CINEMATICA DE MECANISMOS PLANOS

Cinemática de
mecanismos planos
Teoría y Problemas resueltos
Colección manuales uex - 113
Manuel
Reino Flores
Gloria
Galán Marín
113
ÍNDICE
ÍNDICE
CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS
TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
ÍNDICE
MANUALES UEX
113
ÍNDICE
MANUEL REINO FLORES
GLORIA GALÁN MARÍN
CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS
TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
2020
ÍNDICE
Esta obra ha sido objeto de una doble evaluación, una interna, llevada a cabo por el consejo asesor del
Servicio de Publicaciones de la Universidad de Extremadura, y otra externa, efectuada por evaluadores
independientes de reconocido prestigio en el campo temático de la misma.
© Los autores
© Universidad de Extremadura para esta 1ª edición
Edita:
Universidad de Extremadura. Servicio de Publicaciones
C/ Caldereros, 2 - Planta 3ª. 10071 Cáceres (España)
Tel. 927 257 041 ; Fax 927 257 046
E-mail: publicac@unex.es
http://www.unex.es/publicaciones
ISSN 1135-870-X
ISBN 978-84-09-25222-0
Maquetación: Control P - Cáceres - 927 233 223 - www.control-p.eu
ÍNDICE
A César
A Juan y Hernán
ÍNDICE
ÍNDICE
ÍNDICE GENERAL
PRÓLOGO
ÍN
DI
CE
1.CONCEPTOS BÁSICOS DE LA TEORÍA DE
MÁQUINAS Y MECANISMOS
11
13
1.1. Introducción
13
1.2. Eslabones, pares y cadena cinemática
13
1.3. Mecanismos y máquinas
15
1.4. Tipos de movimiento
16
1.5. Grados de libertad de un mecanismo
16
1.6. Inversión cinemática
19
1.7. M
ecanismo de cuatro barras. Ley de
Grashof21
1.8. Mecanismos de retroceso rápido
1.8.1. Mecanismo excéntrico de bielamanivela
1.8.2. Mecanismo de Whitworth
1.8.3. Mecanismo manivela-balancín
2.INTRODUCCIÓN A LA CINEMÁTICA DEL
SÓLIDO RÍGIDO
24
24
25
26
27
2.1. Tipos de movimiento
27
2.2. Movimiento de traslación
28
2.3. M
ovimiento de rotación alrededor de
un eje fijo
29
2.4. Movimiento plano general
2.4.1. Velocidad absoluta y relativa
2.4.2. Aceleración absoluta y relativa
32
33
34
2.5. M
ovimiento relativo respecto a un
sistema en rotación
2.5.1. Velocidades
2.5.2. Aceleraciones
37
37
40
3.ANÁLISIS CINEMÁTICO DE MECANISMOS
PLANOS43
3.1. Introducción
43
3.2. Métodos gráficos
44
ÍNDICE
ÍN
DI
CE
3.2.1. Movimiento relativo entre dos
puntos. Polígonos de velocidades y
aceleraciones
44
3.2.2. Centro instantáneo de rotación
51
4.
3.3. Métodos analíticos
3.3.1. Análisis trigonométrico
3.3.2. Álgebra vectorial
3.3.3. Análisis mediante números
complejos. Ecuaciones de lazo
53
53
56
PROBLEMAS RESUELTOS
65
5.RESOLUCIÓN CINEMÁTICA DE UN
MECANISMO CON AYUDA DE MATLAB
ÍNDICE
59
135
PRÓLOGO
El presente manual se presenta como resultado de diez años impartiendo la asignatura
Mecanismos y Máquinas en la Escuela de Ingenierías Industriales de la Universidad de
Extremadura. Mecanismos y Máquinas es común a las titulaciones de Grado de la Rama
Industrial y es de carácter obligatorio. Se imparte en el segundo curso de cuatro titulaciones
de la Universidad de Extremadura: Grado en Ingeniería Eléctrica, Grado en Ingeniería Electrónica y Automática, Grado en Ingeniería Mecánica y Grado en Ingeniería en Tecnologías
Industriales.
Durante el estudio cinemático, se analiza el movimiento sin tener en cuenta las causas
que lo producen, mientras que en el estudio dinámico ya se incluyen las acciones que
generan el movimiento. Este manual se dedicará al análisis de mecanismos, abordando el
estudio cinemático de los mismos. Aunque existen muchos manuales dedicados al estudio
cinemático de mecanismos, existe un cierto vacío en lo que se refiere a textos que, abordando todos los aspectos introductorios básicos de la cinemática del sólido rígido, apliquen
al mismo tiempo los conceptos presentados sobre una extensa colección de mecanismos,
abordando tanto la resolución gráfica del problema como sobre todo la resolución analítica
para cualquier posición.
El contenido del manual se inicia con un capítulo dedicado a presentar los conceptos
básicos introductorios sobre la Teoría de Máquinas y Mecanismos. El segundo capítulo aborda la cinemática del sólido rígido sin presuponer conocimientos previos, de forma que el
texto pueda utilizarse como iniciación en un curso semestral en el que la formación y los
ÍNDICE
MANUALES UEX
A través de la asignatura Mecanismos y Máquinas, el alumno adquiere los fundamentos
de la Teoría de Máquinas y Mecanismos, así como otros conocimientos conceptuales que
sirven como base para aquellas materias y aplicaciones relacionadas con la Ingeniería
Mecánica. La Teoría de Máquinas y Mecanismos estudia las relaciones existentes entre la
geometría y el movimiento de un mecanismo o máquina, las acciones que generan dichos
movimientos, así como la energía asociada. Esta ciencia aplicada puede abordarse de dos
formas distintas, análisis y síntesis. La síntesis trata de diseñar un mecanismo o máquina que
cumpla unas especificaciones dadas, mientras que el análisis desarrolla el estudio cinemático y dinámico de la máquina.
11
MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN
intereses de los alumnos sean heterogéneos, al pertenecer a especialidades muy distintas de
un primer o segundo año de ingeniería.
En el tercer capítulo se aplicarán los conceptos presentados sobre la cinemática del sólido rígido a los mecanismos planos. Se expondrán varios procedimientos, gráficos y analíticos,
para el estudio cinemático de un mecanismo. Los métodos gráficos son muy intuitivos, y de
gran ayuda a la hora de comprender fácilmente el movimiento de un mecanismo, aunque
sólo son útiles en una posición dada. Los métodos analíticos, por el contrario, permiten obtener el análisis cinemático del mecanismo para todo el ciclo completo de movimiento, que es
normalmente el objetivo.
En el cuarto capítulo se presenta una extensa relación de casos prácticos resueltos, ordenados según una dificultad creciente, desde mecanismos con un movimiento básico hasta
aquellos en los que aparece movimiento relativo. Se aplicarán siempre métodos analíticos en
todos los problemas cinemáticos, que serán ilustrados también en algunos casos con la resolución gráfica para posiciones concretas. A través de su aplicación, se comprobará que los
métodos analíticos tienen la ventaja de proporcionar planteamientos generales muy metódicos, resolubles por ordenador. Como ilustración, en el último capítulo se presenta la resolución cinemática completa de un mecanismo de retorno rápido con ayuda de Matlab.
Se ha realizado así un manual que intenta integrar los distintos enfoques prácticos para la
resolución cinemática de un mecanismo plano, primando la sencillez y la didáctica en la
selección de contenidos tanto teóricos como aplicados. Por un lado, se presenta en cada
mecanismo un método analítico que permite obtener una expresión matemática de las variables de posición, velocidad y aceleración de los eslabones de salida en función de las variables que describen el movimiento de los eslabones de entrada. Por otro lado, puesto que en
ocasiones los métodos analíticos son poco intuitivos, se presenta también la interpretación
vectorial en términos de las ecuaciones de cinemática del sólido rígido en la resolución de
todos los casos prácticos, apoyándose en muchas ocasiones en métodos gráficos para comprender el movimiento en posiciones concretas.
MANUALES UEX
De este modo, atendiendo a criterios de facilidad pedagógica y con un nivel introductorio
adecuado para una asignatura de grado común a distintas especialidades de ingeniería, se
presentan los conceptos básicos de cinemática de mecanismos planos sobre una extensa
relación de problemas resueltos, partiendo de un enfoque vectorial y gráfico, hasta llegar a
un enfoque analítico que pueda ser fácilmente programable.
12
ÍNDICE
1. CONCEPTOS BÁSICOS
DE LA TEORÍA DE MÁQUINAS Y MECANISMOS
1.1. INTRODUCCIÓN
La Teoría de Máquinas y Mecanismos estudia las relaciones existentes entre la geometría
y el movimiento de un mecanismo o máquina, las acciones (fuerzas y momentos) que generan dichos movimientos, así como la energía asociada.
Esta ciencia aplicada puede abordarse de dos formas distintas, análisis y síntesis. La síntesis
trata de diseñar un mecanismo o máquina que cumpla unas especificaciones dadas, mientras
que el análisis desarrolla el estudio cinemático y dinámico de la máquina. Durante el estudio
cinemático, se analiza el movimiento sin tener en cuenta las causas que lo producen, mientras
que en el estudio dinámico ya se incluyen las acciones que generan el movimiento.
Este libro se dedicará al análisis de mecanismos, abordando el estudio cinemático de los
mismos.
1.2. ESLABONES, PARES Y CADENA CINEMÁTICA
• Balancín: eslabón que oscila respecto de un eje fijo.
• Manivela: eslabón que da vueltas completas alrededor de un eje fijo.
•Biela: eslabón que no tiene ningún punto articulado fijo, es decir, con un movimiento
general.
• Soporte: eslabón fijo.
MANUALES UEX
Se denomina eslabón a cada uno de los sólidos rígidos que componen la máquina. En
la literatura técnica suelen usarse también otros nombres como: elemento, miembro o
barra. El concepto de pieza se halla en un nivel inferior al de eslabón, pues una sola pieza,
o un conjunto de piezas unidas formando un sólido rígido constituyen un eslabón. Cada
eslabón está unido a otros eslabones, los cuales pueden clasificarse en según el tipo de
movimiento desarrollado:
13
ÍNDICE
•• Biela:
•Biela:
Biela:eslabón
eslabónque
queno
tieneningún
ningúnpunto
puntoarticulado
articuladofijo,
fijo,es
decir,con
conun
movimiento
eslabón
que
nonotiene
tiene
ningún
punto
articulado
fijo,
esesdecir,
decir,
con
ununmovimiento
movimiento
general.
general.
general. • Biela: eslabón que no tiene ningún punto articulado fijo, es decir, con un movimiento
MANUEL
REINO FLORES,
GLORIA
•• Soporte:
eslabón
fijo.
•general.
Soporte:
eslabón
fijo. GALÁN MARÍN
Soporte:
eslabón
fijo.
• Soporte:
eslabón
fijo. a la
Se
par
cinemático
unión
entre
dos
oo más
eslabones.
El
movimiento
relativo
denomina
par
cinemático
a la
unión
entre
dos
omás
más
eslabones.
movimiento
relativo
SeSedenomina
denomina
par
cinemático
a la
unión
entre
dos
eslabones.
ElEl
movimiento
relativo
Se
denomina
par
cinemático
a
la
unión
entre
dos
o
más
eslabones.
El
movimiento
relatientre
los
eslabones
unidos
en
el
par
cinemático
está
condicionado
por
el
tipo
de
elemento
entre
los
eslabones
unidos
en
el
par
cinemático
está
condicionado
por
el
tipo
de
elemento
Se denomina
par cinemático
a la unión entre
dos o más eslabones.
El movimiento
relativo
entre los eslabones
unidos
en el par cinemático
está condicionado
por el tipo
de elemento
vo
entre
losen
eslabones
unidos
en elen
par
está
condicionado
por
tipo
empleado
de
modo
que
algunos
movimientos
yy se
otros.
A
empleado
enel
elenlace,
enlace,
modo
que
sepermiten
permiten
algunos
movimientos
yelpor
seimpiden
impiden
otros.
entre
unidos
else
par
cinemático
está
condicionado
el de
tipoelemende
elemento
empleado
enlos
eleslabones
enlace,
dede
modo
que
secinemático
permiten
algunos
movimientos
se
impiden
otros.
AA
to
empleado
en
el
enlace,
de
modo
que
se
permiten
algunos
movimientos
y
se
impiden
otros.
través
de
los
pares
cinemáticos,
un
eslabón
se
une
a
otros
para
transmitir
movimiento
o
fuertravés
de
los
pares
cinemáticos,
un
eslabón
se
une
a
otros
para
transmitir
movimiento
o
fueren cinemáticos,
el enlace, de un
modo
que se permiten
algunos
movimientos
y se impiden
otros. A
travésempleado
de los pares
eslabón
une a otros
para transmitir
movimiento
o fuerAza.
de los
pares
cinemáticos,
un un
eslabón
se se
une
a otros
za. través
de los
pares
cinemáticos,
eslabón
une
a otrospara
paratransmitir
transmitirmovimiento
movimientooo fuerza.través
fuerza.za.
Se
definen
los
grados
de
libertad
de
un
par
cinemático
oo conectividad
como
el
número
de
definen
grados
libertad
par
cinemático
oconectividad
conectividad
como
número
SeSe
definen
loslos
grados
dede
libertad
dede
unun
par
cinemático
como
elel
número
dede
Se
definen
los
grados
de
libertad
de
un
par
cinemático
o
conectividad
como
el
número
grados
de
libertad
del
movimiento
relativo
de
los
miembros
del
par.
grados
de
libertad
del
movimiento
relativo
de
los
miembros
del
par.
Se
definen
los
grados
de
libertad
de
un
par
cinemático
o
conectividad
como
el
número
de
grados de libertad del movimiento relativo los miembros del par.
de grados
de de
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deldel
movimiento
relativo
dede
loslosmiembros
del
par.
grados
libertad
movimiento
relativo
miembros
del
par.
Si
suponendos
doseslabones
eslabonesmóviles
móvilesconectados
conectadosmediante
medianteun
cinemático,se
puede
SiSise
sesesuponen
suponen
dos
eslabones
móviles
conectados
mediante
ununpar
parparcinemático,
cinemático,
sesepuede
puede
Si
se
suponen
dos
eslabones
móviles
conectados
mediante
un
par
cinemático,
se
puede
imaginar
uno
cualquiera
de
ellos
como
fijo,
y
calcular
para
el
otro
eslabón
el
número
mínimo
imaginar
uno
cualquiera
de
ellos
como
fijo,
y
calcular
para
el
otro
eslabón
el
número
mínimo
Si secualquiera
suponen dos
eslabones
conectados
un par
cinemático,
se puede
imaginar uno
de ellos
como móviles
fijo, y calcular
para elmediante
otro eslabón
el número
mínimo
imaginar
uno cualquiera
de ellosde
como
fijo,
y establecer
calcular
para
elpara
otro
número
mínimo
de
independientes
que
necesito
para
determinar
su
relativa.
parámetros
independientes
que
necesito
establecer
para
determinar
posición
relativa.
imaginar
uno
cualquiera
ellos
como
fijo,
y calcular
eleslabón
otro eslabón
el número
mínimo
dedeparámetros
parámetros
independientes
que
necesito
establecer
para
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suelsuposición
posición
relativa.
de
parámetros
que
necesito
establecer
para del
determinar
su
posición
relativa.
De
este
se
el
de
de
libertad
que
limita
el
este
modoindependientes
obtienen
número
grados
libertad
delpar
que
limita
movimiento
demodo
parámetros
independientes
que
necesito
establecer
para
determinar
su
posición
relativa.
DeDe
este
modo
seseobtienen
obtienen
elelnúmero
número
dedegrados
grados
dede
libertad
del
parpar
que
limita
elelmovimiento
movimiento
De
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se
obtienen
elotro
número
de en
grados
de libertad
del pardel
que
limita
movimiento
de
un
eslabón
respecto
aa otro
(sin
las
restricciones
al
movimiento
que
implieslabón
respecto
aotro
(sin
tener
restricciones
movimiento
que
impliDe
este modo
se obtienen
el tener
número
decuenta
grados
de
libertad
par
que el
limita
el
movimiento
dedeeste
unun
eslabón
respecto
(sin
tener
enencuenta
cuenta
laslas
restricciones
alal
movimiento
que
implide
un
eslabón
respecto
a
otro
(sin
tener
en
cuenta
las
restricciones
al
movimiento
que
implican
cinemáticos
del
mecanismo).
Obsérvese
entonces
en
apacanel
elresto
resto
pares
cinemáticos
mecanismo).
Obsérvese
entoncesque
planoque
apaun de
eslabón
respecto
a otro
(sin
tener en cuenta
las restricciones
alque
movimiento
implican
elde
resto
dedepares
pares
cinemáticos
deldel
mecanismo).
Obsérvese
entonces
que
enenel
elelplano
plano
apacan
el
resto
de
pares
cinemáticos
del
mecanismo).
Obsérvese
entonces
que
en
el
plano
recen
pares
con
un
grado
de
libertad
y
pares
con
dos
grados
de
libertad.
recen
pares
con
un
grado
de
libertad
y
pares
con
dos
grados
de
libertad.
can
el
resto
de
pares
cinemáticos
del
mecanismo).
Obsérvese
entonces
que
en
el
plano
aparecen pares con un grado de libertad y pares con dos grados de libertad.
aparecen
pares
concon
unun
grado
dedelibertad
y ypares
con
dos
grados
de
libertad.
recen
pares
grado
libertad
pares
con
dos
grados
de
libertad.
Reuleaux
clasificó
los
pares
cinemáticos
en
dos
grupos,
superiores
ee inferiores,
atendiendo
Reuleaux
clasificó
pares
cinemáticos
dos
grupos,
superiores
e inferiores,
atendiendo
Reuleaux
clasificó
loslos
pares
cinemáticos
enen
dos
grupos,
superiores
inferiores,
atendiendo
Reuleaux
clasificó
los
pares
cinemáticos
en
dos
grupos,
superiores
e
inferiores,
atendienal
tipo
de
contacto
entre
eslabones.
A
continuación,
se
describen
sus
características:
al
tipo
de
contacto
entre
eslabones.
A
continuación,
se
describen
sus
características:
clasificó
los paresA cinemáticos
grupos, sus
superiores
e inferiores, atendiendo
al tipo de Reuleaux
contacto entre
eslabones.
continuación,ensedos
describen
características:
do al tipo
de de
contacto
entre
eslabones.
AA
continuación,
sesedescriben
sus
características:
al
tipo
contacto
entre
eslabones.
continuación,
describen
sus
características:

Paresinferiores:
inferiores:los
eslaboneshacen
hacencontacto
contactoen
unasuperficie.
superficie.Los
Losmás
máshabituales
habitualesen
Pares
Pares
inferiores:
losloseslabones
eslabones
hacen
contacto
enenuna
una
superficie.
Los
más
habituales
enenel
elel
 Pares
inferiores:
los
eslabones
hacen
contacto
en
una
superficie.
Los
más
habituales
en
plano
son:
plano
son:

Pares
inferiores:
los
eslabones
hacen
contacto
en
una
superficie.
Los
más
habituales
en el
plano son:
el plano
son:
plano
son:
•• Par
•ParParrotatorio:
rotatorio:sólo
sólopermite
permiteel
movimientoangular
angularθθ θentre
entrelos
eslabones,es
decir,la
rotatorio:
sólo
permite
elelmovimiento
movimiento
angular
entre
losloseslabones,
eslabones,
esesdecir,
decir,
la laroro-rotación
relativa.
Por
tanto,
sólo
tiene
un
grado
de
libertad.
tación
relativa.
Por
tanto,
sólo
tiene
un
grado
de
libertad.
•rotatorio:
Par Por
rotatorio:
permite
movimiento
angular θ entre los eslabones, es decir, la rotación
relativa.
tanto,
tiene
un el
grado
de libertad.
• Par
sólo sólo
permite
el
movimiento
tación
relativa.
Por
tanto,
sólo
tiene
un
grado
de
angular q entre los eslabones, es decir, la libertad.
rotación relativa. Por tanto, sólo tiene un
θθ θ
grado de libertad.
θ
•• Par
•ParParprismático:
prismático:sólo
sólopermite
permiteel
movimientorelativo
relativode
deslizamiento,es
decir,el
moviprismático:
sólo
permite
elelmovimiento
movimiento
relativo
dededeslizamiento,
deslizamiento,
esesdecir,
decir,
elelmovimovi• Par
prismático:
sólo
permite
el
movimiento
miento
lineal
entre
dos
eslabones.
Por
tanto,
miento
lineal
entre
dos
eslabones.
Por
tanto,
• Parentre
prismático:
sólo permite
movimiento relativo de deslizamiento, es decir, el movimiento lineal
dos eslabones.
Por el
tanto,
relativo
degrado
deslizamiento,
es decir, Por
el movisólo
tiene
un
grado
de
libertad.
sólo
tiene
de
libertad.
miento
lineal
entre
dos eslabones.
tanto,
sólo
tiene
unun
grado
de
libertad.
miento
lineal
entre dos
eslabones. Por tanto,
sólo tiene
un grado
de libertad.
sólo tiene un grado de libertad.
MANUALES UEX

Pares
los
eslabones
punto.
Existe
una
Paressuperiores:
superiores:
eslaboneshacen
hacencontacto
contactoen
enuna
unalínea
líneaooooen
punto.
Existe
una
superiores:
los
contacto
una
línea
ununpunto.
Existe
una
 Pares
Pares
superiores:
loslos
eslabones
hacen
contacto
enen
una
línea
enenun
punto.
Existe
una
cantidad
infinita
de
pares
superiores,
y
como
ejemplo
se
cantidad
infinita
de
pares
superiores,
y
como
ejemplo
se
infinita
de pares
superiores,
y como
ejemplo
cantidad
Pares
los
eslabones
hacen
contacto
cantidad
infinitasuperiores:
de pares
superiores,
y como
ejemplo
seen una línea o en un punto. Existe una
presenta
rodadura
oo o se
presenta
elmovimiento
movimiento
rodadura
(condeslizamiento)
deslizamiento)
se el
el movimiento
de (con
rodadura
(con deslizacantidad
infinita
dede
pares
superiores,
y como
ejemplo
presenta
elpresenta
movimiento
dede
rodadura
(con
deslizamiento)
la
conexión
entre
una
leva
y
su
seguidor.
Ambos
pares
conexión
unaleva
levayde
ysurodadura
suseguidor.
seguidor.
pares o
miento)entre
oentre
la
conexión
entre
una
leva
yAmbos
su seguidor.
presenta
el
movimiento
(con
deslizamiento)
la laconexión
una
Ambos
pares
poseen
dos
grados
libertad.
poseen
dos
grados
de
libertad.
paresde
poseen
grados
libertad. Ambos pares
laAmbos
conexión
entre
unadosleva
y sudeseguidor.
poseen
dos
grados
de
libertad.
poseen dos grados de libertad.
99 9
14
ÍNDICE
9
CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
Se define una cadena cinemática como un conjunto de eslabones unidos mediante pares
Se define una cadena cinemática como un conjunto de eslabones unidos mediante pares
cinemáticos. Las cadenas cinemáticas pueden ser abiertas o cerradas. En una cadena cinemácinemáticos. Las cadenas cinemáticas pueden ser abiertas o cerradas. En una cadena cinemática no existe ningún eslabón fijo, y los pares limitan el movimiento relativo entre eslabones.
tica no existe
existe ningún
ningún eslabón
eslabónfijo,
fijo,yylos
lospares
pareslimitan
limitanelelmovimiento
movimientorelativo
relativoentre
entreeslabones.
eslabones.
1.3. Mecanismos y máquinas
1.3. Mecanismos
y máquinas
1.3.
MECANISMOS
Y MÁQUINAS
Se denomina mecanismo a una cadena cinemática cerrada en la que establecemos como
Se denomina
denomina mecanismo
mecanismo aa una
una cadena cinemática
cinemática cerrada
cerrada en
en la
la que
que establecemos
establecemos como
como
fijo Se
uno de los eslabones.
El objetocadena
principal del funcionamiento
de un
mecanismo es la
fijo
uno
de
los
eslabones.
El
objeto
principal
del
funcionamiento
de
un
mecanismo
es la
la
fijo
uno de ylosmodificación
eslabones. Eldelobjeto
principalEndella funcionamiento
un mecanismo
es
transmisión
movimiento.
figura siguiente de
se presenta
una cadena
transmisión
y
modificación
del
movimiento.
En
la
figura
siguiente
se
presenta
una
cadena
transmisión
y modificación
En laobtenemos
figura siguiente
se presenta
cadena
cinemática en
la que, al fijar del
unomovimiento.
de los eslabones,
un mecanismo
queuna
transforma
cinemática en
la que,
que, al
al fijar
fijar uno
uno de
de los
los eslabones,
eslabones, obtenemos
obtenemos un
un mecanismo
mecanismo que
que transforma
transforma
cinemática
en la
un movimiento
de rotación
en una
oscilación.
La cadena cinemática
de cuatro eslabones
se
un movimiento
movimiento de
de rotación
rotación en
en una
una oscilación.
oscilación. La
La cadena
cadena cinemática
cinemática de
de cuatro
cuatro eslabones
eslabones se
se
un
convierte así en un mecanismo de cuatro barras del tipo manivela-balancín, en el que la
convierte
así
en
un
mecanismo
de
cuatro
barras
del
tipo
manivela-balancín,
en
el
que
la
convierte
asíentrada
en un da
mecanismo
de cuatro
manivela-balancín,
en elrespecto
que la
manivela de
vueltas alrededor
de barras
un eje del
fijo, tipo
y el balancín
de salida oscila
manivela
de
entrada
da
vueltas
alrededor
de
un
eje
fijo,
y
el
balancín
de
salida
oscila
respecto
manivela
de entradafija.
da vueltas alrededor de un eje fijo, y el balancín de salida oscila respecde una articulación
de de
unauna
articulación
fija.fija.
to
articulación


Un
plano es
Un mecanismo
mecanismo plano
es aquel
aquel en
en el
el que
que todos
todos sus
sus puntos
puntos describen
describen curvas
curvas planas,
planas, yy éstas
éstas
Un mecanismo
plano
es aquel
en caso,
el queeltodos
sus puntos
describen
curvas
planas, ymecaéstas
se
hallan
en
planos
paralelos.
En
este
movimiento
real
de
todos
los
puntos
se hallan en planos paralelos. En este caso, el movimiento real de todos los puntos del
del mecase hallan
en planos
paralelos.
En este
caso, elplano,
movimiento
real deeliminar
todos losuna
puntos
del mecanismo
puede
proyectarse
sobre
un
único
permitiendo
dimensión
al
nismo puede proyectarse sobre un único plano, permitiendo eliminar una dimensión al analinismo puede
proyectarseLasobre
un único
plano, permitiendo
eliminar
una dimensión al analianalizar
el
movimiento.
mayoría
de
mecanismos
empleados
son
planos.
zar el movimiento. La mayoría de mecanismos empleados son planos.
zar el movimiento. La mayoría de mecanismos empleados son planos.
Existen muchas definiciones para establecer el concepto de máquina. Una definición
Existen muchas definiciones para establecer el concepto de máquina. Una definición cocomúnmente
aceptada
es el mecanismo
o conjunto
de mecanismos
diseñado
para llevarco-a
Existen muchas
definiciones
para establecer
el concepto
de máquina.
Una definición
múnmente aceptada es el mecanismo o conjunto de mecanismos diseñado para llevar a cabo
cabo
una tarea
determinada,
la cual conlleva
la de
transmisión
de fuerza
y movimiento
múnmente
aceptada
es el mecanismo
o conjunto
mecanismos
diseñado
para llevar adesde
cabo
una tarea determinada, la cual conlleva la transmisión de fuerza y movimiento desde una
una fuente
de energía, alauna
resistencia
realizando
un trabajo.
Un ejemplo
de esta
tarea determinada,
cual
conllevaalavencer
transmisión
de fuerza
y movimiento
desde
una
definición es el motor de combustión interna.
10
Se pueden clasificar las máquinas atendiendo
10 a muchos criterios. Uno de ellos es el tipo
de energía recibida, según el cual se divididen las máquinas en dos grandes grupos:
ÍNDICE
MANUALES UEX
A
se presenta
habitual como
como es
es el
el biela-manivela,
en el
A continuación
continuación se
presenta otro
otro mecanismo
mecanismo habitual
biela-manivela, en
el que
que
A continuación
se presentade
otro
como es
eluna
biela-manivela,
en el que
se
consigue
la transformación
transformación
unmecanismo
movimientohabitual
traslación
rotación,o viceversa:
o viceversa:
se consigue
la
de un
movimiento
dedetraslación
enenuna
rotación,
se consigue la transformación de un movimiento de traslación en una rotación, o viceversa:
15
MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN
• Motrices: reciben la energía procedente de una fuente natural y la transforman en
energía mecánica. Como ejemplos están la turbina hidráulica o un motor de explosión.
• Operadoras: reciben la energía mecánica o eléctrica producida por una máquina
motriz y la transforman en trabajo. Un ejemplo de ello son las máquinas herramientas.
1.4. TIPOS DE MOVIMIENTO
Un mecanismo ha completado un ciclo cinemático cuando inicia su movimiento desde
algún conjunto de posiciones relativas, y vuelve a la misma posición inicial, habiendo pasado
sus eslabones por todas las posiciones posibles que pueden tomar cada uno de ellos. El tiempo empleado en completar un ciclo se denomina periodo. Se define como fase al conjunto
de posiciones relativas simultáneas que ocupan los eslabones del mecanismo en un instante
cualquiera del ciclo cinemático.
Obsérvese que el concepto de ciclo cinemático difiere del de ciclo energético. Por ejemplo, el motor de combustión interna de cuatro tiempos realiza dos ciclos cinemáticos por
cada ciclo energético.
Si se consideran los eslabones de un mecanismo atendiendo al tipo de movimiento que
realizan durante un ciclo cinemático, se pueden clasificar según los siguientes modos de
funcionamiento:
• Continuo: el eslabón presenta un movimiento sin interrupción ni parada durante cada
ciclo. Un ejemplo sería una manivela o eje de motor en rotación constante.
• Intermitente: el eslabón permanece parado un tiempo durante cada ciclo. Ejemplos de
este tipo de movimiento son las válvulas con tiempo determinado de apertura y cierre, o el
eslabón Cruz de Malta.
• Alternativo: el eslabón se caracteriza por presentar ciclo de avance y retroceso, e invierte el sentido de su movimiento durante cada ciclo. Como ejemplos se tiene el balancín en el
mecanismo de cuatro barras, o el pistón en el biela-manivela.
MANUALES UEX
1.5. GRADOS DE LIBERTAD DE UN MECANISMO
16
Se definen los grados de libertad o movilidad de un mecanismo como el número de parámetros independientes de entrada que es necesario utilizar para definir completamente su
posición.
Considérese en primer lugar un eslabón libre en el plano. Puesto que se necesitan tres
parámetros para fijarlo en una posición, el eslabón tendrá tres grados de libertad en el plano.
Por tanto, antes de conectar los eslabones entre sí, un mecanismo plano de n eslabones tendrá
3.(n-1) grados de libertad, dado que hay que restar los tres grados de libertad que pierde el
eslabón fijo o soporte del mecanismo.
ÍNDICE
CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
Si se conectan los eslabones mediante pares cinemáticos, se observa que cada par con un
grado de libertad implica dos restricciones de movimiento entre los eslabones conectados
(pues permite un único movimiento). Si se conectan los eslabones mediante un par con dos
grados de libertad, se observa que ello implica una sola restricción de movimiento entre los
eslabones del par cinemático (pues permite dos movimientos).
Si se restan las restricciones que conllevan los pares cinemáticos del número total de
grados de libertad que tendrían los eslabones no conectados, se obtiene el criterio de Grübler
en el plano, que proporciona el número de grados de libertad m de un mecanismo plano de
n eslabones:
m = 3 . (n – 1) – 2 . j1 – j2
donde j1 representa el número de pares con un grado de libertad, y j2 el número de pares
con dos grados de libertad.
Hay que señalar que el criterio de Grübler es válido para la mayoría de mecanismos
planos, exceptuando algunos mecanismos con restricciones o pares redundantes, o mecanismos con características geométricas especiales.
Cuando el número total de grados de libertad de un mecanismo es cero, o negativo, no
es posible el movimiento relativo entre eslabones, por lo que se transforma en una estructura.
Si la movilidad es cero, se trata de una estructura estáticamente determinada. Si la movilidad
es negativa, la estructura es estáticamente indeterminada.
Cuando el número total de grados de libertad de un mecanismo es mayor que cero,
entonces es posible el movimiento relativo entre eslabones. Un mecanismo se denomina
desmodrómico si al definir el movimiento del eslabón considerado como entrada, queda
completamente definido el movimiento de todos los demás, que se repite en cada ciclo y
siempre será el mismo. Este tipo de mecanismos constituyen por ello la base del funcionamiento de las máquinas.
Por último, aquellos mecanismos con un número total de grados de libertad igual o superior a dos se denominan libres o no desmodrómicos, puesto que, si se define el movimiento
del eslabón considerado como entrada, los movimientos relativos del resto de eslabones no
están determinados. Esto implica que los puntos de los eslabones no se mueven, en general,
siempre sobre las mismas trayectorias.
Sin embargo, obsérvese que si en un mecanismo no desmodrómico con m grados de
libertad, se define el movimiento de m eslabones considerados como entradas, se consigue
un mecanismo desmodrómico, puesto que el movimiento del resto de los eslabones queda
ya determinado.
ÍNDICE
MANUALES UEX
Si en un mecanismo el número total de grados de libertad es uno, entonces, definiendo
el movimiento un eslabón, todos los puntos del resto de los eslabones se mueven sobre unas
líneas determinadas que siempre son las mismas. Por tanto, será desmodrómico.
17
MANUEL
REINO FLORES,
GLORIA GALÁN
MARÍN
A continuación,
se presentan
una serie
de ejemplos que ilustran cada uno de los casos ante‐
A continuación, se presentan una serie de ejemplos que ilustran cada uno de los casos ante‐
riores:
riores:
A m
= continuación,
0 serie
 El sistema
es presentan
unaque
estructura
determinada.
continuación,
presentan
una
serie
de
ejemplos
que
ilustran
cada uno
de los
ante‐
ntinuación, se presentan
deseejemplos
ilustran
cada
uno
de los
casos
Auna
se
una estáticamente
serie
de ejemplos
queante‐
ilustran
cada
unocasos
de los
casos
anteriores:
m = 0  El sistema es una estructura estáticamente determinada.
riores:
 mestructura
= 0• mEl=sistema
estructura
determinada.determinada.
 El sistema es una
estáticamente
determinada.
0 ð es
El una
sistema
es unaestáticamente
estructura estáticamente
m=‐1
m=‐1
 El sistema es una estructura estáticamente indeterminada.
 El sistema es una estructura estáticamente indeterminada.
• m = - 1 ð El sistema es una estructura estáticamente indeterminada.
 m estructura
= ‐ 1  El sistema
es una indeterminada.
estructura estáticamente indeterminada.
 El sistema es una
estáticamente
 m = 1  El mecanismo es desmodrómico, puesto que fijando una variable de entrada quedan
• m = 1 ð El mecanismo es desmodrómico, puesto que fijando una variable de entra
m = 1  El todas
mecanismo
es desmodrómico, puesto que fijando una variable de entrada quedan
determinadas
las demás.
da quedan determinadas todas las demás.
determinadas todas las demás.
= 1  El mecanismo
desmodrómico,
puestode
queentrada
fijandoquedan
una variable de entrada quedan
 El mecanismoesmdesmodrómico,
puestoes
que
fijando una variable
determinadas todas las demás.
nadas todas las demás.
• m = 2 ð El mecanismo es no desmodrómico, a no ser que se definan simultánea El mecanismo es no desmodrómico, a
mente dos variables de entrada para determinar el resto.
 El se
mecanismo
no desmodrómico,
que
definan essimultáneamente
dosa
no
ser
que
se
definan
simultáneamente
variables de entrada para determinar el resto. dos
= desmodrómico,
2  El mecanismo
es no desmodrómico, a
 El mecanismo esmno
variables
de entradaa para determinar el resto.
ser que se definan
que se definan no
simultáneamente
dos simultáneamente dos
variables deelentrada
de entrada para determinar
resto. para determinar el resto.
MANUALES UEX
m=2
 m ser
=2
no
18
13
13
13
13
ÍNDICE
CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
A través de los ejemplos anteriores se observa que, cuando se unen varios eslabones en un
A través de los ejemplos anteriores se observa que, cuando se unen varios eslabones en
se debenque,
considerar
recuento
paresen un
único parAcinemático
conejemplos
un gradoanteriores
de libertadsej1,observa
través de los
cuando en
se el
unen
varios tantos
eslabones
un único par cinemático con un grado de libertad j1, se deben considerar en el recuento
eslabones
unidos menos
j1 como
único
par cinemático
con ununo.
grado de libertad j1, se deben considerar en el recuento tantos pares
tantos pares j1 como eslabones unidos menos uno.
j1 como eslabones unidos menos uno.
En lasEnsiguientes
figurasfiguras
aparecen
dos mecanismos
con movilidad
uno en losuno
queen
aparecen
las siguientes
aparecen
dos mecanismos
con movilidad
los quepa‐
apare: de mecanismos
res superiores
dos grados
libertad
lascon
siguientes
figuras
aparecen
cen En
pares
superiores
condedos
gradosj2dos
libertad j2: con movilidad uno en los que aparecen pa‐
res superiores con dos grados de libertad j2:
1.6. Inversión cinemática
1.6. Inversión
cinemática
1.6.
INVERSIÓN
CINEMÁTICA
Tal y como se ha expuesto anteriormente, partiendo de una cadena cinemática y establecien‐
Tal
como
seobtiene
haexpuesto
expuesto
anteriormente,
partiendo
deuna
una
cadena
cinemática
y establedo un eslabón
fijo, sese
un mecanismo.
Si se toma
comodeeslabón
fijo, soporte
o deyreferen‐
Tal yy como
ha
anteriormente,
partiendo
cadena
cinemática
establecien‐
ciendo
un
eslabón
fijo,
se
obtiene
un
mecanismo.
Si
se
toma
como
eslabón
fijo,
soporte
o de
cia otro
eslabón
diferente
mecanismo,
el movimiento
del mecanismo
obtenido
puede ocambiar
do un
eslabón
fijo, se del
obtiene
un mecanismo.
Si se toma
como eslabón
fijo, soporte
de referen‐
referencia
otro
eslabón
diferente
del
mecanismo,
el
movimiento
del
mecanismo
obtenido
completamente.
cia otro eslabón diferente del mecanismo, el movimiento del mecanismo obtenido puede cambiar
puede
cambiar completamente.
completamente.
14
14
ÍNDICE
MANUALES UEX
A continuación, se presenta un mecanismo con movilidad dos:
AA continuación,
continuación,sesepresenta
presentaununmecanismo
mecanismo
movilidad
concon
movilidad
dos: dos:
19
MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN
Al proceso
el el
eslabón
considerado
comocomo
soporte
se le se
denomina
inver‐
Al
procesoque
queconsiste
consisteenenvariar
variar
eslabón
considerado
soporte
le denomina
sión
de
una
cadena
cinemática.
Si
una
cadena
cinemática
tiene
n
eslabones,
se
pueden
obtener
inversión de una cadena cinemática. Si una cadena cinemática tiene n eslabones, se puedenn
inversiones
cinemáticascinemáticas
y, por tanto,y,n mecanismos
obtener
n inversiones
por tanto, n distintos.
mecanismos distintos.
mecanismo de
laslas
inversiones
cinemáticas
que que
se pre‐
Para el mecanismo
debiela‐manivela
biela-manivelaseseobtendrían
obtendrían
inversiones
cinemáticas
se
Al proceso que consiste en variar el eslabón considerado como soporte se le denomina inver‐
sentan en laensiguiente
figura.
En la En
inversión
(1), en (1),
la que
fijo es el fijo
cilindro,
obtiene
presentan
la siguiente
figura.
la inversión
en ellaeslabón
que el eslabón
es elsecilindro,
sión de una cadena cinemática. Si una cadena cinemática tiene n eslabones, se pueden obtener n
el mecanismo
básico de biela‐manivela
empleado en la empleado
mayoría deen
loslamotores
dede
combustión.
La
se
obtiene el mecanismo
básico de biela-manivela
mayoría
los motores
inversiones cinemáticas y, por tanto, n mecanismos distintos.
entrada
sería
el
pistón
empujado
por
los
gases
en
expansión
y
la
salida
la
manivela.
Invirtiendo
de combustión. La entrada sería el pistón empujado por los gases en expansión y la salida
entrada
y salida
se tiene
unentrada
mecanismo
de compresión.
Parala
elmanivela.
mecanismo
de
biela‐manivela
se
obtendrían
las un
inversiones
cinemáticas
que se pre‐
Invirtiendo
y salida
se tiene
mecanismo
de compresión.
sentan en la siguiente figura. En la inversión (1), en la que el eslabón fijo es el cilindro, se obtiene
Estableciendo
ahora como
comoeslabón
eslabónfijo
fijoelelque
queanteriormente
anteriormentefuncionaba
funcionabacomo
comomanivela,
manivela,
Estableciendo ahora
se
el mecanismo básico de biela‐manivela empleado en la mayoría de los motores de combustión. La
obtiene
la inversión
(2), (2),
denominada
mecanismo
de Witworth,
que esque
un mecanismo
de retorno
se
obtiene
la inversión
denominada
mecanismo
de Witworth,
es un mecanismo
de
entrada sería el pistón empujado por los gases en expansión y la salida la manivela. Invirtiendo
rápido que
será que
estudiado
más adelante.
aplicación
habitual más
es enhabitual
máquinaesherramienta.
retorno
rápido
será estudiado
másSu
adelante.
Sumás
aplicación
en máquina
entrada y salida se tiene un mecanismo de compresión.
herramienta.
Considerando como único eslabón fijo el eslabón que en la inversión (1) funcionaba como bie‐
Estableciendo ahora como eslabón fijo el que anteriormente funcionaba como manivela, se
como (3),
único
eslabónenque
en la inversión
(1) funcionaba
la, seConsiderando
obtiene la inversión
que eslabón
se empleófijo
porelejemplo
las primeras
locomotoras
de vapor.
obtiene la inversión (2), denominada mecanismo de Witworth, que es un mecanismo de retorno
como biela, se obtiene la inversión (3), que se empleó por ejemplo en las primeras locomorápido que será
estudiado
más adelante. Su aplicación más habitual es en máquina herramienta.
torasPor
de último,
vapor. partiendo de la inversión (1), estableciendo ahora el pistón como el eslabón fijo,
se obtiene la inversión (4) que se puede emplear en una bomba de agua manual.
Considerando
como partiendo
único eslabón
fijoinversión
el eslabón(1),
queestableciendo
en la inversiónahora
(1) funcionaba
Por último,
de la
el pistón como
comobie‐
el eslabón
la, se obtiene
la
inversión
(3),
que
se
empleó
por
ejemplo
en
las
primeras
locomotoras
de
fijo, se obtiene la inversión (4) que se puede emplear en una bomba de aguavapor.
manual.
Por último, partiendo de la inversión (1), estableciendo ahora el pistón como el eslabón fijo,
se obtiene la inversión (4) que se puede emplear en una bomba de agua manual.
(1)
(2)
MANUALES UEX
(1)
20
(2)
(3)
(4)
(3)
(4)
15
15
ÍNDICE
CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
1.7.
de cuatro
barras. Ley
de Grashof
1.7. Mecanismo
MECANISMO
DE CUATRO
BARRAS.
LEY DE GRASHOF
Partiendo de
simple
formada
porpor
cuatro
eslabones
articula‐
Partiendo
de lala cadena
cadenacinemática
cinemáticacerrada
cerradamás
más
simple
formada
cuatro
eslabones
artidos,
se obtiene
el mecanismo
de cuatro
barras
o cuadrilátero
articulado,
queque
tiene
un un
grado
de
culados,
se obtiene
el mecanismo
de cuatro
barras
o cuadrilátero
articulado,
tiene
grado
libertad.
Se
trata
de
uno
de
los
mecanismos
más
usados,
por
su
sencillez
y
versatilidad.
de libertad. Se trata de uno de los mecanismos más usados, por su sencillez y versatilidad.
Una
articulado
es es
confirmar
Una consideración
consideraciónimportante
importantea alalahora
horadel
deldiseño
diseñodeldelcuadrilátero
cuadrilátero
articulado
confirque
funcionamiento
alguno alguno
de los eslabones
pueda darpueda
una vuelta
completa.
este modo,
mar en
quesuen
su funcionamiento
de los eslabones
dar una
vuelta De
completa.
De
por
se asegura
manivela
pueda
efectuarpueda
revoluciones
si el
esteejemplo,
modo, por
ejemplo,que
se la
asegura
quedelaentrada
manivela
de entrada
efectuarcompletas
revoluciones
mecanismo
poresunimpulsado
motor. Existe
unamotor.
ley muyExiste
sencilla
este que
punto,
que
completas sieselimpulsado
mecanismo
porun
unaque
ley garantiza
muy sencilla
garanes
la
denominada
Ley
de
Grashof.
tiza este punto, que es la denominada Ley de Grashof.
La ley
queque
al menos
unouno
de de
los los
eslabones
pueda
dar
ley de
de Grashof
Grashofindica
indicaque,
que,para
paragarantizar
garantizar
al menos
eslabones
pueda
vueltas
completas
en
un
mecanismo
plano
de
cuatro
barras,
se
debe
cumplir
que
la
suma
de
las
dar vueltas completas en un mecanismo plano de cuatro barras, se debe cumplir que la suma
longitudes
de
la
barra
más
larga
y
de
la
barra
más
corta
debe
ser
menor
o
igual
que
la
suma
de
las
de las longitudes de la barra más larga y de la barra más corta debe ser menor o igual que la
longitudes
delongitudes
las dos barras
suma de las
de restantes.
las dos barras restantes.
Es decir
expresión:
decirque
quedebe
debeverificarse
verificarsela la
expresión:
a +ad+ d≤ ≤c c++bb
donde
el eslabón
más corto
a, el eslabón
máseslargo
esresto
d, y eltienen
restolas
tienen
las longitudes
es a, eleseslabón
más largo
d, y el
longitudes
b y c.
donde
el eslabón
más corto
b y c.
b
c
a
Obsérvese que
asíasí
como
los los
otros
dos,dos,
pueden
estarestar
co‐
Obsérvese
quelos
loseslabones
eslabonesmás
máscorto
cortoy más
y máslargo,
largo,
como
otros
pueden
locados
en
cualquier
posición,
es
decir
que
la
ley
de
Grashof
no
especifica
el
modo
en
el
que
colocados en cualquier posición, es decir que la ley de Grashof no especifica el modo en se
el
conectan
los eslabones.
que se conectan
los eslabones.
Si
verifica
la ley
anterior,
ningún
eslabón
podrápodrá
dar vueltas
com‐
Si un
uncuadrilátero
cuadriláteroarticulado
articuladonono
verifica
la ley
anterior,
ningún
eslabón
dar vueltas
pletas.
Los
mecanismos
de
no‐Grashof
también
tienen
aplicaciones
interesantes,
como
por
ejem‐
completas. Los mecanismos de no-Grashof también tienen aplicaciones interesantes, como
plo
controlar
movimiento
de las ruedas
automóvil,
los eslabones
un
por para
ejemplo
para el
controlar
el movimiento
de de
lasun
ruedas
de unempleando
automóvil,enempleando
en los
movimiento
oscilatorio
de
corto
alcance.
En
este
caso
el
eslabón
fijo
es
el
chasis
o
bastidor
y
la
eslabones un movimiento oscilatorio de corto alcance. En este caso el eslabón fijo es el chabiela
uniday alalabiela
rueda.está unida a la rueda.
sis o está
bastidor
16
ÍNDICE
MANUALES UEX
d
21
MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN
Sienenun
unmecanismo
mecanismo de
de cuatro
cuatro barras
barras se
variando
eleleslabón
considerado
como
fijo, se se
ob‐
sevava
va
variando
eslabón
considerado
como
SiSien
undistintas
mecanismo
de cuatro
barras
seque
variando
el eslabón
considerado
como
fijo, fijo,
se ob‐
tienen
las
inversiones
del
mismo
se
describen
a
continuación:
obtienen
las distintas
inversiones
del mismo
se describen
a continuación:
tienen
las distintas
inversiones
del mismo
que seque
describen
a continuación:
y 2)y Mecanismo
de manivela‐balancín:
el eslabón
más corto
contiguo
al eslabónal fijo.
Como
1) 1)
2)Mecanismo
de manivela-balancín:
el eslabón
másescorto
es contiguo
eslabón
y 2) Mecanismo
de manivela‐balancín:
el eslabón
más corto
es contiguo
al eslabón fijo.
Comode
1) aplicaciones
se Como
tienen
las bicicletasseelípticas,
máquinas
de elípticas,
coser,
limpiaparabrisas,
bombas
fijo.
aplicaciones
tienen las
bicicletas
máquinas de coser,
limaplicaciones
se tienen
las bicicletas
elípticas, máquinas de coser, limpiaparabrisas, bombas de
petróleo, muelas
de afilar,
etc.
piaparabrisas,
bombas
de petróleo, muelas de afilar, etc.
petróleo, muelas de afilar, etc.
MANUALES UEX
1)
2)
1)
2)
Mecanismo
de doble
manivela:
el eslabón
más corto
el eslabón
fijo. Como
aplica-se
3) 3)
Mecanismo
de doble
manivela:
el eslabón
más corto
es el es
eslabón
fijo. Como
aplicaciones
3)tienen
Mecanismo
desedoble
el eslabón
más corto
es el eslabón
Como aplicaciones
se
ciones
tienen
mecanismos
de máquinas
transportadoras
ofijo.
máquinas
de ejercicio.
mecanismos
de manivela:
máquinas
transportadoras
o máquinas
de ejercicio.
tienen mecanismos de máquinas transportadoras o máquinas de ejercicio.
4) Mecanismo de doble balancín: el eslabón más corto es el opuesto al eslabón fijo.
4) Mecanismo de doble balancín: el eslabón más corto es el opuesto al eslabón fijo. Como ejemplo
4)están
Mecanismo
deejemplo
doble
balancín:
el eslabón
máspescante
cortoque
es elplegable.
al eslabón
ejemplo
Como
están las
grúas Obsérvese
con
Obsérvese
que
en un
doble
las
grúas
con pescante
plegable.
enopuesto
un doble
balancínfijo.
de Como
Grashof
sería el
están
las
grúas
con
pescante
plegable.
Obsérvese
que
en
un
doble
balancín
de
Grashof
sería
el
balancín
de
Grashof
sería
el
eslabón
más
corto
el
que
actúa
como
biela
y
podría
eslabón más corto el que actúa como biela y podría efectuar revoluciones completas.
eslabón más
corto
el
que
actúa
como
biela
y
podría
efectuar
revoluciones
completas.
efectuar revoluciones completas.
22
4)
3)
17
17
ÍNDICE
3)
4)
CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
Uncaso
casoparticular
particularsucede
sucedecuando
cuandoen
enelelmecanismo
mecanismode
decuatro
cuatrobarras
barrascada
cadabarra
barraes
esigual
igualaasu
su
Un
Un
caso
particular
sucede
cuando
en
el
mecanismo
de
cuatro
barras
cada
barra
es
igual
opuesta,es
esdecir
decirque
quese
severifica:
verifica:
opuesta,
a su opuesta,
es decir
que se verifica:
aa==cc
bb==dd
Se obtiene así
así un cuadrilátero articulado
articulado de
de manivelas
manivelas paralelas
paralelas oo paralelogramo
paralelogramo articulado,
articulado,
Se
Seobtiene
obtiene asíununcuadrilátero
cuadrilátero articulado
de manivelas
paralelas o paralelogramo
articuen
el
que
las
dos
barras
contiguas
al
soporte
son
manivelas.
Este
mecanismo
de
doble
manivela
es
en
el que
dos barras
al soportealson
manivelas.
Este mecanismo
de doble manivela
es
lado,
en las
el que
las doscontiguas
barras contiguas
soporte
son manivelas.
Este mecanismo
de doble
muy
útil,
ya
que
dado
un
movimiento
de
entrada
se
obtiene
el
mismo
movimiento
en
la
barra
de
muy
útil, yaesque
entrada se obtiene
el mismo
movimiento
en la
barra de
manivela
muydado
útil,un
yamovimiento
que dado undemovimiento
de entrada
se obtiene
el mismo
movimiensalida, mientras
mientras que
que lala biela
biela se
se mueve
mueve en
en traslación curvilínea.
curvilínea. Una
Una aplicación
aplicación común
común es
es elel aco‐
aco‐
salida,
to en la barra de
salida, mientras
que la traslación
biela se mueve en traslación
curvilínea. Una
aplicaplamiento
de
los
balancines
del
limpiaparabrisas
de
un
automóvil.
El
movimiento
de
un
eslabón
plamiento
de los
balancines
del limpiaparabrisas
de undel
automóvil.
El movimiento
un eslabónEl
ción común
es el
acoplamiento
de los balancines
limpiaparabrisas
de undeautomóvil.
en traslación
traslación curvilíneatambién
también tiene múltiples
múltiples aplicaciones
aplicacionescomo
como por ejemplo
ejemplo en
enrobots
robots indus‐
indus‐
en
movimiento curvilínea
de un eslabón entiene
traslación curvilínea
también por
tiene múltiples
aplicaciones
triales
o
en
elevadores
de
carga
para
camiones.
triales
en elevadores
carga industriales
para camiones.
comoopor
ejemplo enderobots
o en elevadores de carga para camiones.
Un
punto
importante
para
garantizar
el
correcto
funcionamiento
delmecanismo
mecanismo
decuatro
cuatro
ba‐
Un
garantizar
el correcto
funcionamiento
del
de
ba‐
Unpunto
puntoimportante
importantepara
para
garantizar
el
correcto
funcionamiento
del mecanismo
de cuarras
es
el
estudio
de
las
posiciones
límites.
Tal
y
como
muestra
la
siguiente
figura,
en
un
mecanis‐
rras
es el estudio
de las posiciones
límites. Tal
y como
siguiente
figura, en figura,
un mecanis‐
tro barras
es el estudio
de las posiciones
límites.
Tal muestra
y como lamuestra
la siguiente
en un
mo
demanivela‐balancín
manivela‐balancín
lasposiciones
posiciones
límites
delbalancín
balancín
se
producen
cuando
bielacuando
mani‐
mo
de
las
del
lalabiela
yylalamani‐
mecanismo
de manivela-balancín
laslímites
posiciones
límitesse
delproducen
balancíncuando
se producen
la
vela
están
alineadas.
vela
bielaestán
y laalineadas.
manivela están alineadas.
a +aa+b+b=b==ccc+++ddd
este caso
casonormalmente
normalmente
existe
posición
en la
que el mecanismo
trabaja
Eneste
este
existe
unauna
posición
límitelímite
enlalaque
que
mecanismo
trabajacomo
como
es‐
caso normalmente
existe
una
posición
límite
en
elelmecanismo
trabaja
es‐
En
como estructura.
Como aplicación
de de
estemecanismos
tipo de mecanismos
se
tienen
las sillas oplegables
tructura.
Como
aplicación
de
este
tipo
se
tienen
las
sillas
plegables
algunos
tructura. Como aplicación de este tipo de mecanismos se tienen las sillas plegables o algunos
o algunos de
maleteros
de En
automóvil.
En caso,
este último
caso,
el chasissería
del vehículo
maleteros
automóvil.
esteúltimo
último
chasis
delvehículo
vehículo
eslabónsería
fijoyyellalaeslabón
bielaelel
maleteros
de automóvil.
En este
caso, elelchasis
del
sería eleleslabón
fijo
biela
fijo
y
la
biela
el
portón
del
maletero.
En
la
posición
cerrada
del
maletero,
el
mecanismo
portóndel
delmaletero.
maletero.En
Enlalaposición
posicióncerrada
cerradadel
delmaletero,
maletero,elelmecanismo
mecanismose
seencuentra
encuentraplegado.
plegado. se
portón
encuentra plegado.
18
18
ÍNDICE
MANUALES UEX
Tambiénes
es
interesante
estudio
dedeaquellos
aquellos
mecanismos
decuatro
cuatro
barras
concon
capacidad
También
esinteresante
interesanteelelelestudio
estudiode
aquellos
mecanismos
de
cuatro
barras
la capaTambién
mecanismos
de
barras
con
lalacapacidad
de
ser
plegables,
es
decir
que
existe
una
posición
en
la
que
todas
las
barras
están
alineadas.
Para
cidad
de ser plegables,
es decir
unaenposición
en lalas
quebarras
todasestán
las barras
estánPara
alide
ser plegables,
es decir que
existeque
unaexiste
posición
la que todas
alineadas.
ello
debePara
cumplirse
condición:
neadas.
ello debe
cumplirse la condición:
ello
debe
cumplirse
lalacondición:
23
MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN
1.8. Mecanismos de retroceso rápido
1.8. MECANISMOS DE RETROCESO RÁPIDO
1.8. Mecanismos de retroceso rápido
En muchas operaciones industriales se requieren mecanismos que realicen tareas repetitivas
En muchas operaciones industriales se requieren mecanismos que realicen tareas repeticomo parte de su ciclo de movimiento, como por ejemplo sujetar o empujar piezas en una cadena
tivasEn
como
parteoperaciones
de su cicloindustriales
de movimiento,
como mecanismos
por ejemploque
sujetar
o empujar repetitivas
piezas en
muchas
se requieren
realicen
de montaje,
o en máquinas‐herramienta.
Habitualmente
existe una parte del
ciclo,tareas
llamada carre‐
una
cadena
de
montaje,
o
en
máquinas-herramienta.
Habitualmente
existe
una
parte
del
parteode
ciclo deenmovimiento,
como porseejemplo
o empujar
piezas
en una
cadena
ra como
de avance
desu
trabajo,
la que el mecanismo
sometesujetar
a una carga.
De este
modo,
el resto
ciclo,
llamada
carrera
de
avance
o
de
trabajo,
en
la
que
el
mecanismo
se
somete
a
una
carga.
montaje,
o en lamáquinas‐herramienta.
Habitualmente
existedel
unaciclo
parte
ciclo,el llamada
carre‐
deldeciclo
constituye
llamada carrera de retorno,
que es la parte
endel
la que
mecanismo
De
este
modo,
el trabajo,
resto delenciclo
constituye
la llamada
carrera
decarga.
retorno,
que
es
la parte
del
ra
de
avance
o
de
la
que
el
mecanismo
se
somete
a
una
De
este
modo,
el
resto
no realiza trabajo y se limita a volver a la posición inicial.
ciclo
en constituye
la que el mecanismo
no realiza
trabajoque
y seeslimita
a volver
a la
del ciclo
la llamada carrera
de retorno,
la parte
del ciclo
enposición
la que el inicial.
mecanismo
noEnrealiza
trabajo
y resulta
se limita
a volver a laútil
posición
estos
casos
resulta
especialmente
queque
elinicial.
mecanismo
vuelva
rápidamente
a la posición
En
estos
casos
especialmente
útil
el mecanismo
vuelva
rápidamente
a la posiinicial
realizar
nuevo un
trabajo.
decir, interesa
diseñar
un mecanismo
emplee una
ciónpara
inicial
paraun
realizar
nuevoEs trabajo.
Es decir,
interesa
diseñar unque
mecanismo
que
En estos
casos
resulta
especialmente
que de
el mecanismo
vuelva
rápidamente
la posición
fracción
ciclo
mayor
para
llevarmayor
a cabopara
laútiltarea
máquina
(carrera
avance),a(carrera
que
parade
empleedeluna
fracción
del ciclo
llevar
alacabo
la tarea
de lademáquina
inicial para volver
realizara launposición
nuevo trabajo.(carrera
Es decir,
diseñar
mecanismo
emplee una
simplemente
de interesa
retorno).
De(carrera
esteunmodo
evita que
elDe
desperdicio
avance), que
para simplementeinicial
volver a la posición
inicial
de se
retorno).
este modo
fracción
del
ciclo
mayor
para
llevar
a
cabo
la
tarea
de
la
máquina
(carrera
de
avance),
que para
desetiempo
y
el
mecanismo
es
más
eficaz.
evita el desperdicio
tiempoinicial
y el (carrera
mecanismo
es más eficaz.
simplemente
volver a lade
posición
de retorno).
De este modo se evita el desperdicio
deDenominando
tiempo
y el mecanismo
esempleado
másempleado
eficaz.en laencarrera
Denominando
al tiempo
la carrera
de avance
tβ al tiempo
utilizado
de avance
y tβ aly tiempo
utilizado
en la en
ca‐ la
tα altαtiempo
carrera
de retorno,
se define
la de
razón
de tiempos
de un mecanismo
del modo:
siguiente modo:
de un mecanismo
del siguiente
rrera
de retorno,
se define
la razón
tiempos
Denominando tα al tiempo empleado en la carrera de avance y tβ al tiempo utilizado en la ca‐
mecanismo del siguiente modo:
rrera de retorno, se define la razón de tiempos de tun

E
t
t
E 
t
Esteparámetro
parámetro
indica
lo adecuado
un mecanismo
para realizar
estedetipo
de opeEste
indica
lo adecuado
que que
es unesmecanismo
para realizar
este tipo
operacio‐
repetitivas.
Los mecanismos
que verifican
E>1 se denominan
mecanismos
retorno
nesraciones
repetitivas.
Los mecanismos
que verifican
E>1 se denominan
mecanismos
de retornodeo retro‐
Este parámetro
adecuadola se
que
esde
untiempos
mecanismo
para
realizar este
tipomecanismos
de operacio‐
o retroceso
rápido.indica
A continuación,
describe
la razón
demecanismos
tiempos
enhabituales.
tres
ceso
rápido.
A continuación,
selo describe
razón
en tres
nes repetitivas. Los mecanismos que verifican E>1 se denominan mecanismos de retorno o retro‐
habituales.
ceso rápido. A continuación, se describe la razón de tiempos en tres mecanismos habituales.
1.8.1. Mecanismo excéntrico de biela‐manivela.
1.8.1. Mecanismo excéntrico de biela-manivela.
1.8.1.
excéntrico
de biela‐manivela.
EnEnelMecanismo
mecanismo
de de
la siguiente
figura
se observa
queque
las dos
posiciones
límitelímite
se producen
el
mecanismo
la siguiente
figura
se observa
las dos
posiciones
se producuando
la
biela
y
la
manivela
están
alineadas.
La
posición
que
se
corresponde
con
el
principio
de el
cen cuando la biela y la manivela están alineadas. La posición que se corresponde
con
En elsemecanismo
de
latrazo
siguiente
figuraysela observa
que las dos
posiciones
límite se
producen
la principio
carrera
representa
con
continuo,
correspondiente
al
final
de
la
carrera
con
trazo
de la carrera se representa con trazo continuo, y la correspondiente al final de la
cuando la biela y la manivela están alineadas. La posición que se corresponde con el principio de
discontinuo.
carrera con trazo discontinuo.
la carrera se representa con trazo continuo,
y la correspondiente al final de la carrera con trazo

discontinuo.


MANUALES UEX

24
Avance
Retorno
Avance
Retorno
19
19
ÍNDICE
CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
Suponiendo que para impulsar la manivela se emplea un motor de periodo t que gira a
Suponiendo que
la manivela
se emplea
motor de periodo
que
a velo‐de avance,
velocidad constante,
y αpara
es impulsar
el ángulo
recorrido
por launmanivela
durante
lagira
carrera
cidadSuponiendo
constante, que
y α es
el ángulo
recorrido
por lasemanivela
durante
carrera
de avance,
se apuede
para
impulsar
la manivela
emplea un
motorlade
periodo
que gira
velo‐
se puede
determinar
elα estiempo
derecorrido
lalaavance
carrera
de
avance
tα: la de
Suponiendo
para
impulsar
manivela
emplea
un motor
periodo
que gira
a velo‐
: se
determinar
el tiempo
de
carrera
de
cidad
constante,
yque
ellaángulo
portαla
manivela
durante
carrera
de avance,
se puede
cidad constante,
y α es
determinar
el tiempo
de ella ángulo
carrerarecorrido
de avancepor
tα: la manivela durante la carrera de avance, se puede

determinar el tiempo de la carrera de avance
t  tα=:
 
t =
2.
 
2.

Suponiendo que para impulsartla
manivela
 se emplea un motor de periodo que gira a velo‐
 =por la manivela
el ángulo recorrido
durante la carrera
de retorno,
el de retorDel mismo
modo,
2.por
Del mismo
modo,
si sibyesesα el
porla la
manivela
durante
la carrera
cidad
constante,
es ángulo
el ángulorecorrido
recorrido
manivela
durante
la carrera
de avance,
se puede
 es el tángulo
Del de
mismo
modo,desiretorno
tiempo
la carrera
 es: recorrido por la manivela durante la carrera de retorno, el
el tiempo
deángulo
la carrera
de avance
no, el tiempo
de
la modo,
carrera
tb es:
α:
el
recorrido
por la tmanivela
durante la carrera de retorno, el
Deldeterminar
mismo
si dees retorno
tiempo de la carrera de retorno t es:
tiempo de la carrera de retorno t es:

t =
2.
t = 
2.
De esta forma, la razón de tiempos será: t  = 2.
 

t  = 2.  
 
Del mismo modo, si  es el ángulo recorrido por la manivela durante la carrera de retorno, el

tiempo de la carrera de retorno t es:
E 
esta forma,
la razónde
de tiempos será:
De estaDe
forma,
la razón
será:
De
esta forma,
la razón de tiempos
tiempos será:


E  
E   t =   
Aunque el cálculo de  y es distinto en cada mecanismo,
la expresión anterior es válida en
 
manivela se obtiene
movimiento
de oscilate de la un
manivela
se obtiene
un movi‐
ción en la guía.
posiciones
en lalímites
guía. Lasdel
posi‐
mientoLas
de oscilación
ciones límites
del mecanismo
mecanismo también
se describen
en latambién
figura20se
describen
en situaciones
la figura y coinciden
las
y coinciden con
las dos
en las con
que20
dos situaciones en las que la manivela y 20
la manivela y la guía son perpendiculares. la
d
guía son perpendiculares.
Es necesario observar que, para que el
movimiento de la guía sea de oscilación, deberá verificarse que la longitud r de la manivela
20
ÍNDICE

2

MANUALES UEX
2.
todos.
Puedeelobservarse
de tiempos
únicamente
de la geometría
meca‐
Aunque
cálculo de que
 y larazón
es distinto
en cadadepende
mecanismo,
la expresión
anterior esdel
válida
en
Aunque
el
cálculo
de

y

es
distinto
en
cada
mecanismo,
anterior
esdelválida
enanterior es
nismo.
Por
tanto,
este
valor
no
varía
con
la
velocidad
del
motor
ni la
conexpresión
el de
trabajo
realizado.
todos.
Puede
observarse
que
la
razón
de
tiempos
depende
únicamente
la geometría
meca‐
Aunque el cálculo
de a layrazón
b esde distinto
en cada mecanismo,
la expresión
De esta forma,
tiempos será:
todos. Por
Puede
observarse
que
lavaría
razón
delatiempos
depende
únicamente
de la geometría
del meca‐
nismo.
tanto,
este
valor
no
con
velocidad
del
motor
ni
con
el
trabajo
realizado.
válida ennismo.
todos.
Puede
observarse
que
razón
de motor
tiempos
depende
únicamente
Nótese
laseste
dos
posiciones
límite
el ángulo
2.π girado
la manivela
en dos par‐ de la geoPor que
tanto,
valor
no varía
con dividen
lalavelocidad
del
el trabajo
realizado.
ni conpor
E 2.π
 con
Nótese
queTomando
las dosPor
posiciones
límite
girado
por
la manivela
en
dos
par‐ ni con el
yángulo
elvaría
menor
como

,
se
consigue
un
tes no
iguales.
el tanto,
ángulo mayor
como
metría del
mecanismo.
este dividen
valorelno
la
velocidad
del
motor
girado por la manivelamecanismo
que
laspuesto
dos posiciones
límite recorrido
dividen
ángulo
2.πcomo
en
par‐
de
retorno
rápido,
el ángulo
la manivela
durante
la carrera
de dos
avance
 elypor
el
menor
, se consigue
un mecanismo
noNótese
iguales.
Tomando
el que
ángulo
mayor
como
trabajo tes
realizado.
 ypor
el menor
, de
se consigue
mecanismo
tesretorno
no
iguales.
elrecorrido
ángulo
como
será
mayor
que Tomando
el ángulo
por
larecorrido
manivela
durante
la como
carrera
retorno,
lounque
de
rápido,
puesto
que
el ángulo
manivela
durante
la
de implica
avance
Aunque
el cálculo
de
mayor
y 
es
distinto
enlacada
mecanismo,
la carrera
expresión
anterior es válida en
de retorno
rápido,
puesto
que el ángulo
recorrido
por
manivela
durante
la carrera
avance en dos
será
que
el ángulo
recorrido
porlalarazón
manivela
durante
la
carrera
degirado
retorno,
lodeque
implica
>todos.
tβ. las
que
tmayor
αque
Nótese
dos
posiciones
límite
dividen
ellaángulo
2.π
por
lalademanivela
Puede
observarse
que
de tiempos
depende
únicamente
geometría del
meca‐
serátαmayor
que el ángulo recorrido por la manivela durante la carrera de retorno, lo que implica
>
t
.

que
β
partes noqueiguales.
Tomando
el
ángulo
mayor
a
y
el
menor
como
b,
se
consigue
un
nismo.
Por
tanto,
este
valor
nodevaría
con como
ladevelocidad
del
motor
ni con
el trabajo
realizado.
Nótese
que
si
se
invierte
el
sentido
rotación
la
manivela
se
invierten
también

y

De
tα > tβ. 
mecanismo
de se
retorno
rápido,
puesto
que
ángulo
por
la
manivela
esteNótese
modo
tendría
un
mecanismo
conde
E<1,
queelyade
nolasería
derecorrido
retorno
rápido.
que
si se invierte
el sentido
rotación
manivela
se invierten
también

y De durante la
Nótese
las dos
posiciones
límite dividen
el ángulo
2.π girado
por lamanivela
Nótesese
que
si seque
invierte
el sentido
de
de sería
la manivela
se invierten
y De en dos par‐
modo
tendría
un
mecanismo
conángulo
E<1,rotación
querecorrido
ya no
depor
retorno
rápido. también
carrera este
de avance
será
mayor
que
la
manivela
launcarrera
de
 de
y elretorno
menor
como, durante
se consigue
mecanismo
tes no
iguales.
elelángulo
este modo
se tendría
unTomando
mecanismo
con E<1,mayor
que yacomo
no sería
rápido.
Mecanismo
Whitworth.
 durante la carrera de avance
retorno,1.8.2.
lo que
que
tαpuesto
> tβ. que el ángulo recorrido por la manivela
de implica
retornoderápido,
1.8.2. Mecanismo de Whitworth.

será
mayorde
que
el ángulo
recorrido
la manivela durante la carrera
de retorno, lo que implica
Este
mecanismo
(también
llamado
de de por
1.8.2.
Mecanismo
Whitworth.
 invierten también a y
Nótese
que
si
se
invierte
el
sentido
rotación
de
la
manivela
se
tα > tβ.  (también
limadora),
presentado
en la figura,
es una
Esteque
mecanismo
llamado
de
r
b. De este
modo
semecanismo
tendría
mecanismo
Este mecanismo
(también
llamado
de con E<1, que ya no sería de retorno rápido.
inversión
del
biela‐manivela
limadora),
presentado
en laun
figura,
es una
r
Nótese
que
si
se
invierte
el
sentido
de
rotación
de
la
manivela
se
invierten
también  y De
limadora),
presentado
en
la
figura,
es
una
en
el que, del
a través
de la rotación
constan‐
inversión
mecanismo
biela‐manivela
r
modo
sesela
tendría
unun
mecanismo
con E<1, que ya no sería de retorno rápido.
mecanismo
biela‐manivela
teinversión
deque,
laeste
manivela
obtiene
movi‐
en
el
adel
través
de
rotación
constan‐
1.8.2. Mecanismo
de Whitworth.
el que,
a través
de
constan‐
larotación
guía. un
Las
posi‐
miento
oscilación
teende
lademanivela
seenlaobtiene
movi‐
te de límites
la
manivela
se
obtiene
un
movi‐
ciones
del
mecanismo
también
se
en
la
guía.
Las
posi‐
miento
de
oscilación
1.8.2. Mecanismo de Whitworth.

la guía.
Las
miento
deenoscilación
en
ladel
figura
y coinciden
conposi‐
las
ciones
límites
mecanismo
también
se
Estedescriben
mecanismo
(también
llamado
de
ciones
límites
mecanismo
también
se
mecanismo
(también
dos
situaciones
en
las
que
la manivela
lallamado
describen
enEste
ladel
figura
y coinciden
conylas
limadora),
presentado
en
la
figura,
es unade

d

describen
en laenfigura
y coinciden
guía
sonlimadora),
perpendiculares.
dos
situaciones
las
que
la manivela
y las
la es una
presentado
en laconfigura,

d
r
2
inversión
del
mecanismo
biela-manivela
en
el

dos son
situaciones
en
las
que
la
manivela
y
la
guía
perpendiculares.
inversión del mecanismo biela‐manivela
d
2 
que, a través
de
la
rotación
constante
de
la
guía son
perpendiculares.
2
en el que, a través de la rotación constan‐
25
por la manivela en dos partes no iguales. Tomando el ángulo mayor como , es decir, como el
correspondiente a la carrera de trabajo, y el menor como o correspondiente a la carrera de
retorno, se obtiene un mecanismo de retorno rápido.
MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN
EsEsnecesario
que
elelmovimiento
de
guía
verifi‐
necesarioobservar
observar
que,
para
que
movimiento
delalalasiguiente
guíasea
seade
deoscilación,
oscilación,
deberá
verifi‐
A través que,
de
lapara
figura
anterior
se deduce
expresión
quedeberá
relaciona
la longitud de la
carse
que
la
longitud
r
de
la
manivela
sea
menor
que
la
distancia
d
entre
las
articulaciones
fijas.
carse que la longitud
manivelaentre
sea menor
d entre
En
: las articulaciones fijas.En
manivelar de
r, laladistancia
centrosque
fijosla ddistancia
y el ángulo
elel
caso
contrario,
elelcada
que
lade
llevaría
aacabo
vueltas
lugar
sea
menor
que laen
distancia
d entre
las
articulaciones
fijas.completas
En
el casoen
contrario,
en
el que r>d,
caso
contrario,
en
quer>d,
r>d,
laguía
guía
llevaría
cabo
vueltas
completas
en
lugarde
deoscilar.
oscilar.
con
la
horizontal
en
una
las
posiciones
límite:
conguía
la horizontal
en cada
una de
las posiciones
límite:
 oscilar.
r
la
llevaría a cabo
vueltas
completas
de
r en
= dos
dlugar
. cos

 = 2 . arccos
Nótese
que,
como
en
el
caso
anterior,
las
límite
Nótese que, como en el caso anterior, las dosposiciones
posiciones
límitedividen
dividenelelángulo
ángulo
2.π girado
girado
2
d 2.π
Nótese
que,
como
en
el
caso
anterior,
las
dos
posiciones
límite
dividen
el
ángulo

,
es
decir,
elel
por
la
manivela
en
dos
partes
no
iguales.
Tomando
el
ángulo
mayor
como
como2.π
por la manivela en dos partes no iguales. Tomando el ángulo mayor como , es decir,como

girado
por
la
manivela
en
dos
partes
no
iguales.
Tomando
el
ángulo
mayor
como
a,
es
decir,
 razón
oo correspondiente
aa lala carrera
correspondiente
de
yy elquiere
como
correspondiente
carrera de
de
correspondiente aPuesto
a lala carrera
carrera
de=trabajo,
trabajo,
el menor
menor
comola
, sidese
mejorar
de tiempos
E
Es necesarioretorno,
observar
que,
para quemecanismo
elque
movimiento
guía
sea
de oscilación,
deberá
verifi‐se puede disminuir la distancia
como elsese
correspondiente
a la carrera
delatrabajo,
 retorno
obtiene
de
rápido.
retorno,
obtieneun
un mecanismo
de
retorno
rápido.y el menor como b, o correspondiente a la
carse que la longitud
r dede
la manivela
sea
menor
que
la distancia
ddeentre
laselarticulaciones
fijas. Ende la manivela r, de forma que
carrera
retorno,
un mecanismo
retorno
rápido.
d entrese
lasobtiene
articulaciones
fijas, o aumentar
valor
de la longitud
de
la
figura
anterior
se
deduce
la
siguiente
expresión
que
relaciona
lalalongitud
de
lala el movimien‐
el caso contrario, en AelAtravés
que
r>d,
la
guía
llevaría
a
cabo
vueltas
completas
en
lugar
de
oscilar.
través
de
la
figura
anterior
se
deduce
la
siguiente
expresión
que
relaciona
longitud
de
.seHay
que tener
en cuentaexpresión
que se debe
que
disminuya
el ángulo
A través
de la figura
anterior
deduce
la siguiente
quemantener
relacionar<d
la para
longitud
:
manivela
r,r,laladistancia
entre
centros
fijos
d
y
el
ángulo
:
manivela
distancia
entre
centros
fijos
d
y
el
ángulo
to de
la guía
siga
siendo
oscilante.
Nótese que, como
en el caso
las dos
posiciones
límite
el ángulo
de la manivela
r,anterior,
la
distancia
entre
centros
fijos ddividen
y el ángulo
b: 2.π girado
MANUALES UEX

rr como el
por la manivela en dos partes no iguales. Tomando el ángulo
mayor como , es decir,
rr ==dd. .cos

cos
 ==22. .arccos
arccos
22  o correspondiente a la dcarrera
de
correspondiente a la carrera de
trabajo,
y el menor
como
1.8.3.
Mecanismo
manivela‐balancín.
d
retorno, se obtiene un mecanismo de retorno rápido.
 cálculo de la razón de tiempos E en un mecanismo de cuatro barras del tipo manivela‐
== el
sesequiere
quiere
mejorar
razón
de
tiempos
puede
disminuir
distancia
Puesto
Puestoque
que EEPara
,, ,sisisise
lalalarazón
sesesepuede
disminuir
lalaladistancia
quieremejorar
mejorar
razónde
detiempos
tiempos
puede
disminuir
distanciad
A través de la figura anterior
se
deduce
la siguiente
expresión
la longitud
de
la
balancínse determinarán
en primer que
lugarrelaciona
los ángulos
correspondientes
a las posiciones límites,
las
articulaciones
fijas,
aumentar
valor de
la longitud
de la manivela
r, de forma
manivela r, la distancia
centros
fijos
dfijas,
y el ángulo
ddentre
entre
las
oooen
aumentar
que son
aquellas
las:que elelelvalor
entreentre
lasarticulaciones
articulaciones
fijas,
aumentar
valorde
delalalongitud
longitudrde
delalamanivela
manivelar,r,de
deforma
forma
que
 que
2
que
disminuya
el
ángulo
b.
Hay
que
tener
en
cuenta
que
se
debe
mantener
r<d
para
que el
..Hay
tener
disminuya
la biela
y laque
manivela
se
Hay
que
teneren
encuenta
cuentaque
queseser debe
debemantener
mantenerr<d
r<dpara
paraque
queelelmovimien‐
movimien‐
disminuyaelelángulo
ángulo
r3
movimiento
de
la. guía
siga siendo
rsiga
= dsiendo
cos

 = 2 . arccos
toto
de
oscilante.
hallan
alineadas,
tal y oscilante.
como
delalaguía
guíasiga
siendo
2oscilante.
d
se representa en la figura. A
r4
1.8.3.
Mecanismo
manivela-balancín.
partirmanivela‐balancín.
de
las longitudes de los

2
Mecanismo
manivela‐balancín.
= Mecanismo
, si se quiere
mejorar la razón de tiempos se puededisminuir la distancia
Puesto que 1.8.3.
E1.8.3.
eslabones, y empleando
el2
 el cálculo
2
2 barras del tipo
Para
de la razón
2
r122 + (de
r3 +tiempos
r2 )2 - r422E en un mecanismo
r122 + ( r3de- rcuatro
2 ) - r42
r
+
r
+
r
r
r
+
r
r
-del
r4 tipo
teorema
del
coseno,
se
(
)
(
)
Para
el
cálculo
de
la
razón
de
tiempos
E
en
un
mecanismo
de
cuatro
barras
manivela‐
γ
γ
cos
=
;
cos
=
1 de tiempos
3 la 2longitud
4 un
1 r,cuatro
3 barras
2 que
d entre las articulaciones
o aumentar
el
valor
de
de
la
manivela
de
forma
Parafijas,
el cálculo
de
la
E
en
mecanismo
de
del
1razón
2ángulos
manivela-balancín
se
determinarán
en
primer
lugar
los
correspondientes
las posicosγ1 = 2 . r1 . ( r3 + r2 )
; cosγ 2 = 2 . r1 . ( r3 - r2 ) tipoamanivela‐
r
1
calculan
los
ángulos
que
2
.
r
.
r
+
r
2
.
r
.
r
r
balancín
se
determinarán
en
primer
lugar
los
ángulos
correspondientes
a
las
posiciones
límites,
(debe
) alineadas,
. Hay
tener
que1en
selugar
mantener
para
que el1 movimien‐
disminuya el ángulo
3 que
2 ) la
3 las2 posiciones
balancín
seque
determinarán
en primer
los
ángulos
correspondientes
límites,
ciones
límites,
que en
soncuenta
aquellas
las
bielar<d
y la
manivela
se( ahallan
tal y
forma
la
biela
con
la
horizon‐
que
son
aquellas
en
las
que
 y empleando
to de la guía siga siendo
oscilante.
que son
aquellas
en en
las laque
rr22
como
se
representa
figura. A partir de las longitudes
de los eslabones,
el
1
talmanivela
en cada una
de las posi‐
lateorema
yy lala
se
la biela
biela del
manivela
se
coseno, se calculan los ángulos que forma la biela con la horizontal
rr33 en cada una
ciones
límite:
hallan
tal
yy como
hallan
alineadas,
tal
como
las alineadas,
posiciones
límite:
1.8.3. Mecanismode
manivela‐balancín.
sese representa
2
representa en
en lala figura.
figura.rA2A +  r + r 2 - r 2
r12 +  r3 - r2  - r42
rr44
1
3
2
4
partir
de
las
longitudes
de
los
cos
=
;
cos
=



partir
de
las
longitudes
de
los

1
2
2
Para el cálculo de la razón de tiempos E en2 un
mecanismo
de
cuatro
barras
del
tipo
manivela‐


2
. r1 .  r3 + r2 
2 . r1 .  r3 - r2 
eslabones,
empleando
elel ángulos
eslabones,enyyprimer
empleando
balancín se determinarán
lugar los
correspondientes a las posiciones límites,
del
teorema
del coseno,
coseno, sese
que son aquellasteorema
en las que

r2
rr11
calculan
los
ángulos
que
calculan
los
ángulos
queel ángulo  =  -  , se deduce a través
la biela y la manivela se
Si se define
de la figura que  = 180º +  y análo‐
2
1
r3
forma
la
biela
con
la
horizon‐
forma
la
biela
con
la
horizon‐
hallan alineadas, tal y como
11

cada
de
gamente,
= 180º -  , lo que permite hallar la razón de tiempos E = .
tal
en
cadaAuna
una
de las
lasposi‐
posi‐
se representa ental
laen
figura.

r4
ciones
cioneslímite:
límite:
partir de las longitudes
de
los

2
2
eslabones, y empleando el r 22 +  r + r 22 - r 22
r1r22 ++ r3r --r2r 2 --r4r22
3
2
cos
== 1r1 +  3r3 + 2r2  - 4r4 ;; cos
21 4
teorema del coseno,
cos11 se
cos22 == 1
22. .r1r . . r3r ++r2r 
22. .r1r . . r3r --r2r 
1
3
2
1
3
2
r1
calculan los ángulos que
forma la biela con la horizon‐
1
tal en cada una de Silasseposi‐
Si sedefine
defineelelángulo
ángulo ==22 --11, ,sesededuce
deduceaatravés
travésde
delalafigura
figuraque
que ==180º
análo‐
180º++ yyanálo‐
ciones límite:

gamente,
gamente, 2 ==180º
180º--, ,loloque
quepermite
permitehallar
hallar2lalarazón
razónde
detiempos
tiempos EE==  . .
ángulo
aa través
de
= 180º + φ y
φ r=12 γ+2 -r3γ1-,r2se deduce
r12 +  r3Si
+se
r2 define
- r42 el
- r42
 que
Si
se
define
el
ángulo
,
se
deduce
través
de la
la figura
figura
que α
α = 180º + φ y
φ
=
γ
γ
cos1 =
; cos 2 =
2
1
2 . r1 .  r3 + r2 
2 . r . r - r

3
2
análogamente,
hallar la razón de tiempos
180º - φ , lo que1 permite
análogamente, ββ =
= 180º - φ , lo que permite hallar la razón de tiempos
21
21
26
α
E= α .
E= β .
β
Si se define el ángulo  =  2 - 1 , se deduce a través de la figura que  = 180º +  y análo‐
22
22
gamente,  = 180º -  , lo que permite hallar la razón de tiempos E =
ÍNDICE
21

.

