FLUJO DE CARGAS EN LOS SISTEMAS ELÉCTRICOS DE POTENCIA Flujo de Cargas en los Sistemas Eléctricos de Potencia. 1.1.- Introducción. Durante mucho tiempo, el problema de flujo de carga llamó la atención de los ingenieros y los matemáticos dando como resultado una grandísima cantidad de publicaciones técnicas sobre el tema. Antes del año 1929, los cálculos de flujo de cargas (FC) se realizaban por métodos manuales. En 1929 comenzaron a utilizarse los llamados Analizadores de Redes que primero fueron de corriente directa (CD) y después de corriente alterna (CA). En 1954 se publicó el primer artículo que describía un método de cálculo que utilizaba la computadora digital. Un método realmente exitoso fue desarrollado por Word and Hale en 1956. La mayoría de estos algoritmos iniciales se basaban en el método de Gauss Seydel que requiere poco almacenamiento en la memoria de la computadora y converge en pocas iteraciones para sistemas eléctricos de potencia (SEP) pequeños. La lenta convergencia de este método para SEP grandes y sus frecuentes fallos de convergencia para sistemas mal condicionados (radiales, poco mallados, muy cargados, etcétera) hizo que se desarrollara el método de la matriz impedancia, matriz (Z). Este método tiene el inconveniente de ocupar mucha memoria porque la matriz (Z) es “llena”, es decir, carece de elementos desiguales de cero. Esta nueva dificultad condujo al método de Newton Raphson que fue desarrollado primero por Van Ness y Griffin y más tarde por otros autores. Las modificaciones realizadas al método convencional de Newton Raphson lo han convertido en un método rápido y exacto pudiendo ser utilizado para problemas “on line” y para el análisis de contingencias. Modificaciones posteriores han permitido su utilización en el cálculo del llamado “Flujo de Cargas Óptimo”. Otro desarrollo de interés en el problema del flujo de cargas (FC) es el “flujo de cargas probabilístico” donde la entrada y la salida de la red se toman como variables aleatorias teniendo en cuenta que los estudios de FC son de naturaleza estocástica, es decir, algunos de sus datos de entrada están sometidos a la incertidumbre y por lo tanto, los datos de salida se pueden expresar como un conjunto de posibles valores con su correspondiente frecuencia de ocurrencia o una función de distribución de probabilidades. Las incertidumbres asociadas con los datos se deben a varios aspectos: CURSO DE FLUJO DE CARGA 1 Las incertidumbres en el pronóstico de la carga debidas a factores económicos y otros. La variabilidad de la carga, debida a las condiciones atmosféricas y a la dirección o el control de la carga. La mayor o menor disponibilidad de la generación y/o la transmisión por la salida forzada de generadores y/o líneas. La demora de la puesta en marcha de nuevas instalaciones de líneas y/o generadores. Los cambios bruscos en la disponibilidad y los precios del combustible. La utilización de nuevas técnicas en la generación y en la transmisión de energía eléctrica. La tendencia actual es la de desarrollar programas de FC interactivos que permitan al analista del sistema modificar los datos sobre el “display” de forma gráfica. Si se establece como Régimen de Operación de un SEP a aquel que define el estado de los llamados parámetros del régimen (frecuencia, voltaje en módulo y ángulo, potencia activa y potencia reactiva), el más importante es el llamado Régimen Estacionario Normal (REN) que es aquel en el cual, los parámetros del régimen no varían o lo hacen en forma lenta y aperiódica. Así, la principal función de un SEP es suministrar la potencia activa (P) y reactiva (Q) que demandan las cargas dentro de este REN. La operación de los SEP en REN puede dividirse en tres áreas: a) Los análisis de flujo de cargas. b) La estrategia a definir para obtener una generación óptima. c) El control de la operación del SEP. 1.2.- Ajuste de las condiciones de operación de los SEP. La gran importancia del control de la operación de los SEP hace que se le dediquen unas líneas a su estudio. Ajuste de la potencia activa. La potencia activa tiene un carácter global, es decir, su déficit en cualquier parte del sistema puede ser suplido, al menos teóricamente, por cualquier generador sin tener en CURSO DE FLUJO DE CARGA 2 cuenta cuan lejos esté del lugar donde se haya incrementado la carga. Esta característica facilita su control. Los dispositivos que se utilizan para controlar o redistribuir el flujo de potencia activa en los SEP son cuatro: a) El ajuste de la potencia activa que entregan los generadores del SEP accionando el gobernador de la turbina. b) El ajuste de las derivaciones “taps” de los transformadores cuya relación de transformación es un número complejo (k=a+jb) y cuya función, al modificar el ángulo de fase entre el voltaje primario y secundario (ángulo δ), modifica el flujo de potencia activa. c) El control del bombeo del agua de las hidroacumuladoras. d) La desconexión (o el bote) de las cargas. Los ajustes a) y b) son a los que primero acuden los despachadores. El ajuste c) se utiliza por razones económicas. Con él, la potencia activa se modifica de la siguiente manera: Por la madrugada, cuando la demanda es pequeña se bombea agua hacia un almacenamiento alto, lo que provoca un consumo que permite mantener algunos generadores operando como carga base con su mayor eficiencia. Durante la demanda máxima la energía hidráulica almacenada en el embalse se utiliza para generar potencia activa. La opción d) es indeseable porque