UCR/ESC.GEOGRAFÍA/R.ARCE/I_2016.
INTERPOLACIÓN ESPACIAL Y CÁLCULO DE DERIVADAS ESPACIALES
UTILIZANDO EL PROGRAMA SURFER.
I – INTRODUCCIÓN
Este trabajo práctico tiene por objeto dar una mirada a las funciones de interpolación
espacial y cálculo de derivadas espaciales disponibles en el programa Surfer, así como
fijar conceptos fundamentales del análisis espacial: variogramas, métodos de
interpolación, autocorrelación espacial, derivadas espaciales, etc.
Surfer es un programa de cartografía digital, interpolación, modelado de terreno y análisis
espacial que, pese a su bajo costo, ofrece herramientas analíticas bastante fuertes. Muchas
de estas herramientas fueron desarrolladas largo tiempo antes de ser incorporadas en los
programas de SIG que están de moda en nuestros días. Su historia remonta hasta el año
1993. Una de sus mayores debilidades es el limitado manejo de los archivos vectoriales y
bases de datos asociadas.
En el área de la interpolación espacial, el cálculo de derivadas espaciales y la cartografía
21/2D, Surfer compite con programas de un costo mucho mayor. Es un programa muy
“amigable”, razón por la cual muchos de sus usuarios son autodidactas.
Durante la realización del primer trabajo práctico (TP1) vimos que Surfer podía ser
utilizado de forma muy interesante para calcular y graficar funciones determinísticas de
tipo:
Z = f (x,y)1
cuya función general es:
Z = f(x,y) = a + bX + cY
donde:
Z, X, Y, son las tres coordenadas de un espacio físico o abstracto, a,b,c son las constantes
de la tranformación y “f” es una función determinística que describe de forma exacta la
dependencia de la variable “Z”, con respecto a las otras dos.
En la práctica, generalmente la función “f” que permite relacionar a “Z” con “X” y “Y”
es desconocida y debe ser determinada (fijada) a partir de una serie de observaciones
simultáneas de Z, X y Y.
Cuando se trata de fijar la citada función “f” por lo general se nota que la dependencia de
“Z” con respecto a “X” y “Y” es parcial, de modo que “X” y “Y” se convierten en
1
Z = f (x,y) ó X = f (z,y), ó Y = f (x,z)
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estimadores aproximados de “Z”. Para describir esta situación, podríamos utilizar una
expresión como:
Z = f(x,y) = a + bX + cY + ξ ,
donde, ξ corresponde error residual o ruido que resulta de estimar “Z” como función de
“X” y “Y”.
Existen varias estrategias para tratar de disminuir el factor de incertidumbre o error
residual, ξ. Veremos algunas de ellas:
La primera estrategia consiste en tratar de disminuir el grado de incertidumbre en la
estimación de “Z” aislando otras variables, R, S, T, etc., las cuales determinan en parte el
comportamiento de “Z”. La ecuación general quedaría así:
Z = f(x,y,r,s,t) = a + bX + cY + dR + eS + fT + ξ
La segunda estrategia consiste en aumentar el grado del polinomio, pasando a una
función de grado más alto; cuadrática, cúbica, etc. Por ejemplo, la expresión de una
función cuadrática sería:
Z = f(x,y) = a + bX + cY + dX2 + eXY + fY2 + ξ
Cuando se intenta utilizar estos modelos matemáticos para describir las distribuciones de
propiedades físicas sobre el espacio geográfico definido por sus coordenadas de latitud y
longitud, se hace evidente que muchas propiedades físicas están organizadas en el
espacio y muestran una cierta dependencia de las coordenadas geográficas; pero no
menos notable es que a menudo el factor de incertidumbre, ξ, es suficientemente grande
como para hacer poco relevante la simple explicación de “Z” como función de las
coordenadas (Longitud, Latitud).
Esta circunstancia hace que los geógrafos adoptemos un enfoque radicalmente distinto al
de los estadísticos y matemáticos en la búsqueda de hacer disminuir el factor de
incertidumbre, ξ.
Puesto que a los geógrafos nos interesa, en primera instancia2, la organización espacial de
los fenómenos, nosotros preferimos concentrar nuestro esfuerzo en estimar “Z” como
función únicamente de “X” y “Y” (Longitud, Latitud) e intentamos hacer disminuir el
error residual, ξ, mediante un ajuste numérico de carácter local, basado en la existencia
de autocorrelación espacial.
La idea de base es que la distribución espacial de los fenómenos físicos, económicos,
sociales, etc., es demasiado compleja como para poder ser modelada acertadamente con
2
Note que subrayo en primera instancia, pues es claro que una vez estudiada la estructura espacial de un
fenómeno, el siguiente paso lógico para un geógrafo es determinar las causas determinantes de dicha
organización.
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una función determinística de aplicación global. Aún si utilizamos una función de grado
elevado, las distribuciones reales son demasiado complejas para poder ser descritas por
tales modelos matemáticos.
La idea es, entonces, no tratar de fijar la distribución espacial de tales fenómenos
mediante un modelo matemático determinístico y global, llamado una “superficie de
tendencia”, sino mediante una solución numérica de carácter local, basada en la
interpolación espacial, la cual genera un modelo distribuido, continuo pero discreto, que
en general se conoce como un Modelo Numérico de Terreno (MNT).
Tales modelos distribuidos pueden utilizar algoritmos de cálculo de tipo determinístico o
estocástico, o una combinación de ambos, pero debe destacarse que su aplicación es
local, más que global. Es decir, con tales modelos, la función Z = f(Longitud, Latitud), es
fijada con referencia a los valores observados en el entorno local, y no con referencia a la
totalidad de las observaciones, como ocurre con las funciones globales.
Surfer provee los algoritmos para solucionar una serie de funciones determinísticas
locales que permiten describir y cartografiar relaciones de tipo Z = f(x,y). Entre esas
funciones podemos citar, inverso de la distancia, splines, TIN, etc.
Surfer da la posibilidasd de utilizar funciones híbridas, en esencia probabilísticas, pero
que incluyen una componente determinística; tales funciones adoptan la forma general:
Z(h)* = m(h) + ξ(h) + ξ .
Donde :
Z(h)* = valor estimado de la variable independiente,
m(h) = componente definida por un modelo matemático determinístico, espacialmente
dependiente de la variación regional,
ξ(h)
= componente definida por un modelo probabilístico, espacialmente dependiente de
la variación local,
ξ
= componente indefinida que resulta de errores experimentales (diseño muestral,
imprecisión de los instrumertos); independiente del efecto de la localización de los puntos
de observación en la escala local o regional.
