lOMoARcPSD|26509359 Clase 1 Limites (A)1 - Apuntes 1 Matematica 1 (Universidad Nacional de La Matanza) Escanea para abrir en Studocu Studocu no está patrocinado ni avalado por ningún colegio o universidad. Descargado por Juan Gomez (juanjosegomez3334@gmail.com) lOMoARcPSD|26509359 Departamento de Ciencias Económicas 2400 - Matemática I DOCUMENTO DE CLASE Clase N°: 1 1. Objetivo/s de la clase: • Estudiar el concepto central del análisis matemático (límite funcional). • Interpretar intuitivamente el concepto de límite. • Diferenciar los conceptos de límite y de imagen de un número real. • Comprender las propiedades y el álgebra de límite funcional finito. • Utilizar correctamente diferentes técnicas algebraicas para resolver ejercicios de límite de la indeterminación • 0 0 . Observar y analizar el comportamiento de la gráfica de una función en las cercanías de un número real aprovechando los medios tecnológicos al alcance (calculadoras, graficadoras, aplicaciones del celular, softwares) • Aplicar conocimientos de la escuela media a la resolución de ejercicios. • Realizar la lectura comprensiva del material brindado como así también de la bibliografía indicada y links recomendados. Página 1 de 27 Descargado por Juan Gomez (juanjosegomez3334@gmail.com) lOMoARcPSD|26509359 Departamento de Ciencias Económicas 2400 - Matemática I 2. Mapa conceptual de la clase: Límite Funcional Finito Propiedades Límites de cocientes de funciones polinómicas Indeterminación Limites de cocientes con funciones irracionales 0 0 Límites trigonométricos básicos Página 2 de 27 Descargado por Juan Gomez (juanjosegomez3334@gmail.com) lOMoARcPSD|26509359 Departamento de Ciencias Económicas 2400 - Matemática I 3. Desarrollo: Límite funcional finito: Definición coloquial: La expresión lim f(x) = L significa que cuando los valores de x se acercan a x0, cada x → x0 vez más, tanto por izquierda como por derecha en el eje horizontal, los valores de la imagen de la función f se aproximan a L en el eje vertical. Se lee: “límite de f para x tendiendo a x0 es igual a L” Gráfico explicativo: y f L x x0 Ejemplo: 𝑙𝑖𝑚 (𝑥 + 3) = 5 significa que cuando los valores de x se acercan a 2, cada 𝑥→2 vez más, tanto por valores menores a 2 como por valores mayores a 2 en el eje horizontal, los valores de la imagen de la función f se aproximan a 5 en el eje vertical. f (x) = x + 3; x0 = 2; L=5 Si en una tabla de valores vamos colocando números menores al dos cada vez más próximos a él y en otra vamos colocando números mayores al dos cada vez más cercanos a él observamos que en ambas tablas los valores de la imagen de la función se aproximan al número 5. Página 3 de 27 Descargado por Juan Gomez (juanjosegomez3334@gmail.com) lOMoARcPSD|26509359 Departamento de Ciencias Económicas 2400 - Matemática I x f(x) x f(x) 1,8 4,8 2,2 5,2 1,9 4,9 2,1 5,1 1,99 4,99 2,01 5,01 Se aproximan a 5. Se aproximan a 5. Se aproximan a 2 por valores mayores a él Se aproximan a 2 por valores menores a él Gráfico: y f(x)= x +3 5 x 2 Importante: No confundir el concepto de límite de una función para x tendiendo a x0 con el concepto de imagen de una función en x0. No confundir 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) con f(𝑥0 ) 𝑥 → 𝑥0 Hay situaciones en las que son iguales y otras en las que no lo son. O peor aún, alguno de ellos no existe. En el ejemplo anterior son iguales, es decir: 𝑙𝑖𝑚 (𝑥 + 3) = 𝑓 (2) 𝑥→2 ¡Uy! ¡Que no se entere nadie! Podríamos calcular el límite simplemente reemplazando por 2 en la función f (x) = x + 3. ¿Será tan fácil? Página 4 de 27 Descargado por Juan Gomez (juanjosegomez3334@gmail.com) lOMoARcPSD|26509359 Departamento de Ciencias Económicas 2400 - Matemática I En estos casos, ¡sí! Pero siempre tenés que tener