + 𝑪 𝟓 𝟑 Cambio de Variable 1 𝑢 = (𝑥 + 1) 2 𝑢2 = 𝑥 + 1 𝑥 = 𝑢2 − 1 𝑑𝑥 = 2𝑢𝑑𝑢 42 Cálculo Integral 𝟖𝟕. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒕 √𝒕+𝒆 Solución.𝑆𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑖𝑜 𝑢−𝑒+𝑒 𝑢 = 𝑢 +𝑒 𝑢+𝑒 ∫ 2𝑢 𝑑𝑢 = 𝑢+𝑒 2∫ 𝑢 𝑢−𝑒+ 𝑒 𝑑𝑢 = 2 ∫ 𝑑𝑢 = 𝑢+𝑒 𝑢 +𝑒 2 (∫ Cambio de Variable 𝑢 = √𝑡 𝑢2 = 𝑡 𝑑𝑡 = 2𝑢 𝑑𝑢 𝑎 =𝑢+𝑒 𝑑𝑎 = 𝑑𝑢 𝑢+𝑒 𝑒 𝑑𝑢 )= 𝑑𝑢 − ∫ 𝑑𝑢) = 2 (∫ 𝑑𝑢 − 𝑒 ∫ 𝑢+𝑒 𝑢+𝑒 𝑢+𝑒 2 (𝑢 − 𝑒 ∫ 𝑑𝑎 ) = 2(𝑢 − 𝑒 ln |𝑎|) + 𝐶 𝑎 2(√ 𝑡 − 𝑒 ln |𝑢 + 𝑒| ) + 𝐶 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟐√ 𝒕 − 𝟐 𝒆 𝐥𝐧|√𝒕 + 𝒆| + 𝑪 𝟖𝟖. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙√𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 = Solución.Se aplica el siguiente cambio de variable: 𝟏 𝒖 = (𝒙 + 𝟏)𝟐; 𝒖𝟐 = 𝒙 + 𝟏; 𝒙 = 𝒖𝟐 − 𝟏; 𝒅𝒙 = 𝟐𝒖𝒅𝒖 = ∫(𝑢2 − 1) 𝑢 2𝑢 𝑑𝑢 = 2 ∫(𝑢2 − 1) 𝑢2 𝑑𝑢 = = 2 (∫ 𝑢4 𝑑𝑢 − ∫ 𝑢2 𝑑𝑢) = 2[ 1 5 1 3 𝑢5 𝑢3 2 2 − ] + 𝐶 = [(𝑥 + 1) 2] − [(𝑥 + 1) 2 ] + 𝐶 5 3 5 3 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟐𝟐 𝟐 √(𝒙 + 𝟏)𝟓 − 𝟐√(𝒙 + 𝟏)𝟑 + 𝑪 𝟓 𝟑 43 Cálculo Integral 𝟖𝟗. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒆𝟒𝒕 + 𝟐𝒆𝟐𝒕 − 𝒆𝒕 𝒅𝒕 𝒆𝟐𝒕 + 𝟏 Solución.Se realiza una división de polinomios: 𝑒 4𝑡 + 2𝑒 2𝑡 − 𝑒 𝑡 𝑒 2𝑡 + 1 − 𝑒 4𝑡 − 𝑒 2𝑡 𝑒 2𝑡 + 1 𝑒 2𝑡 − 𝑒 𝑡 −𝑒 2𝑡 −1 − 𝒆𝒕 − 𝟏 = ∫( 𝑒 2𝑡 + 1) 𝑑𝑡 − ∫ 𝑒𝑡 + 1 𝑑𝑡 = 𝑒 2𝑡 + 1 Se aplica el siguiente artificio a la segunda integral: = ∫( 𝑒 2𝑡 + 1) 𝑑𝑡 − ∫ 𝑒𝑡 + 1 − 1 𝑑𝑡 = 𝑒 2𝑡 + 1 − 1 = ∫( 𝑒 2𝑡 + 1) 𝑑𝑡 − ∫ 𝑒𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑒 2𝑡 𝑑𝑡 + ∫ 𝑑𝑡 − ∫ 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 𝑒 2𝑡 Se aplica el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝟐𝒕 ; 𝒅𝒖 = 𝟐 𝒅𝒕; 𝒖 = −𝒕; 𝒅𝒖 = −𝒅𝒕 1 = ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 + ∫ 𝑑𝑡 + ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑡 2 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒆𝟐𝒕 + 𝒕 + 𝒆−𝒕 + 𝑪 𝟐 𝟗𝟎. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒚(𝟐𝒚 + 𝟓)𝟏𝟎𝒅𝒚 = ∫ ( Solución.- 𝑢 − 5 10 ) 𝑢 𝑑𝑢 2 Se aplica el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝟐𝒚 + 𝟓; 𝒅𝒖 = 𝟐𝒅𝒚;𝒚 = 𝒖−𝟓 𝟐 1 1 1 = ∫(𝑢 − 5)𝑢10 𝑑𝑢 = ∫ 𝑢11 𝑑𝑢 − ∫ 5𝑢10 𝑑𝑢 2 2 2 44 Cálculo Integral 1 𝑢11 +1 5 𝑢10+1 − = 2 (11 + 1) 2 (10 + 1) (𝟐𝒚 + 𝟓)𝟏𝟐 𝟓(𝟐𝒚 + 𝟓)𝟏𝟏 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − +𝑪 𝟐𝟐 𝟐𝟏 = 𝟗𝟏. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ √𝒚 + 𝐥𝐧 𝒚 𝒅𝒚 = 𝒚 Solución.Se descompone la expresión de la siguiente manera: =∫ ln 𝑦 √𝒚 𝑑𝑦 + ∫ 𝑑𝑦 𝒚 𝑦 Se aplica el siguiente cambio de variable: 𝟏 𝒖 = 𝐥𝐧 𝒚 ; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒚 𝒚 = ∫𝑦 1⁄ −1 2 𝑦 𝑑𝑦 + ∫ 𝑢 𝑑𝑢 = ∫ 𝑦 −1⁄ +1 2 −1⁄ 2 𝑑𝑦 + 1 𝑢 1+1 1 +1 (ln 𝑦) 2 𝑦 ⁄2 (ln 𝑦) 2 = 1 + = 1 + 2 2 − +1 2 2 𝑦 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟐𝒚 𝟏⁄ 𝟐 + (𝐥𝐧 𝒚)𝟐 +𝑪 𝟐 𝟗𝟐. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒆𝒚 √𝒂 − 𝒃𝒆𝒚 𝒅𝒚 = Solución.Se aplica el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒆𝒚 ; 𝒅𝒖 = 𝒆𝒚 𝒅𝒚; 𝒗 = 𝒂 − 𝒃𝒖; 𝒅𝒗 = −𝒃𝒅𝒖 = ∫ √𝑎 − 𝑏𝑢 𝑑𝑢 = ∫ − √𝑣 1 𝑑𝑣 = − ∫ √ 𝑣 𝑑𝑣 = 𝑏 𝑏 1 3⁄ 2 1 𝑣 2+1 1 (𝑎 − 𝑏𝑒 𝑦 ) )=− = − (1 3 𝑏 𝑏 +1 2 2 𝟑⁄ 𝟐 𝟐(𝒂 − 𝒃𝒆𝒚 ) 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝟑𝒃 +𝑪 45 Cálculo Integral 𝟗𝟑. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫(𝒆𝒚/𝒄 + 𝟏)𝟏/𝟑 𝒆𝒚/𝒄 𝒅𝒚 = Solución.Se aplica el siguiente cambio de variable: 𝒚 𝟏 𝒖 = ; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒚; 𝒅𝒚 = 𝒄𝒅𝒖; 𝒗 = (𝒆𝒖 + 𝟏); 𝒅𝒗 = 𝒆𝒖 𝒅𝒖 𝒄 𝒄 1⁄ 3 𝑑𝑣 3 = ∫ √𝑒 𝑢 + 1𝑒 𝑢 𝑐𝑑𝑢 = 𝑐 ∫ 3√𝑣𝑑𝑣 = 𝑐 ∫ 𝑣 1 𝑣 3+1 3(𝑒 ( )=𝑐 =𝑐 1 +1 3 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟑𝒄(𝒆 𝑦⁄ 𝑐 𝒚⁄ 𝒄 + 1) 4 + 𝟏) 𝟒 4⁄ 3 𝟒⁄ 𝟑 = +𝐶 +𝑪 𝒙 𝐭𝐚𝐧−𝟏 ( ) 𝟐 𝒅𝒙 𝟗𝟒. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟒 + 𝒙𝟐 Solución.Se aplica el siguiente cambio de variable: 𝒖= 𝐭𝐚𝐧−𝟏 ( 𝒙 ) ; 𝒅𝒖 = 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 = = 𝟐 𝟐= 𝟐 𝟐 𝟐 𝒙 𝒙 𝟒+ 𝒙 𝒙 +𝟒 𝟏+ ( ) 𝟏+ 𝟐 𝟒 𝟒 𝑥 (𝑡𝑎𝑛−1 )2 (2) 𝑢1+1 = 2 ∫ 𝑢 𝑑𝑢 = 2 =2 1+1 2 𝒙 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: (𝒕𝒂𝒏−𝟏 )𝟐 ( ) + 𝑪 𝟐 𝟗𝟓. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐬𝐞𝐧(𝒎 + 𝒏𝒙)𝒅𝒙 Solución.Se aplica el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒎 + 𝒏𝒙; 𝒅𝒖 = 𝒏𝒅𝒙; 1 1 1 = ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑢)𝑑𝑢 = (− cos(𝑢)) + 𝐶 = − cos(m + nx) + 𝐶 𝑛 𝑛 𝑛 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝐜𝐨𝐬(𝒎 + 𝒏𝒙) +𝑪 𝒏 46 Cálculo Integral 𝟗𝟔. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐜𝐨𝐬(𝒎𝒚) 𝒅𝒚 𝒔𝒆𝒏𝟔 (𝒎𝒚) Solución.Se aplica el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒔𝒆𝒏 (𝒎𝒚); 𝒅𝒖 = 𝒎 𝒄𝒐𝒔 (𝒎𝒚)𝒅𝒚 1 𝑑𝑢 1 1 𝑢−6+1 = ∫ 6 = ∫ 𝑢−6 𝑑𝑢 = 𝑚 𝑢 𝑚 𝑚 −6 + 1 𝒔𝒆𝒏−𝟓 (𝒎𝒚) 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − +𝑪 𝟓𝒎 𝟑 𝟗𝟕. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ √ 𝟏 + 𝐥𝐧 𝒙 𝒅𝒙 𝒙 Solución.Se aplica el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝟏 + 𝐥𝐧 𝒙 ; 𝒅𝒖 = 1 𝟏 𝒅𝒙 𝒙 𝑢 ⁄3+1 = ∫ √𝑢 𝑑𝑢 = = 1 + 1 3 𝟒 𝟑(𝟏 + 𝐥𝐧 𝒙) ⁄𝟑 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: +𝑪 𝟒 3 𝟗𝟖. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒙) 𝒔𝒆𝒏𝟐 (𝒙) Solución.𝑆𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑡𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑖𝑡𝑎𝑔ó𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑠𝑒𝑛 2 (𝑥) 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) = 1 𝑠𝑒𝑛2 (𝑥) + 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥 ) =∫ 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛2 (𝑥 )𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) 𝑠𝑒𝑛2 (𝑥) 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) ∫ 𝑑𝑥 + 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛2 (𝑥)𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) 𝑠𝑒𝑛2 (𝑥)𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) 1 1 =∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑐𝑠𝑐 2(𝑥)𝑑𝑥 2 ( ) 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑒𝑛2 (𝑥) =∫ 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒕𝒂𝒏(𝒙) − 𝒄𝒐𝒕(𝒙) + 𝑪 47 Cálculo Integral 𝟗𝟗. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ √ 𝐥𝐧(𝐲 + √𝒚𝟐 + 𝟏) 𝒅𝒚 𝟏 + 𝒚𝟐 Solución.- =∫ √ln(𝑦 + √𝑦 2 + 1) √1 + 𝑦 2 𝑑𝑦 Se aplica el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝐥𝐧 (𝒚 + √𝟏 + 𝒚𝟐 ) ; 𝒅𝒖 = = 1 ∫ 𝑢 ⁄2 𝑑𝑢 = 𝟏 √𝒚𝟐 +𝟏 𝒅𝒚 1⁄ +1 2 𝑢 = 3 2 𝟑 𝟐 𝒍𝒏 ⁄𝟐(𝒚 + √𝟏 + 𝒚𝟐 ) 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: +𝑪 𝟑 𝟏𝟎𝟎. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒆− 𝒕𝒂𝒏(𝒙) 𝒔𝒆𝒄𝟐 (𝒙) 𝒅𝒙 = Solución.Se aplica el siguiente cambio de variable: 𝒖 = −𝒕𝒂𝒏 (𝒙); 𝒅𝒖 = −𝑺𝒆𝒄 𝟐(𝒙) 𝒅𝒙 = − ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = −𝑒 𝑢 + 𝐶 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: −𝒆(−𝐭𝐚𝐧 (𝒙)) + 𝑪 48 Cálculo Integral 2.2EJERCICIOS PROPUESTOS DE CAMBIO DE VARIABLE Utilizando la técnica de integración del cambio de variable , resuelva las siguientes integrales: 𝐶𝑜𝑠 √𝛽 1. − ∫ 𝑑𝛽 √𝛽 𝑆𝑒𝑛2 √𝛽 𝐶𝑜𝑠 5 2𝜃 2. − ∫ 𝑑𝜃 √ 𝑆𝑒𝑛 2𝜃 𝛾 − √𝑇𝑎𝑛−1 (2𝛾) 3. − ∫ 𝑑𝛾 1 + 4𝛾 2 𝑑𝜌 4. − ∫ 2 + 3 𝐶𝑜𝑠 2 𝜌 −1 𝑒 𝑆𝑒𝑛 𝑡 − 4𝑡 + 2 5. − ∫ 𝑑𝑡 √1 − 𝑡 2 Respuestas a los ejercicios propuestos 1: − 2 𝐶𝑠𝑐√𝛽 + 𝐶 1⁄ 2 ( 2𝜃) 2: 𝑆𝑒𝑛 3: 4: 2 1 5 9 − 𝑆𝑒𝑛 ⁄2 (2𝜃) + 𝑆𝑒𝑛 ⁄2 (2𝜃) + 𝐶 5 9 3 1 1 ln|1 + 4𝛾 2 | − (𝑇𝑎𝑛−1 (2𝛾))2 + 𝐶 8 3 1 √ 2 𝑇𝑎𝑛 𝜌 𝑇𝑎𝑛−1 ( )+𝐶 √ 10 √5 5: 𝑒 𝑆𝑒𝑛 −1 𝑡 + 4√1 − 𝑡 2 + 2 𝑆𝑒𝑛−1 𝑡 + 𝐶 49 Cálculo Integral 3. INTEGRACIÓN POR PARTES Esta técnica de integración parte del producto de dos funcio nes, se identifica a 𝒖 = 𝒖(𝒙); 𝒗 = 𝒗(𝒙). Recordemos la derivada del producto de dos funciones (primera función por la derivada de la segunda función más la segunda función por la derivada de la primera): 𝒅(𝒖 𝒗) = 𝒖 𝒗′ + 𝒗 𝒖′ Se integra ambos miembros de la igualdad: ∫ 𝒅(𝒖 𝒗) = ∫ 𝒖 𝒗′ + 𝒗 𝒖′ ∫ 𝒅 (𝒖 𝒗) = ∫ 𝒖 𝒗′ + ∫ 𝒗 𝒖′ Entonces se tiene que: (𝒖)(𝒗) = ∫ 𝒖 𝒗′ + ∫ 𝒗 𝒖′ (𝒖)(𝒗) − ∫ 𝒗 𝒖′ = ∫ 𝒖 𝒗′ Reemplazando con respecto al diferencial de x, tenemos lo siguiente: ∫ 𝒖 𝒅𝒗 = (𝒖)(𝒗) − ∫ 𝒗 𝒅𝒖 Integración por partes Es decir para poder integrar por partes se necesita identificar la función 𝑢 con su respectivo diferencial 𝑑𝑢 y el diferencial 𝑑𝑣 con su respectiva función 𝑣. (Demidovich, B. et al., 2001) 50 Cálculo Integral 3.1EJERCICIOS DE INTEGRACIÓN POR PARTES 𝟏. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫(𝐱 𝟐 − 𝟐𝐱 + 𝟓)𝐞−𝐱 𝐝𝐱 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟓 𝒅𝒖 = 𝟐𝒙 − 𝟐 𝒅𝒙 ⇒ ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒆−𝒙 𝒅𝒙 𝒗 = − 𝒆−𝒙 = −(𝑥 2 − 2𝑥 + 5)𝑒 −𝑥 + ∫(2𝑥 − 2) 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = −(𝑥 2 − 2𝑥 + 5)𝑒 −𝑥 + ( −(2𝑥 − 2)(𝑒 −𝑥 ) + ∫ 𝑒 −𝑥 2 𝑑𝑥) Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = (𝟐𝒙 − 𝟐) 𝒅𝒖 = 𝟐 𝒅𝒙 ⇒ ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒆−𝒙 𝒅𝒙 𝒗 = −𝒆 −𝒙 = −(𝑥 2 − 2𝑥 + 5)𝑒 −𝑥 − (2𝑥 − 2)(𝑒 −𝑥 ) + 2 ∫ 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 Se aplica el siguiente cambio de variable: 𝒖 = −𝒙 𝒅𝒖 = −𝒅𝒙 = −𝑥 2 𝑒 −𝑥 + 2𝑥𝑒 −𝑥 − 5𝑒 −𝑥 − 2𝑥𝑒 −𝑥 + 2𝑒 −𝑥 + (−2𝑒 −𝑥 ) + 𝑐 = −𝑥 2 𝑒 −𝑥 + 2𝑥𝑒 −𝑥 − 5𝑒 −𝑥 − 2𝑥𝑒 −𝑥 + 2𝑒 −𝑥 − 2𝑒 −𝑥 + 𝑐 = −𝑥 2 𝑒 −𝑥 − 5𝑒 −𝑥 + 𝑐 = 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒆−𝒙 (−𝒙𝟐 − 𝟓) + 𝒄 𝐱⁄ 𝟑 𝐝𝐱 𝟐. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐱 𝟑 𝐞− Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒙 𝟑 𝒅𝒖 = 𝟑𝒙 𝟐 𝒅𝒙 ⇒ ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒆− 𝒙⁄ 𝟑 𝒅𝒙 ; 𝒗 = −𝟑𝒆 − 𝑥⁄ 𝑥 3 + ∫ 3𝑥 2 ∙ 3𝑒 − ⁄3 = −3𝑥 3 𝑒 − 𝒙⁄ 𝟑 𝒖 = − 𝒙⁄𝟑 𝒅𝒖 = − 𝟏⁄𝟑 𝒅𝒙 𝑑𝑥 51 Cálculo Integral = −3𝑥 2 𝑒 − 𝑥⁄ 3+ 𝑥⁄ 3 9 ∫ 𝑥 2 ∙ 𝑒− 𝑑𝑥 Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒙 𝒙 𝒖 = 𝒙 𝟐 𝒅𝒖 = 𝟐𝒙 𝒅𝒙 ⇒ ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒆− ⁄𝟑 𝒅𝒙 𝒗 = −𝟑𝒆− ⁄𝟑 𝑥⁄ 𝑥 𝑥 3 + 9 (−𝑥 2 3𝑒 − ⁄3 + ∫ 3𝑒 − ⁄3 ∙ 2𝑥 = −3𝑥 2 𝑒 − 𝑥⁄ 𝑥 𝑥 3 + 9 (−3𝑥 2 𝑒 − ⁄3 + 6 ∫ 𝑒 − ⁄3 = −3𝑥 2 𝑒 − 𝑑𝑥) ∙ 𝑥 𝑑𝑥) Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒙 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 ⇒ ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒆 − 𝑥⁄ 𝑥 3 + 9 ( −3𝑥 2 𝑒 − ⁄3 + = −3𝑥 2 𝑒 − 𝒙⁄ 𝟑 𝒗 = −𝟑𝒆− 𝒅𝒙 𝑥⁄ 3+ 6 (−3𝑥𝑒 − 𝒙⁄ 𝟑 𝑥⁄ 3 3 ∫ 𝑒− 𝑑𝑥)) Se aplica el siguiente cambio de variable: 𝒖 = − 𝒙⁄𝟑 𝒅𝒖 = − 𝟏⁄𝟑 𝒅𝒙 𝑥⁄ 𝑥 𝑥 𝑥 3 + 9 (−3𝑥 2 𝑒 − ⁄3 + 6 (−3𝑥𝑒 − ⁄3 + 3(−3𝑒 − ⁄3 ))) + 𝑐 = −3𝑥 2 𝑒 − 𝑥⁄ 𝑥 𝑥 𝑥 3 + 9 (−3𝑥 2 𝑒 − ⁄3 + 6 (−3𝑥𝑒 − ⁄3 − 9𝑒 − ⁄3 )) + 𝑐 = −3𝑥 2 𝑒 − 𝑥⁄ 𝑥 𝑥 𝑥 3 + 9(−3𝑥 2 𝑒 − ⁄3 − 18𝑥𝑒 − ⁄3 − 54𝑒 − ⁄3 ) + 𝑐 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 = −3𝑥 3 𝑒 − ⁄3 − 27𝑥 2 𝑒 − ⁄3 − 162𝑥𝑒 − ⁄3 − 486𝑒 − ⁄3 + 𝑐 𝒙 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: −𝟑𝒆− ⁄𝟑 (𝒙𝟑 + 𝟗𝒙𝟐 + 𝟓𝟒𝒙 + 𝟏𝟔𝟐) + 𝒄 = −3𝑥 2 𝑒 − 𝟑. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙 𝐬𝐞𝐧 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se utiliza la identidad trigonométrica del ángulo doble: 𝟏 𝟏 = ∫ 𝒙 ∙ 𝐬𝐞𝐧 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒙 ∙ 𝐬𝐞𝐧 𝟐𝒙 𝟐 𝟐 Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝟏 𝒖 = 𝒙 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 ⇒ ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝐬𝐞𝐧 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝒗 = − 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 𝟐 1 1 1 = (−𝑥 ∙ cos 2𝑥 − ∫ − cos 2𝑥 𝑑𝑥) = 2 2 2 52 Cálculo Integral 1 𝑥 1 = (− cos 2𝑥 + ∫ cos 2𝑥) 2 2 2 1 𝑥 1 1 = (− cos 2𝑥 + ( sen 2𝑥 )) + 𝑐 2 2 2 2 𝟏 𝒙 𝟏 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: (− 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 + 𝐬𝐞𝐧𝟐𝒙) + 𝒄 𝟐 𝟐 𝟒 𝟒. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫(𝐱 𝟐 + 𝟓𝐱 + 𝟔) 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝐱 𝐝𝐱 = Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝟏 𝒖 = ( 𝒙 𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟔)𝒅𝒖 = 𝟐𝒙 + 𝟓 ⇒ ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝒗 = 𝐬𝐞𝐧 𝟐𝒙 𝟐 1 1 = 𝑥 2 + 5𝑥 + 6 ∙ sen 2𝑥 − ∫ sen 2𝑥 (2𝑥 + 5) 𝑑𝑥 2 2 1 2 1 = (𝑥 + 5𝑥 + 6) sen 2𝑥 − ∫ sen 2𝑥 (2𝑥 + 5) 𝑑𝑥 2 2 Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝟏 𝒖 = 𝟐𝒙 + 𝟓 𝒅𝒖 = 𝟐 𝒅𝒙 ⇒ ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝐬𝐞𝐧 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝒗 = − 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 𝟐 1 1 1 2 2 2 1 = (𝑥 2 + 5𝑥 + 6) sen 2𝑥 − (2𝑥 + 5 (− cos 2𝑥) − ∫ − cos 2𝑥 ∙ 1 1 1 2 2 𝑑𝑥) = (𝑥 2 + 5𝑥 + 6) sen 2𝑥 − (2𝑥 + 5 (− cos 2𝑥) + 2 2 2 ∫ cos 2𝑥 𝑑𝑥) Se aplica el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝟐𝒙 𝒅𝒖 = 𝟐 𝒅𝒙 1 1 1 1 = (𝑥 2 + 5𝑥 + 6) sen 2𝑥 − (2𝑥 + 5 (− cos 2𝑥 ) + sen 2𝑥 ) 2 2 2 2 +𝑐 1 1 1 = (𝑥 2 + 5𝑥 + 6) sen 2𝑥 + (2𝑥 + 5) ∙ cos 2𝑥 − sen 2𝑥 + 𝑐 2 4 4 1 2 1 1 = (𝑥 + 5𝑥 + 6) sen 2𝑥 − sen 2𝑥 + (2𝑥 + 5) ∙ cos 2𝑥 + 𝑐 2 4 4 1 1 1 = (sen 2𝑥) (𝑥 2 + 5𝑥 + 6 − ) + (2𝑥 + 5 cos 2𝑥 ) + 𝑐 2 2 4 53 Cálculo Integral 1 2𝑥 2 + 10𝑥 + 12 − 1 1 ) + (2𝑥 + 5) cos 2𝑥 + 𝑐 = sen 2𝑥 ( 2 2 4 2 1 2𝑥 + 10𝑥 + 11 1 ) + (2𝑥 + 5) cos 2𝑥 + 𝑐 = sen 2𝑥 ( 2 2 4 𝟐 𝟐𝒙 + 𝟏𝟎𝒙 + 𝟏𝟏 𝟏 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: ∙ 𝐬𝐞𝐧 𝟐𝒙 + (𝟐𝒙 + 𝟓) 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 + 𝒄 𝟒 𝟒 𝟓. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐱 𝟐 𝐥𝐧 𝐱 𝐝𝐱 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝟏 𝒙𝟑 ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 𝒖 = 𝒍𝒏 𝒙 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 ⇒ 𝒗= 𝒙 𝟑 = ln 𝑥 ∙ 1 3 1 1 𝑥3 1 𝑥 − ∫ 𝑥 3 ∙ 𝑑𝑥 = ln 𝑥 − ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 3 3 𝑥 3 3 𝑥3 1 𝑥3 ln 𝑥 − +𝑐 3 33 𝒙𝟑 𝒙𝟑 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝐥𝐧 𝒙 − +𝒄 𝟑 𝟗 = 𝟔. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫(𝐱 𝟐 − 𝟐𝐱 + 𝟑) 𝐥𝐧 𝐱 𝐝𝐱 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒙𝟑 𝒖 = 𝐥𝐧 𝒙 𝒅𝒖 = 𝟏⁄𝒙 𝒅𝒙 ⇒ ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑 𝒅𝒙 𝒗 = − 𝒙 𝟐 + 𝟑𝒙 𝟑 𝑥3 𝑥3 1 − 𝑥 2 + 3𝑥) − ∫ ( − 𝑥 2 + 3𝑥) ( ) 𝑑𝑥 3 3 𝑥 3 2 𝑥 𝑥 ln 𝑥 ∙ ( − 𝑥 2 + 3𝑥) − ∫ − 𝑥 + 3 𝑑𝑥 3 3 3 𝑥 𝑥3 𝑥2 ln 𝑥 ∙ ( − 𝑥 2 + 3𝑥) − ( − + 3𝑥) + 𝑐 3 9 2 ln 𝑥 ∙ ( 𝒙𝟑 𝒙𝟑 𝒙𝟐 𝟐 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝐥𝐧 𝒙 ∙ ( − 𝒙 + 𝟑𝒙) − + − 𝟑𝒙 + 𝒄 𝟑 𝟗 𝟐 54 Cálculo Integral 𝟕. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐱 𝐥𝐧 𝟏−𝐱 𝐝𝐱 𝟏+𝐱 Solución.Se aplica propiedad de logaritmos naturales: = ∫ 𝑥 ln(1 − 𝑥) 𝑑𝑥 − ∫ 𝑥 𝑙𝑛 (1 + 𝑥) 𝑑𝑥 Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝟏 𝒙𝟐 𝟏) 𝒖 = 𝐥𝐧 (𝟏 − 𝒙 ) 𝒅𝒖 = − 𝒅𝒙 ⇒ ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒙 𝒅𝒙 𝒗 = 𝟏−𝒙 𝟐 𝑥2 𝑥2 1 𝑥2 1 𝑥2 +∫ ∙ = ln(1 − 𝑥) − ∫ 𝑑𝑥 2 2 1−𝑥 2 2 1− 𝑥 𝑥2 1 1 ) 𝑑𝑥 = ln(1 − 𝑥) − ∫ (𝑥 + 1 + 2 2 𝑥−1 𝒙𝟐 𝟏 𝒙𝟐 = 𝐥𝐧(𝟏 − 𝒙) − ( + 𝒙 − 𝐥𝐧(𝟏 − 𝒙)) 𝟐 𝟐 𝟐 = ln(1 − 𝑥) 𝟐) 𝒖 = 𝐥𝐧 (𝟏 + 𝒙 ) 𝒅𝒖 = 𝟏 𝟏+𝒙 𝒅𝒙 ⇒ ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒙 𝒅𝒙 𝒗= 𝒙𝟐 𝟐 𝑥2 𝑥2 1 𝑥2 1 𝑥2 = ln(1 + 𝑥) − ∫ ∙ 𝑑𝑥 = ln(1 + 𝑥) − ∫ 𝑑𝑥 2 2 1+𝑥 2 2 1 +𝑥 𝑥2 1 1 = ln(1 + 𝑥) − ∫ 𝑥 − 1 + 𝑑𝑥 2 2 1+𝑥 𝑥2 1 𝑥2 = ln(1 + 𝑥) − ( − 𝑥 + ln(1 + 𝑥)) 2 2 2 𝟐 (𝟏 + 𝒙) 𝒙 𝟏 𝟏 = 𝐥𝐧(𝟏 + 𝒙) − 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝐥𝐧 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝒖𝒏𝒊𝒎𝒐𝒔 𝟏 𝒚 𝟐 𝑥2 𝑥2 𝑥 = ln(1 − 𝑥) − − 2 4 2 1 − ln(1 − 𝑥) 2 𝑥2 𝑥2 𝑥 1 − ln(1 + 𝑥) + − + ln(1 + 𝑥) 2 4 2 2 𝑥2 1 𝑥2 1 = ln(1 − 𝑥) − ln(1 − 𝑥) − ln(1 + 𝑥) + ln(1 + 𝑥) − 𝑥 2 2 2 2 𝑥2 1 𝑥2 1 = ln(1 − 𝑥) ( − ) + ln(1 + 𝑥) (− + ) − 𝑥 + 𝑐 2 2 2 2 55 Cálculo Integral = ln(1 − 𝑥) ( 𝑥2 − 1 𝑥2 − 1 ) − ln(1 + 𝑥) ( )−𝑥 +𝑐 2 2 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: ( 𝒙𝟐 − 𝟏 𝟏−𝒙 ) 𝐥𝐧 ( )−𝒙 +𝒄 𝟐 𝟏+𝒙 𝟖. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐥𝐧𝟐 𝐱 𝐝𝐱 𝐱𝟐 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝟏 𝐮 = (𝐥𝐧 𝒙 )𝟐 𝒅𝒖 = 𝟐 𝐥𝐧 𝒙 ∙ ⇒ ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒙 −𝟐 𝒅𝒙 𝒗 = −𝒙 −𝟏 𝒙 1 1 2 ln 𝑥 = −𝑙𝑛2 𝑥 ∙ − ∫ − ∙ = 𝑥 𝑥 𝑥 𝑙𝑛2 𝑥 2 ln 𝑥 𝑙𝑛2 𝑥 ln 𝑥 − +∫ 2 = − + 2 ∫ 2 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝐥𝐧 𝒙 𝒅𝒖 = 𝟏⁄𝒙 𝒅𝒙 ⇒ ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒙 −𝟐 𝒅𝒙 𝒗 = −𝒙 −𝟏 𝑙𝑛2 𝑥 1 1 1 + 2 (ln 𝑥 ( − ) + ∫ ∙ ( ) 𝑑𝑥) 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 2 𝑙𝑛 𝑥 ln 𝑥 1 =− + 2 (− + ∫ 2 𝑑𝑥) 𝑥 𝑥 𝑥 =− = (− 𝑙𝑛2 𝑥 ln 𝑥 1 ) − )) + 𝑐 + 2 ((− 𝑥 𝑥 𝑥 𝟐 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝒍𝒏 𝒙 𝟐 𝐥𝐧 𝒙 𝟐 − − +𝒄 𝒙 𝒙 𝒙 𝟗. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐥𝐧(𝐥𝐧 𝐱 ) 𝐝𝐱 𝐱 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝟏 𝟏 𝒖 = 𝒍𝒏 (𝒍𝒏 𝒙 ) 𝒅𝒖 = ∙ 𝒅𝒙 ⇒ ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝟏⁄𝒙 𝒅𝒙 𝒗 = 𝒍𝒏 𝒙 𝒍𝒏 𝒙 𝒙 56 Cálculo Integral = ln(ln 𝑥) ∙ ln 𝑥 − ∫ ln 𝑥 ∙ = ln(ln 𝑥) ∙ ln 𝑥 − ∫ 1 𝑑𝑥 𝑥 ln 𝑥 ln 𝑥 1 𝑑𝑥 = ln(ln 𝑥 ) ln 𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 𝑥 ln 𝑥 𝑥 = ln (ln 𝑥) ln 𝑥 − ln 𝑥 + 𝑐 = 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝐥𝐧 𝒙 (𝒍𝒏(𝐥𝐧 𝒙) − 𝟏) + 𝒄 𝟏𝟎. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐱 𝐬𝐞𝐜𝟐𝐱 𝐝𝐱 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒙 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 ⇒ ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝒗 = 𝐭𝐚𝐧 𝒙 = 𝑥 tan 𝑥 − ∫ tan 𝑥 𝑑𝑥 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒙𝐭𝐚𝐧 𝒙 + 𝐥𝐧( 𝐜𝐨𝐬 𝒙) + 𝒄 𝟏𝟏. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐱 𝟓 √𝐱 𝟑 + 𝟒 𝐝𝐱 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝟐 𝟑⁄ 𝟏⁄ 𝒖 = 𝒙 𝟑 𝒅𝒖 = 𝟑𝒙 𝟐 𝒅𝒙 ⇒ ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒙 𝟐 ( 𝒙 𝟑 + 𝟒) 𝟐 𝒅𝒙 𝒗 = (𝒙 𝟑 + 𝟒) 𝟐 𝟗 ⇒ 𝐮 = 𝒙 𝟑 + 𝟒 𝒅𝒖 = 𝟑𝒙 𝟐 𝒅𝒙 2 2 3 3 = 𝑥 3 ∙ (𝑥 3 + 4) ⁄2 − ∫ ( 𝑥 3 + 4) ⁄2 3𝑥 2 𝑑𝑥 9 9 2 2 3 3 = 𝑥 3 ∙ (𝑥 3 + 4) ⁄2 − ∫(𝑥 3 + 4) ⁄2 𝑥 2 𝑑𝑥 9 3 Se aplica el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒙𝟑 + 𝟒 𝒅𝒖 = 𝟑𝒙 𝟐 𝒅𝒙 5 2 3 3 2 2 3 3 2 𝑢 ⁄2 3⁄ 3⁄ 𝑑𝑢 3⁄ 2 2 2 ( ) ∫ ( ) = 𝑥 𝑥 +4 − 𝑢 = 𝑥 𝑥 +4 − +𝑐 9 3 3 9 9 5⁄ 2 2 4 3 5 = ∙ 𝑥 3 (𝑥 3 + 4) ⁄2 − (𝑥 3 + 4) ⁄2 + 𝑐 9 45 57 Cálculo Integral 𝟏𝟎𝒙𝟑 (𝒙𝟑 + 𝟒) 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟑⁄ 𝟐 − 𝟒(𝒙𝟑 + 𝟒) 𝟒𝟓 𝟑⁄ 𝟐 +𝒄 𝟏𝟐. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐱 𝟏𝟑 √𝐱 𝟕 + 𝟏 𝐝𝐱 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝟐 𝟑 ( 𝒙 𝟕 + 𝟏) ⁄𝟐 𝒖 = 𝒙 𝟕 𝒅𝒖 = 𝟕𝒙 𝟔 𝒅𝒙 ⇒ ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒙 𝟔 √𝒙 𝟕 + 𝟏 𝒅𝒙 𝒗 = 𝟐𝟏 = 2𝑥 7 7 2(𝑥 7 + 1) 3 (𝑥 + 1) ⁄2 − ∫ 21 21 3⁄ 2 ∙ 7𝑥 6 𝑑𝑥 Se aplica el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒙 𝟕 + 𝟏 𝒅𝒖 = 𝟕𝒙 𝟔 𝒅𝒙 2𝑥 7 7 2 3 3 (𝑥 + 1) ⁄2 − ∫ 𝑢 ⁄2 𝑑𝑢 21 3 2𝑥 7 7 2 2 3 5 (𝑥 + 1) ⁄2 − ∙ (𝑥 7 + 1) ⁄2 + 𝑐 = 21 3 5 = 𝟑⁄ 𝟓⁄ 𝟐𝒙𝟕 𝟕 𝟒 𝟕 (𝒙 + 𝟏 ) 𝟐 − (𝒙 + 𝟏 ) 𝟐 + 𝒄 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟐𝟏 𝟏𝟓 𝟏𝟑. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐭𝟕 (𝟕 − 𝟑𝐭 𝟒) 𝟑⁄ 𝐝𝐭 𝟐 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝐭𝟑 𝟏 𝐮 = 𝐭 𝟒 𝐝𝐮 = 𝟒𝐭 𝟑 𝐝𝐭 ⇒ ∫ 𝐝𝐯 = ∫ 𝐯= 𝟑 ⁄ 𝐝𝐭 𝟏⁄ (𝟕 − 𝟑𝐭 𝟒 ) 𝟐 𝟔(𝟕 − 𝟑𝐭 𝟒 ) 𝟐 = t4 1⁄ 2 6(7 − 3t 4 ) t4 −∫ 4t 3 6(7 − 3t 4 ) 2 du = − ∫ 1 1 6(7 − 3t 4 ) ⁄2 3 −12 u ⁄2 1⁄ dt 2 = Se aplica el siguiente cambio de variable: 𝐮 = 𝟕 − 𝟑𝐭 𝟒 𝐝𝐮 = −𝟏𝟐𝐭 𝟑 𝐝𝐭 58 Cálculo Integral 1 2 t4 1 u ⁄2 −1⁄2 ∫ = − u du = − ∙ +c 1 1 6(7 − 3t 4 ) ⁄2 36 6(7 − 3t 4 ) ⁄2 18 1⁄2 t4 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝐭𝟒 𝟏⁄ 𝟐 𝟔(𝟕 − 𝟑𝐭𝟒 ) + 𝟏⁄ 𝟏 𝟐 (𝟕 − 𝟑𝐭𝟒 ) + 𝐜 𝟗 𝟏𝟒. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐱 𝟑 √𝟒 − 𝐱 𝟐 𝐝𝐱 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝟏 𝟑⁄ 𝒖 = 𝒙 𝟐 𝒅𝒖 = 𝟐𝒙 𝒅𝒙 ⇒ ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒙 √𝟒 − 𝒙 𝟐 𝒅𝒙 𝒗 = − (𝟒 − 𝒙 𝟐 ) 𝟐 𝒅𝒙 𝟑 3 (4 − 𝑥 2 ) ⁄2 𝑥2 3 (4 − 𝑥 2 ) ⁄2 + ∫ ∙ 2𝑥 𝑑𝑥 3 3 𝑥2 2 3 3 = (4 − 𝑥 2 ) ⁄2 + ∫(4 − 𝑥 2 ) ⁄2 𝑥 𝑑𝑥 3 3 =− Se aplica el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝟒 − 𝒙𝟐 𝒅𝒖 = −𝟐𝒙 𝒅𝒙 = 𝑥2 2 𝑥2 1 2 5 3 3 𝑑𝑢 3 (4 − 𝑥 2 ) ⁄2 + ∫ 𝑢 ⁄2 = (4 − 𝑥 2 ) ⁄2 − ∙ 𝑢 ⁄2 + 𝑐 3 3 −2 3 3 5 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟑⁄ 𝟓⁄ 𝒙𝟐 𝟐 (𝟒 − 𝒙𝟐 ) 𝟐 − (𝟒 − 𝒙𝟐 ) 𝟐 + 𝒄 𝟑 𝟏𝟓 𝟏𝟓. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐱 𝟐𝐱 𝐝𝐱 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝟐𝒙 𝒖 = 𝒙 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 ⇒ ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝟐𝒙 𝒗 = 𝒍𝒏 𝟐 𝑥 2𝑥 2𝑥 𝑥 2𝑥 1 ∫ 2𝑥 𝑑𝑥 −∫ 𝑑𝑥 = − 𝑙𝑛2 𝑙𝑛 2 𝑙𝑛 2 𝑙𝑛 2 𝑥 2𝑥 1 2𝑥 = − ∙ 𝑙𝑛2 𝑙𝑛2 𝑙𝑛 2 = 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟐𝒙 𝒙 𝟐 − +𝒄 𝒍𝒏 𝟐 (𝒍𝒏 𝟐) 𝟐 59 Cálculo Integral 𝟏𝟔. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒛 𝒂𝒛 𝒅𝒛 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒂𝒛 𝒖=𝒛 𝒅𝒖 = 𝒅𝒛 ⇒ ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒂𝒛 𝒅𝒛 𝒗= 𝒍𝒏 𝒂 = z az az −∫ dz = ln a ln a z az 1 z az 1 az − ∫ az dz = − ∙ = ln a ln a ln a ln a ln a 𝐳 𝐚𝐳 𝐚𝐳 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝐥𝐧 𝐚 (𝐥𝐧 𝐚) 𝟐 = 𝟏𝟕. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐭 (𝐭 − 𝟏)𝟏𝟐 𝐝𝐭 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: (𝐭 − 𝟏) 𝟏𝟑 𝐮 = 𝐭 𝐝𝐮 = 𝐝𝐭 ⇒ ∫ 𝐝𝐯 = ∫ (𝐭 − 𝟏)𝟏𝟐 𝐝𝐭 𝐯 = 𝟏𝟑 (t − 1) 13 t(t − 1)13 t(t − 1) 13 1 −∫ dt = − ∫(t − 1) 13 dt 13 13 13 13 t(t − 1)13 1 (t − 1) 14 = − ∙ +c 13 13 14 𝐭 (𝐭 − 𝟏) 𝟏𝟑 (𝐭 − 𝟏) 𝟏𝟒 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − +𝒄 = 𝟏𝟑 𝟏𝟖𝟐 𝟏𝟖. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐱 𝐬𝐞𝐧𝐡 𝐱 𝐝𝐱 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒙 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 ⇒ ∫ 𝐝𝐯 = ∫ 𝐬𝐞𝐧𝐡 𝐱 𝐝𝐱 𝐯 = 𝐜𝐨𝐬 𝒉 𝒙 𝑥 cos ℎ𝑥 − ∫ cos ℎ 𝑥 𝑑𝑥 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒉 𝒙 − 𝒔𝒆𝒏𝒉 𝒙 + 𝒄 60 Cálculo Integral 𝟏𝟗. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐱 (𝟑𝐱 + 𝟏𝟎)𝟒𝟗 𝐝𝐱 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: (𝟑𝐱 + 𝟏𝟎) 𝟓𝟎 ∫ 𝐝𝐯 = ∫ (𝟑𝐱 + 𝟏𝟎) 𝟒𝟗 𝒖 = 𝒙 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 ⇒ 𝐯= 𝟏𝟓𝟎 (3x + 10) 50 𝑥 (3x + 10) 50 −∫ 𝑑𝑥 150 150 𝑥 (3x + 10) 50 1 ∫(3x + 10) 50 𝑑𝑥 = − 150 150 Se aplica el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝟑𝒙 + 𝟏𝟎 𝒅𝒖 = 𝟑 𝒅𝒙 50 ( ) 𝑥 3x + 10 1 (3x + 10) 51 = − ∙ +𝑐 150 150 51 ∙ 3 𝑥 (3x + 10) 50 1 (3x + 10) 51 = − ∙ +𝑐 150 150 153 𝒙 (𝟑𝐱 + 𝟏𝟎)𝟓𝟎 (𝟑𝐱 + 𝟏𝟎)𝟓𝟏 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − +𝒄 𝟏𝟓𝟎 𝟐𝟐𝟗𝟓𝟎 𝟐𝟎. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫(𝒕 + 𝟕) 𝒆𝟐𝒕+𝟑 𝒅𝒕 = Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒕 + 𝟕 ; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒕 𝟏 𝟏 𝟏 ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒆𝟐𝒕 +𝟑 ; ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒆𝒖 ; 𝒗 = 𝒆𝒖 ; 𝒗 = 𝒆𝟐𝒕 +𝟑 𝟐 𝟐 𝟐 𝒖 = 𝟐𝒕 + 𝟑 ; 𝒅𝒖 = 𝟐𝒅𝒕 1 1 𝑢𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 = (𝑡 + 7) 𝑒 2𝑡+3 − ∫ 𝑒 2𝑡+3 𝑑𝑡 2 2 1 1 = (𝑡 + 7) 𝑒 2𝑡+3 − ∫ 𝑒 2𝑡+3 𝑑𝑡 2 2 Se aplica el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝟐𝒕 + 𝟑 𝒅𝒖 = 𝟐𝒅𝒕 1 1 1 1 1 (𝑡 + 7)𝑒 2𝑡 +3 − ∙ ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = (𝑡 + 7)𝑒 2𝑡+3 − 𝑒 𝑢 + 𝑐 2 2 2 2 4 61 Cálculo Integral 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝟏 (𝒕 + 𝟕)𝒆𝟐𝒕+𝟑 𝒆𝟐𝒕+𝟑 + 𝒄 𝟐 𝟒 𝟐𝟏. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖=𝒙 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 ; ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙 ; 𝒗 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝑥 sen 𝑥 − ∫ sen 𝑥 𝑑𝑥 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒙 𝐬𝐞𝐧𝒙 + 𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝒄 𝟐𝟐. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙 𝐬𝐞𝐧 𝟐𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒙 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝐬𝐞𝐧 𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝒅𝒗 = 𝟏 𝟐 ∫ 𝐬𝐞𝐧 𝒖 𝒅𝒖 𝒖 = 𝟐𝒙 𝒅𝒖 = 𝟐𝒅𝒙 𝟏 𝒗 = − 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 𝟐 1 1 − 𝑥 cos 2𝑥 − ∫ − cos 2𝑥 𝑑𝑥 = 2 2 1 1 1 1 1 = − 𝑥 cos 2𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑥 cos 2𝑥 + ∙ ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑢 𝑑𝑢 2 2 2 2 2 1 1 𝑥 cos 2𝑥 + sen 𝑢 + 𝑐 = 2 4 𝟏 𝟏 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 + 𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙 + 𝒄 𝟐 𝟒 =− 𝟐𝟑. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫(𝒙 − 𝝅) 𝐬𝐞𝐧 𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝑢 = (𝑥 − 𝜋) 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 ∫ 𝑑𝑣 = ∫ sen 𝑥 𝑣 = − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 62 Cálculo Integral (𝑥 − 𝜋)(− cos 𝑥) − ∫ − 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = −(𝑥 − 𝜋) cos 𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: (𝝅 − 𝒙) 𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝐬𝐞𝐧 𝒙 + 𝒄 𝒛𝟕 𝒛𝟒 ∙ 𝒛𝟑 𝟐𝟒. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒛 → ∫ 𝒅𝒛 (𝟒 − 𝒛𝟒 )𝟐 (𝟒 − 𝒛𝟒 )𝟐 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒛𝟒 𝒅𝒖 = 𝟒𝒛𝟑 𝒅𝒛 𝒛𝟑 𝟏 𝒅𝒎 𝟏 ∫ 𝒅𝒗 = ∫ ; 𝒅𝒗 = − ∫ 𝟐 𝒅𝒗 = − ∫ 𝒎−𝟐 𝒅𝒎 𝟒 𝟐 (𝟒 − 𝒛 ) 𝟒 𝒎 𝟒 𝟏 −𝟏 𝟏 𝒅𝒗 = − 𝒎 ; 𝒗= ; 𝒎 = 𝟒 − 𝒛𝟒 𝒅𝒎 = −𝟒𝒛𝟑 𝒅𝒛 𝟒 𝟒(𝟒 − 𝒛𝟒 ) 1 1 −∫ ∙ 4𝑧 3 𝑑𝑧 4 4(4 − 𝑧 ) 4(4 − 𝑧 4 ) 𝑧4 𝑧3 ∫ = − 𝑑𝑧 = (4 − 𝑧 4 ) 4(4 − 𝑧 4 ) = 𝑧4 ∙ Se aplica el siguiente cambio de variable: 𝒎 = 𝟒 − 𝒛𝟒 𝒅𝒎 = −𝟒𝒛𝟑 𝒅𝒛 = 𝑧4 1 𝑑𝑢 𝑧4 1 ∫ + = + 𝑙𝑛|𝑢| + 𝑐 = 4 4 4(4 − 𝑧 ) 4 𝑢 4(4 − 𝑧 ) 4 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒛𝟒 𝟏 + 𝒍𝒏 |𝟒 − 𝒛𝟒 | + 𝒄 𝟒 𝟒(𝟒 − 𝒛 ) 𝟒 𝟐𝟓. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫(𝒕 − 𝟑) 𝐜𝐨𝐬 (𝒕 − 𝟑) 𝒅𝒕 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒕 −𝟑 ; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒕 ; 𝒅𝒗 = ∫ 𝒄𝒐𝒔 (𝒕 − 𝟑) 𝒅𝒕 → 𝒖 = 𝒕 − 𝟑 𝒅𝒖 = 𝒅𝒕 → 𝒅𝒗 = ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒖 𝒅𝒖; 𝒗 = 𝐬𝐞𝐧 (𝒕 − 𝟑) = (𝑡 − 3) sen (𝑡 − 3) − ∫ sen(𝑡 − 3) 𝑑𝑡 (𝑡 − 3) sen (𝑡 − 3) − ∫ sen 𝑢 𝑑𝑢; = (𝑡 − 3) sen (𝑡 − 3) + cos 𝑢 + 𝑐 63 Cálculo Integral 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: (𝒕 − 𝟑) 𝐬𝐞𝐧(𝒕 − 𝟑 ) + 𝐜𝐨𝐬( 𝒕 − 𝟑) + 𝒄 𝟐𝟔. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝒉 𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒅𝒗 = ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒉 𝒙 𝒖 = 𝒙 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 ; 𝒗 = 𝐬𝐞𝐧 𝒉 𝒙 𝑥 sen ℎ 𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑛 ℎ 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒙 𝐬𝐞𝐧𝒉 𝒙 − 𝐜𝐨𝐬 𝒉𝒙 + 𝒄 𝟐𝟕. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒍𝒏 √𝒙 𝟏⁄ 𝟐 𝒅𝒙 → ∫ 𝒍𝒏𝒙 𝒙− 𝒅𝒙 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒍𝒏𝒙 𝒅𝒖 = 𝟏 𝒙 𝒅𝒗 = ∫ 𝒙 − 𝒅𝒙 ; 𝟏⁄ 𝟐 𝒅𝒙 𝟏⁄ 𝒗= 𝒙 𝟐 𝟏 𝟐 𝒗 = 𝟐𝒙 𝟏⁄ 𝟐 1 1 1 𝑑𝑥 = 2𝑥 ⁄2 ln 𝑥 − 2 ∫ 𝑥 ⁄2 ∙ 𝑥 −1 𝑑𝑥 𝑥 1 𝑥 ⁄2 1⁄ −1⁄ 1⁄ = 2𝑥 2 ln 𝑥 − 2 ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 = 2𝑥 2 ln 𝑥 − 2 ∙ 1 + 𝑐 2 2𝑥 1⁄ 2 ln 𝑥 − = 2𝑥 1⁄ 2 ∫ 2𝑥 1⁄ 2 ln 𝑥 − 4𝑥 ∙ 1⁄ 2 +𝑐 = 𝟏⁄ 𝟐 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟐√𝒙 𝐥𝐧 𝒙 − 𝟒𝒙 +𝒄 𝟐𝟖. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙 𝒆𝟑𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒙 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 𝟏 𝒅𝒗 = ∫ 𝒆𝟑𝒙 𝒅𝒙 → 𝒎 = 𝟑𝒙 → 𝒅𝒎 = 𝟑𝒅𝒙 → 𝒅𝒗 = ∫ 𝒆𝒎 𝒅𝒎 𝟑 64 Cálculo Integral →𝒗= 𝟏 𝟑 𝒆𝒎 → 𝒗 = 𝟏 𝟑 𝒆𝟑𝒙 1 3𝑥 1 1 1 𝑒 ∙ 𝑥 − ∫ 𝑒 3𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑒 3𝑥 − ∫ 𝑒 3𝑥 𝑑𝑥 3 3 3 3 Se aplica el siguiente cambio de variable → 𝒘 = 𝟑𝒙 → 𝒅𝒘 = 𝟑𝒅𝒙 → 1 3𝑥 1 1 1 1 𝑥𝑒 − ∙ ∫ 𝑒 𝑤 𝑑𝑤 = 𝑥𝑒 3𝑥 − 𝑒 𝑤 + 𝑐 3 3 3 3 9 𝟏 𝟑𝒙 𝟏 𝟑𝒙 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒙𝒆 − 𝒆 + 𝒄 𝟑 𝟗 𝟐𝟗. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝒙 𝐭𝐚𝐧 𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒙 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 ; ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝐬𝐞𝐜 𝒙 𝐭𝐚𝐧 𝒙 𝒅𝒙 ; 𝒗 = 𝐬𝐞𝐜 𝒙 𝑥 sec 𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒙 𝐬𝐞𝐜𝒙 − 𝒍𝒏|𝐬𝐞𝐜𝒙 + 𝐭𝐚𝐧 𝒙| + 𝒄 𝟑𝟎. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒙 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 𝒅𝒙 → 𝒘 = 𝟐𝒙 → 𝒅𝒘 = 𝟐𝒅𝒙 𝟏 𝟏 𝟏 𝒅𝒗 = ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒘 𝒅𝒘 → 𝒗 = 𝐬𝐞𝐧 𝒘 → 𝒗 = 𝐬𝐞𝐧 𝟐𝒙 𝟐 𝟐 𝟐 1 1 1 1 𝑥 sen 2𝑥 − ∫ sen 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 sen 2𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 𝑑𝑥 2 2 2 2 Se aplica el siguiente cambio de variable → 𝒕 = 𝟐𝒙 → 𝒅𝒕 = 𝟐𝒅𝒙 = 1 1 1 1 1 𝑥 sen 2𝑥 − ∙ ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑡 = − 𝑥sen 2𝑥 + cos 𝑡 + 𝑐 = 2 2 2 2 4 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝟏 𝒙 𝐬𝐞𝐧𝟐𝒙 + 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 + 𝒄 𝟐 𝟒 65 Cálculo Integral 𝟑𝟏. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙 𝟑𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝟑𝒙 𝒖 = 𝒙 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; 𝒅𝒗 = ∫ 𝟑𝒙 𝒅𝒙 𝒗 = 𝐥𝐧 𝟑 𝑥∙ 3𝑥 3𝑥 𝑥 ∙ 3𝑥 1 ∫ 3𝑥 𝑑𝑥 −∫ 𝑑𝑥 = − ln 3 ln 3 ln 3 ln 3 𝑥 ∙ 3𝑥 1 3𝑥 − ∙ +𝑐 = ln 3 ln 3 ln 3 𝒙𝟑𝒙 𝟑𝒙 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − +𝒄 𝐥𝐧 𝟑 𝟐𝐥𝐧 𝟑 = 𝟑𝟐. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒍𝒏 𝟓𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝟏 𝒅𝒙 𝒖 = 𝐥𝐧 𝟓𝒙 ; 𝒅𝒖 = 𝟓 ∙ 𝒅𝒙 𝒅𝒖 = → ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒅𝒙 → 𝒗 = 𝒙 𝟓𝒙 𝒙 1 𝑑𝑥 = 𝑥 ln 5𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 ln 5𝑥 − 𝑥 + 𝑐 𝑥 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒙(𝐥𝐧 𝟓𝒙 − 𝟏) + 𝒄 𝑥 ∙ ln 5𝑥 − ∫ 𝑥 ∙ 𝟑𝟑. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒄𝒐𝒕−𝟏 √ 𝒛 √𝒛 𝒅𝒛 → 𝟐 ∫ 𝒄𝒐𝒕−𝟏 𝒘 𝒅𝒘 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝟏 𝟏⁄ 𝟏 𝟏⁄ 𝒘 = √𝒛 = 𝒛 𝟐 ; 𝒅𝒘 = 𝒛− 𝟐 𝒅𝒘 = 𝟐 𝟐√𝒛 −𝟏 𝒖 = 𝒄𝒐𝒕−𝟏 𝒘 𝒅𝒖 = 𝒅𝒘 → ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒅𝒘 𝒗=𝒘 𝟏 + 𝒘𝟐 2𝑤𝑐𝑜𝑡 −1 𝑤 − 2 ∫ 𝑤 ( −1 𝑤 ) 𝑑𝑤 = 2𝑤 𝑐𝑜𝑡 −1 𝑤 + 2 ∫ 𝑑𝑤 2 1+𝑤 1 + 𝑤2 Se aplica el siguiente cambio de variable: 𝒎 = 𝟏 + 𝒘𝟐 𝒅𝒎 = 𝟐𝒘 𝒅𝒘 66 Cálculo Integral 𝑑𝑚 = 2𝑤𝑐𝑜𝑡 −1𝑤 + 𝑙𝑛|𝑚| + 𝑐 𝑚 = 2𝑤𝑐𝑜𝑡 −1 𝑤 + 𝑙𝑛|1 + 𝑤 2 | + 𝑐 = 2𝑤𝑐𝑜𝑡 −1 𝑤 + ∫ 2 = 2√𝑧 𝑐𝑜𝑡 −1 √𝑧 + 𝑙𝑛|1 + (√𝑧) | + 𝑐 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟐√𝒛 𝒄𝒐𝒕−𝟏 √𝒛 + 𝒍𝒏|𝟏 + 𝒛| + 𝒄 𝟑𝟒. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐜𝐨𝐬 −𝟏 𝟐𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: −𝟐 𝒖 = 𝒄𝒐𝒔 −𝟏 𝟐𝒙 𝒅𝒖 = → ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒅𝒙 𝒗 = 𝒙 √𝟏 − 𝟒𝒙 𝟐 −2 ) 𝑑𝑥 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 −1 2𝑥 − ∫ 𝑥 ( √1 − 4𝑥 2 𝑥 = 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 −1 2𝑥 + 2 ∫ 𝑑𝑥 √1 − 4𝑥 2 Se aplica el siguiente cambio de variable: 𝒎 = 𝟏 − 𝟒𝒙 𝟐 𝒅𝒎 = −𝟖𝒙 𝒅𝒙 1 𝑑𝑚 1 𝑑𝑚 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 −1 2𝑥 + 2 (− ) ∫ = 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 −1 2𝑥 − ∫ 1 8 4 𝑚 ⁄2 √𝑚 1 −1 = 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 −1 2𝑥 − ∫ 𝑚 ⁄2 𝑑𝑚 = 4 1 1 𝑚 ⁄2 1 1 −1 = 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 − ∙ 1 + 𝑐 = 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 −1 2𝑥 − 𝑚 ⁄2 + 𝑐 4 2 2 1 = 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 −1 2𝑥 − √𝑚 + 𝑐 = 2 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒙 ∙ 𝒄𝒐𝒔−𝟏 𝟐𝒙 − 𝟏 √𝟏 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝒄 𝟐 𝟑𝟓. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙𝟐 𝟑𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝟑𝒙 𝒖 = 𝒙 𝟐 𝒅𝒖 = 𝟐𝒙 𝒅𝒙 → 𝒅𝒗 = 𝟑𝒙 𝒗 = 𝒍𝒏𝟑 67 Cálculo Integral 𝑥2 ∙ 3𝑥 3𝑥 𝑥 2 ∙ 3𝑥 2 (2𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 3𝑥 𝑥 𝑑𝑥 −∫ − 𝑙𝑛3 𝑙𝑛3 𝑙𝑛3 𝑙𝑛3 Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝟑𝒙 𝒖 = 𝒙 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 → 𝒅𝒗 = ∫ 𝟑𝒙 𝒗 = 𝒍𝒏𝟑 𝑥 2 ∙ 3𝑥 2 𝑥 ∙ 3𝑥 3𝑥 [ − −∫ 𝑑𝑥] 𝑙𝑛3 𝑙𝑛3 𝑙𝑛3 𝑙𝑛3 𝑥 2 ∙ 3𝑥 2 𝑥 ∙ 3𝑥 1 3𝑥 [ ]+𝑐 = − − ∙ 𝑙𝑛3 𝑙𝑛3 𝑙𝑛3 𝑙𝑛3 𝑙𝑛3 Se aplica propiedad de logaritmos naturales: 𝑥 2 ∙ 3𝑥 2 𝑥 ∙ 3𝑥 3𝑥 = − [ − ]+ 𝑐 = 𝑙𝑛3 𝑙𝑛3 𝑙𝑛3 2𝑙𝑛3 𝒙 𝒙𝟐 ∙ 𝟑 𝟐𝒙 ∙ 𝟑𝒙 𝟐 ∙ 𝟑𝒙 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − − +𝒄 𝒍𝒏𝟑 𝟐𝒍𝒏𝟑 𝟑𝒍𝒏𝟑 𝟑𝟔. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒕𝒂𝒏−𝟏 √ 𝒙 𝒅𝒙 → ∫ 𝟐 𝒕 𝒕𝒂𝒏−𝟏 √𝒕𝟐 𝒅𝒕 → ∫ 𝟐𝒕 𝒕𝒂𝒏−𝟏 𝒕 𝒅𝒕 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝟏 𝒙 = 𝒕𝟐 ; 𝒕 = √𝒙 𝒅𝒙 = 𝟐𝒕 𝒅𝒕 → 𝒖 = 𝒕𝒂𝒏 −𝟏 𝒕 𝒅𝒖 = 𝒅𝒕 𝟏 + 𝒕𝟐 𝟐 𝒕 𝒅𝒗 = ∫ 𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝒗 = 𝟐 ∙ 𝒗 = 𝒕𝟐 𝒂𝒓𝒕𝒊𝒇𝒊𝒄𝒊𝒐 𝒎𝒂𝒕𝒆𝒎á𝒕𝒊𝒄𝒐 𝒗 = 𝒕𝟐 + 𝟏 𝟐 1 𝑑𝑡 = (𝑡 2 + 1)𝑡𝑎𝑛−1 − ∫ 𝑑𝑡 1 + 𝑡2 = (𝑡 2 + 1)𝑡𝑎𝑛−1 𝑡 − 𝑡 + 𝑐 = (𝑡 2 + 1)𝑡𝑎𝑛 −1 𝑡 − ∫ 𝑡 2 + 1 ∙ ((√ 𝑥)2 + 1)𝑡𝑎𝑛 −1 √ 𝑥 − √𝑥 + 𝑐 = 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: (𝒙 + 𝟏)𝒕𝒂𝒏−𝟏 √𝒙 − √ 𝒙 + 𝒄 68 Cálculo Integral 𝟑𝟕. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒄𝒐𝒔 √ 𝒙 𝒅𝒙 → ∫ 𝟐𝒕 𝒄𝒐𝒔 √𝒕𝟐 𝒅𝒕 → ∫ 𝟐𝒕 𝒄𝒐𝒔 𝒕 𝒅𝒕 = Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒙 = 𝒕𝟐 ; 𝒕 = √𝒙; 𝒅𝒙 = 𝟐𝒕 𝒅𝒕 → 𝒖 = 𝟐𝒕 𝒅𝒖 = 𝟐𝒅𝒕 → 𝒅𝒗 = ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒕; 𝒗 = 𝐬𝐞𝐧 𝒕 2𝑡 sen 𝑡 − ∫ 2 sen 𝑡 𝑑𝑡 = 2𝑡 sen 𝑡 − 2 ∫ sen 𝑡 𝑑 = 2𝑡 sen 𝑡 + 2 cos 𝑡 + 𝑐 = 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟐 √𝒙 𝒔𝒆𝒏√𝒙 + 𝟐 𝒄𝒐𝒔√𝒙 + 𝒄 𝟑𝟖. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙𝟐 𝒆𝟑𝒙 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: = ∫ 𝒖 𝒅𝒗 = 𝒖 𝒗 − ∫ 𝒗 𝒅𝒖 𝒖 = 𝒙 𝟐 ; 𝒅𝒖 = 𝟐𝒙 𝒅𝒙; ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒆𝟑𝒙 𝒅𝒙; 𝒘 = 𝟑𝒙; 𝒅𝒘 = 𝟑𝒅𝒙; 𝒅𝒙 = 𝒅𝒘 𝟑 ; 𝒗= 𝟏 𝟑 ∫ 𝒆𝒘 𝒅𝒘 ; 𝒗 = 1 1 = 𝑥 2 𝑒 3𝑥 − ∫ 𝑒 3𝑥 2𝑥 𝑑𝑥 3 3 1 2 = 𝑥 2 𝑒 3𝑥 − ∫ 𝑥 𝑒 3𝑥 𝑑𝑥 3 3 𝟏 𝟑 𝒆𝒘 ; 𝒗 = 𝟏 𝟑 𝒆𝟑𝒙 Se encuentran los valores de u, du, dv y v pa ra aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝟏 𝒖 = 𝒙; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒆𝟑𝒙 𝒅𝒙; 𝒗 = 𝒆𝟑𝒙 𝟑 1 2 1 1 = 𝑥 2 𝑒 3𝑥 − (𝑥. 𝑒 3𝑥 − ∫ 𝑒 3𝑥 𝑑𝑥) 3 3 3 3 1 2 3𝑥 2 3𝑥 2 1 = 𝑥 𝑒 − 𝑥𝑒 + . ∫ 𝑒 3𝑥 𝑑𝑥 3 9 3 3 1 2 3𝑥 2 3𝑥 2 1 3𝑥 = 𝑥 𝑒 − 𝑥𝑒 + . 𝑒 3 9 9 3 69 Cálculo Integral 1 2 2 = 𝑥 2 𝑒 3𝑥 − 𝑥𝑒 3𝑥 + 𝑒 3𝑥 + 𝐶 3 9 27 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒆𝟑𝒙 𝟐 𝟑 𝟐 (𝒙 − 𝒙 + ) + 𝑪 𝟑 𝟐 𝟗 𝟑𝟗. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙 ; ∫ 𝒙 𝒆−𝒙 𝒅𝒙 𝒆𝒙 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒙; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 ; ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒆 −𝒙 𝒅𝒙; 𝒗 = −𝒆−𝒙 = 𝑥. −𝑒 −𝑥 − ∫ −𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥𝑒 −𝑥 + ∫ 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥𝑒 −𝑥 − 𝑒 −𝑥 + 𝐶 = −𝑒 −𝑥 (𝑥 + 1) + 𝐶 (𝒙 + 𝟏 ) 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − +𝑪 𝒆𝒙 𝟒𝟎. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙 𝟐−𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒅𝒙 𝟐−𝒙 𝒖 = 𝒙; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝟐−𝒙 𝒅𝒙 ; ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒙 ; 𝒗 = − 𝟐 𝒍𝒏 𝟐 2−𝑥 −2−𝑥 −2−𝑥 𝑥 2−𝑥 −∫ 𝑑𝑥 = +∫ 𝑑𝑥 𝑙𝑛 2 𝑙𝑛 2 𝑙𝑛 2 𝑙𝑛 2 −2−𝑥 𝑥 1 𝑑𝑥 −2−𝑥 𝑥 1 2−𝑥 ∫ 𝑥= = + + .− +𝐶 𝑙𝑛 2 𝑙𝑛 2 2 𝑙𝑛 2 𝑙𝑛 2 𝐼𝑛 2 −2−𝑥 𝑥 2−𝑥 = − 2 +𝐶 𝐼𝑛 2 𝐼𝑛 2 −2−𝑥 𝑥(𝐼𝑛 2) − 2−𝑥 = +𝐶 𝐼𝑛2 2 𝑥(𝐼𝑛 2) + 1 = −2−𝑥 . +𝐶 𝐼𝑛2 2 𝒙 (𝑰𝒏 𝟐) + 𝟏 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − +𝑪 𝟐 = 𝑥 .− 𝟐𝒙 𝑰𝒏 𝟐 70 Cálculo Integral 𝟒𝟏. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙 𝐬𝐞𝐧 𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒙; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝐬𝐞𝐧 𝒙 𝒅𝒙 ; 𝒗 = −𝐜𝐨𝐬 𝒙 = −x cos 𝑥 − ∫ − cos 𝑥 𝑑𝑥 = − x cos 𝑥 + ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = − x cos 𝑥 + sen 𝑥 + 𝐶 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝐬𝐞𝐧 𝒙 −𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝑪 𝟒𝟐. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒅𝒘 𝒖 = 𝒙; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝒙 𝒅𝒙; ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒘 ; 𝟑 𝒅𝒘 𝒘 = 𝟑𝒙; 𝒅𝒘 = 𝟑𝒅𝒙; 𝒅𝒙 = 𝟑 𝟏 𝟏 𝟏 𝒗 = ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒘 𝒅𝒘 ; 𝒗 = 𝐬𝐞𝐧 𝒘 ; = 𝐬𝐞𝐧 𝟑𝒙 ; 𝟑 𝟑 𝟑 1 1 = x . sen 3𝑥 − ∫ sen 3𝑥 𝑑𝑥 3 3 1 1 = x sen 3𝑥 − ∫ sen 3𝑥 𝑑𝑥 3 3 Se aplica el siguiente cambio de variable 𝒅𝒖 𝒖 = 𝟑𝒙; 𝒅𝒖 = 𝟑𝒅𝒙; 𝒅𝒙 = 𝟑 1 1 𝑑𝑢 = x sen 3𝑥 − ∫ sen 𝑢 3 3 3 1 1 1 = x sen 3𝑥 − . ∫ sen 𝑢 𝑑𝑢 3 3 3 1 1 = x sen 3𝑥 − ∫ sen 𝑢 𝑑𝑢 3 9 1 1 = x sen 3𝑥 + cos 𝑢 + 𝐶 3 9 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝟏 𝐱 𝐬𝐞𝐧(𝟑𝒙) + 𝐜𝐨𝐬(𝟑𝒙) + 𝑪 𝟑 𝟗 71 Cálculo Integral 𝟒𝟑. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒕𝟓 𝐥𝐧|𝒕𝟕 | 𝒅𝒕 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝟕 𝒕𝟔 𝒕 𝟔 𝒖 = 𝐥𝐧 |𝒕𝟕 | ; 𝒅𝒖 = ; ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒕𝟓 ; 𝒗 = 𝑡6 𝑡6 7 𝑡6 7 = ln|𝑡 7 | − ∫ . 𝑑𝑡 = ln|𝑡 7 | − ∫ 𝑡 5 𝑑𝑡 6 6 𝑡 6 6 6 1 6 7 𝑡 1 7 6 = 𝑡 ln|𝑡 7 | − + 𝐶 = 𝑡 6 ln|𝑡 7 | − 𝑡 +𝐶 6 6 6 6 36 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝟔 𝒕 (𝐥𝐧|𝒕𝟕| − 𝟕/𝟔) + 𝑪 𝟔 𝟒𝟒. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐱 𝐜𝐬𝐜𝟐 𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒙; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; ∫ 𝒅𝒗 = 𝐜𝐬𝐜 𝟐 𝒙 ; 𝒗 = −𝐜𝐨𝐭 𝒙 = 𝑥(−cot 𝑥) − ∫ −cot 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 cot 𝑥 + ∫ cot𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 cot𝑥 + ln|sen 𝑥| + 𝐶 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝐥𝐧|𝐬𝐞𝐧 𝒙| − 𝒙 𝐜𝐨𝐭 𝒙 + 𝑪 𝟒𝟓. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒙 𝟐 ; 𝒅𝒖 = 𝟐𝒙 𝒅𝒙; ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙 ; 𝒗 = 𝐬𝐞𝐧 𝒙 = 𝑥 2 sen 𝑥 − ∫ sen 𝑥 . 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 2 sen 𝑥 − 2 ∫ 𝑥 sen 𝑥 𝑑𝑥 Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒙; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝐬𝐞𝐧 𝒙 𝒅𝒙 ; 𝒗 = −𝐜𝐨𝐬 𝒙 = 𝑥 2 sen 𝑥 − 2 (−𝑥 cos 𝑥 − ∫ − cos 𝑥 𝑑𝑥) = 𝑥 2 sen 𝑥 + 2𝑥 cos 𝑥 − 2 ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 72 Cálculo Integral 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒙𝟐 𝐬𝐞𝐧 𝒙 + 𝟐𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 − 𝟐 𝐬𝐞𝐧 𝒙 + 𝑪 𝟒𝟔. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐚𝐫𝐜 𝐭𝐚𝐧(𝟏⁄𝒕) 𝒅𝒕 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 1 = ∫ tan −1 ( ) 𝑑𝑡 = 𝑡 𝟏 𝟏 𝒕 𝒕𝟐+𝟏 𝒖 = 𝐭𝐚𝐧 −𝟏 ( ); 𝒅𝒖 = − 𝒅𝒕 ; ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒅𝒕; 𝒗 = 𝒕 1 1 ) 𝑑𝑡 = tan−1 ( ) . 𝑡 − ∫ 𝑡 (− 2 𝑡 𝑡 +1 1 𝑡 = 𝑡 tan−1 ( ) + ∫ ( 2 ) 𝑑𝑡 𝑡 𝑡 +1 Se aplica el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒕𝟐 + 𝟏; 𝒅𝒖 = 𝟐𝒕 𝒅𝒕 1 𝑡 𝑑𝑢 1 1 𝑑𝑢 = 𝑡 tan−1 ( ) + ∫ . = 𝑡 tan−1 ( ) + ∫ 𝑡 𝑢 2𝑡 𝑡 2 𝑢 1 1 = 𝑡 tan−1 ( ) + ln|𝑢| + 𝐶 = 𝑡 2 𝟏 𝟏 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒕 𝐭𝐚𝐧−𝟏 ( ) + 𝐥𝐧|𝒕𝟐 + 𝟏| + 𝑪 𝒕 𝟐 𝟒𝟕. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐭 𝐚𝐫𝐜 𝐭𝐚𝐧𝒕 𝒅𝒕 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝟏 𝒕𝟐 𝒖 = 𝐭𝐚𝐧 −𝟏 𝒕 ; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒕; ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒕 𝒅𝒕 ; 𝒗 = 𝟐 𝟏+𝒕 𝟐 𝑡2 𝑡2 1 1 2 1 𝑡2 −1 𝑡 − ∫ −∫ . 𝑑𝑡 = 𝑡 tan 𝑑𝑡 2 2 1 + 𝑡2 2 2 1 + 𝑡2 1 1 𝑡2 + 1 − 1 = 𝑡 2 tan−1 𝑡 − ∫ 𝑑𝑡 2 2 1 + 𝑡2 1 1 1 + 𝑡2 1 = 𝑡 2 tan−1 𝑡 − ∫ − 𝑑𝑡 2 2 2 1+ 𝑡 1 + 𝑡2 = tan−1 𝑡. 73 Cálculo Integral 1 1 1 + 𝑡2 1 ) 𝑑𝑡 = 𝑡 2 tan−1 𝑡 − ∫ ( − 2 2 2 1+𝑡 1 + 𝑡2 1 1 1 ) 𝑑𝑡 = 𝑡 2 tan−1 𝑡 − ∫ (1 − 2 2 1 + 𝑡2 1 1 1 = 𝑡 2 tan−1 𝑡 − (∫ 𝑑𝑡 − ∫ 𝑑𝑡) 2 2 1 + 𝑡2 1 1 = 𝑡 2 tan−1 𝑡 − (𝑡 − tan −1 𝑡) 2 2 1 2 1 1 = 𝑡 tan−1 𝑡 − 𝑡 + tan−1 𝑡 + 𝐶 2 2 2 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 𝒕 𝐭𝐚𝐧−𝟏 𝒕 + 𝐭𝐚𝐧−𝟏 𝒕 − 𝒕 + 𝑪 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒𝟖. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒓𝟐 𝐬𝐞𝐧 𝒓 𝒅𝒓 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒓𝟐 ; 𝒅𝒖 = 𝟐𝒓 𝒅𝒓; ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝐬𝐞𝐧 𝒓 ; 𝒗 = −𝐜𝐨𝐬 𝒓 𝒅𝒓 = −𝑟 2 cos 𝑟 − ∫ −cos 𝑟 . 2𝑟 𝑑𝑟 = −𝑟 2 cos 𝑟 + 2 ∫ 𝑟 cos 𝑟 𝑑𝑟 Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒓; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒓; ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒓 𝒅𝒓 ; 𝒗 = 𝐬𝐞𝐧 𝒓 = −𝑟 2 cos 𝑟 + 2 (𝑟 sen 𝑟 − ∫ sen 𝑟 𝑑𝑟) = −𝑟 2 cos 𝑟 + 2𝑟 sen 𝑟 − 2 ∫ sen 𝑟 𝑑𝑟 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: −𝒓𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝒓 + 𝟐𝒓𝐬𝐞𝐧 𝒓 + 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝒓 + 𝑪 𝟒𝟗. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒛𝟑 𝐥𝐧 𝒛 𝒅𝒓 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝐥𝐧 𝒛; 𝒅𝒖 = 𝟏 𝒛 𝒅𝒛; ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒛𝟑 𝒅𝒛 ; 𝒗 = 𝒛𝟒 𝟒 𝑧4 𝑧4 1 1 1 = ln 𝑧. − ∫ . 𝑑𝑧 = 𝑧 4 ln 𝑧 − ∫ 𝑧 3 𝑑𝑧 4 4 𝑧 4 4 74 Cálculo Integral 1 1 𝑧4 1 1 4 = 𝑧 4 ln 𝑧 − + 𝐶 = 𝑧 4 ln 𝑧 − 𝑧 +𝐶 4 4 4 4 16 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝟒 𝒛 (𝟒𝐥𝐧 𝒛 − 𝟏) + 𝑪 𝟏𝟔 𝟓𝟎. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐥𝐧𝟐 𝒙𝟐𝟎 𝒅𝒙 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝟒𝟎 𝐥𝐧 𝒙𝟐𝟎 𝒖 = 𝐥𝐧𝟐 𝒙 𝟐𝟎 ; 𝒅𝒖 = = 𝑥 ln2 𝑥 20 − ∫ 𝒙 𝒅𝒙; ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒅𝒙; 𝒗 = 𝒙 𝑥. 40 ln 𝑥 20 𝑑𝑥 = 𝑥 ln2 𝑥 20 − ∫ 40 ln 𝑥 20 𝑑𝑥 𝑥 = 𝑥 ln2 𝑥 20 − 40 ∫ ln 𝑥 20 𝑑𝑥 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝟐𝟎 𝒖 = 𝐥𝐧 𝒙 𝟐𝟎 ; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒅𝒙; 𝒗 = 𝒙 𝒙 = 𝑥 ln2 𝑥 20 − 40 (𝑥 ln 𝑥 20 − ∫ 𝑥. 20 𝑑𝑥) 𝑥 = 𝑥 ln2 𝑥 20 − 40𝑥 ln 𝑥 20 + 40.20 ∫ 𝑑𝑥 𝟐 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒙 𝐥𝐧 𝒙𝟐𝟎 − 𝟒𝟎𝒙𝐥𝐧 𝒙𝟐𝟎 + 𝟖𝟎𝟎𝒙 + 𝑪 𝟓𝟏. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙𝟓 𝒆𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒙 𝟓 ; 𝒅𝒖 = 𝟓𝒙 𝟒 𝒅𝒙; ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒆𝒙 ; 𝒗 = 𝒆𝒙 = 𝑥 5 𝑒 𝑥 − ∫ 𝑒 𝑥 5𝑥 4 𝑑 𝑥 = 𝑥 5 𝑒 𝑥 − 5 ∫ 𝑥 4 𝑒 𝑥 𝑑 𝑥 Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒙 𝟒 ; 𝒅𝒖 = 𝟒𝒙 𝟑 𝒅𝒙; ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒆𝒙 ; 𝒗 = 𝒆𝒙 75 Cálculo Integral = 𝑥 5 𝑒 𝑥 − 5 (𝑥 4 𝑒 𝑥 − ∫ 𝑒 𝑥 4𝑥 3 𝑑 𝑥) = 𝑥 5 𝑒 𝑥 − 5𝑥 4 𝑒 𝑥 + 5.4 ∫ 𝑥 3 𝑒 𝑥 𝑑 𝑥 Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒙 𝟑 ; 𝒅𝒖 = 𝟑𝒙 𝟐 𝒅𝒙; ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒆𝒙 ; 𝒗 = 𝒆𝒙 = 𝑥 5 𝑒 𝑥 − 5𝑥 4 𝑒 𝑥 + 20 (𝑥 3 𝑒 𝑥 − ∫ 𝑒 𝑥 3𝑥 2 𝑑𝑥) = 𝑥 5 𝑒 𝑥 − 5𝑥 4 𝑒 𝑥 + 20𝑥 3 𝑒 𝑥 − 20.3 ∫ 𝑥 2 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒙 𝟐 ; 𝒅𝒖 = 𝟐𝒙 𝒅𝒙; ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒆𝒙; 𝒗 = 𝒆𝒙 = 𝑥 5 𝑒 𝑥 − 5𝑥 4 𝑒 𝑥 + 20𝑥 3 𝑒 𝑥 − 60 (𝑥 2 𝑒 𝑥 − ∫ 𝑒 𝑥 2𝑥𝑑𝑥) = 𝑥 5 𝑒 𝑥 − 5𝑥 4 𝑒 𝑥 + 20𝑥 3 𝑒 𝑥 − 60𝑥 2 𝑒 𝑥 + 60.2 ∫ 𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥 Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒙; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒆𝒙 ; 𝒗 = 𝒆𝒙 = 𝑥 5 𝑒 𝑥 − 5𝑥 4 𝑒 𝑥 + 20𝑥 3 𝑒 𝑥 − 60𝑥 2 𝑒 𝑥 + 120 (𝑥𝑒 𝑥 − ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥) = 𝑥 5 𝑒 𝑥 − 5𝑥 4 𝑒 𝑥 + 20𝑥 3 𝑒 𝑥 − 60𝑥 2 𝑒 𝑥 + 120𝑥𝑒 𝑥 − 120𝑒 𝑥 + 𝐶 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒆𝒙 (𝒙𝟓 − 𝟓𝒙𝟒 + 𝟐𝟎𝒙𝟑 − 𝟔𝟎𝒙𝟐 + 𝟏𝟐𝟎𝒙 − 𝟏𝟐𝟎 ) + 𝑪 𝟓𝟐. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒆𝒕 𝐜𝐨𝐬 𝒕 𝒅𝒕 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒆𝒕 ; 𝒅𝒖 = 𝒆𝒕 𝒅𝒕; ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒕 ; 𝒗 = 𝐬𝐞𝐧 𝒕 𝒅𝒙 ∫ 𝑒 𝑡 cos 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑒 𝑡 sen 𝑡 − ∫ sen 𝑡 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 ∫ 𝑒 𝑡 cos 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑒 𝑡 sen 𝑡 − ∫ 𝑒 𝑡 sen 𝑡 𝑑𝑡 Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒆𝒕 ; 𝒅𝒖 = 𝒆𝒕 𝒅𝒕; ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝐬𝐞𝐧 𝒕 ; 𝒗 = − 𝐜𝐨𝐬 𝒕 𝒅𝒙 76 Cálculo Integral ∫ 𝑒 𝑡 cos 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑒 𝑡 sen 𝑡 − (𝑒 𝑡 . − cos 𝑡 − ∫ − cos 𝑡 𝑒 𝑡 𝑑𝑡) ∫ 𝑒 𝑡 cos 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑒 𝑡 sen 𝑡 + 𝑒 𝑡 cos 𝑡 − ∫ 𝑒 𝑡 cos 𝑡 𝑑𝑡 ∫ 𝑒 𝑡 cos 𝑡 𝑑𝑡 + ∫ 𝑒 𝑡 cos 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑒 𝑡 sen 𝑡 + 𝑒 𝑡 cos 𝑡 1 1 2 ∫ 𝑒 𝑡 cos𝑡 𝑑𝑡 = 𝑒 𝑡 sen 𝑡 + 𝑒 𝑡 cos 𝑡 = 𝑒 𝑡 sen 𝑡 + 𝑒 𝑡 cos 𝑡 + 𝐶 2 2 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝒕 𝒆 (𝐬𝐞𝐧𝒕 + 𝐜𝐨𝐬 𝒕) + 𝑪 𝟐 𝟓𝟑. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒆𝒂𝒕 𝐬𝐞𝐧 𝒕 𝒅𝒕 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒆𝒂𝒕 ; 𝒅𝒖 = 𝒂𝒆𝒂𝒕 𝒅𝒕; ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝐬𝐞𝐧 𝒕 ; 𝒗 = −𝐜𝐨𝐬 𝒕 𝒅𝒕 ∫ 𝑒 𝑎𝑡 sen 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑒 𝑎𝑡 . −cos 𝑡 − ∫ − cos 𝑡 𝑎 𝑒 𝑎𝑡 𝑑𝑡 ∫ 𝑒 𝑎𝑡 sen 𝑡 𝑑𝑡 = −𝑒 𝑎𝑡 cos 𝑡 + 𝑎 ∫ 𝑒 𝑎𝑡 cos 𝑡 𝑑𝑡 Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒆𝒂𝒕 ; 𝒅𝒖 = 𝒂𝒆𝒂𝒕 𝒅𝒕; ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒕 ; 𝒗 = 𝐬𝐞𝐧 𝒕 𝒅𝒕 ∫ 𝑒 𝑎𝑡 sen 𝑡 𝑑𝑡 = −𝑒 𝑎𝑡 cos 𝑡 + 𝑎 (𝑒 𝑎𝑡 sen 𝑡 − ∫ sen 𝑡 𝑎 𝑒 𝑎𝑡 𝑑𝑡) ∫ 𝑒 𝑎𝑡 sen 𝑡 𝑑𝑡 = −𝑒 𝑎𝑡 cos 𝑡 + 𝑎 𝑒 𝑎𝑡 sen 𝑡 − 𝑎 2 ∫ 𝑒 𝑎𝑡 sen 𝑡 𝑑𝑡 ∫ 𝑒 𝑎𝑡 sen 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑎 2 ∫ 𝑒 𝑎𝑡 sen 𝑡 𝑑𝑡 = −𝑒 𝑎𝑡 cos 𝑡 + 𝑎 𝑒 𝑎𝑡 sen 𝑡 ∫ 𝑒 𝑎𝑡 sen 𝑡 𝑑𝑡 (1 + 𝑎 2 ) = 𝑎 𝑒 𝑎𝑡 sen 𝑡 − 𝑒 𝑎𝑡 cos 𝑡 (1 + 𝑎 2 ) ∫ 𝑒 𝑎𝑡 sen 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑎 𝑒 𝑎𝑡 sen 𝑡 − 𝑒 𝑎𝑡 cos 𝑡 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒆𝒂𝒕 (𝒂 𝐬𝐞𝐧 𝒕 − 𝐜𝐨𝐬 𝒕) +𝑪 (𝟏 + 𝒂𝟐 ) 77 Cálculo Integral 𝟓𝟒. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙𝟐 𝐬𝐞𝐧𝐡𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒙 𝟐 ; 𝒅𝒖 = 𝟐 𝒙; ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝐬𝐞𝐧𝐡 𝒙 ; 𝒗 = 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑥 2 cosh 𝑥 − ∫ cosh 𝑥 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 2 cosh 𝑥 − 2 ∫ 𝑥 cosh 𝑥 𝑑𝑥 Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒙; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒙 ; 𝒗 = 𝐬𝐞𝐧𝐡 𝒙 = 𝑥 2 cosh 𝑥 − 2 (𝑥 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 − ∫ senh 𝑥 𝑑𝑥) = 𝑥 2 cosh 𝑥 − 2 𝑥 senh 𝑥 + 2 ∫ senh 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 2 cosh 𝑥 − 2𝑥 senh 𝑥 + 2 cosh 𝑥 + 𝐶 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: (𝒙𝟐 + 𝟐 ) 𝐜𝐨𝐬𝐡 𝒙 − 𝟐 𝒙 𝐬𝐞𝐧𝐡 𝒙 + 𝑪 𝟓𝟓. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒆𝟐𝒙 √ 𝟏 − 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒆𝒙 . 𝒆𝒙 √ 𝟏 − 𝒆𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒆𝒙 𝒖 = 𝒆𝒙 ; 𝒅𝒖 = 𝒆𝒙 𝒅𝒙; ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒅𝒙; 𝒘 = 𝟏 − 𝒆𝒙 ; 𝑑𝒘 = −𝒆𝒙 𝒅𝒙 √𝟏 − 𝒆𝒙 𝟏⁄ 𝒅𝒘 𝒆𝒙 𝒅𝒘 𝒘 𝟐 −𝟏⁄ 𝒅𝒙 = − 𝒙 ; 𝒗 = ∫ . − 𝒙 ; 𝒗 = − ∫ 𝒘 𝟐 𝒅𝒘; 𝒗 = − 𝟏 𝒆 𝒆 √𝒘 ⁄𝟐 𝒗 = −𝟐𝒘 𝟏⁄ 𝟐 = −2𝑒 𝑥 √1 − 𝑒 𝑥 + 2 ∫ 𝑒 𝑥 √1 − 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 Se aplica el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝟏 − 𝒆𝒙 ; 𝒅𝒖 = −𝒆𝒙 𝒅𝒙; 𝒅𝒙 = − = −2𝑒 𝑥 √1 − 𝑒 𝑥 + 2 (∫ 𝑒 𝑥 √𝑢 . − 𝒅𝒖 𝒆𝒙 𝑑𝑢 ) 𝑒𝑥 78 Cálculo Integral = −2𝑒 𝑥 √1 − 𝑒 𝑥 − 2 (∫ 𝑢 1⁄ 2 𝑑𝑢 ) = −2𝑒 𝑥 √1 − 𝑒 𝑥 − 2 ∫ 𝑢 1⁄ 2 𝑑𝑢 3 𝑢 ⁄2 4 3 = −2 = −2𝑒 𝑥 √1 − 𝑒 𝑥 − (1 − 𝑒 𝑥 ) ⁄2 + 𝐶 3⁄ 3 2 4 = −2𝑒 𝑥 √1 − 𝑒 𝑥 − √(1 − 𝑒 𝑥 )3 + 𝐶 3 −6𝑒 𝑥 √1 − 𝑒 𝑥 − 4(1 − 𝑒 𝑥 )√1 − 𝑒 𝑥 = +𝐶 3 2 = − (3𝑒 𝑥 √1 − 𝑒 𝑥 + 2(1 − 𝑒 𝑥 )√1 − 𝑒 𝑥 ) + 𝐶 3 −2𝑒 𝑥 √1 − 𝑒 𝑥 2 = − √1 − 𝑒 𝑥 (3𝑒 𝑥 + 2 − 2𝑒 𝑥 ) + 𝐶 3 𝟐 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − √𝟏 − 𝒆𝒙 (𝒆𝒙 + 𝟐) + 𝑪 𝟑 𝟓𝟔. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙𝟑 √𝟏 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = ∫ 𝒙𝟐 . 𝒙 √𝟏 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒙 𝒖 = 𝒙 𝟐 ; 𝒅𝒖 = 𝟐𝒙 𝒅𝒙; ∫ 𝒅𝒗 = ∫ √ 𝟐 𝒅𝒙; 𝒘 = 𝟏 − 𝒙 𝟐 ; 𝒅𝒘 = − 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝟏−𝒙 𝒅𝒙 = − 𝒗= = 𝒅𝒘 𝟐𝒙 ; 𝒗 = ∫− 𝟏⁄ −𝒘 𝟐 ; 𝒙 . 𝒅𝒘 √𝒘 𝟐𝒙 𝒗 = −√𝟏 − 𝑥 2 (−√1 − −𝟏⁄ 𝟐 𝟏 ; 𝒗 = − ∫𝒘 𝟐 𝒅𝒘; 𝒗 = − 𝟏 𝟏 𝒘 ⁄𝟐 ; 𝟐 𝟏 ⁄𝟐 𝒙𝟐 𝑥 2 ) − ∫ −√1 − 𝑥 2 2𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥 2 √1 − 𝑥 2 + 2 ∫ 𝑥√1 − 𝑥 2 𝑑𝑥 Se aplica el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝟏 − 𝒙 𝟐 ; 𝒅𝒖 = − 𝟐𝒙 𝒅𝒙; 𝒅𝒙 = − 𝒅𝒖 𝟐𝒙 𝑑𝑢 = −𝑥 2 √1 − 𝑥 2 + 2 (∫ 𝑥√𝑢 . − ) 2𝑥 3 2 𝑢 ⁄2 1⁄ 2 2 2 2 2 = −𝑥 √1 − 𝑥 − (∫ 𝑢 𝑑𝑢) = −𝑥 √1 − 𝑥 − 3⁄ 2 2 2 2 2 3 −3𝑥 √1 − 𝑥 − 2√(1 − 𝑥 ) = +𝐶 3 79 Cálculo Integral 1 = − (3𝑥 2 √1 − 𝑥 2 − 2(1 − 𝑥 2 )√1 − 𝑥 2 ) + 𝐶 3 1 = − √1 − 𝑥 2 (3𝑥 2 + 2 − 2𝑥 2 ) + 𝐶 3 𝟏 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − √𝟏 − 𝒙𝟐 (𝒙𝟐 + 𝟐) + 𝑪 𝟑 𝟓𝟕. