Trigonometría 3° grado de secundaria

3
1
TRIGONOMETRíA
3
El libro de TRIGONOMETRÍA 3, para el tercer año de educación secundaria, se complementa con
el CUADERNO DE TRABAJO TRIGONOMETRÍA 3 y ha sido elaborado por el Departamento
Académico de la Editorial Ingenio & YHO S.A.C. ubicado en Av. Tacna 407 interior 301 Cercado
de Lima, Lima.
Título de la obra:
Título de la colección:
Director Académico: Editores Responsables:
Cuaderno de trabajo Trigonometría 3
Geniomatic Educación Secundaria
Hernán Hernández Bautista
Hernán Hernández Bautista
Anibal Trucios Espinoza
Asesor Académico: Anibal Trucios Espinoza
Diseño y diagramación: Katherine Karen Rivera Escuel
Marco Antonio Lizárraga Podestá
Eduardo Tomas Granados Marcelo
Norma Guadalupe Guerrero Noel
Corrección de estilo: Victor Francisco Bautista
Victor Emilio Ventura Bismarck
Fotografía: Yuri Hernández Oblea
Hernán Hernández Bautista
Páginas web
Primera edición: Setiembre 2015
Tiraje: 4000 ejemplares
Editado e impreso en los talleres gráficos de:
Editorial Ingenio & YHO S.A.C.
Av. Tacna N° 407 Of. 301 - Lima
Telefax: (511) 426–4853
www.editorialingenio.pe
E-mail: editorial.ingenioyho@gmail.com
Impreso en Octubre 2015
Copyright © 2015
Geniomátic E.I.R.L.
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro, por cualquier medio.
Número de Proyecto Editorial: 31501001501087
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú N° 2015-14418
ISBN: 978-612-4302-12-1
PRESENTACIÓN
AL MAESTRO:
El Estado peruano dirige la política educativa a través del Ministerio de Educación. Sin embargo,
la tarea educativa es responsabilidad de todos los peruanos, en especial de los profesores, los
alumnos, las autoridades docentes y los padres de familia.
El Diseño Curricular Nacional (DCN) de Educación Básica Regular, formulado por el Ministerio
de Educación, fija el marco de nuestro trabajo educativo, labor que desarrollamos con los textos
escolares de Matemática Geniomátic de educación secundaria.
Compartimos la propuesta de “ofrecer una educación integral a los estudiantes mediante una
formación científica, humanística y técnica. Afianzar su identidad personal social. Profundizar los
aprendizajes logrados en el nivel de Educación Primaria. Orientar al desarrollo de capacidades
que permitan al educando acceder a conocimientos humanísticos, científicos y tecnológicos en
permanente cambio. Formar para la vida, el trabajo, la convivencia democrática, el ejercicio de la
ciudadanía y para niveles superiores de estudio. Tenemos en cuenta las características, las necesidades y los derechos de los púberes y adolescentes“.
La labor docente, particularmente en Matemática, es una tarea apremiante en la que Geniomátic
pretende apoyar, por lo que esperamos que este texto sea una herramienta útil y eficiente que
aligere el trabajo con sus estudiantes.
AL ESTUDIANTE:
¿Qué piensas de la Matemática? El concepto que tengas de la Matemática es muy importante
para tu aprendizaje. Algunos piensan que la Matemática es un conjunto de reglas y fórmulas que
hay que memorizar para el examen. Otros piensan que es un invento de muchos genios, difícil
de comprender. Ambas ideas pueden perjudicar tu aprendizaje.
La Matemática es lógica y sentido común. Si en una caja pones 10 manzanas y le agregas 5
más, tendrás 15 manzanas. Si manejo un carro que yendo a 100 kilómetros por hora y frena en
50 metros, el sentido común me dice que necesito unos 100 metros por adelante, para que en
caso de una emergencia tenga tiempo de reaccionar y frenar con tranquilidad. En caso contrario,
debo bajar la velocidad.
Los conocimientos matemáticos son muy útiles para resolver problemas de cuantificación, como
calcular áreas de terrenos, cantidad de materiales para construcción, estimar el tiempo de producción de un artefacto, etc.
Este libro te ofrece una oportunidad para involucrarte en el maravilloso mundo de las ideas matemáticas, donde no hay límites para tu curiosidad, donde puedes explorar, imaginar, cuestionar,
verificar, proponer, preguntar, responder preguntas desde tu punto de vista, compartir tus inquietudes y trabajar en equipo.
En este texto encontrarás los conocimientos matemáticos siempre asociados a una aplicación
práctica que te servirá de guía para que hagas lo mismo con los ejercicios de la actividad. Además, cuentas con alcances en la columna derecha, que te reforzarán, ayudarán e informarán
sobre del tema principal.
Los cuatro textos van acompañados por un cuaderno de trabajo que contiene ejercicios similares
a los de la actividad y otros, seleccionados en tres niveles de dificultad, para que puedas practicar,
reforzar y profundizar tus conocimientos.
3
3
ESTRUCTURA DEL TEXTO
Sección inicial de la unidad
Imagen motivadora
Fotografía ilustrada que conecta una situación real con el tema de aprendizaje.