(h) = vector distancia.
El método de interpolación espacial conocido como Kriging, hace uso del modelo
probabilístico. Este método ha sido muy bien implementado en Surfer.
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II - ÁREA DE ESTUDIO.
En el trabajo práctico #2 (TP2) hemos venido trabajando con datos topográficos
localizados en los alrededores de San Juan de Dios de Desamparados (puntos amarillos
de la figura 1); para la interpolación con Kriging, utilizando el programa Excel, se
utilizaron esos mismos datos. Sin embargo, con el propósito experimentar el proceso de
fijar un modelo de variograma al correspondiente diagrama de dispersión, se creyó
conveniente – con propósitos didácticos – extender el área de estudio a un entorno
ligeramente más grande, al tiempo que se densificó la red de puntos muestrales (isolíneas
en rojo). Finalmente, para la interpolación utilizando el programa Surfer, la cual se hará
en el TP3, se utiliza toda la región definida por las curvas de nivel en color negro.
ALAJUELITA
Chiverral
Chiverral
Torrotillo
Torrotillo
Alto
Alto Palo
Palo
Campano
Campano
San
San Josecito
Josecito
Concepción
Concepción
Llano
Llano
ARCÁNGELES
ARCÁNGELES
San
San
Antonio
Antonio
Cerro
Cerro San
San Miguel
Miguel
San
San Juan
Juan
de
de Dios
Dios
Lámparas
Lámparas
Poás
Poás
POZO
POZO
AZUL
AZUL
Piedra
Piedra de
de Aserrí
Aserrí
Cerros
Cerros de
de
Cedral
Cedral
ASERRÍ
Figura 1. Áreas de estudio en San Juan de Dios, Desamparados.
Si usted vive o ha visitado el Valle Central de Costa Rica, podrá obtener una idea clara de
la ubicación del área de estudio, sabiendo que el Cerro San Miguel, que aparece en la
mitad oeste del mapa, es el conocido “Cerro de la Cruz de Alajuelita”, caracterizado por
la Cruz iluminada que se visualiza desde casi toda localidad situada en el Valle Central.
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III – REPASO DE FUNCIONES MATEMÁTICAS GLOBALES.
3.1 Mapa de la función lineal Z = 2X + 4Y
Paso 1. Abra el programa Surfer.
Paso 2. Cree el mapa de la función (Grid –
functions) según los parámetros de la figura 2. El
nombre del archivo de salida será función1.grd,
pero la ruta donde se almacenará el archivo debe
definirla usted mismo. Todos los archivos deberán
ir a una misma carpeta.
Figura 3.
Figura 2.
Para crear un archivo grd Surfer toma como
refencia el valor mínimo y máximo en x,y, así
como el incremento y con esa información
crea una matriz (grid file) con el número
exacto de filas y columnas que caben dentro
del territorio especificado y a la equidistancia
definida. Gráficamente esto puede ser
imaginado como una malla de líneas verticales
y horizontales, en la intersección de las cuales
se crea un nodo (figura 3). En los citados
puntos de intersección o nodos, se anotará el
valor que resulta al procesar la función
definida para la localización específica de
cada nodo.
Una vez que un archivo grd ha sido
creado, hay una gran variedad de
posibilidades para hacer el mapa de la
función calculada. En el transcurso de este
ejercicio iremos experimentando con
diferentes modos de representación.
Paso 3. Haga el mapa de la función 1
utilizando un despliegue en forma de
Figura 4.
“diagrama
de
bloque”
(Map
–
Wireframe). El resultado se ilustra en la figura 4. Este tipo de ilustración es muy útil pues
permite ver si la función define una superficie plana o corrugada. En el caso de la función
1 la superficie definida por la función “Z” es un plano inclinado sobre x,y. Como
recordará, los coeficientes 2 y 4 que acompañan a las variables x,y en la función Z = 2X
+ 4Y corresponden a la pendiente de la función sobre los ejes x,y respectivamente. La
figura 4 muestra claramente que la pendiente sobre el eje y es mucho mayor que la
pendiente sobre el eje x. Guarde (File – Save as) el mapa como función1.srf.
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3.2 Mapa de una función no lineal: Z = 2X2 + 4Y2.
Paso 1. Seleccione y borre cuanta figura tenga en el
plot window.
Paso 2. Cree el mapa de la función (Grid – functions)
según los parámetros de la figura 2. El nombre del
archivo de salida será función2.grd, pero la ruta
donde se almacenará el archivo debe definirla usted
mismo. Todos los archivos deberán ir a una misma
carpeta.
Figura 5.
Paso 3. Haga el mapa de la función
2, utilizando un despliegue en forma
de “diagrama de bloque” (Map Wireframe) y también en forma de
isolíneas (Map – Contour map –
new contour map). Organice las
imágenes (Wireframe y contour
map) de la forma que se ilustra en la
figura 6. Para ello debe indicar que
ambas
imágenes
tienen
los
parámetros de rotación como se
ilustran en la figura 7.
Figura 6.
Para mostrar la ventana de definición
de la orientación de las figuras haga
“doble click” sobre la figura de
interés y luego seleccione la cejilla
“View”. Para hacer que las dos
figuras se superpongan de forma
exacta, primero sepárelas, llevando
una hacia arriba y otra hacia abajo
dentro del Plot window; luego
seleccione ambas figuras (Edit
Select All) y seguidamente alínielas
(Map Stack maps).
Para dibujar las líneas verticales
utilice la herramienta poliline
.
Para cambiar los atributos de la
polilínea utilice el botón
y
“doble click” sobre el objeto.
Guarde (Guarde (File – Save as) el
mapa como función2.srf.
Figura 7.
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Note que a diferencia de la función 1, la función 2 muestra claramente una superficie
curvada, como corresponde a una función de segundo grado o cuadrática. Como antes, se
nota que la pendiente sobre ambos ejes no es idéntica, creciendo mucho más rápido sobre
el eje y, que corresponde a la cara izquierda del diagrama de bloque.
De forma análoga se podrían mapear funciones Z = f(x,y) de orden más alto, como por
ejemplo:
Z = 3x5 + 2y5 – 2x4 – y4 + x3 + 3y3 + 4x2 – 2y
Note también que las funciones definidas son del tipo Z = f(x,y), no pudiéndose
desarrollar funciones de tipo Z = f(x,y,r,s,t), pues se asume que se está trabajando en un
espacio físico concreto, el cual es definido por coordenadas de longitud (x) y latitud (y).
