geometria analitica

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA CHAPINGO
PREPARATORIA AGRICOLA
AREA DE MATEMATICAS
Geometría Analítica
UNIDAD I: CONCEPTOS BASICOS
TEMA: Distancia entre dos puntos.
1.
2.
3.
4.
Obtenga las coordenadas del punto A(x,y) que se encuentra sobre el eje
X y que equidista de los puntos B(0,6) y C(5,1)
Utilizando la formula de distancia entre dos puntos, demuestre que los
tres puntos siguientes se localizan sobre la misma recta. (Son
colineales).
2.1.
K(6,4)
L(-3,1)
M(0,2)
2.2.
A(8,-3)
B(5,-1)
C(-1,3)
Demostrar que los tres puntos corresponden a los vértices de un
triángulo rectángulo, y calcule el área.
3.1.
D(1,-3)
E(4,1)
F(4,-3)
3.2.
P(-2,4)
Q(6,2)
R(3,-1)
Demostrar que los tres puntos son vértices de un triángulo Isósceles y
calcular su área:
4.1.
G(2,6)
H(17,1)
K(29/2, 37/2)
4.2.
A(1,-2)
B(3,2)
C(-1,0)
TEMA: División de un segmento en una razón dada.
5.
Obtener las coordenadas del punto P que divide al segmento formado
por los puntos A(3,-5) y B(-5,7) si se tiene que AP=3PB.
6.
El extremo de un diámetro de una circunferencia es el punto R(2,6) y el
centro es C(-4,1). Obtener las coordenadas del otro extremo del
diámetro.
Enero 2000
7.
Calcular las coordenadas de los puntos de trisección del segmento
cuyos extremos son A(3,-1) y B(9,7)
8.
Dividir el segmento que une los puntos P(-6,1) y Q(9,6) en cinco partes
iguales y obtener las coordenadas de los puntos más cercanos a cada
extremo(dos puntos).
9.
Comprobar que las diagonales del cuadrilátero formado por los vértices
A(4,5) , B( 9,7) , C(7,3) y D(2,1), se bisecan entre sí.
10. Dos vértices de un triángulo son los puntos R(3,6) y S(5,-2). Obtener
las coordenadas del tercero si se sabe que sus medianas concurren en el
punto W(2,0)
11. Obtener los vértices de un triángulo del que se conocen los puntos
medios de sus lados, a saber; P(3,-2) , Q(1,6) y R(-4,2)
TEMA: pendiente de una recta.
12. Clasificar los pares de rectas siguientes en; Paralelas, Perpendiculares y
Oblicuas, según sea el caso:
12.1.
r1 por (2,1) y ( 3,3) r2 por (5,-2) y (7,2)
12.2.
r1 por (2,7) y ( 5,1) r2 por (4,3) y (0,5)
12.3.
r1 por (2,7) y ( 5,1) r2 por (4,7) y (0,5)
12.4.
r1 por (4,6) y (6,4)
r2 por (-3,1) y (3,8)
13. Determinar el valor de “x” de modo que la pendiente de la recta que
une a (2,1) con (x,7) sea 3
1
14. ¿Para qué valor de “y”, la recta que pasa por (-3,y) y (3,8) es paralela a
la recta que pasa por (-1,4) y (0,6)?.
24. Las rectas cuyas ecuaciones son; 5x-y+7=0 , y 10x-2y+8=0 son:
a) Paralelas
b) Perpendiculares
c) Oblicuas
15. ¿Para qué valor de “y”, la recta que pasa por (-1,y) y (3,8) es
perpendicular a la recta que pasa por (4,5) y (2,4)?.
TEMA: Angulo entre dos rectas.
25. La ecuación de la recta que pasa por el punto (5,4) y es perpendicular a
la recta 3x+4y+1=0 es:
a) y-4= (4/3)(x+5)
b) y-4=(4/3)(x-5)
c) y-4=(4/3)(x-5)
d) y+4=(4/3)(x+5)
16. Demostrar que los puntos (-2,5), (-3,-3) y (5,1) son vértices de un
triángulo Isósceles, calculando sus ángulos internos.
26. La ecuación de una recta paralela al eje X es:
a) x=5
b) x-y=1
c) x+y=1
17. Demostrar sin usar el Teorema de Pitágoras, que los puntos (1,0), (5,2)
y (3,4) son vértices de un triángulo rectángulo.
