Subido por Veronica Toledo

Método de Gauss

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Método de Gauss para encontrar las raíces enteras de un Polinomio
Este método para factorizar polinomios que están en función de una sola variable. Es
un poco largo, pero el procedimiento es muy mecánico, así que una vez que lo
aprendan, les va a resultar re fácil de usar.
Gauss se dio cuenta de que los divisores naturales (y enteros) del término
independiente (Divididos estos divisores por el coeficiente principal) de un polinomio
son las raíces del mismo. (Como así también lo son los mismos números cambiados
de signo).
¿Qué es la raíz de un polinomio?
Si un número “k” es Raíz de un polinomio que llamamos P(x)
P(x) es divisible
por (x – k).
Entonces, si encontramos las raíces k1, k2, k3, etc. de un polinomio, sabremos cuales
son los binomios por los que es divisible el polinomio
(x – k1), (x – k2), (x – k3), etc.
Para factorizar el polinomio, lo vamos dividiendo por todos los binomios que
encontramos, y lo escribimos como el producto de todos esos binomios por el
resultado final de la última división.
Pasos a seguir para factorizar un polinomio por el método de GAUSS
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Buscar las posibles raíces del polinomio: En este paso hay que buscar los
divisores del coeficiente principal y del término independiente, y hacer los
cocientes de los segundos dividido los primeros, y luego recordar que son
posibles raíces, todos esos números que hallamos, esos mismos cambiados de
signo.
Armar los binomios por los cuales es probable que sea divisible el polinomio a
factorizar.
Ver cuáles de los binomios son efectivamente divisores del polinomio
(utilizamos el teorema del Resto). En este paso vamos a verificar cuáles de
todos esos binomios son realmente divisores del polinomio. Si el resto da cero
es porque el binomio es divisor, y si no da cero lo tachamos porque no nos
sirve.
Empezar a dividir al polinomio por los binomios del punto anterior.
Escribir el polinomio factorizar: Por último escribimos el polinomio como el
producto de todos los binomios por los cuales lo fuimos dividiendo, multiplicado
el resultado de la última división.
Veamos un ejemplo:
Factorizar el polinomio P(x)= x3 – 4x2 + x + 6
 Primer paso: buscar las posibles raíces, observar que los cocientes serían
entre los divisores del término independiente y los divisores del término
principal.
 Segundo paso: armamos los binomios que son posibles divisores:
 Tercer paso: Ver cuáles de los binomios son efectivamente divisores. Aquí
aplicamos el Teorema del Resto para cada binomio.
 Cuarto paso: Como ya sé que el polinomio P(x)= x3 – 4x2 + x + 6 es divisible
por (x+1), (x-2), (x-3), ahora sólo resta dividirlo por estos binomios, en parte
para verificar que efectivamente sean raíces y en parte para poder saber
cuáles son todos sus factores primos.
Empezamos dividiendo por (x + 1)
Ahora divido x2 -5x +6 por el siguiente
binomio (x - 2)
Ahora divido x – 3 por el binomio (x – 3)
Ya no hace falta aplicar Ruffini. Como ya sabemos cualquier cosa dividido por si
mismo da por resultado: 1
 Quinto paso: Escribo el polinomio factorizado: Esto significa escribirlo como el
sucesivo producto de todos los binomios “x – kn” siendo kn sus raíces.
P(x)= x3 – 4x2 + x + 6 = (x + 1) . (x - 2) . (x - 3)
1) Resolver aplicando 4to caso cuando sea posible:
2) Factorizar aplicando diferencia de cuadrados:
3) Resuelve aplicando 6to caso de factoreo cuando sea posible:
4) Factorizar aplicando el método de GAUSS
5) Factorizar aplicando el caso que corresponda:
Las expresiones algebraicas racionales, son fracciones que consisten en un cociente
de dos polinomios. Se pueden simplificar fracciones que involucren exponentes y
variables de la misma manera como se hace con fracciones aritméticas. Se le
denomina simplificación al hecho de eliminar factores idénticos del numerador y el
denominador.
El procedimiento de factorizar ayuda a simplificar fracciones algebraicas.
La simplificación de un número o cualquier expresión algebraica implica reducirla.
Ejemplos de expresiones algebraicas racionales
El primer ejemplo se llama expresión racional entera en “x” e “y”, pues cada uno de los
polinomios en el cociente es un polinomio en “x”, y un polinomio en “y”.
La segunda expresión es una expresión racional en “x”, ya que cada uno de los
polinomios en el cociente es un polinomio en x.
Por razones similares, la tercera expresión es racional en “x”, “y”, y “z”. Las
propiedades de las fracciones pueden ser útiles para simplificar expresiones como las
anteriores.
Veamos un ejemplo:
1) Factorizar y eliminar términos semejantes.
Frecuentemente, al simplificar una expresión algebraica se factoriza primero la
expresión y después se utilizan las propiedades de las fracciones para
reducirla.
2) Factorizar y eliminar términos semejantes
Se considera que: (2 – y) = - ( y – 2)
3) Factorizar y eliminar términos semejantes
Recuerden que 5 – x = - (x - 5)
5−𝑥
Así que 𝑥−5 = 1
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