IV – INTERPOLACIÓN ESPACIAL.
4.1 Interpolación espacial utilizando algoritmos determinísticos.
4.1.1 Interpolación espacial mediante
Inverso de la distancia.
Paso 1. Seleccione y borre cuanta figura
tenga en el plot window de Surfer.
Paso 2. Use la función interpolar (Grid –
Data) para crear el (MDT) de San Juan
de Dios de Desamparados. Escoja
SJ3B.CSV, como el archivo de base
(figura 8). Configure la ventana de
Figura 8.
diálogo Grid-Data tal como
se indica en la figura 9. Abra
luego la cejilla de Opciones
Avanzadas donde hallará tres
nuevas casillas, como se
ilustra en la figura 10. En la
casilla General configure
como en la figura 10. En la
casilla Search configure
como en la figura 11. En la
casilla Break lines and faults
configure como se ilustra en
la figura 12.
Figura 9.
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Un archivo de break lines hipotéticamente permite mejorar la calidad del MDT
resultante, pero es necesario que dichas líneas de ruptura sean de igual o superior calidad
que los demás datos topográficos. No tenemos datos de mejor calidad que puedan ser
utilizados para este fin. En el Help de Surfer puede leer acerca de la estructura de los
archivos BLN que son los que permiten definir break lines y faults. Como parte de la
documentación del ejercicio se agregan dos archivos BLN llamados break_lines.bln y
falla.bln. Puede abrir estos archivos con el Worksheet de Surfer o con cualquier editor de
texto si desea conocer su estructura. Sin embargo no se aconseja utilizarlos pues darían
como resultado imágenes más ruidosas e inexactas que las que se obtendrían al no utilizar
break-lines y faults..
Note que el tamaño de celda de la imagen de salida será de 20 metros y que la imagen
contendrá 185 columnas x 209 filas.
Después de haber configurado los
cuadros de diágolo (figuras 10 a 12)
acepte los ajustes (OK) y ejecute el
algoritmo del Inverso de la Distancia.
Figura 10.
El programa creará el archivo de
imagen InvDist.grd, que contedrá
la matriz interpolada de valores
“Z” como función de X,Y.
Surfer generará un reporte
(Griding Report) que da mucha
información estadística útil. Por
ejemplo,
el
coeficiente
de
correlación entre las variables Z, X
y Y; así como los coeficientes para
una regresión lineal de Z sobre
(X,Y), y estadísticas de “vecino
más cercano”. Todas estas
Figura 11.
estadísticas son valiosas para
mejorar el análisis espacial.
Paso 3. Active la ventana que
contiene el reporte y guárdelo
(File save as) con el nombre
Inv_dist_report.rtf.
Figura 12.
Paso 4. Haga el mapa de la
imagen del MDT combinando un
modelo de relieve sombreado
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(Map Shaded Relief) y un mapa de contornos (Map Contour Map – New Contour Map)
en una misma ventana. Figura 13. El mapa de contornos debe tener curvas con
equidistancia vertical de 20 metros;
para ello, haga “doble click” sobre el
mapa de contornos original y escoja la
opción Lavels dentro la ventana Map:
contours properties; luego pique la
opción Level lo cual abre la
subventana Contour Levels, donde
debe especificar Interval = 20 y luego
picar OK (figura 14).
Paso 5. Guarde (File save) el mapa de
relieve sombreado con el nombre
Inv_dist.srf
Paso 6. Use el Help de Surfer para
informarse sobre la naturaleza de un
mapa de relieve sombreado (shaded
relief) y la forma en que Surfer crea
Figura 13.
dicha imagen. En la hoja de
documentación del ejercicio práctico deberá explicar brevemente el concepto y la técnica
relativa a este tipo de mapas.
4.1.2 Interpolación espacial
mediante redes de triángulos
irregulares (TIN).
Figura 14.
a) El método de interpolación será
Triangulation
with
linear
interpolation,
b)
en
opciones
avanzadas debe configurar como se
indica en la figura 15, c) el archivo
interpolado se llamará tin.grd, d) el
gridding
report
se
llamará
report_tin.rtf, e) el mapa se guardará
Paso 1. Repita los pasos 1 a 5
del ejercicio realizado en el
punto 4.1.1, pero utilizando en
este caso el método de
interpolación por redes de
triángulos irregulares (RTI o
TIN). Tenga en cuenta los
siguientes ajustes.
Figura 15.
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como tin.srf, f) todo lo demás se configura como en 4.1.1 siempre que las opciones
correspondientes
estén
disponibles.
Note,
por
ejemplo, que en este caso no
es necesario definir un radio
de interpolación. Explique
por qué no es necesario
hacer esto y presente su
respuesta en la hoja de
documentación del ejercicio
Paso
2.
Haga
una
comparación visual entre los
mapas
generados
por
Inverso de la Distancia y
TIN, poniendo especial
énfasis en la continuidad de
los dos MDT generados.
Anote sus observaciones en
la hoja de documentación
del ejercicio.
Figura 16.
4.1.3 Interpolación espacial mediante otros métodos determinísticos.
Aparte de los métodos Inverse Distance to a Power (Inverso de
la distancia) y Triangulation with Linear Interpolation (TIN),
Surfer, ofrece otros métodos de interpolación de tipo
determinísticos (figura 17). Estos métodos están bien descritos
en el manual y en el Help del programa Surfer. Estos métodos
se dividen en dos clases: a) interpoladores exactos, b)
interpoladores generalizadores.
Paso 1. Utilice el Help de Surfer para investigar brevemente
Figura 17.
sobre el concepto de interpolador exacto en contraposición al
concepto de interpolador generalizador (smoothing method). Mencione tres
interpoladores exactos y tres interpoladores generalizadores. Para hallar esta discusión
especifique Help – contents – gridding methods – exact and smoothing interpolators.
Anote su discusión en la hoja de documentación del ejercicio.
Paso 2. Utilice el Help de Surfer para investigar brevemente sobre un método de
interpolación exacto y un método de interpolación generalizador que no hayan sido vistos
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en clase. Por lo general Surfer solo trae un breve párrafo explicando en que consiste el
método. Anote su discusión en la hoja de documentación del ejercicio.
