Unidad1 Mat1 CI 23

UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y
ESTADÍSTICA
UNIDAD UNO:
RELACIONES
CICLO 01/2023
CIUDAD UNIVERSITARIA
1
UNIDAD I:
RELACIONES
CONJUNTOS NUMÉRICOS:
Tabla de contenido
Tema 1.11: CONJUNTOS NUMÉRICOS ...........................................................................................................2
Tema 1.12: LA RECTA REAL: INTERVALOS ................................................................................................4
Tema 1.12.1 Operaciones con Intervalos .....................................................................................................9
Tema 1.13: DESIGUALDADES O INECUACIONES ................................................................................... 14
Tema 1.13.1: Desigualdades Lineales ......................................................................................................... 16
Tema 1.13.2: Desigualdades Cuadráticas .................................................................................................. 18
Tema 1.13.3: Desigualdades Racionales en una variable ................................................................... 21
Tema 1.14: APLICACIONES ECONÓMICAS DE LAS INECUACIONES .............................................. 24
Referencias............................................................................................................................................................ 26
Tema 1.11: CONJUNTOS NUMÉRICOS
En nuestra vida cotidiana, todos tenemos, aunque sea de manera intuitiva, una idea de los
que es conjunto; el cuál puede definirse como una agrupación o colección de objetos,
perfectamente definidos e identificados.
Estos conjuntos pueden ser expresados por comprensión o por extensión. Pues, estamos
hablando de conjuntos finitos.
Sin embargo, existe otro grupo de conjuntos que se fueron creando para expresar
cantidades y medidas, los cuales no son fácilmente de enumerar por extensión; y se
conocen con el nombre de conjuntos numéricos.
2
Estos conjuntos numéricos, provienen de lo que conocemos como “el árbol de los números”.
Los cuales se presentan a continuación:
En un principio obtuvo la noción de cantidad: poco, bastante, mucho, muchísimo. Con el
paso del tiempo, a cada cantidad le asignó una representación, y de esta forma creó el
conjunto de los números naturales: 1, 2, 3, 4, 5,...
Luego, se definió algunas operaciones como: la “Suma”, que tomaba dos cantidades y al
adicionarlas el resultado era otro número natural, por ejemplo: 3+2=5. Al definir la
operación “Resta”, se generó un problema, pues al realizar la sustracción de 5-2=3, pero al
plantearse 2-5=?, no había forma de representarlo, pues sólo existían los números
naturales. Una forma de resolver el problema fue crear un nuevo conjunto de números que
contenga los números naturales (N) y los números naturales con signo negativo, por
ejemplo: -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5,...; con este conjunto la operación 2-5=-3, sí tiene
representación.
Bastante tiempo después se pudo comprender el rol del cero, al plantearse por ejemplo la
operación 5  5  0 , y así, se formó lo que hoy se conoce como el conjunto de los números
enteros:
Z  ...,  5,  4,  3,  2,  1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,...
Z  Z   0 Z 
3
Dónde: Z- es el conjunto de los números enteros negativos, y Z+ es el conjunto de los
números enteros positivos.
Nótese que Z   N
Cuando se definió la operación “División”, se creó otra vez un problema; ya que 84  2 , pero
4
 ? , hasta entonces no había representación para ese resultado, es así, que se creó un
8
nuevo conjunto numérico; el conjunto de los números racionales:
a

Q   / a, b  Z  b  0 
b


Los números racionales tienen un número finito de cifras en notación de: intervalos,
conjuntos, en forma geométrica.
Tema 1.12: LA RECTA REAL: INTERVALOS
Definición: Si "a" y "b" , son números reales y además "a" es menor que "b" , entonces son
intervalos desde "a" hasta "b" . (Aguilera Liborio, 2003).
En diferentes notaciones se tiene lo siguiente:
Intervalo Cerrado: Un intervalo cerrado desde "a" hasta "b" , son todos los números reales
comprendidos entre "a" y "b" , ambos inclusive, y se denota por:
x  R / a  x  b
[ a, b]
Notación de conjuntos
Notación de intervalos
La representación gráfica de un intervalo cerrado es:
En la representación gráfica, en “a” y “b” tenemos puntos sólidos o cerrados para indicar
que pertenecen al intervalo, y en la notación de conjunto se considera la igualdad (  ).
Ejemplo 1:
Sea el intervalo A   2,5 , representarlo gráficamente y como conjunto.
4
Solución
Gráficamente:
Conjunto: A  x  R /  2  x  5
Ejemplo 2
Sea la gráfica B:
, expresarla en notación de intervalo y de conjunto.
Solución
Notación de intervalo: B   1,3
Notación de conjunto: B  x  R /  1  x  3
Ejemplo 3:
Sea el conjunto C  x  R /  3  x  1 , expresarlo en notación de intervalo y gráficamente.
Solución
Notación de intervalo:
C   3,1
Gráficamente:
1) Intervalo Abierto: Un intervalo abierto desde “a” hasta “b”, son todos los números
reales comprendidos entre “a” y “b”, sin tomar en cuenta a ambos.
Para representar un intervalo abierto podemos usar corchetes invertidos
( ) . Así, el intervalo abierto desde “a” hasta “b” se puede escribir como:

ó paréntesis
 a, b  ó bien (a, b)
, en el caso de los paréntesis tener cuidado que no se trata de un par ordenado. Se denota
por:
x  R / a  x  b
 a, b 
Notación de conjuntos
Notación de intervalos
5
La representación gráfica de un intervalo abierto es:
En la representación gráfica se escribe puntos “huecos” o abiertos en los extremos, para
indicar que no pertenecen al intervalo. También, en la notación de conjunto no se considera
la igualdad para indicar que “a” y “b” no pertenecen al intervalo.
Ejemplo 1:
Sea el intervalo abierto A  1,4  , representarlo en forma gráfica y en notación de conjunto.
Solución
Gráficamente:
0
1
2
3
4
5
Conjunto: A  x  R / 1  x  4
Ejemplo 2:
Sea la gráfica:
-3
-2 -1 0
1
2 3
Expresarla en notación de intervalo y de conjunto.
Solución
Notación de intervalo: B    3 , 2 
Notación de conjunto: B  x  R /  3  x  2
Ejemplo 3:
Sea el conjunto C  x  R /  2.5  x  3 , expresarlo en notación de intervalo y
gráficamente.
Solución
Notación de intervalo: C    2.5 , 3 
6
Gráficamente:
2) Intervalos Semicerrados
Se ha estudiado los intervalos cerrados y los intervalos abiertos, pero se puede tener una
combinación de éstos; es decir, un intervalo que sea cerrado por la izquierda y abierto por
la derecha: a, b , o bien, abierto por la izquierda y cerrado por la derecha:  a, b  , a este tipo
de intervalo le llamaremos intervalo semicerrado.
Ejemplo 1:
Sea el intervalo semicerrado A    1,2 , representarlo en forma gráfica y en notación de
conjunto.
Solución:
En forma gráfica:
Notación de conjunto: A  x  R /  1  x  2
Ejemplo 2:
Sea el conjunto B  x  R / 2  x  5 , representarlo gráficamente y en notación de
Intervalo.
Solución:
Representación Gráfica:
Notación de intervalo: B  2,5
CONCLUSIÓN

Los números a y b se llaman extremos del intervalo.

Si los extremos pertenecen al intervalo, entonces este es cerrado.

Cuando ambos extremos no pertenecen al intervalo, entonces es abierto.

Si solamente uno de los extremos pertenece, entonces es semicerrado.
7
Hay intervalos en los cuales algunos de los extremos no está definido. Estos se conocen
como intervalos al infinito.
Intervalo al Infinito.
Son intervalos al infinito los que poseen sólo un extremo, ya que crecen infinitamente o
bien decrecen de manera infinita.
Las notaciones con las que se designan, así como sus representaciones gráficas, son las
siguientes:
1) A   x  R / a  x  a ,   
A:
-∞
2) A   x  R / a  x 
A: -∞
3) A   x  R / x  b 
A:
-∞
4) A   x  R / x  b 
a
+∞
a,
 
a
+∞
-, b
b
+∞
-, b
8
A:
-∞
b
+∞
Ejemplo 1:
Sea el intervalo A  2,  , representarlo en forma gráfica y en notación de conjunto.
Solución:
En forma gráfica:
Notación de conjunto: A  x  R / 2  x
Ejemplo 2:
Sea el conjunto B  x  R / x  1 , representarlo gráficamente y en notación de Intervalo.
Solución:
Representación Gráfica
Notación de intervalo: B    , 1 
Tema 1.12.1 Operaciones con Intervalos
Las principales operaciones que pueden efectuarse entre los intervalos son tres: unión,
intersección y diferencia.
Unión de Intervalos
Supóngase que en la Escuela de Economía hay dos ordenanzas:
Don Elías, con horario de 6:00 a.m. a 2:00 p.m.; y
Don Rodolfo, con horario de 1:00 p.m. a 9:00 p.m.
Puede observarse que, al “unir” los dos horarios, la Escuela de Economía tiene ordenanza en
el horario de 6:00 a.m. a 9:00 p.m., claro, solamente en la franja de 1:00-2:00 p.m. hay 2
ordenanzas, en el resto sólo hay uno, pero cuántos hay no interesa, sino, lo que interesa es
que haya.
De manera similar se define la unión de intervalos.
Definición: Sean A y B dos intervalos de números reales, la cual se denota por A  B es el
intervalo formado por todos los números reales que pertenecen a A, así como también por
9
todos los números reales que pertenecen a B. La unión de A con B , se define como:
A  B  x  R / x  A ó x  B. (Aguilera Liborio, 2003)
Para que un elemento pertenezca a A  B , es suficiente que pertenezca a uno de los
intervalos, si pertenece a los dos mejor.
Ejemplo 1:
Sean los intervalos A    2,3 y B   0,5 , determinar A  B .
Solución
Primero representaremos los intervalos A y B en forma gráfica, a una misma escala.
A  B =   2,5
A  B = x  R /  2  x  5
Ejemplo 2:
Sean los intervalos A  2,5 y B   3,1 y C   0,3 determinar A  B  C .
Solución
Se representarán cada uno de los intervalos gráficamente:
10
Así: A  B  C =  3,5
o bien:
A  B  C = x  R /  3  x  5
Intersección de Intervalos
Retomando el horario de los ordenanzas de la Escuela de Economía, la intersección sería la
franja de horario donde hay dos ordenanzas, es decir, de 1:00 p.m. a 2:00 p.m.
Definición: Sean A y B dos intervalos de números reales, la intersección de A con B , la
cual se denota por A  B . Es el intervalo formado por los números reales que pertenecen a
A y B al mismo tiempo. Simbólicamente se define como:
A  B  x  R / x  A y x  B (Aguilera Liborio, 2003)
Para que un elemento pertenezca a A  B , debe pertenecer a los dos intervalos. Si
solamente pertenece a uno, entonces no pertenece a A  B .
Observación: Hay que tomar en cuenta que al haber operaciones combinadas de
intersecciones y uniones, el orden de prioridad obliga a efectuar primero las intersecciones
y por último las uniones, a menos que se indique otra cosa por medio de signos de
agrupación (paréntesis, corchetes, llaves, etc.)
Ejemplo 1:
Sean los intervalos A    3,1 y B    1,4 , determinar A  B .
Solución
Se representarán los intervalos en forma gráfica:
11
Así: A  B    1,1 o bien
A  B  x  R /  1  x  1
Ejemplo 2:
Sean los intervalos A ] 2,3] , B    4,2 y C    1,5 . Determinar A  B  C .
Solución
Se representarán cada uno de los intervalos en forma gráfica, a una misma escala:
Así: A  B  C   1,2 o bien
A  B  C  x  R /  1  x  2
Diferencia de intervalos
Definición: La diferencia de A con B que se denota por A-B, es el intervalo formado por
todos los números reales que pertenecen a A y que no pertenecen a B, simbólicamente se
representa por: A – B = { x  R / x  A  x  B }. (Aguilera Liborio, 2003)
Ejemplo 1:
Sean los intervalos A  2, 4 B  3, 5 , encontrar:
A-B
B-A
Solución:
Graficando los dos intervalos en una misma recta, se tiene:
12
A
-∞
0
1
2
3
4
5
6
+∞
B
Encontrando, A – B, nos interesan los números que están en A pero no en B, eso es:
A – B = [2, 3]
b) B – A
En el mismo gráfico, se puede encontrar el conjunto A – B, en este caso los elementos que se
toman son los del conjunto B que no están en A, es decir:
B - A = [4, 5]
Ejemplo 2:
Dados los intervalos: A  , 1 ; B  -1,   y M  0, 2
Encontrar:
B – (AUM)
Solución:
Como primer paso, se encontrará la operación que está en paréntesis, es decir: (A U M).
Graficando, se tiene:
A
-∞
0
1
2
+∞
M
Entonces, como sabemos la unión de intervalos se encuentra tomando todos los números
de los conjuntos A y de M, por lo tanto se tiene:
13
A - M = ]-∞, 2 ]
Luego, se gráfica el conjunto A – M, con el conjunto B en la misma recta, como se muestra a
continuación:
Entonces:
A-M
-∞
-1
0
1
2
+∞
B
B – (AUM) = ] 2, +∞[
Tema 1.13: DESIGUALDADES O INECUACIONES
Definición: En general, una desigualdad (también llamada inecuación) es una relación de
cualquiera de los siguientes tipos:
A<B
A>B
A  B
A B
Donde A y B son expresiones algebraicas llamadas lados o miembros de la desigualdad; A es
el lado izquierdo y B es el lado derecho. (Barrantes, 2009, pág. 144)
Estas expresiones pueden contener cualquier número de variables; sin embargo aquí se
limitara al estudio de inecuaciones en una variable.
Son desigualdades las siguientes:
a)
2 x  3  5x  1
b)
5 x 3  2 x 2  3x  2
14
c)
7 x  1 8x  2