interrumpe el servicio a los consumidores debiendo utilizarse sólo en última instancia. Ajuste de la potencia reactiva. Los dispositivos de control que se utilizan para controlar el flujo de potencia reactiva son más numerosos que los que se utilizan para controlar la potencia activa. La potencia reactiva es un fenómeno de carácter local. La circulación de potencia reactiva por las líneas sólo provoca caídas de voltaje y pérdidas de potencia activa y reactiva por lo que su compensación debe realizarse de forma local o “por zonas”. Los aparatos más utilizados para compensar la potencia reactiva son: CURSO DE FLUJO DE CARGA 3 a) Los generadores de potencia reactiva (generadores y condensadores sincrónicos): Para lograr esta variación, los despachadores tienen que variar la corriente del campo o de la excitatriz. Si se varía dicha corriente el voltaje tiende a variar en el mismo sentido de la variación de la corriente, pero como la máquina está en paralelo con el resto de los generadores del SEP lo que produce es una variación en la generación de la potencia reactiva. La potencia reactiva que una máquina sincrónica puede entregar (sobreexcitada) o consumir (bajoexcitada) depende de su curva de cargabilidad la cual determina los valores permisibles, teniendo en cuenta la potencia activa que está generando ya que la potencia aparente (S=P+jQ) es la que determina el calentamiento de la máquina. b) Los bancos de capacitores estáticos paralelos (shunt): Se utilizan para inyectar potencia reactiva en las barras. Esta compensación puede realizarse por pasos o de forma continua. c) Los reactores conectados en paralelo (shunt): Se utilizan para compensar el efecto capacitivo de las líneas muy largas a EAV o de las líneas en circuito abierto o con poca carga (efecto Ferranti). Se instalan en los extremos de la línea y/o en puntos intermedios. d) Los cambios de las derivaciones “taps” de los transformadores cuya relación de transformación es un número real (k=a+j0) y cuya función es cambiar el módulo del voltaje y por ende el flujo de potencia reactiva en los SEP mallados. e) Las líneas largas de alto voltaje: La potencia reactiva neta de una línea de transmisión es: QNeta = QGen − ∆Q = ( ) B`' 2 Ve + VR 2 − 3I 2 R ⋅ 10−3 M var 2 (1.2.1) Donde: QGen= Potencia reactiva “generada por la línea. ∆Q= Potencia reactiva consumida por la línea o pérdidas de Q en la línea. La expresión 1.2.1 muestra que, dependiendo del estado de carga de la línea (I), y de los valores de los voltajes del envío y del recibo (Ve y VR) la línea podrá entregar (QNeta>0) o consumir Q (QNeta<0). CURSO DE FLUJO DE CARGA 4 f) Los capacitores en serie: Se instalan en las líneas largas compensando la reactancia serie de la línea entre un 25 y un 70%. Su introducción modifica el flujo de potencia reactiva porque reduce las pérdidas de Q. Sus desventajas son: - Aumentan los niveles de cortocircuito. - Provocar fenómenos transitorios severos debidos a las conmutaciones. - Pueden provocar sobrevoltajes peligrosos durante los cortocircuitos por lo que deben ser sacados de servicio durante los mismos. g) Los compensadores estáticos SVC (Estatic Voltage Control): Dependiendo del valor del voltaje en el punto de instalación pueden entrega o consumir potencia reactiva. Su respuesta es comparativamente rápida por lo que se instalan en las barras donde la regulación del voltaje es crítica como son aquellas donde hay hornos por arco eléctrico. 1.3.- Características de las redes eléctricas durante el cálculo de FC. Durante los cálculos de flujo de cargas en la computadora digital la red se considera lineal, balanceada, fija y con parámetros concentrados. Que sea fija quiere decir que su topología no cambia durante los cálculos, es decir si se analiza el disparo de una línea, el proceso transitorio comprendido entre antes y después de abrirse la línea no entra en el análisis, es decir, se corre un flujo con la línea cerrada y otro con la línea abierta de forma independiente. 1.4.- Variables utilizadas en los estudios de FC. Para un Nodo “i” cualquiera se definen: Voltajes en módulo y ángulo: Ui=Ui∠ ±δi pu. (2 variables). Generación del Nodo “i” : SGi=PGi+jQGi pu. (2variables). Demanda del nodo “i” : Sdi=Pdi+jQdi pu (2 variables). Potencia Neta o del Nodo “i”: Si=SGi-Sdi=Pi+jQi pu (2 variables). De las ocho (8) variables mostradas se trabaja sólo con cuatro (4): El voltaje de la barra: Ui∠δi pu y La potencia neta : Si=Pi+jQi pu. CURSO DE FLUJO DE CARGA 5 1.5.- Clasificación de las variables de los nodos. Las variables de los nodos se clasifican en : - Variables de estado : V∠δ y f (Voltaje en módulo y ángulo y la frecuencia). - Variables de perturbación: Pd+jQd (la demanda o carga de los consumidores). - Variables de control : PG+jQG (La generación). Ejemplo: Un SEP está operando en régimen estacionario normal (REN) definido por sus variables de estado (Ui, i=1, 2, 3,... N nodos) (no se incluye la frecuencia porque su variación no se analiza en los estudios de FC). Si la carga Sd cambia, es decir si existe una perturbación, el estado inicial del sistema se modifica pues los voltajes cambian tanto en módulo como en ángulo. La situación se controla modificando la generación SG. 1.6.