Ejercicio 1.
Conceptualización de sistemas de ecuaciones lineales, rectas y planos. Después de
haber realizado la lectura de los contenidos indicados, presentar de forma individual
en el foro un Mapa conceptual que ilustre los siguientes conceptos:
A. Diferentes tipos de ecuaciones para la recta y planos en el espacio 𝐑𝟑.
B. Solución de un sistema de ecuaciones lineales por medio de la regla
de Cramer.
C. Solución de un sistema de ecuaciones lineales por el algoritmo
de eliminación de Gauss-Jordán.
D. Solución de un sistema de ecuaciones lineales por medio de
eliminación Gauss y sustitución hacia atrás.
E. Solución de un sistema de ecuaciones lineales por medio del calculo
de la matriz inversa.
Imagen del Mapa:
Ejercicio 2. Solución de sistemas de ecuaciones lineales.
Resuelva los sistemas de ecuaciones lineales, según el literal (A, B, C, D
y E) seleccionado, empleando el método de reducción de Gauss-Jordán.
Valide en GeoGebra, Symbolab u otra herramienta computacional que
su resultado es correcto (debe relacionar la comprobación y todo el
procedimiento de reducción explicándolo paso a paso).
B
𝑥−3𝑦+𝑧=5
2𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 = 6
−2𝑥 + 3 𝑦 = −3
Solución:
1 −3 1 5
(2
2 3| 6 )
−2 3 0 −3
𝐹2 = (𝐹1 ∗ −2) + 𝐹2 = (−2 6 − 2| − 10) + (2 2 3| 6) = (0 8 1| − 4)
1 −3
=( 0
8
−2 3
1 5
1|−4)
0 −3
𝐹3 = (𝐹1 ∗ 2) + 𝐹3 = (2 − 6 2| 10) + (−2 3 0| − 3) = (0 − 3 2| 7)
1
= (0
0
−3 1 5
8 1|−4)
−3 2 7
1
1 −4
𝐹2 = (𝐹2/8) = (0 1 |
) = (0
8 8
0
−3 1 5
1 −4
1 8| )
8
−3 2 7
𝐹3 = (𝐹2 ∗ 3) + 𝐹3 = (0 3
1
−3
0
1
(0
0
=
3 −12
19 11
|
) + (0 − 3 2| 7) = (0 0
|
)
8
8
8
2
1 5
1 −4
8|8
19 11
8 2)
19
44
𝐹3 = (𝐹3/ ) = (0 0 1| ) =
8
19
𝐹1 = (𝐹2 ∗ 3) + 𝐹1 = (0 3
1
=
0
(0
𝐹1 = (𝐹3 ∗ −
1
0
(0
5
−3 1 −4
1
1 8| 8
44
0 1
19 )
3 −12
11 7
|
) + (1 − 3 1| 5) = (1 0
| )
8
8
8
2
7
11
0 8 2
|−4
1
1 8| 8
44
0 1
19 )
11
11
121
11 7
6
) + 𝐹1 = (0 0 −
| −
) + (1 0
| ) = (1 0 0|
)
8
8
28
8
2
19
1
=
0
0
(
6
0 0 19
1|−4
1 8 8
|
0 1 44
19 )
1
1
11
1
4
15
𝐹2 = (𝐹3 ∗ − ) + 𝐹2 = (0 0 − | − ) + (0 1
| − ) = (0 1 0| − )
8
8
38
8
8
19
1
0
0
=
(
6
19
0 0|
15
1 0−
| 19
0 1 44
19 )
1 0
0 1
0 0
𝐸𝑠𝑐𝑎𝑙𝑜𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑎 =
(
6
19
0|
15
0−
| 19
1 44
19 )
Verificación en GeoGebra:
Ejercicio 3. Aplicación de los sistemas de ecuaciones lineales en
la solución de problemas básicos.
B. Una empresa de transportes gestiona una flota de 60 camiones de
tres modelos diferentes. Los mayores transportan una media diaria
de 15000 kg. y recorren diariamente una media de 400 kilómetros.
Los medianos transportan diariamente una media de 10000
kilogramos y recorren 300 kilómetros. Los pequeños transportan
diariamente 5000 kilogramos y recorren 100 km. de media.
Diariamente los camiones de la empresa transportan un total de 475
toneladas y recorren 12500 km. entre todos. ¿Cuántos camiones
gestiona la empresa de cada modelo?