27. La ecuación de una recta perpendicular a la recta 4x-y+5=0 es:
a) 4x+y-5=0
b) (¼)x +y+5=0
c) 4x+(1/5)y+5=0
d) x-y=0
18. Calcular Tan θ para cada par de pendientes dadas a continuación:
18.1.
M1 =1/2
M2 =3/4
18.2.
M1 =-3
M2 =2/7
18.3.
M1 =-3/8
M2 =1/7
d) y=2
28. La ecuación de la recta que pasa por (3,0) y (0,4) es:
a) 3x-y-12=0
b) x/3 + y/4 = 1
c) 3x-4y-12=0
d) x/4 + y/3 = 1
19. Obtener M1 ó M2 según sea el caso, si se conoce:
19.1.
M1 =2/5
θ = 45°
θ = 60°
19.2.
M2 =-3
19.3.
M2 =3
θ = 120°
θ = 135°
19.4.
M1=-2
29. La ecuación de la recta con pendiente 3 y que pasa por el punto (1,2) es:
a) y= -3x+1
b) y= (1/3)x +1
c) y= 3x-1
d) y= (1/3)x-1
20. Calcular el ángulo formado por la recta que pasa por los puntos P(5,2) y
Q(1,-3) y el eje Y
30. Determinar los puntos de intersección de la recta 2x-3y-12=0 con los
ejes coordenados
UNIDAD II LA LINEA RECTA
31. Obtener la ecuación general de la recta que pasa por el punto (2,-1) y es
perpendicular a la recta –3x+5y+2=0
21. El punto de intersección de las rectas x-2y+5=0 y 3x+y+1=0 es:
a) (1,-4)
b) (-1,-2)
c) (1,2)
d) (-1,2)
Problemas sobre rectas
32. Obtener la ecuación general de la recta que pasa por el punto (-3,-5).y
es paralela a la recta x+4y-7=0
22. La pendiente de la recta 3x-2y+1=0 es:
a) 4
b) –3
c) –4
d) 4/3
33. Obtener la ecuación simétrica de la recta que pasa por los puntos A(8,6)
y B(4,2)
23. Es un punto que pertenece a la recta:
a) (0,0)
b) (-3,2)
c) (1,-1)
d) (-1,1)
34. Reducir cada un de las ecuaciones siguientes a la forma simétrica:
2
34.1.
4x-2y-10=0
34.2.
2x-y+25=0
35. Obtener la ecuación general de la recta que pasa por el punto (-2,-1) y
por el punto de intersección de las rectas 8x-y+4=0, 8x+y-20=0
36. Hallar la ecuación pendiente-ordenada de la recta que pasa por los
puntos:
36.1.
A(0,-3) y B(4,5)
36.2.
C(0,6) y D(-1,-2)
42. Una recta pasa por el punto (2,3) y separa del primer cuadrante un
triángulo de área 12 u2 , obtener la ecuación de la recta.
43. Obtener la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,4), y cuya
abscisa al origen es el doble de la ordenada al origen
44. Obtener el valor de K para que la recta 4x+5y+K=0, forme con los ejes
coordenados un triángulo rectángulo de área A=5/2 u2
Distancia de un punto a una recta.
37. En el triángulo cuyos vértices son los puntos: A(-6,2), B(5,6) y C(10,-5)
Obtener:
37.1.
La ecuación general de la recta que pasa por el vértice C y es
paralela al lado AB.
37.2.
La ecuación general de la altura que va del vértice A al lado
BC
37.3.
La ecuación general de la mediana que va del vértice B al lado
AC
37.4.
La ecuación general del lado BC.
37.5.
La ecuación general de la mediatriz del lado AB.
38. Obtener el punto de intersección de las rectas 2x+y-3=0 y 3x-y-7=0 y
calcular los ángulos de intersección que forman.
39. Uno de los vértices de un cuadrado es (2,4) y el punto en donde se
cortan las diagonales es (3,7). Determinar las ecuaciones de los lados
del cuadrado.
40. Los tres lados de un triángulo son las rectas 4x-y-7=0, x+3y-31=0 y
x+5y-7=0. Obtener:
40.1.
