Guía-de-Fundamentos-de-Álgebra

Guía ETS
Fundamentos de Algebra
Ejercicios:
I.3 Resuelva las siguientes operaciones:
Sea 𝑧1 = 1 − 𝑖, 𝑧2 = −2 + 4𝑖, 𝑧3 = √3 − 2𝑖.
I. Números Complejos
21) 𝑧1 2 + 2𝑧1 − 3
22) |2𝑧2 − 3𝑧1 |2
23) (𝑧3 − 𝑧̅3 )5
24) |𝑧1 𝑧̅2 + 𝑧2 𝑧̅1 |
I.1 Representar los siguientes números complejos en
sus formas.
a) Polar
b) Polar abreviada
c) Exponencial
1) 𝑧1 = −3𝑖
2) 𝑧2 = 2 − 2𝑖
3) 𝑧3 = −4
4) 𝑧4 = −2√3 − 2𝑖
5) 𝑧5 = −𝑖
𝑧1 +𝑧2 +1
|
𝑧1 −𝑧2 +𝑖
̅̅̅
1 𝑧
𝑧
26) [̅̅̅3 + 3 ]
2 𝑧3
𝑧3
25) |
27) (𝑧2 + 𝑧3 )(𝑧1 − 𝑧3 )
I.4 Hallar el valor numérico de cada una de las
siguientes expresiones.
2
3
2
3
28) 2 (𝐶𝑜𝑠 𝜋 + 𝑖𝑆𝑒𝑛 𝜋) + (2 − 3𝑖)
I.2 Realizar las siguientes operaciones y expresar el
resultado en sus 4 formas (estándar, polar, polar
abreviada y exponencial).
29) 5𝑒 𝜋𝑖 + (𝐶𝑜𝑠3𝜋 + 𝑖𝑆𝑒𝑛3𝜋) − 2𝑖
30)
20𝑒 𝑖
4𝑒 −𝑖
𝜋
6)
7)
8)
9)
31) |6𝑒 3𝑖 |
(4 + 3i) + (−8 + 2i)
3(−1 + 4i) − 2(7 − i)
(3 + 2i)(2 − i)
(i − 2)[2(1 + i) − 3(i − 1)]
𝜋
4
33) (9𝑖 30 )(−6𝑖 4 )
34) 𝑖 +
2−3i
10)
4−i
11) (4 + i)(3 + 2i)(1 − i)
35) (−√3 + 𝑖)
36) (−√3 − 𝑖)
20)
−5
4
𝜋
10
38) (1 − 𝑖)3
3
2+𝑖
2−𝑖
+
+
1−𝑖
1+𝑖
1+𝑖
19) ( )3 + 2𝑖
1−𝑖
(1+𝑖)2 (2+𝑖)
9
37) (√3 − 𝑖) [𝐶𝑖𝑠( )]2
16) e 2 i − e2πi + 2i + 4
17) 2(𝐶𝑜𝑠15° + 𝑖𝑆𝑒𝑛15°
18)
(3+4𝑖)(1+𝑖)
3−4𝑖
I.5 Escriba cada una de las siguientes expresiones en
forma estándar y en forma polar.
(2+i)(3−2i)(1+2i)
12)
(1−i)2
4
2−i
13) (2i − 1)2 [ + ]
1−i
1+i
i4 +i9 +i16
14) 5 10 15
2−i +i −i
1+i 2
1−i 3
15) ( ) − 2 ( )
1−i
1+i
π
𝜋
4
32) |2 (𝐶𝑜𝑠 + 𝑖𝑆𝑒𝑛 ) |
39) (4 + 𝑖4√3)
5
40) (2√3 + 2𝑖)
𝑖
6
6
5+5𝑖
]
10√3+10𝑖
−3
6√3+6𝑖
42) (
)
6+6𝑖
5<15° 12
41) [
3
(3+𝑖)2𝑐𝑖𝑠( 𝜋)
4
43) [
44) (
1
]
10<45°
4<30°+4<60° 5
)
2<15°
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Fundamentos de Algebra
I.6 Sean 𝑧1 = 1 − 𝑖 𝑦 𝑧2 = −2 + 4𝑖. Resuelva y escriba II. POLINOMIOS
el resultado en forma estándar y en forma polar.
II.1 Realizar la división de los siguientes polinomios.