Solución:
Datos del problema:
X=Camiones Medianos
Y= Camiones Pequeños
Z=Camiones grandes
𝒄𝒂𝒎𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 = 𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟔𝟎
𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂 𝒅𝒊𝒂𝒓𝒊𝒂 𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒑𝒐𝒓𝒕𝒂𝒅𝒂 = 𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎𝒙 + 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝒚 + 𝟓𝟎𝟎𝟎𝒛 = 𝟒𝟕𝟓 𝒕𝒐𝒏𝒆𝒍𝒂𝒅𝒂𝒔
𝑹𝒆𝒄𝒐𝒓𝒓𝒊𝒅𝒐 = 𝟒𝟎𝟎𝒙 + 𝟑𝟎𝟎𝒚 + 𝟏𝟎𝟎𝒛 = 𝟏𝟐𝟓𝟎𝟎
Simplificamos los kilogramos en toneladas quedando la ecuación así:
𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎𝒙 + 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎𝒚 + 𝟓𝟎𝟎𝟎𝒛 = 𝟒𝟕𝟓 𝒕𝒐𝒏𝒆𝒍𝒂𝒅𝒂𝒔
= 15x + 10y + 5 = 475
𝑹𝒆𝒎𝒑𝒍𝒂𝒛𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝒂𝒖𝒎𝒆𝒏𝒕𝒂𝒅𝒂
𝟏
𝟏
( 𝟏𝟓
𝟏𝟎
𝟒𝟎𝟎 𝟑𝟎𝟎
𝟏
𝟔𝟎
𝟓 | 𝟒𝟕𝟓 )
𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟐𝟓𝟎𝟎
F2 = (F1 ∗ −15) + F2 = (−15 − 15 − 15| − 900) + (15 10 5| 475)
𝟏
𝟏
𝟏
𝟔𝟎
= (0 − 5 − 10| − 425) = ( 𝟎
−𝟓 −𝟏𝟎| −𝟒𝟐𝟓 )
𝟒𝟎𝟎 𝟑𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟐𝟓𝟎𝟎
𝐹3 = (𝐹1 ∗ −400) + 𝐹3
= (−400 − 400 − 400| − 24000) + (400 300 100| 12500)
𝟏
= (0 − 100 − 300| − 11500) = (𝟎
𝟎
𝟏
𝐹2 = (𝐹2/−5) = (0 1 2| 85) = (𝟎
𝟎
𝟏
−𝟓
𝟏𝟎𝟎
𝟏
𝟔𝟎
−𝟏𝟎 | −𝟒𝟐𝟓 )
−𝟑𝟎𝟎 −𝟏𝟏𝟓𝟎𝟎
𝟏
𝟏
𝟔𝟎
𝟏
𝟐 | 𝟖𝟓 )
−𝟏𝟎𝟎 −𝟑𝟎𝟎 −𝟏𝟏𝟓𝟎𝟎
𝐹3 = (𝐹2 ∗ 100) + 𝐹3 = (0 100 200| 8500) + (0 − 100 − 300| − 11500)
𝟏
= (0 0 − 100| − 3000) = (𝟎
𝟎
𝟏 𝟏
𝐹3 = (0 0 1| 30) = (𝟎 𝟏
𝟎 𝟎
𝟏
𝟏
𝟎
𝟏
𝟔𝟎
𝟐 | 𝟖𝟓 )
−𝟏𝟎𝟎 −𝟑𝟎𝟎𝟎
𝟏 𝟔𝟎
𝟐|𝟖𝟓)
𝟏 𝟑𝟎
𝑭𝟏 = (𝑭𝟐 ∗ −𝟏) + 𝑭𝟏 = (𝟎 − 𝟏 − 𝟐| − 𝟖𝟓) + (𝟏 𝟏 𝟏| 𝟔𝟎)
𝟏
= (𝟏 𝟎 − 𝟏| − 𝟐𝟓) = (𝟎
𝟎
𝟎
𝟏
𝟎
−𝟏 −𝟐𝟓
𝟐 | 𝟖𝟓 )
𝟏 𝟑𝟎
𝑭𝟏 = (𝑭𝟑 ∗ 𝟏) + 𝑭𝟏 = (𝟎 𝟎 𝟏| 𝟑𝟎) + (𝟏 𝟎 − 𝟏| − 𝟐𝟓) = (𝟏 𝟎 𝟎| 𝟓)
𝟏
= (𝟎
𝟎
𝟎
𝟏
𝟎
𝟎 𝟓
𝟐|𝟖𝟓)
𝟏 𝟑𝟎
𝑭𝟐 = (𝑭𝟑 ∗ −𝟐) + 𝑭𝟐 = (𝟎 𝟎 − 𝟐| − 𝟔𝟎) + (𝟎 𝟏 𝟐| 𝟖𝟓) = (𝟎 𝟏 𝟎| 𝟐𝟓)
𝟏
= (𝟎
𝟎
𝟎
𝟏
𝟎
𝟎 𝟓
𝟐|𝟐𝟓)
𝟏 𝟑𝟎
La empresa gestiona 5 camiones de modelo mediano 25 de modelo pequeño y 30 de
modelo grande para la suma de 60 en total.Escriba aquí la ecuación.
Verificación en GeoGebra:
Ejercicio 4. Los diferentes tipos de ecuaciones de la recta en 𝐑𝟑.
Halle la ecuación vectorial de la recta en 𝐑𝟑.
Halle las ecuaciones paramétricas de la recta 𝐑𝟑.
Halle las ecuaciones simétricas de la recta 𝐑𝟑.
