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Clase 1 Limites (A)1 - Apuntes 1
Matematica 1 (Universidad Nacional de La Matanza)
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2400 - Matemática I
DOCUMENTO DE CLASE
Clase N°: 1
1.
Objetivo/s de la clase:
•
Estudiar el concepto central del análisis matemático (límite funcional).
•
Interpretar intuitivamente el concepto de límite.
•
Diferenciar los conceptos de límite y de imagen de un número real.
•
Comprender las propiedades y el álgebra de límite funcional finito.
•
Utilizar correctamente diferentes técnicas algebraicas para resolver
ejercicios de límite de la indeterminación
•
0
0
.
Observar y analizar el comportamiento de la gráfica de una función en las
cercanías de un número real aprovechando los medios tecnológicos al
alcance (calculadoras, graficadoras, aplicaciones del celular, softwares)
•
Aplicar conocimientos de la escuela media a la resolución de ejercicios.
•
Realizar la lectura comprensiva del material brindado como así también de
la bibliografía indicada y links recomendados.
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2.
Mapa conceptual de la clase:
Límite Funcional
Finito
Propiedades
Límites de
cocientes de
funciones
polinómicas
Indeterminación
Limites de
cocientes con
funciones
irracionales
0
0
Límites
trigonométricos
básicos
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2400 - Matemática I
3.
Desarrollo:
Límite funcional finito:
Definición coloquial:
La expresión lim f(x) = L significa que cuando los valores de x se acercan a x0, cada
x → x0
vez más, tanto por izquierda como por derecha en el eje horizontal, los valores de la
imagen de la función f se aproximan a L en el eje vertical.
Se lee: “límite de f para x tendiendo a x0 es igual a L”
Gráfico explicativo:
y
f
L
x
x0
Ejemplo: 𝑙𝑖𝑚 (𝑥 + 3) = 5 significa que cuando los valores de x se acercan a 2, cada
𝑥→2
vez más, tanto por valores menores a 2 como por valores mayores a 2 en el eje horizontal,
los valores de la imagen de la función f se aproximan a 5 en el eje vertical.
f (x) = x + 3;
x0 = 2;
L=5
Si en una tabla de valores vamos colocando números menores al dos cada vez más
próximos a él y en otra vamos colocando números mayores al dos cada vez más cercanos
a él observamos que en ambas tablas los valores de la imagen de la función se aproximan
al número 5.
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x
f(x)
x
f(x)
1,8
4,8
2,2
5,2
1,9
4,9
2,1
5,1
1,99
4,99
2,01
5,01
Se aproximan a 5.
Se aproximan a 5.
Se aproximan a 2 por valores mayores a él
Se aproximan a 2 por valores menores a él
Gráfico:
y
f(x)= x +3
5
x
2
Importante: No confundir el concepto de límite de una función para x tendiendo a x0 con
el concepto de imagen de una función en x0.
No confundir 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) con f(𝑥0 )
𝑥 → 𝑥0
Hay situaciones en las que son iguales y otras en las que no lo son. O peor aún, alguno de
ellos no existe.
En el ejemplo anterior son iguales, es decir: 𝑙𝑖𝑚 (𝑥 + 3) = 𝑓 (2)
𝑥→2
¡Uy! ¡Que no se entere nadie! Podríamos calcular el límite simplemente reemplazando
por 2 en la función f (x) = x + 3. ¿Será tan fácil?
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En estos casos, ¡sí! Pero siempre tenés que tener presente que límite e imagen son
distintos conceptos. Calcular una imagen es reemplazar en la función por el número real
pero calcular un límite es, en realidad, reemplazar por valores cada vez más próximos al
número pero no reemplazar por dicho número, por eso decimos que calculamos la
tendencia…
En cambio, en la función 𝑓(𝑥) =
igual a 4 ( lim
𝑥 2 −4
𝑥→2 𝑥−2
𝑥 2 −4
𝑥−2
, no existe la imagen de 2 (∄𝑓2), pero tiene límite
= 4 ), como observarás en las tablas debajo:
𝑓(𝑥) =
𝑥 2 −4
;
𝑥−2
x0 = 2;
L=4
x
f(x)
x
f(x)
1,8
3,8
2,2
4,2
1,9
3,9
2,1
4,1
1,99
3,99
2,01
4,01
Se aproximan a 4.
Se aproximan a 4.
Se aproximan a 2 por valores mayores a él
Se aproximan a 2 por valores menores a él
En la función f(x) no podríamos calcular el límite “reemplazando” por 2.
Imaginate lo tedioso que sería si para calcular un límite tuviéramos que hacer estas tablas
o los gráficos para intuir una respuesta posible.
Es por ello que surge la necesidad de conocer las propiedades, el álgebra y aplicar técnicas
para resolver las diferentes situaciones que aparecerán en la práctica.