Número de la unidad
Título de la unidad
Imagen secundaria
Imagen que muestra un detalle relacionado con el tema de la lectura.
Aprendizajes esperados y actividades
Contienen el listado de las capacidades
que desarrollarás en la unidad.
Lectura motivadora
Explica la relación entre la Matemática y
una situación objetiva. Además formula
preguntas que propician el análisis y
reflexión sobre el tema.
Sección central
Número de capítulo
Título del capítulo
Recuperación de saberes previos
Plantea situaciones que te servirán de
base para iniciar el tema nuevo. Es algo
que conoces o has tratado en los capítulos
anteriores.
Formalización
Continúa las definiciones y conceptos de
los términos matemáticos.
Actividad
Es un conjunto de preguntas de análisis,
reflexión, de valoración, demostración,
cálculo, búsqueda de relaciones, para que
desarrolles, individual o colectivamente, con
apoyo de tu profesor o tus compañeros.
4
3
Generación del conflicto cognitivo
Es una pregunta que tendrás que responder
con el desarrollo o al terminar el capítulo.
Información complementaria
Lecturas, notas, observación, historias,
recursos tecnológicos, que contribuyen a
reforzar y recrear el tema.
Problemas
Plantea una aplicación desarrollada del
tema.
Problemas
Plantea una aplicación desarrollada del
tema.
ÍNDICE
SECCIÓN INICIAL
01
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO Y SECTOR
CIRCULAR
6
02
TRIÁNGULO RECTÁNGULO Y RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS
ACTIVIDAD/EVALUACIÓN/
PROYECTO DE APRENDIZAJE
SECCIÓN CENTRAL
Capítulo 01: Ángulo trigonométrico
7
Actividad 01
9
Capítulo 02: Sistema de medidas angulares
Sistema sexagesimal
Sistema centesimal
Sistema radial
10
Actividad 02
12
Capítulo 03: Conversión de unidades
13
Actividad 03
14
Capítulo 04: Longitud de un arco
La circunferencia
Longitud de arco
15
Actividad 04
17
Capítulo 05: Sector circular
Sector circular
Área de sector circular
18
Actividad 05
19
Capítulo 06: Trapecio circular
Relación de áreas del sector circular
20
Actividad 06
21
Capítulo 07: Razones trigonométricas de ángulos agudos
23
Actividad 07
25
Capítulo 08: Razones trigonométricas de ángulos notables
26
Actividad 08
28
29
Capítulo 09: Propiedades de las razones trigonométricas
Razones trigonométricas recíprocas
Razones trigonométricas de ángulos complementarios
Actividad 09
30
Capítulo 10: Solución de triángulos rectángulos
31
Actividad 10
32
Capítulo 11: Ángulos verticales
33
Actividad 11
34
Capítulo 12: Plano cartesiano
La recta numérica
35
Actividad 12
36
Capítulo 13: Ángulos en posición normal
Ángulos que pertenecen a algún cuadrante
Ángulos cuadrantales
38
Actividad 13
40
Capítulo 14: Razones trigonométricas de ángulos
de cualquier medida
Razones trigonométricas en el plano cartesiano
41
Actividad 14
42
Capítulo 15: Signo de las razones trigonométricas
43
Actividad 15
44
Capítulo 16: Razones trigonométricas de ángulos
coterminales y cuadrantales
Razones trigonométricas de ángulos coterminales
Razones trigonométricas de ángulos cuadrantales
45
Actividad 16
46
Capítulo 17: Reducción al 1er cuadrante de ángulos
menores que una vuelta
47
Actividad 17
48
Capítulo 18: Reducción al 1er cuadrante de ángulos
mayores que una vuelta
49
Actividad 18
51
Capítulo 19: Identidades trigonométricas pitagóricas
53
Actividad 19
54
Capítulo 20: Identidades trigonométricas recíprocas y
por cociente
Identidades trigonométricas recíprocas
Identidades trigonométricas por cociente
55
Actividad 20
56
Capítulo 21: Identidades trigonométricas auxiliares
22
03
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE CUALQUIER
MAGNITUD
37
04
IDENTIDADES
TRIGONOMÉTRICAS
57
Actividad 21
58
Capítulo 22: Razones trigonométricas de ángulos compuestos 59
seno y coseno
Actividad 22
60
Capítulo 23: Tangente de la suma y diferencia de dos arcos
61
Actividad 23
62
Capítulo 24: Identidades para el arco doble
63
Actividad 24
64
52
3
5
01
Unidad
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO Y SECTOR CIRCULAR
DISEÑO DE CURVAS DE CARRETERA
La sección horizontal de una curva de carretera es un trapecio
circular. Los radios que limitan el trapecio son perpendiculares a
la dirección de la continuación de la carretera.
El diseño de una curva es parte del diseño geométrico de carreteras, una técnica de ingeniería civil que consiste en situar el trazado de una carretera o calle en el terreno. La función de las curvas
es de evadir obstáculos topográficos o geológicos y adaptar las
pendientes a la capacidad de desplazamiento de los vehículos.
