Transferencia en etapas múltiples - Ecuaciones básicas en rectificación

Transferencia en Etapas Múltiples
Ecuaciones Básicas
Dr. Eugenio Fernández Carrasco
Universidad de Santiago de Compostela
Departamento de Ingenierı́a Quı́mica
Facultad de Ciencias (Lugo)
E-mail: eugenio.fernandez@usc.es
Índice general
5. Transferencia en etapas múltiples
5.3. Ecuaciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1. Relaciones de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2. Balances globales incluyendo condensador y caldera . . . . .
5.3.3. Sector de enriquecimiento con condensador . . . . . . . . . .
5.3.4. Sector de agotamiento con caldera . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.5. Sector de entrada de la corriente alimento comprendido entre
los pisos a y a + 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.6. Conexión entre los sectores de enriquecimiento y agotamiento,
mediante el sector de entrada de la corriente alimento . . . .
5.3.7. Una segunda corriente lateral, de alimentación o de extracción
de producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.8. Más de dos corrientes laterales de alimentación o de extracción
de productos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
.
.
.
.
.
1
1
2
2
4
8
. 11
. 12
. 16
. 23
Índice de figuras
5.1. Esquema general de una columna de rectificación (Costa Novella et
al., 1987) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
5.2. Esquema general de una etapa de contacto (sector de enriquecimiento) 4
5.3. Esquema general de una columna de rectificación con una segunda
corriente de alimentación (Costa Novella et al., 1987) . . . . . . . . . 17
ii
Capı́tulo 5
Transferencia en etapas múltiples
5.3.
Ecuaciones básicas
A la hora de establecer, para una columna de rectificación como la mostrada en
la Fig. 5.1, las ecuaciones resultantes de la aplicación de las leyes fundamentales
del equilibrio y de la conservación de la materia y energı́a, denominadas ecuaciones
básicas, es necesario partir de ciertas hipótesis:
La columna opera de forma adiabática.
Los platos son etapas de equilibrio desde el punto de vistaingenieril. Esta
hipótesis es aceptable teniendo en cuenta el concepto de eficacia.
En principio consideraremos corrientes únicas de alimentación (A), destilado
(D) y residuo (R).
La corriente de alimentación A, que se introduce en la etapa a de la cascada,
puede ser:
1. Lı́quido: q = L/A = 1.
2. Mezcla liquido y vapor : 0 < q < 1.
3. Vapor : q = 0.
En este caso representaremos la composición por zi,A y la entalpı́a por HA con
el fin de no prejuzgar el estado fı́sico de la corriente.
La corriente de alimento A se introduce en la columna en el espacio entre los
platos a y a + 1 de la siguiente forma:
• La posible fracción de vapor, resultante de las condiciones de presión y
temperatura, se incorpora a la corriente (Va , yi,a , Ha ) procedente del piso
a para originar la corriente (V a , y i,a , H a ) que penetra en el piso a + 1 sin
afectar en nada al lı́quido.
• La posible fracción de lı́quido, resultante de las condiciones de presión y
temperatura, se incorpora a la corriente (La+1 , xi,a+1 , ha+1 ) procedente
del piso a + 1 para originar la corriente (La+1 , xi,a+1 , ha+1 ) que penetra
en el piso a y origina la corriente (Va , yi,a , Ha ) en equilibrio con ella.
1
CAPÍTULO 5. TRANSFERENCIA EN ETAPAS MÚLTIPLES
2
Condensador total o parcial:
• Condensador parcial. La corriente de vapor VM +N condensa sólo parcialmente. El condensador es una etapa de equilibrio más. Hay que tener en
cuenta que yi,M +N ̸= yi,D ̸= xi,D .
• Condensador total. La corriente de vapor VM +N condensa totalmente. En
este caso representaremos la composición por zi,D y la entalpı́a por HD
con el fin de no prejuzgar el estado fı́sico de la corriente. En este caso,
además, se cumple que yi,M +N = yi,D = xi,D .
La caldera es una caldera parcial. En ella, la corriente de lı́quido, L, se vaporiza
parcialmente siendo una etapa de equilibrio más. Hay que tener en cuenta que
xi,1 ̸= xi,R ̸= yi,R .
Los caudales de materia y energı́a netos son constantes en cada sector de la
columna.
5.3.1.
Relaciones de equilibrio
Definimos los factores de absorción (Ai,p ) y desorción (Si,p ) de un componente
i en la etapa p como las relaciones directa e inversa entre los caudales molares de
dicho componente que abandonan la misma con la corriente L y V , respectivamente.
Es decir:
Lp xi,p
Lp /Vp
Lp /Vp
li,p
=
=
=
(5.1)
Ai,p =
vi,p
Vp yi,p
yi,p /xi,p
ki,p
vi,p
Vp yi,p
yi,p /xi,p
ki,p
1
Si,p =
=
=
=
=
(5.2)
li,p
Lp xi,p
Lp /Vp
Lp /Vp
Ai,p
siendo ki,p la relación de equilibrio para el componente i en las condiciones de presión
y temperatura del piso p.
5.3.2.
Balances globales incluyendo condensador y caldera
Estos balances corresponderı́an a aquellos efectuados a través de los lı́mites denominados 1 en la Fig. 5.1. Son siempre los primeros que hay que hacer en este
tipo de sistemas.
Balances de materia
El balance global de materia a toda la columna se puede expresar como:
A=D+R
(5.3)
Por otro lado, se pueden efectuar balances a cada uno de los C componentes
presentes en el sistema. Para un componente i cualquiera, el balance al mismo toma
la forma:
Azi,A = Dzi,D + Rxi,R
⇓
ai = di + ri
(5.4)
(5.5)
CAPÍTULO 5. TRANSFERENCIA EN ETAPAS MÚLTIPLES
3
Figura 5.1: Esquema general de una columna de rectificación (Costa Novella et al.,
1987)
en donde:
ai = Azi,A = qAxi,A + (1 − q)Ayi,A = ai,L + ai,V
(5.6)
Balance entálpico
El balance de entalpı́a, a toda la columna, es el siguiente:
AHA = (DHD + QD ) + (RhR − QR ) = DMD + RMR
(5.7)
siendo:
QD
D
QR
= hR −
R
MD = HD +
(5.8)
MR
(5.9)
CAPÍTULO 5. TRANSFERENCIA EN ETAPAS MÚLTIPLES
5.3.3.
4
Sector de enriquecimiento con condensador
Una vez hechos los balances globales se pueden efectuar balances a cada una de
las secciones de la columna. El sector de enriquecimiento (condensador incluido) es
el denominado 2 en la Fig. 5.1.