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐬𝐞𝐧 𝟐𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝐬𝐞𝐧(𝟐𝒙) 𝒆−𝒙 𝒅𝒙 𝒙 𝒆 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝐬𝐞𝐧 𝟐𝒙; 𝒅𝒖 = 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 ; ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒆−𝒙 ; 𝒗 = −𝒆 −𝒙 ∫ sen (2𝑥) 𝑒 −𝑥 = sen (2𝑥) . −𝑒 −𝑥 − ∫ −𝑒 −𝑥 2cos(2𝑥) 𝑑𝑥 ∫ sen (2𝑥) 𝑒 −𝑥 = −sen (2𝑥) 𝑒 −𝑥 + 2 ∫ 𝑒 −𝑥 cos(2𝑥) 𝑑𝑥 Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙; 𝒅𝒖 = −𝟐 𝐬𝐞𝐧 𝟐𝒙 𝒅𝒙; ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒆 −𝒙 ; 𝒗 = −𝒆 −𝒙 ∫ sen (2𝑥) 𝑒 −𝑥 = −sen (2𝑥) 𝑒 −𝑥 + 2(cos(2𝑥) . −𝑒 −𝑥 − 𝑑𝑥)) ∫ −𝑒 −𝑥 (−2sen(2𝑥) ∫ sen (2𝑥) 𝑒 −𝑥 = −sen (2𝑥) 𝑒 −𝑥 − 2 cos(2𝑥) 𝑒 −𝑥 − 2.2 ∫ sen (2𝑥) 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 ∫ sen (2𝑥) 𝑒 −𝑥 = −sen (2𝑥) 𝑒 −𝑥 − 2 cos(2𝑥) 𝑒 −𝑥 − 4 ∫ sen (2𝑥) 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 ∫ sen (2𝑥) 𝑒 −𝑥 + 4 ∫ sen (2𝑥) 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = −sen (2𝑥) 𝑒 −𝑥 − 2 cos(2𝑥) 𝑒 −𝑥 5 ∫ sen(2𝑥) 𝑒 −𝑥 = −sen(2𝑥) 𝑒 −𝑥 − 2 cos(2𝑥) 𝑒 −𝑥 + 𝐶 1 = (−sen(2𝑥) 𝑒 −𝑥 − 2 cos(2𝑥) 𝑒 −𝑥 ) + 𝐶 5 80 Cálculo Integral 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 −𝒙 𝒆 (−𝐬𝐞𝐧(𝟐𝒙) − 𝟐 𝐜𝐨𝐬(𝟐𝒙)) + 𝑪 𝟓 𝟓𝟖. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒍𝒏𝟐 𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝟐 𝐥𝐧 𝒙 𝒖 = 𝐥𝐧𝟐 𝒙 ; 𝒅𝒖 = ; 𝒅𝒗 = 𝒅𝒙 ; 𝒗 = 𝒙 𝒙 2 𝑙𝑛𝑥 = 𝑥 𝑙𝑛2 𝑥 − 2 ∫ ln 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑙𝑛2 𝑥 ∗ 𝑥 − ∫ 𝑥 ∗ Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝟏 𝒖 = 𝒍𝒏 𝒙 ; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 ; 𝒅𝒗 = 𝒅𝒙; 𝒗 = 𝒙 𝒙 = 𝑥 𝑙𝑛2 𝑥 − 2 (𝑥 𝑙𝑛𝑥 − ∫ 𝑑𝑥) = 𝑥 𝑙𝑛2 𝑥 − 2(𝑥 𝑙𝑛𝑥 − 𝑥) + 𝐶 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒙 𝒍𝒏𝟐 𝒙 − 𝟐𝒙 𝒍𝒏𝒙 + 𝟐𝒙 + 𝑪 𝟓𝟗. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐥𝐧 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝐥𝐧 𝒙 . 𝒙−𝟑 𝒅𝒙 𝒙𝟑 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝟏 𝒖 = 𝐥𝐧 𝒙; 𝒅𝒖 = ; 𝒅𝒗 = 𝒙 −𝟑 ; 𝒗 = − ln 𝑥 (− =− ln 𝑥 2𝑥 2 𝑥 −2 2 1 𝒙 )− ∫− + 2 (− 𝑥 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − −2 2 𝑥 −2 2 ∗ 𝒙−𝟐 𝟐 ; 1 𝑥 −2 1 𝑑𝑥 = − ln 𝑥 + ∫ 𝑥 −3 𝑑𝑥 = 𝑥 2 2 )+𝐶 = 𝐥𝐧 𝒙 𝟏 − 𝟐+𝑪 𝟐 𝟐𝒙 𝟒𝒙 𝟔𝟎. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐥𝐧 𝒙 √𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 81 Cálculo Integral 𝟏 𝟏 𝒙𝟐 𝒙 𝟏/𝟐 𝒖 = 𝐥𝐧 𝒙; 𝒅𝒖 = ; 𝒅𝒗 = 𝒙 −𝟏/𝟐 ; 𝒗 = 1 1 = ln 𝑥 . 2𝑥 1/2 − ∫ 2𝑥 1/2 . 𝑑𝑥 = 2𝑥 1/2 ln 𝑥 − 2 ∫ 𝑥 1/2 . 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑥 = 2𝑥 1/2 ln 𝑥 − 2 ∫ 𝑥 −1/2 𝑑𝑥 = 2𝑥 1/2 ln 𝑥 − 2(2𝑥 1/2 ) + 𝐶 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟐𝒙𝟏/𝟐 𝐥𝐧𝒙 − 𝟒𝒙𝟏/𝟐 + 𝑪 𝒙𝒆𝒙 𝟔𝟏. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 (𝒙 + 𝟏)𝟐 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝟏 𝒖 = 𝒙𝒆𝒙 ; 𝒅𝒖 = 𝒆𝒙 (𝟏 + 𝒙 )𝒅𝒙; 𝒅𝒗 = (𝒙 + 𝟏) −𝟐 𝒅𝒙 ; 𝒗 = − (𝒙+𝟏) 1 1 ) − ∫− = 𝑥𝑒 𝑥 ( − 𝑒 𝑥 (1 + 𝑥)𝑑𝑥 (𝑥 + 1) (𝑥 + 1) 𝑥𝑒 𝑥 𝑥𝑒 𝑥 =− + ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = − + 𝑒𝑥 + 𝐶 (𝑥 + 1) (𝑥 + 1) 𝑥𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑥 (𝑥 + 1) 𝑥𝑒 𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑥 =− +𝐶 = − +𝐶 = (𝑥 + 1) 𝑥+1 𝒆𝒙 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: +𝑪 𝒙+ 𝟏 𝟔𝟐. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒙 𝟐 ; 𝒅𝒖 = 𝟐𝒙 𝒅𝒙; 𝒅𝒗 = 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙 𝒅𝒙; 𝒗 = − x 2 cos3𝑥 cos 3𝑥 (2𝑥)𝑑𝑥 = = − − ∫− 3 3 x 2 cos 3𝑥 2 =− + ∫ 𝑥 cos 3𝑥 𝑑𝑥 = 3 3 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝒙 𝟑 Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝐬𝐞𝐧 𝟑𝒙 𝒖 = 𝒙; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; 𝒅𝒗 = 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 𝒅𝒙; 𝒗 = 𝟑 82 Cálculo Integral x 2 cos 3𝑥 2 1 1 + [𝑥 ( 𝑠𝑒𝑛 3𝑥) − ∫ 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 𝑑𝑥] = 3 3 3 3 x 2 cos 3𝑥 2 2 − + 𝑥 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑛 3𝑥 𝑑𝑥 = 3 9 9 =− 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝐱𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝒙 𝟐 𝟐 + 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙 + 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝒙 + 𝑪 𝟑 𝟗 𝟐𝟕 𝟔𝟑. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒔𝒆𝒏 (𝐥𝐧𝒚) 𝒅𝒚 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝟏 𝒖 = 𝒔𝒆𝒏 (𝐥𝐧 𝒚); 𝒅𝒖 = 𝐜𝐨𝐬(𝐥𝐧 𝒚) 𝒅𝒚; 𝒅𝒗 = 𝒅𝒚; 𝒗 = 𝒚 𝒚 = 𝑦 𝑠𝑒𝑛 ln 𝑦 − ∫ 𝑦 1 cos(ln 𝑦) 𝑑𝑦 = 𝑦 Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝟏 𝒖 = 𝒄𝒐𝒔 (𝐥𝐧 𝒚); 𝒅𝒖 = − 𝒔𝒆𝒏 (𝐥𝐧 𝒚)𝒅𝒙 ; 𝒅𝒗 = 𝒅𝒚; 𝒗 = 𝒚 𝒚 = 𝑦 𝑠𝑒𝑛 ln 𝑦 − (𝑦𝑐𝑜𝑠 (ln 𝑦 ) + ∫ 𝑦 1 𝑠𝑒𝑛 ln 𝑦 𝑑𝑦) = 𝑦 = 𝑦 𝑠𝑒𝑛 ln 𝑦 − (𝑦𝑐𝑜𝑠 (ln 𝑦 ) + ∫ 𝑠𝑒𝑛 ln 𝑦 𝑑𝑦 ) = = 𝑦 𝑠𝑒𝑛 ln 𝑦 − 𝑦 cos ln 𝑦 − ∫ 𝑠𝑒𝑛 ln 𝑦 𝑑𝑦 = = ∫ 𝑠𝑒𝑛 ln 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑦 𝑠𝑒𝑛 ln 𝑦 − 𝑦 cos ln 𝑦 − ∫ 𝑠𝑒𝑛 ln 𝑦 𝑑𝑦 = 2 ∫ 𝑠𝑒𝑛 ln 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑦(𝑠𝑒𝑛 ln 𝑦 − cos ln 𝑦) + 𝐶 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝐥𝐧 𝒚 𝒅𝒚 = 𝒚(𝒔𝒆𝒏 𝐥𝐧 𝒚 − 𝐜𝐨𝐬 𝐥𝐧 𝒚) +𝑪 𝟐 𝟔𝟒. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝒕𝐥𝐧 (𝐜𝐨𝐬𝒕)𝒅𝒕 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 83 Cálculo Integral 𝒖 = 𝐥𝐧 𝐜𝐨𝐬 𝒕 ; 𝒅𝒖 = − 𝟏 𝐜𝐨𝐬 𝒕 𝒔𝒆𝒏 𝒕 𝒅𝒕 ; 𝒅𝒗 = 𝒔𝒆𝒏 𝒕; 𝒗 = −𝒄𝒐𝒔𝒕 = ln cos 𝑡(− cos 𝑡) − ∫(−𝑐𝑜𝑠𝑡) (− 1 𝑠𝑒𝑛 𝑡) 𝑑𝑡 = cos 𝑡 = − ln cos 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 − ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑡 = − cos 𝑡 ln cos 𝑡 − (− cos 𝑡 ) + 𝐶 = − cos 𝑡 ln cos 𝑡 + cos 𝑡 + 𝐶 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝐜𝐨𝐬𝒕 (− 𝐥𝐧 𝐜𝐨𝐬 𝒕 + 𝟏) + 𝑪 𝟔𝟓. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒆𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒆𝒙 ; 𝒅𝒖 = 𝒆𝒙 𝒅𝒙; 𝒅𝒗 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 ; 𝒗 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 = 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 (𝑒 𝑥 )𝑑𝑥 = Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒆𝒙 ; 𝒅𝒖 = 𝒆𝒙 𝒅𝒙; 𝒅𝒗 = 𝐬𝐞𝐧 𝒙 ; 𝒗 = − 𝐜𝐨𝐬 𝒙 = 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − [𝑒 𝑥 (− cos 𝑥) − ∫(− cos 𝑥)𝑒 𝑥 𝑑𝑥] = = 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − ( −𝑒 𝑥 cos 𝑥 + ∫(cos 𝑥) 𝑒 𝑥 𝑑𝑥) = = 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑒 𝑥 cos 𝑥 − ∫ 𝑒 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = = ∫ 𝑒 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑒 𝑥 cos 𝑥 − ∫ 𝑒 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = = 2 ∫ 𝑒 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 (𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos 𝑥) + 𝐶 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: ∫ 𝑒𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝒆𝒙 (𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝐜𝐨𝐬 𝒙) +𝑪 𝟐 𝟔𝟔. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒕√𝒕 + 𝟏 𝒅𝒕 = ∫ 𝒕(𝒕 + 𝟏)𝟏/𝟐 𝒅𝒕 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 84 Cálculo Integral 𝟐 𝒖 = 𝒕; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒕; 𝒅𝒗 = (𝒕 + 𝟏)𝟏/𝟐 ; 𝒗 = (𝒕+𝟏) 𝟑/𝟐 𝟑 2(𝑡 + 1) 3/2 2(𝑡 + 1) 3/2 )− ∫ = 𝑡( 𝑑𝑡 = 3 3 2 2 = 𝑡(𝑡 + 1) 3/2 − ∫(𝑡 + 1) 3/2 𝑑𝑡 = 3 3 5 5 2 2 𝜃2 2 2 2 𝜃2 )+𝐶 = 𝑡(𝑡 + 1) 3/2 − ( ) + 𝐶 = 𝑡(𝑡 + 1) 3/2 − ( 5 3 3 3 3 5 2 3 2 4 5 𝑡(𝑡 + 1)2 − 𝜃2 + 𝐶 3 15 𝟐 𝟒 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒕(𝒕 + 𝟏) 𝟑/𝟐 − (𝒕 + 𝟏)𝟓/𝟐 + 𝑪 𝟑 𝟏𝟓 = 𝟔𝟕. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐥𝐧|𝟑𝒙|𝒅𝒙 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝟏 𝒖 = 𝐥𝐧 |𝟑𝒙 |; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; 𝒅𝒗 = 𝒅𝒙; 𝒗 = 𝒙 𝒙 = 𝑥 ln |3𝑥| − ∫ 𝑥 1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ln |3𝑥| − ∫ 𝑑𝑥 = 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒙 𝐥𝐧 𝟑𝒙 − 𝒙 + 𝑪 𝟑 𝟔𝟖. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒕 √𝟐 𝒕 + 𝟕 𝒅𝒕 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝟑 𝒖 = 𝒕; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒕; 𝒅𝒗 = (𝟐𝒕 + 𝟕)𝟏/𝟑 ; 𝒗 = (𝟐𝒕 + 𝟕) 𝟒/𝟑 𝟖 4 3 3 = 𝑡 ( (2𝑡 + 7) 4/3 ) − ∫ (2𝑡 + 7) 3 𝑑𝑡 = 8 8 4 3 3 = 𝑡(2𝑡 + 7) 4/3 − ∫(2𝑡 + 7) 3 𝑑𝑡 = 8 8 Se aplica el siguiente cambio de variable: 𝒂 = 𝟐𝒕 + 𝟕; 𝒅𝒂 = 𝟐𝒅𝒕 85 Cálculo Integral 7 4 3 3 1 3 3 𝑎3 = 𝑡(2𝑡 + 7) 4/3 − ∗ ∫(𝑎) 3 𝑑𝑡 = 𝑡(2𝑡 + 7) 4/3 − ( 7 ) + 𝐶 8 8 2 8 16 3 7 3 3 3𝑎3 = 𝑡 (2𝑡 + 7)4/3 − ( )= 8 16 7 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟑 𝟗 (𝟐𝒕 + 𝟕)𝟕/𝟑 + 𝑪 𝒕(𝟐𝒕 + 𝟕) 𝟒/𝟑 − 𝟖 𝟏𝟏𝟐 𝟔𝟗. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐥𝐧|𝟕𝒙𝟓 |𝒅𝒙 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝟓 𝒖 = 𝐥𝐧 |𝟕𝒙 𝟓 | ; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; 𝒅𝒗 = 𝒅𝒙 ; 𝒗 = 𝒙 𝒙 = 𝑥 ln |7𝑥 5 | − ∫ 𝑥 5 𝑑𝑥 = 𝑥 ln |7𝑥 5 | − 5 ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒙 𝐥𝐧 |𝟕𝒙𝟓 | − 𝟓𝒙 + 𝑪 𝟕𝟎. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐭𝐚𝐧−𝟏 𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒕𝒂𝒏 −𝟏 𝒙; 𝒅𝒖 = 𝟏 𝟏+𝒙𝟐 𝒅𝒙 ; 𝒅𝒗 = 𝒅𝒙 ; 𝒗 = 𝒙 1 ) 𝑑𝑥 = = 𝑥 𝑡𝑎𝑛−1 𝑥 − ∫ 𝑥 ( 1 + 𝑥2 Se aplica el siguiente cambio de variable: 𝒂 = 𝟏 + 𝒙 𝟐; 𝒅𝒂 = 𝟐𝒙 𝒅𝒙 1 𝑑𝑎 1 = 𝑥 𝑡𝑎𝑛−1 𝑥 − ∫ = 𝑥 𝑡𝑎𝑛−1 𝑥 − ln 𝑎 + 𝐶 2 𝑎 2 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒙 𝒕𝒂𝒏−𝟏 𝒙 − 𝟏 𝐥𝐧(𝟏 + 𝒙𝟐 ) + 𝑪 𝟐 86 Cálculo Integral 𝟕𝟏. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒕(𝒕 − 𝟏)𝟏𝟐𝒅𝒕 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒕; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒕; 𝒅𝒗 = (𝒕 − 𝟏)𝟏𝟐 𝒅𝒙 ; 𝒗 = ( 𝑡−1) 13 ( 𝑡−1)13 13 13 = 𝑡( )− ∫ 𝑑𝑡 = 𝑡 ( 𝑡−1)13 13 ( 𝒕−𝟏) 𝟏𝟑 𝟏𝟑 − 1 13 ∫(𝑡 − 1) 13 𝑑𝑡 Se aplica el siguiente cambio de variable: 𝒂 = 𝒕 − 𝟏; 𝒅𝒂 = 𝒅𝒕 =𝑡 ( 𝑡−1) 13 13 − 1 13 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒕 ∫ 𝑎 13 𝑑𝑎 = 𝑡 (𝒕 − 𝟏 ) 𝟏𝟑 𝟏𝟑 − ( 𝑡−1) 13 (𝒕 13 − 1 13 − 𝟏)𝟏𝟒 𝑎14 ( 14 )+ 𝐶 +𝑪 𝟏𝟖𝟐 𝟕𝟐. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙𝟐 𝒆𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒙 𝟐 ; 𝒅𝒖 = 𝟐𝒙 𝒅𝒙; 𝒅𝒗 = 𝒆𝒙 ; 𝒗 = 𝒆𝒙 = 𝑥 2 𝑒 𝑥 − ∫ 2𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 2 𝑒 𝑥 − 2 ∫ 𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒙; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; 𝒅𝒗 = 𝒆𝒙 ; 𝒗 = 𝒆𝒙 = 𝑥 2 𝑒 𝑥 − 2 (𝑥𝑒 𝑥 − ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥) = 𝑥 2 𝑒 𝑥 − 2𝑥𝑒 𝑥 + 2 ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒆𝒙 − 𝟐𝒙𝒆𝒙 + 𝟐𝒆𝒙 + 𝑪 𝟐 𝟕𝟑. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙𝟑 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝒙𝟐 𝒙𝒆𝟐𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝟏 𝟐 𝒖 = 𝒙 𝟐 ; 𝒅𝒖 = 𝟐𝒙 𝒅𝒙; 𝒅𝒗 = 𝒙𝒆𝟐𝒙 ; 𝒗 = 𝒆𝒙 2 = 𝟐 𝑥 2 𝑒 2𝑥 1 𝑥 2𝑒𝑥 2 2 − ∫ 𝑒 𝑥 2𝑥 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑥 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 2 2 2 87 Cálculo Integral 𝟐 𝒙𝟐 𝒆𝒙 𝟏 𝟐 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝒆𝒙 + 𝑪 𝟐 𝟐 𝟕𝟒. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐥𝐧 (𝒙 + √𝟏 + 𝒙𝟐 ) 𝒅𝒙 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝟏 𝒅𝒙 𝒖 = 𝒍𝒏 |𝒙 + (𝟏 + 𝒙 𝟐 )𝟐 | ; 𝒅𝒖 = ; 𝒅𝒗 = 𝒅𝒙; 𝒗 = 𝒙 √𝒙 𝟐 + 𝟏 𝑑𝑥 )= = 𝑥 ln |𝑥 + √1 + 𝑥 2 | − ∫ 𝑥 ( 2 √𝑥 + 1 Se aplica el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒙 𝟐 + 𝟏; 𝒅𝒖 = 𝟐𝒙 1 𝑑𝑢 = 𝑥 ln |𝑥 + √1 + 𝑥 2 | − ∫ 1 = 2 𝑢2 1 1 = 𝑥 ln |𝑥 + √1 + 𝑥 2 | − ∫ 𝑢−2 𝑑𝑢 = 2 1 = 𝑥 ln |𝑥 + √1 + 𝑥 2 | − 𝑢2 + 𝐶 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒙 𝐥𝐧 |𝒙 + √𝟏 + 𝒙𝟐 | − √𝒙𝟐 + 𝟏 + 𝑪 𝟕𝟓. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒆𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒆𝒙 ; 𝒅𝒖 = 𝒆𝒙 𝒅𝒙; 𝒅𝒗 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙; 𝒗 = − 𝐜𝐨𝐬 𝒙 = −𝑒 𝑥 cos 𝑥 − ∫ − cos 𝑥 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒆𝒙 ; 𝒅𝒖 = 𝒆𝒙 𝒅𝒙; 𝒅𝒗 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙; 𝒗 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 = −𝑒 𝑥 cos 𝑥 + 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − ∫ 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑒 𝑥 cos 𝑥 + 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = 2 ∫ 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 88 Cálculo Integral 𝑒𝑥 𝑒𝑥 cos 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶 = 2 2 𝒆𝒙 (− 𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝒔𝒆𝒏 𝒙) + 𝑪 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟐 =− 𝟕𝟔. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟑𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝟑𝒙 ; 𝒅𝒖 = 𝟑𝒙 𝐥𝐧 |𝟑| 𝒅𝒙 ; 𝒅𝒗 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙; 𝒗 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 = 3𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − ∫ 3𝑥 ln|3| 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = = 3𝒙 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑙𝑛|3|∫ 3𝒙 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝟑𝒙 ; 𝒅𝒖 = 𝟑𝒙 𝐥𝐧 |𝟑| 𝒅𝒙 ; 𝒅𝒗 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙; 𝒗 = −𝒄𝒐𝒔 𝒙 = 3𝒙 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑙𝑛|3|(−3𝒙 cos 𝑥 − ∫ − cos 𝑥 3𝒙 𝑙𝑛|3| 𝑑𝑥) = = 3𝒙 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑙𝑛|3|(−3𝒙 cos 𝑥 + 𝑙𝑛|3|∫ 3𝒙 cos 𝑥 𝑑𝑥) = = 3𝒙 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 3𝒙 𝑙𝑛|3| cos 𝑥 − (𝑙𝑛|3|)2 ∫ 3𝒙 cos 𝑥 𝑑𝑥 = = 3𝒙 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 3𝒙 𝑙𝑛|3| cos 𝑥 = (𝑙𝑛2 |3| + 1) ∫ 3𝒙 cos 𝑥 𝑑𝑥 = = (3𝒙 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 3𝒙 𝑙𝑛|3| cos 𝑥 ) = (𝑙𝑛2 |3| + 1) 𝟑𝒙 (𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝒍𝒏|𝟑| 𝐜𝐨𝐬 𝒙 ) 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟐 (𝒍𝒏 |𝟑| + 𝟏 ) +𝑪 𝟕𝟕. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙 (𝟐𝒙 + 𝟓)𝟏𝟎 𝒅𝒙 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: (𝟐𝒙 + 𝟓) 𝟏𝟏 𝒖 = 𝒙; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; 𝒅𝒗 = (𝟐𝒙 + 𝟓)𝟏𝟎 ; 𝒗 = 𝟐𝟐 89 Cálculo Integral (2𝑥 + 5) 11 (2𝑥 + 5) 11 )−∫ 𝑑𝑥 = 22 22 𝑥(2𝑥 + 5) 11 1 = − ∫(2𝑥 + 5) 11 𝑑𝑥 = 22 22 𝑥(2𝑥 + 5) 11 1 𝑥(2𝑥 + 5) 11 1 𝑢12 = − ∫ 𝑢11 𝑑𝑢 = − 22 44 22 44 12 =𝑥( = 𝑥 ( 2𝑥+5)11 22 − 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝑢12 528 +𝐶 = 𝟐𝟒𝒙(𝟐𝒙 + 𝟓) 𝟏𝟏 − (𝟐𝒙 + 𝟓)𝟏𝟐 +𝑪 𝟓𝟐𝟖 𝒙 𝟕𝟖. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙 𝒔𝒆𝒏 ( ) 𝒅𝒙 𝟐 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒙 𝒙 𝒖 = 𝒙; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; 𝒅𝒗 = 𝒔𝒆𝒏 ( ) ; 𝒗 = −𝟐 𝐜𝐨𝐬 ( ) + 𝑪 𝟐 𝟐 𝑥 𝑥 2 2 =𝑥 (−2 𝑐𝑜𝑠 ( )) − ∫ −2𝑐𝑜𝑠 ( ) 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑥 = −2𝑥 𝑐𝑜𝑠 ( ) + ∫ 2 𝑐𝑜𝑠 ( ) 𝑑𝑥 = 2 2 𝑥 𝑥 =−2𝑥 𝑐𝑜𝑠 ( ) + 2 ∫ 𝑐𝑜𝑠 ( ) 𝑑𝑥 = 2 2 𝑥 𝑥 = −2𝑥 𝑐𝑜𝑠 ( ) + 2 ∗ 2 ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑢 𝑑𝑢 = − 2𝑥 𝑐𝑜𝑠 ( ) + 4 𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝐶 2 2 𝒙 𝟐 𝒙 𝟐 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝟐𝒙 𝒄𝒐𝒔 ( ) + 𝟒 𝒔𝒆𝒏 ( ) + 𝑪 𝟕𝟗. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙 𝐥𝐧 𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝟏 𝒙𝟐 𝒖 = 𝒍𝒏 𝒙; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; 𝒅𝒗 = 𝒙 𝒅𝒙 ; 𝒗 = 𝒙 𝟐 = 𝑥2 𝑥2 1 𝑥2 1 (ln 𝑥) − ∫ (ln 𝑥 ) − ∫ 𝑥 𝑑𝑥 . 𝑑𝑥 = 2 2 𝑥 2 2 90 Cálculo Integral 𝑥2 1 𝑥2 (ln 𝑥) − . = 2 2 2 𝒙𝟐 𝒙𝟐 ( 𝐥𝐧 𝒙) − 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: +𝑪 𝟐 𝟒 = 𝟖𝟎. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙𝟑 𝐥𝐧 𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝟏 𝒙𝟒 𝒖 = 𝒍𝒏 𝒙; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; 𝒅𝒗 = 𝒙 𝟑 𝒅𝒙 ; 𝒗 = 𝒙 𝟒 = 𝑥4 𝑥4 1 𝑥4 1 (ln 𝑥) − ∫ (ln 𝑥 ) − ∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 . 𝑑𝑥 = 4 4 𝑥 4 4 𝑥4 1 𝑥4 (ln 𝑥) − . = = 4 4 4 𝒙𝟒 𝒙𝟒 (𝐥𝐧 𝒙) − 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: +𝑪 𝟒 𝟏𝟔 𝟖𝟏. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒕𝒂𝒏−𝟏 𝒚 𝒅𝒚 = Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝟏 𝒖 = 𝒕𝒂𝒏 −𝟏 𝒚 ; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒚; 𝒅𝒗 = 𝒅𝒚; 𝒗 = 𝒚 𝟏 + 𝒚𝟐 1 𝑦 ) 𝑑𝑦 == 𝑦 𝑡𝑎𝑛−1 (𝑦) − ∫ ( ) 𝑑𝑦 2 1+𝑦 1 + 𝑦2 1 𝑑𝑢 1 = 𝑦 𝑡𝑎𝑛−1 (𝑦) − ∫ = 𝑦 𝑡𝑎𝑛−1 (𝑦) − 𝑙𝑛|𝑢| + 𝐶 2 𝑢 2 𝑦 𝑡𝑎𝑛 −1 (𝑦) − ∫ 𝑦 ( 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒚 𝒕𝒂𝒏−𝟏 (𝒚 ) − 𝟏 𝒍𝒏|𝟏 + 𝒚𝟐 | + 𝑪 𝟐 𝟖𝟐. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟒𝒙 𝒔𝒆𝒄𝟐 (𝟐𝒙) 𝒅𝒙 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 91 Cálculo Integral 𝒖 = 𝟒𝒙; 𝒅𝒖 = 𝟒 𝒅𝒙; 𝒅𝒗 = 𝒔𝒆𝒄 𝟐 (𝟐𝒙 ); 𝒗 = = 4𝑥 ( 𝑡𝑎𝑛 (2𝑥) tan(2𝑥) )− ∫ 4 𝑑𝑥 = 2 2 𝟏 𝟐 𝒕𝒂𝒏(𝟐𝒙) = 2𝑥 𝑡𝑎𝑛 (2𝑥) − ∫ 𝑡𝑎𝑛 (2𝑥) 2𝑑𝑥 = 2𝑥 𝑡𝑎𝑛(2𝑥) − ∫ 𝑡𝑎𝑛 (𝑢) 𝑑𝑢 = = 2𝑥 𝑡𝑎𝑛(2𝑥) − (− ln|cos 𝑢 |) + 𝐶 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟐𝒙 𝒕𝒂𝒏(𝟐𝒙) + 𝐥𝐧|𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙| + 𝑪 𝟖𝟑. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒑𝟒 𝒆−𝒑 𝒅𝒑 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒑𝟒 ; 𝒅𝒖 = 𝟒 𝒑𝟑 𝒅𝒑; 𝒅𝒗 = 𝒆 −𝒑 𝒅𝒑; 𝒗 = −𝒆−𝒑 = −𝑝 4 𝑒 −𝑝 + ∫ 𝑒 −𝑝 4𝑝 3 𝑑𝑝 = − 𝑝 4 𝑒 −𝑝 + 4 ∫ 𝑒 −𝑝 𝑝 3 𝑑𝑝 = Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒑𝟑 ; 𝒅𝒖 = 𝟑 𝒑𝟐 𝒅𝒑; 𝒅𝒗 = 𝒆 −𝒑 𝒅𝒑; 𝒗 = −𝒆−𝒑 = −𝑝 4 𝑒 −𝑝 + 4 (−𝑝 3 𝑒 −𝑝 − ∫ −3 𝑝 2 𝑒 −𝑝 𝑑𝑝) = = −𝑝 4 𝑒 −𝑝 + 4 (−𝑝 3 𝑒 −𝑝 + 3 ∫ 𝑝 2 𝑒 −𝑝 𝑑𝑝) = = −𝑝 4 𝑒 −𝑝 − 4𝑝 3 𝑒 −𝑝 + 12 ∫ 𝑝 2 𝑒 −𝑝 𝑑𝑝 = Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒑𝟐 ; 𝒅𝒖 = 𝟐 𝒑 𝒅𝒑; 𝒅𝒗 = 𝒆 −𝒑 𝒅𝒑; 𝒗 = −𝒆−𝒑 = −𝑝 4 𝑒 −𝑝 − 4𝑝 3 𝑒 −𝑝 + 12 (−𝑝 2 𝑒 −𝑝 − ∫ −2𝑝𝑒 −𝑝 𝑑𝑝) = −𝑝 4 𝑒 −𝑝 − 4𝑝 3 𝑒 −𝑝 − 12𝑝 2 𝑒 −𝑝 + 24 ∫ 𝑝𝑒 −𝑝 𝑑𝑝 Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒑; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒑; 𝒅𝒗 = 𝒆−𝒑 𝒅𝒑; 𝒗 = −𝒆 −𝒑 = −𝑝 4 𝑒 −𝑝 − 4𝑝 3 𝑒 −𝑝 − 12𝑝 2 𝑒 −𝑝 − 24𝑝𝑒 −𝑝 − 24(𝑒 −𝑝 ) + 𝐶 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝒆−𝒑 (𝒑𝟒 + 𝟒𝒑𝟑 + 𝟏𝟐𝒑𝟐 + 𝟐𝟒𝒑 + 𝟐𝟒) + 𝑪 92 Cálculo Integral 𝟖𝟒. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒆𝜽 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒅𝜽 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒆𝜽 ; 𝒅𝒖 = 𝒆𝜽 𝒅𝜽; 𝒅𝒗 = 𝒔𝒆𝒏 𝜽 𝒅𝜽; 𝒗 = − 𝐜𝐨𝐬 𝜽 = −𝑒 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − ∫ −𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑒 𝜃 𝑑𝜃 = −𝑒 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + ∫ 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑒 𝜃 𝑑𝜃 = Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒆𝜽 ; 𝒅𝒖 = 𝒆𝜽 𝒅𝜽; 𝒅𝒗 = 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒅𝜽; 𝒗 = 𝐬𝐞𝐧 𝜽 −𝑒 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑒 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − ∫ 𝑒 𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 = ∫ 𝑒 𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 −𝑒 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑒 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = ∫ 𝑒 𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 + ∫ 𝑒 𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 = −𝑒 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑒 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 = 2 ∫ 𝑒 𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: −𝒆𝜽 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒆𝜽 𝒔𝒆𝒏 𝜽 + +𝑪 𝟐 𝟐 𝟖𝟓. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫(𝒙𝟐 − 𝟓𝒙)𝒆𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒙 𝟐 − 𝟓𝒙; 𝒅𝒖 = 𝟐𝒙 − 𝟓 𝒅𝒙; 𝒅𝒗 = 𝒆𝒙 ; 𝒗 = 𝒆𝒙 = (𝑥 2 − 5𝑥)𝑒 𝑥 − ∫(2 𝑥 − 5)𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = = (𝑥 2 − 5𝑥)𝑒 𝑥 − (2 ∫ 𝑒 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 − 5 ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥) = (𝑥 2 − 5𝑥)𝑒 𝑥 − 2 ∫ 𝑒 𝑥 𝑥 𝑑𝑥 + 5 ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒙 ; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; 𝒅𝒗 = 𝒆𝒙 ; 𝒗 = 𝒆𝒙 = (𝑥 2 − 5𝑥)𝑒 𝑥 − 2 (𝑥 𝑒 𝑥 − ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥) + 5𝑒 𝑥 = (𝑥 2 − 5𝑥)𝑒 𝑥 − 2𝑥𝑒 𝑥 + 2𝑒 𝑥 + 5𝑒 𝑥 + 𝐶 93 Cálculo Integral = 𝑒 𝑥 𝑥 2 − 5𝑥𝑒 𝑥 − 2𝑥𝑒 𝑥 + 2𝑒 𝑥 + 5𝑒 𝑥 + 𝐶 = 𝑒 𝑥 𝑥 2 − 7𝑥𝑒 𝑥 + 7𝑒 𝑥 + 𝐶 = 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒆𝒙 (𝒙𝟐 − 𝟕𝒙 + 𝟕) + 𝑪 𝟖𝟔. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒕𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝒕 𝒅𝒕 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒕𝟐 ; 𝒅𝒖 = 𝟐𝒕 𝒅𝒕; 𝒅𝒗 = 𝐜𝐨𝐬 𝒕 ; 𝒗 = 𝒔𝒆𝒏 𝒕 = 𝑡 2 𝑠𝑒𝑛 𝑡 − ∫ 2 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑡 2 𝑠𝑒𝑛 𝑡 − 2 ∫ 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑡 = Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒕; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒕; 𝒅𝒗 = 𝐬𝐞𝐧 𝒕 ; 𝒗 = − 𝒄𝒐𝒔 𝒕 = 𝑡 2 𝑠𝑒𝑛 𝑡 − 2(−𝑡 cos 𝑡) − 2 ∫ − cos 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑡 2 𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 2𝑡 cos 𝑡 − 2 ∫ cos 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒕𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝒕 + 𝟐𝒕 𝐜𝐨𝐬 𝒕 − 𝟐𝒔𝒆𝒏 𝒕 + 𝑪 𝟖𝟕. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐥𝐧(𝒙 + 𝒙𝟐 ) 𝒅𝒙 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝟏 (𝟏 + 𝟐𝒙 )𝒅𝒙; 𝒅𝒗 = 𝒅𝒙; 𝒗 = 𝒙 𝒖 = 𝐥𝐧 |𝒙 + 𝒙 𝟐 | ; 𝒅𝒖 = 𝒙 + 𝒙𝟐 1 + 2𝑥 ) 𝑑𝑥 = = 𝑥 ln(𝑥 + 𝑥 2 ) − ∫ 𝑥 ( 𝑥 + 𝑥2 𝑥(1 + 2𝑥) = 𝑥 ln(𝑥 + 𝑥 2 ) − ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥(1 + 𝑥) (1 + 2𝑥) = 𝑥 ln(𝑥 + 𝑥 2 ) − ∫ 𝑑𝑥 = (1 + 𝑥) Se aplica el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝟏 + 𝒙; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; 𝒙 = 𝒖 − 𝟏 = 𝑥 ln(𝑥(1 + 𝑥)) − (∫ 𝑑𝑢 2𝑥 +∫ 𝑑𝑥 ) = 𝑢 1+𝑥 94 Cálculo Integral 𝑢−1 𝑑𝑢) = 𝑢 𝑢 𝑑𝑢 =𝑥 ln(𝑥(1 + 𝑥)) − ln 𝑢 − 2 (∫ 𝑑𝑢 − ∫ ) = = 𝑥 ln(𝑥(1 + 𝑥)) − (ln 𝑢 + 2 ∫ 𝑢 𝑢 = 𝑥 ln(𝑥(1 + 𝑥)) − ln 𝑢 − 2(𝑢 − ln 𝑢) = 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒙 𝐥𝐧 (𝒙 (𝟏 + 𝒙 )) − 𝐥𝐧 |𝟏 + 𝒙 | − 𝟐[(𝟏 + 𝒙 ) − 𝐥𝐧 |𝟏 + 𝒙 |] + 𝑪 𝟖𝟖. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙 √𝟏 − 𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝟏 𝟐√(𝟏 − 𝒙 )𝟑 𝒖 = 𝒙; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; 𝒅𝒗 = (𝟏 − 𝒙 )𝟐 𝒅𝒙; 𝒗 = − 𝟑 =− 2𝑥√(1 − 𝑥) 3 2√(1 − 𝑥) 3 ) 𝑑𝑥 = − ∫ (− 3 3 3 2𝑥√(1 − 𝑥) 3 2 + ∫(1 − 𝑥) 2 𝑑𝑥 = 3 3 3 2𝑥√(1 − 𝑥) 3 2 =− − ∫(𝑢) 2 𝑑𝑢 = 3 3 5 2𝑥√(1 − 𝑥) 3 4 5 2𝑥√(1 − 𝑥) 3 4 =− − 𝑢2 + 𝐶 = − − (1 − 𝑥) 2 + 𝐶 3 15 3 15 𝟑 𝟐𝒙√(𝟏 − 𝒙) 𝟒 √(𝟏 − 𝒙)𝟓 + 𝑪 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − − =− 𝟑 𝟏𝟓 𝒙𝒆𝟐𝒙 𝟖𝟗. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 (𝟐𝒙 + 𝟏)𝟐 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para a plicar la fórmula de la integración por partes: 𝟏 𝟏 𝒖 = 𝒙𝒆𝟐𝒙 , 𝒅𝒖 = 𝒆𝟐𝒙 + 𝟐𝒙𝒆𝟐𝒙 ; 𝒅𝒗 = ,𝒗 = − (𝟏 + 𝟐𝒙 ) 𝟐 ( 𝟐 𝟐𝒙 + 𝟏) (𝑒 2𝑥 + 2𝑥𝑒 2𝑥 ) 1 ) − ∫ (− ) 𝑑𝑥 2(2𝑥 + 1) 2(2𝑥 + 1) 𝑥𝑒 2𝑥 1 𝑒 2𝑥 (2𝑥 + 1) =− + ∫ 𝑑𝑥 (2𝑥 + 1) 2 (2𝑥 + 1) 2 = 𝑥𝑒 2𝑥 (− 95 Cálculo Integral Se aplica el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝟐𝒙; 𝒅𝒖 = 𝟐𝒅𝒙 =− 𝑥𝑒 2𝑥 1 𝑥𝑒 2𝑥 1 + ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = − + 𝑒𝑢 + 𝐶 2 (2𝑥 + 1) 4 2(2𝑥 + 1) 4 𝒙𝒆𝟐𝒙 𝟏 𝟐𝒙 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − + 𝒆 +𝑪 𝟐(𝟐𝒙 + 𝟏) 𝟒 𝟐 𝟗𝟎. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙𝟓 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝑥 5 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 2𝑥 Solución.Se aplica el siguiente cambio de variable: 𝒅𝒖 𝒖 = 𝒙 𝟐 ; 𝒅𝒖 = 𝟐𝒙𝒅𝒙 ; 𝒅𝒙 = 𝟐𝒙 1 = ∫ 𝑢2 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = 2 Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒖𝟐 ; 𝒅𝒖 = 𝟐𝒖 𝒅𝒖 ; 𝒅𝒗 = ∫ 𝒆𝒖 ; 𝒗 = 𝒆𝒖 1 1 = [𝑢2 𝑒 𝑢 − ∫ 𝑒 𝑢 (2𝑢)𝑑𝑢] = [𝑢2 𝑒 𝑢 − 2 ∫ 𝑒 𝑢 𝑢𝑑𝑢] 2 2 Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒖; 𝒅𝒖 = 𝟏 𝒅𝒖 ; 𝒅𝒗 = ∫ 𝒆𝒖 ; 𝒗 = 𝒆𝒖 1 1 2 2 2 = [𝑢2 𝑒 𝑢 − 2(𝑢𝑒 𝑢 − 𝑒 𝑢 )] = [ (𝑥 2 )2 𝑒 𝑥 − 2(𝑥 2 𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥 )] 2 2 𝟐 𝒙𝟒 𝒆𝒙 𝟐 𝟐 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝒙𝟐 𝒆𝒙 + 𝒆𝒙 + 𝑪 𝟐 𝟗𝟏. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙𝟐 𝑻𝒂𝒏−𝟏 (𝒙)𝒅𝒙 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝟏 𝒙𝟑 𝒖 = 𝒕𝒂𝒏 −𝟏 (𝒙 ) ; 𝒅𝒖 = 𝟐 ; 𝒅𝒗 = ∫ 𝒙 𝟐 ; 𝒗 = 𝒙 +𝟏 𝟑 = (𝑡𝑎𝑛−1 (𝑥)) 𝑥3 𝑥3 1 ) 𝑑𝑥 −∫ ( 2 3 3 𝑥 +1 96 Cálculo Integral = (𝑡𝑎𝑛−1 (𝑥)) 𝑥3 1 𝑥3 − ∫ 2 𝑑𝑥 3 3 𝑥 +1 Se aplica el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒙 𝟐 + 𝟏; 𝒅𝒖 = 𝟐𝒙𝒅𝒙; 𝒙 𝟐 = 𝒖 − 𝟏 𝑥 3 𝑡𝑎𝑛−1 (𝑥) 1 𝑥 3 1 𝑥 3 𝑡𝑎𝑛 −1 (𝑥) 1 𝑥 2 − ∫ 𝑑𝑢 = − ∫ 𝑑𝑥 3 3 𝑢 2𝑥 3 3 2𝑢 3 −1 ( ) 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥 1 1 𝑢 − 1 ∫ = − 𝑑𝑢 3 32 𝑢 𝑥 3 𝑡𝑎𝑛−1 (𝑥) 1 𝑢 𝑑𝑢 𝑥 3 𝑡𝑎𝑛−1 (𝑥) 1 = − [∫ 𝑑𝑢 − ∫ ] = − [𝑢 − ln|𝑢|] 3 6 𝑢 𝑢 3 6 𝑥 3 𝑡𝑎𝑛−1 (𝑥) 1 2 = − [𝑥 + 1 − ln|𝑥 2 + 1|] 3 6 𝟑 𝒙 𝒕𝒂𝒏−𝟏 (𝒙) 𝒙𝟐 𝟏 𝐥𝐧|𝒙𝟐 + 𝟏| 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − − + +𝑪 = 𝟑 𝟗𝟐. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟔 𝟔 𝟔 𝒚 𝒅𝒚 𝑺𝒆𝒏𝟐 (𝒚) Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝟏 𝒖 = 𝒚; 𝒅𝒖 = 𝟏 𝒅𝒚; 𝒅𝒗 = ∫ 𝟐 ; 𝒗 = −𝑪𝒐𝒕 (𝒚) 𝑺𝒆𝒏 𝒚 = 𝑦(−𝐶𝑜𝑡 (𝑦)) − ∫ −𝐶𝑜𝑡(𝑦)𝑑𝑦 = −𝑦 𝐶𝑜𝑡(𝑦) − (− ln|𝑆𝑒𝑛(𝑦)|) + 𝐶 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝒚 𝑪𝒐𝒕(𝒚 ) + 𝒍𝒏|𝑺𝒆𝒏(𝒚 )| + 𝑪 −𝟏 ( 𝟗𝟑. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒚 𝒆𝑺𝒆𝒏 √𝟏 − 𝒚) 𝒚𝟐 𝒅𝒚 = ∫ 𝑦𝑒 𝑢 𝑑𝑢 Solución.Se aplica el siguiente cambio de variable: 𝟏 𝒖 = 𝑺𝒆𝒏 −𝟏 (𝒚) ; 𝒅𝒖 = √ 𝟐 𝒅𝒚; 𝒅𝒚 = √𝟏 − 𝒚𝟐 𝒅𝒖 𝟏−𝒚 𝒖 = 𝒔𝒆𝒏 −𝟏 ( 𝒚) ; 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏(𝒖) = ∫ 𝑒 𝑢 𝑠𝑒𝑛 (𝑢)𝑑𝑢 = Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 97 Cálculo Integral 𝒖 = 𝒆𝒖 ; 𝒅𝒖 = 𝒆𝒖 ; 𝒅𝒗 = ∫ 𝒔𝒆𝒏(𝒖 ) ; 𝒗 = −𝒄𝒐𝒔 (𝒖) = 𝑒 𝑢 (−𝑐𝑜𝑠(𝑢)) − ∫(−𝑐𝑜𝑠(𝑢))𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = −𝑐𝑜𝑠(𝑢)𝑒 𝑢 + ∫ cos(𝑢) 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒆𝒖 ; 𝒅𝒖 = 𝒆𝒖 ; 𝒅𝒗 = ∫ 𝒄𝒐𝒔(𝒖) ; 𝒗 = 𝒔𝒆𝒏(𝒖) ∫ 𝑒 𝑢 𝑠𝑒𝑛(𝑢)𝑑𝑢 = −𝑐𝑜𝑠(𝑢)𝑒 𝑢 + [𝑒 𝑢 𝑠𝑒𝑛(𝑢) − ∫ 𝑒 𝑢 𝑠𝑒𝑛(𝑢)𝑑𝑢] 2 ∫ 𝑒 𝑢 𝑠𝑒𝑛(𝑢)𝑑𝑢 = −𝑐𝑜𝑠(𝑢)𝑒 𝑢 + 𝑒 𝑢 𝑠𝑒𝑛(𝑢) 1 1 = − (−𝑐𝑜𝑠(𝑢)𝑒 𝑢 + 𝑒 𝑢 𝑠𝑒𝑛(𝑢)) = − 𝑒 𝑢 (−𝑐𝑜𝑠(𝑢) + 𝑠𝑒𝑛(𝑢)) 2 2 𝟏 𝒔𝒆𝒏−𝟏(𝒚) −𝟏 ( −𝒄𝒐𝒔 (𝒔𝒆𝒏 (𝒚) + 𝒔𝒆𝒏(𝒔𝒆𝒏−𝟏 (𝒚)) + 𝑪 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝒆 𝟐 𝟗𝟒. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫(𝒚𝟐 + 𝒚)𝒆(𝟏−𝟐𝒚) 𝒅𝒚 = ∫ 𝑦 2 𝑒 ( 1−2𝑦) 𝑑𝑦 + ∫ 𝑦𝑒 (1−2𝑦)𝑑𝑦 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝟏 − 𝟐𝒚; 𝒅𝒖 = −𝟐𝒅𝒚 𝟏 ( ( ) ) 𝒖 = 𝒚𝟐 ; 𝒅𝒖 = 𝟐𝒚𝒅𝒚 ; 𝒅𝒗 = ∫ 𝒆 𝟏−𝟐𝒚 ; 𝒗 = − 𝒆 𝟏−𝟐𝒚 𝟐 𝟏 ( ( ) ) 𝒖 = 𝒚; 𝒅𝒖 = 𝟏 𝒅𝒚; 𝒅𝒗 = ∫ 𝒆 𝟏−𝟐𝒚 ; 𝒗 = − 𝒆 𝟏−𝟐𝒚 𝟐 1 1 = [𝑦 2 (− 𝑒 (1−2𝑦) ) − ∫ − 𝑒 (1−2𝑦)(2𝑦)𝑑𝑦] 2 2 1 (1−2𝑦) 1 ) − ∫ − 𝑒 (1−2𝑦)𝑑𝑦] + [𝑦 (− 𝑒 2 2 2 𝑦 𝑦 1 = [− 𝑒 (1−2𝑦) + ∫ 𝑦 𝑒 ( 1−2𝑦) 𝑑𝑦] + [− 𝑒 (1−2𝑦) + ∫ 𝑒 (1−2𝑦) 𝑑𝑦] 2 2 2 Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 98 Cálculo Integral 𝒖 = 𝒚; 𝒅𝒖 = 𝟏 𝒅𝒚; 𝒅𝒗 = ∫ 𝒆 (𝟏−𝟐𝒚) 𝟏 ( ) ; 𝒗 = − 𝒆 𝟏−𝟐𝒚 𝟐 𝑦 2 (1−2𝑦) 1 1 𝑒 + (𝑦) ( − 𝑒 (1−2𝑦)) − ∫ − 𝑒 (1−2𝑦) 𝑑𝑦] 2 2 2 𝑦 1 1 + [− 𝑒 ( 1−2𝑦) + (− ) ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢] 2 2 2 𝑦 2 (1−2𝑦) y (1−2𝑦) 1 = [− 𝑒 + (− 𝑒 ) + ∫ 𝑒 (1−2𝑦)𝑑𝑦] 2 2 2 𝑦 1 + [− 𝑒 ( 1−2𝑦) − 𝑒 (1−2𝑦) ] 2 4 𝑦 2 (1−2𝑦) y (1−2𝑦) 1 1 = [− 𝑒 + (− 𝑒 ) + ( − ) ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢] 2 2 2 2 𝑦 1 + [− 𝑒 ( 1−2𝑦) − 𝑒 (1−2𝑦) ] 2 4 2 𝑦 y 1 = [− 𝑒 (1−2𝑦) + (− 𝑒 (1−2𝑦)) − 𝑒 ( 1−2𝑦) ] 2 2 4 𝑦 ( 1−2𝑦) 1 (1−2𝑦) ] + [− 𝑒 − 𝑒 2 4 = [− 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒚𝟐 (𝟏−𝟐𝒚) 𝟏 𝒆 − 𝐲 𝒆(𝟏−𝟐𝒚) − 𝒆(𝟏−𝟐𝒚) + 𝑪 𝟐 𝟐 𝟗𝟓. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝑪𝒐𝒔( 𝒚)√𝒆𝒚 𝒅𝒚 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒚 𝒖= √𝒆𝒚 ; 𝒅𝒖 = 𝒆𝟐 𝟐 ; 𝒅𝒗 = ∫ 𝑪𝒐𝒔 (𝒚) ; 𝒗 = 𝑺𝒆𝒏(𝒚) 𝑦 𝑒2 = √𝑒 𝑦 (𝑆𝑒𝑛(𝑦)) − ∫ 𝑆𝑒𝑛 (𝑦) ( ) 𝑑𝑦 2 𝑦 1 = √𝑒 𝑦 (𝑆𝑒𝑛(𝑦)) − ∫ 𝑒 2 𝑆𝑒𝑛(𝑦)𝑑𝑦 2 Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒚 𝒖= √𝒆𝒚 ; 𝒅𝒖 = 𝒆𝟐 𝟐 ; 𝒅𝒗 = ∫ 𝑺𝒆𝒏 (𝒚) ; 𝒗 = −𝑪𝒐𝒔(𝒚) 99 Cálculo Integral 𝑦 1 𝑒2 = √𝑒 𝑦 (𝑆𝑒𝑛(𝑦)) − [−√𝑒 𝑦 (𝐶𝑜𝑠(𝑦)) − ∫ − 𝐶𝑜𝑠(𝑦) ( ) 𝑑𝑦 2 2 𝑦 1 1 = √𝑒 𝑦 (𝑆𝑒𝑛(𝑦)) + √𝑒 𝑦 (𝐶𝑜𝑠(𝑦)) − ∫ 𝑒 2 𝐶𝑜𝑠(𝑦)𝑑𝑦 2 4 5 1 = ∫ 𝐶𝑜𝑠( 𝑦)√𝑒 𝑦 𝑑𝑦 = √𝑒 𝑦 (𝑆𝑒𝑛(𝑦)) + √𝑒 𝑦 (𝐶𝑜𝑠(𝑦)) 4 2 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟒 𝒚 𝟐 √𝒆 (𝑺𝒆𝒏(𝒚)) + √𝒆𝒚 (𝑪𝒐𝒔(𝒚)) + 𝑪 𝟓 𝟓 𝟗𝟔. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒍𝒏𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝒙𝟓/𝟑 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝟐𝒍𝒏𝒙 𝟏 𝟑 𝒖 = 𝒍𝒏𝟐 𝒙; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 ; 𝒅𝒗 = ∫ 𝟓 /𝟑 ; 𝒗 = − 𝟐/𝟑 𝒙 𝒙 𝟐𝒙 2𝑙𝑛𝑥 3𝑙𝑛2 𝑥 ln 𝑥 = 𝑙𝑛2 𝑥 (− 2 ) − ∫ (− 2 ) 𝑑𝑥 = − + 3 ∫ 5 𝑑𝑥 2 𝑥 2𝑥 3 2𝑥 3 2𝑥 3 𝑥3 3 3 Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝟏 𝟏 𝟑 𝒖 = 𝐥𝐧 𝒙 ; 𝒅𝒖 = ; 𝒅𝒗 = ∫ 𝟓 ; 𝒗 = − 𝟐 𝒙 𝒙𝟑 𝟐𝒙 𝟑 =− =− =− 3𝑙𝑛2 𝑥 3 ( ) − ∫ (− 2 + 3 [ln 𝑥 − 2 2𝑥 3 2𝑥 3 3𝑙𝑛2 𝑥 3 ln 𝑥 3 2 2𝑥 3 3𝑙𝑛2 𝑥 2 2𝑥 3 + 3 [− + 3 [− 2 2𝑥 3 3 ln 𝑥 2 2𝑥 3 + ∫ 2 3 2 2𝑥 3 ) 1 𝑑𝑥] 𝑥 𝑑𝑥 5] 𝑥3 5 3 + ∫ 𝑥 −3 𝑑𝑥] 2 5 3 𝑥 −3+1 ( )] =− + 3 [− + 2 2 2 −5 + 1 2𝑥 3 2𝑥 3 3 3𝑙𝑛2 𝑥 3 ln 𝑥 3 3 ( ) =− 2 + 3 [− 2 +2 − 2 ] 3 3 3 2𝑥 2𝑥 2𝑥 3𝑙𝑛2 𝑥 3 ln 𝑥 100 Cálculo Integral =− 3𝑙𝑛2 𝑥 2 2𝑥 3 + 3 [− 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 3 ln 𝑥 2 2𝑥 3 𝟐 2] 4𝑥 3 𝟑𝒍𝒏 𝒙 𝟐 𝟐𝒙𝟑 𝟗𝟕. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 9 − − 𝟗 𝐥𝐧 𝒙 𝟐 𝟐𝒙𝟑 𝟐𝟕 − 𝒍𝒏(𝟐 + 𝟑√𝒙) 𝟑 √𝒙 𝟐 𝟒𝒙𝟑 +𝑪 𝒅𝒙 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝟏 𝟑 𝒖 = 𝒍𝒏 |𝟐 + √𝒙 |; 𝒅𝒖 = 𝟐 ; 𝒅𝒗 = 𝟑 𝟑𝒙 𝟑(𝟐+ √𝒙) 2 3𝑥 3 = 𝑙𝑛|2 + √𝑥| −∫ 2 3 1 2 𝟏 𝟑 √𝒙 𝟐 ;𝒗 = 𝟑𝒙𝟑 𝟐 2 3𝑥 3 𝑑𝑥 ) 2 3𝑥 3 (2 + 3√𝑥 3 2 1 = 𝑥 3 𝑙𝑛| 3√𝑥 + 2| − ∫ 3 𝑑𝑥 2 2( √𝑥 + 2) Se aplica el siguiente cambio de variable: 𝟏 𝒖 = 𝒙 𝟑 ; 𝒖𝟑 = 𝒙; 𝟑𝒖𝟐 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 ; 3 2 1 3𝑢2 𝑑𝑢 = 𝑥 3 𝑙𝑛| 3√𝑥 + 2| − ∫ 𝑑𝑥 2 2 𝑢 +2 𝒗 = 𝒖 + 𝟐; 𝒖 = 𝒗 − 𝟐; 𝒅𝒗 = 𝒅𝒖 3 2 3 (𝑣 − 2) 2𝑑𝑣 = 𝑥 3 𝑙𝑛| 3√𝑥 + 2| − ∫ 2 2 𝑣 2 2 3 3 (𝑣 − 4𝑣 + 4) 𝑑𝑣 = 𝑥 3 𝑙𝑛| 3√𝑥 + 2| − ∫ 2 2 𝑣 3 2 3 3 𝑣2 4 = 𝑥 3 𝑙𝑛| √𝑥 + 2| − [∫ − 4 + 𝑑𝑣] 2 2 𝑣 𝑣 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟑 𝟐 𝟑 𝟏 𝟐 𝒙 𝟑 𝒍𝒏| 𝟑√𝒙 + 𝟐| − ( ( 𝟑√𝒙 + 𝟐) − 𝟒( 𝟑√𝒙 + 𝟐) 𝟐 𝟐 𝟐 + 𝟒 𝒍𝒏 | 𝟑√𝒙 + 𝟐|) + 𝑪 101 Cálculo Integral 𝟗𝟖. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝑺𝒆𝒄𝟑 (𝒎)𝒅𝒎 = ∫ 𝑆𝑒𝑐 2 (𝑚) 𝑆𝑒𝑐 (𝑚) 𝑑𝑚 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝑺𝒆𝒄 𝒎; 𝒅𝒖 = 𝑺𝒆𝒄 𝒎 𝑻𝒂𝒏 𝒎; 𝒅𝒗 = 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒎; 𝒗 = 𝑻𝒂𝒏 𝒎 = 𝑆𝑒𝑐 𝑚 𝑇𝑎𝑛 𝑚 − ∫ tan 𝑚 sec 𝑚 tan 𝑚 𝑑𝑚 = 𝑆𝑒𝑐 𝑚 𝑇𝑎𝑛 𝑚 − ∫ tan2 𝑚 sec 𝑚 𝑑𝑚 = 𝑆𝑒𝑐 𝑚 𝑇𝑎𝑛 𝑚 − ∫ (Sec 2 𝑚 − 1) sec 𝑚 𝑑𝑚 = 𝑆𝑒𝑐 𝑚 𝑇𝑎𝑛 𝑚 − ∫ Sec 3 𝑚 𝑑𝑚 − ∫ sec 𝑚 𝑑𝑚 2 ∫ Sec 3 𝑚 = 𝑆𝑒𝑐 𝑚 𝑇𝑎𝑛 𝑚 − ln(sec 𝑚 + tan 𝑚 ) 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝟏 𝑺𝒆𝒄 𝒎 𝑻𝒂𝒏 𝒎 − 𝐥𝐧(𝐬𝐞𝐜 𝒎 + 𝐭𝐚𝐧 𝒎 ) + 𝑪 𝟐 𝟐 𝟗𝟗. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ √ 𝒙+ 𝟐 𝑢+ 1+2 𝒅𝒙 = ∫ √ 𝑑𝑢 𝒙− 𝟏 𝑢 3 = ∫ √ + 1𝑑𝑢 𝑢 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒙 − 𝟏; 𝒙 = 𝒖 + 𝟏; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 𝟑 𝟑 𝟑 𝒖𝟐 𝒅𝒗 𝒗 = ; 𝒖 = 𝒅𝒗 = − 𝟐 𝒅𝒖; − = 𝒅𝒖 𝒖 𝒗 𝒖 𝟑 1 3 2 1 3 2 = ∫ − ( ) √𝑣 + 1𝑑𝑣 = − ∫ ( ) √𝑣 + 1𝑑𝑣 3 𝑣 3 𝑣 1 9√𝑣 + 1 √𝑣 +1 =− ∫ 𝑑𝑣 = −3 ∫ 𝑑𝑣 2 3 𝑣 𝑣2 Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝟏 𝟏 𝟏 𝒖 = √𝒗 + 𝟏; 𝒅𝒖 = ; 𝒅𝒗 = 𝟐 ; 𝒗 = − 𝒗 𝒗 𝟐√𝒗 + 𝟏 102 Cálculo Integral 1 1 1 ( − ) 𝑑𝑣] = −3 [√𝑣 + 1 (− ) − ∫ 𝑣 𝑣 2√𝑣 + 1 𝑣 + 1 1 √ = −3[− − ∫− 𝑑𝑣] 𝑣 2𝑣 √𝑣 + 1 1 1 √𝑣 + 1 = −3[− − (− ∫ 𝑑𝑣)] 𝑣 2 𝑣√𝑣 + 1 Se aplica el siguiente cambio de variable: 𝟏 𝒘 = √𝒗 + 𝟏; 𝒅𝒘 = 𝒅𝒗 𝟐𝒘 = −3[− 1 2 √𝑣 + 1 − (− ∫ 2 𝑑𝑤)] 𝑣 2 𝑤 −1 𝒘𝟐 − 𝟏 = −(−𝒘𝟐 + 𝟏) 1 1 √𝑣 + 1 − (− 2 ∫ 𝑑𝑤] 𝑣 2 −(−𝑤 2 + 1) 1 1 √𝑣 + 1 = −3 [− − (− 2 (− ∫ 𝑑𝑤))] 𝑣 2 −𝑤 2 + 1 = −3[− = −3(− 1 𝑤 +1 √𝑣 + 1 − ( ln( )) 𝑣 2 𝑤 −1 √ 3 +1 √ 3 + 1+1 1 𝑥−1 𝑥 −1 = −3 − − ln 3 2 √ 3 + 1−1 𝑥−1 ( ) ] 𝑥 −1 [ ( ) √𝒙 + 𝟐 (𝒙 − 𝟏) √𝒙 + 𝟐 + 𝟏 𝟏 𝒙−𝟏 𝒙−𝟏 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: −𝟑 − − 𝐥𝐧 +𝑪 𝟑 𝟐 √𝒙 + 𝟐 − 𝟏 ( ) ] 𝒙−𝟏 [ ( ) 𝟏𝟎𝟎. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫(𝒚 + 𝟏)𝟐 ((𝒚 + 𝟏)𝟐 + 𝟑)𝟐 𝒅𝒚 Solución.Se encuentran los valores de u, du, dv y v para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = (𝒚 + 𝟏) 𝟐 ; 𝒅𝒖 = 𝟐 (𝒚 + 𝟏)𝒅𝒚; 𝒅𝒗 = ∫ ((𝒚 + 𝟏) 𝟐 + 𝟑)𝟐 𝒅𝒚; 𝒗= 𝟏 𝟓 (𝒚 + 𝟏)𝟓 + 𝟐(𝒚 + 𝟏)𝟑 + 𝟗 (𝒚 + 𝟏) 103 Cálculo Integral 1 = (𝑦 + 1) 7 + 2(𝑦 + 1) 5 + 9(𝑦 + 1) 3 5 2 − ∫ (𝑦 + 1) 6 + 4(𝑦 + 1) 4 + 18(𝑦 + 1) 2𝑑𝑢 5 1 2 4 = (𝑦 + 1) 7 + 2(𝑦 + 1) 5 + 9(𝑦 + 1) 3 − (𝑦 + 1) 7 − (𝑦 + 1) 5 5 35 5 − 6(𝑦 + 1) 3 + 𝐶 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝟔 (𝒚 + 𝟏)𝟕 + (𝒚 + 𝟏)𝟓 + 𝟑(𝒚 + 𝟏)𝟑 + 𝑪 𝟕 𝟓 104 Cálculo Integral 3.2EJERCICIOS PROPUESTOS INTEGRACIÓN POR PARTES DE Utilizando la técnica de integración por partes, resuelva las siguientes integrales: 1. − ∫ 𝑙𝑛2 𝜔 𝑑𝜔 2. − ∫ 𝜃 𝐶𝑜𝑠 𝜃 𝑑𝜃 𝑆𝑒𝑛2 𝜃 3. − ∫ 𝛽 𝑆𝑒𝑛 −1 𝛽 𝑑𝛽 4. − ∫ 𝐶𝑜𝑠 2 (ln 𝜌) 𝑑𝜌 5. − ∫ 𝜔 √1 − 𝜔 𝑑𝜔 Respuestas a los ejercicios propuestos 1: 𝜔 ln 𝜔(ln 𝜔 − 2) + 2𝜔 + 𝐶 2: − 𝜃 𝐶𝑠𝑐 𝜃 + ln|𝐶𝑠𝑐 𝜃 − 𝐶𝑜𝑡 𝜃| + 𝐶 2 𝛽2 − 1 𝛽 𝑆𝑒𝑛 −1 𝛽 + √1 − 𝛽2 + 𝐶 4 4 𝜌 2 𝜌 𝑆𝑒𝑛 (2 ln 𝜌) + 𝜌 𝐶𝑜𝑠 (2ln 𝜌) 4: + +𝐶 2 10 3: 5: − 2𝜔√(1 − 𝜔)3 4 √(1 − 𝜔)5 + 𝐶 − 3 15 105 Cálculo Integral 4. SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA Para esta técnica de integración se utiliza las identidades trigonométricas y conceptos fundamentales de trigonometría. Recordemos las funciones trigonométricas a partir de un triángulo rectángulo, según (Larson, R., 2012). hipotenusa cateto opuesto 𝜃 cateto adyacente Seno Cotangente 𝑆𝑒𝑛 𝜃 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 Coseno 𝐶𝑜𝑠 𝜃 = 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 Secante 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 Tangente 𝑇𝑎𝑛 𝜃 = 𝐶𝑜𝑡 𝜃 = 𝑆𝑒𝑐 𝜃 = ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 Cosecante 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐶𝑠𝑐 𝜃 = ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 106 Cálculo Integral También se puede identificar que: Cotangente 𝐶𝑜𝑡 𝜃 = 1 𝑇𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 Secante 𝑆𝑒𝑐 𝜃 = 1 𝐶𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜 Cosecante 𝐶𝑠𝑐 𝜃 = 1 𝑆𝑒𝑛𝑜 Para realizar una integral indefinida por medio de sustituc ió n trigonométrica se tendrá presente que la integral debe tener las siguientes formas de radical: Formas de radical Sustitución √ 𝑎2 − 𝑥 2 𝑥 = 𝑎 𝑆𝑒𝑛 𝑡 Simplificación √𝑎2 − (𝑎 𝑆𝑒𝑛 𝑡)2 = √𝑎2 − 𝑎2 𝑆𝑒𝑛2 𝑡 = √𝑎2 (1 − 𝑆𝑒𝑛2 𝑡) = 𝑎 √𝐶𝑜𝑠 2 𝑡 = 𝑎 𝐶𝑜𝑠 𝑡 √ 𝑎2 + 𝑥 2 𝑥 = 𝑎 𝑇𝑎𝑛 𝑡 √𝑎2 + (𝑎 𝑇𝑎𝑛 𝑡)2 = √𝑎2 + 𝑎2 𝑇𝑎𝑛2 𝑡 = √𝑎2 (1 + 𝑇𝑎𝑛2 𝑡) = 𝑎 √𝑆𝑒𝑐 2 𝑡 = 𝑎 𝑆𝑒𝑐 𝑡 107 Cálculo Integral √ 𝑥 2 − 𝑎2 𝑥 = 𝑎 𝑆𝑒𝑐 𝑡 √(𝑎 𝑆𝑒𝑐 𝑡)2 − 𝑎2 = √𝑎2 𝑆𝑒𝑐 2 𝑡 − 𝑎2 = √𝑎2 ( 𝑆𝑒𝑐 2 𝑡 − 1) = 𝑎 √𝑇𝑎𝑛2 𝑡 = 𝑎 𝑇𝑎𝑛 𝑡 Es decir, el proceso de integración es: - - - Se identifica la forma de radical determinado de esta manera cualquiera de los 3 casos mencionados anteriormente. Se identifica la sustitución y se deriva con respecto a la función integrable. Se identifica la simplificación. Se reemplaza la forma del radical por la simplificación y la función por la sustitución completando el diferencial de la función integrable. Se procede a realizar la integración utilizando integrac ió n directa o cualquier otra técnica de integración (Purcell, E. et al., 2007). 108 Cálculo Integral 4.1 EJERCICIOS DE INTEG RALES CON SUSTITU CIÓN TRIG ONOMÉTRIC A 𝟏. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 𝒙𝟐 √𝒙𝟐 + 𝟏 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del segundo caso de sustitución trigonométrica: 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 = 2 𝑡𝑎𝑛 𝑡 ∙ 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑡𝑎𝑛2 𝑡 1 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑢 = ∫ 𝑢−2 𝑑𝑢 ∫ 2 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 𝑢2 2 𝑐𝑜𝑠 𝑡 ∫ Se aplica el siguiente cambio de variable 𝒖 = 𝒔𝒆𝒏 𝒕 𝒅𝒖 = 𝒄𝒐𝒔𝒕 𝒅𝒕 𝑢−1 1 + 𝑐 = − +𝑐 1 𝑢 1 = − + 𝑐; 𝑠𝑒𝑛 𝑡 = − Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Seno: 𝑠𝑒𝑛 𝑡 = 𝑥 √𝑥 2 + 1 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − ; = − √𝒙𝟐 + 𝟏 𝒙 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒙 = 𝒂 𝒕𝒂𝒏 𝒕 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛 𝑡; tan 𝑡 = 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒙 = 𝒔𝒆𝒄𝒕 1 +𝑐 = 𝑥 √𝑥 2 + 1 +𝒄 √𝑥 2 + 1 X 1 109 Cálculo Integral 𝟐. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟖 𝒅𝒘 𝒘𝟐 √𝟒 − 𝒘𝟐 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del primer caso de sustitución trigonométrica: 8∫ 2 𝑐𝑜𝑠 𝑡 8 𝑑𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 2 4 𝑠𝑖𝑛 𝑡 ∙ 2 𝑐𝑜𝑠 𝑡 4 𝑠𝑖𝑛 2 𝑡 8 = ∫ 𝑐𝑠𝑐 2 𝑡 𝑑𝑡 − 2 𝑐𝑜𝑡 𝑡 + 𝑐 ; 4 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Cotangente: 𝑐𝑜𝑡 𝑡 = √4 − 𝑤 2 𝑤 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝟐 ∙ √𝟒 − 𝒘𝟐 𝒘 +𝒄 2 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑤 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑤 𝑤 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑡; 𝑆𝑒𝑛 𝑡 = 2 𝑑𝑤 = 2 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒘 = 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝒕 𝟑. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ W √4 − 𝑤 2 √𝟗 − 𝒘𝟐 𝒅𝒘 𝒘𝟐 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del primer caso de sustitución trigonométrica: 3 𝑐𝑜𝑠 𝑡 ∙ 3 𝑐𝑜𝑠 𝑡 9 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 ∫ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 (3 𝑠𝑖𝑛 𝑡 )2 9 𝑠𝑖𝑛2 𝑡 = ∫ 𝑐𝑜𝑡 2 𝑡 𝑑𝑡 = − 𝑐𝑜𝑡 𝑡 − 𝑡 + 𝑐 ; Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Cotangente y el valor de t: 𝑐𝑜𝑡 𝑡 = √9 − 𝑤 2 ; 𝑤 𝑡 = 𝑠𝑖𝑛−1 𝑤 3 110 Cálculo Integral 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − √𝟗 − 𝒘𝟐 𝒘 − 𝒔𝒊𝒏−𝟏 𝒘 +𝒄 𝟑 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑤 = 3 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑤 = 3 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑤 = 3 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝟒. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 3 W √9 − 𝑤 2 𝟒𝒙𝟐 (𝟏 − 𝒙 𝟐 ) 𝟑⁄ 𝒅𝒙 𝟐 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del primer caso de sustitución trigonométrica: 𝑠𝑖𝑛2 𝑡 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑠𝑖𝑛2 𝑡 4∫ 𝑑𝑡 = 4 ∫ 𝑑𝑡 𝑐𝑜𝑠 3 𝑡 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 = 4 ∫ 𝑡𝑎𝑛2 𝑡 𝑑𝑡 = 4 (𝑡𝑎𝑛 𝑡 − 𝑡) + 𝑐; Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Tangente y el valor de t: 𝑥 ; 𝑡 = 𝑠𝑖𝑛 −1 𝑥 √1 − 𝑥 2 𝟒𝒙 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝟒 𝒔𝒊𝒏−𝟏 𝒙 + 𝒄 𝟐 𝑡𝑎𝑛𝑡 = √𝟏−𝒙 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏 𝒕 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝒕 1 X √1 − 𝑥 2 111 Cálculo Integral 𝟓. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 (𝟒 − 𝒙𝟐 ) 𝟑⁄ 𝟐 = Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del primer caso de sustitución trigonométrica: 2 𝑐𝑜𝑠 𝑡 1 𝑑𝑡 1 𝑑𝑡 = ∫ = ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑑𝑡 3 2 8𝑐𝑜𝑠 𝑡 4 𝑐𝑜𝑠 𝑡 4 1 = 𝑡𝑎𝑛 𝑡 + 𝑐 ; 4 ∫ Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Tangente: 𝑡𝑎𝑛 𝑡 = 𝑥 = √4 − 𝑥 2 𝟏 𝒙 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: ∙ +𝒄 𝟒 √𝟒 − 𝒙𝟐 2 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒙 = 𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝒕 𝑑𝑥 = 2 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 2 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝟔. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ X √4 − 𝑥 2 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟐 Solución.Se descompone el denominador de la siguiente manera: 2𝑥 + 1 2𝑥 + 1 =∫ 2 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 (𝑥 + 2𝑥 + 1) + (2 − 1) (𝑥 + 1)2 + 1 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒙 + 𝟏; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; 𝒙 = 𝒖 − 𝟏 =∫ 2(𝑢 − 1) + 1 2𝑢 − 1 𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑢 = ∫ 2 𝑑𝑢 = 2 ∫ 2 𝑑𝑢 − ∫ 2 2 𝑢 +1 𝑢 +1 𝑢 +1 𝑢 +1 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒗 = 𝒖𝟐 + 𝟏 𝒅𝒗 = 𝟐𝒖 𝒅𝒖 𝑑𝑣 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 −∫ 𝑑𝑡 = 𝑙𝑛𝑣 − ∫ 𝑑𝑡 = 𝑣 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 = 𝑙𝑛((𝑥 + 1) 2 + 1) − 𝑡 + 𝑐 =∫ Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función t: 112 Cálculo Integral = 𝑙𝑛(𝑥 2 + 2𝑥 + 1 + 1) − 𝑡𝑎𝑛−1 (𝑥 + 1) + 𝑐 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒍𝒏(𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟐) − 𝒕𝒂𝒏−𝟏(𝒙 + 𝟏 ) + 𝒄 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 𝑎 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑢 = 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑢 = 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝟕. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝑢2 + 1 u 1 𝒙𝟐 𝟐𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙 − 𝟔𝒙 + 𝟏𝟖 Solución.Se descompone el denominador de la siguiente manera: =∫ (𝑥 2 2𝑥 − 1 2𝑥 − 1 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥; (𝑥 − 3)2 + 9 − 6𝑥 + 9) + (18 − 9) Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒙 − 𝟑; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 ; 𝒙 = 𝒖 + 𝟑 =∫ 2𝑢 + 5 2𝑥 − 1 2 (𝑢 + 3) − 1 𝑑𝑢 ∫ ∫ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑢 = 𝑢2 + 9 𝑢2 + 9 𝑢2 + 9 = 2∫ 𝑢 𝑢2 𝑑𝑢 + 5 ∫ 𝑑𝑢 𝑢2 +9 +9 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒗 = 𝒖𝟐 + 𝟗 𝒅𝒗 = 𝟐𝒖 𝒅𝒖 𝑑𝑣 3 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 3 𝑠𝑒𝑐 2 𝑢 ∫ +5∫ 𝑑𝑡 = 𝑙𝑛𝑣 + 5 𝑑𝑢 𝑣 9 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 9 𝑠𝑒𝑐 2 𝑢 5 5 5 𝑢 = 2 𝑙𝑛𝑣 + ∫ 𝑑𝑢 = 2 𝑙𝑛𝑣 + 𝑡 = 2 𝑙𝑛𝑣 + 𝑡𝑎𝑛−1 + 𝑐 3 3 3 3 ( ) 5 𝑥 − 3 = 2 𝑙𝑛(𝑢2 + 9) + 𝑡𝑎𝑛 −1 +𝑐 3 3 ( 𝒙−𝟑 ) 𝟓 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒍𝒏((𝒙 − 𝟑)𝟐 + 𝟗) + 𝒕𝒂𝒏−𝟏 +𝒄 = 2∫ 𝟑 𝟑 113 Cálculo Integral 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 𝑎 𝑡𝑎𝑛 𝑡; 𝑢 = 3 𝑡𝑎𝑛𝑡 𝑡; 𝑡 = 𝑡𝑎𝑛−1 𝑑𝑢 = 3 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑢 = 3 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑢 3 𝑢2 + 9 u 3 𝟖. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙𝟐 𝒙 𝒅𝒙 +𝟗 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del segundo caso de sustitución trigonométrica: =∫ 3 𝑡𝑎𝑛 𝑡 ∙ 3 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑙𝑛|𝑐𝑜𝑠 𝑡| + 𝑐; 9 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Coseno: 𝑐𝑜𝑠 𝑡 = 3 𝑥2 + 9 ; 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒍𝒏 | 𝟑 𝒙𝟐 +𝟗 |+ 𝒄 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 3 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑥 = 3 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 3 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝟗. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ x2 + 9 X 3 𝒙𝟑 √𝟗 + 𝒙𝟐 𝒅𝒙 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del segundo caso de sustitución trigonométrica: = ∫ (3 𝑡𝑎𝑛 𝑡) 3 ∙ (3𝑠𝑒𝑐 2 𝑡) 27 𝑡𝑎𝑛3 𝑡 ∙ 3 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 3 𝑠𝑒𝑐 𝑡 3 𝑠𝑒𝑐 𝑡 Se utiliza la identidad trigonométrica 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 − 1 = 𝑡𝑎𝑛 2 𝑡: = 27 ∫ 𝑡𝑎𝑛 2 𝑡 ∙ 𝑡𝑎𝑛 𝑡 ∙ 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡 = 27 ∫( 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 − 1) ∙ 𝑡𝑎𝑛 𝑡 ∙ 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡 114 Cálculo Integral = 27 ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 ∙ 𝑡𝑎𝑛 𝑡 ∙ 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡 − ∫ 𝑡𝑎𝑛 𝑡 ∙ 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒔𝒆𝒄 𝒕; 𝒅𝒖 = 𝒔𝒆𝒄 𝒕 ∙ 𝒕𝒂𝒏 𝒕 𝒅𝒕; = 27 ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 − 𝑠𝑒𝑐 𝑡 = 27 3 𝑢 − 𝑠𝑒𝑐 𝑡 + 𝑐 = 9 𝑠𝑒𝑐 3 𝑡 − 𝑠𝑒𝑐 𝑡 + 𝑐 3 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Secante: 3 √9 + 𝑥 2 √9 + 𝑥 2 ) )− = 9 (( +𝑐 3 3 𝟏 √𝟗+𝒙𝟐 𝟑 𝟑 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: (𝟗 + 𝒙𝟐 )√𝟗 + 𝒙𝟐 − +𝒄 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 3 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑥 = 3 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 3 𝑠𝑒𝑐 𝑡 √𝟗 + 𝐱 𝟐 X 3 𝟏𝟎. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ √𝟒 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 𝒙 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del primer caso de sustitución trigonométrica: =∫ 2 𝑐𝑜𝑠 𝑡 ∙ 2 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 𝑑𝑡 = 2 ∫ 𝑑𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑠𝑖𝑛 𝑡 Se aplica la identidad trigonométrica pitagórica: = 2∫ (1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑡) 1 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 𝑑𝑡 = 2 (∫ 𝑑𝑡 − ∫ 𝑑𝑡) = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 = 2 (∫ 𝑐𝑠𝑐 𝑡 𝑑𝑡 − ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑡) = 2 𝑙𝑛(𝑐𝑠𝑐 𝑡 − 𝑐𝑜𝑡 𝑡) + 2 𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 𝑐 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Cosecante, Cotangente y Coseno: 𝒄𝒔𝒄 𝒕 = 𝟐 𝒙 ; 𝒄𝒐𝒕 𝒕 = √𝟒 − 𝒙 𝟐 𝒙 2 = 2 𝑙𝑛 ( − 𝑥 ; 𝒄𝒐𝒔 𝒕 = √4 − 𝑥 2 𝑥 √𝟒 − 𝒙 𝟐 )+ 𝟐 2√4 − 𝑥 2 +𝑐 = 2 115 Cálculo Integral 𝟐 𝒙 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟐 𝒍𝒏 ( − √𝟒 − 𝒙𝟐 𝒙 ) + √𝟒 − 𝒙𝟐 + 𝒄 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑥 = 2 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 2 𝑐𝑜𝑠 𝑡 2 X √4 − 𝑥 2 𝟏𝟏. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒍𝒏𝟑𝒘 𝒘 √𝒍𝒏𝟐𝒘 − 𝟒 𝒅𝒘 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del tercer caso de sustitución trigonométrica: (2 𝑠𝑒𝑐 𝑡) 3 ∙ 2 𝑠𝑒𝑐 𝑡 ∙ 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑡 = 2 𝑡𝑎𝑛 𝑡 = ∫ 8 𝑠𝑒𝑐 4 𝑡 𝑑𝑡 = 8 ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 ∙ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑑𝑡 = =∫ = 8 ∫(1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑡)𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑑𝑡 = 8 (∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑑𝑡 + ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 ∙ 𝑡𝑎𝑛2 𝑡 𝑑𝑡) Se aplica el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒕𝒂𝒏 𝒕; 𝒅𝒖 = 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒕 𝒅𝒕 = 8 𝑡𝑎𝑛 𝑡 + 8 ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 = 8 𝑡𝑎𝑛 𝑡 + 8 𝑢3 +𝑐 3 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Tangente: 3 8 𝑡𝑎𝑛3 𝑡 8√𝑙𝑛2 𝑤 − 4 8 √𝑙𝑛2 𝑤 − 4 ) +𝑐 = 8 𝑡𝑎𝑛 𝑡 + +𝑐= + ( 3 2 3 2 𝟐 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟒√𝒍𝒏 𝒘 − 𝟒 + 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 ln 𝑤 = 2 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑤 𝑤 𝟏 𝟐 𝟐 (𝒍𝒏 𝒘 − 𝟒) √𝒍𝒏 𝒘 − 𝟒 + 𝑪 𝟑 ln 𝑤 √𝑙𝑛 2 𝑤 − 4 = 2 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 ln 𝑤 = 2 𝑡𝑎𝑛 𝑡 2 116 Cálculo Integral 𝟏𝟐. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒆−𝒙 (𝟗𝒆−𝟐𝒙 + 𝟏) 𝟑⁄ 𝒅𝒙 𝟐 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del segundo caso de sustitución trigonométrica: 𝑡𝑎𝑛 𝑡 ∙ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 3 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑡 ∫ = ∫ 𝑐𝑜𝑠 1 𝑑𝑡 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑡 = − 𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 𝑐 𝑐𝑜𝑠 𝑡 =∫ Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Coseno: 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝟏 √𝟗𝒆−𝟐𝒙 + 𝟏 +𝒄 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒆−𝒙 = 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑒 −𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑒 −𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝟏𝟑. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ √𝟗𝒆−𝟐𝒙 + 𝟏 3𝑒 −𝑥 1 𝒅𝒙 𝒙√𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del primer caso de sustitución trigonométrica: ∫ = 5 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 5 𝑠𝑒𝑛 𝑡 ∙ 5 𝑐𝑜𝑠 𝑡 5 𝑠𝑒𝑛 𝑡 1 𝑑𝑡 1 1 ∫ = ∫ 𝑐𝑠𝑐 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑙𝑛(𝑐𝑠𝑐𝑡 − 𝑐𝑜𝑡 𝑡) + 𝑐 5 𝑠𝑒𝑛 𝑡 5 5 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Cosecante y Cotangente: 𝟓 √𝟐𝟓 − 𝒙 𝟐 1 5 √25 − 𝑥2 )+ 𝑐 = 𝒄𝒔𝒄 𝒕 = ; 𝒄𝒐𝒕 𝒕 = = 𝑙𝑛 ( − 𝒙 𝒙 5 𝑥 𝑥 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝟓 − √𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 )+ 𝒄 𝒍𝒏 ( 𝟓 𝒙 117 Cálculo Integral 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 5 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑥 = 5 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 5 cos 𝑡 5 X √25 − 𝑥 2 𝟏𝟒. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ √𝟏 − 𝒖𝟐 𝒅𝒖 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del primer caso de sustitución trigonométrica: = ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑡 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 𝑑𝑡 = Se aplica la identidad trigonométrica del ángulo medio =∫ 1+𝑐𝑜𝑠 2𝑡 2 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡: 1 + 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 1 1 1 𝑑𝑡 = ∫ 1 + 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 + ∫ 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 𝑑𝑡 2 2 2 2 Se aplica el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝟐𝒕 ; 𝒅𝒖 = 𝟐 𝒅𝒕 1 1 1 1 1 = 𝑡 + ∙ 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 + 𝑐 = 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 + 𝑐 = 2 2 2 2 4 1 2 −1 = 𝑠𝑖𝑛 𝑢 + 𝑠𝑒𝑛 𝑡 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 𝑐 = 2 4 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Seno, Coseno y t: 1 1 2 2 𝟏 = 𝑠𝑖𝑛−1 𝑢 + (𝑢 ∙ √1 − 𝑢2 ) + 𝑐= −𝟏 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: ( 𝒔𝒊𝒏 𝟐 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑢 = 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑢 = 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝒖 + 𝒖√𝟏 − 𝒖𝟐 ) + 𝒄 1 u √1 − 𝑢 2 118 Cálculo Integral 𝟏𝟓. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟐 𝒕√𝒕𝟒 + 𝟐𝟓 𝒅𝒕 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del segundo caso de sustitución trigonométrica: 5 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑑𝑡 = 5 𝑡𝑎𝑛 𝑡 ∙ 5 𝑠𝑒𝑐 𝑡 ∙ 2 1 2 𝑠𝑒𝑐 𝑡 1 𝑐𝑜𝑠 𝑡 1 1 1 ∫ = 𝑑𝑡 = ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑐𝑠𝑐 𝑡 𝑑𝑡 5 ∙ 2 𝑡𝑎𝑛 𝑡 5 5 𝑠𝑒𝑛 𝑡 5 𝑐𝑜𝑠 𝑡 = 2∫ Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Cosecante y Cotangente: 1 1 √𝒕𝟒 + 𝟐𝟓 5 = 𝑙𝑛(𝑐𝑠𝑐 𝑡 − 𝑐𝑜𝑡 𝑡) + 𝑐 = 𝑙𝑛 ( − 2) + 𝑐 5 5 𝑡2 𝑡 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒍𝒏 ( √𝒕 𝟒+𝟐𝟓−𝟓 𝒕𝟐 ) 𝟏⁄ 𝟓 √𝑡 4 + 25 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑡 2 = 5 𝑡𝑎𝑛 𝑡 2 𝑡 𝑑𝑡 = 5 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑡 2 = 5 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝟏𝟔. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝑡2 5 𝒅𝒙 𝒙𝟒√𝒙𝟐 + 𝟑 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del segundo caso de sustitución trigonométrica: ∫ √3 ∙ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 4 (√3) ∙ 𝑡𝑎𝑛4 𝑡 ∙ √3 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡 = 1 1 𝑠𝑒𝑐 𝑡 1 𝑐𝑜𝑠𝑡 ∫ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 9 𝑡𝑎𝑛 4 𝑡 9 𝑠𝑒𝑛4 𝑡 √32 ∙ 32 𝑡𝑎𝑛4 𝑡 𝑐𝑜𝑠 4 𝑡 3 2 1 𝑐𝑜𝑠 𝑡 1 𝑐𝑜𝑠 𝑡 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 4 9 𝑠𝑒𝑛 𝑡 9 𝑠𝑒𝑛4 𝑡 𝑠𝑒𝑐 𝑡 Se aplica la identidad trigonométrica pitagórica: 119 Cálculo Integral 1 (1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑡) ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑡 1 𝑐𝑜𝑠 𝑡 1 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑡 ∫ ∫ = ∫ 𝑑𝑡 = 𝑑𝑡 − 𝑑𝑡 9 𝑠𝑒𝑛4 𝑡 9 𝑠𝑒𝑛4 𝑡 9 𝑠𝑒𝑛 4 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 1 𝑐𝑜𝑠 𝑡 ∫ 𝑑𝑡 − ∫ 𝑑𝑡 9 𝑠𝑒𝑛 4 𝑡 9 𝑠𝑒𝑛 2 𝑡 Se aplica el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒔𝒆𝒏 𝒕 𝒅𝒖 = 𝒄𝒐𝒔 𝒕 𝒅𝒕 = 1 1 𝑑𝑢 1 𝑑𝑢 1 1 = ∫ 4 − ∫ 2 = ∫ 𝑢−4 𝑑𝑢 − ∫ 𝑢−2 𝑑𝑢 9 𝑢 9 𝑢 9 9 1 𝑢−3 1 𝑢−1 1 1 = ∙ − ∙ +𝑐 = − + +𝑐 3 9 −3 9 −1 27𝑠𝑒𝑛 𝑡 9 𝑠𝑒𝑛 𝑡 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Seno: 1 1 +𝑐 3+ 𝑥 𝑥 ) 9( 2 ) 27 ( 2 √𝑥 + 9 √𝑥 + 3 1 1 =− + 9𝑥 +𝑐 3 27 𝑥 𝑥 2 + 3√𝑥 2 + 3 √𝑥 2 + 9 =− 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒙𝟐 + 𝟑√𝒙𝟐 + 𝟑 √𝒙𝟐 + 𝟗 + +𝒄 𝟐𝟕𝒙𝟑 𝟗𝒙 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = √3 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑥 = √3 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = √3 𝑠𝑒𝑐 𝑡 √𝑥 2 + 3 X √3 𝟏𝟕. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙𝟐 √𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del primer caso de sustitución trigonométrica: = ∫ 25 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 ∙ 5 𝑐𝑜𝑠 𝑡 ∙ 5 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 Se utiliza la identidad trigonométrica pitagórica = 625 ∫ 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 ∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 𝑑𝑡 = 625 ∫(1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡)𝑐𝑜𝑠2 𝑡 𝑑𝑡 = 625 ∫ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 𝑑𝑡 − 625 ∫ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 ∙ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 𝑑𝑡 1+𝑐𝑜𝑠2𝑡 2 = 625 ∫ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 𝑑𝑡 − 625 ∫ ( 2 ) 𝑑𝑡 120 Cálculo Integral 1+𝑐𝑜𝑠 2𝑡 625 = 625 ∫ 𝑑𝑡 − ∫(1 + 2 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 + 𝑐𝑜𝑠 2 2𝑡) 𝑑𝑡 2 4 1 1 = 625 ( ∫ 𝑑𝑡 + ∫ 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 𝑑𝑡 2 2 1 2 1 − ∫ 𝑑𝑡 − ∫ 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 𝑑𝑡 − ∫ 𝑐𝑜𝑠 2 2𝑡 𝑑𝑡) 4 4 4 1 1 1 1 1 1 1 + 𝑐𝑜𝑠 4𝑡 = 625 ( 𝑡 + ∙ 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 − 𝑡 − 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 − ∫ 𝑑𝑡) 2 2 2 4 4 4 2 1 1 1 1 1 1 = 625 ( 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 − 𝑡 − 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 − ∫ 𝑑𝑡 − ∫ 𝑐𝑜𝑠 4𝑡 𝑑𝑡) 2 4 4 4 8 8 1 1 1 1 1 1 = 625 ( 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 − 𝑡 − 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 − 𝑡 − 𝑠𝑒𝑛 4𝑡) + 𝑐 2 4 4 4 8 32 1 2 1 = 625 ( 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 − 𝑡 2 4 4 1 1 1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 − 𝑡 − 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 𝑠𝑒𝑛 2𝑡) + 𝑐 2 8 32 1 1 1 = 625 ( 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 − 𝑡 2 2 4 1 1 1 − 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 − 𝑡 − 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡) 2 8 8 +𝑐 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Seno, Coseno y t: 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟔𝟐𝟓 𝒙 𝟔𝟐𝟓 𝒙 √𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 ( ) 𝒔𝒆𝒏−𝟏 + 𝟐 𝟓 𝟐 𝟓 𝟓 − 𝟔𝟐𝟓 𝒙 𝟔𝟐𝟓 𝒙 √𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 ( ) 𝒔𝒆𝒏−𝟏 − 𝟐 𝟓 𝟐 𝟓 𝟓 − 𝟔𝟐𝟓 𝒙 𝟏 𝒙𝟐 (𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 ) )+𝒄 𝒔𝒆𝒏 −𝟏 − ( 𝟖 𝟓 𝟖 𝟐𝟓 𝟐𝟓 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 5 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑥 = 5 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 5 𝑐𝑜𝑠 𝑡 5 X √25 − 𝑥 2 121 Cálculo Integral 𝟏𝟖. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒘 (𝒘𝟐 − 𝟒) 𝟑⁄ 𝟐 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del tercer caso de sustitución trigonométrica: 1 2 𝑠𝑒𝑐 𝑡 ∙ 𝑡𝑎𝑛 𝑡 1 𝑠𝑒𝑐 𝑡 1 =∫ 𝑑𝑡 = = ∫ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑡 𝑑𝑡 = 3 2 8 𝑡𝑎𝑛 𝑡 4 𝑡𝑎𝑛 𝑡 4 𝑠𝑖𝑛 𝑡 𝑐𝑜𝑠2𝑡 1 𝑐𝑜𝑠 𝑡 1 1 1 ∫ ∙ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑐𝑜𝑡 𝑡 ∙ 𝑐𝑠𝑐 𝑡 𝑑𝑡 = − 𝑐𝑠𝑐 𝑡 + 𝑐 4 𝑠𝑖𝑛 𝑡 𝑠𝑖𝑛 𝑡 4 4 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Cosecante: 1 2 =− ∙ +𝑐 = 4 (𝑤 2 − 4)3⁄2 𝟏 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝟑 +𝒄 𝟐(𝒘𝟐 − 𝟒) ⁄𝟐 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑤 = 2 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑤 = 2 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑤 = 2 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝟏𝟗. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒆𝒕 (𝒆𝟐𝒕 + 𝟖 𝒆𝒕 + 𝟕) 𝟑⁄ 𝟐 𝒅𝒕 Solución.Se aplica el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒆𝒕 𝒅𝒖 = 𝒆𝒕 𝒅𝒕 =∫ 𝑑𝑢 (𝑢2 + 8𝑢 3 + 7) ⁄2 =∫ (𝑢2 + 𝑑𝑢 = 8𝑢 + 16) + (7 − 16) 𝑑𝑢 (𝑢 + 4) 2 − 9 Se aplica el siguiente cambio de variable: 𝒗 = 𝒖 + 𝟒 𝒅𝒗 = 𝒅𝒖 =∫ = 𝑑𝑣 (𝑣 2 − 9) 3⁄ 2 = 122 Cálculo Integral Se aplica la sustitución y simplificación del tercer caso de sustitución trigonométrica: 3 𝑠𝑒𝑐 𝑡 ∙ 𝑡𝑎𝑛 𝑡 1 𝑠𝑒𝑐 𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 = 27 𝑡𝑎𝑛3 𝑡 9 𝑡𝑎𝑛2 𝑡 1 1 𝑐𝑜𝑠𝑡 1 𝑐𝑜𝑠𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 2 9 𝑠𝑒𝑛 𝑡 9 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 ∫ Se aplica el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒔𝒆𝒏𝒕 𝒅𝒖 = 𝒄𝒐𝒔 𝒕 𝒅𝒕 1 𝑑𝑢 1 1 𝑢−1 1 = ∫ 2 = ∫ 𝑢−2 𝑑𝑢 = +𝑐 = − +𝑐 = 9 𝑢 9 9 −1 9 𝑠𝑒𝑛 𝑡 1 = − 𝑐𝑠𝑐 𝑡 + 𝑐 = 9 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Cosecante: 1 3 =− ∙ +𝑐 9 ((𝑢 + 4) 2 − 9) 3⁄2 1 3 =− ∙ +𝑐 = 9 (𝑒 2𝑡 + 8𝑒 𝑡 + 16 − 9) 3⁄2 𝟏 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝟑 +𝒄 𝟑 ( 𝒆𝟐𝒕 + 𝟖𝒆𝒕 + 𝟕) ⁄𝟐 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑣 = 3 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑣 = 3 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑡𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑣 = 3 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝟐𝟎. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 3 (𝑣 2 − 9) 3⁄ 2 𝑣 √𝟏𝟔 − 𝒆𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝒆𝒙 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del primer caso de sustitución trigonométrica: =∫ 4 𝑐𝑜𝑠 𝑡 ∙ 4 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 𝑑𝑡 = 4 ∫ 𝑑𝑡 4 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 Se utiliza la identidad trigonométrica pitagórica: 123 Cálculo Integral = 4∫ 1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 1 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 𝑑𝑡 = 4 ∫ 𝑑𝑡 − 4 ∫ 𝑑𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑠𝑖𝑛 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 = 4 ∫ 𝑐𝑠𝑐 𝑡 𝑑𝑡 − 4 ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑡 = 4 𝑙𝑛(𝑐𝑠𝑐 𝑡 − 𝑐𝑜𝑡 𝑡) + 4 𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 𝑐 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Cosecante, Cotangente y Coseno: 𝟒 √𝟏𝟔−𝒆𝟐𝒙 𝒙 𝒙 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟒𝒍𝒏 ( − )−𝟒 √𝟏𝟔−𝒆𝟐𝒙 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑒 𝑥 = 4 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑥 = 4 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑒 𝑥 = 4 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝟒 +𝒄 4 X √16 − 𝑒 2𝑥 𝟐𝟏. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙𝟐 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒅𝒙 + 𝟐𝒙 + 𝟐 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del segundo caso de sustitución trigonométrica: 2𝑥 + 1 2𝑥 + 1 =∫ 2 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 (𝑥 + 2𝑥 + 1) + (2 − 1) (𝑥 + 1)2 + 1 Se utiliza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒙 + 𝟏 ; 𝒙 = 𝒖 − 𝟏; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 =∫ 2(𝑢 − 1) + 1 2𝑢 − 1 𝑑𝑢 = ∫ 2 𝑑𝑢 = 2 𝑢 +1 𝑢 +1 = 2∫ 𝑢 𝑑𝑢 − ∫ 𝑑𝑢 = +1 +1 Se utiliza el siguiente cambio de variable: 𝒗 = 𝒖𝟐 + 𝟏 𝒅𝒗 = 𝟐𝒖 𝒅𝒖 =∫ 𝑢2 𝑢2 𝑑𝑣 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 −∫ 𝑑𝑡 = 𝑙𝑛 𝑣 − ∫ 𝑑𝑡 = 𝑙𝑛(𝑢2 + 1) − 𝑡 + 𝑐 𝑣 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función t: = 𝑙𝑛((𝑥 + 1) 2 + 1) − 𝑡𝑎𝑛 −1 𝑢 + 𝑐 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒍𝒏 (𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟐) − 𝒕𝒂𝒏−𝟏(𝒙 + 𝟏) + 𝒄 124 Cálculo Integral 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑢 = 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑢 = 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑢2 + 1 u 1 𝟐𝟐. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙𝟐 𝟐𝒙 − 𝟏 𝒅𝒙 − 𝟔𝒙 + 𝟏𝟖 Solución.Se descompone el denominador de la siguiente manera: 2𝑥 − 1 2𝑥 − 1 =∫ 2 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 (𝑥 − 6𝑥 + 9) + (18 − 9) (𝑥 − 3)2 + 9 Se utiliza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒙 − 𝟑; 𝒙 = 𝒖 + 𝟑; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 =∫ 2(𝑢 + 3) − 1 2𝑢 + 5 2𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑢 = ∫ 2 𝑑𝑢 = ∫ 2 𝑑𝑢 + 5 ∫ 2 2 𝑢 +9 𝑢 +9 𝑢 +9 𝑢 +9 Se utiliza el siguiente cambio de variable: 𝒗 = 𝒖𝟐 + 𝟗; 𝒅𝒗 = 𝟐𝒖 𝒅𝒖 Se aplica la sustitución y simplificación del segundo caso de sustitución trigonométrica: =∫ 𝑑𝑣 3 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 5 5 + 5∫ 𝑑𝑡 = 𝑙𝑛𝑣 + ∫ 𝑑𝑡 = ln(𝑢2 + 9) + 𝑡 + 𝑐 2 𝑣 9 𝑠𝑒𝑐 𝑡 3 3 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función t: 5 𝑢 = 𝑙𝑛((𝑥 − 3) 2 + 9) + 𝑡𝑎𝑛 −1 + 𝑐 3 3 ( 𝒙−𝟑 ) 𝟓 𝟐 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒍𝒏 (𝒙 − 𝟔𝒙 + 𝟏𝟖 ) + 𝒕𝒂𝒏−𝟏 +𝒄 𝟑 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑢 = 3 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑢 = 3 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑢 = 3 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝟑 𝑢2 + 9 u 3 125 Cálculo Integral 𝟐𝟑. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙𝟐 𝒙 𝒅𝒙 +𝟗 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del segundo caso de sustitución trigonométrica: 3 𝑡𝑎𝑛 𝑡 ∙ 3 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 3 𝑡𝑎𝑛 𝑡 ∙ 3 𝑠𝑒𝑐2 𝑡 ∫ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑡 = (3 𝑠𝑒𝑐 𝑡)2 9 𝑠𝑒𝑐2 𝑡 −𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑡 ) + 𝑐 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Coseno: = − 𝑙𝑛 ( 3 ) +𝑐 √𝑥 2 + 9 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝒍𝒏 𝟑 + 𝒍𝒏 (√𝒙𝟐 + 𝟗) + 𝒄 √𝑥 2 + 9 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 3 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑥 = 3 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑑𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 = √𝑥 2 +9 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 3 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝟐𝟒. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ x 3 3 𝒅𝒚 √𝟗 + 𝒚𝟐 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del segundo caso de sustitución trigonométrica: 𝟑 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒕 𝒅𝒕 = ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐 𝑡 + 𝑡𝑎𝑛 𝑡| + 𝐶 = 𝟑 𝒔𝒆𝒄 𝒕 √9 + 𝑥 2 𝑦 = 𝑙𝑛 | + |+𝐶 3 3 =∫ Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Secante y Tangente: = 𝑙𝑛 | √9 + 𝑥 2 + 𝑦 | + 𝐶 = 𝑙𝑛 |𝑦 + √9 + 𝑥 2 | − 𝐼𝑛|3| + 𝐶 3 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂:𝒍 𝒏 |𝒚 + √𝟗 + 𝒚𝟐 | + 𝒌 126 Cálculo Integral 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑦 = 3 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑦 = 3 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 3 sec 𝑡 𝟐𝟓. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟑𝒅𝒚 √𝟏 + 𝟗𝒚𝟐 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del segundo caso de sustitución trigonométrica: 3 1⁄3 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 ∫ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐 𝑡 + 𝑡𝑎𝑛 𝑡 | + 𝐶 = 𝑠𝑒𝑐 𝑡 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Secante y Tangente: 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒍𝒏 |√𝟏 + 𝟗𝒚 𝟐 + 𝟑𝒚 | + 𝑪 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 1 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛 𝑡 3 1 𝑑𝑦 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑑𝑡 3 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 1 1 2 1 √1 + 9𝑦 2 = √9 ( ) + 𝑦 2 = 3√( ) + 𝑦 2 = 3 ( sec 𝑡) = sec 𝑡 9 3 3 𝟐𝟔. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 √𝟗 − 𝒙𝟐 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del primer caso de sustitución trigonométrica: =∫ 3 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 = 𝑡 + 𝐶 3 𝑐𝑜𝑠 𝑡 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función t: 𝑥 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑡 = ; 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛−1 3 3 127 Cálculo Integral 𝒙 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒔𝒆𝒏−𝟏 ( ) + 𝑪 𝟑 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 3 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑥 = 3 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 3 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝟐𝟕. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟐𝒅𝒙 √𝟏 − 𝟒𝒙𝟐 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del primer caso de sustitución trigonométrica: ∫ 1 2 (2 𝑐𝑜𝑠 𝑡) 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 = 𝑡 + 𝐶 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función t: 𝑠𝑒𝑛 𝑡 = 2𝑥; 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛−1 2𝑥 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒔𝒆𝒏−𝟏 (𝟐𝒙) + 𝑪 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 1 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 2 1 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑡 2 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 1 1 1 √4 ( − 𝑥 2 ) = 2√ − 𝑥 2 = 2 ( cos 𝑡 ) ; 𝑥 = cos 𝑡 4 4 2 𝟐𝟖. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ √𝟐𝟓 − 𝒕𝟐 𝒅𝒕 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del primer caso de sustitución trigonométrica: ∫ 5 𝑐𝑜𝑠 𝑡 5 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 25𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 𝑑𝑡 Se utiliza la identidad trigonométrica del ángulo medio: 128 Cálculo Integral 1 + 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 25 ∫(1 + 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 )𝑑𝑡 𝑑𝑡 = 2 2 25 25 1 (∫ 𝑑𝑡 + ∫ 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 𝑑𝑡) = (𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 𝑢) + 𝐶 = 2 2 2 25 1 25 25 (𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 2𝑡) + 𝐶 = = 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 + 𝐶 2 2 2 4 25 25 = 𝑡 + 2𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 𝐶 2 4 = 25 ∫ Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Seno, Coseno y t: 𝒕 𝒕 √𝟐𝟓 − 𝒕𝟐 ; 𝒕 = 𝒔𝒆𝒏−𝟏 ; 𝒄𝒐𝒔 𝒕 = 𝟓 𝟓 𝟓 2 25 𝑡 25 𝑡 √25 − 𝑡 )+𝐶 = 𝑠𝑒𝑛−1 ( ) + ( . . 2 5 2 5 5 𝒔𝒆𝒏 𝒕 = 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟐𝟓 𝟐 𝒕 𝒔𝒆𝒏−𝟏 (𝟓) + 𝒕 √𝟐𝟓−𝒕 𝟐 𝟐 +𝑪 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑡 = 5 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑡 = 5 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 5 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝟐𝟗. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ √𝟏 − 𝟗𝒕𝟐 𝒅𝒕 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del primer caso de sustitución trigonométrica: 1 1 1 1 + 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑡 . 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 = 3 3 3 2 1 1 1 1 = . (∫ 𝑑𝑡 + ∫ 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 𝑑𝑡) = (𝑡 + ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑢 𝑑𝑢) = 3 2 6 2 1 1 1 1 (𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 𝑢) + 𝐶 = (𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 2𝑡) + 𝐶 6 2 6 2 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Seno, Coseno y t: 𝒔𝒆𝒏 𝒕 = 𝒕 √𝟏 − 𝟗𝒕𝟐 ; 𝒕 = 𝒔𝒆𝒏 −𝟏 ; 𝒄𝒐𝒔 𝒕 = 𝟑 𝟑 𝟑 𝒕 129 Cálculo Integral 1 1 1 1 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 + 𝐶 = 𝑡 + 2𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 𝐶 6 12 6 12 1 𝑡 1 𝑡 √1 − 9𝑡 2 )+𝐶 = 𝑠𝑒𝑛−1 ( ) + ( . . 6 3 6 3 3 = 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝒕 𝟏 √ 𝒔𝒆𝒏−𝟏 ( ) + 𝒕 𝟏 − 𝟗𝒕𝟐 + 𝑪 𝟔 𝟑 𝟓𝟒 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 1 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 3 1 𝑑𝑡 = 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 3 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 1 1 1 √9 ( − 𝑡 2 ) ; 3 √ − 𝑡 2 ; 3 ( cos 𝑡) ; 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑡 9 9 3 𝟑𝟎. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 √𝟒𝒙𝟐 − 𝟒𝟗 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del tercer caso de sustitución trigonométrica: 7 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝑡 1 ∫2 𝑑𝑡 = ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡 7 𝑡𝑎𝑛 𝑡 2 = 1 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐 𝑡 + 𝑡𝑎𝑛 𝑡| + 𝐶; 2 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Secante y Tangente: 𝟐𝒙 √𝟒𝒙𝟐 − 𝟒𝟗 ; 𝒕𝒂𝒏 𝒕 = 𝟕 𝟕 1 2𝑥 √4𝑥 2 − 49 1 2𝑥√4𝑥 2 − 49 | + 𝐶 = 𝑙𝑛 | |+𝐶 = 𝑙𝑛 | + 2 7 7 2 7 𝒔𝒆𝒄 𝒕 = = 1 𝑙𝑛 |2𝑥 √4𝑥 2 − 49| − 𝑙𝑛|7| + 𝐶 2 130 Cálculo Integral 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝒍𝒏 |𝟐𝒙√𝟒𝒙𝟐 − 𝟒𝟗| + 𝒌 𝟐 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 7 𝑥 = 𝑆𝑒𝑐 𝑡 2 7 𝑑𝑥 = sec 𝑡 tan 𝑡 𝑑𝑡 2 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 √4 (𝑥 2 − 49 49 7 ) ; 2 √ 𝑥 2 − ; 2 ( tan 𝑡) ; 𝑥 = 7𝑡𝑎𝑛 𝑡 4 4 2 𝟑𝟏. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒕 𝒕𝟐 √𝒕𝟐 − 𝟏 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del tercer caso de sustitución trigonométrica: =∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥 1 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝐶 2 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑐 𝑥 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Seno: √𝒕𝟐 − 𝟏 𝒕 √𝒕𝟐 − 𝟏 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: +𝑪 𝒔𝒆𝒏 𝒙 = 𝒕 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑡 = sec 𝑥 𝑑𝑡 = sec 𝑥 tan 𝑥 𝑑𝑥 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑡 = 𝑡𝑎𝑛 𝑥 131 Cálculo Integral 𝟑𝟐. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 (𝒙𝟐 + 𝟒) 𝟑⁄ 𝟐 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del segundo caso de sustitución trigonométrica: =∫ 𝑑𝑥 √(𝑥 2 + 4) 3 =∫ 2 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 1 1 1 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 3 8 𝑠𝑒𝑐 𝑡 4 𝑠𝑒𝑐 𝑡 4 1 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 𝐶; 4 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Seno: 𝒔𝒆𝒏 𝒕 = 𝒙 √𝒙𝟐 + 𝟒 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒙 𝟒√𝒙𝟐 + 𝟒 +𝑪 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 2 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑥 = 2 sec 2 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = (2 𝑠𝑒𝑐 𝑡) 3 = 8 𝑠𝑒𝑐 3 𝑡 𝟑𝟑. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟓𝒅𝒙 √𝟐𝟓𝒙𝟐 − 𝟗 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del tercer caso de sustitución trigonométrica: =∫ 3 5 (5 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝑡) 3 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑙𝑛 |𝑠𝑒𝑐 𝑡 + 𝑡𝑎𝑛 𝑡| + 𝐶; Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Secante y Tangente: 𝒔𝒆𝒄 𝒕 = = 𝑙𝑛 | 𝟓𝒙 𝟑 ; 𝒕𝒂𝒏 𝒕 = 5𝑥 + 3 √𝟐𝟓𝒙 𝟐 − 𝟗 √25𝑥 2 − 9 3 𝟑 | + 𝐶 = 𝑙𝑛 | 5𝑥 + √25𝑥 2 − 9 |+𝐶 = 3 = 𝑙𝑛 |5𝑥 + √25𝑥 2 − 9| − 𝑙𝑛|3| + 𝐶 132 Cálculo Integral 𝟐 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒍𝒏 |𝟓𝒙 + √𝟐𝟓𝒙 − 𝟗| + 𝒌 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 3 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 𝑡 5 3 𝑑𝑥 = sec 𝑡 tan 𝑡 𝑑𝑡 5 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 9 3 25 5 √25𝑥 2 − 9; √25 (𝑥 2 − ); 5 ( tan 𝑡) ; 𝑥 = 3𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝟑𝟒. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ √𝒕𝟐 − 𝟏 𝒅𝒕 𝒕𝟑 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del tercer caso de sustitución trigonométrica: =∫ 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑡𝑎𝑛 2 𝑥 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 ∫ ∫ 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 − ∫ 3 2 2 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 − ∫ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑑𝑥 = Se utiliza la identidad trigonométrica del ángulo medio 1 + 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 1 𝑑𝑡 = 𝑥 − (∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑡) 2 2 1 1 1 = 𝑥 − (𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑢 𝑑𝑢) = 𝑥 − (𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑢) + 𝐶 2 2 2 1 1 1 1 = 𝑥 − 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 𝐶 = 𝑥 − 𝑥 − 2𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶 = 𝑥 −∫ 2 4 1 1 = 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝐶 2 2 2 4 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Secante, Seno, Coseno y t: √𝒕𝟐 − 𝟏 𝟏 𝒔𝒆𝒄 𝒙 = 𝒕; 𝒙 = 𝐬𝐞𝐜 −𝟏 𝒕 ; 𝒔𝒆𝒏 𝒙 = ; 𝒄𝒐𝒔 𝒙 = 𝒕 𝒕 = 1 1 √𝑡 2 − 1 1 )( ) + 𝐶 = 𝑠𝑒𝑐 −1 (𝑡) − ( 2 2 𝑡 𝑡 133 Cálculo Integral 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: √𝒕𝟐 − 𝟏 𝟏 𝒔𝒆𝒄−𝟏 (𝒕) − +𝑪 𝟐 𝟐𝒕𝟐 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑡 = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑑𝑡 = sec 𝑥 tan 𝑥 𝑑𝑥 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑡 = 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝟑𝟓. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙 √𝟏 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del primer caso de sustitución trigonométrica: =∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑡 . 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑡 = − 𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 𝐶; 𝑐𝑜𝑠 𝑡 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Coseno: 𝒄𝒐𝒔 𝒕 = √𝟏 − 𝒙𝟐 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − √𝟏 − 𝒙𝟐 + 𝑪 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = cos 𝑡 𝟑𝟔. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟐𝒛 − 𝟑 √𝟏 − 𝒛𝟐 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del primer caso de sustitución trigonométrica: 2 𝑠𝑒𝑛 𝑡 − 3 . 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 2𝑠𝑒𝑛 𝑡 − 3 𝑑𝑡 = 2 ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑡 − 3 ∫ 𝑑𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 = − 2𝑐𝑜𝑠 𝑡 − 3𝑡 + 𝐶 =∫ Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Coseno y t: 134 Cálculo Integral 𝒔𝒆𝒏 𝒕 = 𝒛; 𝒕 = 𝒔𝒆𝒏 −𝟏 𝒛; 𝒄𝒐𝒔 𝒕 = √𝟏 − 𝒛𝟐 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝟐 √𝟏 − 𝒛𝟐 − 𝟑 𝒔𝒆𝒏−𝟏 𝒛 + 𝑪 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑧 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑧 = 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝟑𝟕. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝝅𝒙 − 𝟏 √𝒙𝟐 + 𝝅𝟐 𝒅𝒙 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del segundo caso de sustitución trigonométrica: =∫ 𝜋 (𝜋𝑡𝑎𝑛 𝑡 ) − 1 𝜋 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑑𝑡 𝜋 𝑠𝑒𝑐 𝑡 = ∫(𝜋 2 𝑡𝑎𝑛 𝑡 − 1) 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝜋 2 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑡 − ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡 = 𝜋 2 𝑠𝑒𝑐 𝑡 − 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐 𝑡 + 𝑡𝑎𝑛 𝑡| + 𝐶; Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Tangente: 𝒙 √ 𝒙𝟐+𝝅𝟐 𝝅 𝝅 𝒕𝒂𝒏 𝒕 = ; 𝒔𝒆𝒄 𝒕 = Secante y √𝑥2 + 𝜋 2 √𝑥 2 + 𝜋 2 𝑥 ) − 𝐼𝑛 | = 𝜋2 ( + |+𝐶 𝜋 𝜋 𝜋 = 𝜋√𝑥 2 + 𝜋 2 − 𝐼𝑛 | √𝑥 2 + 𝜋 2 + 𝑥 |+𝐶 𝜋 = 𝜋√𝑥 2 + 𝜋 2 − 𝐼𝑛|𝑥 + √𝑥 2 + 𝜋 2 | − 𝑙𝑛|𝜋| + 𝐶 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝝅√𝒙𝟐 + 𝝅𝟐 − 𝑰𝒏 |𝒙 + √𝒙𝟐 + 𝝅𝟐 | + 𝒌 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 𝜋 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑥 = 𝜋 sec 2 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 𝜋 𝑠𝑒𝑐 𝑡 135 Cálculo Integral 𝟑𝟖. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟐𝒙 − 𝟏 √𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟓 𝒅𝒙 Solución.Se descompone el polinomio que se encuentra en el denominador de la fracción de la siguiente manera: 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟓; 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟒 + 𝟏; (𝒙 + 𝟐)(𝒙 + 𝟐) + 𝟏; (𝒙 + 𝟐)𝟐 + 𝟏; 𝒖 = 𝒙 + 𝟐; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 Se aplica la sustitución y simplificación del segundo caso de sustitución trigonométrica: =∫ 2(𝑢 − 2) − 1 √𝑢2 − 1 𝑑𝑢 = ∫ = ∫(2 𝑡𝑎𝑛 𝑡 − 5) 𝑠𝑒𝑐 2𝑢 − 5 √𝑢2 + 1 𝑑𝑢 = ∫ 2 𝑡𝑎𝑛 𝑡 − 5 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑑𝑡 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡 = 2 ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑡 − 5 ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑐 𝑡 − 5𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐 𝑡 + 𝑡𝑎𝑛 𝑡| + 𝐶 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Tangente y Secante: 𝒕𝒂𝒏 𝒕 = 𝒙 + 𝟐; 𝒔𝒆𝒄 𝒕 = √𝒙 𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟓 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟐√𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟓 − 𝟓𝑰𝒏 |𝒙 + √𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟓 + 𝒙 + 𝟐| + 𝑪 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑢 = 𝑡𝑎𝑛 𝑡; 𝑑𝑢 = sec 2 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑢 = 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝟑𝟗. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 √𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟓 Solución.Se descompone el polinomio que se encuentra en el denominador de la fracción de la siguiente manera: 𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟓; 𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏 + 𝟒; (𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝟏) + 𝟒; (𝒙 + 𝟏)𝟐 + 𝟒 𝒖 = 𝒙 + 𝟏; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 Se aplica la sustitución y simplificación del segundo caso de sustitución trigonométrica: =∫ 𝑑𝑢 √𝑢2 + 4 =∫ 2𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐 𝑡 + 𝑡𝑎𝑛 𝑡| + 𝐶 2 𝑠𝑒𝑐 𝑡 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Tangente y Secante: 136 Cálculo Integral 𝒕𝒂𝒏 𝒕 = 𝒖 𝟐 = 𝒙+𝟏 𝟐 ; 𝒔𝒆𝒄 𝒕 = √𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟓 𝟐 √𝑥 2 + 2𝑥 + 5 𝑥 + 1 √𝑥 2 + 2𝑥 + 5 + 𝑥 + 1 | + 𝐶 = 𝑙𝑛 | |+𝐶 = 𝑙𝑛 | + 2 2 2 = 𝑙𝑛 |√𝑥 2 + 2𝑥 + 5| − 𝑙𝑛 |2| + 𝐶 = 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒍𝒏 |√𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟓 | + 𝒌 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑢 = 2𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑢 = 2sec 2 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑢 = 2 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝟒𝟎. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 √𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟓 Solución.Se descompone el polinomio que se encuentra en el denominador de la fracción de la siguiente manera: 𝒙 𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟓; 𝒙 𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟒 + 𝟏; (𝒙 + 𝟐)(𝒙 + 𝟐) + 𝟏; (𝒙 + 𝟐)𝟐 + 𝟏 𝒖 = 𝒙 + 𝟐; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 Se aplica la sustitución y simplificación del segundo caso de sustitución trigonométrica: =∫ 𝑑𝑢 √𝑢2 + 1 =∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐 𝑡 + 𝑡𝑎𝑛 𝑡 | + 𝐶 𝑠𝑒𝑐 𝑡 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Tangente y Secante: 𝒕𝒂𝒏 𝒕 = 𝒙 + 𝟐; 𝒔𝒆𝒄 𝒕 = √𝒙 𝟐 + 𝟒 + 𝟓 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒍𝒏 |√𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟓 + 𝒙 + 𝟐| + 𝑪 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑢 = 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑢 = sec 2 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑢 = 𝑠𝑒𝑐 𝑡 137 Cálculo Integral 𝟒𝟏. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟑𝒙 √𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟓 𝒅𝒙 Solución.Se descompone el polinomio que se encuentra en el denominador de la fracción de la siguiente manera: 𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟓; 𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏 + 𝟒; (𝒙 + 𝟏)(𝒙 + 𝟏) + 𝟒; (𝒙 + 𝟏)𝟐 + 𝟒 𝒖 = 𝒙 + 𝟏; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 Se aplica la sustitución y simplificación del segundo caso de sustitución trigonométrica: =∫ 3(𝑢 − 1) √𝑢2 + 4 𝑑𝑢 = ∫ 3𝑢 − 3 √𝑢2 + 4 𝑑𝑢 = ∫ 3(2 𝑡𝑎𝑛 𝑡) − 3 2𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑑𝑡 2 𝑠𝑒𝑐 𝑡 = ∫(6 𝑡𝑎𝑛 𝑡 − 3) 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡 = 6 ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑡 − 3 ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡 = 6 𝑠𝑒𝑐 𝑡 − 3 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐 𝑡 + 𝑡𝑎𝑛 𝑡| + 𝐶 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Tangente y Secante: 𝒖 𝒙+𝟏 √𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟓 𝒕𝒂𝒏 𝒕 = = ; 𝒔𝒆𝒄 𝒕 = 𝟐 𝟐 𝟐 = 6( √𝑥2 + 2𝑥 + 5 √𝑥 2 + 2𝑥 + 5 𝑥 + 1 ) − 3 𝑙𝑛 | |+𝐶 + 2 2 2 = 3√𝑥 2 + 2𝑥 + 5 − 3 𝑙𝑛 | √𝑥 2 + 2𝑥 + 5 + 𝑥 + 1 |+𝐶 2 𝑆𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑖𝑡𝑚𝑜𝑠 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠: = 3√𝑥 2 + 2𝑥 + 5 − 3𝑙𝑛 |√𝑥 2 + 2𝑥 + 5| − 𝑙𝑛|2| + 𝐶 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟑√𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟓 − 𝟑 𝒍𝒏 |√𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟓| + 𝒌 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑢 = 2𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑢 = 2sec 2 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑢 = 2 𝑠𝑒𝑐 𝑡 138 Cálculo Integral 𝟒𝟐. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒚 √𝟐 + 𝟑𝒚𝟐 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del segundo caso de sustitución trigonométrica: √ 2 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 1 1 ∫ √3 𝑑𝑡 = ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡 √ 2 𝑠𝑒𝑐 𝑡 √3 √3 = 1 √3 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐 𝑡 + 𝑡𝑎𝑛 𝑡| + 𝐶 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Tangente y Secante: 𝒕𝒂𝒏 𝒕 = = 1 √3 𝒕 √𝟐 + 𝟑𝒚𝟐 ; 𝒕 = 𝒔𝒆𝒏 −𝟏 ; 𝒔𝒆𝒄 𝒕 = 𝟑 √𝟐 √𝟐 √𝟑𝒚 𝐼𝑛| √2 + 3𝑦 2 √2 + 1 √2 + 3𝑦 2 + √3𝑦 √3𝑦 |+𝐶 = 𝐼𝑛| |+𝐶 √2 √3 √2 𝑆𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑖𝑡𝑚𝑜𝑠 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙𝑒𝑠: = 1 √3 𝑙𝑛|√2 + 3𝑦 2 + √3𝑦| − 𝑙𝑛|√2| + 𝐶 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝒍𝒏 |√𝟐 + 𝟑𝒚𝟐 + √𝟑𝒚| + 𝒌 √𝟑 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 √2 𝑦= 𝑡𝑎𝑛 𝑡 √3 √2 𝑑𝑡 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑑𝑡 3 √ 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 2 √2 sec 𝑡) ; 𝑦 √3 √3 ( + 𝑦 2 ); √3 ( 3 = √2𝑠𝑒𝑐 𝑡 139 Cálculo Integral 𝟒𝟑. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ √𝒙𝟐 + 𝒂𝟐 𝒙𝟒 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del segundo caso de sustitución trigonométrica: 𝑎 𝑠𝑒𝑐 𝑡 1 𝑠𝑒𝑐 3 𝑡 2 ∫ 4 𝑎 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡 = 2 ∫ 𝑎 𝑡𝑎𝑛4 𝑡 𝑎 𝑡𝑎𝑛4 𝑡 1 1 1 𝑐𝑜𝑠 4 𝑡 3 𝑡 𝑐𝑜𝑡 4 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ ∫ 𝑠𝑒𝑐 . 𝑑𝑡 𝑎2 𝑎 2 𝑐𝑜𝑠 3 𝑡 𝑠𝑒𝑛 4 𝑡 1 𝑐𝑜𝑠 𝑡 1 𝑐𝑜𝑠 𝑡 1 1 = 2∫ 𝑑𝑡 = 2 ∫ . 𝑑𝑡 = 2 ∫ 𝑐𝑜𝑡 𝑡 𝑐𝑠𝑐 3 𝑡 𝑑𝑡 4 3 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑎 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑎 = = 1 𝑎2 ∫ 𝑐𝑠𝑐 2 𝑡 𝑐𝑠𝑐 𝑡 𝑐𝑜𝑡 𝑡 𝑑𝑡; Se utiliza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝐜𝐬𝐜 𝒕; 𝒅𝒖 = − 𝐜𝐬𝐜 𝒕 𝐜𝐨𝐭 𝒕 𝒅𝒕 1 1 𝑢3 𝑢3 2 𝑑𝑢 = − ( ) ∫ . −1 𝑢 . + 𝐶 = − +𝐶 𝑎2 𝑎2 3 3𝑎 2 1 = − 2 𝑐𝑠𝑐 3 𝑡 + 𝐶 = 3𝑎 = Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Cosecante: 3 1 √𝑥 2 + 𝑎 2 ) +𝐶 − 2( 3𝑎 𝑥 2 1 (√𝑥 2 + 𝑎 2 ) (√𝑥 2 + 𝑎 2 ) )+ 𝐶 = − 2( 3𝑎 𝑥3 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂:− 𝒙𝟐 + 𝒂𝟐 𝟐 √𝒙 + 𝒂𝟐 + 𝑪 𝟑𝒂𝟐 𝒙𝟑 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 𝑎 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑥 = a sec 2 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 𝑎 𝑠𝑒𝑐 𝑡 √𝑥 2 + 𝑎2 X 𝑎 140 Cálculo Integral 𝟒𝟒. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ √𝒚𝟐 − 𝟒𝟗 𝒅𝒚 𝒚 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del tercer caso de sustitución trigonométrica: =∫ 7 𝑡𝑎𝑛 𝑡 (7 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑡) = 7 ∫ 𝑡𝑎𝑛2 𝑡 𝑑𝑡 = 7 𝑠𝑒𝑐 𝑡 Se aplica la identidad trigonométrica 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 − 1 = 𝑡𝑎𝑛 2 𝑡 = 7 ∫(𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 − 1) 𝑑𝑡 = 7[∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑑𝑡 − ∫ 𝑑𝑡] = 7[ 𝑡𝑎𝑛 𝑡 − 𝑡] + 𝐶; Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Tangente y t: 𝒚 √ 𝒚𝟐 −𝟒𝟗 𝟕 𝟕 𝒕 = 𝒔𝒆𝒄 −𝟏 𝒕 ( ); 𝒕𝒂𝒏𝒕 = = 7 𝑡𝑎𝑛 𝑡 − 7𝑡 + 𝐶 = 7√𝑦 2 − 49 𝑦 − 7𝑠𝑒𝑐 −1 ( ) + 𝐶 7 7 𝒚 𝟕 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: √𝒚𝟐 − 𝟒𝟗 − 𝟕𝒔𝒆𝒄−𝟏 ( ) + 𝑪 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑦 = 7 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑦 = 7 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 √𝑦 2 − 49 = 7 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝟒𝟓. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 𝒙𝟐 √𝒙𝟐 − 𝟏 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del tercer caso de sustitución trigonométrica: =∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 1 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡 = = ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 𝐶; Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Seno: 𝒔𝒆𝒏 𝒕 = √𝒙 𝟐 − 𝟏 𝒙 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: √𝒙𝟐 −𝟏 𝒙 +𝑪 141 Cálculo Integral 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑡 𝑡𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 √𝑥 2 − 1 = 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝟒𝟔. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ √𝒚𝟐 − 𝟐𝟓 𝒅𝒚 𝒚𝟑 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del tercer caso de sustitución trigonométrica: =∫ 5 𝑡𝑎𝑛 𝑡 1 𝑡𝑎𝑛 2 𝑡 5 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 = 53 𝑠𝑒𝑐 3 𝑡 5 𝑠𝑒𝑐2 𝑡 1 1 = ∫ 𝑡𝑎𝑛2 𝑡 𝑠𝑒𝑐 −2 𝑡 𝑑𝑡 = ∫(𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 − 1) 𝑠𝑒𝑐 −2 𝑡 𝑑𝑡 5 5 1 1 1 1 = (∫ 𝑑𝑡 − ∫ 𝑠𝑒𝑐 −2 𝑡 𝑑𝑡) = 𝑡 − ∫ 𝑑𝑡 = 5 5 5 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝟐𝒕; 𝒅𝒖 = 𝟐𝒅𝒕 1 1 1 1 1 1 = 𝑡 − (𝑡 + ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑢 𝑑𝑢) = 𝑡 − 𝑡 − 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 + 𝐶 = 5 10 2 5 10 20 1 1 = 𝑡− 2 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 𝐶 = 10 20 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Seno, Coseno y t: 𝒚 √ 𝒚𝟐 −𝟐𝟓 𝟓 𝒚 𝒕 = 𝒔𝒆𝒄 −𝟏 ( ) ; 𝒔𝒆𝒏 𝒕 = = 𝟓 𝒚 √𝑦 2 1 𝑦 1 𝑠𝑒𝑐 −1 ( ) − ( 10 5 10 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: ; 𝒄𝒐𝒔 𝒕 = − 25 5 )( )+𝐶 𝑦 𝑦 𝟏 𝒚 𝟏 √𝒚𝟐 − 𝟐𝟓 )+ 𝑪 𝒔𝒆𝒄−𝟏 ( ) − ( 𝟏𝟎 𝟓 𝟐 𝒚𝟐 142 Cálculo Integral 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑦 = 5 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑦 = 5𝑠𝑒𝑐𝑡 𝑡𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 √𝑦 2 − 25 = 5𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝟒𝟕. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟐 𝒙𝟑 √𝒙𝟐 − 𝟏 𝒅𝒙 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del tercer caso de sustitución trigonométrica: =∫ 2 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 = 2 ∫ = 2 ∫ 𝑐𝑜𝑠2 𝑡 𝑑𝑡 = 3 2 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑠𝑒𝑐 𝑡 Se aplica la identidad trigonométrica del ángulo medio: 1 + 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 1 ) 𝑑𝑡 = 2 ∗ ∫ 1 + 𝑜𝑠 2𝑡 𝑑𝑡 = = 2 ∫( 2 2 1 1 = ∫ 𝑑𝑡 + ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 + 𝐶; 2 2 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Seno, Coseno y t: 𝒕 = 𝒔𝒆𝒄 −𝟏 𝒙; 𝒔𝒆𝒏 𝒕 = √𝒙 𝟐 − 𝟏 𝒙 ; 𝒄𝒐𝒔 𝒕 = 𝟏 𝒙 √𝑥 2 − 1 1 = 𝑠𝑒𝑐 −1 𝑥 + +𝐶 𝑥 𝑥 √𝒙𝟐 − 𝟏 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒔𝒆𝒄−𝟏 𝒙 + +𝑪 𝒙𝟐 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐𝑡 𝑡𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 √𝑥 2 − 1 = 5𝑡𝑎𝑛 𝑡 143 Cálculo Integral 𝟒𝟖. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙𝟑 √𝒙𝟐 + 𝟒 𝒅𝒙 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del tercer caso de sustitución trigonométrica: 23 𝑡𝑎𝑛3 𝑡 ∗ 2𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 =∫ 𝑑𝑡 = 8 ∫ 𝑡𝑎𝑛3 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡 2 𝑠𝑒𝑐 𝑡 Se aplica la identidad trigonométrica 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 − 1 = 𝑡𝑎𝑛 2 𝑡 = 8 ∫( 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 − 1) 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑡 = = 8 (∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝑡 − ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑡) = 8 (∫ 𝑢3 𝑑𝑢 − 𝑠𝑒𝑐 𝑡) = 8( 𝑠𝑒𝑐 4𝑡 − 𝑠𝑒𝑐 𝑡 + 𝐶 ) = 2𝑠𝑒𝑐 4 𝑡 − 8 𝑠𝑒𝑐 𝑡 + 𝐶 = 4 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Secante: √𝒙𝟐 + 𝟒 𝟐 4 2 √𝑥 + 4 √𝑥 2 + 4 ) −8 = 2( +𝐶 2 2 𝒔𝒆𝒄 𝒕 = 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: (𝒙𝟐 + 𝟒 ) 𝟖 𝟐 −𝟒 √𝒙𝟐 + 𝟒 +𝑪 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 2𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑥 = 2𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 √𝑥 2 + 1 = 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝟒𝟗. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙 √𝒙𝟐 + 𝟏 𝒅𝒙 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del segundo caso de sustitución trigonométrica: 144 Cálculo Integral = ∫ 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑠𝑒𝑐3 𝑡 𝑑𝑡 = ∫(1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑡) 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑡 = = ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑡 + ∫ 𝑡𝑎𝑛 3 𝑡 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡 = = 𝑠𝑒𝑐 𝑡 + ∫(𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 − 1) 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑡 = = 𝑠𝑒𝑐 𝑡 + ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑡 − ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑡𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑡 = = 𝑠𝑒𝑐 𝑡 + ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 − 𝑠𝑒𝑐 𝑡 = sec 𝑡 + 𝑠𝑒𝑐 3 𝑡 − sec 𝑡 + 𝐶 3 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Secante: 𝑆𝑒𝑐 𝑡 = (√𝑥 2 + 1) 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 1 (𝒙𝟐 + 𝟏 )√𝒙𝟐 + 𝟏 𝟑 +𝑪 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 √𝑥 2 + 1 = 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝟓𝟎. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙 𝟑√ 𝒙 + 𝝅 𝒅𝒙 Solución.Se aplica el siguiente cambio de variable: 𝟏 𝒖 = (𝒙 + 𝝅) 𝟑; 𝒖𝟑 = 𝒙 + 𝝅; 𝒙 = 𝒖𝟑 − 𝝅; 𝒅𝒙 = 𝟑𝒖𝟐 𝒅𝒖 = ∫(𝑢3 − 𝜋) 𝑢 3𝑢2 𝑑𝑢 = 3 ∫(𝑢3 − 𝜋) 𝑢3 𝑑𝑢 = = 3 (∫ 𝑢6 𝑑𝑢 − 𝜋 ∫ 𝑢3 𝑑𝑢) = 3 [ 𝑢7 𝜋𝑢4 ]+𝐶 − 7 4 1 7 1 4 3 3𝜋 [ 3 ] [( ) = (𝑥 + 𝜋) − 𝑥 + 𝜋 3] + 𝐶 7 4 145 Cálculo Integral 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟑𝟑 𝟑𝝅 𝟑 √(𝒙 + 𝝅) 𝟕 − √(𝒙 + 𝝅) 𝟒 + 𝑪 𝟕 𝟒 𝟓𝟏. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒕 √ 𝟑𝒕 + 𝟒 𝒅𝒕 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del segundo caso de sustitución trigonométrica: 4 8 4 8 𝑡𝑎𝑛2 𝑡 3 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑡𝑎𝑛2 𝑡 𝑠𝑒𝑐2 𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝑡 3 3 3 =∫ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 2 𝑠𝑒𝑐 𝑡 2 𝑠𝑒𝑐 𝑡 32 32 ∫ 𝑡𝑎𝑛3 𝑡 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡 = ∫(𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 − 1) 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑡 = 18 18 16 (∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑡 − ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑡) = 9 = = 16 (∫ 𝑢 2 𝑑𝑢 − 𝑠𝑒𝑐 𝑡 ) = 16 𝑢 3 − 16 𝑠𝑒𝑐 𝑡 + 𝐶; 9 9 3 9 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Secante: √𝟑𝒕 + 𝟒 𝒔𝒆𝒄 𝒕 = 𝟐 3 16 16 16 √3𝑡 + 4 16 √3𝑡 + 4 ( ) − = 𝑠𝑒𝑐 3 𝑡 − 𝑠𝑒𝑐 𝑡 + 𝐶 = +𝐶 27 9 27 2 9 2 𝟐(𝟑𝒕 + 𝟒)√𝟑𝒕 + 𝟒 𝟖√ 𝟑𝒕 + 𝟒 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − +𝑪 𝟐𝟕 𝟗 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 √3𝑡 = 2𝑡𝑎𝑛 𝑡; 3𝑡 = (2𝑡𝑎𝑛 𝑡) 2 4 𝑡𝑎𝑛2 𝑡 8 𝑡= ; 𝑑𝑡 = 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑑𝑡 3 3 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 √3𝑡 + 1 = 2𝑠𝑒𝑐 𝑡 146 Cálculo Integral 𝟓𝟐. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒕 √𝒕 + 𝒆 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del segundo caso de sustitución trigonométrica: =∫ 2 𝑒 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 √𝑒 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡 = 2𝑒 √𝑒 ∫ 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡 = 2𝑒 √𝑒 𝑠𝑒𝑐 𝑡 + 𝐶; Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Secante: 𝒔𝒆𝒄 𝒕 = √𝒕 + 𝒆 √𝒆 2𝑒 √𝑡 + 𝑒 2𝑒 ( )+ 𝐶 = √𝑡 + 𝑒 + 𝐶 𝑒 √𝑒 √𝑒 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟐√𝒕 + 𝒆 + 𝑪 = 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 √𝑡 = √𝑒 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑡 = 𝑒 (𝑡𝑎𝑛 𝑡) 2 𝑑𝑡 = 2𝑒 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 √𝑡 + 𝑒 = √𝑒 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝟓𝟑. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟐𝒙 + 𝟏 √𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟓 𝒅𝒙 Solución.Se descompone el polinomio que se encuentra en el denominador de la fracción de la siguiente manera: = 𝒙 𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟓; 𝒙 𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟒 + 𝟏; (𝒙 + 𝟐)𝟐 + 𝟏 = 𝒖𝟐 + 𝟏; 𝒙 = 𝒖 − 𝟐; 𝒖 = 𝒙 + 𝟐; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 =∫ 2 ( 𝑢 − 2) + 1 = 2∫ √𝑢2 + 1 𝑢 √𝑢2 + 1 𝑑𝑢 == ∫ 𝑑𝑢 − 3 ∫ 𝑑𝑢 2𝑢 − 3 √𝑢2 + 1 √𝑢2 + 1 𝑑𝑢 = = Se aplica la sustitución y simplificación del segundo caso de sustitución trigonométrica: = 2∫ 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑑𝑡 − 3 ∫ 𝑑𝑡 = 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑠𝑒𝑐 𝑡 147 Cálculo Integral = 2 ∫ 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡 − 3 ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡 = = 2 𝑠𝑒𝑐 𝑡 − 3 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐 𝑡 + 𝑡𝑎𝑛 𝑡| + 𝐶 = Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Tangente y Secante: = 2√𝑢2 + 1 − 3 𝑙𝑛 |√𝑢2 + 1 + 𝑢| + 𝐶 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟐 √𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟓 − 𝟑 𝒍𝒏|√𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟓 + 𝒙 + 𝟐| + 𝑪 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑢 = 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 √𝑢2 + 1 = 𝑠𝑒𝑐 𝑡 √1 + 𝑢 2 u 1 𝟓𝟒. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ √𝟓 − 𝟒𝒙 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 Solución.Se descompone el polinomio que se encuentra en el denominador de la fracción de la siguiente manera: = 𝟓 − 𝟒𝒙 − 𝒙 𝟐 ; 𝟗 − 𝟒 − 𝟒𝒙 − 𝒙 𝟐 ; 𝟗 − (𝒙 + 𝟐) 𝟐 = 𝟗 − 𝒖𝟐 ; 𝒙 = 𝒖 − 𝟐; 𝒖 = 𝒙 + 𝟐; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 = ∫ √9 − 𝑢2 𝑑𝑢 = = ∫ 3 𝑐𝑜𝑠 𝑡 ∗ 3 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 = 1 + 2 𝑐𝑜𝑠 𝑡 9 𝑑𝑡 = (∫ 𝑑𝑡 + ∫ 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 𝑑𝑡 ) 2 2 9 1 9 1 = (𝑡 + ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑢 𝑑𝑢) = (𝑡 + 𝑠𝑒𝑛 2𝑡) + 𝐶 = 2 2 2 2 9 2 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 )+𝐶 = (𝑡 + 2 2 9 ∫ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 𝑑𝑡 = 9 ∫ Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Seno, Coseno y t: 𝒖 √𝟗 − 𝒖𝟐 𝒖 𝒔𝒆𝒏 𝒕 = ; 𝒄𝒐𝒔 𝒕 = ; 𝒕 = 𝒔𝒆𝒏 −𝟏 𝟑 𝟑 𝟑 9 𝑢 9 𝑢 √9 − 𝑢2 )+ 𝐶 = 𝑠𝑒𝑛−1 ( ) + ( ) ( 2 3 2 3 3 9 𝑢 1 = 𝑠𝑒𝑛−1 ( ) + 𝑢√9 − 𝑢2 + 𝐶 2 3 2 148 Cálculo Integral 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟗 𝒙+ 𝟐 𝟏 ) + (𝒙 + 𝟐)√𝟓 − 𝟒𝒙 − 𝒙𝟐 + 𝑪 𝒔𝒆𝒏−𝟏 ( 𝟐 𝟑 𝟐 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑢 = 3𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑢 = 3 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 √9 − 𝑢2 = 3 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝟓𝟓. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 √𝟏𝟔 + 𝟔𝒙 − 𝒙𝟐 Solución.Se descompone el polinomio que se encuentra en el denominador de la fracción de la siguiente manera: 𝟏𝟔 + 𝟔𝒙 − 𝒙 𝟐 ; 𝟐𝟓 − 𝟗 + 𝟔𝒙 − 𝒙 𝟐 ; 𝟐𝟓 − (𝒙 − 𝟑)𝟐 = 𝟐𝟓 − 𝒖𝟐 ; 𝒙 = 𝒖 + 𝟑; 𝒖 = 𝒙 − 𝟑; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 =∫ 𝑑𝑢 √25 − 𝑢2 = Se aplica la sustitución y simplificación del primer caso de sustitución trigonométrica: =∫ 5 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 = 𝑡 + 𝐶 ; 5 𝑐𝑜𝑠 𝑡 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función t: 𝒖 𝑢 𝒕 = 𝒔𝒆𝒏−𝟏 ; = 𝑠𝑒𝑛−1 ( ) + 𝐶 = 𝟓 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 5 𝒙−𝟑 −𝟏 𝒔𝒆𝒏 ( ) + 𝑪 𝟓 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑢 = 5𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑢 = 5 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 √25 − 𝑢2 = 5𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝟓𝟔. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 √𝟒𝒙 − 𝒙𝟐 149 Cálculo Integral Solución.Se descompone el polinomio que se encuentra en el denominador de la fracción de la siguiente manera: 𝟒𝒙 − 𝒙 𝟐 ; 𝟒 − 𝟒 + 𝟒𝒙 − 𝒙 𝟐 ; 𝟒 − (𝒙 − 𝟐)𝟐 = 𝟒 − 𝒖𝟐 ; 𝒙 = 𝒖 + 𝟐; 𝒖 = 𝒙 − 𝟐; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 𝑑𝑢 =∫ √4 − 𝑢2 = Se aplica la sustitución y simplificación del primer caso de sustitución trigonométrica: = ∫ 2 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 = 𝑡 + 𝐶 ; 2 𝑐𝑜𝑠 𝑡 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función t: 𝑢 𝑠𝑒𝑛−1 ( ) + 𝐶 = 2 𝒙 −𝟐 )+ 𝑪 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒔𝒆𝒏−𝟏 ( 𝟐 𝒖 𝒕 = 𝒔𝒆𝒏−𝟏 ; 𝟐 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑢 = 2𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑢 = 2 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 √4 − 𝑢2 = 2𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝟓𝟕. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙 √𝟒𝒙 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 Solución.Se descompone el polinomio que se encuentra en el denominador de la fracción de la siguiente manera: 𝟒𝒙 − 𝒙 𝟐 ; 𝟒 − 𝟒 + 𝟒𝒙 − 𝒙 𝟐 ; 𝟒 − (𝒙 − 𝟐)𝟐 = 𝟒 − 𝒖𝟐 ; 𝒙 = 𝒖 + 𝟐; 𝒖 = 𝒙 − 𝟐; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 =∫ 𝑢 +2 √4 − 𝑢2 𝑑𝑢 = Se aplica la sustitución y simplificación del primer caso de sustitución trigonométrica: =∫ 𝑢 √4 − 𝑢2 𝑑𝑢 + 2 ∫ 𝑑𝑢 √4 − 𝑢2 = 150 Cálculo Integral =∫ 2 𝑐𝑜𝑠 𝑡 2 𝑠𝑒𝑛 𝑡 2 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 + 2 ∫ 𝑑𝑡 = −2 𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 2 𝑡 + 𝐶 2 𝑐𝑜𝑠 𝑡 2 𝑐𝑜𝑠 𝑡 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Coseno y t: 𝒖 √ 𝟒−𝒖𝟐 𝟐 𝟐 𝒕 = 𝒔𝒆𝒏 −𝟏 ; 𝒄𝒐𝒔 𝒕 = √4 − 𝑢2 𝑢 ) + 2𝑠𝑒𝑛−1 ( ) + 𝐶 = −2 ( 2 2 𝟐 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − √𝟒 − (𝒙 − 𝟐) + 𝟐𝒔𝒆𝒏−𝟏 ( 𝒙− 𝟐 )+𝑪 𝟐 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑢 = 2𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑢 = 2 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 √4 − 𝑢2 = 2𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝟓𝟖. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟓𝒙 √𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 𝒅𝒙 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del primer caso de sustitución trigonométrica: √3) 𝑠𝑒𝑛 𝑡 √2 √3 =∫ ∗ 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑑𝑡 √3 𝑐𝑜𝑠 𝑡 √2 5√3 5√3 ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑡 = − = 𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 𝐶; 2 2 5( Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Coseno: 𝒄𝒐𝒔 𝒕 = √𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 √𝟑 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − ;= − 5√3 √3 − 2𝑥 2 ( )+𝐶= 2 √3 𝟓 √𝟑 − 𝟐𝒙𝟐 + 𝑪 𝟐 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 151 Cálculo Integral √2𝑥 2 = √3 𝑠𝑒𝑛 𝑡 ; 𝑥√2 = √3 𝑠𝑒𝑛 𝑡 ; 𝑥 = 𝑑𝑥 = √3 𝑐𝑜𝑠 𝑡 √2 √3 𝑠𝑒𝑛 𝑡 √2 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 √3 − 2𝑥 2 = √3 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝟓𝟗. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ √𝟒 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 𝒙 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del primer caso de sustitución trigonométrica: =∫ 2 𝑐𝑜𝑠 𝑡 2 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 𝑑𝑡 = 2 ∫ 𝑑𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 2 ∫ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 𝑠𝑒𝑛−1 𝑡 𝑑𝑡 = 2 ∫(1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑡) 𝑠𝑒𝑛−1 𝑡 𝑑𝑡 = 1 𝑑𝑡 − ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑡) = 2 (∫ 𝑐𝑠𝑐 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑐𝑜𝑠𝑡) 𝑑𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 = 2(𝑙𝑛|𝑐𝑠𝑐𝑡 − 𝑐𝑜𝑡 𝑡| + 𝑐𝑜𝑠 𝑡 ) + 𝐶; = 2 (∫ Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Coseno, Cotangente y Cosecante: 𝒄𝒐𝒔 𝒕 = √𝟒 − 𝒙 𝟐 𝟐 ; 𝒄𝒐𝒕 𝒕 = √𝟒 − 𝒙 𝟐 𝒙 ; 𝒄𝒔𝒄 𝒕 = 𝟐 𝒙 2 √4 − 𝑥 2 | + √4 − 𝑥 2 + 𝐶 = 2 𝑙𝑛 | − 𝑥 𝑥 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 2𝑙𝑛 | 2 − √4 − 𝑥2 | + √4 − 𝑥 2 + 𝐶 𝑥 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 2𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑥 = 2 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 √4 − 𝑥 2 = 2𝑐𝑜𝑠 𝑡 152 Cálculo Integral 𝟔𝟎. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ √𝒙𝟐 − 𝟗 𝒅𝒙 𝒙𝟐 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del tercer caso de sustitución trigonométrica: =∫ 3 𝑡𝑎𝑛 𝑡 ∗ 3 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑡𝑎𝑛2 𝑡 𝑠𝑒𝑐−1 𝑡 𝑑𝑡 = 9 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 = ∫(𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 − 1) 𝑠𝑒𝑐 −1 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡 − ∫ 𝑠𝑒𝑐 −1 𝑡 𝑑𝑡 = = 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐 𝑡 + 𝑡𝑎𝑛 𝑡 | − ∫ 1 = 𝑠𝑒𝑐 𝑡 = 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐 𝑡 + 𝑡𝑎𝑛 𝑡 | − ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐 𝑡 + 𝑡𝑎𝑛 𝑡| − 𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 𝐶 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Seno, Tangente y Secante: 𝒔𝒆𝒄 𝒕 = 𝒙 𝟑 ; 𝒔𝒆𝒏 𝒕 = √𝒙 𝟐 − 𝟗 √𝒙 𝟐 − 𝟗 ; = 𝒕𝒂𝒏 𝒕 𝒙 𝟑 𝒙 𝟑 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒍𝒏 | + √𝒙𝟐 − 𝟗 √𝒙𝟐 − 𝟗 |− +𝑪 𝟑 𝒙 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 3𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑥 = 3 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 √𝑥 2 − 9 = 3 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝒅𝒙 𝟔𝟏. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟑 (𝟓 − 𝟒𝒙 − 𝒙𝟐 )𝟐 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del primer caso de sustitución trigonométrica: ∫ ∫ 𝑑𝑥 √(9 − (𝑥 + 2)2 )3 = 3 𝑐𝑜𝑠 𝑡 1 𝑑𝑡 1 1 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑑𝑡 = tan(𝑡) + 𝐶 = 3 2 27 𝑐𝑜𝑠 𝑡 9 𝑐𝑜𝑠 𝑡 9 9 153 Cálculo Integral Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Tangente: 1 𝑢 ) = ( 3 +𝐶 9 ( 5 − 4𝑥 − 𝑥 2 ) 2 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 (𝒙 + 𝟐) +𝑪 𝟗 √(𝟓 − 𝟒𝒙 − 𝒙𝟐 ) 𝟑 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑢 = 𝑥 + 2; 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥; 𝑢 = 3 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑢 = 3 cos 𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟑 3 u √9 − 𝑢 2 𝟑 (𝟗 − ( 𝟑 𝒔𝒆𝒏 𝒕) 𝟐)𝟐 ; (𝟗𝒄𝒐𝒔𝟐𝒕)𝟐; √𝟗𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝟑 𝒕; 𝟐𝟕 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝒕 𝟔𝟐. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 𝒙𝟐 √𝒙𝟐 + 𝟗 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del segundo caso de sustitución trigonométrica: ∫ 3𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 2 (3 tan 𝑡) 3 𝑠𝑒𝑐 𝑡 9 𝑡𝑎𝑛2 𝑡 1 𝑠𝑒𝑐 𝑡 1 1 1 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 2 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ ∫ ∫ 𝑑𝑡 = 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑐𝑡𝑔 𝑑𝑡 = 9 𝑡𝑎𝑛 2 𝑡 9 9 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 1 𝑐𝑜𝑠 𝑡 1 1 1 ∫ ∗ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑐𝑡𝑔 (𝑡) 𝑐𝑠𝑐(𝑡)𝑑𝑡 = − 𝑐𝑠𝑐 𝑡 + 𝐶 9 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 9 9 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Cosecante: 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝟏 √𝒙𝟐 + 𝟗 ( )+𝑪 𝟗 𝒙 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 3 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑥 = 3 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑑t 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 3 sec 𝑡 √𝑥 2 + 9 𝑥 3 154 Cálculo Integral 𝟔𝟑. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙𝟐 √𝟒 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del primer caso de sustitución trigonométrica: (2 𝑠𝑒𝑛 𝑡)2 =∫ 2 𝑐𝑜𝑠 𝑡 = ∫ 4 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 𝑑𝑡 = 4 ∫ 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 𝑑𝑡 = 2 𝑐𝑜𝑠 𝑡 1 − 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 1 1 𝑑𝑡) = 4 ( ∫ 𝑑𝑡 − ∫ 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 𝑑𝑡 ) 2 2 2 1 1 1 1 = 4 ( 𝑡 − ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑢 𝑑𝑢) = 4 ( 𝑡 − 𝑠𝑒𝑛 𝑢) + 𝐶 = 2 4 2 4 = 2𝑡 − 𝑠𝑒𝑛 (2𝑡) + 𝐶 = 2𝑡 − 2𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 𝐶 = 4 (∫ Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Seno, Coseno y t: 𝒙 √𝟒 − 𝒙 𝟐 𝒙 𝒕 = 𝒔𝒆𝒏 −𝟏 ( ) ; 𝒄𝒐𝒔(𝒕) = ; 𝒔𝒆𝒏 𝒕 = 𝟐 𝟐 𝟐 𝑥 𝑥 √4 − 𝑥 2 )+𝐶 = 2𝑠𝑒𝑛−1 ( ) − 2 ( ) ( 2 2 2 √𝟒 − 𝒙𝟐 𝒙 )+ 𝑪 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟐𝒔𝒆𝒏−𝟏 ( ) − 𝒙 ( 𝟐 𝟐 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑥 = 2 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑑 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 2 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝟔𝟒. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 2 𝑥 √4 − 𝑥 2 𝒅𝒙 𝒙√𝒙𝟐 − 𝟒 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del tercer caso de sustitución trigonométrica: =∫ 2 𝑠𝑒𝑐(𝑡) 𝑡𝑎𝑛 (𝑡) 1 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 = 2 𝑠𝑒𝑐 (𝑡)2 𝑡𝑎𝑛(𝑡) 2 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función t: 155 Cálculo Integral = 1 2 𝒙 𝑡 + 𝐶; 𝒕 = 𝒔𝒆𝒄 −𝟏 ( ) 𝟐 𝟏 𝒙 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒔𝒆𝒄−𝟏 ( ) + 𝑪 𝟐 𝟐 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 2 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑥 = 2 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 2 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝟔𝟓. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ x √𝑥 2 − 4 2 𝒅𝒙 𝒙√𝟏 − 𝒙𝟐 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del primer caso de sustitución trigonométrica: ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 = ∫ = ∫ 𝑐𝑠𝑐 𝑡 𝑑𝑡 = = 𝑙𝑛|𝑐𝑠𝑐 𝑡 − 𝑐𝑜𝑡 𝑡| + 𝐶 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Cotangente y Cosecante: √𝟏 − 𝒙 𝟐 𝟏 𝒄𝒐𝒕(𝒕) = ; 𝒄𝒔𝒄 (𝒕) = 𝒙 𝒙 1 √1 − 𝑥 2 1 − √1 − 𝑥 2 | + 𝐶 = 𝑙𝑛 | |+ 𝐶 = 𝑙𝑛 | − 𝑥 𝑥 𝑥 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒍𝒏 |𝟏 − √𝟏 − 𝒙𝟐 | − 𝒍𝒏|𝒙| + 𝑪 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 1 𝑥 √1 − 𝑥 2 156 Cálculo Integral 𝟑 (𝟏 − 𝒙𝟐 )𝟐 𝟔𝟔. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 𝒙𝟔 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del primer caso de sustitución trigonométrica: 𝑐𝑜𝑠 3 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑐𝑜𝑠 4 𝑡 =∫ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 𝑠𝑒𝑛6 𝑡 𝑠𝑒𝑛6 𝑡 =∫ 𝑐𝑜𝑠 4𝑡 1 ∗ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑐𝑜𝑡 4 𝑡 𝑐𝑠𝑐2 𝑡 𝑑𝑡 = 4 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 Se utiliza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒄𝒐𝒕 (𝒕); 𝒅𝒖 = −𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝒕 𝒅𝒕; 𝒄𝒐𝒕 𝒕 = √ 𝟏−𝒙𝟐 𝒙 𝑢5 𝑐𝑜𝑡 5 (𝑡) = − ∫ 𝑢4 𝑑𝑢 = − + 𝐶 = − +𝐶= 5 5 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Cotangente y Cosecante: ( =− √1 − 𝑥 2 ) 𝑥 5 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 5 +𝐶 = 𝟓 (𝟏 − 𝒙𝟐 )𝟐 𝟓𝒙𝟓 +𝑪 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑡 1 𝑥 √1 − 𝑥 2 𝟏 𝟔𝟕. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ (𝟏 − 𝒙 𝟐 )𝟐 𝒙𝟒 𝒅𝒙 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del primer caso de sustitución trigonométrica: =∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 4 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑠𝑒𝑛4 𝑡 157 Cálculo Integral =∫ 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 1 ∫ 𝑑𝑡 = ∗ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑐𝑜𝑡 2 𝑡 𝑐𝑠𝑐 2𝑡 𝑑𝑡 = 4 2 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 Se utiliza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒄𝒐𝒕 (𝒕) ; 𝒅𝒖 = −𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝒕 𝒅𝒕 = − ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 = − 𝑢3 +𝐶 = 3 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Cotangente: =− 𝑐𝑜𝑡 3 (𝑡) +𝐶 3 ( √𝟏 − 𝒙𝟐 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝒙 𝟑 𝟑 ) +𝑪 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑡 1 𝑥 √1 − 𝑥 2 𝒗𝟐 𝟔𝟖. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ (𝟏 𝟓 − 𝒗𝟐 )𝟐 𝒅𝒗 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del primer caso de sustitución trigonométrica: 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 1 =∫ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 = ∫ ∗ 𝑑𝑡 5 4 2 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑐𝑜𝑠2 𝑡 = ∫ 𝑡𝑎𝑛 2 𝑡 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 = Se utiliza el siguiente cambio de variable 𝒗 𝒖 = 𝒕𝒂𝒏 𝒕; 𝒅𝒖 = 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒕; 𝒕𝒂𝒏 𝒕 = √𝟏 − 𝒗𝟐 = ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 = 𝑢3 𝑡𝑎𝑛3 𝑡 +𝐶 == +𝐶 = 3 3 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Tangente: 158 Cálculo Integral 3 𝑣 ( ) (1 − 𝑣 2 )1/2 = +𝐶 3 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒗𝟑 +𝑪 𝟑(𝟏 − 𝒗𝟐 )𝟑/𝟐 1 v 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑣 = 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑣 = 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝟔𝟗. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ √1 − 𝑣 2 𝒆𝒕 √𝟗 + 𝒆𝟐𝒕 𝒅𝒕 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del segundo caso de sustitución trigonométrica: 3𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 =∫ = ∫ 𝑑𝑡 = 3𝑠𝑒𝑐 𝑡 √𝑢2 + 9 𝑑𝑢 𝒖 = 𝒆𝒕 ; 𝒅𝒖 = 𝒆𝒕 𝒅𝒕 = ∫ 𝑠𝑒𝑐𝑡 𝑑𝑡 = ln|sec 𝑡 + tan 𝑡 | + 𝐶 = Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Tangente y Secante: = ln | √𝑢2 + 9 + 𝑢 √𝑢2 + 9 𝑢 + | + 𝐶 = ln | |+ 𝐶 = 3 3 3 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝐥𝐧 | √𝒆𝟐𝒕 + 𝟗 + 𝒆𝒕 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑢 = 3 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑢 = 3 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑢 = 3 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝟑 |+ 𝑪 √𝑢 2 + 9 u 3 159 Cálculo Integral 𝒆𝒕 𝟕𝟎. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ (𝟏 𝟑 + 𝒆𝟐𝒕 )𝟐 𝒅𝒕 Solución.Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒆𝒕 ; 𝒅𝒖 = 𝒆𝒕 𝒅𝒕 =∫ 𝑑𝑢 3 (1 + 𝑢2 )2 = Se aplica la sustitución y simplificación del segundo caso de sustitución trigonométrica: =∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 1 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 𝐶 3 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑠𝑒𝑐 𝑡 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Seno: 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒆𝒕 √𝟏 + 𝒆𝟐𝒕 +𝑪 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑢 = tan 𝑡 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑢 = sec 𝑡 √𝑢 2 + 1 u 1 𝟕𝟏. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒚 𝒚√𝟏 + (𝒍𝒏 𝒚)𝟐 Solución.Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝟏 𝒖 = 𝒍𝒏 𝒚; 𝒅𝒖 = 𝒚 Se aplica la sustitución y simplificación del segundo caso de sustitución trigonométrica: ∫ 𝑑𝑢 √1 + 𝑢2 = ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑙𝑛 |𝑠𝑒𝑐 𝑡 + 𝑡𝑎𝑛 𝑡| + 𝐶 𝑠𝑒𝑐 𝑡 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Tangente y Secante: 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒍𝒏 |√𝟏 + 𝒍𝒏𝟐 𝒚 + 𝒍𝒏 𝒚| + 𝑪 160 Cálculo Integral 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑢 = 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑢 = 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝟕𝟐. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ √1 + 𝑢 2 u 1 𝒙𝟐 √𝟏𝟔 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del primer caso de sustitución trigonométrica: 42 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 =∫ . 4 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 16 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 𝑑𝑡 = 4 𝑐𝑜𝑠 𝑡 = 16 ∫ 1 − 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 𝑑𝑡 = 8 ∫(1 − 𝑐𝑜𝑠 2𝑡 )𝑑𝑡 2 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝟐𝒕; 𝒅𝒖 = 𝟐𝒅𝒕; 𝒅𝒕 = 𝒅𝒖 𝟐 ; 1 1 = 8 (∫ 𝑑𝑡 − ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑢 𝑑𝑡) = 8 (𝑡 − 𝑠𝑒𝑛 𝑢) + 𝐶 2 2 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Seno, Coseno y t: 𝒙 𝒙 √𝟏𝟔 − 𝒙 𝟐 𝒕 = 𝒔𝒆𝒏 −𝟏 ; 𝒔𝒆𝒏 𝒕 = ; 𝐜𝐨𝐬 𝒕 = 𝟒 𝟒 𝟒 𝑥 = 8 𝑡 − 4 𝑠𝑒𝑛 2𝑡 + 𝐶 = 8 𝑠𝑒𝑛−1 ( ) − 8 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 𝐶 4 2 𝑥 𝑥 √16 − 𝑥 )+𝐶 = 8 𝑠𝑒𝑛−1 ( ) − (8 . . 4 4 4 𝒙 𝟒 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟖 𝒔𝒆𝒏−𝟏 ( ) − 𝒙√𝟏𝟔 − 𝒙𝟐 +𝑪 𝟐 161 Cálculo Integral 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 4 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑥 = 4 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 4 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝟕𝟑. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 𝒙𝟐 √𝟒 − 𝒙𝟐 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del primer caso de sustitución trigonométrica: =∫ =∫ 2 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 (2 𝑐𝑜𝑠 𝑡) 22 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 1 𝐜𝐨𝐭 𝒕 = 𝑑𝑡 = 1 ∫ 𝑐𝑠𝑐 2 𝑡𝑑𝑡 = 1 cot 𝑡 + 𝐶; 4 4 4 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Cotangente: 𝑠𝑒𝑛 2 𝑡 √𝟒 − 𝒙 𝟐 𝒙 1 √4 − 𝑥 2 = ( )+𝐶 = 4 𝑥 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: √𝟒 − 𝒙𝟐 𝟒𝒙 +𝑪 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑥 = 2 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 2 cos 𝑡 𝟕𝟒. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ √𝟒 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 = 𝒙𝟐 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del primer caso de sustitución trigonométrica: 162 Cálculo Integral =∫ 2 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 ( ) 2 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑐𝑜𝑡2 𝑡 𝑑𝑡 = 22 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 = ∫(𝑐𝑠𝑐 2 𝑡 − 1) 𝑑𝑡 = ∫ 𝑐𝑠𝑐 2𝑡 𝑑𝑡 − ∫ 𝑑𝑡 = − 𝑐𝑜𝑡 𝑡 − 𝑡 + 𝐶 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Cotangente y t: √𝟒 − 𝒙 𝟐 𝒙 𝐜𝐨𝐭 𝒕 = ; 𝒕 = 𝒔𝒆𝒏−𝟏 ( ) 𝒙 𝟐 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − √𝟒 − 𝒙𝟐 𝒙 − 𝒔𝒆𝒏 −𝟏 ( ) + 𝑪 𝒙 𝟐 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑥 = 2 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 2 cos 𝑡 𝟕𝟓. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 𝒙√𝒙𝟐 + 𝟒 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del segundo caso de sustitución trigonométrica: 2 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 1 𝑠𝑒𝑐 𝑡 =∫ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 2 𝑡𝑎𝑛 𝑡 2𝑠𝑒𝑐 𝑡 2 𝑡𝑎𝑛 𝑡 1 1 1 𝑐𝑜𝑠 𝑡 1 1 1 = ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 2 𝑡𝑎𝑛 𝑡 2 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 2 𝑠𝑒𝑛 𝑡 1 1 = ∫ 𝑐𝑠𝑐 𝑡 𝑑𝑡 = (𝑙𝑛|𝑐𝑠𝑐 𝑡 − 𝑐𝑜𝑡 𝑡 |) + 𝐶 2 2 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Cotangente y Cosecante: 𝐜𝐬𝐜 𝒕 = 1 = 𝑙𝑛 | 2 √𝒙 𝟐 + 𝟒 𝒙 √𝑥 2 + 𝑥 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: ; 𝒄𝒐𝒕 𝒕 = 4 2 𝑥 2 − |+𝐶 𝑥 √𝒙𝟐 + 𝟒 − 𝟐 𝟏 𝒍𝒏 | |+𝑪 𝟐 𝒙 163 Cálculo Integral 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 2 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑥 = 2 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 2 sec 𝑡 𝟕𝟔. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙𝟐 √𝒙𝟐 + 𝟔 𝒅𝒙 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del segundo caso de sustitución trigonométrica: ∫ (√ 6 𝑡𝑎𝑛 𝑡)2 √6 𝑠𝑒𝑐 𝑡 √6 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑑𝑡 = 6 ∫ 𝑡𝑎𝑛2 𝑡 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡 = 6 ∫( 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 − 1) 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡 = 6 ∫( 𝑠𝑒𝑐 3 𝑡 − 𝑠𝑒𝑐 𝑡 ) 𝑑𝑡 = 6 (∫ 𝑠𝑒𝑐 3 𝑡 𝑑𝑡 − ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡) = 6 [(∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑑𝑡) − ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡] Se encuentran los valores de u, du, v y dv para aplicar la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝒔𝒆𝒄 𝒕; 𝒅𝒖 = 𝐬𝐞𝐜 𝒕 𝐭𝐚𝐧 𝒕 𝒅𝒕; ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝒕 ; 𝒗 = 𝒕𝒂𝒏 𝒕 = 6 [(∫ 𝑠𝑒𝑐 3 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝑡 − ∫ 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑡) − ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡] = 6 [(∫ 𝑠𝑒𝑐 3 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝑡 − ∫ 𝑡𝑎𝑛2 𝑡 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡) − ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡] = 6 [(∫ 𝑠𝑒𝑐 3 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝑡 − ∫ (𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 − 1)(𝑠𝑒𝑐 𝑡) 𝑑𝑡) − ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡] = 6 [(∫ 𝑠𝑒𝑐 3 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝑡 − ∫ 𝑠𝑒𝑐 3 𝑡 𝑑𝑡 + ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡) − ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡] = 6 [(∫ 𝑠𝑒𝑐 3 𝑡 𝑑𝑡 + ∫ 𝑠𝑒𝑐 3 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝑡 + ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡) − ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡] = 6 [(2 ∫ 𝑠𝑒𝑐 3 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝑡 + ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡) − ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡] 1 1 = 6 ( 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝑡 + ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡 − ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡) 2 2 164 Cálculo Integral 1 1 = 6 ( 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝑡 − ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡) 2 2 1 1 = 6 ( 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝑡 − 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐 𝑡 + 𝑡𝑎𝑛 𝑡| + 𝐶 ) 2 2 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Tangente y Secante: 𝒔𝒆𝒄 𝒕 = √𝒙 𝟐 + 𝟔 √𝟔 ; 𝒕𝒂𝒏 𝒕 = 𝒙 √𝟔 1 √𝑥 2 + 6 𝑥 1 √𝑥 2 + 6 𝑥 = 6( . . − 𝑙𝑛 | + | + 𝐶) 2 √6 √6 2 √6 √6 1 𝑥√𝑥 2 + 6 1 √𝑥 2 + 6 + 𝑥 | + 𝐶) = 6( . − 𝑙𝑛 | 2 6 2 √6 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: √𝒙𝟐 + 𝟔 + 𝒙 𝟏 𝒙√𝒙𝟐 + 𝟔 − 𝟑𝒍𝒏 | |+ 𝑪 𝟐 √𝟔 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = √6 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑥 = √6 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = √6 sec 𝑡 𝟕𝟕. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ √𝑥 2 + 6 𝒙 √𝒙𝟐 − 𝟐𝟓 𝒅𝒙 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del tercer caso de sustitución trigonométrica: =∫ 5 𝑠𝑒𝑐 𝑡 5 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑡 5 𝑡𝑎𝑛 𝑡 = ∫ 5 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑑𝑡 = 5 𝑡𝑎𝑛 𝑡 + 𝐶 = Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Tangente: √𝑥 2 − 25 +𝐶 5 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: √𝒙𝟐 − 𝟐𝟓 + 𝑪 =5 165 Cálculo Integral 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 5 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑥 = 5 sec 𝑡 tan 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 5 tan 𝑡 𝟕𝟖. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 √𝟒𝒙 + 𝒙𝟐 Solución.Se descompone el polinomio del denominador de la siguiente manera: =∫ 𝑑𝑥 √(𝑥 2 + 4𝑥 + 4 − 4) =∫ 𝑑𝑥 √(𝑥 + 2) 2 − 4 Se aplica la sustitución y simplificación del tercer caso de sustitución trigonométrica: =∫ 2 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 2 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡 = 2 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐 𝑡 + 𝑡𝑎𝑛 𝑡| + 𝐶 2 𝑡𝑎𝑛 𝑡 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Tangente y Secante: 𝒔𝒆𝒄 𝒕 = = 𝑙𝑛 | (𝒙 + 𝟐) √(𝒙 + 𝟐) 𝟐 − 𝟒 ; 𝐭𝐚𝐧𝒕 = 𝟐 𝟐 𝑥 + 2 √(𝑥 + 2) 2 − 4 + |+𝐶 2 2 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒍𝒏 | 𝒙 + 𝟐 + √(𝒙 + 𝟐) 𝟐 − 𝟒 |+𝑪 𝟐 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 + 2 = 2 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑥 = 2 sec 𝑡 tan 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 2 𝑡𝑎𝑛 𝑡 (𝑥 + 2) √( 𝑥 + 2) 2 − 4 2 166 Cálculo Integral 𝟕𝟗. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 (𝟐 + 𝒙𝟐 ) 𝟑⁄ 𝟐 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del segundo caso de sustitución trigonométrica: =∫ 𝑑𝑥 (2 + 1 𝑥 2 ) ⁄2 . 3 =∫ 𝑑𝑥 3 (√2 + 𝑥 2 ) 1 √2 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 1 𝑑𝑡 1 1 ∫ ∫ ∫ 𝑑𝑡 = 𝑑𝑡 = = 𝑑𝑡 3 2 √2𝑠𝑒𝑐 3 𝑡 2 𝑠𝑒𝑐 𝑡 2 𝑠𝑒𝑐 𝑡 (√2 𝑠𝑒𝑐 𝑡) 1 1 = ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 𝐶 2 2 =∫ √2 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Seno: 𝒙 1 𝑥 𝒔𝒆𝒏 𝒕 = ; . +𝐶= 2 √2 + 𝑥 2 √𝟐 + 𝒙 𝟐 𝒙 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟐√𝟐 + 𝒙𝟐 +𝑪 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = √2 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑥 = √2 sec 2 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = √2 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝟖𝟎. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ x 𝒅𝒙 (𝟒𝒙𝟐 − 𝟗) 𝟑⁄ 𝟐 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del tercer caso de sustitución trigonométrica: ∫ 𝑑𝑥 (4𝑥2 − 9) 1⁄ . 3 2 =∫ 𝑑𝑥 (√4𝑥 2 − 9) 3 3⁄ 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝑡 1 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝑡 1 𝑠𝑒𝑐 𝑡 =∫ 2 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 = ∫ 3 (3 𝑡𝑎𝑛 𝑡) 3 9 𝑡𝑎𝑛 𝑡 9 𝑡𝑎𝑛2 𝑡 167 Cálculo Integral 1 1 1 𝑐𝑜𝑠 𝑡 1 𝑐𝑜𝑠 𝑡 1 𝑐𝑜𝑠𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 = ∫ . 𝑑𝑡 2 2 9 𝑠𝑒𝑛 𝑡 9 𝑠𝑒𝑛 𝑡 9 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 1 1 1 = ∫ 𝑐𝑜𝑡 𝑡 𝑐𝑠𝑐 𝑡 𝑑𝑡 = . − 𝑐𝑠𝑐 𝑡 + 𝐶 = − 𝑐𝑠𝑐 𝑡 + 𝐶 9 9 9 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Cosecante: 𝟐𝒙 1 2𝑥 𝒄𝒔𝒄 𝒕 = =− . +𝐶= 9 √4𝑥 2 − 9 √𝟒𝒙 𝟐 − 𝟗 𝟐𝒙 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − +𝑪 𝟗√𝟒𝒙 𝟐 − 𝟗 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 3 2𝑥 = 3 𝑠𝑒𝑐 𝑡; 𝑥 = sec 𝑡 ; 𝑑𝑥 2 3 = sec 𝑡 tan 𝑡 𝑑𝑡 2 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 3 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝟖𝟏. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒘 𝒘𝟐 √𝒘𝟐 − 𝟕 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del tercer caso de sustitución trigonométrica: =∫ √ 7 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑡𝑎𝑛 𝑡 2 √7 (𝑠𝑒𝑐 𝑡) 2 ( √ 7 𝑡𝑎𝑛 𝑡) 1 𝑑𝑡 7 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ = 1 7 ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 = 1 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 𝐶 7 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Seno: √𝒘𝟐 − 𝟕 1 √𝑤2 − 7 𝒔𝒆𝒏 𝒕 = ; . +𝐶= 𝒘 7 𝑤 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: √𝒘𝟐 − 𝟕 𝟕𝒘 +𝑪 168 Cálculo Integral 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑤 = √7 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑑𝑤 = √7 sec 𝑡 tan 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑤 = √7 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝟖𝟐. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙 𝟑 ⁄ (𝟒−𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙) 𝟐 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del primer caso de sustitución trigonométrica: =∫ =∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 (4 − 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 ) 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 1⁄ . 3 2 3 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = =∫ 2 𝑐𝑜𝑠 𝑡 1 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 3 (2 𝑐𝑜𝑠 𝑡) 4 𝑐𝑜𝑠 3 𝑡 (√4 − 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 ) 1 1 1 1 = ∫ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑡𝑎𝑛 𝑡 + 𝐶 2 4 𝑐𝑜𝑠 𝑡 4 4 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Tangente: 𝒕𝒂𝒏 𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒕 = √𝟒 − 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝒕𝒂𝒏 𝒙 . +𝑪 𝟒 √𝟒 − 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 tan 𝑥 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑡 sec 2 𝑥 𝑑𝑥 = 2 cos 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 2 𝑐𝑜𝑠 𝑡 √4 − 𝑡𝑎𝑛 2 𝑥 169 Cálculo Integral 𝟖𝟑. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒛 (𝒛𝟐 − 𝟔𝒛 + 𝟏𝟖) 𝟑⁄ 𝟐 Solución.Se descompone el polinomio del denominador de la siguiente manera: =∫ =∫ =∫ 𝑑𝑧 3 + 9) ⁄2 (𝑧 2 − 6𝑧 + 9 𝑑𝑧 ((𝑧 3 − 3) 2 + 9) ⁄2 =∫ 𝑑𝑧 =∫ 3⁄ 2 ( (𝑧2 − 6𝑧 + 9) + 9) 𝑑𝑧 ((𝑧 − 3) 2 + 9) 1⁄ . 3 2 𝑑𝑧 3 (√(𝑧 − 3) 2 + 9) Se aplica la sustitución y simplificación del segundo caso de sustitución trigonométrica: =∫ 3 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 1 1 1 1 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 𝐶 (3 𝑠𝑒𝑐 𝑡) 3 9 𝑠𝑒𝑐 𝑡 9 9 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Seno: 𝒔𝒆𝒏𝒕 = 𝒛−𝟑 √ (𝒛−𝟑)𝟐+𝟗 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: ; 1 . 𝑧 −3 9 √ ( 𝑧−3) 2 +9 𝒛−𝟑 𝟗√(𝒛 − 𝟑)𝟐 + 𝟗 +𝐶 = +𝑪 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑧 − 3 = 3 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑧 = 3𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑧 − 3 = 3 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝟖𝟒. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 𝒙𝟒√𝟏𝟔 + 𝒙𝟐 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del segundo caso de sustitución trigonométrica: =∫ 4 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 1 𝑠𝑒𝑐 𝑡 ∫ 𝑑𝑡 = 𝑑𝑡 4 (4 𝑡𝑎𝑛 𝑡) (4 𝑠𝑒𝑐 𝑡) 256 𝑡𝑎𝑛4 𝑡 170 Cálculo Integral 1 1 1 ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑡 ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝑐𝑜𝑡 4𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 = 4 256 𝑡𝑎𝑛 𝑡 256 1 1 𝑐𝑜𝑠 4𝑡 1 ∫ ∫ 𝑠𝑒𝑛−4 𝑡 𝑐𝑜𝑠 3 𝑡 𝑑𝑡 = . 𝑑𝑡 = 4 256 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 256 1 ∫ 𝑠𝑒𝑛−4 𝑡 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 = 256 1 ∫(1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑡)𝑠𝑒𝑛−4 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 = 256 = Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒔𝒆𝒏 𝒕; 𝒅𝒖 = 𝒄𝒐𝒔 𝒕 1 1 ∫(1 − 𝑢2 )𝑢−4 𝑑𝑢 = ∫(𝑢−4 − 𝑢−2 ) 𝑑𝑢 256 256 1 1 𝑢−3 (∫ 𝑢−4 𝑑𝑢 − ∫ 𝑢−2 𝑑𝑢) = (− = + 𝑢−1 ) + 𝐶 256 256 3 1 𝑠𝑒𝑛−3 𝑡 1 1 1 (− (− )+𝐶 = + 𝑠𝑒𝑛−1 𝑡) + 𝐶 = + 3 256 3 256 3𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 = Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Seno: 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒕 = ; √𝟏𝟔 + 𝒙 𝟐 = 1 − 256 1 1 +𝐶 3+ 𝑥 𝑥 ) 3( 2 √16 + 𝑥 √16 + 𝑥 2 ( ) 1 √16 + 𝑥 2 + +𝐶 3𝑥 3 𝑥 (16 + 𝑥 2 )√16 + 𝑥 2 ( ) (16 + 𝑥 2 )√16 + 𝑥 2 √16 + 𝑥 2 1 (− )+𝐶 = + 256 3𝑥 3 𝑥 = 1 − 256 1 16 + 𝑥 2 √16 + 𝑥 2 + 3𝑥 2 √16 + 𝑥 2 (− )+𝐶 256 3𝑥 3 1 = (−(16 + 𝑥 2 ) √16 + 𝑥 2 + 3𝑥 2 √16 + 𝑥 2 ) + 𝐶 768𝑥 3 1 (√16 + 𝑥 2 (−16 − 𝑥 2 + 3𝑥 2 )) + 𝐶 = 768𝑥 3 = 171 Cálculo Integral 1 √16 + 𝑥 2 (2𝑥 2 − 16) + 𝐶 768𝑥 3 1 = . 2√16 + 𝑥 2 (𝑥 2 − 8) + 𝐶 768𝑥 3 √𝟏𝟔 + 𝒙𝟐 (𝒙𝟐 − 𝟖 ) 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: +𝑪 𝟓 = 𝟑𝟖𝟒𝒙 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 4 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑧 = 4 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 4 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝟖𝟓. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ Solución.- =∫ 𝒅𝒙 (𝟏𝟔 + 𝒙𝟐 ) 𝑑𝑧 1 (16 + 𝑥 2 ) ⁄2 . 3 =∫ 𝟑⁄ 𝟐 𝑑𝑧 (16 + 𝑥 2 ) 3 Se aplica la sustitución y simplificación del segundo caso de sustitución trigonométrica: =∫ 4 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 1 1 1 1 ∫ ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑑𝑡 = 𝑑𝑡 = 𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 𝐶 3 (4 𝑠𝑒𝑐 𝑡) 16 𝑠𝑒𝑐 𝑡 16 16 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Seno: 𝒙 1 𝑥 𝒔𝒆𝒏 𝒕 = ;= . +𝐶= 𝟐 16 √𝟏𝟔 + 𝒙 √16 + 𝑥 2 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒙 𝟏𝟔√𝟏𝟔 + 𝒙𝟐 +𝑪 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 4 𝑡𝑎𝑛 𝑡 𝑑𝑧 = 4 𝑠𝑒𝑐 2 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 4 𝑠𝑒𝑐 𝑡 172 Cálculo Integral 𝟖𝟔. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙𝟑 √𝟏𝟔 − 𝒙𝟐 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del primer caso de sustitución trigonométrica: (4 𝑠𝑒𝑛 𝑡)3 ∫ . 4 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 64 𝑠𝑒𝑛3 𝑡 𝑑𝑡 4 𝑐𝑜𝑠 𝑡 = 64 ∫ 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑡 = 64 ∫(1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡) 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑡 = 64 ∫( 𝑠𝑒𝑛 𝑡 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 ) 𝑑𝑡 = 64 (∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑡 − ∫ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑡) = Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒄𝒐𝒔 𝒕; 𝒅𝒖 = − 𝒔𝒆𝒏 𝒕 = 64 (∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑡 + ∫ 𝑢2 𝑑𝑢) = 64 (− 𝑐𝑜𝑠 𝑡 + 𝑢3 𝑐𝑜𝑠 3 𝑡 ) + 𝐶 = 64 (− 𝑐𝑜𝑠 𝑡 + )+𝐶 3 3 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Coseno: √𝟏𝟔 − 𝒙 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝒕 = ; 𝟒 3 √16 − 𝑥 2 (√16 − 𝑥 2 ) ( )+ 𝐶 = 64 − + 4 3. 43 = 64 (− √16 − 𝑥 2 (16 + 𝑥 2 )√16 − 𝑥 2 )+ 𝐶 + 4 3 . 64 = (−16√16 − 𝑥 2 + =( (16 + 𝑥 2 )√16 − 𝑥 2 )+𝐶 3 −48√16 − 𝑥 2 + (16 + 𝑥 2 )√16 − 𝑥 2 )+𝐶 3 1 = (−48√16 − 𝑥 2 + (16 + 𝑥 2 )√16 − 𝑥 2 ) + 𝐶 3 1 = √16 − 𝑥 2 (48 − 16 + 𝑥 2 ) + 𝐶 3 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 √𝟏𝟔 − 𝒙𝟐 (𝒙𝟐 + 𝟑𝟐) + 𝑪 𝟑 173 Cálculo Integral 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 4 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑧 = 4 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 4 𝑠𝑒𝑐 𝑡 𝒅𝒙 𝟖𝟕. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟑 (𝟓 − 𝒙𝟐 )𝟐 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del primer caso de sustitución trigonométrica: =∫ √ 5 𝐶𝑜𝑠(𝑡) 3 𝑑𝑡 = (√ 5 𝐶𝑜𝑠(𝑡)) 1 = 𝑇𝑎𝑛(𝑡) + 𝐶 = 5√ 5 √5 √53 ∫ 𝑆𝑒𝑐 2 𝑡 𝑑𝑡 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Tangente: 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝒙 +𝑪 𝟓√𝟓 √𝟓 − 𝒙𝟐 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = √5𝑆𝑒𝑛 (𝑡); 𝑥 = √5 𝐶𝑜𝑠(𝑡) 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = √5𝐶𝑜𝑠(𝑡) √5 X √5 − 𝑥 2 174 Cálculo Integral 𝒎𝟐 𝟖𝟖. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟑 𝒅𝒎 ( 𝒎𝟐 + 𝟖 ) 𝟐 Solución.- =∫ 𝑚2 𝑑𝑚 ((𝑚2 1 3 + 8) 2 ) Se aplica la sustitución y simplificación del segundo caso de sustitución trigonométrica: =∫ 8 𝑇𝑎𝑛2 (𝑡) 8 8 𝑇𝑎𝑛 2 (𝑡) 2 (𝑡)𝑑𝑡 = √ ∫ √8 𝑆𝑒𝑐 𝑑𝑡 3 3 𝑆𝑒𝑐 (𝑡) √8 ( ) (√8𝑆𝑒𝑐 𝑡 ) 𝑆𝑒𝑛2 (𝑡) 8√8 𝐶𝑜𝑠2 (𝑡) 8√8 𝑆𝑒𝑛2 (𝑡) 8 √8 1 − 𝐶𝑜𝑠 2(𝑡) ∫ ∫ ∫ = 𝑑𝑡 = 𝑑𝑡 = 𝑑𝑡 1 𝐶𝑜𝑠(𝑡) √83 √83 𝐶𝑜𝑠 (𝑡) √83 𝐶𝑜𝑠(𝑡) 8√8 1 [∫ = 𝑑𝑡 − ∫ 𝐶𝑜𝑠(𝑡) 𝑑𝑡] = ln(sec 𝑡 + tan 𝑡) − 𝑆𝑒𝑛𝑡 + 𝐶 3 𝐶𝑜𝑠 𝑡 √8 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Seno, Tangente y Secante: √𝒎𝟐 + 𝟖 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝐥𝐧 ( √𝟖 + 𝒎 √𝟖 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑚 = √8 𝑇𝑎𝑛(𝑡); 𝑑𝑚 = √8 𝑆𝑒𝑐 2 (𝑡) 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = √8 𝑆𝑒𝑐 (𝑡) 𝟖𝟗. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ )− 𝒎 √𝒎𝟐 + 𝟖 +𝑪 √ 𝑚2 + 8 m √8 𝒅𝒛 √(𝟒 − 𝒛𝟐 )𝟑 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del segundo caso de sustitución trigonométrica: 175 Cálculo Integral ∫ 2𝐶𝑜𝑠(𝑡) 3 (2𝐶𝑜𝑠(𝑡)) 𝑑𝑡 = 2 1 ∫ 𝑆𝑒𝑐 2 (𝑡)𝑑𝑡 = 𝑇𝑎𝑛(𝑡) + 𝐶 = 8 4 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Tangente: 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒛 +𝑪 𝟒(√𝟒 − 𝒛𝟐 ) 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑧 = 2 𝑆𝑒𝑛(𝑡) 𝑑𝑧 = 2 𝐶𝑜𝑠 𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑧 = 2 𝐶𝑜𝑠(𝑡) 𝟗𝟎. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 2 𝑧 √4 − 𝑧 2 𝒅𝒚 √(𝟒𝒚 − 𝒚𝟐 )𝟑 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del primer caso de sustitución trigonométrica: =∫ 8𝑆𝑒𝑛(𝑡)𝐶𝑜𝑠(𝑡) 𝑑𝑡 (2𝑆𝑒𝑛(𝑡))(4 𝐶𝑜𝑠 2 (𝑡))3 𝟏 √𝟒𝒚 − 𝒚𝟐 = √𝒚(𝟒 − 𝒚) = (𝒚𝟐 √𝟒 − 𝒚) = 8 𝑑𝑡 1 1 ∫ ∫ 𝑆𝑒𝑐 5 (𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑆𝑒𝑐 3 (𝑡) 𝑆𝑒𝑐 2 (𝑡) 𝑑𝑡 = 6 ( ) ( ) 2 64 𝐶𝑜𝑠 𝑡 16 16 Se encuentran los valores de u, du, v y dv, para aplicarlos en la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝑺𝒆𝒄 𝟑 (𝒕) ; 𝒅𝒖 = 𝟑 𝑺𝒆𝒄 𝟐 (𝒕) 𝑺𝒆𝒄 𝒕 𝑻𝒂𝒏 𝒕; 𝒅𝒗 = 𝑺𝒆𝒄 𝟐 (𝒕) ; 𝒗 = 𝐓𝐚𝐧 𝒕 1 [𝑆𝑒𝑐 3 (𝑡)𝑇𝑎𝑛 𝑡 − ∫ 3 tan2 𝑡 𝑆𝑒𝑐 3 (𝑡) 𝑑𝑡 ] = 16 1 [𝑆𝑒𝑐 3 (𝑡)𝑇𝑎𝑛 𝑡 − ∫ 3 (𝑆𝑒𝑐 2 𝑡 − 1 ) 𝑆𝑒𝑐 3 (𝑡) 𝑑𝑡 ] = = 16 1 [𝑆𝑒𝑐 3 (𝑡)𝑇𝑎𝑛 𝑡 − 3 ∫ 𝑆𝑒𝑐 5 𝑡 𝑑𝑡 + 3 ∫ 𝑆𝑒𝑐 3 𝑡 𝑑𝑡 ] = = 16 1 1 3 [ 𝑆𝑒𝑐 3 (𝑡)𝑇𝑎𝑛 𝑡 + (Sec 𝑡 Tan 𝑡 + ln(𝑆𝑒𝑐 𝑡 + 𝑇𝑎𝑛 𝑡))] = = 16 4 8 = Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Tangente y Secante: 176 Cálculo Integral 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝒚 ⁄𝟐 𝟑 𝟐𝒚 ⁄𝟐 𝟐 + 𝒚 ⁄𝟐 ( ( ))] + 𝐶 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂:[ + + 𝐥𝐧 𝟖 √𝟒 − 𝒚𝟒 𝟏𝟐𝟖 𝟒 − 𝒚 √𝟒 − 𝒚 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 1 2 √4 − 𝑦 = 𝑦 2 = (2𝑆𝑒𝑛(𝑡)) 𝑦 = 4 (𝑆𝑒𝑛(𝑡)) 2 ; 𝑑𝑦 = 8𝑆𝑒𝑛(𝑡)𝐶𝑜𝑠(𝑡) 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 2 1 𝑦2 1 (𝑦 2 ) 2 = (2 cos(𝑡)) 2 𝑦 = 4 𝐶𝑜𝑠 2 (𝑡) 𝟗𝟏. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ ( √4 − 𝑦) 𝒚 𝒅𝒚 𝟏 + 𝒚𝟒 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del segundo caso de sustitución trigonométrica: =∫ = 1 1 1 𝑇𝑎𝑛(𝑡)2 2 𝑇𝑎𝑛(𝑡)−2 𝑆𝑒𝑐 2 (𝑡)𝑑𝑡 (𝑆𝑒𝑐(𝑡))2 1 𝑡 ∫ 𝑑𝑡 = = 2 2 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función t: 𝑻𝒂𝒏 −𝟏 (𝒚𝟐) 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: +𝑪 𝟐 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 1 √1 + (y 2)2 = (y 2 )2 1 y = (Tan (t))2 ; 1 1 − ( ( )) dy = Tan t 2 Sec 2 (t)dt 2 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 y 2 = 1 Sec(t) √1 + (𝑦 2 ) 2 𝑦2 1 177 Cálculo Integral 𝟗𝟐. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ (𝒛𝟐 𝟏 𝒅𝒛 − 𝟐𝒛 + 𝟓)𝟐 Solución.Se descompone el polinomio del denominador de la siguiente manera: 𝒛𝟐 − 𝟐𝒛 + 𝟏 + 𝟒; (𝒛 − 𝟏) 𝟐 + 𝟒; √(𝑧 − 1) 2 + 4; =∫ 𝑑𝑧 (√(𝑧 − 1)2 + 2) 4 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝟐𝒕; 𝒅𝒖 = 𝟐𝒅𝒕 𝒛 − 𝟏 = 𝒗; 𝒛 = 𝒗 + 𝟏; 𝒅𝒛 = 𝒅𝒗 =∫ 𝑑𝑣 4 √𝑣 2 + 2 = Se aplica la sustitución y simplificación del segundo caso de sustitución trigonométrica: 2𝑆𝑒𝑐 2 (𝑡) 2 ∫ 𝐶𝑜𝑠 2 (𝑡)𝑑𝑡 𝑑𝑡 = 4 (2𝑆𝑒𝑐 (𝑡)) 16 1 1 + 𝐶𝑜𝑠(2𝑡) 1 𝑑𝑡 𝐶𝑜𝑠(2𝑡) ) 𝑑𝑡 = [∫ = ∫( +∫ 𝑑𝑡] 8 2 8 2 2 1 1 1 1 𝑡 1 = [ 𝑡 + ∫ 𝐶𝑜𝑠(𝑢)𝑑𝑢] == [ + 𝑆𝑒𝑛(2𝑡)] + 𝐶 8 2 4 8 2 4 𝑡 𝑆𝑒𝑛(2𝑡) = + +𝐶 = 16 32 =∫ Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Seno y t: = 1 𝑣 1 𝑇𝑎𝑛−1 ( ) + 2𝑆𝑒𝑛(𝑡)𝐶𝑜𝑠(𝑡) 16 2 32 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝒛− 𝟏 𝟏 𝒛 −𝟏 𝟐 𝑻𝒂𝒏 −𝟏 ( )+ ( )( )+ 𝑪 𝟏𝟔 𝟐 𝟏𝟔 √(𝒛 − 𝟏)𝟐 + 𝟒 √(𝒛 − 𝟏)𝟐 + 𝟒 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑣 = 2𝑇𝑎𝑛(𝑡); 𝑑𝑣 = 2𝑆𝑒𝑐 2 (𝑡)𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑣 = 2𝑆𝑒𝑐(𝑡) 178 Cálculo Integral 𝟗𝟑. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙𝟐 𝟏 𝒅𝒙 −𝟏 Solución.Se aplica el siguiente artificio matemático: =∫ 𝑑𝑥 = 2 (√𝑥 2 − 2) Se aplica la sustitución y simplificación del tercer caso de sustitución trigonométrica: 1 𝑆𝑒𝑐 (𝑡)𝑇𝑎𝑛(𝑡)𝑑𝑡 𝑆𝑒𝑐 (𝑡) 𝐶𝑜𝑠(𝑡) =∫ =∫ 𝑑𝑡 = ∫ 2 𝑆𝑒𝑛(𝑡) (𝑇𝑎𝑛(𝑡)) 𝑇𝑎𝑛 (𝑡) 𝐶𝑜𝑠(𝑡) =∫ 1 𝑑𝑡 = ∫ 𝐶𝑠𝑐(𝑡)𝑑𝑡 = ln|𝐶𝑠𝑐(𝑡) − 𝐶𝑜𝑡(𝑡)| = 𝑆𝑒𝑛(𝑡) Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Seno y t: 𝒙 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝐥𝐧 | √𝒙𝟐 − 𝟏 − 𝟏 √𝒙𝟐 − 𝟏 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 1 𝑆𝑒𝑐(𝑡); 𝑑𝑥 = 𝑆𝑒𝑐(𝑡)𝑇𝑎𝑛 (𝑡)𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 1 𝑇𝑎𝑛(𝑡) |+𝑪 x √𝑥 2 − 1 1 𝟗𝟒. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 √𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟏𝟑 Solución.Se descompone el polinomio del denominador de la siguiente manera: 𝒙𝟐 − 𝟔𝒙 + 𝟗 + 𝟒 = √(𝒙 − 𝟑) 𝟐 + 𝟒; Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒗 = 𝒙 − 𝟑; 𝒅𝒗 = 𝒅𝒙 =∫ 𝑑𝑣 √𝑣 2 + 4 Se aplica la sustitución y simplificación del segundo caso de sustitución trigonométrica: 179 Cálculo Integral =∫ 2 𝑆𝑒𝑐 2 (𝑡) 𝑑𝑡 = ∫ 𝑆𝑒𝑐(𝑡)𝑑𝑡 = ln |𝑆𝑒𝑐(𝑡) + 𝑇𝑎𝑛(𝑡)| 2 𝑆𝑒𝑐(𝑡) Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Tangente y Secante: √(𝒙 − 𝟑)𝟐 + 𝟒 𝒙 − 𝟑 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝐥𝐧 | + |+𝑪 𝟐 𝟐 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑣 = 2 𝑡𝑎𝑛(𝑡); 𝑑𝑣 = 2𝑆𝑒𝑐 2 (𝑡)𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑣 = 2𝑆𝑒𝑐(𝑡) √𝑣 2 + 4 v 2 𝟐 𝟗𝟓. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙 √𝟐𝟏 + 𝟒𝒙 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 Solución.Se descompone el polinomio del denominador de la siguiente manera: 𝟐𝟏 + 𝟒𝒙 − 𝒙 𝟐 = 𝟐𝟓 − (𝒙 − 𝟐)𝟐 ; =∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 √25 − (𝑥 − 2)2 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒙 − 𝟐; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; 𝒙 = 𝒖 + 𝟐 =∫ (𝑢 + 2) 2 𝑢2 + 4𝑢 + 4 √25 − 𝑢 √25 − 𝑢2 =∫ 2 𝑑𝑢 Se aplica la sustitución y simplificación del primer caso de sustitución trigonométrica: =∫ (5𝑆𝑒𝑛(𝑡) ) 2 + 4(5𝑆𝑒𝑛(𝑡)) + 4 5𝐶𝑜𝑠(𝑡)𝑑𝑡 5𝐶𝑜𝑠(𝑡) = 25 ∫ 𝑆𝑒𝑛2 (𝑡) + 20 ∫ 𝑆𝑒𝑛(𝑡)𝑑𝑡 + 4 ∫ 𝑑𝑡 (1 − 𝐶𝑜𝑠(2𝑡) 𝑑𝑡 + 20 (−𝐶𝑜𝑠(𝑡)) + 4𝑡 2 25 25 = 𝑡 − 𝑆𝑒𝑛(𝑡)𝐶𝑜𝑠(𝑡) − 20𝐶𝑜𝑠(𝑡) + 4𝑡 2 2 = 25 ∫ Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Seno, Coseno y t: 180 Cálculo Integral 25 𝑢 25 𝑢 √25 − 𝑢2 √25 − 𝑢2 𝑢 Sen−1 ( ) − ( ) − 20 + 4𝑆𝑒𝑛−1 ( ) 2 5 2 5 5 5 5 𝟐 (𝒙 − 𝟐)√𝟐𝟓 − (𝒙 − 𝟐 ) 𝟑𝟑 𝒙− 𝟐 )− 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝑺𝒆𝒏−𝟏 ( = 𝟐 𝟓 − 𝟐𝟎 𝟐 √𝟐𝟓−(𝒙 − 𝟐)𝟐 𝟓 +𝑪 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑢 = 5 𝑆𝑒𝑛(𝑡); 𝑑𝑢 = 5 𝐶𝑜𝑠(𝑡) 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑢 = 5 𝐶𝑜𝑠(𝑡) 5 𝑢 √25 − 𝑢 2 𝟗𝟔. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ √𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 𝒅𝒙 𝒙 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del primer caso de sustitución trigonométrica: =5∫ 𝐶𝑜𝑠 2 (𝑡) 1 − 𝑆𝑒𝑛2 (𝑡) 𝑑𝑡 = 5 ∫ 𝑑𝑡 = 𝑆𝑒𝑛 (𝑡) 𝑆𝑒𝑛(𝑡) Se aplica la identidad trigonométrica pitagórica: 𝑺𝒆𝒏 𝟐 (𝒕) + 𝑪𝒐𝒔 𝟐 (𝒕) = 𝟏; 𝑪𝒐𝒔 𝟐 (𝒕) = 𝟏 − 𝑺𝒆𝒏𝟐 (𝒕) 1 𝑆𝑒𝑛2 (𝑡) 𝑑𝑡 − ∫ 𝑑𝑡] = 5 [∫ 𝐶𝑠𝑐(𝑡)𝑑𝑡 − ∫ 𝑆𝑒𝑛(𝑡)𝑑𝑡] 𝑆𝑒𝑛(𝑡) 𝑆𝑒𝑛(𝑡) = 5 ln|𝐶𝑠𝑐(𝑡) − 𝐶𝑜𝑡(𝑡)| + 5 𝐶𝑜𝑠(𝑡) = 5 [∫ Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Cotangente y Cosecante: 𝟓 𝒙 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟓𝐥𝐧 | − 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 5 𝑆𝑒𝑛(𝑡); 𝑑𝑥 = 5 𝐶𝑜𝑠(𝑡) 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = 5 𝐶𝑜𝑠(𝑡) √𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 𝒙 Coseno y | + √𝟐𝟓 − 𝒙𝟐 + 𝑪 5 X √25 − 𝑥 2 181 Cálculo Integral 𝟗𝟕. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟑 √𝟗𝒓𝟐 − 𝟏 𝒅𝒓 Solución.Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝟑𝒓; 𝒅𝒖 = 𝟑𝒅𝒓 =3∫ 𝑑𝑟 √9𝑟2 − 1 =∫ 𝑑𝑢 √𝑢2 − 1 Se aplica la sustitución y simplificación del tercer caso de sustitución trigonométrica: =∫ 𝑆𝑒𝑐 𝑟 𝑇𝑎𝑛 𝑟 𝑑𝑟 = ln|𝑆𝑒𝑐 𝑟 + 𝑇𝑎𝑛 𝑟| + 𝐶 𝑇𝑎𝑛 𝑟 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Tangente: Secante y 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝐥𝐧 |𝟑𝒓 + √𝟗𝒓𝟐 − 𝟏| + 𝑪 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑢 = 𝑆𝑒𝑐(𝑟) ; 𝑑𝑢 = 𝑆𝑒𝑐 𝑟 𝑇𝑎𝑛 𝑟 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑢 = 𝑇𝑎𝑛 𝑟 u √𝑢 2 − 1 1 𝟗𝟖. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ √𝒙 𝒅𝒙 √𝟏 − 𝒙 Solución.Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = √𝒙 ; 𝒖𝟐 = 𝒙; 𝟐𝒖𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 =∫ 𝑢 . 2𝑢𝑑𝑢 √1 − 𝑢2 = 2∫ 𝑢2 𝑑𝑢 √1 − 𝑢2 𝑑𝑢 Se aplica la sustitución y simplificación del primer caso de sustitución trigonométrica: = 2∫ 𝑆𝑒𝑛2 (𝑡)𝐶𝑜𝑠(𝑡) 1 − 𝐶𝑜𝑠(2𝑡) 𝑑𝑡 = 2 ∫ 𝑑𝑡 𝐶𝑜𝑠(𝑡) 2 = ∫ 𝑑𝑡 − ∫ 𝐶𝑜𝑠(2𝑡)𝑑𝑡 = 𝑡 − 𝑆𝑒𝑛(𝑡)𝐶𝑜𝑠(𝑡) + 𝐶 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Seno, Coseno y t: 182 Cálculo Integral 2 = 𝑆𝑒𝑛−1 (𝑢) − 𝑢√1 − 𝑢2 + 𝐶 = 𝑆𝑒𝑛−1 (√𝑥) − √𝑥 √1 − √𝑥 + 𝐶 = 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: (√𝒙) − √𝒙√𝟏 − 𝒙 + 𝑪 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑢 = 𝑆𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑢 = 𝐶𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑢 = 𝐶𝑜𝑠 𝑡 1 u √1 − 𝑢 2 𝟗𝟗. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 𝒙√𝒙𝟐 − 𝟐 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del tercer caso de sustitución trigonométrica: =∫ √2𝑆𝑒𝑐 (𝑡)𝑇𝑎𝑛(𝑡)𝑑𝑡 2 √ 2 𝑆𝑒𝑐 (𝑡)𝑇𝑎𝑛(𝑡) = 1 √2 ∫ 𝑑𝑡 = 1 √2 𝑡+𝐶= Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Seno, Coseno y t: 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝒙 𝑺𝒆𝒄−𝟏 ( ) + 𝑪 √𝟐 √𝟐 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = √2 𝑆𝑒𝑐(𝑡) 𝑑𝑥 = √2 𝑆𝑒𝑐(𝑡)𝑇𝑎𝑛(𝑡) 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = √2 𝑇𝑎𝑛 (𝑡) x √𝒙𝟐 − 𝟐 √𝟐 183 Cálculo Integral 𝟏𝟎𝟎. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒚𝟐 √𝟔 − 𝒚𝟐 𝒅𝒚 Solución.Se aplica la sustitución y simplificación del primer caso de sustitución trigonométrica: =∫ 6𝑆𝑒𝑛2 (𝑡) √6𝐶𝑜𝑠(𝑡)𝑑𝑡 = 6 ∫ 𝑆𝑒𝑛2 (𝑡)𝑑𝑡 ( ) √6𝐶𝑜𝑠 𝑡 = 6∫ 1 − 𝐶𝑜𝑠(2𝑡) 1 𝐶𝑜𝑠(2𝑡) 𝑑𝑡 = 6[∫ 𝑑𝑡 − ∫ 𝑑𝑡 ] = 2 2 2 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝟐𝒕; 𝒅𝒖 = 𝟐 𝒅𝒕 1 1 1 = 6(∫ 𝑑𝑡 − ( )( ) ∫ 𝐶𝑜𝑠(𝑢)𝑑𝑢 2 2 2 𝑡 1 3 = 6 [ − 𝑆𝑒𝑛 (2𝑡)] = 3𝑡 − 𝑆𝑒𝑛(2𝑡) + 𝐶 2 4 2 3 = 3𝑡 − 2 𝑆𝑒𝑛(𝑡)𝐶𝑜𝑠(𝑡) + 𝐶 = 3𝑡 − 3𝑆𝑒𝑛(𝑡)𝐶𝑜𝑠(𝑡) + 𝐶 2 Se utiliza la gráfica para determinar el valor de la función Seno , Coseno y t: 𝒚 𝒚 = √𝟔 𝑺𝒆𝒏 (𝒕 ) ; 𝒕 = 𝑺𝒆𝒏 −𝟏 ( ) √𝟔 𝑦 𝑦 √𝑦 2 − 6 )+ 𝐶 = 3𝑆𝑒𝑛 −1 ( ) − 3 ( ) ( √6 √6 √6 𝑦 𝑦√𝑦 2 − 6 ) = 3𝑆𝑒𝑛 −1 ( ) − 3 ( 6 √6 𝒚 𝒚 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟑𝑺𝒆𝒏−𝟏 ( ) − √𝒚𝟐 − 𝟔 + 𝑪 𝟐 √𝟔 𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = √6 𝑆𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑥 = √6 𝐶𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 𝑺𝒊𝒎𝒑𝒍𝒊𝒇𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑥 = √6 𝐶𝑜𝑠 𝑡 √6 y √𝑦 2 − 6 184 Cálculo Integral 4.2 EJERCICIOS PROPUESTOS SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA: DE Utilizando la técnica de integración de la sustitución trigonométrica, resuelva las siguientes integrales: 𝑑𝜌 1. − ∫ 2 𝜌 + 4 𝜌+9 𝑆𝑒𝑛 𝜃 2. − ∫ 𝑑𝜃 √𝐶𝑜𝑠 2 𝜃 + 4 𝐶𝑜𝑠𝜃 + 1 4 𝛽2 3. − ∫ 3 𝑑𝛽 2 (1 − 𝛽 )2 𝑑𝑚 4. − ∫ 𝑚 √(1 + ln 𝑚)2 𝑑𝜔 5. − ∫ √5 + 4 𝜔 − 𝜔2 Respuestas a los ejercicios propuestos 1: 1 √5 𝑇𝑎𝑛−1 ( 𝜌+2 √5 )+𝐶 (𝐶𝑜𝑠 𝜃 + 2) + √(𝐶𝑜𝑠 𝜃 + 2)2 − 3 2: − ln | |+𝐶 √3 3: 4𝛽 √1 − 𝛽2 − 4 𝑆𝑒𝑛 −1 𝛽 + 𝐶 4: ln |√1 + (ln 𝑚)2 + ln 𝑚| + 𝐶 5: 𝑆𝑒𝑛−1 ( 𝜔−2 )+𝐶 3 185 Cálculo Integral 5. INTEGRACIÓN TRIGONOMÉTRICA Según (Demidovich, B. et al., 2001) esta técnica se utiliza básicamente cuando encontramos el producto de potencias trigonométricas. Para el proceso de integración se necesitará de identidades trigonométricas pitagóricas, del ángulo doble, del ángulo medio, etc. 