x2
x3
En este caso se estudiarán las desigualdades: lineales, cuadráticas y racionales.
Resolver una desigualdad es determinar todos los valores que satisfacen la desigualdad, es
decir, que al sustituir éstos valores en la desigualdad se obtiene un resultado verdadero.
Para resolver una desigualdad, se utilizan las propiedades de orden de los números reales:
Según (Aguilera Liborio, 2003) para a, b, c  R , se cumplen las llamadas propiedades de
orden siguientes:
Propiedad 1:
Si a  b  a  c  b  c
Si a ambos lados de una desigualdad se le suma un mismo número c (positivo o negativo),
la desigualdad no cambia.
Ejemplo:
2  4 23 43
57
2  4  23  43
1  1
Propiedad 2:
Si a  b  c  0  a . c  b . c
Si ambos lados de una desigualdad se multiplican por el mismo número positivo c,
entonces la desigualdad no cambia.
2  4  23  43
6  12
15
Propiedad 3:
Si a  b  c  0  a . c  b . c
Si ambos lados de una desigualdad se multiplican por un mismo número negativo c,
entonces la desigualdad se invierte.
2  4  2 3  4 3
 6  12
Tema 1.13.1: Desigualdades Lineales
Definición: Se llaman desigualdades lineales de una variable aquellas en que solamente
aparece una incógnita cuyo exponente es uno. (Aguilera Liborio, 2003)
Son desigualdades lineales las siguientes:
5x  4  6 x  2
8 x  3x  2
3 4 x  5 x  3x  x  1
Para encontrar el conjunto de números que satisface a una de estas desigualdades se
utilizan las propiedades de orden.
Ejemplo 1:
Resolver 5x  2  3x  4 .
Solución:
Para resolver una desigualdad lineal, se pasan los términos que contienen la variable al
miembro izquierdo y los términos constantes al miembro derecho o viceversa.
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De esta manera se tiene que:
5 x  2  3x  4
Restando 3x obtenemos:
5x  3x  2  3x  3x  4
2x  2  4
Sumando 2
2x  2  2  4  2
2x  6
Multiplicando por
1
2
1
2 x   1 6
2
2
x3
Así el conjunto solución es:
C .S . ,3
Ejemplo 2:
Resolver 2 x  4  5x  1  3x  10 .
Solución:
Para resolver esta desigualdad de tres miembros, se separa en dos desigualdades:
Primera desigualdad: con el primer y segundo miembro:
2 x  4  5x  1
Segunda desigualdad: con el segundo y tercer miembro: 5x  1  3x  10
Se resuelve cada una de éstas y, la intersección de las dos soluciones, es la solución de la
desigualdad original.
Resolviendo primera desigualdad:
2 x  4  5x  1
Restando 5 x tenemos
2 x  5x  4  5x  5x  1
 3x  4  1
Sumando 4
 3x  4  4  1  4
 3x  5

Multiplicando por

1
3
1
 3x    1 5
3
3
17
x
5
3

Así: CS1   5
 3, 
Resolviendo segunda desigualdad:
5x  1  3x  10
Restando 3x tenemos:
5x  3x  1  3x  3x  10
2 x  1  10
Restando 1
2 x  1  1  10  1
2x  9
Multiplicando por
1
2
1
1
(2 x) < (9)
2
2
x
Así:
9
2
CS 2  -  , 92 
Por lo tanto, el conjunto solución es: CS 1  CS 2
[ 53 ,[  ]  , 92 [
C. S T = [
5
3
, 92 [