4.2 Interpolación espacial utilizando algoritmos estocásticos.
Kriging es por excelencia el método de interpolación espacial basado en una predicción
estocástica de los valores “Z” asociados con una propiedad distribuida en el espacio. Los
fundamentos de la teoría del Kriging fueron explicados en clase y se explican
complementariamente en el documento “Interpolación Espacial”. Hay cientos de artículos
que han sido publicados sobre este método de interpolación, su aplicación y sus
fundamentos.
Surfer ofrece dos posibilidades para ejecutar la interpolación espacial mediante el método
Kriging. En el primer caso, Surfer fija utomáticamente un variograma lineal a los datos
de entrada y el analista sólo tiene que configurar las ventanas, tal como se hace con los
demás métodos de interpolación. En el segundo caso, el analista (usted) debe determinar
el modelo de variograma que mejor fija sus datos experimentales y luego importar dicho
modelo para ser utilizado como referencia durante el proceso de interpolación.
Es posible que el primer procedimiento sea más simple y hasta de mejores resultados para
el analista con poca formación académica y experiencia. Sin embargo, para aquellos que
ya tuvieron un mínimo de formación y entrenamiento sobre la fijación de variogramas y
uso del interpolador Kriging, es preferible que utilicen la opción de fijar por sí mismos el
modelo de variograma más adaptado a los datos. Por esta razón haremos varios ejemplos
de interpolación con Kriging. Antes de proceder, sin embargo, veremos como fijar un
variograma con Surfer.
La experiencia de haber ensayado la fijación de un modelo matemático al variograma
experimental utilizando Variowin nos será de gran ayuda para hacer lo propio pero
utilizando el programa Surfer. En este caso, el procedimiento es más abreviado, razón por
la cual procedemos a explicarlo y solicitamos que usted complete este mismo ejercicio.
4.2.1 Fijar un modelo matemático al variograma experimental con Surfer.
Los conceptos de base para fijar un modelo de variograma con Surfer se explican en Help
– contents – variogram grid. Se traduce lo indicado en dicha página.
Los usuarios familiarizados con GeoEAS o VarioWin deben estar familiarizados con los
archivos de comparación de pares (de puntos) de tipo [.PCF]. Surfer usa una cuadrícula
de variograma como una representación interna fundamental de los datos, en vez crear un
archivo de comparación de pares [.PCF]. La razón para ello es que el archivo de
comparación de pares de puntos puede ser extremadamente grande aún para conjuntos de
datos de tamaño moderado. Por ejemplo, 5000 observaciones dan lugar a N(N-1)/2 pares
de datos, es decir, más de 12 millones de pares. Cada par requiere de 16 bytes de
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información, de modo que el tamaño del archivo PCF alcanzará cerca de 191 megabytes
de memoria con el único propósito de manejar la información relativa a la comparación
de los pares de puntos (i.e., un archivo de distancias y diferencias en “Z”). El tiempo que
consume la lectura y la búsqueda a través de un archivo tan grande hace el enfoque PCF
impráctico para la mayoría de los usuarios de Surfer.
Se gana en velocidad de cálculo y capacidad de almacenamiento al utilizar el enfoque de
cuadrícula de variograma (variogram grid). Una vez que la cuadrícula del variograma es
construida, cualquier variograma experimental puede ser computado instantáneamente y
de forma independiente del número de observaciones. Sin embargo, este enfoque no
ofrece la posibilidad de realizar la edición de los variogramas “al vuelo” (sobre la
marcha) sobre la base de un tratamiento por parejas de puntos.
A diferencia de las cuadrículas (grids) usadas de forma generalizada en Surfer, las cuales
son cuadrículas rectangulares, las cuadrículas de variograma son polares 3. Las
cuadrículas polares no pueden ser vistas en Surfer, y solo son usadas dentro del contexto
del cálculo del variograma. La primera coordenada en una cuadrícula de variograma hace
referencia al ángulo polar, y la segunda se refiere a la distancia radial hacia el exterior,
partiendo del origen del sistema polar.
Considere la siguiente cuadrícula de variograma:
Hay ocho divisiones angulares:
{0, 45, 90, 135, 180, 225,
270, 315} y cuatro divisiones
radiales: {100, 200, 300, 400}.
Así, hay 32 celdas individuales en
esta cuadrícula de variograma. Los
usuarios
familiarizados
con
VarioWin (como ustedes) notarán
semejanzas entre la cuadrícula del
variograma de Surfer y la
“Superficie de variograma” de
VarioWin® 2.2. En Surfer, solo la
mitad superior de la cuadrícula es
utilizada.
Considere las siguientes tres
localizaciones de observación:
{(50,50),
(100,
200),
and
(500,100)}. Hay tres observaciones, así, hay 3*(3-1)/2 = 3 pares. Los pares son:
Figura 18.
3
Es decir, utilizan coordenadas polares. A diferencia del sistema rectangular cartesiano, basado en
distancias sobre los ejes ortogonales x,y, las coordenadas polares definen un sistema circular donde la
localización viene dada por rumbos y distancias radiales con respecto la posición 0,0.
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A (50,50), (100,200)
B (50,50), (500,100)
C (100,200), (500,100)
Cada para es colocado en una celda particular de la cuadrícula del variograma con base
en la distancia y ángulo de separación entre las dos localizaciones de observación.
La distancia de separación es:
El ángulo de separación es:
Usando las ecuaciones de arriba, el ángulo de separación para el primer par de
observaciones {(50,50), (100,200)} es 71.57 grados y la distancia de separación es
158.11 unidades. Este par es colocado en la celda delimitada por el círculo de 100 en el
lado interno, el círculo de 200 en el lado externo, la línea de los 45° en la dirección de las
manecillas del reloj, y la línea de 90° en la dirección contraria a las manecillas del reloj.
La localización de este par en la cuadrícula del variograma se muestra en la figura 18
como punto A.
Pair
A
B
C
Separation
Angle
71.57
6.34
-14.04
Separation Distance
158.11
452.77
412.31
The separation angle and separation distance for each pair
Puesto que la distancia de separación de los pares B y C son mayores que el radio del
círculo más largo (400), estos pares caen fuera de la cuadrícula del variograma. Los pares
B y C no son incluidos en la cuadrícula del variograma y por tanto, no son incluidos en el
variograma. Usando las ecuaciones de arriba, cada par es colocado en una de las celdas
de la cuadrícula del variograma o es descartado si la distancia de separación es demasiado
grande.