El punto de intersección de las alturas (Ortocentro)
40.2.
El punto de intersección de las mediatrices (Circuncentro)
40.3.
El área
Forma simétrica de una ecuación.
41. Calcular el área del triángulo formado por la recta 4x-3y-24=0, con los
ejes del sistema de referencia.
45. Calcular la distancia del punto (4,1) a la recta 3x-4y+2=0
46. Calcular la distancia del punto (-2,6) a la recta 3x+4y+10=0
47. Determinar la distancia que existe entre las rectas paralelas x-3y-3=0 y
x-3y-4=0
48. En el triángulo cuyos vértices son los puntos A(-1,2), B(2,5) y C(3,-1)
obtenga la longitud de la altura que va del vértice A al lado BC, así
como su área.
x y
+ =1
2 3
49. Obtenga la distancia del punto (2,3) a la recta
50. La distancia de la recta 4x-3y+1=0 al punto P(x,3) es de 4 unidades,
obtener la abscisa del punto.
UNIDAD III.- LA CIRCUNFERENCIA.
51. Dada la ecuación de la circunferencia (x-3)2+(y+4)2=17, un punto que
equidista de todos los puntos de la circunferencia es:
a) (-3,4)
b) (0,0)
c) (3,-4)
d) (17,17)
52. El radio de la circunferencia con centro en (4,3) y tangente al eje X es:
a) r=9
b)r=4
c)r=3
d)r=16
3
53. Una circunferencia cuyo centro es (1,1) y radio =3,pasa por el punto:
a) (2,1)
b) (4,1)
c) C-4,1)
d) (3,1)
54. En la ecuación de la circunferencia x2+y2-25=0. Las coordenadas del
centro y el valor del radio son:
a) c(1,1); r=5
b) c(-1,-1); r=5
c) c(1,0); r=5
d) c(0,0); r=5
e) c(0,-1); r=5
55. En la ecuación de la circunferencia x2+y2-8x+6y=o. Las coordenadas
del centro y el valor del radio son:
a) c(-3,4); r=25
d) c(-4,3); r =5
b) c(3,4); r=25
e) c(-4, -3); r =5
c)c(4,-3); r=5
56. El radio de la circunferencia x2++y2-2x+4y +1=0, es:
a) 2
b) 4
c) 1
d) 0
57. El centro de la circunferencia x2+y2-2x+4y+1=0, es:
a) (-1,2)
b) (1,2)
c) (-1,-2)
63. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje
“Y” que pasa por los puntos A(3,1) y B(4,6)
64. Una circunferencia pasa por los puntos (0,-1) y (0,3), y su centro está
sobre la recta x-y=0. Hallar su ecuación.
65. El centro de una circunferencia tangente a los ejes de coordenadas está
sobre la recta 3x+5y+8=0. Determinar su ecuación.
66. Determinar la ecuación de la circunferencia tangente a los ejes de
coordenadas y que pasa por el punto (22,-1). Dos soluciones: los
centros son (1,-1) y (5,-5).
67. Obtener la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (5,-3)
y (1,3), y su centro está en la recta x-2y-2=0.
d) (1,-2)
68. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(0,2)
y B(7,3), y su radio es cinco.
58. La ecuación de la circunferencia con centro en (0,0) y radio r=3 es:
a) x2 – y2 = -3
b) x2 + y2 = 9
c) x2 + y2 = 3
2
2
2
2
d) x + y = 0
e) x + y = -9
69. Una cuerda de la circunferencia x2+y2=16 está sobre la recta x+y-3=0.
Determinar la longitud de la cuerda.
PROBLEMAS DE LA CIRCUNFERENCIA
Forma Ordinaria de la Ecuación de una Circunferencia.
RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
59. Hallar la ecuación ordinaria de la circunferencia de centro (1,1) y pasa
por el punto (3,4).
60. Obtener la ecuación de la circunferencia de radio 4 y cuyo centro es el
punto de intersección de las rectas 3x-2y-5=0 y x+y-1 = 0.
61. Los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos
(-1,5) y (5,-1). Hallar su ecuación.
70. Una circunferencia tiene su centro en el punto (3,2) y es tangente a la
recta x-3y+4=0. Hallar su ecuación.