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Propiedades de límite funcional finito:
1) El límite de una función, si existe, es único. (Unicidad del límite)
2) Si dos funciones toman valores iguales de imagen en las proximidades de x0 y una
de ellas tiene límite cuando x tiende a x0, entonces la otra función tiene ese mismo
límite para x tendiendo a x0. (propiedad de las funciones equivalentes)
Ejemplo: Nuestras dos funciones serán:
f(x) =
x2 −4
g(x) = x + 2
x−2
¿Cómo calcularíamos lim
𝑥 2 −4
𝑥→2 𝑥−2
y el punto x0 =2
?
Esta propiedad nos pide calcular los valores en las cercanías de 2 en ambas funciones y
compararlas para ver si coinciden.
x
f(x)
x
g(x)
1,8
3,8
1,8
3,8
1,9
3,9
1,9
3,9
1,99
3,99
1,99
3,99
2,01
4,01
2,01
4,01
2,1
4,1
2,1
4,1
2,2
4,2
2,2
4,2
Ahora, tratemos de calcular los límites siguientes sin mirar las tablas realizadas.
lim(𝑥 + 2) = 4
𝑥→2
lim
𝑥 2 −4
𝑥→2 𝑥−2
Sale “reemplazando” ¡Qué fácil!
= ? ? ? ? , ¡No sale reemplazando! ¿Qué hacemos?
Como de una de ellas conocemos el valor del límite para x tendiendo a 2 (esto es 4)
podemos asegurar que la otra función tiene ese mismo límite para x tendiendo a 2, es
decir:
lim
𝑥 2 −4
𝑥→2 𝑥−2
= 4.
f y g son funciones equivalentes.
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¡Esta propiedad es clave! La utilizaremos cada vez que resolvamos un ejercicio de limite
funcional finito.
Te adelanto como sería:
lim
𝑥 2 −4
𝑥→2 𝑥−2
= lim
𝑥→2
(𝑥+2)(𝑥−2)
𝑥−2
= lim
𝑥→2
(𝑥+2)(𝑥−2)
𝑥−2
= lim (𝑥 + 2) = 4
𝑥→2
Si te fijás la primera función y la última que obtenemos luego de trabajar la primera con
artificios algebraicos son las que llamamos funciones equivalentes.
Te recuerdo que el factor (x-2) lo podemos simplificar pues en el concepto de límite
𝑥≠2
3) Si en las proximidades de x0 se cumple que h(x) ≤ f(x ) ≤ g(x),
𝑙𝑖𝑚 ℎ(𝑥) = 𝐿
𝑥 → 𝑥0
y 𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥) = 𝐿 entonces 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝐿 (propiedad del límite de la función
𝑥 → 𝑥0
𝑥 → 𝑥0
intermedia o propiedad del “sándwich”)
Gráfico:
y
g
L
f
h
x
x0
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Álgebra de límite funcional finito:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
lim k = k ,
k es una función constante
x → x0
lim [k ∙ f(x)] = k ∙ lim f(x), k es un número
x → x0
x → x0
lim [ f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x)
x → x0
x→x0
x→x0
lim [ f(x) − g(x)] = lim f(x) − lim g(x)
x → x0
x→x0
x→x0
lim [ f(x) ∙ g(x)] = lim f(x) ∙ lim g(x)
x → x0
lim
1
x → x0 g(x)
=
1
x→x0
lim g(x)
x→x0
x→x0
, si lim g(x) ≠ 0
x→x0
lim [ f(x): g(x)] = lim f(x): lim g(x) , si lim g(x) ≠ 0
x → x0
x→x0
x→x0
x→x0
lim ln[f(x)] = ln [ lim f(x)] , si lim f(x) > 0
x → x0
x → x0
x→x0
lim [f(x)]k = [ lim f(x)] k , válida bajo ciertas condiciones
x→x0
x→x0
10) lim n√f(x) = n√ lim f(x)] , si n es par, lim f(x) ≥ 0
x→x0
x→x0
x→x
0
lim g(x)
11) lim b g(x) = b x→x0
x→x0
,
si b > 0
lim g(x)
12) lim [f(x)]g(x) = [ lim f(x)]
x→x0
x→x0
x→x0
, si lim f(x) > 0
x→x0
Ejemplos:
•
lim(𝑥 2 + 7𝑥 + 2) = lim 𝑥 2 + 7 lim 𝑥 + lim 2 = 1 + 7 ∙ 1 + 2 = 10
𝑥→1
𝑥→1
𝑥→1
𝑥→1
Utilizamos 3), 2) y 1), y aunque no está detallada 9)
•
lim(𝑥 + 1)(𝑥
𝑥→2
3 −𝑥)
lim (𝑥 3 −𝑥)
= lim(𝑥 + 1)𝑥→2
𝑥→2
= 36
Utilizamos 12), y aunque no estén detalladas también 3), 4), 1), 9)
Pudimos resolverla porque cumple la condición lim(𝑥 + 1) > 0.
𝑥→2
En particular, cuando en el límite de un cociente, el límite del numerador es cero y el
límite del denominador también es cero, estamos en presencia de una situación
denominada INDETERMINACIÓN
artificios algebraicos.
0
0
y para resolverla recurrimos a diferentes
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Analizaremos tres casos de límites indeterminados
0
0
:
➢ Límites de cociente de funciones polinómicas:
Fundamentalmente consiste en factorizar el polinomio del numerador y el
polinomio del denominador para luego simplificar algún factor común a ambos
polinomios si fuera posible.
Ejemplo:
lim
𝑥 2 −5𝑥+4
𝑥→4 𝑥 3 −7𝑥 2 +12𝑥
= lim
(𝑥−4)(𝑥−1)
𝑥→4 𝑥(𝑥−4)(𝑥−3)
= lim
𝑥−1
𝑥→4 𝑥 (𝑥−3)
= lim
=
(𝑥−4)(𝑥−1)
𝑥→4 𝑥(𝑥−4)(𝑥−3)
3
4∙1
=
3
4
=
➢ Límites de cociente con funciones irracionales:
Trabajaremos con expresiones fraccionarias donde aparecen raíces cuadradas.
Para resolver este tipo de límites se debe multiplicar al numerador y al
denominador por el conjugado de la expresión que contiene la raíz cuadrada.