- Visita una carretera asfaltada y observa cómo está construida la curva
y dibújala.
http://es.scribd.com/doc/17432056/diseno-geometrico-de-carreteras
APRENDIZAJES ESPERADOS
Matematiza
situaciones
Comunica y
representa
• Reconoce el uso del
ángulo trigonométrico
y sistemas de medición
angular en situaciones
cotidianas.
• Valora el uso de la
longitud de arco, el
área del sector circular
y trapecio circular.
6
3
• Deduce la fórmula
general de conversión
angular.
• Expresa ángulos en
diferentes sistemas de
medición angular.
• Expresa con una
fórmula la longitud de
arco.
Elabora y usa
estrategias
Razona y
argumenta
• Resuelve ejercicios y
problemas sobre ángulos trigonométricos.
• Aplica diversos criterios para resolver
problemas de longitud
de arco, área del sector
circular y trapecio
circular.
• Propone conjeturas
sobre ángulos trigonométricos y sistemas de
medición angular.
• Elabora conclusiones
que diferencian la longitud de arco, el área
del sector circular y el
trapecio circular.
CAPÍTULO
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
01
¿Existen ángulos
de 2000º?
2
Ten Presente
I BIMESTRE
Ángulo trigonométrico
La hélice da 300 vueltas por minuto.
¿qué ángulo barre en media hora?
Lad
o
fina
l
Q
P
P
Q
O
115°
Se gira el rayo OP
en sentido antihorario respecto al origen.
+
P
O
O
O
El rayo OP ha girado
115º y se ha generado
el ángulo POQ de 115º.
Ángulo positivo
Lado inicial
P
T
322°
El mismo rayo ha girado 322º. Si continuara girando puede
generar ángulos de
muchas vueltas más.
El ángulo trigonométrico, a diferencia del geométrico, se genera por la
rotación de un rayo respecto a su origen, desde una posición inicial hasta
una posición final.
O
P
–
Ángulo negativo
Q
Importante:
Esta definición implica:
Para sumar ángulos trigonométricos, deben estar
orientados en el mismo
sentido.
1.
El rayo tiene una posición inicial y una posición final. En su posición
inicial es el lado inicial y en su posición final, el lado final.
Cambio se sentido:
2.
El rayo puede girar en sentido horario, entonces genera un ángulo negativo, o en sentido antihorario, entonces genera un ángulo positivo.
3.
El rayo puede girar menos de una vuelta o puede girar más de una vuelta o
muchas vueltas, es decir, el ángulo trigonométrico se puede extender indefinidamente, tanto positiva como negativamente.
q
-q
Ejemplos:
1.
Problema 1:
Solución:
En la figura mostrada, calcula
el valor de  en términos de .
63°
–63°
q – 24
24 – q
2.
f
f
  + (–) = 90º
  = 90º + 
Rpta.: 90º + 
3
7
CAPÍTULO 01
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
Problema 2:
Solución:
En la figura, calcula el valor
de  en términos de .
I BIMESTRE
 – +  = 180º
  = 180º + 
Rpta.: 180º + 
Problema 3:
Problema 4:
En el siguiente gráfico, Determina el valor de  en términos de .
En la figura, calcula el valor de 
en términos de .
2
Operaciones con los
ángulos
λ
Para sumar los ángulos deben
tener el mismo sentido.
Antes de operar se orientan
todos en el mismo sentido.
Solución:
Solución:
Ten Presente
–λ
a
b
x
c
 – + 90º +  + 90º = 360º
  =  – 180º
 – = 360º + 
  = –  – 360º
Rpta.:  – 180º
Rpta.: –  – 360º
–a
–b
x
c
Problema 5:
Problema 6:
En la figura mostrada, determina
x en términos de r y f.
En la figura mostrada, determina
x en términos de r y f.
r
x
f
f
Solución:
x
r
Solución:
-r
x
–f
-f
x
r w
 –f + x – r = 180
 x = 180° + f + r
Rpta.: 180° + f + r
8
3
w – f = 90°
r=w+x
+
r – f = 90° + x
 x = r – f – 90°
Rpta.: r – f – 90º
x=c–b–a
Actividad 01
1
En la figura , calcula el valor de  .
6
Determina el valor de x en la siguiente figura:
12° – 2λ
3λ +12°
En la figura, calcula el valor de f.
8° – 2 f
7
De la figura, calcula .
5f + 20°
3
I BIMESTRE
2
x
f – 72°
4f – 18°
En la figura , calcula el valor de x.
8
En la figura , calcula x en términos de  y .
x
4
Determina el valor de verdad de las siguientes
proposiciones.
9
5
Determina el valor de verdad de las siguientes
proposiciones.
1.  +  = 180º .................... (
)
2.  –  = 180º
.................... (
)
3.  +  = –180º .................... (
)
1.  +  +  = 270º
.................... (
)
4.  –  = 180º
.................... (
)
2.  –  +  = 180º
.................... (
)
5.  = 
.................... (
)
3.  –  –  = 360º
.................... (
)
4.  –  –  = 270º
.................... (
)
5.  +  –  = 180º
.................... (
)
En la figura , calcula  en términos de .