2. INTRODUCCIÓN A LA CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO
2. INTRODUCCIÓN A LA
CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO
2.1. TIPOS DE MOVIMIENTO
2.1. Tipos de movimiento
En el presente capítulo se realiza una introducción a la cinemática del sólido rígido, con
En el presente capítulo se realiza una introducción a la cinemática del sólido rígido, con el ob‐
el objetivo de sentar las bases del análisis cinemático de mecanismos planos que se llevará a
jetivo de sentar las bases del análisis cinemático de mecanismos planos que se llevará a cabo en el
cabo en el siguiente capítulo. Se comienza estudiando los diferentes tipos de movimiento que
siguiente capítulo. Se comienza estudiando los diferentes tipos de movimiento que cualquier
cualquier sólido rígido puede realizar en un sistema plano. El posterior análisis se realizará
sólido rígido puede realizar en un sistema plano. El posterior análisis se realizará de acuerdo con la
de acuerdo con la siguiente clasificación:
siguiente clasificación:
• Movimiento
traslación:ocurre
ocurrecuando
cuando cualquier
cualquier línea que
cuer Movimiento
dedetraslación:
que une
unedos
dospuntos
puntosdeldel
cuerpo
po permanece
en su dirección
lo movimiento.
largo del movimiento.
como se en
muespermanece
invariable invariable
en su dirección
a lo largo adel
Tal como Tal
se muestra
las figu‐
tra en lassefiguras
se puede tener
movimiento
de traslación
rectilínea de
o un
ras siguientes,
puedesiguientes,
tener un movimiento
de un
traslación
rectilínea
o un movimiento
trasla‐
movimiento
desean
traslación
curvilínea,descritas
según sean
trayectorias
por cualquier
ción curvilínea,
según
las trayectorias
porlas
cualquier
puntodescritas
del cuerpo.
• Movimiento de rotación: todos los puntos del cuerpo describen trayectorias circulares
con centro en el eje de rotación, tal como se representa en la figura siguiente.
22
ÍNDICE
MANUALES UEX
punto del cuerpo.
27
MANUEL
Movimiento
de rotación:
losMARÍN
puntos del cuerpo describen trayectorias circulares con
REINO FLORES,
GLORIAtodos
GALÁN
centro en el eje de rotación, tal como se representa en la figura siguiente.
 Movimiento de rotación: todos los puntos del cuerpo describen trayectorias circulares con
centro
Movimiento
derotación,
rotación:taltodos
puntos delencuerpo
describen
en el eje de
comolos
se representa
ladefigura
siguiente.trayectorias circulares con
rotación
• Movimiento de rotación: todos los puntos delEjecuerpo
describen trayectorias circulares
centro en el eje de rotación, tal como se representa en la figura siguiente.
con centro en el eje de rotación,
tal como se representa
en la figura siguiente.
Eje de rotación
A
Ejede
derotación
rotación
Eje
A
A
A
Trayectoria de A
Trayectoria de A
Trayectoriadede
Trayectoria
 Movimiento plano general: se trata de un movimiento que puede ser representado
enA Aun
• M
ovimiento
plano
general:
se
trata
de
un
movimiento
que
puede
ser
representado
sistema bidimensional como una combinación de los dos anteriores. En las figuras siguientes en
se
 Movimiento
plano
general: secomo
trata de un
movimiento de
quelospuede
ser representado
en un
un sistema
bidimensional
combinación
dos
anteriores.
las figuras
representan
el movimiento
de una barra una
apoyada
en dos superficies
ortogonales
y elEnmovimiento
sistema
bidimensional
como
unase
los dos anteriores.
En ser
las figuras
siguientes
seun
• rodadura
Movimiento
plano
general:
secombinación
trata de
movimiento
que puede
representado
enenun
de
Movimiento
plano
general:
de un
unde
movimiento
puede
representado
de un
siguientes
sedisco.
representan
el trata
movimiento
de una barraque
apoyada
enserdos
superficies ortorepresentan
el
movimiento
de
una
barra
apoyada
en
dos
superficies
ortogonales
y
el
movimiento
sistema bidimensional
bidimensionalcomo
comouna combinación
combinacióndedeloslosdos
dosanteriores.
anteriores.EnEnlaslasfiguras
figurassiguientes
siguientesse
sistema
gonales
yun
movimiento de
rodadura
un disco.en dos superficies ortogonales y el
de
demovimiento
se rodadura
representan
eleldisco.
movimiento
una apoyada
barradeapoyada
representan
el
de unadebarra
en dos superficies ortogonales y el movimiento
movimiento
deun
rodadura
de
rodadura de
disco. de un disco.
A
C
C
C
C
A
A
A
C
C
C
C
MANUALES UEX
2.2. Movimiento de traslación
28
2.2.
Movimiento
de traslación
2.2.
MOVIMIENTO
DEsólido
TRASLACIÓN
figura muestra
rígido que realiza un movimiento de traslación. Respecto a un sis‐
2.2.LaMovimiento
de un
traslación
temaMovimiento
de ejes cartesia‐
2.2.
de traslación y
La figura muestra un sólido rígido que realiza un movimiento de traslación. Respecto a un sis‐
figura muestra
nos,La
la relación
existen‐un sólido rígido que realiza un movimiento de traslación. Respecto a
tema de ejes cartesia‐
y
de
ejes
unentre
sistema
te
los
vectores
de
muestra
nos,Lalafigura
relación
existen‐un sólidoyrígido que realiza un movimiento de traslación. Respecto a un sis‐
cartesianos,
relaposición
de
dosla
puntos
B
tema
de los
ejes
cartesia‐
y
te entre
vectores
de
B
ción
existente
entre
del
cuerpo,
A
y
B,
es:
nos,
la
relación
existen‐
posición
de dos puntos
B rB/A
 vectores
losentre
de  posiB
B
tedel
losrAvectores
de

rcuerpo,
rB/A
A yB,res:
B
B/A
B
ción
de
dos
puntos
posición
de
dos
puntos
B rB/A


 
rB/AA

rBcuerpo,
res:
B
delcuerpo,
rB
rB/A
res:
donde
el rvector
A
B/A
B/ A
del
AAyyB,B,
rB/AA



 B
define
la posición
de
=
A + rB/A
rB/A
rB rA
A
donde

rBrB el rrAvector
 r rB/ A
rB/A
rB
A
respecto
de A. B/A
A
A
define
rA
rB/ AB
donde laelposición
vector de
x
rB rA
A
rB/ A
donde
O
respectoeldevector
A.
A
define la posición de
x
define la posición de B
rA
x
O
B respecto de A.
O
respecto de A.
O
23
23
23
23
ÍNDICE
x
CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
Derivando
respecto
del tiempo:
Derivando
respecto
del tiempo:
Derivando
Derivando respecto
respecto del
del tiempo:
tiempo:
Derivando respecto del tiempo:

dr
B
dr
Derivando respecto del tiempo:

drB
Como:
Como:
Como:
Como:
Como:
Como:
se tiene:
tiene:
se
se
se tiene:
tiene:
se tiene:
se tiene:

drB
dr
drBB
dt
dr
dtB
dt

dr
dr
dr
dtBAA
dr
A

dt
dt
dr
dtA
dt

dr
A
dr
dr
dtB/A
dr
B/A
B/A
dt
dt
dr
B/A
dt
dt
dr
B/A
dt
dt

B
dt

dr
dt
B
dt

dr

dtB
dt

v B


 vv BB
 vB
 vvB
A

 vv AA
 v A
 v 0
A

0
 0
 0
 0

dr
A
dr
drAA
dt
dr
dt

dtAA
dr
dt
dt






dr
B/A
dr
drB/A
B/A
dt
drdt
B/A
drdt
B/A
dt
dt
(el
vector no
varía ni
su módulo
ni su
dirección)
(el
(el vector
vector no
no varía
varía ni
ni su
su módulo
módulo ni
ni su
su dirección)
dirección)
(el vector no varía ni su módulo ni su dirección)
(el vector no varía ni su módulo ni su dirección)


vv B 
v A
v BB 
 vv AA
v B  v A
Por
de
un cuerpo que realiza un movimiento de
Por tanto,
tanto, la
la velocidad
velocidad de
de cada
cada uno
uno de
de los
los vpuntos
puntos
B  vde
A un cuerpo que realiza un movimiento de
Por tanto,
la
velocidad
de
uno
loslospuntos
dede
unun
cuerpo
queque
realiza
un movimiento
de
Por
tanto,
lamisma.
velocidad
decada
cada
unode
puntos
cuerpo
realiza
un movimientraslación
es
la
Si
se
vuelve
aauno
derivar
respecto
del
traslación
es
la
misma.
Si
se
vuelve
derivar
respecto
del
tiempo:
Por tanto,
la
velocidad
de
cada
dedelos
puntos
de tiempo:
un cuerpo
que realiza
un movimiento
de
traslación
es
la
misma.
Si
se
vuelve
a
derivar
respecto
del
tiempo:
tanto, la es
velocidad
de cada
de los
puntos de
un cuerpo
que realiza un movimiento de
to dePortraslación
la misma.
Si seauno
vuelve
arespecto
derivar
respecto
del tiempo:
traslación
es la misma.
Si se vuelve
derivar
del
tiempo:


 B  dv
 AA
dv
dv
traslación es la misma. Si se vuelvedv
del tiempo:

aaB 
aa A
dvaBBderivar
dvrespecto


A
B 

a

a

dt
dt
B
 AA
dv
dv
B
A
dt
dt
dt
dt

aB  a A
 dv
dv
B
A
 puntos
aB de
 un
aA cuerpo que realiza un movi‐
dt cadadtuno de los
En
consecuencia, la
aceleración
dtde
En
de
En consecuencia,
consecuencia, la
la aceleración
aceleración
de cada
cadadtuno
uno de
de los
los puntos
puntos de
de un
un cuerpo
cuerpo que
que realiza
realiza un
un movi‐
movi‐
miento
de
traslación
es
la
misma.
miento
de
traslación
es
la
misma.
En
consecuencia,
la
aceleración
de
cada
uno
de
los
puntos
de
un
cuerpo
que
realiza
un
movi‐
miento
de
traslación
es
la
misma.
En
consecuencia,
la
aceleración
de
cada
uno
de
los
puntos
de
un
cuerpo
que
realiza
un
movi‐
En consecuencia,
de cada uno de los puntos de un cuerpo que realiza
un
miento
de traslación es la
la aceleración
misma.
miento
de
traslación
es
la
misma.
movimiento de traslación es la misma.
2.3.
Movimiento de
rotación alrededor
de un
eje fijo
2.3.
2.3. Movimiento
Movimiento de
de rotación
rotación alrededor
alrededor de
de un
un eje
eje fijo
fijo
2.3. Movimiento de rotación alrededor de un eje fijo
2.3. En
Movimiento
rotación alrededor
eje alrededor
fijo
la figura
figura sede
representa
un cuerpo
cuerpode
queungira
gira
de un
un eje
eje LL.
LL. Como ya
ya se ha
ha indicado
En
la
un
que
de
En
la figura se
se representa
representa
un cuerpo
que gira alrededor
alrededor
deEJE
unFIJO
eje LL. Como
Como ya se
se ha indicado
indicado
2.3.
MOVIMIENTO
DE
ROTACIÓN
ALREDEDOR
DE
anteriormente,
todos
los puntos
puntos
del
cuerpo
describen
unaUN
trayectoria
circular
alrededor
de
dicho
anteriormente,
todos
los
del
cuerpo
describen
una
trayectoria
circular
alrededor
dicho
En
la
figura
se
representa
un
cuerpo
que
gira
alrededor
de
un
eje
LL.
Como
ya
se
ha de
indicado
anteriormente,
todos
los
puntos
del
cuerpo
describen
una
trayectoria
circular
alrededor
de
dicho
En
se representa
un cuerpo
giracualquiera
alrededorAdedeluncuerpo,
eje LL. tomando
Como ya se
ha indicado
eje.
Se la
va figura
a analizar
analizar
ellos
movimiento
decuerpo
unque
punto
como
referen‐
eje.
Se
va
a
el
movimiento
de
un
punto
cualquiera
A
del
cuerpo,
tomando
como
referen‐
anteriormente,
todos
puntos
del
describen
una
trayectoria
circular
alrededor
de
dicho
eje.
Se
va
a
analizar
el
movimiento
de
un
punto
cualquiera
A
del
cuerpo,
tomando
como
referen‐
En lapunto
figuraOtodos
se
representa
cuerpo
que
gira alrededor
de un eje
LL. Como
ya se de
ha dicho
indianteriormente,
los puntosun
cuerpo
describen
una trayectoria
circular
alrededor
cia
otro
perteneciente
al del
eje
deunrotación.
rotación.
cia
otro
punto
O
perteneciente
al
eje
de
eje.
Se
va
a
analizar
el
movimiento
de
punto
cualquiera
A
del
cuerpo,
tomando
como
referen‐
cia
otro
punto
O perteneciente
ejededeundel
rotación.
cado
losalpuntos
cuerpo
describen
unacuerpo,
trayectoria
circular
eje.
Seanteriormente,
va
a analizar
eltodos
movimiento
punto
cualquiera
A del
tomando
comoalrededor
referen‐
cia otro punto O perteneciente al eje de rotación.
cia
O perteneciente
de rotación.de un punto cualquiera A del cuerpo, tomando
de otro
dichopunto
eje. Se
va a analizaraleleje
movimiento
LL
A
como referencia otro punto O perteneciente al eje
A de rotación.
LLL
L
L
L
L
L
O
O
O
O
O
Como
trayectoria
AA es
circular,
de
radio
r,r, se
verifica:
Comola
trayectoriadel
delpunto
punto
A es
circular,
de radio
se verifica:
Como
la
del
punto
circular,
de
Como
lalatrayectoria
trayectoria
del
punto
A es
es
circular,
de radio
radio
r, se
se r,verifica:
verifica:
Como la trayectoria del punto A es circular,
de radio
se verifica:
ds
rr .. d
r,
ds
Como la trayectoria del punto A es circular,
dsde
 radio
r.d
d
r, se verifica:
ds  r . d
ds  r . d
24
24
24
24
24
ÍNDICE
MANUALES UEX
A
A
A
29
MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN
Respecto del punto O del eje se tiene:
r = del
rA .punto
senφ O del eje se tiene:
Respecto
rA . senφ a lo
donde φ res= constante
largo de toda la trayectoria
donde φ es constante a lo
circular de A. Por tanto:
largo de toda la trayectoria
φ . dθ
dsde A.rAPor
. sen
circular=
tanto:
ds
O
dθ
ds
rA
r
rφA
rC
dθ
L
L
ds rA .de
senlaφ .velocidθ
El =
cálculo
L
φ
C
dad de A se obtiene deriO
Trayectoria de A
El cálculo de la velociL
vando la expresión anterior
dad de A se obtiene deriTrayectoria de A
respecto del tiempo:
vando la expresión anterior
respecto del tiempo:
d (rA . senφ . dθ )
dθ
ds
=
vA =
= rA . senφ ⋅
=
vA
dt
ds
=
dt
dt φ . dθ
dt
d (rA . sen
)
dθ
= rA . senφ ⋅
dt
dt
dθ
es la velocidad angular del sólido y se representa por ω. La unidad de la
dt
dθ
El término
es la
radvelocidad angular del sólido y se representa por ω. La unidad de la
dt es
velocidad angular
, pudiéndose también expresar en revoluciones por minuto (rpm).
s
rad
velocidad
angular
es de la velocidad
, pudiéndose
expresar en revoluciones por minuto (rpm).
Por
tanto, el
módulo
de Atambién
es:
s
=
vAA es: rA . senϕ . ω
Por tanto, el módulo de la velocidad de
El término
=
v Adel punto
rA . senAϕes
. ωnecesario también conocer su línea
Para definir totalmente la velocidad
y sentido. El vector v A , teniendo en cuenta que ω es un vector situado en el eje
de acción
Para definir totalmente la velocidad del punto A es necesario también conocer su línea
 la expresión vectorial:
de
determina
mediante
de rotación,
acción y se
sentido.
El vector
en cuenta que ω es un vector situado en el eje
v A , teniendo



× rA
v
de rotación, se determina mediante la expresión
vectorial:
A = ω




MANUALES UEX
× rAdel eje, se tendría un nuevo vector r '
v A = ω O’
Si se hubiera elegido otro punto de referencia
A

no
varía,
ya
que
el
valor
del
radio
de
la
trayecy unSinuevo
ángulo
φ
’,
pero
la
velocidad
de
A
se hubiera elegido otro punto de referencia O’ del eje, se tendría un nuevo vector r 'A
toria circular es el mismo, dado que se tiene:
y un nuevo ángulo φ’, pero la velocidad de A no varía, ya que el valor del radio de la trayecrA . sen
=
φ r'A . senφ'
toria circular es el mismo, dado =
quer se tiene:
30
=
r
rA . sen
=
φ r'A . senφv' A
Por tanto, el estudio del movimiento
de A es independiente del punto del eje
vA
Por tanto, el estudio del movimiento
tomado como referencia. En la figura
de A es independiente del punto del eje
siguiente se representa el vector v en el
r
tomado como referencia. En la A figura
 Como
plano
definido
por
su
trayectoria.
ω
siguientese representa el vector v A en el
r
se ve, v A siempre será tangente a la
plano definido por su trayectoria. Como
ω

trayectoria
el puntoserá
A, y tangente
de móduloa vlaA
se
ve, v A ensiempre
=trayectoria
ω . r. en el punto A, y de módulo v
A
= ω . r.
25
25
ÍNDICE
A
A
Eje de rotación
Eje de rotación
CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
Paraelelestudio
estudiodedela la
aceleración
punto
es necesario
derivar
respecto
del tiempo
su
Para
aceleración
del del
punto
A esAnecesario
derivar
respecto
del tiempo
su velo‐
velocidad:
Para el estudio de la aceleración del punto A es necesario derivar respecto del tiempo su
cidad:
velocidad:






ddvv A
dd(ω × rArA)
ddω
ddrrA


aAA la aceleración
=
=
=
ω × Adel



A
 × rArderivar
ade



A  + 
Para el estudio
respecto
 ddtω
d del
× rA )A es necesario
( ωdtdtpunto

ddt
vA
ddtr  tiempo su velo‐

dt
dt × r +  ω
a
=
=
=
× dt A
A
A
cidad:


dt
dt
dt
dt


dω



 por α . La


 
 la aceleración

define
término d  define
del
. La unidad
ElEltérmino
d   angular
rA angular
yse representa
vlaA aceleración
d rpor
del cuerpo,
yse representa
 dcuerpo,
A 

d
dtωaA d
dt
r





A
y se representa

 dtdel cuerpo,
define
la aceleración
angular
por α . La
El término
dt
dt
dt

rad
dt
rad
unidad
de la aceleración
es tanto,
.elPor
tanto, el término:
de
la aceleración
angular
es angular
. Por
término:

2
rad
s2
s

d

unidad
de la aceleración
angular
es 2 angular
. Por tanto,
el término:
define
la aceleración
del cuerpo,
y se representa por  . La unidad
El término
s 


   
ddω
 × rArA = α × rArA
rad





dt
d
ω


de la aceleración angular es 2 . Por tanto,
 dt el× término:
rA  = α × rA
s
 dt

representalalaaceleración
aceleración
tangencial
Es la componente
de la aceleración,
representa
tangencial
del del
punto
A. EsA.la componente
de la aceleración,
tangentetanen
punto


 la componente
d


A.
gente
en A la
a su
trayectoria
circular,
conlleva
la
variación
del
módulo
de
la
velocidad
de
aceleración
tangencial
punto
Es
de
la
aceleración,
tanArepresenta
a su trayectoria
circular, que
conllevaque
ladel
variación
del
módulo
de
la
velocidad
de
A.
r
r




A
A
 dt
 la variación del módulo
A.
gente en A a su trayectoria circular, que
conlleva
de la velocidad de


Si el cuerpo gira a velocidad constante  , la aceleración angular  es0 y, por tanto, la ace‐
A.
representa
la aceleración
delque
punto
componente
dede
la Aaceleración,
tangente
la la
aceleración
angular
es 0 y, por
tanto, en
la
Si eltangencial
cuerpo
gira
ωA., Es
αpermanece
leración
de Aa velocidad
estangencial
nula, porconstante
lo
el módulo
de
la velocidad
constante

 de A.
A
a
su
trayectoria
circular,
que
conlleva
la
variación
del
módulo
de
la
velocidad
aceleración
tangencial
de
A
es
nula,
por
lo
que
el
módulo
de
la
velocidad
de
A
permanece
Si eltodo
cuerpo
gira a velocidad constante ω , la aceleración angular α es 0 y, por tanto, la
durante
su movimiento.
 que el módulo de la velocidad

constante
durante
su movimiento.
aceleración
tangencial
de
A es constante
nula, por 
lo
permanece
, la aceleración angular  es 0 y, de
porAtanto,
la ace‐
Si el cuerpo giratodo
a velocidad
d rA 
constante
durante
todo
su
movimiento.
Obsérvese
que
el
término
define
el
vector
velocidad
del
punto
A.
Por
tanto,
el
término:
leración tangencial de A es nula,dtpor
que
el
módulo
de
la
velocidad
de
A
permanece
constante
d rlo
A
Obsérvese que el término
 define el vector velocidad del punto A. Por tanto, el
durante todo su movimiento.
ddtrA
Obsérvese que el término
 del punto A. Por tanto, el
 el vector

velocidad

   ddtrA define
término:
drA
   v A   x    rA 


dt
Obsérvese que el término
define
término:
  el vector velocidad del punto A. Por tanto, el término:





  dt d rA 
x ( ω × rA ) de la aceleración, siem‐
ω
×
× v A de= laωcomponente
  =A. ω
representa la aceleración normal
Se
trata
  del dpunto
r




dt


d rA  = ω
 × v = ω
 x (ω
 × r )
  × que
pre dirigida hacia el eje de rotación,
variación
  dtAconlleva
 rAA  de la velocidad de A.
v AA   de
x ladirección
 ω
   la
dt punto


representa la aceleración normal
del
A. Se
 trata de la componente de la aceleración,
, la velocidad
del punto
su dirección
Aunque
un cuerpo
velocidad
constante
siempre
dirigida
haciagireel aeje
de rotación,
que conlleva
la variación
deAlavaría
dirección
de la
dt
representa
la aceleración
aceleraciónnormal
normaldeldelpunto
punto
Se trata
decomponente
la componente
la aceleración,
representaa la
A. A.
Se trata
de la
de un
lade
aceleración,
siem‐
tangencial
la A.
trayectoria
a eje
lo largo
del movimiento,
existiendo,
por tanto,
valor
no nulode
de
velocidad
de
siempre
dirigida
hacia
el
de
rotación,
que
conlleva
la
variación
de
la
dirección
pre
dirigida
hacia
el
eje
de
rotación,
que
conlleva
la
variación
de
la
dirección
de
la
velocidad
de
A.la
esta
aceleración
normal.
En
resumen:
velocidad de A.
  , la velocidad del punto A varía su diAunque
un cuerpo
cuerpogire
constante
 Aunque
 constante
 un
 girea avelocidad
velocidad
 ,ω
la velocidad del punto A varía su dirección
arección
 un
rA cuerpo
a la
trayectoria
 a velocidad
 arAlo
 largo
tangencial
A  Aunque
del
movimiento,
existiendo,
porvalor
tanto,
valor

gire
constante
, la velocidad
del punto
A varía
su
diω
tangencial a la trayectoria a lo largo del movimiento, existiendo,
por tanto,
un
noun
nulo
de
no
nulo
de
esta
aceleración
normal.
En
resumen:
rección
tangencial
a
la
trayectoria
a
lo
largo
del
movimiento,
existiendo,
por
tanto,
un
valor
esta aceleración normal. En resumen:

no
nulo de
normal.
En resumen:
 aesta aceleración

a



 × ( nω
A × rA ) 
ω
[α t×A rrAA ] + 
  
  rA  
α × rA ] + ω × ( ω × rA ) 
[
En la figura se representan las componen‐
aaA =
A
aA =
vA
26
ÍNDICE
26
A

ω

ω
at
avAn A
vA
vA
A
A
aan A  A
nA
an A
α

α
aat
t
at
aA
aA de rotación
Eje
aA
aA
Eje de rotación
Eje de rotación
Eje de rotación
MANUALES UEX

tes de la aceleración
del puntoA, consideran‐

ataAt A
an A an A
do, para este acaso, que la aceleración
an A angu‐
tA


la
figura
se
representan
las
compoy
la
velocidad
angular

llevan
sentidos
lar  En
En la figura se representan las componen‐
nentes
de
la
aceleración
del
punto
A,
consiEn
la
figura
se
representan
las
compoopuestos.
tes de la aceleración del punto A, consideran‐
derando,
para
este
caso,
que
la
aceleración
nentes
de
la
aceleración
del
punto
A,
consido,Considerando
para este caso,
que la aceleración
 angu‐
exclusivamente
movimien‐

 laelaceleración
y
la
velocidad
angular
llevan
angular
α
ω
derando,
para
este
caso,
que
 yrotación
la velocidad
angularrígido
 llevan
larde
 sentidos
tosentidos
cuerpo
alrededor
de
y ladel
velocidad
angular
angular
αopuestos.
ω llevan
opuestos.
un
eje
fijo,
y
no
las
características
cinemáticas
sentidos opuestos.
Considerando exclusivamente el movimien‐
to de rotación del cuerpo rígido alrededor de
26
un eje fijo, y no las características cinemáticas26
31
MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN
Considerando exclusivamente el movimiento de rotación del cuerpo rígido alrededor de
Considerando exclusivamente el movimiento de rotación del cuerpo rígido alrededor de
un eje fijo, y no las características cinemáticas de ningún punto en particular, existen dos
un eje fijo, y no las características cinemáticas de ningún punto en particular, existen dos
tipos de movimiento de rotación del cuerpo muy usuales:
tipos de movimiento de rotación del cuerpo muy usuales:
• Movimiento de rotación uniforme
• Movimiento de rotación uniforme

En este tipo de movimiento la aceleración angular del cuerpo α es igual a 0 y, por tanEn este tipo de movimiento
la aceleración angular del cuerpo α es igual a 0 y, por tan
 es constante. El valor del ángulo recorrido por el cuerpo en un
to, la velocidad angular ω
to, la velocidad angular ω es constante. El valor del ángulo recorrido por el cuerpo en un
tiempo t vendrá dado por la expresión:
tiempo t vendrá dado por la expresión:
θ = θ0 + ω . t
θ = θ0 + ω . t
donde θ 0 representa el ángulo recorrido por el cuerpo en el instante inicial correspondiente
donde θ 0 representa el ángulo recorrido por el cuerpo en el instante inicial correspondiente
a t = 0.
a t = 0.
•
•
Movimiento de rotación uniformemente acelerado
Movimiento de rotación uniformemente acelerado

En este tipo de movimiento la aceleración angular del cuerpo α es constante. La veloEn este tipo de movimiento la aceleración angular del cuerpo α es constante. La velo que lleva el cuerpo después de un intervalo de tiempo t vendrá dada por la
cidad angular ω
cidad angular ω que lleva el cuerpo después de un intervalo de tiempo t vendrá dada por la
expresión:
expresión:
ω = ω0 + α . t
ω = ω0 + α . t
donde ω0 representa la velocidad angular del cuerpo en el instante inicial correspondiente a
donde ω0 representa la velocidad angular del cuerpo en el instante inicial correspondiente a
t=0 . El ángulo recorrido por el cuerpo en el intervalo de tiempo t será:
t=0 . El ángulo recorrido por el cuerpo en el intervalo de tiempo t será:
1
θ = θ0 + ω0 . t + 1 ⋅ α . t22
θ = θ0 + ω0 . t + 2 ⋅ α . t
2
donde θ 0 representa el ángulo recorrido por el cuerpo en el instante inicial correspondiente
donde θ 0 representa el ángulo recorrido por el cuerpo en el instante inicial correspondiente
a t=0 . Eliminando el tiempo de las dos expresiones anteriores se deduce la siguiente ecuaa t=0 . Eliminando el tiempo de las dos expresiones anteriores se deduce la siguiente ecuación para el movimiento de rotación uniformemente acelerado:
ción para el movimiento de rotación uniformemente acelerado:
ω22 = ω220 + 2 . α . ( θ - θ0 )
ω = ω0 + 2 . α . ( θ - θ0 )
MANUALES UEX
2.4. Movimiento plano general
2.4. Movimiento
plano
general
2.4.
MOVIMIENTO
PLANO
GENERAL
Tal y como se ha mencionado anteriormente, existen casos en los que el movimiento de
Tal y como se ha mencionado anteriormente, existen casos en los que el movimiento de
un cuerpo se puede analizar en un sistema bidimensional, ya que todos sus puntos se mueun cuerpo se puede analizar en un sistema bidimensional, ya que todos sus puntos se mueven en planos paralelos. El movimiento de traslación y el movimiento de rotación alrededor
ven en planos paralelos. El movimiento de traslación y el movimiento de rotación alrededor
de un eje fijo, vistos en los apartados anteriores, se pueden estudiar en el plano de movide un eje fijo, vistos en los apartados anteriores, se pueden estudiar en el plano de movimiento de un punto cualquiera.
miento de un punto cualquiera.
Como se verá a continuación, un movimiento plano general se puede considerar como
Como se verá a continuación, un movimiento plano general se puede considerar como
una combinación de una traslación y una rotación alrededor de un eje perpendicular al
una combinación de una traslación y una rotación alrededor de un eje perpendicular al
plano del movimiento.
plano del movimiento.
32
27
27
ÍNDICE
CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
2.4.1. Velocidad absoluta y relativa
2.4.1. Velocidad absoluta y relativa
En la figura siguiente se muestra un cuerpo que describe un movimiento plano general,
En
la figura
se muestra
un cuerpodeque
movimientoAplano
general,
en
en donde
se hansiguiente
representado
las trayectorias
dosdescribe
puntos un
cualesquiera,
y B, del
cuerpo.
donde se han representado las trayectorias de dos puntos cualesquiera, A y B, del cuerpo.
y
y
B
B
rB
rB
B
B
rB/A
rB/A
rA
rA
rB
rB
A
A
rA
rA
rB/A
rB/A
A
A
x
x
O
O
La relación entre los vectores de posición de los puntos respecto a un sistema de ejes
La relación
cartesianos,
es:entre los vectores de posición de los puntos respecto a un sistema de ejes carte‐
sianos, es:



r= rA + rB/A
B


rB  rA  rB/A

siendo rB/A el vector que define la posición de B respecto de A. Derivando respecto del

siendo
tiempo:rB/A el vector que define la posición de B respecto de A. Derivando respecto del tiempo:

dr
drBB
=

dt
dt


drB/A
drA
dr
dr
B/A
+
A
dt  dt
dt
dt
donde:
donde:
•

•


d rB

d rB = v B  velocidad absoluta del punto B
dt  vB  velocidad absoluta del punto B
dt

d rA

d rA = v A  velocidad absoluta del punto A
dt  v A  velocidad absoluta del punto A
dt
d rB/A

d dt
rB/A = v rel B/A  velocidad relativa del punto B respecto de A
 vrel B/A  velocidad relativa del punto B respecto de A
dt
La velocidad relativa del punto B respecto de A representa la variación del vector que
La
punto Como
B respecto
A representa
la variación
vectormovimiento
que une los
une losvelocidad
puntos Arelativa
y B deldel
cuerpo.
este de
cuerpo
es un sólido
rígido, del
el único
puntos
A
y
B
del
cuerpo.
Como
este
cuerpo
es
un
sólido
rígido,
el
único
movimiento
posible
de un
posible de un punto respecto del otro es el de una rotación, en este caso, de B respecto
de
punto
respecto
del
otro
es
el
de
una
rotación,
en
este
caso,
de
B
respecto
de
A.
Luego:
A. Luego:

d rB/A
dt

 
 vrel B/A    rB/A
28
28
ÍNDICE
MANUALES UEX
•

33
d dt
rB/A

 
= vrel B/A = ω × rB/A
dt
En resumen, la ecuación vectorial
 que relaciona las velocidades de dos puntos de un
dun
rB/Amovimiento
dplano
rB/A
  es: las velocidades

 vectorial
 general
cuerpo
que
realiza
En
resumen,
la
ecuación
de dos puntos de un
= vrelGALÁN
ω que
× = rB/Arelaciona
vrel B/A = ω × rB/A
MANUEL REINO FLORES, GLORIA
B/A = MARÍN
dt movimiento plano
dt general es:
cuerpo que realiza un
En resumen, la ecuación vecto




 
v=
v A + vrel B/A
= v A + ( ω × rB/A )
B
cuerpo

 vectorial
 lasque
velocidades
 de
 puntos
En resumen,
la ecuación
relaciona
las dos
velocidades
derealiza
un un movimiento
En resumen, la ecuación
vectorial
que relaciona
dedeundos puntosque
v=
v A + vrel B/A
= v A + ( ω × rB/A )
B
cuerpo
que realizaplano
un movimiento
cuerpo que realiza
un movimiento
general es:plano general es:

Por lo tanto, la velocidad absoluta de un punto de un cuerpo se puede determinar sav=
B
biendo
velocidad
absoluta
de otro de
punto
del
la velocidad
 mismo
 sumándole

  absoluta
 un punto
 de uncuerpo,
cuerpo
Por la
lo tanto,
la velocidad
se puede determinar
sav=
v A + vrel B/A
v=
=
vvAA ++ (vrelωB/A
=
× rB/A )v A + ( ω × rB/A )
B
B
relativa del
primero
respecto
biendo
la velocidad
absolutadel
desegundo.
otro punto del
mismo cuerpo, sumándole la velocidad
Por lo tanto, la velocidad abso
relativa del primero respecto del segundo.
biendo
la velocidad
absoluta de
Por lo tanto, la velocidad
Por
tanto,
absoluta
lapermite
velocidad
de un
punto
absoluta
de de
un
cuerpo
puntosede
puede
un
cuerpo
determinar
se puede
sa-puede
determinar
saEsta loexpresión
deducir
que
unun
movimiento
plano
general
se
componer
relativa
del
primero
respecto
del se
biendo la velocidad
biendo
absoluta
laexpresión
velocidad
dedeotro
puntodeducir
de
otro
delyasumándole
mismo
cuerpo,
lageneral
sumándole
la componer
velocidad
como
resultante
la absoluta
suma
dedel
dosmismo
movimientos
estudiados,
talvelocidad
como
representa
en la
Esta
permite
que punto
uncuerpo,
movimiento
plano
sesepuede
relativa del primero
relativa
respecto
del primero
del segundo.
respecto
deldos
segundo.
figura
siguiente:
como
resultante
de la
suma de
movimientos ya estudiados, tal como se representa en la
Esta expresión permite deducir
figura siguiente:
como
resultante de la suma de dos


Esta expresiónMovimiento
permite
Esta expresión
deducir
permite
que un deducir
movimiento
un
movimiento
general seplano
puedeMovimiento
general
componer
se puede
componer
de traslación
 vB que
de rotación

= vplano
A
figura
siguiente:
 estudiados,

 la suma
 de dos
como resultante de
como
resultante
de
movimientos
la
suma
de
dos
ya
movimientos
tal
ya
como
estudiados,
se
representa
tal
como
en
se
la
representa
en
la
de traslación  vB = v A
Movimiento de rotación 
vMovimiento
ω × rB/A
B =

 
figura siguiente: figura
siguiente:

vB = ω × rB/A
Movimiento de traslación  vB


Movimiento de traslación
Movimiento
de vtraslación

y
B = vA
  
ω × rB/A vB y=

vB =
 
ω × rB/A

B
y
rB
rB
B
rA
OrB/A
rB
O
rA
rB
A
rA
BB



vB rotación
= ω × rB/A
Movimiento
de rotación
Movimiento
 de

y
y
B
B
B
y

 vB = v A
rB/A
rB/A
A
A
rB/A
rB/A
A
+
rB/A
A
A
+
+
B rB/A
y
rB/A
A
B
A
x
x
+
y
O
rB
O
rB B
rB/A
rA
rA
Aceleración
absoluta
y relativa
x
O
B
rB/A
rB
B
y
rB/A
rB/A
rA B
rA
rB
A
rB/A
B
B
rB/A
rB/A
A
B
A
rB
rB/A
A
rA
O
B
B
rB/A
r
x
x
A
rA
MANUALES UEX
2.4.2.
x
x
x
O
O
O
2.4.2.
Aceleración absoluta y relativa
Como se ha visto anteriormente, la relación de velocidades entre dos puntos
cualesquie2.4.2.
Aceleración absoluta y relati
ra AComo
y B de
un
cuerpo
rígido
que
realiza
un
movimiento
plano
general
viene
dada
por la
se ha visto anteriormente, la relación de velocidades entre dos puntos cualesquie2.4.2. Aceleración
2.4.2.
absoluta
Aceleración
y relativa
absoluta y relativa
ecuación
vectorial:
ra A y B de un cuerpo rígido que realiza un movimiento plano general viene dada por la
Como se ha visto anteriormente
ecuación vectorial:
ra
A
y B de un cuerpo rígido que

 de velocidades


 entre
Como se ha vistoComo
anteriormente,
se ha vistolaanteriormente,
relación
de vvelocidades
dos puntos
cualesquiedos puntos cualesquiev=
v Ala+relación
vrel B/A
=entre
B
A + ( ω × rB/A )
ecuación
vectorial:
 general

 dada
ra A y B de un cuerpo
ra A y Brígido
de unque
cuerpo
realizarígido
un movimiento
que realiza plano
un movimiento
general
viene
plano
por la
viene dada por
la
v=
v A + vrel B/A
= v A + ( ω × rB/A )
B
ecuación vectorial:
ecuación vectorial:

Para el análisis de aceleraciones se deriva respecto del tiempo la expresión anterior danv=
B
do como
resultado
el
siguiente
desarrollo:



 de aceleraciones
 
 se deriva
  respecto
 del tiempo

Para el análisis
la expresión anterior danv=
v
+
v
v
=
=
v
v
+
+
v
ω
=
×
r
v
+
ω
×
r
(
)
(
)
B
A
rel B/AB
AA
rel B/A B/A
A
B/A
do como
desarrollo:

 
 el siguiente

 
 resultado

d  v A + ( ω × rB/A ) 
d ( v A + vrel B/A )
d ( ω × Para
rB/A ) el análisis de aceleracione
d vB
d vA
=
=
=+
=el siguiente desa
do
como
Para el análisis dePara
aceleraciones
el análisis de
se aceleraciones
deriva respectosedel
deriva
tiempo
respecto
la expresión
del tiempo
anterior
la expresión
dan- anteriorresultado
dandt
dt
do como resultado
doelcomo
siguiente
resultado
desarrollo:
el siguiente desarrollo:
34
=
donde:
•
•
•
dt
29
29



d rB/A 
 
d vA

dω
+ 
× rB/A  +  ω ×

dt
dt 
 dt


29
29


d vB
= aB  aceleración absoluta del punto B
dt


d vA
= aA  aceleración absoluta del punto A
dt
ÍNDICE

dω

 aceleración angular del cuerpo
= α
dt
dt
d  v A + dt
d ( v A +dt vrel B/A )
d ( ωdt
( ω × rB/A )
ddt
vA
dt
dt
dt× rB/A ) =
= dt
=
=+
dt
dt
dt
dt



d
r

d
v
d
ω





B/A
A
d
r
r  +  ω
d v A +  d ω
=
B/A 
 ×
B/A 
  ×
= ddt

rPLANOS
v A +  CINEMÁTICA
ddtω × rB/A  +  ω
 × ddt
dt
. TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
 ω × dtB/A

=
+  dt × rB/A DE+MECANISMOS
dt
dt
dt




ddt
vB
dt
dt
donde:
donde:

donde:

d v
•• dd vvBBB == aaB 
aceleración
absoluta
del punto
B
 aceleración
aceleraciónabsoluta
absoluta
punto
 ddtvB  aBB 
deldel
punto
B B
dt = a  aceleración absoluta del punto B
dt
•
B
•
•
•
•
•
•
••
•
dt
d
d vvv AA = a  aceleración absoluta del punto A
d
 aceleración
aceleraciónabsoluta
absoluta
punto
= aaAA 
deldel
punto
A A
dt
ddt
vA 
A
dtA = aA  aceleración absoluta del punto A
dt

ω
d
 = α
dω


aceleración
angular
del cuerpo

d

 aceleración
aceleraciónangular
angular
cuerpo
α
dtω = 
ddt
 
deldel
cuerpo

aceleración
angular
del cuerpo
=
α
dt
dt
d

 
d rrB/A
B/A

== vv rel B/A == ω
d
rrB/A
 velocidad
velocidad relativa
relativa de
de B
B respecto
respecto de
de A
A
ω
× rrB/A
 ×
rel B/A
B/A
d dt

B/A

velocidad
relativa
dede
B respecto
de de
A A

v


rrB/A
dt = vrel B/A = ω 

velocidad
relativa
B
respecto
×
rel B/A
B/A
dt
dt
Por
Por tanto,
tanto, la
la ecuación
ecuación vectorial
vectorial que
que relaciona
relaciona las
las aceleraciones
aceleraciones de
de dos
dos puntos
puntos de
de un
un
Por
tanto,
lalaecuación
vectorial
que
relaciona
las
de dosdepuntos
de un cuerpo
cuerpo
realiza
un
plano
general
es:
Por que
tanto,
ecuación
vectorial
que
relaciona
las aceleraciones
dos puntos
de un
cuerpo
que
realiza
un movimiento
movimiento
plano
general
es:aceleraciones
que
realiza
un
movimiento
plano
general
es:
cuerpo que realiza un
plano
 movimiento

  general es:
 
aa=
B
B
=
aa
=
B
B
aaA
A
aaAA
+
+

+
(( αα ×× rr ))
( α × rr )
B/A
B/A
B/A
B/A
+
+ ω
ω


+ 
ω

a
)
B/A )
 att ((B/A
at aB/A
 )
t (B/A
×
×

×
(( ωω ×× rr ))
( ω × rr )
B/A
B/A
B/A
B/A

aan (B/A )

n (B/A )
an B/A a n (B/A )

arel B/A

aarel B/A
rel B/A
arel B/A
Un
Un caso
caso particular
particular de
de movimiento
movimiento plano
plano general
general es
es el
el movimiento
movimiento de
de rodadura
rodadura sin
sin deslideslizamiento
de
un
disco,
de
radio
r,
a
lo
largo
de
una
superficie
horizontal.
En
la
figura
se
Un
caso
particular
de
movimiento
plano
general
es
el
movimiento
de
rodadura
sindesliza‐
desliUn
caso
particular
de
movimiento
plano
general
es
el
movimiento
de
rodadura
sin
zamiento de un disco, de radio r, a lo largo de una superficie horizontal. En la figura
se
representan
la
posición
del
disco
en
el
instante
inicial
y
la
posición
del
disco
al
cabo
de
un
zamiento
de
un
disco,
de
radio
r,
a
lo
largo
de
una
superficie
horizontal.
En
la
figura
se
miento
de unladisco,
de radio
a lo largo
una superficie
En ladel
figura
se al
representan
la
representan
posición
delr,disco
en eldeinstante
inicial horizontal.
y la posición
disco
cabo de un
tiempo,
en
el
que
el
centro
O
ha
representan
la
posición
del
disco
en
el
instante
inicial
y
la
posición
del
disco
al
cabo
de
un
posición
en el
el instante
inicial
tiempo, del
en disco
el que
centro O
ha y la posición del disco al cabo de un tiempo, en el que el
xx0
recorrido
xxdistancia
O ,, mientras
tiempo,O ha
enuna
el distancia
que elunacentro
O xha
centro
recorrido
recorrido
una
distancia
0
O,
O mientras
el
disco
ha
girado
un
ángulo
θ
.
Si
el
x00
recorrido
una
distancia
x
,
mientras
O
mientras
el disco
un θángulo
el disco ha
giradohaungirado
ángulo
. Si el
C
ω
realiza
un
C
el. disco
ha girado
ángulo
θ. Side
el
ω
disco
Si el disco
realiza
unmovimiento
movimiento
disco
realiza
un un
movimiento
de
debe
ser
rodadura,
la
distancia
x
ω
C
O
disco
realiza
un
movimiento
de

ser igual
rodadura,
xO debe
ser
rodadura, laladistancia
distancia
x O debe
O
O
O
θ
aa la
recorrida
por
el
rodadura,
la recorrida
distancia
x O eldebe
aigual
la distancia
por
punto
θ O
igual
la distancia
distancia
recorrida
porser
elC
O
largo
del
perímetro
θ O
igual
aC
pordel
el

apunto
lo largo
dello
punto
Cla aadistancia
lo perímetro
largorecorrida
delcircular
perímetro
C
circular
del
disco.
Es
decir:
punto
a disco.
lo largo
del perímetro
C
disco.
EsCdel
decir:
circular
Es decir:
C
circular del disco. Es decir:
Para el análisis de velocidades se
x O= del
r .tiempo:
θ
a el análisis de velocidades
deriva la anterior
expresiónrespecto
anterior respecto
deriva laseexpresión
30
30
30
del tiempo:
Para el análisis
d de
r . θvelocidades se deriva la expresión anterior respecto del tiempo:
d xO
=
dt
O
(
dt
)
=
r⋅
dθ
dt
d
d xxOO 
=
dt
dt
d
d (rr .. 
θ)
=
dt
dt
donde:
donde:
 velocidad del centro O del disco
dx
O
•
 velocidad del centro O del disco
dt
 velocidad angular ω del disco
30
tanto:
•
dθ
dt
 velocidad angular ω del disco
Por tanto: v O= r . ω
ÍNDICE
d
rr ⋅ dθ
dt
dt
MANUALES UEX
x O r . 
x O= r . θ
35
Para el análisis de velocidades se derivaxla
anterior respecto del tiempo:
=expresión
r.θ
O
Para el análisis de velocidades se deriva la
expresión anterior respecto del tiempo:
. θ)
dθ respecto del tiempo:
Para el análisis de velocidadesdsexOderivaddla(rrexpresión
anterior
.θ
(
d xO =
)=
=
dtMARÍN
dt =
MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN
d (dt
r . θ)
ddt
xO
=
=
donde:
dt
dt
donde:
d xO
•donde:
d x O  velocidad del centro O del disco
•
 velocidad del centro O del disco
dt
ddt
xO
• dθ
 velocidad del centro O del disco
• ddt
θ  velocidad angular ω del disco
• dt  velocidad angular ω del disco
ddtθ
• Por tanto:
 velocidad angular ω del disco
dt tanto:
Por
v O= r . ω
Por tanto:
v= r . ω
r ⋅ dθ
r ⋅ dt
ddtθ
r⋅
dt
O
Se puede determinar la velocidad del punto
v O= rC. en
ω contacto con la superficie horizontal,
Se puede determinar la velocidad del punto
C en contacto con la superficie horizontal,
ya que O y C son dos puntos del disco, y su relación de velocidades es:
ya que
O y C son
dos puntos
del disco,del
y supunto
relación
velocidades
Se puede
determinar
la velocidad
C endecontacto
con es:
la superficie horizontal,







ya que O y C sonvdos
puntos
=
ω
+ velocidades
v O + del
rC/O=y su (relación
r . ω) i de
 ×disco,
( - ω k ) × es:( - r j ) =
C
{{ (
{(
)
)
}}
}
v=
vO + ω × rC/O= (r . ω) i +
- ω k × (- r j ) =
C


 = (r . ω) i + { - (r . ω) i } = 0
=
v=
(r) . ωi }) i = + 0 - ω k × ( - r j ) =
C = v(Or . +
ω) ωi ×+ rC/O
- (r . ω
{


+ rodadura
(r . ω) i de
{ - (r . ω)laivelocidad
} = 0 del punto C del disco en contacto
Por tanto, en un =movimiento
Por tanto, en un movimiento de rodadura la velocidad del punto C del disco en contacto
con la superficie es siempre 0, lo que implica que no exista deslizamiento entre el disco y la
con Por
la superficie
0, lo de
querodadura
implica la
que
no existadel
deslizamiento
y la
tanto, en es
unsiempre
movimiento
velocidad
punto C del entre
disco el
endisco
contacto
superficie.
superficie.
con la superficie es siempre 0, lo que implica que no exista deslizamiento entre el disco y la
Para el análisis de aceleraciones se vuelve a derivar respecto del tiempo:
superficie.
Para el análisis de aceleraciones se vuelve a derivar respecto del tiempo:
d (ra. derivar
ω)
d v Ose vuelve
dω del tiempo:
Para el análisis de aceleraciones
respecto
d v = d ( r . ω ) = r ⋅ dω
dtO =
dt =
d (dt
r . ω)
ddt
vO
=
=
dt
dt
donde:
donde:
dv
donde:
• d v OO  aceleración del centro O del disco
•
 aceleración del centro O del disco
dt
ddt
v
• dωO  aceleración del centro O del disco
• ddt
ω  aceleración angular α del disco
• dt  aceleración angular α del disco
dt
dω
• Por tanto:
 aceleración angular α del disco
dt tanto:
Por
aO= r . α
Por tanto:
a= r . α
r ⋅ dt
ddtω
r⋅
dt
O
aO= r . α
MANUALES UEX
Para determinar la aceleración del punto de contacto C se relacionan las aceleraciones
Para determinar la aceleración del punto de contacto C se relacionan las aceleraciones
de O y C, considerando una aceleración angular en sentido horario:
de OPara
y C,determinar
considerando
una aceleración
angular
sentidoChorario:
la aceleración
del punto
de en
contacto
se relacionan las aceleraciones
de O y C, considerando una aceleración angular en sentido horario:
31
31




( α × rC/O ) + ω × ( ω × rC/O )=
 31



- α k × ( - r j ) + ( ω2 . r ) j =
= (r . α ) i +




= (r . α ) i + { - (r . α ) i } + ( ω2 . r ) j = ( ω2 . r ) j

a=
C

aO +
{(
)
}
36
ÍNDICE
2.5. Movimiento relativo respecto a un sistema en rotación

= (r . α ) i +

{ - (r . α ) i }
+
(ω . r )
2


j = ( ω2 . r ) j
2.5. Movimiento relativo respecto a un sistema en rotación
CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
Hasta el momento, en el presente capítulo se han analizado las relaciones de posición, veloci‐
2.5.
MOVIMIENTO
RELATIVO
RESPECTO
AalUN
EN ROTACIÓN
dad y aceleración
de dosrelativo
puntos
pertenecientes
mismo
sólido
rígido, sea cual sea el movimiento
2.5. Movimiento
respecto
a un sistema
enSISTEMA
rotación
de éste, 2.5.
traslación,
rotación
alrededor
eje fijo
o movimiento plano general. Todo ello ha
Movimiento
relativo
respecto ade
unun
sistema
en rotación
el momento,
en elde
presente
capítulo
han analizado
posición,
sido posibleHasta
mediante
el empleo
un sistema
desereferencia
fijo, las
querelaciones
da lugardea los
conceptos de
velocidad
y
aceleración
de
dos
puntos
pertenecientes
al
mismo
sólido
rígido,
sea
cual
sea el
Hasta
el
momento,
en
el
presente
capítulo
se
han
analizado
las
relaciones
de
posición,
velocidadmovimiento
y aceleración,
tanto relativa como absoluta.
de éste, traslación, rotación alrededor de un eje fijo o movimiento plano genevelocidad y aceleración de dos puntos pertenecientes al mismo sólido rígido, sea cual sea el
ral.
Todo ellodehaéste,
posible mediante
el
empleo de
de un
un eje
sistema
referencia plano
fijo, que
movimiento
traslación,
rotación
alrededor
movimiento
geneembargo,
existensido
numerosos
problemas
en los
que
nofijoesode
posible
el empleo
dedalas
lugar
a
los
conceptos
de
velocidad
y
aceleración,
tanto
relativa
como
absoluta.
ral. Todo ello ha sido posible mediante el empleo de un sistema de referencia fijo, que da
Sin
ecua‐
ciones vistas hasta ahora, ya que se necesita relacionar dos puntos que no pertenecen al mismo
lugar a los
conceptos de velocidad
y aceleración,
tanto
relativa
absoluta.
embargo,
numerosos
problemas
en
los
que no como
posible
las rotación
sólido rígido,Sinpor
lo que existen
el movimiento
relativo
de uno
respecto
aesotro
no el
se empleo
limita adeuna
ecuaciones
vistas
hasta
ahora,
ya
que
se
necesita
relacionar
dos
puntos
que
no
pertenecen
al
Sin
embargo,
existen numerosos
problemas
en losdeque
no es
posible
ellosempleo
de las
como ocurre
ensólido
el movimiento
plano
general.
Ejemplos
estos
casos
son
mecanismos
conec‐
mismo
rígido,
por
lo
que
el
movimiento
relativo
de
uno
respecto
a
otro
no
se
limita
ecuaciones vistas hasta ahora, ya que se necesita relacionar dos puntos que no pertenecen ala
tados pormismo
deslizaderas
que por
se mueven
amovimiento
lo largo plano
derelativo
eslabones
guías,
o porotro
pasadores
una
rotación
el elmovimiento
general.
Ejemplos
casos
sonque
losa se mue‐
sólidocomo
rígido,ocurre
loen
que
de uno
respectodea estos
no
se limita
mecanismos
conectados
por
deslizaderas
que
se
mueven
a
lo
largo
de
eslabones
guías,
ven en ranuras
pertenecientes
a
otras
piezas.
una rotación como ocurre en el movimiento plano general. Ejemplos de estos casos son loso
por
pasadoresconectados
que se mueven
en ranuras pertenecientes
a otras
mecanismos
por deslizaderas
que se mueven
a lopiezas.
largo de eslabones guías, o
El estudio
de estos
se plantea
mediante
la utilización
de un sistema de ejes cartesianos
por El
pasadores
quecasos
se mueven
ranuras
pertenecientes
a otras piezas.
estudio de
estos
casos seenplantea
mediante
la utilización
de un sistema de ejes cartelos puntos
característicos
del
móvil, cuyo
origen
coordenadas
se hace coincidir
con uno
sianos
móvil,de
cuyo
origen
de se
coordenadas
se hacelacoincidir
conde
los puntos
caracteEl estudio
de estos
casos
plantea mediante
utilización
deuno
un de
sistema
de ejes
carteproblema,
deduciendo
la
velocidad
y
aceleración
relativa
de
otro
punto
característico
respecto
al
rísticos
del problema,
deduciendo
la velocidad
y aceleración
relativa
punto caractecaractesianos móvil,
cuyo origen
de coordenadas
se hace
coincidir con
uno de
de otro
los puntos
al anterior.
anterior.rístico
rísticosrespecto
del problema,
deduciendo la velocidad y aceleración relativa de otro punto característico respecto al anterior.
2.5.1. Velocidades
2.5.1. Velocidades
2.5.1. Velocidades
La figura representa dos puntos cualesquiera, P y O, que se encuentran en movimiento.
Se considera
sistema
de ejes
cartesianos
fijos en
espacio,
talencuentran
como
el XYZ,
yenunmovimiento.
sistema
La figura
dos dos
puntos
cualesquiera,
PP elyy O,
O,
quesese
encuentran
Se
Larepresenta
figura un
representa
puntos
cualesquiera,
que
en movimiento.
deun
ejessistema
cartesianos
móviles
xyz, cartesianos
con origen
en
que
giran tal
contal
una
velocidad
consideraSe
ejes
cartesianos
fijos en
elenespacio,
como
elelXYZ,
un
considera
unde
sistema
de ejes
fijosO,
el espacio,
como
XYZ,yyyaceleración
un sistema
sistema de ejes
determinadas.
Los móviles
vectoresxyz,
que en
definen
posición
de velocidad
estos ejes ymóviles
son
de
O,con
quelauna
giran
con una
aceleración
cartesianos
móviles
xyz,
con
origenunitarios
enconO,origen
que
giran
velocidad
y aceleración
determinadas.
 cartesianos
 ejes



.
i
,
j,k
determinadas. Los vectores unitarios que definen la posición de estos ejes móviles son
  unitarios que definen la posición de estos ejes móviles son i , j,k .
Los vectores
i , j,k .
Y
x
y
Y
yy
i
j
j
j k
r0
r0
r0
Z
Z
Oii
O
O
kz
32
z
32
z
k
x
x
P
r
r
rP
rP
P
r
rP
P
X
X
X
Z
MANUALES UEX
Y
37


Llamando rP al vector de posición de P respecto al sistema de ejes fijos, r0 al vector de posi‐

ción de O y r al vector de posición de P respecto
de O, se tiene:
ÍNDICE
MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN

Llamando rP
Llamando r
posición de O yP
posición de O y
donde:
donde:

al vector de posición de P respecto al sistema de ejes fijos, r0 al vector de
al vector de posición de P respecto al sistema de ejes fijos, r0 al vector de
r al vector de posición de P respecto de O, se tiene:
de O, se tiene:
r al vector de posiciónde P respecto


rP r0 + r
=

=
rP r0 + r




r = x i + y j + z k
r= x i+ y j+ zk


siendo x, y, z las coordenadas de posición de P respecto al sistema móvil. Derivando :
siendo x, y, z las coordenadas de posición de P respecto

al sistema móvil. Derivando :
dr0
dr
+ dr
dr
0
dt + dt
dt
dt
drP
=
dr
dtP
=
dt
donde:
donde:
dr 
• drP = v P  velocidad absoluta de P
• dtP = vP  velocidad absoluta de P
•
•
dt
dr0 
= v 0  velocidad absoluta de O
dr
dt0 = v 0  velocidad absoluta de O
dt

dr
Para calcular el valor dr se deriva :
Para calcular el valor dt se deriva :
dt


 dx 
dr
d i 
i
x
=
+
⋅


 dx
dr
d i  +
dt
=
 dt i + x ⋅ dt  +
dt
dt 
 dt


 dz 
 dy 
dj 
dk 
 dy j + y ⋅ d j  +  dz k + z ⋅ dk 
 dt j + y ⋅ dt  +  dt k + z ⋅ dt 
dt 
dt 
 dt
 dt

Con el objetivo de hallar la derivada respecto al tiempo de los vectores i y
el objetivo de
la derivada
al tiempo de los vectores i y
guraCon
se representan
loshallar
vectores
unitariosrespecto
de
J


gura
se representan
los vectores
j
un sistema
de ejes cartesianos
XYunitarios
fijo, I y de
J
J ,
j
un
sistema
ejes cartesianos
fijo, I y xy
J,
θ
y los
de undesistema
de ejes XY
cartesianos
 sistema de ejes cartesianos xy
θ
ymóvil,
los dei un
 y j . Las componentes cartesianas


móvil,
i y j . Las componentes cartesianas
de
i y j son:
de i y j son:


i = cosθ I + senθ J
ω
i = cosθ I + senθ J
ω
j = -senθ I + cosθ J
j = -senθ I + cosθ J

j , en la fij , en la fi-
i
i
θ
θ
I
I
MANUALES UEX
Las derivadas de estos vectores son:


di
d i dθ
=
⋅
= ( -senθ
dt
dθ dt


dj
d j dθ
=
⋅
= ( -cos θ
dt
dθ dt





dθ
I 33
+ cosθ J ) ⋅
= j ω = ω× i
dt
33



 
dθ
= -i ω = ω × j
I − senθ J ) ⋅
dt
Extendiendo lo anterior a un sistema de ejes cartesianos tridimensional:

di
=
dt
38
 
ω× i ;

dj
=
dt
 
ω× j ;

dk
=
dt
 
ω× k
Luego:

dr
=
dt
(
)
(
)
(
)






 dx  dy  dz  
i+
j+
k  +  x ÍNDICE
. ω( xyz) × i + y. ω( xyz) × j + z . ω( xyz) × k 



dt
dt 
 dt
ddtj = dθj ⋅ ddtθ =
=
⋅
=
θ
(( -cos
-cos θ
 × j
I − senθ J ) ⋅ ddtθ = - i ω = ω
I − senθ J ) ⋅
= -i ω = ω × j
dt anterior
dθ adt
Extendiendo lo
un sistema de ejes cartesianosdt
dt
dθ dt
dttridimensional:
Extendiendo lo anterior a un sistema de ejes
cartesianos tridimensional:


Extendiendo
de
cartesianos
tridimensional:


j cartesianos
 
dk
 
Extendiendo lo
lo anterior
anteriord aai un
un sistema
sistema
dedejes
ejes
tridimensional:
d i =
dt =
dt =
dt
ω×
 i ;
ω× i ;
ω× i ;
dj =
dt =
dt =
dt
ω×
 j ;
ω× j ;
ω× j ;
dk =
dt =
dt =
dt
ω×
 k
ω× k
ω× k
; dk
= ω×
dt
ddti = ω×
 i DE; MECANISMOS
ddtj = ω×
 jPLANOS
 Yk PROBLEMAS RESUELTOS
CINEMÁTICA
.TEORÍA
di

dj

dk

Luego:
Luego:

Luego:
Luego:
((
((

((
((

))
))

))
))

((
((

))
))







dr
 dx  dy  dz  
=
 ( xyz) × i + y. ω
 ( xyz) × j + z . ω
 ( xyz) × k 
dr
 dx i + dy j + dz k  +  x . ω


dt i + dy
dt j + dz
dt k  + x . ω
 ( xyz) × i + y. ω
 ( xyz) × j + z . ω
 ( xyz) × k 
 dx
 ( xyz) × i + y. ω
 ( xyz) × j + z . ω
 ( xyz) × k 
dr
dt
dt i + dy
dt j + dz
dt k  +  x . ω
=
 dx
=
dt
dt j + dz
dt k  +  x . ω
 dt i + dy
( xyz ) × i + y. ω
( xyz ) × j + z . ω
( xyz ) × k
 



dr
dt se tiene:
dt
dt
dt 
por lo que
 dx
i
j
k    x .  xyz  i  y.  xyz  j  z .  xyz   k 
se tiene:
por lo que



dt tiene:
dt
dt 
 dt

por




dr
dy 
dz  
por lo
lo que
que se
se tiene:
 dx 







=
+
+
+
ω
×
+
+
=
i
j
k
(x
i
y
j
z
k)
 ( xyz)
dr
dy
dz 
 dx 
 
por lo que se tiene:
dt
dt i + dy
dt j + dz
dt k  +  ω
=
=
 ( xyz) × (x i + y j + z k)
dr
 dx
 
 ( xyz) × (x i + y j + z k)
dr
dt
dt i + dy
dt j + dz
dt k  +  ω
=
=
 dx






=
+
+
+
ω
×
+
+
=
i
j
k
(x
i
y
j
z
k)

 ( xyz)  
dx
dy
dz
dt
dt
dt
dt












dr
dx
dy
dz
( xyz) × r
dt
dt i + dy
dt j + dz
dt k  + ω
=  dx


i
j
k
(x
i
y
j
z
k)








dt i + dy
dt j + dz
dt k  + ω
=  dx
xyz  × r

 (xyz

dt
dt i + dy
dt j + dz
dt k  + ω
 )) × r
dt
dt
dt
=  dx
=  dt i + dt j + dt k  + ω(( xyz
×
r

 xyz)
dtdy  dy
dt
dt  
dz j  
 dx   dx
 dz
velocidad
 r relativa de P respecto al sisk   la
El término 
representa
xyz 
dz k  dt
 dx i +dtdyi j+ dt

El término  dx
la velocidad relativa de P respecto al sisdt i + dy
dt j + dz
dt k  representa
El término
dt i + dy
dt j + dz
dt k  representa la velocidad relativa de P respecto al sis dx
término
representa
la velocidad
relativa
P respectoque
al sisi
j
k
+
+
temaEl de
coordenadas
xyz,
es
decir,
la
velocidad
que
podría medir
un de
observador
se
dt
dt 
 dt 
dy
dz
dt xyz,
dtes decir,
dt la
 dx
 velocidad que podría medir un observador que se
temaEl de
coordenadas
i
j
k
representa
la
velocidad
relativa
de
P
respecto
al
siste‐
término


moviera
con
O
solidario
con
el
sistema
de
ejes
móviles.
Llamando
a
esta
velocidad,
v

 velocidad que podría medir P/(xyz)
tema
de
coordenadas
xyz,
un
que
dt
dt es
dt la
 velocidad
tema
de con
coordenadas
xyz,
eseldecir,
decir,
la
que podría
medirv P/(xyz)
un observador
observador
que se
se
moviera
O solidario
con
sistema
de ejes móviles.
Llamando
a esta velocidad,
moviera
con
O
solidario
con
el
sistema
de
ejes
móviles.
Llamando
v P/(xyz) a esta velocidad,
queda:
moviera
con
O
solidario
con
el
sistema
de
ejes
móviles.
Llamando
a
esta
velocidad,
v
ma
de
coordenadas
xyz,
es
decir,
la
velocidad
que
podría
medir
un
observador
que
se
moviera
con
P/(xyz)
queda:


queda:
O
solidario con el sistema de ejes móviles.
vP/(xyz)
 velocidad, queda:

 a esta
dr Llamando
queda:
=
v P/ (xyz) + ω
 ( xyz) × r
dr

dt
=
v P/ (xyz) + ω

 ) × r
dr
dr
 (( xyz
dt
= vP/ (xyz) + ω
× r
xyz ) × r
=
+
ω



v
dt relaciona
P/ (xyz)
( xyz ) 
Por tanto, la ecuación vectorial dt
que
las velocidades
de los puntos P y O es:
Luego:
dt
=
dr
((
((

))
))

((
((
))
))
Por tanto, la ecuación vectorial que relaciona las velocidades de los puntos P y O es:
Por tanto, la ecuación
vectorial
velocidades
los
P y O es:
 de
 que
 relaciona
 las

ecuaciónvectorial
vectorial
que
relaciona
las
depuntos
los puntos
puntos
Por tanto, lalaecuación
relaciona
P y O Pes:y O es:
=
vque
v P/(xyz)
+lasv 0velocidades
+ velocidades
ω
r los
 ( xyz ) × de
P
=
v P
=
v
=
vPP 
xyz )
xyz )
xyz )
× r
× r
×r

))
))

v ar P/O
v ar P/O

v ar P/O
v ar P/O
se denomina velocidad de arrastre
de P, y vdescribe
la velocidad absoar P/O
El término v ar P/O
El término v ar P/O se denomina velocidad de arrastre de P, y describe la velocidad absov PP/Oenseausencia
denomina
velocidad
de
de P,
yy describe
la
Elque
término
luta El
tendría
movimiento
relativo;
la
velocidad
de P absovista
denominade
velocidad
de arrastre
arrastre
P,decir,
describe
la velocidad
velocidad
término
término
vvarararP/O
sesedenomina
velocidad
de arrastre
de P,deyes
la velocidad
absoluta
que
luta que
tendría
PP/Oen
ausencia
de
movimiento
relativo;
esdescribe
decir,
la
velocidad
de P absovista
desde
el
sistema
de
ejes
fijo
si
P
se
fijase,
en
la
posición
en
que
se
halla,
al
sistema
de
coorluta
que
tendría
P
en
ausencia
de
movimiento
relativo;
es
decir,
la
velocidad
de
P
vista
 el de
luta que
tendría
P en
de fijase,
movimiento
relativo;
decir,
la
velocidad
vista
desde
elP sistema
de
ejesausencia
fijo si P se
enesladecir,
posición
enesque
se Phalla,
al
sistema
deP coortendría
en
ausencia
movimiento
relativo;
la velocidad
de
vista
desde
sistema
de
denadas
xyz.
Adepartir
este
significado
se puede
calcular
fácilmente
v ar P/O aplicando
desde
el móvil
sistema
de
fijode
si
se
fijase,
en la
en
que
se
halla,
sistema
de
desde
sistema
de Aejes
ejes
si PPeste
seensignificado
fijase,
laseposición
posición
en de
quecoordenadas
se
halla, al
almóvil
sistema
deA coorcooraplicando
denadas
xyz.
de
puede
calcular
fácilmente
v ar P/Oxyz.
ejes
fijoelsimóvil
P se fijase,
enpartir
lafijo
posición
que seenhalla,
al sistema
partir
se puede calcular fácilmente v ar P/O aplicando
denadas
móvil
partir
de
aplicando
denadas
móvil xyz.
xyz.seA
Apuede
partir calcular
de este
este significado
significado
puede
calcular
fácilmente
v ar P/O vista
aplicando
la ecuación
vectorial
ante‐
de
este significado
fácilmente vsear P/O
la
ecuación
vectorial
vista
anteriormente
que
relaciona
las
velocidades
de
dos
puntos
de
un
riormente que relaciona las velocidades de dos puntos de un mismo sólido.
34
mismo sólido.
34velocidades de una deslizadera B que se mueve
En la figura siguiente se dibuja el diagrama de
34
 de velocidades

34
figura siguiente
se dibujaconocida,
el diagrama
de una
deslizadera B que se
v desl.B/A
 vB/AC
con En
unalavelocidad
de deslizamiento
 , a lo largo
 de una guía AC. Se toma
mueve con una velocidad de deslizamiento conocida, v desl.B/A = vB/AC , a lo largo de una guía
un sistema de referencia móvil xy con origen de coordenadas en A, de tal forma que el eje x se
 coordenadas en A, de tal forma
AC. Se
toma un
referencia
xy conorigen de
hace
coincidir
consistema
la guía,depor
lo que móvil
xy = AC, y v B/xy  vB/AC . Conociendo

 la velocidad del
que el eje x se hace coincidir con la guía, porlo que ω xy = ω AC , y vB/xy = vB/AC . Conocienabsoluta de la
punto A, v A , y la velocidad angular
 de la pieza, AC , se puede calcular la velocidad

do la velocidad
 del punto A, v A , y la velocidad angular de la pieza, ωAC , se puede calcular
deslizadera B, vB , mediante la ecuación vectorial:

la velocidad absoluta de la deslizadera B, vB , mediante la ecuación vectorial:


vB
=
vB

vB/AC 
vB/AC +

v ar B/A

v ar B/A
=

vB/AC 
vB/AC +

v A 
vA +


 rB/A 
AC × rB/A )
 
(ω
AC
MANUALES UEX

(( ω
(
((ωω ((
v P/(xyz) + v 0 +
v P/(xyz) + v 0 +
+ v0 
+
vP/(xyz)

39
x
34
ωAC . rB/A ÍNDICE
C
vB/AC
ωAC. rB/A
eje x se hace
coincidir
la guía, por lo que ω xy =de
ω AC
y vB/xy ω
Conocien= ACvB/AC
doque
la el
velocidad
del punto
A, vcon
la, pieza,
, se. puede
calcular
A , y la velocidad angular



la velocidad
del punto
angular delalaecuación
pieza, ωvectorial:
v A , y la velocidad
lado
velocidad
absoluta
de laA,deslizadera
B, vB , mediante
AC , se puede calcular

la ecuación
la velocidad absoluta de la deslizadera


B, vB , mediante

 vectorial:
=
vB vB/AC + v ar B/A
= vB/AC + v A + ( ωAC × rB/A )
MANUEL REINO FLORES, GLORIA
GALÁN
MARÍN







=
vB
vB/AC + v ar B/A
=
vB/AC + v A +
x
ωAC . rB/A
ωAC . rB/A
y
C
B
y
C
(ω
AC
× rB/A )
x
ωAC. rB/A
vB/AC
ωAC. rB/A
vB/AC
vB
B
vB
vB/AC
vB/AC
vvA
A
vA vA
ωωACAC
A
2.5.2.Aceleraciones
Aceleraciones
2.5.2.
Partiendode
de lala expresión
expresión obtenida
Partiendo
obtenidaanteriormente:
anteriormente:




 dx  dy  dz  
vP = v0 +  dx i + dyj + dzk  + ( ω(xyz)
 ×r) 
vP = v 0 + dt i +dt j +dt k  + ω(xyz) × r
dt
dt 
 dt
y derivando cada término respecto del tiempo se obtiene:
y derivando cada término respecto
del tiempo
se obtiene: 




(
)




dv
dr  
 × r  +  ω
P
dv=
 0 +  d2 x i + dx ⋅ d i + d 2y j+ dy ⋅ d j + d z2 k + dz ⋅ dk +  dω(xyz)
   (xyz)
dω(xyz)

2
2y
2 z
dvdt
dv
d
x
dx
d
i
d
dy
d
j
d
dzdtdk  dt
 × dt dr 
P
0
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt



=
+ 
i + ⋅ + 2 j + ⋅ + 2 k + ⋅  + 
× r  +  ω(xyz) × 
dt
dt  dt2
dt dt dt
dt dt dt
dt dt   dt
dt 
 
Teniendo en cuenta el valor de las derivadas de los vectores unitarios y ordenando queen cuenta el valor de las derivadas de los vectores unitarios y ordenando quedaTeniendo
la expresión:
2
2
2
da la expresión:
MANUALES UEX

dvP
=
dt
40

 d2 x  d2 y  d2 z  
dv 0
+  2 i + 2 j + 2 k +
dt
dt
dt 35
 dt




 dy 
 dz35
 dω(xyz)    
dr  
 dx 
× r  +  ω(xyz) ×  
+  ⋅ (ω(xyz) × i ) + ⋅ (ω(xyz) × j) + ⋅ (ω(xyz) × k) + 
dt
dt
dt  
 dt

 
 dt
donde el significado de cada término es:
•
•
•

dvP 
= aP
dt

dv 0 
= a0
dt
 aceleración absoluta del punto P.
 aceleración absoluta del punto O.
 d2x  d2 y  d2z  

aP/(xyz)
 2 i + 2 j + 2 k =
dt
dt 
 dt

aceleración relativa del punto P respecto al
sistema de ejes xyz con origen en O, es decir, la aceleración que mediría un observador
solidario con estos ejes.
ÍNDICE
dx
 
 dy 
 dz 

 dx  dy  dz  
⋅ ( ω(xyz) × i ) + ⋅ ( ω(xyz) × j ) + ⋅ ω(xyz) × k =
ω(xyz) ×  ⋅ i + ⋅ j + ⋅ k  =
(
)
donde
donde el
el significado
significado de
de cada
cada término
término es:
es:
donde
el
significado
de
cada
término
es:

donde
el
significado
de
cada
término
es:

dv 
•• dv PP == aaP 
aceleración
absoluta
del

aceleración
absoluta
del punto
punto P.
P.
P
dv
dt
dtPP =
•• dv

aceleración
absoluta
del
punto
P.
a
P

aceleración
absoluta
del
punto
P. PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
=
a
P
dt
CINEMÁTICA DE MECANISMOS

dt
dv
dv 00 = a0  aceleración absoluta del punto O.
 = a0  aceleración absoluta del punto O.
dv
dt

dv
dt00 =
 aceleración
aceleración absoluta
absoluta del
del punto
punto O.
O.
= aa00 
dt
dt2  2  2 
 d

d22xx  d
d22yy  d
d22zz  

aceleración
relativa
del
PP respecto
al
=
k  
22 k
P/(xyz)
aaP/(xyz)
••  ddt22x222 ii ++ ddt22 y222 jj ++ dt

relativa
del punto
P respecto
al sistema
 aceleración
aceleración
relativa
del punto
punto
respecto
al
=
d
P/(xyz)
dx i+d
y j + dt
d2zz22 k  =
dt
••  dt

aceleración
relativa
del
punto
P
respecto
a
 aceleración relativa del punto P respecto al
al
aP/(xyz)
 dt22 i + dt22 j + dt22 k  =
P/(xyz)
sistema
de
ejes
xyz
en
es
la
que
un
dtorigen
dt
 dtxyz
es decir,
de
ejes
en O,origen
mediría un observador
solidario
con estos
sistema
decon
ejes
xyz con
con
origen
enlaO,
O,aceleración
es decir,
decir, que
la aceleración
aceleración
que mediría
mediría
un observador
observador
••
••
sistema
xyz
con
solidario
con
estos
sistema de
de
ejes
xyzejes.
con origen
origen en
en O,
O, es
es decir,
decir, la
la aceleración
aceleración que
que mediría
mediría un
un observador
observador
ejes.
solidario
conejes
estos
ejes.
solidario
con
estos
ejes.
solidario
con
estos
ejes.
 
 dy 
 dz 
dx 
dx  dy
dy  dz
dz  
 (xyz) × j ) + dz
 (xyz) × k ) =
 (xyz) ×  dx
dx
⋅ (
ω(xyz) 
× ii ) 
+ dy ⋅⋅ ( 
ω
⋅ (
ω
ω
+ ⋅⋅ jj 
+ ⋅⋅ kk  
=
 dx ⋅⋅ ii 








j
k

⋅
ω
×
+
ω
×
+
⋅
ω
×
=
ω
×
+
+







(
)
(
)
(
)
dx

dy

dz


dy
(xyz)
(xyz)
(xyz)
(xyz)
dt ⋅ ω
dt ⋅ ω
dt ⋅ ω
dt ⋅ i + dy
dt ⋅ j + dz
dt ⋅ k  =
dz
 × i ) + dy
 × j ) + dz
 × k ) =
 ×  dx
dt
dt
dt
dt
dt
dt
ω
•• dx


(
(
(
(xyz)
(xyz)
(xyz)
(xyz)


 × i + ⋅ ( ω(xyz) × j ) + dt ⋅ ( ω(xyz) × k ) =
ω(xyz) ×  dt ⋅ i + dt ⋅ j + dt ⋅ k  =
=
( ω(xyz)
⋅(xyz)
dt
•• 
 dt
=
ω
× vv P/( xyz)) dt
dt
dt
dt
dt 
=
ω
×
 (xyz) 
P/(xyz ) dt
 × v
=
ω
P/ xyz
=
(xyz) × v P/(( xyz ))
ω(xyz)

d
ω

(xyz)
ω
d
 (xyz) × r  aceleración tangencial de P respecto de O debido a la acelera (xyz) × r =α
aceleracióntangencial
tangencialdedeP Prespecto
respectodedeO O
debido
la acelera× r 
=
α
× r  aceleración


•• ddω
debido
a laa aceleración
(xyz)
dt
ω

 (xyz) × r  aceleración tangencial de P respecto de O debido a la acelera••
rr =
α
dt(xyz) ×
(xyz) × r

aceleración
tangencial
de
P
respecto
de
O
debido
a
la acelera×
=
α
(xyz)
dt
ción
del
dtdel sistema
ción angular
angular
del sistema
sistema
móvil.
angular
móvil. móvil.
ción
del sistema móvil.
ción angular
angular


drdel sistema móvil.