Se busca lograr un producto de una suma por su diferencia ( (a+b) (a-b) ) para
formar una diferencia de cuadrados ( a2 - b2 ) que en varias de las situaciones nos
llevará a una simplificación con lo cual podremos calcular el límite pedido.
Ejemplo:
√x−√3
lim
x→3 x−3
lim
= lim
𝑥−3
(√x−√3)(√𝑥+√3)
x→3 (x−3)(√𝑥+√3)
x→3 (x−3)(√𝑥+√3)
= lim
1
x→3 √𝑥+√3
=
= lim
1
2√3
2
(√𝑥) −(√3)2
x→3 (x−3)(√𝑥+√3)
=
1∙√3
2∙√3∙√3
=
= lim
√3
2∙(√3)2
𝑥−3
x→3 (x−3)(√𝑥+√3)
=
√3
2∙3
=
√3
6
=
➢ Límites trigonométricos básicos:
También son llamados límites trigonométricos notables. Son resultados
fundamentales para tener en cuenta al resolver algunas formas indeterminadas.
Conviene recordarlos.
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•
lim
x→0
sen x
x
=1
Tiene una demostración formal con desigualdades y propiedades, pero no la veremos en
la cursada. Quien tenga un espíritu curioso puede encontrarla en diferentes libros de la
bibliografía propuesta.
Estudiaremos, con tabla de valores, la tendencia de la función para x tendiendo a 0:
f(x) =
sen x
;
x
x0 = 0
x
f(x)
x
f(x)
-0,2
0,993346…
0,2
0,993346…
-0,1
0,998334…
0,1
0,998334…
-0,01
0,999983…
0,01
0,999983…
Se aproximan a 1.
Se aproximan a 1.
Se aproximan a 0 por valores mayores a él
Se aproximan a 0 por valores menores a él
Por lo que, observando las tablas, podemos concluir que:
lim
x→0
sen x
x
=1
Te comento que, para realizar las cuentas, la calculadora debe colocarse en modo
“Radián”.
De manera similar establecemos que:
x
lim
x → 0 sen x
=1
Interpretación:
Para ángulos muy pequeños (en radianes) el valor del ángulo y del seno de dicho ángulo
son prácticamente iguales. Es decir
𝑥 ≈ 𝑠𝑒𝑛 𝑥
Por ejemplo: Si el ángulo en radianes es 𝛼 = 0,01, el sen 𝛼 = 0,0099998 …
Si comparás verás que
0,01 ≈ 𝑠𝑒𝑛 0,01
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Aplicación:
lim
x → x0
sen [f(x)]
f(x)
f(x)
lim
x → x0 sen[f(x)]
= 1, si f(x) → 0 cuando x → x0
= 1, si f(x) → 0 cuando x → x0
Ejemplo:
lim
x→0
sen (4x)
x
4∙1= 4
lim
•
x→0
= lim
x→0
cos x−1
x
4∙sen (4x)
= lim (
4∙x
4
x→0 1
∙
sen (4x)
4∙x
) = lim 4 ∙ lim
x→0
x→0
sen (4x)
4∙x
=
=0
Demostración:
lim
x→0
lim
cos x−1
x
−(senx)2
x→0 x(cox+1)
= lim
x→0
(cosx−1)(cos x+1)
= lim(
x→0
x(cosx+1)
senx
x
∙
−senx
cos x+1
= lim
(cos x)2 −12
x→0 x(cox+1)
) = lim
x→0
senx
x
=
∙ lim
−sen x
x→0 cos x+1
=1∙0=0
Utilizamos la identidad fundamental: (sen x)2 + (cos x)2 = 1 ⟺ (cos x)2 - 1 = - (sen x)2
•
lim
x→0
tan x
x
=1
Demostración:
lim
x→0
tan x
x
= lim
x→0
senx
cosx
x
senx 1
= lim (
x→0
senx
∙ ) = lim (
cosx x
x→0
x
∙
1
)=
cosx
1
senx
∙ lim
=1∙1=1
x→0 cosx
x→0 x
= lim
De manera similar tratá de demostrar que:
lim
x
x → 0 tan x
=1
___________________________________________________________
Esta fue nuestra primera clase teórica. Volvé a leerla con atención y profundidad.
Y luego a trabajar con las actividades…
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4.
Bibliografía:
[1] STEWART, JAMES (1999), Cálculo – Conceptos y Contextos, México –
Thomson Editions
[2] RUTENBERG, E., AVERNA, C., GALARDO, O. (2005), Nociones de
Cálculo, Buenos Aires – Ed. Prometeo, 3ª ed.
[3] AVERNA, C.; RUTENBERG, E. (2007), Nociones de Cálculo, Tomos 1 y 2,
Buenos Aires – Ed. Prometeo, 4ª edición
5.
Actividad pedagógica:
Pueden trabajar con los siguientes ejercicios del Trabajo Práctico a continuación:
2), 4), 5), 6)
De los cuales son ejercicios obligatorios:
2) a, j
4) a, c, e
5) a, c, f
6) a, c, d, f
Ayuda con el 5) d) :
Es una indeterminación
0
0
.
Es un límite de una expresión fraccionaria donde
aparecen raíces cuadradas.
lim
𝑥−√2
2
x→√2 x −2
= lim
x→√2
(𝑥−√2)(𝑥+√2)
2
x→√2 (x −2)(𝑥+√2)
= lim
𝑥 2 −2
(x2 −2)(x+√2)
= = lim
= lim
𝑥 2 −(√2)2
2
x→√2 (x −2)(𝑥+√2)
1
x→√2 x+√2
=
1
√2+√2
=
1
= lim
2∙√2
𝑥 2 −2
2
x→√2 (x −2)(x+√2)
=
√2
4
=
El 4) d), 5) b) y 6) b) los tenés resueltos en la explicación del desarrollo de la teoría.
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TRABAJO PRÁCTICO: LIMITES
1) Demostrar que el límite indicado es correcto utilizando la definición.
Hallar  en función de .
a) lim(3x + 2) = 14
c) lim
(9 − 4x) = 1
x →2
b) lim(6x + 5) = 11
d) lim
( −2x + 1) = −5
x →3
x →4
x →1
2) Caso 1: Ausencia de Indeterminación:
−3x 5 + 8
x →2 x + 4
x3 −1
b) lim 2
x →1 x + 4x − 6
5x 5 − 12
c) lim 3
x →0 2x + 2
g) lim ( x1-x )
a) lim
 x 2 − 2x − 3 
d) lim 