presente que límite e imagen son distintos conceptos. Calcular una imagen es reemplazar en la función por el número real pero calcular un límite es, en realidad, reemplazar por valores cada vez más próximos al número pero no reemplazar por dicho número, por eso decimos que calculamos la tendencia… En cambio, en la función 𝑓(𝑥) = igual a 4 ( lim 𝑥 2 −4 𝑥→2 𝑥−2 𝑥 2 −4 𝑥−2 , no existe la imagen de 2 (∄𝑓2), pero tiene límite = 4 ), como observarás en las tablas debajo: 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 −4 ; 𝑥−2 x0 = 2; L=4 x f(x) x f(x) 1,8 3,8 2,2 4,2 1,9 3,9 2,1 4,1 1,99 3,99 2,01 4,01 Se aproximan a 4. Se aproximan a 4. Se aproximan a 2 por valores mayores a él Se aproximan a 2 por valores menores a él En la función f(x) no podríamos calcular el límite “reemplazando” por 2. Imaginate lo tedioso que sería si para calcular un límite tuviéramos que hacer estas tablas o los gráficos para intuir una respuesta posible. Es por ello que surge la necesidad de conocer las propiedades, el álgebra y aplicar técnicas para resolver las diferentes situaciones que aparecerán en la práctica. Página 5 de 27 Descargado por Juan Gomez (juanjosegomez3334@gmail.com) lOMoARcPSD|26509359 Departamento de Ciencias Económicas 2400 - Matemática I Propiedades de límite funcional finito: 1) El límite de una función, si existe, es único. (Unicidad del límite) 2) Si dos funciones toman valores iguales de imagen en las proximidades de x0 y una de ellas tiene límite cuando x tiende a x0, entonces la otra función tiene ese mismo límite para x tendiendo a x0. (propiedad de las funciones equivalentes) Ejemplo: Nuestras dos funciones serán: f(x) = x2 −4 g(x) = x + 2 x−2 ¿Cómo calcularíamos lim 𝑥 2 −4 𝑥→2 𝑥−2 y el punto x0 =2 ? Esta propiedad nos pide calcular los valores en las cercanías de 2 en ambas funciones y compararlas para ver si coinciden. x f(x) x g(x) 1,8 3,8 1,8 3,8 1,9 3,9 1,9 3,9 1,99 3,99 1,99 3,99 2,01 4,01 2,01 4,01 2,1 4,1 2,1 4,1 2,2 4,2 2,2 4,2 Ahora, tratemos de calcular los límites siguientes sin mirar las tablas realizadas. lim(𝑥 + 2) = 4 𝑥→2 lim 𝑥 2 −4 𝑥→2 𝑥−2 Sale “reemplazando” ¡Qué fácil! = ? ? ? ? , ¡No sale reemplazando! ¿Qué hacemos? Como de una de ellas conocemos el valor del límite para x tendiendo a 2 (esto es 4) podemos asegurar que la otra función tiene ese mismo límite para x tendiendo a 2, es decir: lim 𝑥 2 −4 𝑥→2 𝑥−2 = 4. f y g son funciones equivalentes. Página 6 de 27 Descargado por Juan Gomez (juanjosegomez3334@gmail.com) lOMoARcPSD|26509359 Departamento de Ciencias Económicas 2400 - Matemática I ¡Esta propiedad es clave! La utilizaremos cada vez que resolvamos un ejercicio de limite funcional finito. Te adelanto como sería: lim 𝑥 2 −4 𝑥→2 𝑥−2 = lim 𝑥→2 (𝑥+2)(𝑥−2) 𝑥−2 = lim 𝑥→2 (𝑥+2)(𝑥−2) 𝑥−2 = lim (𝑥 + 2) = 4 𝑥→2 Si te fijás la primera función y la última que obtenemos luego de trabajar la primera con artificios algebraicos son las que llamamos funciones equivalentes. Te recuerdo que el factor (x-2) lo podemos simplificar pues en el concepto de límite 𝑥≠2 3) Si en las proximidades de x0 se cumple que h(x) ≤ f(x ) ≤ g(x), 𝑙𝑖𝑚 ℎ(𝑥) = 𝐿 𝑥 → 𝑥0 y 𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥) = 𝐿 entonces 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥) = 𝐿 (propiedad del límite de la función 𝑥 → 𝑥0 𝑥 → 𝑥0 intermedia o propiedad del “sándwich”) Gráfico: y g L f h x x0 Página 7 de 27 Descargado por Juan Gomez (juanjosegomez3334@gmail.com) lOMoARcPSD|26509359 Departamento de Ciencias Económicas 2400 - Matemática I Álgebra de límite funcional finito: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) lim k = k , k es una función constante x → x0 lim [k ∙ f(x)] = k ∙ lim f(x), k es un número x → x0 x → x0 lim [ f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x) x → x0 x→x0 x→x0 lim [ f(x) − g(x)] = lim f(x) − lim g(x) x → x0 x→x0 x→x0 lim [ f(x) ∙ g(x)] = lim f(x) ∙ lim g(x) x → x0 lim 1 x → x0 g(x) = 1 x→x0 lim g(x) x→x0 x→x0 , si lim g(x) ≠ 0 x→x0 lim [ f(x): g(x)] = lim f(x): lim g(x) , si lim g(x) ≠ 0 x → x0 x→x0 x→x0 x→x0 lim ln[f(x)] = ln [ lim f(x)] , si lim f(x) > 0 x → x0 x → x0 x→x0 lim [f(x)]k = [ lim f(x)] k , válida bajo ciertas condiciones x→x0 x→x0 10) lim n√f(x) = n√ lim f(x)] , si n es par, lim f(x) ≥ 0 x→x0 x→x0 x→x 0 lim g(x) 11) lim b g(x) = b x→x0 x→x0 , si b > 0 lim g(x) 12) lim [f(x)]g(x) = [ lim f(x)] x→x0 x→x0 x→x0 , si lim f(x) > 0 x→x0 Ejemplos: • lim(𝑥 2 + 7𝑥 + 2) = lim 𝑥 2 + 7 lim 𝑥 + lim 2 = 1 + 7 ∙ 1 + 2 = 10 𝑥→1 𝑥→1 𝑥→1 𝑥→1 Utilizamos 3), 2) y 1), y aunque no está detallada 9) • lim(𝑥 + 1)(𝑥 𝑥→2 3 −𝑥) lim (𝑥 3 −𝑥) = lim(𝑥 + 1)𝑥→2 𝑥→2 = 36 Utilizamos 12), y aunque no estén detalladas también 3), 4), 1), 9) Pudimos resolverla porque cumple la condición lim(𝑥 + 1) > 0. 𝑥→2 En particular, cuando en el límite de un cociente, el límite del numerador es cero y el límite del denominador también es cero, estamos en presencia de una situación denominada INDETERMINACIÓN artificios algebraicos. 0 0 y para resolverla recurrimos a diferentes Página 8 de 27 Descargado por Juan Gomez (juanjosegomez3334@gmail.com) lOMoARcPSD|26509359 Departamento de Ciencias Económicas 2400 - Matemática I Analizaremos tres casos de límites indeterminados 0 0 : ➢ Límites de cociente de funciones polinómicas: Fundamentalmente consiste en factorizar el polinomio del numerador y el polinomio del denominador para luego simplificar algún factor común a ambos polinomios si fuera posible. Ejemplo: lim 𝑥 2 −5𝑥+4 𝑥→4 𝑥 3 −7𝑥 2 +12𝑥 = lim (𝑥−4)(𝑥−1) 𝑥→4 𝑥(𝑥−4)(𝑥−3) = lim 𝑥−1 𝑥→4 𝑥 (𝑥−3) = lim = (𝑥−4)(𝑥−1) 𝑥→4 𝑥(𝑥−4)(𝑥−3) 3 4∙1 = 3 4 = ➢ Límites de cociente con funciones irracionales: Trabajaremos con expresiones fraccionarias donde aparecen raíces cuadradas. Para resolver este tipo de límites se debe multiplicar al numerador y al denominador por el conjugado de la expresión que contiene la raíz cuadrada. Se busca lograr un producto de una suma por su diferencia ( (a+b) (a-b) ) para formar una diferencia de cuadrados ( a2 - b2 ) que en varias de las situaciones nos llevará a una simplificación con lo cual podremos calcular el límite pedido. Ejemplo: √x−√3 lim x→3 x−3 lim = lim 𝑥−3 (√x−√3)(√𝑥+√3) x→3 (x−3)(√𝑥+√3) x→3 (x−3)(√𝑥+√3) = lim 1 x→3 √𝑥+√3 = = lim 1 2√3 2 (√𝑥) −(√3)2 x→3 (x−3)(√𝑥+√3) = 1∙√3 2∙√3∙√3 = = lim √3 2∙(√3)2 𝑥−3 x→3 (x−3)(√𝑥+√3) = √3 2∙3 = √3 6 = ➢ Límites trigonométricos básicos: También son llamados límites trigonométricos notables. Son resultados fundamentales para tener en cuenta al resolver algunas formas indeterminadas. Conviene recordarlos. Página 9 de 27 Descargado por Juan Gomez (juanjosegomez3334@gmail.com) lOMoARcPSD|26509359 Departamento de Ciencias Económicas 2400 - Matemática I • lim x→0 sen x x =1 Tiene una demostración formal con desigualdades y propiedades, pero no la veremos en la cursada. Quien tenga un espíritu curioso puede encontrarla en diferentes libros de la bibliografía propuesta. Estudiaremos, con tabla de valores, la tendencia de la función para x tendiendo a 0: f(x) = sen x ; x x0 = 0 x f(x) x f(x) -0,2 0,993346… 0,2 0,993346… -0,1 0,998334… 0,1 0,998334… -0,01 0,999983… 0,01 0,999983… Se aproximan a 1. Se aproximan a 1. Se aproximan a 0 por valores mayores a él Se aproximan a 0 por valores menores a él Por lo que, observando las tablas, podemos concluir que: lim x→0 sen x x =1 Te comento que, para realizar las cuentas, la calculadora debe colocarse en modo “Radián”. De manera similar establecemos que: x lim x → 0 sen x =1 Interpretación: Para ángulos muy