3
2)
( f(x)/g(x) )
45) Re(2z1 + 3z2
46) Im(
z1 z2
)
z3
1) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 − 15𝑥 + 18y 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 6
2) 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 4𝑥 + 29 y𝑔(𝑥) = 𝑥 − (2 − 5𝑖)
I.7 Hallar todos los valores de las siguientes
expresiones y representarlos gráficamente.
1
2
3) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 − 7𝑥 + 8 y𝑔(𝑥) = 7𝑥 2 − 𝑥 + 2
4) 𝑓(𝑥) = 𝑥 5 + 𝑥 4 + 𝑥 3 + 𝑥 2 + 𝑥 + 1 y 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 1
5) 𝑓(𝑥) = 𝑥 5 − 1 𝑦 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 1
6) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 3𝑥 6 − 2𝑥 3 + 3𝑥 2 − 𝑥 + 1𝑔(𝑥) = 𝑥 4 −
𝑥+1
7) 𝑓(𝑥) = 3𝑖𝑥 5 − 9𝑥 2 + (1 − 𝑖)𝑥 + 2𝑖 y 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 +
1
47) (1 + 3𝑖)4
1
48) (2 − 5𝑖)3
1
49) (−8𝑖)5
1
50) (1 − 𝑖)−3
𝑥+
1
51) (1 − 𝑖)2
52) (−1 − 𝑖√3)
8) 𝑓(𝑥) = (2 − 3𝑖)𝑥 3 − 𝑖𝑥 2 + 𝑥 − 2𝑖 y 𝑔(𝑥) = 𝑖𝑥 + 2
1
3
−
2
II.2 Por división sintética calcule el cociente y el
residuo de dividir f(x) entre g(x).
53) 𝑖 3
54) (5𝑒
55) [
1
2
1
3
𝜋𝑖 3
5
)
9) 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 + 3𝑥 3 + 3𝑥 2 + 3𝑥 + 2 y 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 2
2
16𝑒 𝜋𝑖 3
𝜋
𝑖
−4𝑒 2
4
3
]
1
2
10) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 1 𝑦 𝑔(𝑥) = 𝑥 + −
11) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 𝑖𝑥 2 + 9𝑥 + 9𝑖 y 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 3𝑖
56) z − 2𝑖 = 0
57) z 2 − 𝑖 = −1
58) z 3 − 𝑖 = √3
59) (1 + 𝑖)
√3
𝑖
2
12) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 5 + 96𝑥 +
4
3
y 𝑔(𝑥) = 𝑥 −
1
3
13) 𝑓(𝑥) = 9𝑥 2 − 7𝑥 + 2 y 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 3 + 𝑖
14) 𝑓(𝑥) = 5𝑥 6 − 𝑖𝑥 4 + 1 y 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 1
4
6
7
60) (1 + 𝑖)2
II.3 Calcule f(c) en los casos siguientes.
15) 𝑓(𝑥) = −3𝑥 3 + 6𝑥 2 − 𝑥 + 1 ; 𝑐 = 0.75
I.8 Determine todos los valores del logaritmo de cada
uno de los siguientes números y especifique el valor
principal en cada caso. Exprese su respuesta en forma
estándar.
16) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 5 − 6𝑥 3 + 𝑥 −
2
5
; 𝑐 = −1.3
17) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 𝑖𝑥 2 + 9𝑥 − 9𝑖 ; 𝑐 = 𝑖
18) 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 + 4𝑖𝑥 3 − 6𝑥 2 + (2 − 4𝑖)𝑥 + 1; 𝑐 = 1 − 2𝑖
1
2
19) 𝑓(𝑥) = 7𝑥 5 − 4𝑥 2 − 𝑥 +
61) log 1
62) log(−𝑒 − 𝑒𝑖)
2
3
;𝑐 =
2
3
II.4 Usando la división sintética, decida si g(x) divide
a f(x).