71. Determinar la ecuación de la circunferencia de centro (-2,3) y es
tangente a la recta que pasa por los puntos (-2,3) y (4,5).
72. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (7,-4) y es
tangente a la recta x-y-2=0 en el punto (4,2)
73. Obtener la ecuación de la circunferencia tangente a la recta x-2y-1=0
62. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro es el segmento de
recta 15x+8y-120=0, situado entre los ejes de coordenadas.
en el punto (3,1) y con radio
5
4
74. La ecuación de una circunferencia es (x-4)2+(y-3)2 =20. Hallar la
ecuación de la recta tangente a esa circunferencia en el punto (2,7).
84. Hallar la ecuación general de la circunferencia tangente a la
circunferenciax2+y2+4x+2y-20=0 y cuyo centro es C(6,5).
75. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre la recta
x+2y-5=0, y es tangente a la recta 4x+3y=30, y pasa por el punto (3,0).
85. Obtener la ecuación general de la circunferencia que pasa por el punto
(4,2) y es concéntrica con la circunferencia x2+y2-2x+4y-11=0
76. Determinar la ecuación de la circunferencia que es tangente a las rectas
3x-4y+5=0 y 4x+3y-10=0 y pasa por el punto (2,4).}
86. Determinar la ecuación de la circunferencia tangente a la recta 8x+15y34=0, y es concéntrica con la circunferencia x2+y2-4x -6y –11 =0.
77. Obtener la ecuación de la circunferencia que es tangente la recta 3x4y+10=0 en el punto (2,4), y su centro está en la recta 2x-5y-10=0.
87. Demuestre que son tangentes las circunferencias x2+y2+2x+y-10=0,
x2+y2-12x-6y+25=0
78. Hallar la ecuación de la circunferencia tangente al eje x, cuyo centro
está en la recta x + y –7= 0, y además pasa por el punto (5,4).
88. ¿Son concéntricas las circunferencias cuyas ecuaciones son: 12x2+12y248x+36y+55=0 ,
4x2+4y2-16x+12y+13=0 ?.
79. Obtener la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (5,-6),
(7,2) y es tangente a la recta 3x-5y+23=0.
89. Hallar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia x2+y2-8x6y+20=0 en el punto de contacto (3,5).
80. Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC,
cuyos vértices son A(9,8), B82,9) y C(8,1).
90. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo diámetro es la cuerda
común de las circunferencias x2+y2+2x+2y-88=0 y x2+y2-20x20y+132 =0
81. Hallar la ecuación de la circunferencia inscrita al triángulo ABC, donde
A(5,0), B(2,-6), C(-3,4).
ECUACION GENERAL DE LA CIRCUNFERENCIA.
82. Reducir las ecuaciones siguientes a la forma ordinaria de la
circunferencia, si la ecuación representa a una circunferencia. Hallar su
centro y radio.
a) 2x2 + 2y2 – 20x + 8y + 58 = 0
b) x2 + y2 – 2x + 4y + 6 = 0
c) 10x2 +10y2 – 100x – 60y + 180 = 0
83. Hallar la ecuación general de la circunferencia tangente a la Hallar
longitud de la tangente trazada desde el punto (6,4) a la circunferencia
x2+y2+4x+6y-10=0
91. Demuestre que la circunferencia x2+y2-2x-2y-30=0 tiene un área 4
veces mayor que la de la circunferencia x2+y2- 6y +10=0, área: A =πr2
92. Obtener la ecuación del diámetro de la circunferencia x2+y2+4x+6y17=0, que es perpendicular a la recta 5x+2y-13=0
93. ¿Cuál es la distancia entre los centros de las circunferencias: x2+y2-10x6y+30=0. x2+y2-2x=0?