pequeños (en radianes) el valor del ángulo y del seno de dicho ángulo son prácticamente iguales. Es decir 𝑥 ≈ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 Por ejemplo: Si el ángulo en radianes es 𝛼 = 0,01, el sen 𝛼 = 0,0099998 … Si comparás verás que 0,01 ≈ 𝑠𝑒𝑛 0,01 Página 10 de 27 Descargado por Juan Gomez (juanjosegomez3334@gmail.com) lOMoARcPSD|26509359 Departamento de Ciencias Económicas 2400 - Matemática I Aplicación: lim x → x0 sen [f(x)] f(x) f(x) lim x → x0 sen[f(x)] = 1, si f(x) → 0 cuando x → x0 = 1, si f(x) → 0 cuando x → x0 Ejemplo: lim x→0 sen (4x) x 4∙1= 4 lim • x→0 = lim x→0 cos x−1 x 4∙sen (4x) = lim ( 4∙x 4 x→0 1 ∙ sen (4x) 4∙x ) = lim 4 ∙ lim x→0 x→0 sen (4x) 4∙x = =0 Demostración: lim x→0 lim cos x−1 x −(senx)2 x→0 x(cox+1) = lim x→0 (cosx−1)(cos x+1) = lim( x→0 x(cosx+1) senx x ∙ −senx cos x+1 = lim (cos x)2 −12 x→0 x(cox+1) ) = lim x→0 senx x = ∙ lim −sen x x→0 cos x+1 =1∙0=0 Utilizamos la identidad fundamental: (sen x)2 + (cos x)2 = 1 ⟺ (cos x)2 - 1 = - (sen x)2 • lim x→0 tan x x =1 Demostración: lim x→0 tan x x = lim x→0 senx cosx x senx 1 = lim ( x→0 senx ∙ ) = lim ( cosx x x→0 x ∙ 1 )= cosx 1 senx ∙ lim =1∙1=1 x→0 cosx x→0 x = lim De manera similar tratá de demostrar que: lim x x → 0 tan x =1 ___________________________________________________________ Esta fue nuestra primera clase teórica. Volvé a leerla con atención y profundidad. Y luego a trabajar con las actividades… Página 11 de 27 Descargado por Juan Gomez (juanjosegomez3334@gmail.com) lOMoARcPSD|26509359 Departamento de Ciencias Económicas 2400 - Matemática I 4. Bibliografía: [1] STEWART, JAMES (1999), Cálculo – Conceptos y Contextos, México – Thomson Editions [2] RUTENBERG, E., AVERNA, C., GALARDO, O. (2005), Nociones de Cálculo, Buenos Aires – Ed. Prometeo, 3ª ed. [3] AVERNA, C.; RUTENBERG, E. (2007), Nociones de Cálculo, Tomos 1 y 2, Buenos Aires – Ed. Prometeo, 4ª edición 5. Actividad pedagógica: Pueden trabajar con los siguientes ejercicios del Trabajo Práctico a continuación: 2), 4), 5), 6) De los cuales son ejercicios obligatorios: 2) a, j 4) a, c, e 5) a, c, f 6) a, c, d, f Ayuda con el 5) d) : Es una indeterminación 0 0 . Es un límite de una expresión fraccionaria donde aparecen raíces cuadradas. lim 𝑥−√2 2 x→√2 x −2 = lim x→√2 (𝑥−√2)(𝑥+√2) 2 x→√2 (x −2)(𝑥+√2) = lim 𝑥 2 −2 (x2 −2)(x+√2) = = lim = lim 𝑥 2 −(√2)2 2 x→√2 (x −2)(𝑥+√2) 1 x→√2 x+√2 = 1 √2+√2 = 1 = lim 2∙√2 𝑥 2 −2 2 x→√2 (x −2)(x+√2) = √2 4 = El 4) d), 5) b) y 6) b) los tenés resueltos en la explicación del desarrollo de la teoría. Página 12 de 27 Descargado por Juan Gomez (juanjosegomez3334@gmail.com) lOMoARcPSD|26509359 Departamento de Ciencias Económicas 2400 - Matemática I TRABAJO PRÁCTICO: LIMITES 1) Demostrar que el límite indicado es correcto utilizando la definición. Hallar en función de . a) lim(3x + 2) = 14 c) lim (9 − 4x) = 1 x →2 b) lim(6x + 5) = 11 d) lim ( −2x + 1) = −5 x →3 x →4 x →1 2) Caso 1: Ausencia de Indeterminación: −3x 5 + 8 x →2 x + 4 x3 −1 b) lim 2 x →1 x + 4x − 6 5x 5 − 12 c) lim 3 x →0 2x + 2 g) lim ( x1-x ) a) lim x 2 − 2x − 3 d) lim x →3 x +1 x →2 h) lim ln(x + 1) x →3 (x + 5)2 (x + 1) x →0 2 cosx i) lim 2x j) lim x→ 3 3−x x 2 +1 sen 2 t + 3 cos t + 5 k) limπ t→ cos 3 t + sen t + 1 2 2x − 1 e) lim x →0 8x − 3 sen(4x) - cos(5x) lim l) x →0 - x + cos x 1+ e t t →0 2 f) lim 3) Caso 2: Límites laterales: x-5 | x − 5| a) lim 1 c) lim e) lim x →5 b) lim 5 d) lim ln x f) lim 3x − 1 h) lim ln 1 i) lim x x→ 0 x →3 g) lim x → 2- 1 -x+2 j) lim 3 x →0+ x −3 3 x 1 x →0 x 2 x →0 + x →0 + x→4 x x →0 - 1 x k) lim- 1 x →0 5 l) lim x →0 Página 13 de 27 Descargado por Juan Gomez (juanjosegomez3334@gmail.com) x−4 1 ex x x 3 x - cos x 6 x +1 lOMoARcPSD|26509359 Departamento de Ciencias Económicas 