ALGEBRA Foto Profesor Jesus Gomero ALGEBRA DIVISION ALGEBRAICA DIVISION ALGEBRAICA: HORNER- RUFFINI,TEOREMA DEL RESTO ,DIBISIVILIDAD DIVISIÓN ALGEBRAICA 𝑫𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊ó𝒏. Es la operación que consiste en hallar dos polinomios llamados cociente q(x) y residuo r(x) 𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑜𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜 𝐷 𝑥 𝑦 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝑑 𝑥 𝐸𝑠𝑞𝑢𝑒𝑚𝑎 𝐷 𝑥 d (x) q(x) 𝐷 𝑥 d (x) r(x) 𝑰𝒅𝒆𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅 𝑭𝒖𝒏𝒅𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝑫𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊ó𝒏 𝑨𝒍𝒈𝒆𝒃𝒓𝒂𝒊𝒄𝒂 𝑫 𝒙 ≡ 𝒅 𝒙 𝒒 𝒙 + 𝒓(𝒙) DIVISIÓN ALGEBRAICA 𝑷𝑹𝑶𝑷𝑰𝑬𝑫𝑨𝑫𝑬𝑺: I.𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐 𝑫 ≥ 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐(𝒅) II.𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒒 = 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐 𝑫 − 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐(𝒅) III:𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒓 𝒎𝒂𝒙 = 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒅 − 𝟏 7 5 2 2𝑥 − 5𝑥 + 7𝑥 − 11𝑥 − 1 𝑥 3 + 7𝑥 2 − 4𝑥 − 3 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒒 = 𝟕 − 𝟑 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒓 𝒎𝒂𝒙 = 𝟑 − 𝟏 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒒 = 𝟒 𝒈𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒓 𝒎𝒂𝒙 = 𝟐 𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 I.𝐿𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑎𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑠 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎 𝑠𝑖 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 𝑒𝑠 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑛𝑢𝑙𝑜 𝑟(𝑥) ≡ 0 𝐼𝐼. 