O bien, el conjunto solución es= x  R / 
5
3
x
9
2

Tema 1.13.2: Desigualdades Cuadráticas
Definición: Se llaman desigualdades cuadráticas de una variable a las desigualdades, en
que solamente aparece una incógnita y su mayor exponente es el número dos, la cual es
parte de un polinomio de n-ésimo grado.
Son desigualdades cuadráticas las siguientes:
18
2x 2  1  x  3
5 x 2  3x  x 2  4
5 4 x  3x 2  2 x 2  7
Estas se resuelven de manera diferente de cómo se resuelven las desigualdades lineales. En
el caso de las desigualdades cuadráticas se procede de la siguiente manera:
PASO 1:
Haciendo uso de las propiedades de orden, se trasladan a un sólo lado de la desigualdad
todos los términos, de tal manera que en el otro lado quede el número cero.
PASO 2:
Se factoriza el polinomio de n-ésimo grado, utilizando herramientas algebraicas
PASO 3:
Luego se encuentran las raíces. Estás raíces se encuentran igualando cada factor lineal que
se ha encontrado con los procesos algebraicos a cero y buscar el valor de x.
PASO 4:
Se analizan, por medio del cuadro de variación, los signos de cada factor y de esta manera el
signo del polinomio total.
Ejemplo 1:
Resolver x 2  4 x  8  5 x  12 .
Solución:
Paso 1:
Se pasan todos los términos a un solo miembro.
x 2  4 x  8  5x  12
Restando 5 x tenemos
x 2  4 x  5x  8  5x  5x  12
x 2  9 x  8  12
Sumando 12
x 2  9 x  8  12  12  12
x 2  9 x  20  0
19
Paso 2:
Se factoriza, si es posible. (En este caso se utiliza el sexto caso de factoreo)
x  5x  4  0
Paso 3:
Se igualan a cero los factores.
x 5  0 y x-4  0
x  5 y x  4 Estos valores son llamados raíces.
Paso 4:
Se construye el cuadro de variación de signo.
Factores


5
4
 x  5
-
-
+
x  4
-
+
+
x  5x  4 
+
-
+
Ya que x 2  9 x  20  0 (es mayor o igual que cero)
Así el conjunto solución es:   ,4  5,
O bien x  R / x  4 ó x  5
Ejemplo 2:
Resolver 2 x 2  7 x  10  x 2  2 x  4 .
Solución:
Paso 1:
Se pasan todos los términos a un solo miembro.
2 x 2  7 x  10  x 2  2 x  4 Restando x 2
2 x 2  x 2  7 x  10  x 2  x 2  2 x  4
x 2  7 x  10  2 x  4
Sumando 2 x
x 2  7 x  2 x  10  2 x  2 x  4
x 2  5x  10  4
Restando 4
20
x 2  5x  10  4  4  4
x 2  5x  6  0
Paso 2:
Se factoriza, si es posible. (Sexto caso de factoreo)
x  3x  2   0
Paso 3:
Se igualan a cero los factores.
x 3  0 y x-2  0
x3 y x2
Paso 4:
Se construye el cuadro de variación de signo.


3
2
x  3
-
-
+
x  2
-
+
+
x  3x  2
+
-
+
Ya que x 2  5x  6  0 (es menor que cero)
Así el conjunto solución es: 2,3
O bien x  R / 2  x  3
Tema 1.13.3: Desigualdades Racionales en una variable
Una expresión algebraica racional es aquella que, por medios de procesos algebraicos,
puede llegar a escribirse como el cociente de dos polinomios, es decir:
P( x)
, donde P(x) y Q(x) son polinomios en x.
Q( x)
Por lo tanto, una inecuación puede llegarse a escribir como el cociente de dos polinomios,
en cualquiera de las siguientes formas:
21
P( x)
 0 2)
Q( x)
1)
P( x)
 0
Q( x)
3)
P( x)
>0
Q( x)
4)
P( x)
<0
Q( x)
Los pasos para resolver las desigualdades polinomiales pueden, con ligeras modificaciones,
usarse para resolver desigualdades racionales.
Ejemplo de desigualdad racional son:
2x  3
 6 x  10
x 1
7x  3 x  1

4x  5 x  5
Ejemplo 1:
Resolver
x 1
 3x  1 .
2x  1
Solución:
Paso 1:
Se pasan todos los términos a un solo miembro.
x 1
 3x  1
2x  1
Restando 3x  1 tenemos:
x 1
 3x  1  3x  1  3x  1
2x  1
x 1
 3x  1  0
2x  1
Paso 2:
Se realizan las operaciones con fracciones
x  1  3x  12 x  1
0
2x  1

Efectuando el producto

x  1  6 x 2  3x  2 x  1
0
2x  1
Operando los signos
22
x  1  6 x 2  5x  1
0
2x  1
Operando términos semejantes
 6x 2  4x
0
2x  1
Factorizando
 2 x3x  2
0
2x  1
Luego, se determinan las raíces, igualando a cero cada uno de los factores:
 2 x  0 , 3x  2  0  2x  1  0
x
0
, 3x  -2  2x  -1
2
x  0, x  
Paso 3:
2
1
 x
3
2
Se construye el cuadro de variación de signo.