x →3
x +1 

x →2
h) lim
ln(x + 1)
x →3
(x + 5)2 (x + 1)
x →0
2  cosx
i) lim
2x
j) lim
x→
3
3−x
x 2 +1
sen 2 t + 3 cos t + 5
k) limπ
t→
cos 3 t + sen t + 1
2
2x − 1
e) lim
x →0 8x − 3
 sen(4x) - cos(5x) 
lim

l) x →0 
- x + cos x


1+ e t
t →0
2
f) lim
3) Caso 2: Límites laterales:
x-5
| x − 5|
a) lim 1
c) lim
e) lim
x →5
b) lim 5
d) lim ln x
f) lim 3x − 1
h) lim ln  1 
i) lim
x
x→ 0
x →3
g) lim
x → 2-
1
-x+2
j) lim 3
x →0+
x −3
3
x
1
x →0 x 2
x →0 +
x →0 +
x→4
 x
x →0 -
1
x
k) lim-  1 
x →0  5 
l) lim
x →0
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x−4
1
ex
x
x
3 x - cos x
6 x +1
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4) Caso 3: Indeterminación
(→ 0)
:
(→ 0)
1
x 2 − 5x + 6
lim
a)
x →3 x 2 − 8x + 15
b)
c)
d)
e)
 x 2 − 4x + 3  x

f) lim 2
x →3 x − 2x − 3 


x 3 − a3
g) lim
x →a x − a
3x 2 + 12x − 15
lim
x →1
x2 + x − 2
x2 − 4
lim 3
x →2 x − 8
x 2 − 5x + 4
lim 3
x →4 x − 7x 2 + 12x
x 3 − 6x 2 + 12x − 8
lim 4
x →2 x + 2x 3 − 8x 2
5) Caso 4: Indeterminación
 x -1 
h) lim


x →1 x 2 −1


(x + t)3 − x 3
t →0
t
i) lim
(→ 0)
(irracionales):
(→ 0)
x−4
a) lim
x →4
2− x
f) lim
x →0
b) lim
x →3
x− 3
x −3
g) lim
x →1
c) lim
x →0
3x
h) lim
4+x −2
x− 2
d) lim 2
x→ 2 x − 2
2−x − 2+ x
e) lim
x →0
x
6) Caso 5: Indeterminación
x →2 +
x →1+
sen f(x)
= 1 si f ( x ) → 0 cuando x → x0
f(x)
x →0
x -1
x2 + 3 − 2
x2 − 4
x−2
x −1
(→ 0)
(trigonométricos), para utilizar:
(→ 0)
lim
x →x
lim
3− x +9
2
j) lim x − x
sen f(x)
= 1 si f ( x ) → 0 cuando x → 0
f(x)
a)
4 − x + 16
x2 + 3 − 2
i) lim
x →1
x -1
lim
x →0
0
x +1
sen (4x)
x
f)
lim
x →0
cos x - 1
x2
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+2
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b)
2
g) lim  x2 - 2x + 3 
x →0
 x - 3x + 2 
tan x
lim
x→0
x
sen (x 2 - x - 6)
c) lim
x→3
x2 - x - 6
sen 2 (5x)
d) lim
x→0
3x
tan(2 x)
e) lim
x→0 sen(5x)
x →2
x →0
x
x
2
1 − cos x)
(→  )
:
(→  )
3x 2 + 2
g) xlim
→ +
4x − 1
2x +1
x 5 + 8x 3
b) xlim
→+ 2x 5 + 1
 5x 2 + 10  3x 2 − 6
lim  2

x →+
 x −1 
h)
x−2
lim
x → + x 3 + 2x − 5
 2x − 1 
lim 

x →+  5x + 2 
i)
x
4 x − 4−x
j) xlim
→+ 4 x + 4 − x
x 5 + 10x 3
d) lim
x→ − 
x+7
x2 + x
x
k)
3x 2 − 1 + 5
lim
x → +
3
x6 + x4 − 3
6x 2 + 4 x 8 + 1
1
3x − x + 5
f) xlim
→ +
cos3x sen( - x)
 -x
l) lim
3x 2 + 6x
a) xlim
→+
x+4
x→ − 
lim
i) x→