𝑆𝑒 𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜𝑠 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑖 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑒𝑙𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑠 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎 NOTA Para convertir una división inexacta en exacta al dividendo se le debe restar el residuo DIVISION DE POLINOMIOS 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜𝑠 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑟 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝑦 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑎𝑟 𝑐𝑜𝑛 𝑐𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑓𝑎𝑙𝑡𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑔𝑢𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 Luego se procede de acuerdo al método a usar ,en nuestro caso usaremos método de William Horner y el método de Paolo Ruffini 𝟐𝒙𝟔 − 𝟓𝒙𝟑 + 𝟕𝒙𝟒 − 𝟏𝟏𝒙 − 𝟏 𝑺𝒊 𝒙𝟑 − 𝟓𝒙 − 𝟔 NOTA 𝟐𝒙𝟔 + 𝟎𝒙𝟓 + 𝟕𝒙𝟒 − 𝟓𝒙𝟑 + 𝟎𝒙𝟐 − 𝟏𝟏𝒙 − 𝟏 → 𝒙𝟑 + 𝟎𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟔 Si la división es exacta se puede dividir en forma ascendente o descendente METODO DE WILLIAM HORNER 𝑈𝑠𝑢𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑠𝑒 𝑢𝑠𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑟 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑠𝑖 𝑒𝑙 Divisor es de segundo grado o mas en el proceso de dividir solo se usa los coeficientes del dividendo y divisor según la siguiente disposición : 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 del ESQUEMA 𝐶𝑂𝐸𝐹𝐼𝐶𝐼𝐸𝑁𝑇𝐸𝑆 con signos cambiados 𝒅 I V I S O R 𝑫 𝑰 𝑽 𝑰 𝑫 𝑬 𝑵 𝑫 𝑶 Numero de columnas igual al grado del divisor Cociente residuo 𝑴é𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝑯𝒐𝒓𝒏𝒆𝒓 𝐿𝑜 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜. 𝐷 𝑥 = 4𝑥 4 − 8𝑥 3 + 4𝑥 2 + 8𝑥 − 1 𝑑 𝑥 = 2𝑥 2 − 2𝑥 − 3 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝐷 𝑥 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑜𝑠 𝑦 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑃𝐴𝑆𝑂1. −𝑈𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑛 𝑑𝑖𝑎𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 2 2 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑑 𝑥 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎𝑟á𝑛 𝑑𝑒 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜 𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 3 4 −8 4 8 −1 𝑃𝐴𝑆𝑂 2. −𝑇𝑟𝑎𝑧𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑜𝑡𝑟𝑎 𝑙í𝑛𝑒𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜. 2 4 −8 4 8 −1 𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 2 3 𝑐𝑜𝑛 𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑃𝐴𝑆𝑂 3. −𝑂𝑝𝑒𝑟𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛: 𝐷𝐼𝑉𝐼𝐷𝐼𝑅 − 𝑀𝑈𝐿𝑇𝐼𝑃𝐿𝐼𝐶𝐴𝑅 − 𝑂𝑃𝐸𝑅𝐴𝑅 𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 ℎ𝑎𝑏𝑒𝑟 𝑐𝑟𝑢𝑧𝑎𝑑𝑜 𝑙𝑎 ú𝑙𝑡𝑖𝑚𝑎 𝑙í𝑛𝑒𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑧𝑎𝑑𝑎 q 𝑥 = 2𝑥 2 − 2𝑥 + 3 𝑟 𝑥 = 8𝑥 + 8 2 −8 4 2 4 6 3 −𝟒 −𝟒 −𝟔 𝟔 𝟔 𝟗 𝟑 8 8 4 2 −𝟐 8 −1 𝑬𝒋𝒆𝒓𝒄𝒊𝒄𝒊𝒐: 𝑨𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒓 𝑯𝒐𝒓𝒏𝒆𝒓 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒆𝒍 𝒔𝒊𝒈𝒖𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒆𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐 𝐷 𝑥 = 𝑥 4 − 𝑥 3 + 2𝑥 2 + 5𝑥 − 1 𝑑 𝑥 = 𝑥2 − 𝑥 − 2 1 1 1 1 2 𝟎 1 2 −1 𝟎 −1 2 𝟎 𝟎 𝟒 𝟒 𝟒 𝑄 𝑥 = 𝑥 2 + 0𝑥 + 4 𝑄 𝑥 = 𝑥2 + 4 5 9 + + 𝟖 7 𝑅 𝑥 = 9𝑥 + 7 12 𝑎 −14 −13 2 6 −3 −1 −𝟖 −𝟒 𝟐 −𝟐𝟎 −𝟏𝟎 5 −𝟓 0 0 4 3 −𝟐 𝑎−8=0→𝑎 =8 ∴ 𝑎𝑏 = −40 𝑏 + + 𝑏 + 5 = 0 → 𝑏 = −5 −12 13 3 18 −30 −5 𝟔 2 12 6 𝟑 𝟗 𝑎 𝑏 + −𝟏𝟓 + −𝟖 −𝟏𝟐 𝟐𝟎 −𝟒 4 5 𝑎 − 15 − 12 = 4 → 𝑎 = 31 𝑏 + 20 = 5 → 𝑏 = −15 𝒂 + 𝒃 = 𝟏𝟔 𝐇𝐎𝐑𝐍𝐄𝐑 𝐈𝐍𝐕𝐄𝐑𝐓𝐈𝐃𝐎 19 27 𝑐 −3 −15 0 −20 0 𝟒 −𝟏𝟐 1 5 −4 5 𝟒 𝑐 = 65 𝑏 = 16 + + 𝟎 −𝟏𝟔 𝟏𝟓 −𝟒𝟓 𝟎 𝟏𝟓 0 0 𝑐 = 60 𝑎 + 𝑏 − 𝑐 = 11 𝑎 𝑏 + −𝟔𝟎 0 ALGEBRA MOMENTO DE PRACTICAR PROBLEMAS Y RESOLUCIÓN 𝐒𝐎𝐋𝐔𝐂𝐈Ó𝐍 3 6 −13 20 −26 2 𝟒 −𝟐 −1 −𝟗 -𝟔 𝟑 𝟏𝟐 𝟖 𝟐 −𝟑 𝟒 30 −12 + + −𝟒 −𝟏𝟓 −𝟏𝟎 𝟓 −𝟓 16 −7 q 𝒙 = 𝟐𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟓 𝒓 𝒙 = 𝟏𝟔𝒙 − 𝟕 𝑻é𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒒𝒖𝒆 𝒏𝒐 𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒍 𝒄𝒐𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆: 𝟕𝒙 𝐒𝐎𝐋𝐔𝐂𝐈Ó𝐍 4 8 −1 14 5 16 2 3 −𝟐 −𝟔 𝟏𝟐 −3 𝟐 𝟑 −𝟑 −𝟗 −𝟒 𝟏 𝟑 𝟖 −𝟐 −𝟔 𝟐 4 −4 −𝟏 𝒒 𝒙 = 