Para un gran conjunto de datos puede haber millones de pares (o más) y el archivo de
pares de comparación asociado sería muy grande. Por otro lado, con la cuadrícula de
variograma de la figura 18 habría solo 32 celdas de cuadrícula sin importar el número de
pares contenido en una celda de cuadrícula particular. Aquí yace la ganancia
computacional del enfoque de cuadrícula de variograma. No es necesario que cada par
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sea almacenado en una celda de la cuadrícula del variograma; cada celda de la cuadrícula
del variograma almacena solo un pequeño conjunto de estadísticas resumidas las cuales
representan a todos los pares contenidos dentro de esa celda.
Al definir una nueva cuadrícula de variograma (Grid – variogram –new variogram) y
especificar un archivo de datos a ser usado, Surfer presenta una ventana con dos cejillas.
(Figura 19). La primera de
ellas, llamada Data presenta
una serie de estadísticas sobre
los datos, mientras que la
segunda, General, permite
definir los parámetros de la
cuadrícula del variograma y da
la posibilidad de remover o no
la tendencia de los datos
utilizando una función lineal o
cuadrática.
Los parámetros que definen las
características de la cuadrícula
del variograma son: Max Lag
Distance, Angular Divisions y
Radial Divisions.
Figura 19.
Max Lag Distance especifica la máxima distancia de separación contenida en la
cuadrícula del variograma. Cualesquiera pares de puntos más alejados que lo indicado
para el maximum lag distance no son incluidos el la cuadrícula del variograma. El valor
por defecto para la Máxima Distancia de Lag es de un tercio de la extensión de la
distancia diagonal de lo datos redondeada hacia abajo hasta la segunda cifra significativa
(por ejemplo, 1.2345 se redondea a 1.2).
Angular Divisions especifica el número de divisiones angulares: es decir, el número de
espacios entre “rayos” en la cuadrícula del variograma. El rayo de 0° está localizado en el
eje X positivo y no en el eje Y positivo ó azimuth, como suele ser en otras aplicaciones.
Las divisiones angulares solo van de 0° hasta 180°, y no sobre todo el circuito alrededor
de los 360°. Si un vector fuera dibujado desde el primer punto en el par hasta el segundo
punto en el par, el símbolo de la flecha debería apuntar hacia una dirección en la
cuadrícula polar. En Surfer, el primer punto es el punto con el valor [Y] más pequeño y el
segundo punto es el punto con el valor [Y] más grande. Como tal, la parte inferior de la
cuadrícula del variograma está vacía y es innecesaria. El variograma experimental para
cualquier dirección entre 180° y 360° puede ser calculado a partir de la parte superior de
la cuadrícula usando la simetría inherente del variograma. El valor por defecto de 180
para el número de divisiones hace que cada celda de la cuadrícula del variograma
subtienda 1 grado de arco.
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Las Divisiones Radiales especifican el número de círculos concéntricos en la cuadrícula
del variograma. El valor por defecto es 100. Tenga en mente que incrementar el número
de Divisiones Angulares y Divisones Radiales incrementa la cantidad de memoria
requerida para almacenar la cuadrícula.
En la parte superior derecha (figura 19) se muestra un diagrama de la cuadrícula del
variograma especificado.
4.2.2 Interpolación espacial utilizando Kriging y un modelo de variograma fijado por
el usuario.
Paso 1. Seleccione y borre cuanta figura tenga en el plot window de Surfer.
Paso 2. Definir un nuevo variograma (Grid – Variogram – New Variogram),
especificando el archivo SJ3B.csv como el archivo de datos a utilizar. Aparece una
ventana llamada New Variogram (figura 19).
Revisar la cejilla Data y
verificar que la columna
X corresponde a la
coordenada
Este,
la
columna Y corresponde a
la coordenada Norte y la
columna Z corresponde a
la Altitud.
Column C: ALTITUD
Direction: 0.0 Tolerance: 90.0
25000
20000
Variogram
Revisar
la
cejilla
General.
Aceptaremos
15000
los parámetros de la
cuadrícula de variograma
que se definen por
10000
defecto e indicaremos no
eliminar tendencia en los
datos. OK para aceptar.
5000
Tenga paciencia, generar
la estructura de la
cuadrícula del variograma
0
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
significa medir cada par
Lag Distance
de puntos, clasificarlo y
Figura 20.
anotar las estadísticas
resumen en la celda correspondiente. Esto toma su tiempo pues se trata de decenas de
millones de cálculos!.
Paso 3. Aparece el variograma experimental (raya y nodos negros), y el modelo
matemático lineal (color azul) que mejor ajusta (fija) el variograma experimental. Figura
UCR/ESC.GEOGRAFÍA/R.ARCE/I_2016.
20. El usuario que no conozca la teoría de construcción de variogramas y vaya
directamente a los algoritmos de
interpolación de Surfer usará, sin
saberlo,
este
modelo
de
variograma como parte del
procedimiento de interpolación
espacial. De acuerdo a nuestra
experiencia con VarioWin, este
no es un gran resultado y
justifica hacer un esfuerzo por
mejorar el ajuste.
Paso 4. Doble “click” sobre el
gráfico del variograma para
acceder a la ventana Variogram
Figura 21.
Properties donde podrán hacerse
los ajustes pertinentes. Figura 21. Esta ventana cuenta con cuatro cejillas: Experimental,
Model, Statistics y Plot. Revise detenidamente las cejillas para comprender como
controla Surfer los parámetros del variograma. Haga una analogía con lo visto en
VarioWin. Si fuera necesario consulte el Help de Surfer.
Paso 5. Abrir la cejilla Model. Marcar y eliminar (Remove) el componente de variograma
definido como Linear. Luego picar sobre la cejilla Add y definir un modelo de
variograma de tipo potencia (Power). Ejecutar luego la opción autofit, definiendo un
máximo de 500 iteraciones. Por favor tener paciencia, según la velocidad del procesador
de su máquina, esto podría tardar entre algunos segundos y varios minutos. Abajo
aparecerá el indicador del porcentaje de avance.
Si utiliza las opciones por defecto para la
cejilla Experimental y la configuración
mostrada en la figura 22 para la cejilla
Column C: ALTITUD
Direction: 0.0 Tolerance: 90.0
25000
Variogram
20000
15000
Figura 22.
10000
5000
0
0
200
400
600
800
1000
Lag Distance
Figura 23.
1200
1400
1600
1800
Model, obtendrá un variograma omnidireccional
bien ajustado para interpolaciones que utilicen
un vecindario de hasta 600 metros de radio
(figura 23).