 (xyz) × dr =
 (xyz) ×  v P/(xyz) + ( ω
 (xyz) × r )  =ω
 p/(xyz) ) + ω
 (xyz) × (ω
 (xyz) × r)
  en
•• ω
ω
((  (xyz)
(xyz) ×
ω
× dr
=
ω
× vP/(xyz)
+ ( 
ω
× r ) 
=ω
× vvp/(xyz)
+ 
ω
× (
ω
× r)
 



)
   en
 (xyz)
 (xyz)
 (xyz)
 (xyz)
 (xyz)

(xyz) 
(xyz) 
P/(xyz) 
(xyz) 
(xyz) 
p/(xyz) 
(xyz) 
(xyz) 
dt



dr












 
•• ω
ω(xyz) ×
× dt =
=
ω
×
v
+
ω
×
r
=ω
×
v
+
ω
×
(
ω
×
r)
(
)
(
)
(xyz)
P/(xyz) + ( ω(xyz) × r ) 
(xyz) × v p/(xyz) ) + 
(xyz) × (ω(xyz) × r)
 vP/(xyz)
 en
en
 =ω
( (xyz)
(xyz)
(xyz) × 
(xyz)
p/(xyz)
(xyz) de 
ω(xyz)
dt elωúltimo
esta expresión
término
representa
aceleración
normal
de
PP respecto
O
dt
últimotérmino
términorepresenta
representalala
laaceleración
aceleración
normal
respecto
dedebido
O debido
debido
esta expresión
expresión
elelúltimo
normal
de de
P respecto
de O
a la
expresión
el
último
término
representa
aaesta
la
angular
del
sistema
móvil.
esta
expresión
el del
último
término
la aceleración
aceleración normal
normal de
de PP respecto
respecto de
de O
O debido
debido
la velocidad
velocidad
angular
del
sistema
móvil. la
velocidad
angular
sistema
móvil.representa
aa la
velocidad
angular
del
sistema
móvil.
la Por
velocidad
angular
del
sistema
móvil.
tanto,
ecuación
vectorial
que
relaciona
las
de los
P y O es:
Por tanto,
tanto, lala
laecuación
ecuaciónvectorial
vectorial
que
relaciona
las aceleraciones
aceleraciones
los puntos
puntos
Por
que
relaciona
las aceleraciones
de losdepuntos
P y O Pes:y O es:
Por
Por tanto,
tanto, la
la ecuación
ecuación vectorial
vectorial que
que relaciona
relaciona las
las aceleraciones
aceleraciones de
de los
los puntos
puntos PP yy O
O es:
es:

aa=
P
=
P
aa
P
=
P
a=
P

aaP/( xyz ) +
+
P/( xyz ) 
aaP/
xyz
aP/( xyz) +
+
P/( xyz )

aa0
aa00
a0
0
+
+

+
+
((αα ((
( αα((
xyz )
xyz )
xyz 
xyz )
xyz )
×
×

×
×

rr
rr
r
)))
+
+

+
+

ω
 ( xyz ) ×
ω
×

xyz ) 
 (xyz
×
ω
)×
ω(( xyz
xyz )


aar P/O
((ωω ((
( ωω((
xyz )
xyz )
xyz 
xyz )
xyz )
×
×

×
×

rr
rr
r

)))

+
+

+
+
((222 ... ωω ((
(22 .. ωω((
xyz )
xyz )
xyz 
xyz )
xyz )
×
×

×
×
)))
)

vv P/( xyz )
P/( xyz )
vvP/
xyz
vP/( xyz)
P/( xyz

aaar P/O
ar P/O
aaar P/O

acor P/xyz

aacor P/xyz
ar P/O
cor P/xyz

aacor P/xyz
El
término
a
se
denomina
aceleración
de
arrastre de P, y describe la aceleración absoluta

cor P/xyz
ar P/O
denomina
aceleración
de arrastre
de P,
la aceleración
El
término
aaar P/O se
se
denomina
aceleración
P, yy describe
describe
aceleración
El
término

ar
P/O
que Eltendría
P enaausencia
de movimiento
relativo;de
esarrastre
decir, lade
aceleración
de Pla
vista
desde el
se
denomina
aceleración
de
arrastre
de
P,
y
describe
la
aceleración
término
ar
P/O
aceleración
de
arrastre
de
P,
y
describe
la
aceleración
El
término
aar P/O Pseendenomina
absoluta
que
tendría
ausencia
de
movimiento
relativo;
es
decir,
la
aceleración
de
absolutadeque
ausencia
de movimiento
decir,de
la coordenadas
aceleración
de PP
sistema
ejestendría
fijo si PPseenfijase,
en la posición
en que serelativo;
halla, alessistema
móvil
absoluta
que
tendría
PPdeen
ausencia
de
movimiento
relativo;
es
decir,
la
aceleración
de

vista
desde
el
sistema
ejes
fijo
si
P
se
fijase,
en
la
posición
en
que
se
halla,
al
sistema
absoluta
que
tendría
en
ausencia
de
movimiento
relativo;
es
decir,
la
aceleración
dedePP
xyz. A partir de este significado se puede calcular fácilmente aar P/O aplicando la ecuación vectorial

coordenadas móvil xyz. A partir de este significado se puede calcular fácilmente aar P/O

ta aceleración
al plano que forman la velocidad de los ejes y la velocidad relativa
El términoesaperpendicular
cor P/xyz se denomina aceleración complementaria o de Coriolis. Obsérvese
de P respecto al sistema de referencia xyz.
que esta aceleración es perpendicular al plano que forman la velocidad de los ejes y la
En la figura
siguiente
se dibujaalelsistema
diagrama
velocidad
relativa
de P respecto
decinemático
referencia de
xyz.la deslizadera B, vista anteriormen‐


te, que se mueve con velocidad y aceleración de deslizamiento conocidas, v desl.B/A  vB/AC y
En
la
figura
siguiente
se
dibuja
el
diagrama
cinemático
de
la
deslizadera
B,
vista
ante

adesl.B/A  aB/ACque
respectivamente,
a lo velocidad
largo de unayguía
AC.
riormente,
se mueve con
aceleración
de deslizamiento conocidas,




v desl.B/A = vB/AC y adesl.B/A = aB/AC respectivamente, a lo largo de una guía AC.
Tomando un sistema de referencia móvil xy con origen de coordenadas en A, de tal forma que
Tomando un sistema de referencia móvil xy con origen de coordenadas en A, de tal forma que el eje x se hace coincidir con la guía, se tiene que ω xy = ωAC , α xy = α AC ,




36
vB/xy = vB/AC y aB/xy = aB/AC .
x
ÍNDICE
C
aB/AC
MANUALES UEX
vista anteriormente que relaciona las aceleraciones de dos puntos de un mismo sólido.
36
aplicando la ecuación vectorial vista anteriormente
que relaciona las aceleraciones de dos
36

El término
acor P/xyzsólido.
se denomina aceleración36
36complementaria o de Coriolis. Obsérvese que es‐
puntos
de un mismo
41
que esta aceleración es perpendicular al plano que forman la velocidad de los ejes y la
velocidad relativa de P respecto al sistema de referencia xyz.
En la figura siguiente se dibuja el diagrama cinemático de la deslizadera B, vista anteMANUEL
REINO
GLORIAcon
GALÁN
MARÍN y aceleración de deslizamiento conocidas,
riormente,
queFLORES,
se mueve
velocidad




v desl.B/A = vB/AC y adesl.B/A = aB/AC respectivamente, a lo largo de una guía AC.
Tomando un sistema de referencia móvil xy con origen de coordenadas en A, de tal forma que el eje x se hace coincidir con la guía, se tiene que ω xy = ωAC , α xy = α AC ,




vB/xy = vB/AC y aB/xy = aB/AC .
x
aB/AC
C
2.ωAC.vB/AC
vB/AC
B
ωAC .(ωAC.rB/A)
αAC . rB/A
y
ωAC
αAC
A
aA

Por tanto, conociendo la aceleración del punto A, aA , y la velocidad y aceleración an

gular de la pieza, ωAC y α AC respectivamente, se puede calcular la aceleración absoluta de

la deslizadera B, aB , mediante la ecuación vectorial:
αAC . rB/A
aB/AC
aA
aB
2.ωAC.vB/AC
MANUALES UEX
37
42
ÍNDICE
ωAC .(ωAC.rB/A)
3. ANÁLISIS CINEMÁTICO
DE MECANISMOS PLANOS
3.1. INTRODUCCIÓN
Resolver el problema cinemático directo en un mecanismo consiste en calcular la posición, velocidad y aceleración del eslabón de salida o conducido, así como de aquellos otros
eslabones y puntos de interés que se considere necesario. Para ello, si el mecanismo tiene m
grados de libertad, se necesita conocer el movimiento de m eslabones de entrada o eslabones
conductores. Este análisis cinemático es un paso previo imprescindible para realizar posteriormente el análisis dinámico del mecanismo, en el que ya se consideran las causas (fuerzas
y momentos) que generan el movimiento.
En el presente capítulo se aplicarán a los mecanismos planos los conceptos generales
presentados en el capítulo anterior sobre la cinemática del sólido rígido. Los mecanismos
planos son los más empleados, y en ellos, todos sus elementos se mueven paralelamente a
un mismo plano, lo que permite eliminar una dimensión al analizar el movimiento.
Se expondrán varios procedimientos, gráficos y analíticos, para el estudio cinemático de
un mecanismo.
Los métodos analíticos, sin embargo, permiten obtener una expresión matemática de las
variables de posición, velocidad y aceleración de los eslabones de salida del mecanismo en
función de las variables que describen el movimiento de los eslabones de entrada. Se obtiene
así el análisis cinemático del mecanismo para todo el ciclo completo de movimiento, que es
normalmente el objetivo.
Por ello, en el capítulo siguiente, dedicado a la resolución de casos prácticos, se aplicarán
siempre métodos analíticos en todos los problemas cinemáticos, que serán ilustrados también
en algunos casos con la resolución gráfica para posiciones concretas. A través de su aplicación, se comprobará que los métodos analíticos tienen la ventaja de proporcionar plantea-
ÍNDICE
MANUALES UEX
Los métodos gráficos son muy intuitivos, y de gran ayuda a la hora de comprender fácilmente el movimiento de un mecanismo en una posición dada. Tienen la clara ventaja de poseer una
operativa fácil, pero sólo son válidos en una posición concreta, por lo que no son útiles para
estudiar el movimiento completo de un mecanismo a lo largo de todo el ciclo de movimiento.
43
normalmente el objetivo.
Por ello, en el capítulo siguiente, dedicado a la resolución de casos prácticos, se aplicarán
siempre métodos analíticos en todos los problemas cinemáticos, que serán ilustrados también
GALÁN
MARÍN
enMANUEL
algunosREINO
casosFLORES,
con la GLORIA
resolución
gráfica
para posiciones concretas. A través de su aplicación, se comprobará que los métodos analíticos tienen la ventaja de proporcionar planteamientos
metódicos,
resolubles
pora ordenador.
ilustración,
en se
el último
Porgenerales
ello,
en elmuy
capítulo
siguiente,
dedicado
resoluciónComo
de casos
prácticos,
mientos
generales
muy
metódicos,
resolubles
porlaordenador.
Como
ilustración,
en elaplicarán
último
capítulo
se
presenta
la
resolución
cinemática
completa
de
un
mecanismo
de
retorno
rápidoen
siempre métodos
analíticos
en todoscinemática
los problemas
cinemáticos,
serán ilustrados
también
capítulo
se presenta
la resolución
completa
de unque
mecanismo
de retorno
rápido
con
ayudacasos
de Matlab.la resolución gráfica para posiciones concretas. A través de su aplicación, se
algunos
con
ayuda de con
Matlab.
comprobará que los métodos analíticos tienen la ventaja de proporcionar planteamientos genera‐
Hay
loslosmétodos
analíticos
son
poco
intuitivos, porpor
lo lo
que
Hayque
queseñalar
señalarque,
que,enenocasiones,
ocasiones,
métodos
analíticos
son
que
les muy
metódicos,
resolubles
por ordenador.
Como ilustración,
en
el poco
últimointuitivos,
capítulo se presenta
a ala lahora
dedeaplicarlos
esesnecesario
dominar
loslosconocimientos
dedecinemática
vectorial
deldel
hora
aplicarlos
necesario
dominar
conocimientos
cinemática
vectorial
la resolución cinemática completa de un mecanismo de retorno rápido con ayuda de Matlab.
sólido
sólidorígido
rígidoque
quesubyacen
subyacenbajo
bajotodas
todaslaslasecuaciones
ecuacionesparamétricas,
paramétricas,y apoyarse
y apoyarseenenmétodos
métodos
Haypara
que
señalar
que, en
los en
métodos
analíticos
son poco
intuitivos,
por lo que
la
gráficos
el elocasiones,
movimiento
concretas.
PorPor
consiguiente,
enenlaa la
gráficos
paracomprender
comprender
movimiento
enposiciones
posiciones
concretas.
consiguiente,
hora
de
aplicarlos
es
necesario
dominar
los
conocimientos
de
cinemática
vectorial
del
sólido
rígido
resolución
dede
casos
prácticos
del del
próximo
capítulo
se presenta
en todos
los problemas
no sólono
resolución
casos
prácticos
próximo
capítulo
se presenta
en todos
los problemas
que
subyacen
bajo
todas
las
ecuaciones
paramétricas,
y
apoyarse
en
métodos
gráficos
para
la sólo
aplicación
del
método
analítico,
sino
también
su
interpretación
vectorial
en
términos
de com‐
las
la aplicación del método analítico, sino también su interpretación vectorial en términos
prender
el
movimiento
en
posiciones
concretas.
Por
consiguiente,
en
la
resolución
de
casos
prác‐
ecuaciones
de
cinemática
del
sólido
rígido.
de las ecuaciones de cinemática del sólido rígido.
ticos del próximo capítulo se presenta en todos los problemas no sólo la aplicación del método
hora
derealizar
realizar
lasíntesis
síntesiso odiseño
diseño
unmecanismo,
mecanismo,
conocimiento
detodos
todoslosdel
los
A Ala lahora
dedeunen
analítico,
sinodetambién
sulainterpretación
vectorial
términos
de el
laselconocimiento
ecuaciones
de de
cinemática
métodos
es
importante,
y
serán
las
características
del
sistema
las
que
indicarán
el
camino
a
métodos
es
importante,
y
serán
las
características
del
sistema
las
que
indicarán
el
camino
a
sólido rígido.
seguir.
seguir.
A la hora de realizar la síntesis o diseño de un mecanismo, el conocimiento de todos los mé‐
todos es importante, y serán las características del sistema las que indicarán el camino a seguir.
3.2.
Métodos
gráficos
3.2.
Métodos
gráficos
3.2.
MÉTODOS
GRÁFICOS
3.2. Métodos gráficos
métodosgráficos
gráficosconstituyen
constituyen
unaherramienta
herramientacomplementaria
complementaria
muy
potente
a la
hora
LosLos
métodos
una
muy
potente
a la
hora
realizar
análisis
cinemático.
Aunque
sóloson
sonválidos
válidosenenuna
unaposición
posición
determinada,
dederealizar
el elanálisis
cinemático.
Aunque
sólo
determinada,
Los métodos
gráficos
constituyen
una herramienta
complementaria
muy
potente
a la hora de
ayudan
a comprender
el movimiento
cada
eslabón
enuna
posiciones
concretas
de interés.
ayudan
el movimiento
de de
cada
eslabón
en en
posiciones
concretas
de interés.
realizara comprender
el
análisis cinemático.
Aunque
sólo
son
válidos
posición
determinada,
ayudan a
comprender
el movimiento
de cada eslabón
en
posiciones
concretas
de interés. En primer lugar,
este
apartado
estudiarán
métodos
gráficos
empleados.
EnEn
este
apartado
se se
estudiarán
loslos
dosdos
métodos
gráficos
masmas
empleados.
En primer lugar, a
a través
del apartado
método
de
los polígonos
de velocidades
y aceleraciones,
se obtiene
el valor
En
se polígonos
estudiarán
losvelocidades
dos
métodosy aceleraciones,
gráficos
mas empleados.
Enel primer
lugar,
través
deleste
método
de los
de
se obtiene
valor
de
lasdea
las
variables
cinemáticas
demecanismo
un mecanismo
en instante
un
instante
dado.
Aobtiene
continuación,
también
través
del
método
de de
los un
polígonos
de velocidades
y aceleraciones,
el valortambién
de
las varia‐
variables
cinemáticas
en un
dado.
Asecontinuación,
sese
estudiará
método
deresolución
resolución
gráfico
parael elcálculo
cálculo
develocidades
velocidades
basado
centro
bles cinemáticas
dedeun
mecanismo
en
un para
instante
dado.
Adecontinuación,
también
seen
estudiará
el
estudiará
el el
método
gráfico
basado
en
el elcentro
instantáneo
de
rotación.
método
de
resolución
gráfico
para
el
cálculo
de
velocidades
basado
en
el
centro
instantáneo
de
instantáneo de rotación.
rotación.
3.2.1.
Movimiento
relativo
entre
puntos.
Polígonos
de velocidades
y aceleraciones
3.2.1.
Movimiento
relativo
entre
dosdos
puntos.
Polígonos
de velocidades
y aceleraciones
3.2.1. Movimiento relativo entre dos puntos. Polígonos de velocidades y aceleraciones
y como
se
ha
descrito
en
el capítulo
anterior,
la relación
entre
las velocidades
y aceTalTal
sese
haha
descrito
enen
elelcapítulo
anterior,
lalarelación
entre
las
yy aceleTaly como
y como
descrito
capítulo
anterior,
relación
entrepor
lasvelocidades
velocidades
acelera‐
leraciones
absolutas
de
dos
puntos
cualesquiera
A
y
B
viene
dada
la
expresión:
raciones
absolutas de
dedos
dospuntos
puntoscualesquiera
cualesquieraA Ay By viene
B viene
dada
la expresión:
ciones absolutas
dada
porpor
la expresión:
     
v=
v A v A+ vB/AvB/A
B vB 
 a  a  a
a=
+ aB/AB/A
B B aA A
MANUALES UEX

44

y aB/A
representan la velocidad y aceleración relativa del movimiento de B respecto a
donde vvB/A
B/A y a
B/A representan la velocidad y aceleración relativa del movimiento de B res37 según lasegún
A. La avelocidad
relativa tendrá
componente
dirección
del deslizamiento,
más la
pecto
A. La velocidad
relativauna
tendrá
una componente
la dirección
del deslizamienexistente
al giro
relativo
entre
los puntos
y B:puntos A y B:
to,
más ladebido
existente
debido
al giro
relativo
entreAlos


 x r


 vvdesliz.
vvB/A
ω
B/A =
BA x rB/A
B/A 
desliz. B/A
B/A
BA
 +
Análogamente, la aceleración relativa sevvrotación
obtiene sumando la aceleración debida a la rotarotación
ción relativa, más la aceleración debida al deslizamiento, más el término complementario
correspondiente a la aceleración de Coriolis.
37
Por consiguiente, la expresión vectorial que proporciona la aceleración relativa es:









aB/A =  αBA x rB/A  +  ωBA x ( ωBA x rB/A )  + adesliz. B/A + 2. ωBA x vdesliz. B/A 
ÍNDICE


  y a  representan la velocidad y aceleración relativa del movimiento de B resdonde
donde
yy yaaB/A
lalala
velocidad
yy aceleración
relativa
del
movimiento
de
BB resB/A
B/A
dondevvvB/A
representan
velocidad
yaceleración
aceleración
relativa
movimiento
BresresvB/A
aB/Arepresentan
donde
representan
velocidad
relativa
deldel
movimiento
dede
B/A
B/A
pecto
a
A.
La
velocidad
relativa
tendrá
una
componente
según
la
dirección
del
deslizamienpecto
a
A.
La
velocidad
relativa
tendrá
una
componente
según
la
dirección
del
deslizamienpectoa aA.A.LaLavelocidad
velocidadrelativa
relativatendrá
tendráuna
unacomponente
componentesegún
segúnlaladirección
direccióndeldeldeslizamiendeslizamienpecto
to,
más
existente
debido
giro
relativo
entre
los
puntos
B:
to,
más
lala
existente
debido
alal
giro
relativo
los
puntos
AA
CINEMÁTICA
DEentre
MECANISMOS
PLANOS
Y PROBLEMAS RESUELTOS
más
existente
debido
al
giro
relativo
entre
puntos
y. TEORÍA
B:
to,to,
más
lala
existente
debido
al
giro
relativo
entre
loslos
puntos
AyAyyB:
B:
  =
  x r   +v 
vvvB/A
xx rB/A
ωω
B/A
BA
desliz.
B/A
vB/A=
xrB/A
rB/A
vdesliz.
=
ωBA
B/A
vdesliz.
=
+v+
 +
B/A
B/A
desliz.
B/AB/A
 ωBABA
Análogamente,
la
aceleración
relativa
se obtiene
sumando
la aceleración
debida
a la
Análogamente,
aceleración
relativa
se
obtiene
sumando
aceleración
debida
rotaAnálogamente,
lala
aceleración
relativa
se
obtiene
sumando
lala
aceleración
debida
aaa lala
rotaAnálogamente,
aceleración
relativa
se
obtiene
sumando
aceleración
debida
alala
rotaAnálogamente,
lala
aceleración
relativa
se
obtiene
sumando
lala
aceleración
debida
rotarotación
vvvrotación
vdeslizamiento,
rotación
rotación
rotación
relativa,
más
la
aceleración
debida
al
deslizamiento,
más
el
término
complementario
ción
relativa,
más
la
aceleración
debida
al
más
el
término
complementario
ción
ciónrelativa,
relativa,más
máslalalaaceleración
aceleracióndebida
debidaalalaldeslizamiento,
deslizamiento,más
másel eltérmino
términocomplementario
complementario
ción
relativa,
más
aceleración
debida
correspondiente
a aceleración
la
aceleración
de
Coriolis.deslizamiento, más el término complementario
correspondiente
aceleración
de
Coriolis.
correspondiente
aaalala
de
Coriolis.
correspondiente
a la
aceleración
Coriolis.
correspondiente
la
aceleración
dede
Coriolis.
Porconsiguiente,
consiguiente,
la
expresión
vectorial
que
proporciona
la aceleración
relativa
es:
Por
expresión
vectorial
que
proporciona
aceleración
relativa
es:
Por
consiguiente,
lala
expresión
vectorial
que
proporciona
lala
aceleración
relativa
es:
Por
consiguiente,
expresión
vectorial
que
proporciona
aceleración
relativa
Por
consiguiente,
lala
expresión
vectorial
que
proporciona
lala
aceleración
relativa
es:es:
   
     
   
  = α
 
ω
ω
rrB/Ar +++ +ω
rrB/Ar)) +
++ +2.
2.ω
aaaB/A
== =αα
xxx rxB/A
xxx (x((ωω
xxx rxB/A
xxxvvvxdesliz.
B/A
BA
desliz.
B/A +
desliz.
B/A
aB/A
adesliz.
vdesliz.
αBA
ωBA
ωBA
ωBA
B/A
B/A
ω(BABA
ωBABA
   ωBABA
2.2.
 
))++ +aaadesliz.
B/A
B/AB/A
BA
BA
B/AB/A
desliz.
B/AB/A
BA
desliz.
B/AB/A
 BABA
rotación
aaarotación
arotación
rotación
Coriolis
aaaCoriolis
aCoriolis
Coriolis
Uniendo
todas
las
ecuaciones
descritas
se obtienen
las expresiones
que
se utilizarán
Uniendo
todas
las
ecuaciones
descritas
se
obtienen
las
expresiones
que
se
utilizarán
duUniendo
todas
las
ecuaciones
descritas
se
obtienen
las
expresiones
que
se
utilizarán
duUniendo
todas
ecuaciones
descritas
obtienen
expresiones
que
utilizarán
duUniendo
todas
laslas
ecuaciones
descritas
sese
obtienen
laslas
expresiones
que
sese
utilizarán
dudurante
este
capítulo,
que
son
las
que
proporcionan
la
relación
entre
las
velocidades
y acerante
este
capítulo,
que
son
las
que
proporcionan
la
relación
entre
las
velocidades
y
acelerarante
este
capítulo,
que
son
las
que
proporcionan
la
relación
entre
las
velocidades
y
aceleraranteeste
estecapítulo,
capítulo,que
queson
sonlaslasque
queproporcionan
proporcionanlalarelación
relaciónentre
entrelaslasvelocidades
velocidadesy yaceleraacelerarante
leraciones
absolutas
de
los puntos
A y B:
ciones
absolutas
de
los
puntos
B:
ciones
absolutas
de
los
puntos
AA
ciones
absolutas
puntos
y B:
ciones
absolutas
dede
loslos
puntos
AyAyyB:
B:
   

  + ω
+ vvvdesliz.
rxrB/Ar +
xxx rB/A
ωω
desliz.
B/A
= vvvAAAv+
ωBA
vdesliz.
B/A
BABA
 + +
A+ +
BA
B/AB/A
desliz.
B/AB/A








   


  x r   + ω
  x r   + a 
ω
 BA xx ((ω
++ +2.
2.ω

aaaBBa=B==aa=aAAaA++
xx rxB/A
xx rxB/A
xxxvvvxdesliz.
αα
 ++ +ωω
BA
desliz.
B/A +
desliz.
B/A
))))++ +aadesliz.
rB/A
rB/A
adesliz.
vdesliz.
αBA
ωBAx x( ω
ωBA
ωBA
B/A
B/A
rB/A
rB/A
ω(BABA
ωBABA
2.2.
 
B
A ++
B/A
BA
B/A
desliz.
B/AB/A
BA
desliz.
B/AB/A
 αBABA
   BABA

vvvBBv=B==
B
Representando
gráficamente
los
vectores
que
aparecen
en
las
expresiones
anteriores,
se
Representando
gráficamente
los
vectores
que
aparecen
en
las
expresiones
anteriores,
se
Representando
gráficamente
vectores
que
aparecen
en
las
expresiones
anteriores,
se
Representando
gráficamente
loslos
vectores
que
aparecen
enen
laslas
expresiones
anteriores,
sese
Representando
gráficamente
los
vectores
que
aparecen
expresiones
anteriores,
puede
resolver
el
análisis
cinemático
de
un
mecanismo
para
una
posición
determinada
mepuede
resolver
el
análisis
cinemático
de
un
mecanismo
para
una
posición
determinada
mepuede
resolver
el
análisis
cinemático
de
un
mecanismo
para
una
posición
determinada
mepuede
resolver
el
análisis
cinemático
de
un
mecanismo
para
una
posición
determinada
mepuede resolver el análisis cinemático de un mecanismo para una posición determinada
diante
desarrollo
de
los
polígonos
de
velocidades
aceleraciones.
se
desadiante
elel
desarrollo
de
los
polígonos
de
velocidades
yyy aceleraciones.
AA
se
desadiante
desarrollo
polígonos
velocidades
yaceleraciones.
aceleraciones.
Acontinuación,
continuación,
desadiante
elel
desarrollo
dede
loslos
polígonos
dede
velocidades
A continuación,
continuación,
sese
desamediante
el desarrollo
de
los polígonos
de velocidades
y aceleraciones.
A continuación,
se
rrollan
dichos
polígonos
para
los
tres
casos
posibles.
rrollan
dichos
polígonos
para
los
tres
casos
posibles.
rrollan
dichos
polígonos
para
los
tres
casos
posibles.
rrollan
dichos
polígonos
para
los
tres
casos
posibles.
desarrollan dichos polígonos para los tres casos posibles.
CASO
1:
los
puntos
mismo
eslabón.
a)a)
CASO
1:
los
puntos
AA
alal
mismo
a) CASO
1:
los puntos
Apertenecen
y B pertenecen
al eslabón.
mismo
eslabón.
CASO
puntos
y pertenecen
Bpertenecen
mismo
eslabón.
a)a)
CASO
1:1:
loslos
puntos
AyAyyBBB
pertenecen
alal
mismo
eslabón.
En
este
caso,
el
único
movimiento
relativo
que
es
posible
entre
y ByBB es
eses
una
rotación,
de
En
este
caso,
elelel
único
movimiento
relativo
que
es
posible
entre
AA
una
rotación,
de
En
este
caso,
único
movimiento
relativo
que
es
posible
entre
una
rotación,
de
EnEn
este
caso,
único
movimiento
relativo
que
es
posible
entre
A yA
una
rotación,
dede
este
caso, el único
movimiento
relativoentre
que A
esyposible
entre
Aay través
y BBeses
una
rotación,
modo
que
la
relación
de
velocidades
absolutas
B
se
obtiene
de
la
expresión
modo
que
lalala
relación
de
velocidades
absolutas
entre
AA yAy ByB se
obtiene
aa través
de
lalala
expresión
modo
que
relación
de
velocidades
absolutas
entre
B
se
obtiene
a
través
de
expresión
modo
que
relación
de
velocidades
absolutas
entre
se
obtiene
través
de
expresión
modo que la relación de velocidades absolutas entre A y B se obtiene a través de la expresión
vectorial:
vectorial:
vectorial:
vectorial:
vectorial:

r 

 + v  = v  + ω
vvvBBv==B= = vvvAAv+
v relvB/A
B/A == = vvAAv+
(( ω(ABABABω AB××× ×rB/A
))) )
rB/A
rB/A
B
A A+ +vrel
rel rel
B/AB/A
A A+ + ( ω
B/A
Observar
que
para
denominar
velocidad
angular
deldel
eslabón
que
contiene
Observar
que
para
denominar
aaa laala
velocidad
angular
del
eslabón
que
contiene
aaa AA
Observar
que
para
denominar
velocidad
angular
eslabón
que
contiene
aA yAyy BB
yB se
Bse
Observar
que
para
denominar
lala
velocidad
que
contiene
sese
 angular
  del
 eslabón
ω
ω
ω
=
 AB ,, puesto
puesto
que
dicho
valor
pueden
utilizar
indistintamente
las
notaciones
=
=
que
dicho
valor
pueden
utilizar
indistintamente
las
notaciones
ω
ω
=
ω
AB
BA
eslabón
, puestoque
quedicho
dichovalor
valor
puedenutilizar
utilizarindistintamente
indistintamentelaslasnotaciones
notacionesωABAB
ωAB=
=
ωBA=
=
ωeslabón
, puesto
pueden
AB
ωBABA
ωeslabón
eslabón
AB AB
es
una
característica
del
eslabón.
es
una
característica
del
eslabón.
una
característica
eslabón.
eses
una
característica
deldel
eslabón.

  el
La
ecuación
anterior
está
formada
por
tres
vectores,
indica
que
sumando
vector
La
ecuación
anterior
está
formada
por
tres
vectores,
eee indica
que
sumando
alal
vector
ecuación
anterior
está
formada
por
tres
vectores,
eindica
indica
que
sumando
vectorvvvAAAvel
LaLa
ecuación
anterior
está
formada
por
tres
vectores,
que
sumando
alal
vector
Aelel
   
ω
v . La representación gráfica de esta suma de vectovector
,
se
obtiene
el
vector
×
r
(
)
vector
obtiene
elelel
vector
representación
gráfica
de
esta
suma
de
vectorB/A
vector( ωωABAB
, se
obtiene
vectorvvBBv..La
. La
representación
gráfica
esta
suma
vectoω ×× ×
vector
se
obtiene
vector
La
representación
gráfica
dede
esta
suma
dede
vectorB/Ar) ,, se
AB AB
))
B/AB/A
B B
En la figura siguiente se dibuja el polígono de velocidades de un eslabón AB en un movi
38
miento plano general. Suponiendo conocida38
38la38velocidad absoluta del punto A, v A , y la

velocidad angular del eslabón, ωAB , se puede calcular gráficamente la velocidad absoluta del

punto B, vB , representando la ecuación vectorial de velocidades:
MANUALES UEX
((
rial
constituye
polígono
de
velocidades,
que
en
este
caso
siempre
será
un
triángulo,
cuya
rial
constituye
elel
polígono
de
velocidades,
que
en
este
caso
siempre
será
un
triángulo,
cuya
rial
constituye
polígono
velocidades,
que
este
caso
siempre
será
triángulo,
cuya
rial
constituye
elel
polígono
dede
velocidades,
que
enen
este
caso
siempre
será
unun
triángulo,
cuya
construcción
ayudará
a
resolver
gráficamente
el
análisis
de
velocidades
del
mecanismo.
construcción
ayudará
aaresolver
gráficamente
elelel
análisis
de
velocidades
del
mecanismo.
construcción
ayudará
a resolver
gráficamente
análisis
velocidades
mecanismo.
construcción
ayudará
resolver
gráficamente
análisis
dede
velocidades
deldel
mecanismo.
45
Vrel B/A = ωΑΒ . rB/A
B
ÍNDICE
Vrel B/A
la
ecuación
vectorial
velocidades:
punto
vB , representando
EnB,
la figura
siguienteVrel
seB/A
dibuja
dede
velocidades
de un eslabón AB en un movi. rpolígono
= ωΑΒel
B/A

miento plano general. Suponiendo
conocida
la
velocidad
absoluta
del punto A, v A , y la
Vrel B/A = ωΑΒ . rB/A
Vrel B/A = ω ΑΒ ,. se
r
velocidad angular del eslabón,
ωAB B/Apuede calcular gráficamente la velocidad absoluta del
Vrel B/A = ωΑΒ
. rB/A

B vectorial de velocidades:
la ecuación
punto B,REINO
vB , representando
MANUEL
FLORES, GLORIA
GALÁN MARÍN
Vrel B/A
B
B
Vrel B/A
Vrel B/A
B
Vrel B/A = ωΑΒ . rB/A
vA
vA
vA
vA
ωAB
vA
vB
rB/A
rB/A
rB/A
A
A
A
ωAB
AωAB
Vrel B/A
rB/A
B
Vrel vB/A
B
vB
vB
vA
vA
vA
vA
ωAB
vB
rB/A
vA
ωAB
Análogamente, es posible construir el polígono de aceleraciones de acuerdo con la ecuaA
ción vectorial,
aunque
este
caso esconstruir
más complicado
puesdelaaceleraciones
resolución geométrica
pasa
Análogamente,
es posible
el polígono
de acuerdo
conporla elecuaAnálogamente,
es posible
el polígono
aceleraciones
de acuerdo
con
desarrollo
de un cuadrilátero.
Dado
elcomplicado
único de
movimiento
relativo
posible
entrelapasa
AecuayB
ción vectorial,
aunque
esteconstruir
caso esque
más
pues la resolución
geométrica
por el
Análogamente,
es posible
construir
el
polígono de
aceleraciones
degeométrica
acuerdo con
la por
ecuación
vectorial,
aunque
este
caso
es
más
complicado
pues
la
resolución
pasa
el
corresponde
rotación,
la relación
de losrelativo
dos puntos
del entre
eslabón
desarrolloa una
de un
cuadrilátero.
Dadoentre
quelas
el aceleraciones
único movimiento
posible
AyB
ción
vectorial,
aunque
este casoDado
es másque
complicado
pues la resolución
geométricaentre
pasa Apory el
desarrollo
cuadrilátero.
únicolasmovimiento
relativo
B
viene
dadade
porun
la aecuación
vectorial:
corresponde
una rotación,
la relaciónel entre
aceleraciones
de losposible
dos puntos del
eslabón
desarrollo dea un
cuadrilátero.
Dado
queentre
el único
movimientoderelativo
posible
entre
AyB
corresponde
una
rotación,
la
relación
las
aceleraciones
los
dos
puntos
del
eslabón
viene dada por la ecuación vectorial:
corresponde
a una
rotación,vectorial:
la relación entre las aceleraciones de los dos puntos del eslabón
viene
dada por
la ecuación
Análogamente,
es posible construir
de aceleraciones
de acuerdo con la ecua
 el polígono


viene dada por la ecuación
vectorial:
ωAB × ( ωAB × rB/A ) 
a
=
a
α ABcomplicado
× rB/A ) + pues
(
A +
ción vectorial, aunque Beste caso
es
más
la
resolución
pasa por el





 geométrica
aA +
× rB/A ) movimiento
+ ωAB ×
rB/A )  entre A y B
( αelAB único
( ωAB ×posible
 aB =
 Dado
que
relativo
desarrollo de un cuadrilátero.
aB = aA + ( α
) + ω AB × ( ωde
rB/A ) 
 AB × rB/Alas
 AB × dos
corresponde a una rotación,
aB = alaA relación
+ ( α AB entre
× rB/A ) aceleraciones
+ ωAB × ( ωABlos
× rB/A ) puntos del eslabón
Observar que para denominar a la aceleración angular del eslabón que contiene a A y B
viene dada por la ecuación vectorial:



se puede
utilizar
lasa notaciones
, puesto
quecontiene
dicho
αABangular
=
αangular
αeslabón
Observar
queindistintamente
parapara
denominar
la aceleración
del
eslabón
que que
contiene
a Avalor
ya BA y B
Observar
que
denominar
a la aceleración
delABeslabón
BA =



Observar
que
para
denominar a las
lalasaceleración
angular
del=
eslabón
que
contiene
adicho
A y Bvalor
se
pueden
utilizar
indistintamente
notaciones
,
puesto
que
dicho
se
puede
utilizar
indistintamente
notaciones
puesto
que
α
=
α
α
AB
BA
eslabón AB
es una
característica
del
eslabón.
 angular

 eslabón
Observar
queindistintamente
para
la
del
aAyB
 denominar
 lasa notaciones

 que contiene
 aceleración

se puede
utilizar
α
=
α
valor
esuna
una
característica
eslabón.
α
 que dicho valor
+AB =
 BA
 eslabón AB , puesto
aB =deldel
aeslabón.
ω
A + ( α AB × rB/A )
AB × ( ωAB × rB/A ) 
es
característica
se puede utilizar indistintamente las notaciones αAB =
αBA =
αeslabón AB , puesto que dicho valor
es una característica del eslabón.
es una
del eslabón.
En característica
la figura siguiente
se dibuja el polígono de aceleraciones de un eslabón AB en el que

y laaceleraciones
velocidad
y de
aceleración
angular
se conoce
la
aceleración
absoluta
A, aA ,angular
En
la
figura
siguiente
se dibuja
el polígono
de
un eslabón
AB
elB que
Observar que para denominar
adella punto
aceleración
del eslabón
que
contiene
a Aenydel




 velocidad
En
la
figura
siguiente
se
dibuja
el
polígono
de
aceleraciones
de un eslabón
AB en angular
el que del
,
y
la
y
aceleración
se
conoce
la
aceleración
absoluta
del
punto
A,
a
lo que permite
laABaceleración
absoluta
del
eslabón,
se puede
utilizar
indistintamente
laselnotaciones
, puesto
queAB
dicho
ωAB ysiguiente
α AB respectivamente,
α =
α calcular
=
αeslabónde
A
En la figura
dibuja
eslabón
en elvalor
que
, y laBAvelocidad
yunaceleración
angular
del
se conoce
la aceleración
absoluta
delpolígono
punto A,deaAABaceleraciones

 se
y
respectivamente,
lo
que
permite
calcular
la
aceleración
absoluta
eslabón,
ω
α
,
mediante
la
ecuación
vectorial
anterior:
punto
B,
a
AB
AB
es una
característica
Bla aceleración
 del eslabón.
se
conoce
absoluta
del
punto
A,
aA , y la velocidad y aceleración angular del del
lo que permite calcular la aceleración absoluta del
eslabón, ω
AB y α
B,
 AB respectivamente,
mediante
la ecuación vectorial
anterior:calcular la aceleración absoluta del
puntoω
ayB , α
respectivamente,
lo que
permite
eslabón,
AB
AB
anterior:
punto B, aB , mediante la ecuación vectorial
la ecuación
anterior:
punto
EnB,la afigura
siguiente
se dibuja vectorial
el polígono
de aceleraciones de un eslabón AB en el que
B , mediante
39

y la velocidad y aceleración angular del
se conoce la aceleración absoluta
del
punto
A,
aA ,39
B


39
eslabón, ωAB y α AB respectivamente, lo que permite calcular la aceleración absoluta del
39
aA

ΑΒ . rB/A
anterior:
punto B, aB , mediante la ecuaciónαvectorial
MANUALES UEX
ωΑΒ.(ωΑΒ.rB/A)
46
αΑΒ . rB/A
39
ωAB
A
αAB
aB
ωΑΒ.(ωΑΒ.rB/A)
aA
• Ejemplo: a continuación se analizará, mediante los polígonos de velocidades y aceleraciones, el problema cinemático del mecanismo biela-manivela.
A
ÍNDICE
B
αΑΒ . rB/A
ωAB
αAB
aB
CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
 Ejemplo: a continuación se analizará, mediante los polígonos de velocidades y aceleraciones,
ωΑΒ.(ωΑΒel
.rB/A)
aA
problemaA cinemático del mecanismo
biela‐manivela.
• Ejemplo:
velocidades yy aceleracioaceleracio•
Ejemplo:aacontinuación
continuaciónse
se analizará,
analizará, mediante
mediante los
los polígonos
polígonos de
de velocidades
nes,
el
problema
cinemático
del
mecanismo
biela-manivela.
nes, el problema cinemático del mecanismo biela-manivela.
A
A
B
B
OA
ωOA
En este caso la manivela OA es el eslabón de entrada, cuyo movimiento se conoce al constituir
 cuyo movimiento se conoce al
En este
casoque
la gira
manivela
OA es el angular
eslabón constante
de entrada,
el eslabón
motor
a una velocidad
de salida que hay
OA . Las variables

constituir el eslabón motor que gira a una velocidad angular constante ωOA . Las variables de
que determinar son la velocidad y aceleración del pistón B y la velocidad y aceleración angular de
 hay
 que determinar son la velocidad y aceleración del pistón B y la velocidad y
salida 
que
la biela,
AB y  AB .


aceleración angular de la biela, ωAB y α AB .
EnEnla la
siguiente
siguientefigura
figurasesedesarrolla
desarrollagráficamente
gráficamenteelelpolígono
polígonodedevelocidades
velocidadesque
querelaciona
relacionalos
valores
de
los
puntos
A
y
B,
pertenecientes
en
este
caso
a
un
mismo
sólido
que
constituye
la biela
los valores de los puntos A y B, pertenecientes en este caso a un mismo sólido que constituye
dellamecanismo.
Nótese
que
previamente
se
puede
calcular
la
velocidad
de
A,
que
es
perpendicu‐
biela del mecanismo. Nótese que previamente se puede calcular la velocidad de A, que es
larperpendicular
a OA, y que se
conoce
la dirección
velocidad
B, que es de
horizontal,
como la de
a OA,
y que
se conocede
la la
dirección
de de
la velocidad
B, que esasí
horizontal,
así la
velocidad
relativa
de
B
respecto
de
A,
que
es
perpendicular
a
AB.
De
este
modo,
trazando
el
trián‐
como la de la velocidad relativa de B respecto de A, que es perpendicular a AB. De este
gulo
vectorial
correspondiente
se pueden
calcular el módulo
y sentido
de laelvelocidad
modo,
trazando
el triángulo vectorial
correspondiente
se pueden
calcular
módulo yangular
sentidode


AB y de laangular
velocidad
punto
B.
la biela
y
de
la
velocidad
absoluta
del
punto
B.
de la velocidad
de laabsoluta
biela ωdel
AB
vA = ωOA . OA
vA = OA . OA
ωAB . AB
AB . AB
vB
vB
40
Análogamente,
enen
la la
siguiente
figura
se se
desarrolla
el el
polígono
de de
aceleraciones,
en en
esteeste
caso
Análogamente,
siguiente
figura
desarrolla
polígono
aceleraciones,
un cuadrilátero,
que relaciona
los valores
los puntos
B. Observar
previamen- se
uncaso
cuadrilátero,
que relaciona
los valores
de losdepuntos
A y AB.yObservar
que,que,
previamente,
te, secalcular
puede calcular
la aceleración
A, que
lleva la dirección
de la ymanivela
y sentido
puede
la aceleración
de A, quedelleva
la dirección
de la manivela
sentido AO
(puestoAOque
(puesto que tangencial
la aceleración
de Alaesmanivela
nula al girar
manivela
con velocidad
angular
la aceleración
de Atangencial
es nula al girar
con la
velocidad
angular
constante).
constante).
Al mismo tiempo, se conoce que la aceleración de B ha de ser horizontal, y que las componen‐
Al mismo tiempo, se conoce que la aceleración de B ha de ser horizontal, y que las comtes normal y tangencial de la aceleración relativa de B respecto de A deben llevar dirección AB y
ponentes normal y tangencial de la aceleración relativa de B respecto de A deben llevar
perpendicular
a AB, respectivamente.
dirección AB y perpendicular a AB, respectivamente.
40
ÍNDICE
MANUALES UEX
⊥ AB
 AB
47
(puesto
que la aceleración tangencial de A es nula al girar la manivela con velocidad angular
constante).
(puesto
que la aceleración tangencial de A es nula al girar la manivela con velocidad angular
constante).
constante).
Al mismo tiempo, se conoce que la aceleración de B ha de ser horizontal, y que las comAl mismo
tiempo,
se conoce
la aceleración
de B de
ha de ser horizontal,
y que llevar
las componentes
normal
y tangencial
deque
la aceleración
relativa
de A deben
diAl mismo
tiempo,
se conoce
que
la aceleración
de B ha Bderespecto
ser horizontal,
y que las componentes
normal
y
tangencial
de
la
aceleración
relativa
de
B
respecto
de
A
deben
llevar
dirección
AB
y
perpendicular
a
AB,
respectivamente.
MANUEL
REINO
FLORES,
GLORIA
GALÁN
MARÍN
ponentes normal y tangencial de la aceleración relativa de B respecto de A deben llevar dirección AB y perpendicular a AB, respectivamente.
rección
AB ymodo,
perpendicular
AB,
respectivamente.
De este
se puedeaya
trazar
el cuadrilátero correspondiente para calcular el módulo

De este
modo,
se puedeangular
ya trazar
el
correspondiente
calcular
el módulo
y sentido
de
la
aceleración
de
la cuadrilátero
biela α AB y de
la aceleración para
absoluta
del punto
B.
De este modo, se puede ya trazar el
cuadrilátero
correspondiente
para
calcular
el módulo

y sentido de la aceleración angular de la biela α AB y de la aceleración absoluta del punto B.
y sentido de la aceleración angular de la biela α AB y de la aceleración absoluta del punto B.
aB
aB
aB
αAB . AB
αAB . AB
αAB . AB
⊥ AB
⊥ AB
⊥ AB
ωAB2
ωAB22
ωAB
. AB
. AB
. AB
aA = ωOA2 . OA
aA = ωOA22 . OA
aA = ωOA . OA
b) CASO 2: los puntos A y B, pertenecientes a dos eslabones distintos, se encuentran en conb)
CASO 2: los puntos A y B, pertenecientes a dos eslabones distintos, se encuentran en contacto.
b)
CASO 2: los puntos A y B, pertenecientes a dos eslabones distintos, se encuentran en contacto.En este caso se tiene que rB/A = 0 y, dado que movimiento relativo entre A y B es únicatacto.

Ende
este
caso se tiene laque
dado que movimiento
relativo
A y B esa únicar = 0dey,velocidades
mente
deslizamiento,
relación
absolutas entre
A y entre
B se obtiene
través
En este caso se tiene que rB/A
B/A = 0 y, dado que movimiento relativo entre A y B es únicamente
de deslizamiento,
la relación de velocidades absolutas entre A y B se obtiene a través
de
la
expresión
vectorial:
mente de deslizamiento, la relación de velocidades absolutas entre A y B se obtiene a través
de la expresión vectorial:



de la expresión vectorial:
v=
v A + v desliz. B/A
B




v=
v A + v desliz. B/A
B

 v=
v A + v desliz.B/A 
B
aB = aA + adesliz. B/A + 2. ω x vdesliz. B/A 



 
aB = aA + adesliz. B/A + 2. ω
 x v
B/A 

aB = aA + adesliz. B/A + 2. ω x vdesliz.
desliz. B/A 
siendo ω
 la velocidad angular del eslabón en el que se produce el movimiento de desliza la velocidad angular del eslabón en el que se produce el movimiento de deslizasiendo
ω
miento.
siendo ω la velocidad angular del eslabón en el que se produce el movimiento de deslizamiento.
•miento.
Ejemplo: como aplicación, se analizará mediante los polígonos de velocidades y acelera• Ejemplo:
como aplicación,
analizará
mediante
los polígonos
velocidades
y aceleraciones
el problema
cinemáticose
mecanismo
de corredera
de la de
figura.
La manivela
tiene
• Ejemplo:
como aplicación,
sedelanalizará
mediante
los polígonos
de
velocidades
y acelera mecanismo
ciones
el
problema
cinemático
del
de
corredera
de
la
figura.
La
manivela
tiene
una
velocidad
angular
constante
ω1 y la guía
ciones el problema cinemático del mecanismo de corredera de la figura. La manivela tiene
y
la
guía
una
velocidad
angular
constante
ω

poseevelocidad
una velocidad
y aceleración
la guía
una
angular
constante
ω11 y angular
 velocidad

posee
unaω
y
aceleración
angular
y
,
cuya
determinación
se
pide
variables
α
2
2
posee una velocidad
y aceleración angular

A
y
,
cuya
determinación
se
pide
variables
ω
α


2 figura.
en
el instante
variables
ω22 ydeαla
2 , cuya determinación se pide
A
en el instante de la figura.
A
en el instante de la figura.
MANUALES UEX
Siendo A el punto extremo de la manivela
41
en contacto con la deslizadera, nótese que se41
Siendo
A41
el punto extremo
de laωmanivela
en contacto
con la deslizadera
puede
calcular
su velocidad,
puesto
que este
1
Siendo
nótese
Siendo AA el
el punto
punto extremo
extremo de
de la
la manivela
manivela en
en contacto
contacto con
con la
laOdeslizadera,
deslizadera,
nótese que
queO2se
se
1puesto que este punto
a manivela en contacto
con
la
deslizadera,
nótese
que
se
puede
calcular
su
velocidad,
realiza
un movimiento de
punto
realiza
un
movimiento
de
rotación
alreω1de rotación alrepuede
puede calcular
calcular su
su velocidad,
velocidad, puesto
puesto que
que este
este punto
punto realiza
realiza un
un movimiento
movimiento
O2
Ofija
ω
1
1 de rotación alreo que este puntodedor
realiza
un
movimiento
de
rotación
alrede
la
manivela.
Dicha
velocidad t
dedor
de
la
articulación
O
de la manivela.
dedor delala articulación
articulación fija OO
1
O2
O1
tendrá
módulo

de la
la manivela.
manivela. Dicha
Dicha velocidad
velocidad
tendrá
módulo
dedor de
de la articulación fija
fija 1O11 de


Dicha
velocidad
tendrá
módulo
dirección
perpendicular
ala
manivela
y sentido
dado por ω1 =
v A = O1 A . ω1 ,, dirección
perpendicular
a la
manivela
y
Dicha
velocidad
tendrá
módulo
1 de la manivela.
 =ω
,
dirección
perpendicular
a
la
manivela
y
sentido
dado
por
.
vvA == O
A
.. ω
ω


,
dirección
perpendicular
a
la
manivela
y
sentido
dado
por
.
1
1
1
O1A
O
A
ω
ω
=ω
1
1
1
O1A
ular a la manivela Ay sentido
sentido
por ω1 =ωO1A..
dado
Análogamente,
denominando
B
al
punto
de laen
guía que en la posición con
Análogamente,
denominando
BB al
de
guía
que
en
considerada
Análogamente,
denominando
alBpunto
punto
de la
la
guía
queque
en la
la
posición
considerada
en la
la
Análogamente,
denominando
al punto
de
lacontacto
guía
enposición
la posición
considerada
en
la
al punto de la guía
que
en
la
posición
considerada
en
la
figura
está
en
con
la
deslizadera,
se
puede
escribir
la expresión de
figura
está
en
con
la
se
escribir
la
de
su
figura
estáestá
en contacto
contacto
concon
la deslizadera,
deslizadera,
se puede
puede
escribir
la expresión
expresión
de de
su velocidad,
velocidad,
figura
en
contacto
la
deslizadera,
se
puede
escribir
la
expresión
su
velocidad,
izadera, se puede
escribir
la
expresión
de
su
velocidad,
puesto
que
este
punto
realiza
un
movimiento
de
rotación
alrededor
de la artic
puesto
que
este
punto
realiza
un
de
alrededor
de
fija
O
puesto
queque
esteeste
punto
realiza
un movimiento
movimiento
de rotación
rotación
alrededor
de la
la
articulación
fija fija
O22 O2
puesto
punto
realiza
un
movimiento
de
rotación
alrededor
dearticulación
la articulación
ovimiento de rotación
alrededor
de
la
articulación
fija
O
,
dirección
perp
de
la
guía.
Dicha
velocidad
tendrá
de
módulo
v
=
O
B
.
ω
2
B
2
2
dirección
perpendicular
de
Dicha
tendrá
direcciónperpendicular
perpendicular
laguía
de la
la guía.
guía.
Dicha
velocidad
tendrá
dedemódulo
módulo
O22BB .. ω
ω22 ,,, dirección
la
guía.
Dichavelocidad
velocidad
tendráde
módulo vvBB == O
 aaalala
,
dirección
perpendicular
a
la
de módulo vB = Ode
B
.
ω

dado por la velocidad incógnita ω2 =ωO2B .
guía y sentido
2
2
sentido
dado
por
velocidad
incógnita
..

guía
guíay yysentido
sentidodado
dadopor
porlala
lavelocidad
velocidadincógnita
incógnita ω
ω22 =ω
=ωO2B
O2B .
d incógnita
ω2 =ωO2B .
48
A continuación,
se aplican las relaciones
de velocidades y aceleraciones
AA continuación,
continuación, se
se aplican
aplican las
las relaciones
relaciones de
de velocidades
velocidades yy aceleraciones
aceleraciones vistas
vistas anterioranteriorrelaciones de velocidades
y
aceleraciones
vistas
anteriormente
para
el
caso
en
el
que
los
puntos
A
y
B, pertenecientes
a dos eslabon
mente
para
el
caso
en
el
que
los
puntos
A
y
B,
pertenecientes
a
dos
eslabones
distintos,
mente para el caso en el que los puntos A y B, pertenecientes a dos eslabones distintos, se
se
untos A y B, pertenecientes
a
dos
eslabones
distintos,
se
encuentran
en
contacto.
En
la
siguiente
figura
se
representan
las
velocidades a
encuentran
encuentran en
en contacto.
contacto. En
En la
la siguiente
siguiente figura
figura se
se representan
representan las
las velocidades
velocidades absolutas
absolutas de
de los
los
ente figura se representan
las
velocidades
absolutas
de
los
puntos
A
y
B,
así
como
la
velocidad
relativa
de
B
respecto
de
A
consistente
en l
puntos
BB respecto
puntos AA yy B,
B, así
así como
como la
la velocidad
velocidad relativa
relativa de
deÍNDICE
respecto de
de AA consistente
consistente en
en la
la velocidad
velocidad de
de
relativa de B respecto
de
A
consistente
en
la
velocidad
de
deslizamiento:
deslizamiento:
deslizamiento:
figura
está
con laundeslizadera,
de su velocidad,
Análogamente,
denominando
B al puntosede
larotación
guíaescribir
que
enlala expresión
posición
considerada
puesto
que en
estecontacto
punto
realiza
movimiento
depuede
alrededor
de la articulación
fijaenOla22
perpendicular
de
la
guía.
Dicha
velocidad
tendrá
de
módulo
vB = Oescribir
B alrededor
. ω2 ,ladirección
puesto
que
este
punto
realiza
un
movimiento
de
rotación
de
la
articulación
fijaaOla2
2
figura
está
en
contacto
con
la
deslizadera,
se
puede
expresión
de
su
velocidad,
de la guía. Dicha velocidad tendrá de módulo
 vB= O2B . ω2 , dirección perpendicular a la
 2 rotación
perpendicular
de
lay guía.
Dicha
velocidad
tendrá
de módulo
vB=O2B
O2.B alrededor
. ω2 , dirección
guía
dado
por
la
incógnita
ω
=ω
puesto
que este
punto
un movimiento
de la articulación
fijaaOla2
guía
y sentido
sentido
dado
porrealiza
la velocidad
velocidad
incógnita de
ω
 2 =ω
 O2B .
de lay guía.
Dicha
tendrá incógnita
de módulo
vB =O2B
O2.B . ω2 , dirección perpendicular a la
guía
sentido
dadovelocidad
por la velocidad
ω2 =ω
CINEMÁTICA
DE MECANISMOS
Y PROBLEMAS RESUELTOS
A continuación, se
las
de
yy aceleraciones
 velocidades
 PLANOS . TEORÍA
se aplican
aplican
las relaciones
relaciones
de
velocidades
aceleraciones vistas
vistas anterioranteriorguíaAy continuación,
sentido dado por
la velocidad
incógnita ω
=ω
2
O2B .
mente
para
el
caso
en
el
que
los
puntos
A
y
B,
pertenecientes
a
dos
eslabones
distintos,
se
A
continuación,
se
aplican
las
relaciones
de
velocidades
y
aceleraciones
vistas
anteriormente para el caso en el que los puntos A y B, pertenecientes a dos eslabones
distintos,
se
encuentran
en
contacto.
En
la
siguiente
figura
se
representan
las
velocidades
absolutas
de
los
mente
para
el
caso
en
el
que
los
puntos
A
y
B,
pertenecientes
a
dos
eslabones
distintos,
se
A continuación,
se aplican
las relaciones
velocidades las
y aceleraciones
vistas anteriorencuentran
en contacto.
En la siguiente
figura de
se representan
velocidades absolutas
de los
puntos
A
y
B,
así
como
la
velocidad
relativa
de
B
respecto
de
A
consistente
en
la
velocidad
de
encuentran
en
contacto.
En
la
siguiente
figura
se
representan
las
velocidades
absolutas
de
los
mente
caso
en el
que los puntos
A de
y B,B respecto
pertenecientes
a dos eslabones
distintos, de
se
puntos para
A y B,elasí
como
la velocidad
relativa
de A consistente
en la velocidad
deslizamiento:
puntos A y B,
como laEn
velocidad
relativa
deseB respecto
de Alasconsistente
enabsolutas
la velocidad
de
encuentran
enasí
contacto.
la siguiente
figura
representan
velocidades
de los
deslizamiento:
deslizamiento:
puntos A y B, así como la velocidad relativa de B respecto de A consistente en la velocidad de
deslizamiento:
vA = ω1 . O1A
vA = ω1 . O1A
vA = ω1 . O1A
A
A
A
vA = ω1 . O1A
A
vdesliz.B/A
vdesliz.B/A
vdesliz.B/A
B
B
B
vdesliz.B/A
B
O1
O1
O1
vB = ω2 . O2B
vB = ω2 . O2B
vB = ω2 . O2B
O1
vB = ω2 . O2B
ω2
ω2
ω2
O2
O2
O2
ω2
La relación
relación entre
entre las
las velocidades
velocidades anteriores
anteriores puede
puede expresarse
expresarse aa través
través del
del polígono
polígono Ode
de2 la
la
La
siguiente
figura,
que
permitirá
resolver
el
problema
gráficamente.
Observar
que
se
conoce
v
La
relación
entre
las
velocidades
anteriores
puede
expresarse
a
través
del
polígono
de
la
siguiente figura, que permitirá resolver el problema gráficamente. Observar que se conoce v AA ,,
Dibujando
yy cerrando
el
en
módulo
yy sentido,
así
como
las
de
vvgráficamente.
B y de v desliz. B/A
siguiente
figura,
que permitirá
el problema
Observar
quepolígono
se
conocedev la
A,
La relación
entre
las
anteriores
puede
a.. través
del
de v desliz. B/A
Dibujando
cerrando
el
en
módulo
sentido,
así velocidades
comoresolver
las direcciones
direcciones
de
B yexpresarse
triángulo
correspondiente
se
tiene:
y
de
v
.
Dibujando
y
cerrando
el
en
módulo
y
sentido,
así
como
las
direcciones
de
v
B
desliz. B/A
siguiente correspondiente
figura, que permitirá
resolver el problema gráficamente.
Observar que se conoce v A ,
triángulo
se tiene:
triángulo
correspondiente
se tiene:
en
módulo
y sentido, así como
las direcciones de v B y de v desliz. B/A . Dibujando y cerrando el
vA = ωO A . O1A
triángulo correspondiente se tiene:
vA = ωO A . O1A
1
1
vA = ωO1A . O1A
vA = ωO1A . O1A
vdesliz.B/A
vB = ωO2B . O2B
vdesliz.B/A
vB = ωO2B . O2B
vdesliz.B/A
vB = ωO2B . O2B
vdesliz.B/A
vDirección
2B
B = ωO2B .OO
2B
Dirección O2B
⊥ O2B
⊥ O2B
Dirección O2B
⊥ O2B
Dirección O2B
⊥ O2Bde la figura, los valores del módulo
posición
lo
lo que
que permitirá
permitirá calcular,
calcular, para
para la
la posición de la figura, los valores del módulo yy el
el sentido
sentido de
de
vlo
y
v
.
A
partir
de
v
se
determina
el
módulo
y
el
sentido
de
ω
=
ω
.
B
2 módulo
O2B
que permitirá
calcular, Bpara la posición de la figura, los valores del
y el sentido de
v desliz.B/A
desliz.B/A y v B . A partir de v B se determina el módulo y el sentido de ω 2 = ω O2B .
v desliz.B/A
y v B . A partir
de v Bpara
se determina
el de
módulo
y el los
sentido
de ωdel
ω O2B . y el sentido de
2 =módulo
lo
que permitirá
calcular,
la posición
la figura,
valores
Análogamente, en los siguientes diagramas cinemáticos se representan las aceleraciones
vabsolutas
ω 2 = ω O2B .relativa de B resdesliz.B/A y v B . A partir de v B se determina el módulo
42 y el sentido
de los puntos A y B, así como las componentes
de lade
aceleración
42
pecto de A, consistentes en la aceleración de deslizamiento
y aceleración de Coriolis:
42
42
B
B
aA = ω122 . O1A
aA = ω1 . O1A
adesliz.B/A
adesliz.B/A
O1
O1
αα2 .. OO2BB
2
2
ωω222 .. OO2BB
2
2
αα2
2
B
O2 políLa relación entre las aceleraciones anteriores puede expresarse a através
del siguiente
gono, que conduce a la resolución gráfica del problema:
ÍNDICE
ωO2B2 . O2B
2
MANUALES UEX
2 . ω2 . vdesliz.B/A
2 . ω2 . vdesliz.B/A
A
A
49
B
aA = ω12 . O1A
aA = ω12 . O1A
ω22 . O2B
ω22 . O2B
α2 . O2B
α2 . O2B
adesliz.B/A
adesliz.B/A
O1
1
MANUELOREINO
FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN
α2
α2
B
O2 políLa relación entre las aceleraciones anteriores puede expresarse a através
del siguiente
aB
O2 polírelación
entre
aceleraciones
anteriores
puede
expresarse
del
siguiente
La
relación
entre
las
aceleraciones
anteriores
puede
expresarse
a
través
siguiente
polí‐
gono,
conduce
a lalas
resolución
gráficaanteriores
del problema:
Laque
relación
entre
aceleraciones
puede expresarse a través del siguiente
gono, que
queconduce
conducea alalaresolución
resolución
gráfica
problema:
gono,
gráfica
deldel
problema:
polígono, que conduce a la resolución gráfica del problema:
ωO2B22 . O2B

ωOO22BB2 .. O
O22B
B
aA = ωO1A22 . O1A
aaAA =
OO11AA2 .. O
O11A
A
=ω
adesliz.B/A
aadesliz.B/A
desliz.B/A
αO2B . O2B

αOO22BB .. O
O22B
B
2 . ωO2B . vdesliz.B/A
OO22BB .. vvdesliz.B/A
2
2 .. ω
desliz.B/A
Dirección
Dirección
Dirección
⊥ O2B

⊥ O2B
Nótese que en el polígono anterior se conoce previamente la aceleración de A, así como
Nótese
en
anterior seseconoce
previamente
la aceleración
de A,A,
asíasí
como
la
Nótese que
quenormal
en el
el polígono
polígono
conoce
previamente
aceleración
como
la aceleración
de B y laanterior
aceleración
de Coriolis,
puestolaque
ya se handeresuelto
anteaceleración
normal
de
B
y
la
aceleración
de
Coriolis,
puesto
que
ya
se
han
resuelto
anteriormente
la
aceleración
normal de BTrazando
y la aceleración
de Coriolis,
puesto del
queresto
ya sedehan
resuelto anteriormente
las velocidades.
las direcciones
conocidas
aceleraciones
se
las
velocidades.
Trazando lasTrazando
direccioneslasconocidas
del resto
de aceleraciones
se puede
resolver se
el
riormente
las
velocidades.
direcciones
conocidas
del
resto
de
aceleraciones
puede resolver el problema cinemático, calculando los valores del módulo y el sentido de
problema
cinemático,
calculando
los
valores
del
módulo
y
el
sentido
de
a
y
α
=
α
.
puede
el . problema cinemático, calculando los valores del desl.B/A
módulo 2y elO2B
sentido de
a desl.B/A yresolver
α 2 = α O2B
a desl.B/A y α 2 = α O2B .
c) CASO 3: los puntos A y B pertenecen a dos eslabones distintos entre los que existe deslizamien‐
c) CASO 3: los puntos A y B pertenecen a dos eslabones distintos entre los que existe deslizato.
c)
CASO 3: los puntos A y B pertenecen a dos eslabones distintos entre los que existe deslizamiento.
En este caso, el movimiento relativo entre A y B es una rotación más un deslizamiento, de
miento.
modo
relación
de velocidades
y aceleraciones
entre A más
y B se
a través de
Enque
estelacaso,
el movimiento
relativo
entre A y Babsolutas
es una rotación
unobtiene
deslizamiento,
En
este
caso,
el
movimiento
relativo
entre
A
y
B
es
una
rotación
más
un
deslizamiento,
de
las
siguientes
expresiones
vectoriales
generales,
que
engloban
los
dos
casos
a)
y
b)
estudiados
modo que la relación de velocidades y aceleraciones absolutas entre A y B se obtiene
a través
modo
que
la
relación
de
velocidades
y
aceleraciones
absolutas
entre
A
y
B
se
obtiene
a
través
anteriormente:
de las siguientes expresiones vectoriales generales, que engloban los dos casos a) y b) estude
las siguientes
expresiones vectoriales
los dos casos a) y b) estudiados
anteriormente:
 que engloban

 generales,


vB = v A 
+ 
ω
+ v desliz. B/A
 BA x rB/A  
diados anteriormente:
v = v + ω x r  + v
B
A
desliz. B/A
 BA B/A 











  
x rB/A  ++ 
x 
x43rrB/A ) 
adesliz. B/A ++ 2.
x v desliz. B/A 
aaBB == aaAA +
2. 
α
ω
ω
 BA
 BA
 BA
 BA
BA x r
B/A 
BA x ( ω
BA x
B/A  + a
desliz. B/A
BA x v
B/A 



aB = aA +  αBA x rB/A  +  ωBA x ( ωBA x43rB/A )  + adesliz. B/A + 2. ωBA x vdesliz.
desliz. B/A 

MANUALES UEX
En
representan
los
diagramas
cinemáticos
de
las
velocidades
acelera‐
En la
la figura
figura siguiente
siguiente se
se representan
representanlos
losdiagramas
diagramascinemáticos
cinemáticosde
delas
lasvelocidades
velocidadesy yaceleraaceleEn de
la una
figura
siguiente Bse
representan
losrelativo
diagramas
cinemáticos
de
las velocidades
yAC.
acelede
una
deslizadera
B
con
movimiento
relativo
de
deslizamiento
respecto
de
la
barra
AC.
ciones
deslizadera
con
movimiento
de
deslizamiento
respecto
de
la
barra
raciones de una deslizadera B con movimiento relativo de deslizamiento respecto de la barra
raciones de una deslizadera
B
con
movimiento
relativo
de
deslizamiento
respecto
de
la
barra
Velocidades
Aceleraciones
AC.
AC.
50
BA . rB/A C
Velocidades
Velocidades
ωBA . rB/A C
ωBA . rB/A CB
vA
BA
vA
vA
A ωBA
ωBA
rB/A
rB/A
rB/A
vdesliz.B/A
vdesliz.B/A
vdesliz.B/A
2BA . vdesliz.B/A
Aceleraciones C
adesliz.B/A
2 . ωBA . vdesliz.B/A
2 . ωBA . vdesliz.B/A
adesliz.B/A
adesliz.B/A
Aceleraciones
C
B
C
BA2. rB/A
B
B
A
B
B
ωBA2. rB/A
ωBA2. rB/A
BA
aA
αBA
αBA
aA
aA
BA . rB/A
αBA . rB/A
αBA . rB/A
3.2.2. Centro instantáneo de rotación
43
3.2.2. Centro instantáneo de rotación
Obsérvese que, si fuera posible considerar el movimiento plano general de un sólido rígiObsérvese que, si fuera posible considerar el movimiento plano general de un sólido rígido o eslabón, en un instante determinado, como una rotación alrededor de algún punto perdo o eslabón, en un instante determinado, ÍNDICE
como una rotación alrededor de algún punto perteneciente o no al eslabón, se conseguiría simplificar el análisis cinemático del mismo. A este
teneciente o no al eslabón, se conseguiría simplificar el análisis cinemático del mismo. A este
eje de rotación, perpendicular al plano del movimiento del eslabón, se le denomina centro
A
A
A
A
C
C
vdesliz.B/A
B
B
αBA . rB/A
ω
2
BA . rB/A
vA
ωBA
rB/A
adesliz.B/A
CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
3.2.2.
Centro instantáneo
instantáneodederotación
rotación
3.2.2. Centro
A
αBA
aA
A
movimiento
plano
general
de un
rígiObsérvese que,
que, sisifuera
fueraposible
posibleconsiderar
considerarel el
movimiento
plano
general
de sólido
un sólido
do o eslabón,
en un
determinado,
como
una una
rotación
alrededor
de algún
puntopunto
perrígido
o eslabón,
en instante
un instante
determinado,
como
rotación
alrededor
de algún
teneciente o noo al
se conseguiría
simplificar
el análisis
cinemático
del mismo.
A este
perteneciente
noeslabón,
al eslabón,
se conseguiría
simplificar
el análisis
cinemático
del mismo.
A
eje
de
rotación,
perpendicular
al
plano
del
movimiento
del
eslabón,
se
le
denomina
centro
este eje de rotación, perpendicular al plano del movimiento del eslabón, se le denomina
instantáneo
de rotación,
y su localización
simplifica
la determinación
de la magnitud
y direccentro
instantáneo
de rotación,
y su localización
simplifica
la determinación
de la magnitud
de la velocidad
de cualquier
punto del
eslabón.
yción
dirección
de la velocidad
de cualquier
punto
del eslabón.
Para demostrarlo, considérese el sólido rígido de la figura, donde se conocen las líneas de


acción de v A y vB . Tomando como condición la localización de un punto de velocidad nula

(eje de giro instantáneo) vI = 0 , se verifica:
v
B
 
 
 
v A = vI +  ω x rA/I  = ω x rA/I
 
 
 
vB = vI +  ω x rB/I  = ω x rB/I
De las expresiones anteriores se deduce que


los vectores rA/I y rB/I , y consiguientemente el
B
vA
⊥ vA
A
I
Como aplicación, considérese el caso del movimiento de rodadura sin deslizamiento de
un disco sobre una superficie fija. Nótese que la velocidad del punto C en contacto con la
superficie es siempre cero, tal y como se
vA= ω.CA
A
demostró en el capítulo anterior, lo que
vF= ω.CF
motiva que no exista deslizamiento entre
vO
el disco y la superficie. El punto C es
E
O
F
entonces el centro instantáneo de rotación
vE
ω
del disco en su movimiento de rodadura.
Obsérvese que, por el contrario, la acele

C
ración de C, aC= ( ω2 . r ) j , es distinta
de cero. La figura muestra el diagrama cinemático de velocidades del disco, donde se han
representado las velocidades de algunos puntos característicos.
A continuación, se presentan dos ejemplos de resolución cinemática mediante el método
gráfico basado en el centro instantáneo de rotación.
• Ejemplo: para el sistema biela-manivela de la figura, la resolución cinemática mediante el
centro instantáneo de rotación contemplaríaÍNDICE
los siguientes pasos, partiendo del conocimiento

de la posición indicada y de la velocidad angular ωOA de la manivela:
MANUALES UEX
punto I, se deben encontrar en el punto de inter⊥ vB
sección de las perpendiculares a las líneas de


acción de v A y vB .
El empleo del centro instantáneo de rotación como método de resolución facilita, en
El empleo
instantáneo
comocinemáticos
método de resolución
facilita,siempre
en mumuchos
casos,della centro
determinación
dedelosrotación
parámetros
de un eslabón,
chos casos,
determinación
de losrígido
parámetros
cinemáticos
de un eslabón,
siempre posee
teniendo
teniendo
en lacuenta
que un sólido
que realiza
un movimiento
plano general
un
en cuenta
que un de
sólido
rígidodiferente
que realiza
un movimiento
plano general
posee de
un un
centro
centro
instantáneo
rotación
en cada
momento, variando
su situación
insinstantáneo
diferente
cada momento,
variando
su situación
de un implica
instante laa
tante
a otro.deLarotación
variación
de las en
posiciones
del centro
instantáneo
de rotación
otro.
La
variación
de
las
posiciones
del
centro
instantáneo
de
rotación
implica
la
variación
de
variación
de lasdecondiciones
movimiento
cuerpo.
Porseñalar
ello hay
señalar quedel
la
las condiciones
movimientodedel
cuerpo. Pordelello
hay que
queque
la aceleración
aceleración
del centro
instantáneo
de rotación
en general
es distinta
de que
cero.obtenemos
De aquí que
centro instantáneo
de rotación
en general
es distinta
de cero.
De aquí
un
obtenemos
un método
gráfico
válidovelocidades
para calcular
velocidades
una posición
método gráfico
válido para
calcular
en una
posiciónen
determinada
deldeterminada
mecanismo,
44
del
pero
no para hallar aceleraciones.
peromecanismo,
no para hallar
aceleraciones.
51
vE
ω
del disco en su movimiento de rodadura.
Obsérvese que, por el contrario, la acele

C
ración de C, aC= ( ω2 . r ) j , es distinta
MANUEL
FLORES,
GLORIA
MARÍN
de cero. REINO
La figura
muestra
el GALÁN
diagrama
cinemático de velocidades del disco, donde se han
representado las velocidades de algunos puntos característicos.
A continuación,
dede
resolución
cinemática
mediante
el método
grá‐
A
continuación,sesepresentan
presentandos
dosejemplos
ejemplos
resolución
cinemática
mediante
el método
fico
basado
en
el
centro
instantáneo
de
rotación.
gráfico basado en el centro instantáneo de rotación.
Ejemplo: para
para elel sistema
sistemabiela-manivela
biela‐manivela de
de lala figura,
figura, lala resolución
resolución cinemática
cinemática mediante
mediante el
el
• Ejemplo:
centro
instantáneo
de
rotación
contemplaría
los
siguientes
pasos,
partiendo
del
conocimiento
de
centro instantáneo de rotación contemplaría los siguientes pasos, partiendo del conocimiento
 la manivela:
OA deω
la posición
indicada
y de la
velocidad
angularangular
de
la posición
indicada
y de
la velocidad
OA de la manivela:


a)
Con

se
calcula
v
.
a) Con ωOAOA se calcula Av A .
b)
b)
c)
d)
e)


 se cortan en I.