20) 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 5𝑥 3 + 5𝑥 2 + 5𝑥 − 6; 𝑔(𝑥) = 3𝑥 − 6
21) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 8 ; 𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 4
22) 𝑓(𝑥) = 10𝑥 3 − 2𝑥 2 + 3𝑥 − 1; 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 3
23) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 4 − 7𝑥 3 − 2𝑥 2 + 13𝑥 + 6; 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 −
5𝑥 − 6
24) 𝑓(𝑥) = 𝑥 5 + 𝑥 4 − 𝑥 − 1; 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 + 1
3
4
63) log [𝐶𝑖𝑠 (− 𝜋)]
64) Log(−1 − 𝑖) 𝑦 log(−1 − 𝑖)
65) Log(−10) 𝑦 log(−10)
66) z = 1 + 3πi; Log(𝑒 𝑧 ) 𝑦 log(𝑒 z )
𝑖
67) log (𝑒 𝑖𝑒 )
2
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25) 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 𝑥 3 − 12𝑥 2 + 16𝑥 − 64; 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 16
50) Escriba un polinomio de grado 3 de coeficientes
reales que tenga las raíces 1 y 3-2i.
II.5 Hallar las raíces de las siguientes ecuaciones.
FRACCIONES PARCIALES
26) 𝑥 3
− 7𝑥 − 6 = 0
− 8𝑥 4 + 21𝑥 3 − 12𝑥 2 − 22𝑥 + 20 = 0
4
28) 𝑥 − 7𝑥 3 + 18𝑥 2 − 20𝑥 + 8 = 0
29) 2𝑥 5 − 2𝑥 4 − 2𝑥 + 2 = 0
27) 𝑥 5
1
2
II.6
3𝑥+6
(𝑥−2)(𝑥+4)
𝑥−1
52)
𝑥(𝑥−2)(𝑥+1)
7𝑥
53) (2𝑥+1)(𝑥−3)
𝑥+2
54) 2
𝑥 +𝑥
𝑥−9
55) 2
𝑥 −9
1
56) 4
𝑥 −1
3𝑥 2 −5𝑥−52
57)
(𝑥+2)(𝑥−3)(𝑥+5)
51)
1
2
30) 𝑥 3 − 𝑥 2 + 𝑥 − = 0
31) 𝑥 4 − 5𝑥 3 + 5𝑥 2 + 5𝑥 − 6
32) 𝑥 3 + 8
33) 2𝑥 4 − 7𝑥 3 − 2𝑥 2 + 13𝑥 + 6
34) 𝑥 5 + 𝑥 4 − 𝑥 − 1 = 0
35) 𝑥 4 − 𝑥 3 − 12𝑥 2 + 16𝑥 − 64 = 0
36) 𝑥 8 + 𝑥 7 − 𝑥 6 − 3𝑥 5 − 7𝑥 4 − 9𝑥 3 − 7𝑥 2 − 5𝑥 − 2 =
0
37) 3𝑥 4 + 4𝑥 3 − 𝑥 2 + 4𝑥 − 4 = 0
38) 𝑥 4 + 2𝑥 3 − 7𝑥 2 − 8𝑥 + 12
39) 𝑥 4 + 2𝑥 3 − 12𝑥 2 − 10𝑥 + 3
58)
59)
44) Dado que 1+2i es raíz de 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 −
2(1 + 𝑖)𝑥 2 − (1 − 2𝑖)𝑥 + 2(1 + 2𝑖)
45) Dos raíces de 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − (1 + 2𝑖)𝑥 3 +
(−4 + 𝑖)𝑥 2 + (3 + 6𝑖)𝑥 + 3 − 3𝑖 son 𝑖 𝑦 √3
𝑥 3 +2𝑥 2 −1
𝑥 2 +𝑥−6
9𝑥+7
𝑥 2 +2𝑥−3
5𝑥−1
60)
(𝑥−1)(𝑥+1)(𝑥+2)
3𝑥−1
61) (𝑥+1)2
𝑥 2 +3𝑥−2
62) 2
𝑥 (2𝑥−1)
40) Sabiendo que 2i y -3 son raíces del
polinomio𝑓(𝑥) = 𝑥 4 + (4 − 2𝑖)𝑥 3 + (4 − 8𝑖)𝑥 2 +
(3 − 8𝑖)𝑥 − 6𝑖.