- Representación de los elementos del SEP en los estudios de FC. A continuación se analizará como se representan circuitalmente en los estudios de flujo de cargas los diferentes elementos que constituyen un sistema eléctrico de potencia. Generación. La generación se representa mediante la potencia activa generada (saliendo del nodo) y la potencia reactiva consumida o entregada (entrando o saliendo del nodo). Figura 1. (k) PGk QGk Figura 1.6.1- Representación de la generación en los estudios de FC. Líneas. Las líneas se representan mediante su circuito Π Nominal, si tiene hasta 250 km. Π Equivalente si tiene más de 250 km y Simple Impedancia si la potencia reactiva que genera puede despreciarse frente al balance de Q de la zona. Ver la figura 2. CURSO DE FLUJO DE CARGA 6 • Ie Zi I • Zi • • ’ Ie Bi/2 Ve • VR Bi/2 Neutro. • • Neutro. • Figura 1.6.2.- Representación de las líneas de transmisión en los estudios de FC. Cargas o demanda eléctrica. Las cargas eléctricas se representan mediante su demanda siempre saliendo del nodo si son inductivas (factor de potencia en atraso). Ver la figura 1.6.3. (k) Pdk Qdk Figura 1.6.3.- Representación de las cargas en los estudios de FC. Capacitores y condensadores sincrónicos. Los capacitores y los generadores sincrónicos se representan mediante una generación o un consumo de potencia reactiva. El capacitor es un elemento estático que sólo puede entregar potencia reactiva, mientras que el condensador sincrónico es un generador sincrónico que no puede entregar potencia activa, pero puede generar o consumir potencia reactiva. Ver la figura 1.6.4. CURSO DE FLUJO DE CARGA 7 (k) (k) Qck C. Estàtico. Qck C. Sincrónico. Figura 1.6.4.- Representación de los capacitores y los condensadores sincrónicos en los estudios de FC. Resto de un SEP o una parte de él. En los estudios de planeamiento, expansión y operación de los SEP, partes de la red pueden ser representadas por los equivalentes externos porque, especialmente en tiempo real, se carece de la información necesaria para modelarlo adecuadamente lográndose una reducción de las dimensiones del problema que puede ser de flujo de cargas, cortocircuito, etcétera. Los análisis de contingencias en las líneas de transmisión y los transformadores; la ubicación óptima de los bancos de capacitores y el planeamiento de la expansión de las redes de transmisión son problemas de análisis de redes que exigen una secuencia de solución de FC. Por ejemplo, durante los análisis de contingencias, para cada una de las fallas consideradas posibles, es necesaria la determinación de una solución de FC. Cuando se necesita, como en estos casos, una solución repetida de casos semejantes, una reducción de las dimensiones de la red utilizando equivalentes puede traer ventajas computacionales significativas. En estos casos el procedimiento consiste en partir de una solución inicial para la red completa (caso básico) y obtener una red reducida (red de interés más el equivalente externo) y analizar una secuencia de casos utilizando la red reducida. La figura 1.6.5 representa un SEP subdividido en tres partes: La red interna, (la que se quiere analizar), la frontera y la red externa. El área de interés es la red interna junto con la frontera. El objetivo básico de la red externa equivalente es el de simular sus reacciones cuando ocurren alteraciones en la red de interés provocadas por una contingencia en las líneas, los transformadores o los generadores. CURSO DE FLUJO DE CARGA 8 Para muchas perturbaciones las reacciones de la red externa pueden ser insignificantes y en esos casos, la red externa podría representarse por una carga o una generación. Para otras perturbaciones, especialmente las que ocurren en las proximidades de la frontera, las reacciones de la red externas son importantes y exigen la utilización de equivalentes. Entre ellos están : - El método llamado Equivalente de Ward que puede ser lineal o no lineal - Obtención del equivalente por el método de eliminación de Gauss. - Método REI (Radial Equivalent Independent). Frontera. Red interna Red externa Área de Interés. Figura 1.6.5 Descomposición de una red en red interna, frontera y red externa. Transformadores. Los transformadores que se instalan en los SEP son de dos tipos. - Los que modifican el ángulo de fase (δ) entre los voltajes del primario y el secundario. En estos transformadores la relación de transformación es un número complejo (k=a+jb) y como varían el llamado ángulo de potencia, permiten variar el flujo de potencia activa como ya se explicó. - Los que modifican el módulo del voltaje por uno de los lados del transformador. En este caso, la relación de transformación es un número real (k=a+j0). Estos transformadores se representan mediante un circuito Π que se muestra a continuación en la figura 6. CURSO DE FLUJO DE CARGA 9 Y12 a (1) (2) • (1) (2) S12 • X12 a −1 Y12 a ∆PT+j∆ ∆QT 1− a Y12 a2 Figura 1.6.6.- Representación de un transformador con derivaciones fijas. En la figura 1.6.6: X12: Reactancia del transformador en por unidad. Y12 = 1 pu.: Donde la reactancia del transformador es imaginaria pura. jX12 a = 1+ a= "Tap" (%) pu. 100 "Tap" (%) pu. 100 Si la derivación “Tap” se expresó como (± 2, 3, etc.) %. Si la derivación “Tap” se expresó como (98, 102 etc.) %. ∆PT y ∆QT son las pérdidas de potencia activa y reactiva en vacío del transformador que se representan como una carga fuera del circuito equivalente del transformador. NOTEN que para los “Taps” del 0% o del 100%, a=1 y el circuito se convierte en un simple impedancia como es usual para un transformador cuando se desprecia la reactancia de magnetización. 1.7.