λ
10 En la figura, calcula f en términos de  y .
f
3
9
02
CAPÍTULO
SISTEMA DE MEDIDAS
ANGULARES
¿Se puede inventar
otro sistema aparte
de los conocidos?
SISTEMA SEXAGESIMAL (S)
Observación
90°
120°
60°
30°
150°
1° =
0°
180°
210°
1 vuelta = 360º
Ejemplo 1
Submúltiplos:
Convierte 540º a radianes.
1º = 60' 1' = 60''
330°
240°
1 vuelta
360
1° = 3600''
 540º
SISTEMA CENTESIMAL (C)
140
120 g
100 g
Ejemplo 2
60 g
40 g
160 g
180 g
20 g
200 g
0g
220 g
380 g
240 g
360 g
260 g
300 g
320 g
1 vuelta
1g =
400
Convierte 650g a radianes.
1 vuelta = 400g
Submúltiplos:
1g = 100m
10
 650g
1m = 100s
1g = 10000s
p rad
= 13 rad
200g
4
 650g = 13 rad
4
340 g
Grados
sexagesimales
Grados
centesimales
360º
400g
9º
10g
3
Solución:
Se sabe 200g =  rad
Equivalencia entre grados sexagesimales y grados centesimales
1 vuelta:
p rad
= 3 rad
180º
 540° = 3 rad
80 g
g
280 g
Solución:
Se sabe 180º =  rad
300°
270°
Para descubrir el valor de
un ángulo de un sistema
a otro, utilizamos el factor
de conversión.
9° = 10g
9°
10g
=1 ∨
=1
g
9°
10
"Factor de conversión"
SISTEMA DE MEDIDAS ANGULARES
CAPÍTULO 02
Problema 1:
2'24''
Reduce E = 1°8' +
9''
4'
Solución:
E=
60' + 8' 2(60'') + 24'' 68' 144''
+
=
+
= 17 + 16
9''
4'
9''
4'
Convierte
gesimal.
Rpta.: 33
Problema 3:
180g
al sistema sexa-
Siendo
A 180g se multiplica por el factor
31º33'21'' + 11º21'15'' = aºb'c''
2b
calcula T =
a–c
de conversión 9º
10g
Solución:
Sumando ordenadamente :
Solución:
42º54'36'' = aºb'c''
 180g = 180g × 9º
10g
180g
I BIMESTRE
Problema 2:
 E = 33
 a = 42; b = 54 y c = 36
= 18(9º)
2(54)
2(9)(6)
Luego T =
=
= 18
42 – 36 42 – 36
 180g = 162º
Rpta.: 162º
Rpta.: 18
Observación
Algunas equivalencias
entre los tres sistemas
360° = 400g = 2p rad
SISTEMA RADIAL O CIRCULAR (R)
R
R
R
1 radián
R
180° = 200g = p rad
90° = 100g = p rad
2
Si se establece que el ángulo de una
vuelta mida 2p radianes, entonces la
unidad es un radián, que es la medida
de un ángulo central que subtiende un
arco de igual longitud que el radio.
Medidas angulares (en radianes) de algunos ángulos notables
45° = 50g = p rad
4
36° = 40g = p rad
5
18° = 20g =
p
rad
10
9° = 10g =
p
rad
20
Como el ángulo de una
vuelta mide 2p radianes, la media vuelta
mide p radianes, el
cuadrante mide p/2 radianes y el octante, p/4.
O
Equivalencias entre los
tres sistemas
360º = 400g = 2p rad
 180º = 200g = p rad
3
11
CAPÍTULO 02
SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES
Problema 4:
Convierte 11 rad al sistema
5
sexagesimal.
Problema 5:
Reduce E =
5 rad – 515º + 350g
250g – 365º + 3 rad
I BIMESTRE
Se sabe  rad = 180º  10g = 9º, se
expresa en un solo sistema :
Se sabe  rad = 180º
180°
 11 rad
= 396º
p rad
5
11 rad = 396º
5
Rpta.: 396º
E=
E=
300g + 900° + 7rad
1200° – 800g + 3rad
Solución:
H=
30(9°) + 900° + 7(180°)
1200° – 80(9°) + 3(180°)
5( rad) – 515º + 35(10g)
25(10g) – 365º + 3( rad)
5(180º) – 515º + 35(9º)
25(9º) – 365º + 3(180º)
=
7
4
Rpta.: 7
4
Problema 7:
Simplifica
E=
Solución:
Solución:
Problema 6:
H=
270 + 900 + 1260
1200 – 720 + 540
H=
41
17
Rpta.: 41
17
Solución:
De la figura, calcula n.
2p rad + [–2 (1 – 2n)°] = 90°
n
360° – 2(1 – 2n)° = 90°
n
2p rad
n
2p rad
n
2(1 – 2n)°
⇒ n2 – 23n + 90° = 0
 n = 5
–2(1 – 2n)°
∨
n = 18
Rpta.: 5 ; 18
Actividad 02
1
Calcula P = 6º40' + 8'20'' .
50'
10''
6
Convierte 280º a radianes.
