CINEMÁTICA Descripción del movimiento Física y Química 4º ESO La Cinemática es una parte de la Mecánica, que estudia el movimiento sin tener en cuenta las causas que lo producen. Decimos que un cuerpo está en movimiento cuando cambia su posición en el espacio con respecto a un determinado SISTEMA DE REFERENCIA, que normalmente se considera fijo, y decimos que está en reposo si su posición respecto a dicho sistema de referencia no cambia. ¿Qué es un sistema de referencia? Sistema de referencia.- Cuerpos o puntos considerados ”fijos” que se toman como referencia para describir el movimiento del sistema bajo estudio. Se le asocia un sistema de coordenadas, un observador y un reloj. Entonces el reposo y el movimiento son conceptos relativos ya que dependen del sistema de referencia que tomemos, así una casa se encuentra en reposo respecto a nosotros y respecto a la Tierra que está en movimiento en torno al Sol, pero respecto al Sol estaría en movimiento junto con la Tierra y si vemos esta casa desde un tren en marcha parece que se mueve respecto a nosotros. PARA PARA DESCRIBIR DESCRIBIR PERFECTAMENTE PERFECTAMENTE UN UN MOVIMIENTO MOVIMIENTO HACE HACE FALTA FALTA INDICAR INDICAR RESPECTO RESPECTOAAQUÉ QUÉSISTEMA SISTEMADE DEREFERENCIA REFERENCIASE SEHAN HANREALIZADO REALIZADOLAS LASMEDIDAS. MEDIDAS. Movimiento : Cambio de posición de un cuerpo respecto a otro(s), tomado(s) como referencia. Carácter: Relativo Definir sistema bajo estudio Definir Sistema de Referencia (SR) Magnitudes escalares y magnitudes vectoriales Vector posición.- Es un vector que determina la posición de un cuerpo respecto del sistema de referencia elegido. Vector posición en 1D: 0 Vector posición en 3D: r=(4;6;3) X=5 z=3 Vector posición en 2D: y=6 y=7 r=(4;7) 0 x=4 x=4 0 Nota: el Vector posición siempre nace del origen de coordenadas. Vector de posición y vector desplazamiento • → El vector de posición r1 de un móvil, es el vector con origen en O y extremo en P1. → → Se representa por OP = r 1 P1 Δs Y → → Δr P2 r1 → r2 1 Se Sedenomina denominaTrayectoria Trayectoriaalalcamino caminoseguido seguidopor porelel móvil móvilen ensu sumovimiento. movimiento.Es Esescalar escalar ElEl espacio espacio (S) (S) que que recorre recorre un un cuerpo cuerpo en en su su movimiento movimiento se se define define como como lala longitud longitud de de lala trayectoria trayectoria recorrida recorrida yy es es también también un un escalar. escalar. Se Se mide mideen enmetros metros X y desplazamiento vectores de posición trayectoria x Los vectores de posición determinan las diferentes posiciones del movimiento podemos llamarlos r1 y r2 si consideramos las posiciones como posición 1 y posición 2. Son vectores que van desde el origen del sistema de referencia a la posición que se mide. r r r El vector Δr = r2 − r1 (posición final menos posición inicial) se denomina vector desplazamiento. Su módulo representa la distancia entre dos posiciones que ocupa el cuerpo durante el movimiento. Se Sedefine definevector vectordesplazamiento desplazamientocomo comolaladistancia distanciaen enlínea línearecta rectaentre entredos dosposiciones posiciones inicial y final del recorrido. inicial y final del recorrido. Se Secalcula calcularestando restandolos losvectores vectoresde deposición posiciónfinal finaleeinicial. inicial.Se Semide mideen enmetros metros Es Esvectorial. vectorial. EL ELMOVIMIENTO MOVIMIENTODE DECUALQUIER CUALQUIERMÓVIL MÓVILQUEDA QUEDAPERFECTAMENTE PERFECTAMENTEDETERMINADO DETERMINADO SI SE CONOCE COMO VARIAN LAS COMPONENTES DEL SI SE CONOCE COMO VARIAN LAS COMPONENTES DEL VECTOR VECTOR DESPLAZAMIENTO EN FUNCIÓN DEL TIEMPO DESPLAZAMIENTO EN FUNCIÓN DEL TIEMPO → En general, | Δ r | ≠ Δs El valor numérico del desplazamiento y del espacio recorrido coinciden cuando el movimiento es rectilíneo y no hay cambios de sentido. En movimientos en una dimensión: r r Δ r = Δx = Δx Desplazamiento (Δx).