2400 - Matemática I 4) Caso 3: Indeterminación (→ 0) : (→ 0) 1 x 2 − 5x + 6 lim a) x →3 x 2 − 8x + 15 b) c) d) e) x 2 − 4x + 3 x f) lim 2 x →3 x − 2x − 3 x 3 − a3 g) lim x →a x − a 3x 2 + 12x − 15 lim x →1 x2 + x − 2 x2 − 4 lim 3 x →2 x − 8 x 2 − 5x + 4 lim 3 x →4 x − 7x 2 + 12x x 3 − 6x 2 + 12x − 8 lim 4 x →2 x + 2x 3 − 8x 2 5) Caso 4: Indeterminación x -1 h) lim x →1 x 2 −1 (x + t)3 − x 3 t →0 t i) lim (→ 0) (irracionales): (→ 0) x−4 a) lim x →4 2− x f) lim x →0 b) lim x →3 x− 3 x −3 g) lim x →1 c) lim x →0 3x h) lim 4+x −2 x− 2 d) lim 2 x→ 2 x − 2 2−x − 2+ x e) lim x →0 x 6) Caso 5: Indeterminación x →2 + x →1+ sen f(x) = 1 si f ( x ) → 0 cuando x → x0 f(x) x →0 x -1 x2 + 3 − 2 x2 − 4 x−2 x −1 (→ 0) (trigonométricos), para utilizar: (→ 0) lim x →x lim 3− x +9 2 j) lim x − x sen f(x) = 1 si f ( x ) → 0 cuando x → 0 f(x) a) 4 − x + 16 x2 + 3 − 2 i) lim x →1 x -1 lim x →0 0 x +1 sen (4x) x f) lim x →0 cos x - 1 x2 Página 14 de 27 Descargado por Juan Gomez (juanjosegomez3334@gmail.com) +2 lOMoARcPSD|26509359 Departamento de Ciencias Económicas 2400 - Matemática I b) 2 g) lim x2 - 2x + 3 x →0 x - 3x + 2 tan x lim x→0 x sen (x 2 - x - 6) c) lim x→3 x2 - x - 6 sen 2 (5x) d) lim x→0 3x tan(2 x) e) lim x→0 sen(5x) x →2 x →0 x x 2 1 − cos x) (→ ) : (→ ) 3x 2 + 2 g) xlim → + 4x − 1 2x +1 x 5 + 8x 3 b) xlim →+ 2x 5 + 1 5x 2 + 10 3x 2 − 6 lim 2 x →+ x −1 h) x−2 lim x → + x 3 + 2x − 5 2x − 1 lim x →+ 5x + 2 i) x 4 x − 4−x j) xlim →+ 4 x + 4 − x x 5 + 10x 3 d) lim x→ − x+7 x2 + x x k) 3x 2 − 1 + 5 lim x → + 3 x6 + x4 − 3 6x 2 + 4 x 8 + 1 1 3x − x + 5 f) xlim → + cos3x sen( - x) -x l) lim 3x 2 + 6x a) xlim →+ x+4 x→ − lim i) x→ x →0 + tg (x − 4 ) sen ( x − 2 ) e) lim x - sen x x + sen x j) lim sen (x) 7) Caso 6: Indeterminación c) h) lim x →0 2 k) lim l) lim 5x + 2 x − 3 x →0 + 3x − 7 1 7 + 3x 8) Caso 7: Indeterminación (→ +) + (→ −) : 1 3 lim 3 − x → 1 x − 1 x − 1 2 3 − 2 b) lim+ x →1 x − 1 x − 1 a) 3 2 c) lim x + 1 − x 2+ x − 2 x → 2+ x−2 ( x − 2x d) lim x − x 2 + 2 x →+ sen x x ) e) lim ( 2x − x + 4 ) x →+ f) lim ( x 2 + 3x − x g) lim ( x +1− x x →+ x →+ Página 15 de 27 Descargado por Juan Gomez (juanjosegomez3334@gmail.com) ) ) lOMoARcPSD|26509359 Departamento de Ciencias Económicas 2400 - Matemática I 9) Caso 8: Indeterminación ( → 1) ( → ) 1 + lim 1 x →+ f(x) para utilizar: f(x) =e lim(1 + f(x) )f(x) = e 1 x →0 1 a) xlim 1− → + x e) lim (1 − 2x ) x 3 x →0 x 1 + 5x c) xlim → + 3 + 5x x −1 x +3 d) xlim → + si f ( x ) → 0 cuando x → 0 x 2x + 1 2x + 2 b) xlim → + si f ( x ) → + cuando x → + f) 2 lim (1 + sen x) x x →0 1 2x + 3 x g) lim x →0 3x + 3 2x −1 x +2 h) lim(1 + x 2 )x x →0 3 i) lim(1 + sen(5x))x j) lim(1 + senx)x 7 x →0 x →0 k) lim(1 + 3 tg (x) )sen(x) 3 2 +x l) lim(1 + 5sen(4x))tg(x) 2 1 x →0 x →0 10) Caso 9: Indeterminaciones varias: 1 x x sin a) xlim →+ d) lim x →8 b) lim x cot x x →0 e) c) lim x→ 4 sen x - cos x 1- tan x 7+3 x −3 x−8 lim x ln(x + 1) − lnx x →+ f) lim ln(1 + x) x →0 11) Caso 10: Límite de funciones por tramos: a) Hallar el límite para 𝑥→2 de b) Hallar el límite para 𝑥→0 de 3 − x , si x 2 f(x) = 0 , si x 2 x + 2, si x 0 f(x) = 3 x , si x 0 Página 16 de 27 Descargado por Juan Gomez (juanjosegomez3334@gmail.com) x lOMoARcPSD|26509359 Departamento de Ciencias Económicas 2400 - Matemática I c) Hallar el límite para 𝑥→9 de x − 9 , si x 9 f(x) = 18 − 2x , si x 9 3x − 3 , si x 1 d) Hallar el límite para 𝑥→1 de f(x) = x − 1 5 , si x = 1 e) Hallar el límite para 𝑥→ 0 y 𝑥→3 de f(x) = 3x + x 12) Si (f x ) = , hallar: 7x − 5 x a) lim f (x ) b) x →+ 13) ¿Existe lim x →0 2x − 1, si x 0 x 2 − 1, si 0 x 3 4 − x , si x 3 lim f (x ) c) lim f (x ) x →0 x →− 1 − cos 2 x ? x 14) Hallar las ecuaciones de las asíntotas de las siguientes funciones: 3x 3 + 9x 2 − 12 a) f ( x ) = 2x 2 + 2x − 4 2x 3 + 6x 2 − 8 b) f ( x ) = 2 3x + 9x + 6 2x 2 + 4x − 6 c) f ( x ) = 3 3x + 12x 2 − 3x − 12 x 3 + 2x 2 + 5x + 20 d) f ( x ) = x2 − 4 2x e) f ( x ) = 2 x +1 −2x 2 + 4x + 6 f) f ( x ) = 3x + 6 g) f ( x ) = h) x 4x + 2 f ( x ) = ln ( x + 3 ) i) f (x) = sen(3x) 4x j) f ( x ) = e − x +5 15) Hallar una función que tenga como asíntota horizontal a la recta 𝑦 = 2, y como asíntotas verticales a 𝑥 = 5 y a x = 4. 