Balances de materia
Para una etapa n cualquiera del sector de enriquecimiento (Fig. 5.2) se puede
plantear el siguiente balance global de materia:
Ln+1 + Vn−1 = Ln + Vn =⇒ Vn−1 − Ln = Vn − Ln+1
(5.10)
Figura 5.2: Esquema general de una etapa de contacto (sector de enriquecimiento)
Si extendemos este balance a todas las etapas del sector de enriquecimiento
(incluido el condensador), llegamos a:
V a − La+1 = · · · = Vn − Ln+1 = · · · = VM +N − LD = (D + LD ) − LD = D (5.11)
ecuación en la cual el caudal molar de la corriente de destilado, D, representa también el caudal molar neto total que asciende por el sector de enriquecimiento de la
columna.
Se pueden plantear también los correspondientes balances de componente. Para
un componente i:
V a y i,a − La+1 xi,a+1 = · · · = Vn yi,n − Ln+1 xi,n+1
= · · · = VM +N yi,M +N − LD xi,D = Dzi,D
(5.12)
vi,a − li,a = . . . = vi,n − li,n+1 = · · · = vi,M +N − li,D = di (5.13)
A partir del balance global de materia descrito por la Ec. (5.11) se pueden derivar
las ecuaciones que relacionan las relaciones de reflujo externa e interna superiores:
LD
LD
LD /VM +N
=
=
D
VM +N − LD
1 − LD /VM +N
LD
LD
LD /D
=
=
VM +N
D + LD
1 + LD /D
(5.14)
(5.15)
CAPÍTULO 5. TRANSFERENCIA EN ETAPAS MÚLTIPLES
5
De las Ecs. (5.12) se deducen las siguientes:
D
Ln+1
xi,n+1 + zi,D
Vn
Vn
La+1
D
=
xi,a+1 +
zi,D
Va
Va
yi,n =
(5.16)
y i,a
(5.17)
las cuales, teniendo en cuenta las Ecs. (5.11), toman también la forma:
D
Ln+1
xi,n+1 +
zi,D
Ln+1 + D
Ln+1 + D
D
La+1
xi,a+1 +
zi,D
=
La+1 + D
La+1 + D
yi,n =
(5.18)
y i,a
(5.19)
De las Ecs. (5.11), (5.16) y (5.18) se deducen las dos siguientes:
Ln+1
zi,D − yi,n
=
D
yi,n − xi,n+1
Ln+1
zi,D − yi,n
=
Vn
zi,D − xi,n+1
(5.20)
(5.21)
De las Ecs. (5.13) se deducen las tres siguientes:
li,n+1
vi,n
=
+1
di
di
vi,M +N
li,D
=
+1
di
di
v i,a
li,a+1
=
+1
di
di
(5.22)
(5.23)
(5.24)
las cuales, teniendo en cuenta la relación de equilibrio dada por la Ec. (5.1), toman
la forma:
vi,n
vi,n+1
= Ai,n+1
+1
di
di
vi,M +N
= Ai,D + 1
di
v i,a
vi,a+1
= Ai,a+1
+1
di
di
(5.25)
(5.26)
(5.27)
siendo la segunda de ellas para el caso de un condensador parcial.
Podemos aplicar la Ec. (5.27) reiteradamente a los pisos del sector de enriquecimiento, a partir del inferior, a + 1 = M + 1, sustituyendo la relación vi,a+1 /di =
vi,M +1 /di del primer término de su segundo miembro, por el segundo miembro completo de la misma ecuación aplicada al piso inmediato superior, M + 2, y ası́ suce-
CAPÍTULO 5. TRANSFERENCIA EN ETAPAS MÚLTIPLES
6
sivamente. Se obtiene la siguiente expresión::
v i,a
vi,n+2
vi,n+3
= Ai,M +1 Ai,M +2
+ 1 + 1 = Ai,M +1 Ai,M +2 Ai,M +3
+ 1 + Ai,M +1 + 1
di
di
di
vi,n+3
= Ai,M +1 Ai,M +2 Ai,M +3 Ai,M +4
+ 1 + Ai,M +1 Ai,M +2 + Ai,M +1 + 1
di
di
= Ai,M +1 Ai,M +2 Ai,M +3 · · · Ai,D + Ai,M +1 Ai,M +2 · · · Ai,M +N
di
+Ai,M +1 Ai,M +2 · · · Ai,M +N −1 + Ai,M +1 Ai,M +2 · · · Ai,M +N −2
+ · · · + Ai,M +1 Ai,M +2 Ai,M +3 + Ai,M +1 Ai,M +2 + Ai,M +1 + 1
(5.28)
⇓
v i,a
= 1 + Ai,M +1 + Ai,M +1 Ai,M +2 + · · · + Ai,M +1 Ai,M +2 · · · Ai,D = ϕM +1,D (Ai ) (5.29)
di
representando la función ϕM +1,D (Ai ) la indicada serie de los factores de absorción
Ai desde el piso inferior del sector de enriquecimiento al condensador parcial. En
general, esta función de los factores de absorción puede aplicarse a cualquier sector
de columna comprendido entre otros dos pisos cualesquiera que se indicarán como
subı́ndices de ésta. Si el condensador de la columna fuera total, el factor de absorción
Ai,D se tendrá que reemplazar con la relación LD /D.
También es frecuente expresar la Ec. (5.29) de forma diferente definiendo una
segunda función Π (Ai ) de los factores de absorción consistente, para cada componente, en el producto de sus factores de absorción correspondiente a cualquier serie
de pisos sucesivos, es decir, cualquiera de los sumandos de la indicada ecuación
excepto el primero. Por ejemplo:
ΠM +1,D (Ai ) = Ai,M +1 Ai,M +2 Ai,M +3 · · · Ai,M +N Ai,D
(5.30)
Con ello, de las Ecs. (5.29) y (5.30), se deduce que:
v i,a
= ϕM +1,D (Ai ) = ϕM +1,M +N (Ai ) + ΠM +1,D (Ai )
di
= ϕM +1,M +N (Ai ) + Ai,D ΠM +1,M +N (Ai )
⇓
vi,a+1
= ϕM +2,M +N (Ai ) + Ai,D ΠM +2,M +N (Ai )
di
(5.31)
(5.32)
ecuaciones en las que figura aisladamente el factor de absorción correspondiente
al condensador parcial Ai,D (LD /D si éste fuera total), circunstancia que puede
convenir en algunos casos.