x →0 +
tg (x − 4 )
sen ( x − 2 )
e) lim
x - sen x
x + sen x
j) lim sen (x)
7) Caso 6: Indeterminación
c)
h) lim
x →0
2
k) lim
l) lim
5x + 2 x − 3
x →0 +
3x − 7
1
7 + 3x
8) Caso 7: Indeterminación (→ +) + (→ −) :
1 
 3
lim  3
−

x → 1 x − 1 x − 1
2 
 3
− 2 
b) lim+ 
x →1  x − 1 x − 1 
a)
3
 2

c) lim  x + 1 − x 2+ x − 2 
x → 2+
 x−2
(
x − 2x 
d) lim x − x 2 + 2
x →+
sen x
x
)
e) lim ( 2x − x + 4 )
x →+
f) lim
(
x 2 + 3x − x
g) lim
(
x +1− x
x →+
x →+
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)
)
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9) Caso 8: Indeterminación ( → 1)
( → )
1 

+
lim
1


x →+
f(x) 

para utilizar:
f(x)
=e
lim(1 + f(x) )f(x) = e
1
x →0
1

a) xlim
1− 

→ +
x

e) lim (1 − 2x ) x
3
x →0
x
 1 + 5x 
c) xlim


→ + 3 + 5x


x −1

x +3

d) xlim

→ +
si f ( x ) → 0 cuando x → 0
x
2x + 1 

 2x + 2 

b) xlim

→ +
si f ( x ) → + cuando x → +
f)
2
lim (1 + sen x) x
x →0
1
 2x + 3  x


g) lim
x →0 3x + 3


2x −1
x +2
h) lim(1 + x 2 )x
x →0
3
i) lim(1 + sen(5x))x
j) lim(1 + senx)x
7
x →0
x →0
k) lim(1 + 3 tg (x) )sen(x)
3
2
+x
l) lim(1 + 5sen(4x))tg(x)
2
1
x →0
x →0
10) Caso 9: Indeterminaciones varias:
 1
x
x sin 
a) xlim
→+
d) lim
x →8
b) lim
x cot x
x →0
e)
c) lim
x→
4
sen x - cos x
1- tan x
7+3 x −3
x−8
lim x  ln(x + 1) − lnx 
x →+
f) lim ln(1 + x)
x →0
11) Caso 10: Límite de funciones por tramos:
a) Hallar el límite para 𝑥→2 de
b) Hallar el límite para 𝑥→0 de
3 − x , si x  2
f(x) = 
 0 , si x  2
x + 2, si x  0
f(x) =  3
 x , si x  0
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x
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c) Hallar el límite para 𝑥→9 de
 x − 9 , si x  9
f(x) = 
18 − 2x , si x  9
 3x − 3
, si x  1

