os AcT¡vA o R¡E o MATEMATICA o ffi$PrnRToDEPrros Gen¡¡r¡ EIltroRtAt Coono¡rloom o¡ D¡ssf,o Daniel Arroyo Natalia Udrisard ferr orl Anrl o¡ Mnr¡mÁncl D¡s¡f,noom Gabriel H. Lagoa Patricia Cabezas Auron¡s D¡lcmmlcró¡ Roxana Abálsamo Adriana Berio Cintia Kotowski Lourdes Liberto Silvana Mastucci Gabriela Prandini Nora Quirós Susana Vázquez Foto Activados: Laura Pezzatti Pablo Alarcón y Alberto Scotti para Cerúleo Conn¡cron DE Esnlo DE mAeuETA llusrmoon¡s Wally Gómez Viñetas de humorz Claudio Kappel Forocm¡fls Archivo de imágenes de Grupo Macmillan Latinstock Thinkstock Wikimedia commons Gabriel Valeiras G¡n¡rr¡ o¡ Pn¡pn¡rs¡ v Pnooucc¡ór Eorron¡lt Carlos Rodríguez Matemática 1 : fotoactivados / Roxana Abálsamo ... [et.al.]. - 1a ed. 2a reimp. ' Boulogne: Puerto de Palos, 2013. 224 p: il.; 28 x 20 cm - (Activados) tsBN 978-987-547 -527 -4 1. Matemática. 2. Enseñanza Secundaria. 3. Libros de Texto. l. Abálsamo' Roxana cDD 510.712 @ Editorial Puerto de Palos S.A., 2012. Editorial Puerto de Palos S.A. forma pafte del Grupo Macmillan. Av. Blanco Encalada 104, San lsidro, provincia de Buenos Aires, Argentina. lnternet: www.puertodepalos.com.ar Queda hecho el depósito que dispone la Ley 77.723. lmpreso en Argentina. Printed in Argentina. rsBN 978-987-547 -527 -4 La presente obra se ha elaborado teniendo en cuenta los aportes surgidos de los encuentros organizados por el "lnstituto Nacional contra la Discriminación, la Xenofobia y el Racismo" (lNADl) con los editores de texto. No se permite la reproducción parcial o total, e[ almacenamiento, e] alquiler, la transmisión o la transformación de este tibro, en cualquier forma o por cualquier medio, sea electrónico o mecánico, mediante fotocopias, digitalización y otros métodos, sin el permiso previo del editor. Su inftacción está penada por las leyes 11.723 y 25.446' Primera edición, segunda reimpresión. Esta obra se terminó de imprimir en enero de 2O74, en los talleres de lmpresiones Sud América, Andrés Ferreyra 3769, Cíudad Autónoma de Buenos Aires, Argentina. AcT¡vA o a o a MATEMATICA o KIPU¡nro DE Pnros T I I f Es una nueva propuesta que facilita el aprendizaje de [a matemática a través de 635 actividades que favorecen [a comprensión de los distintos temas. En formato binarizado, la sección Foto Activados conecta la matemática con la vida cotidiana a través de la fotografln. Fncn y llllFA son los personajes de esta serie. Les gusta mucho sacar fotos, principalmente de todo aquello que los hace recordar algún tema de matemática. Así, le encuentran sentido a todas las cosas que aprenden día a día en la escuela. lilnn LOS CAPíTULOS INCLT'YEN I.AS S¡GUIENTES SECCIONES Y PI-AQUETAS: APrRrunn: cada capítulo comienza con una actividad ilustrada relacionada con la foto que aparece en la sección Foto Activados. En la situación iniciol de aprendizaje se introduce el tema del capítulo a través de una estrategia de resolución de problemas. lrrollrrwn: En el cuadro de contenidos aparecen los temas numerados para su fácil identificación. brinda defi niciones, clasifi caciones, procedimientos básicos y ejemplos de cada contenido que facilitan la comprensión. Ii,iÍl:::I-"; r..¿ .;; L-- l:=:=,_ :t,&*;:"-a ¿ tEs¿\ .= g;grh,ffi ffi..1 'if":ffi" f,nnecron: invita a repasar conceptos explicados en páginas anteriores. Trnr ug EomPnEnsúft íncluye preguntas básicas que permiten evaluar la comprensión de la teoía y revisar errores comunes. I Acrlvnnn¡¡i para cada tema se proponen distintas actividades que están organizadas de manera secuencial (las actividades de cada capítulo ltevan una numeración independiente a la de los otros). ¡r¡rr¡AlTlVA: propone ones problemáticas con un nivel de complejidad. lnrgannclún! incluye más actividades para resolver en la carpeta. Auorvnlunf,túfl ! propone más actividades para que cada alumno.pueda evaluar los conocimientos adquiridos durante el capítulo. FOIO Tnnen¡ns FHAETtEos: incluyen más actividades para practicar los temas del capítulo. lCtivAdos: en esta sección, Laura Pezzalti, especialista en el área de la matemática, ofrece una serie de actividades que conectan [a matemática con la vida cotidiana a través de la fotograflia. Foco y Mira presentan las fotos que obtuvieron para que podamos advertir cuánta matemática hay nuestro alrededor. a Crpfrulo l: nÚmrRos NATURAIES .............. 8 l. Sístema de numeración decimal. ......... 9 E. Multiplicación y división. Propiedad distributiva. ........................ 11 3. Potenciación y radicación. ................. 13 h. Operaciones combinadas. .................. 15 lnr¡cn¡c¡ún ...................... 19 S. Divisibilidad y factorización. .............. 27 E. Múttiplo común menor y divisor común mayor. ..................... 23 7. Lenguaje simbólico. Ecuaciones. ........ 25 ...................... 29 lnr¡cnncÉn Auto¡vttulc¡ót ................................ €rpfrulo il: FRACCIONES y EXPRESTONES DECIMALES 31 ......................... 32 B. Orden y representación. ..................... 33 ll. Fracciones equivalentes. .................... 35 Crpfrulo l+: cuERPos .............74 lE. Clasificación de los cuerpos. .............. ........ El. Poliedros regulares. 75 77 flE. Desarrollo plano de cuerpos. .............79 ..... 83 t3. Punto, recta y ...................... 85 Auro¡vlluecrót ................................ 87 plano. lnt¡cnmún Clpfrulo 5: Aneutos ............ 88 tl+. Sistema sexagesimal. Operaciones. ...... 89 Ángulos complementarios y suplementarios. ............................... 91 ffi. EE. Ángulos adyacentes y opuestos por eI vértice. ..................................... 87. Mediatriz de un segmento y bisectriz de un ángulo. ................... ...................... Auro¡vllunc¡ór ................................ lnffsnA$ún 93 95 97 99 l[1. Operaciones con números racionales. ll. Potenciación ...................... 37 y radicación de fracciones. ..................................... 41 lE. Operaciones combinadas con fracciones. ................................... +¡ ...................... 47 lnrscnñún 13. Fracciones y expresiones decimales. ....49 Crpfru¡.o E: FIGURAS PLANAS. .................. 100 tE, Triángutos. Elementos' y propiedades. ................................... 101 35. Construcción de triángulos. ............. 103 10. Cuadriláteros. Elementos y propiedades. .................................. 31, Construcción de cuadriláteros. ......... 109 lnr¡snmún ll+. Operaciones con expresiones decimales. Porcentaje. ....................... 51 l$. Operaciones combinadas. .................. 55 ...................... 57 lnrscR¡c¡ún Auro¡vl¡.unctót ................................ 59 107 3t. ..................... 113 Círculo y circunferencia. Elementos y propiedades. ................................... 115 ll. Construcción de circunferencias. ....... 117 ......779 3\, Polígonos. ................ ll5. Construcción de polQonos Crpfru¡.o l: FUNCIONES ............................. 60 ............ 61 lE. Gráficos y tablas. 17. Funciones. E. lll. ................ ....... 65 Función de proporcionalidad directa. ... 67 Función de proporcionalidad inversa. ... 69 lmm¡ffi1 Auro¡vlturcrót ...................... 71 ................................ 73 regulares. lnreenAcún ....727 .................... 125 727 ..............-............... Auro¡vlr.urcrón COLEGIO SANTA ROSA SEDE YERBA EUENA CIpfruIo 7: PERÍMETRO, Y AREA VOTUMEN Tnnen¡os ........ 128 3G. Perímetro y área de figuras planas. 37. Area lateral y total de prismas, pirámides y cilindros. ... 733 38. Unidades de capacidad y unidades de volumen. ...................... 737 l$. Volumen del prisma, de [a pirámide, del cilindro y del cono. .................... 139 lnrssnncrún Auro¡vllulc¡ór lonrRol .............. .......... 746 Td. Variables, población y muestra ....,.,. 747 \1. Recolección y organización de datos. Tablas. .......... 749 \8. Frecuencias absolutas y relativas. ....... 151 l+3. Gráficos. .... 753 lntecRm¡ún .................... 157 l+\. Promedio, mediana y moda. ............ 159 l+5. Experimentos aleatorios. Probabilidad ..':..76t simple. combinatorio ...... 763 lnrrcnAflfi .................... 165 t+8. Cálculo Auro¡vlLulcró¡ .......... ........,:.,..,..... 767 Clpfrulo 9: nÚmeRos ENTERoS ............. 168 l+7. Números negativos. Orden y representación. ................... sustracción TE. Adición y t+ll. Multiplicación Trabajo Trabaio Trabajo Trabajo Trabajo Trabajo Trabajo Trabajo Trabajo práctico práctico práctico práctico práctico práctico práctico práctico práctico ................ 180 1 .............................. 181 2 ............................ 183 3 ............................ 185 4 ............................ 787 5 ............................ 189 6 ............................. 191 7 ............................ 193 8 ............................ 195 9 ....................,....... 797 .................... 143 .............................. 145 C¡PÍIUIO E: PROBABILIDAD y EsrADfsflcA pnAErE¡s 769 ...... 777 y división. ................. 773 50. Operaciones combinadas. ..............,. 775 lrnrsn¡cfin .................... 777 Auro¡ylrulctó¡ .......... .......:...,......... 779 0E nEsur?Aro¡ ............................... 199 f,onrrnru¡s i" Sistema de numeración decima[. Multipticación y división. Propiedad distributiva. Potenciación y radicación. Operaciones combinadas. Divisibitidad y factorización. Múttipto común menor y divisor común mayor. Lenguaje simbótico. Ecuaciones. hié \a 1:F f"A l' F ..v:''rÉA ': ,il- \le t '=:¡&=::*.=-,:...¡ ¿- ^ ---,.'-"_- r:::=:=L_:::=h* Srrulc¡ó¡ tiltcrAl DE APRENDTZATE 1. Observen la imagen y resuelvan. a. Si todos van a ir al Circo Mógico, ácuánto dinero deberán pagar en total de entradas? Escriban un cálculo para encontrar el resu]tado. b. Si solo van a ir algunas personas, inventen situaciones que se respondan con cada uno de los siguientes cálculos. Luego, respóndanlas. '2.73+2.30: o 3.13 +2.3O+ 4.20= c. Comparen las situaciones que inventaron con las de sus compañeros. SErEnrnEt Sistema de numeración decimal Nuestro sistema de numeración es: . decimal, porque utiliza diez símbolos: O, 7, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. . posicional, porque el valor de cada cifra depende de la posición que ocupa en e[ número. billón mil de millón míllón mil TTT T 1 000 000 00 oo oo \Bs\ss!5s stssssSts \q¡AJ\qJq)Es)AJ \s sc .Ba) sg\s8\58\ 5q) u'\u'\u SSotSuqss q\ AJ 'B ss U.E \f Los números naturales se pueden descomponer de distintas formas. Por ejemplo: 35042=3OOOO +5OOO + 40 +2 35042 =3 . 1OOOO + 5 . 1OOO + 4 . 10 + 2. 35O42 = 3 . 1Oa + 5 . 1O3 + 4. 101 + 2. 1Oo Se \- lee: treinto y cinco mil cuarenta y 1 dos. 2OO4OO1OOOO =2OOOOOOOOOO + 4OOOOOOO + \OOOO 2OO4OO\OOOO = 2 .1OOOOOOOOOO + 4 .1OOOOOOO + 1 .1OOOO 2OO4OOTOOOO = 2. 1O1o + 4. 1O7 + 1 . 1O4 'tt \- 5e lee: veinte mil cuarenta millones diez mil. Todos los números se pueden escribir como una suma de productos en los cuales uno de los factores es una potencia de base 10. Las unidades de un número se pueden expresar como el producto entre este y una potencia de diez de exponente cero (tengan en cuenta que todo número elevado a la cero es igual a uno). 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ZCuál de las descomposiciones del número 3085 es correcta? 3.7O2+8.101+5.100 3 . 103 + 0 . 102 + 8 . 101 + 5 . 100 b. En la descomposición del número 38548794, Zel 5 se multiplica por 105 o por 106? c. ZEs verdad que 1000000000 es igual a 1.le? d. iEs cierto que 10 es uno de los símbolos del sistema de numeración decimal? I ACNUDADES Sistema de numeración decimal 1. Unan con flechas cada número con su descomposición. .4.108 + 4.707 + 8.106 + 8.105 + 8.103 + 4.100 a.4048080380 4. 8. 8. b.4480080840 o 8. 102 c.480388800 o 4 .lOe + 4 .707 + 8 . 106 + 8 . 10a + 3 . 102 + 8 . 1.01 d.448808004 o 4 .7Oe + 108 + 4. 107 +3. 108 + 105 + 10a + 8. 8 . 107 + 8 . 10a + 8 . 103 + 102 + 4. 101 2. Completen para gue se verifique la igualdad. a. 6 . 107. b. 1. 1Oe + 1.106 c. 9 . d. 8 . 3. O. 7012 1OO+ 3 . 102 + 2 . 100 = 60050302 O.1OO+ 1. 101 = 1001501010 + 9 . 707. O . 1OO+ 9 . 103 : 9OOOO90019OOO 1014.O. +5 .105. 1OO+ 8 . 106 + 3 . 105 + 5 . 100 = 800000908300005 Escriban ia descomposición en potenc¡as de diez de los siguientes números. a.4O4O4O4 = b.78675675 = c.742208056 : 4. Marquen con una X las r expfes¡ones expresiones que corespondan al número 360306. a. Trescientos seis mil trescientos +6 b. 300000 + 6000 + 300 0o+6 c.3 seis. C O .707 + 6.105 + 3.103 + 6.101 d. Trescientos sesenta mil trescientos seis. o ( e. Tres centenas de mil, seis decenas de mil, tres centenas y seis unidades. O f. 3 . 106 + 6 . 105 + 3 . 103 + 6 . 101 g. 3. 105 + 6.7Oa+ 3. 102 +6. 100 O h. Trescientos millones sesenta mil trescien tos ¡. 300000 + 60000 + 300 + 6 C seis. O 5. Rodeen con color el número que cumple con las condiciones dadas. Es mayor gue doscientos mil y menor que doscientos diez mil. El valor de dos de sus cifras equivale a 5 . le y 3 . 1ü. La cifra de las unidades es el doble de tres. 205356 215t56 206536 205303 Hnffiffiffi#Mu*u Multiplicación y división. Propiedad distributiva Los números que intervienen en una multiplicación y en una división tienen nombres especiales. Muttipticación \ a.b.:¿ \2 ^ factores A' División dividendo D lt 'ñ. ld c divisor \-/' \-/ resto cociente D:d.c+r Conmutativa: el orden de los factores no cambia el resultado. Asociativa: si se cambia el orden de los paréntesis, e[ resultado no cambia. 6.8=8.6 (5.12).4=5.(12.4) Disociativa: un factor se puede descomponer en otros factores. Elemento neutro: el número 1 como factor no cambia e[ resultado. 15.1 =1 .15=15 7.24=7.(2.12) Propiedad distributiva de la multiplicación 3.(4+5)=3.4+3.5 (9 - 3) .2=9.2-3.2 Propiedad distributiva de la división (2+Q:2=12:2+4:2 (15-g):3=15:3-9:3 En la división, solo se puede distribuir el divisor. 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Si se multiplica un número por uno, Zqué número se obtiene? b. aA qué es igual 532 . 7ü iCómo se puede resolver aplicando propiedades? c. Los cálculos (3 + 6) .5 y 3 + 6.5, Ldan el mismo resultado? d. ZCuál es el resultado de 0 : 5? LY de 5 : ü e. Los cálculos (15 + 20) : 5 y 5 : (15 + 20), Ldan el mismo resultado? f. Para obtener e[ resultado de 120 : (10 + 2), ise puede aplicar la propíedad distributiva? ASTIVIDADES Multiplicación y división. Propiedad distributiva 6. Expresen las siguientes sumas como multiplicación, si es posible, y resuelvan. b.2+2+2: d.3+4: e.5+4+21: c.4+4: f.9+9+9: a.3+3+3+3= 7. Escriban V 1.3:1 b.3.0:3 a. 8. (Verdadero) o F (rabo), según conesponda. C c.0.0:0 d.to:10:o o e.0: 10:0 f.to:o:o o o Resuelvan las siguientes divisiones. d.to8:tz: a.45:3: b.78 : 6 :' c.140 : 10 : 9. I Completen con e.248:8: ¡. t26o = o *, a.3 + (2 + 4 + 7) [, + 40) 2o I : según conesponda. Expliquen la respuesta. . 2 + 3 . 4 +7 .5O ro .5 + 40 .5 c. (6 + 72) :6! u :6 +72:6 b. (zo z d.(zo+40):5Oro +4025 e. 120 : (20 + 40) O f. (165 - 9o) : tt O 10. Resuelvan de dos manera¡ diferentes, cuando sea posible. 720 165 :20 + :75 - 720 9o : : 4o 15 e I I InErwwwwfi Potenciación radicación Potenciación La potenciación es una operación que permite escribir en forma abreviada una multiplicación de factores iguales. 42 = 4 .4 = 16 "cuatro elevado al cuodrodo" 43 = 4 o Para multiplicar dos potencias de igual base, se escribe la misma base y se suman los exponentes. . .4 .4 = 64 32 .33 'cuatro elevado al cubo" =3 .3.3.3 .3 Z2+3 -U Para dividir dos potencias de igual base, se escribe -.) 25 25:22 = (2.2.2.2.2): (2.2) _ .>5-2 _ o3 la misma base y se restan los exponentes. -L e Para calcular la potencia de otra potencia, se escribe la misma base y se multiplican los exponentes. -L (5r), = (5 .5)u =(5.5),(5,5).(5.5) _ -¿ . ^2.3 _ -J ^6 (4 .3)" = 42 .32 La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a [a división. (12:4)z = 122 :42 Radicación La radicación es [a operación inversa a la potencíación. W=3,porque7'=27 tl64 - B,porqueS2 =64 Se lee'la raíz cuadroda de 64 es 8". Se lee . La radicación es distributiva con respecto a 'lo raíz cúbico de 27 es 3". .',9.16 = ''[9 .,[16 ta multípticacíón y a la divísión. ,t64'16 ="[64'\n6 o Para mulüplicar o dMdir níces de igual índice, se escribe una raíz con el mismo índíce y con el radicando igual a la multiplicación o división de los radicandos dados, según 1. Respondan y expliquen las respuestas. a ZCuáles son los cuadrados de los primeros diez números? ZQué raíces pueden calcular conociéndolos? b. El procedimiento c 30 .3 .32 :31, ies correcto? Para resolver 4[76, ¿se debe calcular 1.6 : 4? ACTIVIDADES Potenciación y radicación 11. gscdban el desanollo de cada potencia y resuelvan. = a.72 e. 105 : : g.5a : d.4,: h.6¡: b.35= c.7a : Í.2e J 12. Escriban cómo se lee cada potencia. a.25 b.322 c.23: f 13. ¡scriban como potencia los siguientes productos y resuelvan. d.!O=7-7.r=f-l ".OO:5.5 t:[-l o'Oo:2'2'2'2'2'2 :6.6.6.6:f--l ".CO *CO=e.e.n:f:] "CO--'..'=f] 14. Completen con V (Verdadero) o F (rabo). a. (s + 3)2:52 b. (s . 3)2 : ¡32 O 5z .32 c.(8-\)t:gz-42 d. (8: o c fJ: t b. ./25 : C, porque Ü : ,t c lB = [-1, oorou. $ : t d.fi=[-.),oorou.S:t e. .lroo : O, porque fJ : too {e = [-1, oorou. gz ' 4z e.23 :32 Í. (2r)2 : 15. Completen con los números que faltan. a. \)z: f. g. h. t. i. 27 .22 IE : 'E m 10, porque f O o o 1oO: f-l 80: (-l :2, porque 20: t = 8, porque lE m = 11, porque flO : 'I f t-l : 5, porque sO = t-l 16. Resuelvan aplicando propiedades, cuando sea posible. a.23 .23 b. 1012 : .2 1o1o .2o : . 1o = f../Z 9.,175 : i/t cga3:g1o.g25|.g57: h. d. (3)' .32 = ¡.{a1 e. (10. 2:5)2 : . {18- = . {3 1,125 : = .16.a: i.1t64.T-:ú c ffiffiffir*-r Operaciones com binadas SEDT \ Para resolver una operación combinando todas las operaciones, se pueden seguir estos pasos. 2 1. Se separa en términos. 2. Se resuelven las potencias y raíces (aplicando las propiedades cuando 2.6+12:2+25.3-36= 12+6+75-36= 93 -36= sea posible). I 3. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones. 4. Se resuelven las sumas y restas. .t|56 + 12 : 2 + 52 . 3 - 615 . 6b'. 621 = 2.6+12:2+25.3-62= - 6'7 En ta págína 15 podrán repasr las propiedades de la potenciación y [a iYAf,EgrARnl,AúA bÉ qr,oqwAu6 sF6rbsE8l radicación. g W, Si hay operaciones en el radicando o como base de una potenciación, se deben resolver antes de calcular la raíz o [a potencia. 3 - (15 :3 - Z1z + 144 : 12 = .,85;12 .5;3 - (15 : z - z7z + i44 : 12 = - p - 3)" + 144 : 12 = ^tE¡56;3 ,t64-22+12= 1. Se separan los términos. B-4+12= 3. Se resuelven las potencias y raíces. 4. Se resuelven las sumas y restas. "[Ú + 12.3 + =16 2. Se resuelven las operaciones que hay en e[ radicando y en la base de la potencia respetando la ierarquía. 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. En e[ cálculo 10. (5 + 4) :3, ase separó en términos correctamente? b. ZEn qué orden se deben resolver las operaciones que encierran los paréntesis? c.iCómosesuprimenlosparéntesisene[ operaciones que ellos encierran? d. ZEs cierto que',[z . tz * L t : let cálculo(3+8).2+6.(5+4),sinresolverlas ACÍIVIDADES Operaciones combinadas 17. Resuelvan. a.2.r/81-42= e.25 . {t00 + 3.42 = I b.(50.2-62272)0= c. (lT + 13)¡ f.^,[s, +50;16 : +^lE .g-33 = g. (o . n1 + 3 . 5 . 74 -1m : ^[7$ = J d. {1oO + "{25 : (22 + 50) - 14 = h. (z' + \b6l . ^lV .72 .3 : f 18. Escriban el cálculo y resuélvanlo. a. El doble de la raíz cuadrada de veinticinco. b. La raíz cuadrada del doble de cincuenta. J c La raíz cúbica del triple de setenta y dos. d. E[ cuadrado del producto entre diez y el doble de cinco. e. El cuadrado de la resta entre el cubo de cinco y cien. , f. El doble de la suma entre dieciocho y el cubo de tres, menos veintitrés. ACTlvlDADES Operaciones combinadas 19, A. Resuelvan aplicando las propiedades de la potenciación 317 :315 + {G y la radicación, cuando sea posible. tL23.2.23+5.<IOiA3: = ) :7 + (2')' .({ñ - 16 . l-¡O b.52.5.5+{8:{2= 1. 42 c t fuo-600ll0 * {to . úooo L f{Ñ 1oo : (102 - s, . 3) - lTboolrot = = = ) ir. (41" . 43 z (4t12 - 32 : 76 = ) ) f. (./6I * ) + {9) : 22 + 517 : 516 = "'E ..'[27 + (10 + 3)'? ;'@ ¡n = + 74 . ^[4¿r:. 4+ : .,[49 . 15a :A. r'-480 : 60 = (¡ - lB- + 2') : n. (3e)': (3'5 . 3) * r/ro . (z * r) -Y: ACNUDADES Operaciones combinadas 20. Completen con {, } o _ r-r e{+. lo uo.{36 b,26 .t [8r.1r.lr - según conesponda. - 63[tt, + 63 - r22 ,-r f../mO . 102 + t [-f 1 + 102 . \ho-d cl2, . (21,1D (2'o .2,) 4[u . t' d.164 . ,'f + e. 112 g. {2d . ./5 h.i6t r22 + 22 lt' D (l' +./i6 O40 . Í + o : 52 + t/El Marquen con una X el cálculo que coresponde a cada situación y rcsuelvan. e. iCuál es el resultado de la suma entre el cubo de la raíz cuadrada de veinticinco y la raíz cúbica del cuadrado de ocho? 2L [-l f] zs' * ./at aA qué es igual b. r.rzD, . te f] r ..,[25 +i/z-re- el doble de la diferencia entre el cuadrado de cinco y la raíz cuadrada del cubo de cuatro? !, 2iL ({, f] .52-^[43 z .$ . z- {-+') f z . (5'-./-43) Completen. nrñm:ffi=' fl *iE+102=f-l*D=,0, * fJ * i/rooo = t f:llJ + 720 si {G4 . 1oo . f::]* f]I] zf-l= CJ =,m f"] ='o + 20 = 6e . {10-o . fJ fi =D.ro*f-l=153 : f-t-f-l,fIIIl: " menteACfl\lA Para hacer un trabajo de educación artística, Luis y Juan deben cortar figuras de cartón. Luis necesita doce cuadrados de 25 cm de lado y Juan, diez rectángulos de 15 cm por 42 cm. ZCUánto mide la superficie de cada cuadrado? ZY la de cada rectángulo? r L iQuién usará más cartón para cortar todas las figuras? lr) col{TEilTDOS lnrEERAuún 23. l.E.3.ll Escriban los números que corresponden a las siguientes expresiones. Luego, ordénenlos de mayor a menor. a.4Cdemil,SUdemily4u b.4.706+8.103+4 28. Completen las operaciones teniendo cuenta el siguiente dlculo. 30 .25 = 75O a.6o.ru:f-:] e.4.704+8.103+5.100 uO: zso c.3) .25 : t-] f. 400000 + 80000 + 80 + 6 d. 30 b.30. c. 5 unidades de millón, 5 unidades. d. 500000 + 6000 + 5 24. Escdban el mayor y el menor número posi- ble usando todas las cifras de cada uno de los siguientes nfimeros. 29. .25o: t-l Resuelvan las multiplicaciones a.76.3.5 = b.47.2.100: c.32.6.10:30 = d.15.426.5= e.104.15:5.24= f.450 t 90 .20 .73 h. 72 . 27 z 74 . 8 : 24 25. Marquen con una X el número que coresponde a la siguiente expresión. 1o5 a,4OO4397OO +3. 104 + 9 . 10t + 1. 102 y divisiones. : 9.8100:923.5= 4. tú + 4, : Completen con = o É, según conesponda. Expliquen la respuesta. 30. a.3.4f]+ +4+4 b.(3+O.rC3.2+8.2 C [-l zo' b,404309100 c c.400403970 d.(2+8).(8.tO2+8.8+3 26. Descompongan cada número de tres for- mas diferentes. a.500647 b.7206787 c 400004 1o : (20 + 3o) e. (zo + 30) : 10O 1o + 3o : 1o ro : 10 + 30 : 10 f.(3+O.rO3+8.2 d.948999 e. 35772 048 910 Í. 6200 200 200 200 31. Resuelvan. *3+4.72-7022: b. (3 * 4) .12 -70 27. en Respondan. a. En una división el cociente es 20, el divisor es el doble de 72 y el resto es la cuarta parte del cociente. iCuát es el dividendo? b. Al multiplicar dos números, se obtiene 9526. Si uno de los factores es 11, icuál es el otro factor? :2 = c-3+4.(12-70):2: d.3+(4.72-70)':2= 32. Resuelvan aplicando la propMad disüibutiva a. (384 + 336) :72 = b.35.(42-18): c27.(72+75-27)= d.(105-40+75):5= e.(t6+8-10).26= Qt¡lo:- Fúta:.-/-/- 33. Escriban un par de paréntesis para obtener el resultado indicado. a. t2 + 56 : 8 2 + 36 :74 b.100: 50 - 5.5 + 8 6 =52 c 34 - 76 : 2 + 7 2 :12 d. t5 + 3 18 - 50 : 2 + 26:43 34. - 770 .2 = b.100.7-70.5+8.9: c.76.4+8:2-4.2= d. 158+(78:2-27): e.372 + (28 + 36:4) -119: . (23')o : a. b. 2318 c (10ú)10 .7012a 658 .23) .23 : (2330 : (68¡t ,61e . (62)2: : (tgtolro : 1070 = d. 15.VF.ffia'lf= e. lG. ls '17 = i..,[91 3+.J44 = 35. Escriban V (Verdadero) o F (Falso), según conesponda. Expliquen las respuestas. a.3a:72 =23 d. {100 la iguatdad en cada caso. ¿28.2.2'/=20 751 71 76 O *s)'=x e.32+O:t, d' {/D ' ?'1725 = .e. (3)' , (¡ . 731 71 6 31612 st7t25 5 ¡O .39 : 31412 s O 40. O /-\ : 50 L_J t r/9 + 'l-te :.{E D O O lt6'r O {7 = {16 h. lG. ,11 = . t 7271 71 27 e.(3+2+5)2:32 +22+52 'V8- Rodeen con color el valor que hace cierta D b. (¡ . ))s :3s .2s L32 39. b. f.543-(25.5+76:2): 36. Resuelvan aplicando las propiedades. Resuelvan. a. 340 .2 + 72O .3 s. 38. Escriban e[ cálculo y resuélvanlo. a. La resta entre e[ cubo del doble de diez y el triple deI cuadrado de cuarenta. b. La resta entre e[ cubo de seis y la mitad de la raíz cuadrada de cuatro. c. Et triple del producto entre e[ cuadrado de dieciséis y la raíz cuadrada de dieciséis. d. La mitad de la mitad del triple del cuadrado de dieciséis. q e. La mitad de [a raíz cúbica de la resta entre el Completen. cuadrado de diez y e[ cuadrado de seis. f. La tercera parte de la diferencia entre ochenta y seis y cinco, aumentada en [a raíz cuadrada de ciento sesenta y nueve. 41. ".c.o f.(84-ze):['l=o-o=o 37. Escriban el cálculo y resuélvanlo. a. La tercera parte del cubo de seis. b. La raÍz cuadrada de la suma entre ocho y cincuenta y seis. c La raíz cuadrada de treinta y seis, más la quinta parte de doscientos cincuenta. rt Resuelvan. aú00.4+53-3.r7= b. (125 *^[-g).+: c102.3+92.5: d. 10 . (106 . 10e : 1012) - 1gr = e. fu00-lr6llT + 82: i. 25 z (2e : 27 + 16) + 4 .70 = g.{(2.8:r/64+50).3: ¡. 1,[[ ¡l - r/4 + 3 . (27 : 64) : a. <ltB + 1m . 5t -,[@ : ¡. 8 . ({900 + r/r 6oo - \D500-) (, : mnn snmmml Dluis¡biüdad y fiadorizacién Un número a es divisible por otro b, cuando a : b es exacta, es decir, tiene resto igual a 0. 3 es divisor de 15 15 es divisible por 3 15 es múltiplo de 3 Cribr,b de divisibiüdad Un número es divisible por: .2, cuando es par. ¡7 Ejempto . 3, cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de 3. o 4, cuando sus dos últimas cifras son ceros o múltiplos de 4. . 5, cuando termina en 0 o en 5. . 6, cuando es divisible por 2 y por 3 a la vez. . 9, cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de nueve. . o 10, cuando termina en 0. )7 76;174 153;6231 12;3OO BO;315 138;942 198;9O9 50;23O Un número es primo cuando tiene dos divisores: ell y el mismo número. Por ejemplo, 5 es primo, ya que tiene como divisores et 1 y el 5. Un número es compuesto cuando tiene más de dos divisores. Poreiemplo,T2es compuesto, ya que tiene los siguientes divisores: 7,2,3, 4, 6 y 72. Un número compuesto se puede descomponer de manera única en factores primos. A la descomposición se la denomina factorización. Para factorear un número, se pueden utilízar los siguientes esquemas: 70 tt l2 70=2.5.7 l? rl ) Para encontrar todos los divisores de un número, se puede realizar el siguiente procedimiento. 70=2.5.7 2.5=10 2.7=14 5.7=35. Divisores de 70: 1; 2: 5; 7; 10: 14: 35: ) L 70 1. Se factoriza el número. 2. Se calculan todos los productos posibles de sus factores primos. 3. Todo número es divisible por 1 y por sí mismo. y orpliquen las respuesta<. a Para saber si un número es divisible por 6, talcanza con saber que es divisible por 2? Respondan b. iEs correcto decir gue 1 es un número primo? c. E[ número 95356, ees múkipto de 4? ACTIVIDADES 5 42. Divisibitidad y factorización Escriban los números que cumplen con la condición indicada. a. Los múltiplos de 3, mayores que 120 y menores que 141: f b. Los múltiplos de 8, mayores que 200 y menores que 250: c. Los divisores de 6: d. Los divisores de 20: e. Los divisores primos de 60: 43. Escriban un número que cumpla con las condiciones dadas, usando las cifras 4,5,7 y8. a. Múltiplo de 2, pero no múltiplo de 4: b. Múltiplo de 4 menor que 7O0O: c. Múltipto de 11 y par: d. Divisible por 4 y que la cifra de las unidades sea menor que D 8: e. Divisible por 5 y mayor que 8000: 44. Marquen una X, según conesponda. fi 45. Factoreen los siguientes números y exprésenlos como una multiplicación. b. 600 c.1089 d.4470 a.792 792 = 46. 600:_- 1089: 4470: Completen con la hctorización de los siguientes números. Tengan en cuenta el ejemplo. oo eo oo F c72o=oo p co a.280=oo b.76s=co m co co e.2s7=co d.3so:co m Í.3025=oo oo € nnnmnmmnl Múltipto común menor y divisor común mayor El múltiplo común menor (mcm) entre dos números es el menor de [os múltiplos que tienen en común esos números, sin tener en cuenta el 0. 4 son: o, 4, B, @, l o, zo,@ Atsunos múttiptos de 6 eon: o, o,@1 o,@, zo 2o... -l Algunos múrtipros de I 1 2 ee el menor múltiplo T::t"i;:á: ii^o^ Para hallar el mcm (12;30) se factorean los números y se eligen los factores para obtener el múltipto común menor. 1213 ,"o, tlt" tZlZ 12=z.z.212.3O =3 .2.,2.L3,.5 3012 .5 mcm(12;30)=22.3,5=60 Para calcular el mcm se rnultipl¡cen los factores comunes y na comunes con su mayor exqonente. El dMsor común mayor (dcm) entre dos números es el mayor de los divisores que tienen en común esos numeros. I Los divisores de 1B Los divisores de24 ,12,24 JI 6 es elmayor delos divisores que tienen en común. dcm(18:24) =@ Para hallar el dcm (28;98) se hctorean los números y se eligen los fuctores para obtener el divisor común mayor. 2Bl 2 141 z 2B=2.n 2 .7 es divisor comúnmayor entre2)y 98. TI' dcm (28:98) = 2 9b=,2.7,.7 .7 = 14 Para calcular el dcm se mul:tiplican los factorcs comunes con su tnenor exponente. 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Para calcular el mcm de dos o más números, asiempre hay que multiplicar los números? b. Dos números son coprimos si su dcm es f. iDos números consecutivos siempre son coprimos? c. ZCuáles son los factores primos comunes entre 10 y t5? LY los no comunes? A TMDADES Múltiplo común menor y divisor común mayor 47, Faúo¡een los siguientes números. Luego, hallen el mcm y el dcm en cada caso. e 108 392 180 108 = 180 : 392 = mcm (108;180;392) = b. 200 20 dcm (108;180;392) 2 6 : 20= 000 200 = 2000: mcm (20;200;2 000) : c60 36 dcm (20;200;2000) = 60= 6s ' 36= fi 65= mcm (60;36;65) 48, Planteen : dcm (60;16;6S) = y resuelvan. a En un local de iluminación decoraron la vidriera con tres tipos distintos de luces LED azules, y blancas lilas. Las luces azules se encienden cada 20 minutos; las blancas, cada 30 minutos y las lilas, cada 15 minutos. iCada cuántos minutos se encienden simultáneamente los tres tipos de luz? b. Un grupo de chicos recolectó 300 muñecas,42O pistotas de agua,480 pelotas y 600 rompecabezas para formar paquetes y regalar en el DÍa del Niño en un club det barrio. Si en cada paquete colocarán la misma cantidad de cada juguete, Zcuál es [a mayor cantidad de paquetes que podrán armar? ZCuántos juguetes de cada tipo tendrá cada paquete? c. Juan va al club cada tres días, Santiago cada cuatro y Agustín cada seis días. Si fueron los tres juntos el 1 de junio, icuándo volverán a encontrarse? iSe encontrarán el 23 de junio? iY el 25? d. Para festeiar el DÍa del Amigo, Camila compró 12 esmaltes, 6 collares, 18 anillos y 36 caramelos. Si quiere armar bolsas de regalo con la misma cantidad de obsequios de cada tipo, ipara cuántas amigas [e alcanza? iQué deberá colocar en cada botsa? 4 WWWWWWW 5 El tenguaje de las palabras, que puede ser oral o escrito, se denomina lenguaie coloquial. La matemática utiliza un lenguaje particular denominado lenguaie simbólico. Lenguaie simbólico Lenguaie coloquial 3.x a:4 b-1 Ellriple deunnúmero. Lacuarla parte de un número. El anl,erior de un número. El doble de un número, disminuido en 2.x- 4 cuafro. ) Si entre un número y ta tetra no se indica la operacibn, se entiende que hay un signo de muttiplicar. 6.x=6x Una eoacifu es una iguatdaden [a que hay, por [o menot un valor desconocido [amado inoógnita. x-3=20 7." míembro + 2.o miembro Resolver una ecuación significa encontrar el valor o los valores de la incógnita que hacen verdadera la ígualdad. Cada valor de la incógnita es una solución de [a ecuación. Para resolver una ecuación, se deben obtener ecuaciones equivalentes, es decir, con la misma solución, teniendo en cuenta las siguientes propiedades. . Se suma o resta un mismo número a ambos miembros de [a igualdad. . Se multiplica o divide por un mismo número (distinto de cero) a ambos miembros de [a igualdad. . Se aplica una potencia o raíz a ambos miembros de la igualdad. x+3 = 12 x+5-3=12-3 x=9 x- B =21 x-B+B=21 +B x=29 t 6.x=42 xa=O1 <[¡ 6.x:6=42:6 =W X=7 x=3 x:5=B Vx=5 x:5.5=8.5 ?!x3 = 53 x= 125 x=40 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. E[ siguiente de un número, Zcómo se expresa en lenguaie simbólico? b. iCómo se traduce x2 al lenguaje coloquial? c La ecuación 5x + x + 2x = 56, Les equivalente a 7x : 56? @ tl ACTIVIDADES Lenguaje simbótico. Ecuaciones 49. Traduzcan al lenguaje simbólico. a. El doble de un número.[-l b. El anterior del dobre de un número.n c. El doble del anterior de un número.[-] d. La mitad de un número.f-] e. La diferencia entre un número y su f. anterior.[-] El producto entre el dobre de un número y su consecutivo. t-l 50. Unan con flechas cada enunciado con la expresión simbólica conespondiente. a. La tercera parte del cuadrado de un número. .(¡:3)2 b. El cuadrado de la tercera parte de un número. ox2:3 c. El producto entre un número y su cubo. d. El cubo del producto entre un número y su cubo. e. La mitad de la suma entre un número y su anterior. f, La raíz cúbica de la resta entre un número y su anterior. .x.x3 .[x+(x-1)]:2 . ifi:-6a:l) . (¡ . x3)3 51. Escriban un problema para cada una de las siguientes ecuaciones y resuélvanlas. a.2.