𝟐𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟐 + + 𝒓 𝒙 = 𝟒𝒙 − 𝟒 𝑹𝒆𝒔𝒕𝒐 = 𝟒𝒙 − 𝟒 𝐒𝐎𝐋𝐔𝐂𝐈Ó𝐍 3 6 −1 2 −1 4 −𝟐 𝟒 −𝟑 𝟏 𝟗 𝟐 −𝟏 𝟑 −1 −𝑎 −𝟐 + −𝟑 𝟔 -6 𝟐 −𝟐 𝑏 3 -𝟒 5 𝒓 𝒙 = 𝟑𝒙 + 𝟓 −𝑎 + 8 = 3 → ∴𝑎=5 𝑏−4=5→ ∴𝑏 =9 → 𝒂 + 𝒃 = 𝟏𝟒 + 𝐒𝐎𝐋𝐔𝐂𝐈Ó𝐍 𝐇𝐎𝐑𝐍𝐄𝐑 𝐈𝐍𝐕𝐄𝐑𝐓𝐈𝐃𝐎 12 −8 17 −2 -𝟔 𝟎 −𝟏𝟓 0 𝟔 𝟔 𝟎 𝟏𝟓 -2 −𝟐 𝟎 −2 −6 -5 𝟑 𝑏 + 15 = 0 −𝟑 → 𝑏 = −15 𝑎−5=0→ 𝑎 =5 → 𝒂 − 𝒃 = 𝟐𝟎 𝟏 𝟎 𝑏 0 𝑎 + + -𝟓 0 𝐒𝐎𝐋𝐔𝐂𝐈Ó𝐍 4 8 2𝑦 −3𝑦 -16y 12𝑦 2 4𝑦 −6𝑦 2 −10𝑦 3 −12𝑦 2 −6𝑦 2 𝟐 −3y → −𝑦 3 = 8 𝟎 ∴y=-2 9𝑦 3 𝟖 1 𝑎 6 + 2𝑎 12 − 𝑎 𝑏−6 −2 −𝟐𝒂 𝒂 1 𝟔 -1𝟐 𝟔 0 𝟎 2𝑏 −𝑏 𝟎 𝒃 𝒂 𝐒𝐎𝐋𝐔𝐂𝐈Ó𝐍 𝟔 𝟎 𝒃 𝒒 𝒙 = 𝒂𝒙𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 + 𝟎𝒙 + 𝒃 𝒒 𝟐 = 𝟖𝒂 + 𝟐𝟒 + 𝒃 𝟖𝒂 + 𝟐𝟒 + 𝒃 = 𝟑𝟗 𝟖𝒂 + 𝒃 = 𝟏𝟓 ∴ 𝒂 − 𝒃 = −𝟔 → 𝒂= 𝟏∧𝒃=𝟕 METODO DE PAOLO RUFFINI Este método se usa cuando el 𝑑ivisor es de primer grado y Mónico es decir de la forma : x +b ESQUEMA 𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝑠𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎 𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑦 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎 𝑙𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒: 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 del 𝑫 𝑰 𝑽 𝑰 𝑫 𝑬 𝑵 𝑫 𝑶 x+ b =0 → x=-b -b C o c i e n t e residuo Nota 𝑁𝑜 𝑠𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟á 𝑒𝑛 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑜 2𝑥 + 1 , 4𝑥 − 2, 3𝑥 + 5, 𝑒𝑡𝑐. 𝐸𝑛 𝑒𝑠𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑠𝑒 𝑢𝑠𝑎𝑟á 𝐻𝑜𝑟𝑛𝑒𝑟 𝑴é𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝑹𝒖𝒇𝒇𝒊𝒏𝒊 𝐸𝐽𝐸𝑀𝑃𝐿𝑂: 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑦 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖ó𝑛: 𝑥 4 − 2𝑥 2 + 5𝑥 − 7 𝑥−2 𝑃𝑎𝑠𝑜 1. −𝑆𝑒 ℎ𝑎𝑟á 𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑅𝑢𝑓𝑓𝑖𝑛𝑖, 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎: 𝑥−2=0 𝑥 = 2 𝑆𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎 𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝑎 𝑐𝑒𝑟𝑜 𝑦 𝑠𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎 𝑥 1 0 −2 5 −7 ↓ 2 4 4 18 1 2 2 9 11 𝐶𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑞 𝑥 = 𝑥 3 + 2𝑥 2 + 2𝑥 + 9 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑜𝑠 𝑦 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑜 = 11 𝐒𝐎𝐋𝐔𝐂𝐈Ó𝐍 𝑥−2=0 𝑥= 2 −11 3 −2 0 3 7 ↓ 6 8 16 38 90 3 4 8 19 45 𝟕𝟗 𝐒𝐎𝐋𝐔𝐂𝐈Ó𝐍 𝑥− 2=0 2 3 2 −12 𝑥= 2 ↓ 2 2 10 2 5 2 −2 −3 2 −2 2 −5 2 𝐶𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒: 2𝑥 3 + 5 2𝑥 2 − 2𝑥 − 5 2 −2 −10 −12 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 = −12 𝐒𝐎𝐋𝐔𝐂𝐈Ó𝐍 3 3 2 2 2 4 2 2 𝟐 𝟐 2 𝟑 2 𝟔 𝟑 2 −6 + 𝟐 1 2 𝟐 2 −4 Producto 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒅𝒆𝒍 𝒄𝒐𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆: 𝟒 ALGEBRA MOMENTO DE PRACTICAR PROBLEMAS Y RESOLUCIÓN 𝐒𝐎𝐋𝐔𝐂𝐈Ó𝐍 𝑥− 3=0 𝑥= 3 2 − 3 ↓ 23 2 3 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 = 2 0 3 −10 3 3 3 12 3 4 3 2 𝐒𝐎𝐋𝐔𝐂𝐈Ó𝐍 𝑥− 3+1=0 𝑥 = 3−1 3−1 3 3−1 ↓ 3− 3 3 2 −2 3 −2 𝐴−2 3 2 3 − 2 −2 3 + 2 −6 + 2 3 −2 −2 3 12 A-6=12 →A=18 𝐒𝐎𝐋𝐔𝐂𝐈Ó𝐍 𝑥+ 2=0 𝑥=− 2 2 2 2 −3 −3 2 0 6 ↓ −2 2 0 3 2 0 0 −6 2 2 0 0 0 6 𝑚−6 −3 2=0 → 𝑚=6 𝑚 2 0 𝐒𝐎𝐋𝐔𝐂𝐈Ó𝐍 3 3𝑎 2 a+3 4𝑎 − 2 −4𝑎 𝟐𝒂 𝟐𝒂 + 𝟐 𝟒𝒂 𝟑𝒂 + 𝟑 𝟔𝒂 𝟎 9𝑎 𝟎 𝟗𝒂 𝒂 a+𝟏 𝟐𝒂 𝟎 3𝑎 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = 2𝑟 𝑥 a+𝑎 + 1 + 2𝑎 + 0 + 3𝑎 = 2 4𝑎 7𝑎 + 1 = 8𝑎 1=𝑎 −2𝑎 𝟔𝒂 4𝑎 TEOREMA DEL RESTO O DE RENE DESCARTES 𝑆𝑒 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 𝑒𝑛 𝑐𝑖𝑒𝑟𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑜 sin 𝑒𝑓𝑒𝑐𝑡𝑢𝑎𝑟 𝑛𝑖𝑛𝑔𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑜𝑛. Casos usuales para aplicar el método ,hallar el residuo en: 𝑥 66 + 𝑥 22 𝑥8 𝑥4 − + 𝑥3 − 1 + 2𝑥 − 1 𝑥+1 45 22 + 𝑥−1 + 2𝑥 − 1 𝑥2 + 𝑥 − 1 𝑥+1 20 𝑥 − 1 21 + 2𝑥 − 1 𝑥−2 𝑥+1 P𝒓𝒐𝒄𝒆𝒅𝒊𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐 : 1) El divisor se iguala a cero y la variable se despeja convenientemente.. NOTA Cuando se iguala a cero No se debe tomar como una ecuación es decir resolver y hallar el valor de la raíz 2) El valor o expresión despejada se reemplaza en el dividendo sino se pudiera se debe hacer transformaciones con el fin de poder reemplazar . 