Balance entálpico
El balance de entalpı́a en este sector de la columna se puede expresar como:
V a H a − La+1 ha+1 = · · · = Vn Hn − Ln+1 hn+1 = · · · = VM +N HM +N − LD hD =
= DHD + QD = DMD
(5.33)
Dado el significado adicional del caudal molar D (caudal molar neto que asciende
por el sector de enriquecimiento), MD representa, de acuerdo con esta ecuación, la
entalpı́a molar de dicho caudal.
CAPÍTULO 5. TRANSFERENCIA EN ETAPAS MÚLTIPLES
7
De las Ecs. (5.11) y (5.33) se deducen las dos series de ecuaciones siguientes:
Ln+1
MD − Hn
=
D
Hn − hn+1
MD − HM +N
LD
=
D
HM +N − hD
La+1
MD − H a
=
D
H a − ha+1
(5.34)
(5.35)
(5.36)
o bien:
Ln+1
MD − Hn
=
Vn
MD − hn+1
LD
MD − HM +N
=
VM +N
MD − hD
La+1
MD − H a
=
MD − ha+1
Va
(5.37)
(5.38)
(5.39)
o las ecuaciones que resultan de dividir miembro a miembro las correspondientes a
estas dos series. Los denominadores del primer conjunto de ecuaciones son bastante
sensibles a pequeñas variaciones de las composiciones y de las temperaturas, por no
ser los valores de las entalpı́as molares Hn y hn+1 demasiado diferentes. El denominado método de las composiciones constantes para el planteamiento de los balances
entálpicos corrige dicha dificultad. Se basa en expresar la entalpı́a de la corriente
vapor que abandona un piso n teniendo en cuenta las Ecs. (5.13):
Vn Hn =
C
X
Hi,n vi,n =
i=1
= Ln+1
C
X
Hi,n (li,n+1 + di )
i=1
C
X
i=1
Hi,n xi,n+1 + D
C
X
Hi,n xi,D
(5.40)
i=1
De las Ecs. (5.33) y (5.40) se deducen las tres expresiones siguientes:
P
MD − C
Ln+1
i=1 Hi,n xi,D
= PC
D
i=1 Hi,n xi,n+1 − hn+1
P
MD − C
LD
i=1 Hi,M +N xi,D
= PC
D
i=1 Hi,M +N xi,D − hD
P
MD − C
La+1
i=1 H i,a xi,D
= PC
D
i=1 H i,a xi,a+1 − ha+1
(5.41)
(5.42)
(5.43)
Puede apreciarse que los denominadores de las nuevas ecuaciones representan
diferencias de entalpı́as entre las entalpı́as de un mol de vapor de composición dada
a una cierta temperatura, Tn , y la de un mol de lı́quido de la misma composición
a una temperatura Tn+1 del piso inmediatamente superior (siempre próxima a Tn ).
Esta diferencia es del orden de magnitud del calor latente de vaporización de un
lı́quido de la composición indicada y, por tanto, mucho menos sensible a pequeñas
variaciones de composición y temperatura que lo eran los denominadores de los
balances entálpicos convencionales.
CAPÍTULO 5. TRANSFERENCIA EN ETAPAS MÚLTIPLES
8
Evidentemente, para que se cumpla la identidad representada por los dos primeros miembros de la Ec. (5.40), básica en el método de las composiciones constantes,
los caudales molares individuales vi,n deben ser los correctos, es decir, su suma debe
de coincidir con el caudal molar total Vn .
5.3.4.
Sector de agotamiento con caldera
El sector de agotamiento (condensador incluido) es el denominado 3 en la
Fig. 5.1.
Balances de materia
Procediendo de manera similar a la seguida en el sector de enriquecimiento,
aplicando el balance a una etapa m cualquiera y extendiéndolo luego a todo el
sector, se llega a:
La+1 − Va = · · · = Lm+1 − Vm = · · · = L1 − VR = (R + VR ) − VR = R
(5.44)
ecuación en la que el caudal molar de la corriente residuo, R, representa también el
caudal molar neto que desciende por el sector de agotamiento de la columna.
Se pueden plantear también los correspondientes balances de componente. Para
un componente i:
La+1 xi,a+1 − Va yi,a =
=
li,a+1 − vi,a =
=
· · · = Lm+1 xi,m+1 − Vm yi,m
· · · = L1 xi,1 − VR yi,R = Rxi,R
· · · = li,m+1 − vi,m
· · · = li,1 − vi,R = ri
(5.45)
(5.46)
Dado el significado adicional acabado de atribuir al caudal molar R, xi,R representará, además de la fracción molar del componente i en la corriente residuo, dicha
fracción molar en la corriente de materia total neta que desciende por el sector de
agotamiento. Por otro lado, de las Ecs. (5.44) podemos deducir las dos siguientes:
VR
VR
VR /L1
=
=
R
L1 − VR
1 − VR /L1
VR
VR
VR /R
=
=
L1
R + VR
1 + VR /R
(5.47)
(5.48)
ecuaciones que relacionan las razones de reflujo de vapor externa e interna inferior.
Habitualmente suelen manejarse las razones inversas de las anteriores, es decir, las
razones de reflujo ordinarias, como en el sector de enriquecimiento.