2
3
1
2
 2x
+
+
+
-
3x  2
-
+
+
+
 2 x3 x  2 
-
+
+
-
2x  1
-
-
+
+
 2 x3x  2
2x  1
+
-
+
-
Se escoge el signo +, ya que
 2 x3x  2
 0 (es mayor o igual a cero)
2x  1
Así el conjunto solución es: ]  , 23 ]  ]  12 ,0]


0
O bien x  R / x   23 ó -
1
2
 x  0
23
Nota: En

2
3 y 0 los intervalos son cerrados, dado que la desigualdad considera la
igualdad   , y en 
1
2
está abierto ya que en ese valor la expresión
definida, resulta una división por cero.
 2 x3x  2
no está
2x  1
Tema 1.14: APLICACIONES ECONÓMICAS DE LAS INECUACIONES
A continuación se resolverán algunos ejemplos ilustrativos en los que se aplican las
desigualdades en la resolución de problemas económicos. Muchas de las aplicaciones de las
desigualdades tienen que ver con optimización. Por ejemplo, cálculo de costos mínimos,
utilidades máximas, etc.
Aplicación 1:
Una pequeña empresa fabrica jabones; suponga que el alquiler del local es de $ 20,000 al
mes, el salario total de sus empleados es de $ 52,500 (sin horas extras) y el costo de la
materia prima y otros es de $ 6.5 por cada caja de tres jabones que produce. Suponga que
vende cada caja de jabones en $ 21.0 y que durante el mes vende todas las cajas de jabones
que produce. ¿Cuántas cajas debe producir y vender en un mes para obtener utilidades
superiores a un $ 100,000.0?
Solución:
Suponga que x es el número de cajas de jabones que produce y vende la empresa en un mes.
La ecuación de costo fijo es CF = $ 20,000 + $ 52,500 = $ 72,500.
El costo variable es CV = 6.5x. Luego el costo total es:
CT = 6.5x + 72,500
Mientras tanto, el ingreso será:
I = 21x
Por lo tanto, la utilidad será:
24
U = I – CT = 21x – (6.5x + 72,500) = 14.5x – 725,000
Se quiere que las utilidades superen los $ 100,000, por lo que se debe tener lo siguiente:
U > 100,000
14.5x – 72500 > 100,000
14.5x > 100,000 + 72,500
14.5x > 172,500
x>
172,500
14.5
x > 11,896.55
Se concluye que la empresa debe producir 11,897 cajas de jabones o más para obtener más
de $ 100,000 en utilidad.
Tomado de (Barrantes, 2009, pág. 165)
Aplicación 2:
Cierto Restaurante vende 100 almuerzos al día a $ 12.0 cada uno. Una pequeña encuesta de
opinión entre los clientes reveló que por cada $ 2.00 de aumento en el valor del almuerzo
perdería 5 clientes. ¿Cuál debe ser el precio del almuerzo para que el ingreso diario del
restaurante por este concepto sea mayor o igual que $ 1,330.
Solución:
Sea x el número de aumento de $ 2 que realiza el restaurante. Entonces el precio será el
original ($ 12) más $2 por el número de aumentos, es decir 12 + 2x; mientras tanto, el
número de almuerzos vendidos será 100 – 5x (se vende 5 menos por cada aumento).
Entonces el ingreso por la venta de los almuerzos será igual al número de almuerzos
vendidos por el precio de cada uno:
I = (12 + 2x)(100 – 5x)
Como se quiere que este aumento sea mayor o igual que $ 1,330.0, entonce3s se debe de
tener:
(12 + 2x)(100 – 5x)
 1,330
25
1200 -60x + 200x – 10x2  1,330
-10x2 + 140x -130
 0
Se divide por -10 para facilitar los cálculos (la inecuación se invierte porque se dividió por
un número negativo) y se tiene:
X2 – 14x + 13  0
Resolviendo sexto caso de factoreo, se tiene:
(x – 13) (x -1)  0
Las raíces son: x = 13 y x = 1, con estos valores construimos el cuadro de variación