(x-5)=36 52. b.x:2+24:2.75 Encuentren el valor de cada incógnita y verifiquen. a.8+m=52 d.3+a:2=79 4 b.t-8:23 Q-Y3=25.2 c.3+x.2=79 f.{ñ=32+50 6 ACTMDADES Lenguaie simbólico. Ecuaciones 53. Resuelvan cada ecuación y verifiquen la soluclón. a.3+x:^IB=B b. 5x - 22 = ,,[36 h.10x+15+4=37+4x 1.42+9x+{4=76.5+2+7x c.x.(4+50)=5: i.6x-6+3x=3x+6 d.r/9+xz3=32 k C.5+x:2:2024 L9x+45-5x:76+5.6+3x f.6x+3x+7.3=5+35.2 ¡r. 6x + 343 : 72 - x = (2, + 1) : 5 + 14 + 3x t 3x+50+x=25+1[I n. 4x + 15 + 6x * i/8 : 2 = ú00 + 8x 3x+ 5x-49 = 2x+x+11 ACNUDADfS Lenguaie simbólico. Ecuaciones 54. Resuelvan las siguientes ecuaciones aplicando la propiedad distributiva. a4.(x+2)=29 e.77x- 5:5. Qx+7)-3 fl b.36+59=QOx+10):2 16.(3x+5):3.(20+x) f.3.(4x+6)=193 g.3.(x+2)=2.(x+2)+2 0 d. (x + 6) .2+ 79 = !87 h.3. (x-6) = (2x+1) . 5 -8. 9 55. Resuelvan las siguientes ecuaciones con potenciación y radicación. Verifiquen los resultados. ax3+3.74:52.10+8 b. 3 . 100 + 26 + "lx F I t :72 .28 c(x-2)3+18:530 d d.rF.T*r- =2.6 menteACTlVA El triple de la edad que sebastián tendrá dentro de cinco años es iguat at dobte de ta que tendrá dentro de 23 años. iCuát es la edad actual de Sebastián? edad I I fl IntEEHAEún 56. 61. Escriban. a. Todos los divisores de 28. b. Todos los divisores de 45. c Todos los múltiplos de 15 mayores que y menores que 90. 57. con las cifras 0, 2, I y 5 escriban 16 un número que cumpla con las condiciones dadas. a. Un número de cuatro cifras distintas que sea múltiplo de 2 y de 5 a la vez. b. Un número de cuatro cifras distintas que sea divisible por 2, pero que no sea divisible por Resuelvan. a. Si se divide un número por 3, por 5 y por 7, el resto es 0; pero si se [o divide por 6, sobra 3. iCuál es el número? b. Si al número de la actividad anterior se [o divide por 2, i4ué resto se obtiene? iPor qué? c Si se divide un número por 5, por 9 y por 7, el resto es 0; pero si se lo divide por 2, sobra 1. Si se cuadruplica et número, iqué número se obtiene? d. iPor qué número se debe dividir 1548 para que el cociente sea 642. ZCuál será el resto? 5. c Un número de cuatro cifras distintas que sea divisible por 3, pero que no sea divisible por 6. 62. tengan en cuenta la descomposición de los siguientes números y escriban V (Verdadero) o F (rabo), según corresponda. Expliquen la respuesta. 58. Resuelvan. a. Marcos dividió un número por 15 y obtuvo 2700 = 22 .3 . 52 .7 2200 a ,52 . _ resto 0. a. 8 es divisor de z zoo. . . iEl iE[ o iEl . iEl . iEl múltiplo de 15? múltiplo de 3? múltiplo de 10? múttiplo de 5? múltiplo de 30? b. Florencia dividió un número por 8 y obtunúmero número número número número es es es es es vo resto 5. . Si quiere convertir e[ número para que sea divisible por 8, Zcuánto deberá sumarle? . Si quisiera que el nuevo número fuera múltiplo de 80, ipor qué número deberia multiplicarlo? 59. Factoreen los siguientes números y expré- senlos como multiplicación. a. 1400 = b. 1056 : c 2500: d.2835: e,2548 = Í.7O07 = 60. Observen las siguientes potencias de diez y respondan. Expliquen sus respuestas. te3 to'¿ lozt le a. iCuál expresa el dcm entre ellas? b. iCuál expresa e[ mcm entre ellas? 21 t+41 ll 440 = 32 .72 = 23 .5 .11 [-l b. 440 es divisible por zz. [-l c. 49 es divisor de aa1.l-.] ' ''' l_J d. 25 es divisor de 2100 y de 2 200. C e. 22oo es divisibte por rs. [-.) f. El dcm entre los cuatro números es 4. g. El mcm entre los cuatro números es: 23 .32 .52 .72. y h. 440 a. 22OO 441. y flo son coprimos. 447 son.opritor. [-.] ['l k 2100 es divisible por 7, pero no por Ot.O i. 1 es el dcm entre los cuatro L El dcm de 2100 63. a y núteror. 22OO es:22 .5'. C Escriban. Tres números mayores que 4 y que tengan el 64 como mcm. b. Tres números menores que 80 y que tengan el 20 como dcm. Curso:- Fecha'.-/- 64. Ha[ar el mcm y el dcm entre los siguientes nfimeros. a. 60; 90; 150. b.775;200; 280. c 48; 80; 120; 180. d.77; 7; 77. e.84; 350; 450. 68. Resuelvan. a. Agustín y su hermana Belén completaron un álbum de 420 figuritas deportivas. Agustín consiguió 162 figuritas más que su hermana. Six representa la cantidad de figuritas que consiguió Belén, icuál de las siguientes expresiones permi- te calcular esas figuritas? ZCuántas figuritas obtuvo cada uno de ellos? f.27;243;729. x+ 65. a. Si el papá de Ema recibe una publicación deportiva trimestralmente, una revista de actual¡zac¡ón médica bimestralmente y un suplemento deportivo europeo cada 5 meses, Zcada cuántos meses recibe simultáneamente las tres publicaciones? b. La mamá de Andrea tiene 300 cintas verdes y 450 blancas para armar moños de rega1o. Si todos los moños deben tener la misma cantidad de cintas de cada color, ácuántos moños podrá hacer? iQué cantidad de cintas verdes y blancas tendrá cada moño? 66. Planteen la ecuación y resuelvan. Luego veffiquen. a. El doble de la edad de Mariana es igual a la mitad de cincuenta y seis. iCuál es la edad de Mariana? b. El precio de tres kilogramos de helado es igual a cuatro veces cuarenta y cinco. ZCuánto cuesta el kilo de helado? c. El peso de Luca aumentado en seis es igual a la mitad de veinte kilogramos. 420 x+ x= x+162+x-162=420 162 Resuelvan. = t62 + b. Dos amigas, Sandra y Andrea, han tejido mantitas para vender. Andrea tejió 8 mantitas menos que Sandra y entre ambas se comprometieron a entregar 60 mantitas. Six representa la cantidad de mantitas que tejió Sandra, ¿cuál de las siguientes expresiones permite cal- cular esa cantidad? iCuántas mantitas tejió iada una? 8-x+x=60 x-8+x=60 69. ¡scriban la ecuación y resuélvanla. a. La suma entre el triple de un número y el doble de su siguiente es igual a la mitad de 84. b. El cociente entre 20 y 5 es igual al dobte del es el número? 70. Resuelvan las ecuaciones e indiquen cuá- les tienen la misma soluc¡ón. a.{G4+x223=70+6.2 b.x+3x-812:811 :r/64 .3': (lfr ' 3m d. La cuarta parte de lo vendido en el puesto de panchos es igual a[ doble de ciento ocho. iCuánto se vendió en total? d.(54-5).x-25.70=250 y verifiquen. !.(x+72):6-5=3 b.(x-3):3+20:42+8 c.5x-100:69-8x d.6x-18+2x:3x+!7.6 c.3.(x+5)-2x+7=48t3 f. (x- 2) . 4 + 36 = 45 . 2 + x+ 4 I anterior de un número, aumentado en 4. iCuál c. (x + 2) Resuelvan las ecuaciones I 8-x-60=x ZCuántos kilogramos pesa Luca? 67. 420 71. Resuelvan las siguientes ecuaciones con potenciación y radicación. Veriñquen los resultados. 8.x2- (36+2.5):2.32 b,25+x3:36+82+2.25 C,45:0+23)=3az d.fi+6.8=52.2 e,(7+2)'?+rfi'=9.10 .5 :22 .32 f. rE + 6 I AuroEvALUAcrón 72. Descompongan de tres formas diferentes. 26O62206 = 73. Resuelvan aplicando propiedades cuando sea posible. ". b. i 4 . (s . 7 + 7o) + 270 : 30 58 c.i[F . 513 : . +o 51e + (4 . 9 - * zy 72)o + 102 . 5 - (18 - "'[45 : ^/5 - 4 . 2) = : : 74. Resuelvan. 8 horas y un analgésico cada 6 horas. e. ZCada cuántas horas debe tomar los dos medicamentos juntos? E[ médico le recetó a Florencia tomar ún antibiótico cada b. iCuántas pastillas del antibiótico debe tomar por día? LY del analgésico? 75. Glculen el mcm y el dcm entre 675, 5¿O y 180. 76. ¡sciiban en lenguaje simbólico y resuelvan. Verifiquen el resultado. El doble de la suma entre un número y veinticinco es igual a la mitad de ciento ochenta y cuatro, disminuido en cuatro. f,¡nrrntnns Orden y representación. Fracciones equivalentes. Operaciones con números racionales. Potenciación y radicación de fracciones. Operaciones combinadas con fracciones. .l J, >:- Fracciones y expresiones decimales. Operaciones con expresiones decimales. T, JI Porcentaje. Operaciones combinadas. -. '.r:r"f. #:;i 'otv'",; -,--;:-' *,": ', 11' ¡ .{ Srrulcrór lNtctAl DE ApREr{DtzArE 1. Observen la imagen y resuelvan. a. Comoleten. rn et grupo hay f] ,on varones y son mujeres. cuyas respuestas seanocadurrlu O. tas siguientes fracciones. chicos, donde b. lnventen preguntas {-l f] 9i g;5; g c. Comparen con sus compañeros las preguntas que realizaron. MMÑÑMMWI Orden y repres€ntación rc f,úmeros racionales Los números racionales son aquellos que se pueden escribir como fracción. Se denomina fracción al cociente entre dos números naturales a y b (con b distinto de O). 5-) --) 8 numerador Quedafiderc*a. denominador Toda fracción mayor que un entero se puede expresar como número mixto. w U 4 .7 3 '3 t un entero 3 Representación en [a recta numérica Para representar fracciones en la recta numérica, se divide cada unidad en tantas partes iguales como indica el denominador y se toman tantas partes como indica el numerador. Para representar ]: a --.) 3 Como el numerador es 3, se tomon 3 de esos partes. 1z Como el denominador de lo fracción es 2, se divide cade unidod en dos partes iguales. Gomparación de fracciones Para comparar dos fracciones, se pueden usar distintos procedimientos. Para comparar multiplican cruzados los numeradores y denominadores, comenzanv ft . f t. do por el numerador de la primera fracción. Se escríben los resultados obtenidos y se los i, Z+ t.6c 4.5+ 6c 20, entonces f e f. e Para comparar V j, como los numeradores son iguales y en se divide al entero en menos J + compara. partes que en . f, Para comparar entonces + > +. I v f, .oro I es reno, que un entero v f es mayor que 1, entonces Ie 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Para representar f en ta recta numérica, ien cuántas partes se puede dividir la unidad? b. iCuál de las siguientes fracciones es mayor? I o # c iCómo pueden comparar f con Jz zv { con lz- f. rE AgfIVIDADES Orden y representación 1. Representen en ta recta numérica las siguientes fracciones. a.]; 01 l;];l a.l;l;|;] 01 7.3.2.5 .v416.3.6 2. {| Escriban la fracción que representan los puntos indicados con letras. 0ab1c2d3e ,=E b=E a:E ,:E a:E 3. ¡scriban como número mixto las hacciones de la actividad anterior, siempre que sea posible. .=OE '=OE .:OE ,=OE d .=OE 4. Ordenen de menor a mayor las fracciones que aparecen en el enunciado. Elvira decidió hacer un pan dulce para compartir con sus nietos. Compró tg O" frutas abrillantaf das, t<g de pasas de uva, kg ae almendras acarameladar y O. nueces. f j f d 5. Escriban la fracción que indica la parte pintada. Luego, ordénenlas de mayor a menor. "+E '++E .++E 6. Ordenen de menor a mayor las siguientes fracciones y represéntenlas en una recta numérica. 107544215 T'6'6-F't-5'6'9 f mnB mnmmml Fracciones eq uivalentes Dos fracciones son equivalentes cuando representan e[ mismo número racional. cEi.\f5 Ir- Para obtener fracciones equivalentes a una dada, se pueden aplicar estos procedimientos. el numerador y el denominador número natural distinto de cero. a\ Se dividen el numerador y el denominador por un mismo número natural que sea divisor de los dos. r'\ 24 714 \_/ 82 205 \9 es ineducible porque no se puede simplificar. t si dos fracciones son eguivalentes, se puede aplicar la propiedad fundamental de las proporciones. Si al multiplicar el numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda, se obtiene el mismo resultado que al multiplicar el denominador de la primera por el numerador de la segunda, las fracciones son equivalentes. Para verificar fr ee equivalente con ft, porqu" 15 , 1 6 = 12 . 20 = 24O Fracción ineducible Una fracción es ineducible cuando el numerador y el denominador son coprímos, es decir que solo tienen a 1 como divisor común. ] ee irreducible Vorque 4 y 7 son coprimoe. 1. Respondan y expliquen las respuestas. ) a. ZCómo reconocen una fracción irreducible? b. La fracción irreducible d. ?i, ¿"t? c. ZCómo se puede comprobar que ;3 V f$ son equivalentes? d. iCuál es la fracción irreducible ¿. ÉrrZ tr ffJllH?To*".1enres 7. ¡scdban la fracción ineducible que representa cada color, en la siguiente figura. a Rojo: d. Amarino: 3 b. Verde: B c fuul: E e. Blanco: E 4 B 8. Tachen las fracciones que no son equivalentes a la fracción dada. -2 *7 t4 e'5 -s ' 9. cf; + 72 6 20 10 32 ' t7 Z 76 n m 44 76 36 gg 68 55 2l E d.8 ---+ # " 56 75 45 90 27 216 1020652 ^108307 '57752 6 Escdban como fracción ineducible la parte sombreada de cada figura. A B E E E TD E E M ¡.1 ñ 1O. Simplifiquen las siguientes fracciones y exprésenlas como fracción ineducible. ";á=B o.#=E lL e'ff=B cffi=3 #=E 'i#=E ,á .i,8,; *ffi:E n.ffi:f Completen con una fracción que se encuentre entre las fracciones dadas. *a'EJ '3 .á,El ná,8.¿ o-?,8) ,3 '.r,8,+ ,'?'!'i ,?,8.3 0, Operaciones con números racionales rc Adición y susüacción Para sumar o restar dos ftacciones de distinto denominador, se buscan fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador. Para encontrar un denominador común, se busca el múltiplo común menor entre los denominadores. 2.1 B 5 13 5' 4- 20' 20- 20 =21 46121212 mcm(5;4) = 20 mcm (4:6) = 7 _5 _10 _11 12 ) Los siguientes cálculos se pueden resolver mentalmente. I entero son ,v 2 a *?=Z 2 tonf enteros \_-, ^r-+=+ llulüplicación y división Para mulüplicar dos fracciones, se multiplican los numeradores zz tzlt 'iru 1 B'4= e-*r= Z Se y los denominadores entre z.3 -z.o -td -1Z --l 5'4=5A=E; simplificaron que multiplicar. tJ'firÍ"i,',ii,i,i" E- ,^- r^_ --_^_ las ftacciones se quiere t------r-___--_-- 4 L______________+ 3 resultodo. 4 Para calcular una fracción de un entero, se debe multiplicar sí. Se simplificí la ftacción resultado, el número por el numerador de la fracción y dividirlo'por el denominador. ftae tooo =fr,tooo ="ff/=75o Toda fracción distinta de cero admite un inverso multiplicativo. Por ejemplo, el inverso multipliaa . 2, = 1. Para dividir dos fracciones, se multiplica la primera fracción por cativo de 1 1. porque 3 "t el inverso multiplicativo de la segunda. 3. 1 _3.12 _a ' 4'12-4' 1 -v 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. iEs cierto que * ? 11r.t b. Cuando se multiplican dos fracciones, iconviene simplificar antes de hacer el cálculo? c En el cálculo # , tr,2se pueden simplificar el 15 y el 5? f : rl[ ACTIVIDADES Operaciones con números racionates 12. Resuelvan mentalmente. *1*g=E r.f e.l+2.:E -3-?.+: E d.?-¿.2= E -+:E ú. r.1_+=E 13. Marquen con una X el cálculo que representa la situación y resuélvanlo. Un micro de larga distancia salió de la estación de Retiro rumbo a la costa atlántica. En el camino, realizó varias paradas en las que subieron o bajaron pasajeros. En Retiro subió del pasaje, en San Clemente subió del total, en Santa Teresita bajó de los pasaieros y en San Bernardo f ] fr subió f. Si el recorrido finalizó en Mar de Ajó, Zqué parte del pasaie llegó? *?* +o-+.?= b. 1-?.#-\*?= "t-(;.#-+.3) =o ú 14. Resuelvan. r a|-1**= b-1- (+. E E E E E +) = '?.+-+ d-?-tr**= e.l- z* j: ¡z-P.1) :3 ú I 15. Compteten los cálculos. "+.EJ 16. Escriban (, d+-!:; 'E -i:i ) o = según conesponda. a.e+!!t b.5-?o' 'tr.+! t d.7 -?oo /t tFl AcrrvrDADEs operaciones con números racionales tU 17. Simplifiquen y resuelvan. l I a.l.#=E ".+.+: ,.6'+:E d.11 .E d. .ro:E 18. Completen las siguientes igualdades. a.l. 'E 4=i =5 t:,0 11 .!=+ 19. Escriban en lenguaie simbólico y resuelvan. i I a. El doble de ]: d. Un tercio de b. El e. Un medio de 472: c El cuádruple de $: 20. Lean atentamente a triple de f,: Florencia regaló aún conserva? f 93: f. Tres cuartos de 56: y resuelvan. de las 45 figuritas que tenía repetidas. iCuántas regaló en totat? ZQué parte b. Para [egar a Mar del Plata, Rubén consumió f, del tanque de nafta de su auto. Si el tanque tiene una capacidad de 52 litros, icuántos litros le quedan aún? c Camila gasta J de su sueldo en impuestos y f,, .n el alquiler de su departamento. Si su suelicuánto dinero destina para alquiler e impuestos? iQué parte de su sueldo le do es de $Z AOO, queda para otros gastos? 21, Resuelvan. ,,?r+€ b.z,+=E ,.#,#=E d.#,#=E i 22. ,, I Completen con la fracción que verifica la igualdad. *,8=* o.?,E=, "8,+:z ' E'+=1 rn ACTIV|Dáü't5 OperacioRes con números racionales 23, Resuelvan y completen con ( )o=segúnconesponda. .+.3c+'3 ¡"?.t Ü+,+ cs,fÜ+'u d.+.io+,4 24" ¡scriban la letra del enunciado gue conesponde a cada dlculo. Luego, resuélvanlo. a. Un poste se pintó la mitad de blanco y la tercera parte de azul. iQué parte está pintada? b. La mitad de una herencia se reparte entre tres personas. iQué parte le corresponde a cada una? c. Dos amigos recorren un camino en su auto; el primero maneja la mitad del recorrido y el segundo, una tercera parte. iQué parte aún no recorrieron? d. Eduardo llenó el tanque de nafta de su auto para salir de viaje. Luego de consumir la mitad del combustible, cargó nuevamente un tercio de la capacidad del tangue. iQué parte del tanque tiene nafta? !,-(+.fl=E ü+.+=E C+,3=El !,-+.+=E 25. 6 Resuelvan las siguientes sltuaciones problemáticas. a. La mamá de Josefina compró cuatro cajas de veinte bombones cada una. Entre Josefina y su hermana Micaela comieron una caja V ae otra. ZCuántos bombones quedan? 6 f ü. En un micro escolar viajan 36 alumnos. Si ] de los alumnos desciende en el barrio de Saavedra, f, to trace en Belgrano V f en Núñez, Zcuántos alumnos continúan en el micro? 'l c fr ae sus libros el lunes, y el martes se quedan devolvieron 15, icuántos libros aún en la biblioteca? En una biblioteca hay 540 libros. Si se prestaron rrcnteAIIIYA Don Prudencio desea plantar 5 variedades de flores, gue en total son 240 plantines: 60 son jazmines, 18 son fresias, 78 son rosales, 30 son lirios y el resto son orquídeas. e iCuántos plantines de orquídeas tiene? ü. iQué fracción representa cada variedad? lf Potsnciación y radicacién de fracciones rcü Potenciacién =a La potenciación permite escribir en forma abreviada una multiplicación de factores iguales. l1\3_-41.1.1_ t1\2 1 1 1 \41 -4 4-16 \4) 1 e)' 4 4-64 (?)" =, t3 +{m r-r-, El eector pinlado ocupala novena parI,e del cuadrado. l1\2 1 l1\2 1 11 1 \3) -3 3-e LLH tHARtbrttE WEqE€SN Para obtener la potencia de una fracción, se debe calcular la potencia del numerador y la del denominador. \abcrto)É 0ilner¿... l4\2 = 42 16 \B) ó"= g Radicación La radicación es la operación inversa a la potenciación. Para obtener la raíz de una fracción, se debe calcular la raíz del numerador y la del denominador: - '[o+ -s "@ 125-.\lzo-5 ,ffi =6?orqu"Éf =# ,E =$?o,qu"(+)" =+ La potenciación y la radicación de fracciones cumplen las mismas propiedades gue para los números naturales. I En ta página 15 peden repasar propiedada de ta potenciación y tas l¡ ndicacion. 1. Respondan y expliquen las respuestas. a ZQué indica el exponente en la potenciación? iY el índice en [a radicación? b. iEs cierto q"" (7)' : #? c. icómo se resuetve fÉ¡ II AcTMDADEs Potenciaciónyradicación de fracciones II 26. Resuelvan las siguientes potencias. ..(+)'=E 27. ,(?)':E b.(+)':E ¿.(3)':E ü Resuelvan las siguientes raíces. ".rffi= b'lE tffi= = 28. fscriban en lenguaje simbólico y d.\8, = resuelvan. a. La raíz cuadrada de cuarenta y nueve cuartos. b. El cuadrado de cuatro tercios. c. La raíz cúbica de ciento veinticinco sesentaicuatroavos. rl d. El cubo de cinco sextos. e. La raíz quinta de un treintaidosavos. f. 29. El doble de la raÍz cuarta de un medio de treinta y dos. Completen los cálculos .fi:+ "(E)'=* "(E)'=+ 30. oiE=t (t Calculen el área de las siguientes figuras. a. 4 b. F I I menteACTlVA Si et área de un cuadrado es ¿" #m2, icuál es la longitud de su lado? lq =EE EsSngl Operaciones combinadas con fracciones Para resolver una operación combinando las operaciones estud¡adas, pueden seguir estos pasos. r:r -G)".^l+.2+l,l= 4-1 .2*7.3= 9'.2-'5',5 {+ 1 +l= _34 -9 1. Se separa en términos. 2. Se resuelven las potencias y raíces. 3. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones. 4. Se resuelven las sumas Y restas. Existen calculadoras que no respetan la jerar' quía de las operaciones, es decir, no realizan la Eñ UnñÍ¡SrS t, W$a)|a¡ lBlEpr LEF' tñ¡tüIsr r&Éi\crnh uqünücl¡ t ¡ñftiórw R*r¡til¡t,srqg, qn k3 s$ñt t- m. m bt$ tttt*r¡nes W¡Énbñ ¡QE EIIeNE? separación en términos. Tengan en cuenta que en los cálculos donde aparecen paréntesis, primero se resuelven las operaciones que ellos encierran. 1--l -l-l t-l f-r. E)".ll&'.. -Z)'+= 1. Se separa en términos. 13 .25 _ l3\2 . -d'-d 2. Se resuelven los cálculos que están dentro de los paréntesis. 9 13.25 3. Se resuelven las potencias y raíces. E- zb- I,13_ 4. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones. _22 5. Se resuelven las sumas Y restas. 1: l - - . _ E-T' 6- -25 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ZCuáles son los pasos para realizar un cálculo combinado? b. iEs ro mismo c En el cálculo (+. ?). á qu. +. + .? + # . t, O" puede simplificar antes de resolver la operación? I lt tfJllt'fnfcomb¡nadas con rracciones 31. Resuelvan las siguientes operaciones combinadas. ".(+. a-ffi +-Gr: H.4-É:E b.(3-*) (T -+ il=E Planteen .ffi = rl r;.f ,E-+=E 32. ".(+.*)' I i.?.¡W.Gr: il y resuelvan. a Eduardo leyó un libro de 840 páginas en 3 días. El primer día, leyó aet tiUro. El segundo día, la tercera parte del resto. ZQué parte leyó el tercer día? ZCuántas págínas representa? f b. Tres amigas repartieron una torta de chocolate. Noelia se quedó con la mitad de la torta y con la tercera parte del resto. iQué parte le corresponde a Celeste? c Belén, .. [ Un atleta participó en una competencia de ciclismo que se realizó en cuatro etapas. o Primera etapa: recorrió $-Oet totat. . Segunda etapa: recorrió del resto. ¡ Tercera etapa: recorrió las dos terceras partes de lo que llevaba recorrido. f iQué parte recorrió en la cuarta etapa? q ACNWDADES Operaciones combinadas con fracciones y resuelvan las siguientes situaciones. a En la siguiente figura, abc y noc son triángulos equiláteros. Escriban la expresión que permite calcular el perímetro del área sombreada. 33. Planteen In b. En la siguiente figura, el lado del cuadrado efcg mide ] m y el del cuadrado abcd, Escriban la expresión que permite calcular el área sombreada. dCc a !lá. Completen con (, ) o =, -(+)'.(á)'ot b.L, *+O t 35. s¡n hacer los cálculos. .(f)'f ' ¿.1*i.rC, Resuelvan. . fi',8.#'f : '\8.+.#-t,#= b.(3)'-Z d.T,+-+ i?=E &'r*Er= ] m. I lt tflX?'lLltcomb¡nadas 36. con rracciones Resuelvan. a.,ffi ".(+. +)',+-,8.+: b.rE;$.+.W *1,T.8-ffi= ü -+: ".f:9.fffi_r- 6 .. (+ . i. +) ' Ln.3- flffi = ,.<84. {m - (+)'= y resuelvan. a. La suma entre un cuarto de diez y dos tercios de trece. 37. ú Escriban en lenguaie simbólico b. La diferencia entre las dos quintas partes de quince medios y la décima parte de doce. 6 menteACT|VA Uno de los lados de una alfombra rectangular mide lndiquen cuál de las expresiones permite calcular. J m y el otro, J m aumentado en 2 m. a. E[ perímetro de la alfombra. i.2.?+2.1+2 ti.z.|*z-(j*z) iii.z.f+j+2 n z. (J. f) iii. b. El área de la alfombra. t.|*2.] (J. z) 'f t, coilTEl{tDOS E.g.ln.ll.la 38. Representen en la recta numérica. 43. Completen cada figura para obtener el entero conespondiente a cada fracción. c Un medio. a. Un tercio. ..1;];l;26 a.t;l;t;] t 39. Indiquen la fracción ineducible que representan los puntos marcados con letras. b. Dos séptimos. 0123 d. Tres cuartos. a Y abc 40. Tengan en cuenta el entero e indiquen la fracción que representa cada figura. 44. Simplifiquen las siguientes Entero: fr "mE c. [-T-l ,ffi8 bmE a.ffi:E r#:E 0.ffi=E effi=E c.ffi=E *#=E 45. 41. Completen para obtener fracciones equiva- Resuelvan. Escriban el resultado como frac- ción ineducible. lentes. 6gEB b.#: B B ts a a. ''42. $: 105_ 315 E ts E ts Escdban la ftacción ineducible que corres- ffi ponde a la parte sombreada de cada figura. "A d. n fracciones. ^-?.tn-+-+= _ - 49 -t47 L'32t 76 - 46. ,20 32 25 -'16 15 8 e' 56L56 1s'74'5= .t5 21 50 " f6' 20' 14 Ordenen de menor a mayor los resultados de la actividad anterior. 47. escriban en lenguaje simbólico y resuelvan. a. El triple de la raíz cuadrada de dieciséis novenos. b. La raíz cúbica de la mitad de cincuenta y cuatro. c El producto entre un medio y dos quintos. d. El cociente entre d¡ez novenos y diez tercios. e. La mitad de la suma entre dos tercios y cinco cuartos. f. El cuadrado de siete quintos, más uno. Cuno:- Fecha:-/- 48. Lean atentamente y resuelvan. a Anabella tiene 108 fotos que se tomó con sus amigas. La cuarta parte las tiene pegadas ciones. a en un mural en su pared, la mitad las colocó en un álbum y el resto, las quiere guardar en una caja. ZQué parte de las fotos piensa guardar? ZCuántas fotos tiene pegadas en el El área y el perímetro del siguiente rectángulo. Z. ) mural? b. iCuát es el perímetro de un cuadrado, si se sabe que su área es de cmr? c. Adriana tiene un sueldo de $6 360; destina Rara el alquiler de su departamento, á puru impuestos, la tercera parte para distintos gastos del mes y e[ resto ]o ahorra. ffi I r 51. Planteen y resuelvan las siguientes situa- b. El área sombreada sabiendo que abcd y efcg son cuadrados, ;5'= f m y -t: + .á8. dgc E ZQué parte ahorra del sueldo? 49. ". ab Resuelvan. \8.[(3)', . g]- '9 : c 1-(+)'.3'+*1ff= ".[+,9. h +-+. (3.?)]= b. E[ perímetro de la siguiente figura sabiendo que abce es un cuadrado, cde es un triángulo equiláteron;5:+: n\F--''(+.#).2= 5O. Resuelvan. a. Al casamiento de Graciela asistieron 60 invitados, entre adultos, jóvenes y niños. Si hay ] de adultos y 20 jóvenes, Zcuántos niños hay en la reunión? b. Nicolás tenÍa ahorrados $+32. Destinó la mitad para comprar una bici, la cuarta parte para comprar un videojuego para la computadora, la sexta parte para un libro V Oara hacerle un regalo a su hermana menor. iCuánto dinero gastó en cada compra? $ d. El área sombreada, si abcd es un rectángulo,á6= , rt=f,cm. dec 3r c En el cumpleaños de Rodrigo, su mamá cortó [a torta en 16 porciones. Si su amígo Juan come Mariana $ Ae U torta, su hermana fr v Rodriso f,, Zcuántas porciones sobraron? d. La cuarta parte de un edificio está compuesta por departamentos de un ambiente, las dos terceras partes por departamentos de dos ambientes y el resto de tres ambientes. Si en total son 48 departamentos, Zcuántos de cada tipo hay? ,:2. Escriban en lenguaje coloquial y resuelvan. a. 3t 8'6' : b. -3..10_ 5'3- "lFJ= d.Z'tE = mEmmmmEH Fracciones y expresiones decimales Una fracción representa una relación entre dos cantidades. Aquelina quiere pintrar las paredes de su caea. Tara lograr el color que le gusta, mezcló dos ?oLee rqoo con cinco amarillos . ¿Cuál es la fracción que re?reoenta la relación eníre los potne roJosy amarillos? Lafracciónf;inaica que cada dos potee roios se deben utilizar cínco amarillos. Si se efectúa la división entre el numerador y el denominador de una fracción, el cociente que se obtiene es la expresión decimal de la fracción, que está formada por una parte entera y una parte decimal. ñ= O,U "clnco décimos" & = O,O5 "ctnca centésimos' & =O,OO5 "cinco miléstmos" El denominador de una fracción decimal tiene tantos ceros como lugares decimales tiene la expresión decimal que le corresponde Una fracción irreducible tiene una expresión decimal ftnita, cuando los factores primos del denominador son potencias de 2, de 5 o de ambos. 3_15_¡d Z- 10- t'r *m &=ffi=o,32 =0125 Existen fracciones que no se pueden escribir como fracción decimal y por lo tanto, no tienen una expresión decimal fi nita. $ no üene unafracción decimal equivalenfn, porque uno de sus factores primos (elI)) no es potencia de 2 ni de 5. ?or lo fnnln, eu una expresión decimal periódica. $ 3 = Z t 9 = 0,222... = O,2 ---+ Se puede segutr dividtendo lnfinttomente. La expreslón tlene lnflnitas clfnis declmales perfódlcas. 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. iCómo se obtiene la expresión decimal de una fracción? b. La expresión 2,10, ise lee dos enteros diez décimo.s o dos enteros diez centésimos? c. ZQué estrategia pueden utilizar para decidir si la expresión decimal correspondiente aS es finita o periódica (sin hacer la división)? Curso: Fecha: rll 53. ACTIVIDADES Escriban la expresión decimal que corresponde a cada fracción. c$= +: b. +: a. 54. y expresiones decimales Fracciones a.f,= 1_ Escriban la fracción que conesponde a cada expresión decimal. Completen con (, ) o otll o? b. 0,24[-l o,rot a. a. b. 57. Marquen con una X = d.0,23: r según conesponda. d. 0,230 g. 1,03 o2 ,? r. 1,030t,, e. 2,777 "of!3 56. 9 h. 20 ".0,r=[J b.0,14:E "r,r=! 55. t: g. ".I = t.j= O n. o? i. [-l t,or O; f [-l o,or las fracciones decimales. #D áo ..¿c e. d.;eo f. áo '.#C n.áo 3c Completen con una expresión decimal que se encuentre entre los números dados. a. L,5 7,7 b. 1,5 7,6 c. 0,09 0,9 d. 7,5 1,05 e.7,r2Dto f.0,83D o,g¡ [-] h. 0,68D g. 0,83 o,e¡ o,ut 58. Resuelvan. a. Escriban dos cuentas de dividir entre números naturales que den como resultado 0,2. b. Escriban dos cuentas de dividir entre números naturales que den como resultado7,75. 59. Completen la tabta. W # #M EgEl Opemciones con expresiones decimales. Porcentaje E[ resultado de multiplicar dos expresiones decimales finitas tiene tantos lugares decimales como la suma de los lugares decimales de los factores. Cuando se multiplica una expresión decimal por 10, 100, 1000, etc., se corre la coma a [a derecha tantos lugares como ceros tenga e[ 10,100,1000, etc. 1,21 .10=ffi.io=ff=tz,l Para realizar ta división decimal, se debe multiplicar el dividendo y el divisor por 10, 100, 1000, para que el divisor sea un número natural. 22,8 :4,12 43,25 : 1,5 ü.',: J.'o 15 J.roo J.roo 432,5 22BO : 412 Cuando se divide una expresión decimal por 10, 100, 1000, etc., se corre [a coma a [a izquierda tantos lugares como ceros tenga L0, 100, 1000, etc. En ta Para calcular la potencia o raíz de una expresión decimal, se puede escribir la forma fraccionaria de la expresión y luego, se resuelve la operación. o,7z=(+)'=ffi=o,+e I ,fqos=ffi=#=o,t pár$¡e41 peenqw úno¡erccnhrc bpaqri¡rfhy hrffirde ffirs. Porcentaie Un porcentaje indica la proporción de un entero. Para comprender cómo se obtiene un porcentaje se puede tener en cuenta e[ siguiente ejemplo: 2B%dezoo =ffi.zoo =?#= B4 Aproximación Para aproximar por redondeo a una cifra decimal determinada hay que observar [a cifra decimal síguiente: o Si es mayor o igual que 5, se suma uno a la cifla o Si es menor que 5, la cifra considerada se considenda y se eliminan el resto de las cifras. deja igual y se eliminan el resto de las ciftas. O,27 aVroximado aloe décimoe esO,3 O,24 aproximado alos décimos es O,2 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. iQué estrategia se puede utilizar para multiplicar 5,24 . 0,3? b. En el cálculo 5 : 7,2, iconviene multiplicar ambos números por cien? c El73o/o de 1690, Zes lo mismo que 0,13 . 1690? L I I t+ 60. tf.'N.tfirtcon expresiones decimares. porcentaie Resuelvan los siguientes cálculos. a. 6,25 + 8,73 = Í. f:::] 10,28 = f-] 7g,7g h.3,2t+4-6,77:t-] f-l d,75,097+3,809=f::-] e.7 - 4,5!g - g. 20,08 - b.5+3,807= c.39,06 + 75,4\= 72,07 .. 8,72 + 3,75 - 7,07 :[::] l. 77,03 - 8,25 - 7,7 =t-l =f-l 61. Planteen y resuelvan. a. Natalia compró una remera de $t25,30 y unas botas de $339,90. iCuánto gastó en total? b. Pablo fue al supermercado con $879,50 y gastó $6Q7,45 en sus compras del mes. iCuánto [e sobró? c. Marina tenía ahorrados $579,35, su madrina le regaló $t37,zo y luego gastó $308,75 en un par de lentes. iCuánto dinero tiene ahorrado aún? d. Ana Clara fue al shopping y gastó $739,99 en una remera, $150,50 en un short V $205,30 en una bikini. Si llevó $500,70, icuánto dinero le sobró? e. En una carnicer-r,a, el kilogramo de lomo cuesta $75,10. Si Claudio compró 2 kilogramos y medio, icuánto dinero gastó? 62. Escriban como expresiones decimales y resuelvan. a.10,2+]= d.l*3,46-]u= -+ = cf-0,75: e.22,7-l-z: b.7,38s Í. 6,23 - (+. t) = ASTIVIDADES Operaciones con expres¡ones decimales. Porcentaie 63. nodeen con color la respuesta corecta, sin hacer la cuenta. L .0,2 3,5 : o,o7 b. 13.0,3= c. o,o4 . 0,5 = 64. b. 0,015 .0,2 L7,5 0,3913,910,039 0,002 : .2: d. 0,15 .0,2 : e. 0,15 . O,O2 : f. o,t5 .2 : : : 9.4,8 :,2,4 : h. 0,48 i 2,\ = ¡. 0,048 :24 : ¡. 0,48 :0,24 : k 0,048 : 0,2\ l. 0,048 :2,4 : .3 o 0r3 ' . 0,03 0,003 o,o4l o,4l 4 0,41 4 0,32 I I O,O4 3,21 0,032 .2 t t . : Completen las tablas. o,43 : c. 0,15 : d.7,1, : b.7,9' Q.0,71 : f.2,9, = 67. f.9,6 : 3 : lo,o2lo,2 66. ¡scriban cada número como fracción y a. d. r,2 z 0,3 e. 0,6 : 1,5 o,7 17 Unan con una flecha cada cálculo con su resultado. ?-7,5.0,2: 65. I Escriban en lenguaje simbólico resuelvan. g. {0,^81 = h. {0,027 l. {t,25 i..'t¡@ : : : k. {/0O016 = r. lo34t: y resuelvan. Expresen el resultado como fracción y como erpresión decimal. a. La diferencia entre [a cuarta parte de 128 y el cuadrado de 2,5. b. La suma entre la tercera parte de 106,5 y [a raíz cuadrada de Curso:- 1.,44. Fecha:-/- l- Or2 0,02 0,002 I I Lf 68. t tflIll'f3trcon expresiones Calculen mentalmente los siguientes porcentaies. 