Subido por javoxx507

16. Homotecia

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Homotecia
Guía M30M
Homotecia
Preuniversitario M30M
Homotecia
Formulario de clase
Homotecia de puntos
⃗⃗⃗⃗⃗ · k
OP
P: Punto original
O: Centro de homotecia
K: Constante de homotecia
P’: Punto homotético
⃗⃗⃗⃗⃗
OP
Preuniversitario M30M
Homotecia
Homotecia de figuras
Caso 1
Homotecia de la figura ABCD con centro en O y razón k (𝟎 < 𝐤 < 𝟏)
OA′
OA
=
OB′
OB
=
OC′
OC
=
OD′
OD
=k
Caso 2
Homotecia de la figura ABCD con centro en O y razón k (𝐤 > 𝟏)
OA′
OA
=
OB′
0B
=
OC′
OC
=
OD′
OD
=k
Preuniversitario M30M
Homotecia
Caso 3
Homotecia de la figura ABCD con centro en O y razón k (𝐤 < −𝟏)
OA′
OA
=
OB′
0B
=
OC′
OC
=
OD′
OD
= |k|
Caso 4
Homotecia de la figura ABCD con centro en O y razón k (−𝟏 < 𝐤 < 𝟎)
OA′
OA
=
OB′
0B
=
OC′
OC
=
OD′
OD
= |k|
Preuniversitario M30M
Homotecia
Propiedades de homotecia
En dos figuras homotéticas, siempre se cumple que:
Ladohomotético = |k| · Ladoorginal
Perímetrohomotético = |k| · Perímetroorginal
Áreahomotética = k 2 · Áreaoriginal
Preuniversitario M30M
Homotecia
Ejercicios M30M
1. Al cuadrado ABCD de lado p se le aplica una homotecia con respecto al vértice
A y razón homotética – 2, obteniéndose el cuadrado A’B’C’D’. ¿Cuál es el
perímetro del cuadrado A’B’C’D’?
A) – 8p
B) – 4p
C) 4p
D) 8p
PAES M2
2. Al triángulo equilátero ABC de lado L se le aplica una homotecia con respecto
al vértice A y con razón k, obteniéndose el triángulo A’B’C’. ¿Cuál es el área del
triángulo AB’C’?
A)
B)
C)
D)
L2 √3
2
L2 √3
2
L2 √3
4
L2 √3
4
k
k2
k
k2
PAES M2
Preuniversitario M30M
Homotecia
3. Al triángulo ABC se le aplica una homotecia con centro en P y razón K = −0,5,
obteniéndose el triángulo A’B’C’, ¿Cuál de las siguientes figuras representa mejor
esta homotecia?
A)
B)
C)
D)
PAES M2
Preuniversitario M30M
Homotecia
4. Sea el triángulo ABC, con vértices en A(2,1), B(2,5) y C(3,1). Si a este se le
aplica una homotecia con centro en el punto (– 1, – 2) y razón −2, obteniéndose el
triángulo A’B’C’. ¿Cuál es el perímetro del triángulo A’B’C’?
A) 5 + √17
B) 5 + 2√17
C) 10 + √17
D) 10 + 2√17
PAES M2
5. Sea el triángulo ABC, con vértices en A(2,3), B(4,5) y C(5,1). Si a este se le
aplica una homotecia con centro en el punto P(−3,4) y razón 2, ¿cuál el el punto
medio entre la imagen de A y la imagen de B?
A) (3,4)
B) (6,8)
C) (5,9)
D) (9,4)
PAES M2
Preuniversitario M30M
Homotecia
6. Si al vértice (a,b) de un cuadrado se le aplica una homotecia con centro en el
origen y razón −3 y al punto obtenido se le aplica una simetría con respecto a la
recta y = 3 obteniendose el punto P. Si a y b son enteros positivos y b ≠ 1, ¿en
qué coordenadas queda ubicado P?
A) (−3a, 3b)
B) (3 − 3a, 3b)
C) (−3a, 6 + 3b)
D) (6 − 3a, 6 + 3b)
PAES M2
7. Un proyector de cine emite una luz en donde se encuentra la imagen,
proyectando así la imagen que nosotros vemos en el telón, la distancia entre la
ampolleta y la imagen de d[m], el área de la imagen es de a[m2 ] y el área del telón
es de b[m2 ]. Si esta situación es modelada por una homotecia, ¿cuál es la distancia
entre la ampolleta y el telón?
A) d√
B) d√
C) d ∙
D) d ∙
b
a
a
b
b
a
a
b
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Preuniversitario M30M
Homotecia
8. En la figura adjunta se presenta un fenómeno en el cual la figura se va a
duplicando.
Si las figuras son modeladas por una homotecia, ¿cuál es la razón de homotecia
entre la primera y última figura?
A) 2
B) 4
C) 8
D) 16
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Preuniversitario M30M
Homotecia
9. La imagen que se puede obtener en un telescopio puede ser modelada por una
homotecia, donde la imagen que se observa en el telescopio corresponde a la figura
homotética. Si José se observa el planeta Júpiter que tiene un largo de 120.000 km,
mientras que la imagen del telescopio tiene un largo de 2,4 cm.
¿Cuál es la razón homotética?
A) −5 ∙ 107
B) −2 ∙ 10−10
C) 2 ∙ 10−8
D) 5 ∙ 107
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Preuniversitario M30M
Homotecia
10. Al rectángulo ABCD se le aplica una homotecia de razón k con centro en O,
obteniéndose el rectángulo A’B’C’D’. Se puede determinar el valor numérico de k
si:
(1) Se conoce la medida de AB
(2) Se conoce la medida de C’D’
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
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Homotecia
Ejercicios DEMRE
Pregunta 1 Modelo 2022
Preuniversitario M30M
Homotecia
Pregunta 2 PAES M2 2023
Preuniversitario M30M
Homotecia
Pregunta 3 PAES M2 2023
Preuniversitario M30M
Homotecia
Pregunta 4 PAES M2 2023
Preuniversitario M30M
Homotecia
Pregunta 5 PAES M2 2023
Preuniversitario M30M
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