UCR/ESC.GEOGRAFÍA/R.ARCE/I_2016.
Paso 6. Proceda ahora a realizar su primer ejercicio de interpolación con Kriging.
Interpole (Grid – data) un MDT utilizando el archivo de puntos de altitud SJ3B.grd. En
la ventana del Grid Data
especifique Kriging como el
Gridding method defina la
ruta y nombre del archivo de
salida. El nombre para el
archivo de salida será
Krig1.grd. En Advanced
options, cejilla General,
pique sobre la cejilla Get
variogram para leer la
información sobre el modelo
de
variograma
y
los
parámetros a utilizar. Figura
24. Especifique también un
Figura 24.
nombre de archivo para el
Output Grid of Kriging Standard Deviation. El nombre sugerido es Krig1_sd.grd. Esto
permitirá crear una imagen de la desviación estándar de los errores de estimación, lo cual
se puede obtener gracias a que Kriging calcula iterativamente (por programación
dinámica) una gran cantidad de
soluciones posibles para cada nodo
del MDT. Posteriormente, pique
sobre la cejilla Search y defina una
elipse de búsqueda (Search ellipse)
de 600 metros sobre ambos radios de
la elipse. Al definir un radio de
búsqueda de 600 metros nos
aseguramos de no utilizar pares de
puntos separados por distancias que
exceden la zona de excelente ajuste
entre el variograma experimental y el
modelo matemático del mismo.
Paso 7. Haga el mapa de la imagen
del MDT combinando un modelo de
relieve sombreado (Map Shaded
Relief) y un mapa de contornos
(Map Contour Map – New Contour
Figura 25.
Map) en una misma ventana.
Recuerde que para combinar ambos mapas, después de creados deben ser seleccionados y
luego ejecutar Map – Overlay maps.
Atención: si no desea que este mapa quede sobrepuesto a la imagen del variograma,
simplemente aparte el variograma corriéndolo hacia afuera de la página de impresión,
antes de generar los mapas.
UCR/ESC.GEOGRAFÍA/R.ARCE/I_2016.
Paso 8. Conservando el mapa y el modelo de variograma en un mismo Plot Document,
guarde (File – Save as) la definición del variograma y del mapa (Shaded relief
combinado con contours) como Kriging.srf.
Paso 9. Pique
sobre el mapa y arrástrelo fuera de la página de impresión.
Paso 10. Repita los pasos 2 al 8 haciendo los ajustes que se indican a continuación: a) el
nombre del MDT que se generará será Krig2.grd, b) El Max Lag Distance será 3600
metros y número de Angular
divisions será 360, c) los
parámetros del variograma se
Column C: ALTITUD
Direction: 0.0 Tolerance: 90.0
90000
80000
70000
Variogram
60000
50000
40000
30000
20000
10000
Figura 25.
0
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
Lag Distance
especifican en la figura 25, d) el modelo de variograma
Figura 26.
ajustado se ilustra en la figura 26, e) la Search ellipse
será de 2,000 metros, f) al importar un modelo de variograma Get variogram el programa
indicará que hay varios modelos en el Plot Document, para seleccionar el correcto,
verifique sus parámetros, g) el nombre para el archivo de las desviaciones estándar de la
estimación será Krig2_sd_grd, h) al guardar el Plot Document (File – Save as) utilice el
mismo nombre indicado arriba, es decir, Kriging.srf. El programa le indicará que el
archivo existe y si desea sobreescribirlo; responda que sí. De esta forma en un sólo
archivo y un sólo Plot tendremos la definción de todos los variogramas y mapas
generados.
Nota: tenga presente que puede cambiar ciertos aspectos gráficos de la representación del
variograma utilizando la cejilla Plot de la ventana Variogram Properties.
V – CÁLCULO DE DERIVADAS ESPACIALES CON SURFER.
Antes de proceder a realizar los ejercicios de cálculo de derivadas espaciales se sugiere
que usted lea el documento “Derivadas Espaciales” que le fue sugerido como lectura de
apoyo del curso Análisis Espacial y/o del curso Cartografía Digital.
UCR/ESC.GEOGRAFÍA/R.ARCE/I_2016.
5.1 Conceptos de base e implementación del cálculo de derivadas en Surfer
Una derivada espacial es la solución numérica a un algoritmo que actuando dentro de una
ventana móvil que se desplaza sobre la matriz espacial existente (un archivo Grid de
Surfer, por ejemplo), permite calcular una imagen de salida que es el producto derivado
de la primera. En sentido estricto, la imagen de salida, con la matriz espacial de soporte,
se obtendría de la solución numérica de la función derivada con respecto a cualquiera de
los ejes dx, dy, ó una combinación de ambos. En esencia, las funciones derivadas
muestran tasas de cambio de una propiedad a lo largo del territorio que ella ocupa.
Para el cálculo de derivadas espaciales, Surfer usa la opción Grid – Calculus, la cual
suele generar imágenes sugestivas que permiten ver detalles que no eran obvios al hacer
la inspección visual del MDT en forma de contornos o de diagrama de bloque.
La caja de diálogo de Grid Calculus está dividida en cuatro secciones: Directional
Derivatives, Terrain Modeling, Differential and Integral Operators, and Fourier and
Spectral Analysis. El comando Grid – Calculus, crea un nuevo archivo GRID de los
datos generados. Los archivos GRID derivados tienen las mismas dimensiones que el
archivo GRID original, pero podrían usar diferentes rangos de datos según el tipo de
salida.
En el presente ejercicio únicamente exploraremos funciones disponibles en Grid –
Calculus – (seleccionar archivo Grid) – Terrain Modeling.
Cuando se requiere una derivada numérica Surfer utiliza una solución llamada diferencia
central, la cual requiere conocer los valores originales a ambos lados de la localización
para la cual la derivada es calculada. Esto lleva a dejar en blanco (sin dato) el borde de
las imágenes derivadas, lo que generalmente se conoce como efecto de borde.
Surfer utiliza las notaciones de cuadrícula
según el método de la brújula, para indicar
de forma genérica los nodos de cuadrícula
vecinos que serán usados por los
operadores de Grid Calculus, tal como lo
muestra la figura 27. El valor Z para la
imagen derivada, en el punto central (no
relleno) es lo que se desea calcular. Para
ello, podrían requerirse los valores
numéricos de los nodos vecinos en la
imagen de entrada.
