ets guia variable (No resuelto)

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
Escuela Superior de Ingenierı́a Mecánica y Eléctrica
Academia de Matemáticas - VARIABLE COMPLEJA Y TRANSFORMADAS
FOURIER Y Z
Guı́a de estudios para examen ets 2023-1
Miércoles, 18/ENE/2023
VARIABLE COMPLEJA
1. Para la función u(x, y),
ˆ verifica si es armónica
ˆ si es armónica, encuentra su función armónica conjugada
ˆ escribe la función holomorfa(analı́tica) f (z) con los resultados anteriores
ˆ determina la derivada de f (z) y evalua en z0 = ei π
ˆ evalua la función g(z0 ) para z0 = 2 e−i π/2 ; si g(z) = f (z)f ∗ (z), con f ∗ (z), conjugado
de f (z)
ˆ encuentra el argumento de g(z0 )
(a) u(x, y) = 2x − 2x2 + 2y 2
(c) u(x, y) = 2y 3 − 8xy
(e) u(x, y) = 2x − 4y − 3
(g) u(x, y) = e2x cos 2y
(i) u(x, y) = x3 − 3xy 2
(b) u(x, y) = 6xy + y 2
(d) u(x, y) = −ey + y 2
(f ) u(x, y) = 3x2 y − y 3
(h) u(x, y) = 4xy
(j) u(x, y) = 2xy − x + x2 + 3 − y 2
(k) u(x, y) = 3y 2 + 3y − 3x2
(m) u(x, y) = sen(x)cosh(y)
1
(l) u(x, y) =
x2
x
+ y2
(n) u(x, y) = x2 − y 2 + y
2. Calcula la integral de lı́nea de f (z), z = x+iy, a lo largo de la curva C. Con z ∗ , conjugado
de z
Z
Z
2
(a)
z dz,
C: recta de (0, 1) a (1, 0)
z z ∗ dz,
(b)
C
Z
∗
iz − z dz,
(c)
I
C: recta de − 1 a 1 + 2i
C
C
z dz
dz,
(1 + z)(1 − iz)
I
(g)
I
(i)
C
C: |z| = 1
C
2i
dz,
(z − 1)(z + 3i)
(e)
(i z)∗ dz,
(d)
C
I
C: recta de (0, 0) a (1, 1)
C
I
C: |z| = 2
C
C: |z+i| = 1
(h)
C
1
1
C:|z − i| =
2
2
C: |z − i| =
z 2 dz
dz,
(1 − 4z)(1 + iz)
I
(j)
i 2z ∗ dz,
1 − z dz,
(l)
C: |z| = 1.5
C
C: recta de − 1 a 1 + i
C
C
I
(m)
C
|z|
dz,
z2
2
C: |z| = 0.25
1
4
C: |z−i| = 0.25
Z
∗ 2
(z ) dz, C: |z| = 2
(k)
dz
dz,
(1 − 2z)(1 + iz)
I
dz
dz,
(1 + 2iz)(1 − 2z)
I
(f )
SERIE TRIGONOMÉTRICA DE FOURIER
1. encuentra las constantes de la serie de fourier trigonométrica a0 , y an de f (t), función
periodica.
(a) f (t) = t2 , con t ∈ [−2, 2]
(b) f (t) = 0.5+t, si x ∈ (−0.5, 0), f (t) = 0.5−t, si x ∈ (0, 0.5),
(c) f (t) = e−α t , con t ∈ [−1, 1], α constante positiva
2. determina la constante de la serie de fourier trigonométrica bn , de f (t), función periodica.
(a) f (t) = |t| t, con t ∈ [−π, π],
(b) f (t) = 1, si t ∈ (0, π), f (t) = −1, si t ∈ (π, 2 π),
(c) f (t) = t, si t ∈ (0, 1), f (t) = 1 − t, si t ∈ (1, 2),
SERIE COMPLEJA DE FOURIER
3. de la función f (t) periodica,
ˆ encuentra la constante Cn , de la serie compleja de fourier
ˆ determina una aproximación de orden 3 de la potencia de f (t), utilizando Cn
ˆ encuentra el argumento de: C1 , C2 , C3 .
(a) f (t) = e−t , con t ∈ [0, 1]
(b) f (t) = |sen t|, con t ∈ [−π, π]
(c) f (t) = 2 cos2 (t), con t ∈ [−π, π]
(d) f (t) = t/2, si t ∈ (0, 0.5),
√
(e) f (t) = π/ 2, si t ∈ (−1, 0), f (t) = 1 − t, si t ∈ (0, 1),
(f ) f (t) = 0, si t ∈ (−1, −0.5), f (t) = π, si t ∈ (−0.5, 0.5), f (t) = 0, si t ∈ (0.5, 1),
3
TRANSFORMADA DE FOURIER
1. Calcula la transformada de Fourier de f (t), por definición
(a) f (t) =