De las Ecs. (5.45) y (5.46) se deducen las siguientes:
Lm+1
R
xi,m+1 −
xi,R
Vm
Vm
La+1
R
=
xi,a+1 − xi,R
Va
Va
yi,m =
(5.49)
yi,a
(5.50)
CAPÍTULO 5. TRANSFERENCIA EN ETAPAS MÚLTIPLES
9
las cuales, teniendo en cuenta las Ecs. (5.44), toman también la forma:
Lm+1
R
xi,m+1 −
xi,R
Lm+1 − R
Lm+1 − R
La+1
R
=
xi,a+1 −
xi,R
La+1 − R
La+1 − R
yi,m =
(5.51)
yi,a
(5.52)
De las Ecs. (5.44), (5.49) y (5.51) se deducen las dos siguientes:
Lm+1
yi,m − xi,R
=
R
yi,m − xi,m+1
Lm+1
yi,m − xi,R
=
Vm
xi,m+1 − xi,R
(5.53)
(5.54)
De las Ecs. (5.46) se deducen las tres siguientes:
li,m+1
vi,m
=
+1
ri
ri
li,1
vi,R
=
+1
ri
ri
li,a+1
vi,a
=
+1
ri
ri
(5.55)
(5.56)
(5.57)
las cuales, teniendo en cuenta la relación de equilibrio dada por la Ec. (5.2), toman
la forma:
li,m+1
li,m
= Si,m
+1
ri
ri
li,1
= Si,R + 1
ri
li,a+1
li,a
= Si,a
+1
ri
ri
(5.58)
(5.59)
(5.60)
Podemos aplicar la Ec. (5.60) de forma reiterada a los sucesivos pisos del sector
de agotamiento, a partir del superior a = M en sentido descendente, del siguiente
modo: sustituyendo la relación li,a /ri = li,M /ri del primer término de su segundo
miembro, por el segundo miembro completo de la misma ecuación aplicada al piso
inmediato inferior M − 1, y ası́ sucesivamente. Se llega a la siguiente ecuación:
li,a+1
li,M −1
li,M −2
= Si,M Si,M −1
+ 1 + 1 = Si,M Si,M −1 Si,M −2
+ 1 + Si,M + 1
ri
ri
ri
li,M −3
= Si,M Si,M −1 Si,M −2 Si,M −3
+ 1 + Si,M Si,M −1 + Si,M + 1
ri
ri
= Si,M Si,M −1 Si,M −2 · · · Si,R + Si,M Si,M −1 Si,M −2 · · · Si,1
ri
+Si,M Si,M −1 Si,M −2 · · · Si,2 + Si,M Si,M −1 Si,M −2 · · · Si,3
+ · · · + Si,M Si,M −1 Si,M −2 + Si,M Si,M −1 + Si,M + 1
(5.61)
⇓
li,a
= 1 + Si,M + Si,M Si,M −1 + · · · + Si,M Si,M −1 · · · Si,R = ϕM,R (Si )
(5.62)
ri
CAPÍTULO 5. TRANSFERENCIA EN ETAPAS MÚLTIPLES
10
representando la función ϕM,R (Si ) la indicada serie de los factores de desorción Si
desde el piso superior del sector de agotamiento de la caldera. En general, esta
función de los factores de desorción puede aplicarse a cualquier sector de columna
comprendido entre otros dos pisos cualesquiera que se indicarán como subı́ndices de
la misma.
También es frecuente expresar la Ec. (5.62) de forma diferente, definiendo una
segunda función Π (Si ) de los factores de desorción consistente, para cada componente, en el producto de sus factores de desorción correspondiente a cualquier serie de
pisos sucesivos, es decir, cualquiera de los sumandos de la indicada ecuación excepto
el primero. Por ejemplo:
ΠM,R (Si ) = Si,R Si,1 Si,2 · · · Si,M
(5.63)
Con ello, de las Ecs. (5.62) y (5.63), se deduce que:
li,a+1
= ϕM,R (Si ) = ϕM,1 (Si ) + ΠM,R (Si ) = ϕM,1 (Si ) + Si,R ΠM,1 (Si )(5.64)
ri
li,a
= ϕM −1,1 (Si ) + Si,R ΠM −1,1 (Si )
(5.65)
ri
ecuaciones en las que figura aisladamente el factor de desorción correspondiente a
la caldera, circunstancia que puede convenir en algunos casos.
Balance entálpico
El balance de entalpı́a para este sector puede expresarse del siguiente modo:
La+1 ha+1 − Va Ha = · · · = Lm+1 hm+1 − Vm Hm = · · · = L1 h1 − VR HR
= RhR − QR = RMR
(5.66)
Dado el significado adicional del caudal molar R, caudal molar neto que desciende
por el sector de agotamiento, MR representará la entalpı́a molar del mismo.
De las Ecs. (5.44) y (5.66) se deducen las dos series de ecuaciones siguientes:
Lm+1
Hm − MR
=
R
Hm − hm+1
L1
HR − MR
=
R
HR − h1
La+1
Ha − MR
=
R
Ha − ha+1
(5.67)
(5.68)
(5.69)
o bien:
Lm+1
Hm − MR
=
Vm
hm+1 − MR
L1
HR − MR
=
VR
h1 − MR
La+1
Ha − MR
=
Va
ha+1 − MR
(5.70)
(5.71)
(5.72)
CAPÍTULO 5. TRANSFERENCIA EN ETAPAS MÚLTIPLES
11
o las ecuaciones que resultan de dividir miembro a miembro las correspondientes a
estos dos series. El método de las composiciones constantes para el planteamiento de
los balances entálpicos se basa en la expresión de la entalpı́a de la corriente lı́quida
que abandona un piso n que resulta de tener en cuenta las Ecs. (5.46):
Lm+1 hm+1 =
C
X
hi,m+1 li,m+1 =
i=1
= Vm
C
X
hi,m+1 (vi,m + ri )
i=1
C
X
hi,m+1 yi,m + R
i=1
C
X
hi,m+1 xi,R
(5.73)
i=1
De las Ecs. (5.66) y (5.73) se deducen las tres expresiones siguientes
PC
Vm
i=1 hi,m+1 xi,R − MR
=
P
R
Hm − C
i=1 hi,m+1 yi,m
PC
VR
i=1 hi,1 xi,R − MR
=
P
R
Ha − C
i=1 hi,1 yi,R
PC
Va
i=1 hi,a+1 xi,R − MR
=
P
R
Ha − C
i=1 hi,a+1 yi,a
(5.74)
(5.75)
(5.76)
ecuaciones con idénticas ventajas y limitaciones que la serie de ecuaciones resultantes
de aplicar este método al sector de enriquecimiento.
5.3.5.
Sector de entrada de la corriente alimento comprendido entre los pisos a y a + 1
Este sector es el denominado 4 en la Fig. 5.1.
Balances de materia
Se puede plantear un balance global de materia de la siguiente manera:
La+1 − La+1 + V a − Va = A
⇓
La+1 − La+1 V a − Va
+
=1
A
A
⇓
q + (1 − q) = 1
(5.77)
(5.78)
(5.79)
De este modo podemos plantear, respectivamente, los siguientes balances para
las corrientes lı́quida y vapor:
La+1 = La+1 + qA
(5.80)
V a = Va + (1 − q) A
(5.81)
Se pueden plantear también los correspondientes balances de componente para
la corriente lı́quida:
La+1 xi,a+1 = La+1 xi,a+1 + qAxi,A
li,a+1 = li,a+1 + ai,L
(5.82)
(5.83)
CAPÍTULO 5. TRANSFERENCIA EN ETAPAS MÚLTIPLES
12
y la corriente vapor:
V a y i,a = Va yi,a + (1 − q) Ayi,A
v i,a = vi,a + ai,V
(5.84)
(5.85)
Balances entálpicos
El balance de entalpı́a para las corrientes lı́quida y vapor se puede expresar,
respectivamente, del siguiente modo:
5.3.6.
