Pontificia Universidad Católica del Perú
FACULTAD DE ARQUITECTURA Y URBANISMO
Matemáticas 2
Práctica Dirigida 2
Superficies cilíndricas, cónicas y de revolución
𝑥2
+ z2 = 1
, y eje 𝐿 paralelo al vector 𝑣⃗ = (2; 2; 2).
𝑦 = −2
a. Determine la ecuación cartesiana de la superficie cilíndrica de curva
base Γ y eje ℒ.
b. Bosqueje la gráfica de la superficie cilíndrica.
2
2
Dada la curva base 𝛤: {𝑥 + 𝑦 = 4 , y vértice 𝑉 = (1; 3; 5).
𝑧=2
a. Determine la ecuación cartesiana de la superficie cónica de curva base Γ
y vértice 𝑉.
b. Bosqueje la superficie cónica . Señale los ejes coordenados, la curva base
y el vértice.
4𝑥 2 − 9z2 = 1
Considere la curva Γ: {
, y eje 𝐿 paralelo al vector 𝑣⃗ = (1; −1; 1).
𝑦=2
a. Determine la ecuación cartesiana de la superficie cilíndrica de curva
base Γ y eje ℒ.
2
Dada la curva base 𝛤: { 𝑦 = 𝑥 y vértice 𝑉 = (1; 2; 4).
𝑧=0
a. Determine la ecuación cartesiana de la superficie cónica de curva base Γ
y vértice 𝑉.
b. Bosqueje la superficie cónica . Señale los ejes coordenados, la curva base
y el vértice.
2
Dada la curva base Γ: {4𝑥 = 𝑦 y el eje de giro 𝐿 que es el eje coordenado
𝑧=0
𝑌.
a. Halle la ecuación de la superficie de revolución generada al rotar Γ
alrededor de 𝐿.
b. Bosqueje la superficie generada.
1. Considere la curva Γ: { 4
2.
3.
4.
5.
6. Justifique la verdad o falsedad de los siguientes enunciados (si es
verdadero enuncie la definición o propiedad que lo define, si es falso,
explique por qué y/o de un ejemplo en el que no se verifique lo afirmado).
𝑥 2 + 3𝑦 = 12
a. La curva base Γ: {
y el eje paralelo al vector
𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 + 1 = 0
𝑣⃗ = (3; −1; −3) generan una superficie cilíndrica.
𝑥2 − 𝑦 = 9
b. La curva base Γ: {
y el punto 𝑉 = (2; 4; 7) generan una
3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 − 5 = 0
superficie cónica.
Pr á c ti c a D i r i g i d a 2
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7. Bosqueje la gráfica de la superficie de revolución definida por la curva base
2
Γ: {𝑥 = 4𝑦 y cuyo eje de giro es el eje coordenado 𝑌.
𝑧=0
8. La ecuación de una superficie de revolución es 𝑥 2 + 𝑧 2 = 4𝑦, determine si
la recta ℒ: 𝑃 = (6; 0; −4) + 𝑡(1; 0; −1), 𝑡 ∈ ℝ intercepta a la superficie de
revolución, si es así, determina los puntos de intersección.
9. Demuestra que la superficie de revolución 4𝑥 − 2𝑧 = (2𝑦 − 𝑧)2 corta a la
recta ℒ: 𝑃 = (5; −1; 0) + 𝑡 (−1; 0; 0), 𝑡 ∈ ℝ en un solo punto. Además, halle el
punto de intersección.
10. Se tiene una superficie cilíndrica de ecuación 𝒞:
𝑥2
4
+ 𝑦 = 1.
a. Bosqueje la gráfica de la superficie 𝒞.
b. Bosqueje una recta ℒ que corte a la superficie 𝒞 en un punto y escriba
la ecuación vecto rial de la recta ℒ.
c. Compruebe que la recta ℒ corta a la superficie 𝒞 en un solo punto.
2
2
11. Se tiene una superficie cónica 𝒞 de curva base Γ: { 4𝑥 + 9𝑦 = 36 y vértice
𝑧−2=0
𝑉 = (0; 1; 4).
a. Bosqueje la gráfica de la superficie cónica 𝒞.
b. Bosqueje una recta ℒ que se esté contenida en la superficie 𝒞 y escriba
la ecuación vectorial de la recta ℒ.
c. Si la ecuación de la superficie 𝒞 es 16𝑥 2 + 9(2𝑦 + 2 − 𝑧)2 = 36(𝑧 − 4)2 ,
compruebe que la recta ℒ está contenida en la superficie 𝒞.