- Clasificación de los nodos en los estudios de flujo de carga. Para los estudios de flujo de cargas existen tres tipos de nodos: Nodos de Carga o Nodos PQ. Son aquellos en los que se conoce la generación (SG) y la demanda (Sd) por lo que se conoce la potencia neta o de nodo que puede ser menor, mayor o igual a cero. Cualquier nodo puede ser de carga. CURSO DE FLUJO DE CARGA 10 Datos: Generación y Demanda (SG y Sd). Incógnitas: Módulo y Ángulo de los voltajes de nodos: U∠δ Nodos de Voltaje Controlado o PV. Antes de definir las características de los nodos de voltaje controlado, debe explicarse como se controla el voltaje en un nodo mediante una fuente de potencia reactiva controlable, es decir, un generador o un condensador sincrónico. La figura 1.7.1 muestra dos nodos de una red eléctrica. En uno de los nodos hay un condensador sincrónico. La expresión para el voltaje V2 , despreciando la parte imaginaria o componente transversal de la caída de voltaje porque influye poco en el módulo de U2 por estar a 900 es: V2 = V1 − X12 (Q1 − Qc ) kV V1 (1.7.1) En la expresión (1.7.1), si Qc aumenta, U2 aumenta porque (Q1-Qc) disminuye, es decir, resta menos. Nótese que U2 aumenta aunque Qc se haga mayor que Q1 porque el signo cambia. Lo anterior indica que, una fuente de potencia reactiva controlable puede utilizarse para mantener el voltaje de un nodo constante cuando la carga varía. Datos: Demanda (Sd), potencia activa generada (PG), potencias reactivas máxima y mínima (QGmax y QGmin) porque la fuente de Q no es de capacidad infinita y módulo del voltaje especificado en el nodo (V) pues el analista del sistema fija qué voltaje desea tener en el nodo. Incógnitas: Ángulo del voltaje especificado en el nodo (δ ) y potencia reactiva que tiene que generar la fuente de potencia reactiva del nodo (QG) para mantener el módulo del voltaje especificado. CURSO DE FLUJO DE CARGA 11 (2) (1) JX12 (R12 ≈ 0 (Q1-Qc) V1 (Constante) V2 QC Fuente de Q. Figura 1.7.1.- Enlace entre dos nodos de una red eléctrica con una fuente de potencia reactiva controlable. Para que un nodo pueda ser PV su potencia reactiva neta tiene que ser >0 y la potencia reactiva generada tiene que cumplir con la restricción QGmin ≤ QG ≤ QGmax Nodo de Balance (Slack Bus). En los estudios de FC de los SEP se define un nodo llamado de balance por dos razones: 1.- En cualquier sistema eléctrico se cumple la ecuación del balance de las potencias activas y reactivas: ∑ SG = ∑ Sd + ∑ ∆S Cuando se planifica el cubrimiento de la curva de carga diaria a partir de su pronóstico, es decir, cuando se le asigna a cada unidad generadora su plan de generación, se desconocen las pérdidas de potencia activa, reactiva y la potencia reactiva generada por las líneas por lo que cualquier solución tiene que dejar un nodo suelto (“slack”), al que no se le programa generación para que cubra las pérdidas y alguna generación (SG) que se haya dejado de asignar al resto de las estaciones generadoras del sistema. 2.- Al nodo de balance se le especifica un valor de voltaje tanto en módulo como en ángulo: VNB =1∠ 0o pu. CURSO DE FLUJO DE CARGA 12 Al fijarse el voltaje de uno de los nodos, se reduce el número de ecuaciones en uno evitándose la posible indeterminación de la solución matemática en redes poco malladas o radiales. En los estudios de FC existe un solo nodo de balance al que por comodidad para la formulación matemática se le asigna el número 1. Para que un nodo pueda ser escogido como de balance, su potencia neta tiene que ser mayor que cero pues si no fuera así, no tendría disponibilidad para entregar, por lo menos, las pérdidas de potencia activa y reactiva. Datos: La potencia demandada (Sd=Pd+jQd) y el voltaje en módulo y ángulo cero. (V1∠δ1) y los límites de potencia activa (Pmax) y reactiva (Qmax y Qmin). Incógnitas. Las incógnitas del nodo de balance son la generación de potencia activa y reactiva (PG1+jQG1). La tabla 1 muestra un cuadro resumen con las características de los tres tipos de nodos estudiados. Nodo Tipo. Datos: Incógnitas PQ Sd SG U∠δ PV Sd PG UEspecificado Qmax Qmin QG δ Sd U∠ 0 SG Balance Pmax Qmax Qmin Tabla 1.7.1.- Características de los nodos de un SEP. 1.8.- Parámetros que influyen en el sentido de la potencia activa y reactiva en una red eléctrica. En la figura 1.6.2 si se considera que Z1=0+jX1, que Ve=Ve∠δe, que VR=VR∠δR, la potencia del envío será: ( ) B ' V − VR = Pe − jQe Se = V ∗e I e = V ∗e I 'e + I = Ve∗ Ve + e 2 X1 CURSO DE FLUJO DE CARGA (1.8.1) 13 Donde el signo menos de la Q es porque se conjugó el voltaje en lugar de la corriente en 1.8.1. Efectuando y expresando los resultados en forma polar: Se = Ve Ve 2 V ⋅V ∠90 + ∠ − 90o − e R ∠ − δ − 90o 2 X1 X1 ' 2 B1 o (1.8.2) Donde δ=δe-δR La parte real, (Pe) en función de los cosenos, será: [( V ⋅V pe = − e R cos − 90o + δ X1 )] (1.8.3) Reconociendo el –sen δ en el término de la derecha de la ecuación (1.8.3) se obtiene la expresión de la potencia activa en función del ángulo δ. V ⋅V Pe = e R sen(δ e − δ R ) X1 (1.8.4) La parte imaginaria, (Qe) en función de los senos y suponiendo que la susceptancia B’ es cero será: [( Ve2 VeVR Qe = − − sen − 90o + δ X1 X1 )] (1.8.5) Reconociendo el –cos δ en el término de la derecha de la ecuación (1.8.5) se obtiene la expresión de la potencia reactiva en función del ángulo δ. Qe = ( 1 Ve2 − VeVR cos(δ e − δ R ) X1 ) (1.8.6) Las ecuaciones 1.8.4 y 1.8.6 permiten analizar cuales son los parámetros que influyen en el sentido de la potencia activa y de la potencia reactiva en un SEP: El sentido de la potencia activa depende del signo de la resta (δe-δR) por lo tanto, la potencia activa circula siempre del mayor al menor ángulo. En la expresión 1.8.6, dado que el cosδ es siempre positivo, el sentido de la potencia reactiva dependerá del valor de los módulos de los voltajes y puede decirse que la Q circulará del mayor al menor módulo con dos posibilidades: CURSO DE FLUJO DE CARGA 14 a)- Si los dos módulos son parecidos y el cosδ es <1, puede suceder cualquier cosa con el sentido de circulación de la Q. b)- Si la diferencia entre los módulos de los voltajes es >1 kV, la potencia reactiva circula del mayor módulo al menor módulo. 