La+1 ha+1 = La+1 ha+1 + qAhA
(5.86)
V a H a = Va Ha + (1 − q) AHA
(5.87)
Conexión entre los sectores de enriquecimiento y agotamiento, mediante el sector de entrada de la corriente alimento
Sectores de enriquecimiento y de entrada del alimento
Balances de materia. A partir de las Ecs. (5.11) y (5.81) se puede plantear el
balance global de materia:
[Va + (1 − q) A] − La+1 = D
⇓
La+1 = Va + (1 − q) A − D
(5.88)
(5.89)
expresión que, teniendo en cuenta la Ec. (5.3), puede tomar la forma:
La+1 = Va − qA + R
(5.90)
Asimismo, de las Ecs. (5.12), (5.84) y (5.85) se deducen las siguientes correspondientes a los balances de componente:
[Va yi,a + (1 − q) Ayi,A ] − La+1 xi,a+1 = Dzi,D
[vi,a + ai,v ] − li,a+1 = di
(5.91)
(5.92)
y de las Ecs. (5.24), (5.27), (5.29) y (5.85), a su vez, se deducen estas otras:
li,a+1
vi,a + ai,V
=
+1
di
di
vi,a + ai,V
vi,a+1
= Ai,a+1
+1
di
di
vi,a + ai,V
= ϕM +1,D (Ai )
di
(5.93)
(5.94)
(5.95)
Balances entálpicos. De las Ecs. (5.33) y (5.87) se deduce la expresión del balance de entalpı́a:
[Va Ha + (1 − q) AHA ] − La+1 ha+1 = DMD
(5.96)
CAPÍTULO 5. TRANSFERENCIA EN ETAPAS MÚLTIPLES
13
o bien, utilizando la Ec. (5.89) para eliminar Va de esta expresión:
La+1 (Ha − ha+1 ) + (1 − q) A (HA − Ha ) = D (MD − Ha )
(5.97)
El método de las composiciones constantes se basa en la expresión de la entalpı́a
de la corriente vapor que abandona el piso a que resulta de tener en cuenta la
Ec. (5.92):
Va Ha =
C
X
Hi,a vi,a =
i=1
= D
C
X
Hi,a (di + li,a+1 − ai,V )
i=1
C
X
Hi,a zi,D + Li,a+1
i=1
C
X
Hi,a xi,a+1 + (1 − q) A
i=1
C
X
Hi,a yi,A (5.98)
i=1
Finalmente, combinando las Ecs. (5.96) y (5.98) se deduce la siguiente:
"
#
" C
#
C
X
X
D MD −
Hi,a zi,D = La+1
Hi,a xi,a+1 − ha+1
i=1
i=1
"
+ (1 − q) A HA −
C
X
#
Hi,a yi,A
(5.99)
i=1
Sectores de agotamiento y de entrada del alimento
Balances de materia. A partir de las Ecs. (5.44) y (5.80) se puede plantear el
balance global de materia:
[La+1 + qA] − Va = R
⇓
Va = La+1 + qA − R
(5.100)
(5.101)
expresión que, teniendo en cuenta la Ec. (5.3), puede tomar la forma:
Va = La+1 − (1 − q) A + D
(5.102)
Asimismo, de las Ecs. (5.45), (5.82) y (5.83) se deducen las siguientes:
[La+1 xi,a+1 + qAxi,A ] − Va yi,a = Rxi,R
[li,a+1 + ai,L ] − vi,a = ri
(5.103)
(5.104)
y de las Ecs. (5.57), (5.60), (5.62) y (5.83), a su vez, se deducen estas otras:
vi,a
li,a+1 + ai,L
=
+1
ri
ri
li,a+1 + ai,L
li,a
= Si,a
+1
ri
ri
li,a+1 + ai,L
= ϕM,R (Si )
ri
(5.105)
(5.106)
(5.107)
CAPÍTULO 5. TRANSFERENCIA EN ETAPAS MÚLTIPLES
14
Balances entálpicos. De las Ecs. (5.66) y (5.86) se deduce la expresión del balance de entalpı́a:
[La+1 ha+1 − qAhA ] − Va Ha = RMR
(5.108)
Utilizando la Ec. (5.101) para eliminar La+1 de esta expresión:
Va (Ha − ha+1 ) + qA (ha+1 − hA ) = R (ha+1 − MR )
(5.109)
El método de las composiciones constantes se basa en la expresión de la entalpı́a
de la corriente lı́quida que abandona el piso a + 1 que resulta de tener en cuenta la
Ec. (5.104):
La+1 ha+1 =
C
X
hi,a+1 li,a+1 =
i=1
= R
C
X
C
X
hi,a+1 (ri + vi,a − ai,L )
i=1
hi,a+1 xi,R + Va
i=1
C
X
i=1
hi,a+1 yi,a − qA
C
X
hi,a+1 xi,A (5.110)
i=1
Finalmente, combinando las Ecs. (5.108) y (5.110) se deduce la siguiente:
#
" C
#
" C
#
"
C
X
X
X
hi,a+1 yi,a + qA
hi,a+1 xi,A − hA = R
hi,a+1 xi,R − MR
Va Ha −
i=1
i=1
i=1
(5.111)
Sectores de enriquecimiento, de entrada del alimento y de agotamiento
Piso de alimentación óptimo. Los balances de un componente cualquiera correspondientes a los pisos inferior del sector de enriquecimiento, a + 1, y superior
del sector de agotamiento, a, están expresados por las Ecs. (5.17) y (5.50).
Excepto en la condición lı́mite de mı́nimo reflujo los pisos a y a + 1 de cualquier
columna de rectificación pueden desplazarse moderadamente en la región central de
la misma. Ahora bien, se definirá como piso de alimentación óptimo, considerado
siempre como el superior del sector de agotamiento, el que determine un número
de pisos total mı́nimo para una separación determinada, o bien aquel para el cual
la relación de fracciones molares de los componentes clave en la fase lı́quida que
abandona el mismo es máxima.
Gilliland (1940) resolvió los dos sistemas de ecuaciones que resultan de aplicar
a los dos componentes clave las Ecs. (5.17) y (5.50) a fin de encontrar para ambos
las fracciones molares x e y coincidentes para los sectores de enriquecimiento y
agotamiento. Eliminando en cada uno de los sistemas de ecuaciones la fracción molar
y, y despejando las dos fracciones molares x, llegó al siguiente valor de su relación:
ac.l. + VAa (1 − q) rc.l.
xc.l.
=
(5.112)
xc.p. coincidentes ac.p. + VAa (1 − q) rc.p.
Consideró como piso de alimentación óptimo a aquel que, junto con su inmediato
superior a + 1, tienen relaciones molares xc.l. /xc.p. tales que enmarcan la relación de
fracciones molares coincidentes de la Ec. (5.112), es decir:
xc.l.
xc.l.
xc.l.