- Es un vector que determina el cambio de la posición de un cuerpo respecto del sistema de referencia elegido. ΔX=Xf – Xi Xf: posición final; Xi: posición inicial Ejemplo1: un móvil parte de la posición x=5m hacia la posición x=12m, determine el vector desplazamiento. ΔX=Xf – Xi ΔX=12 – 5 0 Xi=5 Xf=12 ΔX=7m s=7m Ejemplo2: un móvil parte de la posición x=8m hacia la posición x=5m, determine el vector desplazamiento. ΔX=Xf – Xi ΔX=5 – 8 0 Xf=5 Xi=8 ΔX= – 3m s=3m 1 Calcula el desplazamiento realizado por una bola que se mueve sobre el carril mostrado en la figura: a) al pasar del punto A al B; b) al pasar del punto B al D; c) al pasar del punto B al C; d) al pasar del punto D al A. A D -50 cm -40 cm -30 cm -20 cm -10 cm # Recuerda la definición de desplazamiento. a) Δx AB = x B − x A = 30 − ( −50) = 80 cm b) Δx BD = x D − x B = −20 − 30 = −50 cm c) Δx BC = x C − x B = 50 − 30 = 20 cm d) Δx DA = x A − x D = −50 − ( −20) = −30 cm B 0 10 cm 20 cm 30 cm 40 cm C 50 cm # Analiza los resultados obtenidos. Vemos que el signo del desplazamiento (+ ó -) está relacionado con el sentido del movimiento (hacia la derecha o hacia la izquierda). Esto nos indica que el desplazamiento es una magnitud vectorial. 2 Un profesor de guardia se mueve, arriba y abajo, a largo de un pasillo rectilíneo. A partir del aula de CN -1, recorre 10 m hacia la derecha, 15 m hacia la izquierda y 8 m hacia la derecha. Si la puerta de dicha aula se toma como sistema de referencia, halla el desplazamiento total y la distancia recorrida por el profesor. # Dibuja un esquema con el movimiento del profesor. d dd d -10 m -5 m CN1 # Calcula el desplazamiento total. Δx = x f − x i = 3 m − 0 = 3 m # Calcula la distancia recorrida. s = 10 m + 15 m + 8 m = 33 m 5m 10 m VELOCIDAD VELOCIDAD La Lavelocidad velocidades eslalamagnitud magnitud física físicaque queestudia estudialalavariación variaciónde delalaposición posiciónde deun uncuerpo cuerpoen en función funcióndel deltiempo tiemporespecto respectoaaun undeterminado determinadosistema sistemade dereferencia. referencia. Sus Susunidades unidades: :m/s m/s , ,km/ km/hh Ambos vehículos salen y llegan a la vez, pero no han viajado juntos. Tienen en común su velocidad media • • vm = Δs Magnitud velocidad media escalar: Vector velocidad media: → → → vm = Δ r = Δ x Δt Δt → vm Δt Rapidez: Rapidez:espacio espaciorecorrido recorrido por porintervalo intervalode detiempo tiempo ΔS S 2 − S1 = Vm = Δt t 2 − t1 Se Se define define velocidad velocidad media media como el cambio de posición como el cambio de posiciónde de un cuerpo en un intervalo de un cuerpo en unr intervalo r r de r tiempo: r −r Δr tiempo: → = Δr Δt Vm = ; vm = Δ x = Δt x 2 − x1 t 2 − t1 Δt = 2 1 t 2 − t1 En una competición de atletismo, una estudiante del Instituto obtuvo, en el transcurso de una carrera de 100 m, los resultados indicados en la siguiente gráfica posición-tiempo. a) Determina en qué intervalo temporal la velocidad es menor. b) ¿En qué intervalo espacial se mueve más deprisa? x (m) 120 # Recuerda cuál es el significado de la pendiente de la tangente a la curva en un gráfico x-t y contesta al apartado a). III 100 IV 80 II Si trazamos las tangentes a la curva en los cuatro tramos que podemos distinguir en la misma, vemos que tiene menos inclinación (pendiente) la correspondiente al tramo I; por tanto, en ese tramo, de 0 a 3 s, la velocidad es menor. 