41) Sabiendo que 1-2i es una raíz. Escribir a f(x)
como un producto de factores cuadráticos de
coeficientes reales 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 2𝑥 3 + 6𝑥 2 − 2𝑥 +
5
42) Sabiendo 1-i y √2 son raíces de 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 −
2𝑥 3 + 4𝑥 − 4
43) Una raíz de 𝑓(𝑥) = 20𝑥 3 − 30𝑥 2 + 12𝑥 − 1 es
Descomponer en fracciones parciales simples:
63)
9𝑥 3 +16𝑥 2 +3𝑥−10
𝑥 3 (𝑥+5)
2𝑥 3 +7𝑥 2 +15𝑥+8
𝑥(𝑥+2)3
3𝑥 3 +10𝑥 2 −5𝑥
65) (𝑥−1)2 (𝑥+1)3
𝑥 5 +4𝑥 4 −15𝑥 3 −14𝑥 2 +𝑥+24
66)
(𝑥−2)2 (𝑥+1)3
𝑥 2 +2𝑥+4
67) 3 2
𝑥 +3𝑥 +3𝑥+1
𝑥 3 −1
68) 2(𝑥−2)3
𝑥
𝑥 2 +2𝑥+4
69) (𝑥+1)3
2𝑥 3 +3𝑥 2 −15𝑥−8
70)
(𝑥+2)(𝑥 3 −3𝑥+2)
64)
1
2
46) 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 2 − 5𝑥 + 7, dado que 1 − √8 es
raíz.
47) 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 3𝑥 2 + 10𝑥 − 6, dado que −1 + √3 es
raíz.
48) 𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 13𝑥 2 + 4𝑥 + 2, dado que 2 + √2 es
raíz.
49) 𝑓(𝑥) = 𝑥 7 + 2𝑥 5 − 𝑥 4 + 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 1 dado que
–i es raíz.
71)
−2𝑥 2 +14𝑥+18
(𝑥−3)(2𝑥 2 −𝑥−1)
4𝑥 4 −3𝑥 2 +6𝑥−3
(𝑥−1)(𝑥 2 −1)2
3𝑥 2 −4𝑥+5
73)
(𝑥−1)(𝑥 2 +1)
72)
74)
3
2𝑥 3 −4𝑥 2 −4𝑥−4
(𝑥 2 +1)(𝑥 2 +2)
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Guía ETS
2𝑥 2 +𝑥+3
𝑥 4 +5𝑥 3 +6
4𝑥 3 +3𝑥 2 +18𝑥−5
76)
(𝑥+1)(𝑥 2 +2𝑥−3)
75)
77)
−10𝑥 2 −24𝑥−48
(𝑥−3)(𝑥+2)(𝑥 2 +𝑥+2)
𝑥 2 −2𝑥−3
(𝑥−1)(𝑥 2 +2𝑥+2)
3𝑥−1
79)
(𝑥−1)(𝑥 2 +1)
Fundamentos de Algebra
1 −3
1 2 −3
4) Si 𝐴 = [
], 𝐵 = [
] y
0 4
5 0 −1
2 −4 5
𝐶=[
] determine los siguientes
7 1 0
elementos de D=AB+2C sin calcular toda la matriz.
(a) 𝑑12 (b) 𝑑23
78)
1 −3 0
1 1 −2
5) Si 𝐴 = [4 5 1], 𝐵 = [ 3 0 4 ] y
3 8 0
−1 3 2
2
0
−2
III. MATRICES Y DETERMINANTES
𝐶 = [4 7 −5] determine los siguientes elementos
1 0 −1
III.1 Realice las siguientes operaciones con matrices de 𝐷 = 2(𝐴𝐵) + 𝐶 2 sin calcular toda la matriz
−3 0
5
4
1 2
(a) 𝑑11
(b) 𝑑21 (c) 𝑑32
1) Sean A=[−1 7 ], B=[ 4
] y
2 ], C=[
3 4
5 −7
9 −3
6) Hallar a, b, c, d, e y f de tal forma que:
9 −5
D=[
].
3 0
Calcule:
2𝑎 − 2 3𝑒 + 1 2
0 4 2
[ 2𝑏
𝑓
5 ] = [4 0 5 ]
a) A+B
b) 2b c) –D
4 1 8
𝑎 − 2𝑐 𝑎 − 𝑑 8
d) C+D
e) A+D f) 2A+B
g) A-B
7) Calcule 𝐴 − 5𝐼3 y (5𝐼3 )𝐴
9 −1 3
0 1
−1 0
−4 0
𝐴
=
[
−8 7 −6]
2) Sean A=[0 3], B=[ 3 5], C=[
] y
3 2
−4 1
8
5 6
2 6
5 0
D=[
]
−3
−2 1
[
],
8)
Sean
𝑎
=
𝑏
=
[
−3
2
𝑥
2 ] si 𝑎 ∗ 𝑏 = 17
Calcule:
𝑥
a) 2A-3(BC) b) AB c) AC-BD
determine
x.
d) CD-2D e) BA f) AD+2(DC)
𝑦
1 2 𝑥
g) C 3 + 2(D)2
9) Sean 𝐴 = [
] y 𝐵 = [𝑥 ]
3 −1 2
1
6
3) Sea R=PQ y S=QP donde
Si 𝐴𝐵 = [ ] determine “x” y “y”.