16) Deducir la ecuación de una función, cuya A.O. sea y = 2x + 5 y su A.V. sea x = 2 Página 17 de 27 Descargado por Juan Gomez (juanjosegomez3334@gmail.com) lOMoARcPSD|26509359 Departamento de Ciencias Económicas 2400 - Matemática I APLICACIONES ECONÓMICAS 17) El costo de fabricar una cierta cinta de video es C(x) = 20000 + 5x , donde x es el número de cintas fabricadas. El Costo promedio por cinta, denotado por C(x) o 𝐶𝑚𝑒(𝑥) se encuentra dividiendo C(x) entre x. Encontrar: a) C(1000) b) C(10000) c) lim C(x) x→100000 d) lim C(x) x →+ 18) La Demanda de un artículo viene dada por la fórmula p = 3000 . Si la 3q + 4 cantidad demandada crece indefinidamente, ¿a cuánto tiende el Ingreso? 19) Los costos variables por unidad de un determinado producto ascienden a $35. Los costos fijos anuales ascienden a $125.000. Encontrar a qué valor tiende el Costo medio cuando el número de unidades tiende a infinito. 20) La función Costo medio está dada por C (q) = 6q + 120 , donde q es la q cantidad de artículos producidos: a) Determinar el costo fijo y el precio de costo unitario. b) ¿Cuál es el significado de la pendiente del 𝐶𝑇 .? c) ¿A cuánto tiende el Costo total cuando 𝑞 se acerca a 5? 21) Un negocio vende un determinado artículo en $40 pesos la unidad y se estima un costo fijo en $300. Con estos datos: a) Escribir las funciones de Ingreso y de Costo total sabiendo que ambas coinciden en 𝑞 = 20. b) Encontrar el o los valores de q para que el negocio sea rentable. c) Si q aumenta indefinidamente, ¿en qué valor se estabiliza el Beneficio medio? Página 18 de 27 Descargado por Juan Gomez (juanjosegomez3334@gmail.com) lOMoARcPSD|26509359 Departamento de Ciencias Económicas 2400 - Matemática I RESPUESTAS 1) a) = b) = 3 2) a) − 44 b) 0 3 c) -6 l) ∄ k) 3 3) a) b) k) + l) 1 4) a) − 1 3 6 5) a) -4 b) 6)a) 4 d) 0 b) 1 g) 1 f) 1 e) ∄ 2 4 e) − c) 1 d) 0 e) 2 c) 0 d) + e) -1 j) 0 2 f) g)+ h) + i) 0 j) + 7 2 2 f) 3 g) 2 4 f) - 1 5 i) 25 h) ln 4 2 1 3 e) 0 f) g) 3 a2 h) 1 4 2 4 c) 12 d) 2 3 3 e) d) - d) 3 3 d) = 4 c) + b) 6 c) 1 2 c) = 6 h) + g) 3 2 i) 3 x2 i) 1 j)0 2 h) 0 2 i) -1j)0 k) 4 l) 0 7) a) + b) 1 2 f) 3 g) 5 3 4 h) 1 i) 0 j) 1 k) 8 7 l) 1 b) + 8) a) -1 9) a) e −1 e b) e − 1 2 c) + c) e − 4 5 d) e) + d) 0 e− 4 e) e− 6 f) e 2 f) 3 g) 0 2 g) e − 1 3 h) 1 35 k) e6 j) e3 l) e 20 10) a) 1 b) 1 11) a) b) c) 0 d) 3 12) a) 2 b) 1 6 c) − e) -1 y 2 2 c) 3 14) a) A.O.:𝑦 = 𝑥 + 3 2 d) 1 e) 1 72 f) 1 13) 1 1 ; A.V.: x = − 2 2 h) A.V.:𝑥 = −3 i) A.H.:𝑦 = 0 j) A.H.:𝑦 = 0, 𝑠𝑖 𝑥 → +∞ g) A.H.: y = 2 b) A.V.: 𝑥 = −1; A.O.:𝑦 = 𝑥. 3 c) A.V.: x = −1 ; x = −4 ; A.H.:𝑦 = 0 d) A.V.:𝑥 = −2; 𝑥 = 2 ; A.O.:𝑦 = 𝑥 + 2 e) A.H.:𝑦 = 0. 8 2 f) A.V.:𝑥 = −2 ; A.O.:𝑦 = − 3 𝑥 + 3 Página 19 de 27 Descargado por Juan Gomez (juanjosegomez3334@gmail.com) i) lOMoARcPSD|26509359 Departamento de Ciencias Económicas 2400 - Matemática I 15) Ejemplo: y= 2x 2 + 1 (x − 5 )(x − 4 ) 16) Ejemplo: y = 2x + 5 + y= 1 y sacando común denominador resulta: x−2 2x 2 + x − 9 x−2 APLICACIONES ECONOMICAS: 17) a) 25 b) 7 c) 5,2 d) 5 18) 1000 19) 35 20)a) cf: 120 precio de costo unitario: 6 b) Es el precio de costo unitario 150 21) a) I(q) = 40 q C(q) = 300 + 25 q b) q > 20 c) 15 Página 20 de 27 Descargado por Juan Gomez (juanjosegomez3334@gmail.com) c) lOMoARcPSD|26509359 Departamento de Ciencias Económicas 2400 - Matemática I 6. Material