2
g m
m s
Calcula H = 8 60 + 12 80 .
20m
40s
7
Convierte 325g a radianes.
3
Convierte 243º al sistema centesimal.
8
Convierte 22 rad a unidades sexagesimales.
5
4
Convierte 450g al sistema sexagesimal.
9
Convierte 28 rad a unidades centesimales.
5
5
Calcula el valor de la expresión
R=
12
1g + 1m + 1s .
1''
1º
1'
3
10 Reduce
P=
2 rad – 195º + 150g
42º – 80g +  rad
CAPÍTULO
CONVERSIÓN DE UNIDADES
¿Cuánto vale x?
Un ángulo mide
S° y Cg. ¿Cuál es
mayor S o C?
80g
100°
03
I BIMESTRE
13p
rad
20
x°
En grados
sexagesimales
En grados
centesimales
En radianes
40g
36°
36°
40g
rad
En el sistema sexagesimal
En el sistema centesimal
En el sistema radial
Estos ángulos son congruentes, pero los números que indican sus
medidas son distintos
porque corresponden a
diferentes sistemas.
p/5 1
36°
=
=
=
180° 200g
5
p
40g
En general:
S°
Cg
R rad
En el sistema sexagesimal
En el sistema centesimal
En el sistema radial
2
Ten Presente
Algunos valores aproximados de p
•
p ≈ 22 7
• p≈ 2+ 3
• p ≈ 10
• p ≈ 3,14
R
S
C
=
=
180
200 p
Por factor de conversión
Dado que 180º = 200g

9° 10g
=
=1
10g 9°
Unidad que no quiero
Supongamos que queremos convertir 153º
en grados centesimales, entonces, el grado
centesimal es la unidad que queremos y el
grado sexagesimal, la que no queremos, de
10g
modo que el factor de conversión es:
9°
Convierte 117º al sistema centesimal.
Solución:
C
S
Se sabe
=
10
9
10g
9°
Factor de
conversión:
Este cociente se denomina factor de conversión y como su valor es uno se puede
multiplicar a cualquier número sin cambiarle de valor.
Problema 1:
Observación
Unidad que quiero
17
153° = 153°×
10g
= 170g
9°
1
S C
R
=
=
=k
9 10 p
20
C = 10k
R=
pk
20
S = # de grados sexagesimales
C = # de grados centesimales
\ 153° = 170g
R = # de radianes
C 117
Reemplazando
=
10
9
 C = 130
 117º = 130g
S = 9k
p = 3,141592... ≈ 3,1416
Rpta.: 130g
3
13
CAPÍTULO 03
CONVERSIÓN DE UNIDADES
Problema 2:
Problema 4:
Convierte 108º a radianes.
Siendo S, C y R los números convencionales para un mismo ángulo,
I BIMESTRE
Solución:
S
R
Se sabe
=
 180
Reemplazando
 108º =
reduce
R 108
3
=
R=
 180
5
3
rad
5
Rpta.: 3 rad
5
2

3S – 2C – 40R
Se sabe
S = 180K; C = 200K y R = K
Reemplazando:
T=
T=
 S = 180K; C = 200K y R = K
H=
3C + 4S – 20R
Solución:
Problema 3:
Siendo S, C y R los números convencionales
para un mismo ángulo, reduce H = C – S .
10R
Solución:
C
R
S
Se sabe
=
= =K
180 200 
Reemplazando H =
T=
200K – 180K
2
=
10K

3(200K) + 4(180K) – 20(K)
3(180K) – 2(200K) – 40(K)
600 + 720 – 20
540 – 400 – 40
T = 13
Rpta.: 13
Rpta.: 2/
Actividad 03
1
Convierte 126º al sistema centesimal.
2
Convierte 225º a radianes.
3
La suma de los números de grados sexagesimal
y centesimal para un mismo ángulo es 76, calcula el número de grados sexagesimales que posee
dicho ángulo.
4
5
14
Siendo S, C y R los numeros convencionales
para un mismo ángulo, reduce E = 3C – 2S .
40R
La semidiferencia de los números de grados
centesimal y sexagesimal para un mismo ángulo es 4, calcula el número de grados centesimal
que posee dicho ángulo.
3
6
Siendo S, C y R los numeros convencionales para
un mismo ángulo, reduce P = S + C + 120R .
2C – S – 20R
7
Determina la medida circular de un ángulo
cuyo número de grados sexagesimal y centesimal cumplen 3S – 2C = 35.
8
Determina la medida circular de un ángulo
cuyo número de grados centesimales excede al
número de grados sexagesimales en 16.
9
Siendo S y C los números convencionales para un
mismo ángulo, reduce H =
C+S
+
C–S
4S .
C–S
10 Determina la medida circular de un ángulo
cuyo número de grados sexagesimales y centesimales cumplen S = 5n + 1 y C = 6n – 2.
CAPÍTULO
LONGITUD DE ARCO
04
60
¿Cualquier curva
es un arco?
cm
60
cm
I BIMESTRE
2p
rad
3
La circunferencia
R
Centro
R
Radio
A
B
La circunferencia es el conjunto de puntos del plano que equidistan de un punto llamado centro. A
la distancia del centro a los puntos de la circunferencia se le denomina radio, cuya longitud generalmente se designa con R.