60 40 20 I 0 0 1 2 3 4 5 6 t (s) 7 8 9 10 11 12 # Contesta al apartado b). La tangente del tramo III es la que tiene la mayor pendiente; por consiguiente, de 8,4 a 9 s es cuando la estudiante se mueve más rápidamente. Indica de manera razonada cómo varía, a medida que transcurre el tiempo, la velocidad de tres móviles cuyas gráficas posición-tiempo (x-t) se muestran a continuación. x (m) x (m) x (m) 80 80 70 70 4 60 60 3535 30 2,5 2,5 25 25 20 2 2 30 30 30 3 3 40 40 20 15 1,5 1,5 20 20 0,5 11 22 33 tt (s) (s) Hemos trazado las tangentes a la curva en los instantes 1, 2 y 3 s. Vemos que sus pendientes son cada vez mayores; por lo tanto, la velocidad está aumentando. 15 10 1 1 10 10 0 -10 0 4040 4 3,5 3,5 50 50 00 xx (m) 4,5 4,5 10 5 0,5 0 0 0 44 0 55 1 50 1 6 6 02 0 2 0 3 2 3 2 t (s)t (s) En este caso, hemos trazado las tangentes a la curva en los instantes 0’1, 0’5 y 1 s. Vemos que sus pendientes son cada vez menores; por lo tanto, la velocidad está disminuyendo. 4 4 4 4 6 5 8 5 6 t (s) t (s) 8 10 10 12 12 Ahora la tangente a la “curva” coincide con la propia recta. Como su pendiente es constante, la velocidad también es constante. MOVIMIENTO MOVIMIENTO RECTILÍNEO RECTILÍNEO Y Y UNIFORME UNIFORME (MRU) (MRU) Como la trayectoria es recta, la velocidad no cambia en ningún momento de dirección y no hay aceleración normal. Como es un movimiento uniforme la velocidad no cambia de valor (módulo) por lo que tampoco existe aceleración tangencial. Luego este movimiento no tiene aceleración. Tiempo 50 100 150 200 250 (s) Posición A B C D E Distancia al 200 400 600 800 1000 hangar (m) x (m) 1000 600 200 Velocidad pendiente de la gráfica • • • xx==V.t • V.t • 50 100 150 200 250 Gráfica x-t → Δr v= Δt → → → r -r = t-0 0 t (s) Al ser la trayectoria rectilínea el desplazamiento ( Δr ) y el espacio recorrido (ΔS) coinciden en valor numérico. Como la velocidad es constante la velocidad media y la instantánea coinciden. v (m/s) 4 • • • • 50 100 150 200 250 Gráfica v-t → → ⇒→ r = r +vt 0 • En forma escalar: x = x0 + v t t (s) ¾ Movimiento rectilíneo con velocidad constante (MRU) Es el movimiento de un objeto que, en intervalos de tiempo iguales, realiza desplazamientos iguales, es decir, su velocidad es constante. Este movimiento se califica como uniforme. La gráfica x-t para este tipo de movimiento es una línea recta (pendiente constante). La pendiente representa la velocidad del móvil. La gráfica v-t, al ser la velocidad constante, será una recta horizontal. ¾ Movimiento rectilíneo con aceleración constante (MRUA) Es el movimiento de un cuerpo que, en intervalos de tiempo iguales, experimenta variaciones iguales de velocidad, esto es, su aceleración es constante. Este movimiento rectilíneo se llama uniformemente acelerado. La gráfica x-t para este tipo de movimiento es una línea curva (pendiente variable). Más concretamente, dicha curva es una rama de parábola. La gráfica v-t ahora es una línea recta (pendiente constante). La pendiente representa la aceleración del móvil. La gráfica a-t, al ser la aceleración constante, será una recta horizontal. ¾ Ecuaciones del movimiento Posición Desplazamiento Velocidad Aceleración MRU MRUA x = xo + vt x = xo + vot + ½ at2 Δx = vt Δx = vot + ½ at2 Constante v = vo + at Nula Constante La posición, en función del tiempo, de un cuerpo que se mueve en línea recta está dada por la siguiente gráfica. a) ¿En qué intervalo de tiempo se desplazó el cuerpo en el sentido positivo del eje X, es decir, de izquierda a derecha? ¿Y en el sentido negativo del eje X, esto es, de derecha a izquierda? b) ¿En qué instantes, además del t = 0, pasa el móvil por la posición x = 0? ¿En qué sentido se está moviendo en dichos instantes? # Para