Realice la respectiva comprobación computacional de todos sus
resultados obtenidos con ayuda de GeoGebra u otra herramienta.
B. De la recta que pasa por los puntos 𝑷(𝟐, 𝟒, − 𝟑) 𝑦 𝑸(𝟏, 𝟎, −𝟐).
⃗
𝒓 = 𝒑 + 𝒕𝒗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑷𝑸 = 𝑸(𝟏, 𝟎, −𝟐) − 𝑷(𝟐, 𝟒, −𝟑)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ⟨𝟏, 𝟒, −𝟏⟩
𝑷𝑸
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝑽𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓𝒊𝒂𝒍 = (𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝟐, 𝟒, −𝟑) + 𝒕(𝟏, 𝟒, −𝟏)
𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒎𝒆𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂𝒔
𝒙 = 𝟐 + 𝟏𝒕
𝒚 = 𝟒 + 𝟒𝒕
𝒛 = −𝟑 + (−𝟏𝒕)
𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒔𝒊𝒎𝒆𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂𝒔
𝒙−𝟐 𝒚−𝟒 𝒛+𝟑
=
=
𝟏
𝟒
−𝟏
Demostración en GeoGebra:
Ejercicio 5: La ecuación normal del plano.
B. ¿Cuál es la ecuación normal del plano que contiene los puntos
𝑷(𝟑, −𝟐, 𝟓), 𝑸(𝟑, 𝟏, −𝟐) 𝑦 𝑹(−𝟐, 𝟐, 𝟓 )? Desarrolle el paso a paso
necesario para llegar a dicha ecuación y grafique el plano
correspondiente.
𝐏(𝟑, −𝟐, 𝟓), 𝐐(𝟑, 𝟏, −𝟐) 𝐲 𝐑(−𝟐, 𝟐, 𝟓 )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑷𝑸 = 𝐐(𝟑, 𝟏, −𝟐) − 𝐏(𝟑, −𝟐, 𝟓)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑷𝑸 = ⟨𝟎, 𝟑, −𝟕⟩
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐑(−𝟐, 𝟐, 𝟓 ) − 𝐏(𝟑, −𝟐, 𝟓)
𝑷𝑹
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑷𝑹 = ⟨−𝟓, 𝟒, 𝟎⟩
𝒊
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑷𝑸𝒙𝑷𝑹 = ( 𝟎
−𝟓
𝒋
𝟑
𝟒
𝒌
−𝟕)
𝟎
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝒙𝑷𝑹
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = |𝟑
𝑷𝑸
𝟒
−𝟕
𝟎 −𝟕
𝟎 𝟑
|− 𝒊|
|𝒋 + |
|𝒌
𝟎
−𝟓 𝟎
−𝟓 𝟒
= {𝟎 − (−𝟐𝟖) − 𝒊(𝟎 − 𝟑𝟓) + 𝒋(𝟎 − (−𝟏𝟓)𝒌}
(𝟐𝟖) − 𝒊(𝟑𝟓) + 𝒋(𝟏𝟓)𝒌
⟨𝟐𝟖, 𝟑𝟓, 𝟏𝟓⟩
⃗⃗ = (𝟐𝟖, 𝟑𝟓, 𝟏𝟓)
𝒏
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∗ 𝒏
⃗⃗ = 𝟎
𝑷𝒐𝑷
(𝟐, 𝟏, 𝟏)(𝒙, 𝒚, 𝒛) = (𝒙 − 𝟑, 𝒚 − 𝟐, 𝒛 − 𝟓) ∗ (𝟐𝟖, 𝟑𝟓, 𝟏𝟓)
= 𝟐𝟖(𝒙 − 𝟑) + 𝟑𝟓(𝒚 − 𝟐) + 𝟏𝟓(𝒛 − 𝟓)
= 𝟐𝟖𝒙 − 𝟖𝟒 + 𝟑𝟓𝒚 + 𝟕𝟎 + 𝟏𝟓𝒛 − 𝟕𝟓
= 𝟐𝟖𝒙 + 𝟑𝟓𝒚 + 𝟏𝟓𝒛 − 𝟖𝟗 = 𝟎
𝟐𝟖𝒙 + 𝟑𝟓𝒚 + 𝟏𝟓𝒛 = 𝟖𝟗
Verificación en GeoGebra:
Ejercicio 6: (Ejercicio Colaborativo de Equivalencia de
Conceptos).
2𝒙𝟏 − 𝒙𝟐 + 2𝒙𝟑 = 6
3𝒙𝟏 + 2𝒙𝟐 − 𝒙𝟑 = 4
4𝒙𝟏 + 3𝒙𝟐 − 3𝒙𝟑 = 1
B. Verifique que el sistema cuya matriz aumentada es [𝑨|𝒃] es consistente
con solución única por el método de eliminación de Gauss-Jordán.
La respuesta según la calculadora de matriz
Tenemos que la forma escalonada queda
única de gauss Jordan
−𝟏
𝟖
𝟑𝟏
𝟖
𝟐𝟕
(𝟖)
Vemos que si es consistente con una solución
