seminario 2023 2

Universidad Nacional Agraria La Molina
Ciclo 2023 -II
Facultad de Ciencias
Grupos: C,E,F
Departamento Académico de Matemática
PRIMER SEMINARIO DE ANÁLISIS MATEMÁTICO II
1. Calcule los siguientes limites:
x ln(x+1) x2
xe3x 3x2 x
a) l m
x!0
d) l m
x!2
b) l m
x!0
ln (x 1) x + 2
(x 2) ln (x 1)
sen2 x+e 2x 5x2 cos 2x+2x
2x3 +tan x x
2x
e) l m
x! 2
+ cos x
3
g) l m [sen (
x)] 5(x
2)
j) l m+ [sen (x
1)](x
1)2
x! 2
x!1
m)
lm
x!+1
x + x3 e
2
1
h) l m
x!+1
k) l m+
x!0
x2
x 1
ex
senx
f) l m
2
sen2 x
x!0
sec x
3
8+ln(2x)
1
x
c) l m
x!0
i) l m
x!0
ln(sen(2x))
4 ln(senx)
(x 1)ex +1
(ex 1)x2
1
x2
2
l)l m 4x + cos x +
x!0
n) l m (3x2 + xe x ) 1
1
ln x
n
~) l m
x!+1
x! 2
1
cos x
4
x
3
2
(1 senx) ln(1 senx)
1 x
2. Determine el valor de la constante "k"(k > 0) para que se cumplan las siguientes igualdades:
k
q
x2
2k
p
3
5
4
b) l m
a) l m (cos x sen (x + )) x = e
= e3=10
(2
cos x)
x!0
x!0
x ln (x + 1)
1
=
x!0 k
k cos x
3
x ln (x) x + 1
=
x!1 k (x
1) : ln (x)
c) l m
d) l m
1
6
p
3. Dada la función f (x) = x 8 x2 + 3; determine los intervalos en el cual la función f
cumpla las condiciones de teorema de rolle, luego determine los valor o los valores que
veri…quen dicho teorema.
4. Dada las siguientes reglas de correspondencia, determine el valor o los valores de la constante "c" que satisfacen las condiciones del teorema de Rolle:
a) f (x) = x3
2x2
b) f (x) = sen (x
c) f (x) =
x2 9x
x2 +3
x + 2 ; I = [1; 2]
1) + 2 ; I = [1; 1 + 2 ]
; I = [0; 9].
5. Dada la función f con regla de correspondencia f (x) =
8
>
>
<
m
x
2
2x ; x <
1
.
>
>
: nx2 + x 2 ; x
1
Determine el valor de E = m + n + 8c de modo que f cumpla las hipótesis del teorema
de Rolle en el intervalo[ 7; 5=2] : Considere para "c", todos los valores que veri…can el
teorema.
6. Dada la función f con regla de correspondencia f (x) =
8
>
<
>
:
mx + 2
;
1=2
x<1
:
n
p (x
2
2)
;
1
x
4
Si f ( 1=2) = 1; determine el valor de E = p + nm + c de modo que f cumpla las
hipótesis del teorema de Rolle en todo su dominio (Considere para "c"todos los valores
que veri…can el teorema).
8
25x2 1
>
>
;
2 x<1
<
x+3
7. Dada la función f con regla de correspondencia f (x) =
:
>
>
: 3
x + 3x2 + 2x ; 1 x 2
Determine el valor o los valores de la constante "c" de modo que f cumpla la hipótesis
del teorema de Valor Medio en todo su dominio. (Considere para"c"todos los valores que
veri…can el teorema).
8
>
ax 3
; 2 x<4
<
:
8. Dada la función f con regla de correspondencia f (x) =
>
:
x2 + 10x b ; 4 x 6
Determine el valor de E = 5a + b 2c de modo que f cumpla la hipótesis del teorema
de Valor Medio en todo su dominio (Considere para "c"todos los valores que veri…can el
teorema).
8
p
>
m x
; x 1
<
9. Dada la función f con regla de correspondencia f (x) =
:
>
:
3
2
nx
x +2 ; x<1
Determine el valor de E = 6c 2 (m n) de modo que f cumpla la hipótesis del teorema
de Valor Medio en el intervalo [0; 4] : (Considere para "c"todos los valores que veri…can el
teorema).
8
b
>
>
+ x a 2 ; 23 x 3
<
x 1
10. Dada la función f con regla de correspondencia f (x) =
>
>
p
:
x b
; 3<x<6
Halle los valores de a y b para que f veri…que las condiciones del Teorema de Valor Medio
3
en el [ ; 6]: Además determine el valor o valores de c que veri…que dicho teorema.
2
p
11. Sea g : R ! R una función, tal que g(1) = 5 y g 0 (x) = 3 + x4 ; para todo x 2 R; usando
el teorema del valor medio veri…que g (2) > 7:
12. Halle los puntos críticos de las siguientes funciones
p
2x
3
a) f (x) = arctan x
b)
f
(x)
=
x3 2x2 + 4
2
x +1
c) f (x) = e
x
(x2
13. Halle los intervalos de monotonia de las siguientes funciones
a) f (x) =
3x
4
ln (x2
1)
b) f (x) = x ln x
2
c) f (x) = x
ln (x2 + 1)
3)
x
14. Dada la función f (x) = e 2 arctan x, veri…que si la función es creciente en el intervalo
[ 1; 0]
15. Dada la función de…nida por:
f (x) =
8
>
>
<
>
>
:
x2
x+1
;
1<x
0
:
1 + x ln x ;
0<x
e
Encuentre los intervalos de monotonia de la función.
16. Determine los valores extremos de las siguientes funciones
a)
1
f (x) = x x ;
x>0
1j ln (x2
b) f (x) = jx
1) ;
2
x
2
17. Sea la función f (x) = x3 +ax2 +bx+c. Si f ( 2) = 2 y la función tiene extremos relativos
en x = 1 y x = 2: Halle el valor de E = a + b + c y los intervalos de monotonía.
18. Dada la función f : R ! R, de…nida por:
8
(2 x) ex ; x 2
>
>
<
:
f (x) =
2
>
x
3
>
:
; x>2
x 2
a) Encuentre los extremos relativos y los intervalos de monotonía.
b) Encuentre los intervalos de concavidad y puntos de in‡exión.
19. Dadas las siguientes funciones de…nidas por:
a)
f (x) =
(1 x)3
;
(x 2)2
b)
f (x) =
c) f (x) =
q
d)
e)
3
x3
;
2 x
(x + 3)2 (x
f (x) =
f (x) =
f 0 (x) =
(x+1)2=3
;
(x 3) 2
(x 2)2
;
(x+1)2
(x 1)2 (4 x)
;
(x 2)3
6x2 2x3
(2 x)2
f 0 (x) =
1) ;
f 0 (x) = p
3
3
f 0 (x) =
f 00 (x) =
;
3x+1
(x+3)(x 1)2
8x(x 3)
;
3(x+1)1=3
f 0 (x) =
f 00 (x) =
6(x 2)
;
(x+1)3
;
6(1 x)
(x 2)4
2x(x2 6x+12)
f 00 (x) = p
3
9
(2 x)3
32
(x+3)4 (x 1)5
f 00 (x) =
f 00 (x) =
8(5x2 9)
9(x+1)4=3
6(7 2x)
(x+1)4
Determine en cada caso:
a) Los extremos relativos y los intervalos de monotonía
b) Los intervalos de concavidad y puntos de in‡exión.
La Molina, 23 de agosto de 2023
3