3)Se efectúan operaciones y el resultado es el residuo buscado. TEOREMA DEL RESTO 𝐒𝐎𝐋𝐔𝐂𝐈Ó𝐍 Por el teorema del resto 𝑥2 − 1 = 0 → 𝑥 2 = 1 ……α Dando forma al dividendo D(x)=5 𝑥 2 20 − 2 𝑥2 5 3 + 3 𝑥2 𝑥 + 𝑥 + 4 Reemplazando lo de α : r(x)=5 1 20 −2 1 5 + 3 1 3𝑥 + 𝑥 + 4 r(x)=5 −2 + 3𝑥 + 𝑥 + 4 ∴r(x)=4𝑥 + 7 TEOREMA DEL RESTO 𝐒𝐎𝐋𝐔𝐂𝐈Ó𝐍 Por el teorema del resto 𝑥 2 − 7𝑥 + 11 = 0 → 𝑥 2 −7𝑥 = −11 ……α Efectuado los productos convenientemente D(x)= 𝑥 2 − 7𝑥 + 6 𝑥 2 − 7𝑥 + 10 𝑥 2 − 7𝑥 + 12 Reemplazando ……α r(x)= −11 + 6 −11 + 10 −11 + 12 →r(x)= −5 −1 1 → r(x)=5 ALGEBRA MOMENTO DE PRACTICAR PROBLEMAS Y RESOLUCIÓN PROBLEMAS DEL TEOREMA DEL RESTO 𝐒𝐎𝐋𝐔𝐂𝐈Ó𝐍 Por el teorema del resto 𝑥2 − 1 = 0 → 𝑥 2 = 1 ……α Dando forma al dividendo 8 3 D(x)= 𝑥 2 𝑥 + 4 𝑥 2 𝑥 − 2𝑥 2 + 8 Reemplazando lo de α : r(x)= 1 8 𝑥 + 4 1 3 𝑥 − 2.1 + 8 →r(x)=x + 4𝑥 − 2 + 8 →r(x)=5𝑥 + 6 Respuesta : 11 TEOREMA DEL RESTO 𝐒𝐎𝐋𝐔𝐂𝐈Ó𝐍 Por el teorema del resto 𝑥3 − 1 = 0 → 𝑥 3 = 1 ……α Dando forma al dividendo 5 D(x)=2 𝑥 3 𝑥 + 3 𝑥 3 4 + 4 𝑥3 𝑥 − 1 Reemplazando lo de α : r(x)=2 1 5 𝑥 + 3 1 4 +4 1 𝑥−1 →r(x)=2𝑥 + 3 + 4𝑥 − 1 →r(x)=6𝑥 + 2 Respuesta : m+n=8 →m=6 n=2 𝐒𝐎𝐋𝐔𝐂𝐈Ó𝐍 Por el teorema del resto 𝑥2 + 𝑥 − 5 = 0 → 𝑥 2 +𝑥 = 5 ……α Efectuado los productos convenientemente D(x)= 𝑥 2 + 𝑥 − 2 𝑥 2 + 𝑥 − 12 + 22 Reemplazando ……α r(x)= 5 − 2 5 − 12 + 22 →r(x)= 3 −7 + 22 → r(x)=1 TEOREMA DEL RESTO 𝐒𝐎𝐋𝐔𝐂𝐈Ó𝐍 Por el teorema del resto 𝑥 2 − 2𝑥 = 0 𝑥 2 − 2𝑥 = 0……α Dando forma al dividendo D(x)= 𝑥 − 1 2 5 +4 𝑥−1 D(x)= 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 5 2 3 𝑥−1 +6 + 4 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 3 𝑥−1 +6 Reemplazando datos r(x)= 1 5 +4 1 3 𝑥−1 +6 r(x)=1 + 4𝑥 − 4 + 6 →r(x)=4x+3 Efectuando operaciones TEOREMA DEL RESTO 𝐒𝐎𝐋𝐔𝐂𝐈Ó𝐍 Por el teorema del resto 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑥 − 1 𝑥2 + 𝑥 + 1 = 0 𝑥 − 1 𝑥2 + 𝑥 + 1 = 0 𝑥 − 1 𝑥3 − 1 = 0 3 8 𝑥 3 = 1 …..