contestar al apartado a) analiza los cinco tramos de la gráfica x-t. 12 10 8 x (m) 6 4 2 0 -2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 -4 -6 t (s) # Contesta al apartado b). El cuerpo pasa por x = 0 en los instantes t = 5 s (de derecha a izquierda ) y t = 12 s (de izquierda a derecha) De 0 a 1 s: el valor de la posición está aumentando; el cuerpo se mueve de izquierda a derecha. De 1 a 3 s: el cuerpo está parado en la posición x = 10 m. De 3 a 6 s: la posición pasa de x = 10 m a x = -5 m; el cuerpo se mueve de derecha a izquierda. De 6 a 11 s: el cuerpo está parado en la posición x = -5 m. De 11 a 12 s: la posición pasa de x = -5 m a x = 0; el cuerpo se mueve de izquierda a derecha. Elabora la gráfica “posición-tiempo” correspondiente al movimiento descrito en la siguiente historieta: Pedro sale de su casa en bicicleta en dirección al huerto del tío Jorge con el propósito de merendar gratis. Manteniendo una velocidad constante de 6 m/s llega al huerto en 50 s; los siguientes 60 s los emplea en coger fruta. Al sentirse sorprendido, toma de nuevo la bicicleta e inicia el movimiento de regreso con una velocidad constante de 10 m/s e, intencionadamente, se pasa de su casa 100 m; deja la “bici” y se oculta tras unos matorrales, donde permanece escondido 40 s. Al ver que no le persiguen, vuelve a su casa con una velocidad de 8 m/s. # Analiza cada uno de los tramos y realiza los cálculos pertinentes. 350 300 250 Durante los primeros 50 s la posición pasa de x = 0 a x = 300 m. 200 x (m) 150 100 Permanece 60 s, hasta el instante t = 110 s, en x = 300 m. 50 0 -50 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 -100 -150 t (s) Recorre 400 m de “vuelta” a 10 m/s, por lo que invierte 40 s más, hasta la posición x = -100 m. Permanece 40 s, hasta el instante t = 190 s, en x = -100 m. Recorre los últimos 100 m, hasta la posición x = 0, a 8 m/s, por lo que invierte 12,5 s. Un coche, que se está moviendo por una carretera rectilínea con una velocidad de 80 km/h, está dando alcance a una motocicleta que se mueve en el mismo sentido a 40 km/h. Los dos móviles están inicialmente separados una distancia de 60 km. a) Escribe las ecuaciones posición-tiempo de ambos móviles. b) Dibuja, en el mismo sistema de ejes, las dos gráficas x-t. c) ¿En qué posición y en qué instante el coche alcanzará a la motocicleta? # Elige un sistema de referencia y contesta al apartado a). # Contesta al apartado b). Coche: Motocicleta: xC = 80t xM = 60 + 40t # Contesta al apartado c). Del análisis de las gráficas x-t se deduce que el coche alcanza a la motocicleta en la posición 120 km, 1,5 h después de que el coche inicie su movimiento. x (km) Si tomamos como referencia la posición inicial del coche, las ecuaciones son: 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 0 0,5 1 1,5 t (h) Coche Motocicleta A este resultado también se llega resolviendo el sistema formado por las ecuaciones: xC = 80t ; xM = 60 + 40t. Cuando el coche alcanza a la motocicleta se cumple que xC = xM, es decir, 80t = 60 + 40t; 40t = 60; t = 60/40 = 1,5 h. Sustituyendo este valor en una de las ecuaciones anteriores, se obtiene: xC = xM = 120 km. 2 2,5 El tío Juan sale de su pueblo, a las 8 horas de la mañana, con una velocidad constante de 9 km/h. Dos horas después, y del mismo pueblo, su cuñado sale con una velocidad constante de 11 km/h con el propósito de alcanzarlo. ¿A qué hora y a qué distancia del pueblo lo logrará? # Lo primero que puedes hacer es transformar la diferencia en el tiempo que tienen los dos movimientos en una diferencia espacial. Al mismo tiempo debes elegir un sistema de referencia y escribir las ecuaciones de la posición de los