Se trazan
dede
acción
de vde
Se
trazan las
lasperpendiculares
perpendicularesaav vA Ay ya alalalínea
línea
acción
B , vque
B , que se cortan en I.

Como vvAA == ωABAB .. IA,
tanto
el módulo
como
el sentido.
Como
IA,sesecalcula
calculaAB
, definiendo
tanto
el módulo
como
el sentido.
ωAB, definiendo

Como vvBB == ωABAB .. IB,
tanto
el módulo
como
el sentido.
Como
IB,sesecalcula
calculavBv,Bdefiniendo
, definiendo
tanto
el módulo
como
el sentido.
Se podría calcular
calcularlalavelocidad
velocidaddedecualquier
cualquier
punto
biela
mediante
el producto
punto
dede
la la
biela
AB,AB,
mediante
el producto
del
 
por
la
distancia
de
I
a
dicho
punto,
definiendo
tanto
el
módulo
como
el
del
módulo
ω
por
la
distancia
de
I
a
dicho
punto,
definiendo
tanto
el
módulo
como
el
sentido
de
módulo
de de
AB
AB
sentido
de la velocidad.
la velocidad.
⊥
 vB
⊥
 vA
I
ω
AB
vA
A
45
MANUALES UEX
O
52
ω
OA
B
vB
Obsérvese que, obviamente, un eslabón que realiza un movimiento de rotación tendrá un
Obsérvese que,
obviamente,
un
que
realiza
de rotación tendrá
un
Obsérvese
que,que
obviamente,
un eslabón
eslabón
quepermanente.
realiza un
un movimiento
movimiento
tendrá
un
centro
de rotación
no es instantáneo,
sino
Es el caso dedelarotación
manivela
OA del
centro
de
rotación
que
no
es
instantáneo,
sino
permanente.
Es
el
caso
de
la
manivela
OA
del
centro
rotación que no es instantáneo, sino permanente. Es el caso de la manivela OA del
ejemplodeanterior.
ejemplo anterior.
ejemplo
anterior.
Un
eslabónque
querealiza
realiza
un movimiento
de traslación
tiene
su instantáneo
centro instantáneo
de
Un eslabón
un movimiento
de traslación
tiene su
centro
de rotación
Un
eslabón
que realiza
un movimiento
de traslación
tiene
su centro instantáneo
de
rotación
en
el
infinito.
Por
ello:
en el infinito.
ello: Por ello:
rotación
en elPor
infinito.
ω
=


ω
=
v
vv= 0

∞= 00

∞
es
decirque
que el eslabón
no posee
velocidad
como
sería
casodeldel
pistón del
es decir
no posee
velocidad
angular,angular,
como sería
el caso
del el
ejemplo.
es
decir queel eslabón
el eslabón
no posee
velocidad
angular,
como
sería
elpistón
caso del
pistón del
ejemplo.
ejemplo.
• Ejemplo: la figura representa un mecanismo45de leva con seguidor de rodillo, en el que la
 un mecanismo de leva con seguidor de rodillo, en el que la
•velocidad
Ejemplo:
la figura
angular
de larepresenta
leva ω
 es conocida. Si se aplican los pasos descritos en el método
velocidad angular de la leva ωOA
OA es conocida. Si se aplican los pasos descritos en el método
empleado en el ejemplo anterior,
se podrá calcular el centro instantáneo I del rodillo, y a

empleado
en
el
ejemplo
anterior,
se podrá
calcular el centro instantáneo I del rodillo, y a
partir de él, la velocidad del seguidor
v B . Debe notarse que se considera que el movimiento
ÍNDICE
partir de él, la velocidad del seguidor vB . Debe notarse que se considera que el movimiento
entre leva y rodillo es de rodadura.
entre leva y rodillo es de rodadura.
ω
=
v
= 0
∞
DE MECANISMOS
PLANOS
. TEORÍA
es decir que el eslabónCINEMÁTICA
no posee velocidad
angular,
como
sería YelPROBLEMAS
caso del RESUELTOS
pistón del
ejemplo.
• Ejemplo: la figura representa un mecanismo de leva con seguidor de rodillo, en el que la

velocidad angular de la leva ωOA es conocida. Si se aplican los pasos descritos en el método
empleado en el ejemplo anterior, se podrá calcular el centro instantáneo I del rodillo, y a

partir de él, la velocidad del seguidor vB . Debe notarse que se considera que el movimiento
entre leva y rodillo es de rodadura.
seguidor
I
ωrodillo = ωAB
vA
B
vseguidor = vB
A
⊥ vA
ωleva = ωOA
O
3.3. MÉTODOS ANALÍTICOS
46
Este tipo de método puede abordarse basándose principalmente en tres enfoques matemáticos distintos: el análisis trigonométrico, la resolución vectorial y el método de números
complejos. En cualquiera de los casos la base del método consiste en plantear las ecuaciones
de lazo o de cierre del mecanismo, que sostienen las relaciones vectoriales entre las variables
cinemáticas de los distintos puntos del mecanismo.
3.3.1. Análisis trigonométrico
Este método consiste en definir las ecuaciones paramétricas de posición del punto de
interés cuya cinemática se quiere obtener, y deducir por derivación sucesiva respecto del
MANUALES UEX
Los métodos analíticos permiten obtener una expresión matemática de las variables de
posición, velocidad y aceleración de los eslabones de salida del mecanismo en función de
las variables que describen el movimiento de los eslabones de entrada. De este modo se tiene
el análisis cinemático para cualquier posición del mecanismo a lo largo de todo el ciclo
completo de movimiento.
53
ÍNDICE
MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN
tiempo
aceleración Asimismo,
de dicho punto.
Observar que,
si estar
el mecanismo
un
al
gradoladevelocidad
libertad dely mecanismo.
dichas ecuaciones
deben
escritas entiene
función
grado
libertad, conocidos
las ecuaciones
de posicióncomo
estarán
expresadas
enyfunción
de la
de
de
los de
parámetros
del mecanismo,
posición
genérica
dimensión
devariable
los eslabo‐
entrada
correspondiente
al grado
de libertad
mecanismo. Asimismo, dichas ecuaciones
nes,
o datos
sobre la cinemática
del elemento
de del
entrada.
deben estar escritas en función de los parámetros conocidos del mecanismo, como posición
Una vez
que se tienen
determinadas
ecuaciones
posición, velocidad
y aceleración
del
genérica
y dimensión
de los
eslabones, olasdatos
sobre ladecinemática
del elemento
de entrada.
punto de interés en función de la variable de entrada, se dan valores a dicho parámetro para
Una vez que se tienen determinadas las ecuaciones de posición, velocidad y aceleración del
estudiar las posiciones deseadas. De este modo, se pueden discretizar los valores del parámetro
punto de interés en función de la variable de entrada, se dan valores a dicho parámetro para
de entrada con incrementos constantes y obtener valores para el ciclo de movimiento completo.
estudiar las posiciones deseadas. De este modo, se pueden discretizar los valores del parámetro
de entrada
con salvo
incrementos
constantes
y obtener
valores
para elen
ciclo
de movimiento
completo.
En general,
excepciones,
con este
método
se obtienen
muchas
ocasiones ecuaciones
complicadas difíciles de manejar o derivar.
En general, salvo excepciones, con este método se obtienen en muchas ocasiones ecuaciones
complicadas
de manejardeo yugo
derivar.
 Ejemplo:
obsérvesedifíciles
que el mecanismo
escocés de la figura, en el que la manivela gira
con
una velocidad
angular
, posee
un grado
de libertad.
Por tanto,
necesita
fijar un
• Ejemplo:
obsérvese
queconstante
el mecanismo
de yugo
escocés
de la figura,
en elseque
la manivela
solo
parámetro
para
llevarlo
a
una
posición
determinada.
gira con una velocidad angular constante w, posee un grado de libertad. Por tanto, se necesita fijar un solo parámetro para llevarlo a una posición determinada.
Horquilla
Manivela
Longitud = r
Cilindro

Pistón
MANUALES UEX
x
54
Si se considera como parámetro de entrada variable el ángulo θ que forma la manivela
considerasecomo
parámetro
variable
el ángulovelocidad
θ que forma
la manivela
con Sila se
horizontal,
pueden
calcular de
las entrada
ecuaciones
de posición,
y aceleración
de
con
la
horizontal,
se
pueden
calcular
las
ecuaciones
de
posición,
velocidad
y
aceleración
de
la horquilla
en función
dicho parámetro,
obtener el
susángulo
valores
paraforma
cualquier
posición
Si se considera
comode
parámetro
de entraday variable
 que
la manivela
condel
la
la
horquilla
en
función
de
dicho
parámetro,
y
obtener
sus
valores
para
cualquier
posición
del
θ. Asimismo,
estas ecuaciones
dependerán
valores constantes
como
mecanismosedada
por calcular
horizontal,
pueden
las ecuaciones
de posición,
velocidad de
y aceleración
de la horquilla
estas
ecuaciones
de valores
mecanismo
la
velocidad
angular
deθ. laAsimismo,
manivela,
y la sus
longitud
ladependerán
misma.
en
función dedada
dichopor
parámetro,
y obtener
valoresdepara
cualquier posición
delconstantes
mecanismocomo
dada
la
velocidad
angular
de
la
manivela,
y
la
longitud
de
la
misma.
. través
Asimismo,
estas
ecuaciones
dependerán
de
valores
constantes
como
la
velocidad
angular
por A
de la figura anterior se obtiene la expresión de la posición de la horquilla, que se
de
laAmanivela,
ylala figura
longitud
de la misma.
través
anterior
se
la expresión
posición de la horquilla, que se
encuentra
ende
traslación,
respecto
deobtiene
la articulación
fija dedelalamanivela:
encuentra en traslación, respecto de la articulación fija de la manivela:
A través de la figura anterior se obtiene lax =expresión
r . cos θ de la posición de la horquilla, que se en‐
cuentra en traslación, respecto de la articulación
de θ
la manivela:
x = rfija
. cos
Derivando la expresión anterior respecto del tiempo se obtiene fácilmente la velocidad de
Derivando la expresión anterior respecto
x =del
r . tiempo
cos  se obtiene fácilmente la velocidad de
la horquilla:
la horquilla:
dx
dθ se obtiene fácilmente la velocidad de la
Derivando la expresión anterior
delθ tiempo
v = respecto
= - r . sen
= - r . ω . senθ
⋅
dx
dθ
dt
horquilla:
v=
= - r . senθ ⋅ dt = - r . ω . senθ
dt
dt
Análogamente, derivando la expresión de la velocidad respecto del tiempo se calcula la
Análogamente, derivando la expresión de la47velocidad respecto del tiempo se calcula la
aceleración:
aceleración:
dv
dθ
a=
= - r . ω . cosθ ⋅
dv
dθ
dt
a=
=ÍNDICE
- r . ω . cosθ ⋅ dt
dt
dt
cuya expresión final paramétrica es:
x = r . cos θ
Derivando la expresión anterior respecto del tiempo se obtiene fácilmente la velocidad de
la horquilla:
dx
d
v=
= ‐ r . sen 
= ‐ r . ..TEORÍA
sen Y PROBLEMAS RESUELTOS
CINEMÁTICA
PLANOS
dt DE MECANISMOS
dx
ddtθ
v=
dt
= - r . senθ ⋅
dt
= - r . ω . senθ
Análogamente, derivando la expresión de la velocidad respecto del tiempo se calcula la acele‐
Análogamente, derivando la expresión de la velocidad respecto del tiempo se calcula la
ración:
aceleración:
dv
d
a = dv = ‐ r .  . cos  dθ
dt
a=
= - r . ω . cosθ ⋅ dt
dt
dt
cuya expresión final paramétrica es:
cuya expresión final paramétrica es:
a = ‐ r . 2 . cos 
a = - r . ω2 . cos θ
• Ejemplo:
de de
la figura,
se desea
determinar
la posición,
velo‐
Ejemplo: en
en elelmecanismo
mecanismodedebiela‐manivela
biela-manivela
la figura,
se desea
determinar
la posición,
cidad
y
aceleración
del
pistón
para
cualquier
posición.
El
mecanismo
posee
un
grado
de
libertad,
velocidad y aceleración del pistón para cualquier posición. El mecanismo posee un grado de
por
lo quepor
se lo
necesita
un solofijar
parámetro
llevarlopara
a unallevarlo
posicióna una
determinada.
libertad,
que seentonces
necesitafijar
entonces
un solopara
parámetro
posición
 queelforma
la manivela
con la
la
Si
se consideraSicomo
parámetro
de entrada
variable
el ángulo
θ que forma
determinada.
se considera
como
parámetro
de entrada
variable
ángulo
horizontal,
se pueden
calcularselas
ecuaciones
de las
posición,
velocidad
y aceleración
del pistón
en
manivela con
la horizontal,
pueden
calcular
ecuaciones
de posición,
velocidad
y acelefunción
de pistón
dicho parámetro,
sus valores ypara
cualquier
posiciónpara
a locualquier
largo del posiciclo
ración del
en función ydeobtener
dicho parámetro,
obtener
sus valores
cinemático.
ción a lo largo del ciclo cinemático.
Biela
Longitud
= 
Longitud =
Manivela
Longitud = r

θ
Cilindro
φ
48
x
Pistón
partir de
de las
laslongitudes
longitudesconocidas
conocidasdedela la
biela
la manivela
se puede
deducir
la siguienAA partir
biela
y lay manivela
se puede
deducir
la siguiente
ex‐
te
expresión
para
determinar
la
posición
x
del
pistón
respecto
de
la
articulación
de
la
presión para determinar la posición x del pistón respecto de la articulación de la manivela:manivela:
x = r . cos +
x = r . cosθ +
 . cos
 . cosφ
Nótese que la expresión anterior debe estar en función de un único parámetro variable. Pues‐
Nótese que la expresión anterior debe estar en función de un único parámetro variable.
to que se ha seleccionado como parámetro el ángulo  que forma la manivela con la horizontal, se
Puesto que se ha seleccionado como parámetro el ángulo θ que forma la manivela con la
debe expresar el ángulo  que forma la biela con la horizontal en función de 
horizontal, se debe expresar el ángulo φ que forma la biela con la horizontal en función de θ :
Sustituyendo
x entre
Sustituyendo la
la expresión
expresiónanterior
anterior en
en lalaecuación
ecuacióndedeposición,
posición,seseobtiene
obtienelaladistancia
distancia
x en

el
pistón
y
el
centro
de
rotación
de
la
manivela
en
función
de
tre el pistón y el centro de rotación de la manivela en función de θ :
x
r . cos θ +
=
r

 48
. 1 -  ⋅ senθ 


2
La expresión anterior debe derivarse respecto del tiempo para obtener la velocidad y aceleración del pistón. Puede comprobarse que las expresiones obtenidas son demasiado complejas y difíciles de manejar, incluso para un mecanismo sencillo como es el biela-manivela.
Por ello, el análisis trigonométrico sólo se utiliza en casos muy concretos, como puede ser el
caso del mecanismo de yugo escocés presentado
ÍNDICEanteriormente.
MANUALES UEX

r
 = r
sen = sen
senθ senφ
55
Sustituyendo la expresión anterior en la ecuación de posición, se obtiene la distancia x entre el pistón y el centro de rotación de la manivela en función de θ :
MANUEL REINO FLORES, GLORIA
GALÁN
MARÍN
r

x
r . cos θ +  . 1 -  ⋅ senθ 
=


2
La expresión anterior debe derivarse respecto del tiempo para obtener la velocidad y aceleración del pistón. Puede comprobarse que las expresiones obtenidas son demasiado complejas y difíciles de manejar, incluso para un mecanismo sencillo como es el biela-manivela.
Por ello, el análisis trigonométrico sólo se utiliza en casos muy concretos, como puede ser el
caso del mecanismo de yugo escocés presentado anteriormente.
3.3.2. Álgebra vectorial
Este método consiste en la resolución de las ecuaciones vectoriales de velocidad y aceleración estudiadas en el tema anterior introductorio sobre la cinemática del sólido rígido, lo
cual se puede lograr mediante la descomposición de cada uno de los vectores según los ejes x
e y. De este modo, se dispone de dos ecuaciones escalares de velocidad (para la determinación de dos incógnitas de velocidad del problema), y análogamente dos ecuaciones escalares
de aceleración (para obtener otras dos incógnitas de aceleración). Dichas ecuaciones deben
estar expresadas en función de las variables de entrada para poder ser resolubles en cualquier
posición.
A continuación se desarrolla el método vectorial para un mecanismo de biela-manivela,
planteando las ecuaciones a través de las cuales se obtienen la posición, velocidad y aceleración del pistón para cualquier posición del mecanismo.
• Ejemplo: en el mecanismo de biela-manivela49de la siguiente figura, la manivela gira a una
angular
ω OA
sentido antihorario.
•velocidad
Ejemplo:
en el constante
mecanismo
deen
biela-manivela
de la siguiente figura, la manivela gira a una
velocidad angular constante ω OA en sentido antihorario.
A
A
ωOA
O ωOA
O
MANUALES UEX
•
56
B
θ
φ
θ
φ
B
Posición
• Posición
Empleando relaciones trigonométricas se pueden expresar dos ecuaciones con dos incógnitas,Empleando
para obtener
así el ángulo
φ que forma
la bielaexpresar
y la posición
x del pistóncon
respecto
a O,
relaciones
trigonométricas
se pueden
dos ecuaciones
dos incógen
cualquier
posición
definida
por
el
ángulo
θ
:
nitas, para obtener así el ángulo φ que forma la biela y la posición x del pistón respecto a O,
en cualquier posición definida porOA
el ángulo
θ: AB . senφ
. senθ =
 φ
. senθ
= AB
. sen
φ φ 
 xφ
x OA
= OA
. cosθ
+ AB
. cos
•
Velocidad
x = OA . cosθ + AB . cosφ  x
• Velocidad
Puesto que la manivela OA se encuentra en rotación pura alrededor de O, se puede calcularPuesto
la velocidad
del punto OA
A enselaencuentra
forma: en rotación pura alrededor de O, se puede calque la manivela



A en la forma:


cular la velocidad
v A del
=ωpunto
OA × rA/O =( ωOA k ) × ( OA . cos θ i + OA . senθ j ) =

 




v=
rA/O. sen
. cos θ i + OA . senθ j ) =
=θωiOA+k OAÍNDICE
× . (ωOA
- ωOA
A =
OA .×ωOA
OA . cos θ j


= - OA . ωOA . senθ i + OA . ωOA . cos θ j
(
)
nitas, para obtener así el ángulo φ que forma la biela y la posición x del pistón respecto a O,
en cualquier posición definida por el ángulo θ:
OA .DE
senθ
= AB . sen
φ

φ Y PROBLEMAS RESUELTOS
CINEMÁTICA
MECANISMOS
PLANOS
. TEORÍA
x = OA . cosθ + AB . cosφ  x
•
Velocidad
Puesto que la manivela OA se encuentra en rotación pura alrededor de O, se puede calcular la velocidad del punto A en la forma:






v A =ωOA × rA/O = ωOA k × ( OA . cos θ i + OA . senθ j ) =


= - OA . ωOA . senθ i + OA . ωOA . cos θ j
(
)
El pistón B se encuentra en traslación, realizando siempre un movimiento alternativo en la
dirección horizontal. Suponiendo su movimiento en el sentido positivo del eje x se tiene:


vB = vB i
Nótese que v B es una incógnita del problema, y en la resolución se puede obtener un valor negativo o positivo. Un valor negativo indica que el sentido real de la velocidad en esa
posición será contrario al supuesto y, al contrario, un valor positivo indica que el movimiento
se produce en el mismo sentido.
Los puntos A y B pertenecen al mismo eslabón, es decir, la biela, y por tanto se pueden
relacionar las velocidades absolutas de ambos puntos a través de la velocidad relativa de
rotación de uno respecto de otro. La biela se encuentra realizando un movimiento plano
general que consta de una traslación más una rotación con una velocidad angular variable
ω AB desconocida, que se supondrá en sentido antihorario. Si al resolver las ecuaciones el
valor de ω AB es negativo, esto indica que el giro real de la biela en el instante considerado
sería en sentido horario. La velocidad relativa v B/A de B respecto de A viene dada por la exsería en sentido horario. La velocidad relativa v B/A de B respecto de A viene dada por la expresión:
presión:
50





 AB x rB/A = ωAB k × ( AB . cos φ i - AB . senφ j ) =
ω
.
cos
i
AB
.
sen
j) =
ωAB x rB/A = ωAB k × ( AB
φ
φ


= AB . ωAB . senφ i + AB . ωAB . cos φ j
= AB . ωAB . senφ i + AB . ωAB . cos φ j
((
))
Sustituyendo la velocidad relativa anterior en la siguiente expresión vectorial que relacioSustituyendo la velocidad relativa anterior en la siguiente expresión vectorial que relaciona las velocidades absolutas de A y B:
na las velocidades absolutas de A y B:




 x rB/A 
v B = v A +  ω
vB = v A +  ωAB
AB x rB/A 

x  v B = - OA . ω OA .senθ + AB . ω AB . senφ
x  v B = - OA . ω OA .senθ + AB . ω AB . senφ
y  0 = OA . ωOA . cosθ + AB . ωAB . cosφ
y  0 = OA . ωOA . cosθ + AB . ωAB . cosφ




vB
vB
ωAB
ωAB
•
•
Aceleración
Aceleración
Puesto que la manivela OA se encuentra en rotación pura alrededor de O con velocidad
Puesto que la manivela OA se encuentra en rotación pura alrededor de O con velocidad
angular constante ωOA, el punto A sólo tiene aceleración normal en la dirección radial:
angular constante ωOA, el punto A sólo tiene aceleración normal en la dirección radial:








 OA × ( ω
 OA × rA/O ) = ωOA k ×  ωOA k × ( OA . cosθ i + OA . senθ j ) =
aA =ω
aA =ωOA × ( ωOA × rA/O ) = ωOA k ×  ωOA k × ( OA . cosθ i + OA . senθ j ) =


= - OA . ω22OA . cosθ i - OA . ω22OA . senθ j
= - OA . ωOA . cosθ i - OA . ωOA . senθ j
((
))
((
))
Tal y como ya se ha señalado, el pistónÍNDICE
B se encuentra en traslación alternativa, realizanTal y como ya se ha señalado, el pistón B se encuentra en traslación alternativa, realizando siempre un movimiento horizontal. Si se supone una aceleración de B en el sentido positido siempre un movimiento horizontal. Si se supone una aceleración de B en el sentido positivo del eje x se tiene la expresión:
MANUALES UEX
se obtiene una ecuación vectorial en el plano que, desarrollada según sus componentes x e y,
se obtiene una ecuación vectorial en el plano que, desarrollada según sus componentes x e y,
proporciona dos ecuaciones escalares a partir de las cuales se despejan las incógnitas de
proporciona dos ecuaciones escalares a partir de las cuales se despejan las incógnitas de
velocidad v B y ω AB :
velocidad v B y ω AB :
57
y  0 = OA . ωOA . cosθ + AB . ωAB . cosφ
•

ωAB
Aceleración
MANUEL
REINO
GLORIA
MARÍN en rotación pura alrededor de O con velocidad
Puesto
que FLORES,
la manivela
OAGALÁN
se encuentra
angular constante ωOA, el punto A sólo tiene aceleración normal en la dirección radial:








aA =ωOA × ( ωOA × rA/O ) = ωOA k ×  ωOA k × ( OA . cosθ i + OA . senθ j ) =




= - OA . ω2OA . cosθ i - OA . ω2OA . senθ j
(
)
(
)
Tal y como ya se ha señalado, el pistón B se encuentra en traslación alternativa, realizando siempre un movimiento horizontal. Si se supone una aceleración de B en el sentido positivo del eje x se tiene la expresión:


aB = aB i
La biela AB se encuentra realizando un movimiento plano general con una aceleración
angular variable αAB desconocida, que se supondrá en sentido antihorario. Puesto que los
puntos A y B pertenecen al mismo eslabón, se pueden relacionar las aceleraciones absolutas
de ambos puntos a través de la aceleración relativa debida a la rotación de uno respecto de
otro:






aB/A =  αAB × rB/A  +  ωAB × ( ωAB × rB/A )  =



= αAB k × ( AB . cos φ i - AB . senφ j ) +







+ ωAB k × ωAB k × ( AB . cos φ i - AB . senφ j ) =






= ( AB . αAB . senφ i + AB . αAB . cos φ j ) + ( - AB . ω2AB .cos φ i + AB . ω2AB . senφ j )
(
{(
)
) (
)
}
Sustituyendo la aceleración relativa anterior en la siguiente expresión vectorial que rela51
ciona las aceleraciones absolutas de A y B:

aB =






aA + ( αAB × rB/A ) +  ωAB × ( ωAB × rB/A ) 
se obtiene una ecuación vectorial en el plano que, desarrollada según sus componentes x e y,
proporciona dos ecuaciones escalares a partir de las cuales se despejan las incógnitas de
aceleración aB y αAB:
x  aB = - OA . ωOA2. cosθ + AB . αAB . senφ - AB . ωAB2. cosφ
MANUALES UEX
y  0 = - OA . ωOA2. senθ + AB . αAB . cosφ + AB . ωAB2. senφ


aB
αAB
Puede observarse que, incluso en un mecanismo tan sencillo, el cálculo y desarrollo de
las relaciones vectoriales para obtener las ecuaciones escalares puede resultar en ocasiones
complicado. Por ello, en la resolución sistemática de ejercicios planteados en el próximo
capítulo, se aplicará el método de los números complejos que se propone a continuación, el
cual facilita el manejo de las ecuaciones de posición, velocidad y aceleración aplicables a
cualquier posición.
Hay que tener en cuenta que bajo el método de los números complejos subyace siempre
el álgebra vectorial, pues al establecer las ecuaciones de cierre o de lazo del mecanismo se
establecen relaciones de velocidades y aceleraciones entre puntos del mismo.
58
3.3.3. Análisis mediante números complejos.ÍNDICE
Ecuaciones de lazo.
Como en el resto de métodos analíticos, a través de este método se obtienen las ecuacio-
CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
3.3.3. Análisis mediante números complejos. Ecuaciones de lazo.
3.3.3.
Análisis
mediante
números
complejos.
Ecuaciones
de lazo.
lazo.
3.3.3.
Análisis
mediante
números
complejos.
Ecuaciones
de lazo.
3.3.3.
Análisis
mediante
números
complejos.
Ecuaciones
de
Como en el resto de métodos analíticos, a través de este método se obtienen las ecuaciones
Como
en en
el resto
resto
de de
métodos
analíticos,
través
de este
esteeste
método
se obtienen
obtienen
las ecuaciones
ecuaciones
Como
el resto
métodos
analíticos,
a través
método
se del
obtienen
las ecuacioComo
en
el
de
analíticos,
aa través
de
método
se
las
de posición,
velocidad
y métodos
aceleración
de los elementos
y de
puntos
de interés
mecanismo
para
de
posición,
velocidad
y
aceleración
de
los
elementos
y
puntos
de
interés
del
mecanismo
para
nes
de posición,
velocidad
ydeaceleración
de los elementos
y puntos
de interés
del mecanismo
de
posición,
velocidad
y aceleración
de los elementos
y puntos
de interés
del mecanismo
para
cualquier
valor
de las
variables
entrada.
cualquier
valor de
de valor
las variables
variables
de entrada.
entrada.de entrada.
para cualquier
de las variables
cualquier
valor
las
de
La base del método son las ecuaciones de cierre o ecuaciones de lazo del mecanismo, que se
LaLa
base
deldel
método
sonson
las ecuaciones
ecuaciones
de cierre
cierre
ecuaciones
de lazo
lazo de
dellazo
mecanismo,
que se
se
base
método
lasque
ecuaciones
delos
cierre
o ecuaciones
del mecanismo,
La
base
del
método
las
de
oo diferentes
ecuaciones
de
del
mecanismo,
que
obtienen
planteando
losson
vectores
representan
lazos
o cierres
formados
por las
obtienen
planteando
los
vectores
que
representan
los
diferentes
lazos
o
cierres
formados
por
las
que se
planteando
vectores
que representan
loslas
diferentes
lazos
oposición,
cierresporformaobtienen
planteando
losA vectores
representan
lossediferentes
lazos
o cierres
formados
las
barras
delobtienen
mecanismo.
través los
deque
estas
ecuaciones
obtienen
ecuaciones
de
deri‐
barras
del las
mecanismo.
A mecanismo.
través de
de estas
estas
ecuaciones
se obtienen
obtienen
las se
ecuaciones
de
posición,
deri‐de
dos
por
barras
del
A
través
de
estas
ecuaciones
obtienen
las
ecuaciones
barras
del
mecanismo.
A
través
ecuaciones
se
las
ecuaciones
de
posición,
deri‐
vando las ecuaciones de posición se obtienen las de velocidad, y análogamente derivando las de
vando
las ecuaciones
ecuaciones de
de posición
se obtienen
obtienen
las de
dese
velocidad,
análogamente
derivando
las de
de
posición,
de posición
obtienenyy las
de velocidad,
y análogamenvando
las
se
las
velocidad,
análogamente
derivando
las
velocidad
sederivando
deducen laslasposición
deecuaciones
aceleración.
velocidad
se
deducen
las
de
aceleración.
te derivando
las delas
velocidad
se deducen las de aceleración.
velocidad
se deducen
de aceleración.
En mecanismos sencillos, normalmente bastará con plantear un cierre para resolver la cine‐
En
mecanismos
sencillos,
normalmente
bastará
con plantear
plantear
un cierre
cierre
para resolver
resolver
la cine‐
cine‐
mecanismos
sencillos,
normalmente
bastará
con
plantear
un cierre
para dos
resolver
EnEnmecanismos
sencillos,
bastará
con
un
para
la
mática.
Cuando
se trata
de unnormalmente
mecanismo
más
complejo,
a veces
es
necesario
plantear
o másla
mática.
Cuando
se
trata
de
un
mecanismo
más
complejo,
a
veces
es
necesario
plantear
dos
o
más
mática.
Cuando
se trata
delazo.
un mecanismo
más complejo,
a veces es necesario
dos plantear
o más
cinemática.
Cuando
trata
de un mecanismo
más complejo,
a veces esplantear
necesario
ecuaciones
de cierre
o dese
ecuaciones
de
cierre
o
de
lazo.
ecuaciones
cierre o de lazo.
dos o másdeecuaciones
de cierre o de lazo.
A la hora de determinar el número necesario de ecuaciones de cierre para resolver la cinemá‐
A la hora
hora de
de determinar el
el número
número necesario
necesario de
de ecuaciones
ecuaciones de
de cierre
cierre para
para resolver
resolver la
la cinemá‐
cinemá‐
Aun
la mecanismo,
hora determinar
de determinar
el
número
necesario
de ecuaciones
de cierre
para resolver
tica Adela
se ha de
tener
en cuenta
que cada
ecuación
vectorial
de cierre
resuelvela
tica
de
un
mecanismo,
se
ha
de
tener
en
cuenta
que
cada
ecuación
vectorial
de
cierre
resuelve
tica
de
un mecanismo,
se ha
tener
que
cada
ecuación
devectorial
cierre
resuelve
cinemática
de
mecanismo,
se haen
decuenta
tener
en
cuenta
cada vectorial
ecuación
de cierre
dos
incógnitas
deun
posición,
sude
derivada
dos
de incógnitas
deque
velocidad
y su segunda
derivada
dos
dos incógnitas
incógnitas de
de posición,
posición, su
su derivada
derivada dos
dos de
de incógnitas
incógnitas de
de velocidad
velocidad yy su
su segunda
segunda derivada
derivada dos
dos
dos
resuelve de
dosaceleración.
incógnitas En
de este
posición,
su se
derivada
dos de incógnitas
de velocidad
y su segunda
sentido,
debe comprobar
que el número
de incógnitas
coin‐
incógnitas
de aceleración.
aceleración. En
En este
este sentido,
sentido, se debe
debe comprobar que
que el
el número
número de
de incógnitas coin‐
coin‐
incógnitas de
incógnitas
cida
con el número
de ecuaciones
escalaresse
disponibles.
derivada
dos incógnitas
de aceleración.
En estecomprobar
sentido, se debe
comprobarincógnitas
que el número
cida
con
el
número
de
ecuaciones
escalares
disponibles.
cida
el número
de ecuaciones
escalaresde
disponibles.
decon
incógnitas
coincida
con el número
ecuaciones escalares disponibles.
Obsérvese que, en el caso más frecuente, en el que el mecanismo tenga un grado de libertad
Obsérvese
que,
en
el
caso
más
frecuente,
en el
el que
que el
el mecanismo tenga
tenga un
un grado
grado de
de libertad
libertad
Obsérvese
que,que,
en elen
caso
más
en
se verifica:
(m=1),
y todos los
pares
sean
un frecuente,
grado
de libertad
(j2=0)
Obsérvese
el de
caso
más frecuente,
en
el mecanismo
que
el mecanismo
tenga un
grado de
=0)
se
verifica:
(m=1),
y
todos
los
pares
sean
de
un
grado
de
libertad
(j
verifica:
(m=1),
y todos
los pares
sean
un grado
(j22=0)
libertad
(m=1),
y todos
losdepares
sean de
delibertad
un grado
de se
libertad
(j2=0) se verifica:
de donde se deduce que:
dede
donde
se deduce
deduce
que:que:
donde
se deduce
de
donde
se
que:
1  3 n  1  2j
1  3 n  1  2j1
1  3 n  1  2j11
4  3n  2j
4  3n  2j1
4  3n  2j11
lo queque
implica
que, forzosamente,
el número
de eslabones
n debe ser
par. En
este
caso,
el número
implica
forzosamente,
el número
de eslabones
n debe
sereste
par.caso,
En este
caso, el
lo lo
que implica
implica
que,que,
forzosamente,
el número
número
de eslabones
eslabones
n debe
debe ser
ser
par. En
En
el número
número
lo
que
que,
forzosamente,
el
de
n
par.
este
caso,
el
NEnúmero
de ecuaciones
de
lazo
necesarias
para
resolver
el
mecanismo
será:
NE
de
ecuaciones
de
lazo
necesarias
para
resolver
el
mecanismo
será:
NE de
de ecuaciones
ecuaciones de
de lazo
lazo necesarias
necesarias para
para resolver
resolver el
el mecanismo
mecanismo será:
será:
NE
puesto
que,dedel
delentrada,
númerocuyos
total de
de
eslabones
se debe
debe restar
restar
el eslabón
eslabón
deporque
referencia
fijo
el esla‐
esla‐de
eslabón
datos
son conocidos,
ypor
dividir
por doscada
cadafijo
ecuación
puesto
número
total
eslabones
nn se
el
de
referencia
yylazo
el
bón
de que,
entrada,
cuyos datos
son
conocidos,
y dividir
dos
porque
ecuación
de
pro‐
bón
de
entrada,
cuyos
datos
son
conocidos,
y
dividir
por
dos
porque
cada
ecuación
de
lazo
pro‐
lazo
proporciona
dos
incógnitas.
bón
de
entrada,
cuyos
datos
son
conocidos,
y
dividir
por
dos
porque
cada
ecuación
de
lazo
pro‐
porciona dos incógnitas.
porciona dos
dos incógnitas.
incógnitas.
porciona
realizar
el planteamiento
de las
ecuaciones
de lazo
del mecanismo,
hayolvidar
que olvidar
AlAl
realizar
el planteamiento
de las
ecuaciones
de lazo
del mecanismo,
no haynoque
que
Al
realizar
el
planteamiento
de
las
ecuaciones
de
lazo
del
mecanismo,
no
hay
que
olvidar
que
que
al
derivar
se
obtienen
en
realidad
relaciones
entre
las
velocidades
de
puntos
del
mecanisAl realizar
el planteamiento
de relaciones
las ecuaciones
del mecanismo,
no hay
olvidar
que
al derivar
se obtienen
en realidad
entredelaslazo
velocidades
de puntos
del que
mecanismo,
las
al mo,
derivar
secuales
obtienen
en realidad
realidad
relaciones
entre
las
velocidades
detravés
puntosdel
delálgebra
mecanismo,
las
las
deben
coincidir
siempre
con alas
lastravés
obtenidas
ade
vectorial.
al
derivar
se
obtienen
en
relaciones
entre
velocidades
puntos
del
mecanismo,
las
cuales
deben
coincidir
siempre
con
las obtenidas
del álgebra
vectorial.
Análogamente
cuales
deben coincidir
coincidir
siempre
con
las obtenidas
obtenidasAaatravés
travésdedel
dellosálgebra
álgebra
vectorial.
Análogamente
Análogamente
sucede
conAlas
aceleraciones.
sucesivos
resueltoslase
cuales
deben
siempre
con
las
través
vectorial.
Análogamente
sucede
con las aceleraciones.
través
de los sucesivos
ejemplos
resueltos
se ejemplos
mostrará
siempre
sucede
con
las
aceleraciones.
A
través
de
los
sucesivos
ejemplos
resueltos
se
mostrará
siempre
lade
mostrará
siempre
la interpretación
vectorial
de lasejemplos
derivadas
ecuaciones
de
lazo ola
sucede
con las
aceleraciones.
través de
se del
mostrará
siempre
interpretación
vectorial
de las Aderivadas
deloslassucesivos
ecuaciones
de lazoresueltos
ode
delas
cierre
mecanismo.
interpretación
vectorial
de
las
derivadas
de
las
ecuaciones
de
lazo
o
de
cierre
del
mecanismo.
cierre del mecanismo.
interpretación
vectorial de las derivadas de las ecuaciones de lazo o de cierre del mecanismo.
Para facilitar las operaciones en las expresiones obtenidas, se sustituyen los vectores por nú‐
Para
facilitar
laslas
operaciones
en las
las
expresiones
obtenidas,
se sustituyen
sustituyen
los vectores
vectores
por nú‐
nú‐por
Para
facilitar
operaciones
enexponencial.
las expresiones
obtenidas,
se obtiene
sustituyen
vectores
Para
facilitar
las
operaciones
en
expresiones
obtenidas,
se
los
por
meros
complejos
expresados
en forma
De esta
forma,
se
unalos
notación
más
meros
complejos
expresados
en
forma
exponencial.
De
esta
forma,
se
obtiene
una
notación
más
números
complejos
expresados
en forma
exponencial.
esta forma,
se obtiene
una notación
meros
complejos
expresados
en forma
exponencial.
De estaDeforma,
se obtiene
una notación
más
52
52
52
ÍNDICE
MANUALES UEX
n2
NE  n  2
NE  n 2 2
NE  2
puestoque,
que,
número
de eslabones
se 2debe
el eslabón
de referencia
y el
puesto
deldel
número
totaltotal
de eslabones
n se ndebe
restarrestar
el eslabón
de referencia
fijo y elfijo
esla‐
59
Análogamente sucede con las aceleraciones. A través de los sucesivos ejemplos resueltos se
Para facilitar las
operaciones en las expresiones obtenidas, se sustituyen los vectores por
mostrará siempre la interpretación vectorial de las derivadas de las ecuaciones de lazo o de
úmeros complejos
expresados
en forma exponencial. De esta forma, se obtiene una notación
cierre
del mecanismo.
MANUEL
REINO
FLORES,
GLORIA GALÁN
MARÍN
más compacta y las derivadas
se realizan
más fácilmente.
A continuación, separando la parte
Para facilitar las operaciones en las expresiones obtenidas, se sustituyen los vectores por
eal y la parte imaginaria,
y planteando
unensistema
de ecuaciones,
despejan
lasuna
incógnitas
números complejos
expresados
forma exponencial.
De esta se
forma,
se obtiene
notación
más compacta
y las derivadas
derivadas
se
realizan
más
fácilmente.
A
continuación,
separando
la parte
parte
ue se deseen calcular.
Este método
también
recibe
el
nombre
de
método
de
Raven.
se realizan
A continuación, separando la
real y la parte imaginaria,
imaginaria, yy planteando
planteando un
un sistema
sistema de
de ecuaciones,
ecuaciones, se
se despejan
despejan las
las incógnitas
incógnitas
real
Hay que tenerque
ensecuenta
que el Este
espacio
de los
números
complejos
y el espacio
que
deseen calcular.
calcular.
Este
métodovectorial
también recibe
el nombre
de método
de Raven.
método
también
ectorial que formanHaylosque
vectores
en
el que
plano
son isomorfos,
lo
que
justifica
queyy elel
seespacio
pueda
que
tener en
en cuenta
cuenta
que
espacio
vectorial de
de los
los números
números
complejos
espacio
tener
elel espacio
vectorial
complejos
perar de forma indistinta
con
el vector
o su número
complejo
equivalente.
Por ello,
con
este
forman
los vectores
vectores
en el
el plano
plano
son isomorfos,
isomorfos,
lo que
que justifica
justifica
que se
se
pueda
vectorial que
forman
los
en
son
lo
que
pueda
demismas
forma indistinta
indistinta
vector
su número
número
complejo
Por ello,
ello, con
con este
este
operar
forma
con el vector
oo su
complejo
equivalente.
Por
método se obtienen
lasde
expresiones
y relaciones
entre
puntos
que se obtendrían
con
se obtienen
obtienen las
las mismas
mismas expresiones
expresiones y relaciones
relaciones entre puntos que se
se obtendrían
obtendrían con
con
método
se
l álgebra vectorial, pero sin necesidad de realizar productos vectoriales y con una operativa
álgebra vectorial,
vectorial, pero
pero sin
sin necesidad
necesidad de
de realizar
realizar productos
productos vectoriales y con una operativa
operativa
el álgebra
mucho más sencilla.
mucho más sencilla.


En la
se
un
,, que
un
antihorario
que forma
forma
un ángulo
ángulo
antihorario qθcon
con
la figura
figuraun
se representa
representa
un vector
vector cualquiera
cualquiera
un ángulo
antihorario
con
En la figura se representa
vector cualquiera
rA , que rAforma
la
horizontal
yytiene
módulo
a.a.EnEnelelsistema
dede coordela
horizontal
tiene
módulo
sistema
Imaginaria
a horizontal y tiene
módulopresentado
a. En el se
sistema de
coordecoordenadas
la componadas presentado
se define ladefine
componente
horizontal del Imaginaria
adas presentadonente
se define
horizontal
horizontal
del vector
como
la parte
realdel equivavector
como la
la componente
parte
real del
número
complejo
Vector r
del
número
complejo
equivalente,
análogaector como la parte
real
del
número
complejo
equiva- vertical
Vector r
lente,
y análogamente,
se define
la ycomponente
A
mente, se
vertical
del
ente, y análogamente,
se define
definela lacomponente
componente
vertical
A
A
A
a
vector como la parte imaginaria del número
complejo asociado.
θ
Real
a
53
del vector
como
la
parte
imaginaria
del
número
complejo
asociado.
Por tanto,
laparte
notación
empleada
para complejo asociado.
del
del
vector
como
la
imaginaria
del
número
del vector
vector como
como la
la parte
parte imaginaria
imaginaria del
del número
número complejo
complejo asociado.
asociado.
θ
Real
definir
eltanto,
número
complejo
es la siguiente:
Por
la
notación
empleada
para
definir
el númeroasociado.
complejo es la siguiente:
del
vector
como
la
parte
imaginaria
del
número
complejo
53
del
vector
como
la
parte
imaginaria
del
número
complejo
asociado.
Por
tanto,
la
notación
empleada
para
definir
el
número
complejo
es
la
siguiente:
del vector
como
la
parte
imaginaria
del
número
complejo
asociado.
Por
tanto,
la
notación
empleada
para
definir
el
número
complejo
es
la
siguiente:
Por tanto, la notación
empleada
para definir el número complejo es la siguiente:

Por
tanto,
la
notación
el
número
la
rA
=
a=
.empleada
e j.j.j.θθθ
a . para
(cosθdefinir
+ j . sen
θ) = a .complejo
cosθ + a es
. sen
θsiguiente:
.j
Por
tanto,
la
notación
empleada
el
la

rrA
aa=
..empleada
e
aa .. para
(cos
θdefinir
+
j . sen
θ
) = a .complejo
cos
θ+
a es
.. sen
.. jj
Por tanto, la=
notación
el número
número
la θθθsiguiente:
siguiente:
(cos
cos
=
+
θ
=
a=
=
. ee j.j.θθ
a . para
(cosθ
θdefinir
+ jj .. sen
sen
θ)) == aa ..complejo
cosθ
θ+
+ aa es
. sen
sen
.j
rAA
j.θ
=
r
a
=
.
e
a
.
(cos
θ
+
j
.
sen
θ
)
=
a
.
cos
θ
+
a
.
sen
θ
.. jj

A
r
a
.
e
a
.
(cos
j
.
sen
)
=
a
.
cos
a
.
sen
=
=
θ
+
θ
θ
+
θ
j.θ pueda evaluarse numéricamente, se utiliza simplemente
. Aunque
j
no
como
donde j= −1 =
A
rA
a=
e pueda
a . (cos
senθ) = a . cosθse
a . senθsimplemente
.j
θ + j .numéricamente,
+ utiliza
jjj . no
evaluarse
como
donde jjj=== −−−111 ... Aunque
Aunque
no
pueda
evaluarse
numéricamente,
se
utiliza
simplemente
como
donde
Aunque
no
pueda
evaluarse
numéricamente,
se
utiliza
simplemente
como
donde
operador.
.
Aunque
j
no
pueda
evaluarse
numéricamente,
se
utiliza
simplemente
como
donde
j
=
−
1
operador.
.
Aunque
j
no
pueda
evaluarse
numéricamente,
se
utiliza
simplemente
como
donde
j
=
−
1
operador.
operador.
donde
j= −1 . Aunque j no pueda evaluarse numéricamente, se utiliza simplemente como
A continuación, se desarrolla la determinación de la velocidad del punto A, a través de la
operador.
operador.
A
se
la
determinación
de
la
velocidad
operador.
A continuación,
continuación,
sededesarrolla
desarrolla
la
determinación
dedel
la tiempo:
velocidad del
del punto
punto A,
A, aaa través
través de
de la
la
A
continuación,
desarrolla
determinación
la
velocidad
del
punto
A,
través
de
la
derivación
del vectorse
posición la
complejo
respectode
derivación
del
vector
de
posición
complejo
respecto
del
tiempo:
A
continuación,
se
desarrolla
la
determinación
de
la
velocidad
del
punto
A,
a
través
de
la
derivación
del vector
vectorsede
dedesarrolla
posición la
complejo
respectodedel
del
tiempo:
A
continuación,
determinación
la
velocidad
del
punto
A,
a
través
de
derivación
del
posición
complejo
respecto
tiempo:
A continuación,
sededesarrolla
la
determinación
dedel
velocidad del punto A, a través de la
la
j.θ
j.θla tiempo:
 vector
derivación
del
posición
complejo
respecto
d( ade
. eposición
d( edel
derivación
del
respecto
) dacomplejo
) tiempo:
j.j.θ
j.j.θ
A vector
dr

da
j.θ
j.θ
j.θ
θ
θ tiempo:
d ade
. eposición
d edel
derivación
del
vector
complejo
respecto
MANUALES UEX
v A=
vv A==
v AA=
vv A==
v AA=
60
drA
dr
dr
dtAA
dr
dtA
dt
dr
dt
drAA
dt
dt
dt
=
==
=
==
=
(eej.θ )) == da
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da ⋅ e j.j.θθ + a . ω . j . e j.j.θθ
d
.. ee j.θ )) = da
d(( aadt
da
aa ⋅⋅ d(dt
a . ω .. jj .. ee j.θ
== da
j.θ
dt ⋅⋅⋅ eee j.θ +
dt ⋅⋅⋅ eee j.θ +
+
+
θ
j.
a
=
+
⋅
+ aa .. ω
ω . j . e j.θ
d
a
.
e
d
ee j.j.j.θθθ ) == da
(
dt
dt
dt
dt
da
d( adt
. e j.θ )
d
θ
j.
j.θ
dt
dt
dt
dt
da
θ
j.θ + a ⋅ d (dt
j.
dt
dt
d( a . e ) == da
e
e
e
⋅
=
⋅
+
)
da ⋅ e j.θ + a ⋅
da ⋅ e j.θ + aa .. ω
=
ω .. jj .. ee j.θ
 dt
dt
= dt
⋅e + a⋅
= dt
⋅ e + a . ω . j . e j.θ
dt da
dt
dt
dt
da
⋅
θ
+
θ
+
ω
θ
+
θ
v=
cos
j
.
sen
a
.
.
j
.
cos
j
.
sen
( dtθ + j . senθ)) + dt
( dt θ + j . senθ))
A dt da
da
=
a . ω .. jj .. (( cos
dt ⋅⋅⋅ ((( cos
A
vvv=
cos
A
θ +
+ jj .. sen
θ )) +
+ aa .. ω
ω . j . ( cos
θ +
+ jj .. sen
θ ))
cosθ
senθ
cosθ
senθ
dt
A
=
da
dt
da
dt
⋅
θ
+
θ
+
ω
θ
+
θ
vv=
cos
j
.
sen
a
.
.
j
.
cos
j
.
(
)
(
da ⋅ ( cosθ + j . senθ ) + a . ω . j . ( cosθ + j . sen
A
=
θ ))
sen
A
dt
1 ,v=
se obtiene
la siguiente
expresión
absoluta
θ + j . sen
θ ) + a . que
ω . j proporciona
θ)
. ( cosθ + j . la
senvelocidad
dt ⋅ ( cos
111 ,,, Ase
obtiene
la
siguiente
expresión
que
proporciona
la
velocidad
dt
se
la
absoluta
se obtiene
obtiene
la siguiente
siguiente expresión
expresión que
que proporciona
proporciona la
la velocidad
velocidad absoluta
absoluta
Como j222 = −
Como
j2 =
Como
=
Como
= −−−
de un
puntojj2 cualquiera
A:
2
de
un
punto
cualquiera
A:
Como
=
−− 11 ,, se
obtiene
la
siguiente expresión
que proporciona
la velocidad
absoluta
de
punto
A:
Como
=
se
obtiene
la
de un
un
puntojjj2 cualquiera
cualquiera
A:
Como
=
−
1
,
se
obtiene
la siguiente
siguiente expresión
expresión que
que proporciona
proporciona la
la velocidad
velocidad absoluta
absoluta
de
un
punto
cualquiera

da
 da A:

de
un
punto
cualquiera
A:
da
ω
ω
v A  da
cos
sen
.
j
a
.
.
sen
a
.
.
cos
.
j
=
⋅
θ
+
⋅
θ
+
θ
+
θ
[
]

de un punto cualquiera
A:
da
da
da
vv A  da
- a . ω .. sen
a . ω .. cos
=
θ +
θ .. jj +
θ +
θ .. jj]]
dt ⋅⋅⋅ cos
dt ⋅⋅⋅ sen
cos
sen
=
ω . sen
ω . cos
v AA  da
cosθ
senθ
senθ
cosθ
=
θ +
+ da
θ . j +
+ [[[ -- aa .. ω
θ +
+ aa .. ω
θ . j]
dt
dt
dt
dt

da
da


dt ⋅⋅ cos
dt ⋅⋅ sen
ω
ω
vv A  da
.. jj +
a
.
.
sen
a
.
.
cos
=
θ
+
θ
θ
+
θ
[
da
ω
ω
cos
sen
a
.
.
sen
a
.
.
cos
=
θ
+
θ
+
θ
+
θ .. jj]
[
A


dt
dt ⋅ senθse. jcorresponde
v A real dt
cosθ + complejo
a . ω . cosθ x. j]]del vector
=
+ [ - a . ω . sen
donde la parte
del⋅ número
conθla+componente
dt
donde
la
parte
real
del
número
complejo
se
corresponde
con
la
componente
xxx del
dt
dt
donde
la parte
parte
real del
dely lanúmero
número
complejo equivale
se corresponde
corresponde
con la
la componente
componente
del vector
vector
donde
la
real
complejo
se
con
del
vector
velocidad
en el plano,
parte imaginaria
a la componente
y.
velocidad
en
el
plano,
y
la
parte
imaginaria
equivale
a
la
componente
y.
donde
la
parte
real
del
número
complejo
se
corresponde
con
la
componente
x
del vector
vector
velocidad
en
el
plano,
yy la
parte
imaginaria
equivale
aa la
componente
y.
donde
la
parte
real
del
número
complejo
se
corresponde
con
la
componente
x
del
velocidad
en
el
plano,
la
parte
imaginaria
equivale
la
componente
y.
donde
la parte
real
dely lanúmero
complejo
sedelcorresponde
con lalacomponente
x del
vector
Derivando
la
expresión
anterior
respecto
tiempo
se
obtiene
aceleración
de
A:
velocidad
en
el
plano,
parte
imaginaria
equivale
a
la
componente
y.
velocidad
en
plano,
yy la
imaginaria
equivale
aa la
componente
y.
Derivando
la
expresión
anterior
respecto
del
tiempo
se
obtiene
la
aceleración
de
A:
velocidad
en el
ella
la parte
parte
imaginaria
lase
y.
Derivando
expresión
anterior
respecto
del
obtiene
de
Derivando
laplano,
expresión
anterior
respectoequivale
del tiempo
tiempo
secomponente
obtiene la
la aceleración
aceleración
de A:
A:
Derivando
la
expresión
anterior
respecto
del
tiempo
se
obtiene
la
aceleración
de
A:
Derivando
la
expresión
anterior
respecto
del
tiempo
se
obtiene
la
aceleración
de
A:
Derivando la expresión anterior respecto del tiempo se obtiene la aceleración de A:

 d22a

aA=
aaA==
aAA=
aaA==
aAA=
j.θ

dv A
A
dv
dv
dv
 AA
dt
dv
dt
 AA
dt
dv
dt
dv
A
dt
dt
da dt
=
==
=
==
=
d  da
d
da ⋅ e j.j.j.θθθ
d
d  da
da
dt
dt ⋅⋅⋅ eee j.θ
 da
dt
dt
d
dt
dt
d
da

ÍNDICE

dt
dt ⋅⋅ ee j.j.θθ
d  da
j.θ
dt
dt  dt
dt ⋅ e
dtj.θ   dt  da
+
+
+
+
+
+
+

a . ω . j. e j.j.j.θθθ 
aa .. ω
.. j.j. ee j.θ 
ω
a . ω . j. e j.θ 

aa .. ω
ω .. j.j. ee j.θ 
a . ω . j. e j.θ 

j.θ
j.θ
2
2
j.θ

dt
 dt

dt
dt
 real da
da
donde
del⋅ número
con
donde la
la parte
parte
del
número
complejo
se. jcorresponde
corresponde
conθla
la+componente
componente
del vector
vector
v A real
cosθ + complejo
a . ω . cosθ xx. j]del
=
⋅ senθse
+ [ - a . ω . sen
 dt
dt

velocidad en el plano, y la parte imaginaria equivale
a la componente y.
velocidad en el plano, y la parte imaginaria equivale a la componente y.
CINEMÁTICA
DE MECANISMOS
PLANOScon
. TEORÍAcomponente
Y PROBLEMASx RESUELTOS
donde
la partela
del número
complejo
Derivando
expresión
anterior
respecto
tiempo
A:
Derivando
lareal
expresión
anterior
respectosedel
delcorresponde
tiempo se
se obtiene
obtienelala
la aceleración
aceleración de
dedel
A: vector
velocidad en el plano, y la parte imaginaria equivale a la componente y.
Derivando la expresión anterior respecto del tiempo se obtiene la aceleración de A:

dv A
d
j.θ
j.θ 
dv
d  da
da

A =
= dt  dt ⋅⋅ ee j.θ +
+ aa .. ω
ω .. j.j. ee j.θ 
dt


dt
dt  dt


dv A
d  da

aA=
=
⋅ e j.θ + a . ω . j. e j.θ 
2
  da
2a
 d


da
dt
dt
dt
θ
θ
θ
j.
j.
j.

 . j . e j.j.θθ + a . ω22 . j22 . e j.j.θθ 

da
 da
aaA  d a2 ⋅⋅ ee j.θ +
=
=
+ dt ⋅⋅ ω
ω .. jj .. ee j.θ  +
+  dt ⋅⋅ ω
ω .. jj .. ee j.θ +
+ aa .. α
α . j . e + a . ω . j . e 
A
 dt
2


dt
 dt
 dt

2
d a


da
 da

aA  2 ⋅ e j.θ +
=
⋅ ω . j . e j.θ  + 
⋅ ω . j . e j.θ + a . α . j . e j.θ + a . ω2 . j2 . e j.θ 
yy por
por tanto:
tanto:
dt
dt
dt




2
2
2a
2a
 d



d
da
da


aaA  d a2 ⋅⋅ cos
=
θ + d a ⋅ senθ . j  +  - 2 ⋅ da ⋅ ω . senθ + 2 ⋅ da ⋅ ω . cos θ . j   +
=
y por
 dt2 cos θ + dt22 ⋅ senθ . j  +  - 2 ⋅ dt ⋅ ω . senθ + 2 ⋅ dt ⋅ ω . cos θ . j   +
A tanto:
 dt
dt
dt
dt

 

2
2
 d a


da
da
da


aA  2 ⋅ cos θ + 2 ⋅ senθ . j  +  - 2 ⋅
=
⋅ 2ω . senθ + 2 2⋅
⋅ ω . cos θ . j   +
dt
dt
dt
dt
2
2




+
α
θ
+
α
θ
+
ω
θ
ω
θ
a
.
.
sen
a
.
.
cos
.
j
a
.
.
cos
a
.
.
sen
.
j
(
)
+  ( - a . α . senθ + a . α . cosθ . j ) + (( - a . ω . cos θ - a . ω . senθ . j ))

aaA==
A
donde
del
xx del
donde la
la parte
parte real
del número
número complejo
complejo se
se corresponde
corresponde con
con la
la componente
componente
del vector
vector
+  en
+ ( - a . ω2 . cos con
θ - a . componente
ω2 . senθ . j )
. α . senyθla+parte
a . α . cos θ . j ) se
( - areal
aceleración
aceleración
en el
el plano,
plano, y la parte imaginaria
imaginaria se corresponde
corresponde con la
la componente y.
y.
donde la parte real del número complejo se corresponde con la componente x del vector
aceleración en el plano, y la parte imaginaria se54
corresponde con la componente y.
54
Ejemplo: como aplicación del método se analizará
la cinemática del mecanismo de cuatro
Ejemplo:
aplicación
deldonde
método
se analizará de
la los
cinemática
cuatro
barras decomo
la siguiente
figura,
las dimensiones
eslabonesdel
sonmecanismo
conocidas. de
Suponemos que
eslabón figura,
de entrada
(barra
2), tiene54unadelongitud
a y girason
conconocidas.
una velocidad
y
barras
de laelsiguiente
donde
las dimensiones
los eslabones
Suponemos
que el eslabón
de entrada
(barra 2),
ω2 ytiene
α2. una longitud a y gira con una velocidad y
aceleración
angular variables
conocidas
aceleración angular variables conocidas ω2 y α2.
A través de las ecuaciones de lazo y el análisis mediante números complejos, se calculará
la A
relación
variables cinemáticas
los eslabones
denúmeros
salida (barras
3 y 4) yselas
variatravés entre
de laslas
ecuaciones
de lazo y elde
análisis
mediante
complejos,
calculará
de entrada
relativas
a la barra
2. De este
modo,
las expresiones
lables
relación
entre las
variables
cinemáticas
de los
eslabones
de salidaobtenidas
(barras 3 deben
y 4) y permitir
las variacalcular,
para cualquier
la posición,
velocidad
angular deben
y aceleración
bles
de entrada
relativas aposición
la barradel
2. mecanismo,
De este modo,
las expresiones
obtenidas
permitir
angular
de
los
eslabones
3
y
4
en
función
de
los
valores
del
eslabón
2.
calcular, para cualquier posición del mecanismo, la posición, velocidad angular y aceleración
angular de los eslabones 3 y 4 en función de los valores del eslabón 2.
Vector R3
Longitud = b
Vector R3
Longitud = a
Longitud = c
Vector R4
θ3
ω2
Longitud = c
θ4
θ2
α
ω22
θ4
θ2
α2
Vector R1
Longitud = d
Vector R1
•
MANUALES UEX
Longitud = a
Vector R2
Vector R4
θ3
Longitud = b
Vector R2
Longitud = d
Posición
Se plantea la ecuación vectorial de cierre o de lazo del mecanismo siguiendo las barras
• Posición
del mecanismo:
Se plantea la ecuación vectorial
de cierre
o de lazo del mecanismo siguiendo las barras





del mecanismo:
R2 + R3 = R1 ÍNDICE
+ R4





+ R = R + Ra cada vector R se 
establece por convenio en
Obsérvese que el ánguloRθ correspondiente
61
Longitud = d
ω2
θ4
θ2
Vector R1
• α2 Posición
Vector R1
• Posición
Longitud = d
Longitud = d
Se plantea
la ecuación
vectorial
de MARÍN
cierre o de lazo del mecanismo siguiendo las barras
MANUEL
REINO
FLORES,
GLORIA
GALÁN
Vector
R1
Se
plantea
la
ecuación
vectorial
de
cierre o de lazo del mecanismo siguiendo las barras
del mecanismo:
•
Posición
Longitud
=
d
del
mecanismo:
• Posición





R2 
+ R3 = R1 
+ R4 
• Se
Posición
plantea
la
ecuación
vectorial
de
cierre
o de lazo del mecanismo
siguiendo
las barras
 siguiendo
R2 + R
= R1 +o Rde
Se plantea la ecuación vectorial
de3 cierre
las barras
4 lazo del mecanismo
sición

del
mecanismo:
Se plantea
de cierrea ocada
de lazo
delR mecanismo
siguiendo las barras
del Obsérvese
mecanismo:
correspondiente
vector
quelaelecuación
ángulo θivectorial
 establece por convenio en
i se








del
mecanismo:
θ
correspondiente
a
cada
vector
se
establece
por convenio en
Obsérvese
que
el
ángulo
R
i
i
plantea la ecuación
vectorial
de cierre
o de lazo
del mecanismo
siguiendo
las barras
 eje
=origen
sentido
antihorario
partiendo
del

R2Rx+en
R3el
R1R+ del
R4 vector.