94. Hallar la ecuación general de la circunferencia que pasa por los puntos:
a) (-4,-3), (-1,-7) y (0,0)
b) (3,0), (2,1) y (3,8)
d) (4,5), (3,-2) y (1,--4)
95. Hallar la ecuación general de la circunferencia que pasa por A(-10,-2),
y por los puntos de intersección de la circunferencia x2+y2+2x-2y-32=0
y la recta x-y+4=0
5
96. Obtener la ecuación general de la circunferencia que pasa por el punto
(3,1) y por los puntos de intersección de las circunferencias x2+y2+x-y8=0 y x2+y2+4x-4y-8=0
c) (y– 3)2 = 12(x+4)
d) (x+4)2 = 12(y-3))
e) (x-4)2 = -12(y-3)
104.La ecuación de la parábola con vértice (-1.3) y foco (-1,5) es:
97. Hallar la ecuación general de la circunferencia, tangente a los ejes de
coordenadas, cuyo centro dista del origen de coordenadas en
8
98. Determinar la ecuación general de la circunferencia cuyo centro está
sobre el eje “X”, y que pasa por los puntos (1,3), (4,6).
99. Obtener la ecuación general de la circunferencia tangente a la recta
x+2y=3 en el punto (-1,2), y centro en el eje “y”.
100.Obtener la ecuación de la recta tangente a la circunferencia x2+y2-12x6y+25=0 que pasa por el punto (0,1).
UNIDAD IV LA PARABOLA
101.La ecuación de la parábola con vértice (h,k) y eje paralelo al eje y es:
a) (x - h)2 = 4p(y - k)
b) (x + h)2 = 4p(y - k)2
c) (x – h)2 = 4p(y - k)2
d) (y – k)2 = 4p(x – h)
e) (x + h)2 = 4p(y + k)
102 La ecuación de la parábola con vértice en (-4,3) y foco (-1,3) es:
a) (y – k)2 = 4p(x – h)
b) (x – h)2 = 4p(y – k)
c) (y – k)2 = 4p(x – h)
d) (x – h)2 = 4p(y – k)
e) (y – h)2 = 4p(x –k)
103.La ecuación de la parábola con vértice (-4,3) y foco (-1-3) es:
a) (y+3)2 = -12(x+4)
b) (y+3)2 = 12(x+4)
a)
b)
c)
d)
e)
(x-1)2 = 8(y+3)
(x-1)2 = -8(y+3)
(x+1)2 = 8(y-3)
(x-1)2 = 8(y-3)
(x-1)2 = -8(y-3)
105.En la ecuación de la parábola (x-3)2 = 20(x+2) las coordenadas del
foco son:
a) (-3.3)
b) (3,3)
c) (3,-3)
d) (-3.-3)
e) (3,-2)
106.De la ecuación de la parábola y2 = -20(x-3), indica si ésta se abre hacia:
a) Izquierda b) Derecha
c) Arriba
d) Abajo
107.Identifique la ecuación de la parábola que tiene su eje de simetría sobre
el eje “Y”, su vértice está en el origen.
a)
a)y2 = 4px b) x2 = 4py
c) y = 4px2
d) x = 4py2
2
e)y = 4px
108.De la parábola x2 =-20(y-3), indica si la parábola se abre hacia:
a) abajo
b) Izquierda
c) Derecha
d) Arriba
109.La ecuación de la parábola con vértice en el origen y foco (-3,0), es:
a) x2 = -3y
b) x2 = -12y
c) y2 =-12x
d) (x+3)2 = 4y
110.La ecuación de la directriz de la parábola con vértice en el origen y foco
(-3,0) es:
a) y = 3
b) x = 3
c) x =-3
d) y = 12
111.La parábola y2 =-12x se abre hacia
a) Izquierda b) derecha
c) arriba
d) abajo
6
112.Las coordenadas del foco para la parábola con vértice en el origen y
ecuación y2=12x son:
a) F(3,0)
b) F(-3,0)
c) F(0,3)
d) F(0, -3) e) F(3,3)
113.La parábola y2 =-2x pasa por el punto
a) (0,0)
b) (1,-2)
c) (-1.2)
d) (1,1)
FORMA ORDINARIA DE LA PARABOLA:
114.Hallar la ecuación de la parábola con vértice en el origen y que cumple
con las condiciones que se dan en cada inciso a continuación y grafique:
a) F(4,0)
b) b) F(0,-3)
c) c) F(0, - )
d) Ecuación de la directriz; 2y – 6 = 0
e) Ecuación de la directriz: 4x+8=0
f) Longitud del lado recto 12, se abre hacia la izquierda.