Longitud de arco
Observación
L
24 m
Al dividir la longitud de cualquier
circunferencia entre la longitud de
su diámetro siempre resulta p:
Se deduce que para calcular la longitud de la circunferencia hay que
multiplicar el radio por el ángulo de
una vuelta, en radianes (2p).
L
R
R
L
R
75º
24 m
En esta figura el ángulo central
está en grados sexagesimales.
Para calcular la longitud de
arco, pasamos la medida del
ángulo central de grados a
radianes:
5
L = p  L = 2pR
2R
• 75° = 75° × prad = 5p rad
ángulo de
una vuelta
L=
p
R
3
Por consiguiente, para calcular la longitud de cualquier arco de circunferencia, hay que multiplicar el radio por el ángulo central, en radianes.
L = qR
R
L
q rad
R
q=
L
R
R=L
q
12
12
• L = qr  L =
5p
(24)
12
L = 10p m

En general:
180°
L: Longitud del arco
q: Medida del ángulo central,
en radianes
R: Radio de la circunferencia
Se denomina arco de circunferencia a un fragmento de la circunferencia
cuya extensión se denomina longitud de arco y se mide en unidades de
longitud.
3
15
CAPÍTULO 04
LONGITUD DE ARCO
Problema 1:
Problema 2:
Calcula la longitud de un arco correspondiente
a un ángulo central de 54º en un circunferencia
cuyo radio mide 30 cm.
En la figura mostrada,
calcula .
6 cm
Solución:
I BIMESTRE
B
p rad
Ángulo central:  = 54º
180°
⇒=
Radio: R = 30 cm
0
A
3
rad
10
Solución:
Se sabe L = R
Longitud de arco:
Reemplazando 4 cm = (6 cm)
3
×(30) = 9 cm
10
 L = 9 cm
L = R =
=
2
rad
3
Rpta.: 2 rad
3
Rpta.: 9 cm
Problema 3:
Problema 4:
Calcula la longitud de un arco correspondiente
a un ángulo central de 80g en una circunferencia
cuyo radio mide 20 cm.
En la figura calcula .
Solución:
Ángulo central
 = 80g
4b cm
p rad
200g
0
2
=
rad
5
Radio: R = 20 cm
B
b cm
A
Solución:
Longitud de arco:
Se sabe L = R
2
L = R =
×(20) = 8 cm
5
 L = 8 cm
Reemplazando: 4b cm = (b cm)
  = 4 rad
Rpta.: 4 rad
Rpta.: 8 cm
Problema 5:
En la figura, r = 90 cm.
Solución:
Calcula la longitud del arco BC.
B
1,6
A
AB = 4(36)
74°
37°
A
90
O
90
C
5(36)
r
r
O
16
B
AB =
(90)
10
)
6
L
4(3 37°
C
ABC: notable de 37° y 53°
⇒ mBA = 37°
Longitud de arco: L = 74°
 p 
(90)
 180° 
 L = 37p cm
Rpta.: 37 cm
16
3
Actividad 04
Calcula la longitud de un arco correspondiente
a un ángulo central de 72º en una circunferencia
cuyo radio mide 10 cm.
2
Calcula la longitud de un arco correspondiente
a un ángulo central de 140g en una circunferencia cuyo radio mide 60 cm.
3
7
La longitud de un arco ubicado en una circunferencia es de 60 cm. Si el radio se incrementa en
el triple y el ángulo central se reduce a la mitad,
se genera un nuevo arco cuya longitud es:
8
En la figura, calcula H =
En la figura, calcula la longitud del arco EF.
b
b
2b cm
F
b
3f
E
2f
O
b
A
O
4
5
b
f
B
L
9
F
P
2a
D
L3
H
3a
b
b
b M
E
F
O
L2
L3
b A
En la figura, calcula  .
a
b
L1 + 2L2
.
3L3
B
L2
L1
La longitud de un arco correspondiente a un
ángulo central de 144º en una circunferencia de
radio R es 24 cm. Calcula R.
En la figura, calcula T =
N
L1 + L2
.
L3
I BIMESTRE
1
B
b
2a
E a
b
A
B
a E
C
F a O
2a
L1
10 En la figura, calcula  .
F
A
4a
6
6
H
En la figura, calcula E = L1 + L2 .
L3
a
M
O
L1
a
P
6
E
P
H
L3
A
O
L2
T
B
3
17
CAPÍTULO
05
SECTOR CIRCULAR
I BIMESTRE
¿El área de un sector
circular es proporcional al radio o al
cuadrado del radio?
Observación
¿Qué área tiene esta concha
de abanico?
12
120°
cm
12
cm
Sector circular
Área del sector circular
A
R
R
R
AOB: Es un sector circular
Se llama sector circular a la región
circular limitada por dos radios y
el arco correspondiente.