R
+
=
R
+
3 x en1 el origen
4
sentido antihorario partiendo2 del eje
del vector.
ecanismo:


que
puede
tomarse
el sentido
sesedesee,
siempre
que se en
PorObsérvese
parte,
para
cada
vector
R

otra






i
cada
vector
establece
por
Obsérvese
que
ángulo
Restablece
que
elelángulo
qθi correspondiente
aacada
vector
establece
porconvenio
convenio
i correspondiente
i se
θ
correspondiente
a
cada
vector
se
por siempre
convenio
en se
Obsérvese
que
el
ángulo
R
puede
tomarse
el
sentido
que
se
desee,
que
otra
parte,
para
cada
vector
i
R

RPor
+
R
=
R
+
R
i
i
2
3
1
4
considere
correctamente
el
ángulodel
que
corresponda
endel
cada
caso
según el convenio estableensentido
sentido
antihorariopartiendo
partiendo
del
eje
x en
el origen
del
vector.
antihorario
eje
x
en
el
origen
vector.
sentido
antihorario
partiendoel del
eje xque
en
origen del vector.
considere
correctamente
ángulo
en cada caso según el convenio estable elcorresponda
cido.
θPor
cada vector
vector Ri se
establece
porelconvenio
en se desee, siempre que se
bsérvese que el ángulo
puede
tomarse
sentido que
otra parte, paraa cada
i correspondiente
cido.
tomarse
el sentido
que
se desee,
siempre
Por otra
parte,
para
cada
vector
Ri puede
tomarse
sentido
se desee,
siempre
que que
se se
Por
parte,
para
cada
vector
Ri puede
considere
el
que
corresponda
enelcomplejos
cada
casoque
según
el convenio
establecido.
o antihorario partiendo
delotra
ejecorrectamente
x enla elecuación
origen
del
vector.
Expresando
ángulo
en términos
de números
se
tiene:
considere
correctamente
elángulo
que
corresponda
en
cada
el convenio
estableExpresando
la ecuación
en términos
de números
complejos
se según
tiene:
considere
correctamente
el ángulo
corresponda
en cada
casocaso
según
el convenio
estable
Expresando
la ecuación
j enque
términos
de números
complejos
se tiene:
jθ
jθ
jθ
jθ
cido.
r otra parte, para cada
. e + bque
. e se= desee,
d . e siempre
+ c . e que se
cido. vector R puede tomarse ela sentido
3
2
i
1
4
a . e jθ2 + b . e jθ3 = d . e jθ1 + c . e jθ4
ere correctamente el ángulo
que corresponda
en 
cada
según
convenio
estable- se tiene:
Expresando
laexpresión
ecuación
en caso
términos
deelnúmeros
complejos
Desarrollando
Expresando
la la
ecuación
 anterior:
en anterior:
términos
de números
complejos
se tiene:
Desarrollando
la expresión
expresión
Desarrollando la
anterior:
jθ
jθ
jθ
jθ
4
. e θ2 +) b=jθ3.d.(cos
e 3 = θdjθ+1. ej . 1sen
+ θcjθ4.)e+ c.(cos
a.(cos θ + j . senθ ) + b.(cos θ + jajθ. 2sen
θ + j . senθ )
2
3e
4
a3 . e son
+ biguales
.se
= sid coinciden
. e1 + c . een1 la parte real
presando la ecuación Como
en términos
de2 números
complejos
tiene:
números
complejos
y en la 4parte imaa.(cos
θdos
2 + j . senθ2 ) + b.(cos θ3 + j . senθ3 ) = d.(cos θ1 + j . senθ1 ) + c.(cos θ4 + j . senθ4 )
Como
dos números
complejos
iguales sien
coinciden
en laanterior,
parte real
y en la parte
imaginaria,
separando
lalaparte
real
deanterior:
lason
imaginaria
la ecuación
igualando,
y aplicanDesarrollando
expresión
Desarrollando
la expresión
jθanterior:jθ
e jθ +oo b . e jθla = parte
d . ereal
+dec la
. eimaginaria en la ecuación anterior, igualando, y aplicanginaria,
11 = 0 queda:
do quea θ.separando
55
j . θsen
θ2 ) + b.(cos θ3 + j . senθ3 ) =55d.(cos θ1 + j . senθ1 ) + c.(cos θ4 + j . senθ4 )
doa.(cos
quea.(cos
qθ1 =+θj02.o+sen
queda:
2
2 ) + b.(cos θ3 + j . senθ3 ) = d.(cos θ1 + j . senθ1 ) + c.(cos θ4 + j . senθ4 )
esarrollando la expresión anterior:
a . cos θ22 + b . cos θ33 = d + c . cos θ44
2
3
1
4
a . senθ2 + b . sen
=
θ33 c . senθ44
(cos θ2 + j . senθ2 ) + b.(cos θ3 + j . senθ3 ) = d.(cos θ1 + j . senθ2 1 ) + c.(cos θ55
4 + j . senθ4 )
55
de donde resolviendo el sistema se obtienen los valores de θ33 y θ44 en función de θ22. Obsérvese
que el sistema anterior no es resoluble analíticamente, puesto que no es lineal, por lo que se
55
necesita una herramienta de cálculo adicional, como puede ser por ejemplo Matlab.
MANUALES UEX
Las soluciones del sistema anterior para la salida θ44 pueden ser dos valores reales y distintos, un solo valor real, o dos raíces complejas conjugadas. Si se obtiene este último caso con
valores complejos, se deduce que la solución no es posible, es decir que no se puede construir un mecanismo de cuatro barras que verifique todas las condiciones impuestas. Esto puede ocurrir porque el cuadrilátero articulado no se puede construir con las longitudes dadas de
las barras o porque se halla fuera de las posiciones límite.
El caso más habitual es aquel en el que se obtienen dos valores reales distintos para el ángulo θ44. Esto implica que para
Configuración abierta
abierta
Configuración
un valor dado de θ22 hay dos
posiciones del eslabón de
4(1) y θ4(2)
4(2), tal y como
salida 4, θ4(1)
4(2)
θθ4(2)
se representa en la figura.
Dichas posiciones se denomi4(1)
θθ4(1)
nan, respectivamente, configuθθ22
ración abierta y configuración
cruzada del cuadrilátero
articulado.
Configuración cruzada
cruzada
Configuración
62
•
Velocidad
ÍNDICE
Se parte de la ecuación de cierre expresada
en términos de números complejos, ya planteada en el apartado anterior relativo a posición:
cruzada del cuadrilátero
articulado.
Velocidad
  Velocidad
Velocidad
Configuración cruzada
CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
parte
laecuación
ecuación
cierre
expresada
términos
números
complejos,
planteada
Se
SeSe
parte
parte
de
dede
lalaecuación
de
dede
cierre
cierre
expresada
expresada
en
enen
términos
términos
de
dede
números
números
complejos,
complejos,
ya
yaya
planteada
planteada
en
el
apartado
anterior
relativo
a
posición:
en
enelelapartado
apartadoanterior
anteriorrelativo
relativoaaposición:
posición:
•
Velocidad
jθ
jθ
jθ
3
aa..eaejθ.jθe22 2 
bb..beejθ.jθe33 

dd..deejθ.jθe11 1 
cc..ecejθ.jθe44
jθ4
Se parte de la ecuación de cierre expresada en términos de números complejos, ya planrespecto
del
tiempo
y considerando
que:
Derivando
respecto
respecto
del
delrelativo
tiempo
tiempo
considerando
considerando
que:
que:
teada enDerivando
elDerivando
apartado
anterior
ayyposición:
a . e jθ2 + ddb.di iejθi 3 = d . e jθ1 + c . e jθ4
paraii==i2,2,
= 32,3yy344y 4
para

i ii para
dt
dtdt
Derivando respecto del tiempo y considerando que:
obtiene:
se
sese
obtiene:
obtiene:
dθi
= ωi para i = 2, 3 y 4
dt jθjθ jθ
jθ3
jθ
jj..aja...a.22..2ee. e22 2 
jj..bjb..b
..33..3ee.jθjθe33 

jj..cjc...c.44..4ee.jθjθe44 4
jθ3
jθ2
jθ4
j . a . ω2 . e + j . b . ω3 . e = j . c . ω4 . e
se obtiene:
jθ3
jθ2
4
j . a . ω2 la
.laeparte
jreal
.b
.de
eimaginaria
.en
e jθecuación
+ real
ωde
= j . c en
ωen
3la
4la.ecuación
Acontinuación,
continuación,
separando
laparte
parte
real
la
imaginaria
laecuación
anterior
eigualando,
igualando,
AA continuación,
separando
separando
de
la. imaginaria
la
anterior
anterior
ee igualando,
A se
continuación,
separando la parte real de la imaginaria en la ecuación anterior e iguatiene:
se
tiene:
tiene:
Asecontinuación,
separando la parte real de56
la imaginaria en la ecuación anterior e igualando,
se tiene:
lando, se tiene:
.22..2sen
. sen
b.b
. sen
.44..4sen
. sen
aa..a.
sen
222 b
..33..3sen
sen
33−
.ωcc..c.
sen
444
3
c
−a .ω
2 senθ2 − b . ω3 . senθ3 =
4 senθ4
−a . ω2 . senθ2 − b . ω3 . senθ3 =
− c . ω4 . senθ4
.22..2θcos
. cos
. cos
.44..4cos
. cos
cos
222 
bb.b
..33..3cos
cos
33c
cc..c.
cos
444
3.
a . ωaa2 ..a.
cos
ω
2 + b . ω3 . cosθ3 =
4 cosθ4
a . ω2 . cosθ2 + b . ω3 . cosθ3 =c . ω4 . cosθ4
resolviendo
el
sesese
obtienen
los
valores
dede
ωde
dede
.22.. 2.
2
donde
resolviendo
elsistema
sistema
se
obtienen
los
valores
yen
función
de
de donde
el sistema
sistema
obtienen
los
valores
enen
función
de
dede
donde
donde
resolviendo
resolviendo
el
elsistema
se
obtienen
obtienen
los
los
valores
valores
de
y33ω
yy3
en
función
función
deθde
4función
44en
de donde resolviendo el sistema se obtienen los valores de ω y ω en función de θ2.
Es conveniente en todos los casos interpretar vectorialmente la ecuación de velocidades
conveniente
todos
los
casos
interpretar
vectorialmente
laecuación
ecuación
velocidades
Es
EsEs
conveniente
conveniente
enen
todos
todos
los
los
casos
casos
interpretar
interpretar
vectorialmente
vectorialmente
lalaecuación
ecuación
de
dede
velocidades
velocidades
ob‐
ob‐ob‐
Es conveniente
en en
todos
casos
interpretar
de
velocidades
obtenida
por derivación
de lalosecuación
de cierre.vectorialmente
Obsérvese que,laderivando
la ecuación
de
tenida
por
derivación
de
la
ecuación
de
cierre.
Obsérvese
que,
derivando
la
ecuación
de
posición
tenida
tenida
por
por
derivación
derivación
de
de
la
la
ecuación
ecuación
de
de
cierre.
cierre.
Obsérvese
Obsérvese
que,
que,
derivando
derivando
la
la
ecuación
ecuación
de
de
posición
posición
obtenida
por
la ecuación
de vectorial
cierre. Obsérvese
que, derivando la ecuación de
posición 
, sederivación
obtiene lade
siguiente
relación
entre velocidades:
se
lasiguiente
siguiente
relación
vectorial
entre
velocidades:

,
,se
se, 
obtiene
obtiene
lalasiguiente
relación
relación
vectorial
vectorial
entre
entre
velocidades:
velocidades:
posición
, obtiene
se obtiene
la siguiente
relación
vectorial
entre
velocidades:



v=
4  v
2 +
 v 3  
v=
+
vv22v
vv33v 3
4 vv44vv4
2 
23 


donde v1 = 0 , puesto que el vector R1 es fijo y son constantes tanto su ángulo como su longi y son constantes tanto su ángulo como su longi
0


,puesto
que elque
vector
es
fijo
dondedonde
v1 =
R1 
,0,puesto
, puesto
elvector
vector
fijo
y son
constantes
tanto
ángulo
como
longitud.
tud.donde
La interpretación
de que
la
ecuación
anterior
en
términos
de velocidades
de
puntos
del
mevv11v1 00
puesto
que
elelvector
RR11Res
es
fijo
fijo
yyson
son
constantes
constantes
tanto
tanto
su
susu
ángulo
ángulo
como
como
su
susu
longitud.
longitud.
donde
1 es
tud.
La
interpretación
de
la
ecuación
anterior
en
términos
de
velocidades
de
puntos
del
mecanismo
es la siguiente:
interpretación
laecuación
ecuación
anterior
términos
velocidades
puntos
mecanismo
La
LaLa
interpretación
interpretación
de
dede
lalaecuación
anterior
anterior
en
enen
términos
términos
de
dede
velocidades
velocidades
de
dede
puntos
puntos
del
deldel
mecanismo
mecanismo
es
eses
canismo
es la siguiente:



lasiguiente:
siguiente:
lalasiguiente:
3
4
3
4
lo
que yindica
cuál interpretar
es la relación
entre velocidades
subyacente
a la derivada de la ecuación de
cierre,
permitirá
correctamente
los resultados
del problema.
cierre,
y
permitirá
interpretar
correctamente
los
resultados
del
problema.
que
indica
cuál
relación
entre
velocidades
subyacente
derivada
ecuación
lololo
que
que
indica
indica
cuál
cuál
es
eses
lala la
relación
relación
entre
entre
velocidades
velocidades
subyacente
subyacente
aa laala la
derivada
derivada
de
dede
lala la
ecuación
ecuación
de
dede
ω3 y ω4 se
puede determinar
la velocidad
relativa
de B respecto de A,
Una
vez
cierre,
yconocidas
permitirá
interpretar
correctamente
los
resultados
del
problema.
cierre,
cierre,
y
y
permitirá
permitirá
interpretar
interpretar
correctamente
correctamente
los
los
resultados
resultados
del
del
problema.
problema.
ω4 se puede
determinarecuaciones
la velocidadmuestran
relativa el
decálculo
B respecto
de A,
vez conocidas
3 ypunto
y la Una
velocidad
absoluta ωdel
B. Las siguientes
en térmiynos
la de
velocidad
absoluta
del
punto
B.
Las
siguientes
ecuaciones
muestran
el
cálculo
en
términúmeros
complejos
en
álgebralalavectorial:
yequivalencia
puede
determinar
lavelocidad
velocidad
relativa
Brespecto
respecto
y la
Una
conocidas
ysu
yy3
se
se
puede
puede
determinar
determinar
velocidad
relativa
relativa
de
dede
BB respecto
de
dede
A,A,A,
yy lala
Una
Una
vez
vezvez
conocidas
conocidas
4 se
44
nos de números
complejos y33su equivalencia
en álgebra vectorial:

términos
en
velocidad
absoluta
del
punto
B.
Las
siguientes
ecuaciones
muestran
el
cálculo
en
de
velocidad
velocidad
absoluta
absoluta
del
punto
punto
B.
B.
Las
Las
siguientes
siguientes
ecuaciones
ecuaciones
muestran
muestran
el
el
cálculo
cálculo
en
términos
términos
de
de
jθ del
jθ
rA= R 2= a . e ⇒ v A= a . ω2 . j . e = a . ω2 . (−senθ2 + j . cos θ2 )= ω
 2 × r2
jθ yysu
jθálgebra
complejos
y
su
equivalencia
en
vectorial:
números
números
complejos
complejos
su
equivalencia
equivalencia
en
en
álgebra
álgebra
vectorial:
vectorial:
rnúmeros
=
R
=
a
.
e
⇒
v
=
a
.
ω
.
j
.
e
=
a
.
ω
.
(
−
sen
θ
+
j
.
cos
θ
)
=
ω
×
r
A
2
A
2
2
2
2
2
2
•
•
2
2
2
2




rB/A= R 3= b . e jθ3 ⇒ v B/A= b . ω3 . j . e jθ3= b . ω3 . (−senθ3 + j . cos θ3=) ω
3
jθ3
jθ3
rB/A= R3= b . e ⇒ vB/A= b . ω3 . j . e = 56
b56
. ω3 . (−senθ3 + j . cos θ3=) ω3
56
 


rB = R 4 = c . e jθ4 ⇒ v B = c . ω4 . j . e jθ 4 = c . ω4 . (−senθ4 + j . cos θ4 ) = ω
4 ×
jθ4
jθ 4
rB = R 4 = c . e ⇒ vB = c . ω4 . j . e = c . ω4 . (−senθ4 + j . cos θ4 ) = ω4 ×

× r3
× r3

r4
r4
Aceleración
Aceleración
Con objeto de calcular las aceleraciones, se deriva dos veces la ecuación de cierre expreobjeto dedecalcular
lascomplejos,
aceleraciones,
se deriva dos veces la ecuación de cierre expresadaCon
en términos
números
obteniéndose:
sada en términos de números complejos, obteniéndose:
ÍNDICE
a . α2 . j . e jθ2 − a . ω22 . e j θ2  +
a . α2 . j . e jθ2 j −θ a . ω22 . e2 j θ2 j θ+
4
4
b . α3 . j . e j θ3 − b . ω32 . e j θ3  =
b . α3 . j . e j θ3 − b . ω32 . e j θ3  =
MANUALES UEX
v=
v A + v B/A
B
v=
+ vB/A 
B  v A 
v a la derivada de la ecuación de
vvBBvB vsubyacente
vAAv A vvB/A
B/AB/A
lo que indica cuál es la relación entre velocidades
63
rA= R2= a . e
⇒ v A= a . ω2 . j . e = a . ω2 . (−senθ2 + j . cos θ2 )= ω2 × r2
Se parte de la ecuación de cierre expresada en términos de números complejos, ya planteada

en
Aceleración
 Aceleración



el
rB/A= apartado
R3= b .anterior
e jθ3 ⇒relativo
vB/A= abposición:
. ω3 . j . e jθ3= b . ω3 . (−senθ3 + j . cos θ3=) ω3 × r3
MANUELCon
REINO
FLORES,
GLORIAlas
GALÁN
MARÍN
objeto
de
de
calcular
calcular
aceleraciones,
se
deriva
veces
ecuación de
de cierre
cierre expresada
expresada
a . e jθ jθ 4b .se
e jθderiva
 d dos
.dos
e jθ veces
 c .la
elajθecuación
 Con objeto
 las aceleraciones,
jθ
r
=
R
=
c
.
e
⇒
v
=
c
.
ω
.
j
.
e
=
c
.
ω
.
(
−
sen
θ
+
j . cos θ4 ) = ω4 × r4
4
4
B
4 obteniéndose:
en
enBtérminos
términos
de
de números
números complejos,
complejos,
obteniéndose: 4
Derivando respecto del tiempo y considerando que:
• Aceleración
2
3
1
4
4
aa ..  .. jj .. eejθjθ22  aa .. 
22 .. eejjθθ22   bb ..  .. jj .. eejjθθ33  bb .. 
22 .. eejjθθ33  

22
33
33

 

d22i se deriva
Con objeto de calcular
las aceleraciones,
2, 3 y la
4 ecuación de cierre expre i jjθθ paradosi =veces
jjθθ
22
cc .. 44 .complejos,
. jj .. ee  ccobteniéndose:
.. 
44 .. ee 
dt
sada en términos de  números
44
44
se obtiene: a . α2 . j . e − a . ω2 . e  + b . α3 . j . e − b . ω3 . e  =
AA continuación,
continuación, separando
separando
lala parte
parte2 real
realj θde
de lala imaginaria
imaginaria en
en lala ecuación
ecuación anterior
anterior ee igualando,
igualando,
jθ
se
se tiene:
tiene: = c . α4 . j . e j . a −. c . .ωe4jθ. e j. b .  . e jθ  j . c .  . e jθ
jθ2
2
j θ3
j θ2
4
2
j θ3
4
2
2
3
3
4
4
A continuación, separando la parte
real de la imaginaria en la ecuación
anterior e igua2
2
.. ω
.. α
cosθ
−
ω
2 . cosθ
2 −
2
2 −
3 .. senθ
3 −
3 =
22
22
senθ
.
cosθ
bla
senθ
bla.. ecuación
cosθ
− aa ..α
αaa22 ....senθ
− aa 
ωaaparte
−deb
αimaginaria
− b
ωbb3322 ....
=
continuación,
separando
la
real
en
e igualando,
.
.
senθ
senθ
.
.

.
.
cosθ
cosθ


b
b
.
.


.
.
senθ
senθ

.
.
cosθ
cosθ

2
2
2
3
3
3anterior
lando, seAtiene:
22
22a . ω . 2cosθ
22
22b . α . senθ
33
33b . ω . cosθ
33
33 
a
.
.
senθ
−
α
−
−
−
2 α . senθ
2
2
2
3
3
3
3 =
=
c
.
c
.
.
cosθ
−
−
ω
2
2
2
4 a
4cosθ
4 b . α . senθ
22
se tiene: =− a−=.=cα.2α.cc44senθ
.
senθ
c
.
.
cosθ
−
ω
.
.
b
.
.
cosθ
−
ω
−
−
ω
=
..  2.. senθ
senθ
2 cc24 .. 
 2.. cosθ
cosθ
4
4
3
3
3
3
44
44
44
44
= − c . α4 . senθ
4 − c . ω4 . cosθ 4
= − c . α4 . senθ4 − c . ω24 . cosθ4
aa. .ω2 222. .sen
  bb57
. .α3 3. .sen
3 3 − b .cω. 223.4 senθ
.22sen34=
aa .. α
senθ
2 −
22 2 2 +
cosθ
. ωaa2 ...
senθ
. αbb3 ...cosθ
cosθ
senθ
αaa22 ....cosθ
.. cosθ
cosθ


.
.
senθ
senθ

.. cosθ
cosθ
. ωbb23 ...

senθ

2 − 22a 
2 + 22b
3 − 33b
3 =
2
2
2
2
3
3
33 .. senθ
33 
2 senθ
a= .cα. 2α. cosθ
a
.
.
b
.
.
cosθ
b
.
.
senθ
−
ω
+
α
−
ω
2
2
2
3
3
3
3 =
.
cosθ
c
.
−
2ω24 . senθ
2
4
4
4
2
2
.
senθ
=a .cα.==2αcc.4 .cosθ
.2ωcc.24.senθ
−a .cω
b
.
.
cosθ
b
.
.
senθ
−
+
α
−
ω
=
.
.
senθ
senθ
..cosθ
.
.
cosθ
cosθ

.

4
4
2
2
3
3
3
3
44
a 4.4  . cos44 2 4 b .44 3 . cos3 c . 4 . cos4
= c . α4 . cosθ
4 − c .2 ω4 . senθ
= c . α4 . cosθ4 − c . ω24 . senθ4
de
de donde
donde resolviendo
resolviendo el
el sistema
sistema obtenemos
obtenemos los
los valores
valores de
de α
α yy αα en
en función
función de
de θθ22..
dedonde
donde
resolviendo
elsistema
sistema
se obtienen
los
valores
en
función
de
de donde
resolviendo
sistema
obtenemos
los
valores
función
resolviendo
elelsistema
obtenemos
los
valores
dede
αy3 αyαen
función
dede
de
de
donde
resolviendo
resolviendo
elel
sistema
obtenemos
obtenemos
los
los
valores
valores
deαdeααy3
en
función
función
deθde
.22.. 2.
4en
2
3y
4
4 en
de donde
resolviendo
el sistemalaobtenemos
losvelocidad,
valores de se
α obtiene
y α en función
de θ2relación
.
Obsérvese
que,
derivando
ecuación
de
la
siguiente
Obsérvese que, derivando la ecuación de velocidad, se obtiene la siguiente relación vecvecEs aceleraciones:
conveniente
en todos
casos interpretar
vectorialmente
ecuación de
velocidades
Obsérvese
que,que,
derivando
la los
ecuación
dede
velocidad,
se
obtiene
lalalasiguiente
relación
vec- ob‐
torial
entre
Obsérvese
Obsérvese
que,
derivando
derivando
la
la
ecuación
ecuación
de
velocidad,
velocidad,
se
se
obtiene
obtiene
siguiente
siguiente
relación
relación
vectorial
vectorial
torialObsérvese
entre
aceleraciones:
derivando
ecuación
velocidad,
se obtiene
la siguiente
relacióndevectenida
por que,
derivación
de la laecuación
de de
cierre.
Obsérvese
que, derivando
la ecuación
posición
torial
entre
aceleraciones:
entre
entre
aceleraciones:
aceleraciones:



torial
aceleraciones:
a
=
a
+
a
entre
, se obtiene
la siguiente relación vectorial
entre
velocidades:
B
A
B/A
a= a + a
3
4
3
4
3
4
3
4
B
A
B/A
a
=
A +
B/A 
B  a
 a

a=
a
+
a
aBBv 
aaAAv B/A
 aaBBv
B a
A 
//AA
MANUALES UEX
que
derivada
4
2 a la segunda
3
que indica
indica la
la relación
relación entre
entre aceleraciones
aceleraciones subyacente
subyacente
a la segunda
derivada de
de la
la ecuación
ecuación
que
indica la relación entre aceleraciones subyacente a la segunda derivada de la ecuación
de
cierre.
de
cierre.




que
indica la relación entre aceleraciones subyacente a la segunda derivada de la ecuación
de cierre.
v1 la
la0relación
, puestoentre
que elaceleraciones
vector R1 es subyacente
fijo
y son constantes
tantoderivada
su ángulode
su longitud.
donde
que
que
indica
indica
relación
entre
aceleraciones
subyacente
aa lala segunda
segunda
derivada
decomo
lala ecuación
ecuación
de
de
de cierre.
Una
vez
conocidas
α
3 y α4 se puede determinar la aceleración relativa de B respecto de A,
cierre.
cierre.
La interpretación
anterior
en términos
de velocidades
de puntos
del mecanismo
Una
vez conocidasdeαla
α4 se puede
determinar
la aceleración
relativa
de B respecto
de A, es
3 yecuación
Una vez
conocidas αabsoluta
determinar
la aceleración
relativa muestran
de B respecto
de A,
3 y α4 se puede
así
la
aceleración
del
punto
B.
Las
siguientes
ecuaciones
el
cálculo
la
siguiente:
así como
como
la
aceleración
absoluta
del
punto
B.
Las
siguientes
ecuaciones
muestran
el
cálculo
Una vez
conocidas αabsoluta
3 y α4 se puede determinar la aceleración relativa de B respecto de A,
así términos
como
la aceleración
delypunto
B. Las siguientes
ecuaciones
muestran
el cálculo
en
de
números
complejos
su
equivalencia
en
álgebra
vectorial,
partiendo
de
en
términos
de conocidas
números absoluta
complejos
ypunto
su equivalencia
vectorial,
dede
las
sedel
puede
puede
determinar
determinar
aceleración
aceleración
relativa
relativamuestran
de
departiendo
BB respecto
respecto
delas
A,
A, así
así
Una
Una
vez
conocidas
αα33 yy αα44 se
así
como
la vez
aceleración
B.
ecuaciones
el cálculo
 Las siguientes
 lalaen
álgebra
en términos
develocidad
números correspondientes:
complejos
y su equivalencia
en
álgebra
vectorial,
partiendo
de
las
ecuaciones
de
v

v

v
ecuaciones
de
velocidad
correspondientes:
como
como
la
la
aceleración
aceleración
absoluta
absoluta
del
del
punto
punto
B.
B.
Las
Las
siguientes
siguientes
ecuaciones
ecuaciones
muestran
muestran
el
el
cálculo
cálculo
en
en
térmi‐
térmi‐
B
A en álgebra
B/A
en
términosde
develocidad
números correspondientes:
complejos y su equivalencia
vectorial, partiendo de las
ecuaciones
nos
nos de
de números
números
complejos
yyjθsu
su equivalencia
equivalencia
en
en álgebra
álgebra
vectorial,
vectorial,
partiendo
partiendo
de
de las
las ecuaciones
ecuaciones de
de

 complejos
ecuaciones
de velocidad
correspondientes:
jθ
jθ
2
vv A =
aa .. ω
jθ ⇒ aA = a . α 2 . j . e jθ - a . ω2
2 . e jθ =
2 .. jj .. e
e
a
a
.
.
j
.
e
a
.
.
e
=
ω
⇒
=
α
ω
=
velocidad
velocidad
correspondientes:
correspondientes:


lo que indicaA cuál es2 la relación
entre velocidades
jθ
jθsubyacente
jθ derivada de la ecuación de
2 a la
2 - a . ω2 . e
v A== aa .. α
. esen
a θ. α22 .- ja. e. ω
ω2.. j −
⇒ aj AA. =
=
jθ θ2 + 
jθ 2
22 + jjθ. senθ2 =
cos
.. [acos
θ
]
2α
2 cierre, y permitirá
correctamente
los
resultados
del
problema.
v A== a .interpretar
. esen
a
a
.
.
j
.
e
.
.
e
ω22. j[[ −
=
ω
= θ2 =]]
j
.
cos
a
.
cos
j
. sen
α
θ⇒
+
θ
ω
θ
+
]
[
A
2
2
2
2
2
2
64
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
. α2 . [ −senθ2 + j . cos θ2 ] - a . ω2 . [cos θ2 + j . senθ2 =]
== a α
× r +
ω
× (ω
×
a57. ω22 . [cos θ2 + j . senθ2 =]
== a(( α
+ [[θ
ω
× rrθ22 ))2]]] - 57
. 22α×2 . r[22 −)) sen
222 +× j(ω
. 22cos
puede
la velocidad relativa de B respecto de A, y la
Una vez conocidas
= (α
r2 3) +y [4ω
r2 )]
2 × 
se
 2 × determinar
2 × (ω
= ( α2del
× r2punto
+ [ ωB.2 ×Las(ωsiguientes
)
2 × r2 )]
velocidad absoluta
ecuaciones
muestran
el cálculo en términos de


jθ3
jθ3
2
jθ 3
vv B/A =
b
.
.
j
.
e
b
.
.
j
.
e
ω
=
α
jθ3 - b . ω23 . e jθ3 =
jθ 3 ⇒ a
3
B/A
3
números complejos
y
su
equivalencia
en
álgebra
vectorial:
 =b . ω3 . j . e jθ3 ⇒ aB/A =b . α 3 . j . e jθ3 - b . ω23 . e jθ3 =
b .θω23+. je.jθsen
=
v B/A
.ω
⇒+ ajB/A
=bθ . α-3 .bj .. eωjθ2 . - cos
B/A =b
3. j . e
jθ 3
.. cos
α
θ
3
3 +a
b .θω33 3+. je. sen
=
vB/A=
=bθ33.]]α-3 .bj . eω22333 . -[[cos
senθ
jB/A
cos
==bb .. ω
α333.. j[[.−
−esen
θ⇒
θ3=
=]
3
. α 3 . [ −senθ3 + j . cos θ3 ] - b . ω3 . [cos θ3 + j . senθ33=]]
== bα
2
r
(
r
)
×
+
ω
×
ω
×
(
)
[
]
3 × θr3 )] -56
== b( α
+ [θω
) sen
33 ] b . ω3 . [cos θ3 + j . senθ3=]
. 33α×3 . r33[ −
3 33+×j (.ω
cos
3
= (α
 3 × r3 ) + [ ω
 3 × (ω
 3 × r3 )]
= ( α 3 × r3 ) + [ ω3 × (ω3 × r3 )]


vv B =
c . ω . j . e jjθθ 44 ⇒ a = c . α . j . e jjθθ4 - c . ω22 . e jjθθ4 =
 B = c . ω44 . j . e jθ 4 ⇒ aBB = c . α 44 . j . e jθ44 - c . ω244 . e jθ44 =
2 - c . ω . e
v B == cc ..αω4.. j−. sen
e jθ 4θ ⇒
aB = cθ. α 4-. jc. .eω
=
jθ424 . [ cos θ244 + jjθ4. senθ4 ] =
+
vB == cc ..αω444.. [[j−. sen
e θ44⇒
c.ω
= cθ.44α]] 4-. jc. .eω
cos
θ4 .+e j . =
senθ =
+ jja..B cos
4 .- [ cos
2
α 4 . [ −senθ4+ j . cos θ4 ] - c . ω4 . [cos θ4 + j . senθ44 ]] =
== c . α
rr−4 sen
+
ω
×
((ω
×
rr4]))] - c . ω2 . [cos θ + j . senθ ] =
)
[
4×
4
4
j
.
cos
θ
.
= c ((. α
α
θ
+
×
+
ω
×
ω
×
[
 44 4 ) [4 4
 4 44 ]
4
4
4
= (α
 4 × r4 ) + [ ω
 4 × (ω
 4 × r4 )]
= ( α 4 × r4 ) + [ ω4 × (ω4 × r4 )]
ÍNDICE
4. PROBLEMAS RESUELTOS
4. PROBLEMAS RESUELTOS
4.1. En el mecanismo de la figura la manivela OA está girando en sentido horario con una
velocidad angular constante ω = 8 rad/s. Considerando que el disco, con centro en B, rueda
sin deslizar, determinar:
A
a) grados
del
mecanismo.
gradosde libertad
de
libertad
del
mecanismo.
b) sentido de rotación de todos los
b) sentidopara
de rotación
de representatodos los
0,2 m
eslabones
la posición
eslabones
para gráficos.
la
posición
ω
da
mediante métodos
representada mediante métodos
O
B
c)
ecuaciones que permitan determigráficos.
nar la posición, velocidad y acelerac) ecuaciones
permitan
ción
de todos losqueeslabones
para
determinar
la
posición,
velocidad
y aceleración
los eslabones
cualquier
cualquier posición en función del ángulo
girado pordela todos
manivela.
Interpretar para
vectorialmente
posición
en
función
del
ángulo
girado
por
la
manivela.
Interpretar
vectorialmente
dichas
dichas ecuaciones.
ecuaciones.
d) velocidad y aceleración angular del disco para la posición representada en la figura.
d) velocidad y aceleración angular del disco para la posición representada en la figura.
Datos: OA = 0,5 m; AB = 1,2 m.
Solución
a) m = 3 xx (4-1) – 2 xx 3 – 1 = 2  Como el disco rueda sin deslizar: m = 3 xx (4-1) – 2 xx 4 = 1
b) Dado el sentido de rotación de la velocidad angular de la manivela la velocidad de A
será:
ωOA
OA
O
61
ÍNDICE
MANUALES UEX
vAA
A
65
MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN
Para la posición de la biela el centro instantáneo de rotación estará en el infinito, ya que
la velocidad del extremo B debe ser horizontal. Por tanto:
CIR(AB) 
∞
(ωAB = 0)
vA
A
vB
B
Sabiendo el sentido de la velocidad de B y teniendo en cuenta que el centro instantáneo
de rotación del disco es el punto de contacto con la superficie se tiene:
ωdisco
B
vB
CIR(disco)
c) Se considera el siguiente polígono vectorial de cierre para el mecanismo:
A
r3
r2
θ2
O
θ3
r1
B
POSICIÓN
MANUALES UEX
La ecuación vectorial de polígono es:
66
 

r1 + r3 =
r2
Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las siguientes ecuaciones, a través de las
cuales se obtienen r 1 y θ 3 para cada valor de θ 2 :
r1 + 1,2 x cosθ3 =
0,5 x cosθ2
1,2 x senθ3 = 0,5 x senθ2
r1 , θ3

62
VELOCIDAD
Derivando la ecuación vectorial del polígono se tiene la relación de velocidades entre
los puntos A y B de la biela:



dr 3 dr 2
dr 1
+
=
dt
dt
dt

 ÍNDICE

vB + v A /B =
vA


 
 
vB + ω3 x r3 = ω2 x r2
CINEMÁTICA
DEθ3MECANISMOS
. TEORÍA
r1 + 1,2 x cos
=
0,5 x cosθPLANOS
r1 , θ3Y PROBLEMAS
2
 RESUELTOS
1,2 x senθ3 = 0,5 x senθ2
r1 + 1,2 x cosθ3 =
0,5 x cosθ2
r1 , θ3

VELOCIDAD
1,2 x senθ3 = 0,5 x senθ2
r1 + 1,2 x cosθ3 =
0,5 x cosθ2
r1 , θ3

Derivando la ecuación vectorial del polígono se tiene la relación de velocidades
entre
VELOCIDAD
1,2 x senθ3 = 0,5 x senθ2
los puntos A y B de la biela:
r1 + 1,2 x cosθ3 =
0,5 x cosθ2
r1 , θ3

Derivando
laecuación

 vectorial del polígono se tiene la relación de velocidades entre
VELOCIDAD
1,2
x senθ
=
0,5
xsenθ








 
3
2
dr 1A y Bdrde3 la dr
2
los puntos
= biela:
+
vA
 vB + v A /B =
 vB + ω3 x r3 = ω2 x r2
Derivando
ladt
dt
dt
ecuación

 vectorial del polígono se tiene la relación de velocidades entre
VELOCIDAD
 


 
 
dr 1A y Bdrde3 la dr
los puntos
biela:
+
= 2 seresuelve
vB + vmediante
v A las siguientes
ω3 x r3 = ω
x r2 de las
 vB +ecuaciones,
A /B =
Esta
ecuación
vectorial
a 2través
Derivando
la
ecuación
vectorial
del
polígono
se
tiene
la
relación
de
velocidades
entre
dt
dt
dt
















cuales
se
obtienen
v
y
ω
para
cada
valor
de
θ
:
dr
dr
dr
B
3
2
3
1
2
los puntos A y+ B de la
= biela: seresuelve
vB + vmediante
v A las siguientes
ω3 x r3 = ω
x r2 de las
 vB +ecuaciones,
A /B =
Esta ecuación
vectorial
a 2través
dt
dt
 v dt


1,2 x ω x senθ =- 0,5 x (-8) x senθ
3
2 
 valor
de θ


 vB , ω
 
cuales sedrobtienen
y ω3 para3 cada
dr 3 v B Bdr
2:
3
1
+
=1,2 x2ω se
v=
vmediante
=
v A lasθ siguientes
ω3 x r3 = ω
x r2 de las
 vB +ecuaciones,
B +
A /B
2través
x
cos
θ
0,5
x (-8) x cos
Esta ecuación
vectorial
resuelve
a
3
3
2
dt
dt
dt
x ω3 x senθ3 = - 0,5 x (-8) x senθ2
cuales se obtienen v BvBy -ω1,2
vB , ω3
3 para cada valor de θ 2 :

ACELERACCIÓN
1,2 x ω3 se
x cos
θ3 =0,5
x (-8) x cos
Esta ecuación vectorial
resuelve
mediante
lasθ2siguientes ecuaciones, a través de las
x ω3 x senθ3 = - 0,5 x (-8) x senθ2
cuales
se obtienen
v BvBy -ω1,2
de θ 2A: y B de la biela es: vB , ω3
3 para cada

La relación
de aceleraciones
entre valor
los puntos
ACELERACCIÓN
1,2 x ω3 x cos θ3 =0,5 x (-8) x cos θ2






vB 2- 1,2 x ω23 x senθ23 =- 0,5 x 
(-8) x senθ2 
d rentre
d r1
dlos
r 2 puntos A y B 

La relación de aceleraciones
de la biela
es: vB , ω3
3
ACELERACCIÓN
+
=
a
+2 aA/B =
aA

1,2 x 2ω3 x cos θ2 3 =0,5
B θ
2 x (-8) x cos

dt
dt dt

la biela
 es:
rentre
d2 r 1  d2
d 2 r puntosA
La relación de aceleraciones
3 

ACELERACCIÓN
+
= los22 
=
a  
 a y+B ade 
2
2
 dtaB + dt
α3 x r3dt
+ ω3 x ω3 Bx r3 =A/Bω2 x Aω2 x r2

 y B 
 es:
rentre
d2 r 1  d2
d 2 r puntosA
La relación de aceleraciones
de la biela
3 

+
= los22 
+ aA/B=
aA 
 aBlas
2
2
Esta ecuación vectorial
se
resuelve
mediante
siguientes
a través de las
 dtaB + dt
α3 x r3dt
+ ω3 x ω3 x r3 = ω2 x ωecuaciones,

2 x r2
2
2
2





d
r
d
r
d
r
cuales se obtienen a B y α13para
cada
deθ 2
: 
3 valor
2 
+ 

=
a + aA/B=
a  
Esta ecuación vectorial
resuelve
a través de las
 dt2 aB se
+ dt
α23 x r3dt+2mediante
ω3 x ω3 Blas
x r3 siguientes
= ω2 x Aωecuaciones,
2 x r2
2
2
θpara
x ω3 x cosθ3 =-0,5 x (-8) x cosθ2
B - 1,2 x α
3 - 1,2
cuales se aobtienen
a3B xysen
α 3
cada
valor
de
θ
:
aB , α3

 
 2 
  

Esta ecuación
vectorial
se resuelve
las
a través de las
θ3 - a1,2
α323 xxsen
r3 θ+3mediante
ω
x ωx3(-8)
x r32 siguientes
ωθ x ωecuaciones,
1,2 x α3 x cos
=
x=sen
B +x ω
3 -0,5
2 x r2
2
2 2 2
x ω3 x cosθ3 =-0,5 x (-8) x cosθ2
B - 1,2 x α
3 - 1,2
cuales se aobtienen
a3B xysen
α 3θpara
cada
valor de θ 2 :
aB , α3

2
Resolviendo
para
θ
=
90º:
Esta ecuación
vectorial
se
resuelve
mediante
las 2siguientes
ecuaciones, a través de las
1,2 x α3 x cosθ23 - 1,2 x ω3 x sen
θ
=
-0,5
x (-8)
x senθ2
3
2
2
x ω3 x cosθ3 =-0,5 x (-8) x cosθ2
B - 1,2 x α
3 - 1,2
cuales se aobtienen
a3B xysen
α 3θpara
cada
valor de θ 2 :
aB , α3

POSICIÓN:
las ecuaciones
 ofrecen
dos soluciones:2
2
Resolviendo
90º:
1,2 x α3 para
θ23 =- 1,2
x cosθ
x ω3 x senθ3 =-0,5 x (-8) x senθ2
2
2
aB - 1,2 x α3 x senθ3 - 1,2 x ω3 x cosθ3 =-0,5 x (-8) x cosθ2
aB , α3
r 1 = -1,0909
m ; θ 3 = 24,624º

POSICIÓN:
las ecuaciones
 ofrecen
dos soluciones:
2
2
Resolviendo
90º:
1,2 x α3 para
θ23 =- 1,2
x cosθ
x ω3 x senθ3 =-0,5 x (-8) x senθ2
)
)
)
)
(
(
(
(
1,0909 mm ; ; θ 3θ 3==155,376º
rr11 == -1,0909
POSICIÓN:
las ecuaciones
 ofrecen
dos soluciones: 24,624º
Resolviendo
para θ 2 = 90º:
La solución compatible con rla =configuración
mecanismo es:
1,0909 mm ; del
r 11 = -1,0909
; θ 3θ 3==155,376º
24,624º
POSICIÓN: las ecuaciones  ofrecen
dos soluciones:
1,0909 m ; delθ 3mecanismo
= 155,376ºes:
1 =
La solución compatible con rrla
configuración
1,0909 mm ; ; θ 3θ 3==155,376º
r 1 == -1,0909
24,624º
VELOCIDAD: las ecuaciones r1permiten
obtener
los
valores:
=
1,0909
m
;
θ
=
155,376º
3
1
La solución compatible con rla =
configuración
1,0909 m ; delθ3mecanismo
= 155,376ºes:
1
vB = 4 m/s
ω3 valores:
= 0 rad/s
i ; los
VELOCIDAD: las ecuaciones r permiten
obtener
1,0909 m ; delθ 3mecanismo
= 155,376ºes:
1 =
La solución compatible con la
configuración



vB = 4 m/s
ω3 valores:
= 0 rad/s
i ; los
VELOCIDAD: las ecuaciones r permiten
obtener
1 = 1,0909 m ; θ 3 = 155,376º



vB = 4 m/s
ω3 valores:
= 0 rad/s
i ; los
VELOCIDAD: las ecuaciones  permiten
obtener
63



vB = 4 m/s 63
i ; ω3 = 0 rad/s
63
63
ÍNDICE
)
)
)
)
MANUALES UEX
(
(
(
(
67
MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN
ACELERACIÓN: las ecuaciones  dan como resultados:




aB = 14,667 m/s2 i ; α3 = 29,334rad/s2 k
Como el disco rueda sin deslizar:
  
vB = ωdisco x rB/CIR(disco)
;
  
aB = αdisco x rB/CIR(disco)
Por tanto:
ωdisco =

4 m/s
0,2 m

;
MANUALES UEX
ωdisco = - 20 rad/s k
;
68
64
ÍNDICE
αdisco =

14,667 m / s2
0,2 m

αdisco = - 73,335 rad/s2 k
CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
4.2. La figura representa un mecanismo de doble biela-manivela. Si la manivela OAB gira
con una velocidad angular constante ω = 600 rpm, calcular:
a) grados de libertad.
b) sentido del movimiento de cada uno de los eslabones, mediante métodos gráficos, para
la posición representada en la figura.
c) ecuaciones que permitan calcular la posición, velocidad y aceleración de todos los
eslabones en función del movimiento de OAB. Interpretar vectorialmente dichas ecuaciones.
d) velocidad y aceleración de las deslizaderas C y D para la posición en la que OA forma
60º con el sentido positivo del eje x.
Datos: OA = OB = AB = 20 cm; AC = BD = 40 cm.
C
A
30 cm
B
ω
O
D
25 cm
Solución
a) m = 3 x (6-1) – 2 x 7 = 1
vB
manivela se obtienen las velocidades v A y v B :
A
:
vA
B
ωOAB
O
65
ÍNDICE
MANUALES UEX
b) Con la velocidad angular ω OAB de la
69
MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN
La velocidad angular de la biela AC se puede calcular mediante su centro instantáneo de
con el de
que
se puede
determinar
posteriormente
la velocidad
de de
la
rotación
CIR AC , angular
La velocidad
la biela
AC se puede
calcular
mediante su centro
instantáneo
deslizadera
C.
con el de
que
se puede
determinar
posteriormente
la velocidad
de de
la
rotación
CIR AC , angular
La velocidad
la biela
AC se puede
calcular
mediante su centro
instantáneo
deslizadera
C.AC , con el que CIR
se ACpuede
determinar
posteriormente
la velocidad
de de
la
rotación
CIR
La velocidad
angular de la biela
AC se puede
calcular
mediante su centro
instantáneo
CIRC.
deslizadera
AC
rotación CIR , con el que se puede determinar posteriormente la velocidad de la
CIRAC
AC
CIRC.
AC
deslizadera
CIRAC
CIRAC
CIRAC
ωAC
CIRAC
ωAC
ωAC
vC
ωAC
A
vA
A
vA
C
vC
C
vC
C
vC
C
vC
C
vC
C
C
vC
vC
C
A
vA de la biela BD se puede calcular mediante su centro instantáneo de
La velocidad angular
rotación
CIR BD , angular
con velA de
que
se puede
determinar
posteriormente
la velocidad
de de
la
LaAvelocidad
la biela
BD se puede
calcular
mediante su centro
instantáneo
deslizadera
D.
rotación
CIR BD , angular
con el de
que
se puede
determinar
posteriormente
la velocidad
de de
la
La velocidad
la biela
BD se puede
calcular
mediante su centro
instantáneo
deslizadera
D.BD , con el vque se puede determinar posteriormente la velocidad de la
rotación
CIR
La velocidad
angular deBla biela BD se puede calcular mediante su centro instantáneo de
deslizadera
D. , con el que se puede determinar posteriormente la velocidad de la
rotación CIR
vB
BD
deslizadera D.
vB
B
vD
vD
vB
B
vD
B
vD
B
vD
vD
D
vD
vD
ωBD
D
ωBD
ωBD
D
MANUALES UEX
D
70
ωBD
CIRBD
CIRBD
CIRBD
D
D
D
CIRBD
D
c) Es necesario
considerar dos polígonos vectoriales de cierre, tal como se representa en las
figuras
siguientes:considerar dos polígonos vectoriales de cierre, tal como se representa en las
c)
Es necesario
figuras
siguientes:considerar dos polígonos vectoriales de cierre, tal como se representa en las
c)
Es necesario
figuras siguientes:
c) Es necesario considerar dos polígonos vectoriales de cierre, tal como se representa en las
figuras siguientes:
66
66
66
66
ÍNDICE
CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
r3
B
A
θ3r3
A r2
θ3
r2
B
r5
r5
r8
D
θ8
D
θ8
r4
C
r4
θ5
θ2θ5
O
O
r8
C
r1
θ2
r1
r6
r6
r7
r7
POSICIÓN
POSICIÓN
Las ecuaciones vectoriales de cada uno de los polígonos son:




Las ecuaciones vectoriales de cada uno
son:
r1 +de
r4 los
=r2polígonos
+ r3
   
r1 + r4 =r2 + r3
r5 = r6 + r7 + r8
   
r5 = r6mediante
+ r7 + r8las ecuaciones:
Estas ecuaciones vectoriales se resuelven
Estas ecuaciones vectoriales
se xresuelven
mediante
r1 = 0,2
cosθ2 + 0,4
x cosθ3las ecuaciones:
= 0,2 x senθ2 + 0,4 x senθ3
r0,3
1 = 0,2 x cosθ2 + 0,4 x cosθ3
0,3 = 0,2 x senθ2 + 0,4 x senθ3
donde θ 5 = θ 2 + 60º
0,2 x cos
=
θ5
-0,25 + 0,4 x cosθ8
0,2
sen
-r6 + 0,4
x senθ8
5
0,2 xx cos
=
θθ=
-0,25
+ 0,4
x cosθ8
5
0,2 x senθ=
-r
+
0,4
sen
θ8
x
5
6
r1 , θ3

r1 , θ3

r6 , θ8

r6 , θ8

VELOCIDAD
67
Derivando la ecuación vectorial del primer polígono se obtiene la relación de
velocidades entre los puntos A y C de la biela:67




dr 3
dr 1
dr 4 dr 2
+
=
+
dt
dt
dt
dt


v=
C
 
v A + v C/A


 
 
vC i = ω2 x r2 + ω3 x r3
71
Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones:
2 xπ 

vC = -0,2 x  -600 x
 x senθ2 - 0,4 x ω3 x senθ3
60 

2 xπ 

0 = 0,2 x  -600 x
 x cosθÍNDICE
2 + 0,4 x ω3 x cosθ3
60 

MANUALES UEX
donde θ 5 = θ 2 + 60º
VELOCIDAD
vC , ω3

Derivando la ecuación vectorial del primer polígono se obtiene la
Derivando
la los
ecuación
velocidades
entre
puntos Avectorial
y C de la del
biela:primer polígono se obtiene la
velocidades
entre
los
puntos
A
y
C
de
la
biela:primer
la
del
polígono se
obtiene la
 vectorial
Derivando
 REINO
 FLORES,
 ecuación
Derivando
la
ecuación
vectorial
MANUEL
GLORIA
GALÁN
MARÍN
 del
primer
  polígono
 la

dr
Derivando
la
ecuación
vectorial
del
primer
polígono se
se  obtiene
obtiene
la
dr
dr
dr








3
1
4
2
velocidades
entre
los
puntos
A
y
C
de
la
biela:
v
=
v
+
v
+
=
+
v
i


velocidades
entre
los
puntos
A
y
C
de
la







C biela:
A
C/A
C  = ω
2 x r
2
dr
dr
dr
dr
velocidades
y C devla
biela:
2
dt
dt

3 A 

1 + dt

4entre

los
=
vA + v
= dt
+puntos
 vC i = ω
C
C/A
2 x r
2








dr
dr
dr
dt
dt
dt
dt
3
1
4 dr
2



dr
dr
vv
vv
vv
vvC ii =
ω
rr2
=
A +



3 se resuelve
1 + ecuación
4 = dr
2 + dr

Esta
vectorial
las
ecuaciones:
Cmediante
C/A
2 x
dr
dr
dr
dr
=
+
+
=
+
=
ω
x


3
1
4
2
C
dt
dt
v=
v AA + las
v C/A
+ dt

 vCC i = ω22 x r22
Cmediante
C/A
dtEsta+ ecuación
dt = dt
dtvectorial
dt se resuelve
ecuaciones:
dt
dt
dt
dt
2
π
x
 seresuelve
 mediante
Esta
ecuación
resuelve
las
ecuación
mediante
ecuaciones:
=vectorial
x
xecuaciones:
ω3 x senθ3
vC vectorial
-0,2 x se-600
- 0,4
 x senθ2 las
Esta
vectorial
260
x π  mediante las ecuaciones:
 se
Esta ecuación
ecuación
se resuelve
resuelve
las ecuaciones:
 mediante
x
x senθ - 0,4 x ω x senθ
v =vectorial
-0,2 x  -600
v ,ω
relación de
relación de
relación
de
relación
  de
relación
de
+
+
+
+
+
ω
3
ω
3


ω
3
ω
ω33
x r3
x r3
xx rr3
x r33



C
2
3
3
C
3
πxx 
2x 2x260
x  ‐600
π
π x cos
vC , ω3

θ
ω
θ
-0,2
-600
x sen
xω
x cos

‐0,2

‐
0,4

sen

θ
+
θ
x
x
x
x
0vvCC==
0,2
-600
0,4
2
3
3

2
π
x
= -0,2 x  -600 2x x 60
2θ2 - 0,4 x ω33 x senθ33
π   xx sen
θ2+ - 0,4
x  -600 x6060
-0,2
sen
0,4 xx ωω3 xx cos
senθθ3
ω

v
,

θ
x 
x
x
0vC==0,2
-600
cos

C
3

2
3
3
60 
vC , ω3

π 
vC , ω3
x

 -600 2260
x π  x cos
θ
+
ω
θ
x 
x vectorial
x
00 =
0,4



 ‐600
 x cos
Para el segundo
se
análogamente,
deduciendo
la
relación
de
2opera
3 xx cos
3
= 0,2
θ
+
ω
θ

x 
x 2 xπ
x
0,2polígono
-600
0,4
cos
2 + 0,4 x ω3 x cosθ3
 -600 x 60


=
θ
x 
x
0
0,2
cos
60
2opera análogamente,
3
3
 la se
Para el segundo
deduciendo la relación de
velocidades
entre los polígono
puntos
B yvectorial
D de
biela:
60


velocidades
entre
puntos
Byvectorial
D de la se
biela:
opera
relación
el
 los polígono
vectorial
Para
segundo
polígono
opera análogamente,
análogamente, deduciendo
deduciendo la
relación de

Para
el segundo
segundo
polígono
vectorial
se
deduciendo
la
 
 de
opera

Para
segundo
polígono
se
operaanálogamente,
análogamente,
deduciendo
la relación
relación
de
dr5 el entre
dr6 los
dr
Dyvectorial
8 de
7 +B dr
velocidades
entre
los
puntos
B
D
de
la
biela:
velocidades
puntos
y
la
biela:
=
+
ω
x
=
r
-v
j
+
ω


v
=
v
+
v
velocidades
entre
los
puntos
B
y
D
de
la
biela:




8 x r8
5
5
D
B
D
B/D





dr
dr
dr
dr
velocidades
entre
los
puntos
B
y
D
de
la
biela:
5
6
8
7
dt
dt
dt
dt








=
r5 -vD j + ω
=
vD + vB/D  ω
5 x
8 x r
 = dt
 + dt
  v
 + dt



B



 
8



dt
5
6
8
7
dr
dr
dr
dr


=
 + 

dr
dr
dr
dr
=
+
+
ω
=
-v
+
ω


v
5
6
8
7






x

r
‐v
j


rr8




v

v
=
B resolver
DD + v

B/D
dondedrω55 == ωdr2 .6Las
ecuaciones
son:
dr 7 + dr 8 quepermiten
5 x
5
D j + ω8 x
Bel
/D mecanismo
+
ω
=
r
-v
x

v
v
B
dt = dt
+ dt
=
r55 -vDD j + ω88 x r88
 ω55 xson:
v=
vDD + vB/D
dt + dt
dt quepermiten
B
B/D
donde dt
ω 5 = ωdt
resolver
el mecanismo
2 . Las ecuaciones
dt
dt
dt
dt
2que
xπ 

donde
Las
ecuaciones
resolver
donde
ω555 ==
ω
ecuaciones
permiten
θresolver
ωel8 mecanismo
x  -600 xque
x sen=
x senθ8 son: son:
- 0,2
- 0,4elx mecanismo
permiten
5
donde
ω22. ..Las
Las
ecuaciones
que
260
x π permiten resolver el mecanismo son:

donde ω
ω5 =
= ω 22 . Las
ecuaciones
que
son:
permiten
θ5 resolver
x senθ8
- 0,2 x  -600 x
- 0,4 x ωel8 mecanismo
 x sen=
vD , ω8

260
xπ




x2πxx
2

π

=
θ
ω
θ
x  ‐600
x
x sen
x
x sen
-600
vD , ω8

‐
0,2
‐
0,4
x
x
x
x
x

5
8
8

θ5=
+ 0,4
x x-600
x x 2 xπx
xxω
x θcos
0,2
cos
 -600
5 - v-D 0,4
8 θ8
=
θ
x sen
x ω8
- 0,2
sen

8

5
8
8
xπ
60
x  -6002x60
θ5 - v- 0,4
x sen=
x ω8 x senθ8
- 0,2
60 xcos
x 
x
x
x
θ
=
+
ω
θ
0,2
-600
0,4
cos
ω
D
8
v
,

5
D
8
8
60


vDD , ω88

π  
xx 
vD , ω8
 -600 x 2260

xπ
 xx cos 
+
ω
θ
ACELERACIÓN 0,2
xπ
θ555=
=‐-- vvDDD 
+ 0,4
ω888 xxx cos
θ888
 x cos θ
0,2 xxx  ‐600
-600 xx 260
0,4 xxx 
cos 
x 
x 60 
x cos θ5= - vD + 0,4 x ω8 x cos θ8
0,2
-600




ACELERACIÓN
60 

Realizando una segunda
derivada para la ecuación vectorial del primer polígono se
MANUALES UEX
ACELERACIÓN
ACELERACIÓN
ACELERACIÓN
Realizando
unadesegunda
derivada
la ecuación
del primer polígono se
deduce
la relación
aceleraciones
entrepara
los puntos
A y C vectorial
de la biela:
ACELERACIÓN
deduce
la
relación
de
aceleraciones
entre
los
puntos
A
y
C
de
la
biela:
Realizando
una
segunda
derivada
para
la
ecuación
vectorial
del
primer polígono
la ecuación

derivada

 para
Realizando
una
segunda
derivada
para
la 2ecuación
vectorial
del primer
polígono
se deduce se
la
Realizando
una
del
polígono
se
2 segunda
2
2
 vectorial
 
 primer
Realizando
una
segunda
derivada
para
la
ecuación
vectorial
del
primer
polígono
se
d
r
d
r
d
r
d
r








3
1
4
2
deduce
la
relación
de
aceleraciones
entre
los
puntos
A
y
C
de
la
biela:
relación
derelación
aceleraciones
entre
puntos
A
y
la
biela:
+
=
+
a
=
a
+
a


2C de
2de aceleraciones
2 los
2 entre
deduce
la
los
puntos
A
y
C
de
la
biela:
C de laAbiela:


C/A
ddtr23puntos A y
r21 aceleraciones
d r24 ddtr2entre
deduce la relaciónddtde
2
2 + dt
2 = 22 
2 + los
aA + a
 aC=

C
C/A

2
22 
22 
22 








d
r
d
r
d
r
d
r
2
2
2
2
33

 ddt
 ddt
 
 +

 
 a
ddt
ddt
2 r
2 r 111 
2 r444 = 
2 r 222 
+
+
=
3




a

a


C+ ω aA
A ω
C // A
A
dx rr22223 ) + 
d r
dC r222i4 == ω
d2r222x2 (+ω
C
C
a
221 + a
α
C
3 x r3a
3aAx +
2
dt
dt 2 +2 dt
+ dt
= 
a=
=
+( 
a3C /xA r3 ) 


dt
2
adt
i = ωdt
x ( ω2 dt
x r22 ) + α3 x r3 C+ ω3 Ax ( ω3C /xA r3 )
dt2
dt
dt
dt
C 
2











 










 mediante
  +lasα
ecuaciones:
 + ω
 ω
 
Esta ecuación vectorial
=
ω
ω
22 xx ( 
22 xx rr22 ) 
33 xx rr33 
33 xx ( 
33 xx rr33 )
aCCsei resuelve


= 
ω
ω
+ 
α
+ 
ω
ω

= ω22 x ((mediante
ω22 x r22 )) +lasα33ecuaciones:
x r33 + ω33 x (( ω33 x r33 ))
 aaCCseii resuelve
Esta ecuación vectorial
2
2 x π mediante las ecuaciones:
 seresuelve
2
Esta
ecuación
resuelve
Esta
ecuación
mediante
las
2 x cos θ
=vectorial
x
x α3 x senθ3 - 0,4 x ω3 x cos θ3
aC vectorial
- 0,2 x se
-600
-ecuaciones:
0,4
Esta
vectorial
resuelve
ecuaciones:
mediante
2 las
260
x π mediante las ecuaciones:
 se
Esta ecuación
ecuación
vectorial
se
resuelve

x cos θ
a = - 0,2 x -600 x
- 0,4 x α x senθ - 0,4 x ω2 x cos θ

2
C
2
3
3
3
3 
602 222
2
 x -6002 x2x 2
2x xxππ
πx cos
θ
θ
θ
x cos
x α
x sen
x2 ω
x cos
aa0C==
0,2
0,4
0,4
2cos

x  ‐600
x
x
x
x
x
aC 
‐=0,2
‐
0,4
sen
‐
0,4






2
3
3
3
2θθ +- 0,4 x3 α x sen
3 θ - 0,4 x3 ω2 x sen
3 θ3
x π 2 xxsen
- -0,2
cos
0,2x x -600
-600x x 260
cos
cos
x2 60
aCC = - 0,2 x -600 60
x π 
 x cos θ2 22 - 0,4 x α33 x senθ33 - 0,4 x ω332 x cos θ33 
θ
+
α
θ
ω
θ
x
x
x
x
x
0 = - 0,2 x -600 x 60
sen
0,4
cos
0,4
sen
60 2
2
3
3
3
3 
602 22

2
 x  -6002 xx 2
π x sen
2 xxπ
=
θ
+
θ
θ
x sen
x α
x cos
x2 ω
x sen
0
0,2
0,4
0,4
2
x
x
x
x
x
x
0
‐
0,2
‐600
0,4
cos
‐
0,4
sen








2
3
3
3
De estas ecuaciones
pueden
deducir
valores
de
igual
2 los
3 θ3 para el
θ
+
x 2 xπ
x sen
x3 α
xacos
x3 ω2
x sen
0 = - 0,2 x se
0,4
0,4
 -600

c 3y θα
3 .- Operando


2
3
3
3
3
60
x 60
0 = - 0,2 x  -600 60
  x senθ2 + 0,4 x α3 x cos θ3 - 0,4 x ω3 x senθ3
De estas
ecuaciones
los valoresentre
de alos
α 3 . Operando
para el
c y puntos
segundo
polígono
se tienese
relación
de
B y D deigual
la biela:
60deducir
 lapueden
 aceleraciones
segundo
polígono
se
tiene
la
relación
de
aceleraciones
entre
los
puntos
B
y
D
de
la
biela:
De
estas
ecuaciones
se
pueden
deducir
los
valores
de
a
y
α
.
Operando
igual
para
el
 sese
 deducir

 los valores
3
De
estas ecuaciones
pueden
de a de
y a3cc. Operando
igual para
el segundo
De
ecuaciones
yα
Operando
igual
para
2
2 pueden 2deducir 2los valores c
3 .
dse
r5tienese
dla
rpueden
d los
r8 valoresentre
De estas
estas
ecuaciones
de
alos
α
igual
para el
el
d deducir
rde
c y puntos
3 . Operando


6
7
segundo
polígono
relación
aceleraciones
B
y
D
de
la
biela:
polígono
se tiene la se
entre
los
puntos
DaDde
= de
+ d2 r2de+aceleraciones
a=
+la
abiela:
2relación
2 aceleraciones
2
segundo
entre
puntos
de
la
biela:
B B ylos
B/DB y D 
2 tienedlar2relación
ddt
r28
segundo polígono
polígonoddt
ser
la
relación
de
aceleraciones
entre
los
puntos
B
y
D
de
la
biela:
5tiene dt
6
7
dt





aD + 
aB/D
 a=

2 = 22 
2 + 22 
2 
2 
2
2 + ddt
2
2

B

d
d
ddt
2 r
2 r
2 r
5

7
=
 + 

ddt
ddt
d22 rr888
2r 5
2 r 666 + d2 r 7
=
+
5
7




a

a

a





B
D
B/D
ddtr2225 = ddtr2226 + ddtr2227 + ddtr2228
B
D
B /D
a


B
=
aDD +
+ a
aB/D
dt = dt
dt + dt
 aa=

B
B/D
dt
dt + dt
dt 2
dt 2
dt 2
dt 2
dt68


  
  
  
68

r5
‐ a68
j  
5 x 
5 x
8 x r8  
8 x 
8 x r8
D
ω5 x ω5 x=
r5
- a68
D j + α8 x r8 + ω8 x ω8 x r8
68

(

)

(
72
68 las ecuaciones:
Esta ecuación vectorial se resuelve mediante
2 xπ 

-0,2 x  -600 x

60
ÍNDICE
2
x
cos=
θ5 - 0,4 x α 8 x senθ8 - 0,4 x ω28 x cosθ8

)




  
  
  
ω
r5
- aD j + α
5 x ω
5 x=
8 x r8 + ω
8 x ω
8 x r8
ω
x
ω
x
=
r
a
j
+
α
x
r
+
ω
x
ω
5
5
5
D
8
8
8
  
  
 8 x r8
ω
x
ω
x
=
r
a
j
+
α
x
r
+
ω
x r8
CINEMÁTICA
DE
MECANISMOS
PLANOS
.
TEORÍA
Y8 PROBLEMAS
RESUELTOS
D
8 x ω
5
5 5
8 8



ω5 x ω5 x=
r5
- aD j + α8 x r8 + ω8 x ω8 x r8
(
(
(
(
)
)
)
)
(
(
(
(
Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones:
Esta ecuación vectorial2 se resuelve mediante las ecuaciones:
2 x π  se resuelve mediante las ecuaciones:

Esta
ecuación
-0,2
θ5 - 0,4 x α 8 x senθ8 - 0,4 x ω28 x cosθ8
x  -600 vectorial
x
2 x cos=
260
xπ 



Esta
ecuación
resuelve
mediante
lasθ8ecuaciones:
-0,2
=
θ5 - 0,4
- 0,4 x ω28 x cosθ8
x  -600 vectorial
x
x α 8 x sen
2 xsecos
)
)
)
)

260
x π 2

2θ
-600 x 2 x π 2 xx cos
=
θθ=
-- 0,4
θ - 0,4 x ω28 x cos

5
8 x sen
sen
aD +x α0,4
x α 8 x8 cosθ8 - 0,4
x ω8 x8 senθ8
2
 -600 x 2
5
60
xx π
2
π  x cos=
 -600 x 260
2θ

θ
0,4
α
sen
θ
0,4
ω
cos
x
x
x
x
- aD + 0,4
x α 8 x8 cosθ8 - 0,4
x ω8 x8 senθ8
55
8
8
 -600 x 260
2 x senθ=
xπ 
60




2

-0,2se
- aD + 0,4 x α 8 x cosθ8 - 0,4 x ω8 x senθ8
x  -600 x
5
de donde
calculan60
a y2 αx sen
. θ=
2 x πD  8

2
-0,2se
-600 x a D y αx 8sen
- aD + 0,4 x α 8 x cosθ8 - 0,4 x ω8 x senθ8
x calculan
de donde
. θ=
5
d) Para θ 2 = 60º: 60 
de donde se calculan a D y α 8 .
d) Para θ 2 = 60º:
de donde se las
calculan
a D y α
POSICIÓN:
ecuaciones
8 . ofrecen dos soluciones:
d) Para θ 2 = 60º:
POSICIÓN: las ecuaciones  ofrecen dos soluciones:
d) Para θ 2 = 60º:
r 1 = 0,479 m ; θ 3 = 18,481º
POSICIÓN: las ecuaciones  ofrecen dos soluciones:
r 1 = 0,479 m ; θ 3 = 18,481º
r 1 = -0,279
m ; θ 3 = 161,519º
dos soluciones:
POSICIÓN: las ecuaciones  ofrecen
r 1 = 0,479 m ; θ 3 = 18,481º
r 1 = -0,279 m ; θ 3 = 161,519º
La solución compatible con la
r 1 configuración
= 0,479 m ; delθ 3mecanismo
= 18,481º es:
r 1 = -0,279 m ; θ 3 = 161,519º
La solución compatible con la configuración del mecanismo es:
0,479 m ; θ = 18,481
ºº
rr ==-0,279
161,519
La solución compatible con la11configuración del3mecanismo es:
r 1 = 0,479 m ; θ 3 = 18,481º
La
solución
compatible 
con se
la configuración
mecanismo
es: con la disposición
Y de
las ecuaciones
obtienen los del
valores
posibles
r 1 = 0,479 m ; θ 3 = 18,481º
mecanismo:
Y de las ecuaciones  se obtienen los valores posibles con la disposición
r 1 = 0,479 m ; θ 3 = 18,481º
mecanismo:
Y de las ecuaciones  se obtienen los valores posibles con la disposición
r 6 = 0,198 m ; θ 8 = 67,98º
mecanismo:
Y de las ecuaciones  se obtienen los valores posibles con la disposición
r 6 = 0,198 m ; θ 8 = 67,98º
VELOCIDAD:
mecanismo: las ecuaciones  permiten obtener los valores:
r 6 = 0,198 m ; θ 8 = 67,98º

VELOCIDAD: las ecuaciones
los valores:
  permitenobtener 
r 6 =m/s
0,198
67,98ºrad/s k
i m ; ; ωθ38 == 16,56
vC = 8,783
-0,2
-0,2 xx
-0,2
-0,2 xx

VELOCIDAD: las ecuaciones
los valores:
  permitenobtener 
; ω
16,56 rad/s k
vC = 8,783 m/s i
3 =
VELOCIDAD:
las
ecuaciones

permiten
obtener
los
valores:


Para el segundo polígono,
a través
 serad/s
obtienen
los valores v D = m/sdei las ecuaciones
; ω3 = 16,56
k
vC = 8,783

 v D indica
ω 8 = -29,35
rad/s.
El
valor
negativo
de
que
el
sentido
real de vdicha
10,68
m/sel ysegundo
Para
polígono,
a
través
de
las
ecuaciones

se
obtienen
D = ; ω3 = 16,56 rad/s k los valores
vC = 8,783 m/s i
. Análogamente,
elvalor
negativo
de valores
ωreal
indica
velocidad
contrario
al definido
rde
Para
eles
segundo
polígono,
apara
través
de
ecuaciones
seelobtienen
valores
ω
rad/s.aEltravés
valor
de
v D indica
que
sentido
de
10,68
m/sel
ysegundo
Para
polígono,
las las
ecuaciones
se
obtienen
los
vdicha
=6negativo
8los
8 = -29,35
D que
-10,68
m/s
y=ω-29,35
-29,35
rad/s.
Elangular
valor
negativo
indica
que
sentido
real
vvelocidad
. Análogamente,
valor
negativo
ωreal
contrario
al definido
para
rde
ω
rad/s.
valor
dede
v DvDindica
elel
sentido
deθv8dicha
10,68
m/seles
ysegundo
elD =sentido
real
dicha
velocidad
es ecuaciones
contrario
alel
para
eldeángulo
.D que
Por
8=
6negativo
8 indica
8 de
Para
polígono,
aEltravés
las
definido
seque
obtienen
los
valores
=.
Análogamente,
indica
velocidad
tanto,
se
como
resultado:
el
valor
negativo
de
ω
que
es
al
definido
para
r
el sentido
real
de
dicha
velocidad
angular
es
contrario
al
definido
para
el
ángulo
θ
.
Por
6
8
=
-29,35
rad/s.
El
valor
negativo
de
v
indica
que
el
sentido
real
de
dicha
10,68
m/sobtiene
y ωcontrario
8
8
D
real
dedecomo
dicha
velocidad
angular
contrario
el
el
sentido
Porθ 8tanto,
tanto,
se obtiene
sentido
real
dicha
velocidad
angular
es contrario
alel definido
para
eldeángulo
. que
Por
 ángulo
Análogamente,
valorpara
negativo
ωθ88.indica
velocidad
es
contrario
alresultado:
definido
para
r 6.es

 al definido
j
10,68
m/s
;
29,35
rad/s
k
v
=
ω
=
como
resultado:
se
obtiene
D
8

tanto,
se
obtiene
como
resultado:

el sentido real de dicha 
velocidad angular es contrario
al definido para el ángulo θ 8 . Por

; ω8 = - 29,35 rad/s k
vD = 10,68 m/s j
tanto, se obtiene como resultado:


ACELERACIÓN: resolviendo
ecuaciones
10,68
m/s j  se
; tiene:
vD = las
ω8 = - 29,35 rad/s k

 las ecuaciones


ACELERACIÓN: resolviendo

se
tiene:
v = 10,68 m/s

j
;
ω8 = - 29,35 rad/s 2 k
2
D - 739 m/s
;
1.894,1
rad/s
i
k
a
=
α
=
  se tiene:
ACELERACIÓN: resolviendo
C las ecuaciones
3
2
2
aC = - 739 m/s i
α3 = 1.894,1 rad/s k

ACELERACIÓN:
resolviendo
 ;se tiene:
 las ecuaciones

2
Y para las ecuaciones
; α3 = 1.894,1 rad/s2 k
aC =-: 739 m/s i


2
Y para las ecuaciones
; α3 = 1.894,1 rad/s2 k
aC =-: 739 m/s i
Y para las ecuaciones :
69
Y para las ecuaciones :
69
 69 


2
; α8 = - 1.413,08 rad/s2 k
aD = - 152,43 m/s j
69
ÍNDICE
4.3. En el mecanismo de la figura, que se utiliza en motores en V, la manivela OA gira con
una velocidad angular constante en sentido horario ω OA = 300 rad/s. Determinar:
MANUALES UEX
del
del
del
del
73
aD = - 152,43 m/s
2
j
;
α8 = - 1.413,08 rad/s
2
k
MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN
4.3. En el mecanismo de la figura, que se utiliza en motores en V, la manivela OA gira con
una velocidad angular constante en sentido horario ω OA = 300 rad/s. Determinar:
a) grados de libertad del mecanismo.
b) ecuaciones que permitan calcular la posición, velocidad y aceleración de todos los
eslabones en función del movimiento de la manivela OA. Interpretar vectorialmente dichas
ecuaciones.
c) velocidad y aceleración de B y D para la posición representada.
Datos: OA = 20 cm; AB = BC = 60 cm; AC = CD = 30 cm.
D
B
C
60º
A
ωOA
60º
60º
O
Solución
a) m = 3 x (6-1) – 2 x 7 – 0 = 1
MANUALES UEX
b) Son necesarios dos polígonos vectoriales de cierre:
70
74
ÍNDICE
CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
B
r3
θ3
r1
A
r2
θ1=120º
θ2
O
D
r5
C
θ5
r6
r4
θ4
r2
O
θ2
θ6 = 60º
MANUALES UEX
A
75
ÍNDICE
MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN
Como AC = 30 cm y AB = BC = 60 cm se deduce que:
Como AC = 30 cm y AB = BC = 60 cm se deduce que:
B
θ=
θ4 + 75,52º
3
B
θ=
θ4 + 75,52º
3
C
POSICIÓN
C
75,52º
Las ecuaciones vectoriales de
POSICIÓN
cada uno de los polígonos son:
Las ecuaciones
de
  vectoriales

cada uno de losr=
r2 + r3 son:
1polígonos
75,52º
   
1= r2r+
2 +
r6r=
r4 +r3r5
   
r6 = r2 +vectoriales
r4 + r5
Estas ecuaciones
se resuelven mediante las ecuaciones:
r1 x cos120
0,2mediante
x cos θ2 +
x cos θ3
Estas ecuaciones vectoriales
se=
resuelven
las0,6
ecuaciones:
r1 x sen120
= 0,2 x senθ2 + 0,6 x senθ3
r1 x cos120
= 0,2 x cos θ2 + 0,6 x cos θ3
r1 x sen120
+ θ0,6
r6 x cos60
==
0,2 x cosθ0,2
0,3θx2cos
0,3 θx 3cosθ5
2 +x sen
4 +x sen
r6 x sen60 = 0,2 x senθ2 + 0,3 x senθ4 + 0,3 x senθ5
r6 x cos60 = 0,2 x cosθ2 + 0,3 x cosθ4 + 0,3 x cosθ5
r6 xº.sen60 = 0,2 x senθ2 + 0,3 x senθ4 + 0,3 x senθ5
siendo θ 3 = θ 4 + 75,52
A
A
r1 , θ3

r1 , θ3
r6 , θ5


r6 , θ5

VELOCIDAD
siendo
θ 3 = θ 4 + 75,52º.
Derivando la ecuación vectorial del primer polígono se obtiene la relación de
VELOCIDAD
velocidades entre los puntos A y B de la biela:
Derivando la ecuación vectorial del primer polígono se obtiene la relación de



velocidadesdrentre
los
  
 
dr 3A y B de labiela: 
dr 2puntos
1
=
+
 v=
v A + vB/ A  vB = ω2 x r2 + ω3 x r3
B



dt
dt
dt

 
  
 
dr 3
dr 1
dr 2
=
+
 v=
v A + vB/ A  vB = ω2 x r2 + ω3 x r3
B
Ecuacióndtvectorial
se resuelve mediante las ecuaciones:
dt que dt
vB=
x cos120
- 0,2mediante
x (-300) x las
senecuaciones:
θ2 - 0,6 x ω3 x senθ3
Ecuación vectorial
que
se resuelve
vB x sen120 = 0,2 x (-300) x cosθ2 + 0,6 x ω3 x cosθ3
vB=
x cos120
- 0,2 x (-300) x senθ2 - 0,6 x ω3 x senθ3
vB x sen120 = 0,2 x (-300) x cosθ2 + 0,6 x ω3 x cosθ3
vB , ω3

vB , ω3

72
Para el segundo polígono vectorial se opera análogamente, deduciendo la relación de
72
velocidades:
MANUALES UEX





  
dr 6
dr
dr
dr
= 2 + 4 + 5
 vD = v A + v C/A + vD/C 
dt
dt
dt
dt
  
 
 
vD = ω2 x r2 + ω4 x r4 + ω5 x r5

76
donde ω 3 = ω 4 .
Las ecuaciones que permiten resolver el mecanismo son:
v=
- 0,2 x (-300) x senθ2 - 0,3 x ω4 x senθ4 - 0,3 x ω5 x senθ5
D x cos60
vD=
0,2 x (-300) x cosθ2 + 0,3 x ω4 x cosθ4 + 0,3 x ω5 x cosθ5
x sen60
ACELERACIÓN
ÍNDICE
vD , ω5


  
dr6
dr
dr
dr
 + v
= dr 2 + dr 4 + dr 5
 vD = vA + v
C/A
D/C 
dr
6
5
2
4
dt = dt + dt + dt
 vD = v A + v C/A + vD/C 
dt
dt
dt
 dt 
 
 
vD = ω

2 x r2 + ω
4 x r4 + ω
5 x r5
CINEMÁTICA
vD = DE
ω2 MECANISMOS
x r2 + ω4 x PLANOS
r4 + ω.5TEORÍA
x r5 Y PROBLEMAS RESUELTOS

donde ω 3 = ω 4 .
donde ω 3 = ω 4 .
Las ecuaciones que permiten resolver el mecanismo son:
Las ecuaciones que permiten resolver el mecanismo son:
v=
- 0,2 x (-300) x senθ2 - 0,3 x ω4 x senθ4 - 0,3 x ω5 x senθ5
D x cos60
v=
- 0,2 x (-300) x senθ2 - 0,3 x ω4 x senθ4 - 0,3 x ω5 x senθ5
D x cos60
vD , ω5
vD , ω5
vD=
0,2 x (-300) x cosθ2 + 0,3 x ω4 x cosθ4 + 0,3 x ω5 x cosθ5
x sen60
vD=
0,2 x (-300) x cosθ2 + 0,3 x ω4 x cosθ4 + 0,3 x ω5 x cosθ5
x sen60


ACELERACIÓN
ACELERACIÓN
Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono se
Realizando
una segunda
derivada para
deduce
que la relación
de aceleraciones
entrelalosecuación
puntos Avectorial
y B de la del
bielaprimer
es: polígono se
deduce que la relación deaceleraciones
entre
los
puntos
A
y
B
de
la
biela
es:



 
d2 r3
d2 r1 d2 r2
2
2
aA + a
B
 a=

B/A
ddt
r21 = ddt
r2 + d2 r2
aA + aB/A
= 22 + dt23
 a=

B
2
dt
dt
dt


 
 

 
aB = ω
2 x ω
2 x r2 + α
3 x r3 + ω
3 x ω
3 x r3
aB = ω2 x ω2 x r2 + α3 x r3 + ω3 x ω3 x r3
(
(
)
)


Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones:
Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones:
aB =
x cos120
aB =
x cos120
aB x sen120 =
aB x sen120 =
(
(
)
)
- 0,2 x (-300)2 x cosθ2 - 0,6 x α3 x senθ3 - 0,6 x ω23 x cosθ3
- 0,2 x (-300)22 x cosθ2 - 0,6 x α3 x senθ3 - 0,6 x ω23 x2 cosθ3
- 0,2 x (-300) x senθ2 + 0,6 x α3 x cosθ3 - 0,6 x ω3 x senθ3
- 0,2 x (-300)2 x senθ2 + 0,6 x α3 x cosθ3 - 0,6 x ω32 x senθ3
aB , α3
aB , α3