Utilizando esta notación de cuadrícula, es
Figura 27.
posible escribir soluciones aproximadas
(numéricas) a las ecuaciones diferenciales
para las derivadas de interés, en la posición central “Z”. Veamos:
UCR/ESC.GEOGRAFÍA/R.ARCE/I_2016.
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
La ecuación (1) es la primera derivada o grandiente de la variable “Z” sobre el eje “X”, lo
cual permite generar un perfil del gradiente en dirección Este - Oeste.
La ecuación (2) es la primera derivada o grandiente de la variable “Z” sobre el eje “Y”, lo
cual permite generar un perfil del gradiente en dirección Norte – Sur.
La ecuación (3) es la segunda derivada o curvatura de la variable “Z” sobre el eje “X”, lo
cual permite generar un perfil de la curvatura de la función en dirección Este – Oeste.
La ecuación (4) es la segunda derivada o curvatura de la variable “Z” sobre el eje “Y”, lo
cual permite generar un perfil de la curvatura de la función en dirección Norte – Sur.
UCR/ESC.GEOGRAFÍA/R.ARCE/I_2016.
La ecuación (5) es la primera derivada o pendiente de la variable “Z” sobre el plano
definido por los ejes “X,Y”, lo cual permite generar un perfil del gradiente de la función
en una dirección compuesta, determinada por las magnitudes del dX y dY.
La ecuación (6) es la tercera derivada o Laplaciano de la variable “Z” sobre el eje “X”, lo
cual permite generar un perfil de la convergencia/divergencia de la función en dirección
Este – Oeste.
La ecuación (7) es la tercera derivada o Laplaciano de la variable “Z” sobre el eje “Y”, lo
cual permite generar un perfil de la convergencia/divergencia de la función en dirección
Norte – Sur.
La ecuación (8) es la segunda derivada o curvatura de la variable “Z” sobre el plano
definido por los ejes “X,Y”, lo cual permite generar un perfil de la curvatura de la
función en una dirección compuesta, determinada por las magnitudes del dX y dY.
5.2 Funciones disponibles en Grid – Calculus – Terrain Modeling.
La particularidad que poseen las funciones de cálculo incluidas en el submenú de
Modelado de Terreno (Terrain Modeling) es que el valor anotado indica el valor máximo
de la derivada calculado a lo largo de la línea de pendiente máxima. El cálculo de dicha
dirección está implícito en la solución dada.
Cuando usted escoge las opciones Terrain Aspect, Profile Curvature, Plan Curvature, o
Tangential Curvature, puede también especificar un valor Umbral. En área donde la
pendiente máxima se aproxima a cero (la superficie es casi horizonal) la dirección del
gradiente es difícil de determinar con precisión y podría preferirse clasificar dichas
superficies como planas. Consecuentemente, las celdas correspondientes a tales
superficies serían celdas en blanco cuando se aplica una función de análisis de terreno.
5.2.1 Pendiente del terreno.
Grid – calculus – terrain slope, calcula la pendiente en cualquier nodo de la cuadrícula
de la superficie. Dicha pendiente es reportada en grados desde 0 (horizontal) hasta 90
(vertical). Para un punto particular de la superficie, la pendiente del terreno es calculada a
lo largo de la dirección de máximo descenso o ascenso local.
La pendiente, S, en un punto P es la magnitud del gradiente en dicho punto. De acuerdo
con la definición de gradiente dada arriba:
(9)
Usando la notación indicada en la figura 27, esto da:
UCR/ESC.GEOGRAFÍA/R.ARCE/I_2016.
(10)
La pendiente del terreno es representada como un ángulo de pendiente, ST, en grados,
acorde con la literatura sobre modelado de terreno (Moore et al., 1993):
(11)
5.2.2 Orientación del terreno.
Terrain Aspect, calcula la dirección ladera abajo, sobre el eje la pendiente máxima en
cada nodo de la cuadrícula. Esta es la dirección que es perpendicular a las líneas de
contorno de la superficie, y es exactamente opuesta a la dirección del gradiente. El valor
de orientación es reportado en azimuth, con 0 grados para el Norte y 90 grados para el
Este.
Acorde con la literatura de modelado de terreno, Surfer representa la orientación del
terreno, AT, como un azimuth (in degrees, not radians):
(12)
Según el sistema de notación para las direcciones (figura 27), la ecuación queda así:
(13)
5.2.3 Curvatura en perfil.
Profile Curvature, determina la tasa se cambio de la pendiente ladera abajo o arriba en la
dirección del gradiente (opuesta a la dirección de orientación de la pendiente) en cada
nodo de la cuadrícula. Los valores negativos indican convexidad hacia arriba ( ) e
indican flujo acelerado del agua superficial. mientras los valores positivos indican
concavidad hacia arriba e indican flujo desacelerado del agua superficial.
La curvatura en perfil, KP istá dada por:
UCR/ESC.GEOGRAFÍA/R.ARCE/I_2016.
(14)
donde
5.2.4 Curvatura en planta.
Plan Curvature, refleja la tasa de cambio del ángulo de orientación del terreno (Terrain
Aspect) medida en el plano horizontal, y es una medida de la curvatura de los contornos.
Los valores negativos indican flujo de agua superficial divergente, mientras los valores
positivos indican flujo de agua superficial convergente.
La curvatura en planta KH viene dada por:
(15)
Donde:
5.2.5 Curvatura tangencial.
Tangential Curvature, mide la curvatura en relación un plano vertical perpendicular a la
dirección de gradiente, o tangencial a la línea do contorno. Las áreas negativas y positivas
son las mismas que genera el análisis de curvatura en planta, pero los valores de
UCR/ESC.GEOGRAFÍA/R.ARCE/I_2016.
curvatura son diferentes. La Curvatura Tangencial está relacionada con la Curvatura en
Planta KH por el seno de la pendiente : KH = KT / sin
La Curvatura Tangencial KT está dada por la ecuación:
(16)
Donde
5.3 Ejercicios de cálculo de derivas espaciales.
5.3.1 Cálculo de pendiente.
Paso 1. Ejecute Grid – Calculus y especifique Krig2.grd como el archivo que contiene la
cuadrícula de entrada. Seleccione la
opción Terrain Slope e indique el
nombre del archivo de salida:
slope.grd. Presione OK y la imagen
de la pendiente será creada
utilizando la ecuación (11).