45º
R
S = bh
2
B
Haciendo analogía, si aplicamos
la fórmula del área del triángulo
al sector circular tenemos:
S=
=
S
LR
2
LR θ
×
2 θ
Problema 1
Calcula el área de un sector circular cuyo ángulo central mide
60º y su radio 12 cm.
Problema 2
Solución:
Solución:
S=
(θR)R
2
S=
θR 2
2
L2 q en
⇒ S=
2θ radianes
Calcula el área de un sector circular cuya longitud de su arco es
16cm y su radio mide 8 cm.
En esta figura el ángulo central
está en grados sexagesimales.
Para calcular su área tenemos
dos opciones:
1. Pasar el ángulo central de
grados a radianes y aplicar
una de las fórmulas del área
del sector circular.
2. Aplicar una regla de tres,
con el siguiente criterio:
cuando el ángulo central es
360º (1 vuelta) el área es pR2,
entonces, ¿qué área corresponde a un ángulo central
de a grados?:
Ángulo
central
Área
360º
pR2
aº
S
2
S = a°pR
360°
S
8 cm
S
Para a = 45º y R = 32 m:
2
S = 45°p(32) = 128p
360°
12 cm
Se sabe S = 1 R2
2
60° p
S= 1
×(12)2 = 24 cm2
2 180°
 S = 24 cm2
Rpta.: 24 cm2
18
32 m
b
S
B
60º
h
R
L
q
O
A
L
32 m
3
Se sabe S = 1 LR
2
1
S = (16)(8) = 64 cm2
2
 S = 64 cm2
Rpta.: 64 cm2
S = 128p m2
SECTOR CIRCULAR
Problema 3
Calcula el área de un sector circular cuya longitud
de su arco es 24 cm y su ángulo central correspondiente mide 120º.
Solución:
Se sabe S = 1  
2  
S
120º
2
S = 1 (24p) = 432 cm2
2
2p
3
Obs: 120° =
2p
3
Rpta.: 432 cm2
b
De la figura,
E
calcula
S + S2
H= 1
.
S1 – S 2
S1
S2
f
f
O
b
F
A
2b
Solución:
Se sabe S = 1 R2
2
H=
 S = 432 cm2
B
Problema 4
I BIMESTRE
L2
CAPÍTULO 05
1 (2f)(2b)2 + 1 (3f)(b)2
2
2
=
1 (2f)(2b)2 – 1 (3f)(b)2
2
2
8+3
11
=
8–3
5
 H = 11
5
Rpta.:
11
5
Actividad 05
1
2
Calcula el área de un sector circular cuyo ángulo central mide 150º y la longitud de su radio es
6 cm.
Calcula el área de un sector circular cuya longitud de su arco es 6 cm y su ángulo central
correspondiente mide 135º.
4
De la figura, calcula P =
P
b
S3
E
6
7
8
6
El área de un sector circular es 60 cm2. Si duplicamos el radio y reducimos el ángulo central
en su mitad, se genera un nuevo sector circular
cuya área es :
En la figura,
calcula
2S1 + 3S2
.
S 1 – S2
3b
5f
O
4b
B
El área de un sector circular es 120 cm2 y la
longitud de su arco correspondiente es 48 cm.
Calcula la longitud del radio de dicho sector.
En la figura, calcula E =
9
3b
S2
5b
S1
30º
45º
S1
S2
S1
54º
36º
T=
3f
A b F
S 1 + S3
.
S 1 – S2
S2
4
Calcula el área de un sector circular cuya longitud de su arco es 24 cm y su radio mide 10 cm.
3
5
2
8b
El área de un sector circular es 36 u2. Si duplicamos el ángulo central y el radio se triplica, se
genera un nuevo sector circular cuya área es :
10 De la figura,
calcula x.
2
S1 + S2
.
S 1 – S2
O
E
x
D
2
f
F
9S
S
2
A
2
B
3
x C
19
CAPÍTULO
06
TRAPECIO CIRCULAR
¿Qué tiene en común
el trapecio circular y
el trapecio poligonal?
I BIMESTRE
125304
Matemática
en la vida
Diseño de una curva
Queremos diseñar la curva de
este tramo de la carretera.
R1
O
R2
(L1 + L2 )m
2
S=
θ(R12 − R2 2 )
2
L1
S
L2
S=
m
Trapecio circular es la región limitada por dos arcos
de dos circunferencias concéntricas y dos radios.
S=
1. Trazamos la bisectriz del
ángulo que forman los dos
tramos y elegimos el radio
de curvatura.
L12 − L2 2
2θ
Relación de áreas del sector circular
m
M
m
O
m
mP
m
A
m
R
3L
2L
5S
S L 3S
7S
N m
Q m
S m
F
Problema 1
Calcula el área
del trapecio
B
circular.
b
O
b
4L
B
Radio
Área
MON
m
S
POQ
2m
4S
ROS
3m
9S
AOB
4m
16S
Obsérvese que el área del sector circular es proporcional al ángulo central y al cuadrado del radio.
Problema 2
Calcula el
área del
trapecio
circular.
S
A
Solución:
8 cm
E
Reemplazando:
(6 + 2)
S=
×(8) = 32 cm2
2
 S = 32 cm2
Rpta.: 32 cm2
3
2. Con el radio elegido trazamos curvas de circunferencia tangentes a los bordes de
la carretera.