Operando igual para el segundo polígono se deduce la relación de aceleraciones:
Operando igualpara el segundo
se deduce la relación de aceleraciones:

polígono



d2 r6
2
ddt
r26 =
=
dt2


aD = ω
2 x
aD = ω2 x
d2 r2
2
ddt
r22 +
+
dt2
 
ω
2 x r2
ω2 x r2
(
(
)
)

  
d2 r5
d2 r4
2
2
 aD = aA + a

 + a
C/A
D/C
r25
ddt
r24 + ddt
+
 aD = aA + aC/A + aD/C 
2
2
dt
dt
 

 
 

 
+ α
4 x r4 + ω
4 x ω
4 x r4 + α
5 x r5 + ω
5 x ω
5 x r5
+ α 4 x r4 + ω4 x ω4 x r4 + α 5 x r5 + ω5 x ω5 x r5
(
(
)
)
donde α 3 = α 4 . Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones:
donde α 3 = α 4 . Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones:
aD x cos60 = - 0,2 x (-300)2 x cosθ2 - 0,3 x α4 x senθ4 x α x senθ4 aD x cos60 = - 0,2 x (-300)2 x cosθ2 - 0,3
- 0,3 x α5 x senθ5 - 0,3 x ω25 x cos4θ5
2
x
x
θ
ω
- 0,3 x α5 x sen
0,3
cosθ
aD x sen60 = - 0,2 x (-300)2 x 5senθ2 + 50,3 x α4 5 x cosθ4 2
x α x cosθ4 aD x sen60 = - 0,2 x (-300) x senθ2 + 0,3
+ 0,3 x α5 x cosθ5 - 0,3 x ω52 x sen4θ5
2
+ 0,3 x α5 x cosθ5 - 0,3 x ω5 x senθ5
(
(
0,3 x ω24 x cosθ4 0,3 x ω24 x cosθ4 0,3 x ω24 x senθ4 +
0,3 x ω24 x senθ4 +
)
)


de donde se calculan a D y α 5 .
de donde se calculan a D y α 5 .
c) Para θ 2 = 90º:
c) Para θ 2 = 90º:
73
 ofrecen una 73
solución compatible con la configuración del
r 1 = 0,7648 m ; θ 3 = 129,59º
Y de las ecuaciones  se obtienen los valores:
θ 4 = 54,07º ;
r 6 = 0,7636 m ; θ 5 = 46,7º
MANUALES UEX
POSICIÓN: las ecuaciones
mecanismo:
77
VELOCIDAD: las ecuaciones  permiten obtener:

vB = 38,78 m/s
60º
;
ÍNDICE

 
ω3 = ω4 = 87,83 rad/s k
Para el segundo polígono las ecuaciones  dan como resultado:
r 1 = 0,7648 m ; θ 3 = 129,59º
Y de las ecuaciones  se obtienen los valores:
θ 4 = 54,07
; r 6 = 0,7636 m ; θ 5 = 46,7º
MANUEL REINO FLORES, GLORIA
GALÁNº MARÍN
VELOCIDAD: las ecuaciones  permiten obtener:

vB = 38,78 m/s

 
ω3 = ω4 = 87,83 rad/s k
;
60º
Para el segundo polígono las ecuaciones  dan como resultado:



vD = 38,81 m/s
; ω5 = 88,21 rad/s k
60º
ACELERACIÓN: resolviendo las ecuaciones  se tiene:

2
aB = 18761,9 m/s

 
; α3 = α4 = -13909,2 rad/s2 k
60º
Y para las ecuaciones :

2
aD = 17668 m/s


; α5 = 42384,5 rad/s2 k
60º
MANUALES UEX
74
78
ÍNDICE
CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
4.4. En el mecanismo representado en la figura, la velocidad angular del eslabón triangular
4.4.
el mecanismo
representado
en la figura, la velocidad angular del eslabón triangular
O 2 BCEn es
ω O2BC = 150
rpm,
O
BC
es
ω
=
150
rpm,
2
constante
yO2BC en sentido
D
constante Deducir:
y en sentido
antihorario.
D
antihorario. Deducir:
a) grados de libertad del
a)
grados de libertad del
mecanismo.
mecanismo.
b) si es posible que el eslabón
b)
si es posible
el eslabón
pueda quedar
una
O 2 BC
BC
pueda
dar
una
O
2
revolución
completa.
revolución completa.
c) sentido del movimiento de
B
c)
de
B
cadasentido
uno del
de movimiento
los eslabones,
cada
uno
de
los
eslabones,
mediante métodos gráficos,
C
mediante
métodos
gráficos,
para la posición
representada.
C
para la posición representada.
O1
d) carrera de trabajo del
ωO2BC
O1
d)
carrera
ωO2BC
eslabón
O 1 A.de trabajo del
O2
eslabón O 1 A.
O2
e) velocidad y aceleración de
e)
velocidad
y
aceleración
de
todos los eslabones para las
todos
los eslabones
las
posiciones
límite del para
eslabón
posiciones
límite
del
eslabón
A
O 1 A.
A
O 1 A.
Datos: O 1 O 2 = O 1 A = 50 cm;
Datos:
O1O
A = 50 cm;
2 =OO
cm;
O 2 C = 30
2 B1 = BC = 20 cm; AB = CD = 70 cm
O 2 C = 30 cm; O 2 B = BC = 20 cm; AB = CD = 70 cm
Solución
Solución
a) m = 3 x (6-1) – 2 x 7 = 1
a) m = 3 x (6-1) – 2 x 7 = 1
b) Considerando el cuadrilátero articulado O 1 ABO 2 se comprueba si verifica la Ley de
b)
Considerando el cuadrilátero articulado O 1 ABO 2 se comprueba si verifica la Ley de
Grashof:
Grashof:
c + b la(OLey
O 1 Grashof,
A ≤ O 1 O 2siendo
<AB) el eslabón
20 O
+ 270
+ 50
a +se
d ≤verifica
2 B <de
Nótese que
BC≤ la50manivela
del
20 + 70 ≤ 50 + 50
a + d ≤ c + b (O 2 B < O 1 A ≤ O 1 O 2 <AB) 
A
cuadrilátero
articulado,
y
por
tanto
puede
efectuar
una
revolución
completa.
El
eslabón
O
Nótese que se verifica la Ley de Grashof, siendo el eslabón O 2 BC la manivela 1 del
sería
el
balancín.
75
cuadrilátero articulado, y por tanto puede efectuar una revolución completa. El eslabón O 1 A
75
el balancín.
c)sería
Dada
la velocidad angular del eslabón
velocidad de la deslizadera D.
vC
vB
vB
B
B
C
O2
O2
C
ωO2BC
ωO2BC
79
vD
vD
ÍNDICE
CIR(CD)
MANUALES UEX
se tienen
velocidades
de B ydel
C. eslabón
Oc)2 BCDada
la las
velocidad
angular
BC selatienen
las velocidades
y C.
O 2Para
biela CD
se determinadesuB velocidad
angular
mediante
el
centro
instantáneo
de
Para la biela CD se determina su velocidad
rotación
y
posteriormente
se
calcula
angular mediante el centro instantáneo lade
velocidad
D. se calcula la
rotación deyla deslizadera
posteriormente
vC
vD
las velocidades
B y C.
O
velocidad
de la deslizadera
D. de
2 BC se tienen
angular
mediante
el centro
instantáneo
de
rotación
y
posteriormente
se
calcula
la
Para la biela CD se determina su velocidad
velocidad
de
la
deslizadera
D.
angular mediante el centro instantáneo de
rotación REINO
y posteriormente
se calcula
MANUEL
FLORES, GLORIA GALÁN
MARÍN la
velocidad de la deslizadera D.
vD
vB
O2
ωO2BC
B
C
O2
ωO2BC
C
O2
ωO2BC
vD
vD
CIR(CD)
D
vD
vD
CIR(CD)
D
ω
vC
D
D
vD
CD
CIR
(CD)
vC
vC
D
ωCD
CIR(CD)
ωCD
CIR(CD)
C
D
CIR(CD)
C
Para la biela AB se determina su velocidad angular mediante el centro instantáneo de
calcular la velocidad de A y, por tanto, la
rotación CIR (AB) que permite, a continuación,
C
velocidad
delse
balancín
O 1 A.su velocidad angular mediante el centro instantáneo de
Para laangular
biela AB
determina
vB
a continuación, calcular la velocidad de A y, por tanto, la
rotación CIR (AB) que permite,
velocidad
angular
del
balancín
O 1 A.su velocidad angular mediante el centro instantáneo de
Para la biela AB se determina
v
B
B
calcular la velocidad de A y, por tanto, la
rotación CIR (AB) que permite, a continuación,
velocidad angular del balancín O 1 A.
vB
B
O1
B
A
vA
vA
MANUALES UEX
vA
ωAB
A
ωAB
A
ωAB
CIR(AB)
ωO1A O1
76
ωO1A O1
76
vA
ωO1A
76
vA
CIR(AB)
vA
CIR(AB)
80
ÍNDICE
A
A
A
d) Son necesarios dos polígonos
vectoriales
de cierre:
CINEMÁTICA
DE MECANISMOS
PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
d) Son necesarios dos polígonos vectoriales de cierre:
d) Son necesarios dos polígonos vectoriales de cierre:
B
20 cm
B
41,41º
B
O2 20 cm
20 cm 30 cm
41,41º
41,41º
O22
30 cm
O2
30 cm
20 cm
O1
r1
O11
O1
r11
r1
r3
r33
r3
D
D
20 cmC
20 cm
C
C
r44
r4
r6
r7
B
O2
r66
r6
r77
r7
r2
B
Bθ2
r22
r2
r4
θ3
θ33

θ3
D
r5
O2
θ22

θ2
r55
r5
O22
O2
θ5
θ55

θ5
θ6
C 
θ66
θ6
C
C
O22
O2
θ4
A
θ44

θ4
POSICIÓN
A
Las ecuacionesAvectoriales de cada uno de los polígonos son:




POSICIÓN
POSICIÓN
r1 + r2 = r3 + r4
POSICIÓN
Las ecuaciones
ecuacionesvectoriales
vectorialesdede
cada
de
polígonos
son:
cada
unouno
de
los los
polígonos
 de
 polígonos
 son: son:
Las ecuaciones vectoriales de cada uno
los
 r5 +
 r6 =
 r7 
r11 
+ r22 
= r33 
+ r44
r1 + r2 = r3 + r4
Estas ecuaciones vectoriales se resuelven
 mediante

 las ecuaciones:
+ r6 
=
r5 
r7
r5 + r6 =
r7
77
ecuacionesvectoriales
vectorialesseseresuelven
resuelven
mediante
ecuaciones:
Estas ecuaciones
mediante
laslas
ecuaciones:
Estas ecuaciones vectoriales se resuelven mediante las ecuaciones:
2
77
3
4
30
00
30 xx cos
cosθθ55 
+ 70
70 xx cos
cosθθ66 
=
x
x
30
sen
θ

70
sen
θ

rr77
30 x senθ55 + 70 x senθ66 =



siendo
º.º.
siendo θ55 == θ22––41,41
41,41
Las
O1O
A 1seA obtienen
cuando
O2 B O
y AB
están
alineadas,
es decir,
Las posiciones
posicioneslímite
límitedel
delbalancín
balancín
se obtienen
cuando
AB están
alineadas,
es
2B y

=

y

=

+
180
º
.
para
decir, 2para 4θ 2 = θ2 4 y 4 θ 2 = θ 4 + 180º.
MANUALES UEX
50
50 
+ 20
20 xx cos
cosθθ22 
= 50
50 xx cos
cosθθ33 
+ 70
70 xx cos
cosθθ44
77
xx sen
20

50
20
=
senθθ2
50 xx sen
senθθ3 
+ 70
70 xx sen
senθθ4
81
Para θ22 ==θ4:4 :
50 
+ 20 x cosθ2 = 50 x cosθ3 
+ 70 x cosθ2

20 x senθ2 50 x senθ3 
=
+ 70 x senθ2
ÍNDICE
50 - 50 x cos
θ2 = 50 x cosθ3
77
-50 x senθ2 = 50 x senθ3
siendo
º. del balancín O 1 A se obtienen cuando O 2 B y AB 
5 = θ 2 – 41,41
Las θposiciones
límite
están alineadas, es
30 x senθ 5 + 70 x senθ6 =
r7
siendo
θ
=
θ
–
41,41
5
2
Laspara
posiciones
límite
del
balancín
O
A se
se obtienen
obtienen cuando
cuando O
O 22 B
B yy AB
AB están
están alineadas,
alineadas, es
es
decir,
y θºº..2 del
= θbalancín
. 11 A
siendo
θposiciones
2 2=– θ41,41
4 límite
4 + 180ºO
5 =θθ
Las
siendo
θ
=
θ
–
41,41
º
.
decir,
para
θ
=
θ
y
θ
=
θ
+
180
º
.
5
2
2
4
2
4
Laspara
posiciones
límite
del
balancín
O
A se
se obtienen
obtienen cuando
cuando O
O 22 B
B yy AB
AB están
están alineadas,
alineadas, es
es
decir,
y θ 2 del
= θbalancín
. 11 A
4 + 180ºO
Las
posiciones
θ 2 θ=2 θ=4 :θ 4 límite
Para
decir,
para
θ
=
θ
y
θ
=
θ
+
180
º
.
2
4
2
4
MANUEL
REINO
FLORES,
GLORIA
GALÁN
MARÍN
Las
posiciones
límite
del
balancín
O
A
se
obtienen
cuando
O
B
y
AB
están
alineadas,
es
=2 θθ=44 ::θ 4 y θ 2 = θ 4 + 180º. 1
Para
2
decir,
para
θθ 22 θ=
Para
50 + 20 x cosθ2 = 50 x cosθ3 + 70 x cosθ2
decir,
para θ 2 θ=4 :θ 4 y θ 2 = θ 4 + 180º.
Para
50
20
50
70θx cosθ2
θθ2 x== sen
= θ4:
Para θθ 22 =
=
20
+ θθ70
3 x+sen
50 x+
+sen
20θ2xx cos
cos50
50θxx3 cos
cos
2
3 + 70 x2 cosθ2
Para θ 2 = θ 4 :
=
20
sen
50
sen
+ θ70
70 xx+sen
sen
50 xx+sen
20θθ2x cos50
50θθx3 cos
70θθx2 cosθ
θ xx= sen
=
20
+
2 = 50 x3 cosθ 3 + 70 x2 cosθ2
50 + 20502x cos
2
- 50θx2 cos
θ2 = 50 3x cosθ3
=
20
sen
50
+ θ70
70
θθ2x cos50
θθx3 cos
θθx2 cosθ2
x= sen
x+sen
50 xx+sen
2050
50
70
θ
=
20
sen
+
sen
x
x
2
3
-x50
50
cos
θ=2 50
x cos
2 3= x50
-50
senxx θcos
sen
θ3 θθ33 2
50
2 θ
2 = 50 x cos
=
20 x sen-50
50 θx sen
+x sen
70 θx senθ2
θ2 x sen
θ50
3
=
50
50
cos
= x50
x cos
2 θ
-50--x50
senxx θcos
=2 50
sen
θ33 θ3
2 θ
50
2 = 50 x cosθ 3
Elevando al cuadrado las dos ecuaciones
anteriores:
x50
x50
-50
sen
θ
=
50
sen
50
cos
=
cos
x
θ
x
2
-50 x senθ2 anteriores:
=2 50 x senθθ33 θ3
Elevando
al
Elevando
al cuadrado
cuadrado las
las dos
dos ecuaciones
ecuaciones
anteriores:
2
2500 + 2500 x cos2θ2 - 5000 x cos
θ
=
2500
x
2500 x sen2θ2 = 2500 x sen2θ3
-502 x senθ2 =cos
50θx3senθ3
2
2
Elevando
al
cuadrado
las
dos
ecuaciones
anteriores:
2
2
Elevando
al cuadrado
dosx cos
ecuaciones
2500
x cos2θ2 -las
5000
θ =
2500
x cos2θ 3
2500
2500 ++ 2500
2500
x cos θ2 - 5000 x cosθ22 =
2500anteriores:
x cos θ 3
2500 xx sen
sen2θθ22 =
= 2500
2500 xx sen
sen2θθ33
Sumando
ambas
ecuaciones:
2
2
Elevando
al cuadrado
las dosx cos
ecuaciones
anteriores:
2
2
2500
=
2500
2500
2500 ++ 2500
2500 xx cos
cos2θθ2 -- 5000
5000 x cosθθ2 =
2500 xx cos
cos2θθ3
2500 xx sen
sen2θθ2 =
= 2500
2500 xx sen
sen2θθ3
Sumando
2
2
3
2
Sumando ambas
ambas ecuaciones:
ecuaciones:
2
2
2
2
+ x2500
θ2x cos
+ sen
θ2500
θ2 = 2500
x (xcos
25002500
+ 2500
cos2θx2 (-cos
5000
θ2 =
x cos xθcos
2500
sen2θθ32 +=
2 ) - 5000
3
Sumando
ambas
ecuaciones:
2
2
2
Sumando
ambas
ecuaciones:
2500
+ 2500
+ sen
+
2500 +
2500 xx ( cos
cos2θθ22 +
sen2θθ22 ) -- 5000
5000 xx cos
cosθθ22 == 2500
2500 xx ( cos
cos2θθ33 +
Sumando ambas ecuaciones:
2
2
2
2500
cos
x cosθ2 = 2500 x ( cos2θ 3 +
+
2)
2500 +
+ 2500
2500 xx ((2500
cos2θθ+2 2500
+ sen
sen-2θθ5000
5000
θ 2500
= 2500 x ( cos θ +
x cosxθcos
=
) -- 5000
2
sen
2500θx3 sen
) 2θ 3
2
2θ
sen
sen θ3 )
3
3
2
sen
sen2θθ33 ))
2
2
2
3
2
2500 + 2500 x (2500
cos2θ+
+ sen--2θ5000
θ22500
= 2500 x ( cos2θ3 + sen2θ3 )
x cosxθcos
2500
+2 2500
2500
5000
=
2500
2 ) - 5000
x cosθ22 =
de donde se obtiene el valor θ 2 = θ 4 = 60º. De las ecuaciones  y  se calculan
x cosθ2 =
2500
+
- 5000
2500
2500 posición
+θθ 2 2500
2500
2500
de
donde
se obtiene
obtiene
el
valor
= θ - límite:
=5000
60º.x cos
Deθ2las=
ecuaciones
 y  se calculan
demás
valores
de esta el
primera
de
donde
se
valor
2 = θ 44 = 60º. De las ecuaciones  y  se calculan
x
2500
+
2500
5000
cos
θ
=
2500
2
demás
valores
de
esta el
primera
posición
límite:
demás
valores
de
esta
primera
posición
límite:
de
donde
se
obtiene
valor
θ
=
θ
=
60
º.
De
las
ecuaciones
de donde se obtiene el valor θ 22 = θ 44 = 60º. De las ecuaciones 
 yy 
 se
se calculan
calculan
demás
valores
de
esta
primera
posición
límite:
2 = θ4
de
donde
se obtiene
valor posición
θ 2 =POSICIÓN
θ 4 límite:
= 60º.LÍMITE
De las θecuaciones
 y  se calculan
demás
valores
de esta el
primera
POSICIÓN
= θθ 44θ 6 (º)
POSICIÓN
LÍMITE
demás valores de
esta primera
θ 2 (º)
θ 3 (º)posición
θ 4límite:
(º) LÍMITE
θ 5 (º) θθ 22 =
r 7 (cm)
(º)
(º) POSICIÓN
(º) LÍMITE
(º) θθ 22 =
(º)
(cm)
θθ 22 (º)
θθ 33 (º)
θθ 44 (º)
θθ 55 (º)
rr 77 (cm)
= θθ 44θθ 66 (º)
POSICIÓN
LÍMITE
60
300
60
18,59
113,97
73,53
θ 2 = θ113,97
POSICIÓN
LÍMITE
4θ 6 (º)
θθ 60
θθ300
θθ 4460(º)
θθ 55 (º)
rr73,53
2 (º)
3 (º)
7 (cm)
18,59
(º)
(º)
(º)
(º)
θ
(º)
2
3
6
7 (cm)
60
300
60
18,59
113,97
73,53
+ 180º,θ 3resolviendo
medianteθ 5el(º)mismo113,97
Para θ 2 = θθ60
(º)
θ 460(º)
θprocedimiento
r73,53
24(º)
6 (º)
7 (cm)de
60 + 180º, 300
300
60mediante18,59
18,59
113,97
73,53 de
θ
=
θ
resolviendo
el
mismo
procedimiento
Para
deducen
los
valores
de
esta
segunda
posición
límite:
2
4
Para θ 2 = θ60
4 + 180º, resolviendo mediante el mismo procedimiento de
300
60
18,59
113,97
73,53
deducen
los
valores
de
esta
posición
límite:
deducen
los
valores
esta
segunda
posición
límite:el
θ
=
θ
180
ºº,, segunda
resolviendo
mediante
Para
2
+ de
180
resolviendo
mediante
el mismo
mismo procedimiento
procedimiento de
de
Para θ 2 = θ 44 +
deducen
esta
posición
límite:
θ 2 valores
= θ 4 + de
180
º, segunda
resolviendo
mediante
procedimiento de
Para los
deducen
los
valores
de
esta
segunda
posición
límite:
POSICIÓN
LÍMITE
θel2 =mismo
θ 4 + 180º
deducen los valores de esta segunda
posición
límite: θ 4 + 180º
POSICIÓN
LÍMITE θ θθ5 22(º)=
= θ 4 + 180º
θ 2 (º)
θ 3 (º)POSICIÓN
θ 4 (º)LÍMITE
θ 6 (º)
θ
(º)
θ
(º)
θ
(º)
θ
(º)
θθ 66 (º)
POSICIÓN
LÍMITE
θ
=
θ
+
180º
2
3
4
5
2
4
θ 2 (º)
θ 3 (º)POSICIÓN
θ 4 (º)LÍMITE164,43
θ θ5 2(º)= θ 4 + 180º
(º)
205,84
231,68
25,84
65,62
cálculo,
cálculo,
cálculo,
cálculo,
cálculo,
los
los
los
los
los
los
se
se
se
se
se
cálculo, se
r 7 (cm)
rr71,81
7 (cm)
7 (cm)
MANUALES UEX
205,84
231,68
25,84
65,62
θθ 22 (º)
θθ 33 (º)
θθ 44 (º)
θθ θ55 2(º)
θθ 66 (º)
rr71,81
7 (cm)
205,84
231,68
25,84
164,43
65,62
71,81
(º)
(º)POSICIÓN
(º)LÍMITE164,43
(º)= θ 4 + 180º
(º)
7 (cm)
La carrera de trabajo del balancín O 1 A será:
205,84
231,68
25,84
164,43
65,62
71,81
Carrera
=
∆
θ
=
300
º
º
=
º
θ
θ
θ
θ
(º)
θ
(º)
r
2 (º)
3 (º)
43(º)
5231,68
668,32
7 (cm)
205,84
231,68
25,84
La carrera
carrera de
de
trabajo del
del
balancín
O
Carrera
= ∆O
θ 113A
300º 164,43
- 231,68º =65,62
68,32º 71,81
La
trabajo
balancín
A=será:
será:
205,84
231,68
25,84
164,43
65,62
71,81
VELOCIDAD
La
78
La carrera
carrera de
de trabajo
trabajo del
del balancín
balancín O
O 11 A
A será:
será:
VELOCIDAD
78
78
La
carrera delatrabajo
del balancín
A será:
Derivando
ecuación
vectorialO 1del
primer polígono se obtiene la relación de
Derivando
la
ecuación
vectorial
del
primer polígono se obtiene la relación de
velocidades entre los puntos A y B de la biela:78

 los puntos


velocidades
entre
A y B de labiela:78
 
   
 
78
dr1
dr2
dr3
dr4
B
2 x r2 = ω
3 x r3 + ω
4 x r4
vA + v
 v=
 ω
dr 1 + dr 2 = dr 3 + dr 4
B/A
dt + dt = dt + dt
v
=
v
+
v
 B
 ω2 x r2 = ω3 x r3 + ω4 x r4
A
B/A
82
dt
dt
dt
dt
Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones:
Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones:
2 x π

-20 x  150 x 2 x π  x senθ=
2
-20 x  150 x 60  x senθ=
2
60 

2 x π

20 x  150 x 2 x π  x cosθ=
2
20 x  150 x 60  x cosθ=
2
60 

- 50 x ω3 x senθ3 - 70 x ω4 x senθ4
- 50 x ω3 x senθ3 - 70 x ω4 x senθ4
50 x ω3 x cosθ3 + 70 x ω4 x cosθ4
50 x ω3 x cosθ3 + 70 x ω4 x cosθ4


de donde se calculan ω 3 y ω 4 . Para el segundo polígono vectorial se opera análogamente,
de
donde selacalculan
3 y ω 4 . Para el segundo polígono vectorial se opera análogamente,
deduciendo
relaciónωde
velocidades entre los puntos C y D de la biela:
deduciendo la relación de velocidades entre los puntos C y D de la biela:



  
 
  

dr5
dr6
dr7
5 x r5 + ω
6 x r6 = vD = vD j
vD
ω
 vC + v

dr 5 + dr 6 =
dr 7
D/C =
ÍNDICE
dt + dt =
dt
vD
ω5 x r5 + ω6 x r6 = vD = vD j
 v C + vD/C =

dt
dt
dt
donde ω = ω = 150 rpm. Las ecuaciones que permiten resolver el mecanismo son:
Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones:
Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones:
2 x π

-20 x  150 x 2 x π  x senθ=
- 50 x ω3 x senθ3 - 70 x ω4 x senθ4
2
-20 x  150 x 60  x senθ=
- 50 x ω3 x senθ3 - 70 x ω4 x senθ4
2


x π  DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
2 60

 CINEMÁTICA
x
x
x
x
20 x  150 x 2 x π  x cosθ=
50
ω
cos
θ
+
70
ω
cos
θ
2
3
3
4
4
60


20 x  150 x
50 x ω3 x cosθ3 + 70 x ω4 x cosθ4
 x cosθ=
2
60 

de donde se calculan ω 3 y ω 4 . Para el segundo polígono vectorial se opera análogamente,
de
donde selacalculan
ω 4 . Para elentre
segundo
polígono
se opera análogamente,
3 yvelocidades
deduciendo
relaciónωde
los puntos
C y vectorial
D de la biela:
deduciendo
la
relación
de
velocidades
entre
los
puntos
C
y
D
de
la
biela:



  
 
  

dr5
dr6
dr7
vD
+
=
ω
 vC + v

5 x r5 + ω
6 x r6 = vD = vD j
D/C =
dr
dr
dr
dt5 + dt6 =
dt7
vD
ω5 x r5 + ω6 x r6 = vD = vD j
 v C + vD/C =

dt
dt
dt
donde ω 2 = ω 5 = 150 rpm. Las ecuaciones que permiten resolver el mecanismo son:
donde ω 2 = ω 5 = 150 rpm. Las ecuaciones que permiten resolver el mecanismo son:
2 x π

- 30 x  150 x 2 x π  x senθ5 - 70 x ω6 x senθ6
- 30 x  150 x 60  x senθ5 - 70 x ω6 x senθ6
2 x60
π

30 x  150 x 2 x π  x cosθ5 + 70 x ω6 x cosθ6
30 x  150 x 60  x cosθ5 + 70 x ω6 x cosθ6
60 

=0
=0


=vD
=vD
que permiten determinar v D y ω 6 . Los valores de velocidad que resultan de las ecuaciones 
que
determinarlímite
vD y ω
Los valores
de velocidad que resultan de las ecuaciones 
6 . balancín
para las posiciones
del
son:
y  permiten
y  para las posiciones límite del balancín son:
ω 2 (rad/s)
ω 2 (rad/s)
15,71
15,71
ω 2 (rad/s)
ω 2 (rad/s)
15,71
15,71
VELOCIDAD POSICIÓN LÍMITE θ 2 = θ 4
VELOCIDAD POSICIÓN LÍMITE θ 2 = θ 4
ω 3 (rad/s)
ω 3 (rad/s)
0
0
ω 4 (rad/s)
ω 4 (rad/s)
4,49
4,49
ω 5 (rad/s)
ω 5 (rad/s)
15,71
15,71
ω 6 (rad/s)
ω 6 (rad/s)
-2,35
-2,35
VELOCIDAD POSICIÓN LÍMITE θ 2 = θ 4 + 180º
VELOCIDAD POSICIÓN LÍMITE θ 2 = θ 4 + 180º
ω 3 (rad/s)
ω 3 (rad/s)
0
0
ω 4 (rad/s)
ω 4 (rad/s)
-4,49
-4,49
ω 5 (rad/s)
ω 5 (rad/s)
15,71
15,71
ω 6 (rad/s)
ω 6 (rad/s)
-1,98
-1,98
v D (cm/s)
v D (cm/s)
513,44
513,44
v D (cm/s)
v D (cm/s)
-511,28
-511,28
ACELERACIÓN
ACELERACIÓN
Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono se
Realizando
una segunda
derivada para
deduce
que la relación
de aceleraciones
entrelalosecuación
puntos Avectorial
y B de la del
bielaprimer
es: polígono se
deduce que la relación de aceleraciones entre los puntos A y B de la biela es:




2
d2 r 1
d2 r 2
d2 r 3
d79
r4
79
+
=
+
dt2
dt2
dt2
dt2


a=
B

 
aA + aB/A 
  
      
 
ω2 x ω2 x r2 = α3 x r3 + ω3 x ω3 x r3 + α 4 x r4 + ω x ω4 x r4
(
)
(
)
(
)
2 x π

-20 x 150 x

60 

2
x
cosθ2 = - 50 x α3 x senθ3 - 50 x ω23 x cosθ3 - 70 x α4 x senθ4 - 70 x ω24 x cosθ4
2 x π

-20 x 150 x

60 

2
x
2
3 x
senθ2 =50 x α3 x cosθ3 - 50 x ω

senθ3 +
+ 70 x α4 x cosθ4 - 70 x ω24 x senθ4
de donde se calculan α 3 y α 4 . Operando igual para el segundo polígono se deduce que la
relación de aceleraciones entre los puntos C y D de la biela es:



 

d2 r 5
d2 r 6
d2 r 7
+
=
aD
 aC + aD/C =

dt2
dt2
dt2 ÍNDICE

 
 

 


MANUALES UEX
Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones:
83

60 
- 70 x α4 x senθ4 - 70 x ω24 x cosθ4
2
2 x π

2
-20 x 150 x
 x senθ2 =50 x α3 x cosθ3 - 50 x ω3 x senθ3 +
MANUEL REINO FLORES,
MARÍN
60GALÁN
 GLORIA

+ 70 x α4 x cosθ4 - 70 x ω24 x senθ4

de donde se calculan α 3 y α 4 . Operando igual para el segundo polígono se deduce que la
relación de aceleraciones entre los puntos C y D de la biela es:




d2 r 5
d2 r 6
d2 r 7
+
=

dt2
dt2
dt2

 
 
ω5 x ω5 x r5 + α 6 x r6 +
(
)
 

aC + aD/C =
aD


 
ω6 x ω6 x r6 =
(
)

aD=

aD j
Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones:
2 x π

-30 x 150 x

60 

2
2 x π

-30 x 150 x

60 

2
x
cosθ5 - 70 x α6 x senθ6 - 70 x ω26 x cosθ6 =
0

x
senθ5 + 70 x α6 x cosθ6 - 70 x ω26 x senθ6 =aD
de donde se calculan a D y α 6 . Los valores de aceleración que resultan de las ecuaciones  y
 para las posiciones límites del balancín son:
ACELERACIÓN POSICIÓN LÍMITE θ 2 = θ 4
α 2 (rad/s )
α 3 (rad/s2)
α 4 (rad/s2)
α 5 (rad/s2)
α 6 (rad/s2)
a D (cm/s2)
0
-81,40
-29,07
0
-107,23
336,55
2
ACELERACIÓN POSICIÓN LÍMITE θ 2 = θ 4 + 180º
α 2 (rad/s2)
α 3 (rad/s2)
α 4 (rad/s2)
α 5 (rad/s2)
α 6 (rad/s2)
a D (cm/s2)
0
291,13
187,16
0
110,06
942,75
MANUALES UEX
80
84
ÍNDICE
CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
4.5. En la plataforma elevadora hidráulica de la figura O 1 O 2 es la base fija y el
accionamiento se realiza a través del cilindro hidráulico O 2 B. Si el cilindro O 2 B se expande
con una velocidad constante igual a 0,1 m/s, determinar la velocidad y aceleración de la
plataforma cuando θ = 40º.
Datos: O 1 A = AC = AD = AB = 0,6 m.
C
D
A
B
θ
O2
O1
0,1 m/s
Solución
Se consideran dos polígonos vectoriales de cierre:
A
r3
r2
θ3
θ2
O1
B
r1
81
r4
r5
MANUALES UEX
D
θ4
A
r2
θ2
O1
85
POSICIÓN
Las ecuaciones vectoriales de cada unoÍNDICE
de los polígonos son:



A
r2
r5
A
r2 θ
2
O1
θ2
MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN
O1
POSICIÓN
POSICIÓN
Las ecuaciones vectoriales de cada uno de los polígonos son:
 polígonos

Las ecuaciones vectoriales de cada uno de los
son:
Por tanto:
Por tanto:
r1

r1
r2

r2



r1 + r3 = r5 −



r1 + r3 = r5 −
+
+
+
+

r4

r4
r3

r3
r4

r4
=
r2

=
r2
=
r5

=
r5


r1 + r3 +


r1 + r3 +




r4 =
r5


r4 =
r5
siendo θ 3 = θ 4 = 180°- θ 2 . Nótese entonces que el mecanismo puede resolverse con un solo
cierre, θque
es4 =una
combinación
lineal deque
loseldos
cierres planteados.
Estas con
ecuaciones
siendo
180°θ 2 . Nótese entonces
mecanismo
puede resolverse
un solo
3 = θ
vectoriales
se
resuelven
mediante
las
ecuaciones:
cierre, que es una combinación lineal de los dos cierres planteados. Estas ecuaciones
vectoriales se resuelven mediante las ecuaciones:
r1 + ( 0,6 + 0,6 ) x cos(180 - θ2 ) = 0
r(10,6
+ ( 0,6
+ )0,6
) x cos(180
- θ2 -) θ=
+ 0,6
x sen(180
2 ) r5= 0
( 0,6
+ 0,6 ) x sen(180 - θ2 ) =
r5
Para θ 2 = 40° se deducen los valores:
Para θ 2 = 40° se deducen los valores:
r 1 = 0,9192 m ; r 5 = 0,7713 m
r 1 = 0,9192 m ; r 5 = 0,7713 m
VELOCIDAD
VELOCIDAD
Derivando la ecuación vectorial del primer polígono se obtiene la relación de
velocidades
entre
y B:
Derivando
la Aecuación
vectorial del primer polígono se obtiene la relación de
 entre
 A y B
:
velocidades
dr 1
dr
dr 2
 + 3 =
 
dt1
dt3
dt2
dr
dr
dr
+
= 

dt
dt  dt
  
vB + v A/B =
v
  A
vB + v A/B =
vA



 
 
vB + ω3 x r3 = ω2 x r2

 
 
vB + ω3 x r3 = ω2 x r2


donde vB = - 0,1 i m/s, de valor constante.


donde vB = - 0,1 i m/s, de valor constante.
Para el segundo polígono vectorial se opera análogamente, deduciendo la relación de
velocidades
entre A ypolígono
D:
Para el segundo
vectorial se opera análogamente, deduciendo la relación de
velocidades entre A y D:



dr 2
dr 4
dr 5
+
=

dt
dt
dt
82
 

82
v A + vD/A =
vD 
 
 
ω2 x r2 + ω4 x r4=


vD= vD j
MANUALES UEX
Despejando de  y  se tiene:

 
 
vB + ω3 x r3 + ω4 x r4=


vD= vD j
donde ω 3 = ω 4 . Esta ecuación vectorial que se resuelve mediante las ecuaciones:
− 0,1 − ( 0,6 + 0,6 ) x ω3 x sen(180 - θ2 ) =
0
( 0,6
+ 0,6 ) x ω3 x cos(180 - θ2 ) =
vD
86
Para θ 2 = 40° se deducen los valores:


ω3 = - 0,1296 rad/s k
ÍNDICE
ACELERACIÓN
;


vD = 0,1192 m/s j

B
3
3
4
4
D
D
donde ω 3 = ω 4 . Esta ecuación vectorial
que
se resuelve
mediante
las ecuaciones:
donde ω 3 = ω 4 . Esta ecuación
mediante
ecuaciones:
− 0,1vectorial
− ( 0,6 +que
0,6se
ω x sen(180
- θ )las=
0
) xresuelve
3
2
0,1+− (0,6
0,6) x+ω0,6
0
- θ2 ) =
vD- θ2 ) =
) x ω3 x sen(180
(−0,6
3 x cos(180
CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
( 0,6
+ 0,6 ) x ω3 x cos(180 - θ2 ) =
vD
Para θ 2 = 40° se deducen los valores:

los valores:
Para θ 2 = 40° se deducen
ω3 = - 0,1296 rad/s

ω3 = - 0,1296 rad/s
ACELERACIÓN

k

k

vD = 0,1192 m/s

vD = 0,1192 m/s
;
;

j

j
ACELERACIÓN
Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono se
deduce
la relación
aceleraciones
entrepara
los puntos
A y B:vectorial del primer polígono se
Realizando
unadesegunda
derivada
la ecuación






deduce la relación de aceleraciones
entre 2los puntos 
Ay B: 
d2r 1
d2 r 3
d r2
 aB + aA/B =
aA 
2 +
2 =
2
2
ddt
r1

dt2
ω3 x

ω3 x
2
2



ddt
r3
ddt
r2
 a + a =
a 
+
=
2
 dt
dt2   B  A/B  A 
ω3 x r3 + α 3 x r3 = ω2 x ω2 x r2 + α2 x r2
 
    
 
ω3 x r3 + α 3 x r3 = ω2 x ω2 x r2 + α2 x r2

( )
( )

( )
( )
= 0. Para el segundo polígono vectorial se opera análogamente, deduciendo la
donde a B
relaciónade
aceleraciones entre A y D:
donde
B = 0. Para el segundo polígono vectorial se opera análogamente, deduciendo la
entre Ay D:

relación de aceleraciones
 

d2r 2
d2 r 4
d2 r 5
aD
 aA + aD/A =

+
=


2
2
2
2
ddt
r
2
ddt
r
2
ddt
r



2
4
5
a
 a + aD/A =

+
=
2
 
 dt2  A
  D 

dt2  dt
ω2 x ω2 x r2 + α2 x r2 + ω4 x ω4 x r4 + α 4 x r4= aD= aD j
  
    
  

ω2 x ω2 x r2 + α2 x r2 + ω4 x ω4 x r4 + α 4 x r4= aD= aD j
Despejando de  y :
  y: 
    
  

Despejando de
ω3 x ω3 x r3 + α3 x r3 + ω4 x ω4 x r4 + α 4 x r4 = aD= aD j
  
    
  

ω3 x ω3 x r3 + α3 x r3 + ω4 x ω4 x r4 + α 4 x r4 = aD= aD j
donde α 3 = α 4 . Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones:
(
(
)
)
(
(
)
)
(
(
)
)
(
(
)
)


donde α 3 = α 4 . −Esta
se resuelve mediante las
2 ecuaciones:
+ 0,6 ) x αvectorial
0
( 0,6ecuación
3 x sen(180 - θ2 ) − ( 0,6 + 0,6 ) x ω3 x cos(180 - θ 2 ) =
- θ-2θ) 2−) (−0,6
- θ-2θ)2 )=
aD0
=
x sen(180
x cos(180
(−0,6
) x) ωx 23ωx23 sen(180
( 0,6+ +0,60,6) x) αx 3αx3 cos(180
( 0,6+ +0,60,6
2
- θ ) − ( 0,6 + 0,6 ) x ω3 x sen(180 - θ2 ) =
aD
( 0,6 + 0,6 ) x α3 x cos(180
Para θ 2 = 40° se deducen los
valores: 2
 los valores: 
Para θ 2 = 40° se deducen
α 3 = 0,02 rad/s2 k


α 3 = 0,02 rad/s2 k
;
;

aD = - 0,0314 m/s2

aD = - 0,0314 m/s2

j

j
MANUALES UEX
83
83
87
ÍNDICE
MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN
4.6. En el mecanismo representado en la figura, la manivela AB gira en sentido antihorario
con una velocidad angular constante ω AB = 8 rad/s. En el instante representado, en el que
θ AB = 30º, θ CB = 150º y θ DE = 45º, determinar:
a) grados de libertad del sistema.
b) ecuaciones que permiten calcular la posición, velocidad y aceleración de todos los
eslabones en cada instante en función del movimiento de la manivela AB. Interpretar
vectorialmente dichas ecuaciones.
c) velocidad de las deslizaderas C y E en el instante que se muestra en la figura, así como
las velocidades absolutas de los puntos B y D.
d) aceleración de las deslizaderas C y E en el instante que se muestra en la figura, así como
las aceleraciones de los centros de masa de las barras AB y BC.
Datos: AB = 75 mm; BC = 300 mm; BD = DC = DE.
E
ωAB
B
θAB
A
θDE
D
θCD
C
84
Solución
MANUALES UEX
a) m = 3 x (6-1) – 2 x 7 = 1
b) Son necesarios dos polígonos vectoriales de cierre:
88
B
r3
A
θ3
r4
ÍNDICE
a) m = 3 x (6-1) – 2 x 7 = 1
b) Son necesarios dos polígonos vectoriales de cierre:
CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
B
r3
A
θ3
r4
D
r1
θ4
r2
C
E
r8
r5
θ5
D
85
r7
r6
θ6
C
MANUALES UEX
POSICIÓN
Las ecuaciones vectoriales de cada uno de los polígonos son:


 
r1 + r2 + r4 =
r3


 
r6 + r5 + r8 =
r7
89
Estas ecuaciones vectoriales se resuelven mediante las ecuaciones:
r2 + 300 x cosθ 4 =
75 x cosθ3
- r1 + 300 x senθ 4 =
75 x senθ3
150 x cosθ6 +ÍNDICE
150 x cosθ 5 + r8 =
0
150 x senθ6 + 150 x senθ 5 =
r7


POSICIÓN
Las ecuaciones vectoriales de cada uno de los polígonos son:
 los polígonos
 
Las ecuaciones vectoriales de cada uno de
son:
r1 + r2 + r4 =
r3
MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN
r1 + r2 + r4 =
r3
r6 + r5 + r8 =
r7
r6 + r5 + r8 =
r7
Estas ecuaciones vectoriales se resuelven mediante las ecuaciones:
Estas ecuaciones vectoriales se resuelven mediante las ecuaciones:
r2 + 300 x cosθ 4 =
75 x cosθ3
r-2 r1+ +300
θ 4θ 4=
7575x cos
θ3θ3
x sen
x sen
300x cos
=


- r1 + 300 x senθ 4 =
75 x senθ3
150 x cosθ6 + 150 x cosθ 5 + r8 =
0
θ
x
θ
150 xx cos
+
150
cos
+
r
=
0
x senθ55 =
sen 66
78
150 x senθ6 + 150 x senθ 5 =
r7
siendo θ 4 = θ 6 .
siendo θ 4 = θ 6 .
VELOCIDAD
VELOCIDAD
Derivando la ecuación vectorial del primer polígono se
Derivando
la los
ecuación
del primer polígono se
velocidades
entre
puntos Bvectorial
y C de la biela:

 los puntos


velocidades
entre
B y C de la biela:
  
dr1
dr
dr
dr3
+ 2 + 4 =
 vC + v

vB
B/C =
dr
dr
dr
dr
dt1
dt2
dt4
dt3
+
+
=  v C + vB/C =

vB
dt
dt
dt
dt
Ecuación vectorial que se resuelve mediante las ecuaciones:
Ecuación vectorial que se resuelve mediante las ecuaciones:


obtiene la relación de
obtiene la relación de

 
v C + ω4 x r4 =

 
v C + ω4 x r4 =
x senθ4
v C - 300 x ω4=
- 75 x 8 x senθ3
v C - x 300
ω4=
300
ω4 =
θx4senθ75
cosx θ83 x senθ3
x xcos
4 x 8- x75
300 x ω4 =
75 x 8 x cosθ3
x cosθ4
vC , ω4
vC , ω4
 
ω3 x r3
 
ω3 x r3


Para el segundo polígono vectorial se opera análogamente, deduciendo la relación de
Para el segundo polígono vectorial se opera análogamente, deduciendo la relación de
velocidades:



velocidades: 




dr6
dr5
dr8 dr7
+
+
=
+v
v
 v
D/C
E/D + v
C =






E 
dr
dr
dr
dr
dt6
dt
dt
dt7
+ 5 + 8=
vE 
 vD/C + vE/D + vC =
 


dt
dt
dt dt 

ω6 x r6 + ω5 x r5 + v C = vE
 
 



ω6 x r6 + ω5 x r5 + v C = vE
Las ecuaciones que permiten resolver el mecanismo son:
Las ecuaciones que permiten resolver el mecanismo son:
vC - 150 x ω6 x senθ6 - 150 x ω5 x senθ5 =0
vC - x150
θ6 - 150
θ5vE=0
150
ω6 x ω
cos
cos
x ω5 xx ω
6 xθsen
5 xθsen
6 + 150
5 =
150 x ω6 x cosθ6 + 150 x ω5 x cosθ5 =vE
donde ω 4 = ω 6 .
donde ω 4 = ω 6 .
MANUALES UEX
ACELERACIÓN
vE , ω 5
vE , ω 5


86
86
Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono, se
deduce que la relación de aceleraciones entre los puntos B y C de la biela es:




 

d2 r 3
d2 r 1
d2 r 2
d2 r 4
+
+
=
aB
 aC + aB/C =

2
2
2
2
dt
dt
dt
dt
     
  
ac + α4 x r4 + ω4 x ω4 x r4 = ω3 x ω3 x r3

(
)
(
)
90
Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones:
aC - 300 x α4 x senθ4 - 300 x =
ω24 x cosθ4 - 75 x 82 x cosθ3
ÍNDICE
300 x α4 x cosθ4 - 300 x =
ω24 x senθ4 - 75 x 82 x senθ3
aC , α4

 

d r3
d r1
d r 2
d r 4
2 
2 
  a
 + d22 r
2 + d22 r
2 =
a


C + a


B/C =
d
dddt
2 r23
2 r21


B
2
4
ddtr 3
r 1 + ddtr 2 + ddtr 4 =
a
+
a
=
a


C
B/C
B
2
2
2
2
+
+
=
a
+
a
=
a


dt
dt
dt
dt2
dt2 dt
dt2  
dt2   C  B/C B
ac + α
x
r
+
ω
x
ω
x
r
=
ω
x
ω
x
r



4


3
3
4 xDEr4 MECANISMOS
4 
4 PLANOS

3Y PROBLEMAS
CINEMÁTICA
TEORÍA
RESUELTOS
aac +
α
== .ω

4
4 + ω4 x ω4 x r4
ω33 xx ω
ω33 xx rr33

c + α 4 x r4 + ω4 x ω4 x r4
(
((
)
))
(
((
)
))
Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones:
Esta
las
Esta ecuación
ecuación vectorial
vectorial se
se resuelve
resuelve mediante
mediante
las ecuaciones:
ecuaciones:
2
2
ω4 x cosθ4 - 75 x 8 x cosθ3
aC - 300 x α4 x senθ4 - 300 x =
2
2
a
ω
θ
75
x α 4 x senθ4 - 300
2 x=
2 x 82 x cosθ3
aCC -- x300
300
sen
θ
300
=
ω244 xxθcos
cos
θ- 4475 --x 8
75
8 xθcos
θ3
x
α4 x α
θ
=
ω
300
cos
300
sen
x
x
xx sen
4
4
4
4
4
3
2
2
300
ω
75
x α 4 x cosθ4 - 300 x =
x senθ4
x 82 x senθ3
2
4
300 x α x cosθ - 300 x =
ω x senθ - 75 x 8 x senθ
aC , α4
aaC ,, α
4
C α4
4
4
3
Operando igual4 para el4segundo polígono
se deduce la relación
de aceleraciones:
Operando
igual
para
el
segundo
polígono
se
deduce
la
relación








Operando2 igual para
el segundo
polígono
se deduce la relación de
de aceleraciones:
aceleraciones:




d r6
d2 r5
d2 r8
d2 r7
2 
2 
2 
2 




+
+
=
a
+
a
+
a
a







D/C
E/D
C =
d
d
d
d
2 r26
2 r25
2 r28
2 r27






E
ddtr 6 + ddtr 5 + ddtr 8 =
ddtr 7
a
+
a
+
a
=
a


D/C
E/D
C
E
2
2
2
2
+ dt2 + dt2 =
a
 aD/C + aE/D + aC =

dt
dt  
    
 E 
dt2
dt  dt
dt2
xr + ω
x ω6 x r6 + α
xr + ω
x ω5 x r5 + aC =aE
 α




6 6 ω
6 
 
5 5 ω
5 
 
 a

α66 xx rr66 +
+ ω66 xx ω
ω66 xx rr66 +
+ α
α55 xx rr55 +
+ ω55 xx ω
ω55 xx rr55 +
+ aaCC =
=aEE
 α
Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones:
Esta
Esta ecuación
ecuación vectorial
vectorial se
se resuelve
resuelve mediante
mediante las
las ecuaciones:
ecuaciones:
- 150 x α6 x senθ6 - 150 x ω26 x cosθ6 - 150 x α5 x senθ5 - 150 x ω52 x cosθ5 + aC =0
2
2
-- 150
x α6 x senθ6 - 150 x ω
x
cos
150
x
x
sen
θ
α
θ - 150 xx ω
2 x cosθ5 + aC =0
150x α
x α6x cos
x sen
150x xωω26 662x xsen
cosθθ6 66 +
- 150
150
150 xxαα555 xxsen
cosθθ555 -- 150
150 x ω
senθθ55 +=aaCE =0
ω5552 xx cos
θ6θ-6 -150
6
2
2
150
150 xx α
cosθ
150 xx ω
senθ
150 xx α
cosθ
150 xx ω
senθ
ω266 xx sen
θ66 +
+ 150
α55 xx cos
θ55 -- 150
ω552 xx sen
θ55 =
=aaEE
α66 xx cos
θ66 -- 150
de donde se calculan a E y α 5 , ya que α 4 = α 6 .
de
α 5 ,, ya
ya que
que α
α4 =
=α
α 6 ..
de donde
donde se
se calculan
calculan aa E yy α
c) Para θAB= θ3 = 30º, θE CB= θ5 4 = θ6 = 1504 º y 6θDE= θ5 = 45º :
c)
=
ºº,, θθ =
150
θθ =
c) Para
Para θθ =
=deθθ las
= 30
30
= θθ =
=θθse=
= deducen
150ºº yy θθlos=
=valores:
= 45
45ºº ::
POSICIÓN:
ecuaciones
POSICIÓN: de
de las
las ecuaciones
ecuaciones 
se deducen
los valores:
POSICIÓN:

deducen
r 1 =se112,5
mmlos; valores:
r 2 = 324,76 mm
rr 1 =
112,5
mm
;; rr 2 =
324,76 mm
=
112,5
mm
1
2 = 324,76 mm
Y de las ecuaciones  se obtiene:
Y
Y de
de las
las ecuaciones
ecuaciones 
 se
se obtiene:
obtiene:
r 7 = 181,07 mm ; r 8 = 23,84 mm
r7 =
mm
= 181,07
181,07calcular:
mm ;; rr 88 =
= 23,84
23,84 mm
mm
VELOCIDAD: las ecuaciones r 7permiten
VELOCIDAD:
las
ecuaciones

permiten
calcular:


VELOCIDAD: las ecuaciones
 permiten calcular: 
v
; ω



6 = - 2 rad/s k
C = - 600 mm/s i
4 = ω





v
;; ω
vCC =
= -- 600
ω44 =
= ω
ω66 =
= -- 2
600 mm/s
mm/s ii
2 rad/s
rad/s kk
Las ecuaciones  del
segundo polígono dan como
resultado:
Las
polígono



Las ecuaciones
ecuaciones 
 del
del segundo
segundo
polígono dan
dancomo
como resultado:
resultado:
ω
vE = - 190,19 mm/s j
;
5 =- 4,24 rad/s k





ω5 =
=-- 4,24
vvE =
- 190,19 mm/s j
;; ω
4,24 rad/s
rad/s kk
E = - 190,19 mm/s j
5
Para calcular la velocidad absoluta de B se tiene:
Para
Para calcular
calcular la
la velocidad
velocidad absoluta
absoluta de
de B
B se
se tiene:
tiene:
(
((
)
))
(
((
AB
3
CB
4
6
DE
5
AB
3
CB
4
6
DE
5
AB
3
CB
4
6
DE
5



)
))




 

 87



vB =
ω3 x r3 =
8 k x 75 x cos30 i +87
75 x sen30 j = - 300 i + 519,62 j (mm/s)
87
)
Nótese que para calcular la velocidad absoluta de B, en lugar de realizar los productos
vectoriales anteriores, puede alternativamente utilizarse la expresión . Estas ecuaciones
proporcionan directamente las componentes x e y de v B , tal y como indica la interpretación
vectorial realizada:
vBx = - 75 x 8 x senθ3
=
vBy 75 x 8 x cosθ3
De aquí la importancia (no sólo conceptual) de realizar la interpretación vectorial de las
ecuaciones obtenidas en todos los problemas, pues a través ella se pueden deducir los
términos correspondientes a la velocidad o aceleración de muchos puntos de interés.
En este caso, por ejemplo, se puede obtener la velocidad de D a través de la expresión
ÍNDICE
. Conociendo v c , se puede, a través de , identificar los términos correspondientes a la
velocidad v D/C y aplicar que:
MANUALES UEX
(
91
vectoriales anteriores, puede alternativamente utilizarse la expresión . Estas ecuaciones
Nótese que para calcular la velocidad absoluta de B, en lugar de realizar los productos
proporcionan directamente las componentes x e y de v B , tal y como indica la interpretación
vectoriales anteriores, puede alternativamente utilizarse la expresión . Estas ecuaciones
vectorial realizada:
proporcionan directamente las componentes x e y de v B , tal y como indica la interpretación
vectorialREINO
realizada:
vBx = - 75 x 8 x senθ3
MANUEL
FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN
=
vBy 75 x 8 x cosθ3
vBx = - 75 x 8 x senθ3
=
vBy 75 x 8dex cos
θ3 la interpretación vectorial de las
De aquí la importancia (no sólo conceptual)
realizar
ecuaciones obtenidas en todos los problemas, pues a través ella se pueden deducir los
De aquí la importancia (no sólo conceptual) de realizar la interpretación vectorial de las
términos correspondientes a la velocidad o aceleración de muchos puntos de interés.
ecuaciones obtenidas en todos los problemas, pues a través ella se pueden deducir los
En este
caso, por ejemplo,
se puede obtener
la velocidad
de Dpuntos
a través
la expresión
términos
correspondientes
a la velocidad
o aceleración
de muchos
de de
interés.
. Conociendo v c , se puede, a través de , identificar los términos correspondientes a la
En este caso, por ejemplo, se puede obtener la velocidad de D a través de la expresión
velocidad v D/C y aplicar que:
. Conociendo v c , se puede, a través de , identificar los términos correspondientes a la



velocidad v D/C y aplicar que:
vD /C + vC =
vD



vD /C vectorialmente
+ vC =
vD se obtiene:
Si la velocidad absoluta de D se calcula







Si la velocidad absoluta
devD
se calcula vectorialmente
obtiene:
v=
 vD= vse
D
C + vD/C
C + ω6 x r6





 
 v= v + v 
 vD=  vC + ω6 x r6 
vD = D- 600 iC + - 2D/C
k x 150 x cos150
i + 150 x sen150 j






- 2 k x 150 x cos150 i + 150 x sen150 j
vD = - 600 i +

=
vD - 450 i + 259,81 j (mm/s)
(
(

)
)


- 450 i + 
259,81
ACELERACIÓN: resolviendo=
lasvDecuaciones
para jla(mm/s)
posición de los eslabones del
apartado anterior se obtiene:
ACELERACIÓN: resolviendo las ecuaciones  para la posición de los eslabones del





apartado anterioraseC obtiene:
= - 4156,92 mm/s2 i
; α4 = α6 = 6,928 rad/s2 k





- 4156,92:
mm/s2 i
; α4 = α6 = 6,928 rad/s2 k
Y resolviendoalas
ecuaciones
C =




Y resolviendo las ecuaciones
aE = - :
9175,04 mm/s2 j
; α5 =- 57,19 rad/s2 k



2 
2
aE = -absoluta
=
9175,04del
mm/s
; αde5 la
- 57,19 rad/s
Para calcular la aceleración
centroj de masa
manivela
AB: k
 la aaceleración
 absoluta
 del centro

de masa de la manivela

Para calcular
AB: 
B
aG (AB) =
=
ω3 x ( ω3 x rG (AB) ) = 8 k x 8 k x ( 37,5 x cos30 i + 37,5 x sen30 j )


2





aB   

aG (AB) = =
ω3 x
ω3 x rG (AB) = 8 k x 8 k x 37,5x cos30 i + 37,5 x sen30 j 

2
aG (AB) = - 2078,46 i - 1200 j (mm/s2)



2
(mm/s
)
= -de
2078,46
G (AB)
La aceleración absoluta adel
centro
masa dei -la1200
bielaj BC,
es decir,
el punto D, puede
(
)
(
)
MANUALES UEX
obtenerse a través de las ecuaciones , o bien desarrollarse vectorialmente a través de las
La aceleración absoluta del centro de masa de la biela BC, es decir, el punto D, puede
expresiones:
obtenerse a través de las ecuaciones , o bien desarrollarse vectorialmente a través de las
expresiones:
88      



a=
aC + aD /C
 aD= aC + α6 x r6 + ω6 x ω6 x r6
D
(
88
)





aD =
- 4156,92 i + 6,928 k x 150 x cos150 i + 150 x sen150 j  +






+ -2 k x -2 k x 150 x cos150 i + 150 x sen150 j  







aG (BC)
= a=
- 4156,9 i - 1200 j (mm/s2)
D
(
(
)
)
92
4.7. En el mecanismo de la figura, la manivela AOB gira alrededor de O con una velocidad
angular constante de 200 rpm en sentido horario. En el instante representado en la figura, en
el que OA forma con el sentido positivo del eje x un ángulo θ OA = 315°, se pide:
ÍNDICE
a) grados de libertad del sistema.










+ -2 k x -2 k x 150 x cos150 i + 150 x sen150 j







(mm/s2Y) PROBLEMAS RESUELTOS
aG (BC)
= a=
- 4156,9 i PLANOS
- 1200 .jTEORÍA
D MECANISMOS
CINEMÁTICA
DE
(
)
4.7. En el mecanismo de la figura, la manivela AOB gira alrededor de O con una velocidad
angular constante de 200 rpm en sentido horario. En el instante representado en la figura, en
el que OA forma con el sentido positivo del eje x un ángulo θ OA = 315°, se pide:
a) grados de libertad del sistema.
b) determinar las ecuaciones que permiten calcular la posición, velocidad y aceleración de
todos los eslabones en cada instante en función del movimiento de la manivela AOB.
Interpretar vectorialmente dichas ecuaciones.
c) velocidad de los puntos A y C en el instante que se muestra en la figura, donde θ AD =
99o.
d) velocidad del pistón F y del punto D en el instante de la figura.
Datos: OA = 135 mm; OB = 315 mm; AC = 390 mm; CD = 120 mm; CE = 450 mm; DF =
540 mm; OE x = 480 mm; OE y = 225 mm; EF y = 225 mm.
y
D
F
x
C
E
ωOAB
O
θAD
A
B
Solución
a) m = 3 x (6-1) – 2 x 7 = 1
b) Son necesarios dos polígonos vectoriales de cierre:
MANUALES UEX
89
93
ÍNDICE
MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN
C
C
4
r4
E 4
r4
r3
2
E
r3
O
r1
r5
3
2
r1
r2
O
r5
A
3
r2
8
A
8
r8
D
F
r8
D
F
r7
r’3
2
2
3
MANUALES UEX
O
94
r6
r’3
O
r6
r2
A
r7
3
r2
A
POSICIÓN
Las ecuaciones vectoriales de cada uno de los polígonos son:
POSICIÓN
90
Las ecuaciones vectoriales de cada uno de los
polígonos son:
ÍNDICE
CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
POSICIÓN
POSICIÓN
Las ecuaciones vectoriales de cada uno de los polígonos son:
Las ecuaciones vectoriales de cada
 uno
 de los
 polígonos

 son:
r22
r222
r22
r222

+ r33

r333
+ 


'33
+ rr'



+ rr''333
=
=
=
=
r11
r111
r66
r666

+ r55 
+ r44

+ r555
+ r444

+ r77 
+ r88

+ r777 
+ r888
ecuacionesvectoriales
vectorialesseseresuelven
resuelven
mediante
ecuaciones:
Estas ecuaciones
mediante
laslas
ecuaciones:
Estas ecuaciones
mediante
laslas
ecuaciones:
ecuacionesvectoriales
vectorialesseseresuelven
resuelven
mediante
ecuaciones:
135 x cosθ2
135 xxx sen
cosθθ22
135
2
135 xx senθ22
135 x cosθ2
135
135 xxx cos
senθθ222
135 xx senθ22
+


+
+


+
+


+
+

+
390 x cosθ3
390
390 xxx cos
senθθ333
390 xx senθ33
510 x cosθ3
510
510 xxx cos
senθθ333
510 xx senθ33
=
+ 450 x cosθ 4

480 

480
=
+
=
+ 450

225 
450 xxx cos
senθθ444

225 
=
+ 450 xx senθ 44
=
+ 540 x cosθ8

r6 

r450

xx cosθ 8
=
+ 540
6
=
+ 540


x sen
6
8 θ8

450 
=
+ 540 xx senθ88




VELOCIDAD
VELOCIDAD
VELOCIDAD
VELOCIDAD
Derivando lalaecuación
ecuación
vectorial
del primer
polígono
se laobtiene
de
Derivando
vectorial
del primer
polígono
se obtiene
relaciónladerelación
velocidades
Derivando
del
polígono
se laobtiene
de
Derivando
laAlaecuación
vectorial
dellaprimer
polígono
se obtiene
relaciónladerelación
velocidades
velocidades
entre
puntos
Avectorial
y C de
biela:primer
entre
los puntos
ylos
Cecuación
de
la biela:
velocidades
puntos
A y
entre
A 
ylos
labiela:


C de
 entre
 los puntos
C
 de la biela:

 
  
 
 
 



dr
dr
dr
dr
dr
dr
dr11
dr
5
4


33 = dr

22 + dr

5
+
+ 4 
+
=
v
ω
x r22 + 
ω
x r33 = 
ω
x r44
 v

 v
A
C/A
C









C  
22 x r
33 x r
44 x r





dr
dr
dr
dr
dr
dr
dr
dr
dr
dr
dt
dt22 + dt
dt33 = dt
dt11 + dt
dt55 + dt
dt44 
vCC  
ω22 xx rr22 + 
ω33 xx rr33 = 
ω44 xx rr44
 vCC//AA =

 v AA +
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
Ecuaciónvectorial
vectorialque
queseseresuelve
resuelve
mediante
ecuaciones:
Ecuación
mediante
las las
ecuaciones:
Ecuaciónvectorial
vectorialque
queseseresuelve
resuelve
mediante
ecuaciones:
Ecuación
mediante
las las
ecuaciones:
Para el segundo
segundo
el
Para
segundo
velocidades:
el segundo
velocidades:
velocidades:
velocidades:



polígono
polígono
polígono
polígono
vectorial
vectorial
vectorial
vectorial
se
se
se
opera
opera análogamente,
análogamente,
opera
opera análogamente,
análogamente,





dr'
drdr
drdr
drdr
dr'
6
8
2
7

33 = drdr




6 +
8
2 +
7 +

v




v

A

A
dr'
dr
dr
dr
dr'
dr
dr
dr
dr
dt
dt
dt2 22 + dt
dt3 33 = dt
dt6 66 + dr
dt7 77 + dt
dt8 88 
 vvAAA
dtdt
dtdt
dtdt
dt
dt
 dtdt 
 

ω33

ω33

deduciendo
deduciendo
deduciendo
deduciendo
,
,
ω44

ω44

la
la
la
relación
relación
relación
relación






 

=v
v
+ 
=
v
+ 
vvDD// AA 
vvDD/F



/F v
D
FF  
D
=vvFFF + vvDDD/F
=vvDDD
+ vvDDD/// AAA 

/F
/F


ω
x r22 + 
ω
x 
r'
vFF +

v
 
3=


3


22 x r
33 x r'
ω22 xx rr22 + 
ω33 xx r'
r'3

vvFF +
 
3=
Las ecuaciones
ecuacionesque
quepermiten
permitenresolver
resolver
mecanismo
Las
el el
mecanismo
son:son:
Las ecuaciones
ecuacionesque
quepermiten
permitenresolver
resolver
mecanismo
el el
mecanismo
son:son:
Las
 

ω
x r88



88 x r
ω88 xx rr88

2 x

x sen2  510 x 91
3 x sen3 
‐ 135 x  ‐200 x
vF  540 x 8 x sen8
260
2xx x π 



xx x
x
x
x
x x sen





8θ8
x
x
x
xω
- 135xx x ‐200
-200
sen
510
sen
540xx 
θ
−
ω
θ
=
x
x
x
‐ 135
sen
510
sen
v
91
2
3
3
FFv
8

F −540

2 2
3 3
3 3
8 8x sen 8
60
   2 x60

x cos2  510 x 3 x cos

135 x  ‐200 x
540 x 8 x cos8
3
2xx x π 

260
x x cos
x x cosθ
x cos
xω
xω
135xx x ‐200
510xx 
θ= 540
540xx 
135
22θ2 +510

3
3
8
 -200xx x60  xx cos
3 3x cos
3 3
8 8x cos8
8 8
60 



de
de
de





de donde se calculan vF y 8.
dondese
secalculan
calculanvFvyF y8.ω 8 .
de donde
ACELERACIÓN
ACELERACIÓN
ACELERACIÓN
Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono se deduce
Realizando
una
segundaderivada
derivada
para
laA yecuación
vectorial
del primer
polígono
se
una
segunda
para
la ecuación
del primer
polígono
se deduce
que Realizando
la relación de
aceleraciones
entre los
puntos
C devectorial
la biela
es:
deduce
que la de
relación
de aceleraciones
entre Alosy Cpuntos
A y Ces:de la biela es:
que
la relación
aceleraciones
entre los puntos
de la biela



ÍNDICE

91 d
2
d2 r 3
d2 r 5
d2 r 2
d2 r 1
r4
+
=
+
+
91
dt 2
dt 2
dt 2
dt 2
dt 2



 aA + aC / A =
aC 
MANUALES UEX
2 xπ 

135x x‐200
-200x x2 x  x xsen
senθ2 2 −390
390x xω3 3x xsen
senθ3 3 
450x xω4 4x xsen
senθ4 4
=
‐ -135
−450
260
x π
2
xx 


xx xsen
135xx x‐200
-200xx x 60
390xx xω33 3xx xsen
senθ33 3 
450xx xω44 4xx xsen
senθ44 4
=
‐ -135
−450
 senθ22 2 −390

x60
π

22x60


135x x‐200
-200x x
cosθ2 2 + 390
390x xω3 3x xcos
cos
θ3=
450x xω4 4x xcos
cosθ4 4
135
450
3
x xcos
x π
2260
xx 

xx xcos
x
xcos
x
xcos
135xx x‐200
-200xx x 60
cos
θ
+
390
ω
cos
θ
=
450
ω
cosθ44 4
135


390


450
x
x
x
x
x
x
x
x
2
3
3
4

2
3
3
4
2
3
3
4
60 
60

95


- 135 x  -200 x
vF − 540 x ω8 x senθ8
 x senθ2 − 510 x ω3 x senθ3 =
60 

2 xπ 

135 x  -200 x
540 x ω8 x cosθ8
3
 x cosθ2 + 510 x ω3 x cosθ=
60 


MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN
de donde se calculan v F y ω 8 .
ACELERACIÓN
Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono se
deduce que la relación de aceleraciones entre los puntos A y C de la biela es:















2r 
2r 
dd222rr
dd222rr
dd2
dd222rr
dd2
2 r2
2 r4
33
55
11
2
d 2r 2 + d 2r 3 = d 2r 1 + d 2r 5 + d 2r 44
2
2
2
2
2
 dt
 dt
 dt
 dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt 2
dt 2
dt 2
dt 2
dt 2







ω x

222 xx
 



 












a + 
a
=
aCC 

aa
 aa AAA  aa CCC///AAA 


C
 

 



 

(ω xxx rrr ) + α xxx rrr + ω xxx (ω xxx rrr ) = α xxx rrr + ω xxx (ω xxx rrr)
22
2
22
2
33
3
33
3
33
3
33
3
33
3
44
4
44
4
44
4
44
4
44
4
ecuaciónvectorial
vectorialse
resuelve
mediante
ecuaciones:
Esta
mediante
las
ecuaciones:
Esta ecuación
ecuación
vectorial
seseresuelve
resuelve
mediante
laslas
ecuaciones:
2
2
x
2 x2π 
  2
2
2
‐‐ 135
‐200



x 
x 2 xx  
x  3x α
x sen
x 2
x cos
x  -200
x cos
- 135
- 390
- 390
3x ω
3 x sen
3 x cos
3 =
 xx cos
135
cos
390
390
22 θ‐‐ 2 390
33 ‐‐θ3390
33 θ

x 
x
x  3 x sen
x 3
x cos
 ‐200
60 60



60


2
2
 ‐‐ = 450


x  4x α
x sen
x 2
x cos
- 450
- 450
4x ω
4 x sen
4 x cos
44 ‐‐θ4450
44 θ4
450
450
x  4 x sen
x 4
x cos

2
2

2
  2
2
2
2 x πx sen
2 xxx 
2x ω







‐‐ 135
‐200
390
cos
‐
390
sen
x 
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
135
-200
sen
390
cos
390
sen
θ
+
α
θ
θ
=
3 ‐ 3
3 x sen
3 
3
3
3
 x sen22 2 390 x 33 x cos
 x



135 x  ‐200
390
x
3
3
3
60
 
60 60
 
2
2
2x ω

450
x cos

‐
450
x

x
sen

x  4x α
x
cos
θ
450
x
sen
θ
450
=
4
4
 450 x  x cos
4 ‐ 4450 x 4 x sen
4 4
4
4
4
4
de
dondese
secalculan
calculan
de donde
donde
se
calculan
33αyy3 
y44..α 4 .
Operando
polígono
se
la
de
Operandoigual
igualpara
parael
segundo
polígono
se deduce
la relación
de aceleraciones:
Operando
igual
para
elelsegundo
segundo
polígono
se deduce
deduce
la relación
relación
de aceleraciones:
aceleraciones:

















22
22
22
22
22
2 r'
2r
2r
2r
2r
d
d
d
d
d
r'
d
r
d
r
dd
r
d
r
3
6
2
7
d r22 + d r'33 = d r66 + d r77 + d r888
 dt222  dt222  dt222  dt222
22
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt 2
dt
dt
dt
dt







ω222 xxx






 

 




 ‐‐- aa


/F 
aAAA 
=aaaFFF 
=aaD 

+aaaDDD/// AAA 

+aaaDDD/F
/F  aDD







2
22
2
22
3
33
3
33
3
33
3
33
3
33
 
 

 
 



(
)
ω xxx rrr ) 
ω xxx (
ω xxx rrr''' 
=
+ 
α xxx rrr''' 
+ 







 



aa
aFFF 
ω888 xxx
+ 
α888 xxx rrr888 
+ 



8
88
8
88
 
(
ω xxx rrr )
Esta
mediante
las
ecuaciones:
ecuaciónvectorial
vectorialse
resuelve
mediante
ecuaciones:
Esta ecuación
ecuación
vectorial
seseresuelve
resuelve
mediante
laslas
ecuaciones:
2
x π2 2
2
22xx 
 ‐200 x 2
 cos
135
510
sen
510
cos
‐‐ -135
α33 3xx xsen
θ33 3‐‐ -510
ω233 23xx xcos
θ33 3 

135xx x ‐200
-200x x 60   xx xcos
cosθ22 2 ‐‐ -510
510xx x
sen
510xx x
cos
=
60
60  

2

540
sen
540
cos

α88 8xx xsen
θ88 8‐‐ -540
ω288 28xx xcos
θ88 8
540xx x
sen
540xx x
cos
= aaaFF F ‐‐ -540
2
2
x  2 2
 
22x x π  sen2  510 x 3 x cos3 ‐ 510 x 223 2x sen3 
135
‐200
‐‐ -135
135xx x ‐200
-200xx x 60   xx xsen
senθ2 2 +510
510x xα3 3x xcos
cosθ3 3‐ -510
510x xω3 3x xsen
senθ3 3 
=
60
60  

2

540
= 540
α8 xx xcos
cos
θ8 ‐‐ -540
540
ω28 2xx xsen
sen
θ8
cos
540xx x
sen
540xx x
MANUALES UEX
88
96
88
88


88
que
permiten
calcular
y 88α.. 8 .
que
que permiten
permitencalcular
calcularaaFFayyF 
o
o
c) Para
Para θ OA== θ=2 =
315
o o y θ AD = θ 3 o= 99o:
c)
315
o y o yADθ= 3== θ99o=: 99o:
OA ==2θ= =
315
c)
315
y

=

=
99
:
OA = 2θ 2 =
AD
3 =
AD
3
c) Para
Para θθOA
315
y
θ
=
θ
99
:
OA
2
AD
3
POSICIÓN: de las ecuaciones  se deducen 92
los valores:
POSICIÓN:
de
las
ecuaciones

se
deducen
los
POSICIÓN:
ecuaciones

se
los
POSICIÓN:
laslas
ecuaciones
 se
los valores:
valores:
POSICIÓN:dede
de
las
ecuaciones
deducen
se deducen
deducen
los valores:
valores:
θ 4 = 171,9ooo

=
171,9
o
4
θθ444 =
171,9
== 171,9
171,9o
Y de las ecuaciones  se obtiene:
YYY
de
las
ecuaciones
obtiene:
de
las
ecuaciones

sese
obtiene:
Y de
delas
lasecuaciones
ecuaciones
se
seobtiene:
obtiene:
θ 8 = 184,43 ooo ; r 6 = 554 mm
184,43
θθ 88=
554
mm
184,43oo ;;; rrrr6666===
554
mm
=88 ==184,43
184,43
=554
554mm
mm
VELOCIDAD: las ecuaciones  permiten calcular:
VELOCIDAD:
las
ecuaciones

permiten
calcular:
VELOCIDAD:
las
ecuaciones

permiten
calcular:
VELOCIDAD:
ecuaciones
 permiten
calcular:
VELOCIDAD:
laslas
ecuaciones
 permiten
calcular:






ω
ω
- 4,55 rad/s k ; 


4 =3,86 rad/s  k
3 =

ω
=

ω44
=3,86
4,55
rad/s
3,86rad/s
rad/s kk kk
‐‐ 4,55
rad/s
3 3=
ω
=
-- 4,55
3,86
rad/s

ω
4,55rad/s
rad/s kkkk ;; 
rad/s
3 3 
44 3,86
La velocidad absoluta de A puede obtenerse identificando los términos correspondientes
ÍNDICEidentificando los términos correspondientes
La ecuaciones
velocidad absoluta
absoluta
de A
A puede
puede obtenerse
obtenerse
La
velocidad
de
identificando los términos correspondientes
en las
:
92
en las
las ecuaciones
ecuaciones 
 ::
92
en
POSICIÓN: de las ecuaciones  se deducen los valores:
θ 4 = 171,9o
Y de las ecuaciones CINEMÁTICA
se obtiene:DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
θ 8 = 184,43 o ; r 6 = 554 mm
VELOCIDAD: las ecuaciones  permiten calcular:


ω3 =- 4,55 rad/s k
;