8
1 −2
0 1 3
𝑃=[ 4
]
y
𝑄
=
[
]
6
0 −1 4
4 1
−1 3
10) ¿La matriz [
] es una combinación lineal de
0 −3
Determine los siguientes elementos de R y S sin
1 0
1 0
calcular toda la matriz
las matrices [
] y [
]? Justifique su respuesta.
0 1
0 0
(a) 𝑟21 (b) 𝑟33 (c) 𝑠11 (d) 𝑠23
11) Determine la transpuesta de cada una de las
siguientes matrices.
2 5
−1 2
a) 𝐴 = [
] b) 𝐵 = [−2 3]
2 −3
7 0
4 5 6
−2 4 5
c) 𝐶 = [−1 2 3] d) 𝐷 = [
]
1 0 3
0 1 2
4
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Fundamentos de Algebra
12) Las siguientes matrices son simétricas. Determine
el elemento indicado con *.
1 2 4
3 5 ∗
a) 𝐸 = [ ∗ 6 ∗] b) 𝐹 = [ ∗ 8 4]
4 5 2
−3 ∗ 3
 3
 4
G
*

*
c)
16) Demuestre las siguientes propiedades utilizando
las matrices del ejercicio anterior.
a) (𝐴 + 𝐵)∗ = 𝐴∗ + 𝐵∗
b) (𝐴𝐵)∗ = 𝐵 ∗𝐴∗
c) (zA)∗ = z̅𝐴∗ ; 𝑐𝑜𝑛 z = 1 + i
DETERMINANTES
* 8 9
7 * 7
2 6 4

7 * 9 17) Para las siguientes matrices encontrar los menores
y cofactores que se indican.
1 2 −3
1) 𝐴 = [5 0 6 ] (a) 𝑀11 𝑦 𝐶11 (b) 𝑀23 𝑦 𝐶23
7 1 −4
(c) 𝑀21 𝑦 𝐶21
(d) 𝑀33 𝑦 𝐶33
13) Si A es una matriz de 4X1, B es de 2X3, C es de
2X4 y D es de 1X3, determine el tamaño de las
matrices siguientes, si es que existen.
a) 𝐴𝐷𝐵𝑡 b) 𝐶 𝑡 𝐵 − 5𝐴𝐷
c) 4𝐶𝐴 − (𝐶𝐴)2
d) (𝐴𝐷𝐵𝑡𝐶 )2 + 𝐼4 e) (𝐵𝑡𝐶 )𝑡 − 𝐴𝐵
5
0
2) 𝐴 = [−2 3
0 −6
(c) 𝑀31 𝑦 𝐶31
3)
14) Demuestre las siguientes propiedades utilizando
las matrices de los ejercicios 11 y 12
a) (𝐶 + 𝐸)𝑡 = 𝐶 𝑡 + 𝐸𝑡
b) (𝐶𝐺)𝑇 = 𝐶𝐺 𝑡 ; 𝑐𝑜𝑛 𝐶 = 3
c) (𝐵𝑡 )𝑡 = 𝐵
d) 𝑡𝑟(𝐶𝐹) = 𝑐𝑡𝑟(𝐹); 𝑐𝑜𝑛 𝐶 = 2
e) 𝑡𝑟(𝐷𝐹) = 𝑡𝑟(𝐹𝐷)
f) 𝑡𝑟(𝐶𝐸) = 𝑡𝑟(𝐸𝐶)
g) 𝑡𝑟(𝐺 𝑡 ) = 𝑡𝑟(𝐺)
h) 𝑡𝑟(𝐶 𝑡 ) = 𝑡𝑟(𝐶)
15) Calcule:
a) A+B, AB, BA
5
3−𝑖
−2 + 𝑖
𝐴=[
]𝐵 = [
2 + 3𝑖 −5𝑖
3−𝑖
b)
c)
1  5
2 0
8  1 2
1 
A
4  3  5 0 


8
2
1 4
𝑀24 𝑦 𝐶24
(a) 𝑀12 𝑦 𝐶12
(b)
(c) 𝑀33 𝑦 𝐶33 (d) 𝑀43 𝑦 𝐶43
4) Encuentre todos los valores de x para los que el
determinante siguiente es cero.