2oo/ode 100: f : f-l t 25o/ode 80 : f-l b. s'olo de z0 69. t decimates. porcentaie I d.1oolo de 200 = e.10% de 50 = f.3orode 100 f:J *3oYode 1000 = t-l h. 5% de tro :f - I i. 3olo f-l :D de too = D Resuelvan los siguientes porcentaies. : e. 55o/o b.10% de 580 = f. 42o/o I 9,.730o/o de 500 4o/" de 720 260/" de 2 000 = d.70"/o de 130 : de 7 000 = de 300 : : h.775o/o de 4oo = 70. Resuelvan las siguientes situaciones y redondeen el resultado a los centésimos, si es necesario. ¡. Daniela compró una licuadora que costaba $355,5. Como abonó en efectivo, le hicieron un descuento del 20%. ZCUánto pagó por la licuadora? b. Sitvia compró la misma licuadora que Daniela, pero como abonó con tarieta de crédito, le recargaron un 160/o. iCuánto pagó Silvia? c. A una fiesta de egresados asistieron 160 personas. E|25"/" de los asistentes era de otras escuelas y de los restantes, el 15olo eran los alumnos organizadores. ZCUántos chicos de otras escuelas asistieron a la fiesta? iCuántos chicos la organizaron? F menreACflvA | ,. librero uur.ntO un 25o/oe[ precio de una nove]a que costaba $tto. Una semana después se I la vende a un amigo al mismo precio que tenía antes del aumento; idebió descontar un 25o/o al nuevo precio para ltegar at mismo costo que tenía el [ibro? I l( #MK#HgEEI Operaciones combinadas Para resolver una operación donde intervienen fracciones las operaciones estudiadas, pueden seguir estos pasos: 2,5 tu+ O,42,+-^[036 = 25.4-14\2.3 _^[_?9__ 10 5 ' \10) ', 10 1100 25 4.16 3 6 10'b* 1oo: io-1ó= 2.16 6 3 3' 30 10- 5 y expresiones decimales combinando 1. Se separa en términos. 2. Se pasan las expresiones decimales a fracción. 3. Se resuelven las potencias y raÍces. 4. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones. Luego las sumas y restas, y se simplifica. Si en el cálculo aparecen paréntesis, primero se resuelven las operaciones que ellos encierran. f-------------1 2 1z. É) - ^n,21 = 3.(12,5\_"@__ 2 \10 ' 5) 1100 z 1B y100 nz1 2 10 1. Se separa en términos. 2. Se convierten las expresiones decimales a fracción. 3. Se resuelven los paréntesis. 3,18 _11 4. Se resuelven las potencias y raíces. 27 _11 _O 5. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones. Luego las sumas y restas, y se simplifica. 210 10 = 10105 En algunos casos, es posible aplicar la propiedad distributiva para suprimir los paréntesis. ,,u - (Z)' 5.(3_4\_(3\2_ (2 + o,B) 2 \2' 5) \2) 5 3.5 4 t3\2 2'Z*Z'5- \Z) = 53.54I 22'25 415.20 I 7 4 * 10-4=z = 1. Se separa en términos. 2. 5e convierten las expresiones decimales a fracción. 3. Se aplica la propiedad distributiva. 4. Se resuelven las potencias y raíces. 5. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones. Luego las sumas y restas, y se simplifica. 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ZCómo se resuelve un cálculo combinado que incluye fracciones y expresiones decimales? b. ZCómo se resuetve lE. O,nZ rls A TMDADES Operaciones combinadas 71. Coloquen ), a. {/o,oo8 ( o = según conesponda. .t[ b.r,22-t! 72. - +)' = lm.o,r c. 7,32 - d. 7,r2-7 r c. z . ^[o,e+! r . i/o¡64 d. 0,043 * o,r [-) 0,42 + e. i/0,00032 o,r 0,23 7,72 s. l0F00T : fi + 7,2 -+ '? = = h.(+. t)',",pn.?-#= = ¡. + 3,2 -,8 : i. (\E e.J*{075-0,52: f. lop-5 + 0-"0-75 l19t .t. #: - + 0,5') (0,1, z * {Op4) 7,6e + = f.: rc(Oaa.iE-t),*= 1. ({OFT * f-\ [ f. (0,1 + o,o3), Resuelvan los siguientes cálculos. a. (o,ez b. 4[0,027 + '[6-Jir)' 't + 0,72 = ._ 1i10,0016 [-l t,l, CONTENIDOS NTEEHAf,I¡N l3'll+.lS 73. Ubiquen los siguientes números en una rccta numérica. ".(''.0,0) E:¿ t; 0,4; 7,2; ] ; 2 b.]; t3; z3;l; t a. 74. Escriban cada fracción como expresión decimal. Luego, ordenen de mayor a menor las expresiones obtenidas. a.$ b.? d.i c.fr 75. Marquen con una X tas fracciones decimales. ..¿o f.To b.#ddO s.iio '+c d.&o ..áo _ {0,64 r-\ L J0,64 n.+o 1.#o i';tO O+ c iF,oor O (rt)' d.ffio(+)' b. {r,56 e.3,52o+ r. {op4 s.7? rr. ! ! O + lr,r, o,a ¡.(t)'o(;)' i.(?)'c\F 77. Resuelvan los siguientes cálculos combinados. a.0,252 + 0,52 - 10,008 = b.iE-0,25:2+ffi= , E)',+0,5:! 79. tean atentamente y cuesta $s8,40. Cliente 1: compró 5 kitos. Cliente 2: compró 2,5 kilos. Cliente 3: compró 7,5 kilos. iCuánto pagó cada cliente por su compra? . Si al comprar más de 4 kilos se realizara un descuento de[ 10%, Zcuánto deber'r,a pagar cada cliente? b. Un pastelero compró 121. kg de chocolate a $65,5 el kilo para elaborar bombones. . iCuánto pagó por el chocolate que compró? . Si el kilo de bombones cuesta $82, ¿cuántos kilos de bombones necesita vender para recuperar e[ dinero invertido? 80. Calculen e[ perímetro de las siguientes figuras. a.b áb- : 3,85 cm b-c : 5,25 cm I :r a \E - (É . r,r)' = d.0,2+ 18.3= e. ldFr5rTFl2.Z-tr= f.(iF+0,5,) :!5-1: c 0,32. s. (\ñF4 * r/0,09)'- (o,t . resuelvan. a. En una heladería, un kilogramo de helado 76. Completen con ), ( o = según conesponda. a. 78. gscdban e[ número que verifica el oálculo. b. ñ:2,75 cm b + Lr) = C. áE : 4,08 cm ac=+.abcm "4. 85. 81. Respondan. a. Sabrina multiplicó un número por 10, luego lo dividió por 13 y el resultado que obtuvo fue f. iCuál es el número? b. A otro número to dividió por 100, [e sumó 50,5 y obtuvo 100. iDe qué número se trata? Lean atentamente cálculo que permite resolyer el problema. En el año 2005, una escuela tenía 600 alumnos en su matrícula. Si en el 2013 la matrícula aumentó en un 15olo, icuántos alumnos tiene ese año? a. 600 . 82. Completen la tabla. y marquen con una X el 1,15 b.600+600.$:roof.l c 600.15 :100 d. 600 . 0,85 86. Respondan. a. El 4Oo/o de una cant¡dad es 1 500. iCuál es esa cantidad? b.El75"/" de cierta cantidad es 6000. iDe 83. Resuelvan. a Antes de llegar a su destino, un avión realizó dos escalas. En la primera descendieron 35 personas, en la segunda 50 y 775 llegaron al destino final. iQué porcentaje descendió en cada escala? ZY en el lugar de destino? b. En un curso de 36 alumnos, 3 no asistieron el lunes a la escuela, iqué porcentaje de asistencia hubo ese día? c Si durante el mes de abril llovió 6 días, icuál es el porcentaje de días de lluvia? qüé cantidad se trata? c. 5i el 725"/" de una cantidad es 120, icuál es esa cantidad? LY su 25o/o? d. El2OYo de cierta cantidad aumentada en 75 es 29. iCuál es esa cantidad? e. El30% de cierta cantidad, disminuido en 26 es igual a 22. LCUá| es esa cantidad? f. El 50% de una cantidad, multiplicado por 3 es 141. iCuál es esa cantidad? 87. verifiquen que a todos los precios se les haya realizado un 20% de descuento. Coniian los precios inconectos. d. Un equipo de música se vendió con un !2o/o de descuento a $t331,6o. iCuál es el precio sin descuento? e. En un recital, se vendieron 624 entradas de un total de 780. iQué porcentaje de entradas quedó sin vender? 84. Calculen mentalmente. a.7Oo/o de 140. b.7OVo de 55. c d. 20"/" de 90. 2oo/o de 300. e.25o/o de 1000. f.25Y" de 80. g. 5Úo/o de 88. h.50% de 1350. i.75o/o de 100. i. 75"/" de 1200. k 75Oo/o de 64. L 150o/o de 1300. 88. Resuelvan los calculos combinados. a.7o"/o de $sao + 3.5o/o de $rze b. 772"/o de $53 50% de $47 = c : - 36"A de $54 + : de $+g d. 75o/o de $81 + 9Oo/o de $142 = e. 32o/o de $6s - 72"/" de $73 = 2Oo/o AuroEvALUAclón¡ 89. a. 90. Representen en la recta numérica. t; {r;0,5; oJ; o,7s tE=r---r E=T y la otpresión decimal que corresponde en cada caso. Escriban la fracción ineducible '^4, 9t Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan. a La suma entre la raíz cuadrada de 0,64 y el cuadrado de ]. E E E E b. La diferencia entre la raíz cuadrada de &, l^ raíz c(tbica ¿" &. c El cociente entre [a suma de 0,5 V f, V la raíz cuadrada de d. Et producto entre la suma ae I 92. a Lean atentamente V t,u t. ffi. raíz cuadrada de 2,56. y resuetvan. En la libreria "Pitágoras" se vendieron 120 novelas románticas durante el mes de marzo. En y en mayo, aumentó un marzo. iCuántas novelas se vendieron durante los meses de abril y mayo? abril, la venta de esas novelas disminuyó un 75o/o 25o/o respecto de b. En la misma tibreria hay un estante con libros de Matemática, Flsica y Biología. Los libros de Matemática son 32 y los de Física son 16; entre ambos representan el 60% del total de los libros del estante. iCuántos libros hay en el estante? ZCuántos son de Biología? 93. Resuelvan los cálculos combinados. " ffi:+ * ,[t a),75 - (t - 1)' = b.3 ,F* + t[¡4 z 0,42 -(+)'= E f,snrrnronr 16. Gráficos y tablas. 17. Funciones. 18, Función de proporcionalidad directa. 13. Función de proporcionalidad inversa. S¡ru¡cló¡r lilrc¡Al DE ApREf{DrzAlE 1. observen la escena y respondan. a. iDe qué depende [a cantidad de personas que podemos encontrar en cada puesto? b. Si una persona tiene $50 para comprar naranjas, Zde qué depende la cantidad que puede comprar? c. Si solo se vende fruta por kilogramo y una señora gastó $36 en manzanas, Zdónde compró? d. ZCuántos kilos de cada fruta compró una persona que gastó $39 en "Lo de Fermín"? Pueden ayudarse armando una tabla donde registren los precios de cada fruta según [a cantidad. e. Modifiquen las situaciones anteriores para que tengan una única solución. Luego, respóndanlas. MNffiHHHHHI Gráficos tablas Un sistema de ejes cartesianos está formado por dos rectas perpendiculares que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. La recta horizontal se denomina eje de abscisas (eje x) y la vertical, eje de ordenadas (eje y). Cada punto queda determinado por un par ordenado de valores, donde el prímero representa la abscisa y el segundo, [a ordenada. v 5 v 250 4 200 3 150 2 100 7 50 72345x 12345x s = (O:O) ee el orígen de coordenadas a=(1:1) 6=(2;O) 6=(O;4) p= (1:150) q= (5;2OO) Los gráficos permiten leer con mayor hcilidad los datos de una situación. El siguiente gráfico muestra la o 2 20 u variación de la temperatura a través de las horas. o En el eje x se representó el tiempo (expresado en horas) y en el eje ¡ la temperatura (en oC). e A las 13 horas se registró la mayor temperatura 18 c f T6 F e 74 U G E 72 u F Para representar estos puntos conviene tomar unidades distintas en cada eje. 10 y a las 10 horas, la menor. o Entre las 10 horas y las 13 horas la temperatura aumentó y, luego, empezó a descender. o Entre las 16 horas y las 77 horas [a temperatura 8 6 4 2 10 77 72 73 74 75 76 rr¡mpo (Er.r 77 se mantuvo constante. non¡s) Los datos del gráfico se pueden traducir a una tabla como la siguiente. 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. iEs posible representar un punto a sabiendo que su abscisa es x : b. aSe pueden usar diferentes escalas para cada eje de coordenadas? c El punto s = (2;3), icoincide con el punto b = (J;2)? 3? rlE ACTIVIDADES Gráficos y tabtas 1. Representen los puntos en el sistema de eies cartesianos. = (3;1) 6 = (2;3) ¿ c: I (6;7) d = (7;0) e = (o;9) f= s: (0;0) (9;5) h : (5;10) i : (1;6) 0 2. Escriban ( las coordenadas de cada uno de los puntos representados en el gráfico. d c ct- b: d: g= b 0 3. Representen (oü) I .:(oo) e a oo) (Do) oü) los datos de la tabla en e[ sistema de eies cartesianos. ( ( 0 lE t#."'#H',,, 4. ) completen con el par ordenado que cumple con lo indicado y luego, representen. a La ordenada es 5 b. La abscisa es 4 y su ordenada, el doble. c Un punto que se encuentre sobre el eje de y la abscisa, Z. .=(cü) o=oc) ordenadas y otro, sobre el eje de abscisas. d. .:(c'[]) a:OO) La abscisa vale la mitad que la ordenada. .=oo) e. El punto que cumple la condición anterior sty-5. 0 ) '=oo) Observen el gÉfico y resuelvan. a. Completen la tabla. 5. z F & r ) o I F qué hora la temperatura fue de 12 oC? b. aA c aA qué hora se registró la temperatura máxima? ZCuál fue dicha temperatura? 0 ro iN il ) 6. Observen el gráfico y respondan. Clara fue desde su casa al parque en bicicleta, tomó un refresco y regresó. El gráfico representa la distancía desde la casa de Clara al parque a medida que transcurrió eltiempo. a iCuántos minutos... r ... tardó en llegar al parque? . ... estuvo en el parque? r ... tardó en regresar a su casa? 'tto z I I 6 \ I b. iTardó más para ir al parque o para volver? Expliquen la respuesta. \ z I rd o TI ""1 r_E (Et MI t TIE ACTIVIDADES Gráficos y tablas 7. lean¿tentamente y respondan. Para controla¡ el sano crecimiento de su perra lndia, Abigail decidió anotar su peso durante 360 días. a. iCuánto pesaba lndia al nacer? 1; b. ZCuántos días tenía lndia cuando pesaba 3 kg? z o o c. iCuál era e[ peso de la perra a los cua- tro meses? d. iEn algún período la perra mantuvo un 0 01 02 ot 0 0i peso constante? En caso de ser afirmativo, indiquen en qué período. 0 0 \EN Observen y respondan. Una empresa registró mediante el siguiente gráfico sus ingresos de los últimos 1.8 meses. 8. u d rJ z |¡ o u z 0 ts5 a. Transcriban en la siguiente tabla los ingresos de [a empresa en ]os seis últimos meses. b. iEn qué mes se registró el mayor ingreso? iY e[ menor? ZEn qué momento del año los ingresos de la empresa descienden? Completen la tabla, sabiendo que en los cuatro meses siguientes, las ganancias de la empred. sa aumentaron $Z SOO por mes. c. e. Continúen el gráfico con los datos obtenidos en el punto anterior. f. Si en los meses 23 y 24 se registró un ingreso de $ZZ 500 cada mes, iel ingreso aumentó disminuyó con respecto a[ mes 22? Representen estos datos en la gráfica. o ffiMHHHHHHI Funciones Cada una de las siguíentes gráficas representa una relación entre dos variables. a zU o U g É I ) 72145x 200 300 400 x CANnDAD oe ¡nmón (eH e) En el grófico se relaciona la cantidad de paquetes de solchichas con su precio. Los puntos opare- cen oislados porque se usan contidades enteras (no se fraccíonan). En el grdfico se relaciona la cantidod de jamón con su precio. EI gráfico estó formodo por uno líneo recta porque el jamón se puede vender en d¡stintas cantidades. Los dos gráficos corresponden a relaciones que son funciones. ) Una relacíón es función cuando para todo vator representado sobre el eje x te corresponde un valor representado sobre et eje ¡ únio tF R NciartE6l $KE, DR euub, ?AF[ CAq,uR EL REab IE muÉB !É $aollfiiB,O qEñb6 !É fAl6rt-. iQÉ IIüERESAñÉ Et EuAE' Para una determinada cantidad (variable independiente) existe un único precio. (variable dependiente). Se dice que el precio depende de la cantidad o que el precio está en función qE w AEIÉr,lr ttttf,E A€íA(E á¡FBA TbTB ru& Bieelg6ÑI¡g$R- de la cantidad. 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Si un mismo valor de x tiene tres valores de y distintos, ise puede decir que es función? b. Si a cada valor de la variable independiente le corresponde por lo menos un valor de la variable dependiente, ies función? c. iEl gráfico de una recta siempre es función? d. La variable independiente, Zse representa en el eje horizontal? r17 ACTlvlDADES Funciones 9. Escriban tres ejemplos de relaciones que sean función. 10. Marquen una X en los grráficos que corresponden a funciones. Expliquen la respuesta. a.ce. ( 11. Resuelvan. a Completen la tabla teniendo en cuenta la medida del lado de un pentágono regular y su perímetro. ( b. Representen la información de la tabla en un sistema de ejes cartesianos. ( c. iEs correcto unir los puntos del gráfico anterior? ZPor qué? d. La relación entre los lados de un pentágono regular y su perímetro, Zes función? iPor qué? ( ffiHHHHNHHI Función de proporcionalidad dirccta Dos variables son directamente proporcionales cuando el cociente entre las cantidades es constante. El número que se obtiene al dividir las cantidades se denomina constante de proporcionalidad (k). El perímetro de un cuadrado es directamente proporcional a la medida del lado. ) 4:1=4 k*4 B:2=4 (constante de proporclonaltdaQ . Lenguaie coloquiaL el cociente entre dos cantidades . Lenguaie simbólico: y : x :4, entonces y : 4 . x correspondientes es igual a 4. fórmulo de la funclñn ) eu zU o É F U E É U I La representación gráfica de cantidades directamente proporcionales da como resultado un conjun- to de puntos alineados sobre una recta que pasa por el origen de coordenadas. ) 1. Respondan y expliquen sus respuestas. a. Si las dos variables aumentan o disminuyen, rse puede decir que son directamente proporcionales? b. En una relación de proporcionalidad directa, si una variable aumenta e[ doble, icuánto ) debe aumentar la otra? Si se muttiplica por ] ta variable independiente, Zpor cuánto se debe muttiplicar la variable dependiente para que se mantenga una relación de proporcionalidad directa? d. A partir de los datos de una tabla, Zcómo se puede identificar si se trata de una relación de proporcionalidad directa? c rlE ACTlvlDADES Función de proporcionalidad directa 12. Escriban tres eiemplos de que sean directamente proporcionales. ( 13. Marquen con una X las relaciones que son directamente proporcionales. 2 4 6 ..c b.c ".o 5 7 9 3 7 10 d.o 5 5 2 30 75 10 4 40 20 76 6 10 72 28 40 14. Resuelvan. a. Completen la tabla para que las variables se relacionen en forma directamente proporcional. Luego, representen tos puntos en un sistema de eies cartesianos' b. iCuál es [a constante de proporcionalidad? 15. observen el g¡áfico Y resPondan. El siguiente gráfico representa el precio de un postre helado según su Peso. . a Completen [a tabla. v b. Las variables, ise relacionan de forma directamente proporcional? ZCUáI es la constante de proporcionalidad? 0 HHHHmHHHT - Función de proporcionalidad inversa Dos variables se relacionan de forma invesamente pruporcional cuando el producto entre los valores que se conesponden es constante. A ese producto se lo denomina constante de proporcionalidad (k). En la eiquienÍe t abla se regietraron algunos valores que corres?onden a la base y la altrura de rectrángulos de 24 cmz de área, 2.12=24 3.8=24 4.6=24 €U zU :É F J k:24 (constonte de proporcionalidad) El producto entre dos cantidades correspondientes es igual a 24. x.Y:24,entoncesV=+. Cuando los valores de una variable aumentan, los de la otra.variable disminuyen en [a misma proporción. La representación gráfica de variables inversamente proporcionales da como resultado una curya denominada hipérbola. ) 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. En una relación de proporcionalidad inversa, si una variable aumenta aI doble, iqué sucede con la otra? b. En el gráfico de una función de proporcionalidad inversa, Zlos puntos están alineados? c. Si en una función, una variable aumenta y la otra disminuye, ise puede decir que las variables son inversamente proporcionales? d. Si et producto entre la varíable dependiente y [a independiente es cero, ae puede decir que se trata de una relación inversamente proporcional? I I5 ?fl:Ylt-tt-Troporcionaridad inversa 16. Escriban tres relaciones que sean inversamente proporcionales. ( 17. Marquen con una X las tablas gue corresponden a funciones de proporcionalidad inversa y hatlen ta constante de proporcionalidad. Luego, representen los datos de esas tablas en un siste' ma de eies cartesianos. b.n ".n "n .".i? -i{! lltr."¡: la r::4T*F d.D iri::ffi:Eryi , 1 3 2 15 2 63 4 6 3 7 3 10 3 42 7 4 75 5 5 6 9 74 10 2 'fi-'; I I ( l& Lean atentamente y resPondan. Laura está organiZando un festival de danzas árabes. Para ello, alquiló una sala en el compleio cultural plaza. Como los gastos a cubrir por el alquiter del lugar son de $gOOO, deberá cobrar la entrada en función de la cantidad de butacas que pueda ubicar en la sala. a Completen la tabla. h Las variables, &e relacionan en forma inversamente proporciona[? Si es así, escriban la cons- tante de proporcionalidad. c Representen en sus carpetas los valores de la tabla en un sistema de ejes cartesianos. lr*ffiffiffi,' CONTENIDOS 19. Representen los siguientes puntos en un sistema de ejes cartesianos. a = (2;6) c:(5;18) d:(7;74) b = (6;0) lE.l7.lE.lg mmmm e:(8;9) f:(72;5) 20. Observen e[ gráfico y escdban las coorde- 22. Resuelvan. a. lndiquen cuál o cuáles de los siguientes puntos están bien representados en eI sistema de ejes cartesianos. a : (2;7) c: (7;7) e : (7;3) b:(5;6) d:(7;2) f:(8;6) nadas de cada punto. e e b c d d b ) a 0 0 21. Ubiquen el vértice que htta para que se b. Representen correctamente los puntos mal forme [a figura indicada en cada caso. ubicados. a. Cuadrado. 23. Lean atentamente y respondan. Una enfermera registró la temperatura de un paciente en e[ siguiente cuadro. d a 0 b. Romboide. a c a Representen los valores de la tabla en los ejes cartesianos. b. ZLa relación es función? Expliquen [a respuesta. c ZSe pueden unir los puntos del gráfico? iPor qué? 2/l. 0 c 0 ZLas soluciones son únicas? Si no lo son, indiquen otra posibilidad. Escriban ejemplos según la condición. a. Dos relaciones directamente proporcionales. b. Dos relaciones inversamente proporcionales. c Dos relaciones no proporcionales. Cuso:- Feth¡:-/- 25. 28. Resuelvan. a Completen [a tabla para que sea una función de proporcionalidad directa. lndiquen la constante de proporcionalidad. b. Representen los datos en un gráfico cartesiano. Resuelvan. Héctor, el dueño de una estancia, se irá de vacaciones por 74 días y deja a Úrsula a cargo de sus cinco caballos. Respetando la dieta indicada por el veterinario, la cantidad de alimento que le deja alcanza para esas dos semanas. a. Si antes de irse, Héctor trae dos caballos más, pero no agrega comida, ipara cuántos días alcanzará? b. Si solo hubiera dos caballos para alimentar con la misma cantidad de comida, apara cuántos días alcanzará e[ alimento? 26. tean atentamente y c ila resuelvan. relación es una función de proporcionalidad directa o inversa? d. Completen la siguiente tabla de acuerdo con [a información anterior. Para el cumpleaños de Julia, su mamá está preparando un gran bizcochuelo y necesita tres sobres de preparación. cnsAffiq 3 cucharadas de leche tibia. 2 huevos. 5 cucharadas de agua. 200 g de manteca derretida. a. ZQué cantidad de cada ingrediente necesita la mamá de Julia? b. Las variables Zse relacionan en forma directamente proporcional? Si es asÍ, indiquen cuál es su constante. e. Representen [a información de la tabla en un sistema de ejes cartesianos. 29. lndiquen si las siguientes relaciones son rectamente proporcion ales (DP), inversamente proporcionales (lP) o no proporcionales (NP). di a 27. Resuelvan. Gabriel compró las entradas para él y sus cinco amigos, para asistir a un recital. e Si pagó $9oo por las seis entradas, Zcuánto dinero le tiene que dar cada b. Completan la tabla. La cantidad de harina y de pizzas que se pueden hacer con .,,u.f-] b. La cantidad de agua para regar una planta y su crecimi.nro. amigo? [-l c- La cantidad de agua que arroja una manguera por minuto y el tiempo que tarda en llenar una piscina. d. La superficie representada de una provincia en e[ mapa y tos kilómetros cuadradoi que abarca dicha provincia dentro del territorio c ZCuál es [a constante de proporcionalidad? ü Representen la información en un gráfico. nacional. t-l AuroEvAruActóru 30. Observen el gáfico y respondan. Mariana realizó una excursión a las termas de Cacheuta. El siguiente gráfico representa la excursión desde que partió del hotel hasta su regreso, en función del tiempo. a. ZCuántas horas estuvo fuera del hotel? b. iCuánto tiempo estuvo en las termas? c. ¿A cuántos kilómetros del hotel se encontraban las termas de Cacheuta? d. iRea lizaron alguna parada en el camino? ) ¿A la ida o a la vuelta? e. ¿Cuántas horas duró el viaje de regreso? 31. Resuelvan. Pablo tiene varias peceras con forma de prisma. Todas miden 40 cm de largo y 20 cm de ancho, pero distintas alturas. La primera mide 60 cm de altura; la segunda 50 cm y la tercera, 70 cm. a il-a altura de cada pecera y su volumen son variables directamente proporcionales? iPor qué? ) b. ZCUáI c Completen la siguiente tabla y luego representen la informacíón en un sistema de ejes cartesianos. es la constante de proporcionalidad? ZCuál es la variable independiente? iY la dependiente? I I 32. P¡ensen y resuelvan. En la reunión de consorcio del edificio de Ana, decidieron cambiar la decoración delftente. El costo de I la reforma es de $Z fOO y será dividido entre todos los propietarios. I a. Si en total son 14 los propietarios, Zcuánto dinero deberá abonar cada uno? iY si fueran 30 propietarios? I b. Las variables, i ¿se relacionan en forma directa o inversamente proporc¡onal? lndiquen la consproporcionalidad. tante de I I L t c Completen la tabla teniendo en cuenta la información de los ítems anteriores y representen los puntos en un sistema de ejes cartesianos. f,onrrnruns Z!. Ctasificación de los cuerpos. 21. Potiedros regulares. E!. Desarrollo plano de cuerpos. EJ. Punto, recta y plano. Sm¡eoór r¡rrcrrl DE APREIDIZAIE 1. Observen [a imagen y resuelvan. a El siguiente texto tiene datos incorrectos. Léanlo atentamente y escríbanlo como corresponde. La gaseosa tiene forma de rectdngulo; el helado, de triángulo y la pelota, de círculo. Esta últi- ma es una figura que rueda, por lo tanto su superficie no es plana. b. iQué errores encontraron? c La cajita de jugo, ies una figura o un cuerpo? ZQué forma tiene? d. Comparen e[ texto que escribieron con el de sus compañeros. nHErywwrymr Clasificación de los cuerpos Los cuerpos se clasifican en: . Poliedros: tienen todas sus caras planas. Prisma: sus cans latentes son panlelogramos y sus bases son potígonos panletos. . PiÉmide: todas sus caras concurTen en un vért¡ce, excepto una que es [a base. Redondos: tienen a[ menos una cara no plana. circunferencias máximas L ) y expliquen las respuestas. Un cubo, ies un prisma? Respondan a b. ZQué figuras geométricas son las caras laterales de las pirámides? c iQué cuerpos tienen una sola cara plana? d. Las caras laterales de todos los poliedros, ison paralelogramos? rt I t#il?ilJ.''." los cuerpos -)at 1. Unan con flechas, cuando sea posible. o Prisma r Pirámide o Cilindro o Cono o Esfera 2. gscriban los nombres de los cuerpos que forman los siguientes objetos. a. c. e. ( ffi ( b. d. g ffi ( HETWffiWWWi Poliedros regulares Se llaman poliedros regulares a aquellos en los que todas sus caras son polígonos regulares iguales. Existen solo cinco poliedros regulares. ) Tetraedro Cubo Sus caras son cua- Sus caras son seis Sus caras son tro triángulos equi- cuadrados iguales. ocho triángulos láteros iguales. Octaedro equiláteros iguales. ?Eb gtrpg tpt\ tog TSUbS \g5.ong,r. 'Un eoi'lo\€CíA Q¡l¡elbRqutAR ) b&ugTaEr\ ToStl9 Dodecaedro Sus caras son doce pentágonos regulares iguales. ) En cA$s\q[E$... lcosaedro Sus caras son veinte triángulos equiláteros iguales. todo poliedro se verifica la relación de Euler. (+\/=[+ I C: cantidad de caras V: cantidad de vértices A: cantidad de aristas ) 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Un prisma de base cuadrada, ies un poliedro regular? b. iTodas las pirámides son poliedros regulares? c. Las caras de una pirámide regular, Zpueden ser triángulos isósceles? d. La relación de Euler, ise puede aplicar a los poliedros no regulares? I tl 3. i:1,'Jl*"3u,ares Marquen con una X los poliedros *c ur0 4. regulares. "D ".c a.! f.o Unan con flechas cada cuerpo con el número de vértices que tiene. a Cubo b. Tetraedro c Octaedro d. Dodecaedro e. lcosaedro I c$ o2O CI¡ ¡15 ( o72 r$ 5. Completen la tabla y verifiquen la relación de Euler. Cubo ( e A Tetraedro I A @ @ ( SgEBgW Desarrollo plano de cuerpos El desanollo plano de un cuerpo es la forma del cuerpo cuando se lo desarma. ¡ I El desarrollo de un cuerpo permite conocer las figuras que lo forman y también, construirlo. Para ello, es necesario agregarle al desarrollo del cuerpo solapas en algunas de sus aristas para poder doblarlas y pegarlas uniendo las caras. I 1. Respondan y exptiquen las respuestas. a. El desarrollo de un cubo, ipuede tener más de 6 cuadrados? b. El desarrollo de una pirámide de base triangular, ipuede tener rectángulos? c E[ desarrotto det cono, Zes igual al de] cilindro, pero con solo un círculo de base? F F* H r tt igyl3il3'0i"," de cuerpos 6. Completen la tabla. 7. lndiquen el nombre del cuerpo al que peÉenece cada desanollo. a. 8. c. e, Marquen con una X el desanollo conespondiente al siguiente cuerpo. '.o ..o bc# do til 9. ACTIVIDADES Desarrollo plano de cuerpos Marquen con une X cl nombrc de los siguhntes cuerpos teniendo en cuenta su desanollo. b. ) f'-l e,im, de base triangular. f-.| Prisma de base cuadrada. fl ) eirariae de base cuadrada. 10. f-l tr,r,n. de base triangular. [-l tr'rr. Prisma de base cuadrada. ü ü ei,ariae de base cuadrada. Respondan teniendo Gn cuenta quc de base triangular. Prisma de base cuadrada. Pirámide de base cuadrada. cl cutfpo está formado por cuboe i¡uelcs y se pintó de viohta tod¡ la superllcie. a. iCuántos cubos forman el cuerpo? b. iHay algún cubo que tenga todas las caras pintadas? ) c iCuántos cubos tienen solo dos caras pintadas? d. iHay cubos que tengan la mitad de sus caras pintadas? iCuántos? e. iCuántos cubos más debefla tener el cuerpo para que queden cuatro cubos con solo dos caras pintadas? ¿Dónde los ubicarían? ) 1L ) Marquen con una X los prism.s quc conesponden al siguiente desanollo. ".o "o b.D d.o rtt tffim*decuerpos lil. Completen con las caras que faltan para obtener el desanollo del cuerpo indicado. Luego, copien los desanollos y armen los cuerpos. ¡. c Cilindro. Prisma de base hexagonal. d. Cubo. b.Prisma recto de base triangular. 13, Conshuyan un octaedro regular y numeren sus cafas como se muestra en la imagen. Luego, desarrollo que conesponde al cuerpo que armafon. marguen con una lel w ".oA .o MENIEIGTnlA La caja en la que Martín guarda sus ahorros tiene forma de prisma rectangular. Si decide pintarla de modo que dos caras que tengan una arista en común no queden pintadas con mismo color, icuántos colores diferentes necesita como mínimo? e l( L*J L*J i-J,*J t*i tJ t ilJ Punto, recta y plano En el siguiente prisma se pueden obser- var los tres elementos fundamentales de la geometrÍa del espacio: plano (u), recta (A) y punto (b). Cada cara del cubo representa una porción de un plano, las aristas son segmentos ) de rectas y los vértices son los puntos donde concurren tres o más aristas. En e[ siguiente cubo, las rectas A, B y D son coplanares porque están incluidas en un mismo plano. Las rectas coplanares pueden ser secantes (tienen un punto en común) o paralelas (no tienen puntos en común). DyCsonoecanles. Ay ts eon Varalelas. ) Las rectas secantes pueden ser perpendiculares (se intersecan formando cuatro ángulos rectos) u oblicuas. ts y C eon perpendicularee. Ay ) D son oblicuas. Si dos rectas no están incluidas en el mismo plano, se denominan alabeadas. D y Eson alabeadae. 1. Respondan y expliquen las respuestas. ) a. iCuántos puntos determinan una única recta? b. iCuántas rectas pasan por un punto? c. Dos rectas paralelas, ipueden tener puntos en común? d. Dos recías alabeadas, Zson perpendiculares? L r tl ffiil:'l?,:"p,ano 14. ttarquen con unaX las opciones a. Por un punto pasan... [-l [-l f-l b. conectas. Dos rectas perpendiculares... [-l O [-l ,non'r.s rectas. un, sola recta. ,oto dos c rectas. d. Dos rectas paralelas... ,on secantes. no tienen puntos en común. torrun cuatro ángulos de 9oo. Dos rectas alabeadas... f-l ,on secantes. C [-l no tienen puntos en común. [J no tienen puntos en común. pu.o.n ser alabeadas. f-l ron perpendiculares. 15. son paralelas. Nombren dos rectas gue cumplan las condiciones indicadas en cada caso. ( a. Dos rectas perpendicutares. b. Dos rectas paralerus.f-l C tO yO yO d. Dos rectas oblicu.r.O yO e. Dos rectas alabeuaur.f-l vC c Dos rectas secantes.[-l I I I ¿¿------- I 16. Pintcn con el cdor indicado. a Azub dos planos paralelos. b. Roio: dos planos perpendiculares. c Vcrde dos plaños oblicuos. I ( lnrsEHAElún 17. filarquen una X donde conesponda. ffi t0.el.tt.t3 según conesponda. a. Las pirámides tienen un solo vértice. b. Todos los poliedros son prismas c. El cono tiene un solo vértice. El cuerpo está compuesto por: [-l un cuuo. C c ) o Un prisma de base rectangular. Una pirámide de base cuadrada. Una pirámide de base triangular. o F (rabo) 18. Completen con V (Verdadero) [-') C [-l d. La base del cono es una circunferenci". O e. Un prisma de base pentagonal tiene cinco aristas. [-l 19. Compteten teniendo en cuenta la relación de Euler. b. a Un poliedro regular que tiene 6 caras, ces y Ouristas 8 véfti- es un tiene 12 caras, vértices y 30 aristas. E[ cuerpo está compuesto por: Un cubo. c. Un poliedro que tiene [-l caras, 6 vértices y 12 aristas recibe el nombre de Un prisma de base rectangular. Una esfera. Un cilindro. d. Si un poliedro tiene 4 ..r.r, f-l vértices y 6 aristas es un Un cono. 20. Verinquen si se cumple la relación de Euler en los siguientes cuerpos compuestos. a. El cuerpo está compuesto por: ) C rr prisma de base triangular. fl unu pirámide de base rectangular. O ur prisma de base rectangular. O rr cilindro. [-l un. esrera. b. 21. Marquen con una X el desanollo que conesponde a un cubo. '.o b.o 23. Completen con ll (paratelas) o I (perpendi- culares). Pueden ayudarse realizando los gráficos. a. A ll B; B llC, entonces O C a. b. A llB; B I C, entonces oO a. c. A l- B; B ll C, entonces OO a. d. A l- B; B I C, entonces OO a. e. A llB; B l- C; D llC entonces OO f. A -l- B; B I C; C l- D, entonces O O ( o. O. 24. Dibujen en sus carpetas dos rectas que cumplan con las condiciones indicadas en cada caso. a. Que dividan el plano en cuatro regiones. b. Que dividan el plano en tres regiones. c Que dividan el plano en dos regiones. d. ZCómo son los pares de rectas trazados en cada uno de los casos anteriores? "o 25. Realicen en sus carpetas un gráfico que cumpla con las siguientes condiciones. AllB; d.o ( 26. cI& D-tBvEllD Copien en sus carpetas los siguientes cuer- ( pos y pinten en cada uno de ellos un par de planos que cumplan con las condiciones indicadas. a. ü y p son perpendiculares. t I ¡ -¿----t22. Escriban rectas que cumplan con las condi- ciones pedidas en cada caso. b.eyDsonoblicuos. c. a. Tres rectas paralelas. b. Un par de rectas paralelas. c Un par de rectas perpendiculares. d. Dos pares de rectas oblicuas. TE I y y son paralelos. ( AuroEvALUAclón 27. Completen. a.Unapirámidede6carastiene[lvérticesysubase",unE h Un pdsma de 8 caras c Un prisma de 10 vértices tiene 2& Compteten la tabla. 