complementario de la clase: Aquí encontrarás ejercicios resueltos que te servirán para trabajar con los del trabajo práctico y enriquecerte mucho más: LIMITE DE FUNCIONES (→0) INDETERMINACIÓN (→0) Expresiones Fraccionarias donde aparecen Polinomios: Ejercicio 1: lim 𝑥→0 (1+𝑥)2 −1 𝑥 = (→0) (→0) Esta indeterminación nos sugiere desarrollar el cuadrado del binomio que está en el numerador: (1 + 𝑥)2 = 1 + 2𝑥 + 𝑥 2 Resulta: 1 + 2𝑥 + 𝑥 2 − 1 𝑥 2 + 2𝑥 𝑥. (𝑥 + 2) lim = lim = lim = 𝑥→0 𝑥→0 𝑥→0 𝑥 𝑥 𝑥 Simplificando resulta: = lim( 𝑥 + 2) = 2 𝑥→0 (1 + 𝑥)2 − 1 = 2 𝑥→0 𝑥 ∴ lim Ejercicio 2: lim 𝑥→5 𝑥 2 −25 𝑥 2 −3𝑥−10 = (→0) (→0) Esta indeterminación nos sugiere trabajar con casos de factoreo. Factorizamos el numerador como una diferencia de cuadrados y el denominador como polinomio cuadrático. Recordar que: 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 ) siempre que las raíces sean reales, tenemos Simplificando nos queda: (𝑥 + 5). (𝑥 − 5) = 𝑥→5 (𝑥 − 5). (𝑥 + 2) lim Página 21 de 27 Descargado por Juan Gomez (juanjosegomez3334@gmail.com) lOMoARcPSD|26509359 Departamento de Ciencias Económicas 2400 - Matemática I = lim 𝑥→5 Ejercicio 3: lim 𝑥 3 −3𝑥 2 +4 (𝑥 + 5) 10 = (𝑥 + 2) 7 𝑥 2 − 25 10 ∴ lim 2 = 𝑥→5 𝑥 − 3𝑥 − 10 7 𝑥→2 𝑥 3 −7𝑥 2 +16𝑥−12 = (→0) (→0) Como 𝑥 = 2 es raíz de ambos polinomios, entonces, aplicando la Regla de Ruffini en el polinomio numerador, tenemos: 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 0𝑥 + 4 = (𝑥 − 2)2 . (𝑥 + 1) Aplicando la Regla de Ruffini en el polinomio denominador, tenemos: 𝑥 3 − 7𝑥 2 + 16𝑥 − 12 = (𝑥 − 2)2 . (𝑥 − 3) Reemplazando, nos queda: (𝑥 − 2)2 . (𝑥 + 1) 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4 = lim 3 = lim 𝑥→2 𝑥 − 7𝑥 2 + 16𝑥 − 12 𝑥→2 (𝑥 − 2)2 . (𝑥 − 3) Simplificando los factores comunes del numerador y del denominador, nos queda: (𝑥 − 2)2 . (𝑥 + 1) 𝑥+1 = lim = lim = 𝑥→2 (𝑥 − 2)2 . (𝑥 − 3) 𝑥→2 𝑥 − 3 Página 22 de 27 Descargado por Juan Gomez (juanjosegomez3334@gmail.com) lOMoARcPSD|26509359 Departamento de Ciencias Económicas 2400 - Matemática I Finalmente, evaluamos el límite para, una vez salvada la indeterminación, obtener el valor verdadero del mismo: 𝑥+1 =−3 𝑥→2 𝑥 − 3 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4 = −3 ∴ lim 3 𝑥→2 𝑥 − 7𝑥 2 + 16𝑥 − 12 lim Expresiones Fraccionarias donde aparecen Raíces Cuadradas: Ejercicio 4: lim 𝑥→6 2−√𝑥−2 𝑥 2 −36 = (→0) (→0) Indeterminado. Para hallar el valor verdadero de este tipo de límites, se debe multiplicar al numerador y al denominador por el conjugado de la expresión que contiene la raíz cuadrada: 2 − √𝑥 − 2 2 + √𝑥 − 2 ∙ ( )= 𝑥→6 𝑥 2 − 36 2 + √𝑥 − 2 = lim El producto de los factores que quedan en el numerador, resultan ser una diferencia de cuadrados desarrollada, entonces, sabiendo que: Nos queda: (𝐴2 − 𝐵 2 ) = (𝐴 − 𝐵) ∙ (𝐴 + 𝐵) 2 22 − ( √𝑥 − 2) = lim 2 = − 36) ∙ (2 + √𝑥 − 2) Simplificando el cuadrado de la raíz con el cuadrado del índice, obtenemos la siguiente 𝑥→6 (𝑥 2 expresión: = lim 𝑥→6 (𝑥 2 22 − (𝑥 − 2) − 36) ∙ (2 + √𝑥 − 2) = Desarrollando la diferencia de cuadrados del denominador y operando sobre el numerador: = lim 𝑥→6 (𝑥 4−𝑥+2 − 6) ∙ (𝑥 + 6) ∙ (2 + √𝑥 − 2) = Página 23 de 27 Descargado por Juan Gomez (juanjosegomez3334@gmail.com) lOMoARcPSD|26509359 Departamento de Ciencias Económicas 2400 - Matemática I Evaluando nuevamente el límite: −𝑥 + 6 = lim 𝑥→6 (𝑥 = (→ 0) (→ 0) − 6) ∙ (𝑥 + 6) ∙ (2 + √𝑥 − 2) Sacando factor común −1 en el numerador: −(𝑥 − 6) = = lim 𝑥→6 (𝑥 − 6) ∙ (𝑥 + 6) ∙ (2 + √𝑥 − 2) Simplificamos el factor (𝑥 − 6) tanto en el numerador como en el denominador: −1 −(𝑥 − 6) = lim = = lim 2 𝑥→6 (𝑥 + 6). (2 + 2√𝑥 − 2) 𝑥→6 (𝑥 − 6). (𝑥 + 6). (2 + √𝑥 − 2) Finalmente, salvada la indeterminación, evaluamos nuevamente el límite y obtenemos el valor verdadero