dos “atletas”. Cuando el cuñado inicia su movimiento, a las 10 horas de la mañana, el tío Juan ha recorrido ya 18 km. Si tomamos como referencia el pueblo y suponemos que el tiempo empieza a contar a las 10 h, las ecuaciones de la posición son: Tío Juan: xJ = 18 + 9t Cuñado: xC = 11t # Realiza ahora los cálculos pertinentes. Cuando el cuñado alcanza al tío Juan se cumple que sus posiciones coinciden: xJ = xC; por lo tanto, 18 + 9t = 11t; 18 = 2t y t = 18/2 = 9 horas. El encuentro tiene lugar 9 horas después de haber salido el cuñado, es decir, a las 7 horas de la tarde. Para hallar la distancia al pueblo, sustituimos el valor de t en cualquiera de las ecuaciones de la posición: xJ = xC = 99 km. La gráfica representa la posición, en función del tiempo, de los cuerpos A y B que llevan movimientos rectilíneos. a) Describe de la forma más completa posible –esto es, incluyendo datos numéricos- cada uno de los movimientos. b) Indica en qué instante ambos cuerpos coinciden en la misma posición. Utiliza dos procedimientos: algebraico y gráfico. 17 # Contesta al apartado a). 120 100 El cuerpo A, que se encuentra inicialmente en la posición -25 m, se está moviendo con una velocidad de 12,5 m/s (pendiente de la recta azul). El cuerpo B, inicialmente situado en la posición 40 m, lleva una velocidad de -3,75 m/s (pendiente de la recta magenta). 80 x (m) 60 40 20 0 -20 0 2 4 6 8 10 # Contesta al apartado b). -40 t (s) Móvil A Móvil B Se cumple que: xA = -25 + 12,5t y xB = 40 – 3,75t. Coinciden en la misma posición cuando xA = xB, es decir, -25 + 12,5t = 40 – 3,75t; 16,25t = 65; t = 4 s. Llevando este resultado a cualquiera de las ecuaciones de la posición, se obtiene que x = 25 m. En el estudio experimental de un movimiento rectilíneo se ha obtenido los resultados abajo indicados. a) Dibuja la gráfica velocidad-tiempo. ¿Se trata de un movimiento uniformemente acelerado? ¿Por qué? b) Determina, mediante las ecuaciones del movimiento, el desplazamiento realizado por el móvil a los 7 s de iniciado el movimiento. t (s) v (m/s) 0 -12 2 -2 4 8 6 18 35 8 28 25 10 38 # Contesta al apartado a). v (m/s) 45 40 30 20 15 10 5 0 -5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Se trata de un movimiento uniformemente acelerado ya que la velocidad es directamente proporcional al tiempo y la gráfica v-t es una recta. Vemos que vo = -12 m/s y que la aceleración (pendiente de la recta) es: a = 50/10 = 5 m/s²; -10 -15 # Contesta al apartado b). t (s) La ecuación del desplazamiento es: Δx = vot + ½ at². Para t = 7 s, Δx = -12·7 + ½ 5·49 = 38,5 m. MOVIMIENTO Física y Química MOVIMIENTO RECTILÍNEO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE UNIFORMEMENTE 1º BACHILLERATO ACELERADO (MRUA) 7 ACELERADO (MRUA) 2 Al ser un movimiento rectilíneo no tiene aceleración normal, pero la velocidad va cambiando en módulo (aceleramos o frenamos) y por lo tanto hay aceleración tangencial. v (m/s) v tg α = a α v0 • La aceleración media coincide con la aceleración instantánea aceleración es constante t t (s) Gráfica v-t Δt v (m/s) que la → • La ecuación a = Δ v se transforma en: Δt Δv v − v v = v0 + a t a= ⇒ = → t0 ya t−0 0 • El área A bajo la gráfica velocidad-tiempo es v el espacio recorrido v0 v−v A=v0·(t −t0)+ 0 ·(t −t0) 2 Sustituyendo A y v por su valor resulta: t0 t Gráfica v-t t (s) v +a·(t −t0)−v0 x−x0 =v0·(t −t0)+ 0 ·(t −t0) 2 x = x0 + v0t + 1 2 at 2 La siguiente gráfica velocidad-tiempo (v-t) corresponde al viaje a Teruel citado en un ejercicio anterior. a) ¿En qué tramo la aceleración es máxima? b) ¿Cuándo la aceleración es negativa? c) ¿Existe algún tramo en el que la aceleración sea nula? ¿Cuál? 9 # Recuerda cuál es el significado de la pendiente de la tangente a la curva en un gráfico v-t y contesta al apartado a). v (km/h) III 140 V 120 VI Si trazamos las tangentes a la curva en los seis tramos que podemos distinguir en la misma, vemos que tiene más inclinación (pendiente) la correspondiente al tramo III; por tanto, en ese tramo, de 0,4 a 0,6 h, la aceleración es máxima. 