29. trtarquen con una tiene[-l afistas y su base es un [-l .urm y su base es ) X los desanollos que corresponden a este cuerpo. *c ""o ) u!-+ af$ !10. Marquen con una X la opción que representa las siguientes relaciones entre rectas. AllB,All cyDLc a.b.c.r f,nnrsnrons ill+. Sistema sexagesima[. Operaciones. 35. Ángulos complementarios y suplementarios. 3[. Ángutos adyacentes y opuestos por e[ vértice. 37. Mediatriz de un segmento y bisectriz de un ángulo. Srrutclót t¡uctAt IrE ApRE¡rDrzAlE 1. Observen [a imagen y resuelvan. a. iDónde rebotará la bola violeta si se le pega con la blanca en el centro? Dibujen [a trayectoria que hace [a bola blanca hasta pegar en [a violeta y [a trayectoria de la violeta hasta tocar [a banda. b. iDónde ubicarÍan [a bola blanca para que haga entrar a [a violeta en un agujero? Dibujen las trayectorias como en el punto anterior. c Comparen e[ ángulo que forman las dos trayectorias de la bola violeta con el que forman las trayectorias de la bola blanca. d. Comparen las respuestas con sus compañeros. Md I k# SÍstema sexagesimat Operaciones El sistema sexagesimal se utilíza para escribir medidas de ángulos. En este sistema, si se divide un giro completo en 360 partes iguales; cada una de esas partes se denomina grado. para ángulos menores que un grado se utilizan e[ minuto O y el segundo ('). 10 . : 60' Un grado equivole o 60 minutos. Adición de dos ángulos. 19' * 48" 65o 35' 113" 54' . = 60" 107. 67" 41', 95" 35" . Multiplicación de un ánguto por un número natural. 17" 51'z 5" ,¿ 510 153', 15" ,o-azo' -+ 2 veces 6o' /\=-/ 530 33' 92' ,pú ¿y{ 40" st" 47" 51' 4" al E g¡sÉrA Hlgsh,|At €oN Hur im*nÉ lcÉ gflDcÉ. tR EüüPtDr Utl ffiltD FqnA^É A 6 lt¡rrJÉÉ... éqÉtE IÉCíg? qE ei [Ag¡AlGtÉ, ffib6,ltoY €do $É, * lJn minuto equivale a 60 segundos. Sustracción de dos ángulos. 42" 52" 1' 113" 55', 7' iñIffiA n qgtgtcfñr€srúcA... . División de un ángulo por un número natural. 86" 17' 12" | 2 86" 16')60" 43" B', 36" 1'/ - o"/-(-+72" 72" 15" o') 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. iPor qué se llama sexagesimal aI sistema para la medición de ángulos? b. zcuát es el procedimiento para encontrar el equivalente a l.5o en minutos? c. ZCómo se pasan 72OOO" a grados? d. La suma de dos ángulos, Zes correcto escribirla como 12o 65, 7g"? Cuno:- Fecha:-/_ It t+ tfl'*:T.t.:ses¡mat. operaciones 1. Expresen en segundos. =f-l a.23' b.20: 2. : t-l d. 3' 4o'= t-l c 1Oo 3' Expresen en minutos. a. 360": b. 450 .-3o2'=D d. 15o : f-l f-l !20" = Unan con flechas las operaciones que dan el mismo resultado. e 32o 25' a. 43o 75' + 27o 35' = 3. : b. 79" 20' c.732o 40' ;3 = d. 1304o 10' : 8 = 740 30', 4. Escriban el cálculo 77o . . 78o 30" + 85o 45" 3' 20" 87o 20'10" - = 43" : 6'50" = y resuelvan. a. El doble de [a suma entre b. .2: .4 o 15o 35' y 36" 42'. La diferencia entre la tercera parte de 7260 45" y 32o 7'. l c La suma entre [a mitad de 47" d. El cuádruple de 650 23'menos 23o 45". 5. 34'y el doble de l 26o 56" Completen para que se verifique la igualdad. ". D b. 1650 40'30' = *D = + 35o 5o' c. 27o ro" o. 73o 5' f-l] t.D t[-l ". 779o 77' 6. Completen. tn.oo *O a. ¡o' rs" 7200 57' 5" b. 840 40' oo"fl O 30" o 37' 2e" c. 35o O.2 30" C3r'O d. 7730 C *.0' t* o'l O ,u' z 4 : 43o 10' 30' = 26307'75" .4:r6eo22' ( iri I jl it." JÍ ;i,.il ,i¡t,:1rr il",¡l- ji Ángutos comptementar¡os y suplementarios WW Para nombrar un ángulo, pueden utilizar una de las siguientes formas: aob, se escribe el vértice en e[ medio; 6, se escribe solo el vértice; 0, se escribe una letra griega. Los ángulos se clasifican según su amplitud en: nulos (miden 0o), agudos (miden más de Oo y menos de 90o), rectos (miden 90o), obtusos (miden más de 90o y menos de 18Oo) y ltanos (miden lgOo). . Dos ángulos son consecutivos cuando tienen el vértice y un lado en común. Dos ángulos son complementarios Dos ángulos son suplementarios cuando suman 90o. cuando suman 1800. --¿k_ i y d son complementarios i d es et complemento de d. es et complemento de f. 5i Q mide75', enfoncee &. mide 15', porquef+&=90'. ?orque 90" ) - 75' = 15'. Py6solsuplementarios RorqueB+6:1800. B es el suplemento de 6. n'n 6 es el suplemento de $. 5i ^/\ B mide75',entonces 6 mide 1O5', ?orque 1BO' - 75' = 1O5'. 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Si dos ángulos suman 9Oo 7', rson complementarios? b. Si A y B son suplementarios, ise puede asegurar que d : c. aSe puede calcular el complemento de un ángulo obtuso? d. ZCuánto mide el suplemento de un ángulo recto? B? I tS iflL1l?^S"Tprementarios y suprementarios 7. Coloquen ( ) o =, según [-l b. Suplemento de 1560. (-l a. Suplemento de 1300. c Complemento de 4t". C d. Suplemento de 166o 56'. corresponda. Corptemento de 10. Supt.rento de 745.. 30'. Suplemento de 135o. O Complemento de 78o 45". 8, Marquen con una X los ángulos consecutivos. ".o JP b.o L d.o \ 9. Ptanteen las ecuaciones, resuelvan e indiquen el valor de cada ánguto. c. Datos: a. Datos: 0=3x+10o 0=2x+35o d y fi .on complementarios. á:4x-1oo a:( 10=D e=f-] b. Datos: d. Datos: 6:5x+1000 0 y 6 son suplementarios. t=+^ ff:zx-too ft,=3x+96" á:8x-4Oo fi=D6:D 6: ?= [-] ,^ = V v [-l 10. Planteen las ecuaciones y resuelvan. a El complemento de un ángulo, dismínuido en 30o, da por resultado 21.o. iCuánto mide el ángulo? b. La suma entre el complemento de un ángulo y el suplemento es igual a su doble. ZCuánto mide el ángulo? NHHHHMHHI Angutw adyacentes y opustos por et vértÍce - &rguhÉ a{¡acents Dos ángulos son edyacentcs cuando son consecutivos y suplementarios. d*fi=139o Angubs opuestos por et rÉrtice Dos ángulos son opucstos por el vértice cuando tienen el vértice en común semirrectas opuestas. y sus lados son 0 y $ ton opuestos por el vértice. ft y f son opuestos por el vértice. Los ángulos opuestos por el vértice son iguales. F li ." [ñl*a=1800 : liJ. a 180. &nseristus \- itr'flcffi!-' ECIIIú',E gHf qrÉ -rmsr tsr¡AB 'mflti- Respmden y expliquen las respucstas. e Si dos ángulos tienen un lado en común, ison adyacentes? b. iTodos los ángulos adyacentes son suplementarios? Los ángulos opuestos por el vértice, isiempre son suplementarios? d, iTodos los ángulos suplementarios son adyacentes? e. Si dos ángulos miden lo mismo, ase puede asegurar que son opuestos por el vértice? c rtE ACÍIVIDADES Ángutos adyacentes y opuestos por e[ vértice 11. Completen la tabla teniendo en cuenta el gráfico. ( 12. Escdban las ecuaciones, resuelvan y calculen el valor de los ángulos dados. Datos: d, = 2x - 18o c a. 2oo / 0=[-l ft=[-l b. Datos: d. Datos: 6:3x+33o 6=8x-47o 6:3x-13" f:f-+75o).4 6=fl \ t,=2.(zx+5o) ^:77x- , '=s*-t; a=f-l Datos: a=D ? : f-] ,/ )K a=D 6=f:_l 13. Tncen un par de ángulos que cumplan con las condiciones indicadas en cada caso. b. Que tengan el vértice en común a. Que tengan un lado en común y no sean opuestos por el vértice. y no sean adyacentes. ( ( HHHWHMHMI Hiaüiz de un segmento y bisectriz de un ángulo nediúiz de un segmerrb La mediatslz de un segmento (Mz) es la recta perpendicular gue pasa por su punto medio. Los puntos de la mediatriz equidistan, es decir, están a la misma distancia de los extremos delsegmento. Para trazar la mediatriz pueden seguir estos pasos: 1. Se apoya el compás en uno de los extremos del punto medio detAE segmento con una abertura mayor a la mitad del segmento y se traza una circunferencia. 2. Se repite el procedimiento apoyando en el otro extremo del segmento, con la misma abertura. 3. Se dibuja la recta que determinan los dos puntos de intersección de las circunferencias. ¡liseüiz de un ángulo La bisectriz de un ángulo (Bz) es la semirrecta que lo divide en dos ángulos iguales. Los puntos de la bisectriz equidistan de los lados del ángulo. Para trazar la bisectriz, pueden seguir estos pasos: 1. Se clava el compás en el vértice o y se traza un arco que corte a los dos lados del ángulo. 2. Con la misma abertura se apoya en o y se traza un arco; luego, se apoya en b y se traza otro arco que corte el anterior, por ejemplo, en p. 3. Se dibuia la semirrecta oÉ, qu. es la bisectriz del ángulo. L ) Respondan y expliquen las respuestas. a. iCualquier recta perpendicular a un segmento es su mediatriz? b. La bisectriz de un ángulo, ilo divide en dos ángulos consecutivos? c iSe puede trazar la mediatriz de una recta? d. aSe puede dividir un ángulo en cuatro ángulos iguales utilizando la bisectriz? e. iSe puede trazar la bisectriz de un segmento? ru7 ACÍIVIDADES Mediatriz de un segmento y bisectriz de un ángulo LLL 14. Tracen la bisectriz de cada uno de los siguientcs ángulos. a' f "1 L 15. Tracen la mediatriz de cada uno de los siguicntes segmentos. a. b. ( 16. Resuelvan. a. Tracen la mediatriz del ab. Llamen o al punto medio del á5'. b. Marquen el punto c sobre [a mediatiz. c Tracen la oñ, bisectriz del c6b. d. Tracen la oi, bisectriz del m6b. e. Completen con las medidas de los ángulos I obtenidos. a6c:t-l m6a:f-l '6t =f-l .6, =D 17. Completen el rt teniendo en cuenta las indicaciones en cada caso. b. La recta M es la mediatriz del segmento que a. La recta R es mediatriz del rt. representa la mitad del ñ. F menteACflVA de fn",:J,:'.T :;:H;-gmento I ( 7'5 cm en cuatro sesmentos iguales usando solo er compás ( I coilTEHTDOS TEEHAEIEN 18. Resuelvan. a. Tracen un par de ángulos opuestos por el vértice y un par de ángulos adyacentes. b. Tracen las bisectrices de cada uno de los ángulos del ítem anterior. c. Completen las siguientes oraciones teniendo en cuenta los gráficos realizados. r Las bisectrices de los ángulos opuestos por #i'e5-tE.t7 20. Elijan un par de los siguientes ángulos de modo que cumplan con la condición indicada en cada caso. 0= 28o 30' F = 77" 30' 151o 30' 0 = 18o 30' a. La suma es un ángulo obtuso. b. Son ángulos suplementarios. c. Son ángulos complementarios. 6: el vértice forman un ángulo 21. Tracen un par de ángulos que cumplan ¡ las condiciones indicadas en cada caso. a. Un par de ángulos complementarios no Las bisectrices de los ángulos adyacentes es- con tán incluidas en rectas consecutivos. o Las bisectrices de los ángulos adyacentes b. Un par de ángulos suplementarios no consecutivos. forman un ángulo 19. Calculen los ángulos indicados. a. Datos: oñ bisectriz. c. Un par de ángulos opuestos por el vértice y complementarios. d. Un par de ángulos adyacentes e iguales. e. Un par de ángulos opuestos por e[ vértice y suplementarios. 22. Escriban la medida de cada uno de los ángulos indicados. a. El suplemento de 73Oo 25' - !2o 50'. b. El complemento de 35o 30" .2. c Elángulo adyacente al que mide 72o +75o 75'. d. Cada uno de los ángulos que se obtienen al trazar la bisectriz del ángulo que mide 733o 40'. e. El ángulo opuesto por el vértice al que mide 145o 20' - 37o 5O'. t-r v: r-l B= cf,= b. Datos: 23. ¡n cada caso, tracen el ángulo a6b do que oñ es bisectriz del mismo. RI5 b. t-l 6: t-l lt: Q= g= t-l f'-l Curso:- Fecha:-/- sabien- I 24. Planteen la ecuación e indiquen los valores de cada ángulo. a Datos: 25. Marquen una X donde conesponda teniendo en cuenta el siguiente gráfico. Datos: é:3x-3o RJ-S F:5x+2o oñ es bisectriz del &. ñi bisectriz. b. Datos: 6=6x ft,=2x+50" T mediatriz del á6'. c Datos: á=4x-1Oo F=5x+28o 26. Resuelvan. Datos: 6"22=77o m6t = 45o oi bisectr¡z de 0. oñ bisectriz de &. d. Datos: ft,=3x-76o 6: oñ 5x + 40o bisectriz cr, c&*fi b.p d.0:z a l- ".fi*á, f.0-a AuroEvAruAcrótr 27. escriban el cálculo y resuelvan. a b. La mitad de la diferencia entre el El doble del complemento de 34o 25' suplemento de 12o 70' más la tercera parte de 158o. y 560 34'. 28. Completen con'a veces', *siempre" o "nunca', según corresponda. a Si dos ángulos son suplementarios, entonces son iguales. b. Si dos ángulos son adyacentes, entonces son obtusos. c El complemento de un ángulo de 120o es el ángulo de 60o. d. Si dos ángulos son suplementarios, entonces son rectos. e. Dos ángulos adyacentes son suplementarios. 29. Planteen la ecuación e indiquen la medida de los ángulos indicados. Datos: fr bisectriz d=3x-10o 9:x*4oo o p: o x: 30. Tncen la mediatriz conespondiente al 16 y h c bisectriz del t. ct: 6= o o r r J f,onrenlnns Triángulos. Elementos y propiedades. Construcción de triángulos. Cuadriláteros. Elementos y propiedades. Construcción de cuad riláteros. Círculo y circunferencia. Elementos y propiedades. Construcción de circunferencias. Potígonos. Construcción de polígonos regulares. f II f J t- l I --:' tl k 54 & 4: I!4 Strunclór¡ tiltctAl DE ApRENDtzAIE 1. Observen la imagen y resuelvan. a- ZEn qué objetos se pueden identificar figuras de tres tados? Zy de cuatro lados? b' ZHay algún objeto en el que se pueda identificar una figura que tenga todos sus lados iguales? c' Modifiquen las preguntas anteriores para que las respuestas sean únicas. Luego, respóndanlas. d. Comparen con sus compañeros las preguntas que realizaron. k# j rr# t Hl Triángulos. Etementos y prop¡edades - Los triángulos se clasifican según sus lados en: Los triángulos se clasifican según sus ángulos en: . Escalenos: todos sus lados miden distinto. . lsósceles: tienen a[ menos dos lados iguales. . Equiláteros: todos sus lados son iguales. . Acutángulos: tienen tres ángulos agudos. . Rectángulos: tienen un ángulo recto. . Obtusángulos: tienen un ángulo obtuso. |[ reOEqEüIiÁI En todo triángulo se cumplen las siguientes propiedades: E¡üt$' ef,aNoub blbq)EmtE$lo h-c es la altura. E¡ HM{frCA-. VA6AiTETR ullGnüuR ivsnaams, . ESIIEb o La medida de cada lado es menor que la suma de los otros dos. áb-<ñ*ca bc<ca+ab ca<áT*61 . La suma de los ángulos i4teriores es igual a 180o. . La suma de los ángulos exteriores es igual a 360o. R¡rt'Eb...? á*t*t:reo" t*0*&:¡eo" . . Cada ángulo exterior es suplementario con el ángulo interíor correspondiente. AA a+c,=1800 ii*fi =139" t*f=139' Todo ángulo exter¡or es igual a la suma de los dos interiores no advacentes. e=d;t-- 0:a-t f=á*t' Dos triángulos son iguales cuando al superponerlos coinciden en todos sus puntos. 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Un triángulo obtusángulo, ipuede tener un ángulo menor que 90o? b. iSe puede construir un triángulo cuyos ángulos interiores midan 35o, 27o y c Un ángulo exterior, Zpuede medir más de 1800? d. ZEs posible construir un triángulo equilátero rectángulo? 7780? I tE +ffiffi5,.*.ntos y propiedades L Calculen las medidas de los lados y de los ángulos que faltan. a El abc es isósceles y rectángulo. b. El def es obtusángulo e isósceles. 2 Calculen la medida de los ángulos teniendo en cuenta las propiedades. Datos: Datos: c ¡. á=7x+3" b=95"-2x t,:4x+37o L. Datos: 6=77" d = 4x- 8o f = 6x- 350 *=t"-39'-'\-¡{\ 9:7x- 47o 0=26o+3x ü Datng; ---d=90' j:2x+7" k:80+3x MHH MHMHHI Construcclén de trlángulos Conctrucclón de un Húngruto dados sus ücs lados Datos: á5 = 4,5 cm; áE 3 cm; b-c = 4 cm : L Se traza et ab. Se apoya la punta ompás en a y con una abertura at ag se traza un arco. del igual L Se apoya [a punta del compás en b y con una abertura iguat at bc se traza un arco que corte al anterior en c. Con¡trucclón dc un ülúngulo d¡dos doe l¡dc y et Datos: á6 = 3,5 cm; ac = 2,5 cm; á = 97" áqulo compnndldo enüe elbs ab a L 5e traza el á y con centro en a se traza un arco con radio igual a[ á5 que interseque a uno de sus lados en ó. L Con una abertura igual al ag se apoya [a punta del compás en a y se traza un arco que interseque a[ otro tado det ángulo en c. Cor¡¡ür¡cdón dc un trlún¡ub dqdoc dc úngiub y Datos: á5 = 3,5 cm; f; = 65";'i = 42o AD a A l. centro en a y radio iguat at gan los lados de ambos ángulos. a-b que interseque a uno de sus lados en D. L e[ b 6i para formar tt hdo somún t dbc I 5e traza et á. se traza un arco con Sobre D se traza 3. Se traza e[ segmento el triánguto. y se prolon- 3. l¡ intersección de tas prolongacio- nes de los tados de los ángulos deter- mina e[ punto c det triánguto. Respondan y expliquen las respuestas. a iCuántos áatos se necesitan conocer como mínimo para construir un triángulo? h Si se conocen las medidas de los tres lados, ¿cuántos triángulos distintos se pueden construir? c iEs posible construir un triángulo conociendo la medida de los tres ángulos? rt5 ACÍIVIDADES Construcción de triángutos 3. Escriban Y (Verdadero) o F (rabo). Expliquen las respuestas. a Se puede construir un triángulo cuyos lados miden 5 cm, 9 cm y el ángulo comprendido entre ellos, de OO'. O ü. No se puede construir un triángulo cuyos lados midan 15 cm, 8 cm y c f-.) 9O'. n un triángulo con un ángulo exterior de 1030 y cuyos ángulos interiores no adyacentes a él midan 50" i. cm. No se puede construir un triánguto cuyos ángulos interiores midan 77o,24" y ü Se puede construir 'q O y 53". f-l No se puede construir un triángulo cuyos lados midan 8 cm, 6 cm y r2 cm. f--l Resuelvan. e. Completen la tabla con un gráfico de análisis de un triángulo que cumpla con las condiciones. Propongan las medidas de los lados y los ángulos. L iSe pueden construir todos los triángulos? iPor qué? XT ACTIVIDADES Construcción de triángulos 5, Respondan y expliquen cómo lo pensaron. Luego, conshuyan los biángulos. iEs posible construir los siguientes triángulos utilízando solo el compás y una regla no graduada? a. Un triángulo equilátero. c Un triángulo escaleno. b. Un triángulo isósceles. d. Un triángulo obtusángulo. 6. Construyan los siguientes triángulos usando solo transportador y regla. r. Un triángulo isósceles def cuya base mida 5 cm y los ángulos adyacentes a la base midan b. Un triángulo obtusángulo mño de lados ñn = 5 cm y no :7 cm, y ángulo fr = 105o. 50o. rtt 7. ACT¡UDADES Construcción de triángulos Conshuyan los siguientes triángulos. abc; ab.:3 cm; bc = 5 cm; ac = 6 cm. a ¡. ¿ár; G = 5,5 cm; á = 6o'; á = 55o. c. gñi; Eñ'= + .r; Ei : 5,5 cm; 0 = 105o. ^A:A d. ikl; jk = 4 cm; jl 6 cm; : k = 40o. menteACtrfilA Diego está realizando una tarea para la escuela. Debe dibujar un avión, pero está preocupado por el diseño de las alas. Sabe que deben tener forma triangular y que uno de sus ángulos debe medir 60o. ZQué tipo de triángulo puede usar para dibujar las alas? I mHHmmHPHl < Cuadrilátelos. Elemenüos y propiedades Un cuadrilátero es una figura que tiene cuatro lados, cuatro ángulos y cumple con las siguientes propiedades: , No tienen lados paraletos. El romboide tiene dos pares de lados La principal es mediatriz de la consecutivos Tienen un solo par de lados opuestos paralelos. En el trapecio isósceles los lados no paralelos son otra. iguales. No se cortan en el Los ángulos no opuestos ni adyacentes a las bases son suplementarios. punto medio. En el hapecio lsésceles son iguales. iguales. Tiene cuatro lados iguales. Los lados opuestos son Tiene un par de ángulos opuestos En el hapedo lsósceles los ángulos adyacentes a las bases son iguales. Son perpendiculares y se cortan en su punto medio. Se cortan Los ángulos opuestos son iguales. mutuamente en su Tienen dos pares de lados paralelos y opuestos iguales. Son iguales y se cortan en su punto medio. Tiene los cuatro lados iguales y paralelos dos a dos. Son iguales, perpendiculares y se cortan en su Tienen cuatro ángulos rectos. nto medio. La suma de los ángulos intedores de un cuadrilátero es igual a 3600. L Respondan y expliguen las respuesbs. a iPor qué el rombo, el paralelogramo, el rectángulo y el cuadrado son paralelogramos? b. ¿Se puede decir que el cuadrado es un rombo? c. iPor qué los trapecios no son paralelogramos? f 3n HXit-t-t::" Eremenros y pr*predades 8. Observen los cuadriláteros y resuelvan. a. Completen la tabla teniendo en cuenta que puede ir más de un cuadrilátero por cada casilla y que cada cuadrilátero puede ir en más de una casilla. FIGURA A ta /\ FIGURA B ,-.,,.,----+f- \/ \,r' L-l n FIGURA C FIGURA FIGURA D FIGURA F E F;I l_,_J FIGURA G FIGURA I FIGURA J *r;l n FIGURA H b. iPudieron ubicar todos los cuadriláteros? ZQuedó alguna celda vacía? iPor qué? 9. Nallen la medida de los lados y los ángulos de los siguientes cuaddláteros. Expliquen la respuesta. a. Trapecio isósceles. b. Romboíde. Mk M #EHEHI Construcción de cuadriláteros Para construir un paralelogramo, teniendo como datos los lados, pueden seguir estos pasos. fi:4,5cm;acl=3cm a 1. Se trazan dos rectas paratelas y se determina sobre una de eltas el tado áb. 2. Con centro en a y abertura iguat at áii,se traza un arco que corte a [a recta paralela en d. 3- Con [a misma abertura y centro en ó, se repite e[ procedimiento anterior para obtener e[ punto c. Se trazan los para determinar e[ segmentos áii y paratelogramo. [[ Para consEuir un rombo conociendo la medida de sus dos diagonales, pueden seguir estos pasos. ac:6cm;bd:3cm 1. 5e traza una semirrecta, sobre etla se determina la diagonal ái y se traza la mediatriz.l 2. Con centro en et punto medio de [a diagonal se trazan dos arcos cuyo radio sea [a mitad de bii y se determinan los puntos b y d. J. Se trazan los segmentos para formar e[ rombo. En ta página 95 pueden repasar [os pasos para trazar [a mediatriz de un 1. Respondan y expliquen las respuestas. a trs posible construir un único rectángulo conocíendo la medida de uno de sus lados? b. iEs posible construir un rombo conociendo [a medida de sus diagonales? iEs único? c ZEs posible construir un cuadrilátero conociendo dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos? iEs único? r3l ACÍIVIDADES Construcción de cuadriláteros 10. Construyan los siguientes cuadriláteros en sus carpetas, tracen las diagonales y respondan. ' . Cuadrado de 3 cm de lado. Paralelogramo cuyos lados midan 3 cm y 4 cm. . . Rombo de 3 cm de lado. Rectángulo de 4 cm por 3 cm. a. iCómo se clasifican los cuadriláteros que construyeron? iCuántas diagonales tienen? b. En cada cuadrilátero, ilas diagonales miden siempre lo mismo? iSe cortan en su punto medio? c iEn qué paralelogramos las diagonales forman un ángulo recto? 11. Construyan los siguientes trapecios en sus carpetas, tracen sus diagonales y respondan. . Trapecio rectángulo cuyas bases miden 5 cm y 3 cm y el lado perpendicular a las bases mide 2 cm. . Trapecio isósceles cuyas bases miden 5 cm y 3 cm y su altura sea de 2 cm. . Trapecio escaleno cuyas bases miden 5 cm y 3 cm' a. iCuántas diagonales tienen los trapecios? b. iCómo son las diagonales? ZSe cortan en su punto medio? 12. Completen teniendo en cuenta las actividades anteriores. a. Los tienen dos diagonales. b. Las diagonales de los paralelogramos se cortan en su punto medio y tienen igual medida yenel en y diferente en el yenel c. Las diagonales de los trapecios no se cortan en su punto medio y tie- nen igual medida. d. Las diagonales de los trapecios en su punto medio y tienen diferente medida. no se cortan lr ASNUDADES Construcción de cuadriláteros 13. Construyan los siguientes cuaddláteros usando regla y compás. Expliquen los pasos que realizaron para construirlos. a. Un cuadrado cuya diagonal es el pr. c Un romboide defg. ) Pl-{r ) b. Un trapecio rectángulo de altura base menor sea igual a su altura. ñ6, cuya d. Un trapecio isósceles abcd. ) 14. Resuelvan. MartÍn desea cubrir un rectángulo de telgopor con cuadriláteros de diversas formas, de modo tal que no quede espacio libre entre ellos. a. ZPodrá usar solo rombos y trapecios?.Realicen un diagrama. ) b. Si decidiera usar paralelogramos, icon qué otros cuadriláteros los podria combinar para que no queden espacios libres? Realicen un diagrama. ) rII tSXIH'ff de cuadriráreros 15. Calculen tos ángulos interiores de cada uno de los siguientes cuadriláteros. c Datos: a. Datos: Paralelogramo efgh 0= 11Oo b. Datos: Romboide mnop 6=78o P=¿n A^A Trapecio isósceles abcd A:zá d. Datos: Rombo ijkl ft: og" MENTEACTIVA lulián y su papá quieren hacer un barrilete con forma de rombo; para ello tienen un papel rec' tangular cuyos lados miden 60 cm y 90 cm. iCómo debe ser el barrilete para que sobre [a menor cantidad posible de papet? pueden construir en sus carpetas un rectángulo de 6 cm por 9 cm para analizar los posibles casos. I lnrEEHAmnn 16. Resuelvan. a. iCon cuáles de los siguientes segmentos se puede construir et a6c? Constrúyanlo. . á5: 72 cm;6c = O cm; ca- = 6 cm . á6 = 9 cm; b-c = 4 cm; ca- : 3,5 cm . á6: 7,5 cmt b-c = 5,5 cm; ca- = 4 cm A, b. Clasifiquen e[ abc que construyeron según sus lados y sus ángulos. tE-tg-ln.3l 21. lean atentamente, observen lo que hicieron los chicos y respondan. La profesora les pidió a Laura, a Mariano y a Georgina que resuelvan el siguiente problema: "Colculen la medida de los dngulos exteriores A de un triángulo aQc cuyos dngulos interiores miden: á : 65";'i : ss" y t = 80"." 17. Resuelvan y expliquen cómo lo pensaron. a Con varillas de madera de 3 cm, 4 cm, 5 cm, 6 cm y 7 cm; icuántos triángulos diferentes se pueden armar? b. Con varillas de 3 cm, 4 cm, 6 cm y 9 cm; Zcuántos triángulos diferentes se pueden armar? @ 18. Construyan los triángulos cuando sea posible y clasiñquenlos. a. G = 2 cm ;-ef = ¡ cm; ftl = 4 cm b. gñ = 3 cm; ñJ = 2,5 cm;iE = 3 cm C mn : 8 cm; nO = 4,5 cm; Om = 4,5 Cm d.xy=2cm yz=5cm;zx=3 19. Resuelvan. Paula necesita recortar doce triángulos rectán- gulos cuyos lados midan 3 cm, 4 cm y 5 cm. a. Si tiene una hoja de cartulina de 10 cm por 30 cm, Zpodrá recortar los triángulos que necesita? ile sobra cartulina? b. Si le sobra, icuántos triángulos más podria recortar? 20. Laura a &=180o-35o-80o:65o 0=180o-65o-80o=35o ,\ s 6= @ 180o l J -,,,. I 65" - 35o = 80o Mariano &=80o+35o=115o 6=65o+8oo=145o A=65o+35o=1ooo o @ 6,l - \,, @i o eJ e io jo i in Georgina = 1800 - 650 = 1150 = 1800 - 35o = 1450 róu" - 80o = lOOo = 1800 10oo f Resuelvan. a. Construyan en una hoja cinco triángulos isósceles cuya base mida 3 cm y los lados iguales midan 4 cm. b. Recorten los triángulos y armen un paralelogramo, un rectángulo, un cuadrado, un trapecio isósceles y un trapezoide. c iPudieron armar todas las figuras? iPor qué? ZCuánto miden los lados y los ángulos de cada uno de los cuadriláteros que armaron? ZCómo calcularon las medidas? a iQuiénes resolvieron correctamente el pro- blema? b. iQué propiedades usaron? iQué propiedad pueden usar para verificar si las medidas que calcularon son correctas? c 22. Piensen y respondan. a iTodo cuadrado es rombo? iTodo cuadrado es rectángulo? iPor qué? b. iTodo paralelogramo es rectángulo? 23. tlatten la medida de los ángulos indicados. 24. Construyan las siguientes figuras y respon- dan. a. Datos: .A abcd cuadrado; abe equilátero a. Un triángulo rectángulo en el que los lados que forman el ángulo recto midan 4 cm y 5 cm. b. Un triángulo isósceles, cuyo ángulo desigual mida 35o y sus lados midan 3 cm y 5 cm. c. Un cuadrado cuyo lado mida 3,5 cm. d. Un rombo que tenga un ángulo de 50o y e : [-] 0:t-l b. Datos: fghi trapecio rectángulo una de sus diagonales mida 3 cm. e. Un trapecio isóscetes, cuyas bases midan 3 cm y 6 cm y dos de sus ángulos midan 60o. f. Un paraletogramo que tenga un lado de 7 cm y los ángulos adyacentes a él midan 50o y 0=x-¡2" 130o. g. Un rectángulo cuyas diagonales midan 8 cm y formen entre sí un ángulo de 45o. h. Las figuras que construyeron, ¿son únicas? h:3x-72" ZPor qué? 0:rl c A : t-] 25. Calculen los lados y los ángulos interiores de los siguientes cuadriláteros, sin medir. a. abcd paralelogramo 6cm Datos: ^. rectángulo iklm paralelogrTo; ikn jn bisectriz del j h: D2. \ k 0:t---l p= //' - d. Datos: opqr rombo 'n\ .// f ?=80' 26. Calculen e[ valor de x. abcd trapezoide ft:[-l z,z.' 6= [-] MM EgEEry$ Círculo y circunferencia. Elementos y propiedades Se denomina lugar geométrico a[ conjunto de puntos que cumplen con una condición. Una circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que se encuentran a igual distancia de otro ltamado centro. Los siguientes son los elementos de ]a circunferencia. E[ radio es [a distancia de cualquier punto de la circunferencia aI centro. Una cuerda es un segmento que une dos puntos de una circunferencia. La cuerda de mayor longitud es la que pasa por el cen- tro. Se llama diámetro y equivale a dos radios. Un arco es [a parte de [a circunferencia determinada por fic dos puntos de [a misma. Por ejempto es un arco de la circunferencia (e[ punto del medio se utiliza para identificar de qué lado de la circunferencia está e[ arco). Se denomina ángulo central al que tiene como vértice el centro de [a circunferencia. ci es un ánqulo centra| La circunferencia y todos los puntos del plano interio- res a ella determinan e[ círculo. circunfercncia Posiciones relaüvas de dos circunfurencias" Dos circunferencios son tongentes, Dos circunferencios son secaatcs, si tienen un único punto en común. si tienen dos puntos en común. 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. El radio, ies una cuerda? b. ZEI diámetro es la cuerda más larga? c La circunferencia, iforma parte del círculo? Dos cirxunferencias son a ncénttsi tienen el centro en común. cos, I I t 27. tflillti?,tirrr-,encia. Realicen los pasos y propiedades y respondan. ElementoE: hoja,Iápiz, gancho maripoaa ?asos: 1. Marquen un Etrenner¡ros ; e hilo. G" punto en el centro de la hoja. ra 2. Aten un extremo del hilo al gancho maríposa y claven el gancho en el punto que marcaron. 3. Aten elotro extremo delhilo allápiz. G. f-d' 4. Extiendan el hilo y tracen la figura que se forma. a a. ZQUé figura geométrica se formó? iQué representa el gancho mariposa en la figura? iy el hito? b. Si se mantiene e[ centro, pero se modifica e[ largo del hilo, icómo es la circunferencia que se obtiene? c. Si se mantiene e[ largo del hilo, pero se modifica el centro, Zcómo es la circunferencia que se obtiene? d. ZCómo son las circunferencias del Ítem b? iY las del ítem c? ipor qué? 28. Unan con flechas las respuestas correctas. a. La cuerda más larga de una circunferencia es... b. El arco es una parte de... c. Una cuerda divide al círculo en dos... d. La distancia del centro a la circunferencia es... e. Et diámetro es el dobte det... f. Los radios unen un punto de la circunfeiencia con... g. Si se unen dos semicircunferencias se forma... h. El interior de [a circunferencia es... 29. Marquen en [a circunferencia los elementos que se indican. a. El radio y el diámetro. ZCuánto miden? b. Un ángulo central de 60o. c. Un ángulo central de 2100. d. Una cuerda de 2 cm y marquen con distinto color los arcos que córresponden a la cuerda. ... radio. ... el diámetro. ... el círculo. ... la circunferencia. ... el radio. ... arcos. ... el centro. ... la circunferencia. ffiffiHBHHnnt Construcción de circunferencias Se pueden construir circunferencias a partir de diferentes datos sin utilizar una regla graduada. ' Dado el radio: se toma la medida del radio con el compás, se pincha en el centro y se traza la circunferencia. Dado el diámetro: se encuentran el centro y el radio trazando la mediatriz del diámetro y luego se dibuja la circunferencia con el método anterior. ' I o Dada una cuerda, se pueden seguir estos pasos. ) fueden repasar como se tr¿za um mediariz en la pigina 95. (mediatriz de ab) t. Se traza [a mediatriz de [a cuerda y sobre e[[a se marca un punto o cuatquiera (excepto e[ que pertenece a [a cuerda) porque todos los puntos de [a mediatriz equidistan de 2. Se traza [a circunferencia de centro o que pasa por los extremos de la cuerda. En este caso, se pueden trazar infinitas circunferencias según e[ centro etegido. sus extremos. . Dado un arco de circunfurencia, se pueden seguir estos pasos. 1.5e marcan tres puntos sobre e[ arco yse trazan [as dos cuerdas que los unen. Se traza [a mediatriz de cada una. E[ 2.5e pincha e[ compás en o yse traza [a circunferencia que pasa por tos puntos marcados sobre e[ arco. punto de ¡ntersección de las mediatrices (o) es e[ centro de la circunferencia. 1. Respondan y expliquen las respuestas. a 5i se conoce el diámetro de una circunferencia, ise puede construir una única circunferencia? b. A partir de una cuerda, ise puede construir una única circunferencia? c Si se conocen dos cuerdas consecutivas, zes posible construir la circunferencia? r II tflYllltt:de 30. circunrerencias Construyan en cada caso una circunferencia que cumpla con las condiciones dadas. c ./ b. nrn diámetro. 31. Construyan una circunferencia que cómo lo pensaron. 8. d. G arco paÉe por los vértices de las siguientes figuras. Expliquen b. ffiEBEEEnBt Polígonos Se llama polígono a toda figura que tiene tres o más lados. Ctasificación según sus ángulos: Go¡rvexo: cuando todos sus ángulos interiores son menores que 180o. Clasificación según sus lados: Reguhr: cuando todos sus [ados y sus ángulos son iguales. Clincavo: cuando atguno de sus ángulos inte- lnegular: cuando uno de sus lados o de sus ángutos es distinto a los demás. Elementos del polígono: Diagonak es elsegmento gue tiene por extremos un vértice a otro no adyacente a é1. . Apotema (Ap): es el segmento perpendicular . al lado del polígono cuyos extremos son el . ángulo central punto medio del lado y el centro del polígono. Angulo centraL es el ángulo cuyo vértice es el centro del polígono. La suma de los ángutos interiores de un potígono es: 18ü . (n - 2), En un hexáqono (n = donde n es [a cantidad de tados. 