Paso 2. Muestre el mapa de la
pendiente (Map – Image map –
slope.grd); abra luego un mapa base
(Map – Base map – sj3.mif). Una
vez que los dos mapas han sido
Figura 28.
desplegados, seleccione todos los
objetos (Edit – Select all) y combínelos (Map – Overlay maps). Si fuera necesario
reordene la ventana del control de capas de información (a la izquierda) para que el “base
map” quede sobre el “image map” (Figura 29). Para colorear su mapa de pendientes
“doble click” sobre el botón “image map” (
) en la ventana de control de
layers (izquierda); se abre entonces la ventana Image map properties. Seleccione
UCR/ESC.GEOGRAFÍA/R.ARCE/I_2016.
interpolar píxeles y mostrar escala de color. Luego, “click” sobre paleta de color y use
“Ctrl click” para
agregar más cejillas
de color (figura 30).
Vaya picando sobre
cada
cejilla
y
seleccionando colores
según una secuencia
apropiada4. Cuando
esté satisfecho con su
escala
de
color
oprima OK y luego
Apply. Observe el
mapa
coloreado.
Pique luego sobre la
paleta “colors” (
)
y
modifíquela – si lo
Figura 29.
cree necesario –, o
guárdela (Save) cuando esté conforme a su gusto. Llame al archivo de definición de la
paleta de color: Slope_color.clr.
En su material de base se agregó
también una paleta con cambio de
saturación, pero sin cambio de
matiz, que podría ser más
apropiada para el mapeo de la
pendiente, usted puede abrirla, con
la opción Load disponible en la
ventana titulada Color Spectrum.
El archivo de definición del color
[.CRL] puede fácilmente ser
editado usando Notepad (Bloc de
Figura 30.
notas)
(figura 31) de modo que usted pueda especificar los límites
de cada color con toda exactitud. La primera línea lleva el
nombre del archivo, el formato de la versión y el método de
interpolación del color. A partir de la segunda línea hay
cuatro columnas. La primera describe la posición (en la
escala porcentual de 0 a 100), mientras que la segunda,
tercera y cuarta describen el grado de saturación de Rojo,
Figura 31.
Verde y Azul, respectivamente. Estos valores deben ir de 0 a
4
Puesto que el valor de la pendiente inicia en cero y crece de forma progresiva y de intensidad creciente, la
paleta de color debe mostrar dicha progresión. En el ejemplo, se ha supuesto que los colores verde –
amarillo – rojo siguen una progresión, aunque su intensidad no necesariamente es creciente. Por eso se ha
agregado también una paleta (archivo Slope_color_progres.crl) que cumple con ambas condiciones.
UCR/ESC.GEOGRAFÍA/R.ARCE/I_2016.
255 y tienen que se enteros. Cualquier modificación permanente que usted haga sobre
este archivo de texto se verá reflejada en el mapa cuando cargue y aplique esta paleta.
Lógica y saludablemente, quizá sea mejor que al hacer cambios en la paleta, usted guarde
el archivo [.CRL] con un nombre nuevo. Es posible poner límites rígidos a los colores, en
vez de utilizar cambios graduales como se crean por defecto. Esto suele hacerse cuando
se desea hacer un mapa temático más convencional. Para asociar el valor porcentual de la
columna 1, con el valor real de pendiente, basta con consultar la información del archivo
Slope.grd y determinar cuál es el valor Zmin y Zmax; ellos corresponden a 0 y 100% de
saturación de color respectivamente. Los demás valores de pendiente se relacionan con la
escala porcentual por simple regla de tres. Use el Help de Surfer (Color Espectrum) para
más detalles.
Paso 3. Guarde el mapa de pendientes (File – Save) llamando al mapa resultante
Slope_image.srf. Aún no cierre el mapa!.
Paso 4. Editar la paleta de color y hacer un mapa de pendientes con las categorías que
solicita la Secretería Técnica Nacional del Ambiente (SETENA).
Inicie el programa Bloc de notas (Notepad). Abra el archivo
Slope_color.clr. Guarde el archivo (File – Save as) con el nombre
Slope_color_setena.clr. Modifique el archivo, de modo que quede
de la forma que se indica en la figura 32. Guarde el archivo
Slope_color_setena.crl modificado (File – Save). Vaya ahora a
Surfer; en la ventana del control de capas “doble click” sobre el
botón del Image Map (
) para la ventana del Image
Map Properties. Abra (“click”) la paleta de color y cargue (Load)
la paleta Slope_color_setena.clr. La imagen de pendientes
adquiere ahora más
Figura 32.
apariencia de mapa y
muestra las 6 categorías de pendiente exigidas
por SETENA (figura 33). Dichas categorías
son: 0-3%, 3-8%, 8-15%, 15-30%, 30-60% y
> 60%. Puesto que Surfer no calcula la
pendientes en porcentaje, sino en grados, es
necesario transformar primero los grados a
porcentajes; además, como la escala de color
de Surfer se asigna en porcentajes de
saturación, es necesario calcular a que
porcentaje de saturación corresponde cada
categoría del mapa de pendientes (Figura 34).
Figura 33.
Para obtener el valor de saturación de color
que corresponde a las pendientes en grados,
tome el valor límite de cada clase y divídalo por el valor máximo de pendiente (en
grados), que para esta imagen es 58.015°, y luego multiplique por cien. Póngale atención
también al truco de repetir los colores en la paleta de colores (figura 32), como medio
para obtener colores sólidos “graduados”, en vez de colores sólidos continuos.
209000
208500
55
50
208000
45
40
207500
35
30
207000
25
20
206500
15
10
206000
5
205500
205000
522000
522500
523000
523500
524000
524500
525000
525500
UCR/ESC.GEOGRAFÍA/R.ARCE/I_2016.
SETENA (%)
0-3
3-8
8-15
15-30
30-60
>60
SETENA(GRAD
OS)
0.000 – 1.718
1.718 – 4.574
4.574 – 8.531
8.531 – 16.699
16.699 – 30.964
30.964 – 58.016
SAT_COLOR (%)
RGB
0 – 2.961
2.961 – 7.884
7.884 – 14.705
14.705 – 28.784
28.784 – 53.372
53.372 – 100
0 102 51
0 200 0
150 255 102
255 255 0
255 150 0
255 0 0
Figura 34.
Paso 5. Acepte el cambio en la paleta de color de Sufer y aplíquelo para obtener un mapa
como el que se muestra en la figura 33. Guarde (File – Save as) el mapa como
Map_color_setena.srf.