d) Hallar el límite para 𝑥→1 de f(x) =  x − 1
 5 , si x = 1


e) Hallar el límite para 𝑥→ 0 y 𝑥→3 de f(x) = 


3x + x
12) Si (f x ) =
, hallar:
7x − 5 x
a) lim f (x )
b)
x →+ 
13) ¿Existe lim
x →0
2x − 1, si x  0
x 2 − 1, si 0  x  3
4 − x , si x  3
lim f (x )
c) lim f (x )
x →0
x →− 
1 − cos 2 x
?
x
14) Hallar las ecuaciones de las asíntotas de las siguientes funciones:
3x 3 + 9x 2 − 12
a) f ( x ) =
2x 2 + 2x − 4
2x 3 + 6x 2 − 8
b) f ( x ) = 2
3x + 9x + 6
2x 2 + 4x − 6
c) f ( x ) = 3
3x + 12x 2 − 3x − 12
x 3 + 2x 2 + 5x + 20
d) f ( x ) =
x2 − 4
2x
e) f ( x ) = 2
x +1
−2x 2 + 4x + 6
f) f ( x ) =
3x + 6
g) f ( x ) =
h)
x
4x + 2
f ( x ) = ln ( x + 3 )
i) f (x) =
sen(3x)
4x
j) f ( x ) = e − x +5
15) Hallar una función que tenga como asíntota horizontal a la recta 𝑦 = 2,
y como asíntotas verticales a 𝑥 = 5 y a x = 4.
16) Deducir la ecuación de una función, cuya A.O. sea y = 2x + 5 y su A.V.
sea x = 2
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APLICACIONES ECONÓMICAS
17) El costo de fabricar una cierta cinta de video es C(x) = 20000 + 5x , donde
x es el número de cintas fabricadas. El Costo promedio por cinta, denotado
por C(x) o 𝐶𝑚𝑒(𝑥) se encuentra dividiendo C(x) entre x. Encontrar:
a) C(1000)
b) C(10000)
c) lim C(x)
x→100000
d)
lim C(x)
x →+
18) La Demanda de un artículo viene dada por la fórmula p =
3000
. Si la
3q + 4
cantidad demandada crece indefinidamente, ¿a cuánto tiende el Ingreso?
19) Los costos variables por unidad de un determinado producto ascienden
a $35. Los costos fijos anuales ascienden a $125.000. Encontrar a qué valor
tiende el Costo medio cuando el número de unidades tiende a infinito.
20) La función Costo medio está dada por C (q) =
6q + 120
, donde q es la
q
cantidad de artículos producidos:
a) Determinar el costo fijo y el precio de costo unitario.
b) ¿Cuál es el significado de la pendiente del 𝐶𝑇 .?
c) ¿A cuánto tiende el Costo total cuando 𝑞 se acerca a 5?
21) Un negocio vende un determinado artículo en $40 pesos la unidad y se
estima un costo fijo en $300. Con estos datos:
a) Escribir las funciones de Ingreso y de Costo total sabiendo que
ambas coinciden en 𝑞 = 20.
b) Encontrar el o los valores de q para que el negocio sea rentable.
c) Si q aumenta indefinidamente, ¿en qué valor se estabiliza el Beneficio
medio?
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RESPUESTAS
1) a)  = 
b)  = 
3
2) a) − 44
b) 0
3
c) -6
l) ∄
k) 3
3) a)  b) 
k) +  l) 1
4) a) − 1
3
6
5) a) -4 b)
6)a) 4
d) 0
b) 1
g) 1
f) 1
e) ∄
2
4
e) −
c) 1
d) 0
e) 2
c) 0
d) + 
e) -1
j) 0
2
f)  g)+  h) +  i) 0 j) + 
7
2
2
f) 3
g) 2
4
f) - 1
5
i) 25
h) ln 4
2
 1 3
e) 0 f)  
g) 3 a2 h) 1
4
2
4
c) 12 d)
2
3
3
e)
d) - 
d) 3
3
d)  = 
4
c) + 
b) 6 c) 1
2
c)  = 
6
h) + 
g) 3
2
i) 3 x2
i) 1 j)0
2
h) 0
2
i) -1j)0 k) 4
l) 0
7) a) +  b) 1
2
f) 3
g)
5
3
4
h) 1
i) 0
j) 1
k) 8
7
l) 1
b) + 
8) a) -1
9) a) e −1
e
b) e
−
1
2
c) + 
c) e
−
4
5
d)
e) + 
d) 0
e− 4
e)
e− 6
f) e 2
f) 3
g) 0
2
g) e
−
1
3
h) 1
35
k) e6
j) e3
l) e 20
10) a) 1
b) 1
11) a)  b)  c) 0 d) 3
12) a) 2 b)
1
6
c) −
e) -1 y 
2
2
c) 
3
14) a) A.O.:𝑦 = 𝑥 + 3
2
d)
1
e) 1
72
f) 1
13) 
1
1
; A.V.: x = −
2
2
h) A.V.:𝑥 = −3
i) A.H.:𝑦 = 0
j) A.H.:𝑦 = 0, 𝑠𝑖 𝑥 → +∞
g) A.H.: y =
2
b) A.V.: 𝑥 = −1; A.O.:𝑦 = 𝑥.
3
c) A.V.: x = −1 ; x = −4 ; A.H.:𝑦 = 0
d) A.V.:𝑥 = −2; 𝑥 = 2 ; A.O.:𝑦 = 𝑥 + 2
e) A.H.:𝑦 = 0.
8
2
f) A.V.:𝑥 = −2 ; A.O.:𝑦 = − 3 𝑥 + 3
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i)
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15) Ejemplo:
y=
2x 2 + 1
(x − 5 )(x − 4 )
16) Ejemplo: y = 2x + 5 +
y=
1
y sacando común denominador resulta:
x−2
2x 2 + x − 9
x−2
APLICACIONES ECONOMICAS:
17) a) 25 b) 7 c) 5,2 d) 5
18) 1000
19) 35