g) Eje de simetría el eje x y pasa por el punto (-2,4)
h) Eje de simetría el eje y y pasa por el punto (8,-3)
115.Determinar las coordenadas del vértice, foco, la ecuación de la directriz,
la longitud del lado recto, la ecuación del eje de simetría y hacer la gráfica
de las siguientes parábolas.
a) X2 = 8y
b) Y2 = -6x
c) X2 + 16y =0
d) 4x = -y2
e) 5Y2 –10X=0
116.Obtener la ecuación ordinaria de la parábola, sus elementos y gráfica,
que cumpla con las condiciones:
a) V(3,2) y F(3,3)
b) V(2,0) y F(1,0)
c) V(1,-1) y F(4,-1)
d) F(4,-3), directriz y – 1=0
e) F(-5,2), directriz x + 1=0
f) V(-3.-2), eje de simetría y +2 =0, y pasa por el punto (6,3)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
V(4,-1), eje de simetría x –4 =0, y pasa por el punto (8,0)
Extremos del lado recto (-1,5) y (-1,-11) y vértice (-5,-3)
Extremos del lado recto (-2.2) y (-2,-4) y foco (-2,-1)
F(0,0), eje de simetría el eje “Y” y pasa por el punto (4,3)
Lado recto 6, directriz y + 3 = 0, y foco sobre la recta 2x-y+1=0,
Eje de simetría x + 2=0, directriz y –1 = 0 y pasa por (0,3)
F(2,1), vértice sobre la recta 3x + 7y + 1=0 y directriz horizontal
Vértice sobre x – y +1 = 0, directriz horizontal, foco sobre la recta x + y
+ 3 = 0, y pasa por el punto (5,6)
o) Vértice sobre 3x + 2y – 19 =0, foco sobre x + 4y = 0 y directriz x = 2.
ECUACION GENERAL DE LA PARABOLA
118.En las siguientes ecuaciones de las parábolas, obtener: las coordenadas
del vértice, las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz, la longitud
del lado recto, y graficarlas.
a) y2 + 4x + 8y – 28 = 0
b) x2 – 6x – 12y – 15 =0
c) 4x2 – 8x + 12y + 20 = 0
d) 2x2 – 4x + 6y + 10 = 0
e) y2 – 8x + 8 =0
f) x = -y2 + 2y – 1
g) y = x2 – 2x + 3
h) y = (x +1) (x + 2)
i) x2 = 2 - y
119.Determinar la ecuación de la parábola que pasa por los puntos indicados
y trazar su gráfica correspondiente.
a) Vertical y pasa por los puntos (0,0), (3,0) y (-1,4)
b) Horizontal y pasa por (0,0), (-2,5) y (2,8)
c) Vértical y pasa por (-2,3), (2,1) y (10,9)
d) Eje de simetría el eje “Y” y pasa por (3,2) y (-2,-1)
120.Determinar las coordenadas de las intersecciones del par de curvas, y
graficar ambas.
7
a)
X2 – 2x + 4y + 5 = 0
y2 = x – 2
x2
y2
+
=1
289 225
b) x2 – y – 1 =0
x2 + y2 = 1
Respuesta 34; 30;
9x2 + 4y = 36
2
121.Calcular la longitud de radio vector del punto P de la parábola y =20x,
si la abscisa del punto P es 7. (radio-vector → distancia del foco a la
parábola).
122.Encuentre un punto en la parábola y2 = 8x cuya distancia a la directriz
sea igual a 4.
123.Hallar las ecuaciones de las tangentes trazadas desde el punto (-3,3) a la
parábola y2-3x-8y+10=0
UNIDAD V: LA ELIPSE.
124.Definir la elipse como lugar geométrico.
125.Dibujar una elipse e indicar:
- Los focos
- El Centro
- Una cuerda focal
- El eje focal
- El eje normal
- Un lado recto
- Los vértices
- El eje menor
- Un diámetro
- El eje mayor
- Una cuerda
- Un radio vector
Explicar qué significa geométricamente la excentricidad de la elipse.