𝑆𝑒𝑛2 𝑥 + 𝐶𝑜𝑠 2 𝑥 = 1 1 + 𝑇𝑎𝑛2 𝑥 = 𝑆𝑒𝑐 2 𝑥 1 + 𝐶𝑜𝑡 2 𝑥 = 𝐶𝑠𝑐 2 𝑥 𝑆𝑒𝑛2 𝑥 = 1−𝐶𝑜𝑠 2𝑥 𝐶𝑜𝑠 2 𝑥 = 1+𝐶𝑜𝑠 2𝑥 2 2 Caso 1 ∫ 𝑆𝑒𝑛𝑛 𝑥 𝑑𝑥 𝑜 ∫ 𝐶𝑜𝑠 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 impar cuando n es un numero positivo 𝑆𝑒𝑛𝑛 𝑥 = 𝑆𝑒𝑛𝑛 −1 𝑥 𝑆𝑒𝑛 𝑥 = (𝑆𝑒𝑛2 𝑥) 𝐶𝑜𝑠 2 𝑥) (𝑛−1) 2 (𝑛−1) 𝑆𝑒𝑛2 𝑥) 2 𝑆𝑒𝑛 𝑥 = (1 − 𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑛 𝑥 = 𝐶𝑜𝑠 𝑛−1 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑥 = (𝐶𝑜𝑠 2 𝑥) (𝑛−1) 2 (𝑛−1) 2 𝐶𝑜𝑠 𝑥 = (1 − 𝐶𝑜𝑠 𝑥 186 Cálculo Integral Caso 2 Identidades trigonométricas del ángulo medio ∫ 𝑆𝑒𝑛𝑛 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑚 𝑥 𝑑𝑥 cuando uno de los exponentes es un entero positivo impar Si n es impar 𝑆𝑒𝑛𝑛 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑚 𝑥 = 𝑆𝑒𝑛𝑛 −1 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑚 𝑥 𝑆𝑒𝑛 𝑥 = (𝑆𝑒𝑛2 𝑥) 𝐶𝑜𝑠 2 𝑥) ( 𝑛−1) (𝑛−1) 2 2 𝐶𝑜𝑠 𝑚 𝑥 𝑆𝑒𝑛 𝑥 = (1 − 𝐶𝑜𝑠 𝑚 𝑥 𝑆𝑒𝑛 𝑥 Si m es impar 𝑆𝑒𝑛𝑛 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑚 𝑥 = 𝑆𝑒𝑛𝑛 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑚−1 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑥 = 𝑆𝑒𝑛𝑛 𝑥 (𝐶𝑜𝑠 2 𝑥) 𝑆𝑒𝑛2 𝑥) (𝑚−1) 2 (𝑚−1) 2 𝐶𝑜𝑠 𝑥 = 𝑆𝑒𝑛𝑛 𝑥 (1 − 𝐶𝑜𝑠 𝑥 Caso 3 ∫ 𝑆𝑒𝑛𝑛 𝑥 𝑑𝑥 ; ∫ 𝐶𝑜𝑠 𝑚 𝑥 𝑑𝑥 ; ∫ 𝑆𝑒𝑛𝑛 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑚 𝑥 𝑑𝑥 cuando m y n son enteros positivos pares 𝑛 2 𝑆𝑒𝑛 𝑥 = (𝑆𝑒𝑛 𝑚 𝐶𝑜𝑠 𝑥 = (𝐶𝑜𝑠 𝑛 𝑥) ⁄2 2 𝑛 = 𝑚 𝑥) ⁄2 1−𝐶𝑜𝑠 2𝑥 ( 2 )2 𝑛 = 𝑆𝑒𝑛𝑛 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑚 𝑥 = (𝑆𝑒𝑛2 𝑥 ) 1+𝐶𝑜𝑠 2𝑥 2 ( 2 ) 𝑛⁄ 2 (𝐶𝑜𝑠 2 𝑥) 𝑛 1 − 𝐶𝑜𝑠 2𝑥 2 =( ) 2 𝑚⁄ 2 𝑛 1 + 𝐶𝑜𝑠 2𝑥 2 ( ) 2 187 Cálculo Integral Caso 4 1 ∫ 𝑆𝑒𝑛 𝑚𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑆𝑒𝑛 𝑚𝑥 𝑒𝑛 𝑛𝑥 𝑑𝑥 = − ∫ 𝐶𝑜𝑠 𝑚𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 1 2 1 2 1 𝑆𝑒𝑛 (𝑚 + 𝑛)𝑥 + 2 𝑆𝑒𝑛 (𝑚 − 𝑛)𝑥 𝐶𝑜𝑠 (𝑚 + 𝑛)𝑥 + 1 2 𝐶𝑜𝑠 (𝑚 − 𝑛)𝑥 1 𝐶𝑜𝑠 (𝑚 + 𝑛)𝑥 + 2 𝐶𝑜𝑠 (𝑚 − 𝑛)𝑥 Caso 5 ∫ 𝑇𝑎𝑛𝑛 𝑥 𝑑𝑥 ; ∫ 𝐶𝑜𝑡 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 cuando n es un entero positivo 𝑇𝑎𝑛𝑛 𝑥 = 𝑇𝑎𝑛𝑛−2 𝑥 𝑇𝑎𝑛2 𝑥 = 𝑇𝑎𝑛𝑛−2 𝑥 (𝑆𝑒𝑐 2 𝑥 − 1) 𝐶𝑜𝑡 𝑛 𝑥 = 𝐶𝑜𝑡 𝑛−2 𝑥 𝐶𝑜𝑡 2 𝑥 = (𝐶𝑜𝑡 𝑛−2 𝑥) (𝐶𝑠𝑐 2 𝑥 − 1) ∫ 𝑆𝑒𝑐 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 ; ∫ 𝐶𝑠𝑐 𝑛 𝑥 𝑑𝑥 cuando n es un entero positivo par 𝑆𝑒𝑐 𝑛 𝑥 = 𝑆𝑒𝑐 𝑛−2 𝑥 𝑆𝑒𝑐 2 𝑥 = (𝑆𝑒𝑐 2 𝑥 )(𝑛−2)/2 (𝑆𝑒𝑐 2 𝑥 ) = (𝑇𝑎𝑛2 𝑥 + 1)(𝑛−2)/2 (𝑆𝑒𝑐 2 𝑥) 𝐶𝑠𝑐 𝑛 𝑥 = 𝐶𝑠𝑐 𝑛−2 𝑥 𝐶𝑠𝑐 2 𝑥 = (𝐶𝑠𝑐 2 𝑥 ) = (𝐶𝑜𝑡 2 𝑥 + 1) 𝑛−2 2 𝑛−2 2 (𝐶𝑠𝑐 2 𝑥) (𝐶𝑠𝑐 2 𝑥) 188 Cálculo Integral 5.1EJERCICIOS DE INTEGRALES INTEGRACIÓN TRIGONOM ÉTRICA. CON 𝟏. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟒 𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se descompone la potencia trigonométrica de la siguiente manera: = ∫ 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 𝑑𝑥 = Se utiliza la identidad trigonométrica 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 − 1 = 𝑡𝑎𝑛 2 𝑥: = ∫ 𝑡𝑎𝑛 2 𝑥 (𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 − 1) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 𝑑𝑥 = Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒕𝒂𝒏 𝒙; 𝒅𝒖 = 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙𝒅𝒙 = ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 − ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 − 1 𝑑𝑥 = 𝑢3 − (∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑑𝑥) = 3 𝑡𝑎𝑛3 𝑥 − (tan 𝑥 − 𝑥 ) + 𝐶 = 3 𝒕𝒂𝒏𝟑 (𝒙) 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝐭𝐚𝐧 𝒙 + 𝒙 + 𝑪 𝟑 = 𝟐. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟔 𝟑𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se descompone la potencia trigonométrica de la siguiente manera: = ∫ 𝑡𝑎𝑛4 3𝑥 𝑡𝑎𝑛2 3𝑥 𝑑𝑥 = Se utiliza la identidad trigonométrica 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 − 1 = 𝑡𝑎𝑛 2 𝑥: = ∫ 𝑡𝑎𝑛 4 3𝑥 (𝑠𝑒𝑐 2 3𝑥 − 1) 𝑑𝑥 = = ∫ 𝑡𝑎𝑛 4 3𝑥 𝑠𝑒𝑐 2 3𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑡𝑎𝑛 4 3𝑥 𝑑𝑥 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝐭𝐚𝐧 𝟑𝒙 ; 𝒅𝒖 = 𝟑 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝟑𝒙 𝒅𝒙 1 = ∫ 𝑢4 𝑑𝑢 − ∫ 𝑡𝑎𝑛 2 3𝑥 (𝑠𝑒𝑐 2 3𝑥 − 1) 𝑑𝑥 3 189 Cálculo Integral 1 5 𝑢 − (∫ 𝑡𝑎𝑛2 3𝑥 𝑠𝑒𝑐 2 3𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑡𝑎𝑛2 3𝑥𝑑𝑥) 15 1 5 1 = 𝑢 − ( ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 − ∫( 𝑠𝑒𝑐 2 3𝑥 − 1) 𝑑𝑥) 15 3 5 𝑡𝑎𝑛 3𝑥 1 𝑢3 1 = −( − ( ∫ sec 2 𝑢) + 𝑥) 15 33 3 5 3 𝑡𝑎𝑛 3𝑥 𝑢 1 = − + tan 𝑢 − 𝑥 + 𝐶 15 9 3 = 𝒕𝒂𝒏𝟓 𝟑𝒙 𝒕𝒂𝒏𝟑 𝟑𝒙 𝟏 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − + 𝐭𝐚𝐧 𝟑𝒙 − 𝒙 + 𝑪 𝟏𝟓 𝟗 𝟑 𝟑. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟒 𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se descompone la potencia trigonométrica de la siguiente manera: ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 = Se utiliza la identidad trigonométrica 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 = 1 + 𝑡𝑎𝑛 2 𝑥: = ∫(1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑥) 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 = Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝐭𝐚𝐧 𝒙 ; 𝒅𝒖 = 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = tan 𝑥 + ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 = tan 𝑥 + 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝐭𝐚𝐧 𝒙 + 𝑢3 +𝐶 = 3 𝒕𝒂𝒏𝟑 𝒙 +𝑪 𝟑 𝟒. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒄𝒐𝒕𝟓 (𝟐𝒙)𝒅𝒙 Solución.Se descompone la potencia trigonométrica de la siguiente manera: = ∫ 𝑐𝑜𝑡 3 (2𝑥) 𝑐𝑜𝑡 2 (2𝑥)𝑑𝑥 = Se utiliza la identidad trigonométrica 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥 = 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 − 1: = ∫ 𝑐𝑜𝑡 3 (2𝑥) (𝑐𝑠𝑐 2 (2𝑥) − 1)𝑑𝑥 = 190 Cálculo Integral = ∫ 𝑐𝑜𝑡 3 (2𝑥)𝑐𝑠𝑐 2 (2𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝑐𝑜𝑡 3 (2𝑥) 𝑑𝑥 = Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒄𝒐𝒕 (𝟐𝒙 ) ; 𝒅𝒖 = −𝟐 𝒄𝒔𝒄 𝟐 (𝟐𝒙 )𝒅𝒙 1 ∫ 𝑢3 𝑑𝑢 − (∫ 𝑐𝑜𝑡 (2𝑥)𝑐𝑜𝑡 2 (2𝑥)𝑑𝑥) = 2 1 𝑢4 =− − ∫ 𝑐𝑜𝑡 (2𝑥)(𝑐𝑠𝑐 2 (2𝑥) − 1) 𝑑𝑥 = 2 4 𝑢4 = − − ∫(𝑐𝑠𝑐 2 (2𝑥)𝑐𝑜𝑡(2𝑥))𝑑𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑡 (2𝑥)𝑑𝑥 = 8 𝑐𝑜𝑡 4 (2𝑥) 1 1 =− + ∫ 𝑢 𝑑𝑢 + ∫ 𝑐𝑜𝑡 𝑢 𝑑𝑢 8 2 2 4 2 𝑐𝑜𝑡 (2𝑥) 𝑢 1 =− + + 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑛 𝑢| + 𝐶 8 4 2 𝑐𝑜𝑡 4 (2𝑥) 𝑢2 1 =− + + 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑛 𝑢| + 𝐶 8 4 2 𝟒( 𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙) (𝐜𝐨𝐭 𝟐𝒙 )𝟐 𝟏 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − + + 𝒍𝒏|𝒔𝒆𝒏 (𝟐𝒙)| + 𝑪 =− 𝟖 𝟒 𝟐 𝟓. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟑 (𝒙)𝒅𝒙 Solución.Se descompone la potencia trigonométrica de la siguiente manera: ∫ csc(𝑥) 𝑐𝑠𝑐 2 (𝑥 ) 𝑑𝑥 = Se encuentran los valores de u, du, v y dv, para aplicarlos en la fórmula de la integración por partes 𝒖 = 𝒄𝒔𝒄 (𝒙 ); 𝒅𝒖 = − 𝐜𝐬𝐜 (𝒙 ) 𝐜𝐨𝐭 (𝒙 ) ; 𝒅𝒗 = 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝒙 ; 𝒗 = − 𝐜𝐨𝐭(𝒙 ) ; = −𝑐𝑠𝑐 (𝑥)𝑐𝑜𝑡 (𝑥) − ∫ 𝑐𝑜𝑡 2 (𝑥)𝑐𝑠𝑐 (𝑥)𝑑𝑥 = = −𝑐𝑠𝑐 (𝑥)𝑐𝑜𝑡 (𝑥) − ∫(𝑐𝑠𝑐 2 (𝑥) − 1)𝑐𝑠𝑐 (𝑥)𝑑𝑥 = = −𝑐𝑠𝑐 (𝑥)𝑐𝑜𝑡 (𝑥) − ∫(𝑐𝑠𝑐 3(𝑥))𝑑𝑥 + ∫ 𝑐𝑠𝑐 (𝑥)𝑑𝑥 = = −𝑐𝑠𝑐 (𝑥)𝑐𝑜𝑡 (𝑥) − ∫(𝑐𝑠𝑐 3(𝑥))𝑑𝑥 + ∫ 𝑐𝑠𝑐 (𝑥)𝑑𝑥 = 191 Cálculo Integral ∫ 𝑐𝑠𝑐 3 (𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑐𝑠𝑐 3 (𝑥)𝑑𝑥 = = −𝑐𝑠𝑐 (𝑥)𝑐𝑜𝑡 (𝑥) + 𝑙𝑛|𝑐𝑠𝑐 (𝑥) − 𝑐𝑜𝑡 (𝑥)| 2 ∫ 𝑐𝑠𝑐 3 (𝑥)𝑑𝑥 = −𝑐𝑠𝑐 (𝑥)𝑐𝑜𝑡 (𝑥) + 𝑙𝑛|𝑐𝑠𝑐 (𝑥) − 𝑐𝑜𝑡 (𝑥)| = 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: −𝒄𝒔𝒄 (𝒙)𝒄𝒐𝒕 (𝒙) 𝒍𝒏|𝒄𝒔𝒄 (𝒙) − 𝒄𝒐𝒕 (𝒙)| + +𝑪 𝟐 𝟐 𝟔. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒆𝒙 𝒕𝒂𝒏𝟒 (𝒆𝒙 ) 𝒅𝒙 Solución.Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒆𝒙 ; 𝒅𝒖 = 𝒆𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝑡𝑎𝑛4 (𝑢) 𝑑𝑢 = Se descompone la potencia trigonométrica de la siguiente manera: = ∫ 𝑡𝑎𝑛2 (𝑢) 𝑡𝑎𝑛2 (𝑢) 𝑑𝑢 = Se utiliza la identidad trigonométrica 𝑡𝑎𝑛 2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 − 1: = ∫ 𝑡𝑎𝑛 2 (𝑢)(𝑠𝑒𝑐 2 (𝑢) − 1)𝑑𝑢 = = ∫ 𝑡𝑎𝑛 2 (𝑢)𝑠𝑒𝑐 2 (𝑢)𝑑𝑢 − ∫ 𝑡𝑎𝑛 2 (𝑢)𝑑𝑢 = Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒕𝒂𝒏 (𝒖 ) ; 𝒅𝒖 = 𝒔𝒆𝒄 𝟐 (𝒖) 𝒅𝒖 = ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 − ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑢) − 1 𝑑𝑢 = 𝑢3 − (𝑡𝑎𝑛 (𝑢) − 𝑢) + 𝐶 3 𝑢3 = − 𝑡𝑎𝑛 (𝑢) + 𝑢 + 𝐶 = 3 𝒕𝒂𝒏𝟑 (𝒆𝒙 ) 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝒕𝒂𝒏(𝒆𝒙 ) + 𝒆𝒙 + 𝑪 𝟑 𝟕. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟒 (𝐥𝐧|𝒙|) 𝒅𝒙 𝒙 Solución.Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒅𝒙 𝒖 = 𝒍𝒏 𝒙; 𝒅𝒖 = 𝒙 192 Cálculo Integral = ∫ 𝑠𝑒𝑐 4 (𝑢)𝑑𝑢 = Se descompone la potencia trigonométrica de la siguiente manera: = ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑢) 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑢)𝑑𝑢 = Se utiliza la identidad trigonométrica 𝑡𝑎𝑛 2 𝑥 + 1 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥: = ∫(𝑡𝑎𝑛2 (𝑢) + 1) 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑢)𝑑𝑢 = = ∫ 𝑡𝑎𝑛 2 (𝑢)𝑠𝑒𝑐 2 (𝑢) 𝑑𝑢 + ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑢)𝑑𝑢 = Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒕𝒂𝒏 (𝒖 ) ; 𝒅𝒖 = 𝒔𝒆𝒄 𝟐 (𝒖) 𝒅𝒖 = ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 + 𝑡𝑎𝑛 (𝑢) + 𝐶 = 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒕𝒂𝒏𝟑 (𝐥𝐧 𝒙 ) + 𝒕𝒂𝒏(𝐥𝐧 𝒙) + 𝑪 𝟑 𝟖. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟔 (𝒙)𝒔𝒆𝒄𝟒 (𝒙)𝒅𝒙 Solución.Se descompone la potencia trigonométrica de la siguiente manera: ∫ 𝑡𝑎𝑛6 (𝑥)𝑠𝑒𝑐 2 (𝑥 ) 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑥)𝑑𝑥 = Se utiliza la identidad trigonométrica 𝑡𝑎𝑛 2 𝑥 + 1 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥: = ∫ 𝑡𝑎𝑛 6 (𝑥)𝑠𝑒𝑐 2 (𝑥) (𝑡𝑎𝑛 2 (𝑥) + 1) 𝑑𝑥 = = ∫ 𝑡𝑎𝑛 8 (𝑥)𝑠𝑒𝑐 2 (𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑡𝑎𝑛6 (𝑥)𝑠𝑒𝑐 2 (𝑥)𝑑𝑥 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒕𝒂𝒏 (𝒖 ) ; 𝒅𝒖 = 𝒔𝒆𝒄 𝟐 (𝒖) 𝒅𝒖 = ∫ 𝑢8 𝑑𝑢 + ∫ 𝑢6 𝑑𝑢 = 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝑢9 𝑢7 + +𝐶 9 7 𝒕𝒂𝒏𝟗 (𝒙) 𝒕𝒂𝒏𝟕 (𝒙) + +𝑪 𝟗 𝟕 193 Cálculo Integral 𝟗. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟓 (𝒙)𝒔𝒆𝒄𝟑(𝒙)𝒅𝒙 Solución.Se descompone la potencia trigonométrica de la siguiente manera: = ∫(𝑡𝑎𝑛2 (𝑥)) 2 𝑠𝑒𝑐 2(𝑥) sec(𝑥) 𝑡𝑎𝑛 (𝑥)𝑑𝑥 = Se utiliza la identidad trigonométrica 𝑡𝑎𝑛 2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 − 1: = ∫(𝑠𝑒𝑐 2 (𝑥) − 1) 2 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑥) sec(𝑥) 𝑡𝑎𝑛 (𝑥)𝑑𝑥 = Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝐬𝐞𝐜 (𝒙 ) ; 𝒅𝒖 = 𝐬𝐞𝐜 (𝒙 ) 𝒕𝒂𝒏 (𝒙) = ∫(𝑢2 − 1) 2 𝑢2 𝑑𝑢 = ∫(𝑢4 − 2𝑢2 + 1) 𝑢2 𝑑𝑢 = = ∫(𝑢6 − 2𝑢4 + 𝑢2 ) 𝑑𝑢 = 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒔𝒆𝒄𝟕 (𝒙) −𝟐 𝟕 𝑢7 𝑢5 𝑢3 −2 + +𝐶 7 5 3 𝒔𝒆𝒄𝟓 (𝒙) 𝒔𝒆𝒄𝟑 (𝒙) 𝟓 + 𝟑 +𝑪 𝟏𝟎. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒄𝒐𝒕𝟐 (𝟑𝒙)𝒄𝒔𝒄𝟒 (𝟑𝒙)𝒅𝒙 Solución.Se descompone la potencia trigonométrica de la siguiente manera: = ∫ 𝑐𝑜𝑡 2 (3𝑥)𝑐𝑠𝑐 2 (3𝑥)𝑐𝑠𝑐 2(3𝑥)𝑑𝑥 = Se utiliza la identidad trigonométrica 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 = 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥 + 1: = ∫ 𝑐𝑜𝑡 2 (3𝑥)𝑐𝑠𝑐 2 (3𝑥) (𝑐𝑜𝑡 2 (3𝑥) + 1)𝑑𝑥 = = ∫ 𝑐𝑜𝑡 4 (3𝑥)𝑐𝑠𝑐 2 (3𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑡 2 (3𝑥)𝑐𝑠𝑐2 (3𝑥)𝑑𝑥 = Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝐜𝐨𝐭 (𝟑𝒙 ) ; 𝒅𝒖 = −𝟑 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 =− 1 1 1 1 ∫ 𝑢4 𝑑𝑢 − ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 = − 𝑢5 − 𝑢3 + 𝐶 3 3 15 9 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝟏 𝟏 𝒄𝒐𝒕𝟓 (𝟑𝒙) − 𝒄𝒐𝒕𝟑 (𝟑𝒙) + 𝑪 𝟏𝟓 𝟗 194 Cálculo Integral 𝟏𝟏. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒔𝒆𝒏 (𝟐𝒙) 𝐜𝐨𝐬 (𝟑𝒙)𝒅𝒙 Solución.Se aplica la identidad trigonométrica de 𝑆𝑒𝑛 (𝑚) 𝐶𝑜𝑠 (𝑛 ) = 𝑆𝑒𝑛 (𝑚 − 𝑛) + 𝑆𝑒𝑛 (𝑚 + 𝑛): 1 = ∫(𝑠𝑒𝑛 (2 − 3)𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 (2 + 3)𝑥) 𝑑𝑥 = 2 1 = ∫(𝑠𝑒𝑛 ( −𝑥) + 𝑠𝑒𝑛 (5𝑥)) 𝑑𝑥 = 2 1 = ∫(𝑠𝑒𝑛 (5𝑥) − 𝑠𝑒𝑛 (𝑥)) 𝑑𝑥 = 2 1 1 = ∫ 𝑠𝑒𝑛 (5𝑥) − ∫ 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) 𝑑𝑥 2 2 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝟓𝒙; 𝒅𝒖 = 𝟓𝒅𝒙; = 11 1 1 1 ∫ 𝑠𝑒𝑛 (𝑢)𝑑𝑢 − (− cos(𝑥)) = (− cos(𝑢) + cos 𝑥) + 𝐶 25 2 10 2 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝟏 𝟏 𝐜𝐨𝐬(𝟓𝒙) + 𝐜𝐨𝐬 𝒙 + 𝑪 𝟏𝟎 𝟐 𝟏𝟐. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒔𝒆𝒏 (𝟑𝒙)𝒔𝒆𝒏 (𝟑𝒙) 𝒅𝒙 Solución.Se aplica la identidad trigonométrica de 𝑆𝑒𝑛 (𝑚) 𝑆𝑒𝑛 (𝑛 ) = 𝐶𝑜𝑠 (𝑚 − 𝑛) − 𝐶𝑜𝑠 (𝑚 + 𝑛): 1 1 = ∫ cos(3 − 3)𝑥 − cos(3 + 3) 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ − cos(6𝑥) 𝑑𝑥 = 2 2 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝟔𝒙; 𝒅𝒖 = 𝟔𝒅𝒙 1 1 1 = − ∗ ∫ cos 𝑢 𝑑𝑢 = − 𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝐶 = 2 6 12 𝟏 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝒔𝒆𝒏 (𝟔𝒙) + 𝑪 𝟏𝟐 195 Cálculo Integral 𝟏𝟑. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒔𝒆𝒏 (𝒙) 𝐜𝐨𝐬(𝒙)𝒅𝒙 Solución.Se aplica la identidad trigonométrica de 𝑆𝑒𝑛 (𝑚) 𝐶𝑜𝑠 (𝑛 ) = 𝑆𝑒𝑛 (𝑚 − 𝑛) + 𝑆𝑒𝑛 (𝑚 + 𝑛): = 1 1 ∫ sen (1 − 1) 𝑥 + sen (1 + 1) 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥)𝑑𝑥 = 2 2 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝟐𝒙; 𝒅𝒖 = 𝟐𝒅𝒙 1 1 1 ∗ ∫ sen 𝑢 𝑑𝑢 = − cos(𝑢) + 𝐶 = 2 2 4 𝟏 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝒄𝒐𝒔 (𝟐𝒙) + 𝑪 𝟒 = 𝟏𝟒. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐜𝐨𝐬 (𝟑𝒙) 𝐜𝐨𝐬(𝟒𝒙)𝒅𝒙 Solución.Se aplica la identidad trigonométrica de 𝐶𝑜𝑠 (𝑚) 𝐶𝑜𝑠 (𝑛 ) = 𝐶𝑜𝑠 (𝑚 − 𝑛) + 𝐶𝑜𝑠 (𝑚 + 𝑛): 1 = [∫ cos(3 − 4)𝑥 + cos(3 + 4) 𝑥 𝑑𝑥] 2 1 1 = [∫ cos(−𝑥) + cos(7𝑥)𝑑𝑥] = [∫ cos(𝑥) + cos(7𝑥)𝑑𝑥] 2 2 1 = [∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ cos 7𝑥 𝑑𝑥] 2 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝟕𝒙; 𝒅𝒖 = 𝟕 𝒅𝒙 1 1 1 1 = (𝑠𝑒𝑛 𝑥 + ∫ cos 𝑢 𝑑𝑢 ) = (𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑢) + 𝐶 2 7 2 7 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝟏 (𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝒔𝒆𝒏 (𝟕𝒙)) + 𝑪 𝟐 𝟕 𝟏𝟓. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐜𝐨𝐬(𝒙) 𝐜𝐨𝐬(𝟕𝒙)𝒅𝒙 Solución.Se aplica la identidad trigonométrica de 𝐶𝑜𝑠 (𝑚) 𝐶𝑜𝑠 (𝑛 ) = 𝐶𝑜𝑠 (𝑚 − 𝑛) + 𝐶𝑜𝑠 (𝑚 + 𝑛): 196 Cálculo Integral 1 [∫ cos(1 − 7)𝑥 + cos(1 + 7) 𝑥 𝑑𝑥] 2 1 1 = [∫ cos(−6𝑥) + cos(8𝑥) 𝑑𝑥 ] = ∫ cos(6𝑥) + cos(8𝑥)𝑑𝑥 = 2 2 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝟔𝒙; 𝒅𝒖 = 𝟔 𝒅𝒙; 𝒖 = 𝟖𝒙; 𝒅𝒖 = 𝟖 𝒅𝒙 1 1 1 1 1 1 = [ ∫ cos 𝑢 𝑑𝑢 + ∫ cos 𝑢 𝑑𝑢] = ( 𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝑠𝑒𝑛 𝑢) + 𝐶 2 6 8 2 6 8 1 1 𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝐶 = 12 16 𝟏 𝟏 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒔𝒆𝒏 𝟔𝒙 + 𝒔𝒆𝒏 𝟖𝒙 + 𝑪 𝟏𝟐 𝟏𝟔 = 𝟏𝟔. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒄𝒐𝒕𝟒 (𝒙)𝒅𝒙 Solución.Se descompone la potencia trigonométrica de la siguiente manera: = ∫ 𝑐𝑜𝑡 2 (𝑥) 𝑐𝑜𝑡 2 (𝑥) 𝑑𝑥 = Se utiliza la identidad trigonométrica 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥 = 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 − 1: = ∫ 𝑐𝑜𝑡 2 (𝑥) (𝑐𝑠𝑐 2(𝑥) − 1)𝑑𝑥 = = ∫ 𝑐𝑜𝑡 2 (𝑥)𝑐𝑠𝑐 2 (𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝑐𝑜𝑡 2 (𝑥)𝑑𝑥 = Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒄𝒐𝒕 (𝒙 ) ; 𝒅𝒖 = −𝒄𝒔𝒄 𝟐 (𝒙 )𝒅𝒙 = − ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 − ∫(𝑐𝑠𝑐 2 (𝑥) − 1) 𝑑𝑥 = 𝑢3 𝑢3 − (∫ 𝑐𝑠𝑐 2 (𝑥)𝑑𝑥 − ∫ 𝑑𝑥) = − − (−𝑐𝑜𝑡 (𝑥) − 𝑥) + 𝐶 3 3 𝟑( ) 𝒄𝒐𝒕 𝒙 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − + 𝒄𝒐𝒕 (𝒙) + 𝒙 + 𝑪 =− 𝟑 𝟏𝟕. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟐(𝒙𝟐)𝒅𝒙 Solución.Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒙 𝟐 ; 𝒅𝒖 = 𝒙𝒅𝒙 197 Cálculo Integral 1 = ∫ 𝑠𝑒𝑛2 (𝑢)𝑑𝑢 = 2 Se utiliza la identidad trigonométrica 𝑠𝑒𝑛 2 (𝑥) = 1−cos 2𝑥 2 : 1 1 − cos 2𝑢 1 1 1 cos 2𝑢 = ∫ 𝑑𝑢 = ∫ 𝑑𝑢 − ∫ 𝑑𝑢 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 = 𝑢 − ∗ ∗ ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑢 − 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) + 𝐶 4 2 2 2 4 8 1 2 1 = 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 (2𝑢) + 𝐶 4 8 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝟐 𝟏 𝒙 − 𝒔𝒆𝒏 (𝟐𝒙𝟐 ) + 𝑪 𝟒 𝟖 𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒙) 𝟏𝟖. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 𝒔𝒆𝒏𝟒 (𝒙) Solución.Se descompone la potencia trigonométrica de la siguiente manera: =∫ 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) 1 ∗ 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛2 (𝑥) 𝑠𝑒𝑛2 (𝑥) Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒄𝒐𝒕 (𝒙 ) ; 𝒅𝒖 = −𝒄𝒔𝒄 𝟐 (𝒙 )𝒅𝒙 = ∫ 𝑐𝑜𝑡 2 (𝑥)𝑐𝑠𝑐 2(𝑥) 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 = − 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝑢3 +𝐶 3 𝒄𝒐𝒕𝟑 (𝒙) +𝑪 𝟑 𝟏𝟗. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟒 𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se utiliza la identidad trigonométrica 𝑠𝑒𝑛 2 (𝑥) = 1−cos 2𝑥 2 ∫( 2 : 1 − cos 2𝑥 ) 𝑑𝑥 = 2 = ∫( 1 − 2 cos 2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥 ) 𝑑𝑥 = 4 1 = (∫ 𝑑𝑥 − 2 ∫ cos 2𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥 𝑑𝑥) 4 198 Cálculo Integral 1 2 1 + cos 4𝑥 = (𝑥 − sen 2𝑥 + ∫ 𝑑𝑥) 4 2 2 1 2 1 = (𝑥 − sen 2𝑥 + (∫ 𝑑𝑥 + ∫ cos 4𝑥 𝑑𝑥)) 4 2 2 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝟒𝒙; 𝒅𝒖 = 𝟒 𝒅𝒙 1 2 1 1 1 = (𝑥 − sen 2𝑥 + 𝑥 + ∙ sen 4𝑥 ) + 𝑐 4 2 2 2 4 1 1 1 = (𝑥 − sen 2x + 𝑥 + sen 4𝑥 ) + 𝑐 4 2 8 1 sen 2x 1 sen 4𝑥 = 𝑥− + 𝑥+ +𝑐 4 4 8 32 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟑 𝐬𝐞𝐧 𝟐𝐱 𝐬𝐞𝐧 𝟒𝐱 𝒙− + +𝒄 𝟖 𝟒 𝟑𝟐 𝟐𝟎. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se utiliza la identidad trigonométrica 1+cos 2𝑥 2 𝑠𝑒𝑛 2 (𝑥) = 1−cos 2𝑥 2 ; 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) = : 1 − cos 2𝑥 1 + cos 2𝑥 )( ) 𝑑𝑥 2 2 1 = ∫(1 − cos 2𝑥)(1 + cos 2𝑥 ) 𝑑𝑥 4 1 = ∫(1 + cos 2𝑥 − cos 2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥) 𝑑𝑥 4 1 1 1 + cos 4𝑥 = (∫ 𝑑𝑥 − ∫ 𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥 𝑑𝑥) = (𝑥 − ∫ 𝑑𝑥) 4 4 2 1 1 1 1 1 = (𝑥 − ∫ 1 + cos 4𝑥 𝑑𝑥) = (𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 − ∫ cos 4𝑥 𝑑𝑥) 4 2 4 2 2 1 1 1 1 1 1 = (𝑥 − 𝑥 − sen 4𝑥) + 𝑐 = 𝑥 − 𝑥 − sen 4𝑥 + 𝑐 4 2 8 4 8 32 ∫( 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝟏 𝒙− 𝐬𝐞𝐧𝟒𝒙 + 𝒄 𝟖 𝟑𝟐 199 Cálculo Integral 𝟐𝟏. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟒 𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se utiliza la identidad trigonométrica 1+cos 2𝑥 2 = ∫( = ∫( 𝑠𝑒𝑛 2 (𝑥) = 1−cos 2𝑥 2 ; 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) = : 1 − cos 2𝑥 1 + cos 2𝑥 2 )( ) 𝑑𝑥 2 2 1 − cos 2𝑥 1 + 2 cos 2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥 )( ) 𝑑𝑥 2 4 1 = ∫(1 + 2 cos 2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥 − cos 2𝑥 − 2 𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 3 2𝑥) 𝑑𝑥 8 1 = (∫ 1 + cos 2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 3 2𝑥) 𝑑𝑥 8 1 = (∫ 𝑑𝑥 − ∫ cos 2𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑐𝑜𝑠 3 2𝑥 𝑑𝑥) 8 1 1 1 + cos 4𝑥 = (𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 − ∫ 𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥 ) 8 2 2 1 1 1 1 = (𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 − 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 4𝑥 − ∫(1 − 𝑠𝑒𝑛 2 2𝑥) cos 2𝑥 𝑑𝑥) 8 2 2 8 1 1 1 1 = (𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 − 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 4𝑥 8 2 2 8 − ∫ cos 2𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑠𝑒𝑛 2 2𝑥 cos 2𝑥 𝑑𝑥) Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝐬𝐞𝐧 𝟐𝒙; 𝒅𝒖 = 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒙 1 1 1 1 1 1 = (𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 − 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 4𝑥 − sen 2𝑥 + ∫ 𝑢2 𝑑𝑢) 8 2 2 8 2 2 1 1 1 1 1 1 = (𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 − 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 4𝑥 − sen 2𝑥 + 𝑢3 + 𝑐) 8 2 2 8 2 6 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝟏 𝟏 𝒙+ 𝐬𝐞𝐧 𝟒𝒙 − 𝒔𝒆𝒏 𝟑 𝟐𝒙 + 𝒄 𝟏𝟔 𝟔𝟒 𝟒𝟖 200 Cálculo Integral 𝟐𝟐. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟔 𝟑𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se descompone la potencia trigonométrica de la siguiente manera: = ∫(𝑐𝑜𝑠 2 3𝑥 )2 𝑐𝑜𝑠 2 3𝑥 𝑑𝑥 Se utiliza la identidad trigonométrica 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑥) = 1+cos 2𝑥 2 = ∫( 2 : 1 + cos 6𝑥 1 + cos 6𝑥 ) ( ) 𝑑𝑥 2 2 1 = ∫(1 + 2 cos 6𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 6𝑥)(1 + cos 6𝑥) 𝑑𝑥 8 1 = ∫(1 + cos 6𝑥 + 2 cos 6𝑥 + 2 𝑐𝑜𝑠 2 6𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 6𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 3 6𝑥)𝑑𝑥 8 1 = (∫ 𝑑𝑥 + 3 ∫ cos 6𝑥 𝑑𝑥 + 3 ∫ 𝑐𝑜𝑠 2 6𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑠 3 6𝑥 𝑑𝑥) 8 1 1 1 + cos 12𝑥 = (𝑥 + sen 6𝑥 + 3 ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑠 2 6𝑥 cos 6𝑥 𝑑𝑥) 8 2 2 1 1 3 = (𝑥 + sen 6𝑥 + (∫ 𝑑𝑥 + ∫ cos 12𝑥 𝑑𝑥) 8 2 2 + ∫(1 − 𝑠𝑒𝑛2 6𝑥) cos 6𝑥 𝑑𝑥) Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒔𝒆𝒏 𝟔𝒙 𝒅𝒖 = 𝟔 𝒄𝒐𝒔 𝟔𝒙 𝒅𝒙 1 1 3 1 = (𝑥 + sen 6𝑥 + (𝑥 + sen 12𝑥) 8 2 2 12 + ∫ cos 6𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑛2 6𝑥 cos 6𝑥 𝑑𝑥) 1 1 3 3 1 1 𝑢3 )+𝑐 = (𝑥 + sen 6𝑥 + 𝑥 + sen 12𝑥 + sen 6𝑥 − 8 2 2 24 6 6 3 𝟓 𝟏 𝟏 𝟏 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒙+ 𝒔𝒆𝒏𝟔𝒙 + 𝒔𝒆𝒏𝟏𝟐𝒙 + 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟔𝒙+ 𝒄 𝟏𝟔 𝟏𝟐 𝟔𝟒 𝟏𝟒𝟒 201 Cálculo Integral 𝟐𝟑. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟒 𝒙 Solución.Se descompone la potencia trigonométrica de la siguiente manera: ∫ 𝑐𝑠𝑐 4 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 = Se utiliza la identidad trigonométrica 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 = 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥 + 1: = ∫(1 + 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥)𝑐𝑠𝑐2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 + 𝑐𝑠𝑐 2𝑥 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥)𝑑𝑥 = = ∫ 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 𝑐𝑜𝑡2 𝑥 𝑑𝑥 = − cot 𝑥 + ∫ 𝑢2 ∙ −𝑑𝑢 = Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒄𝒐𝒕 𝒙 𝒅𝒖 = −𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝑢3 = − cot 𝑥 − +𝑐= 3 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝐜𝐨𝐭 𝒙 − 𝟐𝟒. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒄𝒐𝒕𝟑 𝒙 +𝒄 𝟑 𝒅𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟔 𝒙 Solución.Se descompone la potencia trigonométrica de la siguiente manera: = ∫ 𝑠𝑒𝑐 6 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 )2 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 = Se utiliza la identidad trigonométrica 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 = 𝑡𝑎𝑛 2 𝑥 + 1: = ∫(1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑥)2 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥(1 + 2 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 + 𝑡𝑎𝑛4 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 + 2 ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑡𝑎𝑛4 𝑥 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒕𝒂𝒏 𝒙; 𝒅𝒖 = 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 2 𝑢5 = tan 𝑥 + 2 ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 + ∫ 𝑢4 𝑑𝑢 = tan 𝑥 + 𝑢3 + + 𝑐 3 5 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝐭𝐚𝐧 𝒙 + 𝟐 𝒕𝒂𝒏𝟓 𝒙 𝒕𝒂𝒏𝟑 𝒙 + +𝒄 𝟑 𝟓 202 Cálculo Integral 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝟐𝟓. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 𝒔𝒆𝒏𝟔 𝒙 Solución.Se descompone la potencia trigonométrica de la siguiente manera: 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 1 1 ∫ ∙ ∙ 𝑑𝑥 2 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = ∫ 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥 ∙ 𝑐𝑠𝑐 2𝑥 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 = Se utiliza la identidad trigonométrica 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 = 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥 + 1: = ∫ 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥 (1 + 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥)𝑐𝑠𝑐 2𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥 ∙ 𝑐𝑠𝑐 2𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑐𝑠𝑐 2𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑡 4 𝑥 𝑑𝑥 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝐜𝐨𝐭 𝒙 𝒅𝒖 = − 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝑢3 𝑢5 − +𝑐 = 3 5 𝟑 𝟓 𝒄𝒐𝒕 𝒙 𝒄𝒐𝒕 𝒙 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − − +𝒄 𝟑 𝟓 = − ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 − ∫ 𝑢4 𝑑𝑢 = − 𝟐𝟔. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 𝒔𝒆𝒏𝟔 𝒙 Solución.Se reemplaza la equivalencia 𝑐𝑠𝑐 6 𝑥 = 1 𝑠𝑒𝑛6 𝑥 : = ∫ 𝑐𝑠𝑐 6 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 (1 + 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥)2 𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 (1 + 2 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑡 4 𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 + 2 ∫ 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥 ∙ 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑡 4 𝑥 ∙ 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒄𝒐𝒕 𝒙 ; 𝒅𝒖 = −𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = − cot 𝑥 − 2 ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 − ∫ 𝑢4 𝑑𝑢 = − cot 𝑥 − 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝒄𝒐𝒕 𝒙 − 2 𝑢3 𝑢5 − +𝑐 3 5 𝟐 𝒄𝒐𝒕𝟑𝒙 𝒄𝒐𝒕𝟓 𝒙 − +𝒄 𝟑 𝟓 203 Cálculo Integral 𝟐𝟕. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝟓𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se reemplaza la equivalencia 𝑡𝑎𝑛 2 𝑥 = =∫ 𝑠𝑒𝑛2 5𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2 5𝑥 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 𝑐𝑜𝑠2 𝑥 : 𝑆𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑡𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑖𝑡𝑎𝑔ó𝑟𝑖𝑐𝑎 =∫ (1 − 𝑐𝑜𝑠 2 5𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 5𝑥 =∫ 1 𝑐𝑜𝑠 2 5𝑥 ∫ − 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 5𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2 5𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 5𝑥 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝟓𝒙; 𝒅𝒖 = 𝟓 𝒅𝒙 1 1 = ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑢 𝑑𝑢 − ∫ 𝑑𝑥 = tan 𝑢 − 𝑥 + 𝑐 5 5 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝒕𝒂𝒏 𝟓𝒙 − 𝒙 + 𝒄 𝟓 𝟐𝟖. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒄𝒐𝒕𝟑 𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se descompone la potencia trigonométrica de la siguiente manera: = ∫ 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥 ∙ cot 𝑥 𝑑𝑥 = Se utiliza la identidad trigonométrica 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥 = 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 − 1: = ∫(𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 − 1) cot 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑠𝑐 2𝑥 ∙ cot 𝑥 𝑑𝑥 − ∫ cot𝑥 𝑑𝑥 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒄𝒐𝒕 𝒙; 𝒅𝒖 = − 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = − ∫ 𝑢 𝑑𝑢 − ∫ cot 𝑥 𝑑𝑥 = − 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝑢2 − ln(sen 𝑥) + 𝑐 2 𝒄𝒐𝒕𝟐 𝒙 − 𝒍𝒏(𝒔𝒆𝒏 𝒙) + 𝒄 𝟐 204 Cálculo Integral 𝟐𝟗. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫(𝒕𝒂𝒏 𝟐𝒙 + 𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙)𝟐 𝒅𝒙 Solución.- = ∫(𝑡𝑎𝑛2 2𝑥 + 2 𝑡𝑎𝑛 2𝑥 ∙ cot2𝑥 + 𝑐𝑜𝑡 2 2𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑡𝑎𝑛 2 2𝑥 𝑑𝑥 + 2 ∫ tan 2𝑥 ∙ cot2𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑡 2 2𝑥 𝑑𝑥 Se utiliza las identidades trigonométricas 𝑡𝑎𝑛 2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 − 1; 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥 = 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 − 1: = ∫(𝑠𝑒𝑐 2 2𝑥 − 1)𝑑𝑥 + 2 ∫ sen 2𝑥 cos 2𝑥 ∙ 𝑑𝑥 + ∫(𝑐𝑠𝑐 2 2𝑥 − 1)𝑑𝑥 cos 2𝑥 sen 2𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 2𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 + 2 ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑐𝑠𝑐 2 2𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 1 1 = tan 2𝑥 − 𝑥 + 2𝑥 + (− cot 2𝑥) − 𝑥 + 𝑐 2 2 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝟏 𝒕𝒂𝒏 𝟐𝒙 − 𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙 + 𝒄 𝟐 𝟐 𝟑𝟎. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔 𝒙 Solución.Se multiplica la fracción por la conjugada, de la siguiente manera: ∫ 1 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ∙ 𝑑𝑥 = 1 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 2 1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 =∫ −∫ 𝑑𝑥 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 2 𝑥 =∫ Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙; 𝒅𝒖 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 = ∫ 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 − ∫ 𝑢−2 𝑑𝑢 = ∫ 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 + 𝑢−1 + 𝑐 = 1 1 = −𝑐𝑜𝑡 𝑥 + + 𝑐 = − 𝑐𝑜𝑡 𝑥 + +𝑐 𝑢 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝒄𝒐𝒕 𝒙 + 𝒄𝒔𝒄 𝒙 + 𝒄 205 Cálculo Integral 𝟑𝟏. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝒘 − 𝟏 𝒅𝒘 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒘 Solución.Se descompone la fracción de la siguiente manera: =∫ 2 𝑠𝑒𝑛 𝑤 𝑑𝑤 𝑑𝑤 − ∫ 2 𝑐𝑜𝑠 𝑤 𝑐𝑜𝑠 2 𝑤 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒄𝒐𝒔 𝒘 𝒅𝒖 = − 𝒔𝒆𝒏 𝒘 𝒅𝒘 𝑑𝑢 − ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑤 𝑑𝑤 = 2 ∫ 𝑢−2 𝑑𝑢 − ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑤 𝑑𝑤 𝑢2 −2 𝑢−1 2 2 = − 𝑡𝑎𝑛 𝑤 + 𝑐 = − 𝑡𝑎𝑛 𝑤 + 𝑐 = − 𝑡𝑎𝑛 𝑤 + 𝑐 −1 𝑢 𝑐𝑜𝑠 𝑤 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟐𝒔𝒆𝒄 𝒘 − 𝒕𝒂𝒏 𝒘 + 𝒄 = 2∫ 𝟑𝟐. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒕𝒂𝒏𝟑 √𝒙 √𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝟏 𝟏⁄ 𝟏⁄ 𝒖 = 𝒙 𝟐; 𝒅𝒖 = 𝒙 − 𝟐 𝒅𝒙 𝟐 = 2 ∫ 𝑡𝑎𝑛3 𝑢 𝑑𝑢 = Se descompone la potencia trigonométrica de la siguiente manera: = 2 ∫ 𝑡𝑎𝑛2 𝑢 tan 𝑢 𝑑𝑢 = Se utiliza la identidad trigonométrica 𝑡𝑎𝑛 2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 − 1: = 2 ∫( 𝑠𝑒𝑐 2 𝑢 − 1) tan 𝑢 𝑑𝑢 = 2 ∫ tan 𝑢 𝑠𝑒𝑐 2 𝑢 𝑑𝑢 − 2 ∫ tan 𝑢 𝑑𝑢 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒗 = 𝐭𝐚𝐧 𝒖; 𝒅𝒗 = 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒖 𝒅𝒖 = 2 ∫ 𝑣 𝑑𝑣 + 2 ln |cos 𝑢| + 𝑐 = 2 𝑣2 + 2 ln|cos 𝑢| + 𝑐 2 = 𝑡𝑎𝑛2 𝑢 + 2 ln |cos 𝑢| + 𝑐 = 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒕𝒂𝒏𝟐 √𝒙 − 𝟐 𝒍𝒏|𝒄𝒐𝒔 √ 𝒙 | + 𝒄 206 Cálculo Integral 𝟑𝟑. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒄𝒔𝒄𝟒𝒙 𝒅𝒙 𝒄𝒐𝒕𝟐𝒙 Solución.Se reemplaza la equivalencia csc 𝑥 = 1 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ; cot 𝑥 = cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ∶ 1 4𝑥 1 𝑠𝑒𝑛 =∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 2 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 4 =∫ =∫ =∫ 2 2 (cos 𝑥 sen 𝑥) 𝑠𝑒𝑛2 2𝑥 sen 2𝑥 ( ) 2 4 = 4 ∫ 𝑐𝑠𝑐 2 2𝑥 𝑑𝑥 = − cot 2𝑥 + 𝑐 = 2 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝟐 𝒄𝒐𝒕 𝟐𝒙 + 𝒄 𝟑𝟒. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟒 𝟏 𝝅𝒙 𝒅𝒙 𝟐 Solución.Se descompone la potencia trigonométrica de la siguiente manera: 2 1 = ∫ (𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑥) 𝑑𝑥 = 2 2 Se utiliza la identidad trigonométrica 𝑠𝑒𝑛 2 (𝑥) = 1−cos 2𝑥 2 = ∫( 2 : 1 − cos 𝜋𝑥 1 ) 𝑑𝑥 = (∫ 1 − 2 cos 𝜋𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝜋𝑥) 𝑑𝑥 2 4 1 = (∫ 𝑑𝑥 − 2 ∫ cos 𝜋𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑠 2 𝜋𝑥 𝑑𝑥) 4 1 2 1 + cos 2𝜋𝑥 = (𝑥 − sen 𝜋𝑥 + ∫ 𝑑𝑥) 4 𝜋 2 1 2 1 1 = (𝑥 − sen 𝜋𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 + ∫ cos 2𝜋𝑥 𝑑𝑥) 4 𝜋 2 2 1 2 1 1 1 = (𝑥 − sen 𝜋𝑥 + 𝑥 + ∙ sen 2𝜋𝑥) + 𝑐 4 𝜋 2 2 2𝜋 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝒙− 𝒔𝒆𝒏 𝝅𝒙 + 𝒙 + 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝝅𝒙 + 𝒄 𝟒 𝟐𝝅 𝟖 𝟏𝟔𝝅 207 Cálculo Integral 𝟏 𝟑𝟓. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟑 𝝅𝒕 𝒅𝒕 𝟐 Solución.Se descompone la potencia trigonométrica de la siguiente manera: 1 1 ∫ 𝑠𝑒𝑛2 𝜋𝑡 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑡 𝑑𝑡 = 2 2 Se aplica la identidad trigonométrica pitagórica: 1 1 1 1 1 = ∫ (1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝜋𝑡) ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑡 = ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑡 𝑑𝑡 − ∫ 𝑐𝑜𝑠 2 𝜋𝑡 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑡 2 2 2 2 2 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝟏 𝝅 𝟏 𝒖 = 𝒄𝒐𝒔 𝝅𝒕 ; 𝒅𝒖 = − 𝒔𝒆𝒏 𝝅𝒕 𝒅𝒕 𝟐 𝟐 𝟐 2 1 2 2 1 2 𝑢3 = − 𝑐𝑜𝑠 𝜋𝑡 + ∫ 𝑢2 ∙ 𝑑𝑢 = − 𝑐𝑜𝑠 𝜋𝑡 + ∙ + 𝑐 𝜋 2 𝜋 𝜋 2 𝜋 3 2 1 2 1 = − 𝑐𝑜𝑠 𝜋𝑡 + 𝑐𝑜𝑠 3 𝜋𝑡 + 𝑐 𝜋 2 3𝜋 2 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝟏 −𝟔 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝝅𝒕 + 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝟐 𝝅𝒕 𝟑𝝅 +𝒄 𝟑𝟔. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝝅𝒕 ∙ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝝅𝒕 𝒅𝒕 Solución.- = ∫(𝑠𝑒𝑛 𝜋𝑡 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝜋𝑡 )2 𝑑𝑡 Se multiplica y se divide para 2 para completar la identidad trigonométrica 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 = 2 𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑒𝑛 2𝜋𝑡 2 𝑠𝑖𝑛2 2𝜋𝑡 1 1 − 𝑐𝑜𝑠 4𝜋𝑡 ) 𝑑𝑡 = ∫ ) 𝑑𝑡 = ∫( 𝑑𝑡 = ∫ ( 2 4 4 2 1 1 1 1 = ∫ 𝑑𝑡 − ∫ 𝑐𝑜𝑠 4𝜋𝑡 𝑑𝑡 = 𝑡 − 𝑠𝑒𝑛 4𝜋𝑡 + 𝑐 8 8 8 32𝜋 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝟏 (𝒕 − 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝝅𝒕) + 𝒄 𝟖 𝟒𝝅 208 Cálculo Integral 𝟑𝟕. − ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝟏 𝟏 𝒙 ∙ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝟐 𝟐 Solución.Se multiplica y se divide para 2 para completar la identidad trigonométrica 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 = 2 𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑥 1 1 2 = ∫ (𝑠𝑒𝑛 𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑥) 𝑑𝑥 = 2 2 2 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 2 𝑠𝑒𝑛 2 𝑥 1 2 ) ) 𝑑𝑥 = ∫ = ∫( 𝑑𝑥 = ∫ ( 𝑑𝑥 = ∫ 𝑠𝑒𝑛 2 𝑥 𝑑𝑥 = 2 2 4 4 Se utiliza la identidad trigonométrica 𝑠𝑒𝑛 2 (𝑥) = 1−cos 2𝑥 1 1 − 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 1 = ∫ 𝑑𝑥 = = ∫(1 − 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 )𝑑𝑥 4 2 8 1 = (∫ 𝑑𝑥 − ∫ 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑥) + 𝑐 8 2 : Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝟐𝒙; 𝒅𝒖 = 𝟐 𝒅𝒙 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝟏 𝒙− 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙 + 𝒄 𝟖 𝟏𝟔 𝟑𝟖. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝟓𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se 𝟏 𝟐 aplica lo siguiente: 𝟏 ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝒎𝒙 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝒏𝒙 𝒅𝒙 = 𝒔𝒆𝒏 (𝒎 + 𝒏) 𝒙 + 𝟐 𝒔𝒆𝒏(𝒎 − 𝒏) 𝒙 𝒅𝒙 1 1 = ∫ 𝑠𝑒𝑛(3 + 5)𝑥 + 𝑠𝑒𝑛(3 − 5)𝑥 𝑑𝑥 2 2 1 1 = ∫ 𝑠𝑒𝑛 8𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑠𝑖𝑛(−2𝑥) 𝑑𝑥 2 2 1 1 1 = − ∙ 𝑐𝑜𝑠 8𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 + 𝑐 = 2 8 4 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝟏 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟖𝒙 + 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 + 𝒄 𝟏𝟔 𝟒 209 Cálculo Integral 𝟑𝟗. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟑 𝟒𝒙 ∙ 𝒄𝒐𝒔𝟓 𝟒𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se descompone la potencia trigonométrica y se aplica la identidad trigonométrica pitagórica. = ∫(1 − 𝑐𝑜𝑠 24𝑥) 𝑠𝑒𝑛 4𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 5 4𝑥 𝑑𝑥 = = ∫ 𝑠𝑒𝑛 4𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 5 4𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑛 4𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 7 4𝑥 𝑑𝑥 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝟏 𝒖 = 𝒄𝒐𝒔 𝟒𝒙; 𝒅𝒖 = − 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒙 𝒅𝒙 𝟒 1 1 1 1 1 1 = − ∫ 𝑢5 𝑑𝑢 + ∫ 𝑢7 𝑑𝑢 = − ∙ 𝑢6 + ∙ 𝑢8 + 𝑐 4 4 4 6 4 8 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝟏 𝟏 𝒄𝒐𝒔𝟔 𝟒𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟖 𝟒𝒙 + 𝒄 𝟐𝟒 𝟑𝟐 𝟒𝟎. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟓 𝒂𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se descompone la potencia trigonométrica de la siguiente manera: = ∫(𝑠𝑒𝑛2 𝑎𝑥)2 sen 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = ∫(1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝑎𝑥)2 sen 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = ∫(1 − 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝑎𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 4𝑎𝑥) sen 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = ∫ sen 𝑎𝑥 − 2 ∫ 𝑐𝑜𝑠 2 𝑎𝑥 ∙ sen 𝑎𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑠 4 𝑎𝑥 ∙ sen 𝑎𝑥 𝑑𝑥 Se realiza los siguientes cambios de variables: 𝒖 = 𝒂𝒙; 𝒅𝒖 = 𝒂 𝒅𝒙 ; 𝒖 = 𝒄𝒐𝒔 𝒂𝒙; 𝒅𝒖 = −𝒂 𝒔𝒆𝒏 𝒂𝒙 𝒅𝒙 1 2 1 = − cos 𝑎𝑥 + ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 − ∫ 𝑢4 𝑑𝑢 = 𝑎 𝑎 𝑎 3 5 1 2 𝑢 𝑢 = − cos 𝑎𝑥 + ∙ − +𝑐 𝑎 𝑎 3 𝑎 5 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝟏 𝟐 𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝒂𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝒂𝒙 − 𝒄𝒐𝒔𝟓 𝒂𝒙 + 𝒄 𝒂 𝟑𝒂 𝟓𝒂 210 Cálculo Integral 𝟒𝟏. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟓 𝟐𝒙 √ 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙 𝒅𝒙 Solución.- = ∫ 𝑐𝑜𝑠 5 2𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛 − 1⁄ 2 2𝑥 𝑑𝑥 = Se descompone la potencia trigonométrica de la siguiente manera: = ∫(𝑐𝑜𝑠 2 2𝑥)2 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛− 1⁄ 2 2𝑥 𝑑𝑥 = Se aplica la identidad trigonométrica pitagórica: = ∫(1 − 𝑠𝑒𝑛2 2𝑥) 2 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 ∙ 𝑠𝑒𝑛− 1⁄ 2 2𝑥 𝑑𝑥 = ∫(1 − 2𝑠𝑒𝑛 2 2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛 4 2𝑥) 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛− = ∫ 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛− 1⁄ 2 2𝑥 𝑑𝑥 1⁄ 2 2𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 ∙ 2 𝑠𝑖𝑛 3⁄ 7 2 2𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑠 2𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛 ⁄2 2𝑥 𝑑𝑥 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒙; 𝒅𝒖 = 𝟐 𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙 𝒅𝒙 1 1 1 1 3 7 = ∫ 𝑢− ⁄2 𝑑𝑢 − 2 ∙ ∫ 𝑢 ⁄2 𝑑𝑢 + ∫ 𝑢 ⁄2 𝑑𝑢 2 2 2 1 5 9 1 𝑢 ⁄2 𝑢 ⁄2 1 𝑢 ⁄2 = ∙ − + ∙ 5⁄ 2 1⁄ 2 9⁄ 2 2 2 2 1 1⁄ 5⁄ 9 = 𝑠𝑒𝑛 2 2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛 2 2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 ⁄2 2𝑥 + 𝑐 5 9 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒔𝒆𝒏 𝟏⁄ 𝟐 𝟐𝒙 ( 𝟏 − 𝟒𝟐. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒄𝒐𝒕𝟓 𝟐 𝟏 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝟐𝒙 + 𝒔𝒆𝒏𝟒 𝟐𝒙) + 𝒄 𝟓 𝟗 𝒚 𝒅𝒚 𝟒 Solución.Se descompone la potencia trigonométrica de la siguiente manera: 𝑦 2 𝑦 = ∫ (𝑐𝑜𝑡 2 ) 𝑐𝑜𝑡 𝑑𝑦 4 4 Se utiliza la identidad trigonométrica 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥 = 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 − 1: 2 𝑦 𝑦 𝑦 𝑦 𝑦 = ∫ (𝑐𝑠𝑐 2 − 1) 𝑐𝑜𝑡 𝑑𝑦 = ∫ (𝑐𝑠𝑐 4 − 2𝑐𝑠𝑐 2 + 1) 𝑐𝑜𝑡 𝑑𝑦 4 4 4 4 4 211 Cálculo Integral 𝑦 𝑦 𝑦 𝑦 𝑦 = ∫ 𝑐𝑠𝑐 4 ∙ 𝑐𝑜𝑡 𝑑𝑦 − 2 ∫ 𝑐𝑠𝑐 2 ∙ 𝑐𝑜𝑡 𝑑𝑦 + ∫ 𝑐𝑜𝑡 𝑑𝑦 4 4 4 4 4 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒚 𝟏 𝒚 𝒚 𝒖 = 𝒄𝒔𝒄 ; 𝒅𝒖 = − 𝒄𝒔𝒄 ∙ 𝒄𝒐𝒕 𝒅𝒚 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒 =∫ 𝑦 𝑦 𝑐𝑠𝑐 3 ∙ 𝑐𝑠𝑐 4 4 ∙ 𝑐𝑜𝑡 𝑦 𝑑𝑦 4 𝑦 𝑦 𝑦 𝑦 − 2 ∫ 𝑐𝑠𝑐 ∙ 𝑐𝑠𝑐 ∙ 𝑐𝑜𝑡 𝑑𝑦 + ∫ 𝑐𝑜𝑡 𝑑𝑦 4 4 4 4 𝑦 = −4 ∫ 𝑢3 𝑑𝑢 + 8 ∫ 𝑢 𝑑𝑢 + 𝑙𝑛 |𝑠𝑒𝑛 | + 𝑐 4 4 2 𝑢 𝑢 𝑦 = −4 + 8 + 𝑙𝑛 |𝑠𝑒𝑛 | + 𝑐 4 2 4 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝒄𝒔𝒄𝟒 𝒚 𝒚 𝒚 + 𝟒𝒄𝒔𝒄𝟐 + 𝒍𝒏 |𝒔𝒆𝒏 | + 𝒄 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒𝟑. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫(𝒕𝒂𝒏 𝟑𝒙 − 𝒄𝒐𝒕 𝟑𝒙)𝟑𝒅𝒙 Solución.- = ∫(𝑡𝑎𝑛3 3𝑥 𝑑𝑥 − 3𝑡𝑎𝑛 2 3𝑥 cot3𝑥 + 3 tan 3𝑥 𝑐𝑜𝑡 2 3𝑥 − 𝑐𝑜𝑡 3 3𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝑡𝑎𝑛 3 3𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 3 tan2 3𝑥 cot 3𝑥 𝑑𝑥 + 3 ∫ tan 3𝑥 𝑐𝑜𝑡 2 3𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑐𝑜𝑡 3 3𝑥 𝑑𝑥 Se utiliza la identidad trigonométrica 𝑡𝑎𝑛 2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 − 1: = ∫(𝑠𝑒𝑐 2 3𝑥 − 1) tan 3𝑥 𝑑𝑥 − ∫ +3 ∫ 3 𝑠𝑒𝑛2 3𝑥 cos 3𝑥 ∙ 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 3𝑥 sen 3𝑥 sen 3𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 3𝑥 ∙ 𝑑𝑥 − ∫(𝑐𝑠𝑐 2 3𝑥 − 1) cot 3𝑥 𝑑𝑥 cos 3𝑥 𝑠𝑒𝑛2 3𝑥 Se realiza los siguientes cambios de variables: 𝒖 = 𝐭𝐚𝐧 𝟑𝒙 𝒅𝒖 = 𝟑 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝟑𝒙 𝒅𝒙 ; 𝒖 = 𝐜𝐨𝐭 𝟑𝒙 𝒅𝒖 = −𝟑 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝟑𝒙 𝒅𝒙 1 = ∫ 𝑢 𝑑𝑢 − ∫ tan 3𝑥 𝑑𝑥 − 3 ∫ tan 3𝑥 𝑑𝑥 3 1 +3 ∫ cot3𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑢 𝑑𝑢 + ∫ cot 3𝑥 𝑑𝑥 = 3 212 Cálculo Integral 1 1 = 𝑢2 − 4 ∫ tan 3𝑥 𝑑𝑥 + 4 ∫ cot 3𝑥 𝑑𝑥 + 𝑢2 + 𝑐 6 6 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝒕𝒂𝒏𝟐 𝟑𝒙 𝟔 𝟒 𝟒 𝟏 + 𝐥𝐧|𝐜𝐨𝐬 𝟑𝒙| + 𝐥𝐧|𝐬𝐞𝐧𝟑𝒙| + 𝒄𝒐𝒕𝟐 𝟑𝒙 + 𝒄 𝟑 𝟑 𝟔 𝟒𝟒. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫(𝒄𝒐𝒕𝟒 𝟑𝒙+ 𝒄𝒐𝒕𝟐𝟑𝒙) 𝒅𝒙 Solución.- ∫ 𝑐𝑜𝑡 4 3𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑡 2 3𝑥 𝑑𝑥 Se utiliza la identidad trigonométrica 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥 = 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 − 1: = ∫(𝑐𝑠𝑐 2 3𝑥 − 1)𝑐𝑜𝑡 2 3𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑡 2 3𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑐𝑠𝑐 2 3𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑡 2 3𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑐𝑜𝑡 2 3𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑡 2 3𝑥 𝑑𝑥 = Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝐜𝐨𝐭 𝟑𝒙; 𝒅𝒖 = −𝟑 𝒄𝒔𝒄 𝟐 𝟑𝒙 𝒅𝒙 1 1 = − ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 = − 𝑢3 + 𝑐 = 3 9 𝟏 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝒄𝒐𝒕𝟑 𝟑𝒙 + 𝒄 𝟗 𝟒𝟓. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐭𝐚𝐧𝟒 𝒙 𝒅𝒙 Solución.- Se descompone la potencia trigonométrica y se utiliza la identidad trigonométrica 𝑡𝑎𝑛 2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 − 1: = ∫(sec 2 𝑥 − 1) tan2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(sec 2 𝑥 − 1) tan2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ sec 2 𝑥 tan2 𝑥 − tan2 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ sec 2 𝑥 tan2 𝑥 − (sec 2 𝑥 − 1) 𝑑𝑥 = ∫ sec 2 𝑥 tan2 𝑥 − ∫ sec 2 𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 213 Cálculo Integral Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒅𝒖 𝒖 = 𝐭𝐚𝐧 𝒙 ; 𝒅𝒖 = 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝒙 𝒅𝒙; 𝒅𝒙 = 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝒙 𝑑𝑢 − ∫ sec 2 𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 sec 2 𝑥 𝑢3 = ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 − ∫ sec 2 𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 = − tan 𝑥 + 𝑥 + 𝐶 3 = ∫ sec 2 𝑥 . 𝑢2 tan3 𝑥 − tan 𝑥 + 𝑥 + 𝐶 = 3 𝟏 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: (𝐭𝐚𝐧𝟑 𝒙 − 𝟑𝐭𝐚𝐧 𝒙 + 𝟑𝒙) + 𝑪 𝟑 = 𝟒𝟔. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐞𝒙 𝐭𝐚𝐧𝟐 (𝒆𝒙 ) 𝒅𝒙 Solución.Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒅𝒖 𝒖 = 𝐞𝒙 ; 𝒅𝒖 = 𝐞𝒙 𝒅𝒙; 𝒅𝒙 = 𝒙 𝐞 = ∫ e𝑥 tan2 (𝑢) 𝑑𝑢 = ∫ tan2 (𝑢) 𝑑𝑢 = ∫(sec 2 𝑢 − 1) 𝑑𝑢 e𝑥 = ∫ sec 2 𝑢 𝑑𝑢 − ∫ 𝑑𝑢 = tan 𝑢 − 𝑢 + 𝐶 = 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝐭𝐚𝐧 𝐞𝒙 − 𝐞𝒙 + 𝑪 𝟒𝟕. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐱 𝐜𝐨𝐭 𝟐 (𝟐𝒙𝟐 ) 𝒅𝒙 Solución.Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒅𝒖 𝒖 = 𝟐𝐱 𝟐 ; 𝒅𝒖 = 𝟒𝐱𝒅𝒙; 𝒅𝒙 = 𝟒𝐱 𝑑𝑢 1 1 = ∫ cot 2 𝑢 𝑑𝑢 = ∫(csc 2 𝑢 − 1) 𝑑𝑢 4𝑥 4 4 1 1 = (∫ csc 2 𝑢 𝑑𝑢 − ∫ 𝑑𝑢) = (− cot 𝑢 − 𝑢) + 𝐶 4 4 = ∫ x cot 2 𝑢 1 (− cot 2𝑥 2 − 2𝑥 2 ) + 𝐶 = 4 𝟏 𝟏 𝟐 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝐜𝐨𝐭 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝑪 𝟒 𝟐 = 214 Cálculo Integral 𝟒𝟖. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 𝒙 𝒙 𝐬𝐞𝐧 (𝟐) 𝐜𝐨𝐬 𝟑 (𝟐) Solución.Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒙 𝟏 𝟐 𝟐 𝒖 = ; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; 𝒅𝒙 = 𝟐 𝒅𝒖 Se aplica la identidad trigonométrica pitagórica: 1 sen2 𝑢 +cos 2 𝑢 ∫ 𝑑𝑢 = 2 𝑑𝑢 sen 𝑢 cos 3 𝑢 sen 𝑢 cos 3 𝑢 sen2 𝑢 cos 2 𝑢 ) 𝑑𝑢 = 2 ∫( + sen 𝑢 cos 3 𝑢 sen 𝑢 cos 3 𝑢 sen 𝑢 1 ) 𝑑𝑢 = 2 ∫( 3 + cos 𝑢 sen 𝑢 cos 𝑢 sen 𝑢 1 = 2 (∫ 𝑑𝑢 + ∫ 𝑑𝑢) 3 cos 𝑢 sen 𝑢 cos 𝑢 = 2∫ Se aplica la identidad 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 2 (∫ sen 𝑢 𝑑𝑢 ) 𝑑𝑢 + 2 ∫ 3 cos 𝑢 2sen 𝑢 cos 𝑢 Se realizan los siguientes cambios de variables: 𝒗 = 𝐜𝐨𝐬 𝒖 ; 𝒅𝒗 = − 𝐬𝐞𝐧 𝒖 𝒅𝒖; 𝒅𝒖 = − 𝒅𝒗 𝒅𝒘 ; 𝒘 = 𝟐𝒖; 𝒅𝒘 = 𝟐𝒅𝒖; 𝒅𝒖 = 𝐬𝐞𝐧𝒖 𝟐 sen 𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑢 2 𝑑𝑤 ) = 2 ( − ∫ 𝑣 −3 𝑑𝑣 + ∫ ) .− + 2∫ 3 𝑣 sen 𝑢 sen 2𝑢 2 sen 𝑤 2 = 2 (∫ 𝑣 −3 𝑑𝑣 + ∫ csc𝑤 𝑑𝑤) 2 −2 𝑣 = 2 (− + ln|csc 𝑤 − cot 𝑤|) + 𝐶 −2 1 = 2( + ln |csc𝑤 − cot𝑤 |) + 𝐶 2cos 2 𝑢 1 = + 2(ln|csc2𝑢 − cot2𝑢|) + 𝐶 cos 2 𝑢 1 𝑥 𝑥 = + 2 (ln |csc2 ( ) − cot2 ( )|) + 𝐶 𝑥 2 2 cos 2 ( ) 2 = 2 (∫ 𝒙 𝟐 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝐬𝐞𝐜𝟐 ( ) + 𝟐 𝐥𝐧|𝐜𝐬𝐜𝒙| − 𝟐𝐥𝐧|𝐜𝐨𝐭 𝒙| + 𝑪 215 Cálculo Integral 𝟒𝟗. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫(𝐭𝐚𝐧 𝟐𝒙 + 𝐜𝐨𝐭 𝟐𝒙)𝟐 Solución.Se realiza el producto notable: cuadrado de un binomio: 1 = ∫( tan2 𝑢 + 2 tan 𝑢 cot 𝑢 + cot 2 𝑢)𝑑𝑢 2 1 = (∫ tan2 𝑢 𝑑𝑢 + ∫ 2 tan 𝑢 cot 𝑢 𝑑𝑢 + ∫ cot 2 𝑢 𝑑𝑢) 2 1 sen 𝑢 cos 𝑢 = (∫(sec 2 𝑢 − 1)𝑑𝑢 + 2 ∫ ( . ) 𝑑𝑢 2 cos 𝑢 sen 𝑢 + ∫(csc 2 𝑢 − 1) 𝑑𝑢) 1 = (∫ sec 2 𝑢 𝑑𝑢 − ∫ 𝑑𝑢 + 2 ∫ 𝑑𝑢 + ∫ csc2 𝑢 𝑑𝑢 − ∫ 𝑑𝑢) 2 1 1 = (∫ sec 2 𝑢 𝑑𝑢 + ∫ csc 2 𝑢 𝑑𝑢) = (tan 𝑢 − cot 𝑢) + 𝐶 2 2 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 ( 𝐭𝐚𝐧 𝟐𝒙 − 𝐜𝐨𝐭 𝟐𝒙) + 𝑪 𝟐 𝟓𝟎. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫(𝐬𝐞𝐜𝟓𝒙 + 𝐜𝐬𝐜 𝟓𝒙)𝟐 𝒅𝒙 Solución.Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝟓𝒙; 𝒅𝒖 = 𝟓𝒅𝒙; 𝒅𝒙 = 𝒅𝒖 𝟓 1 = ∫( sec 𝑢 + csc 𝑢) 2𝑑𝑢 = 5 1 = ∫( sec 2 𝑢 + 2 sec 𝑢 csc𝑢 + csc2 𝑢)𝑑𝑢 5 1 = (∫ sec 2 𝑢 𝑑𝑢 + 2 ∫ sec 𝑢 csc 𝑢 𝑑𝑢 + ∫ csc 2 𝑢 𝑑𝑢) 5 1 𝑑𝑢 = (∫ sec 2 𝑢 𝑑𝑢 + 2 ∫ + ∫ csc2 𝑢 𝑑𝑢) 5 cos 𝑢 sen 𝑢 1 𝑑𝑢 = (tan 𝑢 + 2.2 ∫ − cot𝑢) + 𝐶 5 2cos 𝑢 sen 𝑢 = 1 5 ( tan 𝑢 + 4 ∫ 𝑑𝑢 sen 2𝑢 − cot 𝑢 ) + 𝐶 216 Cálculo Integral Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒅𝒗 𝒗 = 𝟐𝒖; 𝒅𝒗 = 𝟐𝒅𝒖; 𝒅𝒖 = 𝟐 1 1 𝑑𝑣 = (tan 𝑢 + 4 ∫ . − cot 𝑢) + 𝐶 5 sen 𝑣 2 1 = (tan 𝑢 + 2 ∫ csc𝑣 − cot 𝑢) + 𝐶 5 1 = (tan 𝑢 + 2 ln|csc 𝑣 − cot𝑣 | − cot𝑢) + 𝐶 5 1 = (tan 𝑢 + 2 ln|csc 2𝑢 − cot 2𝑢| − cot𝑢) + 𝐶 5 1 = (tan 5𝑥 − cot 5𝑥 + 2 ln |csc10𝑥 − cot10𝑥 |) + 𝐶 5 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 ( 𝐭𝐚𝐧 𝟓𝒙 − 𝐜𝐨𝐭 𝟓𝒙 𝟓 + 𝟐 𝐥𝐧|𝐜𝐬𝐜𝟏𝟎𝒙| − 𝟐𝐥𝐧|𝐜𝐨𝐭 𝟏𝟎𝒙|) + 𝑪 𝟓𝟏. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐭𝐚𝐧𝟑 √𝒙 √𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝟏 𝒖 = √𝒙; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; 𝒅𝒙 = 𝟐√𝒙 𝒅𝒖 𝟐√𝒙 =∫ tan3 𝑢 √𝑥 . 