α 3 3 D(x)=2 𝑥 + 4 𝑥 𝑥 + 2𝑥 + 1 Reemplazando ……α r(x)=2 1 8 + 4 1 3 𝑥 + 2𝑥 + 1 r(x)=6𝑥 + 3 𝐒𝐎𝐋𝐔𝐂𝐈Ó𝐍 n+2 términos 𝑥=1 1 1 0 0…………… 0 ↓ 1 1 1 1 −𝑛 1 1 1 1 −𝑛 -n+1 -𝑛 − 1 1 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 = −𝑛 TEOREMA DEL RESTO 𝐒𝐎𝐋𝐔𝐂𝐈Ó𝐍 Por el teorema del resto 12𝑥 2 + 7𝑥 = 0 → 12𝑥 2 +7𝑥 = 0 ……α → 12𝑥 2 = −7𝑥 ……α Efectuado los productos convenientemente D(x)= 12𝑥 2 + 7𝑥 + 1 12𝑥 2 + 8𝑥 + 1 + 36𝑥 2 Dando forma D(x)= 12𝑥 2 + 7𝑥 + 1 12𝑥 2 + 7𝑥 + 𝑥 + 1 + 3(12𝑥 2 ) Reemplazando lo de α : r(x)= 1 𝑥 + 1 + 3 −7𝑥 →r(x)=x + 1 − 21𝑥 → r(x)=−20𝑥 + 1 𝐒𝐎𝐋𝐔𝐂𝐈Ó𝐍 Por el teorema del resto 𝑥 2 + 2𝑥 − 7 = 0 → 𝑥 2 +2𝑥 = 7 ……α Efectuado los productos convenientemente D(x)= 𝑥 2 + 2𝑥 − 3 𝑥 2 + 2𝑥 − 8 + 8 Reemplazando ……α r(x)= 7 − 3 7 − 8 + 8 →r(x)= 4 −1 + 8 → r(x)=4 TEOREMA DEL RESTO 𝐒𝐎𝐋𝐔𝐂𝐈Ó𝐍 Por el teorema del resto → 𝑥 2 +2𝑥 = 1 ……α 𝑥 2 + 2𝑥 − 1 = 0 Dando forma al dividendo D(x)= 𝑥 2 + 2𝑥 41 + 𝑥+1 41 2 8 D(x)= 𝑥 2 + 2𝑥 + 𝑥 2 + 2𝑥 + 1 Reemplazando ……α r(x)= 1 41 → r(x)=257 + 1+1 8 8 𝐒𝐎𝐋𝐔𝐂𝐈Ó𝐍 POR LA IDENTIDAD FUNDAMENTAL P(x)(𝑄 𝑥 − 1) = (𝑥 − 3)𝑞(𝑥) Dato q 1 = −12 Reemplazando los polinomios P y Q en la identidad fundamental (9 − 𝑥 2 )(𝑎𝑥 2 − 2𝑥 + 2) = (𝑥 − 3)𝑞(𝑥) Sea x=1 (8)(a) = (−2)𝑞(1) (8)(a) = (−2)(−12) ∴𝑎=3 (8)(a) = 24 𝐒𝐎𝐋𝐔𝐂𝐈Ó𝐍 POR LA IDENTIDAD FUNDAMENTAL 𝑃 𝑥 = 𝑥 + 2 𝑄 𝑥 + 𝑎𝑥 + 𝑏 Sea x=0 𝑃 0 = 2 𝑄 0 +𝑏 Reemplazando los datos −1 = 2 (1) + 𝑏 Sea x=-2 −3 = 𝑏 𝑃 −2 = 0 𝑄 −2 − 2𝑎 + 𝑏 Reemplazando los datos −5 = −2𝑎 − 3 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑟 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑎=1 𝑟 𝑥 =𝑥−3 1 3 0 0 0 1 0 𝟎 𝟔 −𝟑 2 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟔 𝟎 𝟏𝟐 0 −1 -3 𝐒𝐎𝐋𝐔𝐂𝐈Ó𝐍 𝟑 Por teoría el grado del resido será 2 𝟎 𝟔 −𝟑 0 13 3 26 -13 13 -12 28 -6 𝒓 𝒙 = −𝟏𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝟖𝒙 − 𝟔 → 𝑝𝑒𝑟𝑜 ∶ 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑄 = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝐷 − 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜(𝑑) ∶ 4 = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝐷 − 3 → 7 = 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝐷 →𝑚=7 7 −𝟔 −𝟔 0 Entonces el grado del cociente es 4 → -1 𝒓𝒑𝒕𝒂 − 𝟔 𝐒𝐎𝐋𝐔𝐂𝐈Ó𝐍 𝑥+𝑎+1=0 𝑥 = −𝑎 − 1 −𝑎 − 1 𝑎 𝑎2 + 1 2−𝑎 𝑎3 ↓ −𝑎2 − 𝑎 𝑎2 − 1 -𝑎3 − 1 