126.Para cada una de las siguientes elipses, con centro en el origen, hallar la
longitud del eje mayor, la longitud del eje menor, las coordenadas de los
focos, la excentricidad, y además trazar la gráfica.
x2 y2
+
=1
25 9
Respuesta 10; 6; (±, 0); 4/5
127.Hallar las ecuaciones de las elipses siguientes, de forma que satisfagan
las condiciones que se indican. Hacer gráficas.
a) Vértices (0,6) y (0,-6), focos (0,4) y (0, -4)
b) Focos (2,0) y (-2,0) y su excentricidad es 2/3
c) Focos (3,0) y (-3,0) y la longitud de uno cualquiera de sus lados rectos
es 9.
128.El eje mayor de la órbita de la tierra mide 186 000 000 millas y la
excentricidad es 1/62. Calcular las distancias mayor y menor de la tierra al
sol. NOTA: El sol es uno de los focos de la elipse.
129.Hallar la ecuación de la elipse en posición ordinaria que satisfaga las
condiciones dadas, y hacer la gráfica correspondiente:
a) Vértice en (-1,-3), focos (-1,-1) y (-1.3).
b) Centro en (-4,-2), e = 2/3, un vértice en (2,-2)
c) Vértices (7,-2) y (-5,-2), pase por (3,2)
d) Centro en (4,1), uno de los focos (1,-1) y que pasa por el punto (6,0)
130.En cada uno de los ejercicios siguientes, reducir la ecuación dada a la
quitar forma ordinaria de la ecuación de la elipse, y determínese las
coordenadas del centro, vértices y focos, las longitudes de los ejes mayor y
menor, y la de cada lado recto, y la excentricidad. Hacer gráficas en cada
caso.
a) X2 + 4y – 6x + 16y + 21 = 0
b) 8xx + 4y2 – 8y –32 =
130.Hacer los cálculos apropiados para verificar de que la ecuación x2+2y22x+4y+3=0 representa una elipse evanescente (se reduce a un punto)
8
a) 4x2 – 9y2 + 32x + 36y + 64=0
b) x2 – 9y2 – 4x + 36y – 41 =0
UNIDAD VI: LA HIPERBOLA
131.Definir la hipérbola como lugar geométrico.
132.Dibujar una hipérbola e indicar en ella:
- Los focos
- El centro
- El eje focal
- El eje normal
- Los vértices
- El eje conjugado
- Una cuerda focal
- Un lado recto
- Un radio vector
132.Explicar el significado geométrico de la excentricidad de la hipérbola, y
¿qué valores puede tener?.
133.Para cada una de las siguientes hipérbolas, hallar la longitud del eje
transverso, la longitud del eje conjugado, las coordenadas de los focos, la
excentricidad, y trazar un gráfica en cada caso.
a)
x2 y2
=1
9 7
Respuesta: 6; 5.3 ; (±4, 0); 4/3
b)
y2 x2
=1
16 9
Respuesta: 8; 6; (0, ± 5); 5/4
c)
x 2 – y2 + 16=0
Respuesta: 8; 8; (1, ± 5.7) ;1.4
134.Hallar las ecuaciones de las hipérbolas que satisfacen las condiciones
siguientes:
a) Extremos del eje conjugado son los puntos (0,3) y (0,-3)
b) Vértices (0,4), (0,-4) y su excentricidad e = 3/2
c) Centro (0,0), un foco (8,0), un vértice (6,0)
d) Centro en (0,0), un vértice en (6,0) y una de sus asíntotas la recta
4x-3y=0
135.Para cada una de las siguientes hipérbolas, reducir la ecuación dada a la
forma ordinaria de la ecuación de la hipérbola, y determinar las coordenadas
del centro, vértices y focos, las longitudes del eje transverso y conjugado, y
del lado recto, la excentricidad, las ecuaciones de las asíntotas, y la gráfica
en cada caso.
136.Cada una de las siguientes hipérbolas está en posición ordinaria.
Obtener su ecuación sabiendo que satisfacen las condiciones que se dan, y
hacer su gráfica.
a) Un vértice en (4,2), focos en (7,2) y (-1,2)
b) Extremos del eje conjugado (0,0), (0,8); excentricidad 3
c) Asíntotas x – 3y + 2 =0, x + 3y+2=0, un vértice en (-5,0).
d) Vértices en (2,9) y (2,3), pasa por (0,0)
137.La ecuación xy = 1 corresponde a una hipérbola equilátera.
Comprobarlo haciendo la gráfica, y verificar que los ejes de coordenadas
son las asíntotas de la curva.
.
.
9