del mismo: lim 𝑥→6 (𝑥 −1 2 + 6). (2 + √𝑥 − 2) =− 1 2 − √𝑥 − 2 =− 2 𝑥→6 𝑥 − 36 48 1 48 ∴ lim Expresiones fraccionarias donde aparece la función seno. Para hallar el valor verdadero de este tipo de límites, recordar: ➢ lim 𝑥→𝑥0 𝑠𝑒𝑛[𝑓(𝑥)] 𝑓(𝑥) Ejercicio 5: lim 𝑥→1 = 1 𝑠𝑖 𝑓(𝑥) → 0 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → 𝑥0 sen(−2𝑥+2) 𝑥 2 +𝑥−2 = (→0) (→0) Puesto que para 𝑥 = 1 se anula también el denominador, entonces factorizamos aplicando la Regla de Ruffini: 𝑥 2 + 𝑥 − 2 = (𝑥 − 1) ∙ (𝑥 + 2) Página 24 de 27 Descargado por Juan Gomez (juanjosegomez3334@gmail.com) lOMoARcPSD|26509359 Departamento de Ciencias Económicas 2400 - Matemática I sen(−2𝑥 + 2) = 𝑥→1 (𝑥 − 1) ∙ (𝑥 + 2) Multiplicando numerador y denominador por −2, y distribuyendo convenientemente en = lim el denominador, tenemos: −2 ∙ sen(−2𝑥 + 2) = 𝑥→1 −2. (𝑥 − 1). (𝑥 + 2) = lim −2. sen(−2𝑥 + 2) = 𝑥→1 (−2𝑥 + 2). (𝑥 + 2) = lim Aplicando propiedades de los límites, tenemos: 1 2 sin(−2𝑥 + 2) 1 ∙ lim ] = −2. (1). ( ) = − 𝑥→1 (−2𝑥 + 2) 𝑥→1 𝑥 + 2 3 3 = −2. [lim Ejercicio 6: lim 𝑥→0 1−cos 𝑥 3𝑥 2 2 sen(−2𝑥 + 2) =− 2 𝑥→1 𝑥 + 𝑥 − 2 3 ∴ lim = (→0) (→0) Multiplicando numerador y denominador por el conjugado de (1 − cos 𝑥) tenemos: 1 − cos 𝑥 1 + cos 𝑥 ) ∙( = lim 𝑥→0 1 + cos 𝑥 3𝑥 2 El producto de los factores que quedan en el numerador, resultan ser una diferencia de cuadrados desarrollada, entonces, sabiendo que: Nos queda: (𝑥 2 − 𝑎2 ) = (𝑥 − 𝑎) ∙ (𝑥 + 𝑎) 1 − (cos 𝑥)2 = lim = 𝑥→0 3𝑥 2 ∙ (1 + cos 𝑥) Sabiendo que (sen 𝑥)2 + (cos 𝑥)2 = 1 → (sin 𝑥)2 = 1 − (cos 𝑥)2 y reemplazando, nos queda: (sen 𝑥)2 = 𝑥→0 3𝑥 2 . (1 + cos 𝑥) = lim Página 25 de 27 Descargado por Juan Gomez (juanjosegomez3334@gmail.com) lOMoARcPSD|26509359 Departamento de Ciencias Económicas 2400 - Matemática I Aplicando propiedades de los límites, reacomodando convenientemente y evaluando tenemos: = 1 1 1 1 sen 𝑥 sen 𝑥 1 ∙ [lim ∙ lim ∙ lim ] = ∙ (1 .1 . ) = 𝑥→0 𝑥 𝑥→0 (1 + cos 𝑥) 3 𝑥→0 𝑥 3 2 6 Ejercicio 7: lim 𝑠𝑒𝑛 (5𝑥) 𝑥→0 𝑡𝑔(6𝑥) = (→0) 1 − cos 𝑥 1 = 𝑥→0 6 3𝑥 2 ∴ lim (→0) Esta indeterminación nos sugiere pensar en el límite trigonométrico fundamental: 𝑠𝑒𝑛(𝑓(𝑥)) lim = 1 𝑠𝑖 𝑓(𝑥) → 0 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑥 → 0 𝑥→0 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥) Y teniendo en cuenta que: 𝑡𝑔(𝑥) = cos (𝑥) 𝑠𝑒𝑛 (5𝑥). 𝑐𝑜𝑠(6𝑥) 𝑠𝑒𝑛 (5𝑥) = lim = 𝑥→0 𝑥→0 𝑠𝑒𝑛(6𝑥) 𝑠𝑒𝑛(6𝑥) cos (6𝑥) = lim Si multiplicamos el numerador por: no altera: 5𝑥 5𝑥 = 1 y el denominador por: 6𝑥 6𝑥 =1 el ejercicio 5𝑥 . 𝑐𝑜𝑠(6𝑥) 5𝑥 = = lim 6𝑥 𝑥→0 𝑠𝑒𝑛(6𝑥). 6𝑥 Entonces podemos obtener la forma fundamental en el numerador y en el denominador: 𝑠𝑒𝑛(5𝑥) 𝑠𝑒𝑛(5𝑥) lim ( . 5. cos(6𝑥)) . 5𝑥 cos(6𝑥) 𝑥→0 5𝑥 = lim 5𝑥 = = 𝑥→0 𝑠𝑒𝑛(6𝑥) 𝑠𝑒𝑛(6𝑥) . 6𝑥 lim 6𝑥 ∙ 6 6𝑥 𝑥→0 𝑠𝑒𝑛(5𝑥) ) . lim 5. 𝑐𝑜𝑠(6𝑥) 1.5.1 5 lim ( 5𝑥 𝑥→0 𝑥→0 = = = 𝑠𝑒𝑛(6𝑥) 1.6 6 ) . lim 6 lim ( 6𝑥 𝑥→0 𝑥→0 𝑠𝑒𝑛(5𝑥). 𝑠𝑒𝑛 (5𝑥) 5 = 𝑥→0 𝑡𝑔(6𝑥) 6 ∴ lim Página 26 de 27 Descargado por Juan Gomez (juanjosegomez3334@gmail.com) lOMoARcPSD|26509359 Departamento de Ciencias Económicas 2400 - Matemática I No te olvides de consultar fuentes bibliográficas, material de soporte virtual en internet, utilizar diferentes aplicaciones del celular y la calculadora. En particular te recomendamos los siguientes links: • S.Schmidt et al. “Práctica del curso Cálculo Diferencial e Integral. Selección de ejercicios”. Revista digital, Matemática, Educación e Internet: https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/Libros/practicas/APracticas-CDI-I-2019.pdf • PERMANENT CITATION Aori Nevo “Limits: A Graphical and Numerical Approach” Wolfram Demostrations Project Published: December 20 2011 https://demonstrations.wolfram.com/LimitsAGraphicalAndNumericalAp proach/ Página 27 de 27 Descargado por Juan Gomez (juanjosegomez3334@gmail.com)