1.9.- Formulación matemática del problema de flujo de cargas. El método más conveniente para resolver flujos de carga (FC) en los SEP es el método de las corrientes de nodo o método nodal porque en él es más fácil simular los elementos que constituyen las redes eléctricas y el número de nodos no varía si lo hace el número de líneas en operación. Para una red de 4 nodos, la ecuación de las corrientes nodales o netas es: (I)=(YB)(V) (1.9.1) Donde: (I): Vector de las corrientes llamadas netas, nodales o inyectadas en los nodos en pu. (YB): Matriz admitancia de barra en pu. (V): Vector de los voltajes al neutro de cada nodo en pu. Desarrollando la ecuación 1.9.1, teniendo en cuenta que la matriz (YB) es simétrica por pertenecer a una red lineal, bilateral y pasiva se obtiene: I1 I 2 = I3 I 4 Y11 Y12 Y13 Y22 Y23 Y33 Y14 V1 Y24 V2 pu. Y34 V3 Y44 V4 (1.9.2) Donde: Yii= Admitancia propia del nodo del nodo “i”= Suma de las admitancias conectadas al nodo “i” Yik= Admitancia mutua entre los nodos “i” y “k”=-yik= admitancia mutua física con signo cambiado yik = 1 : Inverso de la impedancia serie de la línea en pu. Zik CURSO DE FLUJO DE CARGA 15 Se supone que el nodo “1” es el de balance y que su voltaje es conocido en módulo y ángulo por lo que, como ya se explicó, no entra en la solución matemática y por ende para él no se escriben ecuaciones. Comenzando por el nodo 2, su corriente neta será, multiplicando la fila 2 por la columna 2 elemento a elemento: I 2 = Y21V1 + Y22V2 + Y23V3 + Y24V4 pu. (1.9.3) Donde en este caso particular, todas las admitancias mutuas son desiguales de cero. La corriente neta se puede calcular también mediante la expresión: I2 = S ∗2 V ∗2 pu. (1.9.4) es decir, la conjugada de la potencia neta del nodo 2 entre la conjugada del voltaje del nodo. Sustituyendo 1.9.4 en 1.9.3 y despejando el voltaje del nodo 2 (V2): V2 = 1 S ∗2 ( − Y21V1 − Y23V3 − Y24V4 ) Y22 V ∗2 (1.9.5) La ecuación 1.9.5 tiene que ser resuelta por métodos numéricos e iterativos porque: a) No es lineal dado que S=f(V2). b) Tiene dos funciones distintas del mismo voltaje, U2 y U*2. c) Hay que calcular cada voltaje en función de otros desconocidos. 1.10.- Método de Gauss Seydel (GS). El método de Gauss Seydel es un método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones no lineales y por ende se puede aplicar al cálculo de flujos de carga en SEP también llamadas Redes Complejas. Como para cada tipo de nodo (PQ, PV y Balance) las incógnitas y los datos son diferentes, su tratamiento matemático es diferente en cualquier método de solución. A continuación se verá como se tratan los tres tipos de nodos en este método. Nodo de Balance: La tabla 1.7.1 muestra que el módulo y el ángulo (δ=0) del voltaje son datos, por lo que no es necesario escribir su ecuación. CURSO DE FLUJO DE CARGA 16 Nodo de Carga (PQ). La tabla 1.7.1 muestra que las incógnitas de este tipo de nodos son el módulo y el ángulo del voltaje del nodo. Dado que un voltaje cualquiera es función del resto de los voltajes, Vk= f(V1, V3, Vk-1,-----VN) (N=No. de nodos) (1.10.1) Y sólo se conoce el voltaje del nodo de balance, para iniciar la solución, hay que suponer un juego de voltajes iniciales llamado voltajes de arranque de la solución que en este método es usual suponerlos todos iguales a 1∠0 pu. V0i= 1∠0 pu i=2, 3, N≠1 pu. Donde N es el número de nodos del SEP y el superíndice (0 ) es el número de la iteración. Reescribiendo la ecuación 1.9.5 para la primera iteración, (superíndice 1): 1 S ∗2 0 0 1 V 2= − Y21V1 − Y23V 3 − Y24V 4 pu. Y22 V 0 ∗ 2 (1.10.2) 1 S ∗3 − Y31V1 − Y32V 12 − Y34V 04 pu. Y33 V 0 ∗ 3 (1.10.3) ) ( V 13 = ( ) En este caso particular, Y31=0, pero se expresó para darle generalidad a la expresión. V 14 = 1 S ∗4 − Y41V1 − Y42V 12 − Y43V 13 pu. Y44 V 0 ∗ 4 ( ) (1.10.4) Debe notarse que en cada iteración los voltajes se han ido refrescando (“updatting”), es decir se sustituyen por los nuevos voltajes acabados de calcular. Esto da la diferencia entre el Gauss y el Gauss Seydel. Las expresiones anteriores son evaluables porque se conocen las admitancias de la matriz (YB), se conoce la potencia neta del nodo porque para los nodos PQ se conocen la generación y la demanda y se conocen los voltajes de los nodos porque el del nodo de balance es conocido (especificado) y los otros son los voltajes de arranque o los recién calculados. La expresión general es: CURSO DE FLUJO DE CARGA 17 V ik = k −1 N I S ∗k − ∑ YkpV i p − ∑ YkpV i −1 p Ykk i −1 ∗ p =1 p = k +1 V k ( ) Para la segunda iteración, el voltaje del nodo “2”” es: V 22 = 1 S ∗2 − Y21V1 − Y23V 13 − Y24V 14 pu. Y22 1 ∗ V 2 ( ) (1.10.5) Se deja al lector escribir las expresiones de los demás voltajes para la iteración 2 y de todos los voltajes para la iteración 9. ¿Cuándo se llega a la solución? Para llegar a la solución en cada iteración “i” se comprueba la expresión (1.10.6): V i k − V i −1k ≤ Tolerancia dada. =10 − (3, 4, o 5) (1.10.6) k=1, 2, 3,---N nodos. Es decir, se