1
13

 x  13
-
-
+
 x  1
-
+
+
x  13x  1
+
-
+
Ya que x2 – 14x +13  0 (es menor que cero)
Entonces la solución de la inecuación es [1, 13]. Esto significa que se puede hacer desde 1
aumento hasta 13 aumentos de $ 2.0 cada uno y los ingresos serán superiores a los $ 1,330.
(Barrantes, 2009, pág. 167)
Referencias
Aguilera Liborio, R. (2003). Matemática I. San Salvador: UCA editores, primera edición.
Barrantes, H. (2009). Matemática Básica para Administración. San José, Costa Rica: UNED.
26
UNIDAD II:
RELACIONES
RELACIONES:
Tabla de contenido
Tema 2.1: RELACIONES DE R EN R .............................................................................................................. 27
Tema 2.1.1: Producto Cartesiano ............................................................................................................. 28
Tema 2.1.2: Plano Cartesiano..................................................................................................................... 30
Tema 2.1.3: Concepto de Relación: Dominio y Rango ...................................................................... 31
Tema 2.1.4: Representación Gráfica de Relaciones de Variable Real. ........................................ 35
Referencias............................................................................................................................................................. 42
Tema 2.1: RELACIONES DE R EN R
En el mercado actual, una persona que compra y otra que vende tienen algo en común las
dos buscan una relación de intercambio agradable. Una quiere lo que la otra tiene. Sus
intereses son diferentes, pero ambas tienen que basar su relación en la confianza mutua si
quieren seguir manteniendo relaciones de intercambio en el futuro, el claro ejemplo son
las empresas con sus proveedores y viceversa.
Si analizamos nuestras actividades a lo largo del día comprobaremos que muchas de ellas
tienen algo que ver con el deseo de comprar un producto o disfrutar de un servicio. Estas
actividades pueden estar relacionadas con la decisión de compra, la búsqueda
de información sobre un producto, la reclamación por el mal funcionamiento de algo que
hemos comprado o la queja por una garantía no atendida.
El hecho es que el intercambio de bienes y servicios son tan habituales y afectan a nuestros
bolsillos que es bueno que conozcamos cómo estas relaciones son objeto de estudio de la
mercadotecnia.
27
Pero antes de entrar de lleno a conocer el concepto de relaciones, conozcamos otros
conceptos importantes que nos llevarán al concepto de relación.
Tema 2.1.1: Producto Cartesiano
En el deporte del Fútbol, cuando juegan dos equipos se anuncia, Águila versus Alianza,
como ejemplo de la liga salvadoreña, al escribir primero Águila significa que éste es el
equipo local, es decir, que el juego se realizará en la ciudad de San Miguel. Por el contrario,
si se anunciara Alianza versus Águila, significa que jugarán en la ciudad de San Salvador; ya
que, primero se menciona el equipo Alianza.
Modifiquemos un poco la presentación: Si en lugar de escribir versus, se escriben los
nombres de los equipos entre paréntesis y separados por una coma se tendrá:
Águila versus Alianza  (Águila, Alianza)
Alianza versus Águila  (Alianza, Águila)
En esta representación se puede mencionar dos características principales:
a) Tiene dos componentes (juegan dos equipos)
b) Es importante el orden en que se escriben.
(Águila, Alianza)
1ra componente 2da componente
Nótese que: (Águila, Alianza) ≠ (Alianza, Águila) aún cuando son los mismos equipos que
juegan.
 juega Águila contra Alianza en San Miguel.
(Alianza, Águila)  juega Alianza contra Águila en San Salvador.
(Águila, Alianza)
Esta representación al tener dos componentes ordenadas, es lo que en matemática se
conoce como: Par Ordenado.
28
Definición:
Sean A y B dos conjuntos, un par ordenado, es una expresión de la
forma a, b  , donde "a" es la primera componente y "b" es la segunda
componente.
Por ejemplo, son pares ordenados los siguientes:
a)
2,7   La primera componente es 2 y la segunda componente es 7
b)
2 x,3 y 1  La primera componente es 2x y la segunda componente es 3y+1
A continuación se define el producto cartesiano:
Definición:
Sean A y B dos conjuntos, el producto cartesiano de A con B , el cual
se denota por A  B , se define como:
A  B  a, b  / a  A y b  B .
Ejemplo 1:
Sean los conjuntos A   2, 3, 4 y B   1, 4, determinar:
a) El producto cartesiano de A con B
b) El producto cartesiano de B con A .
Solución:
a) El producto cartesiano de A con B
Se formará un conjunto cuyos elementos son, todos los pares ordenados que se
puedan formar, con primera componente en A y segunda componente en B.
Así:
A  B  2,1, 2,5, 3,1, 3,5, 4,1, 4,5
b) El producto cartesiano de B con A.
Se construirá el conjunto B  A cuyos elementos son, todos los pares ordenados que
se puedan formar, con primera componente en B y segunda componente en A.
Así:
B  A  1,2 , 1,3, 1,4 , 5,2 , 5,3, 5,4 .
El producto cartesiano se puede representar gráficamente:
29
Los elementos del primer conjunto se representa en una recta horizontal, y los
elementos del segundo conjunto en una recta vertical, las cuales se intersectan
formando una “cruz”.
Para el ejemplo anterior:
La Gráfica de A  B es:
La Gráfica de B  A es:
Cuando A  R y B  R el producto cartesiano de A con B es A  B o bien R  R ; es
decir, R  R es el producto cartesiano de R con R .
Esto es:
R  R   x, y  / x  R  y  R
R  R también se representa como R 2 , este conjunto tiene infinitos elementos y su
representación gráfica es el plano cartesiano.
Tema 2.1.2: Plano Cartesiano
30
Debemos recordar que el plano cartesiano se forma por la intersección de una recta
horizontal, llamada eje x, y una recta vertical, llamada eje y. Esas rectas, al cortase, dividen
al plano en cuatro partes llamadas cuadrantes y el punto de intersección se llama origen.
La parte de la recta horizontal que se encuentra a la derecha del origen, así como la parte de
la recta vertical que se encuentra arriba del origen, se identifican por medio del conjunto de
los números reales positivos. El origen se identifica con cero.
La recta horizontal a la izquierda del origen, así como la recta vertical debajo del origen se
identifican con el conjunto de los números reales negativos.
El eje x se llama también eje de las abscisas. El eje y por su parte se llama eje de las
ordenadas.
Tema 2.1.3: Concepto de Relación: Dominio y Rango
En la vida se pueden establecer muchas relaciones, por ejemplo, en los casos de los equipos
de fútbol, se establece una relación mediante “un juego de fútbol”; los alumnos se
relacionan con el profesor mediante “El proceso de enseñanza aprendizaje”, esta es la idea
de las relaciones en Matemática.
Definición:
Sean A y B dos conjuntos, una “Relación” de A en B es un
subconjunto del producto cartesiano de A con B .
Los elementos de A  B que cumplen una característica o regla de correspondencia, son
los que forman una relación.
31
Para representar una relación se usa la notación siguiente.
R: A B
a  aRb
También:
R  a, b   A  B / aRb
Donde: A
es el conjunto de partida
B
es el conjunto de llegada
aRb es la regla de correspondencia
Ejemplo 1:
Sean los conjuntos A  1, 3, 5 y B  0, 2, 4 y la relación R de A en B, talque: “a es menor
que b”. Expresar los elementos de la relación.
Solución:
Esto es:
R: A B
aab
O bien
R  a, b   A  B / a  b
Construiremos los pares ordenados con los elementos de A  B que cumplen
la regla que a  b .
Así:
R 
1,2 , 1,4 , 3,4 
Su grafica es:
32
Definición:
Sea R una relación de A en B, el dominio de la relación R, que denota
por DR, se define como:
DR  a  A / aRb , para algún b  B
Es decir, el dominio de una relación son las primeras componentes de los elementos de la
relación.
Para el caso del ejemplo anterior, el dominio de R es:
D R  1,3
Definición:
Sea R una relación de A en B, el rango de la relación R, que denota por
RR, se define como:
RR  b  B / aRb , para algún a  A
Es decir, el rango de una relación son las segundas componentes de los elementos de la
relación.
Para el caso del ejemplo anterior, el rango de R es:
R R  2,4
Para representar las relaciones, también se usa el diagrama de Ven.
Así, para el ejemplo 1, el diagrama de Ven es:
33
Ejemplo 2:
Determinar la relación f de A   1,0,1,2,4 en B  0,1,2,3, tal que a=2b,
indicando su dominio y rango.
Solución:
Se tiene la relación:
f :AB
a  a  2b
ó bien:
f  a, b   A  B / a  2b
Donde la primera componente debe ser el doble de la segunda componente (a=2b).
Así:
f  0,0 , 2,1, 4,2 
El dominio de la relación f es:
D f  0,2, 4 (Primeras componentes)
El rango de la relación f es:
R f  0,1,2
(Segundas componentes)
La gráfica de f es:
34
Cuando en una relación el conjunto de partida es R y el conjunto de llegada es R, se dice que
es una relación de R en R, esto es:
R:R  R
x  xRy
ó bien:

R   x, y   R 2 / xRy

En este caso, se tiene una relación de variable real; es decir, toma un número real y lo
relaciona con otro número real, ya que, tanto el conjunto de partida como el de llegada son
conjuntos de números reales.
Tema 2.1.4: Representación Gráfica de Relaciones de Variable Real.
Cuando la regla de correspondencia de una relación de variable real es una igualdad, se
puede graficar usando una tabla de valores, en donde se le asigna valores a “x” (usualmente
cercanos a cero) y por medio de su regla de correspondencia se obtienen los valores de “y”.
De esta forma se obtienen algunos pares ordenados de la relación que al graficar cada uno
de éstos, describe la forma gráfica de la relación.
Ejemplo 1:
Sea la relación R de variable real tal que y  2 x  1, graficar indicando su dominio y
rango.
Solución:
Se construye la tabla de valores:
x
y=2x+1
(x,y)
-3
y=2(-3)+1=-5
(-3,-5)
-2
y=2(-2)+1=-3
(-2,-3)
-1
y=2(-1)+1=-1
(-1,-1,)
0
y=2(0)+1=1
(0,1)
35
1
y=2(1)+1=3
(1,3)
2
y=2(2)+1=5
(2,5)
3
y=2(3)+1=7
(3,7)
Luego, se plotean los puntos con coordenadas (x,y) y se unen mediante una línea.
Ejemplo 2:
f :RR
Sea la relación
x  y  x2  3
, graficar indicando su dominio y rango.
Solución:
Se construye la tabla de valores.
x
y=x2-3
(x,y)
-3
y=2(-3)2-3=6
(-3,6)
-2
y=2(-2)2-3=1
(-2,1)
-1
y=2(-1)2-3=-2
(-1,-2,)
0
y=2(0)2-3=-3
(0,-3)
1
y=2(1)2-3=-2
(1,-2)
2
y=2(2)2-3=1
(2,1)
3
y=2(3)2-3=6
(3,6)
36
Luego, se plotean los puntos con coordenadas (x,y) y se unen mediante una línea:
Examinando el eje x, puede observarse que la gráfica es desde   hasta   ; es decir:
Df  R y examinando el eje y, se observa que la gráfica es desde -3 hasta   .
Así: Rf  [3,[ .
Cuando la regla de correspondencia de una relación es una desigualdad, se grafica
siguiendo los pasos siguientes:
1. Se escribe la frontera, esta es la igualdad de la regla de correspondencia no
importando que signo tenga <, ≤, > y ≥. Se llama frontera porque divide el plano
cartesiano en dos partes o regiones.
2. Se grafica la frontera, con línea punteada si la regla de correspondencia tiene signo
< ó >; es decir, no considera la igualdad, y con línea continua si la regla de
correspondencia tiene signo ≤ o ≥; es decir, si considera la igualdad.
3. Se toma un punto, que se esté seguro en que región se encuentra, y sus coordenadas
se evalúan en la desigualdad. Si el resultado es una desigualdad verdadera, la gráfica
de la relación es la región del punto que se tomó. Si el resultado es una desigualdad
falsa, la gráfica de la desigualdad es la región donde no está el punto.
Ejemplo 3:
37


2
2
Sea la relación R  x, y   R / y  2  x , graficarla indicando su dominio y rango.
Solución:
Siguiendo los pasos descritos anteriormente tenemos:
2
Se escribe la frontera: y  2  x
Se grafica la frontera:
x
y=2-x2
(x,y)
-3
y=2-(-3)2=-7
(-3,7)
-2
y=2-(-2)2=-2
-1
y=2-(-1)2=1
0
y=2-(0)2=2
1
y=2-(1)2=1
(0,2)
2
y=2-(2)2=-2
(1,1)
3
y=2-(3)2=-7
(-2,2)
(-1,1,)
(2,-2)
(3,-7)
2
Se traza la línea discontinua; ya que, la regla de correspondencia y  2  x no
considera la igualdad.
Se toma un punto en una de las dos regiones.
Tomando el punto con coordenadas (0,0), que se observa que está por debajo de
la frontera, y evaluándolo en la desigualdad tenemos:
y  2  x2
0  2  0
02
2
verdadero
Como se obtuvo una desigualdad verdadera, entonces la grafica de la relación es la
región por debajo de la frontera.
38
En la gráfica, examinando el eje x se observa que: DR ]  ,2[ y examinando el
eje y se observa que R R ]  ,2[ . El rango es abierto en 2, ya que, no se
considera la igualdad en la regla de correspondencia.
La regla de correspondencia de una relación puede tener más de una desigualdad, en este
caso, se grafica cada una de las desigualdades y la intersección de todas las regiones; es la
gráfica de la relación.
Ejemplo 4:


2
2
Graficar la relación R  x, y   R / y  x  4  y  2 x  1 , indicando su dominio y rango.
Solución:
2
Graficando y  x  4 :
2
Frontera: y  x  4
39
x
y
-3
5
-2
0
-1
-3
0
-4
1
-3
2
0
3
5
(x,y)
(-3,5)
(-2,0)
(-1,3)
(0,-4)
(1,-3)
(2,0)
(3,5)
2
Tomando el punto con coordenadas (0,0) y evaluándolo en y  x  4 , se tiene:
0  0   4
2
0  4
verdadero
Graficando y  2 x  1 :
Se grafica en el mismo plano cartesiano de la anterior
Frontera: y  2 x  1
x
y
(x,y)
-3
-7
(-3,-7)
-2
-5
(-2,-5
-1
-3
(-1,-3)
0
-1
(0,-1)
1
1
(1,13)
2
3
(2,3)
3
5
(3,5)
40
Tomando el punto con coordenadas (0,0) y evaluándolo en y  2 x  1 , se tiene:
0  20  1
0  1
falso
La gráfica de la relación es la intersección de las dos regiones:
41
De la gráfica anterior se observa que: D R   1,3 y
R R   4,5
¿Por qué el dominio es abierto? Ya que en los puntos P1 y P2 se intersectan dos fronteras, y
una es discontinua, por esa razón, el intervalo es abierto.
Para el caso del rango, en -4 es cerrado, porque en el punto P3 se tiene una frontera
continua, en cambio en 5 es abierto dado que en el punto P2 se intersectan dos fronteras y
una es discontinua.
Referencias
Hernández, J. A. (2006). Relaciones y Funciones. San Salvador
42
GUÍA DE EJERCICIOS
UNIDAD II: RELACIONES
Indicación: Resuelva cada uno de los ejercicios propuestos
1. Represente en notación de conjunto los intervalos siguientes:
a)  5, 6
b)
c)
d)
2, 7
 5, 6
4,9
2. Exprese en notación gráfica los siguientes intervalos
a )  2, 4
b)
c)
0, 6
0, 
6, 1
d)
3. Represente los siguientes intervalos en notación de corchete y grafico
a)  x  / 2  x  5
b)
c)
d)
x 
x 
x 
/ 2  x  5
/ 2  x  5
/ 2  x  5
4. Dados los siguientes intervalos, determine: A  3,5 ,
a)
A B
d)
AC
g)
A B C
b)
A B
e)
CB
h)
A B C
c)
A B
f)
CB
h)
AB C
43
B  1, 6
C   0, 6
5. Determine el conjunto solución para las siguientes desigualdades y exprese la respuesta en
notación de intervalos:
a)
2x  3  7
b)
c)
d)
e)
f)
h)
g)
i)
j)
k)
l)
m)
 x  1 x  5 
3
2

x x 1
2  5  7 x  4
2
x

1 x x  3
2
5 x
 2
x x 6
2
x  3 x  28  0
1
𝑥−1
1
>
>
3
5
9
2𝑥 2 − 5𝑥 − 3 < 0
(3𝑥 − 2)(𝑥 + 5) < 14𝑥 − 8
4
2
≤
3𝑥+1
𝑥−4
16 − 𝑥 2 ≥ 0
𝑥 2 − 𝑥 − 20 > 0
6. Resuelva las siguientes aplicaciones.
a) La compañía MINIS fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta de $60.00 y un
costo unitario de $40.00. Si los costos fijos sin importar el volumen de venta son $3,000.00, el
gerente de producción desea saber el número de unidades que se deben producir y vender
para que la compañía tenga utilidades.
b) La compañía MINIS fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta de $50.00 y un
costo unitario de $30.00. Si los costos fijos sin importar el volumen de venta son $1,500.00, el
gerente de producción desea saber el número de unidades que se deben producir y vender
para que la compañía tenga utilidades.
c) La empresa Genios puede vender todas las unidades de un producto a $75.00. cada uno. El
costo 𝐶 (en dólares) de producir 𝑥 unidades cada semana esta dado por 𝐶 = 20,000 +
25𝑥 − 𝑥 2 .
El gerente de producción está interesado en determinar la cantidad de unidades que se deben
producir y vender a la semana para obtener al menos una utilidad de $10,000
d) La empresa Genios puede vender todas las unidades de un producto a $45.00. cada una. El
costo 𝐶 (en dólares) de producir 𝑥 unidades cada semana esta dado por 𝐶 = 200 + 40𝑥 −
𝑥2.
¿El gerente de producción está interesado en determinar cuántas unidades se deben producir
y vender a la semana para obtener al menos una utilidad de $100?
44
7. Encuentre los valores de x e y , para que se cumpla la igualdad de los pares ordenados:
a)
b)
8. Sea
 x,5   3, y  1
 x  4, y  8   9,10 
A  2,3,5 y B  4, 6,8,9 , Encuentre los pares ordenados que forman la relación
R   x, y   AxB / y  x  1
9. Sea
A  2,3,5 y B  4, 6,8,9 , Encuentre el dominio y rango de la relación
R   x, y   AxB / y  x  1
10. Grafique la región descrita por la desigualdad que se presentan a continuación y determine su
dominio y rango.
a) 2 x  3 y  6
4𝑥 + 3𝑦 ≥ 12
𝑦≥𝑥
2𝑦 ≤ 3𝑥 + 6
𝑦 < 2𝑥 + 4
f) { 𝑥 ≥ −2
𝑦<1
𝑥−𝑦 >4
g) { 𝑥 < 2
𝑦 > −5
e) {
2 x  2  y
b) 
2 x  3  2 y
𝑥+𝑦 >1
c) {3𝑥 − 5 ≤ 𝑦
𝑦 < 2𝑥
2𝑥 − 3𝑦 > −12
d) { 3𝑥 + 𝑦 > −6
𝑦>𝑥
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