20)a) cf: 120 precio de costo unitario: 6 b) Es el precio de costo unitario
150
21) a) I(q) = 40 q
C(q) = 300 + 25 q
b) q > 20 c) 15
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c)
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6.
Material complementario de la clase:
Aquí encontrarás ejercicios resueltos que te servirán para trabajar con los del
trabajo práctico y enriquecerte mucho más:
LIMITE DE FUNCIONES
(→0)
INDETERMINACIÓN
(→0)
Expresiones Fraccionarias donde aparecen Polinomios:
Ejercicio 1: lim
𝑥→0
(1+𝑥)2 −1
𝑥
=
(→0)
(→0)
Esta indeterminación nos sugiere desarrollar el cuadrado del binomio que está en el
numerador:
(1 + 𝑥)2 = 1 + 2𝑥 + 𝑥 2
Resulta:
1 + 2𝑥 + 𝑥 2 − 1
𝑥 2 + 2𝑥
𝑥. (𝑥 + 2)
lim
= lim
= lim
=
𝑥→0
𝑥→0
𝑥→0
𝑥
𝑥
𝑥
Simplificando resulta:
= lim( 𝑥 + 2) = 2
𝑥→0
(1 + 𝑥)2 − 1
= 2
𝑥→0
𝑥
∴ lim
Ejercicio 2: lim
𝑥→5
𝑥 2 −25
𝑥 2 −3𝑥−10
=
(→0)
(→0)
Esta indeterminación nos sugiere trabajar con casos de factoreo.
Factorizamos el numerador como una diferencia de cuadrados y el denominador como
polinomio cuadrático.
Recordar que: 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 ) siempre que las raíces sean reales,
tenemos
Simplificando nos queda:
(𝑥 + 5). (𝑥 − 5)
=
𝑥→5 (𝑥 − 5). (𝑥 + 2)
lim
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= lim
𝑥→5
Ejercicio 3: lim
𝑥 3 −3𝑥 2 +4
(𝑥 + 5) 10
=
(𝑥 + 2)
7
𝑥 2 − 25
10
∴ lim 2
=
𝑥→5 𝑥 − 3𝑥 − 10
7
𝑥→2 𝑥 3 −7𝑥 2 +16𝑥−12
=
(→0)
(→0)
Como 𝑥 = 2 es raíz de ambos polinomios, entonces, aplicando la Regla de Ruffini en el
polinomio numerador, tenemos:
𝑥 3 − 3𝑥 2 + 0𝑥 + 4 = (𝑥 − 2)2 . (𝑥 + 1)
Aplicando la Regla de Ruffini en el polinomio denominador, tenemos:
𝑥 3 − 7𝑥 2 + 16𝑥 − 12 = (𝑥 − 2)2 . (𝑥 − 3)
Reemplazando, nos queda:
(𝑥 − 2)2 . (𝑥 + 1)
𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4
= lim 3
= lim
𝑥→2 𝑥 − 7𝑥 2 + 16𝑥 − 12
𝑥→2 (𝑥 − 2)2 . (𝑥 − 3)
Simplificando los factores comunes del numerador y del denominador, nos queda:
(𝑥 − 2)2 . (𝑥 + 1)
𝑥+1
= lim
=
lim
=
𝑥→2 (𝑥 − 2)2 . (𝑥 − 3)
𝑥→2 𝑥 − 3
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Finalmente, evaluamos el límite para, una vez salvada la indeterminación, obtener el valor
verdadero del mismo:
𝑥+1
=−3
𝑥→2 𝑥 − 3
𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4
= −3
∴ lim 3
𝑥→2 𝑥 − 7𝑥 2 + 16𝑥 − 12
lim
Expresiones Fraccionarias donde aparecen Raíces Cuadradas:
Ejercicio 4: lim
𝑥→6
2−√𝑥−2
𝑥 2 −36
=
(→0)
(→0)
Indeterminado.
Para hallar el valor verdadero de este tipo de límites, se debe multiplicar al numerador y
al denominador por el conjugado de la expresión que contiene la raíz cuadrada:
2 − √𝑥 − 2 2 + √𝑥 − 2
∙ (
)=
𝑥→6 𝑥 2 − 36
2 + √𝑥 − 2
= lim
El producto de los factores que quedan en el numerador, resultan ser una diferencia de
cuadrados desarrollada, entonces, sabiendo que:
Nos queda:
(𝐴2 − 𝐵 2 ) = (𝐴 − 𝐵) ∙ (𝐴 + 𝐵)
2
22 − ( √𝑥 − 2)
= lim
2
=
− 36) ∙ (2 + √𝑥 − 2)
Simplificando el cuadrado de la raíz con el cuadrado del índice, obtenemos la siguiente
𝑥→6 (𝑥 2
expresión:
= lim
𝑥→6 (𝑥 2
22 − (𝑥 − 2)
− 36) ∙ (2 + √𝑥 − 2)
=
Desarrollando la diferencia de cuadrados del denominador y operando sobre el
numerador:
= lim
𝑥→6 (𝑥
4−𝑥+2
− 6) ∙ (𝑥 + 6) ∙ (2 + √𝑥 − 2)
=
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Evaluando nuevamente el límite:
−𝑥 + 6
= lim
𝑥→6 (𝑥
=
(→ 0)
(→ 0)
− 6) ∙ (𝑥 + 6) ∙ (2 + √𝑥 − 2)
Sacando factor común −1 en el numerador:
−(𝑥 − 6)
=
= lim
𝑥→6 (𝑥 − 6) ∙ (𝑥 + 6) ∙ (2 + √𝑥 − 2)
Simplificamos el factor (𝑥 − 6) tanto en el numerador como en el denominador:
−1
−(𝑥 − 6)
= lim
=
= lim
2
𝑥→6 (𝑥 + 6). (2 + 2√𝑥 − 2)
𝑥→6 (𝑥 − 6). (𝑥 + 6). (2 + √𝑥 − 2)
Finalmente, salvada la indeterminación, evaluamos nuevamente el límite y obtenemos el
valor verdadero del mismo:
lim
𝑥→6 (𝑥
−1
2
+ 6). (2 + √𝑥 − 2)
=−
1
2 − √𝑥 − 2
=−
2
𝑥→6 𝑥 − 36
48
1
48
∴ lim
Expresiones fraccionarias donde aparece la función seno.
Para hallar el valor verdadero de este tipo de límites, recordar:
➢ lim
𝑥→𝑥0
𝑠𝑒𝑛[𝑓(𝑥)]
𝑓(𝑥)
Ejercicio 5: lim
𝑥→1
= 1 𝑠𝑖 𝑓(𝑥) → 0 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → 𝑥0
sen(−2𝑥+2)
𝑥 2 +𝑥−2
=
(→0)
(→0)
Puesto que para 𝑥 = 1 se anula también el denominador, entonces factorizamos aplicando
la Regla de Ruffini:
𝑥 2 + 𝑥 − 2 = (𝑥 − 1) ∙ (𝑥 + 2)
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sen(−2𝑥 + 2)
=
𝑥→1 (𝑥 − 1) ∙ (𝑥 + 2)
Multiplicando numerador y denominador por −2, y distribuyendo convenientemente en
= lim
el denominador, tenemos:
−2 ∙ sen(−2𝑥 + 2)
=
𝑥→1 −2. (𝑥 − 1). (𝑥 + 2)
= lim
−2. sen(−2𝑥 + 2)
=
𝑥→1 (−2𝑥 + 2). (𝑥 + 2)
= lim
Aplicando propiedades de los límites, tenemos:
1
2
sin(−2𝑥 + 2)
1
∙ lim
] = −2. (1). ( ) = −
𝑥→1 (−2𝑥 + 2)
𝑥→1 𝑥 + 2
3
3
= −2. [lim
Ejercicio 6: lim
𝑥→0
1−cos 𝑥
3𝑥 2
2
sen(−2𝑥 + 2)
=−
2
𝑥→1 𝑥 + 𝑥 − 2
3
∴ lim
=
(→0)
(→0)
Multiplicando numerador y denominador por el conjugado de (1 − cos 𝑥) tenemos:
1 − cos 𝑥 1 + cos 𝑥
)
∙(
= lim
𝑥→0
1 + cos 𝑥
3𝑥 2
El producto de los factores que quedan en el numerador, resultan ser una diferencia de
cuadrados desarrollada, entonces, sabiendo que:
Nos queda:
(𝑥 2 − 𝑎2 ) = (𝑥 − 𝑎) ∙ (𝑥 + 𝑎)
1 − (cos 𝑥)2
= lim
=
𝑥→0 3𝑥 2 ∙ (1 + cos 𝑥)
Sabiendo que (sen 𝑥)2 + (cos 𝑥)2 = 1 → (sin 𝑥)2 = 1 − (cos 𝑥)2 y reemplazando,
nos queda:
(sen 𝑥)2
=
𝑥→0 3𝑥 2 . (1 + cos 𝑥)
= lim
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Aplicando propiedades de los límites, reacomodando convenientemente y evaluando
tenemos:
=
1
1
1
1
sen 𝑥
sen 𝑥
1
∙ [lim
∙ lim
∙ lim
] = ∙ (1 .1 . ) =
𝑥→0 𝑥
𝑥→0 (1 + cos 𝑥)
3 𝑥→0 𝑥
3
2
6
Ejercicio 7: lim
𝑠𝑒𝑛 (5𝑥)
𝑥→0 𝑡𝑔(6𝑥)
=
(→0)
1 − cos 𝑥 1
=
𝑥→0
6
3𝑥 2
∴ lim
(→0)
Esta indeterminación nos sugiere pensar en el límite trigonométrico fundamental:
𝑠𝑒𝑛(𝑓(𝑥))
lim
= 1 𝑠𝑖 𝑓(𝑥) → 0 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → 0
𝑥→0
𝑥
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
Y teniendo en cuenta que: 𝑡𝑔(𝑥) =
cos (𝑥)
𝑠𝑒𝑛 (5𝑥). 𝑐𝑜𝑠(6𝑥)
𝑠𝑒𝑛 (5𝑥)
= lim
=
𝑥→0
𝑥→0 𝑠𝑒𝑛(6𝑥)
𝑠𝑒𝑛(6𝑥)
cos (6𝑥)
= lim
Si multiplicamos el numerador por:
no altera:
5𝑥
5𝑥
= 1 y el denominador por:
6𝑥
6𝑥
=1
el ejercicio
5𝑥
. 𝑐𝑜𝑠(6𝑥)
5𝑥
=
= lim
6𝑥
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(6𝑥).
6𝑥
Entonces podemos obtener la forma fundamental en el numerador y en el denominador:
𝑠𝑒𝑛(5𝑥)
𝑠𝑒𝑛(5𝑥)
lim (
. 5. cos(6𝑥))
. 5𝑥 cos(6𝑥) 𝑥→0
5𝑥
= lim 5𝑥
=
=
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(6𝑥)
𝑠𝑒𝑛(6𝑥)
. 6𝑥
lim 6𝑥 ∙ 6
6𝑥
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(5𝑥)
) . lim 5. 𝑐𝑜𝑠(6𝑥) 1.5.1 5
lim (
5𝑥
𝑥→0
𝑥→0
=
=
=
𝑠𝑒𝑛(6𝑥)
1.6
6
) . lim 6
lim (
6𝑥
𝑥→0
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛(5𝑥).
𝑠𝑒𝑛 (5𝑥) 5
=
𝑥→0 𝑡𝑔(6𝑥)
6
∴ lim
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Departamento de Ciencias Económicas
2400 - Matemática I
No te olvides de consultar fuentes bibliográficas, material de soporte virtual en internet,
utilizar diferentes aplicaciones del celular y la calculadora.
En particular te recomendamos los siguientes links:
•
S.Schmidt et al. “Práctica del curso Cálculo Diferencial e Integral.
Selección de ejercicios”. Revista digital, Matemática, Educación e
Internet:
https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/Libros/practicas/APracticas-CDI-I-2019.pdf
•
PERMANENT CITATION Aori Nevo
“Limits: A Graphical and Numerical Approach”
Wolfram Demostrations Project Published: December 20 2011
https://demonstrations.wolfram.com/LimitsAGraphicalAndNumericalAp
proach/
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