evalúa el módulo de la diferencia entre el voltaje acabado de calcular y el de la iteración anterior para cada uno de los “N” nodos del SEP y se itera mientras uno cualquiera de ellos no cumpla con la tolerancia dada. Nodos de Voltaje Controlado (PV). La tabla 1.7.1 muestra que las incógnitas de estos nodos son el ángulo del voltaje especificado en el nodo y la potencia reactiva que tiene generar dicho nodo para mantener el módulo del voltaje del nodo en su valor especificado. Si se supone que el nodo 4 de la figura 1.9.1 puede ser PV, los pasos para resolver ese tipo de nodo en el método de Gauss Seydel son: Calcular la potencia reactiva neta del nodo: Para el nodo 4 en la primera iteración ( ) ∗ Q14 = Parte imaginaria de V Esp 4∠δ 0 4 I 14 pu. (1.10.7) Donde: CURSO DE FLUJO DE CARGA 18 VEsp4 :Módulo del voltaje especificado por el analista del sistema en el nodo PV. δ04=Ángulo del voltaje especificado que como se desconoce, se toma el de la iteración anterior (i-1) 0 en este caso por ser la primera. (I14 )∗ = [Y41V1 + Y42V 12 + Y43V 13 + Y44V Esp 4∠δ 04 ]∗ pu. (1.10.8) es la corriente neta del nodo 4 en la primera iteración. Se calcula el ángulo de potencia del voltaje del nodo 4 (δ4). La expresión para el voltaje del nodo 4 en la iteración 1 es: V Esp 1 4∠δ 4 1 P4 − jQ14 1 1 = − Y41V1 − Y42V 2 − Y43V 3 = E + jF (1.10.9) Y44 Esp 0 ∗ 4 ∠δ 4 V [ ] Donde E y F son las partes real e imaginaria del voltaje calculado en la iteración “1” para simplificar la notación. Así: E Es el ángulo buscado. F δ 14 = tg −1 (1.10.10) Comprobar si la Q generada es permisible. Después de obtenida la convergencia, para que el nodo pueda ser PV, la Q generada tiene que cumplir con las restricciones: ( ) Qmin4 ≤ Qif 4 − Qd 4 ≤ Qmax4 Donde if = iteración final. (1.10.11) Si se sobrepasa alguno de los límites dados, el nodo no podrá ser PV porque el voltaje especificado es muy alto o muy bajo. Por ejemplo, Si la potencia reactiva generada es mayor que la máxima, es porque el voltaje especificado es muy alto para la potencia reactiva que puede entregar la fuente de Q del nodo. Si la potencia reactiva generada es menor que la mínima, es porque el voltaje especificado es muy bajo para la potencia reactiva que puede consumir la fuente de Q del nodo. Nodo de balance (slack bus). CURSO DE FLUJO DE CARGA 19 La tabla 1.7.1 muestra que el resultado (incógnita) del nodo de balance es la generación. Después de alcanzarse la convergencia para la iteración fina (if) la potencia neta del nodo de balance, el 1 en este caso es: [ ] ∗ S1 = V1I ∗1 = V1 Y11V1 + Y12V if 2 + Y13V if 3 + Y14V4 pu. (1.10.12) La generación es: SG1=S1+Sd1=PG1+jQG1 pu. (1.10.13) Para que el nodo escogido pueda ser de balance debe cumplir con las restricciones: PG1≤Pmax Qmin≤QG1≤Qmax Completándose los resultados del flujo de cargas. 1.11.- Otros resultados importantes en los estudios de FC. La solución primaria del algoritmo mostrado son los voltajes de los nodos en módulo y ángulo. A partir de ellos se calculan otros resultados de interés. Por ejemplo, para un enlace (i-k) entre dos nodos cualesquiera de un SEP que tiene una impedancia de enlace Zik, y unos voltajes de nodo Vi ∠δi y Vk∠δk V − Vk La potencia del nodo “i” es: Si=Vi*Iik= Vi i = Pi − jQi pu. Zik (1.11.1) V − Vi La potencia del nodo “k” es: Sk=Vk*Iki= Vk k = Pk − jQk pu. Z ik (1.11.2) Las pérdidas de potencia activa y reactiva se calculan sumando las expresiones anteriores: ∆Sik = Si + S k = ∆Pik + ∆Qik pu. (1.11.3) La figura 1.11.1 muestra la ubicación de los elementos calculados en el enlace. CURSO DE FLUJO DE CARGA 20 (i) (k) Pik Zik ∆Sik (i) Pki Qik Qki Vi Vik Figura 1.11.1.- Enlace entre dos nodos de un SEP con los principales resultados de un algoritmo de flujo de cargas. 1.12.- Convergencia y aceleración del método de Gauss Seydel. Vk Solución V 0k No. Iteraciones Figura 1.12.1.- Oscilaciones del método de Gauss Seydel hacia la convergencia. El método de Gauss Seydel tiene una convergencia lenta. La figura 1.12.1 muestra que la solución se alcanza después de algunas oscilaciones en el módulo del voltaje. Un proceso convergente de este tipo puede ser acelerado. El método más común es el que se basa en una extrapolación lineal de los resultados alcanzados en cada iteración. Así, se aplica la expresión: ( V i k Acelerado = V i −1k + α V i k − V i −1k CURSO DE FLUJO DE CARGA ) (1.12.1) 21 α es el llamado factor de aceleración. Pueden aplicarse factores de aceleración diferentes a la parte real y a la parte imaginaria del voltaje, pero en la práctica se utiliza un valor único. El paréntesis de la expresión 1.12.1 representa la tendencia de la oscilación en la iteración “i”. La misma se incrementa según α y se suma a la solución. Así el factor de aceleración puede perjudicar si no se escoge adecuadamente como se muestra en la figura 1.12.2. No. de Iteraciones. No Converge. α óptimo. α Figura 1.12.2.- Efecto del valor del coeficiente de aceleración sobre la convergencia. La experiencia indica que 2 > α > 1. Factores que influyen en la convergencia del método de Gauss Seydel. 1- Las características del sistema eléctrico analizado con respecto al número de nodos “N” (si N aumenta el número de iteraciones aumenta). La topología del SEP (radial, mallado, etcétera). 2- El valor de los voltajes de arranque. 3- El factor de aceleración 4- El valor de la tolerancia supuesta para los voltajes (si la tolerancia disminuye, el número de iteraciones aumenta. 