100 II 80 60 IV I 40 20 # Contesta al apartado b). 0 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 t (h) 1,2 1,4 1,6 La aceleración será negativa cuando lo sea la pendiente de la tangente; eso ocurre en el tramo IV: de 0,6 a 0,8 h, aproximadamente. # Contesta al apartado c). La aceleración es nula en el tramo VI: de 1,2 a 1,4 h, ya que entonces la tangente es horizontal y su pendiente nula. 13 a) Describe los movimientos cuyas gráficas posición-tiempo se muestran a continuación. La descripción debe ser cualitativa y cuantitativa. b) Elabora las gráficas velocidad-tiempo asociadas a dichos movimientos. 30 25 15 x (m) x (m ) 20 10 5 0 0 1 2 3 4 5 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0 1 2 3 4 5 6 t (s) t (s) v (m/s) 10 5 El móvil se encuentra inicialmente en la 0 -5 0durante posición x = 0 y, 2,5 1 2 s, 3se mueve 4 5 -10 a 10 m/s hasta llegar a la posición x = 25 m. -15 Después, durante -20 1 s, permanece en dicha posición. Finalmente, durante 1 s más, -25 -30 vuelve al punto de partida con una velocidad de -25 m/s. t (s) 16 14 El móvil 12se encuentra inicialmente en la posición10x = 10 m y, durante 2 s, se mueve 8 a 5 m/s hasta llegar a la posición x = 20 m. 6 Cambia bruscamente su velocidad a 15 m/s, 4 2 velocidad que mantiene durante 1 s, hasta 0 la posición0 x = 135 m. Finalmente, permanece 2 3 4 5 v (m/s) 15 # Contesta al apartado b). a). en reposo en dicha posición. t (s) La gráfica v-t de la figura se refiere al movimiento de un cuerpo desde que se puso en marcha el cronómetro hasta que fue parado, instante en el que marcaba 10 s. Halla el desplazamiento del cuerpo en esos 10 s. 20 # Analiza cuántos movimientos podemos distinguir en la gráfica v-t. v (m/s) 16 14 De 0 a 4 s: movimiento rectilíneo uniforme con v = 15 m/s. De 4 s a 5 s: movimiento rectilíneo uniformemente acelerado con vo = 15 m/s y a = -15 m/s². De 5 s a 10 s: movimiento rectilíneo uniformemente acelerado con vo = 0 y a = 2 m/s². 12 10 8 6 4 A1 = 2 4+5 ⋅ 15 = 67,5 2 A2 = 0 0 1 2 3 4 5 6 7 5 ⋅ 10 = 25 2 8 9 10 11 # Calcula ahora los desplazamientos en cada uno de los tramos de la gráfica v-t. t (s) El desplazamiento también puede calcularse como el “área bajo la curva” en una gráfica v-t. En este caso, el valor del desplazamiento coincide con la suma de las áreas de un trapecio (67,5 m) y de un triángulo (25 m). Δx1 = vt = 15·4 = 60 m Δx2 = vot +1/2 at² = 15·1 + ½ (-15)·1 = 7,5 m Δx3 = vot +1/2 at² = 0 + ½ 2·5² = 25 m El desplazamiento total es la suma de estos tres desplazamientos parciales: 92,5 m. La siguiente gráfica velocidad-tiempo describe el movimiento rectilíneo de un ciclista. Interprétala. Halla el desplazamiento y la distancia recorrida en 6 h. # Analiza en qué tramos el movimiento es uniforme (MRU) y en cuáles es uniformemente acelerado (MRUA). v (km/h) II 12 10 8 6 4 III I 2 0 -2 0 1 2 3 4 5 IV -4 6 7 V -6 t (h) # Determina la distancia recorrida. El ciclista se mueve hacia la derecha durante 2,5 h y hacia la izquierda durante las 3,5 h restantes. En dichos intervalos de tiempo recorre 17,5 km y 15 km, respectivamente; en total, 32,5 km. MRU Æ de 0,5 h a 1,5 h: v = 10 km/h de 3 h a 5,5 h: v = -5 km/h MRUA Æ de 0 a 0,5 h: vo= 0 y a = 20 km/h² de 1,5 h a 3 h: vo = 10 km/h y a = -10 km/h² (en el instante t = 2,5 h, el ciclista invierte el sentido del