≤
≤
(5.113)
xc.p. a
xc.p. coincidentes
xc.p. a+1
CAPÍTULO 5. TRANSFERENCIA EN ETAPAS MÚLTIPLES
15
Si la corriente de alimento es lı́quida, al ser q = 1, de las Ecs. (5.112) y (5.113)
se deduce:
xc.l.
xc.l.
xc.l.
≤
≤
(5.114)
q=1:
xc.p. a
xc.p. A
xc.p. a+1
Si la corriente alimento es una mezcla de lı́quido y vapor, al ser 0 < q < 1, de
las Ecs. (5.112) y (5.113) se deduce:
xc.l.
xc.l.
xc.l.
0<q<1:
≤
≤
(5.115)
xc.p. a
xc.p. qA
xc.p. a+1
Si la corriente alimento es vapor, q = 0, dicho vapor se dirige en su totalidad al
piso a + 1, sin acción alguna sobre el lı́quido del piso a. Realmente deberı́a considerarse como piso de alimentación el a + 1 y, en consecuencia, sustituirse la Ec. (5.113)
por la siguiente:
xc.l.
xc.l.
xc.l.
≤
≤
(5.116)
q=0:
xc.p. a+1
xc.p. coincidentes
xc.p. a+2
Como la composición del lı́quido del piso a + 1 se debe al burbujeo a su través de
la mezcla de las corrientes de vapor Va y A, siendo yc.l.,a < yc.l.,A , aquel será siempre
más pobre en componente clave ligero o, lo que es igual, más rico en componente
clave pesado que un lı́quido a cuyo través burbujease exclusivamente la corriente de
vapor A (o sea en equilibrio con esta última). Por consiguiente, teniendo en cuenta
la última desigualdad, evidentemente se podrá establecerse la siguiente:
xc.l.
xc.l.
xc.l.
q=0:
≤
≤
(5.117)
xc.p. a+1
xc.p. lı́q. en eq. con la corriente A
xc.p. a+2
Relación de caudales molares individuales, ri /di . Esta relación puede expresarse de varias formas:
1. Teniendo en cuenta la Ec. (5.85):
ri
=
di
v i,a
di
vi,a +ai,V
ri
=
v i,a
di
vi,a
ri
+
ai,V
ri
(5.118)
2. Considerando la Ec. (5.83):
ri
=
di
li,a+1 +ai,L
di
li,a+1
ri
=
a
li,a+1
+ di,L
di
i
li,a+1
ri
(5.119)
3. A partir de las Ecs. (5.93) y (5.105), y teniendo en cuenta las dos expresiones
de ai de las Ecs. (5.5) y (5.6). En efecto, las dos primeras pueden expresarse
ası́:
vi,a ri ai,V ai
li,a+1
+
=
+1
ri di
ai d i
di
li,a+1 di ai,L ai
vi,a
+
=
+1
di ri
ai ri
ri
(5.120)
(5.121)
CAPÍTULO 5. TRANSFERENCIA EN ETAPAS MÚLTIPLES
16
y de éstas, considerando las citadas expresiones:
ri
=
di
a
li,a+1
+ ai,L
di
i
ai,V
vi,a
+
ri
ai
(5.122)
4. Mediante las Ecs. (5.95), (5.5) y (5.6), se llega a:
ϕM +1,D (Ai ) −
ri
=
a
vi,a
di
+ ai,Vi
ri
ai,V
ai
(5.123)
5. De las Ec. (5.107), (5.5) y (5.6) se deduce, asimismo:
l
a
i,a+1
+ ai,L
ri
di
i
=
a
di
ϕM,R (Si ) + ai,L
i
(5.124)
6. Finalmente, de las Ecs. (5.13), (5.29) y (5.107) se llega a la expresión:
ϕM +1,D (Ai ) − 1
ri
=
di
ϕM,R (Si ) − ai,L /ri
5.3.7.
(5.125)
Una segunda corriente lateral, de alimentación o de
extracción de producto
Consideremos el caso relativamente frecuente de que en una columna de rectificación de pisos, entre o salga una segunda corriente lateral en un determinado piso
b de la misma. Suponiendo que el caudal B de la segunda corriente es positivo si la
misma entra a la columna, es decir si se trata de una corriente alimento, y negativo
si aquella sale de la columna, o sea si se trata de una corriente lateral de producto,
el tratamiento que se sigue es común para ambos casos.
Sea la columna de rectificación de pisos que se esquematiza en la Fig. 5.3, con
una corriente lateral B que entra o sale en el piso b. Se comprende que para esta
segunda corriente lateral B, y para el sector comprendido entre los pisos b y b + 1,
serán aplicables las Ecs. (5.77) a (5.87) deducidas con anterioridad, con sólo sustituir
el caudal de la corriente A por el de la B, el subı́ndice a correspondiente al piso a
por el b correspondiente al piso b y la fracción lı́quida q de la corriente A por la
posible fracción lı́quida q ′ de la corriente B, admitiendo que también esta última
puede tener distinta condición fı́sica.
También serán aplicables a la nueva corriente B, con las mismas sustituciones
acabadas de indicar, las Ecs. (5.101) a (5.111), que la relacionan con el sector de
agotamiento de la columna. En cambio no serán aplicables a la nueva corriente las
Ecs. (5.89) a (5.99) que relacionan la corriente alimento con A con el sector de
enriquecimiento de la columna, por estar separado este último de la nueva corriente
B por el nuevo sector intermedio delimitado por las corrientes laterales A y B.
Lógicamente tampoco serán aplicables a la corriente alimento A, en este caso, las
Ecs. (5.101) a (5.111), que relacionan la misma con el sector de agotamiento de la
columna, al estar separado este último de aquella por el sector intermedio entre las
corrientes laterales A y B.
Se comprende que la nueva corriente lateral B obliga, por un lado, a replantear
los balances de materia y entalpı́a alrededor de toda la columna y, por otro, al
CAPÍTULO 5. TRANSFERENCIA EN ETAPAS MÚLTIPLES
17
Figura 5.3: Esquema general de una columna de rectificación con una segunda corriente de alimentación (Costa Novella et al., 1987)
planteamiento de tales balances en el nuevo sector intermedio entre las corrientes A
y B, ası́ como la conexión del mismo con sus vecinos superior de enriquecimiento e
inferior de agotamiento, mediante los grupos de ecuaciones a que nos acabamos de
referir.
Columna global, caldera y condensador incluidos
Estos balances corresponderı́an a aquellos efectuados a través de los lı́mites denominados 1 en la Fig. 5.3.