 1 si 0 ≤ t ≤ 1 

(b) f (t) =
2 si 1 < t ≤ 2

1 − |t| si |t| ≤ 1
0
si |t| > 1
2 π si |t| ≤ 2
0
si |t| > 2
(c) f (t) =

0



3
(f ) f (t) =
−3



0
si
t < −1/2
si −1/2 < t < 0
si 0 < t < 1/2
si
t > 1/2







2. Determina la transformada de Fourier de f (t), utilizando tablas
(a) f (t) = 5 H(t − 3) e6−2t + 12 sgn(t)
(c) f (t) = 5 t H(t) e−10t − 0.5 Sa(2t)
(e) f (t) = 15 sgn(t) e−i
(g) f (t) = 5 t e−200|t|/7 −
√
√
2t
(b) f (t) = 5 H(t − 1) e3t−3
(d) f (t) = 5 t2 sgn(t)
− 5 Sa(100t/5)
π Sa(2 π t)
(f ) f (t) = 2
2 −2|t−1|/5
e
3
(h) f (t) = 10(H(t − 3) − H(t − 11))
3. Encuentra la transformada inversa de Fourier, por tablas
4 sen(w)
, ∀α∈R
ei3w α w
(b) F (iω) = 7
2
, ∀b∈R
b − 2i + wi
(d) F (iω) =
(a) F (iω) =
(c) F (iω) =
4
e−a π
, ∀a∈R
(iw − 2)(iw + 3)
4 sen(α)
, ∀α∈R
(iw + 1)(iw + 0.5)
(e) F (iω) = 7
e−i w π
,
iw + 2
(f ) F (iω) =
√
4 3
(g) F (iω) =
, ∀a∈R
(iaw + 3)(iw − 3)
1
,
(iw + 1)w
√
π
(h) F (iω) =
, ∀b∈R
(iw + b)(i b2 w + 2)
TRANSFORMADA Z
1. Determina la transformada de Z de la sucesión causal {xk },
con a, b constantes positivos
{xk } =
(a)
{xk } =
(c)
(e)
1 k+2
−
a
k 1 k
−
2
b
(i)
{xk } =
(d)
{xk } = a 1 − 3 e−0.4k
(f )
{xk } = a3 cos2 (b π k)
(g)
{xk } = −4 k
{xk } = −3 k sen(2 b k),
(b)
(j)
π
−
1 k−1
1 k−1
+ a2 k
a
3
2
{xk } =
cosh (2 a k)
π
{xk } = 5 k
(h)
a k
{xk } =
a k−1
,
10
b k−2
−
,
10
a < 10
a < 10
2. Usando técnicas de inversión, encuentra la transformada inversa de Z para X(z)
(a)
X(z) =
(c)
(e)
3π
20z − 10
X(z) =
X(z) =
(b)
X(z) =
z
(z − 3)(2z + 1)
(d)
1
(z − 10)(z + 1)
(f )
5
z
, con b constante positiva
bz − 1
X(z) =
X(z) =
3z
(3z + 1)(z − 2)
1
(5z − 1)(10z + 2)
(g)
(i)
1
−1
(h)
X(z) =
z
(z − 3)(3 + 3i)
(j)
X(z) =
X(z) =
X(z) =
z2
z2
z
+1
2z + 1
(z + 1)(z − 3)
3. Encuentra la sucesión causal solución y(k) de la siguiente ecuación en diferencias, para:
(a) y(0) = y(1) = 0
y(k + 2) + 3 y(k + 1) − 28 y(k) = 2
(b) y(0) = 0, y(1) = 1
y(k + 2) − 5 y(k + 1) + 6 y(k) = 10
(c) y(0) = y(1) = 0
y(k + 2) + 26 y(k + 1) + 25 y(k) = 4
(d) y(0) = 1, y(1) =
√
2
y(k + 2) + 2 y(k) = 0
(e) y(0) = y(1) = 0
6 y(k + 2) + 5 y(k + 1) − y(k) = 5
(f ) y(0) = 3, y(1) = 2
2 y(k + 2) − 5 y(k + 1) − 3 y(k) = 0
6