movimiento) de 5,5 h s 6 h: vo = -5 km/h y a = 10 km/h² # Calcula ahora los desplazamientos en cada uno de los tramos de la gráfica v-t. ΔxI = vot +1/2 at² = 0 + ½ (20)·0,5² = 2,5 km ΔxII = vt = 10·1 = 10 km ΔxIII = vot +1/2 at² = 10·1,5 + ½ (-10)·1,5² = 3,75 km ΔxIV = vt = -5·2,5 = -12,5 km ΔxV = vot +1/2 at² = -5·0,5 + ½ (10)·0,5² = -1,25 km El desplazamiento total es la suma de estos cinco desplazamientos parciales: 2,5 km. Desde lo alto de un campanario de 20 m de altura, se lanza verticalmente hacia arriba un objeto con una rapidez de 40 m/s. Se supone despreciable el rozamiento con el aire. a) Calcula la posición y la velocidad del objeto en el instante t = 6 s. b) ¿Qué altura máxima alcanza el objeto? ¿Qué tiempo emplea en lograrla? c) Halla la velocidad del objeto cuando vuelve a pasar por el punto de lanzamiento y el tiempo total empleado. # Dibuja un esquema y escribe las ecuaciones del movimiento. Y De acuerdo con el sistema de referencia, las magnitudes vectoriales que apuntan hacia arriba se toman con signo + y las que señalan hacia abajo con signo -. Las ecuaciones asociadas a este lanzamiento son, entonces: yo = 20 m vo = 40 m/s v = 40 – 9,8t y = 20 + 40t - 4,9t2 a = -9,8 m/s2 # Contesta al apartado a). Sustituyendo en las ecuaciones del movimiento t por 6, v(6) = 40 -9,8·6 = -18,8 m/s y(6) = 20 + 40·6 - 4,9·36 = 83,6 m El signo – del primer resultado indica que el objeto está bajando y el valor de la posición significa que se encuentra por encima del punto de lanzamiento. # Contesta al apartado b). X # Contesta al apartado c). El punto de lanzamiento cumple la condición de que y = 20 m, por lo que: 20 = 20 + 40t – 4,9t2; 0 = 40t – 4,9t2; 0 = t(40 -4,9t), ecuación que tiene dos soluciones: la evidente t = 0 y la que interesa ahora: t = 40/4,9 = 8,16 s. La velocidad en dicho instante es: v = 40 – 9,8·8,16 = -40 m/s. Se concluye que cuando el objeto vuelve al punto de lanzamiento se mueve con una velocidad de intensidad idéntica a la inicial, aunque de sentido contrario. También vemos que el tiempo de subida es igual al tiempo de bajada. Cuando se alcanza la altura máxima se cumple que la velocidad es nula, cosa que sucede en un instante tal que: 0 = 40 – 9,8t; t = 40/9,8 = 4,08 s; por lo tanto, ymax = 20 + 40·4,08 – 4,9·4,082 = 101,6 m Se deja caer una piedra desde la boca de un pozo. Llega al fondo con una velocidad de 14,7 m/s de intensidad. a) ¿Cuál es la profundidad del pozo? b) ¿Cuánto tiempo tarda la piedra en llegar al fondo del pozo? # Dibuja un esquema y escribe las ecuaciones del movimiento. Y De acuerdo con el sistema de referencia, las magnitudes vectoriales que apuntan hacia arriba se toman con signo + y las que señalan hacia abajo con signo -. Las ecuaciones asociadas a este lanzamiento son, entonces: yo = ? vo = 0 a = -9,8 m/s2 v = -9,8t y = yo - 4,9t2 X v = -14,7 m/s # De acuerdo con la información disponible, analiza qué apartado debes contestar primero. De la ecuación de la velocidad deducimos que: -14,7 = -9,8t; t = 14,7/9,8 = 1,5 s, que es el tiempo que tarda la piedra en llegar al fondo del pozo. En ese instante la posición de la piedra es y = 0; por lo tanto, en la ecuación de la posición podemos escribir: 0 = yo – 4,9·1,52 = yo – 11, por lo que la profundidad del pozo es: yo = 11 m. a) Desde una altura de 45 m, respecto al suelo, se deja caer un libro de Física y Química. Se considera despreciable la influencia del aire. Halla la velocidad con que el libro llegará al suelo. ¿Cuánto tiempo invertirá en dicho recorrido? b) Repite el ejercicio suponiendo que el libro es lanzado verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial de 15 m/s. # Dibuja un