𝑎+1 𝑎 1−𝑎 𝑎2 − 𝑎 + 1 -1 −𝑎 + 1 −2𝑎 1 𝑎2 − 1 𝑎2 r(x)= 𝒂𝟐 101 términos 1 1 0 0 2 2 −1 −1 𝟐 𝟒 0 𝑎 0 𝑏 1𝟗𝟔 −𝟗𝟖 -2 𝟑 𝐒𝐎𝐋𝐔𝐂𝐈Ó𝐍 1 𝟐 98 𝟑……… 𝑎 − 98 + 198 = 0 1𝟗𝟖 -99 0 0 99 → 𝑎 = −100 b − 99 = 0 → 𝑏 = 99 b−𝒂 = 𝟏𝟗𝟗 𝐒𝐎𝐋𝐔𝐂𝐈Ó𝐍 𝑥 = −2 𝑥 = −2 2 3 3 ↓ −4 2 2 −1 5 3 𝑛 ↓ −6 3 𝑛−6 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑜 = 5 9 −2𝑛 + 12 5 9 − 2𝑛 + 12 = 5 −2𝑛 + 21 = 5 16 = 2𝑛 𝒏=𝟖 ALGEBRA FULL PRACTICA PROBLEMAS Y RESOLUCIÓN −48 0 0 2 𝟔 𝟏𝟐 −𝟐𝟒 4 𝟔 𝟏𝟐 𝟐𝟒 −𝟒𝟖 𝟐𝟒 𝟒𝟖 𝟗𝟔 + + −𝟏𝟗𝟐 𝟎 𝑎 + 48 𝑏 − 192 1 3 −8 𝟑 𝟔 𝟐𝟒 𝑸 𝒙 = 𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟐𝟒 𝑎 𝑏 𝑹 𝒙 = −𝟓𝒙 + 𝟐 𝒂 + 𝟒𝟖 = −𝟓 → 𝒂 = −𝟓𝟑 𝒃 − 𝟏𝟗𝟐 = 𝟐 → 𝒃 = 𝟏𝟗𝟒 𝒂 + 𝒃 = 𝟏𝟒𝟏 𝐇𝐎𝐑𝐍𝐄𝐑 𝐈𝐍𝐕𝐄𝐑𝐓𝐈𝐃𝐎 4 7 −1 −1 -3 -3 𝟑 −𝟏 -𝟑 𝟑 −𝟏 -𝟑 𝟏 0 0 3 3 1 𝟏 𝐵−4=0 → 𝐵 =4 𝐴 − 3 = 0 → A=3 𝐴 𝐵 ∴ 𝐵 𝐴 = 64 1 3 2 −6 13 −9 6 −9 𝟎 𝟎 𝟒 𝟖 𝟎 −3 3 𝟎 𝟒 𝑸 𝒙 = 𝟑𝒙𝟑 + 𝟒𝒙 − 𝟏 r 𝒙 =𝟐 → I)V II)V III)F 14 −1 −𝟏𝟐 −1 -2 3 −1 0 2 𝑥− 2+1=0 𝑥 = 2−1 2−1 2 2 2 2−3 ↓ 2 2−2 4−2 2 2 2 2 ∴ r(X)=10 1 2 9 2−1 1 2+1 10 1 0 1 1 𝟑 −𝟔 𝟗 −2 𝟒 𝟐 −𝟒 𝟔 −𝟒 -𝟐 𝟒 2 6 2 3 4 𝟑 𝟐 −𝟐 𝟐 6𝑎 5𝑎 3a −𝟔 −𝟒 6 6a+12 5a-10 𝑟 𝑥 = 6𝑎 + 12 𝑥 2 + 5𝑎 − 10 𝑥 + (3𝑎 + 6) 5𝑎 − 10 = 0 → a=2 3a+6 TEOREMA DEL RESTO Por el teorema del resto 𝑥 2 + 3𝑥 − 12 = 0 → 𝑥 2 +3𝑥 = 12 ……α Efectuado los productos convenientemente D(x)= 𝑥 2 + 3𝑥 − 4 𝑥 2 + 3𝑥 − 10 + 40 Reemplazando ……α r(x)= 12 − 4 12 − 10 + 40 →r(x)= 8 2 + 40 →r(x)=56 POR LA IDENTIDAD FUNDAMENTAL P(x)= 𝑥 + 2 𝑛 𝑄 𝑥 + 𝑥 + 4 Sea x=0 P(0)= 2 𝑛 𝑄(0) + 4 100= 2𝑛 3 +4 96=2𝑛 3 32= 2𝑛 ∴ n=5 𝑚 𝑚3 0 −2𝑚2 −2 -7𝑚 𝑚2 − 6 4m 𝟔 −𝟐𝒎 𝒎𝟐 -2m −2𝑚2 -3m 0 𝑚2 − 𝑚 4 𝑚2 −𝟐𝒎 𝑚2 − 𝑚 + 4 = 0 𝒎 -3 −2 → 𝑚2 − 𝑚 = −4 Nos piden 𝑚2 − 2𝑚 − 3 + 𝑚 − 2 Reemplazando : Rpta -9 = 𝑚2 − 𝑚 − 5 0 POR LA IDENTIDAD FUNDAMENTAL P(x)=(𝑥 2 + 𝑥 − 2)𝑄 𝑥 + 𝑎𝑥 + 𝑏 Sea x=0 P(0)=(-2)𝑄(0) + 𝑏 15=b 11= (−2) 2 +b Sea x=1 𝑄 0 =2 P(1)=(0)𝑄 1 + 𝑎 + 𝑏 20=𝑎 + 𝑏 r(x)=ax+b 20=𝑎 + 15 r(x)=5x+15 5=𝑎 Por el teorema del resto 3 𝑥−3− 7=0 →𝑥−3= 3 7 Elevando al cubo → 𝑥 3 −9𝑥 2 + 27𝑥 − 27 = 7 → 𝑥 3 −27𝑥 2 + 27𝑥 = 34 Reemplazaremos en P 𝑠𝑎𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑃 𝑥 = 𝑥 3 − 9𝑥 2 + 27𝑥 − 29 Reemplazando r 𝑥 = 34 − 29 r 𝑥 =5