CAPÍTULO 5. TRANSFERENCIA EN ETAPAS MÚLTIPLES
18
Balances de materia. El balance global de materia, aplicado a esta columna, es
el siguiente:
A+B =D+R
⇓
D−A=B−R=T
(5.126)
(5.127)
representando las diferencias de ambos miembros de la ecuación el caudal neto de
materia total, T , en el sector de columna comprendido entre las corrientes A y B.
Por otro lado, se pueden efectuar balances a cada uno de los C componentes
presentes en el sistema. Para un componente i cualquiera, el balance al mismo toma
la forma:
Azi,A + Bzi,B = Dzi,D + Rxi,R
⇓
Dzi,D − Azi,A = Bzi,B − Rxi,R = T zi,T
(5.128)
ai + bi = di + ri
⇓
di − ai = bi − ri = ti
(5.130)
(5.129)
o bien:
(5.131)
representando las diferencias de ambos miembros de las ecuaciones el caudal neto de
componente i, T zi,T = ti , en el sector de columna comprendido entre las corrientes
A y B.
Seguirá cumpliéndose la Ec. (5.6) para la corriente A y para la corriente B se
cumplirá la siguiente:
bi = Bzi,B = q ′ Bxi,B + (1 − q ′ ) Byi,B = bi,L + bi,V
(5.132)
Balance entálpico. El balance de entalpı́a, a toda la columna, es el siguiente:
AHA + BHB = (DHD + QD ) + (RhR − QR ) = DMD + RMR
(5.133)
expresión que puede escribirse de la siguiente forma:
DMD − AHA = BHB − RMR = T MT
(5.134)
representando las diferencias de ambos miembros de la ecuación el caudal neto de
entalpı́a, T MT , en el sector de la columna comprendido entre las corrientes A y B.
Sector de columna intermedio comprendido entre las corrientes laterales
AyB
Este sector es el denominado 2 en la Fig. 5.3.
CAPÍTULO 5. TRANSFERENCIA EN ETAPAS MÚLTIPLES
19
Balances de materia. Teniendo en cuenta la Ec. (5.127):
B − R = V b − Lb+1 = · · · = Vs − Ls+1 = · · · = Va − La+1 = D − A = T
(5.135)
Teniendo en cuenta, además, las Ecs. (5.128) y (5.130) podemos llegar a:
Bzi,B − Rxi,R = V b y i,b − Lb+1 xi,b+1 = · · · = Vs yi,s − Ls+1 xi,s+1 = · · ·
= Va yi,a − La+1 xi,a+1 = Dzi,D − Azi,A = T zi,T
(5.136)
o, lo que es lo mismo:
bi − ri = v i,b − li,b+1 = · · · = vi,s − li,s+1 = · · · = vi,a − li,a+1 = di − ai = ti (5.137)
Por otro lado, de la Ec. (5.136) pueden deducirse las tres siguientes:
Ls+1
Dzi,D − Azi,A
xi,s+1 +
Vs
Vs
La+1
Dzi,D − Azi,A
=
xi,a+1 +
Va
Va
Lb+1
Dzi,D − Azi,A
=
xi,b+1 +
Vb
Vb
yi,s =
(5.138)
yi,a
(5.139)
y i,b
(5.140)
pudiendo sustituirse en las mismas la diferencia (Dzi,D − Azi,A ) por la (Bzi,B − Rxi,R ),
de acuerdo con la Ec. (5.129), y los caudales molares Vs , Va y V b por sus valores
despejados de la Ec. (5.135).
De la Ec. (5.137) se deducen tanto las tres siguientes:
li,s+1
ai
vi,s
=
+ 1−
(5.141)
di
di
di
li,a+1
vi,a
ai
=
+ 1−
(5.142)
di
di
di
v i,b
li,b+1
ai
=
+ 1−
(5.143)
di
di
di
como estas otras tres:
li,s+1
vi,s
bi
=
+ 1−
ri
ri
ri
li,a+1
vi,a
bi
=
+ 1−
ri
ri
ri
bi
li,b+1
v i,b
=
+ 1−
ri
ri
ri
(5.144)
(5.145)
(5.146)
Las Ecs. (5.141) y (5.142), teniendo en cuenta la relación de equilibrio dada por
la Ec. (5.1), toman la forma:
vi,s
vi,s+1
ai
= Ai,s+1
+ 1−
(5.147)
di
di
di
v i,b
vi,b+1
ai
= Ai,b+1
+ 1−
(5.148)
di
di
di
CAPÍTULO 5. TRANSFERENCIA EN ETAPAS MÚLTIPLES
20
Asimismo, las Ecs. (5.144) y (5.145), teniendo en cuenta la relación de equilibrio
dada por la Ec. (5.2), toman la forma:
li,s+1
li,s
bi
= Si,s
+ 1−
(5.149)
ri
ri
ri
li,a
bi
li,a+1
= Si,a
+ 1−
(5.150)
ri
ri
ri
Aplicando la Ec. (5.148) reiteradamente a los sucesivos pisos del sector intermedio, a partir del inferior, b + 1 = M + 1, en sentido ascendente, sustituyendo la
relación vi,b+1 /di = vi,M +1 , di del primer término de su segundo miembro completo
de la misma ecuación aplicada al piso superior, y ası́ sucesivamente, se llega a:
v i,b
ai
= [1 + Ai,M +1 + Ai,M +1 Ai,M +2 + · · · + Ai,M +1 Ai,M +2 · · · Ai,M +S−1 ] 1 −
di
di
vi,M +S
+ [Ai,M +1 Ai,M +2 · · · Ai,M +S ]
(5.151)
di
⇓
ai
vi,M +S
v i,b
= ϕM +1,M +S−1 (Ai ) 1 −
+ ΠM +1,M +S (Ai )
di
di
di
(5.152)
Asimismo, aplicando la Ec. (5.150) reiteradamente a los sucesivos pisos del sector
intermedio, a partir del superior a = M + S, en sentido descendente, sustituyendo la
relación li,a /ri = li,M +S /ri del primer término del segundo miembro, por el segundo
miembro completo de la misma ecuación aplicada al piso inmediatamente inferior
M + S − 1, y ası́ sucesivamente, se llega a:
li,a+1
bi
= [1 + Si,M +S + Si,M +S Si,M +S−1 + · · · + Si,M +S Si,M +S−1 · · · Si,M +2 ] 1 −
ri
ri
li,M +1
+ [Si,M +S Si,M +S−1 · · · Si,M +1 ]
(5.153)
ri
li,a+1
ri
⇓
bi
li,M +1
= ϕM +S,M +2 (Si ) 1 −
+ ΠM +S,M +1 (Si )
ri
ri
(5.154)
del mismo modo que se llegó a las Ecs. (5.62) y (5.64).