6) la suma de loe óngulos .interiores es 1 BOo . (6 - Z) = 7 2Oo. 9i la suma de loe ángulos inlnriores de un Volíqono es 54oo , ¿cuánÍoe ladoe liene? lBOo.(n-Z)=54Oo n-2=54O":18O" n=3 +2 11 = 5 Entonces, el Volígono ea un pentágono. 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Un polígono irregular, Zpuede tener tres lados iguales? b. un polígono convexo, ipuede tener una diagonat que no pase por su interior? c. ZQué triángulo y qué cuadrilátero son polígonos regulares? d. El ángulo central de un polígono regular, Zpuede medir g0o? Curso:- Fecha:-/- : lt+ ff1,'Ji3f3* 32. Midan los ángulos de los siguientes polígonos y FIGURA A respondan. FIGURA B a. Clasifiquen los polígonos según sus lados y según sus ángulos. b. Calculen [a suma de ángulos interiores de cada uno de los potígonos. ZCómo son los resultados? c. Tracen las diagonales desde uno de los vértices en cada uno de los polígonos. ZCuántos triángulos se forman? aSe puede relacionar la cantidad de triángulos que quedan formados con la suma de los ángulos interiores? 33. Calculen la amplitud de los siguientes ángulos. a. Datos: á:8x+12o b:7x+35o ^t 'i=153o-x d=8x-13o é=6x-1o c. Datos: ñ=53o-x ñ=10x+3Oo 6=x+4o P:¡x f:3x+38o b. Datos: 0=4x-10' d. Datos: ? :4x-7oo h = 5x-640 A:2x+15o i:3x+160 i =2x-4o k:8x+Lo ü=3x-25o 0=x+20o t=x-1o t:go" v HBEESgEE Construcción de polígonos regulares Para consÍt¡ir un penEgono regular con compás, regla y transportador, pueden seguir estos pasos. 1. se dibuja una circunferencia y un ánguto " radio. Se calcuta e[ vator del centrat_oétp_otigono haciendo 360" :5 =72". 2. A partir det radio de [a circunferencia y tomando como vértice e[ centro, ;tóuujrn ,in,o del2. ángutos .r*.riiuól 3. Los puntos en donde se cortan los lados de los ángutos con [a circunferencia son los vértíces det pentágono. se puede conshuir un polígono regular a partir de un triángulo isósceles. para ello, la medida del ángulo desigual det triángulo debe ser divisor de 3600. Por ejemplo, dado un triángulo isósceles con el ángulo desigual de 45o, se puede realizar la siguiente construcción. 1. Se traza [a circunferencia tomando c0m0 centro e[ vértice del ánguto desigual y como radio uno de los lados iguales. 2. 5e toma con e[ ibmpás ta medida del tado desigual del triánguto y se marca sucesivamente en [a circunferencia comenzando en uno de los vértices det triánguto que íntersecan a [a circunferencia. 3. Se determinan los segmentos que son lados det potígono regutar. Et potígono obtenido en este caso es un octógono. 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. iEs correcto decir que e[ ánguto central de un eneágono regular mide 40o? ieué cálculo se debe realizar? b' Si se conoce el ángulo central de un polígono regular, Zse puede averiguar la cantidad de lados que tiene? ZCómo? c' Si se unen el centro de un pentágono regular con cada uno de los vértices, ien cuántos triángulos isósceles se lo puede dividir? d. A partir de un triángulo escaleno, ise puede construir un polígono regular? r l5 34. tflLYllltTde porígonos resurares Completen sabiendo que los polígonos son regulares. 35. Construyan los siguientes polígonos a. Cuadrado. i^ii i/ regulares. c. Eneágono. Lii \ii / - b. Hexágono. L_* \ l5 ACNV¡DADES Construcción de polígonos regulares 36. Escriban V (Verdadero) o F (fabo) según corresponda. Exptiquen las respuestas. a. ) Et ánguto central de un potígono regular de 20 lados mide 18'. [-l b. Para construir un triángulo equilátero se debe trazar un ángulo centraI que mida c. A partir de un triánguto equilátero se puede construir un polÍgono regutur. d. Para calcular et ángulo central de un polígono de 15 lados se resuelve 60".O [-l 360o : tt.C e. Los lados de un polígono regular son cuerdas de una circunferencia. f. Para construir un polígono regular se debe conocer [a medida de un ángulo interior.[-l 37. Ubiquen el centro, el radio, la apotema y la circunferencia que pasa por los vértices de cada potígono. Expliquen cómo lo pensaron. b. ) 38. Construyan un octógono y un dodecágono con regla y transportador. Expüquen cómo lo pensaron. *-*"-****t { rls ACTMDADES Construcción de polÍgonos regutares 39. Construyan un polfgono a partir de los siguientes triángulos, cuando sea posible. Luego escriban el nombre del polígono construido. a. c. V i I I L menteACT|VA Mariano fue a una granja y vio cómo tas abejas construían su panal. Se dio cuenta de que cada una de las celdas tenía forma de hexágono, y que cada celda compartía sus lados con la celda vecina, sin dejar espacios vacíos. a. ZEs posible construir un panal con otras figuras geométricas que no sean hexágonos? Si fuera posible, Zqué polígonos usarían? b. Diseñen en sus carpetas, dos posibles panales teniendo en cuenta las siguientes opciones: o Usando un polígono regular de más de seis lados. . Usando dos polígonos regulares distintos. I ( lnrrEHArlún 40. Resuelvan. Eugenia compró un nuevo compás y para probarlo realizó las siguientes figuras. FIGURA A Jt.33.J¡+.lS 42. Copien las siguientes figuras en sus carpetas y luego, tracen la circunferencia que pasa por los vértices de cada una de ellas. Expliquen cómo lo pensaron. a. b. 43. Resuelvan. a. iQué elementos del cuadrado permiten trazar una circunferencia que pase por sus vértices? a. Según su posición, icómo se clasifican las circunferencias de cada figura? b. Copien las figuras en sus carpetas. b. iEs posible trazar una circunferencia que pase por todos los vértices de un trapecio Expliquen cómo 1o realizaron. rectángulo? iPor qué? c. Los puntos de la figura B, iestán alineados? 41. Construyan teniendo en cuenta las indicaciones dadas en cada caso. a. Una circunferencia cuyo radio mida 2 cm. b. Marquen los puntos b y c. Luego, tracen una circunferencia con centro en c de modo que b sea un punto interior. c Marquen los puntos d y e. Luego, tracen una circunferencia con centro en e y que pase por d. d. Marquen los puntos f y g. Luego tracen una circunferencia que contenga a f y no a g. e. Tracen el ñi y luego una circunferencia que tenga al segmento como cuerda. f. Tracen et jT y una circunferencia, de modo que el segmento sea su mayor cuerda. 44. Construyan los polígonos. a. Un pentágono regular cuyas diagonales midan 5 cm. b. Una circunferencia a partir de una cuerda de 3,5 cm. c. Un hexágono regular a partir de un triángulo equilátero de 3 cm. 45. Construyan los siguientes polígonos teniendo en cuenta los datos. a. Es regular, el ángulo central mide 60o y es convexo. b. Es regular, tiene en total cinco diagonales y la suma de sus ángulos interiores es de 5400. c. Comparen los gráficos con sus compañeros. ila solución es única? ipor qué? 46. Construyan y luego, respondan. fl8. observen tos polígonos y respondan. * Triángulo equilátero. . Cuadrado. ', Pentágono regular. " Hexágono regular. a. Tracen todas las diagonales que tienen cada uno de los polígonos construidos y completen [a tabla. ,\] ti r.i !: Triángulo F \\ f ¡ ¡ ! -'g? l i J L-*_._.-. Hexágono b. iCuántas diagonales tiene un heptágono? iY un octógono? Expliquen cómo lo pensaron. 47. Escriban V (verdadero) o F (rabo). Expliquen [as respuestas. a. Una cuerda es un segmento que une dos puntos de la circunfer.n.ia. [-l b. En un polígono regular, los lados y los ángulos son iguales. [-l c. E[ ángulo central de un octógono regular mide 45". [-| d. La suma de los ángulos interiores de un ,-l polígono es 412o. I r e. El círcuto es e[ contorno de la circunferencia. [-l g. Un rectángulo es un polígono r..gufur. [-l h. El ángulo central de un triángulo equilátero mide 120'. [..l i. Un pentágono puede dividirse en cuatro triángulos al trazar las diagonales desde uno [--l de sus uerti..s. i. El decágono es un polígono que tiene doce (-l k. Para calcular el ángulo interior de un poli gono regular, se debe dividir 360o por la cantidad de taOos. a. Clasifiquen los polÍgonos en cóncavos y convexos. b. iCuántas diagonales tiene cada polígono? c. Si dos polígonos tienen la misma cantidad de lados, itienen la misma cantidad de diagonales? 49. Compteten con "siempre", "a veces" o ttnuncatt. a. Un cuadrado rectángulo. b. Los pentágonos, hexágonos y octógonos, son regulares. c. Un rectángulo un cuadrado. es es posible que un polígono regular sea cóncavo. d. f. El radio es el doble del diámetro. tados. l "***.***-l [-l 50. Lean atentamente y averigüen de qué potígono regular se trata en cada caso. Luego, cal' culen la medida del ángulo central. a. Desde uno de sus vértices se pueden trazar solo 12 diagonales. b. La suma de sus ángulos interiores es 9000. c. Es un polígono que no tiene diagonales. d. Es un polígono que tiene el doble de lados que e[ polígono que tiene un ángulo central de 72o. e. Su ángulo central mide el doble de 20o. AuroEvALUActón 51. Construyan las siguientes figuras. a. Un triángulo isósceles cuyos lados iguales midan 4,5 cm y el ángulo entre e[[os mida 50o. c. Un rombo cuya diagonal mayor mida 5 cm, su diagonal menor mida 3 cm y uno de sus lados mida 4 cm. *-"*l t I i f T I I i ¡ I i I I i I j ! b. Una circunferencía a partir de [a cuerda mn. d. Un polígono regular a partir del siguiente triángulo isósceles. I ¡ i I I I I I ! \ ¡ I I '. i L 52. Calculen los ángulos interiores. a. Datos: A :12x- 74o t:9x+15o "N 9=7x+99" b. Datos: fi:¡* ñ:5x-16o o:x c. Datos: ?:8x+2" A=o* t : 22x- !4o 0:3x-6o ,ry Slrulclór tilrcrAl DE APRENDTzAfE 1. Observen la imagen y respondan. a. Las siguientes son algunas de las preguntas que realizó un interesado por uno de los departamentos con las respuestas que recibió. . Si quisiera colocar una guarda en las paredes, icuántos metros necesitaré? 24 m . iE[ largo y el ancho coinciden? No. . Si quisiera ubicar un mueble de 5 m de largo, ipuedo hacerlo sobre cualquiera de las paredes? lVo. 6obre qué departamento realizó la consulta? ZCUáles son sus dimensiones? b. Si hubiese preguntado por el otro departamento, Zcuáles serían las respuestas? SEEnnmnn PerÍmetro y área de figuras planas Medir una longitud signífica compararla con otra considerada como unidad de medida. ,¿-"\ hm ú-,r\,Á"\, dam km m decómerro melro \i/vvv\/\/ kilómetro hectómeÍro /-..r\ cmf..r\ dm decímetro cenlímeÍro mm mílíme?ro Pefmebo y área El perímeho de una figura es igual a la suma de las medidas de todos sus lados. para calcular el perímetro, todos los lados deben estar expresados en la misma unidad de medida. se llama área a la cantidad de veces que entra en una superficie la unidad de medida elegida. Un cuadrado de 1 melro deladoÍiene un áreaigual a 1 m2. lr+lr+1, B+b+lr+1, 2 . lr+ 2 . l, 2 . lr+ 2 . l, 2'.lr+2.1, 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ZCómo se calcula el perímetro de un triángulo equilátero con una multiplicación? b' si se divide un rombo por sus dos diagonales, ise obtienen cuatro triángulos de igual área? LY si es un romboide? c. 6e puede calcular el área de un cuadrado teniendo como dato perímetro? el d. ZQué figuras tienen la misma fórmula del perímetro? iy el área? Curso:- Fecha:_/:_ rlE ACÍIVIDADES Perímetro y área de figuras planas 1. Escrlban V (Verdadero) o F (Falso) según conesponda. En caso de que sea F, escriban la respuesta conecta. a.45 hm:45oOO b. O,O54 m = 5,4 rC d.7,2 rt O dam = 0,72 e. O,727 hm f.32 cm: c.3,18 dm = 0,00314 f<m ! : nt O 7 210 cm 0,0032 A.r [--.) 2. Calculen y escrlban el resultado en cm. a. El perímetro de un rombo de 30 mm de lado. b. El perímetro de un rectángulo si uno de sus lados mide 0,2 dm y el otro mide el doble. c. La longitud de cada lado de un triángulo equilátero, si su perÍmetro es 0,15 m. d. Et perÍmetro de un cuadrado de 0,6 dm de lado. e. Los lados de un romboide sabiendo que su perímetro es de 32 cm y el lado mayor es el tripte det menor. 3. Calculen el perfmetro de las siguientes figuras. Escdban el resultado en a. cm. C. 12 cm 20 mm 0,000021 km d. b. 0,15 m 80 mm 1,2 dm ]E ACTMDADES Perímetro y área de figuras planas 4. Completen según corresponda. a.3,2 m2: b. o,oo5 hmz ) o', d. 0,0042 hm2 + 0,5 dam2 : E ou'' or, f]--] : [-] f]]]] c.3 cm2= 5. lndiquen cuántos cuadrados de área tienen las siguientes figuras. r.! '.c ..c \ - \ ) / \ 6. Rodeen con color la respuesta conecta. a. iCuál es el perímetro de un cuadrado de 9 dm 1,2 ) r' cm2 de área? 36 cm t2 cm2 b. Si en un rectángulo, la medida de la base y de la altura son números consecutivos y su perímetro es 18 cm, Zcuál es su área? 81 cm2 2O cm2 c. iCuál es el perímetro de un círculo cuya área es7,O65 7,065 dm 9,42 dm 90 cm2 dm2? !4,7 m d. Si la base y la altura de un paralelogramo son iguales a las de un triángulo de área 75 icuál es su área? ) 30 cm2 7,5 ninguna de las anteriores cmz 7. Calculen. a. La base de un rectángulo de perímetro 30 cm y altura 6 cm. b. La base de un triángulo de área 72 ) cm2 y altura 3 cm. c. El radio de un círculo de perímetro 72,56 cm. cm2, rlE ACTIVIDADES Perímetro y área de figuras planas 8. Calculen el área y el perímetro de las siguientes figuras. ab. 8cm "l -.' perímetro Área : t-l ll Perímetro = : f-l Área = 9. Calculen el área ¡LC (-l sombreada de las siguientes figuras. f r---------!-!!----"-*r 5cm 1cm Área sombreu.u :D Área sombrero. = f--] d. Área sombreu.u 10. :D y resuelvan. a. E[ área de un pentágono es de7,5 Área sombreuou = f--l Lean atentamente dm2. Si la apotema mide 30 mm, Zcuánto mide el lado? b. Si at área de un rectángulo de 15 cm de base, se le resta el área de un pentágono de 80 se obtiene 55 cm2. ZCUánto mide la altura del rectángulo? lF cm2 menteACflVA I o. una masa rectangular de 30 cm de largo y 20 cm de ancho se cortan círculos de 5 cm de I radio para preparar empanadas, de modo que se aproveche la mayor cantidad de masa posible. a. ZCuántas tapas de empanadas satdrán? iCuántos cm2 de masa sobran? I b. 6e pueden cortar más tapas con la masa que sobra? iCómo? t I EEsEFnnnl Area lateral y total de prismas, pirámides y cilindros de un poliedro es la suma de las áreas de todas las caras laterales. total de un poliedro es la suma de las áreas de todas sus caras. Et área lateral E[ área Area del prisma : perímetro de [a base . altura Área total = área lateral + 2 . área de la base Área lateral =sl ) Area de la pirámide L . . Área totat : nt gq perímetro de la base . altura de la cara lateral lqLgt ol 2 área lateral + área de la base ) Area del cilindro Para calcular e[ área lateral de un cilindro, se debe calcular el área del rectángulo que forma su parte lateral. La base del rectángulo coincide con la longitud de la circunferencia de [a base del cilindro. ) Área lateral Área total : : área del rectángulo: b área lateral + 2 . n . 12 .h:2.n.r.h 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Si un prisma de base triangular y un prisma de base cuadrada tienen la misma altura, iel área total es la misma? b. La diferencia entre el área total de una pirámide y su área lateral, Zes el área de la base? c Si se conoce el área total de un cilindro, ise puede calcular el área de la base? d. Para empapelar la columna de una habitación, ase debe calcular su área total? I 17 t*tfáli:r totar de prismas, pirámides y cilindros 11. Unan con flechas los nombres de los cuerpos con sus conespondientes áreas laterales y totales. Cuerpo Area taterat Area totat Prisma de base triangular regular o12.4 .Árealateral Cilindro ob.h.3 'o Cubo Pirámide de base rectangular Pirámide de base heptagonal regular rn '7 o2.n.r.h .'r'rnr.r* br.h, 2' +2.n.Í2 . Área lateral * o )n . z . Área lateral + 12 . 2 . Área lateral + Per . Ap : 2 . Área lateral + b. h . 2 12. Calculen el área lateral y el área total de los siguientes cuerpos. Pueden ayudarse realizando una figura de análisis de los desanollos conespondientes. c. Cilindro. a. Prisma de base cuadrada. 2cm 10 cm H 5cm 4cm b. Pirámide de base cuadrada. d. Pirámide truncada de base cuadrada. 13. Resuelvan. Sofn quiere cubrir cinco macetas con forma de prisma de base rectangular de 0,5 m de largo, 2 dm de ancho y 3OO mm de alto, con venecitas cuadradas de 3 cm de [ado. Si solo debe cubrir los laterales, icuántas venecitas necesita? tl t I I AcrrvrDADEs Área lateral y total de prismas, pirámides y cilindros 14. Calculen el área latenl y el área total. Escriban el nombre del cuerpo al que pertenece cada desanollo. 7cm Area lateral: Area lateral: Area totalt Area total: Nombre: Nombre: b. Área lateral: Area lateral: Área total: Area total: Nombre: Nombre: 15. tean atentamente y calculen. Escdban el resultado en dm2. a. El área lateral de un prisma de base rectangular, si las medidas de su base (en dm) son dos números impares y múltiplos de 3 comprendidos entre 8 y 18 y su altura es 10 cm. b. El área total de un cilindro si el ndio y la altura son dos números consecutivos, cuya suma es 15 cm. c. E[ área lateral de una pirámide de base cuadrada si la altura de sus caras es la mitad de la medida del lado de la base, sabiendo que el área de la base es 16 cm2. I 17 t*"fr*,*, totat de prismas, pirámides y citindros 16. Calculen el valor de ta incógnita. a b. Datos: Datos: Área total : 62 Todas las aristas miden lo mismo. cm2 Área total : 2200 mm2 17. Resuelvan. Una empresa hbrica dos tipos de carpas. ZCuántos m2 de lona se necesita para cada una de ellas? b. \' -"L---'-- ],' l& Respondan. Pedro quiere pintar eltanque de agua de su casa, de forma cilíndrica, de 2 m de diámetro y 3 m de alto. a. Si la pintura rinde 1 m2 por cada medio litro, icuántos litros serán necesarios? b. Si el balde de 5 I cuesta $80, icuántos baldes deberá comprar? ZCuánto gastará en total? 19. Resuelvan. las paredes de su cochera de 3 m de largo, 2 m de ancho y 2,5 m de alto con listones de madera de 1 m por 5 cm. iCuántos listones necesitará? a Agustín guiere cubrir b. Cada cara de un cubo mágico se compone de 9 cuadrados de 20 mm de lado. Si se quieren construir sus caras en acrílico, icuántos cm2 serán necesarios? HEnnEnEn ) Unidades de capacidad y unidades de volumen cÉ t¡.Mbl¡nb¡ a tsAR q'E oütf,uü ü.ERb¡¡EL Se llama volumen a[ lugar que ocupa un cuerpo en el espacio y capacidad a aquello que puede contener. Unidades de volumen un metro cúbico es el volumen que ocupa un cubo de un metro de arista. Un decímetro cúbico es el volumen que ocupa un cubo de un decímetro de arista. Para armar 1 m3 son necesarios 1000 dm3. ) Para pasar de una unidad de volumen a otra que sea su inmediata inferior, se debe multiplicar por 1000 y para pasar a su inmediata superior, se debe dividir por 1000. kilómetro cúbico km3 hectómetro cúbico decámetro cúbico hm3 dam3 decímetro cúbico centímetro cúbico milímetro cúbico dm3 cm3 mm3 1000000000 m3 1000000 m3 1000 m3 0,001 m3 0,000001 m3 0,000000001 m3 Unidades de capacidad La capacidad de un cuerpo se mide.en litros. /'1;ñ\ a.,^, avar,\/cv kl hl dal't kilolilro hecÍolitro decalitro \r'\/\i/\/\/V lírro dlctmt decíliiro centilítro La siguiente tabla muestra las equivalencias entre las unidades de volumen 1. Respondan y expliquen las respuestas. a Para pasar de cm3 a m3, Zqué cálculo se debe realizar? Zy a mm3? b. iEs cierto que 1 kl equivale a 100 litros? c Para llenar un tanque, zes lo mismo saber el volumen que la capacidad? mililil';ro y las de capacidad. I]E 20. ACNUDADES Unidades de capacidad gscriban a,2 mr : V (Verdadero) o F (Falso) según conesponda. En caso de que sea F, conijan el enor. 200 r' d. 0,540 dm3 - 40 cm3 = 0,5 Art cm3 b. 0,000034 hm3 c. 4200 y unidades de volumen : 34 O e. 0,06 dam3 + 55 cm3 = 0,01 aamt [-l m . 0,5 hm = 2100 f. 3 cm'z .7,2 cm + 0,004 dam3 dm3 = l,e+ cm, [-..] 21. Completen las siguientes equivalencias. a. 250 .,n, = [-] 1OOO.r': D : c.32 dl D.r' b. 22. t t d. 0,00018 m3 = I e. 280 dl = r. 135kI :Dor' Resuelvan los siguientes problemas. a. Para su fiesta de cumpleaños Pablo compró botellas de gaseosa de 2,5 l. Si tiene 40 invitados y calculó 3 vasos de 300 cm3 por persona, Zcuántas botellas de gaseosa compró? b. En un supermercado ofrecen tres botellas de aceite de la misma calidad. La primera es de 750 cm3 y cuesta $15, la segunda es de 1 I y su costo es de $t8 y la tercera es de 500 cm3 y cuesta $fz. ¿Cuál conviene comprar? c. Matías prepara un licuado con 500 cm3 de leche, f, titro de pulpa de frutillas y 200 ml de pulpa de durazno. ZPodrá colocar la preparación en una jarra de un litro? iPor qué? d. Ana prepara un perfume para sus dos mejores amigas mezclando alcohol, 120 cm3 de esencia de jazmines y 5 cl de agua. Si los frascos que consiguió tienen una capacidad de 80 m[, $ta" Zcuántos frascos puede llenar? ile sobra perfume? e. Para el mantenimiento de la piscina de un club, se le debe agregar cloro al agua semanalmente. Si la piscina tiene una capacidad de 138 kl y por cada 10 m3 de agua se debe agregar medio litro de cloro, icuántos litros por semana son necesarios? menteACTlvA Las equivalencias entre unidades de capacidad y de volumen pueden servir, por ejemplo, para averiguar el volumen de una piedra. Si se dispone de un vaso medidor lleno de agua, cuya capacidad es de 500 ml, y de una piedra que cabe dentro de ese vaso, icómo pueden hacer para calcular el volumen de la piedra? SEEEEEnEI < Volumen del prisma, de la pirámide, del cilindro y del cono Volumen del prisma y de la pirámide Volumen del prisma = área de la base . Volumen del cubo h : a3 a:aris'|affi] ffi1"'*1ffi \_,-a/ " El volumen de un prisma es tres veces mayor que el volumen de la pirámide que tiene igual base y altura. . . 1 área de la base h '[a ffit Volumen de la pirámi¿e = Volumen del cilindro y del cono Volumen del cilindro = área de la base . Volumen del cilindro = fi. 12. h h área de E base volumen del cono - Vofumen del cono = t--4-=--h3 3 ' h 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. El volumen del cubo, ise puede calcular utilizando la fórmula del prisma de base cuadrada? b. Si un cono y un cilindro tienen la misma base y altura, ies cierto que el volumen del cilindro es el triple que el del cono? Curso:- Fecha:-/- I I 5 23. i:llYl3f?t? o,,rma, de la pirámide, der cirindro y der cono Calculen el volumen de cada cuerpo. Escriban el resultado en cm3. d. a. 4cm e. b. A 7cm Al:: ¿ü -- 0,6 .n,'- 3cm C. l..' 2cm A 12 mm 0,3 dm ]T ACTIVIDADES Votumen del prisma, de la pirámide, del cilindro y del cono 24. Completen el siguiente cuadro conespondiente a prismas de base rectangular. 25. Calculen la capacidad de los siguientes cuerpos. Expresen el resultado en litros. ) a. b. A ) A 60 cm 700 mm --_J d, - 360 mm ) 26. Resuelvan. a. Completen la siguiente tabla con e[.volumen correspondiente a cada cilindro. ) !2,56 cm3 b. Observen la tabla y completen. ) . Si e[ radio se duplica, el volumen .t f] . Si e[ radio se triplica, e[ volumen C "r . Si la altura se duplica, el volumen .r O . Si la altura se triplica, e[ volumen C "t veces mayor. veces mayor. veces mayor. veces mayor. rlr 27. ACÍIVIDADES Volumen del prisma, de ta pirámide, del cilindro y del cono Calculen lo pedido en cada caso, teniendo en cuenta los siguientes datos. a. Prisma de base rectangular c. Cono 4 cm Ancho: 3 cm La altura es igual a la mitad del largo. Diámetro de la base Altura : 8,5 cm Largo : Volumen : f-l Votumen b. Cilindro Diámetro de la base Volumen Attura 28. : :747,3 : 6 : : 6 cm t-l d. Pirámide de base cuadrada Altura = 10 cm Volumen : 30 cm3 cm cm3 f-l Lado de la base : Calculen el volumen de los siguientes cuerpos. a. b. 2cm 6cm 29. Resuelvan las siguientes situaciones problemáücas. a. En una caja rectangular de 8 dm de largo, 60 cm de ancho y 1 m de alto se quieren colocar velas de 20 cm de diámetro y 50 cm de altura. ZCUántas velas se pueden colocar? iQué volumen de la caia queda vacío? b. Como souvenir de su fiesta de 15 años Leila construye pirámides de vidrio que rellenará con arena de colores.. Si quiere construir 90 pirámides de base cuadrada de 5 cm de lado y 4 cm de altura, icuántos cm3 de arena necesitará? menteACT|VA r cm3 de oro pesa 77,4 g, icuántos l: 0,15 m b: 0,65 dm rB:8cm r h: 400 mm (g pesa el lingote de oro? COilTEilIDOS IntrEHAETún 30. JE.J7.3E.3S 32. Calculen. a. El perímetro de un paralelogramo de área igual a 20 cm2, si la altura es 4 cm y sus otros lados miden J de la base. b. El perímetro de un trapecio isósceles, si el área es de 30 cm2, la altura es de 4 cm y cada uno de los lados iguales mide 6 cm. c. El área de un romboide cuyas diagonales son dos números primos que al sumarlos se obtiene 15. d. El área de un trapecio de base mayor igual 6 dm, base menor igual a ] ae U base mayor y altura igual a la diferencia entre la base mayor y menor. e. El área de un cuadrado de lado igual al Calculen el área lateral y total de cada uno de los siguientes cuerpos. a. 3cm b. H O ffi diámetro de un círculo de área 3,74 m2. 4dm l--J 1O dm 31. Calculen el área sombreada en cada caso. a. + b. 6cm ? 1,.' 33. Resuelvan las siguientes situaciones pro- blemáticas. a. Se desea colocar etiquetas alrededor de 20 ftascos de mermelada de 6 cm de diámetro e igual altura. iCuántos cm2 de papel C. 6cm d. 8cm serán necesarios? b. Se quieren construir cinco cubos de 50 cm de arista para un juego didáctico. ZCuántos m2 de cartón serán necesarios? c. Manuel quiere cambiar el piso y las paredes de su baño, de 1,5 m de ancho y 2 m de largo y 3 m de alto, colocando cerámicas cuadradas de 25 cm de lado. Si cada caja contiene 20 baldosas, Zcuántas caias deberá comprar? Curso:- Fecha:-/- Una jarra contiene 1 litro de agua y a[ colocar en ella un cubo de plástico se derramaron 64 m1. a. iCuánto mide la arista del cubo? b. Si se colocan nueve cubos más en la misma jarra, iqué volumen de agua quedará? Escriban la respuesta en cm3. 35. Resuelvan. a. Si el volumen de un cubo es de 0,064 dm3, Zcuánto mide [a arista? b. Si la altura de un cilindro mide 6 cm y su radio es igual a J O" t, altura, Zcuá[ es el volumen? c. El volumen de una pirámide cuya base es un hexágono regular es de 67375 mm3. Si la altura mide 0,7 dm y e[ lado de la base mide Una nueva fragancia de perfume será envasada 3,5 cm, Zcuánto mide la apotema? en frascos de forma piramidal con base cuadrada de 9 cm de lado y 72 cm de altura. a. Si se quieren envasar 32 litros de perfume, d. Si el volumen de un cono es de 42,39 y e[ radio de la base mide 3 cm, ácuánto mide la altura? cm3 Zcuántos frascos serán necesarios? b. Si se quiere colocar de a nueve frascos en cajas cuadradas sin apilar, Zqué dimensiones 39. Calculen el volumen en cada caso. debe tener cada caja? 0,3 m 36. Piensen y resuelvan. a. Para festejar el Día det Estudiante, los chicos llevaron a [a escuela gaseosas para compaftir. En total había tres botellas de 2,25litros, dos de 1000 cm3 y cuatro botellitas de 600 cm3. Si cada alumno tomó dos vasos de f litro, apara 4dm volumen = f---] o', b. cuántos alumnos alcanzó la bebida? 60 cm b. Nicolás debe llenar frascos de forma cilíndrica de 6 cm de diámetro y altura igual a f aef radio de la base con dulce de teche. Si cada bolsa contíene 47,'J. cmj de dulce de leche, Zcuántas bolsas serán necesarias para llenar 12 frascos? c. Se quieren fabricar conos de 50 cm de diámetro y 90 cm de altura para señalizar un camino. Con 2 m3 de plástico, Zcuántos conos pueden fabricarse? d. Si el volumen de una pirámide de base cuadrada es 45 cm3 y su altura es 5 cm, Zcuánto mide el lado de [a base? 37. Resuelvan. Los caramelos de dulce de leche vienen enva- sados en cajas de a 20, apilados en dos capas. Las dimensiones de cada caramelo son 2 cm de largo, 2 cm de ancho y 1 cm de espesor. a. ZQué dimensiones tiene [a caja? b. Si se duplican las dimensiones de la caja, Zcuántos caramelos podrá contener? Volumen 40. : f].r' Calculen en cada caso según corresponda. a. Para llenar las J Rurt"r de un balde citíndrico de 24 cm de diámetro y 50 cm de altura, icuántos litros de agua se necesitan? b. Si et área de la base de un cilindro es de 12,56 cm2 y el volumen es de 125,6 cm3, Zcuá[ es el área [atera[? c. Si et área total de un prisma de base cuadrada es 38 cm2 y el área lateral es de 13 cm2, icuánto mide e[ lado de la base? d. En una pirámide de base pentagonaI regular, e[ lado de la base mide 4 cm y [a apotema,2,5 cm. Si e[ área total es 75 cm2, Lcuál es el área de cada una de las caras? AuroEvALUAclón 41. Completen. a. El perÍmetro de una figura es igual a la b. La fórmula del área de un paralelogramo de todos sus lados. a la fórmula del área de es un rectángulo. c La fórmula para obtener el perímetro de cualquier figura regular de n lados de longitud / es d. El área lateral de un cilindro de diámetro d y altura h es e. El área total de un cubo es 42. Respondan. Alrededor de una cancha de fútbol se colocan publicidades utilizando lonas de g0 cm de ancho. Si la cancha mide 100 m de largo y 80 m de ancho, icuántos m2 de lona se necesitarán? 43. Resuelvan. Agustín acomodó su cuarto como se ve en el siguiente plano. iCuántos m2 le quedaÉn libres pan circular? 2,5 m 100 cm 44. meea deluz Resuelvan las slgulentes sltuaclones problemádcas. a. Naty prepara conos rellenos de mousse de chocolate para una fiesta de 100 invitados. Si los conos tienen 6 cm de diámetro y 0,08 m de altura, icuántos litros de crema necesita? Escriban la respuesta aproximada al litro. b. Para preparar pan se necesitan 400 ml de agua tibia por cada 750 cm3 de harina leudante. Si se colocan esas cantidades en una máquina de amasar que tiene una capacidad de 1,25 dm3, iqué volumen de la máquina quedará {ibre? f,nntenlons Variables, pobtación y muestra. Recolección y organización de datos. Tablas. Frecuencias absolutas y relativas. Gráficos. Promedio, mediana y moda. Experimentos aleatorios. Votan 200 alumnos. Probabitidad simpte. illtil0l'¡[" Cálculo combinatorio. Alumnos de secundaria básica Alumnos de secundaria superior S¡rurc¡ór rilrcrAt DE ApREt{DtzAlE 1. Observen la imagen y resuelvan. a. lnventen un enunciado con preguntas cuyas respuestas ' 120 alumnos. , 80 alumnos. b. Comparen los enunciados con los de sus compañeros. sean: 40 alumnos. ,i tt $t tá¡**"6rá¡¡ÉS Variabtes, p oblación muestra - Estadística La Estadística se ocupa de [a recolección, organización y anátisis de datos para obtener determi- nada información. Los datos se recolectan, en algunos casos, a través de encuestas y se los puede organizar a través de tablas y gráficos para poder entenderlos y utilizartos mejor. Población y muestra Se denomina población al coniunto de individuos (personas, animales, plantas, etc.) que se pretende estudiar estadísticamente. Cuando es diffcil estudiar toda [a población, se selecciona una parte de ella denominada muestra. La muestra debe ser representativa, es decir, debe elegirse de manera tal que del estudio estadístico se obtengan resultados muy próximos a los que se obtendrían con toda la población. Variables estadísticas Cada uno de los temas que se estudia de una población o muestra se denomina variable estadística. Por ejemplo, si se hace una encuesta para averiguar las alturas de los atumnos de primer año, la variable es "altura de los alumnos de primer año". cüAllb Las variables se clasifican en: " Cualitativas: se miden a partir de datos no numéricos. "Comida preferida delos alumnos de prlmer afio". " Cuantitativas: se miden a partir de datos numéricos. "Edad de loe jugadores de un equipo de fútbol" . tüA E$ ¡.ixol E5IIN¡R tA bD¡tbrl. GE. HHn. qírbt€?A@qE q€¡.€,ccioNA uA E[rErtsu)A¡6r.k6Abrl tobE. €ÉtErq¡AR trr|A \¡sg5Rl".. 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ZCuát es el primer paso del trabajo estadístico? b. La población, ies parte de [a muestra? c. Si se quiere conocer el lugar preferido para el viaje de egresados de los 80 alumnos del último año (repartidos en 3 cursos), Zcuál puede ser una muestra representativa? d. Una variable, ipuede ser cualitativa y cuantitativa a la vez? r hn ii,'Jli*:lsour,.¡on y muestra 1. Marquen con una X el tipo de vadable en estudio. La edad de los empleados de una empresa. Cantidad de hijos de las familias de cierto barrio. Buscador de lnternet que utilizan los alumnos de una escuela. Modelo de automóvil más vendido durante el último año. Peso de cada uno de los jugadores de un equipo de fútbol. Película más vista durante el mes de febrero. 