Apéndice C Análisis de Fourier

Apéndice C
Análisis de Fourier
Se define la Transformada de Fourier de una señal como:
Z
F (ω) =
<
f (t) exp (−iωt)dt
(C.1)
Y su inversa como:
1 Z
f (ω) =
F (w) exp (iωt)dω
2π <
(C.2)
La señal se muestrea (o se simula) normalmente de forma discreta a intervalos constantes. Si llamamos T al periodo de muestreo, y f (T k) es tal
P
2
que +∞
k=−∞ |f (T k)| < +∞, definimos la Transformada Discreta de Fourier
(TDF)
µ
¸
+∞
X
π π
e
F (ω) =
f (T k) exp (−iωT k) , ω ∈ − ,
(C.3)
T T
k=−∞
y su inversa (TDFI)
T Z π/T e
f (T k) =
F (ω) exp (iωT k)dω , k ∈ Z
2π −π/T
(C.4)
Como se puede observar con un periodo de muestreo T no podemos distinguir sucesos que tengan pulsaciones superiores en módulo a π/T . Esta
pulsación recibe el nombre de pulsación de Nyquist (ωN = π/T ).
Desafortunadamente no tenemos series de datos infinitamente largas, pero
podemos definir la Transformada Finita de Fourier (TFF) como:
FbN (Ωj) =
N
−1
X
f (T k) exp (−iΩT jk) , j = 0, 1, . . . , N − 1 , Ω =
k=0
55
2π
(C.5)
NT
APÉNDICE C. ANÁLISIS DE FOURIER
56
y su inversa (TFFI)
−1
2π
1 NX
Fb (Ωj ) exp (iΩT jk) , k = 0, 1, . . . , N − 1 , Ω =
f (T k) =
(C.6)
N j=0
NT
Se puede demostrar que las transformadas de Fourier cumplen las siguientes propiedades:
f Real ←→ F hermı́tica
f hermı́tica ←→ F real
Teorema del muestreo:
∞
X
1
Fb (ω) =
T
F (ω − 2kωN ) , ωN =
k=−∞
π
T
(C.7)
Si F (ω) = 0 para |ω| ≥ ωN entonces
Fb (ω) =
1
F (ω)
T
(C.8)
Definimos la función de autocovarianza de una señal X(t) como:
C(t, s) = E [(X(t) − µ(t))(X(s) − µ(s))]
(C.9)
Si el proceso es estacionario
E [X(t)] = µ
(C.10)
C(t, s) = C(t − s)
(C.11)
C(t) = C(−t)
(C.12)
Definimos la densidad espectral de un proceso estacionario como la Transformada de Fourier de la función de autocovarianza.
S(ω) =
+∞
X
C(k) exp (−iωT k)
(C.13)
k=−∞
Como ya hemos comentado la función de autocovarianza es hermı́tica y real, con lo que su transformada de Fourier (S(ω)) es real y simétrica. Por
comodidad se suele representar solo la parte positiva del espectro.