2√𝑥 𝑑𝑢 = 2 ∫ tan3 𝑢 𝑑𝑢 Se descompone la potencia trigonométrica y se utiliza la identidad trigonométrica 𝑡𝑎𝑛 2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 − 1: = 2 ∫ tan2 𝑢 tan 𝑢 𝑑𝑢 = 2 ∫(sec 2 𝑢 − 1) tan 𝑢 𝑑𝑢 = 2 ∫ sec 2 𝑢 tan 𝑢 − tan 𝑢 𝑑𝑢 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒅𝒗 𝒗 = 𝐭𝐚𝐧 𝒖; 𝒅𝒗 = 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝒖 𝒅𝒖; 𝒅𝒖 = 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝒖 = 2 (∫ sec 2 𝑢 tan 𝑢 𝑑𝑢 − ∫ tan 𝑢 𝑑𝑢) 217 Cálculo Integral 𝑑𝑣 − ∫ tan 𝑢 𝑑𝑢) = 2 (∫ 𝑣 𝑑𝑣 − ∫ tan 𝑢 𝑑𝑢) sec 2 𝑢 𝑣2 𝑣2 = 2 ( − ∫ tan 𝑢 𝑑𝑢) = 2 ( + ln |cos𝑢|) + 𝐶 2 2 2 = 𝑣 + 2 ln|cos𝑢| + 𝐶 = tan 𝑢 + 2ln|cos 𝑢| + 𝐶 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝐭𝐚𝐧 √𝒙 + 𝟐𝐥𝐧|𝐜𝐨𝐬 √𝒙| + 𝑪 = 2 (∫ sec 2 𝑢. 𝑣. 𝟓𝟐. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐭𝐚𝐧𝟐 𝟓𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒅𝒖 𝒖 = 𝟓𝒙; 𝒅𝒖 = 𝟓𝒅𝒙; 𝒅𝒙 = 𝟓 = ∫ tan2 𝑢 𝑑𝑢 1 = ∫ tan2 𝑢 𝑑𝑢 5 5 Se utiliza la identidad trigonométrica 𝑡𝑎𝑛 2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 − 1: 1 1 = ∫( sec 2 𝑢 − 1) 𝑑𝑢 = ∫ sec 2 𝑢 𝑑𝑢 − ∫ 𝑑𝑢 5 5 1 (tan 𝑢 − 𝑢) + 𝐶 = 5 𝟏 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: ( 𝐭𝐚𝐧 𝟓𝒙 − 𝟓𝒙) + 𝑪 𝟓 = 𝜽 𝟓𝟑. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐭𝐚𝐧𝟓 ( ) 𝒅𝜽 𝟐 Solución.Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝜽 𝒅𝜽 𝒖 = ; 𝒅𝒖 = ; 𝒅𝜽 = 𝟐 𝒅𝒖 𝟐 𝟐 = 2 ∫ tan5 (𝑢) 𝑑𝑢 = Se descompone la potencia trigonométrica y se utiliza la identidad trigonométrica 𝑡𝑎𝑛 2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 − 1: = 2 ∫ tan3 𝑢 tan2 𝑢 𝑑𝑢 = 2 ∫ tan3 𝑢 (sec 2 𝑢 − 1) 𝑑𝑢 = 2 ∫(tan3 𝑢 sec 2 𝑢 − tan3 𝑢) 𝑑𝑢 218 Cálculo Integral = 2 ∫ tan3 𝑢 sec 2 𝑢 𝑑𝑢 − 2 ∫ tan2 𝑢 tan 𝑢 𝑑𝑢 = 2 ∫ tan3 𝑢 sec 2 𝑢 𝑑𝑢 − 2 ∫(sec 2 𝑢 − 1) tan 𝑢 𝑑𝑢 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒅𝒗 𝒗 = 𝐭𝐚𝐧 𝒖; 𝒅𝒗 = 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝒖 𝒅𝒖; 𝒅𝒖 = 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝒖 = 2 ∫ tan3 𝑢 sec 2 𝑢 𝑑𝑢 − 2 ∫ sec 2 𝑢 tan 𝑢 𝑑𝑢 + 2 ∫ tan 𝑢 𝑑𝑢 = 2 ∫ 𝑣 3 sec 2 𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑣 − 2 ∫ sec 2 𝑢 . 𝑣. + 2 ∫ tan 𝑢 𝑑𝑢 2 sec 𝑢 sec 2 𝑢 = 2 ∫ 𝑣 3 𝑑𝑣 − 2 ∫ 𝑣 𝑑𝑣 + 2 ∫ tan 𝑢 𝑑𝑢 𝑣4 𝑣2 − − ln|cos 𝑢|) + 𝐶 4 2 4 tan 𝑢 tan2 𝑢 = 2( − − ln|cos𝑢|) + 𝐶 4 2 𝜃 𝜃 tan4 ( ) tan2 ( ) 2 2 − ln |cos (𝜃 )|) + 𝐶 = 2( − 4 2 2 = 2( 𝜽 𝐭𝐚𝐧𝟒 ( ) 𝜽 𝜽 𝟐 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝐭𝐚𝐧𝟐 ( ) − 𝟐 𝐥𝐧 |𝐜𝐨𝐬 ( )| + 𝑪 𝟒 𝟐 𝟐 𝟓𝟒. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝒙 Solución.Se multiplica la fracción por la conjugada de la siguiente manera: =∫ 𝑑𝑥 1 − cos 𝑥 1 − cos 𝑥 1 − cos 𝑥 . =∫ =∫ 𝑑𝑥 2 1 + cos 𝑥 1 − cos 𝑥 1 − cos 𝑥 sen2 𝑥 Se descompone la fracción de la siguiente manera: =∫ 1 cos 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 = ∫ csc 2 𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 2 . sen2 𝑥 sen2 𝑥 𝑢 cos 𝑥 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒅𝒖 𝒖 = 𝐬𝐞𝐧 𝒙 ; 𝒅𝒖 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙; 𝒅𝒙 = 𝐜𝐨𝐬 𝒖 = ∫ csc 2 𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑑𝑢 = ∫ csc 2 𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑢−2 𝑢2 219 Cálculo Integral 𝑢−1 1 + 𝐶 = − cot𝑥 + 𝑢−1 + 𝐶 = − cot𝑥 + + 𝐶 −1 𝑢 1 = − cot 𝑥 + + 𝐶 = − cot𝑥 + csc 𝑥 + 𝐶 sen 𝑥 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝐜𝐬𝐜 𝒙 − 𝐜𝐨𝐭 𝒙 + 𝑪 = − cot 𝑥 − 𝟓𝟓. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐜𝐨𝐭 𝟑 𝒕 𝒅𝒕 Solución.Se descompone la potencia trigonométrica y se utiliza la identidad trigonométrica 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥 = 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 − 1: = ∫ cot 2 𝑡 cot 𝑡 𝑑𝑡 = ∫(csc 2 𝑡 − 1) cot 𝑡 𝑑𝑡 = ∫(csc 2 𝑡 cot𝑡 − cot 𝑡) 𝑑𝑡 = ∫ csc 2 𝑡 cot𝑡 𝑑𝑡 − ∫ cot 𝑡 𝑑𝑡 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒅𝒖 𝒖 = 𝐜𝐨𝐭 𝒕; 𝒅𝒖 = −𝐜𝐬𝐜 𝟐 𝒕 𝒅𝒕; 𝒅𝒕 = − 𝐜𝐬𝐜 𝟐 𝒕 = ∫ csc 2 𝑡 𝑢. − 𝑑𝑢 − ∫ cot 𝑡 𝑑𝑡 = − ∫ 𝑢 𝑑𝑢 − ∫ cot𝑡 𝑑𝑡 csc 2 𝑡 𝑢2 − ln|sen 𝑡| + 𝐶 = 2 𝐜𝐨𝐭𝟐 𝒕 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − − 𝐥𝐧|𝐬𝐞𝐧𝒕| + 𝑪 𝟐 =− 𝟓𝟔. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐜𝐨𝐭 𝟑 𝟐𝒕 𝒅𝒕 Solución.Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒅𝒖 𝒖 = 𝟐𝒕; 𝒅𝒖 = 𝟐𝒅𝒕; 𝒅𝒕 = 𝟐 = ∫ cot 3 𝑢 𝑑𝑢 1 = ∫ cot 3 𝑢 𝑑𝑢 2 2 Se descompone la potencia trigonométrica y se utiliza la identidad trigonométrica 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥 = 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 − 1: 220 Cálculo Integral 1 1 = ∫ cot 2 𝑢 cot 𝑢 𝑑𝑢 = ∫(csc 2 𝑢 − 1) cot𝑢 𝑑𝑢 2 2 1 1 1 = ∫( csc2 𝑢 cot𝑢 − cot𝑢) 𝑑𝑢 = ∫ csc 2 𝑢 cot 𝑢 𝑑𝑢 − ∫ cot𝑢 𝑑𝑢 2 2 2 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒗 = 𝐜𝐨𝐭 𝒖; 𝒅𝒗 = −𝐜𝐬𝐜 𝟐 𝒖 𝒅𝒖 ; 𝒅𝒖 = − 𝒅𝒗 𝐜𝐬𝐜𝟐 𝒖 1 𝑑𝑣 ) − ln|sen 𝑢|) + 𝐶 = (∫ csc 2 𝑢. 𝑣 ( − 2 csc 2 𝑢 1 1 𝑣2 = (− ∫ 𝑣 𝑑𝑣 − ln|sen 𝑢|) = (− − ln|sen 𝑢|) + 𝐶 2 2 2 2 1 cot 𝑢 = (− − ln|sen 𝑢|) + 𝐶 2 2 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝐜𝐨𝐭𝟐 𝟐𝒕 𝟏 − 𝐥𝐧|𝐬𝐞𝐧 𝟐𝒕| + 𝑪 𝟒 𝟐 𝟓𝟕. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟑 𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se descompone la potencia trigonométrica y se utiliza la identidad trigonométrica pitagórica: = ∫ cos 2 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = = ∫(1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥) cos 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ cos 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 = = ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙; 𝒅𝒖 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒔𝒆𝒏 𝒙 − 𝑢3 +𝐶 3 𝒔𝒆𝒏𝟑 𝒙 +𝑪 𝟑 221 Cálculo Integral 𝟓𝟖. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟓 𝜽 𝒅𝜽 Solución.Se descompone la potencia trigonométrica y se utiliza la identidad trigonométrica pitagórica: = ∫(𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 ) 2 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 = ∫(1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃) 2 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 = ∫(1 − 2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛4 𝜃)𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 = = ∫ cos 𝜃 − 2 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑠𝑒𝑛4 𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 = = ∫ cos 𝜃 𝑑𝜃 − 2 ∫ 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 + ∫ 𝑠𝑒𝑛4 𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑑𝜃 = Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒔𝒆𝒏 𝜽; 𝒅𝒖 = 𝒄𝒐𝒔 𝜽 𝒅𝜽 = 𝑠𝑒𝑛𝜃 − 2 ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 + ∫ 𝑢4 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 2 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒔𝒆𝒏 𝜽 − 𝟐 𝑢3 𝑢5 + +𝐶 3 5 𝒔𝒆𝒏𝟑 𝜽 𝒔𝒆𝒏𝟓 𝜽 + +𝑪 𝟑 𝟓 𝟓𝟗. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟑 𝟒𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝟒𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒂 = 𝟒𝒙; 𝒅𝒂 = 𝟒 𝒅𝒙 = 1 ∫ 𝑠𝑒𝑛3 𝑎 cos 2 𝑎 𝑑𝑎 = 4 Se descompone la potencia trigonométrica y se utiliza la identidad trigonométrica pitagórica: 1 = ∫(1 − cos 2 𝑎 ) 𝑠𝑒𝑛 𝑎 cos 2 𝑎 𝑑𝑎 = 4 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒃 = 𝐜𝐨𝐬 𝒂; 𝒅𝒃 = −𝒔𝒆𝒏 𝒂 𝒅𝒂 1 1 = − ∫(1 − 𝑏 2 )𝑏2 𝑑𝑏 = − (∫ 𝑏 2 𝑑𝑏 − ∫ 𝑏 4 𝑑𝑏) = 4 4 222 Cálculo Integral 1 𝑏3 𝑏5 𝑏3 𝑏5 − ( − )+𝐶 = − + +𝐶 = 4 3 5 12 20 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟒𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟓𝟒𝒙 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: + +𝑪 𝟏𝟐 𝟐𝟎 𝟔𝟎. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟔 𝜽 𝒅𝜽 Se descompone la potencia trigonométrica y se utiliza la identidad 1−cos 2𝑥 trigonométrica𝑠 𝑆𝑒𝑛 2 (𝑥) = 3 2 1 − cos 2𝜃 3 ) 𝑑𝜃 = ∫(𝑠𝑒𝑛2 𝜃) 𝑑𝜃 = ∫ ( 2 =∫ (1 − 3 cos 2𝜃 + 3 cos 2 2𝜃 − cos 3 2𝜃 ) 𝑑𝜃 8 1 = (∫ 𝑑𝜃 − 3 ∫ cos 2𝜃 𝑑𝜃 + 3 ∫ cos 2 2𝜃 − ∫ cos 3 2𝜃 ) = 8 1 3 3 1 + cos 2(2𝜃) ) 𝑑𝜃 = (𝜃 − 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 + ∫ ( 8 2 2 2 1 − ∫(1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑢) cos 𝑢 𝑑𝑢) 2 1 3 3 1 = (𝜃 − 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 + ∗ (∫ 𝑑𝜃 + ∫ cos 4𝜃 𝑑𝜃) 8 2 2 2 1 − (∫ cos 𝑢 𝑑𝑢 − ∫ cos 𝑢 𝑠𝑒𝑛2 𝑢 𝑑𝑢)) = 2 1 3 3 1 1 (𝜃 − 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 + (𝜃 + ∫ cos 𝑢 𝑑𝑢) − (𝑠𝑒𝑛 2𝜃 − ∫ 𝑢2 𝑑𝑢)) 8 2 4 4 2 1 3 3 3 1 𝑠𝑒𝑛3 2𝜃 (𝜃 − 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 + 𝜃 + 𝑠𝑒𝑛 4𝜃 − 𝑠𝑒𝑛 2𝜃 + )+𝐶 8 2 4 16 2 6 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝟑 𝟑 𝟑 𝜽− 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽 + 𝜽+ 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝜽 𝟖 𝟏𝟔 𝟑𝟐 𝟏𝟐𝟖 𝟏 𝒔𝒆𝒏𝟑 𝟐𝜽 − 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝜽 + +𝑪 𝟏𝟔 𝟒𝟖 223 Cálculo Integral 𝟔𝟏. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫(𝒔𝒆𝒏𝟑 𝟐𝒕)√𝐜𝐨𝐬 𝟐𝒕 𝒅𝒕 Solución.Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒂 = 𝟐𝒕; 𝒅𝒂 = 𝟐 𝒅𝒕 = ∫ 𝑠𝑒𝑛3 2𝑡 (cos 2𝑡)1/2 𝑑𝑡 = 1 2 ∫ 𝑠𝑒𝑛3 𝑎 (cos 𝑎)1/2 𝑑𝑎 = Se descompone la potencia trigonométrica y se utiliza la identidad trigonométrica pitagórica: 1 = (∫(1 − cos 2 𝑎)(𝑠𝑒𝑛 𝑎)(cos 𝑎) 1/2 𝑑𝑎) 2 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝐜𝐨𝐬 𝒂; 𝒅𝒖 = −𝒔𝒆𝒏 𝒂 3 7 1 1 1 𝑢2 𝑢2 = − (∫(1 − 𝑢2 )(𝑢)2 𝑑𝑢) = − ( 3 − 7 ) + 𝐶 2 2 2 2 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝟏 𝟏 𝐜𝐨𝐬𝟑/𝟐 𝟐𝒕 + 𝐜𝐨𝐬𝟕/𝟐 𝟐𝒕 + 𝑪 𝟑 𝟕 𝟔𝟐. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝒚 𝐜𝐨𝐬 𝒚 𝒅𝒚 Solución.Se aplica 𝟏 𝟐 lo siguiente: 𝟏 ∫ 𝒄𝒐𝒔 𝒎𝒙 ∙ 𝒄𝒐𝒔 𝒏𝒙 𝒅𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 (𝒎 + 𝒏) 𝒙 + 𝟐 𝒄𝒐𝒔 (𝒎 − 𝒏) 𝒙 𝒅𝒙 1 1 = ∫ cos(4 + 1) 𝑦 + cos(4 − 1) 𝑑𝑦 2 2 1 1 = ∫ cos 5𝑦 𝑑𝑦 + ∫ cos 3𝑦 𝑑𝑦 = 2 2 Se realizan los siguientes cambios de variables: 𝒂 = 𝟓𝒚; 𝒅𝒂 = 𝟓 𝒅𝒚; 𝒃 = 𝟑𝒚; 𝒅𝒃 = 𝟑 𝒅𝒚 1 1 1 1 = ∗ ∫ cos 𝑎 𝑑𝑎 + ∗ ∫ cos 𝑏 𝑑𝑏 = 2 5 2 3 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝟏 𝒔𝒆𝒏 𝟓𝒚 + 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒚 + 𝑪 𝟏𝟎 𝟔 224 Cálculo Integral 𝟔𝟑. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒕 𝒔𝒆𝒏 𝒕 𝒅𝒕 Solución.Se aplica lo 𝟏 𝟐 𝟏 siguiente: ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝒎𝒙 ∙ 𝒔𝒆𝒏 𝒏𝒙 𝒅𝒙 = − 𝒄𝒐𝒔 (𝒎 + 𝒏) 𝒙 + 𝟐 𝒄𝒐𝒔 (𝒎 − 𝒏) 𝒙 𝒅𝒙 1 1 = ∫ − cos(3 + 1) 𝑡 + cos(3 − 1) 𝑑𝑡 2 2 1 1 = − ∫ cos 4𝑡 𝑑𝑡 + ∫ cos 2𝑡 𝑑𝑡 = 2 2 Se realizan los siguientes cambios de variables: 𝒂 = 𝟒𝒕; 𝒅𝒂 = 𝟒 𝒅𝒕; 𝒃 = 𝟐𝒕; 𝒅𝒃 = 𝟐 𝒅𝒕 1 1 1 1 = − ∗ ∫ cos 𝑎 𝑑𝑎 + ∗ ∫ cos 𝑏 𝑑𝑏 = 2 4 2 2 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝟏 𝟏 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝒕 + 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒕 + 𝑪 𝟖 𝟒 𝟔𝟒. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se encuentran los valore de u, du, v, dv, para ser reemplazados en la fórmula de la integración por partes: 𝐜𝐨𝐬 𝟑 𝒙 𝒖 = 𝒙; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; 𝒅𝒗 = 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙; 𝒗 = − 𝑰. 𝒑𝒐𝒓 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒆𝒔 𝟑 cos 3 𝑥 cos 3 𝑥 𝑥 cos 3 𝑥 1 )−∫− 𝑑𝑥 = − + ∫ cos 3 𝑥 𝑑𝑥 = 3 3 3 3 𝑥 cos 3 𝑥 1 =− + ∫(1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥) cos 𝑥 𝑑𝑥 = 3 3 𝑥 cos 3 𝑥 1 =− + (∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥) = 3 3 𝑥 cos 3 𝑥 1 1 =− + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − ∫ 𝑏 2 𝑑 3 3 3 3 𝑥 cos 𝑥 1 1 𝑏3 = − + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − ∗ + 𝐶 3 3 3 3 = −𝑥 ( 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝒙 𝐜𝐨𝐬𝟑 𝒙 𝟏 𝒔𝒆𝒏𝟑 𝒙 + 𝒔𝒆𝒏 𝒙 − +𝑪 𝟑 𝟑 𝟗 225 Cálculo Integral 𝟔𝟓. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐭𝐚𝐧𝟑 𝒙 𝐬𝐞𝐜 −𝟏/𝟐 𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se descompone la potencia trigonométrica de la tangente y se utiliza la identidad trigonométrica 𝑡𝑎𝑛 2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 − 1: = ∫(sec 2 𝑥 − 1) sec −3/2 𝑥 sec 𝑥 tan 𝑥 𝑑𝑥 = Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝐬𝐞𝐜 𝒙 ; 𝒅𝒖 = 𝐬𝐞𝐜 𝒙 𝐭𝐚𝐧 𝒙 𝒅𝒙 = ∫(𝑢2 − 1) u−3/2 𝑑𝑢 = ∫ 𝑢1/2 𝑑𝑢 − ∫ 𝑢−3/2 𝑑𝑢 = 3 − 1 𝑢2 𝑢 2 = − +𝐶 = 3 1 −2 2 𝟑 𝟏 𝟐 − 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝐬𝐞𝐜𝟐 𝒙 + 𝟐 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝒙 + 𝑪 𝟑 𝟔𝟔. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐜𝐨𝐭 𝟒 (𝟐𝒕) 𝒅𝒕 Solución.Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒛 = 𝟐𝒕; 𝒅𝒛 = 𝟐 𝒅𝒕 = 1 ∫ cot 4 𝑧 𝑑𝑧 2 Se descompone la potencia trigonométrica de la cotangente y se utiliza la identidad trigonométrica 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥 = 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 − 1: 1 = (∫ csc 2 𝑧 − 1) cot 2 𝑧 𝑑𝑧 = 2 1 (∫ csc 2 𝑧 cot 2 𝑧 𝑑𝑧 − ∫ cot 2 𝑧 𝑑𝑧) = 2 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒂 = 𝐜𝐨𝐭 𝒛 ; 𝒅𝒂 = − 𝐜𝐬𝐜 𝟐 𝒛 𝒅𝒛 1 = (− ∫ 𝑎 2 𝑑𝑎 − ∫(csc 2 𝑧 − 1) 𝑑𝑧) 2 1 𝑎3 = [− − (∫ csc 2 𝑧 𝑑𝑧 − ∫ 𝑑𝑧)] = 2 3 226 Cálculo Integral =− 𝑐𝑜𝑡 3 𝑧 1 𝑐𝑜𝑡 3 2𝑡 1 − (− cot 𝑧 − 2𝑡) + 𝐶 = − + cot2𝑡 + 𝑡 + 𝐶 6 2 6 2 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝒄𝒐𝒕𝟑 𝟐𝒕 𝟏 + 𝐜𝐨𝐭 𝟐𝒕 + 𝒕 + 𝑪 𝟔 𝟐 𝟔𝟕. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐭𝐚𝐧−𝟑 𝒙 𝐬𝐞𝐜 𝟒 𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se descompone la potencia trigonométrica de la secante y se utiliza la identidad trigonométrica 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 = 1 + 𝑡𝑎𝑛 2 𝑥: = ∫ tan −3 𝑥 (1 + tan2 𝑥 ) sec 2 𝑥 𝑑𝑥 = Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝐭𝐚𝐧 𝒙 ; 𝒅𝒖 = 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫ u−3 (1 + 𝑢2 ) 𝑑𝑢 = ∫ 𝑢−3 + 𝑢−1 𝑑𝑢 = ∫ 𝑢−3 𝑑𝑢 + ∫ 𝑢−1 𝑑𝑢 = 𝑢 −2 =− + ln 𝑢 + 𝐶 = 2 𝒕𝒂𝒏−𝟐 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − + 𝐥𝐧 | 𝐭𝐚𝐧 𝒙 | + 𝑪 𝟐 𝟔𝟖. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐭𝐚𝐧−𝟑/𝟐 𝒙 𝐬𝐞𝐜𝟒 𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se descompone la potencia trigonométrica de la secante y se utiliza la identidad trigonométrica 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 = 1 + 𝑡𝑎𝑛 2 𝑥: = ∫ tan −3/2 𝑥 (1 + tan2 𝑥) sec 2 𝑥 𝑑𝑥 = Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝐭𝐚𝐧 𝒙 ; 𝒅𝒖 = 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ u−3/2 (1 + 𝑢2 ) 𝑑𝑢 = ∫ 𝑢−3/2 + 𝑢1/2 𝑑𝑢 = = ∫ 𝑢−3/2 𝑑𝑢 + ∫ 𝑢1/2 𝑑𝑢 = 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝟐 𝐭𝐚𝐧 − 𝟏 𝟐 𝑢−1/2 𝑢3/2 + +𝐶 −1/2 3/2 𝟐 𝒙 + 𝐭𝐚𝐧𝟑/𝟐 𝒙 + 𝑪 𝟑 227 Cálculo Integral 𝟔𝟗. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐬𝐞𝐜 𝟒 𝟒𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se realizan los siguientes cambios de variables: 𝒂 = 𝟒𝒙; 𝒅𝒂 = 𝟒 𝒅𝒙; 𝒃 = 𝒕𝒂𝒏 𝒂; 𝒅𝒃 = 𝐬𝐞𝐜 𝟐 𝒂 𝒅𝒂 1 ∫ sec 2 𝑎 . sec 2 𝑎 𝑑𝑎 4 1 1 ∫(1 + tan2 𝑎) sec 2 𝑎 𝑑𝑎 = ∫ 1 + 𝑏 2 𝑑𝑏 = 4 4 1 1 𝑏3 = (∫ 𝑑𝑏 + ∫ 𝑏 2 𝑑𝑏) = (𝑏 + ) + 𝐶 4 4 3 = 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝟒𝒙 𝐭𝐚𝐧 𝟒𝒙 + 𝐭𝐚𝐧𝟑 +𝑪 𝟒 𝟑 𝟕𝟎. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐭𝐚𝐧𝟐 𝟓𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒂 = 𝟓𝒙; 𝒅𝒂 = 𝟓 𝒅𝒙 = 1 ∫(sec 2 𝑎 − 1) 𝑑𝑎 = 5 1 1 = (∫ sec 2 𝑎 𝑑𝑎 − ∫ 𝑑𝑎) = (tan 𝑎 − 𝑎 ) + 𝐶 5 5 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝐭𝐚𝐧 𝟓𝒙 − 𝟓𝒙 + 𝑪 𝟓 𝐜𝐨𝐬 𝟑 𝒙 𝟕𝟏. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 𝒔𝒆𝒏𝟒 𝒙 Solución.Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙; 𝒅𝒖 = 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙 = ∫ 𝑠𝑒𝑛−4 𝑥 cos 3 𝑥 𝑑𝑥 = ∫(1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥) cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛−4 𝑥 𝑑𝑥 = = ∫(1 − 𝑢2 )𝑢−4 𝑑𝑢 = ∫ 𝑢−4 𝑑𝑢 − ∫ 𝑢−2 𝑑𝑢 = =− 𝑢−3 𝑢−1 1 1 + +𝐶 = − 3+ +𝐶 3 1 3𝑢 𝑢 228 Cálculo Integral 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝟏 𝟏 + +𝑪 𝟑 𝟑𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝟑 𝒔𝒆𝒏 𝒙 𝟕𝟐. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝐜𝐨𝐭 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se utiliza la identidad trigonométrica 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥 = 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 − 1: = ∫(csc 2 𝑥 − 1)𝑑𝑥 = ∫ csc 2 𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝐜𝐨𝐭 𝒙 − 𝒙 + 𝑪 𝟕𝟑. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒔𝒆𝒏 𝟏𝟎𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟏𝟓𝒙 𝒅𝒙 Solución.Se realizan los siguientes cambios de variables: 𝒂 = 𝟐𝟓𝒙; 𝒅𝒂 = 𝟐𝟓 𝒅𝒙; 𝒃 = −𝟓𝒙; 𝒅𝒃 = −𝟓 𝒅𝒙 1 1 = ∫ − cos(10 + 15) 𝑥 + cos(10 − 15) 𝑥 𝑑𝑥 = 2 2 1 1 = − ∫ cos 25𝑥 𝑑𝑥 + ∫ cos(−5𝑥)𝑑𝑥 = 2 2 1 1 ∫ cos 𝑏 𝑑𝑏 = = − ∫ cos 𝑎 𝑑𝑎 − 50 10 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝟏 𝟏 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝟓𝒙 − 𝒔𝒆𝒏 (−𝟓𝒙) + 𝑪 𝟓𝟎 𝟏𝟎 𝒘 𝒘 𝟕𝟒. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟒 ( ) 𝒄𝒐𝒔𝟐 ( ) 𝒅𝒘 𝟐 𝟐 Solución.Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒘 𝒂 = ; 𝒅𝒂 = 𝟏/𝟐 𝒅𝒘 𝟐 = 2 ∫ 𝑠𝑒𝑛4 𝑎 cos 2 𝑎 𝑑𝑎 = Se descompone la potencia trigonométrica y se utiliza la identidad 1−cos 2𝑥 1+cos 2𝑥 trigonométrica 𝑆𝑒𝑛 2 (𝑥) = ; 𝐶𝑜𝑠 2 (𝑥) = 2 2 2 1 − cos 2𝑎 1 + cos 2𝑎 ) ( ) 𝑑𝑎 = = 2 ∫( 2 2 229 Cálculo Integral 1 1 = 2 ∫ (1 − cos 2𝑎 ) 2 ∗ (1 + cos 2𝑎 )𝑑𝑎 = 4 2 1 = ∫(1 − 2 cos 2𝑎 + cos 2 2𝑎 + cos 2𝑎 − 2 cos 2 2𝑎 + cos 3 2𝑎 ) 𝑑𝑎 4 1 = ∫( cos 3 2𝑎 − cos 2 2𝑎 − cos 2𝑎 + 1) 𝑑𝑎 = 4 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒃 = 𝟐𝒂; 𝒅𝒃 = 𝟐 𝒅𝒂 1 1 1 1 = ( ∫ cos 3 𝑏 𝑑𝑏 − ∫ cos 2 𝑏 𝑑𝑏 − ∫ cos 𝑏 𝑑𝑏 + ∫ 𝑑𝑎) = 4 2 2 2 1 1 = ( ∫(1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑏)𝑐𝑜𝑠𝑏 𝑑𝑏 4 2 1 1 − ∫(1 + cos 2𝑏 )𝑑𝑏 − 𝑠𝑒𝑛 2𝑎 + 𝑎) 4 2 1 1 1 1 1 𝑤 = [ (𝑠𝑒𝑛 𝑏 − ∫ 𝑢2 𝑑𝑢) − (𝑏 + ∫ cos 𝑐 𝑑𝑐) − 𝑠𝑒𝑛 𝑤 + ] = 4 2 4 2 2 2 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒄 = 𝟐𝒃; 𝒅𝒄 = 𝟐 𝒅𝒃 1 1 1 𝑠𝑒𝑛3 𝑏 1 1 1 𝑤 ) − 𝑤 − 𝑠𝑒𝑛 2𝑤 − 𝑠𝑒𝑛 𝑤 + ] + 𝐶 = [ 𝑠𝑒𝑛 𝑤 − ( 4 2 2 3 4 8 2 2 1 1 1 1 = [ 𝑤 − 𝑠𝑒𝑛 2𝑤 − 𝑠𝑒𝑛3 𝑤] + 𝐶 4 2 8 6 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝟏 𝟏 𝒘− 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒘 − 𝒔𝒆𝒏𝟑 𝒘 + 𝑪 𝟖 𝟑𝟐 𝟐𝟒 𝟕𝟓. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 𝒙 𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟐 𝐜𝐨𝐬 𝟑 𝟐 Solución.Se realizan los siguientes cambios de variables: 𝒙 𝒅𝒙 𝒂 = ; 𝒅𝒂 = ; 𝒖 = 𝐜𝐨𝐬 𝒂 ; 𝒅𝒖 = −𝒔𝒆𝒏 𝒂 𝟐 𝟐 𝑥 𝑥 −1 = ∫ (𝑠𝑒𝑛 cos 3 ) 𝑑𝑥 = 2 ∫(𝑠𝑒𝑛 𝑎 cos3 𝑎)−1 𝑑𝑎 = 2 2 = −2 ∫ 𝑢−3 𝑑𝑢 = −2 ( 𝑢−2 ) + 𝐶 = cos −2 𝑎 + 𝐶 −2 230 Cálculo Integral 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝐜𝐨𝐬𝟐 𝒙+𝑪 𝟐 𝟕𝟔. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟐 (𝒙)𝑪𝒐𝒔𝟑(𝒙)𝒅𝒙 Solución.Se descompone la potencia trigonométrica del seno y se utiliza la identidad trigonométrica pitagórica: = ∫ 𝑆𝑒𝑛2 (𝑥)𝐶𝑜𝑠 2 (𝑥) Cos(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑆𝑒𝑛2 (𝑥)(1 − 𝑆𝑒𝑛2 (𝑥)) Cos (𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑆𝑒𝑛2 (𝑥) cos(𝑥) 𝑑𝑥 − ∫ 𝑆𝑒𝑛4 (𝑥) Cos(𝑥) 𝑑𝑥 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒔𝒆𝒏 (𝒙 ); 𝒅𝒖 = 𝐜𝐨𝐬(𝒙 ) 𝒅𝒙 = ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 − ∫ 𝑢4 𝑑𝑢 = 𝑢3 𝑢5 − +𝐶 3 5 (𝑺𝒆𝒏(𝒙))𝟑 (𝑺𝒆𝒏(𝒙))𝟓 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − +𝑪 𝟑 𝟓 𝒚 𝒚 𝟕𝟕. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟑 ( )𝑪𝒐𝒔 𝟓 ( ) 𝒅𝒚 𝟐 𝟐 Solución.Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒚 𝟏 𝒖 = ; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒚 𝟐 𝟐 = 2 ∫ 𝑆𝑒𝑛3 (𝑢)𝐶𝑜𝑠5 (𝑢)𝑑𝑢 = Se descompone la potencia trigonométrica del seno y se utiliza la identidad trigonométrica pitagórica: = 2 ∫ 𝑆𝑒𝑛 (𝑢)𝑆𝑒𝑛 2 ( 𝑢)𝐶𝑜𝑠5 (𝑢)𝑑𝑢 = 2 ∫(1 − 𝐶𝑜𝑠 2(𝑢))𝑆𝑒𝑛(𝑢)𝐶𝑜𝑠 5 (𝑢)𝑑𝑢 = 2 ∫ 𝑆𝑒𝑛(𝑢)𝐶𝑜𝑠 5 (𝑢 )𝑑𝑢 − 2 ∫ 𝐶𝑜𝑠 2 (𝑢)𝑆𝑒𝑛(𝑢)𝐶𝑜𝑠5 (𝑢)𝑑𝑢 Se realiza el siguiente cambio de variable: 231 Cálculo Integral 𝒖 = 𝐜𝐨𝐬 𝒖 ; 𝒅𝒖 = −𝒔𝒆𝒏 𝒖 𝒅𝒖 2 2 = −2 ∫ 𝑢5 𝑑𝑢 + 2 ∫ 𝑢7 𝑑𝑢 = − (𝐶𝑜𝑠(𝑢) ) 6 + (Cos(𝑢) )8 + 𝐶 6 8 (Cos(𝑢) )6 (Cos(𝑢)) 8 =− + +𝐶 3 4 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝒚 𝟔 (𝑪𝒐𝒔(𝟐)) 𝟑 + 𝒚 𝟖 (𝑪𝒐𝒔(𝟐)) 𝟒 + 𝑪 𝝅 𝑺𝒆𝒏 (𝒙 + ) 𝟒 𝒅𝒙 𝟕𝟖. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝑺𝒆𝒏(𝒙)𝑪𝒐𝒔(𝒙) Solución.Se aplica la identidad trigonométrica del seno de la suma de dos funciones: 𝜋 𝜋 𝑆𝑒𝑛(𝑥)𝐶𝑜𝑠 ( ) + 𝑆𝑒𝑛 ( ) 𝐶𝑜𝑠(𝑥) 4 4 =∫ 𝑑𝑥 𝑆𝑒𝑛 (𝑥) 𝐶𝑜𝑠(𝑥) √2 𝑆𝑒𝑛𝑥 + 𝐶𝑜𝑠(𝑥) ∫ = 𝑑𝑥 2 𝑆𝑒𝑛(𝑥)𝐶𝑜𝑠(𝑥) 𝑆𝑒𝑛(𝑥) 𝐶𝑜𝑠(𝑥) √2 √2 ∫ ∫ = 𝑑𝑥 + 𝑑𝑥 2 𝑆𝑒𝑛(𝑥)𝐶𝑜𝑠(𝑥) 2 𝑆𝑒𝑛(𝑥)𝐶𝑜𝑠(𝑥) √2 √2 ∫ 𝑆𝑒𝑐(𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝐶𝑠𝑐(𝑥)𝑑𝑥 = 2 2 √𝟐 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝐥𝐧|𝑺𝒆𝒄(𝒙) + 𝑻𝒂𝒏(𝒙)| 𝟐 + √𝟐 𝟐 𝐥𝐧|𝑪𝒔𝒄(𝒙) − 𝑪𝒕𝒈(𝒙)| + 𝑪 𝟕𝟗. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝑪𝒐𝒔𝟔 (𝟑𝒙)𝒅𝒙 Solución.Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝟑𝒙; 𝒅𝒖 = 𝟑𝒅𝒙 = 1 ∫ 𝐶𝑜𝑠 6 (𝑢)𝑑𝑢 3 Se descompone la potencia trigonométrica del Coseno y se utiliza la identidad 1+cos 2𝑥 trigonométrica 𝐶𝑜𝑠 2 (𝑥) = 2 232 Cálculo Integral 1 1 1 + 𝐶𝑜𝑠 2𝑢 3 ) 𝑑𝑢 = = ∫(𝑐𝑜𝑠 2(𝑢))3 𝑑𝑢 = ∫ ( 3 3 2 1 ∫ 1 + 3 𝐶𝑜𝑠 2𝑢 + 3 (𝐶𝑜𝑠 2𝑢)2 + (𝐶𝑜𝑠 2𝑢) 3 𝑑𝑢 = = 24 1 = [∫ 𝑑𝑢 + 3 ∫ 𝐶𝑜𝑠 2𝑢 𝑑𝑢 24 1 + 𝐶𝑜𝑠 4𝑢 ) 𝑑𝑢 + 3 ∫( 2 + ∫(1 − (𝑆𝑒𝑛 2𝑢) 2 ) 𝐶𝑜𝑠 2𝑢 𝑑𝑢 ] = = 1 1 1 1 1 𝑢 + 𝑆𝑒𝑛 2𝑢 + 𝑢 + 𝑆𝑒𝑛 4𝑢 + 𝑆𝑒𝑛 2𝑢 24 16 16 64 48 1 3 (𝑆𝑒𝑛 2𝑢) + 𝐶 − 144 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟓𝒙 𝟏 𝟏 + 𝑺𝒆𝒏 𝟔𝒙 + 𝑺𝒆𝒏 𝟏𝟐𝒙 𝟏𝟔 𝟏𝟐 𝟔𝟒 𝟏 (𝑺𝒆𝒏 𝟔𝒙) 𝟑 + 𝑪 − 𝟏𝟒𝟒 𝟖𝟎. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝑺𝒆𝒄 𝟑 (𝟒𝒎)𝒅𝒎 Solución.Se descompone la potencia trigonométrica de la secante y se utiliza la identidad trigonométrica 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 = 1 + 𝑡𝑎𝑛 2 𝑥: = ∫(1 + 𝑇𝑎𝑛2 (4𝑚 ))𝑆𝑒𝑐3 (4𝑚)𝑑𝑚 = ∫ 𝑠𝑒𝑐 3 (4𝑚)𝑑𝑚 + ∫ 𝑇𝑎𝑛 2 (4𝑚 ) 𝑆𝑒𝑐 3 (4𝑚) 𝑑𝑚 Se encuentran los valores de u, du, v, dv, para reemplazarlos en la fórmula de la integración por partes: 𝒖 = 𝑺𝒆𝒄 (𝟒𝒎) ; 𝒅𝒖 = 𝟒𝑺𝒆𝒄 (𝟒𝒎) 𝑻𝒂𝒏 (𝟒𝒎) ; 𝒅𝒗 = ∫ 𝑺𝒆𝒄 𝟐 (𝟒𝒎) 𝒗= 𝑻𝒂𝒏 𝟒𝒎 𝟒 𝑇𝑎𝑛(4𝑚 )𝑆𝑒𝑐(4𝑚) 4 𝑆𝑒𝑐(4𝑚 )𝑇𝑎𝑛(4𝑚 )𝑇𝑎𝑛(4𝑚) = −∫ 𝑑𝑚 4 4 𝑇𝑎𝑛(4𝑚 )𝑆𝑒𝑐(4𝑚) = − ∫ 𝑆𝑒𝑐 (4𝑚) 𝑇𝑎𝑛2 (4𝑚)𝑑𝑚 4 𝑇𝑎𝑛(4𝑚) 𝑆𝑒𝑐(4𝑚) = − ∫ 𝑆𝑒𝑐 3 (4𝑚) 𝑑𝑚 + ∫ 𝑆𝑒𝑐(4𝑚) 𝑑𝑚 4 233 Cálculo Integral 𝟏 [ 𝑺𝒆𝒄(𝟒𝒎)𝑻𝒂𝒏(𝟒𝒎) + 𝐥𝐧(𝒔𝒆𝒄𝟒𝒎 + 𝑻𝒂𝒏(𝟒𝒎))] + 𝑪 𝟖 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟖𝟏. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝑺𝒆𝒏𝟓 (𝒚) 𝟑√𝑪𝒐𝒔 𝒚𝒅𝒚 Solución.Se descompone la potencia trigonométrica del Seno y se utiliza la identidad trigonométrica pitagórica 1 = ∫ 𝑠𝑒𝑛4 (𝑦)𝑐𝑜𝑠 3 (𝑦)𝑠𝑒𝑛 (𝑦)𝑑𝑦 2 1 = ∫(1 − 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑦)) 𝑐𝑜𝑠 3 𝑠𝑒𝑛(𝑦)𝑑𝑦 1 = ∫(1 − 2𝑐𝑜𝑠 2(𝑦) + (𝑐𝑜𝑠 2(𝑦)) 2 )𝑐𝑜𝑠3 (𝑦)𝑠𝑒𝑛(𝑦)𝑑𝑦 1 7 13 = ∫ 𝑐𝑜𝑠 3 (𝑦)𝑠𝑒𝑛(𝑦) − 2 ∫ 𝑐𝑜𝑠 3 (𝑦)𝑠𝑒𝑛(𝑦) + ∫ 𝑐𝑜𝑠 3 (𝑦)𝑠𝑒𝑛(𝑦)𝑑𝑦 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝐜𝐨𝐬 (𝒚) ; 𝒅𝒖 = −𝒔𝒆𝒏 (𝒚) 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝟒 𝟏𝟎 𝟏𝟔 𝟑 𝟑 𝟑 𝒄𝒐𝒔 𝟑 (𝒚) + 𝒄𝒐𝒔 𝟑 (𝒚) − 𝑪𝒐𝒔 𝟑 + 𝑪 𝟒 𝟓 𝟏𝟔 𝟖𝟐. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒔 √𝑺𝒆𝒏(𝒔)𝑪𝒐𝒔𝟑 (𝒔) Solución.- =∫ =∫ ∫ 𝑑𝑠 𝐶𝑜𝑠(𝑠)√ 𝑆𝑒𝑛 𝑠 𝐶𝑜𝑠 𝑠 𝑠𝑒𝑐(𝑠) 𝑑𝑠 𝑠𝑒𝑐 (𝑠)𝑠𝑒𝑐 (𝑠)𝑑𝑠 √𝑠𝑒𝑐 2 (𝑠)𝑠𝑒𝑛(𝑠)𝑐𝑜𝑠(𝑠) 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑠)𝑑𝑠 𝑑𝑠 = ∫ √𝑡𝑎𝑛(𝑠) 𝑠𝑒𝑛(𝑠)𝑐𝑜𝑠(𝑠) √𝑠𝑒𝑛(𝑠)𝑐𝑜𝑠(𝑠) 𝑠𝑒𝑐 2 (𝑠) 1 √ 𝑐𝑜𝑠 2 (𝑠) =∫ Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝐭𝐚𝐧 (𝒔 ) ; 𝒅𝒖 = 𝒔𝒆𝒄 𝟐 (𝒔 ) 1 𝑢2 = ∫𝑢 = = 1 2 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟐 (√𝐭𝐚 𝐧(𝒔)) + 𝑪 − 1 2 𝑑𝑢 234 Cálculo Integral 𝒙 𝒙 𝟖𝟑. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ (𝑻𝒂𝒏𝟑 ( ) + 𝑻𝒂𝒏𝟒 ( )) 𝒅𝒙 = 𝟑 𝟒 Solución.𝒙 Primero se resuelve la integral de 𝑻𝒂𝒏𝟑 ( ) , se descompone la potencia 𝟑 trigonométrica y se aplica identidad: 𝒙 𝑥 𝑥 = ∫ 𝑻𝒂𝒏𝟑 ( ) 𝒅𝒙; = ∫(𝑆𝑒𝑐 2 ( ) − 1) 𝑇𝑎𝑛( )𝑑𝑥 𝟑 3 3 𝑥 𝑥 𝑥 = ∫ 𝑆𝑒𝑐 2 ( ) 𝑇𝑎𝑛 ( ) 𝑑𝑥 − ∫ 𝑇𝑎𝑛 ( ) 𝑑𝑥 3 3 3 𝟑 𝒙 𝒙 = 𝑻𝒂𝒏𝟐 ( ) − 𝟑 𝐥𝐧 |𝑪𝒐𝒔 ( )| 𝟐 𝟑 𝟑 𝒙 Segundo se resuelve la integral de 𝑻𝒂𝒏𝟒 ( ) , se descompone la potencia 𝟒 trigonométrica y se aplica identidad: 𝒙 𝑥 𝑥 = ∫ 𝑻𝒂𝒏𝟒 ( ) 𝒅𝒙; = ∫(𝑆𝑒𝑐 2 ( ) − 1) 𝑇𝑎𝑛2 ( ) 𝑑𝑥 𝟒 4 4 𝑥 𝑥 𝑥 = ∫ 𝑆𝑒𝑐 2 ( ) 𝑇𝑎𝑛 2 ( ) 𝑑𝑥 − ∫ 𝑇𝑎𝑛 2 ( ) 𝑑𝑥 4 4 4 4 𝑥 𝑥 = 𝑇𝑎𝑛 3 ( ) − 4 ∫(𝑆𝑒𝑐 2 ( ) − 1)𝑑𝑥 3 4 4 𝟒 𝒙 𝒙 = 𝑻𝒂𝒏𝟑 ( ) − 𝟒 𝑻𝒂𝒏 ( ) + 𝟒 𝒙 + 𝑪 𝟑 𝟒 𝟒 𝟑 𝒙 𝟒 𝒙 𝒙 𝑻𝒂𝒏𝟐 ( ) + 𝑻𝒂𝒏𝟑 ( ) − 𝟒 𝑻𝒂𝒏 ( ) 𝟐 𝟑 𝟑 𝟒 𝟒 𝒙 − 𝟑 𝐥𝐧 |𝑪𝒐𝒔 ( )| + 𝑪 𝟑 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟒𝒙 + 𝟖𝟒. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝑪𝒐𝒔 (𝒂𝒙 + 𝒃)𝑪𝒐𝒔(𝒂𝒙 − 𝒃)𝒅𝒙 Solución.Se realizan los siguientes cambios de variables: 𝒖 = 𝟐𝒂𝒙; 𝒅𝒖 = 𝟐𝒂 𝒅𝒙 ; 𝒗 = 𝟐𝒃𝒙; 𝒅𝒗 = 𝟐𝒃 𝒅𝒙 = 1 1 1 1 ∫ cos 𝑢 𝑑𝑢 + ∫ cos 𝑣 𝑑𝑣 2 2𝑎 2 2𝑏 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒂𝒙 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒃𝒙 + +𝑪 𝟒𝒂 𝟒𝒃 235 Cálculo Integral 𝟖𝟓. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝑺𝒆𝒏(𝟏𝟎𝒙)𝑺𝒆𝒏(𝟏𝟓𝒙)𝒅𝒙 Solución.- 1 = ∫(𝐶𝑜𝑠(5𝑥) − 𝐶𝑜𝑠(25𝑥))𝑑𝑥 2 𝑺𝒆𝒏 (𝟓𝒙) 𝑺𝒆𝒏(𝟐𝟓𝒙) 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − +𝑪 𝟏𝟎 𝟓𝟎 𝟖𝟔. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝑺𝒆𝒏(𝒘𝒕)𝑺𝒆𝒏( 𝒘𝒕 + 𝒑)𝒅𝒕 Solución.- 1 = ∫ Cos(−𝑝) − Cos (2𝑤𝑡 + 𝑝) 𝑑𝑡 2 𝒕 𝑪𝒐𝒔(𝒑) 𝑺𝒆𝒏(𝟐𝒘𝒕 + 𝒑) 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − +𝑪 𝟐 𝟒𝒘 𝒙 𝒙 𝟖𝟕. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝑪𝒐𝒔 ( ) 𝑪𝒐𝒔 ( ) 𝒅𝒙 𝟐 𝟑 Solución.Se realizan los siguientes cambios de variables: 𝒙 𝟏 𝟓𝒙 𝟓 𝒖 = 𝒅𝒙; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; 𝒗 = 𝒅𝒙; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 𝟔 𝟔 𝟔 𝟔 1 𝑥 5𝑥 1 𝑥 6 5 ∫(𝐶𝑜𝑠( ) + 𝐶𝑜𝑠( )𝑑𝑥 = (6 𝑆𝑒𝑛 ( ) + 𝑆𝑒𝑛 ( 𝑥)) = 2 6 6 2 6 5 6 𝒙 𝟑 𝟓𝒙 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟑𝑺𝒆𝒏( ) + 𝑺𝒆𝒏 ( ) + 𝑪 𝟔 𝟓 𝟔 𝟖𝟖. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝑪𝒐𝒔 (𝒙)𝑪𝒐𝒔 𝟐 (𝟑𝒙)𝒅𝒙 Solución.Se descompone la potencia trigonométrica del Coseno y se utiliza la identidad 1+cos 2𝑥 trigonométrica 𝐶𝑜𝑠 2 (𝑥) = 2 1 + 𝐶𝑜𝑠(6𝑥) ) 𝑑𝑥 = ∫ 𝐶𝑜𝑠(𝑥) ( 2 1 = ∫(𝐶𝑜𝑠(𝑥) + 𝐶𝑜𝑠(𝑥)𝐶𝑜𝑠(6𝑥))𝑑𝑥 = 2 1 = (∫ 𝐶𝑜𝑠(𝑥)𝑑𝑥 + ∫(𝐶𝑜𝑠(5𝑥) + 𝐶𝑜𝑠(7𝑥))𝑑𝑥) 2 236 Cálculo Integral 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝑺𝒆𝒏(𝒙) 𝑺𝒆𝒏(𝟓𝒙) 𝑺𝒆𝒏(𝟕𝒙) + + +𝑪 𝟐 𝟏𝟎 𝟏𝟒 𝒙 𝟐𝒙 𝟖𝟗. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝑺𝒆𝒏 ( ) 𝑪𝒐𝒔 ( ) 𝒅𝒙 𝟑 𝟑 Solución.- 1 𝑥 1 𝑥 = ∫ (𝑆𝑒𝑛(𝑥) + 𝑆𝑒𝑛 (− )) 𝑑𝑥 = (− Cos (𝑥) + 3𝐶𝑜𝑠 ( )) + 𝐶 2 3 2 3 𝑪𝒐𝒔 (𝒙) 𝟑 𝒙 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − + 𝑪𝒐𝒔 ( ) + 𝑪 𝟐 𝟐 𝟑 𝟗𝟎. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝑺𝒆𝒏(𝒙)𝑺𝒆𝒏(𝟐𝒙)𝑺𝒆𝒏(𝟑𝒙)𝒅𝒙 Solución.- 1 = ∫(𝑆𝑒𝑛(𝑥) 𝐶𝑜𝑠(𝑥) − 𝑆𝑒𝑛(𝑥)𝐶𝑜𝑠(5𝑥))𝑑𝑥 2 1 = ∫(𝑆𝑒𝑛 (2𝑥) − Sen(4𝑥) + Sen (6𝑥))𝑑𝑥 4 𝑪𝒐𝒔 (𝟐𝒙) 𝑺𝒆𝒏(𝟒𝒙) 𝑺𝒆𝒏(𝟔𝒙) 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − − + +𝑪 𝟖 𝟗𝟏. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟏𝟔 𝟐𝟒 𝑺𝒆𝒏(𝒙) 𝒅𝒙 𝟏 − 𝑺𝒆𝒏(𝒙) Solución.Se multiplica la fracción por la conjugada de la siguiente manera: ∫ 𝑆𝑒𝑛(𝑥)(1 + 𝑆𝑒𝑛 (𝑥)) 1 − 𝑆𝑒𝑛2 (𝑥) =∫ 𝑆𝑒𝑛(𝑥) + 𝑆𝑒𝑛2 (𝑥) 𝑆𝑒𝑛(𝑥) 𝑆𝑒𝑛2 (𝑥) ∫ ∫ = 𝑑𝑥 − 𝑑𝑥 1 − 𝑆𝑒𝑛2 (𝑥) 𝐶𝑜𝑠 2(𝑥) 𝐶𝑜𝑠 2 (𝑥) Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝑪𝒐𝒔 (𝒙 ); 𝒅𝒖 = −𝑺𝒆𝒏 (𝒙 ) = −∫ 1 1 𝑑𝑢 + ∫ 𝑇𝑎𝑛2 (𝑥)𝑑𝑥 = + ∫(𝑆𝑒𝑐 2 (𝑥) − 1)𝑑𝑥 2 𝑢 𝑢 1 + 𝑇𝑎𝑛(𝑥) − 𝑥 + 𝐶 = 𝐶𝑜𝑠(𝑥) 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝑺𝒆𝒄 (𝒙) + 𝑻𝒂𝒏(𝒙) − 𝒙 + 𝑪 = 237 Cálculo Integral 𝟗𝟐. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝑺𝒆𝒏 (𝒚) 𝒅𝒚 (𝟏 − 𝑪𝒐𝒔(𝒚))𝟑 Solución.Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝟏 − 𝑪𝒐𝒔 (𝒚) ; 𝒅𝒖 = 𝑺𝒆𝒏 (𝒚) 𝒅𝒚 𝑑𝑢 1 = − +𝐶 = 𝑢3 2𝑢2 𝟏 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝟐+𝑪 𝟐(𝟏 − 𝑪𝒐𝒔(𝒚)) =∫ 𝟗𝟑. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝑺𝒆𝒏(𝟐𝒙) 𝒅𝒙 𝟏 + 𝑺𝒆𝒏𝟐 (𝒙) Solución.Se reemplaza el numerador por la identidad 𝑆𝑒𝑛 2𝑥 = 2𝑆𝑒𝑛 (𝑥) 𝐶𝑜𝑠(𝑥) : =∫ 2𝑆𝑒𝑛 (𝑥)𝐶𝑜𝑠(𝑥 ) 𝑑𝑥 1 + 𝑆𝑒𝑛2 (𝑥) Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝟏 + 𝑺𝒆𝒏𝟐 𝒙; 𝒅𝒖 = 𝟐 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙 𝑑𝑢 = ln|𝑢| + 𝐶 = 𝑢 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝐥𝐧 |𝟏 + 𝑺𝒆𝒏𝟐 (𝒙)| + 𝑪 =∫ 𝟗𝟒. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝑺𝒆𝒄 𝟑 𝒎 𝒅𝒎 𝟑 Solución.Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒎 𝟏 𝒖 = ; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒎; 𝟑 𝟑 = 3 ∫ 𝑆𝑒𝑐 3 𝑢 𝑑𝑢 = 3 ∫ 𝑆𝑒𝑐 2 𝑢 𝑆𝑒𝑐 𝑢 𝑑𝑢 Se encuentran los valores de u, du, v, dv, para ser reemplazados en la fórmula de la integración por partes: 𝒗 = 𝑺𝒆𝒄 𝒖; 𝒅𝒗 = 𝑺𝒆𝒄 𝒖 𝑻𝒂𝒏 𝒖; 𝒅𝒘 = 𝑺𝒆𝒄 𝟐 𝒖; 𝒘 = 𝑻𝒂𝒏 𝒖 = 𝑆𝑒𝑐 𝑢 𝑇𝑎𝑛 𝑢 − ∫ 𝑇𝑎𝑛2 𝑢 𝑆𝑒𝑐 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑆𝑒𝑐 𝑢 𝑇𝑎𝑛 𝑢 − ∫(𝑆𝑒𝑐 2 𝑢 − 1) Sec 𝑢 𝑑𝑢 = 238 Cálculo Integral = 3 𝑆𝑒𝑐 𝑢 𝑇𝑎𝑛 𝑢 − 3 ∫ 𝑆𝑒𝑐 3 𝑢 𝑑𝑢 + 3 ∫ 𝑆𝑒𝑐 𝑢 𝑑𝑢 = 3 3 𝑆𝑒𝑐 𝑢 𝑇𝑎𝑛 𝑢 − ln (Sec 𝑢 + 𝑇𝑎𝑛 𝑢) + 𝐶 4 4 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟑 𝒎 𝒎 𝟑 𝒎 𝒎 𝑺𝒆𝒄 𝑻𝒂𝒏 − 𝐥𝐧 (𝐒𝐞𝐜 + 𝑻𝒂𝒏 ) + 𝑪 𝟒 𝟑 𝟑 𝟒 𝟑 𝟑 𝒔 𝒔 𝟗𝟓. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝑻𝒂𝒏𝟓 ( ) 𝑺𝒆𝒄 𝟒 ( ) 𝒅𝒔 𝟐 𝟐 Solución.Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒔 𝟏 𝒖 = ; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒔; 𝟐 𝟐 = 2 ∫ 𝑇𝑎𝑛5 𝑢 𝑆𝑒𝑐 4 𝑢 𝑑𝑢 = Se descompone la potencia trigonométrica de la Secante y se utiliza la identidad trigonométrica 𝑆𝑒𝑐 2 (𝑥) = 1 + 𝑡𝑎𝑛 2 (𝑥) = 2 ∫ 𝑇𝑎𝑛5 𝑢 𝑆𝑒𝑐 2 𝑢 𝑆𝑒𝑐 2 𝑢 𝑑𝑢 = 2 ∫ 𝑇𝑎𝑛5 𝑢 (1 + 𝑇𝑎𝑛2 𝑢)𝑆𝑒𝑐 2 𝑢 𝑑𝑢 = 2 ∫ 𝑇𝑎𝑛5 𝑢 𝑆𝑒𝑐 2 𝑢 𝑑𝑢 + 2 ∫ 𝑇𝑎𝑛 7 𝑢 𝑆𝑒𝑐 2 𝑢 𝑑𝑢 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒗 = 𝑻𝒂𝒏 𝒖; 𝒅𝒗 = 𝑺𝒆𝒄 𝟐 𝒖 𝒅𝒖; 𝑣6 𝑣8 + +𝐶 3 4 𝒔 𝑻𝒂𝒏𝟖 ( ) = 2 ∫ 𝑣 5 𝑑𝑣 + 2 ∫ 𝑣 7 𝑑𝑣 = 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒔 𝑻𝒂𝒏𝟔 (𝟐) 𝟑 + 𝟒 𝟐 +𝑪 𝑪𝒐𝒔𝟑 (𝒘) 𝟗𝟔. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒘 𝑺𝒆𝒏𝟓 (𝒘) Solución.Se descompone el denominador de la siguiente manera: =∫ 𝐶𝑜𝑠 3 (𝑤) 1 𝑑𝑤 = 3 𝑆𝑒𝑛 (𝑤) 𝑆𝑒𝑛2 (𝑤) = ∫ 𝐶𝑜𝑡 3 𝑤 𝐶𝑠𝑐 2 𝑤 𝑑𝑤 = − ∫ 𝑢3 𝑑𝑢 = − 𝑢4 +𝐶 4 Se realiza el siguiente cambio de variable: 239 Cálculo Integral 𝒖 = 𝑪𝒐𝒕 𝒘 ; 𝒅𝒖 = − 𝑪𝒔𝒄 𝟐 𝒘 𝒅𝒘; 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝑪𝒐𝒕𝟒 𝒘 +𝑪 𝟒 𝟗𝟕. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 √ 𝑻𝒂𝒏 𝒙 Solución.Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝟏 𝒕 = 𝑻𝒂𝒏 𝒙 ; 𝒙 = 𝑻𝒂𝒏 −𝟏 𝒕; 𝒅𝒙 = 𝟐 𝒅𝒕; 𝒖 = √𝒕; 𝒖𝟐 = 𝒕; 𝟐 𝒖 𝒅𝒖 = 𝒅𝒕 𝒕 +𝟏 =∫ 1 √𝑡 (𝑡 2 + 1) = 2∫ 𝑑𝑢 (𝑢2 ) 2 + 1) 𝑑𝑡 = ∫ 2 𝑢 𝑑𝑢 4 𝑢 (𝑢 + 1) = 2∫ 𝑑𝑢 4 (𝑢 + 1) = = 2 𝑇𝑎𝑛−1 𝑢2 = 2 𝑇𝑎𝑛−1 𝑡 = 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟐 𝑻𝒂𝒏−𝟏 (𝑻𝒂𝒏 𝒙) + 𝑪 𝟗𝟖. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝒎 𝒅𝒎 𝟏 + 𝑪𝒐𝒔 𝒎 Solución.Se multiplica la fracción por la conjugada de la siguiente manera: = ∫ 𝐶𝑜𝑠 𝑚 1 − 𝐶𝑜𝑠 𝑚 𝑑𝑚 1 + 𝐶𝑜𝑠 𝑚 1 − 𝐶𝑜𝑠 𝑚 𝐶𝑜𝑠 𝑚 − 𝐶𝑜𝑠 2 𝑚 𝐶𝑜𝑠 𝑚 − 𝐶𝑜𝑠 2 𝑚 ∫ 𝑑𝑚 = 𝑑𝑚 1 − 𝐶𝑜𝑠 2 𝑚 𝑆𝑒𝑛2 𝑚 𝐶𝑜𝑠 𝑚 𝐶𝑜𝑠 2 𝑚 ∫ =∫ 𝑑𝑚 − 𝑑𝑚 𝑆𝑒𝑛2 𝑚 𝑆𝑒𝑛2 𝑚 =∫ Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝑺𝒆𝒏 𝒎 ; 𝒅𝒖 = 𝑪𝒐𝒔 𝒎 𝒅𝒎 𝑑𝑢 𝑢−1 2 𝑚 𝑑𝑚 = ∫ − 𝐶𝑜𝑡 − 𝐶𝑜𝑡 𝑚 − 𝑚 + 𝐶 𝑢2 −1 1 =− − 𝐶𝑜𝑡 𝑚 − 𝑚 + 𝐶 = 𝑆𝑒𝑛 𝑚 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝑪𝒔𝒄 𝒎 − 𝑪𝒐𝒕 𝒎 − 𝒎 + 𝑪 =∫ 240 Cálculo Integral 𝟗𝟗. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟏 + 𝑻𝒂𝒏 𝒙 𝒅𝒙 𝟏 − 𝑻𝒂𝒏 𝒙 Solución.Se aplica la siguiente identidad y se realiza el respectivo cambio de variable: 𝑻𝒂𝒏 𝒔 + 𝑻𝒂𝒏 𝒕 𝝅 𝑻𝒂𝒏 (𝒔 + 𝒕) = ; 𝒖 = + 𝒙; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 𝟏 − 𝑻𝒂𝒏 𝒔 𝑻𝒂𝒏 𝒕 𝟒 ∫ 𝑇𝑎𝑛 45° + 𝑇𝑎𝑛 𝑥 𝑑𝑥 1 − 𝑇𝑎𝑛 45° 𝑇𝑎𝑛 𝑥 𝜋 = ∫ 𝑇𝑎𝑛 ( + 𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑇𝑎𝑛 𝑢 . 𝑑𝑢 = − ln(𝐶𝑜𝑠 𝑢) + 𝐶 4 𝝅 𝟒 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝐥𝐧 (𝑪𝒐𝒔 ( + 𝒙)) + 𝑪 𝟏𝟎𝟎. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 = 𝑺𝒆𝒏𝟓 𝒙 𝑪𝒐𝒔𝟓 𝒙 Solución.Se aplica la siguiente identidad trigonométrica: 𝑺𝒆𝒏 𝟐𝒙 = 𝟐 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝑪𝒐𝒔 𝒙; 𝒖 = 𝟐𝒙¸𝒅𝒖 = 𝟐 𝒅𝒙 = 32 ∫ 𝑑𝑥 = = 32 ∫(𝐶𝑠𝑐 2𝑥)5𝑑𝑥 = (𝑆𝑒𝑛 2𝑥)5 1 3 = 16 ∫(𝐶𝑠𝑐 𝑢)5 𝑑𝑢 = = 16 [− 𝐶𝑠𝑐 3 𝑢 𝐶𝑜𝑡 𝑢 + ∫ 𝐶𝑠𝑐 3 𝑢 𝑑𝑢] 4 4 1 1 = −4 𝐶𝑠𝑐 3 𝑢 𝐶𝑜𝑡 𝑢 + 12 [− 𝐶𝑠𝑐 𝑢 𝐶𝑜𝑡 𝑢 + ln (𝐶𝑠𝑐 𝑢 − 𝐶𝑜𝑡 𝑢 ) ] + 𝐶 2 2 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝟒 𝑪𝒔𝒄𝟑𝟐𝒙 𝑪𝒐𝒕 𝟐𝒙 − 𝟔 𝑪𝒔𝒄 𝟐𝒙 𝑪𝒐𝒕 𝟐𝒙 + 𝟔 𝐥𝐧(𝑪𝒔𝒄 𝟐𝒙 − 𝑪𝒐𝒕 𝟐𝒙 ) + 𝑪 241 Cálculo Integral 5.2EJERCICIOS PROPUESTOS INTEGRACIÓN TRIGONOMÉTRICA DE Utilizando la técnica de integración trigonométrica, resuelva las siguientes integrales: 𝑑𝜃 1. − ∫ (𝑆𝑒𝑛 𝜃 + 𝐶𝑜𝑠 𝜃)2 𝑆𝑒𝑛 𝜃 2. − ∫ 𝑑𝜃 1 − 𝑆𝑒𝑛𝜃 𝑑𝛽 3. − ∫ 2 𝑆𝑒𝑛 𝛽 𝐶𝑜𝑠 4 𝛽 𝑆𝑒𝑛 𝜌 𝐶𝑜𝑠 𝜌 4. − ∫ 𝑑𝜌 √𝐶𝑜𝑠 2 𝜌 + 𝑆𝑒𝑛2 𝜌 𝜋 𝜋 5. − ∫ 𝑆𝑒𝑛 ( − 𝜔) 𝑆𝑒𝑛 ( + 𝜔) 𝑑𝜔 4 4 Respuestas a los ejercicios propuestos 1 1: − (𝑇𝑎𝑛 𝜃)+1 + 𝐶 2: 𝑆𝑒𝑐 𝜃 + 𝑇𝑎𝑛 𝜃 − 𝜃 + 𝐶 3: 𝑇𝑎𝑛 𝛽 + 𝑇𝑎𝑛3 𝛽 − 2 𝐶𝑜𝑡 (2𝛽) + 𝐶 3 1 4: − √𝐶𝑜𝑠 2𝜌 + 𝐶 2 5: 0 242 Cálculo Integral 6. FRACCIONES PARCIALES Partiendo de que una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas. Las funciones racionales se pueden integrar si el denominador es una función que se pueda descomponer, sea en factores lineales, factores lineales repetidos, factores cuadráticos y factores cuadráticos repetidos. Factores lineales simples 𝑓 (𝑥) Sea ∫ 𝑔(𝑥) si 𝑔(𝑥) se puede descomponer en factores simples, ya sea por factorización o algún otro método, las fracciones parciales quedan definidas de la siguiente manera: 𝑓(𝑥 ) 𝐴 𝐵 ∫ 𝑔(𝑥) = 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 1 + 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 2 + 𝐶 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑛 Donde A, B, C…… son coeficientes que se calculan por medio de las indeterminaciones que toma x en la función g(x). Y luego se procede a integrar por cualquiera de las técnicas de integrac ió n descritas anteriormente. Factores lineales repetidos Sea 𝑓 (𝑥) ∫ (𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟)𝑛 si (𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟)𝑛 se puede descomponer en factores lineales simples (repetidos), ya sea por factorización o algún otro método, las fracciones parciales quedan definidas de la siguiente manera: 𝑓 (𝑥) 𝐴 𝐵 1 2 ∫ 𝑔(𝑥)𝑛 = (𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟) 1 + (𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟) 2 + 𝐶𝑛 (𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟) 𝑛 Donde A, B, C…… son coeficientes que se calculan por medio de las indeterminaciones que toma x en (𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟)𝑛 . La regla general seria que por cada (𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟)𝑛 en el denominador, existen n términos en la descomposición de fracciones parciales. 243 Cálculo Integral Luego se procede a integrar por cualquiera de las técnicas de integración descritas anteriormente. Factores cuadráticos 𝑓 (𝑥) Sea ∫ 𝑔(𝑥) si 𝑔(𝑥) se puede descomponer en factores cuadráticos, ya sea por factorización o algún otro método, las fracciones parciales quedan definidas de la siguiente manera: 𝑓(𝑥 ) 𝐴𝑥 +𝐵 𝐶𝑥+𝐷 ∫ 𝑔(𝑥) = 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 1 + 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 2 + 𝐸𝑥+𝐹 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑛 +⋯ Donde A, B, C, D. E y F…… son coeficientes que se calculan por medio de las indeterminaciones que toma x en la función g(x). Y luego se procede a integrar por cualquiera de las técnicas de integración descritas anteriormente. Si existen combinaciones de factores lineales simples, repetidos, cuadráticos, se siguen las reglas mencionadas anteriorme nte. (Espinoza, E., 2016) 244 Cálculo Integral 6.1EJERCICIOS CON FR ACCIONES PARCIALES 𝟏. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟑𝒙 + 𝟐 𝒅𝒙 𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟏 Solución.Se expresa el denominador con el siguiente producto notable: ∫ 3𝑥 + 2 𝑑𝑥 = ( 𝑥 + 1) 3 Se descompone el denominador mediante factores lineales repetidos: 𝐴 𝐵 𝐶 + + 2 (𝑥 + 1) 3 𝑥 + 1 (𝑥 + 1) 3𝑥 + 2 = 𝐴 (𝑥 + 1) 2 + 𝐵(𝑥 + 1) + 𝐶 = Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B y C: 𝒙 = −𝟏; ⇒ 3(−1) + 2 = 𝐴 (−1 + 1) 2 + 𝐵(−1 + 1) + 𝐶 −3 + 2 = 𝐶; ⇒ 𝑪 = −𝟏 3𝑥 + 2 = 𝐴 (𝑥 + 1) 2 + 𝐵(𝑥 + 1) + 𝐶; 3𝑥 + 2 = 𝐴𝑥 2 + 2𝐴𝑥 + 𝐴 + 𝐵𝑥 + 𝐵 + 𝐶; 𝑨 = 𝟎; 2𝐴 + 𝐵 = 3; 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 2; ⇒ 𝑩 = 𝟑 0 3 𝑑𝑥 =∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 − ∫ = 2 (𝑥 + 1) (𝑥 + 1) 3 𝑥 +1 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = 3∫ −∫ 2 (𝑥 + 1) (𝑥 + 1) 3 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒙 + 𝟏; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 𝑑𝑢 𝑑𝑢 + ∫ 3 = 3 ∫ 𝑢−2 𝑑𝑢 + ∫ 𝑢−3 𝑑𝑢 = 2 𝑢 𝑢 1 3 1 = −3 𝑢−1 − 𝑢−2 + 𝐶 = − − +𝐶 = 2 𝑢 2 𝑢2 3 1 −6(𝑥 + 1) − 1 =− − +𝐶 = +𝐶 2 𝑥 + 1 2(𝑥 + 1) 2(𝑥 + 1) 2 −6𝑥 − 6 − 1 −6𝑥 − 7 = +𝐶 = +𝐶 2 2(𝑥 + 1) 2(𝑥 + 1) 2 = 3∫ 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝟔𝒙 + 𝟕 +𝑪 𝟐(𝒙 + 𝟏) 𝟐 245 Cálculo Integral 𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝟏𝒙 + 𝟑𝟐 𝟐. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟑 𝒅𝒙 𝒙 − 𝟖𝒙𝟐 + 𝟏𝟔𝒙 Solución.Se aplica factorización y se expresa el denominador de la siguiente manera: 3𝑥 2 − 21𝑥 + 32 ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 ( 𝑥 − 4) 2 Se descompone el denominador mediante 3 factores lineales: dos repetidos y uno distinto: 𝐴 𝐵 𝐶 + + ( 𝑥 𝑥−4 𝑥 − 4) 2 2 3𝑥 − 21𝑥 + 32 = 𝐴 (𝑥 − 4) 2 + 𝐵𝑥(𝑥 − 4) + 𝐶𝑥 = Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B y C: 𝒙 = 𝟒 ⇒ 3(4) 2 − 21 (4) + 32 = 𝐴 (4 − 4) 2 + 𝐵(4)(4 − 4) + 𝐶(4) ⇒ 48 − 84 + 32 = 4𝐶 ⇒ 4𝐶 = −4 ⇒ 𝑪 = −𝟏 𝒙 = 𝟎 ⇒ 3(0) 2 − 21 (0) + 32 = 𝐴 (0 − 4) 2 + 𝐵(0)(0 − 4) + 𝐶(0) ⇒ 32 = 16 𝐴 ⇒ 𝑨 = 𝟐 3𝑥 2 − 21𝑥 + 32 = 2( 𝑥 2 − 8𝑥 + 16) + 𝐵(𝑥 2 − 4𝑥) − 𝑥 3𝑥 2 − 21𝑥 + 32 = 2𝑥 2 − 16𝑥 + 32 + 𝐵𝑥 2 − 4𝐵𝑥 − 𝑥 (2 + 𝐵)𝑥 2 = 3𝑥 2 ⇒ 2 + 𝐵 = 3; 𝑩 = 𝟏 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 + ∫ −∫ (𝑥 − 4) 2 𝑥 𝑥−4 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = 2∫ +∫ −∫ (𝑥 − 4) 2 𝑥 𝑥 −4 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒙 − 𝟒 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 𝑑𝑢 𝑑𝑢 − ∫ 2 = 2 𝑙𝑛 𝑥 + 𝑙𝑛 𝑢 − ∫ 𝑢−2 𝑑𝑢 𝑢 𝑢 1 = 2 𝑙𝑛𝑥 + 𝑙𝑛 𝑢 + 𝑢−1 + 𝐶 = 2 𝑙𝑛 𝑥 + 𝑙𝑛|𝑥 − 4| + + 𝐶 𝑢 1 = 2 𝑙𝑛 𝑥 + 𝑙𝑛|𝑥 − 4| + +𝐶 𝑥 −4 = 2 ln 𝑥 + ∫ 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒍𝒏 𝒙𝟐 + 𝒍𝒏 |𝒙 − 𝟒 | + 𝟏 +𝑪 𝒙−𝟒 246 Cálculo Integral 𝟑. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙𝟐 + 𝟏𝟗𝒙 + 𝟏𝟎 𝒅𝒙 𝟐𝒙𝟒 +𝟓𝒙𝟑 Solución.Se aplica factorización y se expresa el denominador de la siguiente manera: ∫ 𝑥 2 + 19𝑥 + 10 𝑑𝑥 𝑥 3 (2𝑥 + 5) Se descompone el denominador mediante 4 factores lineales: tres repetidos y uno distinto: 𝐴 𝐵 𝑥 𝑥2 = + + 𝐶 𝑥3 𝑥 2 + 19𝑥 + 10 𝐷 + 2𝑥+5 = 𝐴𝑥 2 (2𝑥 + 5) + 𝑥(2𝑥 + 5) + 𝐶 (2𝑥 + 5) + 𝐷𝑥 3 Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B y C: 𝒙 = 𝟎 ⇒ 02 + 19(0) + 10 = 𝐴 (0) 2 (2(0) + 5) + 𝐵(0)(2(0) + 5) + 𝐶 (2(0) + 5) + 𝐷 (0) 3 10 = 5𝐶 ⇒ 𝑪 = 𝟐 𝟓 𝒙=− ; 𝟐 5 2 5 5 2 5 2 2 2 5 2 (− ) + 19 (− ) + 10 = 𝐴 (− ) (2 (− ) + 5) + 5 5 2 95 2 5 3 𝐵 (− ) (2 (− ) + 5) + 𝐶 (2 (− ) + 5) + 𝐷 (− ) 25 4 ⇒ − + 10 = 𝐷 (− 2 𝑥2 + 125 8 2 ) ⇒ 𝐷= 8∙125 4∙125 2 ⇒ 𝑫=𝟐 19𝑥 + 10 = 2𝐴𝑥 3 + 5𝐴𝑥 2 + 2𝐵𝑥 2 + 5𝐵𝑥 + 2𝐶𝑥 + 5𝐶 + 𝐷𝑥 3 𝑥 2 + 19𝑥 + 10 = 𝑥 3 (2𝐴 + 𝐷) + 𝑥 2 (5𝐴 + 2𝐵) + 𝑥(5𝐵 + 2𝐶 ) + 5𝐶 ⇒ 2𝐴 + 𝐷 = 0; 5𝐴 + 2𝐵 = 1; 5𝐵 + 2𝐶 = 19; 5 𝐶 = 10 ⇒ 2𝐴 + 2 = 0; 2𝐴 = −2 ⇒ 𝑨 = −𝟏 ⇒ 5𝐴 + 2𝐵 = 1; −5 + 2𝐵 = 1; 2𝐵 = 5 + 1; 𝑩 = 𝟑 𝑑𝑥 3 2 2 = −∫ + ∫ 2 𝑑𝑥 + ∫ 3 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 2𝑥 + 5 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = −∫ + 3∫ 2 + 2 ∫ 3 + 2 ∫ 𝑥 𝑥 𝑥 2𝑥 + 5 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝟐𝒙 + 𝟓; 𝒅𝒖 = 𝟐𝒅𝒙 = − ln 𝑥 − 3𝑥 −1 − 𝑥 −2 + ∫ 𝑑𝑢 3 1 = − ln 𝑥 − − 2 + ln 𝑢 𝑢 𝑥 𝑥 247 Cálculo Integral 3 1 = − ln 𝑥 − − 2 + ln(2𝑥 + 5) = 𝑥 𝑥 𝟐𝒙 + 𝟓 𝟑𝒙 + 𝟏 |− 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒍𝒏 | +𝑪 𝒙 𝒙𝟐 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟖 𝟒. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 𝒙𝟑 + 𝟒𝒙 Solución.Se aplica factorización y se expresa el denominador de la siguiente manera: ∫ 2𝑥 2 + 𝑥 − 8 𝑑𝑥 𝑥 ( 𝑥 2 + 4) Se descompone el denominador mediante 1 factor lineal y 1 factor cuadrático: 𝐴 𝐵𝑥 + 𝐶 + 𝑥 𝑥2 + 4 2𝑥 2 + 𝑥 − 8 = 𝐴 (𝑥 2 + 4) + (𝐵𝑥 + 𝐶 )(𝑥) = Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B y C: 𝒙 = 𝟎 ⇒ 2(0) 2 + (0) − 8 = 𝐴 ((0)2 + 4) + (𝐵(0) + 𝐶 )(0) ⇒ −8 = 4𝐴 ⇒ 𝑨 = −𝟐 2𝑥 2 + 𝑥 − 8 = 𝐴𝑥 2 + 4𝐴 + 𝐵𝑥 2 + 𝐶𝑥 ⇒ 𝑥 2 (𝐴 + 𝐵) = 2𝑥 2 𝐴+𝐵 = 2 ⇒ −2 + 𝐵 = 2 ⇒ 𝑩 = 𝟒 ⇒ 𝑪=𝟏 2 4𝑥 + 1 𝑑 𝑥 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 2 = −2 ∫ + 4 ∫ 2 𝑑𝑥 + ∫ 2 𝑥 𝑥 +4 𝑥 𝑥 +4 𝑥 +4 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒙 𝟐 + 𝟒 𝒅𝒖 = 𝟐𝒙 𝒅𝒙 4 𝑑𝑢 𝑑𝑢 = −2 ln 𝑥 + ∫ +∫ 2 2 𝑢 𝑢 + 22 1 𝑥 = −2 ln x +2 𝑙𝑛 𝑢 + 𝑡𝑎𝑛 −1 + 𝐶 2 2 1 𝑥 = −2 𝑙𝑛|𝑥| + 2 𝑙𝑛|𝑥 2 + 4| + 𝑡𝑎𝑛−1 + 𝑐 2 2 1 𝑥 = −𝑙𝑛 𝑥 2 + 𝑙𝑛(𝑥 2 + 4) 2 + 𝑡𝑎𝑛 −1 + 𝑐 2 2 𝟐 𝟐 (𝒙 + 𝟒 ) 𝟏 𝒙 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒍𝒏 | | + 𝒕𝒂𝒏−𝟏 + 𝒄 𝟐 𝒙 𝟐 𝟐 248 Cálculo Integral 𝟓. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒚𝟒 + 𝒚 𝟐 − 𝟏 𝒅𝒚 𝒚𝟑 + 𝒚 Solución.Se aplica factorización y se expresa el denominador de la siguiente manera: ∫ 𝑦4 + 𝑦2 − 1 𝑑𝑦 𝑦 (𝑦 2 + 1) Se descompone el denominador mediante 1 factor lineal y 1 factor cuadrático: 𝐴 𝐵𝑦 + 𝐶 + 𝑦 𝑦2 + 1 𝑦 4 + 𝑦 2 − 1 = 𝐴 (𝑦 2 + 1) + (𝐵𝑦 + 𝐶 )(𝑦) = Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B y C: 𝒚 = 𝟎 ⇒ (0) 4 + (0) 2 − 1 = 𝐴 ((0) 2 + 1) + (𝐵(0) + 𝐶 )(0) 𝑨 = −𝟏 𝑦 4 + 𝑦 2 − 1 = 𝐴𝑦 2 + 𝐴 + 𝐵𝑦 2 + 𝐶𝑦 𝐴 + 𝐵 = 1 ⇒ −1 + 𝐵 = 1 ⇒ 𝑩 = 𝟐 ⇒ 𝑪 = 𝟎 𝑑𝑦 2𝑦 + 0 = −∫ +∫ 2 𝑑𝑦 𝑦 𝑦 +1 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒚𝟐 + 𝟏 𝒅𝒖 = 𝟐𝒚 𝒅𝒚 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝒍𝒏 𝒚 + 𝒍𝒏|𝒚𝟐 + 𝟏| + 𝒄 𝟔. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟐𝒚𝟒 𝒅𝒚 𝒚𝟑 − 𝒚 𝟐 + 𝒚 − 𝟏 Solución.Se aplica factorización y se expresa el denominador de la siguiente manera: 2𝑦 4 𝑑𝑦 (𝑦 − 1)(𝑦 2 + 1) 2𝑦 4 = 𝐴 (𝑦 2 + 1) + (𝐵𝑦 + 𝐶 )(𝑦 − 1) =∫ Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B y C: 𝒚 = 𝟏 ⇒ 2(1) 4 = 𝐴 ((1) 2 + 1) + (𝐵(1) + 𝐶 )(1 − 1) 2𝐴 = 2 ⇒ 𝑨=𝟏 2𝑦 4 = 𝐴𝑦 2 + 𝐴 + 𝐵𝑦 2 − 𝐵𝑦 + 𝐶𝑦 − 𝐶 𝐴 + 𝐵 = 0 ⇒ 𝑩 = −𝟏 ⇒ −𝐵 + 𝐶 = 0 ⇒ 𝑪 = −𝟏 𝑑𝑦 𝑦+1 𝑑𝑢 𝑦 𝑑𝑦 =∫ −∫ 2 𝑑𝑦 = ∫ −∫ 2 𝑑𝑦 − ∫ 2 = 𝑦−1 𝑦 +1 𝑢 𝑦 +1 𝑦 +1 Se realiza el siguiente cambio de variable: 249 Cálculo Integral 𝒖 = 𝒚 − 𝟏; 𝒅 = 𝒅𝒚; 𝒖 = 𝒚𝟐 + 𝟏; 𝒅𝒖 = 𝟐𝒚 𝒅𝒚; ∫ 𝒅𝒖 𝒖𝟐+𝒂 = 𝟏 𝒂 𝒖 𝒕𝒂𝒏 −𝟏 + 𝒄 𝒂 1 𝑑𝑢 1 = 𝑙𝑛 𝑢 − ∫ + 𝑡𝑎𝑛 −1 𝑦 + 𝐶 = 𝑙𝑛 𝑢 − 𝑙𝑛 𝑢 ⁄2 + 𝑡𝑎𝑛 −1 𝑦 + 𝐶 2 𝑢 = 𝑙𝑛 | 𝑢 −1 1 |+𝑡𝑎𝑛 𝑢 ⁄2 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒍𝒏 | 𝑦+ 𝐶 = 𝒚−𝟏 (𝒚𝟐 𝟕. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ −𝟏 𝟏⁄ | + 𝒕𝒂𝒏 + 𝟏) 𝟐 𝒚+𝑪 𝒆𝒕 𝒅𝒕 𝒆𝟐𝒕 + 𝟑𝒆𝒕 + 𝟐 Solución.Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒆𝒕 ; 𝒅𝒖 = 𝒆𝒕 𝒅𝒕; =∫ 𝑢2 𝑑𝑢 = +3 𝑢+2 Se aplica factorización y se expresa el denominador de la siguiente manera: ∫ 𝑑𝑢 (𝑢 + 2)(𝑢 + 1) Se descompone el denominador mediante 2 factores lineales distintos: 𝐴 𝐵 + 𝑢+2 𝑢+1 1 = 𝐴 (𝑢 + 1) + 𝐵(𝑢 + 2) = Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A y B: 𝑢 = −2 ⇒ 1 = 𝐴 (−2 + 1) + 𝐵 (−2 + 2) ⇒ 𝑨 = −𝟏 𝑢 = −1 ⇒ 1 = 𝐴 (−1 + 1) + 𝐵 (−1 + 2) ⇒ 𝑩 = 𝟏 𝑑𝑢 𝑑𝑢 = −∫ +∫ 𝑢+2 𝑢+1 Se realizan los siguientes cambios de variables: 𝒗 = 𝒖 + 𝟐; 𝒅𝒗 = 𝒅𝒖 ; 𝒘 = 𝒖 + 𝟏; 𝒅𝒘 = 𝒅𝒖 𝑑𝑣 𝑑𝑤 +∫ = − ln 𝑣 + ln 𝑤 = 𝑣 𝑤 = − ln (𝑢 + 2) + ln(𝑢 + 1) + 𝐶 = − ln(𝑒 𝑡 + 2) + ln(𝑒 𝑡 + 1) + 𝐶 = −∫ 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝐥𝐧 𝒆𝒕 + 𝟏 +𝑪 𝒆𝒕 + 𝟐 250 Cálculo Integral 𝟖. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒚 𝒄𝒐𝒔 𝒚 𝒅𝒚 + 𝒔𝒆𝒏 𝒚 − 𝟔 Solución.Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒔𝒆𝒏 𝒚; 𝒅𝒖 = 𝒄𝒐𝒔 𝒚 ∫ 𝑑𝑢 𝑢2 + 𝑢 − 6 Se aplica factorización y se expresa el denominador de la siguiente manera: 𝑑𝑢 𝐴 𝐵 =∫ + (𝑢 + 3)(𝑢 − 2) 𝑢+3 𝑢−2 𝐴 (𝑢 − 2) + 𝐵 (𝑢 + 3) = 1 = ∫ Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A y B: 𝒖 = 𝟐 ⇒ 𝐴 ((2) − 2) + 𝐵((2) + 3) = 1 𝟏 5𝐵 = 1 ⇒ 𝑩 = 𝟓 𝒖 = −𝟑 ⇒ 𝐴 ((−3 ) − 2) + 𝐵((−3) + 3) = 1 𝟏 −5𝐴 = 1 ⇒ 𝑨 = − 𝟓 𝑑𝑢 𝑑𝑢 = −∫ +∫ 5(𝑢 + 3) 5 (𝑢 − 2) Se realizan los siguientes cambios de variables: 𝒗 = 𝒖 + 𝟑; 𝒅𝒗 = 𝒅𝒖 𝒗 = 𝒖 − 𝟐 ; 𝒅𝒗 = 𝒅𝒖 1 𝑑𝑣 1 𝑑𝑣 1 1 =− ∫ + ∫ = − 𝑙𝑛𝑣 + 𝑙𝑛 𝑣 + 𝐶 5 𝑣 5 𝑣 5 5 1 1 = − 𝑙𝑛|𝑢 + 3| + 𝑙𝑛|𝑢 − 2| + 𝐶 5 5 1 1 = − 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑛𝑦 + 3| + 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑛 𝑦 − 2| + 𝐶 5 5 = 1 𝑠𝑖𝑛 𝑦 − 2 𝑙𝑛 | |+ 𝐶 = 5 𝑠𝑖𝑛 𝑦 + 3 𝒔𝒊𝒏 𝒚 − 𝟐 ) 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒍𝒏 ( 𝒔𝒊𝒏 𝒚 + 𝟑 𝟏⁄ 𝟓 +𝑪 251 Cálculo Integral 𝟗. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒔𝒊𝒏 𝜽 𝒅𝜽 𝒅𝒚 𝒄𝒐𝒔 𝜽 − 𝟐 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 + Solución.Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒄𝒐𝒔 𝜽; 𝒅𝒖 = − 𝒔𝒊𝒏 𝜽 𝒅𝜽 =∫ 𝑑𝑢 𝑢2 + 𝑢 − 2 Se aplica factorización y se expresa el denominador de la siguiente manera: 𝑑𝑢 𝐴 𝐵 = + (𝑢 + 2)(𝑢 − 1) 𝑢+2 𝑢−1 1 = 𝐴 (𝑢 − 1) + 𝐵(𝑢 + 2) =∫ Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A y B: 𝒖 = 𝟏 ⇒ 1 = 𝐴 ((1) − 1) + 𝐵((1) + 2) 1 = 3𝐵 ⇒ 𝑩 = 𝟏⁄𝟑 𝒖 = −𝟐 ⇒ 1 = 𝐴 ((−2) − 1) + 𝐵((−2) + 2) 1 = −3𝐴 ⇒ 𝑨 = − 𝟏⁄𝟑 1 𝑑𝑢 1 𝑑𝑢 =− ∫ + ∫ 3 𝑢+ 2 3 𝑢−1 Se realizan los siguientes cambios de variables: 𝒗 = 𝒖 + 𝟐 ; 𝒅𝒗 = 𝒅𝒖 ⇒ 𝒗 = 𝒖 − 𝟏; 𝒅𝒗 = 𝒅𝒖 1 1 1 1 = − 𝑙𝑛 𝑣 + 𝑙𝑛 𝑣 + 𝐶 = − 𝑙𝑛(𝑢 + 2) + 𝑙𝑛(𝑢 − 1) 3 3 3 3 1 1 = − 𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 2) + 𝑙𝑛(𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 1 ) + 𝐶 = 3 3 = 1 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 1 𝑙𝑛 ( )+ 𝐶 = 3 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 2 𝒄𝒐𝒔 𝜽 − 𝟏 ) 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒍𝒏 ( 𝒄𝒐𝒔 𝜽 + 𝟐 𝟏𝟎. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟏⁄ 𝟑 +𝑪 𝒅𝒕 (𝒕 + 𝟐)𝟐(𝒕 + 𝟏) Solución.Se descompone el denominador mediante 1 factor lineal y 1 factor cuadrático: 𝐴 𝐵 𝐶 + + 2 (𝑡 + 2) (𝑡 + 2) (𝑡 + 1) ( )( ) ( 𝐴 𝑡 + 2 𝑡 + 1 + 𝐵 𝑡 + 1) + 𝐶 (𝑡 + 2) 2 = 1 = 252 Cálculo Integral Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B y C: 𝒕 = −𝟐 ⇒ ((−2) + 2)((−2) + 1) + 𝐵((−2) + 1) + 𝐶((−2) + 2) =1 −𝐵 = 1 ⇒ 𝑩 = −𝟏 2 2 𝒕 = −𝟏 ⇒ ((−1) + 2)((−1) + 1) + 𝐵((−1) + 1) + 𝐶((−1) + 2) =1 𝑪=𝟏 𝐴𝑡 2 + 2𝐴𝑡 + 𝐴𝑡 + 2𝐴 + 𝐵𝑡 + 𝐵 + 𝐶𝑡 2 + 4𝑡𝐶 + 4𝐶 = 1 𝐴𝑡 2 + 3𝐴𝑡 + 2𝐴 + 𝐵𝑡 + 𝐵 + 𝐶𝑡 2 + 𝐶4𝑡 + 4𝐶 = 1 𝑡 2 (𝐴 + 𝐶 ) + 𝑡(3𝐴 + 𝐵 + 4𝐶 ) + 2𝐴 + 𝐵 + 4𝐶 = 1 𝐴 + 1 = 0 ⇒ 𝑨 = −𝟏 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑢 = −∫ −∫ +∫ = −∫ −∫ 2 +∫ 2 (𝑡 + 2) 𝑡+2 𝑡+1 𝑢 𝑢 𝑢 Se realizan los siguientes cambios de variables: 𝒖 = 𝒕 + 𝟐; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒕 ⇒ 𝒖 = 𝒕 + 𝟏; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒕 = − 𝑙𝑛 𝑢 − ∫ 𝑢−2 𝑑𝑢 + 𝑙𝑛 𝑢 = − 𝑙𝑛 𝑢 + 𝑢−1 + 𝑙𝑛𝑢 + 𝐶 = − 𝑙𝑛(𝑡 + 2) + 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 1 + 𝑙𝑛(𝑡 + 1) + 𝐶 𝑡 +2 𝟏 𝒕+𝟏 )+𝑪 + 𝒍𝒏 ( 𝒕+𝟐 𝒕+𝟐 𝟑𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟏 𝟏𝟏. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 Solución.Se aplica factorización y se expresa el denominador de la siguiente manera: 3𝑥 2 − 𝑥 + 1 𝐴 𝐵 𝐶 = + 2+ 2 𝑥 (𝑥 − 1) 𝑥 𝑥 𝑥−1 2 3𝑥 − 𝑥 + 1 = 𝐴 (𝑥 − 1)(𝑥) + 𝐵(𝑥 − 1) + 𝐶(𝑥) 2 = ∫ Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B y C: 𝒙 = 𝟏 ⇒ 3(1) 2 − (1) + 1 = 𝐴 ((1) − 1)(1) + 𝐵((1) − 1) + 𝐶 (1) 2 𝑪=𝟑 𝒙 = 𝟎 ⇒ 3(0) 2 − (0) + 1 = 𝐴 ((0) − 1)(0) + 𝐵((0) − 1) + 𝐶 (0) 2 𝑩 = −𝟏 𝐴𝑥 2 − 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 − 𝐵 + 𝐶𝑥 2 = 3𝑥 2 − 𝑥 + 1 253 Cálculo Integral ⇒ 𝑥 2 (𝐴 + 𝐶 ) + 𝑥 (−𝐴 + 𝐵) − 𝐵 = 3𝑥 2 − 𝑥 + 1 𝐴+𝐶 = 3 ⇒ 𝐴+3 = 3 ⇒ 𝑨=𝟎 0 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 = ∫ 𝑑𝑥 − ∫ 2 + 3 ∫ = − ∫ 𝑥 −2 𝑑𝑥 + 3 ∫ = 𝑥 𝑥 𝑥−1 𝑢 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒙 − 𝟏 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 = 1 + 3𝑙𝑛𝑢 = 𝑥 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝟏 + 𝟑 𝒍𝒏(𝒙 − 𝟏) + 𝑪 = + 𝒍𝒏(𝒙 − 𝟏) 𝟑 + 𝑪 𝒙 𝒙 𝟏𝟐. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 Solución.Se aplica factorización y se expresa el denominador de la siguiente manera: ∫ 𝑑𝑥 𝐴 𝐵 𝐶 = + + 𝑥 2 ( 𝑥 + 3) 𝑥 𝑥 2 𝑥 + 3 ⇒ 𝐴 (𝑥 + 3)(𝑥) + 𝐵(𝑥 + 3) + 𝐶𝑥 2 = 1 Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B y C: 𝒙 = −𝟑 ⇒ 𝐴 (−3 + 3)(−3) + 𝐵(−3 + 3) + 𝐶(−3) 2 = 1 𝑪 = 𝟏⁄𝟗 𝒙 = 𝟎 ⇒ 𝐴 (0 + 3)(0) + 𝐵(0 + 3) + 𝐶(0) 2 = 1 𝑩 = 𝟏⁄𝟑 𝐴𝑥 2 + 3𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 + 3𝐵 + 𝐶𝑥 2 = 1 𝑥 2 (𝐴 + 𝐶 ) + 𝑥 (3𝐴 + 𝐵) + 3𝐵 = 1 𝐴 + 𝐶 = 0 ⇒ 𝑨 = − 𝟏⁄𝟗 1 𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 𝑑𝑥 =− ∫ + ∫ 2+∫ = 9 𝑥 3 𝑥 9(𝑥 + 3) 1 1 1 𝑑𝑢 = − ln 𝑥 + ∫ 𝑥 −2 𝑑𝑥 + ∫ = 9 3 9 𝑢 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒙 + 𝟑; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 1 1 1 = − ln 𝑥 − + ln(𝑥 + 3) = 9 3𝑥 9 254 Cálculo Integral 𝒙+𝟑 ) 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒍𝒏 ( 𝒙 𝟏𝟑. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟏⁄ 𝟗 − 𝟏 +𝑪 𝟑𝒙 𝒅𝒚 (𝒚 − 𝒎)(𝒚 − 𝒏) Solución.Se descompone el denominador mediante 2 factores lineales distintos: = 𝐴 𝐵 + (𝑦 − 𝑚) (𝑦 − 𝑛) 𝐴 (𝑦 − 𝑛) + 𝐵(𝑦 − 𝑚 ) = 1 Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A y B: 𝒚 = 𝒏 ⇒ 𝐴 (𝑛 − 𝑛) + 𝐵(𝑛 − 𝑚) = 1 𝑩 = 𝟏⁄(𝒏 − 𝒎) 𝒚 = 𝒎 ⇒ 𝐴 (𝑚 − 𝑛) + 𝐵(𝑚 − 𝑚 ) = 1 𝑨 = 𝟏⁄(𝒎 − 𝒏) 1 𝑑𝑦 1 𝑑𝑦 ∫ ∫ = + 𝑚−𝑛 𝑦−𝑚 𝑛− 𝑚 𝑦−𝑛 𝑑𝑦 𝑑𝑦 =∫ +∫ = (𝑚 − 𝑛)(𝑦 − 𝑚) (𝑛 − 𝑚)(𝑦 − 𝑛) Se realizan los siguientes cambios de variables: 𝒖 = 𝒚 − 𝒎; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒚 ⇒ 𝒖 = 𝒚 − 𝒏; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒚 1 𝑑𝑢 1 𝑑𝑢 1 1 ∫ ∫ + = 𝑙𝑛𝑢 + 𝑙𝑛𝑢 + 𝐶 𝑚−𝑛 𝑢 𝑛−𝑚 𝑢 𝑚−𝑛 𝑛−𝑚 1 1 = 𝑙𝑛(𝑦 − 𝑚 ) − 𝑙𝑛(𝑦 − 𝑛) + 𝐶 = 𝑚−𝑛 𝑚− 𝑛 = 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝒚− 𝒎 )+𝑪 ∙ 𝒍𝒏 ( 𝒎 −𝒏 𝒚−𝒏 𝟏𝟒. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ (𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟏) 𝒅𝒙 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 Solución.Se aplica factorización y se expresa el denominador de la siguiente manera: =∫ ( 𝑥 2 + 𝑥 − 1) 𝑑𝑥 𝑥(𝑥 2 + 2𝑥 + 1) 255 Cálculo Integral Se descompone el denominador mediante 3 factores lineales: 2 repetidos y 1 distinto: (𝑥 2 + 𝑥 − 1) 𝐴 𝐵 𝐶 𝑑𝑥 = + + 𝑥(𝑥 + 1) 2 𝑥 𝑥 + 1 (𝑥 + 1) 2 𝒙 = 𝟎 ⇒ 𝐴 (0 + 1) 2 + 𝐵(0)(0 + 1) + 𝐶(0) = (0) 2 + 0 − 1 =∫ Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B y C: 𝑨 = −𝟏 𝒙 = −𝟏 ⇒ 𝐴 (−1 + 1) 2 + 𝐵(−1)(−1 + 1) + 𝐶 (−1) = (−1) 2 + (−1) − 1 𝑪=𝟏 𝐴𝑥 2 + 2𝐴𝑥 + 𝐴 + 𝐵𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶𝑥 = 𝑥 2 + 𝑥 − 1 𝑥 2 (𝐴 + 𝐵) = 1 ⇒ 𝑥 (2𝐴 + 𝐵 + 𝐶 ) = 1 ⇒ −1 + 𝐵 = 1 ⇒ 𝑩 = 𝟐 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑢 = −∫ + 2∫ +∫ = − ln 𝑥 + 2 ∫ +∫ 2 2 (𝑥 + 1) 𝑥 𝑥+1 𝑢 𝑢 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒙 + 𝟏; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 1 1 = − ln 𝑥 + 2 ln 𝑢 − + 𝐶 = − 𝑙𝑛𝑥 + 𝑙𝑛(𝑥 + 1) 2 − +𝐶 (𝑥 + 1) 𝑢 (𝒙 + 𝟏 ) 𝟐 𝟏 )− 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒍𝒏 ( +𝑪 (𝒙 + 𝟏 ) 𝒙 𝟏𝟓. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟓𝒙 − 𝟏𝟑 𝒅𝒙 (𝒙 − 𝟑)(𝒙 − 𝟐) Solución.Se descompone el denominador mediante 2 factores lineales distintos: 𝐴 𝐵 + 𝑥 −3 𝑥 −2 5𝑥 − 13 = 𝐴 (𝑥 − 2) + 𝐵(𝑥 − 3) Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A y B: 𝒙 = 𝟐 ⇒ 5(2) − 13 = 𝐴 (2 − 2) + 𝐵(2 − 3) 10 − 13 = 𝐵(−1) −3 = −𝐵 𝑩=𝟑 𝒙 = 𝟑 ⇒ 5(3) − 13 = 𝐴 (3 − 2) + 𝐵(3 − 3) 15 − 13 = 𝐴(1) 𝑨=𝟐 256 Cálculo Integral =∫ 2 3 𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 = 2 ∫ +3∫ (𝑥 − 3) (𝑥 − 2) 𝑢 𝑢 Se realizan los siguientes cambios de variables: 𝒖 = 𝒙 − 𝟑; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; 𝒖 = 𝒙 − 𝟐; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 = 2 𝑙𝑛|𝑢| + 3𝑙𝑛|𝑢| + 𝑐 = 2 𝑙𝑛|𝑥 − 3| + 3𝑙𝑛|𝑥 − 2| + 𝐶 𝟐 𝟑 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒍𝒏(𝒙 − 𝟑) + 𝒍𝒏(𝒙 − 𝟐) + 𝑪 𝟏𝟔. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙𝟐 𝟓𝒙 − 𝟕 𝒅𝒙 − 𝟑𝒙 + 𝟐 Solución.Se aplica factorización y se expresa el denominador de la siguiente manera: 𝐴 𝐵 + = 𝑥 −2 𝑥 −1 ⇒ 5𝑥 − 7 = 𝐴 (𝑥 − 1) + 𝐵(𝑥 − 2) Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A y B: 𝒙 = 𝟏 ⇒ 5 (1) − 7 = 𝐴 (1 − 1) + 𝐵(1 − 2) 5 − 7 = 𝐵(−1) −2 = −𝐵 ⇒ 𝑩 = 𝟐 𝒙 = 𝟐 ⇒ 5(2) − 7 = 𝐴 (2 − 1) + 𝐵(2 − 2) 10 − 7 = 𝐴 (1) ⇒ 𝑨 = 𝟑 3 2 =∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 (𝑥 − 2) (𝑥 − 1) Se realizan los siguientes cambios de variables: 𝒖 = 𝒙 − 𝟐 ; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 ; 𝒖 = 𝒙 − 𝟏¸ 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 𝑑𝑢 𝑑𝑢 + 2∫ = 3 𝑙𝑛|𝑢| + 2𝑙𝑛|𝑢| + 𝐶 𝑢 𝑢 = 3 𝑙𝑛|𝑥 − 2| + 2𝑙𝑛|𝑥 − 1| + 𝐶 = 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒍𝒏(𝒙 − 𝟐) 𝟑 + 𝒍𝒏(𝒙− 𝟏)𝟐 + 𝑪 = 3∫ 𝟏𝟕. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙+𝟒 𝒅𝒙 (𝒙 + 𝟏)𝟐 Solución.Se descompone el denominador mediante 2 factores lineales repetidos: = 𝐴 𝐵 + 𝑥 + 1 (𝑥 + 1)2 𝑥 + 4 = 𝐴 (𝑥 + 1) + 𝐵 257 Cálculo Integral Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A y B: ⇒ 𝑥 + 4 = 𝐴𝑥 + (𝐴 + 𝐵) ⇒ 𝑨 = 𝟏 ⇒ 𝐴+ 𝐵 = 4 ⇒ 1+ 𝐵 = 4 ⇒ 𝑩 = 𝟑 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑢 =∫ +3∫ =∫ +3∫ 2 2 (𝑥 + 1) (𝑥 + 1) 𝑢 𝑢 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒙 + 𝟏; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 =∫ 𝑑𝑢 𝑢−1 + 3 ∫ 𝑢−2 = 𝑙𝑛|𝑢| + 3 +𝐶 𝑢 −1 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒍𝒏(𝒙 + 𝟏) − 𝟏𝟖. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟑 +𝑪 𝒙+𝟏 𝟐𝒙 − 𝟐 𝒅𝒙 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 2 factores lineales repetidos: = 𝐴 𝐵 + 𝑥 − 1 (𝑥 − 1)2 Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A y B: 2𝑥 − 2 = 𝐴 (𝑥 − 1) + 𝐵 ⇒ 2𝑥 − 2 = 𝐴𝑥 − 𝐴 + 𝐵 ⇒ 𝑨 = 𝟐 −𝐴 + 𝐵 = −2 ⇒ −2 + 𝐵 = −2 ⇒ 𝑩 = 𝟎 2 𝑑𝑥 𝑑𝑢 =∫ + 0 = 2 ∫ = 2 𝑙𝑛|𝑢| + 𝐶 (𝑥 − 1) 𝑢 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒙 − 𝟏 ; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 𝟐 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒍𝒏(𝒙 − 𝟏) + 𝑪 𝟏𝟗. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒄𝒐𝒔𝒕 𝒅𝒕 𝒔𝒆𝒏𝟒 𝒕 − 𝟏𝟔 Solución.Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒔𝒆𝒏 𝒕; 𝒅𝒖 = 𝒄𝒐𝒔 𝒕𝒅𝒕 𝑑𝑢 𝐴𝑢 + 𝐵 𝐶 𝐷 = 2 + + − 16 𝑢 + 4 𝑢 + 2 𝑢 − 2 𝑢4 − 16 = (𝑢2 − 4) (𝑢2 + 4) ∫ 𝑢4 Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B, C y D: 258 Cálculo Integral (𝑢2 + 4)(𝑢 + 2)(𝑢 − 2) 1 = (𝐴𝑢 + 𝐵)(𝑢 + 2)(𝑢 − 2) + 𝐶(𝑢2 + 4)(𝑢 − 2) + 𝐷(𝑢2 + 4)(𝑢 + 2) 𝟏 𝒖 = −𝟐 ⇒ 1 = 𝐶(8)(−4) ⇒ 1 = 𝐶(−32) ⇒ 𝑪 = − 𝟑𝟐 𝟏 𝒖 = 𝟐 ⇒ 1 = 𝐷(8)(4) ⇒ 1 = 𝐷 (32) ⇒ 𝑫 = 𝟑𝟐 2 3 ( )( ) ( 1 = 𝐴𝑢 + 2𝐴𝑢 + 𝐵𝑢 + 2𝐵 𝑢 − 2 + 𝐶 𝑢 − 2𝑢2 + 4𝑢 − 8) +𝐷(𝑢3 + 2𝑢2 + 4𝑢 + 8) 1 = 𝐴𝑢3 + 2𝐴𝑢2 + 𝐵𝑢2 + 2𝐵𝑢 − 2𝐴𝑢2 − 4𝐴𝑢 − 2𝐵𝑢 − 4𝐵 + 𝐶𝑢3 −2𝐶𝑢2 + 4𝐶𝑢 − 8𝐶 + 𝐷𝑢3 + 2𝐷𝑢2 + 4𝐷𝑢 + 8𝐷 1 = (𝐴 + 𝐶 + 𝐷) 𝑢3 + (2𝐴 + 𝐵 − 2𝐴 − 2𝐶 + 2𝐷) 𝑢2 +(2𝐵 − 4𝐴 − 2𝐵 + 4𝐶 + 4𝐷) 𝑢 + (−4𝐵 − 8𝐶 + 8𝐷) 1 1 𝐴 +𝐶 +𝐷 = 0 ⇒ 𝐴+ − =0 ⇒𝑨=𝟎 32 32 2𝐴 + 𝐵 − 2𝐴 − 2𝐶 + 2𝐷 = 0 ⇒ 0 + 𝐵 − 0 − 2 ( − 1 1 )+2( ) =0 32 32 1 1 𝟏 )+ ( ) = 0 ⇒ 𝑩= − 16 16 𝟖 1 𝑑𝑢 1 𝑑𝑢 1 𝑑𝑢 =− ∫ 2 − ∫ + ∫ 8 𝑢 + 4 32 𝑢 + 2 32 𝑢 − 2 1 𝑑𝑢 1 𝑑𝑧 1 𝑑𝑧 =− ∫ 2 − ∫ + ∫ 2 8 𝑢 +2 32 𝑧 32 𝑧 1 1 𝑢 1 1 = − ∗ 𝑡𝑎𝑛−1 ( ) − 𝑙𝑛|𝑧| + 𝑙𝑛|𝑧| + 𝐶 8 2 2 32 32 1 𝑢 1 1 =− 𝑡𝑎𝑛−1 ( ) − 𝑙𝑛|𝑢 + 2| + 𝑙𝑛|𝑢 − 2| + 𝐶 16 2 32 32 1 𝑢 1 𝑢 − 2 |+𝐶 =− 𝑡𝑎𝑛−1 ( ) + 𝑙𝑛 | 16 2 32 𝑢+2 𝐵+( 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝟏 𝒔𝒆𝒏 𝒕 𝟏 𝒔𝒆𝒏 𝒕 − 𝟐 )+ |+𝑪 𝒕𝒂𝒏−𝟏 ( 𝒍𝒏 | 𝟏𝟔 𝟐 𝟑𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝒕 + 𝟐 259 Cálculo Integral 𝒙𝟑 − 𝟒𝒙 𝟐𝟎. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟐 (𝒙 + 𝟏)𝟐 Solución.Se descompone el denominador mediante 2 factores cuadráticos repetidos: 𝐴𝑥 + 𝐵 𝐶𝑥 + 𝐷 + 2 = 2 𝑥 + 1 (𝑥 + 1)2 𝑥 3 − 4𝑥 = (𝐴𝑥 + 𝐵)(𝑥 2 + 1) + 𝐶𝑥 + 𝐷 𝑥 3 − 4𝑥 = 𝐴𝑥 3 + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 2 + 𝐵 + 𝐶𝑥 + 𝐷 𝑥 3 − 4𝑥 = 𝐴𝑥 3 + 𝐵𝑥 2 + 𝑥(𝐴 + 𝐶) + (𝐵 + 𝐷) Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B, C y D: 𝑨 = 𝟏; 𝑩 = 𝟎; 𝐴 + 𝐶 = −4; 1 + 𝐶 = −4; 𝑪 = −𝟓 𝐵 + 𝐷 = 0; 0 + 𝐷 = 0; 𝑫 = 𝟎 𝑥 5𝑥 =∫ 2 𝑑𝑥 − ∫ 2 𝑥 +1 (𝑥 + 1) 2 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖𝟐 = 𝒙 𝟐 ; 𝒂𝟐 = 𝟏; 𝒖 = 𝒙 𝟐 + 𝟏; 𝒅𝒖 = 𝟐𝒙𝒅𝒙 =∫ 𝑢 1 𝑑𝑢 5 𝑢−1 −1 𝑢 − ∫ − 5 ∗ = 𝑡𝑎𝑛 +𝐶 1 + 𝑢2 2 𝑢2 2 −1 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒕𝒂𝒏−𝟏 𝒙 + 𝟐𝟏. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟓 +𝑪 + 𝟏) 𝟐(𝒙𝟐 𝒔𝒆𝒏 𝒕 (𝟒𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒕 − 𝟏) 𝒅𝒕 𝒄𝒐𝒔 𝒕 (𝟏 + 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒕 + 𝒄𝒐𝒔𝟒 𝒕) Solución.Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒄𝒐𝒔 𝒕 ; 𝒅𝒖 = − 𝒔𝒆𝒏 𝒕 𝒅𝒕 (4𝑢2 − 1) 𝐴 𝐵𝑢 + 𝐶 𝐷𝑢 + 𝐸 𝑑𝑢 = + 2 + 2 2 4 𝑢(1 + 2𝑢 + 𝑢 ) 𝑢 𝑢 + 1 (𝑢 + 1) 2 𝒖(𝟏 + 𝟐𝒖𝟐 + 𝒖𝟒); 𝒖(𝒖𝟐 + 𝟏)(𝒖𝟐 + 𝟏); 𝒖(𝒖𝟐 + 𝟏) 𝟐 4𝑢2 − 1 = 𝐴 (𝑢2 + 1) 2 + (𝐵𝑢 + 𝐶 )(𝑢2 + 1)(𝑢) + (𝐷𝑢 + 𝐸 )𝑢 = −∫ Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B, C, D y E: 𝑢 = 0 ⇒ 𝑨 = −𝟏 4𝑢2 − 1 = 𝐴 + 2𝐴𝑢2 + 𝐴𝑢4 + (𝐵𝑢3 + 𝐵𝑢 + 𝐶𝑢2 + 𝐶 )𝑢 + 𝐷𝑢2 + 𝐸𝑢 2 = 𝐴 + 2𝐴𝑢 + 𝐴𝑢4 + 𝐵𝑢4 + 𝐵𝑢2 + 𝐶𝑢3 + 𝐶𝑢 + 𝐷𝑢2 + 𝐸𝑢 260 Cálculo Integral = (𝐴 + 𝐵)𝑢4 + 𝐶𝑢3 + (2𝐴 + 𝐵 + 𝐷) 𝑢2 + (𝐶 + 𝐸 )𝑢 + 𝐴 ⇒ 𝐴 + 𝐵 = 0 ⇒ −1 + 𝐵 = 0 ⇒ 𝑩 = 𝟏 ⇒𝑪=𝟎 ⇒ 2𝐴 + 𝐵 + 𝐷 = 4; 2(−1) + 1 + 𝐷 = 4; −1 + 𝐷 = 4; 𝑫 = 𝟓 ⇒ 𝐶 + 𝐸 = 0; 𝑬 = 𝟎 𝑑𝑢 𝑢 𝑢 = − [− ∫ +∫ 2 𝑑𝑢 + 5 ∫ 2 𝑑𝑢] 𝑢 𝑢 +1 (𝑢 + 1) 2 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒛 = 𝒖𝟐 + 𝟏; 𝒅𝒛 = 𝟐𝒖𝒅𝒖 𝑑𝑢 1 𝑑𝑧 5 𝑑𝑧 𝑑𝑢 1 𝑑𝑧 5 𝑑𝑧 + ∫ + ∫ 2 ] = − [− ∫ + ∫ + ∫ ] 𝑢 2 𝑧 2 𝑧 𝑢 2 𝑧 2 𝑧2 1 5 𝑧 −1 ]+ 𝐶 = = − [− 𝑙𝑛 𝑢 + 𝑙𝑛 𝑧 + 2 2 −1 1 5 = − [− 𝑙𝑛 𝑢 + 𝑙𝑛|𝑢2 + 1| − (𝑢2 + 1) −1 ] + 𝐶 2 2 1 5 = 𝑙𝑛 𝑢 − 𝑙𝑛|𝑢2 + 1| + (𝑢2 + 1) −1 + 𝐶 2 2 = − [− ∫ 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒍𝒏 𝒄𝒐𝒔 𝒕 − +𝑪 𝟐𝟐. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟏 𝟓 −𝟏 𝒍𝒏|𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒕 + 𝟏| + (𝒄𝒐𝒔 𝒕𝟐 + 𝟏) 𝟐 𝟐 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟕 𝒅𝒙 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟑 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 2 factores: 1 lineal y 1 cuadrático: 𝐴 𝐵𝑥 + 𝐶 + 2 = 𝑥 + 1 𝑥 − 2𝑥 + 3 ⇒ 𝑥 2 − 4𝑥 + 7 = 𝐴 (𝑥 2 − 2𝑥 + 3) + 𝐵𝑥 + 𝐶(𝑥 + 1) Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B y C: ⇒ 𝑥 = −1; 1 + 4 + 7 = 𝐴 (1 + 2 + 3); 12 = 𝐴 (6); 𝑨 = 𝟐 ⇒A+B=1; 2+B=1; B=-1 𝑥 2 − 4𝑥 + 7 = 𝐴𝑥 2 − 2𝐴𝑥 + 3𝐴 + 𝐵𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶𝑥 + 𝐶 = (𝐴 + 𝐵)𝑥 2 + (−2𝐴 + 𝐵 + 𝐶 )𝑥 + (3𝐴 + 𝐶) = −2𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = −4; −2(2) + ( −1) + 𝐶 = −4; −5 + 𝐶 = −4 𝑪=𝟏 261 Cálculo Integral =∫ 2 −𝑥 + 1 𝑑𝑥 𝑥 −1 𝑑𝑥 + ∫ 2 𝑑𝑥 = 2 ∫ −∫ 2 𝑑𝑥 𝑥 +1 𝑥 − 2𝑥 + 3 𝑥 +1 𝑥 − 2𝑥 + 3 Se realizan los siguientes cambios de variables: 𝒖 = 𝒙 + 𝟏; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; 𝒖 = 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑; 𝒅𝒖 = 𝟐(𝒙 − 𝟏)𝒅𝒙 = 2∫ 𝑑𝑢 1 𝑑𝑢 1 − ∫ = 2𝑙𝑛|𝑢| − 𝑙𝑛|𝑢| + 𝐶 𝑢 2 𝑢 2 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟐𝒍𝒏|𝒙 + 𝟏| − 𝟐𝟑. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟏 𝒍𝒏|𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑| + 𝑪 𝟐 𝟔𝒙 𝒅𝒙 𝒙𝟑 − 𝟖 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 2 factores: 1 lineal y 1 cuadrático: 𝐴 𝐵𝑥 + 𝐶 + 2 (𝑥 − 2) 𝑥 + 2𝑥 + 4 6𝑥 = 𝐴 (𝑥 2 + 2𝑥 + 4) + (𝐵𝑥 + 𝐶)(𝑥 − 2) Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B y C: 6𝑥 = 𝐴𝑥 2 + 2𝐴𝑥 + 4𝐴 + 𝐵𝑥 2 − 2𝐵𝑥 + 𝐶𝑥 − 2𝐶 = (𝐴+𝐵)𝑥 2 + (2𝐴 − 2𝐵 + 𝐶 )𝑥 + (4𝐴 − 2𝐶) ⇒ 𝑥 = 2; 6(2) = 𝐴 (4 + 4 + 4); 12 = 𝐴 (12); 𝑨 = 𝟏 ⇒ 𝐴 + 𝐵 = 0; 1 + 𝐵 = 0; 𝑩 = −𝟏 ⇒ 2𝐴 − 2𝐵 + 𝐶 = 6; 4 + 𝐶 = 6; 𝑪 = 𝟐 𝑑𝑥 −𝑥 + 2 =∫ +∫ 2 𝑑𝑥 𝑥 −2 𝑥 + 2𝑥 + 4 𝑑𝑥 −𝑥 𝑑𝑥 ] =∫ + [∫ 2 + 2∫ 2 (𝑥 + 2𝑥 + 1) + 3 𝑥 −2 𝑥 + 2𝑥 + 4 Se realizan los siguientes cambios de variables: 𝒖 = 𝒙 − 𝟐; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; 𝒖 = 𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟒; 𝒅𝒖 = 𝟐𝒙 + 𝟐 ⇒ ( 𝑥 2 + 2𝑥 + 1) + 3 (𝑨𝒓𝒕𝒊𝒇𝒊𝒄𝒊𝒐 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒏𝒐 𝒂𝒍𝒕𝒆𝒓𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 ) =∫ 𝑑𝑢 −𝑥 𝑑𝑥 ] + [∫ 2 + (2 + 1) ∫ (𝑥 + 1) 2 + 3 𝑢 𝑥 + 2𝑥 + 4 Se realizan los siguientes cambios de variables: 𝒖𝟐 = (𝒙 + 𝟏) 𝟐 ; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; 𝒂𝟐 = 𝟑; 𝒂 = √𝟑 1 𝑑𝑢 𝑑𝑢 ] = 𝑙𝑛|𝑢| + [− ∫ +3∫ 2 2 𝑢 𝑢 +3 262 Cálculo Integral 1 1 𝑢 = 𝑙𝑛|𝑥 − 2| − 𝑙𝑛|𝑢| + 3 𝑡𝑎𝑛−1 +𝐶 2 √3 √3 𝟏 𝒍𝒏 |𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟒| 𝟐 𝟏 𝒙+𝟏 +𝟑 𝒕𝒂𝒏−𝟏 +𝑪 √𝟑 √𝟑 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒍𝒏|𝒙 − 𝟐| − 𝟐𝟒. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟑 𝒅𝒙 𝒙𝟒 + 𝟔𝒙𝟐 + 𝟗 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 2 factores cuadráticos repetidos: 𝐴𝑥 + 𝐵 𝐶𝑥 + 𝐷 + 2 2 𝑥 + 3 ( 𝑥 + 3) 2 𝑥 4 + 6𝑥 2 + 9 = (𝑥 2 + 3) 2 ⇒ 𝑥 2 + 𝑥 + 3 = 𝐴𝑥 + 𝐵(𝑥 2 + 3) + 𝐶𝑥 + 𝐷 ⇒ 𝐴𝑥 3 + 𝐵𝑥 2 + (3𝐴 + 𝐶 )𝑥 + (3𝐵 + 𝐷) Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B, C y D: ⇒ 𝑨 = 𝟎; 𝑩 = 𝟏; 3𝐴 + 𝐶 = 1; 𝑪 = 𝟏; 3𝐵 + 𝐷 = 3; 3 + 𝐷 = 3 ⇒𝑫=𝟎 𝑑𝑥 𝑥 =∫ 2 +∫ 2 𝑑𝑥 𝑥 +3 (𝑥 + 3) 2 Se realizan los siguientes cambios de variables: 𝒖𝟐 = 𝒙 𝟐 ; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; 𝒂𝟑 = 𝟑; 𝒂 = √𝟑; 𝒖 = 𝒙 𝟐 + 𝟑; 𝒅𝒖 = 𝟐𝒙 1 𝑑𝑢 1 𝑢 1 𝑢−1 −1 ( ∫ 2= )+ + 𝑡𝑎𝑛 +𝐶 2 −1 𝑢 2 + √3 2 𝑢 √3 √3 1 𝑢 1 = 𝑡𝑎𝑛 −1 ( ) − 𝑢−1 + 𝐶 = 2 √3 √3 =∫ 𝑑𝑢 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝒙 𝟏 −𝟏 𝒕𝒂𝒏−𝟏 ( ) − (𝒙𝟐 + 𝟑) + 𝑪 𝟐 √𝟑 √𝟑 𝒆𝒙 𝟐𝟓. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟐𝒙 (𝒆 + 𝟏)(𝒆𝒙 − 𝟏) Solución.Se realizan el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒆𝒙 ; 𝒅𝒖 = 𝒆𝒙 𝒅𝒙 263 Cálculo Integral ∫ (𝑢2 𝑑𝑢 + 1)(𝑢 − 1) Se descompone el denominador mediante 2 factores: 1 factor lineal y 1 factor cuadrático: = 𝐴𝑢 + 𝐵 𝐶 + ⇒ 1 = (𝐴𝑢 + 𝐵)(𝑢 − 1) + 𝐶(𝑢2 + 1) 2 𝑢 +1 𝑢−1 Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B y C: 𝟏 𝟐 1 = 𝐴𝑢2 − 𝐴𝑢 + 𝐵𝑢 − 𝐵 + 𝐶𝑢2 + 𝐶 ⇒ (𝐴 + 𝐶 )𝑢2 + (−𝐴 + 𝐵)𝑢 + (−𝐵 + 𝐶) 1 𝟏 ⇒ 𝐴 + 𝐶 = 0; 𝐴 + = 0; 𝑨 = − 2 𝟐 1 𝟏 ⇒ −𝐴 + 𝐵 = 0; + 𝐵 = 0; 𝑩 = − 2 𝟐 1 𝑢 +1 1 𝑑𝑢 1 𝑑𝑢 𝑢+1 =− ∫ 2 𝑑𝑢 + ∫ = [∫ −∫ 2 𝑑𝑢] 2 𝑢 +1 2 𝑢 −1 2 𝑢−1 𝑢 +1 1 𝑑𝑢 𝑢 𝑑𝑢 ] = [∫ −∫ 2 𝑑𝑢 − ∫ 2 2 𝑢−1 𝑢 +1 𝑢 +1 ⇒ 𝑢 = 1; 1 = 2𝐶; 𝑪 = Se realizan los siguientes cambios de variables: 𝒛 = 𝒖 − 𝟏; 𝒅𝒛 = 𝒅𝒖; 𝒛 = 𝒖𝟐 + 𝟏; 𝒅𝒛 = 𝟐𝒖𝒅𝒖; 𝒛𝟐 = 𝒖𝟐 ; 𝒂𝟐 = 𝟏 1 𝑑𝑧 1 𝑑𝑧 𝑑𝑧 1 1 ] = [𝑙𝑛|𝑧| − 𝑙𝑛|𝑧| − 𝑡𝑎𝑛−1 𝑧] + 𝐶 = [∫ − ∫ − ∫ 2 2 𝑧 2 𝑧 𝑧 +1 2 2 1 1 = [𝑙𝑛|𝑢 − 1| − 𝑙𝑛|𝑢2 + 1| − 𝑡𝑎𝑛−1 𝑢] + 𝐶 2 2 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝟏 𝟏 𝒍𝒏 |𝒆𝒙 − 𝟏| − 𝒍𝒏 |𝒆𝟐𝒙 + 𝟏| − 𝒕𝒂𝒏−𝟏 𝒆𝒙 + 𝑪 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐𝟔. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟒𝒙 + 𝟑 𝒅𝒙 𝟒𝒙𝟑 + 𝟖𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 3 factores lineales distintos: 𝐴 𝐵 𝐶 + + 𝑥 2𝑥 + 3 2𝑥 + 1 ⇒ 𝟒𝒙 𝟑 + 𝟖𝒙 𝟐 + 𝟑𝒙; 𝒙 (𝟒𝒙 𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝟑) ; 𝒙 (𝟐𝒙 + 𝟑)(𝟐𝒙 + 𝟏) ⇒ 4𝑥 + 3 = 𝐴 (2𝑥 + 3)(2𝑥 + 1) + 𝐵𝑥(2𝑥 + 1) + 𝐶𝑥(2𝑥 + 3) Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B y C: 264 Cálculo Integral ⇒ 𝑥 = 0; 3 = 𝐴 (3)(1); 3 = 3𝐴; 𝑨 = 𝟏 3 3 3 3 ⇒ 𝑥 = − ; 4 (− ) + 3 = 𝐵 ( − ) (2 (− ) + 1) 2 2 2 2 3 ⇒ −6 + 3 = 𝐵 (− ) ( −2); 𝑩 = −𝟏 2 1 1 1 1 ⇒ 𝑥 = − ; 4 (− ) + 3 = 𝐶 (− ) (2 (− ) + 3) 2 2 2 2 1 ⇒ −2 + 3 = 𝐶 ( − ) (2); 𝑪 = −𝟏 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 =∫ −∫ −∫ 𝑥 2𝑥 + 3 2𝑥 + 1 Se realizan los siguientes cambios de variables: 𝒖 = 𝟐𝒙 + 𝟑; 𝒅𝒖 = 𝟐𝒅𝒙; 𝒖 = 𝟐𝒙 + 𝟏; 𝒅𝒖 = 𝟐𝒅𝒙 1 𝑑𝑢 1 𝑑𝑢 1 1 = 𝑙𝑛|𝑥| − ∫ − ∫ = 𝑙𝑛|𝑥| − 𝑙𝑛|𝑢| − 𝑙𝑛|𝑢| + 𝐶 2 𝑢 2 𝑢 2 2 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒍𝒏|𝒙| − 𝟐𝟕. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟏 𝟏 𝒍𝒏 |𝟐𝒙 + 𝟑| − 𝒍𝒏|𝟐𝒙 + 𝟏| + 𝑪 𝟐 𝟐 𝒙𝟐 + 𝟓 𝒅𝒙 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟑 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 2 factores; 1 factor lineal y 1 factor cuadrático: 𝐴 𝐵𝑥 + 𝐶 + 2 = 𝑥 + 1 𝑥 − 2𝑥 + 3 ⇒ (𝒙 + 𝟏)(𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑); 𝑥 2 + 5 = 𝐴 (𝑥 2 − 2𝑥 + 3) + (𝐵𝑥 + 𝐶)(𝑥 + 1) Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B y C: ⇒ 𝑥 = −1; 1 + 5 = 𝐴 (1 + 2 + 3); 6 = 𝐴 (6); 𝑨 = 𝟏 ⇒ 𝐴 + 𝐵 = 1; 1 + 𝐵 = 1; 𝑩 = 𝟎 ⇒ 𝑥 2 + 5 = 𝐴𝑥 2 − 2𝐴𝑥 + 3𝐴 + 𝐵𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶𝑥 + 𝐶 ⇒ (𝐴 + 𝐵)𝑥 2 + (−2𝐴 + 𝐵 + 𝐶 )𝑥 + (3𝐴 + 𝐶) ⇒ 3𝐴 + 𝐶 = 5; 3(1) + 𝐶 = 5; 𝑪 = 𝟐 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 =∫ + 2∫ 2 =∫ +2∫ 2 (𝑥 − 2𝑥 + 1) + 2 𝑥 +1 𝑥 − 2𝑥 + 3 𝑢 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒙 + 𝟏; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 265 Cálculo Integral = 𝑙𝑛|𝑢| + 2 ∫ 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛|𝑥 + 1| + 2 ∫ (𝑥 − 1)(𝑥 − 1) + 2 (𝑥 − 1) 2 + 2 Se realizan los siguientes cambios de variables: 𝒖𝟐 = (𝒙 − 𝟏) 𝟐 ; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; 𝒂𝟐 = 𝟐; 𝒂 = √𝟐 = 𝑙𝑛|𝑥 + 1| + 2 ∫ 𝑑𝑢 1 𝑢 = 𝑙𝑛|𝑥 + 1| + 2 𝑡𝑎𝑛−1 ( ) + 𝐶 2 2 (𝑢) + 𝑎 𝑎 𝑎 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒍𝒏|𝒙 + 𝟏| + 𝟐𝟖. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟐 𝒙−𝟏 )+𝑪 𝒕𝒂𝒏−𝟏 ( √𝟐 √𝟐 𝒕𝟐 + 𝟖 𝒅𝒕 𝒕𝟐 − 𝟓𝒕 + 𝟔 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 2 factores lineales distintos: 𝐴 𝐵 + = 𝑡− 3 𝑡−2 ⇒ 𝑡 2 − 5𝑡 + 6 = (𝑡 − 3)(𝑡 − 2) ⇒ 𝑡 2 + 8 = 𝐴 (𝑡 − 2) + 𝐵(𝑡 − 3) Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A y B: ⇒ 𝑡 = 3; 9 + 8 = 𝐴 (3 − 2) + 𝐵(3 − 3); 17 = 𝐴 (1); 𝑨 = 𝟏𝟕 ⇒ 𝑡 = 2; 4 + 8 = 𝐴 (2 − 2) + 𝐵(2 − 3); 12 = 𝐵(−1); 𝑩 = −𝟏𝟐 17 12 𝑑𝑡 𝑑𝑡 =∫ 𝑑𝑡 − ∫ 𝑑𝑡 = 17 ∫ − 12 ∫ 𝑡 −3 𝑡−2 𝑡 −3 𝑡−2 Se realizan los siguientes cambios de variables: 𝒖 = 𝒕 − 𝟑; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒕; 𝒖 = 𝒕 − 𝟐; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒕 𝑑𝑢 𝑑𝑢 − 12 ∫ = 17𝑙𝑛|𝑢| − 12𝑙𝑛|𝑢| + 𝐶 𝑢 𝑢 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏𝟕𝒍𝒏|𝒕 − 𝟑 | − 𝟏𝟐𝒍𝒏|𝒕 − 𝟐| + 𝑪 = 17 ∫ 𝟐𝟗. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙 𝒅𝒙 𝒕𝒂𝒏𝟒 𝒙 + 𝟓𝒕𝒂𝒏𝟐 𝒙 + 𝟔 Solución.Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒕𝒂𝒏 𝒙; 𝒅𝒖 = 𝒔𝒆𝒄 𝟐 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝑑𝑢 = 𝑢4 + 5𝑢2 + 6 266 Cálculo Integral Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 2 factores cuadráticos distintos: ⇒ 𝐴𝑢 + 𝐵 𝐶𝑢 + 𝐷 + 𝑢2 + 3 𝑢2 + 2 𝒖𝟒 + 𝟓𝒖𝟐 + 𝟔 = (𝒖𝟐 + 𝟑)(𝒖𝟐 + 𝟐) ⇒ 1 = (𝐴𝑢 + 𝐵)(𝑢2 + 2) + (𝐶𝑢 + 𝐷)(𝑢2 + 3) Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B, C y D: ⇒ 1 = 𝐴𝑢3 + 2𝐴𝑢 + 𝐵𝑢2 + 2𝐵 + 𝐶𝑢3 + 3𝐶𝑢 + 𝐷𝑢2 + 3𝐷 ⇒ (𝐴 + 𝐶 )𝑢3 + (𝐵 + 𝐷) 𝑢2 + (2𝐴 + 3𝐶 )𝑢 + (2𝐵 + 3𝐷) ⇒ 𝐴 + 𝐶 = 0; 𝐵 + 𝐷 = 0; 2𝐴 + 3𝐶 = 0; 2𝐵 + 3𝐷 = 1 ⇒ 𝐵 + 𝐷 = 0; 2𝐵 + 3𝐷 = 1 𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝑫 = 𝟏; 𝑩 = −𝟏 ⇒ 𝐴 + 𝐶 = 0; 2𝐴 + 3𝐶 = 0𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝑪 = 𝟎; 𝑨 =𝟎 = −∫ 𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑧 𝑑𝑧 +∫ 2 =−∫ 2 +∫ 2 = 2 +3 𝑢 +2 𝑧 +𝑎 𝑧 + 𝑎2 𝑢2 Se realizan los siguientes cambios de variables: 𝒖𝟐 = 𝒛𝟐 ; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒛 ; 𝒂𝟐 = 𝟑; 𝒂 = √𝟑 𝒖𝟐 = 𝒛𝟐 ; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒛; 𝒂𝟐 = 𝟐; 𝒂 = √𝟐 1 𝑧 1 𝑧 = − 𝑡𝑎𝑛−1 ( ) + 𝑡𝑎𝑛 −1 ( ) + 𝐶 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 1 𝑢 1 𝑢 =− 𝑡𝑎𝑛 −1 ( ) + 𝑡𝑎𝑛−1 ( ) + 𝐶 √3 √3 √2 √2 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝒖 𝟏 𝒖 𝒕𝒂𝒏−𝟏 ( ) − 𝒕𝒂𝒏−𝟏 ( ) + 𝑪 √𝟐 √𝟐 √𝟑 √𝟑 𝟑𝟎. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ (𝒚𝟒 − 𝟖) 𝒅𝒚 𝒚𝟑 + 𝟐𝒚𝟐 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 3 factores; 2 factores lineales repetidos y 1 factor lineal distinto: 𝐴 𝐵 𝐶 + 2+ 𝑦 𝑦 𝑦+2 𝑦 3 + 2𝑦 2 = 𝑦 2 (𝑦 + 2) ⇒ 𝑦 4 − 8 = 𝐴𝑦(𝑦 + 2) + 𝐵(𝑦 + 2)+𝐶𝑦 2 Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B y C: ⇒ 𝑦 = −2; 16 − 8 = 4𝐶; 8 = 4𝐶; 𝑪 = 𝟐 267 Cálculo Integral ⇒ 𝑦 = 0; −8 = 2𝐵; 𝑩 = −𝟒 ⇒ 𝑦 4 − 8 = 𝐴𝑦 2 + 2𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 + 2𝐵+𝐶𝑦 2 ⇒ (𝐴 + 𝐶)𝑦 2 + (2𝐴 + 𝐵)𝑦 + 2𝐵 ⇒ 𝐴 + 𝐶 = 0; 𝐴 = −𝐶; 𝑨 = −𝟐 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑦 = −2 ∫ − 4 ∫ 2 + 2 ∫ 𝑦 𝑦 𝑦+2 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒚 + 𝟐; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒚 4 = 2𝑙𝑛|𝑦| + + 2𝑙𝑛|𝑢| + 𝐶 = 𝑦 𝟒 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟐𝒍𝒏|𝒚| + + 𝟐𝒍𝒏|𝒚 + 𝟐| + 𝑪 𝒚 𝟐𝒙𝟑 + 𝟑𝒙 + 𝟐 𝟑𝟏. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟑 𝒅𝒙 𝒙 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟒 Solución.Se aplica algebra de fracciones y se descompone el denominador mediante 2 factores; 1 factor lineal y 1 factor cuadrático: 8𝑥 2 + 9𝑥 + 6 𝐴 𝐵𝑥 + 𝐶 = + 2 3 2 𝑥 + 4𝑥 + 6𝑥 + 4 𝑥 + 2 𝑥 + 2𝑥 + 2 ⇒ 8𝑥 2 + 9𝑥 + 6 = 𝐴 (𝑥 2 + 2𝑥 + 2) + (𝐵𝑥 + 𝐶)(𝑥 + 2) ⇒ 𝑥 = −2 8(−2) 2 + 9(−2) + 6 = 𝐴 ((−2) 2 + 2(−2) + 2) + (𝐵(−2) + 𝐶)((−2) + 2) = ∫ 2𝑑𝑥 − ∫ Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B y C: ⇒ 32 − 18 + 6 = 𝐴 (4 − 4 + 2); 20 = 𝐴 (2); 𝑨 = 𝟏𝟎 ⇒ 8𝑥 2 + 9𝑥 + 6 = 𝐴𝑥 2 + 2𝐴𝑥 + 2𝐴 + 𝐵𝑥 2 + 2𝐵𝑥 + 𝐶𝑥 + 2𝐶 ⇒ (𝐴 + 𝐵)𝑥 2 + (2𝐴 + 2𝐵 + 𝐶)𝑥 + (2𝐴 + 2𝐶) ⇒ 𝐴 + 𝐵 = 8; 10 + 𝐵 = 8; 𝑩 = −𝟐 ⇒ 2𝐴 + 2𝐵 + 𝐶 = 9; 20 − 4 + 𝐶 = 9; 𝑪 = −𝟕 10 −2𝑥 − 7 = ∫ 2𝑑𝑥 − [∫ 𝑑𝑥 + ∫ 2 𝑑𝑥] 𝑥 +2 𝑥 + 2𝑥 + 2 𝑑𝑥 2𝑥 𝑑𝑥 ] = 2𝑥 − [10 ∫ −∫ 2 −7∫ 2 𝑥 +2 𝑥 + 2𝑥 + 2 𝑥 + 2𝑥 + 2 Se realizan los siguientes cambios de variables: 268 Cálculo Integral 𝒖 = 𝒙 + 𝟐; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; 𝒖 = 𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟐; 𝒅𝒖 = (𝟐𝒙 + 𝟐) 𝒅𝒙 = 2𝑥 − [10 ∫ 𝑑𝑢 2𝑥 + 2 𝑑𝑥 ] −∫ 2 − (7 − 2) ∫ (𝑥 + 1) 2 + 1 𝑢 𝑥 + 2𝑥 + 2 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒙 + 𝟏; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 𝑑𝑢 𝑑𝑢 ] − 5∫ 2 𝑢 𝑢 +1 = 2𝑥 − [10𝑙𝑛|𝑥 + 2| − 𝑙𝑛|𝑥 2 + 2𝑥 + 2| − 5𝑡𝑎𝑛−1 (𝑥 + 1) + 𝐶 ] = 2𝑥 − [10𝑙𝑛|𝑢| − ∫ 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟐𝒙 − 𝟏𝟎𝒍𝒏 |𝒙 + 𝟐| + 𝒍𝒏 |𝒙 𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟐| + 𝟓𝒕𝒂𝒏 −𝟏 (𝒙 + 𝟏) + 𝑪 𝟑𝟐. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ (𝒔𝒆𝒏𝟑 𝒕 − 𝟖𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒕 − 𝟏)𝒄𝒐𝒔 𝒕 𝒅𝒕 (𝒔𝒆𝒏𝒕 + 𝟑)(𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕 − 𝟒𝒔𝒆𝒏𝒕 − 𝟓) Solución.Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒔𝒆𝒏 𝒕; 𝒅𝒖 = 𝒄𝒐𝒔 𝒕 𝒅𝒕 =∫ 𝑢3 − 8𝑢2 − 1 7𝑢2 − 17𝑢 − 14 𝑑𝑢 = ∫ 𝑑𝑢 − ∫ 3 𝑑𝑢 2 (𝑢 + 3)(𝑢 − 4𝑢 − 5) 𝑢 − 𝑢2 − 17𝑢 − 15 Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 3 factores lineales distintos: 𝐴 𝐵 𝐶 + + 𝑢+3 𝑢−5 𝑢 +1 ⇒ 7𝑢2 − 17𝑢 − 14 = 𝐴 (𝑢 − 5)(𝑢 + 1) + 𝐵(𝑢 + 3)(𝑢 + 1) + 𝐶(𝑢 + 3)(𝑢 − 5) ⇒ Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B y C: 64 = 𝟒 16 𝟏𝟗 ⇒ 𝑢 = 5; 175 − 85 − 14 = 𝐵(8)(6); 76 = 48𝐵; 𝑩 = 𝟏𝟐 𝟓 ⇒ 𝑢 = −1; 7 + 17 − 14 = 𝐶(2)(−6); 10 = −12𝐶; 𝑪 = − 𝟔 𝑑𝑢 19 𝑑𝑢 5 𝑑𝑢 ] = ∫ 𝑑𝑢 − [4 ∫ + ∫ − ∫ 𝑢 + 3 12 𝑢 − 5 6 𝑢 + 1 ⇒ 𝑢 = −3; 27 + 51 − 14 = 𝐴 (−8)(−2); 64 = 16𝐴; 𝐴 = Se realizan los siguientes cambios de variables: 𝒛 = 𝒖 + 𝟑; 𝒅𝒛 = 𝒅𝒖; 𝒛 = 𝒖 − 𝟓; 𝒅𝒛 = 𝒅𝒖 ; 𝒛 = 𝒖 + 𝟏; 𝒅𝒛 = 𝒅𝒖 = 𝑢 − [4 ∫ 𝑑𝑧 19 𝑑𝑧 5 𝑑𝑧 + ∫ − ∫ ] 𝑧 12 𝑧 6 𝑧 269 Cálculo Integral 19 5 𝑙𝑛|𝑧| − 𝑙𝑛|𝑧|] + 𝐶 12 6 19 5 = 𝑢 − [4𝑙𝑛|𝑢 + 3| + 𝑙𝑛|𝑢 − 5| − 𝑙𝑛|𝑢 + 1|] + 𝐶 12 6 19 5 = 𝑢 − 4 𝑙𝑛|𝑢 + 3| − 𝑙𝑛|𝑢 − 5| + 𝑙𝑛|𝑢 + 1| + 𝐶 12 6 = 𝑢 − [4𝑙𝑛|𝑧| + 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒖 − 𝟒 𝒍𝒏|𝒔𝒆𝒏𝒕 + 𝟑| − +𝑪 𝟑𝟑. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟏𝟗 𝟏𝟐 𝒍𝒏 |𝒔𝒆𝒏𝒕 − 𝟓| + 𝟓 𝟔 𝒍𝒏 |𝒔𝒆𝒏𝒕 + 𝟏| 𝟗𝒕𝟐 − 𝟐𝟓𝒕 − 𝟓 𝒅𝒕 𝟑𝒕𝟐 − 𝟓𝒕 − 𝟐 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 2 factores lineales distintos: 𝐴 𝐵 + (3𝑡 + 1) (𝑡 − 2) 9𝑡 2 − 25𝑡 − 5 = 𝐴 (𝑡 − 2) + 𝐵(3𝑡 + 1) 1 1 2 1 1 ( ⇒ 𝑡 = − ; 9 − ) − 25 (− ) − 5 = 𝐴 (− − 2) 3 3 3 3 Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A y B: 25 7 𝟏𝟑 − 5 = 𝐴 (− ) ; 𝑨 = − 3 3 𝟕 2 ⇒ 𝑡 = 2; 9(2) − 26 (2) − 5 = 𝐵(3(2) + 7) ⇒ 1+ ⇒ 36 − 52 − 5 = 𝐵(6 + 7); −21 = 13𝐵; 𝑩 = − = ∫− 𝟐𝟏 𝟏𝟑 13⁄ 21 13 𝑑𝑡 21 𝑑𝑡 7 − 𝑑𝑡 = − ∫ − ∫ (3𝑡 + 1) 13( 𝑡 − 2) 7 (3𝑡 + 1) 13 ( 𝑡 − 2) Se realizan los siguientes cambios de variables: 𝒖 = 𝟑𝒕 + 𝟏; 𝒅𝒖 = 𝟑𝒅𝒕; 𝒖 = 𝒕 − 𝟐; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒕 =− 13 𝑑𝑢 21 𝑑𝑢 13 21 ∫ − ∫ = − 𝑙𝑛𝑢 − 𝑙𝑛𝑢 + 𝐶 21 𝑢 13 𝑢 21 13 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝟏𝟑 𝟐𝟏 𝒍𝒏|𝟑𝒕 + 𝟏| − 𝒍𝒏|𝒕 − 𝟐| + 𝑪 𝟐𝟏 𝟏𝟑 270 Cálculo Integral 𝟑𝟒. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒕 (𝒕 + 𝟐)𝟐(𝒕 + 𝟏) Solución.Se descompone el denominador mediante 3 factores lineales: 2 factores repetidos y 1 factor distinto: 𝐴 𝐵 𝐶 + + (𝑡 + 2) (𝑡 + 2)2 (𝑡 + 1) 1 = 𝐴 (𝑡 + 2)(𝑡 + 1) + 𝐵(𝑡 + 1) + 𝐶(𝑡 + 2) 2 Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B y C: ⇒ 𝑡 = −2; 1 = 𝐵(−1); 𝑩 = −𝟏 ⇒ 𝑡 = −1; 1 = 𝐶(1) ; 𝑪 = 𝟏 ⇒ 1 = 𝐴 (𝑡 2 + 𝑡 + 2𝑡 + 2) + 𝐵𝑡 + 𝐵 + 𝐶(𝑡 2 + 4𝑡 + 4) ⇒ 1 = 𝐴𝑡 2 + 3𝐴𝑡 + 2𝐴 + 𝐵𝑡 + 𝐵 + 𝐶𝑡 2 + 4𝐶𝑡 + 4𝐶 ⇒ 1 = (𝐴+𝐶)𝑡 2 + (3𝐴 + 𝐵 + 4𝐶 )𝑡 + 2𝐴 + 𝐵 + 4𝐶 ⇒ 𝐴 + 𝐶 = 0; 𝐴 + 1 = 0; 𝑨 = −𝟏 1 1 1 = ∫− − + 𝑑𝑡 = 2 (𝑡 + 2) 3(𝑡 + 2) 𝑡 +1 𝑑𝑡 1 𝑑𝑡 𝑑𝑡 = −∫ − ∫ +∫ = 2 (𝑡 + 1) (𝑡 + 2) 3 (𝑡 + 2) 𝑑𝑎 1 𝑑𝑎 𝑑𝑎 1 = −∫ − ∫ 2+∫ = − 𝑙𝑛|𝑎| + 𝑎 −1 + 𝑙𝑛 |𝑎| + 𝐶 𝑎 3 𝑎 𝑎 3 1 = − 𝑙𝑛|𝑎| + + 𝑙 𝑛|𝑎| + 𝐶 = 3𝑎 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝒍𝒏 |𝒕 − 𝟐 | − 𝟑𝟓. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟏 + 𝒍𝒏 |𝒕 + 𝟏| + 𝑪 𝟑𝒕 + 𝟔 𝒅𝒙 𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 3 factores lineales; 2 factores repetidos y 1 factor distinto: 𝐴 𝐵 𝐶 + 2+ 𝑥 𝑥 𝑥 +3 1 = 𝐴𝑥(𝑥 + 3) + 𝐵(𝑥 + 3) + 𝐶𝑥 2 Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B y C: ⇒ 𝑥 = 0; 1 = 𝐵(0 + 3); 1 = 𝐵(3); 𝑩 = 𝟏 𝟑 271 Cálculo Integral ⇒ 𝑥 = −3; 1 = 𝐶(−3) 2; 1 = 𝐶 (9); 𝑪 = 𝟏 𝟗 ⇒ 1 = 𝐴𝑥 2 + 3𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 + 3𝐵 + 𝐶𝑥 2 ⇒ 1 = (𝐴 + 𝐶)𝑥 2 + (3𝐴 + 𝐵)𝑥 + 3𝐵 1 𝟏 ⇒ 𝐴 + 𝐶 = 0; 𝐴 + = 0; 𝑨 = − 9 𝟗 1 1 1 = ∫ − 𝑑𝑥 + ∫ 2 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 = 9𝑥 3𝑥 9(𝑥 + 3) 1 𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 =− ∫ + ∫ 2+ ∫ = 9 𝑥 3 𝑥 9 (𝑥 + 3) Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒙 + 𝟑; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 1 1 1 𝑑𝑢 = − 𝑙𝑛𝑥 + ∫ 𝑥 −2 𝑑𝑥 + ∫ = 9 3 9 𝑢 1 1 𝑥 −1 1 ) + 𝑙𝑛|𝑢| + 𝐶 = = − 𝑙𝑛𝑥 + ( 9 3 −1 9 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝟏 𝟏 𝟏 𝒍𝒏𝒙 − + 𝒍𝒏|𝒙 + 𝟑| + 𝑪 𝟗 𝟑𝒙 𝟗 𝒘𝟐 + 𝟒𝒘 − 𝟏 𝟑𝟔. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒘 𝒘𝟑 − 𝒘 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 3 factores lineales distintos: 𝐴 𝐵 𝐶 + + 𝑤 𝑤 −1 𝑤+1 𝑤 2 + 4𝑤 − 1 = 𝐴 (𝑤 − 1)(𝑤 + 1) + 𝐵𝑤(𝑤 + 1) + 𝐶𝑤(𝑤 − 1) Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B y C: ⇒ 𝑤 = 0; −1 = 𝐴 (0 − 1)(0 + 1); −1 = −𝐴; 𝑨 = 𝟏 ⇒ 𝑤 = 1; 1 + 4 − 1 = 𝐵(1)(1 + 1); 4 = 2𝐵; 𝑩 = 𝟐 ⇒ 𝑤 = −1; 1 − 4 − 1 = 𝐶 (−1)(−1 − 1) ; −4 = 2𝐶; 𝑪 = −𝟐 𝑑𝑤 2 2 =∫ +∫ 𝑑𝑤 − ∫ 𝑑𝑤 = 𝑤 𝑤− 1 𝑤+ 1 𝑑𝑤 𝑑𝑤 𝑑𝑤 = ∫ + 2∫ −2 ∫ 𝑤 𝑤−1 𝑤 +1 Se realizan los siguientes cambios de variables: 𝒖 = 𝒘 − 𝟏; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒘; 𝒖 = 𝒘 + 𝟏; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒘 272 Cálculo Integral 𝑑𝑢 𝑑𝑢 −2∫ = 𝑙𝑛|𝑤| + 2 𝑙𝑛|𝑢| − 2 𝑙𝑛|𝑢| + 𝐶 𝑢 𝑢 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒍𝒏 |𝒘| + 𝟐 𝒍𝒏|𝒘 − 𝟏| − 𝟐 𝒍𝒏|𝒘 + 𝟏| + 𝑪 = 𝑙𝑛|𝑤| + 2 ∫ 𝟑𝟕. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙 +𝟒 𝒅𝒙 𝒙𝟑 + 𝟒𝒙 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 2 factores; 1 factor lineal y 1 factor cuadrático: 𝐴 𝐵𝑥 + 𝐶 + 𝑥 𝑥2 + 4 ⇒ 𝑥 + 4 = 𝐴 (𝑥 2 + 4) + (𝐵𝑥 + 𝐶)𝑥 Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B y C: ⇒ 𝑥 = 0; 4 = 𝐴 (4); 𝑨 = 𝟏 ⇒ 𝑥 + 4 = 𝐴𝑥 2 + 4𝐴 + 𝐵𝑥 2 + 𝐶𝑥 ⇒ 𝑥 + 4 = (𝐴 + 𝐵)𝑥 2 + 𝐶𝑥 + 4𝐴 ⇒ 𝐴 + 𝐵 = 0; 1 + 𝐵 = 0; 𝑩 = −𝟏 ⇒𝑪=𝟏 1 (−𝑥 + 1) 𝑑𝑥 𝑥 −1 = ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 2 𝑑𝑥 = ∫ − ∫ 2 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑥 +4 𝑥 𝑥 +4 𝑥 𝑑𝑥 )= = 𝑙𝑛𝑥 − (∫ 2 𝑑𝑥 − ∫ 2 𝑥 +4 𝑥 +4 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒂 = 𝒙 𝟐 + 𝟒; 𝒅𝒂 = 𝟐𝒙𝒅𝒙 1 𝑑𝑎 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥 − ∫ +∫ 2 = 2 𝑎 𝑥 +4 1 1 𝑥 = 𝑙𝑛 𝑥 − 𝑙𝑛 𝑎 + 𝑡𝑎𝑛−1 ( ) + 𝐶 = 2 2 2 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒍𝒏 𝒙 − 𝟑𝟖. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟏 𝟏 𝒙 𝒍𝒏|𝒙𝟐 + 𝟒| + 𝒕𝒂𝒏−𝟏 ( ) + 𝑪 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐𝒕𝟒 𝟑𝒕 𝒅𝒕 + 𝟓𝒕𝟐 + 𝟐 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 2 factores cuadráticos distintos: 273 Cálculo Integral 𝐴𝑡 + 𝐵 𝐶𝑡 + 𝐷 + 2 2 (2𝑡 + 1) (𝑡 + 2) ⇒ 3𝑡 = (𝐴𝑡 + 𝐵)(𝑡 2 + 2) + (𝐶𝑡 + 𝐷)(2𝑡 2 + 1) ⇒ 3𝑡 = 𝐴𝑡 3 + 2𝐴𝑡 + 𝐵𝑡 2 + 2𝐵 + 2𝐶𝑡 3 + 𝐶𝑡 + 2𝐷𝑡 2 + 𝐷 ⇒ 3𝑡 = 𝑡 3 (𝐴 + 2𝐶 ) + 𝑡 2 (𝐵 + 2𝐷) + 𝑡(2𝐴 + 𝐶 ) + 2𝐵 + 𝐷 Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B, C y D: ⇒ 𝐴 + 2𝐶 = 0; 𝐴 = −2𝐶; 𝑨 = 𝟐 ⇒ 𝐵 + 2𝐷 = 0; 𝐵 = −2𝐷; 𝑩 = 𝟎 ⇒ 2𝐴 + 𝐶 = 3; 2(−2𝐶 ) + 𝐶 = 3; −3𝐶 = 3; 𝑪 = −𝟏 2𝑡 𝑡 =∫ 2 𝑑𝑡 − ∫ 2 𝑑𝑡 = 2𝑡 + 1 𝑡 +2 Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B y C: 𝒂 = 𝟐𝒕𝟐 + 𝟏; 𝒅𝒂 = 𝟒𝒕𝒅𝒕 ; 𝒃 = 𝒕𝟐 + 𝟐; 𝒅𝒃 = 𝟐𝒕𝒅𝒕 1 𝑑𝑎 1 𝑑𝑏 1 1 = ∫ − ∫ = 𝑙𝑛|𝑎| − 𝑙𝑛|𝑏| + 𝐶 2 𝑎 2 𝑏 2 2 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝟏 𝒍𝒏 |𝟐𝒕𝟐 + 𝟏| − 𝒍𝒏|𝒕𝟐 + 𝟐| + 𝑪 𝟐 𝟐 𝟑𝟗. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙𝟐 𝟐𝒙 − 𝟔 − 𝟒𝒙 + 𝟑 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 2 factores lineales distintos: 𝐴 𝐵 + 𝑥 −3 𝑥 −1 ⇒ 2𝑥 − 6 = 𝐴 (𝑥 − 1) + 𝐵(𝑥 − 3) Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A y B: ⇒ 𝑥 = 3; 2(3) − 6 = 𝐴 (3 − 1); 0 = 𝐴 (2); 𝑨 = 𝟎 ⇒ 𝑥 = 1; 2(1) − 6 = 𝐵(1 − 3) ; −4 = 𝐵(−2) ; 𝑩 = 𝟐 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒂 = 𝒙 − 𝟏; 𝒅𝒂 = 𝒅𝒙 2 𝑑𝑎 𝑑𝑥 = 2 ∫ = 2 𝑙𝑛|𝑎| + 𝐶 = 𝑥 −1 𝑎 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟐𝒍𝒏|𝒙 − 𝟏| + 𝑪 =∫ 274 Cálculo Integral 𝟒𝟎. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 𝟏𝟔𝒙𝟒 − 𝟏 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 3 factores; 2 factores lineales distintos y 1 factor cuadrático : 𝐴 𝐵 𝐶𝑥 + 𝐷 + + 2 2𝑥 − 1 2𝑥 + 1 4𝑥 + 1 ⇒ 1 = 𝐴 (2𝑥 + 1)(4𝑥 2 + 1) + 𝐵(2𝑥 − 1)( 4𝑥 2 + 1) + (𝐶𝑥 + 𝐷)(4𝑥 2 − 1) Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B, C y D: 1 1 1 2 𝟏 ⇒ 𝑥 = ; 1 = 𝐴 (2 ( ) + 1) (4 ( ) + 1) ; 1 = 4𝐴; 𝑨 = 2 2 2 𝟒 1 1 1 2 ⇒ 𝑥 = − ; 1 = 𝐵 (2 (− ) − 1) (4 ( − ) + 1) ; 1 = −4𝐵; 2 2 2 𝟏 ⇒𝑩=− 𝟒 ⇒ 1 = (2𝐴𝑥 + 𝐴 )(4𝑥 2 + 1) + (2𝐵𝑥 − 𝐵)(4𝑥 2 + 1) + 4𝐶𝑥 3 − 𝐶𝑥 + 4𝐷𝑥 2 − 𝐷 ⇒ 1 = 8𝐴𝑥 3 + 2𝐴𝑥 + 4𝐴𝑥 2 + 𝐴 + 8𝐵𝑥 3 + 2𝐵𝑥 − 4𝐵𝑥 2 − 𝐵 + 4𝐶𝑥 3 − 𝐶𝑥 + 4𝐷𝑥 2 − 𝐷 ⇒ 1 = 𝑥 3 (8𝐴 + 8𝐵 + 4𝐶 ) + 𝑥 2 (4𝐴 − 4𝐵 + 4𝐷) + 𝑥(2𝐴 + 2𝐵 − 𝐶 ) +𝐴−𝐵− 𝐷 1 1 ⇒ 8𝐴 + 8𝐵 + 4𝐶 = 0; 8 ( ) + 8 (− ) + 4𝐶 = 0; 2 − 2 + 4𝐶 = 0 4 4 ⇒𝑪=𝟎 1 1 ⇒ 4𝐴 − 4𝐵 + 4𝐷 = 0; 4 ( ) − 4 (− ) + 4𝐷 = 0 4 4 𝟏 ⇒ 2 + 4𝐷 = 0; 𝑫 = − 𝟐 1 1 1 𝑑𝑥 =∫ 𝑑𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 − ∫ 2 = ( ) 4(2𝑥 − 1) 4 2𝑥 + 1 2 4𝑥 + 1 Se realizan los siguientes cambios de variables: 𝒂 = 𝟐𝒙 − 𝟏; 𝒅𝒂 = 𝟐𝒅𝒙; 𝒃 = 𝟐𝒙 + 𝟏; 𝒅𝒃 = 𝟐𝒅𝒙 1 𝑑𝑎 1 𝑑𝑏 1 𝑑𝑥 = ∫ − ∫ − ∫ 2 = 8 𝑎 8 𝑏 2 4𝑥 + 1 1 1 1 = 𝑙𝑛|𝑎| − 𝑙𝑛|𝑏| − 𝑡𝑎𝑛 −1 (2𝑥) + 𝐶 8 8 2 275 Cálculo Integral 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝟏 𝟏 𝒍𝒏 |𝟐𝒙 − 𝟏| − 𝒍𝒏 |𝟐𝒙 + 𝟏| − 𝒕𝒂𝒏−𝟏 (𝟐𝒙) + 𝑪 𝟖 𝟖 𝟐 𝟒𝟏. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟒 + 𝟓𝒙𝟐 𝒅𝒙 𝟒𝒙 + 𝒙𝟑 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 2 factores; 1 factor lineal y 1 factor cuadrático: 𝐴 𝐵𝑥 + 𝐶 + 𝑥 𝑥2 + 4 ⇒ 4 + 5𝑥 2 = 𝐴 (𝑥 2 + 4) + (𝐵𝑥 + 𝐶)𝑥 Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B y C: ⇒ 𝑥 = 0; 4 = 𝐴 (0 + 4); 4 = 4𝐴; 𝑨 = 𝟏 ⇒ 4 + 5𝑥 2 = 𝐴𝑥 2 + 4𝐴 + 𝐵𝑥 2 + 𝐶𝑥 ⇒ 4 + 5𝑥 2 = 𝑥 2 (𝐴 + 𝐵) + 𝐶𝑥 + 4𝐴 ⇒ 𝐴 + 𝐵 = 5; 1 + 𝐵 = 5; 𝑩 = 𝟒 ⇒𝑪=𝟎 𝑑𝑥 4𝑥 2 ∗ 2𝑥 =∫ +∫ 2 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛𝑥 + ∫ 2 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑥 +4 𝑥 +4 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒙 𝟐 + 𝟒; 𝒅𝒖 = 𝟐𝒙𝒅𝒙 𝑑𝑢 = 4 𝑢 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒍𝒏 𝒙 + 𝟐 𝒍𝒏 𝒖 + 𝑪 = 𝒍𝒏|𝒙| + 𝟐𝒍𝒏|𝒙𝟐 + 𝟒 | + 𝑪 = 𝑙𝑛𝑥 + 2 ∫ 2𝑥 𝑥2 + 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛𝑥 + 2 ∫ 𝟒𝟐. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙 𝒅𝒙 𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 3 factores; 1 factor lineal distinto y 2 factores lineales repetidos: 𝐴 𝐵 𝐶 + + 𝑥 𝑥 + 1 ( 𝑥 + 1) 2 ⇒ 𝑥 = 𝐴(𝑥 + 1) 2 + 𝐵𝑥(𝑥 + 1) + 𝐶𝑥 Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B y C: ⇒ 𝑥 = 0; 0 = 𝐴(0 + 1) 2 ; 𝑨 = 𝟎 ⇒ 𝑥 = −1; −1 = 𝐶(−1) ; 𝑪 = 𝟏 276 Cálculo Integral ⇒ 𝑥 = 𝐴𝑥 2 + 2𝐴𝑥 + 𝐴 + 𝐵𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶𝑥 ⇒ 𝑥 = 𝑥 2 (𝐴 + 𝐵) + 𝑥(2𝐴 + 𝐵 + 𝐶 ) + 𝐴 ⇒ 𝐴 + 𝐵 = 0; 𝑩 = 𝟎 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑢−1 −2 𝑑𝑢 = ∫ ∫ =∫ = = 𝑢 +𝐶 (𝑥 + 1) 2 𝑢2 −1 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒙 + 𝟏; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 = −𝑢 −1 + 𝐶 = −(𝑥 + 1)−1 + 𝐶 = 𝟏 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − +𝑪 𝒙+𝟏 𝟓𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟏𝟖 𝟒𝟑. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 𝟗𝒙 − 𝒙𝟑 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 3 factores; 1 factor lineal distinto y 2 factores lineales repetidos: 𝐴 𝐵 𝐶 − + 𝑥 𝑥 −3 𝑥 +3 5𝑥 2 − 3𝑥 + 18 = 𝐴 (𝑥 2 − 9) − 𝐵𝑥(𝑥 + 3) + 𝐶𝑥(𝑥 − 3) Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B y C: ⇒ 𝑥 = 0; 18 = 𝐴 (0 − 9); 18 = −9𝐴; 𝑨 = −𝟐 ⇒ 𝑥 = 3; 45 − 9 + 18 = −𝐵(3)(6); 54 = −18𝐵; 𝑩 = −𝟑 ⇒ 𝑥 = −3; 45 + 9 + 18 = 𝐶 (18); 72 = 18𝐶; 𝑪 = 𝟒 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑑𝑥 + 3 ∫ + 4∫ = 𝑥 𝑥 −3 𝑥+3 Se realizan los siguientes cambios de variables: 𝒂 = 𝒙 + 𝟑; 𝒅𝒂 = 𝒅𝒙; 𝒃 = 𝒙 − 𝟑; 𝒅𝒃 = 𝒅𝒙 𝑑𝑏 𝑑𝑎 +4∫ = 2𝑙𝑛|𝑥| + 3𝑙𝑛|𝑏| + 4𝑙𝑛|𝑎| + 𝐶 𝑏 𝑎 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟐𝒍𝒏|𝒙| + 𝟑𝒍𝒏|𝒙 − 𝟑| + 𝟒𝒍𝒏|𝒙 + 𝟑| + 𝑪 = −2𝑙𝑛|𝑥| + 3 ∫ 𝟒𝟒. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟓𝒙𝟑 − 𝟒𝒙 𝒅𝒙 𝒙𝟒 − 𝟏𝟔 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 3 factores; 2 factores lineales distintos y 1 factor cuadrático: 𝐴 𝐵 𝐶𝑥 + 𝐷 + + 2 𝑥 −2 𝑥 +2 𝑥 + 4 277 Cálculo Integral 5𝑥 3 − 4𝑥 = 𝐴 (𝑥 + 2)(𝑥 2 + 4) + 𝐵(𝑥 − 2)(𝑥 2 + 4) + (𝐶𝑥 + 𝐷)(𝑥 2 − 4) Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B, C y D: ⇒ 𝑥 = 2; 40 − 8 = 𝐴 (4)(8); 32 = 32 𝐴; 𝑨 = 𝟏 ⇒ 𝑥 = −2; −40 + 8 = 𝐵 (−4)(8); −32 = −32 𝐵; 𝑩 = 𝟏 ⇒ 5𝑥 3 − 4𝑥 = 𝐴𝑥 3 + 4𝐴𝑥 + 2𝐴𝑥 2 + 8𝐴 + 𝐵𝑥 3 + 4𝐵𝑥 − 2𝐵𝑥 2 − 8𝐵 + 𝐶𝑥 3 − 4 𝐶𝑥 + 𝐷𝑥 2 − 4𝐷 ⇒ 5𝑥 3 − 4𝑥 = 𝑥 3 ( 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 ) + 𝑥 2 (2𝐴 − 2𝐵 + 𝐷) + 𝑥(4𝐴 + 4𝐵 − 4𝐶 ) + 8𝐴 − 8𝐵 − 4𝐷 ⇒ 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 5; 1 + 1 + 𝐶 = 5; 𝑪 = 𝟑 ⇒ 2𝐴 − 2𝐵 + 𝐷 = 0; 2 − 2 + 𝐷 = 0; 𝑫 = 𝟎 1 1 3𝑥 =∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 − ∫ 2 𝑑𝑥 = 𝑥 −2 𝑥 +2 𝑥 +4 Se realizan los siguientes cambios de variables: 𝒂 = 𝒙 − 𝟐; 𝒅𝒂 = 𝒅𝒙; 𝒃 = 𝒙 + 𝟐; 𝒅𝒃 = 𝒅𝒙; 𝒄 = 𝒙 𝟐 + 𝟒; 𝒅𝒄 = 𝟐𝒙 𝒅𝒙 =∫ 𝑑𝑎 𝑑𝑏 3 𝑑𝑐 3 + ∫ − ∫ = 𝑙𝑛|𝑎| + 𝑙𝑛|𝑏| − 𝑙𝑛|𝑐| + 𝐶 𝑎 𝑏 2 𝑐 2 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒍𝒏|𝒙 − 𝟐| + 𝒍𝒏 |𝒙 + 𝟐| − 𝟑 𝒍𝒏|𝒙𝟐 + 𝟒| + 𝑪 𝟐 𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝟑 𝟒𝟓. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟑 𝒙 + 𝟏𝟎𝒙𝟐 + 𝟐𝟓𝒙 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 3 factores; 1 factor lineal y 2 factores lineales repetidos: 𝐴 𝐵 𝐶 + + 𝑥 𝑥 + 5 (𝑥 + 5)2 𝑥 2 + 3𝑥 + 3 = 𝐴(𝑥 + 5) 2 + 𝐵𝑥(𝑥 + 5) + 𝐶𝑥 Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B y C: ⇒ 𝑥 = 0; 3 = 25 𝐴; 𝑨 = 𝟑 𝟐𝟓 𝟏𝟑 𝟓 ⇒ 𝑥 2 + 3𝑥 + 3 = 𝐴𝑥 2 + 10𝐴𝑥 + 25𝐴 + 𝐵𝑥 2 + 5𝐵𝑥 + 𝐶𝑥 3 𝟐𝟐 ⇒ 𝐴 + 𝐵 = 1; + 𝐵 = 1; 𝑩 = 25 𝟐𝟓 ⇒ 𝑥 = −5; 25 − 15 + 3 = −5𝐶; 𝑪 = − 278 Cálculo Integral 3 22 13 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 = ( ) ( 25𝑥 25 𝑥 + 5 5 𝑥 + 5) 2 3 𝑑𝑥 22 𝑑𝑥 13 𝑑𝑥 ∫ + ∫ = − ∫ = 25 𝑥 25 𝑥 + 5 5 (𝑥 + 5) 2 =∫ Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝑎 = 𝑥 + 5; 𝑑𝑎 = 𝑑𝑥 3 22 𝑑𝑎 13 𝑑𝑎 = 𝑙𝑛|𝑥| + ∫ − ∫ = 25 25 𝑎 5 (𝑎) 2 3 22 13 = 𝑙𝑛|𝑥| + 𝑙𝑛|𝑎| − ∫ 𝑎 −2 = 25 25 5 3 22 13 −1 = 𝑙𝑛|𝑥| + 𝑙𝑛|𝑎| + 𝑎 + 𝐶 25 25 5 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟑 𝟐𝟐 𝟏𝟑 𝒍𝒏|𝒙| + 𝒍𝒏|𝒙 + 𝟓| + (𝒙 + 𝟓)−𝟏 + 𝑪 𝟐𝟓 𝟐𝟓 𝟓 𝟒𝟔. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟏+𝒕 𝒅𝒕 𝟗𝒕𝟒 + 𝒕𝟐 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 3 factores; 2 factores lineales repetidos y 1 factor cuadrático: 𝐴 𝐵 𝐶𝑡 + 𝐷 + 2+ 𝑡 𝑡 (9𝑡 2 + 1) ⇒ 1 + 𝑡 = 𝐴𝑡(9𝑡 2 + 1) + 𝐵(9𝑡 2 + 1) + (𝐶𝑡 + 𝐷) 𝑡 2 Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B, C y D: ⇒ 𝑡 = 0; 𝑩 = 𝟏 ⇒ 1 + 𝑡 = 9𝐴𝑡 3 + 𝐴𝑡 + 9𝐵𝑡 2 + 𝐵 + 𝐶𝑡 3 + 𝐷𝑡 2 ⇒ 9𝐵 + 𝐷 = 0; 9 + 𝐷 = 0; 𝑫 = −𝟗 ⇒𝑨=𝟏 ⇒ 9𝐴 + 𝐶 = 0; 9 + 𝐶 = 0; 𝑪 = −𝟗 1 1 −9𝑡 − 9 = ∫ 𝑑𝑡 + ∫ 2 + ∫ 𝑑𝑡 = (9𝑡 2 + 1) 𝑡 𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑡 𝑑𝑡 )= = ∫ + ∫ 2 − (9 ∫ 𝑑𝑡 + 9 ∫ 2 2 (9𝑡 + 1) (9𝑡 + 1) 𝑡 𝑡 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒂 = 𝟗𝒕𝟐 + 𝟏; 𝒅𝒂 = 𝟏𝟖𝒕 𝒅𝒕 1 𝑑𝑎 = 𝑙𝑛|𝑡| + ∫ 𝑡 −2 𝑑𝑡 − ∫ − 𝑡𝑎𝑛 −1 3𝑡 = 2 𝑎 279 Cálculo Integral 1 = 𝑙𝑛|𝑡| − 𝑡 −1 − 𝑙𝑛|𝑎| − 𝑡𝑎𝑛−1 (3𝑡) + 𝐶 2 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒍𝒏|𝒕| − 𝒕−𝟏 − 𝟒𝟕. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟔𝒚𝟐 𝟏 𝒍𝒏 |𝟗𝒕𝟐 + 𝟏| − 𝒕𝒂𝒏−𝟏 (𝟑𝒕) + 𝑪 𝟐 𝟏𝟐 𝒚 𝒅𝒚 − 𝟕𝒚 − 𝟑 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 2 factores lineales distintos: 𝐴 𝐵 + 2𝑦 − 3 3𝑦 + 1 12𝑦 = 𝐴 (3𝑦 + 1) + 𝐵(2𝑦 − 3) Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A y B: 3 11 𝟑𝟔 ⇒ 𝑦 = ; 18 = 𝐴; 𝑨 = 2 2 𝟏𝟏 1 11 𝟏𝟐 ⇒ 𝑦 = − ; −4 = 𝐵 ( − ) ; 𝑩 = 3 3 𝟏𝟏 36 12 =∫ 𝑑𝑦 + ∫ 𝑑𝑦 = 11(2𝑦 − 3) 11(3𝑦 + 1) 36 𝑑𝑦 12 𝑑𝑦 ∫ = + ∫ = 11 (2𝑦 − 3) 11 (3𝑦 + 1) Se realizan los siguientes cambios de variables: 𝒂 = 𝟐𝒚 − 𝟑; 𝒅𝒂 = 𝟐𝒅𝒚 ; 𝒃 = 𝟑𝒚 + 𝟏; 𝒅𝒃 = 𝟑𝒅𝒚 = 18 𝑑𝑎 4 𝑑𝑏 18 4 ∫ + ∫ = 𝑙𝑛|𝑎| + 𝑙𝑛|𝑏| + 𝐶 11 𝑎 11 𝑏 11 11 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏𝟖 𝟒 𝒍𝒏|𝟐𝒚 − 𝟑| + 𝒍𝒏|𝟑𝒚 + 𝟏| + 𝑪 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟒𝟖. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟐𝒙𝟐 + 𝟐 𝒅𝒙 𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟔 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 2 factores lineales distintos: 𝐴 𝐵 + 𝑥 −3 𝑥 +2 2𝑥 2 + 2 = 𝐴 (𝑥 + 2) + 𝐵(𝑥 − 3) 280 Cálculo Integral Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A y B: ⇒ 𝑥 = 3; 18 + 2 = 5𝐴;20 = 5𝐴; 𝑨 = 𝟒 ⇒ 𝑥 = −2; 8 + 2 = −5𝐵; 10 = −5𝐵; 𝑩 = −𝟐 4 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 =∫ 𝑑𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 = 4 ∫ − 2∫ = (𝑥 + 2) (𝑥 − 3) (𝑥 + 2) (𝑥 − 3) Se realizan los siguientes cambios de variables: 𝒂 = 𝒙 − 𝟑; 𝒅𝒂 = 𝒅𝒙; 𝒃 = 𝒙 + 𝟐; 𝒅𝒃 = 𝒅𝒙 𝑑𝑎 𝑑𝑏 −2∫ = 4𝑙𝑛|𝑎| − 2𝑙𝑛|𝑏| + 𝐶 𝑎 𝑏 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟒𝒍𝒏|𝒙 − 𝟑| − 𝟐𝒍𝒏|𝒙 + 𝟐| + 𝑪 = 4∫ 𝟒𝟗. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟑𝒙 − 𝟐 𝒅𝒙 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 2 factores lineales distintos: 𝐴 𝐵 + 𝑥 𝑥 +2 3𝑥 − 2 = 𝐴 (𝑥 + 2) + 𝐵𝑥 Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A y B: ⇒ 𝑥 = 0; −2 = 2𝐴; 𝑨 = −𝟏 ⇒ 𝑥 = −2; −6 − 2 = −2𝐵; −8 = −2𝐵; 𝑩 = 𝟒 1 4 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = ∫ − 𝑑𝑥 + ∫ =−∫ + 4∫ = 𝑥 (𝑥 + 2) 𝑥 (𝑥 + 2) Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒂 = 𝒙 + 𝟐; 𝒅𝒂 = 𝒅𝒙 𝑑𝑥 𝑑𝑎 + 4∫ = − 𝑙𝑛|𝑥| + 4𝑙𝑛|𝑎| + 𝐶 𝑥 𝑎 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝒍𝒏 |𝒙| + 𝟒𝒍𝒏|𝒙 + 𝟐| + 𝑪 = −∫ 𝟓𝟎. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟐𝒙 − 𝟏𝟐 𝒅𝒙 − 𝟏𝟎𝒙 − 𝟖 𝟑𝒙𝟐 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 2 factores lineales distintos: 𝑨 𝑩 + 𝟑𝒙 + 𝟐 𝒙 − 𝟒 281 Cálculo Integral 2𝑥 − 12 = 𝐴 (𝑥 − 4) + 𝐵(3𝑥 + 2) Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A y B: 2 4 14 40 14 𝟐𝟎 ⇒ 𝑥 = − ; − − 12 = − 𝐴; − = − 𝐴; 𝑨 = 3 3 3 3 3 𝟕 𝟐 ⇒ 𝑥 = 4; 8 − 12 = 14 𝐵; −4 = 14𝐵; 𝑩 = − 𝟕 20 2 20 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 ∫ =∫ 𝑑𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 = − ∫ = 7(3𝑥 + 2) 7(𝑥 − 4) 7 3𝑥 + 2 7 (𝑥 − 4) Se realizan los siguientes cambios de variables: 𝒂 = 𝟑𝒙 + 𝟐; 𝒅𝒂 = 𝟑𝒅𝒙; 𝒃 = 𝒙 − 𝟒; 𝒅𝒃 = 𝒅𝒙 20 2 𝑑𝑏 𝑙𝑛|3𝑥 + 2| − ∫ = 21 7 𝑏 𝟐𝟎 𝟐 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒍𝒏|𝟑𝒙+ 𝟐| − 𝒍𝒏|𝒙 − 𝟒| + 𝑪 𝟐𝟏 𝟕 = 𝟓𝟏. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙𝟓 𝒅𝒙 − 𝟏𝟐𝒙𝟒 + 𝟑𝟔𝒙𝟑 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 5 factores lineales repetidos: 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 + 2 + 3+ + 𝑥 𝑥 𝑥 (𝑥 − 6) (𝑥 − 6) 2 1 = 𝐴𝑥 2 (𝑥 − 6) 2 + 𝐵𝑥(𝑥 − 6) 2 + 𝐶(𝑥 − 6) 2 + 𝐷𝑥 3 (𝑥 − 6) + 𝐸𝑥 3 Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B, C, D y E: 𝟏 𝟑𝟔 𝟏 ⇒ 𝑥 = 6; 1 = 216 𝐸; 𝑬 = 𝟐𝟏𝟔 1 = 𝐴𝑥 4 − 12𝐴𝑥 3 + 36𝐴𝑥 2 + 𝐵𝑥 3 − 12𝐵𝑥 2 + 36𝐵𝑥 + 𝐶𝑥 2 − 12𝐶𝑥 + 36𝐶 + 𝐷𝑥 4 − 6𝐷𝑥 3 + 𝐸𝑥 3 ⇒ 𝐴 + 𝐷 = 0; −12 𝐴 + 𝐵 − 6𝐷 + 𝐸 = 0; 36𝐴 − 12𝐵 + 𝐶 = 0; 1 1 ⇒ 36𝐵 − 12𝐶 = 0; 36𝐵 − 12 ( ) = 0; 36𝐵 − = 0; 𝑩 = 𝟏/𝟏𝟎𝟖 36 3 1 1 𝟏 )+ ⇒ 36𝐴 − 12𝐵 + 𝐶 = 0; 36𝐴 − 12 ( = 0; 𝑨 = 108 36 𝟒𝟑𝟐 1 𝟏 ⇒ 𝐴 + 𝐷 = 0; + 𝐷 = 0; 𝑫 = − 432 𝟒𝟑𝟐 ⇒ 𝑥 = 0; 1 = 36𝐶; 𝑪 = 282 Cálculo Integral 1 1 1 1 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 2 3 432𝑥 108𝑥 36𝑥 432(𝑥 − 6) 1 +∫ 𝑑𝑥 216(𝑥 − 6) 2 1 𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 ∫ + ∫ 2+ ∫ 3− ∫ = 432 𝑥 108 𝑥 36 𝑥 432 (𝑥 − 6) 1 𝑑𝑥 ∫ + = 216 (𝑥 − 6) 2 =∫ Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒂 = 𝒙 − 𝟔; 𝒅𝒂 = 𝒅𝒙 1 1 1 𝑥 −2 1 1 (𝑥 −1 ) − ( )− ∫ 𝑎 −2 𝑑𝑎 𝑙𝑛|𝑥| − 𝑙𝑛|𝑎| + 432 108 36 2 432 216 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒍𝒏|𝒙| − − − 𝒍𝒏|𝒙 − 𝟔| 𝟐 𝟒𝟑𝟐 𝟏𝟎𝟖𝒙 𝟕𝟐𝒙 𝟒𝟑𝟐 𝟏 − +𝑪 𝟐𝟏𝟔(𝒙 − 𝟔) = 𝟓𝟐. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟒𝒙 − 𝟐 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 3 factores lineales distintos: ∫ 4𝑥 − 2 𝑑𝑥 𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 + 1) 𝐴 𝐵 𝐶 = ∫ +∫ +∫ 𝑥 𝑥 −2 𝑥 +1 4𝑥 − 2 = 𝐴 (𝑥 − 2)(𝑥 + 1) + 𝐵𝑥(𝑥 + 1) + 𝐶𝑥(𝑥 − 2) Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B y C: ⇒ 𝑥 = 0; 0 − 2 = 𝐴 (−2)(1); −2 = −2𝐴; 𝑨 = 𝟏 ⇒ 𝑥 = 2; 4(2) − 2 = 2𝐵(2 + 1); 6 = 6𝐵; 𝑩 = 𝟏 ⇒ 𝑥 = −1; 4(−1) − 2 = −𝐶(−1 − 2); −6 = 3𝐶; 𝑪 = −𝟐 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 =∫ +∫ −2∫ 𝑥 𝑥−2 𝑥+1 Se realizan los siguientes cambios de variables: 𝒖 = 𝒙 − 𝟐; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; 𝒖 = 𝒙 + 𝟏; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 = 𝑙𝑛|𝑥| + 𝑙𝑛|𝑢| − 2𝑙𝑛|𝑢| + 𝐶 = 𝑙𝑛|𝑥| + 𝑙𝑛|𝑥 − 2| − 2𝑙𝑛|𝑥 + 1| + 𝐶 = 𝑙𝑛|𝑥 (𝑥 − 2)| − 𝑙𝑛|𝑥 + 1|2 + 𝐶 = 283 Cálculo Integral 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒍𝒏 | 𝒙(𝒙 − 𝟐) |+ 𝑪 (𝒙 + 𝟏 ) 𝟐 𝟓𝟑. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙𝟐 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟔 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 2 factores lineales distintos: 𝐴 𝐵 + 𝑥 +3 𝑥 −2 𝑥 2 = 𝐴 (𝑥 − 2) + 𝐵 (𝑥 + 3) Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A y B: ⇒ 𝑥 = −3; 9 = −5 𝐴; 𝑨 = − 𝟒 𝟗 𝟓 ⇒ 𝑥 = 2; 4 = 5 𝐵; 𝑩 = 𝟓 9 4 = (− ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥) = 5(𝑥 + 3) 5(𝑥 − 2) Se realizan los siguientes cambios de variables: 𝒖 = 𝒙 + 𝟑; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; 𝒖 = 𝒙 − 𝟐; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 9 𝑑𝑢 4 𝑑𝑢 𝟗 𝟒 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − ∫ + ∫ = − 𝒍𝒏|𝒙 + 𝟑| + 𝒍𝒏|𝒙 − 𝟐| 5 𝑢 5 𝑢 𝟓 𝟓 +𝑪 𝟓𝟒. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟏𝟕𝒙 − 𝟑 𝒅𝒙 𝟑𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 2 factores lineales distintos: ∫ 17𝑥 − 3 = (𝑥 + 1)(3𝑥 − 2) 𝐴 𝐵 + 𝑥 + 1 3𝑥 − 2 17𝑥 − 3 = 𝐴 (3𝑥 − 2) + 𝐵(𝑥 + 1) =∫ Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A y B: ⇒ 𝑥 = −1; −17 − 3 = 𝐴 (−3 − 2) ; −20 = 𝐴 (−5); 𝑨 = 𝟒 284 Cálculo Integral 2 2 2 25 5 ⇒ 𝑥 = ; 17 ( ) − 3 = 𝐵 ( + 1) ; = 𝐵( ); 𝑩 = 𝟓 3 3 3 3 3 𝑑𝑥 5 = 4∫ +∫ 𝑑𝑥 𝑥+1 3𝑥 − 2 Se realizan los siguientes cambios de variables: 𝒖 = 𝒙 + 𝟏; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; 𝒖 = 𝟑𝒙 − 𝟐; 𝒅𝒖 = 𝟑𝒅𝒙 5 = 4𝑙𝑛 |𝑢| + 𝑙𝑛 |𝑢| + 𝐶 = 3 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟒𝒍𝒏|𝒙 + 𝟏 | + 𝟓𝟓. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟓 𝒍𝒏 |𝟑𝒙 − 𝟐| + 𝑪 𝟑 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟒 𝒅𝒙 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 3 factores lineales distintos: =∫ 2𝑥 2 + 𝑥 − 4 𝑑𝑥 = 𝑥(𝑥 − 2)(𝑥 + 1) 𝐴 𝐵 𝐶 ∫ + + 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 −2 𝑥+1 2𝑥 2 + 𝑥 − 4 = 𝐴 (𝑥 − 2)(𝑥 + 1) + 𝐵𝑥(𝑥 + 1) + 𝐶𝑥(𝑥 − 2) Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B y C: ⇒ 𝑥 = 0; −4 = 𝐴 (−2)(1); −4 = −2𝐴; 𝑨 = 𝟐 ⇒ 𝑥 = 2; 8 + 2 − 4 = 2𝐵(2 + 1); 6 = 6𝐵; 𝑩 = 𝟏 ⇒ 𝑥 = −1; 2 − 1 − 4 = −𝐶 (−1 − 2); −3 = 3𝐶; 𝑪 = −𝟏 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑢 = 2∫ +∫ −∫ = 2𝑙𝑛|𝑥| + ∫ −∫ 𝑥 𝑥 −2 𝑥+1 𝑢 𝑢 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟐𝒍𝒏|𝒙| + 𝒍𝒏|𝒙 − 𝟐 | − 𝒍𝒏|𝒙 + 𝟏 | + 𝑪 𝟓𝟔. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟑𝒙 + 𝟏𝟑 𝒅𝒙 + 𝟒𝒙 + 𝟑 𝒙𝟐 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 2 factores lineales distintos: ∫ 3𝑥 + 13 𝑑𝑥 (𝑥 + 3)(𝑥 + 1) 285 Cálculo Integral 𝐴 𝐵 + 𝑑𝑥 𝑥+3 𝑥+ 1 3𝑥 + 13 = 𝐴 (𝑥 + 1) + 𝐵(𝑥 + 3) = ∫ Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A y B: ⇒ 𝑥 = −3; −9 + 13 = 𝐴 (−3 + 1) ; 4 = 𝐴 (−2); 𝑨 = −𝟐 ⇒ 𝑥 = −1; −3 + 13 = 𝐵(−1 + 3) ; 10 = 𝐵(2) ; 𝑩 = 𝟓 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑢 = −2 ∫ +5∫ = − 2∫ +5∫ 𝑥 +3 𝑥 +1 𝑢 𝑢 = −2 𝑙𝑛|𝑢| + 5𝑙𝑛|𝑢| + 𝐶 = 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝟐 𝒍𝒏|𝒙 + 𝟑| + 𝟓𝒍𝒏|𝒙 + 𝟏| + 𝑪 𝟓𝟕. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙𝟐 𝒅𝒙 + 𝟐𝒙 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 2 factores lineales distintos: ∫ 𝑑𝑥 𝐴 𝐵 =∫ + 𝑥(𝑥 + 2) 𝑥 𝑥+2 1 = 𝐴 (𝑥 + 2) + 𝐵𝑥 Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A y B: 𝑥 = 0; 1 = 𝐴 (2); 𝑨 = 𝟏 𝟐 ⇒ 𝑥 = −2; 1 = −2𝐵; 𝑩 = − 𝟏 𝟐 1 𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 1 1 𝑑𝑢 1 1 = ∫ − ∫ = 𝑙𝑛|𝑥| − ∫ = 𝑙𝑛|𝑥| − 𝑙𝑛|𝑢| + 𝐶 2 𝑥 2 𝑥+2 2 2 𝑢 2 2 1 1 1 = 𝑙𝑛|𝑥| − 𝑙𝑛|𝑥 + 2| + 𝐶 = (𝑙𝑛|𝑥| − 𝑙𝑛|𝑥 + 2|) + 𝐶 2 2 2 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝒙 (𝒍𝒏 | |) + 𝑪 𝟐 𝒙+𝟐 𝟓𝟖. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙𝟐 𝟐𝒙 + 𝟏 − 𝟕𝒙 + 𝟏𝟐 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 2 factores lineales distintos: 286 Cálculo Integral ∫ 2𝑥 + 1 𝑑𝑥 = (𝑥 − 4)(𝑥 − 3) 𝐴 𝐵 + 𝑑𝑥 𝑥 −4 𝑥−3 2𝑥 + 1 = 𝐴 (𝑥 − 3) + 𝐵(𝑥 − 4) =∫ Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A y B: ⇒ 𝑥 = 4; 8 + 1 = 𝐴 (4 − 3) ; 9 = 𝐴 (1); 𝑨 = 𝟗 ⇒ 𝑥 = 3; 6 + 1 = 𝐵(3 − 4) ; 7 = 𝐵(−1) ; 𝑩 = −𝟕 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑢 = 9∫ −7∫ = 9∫ − 7∫ = 9 ln 𝑢 − 7 ln 𝑢 + 𝐶 𝑥−4 𝑥 −3 𝑢 𝑢 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟗𝐥𝐧(𝒙 − 𝟒 ) − 𝟕 𝐥𝐧(𝒙 − 𝟑) + 𝑪 𝟓𝟗. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒚+𝟒 𝒅𝒚 𝒚𝟐 + 𝒚 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 2 factores lineales distintos: ∫ 𝑦 +4 𝐴 𝐵 =∫ + 𝑑𝑦 𝑦(𝑦 + 1) 𝑦 𝑦 +1 𝑦 + 4 = 𝐴 (𝑦 + 1) + 𝐵𝑦 Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A y B: ⇒ 𝑦 = 0; 4 = 𝐴 (1); 𝑨 = 𝟒 ⇒ 𝑦 = −1; −1 + 4 = 𝐵(−1); 𝑩 = −𝟑 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑢 = 4∫ −3∫ = 4𝑙𝑛|𝑦| − 3 ∫ = 4𝑙𝑛|𝑦| − 3𝑙𝑛|𝑢| + 𝐶 𝑦 𝑦+1 𝑢 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟒𝒍𝒏|𝒚| − 𝟑𝒍𝒏|𝒚 + 𝟏| + 𝑪 𝟔𝟎. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒕𝟑 𝒅𝒕 + 𝒕𝟐 − 𝟐𝒕 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 3 factores lineales distintos: ∫ 𝑑𝑡 = 𝑡(𝑡 + 2)(𝑡 − 1) 𝐴 𝐵 𝐶 =∫ + + 𝑑𝑡 𝑡 𝑡 +2 𝑡 −1 287 Cálculo Integral 1 = 𝐴 (𝑡 + 2)(𝑡 − 1) + 𝐵𝑡(𝑡 − 1) + 𝐶𝑡(𝑡 + 2) Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B y C: ⇒ 𝑡 = 0; 1 = 𝐴 (2)(−1); 1 = −2𝐴; 𝑨 = − 𝟏 𝟐 ⇒ 𝑡 = −2; 1 = −2𝐵(−2 − 1); 1 = 6𝐵; 𝑩 = ⇒ 𝑡 = 1; 1 = 𝐶(1 + 2); 1 = 𝐶(3) ; 𝑪 = 1 𝑑𝑡 1 𝑑𝑡 1 𝑑𝑡 =− ∫ + ∫ + ∫ = 2 𝑡 6 𝑡 +2 3 𝑡 −1 1 1 1 = − 𝑙𝑛|𝑡| + 𝑙𝑛|𝑢| + 𝑙𝑛|𝑢| + 𝐶 2 6 3 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝟏 𝟑 𝟏 𝟔 𝟏 𝟏 𝟏 𝒍𝒏 |𝒕| + 𝒍𝒏|𝒕 + 𝟐| + 𝒍𝒏|𝒕 − 𝟏| + 𝑪 𝟐 𝟔 𝟑 𝟔𝟏. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 − 𝟔𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝟏𝟐 Solución.Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙; 𝒅𝒖 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝒅𝒙 =∫ 𝑢2 𝑑𝑢 𝑑𝑢 =∫ = (𝑢 − 3) 2 + 3 − 6𝑢 + 12 𝒙 = 𝒖 − 𝟑; 𝒅𝒙 = 𝒅𝒖; √𝒂𝟐 = √𝟑; 𝒂 = √𝟑 Se aplica la integral estándar del arco tangente: =∫ 𝑑𝑥 1 𝑥 1 𝑢−3 )+𝐶 = 𝑡𝑔−1 ( ) + 𝐶 = 𝑡𝑔−1 ( + 3 √3 √3 √3 √3 𝑥2 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝒔𝒆𝒏 𝒙 − 𝟑 )+ 𝑪 𝒕𝒈−𝟏 ( √𝟑 √𝟑 𝟔𝟐. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟕𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟑 𝒅𝒙 (𝟐𝒙 − 𝟏)(𝟑𝒙 + 𝟐)(𝒙 + 𝟑) Solución.Se descompone el denominador mediante 3 factores lineales distintos: = 7𝑥 2 + 2𝑥 − 3 𝐴 𝐵 𝐶 = + + (2𝑥 − 1)(3𝑥 + 2)(𝑥 − 3) (2𝑥 − 1) (3𝑥 + 2) (𝑥 − 3) 288 Cálculo Integral 7𝑥 2 + 2𝑥 − 3 (2𝑥 − 1)(3𝑥 + 2)(𝑥 − 3) 𝐴 (3𝑥 + 2)(𝑥 − 3) + 𝐵(2𝑥 − 1)(𝑥 − 3) + 𝐶(2𝑥 − 1)(3𝑥 + 2) = (2𝑥 − 1)(3𝑥 + 2)(𝑥 − 3) 2 7𝑥 + 2𝑥 − 3 = 𝐴 (3𝑥 + 2)(𝑥 − 3) + 𝐵(2𝑥 − 1)(𝑥 − 3) + 𝐶(2𝑥 − 1)(3𝑥 + 2) 7𝑥 2 + 2𝑥 − 3 = 3𝑥 2 𝐴 − 7𝑥𝐴 − 6𝐴 + 2𝑥 2 𝐵 − 7𝑥𝐵 + 3𝐵 + 6𝑥 2 𝐶 + 𝑥𝐶 − 2𝐶 2 7𝑥 + 2𝑥 − 3 = 𝑥 2 (3𝐴 + 2𝐵 + 6𝐶 ) + 𝑥 (−7𝐴 − 7𝐵 + 𝐶 ) + (−6𝐴 + 3𝐵 − 2𝐶) Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B y C, mediante un sistema de ecuaciones por medio del método de igualación: ⇒ 3𝐴 + 2𝐵 + 6𝐶 = 7; −7𝐴 − 7𝐵 + 𝐶 = 2; −6𝐴 + 3𝐵 − 2𝐶 = −3 (𝟑) − 7𝐴 − 7𝐵 + 𝐶 = 2 ⇒ (𝟕) 3𝐴 + 2𝐵 + 6𝐶 = 7 ( (𝟐) − 7𝐴 − 7𝐵 + 𝐶 = 2 𝟕) − 6𝐴 + 3𝐵 − 2𝐶 = −3 ⇒ 21𝐴 + 14𝐵 + 42𝐶 = 49 −21𝐴 − 21𝐵 + 3𝐶 = 6 −14𝐴 − 14𝐵 + 2𝐶 = 4 −42𝐴 + 21𝐵 − 14𝐶 = −21 7𝐴 + 44𝐶 = 53 −63𝐴 − 11𝐶 = −15 ⇒ (𝟗) 7𝐴 + 44𝐶 = 53 −63𝐴 − 11𝐶 = −15 ⇒ 63𝐴 + 396 𝐶 = 477 −63𝐴 − 11 𝐶 = −15 𝟔 385 𝐶 = 462 ⇒ 𝑪 = 𝟓 6 𝟏 ⇒ −63𝐴 − 11 ( ) = −15 ⇒ 𝑨 = 5 𝟑𝟓 1 6 𝟏 ⇒ 3 ( ) + 2𝐵 + 6 ( ) = 7 ⇒ 𝑩 = − 35 5 𝟕 𝐴 𝐵 𝐶 =∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 (2𝑥 − 1) (3𝑥 + 2) (𝑥 − 3) 1 1 6 =∫ 𝑑𝑥 + ∫ − 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 35 (2𝑥 − 1) 7(3𝑥 + 2) 5(𝑥 − 3) 1 1 𝑑𝑢 1 1 𝑑𝑣 6 𝑑𝑤 = ∗ ∫ + ∗ ∫ + ∫ 35 2 𝑢 7 3 𝑣 5 𝑤 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝟏 𝟔 𝒍𝒏(𝟐𝒙 − 𝟏) + 𝒍𝒏 (𝟑𝒙 + 𝟐) + 𝒍𝒏(𝒙 − 𝟑) 𝟕𝟎 𝟐𝟏 𝟓 +𝑪 289 Cálculo Integral 𝟔𝒙𝟐 + 𝟐𝟐𝒙 − 𝟐𝟑 𝟔𝟑. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 (𝟐𝒙 − 𝟏)(𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟔) Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 3 factores lineales distintos: 6𝑥 2 + 22𝑥 − 23 𝑑𝑥 (2𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 2) 6𝑥 2 + 22𝑥 − 23 𝐴 𝐵 𝐶 ⇒ = + + (2𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 2) (2𝑥 − 1) (𝑥 + 3) (𝑥 − 2) 𝐴 (𝑥 + 3)(𝑥 − 2) + 𝐵(2𝑥 − 1)(𝑥 − 2) + 𝐶(2𝑥 − 1)(𝑥 + 3) = (2𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 2) 2 6𝑥 + 22𝑥 − 23 = 𝐴 (𝑥 + 3)(𝑥 − 2) + 𝐵(2𝑥 − 1)(𝑥 − 2) + 𝐶(2𝑥 − 1)(𝑥 + 3) 2 6𝑥 + 22𝑥 − 23 = 𝐴𝑥 2 + 𝐴𝑥 − 6𝐴 + 2𝐵𝑥 2 − 5𝐵𝑥 + 2𝐵 + 2𝐶𝑥 2 + 5𝐶𝑥 − 3𝐶 2 6𝑥 + 22𝑥 − 23 = 𝑥 2 (𝐴 + 2𝐵 + 2𝐶 ) + 𝑥(𝐴 − 5𝐵 + 5𝐶 ) + (−6𝐴 + 2𝐵 − 3𝐶) =∫ Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B y C, Aplicamos matrices 𝐴 + 2𝐵 + 2𝐶 = 6 𝐴 − 5𝐵 + 5𝐶 = 22 −6𝐴 + 2𝐵 − 3𝐶 = −23 ENCONTRAR LA DETERMINATE 1 2 2 | 1 −5 5 | −6 2 −3 −5 5 1 5 1 −5 ⇒ 1| |−2| |+2| | 2 −3 −6 −3 −6 2 ⇒ 𝑲 = 1(15 − 10) − 2(−3 + 30) + 2(2 − 30) ⇒ 𝑲 = 5 − 2(27) + 2(−28) = −𝟏𝟎𝟓 6 2 2 | 22 −5 5 | 𝐴 = −23 2 −3 𝐾 290 Cálculo Integral 5 | + 2 | 22 −5| 6 |−5 5 | − 2 | 22 2 −3 −23 −3 −23 2 𝐴= 𝐾 6(15 − 10) − 2(−66 + 115) + 2(44 − 115) 𝐴= 𝐾 6(5) − 2(49) + 2(−71) −210 𝐴= = =𝟐 −105 −105 1 6 2 |1 22 5| 𝐵 = −6 −23 −3 𝐾 22 5 | − 6| 1 5 | + 2| 1 22 | 1| −23 −3 −6 −3 −6 −23 𝐵= 𝐾 1(−66 + 115) − 6(−3 + 30) + 2(−23 + 132) 105 𝐵= =− = −𝟏 −105 105 1 2 6 | 1 −5 22 | 𝐶 = −6 2 −23 𝐾 −5 22 | − 2 | 1 22 | + 6 | 1 −5| 1| 2 −23 −6 −23 −6 2 𝐶= 𝐾 1(115 − 44) − 2( −23 + 132) + 6(2 − 30) −315 𝐶= = =𝟑 −105 −105 𝐴 𝐵 𝐶 ⇒∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 2𝑥 − 1 𝑥+3 𝑥−2 2 −1 3 ⇒∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 2𝑥 − 1 𝑥+3 𝑥−2 Se realizan los siguientes cambios de variables: 𝒖 = 𝟐𝒙 − 𝟏; 𝒅𝒖 = 𝟐𝒅𝒙; 𝒗 = 𝒙 + 𝟑; 𝒅𝒗 = 𝒅𝒙; 𝒘 = 𝒙 − 𝟐; 𝒅𝒘 = 𝒅𝒙; 𝑑𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑤 −∫ + 3∫ = 𝑙𝑛(𝑢) − 𝑙𝑛(𝑣) + 3 𝑙𝑛(𝑤) + 𝐶 𝑢 𝑣 𝑤 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒍𝒏(𝟐𝒙 − 𝟏 ) − 𝒍𝒏(𝒙 + 𝟑 ) + 𝟑 𝒍𝒏(𝒙 − 𝟐) + 𝑪 =∫ 𝒙𝟑 −𝟔𝒙𝟐 +𝟏𝟏𝒙−𝟔 𝟔𝟒. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟒𝒙𝟑 −𝟐𝟖𝒙𝟐 +𝟓𝟔𝒙−𝟑𝟐 𝒅𝒙 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 3 factores lineales distintos: 291 Cálculo Integral ∫ 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 11𝑥 − 6 1 𝑥 3 − 6𝑥 2 + 11𝑥 − 6 ∫ 𝑑𝑥 = 4(𝑥 3 − 7𝑥 2 + 14𝑥 − 8) 4 (𝑥 3 − 7𝑥 2 + 14𝑥 − 8) Se aplica Rufiini para encontrar los 3 factores lineales distintos: 1 -6 1 1 -5 2 1 -3 ⇒ 𝒙− 𝟑 = 𝟎 11 -5 6 -6 -6 +6 0 0 ˩ 1⇒𝒙−𝟏 = 𝟎 ⇒ 𝒙 = 𝟏 ˩ 2⇒ 𝒙 − 𝟐 = 𝟎 ⇒ 𝒙 = 𝟐 ⇒𝒙 =𝟑 -7 14 -8 ˩ 1 ⇒ 𝒙−𝟏 = 𝟎 ⇒ 𝒙 = 𝟏 1 -6 +8 1 -6 8 0 ˩ 22⇒ 𝒙 − 𝟐 = 𝟎 ⇒ 𝒙 = 𝟐 2 -8 0 1 -4 0 ⇒ 𝒙− 𝟒 = 𝟎 ⇒𝒙 = 𝟒 1 (𝑥 − 1)(𝑥 − 3)(𝑥 − 2) 1 (𝑥 − 3) ⇒ ∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 4 (𝑥 − 1)(𝑥 − 4)(𝑥 − 2) 4 (𝑥 − 4) 1 𝑥− 3−1 +1 1 (𝑥 − 4) + 1 = ∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 4 𝑥 −4 4 𝑥 −4 1 (𝑥 − 4) 1 = (∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥) 4 (𝑥 − 4) (𝑥 − 4) 1 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒙 − 𝟒; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 1 𝑑𝑢 1 = (∫ 𝑑𝑥 + ∫ ) = (𝑥 − 𝑙𝑛(𝑢)) + 𝐶 4 𝑢 4 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝟏 𝒙 − 𝒍𝒏(𝒙 − 𝟒) + 𝑪 𝟒 𝟒 𝟔𝟓. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙𝟑 𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟐 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 2 factores lineales distintos: 292 Cálculo Integral 𝑥3 ∫ 𝑑𝑥 (𝑥 + 2)(𝑥 − 1) 𝑥3 𝐴 𝐵 = + (𝑥 + 2)(𝑥 − 1) (𝑥 + 2) (𝑥 − 1) ⇒ 𝑥 3 = 𝐴 (𝑥 − 1) + 𝐵(𝑥 + 2) ⇒ 𝑥 = −2 ; (−2) 3 = 𝐴 (−2 − 1) + 𝐵(−2 + 2) ⇒ Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A y B: ⇒ −8 = 𝐴 (−3) + 𝐵(0) ⇒ 𝑨 = 𝟖 𝟑 𝟏 𝟑 𝐴 𝐵 8 𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 =∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 = ∫ + ∫ (𝑥 + 2) (𝑥 − 1) 3 𝑥+2 3 𝑥−1 ⇒ 𝑥 = 1; 13 = 𝐴 (1 − 1) + 𝐵(1 + 2) ; 1 = 3𝐵; 𝑩 = Se realizan los siguientes cambios de variables: 𝒖 = 𝒙 + 𝟐; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; 𝒗 = 𝒙 − 𝟏; 𝒅𝒗 = 𝒅𝒙 8 𝑑𝑢 1 𝑑𝑣 8 1 = ∫ + ∫ = 𝑙𝑛(𝑢) + 𝑙𝑛(𝑣) + 𝐶 3 𝑢 3 𝑣 3 3 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟖 𝟏 𝒍𝒏 (𝒙 + 𝟐) + 𝒍𝒏(𝒙 − 𝟏) + 𝑪 𝟑 𝟑 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 𝟔𝟔. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟐 𝒅𝒙 𝒙 + 𝟓𝒙 + 𝟔 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 2 factores lineales distintos: 𝑥3 + 𝑥2 ∫ 𝑑𝑥 (𝑥 + 3)(𝑥 + 2) 𝑥3 + 𝑥2 𝐴 𝐵 = + (𝑥 + 3)(𝑥 + 2) (𝑥 + 3) (𝑥 + 2) 𝑥3 + 𝑥2 𝐴 (𝑥 + 2) + 𝐵(𝑥 + 3) ⇒ = (𝑥 + 3)(𝑥 + 2) (𝑥 + 3)(𝑥 + 2) 3 2 ( ) ⇒ 𝑥 + 𝑥 = 𝐴 𝑥 + 2 + 𝐵(𝑥 + 3) ⇒ Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A y B: ⇒ 𝒙 = −𝟐 ; −23 + (−2) 2 = 𝐴 (−2 + 2) + 𝐵(−2 + 3) −8 + 4 = 𝐵 ⇒ 𝑩 = −𝟒 ⇒ 𝑥 = −3; ( −3) 3 + (−3) 2 = 𝐴 (−3 + 2) + 𝐵(−3 + 3) ⇒ 293 Cálculo Integral ⇒ −27 + 9 = −𝐴; 𝑨 = 𝟏𝟖 18 −4 =∫ 2 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 (𝑥 + 3) (𝑥 + 2) 𝑥 + 5𝑥 + 6 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = 18 ∫ −4∫ (𝑥 + 3) (𝑥 + 2) 𝑥3 + 𝑥2 Se realizan los siguientes cambios de variables: 𝒖 = 𝒙 + 𝟑; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; 𝒗 = 𝒙 + 𝟐; 𝒅𝒗 = 𝒅𝒙 𝑑𝑢 𝑑𝑣 − 4∫ = 18 𝑙𝑛(𝑢) − 4 𝑙𝑛(𝑣) + 𝑐 𝑢 𝑣 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏𝟖𝒍𝒏(𝒙 + 𝟑) − 𝟒 𝒍𝒏(𝒙 + 𝟐 ) + 𝑪 = 18 ∫ 𝟔𝟕. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙−𝟑 𝒅𝒙 𝒙𝟑 + 𝒙𝟐 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 2 factores; 1 factor lineal y 1 factor cuadrático: ∫ 𝑥−3 1) 𝑥 2 (𝑥 + 𝑥−3 𝐴𝑥 + 𝐵 𝐶 = + 𝑥 2 (𝑥 + 1) 𝑥2 (𝑥 + 1) (𝐴𝑥 + 𝐵)(𝑥 + 1) + 𝐶𝑥 2 𝑥−3 = 𝑥 2 (𝑥 + 1) 𝑥 2 (𝑥 + 1) 𝑥 − 3 = (𝐴𝑥 + 𝐵)(𝑥 + 1) + 𝐶𝑥 2 Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B y C: ⇒ 𝑥 = −1; −1 − 3 = (𝐴 (−1) + 𝐵)(−1 + 1) + 𝐶 (−1) 2 ; 𝑪 = −𝟒; ⇒ 𝑥 = 0; 0 − 3 = (𝐴 (0) + 𝐵)(0 + 1) + 𝐶 (0) 2 ; 𝑩 = −𝟑 ⇒ 𝑥 − 3 = (𝐴𝑥 + (−3))(𝑥 + 1) + (−4)𝑥 2 𝑥 − 3 = (𝐴𝑥 − 3)(𝑥 + 1) + 4𝑥 2 𝑥 − 3 = 𝐴𝑥 2 + 𝐴𝑥 − 3𝑥 − 3 + 4𝑥 2 𝑥 + 3𝑥 + 4𝑥 2 = 𝐴𝑥 2 + 𝐴𝑥 4(𝑥 2 + 𝑥) ⇒ 𝐴(𝑥 2 + 𝑥) = 4(𝑥 2 + 𝑥); 𝐴 = ; 𝑨=𝟒 (𝑥 2 + 𝑥) 4𝑥 − 3 𝑑𝑥 4𝑥 3 𝑑𝑥 =∫ 𝑑𝑥 − 4 ∫ = ∫ 2 𝑑𝑥 − ∫ 2 𝑑𝑥 − 4 ∫ 2 𝑥 (𝑥 + 1) 𝑥 𝑥 (𝑥 + 1) Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒙 + 𝟏; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 294 Cálculo Integral = 4∫ 𝑑𝑥 𝑑𝑢 3𝑥 −1 − 3 ∫ 𝑥 −2 𝑑𝑥 − 4 ∫ = 4𝑙𝑛𝑥 − − 4 𝑙𝑛(𝑢) + 𝐶 𝑥 𝑢 −1 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟑 + 𝟒 𝒍𝒏 (𝒙) − 𝟒 𝒍𝒏(𝒙 + 𝟏) + 𝑪 𝒙 𝟐𝒙𝟐 + 𝟏𝟑𝒙 + 𝟏𝟖 𝟔𝟖. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟑 𝒅𝒙 𝒙 + 𝟔𝒙𝟐 + 𝟗𝒙 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 3 factores lineales: ∫ 2𝑥 2 + 13𝑥 + 18 𝑥(𝑥 2 + 6𝑥 + 9) 2𝑥 2 + 13𝑥 + 18 2𝑥 2 + 13𝑥 + 18 = 𝑥(𝑥 + 3) 2 𝑥(𝑥 + 3) 2 𝐴 𝐵 𝐶 = + + 2 𝑥 (𝑥 + 3) (𝑥 + 3) 2𝑥 2 + 13𝑥 + 18 𝐴(𝑥 + 3) 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶𝑥(𝑥 + 3) = 𝑥(𝑥 + 3) 2 𝑥(𝑥 + 3) 2 2𝑥 2 + 13𝑥 + 18 = 𝐴(𝑥 + 3) 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶𝑥(𝑥 + 3) 2𝑥 2 + 13𝑥 + 18 = 𝐴𝑥 2 + 6𝐴𝑥 + 9𝐴 + 𝐵𝑥 + 𝐶𝑥 2 + 3𝐶𝑥 2𝑥 2 + 13𝑥 + 18 = 𝑥 2 (𝐴 + 𝐶 ) + 𝑥(6𝐴 + 𝐵 + 3𝐶 ) + 9𝐴 =∫ Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B y C: 𝐴 + 𝐶 = 2; 6𝐴 + 𝐵 + 3𝐶 = 13; 9𝐴 = 18 ⇒ 𝑨 = 𝟐 𝑪 = 𝟎; 𝑩 = 𝟏 𝐴 𝐵 𝐶 = ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 2 𝑥 (𝑥 + 3) (𝑥 + 3) Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒙 + 𝟑; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 2 𝑑𝑥 0 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 + ∫ +∫ 𝑑𝑥 = 2 ∫ + ∫ 𝑢−2 𝑑𝑢 2 𝑥 (𝑥 + 3) (𝑥 + 3) 𝑥 𝑢−1 = 2 𝑙𝑛(𝑥) + +𝐶 = −1 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟐𝒍𝒏(𝒙) − 𝟏 +𝑪 𝒙+𝟑 295 Cálculo Integral 𝟔𝟗. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙𝟑 𝒙 𝒅𝒙 + 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟐 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 2 factores; 1 factor lineal y 1 factor cuadrático: 𝑥 𝑑𝑥 + 1(𝑥 + 2) 𝑥 =∫ 𝑑𝑥 (𝑥 + 2)(𝑥 2 + 1) 𝑥 𝐴 𝐵𝑥 + 𝐶 = + 2 2 (𝑥 + 2)(𝑥 + 1) (𝑥 + 2) (𝑥 + 1) 𝑥 𝐴 (𝑥 2 + 1) + (𝐵𝑥 + 𝐶)(𝑥 + 2) = (𝑥 + 2)(𝑥 2 + 1) (𝑥 + 2)(𝑥 2 + 1) 𝑥 = 𝐴 (𝑥 2 + 1) + (𝐵𝑥 + 𝐶)(𝑥 + 2) ⇒ 𝑥 = −2; −2 = 𝐴((−2) 2 + 1) + (𝐵(−2) + 𝐶 )(−2 + 2) ∫ 𝑥 2 (𝑥 + 2) Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B y C: 𝟐 𝟓 ⇒ 𝑥 = 𝐴𝑥 2 + 𝑎 + 𝐵𝑥 2 + 2𝐵𝑥 + 𝐶𝑥 + 2𝐶 2 𝟐 ⇒ (𝐴 + 𝐵) = 0; − + 𝐵 = 0; 𝑩 = 5 𝟓 2 4 𝟏 ⇒ (2𝐵 + 𝐶 ) = 1; 2 ( ) + 𝐶 = 1; + 𝐶 = 1; 𝑪 = 5 5 𝟓 𝐴 𝐵𝑥 + 𝐶 2 𝑑𝑥 1 2𝑥 + 1 =∫ 𝑑𝑥 + ∫ 2 𝑑𝑥 = − ∫ + ∫ (𝑥 + 2) (𝑥 + 1) 5 𝑥 + 2 5 (𝑥 2 + 1) 𝑨=− Se realizan los siguientes cambios de variables: 𝒖 = 𝒙 + 𝟐; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; 𝒗 = 𝒙 𝟐 + 𝟏; 𝒅𝒗 = 𝟐𝒙 𝒅𝒙 2 𝑑𝑢 1 𝑑𝑣 𝑑𝑥 ) =− ∫ + (∫ + ∫ 2 5 𝑢 5 𝑣 𝑥 +1 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝟐 𝟏 𝒍𝒏 (𝒙 + 𝟐) + (𝒍𝒏(𝒙𝟐 + 𝟏) + 𝒕𝒂𝒏−𝟏 𝒙) + 𝑪 𝟓 𝟓 𝒙𝟐 𝟕𝟎. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 (𝒙 − 𝟏)(𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 + 𝟏) Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 3 factores lineales: 296 Cálculo Integral 𝑥2 ∫ 𝑑𝑥 (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)2 𝑥2 𝐴 𝐵 𝐶 = + + 2 (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) (𝑥 − 1) (𝑥 + 1) (𝑥 + 1) 2 𝑥 2 = 𝐴 (𝑥 + 1) 2 + 𝐵(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) + 𝐶(𝑥 − 1) ⇒ 𝑥 = −1; −12 = 𝐴 (−1 + 1) 2 + 𝐵(−1 − 1)( −1 + 1) + 𝐶 (−1 − 1) Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B y C: 𝟏 𝟐 ⇒ 𝑥 = 1; 𝑪=− 12 = 𝐴 (1 + 1) 2 + 𝐵(1 − 1)(1 + 1) + 𝐶 (1 − 1) 𝟏 𝑨= 𝟒 𝑥 2 = 𝐴(𝑥 + 1) 2 + 𝐵(𝑥 − 1)(𝑥 + 1) + 𝐶(𝑥 − 1) 𝑥 2 = 𝐴(𝑥 2 + 2𝑥 + 1) + 𝐵( 𝑥 2 − 1) + 𝐶(𝑥 − 1) 4𝑥 2 = 4𝐵𝑥 2 − 4𝐵 + 𝑥 2 + 2𝑥 + 1 − 2𝑥 + 2 4𝐵(𝑥 2 − 1) = 3(𝑥 2 − 1) 3(𝑥 2 − 1) 𝟑 4𝐵 = ; 4𝐵 = 3; 𝑩 = 2 (𝑥 − 1) 𝟒 𝐴 𝐵 𝐶 =∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 + ∫ (𝑥 − 1) (𝑥 + 1) (𝑥 + 1) 2 Se realizan los siguientes cambios de variables: 𝒖 = 𝒙 − 𝟏; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; 𝒗 = 𝒙 + 𝟏; 𝒅𝒗 = 𝒅𝒙 1 𝑑𝑢 3 𝑑𝑣 1 𝑑𝑣 = ∫ + ∫ − ∫ 2 4 𝑢 4 𝑣 2 𝑣 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝟑 𝟏 𝒍𝒏 (𝒖) − 𝒍𝒏(𝒙 + 𝟏) + +𝑪 𝟒 𝟒 𝟐(𝒙 + 𝟏) 𝟕𝟏. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟔 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 2 factores lineales: ∫ 𝑑𝑥 (𝑥 + 2)(𝑥 + 3) 297 Cálculo Integral 1 𝐴 𝐵 = + (𝑥 + 2)(𝑥 + 3) (𝑥 + 2) (𝑥 + 3) 1 𝐴 (𝑥 + 3) + 𝐵(𝑥 + 2) = (𝑥 + 2)(𝑥 + 3) (𝑥 + 2)(𝑥 + 3) ( ) ⇒ 1 = 𝐴 𝑥 + 3 + 𝐵(𝑥 + 2) Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A y B: ⇒ 𝑥 = −3; 1 = 𝐴 (−3 + 3) + 𝐵(−3 + 2) ; 𝑩 = −𝟏 ⇒ 𝑥 = −2; 1 = 𝐴 (−2 + 3) + 𝐵(−2 + 2) ; 𝑨 = 𝟏 𝐴 𝐵 𝑑𝑥 𝑑𝑥 =∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 = ∫ −∫ (𝑥 + 2) (𝑥 + 3) (𝑥 + 2) (𝑥 + 3) Se realizan los siguientes cambios de variables: 𝒖 = 𝒙 + 𝟐; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; 𝒗 = 𝒙 + 𝟑; 𝒅𝒗 = 𝒅𝒙 𝑑𝑢 𝑑𝑣 −∫ = 𝑙𝑛(𝑢) − 𝑙𝑛(𝑣) + 𝐶 𝑢 𝑣 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒍𝒏(𝒙 + 𝟐) − 𝒍𝒏 (𝒙 + 𝟑) + 𝑪 =∫ 𝟕𝟐. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟐𝒙𝟐 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 2 factores lineales: ∫ −2𝑥 2 𝑑𝑥 + 3𝑥 + 2 𝑑𝑥 (−2𝑥 − 1)(𝑥 − 2) 1 𝐴 𝐵 = + (−2𝑥 − 1)(𝑥 − 2) (−2𝑥 − 1) (𝑥 − 2) 1 𝐴 (𝑥 − 2) + 𝐵(−2𝑥 − 1) = (−2𝑥 − 1)(𝑥 − 2) (−2𝑥 − 1)(𝑥 − 2) 1 = 𝐴 (𝑥 − 2) + 𝐵(−2𝑥 − 1) =∫ Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A y B: ⇒ 𝑥 = 2; 1 = 𝐴 (2 − 2) + 𝐵(−4 − 1) ; 𝑩 = − 𝟏 𝟓 1 1 1 𝟐 ⇒ 𝑥 = − ; 1 = 𝐴 (− − 2) + 𝐵 ( −2 (− ) − 1) ; 𝑨 = − 2 2 2 𝟓 2 𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 − ∫ − ∫ 5 (−2𝑥 − 1) 5 (𝑥 − 2) 298 Cálculo Integral Se realizan los siguientes cambios de variables: 𝒖 = −𝟐𝒙 − 𝟏; 𝒅𝒖 = −𝟐 𝒅𝒙; 𝒗 = 𝒙 − 𝟐; 𝒅𝒗 = 𝒅𝒙 1 𝑑𝑢 𝑑𝑣 1 = (∫ − ∫ ) = (𝑙𝑛(𝑢) − 𝑙𝑛(𝑣)) + 𝐶 5 𝑢 𝑣 5 𝟏 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: (𝒍𝒏(−𝟐𝒙 − 𝟏) − 𝒍𝒏(𝒙 − 𝟐)) + 𝐶 𝟓 𝟕𝟑. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 (𝒙 + 𝟏)(𝒙𝟐 + 𝟐𝒙) Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 3 factores lineales distintos: =∫ 𝑑𝑥 (𝑥 + 1)𝑥(𝑥 + 2) 1 𝐴 𝐵 𝐶 = + + (𝑥 + 1)𝑥(𝑥 + 2) 𝑥 (𝑥 + 1) (𝑥 + 2) 1 𝐴 (𝑥 + 1)(𝑥 + 2) + 𝐵𝑥(𝑥 + 2) + 𝐶𝑥(𝑥 + 1) = (𝑥 + 1)𝑥(𝑥 + 2) 𝑥(𝑥 + 1)(𝑥 + 2) ( )( ) ( 1 = 𝐴 𝑥 + 1 𝑥 + 2 + 𝐵𝑥 𝑥 + 2) + 𝐶𝑥(𝑥 + 1) Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B y C: ⇒ 𝑥 = −1; 1 = 𝐴 (0)(−1 + 2) + 𝐵(−1)(−1 + 2) + 𝐶(0) 𝑩 = −𝟏 ⇒ 𝑥 = 0; 1 = 𝐴 (0 + 1)(0 + 2) + 𝐵(0)(0 + 2) + 𝐶 (0)(0 + 1) 𝟏 𝑨= 𝟐 ⇒ 𝑥 = −2; 1 = 𝐴 (−2 + 1)(0) + 𝐵(−2)(0) + 𝐶( −2)(−2 + 1) 𝟏 𝑪= 𝟐 𝐴 𝐵 𝐶 = ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 𝑥 (𝑥 + 1) (𝑥 + 2) 1 𝑑𝑥 𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 = ∫ −1∫ + ∫ 2 𝑥 (𝑥 + 1) 2 (𝑥 + 2) Se realizan los siguientes cambios de variables: 𝒖 = 𝒙 + 𝟏; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; 𝒗 = 𝒙 + 𝟐; 𝒅𝒗 = 𝒅𝒙 1 1 = 𝑙𝑛(𝑥) − 𝑙𝑛(𝑢) + 𝑙𝑛(𝑣) + 𝐶 2 2 299 Cálculo Integral 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝟏 𝒍𝒏 (𝒙) − 𝒍𝒏(𝒙 + 𝟏) + 𝒍𝒏(𝒙 + 𝟐) + 𝑪 𝟐 𝟐 𝟕𝟒. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙𝟐 𝒅𝒙 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 2 factores lineales repetidos: 𝑥2 𝐴 𝐵 = + 2 (𝑥 − 1) (𝑥 − 1) (𝑥 − 1) 2 𝑥2 𝐴 (𝑥 − 1) + 𝐵 = 2 (𝑥 − 1) (𝑥 − 1) 2 𝑥 2 = 𝐴 (𝑥 − 1) + 𝐵 Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A y B: ⇒ 𝑥 = 1; 1 = 𝐴 (1 − 1) + 𝐵; 𝑩 = 𝟏 𝑥 2 = 𝐴 (𝑥 − 1) + 𝐵; 𝑥 2 = 𝐴𝑥 − 𝐴 + 1 (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) 𝐴= ; 𝑨= 𝒙+𝟏 (𝑥 − 1) 𝐴 𝐵 𝑥 +1 1 =∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 2 (𝑥 − 1) (𝑥 − 1) (𝑥 − 1) (𝑥 − 1) 2 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒙 − 𝟏; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 𝑥 −1+ 2 1 𝑥 −1 2 𝑑𝑢 ) 𝑑𝑥 + ∫ 2 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 = ∫ ( + 2 (𝑥 − 1) 𝑥 −1 𝑥 −1 𝑥−1 𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑢 1 = ∫ 𝑑𝑥 + 2 ∫ + ∫ 2 = 𝑥 + 2 𝑙𝑛(𝑢) + +𝑐 𝑢 𝑢 −𝑢 =∫ 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒙 + 𝟐 𝒍𝒏(𝒙 − 𝟏) − 𝟕𝟓. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙𝟒 𝟏 (𝒙 − 𝟏) +𝑪 𝒙 𝒅𝒙 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝟑 Se descompone el denominador mediante 2 factores cuadráticos distintos: 𝑥 𝑑𝑥 − 3)(𝑥 2 − 1) 𝑥 𝐴𝑥 + 𝐵 𝐶𝑥 + 𝐷 = 2 + 2 2 2 (𝑥 − 3)(𝑥 − 1) (𝑥 − 3) (𝑥 − 1) ∫ (𝑥 2 300 Cálculo Integral (𝐴𝑥 + 𝐵)(𝑥 2 − 1) + (𝐶𝑥 + 𝐷) (𝑥 2 − 3) 𝑥 = (𝑥 2 − 3)(𝑥 2 − 1) (𝑥 2 − 3)(𝑥 2 − 1) 𝑥 = (𝐴𝑥 + 𝐵) (𝑥 2 − 1) + (𝐶𝑥 + 𝐷)(𝑥 2 − 3) 𝑥 = (𝐴𝑥 + 𝐵)(𝑥 2 − 1) + 𝐶(𝑥 3 − 3𝑥) + 𝐷(𝑥 2 − 3) ⇒ 𝑥 = 1; 1 = 0 + 𝐶((1) 3 − 3(1)) + 𝐷((1) 2 − 3) Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B, C y D: 1 2 𝑥 = 𝑥 3 (𝐴 + 𝐶 ) + 𝑥 2 (𝐵 + 𝐷) + 𝑥(−𝐴 − 3𝐶 ) + (−𝐵 − 3𝐷) 1 𝐴 + 𝐶 = 0 ; 𝐵 + 𝐷 = 0; −𝐴 − 3𝐶 = 1; 𝐶 + 𝐷 = − 2 𝟏 𝟏 𝑨 = ; 𝑩 = 𝟎; 𝑪 = − ; 𝑫 = 𝟎 𝟐 𝟐 𝐴𝑥 + 𝐵 𝐶𝑥 + 𝐷 =∫ 2 𝑑𝑥 + ∫ 2 𝑑𝑥 = (𝑥 − 3) (𝑥 − 1) 1 𝑥 1 𝑥 = ∫ 2 𝑑𝑥 − ∫ 2 𝑑𝑥 2 (𝑥 − 3) 2 (𝑥 − 1) 𝐶 +𝐷 = − Se realizan los siguientes cambios de variables: 𝒖 = 𝒙 𝟐 − 𝟑; 𝒅𝒖 = 𝟐𝒙 𝒅𝒙; 𝒗 = 𝒙 𝟐 − 𝟏; 𝒅𝒗 = 𝟐𝒙 𝒅𝒙 1 𝑑𝑢 1 𝑑𝑣 1 = ∫ − ∫ = ( 𝑙𝑛(𝑢) − 𝑙𝑛(𝑣)) + 𝐶 4 𝑢 4 𝑣 4 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 (𝒍𝒏(𝒙𝟐 − 𝟑) − 𝒍𝒏(𝒙𝟐 − 𝟏)) + 𝑪 𝟒 𝟖𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝟐 𝟕𝟔. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 (𝟒𝒙𝟐 + 𝟏)𝟐 Solución.Se descompone el denominador mediante 2 factores cuadráticos distintos: 8𝑥 2 + 8𝑥 + 2 𝐴𝑥 + 𝐵 𝐶𝑥 + 𝐷 = + 2 2 2 (4𝑥 + 1) (4𝑥 + 1) (4𝑥 2 + 1) 2 8𝑥 2 + 8𝑥 + 2 (𝐴𝑥 + 𝐵)(4𝑥 2 + 1) + 𝐶𝑥 + 𝐷 = (4𝑥 2 + 1) 2 (4𝑥 2 + 1) 2 2 3 8𝑥 + 8𝑥 + 2 = 4𝐴𝑥 + 𝐴𝑥 + 4𝐵𝑥 2 + 𝐵 + 𝐶𝑥 + 𝐷 Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B, C y D: 𝑨 = 𝟎; 4𝐵 = 8; 𝑩 = 𝟐; 𝐴 + 𝐶 = 8; 𝑪 = 𝟖; 𝐵 + 𝐷 = 2; 𝑫 = 𝟎 𝐴𝑥 + 𝐵 𝐶𝑥 + 𝐷 =∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 (4𝑥 2 + 1) (4𝑥 2 + 1) 2 301 Cálculo Integral = 2∫ 𝑑𝑥 𝑥 + 8∫ 𝑑𝑥 = (4𝑥 2 + 1) (4𝑥 2 + 1) 2 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝟒𝒙 𝟐 + 𝟏; 𝒅𝒖 = 𝟖 𝒙 𝒅𝒙 = 2∫ 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑢−1 −1 2𝑥 + ∫ + = 2𝑡𝑎𝑛 +𝐶 (4𝑥 2 + 1) (𝑢) 2 −1 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟐𝒕𝒂𝒏−𝟏 𝟐𝒙 − 𝟕𝟕. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟏 +𝑪 + 1) (𝟒𝑥2 𝟑𝒕𝟐 + 𝒕 + 𝟒 𝒅𝒕 𝒕𝟑 + 𝒕 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 2 factores; 1 factor lineal y 1 factor cuadrático: ∫ 3𝑡 2 + 𝑡 + 4 𝑑𝑡 𝑡(𝑡 2 + 1) 3𝑡 2 + 𝑡 + 4 𝐴 𝐵𝑡 + 𝐶 = + 2 𝑡(𝑡 2 + 1) 𝑡 (𝑡 + 1) 2 3𝑡 + 𝑡 + 4 𝐴 (𝑡 2 + 1) + 𝑡(𝐵𝑡 + 𝐶) = 𝑡(𝑡 2 + 1) 𝑡(𝑡 2 + 1) 3𝑡 2 + 𝑡 + 4 = 𝐴 (𝑡 2 + 1) + 𝑡(𝐵𝑡 + 𝐶) 3𝑡 2 + 𝑡 + 4 = 𝐴𝑡 2 + 𝐴 + 𝐵𝑡 2 + 𝐶𝑡 Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B y C: 𝐴 + 𝐵 = 3; 𝑪 = 𝟏; 𝑨 = 𝟒; 𝑩 = −𝟏 𝐴 𝐵𝑡 + 𝐶 4 −𝑡 + 1 = ∫ 𝑑𝑡 + ∫ 2 𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 + ∫ 2 𝑑𝑡 𝑡 (𝑡 + 1) 𝑡 (𝑡 + 1) 𝑑𝑡 𝑡 𝑑𝑡 = 4∫ −∫ 2 𝑑𝑡 + ∫ 2 𝑡 (𝑡 + 1) (𝑡 + 1) Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒕𝟐 + 𝟏; 𝒅𝒖 = 𝟐𝒕 𝒅𝒕 1 = 4 𝑙𝑛(𝑡) − 𝑙𝑛(𝑢) + 𝑡𝑎𝑛 −1 𝑡 + 𝐶 2 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟒𝒍𝒏(𝒕) − 𝟏 𝟐 𝒍𝒏(𝒕 + 𝟏) + 𝒕𝒂𝒏−𝟏 𝒕 + 𝑪 𝟐 302 Cálculo Integral 𝒚𝟐 + 𝟐𝒚 + 𝟏 𝟕𝟖. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒚 (𝒚𝟐 + 𝟏)𝟐 Solución.Se descompone el denominador mediante 2 factores cuadráticos repetidos: 𝑦 2 + 2𝑦 + 1 𝐴𝑦 + 𝐵 𝐶𝑦 + 𝐷 = 2 + 2 2 2 (𝑦 + 1) (𝑦 + 1) (𝑦 + 1) 2 𝑦 2 + 2𝑦 + 1 (𝐴𝑦 + 𝐵)(𝑦 2 + 1) + 𝐶𝑦 + 𝐷 = (𝑦 2 + 1) 2 (𝑦 2 + 1) 2 𝑦 2 + 2𝑦 + 1 = 𝐴𝑦 3 + 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 2 + 𝐵 + 𝐶𝑦 + 𝐷 Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B, C y D: 𝑨 = 𝟎; 𝑩 = 𝟏; 𝐴 + 𝐶 = 2; 𝑪 = 𝟐; 𝐵 + 𝐷 = 1 ; 𝑫 = 𝟎 𝐴𝑦 + 𝐵 𝐶𝑦 + 𝐷 𝑑𝑦 𝑦 ∫ 2 𝑑𝑥 + ∫ 2 𝑑𝑥 = ∫ 2 +2∫ 2 𝑑𝑥 2 (𝑦 + 1) (𝑦 + 1) (𝑦 + 1) (𝑦 + 1) 2 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒚𝟐 + 𝟏; 𝒅𝒖 = 𝟐𝒚 𝒅𝒚 =∫ 𝑑𝑦 𝑑𝑢 𝑢−1 −1 𝑦 + ∫ + = 𝑡𝑎𝑛 +𝐶 (𝑦 2 + 1) (𝑢)2 −1 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒕𝒂𝒏−𝟏 𝒚 − 𝟏 +𝑪 (𝒚𝟐 + 𝟏) 𝒙𝟐 𝟕𝟗. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 (𝒙 − 𝟏)𝟑 Solución.Se descompone el denominador mediante 3 factores lineales repetidos: 𝑥2 𝐴 𝐵 𝐶 = + + 3 2 (𝑥 − 1) (𝑥 − 1) (𝑥 − 1) (𝑥 − 1) 3 𝑥2 𝐴(𝑥 − 1) 2 + 𝐵(𝑥 − 1) + 𝐶 = (𝑥 − 1) 3 (𝑥 − 1) 3 𝑥 2 = 𝐴(𝑥 − 1) 2 + 𝐵(𝑥 − 1) + 𝐶 𝑥 2 = 𝐴𝑥 2 − 2𝐴𝑥 + 𝐴 + 𝐵𝑥 − 𝐵 + 𝐶 𝑥 2 = 𝐴𝑥 2 + 𝑥(−2𝐴 + 𝐵) + (𝐴 − 𝐵 + 𝐶) Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B y C: 𝑨 = 𝟏; −2𝐴 + 𝐵 = 0; 𝑩 = 𝟐; 𝐴 − 𝐵 + 𝐶 = 0; 𝑪 = 𝟏 303 Cálculo Integral 𝐴 𝐵 𝐶 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 (𝑥 − 1) (𝑥 − 1) 2 (𝑥 − 1) 3 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 =∫ + 2∫ +∫ (𝑥 − 1) (𝑥 − 1) 2 (𝑥 − 1) 3 =∫ Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒙 − 𝟏; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 =∫ 𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑢−1 𝑢−2 ∫ ( ) +2∫ + = 𝑙𝑛 𝑢 + 2 + +𝐶 (𝑢) 2 (𝑢) 3 𝑢 −1 −2 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒍𝒏(𝒙 − 𝟏) − 𝟖𝟎. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟐 𝟏 − +𝑪 (𝒙 − 𝟏) 𝟐(𝒙 − 𝟏)2 𝒅𝒚 (𝒚 + 𝒂)(𝒚 + 𝒃) Solución.Se descompone el denominador mediante 2 factores lineales distintos: 1 1 (𝑎 − 𝑏) (𝑏 − 𝑎) =∫ 𝑑𝑦 − ∫ 𝑑𝑦 (𝑦 + 𝑎) (𝑦 + 𝑏) 𝐴 𝐵 1= + ; 1 = 𝐴 (𝑦 + 𝑏) + 𝐵(𝑦 + 𝑎) (𝑦 + 𝑎) (𝑦 + 𝑏) Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A y B: 𝒚 = −𝒃 1 = 𝐵(𝑦 + 𝑎) 1 = 𝐵(−𝑏 + 𝑎) 𝑩=− =− 𝒚 = −𝒂 1 = 𝐴(𝑦 + 𝑏) 1 = 𝐴(−𝑎 + 𝑏) 𝟏 𝑨=− (𝒃−𝒂) 𝟏 (𝒂−𝒃) 1 𝑑𝑦 1 𝑑𝑦 ∫ ∫ − (𝑎 − 𝑏) (𝑦 + 𝑎) (𝑏 − 𝑎) (𝑦 + 𝑏) Se realizan los siguientes cambios de variables: 𝒖 = (𝒚 + 𝒂) ; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒚; 𝒗 = 𝒚 + 𝒃; 𝒅𝒗 = 𝒅𝒚 =− 1 𝑑𝑢 1 𝑑𝑢 ∫ ∫ − (𝑎 − 𝑏) 𝑢 (𝑏 − 𝑎) 𝑢 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝟏 𝟏 𝐥𝐧(𝒚 + 𝒂) − 𝐥𝐧(𝒚 + 𝒃) + 𝑪 (𝒂 − 𝒃) (𝒃 − 𝒂) 304 Cálculo Integral 𝟓𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 + 𝟗 𝟖𝟏. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 (𝒙 − 𝟑)𝟐 (𝒙 + 𝟏)𝟐 Solución.Se descompone el denominador mediante 4 factores lineales: 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 + + + 2 (𝑥 − 3) (𝑥 − 3) (𝑥 + 1) (𝑥 + 1) 2 5𝑥 2 + 6𝑥 + 9 = 𝐴(𝑥 − 3)(𝑥 + 1) 2 + 𝐵(𝑥 + 1) 2 + 𝐶(𝑥 + 1)(𝑥 − 3) 2 + 𝐷(𝑥 − 3) 2 5𝑥 2 + 6𝑥 + 9 = Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B, C y D: 𝒙=𝟑 72 = 𝐵(16) 72 16 =𝐵 𝑩= 𝟗 𝟐 𝒙 = −𝟏 8 = 𝐴(16) 8 16 =𝐴 𝑨= 𝟏 𝟐 = 𝐴(𝑥 − 3)(𝑥 + 1) 2 + 𝐵(𝑥 + 1) 2 + 𝐶(𝑥 + 1)(𝑥 − 3) 2 + 𝐷(𝑥 − 3) 2 5𝑥 2 + 6𝑥 + 9 = (𝐴𝑥 − 3𝐴 )(𝑥 2 + 2𝑥 + 1) + 𝐵𝑥 2 + 2𝐵𝑥 + 𝐵 + (𝐶𝑥 + 𝐶 )(𝑥 2 − 6𝑥 + 9) + 𝐷𝑥 2 − 6𝐷𝑥 + 9𝐷 𝐴𝑥 3 + 2𝐴𝑥 2 + 𝐴𝑥 − 3𝐴𝑥2 − 6𝐴𝑥 − 3𝐴 + 𝐵𝑥 2 + 2𝐵𝑥 + 𝐵 + 𝐶𝑥 3 − 6𝐶𝑥 2 + 9𝐶𝑥 + 𝐶𝑥 2 − 6𝐶𝑥 + 9𝐶 + 𝐷𝑥 2 − 6𝐷𝑥 + 9𝐷 𝐴 + 𝐶 = 0; −𝐴 + 𝐵 − 5𝐶 + 𝐷 = 5; −5𝐴 + 2𝐵 + 3𝐶 − 6𝐷 = 6; −3𝐴 + 𝐵 + 9𝐶 + 9𝐷 = 9 1 𝟏 ⇒ 𝐴 + 𝐶 = 0; + 𝐶 = 0; 𝑪 = − 2 𝟐 1 9 5 𝟏𝟑 ⇒ −𝐴 + 𝐵 − 5𝐶 + 𝐷 = 5; − + + + 𝐷 = 0; 𝑫 = − 2 2 2 𝟐 𝟏 𝟗 𝟏 𝟏𝟑 𝑨 = ;𝑩 = ; 𝑪 = − ;𝑫 = − 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 1 9 1 13 2 2 = ∫ 2 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 − ∫ 2 𝑑𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 𝑥−3 (𝑥 − 3) 2 𝑥+1 (𝑥 + 1) 𝟐 1 𝑑𝑥 9 𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 13 𝑑𝑥 = ∫ + ∫ − ∫ − ∫ 2 2 𝑥 − 3 2 (𝑥 − 3) 2 𝑥 + 1 2 (𝑥 + 1) 𝟐 Se realizan los siguientes cambios de variables: 𝒖 = 𝒙 − 𝟑; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙; 𝒗 = 𝒙 + 𝟏; 𝒅𝒗 = 𝒅𝒙 1 𝑑𝑢 9 𝑑𝑢 1 𝑑𝑣 13 𝑑𝑣 = ∫ + ∫ 2− ∫ − ∫ 𝟐 2 𝑢 2 𝑢 2 𝑣 2 𝒗 305 Cálculo Integral 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝟗 𝟏 𝐥𝐧(𝒙 − 𝟑) − (𝒙 − 𝟑) −𝟏 − 𝒍𝒏(𝒙 + 𝟏) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟑 −𝟏 (𝒙 + 𝟏) + 𝑪 + 𝟐 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟗 𝟖𝟐. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟐 𝒅𝒙 𝒙 − 𝟓𝒙 + 𝟔 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 2 factores lineales distintos: 𝐴 𝐵 + (𝑥 − 3) (𝑥 − 2) 𝑥 2 − 5𝑥 + 9 = 𝐴 (𝑥 − 2) + 𝐵(𝑥 − 3) 𝑥 2 − 5𝑥 + 9 = Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A y B: 𝒙=𝟐 𝑥 2 − 5𝑥 + 9 = 𝐵(𝑥 − 3) (2) 2 − 5(2) + 9 = 𝐵(2 − 3) 4 − 10 + 9 = 𝐵(−1) 3 = −𝐵 𝑩 = −𝟑 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = 3∫ −3∫ (𝑥 − 3) (𝑥 − 2) 𝒙=𝟑 𝑥 2 − 5𝑥 + 9 = 𝐴(𝑥 − 2) (3) 2 − 5(3) + 9 = 𝐴(3 − 2) 9 − 15 + 9 = 𝐴(1) 𝟑=𝑨 Se realizan los siguientes cambios de variables: 𝒖 = 𝒙 − 𝟑; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 ∶ 𝒗 = 𝒙 − 𝟐; 𝒅𝒗 = 𝒅𝒙 𝑑𝑢 𝑑𝑣 −3∫ = 𝑢 𝑣 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟑𝐥𝐧(𝒙 − 𝟑 ) − 𝟑 𝐥𝐧(𝒙 − 𝟐) + 𝑪 =3∫ 𝟖𝟑. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟕 𝒅𝒙 (𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟏𝟎)𝟐 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 5 factores lineales: 𝑥 2 − 8𝑥 + 7 = 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 + + + 2 (𝑥 − 5) (𝑥 − 5) (𝑥 + 2) (𝑥 + 2) 2 306 Cálculo Integral 𝑥 2 − 8𝑥 + 7 = 𝐴 (𝑥 − 5)(𝑥 + 2) 2 + 𝐵(𝑥 + 2) 2 + 𝐶 (𝑥 + 2)(𝑥 − 5) 2 + 𝐷 (𝑥 − 5) 2 Se encuentran los valores de los coeficientes indetermina dos A, B, C y D: 𝒙=𝟓 𝑥 2 − 8𝑥 + 7 = 𝐵(49) (5) 2 − 8(5) + 7 = 𝐵(49) 25 − 40 + 7 = 𝐵(49) 𝒙 = −𝟐 𝑥 2 − 8𝑥 + 7 = 𝐷 (49) (−2) 2 − 8( −2) + 7 = 𝐷 (49) 4 + 16 + 7 = 𝐷 (49) 𝟐𝟕 −8 = 49 𝐵 = 𝑨; 𝟒𝟗 𝟖 𝑩=− 𝟒𝟗 𝑥 2 − 8𝑥 + 7 = ( 𝐴𝑥 − 5𝐴 )(𝑥 2 + 4𝑥 + 4) + 𝐵𝑥 2 + 4𝐵𝑥 + 4𝐵 + (𝐶𝑥 + 2𝐶 )(𝑥 2 − 10𝑥 + 25) + 𝐷𝑥 2 − 10𝐷𝑥 + 25𝐷 2 𝑥 − 8𝑥 + 7 = 𝐴𝑥 3 + 4𝐴𝑥 2 + 4𝐴𝑥 − 5𝐴𝑥 2 − 20𝐴𝑥 − 20𝐴 + 𝐵𝑥 2 + 4𝐵𝑥 + 4𝐵 + 𝐶𝑥 3 − 10𝐶𝑥 2 + 25𝐶𝑥 − 2𝐶𝑥 2 − 20𝐶𝑥 + 50𝐶 + 𝐷𝑥 2 − 10𝐷𝑥 + 25𝐷 (𝐴 + 𝐶)𝑥 3 ; (−𝐴 + 𝐵 − 12𝐶 + 𝐷)𝑋2 ; (−16𝐴 + 4𝐵 + 5𝐶 − 10𝐷) 𝑥; (−20𝐴 + 4B + 50C + 25D) 𝐴+𝐶 = 0 −𝐴 + 𝐵 − 12𝐶 + 𝐷 = 1 −16𝐴 + 4𝐵 + 5𝐶 − 10𝐷 = 8 −20𝐴 + 4𝐵 + 50𝐶 + 25𝐷 = 7 𝟐𝟕 𝟏𝟔𝟓 𝑪=− ;𝑫 = 𝟒𝟗 𝟒𝟗 27 𝑑𝑥 8 𝑑𝑥 27 𝑑𝑥 165 𝑑𝑥 ∫ ∫ = − ∫ − ∫ + 2 49 (𝑥 − 5) 49 (𝑥 − 5) 49 (𝑥 + 2) 49 (𝑥 + 2) 2 Se realizan los siguientes cambios de variables: 𝒖 = 𝒙 − 𝟓; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 ∶ 𝒗 = 𝒙 + 𝟐; 𝒅𝒗 = 𝒅𝒙 𝟐𝟕 𝟖 𝟏 ( ) 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝐥𝐧 |𝒙 − 𝟓| + 𝟒𝟗 𝟒𝟗 (𝒙 − 𝟓) 𝟐𝟕 𝟏𝟔𝟓 𝟏 ( )+𝑪 − 𝐥𝐧 |𝒙 + 𝟐| − 𝟒𝟗 𝟒𝟗 𝒙 + 𝟐 307 Cálculo Integral 𝟖𝟒. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒔 (𝒔 − 𝟏)(𝒔 + 𝟐)(𝒔 + 𝟑) Solución.Se descompone el denominador mediante 3 factores lineales distintos: 𝐴 𝐵 𝐶 + + (𝑠 − 1) (𝑠 + 2) (𝑠 + 3) 1 = 𝐴 (𝑠 + 2)(𝑠 + 3) + 𝐵(𝑠 − 1)(𝑠 + 3) + 𝐶(𝑠 − 1)(𝑠 + 2) 1= Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B y C: 𝒔 = −𝟐 1 = 𝐵(𝑠 − 1)(𝑠 + 3) 1 = 𝐵(−2 − 1)(−2 + 3) 1 = 𝐵(−3)(1) 1 = −3𝐵 𝑩=− 𝟏 𝒔=𝟏 1 = 𝐴(𝑠 + 2)(𝑠 + 3) 1 = 𝐴(1 + 2)(1 + 3) 1 = 𝐴(3)(4) 1 = 12𝐴 𝑨= 𝟑 𝟏 𝟏𝟐 𝒔 = −𝟑; 1 = 𝐶(𝑠 − 1)(𝑠 + 2); 1 = 𝐶(−3 − 1)(−3 + 2); 𝟏 1 = 𝐶 (−4)(−1); 1 = 4𝐶; 𝑪 = 𝟒 1 1 1 2 3 =∫ 𝑑𝑠 − ∫ 𝑑𝑠 + ∫ 4 𝑑𝑠 (𝑠 + 2) (𝑠 − 1) (𝑠 + 3) 1 𝑑𝑠 1 𝑑𝑠 1 𝑑𝑠 = ∫ − ∫ + ∫ ( ) ( ) ( 2 𝒔−𝟏 3 𝑠+2 4 𝑠 + 3) 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝟏 𝟏 𝒍𝒏 (𝒔 − 𝟏) − 𝑰𝒏 (𝒔 + 𝟐) + 𝑰𝒏(𝒔 + 𝟑) + 𝑪 𝟐 𝟑 𝟒 𝟖𝟓. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ (𝒙𝟐 𝟐𝒙 − 𝟑 𝒅𝒙 − 𝟑𝒙 + 𝟐)𝟐 Solución.Se aplica el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒙 𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟐; 𝒅𝒖 = 𝟐𝒙 − 𝟑𝒅𝒙 =∫ 𝒅𝒖 𝟏 = − +𝑪 𝒖𝟐 𝒖𝟏 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝒙𝟐 𝟏 +𝑪 − 𝟑𝒙 + 𝟐 308 Cálculo Integral 𝟐𝒙𝟐 + 𝟒𝟏𝒙 − 𝟗𝟏 𝟖𝟔. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 (𝒙 − 𝟏)(𝒙 + 𝟑)(𝒙 − 𝟒) Solución.Se descompone el denominador mediante 3 factores lineales distintos: 2𝑥 2 + 41𝑥 − 91 𝐴 𝐵 𝐶 = + + (𝑥 − 1)(𝑥 + 3)(𝑥 − 4) (𝑥 − 1) (𝑥 + 3) (𝑥 − 4) 2𝑥 2 + 41𝑥 − 91 = 𝐴 (𝑥 + 3)(𝑥 − 4) + 𝐵(𝑥 − 1)(𝑥 − 4) + 𝐶(𝑥 − 1)(𝑥 + 3) Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B y C: 𝒙 = −𝟑 2𝑥 2 + 41𝑥 − 91 = 𝐵(𝑥 − 1)(𝑥 − 4) 2(−3) 2 + 41(−3) − 91 = 𝐵(−3 − 1)(−3 − 4) 18 − 123 − 91 = 𝐵(−4)(−7) −196 = −28𝐵 −196 𝐵= ; 𝑩=𝟕 −28 𝒙=𝟏 2𝑥 2 + 41𝑥 − 91 = 𝐴 (𝑥 + 3)(𝑥 − 4) 2(1) 2 + 41(1) − 91 = 𝐴(1 + 3)(1 − 4) 2 + 41 − 91 = 𝐴(4)(−3) −48 = −12𝐴 𝐴= −48 −12 ;𝑨=𝟒 𝒙=𝟒 2𝑥 2 + 41𝑥 − 91 = 𝐶(𝑥 − 1)(𝑥 + 3) 2(4) 2 + 41(4) − 91 = 𝐶(4 − 1)(4 + 3) 32 + 164 − 91 = 𝐶(3)(7) 105 105 = 21𝐶; 𝐶 = ;𝑪 = 𝟓 21 4 7 5 =∫ +∫ +∫ (𝑥 − 1) (𝑥 + 3) (𝑥 − 4) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = 4∫ +7∫ +5∫ 𝑥−1 𝑥 +3 𝑥 −4 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟒 𝒍𝒏(𝐱 − 𝟏 ) + 𝟕 𝐥𝐧(𝐱 + 𝟑) + 𝟓 𝐥𝐧(𝐱 − 𝟒 ) + 𝐂 309 Cálculo Integral 𝒙𝟑 + 𝒙 + 𝟏 𝟖𝟕. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 𝒙(𝒙𝟐 + 𝟏) Solución.Se descompone el denominador mediante 2 factores; 1 factor lineal y 1 facto cuadrático: 𝐴 𝐵𝑥 + 𝐶 + 𝑥 (𝑥 2 + 1) 𝑥 3 + 𝑥 + 1 = 𝐴 (𝑥 2 + 1) + (𝐵𝑥 + 𝐶)(𝑥) 𝑥 3 + 𝑥 + 1 = 𝐴𝑥 2 + 𝐴 + 𝐵𝑥 2 + 𝐶𝑥 𝑥 3 + 𝑥 + 1 = 𝑥 2 (𝐴 + 𝐵) + 𝑥(𝐶 ) + 𝐴 𝑥3 + 𝑥 + 1 = Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B y C: 𝐴+𝐵 = 0 𝑪=𝟏 𝑨=𝟏 1 + 𝐵 = 0; 𝑩 = −𝟏 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 =∫ −∫ 2 +∫ 2 ( 𝑥 𝑥 +1 𝑥 + 1) Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒙 𝟐 + 𝟏; 𝒅𝒖 = 𝟐𝒙𝒅𝒙 1 𝑑𝑢 = ln(𝑥) − ∫ + 𝑡𝑎𝑛 −1 𝑥 2 𝑢 𝟏 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝐥𝐧(𝒙) − 𝐥𝐧(𝒙𝟐 + 𝟏) + 𝒕𝒂𝒏−𝟏 𝒙 + 𝑪 𝟐 𝟖𝟖. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟓𝒙𝟑 + 𝟐 𝒅𝒙 𝒙𝟑 − 𝟓𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 Solución.Se descompone la fracción mediante algebra de fracciones: 5𝑥 3 + 2 − 5𝑥 3 + 25𝑥 2 − 20𝑥 + 5𝑑𝑥 𝑥 3 − 5𝑥 2 + 4𝑥 25𝑥 2 − 20𝑥 + 2 25𝑥 2 − 20𝑥 + 2 ∫ = ∫ 5𝑑𝑥 + ∫ 3 𝑑𝑥 = 5𝑥 + 𝑥 − 5𝑥 2 + 4𝑥 𝑥(𝑥 2 − 5𝑥 + 4) =∫ Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 3 factores lineales: 25𝑥 2 − 20𝑥 + 2 𝐴 𝐵 𝐶 = + + 𝑥(𝑥 − 1)(𝑥 − 4) 𝑥 𝑥 − 1 𝑥 − 4 25𝑥 2 − 20𝑥 + 2 = 𝐴 (𝑥 − 1)(𝑥 − 4) + 𝐵𝑥(𝑥 − 4) + 𝐶𝑥(𝑥 − 1) = 5𝑥 + ∫ Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B y C: 𝒙=𝟎 25𝑥 2 − 20𝑥 + 2 = 𝐴 (𝑥 − 1)(𝑥 − 4) 310 Cálculo Integral 25(0) 2 − 20(0) + 2 = 𝐴(−1)(−4) 0 − 0 + 2 = 𝐴(4) 2 = 4𝐴 2 𝟏 𝐴 = ; 𝑨= 4 𝟐 𝒙=𝟏 25𝑥 2 − 20𝑥 + 2 = 𝐵𝑥(𝑥 − 4) 25(1) 2 − 20(1) + 2 = 𝐵(1 − 4) 25 − 20 + 2 = 𝐵(−3) 7 = −3 𝐵 −7 𝟕 𝐵= ; 𝑩=− 3 𝟑 𝒙=𝟒 25𝑥 2 − 20𝑥 + 2 = 𝐶𝑥(𝑥 − 1) 25(4) 2 − 20(4) + 2 = 4𝐶(4 − 1) 400 − 80 + 2 = 4𝐶(3) 322 = 12 𝐶 322 𝟏𝟔𝟏 𝐶= ; 𝑪= 12 𝟔 𝟏 𝟕 𝟏𝟔𝟏 𝑨 = ;𝑩 = − ;𝑪 = 𝟐 𝟑 𝟔 1 𝑑𝑥 7 𝑑𝑥 161 𝑑𝑥 ∫ = 5𝑥 + ∫ − ∫ + 2 𝑥 3 𝑥−1 6 𝑥 −4 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟓𝒙 + 𝟏 𝟕 𝟏𝟔𝟏 𝐥𝐧|𝒙| − 𝐥𝐧|𝒙 − 𝟏| + 𝐥𝐧|𝒙 − 𝟒| + 𝑪 𝟐 𝟑 𝟔 𝟖𝟗. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙𝟒 𝒅𝒙 𝒙𝟒 − 𝟏 Solución.Se descompone la fracción mediante algebra de fracciones: 𝑥4 − 𝑥4 + 1 ∫( ) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 𝑥4 − 1 Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 3 factores; 2 factores lineales y 1 factor cuadrático: = ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 𝑥4 − 1 =𝑥+∫ 𝑑𝑥 (𝑥 − 1)(𝑥 + 1)(𝑥 2 + 1) 311 Cálculo Integral 𝐴 𝐵 𝐶𝑥 + 𝐷 + + 2 (𝑥 − 1) (𝑥 + 1) 𝑥 + 1 1 = 𝐴 (𝑥 + 1)(𝑥 2 + 1) + 𝐵(𝑥 − 1)(𝑥 2 + 1) + (𝐶𝑥 + 𝐷)(𝑥 2 − 1) = 𝑥 +∫ Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B, C y D: 𝒙=𝟏 1 = 𝐴 (𝑥 + 1)(𝑥 2 + 1) 1 = 𝐴(2)(2) 1 = 𝐴(4) 𝟏 1 = 4𝐴; 𝑨 = 𝟒 𝒙 = −𝟏 1 = 𝐵(𝑥 − 1)(𝑥 2 + 1) 1 = 𝐵(−2)(2) 1 = 𝐵(−4) 𝟏 1 = −4𝐵; 𝑩 = − 𝟒 1 = 𝐴 (𝑥 + 1)(𝑥 2 + 1) + 𝐵(𝑥 − 1)(𝑥 2 + 1) + (𝐶𝑥 + 𝐷)(𝑥 2 − 1) 1 = 𝐴𝑥 3 + 𝐴𝑥 + 𝐴𝑥 2 + 𝐴 + 𝐵𝑥 3 + 𝐵𝑥 − 𝐵𝑥 2 − 𝐵 + 𝐶𝑥 3 − 𝐶𝑥 + 𝐷𝑥 2 − 𝐷 1 1 𝟏 𝐴 − 𝐵 − 𝐷 = 1; + − 𝐷 = 1; 𝑫 = − 4 4 𝟐 1 1 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 0; − + 𝐶 = 0; 𝑪 = 𝟎 4 4 𝟏 𝟏 𝟏 𝑨 = ; 𝑩 = − ; 𝑪 = 𝟎; 𝑫 = − 𝟒 𝟒 𝟐 1 𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 =𝑥+ ∫ − ∫ − ∫ 2 4 𝑥−1 4 𝑥+1 2 𝑥 +1 1 1 1 = 𝑥 + ln|𝑥 − 1| − ln|𝑥 + 1| − tan−1 𝑥 + 𝐶 4 4 2 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒙 + 𝟏 𝒙−𝟏 𝟏 𝐥𝐧 | | − 𝐭𝐚𝐧−𝟏 𝒙 + 𝑪 𝟒 𝒙+𝟏 𝟐 𝟗𝟎. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒚 𝒚(𝒚 + 𝟏)𝟐 Solución.Se descompone el denominador mediante 2 factores; 1 factor lineal y 1 factor cuadrático: 312 Cálculo Integral 𝐴 𝐵𝑦 + 𝐶 + 𝑦 (𝑦 + 1) 2 1 = 𝐴(𝑦 + 1) 2 + (𝐵𝑦 + 𝐶)(𝑦) 1 = 𝐴 (𝑦 2 + 2𝑦 + 1) + (𝐵𝑦 + 𝐶 )𝑦 1 = 𝐴𝑦 2 + 2𝐴𝑦 + 𝐴 + 𝐵𝑦 2 + 𝐶𝑦 1 = 𝑦 2 (𝐴 + 𝐵) + 𝑦(2𝐴 + 𝐶 ) + 𝐴 1= Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B y C: 𝐴+𝐵 = 0 1+ 𝐵 = 0 𝑩 = −𝟏 2𝐴 + 𝐶 = 0 2(1) + 𝐶 = 0 2+𝐶 = 0 𝑪 = −𝟐 𝑑𝑦 𝑦 𝑑𝑦 =∫ −∫ −2∫ 2 𝑦 (𝑦 + 1) (𝑦 + 1) 2 𝑨=𝟏 Se realizan los siguientes cambios de variables: 𝒖 = 𝒚 + 𝟏; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒚; 𝒚 = 𝒖 − 𝟏; 𝒗 = 𝒚 + 𝟏; 𝒅𝒗 = 𝒅𝒚 𝑢−1 𝑑𝑣 𝑑𝑢 − 2 ∫ 2 2 𝑢 𝑣 𝑑𝑢 𝑑𝑢 = ln(𝑦) − ∫ + ∫ 2 − 2 ∫ 𝑣 −2 𝑑𝑣 𝑢 𝑢 = ln(𝑦) − ∫ = ln(𝑦) − ln(𝑦 + 1) + ∫ 𝑢−2 𝑑𝑢 + 2(𝑦 + 1) −1 = ln(𝑦) − ln(𝑦 + 1) − (𝑦 + 1) −1 + 2(𝑦 + 1) −1 + 𝐶 = ln(𝑦) − ln(𝑦 + 1) + (𝑦 + 1) −1 + 𝐶 𝒚 𝟏 )+ +𝑪 𝒚+𝟏 𝒚+𝟏 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝐥𝐧 ( 𝒙𝟑 − 𝟏 𝟗𝟏. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟑 𝒅𝒙 𝟒𝒙 − 𝒙 Solución.Se descompone la fracción mediante algebra de fracciones: 𝑥 𝑥3 − 1 − 𝑥3 + 4 1 ∫ + ∫ 𝑑𝑥 𝑥 4 𝑥3 − 4 𝑥 𝑥 −1 −1 1 𝑥 4 = ∫ 𝑑𝑥 + ∫ 𝑑𝑥 = + ∫ 4 𝑥 1 4 4 𝑥3 − 𝑥 (𝑥 2 − ) 4 4 313 Cálculo Integral Se descompone el denominador mediante 3 factores lineales: 𝑥 𝐴 𝐵 𝐶 = ∫ −1 = + + 1 4 𝑥 (𝑥 − ) (𝑥 + 1) 2 2 𝑥 1 1 1 − 1 = 𝐴 (𝑥 2 − ) + 𝐵𝑥 (𝑥 + ) + 𝐶𝑥(𝑥 − ) 4 4 2 2 Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B y C: 𝒙=𝟎 1 −1 = 𝐴 (𝑥 2 − ) 4 1 −1 = 𝐴 (− ) 4 𝑨=𝟒 𝟏 𝒙= 𝟐 7 1 − = 𝐵𝑥 (𝑥 + ) 8 2 7 1 1 1 − =𝐵 ( + ) 8 2 2 2 𝟕 𝑩=− 𝟒 𝟏 𝒙=− 𝟐 9 1 1 1 − = 𝐶 ( − ) (− − ) 8 2 2 2 9 1 − = 𝐶 ( − ) (−1) 8 2 𝟗 𝑪=− 𝟒 𝑥 𝑑𝑥 7 𝑑𝑥 9 𝑑𝑥 ∫ = + 4∫ − ∫ − 4 𝑥 4 (𝑥 − 1) 4 (𝑥 + 1) 2 2 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝒙 𝟕 𝟏 𝟗 𝟏 + 𝟒 𝐥𝐧 𝒙 − 𝐥𝐧 (𝒙 − ) − 𝐥𝐧 (𝒙 + ) + 𝑪 𝟒 𝟒 𝟐 𝟒 𝟐 314 Cálculo Integral 𝟗𝟐. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒎 𝒎𝟑 + 𝟏 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 2 factores; 1 factor lineal y 1 cuadrático: ∫ 𝐴 𝐵𝑚 + 𝐶 + (𝑚 + 1) (𝑚2 − 𝑚 + 1) 1 = 𝐴 (𝑚 2 − 𝑚 + 1) + (𝐵𝑚 + 𝐶 )(𝑚 + 1) Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B y C: 𝒎 = −𝟏 1 = 𝐴 (1 + 1 + 1) 1=3𝐴 𝟏 𝑨= 𝟑 1 = 𝐴𝑚 2 − 𝐴𝑚 + 𝐴 + 𝐵𝑚2 + 𝐵𝑚 + 𝐶𝑚 + 𝐶 𝑚 2 (𝐴 + 𝐵) = 0 𝑚 (−𝐴 + 𝐵 + 𝐶 ) = 0 𝐴+𝐵 = 0 𝟏 𝑩=− 𝟑 𝑪= (𝐴 + 𝐶 ) = 1 𝟐 𝟑 𝑚 2 − + 1 𝑑𝑚 = ∫ +∫ 2 3 3 3 𝑚+1 𝑚 − 𝑚+ 1 𝑚 2 − 1 = ln(𝑚 + 1) + ∫ 2 3 +∫ 2 3 3 𝑚 − 𝑚+ 1 𝑚 −𝑚+1 1 1 𝑚 2 𝑑𝑚 = ln(𝑚 + 1) − ∫ 2 𝑑𝑚 + ∫ 2 3 3 𝑚 −𝑚+1 3 𝑚 −𝑚+1 1 1 𝑚 2 𝑑𝑚 = ln(𝑚 + 1) − ∫ + ∫ 1 3 3 3 (𝑚 − ) 2 + 3 (𝑚 − 1) 2 + 3 2 4 2 4 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝟏 𝟏 𝒖 = 𝒎 − ; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒎; 𝒖 + = 𝒎 𝟐 𝟐 1 1 1 𝑢 +2 2 𝑑𝑢 = ln(𝑚 + 1) − ∫ 𝑑𝑢 + ∫ 3 3 3 𝑢2 + 3 𝑢2 + 3 4 4 315 Cálculo Integral 1 1 𝑢 𝑑𝑢 1 𝑑𝑢 ) = ln(𝑚 + 1) − (∫ + ∫ 3 3 3 2 𝑢2 + 3 𝑢2 + 4 4 1 2 (𝑚 − ) 4 2 ) + tan−1 ( 3√3 3 √ 1 2 (𝑚 − ) 1 1 1 1 2 ) −1 = ln(𝑚 + 1) + − tan ( 3 6 (𝑚 − 1) 3√3 √3 2 1 2 (𝑚 − ) 4 2 )+𝐶 −1 + tan ( 3√3 √3 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟏 𝐥𝐧(𝒎 + 𝟏) 𝟑 𝟏 𝟐 (𝒎 − 𝟐) 𝟏 𝟏 𝟏 −𝟏 ( )+𝑪 + − 𝐭𝐚𝐧 𝟔 (𝒎 − 𝟏) √ 𝟑 √𝟑 𝟐 𝟗𝟑. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒙 (𝒙 + 𝟏)(𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏)𝟐 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 3 factores; 1 factor lineal y 2 factores cuadráticos: 𝑨 𝑩𝒙 + 𝑪 𝑫𝒙 + 𝑬 + 𝟐 + 𝟐 𝒙 + 𝟏 (𝒙 + 𝒙 + 𝟏) (𝒙 + 𝒙 + 𝟏) 𝟐 1 = 𝐴 (𝑥 2 + 𝑥 + 1) 2 + (𝐵𝑥 + 𝐶 )(𝑥 + 1)(𝑥 2 + 𝑥 + 1) + (𝐷𝑥 + 𝐸 )(𝑥 + 1) 𝟏= Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B, C, D y E: 𝒙 = −𝟏 1 = 𝐴 (1 − 1 + 1) 𝟏= 𝑨 1 = 𝐴 (𝑥 4 + 2𝑥 3 + 3𝑥 2 + 2𝑥 + 1) + 𝐵𝑥 4 + 2𝐵𝑥 3 + 2𝐵𝑥 2 + 𝐵𝑥 + +𝐶𝑥 3 + 2𝐶𝑥 2 + 2𝐶𝑥 + 𝐶 + 𝐷𝑥 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑥 + 𝐸 1 = 𝐴𝑥 4 + 2𝐴𝑎𝑥 3 + 3𝐴𝑥 2 + 2𝐴𝑥 + 𝐴 + 𝐵𝑥 4 + 2𝐵𝑥 3 + 2𝐵𝑥 2 + 𝐵𝑥 + 𝐶𝑥 3 + 2𝐶𝑥 2 + 2𝐶𝑥 + 𝐶 + 𝐷𝑥 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑥 + 𝐸 𝑥 4 (𝐴 + 𝐵) = 0; 𝐵 = −𝐴; 𝑩 = −𝟏 316 Cálculo Integral 𝑥 3 (2𝐴 + 2𝐵 + 𝐶 ) = 0; 2 − 2 + 𝐶 = 0; 𝑪 = 𝟎 𝑥 2 (3𝐴 + 2𝐵 + 2𝐶 + 𝐷) = 0; 3 − 2 + 0 + 𝐷 = 0; 𝑫 = −𝟏 𝑥(2𝐴 + 𝐵 + 2𝐶 + 𝐷 + 𝐸 ) = 0 𝐴 + 𝐶 + 𝐸 = 1; 1 + 0 + 𝐸 = 1; 𝑬 = 𝟎 𝑨 = 𝟏; 𝑩 = −𝟏; 𝑪 = 𝟎; 𝑫 = −𝟏; 𝑬 = 𝟎 𝑑𝑥 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 =∫ −∫ 2 −∫ 2 (𝑥 + 𝑥 + 1) 2 𝑥 +1 𝑥 +𝑥+1 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒙 𝟐 + 𝒙 + 𝟏; 𝒅𝒖 = 𝟐𝒙 + 𝟏 1 = ln|𝑥 + 1| − ln |𝑢| − ∫ 2 𝑑𝑥 1 𝑑𝑥 + ln|𝑢| − ∫ 2 1 3 1 3 2 (𝑥 + ) 2 + (𝑥 + ) + 2 4 2 4 1 𝑑𝑢 1 | 2 | = ln|𝑥 + 1| − ln |𝑥 2 + 𝑥 + 1| − ∫ 3 + 2 ln 𝑥 + 𝑥 + 1 2 𝑢2 + 4 𝑑𝑢 −∫ 3 𝑢2 + 4 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝟏 𝒖 = 𝒙 + ; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 𝟐 = ln|𝑥 + 1| + 5 3√3 𝑇𝑎𝑛−1 2𝑢 √3 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝐥𝐧|𝒙 + 𝟏| + +𝑪 𝟗𝟒. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ + 𝑥 +2 +𝐶 3(𝑥 2 + 𝑥 + 1) 𝟓 𝟐𝒙 + 𝟏 𝒙+ 𝟐 𝑻𝒂𝒏−𝟏 + 𝟐 𝟑(𝒙 + 𝒙 + 𝟏) 𝟑 √𝟑 √𝟑 𝟗𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟔 𝒅𝒙 (𝟐𝒙 + 𝟑)(𝒙𝟐 + 𝟒) Solución.Se descompone el denominador mediante 2 factores; 1 factor lineal y 1 factor cuadrático: 𝐴 𝐵𝑥 + 𝐶 + 2 (2𝑥 + 3) (𝑥 + 4) 2 9𝑥 + 10𝑥 + 26 = 𝐴 (𝑥 2 + 4) + (𝐵𝑥 + 𝐶)(2𝑥 + 3) 9𝑥 2 + 10𝑥 + 26 = 𝐴𝑥 2 + 4𝐴 + 2𝐵𝑥 2 + 3𝐵𝑥 + 2𝐶𝑥 + 3𝐶 9𝑥 2 + 10𝑥 + 26 = 𝑥 2 (𝐴 + 2𝐵) + 𝑥(3𝐵 + 2𝐶 ) + 4𝐴 + 3𝐶 9𝑥 2 + 10𝑥 + 26 = Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B y C: 317 Cálculo Integral 𝑨 + 𝟐𝑩 = 𝟗 𝐴 = 9 − 2𝐵 𝐴 = 9 − 2(2) (8)𝟑𝑩 + 𝟐𝑪 = 𝟏𝟎 𝟒𝑨 + 𝟑𝑪 = 𝟐𝟔 ( 3) −8𝐵+3𝐶=−10 4(9 − 2𝐵) + 3𝐶 = 26 24𝐵+16𝐶= 80 −24𝐵+9𝐶=−30 25𝐶= 50 50 𝐴 = 9−4 𝐶= 𝑨=𝟓 𝑪=𝟐 25 36 − 8𝐵 + 3𝐶 = 26 -8B+3C=26-36 −𝟖𝑩 + 𝟑𝑪 = −𝟏𝟎 −8𝐵 + 3(2) = −10; −8𝐵 + 6 = −10; −8𝐵 = −10 − 6; 𝐵 = 𝑩=𝟐 −16 −8 5 2𝑥 + 2 𝑑𝑥 2(𝑥 + 1) 𝑑𝑥 + ∫ 2 𝑑𝑥 = 5 ∫ +∫ 2 𝑑𝑥 2𝑥 + 3 𝑥 +4 2𝑥 + 3 𝑥 +4 𝑑𝑥 𝑥. 𝑑𝑥 𝑑𝑥 = 5∫ +2∫ 2 + 2∫ 2 2𝑥 + 3 𝑥 +4 𝑥 +4 =∫ Se realizan los siguientes cambios de variables: 𝒖 = 𝟐𝒙 + 𝟑 𝒅𝒖 = 𝟐𝒅𝒙; 𝒗 = 𝒙 𝟐 + 𝟒; 𝒅𝒗 = 𝟐𝒙𝒅𝒙 5 𝑑𝑢 2 𝑑𝑣 𝑑𝑥 = ∫ + ∫ + 2∫ 2 2 𝑢 2 𝑣 𝑥 +4 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟓 𝒙 𝒍𝒏 (𝟐𝒙 + 𝟑) + 𝒍𝒏(𝒙𝟐 + 𝟒) + 𝐭𝐚𝐧−𝟏 + 𝑪 𝟐 𝟐 𝟓𝒙𝟒 + 𝒙𝟑 + 𝟗𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟗 𝟗𝟓. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ (𝒙𝟐 + 𝟐)𝟐 (𝒙 − 𝟏) Solución.Se descompone el denominador mediante 3 factores; 2 factores cuadráticos y 1 factor lineal: 𝐴𝑥 + 𝐵 𝐶𝑥 + 𝐷 𝐸 + 2 + 2 2 (𝑥 + 2) (𝑥 + 2) (𝑥 − 1) =(𝐴𝑥 + 𝐵)(𝑥 2 + 2)(𝑥 − 1) + (𝐶𝑥 + 𝐷)(𝑥 − 1) + 𝐸(𝑥 2 + 2) 2 5𝑥 4 + 𝑥 3 + 9𝑥 2 + 3𝑥 − 9 = Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B, C, D y E: 𝒙=𝟏 5 + 1 + 9 + 3 − 9 = 𝐸(1 + 2) 2 9 = 9 𝐴;𝑬 = 𝟏 = (𝐴𝑥 2 − 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 − 𝐵)(𝑥 2 + 2) + 𝐶𝑥 2 − 𝐶𝑥 + 𝐷𝑥 − 𝐷 + 𝐸(𝑥 4 + 4𝑥 2 + 4) = 𝐴𝑥 4 + 2𝐴𝑥 2 − 𝐴𝑥 3 − 2𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 3 + 2𝐵𝑥 − 𝐵𝑥 2 − 2𝐵 + 𝐶𝑥 2 − 𝐶𝑥 + 𝐷𝑥 − 𝐷 + 𝐸𝑥 4 + 4𝐸𝑥 2 + 4𝐸 318 Cálculo Integral 𝑥 4 (𝐴 + 𝐸 ) = 5; 𝐴 + 1 = 5; 𝑨 = 𝟒 𝑥 3 (−𝐴 + 𝐵) = 1; −4 + 𝐵 = 1; 𝑩 = 𝟓 𝑥 2 (2𝐴 − 𝐵 + 𝐶 + 4𝐸 ) = 9; 8 − 5 + 𝐶 + 4 = 9; 𝑪 = 𝟐 𝑥(−2𝐴 + 2𝐵 − 𝐶 + 𝐷) = 3 −2𝐵 − 𝐷 + 4𝐸 = −9; −10 − 𝐷 + 4 = −9; 𝑫 = 𝟑 4𝑥 + 5 2𝑥 + 3 𝑑𝑥 =∫ 2 𝑑𝑥 + ∫ 2 𝑑𝑥 + ∫ 2 𝑥 +2 (𝑥 + 2) (𝑥 − 1) Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒙 𝟐 + 𝟐; 𝒅𝒖 = 𝟐𝒙𝒅𝒙 4𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 5 ∫ 2 +2 𝑥 +2 2𝑥 𝑑𝑥 +∫ 2 𝑑𝑥 + 3 ∫ 2 + ln (𝑥 − 1) 2 (𝑥 + 2) (𝑥 + 2) 2 𝑑𝑢 5 𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 = 2∫ + tan−1 +∫ 2 +3∫ + ln(𝑥 − 1) 𝑢 √2 𝑢 √2 (√(𝑥 2 + 2) 2 ∫ 𝑥2 = 2 ln(𝑢) + 5 √2 tan −1 1 √2 sec 2 (𝑡) + (− ) + ln(𝑥 − 1) + 3 ∫ 𝑑𝑡 𝑢 (√2sec(𝑡)) 4 √2 𝑥 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝟐 𝐥𝐧(𝒙𝟐 + 𝟐) 𝟓 𝒙 𝟏 𝐭𝐚𝐧−𝟏 ± 𝟐 √𝟐 √𝟐 𝒙 + 𝟐 𝟑√ 𝟐 ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟐 𝒕 𝒅𝒕 + 𝐥𝐧(𝒙 − 𝟏) + 𝟒 + 𝟗𝟔. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒙𝟓 + 𝟑𝒙𝟒 + 𝟐𝒙𝟑 + 𝟖𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝟒 𝒅𝒙 (𝒙 + 𝟐)𝟐 Solución.Se descompone el denominador mediante 2 factores lineales repetidos: 𝐴 𝐵 + 𝑥 + 2 (𝑥 + 2) 2 𝑥 5 + 3𝑥 4 + 2𝑥 3 + 8𝑥 2 + 7𝑥 + 4 = 𝐴 (𝑥 + 2) + 𝐵 𝑥 5 + 3𝑥 4 + 2𝑥 3 + 8𝑥 2 + 7𝑥 + 4 = Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A y B: 𝒙 = −𝟐 −32 + 48 − 16 + 32 − 14 + 4 = 𝐵 𝑩 = 𝟐𝟐 𝑥 5 + 3𝑥 4 + 2𝑥 3 + 8𝑥 2 + 7𝑥 + 4 = 𝐴𝑥 + 2𝐴 + 𝐵 2𝐴 + 𝐵 = 4; 2𝐴 = −22 + 4; 2𝐴 = −18; 𝑨 = −𝟗 319 Cálculo Integral = −9 ∫ 𝑑𝑥 𝑑𝑥 + 22 ∫ ( 𝑥+2 𝑥 + 2) 2 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒙 + 𝟐; 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙 = −9 ∫ 𝑑𝑢 𝑑𝑢 1 + 22 ∫ = −9 ln 𝑢 − 22 + 𝐶 2 (𝑢) 𝑢 𝑢 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝟗 (𝒙 + 𝟐 ) − 𝟐𝟐 𝟏 +𝑪 (𝒙 + 𝟐) 𝒙𝟑 + 𝟏 𝟗𝟕. −𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝟐 𝒅𝒙 (𝒙 − 𝟒𝒙 + 𝟓)𝟐 Solución.Se descompone el denominador mediante 2 factores cuadráticos repetidos: 𝐴𝑥 + 𝐵 𝐶𝑥 + 𝐷 + 𝑥 2 − 4𝑥 + 5 (𝑥 2 − 4𝑥 + 5) 2 𝑥 3 + 1 = (𝐴𝑥 + 𝐵)(𝑥 2 − 4𝑥 + 5) + 𝐶𝑥 + 𝐷 𝑥 3 + 1 = 𝐴𝑥 3 − 4𝐴𝑥 2 + 5𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 2 − 4𝐵𝑥 + 5𝐵 + 𝐶𝑥 + 𝐷 𝑥3 + 1 = Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B, C y D: 𝑨 = 𝟏; 𝑥 2 (−4𝐴 + 𝐵) = 0; −4 + 𝐵 = 0; 𝑩 = 𝟒; 𝑥(5𝐴 − 4𝐵 + 𝐶 ) = 0; 5 − 16 + 𝐶 = 0; 𝑪 = 𝟏𝟏; 5𝐵 + 𝐷 = 1; 20 + 𝐷 = 1; 𝑫 = −𝟏𝟗 𝑥+4 11𝑥 − 19 =∫ 2 +∫ 2 𝑥 − 4𝑥 + 5 (𝑥 − 4𝑥 + 5) 2 Se realiza el siguiente cambio de variable: 𝒖 = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟓; 𝒅𝒖 = 𝟐𝒙 − 𝟒; 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟒 + 𝟏; (𝒙 − 𝟐) 𝟐 + 𝟏 1 2𝑥 − 4 = ∫ 2 2 𝑥 − 4𝑥 + 5 𝑑𝑥 +6∫ (𝒙 − 𝟐) 𝟐 + 𝟏 11 2𝑥 + 4 𝑑𝑥 + ∫ 2 +3∫ 2 2 2 (𝑥 − 4𝑥 + 5) (𝑥 − 4𝑥 + 5) 2 1 𝑑𝑢 𝑑𝑢 11 𝑑𝑢 𝑆𝑒𝑐 2 𝑡 = ∫ + 6∫ 2 + ∫ 2 + 3∫ 𝑑𝑡 2 𝑢 𝑢 +1 2 𝑢 𝑆𝑒𝑐 4 𝑡 1 11 1 = ln(𝑢) + 6 tan−1 (𝑢) − ( ) + 3 ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒕 𝒅𝒕 2 2 𝑢 320 Cálculo Integral 𝟏 𝐥𝐧(𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟓) 𝟐 𝟏𝟏 𝟏 + 𝟔 𝐭𝐚𝐧−𝟏(𝒙 − 𝟐) − 𝟐 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟓 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂 : + 𝟑 ∫ 𝑪𝒐𝒔 𝟐𝒕 𝒅𝒕 𝟗𝟖. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒔 = −𝟏 𝒔𝟒 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 3 factores; 2 factores lineales y 1 factor cuadrático: ∫ 𝑑𝑠 𝑑𝑠 = ∫ 2 (𝑠 2 + 1) (𝑠 2 − 1) (𝑠 + 1) (𝑠 + 1)(𝑠 + 1) 𝐴 𝐵 𝐶𝑠 + 𝐷 + + 2 𝑠 +1 𝑠 −1 𝑠 +1 1 = 𝐴 (𝑠 − 1)(𝑠 2 + 1) + 𝐵(𝑠 + 1)(𝑠 2 + 1) + (𝐶𝑠 + 𝐷)( 𝑠 2 − 1) 1= Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A, B, C y D: 𝒔 = −𝟏 1 = 𝐴 (−2)(2); 1 = −4𝐴; 𝑨 = − 𝒔=𝟏 𝟏 𝟒 𝟏 𝟒 1 = (𝐴𝑠 − 𝐴 )(𝑠 2 + 1) + (𝐵𝑠 + 𝐵)(𝑠 2 + 1) + 𝐶 𝑠 3 − 𝐶𝑠 + 𝐷𝑠 2 − 𝐷 1 = 𝐴𝑠 3 + 𝐴𝑠 − 𝐴𝑠 2 − 𝐴 + 𝐵𝑠 3 + 𝐵𝑠 + 𝐵𝑠 2 + 𝐵 + 𝐶𝑠 3 − 𝐶𝑠 + 𝐷𝑠 2 −𝐷 1 1 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 0; − + + 𝐶 = 0; 𝑪 = 𝟎 4 4 1 1 𝟏 −𝐴 + 𝐵 − 𝐷 = 1; + − 𝐷 = 1; 𝑫 = − 4 4 𝟐 1 𝑑𝑠 1 𝑑𝑠 1 𝑑𝑠 =− ∫ + ∫ − ∫ 4 𝑠 + 1 4 𝑠 − 1 2 𝑠2 + 1 1 = 𝐵(2)(2); 1 = 4𝐵; 𝑩 = 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: − 𝟏 𝟏 𝟏 𝐥𝐧 (𝒔 + 𝟏) + 𝐥𝐧(𝒔 − 𝟏) − 𝒕𝒂𝒏−𝟏 𝒔 + 𝑪 𝟒 𝟒 𝟐 321 Cálculo Integral 𝟗𝟗. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒖 − 𝒂𝟐 𝒖𝟐 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 2 factores lineales: ∫ 𝑑𝑡 𝐴 𝐵 ; 1= + (𝑢 + 𝑎) (𝑢 − 𝑎) 𝑢+𝑎 𝑢−𝑎 1 = 𝐴 (𝑢 − 𝑎) + 𝐵(𝑢 + 𝑎) Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A y B: 𝒖=𝒂 1 = 𝐵 (2𝑎); 𝑩 = 𝒖 = −𝒂 𝟏 𝟐𝒂 1 = 𝐴 (−2𝑎); 𝑨 = − =− 𝟏 𝟐𝒂 1 𝑑𝑢 1 𝑑𝑢 ∫ + ∫ 2𝑎 𝑢 + 𝑎 2𝑎 𝑢 − 𝑎 1 1 ln(𝑢 + 𝑎) + ln (𝑢 − 𝑎) + 𝐶 = 2𝑎 2𝑎 𝟏 𝒖−𝒂 )+ 𝑪 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝐥𝐧 ( 𝟐𝒂 𝒖+𝒂 =− 𝟏𝟎𝟎. − 𝑹𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: ∫ 𝒅𝒖 𝒂𝟐 − 𝒖𝟐 Solución.Se aplica factorización y se descompone el denominador mediante 2 factores lineales: ∫ 𝑑𝑡 𝐴 𝐵 ;1= + (𝑎 + 𝑢) (𝑎 − 𝑢) 𝑎 +𝑢 𝑎 −𝑢 1 = 𝐴 (𝑎 − 𝑢) + 𝐵(𝑎 + 𝑢) Se encuentran los valores de los coeficientes indeterminados A y B: 𝒖=𝒂 1 = 𝐵 (2𝑎); 𝑩 = 𝒖 = −𝒂 1 = 𝐴 (2𝑎); 𝑨 = 𝟏 𝟐𝒂 𝟏 𝟐𝒂 322 Cálculo Integral = 1 𝑑𝑢 1 𝑑𝑢 1 𝑑𝑢 1 𝑑𝑢 ∫ ∫ ∫ ∫ + = − 2𝑎 𝑎 + 𝑢 2𝑎 𝑎 − 𝑢 2𝑎 𝑢 + 𝑎 2𝑎 𝑢 − 𝑎 1 1 ln (𝑢 + 𝑎) − ln(𝑢 − 𝑎) + 𝐶 = 2𝑎 2𝑎 𝟏 𝒖+𝒂 )+ 𝑪 𝑹𝒆𝒔𝒑𝒖𝒆𝒔𝒕𝒂: 𝐥𝐧 ( 𝟐𝒂 𝒖−𝒂 = 323 Cálculo Integral 6.2EJERCICIOS PROPUESTOS FRACCIONES PARCIALES DE Utilizando la técnica de integración de fracciones parciales, resuelva las siguientes integrales: 𝑑𝛽 1. − ∫ 3 𝛽 +1 𝜃 2. − ∫ 2 𝑑𝜃 𝜃 + 3𝜃 + 2 𝑑𝛾 3. − ∫ 2 𝛾 + √3𝛾 + 1 𝑑𝜌 4. − ∫ 2 𝜌 −1 5𝑚2 + 6𝑚 + 9 5. − ∫ 𝑑𝑚 ( 𝑚 − 3) 2 ( 𝑚 + 1) 2 Respuestas a los ejercicios propuestos 1 1 1 3 6 √3 1: ln |𝛽 + 1| − ln |𝛽2 − 𝛽 + 1| + 2𝛽 −1 𝑇𝑎𝑛−1 | √3 |+ 𝐶 2: 2 ln|𝜃 + 2| − ln|𝜃 + 1| + 𝐶 4 1 ln|√3𝛾 + 1 + 2| + ln|2√3𝛾 + 1 − 1| + 𝐶 5 5 1 𝜌−1 4: ln | |+𝐶 2 𝜌+1 3: 1 9 1 13 5: 𝑙𝑛(𝑚 − 3) − (𝑚 − 3) −1 − 𝑙𝑛(𝑚 + 1) + (𝑚 + 1) −1 + 𝐶 2 2 2 2 324 Cálculo Integral ABREVIATURAS Abreviatura Significado Sen Función trigonométrica seno Cos Función trigonométrica coseno Tan Función trigonométrica tangente Cot Función trigonométrica cotangente Sec Función trigonométrica secante Csc Función trigonométrica cosecante R Et al Números reales Significa y otros. Se utiliza para hacer las referencias bibliográficas, cuando el número de autores de algún documento sea mayor al estipulado por la norma. 325 Cálculo Integral APÉNDICE A IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS 1 + 𝑡𝑎𝑛 2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑠𝑒𝑛 2 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 = 1 1 + 𝑐𝑜𝑡 2 𝑥 = 𝑐𝑠𝑐 2 𝑥 tan 𝑥 = cos𝑥 cot 𝑥 = cot 𝑥 = sec 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 1 csc 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos𝑥 1 tan 𝑥 1 sen 𝑥 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑦 + cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 − 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑦 − cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 + 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 cos 𝑦 − sen 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 − 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 cos 𝑦 + sen 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 tan(𝑥 + 𝑦) = tan 𝑥+tan 𝑦 1−tan 𝑥 tan 𝑦 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑥 tan(𝑥 − 𝑦) = tan 2𝑥 = tan 𝑥−tan𝑦 1+tan 𝑥 tan𝑦 2 tan 𝑥 1−𝑡𝑎𝑛2 𝑥 cos 2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = 1 − 2 𝑠𝑒𝑛2 𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 1 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + 𝑦) + 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 − 𝑦) 2 cos 𝑥 cos 𝑦 = cos(𝑥 + 𝑦) + cos(𝑥 − 𝑦) 2 cos 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 + 𝑦) − 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 − 𝑦) 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 = cos(𝑥 − 𝑦) − cos(𝑥 + 𝑦) 326 Cálculo Integral APÉNDICE B DERIVADAS 𝐷𝑥 𝑥 𝑟 = 𝑟𝑥 𝑟−1 𝐷𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 = cos 𝑥 𝐷𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = − sen 𝑥 𝐷𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥 = sec 2 𝑥 𝐷𝑥 cot 𝑥 = −csc 2 𝑥 𝐷𝑥 sec 𝑥 = sec 𝑥 tan 𝑥 𝐷𝑥 𝑐𝑠𝑐 𝑥 = −csc 𝑥 cot𝑥 𝐷𝑥 𝑙𝑛 𝑥 = 𝐷𝑥 𝑙𝑜𝑔𝑎 𝑥 = 1 𝐷𝑥 𝑠𝑒𝑐 −1 𝑥 = 𝑥 𝐷𝑥 𝑒 𝑥 = 𝑒 𝑥 𝑥 ln 𝑎 𝐷𝑥 𝑎 𝑥 = 𝑎 𝑥 ln 𝑎 𝐷𝑥 𝑐𝑜𝑠 −1 𝑥 = 1 −1 √1−𝑥 2 1 𝐷𝑥 𝑠𝑒𝑛−1 𝑥 = √1−𝑥 2 𝐷𝑥 𝑡𝑎𝑛−1 𝑥 = 1+𝑥 2 1 1 |𝑥|√𝑥 2 − 1 327 Cálculo Integral APÉNDICE C INTEGRALES ESTÁNDAR ∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠 ∫ 𝑑𝑢 = ln 𝑢 + 𝐶 𝑢 ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑢 + 𝐶 ∫ 𝑎 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑎𝑢 +𝐶 ln 𝑎 ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = − cos 𝑢 + 𝐶 ∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑢 𝑑𝑢 = sen 𝑢 + 𝐶 ∫ 𝑠𝑒𝑐 2 𝑢 𝑑𝑢 = tan 𝑢 + 𝐶 ∫ 𝑐𝑠𝑐 2 𝑢 𝑑𝑢 = −cot 𝑢 + 𝐶 ∫ sec 𝑢 tan 𝑢 𝑑𝑢 = sec 𝑢 + 𝐶 ∫ csc 𝑢 cot 𝑢 𝑑𝑢 = − csc 𝑢 + 𝐶 ∫ tan 𝑢 𝑑𝑢 = − ln (cos u) +𝐶 ∫ cot 𝑢 𝑑𝑢 = ln (sen u) +𝐶 ∫ sec 𝑢 𝑑𝑢 = ln (sec u + tan 𝑢) +𝐶 ∫ csc 𝑢 𝑑𝑢 = − ln (csc u − cot𝑢) +𝐶 𝑢 −1 ( ) + 𝐶 𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑎 √𝑎 2 − 𝑢2 1 1 𝑢 ∫ 2 𝑑𝑢 = 𝑡𝑎𝑛−1 ( ) + 𝐶 2 𝑎 +𝑢 𝑎 𝑎 1 1 𝑢+𝑎 ∫ 2 )+ 𝐶 𝑑𝑢 = 𝑙𝑛 ( 𝑎 − 𝑢2 2𝑎 𝑢−𝑎 ∫ 1 328 Cálculo Integral REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Purcell E., Varberg D. y Rigdon S. (2007). Cálculo. Juárez, México: Pearson Demidovich B., Baranenkou G., Ejtmenko V., Kogan S., Lunts G., Porshneua E., Sichoua E., Frolou S., Shostak R. y Yanpolski A. (2001). 5000 Problemas de análisis matemático. Madrid, España: Paraninfo Leithold L. (1998). El Cálculo. México DF, México: Mapasa Casteleiro J., Paniagua R. (2002). Cálculo Integral. Madrid, España: Esic Guerrero G. (2014). Cálculo Integral. México D.F., México: Patria Marsden J. y Tromba A. (2004). Cálculo Vectorial. Massachusetts, Estados Unidos: Pearson Addison – Wesley Larson R. y Falvo D. (2012). Precálculo. México D.F., México: Cengage Learning Haeussler E. y Richard P. (1992). Matemáticas para administración y economía. México D.F., México: Pearson Sydsaeter K., Hammond P. y Carvajal A. (2012). Matemáticas para el análisis económico. Madrid España: Pearson Granville W. (2009).Cálculo Diferencial e Integral. México D.F., México: Limusa Piskunov N. (2009). Cálculo Diferencial e Integral. México D.F., México: Limusa 329 Cálculo Integral Adams R. (2009). Cálculo. Massachusetts, Estados Unidos: Addison – Wesley Stewart J. (1999). Cálculo Multivariable. México D.F., México: Paraninfo Espinoza E. (2016). Cálculo Integral. Barcelona, España: Reverte Rogawski j. (2016). Cálculo: una variable. Barcelona, España: Reverte Zill D., Warren S., Ibarra J. (2015). Matemáticas 3. Cálculo de varias variables. España: MacGrawHill 330 Cálculo Integral 331