2. Lean atentamente y respondan. Una empresa de programación de juegos para computadora quiere crear un nuevo producto. Para ello, realiza una encuesta entre los usuarios, de entre 72 y 20 años, registrados en su sitio web para saber qué tipo de juegos prefieren. Entre las opciones están los juegos de acción, de estrategia, de cartas, de búsqueda y de carreras. La encuesta fue respondida por 125 chicos de entre 12 y 14 años, 132 chicos de entre 75 y 77 años y 93 chicos de entre 18 y 20 años. a iCuál es [a población a la que estará destinado el juego? iCuál fue la muestra? b. ZCuát es la variable en estudio? Clasiffquenla. y un ejemplo de variable cuantitatiüa que puedan poblaciones. Luego, propongan una muestra para cada población. ser analizados en las siguientes a. Un grupo de alumnos de 1.o año. 3. Escriban un ejemplo de variable cualitativa b. E[ personal de una empresa. c Golosinas vendidas en los 200 quioscos de un barrio, en e[ transcurso de una semana. l tJ Recolección y organización de datos. Tablas Para realizar un estudio estadístico, es necesarío usar una serie de henamientas y técnicas que permitan recolectar la información necesaria. Entre los principales insür¡mentos de rccolección de dabs se encuentran las encuestas, los cuestionarios, las entrevistas. También se puede recolectar información mediante la observación directa o experimentos. Luego, los datos obtenidos se pueden organizar en tablas. Las tablas se utilizan para mostrar información sobre [a relación entre dos o más datos. Enlahisfnria delos juegos ol(mpicos,la delegación argenlina obtuvo unfnfnl deTO medallas: 1B de oro,24 deplaray 2B debronce.El deVorEe quemósmedallaeobEuvo es elboxeo,con24. En la siguienÍeÍabla se muestrala cantidad de medallas ohenidas según el deporfre. Boxeo 24 7 7 10 34,3 Vela 9 0 4 5 12,9 Atletismo 5 2 ) 0 7.1 Fútbol 4 2 2 0 5,7 a. ¿Qué datos a?arecen enlatabla? La cantidad de medallas, eldeUlle deltipo de medalla por deporte y el porcentaje de cada uno sobre eltotalde medallas. Remo 4 7 1 2 5,7 Hockev 4 0 2 2 5,7 Tenis 4 0 1 3 5,7 Natación 3 L L I 4.3 depor\ee que ofuuvieron la misma canÍiddd demedallas? 5e tuvo en cuenta cuál deporte obtuvo Polo 2 2 0 0 2.9 Básquel 2 1 0 1 2,9 Pesas 2 o I 7 2,9 Ciclismo 7 T 0 0 7,4 Taekwondo 1 7 0 0 7,4 Equitación 7 0 1 0 7,4 Tiro 7 0 7 0 7,4 b. ¿Con qué crilerio se ordenaronlos más medallas de oro,luego más medallas de plata y fínalmente, el que obtuvo más medallas de bronce. c. 5i se euman loe porcentajes de cada Vótey 7 o 0 1 1,4 deporEe, ¿coincide con eltohal? ¿?or Eserima I 0 0 1 r,4 qué ocurre eslo? Yudo 1 0 0 1 1,4 9íbien la euma de los porcentajes repreeenta el total de los datos (1 OO7), no coincide porque los porcentajes de cada deporte están aproximados a los décímos. 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ZPara qué se escriben los datos en una tabta? ZQué información brinda? b. A través de una tabla, ise puede saber de qué tipo es la variable en estudio? c. En una tabla se sumaron los porcentajes y se obtuvo 99,6o/o, zpor qué ocurre esto? r l+l 4. ACTMDADES Recolección y organización de datos. Tablas Resuelvan. Martín hizo una encuesta entre sus compañeros de colegio acerca de cuál es el club favorito de fútbol de cada uno de ellos y obtuvo los siguientes datos. River, River, River, Boca, Boca, Racing, lndependiente, Racing, River, Boca, River, River, Boca' Boca, San Lorenzo, Huracán, Racing, lndependiente, Boca, San Lorenzo, Racing, San Lorenzo, Gimnasia, Vélez, River, River, Boca, San Lorenzo. a. Completen la tabla. San Lorenzo lndependiente b. ZCuál es la variable en estudio? Clasifíquenla. c iCuál es el club con mayor cantidad de simpatizantes? d. iCuántos clubes tienen al menos tres simpatizantes? ZCuáles? 5. Completen la tabla y respondan. El profesor de matemática está preparando un informe sobre los alumnos de primer año para presentar junto con ta planilla de notas. Las siguientes fueroh las notas obtenidas por los alumnos al finalizar el año. 7O 9; 9;8; 8; 8; 5; 5; 4;4; 10; 8; 8; 6; 6; 6; 6; 8; 7; 7; 70; 9; 3; 6; 6; 6; 10; 5 a. Completen la tabla. b. iCuál es la variable en estudio? Clasiffquenla. c iCuántos alumnos hay en e[ curso? d. Si se aprueba con a[ menos 7 puntos, Zcuántos alumnos aprobaron? ZCuántos desaprobaron? e. ZCuántos alumnos obtuvieron 8 puntos como mínimo? f. Si ta nota obtenida está entre 4 y 6, los alumnos deben rendir la materia en diciembre y si es menor que 4, deben rendir en marzo; Zcuántos alumnos deben rendir en cada instancia? J ;¡ tJ Frecuencias absolutas it*-JL*J relativas Se denomina frecuencia absoluta (se escribe fl al número de veces que se repite cada valor de la variable. La suma de las frecuencias absolutas es el total de encuestados. Se denomina frecuencia relativa (se escribe fr) al cociente entre la frecuencia absoluta y el total de etementos que forman la muestra. La suma de las frecuencias relativas siempre es 1. Si a cada frecuencia relativa expresada en forma decimal se la multiplica por 100, se obtiene el porcentaje de la variable. ) rr=* n es el número de elementos que formon la muestra. EnÍrelos alumnos de primer año de una escuela sehomó una mueelra de diez alumnoe para averiguar cuánlag materias tenían con calificación debaio de seie. Loe resullados fueron: O; O: 3:4:3:5:4:3:6;5. ) guNA9,gsroy ItA06lb hIAEUTSR eoreUTlliEzt ¿Eg€ANR[O?AR? ) ) 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. iEs posible que la suma total de las frecuencias relativas sea 1,4? b. ZQué significa que un valor de la variable en estudio tenga frecuencia absoluta igual a 3? c. Si en un caso e[ porcentaje de un valor de la variable es27o/o, isignifica que la frecuencia relativa correspondienle es 2,7? d. iPuede suceder que para un valor de la variable el porcentaje sea 125o/o? t |t ifJlill3l1o,'utas y rerarivas 6. Resuelvan. Los chicos de 1.o año tuvieron que elegir eI nombre que los representará en una competencia intercolegial. Las opciones fueron nombres de pueblos originarios de la Argentina: toba (T), mapuche (M), wichí (W) y diaguitas (D). De la votación se obtuvieron las siguientes respuestas. M.M.M.W.W.W.M- D- D-T-M-T. D. M-M-M- D.M- M-W W-D-D.M-W-M.W.M.T.D-M.M-W-W-W-W- D,T.T.W a. Completen la tabla de frecuencias. b. iQué nombre resultó ganador? ZCómo se dieron cuenta? ZQué porcentaje obtuvo? c. iQué pueblos obtuvieron como máximo diez votos? 7. Lean atentamente y resuelvan. El siguiente cartel muestra los horarios de las clases que se dictan en un gimnasio. 18-19 AEROBOX SPINNING PITATES AEROBOX AEROBOX PII¡TES t9-20 SPINNING PII¡TES ¡lonenoór PII.ATES SPINNING RITMOS 20-21 RITMOS rlorencró¡¡ RITMOS SPINNING RITMOS RITMOS a. Completen la tabla de frecuencias. b. iDe qué clase hay más horarios disponibles? c. iQué clase tiene el menor porcentaje? iPor qué? K"Jilj J J # #L*J Gráficos En muchas situaciones, los datos se pueden leer con mayor facilidad a través de gráficos. El tipo de gráfico puede variar según la información que se quiere brindar. Gráfico circular Los gráficos circulares o de secciones sirven para mostrar la distribución de respuestas en rela- ción con el total de resultados obtenidos. 9e realizó una encueeta ?aró conocer la opinión de 20 ?ereonde sobre un nuevo chocolale. ) excelente 107o regular 20% Es un círculo dividido en sectores. Cada sector representa una parte del total de los datos. El ángulo central de cada sector se puede obtener, por ejemplo, usando una regla de tres: 100% malo ) 2Oo/" 10% _ 360' 1olñ3?o' =zo Corresponde a excetente. Gráfico de barras -"= Los gráficos de banas sirven para comparar la cantidad de datos que corresponden a cada valor de la variable. Para confeccionar un gráfico de barras, en e[ eje horizontal se representan los distintos valores de [a variable y en el vertical, las frecuencias absolutas. Luego, se construyen rectángulos del mismo ancho cuya altura coincide con [a frecuencia absoluta del valor de la variable. 6 z o 72 6 É 10 U 8 6 4 u o o ) ó o F 7or ejemVlo, diezpersonas oVinan que eo bueno. 2 z Pictogramas Los pictogramas son gráficos donde se representan cantidades a través de dibujos. Cada dibujo representa una determinada cantidad. 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. iQué diferencías hay entre un gráfico circular y uno de barras? ZCómo muestra la información cada uno? b. En un gráfico circular, iqué ángulo central debe tener un sector que represenla el 25"/o del total? I l+3 8. AcnvrDADEs Completen las oraciones teniendo en cuenta [a relación entre los porcentajes, la fracción del total y e[ ángulo central del gráfico de torta. a. rrf-lz se representa con [a mitad de un círculo y su ángulo central ., o. l'. ., O" [-.l". c et [-l'2" se representa con la octava parte de un círculo y su ángulo central ., O" [--.)". U. rf a. rf !z se representa con [a cuarta parte de un círculo y su ángulo central Ov. se representa con la décima parte de un círculo y su ángulo centra[ es O. 9. pinten según corresponda. a!ü Luego, escriban el porcentaie. b+ f]'" [-l'. {_; !r" c'ía ,, -..-.-.:-.. i\ \-*o" i ./' !r" d.i'{+J/ ,/ -_*\' \ \/ !" 10. Representen en un gráfico circular. Pinten del mismo color cada sector y su referencia. Mariana distribuye las actividades del día viernes de la siguiente manera. iJ f-l a horas para dormir. 6 horas pasa en la escuela. fi fi z horas para realizar la tarea. z horas para jugar con sus amigas. [J r hora y media para viajar. fl t hora y media para navegar por internet. il El resto lo utiliza en las distintas comidas. \ 1 I 11. Resuelvan. Luego del estreno de una película se realizó una encuesta para conocer [a opinión de los espectadores. Las respuestas fueron las siguientes. a. ZDe qué tipo de variable se trata? ¿A cuántas personas se encuestó? b. Realicen el gráfico circular con los datos de la tabla. l+l AcnvrDADEs 12. Observen los gráficos y respondan. Los gráficos muestran la cantidad de alumnos distribuidos por sexo en cada curso que hay en el último año. ) CURSO B cuRso c z z o o l = J f J CURSO A 6 o E U r F z tr I U o ó o o o o z z E f U o o o F z a. iCuántas mujeres hay en cada curso? ) b. iEn qué curso hay menor diferencia entre la cantidad de varones y de mujeres? c Entre los tres cursos, icuántos varones hay? ZY en total cuántos alumnos hay? 13. Completen la tabla con los datos de sus compañeros de aula y realicen et gnáfico de barras ) conespondiente. 14. Resuelvan. a. Realicen el gráfico de barras de acuerdo con la información de la tabla. b. ¿A cuántas personas se encuestó para obtener la información anterior? r l+l t*:l?^"' 15. Observen los siguientes pictogramas y respondan. o El pictograma muestra la cantidad de libros que É @ hay en cada una de las salas de una biblioteca. a. iEn qué sala hay mayor cantidad de libros? 4 o o o ZCuántos hay? tr z W@@-@ ?re ?zs ?-.e b. ZCuántos libros hay en total entre todas ?¿- las bibliotecas? (z¿e Representa looo libros. 16. Completen el gráfico y respondan. La siguiente tabla muestra eltotal de habitantes de la Argentina registrados en los últimos cinco censos de problación. a. iCuántos millones de habitantes creció la población entre 1980 y 2O7O? (e¡¡ ntr-t-o¡¡es) f *uor.r.n,u o ,,l,tlntlll*tts Fuente: INDEC, Censo de Población y Vivienda. 17. Observen los siguientes pictogramas y respondan. En el pictograma se observa la cantidad de"dÍas que permanecen en el país los turistas que visi- Cantidad de días que permanecen en la Argentina tan la Argentina, según su lugar de procedencía. a. A partir del pictograma, ise puede saber desde dónde provienen los turistas que se quedan la mayor cantidad de días? b. 6e puede saber la cantidad de gente encuestada? F¡} Representa 5 días. Fuente: INDEC, encuesta de turismo internacional 2010. CONTENIDOS ,$* l+¡.ql.qE.q3 ffi]$kl$ 18. Resuelvan. 21. Observen y respondan. En una editorial se realiza un control de calidad Las tablas muestran eI deporte preferido en dos analizando uno de cada 100 libros impresos. Se los revisa y se decide si [a impresión final es cursos distintos. correcta o incorrecta. a. El conjunto de libros utilizados para el control de calidad, irepresenta la muestra la población? b. La variable estudiada Zes cualitativa o o cuantitativa? 19. tean [os siguientes datos y resuelvan. ) En 30 comercios minoristas se averiguó el total de paquetes vendidos de una marca de galtetitas. Los datos obtenidos fueron los siguientes. 6; 6; 4; 5;9;7; 6; B;3; 4; 5; 5;7; 4;9; 8; 8; 5; 6;9;8;9;8;7; 6;6; 6;7;5;3 a. iCuál es [a variable? Clasifrquenla. b. Realicen [a tabla de frecuencias. c. Representen en un gráfico la información obtenida. ) 20. Fútbot a. iCuát es [a variable? iDe qué tipo es? b. ZEn qué curso es menor el porcentaie que prefiere natación? iY básquet? Resuelvan. La siguiente tabla muestra el estado civil de los 22. empleados de una empresa. Se analizó la frecuencia con la que los usuarios Resuelvan. de 50 automóviles cargan combustible durante un mes. a. Completen [a tabla con los datos fa]tantes. ) a. ZQUé variables están en estudio? Clasifíquenlas. ) b. Realicen un gráfico circular donde figuren los porcentaies según el sexo de los empleados de [a empresa. c. Realicen un diagrama de barras que muestre el estado civil de los empleados. b. iCuál es la variable? Clasifrquenlas. c. iCuántos autos cargan aI menos cinco d. ZQué porcentaje de las mujeres son casadas? veces al mes? d. iQué porcentaje carga como mínimo ocho veces al mes? 23. Observen el gráfico y resuelvan. E[ siguiente gráfico muestra 25. Observen el pictograma y resuelvan. la cantidad de I o É publicaciones de viviendas (en venta) según [a cantidad de ambientes, de una página de anuncios clasificados. .a o u 6 o o F z ¿ ¿ .¿ .¿ I .¿ I I .¿ .¿ es la variable? iDe qué tipo b. Completen la siguiente tabla. a. ZCUáI es? CANTIDAD DE AMBIENTES a. Realicen una tabla de frecuencias a partir de la información del gráfico. b. ZCuántos departamentos se publicaron en total? c. iQué porcentaje de los departamentos es de tres ambientes? d. iQué porcentaje de los departamentos tiene como mínimo tres ambientes? e. ZCuántos departamentos tienen como mínimo cuatro ambientes? f. ZCuántos departamentos tienen como máximo dos ambientes? 24. tean atentamente y resuelvan. A un grupo de 24 personas se les preguntó qué juego de mesa preferÍan. La mitad contestó las cartas; la cuarta parte, el aiedrez; dos, el ludo y el resto, las damas. a. Completen la tabla. c. Representen [a situación en un gráfico circular, indicando el porcentaje que le corresponde a cada uno. d. Si cada páiaro del pictograma representa a tres, Zcuántos pájaros tiene Juan? e. Si entre todos tienen 72 pájaros, icuánto representa un pájaro dibujado? 26. tengan en cuenta la infumación y resuelvan. En [a siguiente tabla se registró por edad un grupo de personas de un club. Esteban Matías Juan Carlos Julieta María Ana Graciela Belén Rocío Rodrigo Roberto Mía Micaela José Anabella Daniel Hernán Silvana Javier Carolina Pamela Germán Valeria a. Realicen una tabla de frecuencias para hombres y otra para mujeres. b. La suma total de los porcentajes en las b. iCuál es el porcentaje de los que prefieren iugar al ajedrez? iY a las damas? tablas anteriores Zes igual al TOOo/d Expliquen la respuesta. c. Realicen un gráfico circular para cada tabla. Promedio, mediana y moda W Promedio El promedio, también llamado media aritmética (se escribe x ), es el resultado de dividir la sumal de todos los valores de [a variable por la cantidad de valores que forman la muestra. ' 5e registraron las venlas diarias de gaseoeas de 600 ml en delerminado quiosco, duranle una oemanay se o%uvieron los eiguienles - datos:20, 16, 17,22,20,26,25. 16+ 17 +20 +2O +23+25 +26 _ 16+ 17 +2.2O +2b ,/ + 25+-?g = 21 Moda La moda (se escribe mo) es el valor de la variable que aparece más veces, es decir, [a que tiene mayor frecuencia. En el ejemVlo anterior,ffio= 20. Mediana La mediana (se escribe m") es el valor de la variable que está ubi- cado en e[ lugar central luego de ordenar todos los datos de menor a mayor. La mediana divide la muestra de tal forma que deja igual can- tidad de datos a su izquierda que a su derecha. Cuando la cantidad de datos es un número par, la mediana es igual al promedio de los dos valores centrales. 0[eaiB[ENbiERl,l ?U'lÉb' 'b t€UAltA Y ttluA? EII[É,\\í b\É \€úAllA... 5i se ordenanlas cantidadee de qaseoeasvendidae, se obtienelo eiguiente. ,i 1 6: 17 ; 20:Ñ u- 23: 25: 2O {/ 'i ,t¡r:;r mediano 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Si la variable es cualitativa, ise pueden calcular las tres medidas anteriores? b. La moda, ies el mayor valor que alcanza la variable? c. ZCuál es la medida que divide los datos obtenidos en dos grupos? d. EI promedio, isiempre es representativo de los datos? toE I l+l+ i:JJ,Yi3il:H.o*n,y moda 27. Calculen el promedio, la mediana y la moda pan cada uno de los siguientes grupos de datos. a. 36; 38; 40:, 40;38; 38; 38; 42;38;36; 42;36;36;38. t:E t:D t:f--l '.:D '.:D '"=f:-:] '"=C::-l '":-] b. 28; 30; 28;28;28;28;29;35; Z9;30. '"=[:] c.32; 29; 42;34;34; 40;28. d. 25; 40; 56; 74; 74; 72; '=f:::l 28. 720:. 72:. 22; 44; 77; '.:D Calculen el promedio, la mediana 7OO; 16; 80; 77;32:'17;5. '": f:--] y la moda. Al lanzar un dado 30 veces los resultados que se obtuvieron fueron los siguientes. '= f:::] r": f---] 29. Completen los datos para que se verifiquen los resultados. a.75;76; fZ; 16; ffi.=16 ffio=16 b,15;76;f7; m" 30. [-l; = 16,5 16; ly¡o = [-l; 16 c.75;76;77; ffi" t6;C, : 16,5 mo: d. 15; 16; ffi" = C 77 77;76;CtC 15,5 mo : 16 Resuelvan. Juliana, Pablo y Ana han recibido las notas de sus dos primeras evaluaciones. Juliana obtuvo 7 y 6, Pablo8y5yAna,9y6. a. Si Juliana quiere tener un promedio de 8 y todavía debe rendir dos evaluaciones más, iqué notas tendrÍa que obtener para alcanzar el promedio deseado? b. A Pablo le falta rendir una sola evaluación, ipuede alcanzar un promedio de 9 con las notas que ya tiene? c Si Ana rinde dos evaluaciones más y obtiene un promedio de 7, Zcuáles son las notas que obtuvo? mnEEEanrt Egedmentos aleatorios. Plobabilidad simple Egedmenbs aleablios Existen situaciones en donde no se puede anticipar cuál será el resultado. A este tipo de situaciones, que dependen del azar, se las llama uperimentos aleatorios. Se denomina espacio mueshal al conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento. Cada uno de los resultados que forman el espacio muestral se denomina suceso. Experimento:f,irar un dado y obseruar el resulf,odo. Eepacío muesiral: 1 ,2,3,4,5,6. Para determinar el espacio muestral de un experimento aleatorio, se pueden usar, por ejemplo, diagramas de árbol y tablas. En unabolsa se colocaronñchas con números los 1,2,3. ) deires cifras distrinlasformadoe porlos dígr ¿Cuál ee el espacio muestral? A El eeVacio muestral esfáformado Vor loe números: 123, 132, Zg1, 88 E8 8E 213,321,312. Probabilidad simple En matemática se asigna un número a la probabilidad de que ocurra un suceso. Ese número puede ser 0, 1 o cualquier número comprendido entre el O y el 1. Probabilidad de un suceso (P) = ffi áetiraun dado: ,Todaslas caras de un dadotienenlamismaprobabilidad de salir. . Es más probable que salga un número ?ar que un divisor de 3. . Es seguro que salga un número natural menor que 7 . . Es impoeible, ejemplo, que ealga el número 10. Vor 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. Elegir qué remera usar, ies un experimento aleatorio? b. ZPuede el resultado de una probabilidad ser 3? c. iEn qué caso la probabilidad es igual a 0? r 1+5 ACTIVIDADES Experimentos aleatorios. Probabilidad simple 31. Marquen con una X los sucesos gue son aleatorios. a. El número que satdrá a[ tirar un Aado. b. Próximo partido de un campeonr,o. 32. (-.l c. Que llueva dentro de dos afas. fl O d. Ganar [a loterÍa. Escriban el espacio muestral en cada caso. a. Se tira un dado. b. Se tiran dos dados y se suman los puntos. c Se lanzan dos monedas. d. Se lanza una moneda dos veces. 33. tean atentamente y calculen [a probabilidad en cada caso. En la ruleta, los números van del 0 al 36 inclusive (el cero está pintado de color verde y del resto de los números, [a mitad son rojos y [a mitad, negros). Calculen ta probabilidad de que a[ arrojar una bola resulte alguno de los siguientes casos. fl "'-"LJ d. Un múttip," O" ,. a. Un número par.l- b. Un número de color c 34. Un número menor ,"¡..8 Or. ,r. e. un número mayor i ! or" oo. [J f. Un número menor o igual que 36. [f E Respondan. En la escuela están organizando un festival para recaudar fondos para una excursión. Los chicos prepararon un puesto de tiro al blanco con dos discos y los siguientes premios. DISCO A a ZCon cuál de los dos discos se tiene más posibilidades DISCO B de ganar un oso de peluche? b. En el disco A, Zcuál es la probabitidad de acertar en el color roio? c ZEn cuál de los dos discos es mayor la probabilidad de acertar en el color verde? .{ L*j U L**J L*-i L.**i i L# t i t-*i Cálculo combinatorio El cálculo combinatorio permite conocer la cantidad de grupos que se pueden formar con determi- nados elementos, de acuerdo con una serie de condiciones, sin necesidad de enumerarlos uno por uno. ?ablo, Guillermo, Verónica y Lidia com?rdron enlradas para ir al leaÍro y deben decidir cómo ubicarse. ¿De cuánÍas manerds puedenhacerlo? La primem ubícación tiene 4 posibilldades; Ia sequnda poslcíón, 3; la tercera, 2, y ia cuarta, 4 . 3 . 2 . 'l = 24.Iienen 24 maneraa distintas de ubicarse ) otro con mayor cantidad de elementos, también se puede utilizar el disLinlas pue den hac erlo? En este caso, la prímera ubicación sique teniendo 4 posibílidades y Ia sequnda, 3. Y no quedan más luqares. For Io tanto, 4 . 3 = 'l 2. Tienen '12 maneras distintas de decídir quié- nes van y en qué aaientos se ubícan. Hay casos donde se deben combinar elementos de distintos grupos. Marcosva air al ciney debe elegir qué ro?d?onerse.No se decide si llevar remera roja,blanca o neqra: si ponerse jedno negroo o azules y si llevar sus zaVatillas preferidae o los zapat os nuevos. ¿Cu ) . Si se quieren formar grupos con determínadas condiciones a partir de cálculo combinatorio. En el ejemplo anterior, si pierden doe enÍradas y deben decidir quiénesvan alfeatroy cómo se ubican, ¿de cuáníae manerdg ) 1 en los asientos. ántas Tiene Ni en 2 jeans y 2 parea de zapatillas. e p ar a ve bilsn}BnnusünkI ot)uslEnRüb uuilma. ¿E0¡[rfAg nm\Eilumo? wm,hnqE Si IATEI¡BETftN, buouogn{ng. sfir s e? sibili d a d e s 3 poeibles remerae, po t¡B,tlt&fy.üIlD[16 Porlotanto,3.2.2=12. Tiene '12 posibilidades distintas para vestirse. ) 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ZQué ventaja tiene el cálculo combinatorio respecto de los diagramas de árbol? b. Si además de saber cuántos números se pueden formar con distintas cifras, se quiere saber cuáles son los números, 2qué estrategia de resolución se debe utilizar? c. ZCuántos números de dos cifras distintas se pueden formar con los dígitos del 1 al 9? r l+ E ülJy,?13:?inatorio Lean y resuelvan. Laura está organizando sus vacaciones y tiene que elegir entre e[ campo, el mar o la montaña como destino. Para viajar tiene que elegir entre auto, micro o tren y para alojarse, entre el hotel o 35. la casa de una amiga. a. iDe cuántas maneras distintas puede combinar las opciones para poder organizar sus vacaciones? b. Si decide viajar en auto, icuántas opciones tiene para elegir? c Si su amiga no puede prestarle la casa, icuántas opciones tiene? 36. Respondan. Con los dígitos 2, 3, 5, 6 y 7 se desean formar números de tres cifras distintas. a. iCuántos números se pueden formar? ZCUántos de ellos son pares? b. ZCuántos son múltiplos de 5 y cuántos son mayores que 500? 37. Resuelvan. está realizando una selección para poner en escena la obra "Romeo y Julieta". Se presentaron Se Z actores y 4 actr¡ces. iDe cuántas maneras pueden elegirse a los integrantes de la pareia protagónica? 38. Respondan. El papá de Matías, Daniela y Marilina quíere regalarles a sus hijos un libro a cada uno. Tiene para elegir entre 3 libros de poesías, 4 novelas y 5 cuentos. a. Si a cada uno le puede tocar un líbro cualquiera, ide cuántas maneras puede realizar la compra? b. Si a Matías solo le gustan los libros de novelas, Zde cuántas maneras puede comprar? c. Si quiere comprar un libro de cada clase, Zde cuántas maneras puede realizar la compra? F I | menteAcflvA ,ur. de I confeccionar un examen se dispone de 4 problemas de geometría, 3 de aritmética y 2 o"o.' aparecer en rorma consecu'li. ;::::.::f:,"f:::::;::i:;':il:l:,ii":',ffffii:l" / lnrEEHAElún 39. 43. Marquen con una X la opción Respondan. En la siguiente lista se muestra el peso de un ) l+t+.¡+5.|+E grupo de 12 amigos. correcta. Se lanzó un dado 50 veces, con los siguientes resultados. 45 kg; 50 kg; 57kg;47 kg; sl kg; 60 kg; 55 kg; 53 kg;48 kg; 50 kg;46 kg; 50 kg a. ZCuál es la variable? ZDe qué tipo es? b. Calculen el promedio, la mediana y la moda. 40. a. iCuát es la frecuencia absoluta correspondiente a la cara 4? 16% Resuelvan. La siguiente tabla muestra [a edad de un grupo de chicos que integran el equipo de fútbot. a. Completen [a tabla. to Ü 10% Ü b. ZCuál es el porcentaje correspondiente a cara Ü r,6./" f]l rc./. C c. ZCuál es la probabilidad de que salga el 0,24 44. b. ZCuántos chicos conforman el equipo de fútbol? c. Calculen eI promedio, la mediana y la moda de las edades del equipo. d. Realicen un pictograma que muestre la situación presentada. 41. Calculen el promedio, la mediana y la moda en cada caso. a.3; 4;9;12:' 4;7; 8; 6;7; 4. b. 8; 15; 7;9;70; 6;5; 5;3. c 2;7;8; 42. 10; 10; 72:, 4;3. Resuelvan. [a 7? 0,16,% ) [-l n ,,oo 3? 24o/o Respondan. La siguiente tabla muestra [a cantidad de amonestados que hubo en [a última fecha del campeonato de fútbot. a. Completen la tabla. Racing 6 lndependiente 4 Boca 6 River 0 San Lorenzo 7 Vélez 2 Rosario Central 3 Dado e[ siguiente conjunto de datos. 4; 5; 6;7;8; 9; 8; 8; 9; 10; 12; 11; 10; 10; 11; 8;7; 5;9; 8; 8; 8 a. Calculen el promedio, la moda y [a mediana. b. 5i a los datos anteriores se agrega el 654, iqué ocurre con las medidas? iCambian? Expliquen sus respuestas. En determinadas situaciones, ison representativas todas las medidas estadísticas? c iPor qué? 28 b. ZCuál fue e[ porcentaje de amonestados que tuvo Boca? c iCuát es la frecuencia relativa de amonestados que tuvo San Lorenzo? d. iCuántos amonestados tuvo lndependiente? e. Realicen un gráfico de barras con las frecuencias absolutas. 45. 50. Resuelvan. Los siguientes valores corresponden a las precipitaciones registradas (en mm) mensualmente en una ciudad del interior del país. 4A 36 24 43 56 78 78 44 78 4A Respondan. Con los dígitos 3,4y 2 se forman todos los núme- ros de tres ciftas posibles para realizar un sorteo. a. ZCuántos números conforman el espacio 78 muestral? 40 a Calculen el promedio, la mediana y la moda. b. Realicen un pictograma que muestre los b. ZCuál es la probabilidad de que salga un múltiplo de 4? c iCuál es la probabilidad de que salga un registros. número impar? Escriban tres experimentos aleatorios y determinen sus espacios muestrales. 46. 47. Resuelvan. Se tiene un mazo de cartas españolas (50 car- tas) y se toma una. Calculen la probabilidad en cada uno de los siguientes casos. a. Sea de oros. b. No sea de espadas. c Sea imPar. d. Sea un comodín. e. Sea un número menor que siete. f. Sea un múttiplo de tres. 51. Resuelvan los siguientes problemas. a. Con las cifras 5, 6, 7 y 8, Zcuántos números de dos cifras distintas se pueden formar? ZY de cuatro? b. En una camioneta entran ocho personas. Si todos saben manejar, ide cuántas formas se pueden ubicar? c Una persona tiene cuatro remeras, tres pantalones, dos camperas y tres pares de zapatos. Si quiere vestirse con una prenda de cada tipo, icuántas combinaciones distintas puede realizar? 52. 48. Resuelvan. Una urna contíene siete bolillas rojas, cuatro blancas y nueve negras. Calculen las siguientes probabilidades al extraer una bolilla al azar. a. Que sea roja. b. Que sea blanca o negra. c Que no sea negra. d. Que sea de cualquier color. Calculen la probabilidad en cada caso. Antonella y sus dos hermanas compraron una 49. docena de facturas: tres medialunas de grasa, tres churros, cuatro medialunas de manteca y dos vigilantes. a. Si Antonella decide comer tres facturas, ácuántas posibilidades tiene para combinar las facturas? b. Si eligen al azar una factura, icuál es la probabilidad de comer un vigilante? ZY de comer una medialuna de manteca? iY una de grasa? Resuelvan. a. Para crear la bandera que represente al colegio de Ana se deben utilizar los colores rojo, verde, azul y amarillo. Si ta bandera tiene que ser con rayas horizontales, ide cuántas maneras diferentes se'pueden ubicar los colores? b. Eliana posee cuatro collares, cinco pulseras y cuatro anillos. Si desea ponerse un accesorio de cada tipo, icuántas combinaciones distintas puede realizar? c Nicolás tiene que rendir un examen oral en el que debe explicar tres de los siete temas gue se vieron durante el año. ZDe cuántas maneras puede organizar su exposición? d. En un restaurante el plato del día se puede armar combinando cada una de las siguientes opciones: una porción de carne o una de pollo; como acompañamiento, se puede elegir entre papas fritas, puré o ensa' lada y como postre, helado, flan o ensalada de frutas. iDe cuántas maneras se puede armar el plato del día? AuroEvALuAclón I I 53. Resuelvan. En la siguiente tabla se observa la cantidad de materias que deben recuperar los alumnos de una escuela en el mes de diciembre. a. Completen la tabla. ) b. iCuál es la variable? iEs cualitativa o cuantitativa? c Los datos obtenidos, icorresponden a la población o a una muestra? ipor qué? d. Realicen en una hoja el gráfico de barras que muestra la situación. e. Calculen el promedio, la mediana y la moda. ) f. iCuál es el porcentaje de alumnos que tiene que recuperar entre una y tres materias inclusive? 54. Resuelvan. tira dos veces un dado. Se a. Escriban todos los pares que se pueden obtener. b. Calculen la probabilidad de que la suma sea 7. 55. Respondan. En una escuela se deben cubrir los puestos de rector, director y vicedirector. Si hay diez candidatos, ide cuántas formas se pueden cubrir los cargos? t- h* Srruroór lllcrAr L DC APnErDtzAlE Observen la imagen y resuelvan. e lnventen un enunciado con los datos que se necesitan para responder a las siguientes preguntas. Luego respóndanlas. . Si se utilizaron 20 metros de soga, ca qué profundidad se encuentra el gancho? . iCuántos metros de soga son necesarios para alcanzar el cofre desde el barco? r ZCuántos metros debe descender aún e[ buzo para bnganchar el cofre? b. Comparen el enunciado que inventaron con el de sus compañeros. iSon iguales? ZTienen las mismas respuestas? llúmeros negativos. Orden y representación túmeros negativoc Los números naturales también se denominan enteros positivos. Los números negativos son aquellos que tienen adelante un signo menos. Estos números suelen utilizarse, por ejemplo, para escribir las temperaturas bajo cero, indicar los subsuelos de un edificio, las pérdidas de dinero, las fechas ocurridas antes del nacimiento de cristo, etc. +3 = -3 + 3 G fs un entero positivo. Es un entero negativo. Los enteros negativos, el cero y los enteros positivos forman el conjunto de los números enteros. ...-3,-2,-1 ,O,1,2,3., Orden y Los puntos suspensivos indicon que existen infinitos negotivos y positivos. representación Para representar números enteros en [a recta numérica, pueden seguir estos pasos: 1. Se ubica e[ cero y se determina una distancia entre dos enteros consecutivos. 2. Se representan los negativos a la izquierda del cero y los positivos a la derecha. -4-3-2-101234 A partir de la representación en [a recta, se puede decir que un número es mayor que otro que se encuentra a su izquíerda. ' -5 es mayor que -6. tódulo o Yalor absoluto Se llama módulo o valorabsoluto de un'número entero a la distancia que existe entre ese núme- ro y el cero. l-21= 2 5e lee nabr obsoluto de -2 es igual a 2'. l2l= 2 Se be nabr obsoluto de 2 es iguol a 2'. -3-210123 Dos números son opuestos cuando tienen el mismo valor absoluto y distinto signo. 2y -2 son opuestoe. -(-2) = 2 Se lee 'el opuesto de -2 es iguol a 2". f- Respondan y expliquen las respuestas. a El cero ies positivo? 2Y negativo? b. iEs cierto que e[ valor absoluto de un número entero siempre es positivo? c Dos números distintos ipueden tener el mismo módulo? il t+7 ffi:i3i?t-?-,*"-s. clrri*n v represenracién 1. Indiquen el número entero que conesponde a cada situación. a. Se realizá un descuento de $ZO en la primera compra con tarjeta de crédito. b.Seacreditan$tsalsaldotelefónicoporunapromoción. c.Laplayadeestacionamientoseencuentraene1tercersubsuelo. d. Maria Angélica tiene una deuda de $:oo. e.Ene1nordestedeFrancialatemperatural1egóalos15gradosbajocero. f.Laempresadisminuyó[asventasenunpromediode50O0unidadespor'",.D 2. Escriban una situación que represente el número entero indicado. 3.Completencon()o=. a.-r!+ c. u.-r!r-rr d. 4. -s [-l Fst r.-z!-+ [-l-z e. r+t -34[-l-usz g. l+31 C h.l37l o l-31 -37 Representen en la recta numédca cada número y su opuesto con un mismo color. -5; 4; -9; 6; -2; 8 01 5. Observen y resuelvan teniendo en cuenH que o, b y c representan números enteros. a. lndiquen el signo de cada uno de los números que representan las letras y expliquen por qué. b. Teniendo en cuenta el ítem anterior, iqué signos tendrán -a, c. iCuát es e[ opuesto de b? -b y -C Í: F k É Adición sustracción Para resolver sumas y restas de números enteros, se deben tener en cuenta estos casos. . Si los números enteros tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos y el resultado lleva el mismo signo que los sumandos. En una ciudad, alae 7 de la mañana ee regielraron 3 grados bajo cero. Unahora después,la temperaturabajó -3 - ) 1= -4 un grado. ¿CuálfuelaÍemperaturaregislrada alae B delamañana? La temperatura fue de -4 oC. r Si los números enteros tienen signos distintos, se restan sus valores absolutos y el resultado []eva el signo del sumando que tiene el mayor valor absoluto. 