𝑥
[ 2𝑥
−𝑥
0
2
𝑥−1
4 ]
𝑥−1 𝑥+1
5) Evalúe los determinantes siguientes empleando
el menor número de cálculos como sea posible.
5 + 2𝑖
]
4 + 3𝑖
A+B, AB, BA, 𝐴−𝑡
4 + 𝑖 2 − 3𝑖
2+𝑖
𝐴=[
]𝐵 = [
6 + 2𝑖 1 − 𝑖
2
3 + 5𝑖
𝐴−𝑡 , 𝐴 = [
1 + 2𝑖
1
7] (a) 𝑀13 𝑦 𝐶13 (b) 𝑀22 𝑦 𝐶22
2
(d) 𝑀33 𝑦𝐶33
9
 2 3 0
1 4 5


0 5 0 b) 2 3  7 1 
0 0 0  3
 7  3 8 4




8
0 1 0
 3 0 4 0
1
a)  4
−3
]
4 − 5𝑖
1 − 2𝑖
]
5 + 6𝑖
5
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c)
9
1

1

 2
Fundamentos de Algebra
 8
2 
0 0  1

0 1 3 
3
0
7
4
IV. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
2𝑥
11) Encuentre x tal que [
1
7 −1
2
] =[
2
−1
−7
]
4
IV.1 Resuelva (si es posible) los siguientes sistemas
de ecuaciones, utilizando el método de eliminación
de Gauss-Jordan y por el método de Cramer.
IV.1 Resuelva (si es posible) los siguientes sistemas
de ecuaciones, utilizando la matriz inversa calculada
𝑥1 + 𝑥2 + 3𝑥3 = 6
por Gauss-Jordan y por el método de la matriz adjunta. 1) 𝑥1 + 2𝑥2 + 4𝑥3 = 9
2𝑥1 + 𝑥2 + 6𝑥3 = 11
𝑥1 + 2𝑥2 = 2
1)
3𝑥1 + 5𝑥2 = 4
−𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = −2
2) 3𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 10
4𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 14
𝑥 − 5𝑥2 = −1
2) 1
2𝑥1 + 9𝑥2 = 3
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 14
3) 2𝑥1 + 5𝑥2 + 8𝑥3 = 36
𝑥1 + 3𝑥2 = 5
3)
𝑥1 − 𝑥2
= −4
2𝑥1 + 𝑥2 = 10
2𝑥1 + 𝑥2 = 4
4𝑥1 + 3𝑥2 = 6
4)
𝑥1 + 2𝑥2 − 𝑥3 = 2
5) 𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 0
𝑥1 − 𝑥2 − 𝑥3 = 1
𝑥1 + 3𝑥2 + 4𝑥3 = 3
4) 2𝑥1 + 6𝑥2 + 9𝑥3 = 5
3𝑥1 + 𝑥2 − 2𝑥3 = 7
5)
𝑥1 − 𝑥2
=1
6) 𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 2
𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 0
𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3
=7
2𝑥1 − 2𝑥2 + 2𝑥3 − 4𝑥4 = 12
−𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 + 2𝑥4 = −4
−3𝑥1 + 𝑥2 − 8𝑥3 − 10𝑥4 = 7
𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 1
2𝑥1 + 5𝑥2 + 3𝑥3 = 3
𝑥1
+ 8𝑥3 = 15
7)
𝑥1 − 2𝑥2 + 2𝑥3 = 3
−𝑥
8)
1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 2
𝑥1 − 𝑥2 − 4𝑥3 = −1
−𝑥1 + 𝑥2 = 5
−𝑥1 + 𝑥3 = −2
𝑥1 − 2𝑥2 − 3𝑥3 = 1
9)
𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 + 𝑥4 = 5
2𝑥1
+ 2𝑥3 + 𝑥4 = 6
𝑥2 + 3𝑥3 − 𝑥4 = 1
3𝑥1 + 2𝑥2
+ 2𝑥4 = 7
10)
6
Profra. Xochitl Cabrera Rivas
Guía ETS
Fundamentos de Algebra
V. VECTORES
7
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Guía ETS
Fundamentos de Algebra
8
Profra. Xochitl Cabrera Rivas