5- La posición geográfica del nodo de balance (conviene que esté hacia el centro del sistema eléctrico. CURSO DE FLUJO DE CARGA 22 1.13.- Método de Newton Raphson. El método de Newton Raphson (NR) para la solución de problemas de flujo de cargas en SEP posee varias características que lo han convertido en el más utilizado por su gran facilidad para converger independientemente de las características del SEP modelado. La base matemática del método de Newton Raphson para resolver sistemas de ecuaciones no lineales reales es el desarrollo en serie de Taylor de funciones de varias variables donde se desprecian las derivadas de orden superior. Voltajes de arranque o de inicio de la solución. Como se recordará, un método iterativo de solución parte de suponer valores iniciales para ciertas variables, en este caso dichas variables son los voltajes nodales. Stott plantea que las características de la convergencia del método de NR hacen que haya que ser muy cuidadosos a la hora de escoger los voltajes iniciales. La figura 1.13.1, (Stott) da una idea del porque. Para el voltaje de arranque V0I , se alcanza la convergencia con un valor de voltaje demasiado bajo; sin embargo, con el voltaje de arranque V0II , se alcanza un resultado correcto. 0 •VI • • Soluciones V0II • V Malo. V Bueno. V Figura 1.13.1.- Representación gráfica de la convergencia del método de NR a dos soluciones, una buena y otra mala según el valor de arranque escogido. CURSO DE FLUJO DE CARGA 23 Esta característica ha hecho que se utilicen otros métodos para escoger los voltajes iniciales de la solución. Uno de ellos es utilizar una o do iteraciones del método de Gauss Seydel y el otro correr u flujo de cargas de corriente directa (CD). A pesar de lo anteriormente expuesto, hay experiencias como la del Dr. M. Barroso que ha obtenido buenos resultados arrancando la solución con 1∠0 para todos los nodos. Este resultado no debe ser generalizado pues está en función del mayor o menor condicionamiento del SEP analizado. 1.14.- Flujo de cargas de CD. Los resultados del flujo de cargas de CD son el módulo y el ángulo de los voltajes y las transferencias de potencia activa. Se utiliza para: - Realizar los análisis de contingencias es decir, valorar la seguridad de la operación de los SEP en régimen estacionario normal y postavería detectando si alguna línea viola el régimen de transferencia establecido. - Calcular los voltajes de arranque del método de NR porque es más rápido que el Gauss Seydel. - En el despacho económico de cargas pues éste sólo tiene que ver con la potencia activa. - En los estudios de desarrollo perspectivo, pues en ellos se desconocen las potencias reactivas y sólo se necesitan las transferencias de potencia activa por las líneas. Representación de los elementos del SEP en los flujos de CD. Líneas de transmisión: Se representan mediante la parte predominante de la impedancia serie, es decir, la reactancia. Cargas: Se representan por la potencia activa. Ventajas y desventajas del flujo de CD. La ventaja del flujo de cargas de CD es su rapidez debida a lo sencillo que es su método de solución. Su desventaja es que su exactitud es mala debido al método de representación de los elementos del SEP. CURSO DE FLUJO DE CARGA 24 1.15.- Formulación matemática del método de NR. La potencia neta de un nodo “k” en una red de “N” nodos es: S k = V ∗k I k = V ∗k N ∑YkLVL = Pk − jQk pu. (1.15.1) L =1 Donde “N” es el número de nodos. Se conjugó el voltaje en lugar de la corriente para facilitar la formulación matemática y el signo menos de la Q es por la convención utilizada cuando se conjuga el voltaje en lugar de la corriente. El método de NR se basa en el desarrollo enserie de Taylor de números reales por lo que hay que separar la expresión 1.15.1 en sus partes real e imaginaria. Así: N S k = (Ek − jFk ) ∑ (GkL − jBkL )(E L + jFL ) pu. (1.15.2) L =1 Separando las partes real e imaginaria, Pk y Qk: Pk = N ∑ [Ek (Gkl EL + Bkl FL ) + (GkL FL − BkL EL )] (1.15.3) L =1 Para simplificar, se llamarán A y D a los dos paréntesis de la expresión anterior. Entonces: Qk = N ∑ [Ek D + Fk A] (1.15.4) L =1 Por las mismas razones expuestas en el método de Gauss Seydel, los tres tipos de nodos tienen un tratamiento diferente. Sólo se estudiarán los nodos PQ. Como en los nodos de carga (PQ) se conocen la generación y la demanda, se conocen las potencias netas Pk y Qk en 1.15.3 y 1.15.4 quedando como incógnitas los voltajes. Como el voltaje del nodo de balance es conocido, en el Newton Raphson hay que escribir 2(N-1) ecuaciones, el doble del de Gauss Seydel. Desarrollo en serie de Taylor. CURSO DE FLUJO DE CARGA 25 El desarrollo en serie de Taylor de las ecuaciones 1.15.3 y 1.15.4, expresadas en forma polar es: ∂ (P ) (∆P ) ∂ (δ ) (∆Q ) = ∂ (Q ) ∂ (δ ) ∂(P ) ∂ ( V ) (∆δ ) J1 = ∂ (Q ) (∆ V ) J 3 ∂ ( V ) J 2 (∆δ ) J 4 (∆ V ) (1.15.5) Donde: J1 , J 2 , J3 , y J 4 = ∂( ∂( ) ) son las matrices Jacobianas del sistema de ecuaciones anterior que muestran como varían la potencia activa y reactiva cuando varían el módulo y el ángulo del voltaje. (∆P ) y (∆Q ): Vectores columna que representan las diferencias entre la Potencia neta que existe realmente en cada nodo (y que como se vio es dato para los nodos PQ) y la que se calcula con el voltaje de cada iteración “Power Mistmatch”. (∆P ) + j (∆Q ) = (SG ) − (Sd ) − (V ∗ ) ∑ (Y )(V )i i (1.15.6) Donde: (SG ) − (S d ): Potencia neta real pues se conoce para los nodos PQ. (V ∗ )i ∑ (Y )(V )i : Potencia neta calculada en cada iteración a partir de los voltajes. ¿Cómo se obtiene la