9i dos horae deepuée,latemVeralura eubió 5 grados, ¿a cuánto aumenÍó latemperaf,ura? -4 + 5 = 1 La temperatum aumentó a'l oC. Si en e[ cálculo aparecen paréntesis, se los debe eliminar aplicando estas reglas. ) . Si e[ signo que lo precede es "+", el signo del número encerrado entre los paréntesis no cambia. -15+(+12)=-15+12=-Z -9+(fl--9-4=-13 . Si e[ signo que lo precede €s "-", el signo del número encerrado entre los paréntesis cambia. ) ]CND N \íA IIABIANb \E ANffiES¡ \tE ]Htr$ CANgA\o, t'tgeR ttÉ bt AVERAbÑ\ERÉE. 3-(-2O)=3+20=23 5-(+16)=5-16=-11 1. Respondan y exptiquen las respuestas. a. La suma de dos números negativos, ida como resultado un número negativo? b. La suma de dos números enteros, uno positivo y e[ otro negativo, Zda como resultado número negativo? c iCómo se puede escribir una resta de números negativos como una suma? d. iEs cierto que la suma de dos números opuestos es 1? un r l+E i:Il#1'nrrac*ér¡ 6. Resuelvan las siguientes sumas. a.3 + (-4) : b. -2 + (-3) D D : c-5+G3): o o d. -2 + (+9) : e,3+(-¡): n f.3-(+5): s. -2 - (-2) = h. -3 - (-5) = 1.4 - (*3) : i. -e - (-3) : ü D c D C 7. Completen con el número que verifica la igualdad. ".Ü +(2):7 ",Ü+ b.-5+(-3)=C 8. Lean atentamente d.-3 + e.4+(Ü) :-. r.[+(+12):6 (+5) = 3 (Ü) =, y respondan. lazmín tiene una deuda bancaria de $¡OO. Si quiere saldar la deuda, Zcuánto dinero tiene que depositar? iCuál es la operación que representa esta situación? y calculen cuál es el número. a. La diferencia entre un número y -5 es igual a 2. 9. Escriban en lenguaje simbólico b. La diferencia entre un número y c La diferencia entre un número -9 es igual a 10. y 3 es igual a 0. 10. Completen la tabla. menteACT|VA En la calculadora de Malena no funciona el signo mente la suma 340 + 520. a. iQué operación pueden hacer? b. áCuát es el resultado? "+'y necesita verificar si resolvió conecta- Multiplicación y división Para multiplicar o dividir números enteros, se deben tener en cuenta estos casos. . El producto entre dos números de igual . signo es un número positivo. tinto signo es un número negat¡vo. 4.2=2+2+2+2=B El producto entre dos números de dis- 4.(-2)=-2-2-2-2=-B (-4) 2=-4-4=-B -(-3)=(-1).(-3)=3 \t \-/ . . Si se dividen dos números de igual signo, el resultado es positivo. Si se dividen dos números de distinto signo, el resultado es negativo. 1O:5=2?orque2.5=1O 10 : (-5) = -2 ?orque (-Z) . (-5) = 10 (-1O):5 = -2 ?orque (-Z) .5 = -1O (-1O) : (-5) = 2 porque 2 . (-5) = -1O Para saber elsigno de una dívísión o muttipticación de números enteros,se puede utí[izar la regta de los signos. . Sí los sígnos de los dos números son iguates,e[ resuttado es positivo. +.+=+ . -,-=+ +',+=+ -',-=4 IA CCAAVAETIAL Si los signos de los dos números son distíntos,e[ resutta- do es negatívo. + -=- El - 1=- +,-=- (-86fl : 216 de 864 . 216 y de (-86fl : (-216) resultado de 864 . (-216) y de El resultado -'+=- Crslbtül[Ulft¡$ bEl¡0lf6Nffifi\hA tg il'ruSE qnfcÉA-: es negativo. ee Vosifivo. 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. iEs cierto que (-3) . (-S) es igual a 6? b. El producto de un número positivo por un número negativo Zes un número positivo? c. El cociente de dos números negativos Zes un número positivo? d. ila regla de los signos para el producto es la misma que para e[ cociente? e. aA qué es igual el cociente entre un número y su opuesto? t t+ t t-T,llJilffi',, y divisién 11. Resuelvan las siguientes mulüplicaciones. a.3.(-2):O b.7 .0: O c. (-rz).eA: d.-2 .3: s.-2 .3 . F2): h.-3. (-2).(-1) = O C e.725.(-2).0: f.-2.(-5).eo):D C i.-2.e4).to: o 12. Completen la tabla. -2 3 -3 5 0 7 -1 -4 4 -2 13. Resuelvan las siguientes divisiones. a.72; F¿ = b. -18 c. -34, (-2) : C d.-725 :25 : (-3) : O = e. -60 , rz = f. -1oo , (-2) [-l : O 14. Completen con el número entero que f'alta para que se cumplan las siguientes igualdades. o.n.(-5):1oo c. -7 .l-l : -270 o.E.e3):t+z e. 15.D:-ou f---] : -ru n.f_J:(-6)=o s. -725, t'D:(43):1 15. Lean atentamente y respondan. Romina le pidió a su papá $600 prestados. a. ZCuál es el número entero que representa la deuda que tiene Romina con su padre? b. Si en el mes de septiembre le devuelve un tercio del dinero, Zcuá[ es la operación que debe realizar para calcular cuánto [e tiene que dar a su papá? c. ZCuál es el número que representa la cantidad que aún le falta pagar? menteACT|VA iQué signo üene el resultado de cada cálculo? a. (-5) . (-15) . e25) . (-45): (-s) : (-1s) . (-115) . (-115) : (-5) b. (-8) . (-8) . (-64) : (-8) . (-4) . (-128) : (-16) : (-1) c (-240) . (-344) . o . (-441) : (-3) . 504 : (4) . (-115) : (-80) I t l iE ¡r ttf¡ti¡¡*á¡ttiÍ¡*b L re =. j F*¿*{ii t,*,,*,,i, L**&gl¡i t"*édj¡rL*"*#¡;L.-**,:;j;l L, _ *j ¡ Operaciones com binadas Para resolver un cálculo combinando las cuatro operaciones con números enteros, se deben seguir los mismos pasos que con los números naturales. -42.o:4+4+s q-$-ffr= -252 : 4 + 4 + (-1 5) - (-16) 1. Se separa en términos. 2. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones, aplicando la regla de los signos. I = -63+4+(-15)-(-16)= -63+4-15+16= 3. Se suprimen los paréntesis. 4. se resuelven las sumas y restas. ;l.T#flüjll @+16)-(63+15)= 20-78=-58 rEla de los siqnos. Para resolver un cálculo combinado donde hay paréntesis, primero se separa en términos. Luego resuelven las operaciones que ellos encierran. (-17 - 41) . (-2) + e6: (-32) - 1oo (-58) .(-2) + e6: (-32) - 1oo = 116 + (-3)- 1OO = = 1. Se separa en términos y se resuelven las operaciones que se encuentran entre paréntesis. 2. Se resuelven las multiplicaciones y divisiones. 3. Se suprimen los paréntesis. 116-3-1OO= 116 - (3 + 1oo) = 116-1O3=13 4. Se resuelven las sumas y restas. PRiUEbTA¡€p qf, o&RAR A UN lAe€lüE lÉ ArErüuctrgr \EsrÉg A 0rrA t6mE, cñiAR¡rTAg,Y TIASTARE A ofBosÉr*,\É rA ftritrA. eSrg qf qt Sol¡ otÉRA[hf6 o,tsllA\4$.- 1. Respondan y expliquen las respuestas. a. ZEs cierto que -1 + 1 . 2 : 0? b. En un cálculo combinado, ise pueden resolver primero las sumas y las restas y luego las multiplicaciones y divisiones? c. iQué significa el signo menos delante de un paréntesis? I 5 n ff-'Iitf-t-?combinadas 16. Unan con una flecha cada cálculo con su resultado. a.3-5.(-z)+s: b. -23 . (-2) * 23 - o -25 72: (-6) : c 45 - 45 : (-9) + 8 - 7 . (-3) = d. 79 : (-rq) + 15 . 0 - 18 . 3 : e. 15 + 16 : (-4) + 12 . (-3) : .77 . 2'J. 17. Observen cómo resolvieron Martín y Laura los cálculos y respondan. Martín 2-5.(-2)+4: 4.(-2)+4 6+4=ro st o 0 r i3 'rf ¡t @ Laura 2-5.(-Z)+t+: 2-7O+4 -8+4:4 iResolvieron correctamente los cálculos? ZPor qué? 18. Resuelvan los siguientes cálculos combinados. a.-'J,. (-3) + 6 : (2-tS z3) + 4: b. 18 : 02 - 3 . 2) + 2 . (26 - 72 . 3) c24-672: (-36-5.12) -15 : d. Ot +16) . (-1) - (23 = - 6) . 3 = 19. Coloquen los paréntesis donde conesponda para que se verifiguen los resultados. a.72-3 b,72-3 c.12-3 20. 4-5 4-5 4-5 -55 . .79 2:26 2:-10 2:-2 d.12-3 e.72-3 f.72-3 4-5 4-5 4-5 Rodeen el resultado conecto en cada caso. a. El triple de la diferencia entre cinco y doce. -27 2t b. El doble del opuesto de tres más cuatro. t-142 c. La tercera parte de la suma del opuesto de ocho y el módulo de 1-3-1 5. 2=-54 2:7O 2:18 lnrEEHnnmn 2f. l+7-19-l'l9.5n Ubiquen en una recta numérica los siguien- tes números. a. -5; -:L;2; -2; -6;8 b. -'L; -3;0; -10; 72; -72 22. Escriban un nfimero que represente cada situación. a. La temperatura-fue de 3 grados bajo cero. b. La deuda bancaria es de $500. c Una fosa marina es de 8800 m. d. Tengo $zoo. e. Debo $zoo. f. Un bebé bajó 300 g en su último control. 23. Lean atentamente y respondan. ¿ ZQué número es mayor: -3 o elopuesto de 8? b. iQué número es mayor: el módulo de -5 o 5? c iQué número es menor: -4 o el opuesto de 5? d. iQué número es menor: el opuesto de 3 o el opuesto del módulo de -3? 24. Completen con el anterior y el posterior cada número. a. b. c. d. .€. t t-l t-l ,-r,f---] ( r-l -500, ( t-3t ( [-l f-l (-(-31),f:.'] 25. tean atentamente y respondan. a. iCuántos números naturales se encuentran entre -6 y -3? b. ZCuántos números enteros se encuentran entre 26. -6 y -3? Completen con a.-r!-r u.o!-z c -a fl a. ro f-l -zo rst (¡ ) o =. [-l-rs t.-+Q-z s. atilQlrz rr. + ['-l r-zr e. -rz 28. Resuelvan las siguientes sumas d. -3 + (-5) = b. -4 + (+8) = r-e-(-3): d.0-(+3): e --72 - y restas. G2) : f. -79 - (+19) = s. -7e - (-1e) : h. 20 - (+24) = Lean atentamente y respondan. a. Si a pertenece a los números enteros, iqué 29. número hay que sumarle para que dé como resultado cero? b. Si b pertenece a los números enteros, iqué número hay que restarle para que dé como resultado cero? c Si c es un número entero negativo, isu opuesto es un número negativo? de ,-o,f.-] f-l f-l 27. Orde¡en de menor a mayor. a- -{20i;r,4; -36; l-zl;-lr37; o b. -40; -l-t+l; SZ; -3; 4;723;7 c.15; 44;0; -2;33;740; -72;3 30, Lean atentamente y resuelvan. a. Un famoso matemát¡co nació en el año 384 antes de Cristo y murió en el año 322 antes de Cristo. iCuántos años vivió? b. Algunos documentos afirman que Thales de Mileto nació en el año 624 a. C. y hlleció en el año 547 a. C. iCuántos años vivió? c Si una persona nació en el año 15 a. C. y murió en el año 43 d. C., Zcuántos años vivió? 31. Resuelvan los siguientes problemas. a En una montaña donde se practica esguí, la temperatura más alta fue de -3 oC, y la más baja, de -25 oC. ZCuál fue la diferencia de temperatura? b. Un avión vuela a 9000 m y un submarino está a -850 m. iCuál es la distancia entre ambos? c Cecilia tiene $250 en el banco y debe pagar $fSO ¿e lnternet y $180 de expensas. ile alcanza el dinero? iCuánto le falta, si ademáÉ quiere pagar $tZO de la cuota del gimnasio? 32. 38. Resuelvan. Hernán se retrasó varios meses con el pago del servicio de televisión por cable y financió su deuda de $zeo en 6 pagos. a. Si abonó $520, ¿cuántas cuotas pagó? iCuál es el valor de cada cuota? iCuánto dinero [e falta pagar? iQué opera- b. ción debe realizar para averiguarlo? 33. Respondan. a. ZCuál es el triple de -3? b. iCuál es el número que al dividirto por -2 dé como resultado 5? c ZHay algún número que al dividirlo por -7 Completen y respondan. a. ZCuáles pueden ser los factores para que se verifique e[ siguiente producto? C O=,, b. iExiste una única posibitidad? En caso de existir otra, indiquen cuál. c ZPueden ser los dos factores positivos? iPor qué? 35. Resuelvan las siguientes divisiones. a. -15 : G3) : il. t4 : (-7) = ¿.24 . (-t) b. 1o : (-2) = G -18 : (-3) : : f.t6:o: (, ) s = sin hacer lq cuen' ta. Expliquen cómo lo pensaron. 36. Completen con a.2 . (+l !e b.-4.(-r)!rz c.-4:{-zl!-z d.18:{-r)!z 37. Resuelnan los siguientes cálculos combinados. a.2.(-3)+5-15:(-3): y respondan. Julia introdujo el siguiente cálculo en la calculadora: 3 - 5 . 2 + 4 y obtuvo 0 como resultado. ZEs correcto? iPor qué? 39. Resuelvan. - - 72. (-3) = b. -(23 - 36) .(-3) - 34 , (-2) : c. 48 - 3 . 29 - (3 - 23 . 4) - 24 : (-24) : d.-53-(4.2+18)-20= e.-30-72.2-Ge-4.2)= l. 25 - (-t . ++ 5 . 8) - 3 . (-7) : a. 2 40. - O2 45) + 3 Escriban en lenguaje simbólico y resuelvan. disminuido en dé como resultado cero? 34. Observen atentamente b. tz + 3 : (-3) - 76 - 4 z F2) : G -3 . 6 . e7) - 60 + t2: (-6): d. 34 . (-$) + 72: (-3) - 4 . e, : e.23 - 25 . (-5) + 725 - 72 = a. El doble del móduto de -8 4 unidades, aa qué es igual? b. La mitad de la suma entre el opuesto de 8 y 20, ia qué es igual? c E[ producto entre el opuesto de 4 y un número es igual a -72. LCUáI es ese número? d. El cociente entre un número y et módulo de -5 es igual a -6. iCuát es ese número? e. La diferencia entre e[ siguiente de -3 y el opuesto de un número da por resultado -5. iCuá[ es ese número? La suma entre e[ opuesto de 4 y un número es igual a 14. ZCuá[ es ese número? f. 41. Resuelvan los siguienbs cálculos combinados. a. -22 : (-rr) - (-18 + 14 : 2) + (-7) : b. z + 8' (-a) - 14 + (a2) : 4l : c. (-24), (-6) - [8 : (-4) - (-2 - 3)1. z + t : d.(-3) +3.(-4 + 5) - 5.1-2+7 .(t) + 9l = e. (-1 - 8) : (-3) + ( e - 2 . 5) . (-2) . (-2) = f. -(-+ + 5) + 3 - 27 : (-7) : 3 . (-19 + 22) : 42. Respondan. a. iEl triple de[ opuesto de qué número sumado cinco da como resultado L4? b. iEt doble del siguiente de qué número da como resultado -10? ZLa tercera parte de qué número es -30? d. ila suma entre qué dos números enteros c. es -15? e. 2La diferencia entre qué dos números enteros es -L0? AuroEvALuAclór 43. a 4Il. Escriban un número que represente cada situación. segundo subsueto. f-l Ordenen de menor a mayor b. Debo sloo. f-l c euinto piro. [-l y representen en la recta numérica. -18; l-211; 6; -75;9 45. Completen la tabla. 46. Resuelvan las siguientes operaciones. a.15+(-3)= c -9 - b. -12 + d.76 . (-2) = 47.ltnan (+8) (+72) e. J.-75: (-5) cada cálculo con su resultado. o _I7 o74 .79 o -22 o -32 o24 a.3.(-2)+5.4= b.-z+3.(-4)+7: c.72:(-2)+a.(-s)+6: ll. -4 - 76 : C4) - 72 + 5 . (-z) = e.72 + (-z) . t+ - 10 . (-2) : f.75-(-r0):(-8)+3.2= 4& ) 18:e9)=O o -l¡ o-/ Resuelvan las siguientes operaciones combinadas. a.3.(-2+5)-(4-5.2): c--72-(3. b.7-(2-4)+6: ¿ -(-3 + 4 . 2). 5 - 2 - 8) + 72 (-6): (s . 2 + 3) = =n FECTTA crpfrulo I Números naturates c Plrulo t Fracciones y expresiones decimales c/¡¡rfrure J Funciones cepfrulo l+ Cuerpos c*pkulo S Ángutos cAPíruLo E Figuras planas cnpfrulo 7 Perímetro, área y volumen crpín¡ro E Probabilidad y estadística crpÍn¡ro t Números enteros EE EITREü cff.rncActór Números naturales En un juego de mesa, hay cartas con descomposiciones de distintos números. Cada jugador recibe una tarjeta con un número y debe [evantar cartas deI mazo hasta juntar las tres descomposiciones que corresponden a su número. Gana e[ que logra juntar primero las tres descomposiciones. Lota jugó con Flor y con Marcos. Estos son los números que les tocaron a los chicos. -"--"f g LoLA X L:JUrcAe"*L +oo+o -- o 1 44oo5 I t I 4 ¡-" a. Flor dice que ganó. Estas son las cartas que juntó. iTiene raz6n? ZPor qué? 4OOOOO+4OOO+B 4.105+4.103+B.1Oo t 4.1OOOOO+4'1OOO+B ,-:_.¡ b. iQué cartas debía juntar Lola para ganar? ZY Marcos? 2. Descompongan los siguientes números en potencias de diez y respondan. 45650 : 54506: a. Si las cifras de los números anteriores son las mismas, Zpor qué los números no lo son? b. ZQué posicíón ocupa la cifra 6 en cada número? iRepresentan el mismo valor? iPor qué? )' - 3. Rodeen con color el número que cumple con las condiciones indicadas. y menor que 123. Todas sus cifras son diferentes. La cifra de las unidades es la Es mayor que372 mitad de la de las centenas. La diferencia entre las centenas y las decenas es 1472 1 540 7545 1653 100. 4. Resuelvan e indiquen las operaciones que tienen el mismo resultado. a. lro60.z'-.,[9oo z3= b. (103)'? : (103 . tG) + 1[64 = c (5. . 5 . 59 : (57)' +-,tB d. 'tr6E + \86- . 't]rÉ : -./9 - G .2)o = 5. Escriban lo pedido en cada caso. a. Todos los divisores de 36: b. Los primeros seis múltiplos de 13: G E[ mcm (78;24;30)z d. El dcm (78;24;30): e. E[ mcm (48;56;84): f. el dcm (48;56;84)z 6. Unan con flechas la expresión simbólica que corresponda con cada enunciado. .2. (a + 1) + 10 a. E[ doble del tripte del anterior de un número. . 2 . 3 . (a - 1) b. Et dobte del anterior del triple de un número. o 2 . (3a - 1) c El siguiente del doble de un número aumentado en 10. o (2a + 10) + 1 d. La suma entre 10 y el doble del siguierite de un número. 7. Resuelvan las siguientes ecuaciones. ,., . (t+ 4x) : 2x +.,[87 . b. 3x + 16 + 5x - (2 . 5 + 1) c 3 . (x2 + 50) + lÍ:l . 2 + 6 . 3 ^l@ = 2z : 6x + (72 - 8) d..,/x-úoo:2=42-4.2 Fracciones y expresiones decimales 1. Marquen con una X las figuras en donde se pintó ".o o. f. o.! ..o fl 2. lndiquen la fracción que representa cada letra. Luego, escriban la expresión decimal que corresponde en cada caso. 0 E t-r : ct- b= 3. b1 E : r-r 2d c E =f-:l L- d= E = e3f e= E f: E c-] : f-r = t-l Exoresen como fracción irreducible. ''#=E '#:E 4. Marquen con una X las fracciones decimales. -99 r" l ooo b.# a.$ ''s:B ''ás=E ''#:E ".+c 5. Ordenen de menor a mayor. #rt, 6. o,2;?;0,301; 0,3; l; o2 Escriban [a expresión decimal que corresponde a cada fracción. lf; : b.+ = a. f-l f-l "3=f-l d.+=f-l ".# f.3: = t-l [-l 7. Completen con (, ) o =, según corresponda. .. f [-l b.33 o,zr C r,t " lf [-l o,oo+ u.!!r,6 [-l o,ttt t,t,rQ33 e. o,57 8. Escriban como fracción ineducible. ¿o,ee:E b.o,e=B co,oe=B d.o,27=B 9. Escriban en lenguaje simbólico a. La diferencia entre la e.0,72:E y resuelvan. raíz cúbica ae { V e[ cuadrado de 7,2. b. El cociente entre el cubo de 0,2 y la raízcuadrada de la diferencia entre 1 y E. c. La suma entre e[ cuadrado de ta mitad de d. El producto entre la raíz cuarta Oe f V 0,39. fr V la raíz quinta de $. 10. Resuelvan las siguientes operaciones combinadas. ,S-t8.4 ,E: b.(3)'- (+)',. 1L # +: c- 0,22. T .r iF - 0,6 = d.0,52:|+2,5-ffi: Resuelvan las siguientes situaciones problemáticas. a. De un rollo de cinta de 25 m, se deben cortar 1,2 m para la confección de moños. iCuántos moños se pueden obtener? ZQué porcentaje de la cinta sobra? b. En un libro de Matemática se destina el 65"/" de las páginas para eiercicios, el 25% del total para la teoria y el resto para los trabajos prácticos. Si tiene 24 páginas de trabajos prácticos, Zcuántas páginas tiene el libro? iY las demás secciones? Funciones 1. Resuelvan. a Escriban las coordenadas de cada punto. a- b= L- d= e: f: 0 ) b. Representen los siguientes puntos en un sistema de ejes cartesianos. : b: a s (ZOO;/+) (400;6) = (50;2) d : (o;8) e : (250;10) f : (450;72) 2. Resuelvan. E[ siguiente gráfico muestra a la cantidad de casas vendidas durante un año. ZCuántas casas se vendieron en el mes de mano? t4 b. iEn qué meses se vendieron más casas? o / o F c. jEn qué mes se vendieron 180 casas? iY menos de d. L, / 7707 ZEn algún mes no se vendieron \ casas? e. iCuántas casas se vendieron entre abril y \ I \ I / 0 :s julio inclusive? .L !o 3. Completen las tablas para que se cumpla lo indicado en cada caso. Escriban la constante de proporcionalidad. a. Variables directamente proporcionales. b. Variables inversamente proporcionales. 42 5 14 21 10 o: 35 f__:l o: [-l 4. Escriban un ejemplo de proporcionalidad directa, uno de relación de proporcionalidad inversa y otro de relación no proporcional. 5. Resuelvan. Malena quiere ampliar una foto de su perra para colocarla en un portarretrato, sin que se deforme. Las medidas reales de [a imagen son de 10 cm de ancho por 15 cm de alto. a. Si el ancho de la foto debe ser de 30 cm, Zcuánto debe medir el alto? b. Si el alto de la foto pasa a ser de 30 cm, Zcuánto debe medir de ancho? c La relación entre el ancho y el alto de la foto, Zes directa o inversamente proporcional? iCuál es la constante de proporcionalidad? 6. Lean atentamente y respondan. Guadalupe recorrió, con su bicicleta, cierta distancia en 2 horas con una velocidad de 20 km/h. a. Si quiere reducir la velocidad a [a mitad, Zcuánto tiempo tardará? b. Si quiere recorrer la misma distancia en una hora, ia qué velocidad debe ir? c. ZLas variables son directa o inversamente proporcionales? ZCuál es [a constante de proporcionalidad? Cuerpos 1. Completen con el cuerpo que corresponde a cada objeto. a. Rollo de servilletas. e. Pelota de tenis. b. Caja de zapatos. f. Tanque de agua. c. Dado. g. Ladritlo. d. Bonete. h. Lata de pintura. 2. Escriban V (Verdadero) o F (fabo). Expliquen las respuestas. a. En cualquier pirámide, [a cantidad de caras coincide con [a cantidad de vértic.r. O b. Un prisma de diez caras tiene diez vértices. c Un cilindro no tiene .urur. [-] d. La cantidad de aristas de la base de cualquier pirámide es igual a la cantidad de vértices menos 1 O 3. Marquen con una X cuál de tos desarrollos corresponde a un prisma de base hexagonal. ab.c. 4. Copien el siguiente desarrollo y construyan el cuerpo. Luego, rodeen con color el cuerpo que corresponde al desarrollo. 5. Unan con flechas la cantidad de caras con el nombre del poliedro regular conespondiente. a.72 r b.s o Octaedro c4 o lcosaedro d. o Tetraedro 15 . e.20 Cubo Dodecaedro Í.6 6. Representen la siguiente situación y luego, completen con ll(Paralelas) o I (perpendiculares). ^ll4cLAyBllo rO. 7. Completen con .Co oCo ll(paralelas), -|. (perpendiculares), -¿i (oblicuas) o AL (alabeadas). B D Calculen lo pedido en cada caso teniendo en cuenta los ángulos dados. a(d*0)'t= fi = xF ut, f; = TT 2T; i = n&B: 30' c'i-(&.01: d.ff'r*f: b.iz2-&: ) ) ) 2- Coloquen una X para indicar la relación que existe entre & y f,. 3" Escriban las ecuaciones y resuelvan. a El b. La tercera parte de un ángulo es de 15o 20'. iCuánto mide el ángulo? triple de un ángulo es 1650 30'. iCuánto mide el ángulo? e. La suma entre el doble de un ángulo y su suplemento es 200o. iCuánto mide el ángulo? 4. Calculen el valor de los ángulos desconocidos Datos: PAQ &": ) 22o 35' l-l ¡.8*&= [-l a€-c[': .A*d*é:f-l y resuelvan. t-l 6- l-l ¿B= f-l ¿6.4-a:r-l e.tA-6).r=t---l Í"&"22*t= f--]' 5. Resuelvan. a Dibujen un ángulo obtuso y divídanlo en cuatro ángulos iguales. 6. Tracen lo pedido en cada caso b. Dibujen un ángulo cóncavo y tracen su bisectriz. y completen. a Tracen [a mediatriz de mq y llamen f al punto medio. b. Tracen las mediatrices del n¡t y det tq. Llamen r at punto medio de nrt y z al punto medio de tq. c Escriban V (Verdadero) o F (Falso) según corresponda. . nrr mide lo mismo que tz. . nrr mide lo mismo que tq.O . f es punto medio delE. O 7. Planteen la ecuación y calculen el valor de cada uno de los ángulos de las figuras. a Datos: MIT a=7x F:4x+18o t=5x+80 &=O 6:C t:O &=O 0:O A:O t:O b. Datos: ft,:4x+72" &. = 6x- 24o F:2x-too Figuras planas 1. Lean atentamente y resuelvan. Una artesana quiere armar portarretratos de forma triangular. Para ello, cuenta con dos maderas de 8 cm, dos de 5 cm, cuatro de 9 cm, dos de 72 cm, dos de 15 cm y tres de 3 cm. a. Completen la tabla con algunas de las posibles combinaciones que puede armar según la longitud de las maderas. Tengan en cuenta la cantidad que tiene de cada una. ) b. ZPuede armar portarretratos con todas las maderas? ZPor qué? c ) Clasifiquen los triángulos que forman los portarretratos según sus lados y sus ángulos. 2. Resuelvan. a Calculen la medida del lado desconocido FIGURA A ) -:[-l sabiendo que e[ perímetro total de cada potígono es 35 cm. FIGURA B FIGURA C n:[-l ':f_:J b. Calculen [a suma de los ángulos interiores (SAl) de cada uno de los siguientes polígonos. 3. Calculen la medida de los ángulos desconocidos. a. En el trapecio isósceles defg, el 0 mide et cuádruple Aet á y el é mide 36o. b. En et pentágono irregular stuvw, et t mide ta mitad del A. rf ü mide 3Zo más que et t. rt mide 47o más que et A. ¡t fi mide 10 más que el tytmider3o". V 4. Tracen en las siguientes circunferencias lo pedido en cada caso. c. Un diámetro pq Una cuerda ab de menos de 3 cm y otra a cuerda cd de 3 cm. b. Una cuerda ft a de más de 1,5 cm y uno de y una cuerda E perpendicular [!, de menos de 2,5 cm de longitud. d. Un sector circular con un ángulo de 80o. los arcos que quedan determinados. 5. Completen la tabla. lrregular 3 360" Regular Trapecio isósceles lrregular 4 Regular 600 Regular Regular 6. 1 0800 400 Construyan en sus carpetas las siituientes figuras. a. Un triángulo isósceles cuyos lado$;iguales midan 5 cm y el lado desigual mida 3,5 cm. b. Un paralelogramo cuyos lados midan 2,5 cm y 4,7 cm y uno de sus ángulos mida 45o. c Un pentágono regular de 4 cm de lado. Perlmetro, área y volumen 1. Ordenen de mayor a menor. a,7 500 dm; 48 m; 5 600 mm; 0,5 km; 50,4 dam b.3,2 dam2;500000 mm2; 0,052 hm2; 800 dm2 c. 0,65 m3; 0,0012 dam3; 420000 cm3: 3000 dm3 d.3500 l;4 kl;9800 dl;12 hl ) 2. calculen el área lateral, el área total a. Cilindro. Área lateral: 12 cm Área total: ) Volumen: y el volumen de los siguientes cuerpos. b. Pirámide de base cuadrada. f-l Área lateral: f-l f-] t-l Volumen: f-l 6 cm Área total: (-l 5cm 3. Completen la tabla sabiendo que se hata de pdsmas de base regular. 4. Cuadrada 1cm Pentagonal 2dm Hexagonal 3m Octogonal 3mm 2cm 3dm 3m cm3 27 m3 24 ml 15 dm2 1m 10 mm 24 320 mm2 476 mm2 480 mm3 0,48 ml Resuelvan. Se volcaron en tres momentos diferentes 500 l, 25 000 cl y 82 dal de agua en un tanque cilíndrico de 1 m de diámetro. Si el tanque se llenó, icuál es su altura? 5. Ordenen de mayor a menor. Escriban previamente todas las expresiones en litros. 2,5 4 - 42O cm, - 0,075 kl - 3 dmt - ?,2 dal- 0,OOg hl 6. Resuelvan. a. Un prisma tiene una base de forma octogonal. E[ perímetro de [a base es de 40 cm y su apotema mide 3 cm. Si e[ volumen es de 600 cm3, icuánto mide la altura? b. El perímetro de la base de un cono es de 314 cm. Si la altura es igual a[ diámetro de la base, icuál es el volumen del cono? Expresen e[ resultado en dm3. c El área lateral de un cubo es de 64 mm'?. iCuál es su volumen? d. El volumen de una pirámide de base pentagonal es de 25,5 cm3. Si [a altura mide 6 cm, icuánto mide el área de la base? 7. Piensen y resuelvan. Pilar quiere pintar un vitraux utilizando acrílicos de diferentes colores como indica el dibujo. a. ZCuál es el área que ocupa cada color? b. Si cada frasco de acrílico rinde 500 cm2, icuántos frascos de cada color necesita? 2m 8. Respondan. a. Andrés llena una bañera con forma de prisma rectangular de L m de largo, 60 cm de ancho y 40 cm de alto para bañar a su perro. iCuántos litros de agua necesitará para llenarla? b. Francisco construye cajas de aluminio de 50 cm de ancho, 70 cm de largo y 30 cm de altura, sin tapa. 5i desea construir 2O cajas, icuántos m2 de alumínio necesitará? c. Martín debe colocar dados de 2 cm de arista en una caja de 1,5 dm de ancho por 100 mm de largo y 8 cm de alto. iCuántos dados entrarán en la caja? d. Et termotanque de la casa de Pedro tiene forma cilÍndrica de 7,52 m de alto y 45 cm de diámetro. Si al bañarse consume 100 [, icuántos litros de agua quedarán en el termotanque? Probabilidad y estadística 1. Escriban tres eiemplos de variables cualitativas. 2. Escriban tres eiemplos de variables cuantitativas. 3. Resuelvan. ) 5e encuestó a 25 personas al azar, para saber cuántas veces por día ingieren alguna fruta. Los datos obtenidos fueron los siguientes. 2; O;7;7; 5; 3; 2; 4; 5;7;3;3i 7;7; a. Completen la tabla de frecuencias. 4;2; A:3;2; 2;7;7; 2; O;7 ) b. iCuát es [a cantidad promedio de frutas que ingieren por día? c. Calculen la mediana y la moda. ) 4. Respondan. Juan y Santiago están jugando a los dardos. En la siguiente tabla se observan los puntajes que obtuvieron. a. iCuál es el promedio de Jt¡an? ) b. ZQué puntaje debe obtener Santiago para igualar e[ promedio de Juan? rr 5. observen y luego, respondan. La tabla muestra el registro de temperaturas mínimas deI mes de junio. a. Completen la tabla de frecuencias y realicen un gráfico de barras. 4 5 5 3 6 6 7 2 8 4 9 2 77 4 72 2 13 2 b. iCuál es el promedio, la mediana y la moda? 6. Calculen las siguientes probabilidades. Se extrae una carta al azar de un mazo de 40 cartas españolas. a. ZCuál es la probabilidad que sea oros? b. iCuál es la probabilidad que no sea un c. iCuál es la probabilidad que sea un 7. as? rey? Resuelvan. a. Tres corredores participan en una competencia. . iDe cuántas maneras distintas podrán llegar a la meta? iCuáles? . Si en [a misma carrera se inscriben cinco personas más, ide cuántas formas distintas pueden llegar a la meta? b. En un torneo de fútbot participan 12 equipos. o Si un mismo equipo juega una vez por fecha, icuántas fechas deberá jugar cada uno? . Al finalizar el torneo, ide cuántas formas distintas pueden ubicarse los tres primeros puestos? Números enteros 1. Escriban el número entero que corresponda a cada situación. a. Carla gastó $500 de sus ahorros. b.Latemperaturamáximaenelmesdeenerofuede39oC. c. Un pez se encUentra a 4 m de profundidad d. Euctides nació en el año 300 a. c. (-l e.Marianodejóelautoenelsegundosubsuelodelestacionamiento. f. Daniela tiene cinco mascotas. ) 2. ubiquen en la recta numérica los siguientes números enteros. Marquen con color el opuesto de cada uno de los números marcados. -30; l-61; 18. -42i 3. lndiquen el nfimero que representa la letra a en cada caso. Erpliquen cómo lo pensaron. a. b. 4. Completen con a.-s!-a r. r ! r-rr (,)o=. c. -32O *u a. -s !-rsr e. -16 f. l-8t o C -9 5. Resuelvan. a. -3 + (+5) = Í. -72 - (-l) = b.8-(+9)= s. -(-3) + (-a) - - (+20) = ¡. -18 - (-18) : i-8*(+9)= c. -7 (+72) = d. -76 + (+25) e. -15 + (+7) = h.72 -26 g. -567 h. | -234! -+ro -too 6. Resuelvan. a.3.(-2):(-l b. -7 . (-4) 8. 57 t (-19) = = c.-76.r=D ¡. -740 :20 i. 418 : (-19) = : 7. Completen la tabla. 15 -3 5 3 0 -4 74 -7 -3 -7 8. Resuelvan los siguientes cálculos. a.t6-3.2+ 15: (-5) = e. -19 - 57 : (-3) + 18 . (-2) = b.-ro: (-z)++.3-30: Í.4 : (-2) + 72 . (-3) + 10 : c.12- (rS-¡.2)-1.4: g. (5 - 3 . 4) . (-0 d. 16 9. h.2.(72-74:7)-3.5+2= - 3 . 2 + (12 - 9. 3) : (-¡) = Escriban el cálculo conespondiente - ¡ . (z - 5¡ = y resuelvan. a. La suma entre el opuesto de -20 y el doble del opuesto de 5. b. La diferencia entre -15 y el móduto del opuesto de 6. CoNTRoL DE REsurrADos 18. L Slstema de numeraclón declmal 2, b.t; c,7; 4 3 4 d.9;8 c,3 d,62 e,2 t. lL L223 m.27 n,76 110 Por ejemplo, ¡. a.529 b.7296 m. a.3200 <. Por ejemplo, a.251, 9 MEÍ{TEAITIVA Solución a cargo del alumno. 0, ilultlpllcaclón y dlvlslón. Propledad dlstrlbutlva a,72 b. 6 c. 8 d. No se puede, 7. e. No se puede, 30. i,27 7. Por ejemplo, a. a,75 b. 13 F. 1 168 : 6 : 96:6+60:.6+12l.6=28. 3. Potenclaclón y radlcaclón tt, Por ejemplo, a. 49. la quinta potencia. tt. Por ejemplo, a, 5i 3i 125. Por ejemplo, a, 3; 3 y f. 1000; 3;1000. a.728 e.76 b. 1000 Í,6 c8 9.5 d.729 h. 5 l. 18 l. 60 Operaclones comblnadas 17. 8 10 4t, Por eiemplo, a. puede ser 5874. u. .77 c 32 . !72 b,23.3.52 d,2.32.5.72 a.23 .32 e,298 ¡.24 tt6, Solución a cargo del alumno. 1500 b.2 c.75 G. d,7500 9.7 h,152 Múlüplo comf¡n menor y dlvlsor óomfin mayor 47. a,240 d. 50 b.9400 e.7488 h.6 c,64 f. 1300 g. 1500 30. Por ejemplo, ¡. =. 46 b,79 c,7 d.22 60 840 e.364 c- a. mcm = 52920, dcm = 4 c :2340, b. mcm : 2000, dcm mcm : dcm = 20 1 48. 762 d.28 Solución a cargo del alumno. 34. a. 820 c. 60 b,722 d.170 f. c. d. 28, a. 92. a. b. 5 b. 866 t3. 16. a.2 b. 1 e. 2,3, 45. s. 485 a. tt. 6 Por ejemplo, en la fila 1 va X en: 27. 37. F. 9.3 h.6 ¡. 1000 7,2, 4,5,70. 29. 12. Por ejemplo, a. Dos elevado a 14. Por ejemplo, a. 98 727;72789. Í. d.7, 2, 4, 5,70,20 a.VaXena. 28; 1,160 e. b,32 c,705 d.9000 c.7,2,3, Solución a cargo del alumno. 10. Por ejemplo, fita t 26. rc. 67 45 a.774 a, 723, 726, 729, 732, 735, 738 b. 208, 276, 224, 232, 240, 248 25, Í.63 J.40 42. d. 506005 Por ejemplo, fita e.37 9. Por ejemplo, a. 408004 b.4008004 e.48005 c. 5 000005 f. 48008ó crb.>d.tf.r¿>e. 24, c,74 d.9 d.792 S. Dlvlslbllldad y hctorlzaclón lrrucmc¡ór le.:l+ 23. a. ¡. 6 c 3072 e,2 41. 205356 10000 e.2 d.5 Por eiemplo, a. 16. 22, 5. c.56 t9, Solución a cargo del alumno. Va X en d., e., g., l. c. b.275 2t, 4, b.8 a,72 38. 733 20. Solución a cargo del alumno. E. 10000 Í,67 8 9,22 h.743 1.326 b.627 3. 6. e.625 f. a.77 Por ejemplo, a. con 3.o opción. a,5; d. t9. 7, 37, c,6 a. 10 b. 10 35, Por ejemplo, a. F. 36. Por ejemplo, a. 5, 48. e.290 i.470 a. Cada 60 minutos. b. 60 paquetes. c. Et 13 de junio. No. Sí. d. Para 6 amigas. 7. lenguale slmbóllco. Ecuaclones 49, Por ejemplo, a. 2a. 50. Por ejemplo, a. con 2.o opción. 57. Por ejemplo, a. Et doble de [a diferencia entre un número y cinco es igual a 35. x: 73 52. d.a:lZ a.m=!7 b.t=16 c.x=8 e.y=4 f.n=100 53. ax:0 b.x:2 c.x= 25 d.x=87 e.x:0 f.x=6 g.x:8 *. ex:5 b.x=9 c.x:15 d.x=12 h.x=3 i.x:32 i.x:2 k.x:72 Lx=1 m.x:4 n.x:4 6. a.14años. b. $60 tl, Fracciones equ¡valentes c"4kg d.864 panchos. f.x=2 g.x:0 h.x=7 55. ax=6 b.x=100 67. a. x:36 b.x=15 G. x = 13 e¡erpto d. x = 24 e.x:0 f. 68. a-x:729 x:'22 ax=8 b.x:4 Por eiemplo, a. Por ejemplo, a. IL Por eiemplo, g. Í.x=36 13. Va X en 2.107 + 6.106 + 6.7O4 rrrEGRAoóil S{'7 20 000 000 + 6 000 000 + 60 000 + 2000+2OO+6 T'. 57. a 2850 b.5028 c8o25 5& ¿779 a Sí. Sí. No se sabe. Sí. No se sabe. b.3. Por 10. c- 507 d.34 . 5 .7 ¿ 22 .72 .73 172 .77.73 ..23 . 52 .7 b. 3 pastitlas de antibiótico Y4 del analgésico. b.25 .3 . tl (.22 .54 mcm = 27OO; dcm = 762 . (x + 25) = 784' 2 - t¡; : 79 Por eiemplo, 6¡t. .-792, 728, a E. O¡dm Resto 12. 20, 40, 60 6/L a mcm = 900, dcm = 30 b. mcm = 1400, dcm = 5 c. mcm = 72O, dcm : 4 d. mcm = 1309, dcm = 1 e. mcm = 6300, dcm = 2 f. mcm :729, dcm = 27 65. e. Cada 30 meses. b. 150 moños. y representación L Solución a cargo del alumno. L V. 320 I a {. c.= d.( af b-+ '+ d-f. i"i b.3 b.8 ,? ¿.2 t+ e.2o6 d. 31 1.42 m. Regaló 18. Aún conserva 27. b. Le quedan aún 13 litros. c7260 d. Por 24. 6L del pasa¡e. b. I a b.1023 6L ¡.105 b. 1 jf a) a.5 x r.7 ..# '# d-+ r.t Por eiemplo, 19. 45 60. 1 103 Llegó ', ". 15. 17. Cada 24 horas. 7t. 59. b.á a t6. b.23 74. a 2 a.f 2 . 10000000 + 6 . 1000000 + 6 . 10000 + 2 . 1000 + 2 .700 + 6; I 7, 2, 4,7,74,28 b. 1, 3, 5,9, !5, 45 c 30, 45, 60,75 t4' + 2.703+2.7O2+67Oo:, 56. fr. b.9 d.l e.x=81 7L TETTEAf,tla f. ";? 