esquema, escribe las ecuaciones del movimiento y contesta al apartado a). # Dibuja un esquema, escribe las ecuaciones del movimiento y contesta al apartado b). Y Y De acuerdo con el sistema de referencia, las magnitudes vectoriales que apuntan hacia arriba se toman con signo + y las que señalan hacia abajo con signo -. Las ecuaciones asociadas a este lanzamiento son, entonces: yo = 45 m vo = 0 a = -9,8 m/s2 v=? t=? X v = -9,8t y = 45 - 4,9t2 Cuando el libro llega al suelo se cumple que y = 0, es decir, 0 = 45 – 4,9t2; 45 t= =3s 4,9 La velocidad del libro en ese instante es: v = -9,8·3 = -29,4 m/s ¡Comenta los resultados! yo = 45 m vo = -15 m/s a = -9,8 m/s2 X v=? t=? De acuerdo con el sistema de referencia, las magnitudes vectoriales que apuntan hacia arriba se toman con signo + y las que señalan hacia abajo con signo -. Las ecuaciones asociadas a este lanzamiento son, entonces: v = -15 - 9,8t y = 45 -15t - 4,9t2 Cuando el libro llega al suelo se cumple que y = 0, es decir, 0 = 45 – 15t - 4,9t2, ecuación de 2º grado completa, cuyas soluciones son: t= 15 ± 225 − 4 ⋅ ( −4,9) ⋅ 45 15 ± 33,3 ⎧− 4,93 = =⎨ − 9,8 − 9,8 ⎩1,87 La velocidad del libro en el instante válido es: v = -15 - 9,8·1,87 = -33,3 m/s Desde una altura h se lanza verticalmente hacia abajo un cuerpo con una rapidez inicial de 5 m/s, invirtiéndose 6 s en llegar al suelo. Calcula el valor de h y la rapidez máxima que alcanzará el cuerpo. # Dibuja un esquema y escribe las ecuaciones del movimiento. Y yo = h = ? vo = -5 m/s v = -5 - 9,8t y = h - 5t - 4,9t2 a = -9,8 m/s2 v=? t=6s De acuerdo con el sistema de referencia, las magnitudes vectoriales que apuntan hacia arriba se toman con signo + y las que señalan hacia abajo con signo -. Las ecuaciones asociadas a este lanzamiento son, entonces: Debes perder el miedo a las expresiones algebraicas y trabajar con “letricas” como si fuesen números. Fíjate en las condiciones que cumple la posición del cuerpo cuando t = 6 s. X Cuando t = 6 s, se cumple que y = 0; llevando estas condiciones a la ecuación de la posición, tenemos: 0 = h – 5·6 – 4,9·36; h = 206,4 m. La rapidez máxima se alcanza cuando el cuerpo llega al suelo; por lo tanto, la velocidad es: v = -5 -9,8·6 = -63,8 m/s. La rapidez vale: 63,8 m/s. a) Galileo lanza verticalmente hacia arriba una piedra con una rapidez inicial de 29,4 m/s ¿Qué altura alcanzará (la piedra)? b) ¿Experimentará la piedra el mismo desplazamiento en el primer segundo de subida que en el último segundo? ¿Por qué? # Dibuja un esquema y escribe las ecuaciones del movimiento. Y v=0 y=h=? a = -9,8 m/s2 yo = 0 vo = 29,4 m/s X # Contesta al apartado a). De acuerdo con el sistema de referencia, las magnitudes vectoriales que apuntan hacia arriba se toman con signo + y las que señalan hacia abajo con signo -. Las ecuaciones asociadas a este lanzamiento son, entonces: Calculamos, en primer lugar, el tiempo invertido por la piedra en subir. En el punto más alto se cumple que v = 0; por lo tanto, 0 = 29,4 - 9,8t; t = 29,4/9,8 = 3 s. v = 29,4 - 9,8t y = 29,4t - 4,9t2 Sustituyendo este valor en la ecuación de la posición, tenemos: h = 29,4·3 – 4,9·9 = 44,1 m # Contesta al apartado b). Debido a que, a medida que la piedra asciende, se está moviendo más lentamente, el desplazamiento en el primer segundo será mayor que en el último segundo de subida. En cualquier caso, se puede comprobar esto mediante los cálculos adecuados. • En el primer segundo: Δy(de 0 a 1 s) = y(1) = 29,4·1 – 4,9·1 = 24,5 m • En el último segundo el desplazamiento será la diferencia entre las posiciones de la piedra en los instantes 3 s y 2 s: Δy(de 2 s a 3 s) = y(3) – y(2) = 44,1 – (29,4·2 – 4,9·4) = 44,1 – 39,2 = 4,9 m