convergencia? En el método de Newton Raphson la convergencia se obtiene a partir de las “power mistmatch” en lugar de los voltajes como en el método de Gauss Seydel. Ejemplo. (∆P) ≤ Tolerancia dada. (∆Q) ≤ Tolerancia dada. Este método hace que la convergencia se alcance en muchas menos iteraciones que en el Gauss Seydel permitiendo, además, valores de tolerancia menores porque la referencia es una potencia neta real calculada a partir de los datos. Si se expresa 1.15.5 en notación simbólica se obtiene: CURSO DE FLUJO DE CARGA 26 (∆S)=(J)(∆V) (1.15.6) Como para los nodos PQ las incógnitas son los voltajes, (∆V)=(J)-1(∆V) (1.15.7) es decir, en cada iteración hay que invertir la matriz jacobiana por lo que consume un tiempo de ejecución relativamente alto. Esta característica llevó a los ingenieros a desarrollar dos Newton Raphson más rápidos y con menor consumo de memoria: Newton Raphson desacoplado. Como ya se explicó en el epígrafe 1.8, la potencia activa varía fundamentalmente con el valor del ángulo de potencia δ, mientras que la potencia reactiva lo hace con el módulo de los voltajes de nodo. Por estas razone, es posible despreciar los elementos mutuos de la ecuación 1.15.5 (J2) y (J3) porque influyen poco en los valores de (∆P) y (∆Q). Así, la ecuación 1.15.5 puede reescribirse como: (∆P ) ( J1 ) (∆Q ) = (0) (0) (∆δ ) ( J 4 ) (∆ V ) (1.15.8) Donde (J1) y (J4) son las matrices jacobianas que dan la variación de P con el ángulo δ y de Q con el módulo de los voltajes de nodo. Esta nueva formulación se conoce con el nombre de Newton Raphson (NR) desacoplado porque faltan los elementos mutuos de la matriz jacobiana siendo más rápido y menos consumidor de memoria que el NR acoplado, pues calcula e invierte sólo dos matrices jacobianas. Limitaciones del NR desacoplado. La solución de este nuevo sistema de ecuaciones converge siempre que en las líneas se cumpla que X>>R lo que es cierto en los SEP de 110 kV o más. Por ejemplo, tiene problemas de convergencia en las redes a 33 kV donde X≅R. Newton Raphson desacoplado rápido. CURSO DE FLUJO DE CARGA 27 Se basa en invertir la jacobiana una sola vez y suponerla constante durante el resto del análisis. Esto lo hace mucho más rápido porque la inversión es un procedimiento de cálculo altamente consumidor de tiempo. Newton Raphson acoplado rápido. Ante la necesidad de calcular flujos de carga en las redes donde no se cumple la relación X>>R, se desarrolló el NR acoplado rápido. En él no se desprecian los elementos mutuos de la matriz jacobiana, pero sólo se invierte una vez al igual que en el NR desacoplado rápido. 1.16.- Comparación entre los métodos de NR y de GS. Se analizarán seis aspectos: 1- Confiabilidad de los resultados. El método de NR es el más confiable. Si se utiliza una buena técnica para escoger los voltajes de arranque, la incertidumbre con respecto a la solución se elimina casi totalmente (ver el epígrafe 1.13 y la figura 1.13.1) El GS es adecuado para analizar la operación de SEP desarrollados, bien interconectados, sin embargo, no es adecuado para ser utilizado por proyectistas y consultantes que analizan continuamente sistemas con situaciones nuevas donde se comprueban múltiples variantes de REN y RPA que pueden conducir a una falta de convergencia o peor aún, a la convergencia hacia resultados erróneos. 2- Velocidad de la solución. La figura 1.16.1 se explica sola. Note que si el sistema es pequeño, la diferencia no es muy grande. Tiempo de Solución. GS NR Sistemas Pequeños. No de Nodos. Figura 1.16.1.- Comparación entre las velocidades de solución del GS y el NR según Stott. CURSO DE FLUJO DE CARGA 28 3.- Almacenamiento necesario. La figura 1.16.2 muestra que el almacenamiento es mayor para el NR que para el GS lo cual es lógico si se recuerda que en el GS el número de ecuaciones es (N-1) mientras que en el NR es 2(N-1). El crecimiento se supone lineal a partir de la utilización de la técnica de las matrices esparcidas (“sparcity”) en la que sólo se almacenan los elementos desiguales de cero de la matriz (YB). Almacenamiento. NR GS No de Nodos. Figura 1.16.2.- Comparaciones entre el GS y el NR con relación al almacenamiento necesario. 4.- Facilidad de programación. El método de NR es considerablemente más difícil de programar que el GS. 5.- Número de iteraciones. Número de Número de Iteraciones. Nodos. GS NR 14 24 30 33 4 57 59 92 80 113 92 Tabla 1.16.1.- Comparación entre el número de iteraciones del GS y el NR. CURSO DE FLUJO DE CARGA 29 6.- Versatilidad de la solución. Este aspecto está relacionado con la incorporación de la solución de FC a un problema de otro tipo como por ejemplo, el control en tiempo real (“on line control”), los problemas de optimización, la estabilidad transitoria, el despacho económico de cargas, etcétera. En estos aspectos el NR es más versátil porque su solución matemática es formal y a que la matrices jacobianas dan una información útil sobre la variación incremental de las variables del sistema. Resumiendo, puede decirse que para la mayoría de los propósitos, el método de NR tiene grandes ventajas sobre el de GS principalmente en la confiabilidad de la solución, la velocidad de la convergencia y la versatilidad. BIBLIOGRAFÍA. 1- Stott. B.: “Introductory notes in power systems load flow.” 1973. 2- Graiger J. J. Stevenson W.D.: “Power Systems Analysis” 1996. 3- Elgerd O. I.: “Electric energy system theory” 1971. 4- Monticelli A. J.: “Fluxo de cargas em redes de energía eléctrica” 1983. CURSO DE FLUJO DE CARGA 30