12. Sea la superficie de revolución de ecuación 𝒮: (2 − 𝑧)(2𝑥 − 𝑧) = (2𝑦 − 𝑧)2 .
a. Bosqueje la gráfica de las curvas que resultan de la intersección de la
superficie 𝒮 con los planos 𝜋1 : 𝑧 = 0, 𝜋2 : 𝑧 = 1 y 𝜋3 : 𝑧 = 2.
b. Halle la ecuación vectorial de una recta ℒ que esté contenida en la
superficie 𝒮.
c. Compruebe que la recta ℒ está contenida en la superficie 𝒮.
Funciones
13. Determine el dominio de las siguientes funciones
a. 𝑓 (𝑥 ) = 1 − √2𝑥 − 5
b. ℎ(𝑥 ) =
5𝑥−√𝑥−4
𝑥−8
c. 𝑖 (𝑥 ) = −√10 − 𝑥
d. 𝑔(𝑥 ) =
𝑥 2 −9
√(6−𝑥)(2+3𝑥)
e. 𝑚(𝑥 ) = √2 + 3(𝑥 − 2) − 8
f. 𝑛(𝑥 ) =
𝑥 2 +4
√12+𝑥−𝑥 2
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g. 𝑗(𝑥 ) =
1−√1−𝑥
𝑥 2 −6
h. 𝑘 (𝑥 ) = −√3𝑥 − 2
14. Grafique las siguientes funciones:
a. ℎ(𝑥 ) = 4𝑥 − 1
b. 𝑔(𝑥 ) = −7𝑥 + 1, con −3 ≤ 𝑥 < 1
c. 𝑖 (𝑥 ) = 𝑥 2 + 4𝑥 − 3
d. 𝑓 (𝑥 ) = −9𝑥 2 − 18𝑥 − 2 , con −3 < 𝑥 ≤ 2
e. 𝑗(𝑥 ) = −2𝑥 − 3
f. 𝑘 (𝑥 ) = −7𝑥 − 9, con −2 ≤ 𝑥 < 0
g. 𝑚(𝑥 ) = −𝑥 2 + 4𝑥 − 1
h. 𝑛(𝑥 ) = 2𝑥 2 − 8𝑥 − 1 , con −1 < 𝑥 ≤ 3
15. Del siguiente gráfico de la función 𝑓, determine:
a. El dominio y rango de la función 𝑓
b. La regla de correspondencia de la función 𝑓.
c. El conjunto ℝ − 𝐷𝑜𝑚(𝑓) escribiéndolo como una unión de intervalos.
16. Del siguiente gráfico de la función 𝑓, determine:
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a. El dominio y rango de la función 𝑓
b. La regla de correspondencia de la función 𝑓.
17. Analice la verdad o falsedad de los siguientes enunciados (Recuerde que
debe justificar sus respuestas).
a. La gráfica de
2𝑥 2
3
𝑦2
+ 3/2 = 1 es la gráfica de una función.
b. La representación gráfica de la función 𝑓 definida por 𝑓 (𝑥 ) = 𝑚𝑥 + 2,
donde 𝑚 es un número real, siempre interseca al eje 𝑌.
c. El dominio de la función 𝑓 (𝑥 ) = √𝑥 2 − 4 es ] − ∞; −2] ∪]2, +∞[.
d. El punto 𝐴 = (−3; −2) pertenece a la gráfica de la función cuadrática con
ecuación 𝑦 = (𝑥 + 3)2 + 2.
18. Considere 𝑓 una función cuya regla de correspondencia viene dada por:
5
𝑥+7
; −4 < 𝑥 < −2
𝑓 (𝑥 ) = { 2
(𝑥 − 1)2 − 3 ; −1 ≤ 𝑥 < 4
−2𝑥 + 5
; 4≤𝑥<5
a. Bosqueje la gráfica de 𝑓 indicando los puntos de intersección de la
gráfica de 𝑓 con los ejes coordenados.
b. Determine el dominio y rango de la función 𝑓.
c. Encuentre los valores de 𝑥 para los cuales 𝑓 (𝑥 ) > 0
d. Encuentre los valores de 𝑥 para los cuales −3 𝑓 (𝑥 ) < 0.
e. Encuentre los valores de 𝑥 para los cuales 𝑓 (𝑥 ) < 2.
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19. Considere 𝑓 una función cuya regla de correspondencia viene dada por:
12
𝑥 + 15
; −6 < 𝑥 < −3
5
(𝑥 − 2)2
𝑓 (𝑥 ) =
; −1 ≤ 𝑥 < 5
1
−
; 6≤𝑥<9
{ 3 𝑥 + 10
a. Bosqueje la gráfica de 𝑓 indicando los puntos de intersección de la
gráfica de 𝑓 con los ejes coordenados.
b. Determine el dominio y rango de la función 𝑓.
c. Encuentre los valores de 𝑥 para los cuales 𝑓 (𝑥 ) > 0
d. Encuentre los valores de 𝑥 para los cuales −1 𝑓 (𝑥 ) < 4.
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