Balance entálpico. Teniendo en cuenta la Ec. (5.133), podemos plantear el balance de entalpı́a de la siguiente manera:
BHB − RMR = V b H b − Lb+1 hb+1 = · · · = Vs Hs − Ls+1 hs+1 = · · ·
= Va Ha − La+1 ha+1 = DMD − AHA = T MT
(5.155)
Según la Ec. (5.137), la entalpı́a del vapor que abandona un piso s del sector
CAPÍTULO 5. TRANSFERENCIA EN ETAPAS MÚLTIPLES
21
intermedio podrá expresarse de las dos formas siguientes:
Vs Hs =
C
X
Hi,s vi,s =
i=1
C
X
Hi,s (li,s+1 + di − ai )
i=1
= Ls+1
C
X
Hi,s xi,s + D
i=1
Vs Hs =
C
X
= Ls+1
Hi,s zi,D − A
C
X
i=1
Hi,s vi,s =
i=1
C
X
C
X
Hi,s zi,A
(5.156)
Hi,s xi,R
(5.157)
i=1
Hi,s (li,s+1 + bi − ri )
i=1
C
X
i=1
Hi,s xi,s + B
C
X
i=1
Hi,s zi,B − R
C
X
i=1
Por consiguiente, por el método de las composiciones constantes, por un lado, de
las Ecs. (5.155) y (5.156), se tendrá:
!
!
!
C
C
C
X
X
X
Ls+1
Hi,s xi,s+1 − hs+1 = D MD −
Hi,s zi,D + A
Hi,s zi,A − HA
i=1
i=1
i=1
(5.158)
y, por otro, de las Ecs. (5.155) y (5.157), se tendrá:
!
!
!
C
C
C
X
X
X
Ls+1
Hi,s xi,s+1 − hs+1 = B HB −
Hi,s zi,B + R
Hi,s xi,R − MR
i=1
i=1
i=1
(5.159)
Conexión entre los sectores de enriquecimiento, intermedio y de agotamiento, mediante los sectores de entrada o salida de las dos corrientes
laterales
Sectores intermedios y correspondiente a la corriente lateral B. De las
Ecs. (5.141), (5.148), (5.152) y (5.85) aplicadas a la corriente lateral B, se deducen
las tres siguientes:
li,b+1
ai
vi,b + bi,V
=
+ 1−
(5.160)
di
di
di
vi,b + bi,V
vi,b+1
ai
= Ai,b+1
+ 1−
(5.161)
di
di
di
vi,b + bi,V
ai
vi,M +S
= ϕM +1,M +S−1 (Ai ) 1 −
+ ΠM +1,M +S (Ai )
(5.162)
di
di
di
Sectores intermedios y correspondiente a la corriente lateral A.
Ecs. (5.145), (5.150), (5.154) y (5.83) se deducen las tres siguientes:
li,a+1 + ai,L
vi,a
bi
=
+ 1−
ri
ri
r
i li,a+1 + ai,L
li,a
bi
= Si,a
+ 1−
ri
ri
r
i
li,a+1 + ai,L
bi
li,M +1
= ϕM +S,M +2 (Si ) 1 −
+ ΠM +S,M +1 (Si )
ri
ri
ri
De las
(5.163)
(5.164)
(5.165)
CAPÍTULO 5. TRANSFERENCIA EN ETAPAS MÚLTIPLES
22
Relación de caudales molares individuales ri /di . Esta relación puede expresarse de varias formas:
a) A partir de la forma expresada por la Ec. (5.118), aplicada la misma a la
corriente lateral B, se obtendrá:
v i,b
di
vi,b +bi,V
ri
ri
=
di
=
v i,b
di
vi,b
ri
+
(5.166)
bi,V
ri
b) A partir de la forma expresada por la Ec. (5.119), aplicada la misma a la
corriente lateral B, se obtendrá:
ri
=
di
li,b+1 +bi,L
di
li,b+1
ri
=
li,b+1
b
+ di,Li
di
li,b+1
ri
(5.167)
c) A partir de las Ecs. (5.160) y (5.163) teniendo en cuenta la expresión de ai
dada por la Ec. (5.6) y las dos expresiones de bi dadas por las Ecs. (5.131) y
(5.132). En efecto, las dos primeras pueden expresarse también ası́:
li,b+1
ai
vi,b ri bi,V bi
+
=
+ 1−
(5.168)
ri di
bi di
di
di
vi,a
bi
li,a+1 di ai,L ai
+
=
+ 1−
(5.169)
di ri
ai r i
ri
ri
y de éstas, considerando las citadas expresiones:
li,b+1
bi,L
ai
+
1
−
di
di
bi
ri
=
vi,b
b
i,V
di
+
ri
li,a+1
di
ri
=
di
vi,a
ri
+
+ 1−
(5.170)
bi
ai,L
ai
bi
ri
(5.171)
ai,V
ai
d) Mediante las Ecs. (5.162), (5.165), (5.6), (5.131) y (5.132), de modo similar se
llega a:
h
i
bi,L
v
ai
ϕ
(A
)
+
+
1
1
−
+ ΠM +1,M +S (Ai ) i,Mdi+S
M
+1,M
+S−1
i
bi
di
ri
=
(5.172)
vi,b
b
di
+ i,V
ri
= h
di
ϕM +S,M +2 (Si ) +
ri
li,a+1
di
ai,V
ai
bi
ai,L
ai
+
i
+1 1−
bi
ri
+ ΠM +S,M +1 (Si )
li,M +1
ri
(5.173)
e) Finalmente, de las Ecs. (5.137), (5.152) y (5.154) se llega a la expresión:
v
l
ai
ϕM +1,M +S−1 (Ai ) 1 − di + ΠM +1,M +S (Ai ) di,ai − i,a+1
di
ri
=
(5.174)
l
v
i,a
di
−ϕ
(S ) 1 − bi + Π
(S ) i,b+1
ri
M +S,M +2
i
ri
M +S,M +1
i
ri
CAPÍTULO 5. TRANSFERENCIA EN ETAPAS MÚLTIPLES
5.3.8.
23
Más de dos corrientes laterales de alimentación o de
extracción de productos
Por cada nueva corriente lateral de alimentación, o de extracción de productos, aparecerá un nuevo sector intermedio al que serán aplicables las Ecs. (5.126)
a (5.159) del apartado anterior, salvadas las diferencias de nomenclatura, y cuya
conexión con los sectores de columna vecinos se establecerá, mediante las ecuaciones
correspondientes a las nuevas corrientes que lo limitan, fácilmente deducibles del
modo indicado en los apartados 5.3.5, 5.3.6 y 5.3.7 (éste último en el subapartado
correspondiente a la conexión entre sectores).