ω4 =3,86 rad/s k
La velocidad absoluta de A puede obtenerse identificando los términos correspondientes
en las ecuaciones  :
2 xπ 

v Ax = - 135 x  -200 x
 x senθ2
60 

2 xπ 

v Ay = 135 x  -200 x
 x cosθ2
60 

o bien desarrollarse vectorialmente a través de la expresión:
   




2 xπ  
vA =
ω2 x r2 =
 -200 x
 k x 135 x cos315 i + 135 x sen315 j = - 1999,3 i -1999,3 j
60 

(
)
(mm/s)
Análogamente, la velocidad absoluta de C se puede obtener identificando los términos
en las ecuaciones :
− 450
vCx =
x
vCy =
ω4
450
x
ω4
x
x
senθ4
cosθ4
o bien desarrollarse vectorialmente empleando la expresión:
  





vC =
ω4 x r4 =
3,86 k x 450 x cos171,9 i + 450 x sen171,9 j = - 244,75 i-1719,67 j (mm/s)
(
)
d) Para el segundo polígono las ecuaciones  dan como resultado:




vF = 163,764 mm/s i ; ω8 =3,036 rad/s k
Para calcular la velocidad absoluta de D se puede emplear el sistema :
vDx =
vF − 540 x ω8 x senθ8
vDx = 540 x ω8 x cosθ8
o bien desarrollar la expresión vectorial:

=
vD

v=
D


vF + vD /F
  




vF + ω8 x r8= 163,764 i + 3,036 k x 540 x cos184,43 i + 540 x sen184,43 j
(
)
93
MANUALES UEX



vD = 294,53 i -1634,22 j (mm/s)
97
4.8. En el mecanismo de Cruz de Malta de la figura, el pivote P es solidario a la rueda motriz
con centro en A. Si la velocidad angularÍNDICE
de dicha rueda es ω = 20 rpm, constante y
MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN
4.8. En el mecanismo de Cruz de Malta de la figura, el pivote P es solidario a la rueda motriz con
centro en A. Si la velocidad angular de dicha
4.8. En el mecanismo de Cruz de Malta de la figura, el pivote P es solidario a la rueda motriz
rueda es  = 20 rpm, constante y en sentido
con centro en A. Si la velocidad angular
horario, determinar:
de dicha rueda es ω = 20 rpm, constante y
B
grados de
libertad
del mecanismo.
a)
en sentido
horario,
determinar:
B
b)
aceleración
de la rueda de
a) velocidad
grados de ylibertad
del mecanismo.
salida para la posición en la que AP forma
b) velocidad y aceleración de la rueda de
100o con el sentido positivo del eje horizontal
salida para la posición en la que AP forma
que opasa por A.
100 con el sentido positivo del eje
Datos:
AP =que
60 cm.
horizontal
pasa por A.
P
80 cm
P
80 cm
A

ω
A
Datos: AP = 60 cm.
Solución
Solución
a)
m = 3 x (3‐1) – 2 x 2 ‐ 1 = 1
a) Se
m =toma
3 x (3-1)
– 2 x 2vectorial
- 1 = 1 cerrado representado en la figura:
b)
el polígono
b) Se toma el polígono vectorial cerrado representado en la figura:
3
θB3
r3
B
Pr3
r1
P r2
r1
r2
2
θ2
A
A
POSICIÓN
La ecuación vectorial del polígono es:



MANUALES UEX
r1 + r3 =
r2
POSICIÓN
94
POSICIÓN
La ecuación vectorial del polígono es:
La ecuación vectorial del polígono es:
98



r + r =
r
r11  r33 
r22
Las ecuaciones que resuelven este polígono son:
r3 x cosθ3 = 0,6 x cosθ2
0,8 + r3 x senθ3 =
0,6 x senθ2
r3 , θ3

r3 , θ3

Las ecuaciones que resuelven este polígono
94 son:
VELOCIDAD
r3 x cosθ3 = 0,6 x cosθ2
0,8 + del
r3 xpolígono
senθ3 =
x senθ2
Derivando la ecuación vectorial
se0,6obtiene:



VELOCIDAD
dr
dr 1
dr 2
+ 3 =

dt
dt
dt

=
vP/B
ÍNDICE



v=
vP
P/A

 

 
ω3 x r3 + vdesl.P/B =
ω2 x r2
Las ecuaciones que resuelven este polígono son:
r3 x este
cosθpolígono
= 0,6 x son:
cosθ2
Las ecuaciones que resuelven
, θ3
RESUELTOS
CINEMÁTICA
DE3 MECANISMOS
PLANOS . TEORÍA Yr3PROBLEMAS
0,8 + r3 x senθ3 =
0,6 x senθ2
r3 x cosθ3 = 0,6 x cosθ2

r3 , θ3
0,8 + r3 x senθ3 =
0,6 x senθ2
VELOCIDAD
Derivando la ecuación vectorial del polígono se obtiene:
VELOCIDAD




Derivando
del polígono
seobtiene:     
drla ecuación
dr 1
dr 2 vectorial
+ 3 =
ω3 x r3 + vdesl.P/B =
ω2 x r2
 =

vP/B
v=
vP
P/A
dt
dt
dt



 

 



dr
dr 1
dr 2
+ 3 =
ω3 x r3 + vdesl.P/B =
ω2 x r2
 =

vP/B
v=
P/A
Estadtecuación
mediante
lasvPecuaciones:
dt vectorial
dt se resuelve
2 x π
 las xecuaciones:
Esta- ecuación
mediante
x cosθ
x senθ
r x ω x senvectorial
θ + v se resuelve
=- 0,6 x -20


2
60 

2 x 2π x π  x senθ
 x  -20
x ω3x cos
x sen
x cos
vdesl.P/Bx sen
=
x  -20
r-3r3x ω
0,6- 0,6
θ3θ3+ +vdesl.P/B
θ3θ3 =
θ2 2
 x x  x cos
3
  60 60
 
2 x π

r3 x ω3 x cosθ3 + vdesl.P/B x senθ3 =0,6 x  -20 x
ACELERACIÓN
 x cosθ2
60 

3
3
3
desl.P/B
3
vdesl.P/B , ω3

vdesl.P/B , ω3

Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del polígono se deduce:
ACELERACIÓN



2
vectorial
del polígono

Realizando unadsegunda
la ecuación
se deduce:
d2derivada
r3
r1
d2 rpara
2
a=
a=
aP
+
=


P/B
P/A
2
2
2
dt
dt
dt




d2 r 3
d2 r 1
d2 r 2
 2 +  2 =
 2 
 a=
 a=
 aP    

P/B
P/A
dt
dt
dt
ω3 x ω3 x r3 + α3 x r3 + adesl.P/B + 2 . ω3 x vdesl.P/B =
ω2 x ω2 x r2
( ) ( )
( )
  
 

    
ω vectorial
x ( ω x rse) resuelve
+ ( α x mediante
r ) + a las ecuaciones:
+ 2.ω x v
=
ω x (ω x r )

Esta ecuación

3
3
3
3
3
desl.P/B
3
desl.P/B
2
2
2
Esta ecuación vectorial se resuelve mediante
95 las ecuaciones:
- r3 x ω23 x cosθ3 - r3 x α3 x senθ3 + adesl.P/B x cosθ3 -
95
2
2 x π
- 2 x vdesl.P/B x ω3 x senθ3 =- 0,6 x  -20 x
 x cosθ2
60 

- r3 x ω32 x senθ3 + r3 x α3 x cosθ3 + adesl.P/B x senθ3 +
adesl.P/B , α3

2
2 x π
+ 2 x vdesl.P/B x ω3 x cosθ3 =- 0,6 x  -20 x
 x senθ2
60 

Para la posición correspondiente a θ 2 = 100 o la solución de las ecuaciones  es:
;
r 3 = 23,36 cm
A través de las ecuaciones  se calculan los valores:

ω3 =

4,325 rad/s k
;

v desl P/B =
0,747 m/s
63,52º
De las ecuaciones  se deducen los valores:

α3 =

34,353 rad/s2 k
;

2
adesl P/B = 6,484 m/s
63,52º
4.9. La figura representa un mecanismo con accionamiento hidráulico. Si el eslabón O 1 B
gira
con
una
velocidad
angular
B
constante en sentido
antihorario ω = 0,8
ÍNDICE
rad/s, determinar:
MANUALES UEX
θ 3 = 243,52 o
99
2
θ 3 = 243,52 o
;
r 3 = 23,36 cm
A través de las ecuaciones  se calculan los valores:
MANUEL REINO FLORES, GLORIA
 GALÁN MARÍN


;
v desl P/B
ω3 = 4,325 rad/s k
=
0,747 m/s
63,52º
De las ecuaciones
 se deducen
losunvalores:
4.9. La figura
representa
mecanismo con accionamiento hidráulico. Si el eslabón O1B gira




63,52º
con una velocidad
angular
= 0,8 rad/s, determinar:
2 constante en sentido antihorario
2 ω
34,353 rad/s k ;
a
= 6,484 m/s
α3 =
desl P/B
a) grados de libertad del mecanismo.
4.9. La figura representa un mecanismo con accionamiento hidráulico. Si el eslabón O 1 B
velocidad de llenado del cilindro cuando O1B forma 0°, 30°, 60° y 90° con la horizontal.
gira
con b) una
velocidad
angular
B
constante en sentido
antihorario ω = 0,8
rad/s, determinar:
a) grados
libertad
mecanismo.
A
de
del
b) velocidad
de
llenado del cilindro
cuando O 1 B forma
0°, 30°, 60° y 90°
con la horizontal.
ω
O1
O2
Datos: O 1 A = 1,5 m;
O 1 O 2(x) = 1 m; O 1 O 2
(y) = 0,5 m; AB = 0,5
m.
Datos: O1A = 1,5 m; O1O2(x) = 1 m; O1O2 (y) = 0,5 m; AB = 0,5 m.
Solución
Solución
a) m = 3 x (4-1) – a)
2 x 4 –m0 == 31 x (4-1) – 2 x 4 – 0 = 1
Se considera
polígono
vectorial cerrado
representado en la figura:
b) Se considera elb)polígono
vectorial el
cerrado
representado
en la figura:
96
A
MANUALES UEX
r2
100
O1
r4
θ2
r1
θ4
r3
O2
POSICIÓN
La ecuación vectorial del polígono es:
r1 + rÍNDICE
2 = r3 + r4
Las ecuaciones que resuelven este polígono son:
Or111
r1
r1
r1
r1
θ4
θ4
θ4
r3
θ4
r3
r3
O2 θ4
r3
O2 θ4
O2
r3
O2
r3
CINEMÁTICA
DE MECANISMOS
PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
O2
O2
POSICIÓN
POSICIÓN
POSICIÓN
POSICIÓN
La
POSICIÓN
La ecuación
ecuación vectorial
vectorial del
del polígono
polígono es:
es:
La ecuación vectorial del polígono es:
POSICIÓN
La ecuación vectorial del polígono es:
r1 + r2 = r3 + r4
La ecuación vectorial del polígono es:
r1 + r2 = r3 + r4
La ecuación vectorial del polígono es:
r1 + r2 = r3 + r4
r1 + r2 = r3 + r4
Las
r1 + r2 =son:
r3 + r4
Las ecuaciones
ecuaciones que
que resuelven
resuelven este
este polígono
polígono
son:
r1 + r2 =son:
r3 + r4
Las ecuaciones que resuelven este polígono
Las ecuaciones que resuelven este
polígono
son:
1,5 x cosθ=
1 + r4 x cosθ4
2
Las ecuaciones que resuelven este
1,5 xpolígono
cosθ=
1son:
+ r4 x cosθ4
2
1,5
1son:
r4r x xcos
xpolígono
θ4
Las ecuaciones
son:
ecuacionesque
queresuelven
resuelveneste
este
2x sen
0,5polígono
+cos
1,5θ=
θ2+ =
4 senθ 4
r4
r4
r4
r4
r
rr444
1,5
1θ2+ =
r4r4 x xcos
0,5 x+cos
1,5θ=
senθθ4 4
2x sen
1,5
1θ2+ =
r4r4 x xcos
0,5 x+cos
1,5θ=
senθθ4 4
2x sen
1,5
1
r
xx xcos
0,5 xx+cos
1,5θ
=
r
senθθ44 4
1,5
cos
=
1θ
+
r
cos
22x sen
4
2
44
0,5 + 1,5 x senθ2 =
r x senθ4
0,5
rr444 xx sen
0,5 
+ 1,5
1,5 xx sen
senθ22 
=
senθ 44
,
,
,
,
,
,,
θ4
θ4
θ4
θ4
θ4
44
θ






VELOCIDAD
VELOCIDAD
VELOCIDAD
VELOCIDAD
Derivando
VELOCIDAD
Derivando la
la ecuación
ecuación vectorial
vectorial del
del polígono
polígono se
se obtiene:
obtiene:
VELOCIDAD
Derivando la ecuación
vectorial
del polígono
se obtiene:
VELOCIDAD








Derivando la ecuación
vectorial
del
polígono
se
obtiene:







dr
dr
dr
dr
Derivandolalaecuación
ecuación
vectorial
polígono
se v
obtiene:
3
del
1 +vectorial
2 = del
4 seobtiene:




dr
dr
dr
dr
+
=
v
=
v
Derivando
polígono
3
1
2
4








A /O
A /O


A 
Derivando la ecuación
vectorial
del
polígono
se
obtiene:
dr
dr
dr
dr
+
=
+


v
=
v
=
v
3
1
2
4
dt
dt
dt
dt
A /O
A /O
A











dr
dr
dr
dr
+ dt2 = dt3 + dt
v=
v=
v A 

 dt
4
A /O 
A /O


 




3 
11 + dr
2 = 


+


v
=
v
=
v
dr
dr
dr
dt
dt
dt
dt







 ω4 x 

A /O 
A /O   A 
dr 3 + dr
dr 1
dr 2 dr
dr 4 = ω
r2+ =
r


   
dt
dt
dt
v=
v
=
2 x
4
desl.A/O


4 ++ vv
dr
dr
A /O v
A /O  x r v A
3
ω
x
r
=
ω
r
1
2
44 x 

 dt

v
v



2
2
4
desl.A/O
A
/
O
A
/
O
A
2
2








+
=
+

4 x r4  vdesl.A/O
v
=
v
=
v
dtdt
dtdt ωdt
dt
ω4 x r4 + vdesl.A/O
A /O
A /O
A
dt
dt
2 x r
2 =
dt
4 x r4 + v

dt
dt
dt
ω
ω
2 x r2 =
desl.A/O
 x r2mediante
 x r4 las

Esta
ecuación
ω
=
ω
+ ecuaciones:
v
Esta ecuación
ecuación vectorial
vectorialsese
se resuelve
resuelve
ω22 xmediante
r2mediante
=
ω44 xlas
r4 las
+ ecuaciones:
vdesl.A/O
Esta
ecuaciones:
desl.A/O
Esta ecuaciónvectorial
vectorial seresuelve
resuelve
mediante
las
ecuaciones:
Esta ecuación
seθ=
resuelve
mediante
las ecuaciones:
- 1,5 vectorial
- r4 x ω
x (0,8) x sen
2
4 x senθ4 + v desl.A/O x cosθ4
- 1,5x (0,8)
θ=
+v vecuaciones:
x (0,8) x sen
x ω
x senθ4las
x cosθ4
Esta ecuación
vectorial
se
resuelve
mediante
vdesl.A/O2 , ω4
2 ‐ r- rx4 
desl.A/Ox cos
‐ 1,5
x sen 

x4 sen  4 


2θ
4 r x 4ω
-1,5
1,5x (0,8)
=
sen
θ
+ desl.A/O
vecuaciones:
x (0,8) x sen
x
x cos4θ4
ω44
Esta ecuación
vectorial
se
resuelve
mediante
desl.A/O22 ,, 
2 r x 4ω x 4cosθ +4las

vvdesl.A/O
θ=
θ4 θ
2θ
4- r x4 ω x sen
4 θ v
- 1,5 x (0,8). cos
=
+desl.A/O
vdesl.A/Ox sen
x sen
x cos
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
1 2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
vdesl.A/O2 ,
2 x senθ
2 r x 4ω x 4cosθ +4 v
desl.A/O
4
x (0,8) . cosθ=
1,5x (0,8)
2
2θ
4
4
x2 sen
1,5
. cos

cosxsen
vdesl.A/O2 ,
- 1,5x (0,8)
=r4 x4-r 4 x4x ω
+desl.A/O
vdesl.A/O
x (0,8)
x sen
xcos
2θ=
4  θv desl.A/O
4θ θ4
x 2sen
1,5
. cos
2
2 2 r4 x 4ω4 x 4cosθ4 +4 v desl.A/O
4
2
vdesl.A/O2 ,
- 1,5x (0,8)
θ
=
r
θ
+
v
θ
x (0,8)
x sen
x ω
x sen
x cos
x
x
x
1,5
. cos
θ=
r
ω
cos
θ
+
v
sen
θ
2
4
4
4
desl.A/O
4
2
4
4
4
desl.A/O2
4
2
vdesl.A/O
2 ,
• Para la posición
correspondiente
= 0°
solución
las

x sen
1,5 x (0,8)
. cosθ=
r4 aax ωθ
θla
vdesl.A/O2 de
θecuaciones
2
42 x=cos
4 +
4
Para lalaposición
posición
correspondiente
θ
0°
la
solución
de
las
ecuaciones
 es:
es:
2
xcorrespondiente
x
x
x
1,5
(0,8)
.
cos
θ
=
r
ω
cos
θ
+
v
sen
θ
•• Para
a

=
0
la
solución
de
las
ecuaciones

es:
2
4 a2 θ42 = 0° la
4 solución
desl.A/O2 de las ecuaciones
4
Para la posición correspondiente
 es:
• Para la posición correspondiente
θ 2 = 0° ;la solución
de las m
ecuaciones  es:
θθ 4 aa=
r 4 = 0,7071
• Para la posición correspondiente
= 0° ;la
de las
ecuaciones  es:
245
=θ45°
45°
0,7071
; solución
rrr44==
0,7071
mm
• Para la posición correspondiente
de
las
ecuaciones  es:
θ 44a=4 θ=45°
=
0,7071
m
2 = 0° ;la solución
4
••
•

θ 4 = 45° ;
r 4 = 0,7071 m
De
θ 4 = 45° ;
r 4 = 0,7071 m
 se
se calculan:
calculan:
De las
las ecuaciones
ecuaciones 
De
calculan:
De las
lasecuaciones
ecuacionessesecalculan:
m

θ 4 = 45° ;  r 4 = 0,7071
De las ecuaciones  se calculan:
 = 0,848 m/s



4 = 1,2 rad/s k

;;
v
ω
desl.A/O




De las ecuaciones  se calculan:
1,2
rad/s
0,848m/s
m/s
v
ω
=
k
rad/s k

v
= 0,848
e s l.A / O
44 
;
vddesl.A/O
= 0,848 m/s
De las ecuaciones  se calculan:
ω
= 1,2 rad/s k
desl.A/O




Para
la
posición
correspondiente
a
θ
=
30°
la
solución
de
las
ecuaciones

es:
1,2
rad/s
;
0,848
m/s
v
=
ω
=
k
2
desl.A/O
Para
posición
θθ 22 =
30°
de
las

es:

44 =aa 1,2
Para la
posición correspondiente
correspondiente
=rad/s
30° la
la
solución
de
las ecuaciones
ecuaciones
m/s
es:
; de las
0,848
v
=
ω
k solución
desl.A/O
Para
lalaposición
correspondiente
a

=
30
la
solución
ecuaciones
es:
2
1,2
rad/s
;
0,848
m/s
v
=
ω
=
k
97
desl.A/O
4
θθ 44 =
76,54°
;
r
=
1,2853
m
4
97
= 76,54°
76,54°
= 1,2853
1,2853 m
m
θ4 =
;;
rr 44 =
4 = 76,54 97
97; r4 = 1,2853 m
De
las
ecuaciones

se
calculan:
97
De
De las
las ecuaciones
ecuaciones 
 se
se calculan:
calculan:
97



De las ecuaciones  se calculan:



4 = 0,642 rad/s k ; v
 = 0,871 m/s
ω
ω
=
0,642
rad/s
;
v
=


k


desl.A/O
ω4 = 0,642 rad/s k ; vdesl.A/O
0,871 m/s
m/s
= 0,871
44  0,642 rad/s k ; v ddesl.A/O
 0,871 m/s
e s l.A / O
Para la
la posición correspondiente
correspondiente a θ 2 = 60°
60° la solución
solución de las
las ecuaciones 
 es:
Para
Para la posición
posición correspondiente aa θθ 22 =
= 60° la
la solución de
de las ecuaciones
ecuaciones  es:
es:
Para la posición correspondiente a 2 = 60 la solución de las ecuaciones  es:
θθ 44 =
97,91°
;
r
=
1,8163
m
rr 444 =
θ4 =
= 97,91°
97,91° ;;
= 1,8163
1,8163 m
m

;
r
4 = 97,91
4 = 1,8163 m
De
las
ecuaciones
 se
se calculan:
calculan:
De
las
ecuaciones

De las ecuaciones  se calculan:



De las ecuaciones  se 
calculan:

 = 0,737 m/s


ω
v
4 =
ω
= 0,521
0,521 rad/s
rad/s kkk ;;; 
0,737 m/s
m/s
v desl.A/O
= 0,737
4 =
desl.A/O
ω
0,521
rad/s
v
=
4
4  0,521 rad/s k ; v ddesl.A/O
 0,737 m/s
e s l.A / O
Para
la posición
correspondiente aa θθ 22 =
90° la
solución de
las ecuaciones
 es:
Para
Para la
la posición
posición correspondiente
correspondiente a θ 2 =
= 90°
90° la
la solución
solución de
de las
las ecuaciones
ecuaciones 
 es:
es:
Para la posición correspondiente
a

=
90
la
solución
de
las
ecuaciones

es:
2
θθ 44 =
116,56°
;
r
=
2,2361
m
4
= 116,56°
116,56° ;;
= 2,2361
2,2361 m
m
θ4 =
rr 44 =
4 = 116,56 ;
r4 = 2,2361 m
De
las
ecuaciones

se
calculan:
De
De las
las ecuaciones
ecuaciones 
 se
se calculan:
calculan:





De las ecuaciones  se calculan:

4 = 0,48 rad/s k ; v
 = 0,537 m/s
ω
ω
=
0,48
rad/s
;
v
=
k
desl.A/O
ω
0,537 m/s
m/s
v desl.A/O
= 0,537
44 = 0,48 rad/s k ; 
desl.A/O
4  0,48 rad/s k ; v d e s l.A / O  0,537 m/s
2
22
2
2
2
2
2
2
2
•••

2
2
2
2
••
•

ω4
ω4
ω4
ω4





45º
45º
45º
45º
45º
45º
76,54º
76,54º
76,54º
76,54º
97,91º
97,91º
97,91º
97,91º
2
2
2
2
116,56º
116,56º
116,56º
116,56º
2
4.10. La
La figura representa
representa el mecanismo
mecanismo de una
una bomba
bomba oscilante de
de pistón, en
en el que
que OA =
=
4.10.
4.10. La figura
figura representa el
el mecanismo de
deÍNDICE
una bomba oscilante
oscilante de pistón,
pistón, en el
el que OA
OA =
10
cm.
Si
la
velocidad
angular
motriz
es
constante
de
valor
ω
=
500
rpm,
en
sentido
10 cm.
cm. Si
Si la
la velocidad
velocidad angular
angular motriz
motriz es
es constante
constante de
de valor
valor ω
ω =
= 500
500 rpm,
rpm, en
en sentido
sentido
10
horario, determinar:
97
MANUALES UEX
2
101
De las ecuaciones  se calculan:


ω4 = 0,48 rad/s k

v desl.A/O2 = 0,537 m/s
;
116,56º
MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN
4.10. La figura representa el mecanismo de una bomba oscilante de pistón, en el que OA =
4.10. La figura representa el mecanismo de una bomba oscilante de pistón, en el que OA = 10 cm.
10 cm. Si la velocidad angular motriz es constante de valor ω = 500 rpm, en sentido
Si la velocidad angular motriz es constante de valor  = 500 rpm, en sentido horario, determinar:
horario, determinar:
a) grados de libertad del mecanismo.
a) grados de libertad del mecanismo.
b) sentido del movimiento de cada uno de los eslabones, mediante métodos gráficos, para la
b) sentido del movimiento de cada uno de los eslabones, mediante métodos gráficos, para
posición indicada en la figura.
la posición indicada en la figura.
c) ecuaciones que permitan calcular la posición, velocidad y aceleración de todos los eslabones
c) ecuaciones que permitan calcular la posición, velocidad y aceleración de todos los
en función del movimiento de OA. Interpretar vectorialmente dichas ecuaciones.
eslabones en función del movimiento de OA. Interpretar vectorialmente dichas ecuaciones.
d) velocidad y aceleración del pistón para la posición en la que OA forma 90 con el sentido
d) velocidad y aceleración del pistón para la posición en la que OA forma 90° con el
positivo del eje x.
sentido positivo del eje x.
A
A
O
O

ω
15 cm
15 cm
B
B
30 cm
30 cm
98
Solución
a) m = 3 x (4‐1) – 2 x 4 = 1
Solución
b) Con la velocidad angular OA de la manivela se obtiene la velocidad vA:
a) m = 3 x (4-1) – 2 x 4 = 1
b) Con la velocidad angular ω OA de la manivela se
A obtiene la velocidad v A :
O
AOA
O
ωOA
vA
MANUALES UEX
Relacionando la velocidad de A con B:



v A  v B   AB
Relacionando la velocidad de A con B:
x



v A = vB + ωAB
0
0
vA


rA/B  v desl . A / B

x rA/B
Dirección  AB
Dirección ⊥ AB

+ v desl. A / B
Dirección AB
Dirección AB
102
98
ÍNDICE
Dirección ⊥ AB
0
Dirección ⊥ AB
Dirección AB
CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
Dirección ⊥ AB
ωAB.rA/B
Dirección AB
vA
vdesl.A/B
Conocida ω AB . r A/B se deduce la velocidad angular ω AB = ω cilindro = ω pistón :
A
ωAB.rA/B
c) Se considera el polígono vectorial cerrado representado en la figura:B
ωAB =ωcilindro = ωpistón
c) Se considera el polígono vectorialA cerrado representado en la figura:
r2
O
99
θ2
A
r4
r1 r2
θ2
O
θ4
r3
r4
r1
B
θ4
r3
POSICIÓN
B
La ecuación vectorial del polígono es:
POSICIÓN
 
r1 + r2 =


r3 + r4
 
r1 + r2 =


r3 + r4
Las ecuaciones que resuelven este polígono son:
θ2
0,1 x cos=
0,3 + r4 x cosθ4
0,15
+
0,1
x senθ2 =
Las ecuaciones que resuelven este polígono son: r4 x senθ4
r4 , θ4
103
VELOCIDAD
θ2
0,1 x cos=
0,3 + r4 x cosθ4
0,15del
+ 0,1
r4 x senθ4
x senθ2 =
Derivando la ecuación vectorial
polígono
se obtiene:






dr 3
dr 1
dr 2
dr
4
ÍNDICE
+
=
+
 v=
v=
A /O
A /B
dt
dt
dt
dt
Derivando la ecuación vectorial del polígono se obtiene:
VELOCIDAD
 
 


MANUALES UEX
La ecuación vectorial del polígono es:
r4 , θ4

vA


Las ecuaciones que resuelven este polígono son:
θ2
0,1este
x MARÍN
cos
=
0,3
Las ecuaciones
queGLORIA
resuelven
polígono
son:+ r4 x cosθ4
MANUEL
REINO FLORES,
GALÁN
0,15 + 0,1 x senθ2 =
r x senθ
θ2
0,1 x cos=
0,3 + r4 4x cosθ4 4
0,15 + 0,1 x senθ2 =
r4 x senθ4
VELOCIDAD
r4 , θ4

r4 , θ4

Derivando la ecuación vectorial del polígono se obtiene:
VELOCIDAD






Derivando la ecuación
vectorial
polígono
se obtiene:
drdel
dr 1
dr 2
dr 4
3
+
=
+
 v=
v=
A /O
A /B




dt
dt
dt
dt








dr 1
dr 2 dr 3 dr
+
=ω2 x r2 +=
v=
ω4 x r + vv=
A /O
A /B
desl.A/B
dt
dt
dt
dt4 4
 
  
ω2 x r2 mediante
=
ω4 x rlas
vdesl.A/B
Esta ecuación vectorial se resuelve
4 +ecuaciones:

vA

vA
2 x π  se resuelve mediante las ecuaciones:
Esta
ecuación
vectorial

x senθ
x cosθ
= - r x ω x senθ + v
- 0,1 x -500 x


2
4
4
4
desl.A/B
4
60 

2
x
π
 -500 x2 x π   x senθ= - r x ω x senθ + v
-0,1
0,1x x -500

2
4
4
4
desl.A/B x cosθ4
x
 
60 . cosθ2= r4 x ω4 x cosθ4 + vdesl.A/B x senθ4
60


2 x π
0,1 x  -500 x
 . cosθ2= r4 x ω4 x cosθ4 + vdesl.A/B x senθ4
60 
ACELERACIÓN



vdesl.A/B , ω4

vdesl.A/B , ω4

Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial polígono se deduce:
ACELERACIÓN
Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial polígono se deduce:
100




d2 r 3
d2 r 1
d2 r 2
d2 r 4
100 
+
=
+
dt2
dt2
dt2
dt2


a=
A /O

a
=
A /B

aA 
  
  
 

 
ω2 x ω2 x r2 = ω4 x ω4 x r4 + α4 x r4 + adesl.A/B + 2 . ω4 x vdesl.A/B
(
)
(
) (
)
Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones:
2 x π
-0,1 x  -500 x

60 

2
x
cosθ2= - r4 x ω24 x cosθ4 - r4 x α4 x senθ4 +
+ adesl.A/B x cosθ4 - 2 x vdesl.A/B x ω4 x senθ4
adesl.A/B , α4
2 x π

-0,1 x  -500 x

60 

2
x
senθ2= - r4 x ω24 x senθ4 + r4 x α4 x cosθ4 +

+ adesl.A/B x senθ4 + 2 x vdesl.A/B x ω4 x cosθ4
d) Para la posición correspondiente a θ 2 = 90° la solución de las ecuaciones  es:
MANUALES UEX
r 4 = 0,3905 m
104
;
θ 4 = 140,19°
De las ecuaciones  se calculan:




ω4 =ωpistón =ωcilindro = - 8,58 rad/s k

v desl A/B = 4,022 m/s
;
39,81º
De las ecuaciones  se deducen:




α4 =αpistón =αcilindro = 362,49 rad/s2 k
;

2
adesl A/B = 146,74 m/s
39,81º
4.11. El mecanismo de la figura se diseña como dispositivo que mueve paquetes. El
accionamiento es manual, a través de OA, que realiza un movimiento de oscilación de 50°
a partir de la posición correspondiente a θ= 180°. Si ω = 30 rpm (constante), determinar:
a) ecuaciones que permitan determinar la posición, velocidad y aceleración de P para
ÍNDICE
cualquier posición. Interpretar vectorialmente
dichas ecuaciones.
b) longitud de carrera del empujador P.
De las ecuaciones  se calculan:




ω4 =ωpistón =ωcilindro = - 8,58 rad/s k
;

v desl A/B = 4,022 m/s
39,81º
De las ecuaciones  se deducen:
CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS





α4 =αpistón
=αcilindro
= 362,49
rad/s2 k que; mueve
146,74
m/s2 39,81º
adeslpaquetes.
4.11. El mecanismo
de la figura
se diseña
como dispositivo
El accionamiento
A/B =
es manual, a través de OA, que realiza un movimiento de oscilación de 50 a partir de la posición
4.11. El mecanismo de la figura se diseña como dispositivo que mueve paquetes. El
correspondiente a = 180. Si  = 30 rpm (constante), determinar:
accionamiento es manual, a través de OA, que realiza un movimiento de oscilación de 50°
a) ecuaciones
queposición
permitancorrespondiente
determinar la posición,
velocidad
aceleración
de P para
cualquier
a partir de la
a θ= 180°.
Si ω =y30
rpm (constante),
determinar:
posición. Interpretar vectorialmente dichas ecuaciones.
a) ecuaciones que permitan determinar la posición, velocidad y aceleración de P para
cualquierdeposición.
dichas ecuaciones.
carrera delInterpretar
empujadorvectorialmente
P.
b) longitud
b) longitud
de carreradedel
empujador
P.
c) velocidad
y aceleración
P cuando
a = 130.
c) OAvelocidad
Datos:
= 35 cm. y aceleración de P cuando a θ= 130°.
Datos: OA = 35 cm.
B
P
B
P
A
50 cm
A
50 cm

ω
101
θ
O
O
Solución
a) El polígono vectorial cerrado es:
Solución
r
4
es:
a) El polígono vectorial cerrado
B
r3
A
B
3 r1 r4
2
r3
MANUALES UEX
A
r2
θ3 r1
O
θ2
r2
O
101
105
POSICIÓN
La ecuación vectorial de polígono es: ÍNDICE


r +r =
 
r +r
r2
θ2
r2 O
θ2
O GALÁN MARÍN
MANUEL REINO FLORES, GLORIA
POSICIÓN
POSICIÓN
La ecuación vectorial de polígono es:


 
r2 + r3


 
r1 + r4 = vectorial
r2 + r3 son:
Las ecuaciones que resuelven este polígono
La ecuación vectorial de polígono es:
r1 + r4 =
x cosθvectorial
θ3
= 0,35
Las ecuaciones que resuelvenr4este
polígono
son:
2 + r3 x cos
0,5 = 0,35 x senθ + r x senθ
r4 = 0,35 x cosθ2 2+ r3 x3 cosθ3 3
Como θ 3 = θ 2 - 90° se tiene: 0,5 = 0,35 x senθ2 + r3 x senθ3
Como θ 3 = θ 2 - 90° se tiene: r4 = 0,35 x cosθ2 + r3 x cos ( θ2 - 90 )
= 0,35 x senθ2 + r3 x sen ( θ2 - 90 )
r0,5
4 = 0,35 x cosθ2 + r3 x cos ( θ2 - 90 )
0,5 = 0,35 x senθ2 + r3 x sen ( θ2 - 90 )
VELOCIDAD
r3 , r4

r3 , r4

VELOCIDAD
Derivando la ecuación vectorial del polígono se obtiene la relación de velocidades entre
los puntos A y B:
Derivando la ecuación vectorial del polígono se obtiene la relación de velocidades entre
los puntos A y B:



 102




dr 1
dr 4
dr 2
dr 3
+
=
+

v=
v=
v A + vB/A 
B
P
102
dt
dt
dt
dt




   


dr 1
dr 4
dr 2 dr
v
+
=
+= ω3 x r + ω
=
v=
v A + vB/A 
Bx r
P v

v
+
P
2
2
3
3
desl.B/A
dt
dt
dt
dt






donde ω 3 = ω 2 . Esta ecuación
se2 resuelve
mediante
las ecuaciones:
 vectorial
vP = ω
x r2 + ω
3 x r3 + v desl.B/A
2 xπ 
xπ 
 se resuelve
donde
= ωx2 . -30
Estax 2ecuación
mediante
x
vP = ω- 30,35
θ2 − r3 x  -30
v desl.B/A x cos ( θ2 - 90 )
( θ2 - 90las
) +ecuaciones:
 x senvectorial
 x sen
MANUALES UEX
60 
60 


2
2
x
π



 -302xx π  x senθ − r  x -302 xx π xπ  x sen ( θ - 90 ) + v
x cos
- 0,35
x x-30
x sen
0vP ==0,35
desl.B/A
 x
 x
( θ2( θ- 290- 90
) )
 xcosθ2 +2 r3 x 3 -30
 x cos ( θ2 - 290 ) + v desl.B/A
  6060 
  6060 
2 xπ 
2 xπ 


= 0,35 x  -30
θ2 + r3 x  -30 x
x
0 permiten
 x cos
 .x cos ( θ2 - 90 ) + v desl.B/A x sen ( θ2 - 90 )
que
desl.B/A
60 los
 deducir
 valores dev P y v60

ACELERACIÓN
que permiten deducir los valores de v P y v desl.B/A .
Realizando una segunda derivada para la ecuación
ACELERACIÓN
relación de aceleraciones entre los puntos A y B:
Realizandouna
derivada
para
 segunda


 la ecuación
2

d2r 1
d2 r 4 entredlos
r 2 puntos
d2 r 3A y B:
relación de aceleraciones
+
=
+
 a=
2
dt
dt2
dt2

2
2
d r1
dr
d2 r
+  24 = 22 +
2
aP = ω2 x dtω2 x r2
dt
dt
   

aP = ω2 x ω2 x r2
(
(
)
)
vectorial polígono se deduce la
)


aA + aB/A
)
106
Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones:
2
2
ÍNDICE
2 xresuelve
2 xπ 
π

 las ecuaciones:
Esta aecuación
vectorial
se
mediante
P = - 0,35 x  -30 x
 x cosθ2 - r3 x  -30 x
 x cos ( θ2 - 90 ) +

60 
2

60 
2


 

aA + a
2 . ω3 x vB/A
desl.B/A
  

 
+ ω3 x ω3 x r3 + adesl.B/A + 2 . ω3 x v desl.B/A
(

vectorial polígono se deduce la

a=
B
P
dt2
2





d r 3  
 a= 
a=
P
+ 2ω3 x ω3 x r3 B + adesl.B/A
+
dt
(

(

)
(
)
aP = ω2 x ω2 x r2 + ω3 x ω3 x r3 + adesl.B/A + 2 . ω3 x v desl.B/A
CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones:
2 xπ 

aP = - 0,35 x  -30 x

60 

+ adesl.B/A
2
2 xπ 

cosθ2 - r3 x  -30 x
 x cos ( θ2 - 90 ) +
60 

2 xπ 

x cos ( θ2 - 90 ) - 2 x  -30 x
 x v desl.B/A x sen ( θ2 - 90 )
60 

2 xπ 

0 = - 0,35 x  -30 x

60 

+ adesl.B/A
2
x
2
2
2 xπ 

senθ2 - r3 x  -30 x
 x sen ( θ2 - 90 ) +
60 

2 xπ 

x sen ( θ2 - 90 ) + 2 x  -30 x
 x v desl.B/A x cos ( θ2 - 90 )
60 


x
que permiten deducir los valores de a P y a desl.B/A .
b) De las ecuaciones  se tiene:
Para θ 2 = 180°
 r 4(180) = - 0,35 m ; r 3(180) = 0,50 m
Para θ 2 = 130°
 r 4(130) = 0,0514 m ; r 3(130) = 0,3608 m
Carrera de trabajo = │ r 4(180) - r 4(130) │= 0,4014 m
103
c) Para θ 2 = 130°:
r 4 = 0,0514 m ;
r 3 = 0,3608 m
;

v desl.B/A = 0,25 m/s
De las ecuaciones  se deducen:


aP = 7,82 m/s2 i
;

adesl.B/A = 9,55 m/s2
40º
40º
MANUALES UEX
De las ecuaciones  se calculan:


vP = 1,76 m/s i
4.12. La figura presenta una plataforma elevadora de vehículos accionada por un cilindro
hidráulico. Si la velocidad de expansión del cilindro O 2 E es constante y de módulo v expansión
= 20 cm/s, calcular:
a) sentido del movimiento de cada uno de los eslabones, mediante métodos gráficos, para
ÍNDICE
la posición representada.
b) velocidad y aceleración del automóvil para la posición en la que θ = 30°.
107
MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN
4.12.
vehículos accionada
accionada por
cilindro
4.12. La
La figura
figura presenta
presenta una plataforma elevadora de vehículos
por un
un cilindro
es2 Econstante
y de ymódulo
vexpansión
= 20
hidráulico.
de de
expansión
del del
cilindro
O2E O
es constante
de módulo
v expansión
hidráulico.SiSilalavelocidad
velocidad
expansión
cilindro
cm/s,
= 20 calcular:
cm/s, calcular:
sentidodel
delmovimiento
movimientodedecada
cadauno
unodedelosloseslabones,
eslabones,
mediante
métodos
gráficos,
mediante
métodos
gráficos,
parapara
la
a)a) sentido
la posición
representada.
posición
representada.
velocidady yaceleración
aceleración
automóvil
la posición
θ = 30°.
deldel
automóvil
parapara
la posición
en la en
quelaque
= 30.
b)b) velocidad
Datos:OO
A == AD
BA= =2 m;
ACAE
= =2 1m;m.AE = 1 m.
Datos:
=25=m;5 Om;1AO= 1AD
BA ==AC
1O12O
CC
DD
EE
AA
expansión
VVexpansión
104
θ
OO11
BB
OO22
Solución
Solución
a) Relacionando la velocidad de E con la velocidad del apoyo fijo O2 (vO2 = 0) se puede dibujar el
la velocidad de E con la velocidad del apoyo fijo O 2 (v O2 = 0) se puede
a) Relacionando
polígono
de velocidades:
 de
velocidades:

 

 
dibujar el polígono
vE
 v

  v


O2  v
desl. E/O2  
cilindro x rE/O2
expansión  
cilindro x rE/O2
vE= v O2 + v desl. E/O2 + ωcilindro x rE/O2 = v expansión + ωcilindro x rE/O2

(
vexpansión
vexpansión

(

)
Línea de acción vE (O1E)
Línea de acción vE (⊥O1E)
cilindro x rE/O2
ωcilindro x rE/O2
Línea de acción (cilindro x rE/O2)
Línea de acción (ωcilindro x rE/O2)
vE
vE
vexpansión
vexpansión
MANUALES UEX
E
E
108

)
O2
O2
Una vez deducidos los sentidos, se obtienen
104 la velocidad angular del cilindro ω cilindro y la
velocidad del punto E:
vE
ÍNDICE
vexpansión
CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
O2
Una vez deducidos los sentidos, se obtienen la velocidad angular del cilindro ω cilindro y la
velocidad del punto E:
vE
E
ωcilindro
O2
105
Con la velocidad v E se determinan la velocidad angular ω O1D y las velocidades v A y v D :
vD
vE
vA
D
E
O1
ωO1D
A partir de la velocidad v A se pueden deducir la velocidad angular ω BC y las velocidades
v B y v C mediante el centro instantáneo de rotación de la biela BC:
ÍNDICE
MANUALES UEX
A
109
MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN
vC
ωBC
vA
C
CIR(BC)
A
Línea de acción vB
vB
B
106
Como la plataforma no gira (ω plataforma = 0), la relación
Como
la plataforma no gira (ω plataforma = 0), la relación
implica
que:
implica que:
 (ω

  
Como la plataforma no gira
plataforma = 0), la relación
vD= vC + v
 + ω

desl. D/C
plataforma x r
D/C=
implica que:
vD= v C + v desl. D/C + ωplataforma x rD/C=
    
vD= v C + v desl. D/C +vDωplataforma x rD/C=
vC
vC
(
(
(
v
vC
vD
)
)
)
D
entre las velocidades de D y C
entre las velocidades de D y C
 

entre
las velocidades
de D y C
vC + v

desl. D/C
v C + v desl. D/C
 
v C + v desl. D/C vdesl. D/C
vdesl. D/C
vdesl. D/C
vD
vD
vD
vdesl. D/C
vdesl. D/C
C
C
D
D
vdesl. D/C
C
D
MANUALES UEX
También se verifica que v desl. D/C = v B .
También se verifica que v desl. D/C = v B .
b) También
Se debe operar
con dos
cerrados:
se verifica
que polígonos
v desl. D/C = vvectoriales
B.
b) Se debe operar con dos polígonos
vectoriales
cerrados:
b) Se debe operar con dos polígonos vectoriales cerrados:
110
E
E
ÍNDICE
r2
E
r3
r3
vC
vC
vC
vdesl. D/C
C
D
CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
También se verifica que v desl. D/C = v B .
b) Se debe operar con dos polígonos vectoriales cerrados:
E
r3
r2
2
3
r1
O1
r2
C
O2
E
r3
D
r4
θ2
θ3
r1
r5
r6O1
O2
5
C
r4
D
O1
POSICIÓN
r5
POSICIÓN
POSICIÓN r6
La
La ecuación
ecuación vectorial
vectorial del
del primer
primer polígono
polígono es:
es:
La ecuación vectorial del primer polígonoes: 
107r + r


rr=
2
=
r11 + r33
2
r=
r1 + r3
2
θ5
Las
que
Las ecuaciones
ecuaciones
que resuelven
resuelven este
este polígono
polígono vectorial
vectorial son:
son:
O1
Las ecuaciones
que resuelven este polígono vectorial son:
Para
θ2 = 30°:
Para
30°:
Para θ22 == 30:
3
=
2
3 xx cos
cosθθ=
2
3 xx cos
θθ=
2
3
sen
3 x senθ22 =
=
3 x senθ2 =
5
+ rr3 xx cos
5 +
cosθθ3
5r +x sen
r33 xθcosθ33
r33 x senθ33
r3 x senθ3
2,832 m
148,015°
rr3 =
m ;;; θθ333 ==
=148,015
148,015°
3r==2,832
3 2,832 m
La
ecuación
vectorial
del
segundo
polígono
es:
La
vectorialdeldelsegundo
segundo
polígono
es:
La ecuación
ecuación vectorial
polígono
 es:  

r4 +
+ rrr66
rr44 +
6
Las
ecuaciones que
resuelven
este
polígono
vectorial
son:
Las
queresuelven
resuelven
este
polígono
vectorial
Las ecuaciones
ecuaciones que
este
polígono
vectorial
son:son:
4
x cosθ 5 =
4
4 xx cos
cosθθ55 =
=
x senθ 5 =
4
x senθ 5 =
4
4 x senθ =
Para
θ2 = θ5 = 30°:
Para
30°:
Para θ22 == θ55== 30:
5
m
rr44r4=
==3,464
3,464
3,464 m
m
rr4
r44
rr6
r6
6
; r6 = 2 m
;; rr66==22mm
VELOCIDAD
VELOCIDAD
107
Derivando
Derivando la
la ecuación
ecuación vectorial
vectorial del
del primer
primer polígono
polígono se
se obtiene:
obtiene:















dr
dr





 
dr 22
dr 11 + dr
dr 33  v
=
ÍNDICE
=
v
=
v
E/O
E/O
E
=
+


v
=
v
=
v
E/O
E/O
E
dt
dt
dt
 dt
dt
  dt 
1
1
 x r =
 x r + v

ω
ω
2
2
MANUALES UEX

rr=
5
5
r=
=
5
111
4 x cosθ 5 =
4 x cosθ 5 =
4 x senθ 5 =
4 x senθ 5 =
r4
r4
r6
r6
Para θ = θ = 30°:
Para REINO
θ = θ FLORES,
= 30°: GLORIA GALÁN MARÍN
MANUEL
r = 3,464 m ; r = 2 m
r = 3,464 m ; r = 2 m
VELOCIDAD
VELOCIDAD
Derivando la ecuación vectorial del primer polígono se obtiene:
Derivando la ecuación vectorial del primer polígono se obtiene:






dr2
dr1
dr




E 
=
dr 2
dr 1 + dr 33  v
=
v
=
v
E/O
E/O
=
=
v
=
vE 
dt
dt + dt  v
E/O
E/O
 dt
dt
  dt 
2
5
2
5
4
6
4
6
1
2
1
2
2 x r2 =
3 x r3 + v

ω
ω
desl.E/O 2
ω2 x r2 =
ω3 x r3 + v desl.E/O2
donde v desl.E/O2 = v expansión . Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones:
donde v desl.E/O2 = v expansión . Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones:
-3 x ω2 x sen=
θ
- r x ω x senθ + 0,2 x cosθ
-3 x ω2 x sen=
θ22 - r33 x ω33 x senθ33 + 0,2 x cosθ33
3 x ω x cosθ=
r x ω x cosθ + 0,2 x senθ
2
3 x ω22 x cosθ=
r33 x ω33 x cosθ33 + 0,2 x senθ33
2
MANUALES UEX
Para θ 2 = 30°:
Para θ 2 = 30°:
112




2 =0,0755 rad/s k
3 =- 0,0376 rad/s k
ω
ω
;
ω2 =0,0755
ω3 =- 0,0376
rad/s k opera
;
rad/s k
Para
vectorial
deduciendo
Para el
el segundo
segundo polígono
polígono
vectorial se
se opera análogamente,
análogamente,
deduciendo la
la relación
relación de
de
Para
el
segundo
polígono
vectorial
se
opera
análogamente,
deduciendo
la
relación de
velocidades
entre
los
puntos
C
y
D:
velocidades entre los puntos C y D:
108
velocidades entre lospuntosC
y D: 
108






dr
dr
dr
5
4
6


 + v








dr
dr
dr
5
4
6
=
+


=
v
v
D
D/C + v
=
+


=
v
v


CC
dr
dr
dr
D
D/C
dt
dt
dt
5
4
6
dt
dt + dt
=


=
vD
vD/C + v C
dt
dt
dt

 









ω
v
ii +

5
desl.D/C
55 x

 +
CC=
ω
x rr=
=
v
+ v
v
= v
v desl.D/C
+ v
v CC jj

5
desl.D/C
desl.D/C 
ω5 x r=
v desl.D/C + v C= v desl.D/C i + v C j

5
Las
Las ecuaciones
ecuaciones que
que permiten
permiten resolver
resolver el
el mecanismo
mecanismo son:
son:
Las ecuaciones que permiten resolver el mecanismo son:
-- 4
4 xx ω
ω55 xx sen
senθ
θ55 =
=vv desl.D/C
desl.D/C
-44x ω
x ω5 x senθ5 =
v
x
cos
θ
=
4 x ω55 x cosθ55 =vv CC desl.D/C
4 x ω5 x cosθ5 =v C
donde
ω
=
ω
.
Para
θ
=
θ
=
30°:
2
5
2
5
donde ω 2 = ω 5 . Para θ 2 = θ 5 = 30°:
donde ω 2 = ω 5 . Para 
θ 2 = θ 5= 30°:







-- 0,151
m/s
;;
0,2616
m/s
v
=
ii
v
desl.D/C
C =


0,151
m/s
0,2616
m/s
v
=

v
=
jj


desl.D/C
C
;
v desl.D/C = - 0,151 m/s i
v C = 0,2616 m/s j
ACELERACIÓN
ACELERACIÓN
ACELERACIÓN
Realizando
Realizando una
una segunda
segunda derivada
derivada para
para la
la ecuación
ecuación vectorial
vectorial del
del primer
primer polígono
polígono se
se
Realizando
una
segunda
derivada
para
la
ecuación
vectorial
del
primer
polígono se
deduce
la
relación
de
aceleraciones:
deduce la relación de aceleraciones:
deduce la relación de
aceleraciones:




2 
2 
2 





2r
2r
2r
d
d
d






 

22
1

3
d=
r
d
r
d
r
+
1
 a
a
=
a
=
a
2 2
2 2 +
2 23
E/O
E/O
=




EE 

=
a
=
a
ddtr22
ddtr21
ddtr23
E/O
E/O
dt2
dt2 + dt2
=
 a=
a
=
aE 
E/O
E/O
dt 
dt  dt   







  
    
  
 

ω
22 .. ω

desl.E/O 2 +
desl.E/O 2
22 xx ω
22 xx rr22 ++ α
22 xx rr22 == ω
33 xx ω
33 xx rr33 ++ α
33 xx rr33 ++ aa
33 xx vv
ω
ω
α
ω
ω
α
+
ω

desl.E/O 2
desl.E/O 2
ω2 x ω2 x r2 + α2 x r2 = ω3 x ω3 x r3 + α3 x r3 + adesl.E/O2 + 2 . ω3 x v desl.E/O2

donde
= 0. Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones:
donde aa desl.E/O2
desl.E/O2 = 0. Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones:
donde a desl.E/O2 = 0. Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones:
2
2
-3 xx ω
cosθ
sen=
θ
cosθ
senθ
0,2 xx ω
senθ
-3
ω2222 xx cos
θ22 -- 33 xx α
α22 xx sen
=
θ22 -- rr33 xx ω
ω2233 xx cos
θ33 -- rr33 xx α
α 33 xx sen
θ33 -- 22 xx 0,2
ω33 xx sen
θ33
2
-3
x ω22 x cosθ2 - 3 x α 2 x sen=
θ
r
x
ω
θ3θ- r3+x rα 3x xαsen
θ3 θ- 2 +x 0,2
x ω3 x senθ3
3r x ω
3 2x cos
-3
=
sen
cos
2
0,2
ω
x ω22 x senθ2 + 3 x α 2 x cos2θ
x
x
x
x
x
2
-3 x ω22 x senθ2 + 3 x α2 x cosθ=
- r33 x ω233 x senθ33 + r33 x α 33 x cosθ33 + 2 x 0,2 x ω33 x cos
cosθ
θ33
2
-3 x ω2 x senθ2 + 3 x α2 x cosθ=
r
ω
sen
θ
+
r
α
cos
θ
+
2
0,2
ω
x
x
x
x
x
x
x
2
3
3
3
3
3
3
3 cosθ3
Para
Para θθ 22 =
= 30°:
30°:
Para θ 2 = 30°: 






2 
2 
α
α
;;
22 =
33 =
α
=-- 0,00454
α
=0,0129
0,00454 rad/s
rad/s22 kk
0,0129 rad/s
rad/s22 kk
α2 =- 0,00454 rad/s k
α 3 =0,0129 rad/s k
;
ÍNDICE
Para
la
Para el
el segundo
segundo polígono
polígono vectorial
vectorial se
se tiene
tiene
la relación
relación de
de aceleraciones
aceleraciones entre
entre los
los puntos
puntos
Para
el
segundo
polígono
vectorial
se
tiene
la
relación
de
aceleraciones
entre
los puntos
C
y
D:
C y D:
(((
)))
(((
)))
1
1
2
2
1
2
donde a desl.E/O2 = 0. Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones:
-3 x ω22 x cosθ2 - 3 x α2 x sen=
θ2 - r3 x ω23 x cosθ3 - r3 x α 3 x senθ3 - 2 x 0,2 x ω3 x senθ3
CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
-3 x ω22 x senθ2 + 3 x α2 x cosθ=
- r3 x ω23 x senθ3 + r3 x α 3 x cosθ3 + 2 x 0,2 x ω3 x cosθ3
2
Para θ 2 = 30°:


α2 =- 0,00454 rad/s2 k
;


α 3 =0,0129 rad/s2 k
Para el segundo polígono vectorial se tiene la relación de aceleraciones entre los puntos
C y D:

d2r 5
=
dt2



d2 r 4
d2 r 6
+
dt2
dt2

aD
 =


aD/C + aC
  
   
ω5 x ω5 x r5 + α=
adesl.D/C =
+ aC
5 x r5
(
)



adesl.D/C i + aC j
Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones:
- 4 x α 5 x senθ5 -109
4 x ω25 x cosθ5 =adesl.D/C
4 x α 5 x cosθ5 - 4 x ω25 x senθ5 =aC
donde α 2 = α 5 . Para θ 2 = θ 5 = 30°:


adesl.D/C = - 0,0107 m/s2 i
;


2
aC = - 0,02714 m/s j
Por tanto:
;


2
aautomóvil = - 0,02714 m/s j
MANUALES UEX


v automóvil = 0,2616 m/s j
113
4.13. En la figura se representa un mecanismo de Whitworth que acciona una cepilladora.
Determinar:
ÍNDICE
a) grados de libertad del mecanismo.
b) ecuaciones que permitan calcular la posición, velocidad y aceleración de todos los
MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN
4.13. En la figura se representa un mecanismo de Whitworth que acciona una cepilladora.
4.13. En la figura se representa un mecanismo de Whitworth que acciona una cepilladora.
Determinar:
Determinar:
de libertad
del mecanismo.
a) a)grados
grados
de libertad
del mecanismo.
b) b)ecuaciones
que que
permitan
calcular
la posición,
velocidadvelocidad
y aceleración
de todos los de
eslabones.
ecuaciones
permitan
calcular
la posición,
y aceleración
todos los
Interpretar
vectorialmente
dichas ecuaciones.
eslabones.
Interpretar vectorialmente
dichas ecuaciones.
velocidad
y aceleración
del Ccepillo
C manivela
cuando Ola1Amanivela
20° con la
1 Ala forma
y aceleración
del cepillo
cuando la
forma 20 O
con
horizontal.
c) c)velocidad
horizontal.
Datos: O1A = 25 cm; O1O2 = 15 cm; O2B = 10 cm; BC = 30 cm; OA = 40 rad/s (constante).
Datos: O 1 A = 25 cm; O 1 O 2 = 15 cm; O 2 B = 10 cm; BC = 30 cm; ω OA = 40 rad/s (constante).
A
O1
110
A
O1 OA
ωOA
B
C
O2
Solución
a) m = 3 x (6‐1) – 2 x 7 – 0 = 1
Solución
b) Son necesarios dos polígonos de cierre:
a) m = 3 x (6-1) – 2 x 7 – 0 = 1
b) Son necesarios dos polígonos de cierre:
A
r2
MANUALES UEX
O1
r1
2
O1
r1
A
r2
θr23
θ3
O2
114
r4
r3
3
O2
B
4
r6
B
r4
O2
θ4
r6
r5
C
r5
O2
6
110
POSICIÓN
La ecuación vectorial del primer polígono es:
ÍNDICE


r1 + r2 =
r3
θ6
C
r6
r4
θ3
θ6
θ4
O2
r5
2
C
CINEMÁTICAODE
MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS
RESUELTOS
POSICIÓN
La ecuación vectorial del primer polígono es:



r1 + r2 =
r3
Las ecuaciones que resuelven este polígono vectorial son:
0,25 x cosθ2 = r3 x cosθ3
0,15 + 0,25 x senθ2 =
r3 x senθ3
r3 , θ3

La ecuación vectorial del segundo polígono es:
La ecuación vectorial del segundo polígono es:



La ecuación vectorial del segundo polígono
 111es:


r5 + r6 =
r4
r5 + r6 =
r4
r5 + r6 =
r4
Las ecuaciones que resuelven este polígono vectorial son:
Las ecuaciones que resuelven este polígono vectorial son:
Las ecuaciones que resuelven reste+ polígono
vectorial
son:
0,3 x cosθ =
0,1 x cosθ
r5 ,
r5 ,
r5 ,
r55 + 0,3 x cosθ66 =
0,1 x cosθ 44
sen
=
0,1
senxθcos
x
x
θ
r0,3
+
0,3
cos
=
0,1
x
θ
θ4
6
4
5
6
x senθ 6 = 0,1 x senθ 4
0,3
0,3 x senθ6 = 0,1 x senθ 4
θ6
θ6
θ6



donde θ 3 = θ 4 .
donde θ 3 = θ 4 .
donde θ 3 = θ 4 .
VELOCIDAD
VELOCIDAD
VELOCIDAD
Derivando la ecuación vectorial del polígono se obtiene la relación de velocidades:
Derivando la ecuación vectorial del polígono se obtiene la relación de velocidades:

 la ecuación

Derivando
vectorial
del polígono
seobtiene
la relación
  de velocidades:
  



dr1
dr
dr3
 x r =
 x r + v


 
dr1 + dr22 =
dr3
ω
ω
v
=
v
=
v

2
2
desl.A/O
A/O
A/O
A
2




ω2 x r2 =
ω33 x r33 + v
v
=
v
=
vA 

dt1 + dr
dt2 =
dt3
desl.A/O
dr
dr
A/O
A/O
dt + dt =
dt
ω2 x r2 =
ω3 x r3 + v desl.A/O222
v=
v=
vA


A/O
A/O
dt
dt
dt
Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones:
Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones:
Esta
ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones:
- 0,25 x (-40) x senθ= - r x ω x senθ + v
x cosθ
2
- 0,25 x (-40) x senθ=
2
- 0,25 xx (-40) xx cos
senθθ=
=
22
0,25 x (-40) x cosθ=
2
0,25 x (-40) x cosθ=
2
1
1
1
2
2
2
1
2
3
2
- r33 x ω33 x senθ33 + v des.A/O
des.A/O x cosθ3
-r3r3x xωω3 3x xcos
sen
v des.A/O222x sen
x cos
θ3 3
θ3θ3++v des.A/O
θ
r3 x ω3 x cosθ3 + v des.A/O222 x senθ3
r3 x ω3 x cosθ3 + v des.A/O2 x senθ3
vdesl.A/O2 , ω3
vdesl.A/O2 , ω3
vdesl.A/O2 , ω3



Para el segundo polígono se obtiene la relación de velocidades entre B y C:
Para el segundo polígono se obtiene la relación de velocidades entre B y C:
 el segundo


Para
polígono
se obtiene la relación de velocidades entre B y C:



  
 
dr5
dr
dr4
 + v
 =

 + ω
 x r = ω
 
dr5 + dr66 =
dr4
v
v
v


C
B/C
B
C
6
6
C + v

B
6 x r6 = ω
44 xx rr44
v
v
vC + ω


dr
dr
dt5 + dr
dt6 =
dt4
B/C =
dt + dt =
dt
v C + vB/C =
vB
v C + ω6 x r6 = ω4 x r4


dt
dt
dt
cuya resolución da lugar a las ecuaciones:
cuya resolución da lugar a las ecuaciones:
cuya resolución da lugar a las ecuaciones:
vC , ω6
vC , ω6
vC , ω6



donde ω 3 = ω 4 .
donde ω 3 = ω 4 .
donde ω 3 = ω 4 .
ACELERACIÓN
ACELERACIÓN
ACELERACIÓN
Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono se
Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono se
deduce
la relación
aceleraciones:
Realizando
unadesegunda
derivada para la ecuación vectorial del primer polígono se
deduce la relación de aceleraciones:


deduce la relación de2 aceleraciones:
2 



d2 r1
d
d22 r3
2r 2


 


d2 r
d
r
d
r

=
a
=
a
 a
+
=
A/O
A/O
21 +
2 22 =
2 23

AA 
=
a
=
a
 a
A/O
A/O
ddtr21
ddtr22
ddtr23
dt2 + dt2 =
dt2
a=
aA 
 a=
A/O
A/O
 dt  dt  dt  
  
 
 x ω
 x r = ω
 x ω
 x r + α
 x r + a + 2 . ω
 x v
 ω
desl.A/O 2
desl.A/O2
22 x ω
22 x r22 = ω
33 x ω
33 x r33 + α
33 x r33 + a
33 x v
+
2
.
ω
 ω
desl.A/O 22
desl.A/O 22
 ω2 x ω2 x r2 = ω3 x ω3 x r3 + α3 x r3 + adesl.A/O2 + 2 . ω3 x v desl.A/O2
ÍNDICElas ecuaciones :
Esta ecuación vectorial se resuelve mediante
Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones :
Esta ecuación
vectorial se2 resuelve mediante las ecuaciones :
2
((
(
))
)
((
(
-0,25 x (- 40) x cosθ= - r x ω x cosθ - r x α
))
)
x
senθ + a
1
1
1
2
2
2
1
2
x
cosθ - 2 x v
x
ω x senθ
MANUALES UEX
v C - 0,3 x ω6 x sen=
θ6 - 0,1 x ω4 x senθ4
v C - 0,3 x ω6 x sen=
θ6 - 0,1 x ω4 x senθ4
v C -x ω
0,3
x cos
ω
x
sen
=
θ
0,1
x ω x senθ4
0,3
x
=
θ
0,1
6 6
6 x -ω
4 x cos4θ4
0,3 x ω66 x cos
=
θ6 0,1
x ω4 x cosθ4
0,3 x ω6 x cos=
θ6 0,1 x ω4 x cosθ4
115
donde ω 3 = ω 4 .
ACELERACIÓN
MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN
Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono se
deduce la relación de aceleraciones:



d2 r 1
d2r 2
d2 r 3
+
=
dt2
dt2
dt2


a=
A/O 1

a=
A/O 2

aA 
  
  
  
 
 ω2 x ω2 x r2 = ω3 x ω3 x r3 + α3 x r3 + adesl.A/O2 + 2 . ω3 x v desl.A/O2
(
)
(
)
Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones :
-0,25 x (- 40)2 x cosθ=
- r3 x ω23 x cosθ3 - r3 x α3 x senθ3 + adesl.A/O2 x cosθ3 - 2 x v desl.A/O2 x ω3 x senθ3
2
x senθ3 + 2 x v desl.A/O x ω3 x cosθ3
-0,25 x (- 40)2 x senθ=
- r3 x ω23 x senθ3 + r3 x α3 xde
cosdonde
θ3 + adesl.A/O
2
se deducen
los valores de
α 3 y a desl.A/O2 .
2
2
de
dedonde
dondesesededucen
deducenlos
losvalores
valoresde
deαα3 3yyaadesl.A/O2
desl.A/O2. . Para el segundo polígono vectorial se tiene la relación de acel
112y C:
Para
Paraelelsegundo
segundopolígono
polígonovectorial
vectorialsesetiene
tieneBlala
relación
relaciónde
deaceleraciones
aceleracionesentre
entrelos
lospuntos
puntos
BByyC:C:





d2r 5
d2 r 6
d2 r 4
+
=
aC + aB/C












2
2
2
dt





 dt 
 dt
dd2 r2 r5 5 dd2 r2 r6 6 dd2 r2 r4 4
=
++ 2 2 =
aaCC ++ aaB/C
=
aaBB 

  
B/C =
22
22



 
 
dtdt
dtdt
dtdt
aC + ω6 x ω6 x r6 + α 6 x r6 = ω4 x ω4 x

 
  
  
 
  
 
 
 aaC C ++ ωω6 6xx ωω6 6xxr6r6 ++ αα6 6xxr6r6 = = ωω4 4xx ωω4 4xxr4r4 ++ αα4 4xxr4r4
((
))
((
(
))
)
(
Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones 
2
Esta
Estaecuación
ecuaciónvectorial
vectorialseseresuelve
resuelvemediante
mediantelas
lasecuaciones
ecuaciones
:
aC - 0,3:
x ω6 x cosθ6 - 0,3 x α 6 x senθ
=
- 0,1 x ω24 x cosθ
6
2
0,3
ω6θθ
θ6 x x+
=
θ6
x sen
x α
aaC C - -0,3
0,3x xωω26 26x xcos
cosθθ6 6- -0,3
0,3x xαα6 6x xsen
senθ=
θ6=
- -0,1
0,1x- xω
ω24 24x xxcos
cos
0,1
αα40,3
sen
θθ
64 4x cos
6
4 4- -0,1
4x xsen
- 0,1 x ω24 x senθ
- -0,3
0,3x xωω26 26x xsen
senθθ6 6 ++ 0,3
0,3x xαα6 6x xcos
cos
=
θθ6 6 - -0,1
0,1x xωω2 2x xsen
senθθ ++ 0,1
0,1x xαα4 4x xcos
cosθθ4 4
=
donde α 3 = 4α4 4 . Estas4 4ecuaciones
permiten
calcular los valores de
donde
dondeαα3 3==αα4 .4 .Estas
Estasecuaciones
ecuacionespermiten
permitencalcular
calcular
los
losvalores
de
deαα6 6yyaaCC. .
c) Para
θvalores
2 = 20°, de las ecuaciones  y  se obtiene:
MANUALES UEX
c)c) Para
Paraθθ2 2==20°,
20°,de
delas
lasecuaciones
ecuaciones yyseseobtiene:
obtiene:r 3 = 0,3326 m
116
;
θ 3 = θ 4 = 45,071º ;
θ 6 = 166,35º
0,3326mm ; ; θθ3 3==θθ4 4==45,071º
45,071º ; ; θθ6 6==166,35º
166,35º ; ; r 5r 5== 0,3621
0,3621mm
r 3r 3==0,3326
Y de las ecuaciones  y :

 

YYde
delas
lasecuaciones
ecuaciones yy:
:
v desl.A/O2 = 4,237 m/s 45,071º
; ω3 = ω4 = - 27,23 rad/s k



 





vvdesl.A/O
== 4,237
ωω6 6=
=
4,237m/s
m/s 45,071º
; ; ωω3 3== ωωsiendo
27,23
rad/s
rad/s
;
;
6,596
6,596rad/s
rad/s kk
k
k
45,071º
desl.A/O
4 4==- -27,23
2 2
la velocidad del cepillo:


siendo
siendolalavelocidad
velocidaddel
delcepillo:
cepillo:
v C = 2,395 m/s i




vvCC ==2,395
2,395m/s
m/slas
i i ecuaciones  y :
De

 
De
Delas
lasecuaciones
ecuaciones yy:
:
adesl.A/O2 = 115,67 m/s2 45,071º
; α 3 = α 4 = - 184,197 rad/s2




 

 

aadesl.A/O
== 115,67
=
115,67m/s
m/s2 2 45,071º
; ; αα3 3==αα4 4==- -184,197
184,197rad/s
rad/s2 2 kk ; ; αα6 6=
214,122
214,122rad/s
rad/s2 2k
45,071º
desl.A/O
2 2

kksiendo la aceleración del cepillo:
siendo
siendolalaaceleración
aceleracióndel
delcepillo:
cepillo:



aaCC==- -36,85
36,85m/s
m/s2 2 i i


aC = - 36,85 m/s2 i
4.14. El mecanismo de la figura mueve la herramienta de una ce
angular ω de
es
y antihoraria,
de valor 30 rpm, determinar:
4.14.
4.14.ElElmecanismo
mecanismode
delalafigura
figuramueve
muevelalaherramienta
herramienta
deconstante
una
unacepilladora.
cepilladora.
SiSilalavelocidad
velocidad
ÍNDICE
angular
angularωωesesconstante
constanteyyantihoraria,
antihoraria,de
devalor
valor30
30
rpm,
determinar:
determinar:
a) rpm,
grados
de libertad.
siendo la aceleración del cepillo:


aC = - 36,85 m/s2 i
CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
4.14. El mecanismo de la figura mueve la herramienta de una cepilladora. Si la velocidad
angular ω es constante y antihoraria, de valor 30 rpm, determinar:
a) grados de libertad.
b) ecuaciones que permitan calcular la posición, velocidad y aceleración de todos los
eslabones en función del movimiento de OA. Interpretar vectorialmente dichas ecuaciones.
c) velocidad y aceleración de la cuchilla para la posición en la que OA y CB forman con el
c) velocidad
y aceleración
de la de
cuchilla
la posición
en la que OA y CB forman con el
sentido
positivo
del eje x ángulos
180° ypara
101,795°,
respectivamente.
113
sentido positivo del eje x ángulos de 180° y 101,795°,
respectivamente.
Datos: OA = 10 cm, BC = 100 cm.
Datos: OA = 10 cm, BC = 100 cm.
B
B
50 cm
50 cm
Cuchilla
Cuchilla
A
A
ω
ω
O
O
C
C
Solución
Solución
a) m = 3 x (6-1) – 2 x 7 = 1
a) m = 3 x (6-1) – 2 x 7 = 1
b) Se van a considerar dos polígonos vectoriales cerrados:
b) Se van a considerar dos polígonos vectoriales cerrados:
r5
r5
B
B
r4
r4
r2
r2
θ2
θ2
O
O
r1
r1
C
C
θ3
θ3
C
C
POSICIÓN
POSICIÓN
La ecuación vectorial del primer polígono es:
La ecuación vectorial del primer polígono
 es:

=
r2
=
r2

r1 + r3
r1 + r3
ÍNDICE
Las ecuaciones que resuelven este polígono
vectorial son:
Las ecuaciones que resuelven este polígono vectorial son:
θ4
θ4
MANUALES UEX
A
A
r3
r3
r6
r6
117
r1
θ4
θ3
MANUEL REINO FLORES,
C GLORIA GALÁN MARÍN
C
POSICIÓN
La ecuación vectorial del primer polígono es:

=
r2


r1 + r3
Las ecuaciones que resuelven este polígono vectorial son:
0,1 x cosθ2 = r3 x cosθ3
0,1
= -r3r x cos
θθ2114
θ3
0,1 xx cos
sen=
2
1 + r3 x senθ 3
0,1 x sen=
θ2 - r1 + r3 x senθ3


La ecuación vectorial del segundo polígono es:
La ecuación vectorial del segundo polígono

 es: 
r4 + r5 + r6 =
0
r4 + r5 + r6 =
0
Las ecuaciones que resuelven este polígono vectorial son:
Las ecuaciones que resuelven este polígono vectorial son:
1 x cosθ 4 + r5 =
0
11 xx sen
cosθθ4 -+r r5 ==
0
0
4
6
1 x senθ 4 - r6 = 0


donde θθ44 ==θθ3 3y ry6 =r 0,5
= 0,5
. De
ecuaciones
y
calculan
valores
donde
+ r+1. rDe
laslas
ecuaciones

y
se se
calculan
loslos
valores
deder1,rr,3,r yyr5r..
donde θ 4 = θ 3 y r = 0,5 + r . De las ecuaciones  y  se calculan los valores de r , r y r .
VELOCIDAD
VELOCIDAD
Derivando la ecuación vectorial del polígono se obtiene la relación de velocidades entre
la ecuación vectorial del polígono se obtiene la relación de velocidades entre
A y Derivando
C:
A y C:






dr2
dr1
dr3
=
+ dr
v
=
v








A
C + v
A/C
dr
dr
dt2
dt1 + dt3
=
v=
v C + v A/C


A
dt
dt  dt


 

 ω
2 x r2= v
C + ω
3 x r3 + v


desl.A/C
 ω2 x r2= v C + ω3 x r3 + v desl.A/C
Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones:
Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones:
6
1
1
3
5
6
1
1
3
5
2 xπ 

30 x 2 x π  x sen=
θ2 - r3 x ω3 x senθ3 + v des.A/C x cosθ3

60  x sen=
θ2 - r3 x ω3 x senθ3 + v des.A/C x cosθ3
 30 x


xπ 
260

θ2 - v C + r3 x ω3 x cosθ3 + v des.A/C x senθ3
0,1 x  30 x 2 x π  x cos=


θ2 - v C + r3 x ω3 x cosθ3 + v des.A/C x senθ3
0,1 x  30 x 60  x cos=
60 

MANUALES UEX
- 0,1 x
- 0,1 x
118


Para el segundo polígono se obtiene la relación de velocidades entre B y C:
Para el segundo
la relación de velocidades entre B y C:
 polígono
 se obtiene




dr4
dr5
dr6
+ dr + dr =
0
 v

0




C =
B/C - v
B + v
dr
dt4 + dt5 + dt6 =
0
 vB/C - vB + v C =

0
dt
dt
dt
  


ω
0
4 x r4 - v
B + v
C =

ω4 x r4 - vB + v C =
0
Nótese que r es el vector que va desde B hasta la referencia vertical fija que pasa por O.
r5 es eldel
vector
que5 va
desdeuna
B hasta
la referencia
fija que
por O.
v 5 cuando
B sepasa
mueve
en
Por Nótese
ello, la que
derivada
vector
implica
velocidad
positivavertical
derivada
una
velocidad
positiva
Por
ello,
la
del
vector
5
implica
v
cuando
B
se
mueve
en
5
5
sentido contrario al del vector 5. Por tanto, v 5 = - v B .
sentido contrario al del vector 5.
5. Por
Por tanto,
tanto, vv55 ==--vvB .B.
5
5
Esta ecuación se resuelve mediante las ecuaciones:
Esta ecuación se resuelve mediante las ecuaciones:
- 1 x ω4 x senθ4
x ω4 x senθ4
1- 1x ω
4 x cosθ4 1 x ω4 xÍNDICE
cosθ4 -
- vB =
0
-v vB=
=
0
0
C
vC =
0


donde ω 4 = ω 3 . De las ecuaciones  y  se calculan los valores de v desl.A/C , ω 3 , v B y v C .
ω4 x r4 - vB + v C =
0
Nótese que r es el vector que va desde B hasta la referencia vertical fija que pasa por O.
Por ello, la derivada del vector 5 implica una velocidad positiva v 5 cuando B se mueve en
v 5 = - v B . PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
sentido contrario al del vector
5. Por tanto,
CINEMÁTICA
DE MECANISMOS
5
Esta ecuación se resuelve mediante las ecuaciones:
- 1 x ω4 x senθ4 - vB =
0
1 x ω4 x cosθ4 - v C =
0

donde ω 4 = ω 3 . De las ecuaciones  y  se calculan los valores de v desl.A/C , ω 3 , v B y v C .
115
ACELERACIÓN
Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono se
deduce la relación de aceleraciones entre A y C:







d2r 2
d2 r 1
d2 r 3
=
+
a=
aC + aA/C


A
2
2
2
dt
dt
dt
  
   
  
 
ω2 x ω2 x r2 = aC + ω3 x ω3 x r3 + α 3 x r3 + adesl.A/C + 2 . ω3 x v desl.A/C
(
)
(
)
Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones:
2 xπ 