't d.x=8 AI'TOEYAUTAG|Óil Solución a cargo del alumno. j. racionales d.x:1 ax:8 b.x:5 c.x:1 ( E. Operacionss con números Gx=1 7t- ,..8,8. 10. b.x:1 ax=8 j. 9. b.x=34 69. c.x=10 d.x=15 Por eiemplo, a. 8'Po, 70. e.x=1 7. edL b.8 , '+ o.t '\ 3'Por "¡"rplo, +r.l.l.1 "'? a o*. t'*? b.? '+ 2'5',4'5 t,t,? ^¿,+,?,3.?.f .t,! c Alquiler e impuestos $+sso. Otros gastos $¡ Z:0. "*tr '+ '# 0.1 \q b-+ .Z d.+ a. a= 2+ - b.) eor eiemplo, c) a con +. d.( +=Z 2t. a Quedan 55 bombones. b. Continúan 7 alumnos. c Quedan 525 libros. TEITIEATNYA Solución a cargo del alumno. ( ll. Potenciación y radicaclón de fracciones 26. Solución a cargo del alumno. 27. Solución a cargo del alumno. 4t 28. 43. Solución a cargo del alumno. _ a.t c.] e.j b.+ d.t+ Í.4 58. a.2:70;7:5. a. 4;2OO; 5;720 b. tl; toz;340;336 b.775 :700;7 : 4. c.7; 63; 7; 705 42. Solución a cargo del alumno. ry. Solución a cargo del alumno. u;.+ b.; ,ffi o.# o';.a ,.¿ ".+ a.S a.l rl r' ,.3.' ".# 30. 4. MENIEAI?IVA 'a.4 ,.+ b.3 a.] Openciones combinadas con fracciones ,+ ^.+ ".4 a.fr a.ft rfi 37. 32. ^ lto páginas. f, b.+ .# tt;.r.l..In+]n:zn a. o.l 34. ^, -1., a.( 35. _ ".; b.= a.j = r-) d.( E.x.E.n.E 3& Solución a cargo del alumno. *;. a.10 niños. tt;.¡.= ".t d.2 á a.l ,.4 l^,,r=#. a.ns=ftm, J $465,70 g272,os a. 4,2i i. 1,08 d. $4,97 e. 9189,28 63. lf. y expresiones 53. Por ejemplo, a. 0,25 y b. 0,33... 54. Solución a cargo del alumno. 55. <. 56. Va X en a., b., d., f., g. Hay infinitas posibilidades. Por ejemplo, a. 1,6. O,7 0,39 d. 4,735 e.9,9 Í. 4,23 c. O,2 4 ¡.3,2 d. e.0,4 64. Por ejemplo, a. con 0,3. y g. con 2. 65. Por ejemplo, tabla 1, fila 1: 0,2; 0,02. 66. a,0,064 g. 0,9 b.3,67 h. 0,3 c. 0,00001 ¡. 1,5 d. 1,27 i.7,3 e. 0,343 k 0,2 ¡.8,47 L O,7 a.ns=frn' u.$,.+ a.] 10,8 c.2,5 b.3,739 a. 57. a. a. 68. Por eiemplo, a. ".i3 a. 67. 52. - Í.7,79 g. 0,89 h. 1,04 61. .e=f,' Fracciones decimales Solución a cargo del alumno. a.t a.fl 50. a.fr MENTEAITIVA - c.$ttte ;.+ b.3 .. # a.74,98 b. 8,807 c. 54,47 d. 18,906 e.2,487 a. b. aet total. 2z fotos. 49. ..+ a.ft +-# ":? ;.+ t t! r ..# r.fr rnr¡emcút - 60. 62. ".n r.ft b. $216; $roe; $zz; $¡e c. Sobraron 9 porciones. d. 12 de un ambiente, 32 de dos arnbientes y 4 de tres ambientes. + u.f, 'a.t t';.+.rc+j.B:+ t9. a. \^, ";.x ,.? 48. Operaciones con expresiones decimales. Porcentaje c. $406,80 47. It. jf; $; o,e. It+. b. c<f.<a.<e.<b.<d. Solución a cargo del alumno. 59. Por eiemplo, fila r: 25,75 20 35 c.20 a. b. 69. a. 4,8 b. 58 c 520 b.36,7 d. 20 5 f.30 g. 300 e. h.6 ¡.3 d.97 3850 g. 650 e. h. 700 Í.726 70. a. $284,4 b. $408,825c 40 chicos de otras escuelas. 15 chicos organizaron la fiesta. I,TENTEAITIVA Solución a cargo del alumno. lS. Operaciones combinadas 71. Por ejemplo, a. <. .".+ u.f r.ft ,. ,+5 s. o ";.+h. t.ffi i.ft 90. r. fia n.ffi d.ro*E ruro¡vlluncÚil ufr ¡mremc¡ót l¡.lr.m 73. Solución a cargo del alumno. 74. a. ^ ]: o,zs a. o,G c. $ = o,tts j: tt;.# u.f c.1 a.! a,7O2;750 b.80;32 Va X en a., b., d., f., h. e i. Solución gráfica. b.k:7 15. b.sí.k=25 <. # n.t a.f ".1 t.l ";.?o tt;.4 s.ffi .. S u. 79. Cliente lG. Gráficos 2. a.] ".+ 4. b, $792,55. Necesita vender 10 kg. 80. c b. 4950 82. 1.o escala: 13,5olo; 2.o escala: 19,2%; destino: 67,3o/o. a.74 b. 5,5 c. 18 d. 60 e.25o 1.75 f.20 ¡. 900 5.44 k 96 h.675 [ 1950 7. c. Solución gráfica. (7;5) (a;8) kg días. c.2 kg d. 188,55 TilTEGRACTóil E.t7.tE.tC Solución a cargo de[ alumno. d. No, siempre b.150 aumentó de peso. E[ ingreso disminuyó. 17. Fundones 9. e.72,Q4 b. Si son variables inversamente proporcionales. k = 8000 t9. a. 0,5 f. 87. 102,8 a. a : b. b : a. Solución a cargo de[ alumno. b. En el mes 12. En e[ mes 18. c A mitad de año. d. Sotución a cargo del alumno. e. Solución a cargo del alumno. a.3750 c.96;24 e. 160 Í.94 b. 8000 d.70 b. 35,86 c.29,24 a. Fila 1: 200. Fila 2: 64, 25. 8. 8ó. a. Va X en b. y c. Sotución gráfica. 18. a. Tardó 30 min. Estuvo 30 min. Tardó 20 min. b. Tardó más para ir. VaXena.yb. Pantalón: $232,4; Gmpen: $280. t7. Solución a cargo del alumno. 6. 2O"/o 85. 88. (5;ó), a. Por ejemplo, fila 1: 14. b. 0 horas; entre las 2 h y las 4 h. c. A las 11 horas. Fue de 24 oC. d.7520 e. c.2Oo/" a= (2;2),6: (4;0), c: ¿=(0;ó),e:(8;2) 5. 83. a t6. Solución a cargo del alumno. ¿. = (3;6) e. f" = (2,5;5) Por eiemplo, fita 1: 3; 3,5;3,49. 91,7"/o inversa c.c=(0;3)yd=(7;o) 10,2 cm 81. a.77,7 19. Funclón de proporclonalldad 3. $262,8; cliente 2: $146; a.18,2 cm b.8,ó cm y tabtas t. Solución a cargo del alumno. !, cliente 3: $lg+,2 84. Solución a cargo del alumno. 73. a. Por eiemplo, fila 1: 250. Por eiemplo, a. b. 72. a. Por ejemplo, fila 1: 7. 76. a lE. Función de proporclonalldad directa 74. a.ff ^.{ 75. a. Fila 1: 7, 2. Fila 2: 75,25. b. Solución a cargo del alumno. c. Sí, es correcto. d. Sí. VaXenb.yc. 92. 93. 0,7 <o,t <0,9<0,04 77. 89. Solución a cargo del alumno. Solución a cargo del alumno. 10. VaXend.,e.yf. 20, Solución a cargo del alumno. 27. a. y b. solución a cargo del alumno. c En a es único y en b., no. (4;1) 22, a. Puntos mal ubicados: b, c y e. b. Sotución a cargo del alumno. 23. a. Solución a cargo del alumno. b. Sí. c. Sí. 24, Solución a cargo del alumno. 25, a Fila n 7. Fila 2:77,50;37,5Q;35. b. Solución a cargo del alumno. 26. a. Solución a cargo del alumno. b.Sí.k=3 27. a. $rso b. Por ejemplo, fila 1: 300. c.k:150 d. Solución a cargo del alumno. 2A. a. 10 ¡ , 22. 7. b. 35 c. lnversa. b. Pirámide de base triangular. c d. Por eíemplo, fila 1: 70. e. Sotucíón u .urgo del alumno. 29. ADP b.NP cDP d. DP f. Pirámide de base hexagonal. d.AyE;EyF. 23. 8. VaXenb. a.10 horas. b. 4 horas. c. Estaban a 160 km del hotet. d. Sí, a ta ida. e. Duró 2 horas. a.ll c.I e.l- b. d. f. r- r_ Solución a cargo del alumno. Va X en: a. Prisma de base triangular. b. Pirámide de base cuadrada. c Prisma de base triangular. 25. Solución a cargo del alumno. 26. Solución a cargo del alumno. 10. a. El cuerpo está formado por 31. A. Sí. b. k = 800. La variable indepen. diente es [a altura. La variable dependiente es el volumen. c. Fila 1: 50, 60. Fila 2: 32000, 56000. 32. a. Cada uno deberá pagar $150. Si fueran 30, deberia pagar $ZO. b. Son variables inversamente proporcionales. k = 2100 c. Fila 1: 27; 28. Fila 2: t5O;70. ll 24. 9. 30. c. Uno solo. d. AUTOEVATUACóN 27. a. 6; pentágono. b. 18; hexágono. c. 7; pentágono. 11 cubos. b. No. No. e. Habría que agregar 6 cubos más. En el centro del cuerpo. 11. 24. 6:6;70:6+6:70+2 29. VaXena. VaXena.,b.yd. 12. Solución a cargo del alumno. 30. VaXenb. 13. VaXena. MEI{TEAITIVA ) Solución a cargo del alumno. [0. Clasiñcación de los cuerpos 1. c. Cono. cilindro. d. Prisma de base hexagonal, cilindro. e. Prisma de base triangular, pirámide de base triangular. f. Prisma de base rectangular, prisma de base triangular. ¡lrTEGRACIór{ eD.¿}A¿.e3 Por ejemplo, en a. d. con 6. 5. 12. 20. 5. Por ejemplo, fila 1: solución grá- fica;6;8172;6+I=72+2. tX. Desanollo plano de cuerpos 6. Solución a cargo del alumno. b. Dodecaedro;20. c. 8; octaedro. d. 4; tetraedro. 20. a.5í.9+9:!6+2 b.Sí.7+70:75+2 2t VaXena.yd. a.6' b.2702', c.I82' 36180" d.220" d. 900' a y b. con 32o 25' .2 a.7040 34' c.75" 48' 52" b. 90 53'15" d. 2380 37',75" 75' d.7720 42' b. 150 50' 20', e. g70 40' 25" c.920 70' 30" Í.42" 20', 30" a.37o 6. a. 74'; 50"; 47o C. 45'; 77oi 0" b.3';7"; 44o d. 44') !"t 43o a. 12; cubo. e. con c Por ejemplo, 4. F. 79. a.1380" b.72oo" 3. 18. Va X en b., c., e., y f. c, con 2. d.DyE 77. Por ejemplo en b. va X en un cilindro, un cono y un prisma de base rectangular. 3. 8. 4. c.CyE e.AyD 76. Solución a cargo del alumno. Poliedros regulares a. con b. con 1. a.AyB b.ByC cuadrada. b. Esfera, cilindro. 4. 14. 15. a. Cubo, pirámide de base ll. Operaciones infinitas rectas. 2. _ ¡ t !+. Sistema sexages¡mal. t3. Punto, recta y plano Por ejemplo, en a. va X en Solución a cargo del alumno. ) Pirámide de base cuadrangular. d. Cono. e. Prisma de base pentagonal. AUTOEVALUACIóN ) a.C,DyE. b.AyB. c.FyA. a. Prisma de base rectangular. tS. Ángutos complementarios y suplementarios 7. a.( b.( 8. VaXenb.yd. c.: d.) 9.^A a.&:37";F=53o 23. b.ff:ra";t=72. c. t : 30"; 6: rso" 24. Solución a cargo del alumno. 7. ^^ b.6=íi=75o;g:t5"; 10. tG. Angulos adyacentes y opuestos por el vértice 11. ..4=á:ur.,fi=f d.ft:a=2q";fi=fi:roo" Por eiemplo, en fila 1 va X en: consecutivos, suplementarios y 12. 13. Solución a cargo del alumno. 26, a.34o b. 560 c. d. 90o 280 e.73" Í.22" 50' b. 550 38' veces. d. A veces. b. Nunca. e. Siempre. c. Nunca. a. Paralelogramos. Tienen dos diagonales. 6=50o Solución a cargo del alumno. b. tB. Triángulos. Elementos y prop¡edades 18. a. y b. Solución a cargo del alumno. 1. a.i=42o; f a.ac:6cm;t=45" a. Cuadriláteros. b. Cuadrado; rectángulo; para- l.df=7-cm;'ei c :f=39"; : 1020 2.^,. d c=5/" b. x = 12o; ^ d f:37o : ii^ = 1030; 40o; - b. A = 2oo; A = 160"; 6 = 90"; c. x t. = 70' á=95" A A j=37"; ^ ^ =1ooo c.[i *é:ro" a.&*[i [: t3. k:53o; Construcción de triángulos V. 4. 22. c.92o 45' rZO.; - Por ejemplo, a. Solución a cargo del alumno. 25' b.19o 90o A ij : 3. 2t a.620 23o: A" = t45o; d.x:15o; 20. ¡.&*8=1800 = d. 660 50' e. 1070 30' lelogramo; rombo. lsósceles. d. Rectángulo; escaleno. a.x=5o;á=38o;b=85o; =ue"; &.=21 En e[ trapecio isósceles las diagonales son iguales, en los trapecios rectángulos y escalenos, no. No, en ningún caso. 72. ^A c. Llano; perpendiculares; recto. 19. Solución gráfica. Existen muchas posibilidades. a. Dos diagonales. ut. = 90o; m6a = 7350; : zzo ¡o'; ctt = 670 3o' TNTEGRACóI{ A\.ffi .AG.e7 b. Depende del paralelogramo. Sí. c. En cuadrados y en rombos. 11. 30. ". r6t Solución a cargo del alumno. "a.á=6=130";t=á=so", 9. 10. 29. Solución a cargo del alumno. MENTEAITIVA a. Por ejemplo, en fila 1: B, F, .l; 31. Constn¡cción de cuadriláteros a. A \= 2so; fi = es"; & = 65o; 17. Solución a cargo del alumno. 8. da:2cm AAA b. j= 126oik = 360; i = 72o; jk:4cm;ij :3cm 24. 15. 76. a., b., c. y d. Solución gráfica. lE. Cuadriláteros. Elementos y prop¡edades No hay; No hay. b. sí. sí. AUTOEVATUAClÓN 27. a.1630 t7. Mediatriz de un segmento y bisectriz de un ángulo 74. Solución a cargo del alumno. Solucíón a cargo del alumno. adyacentes. ¡A d.y=136';O=44o It/IENTEA[TIVA =11s" 25, 745";35. a.&=4oo;ii:r+0" b. 6 = 81o; A: 81o c.ft=150o;t:rso" ,Solución a cargo del alumno. & = 105' b.x=67030' Por eiemplo, fila 1: 1450; Solución a cargo del alumno. 6. 0 = 138' a.f:+e";k=t32o it.x=39o 5. Sotución a cargo del alumno. a. Solución gráfica. b. No. No se pueden construir triángulos equiláteros rectángulos ni obtusángulos. 13. Solución gráfica. 14. a. Sí. Los ángulos de las distintas figuras que queden consecutivos deben sumar 3600 o 1800. b. Con rombos y trapecios. --1.t=0=zo.;?=nn:no" 15- b.fi=6=102o;fi:sz.; 6 :104o ;. 4 =$ = 6oo;^t =^á = rzoo d. i= k :42o; j = [ = 1380 MEI{TEAITIVA Solución a cargo del alumno. t]{TEGRAC|ÓI{ eB.A9.t0.3t 16. a. No; No; Sí. b. Escaleno obtusángulo. ) 31. Solución a cargo del alumno. a. El "A" es convexa regular, el b.2 "B" es 18. 79. más. alumno. c. No son posibles las construcciones del rectángulo y del cuadrado. a. Mariano y Georgina. b. Solución a cargo del alumno. c. Suma de ángulos exteriores. Sí. b. h. 0 e. Eneágono. 40o b. 24";7560 j=64";k ^273"; l=33o fi : 32o;'i : 23t"; 6 = 2503 0=6¡' 51, d. ? 52. t:77o 35. Construcción regulares 34. AUTOEVATUACóil Solución a cargo del alumno. a. á : Z0o; 'ü = 32": t : Ze" b. ñ = 84o; f, = 7240; 6 : 28o; polígonos 6= 724" i. ? = 98'; t=30' 744O;744;36. t :72"; t Por ejemplo, a. V. Sí. Sí. c. d. -ef = zso; t6. Sí. e. Sí. No. f. No. g. No. = E^: il.^= 7,2 3G. Perímetro 37. Solución a cargo del alumno. 'i:75";d:b=1050 cm; Solución a cargo del alumno. Por ejemplo, a. 2. 3. Solución a cargo del alumno. lfl. Círculo y c¡rcunferenc¡a. Elementos y prop¡edades 27. a. Una circunferencia. El centro. El radio. b. Tiene e[ mismo centro, pero distinto radio. c. Se forma una circunferencia del mismo radio, pero con el centro corrido. d. En b., son concéntricas. En c, son iguales, pero no concéntricas. 28. Por ejemplo, a. con e[ diámetro. 29. Solución a cargo del alumno. 31. Construcción de circunfurenc¡as 30. Solución a cargo del alumno. TNTEGRACóil 3A.33.3r+.3S N, 4. b. y b. solución a cargo del alumno. c Alineados. 5. 47. Solución a cargo del alumno. a. Mediatrices o diagonales. b. No. 46. a. O;2;5;9 b.74.20 47. Por ejemplo, a. V. d.47,42 8. cm a,0,032 b. 5 000 a.77 b.2O 44. Solución a cargo del alumno. 45. Solución a cargo del alumno. c b.22,28 a.7,2 7. 43. a. 15,3 cm 6. 42. Solución a cargo del alumno. F. a.72cm c.5cm e.4cmy b.72 cm d.24 cm 72 cm Solución a cargo del alumno. 32o área de figuras 1.. 39. MEf{TEAffiIVA y planas 38. 3=65o;f:h=115o 26. ) de Decágono. 360 Solución a cargo del alumno. c.29o;6!0 d.40o; 50o 25. a. a¿ = 4.cm; ab = 6 cm; ¡A^ x: : nef;t: 106,i t : ue", Por ejemplo, fila 7: No. c. Triángulo. 1200 d. : B4o; 0 = ttTo;t = 128o; 24o 35. 23. a. 30o;30o b. a. Polígono de 15 lados. b. Heptágono,57,420 d:tt2o; ij:95o; f=86o c. 21. ) 50. a. á = 140o; i = r+t;; t. = t37"; Sí. 20. a. y b. Solución a cargo del 24. a. b. Sí. 33. b. 36 triángulos 22. a. Sí. a. siempre c. a veces b. a veces d. nunca cóncava irregular. c. Se forman 5 triángulos. Sí. 49. b. En ambos casos es 900o. Solución a cargo del alumno. ¡ , alumno. c. 32, a. Sí. a. y b. Solución a cargo del 3t+. Polígonos 77. a.7 $. b. 42 cm cm c. 0,03 d.92 10 c.23 dm c 9,42 dm cm2 d. 30 cm, a.9cm b.8cm c.2cm a. P : 27,64 cm; Á. = 2O cm2 b. P = 27,42 dm; [. = 50,13 dm, 9. a.7,74 b.74,2 10. a.10 cm2 c 37,5 cm2 cm2 d. 9 cm2 dm b.9 cm TIEilTEAITIVA Solución a cargo del alumno. 37. Area lateral de prismas, piÉmides y cilindros Por ejemplo, prisma de base triangular regular se une con b . h . 3 Uf . z. 72. a. AL: 80 cm2; AT: 88 cm2 b. AL: 30 cm2; AT: 39 cm2 c. AL: 62,8 cm2; AT: 87,92 d. AL: 36 cm2; AT: 56 cm2 cm2 dm2 b.6,59 c. 0,16 dm'z 76. a.286 m2 b.x=10mm b.464 m2 18. a.72,56 I b. 3 baldes. Gastará $240. 79. a. 400 listones. b. 216 cm2 lB. Unidades de capacidad y un¡dades de volumen 20. Por eiemplo, a. F. a.250 c.32OO e.28 f. 135 000 b. 1 d. 18 22. a. Compró 15 botellas de gaseosa. b. Conviene la de 1 litro. c. Sí. d. Tres frascos. Sobran 10 m[. e. 6,9 I de cloro por semana. MENTEAI?IVA Solución a cargo del alumno. 19. Volumen del prisma, de la piÉmide, del cilindro y del cono cm3 b.0,6594 cmj c.42 cm3 d,777,75 cm3 e. 27,25 cm3 f. 1,13 cm3 d.n.d.h b. lgual. e. 12.6 42. 288 m2 43. 4,99 c a.24 cm3 b.5cm 80,07 cm3 d.3cm cÑ b. 100 a. 75 t+0. Vadables, población y 7. Por ejemplo, fila 1: Cuantitativa. INTEGRACIóN 38.37.38.]9 2. 30. c. 13 b. 600 cml muestra MENTEAITIVA cm b.27 cm litros. cm3 Solución a cargo del alumno. a. Población: chicos de entre d. 10 dm'? e. 4 m1 a.16 m2 Ir4. 29. a. 30 velas. 9000 cm3 b. Necesitará 3 000 cm3 de arena. 12 y 20 años. Muestra: 350 chicos. b. Tipo de videojuego. Cualitativa. cm2 3. 31. Solución a cargo del alumno. 32. \1. Recolección y organización de datos. Tablas a. !3,76 cm2 c. 18 cm2 b, 14,72 cm2 d.79,25 cmz a. AL 24 b. cm2; AT: 40 4. cm2 a River:8; Boca: 7; Racing:4; San Lorenzo: 4; lndependiente: 2; Otros: 3. b. Equipo de fútbol. Cualitativa. AL: 725,6 dm2; AT: 282,6 dm2 c. AL: 90 cm2; AT: 720 33. a.226O,8 b.7,5 cm2 cm2 c. 20 caias. c. River. d. Cuatro clubes. San Lorenzo, m2 Racing, Boca 34. a.4cm b. 360 cm3 5. 35. a. 98 b. Largó: 27 cm. Ancho:27 cm. 36. a. 22 alumnos. c. 33 conos. b. 72 bolsas. d. 3 cm 37. a. Largo: 20 cm, ancho: 2 cm alto: 2 cm. Y b. Podrá contener 160 caramelos. a. 0,04 dm b. 1 884 cm3 39. a.97,4 a. 17 y River. a. 4;3; 6;2;7;3; 2;7 b. Nota del trimestre. Cuantitativa. c. 28 alumnos. d. Aprobaron 15 alumnos y desaprobaron 13. e. 13 alumnos. f. En diciembre deben rendir 12 alumnos y en marzo 1. hE. Frecuencias absolutas y relativas 6. a. Por ejempto, fila 1: 5; 0,725; 38. 40. 23. a. Suma. c.n.l Alto: 12 cm. 27. a. 108 I 4:9; 2; 3 a.56,52 dm2 a.x:2cm b. 30,24 a. 50,24 cm];773,04 cm3; 25,72 cm3; 37,68 cm3;37,68 cm3. 28. 74. a. AL: 60 cm2; AT: 76 cm2:' Prisma de base rectangular. b. AL: 188,4 cm2; AT 244,9 cm'?; Cilindro. c. AL: 112 cm2; AT: 767 cm2: Pirámide de base cuadrada. d. AL: 96 cm2; AT: 744 cm1' Prisma de base octagonal. 77, t 41, 26. b. Necesita 467 venecitas. a. 4,8 25. a. 25,72 27. 13. 15. AUTOEVALUAC¡ÓN Por ejemplo, fila 7: 24; 24. 11. y con Área lateral+ 24. b.62,8 cm2 b. Mapuche, porque es el que tiene mayor frecuencia. 37,5"/o c. Los tobas y los diaguitas. d. 4,5 cm b. 24000 litros. 72,5. c. Q,92 cm c. 5 cm2 d. 5 cm2 7. a. Por ejemplo, fila 1: 3; 0,77; 76,67. b. En ritmos. c. Elongación. l+3. Gráficos 25. a. Cantidad de pájaros. 8. Por ejemplo, a. 50; 180. 9. a.25 b.20 c.75 d.60 10. Solución a cargo del alumno. 71. a. Cualitativa. A 65 personas. b. Solución a cargo del alumno. t2. a.10 en el A,12 en e[ B y 15 el b. En el B. c C. 38 varones. 75 alumnos. 13. Solución a cargo del alumno. 74. a. Solución a cargo del a]umno. b. Se encuestó a 72 personas. 15. a. En la sala B, hay 6 000 libros. b. En totat hay 18000 libros. a. 13 millones de habitantes. 26. a. Solución a cargo de[ alumno. b. En [a de hombres, sí. En la de mujeres, no. c. Solución a cargo del alumno. l\. Promedio, mediana y moda 27. a. X = 38,29; m" = 38; mo = 38 b. x : 29,3; m" : 28,5; mo = 28 c. x = 34,74; m" = 34; mo: 34 d. x = 42,7; m" = 30; mo: 72 28, x: 3,27 m" : 3,5 fro : 29. a.76;76 b. 18; 19 En a. c,77;77 d.76;73 y b. las soluciones no son INTEGRAOÓN hD{+l.rA.\3 5;9y6;8y7. a. Representa la muestra. b. Cualitativa. 19. a. Cantidad de paquetes vendi- Cuantitativa. c. 33 d.72o/" 23. a. Solución a cargo del alumno. b. 29 d.34,5Y" f.79 c.73,8o/o e. 6 24. a. Solución a cargo del alumno. b. 25o/o ajedrez y 76,670/o damas. a.X=5,ftffi"=5;ño:4 b.x=7,5;fr"=7i ffio = 5 c.x=7;m"=7,5;mo:10 42. a.i=8,23;m":8;fi.=8 c. No. 43. Va X en: b.7,60/o c. 0,24 44. b.2770 d.4 0,25 e. Solución gráfica. 32. d. cara-cara; cara-ceca; ceca- 22. a. Por eiemplo, fila 1: 3; 0,06. b. Cantidad de cargas por mes. 13 años; bimodal, 12 años y 14 años; m" = 13 años. d. Solución gráfica. c. c. cara-cara; cara-ceca; ceca-ceca. a. Deporte preferido. Cualitativa. b. Natación, en el grupo A y Básquet, en el grupo B. 0,375; 37,5. a. Por ejemplo, fila 1: 0,27;27. alumno. 21. 7:. b.24 c. x = Probabilidad simple a.7; 2;3; 4; 5; 6. b.2;3; 4; 5; 6;7;8;9;7O;77;72. a. Sexo y estado civil. Cualitativas. b. y c. solución a cargo del alumno. d.33,330/o a. Por eiemplo , frla 3t VaXena.,c.yd. dos. Cualitativa. b. y c. sotución a cargo del 20. m":50k9 40. a. 10 +S. Experimentos aleatorios. 18. TNTEGRACóN bh.|{S{r6 39. a. Peso. Cuantitativa. b. X: 50,83 kg; m" : 50 kg; mantienen. x = 36,30. c. Hay varias posibilidades: 10 y No. MET{TEAITIVA Solución a cargo del alumno. b. La moda y [a mediana se 30. 19 puntos entre las dos pruebas. b. No. a. Europa. a. 7320 maneras distintas. b. 440 maneras distintas. c. 60 maneras distintas. 47. 1 a t7. ) Cuantitativa. b. 37,25; 72,5; 37,5; 78,7 5 c. Solución a cargo del alumno. d.15 pájaros. e. 4,5 páiaros. únicas. 76. b. 38. cara;- ceca-ceca. ";.# ,.# b.+ d.+ t+6. ".+ r.+ c.EnelA. : ]. Cálculo comb¡nator¡o 52,92 mm; me : 43,5 mm; mm b. Solución a cargo del alumno. t+6. 47. Por eiemplo, a. *;.+ b.* c.9 36. a. 60 números. 24 son pares. b. 12 números son múltiplos de 5 y 36 son mayores que 500. 37. De 28 maneras distintas. ffi. ,.# d.# 49. a.72 .77 .70 :7320 ,.h,#, # b.+ 50. 35. a.18 b.6 x: mo: 78 Solución a cargo del alumno. 34. a. Con el disco B, e(azul) -1 b.+ 5 45. a. a.27 ..+ 51. a.72 y 24 b.4O32O c.72 52. a.24 b. 80 c.270 d.t2 72, Por eiemplo, fila 7: 2; -3; AUTOEVATUACIóil 53. a. Solución a cargo del alumno. b. Cantidad de materias. Cuantitativa. c. Población. d. Solución a cargo del alumno. e.7 : 7,36; fiu = 0; fro : 0 f. 34o/o 54. a. Solución a cargo del alumno. b.P(suma =n=2 55, 720 30. -6; 6; -6. a.-6 b.6 a. b. c. c.77 d. -5 f. 9.5 h.0 r. (-5) 3 b. -600 : MEilTEAITIVA S0. Operaclones comblnadas 76. Por ejemplo, a. con 21. y representac¡ón t. Las dos son. incorrectas. 18. Por ejemplo, fila 1: 5 años a. 79, a. 2, C. 3. Por ejemplo, a. 4. Solución a cargo del alumno. 5. a. b, negativoi a y c, positivos. b. b, positivo; a y c, negativos. l+8. 6. Adición y sustracc¡ón -! d,7 -5 e. 0 c. -2 Í. -2 a. b. 7. a.3 b. -8 g. 0 h.2 a. -7 c -2 d. -6 l. -6 Í,12 8. Debe depositar $¡OO. -300 + 300 9. a.x=-3 b.x=1 c.x=3 10. Por eiemplo, fila 1: -5; 1; -1; -4; 5. Solución a cargo del alumno. ir9. Mutüpllcaclón y divisién - -6 c 24 a. b.0 d, -6 e.0 Í. -40 t6 - 2t. a. -500 200 -3 c. -1 f. -300 s -5. b. Son iguales. d. Son iguales. a, -4; b. -5; -2 -3 d,2; 4 e,30;32 c, -5O7; -499 25. a. Ninguno. b. Dos. Por ejemplo, a. <. 27, a.-{37; -720; -36; 0;7:34 b, -40; -4; -3:'7; 52;723 c, -75; -72; -2; 0;3;33; 44; 9.72 h. -6 ¡. 80 a. b, t5, d,-2 e. -24 f. No es a.( b.: b. posibte. c.) 4 c,64 -3 d, -796 d.( e,267 38. No. 39, a.74 c.57 b. -22 d, -99 e.-62 f. 18 40. a.72 c,3 b. 6 d. -30 4t, a.6 b,4 e. -3 f. -1 d.0 c. 18 e. -1 Í.5 42. a,3 c. -90 b.-6 ó.-8y-7 e,5 y 75 AI'TOEVAIUACóII a, 4. -2 b. -300 c 5 -24; -75; 6; 9; 27 Solución a cargo del alumno. 45. Por ejemplo, fila 1: -4; -2;3;3. tt6. -8 4 c d. -6 -3 -74 9.0 Í, -38 h. -4 e, 29. a. Hay que sumar -o. b. Hay que restar b. c b. No. Puede ser 2 . (-6). c. No. Et resultado sería positivo. 43, 26. 28. a.4.(4):a2 37, a, 5.2 c -8800 m e. -200 d. t4. - 3) . 4 Solución a cargo del alumno. -3 b. El número es -10. c. Sí, et 0. 36, 2t. 22. 33. d. -84 740 TIEI{TEAI?IVA 71. c. -27 b,14 24. e. -10 -77 IilTEGRACóil h7.rr8.hs. n a. b. -b c. b, Por eiemplo, a. O2 20, a, <. 5 a. 4 cuotas de $130 cada una. b. 780 - 520 = 260. a.5 b. -5 c, 6 77. Por eiemplo, a. -20. m a.3.(-3):-e c. -400 Solución a cargo del alumno. l+7. Números negativos. Orden c. No. Le tultan $200. b.9850 50 t2. (-2) d. -74 -20 e. (-3) 30 i.43 -600 a.22o e. -5 t5, a. b,77 años. 37, 13. 14. c. 58 años. a. 62 años. No, es positivo. a.72 c -27 b, -4 d. -32 e. -2 Í.3 47. Por ejemplo, a. con 14. 4E. a.75 b. 15 c --72 d. -38 F { rl-¡ # .-r t-li -f-l--J -lAdtvft r .") I nt ie'-t}L:1' .,u ú ,t t t 'frJHI: [rfl'r', R¡sporollr. f. iQué observan en la foto? 2. ácómo les parece que podemos relacionar esta foto con [a matemática? 3. iQuiénes pertenecen a la misma generación? áCuántas generaciones hay representadas en la foto? 4. áCuántas personas hay de cada generación distinta a la de Martín? iHay alguna relación entre estas cantidades? 5. El grupo formado por los bisabuelos de Martín, icuántas personas lo integran? 6. Resuelvan. a. Si pudiéramos reunir en una foto a los padres de Martín, a todos sus abuelos, sus bisabuelos y sus tatarabuelos, Zcuántas personas habría en ella? ) b. Escriban un cálculo que les permita encontrar [a cantidad de integrantes de cada nueva generación. 7. ) ) Lean atentamente y respondan. Juan le contó un secreto a su mejor amigo y él pensó lo siguiente: "Como no voy a aguantar más de 30 minutos sin contárselo a nadie, voy a elegir a dos compañeros para contarles este secreto". a. Si a su vez, cada uno de estos compañeros le contó el secreto a otros dos a los 30 minutos y en el curso hay 25 alumnos, ien cuánto tiempo se enteraron todos del secreto de Juan? b. Si ta misma situación les sucediera a ustedes, ien cuánto tiempo se enteraría todo el curso? c. iQué suposiciones están haciendo para responder estas preguntas? t r*UO, I I \ R¡sponont. f. iQué observan en la foto? 2. ¿c6mo les parece que podemos relacionar esta foto con la matemática? 3. tas barritas verticales de metal que tiene et diapasón (mango de la guitarra), áson paralelas entre sí? áAparecen a la misma distancia una de la otra? zpor qué piensan que es así? t 4. Tengan en cuenta [a foto de la guitarn y resuelvan. mástit - díapasón cejuela traste 4 a. Midan con una regla la longitud de una cuerda entre el puente y la cejuela y marguen en la foto los puntos que se piden a continuación (tomen la cejuela como 0 y el puente como 1): ¡ La mitad de su longitud. . La tercera parte de su longitud. . La cuarta parte de su longitud. b. Numeren los casilleros y los trastes comenzando por e[ más cercano a la cejuela. ZCon qué número de trastes coinciden los puntos que marcaron en el ítem anterior? c. A cada traste le corresponde un casillero que lleva el mismo número. ZQué parte de [a cuerda puede vibrar cuando se presiona en los casilleros correspondientes a los trastes marcados? 5. ¡ Lean atentamente y respondan. En la escala musical hay un total de 12 sonidos (contando las notas y sus sostenidos que se escriben con #): DO, DO#, RE, RE#, Ml, FA, FA#, SOL, SOL#, LA, LA#, Sl. Después del Sl viene otra vez DO, y todo recomienza. Cada cuerda corresponde a una nota diferente. Cuando se apoya e[ dedo sobre un casillero, se obtiene otra nota y se avanza en la escala según se presionen distintos casilleros. a. La cuerda de arriba es Ml; si ponemos el dedo en el primer casillero obtenemos FA, en el segundo FA#, etc. ZQUé nota corresponde al casillero 12? iY al7? LY al b. 6. La siguiente cuerda es lA. 5? ZQué nota corresponde alcasilleroT2? LY al7? LY al5? Tengan en cuenta las actividades anter¡ores y respondan. La siguiente cuerda produce el sonido DO, pero no tiene los trastes marcados. PUENTE CEJUELA DO a. ¿En dónde ubicarian el traste para obtener el siguiente D0? ¿Y para obtener el siguiente SOL? Márquenlos en la cuerda. b. La parte de la cuerda que vibra para obtener DO, Zqué fracción es respecto de la que vibra para obtener SOL? c. Zftiste alguna relación entre las respuestas anteriores y el hecho de que la respuesta i 1 : ]i fxpliquen I -j\:: Respot¡ott¡. 1. ¿Qué observan en [a foto? 2. ¿C6mo les parece que podemos relacionar esta foto con [a matemática? 3. A través de [a imagen se pueden descubrir distintas relaciones. Por eiemplo, en algunos tos hay más compradores que en otros. iA qué se puede deber esta diferencia? 0 ,[M pues- .^ r entre el precio de las berenienas y la cantidad que se vende por día, áen qué momento se venderá más: cuando sube o cuando baia el precio del kilogramo de bereniena? 4. Por ejemplo, si se tiene en cuenta la relación que existe 5. Lean atentamente y resuelvan. En el barrio donde se tomó [a fotografln viven Estela, Lucio, Héctor y Marisa. Cada uno dijo lo ¡ siguiente sobre e[ precio de [a berenjena: ¡ Estela: "siempre compro 5 kilos de berenjenas, pero si el kilo cuesta $10 o más, no compro nada". o Lucio: "Si la bereniena cuesta menos de $S el kilo, compro 3 kilos; si cuesta entre $5 y $S (ambos incluidos) compro 1 kilo y si no, no compro". o Héctor: "siempre compro la cantidad de kilos que me alcance con $10". o Marisa: "Si e[ precio de la berenjena es $4 o menos, compro 5 kilos; si es mayor que $4 y menor que $8 compro 4 kitos y si es $8 o más, compro 3 kilos y obviamente no pago más de $12 el kilo". a. Completen la tabla con las cantidades de berenjenas (en kg), según lo que dijo cada uno. l b. Cierto dÍa e[ precio de la berenjena era de $4 et kg y Estela, Lucio,,Héctor y Marisa compraron según lo que comentaron. Si el verdulero pagó e[ kilogramo a $3, icuánto dinero ganó? ) c Otro día ofreció las berenjenas a $5 el kg y volvieron a comprar las cuatro personas según lo que comentaron. Si el verdulero pagó el kilogramo a $3, icuánto dinero ganó? le conviene vender el kilogramo de berenjenas para obtener la mayor ganancia posible si paga el kilogramo a $3? d. aA qué precio Rgspo¡onn. 1. ¿Qué obseryan en [a foto? áCómo les parece que podemos relacionarla con la matemática? 2. ¿Qué figuras forman la superficie de ta pelota? lPor qué piensan que se usa este poliedro para construir [a pelota y no uno regular? 3. 4. ¿Cuántas figuras de cada tipo ttegan a ver en ta foto? áDe cuáles les parece que hay más? Calcuten la cantidad de hexágonos, [a cantidad de aristas ta tiene en total 12 pentágonos. y de vértices, si se sabe que ta peto- o R¡spo¡or¡. 1. ¿Qué observan en la foto? iCómo les parece que podemos relacionarla con la matemática? 2. eA qué bola les parece que le va a pegar la chica que está jugando? iEn qué dirección saldrá la bola si la bola blanca pega en el centro de aquella? 3. Lean atentamente y respondan. Cuando se juega sin efecto y se pega a una bola, el ángulo que forma [a trayectoria de entrada de la bola con la banda es igual al ángulo de la trayectoria de rebote con la banda. En el tiro anterior, la bola violeta ientrará en algún agujero? 4- ¿tn qué dirección debería poner el taco la chica que está jugando, si quiere pegarle a la bola azut? 5. 5i la chica que estiá iugando quiere pegarle a la bola 15 haciendo una banda, icómo puede hacer? iEntrará en algún 6- En el 7. Lean atentamente lado? : tiro anterior, áde qué tado habrÍa que pegarte a la bola 15 para que haya más chances de que entre en el hoyo del fondo a la derecha? y respondan. Las marquitas que están en e[ borde de [a mesa dividen el ancho de esta en 4 partes iguales y et largo, en 8. Sirven para poder medir los ángulos de entrada y satida de las bolas aI hacer banda. En la imagen se ven las líneas imaginarias que pueden s"r¡t de guía para calcular las trayector¡as y un ejemplo en e[ que [a bola 1 entra en el agujero de coordenadas (8;0) si hace banda en (6;4). a iDónde tendria que hacer banda [a bola 2 para que entre en el agujero de coordenadas (0;O)? b. iDónde tendría que hacer banda la bola 3 para que entre en el agujero de coordenadas (4;4)? c & ZDónde tendr'r,a que hacer banda la bola 4 para que entre en el agujero de coordenadas (4;4)? Trabaien con un compañero. Dibujen en una hoja cuadriculada un rectángulo como el det ejercicio anterior con algunas bolas. Propongan distintas jugadas para que las botas entren en los agujeros. Recuerden escribir las coordenadas. r r J Respor,¡onn. 1. ¿Qué observan en [a foto? áCómo les parece que podemos retacionarla con [a matemática? 2. Las mesas áson todas iguales? áCómo se podrían clasificar según su forma? iQué otros tipos de mesas conocen? 3. Foco, Fran, Santi, Seba, Lucas y Pablo quieren cenar en este restaurante. a. ZQué tipo de mesa les puede ofrecer eI mozb para sentarse? iQué opción les conviene elegir? b. Si etigen la mesa circutar y piden una porción de papas fritas de entrada, Zdónde tienen que ubicar e[ ptato para que esté a[ alcance de todos? c. Si et mozo les prepara dos mesas cuadradas juntas, Zdónde debería ubicar el plato de papas fritas? 4. ¿Qué otra forma podría tener una mesa para 6 personas que permita ubicar et ptato de papas fritas para que esté a[ atcance de todos? R¡sporolrr. 1. ¿Qué observan en [a foto? áCómo les parece que podemos relacionarla con [a matemática? 2. Resuelvan. observen e[ sector del estacionamiento que se encuentra al lado del edificio de techos negros. a. Si un auto mide en promedio entre 4 y 5 metros de largo, y entre 1.,6y 2 metros de ancho, icuál es el perímetro de ese sector? Zy su área? b. Si una persona quiere dar una vuelta completa al edificio de techos negros (caminando cerca de la pared), icuántos metros recorrerá aproximadamente? c ZQué área ocupa aproximadamente ese edificio? o '%. rrl f'- J -r#r,)r0Ntrs \ lú;) ' .¡d-. .l h, l;r.' l.l i N'iff RrspoHo¡r. 1. áQue observan en [a foto? 2. iC6mo les parece que se puede retacionar esta foto con [a matemática? 3. i,Cómo se puede hacer e[ recuento de votos para que sea 1o más rápido posible? 4' Antes de la votación' se encuestó a 30 de los 500 alumnos que concurren a la escuela para saber a quién iban a votar como'presidente. iEs representativa la información que se pudo haber conseguido? 5' ¿y s¡ se tuviera los datos de un curso de 40 atumnos? isená [o mismo si se elige a de distintos cursos? ft alumnos 6' Reúnanse en gruPos y realicen una encuesta en el curso para obtener los siguientes datos: sexo, altura, talle de calzado, color de pelo. luego, resuelvan. a' Representen en el pizarrÓn los datos que obtuvieron usando algún recurso que sirva para analizarlos. b. iCuát es [a altura que más veces se repite? c. iCuát es e[ talle de calzado que más veces se repite? d. ZCuát es el color de pelo que más veces se repite? e' ZHay alguna relación entre el sexo y la altura? ZY entre la altura y e[ color de pelo? altura y el talle de calzado? Expliquen las respuestas. ' A paftir de tos datos que obtuvieron en la encuesta ise puede asegurar gue es [a misma en todo et país? 7 iy entre la sobre la altura que más veces se repite, t r Respotromr. 1. áQué observan en [a foto? iCómo les parece que podemos relacionarla con [a matemática? 2. Si et buzo que se encuentra más cerca de [a superfcie está situado 20 metros baio et nivel del mar, áa qué profundidad se encuentran sus compañeros? iQué cosas tuvieron en cuenta para responder? 3. iQué pasaría si todos 4. ascienden 5 metros? áQué cálcuto hicieron? Dos metros más abajo del buzo que se encuentra a mayor profundidad comienza la formación de coral, que tiene 12 metros de altura desde e[ fondo del mar. iQué profundidad tiene e[ mar en esa zona? 5. Si a 20 m sobre [a supefficie del mar pasa un helicóptero que envía una señal sonoft¡ para calcular la profundidad del mar, icuántos metros recore la onda sonon hasta chocar con e[ fondo? Ad'NÑ Fil I C t) ]GRIJPO ]MACMILLAN N-Nn@ l ffi MATEMATICA rEé1,***l | :.1 con l¡bros, I I I no con fotocopias Pupnro DEPrros