-0,1 x  30 x

60 

2
x
cosθ=
- r3 x ω23 x cosθ3 - r3 x α 3 x senθ3 +
2
+ adesl.A/C x cosθ3 - 2 x vdesl.A/C x ω3 x senθ3
2
2 xπ 

- aC - r3 x ω23 x senθ3 + r3 x α 3 x cosθ3 +
-0,1 x  30 x
x senθ2
 =
60 

+ adesl.A/C x senθ3 + 2 x vdesl.A/C x ω3 x cosθ3

Para el segundo polígono vectorial se tiene la relación de aceleraciones entre B y C:



 

d2 r 4
d2r 5
d2 r 6
+
+
=
0

aB/C - aB + aC =
0
2
2
2
dt
dt
dt
  
   
ω4 x ω4 x r4 + α 4 x r4 - aB + aC =0

(

)
Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones:
- 1 x ω24 x cosθ4 - 1 x α 4 x senθ4 - aB =
0
- 1 x ω24 x senθ4 + 1 x α 4 x cosθ4 - aC =0

d)
d) Para
Para θθ2 == 180°
180º yy θθ3==101,795°,
101,795º,dedelas
lasecuaciones
ecuaciones
yyseseobtiene:
obtiene:
2
3
m m; ; r3 r= =0,4892
r1 =r 0,4789
= 0,4789
0,4892mm ; ; r5r ==0,2044
0,2044mm
1
3
De las ecuaciones  y :
 

ω3 = ω4 = 0,1435 rad/s k
5
;


v C = 0,0293 m/s j
siendo la velocidad de la cuchilla:



vB = v cuchilla
= - 0,1405 m/s i
ÍNDICE
De las ecuaciones  y :
MANUALES UEX
donde α 3 = α 4 . De las ecuaciones  y  se calculan los valores de a desl.A/C , α 3 , a B y a C .
119
1
3
5
De las ecuaciones  y :
 

ω3 = ω4 = 0,1435 rad/s k
MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN
;


v C = 0,0293 m/s j
siendo la velocidad de la cuchilla:



vB = v cuchilla = - 0,1405 m/s i
De las ecuaciones  y :



α 3 = α 4 = - 1,9343 rad/s2 k
siendo la aceleración de la cuchilla:
116
;


aC = - 0,3752 m/s2 j
MANUALES UEX
 

aB = acuchilla = 1,8977 m/s2 i
120
4.15. La figura representa un mecanismo de compresión que es accionado por una
manivela. Si dicha manivela AB gira con una velocidad angular constante ω AB = 30 rad/s en
sentido antihorario, determinar:
a) número de grados de libertad del mecanismo.
ÍNDICE
117
CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
4.15. La figura representa un mecanismo de compresión que es accionado por una
manivela. Si dicha manivela AB gira con una velocidad angular constante ω AB = 30 rad/s en
sentido antihorario, determinar:
b) número
deducir,dedemediante
gráficos,
el sentido del movimiento de cada uno de los
a)
grados
libertad
número
gradosdedemétodos
libertaddel
delmecanismo.
mecanismo.
eslabones en la posición
b) deducir,
mediante
métodos
gráficos,
el sentido
del movimiento
de cada
de los
b)
deducir,
mediante
métodos
gráficos,
el sentido
del movimiento
de cada uno
de losuno
eslaboindicada.
en indicada.
la posición
117
neseslabones
en la posición
b)
deducir,
mediante
métodos gráficos, el sentido del movimiento de cada uno de los
c) indicada.
ecuaciones
que permitan
ωAB
c)
ecuaciones
quela permitan
calcueslabones
en
posición
calcular
la
posición,
c)
ecuaciones
que
permitan
lar
la posición,
velocidad ydeaceleA
indicada.
ωAB
velocidad
y aceleración
calcular
lalos eslabones
posición,en
ración
de
todos
B
todos
los eslabones
en
A
c)
ecuaciones
que
permitan
C
velocidad
aceleración
función
del ymovimiento
dede la
ωAB
función
del
movimiento
de
la
calcular
posición,
B
todos AB.
loslaInterpretar
eslabones
en
manivela
vectorialC A
manivela
AB.
Interpretar
velocidad
y
aceleración
de
función
del
movimiento
de
la
mente
dichas ecuaciones.
E
D
vectorialmente
dichas
B
todos
los eslabones
en
manivela
AB. Interpretar
C
ecuaciones.
d)
velocidad
y
aceleración
del
pisE
función
del movimiento dedichas
la
D
vectorialmente
tón
E
para
la
posición
en
la
que
AB
manivela
AB.
Interpretar
d) ecuaciones.
velocidad y aceleración
E
forma
con Ela para
horizontal
un ángulo
D
vectorialmente
dichas
del pistón
la posición
d)
velocidad
y
aceleración
de
40º.
ecuaciones.
en
la
AB forma
la horizontal un ángulo de 40°.
delque
pistón
E paracon
la posición
d)
velocidad
y
aceleración
en laAB
que
ABcm;
forma
horizontal
uncm;
ángulo
Datos:
= 10
ACcon
= 15la cm;
CD = 10
DE =de4040°.
cm; CE (y) = 15 cm.
del pistón E para la posición
Datos:
AB forma
= 10 cm;
= 15 cm; CD
10 cm;
= 40 cm; CE (y) = 15 cm.
en la
que AB
conAC
la horizontal
un =
ángulo
deDE
40°.
Solución
Datos:
AB = 10 cm; AC = 15 cm; CD = 10 cm; DE = 40 cm; CE = 15 cm.
(y)
a) Solución
m = 3 x (6-1) – 2 x 7 = 1
a)Conmla= velocidad
3 x (6-1) – angular
2 x 7 = 1ω AB de la manivela se obtiene la velocidad v B :
b)
Solución
la velocidad
ω AB de la manivela se obtiene la velocidad v B :
a) b)m =Con
3 x (6-1)
– 2 x 7 =angular
1
vB
b) Con la velocidad angular ω AB de la manivela se obtiene la velocidad v B :
vB
vB
ωAB
A
B
ωAB
A
ωAB
B
B
Relacionando la velocidad de B de la manivela con la velocidad del punto B balancín que
coincide con el anterior en ese instante, se puede dibujar el polígono de velocidades:
Relacionando la velocidad de B de la manivela con la velocidad del punto B balancín que
coincide con el anterior
en ese instante,
se puede
dibujar
polígono
de velocidades:



 el


=
vB balancín
=
ωcon
x rB/C + vdel
Relacionando lavBvelocidad
de B+devla
manivela
la velocidad
punto B balancín que
desl.B/C
balancín
desl.B/C
en ese

 se 

  de velocidades:

coincide con el anterior
instante,
puede
dibujar
el
polígono
v =
v
+ v
=
ω
xr
+ v
B
B balancín
desl.B/C
balancín
B/C
desl.B/C



 

vB =
vB balancín + v desl.B/C =
ωbalancín x rB/C + v desl.B/C
vdesl.B/C
Línea de acción vB balancín
Línea de acción vB balancín
Línea de acción vB balancín
C
vdesl.B/C
Bbalancín
118 Bbalancín
ÍNDICE
118 v
Línea de acción
121
vB
vdesl.B/C
vB balancín vB
vB balancín
MANUALES UEX
A
vB
MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN
vdesl.B/C
Línea de acción vB balancín
vdesl.B/C
Línea de acción vB balancín
Bbalancín
vB
vB balancín
Bbalancín
C
vB
vB balancín
Línea de acción vdesl. B/C
C
Línea de acción vdesl. B/C
Una
el el
sentido
la velocidad
del punto
BbalancínB balancín
se obtiene
la velocidad
angular
Una vez
vezdeducido
deducido
sentido
la velocidad
del punto
se obtiene
la velocidad

y
seguidamente
la
velocidad
del
punto
D.
del
balancín
angular
del
balancín
ω
y
seguidamente
la
velocidad
del
punto
D.
balancín
balancín
Una vez
deducido
el sentido la velocidad del punto Bbalancín se obtiene la velocidad angular
vB balancín
del punto D.
del balancín balancín y seguidamente la velocidad
vB balancín
Bbalancín

ωbalancín
C
Bbalancín
balancín
C
D
D
vD
vD
Se puede determinar
de
conociendo
las
) conociendo
determinar el
el centro
centro instantáneo
instantáneo
derotación
rotaciónde
delalabiela
bielaDEDE(CIR
(CIR
DE)DE
líneas
de
acción
de
las
velocidades
de
D
y
E.
Conocido
el
sentido
de
la
velocidad
del
punto
D
se
las líneas
de
acción
de
las
velocidades
de
D
y
E.
Conocido
el
sentido
de
la
velocidad
del
Se puede determinar el centro instantáneo de rotación de la biela DE (CIRDE) conociendo las
obtiene
el
sentido
de
rotación
de
la
velocidad
angular
de
la
biela

,
y
seguidamente
el
sentido
punto
D
se
obtiene
el
sentido
de
rotación
de
la
velocidad
angular
de
la
biela
ω
,
DE
líneas de acción de las velocidades de D y E. Conocido el sentido de la velocidad del puntoDED sey
de
la velocidad
desentido
E.de rotación
seguidamente
el
de lade
velocidad
de E.angular de la biela DE, y seguidamente el sentido
obtiene
el sentido
la velocidad
de la velocidad de E.
CIRDE
CIRDE

ωDE
DE
E
MANUALES UEX
E
vE
D
D
c)
vE
vD
E
vE
vD
Línea de acción vE
E
Se consideran dos polígonos vectoriales cerrados:
Línea de acción vE
122
118
118
θ2
A
r2
r3
C
vE
r1
θ3
B
119 θ6
ÍNDICE
CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
considerandos
dospolígonos
polígonosvectoriales
vectoriales
cerrados:
c)c) Se consideran
cerrados:
2
A
r2
B
r3
C
r1
6
3
r5
r6
r7
C
D
4
r4
E
POSICIÓN
POSICIÓN
La ecuación vectorial del primer polígono es:
La ecuación vectorial del primer polígono es:
POSICIÓN
r1 + r2 =
r3


0,1 x cosθ21 = r3 x2cosθ33
0,1 x +cos0,1
r3 xθcos
θ2 =x sen
θr33 x senθ3
2 =
Las ecuaciones que resuelven0,15
este polígono
vectorial
son:
0,15 + 0,1 x senθ2 =
r3 x senθ3
x cosθ 2 =
La ecuación vectorial del segundo0,1
polígono
es:r3 x cosθ3
La ecuación vectorial del segundo
polígono
es:θ2 =
0,15 + 0,1 x sen
r3 x senθ3
r5 + r7 + r4=
r6
r5 + r7 +es:r4 =
r6
La ecuación vectorial del segundo polígono
Las ecuaciones que resuelven este polígono
vectorial
son:


 
Las ecuaciones que resuelven este polígono
r5 + r7 +vectorial
r4 =
r6 son:
0,1 x cosθ=
6
0,1 x cosθ=
θ6
0,1 x sen
=
0,1 x cosθ=
6
θ6
0,1 x sen
=
r5 + 0,4 x cosθ4
r + 0,4 x cosθ
- 0,15 + 0,4 x senθ 4
r5 + 0,4 x cosθ 4
- 0,15 + 0,4 x senθ 4
5
4 θ
0,1este
=
θ66 - 0,15
+ 0,4 xson:
sen
x sen
Las ecuaciones que resuelven
polígono
vectorial
4
r3 , 3
r3 , θ3


r3 , θ3

r5 , 4
r5 , θ4


donde 6 = 3 + 180.
r5 , θ4

donde θ 6 = θ 3 + 180°.
VELOCIDAD
VELOCIDAD
donde θ 6 = θ 3 + 180°.
Derivando la ecuación vectorial del polígono se obtiene la relación de velocidades:
Derivando la ecuación vectorial del polígono se obtiene la relación de velocidades:
VELOCIDAD
dr 1 dr 2
dr 3
 delv=

 r =
xvelocidades:
dr 1 + dr 2 la
dr 3 vectorial
=
v=
vBse 

de
r3 + v
Derivando
ecuación
polígono
obtiene
B/C
2laxrelación
2
3
desl.B/C
 B/A
v=
v=
vB 
ω
ω
dt + dt =
dt
B/A
B/C
2 x r2 =
3 x r3 + v desl.B/C
dt
dt
dt



dr 1
dr 2
dr 3
+
= 
dt
dt
dt

v=
B/A

v=
B/C

vB

 
 

ω2 x r2 =
ω3 x r3 + v desl.B/C
MANUALES UEX

r1 + es:
r2 =
r3
La ecuaciones
ecuación vectorial
del primer
polígono
Las
que resuelven
este polígono
vectorial son:



Las ecuaciones que resuelven este polígono
r + rvectorial
=
r son:
123
Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones:
119
- 0,1 x 30 x senθ=
- r3 x ω3 x senθ3 + v desl.B/C x cosθ3
2
Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones:
0,1 x 30 x cosθ=
r3 x ω3 x cosθ3ÍNDICE
+ v desl.B/C x senθ3
2
- 0,1 x 30 x senθ=
- r3 x ω3 x senθ3 + v desl.B/C x cosθ3
2
0,1 x 30 x cosθ=
r
x
ω
x
cosθ + v
x
senθ
vdesl.B/C , ω3

vdesl.B/C , ω3




dr 1
dr 2
dr 3
+
= 
dt
dt
dt

v=
B/A

v=
B/C

vB

 
 

ω2 x r2 =
ω3 x r3 + v desl.B/C
MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN
Esta ecuación
ecuaciónvectorial
vectorialseseresuelve
resuelve
mediante
ecuaciones:
Esta
mediante
laslas
ecuaciones:
0,1xx 30
x 30x sen
x sen
θ
=
x ω3x sen
x sen
x cos
‐ -0,1

θ
θ33 3
2 ‐ -r3r3xx 
3 +v v
desl.B/Cx cos
x
2
3
3
desl.B/C
2
3
3 x
3
desl.B/C x
x 30x xcos
x sen
0,1xx 30
θ
= r x ω x cosθ + v desl.B/Cxx sen
0,1

θ
x cos
2 2 r3 3xx  3 3xx cos  3 3  v desl.B/C
33
2
3
3
3
desl.B/C
ω333
desl.B/C , 
vdesl.B/C
desl.B/C
Para
la relación
de velocidades entre D y E:
Para el
el segundo
segundopolígono
polígonoseseobtiene
obtiene
la relación
120 de velocidades entre D y E:









 el segundo


se
 obtienela relación
Para
polígono
velocidades
D y E:
 de 

entre

dr
dr
 
 x r 
dr555  dr
dr777  dr
dr444 
dr666  vE  v
vv
vEE  
D /E
/E 
D
4 x r4
4 =
E + vD
D
4
+
+
=


=
v
v
+
ω
D/E
dt
dt
dt
dt
E

D
E
4 4
dr
dr
dt5 + dr
dt7 + dr
dt4 =
dt6
 vE + vD/E =
vD 
vE + ω4 x r4 =
dt
dt
dt
dt
cuya
ecuaciones:
cuya resolución
resolucióndadalugar
lugara las
a las
ecuaciones:
cuya resolución da lugarvEa ‐las
ecuaciones:


vEE - 0,4
0,4 xxx 
ω444 xxx sen
sen=
θ444 ‐- 0,1
0,1 xxx 
ω666 xxx sen
sen
θ666
vvEE ,, 
4
E ω44
vE , ω4
xx 6 xx cos6
0,4

cos


4
vE -xxx0,4
θ0,1
0,1
ω6 θx66senθ6
4 =
6 x xcos
0,4
ω444 xxxx ω
cos
θsen
0,1
x- ω
4 x=
4
4
6
0,4 x ω4 x cos=
θ4 0,1 x ω6 x cosθ6
MANUALES UEX
 
 x r

ω666 x r666
 
ω6 x r6



donde
donde ω666 ==ω33.3 .
donde ω 6 = ω 3 .
ACELERACIÓN
ACELERACIÓN
ACELERACIÓN
derivada
parapara
la ecuación
vectorial
del primer
se deduce se
la
Realizando
Realizandouna
unasegunda
segunda
derivada
la ecuación
vectorial
del polígono
primer polígono
relación
de
aceleraciones:
deduce
la relación
aceleraciones:
Realizando
unadesegunda
derivada para la ecuación vectorial del primer polígono se





deduce la relación de aceleraciones:

2
2
2
2
2




2 2r



dd2 rr1 11  dd
r 2 22 
dd2 rr3 33  a

aa=
aaBB

B/A
B/C
2 +
2 =
2
a
=

B/A
B/C
2dt
2dt
2dt
B/A
B/C
22
22
22

B
ddtr 1
ddtr 2
ddtr 3
+
=
a=
a= aB


2

 dt2 
 dt

 dt2 
 

B/A  B/C


 










x

x
r


x

x
r


x
r

a

2
.

x vdesl.B/C

2
2
3
3
ω
+
2
.
ω

22 x ( ω2
22 x r
22 ) = ω3
33 x ( ω3
33 x r
33 ) + α3
33 x r3
33 + adesl.B/C
desl.B/C
33 x vdesl.B/C
desl.B/C
desl.B/C
  
  
  


ω2 x ( ω2 x r2 ) = ω3 x ( ω3 x r3 ) + α 3 x r3 + adesl.B/C + 2 . ω3 x v desl.B/C

Esta
mediante
laslas
ecuaciones
: :
Esta ecuación
ecuaciónvectorial
vectorialseseresuelve
resuelve
mediante
ecuaciones
: x
Esta
ecuación
vectorial
se
resuelve
mediante
las
ecuaciones
2
2
2
2
‐0,1

‐- rr333 xxx 
xx cos3 ‐
2 x vdesl.B/C
xx 3 xxx sen
33
2
-0,1 xxx 30
302 xxx cos
cos
θ=
ω3323 xxx cos
cos
θ333 ‐- rr333 xxx 
α333 xxx sen
sen
θ333 
+ aadesl.B/C
22
desl.B/C
desl.B/C x cosθ3
3 - 2 x v desl.B/C
desl.B/C x ω3
3 senθ3
22
2
222 x cosθ
22 x cosθ - r x α x senθ + a
ω
θ3 
-0,1
30
=
r
ω
cos
θ
2
v
x
sen
x
x
x
x
x
x cos  desl.B/C
xx v
‐0,1

‐- rr333 xxx 
33 
adesl.B/C xxx sen
2desl.B/C
22
33 xxx sen
3 r3 xxx 3
33 
3xx 3 xxx cos
-0,1 xxx 30
30 xxx sen
sen
θ=
22
33 xx cos3θ3
33 + adesl.B/C
desl.B/C
33
3 ω3
3 senθ3
3 + r3
3 α3
desl.B/C senθ3
3 + 2 x v desl.B/C
desl.B/C x ω3
3 cosθ3
2
2
-0,1 x 30 x senθ=
- r3 x ω3 x senθ3 + r3 x α 3 x cosθ3 + adesl.B/C x senθ3 + 2 x v desl.B/C x ω3 x cosθ3
2
de
dede
33αy3aydesl.B/C
. .
a desl.B/C
de donde
dondese
sededucen
deducenloslosvalores
valores
y a desl.B/C
.
de donde
se deducen
los valores de αse3 tiene
Para
la relación
de aceleraciones
entreentre
D y E:D y E:
Para el
el segundo
segundopolígono
polígonovectorial
vectorial se tiene
la relación
de aceleraciones



polígono
Para el segundo
vectorial
 se tiene
la relación de aceleraciones entre D y E:
2
2
2
2
2
2
2
22







dd
rr5 55  dd2 rr7 77  dd2 rr4 44 
dd2 rr6 66

aaDDD 
 aaEEE + aaDDD/E
+ 2 2 22 + 2 2 22 =

/E
2 22
2 22
/E


 =

dt
dt
ddt
r 52
ddtdt
r7
ddtdt
r4
ddt
r 62
+
+
=
aD
 aE + aD/E =

2
2
2
2
 


dt
dt

 
dt  dt
 
 
 
 
aaEEE + ω444 xx (ω444 xx rr444 ) + α444 xx rr444 = ω666 xx (ω666 xx rr666 ) + α666 xx rr666




 
 

 
 
aE + ω4 x ( ω4 x r4 ) + α 4 x r4 = ω6 x ( ω6 x r6 ) + α 6 x r6

Esta
mediante
laslas
ecuaciones
: :
Esta ecuación
ecuaciónvectorial
vectorialseseresuelve
resuelve
mediante
ecuaciones
:
Esta ecuación vectorial
se resuelve mediante las ecuaciones
2
2
aaEE ‐- 0,4


0,4 xx 
ω244 xx cos
cos
θ44 ‐- 0,4
0,4 xx 
α 44 xx sen
sen
=
θ44 ‐- 0,1
0,1 xx 
ω266 xx cos
cos
θ66 ‐- 0,1
0,1 xx 
sen
θ66
α66 xx sen
2
2
2
2
2x ω x cosθ - 0,4 x α x sen
2ω x cosθ
x
x
x
a‐- E0,4
0,4
=
θ
0,1
0,1
sen
α



4
0,4 xx 
ω44 xx sen
sen
θ44 
+4 0,4
0,4 xx 
α 44 xx4 cos
cos
=
θ44 4 ‐- 0,1
0,1 xx 
ω66 xx6 sen
sen
θ66 6
+ 0,1
0,1 xx 
cos
θθ
α66 6xx cos
6
6 6
2
2
- 0,4 x ω4 x senθ4 + 0,4 x α 4 x cos=
θ4 - 0,1 x ω6 x senθ6 + 0,1 x α 6 x cosθ6
donde
calcular
los los
valores
de de
44 yαa4E.y a E .
donde α666 == α33.3 .Estas
Estasecuaciones
ecuacionespermiten
permiten
calcular
valores
donde α 6 = α 3 . Estas ecuaciones permiten calcular los valores de α 4 y a E .

124


3







d) Para θ = 40°, de las ecuaciones  y  se obtiene:
d) Para θ = 40°, de las ecuaciones  y  120
se obtiene:
2
r = 0,2276 m ; θ =70,328° ; θ = 171,976° ; r = 0,3624 m
r = 0,2276 m ; θ =70,328° ; θ = 171,976° ; r = 0,3624 m
De las ecuaciones  y :
ÍNDICE
De las ecuaciones  y :
2
3
3
4
5
3
3
4
5
121
70,328º
aE - 0,4 x ω24 x cosθ4 - 0,4 x α 4 x sen=
θ4 - 0,1 x ω26 x cosθ6 - 0,1 x α 6 x senθ6
- 0,4 x ω24 x senθ4 + 0,4 x α 4 x cos=
θ4 - 0,1 x ω26 x senθ6 + 0,1 x α 6 x cosθ6
donde α 6 = α 3 . Estas ecuaciones
calcularPLANOS
los valores
de αY4PROBLEMAS
y aE.
CINEMÁTICApermiten
DE MECANISMOS
. TEORÍA
RESUELTOS
Para
40°,dedelaslasecuaciones
ecuaciones 
y
obtiene:
d) d) Para
θ2 θ= =40º,
y
sese
obtiene:
2
r = 0,2276
θ =70,328°
= 171,976°; r;5 =r 0,3624
= 0,3624
m ; m θ3; = 70,328º
; θ;4 =θ171,976º
m m
r3 = 0,2276
3
3
4
5
las ecuaciones
De lasDe
ecuaciones
 y : y :





ω3 = 11,379 rad/s k ; ω4 = 0,967 rad/s k ; v desl.B/C = 1,5148 m/s
121
70,328º
siendo la velocidad del pistón:



vE = vpistón = 1,1255 m/s i
De las ecuaciones  y :

α 3 = 48,207 rad/s2
 
k ; α 4 = - 26,818 rad/s2


2
70,328º
k ; adesl.B/C = 48,2176 m/s70,328º
siendo la aceleración del pistón:
MANUALES UEX



aE = apistón = 7,0304 m/s2 i
4.16. En el mecanismo representado en la figura, la manivela O 1 A gira con una velocidad
angular constante ω O1A = 50 rad/s en sentido horario. Determinar:
a) grados de libertad.
ÍNDICE
122
125
MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN
4.16. En el mecanismo representado en la figura, la manivela O1 A gira con una velocidad
b) sentido
del movimiento
cada
de los
eslabones,
mediante métodos gráficos, para
angular
constante
ωO1A = 50de
rad/s
en uno
sentido
horario.
Determinar:
la posición representada.
a) grados de libertad.
c) sentido
ecuaciones
que permitan
calcular
la posición,
velocidad
y aceleración
de todos
b)
del movimiento
de cada
uno de
los eslabones,
mediante
métodos gráficos,
paralos
la
A.
Interpretar
vectorialmente
dichas
eslabones
en
función
del
movimiento
de
la
manivela
O
1
posición representada.
ecuaciones.
c) ecuaciones que permitan calcular la posición, velocidad y aceleración de todos los eslabones
ecuaciones.
en
del ymovimiento
de del
la manivela
d) función
velocidad
aceleración
balancínO1OA.2 BInterpretar
y de la vectorialmente
deslizadera C dichas
para la
posición
representada.
d) velocidad y aceleración del balancín O B y de la deslizadera C para la posición representada.
2
35 cm;
cm;
Datos: O 1A = 35 cm; AB = 15 cm; AC = 35
B
O2
A
C
40 cm
ωO A
1
15 cm
O1
70 cm
Solución
a) m = 3 x (6-1) – 2 x 7 = 1
b) Con la velocidad angular ω O1A de la manivela se obtienen las velocidades v A y v B :
B
MANUALES UEX
A
vB
vA
ωO A
1
O1
126
123
ÍNDICE
CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
La
La velocidad
velocidad angular
angular de
de la
la biela
biela AC
AC se
se puede
puede determinar
determinar mediante
mediante su
su centro
centro instantáneo
instantáneo
La velocidad
angular
de la biela
AC
se puede
determinar
mediante
su la
centro instantáneo
),
conociendo
la
velocidad
de
A
y
línea
de
acción
de
de
rotación
(CIR
biela
velocidad de
de C.
C.
de rotación (CIR biela ), conociendo la velocidad de A y línea de acción de la velocidad
), conociendo
la velocidad
de A y línea de acción de la velocidad de C.
de
rotación (CIR
biela
Seguidamente
se
calcula
la
velocidad
de
C.
Seguidamente se calcula la velocidad de C.
Seguidamente se calcula la velocidad de C.
CIR
CIRbiela
biela
CIRbiela
CIR
CIRbiela
biela
CIRbiela
ω
ωbiela
biela
ωbiela
ω
ωbiela
biela
ωbiela
A
A
A
A
A
A
v
vAA
vA
Línea
Línea de
de acción
acción vvC
Línea de acción vCC
C
C
C
C
C
C
v
vCC
vC
v
vCC
vC
C
C
C
Relacionando
Relacionando la
la velocidad
velocidad del
del punto
punto B
B de
de la
la deslizadera
deslizadera con
con la
la del
del punto
punto coincidente
coincidente
Relacionando
la velocidad
del
punto
B de la deslizadera
con la del punto coincidente
,
se
puede
dibujar
el
polígono
de
velocidades:
del
balancín,
v
B
balancín
del balancín, v B balancín , se puede dibujar el polígono de velocidades:
dibujar
el polígono
de velocidades:
del balancín, v B balancín
, se puede



 







 




vvB =
=
vv
+
v
=
ω
rr
+ vv
B balancín + v desl.B/O2 =
balancín x
B/O2 +
desl.B/O2
ω
x
desl.B/O2
B/O2
desl.B/O2
vBB =
vBB balancín
ωbalancín
balancín + v desl.B/O2 =
balancín x rB/O2 + v desl.B/O2
v
vBB
vB
v
vBB balancín
balancín
vB balancín
v
vdesl.B/O2
desl.B/O2
vdesl.B/O2
ω
ωbalancín
balancín
ωbalancín
B
Bbalancín
balancín
Bbalancín
v
vBB balancín
balancín
vB balancín
124
124
124
ÍNDICE
O
O22
O2
MANUALES UEX
Conocida
se deduce
deduce la
la velocidad
velocidad angular
angular del
del balancín:
balancín:
Conocida la
la velocidad
velocidad del
del punto
punto B
B balancín se
Conocida la velocidad del punto B balancín
balancín se deduce la velocidad angular del balancín:
127
MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN
c) Se consideran dos polígonos vectoriales cerrados:
c) Se consideran dos polígonos vectoriales cerrados:
A
A
r2
Cθ4
r4
r2
ωO A
1
O1
θ4
r4
ωO A
1
C
θ2
r3
θ2
r3
r1
O1
θ3
θ3
r1
θ7
B
r7
B
r7
θ7
O2
O2
r8
r8
ωO A
r6
θ8
1
ωO A
O1
r6
θ6
θ8
1
r5
O1
θ6
r5
POSICIÓN
La ecuación vectorial del primer polígono es:
POSICIÓN








La ecuación vectorial del primer polígono
r1 + r3es:
+ r4 =
r2
MANUALES UEX
r1 + r3 +vectorial
r4 =
r2 son:
Las ecuaciones que resuelven este polígono
128
Las ecuaciones que resuelven
polígono
son:
r1 +este
0,35
x cosθ 4 vectorial
=
0,35 x cos
θ2
0,15 + 0,35 x senθ4 =
0,35 x senθ
r + 0,35 x cosθ =
0,35 x cosθ 2
1
4
2
0,15 + polígono
0,35 x senes:
θ4 =
0,35 x senθ2
La ecuación vectorial del segundo
   
La ecuación vectorial del segundo polígono
r5 + r6 +es:r7 =
r8
   
r5 + r6 + r7 =
r8
125
125
ÍNDICE


CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
Las ecuaciones que resuelven este polígono vectorial son:
0,7 + r7 x cosθ7 =
0,5 x cosθ8

0,4 + r7 x senθ7 =
0,5 x senθ8
donde θ 8 = θ 2 .
VELOCIDAD
Derivando la ecuación vectorial del polígono se obtiene la relación de velocidades entre
los puntos A y C:




dr 1
dr 3
dr 4
dr 2
+
+
= 
dt
dt
dt
dt




v C + v A/C =
vA

 
v C + ω4 x r4 =
 
ω2 x r2
Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones:
v C - 0,35 x ω4 x senθ4 =- 0,35 x (-50) x senθ2
0,35 x ω4 x cosθ4 =0,35 x (-50) x cosθ2


donde ω 2 = ω O1A = - 50 rad/s.
Para el segundo polígono se obtiene la relación de velocidades:




dr 5
dr
dr
dr 8
+ 6 + 7 =
dt
dt
dt
dt



v=
vB
 v=
B/O2
B/O1
 

 
ω7 x r7 + v desl.B/O2 =
ω8 x r8

cuya resolución da lugar a las ecuaciones:
- r7 x ω7 x senθ7 + v desl.B/O2 x cosθ7 =- 0,5 x (-50) x senθ8
r7 x ω7 x cosθ7 + v desl.B/O2 x senθ7 =0,5 x (-50) x cosθ8

ya que ω 8 = ω 2 .
ACELERACIÓN


d2 r 1
d2r 3
+
+
dt2
dt2

aC +






d2r 4
d2 r 2
aA
 aC + aA/C =

=
2
2
dt
dt
  
 
  
ω4 x ω4 x r4 + α 4 x r4 = ω2 x ω2 x r2
(
)
(
)
Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones:
aC - 0,35 x ω24 x cosθ4 - 0,35 x α 4 x senθ4 =- 0,35 x (-50)2 x cosθ2
- 0,35 x ω24 x senθ4 + 0,35 x α 4 x cosθ4 =- 0,35 x (-50)2 x senθ2
126
ÍNDICE

MANUALES UEX
Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono se
deduce la relación de aceleraciones entre los puntos A y C:
129
MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN
Para el segundo polígono vectorial se tiene la relación de acele



2aceleraciones:
Paraelelsegundo
segundopolígono
polígonovectorial
vectorialsesetiene
tienelalarelación
relaciónde
dedaceleraciones:
Para
r5
d2 r 6
d2 r 7



d2 r 8

a=
a
+
+
=
B/O2



2
2
2
2












dt


dt 

dt 
 dt
dd2 r2 r5 5
dd2 r2 r
dd2 r2 r
dd2 r2 r8 8


  
a=
a=
a
=
a=
aaBB
=
++ 2626 ++ 2727 =
B/O
B/O
B/O
B/O

 
22
22
22
1 1 
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
dt
ω7 x ω7 x r7 + α 7 x r7 + adesl.B/O2 + 2 . ω7 x v desl.B


 
  
  


 
 
 
 
ωω7 7xx ωω7 7xxr7r7 ++ αα7 7xxr7r7 ++ aadesl.B/O
++22. .ωω7 7xxvvdesl.B/O
== ωω8 8xx ωω8 8xxr8r8

desl.B/O
desl.B/O
2 2
2 2
((
(
)
( ( ) )mediante las ecuaciones 
Esta ecuación vectorial se resuelve
))
2
Esta
Estaecuación
ecuaciónvectorial
vectorialseseresuelve
resuelvemediante
mediantelas
ecuaciones
:
:
-las
r7 ecuaciones
x ω7 x cosθ7 - r7 x α 7 x senθ7 + adesl.B/O x cosθ7 - 2 x v desl.B/O x ω7 x senθ
2
2
2
- -r7r7x xωω27 27x xcos
cosθθ7 7- -r7r7x xαα7 7x xsen
senθθ7 7++aadesl.B/O
x xcos
cosθθ7 7- -22x-xvrvdesl.B/O
xωω
x xsen
senθθ =
=
- -0,5
0,5x x(θ-50
x xcos
cosθθ
x ω7 xxsen
( -50
desl.B/O
7 7θ
7 desl.B/O
7 + r7 7x α 7 x cos
7 +) )adesl.B/O2 8 x8 senθ7 + 2 x v desl.B/O2 x ω7 x co
2 2
2 2
22
x xsen
x xωω
senθ8 8
- -r7r7x xωω27 27x xsen
senθθ7 7 ++r7r7x xαα7 7x xcos
cosθθ7 7++aadesl.B/O
senθθ7 7 ++22x xvvdesl.B/O
cosθθ7 7=
=
- -0,5
0,5x x( -50
( -50) ) x xsenθ
desl.B/O
7 7x xcos
2 2
donde αdesl.B/O
8 =2 2α 2 = 0.
22
donde
dondeαα8 8==αα2 2==0.0.
d) Para θ = 180°, de las ecuaciones  y  se tiene:
7
180°,
de
las
ecuaciones
tiene:
d)d) Para
Para
Paraθθ 7===180°,
180º,de
delas
lasecuaciones
ecuacionesyyysesesetiene:
tiene:
7
7
r = 0,4 m ; θ = θ = 53,13º ; θ = 158,2º ;
7
2
8
4
53,13º ; ; De
158,2º
0,535
rr7 r===0,4
0,4
0,4mm ; ; θθ2 ===θθθ8==53,13º
θθθ=4las
==158,2º
158,2º
; ; ; r r =r
0,535
1==
ecuaciones
y0,535
: mmm






De
Delas
lasecuaciones
ecuaciones yy:
:
v C = 18,2 m/s i ; ω4 =32,31 rad/s k ; v desl.B/O2 = 20 m














vvCC==18,2
=
=
18,2m/s
m/s i i ; ; ωω44=
32,31
32,31rad/s
rad/s kk ; ; vvdesl.B/O2
20m/s
m/s i i ; ; ωω77=
37,5
37,5rad/s
rad/sk
desl.B/O2== 20
7
7
2
2
8
8
4

kk
4
1
1
De las ecuaciones  y :





aC = - 638,54 m/s2 i ; α 4 =1736,43 rad/s2 k ; adesl.B/O











2
=
aaCC==- -638,54
638,54m/s
m/s2 2 i i ; ; αα44=
1736,43
1736,43rad/s
rad/s2 2 kk ; ; aadesl.B/O2
1312,5m/s
m/s2α
; ;6250 rad/s2 k
i 7i =
desl.B/O2== - -1312,5



αα7 7=
=
6250
6250rad/s
rad/s2 2 kk
MANUALES UEX
:
De
Delas
lasecuaciones
ecuaciones yy:
130
127
127
127
ÍNDICE
CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
4.17. En la figura se muestra un mecanismo de carga-descarga impulsado por un cilindro
4.17. En laAB,
figura
se muestra
de carga-descarga
impulsado
por horario
un cilindro
hidráulico
donde
A, C y Dun
sonmecanismo
articulaciones
fijas. Si la pala gira
en sentido
con
hidráulico
AB,
donde
A,
C
y
D
son
articulaciones
fijas.
Si
la
pala
gira
en
sentido
horario
con
una velocidad angular constante ω
ω = 0,5 rpm, se pide:
una velocidad angular constante ω = 0,5 rpm, se pide:
a) determinar los grados de libertad del mecanismo.
a) determinar los grados de libertad del mecanismo.
b) ecuaciones que permitan obtener la posición, velocidad y aceleración de todos los
b)
ecuaciones
que permitan
obtener la posición,
velocidad
y aceleración
de todos
los
eslabones
en función
del movimiento
de la pala.
Interpretar
vectorialmente
dichas
eslabones
en
función
del
movimiento
de
la
pala.
Interpretar
vectorialmente
dichas
ecuaciones.
ecuaciones.
c) determinar la velocidad y aceleración angulares de la barra CE en el instante
c)
determinaren la
velocidad
la barra CE en el instante
representado
la figura,
en el yqueaceleración
la pala está angulares
en posicióndehorizontal.
representado en la figura, en el que la pala está en posición horizontal.
d) determinar la velocidad lineal del cilindro hidráulico AB que impulsa el sistema,
d)
determinar
lineal del cilindro
hidráulico
el sistema,
sabiendo
que enlala velocidad
posición representada
en la figura
forma θ =AB
30°que
con impulsa
la horizontal.
sabiendo que en la posición representada en la figura forma θ = 30° con la horizontal.
Datos: BC = 0,5 m; CD = 2,5 m; CE = 4,24 m.
Datos: BC = 0,5 m; CD = 2,5 m; CE = 4,24 m.
B
B
θ
θ
A
A
C
C
D
D
E
E
ω
ω
Solución
Solución
a) m = 3 x (6-1) – 2 x 7 = 1
a) m = 3 x (6-1) – 2 x 7 = 1
b) Se consideran dos polígonos vectoriales cerrados:
b) Se consideran dos polígonos vectoriales cerrados:
r4
r4
A
A
θ4
θ4
r5
r5
θ3
θ3
C
C
θ6
θ6
r3
r3
r1
r1
D
D
ω
ω
r2
r2
E
E
128
128
ÍNDICE
MANUALES UEX
B
rB6
r6
131
MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN
POSICIÓN
La ecuación vectorial del primer polígono es:

 
r1 + r3 =
r2
POSICIÓN
La
vectorial
del primer este
polígono
es: vectorial son:
Lasecuación
ecuaciones
que resuelven
polígono

 
 r23 
r2 θ2
x cos
4,24 x cosθr13 =
2,5 + 4,24 x senθ3 =
r2 x senθ2
r2 , θ3

r2 , 3

Las ecuaciones que resuelven este polígono vectorial son:
La ecuación vectorial del segundo
polígono
4,24 x cos
θ  res:x cosθ
3
2
2
 x sen


2,5  4,24
r=
r5 θ+3 
r6 r2 x senθ2
4
La ecuación vectorial del segundo polígono es:
Las ecuaciones que resuelven este polígono vectorial son:



r4 r r5+ 0,5r6 x cosθ
r4 x cosθ=
4
5
6
θ6
r4 xpolígono
senθ 4 = vectorial
0,5 x senson:
Las ecuaciones que resuelven este
r4 , r5

Los lados
la pieza
BCE
unr5 ángulo
de
126,13º,
de donde donde
θ = θ3 –θ 6233,87º.
r4 BCE
x forman
cosforman
θ
 0,5
x cos
θde
ladosBC
BCy yCECEdede
la pieza
un
ángulo
= θ3 –
4
6 126,13°,r de
4 , r5 6

r4 x senθ 4  0,5 x senθ 6
233,87°.
VELOCIDAD
Los lados BC y CE de la pieza BCE forman un ángulo de 126,13, de donde 6 = 3 – 233,87.
Derivando la ecuación vectorial del polígono se obtiene la relación de velocidades:
VELOCIDAD



Derivando la ecuación
polígono
se obtiene
develocidades:
 la relación

dr 1 vectorial
dr 3 deldr
2
=
 v=

v=
vE
E/C
E/D


 +
dt
dr 1
dr
dr
2
 3 
dt
dt
dt
dt  dt 
 

 
     

v E /xC r =

vω
3 x r3 
2 x r2  v desl.E/D
 ω
E /D x r v+E v 
3
3
2
2
desl.E/D
Esta ecuación
mediante
laslas
ecuaciones:
ecuaciónvectorial
vectorialseseresuelve
resuelve
mediante
ecuaciones:

‐ -4,24
3θ3 =
‐ -r2r2x x ‐( -0,05236
2θ2+vdesl.E/D
2θ2
4,24x 
xω
x sen
0,05236 )x sen
x sen
v desl.E/Dx cos
x cos
3 3x sen

4,24
3θ3 =
r2r2x x ‐( -0,05236
2θ2+vdesl.E/D
2θ2
x cos
xω
x cos
x sen
4,24x 
0,05236 )x cos
v desl.E/Dx sen
3 3x cos
vvdesl.E/D
ω33
desl.E/D ,, 

MANUALES UEX
donde
rad/s.
donde ω22 == ω == ‐-0,5
0,5rpm
rpm= =‐ 0,05236
- 0,05236
rad/s.
132
Para
la relación
de velocidades:
Para el
el segundo
segundopolígono
polígonoseseobtiene
obtiene
la relación
de velocidades:















dr
dr


 

 
dr 44
dr 55  dr
dr 66  v

v
vvB 

rr4 
vvdesl.B/A 

r6

B/A
B/C
4 x
6 x
v
=
v
=
ω
x
+
=
ω
=
+


B/A
B/C
B
4
4
desl.B/A
6 x r6
dt
dt
dt
dt
dt
dt
cuya
ecuaciones:
cuya resolución
resolucióndadalugar
lugara las
a las
ecuaciones:
-‐ rr4 xx 
ω4 xx sen
sen
θ4 
+ vv desl.B/A xx cos
cos
=
θ4 ‐- 0,5
0,5 xx 
ω6 xx sen
sen
θ6


4
4
4
desl.B/A
4
6
6
x
x
rr4 xx 
ω4 xx cos
cos
θ4 
+ vv desl.B/A xx sen
sen=
θ
0,5
ω
cos
θ
129

44 0,5 x 66 x cos66
4
4
4
desl.B/A
vvdesl.B/A
,
desl.B/A , ω44


donde ω66 ==ω3.3 .
donde
ACELERACIÓN
ÍNDICE
128
Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono se
r4 x ω4 x cosθ4 + v desl.B/A x sen=
θ4
vdesl.B/A , ω4
0,5 x ω6 x cosθ6

=
θ4 - 0,5 x ω6 x senθ6
donde ω 6 = ω- 3r.4 x ω4 x senθ4 + v desl.B/A x cos
vdesl.B/A , ω4 
r4 x ω4 x cosθ4 + v desl.B/A x sen=
θ4 0,5 x ω6 x cosθ6
CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
donde ω 6 = ω 3 .
ACELERACIÓN
Realizando una segunda derivada para la ecuación vectorial del primer polígono se
deduce
la relación de aceleraciones:
ACELERACIÓN



2

d2 r 1
d2r 3
dpara
r 2 la ecuación
Realizando una segunda
derivada
 =
aE/C
+
=
2
2
2
dt
dt
dt
deduce la relación de aceleraciones:
   
 2   

 
d 3r 1x r3 d+2 rα3 3 x r3d2=r 2 ω2 x ω2 x
r
 ω3 x ω
 =
a2
(
dt2
+)
dt2
(
=
dt2

 primer polígono se
vectorial
del
a=
aE 
E/D

 

+ 
adesl.E/D
+ 2 . ω2 x v desl.E/D

a=
a
E/D
E
)
E/C
ya que α 2 = 0.   
    

 
 ω3 x ω3 x r3 + α3 x r3 = ω2 x ω2 x r2 + adesl.E/D + 2 . ω2 x v desl.E/D
Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones :
(
)
(
)
2
ya que
α = 0.
- 4,242 x ω23 x cosθ3 - 4,24 x α 3 x senθ3 =- r2 x ( - 0,05236 ) x cosθ2 + adesl.E/D x cosθ2 Esta ecuación vectorial se resuelve mediante
ecuaciones
- 2 x las
vdesl.E/D
θ2
x ω2 x sen:
2
2
-- 4,24
4,24x xαα 3x xsen
cosθθ3=
=--rr2 x x (--0,05236
senθθ2++ aadesl.E/Dx xcos
senθθ2- +
4,24 xx ω
ω233 xx sen
cosθθ33 -+ 4,24
( 0,05236)) x xcos
3
3
2
2
desl.E/D
2
x v
x ω x cosθ
- +2 2
x v desl.E/D
x ω x2 senθ 2
2
desl.E/D
2
2
x ωdeducen
- 4,24 se
senθ3 los
+ 4,24
x α 3de
x cos
- r2 x. ( - 0,05236 )
de donde
valores
α 3 θy3 a=
desl.E/D
2
2
3 x
senθ2 + adesl.E/D x senθ2 +
x
+ 2 x vdesl.E/D x ω2 x cosθ2
Para el segundo polígono vectorial se tiene la relación de aceleraciones:
 de α 32 
de donde se deducen 
los valores
y a desl.E/D . 


d2r 4
d2 r 5
d r6
a=
aB
=
+
 a=

B/A
B/C
2
2
2
Para el segundo polígono
vectorial
se
tiene
la
relación
de
aceleraciones:
dt
dt
dt
   

  
   
 
2
2
2
r 6 + 2 . ω4
r4 r 4 + α 4d xr 5r4 ++ addesl.B/A
x v desl.B/Aa=
= ω6 x aω6 x r6 + α6 x r6
 ω4 x ω4 xd=
a
=


B/A
B/C
B
2
2
2
(
)
(
)
(
)
(
)
dt
dt
dt
Esta ecuación
se
mediante las
:  
 vectorial

 resuelve
 
 ecuaciones
 
 
2 ω4 x ω4 x r4 + α 4 x r4 + adesl.B/A + 2 . ω4 x v desl.B/A = ω6 x ω6 x r6 +2 α6 x r6
- r4 x ω4 x cosθ4 - r4 x α 4 x senθ4 + adesl.B/A x cosθ4 - 2 x v desl.B/A x ω4 x sen
=
θ4 - 0,5 x ω6 x cosθ6 -
Esta ecuación vectorial se resuelve mediante las ecuaciones :
2
24 x
4 x
- r4 x ω
- r4 x ω
- 0,5 x α 6 x senθ6
senθ4 + r4 x α 4 x cosθ4 + adesl.B/A x senθ4 + 2 x v desl.B/A x ω4 x cos
=
θ
- 0,5 x ω 2 x senθ +
cosθ4 - r4 x α 4 x senθ4 + adesl.B/A x cosθ4 - 2 x v desl.B/A x ω4 x sen
=
θ4 4 - 0,5 x ω626 x cosθ6 6+ 0,5 x α x cosθ
- 0,5 x α 6 x6 senθ6 6
- r x ω2 x senθ + r x α
x
cosθ + a
x
senθ + 2 x v
x
ω
x
cos
- 0,5 x ω62 x senθ6 +
=
θ
4
4
4
4
4
desl.B/A
4
desl.B/A
4
donde
α 6 = α43 . Estas
ecuaciones
permiten calcular
los
valores
de α44 y a des.B/A .
+ 0,5 x α 6 x cosθ6
c) Para θ = 0°, de las ecuaciones  se obtiene:
2
130
c) Para θ 2 == 0°,
0º, de
de las
las ecuaciones
ecuaciones 
 se
seobtiene:
obtiene:
2
r 2==3,424
323,87°
3,424mm ; θθ3 = 323,87º
2
De las ecuaciones :


ω3 =- 0,052351 rad/s k
130
;
3


v desl.E/D = - 0,13087 m/s i
MANUALES UEX
donde α 6 = α 3 . Estas ecuaciones permiten calcular los valores de α 4 y a des.B/A .
133
Por tanto, la velocidad angular de la barra CE es:
  ÍNDICE

ωCE = ω3 = - 0,052351 rad/s k
De las ecuaciones :


ω3 =- 0,052351 rad/s k


v desl.E/D = - 0,13087 m/s i
;
MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN
Por tanto, la velocidad angular de la barra CE es:
 

ωCE = ω3 = - 0,052351 rad/s k
De las ecuaciones  se calcula la aceleración angular de la barra CE:
 

α CE = α 3 = 2x10-3 rad/s2 k
d) Para
Para θ 4==30°
30º,, de las ecuaciones ,
, se
se obtiene:
4
90º ; ; r4== 1 m ; rr5 = 0,867
θθ6==90°
0,867 m
m
6
4
5
De las ecuaciones :


ω4 =- 0,01309 rad/s k
;

v desl.B/A = 0,02267 m/s
MANUALES UEX
Por tanto, la velocidad del actuador hidráulico AB es:
 
v=
v=
22,67 mm/s
actuador
desl.B/A
131
134
ÍNDICE
30º
30º
SOLUCIÓN CINEMÁTICA DE UN MECANISMO CON AYUDA DE MATLAB
5. RESOLUCIÓN CINEMÁTICA DE
UN MECANISMO CON AYUDA DE MATLAB
5. RESOLUCIÓN CINEMÁTICA DE UN MECANISMO CON AYUDA DE MATLAB
omo aplicación práctica,Como
en el aplicación
presente capítulo
seen
llevará
a cabocapítulo
el análisis
práctica,
el presente
se cinemático
llevará a cabo el análisis cinemático
ante métodos analíticos
del mecanismo
Whitworthdel
de mecanismo
la siguiente figura,
proporcio- de la siguiente figura,
mediante
métodosdeanalíticos
de Whitworth
o las instrucciones en
lenguaje Matlab
resuelven de
sencilla
las que
ecuaciones
proporcionando
lasque
instrucciones
en forma
lenguaje
Matlab
resuelven de forma sencilla las
antes y generan valores
cinemáticos
ecuaciones
resultantes y generan valores cinemáticos para el ciclo completo.
el ciclo completo.
C
omo dato de entrada, se conoce que
nivela O 2 A, de longitud L 2 = 0,25 m,
on una velocidad angular constante


ntido antihorario ω2 =2k (rad / s) . La
ud del eslabón O 1 B es L 3 = 1,1 m y
eslabón BC es L 5 = 0,5 m.


B
80 cm

θ
MANUALES UEX
objetivo es encontrar las expresiones
O2
Como aplicación
práctica, en el presente capítulo se llevará a cabo el anális
A
permiten calcular, para cualquier
mediante
métodos
analíticos
del mecanismo de Whitworth de la siguiente figur
ón del mecanismo, la posición,
ω2

nando
las
instrucciones
en
lenguaje
Matlab que resuelven de forma sencilla la
dad y aceleración de todos los esla70 cm cinemáticos
resultantes
y
generan
valores
en función de los valores del esla
para el ciclo completo.
de entrada o manivela O 2 A. Como
C
O1
ción, utilizando las ecuaciones
Como dato de entrada, se conoce que

ores, se determinará la velocidad y
la manivela O 2 A, de longitud L 2 = 0,25 m,
ación del pistón C cuando θ = 30°.
gira con
velocidad
angular
constante
Como dato de entrada, se conoce
que una
la manivela
O2A,
de longitud
L2 = 0,25 m, gira con

smo, puesto que se deducirán las expresiones de la velocidad y aceleración del
C
 pistón
una velocidad angular constante en
en sentido
sentido antihorario
antihorario ω2 =2k .(rad
La longitud
/ s) . La del eslabón O1B
B
de
cualquier posición de la manivela O 2 A, se representará gráficamente la evolución
es L3 = 1,1 m y la del eslabón BClongitud
es L5 = 0,5
m
.
delmecanismo.
eslabón
O 1 B es L 3 = 1,1 m y
s valores a lo largo de todo
el ciclo completo de movimiento
del
la
del
eslabón
BC
es
L
0,5 m. para cualquier posición
5 =calcular,
El objetivo es encontrar las expresiones que permiten
del
θ
mecanismo, la posición, velocidad yElaceleración
de
todos
los
eslabones
en
función
de
los
objetivo es encontrar las expresiones
O2
aplicación,
utilizando las ecuaciones
valores del eslabón131
de entrada oque
manivela
O2A. Como
A
permiten
calcular,
para cualquier
anteriores, se determinará la velocidad
y
aceleración
del
pistón
C
cuando
q
=
30°.
Asimismo,
posición del mecanismo, la posición,
ω2

se deducirán las expresiones develocidad
la velocidad
y aceleración
del los
pistón
y aceleración
de todos
esla-C para cualquier
posición de la manivela O2A, obteniendo
así la evolución
de dichos
valores a lo largo de
bones en función
de los valores
del esla
todo el ciclo completo de movimiento
del
mecanismo.
bón de entrada o manivela O 2 A. Como
135
O1
aplicación, utilizando las ecuaciones
anteriores, se determinará la velocidad y
aceleración del pistón C cuando θ = 30°.
Asimismo, puesto que se deducirán las expresiones de la velocidad y aceleración
ÍNDICE
para cualquier
posición de la manivela O 2 A, se representará gráficamente la
dichos valores a lo largo de todo el ciclo completo de movimiento del mecanism
MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN
El primer paso es el planteamiento de las ecuaciones vectoriales de cierre o de lazo del
mecanismo. Obsérvese que, puesto que el que el mecanismo tiene un grado de libertad (m=1)
y todos los pares son de un grado de libertad (j2=0), entonces el número NE de ecuaciones de
lazo necesarias para resolver el mecanismo será:
=
NE
n−2
= 2
2
dado que el número total de eslabones es n=6.
Se necesitan, por tanto, dos cierres para resolver este mecanismo, que no son únicos. Esto
implica que existen varias formas distintas de plantear las ecuaciones de lazo que conducirán
a la misma solución. Dichas ecuaciones reflejan las diferentes relaciones que existen entre las
velocidades y aceleraciones de los puntos del mecanismo.
•
Primer cierre
La ecuación de cierre elegida es la que define el polígono vectorial de la figura, que va siguiendo las barras del mecanismo:
  
r1 + r2 =
r3
(1)
θ2=210º
Expresando la ecuación (1) en términos de números
complejos se tiene:
0,7 x j + 0,25 x e jθ2 =
r3 x e jθ3
(2)
donde θ1 tiene un valor constante e igual a 90o. Separando
las partes real e imaginaria se obtiene un sistema de dos
ecuaciones con dos incógnitas, r3 y θ3 :
0,25 x cosθ2 = r3 x cosθ3
0,7 + 0,25 x senθ2 = r3 x senθ3
A

r2

r3
O2

r1
θ3
O1
(3)
Puesto que la variable de entrada es θ2 = θ + 180°, se resuelve el sistema anterior para
θ2 = 210°. Sustituyendo valores, la resolución de dicho sistema en Matlab se reduce a la expresión:
MANUALES UEX
»t2=pi+pi/6;t3=atan((.7+.25*sin(t2))/(.25*cos(t2)));r3=(0.25*cos(t2))/cos(t3);
136
De las expresiones anteriores, en Matlab se obtiene el valor θ3 = t3 = - 1,211 rad = queexpresiones
es una solución
incorrecta.
existen
con=la- 69,38
mismao,
69,38
Deo, las
anteriores,
en MatlabObsérvese
se obtieneque
el valor
θ3 =dos
t3 =ángulos
- 1,211 rad
tangente,
sólo uno
de ellosObsérvese
se corresponde
con la
mecanismo.
En pero
este
solución
incorrecta.
que existen
dosposición
ángulos real
con del
la misma
tangente,
que es unapero
caso,
al ser
longitud
de la manivela
que la
distancia
entre apoyos,
la guía
sólo uno
delaellos
se corresponde
con menor
la posición
real
del mecanismo.
En este
caso,realiza
al serun
la
guía
movimiento
longitud de la
manivelalo menor
que laque
distancia
apoyos,θ3la> 0.
Porrealiza
tanto, un
se debe
añadir
movimiento
oscilante,
que implica
en todoentre
momento
en todo momento
oscilante,
queinstrucción
implica que
0. Por
se debe adecuada,
añadir en Matlab
una
en
Matlablouna
condicional
del tipo θ“if”
elijatanto,
la solución
tal y como
3 >que
se muestra en
el códigodel
proporcionado.
De este
modo se
selecciona
valor correcto
realendel
condicional
tipo “if” que elija
instrucción
la solución
adecuada,
tal el
y como
se muestra
el
o
o
o
selecciona
el
valor
correcto
real
del
ángulo
corresponcódigo
proporcionado.
De
este
modo
se
ángulo correspondiente, esto es: θ3 = t3 = =180 – 69,38 = 110,6 = 1,9306 rad, y la solución
o
o
o
0,613
r3 = r3 =esto
diente,
es: θm.
3 = t3 = =180 – 69,38 = 110,6 = 1,9306 rad, y la solución r3 = r3 = 0,613 m.
132
ÍNDICE
CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
Obsérvese que todas las instrucciones de Matlab se plantearán para una variable genérica
de entrada θ2 = t2, por lo que servirán para calcular las variables cinemáticas en cualquier
posición del mecanismo definida por θ2.
Derivando respecto al tiempo la expresión (2) y teniendo en cuenta que ω2 = 2 rad/s (constante), se tiene para las velocidades la ecuación:
0,25 x 2 x je jθ2 = r3 x ω3 x j x e jθ3 + vdesl. x e jθ3
(4)
A partir de (4), igualando partes real e imaginaria, se llega al siguiente sistema de dos
ecuaciones con dos incógnitas (ω3 y vdesl.):
-0,25 x 2 x senθ2 = - r3 x ω3 x senθ3 + vdesl. x cosθ3
0,25 x 2 x cosθ2 = r3 x ω3 x cosθ3 + vdesl. x senθ3
(5)
Obsérvese que la expresión anterior puede, de forma equivalente, obtenerse derivando las
dos ecuaciones que aparecen en (3).
Es conveniente en todos los casos interpretar vectorialmente la ecuación de velocidades
(4) obtenida por derivación de la ecuación de cierre. Derivando la ecuación de lazo (1), se
obtiene la siguiente relación vectorial entre velocidades:



 


dr1 dr2 dr3





+
=
⇒ 0 + v A/02 = v A/01 = v A ⇒ ( ω2 × r2 ) = ( ω3 × r3 ) + vdesl.
dt
dt
dt
a través de la cual se puede comprender el significado físico de cada uno de los términos que
aparecen en las ecuaciones (4) y (5).
La resolución del sistema (5) en Matlab para θ2 = 210o se puede realizar de la siguiente
forma (dado que los valores de θ3 y r3 se encuentran en memoria):
»solv=solve('-.25*2*sin(t2)+r3*w3*sin(t3)-vdes*cos(t3)=0',
'.25*2*cos(t2)-r3*w3*cos(t3)-vdes*sin(t3)=0','w3,vdes');
»w3=eval(solv.w3);vdes=eval(solv.vdes);
El valor negativo de ω3 indica que dicha velocidad angular es, en ese instante, contraria al
sentido establecido para el ángulo θ3. Análogamente, el valor negativo de vdesl. indica que el
sentido de la velocidad de deslizamiento es, para esa posición, contrario al que habíamos

fijado para el vector r3 (cuya variación de longitud representa la velocidad de deslizamiento).
Por tanto, en esa posición la deslizadera en A se mueve hacia O1 y se obtienen los resultados:


ω3 = - 0,137 k (rad/s) ;

vdesl. = 0,493 m/s
69,4º
MANUALES UEX
obteniéndose las soluciones ω3 = w3 = - 0,137 rad/s y vdesl.= vdes = - 0,493 m/s.
Derivando la ecuación (4) se tiene para el cálculo de aceleraciones la expresión:
137
133
ÍNDICE
MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN
-0,25 x 22 x e jθ2 = (2 x vdesl. x ω3 + r3 x α3 ) x j x e jθ3 + (adesl. - r3 x ω32 ) x e jθ3
(6)
Desarrollando la expresión (6), o de forma equivalente por simple derivación de las ecuaciones (5), se llega al siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (α3 y adesl.):
-0,25 x 22 x cosθ2 = -(2 x vdesl. x ω3 + r3 x α3 ) x senθ3 + (adesl. - r3 x ω32 ) x cosθ3
-0,25 x 22 x senθ2 = (2 x vdesl. x ω3 + r3 x α3 ) x cosθ3 + (adesl. - r3 x ω32 ) x senθ3
(7)
La interpretación vectorial de la ecuación de aceleraciones (6), obtenida a través de la segunda derivada de la ecuación de cierre, consiste en la siguiente relación entre aceleraciones:













aA/02 = aA/01 = aA ⇒ [ ω2 × (ω2 × r2 )] = adesl. + acoriolis + ( α3 × r3 ) + [ ω3 × (ω3 × r3 )]
La resolución del sistema (7) en Matlab se puede realizar de la siguiente forma (puesto que
todos los valores necesarios se encuentran en memoria):
»sola=solve('-.25*4*cos(t2)+(2*w3*vdes+r3*a3)*sin(t3)-(ades-r3*(w3^2))*cos(t3)=0',
'-.25*4*sin(t2)-(2*w3*vdes+r3*a3)*cos(t3)-(ades-r3*(w3^2))*sin(t3)=0','a3,ades');
»a3=eval(sola.a3);ades=eval(sola.ades);
obteniéndose los valores α3 = a3 = - 1,829 rad/s2 y adesl. = ades = 0,179 m/s2. Por tanto:


α3 = - 1,829 k (rad/s2 ) ;
•

adesl. = 0,179 m/s2
69,4º
Segundo cierre
A continuación, se realiza el análisis cinemático del resto del mecanismo. Para ello se

plantea el siguiente lazo representado en la figura:
   
r3′ + r5 = r6 + r7
1,1 x e
jθ3
+ 0,5 x e
jθ5
= -r6 + 1,5 x j
(8)
ya que θ6 = 180 y θ7 = 90 , con valores constantes.
o

r5
o
B
C
r6
θ5
Separando las partes real e imaginaria se tiene el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, r6 y θ5 :
MANUALES UEX
1,1 x cosθ3 + 0,5 x cosθ5 =- r6
1,1 x senθ3 + 0,5 x senθ5 = 1,5

r7

r3 '
El cálculo del ángulo θ5 en Matlab se reduce a la expresión:
θ3
O1
» t5=asin((1.5-1.1*sin(t3))/.5);
de donde se obtiene el valor θ5 = t5 = 1,225 rad = 70,2o (notar que el valor de θ3 = t3 se encuentra en memoria).
138
134
ÍNDICE
CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
Derivando la ecuación de partida (8) se obtiene para el cálculo de velocidades la expresión:
1,1 x ω3 x j x e jθ3 + 0,5 x ω5 x j x e jθ5 = -v C
(9)
Para interpretar vectorialmente la ecuación de velocidades anterior, se deriva la ecuación
de lazo de este segundo cierre, obteniendo la siguiente relación vectorial entre velocidades:





 

 
 
dr'3 dr5 dr6 dr7
⇒ vB + v C/B = v C + 0 ⇒ ( ω3 × r'3 ) + ( ω5 × r5 ) = v C (- i)
+
=
+
dt
dt
dt
dt
A partir de (9), igualando partes real e imaginaria, se llega al siguiente sistema de dos
ecuaciones con dos incógnitas (ω5 y vC):
-1,1 x ω3 x senθ3 - 0,5 x ω5 x senθ5 = -v C
1,1 x ω3 x cosθ3 + 0,5 x ω5 x cosθ5 = 0
La resolución de dicho sistema en Matlab se puede llevar a cabo en la forma:
» solv2=solve('-1.1*(w3)*sin(t3)-0.5*w5*sin(t5)+vc=0',
'1.1*(w3)*cos(t3)+0.5*w5*cos(t5)=0','w5,vc');
» w5=eval(solv2.w5);vc=eval(solv2.vc);
obteniéndose las soluciones ω5 = w5 = -0,313 rad/s y v C = vc = -0,288 m/s, esto es,


ω5 = - 0,313 k (rad/s)


y vC = 0,288 i (m/s) (notar que el resto de valores t3, t5 y w3 se
encuentran en memoria).
Derivando la ecuación (9) se obtiene para el cálculo de aceleraciones la expresión:
1,1 x α 3 x j x e jθ3 - 1,1 x ω23 x e jθ3 + 0,5 x α 5 x j x e jθ5 - 0,5 x ω25 x e jθ5 = -aC
(10)
Obsérvese que la segunda derivada de la ecuación de lazo de este segundo cierre permite
interpretar vectorialmente la ecuación anterior (10), obteniendo la siguiente relación vectorial
entre aceleraciones:



 

 
 

 
aB + aC/B = aC ⇒ ( α3 × r'3 ) + [ω3 × (ω3 × r')
3 ] + ( α 5 × r5 ) + [ ω5 × (ω5 × r5 )] = aC (- i)
Desarrollando la expresión (10), o simplemente derivando las ecuaciones de velocidad, se
consigue un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (α5 y aC):
1,1 x α 3 x cosθ3 - 1,1 x ω23 x senθ3 + 0,5 x α 5 x cosθ5 -0,5 x ω25 x senθ5 = 0
cuya resolución en Matlab se realizaría en la forma:
»sola2=solve('ac-1.1*(a3)*sin(t3)-1.1*(w3^2)*cos(t3)-.5*a5*sin(t5).5*(w5^2)*cos(t5)=0','1.1*a3*cos(t3)-1.1*(w3^2)*sin(t3)+.5*a5*cos(t5).5*(w5^2)*sin(t5)=0','a5,ac');»a5=eval(sola2.a5);ac=eval(sola2.ac);
135
ÍNDICE
MANUALES UEX
-1,1 x α 3 x senθ3 - 1,1 x ω23 x cosθ3 - 0,5 x α 5 x senθ5 - 0,5 x ω25 x cosθ5 = -aC
139
MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN
de donde se obtienen los valores α5 = a5 = - 3,794 rad/s2 y aC = ac = -3,658 m/s2, es decir,




α5 = - 3,794 k (rad/s2 ) y aC = 3,658 i (m/s2 ) .
A partir de las instrucciones de Matlab descritas, resulta inmediato calcular las variables
cinemáticas deseadas para el ciclo completo de movimiento del mecanismo. Con el objetivo
de calcular velocidades y aceleraciones a lo largo de todas las posiciones del mecanismo, se
incluye una sentencia de control de bucle del tipo “for”, tal y como se muestra en el código de
Matlab proporcionado. De este modo, se ejecuta repetidamente el bloque de código para
cada uno de los valores del ángulo de entrada θ2 = t2. Este ángulo será discretizado entre 0 y
2.π radianes en tantos valores NI como se desee, según la velocidad de ejecución y la precisión que se desee obtener.
De esta forma, se puede calcular y representar la evolución de cualquier variable cinemática, evaluando sus valores máximo y mínimo. A través del código de Matlab adjunto, se
definen las variables vc_vector y ac_vector que representan, respectivamente, la evolución de
la velocidad y aceleración del pistón C en una revolución completa del eslabón motor 2.
Obsérvese que la velocidad es cero en las posiciones límite del mecanismo, las cuales se
producen cuando los eslabones 2 y 3 son perpendiculares, es decir, θ2(Lim1) = 200,93o = 3,51
rad y θ2(Lim2) = 339,08o = 5,92 rad.
•
Cálculo de aceleraciones de los centros de gravedad
A continuación, se va a determinar la aceleración del centro de gravedad de cada eslabón, suponiendo que éste se encuentra siempre en el punto medio de cada barra. El cálculo
de este valor es necesario si se prevé realizar posteriormente el análisis dinámico.
Para ello, se toma el vector de posición complejo de cada centro de gravedad y se deriva
dos veces para obtener la expresión de la aceleración, en la que se sustituyen los valores
obtenidos en el análisis cinemático anterior, que se encuentran en memoria en cada iteración
para cada valor de θ2.
Para el eslabón 2 se tiene:

r
rG2 = 2 x e jθ2 ;
2

vG2
=

r
r2
jθ2
; =
aG2 - 2 x ω22 x e jθ2
x ω2 x j x e
2
2
Con objeto de calcular dicha aceleración en Matlab la notación es:
» aG2= - (.25/2)*4*exp(t2*i);
MANUALES UEX
» aG2x=real(aG2);aG2y=imag(aG2);



obteniéndose: aG2 = 0,432 i + 0,252 j (m/s2 ) .
Para el eslabón 3:
r′

rG3 = 3 x e jθ3 ;
2

vG3
=
r3′
jθ3
;
x ω3 x j x e
2
140
136
ÍNDICE

=
aG3
r3′
jθ3
2
x (α3 x j − ω3 ) x e
2
CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
Con objeto de calcular dicha aceleración se escribe en Matlab:
» aG3=(1.1/2)*(a3*i-w3^2)*exp(t3*i);
» aG3x=real(aG3);aG3y=imag(aG3);

de donde:
=
aG3


0,944 i + 0,344 j (m/s2 ) .
Para el eslabón 5:

rG5
=
r


r

2 x rG3 + 5 x e jθ5 ; vG5= 2 x vG3 + 5 x ω5 x j x e jθ5 ;
2
2
r5


jθ5
2
=
x (α5 x j − ω5 ) x e
aG5 2 x aG3 +
2
Para calcular dicha aceleración en Matlab:
» aG5=2*aG3+(.5/2)*(a5*i-w5^2)*exp(t5*i);
» aG5x=real(aG5);aG5y=imag(aG5);

obteniéndose:
=
aG5


2,772 i + 0,344 j (m/s2 ) .
Para el eslabón 4:

rG4
=

r=
A

2 x rG2



; a=
a=
2 x aG2
G4
A
donde, para calcular la aceleración anterior, se escribe en Matlab:
» aG4=2*aG2;
» aG4x=real(aG4);aG4y=imag(aG4);



y se obtiene: aG4 = 0,864 i + 0,504 j (m/s2 ) .
Finalmente, para el eslabón 6, que se mueve en traslación, se tiene:

a=
C

3,658 i (m/s2 )
MANUALES UEX

a=
G6
141
137
ÍNDICE
MANUEL REINO FLORES, GLORIA GALÁN MARÍN
•
Código Matlab completo
considerados
•%Valores
Código Matlab
completo del angulo
NI=input('Introduce el número de
%Valores
del angulo
el ánguloconsiderados
de entrada t2=');
NI=input('Introduce
el número de
for j=1:(NI+1)
el
ángulo de entrada t2=');
angulo2(j)=(j-1)*((2*pi)/NI);
for
j=1:(NI+1)
t2=angulo2(j);
angulo2(j)=(j-1)*((2*pi)/NI);
t2=angulo2(j);
%ANALISIS
CINEMÁTICO
de entrada t2
valores a considerar para discretizar
de entrada t2
valores a considerar para discretizar
%ANALISIS
CINEMÁTICO
%PRIMER CIERRE
MANUALES UEX
%PRIMER CIERRE
%Posición
tant3=(.7+.25*sin(t2))/(.25*cos(t2));
%Posición
t3=atan(tant3);
tant3=(.7+.25*sin(t2))/(.25*cos(t2));
if t3<0,
t3=t3+pi;
t3=atan(tant3);
elseif
t3>(2*pi),
t3=t3-pi;
if
t3<0,
t3=t3+pi;
end
elseif t3>(2*pi),
t3=t3-pi;
r3=(0.25*cos(t2))/cos(t3);
endt2==pi/2, t3=pi/2;r3=0.95;
if
r3=(0.25*cos(t2))/cos(t3);
elseif
t2==3*pi/2, t3=pi/2;r3=0.45;
if
endt2==pi/2, t3=pi/2;r3=0.95;
elseif t2==3*pi/2, t3=pi/2;r3=0.45;
end
%Velocidad
syms w3 vdes
%Velocidad
solv=solve([-.25*2*sin(t2)+r3*w3*sin(t3)syms w3 vdes
vdes*cos(t3)==0,.25*2*cos(t2)-r3*w3*cos(t3)solv=solve([-.25*2*sin(t2)+r3*w3*sin(t3)vdes*sin(t3)==0],[w3,vdes]);
vdes*cos(t3)==0,.25*2*cos(t2)-r3*w3*cos(t3)w3=eval(solv.w3)
vdes*sin(t3)==0],[w3,vdes]);
vdes=eval(solv.vdes)
w3=eval(solv.w3)
vdes=eval(solv.vdes)
%Aceleración
syms a3 ades
%Aceleración
sola=solve([-.25*4*cos(t2)+(2*w3*vdes+r3*a3)*sin(t3)-(adessyms
a3 ades
r3*(w3^2))*cos(t3)==0,-.25*4*sin(t2)-(2*w3*vdes+r3*a3)*cos(t3)-(adessola=solve([-.25*4*cos(t2)+(2*w3*vdes+r3*a3)*sin(t3)-(adesr3*(w3^2))*sin(t3)==0],[a3,ades]);
r3*(w3^2))*cos(t3)==0,-.25*4*sin(t2)-(2*w3*vdes+r3*a3)*cos(t3)-(adesa3=eval(sola.a3)
r3*(w3^2))*sin(t3)==0],[a3,ades]);
ades=eval(sola.ades)
a3=eval(sola.a3)
ades=eval(sola.ades)
%SEGUNDO
CIERRE
142
%SEGUNDO CIERRE
%Posición
sint5=(1.5-1.1*sin(t3))/.5;t5=asin(sint5);
%Posición
sint5=(1.5-1.1*sin(t3))/.5;t5=asin(sint5);
%Velocidad
syms w5 vc
%Velocidad
solv2=solve([-1.1*(w3)*sin(t3)syms w5 vc
0.5*w5*sin(t5)+vc==0,1.1*(w3)*cos(t3)+0.5*w5*cos(t5)==0],[w5,vc]);
solv2=solve([-1.1*(w3)*sin(t3)w5=eval(solv2.w5)
0.5*w5*sin(t5)+vc==0,1.1*(w3)*cos(t3)+0.5*w5*cos(t5)==0],[w5,vc]);
vc=eval(solv2.vc)
w5=eval(solv2.w5)
vc=eval(solv2.vc)
%Aceleración
syms a5 ac
%Aceleración
sola2=solve([ac-1.1*(a3)*sin(t3)-1.1*(w3^2)*cos(t3)-.5*a5*sin(t5)syms a5 ac
.5*(w5^2)*cos(t5)==0,1.1*a3*cos(t3)-1.1*(w3^2)*sin(t3)+.5*a5*cos(t5)sola2=solve([ac-1.1*(a3)*sin(t3)-1.1*(w3^2)*cos(t3)-.5*a5*sin(t5).5*(w5^2)*sin(t5)==0],[a5,ac]);
.5*(w5^2)*cos(t5)==0,1.1*a3*cos(t3)-1.1*(w3^2)*sin(t3)+.5*a5*cos(t5)a5=eval(sola2.a5)
.5*(w5^2)*sin(t5)==0],[a5,ac]);
ac=eval(sola2.ac)
a5=eval(sola2.a5)
ac=eval(sola2.ac)
%ACELERACIONES DE LOS CENTROS DE GRAVEDAD
%ACELERACIONES DE LOS CENTROS DE GRAVEDAD
138
138
ÍNDICE
%Aceleración
syms a5 ac
sola2=solve([ac-1.1*(a3)*sin(t3)-1.1*(w3^2)*cos(t3)-.5*a5*sin(t5).5*(w5^2)*cos(t5)==0,1.1*a3*cos(t3)-1.1*(w3^2)*sin(t3)+.5*a5*cos(t5).5*(w5^2)*sin(t5)==0],[a5,ac]);
CINEMÁTICA DE MECANISMOS PLANOS . TEORÍA Y PROBLEMAS RESUELTOS
a5=eval(sola2.a5)
ac=eval(sola2.ac)
%ACELERACIONES DE LOS CENTROS DE GRAVEDAD
MANUALES UEX
aG2=-(.25/2)*4*exp(t2*i);aG2x=real(aG2);aG2y=imag(aG2);
aG3=(1.1/2)*(a3*i-w3^2)*exp(t3*i);aG3x=real(aG3);aG3y=imag(aG3);
138
aG5=2*aG3+(.5/2)*(a5*i-w5^2)*exp(t5*i);aG5x=real(aG5);aG5y=imag(aG5);
aG4=2*aG2;aG4x=real(1.5*aG4);aG4y=imag(aG4);
aG6x=5*ac;
vc_vector(j)=vc;
ac_vector(j)=ac;
end
143
139
ÍNDICE
113
ÍNDICE