D
2 cm
B
S
3 cm
O
(L + L2)
Se sabe S = 1
×d
2
20
Sector
60°
3 cm
A
2 cm
C
Solución:
Se sabe S = 1 (R12 – R22)
2
Reemplazando:
8
S = 1    (52 – 32) =
cm2
2 3 
3
S=
8
cm2
3
Rpta.: 8 cm2
3
Obsérvese que cuanto menor
es el radio de curvatura la
curva es más cerrada.
El tramo de la curva es un
trapecio circular.
TRAPECIO CIRCULAR
Problema 3
Calcula el área del trapecio circular.
CAPÍTULO 06
Solución:
Se sabe S =
T
(L12 – L22)
2
Reemplazando:
N
SS
45°
M
(3)2 – (2)2
2  
4
= 10 cm2
I BIMESTRE
O
S=
 S = 10 cm2
P
Rpta.: 10 cm2
Actividad 06
1
2
3
Calcula el área de un trapecio circular cuyas
longitudes de sus arcos son 2 cm y  cm, y sus
radios miden 3 cm y 6 cm respectivamente.
Calcula el área del
trapecio circular.
7
D
S1
O
En la figura, calcula
H = S 1 + S2 .
S3
S2
O
2a
C
72°
2 cm
5 cm
F
b
E
b
D
S2
b S
A
B
O
C
S1
3
60°
calcula t.
8
Calcula el área de un trapecio circular cuyas
longitudes de sus arcos son L1 y L2, y sus radios
miden R y r respectivamente (R > r).
9
Calcula el área
D
a
de un trapecio circular
en términos de a y b.
b A b B b C
12S
B
t
D
2
F
S 2
A t C 2 E 2 O
C
A
4 cm
B
S
b
2a
O
En la figura, A a E
D
En la figura, calcula
circular.
S
O
2a
el área del trapecio
2 cm
5 cm
5
F
a
B
En la figura,
calcula E = S1 + 2S2 .
S1 – S 2
Calcula el área de un trapecio circular cuyas
longitudes de sus arcos son 2 cm y 3 cm, y su
ángulo central correspondiente mide 36º.
B
4
6
2a
10 Calcula el área del
trapecio circular AEFB.
A a C
F
B
2
O
60°
A
E
3
21
02
Unidad
TRIÁNGULO RECTÁNGULO Y RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
EL PLANO INCLINADO
El plano inclinado es una superficie plana que forma con otra un
ángulo muy agudo. Comúnmente se aprecia como rampa, la cual
aumenta la distancia de la carga que se debe mover, disminuyendo de ese modo la fuerza necesaria para elevarla. Sus principales
aplicaciones son tres: Como rampa (carreteras, acceso a garajes
subterráneos, escaleras...), como hélice para convertir un movimiento giratorio en lineal (tornillo de Arquímedes, tornillo, sinfín,
hélice de barco) y como cuña (cuchillo, tijera, sierra, hacha, arado, formón, abrelatas, ...)
- Averigua qué pendiente tienen en promedio las escaleras de las casas.
http://concurso.cnice.mec.es/cnice2006/material107/operadores/ope_planoinclinado.htm
APRENDIZAJES ESPERADOS
Matematiza
situaciones
Comunica y
representa
Elabora y usa
estrategias
Razona y
argumenta
• Identifica los elementos de un triángulo
rectángulo y establece
las razones trigonométricas de sus ángulos
agudos.
• Valora la utilidad de las
propiedades de las razones trigonométricas.
• Expresa en forma
simbólica las razones
trigonométricas de un
ángulo agudo en un
triángulo rectángulo.
• Expresa mediante
tablas las razones trigonométricas de ángulos
notables.
• Resuelve triángulos
rectángulos utilizando
las R.T. de ángulos agudos y ángulos notables.
• Elabora diversas estrategias para resolver
problemas que involucran a las propiedades
de las R.T.
• Justifica el uso las propiedades de las razones
trigonométricas.
• Establece relaciones entre las razones
trigonométricas de un
ángulo agudo en un
triángulo rectángulo.
22
3
¿Cuál es la altura
de la torre?
45
07
¿Cuándo un cateto es adyacente
a un ángulo?
h
22°
CAPÍTULO
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULOS AGUDOS
m
La Collpa - Cajamarca
6
22°
5
4
2
10
2
4
5
=
=
= 0,4
5 10 15
Nota
• Notación de lados y ángulos
del triángulo rectángulo.
B
Esta relación nos permitirá calcular la altura de la torre, puesto que:
c
h
= 0,4  h = 45×0,4 = 18 m
45
15
A
Si en lugar de 22º el ángulo fuera de 50º la relación de catetos valdría 1,19.
Así para cada ángulo hay un valor.
No solamente la relación de catetos es constante para cada ángulo, sino, la
relación entre cualquier par de lados.
Con los lados del triángulo rectángulo se puede establecer seis relaciones en
total y por la importancia que tienen a cada uno se le ha dado un nombre.
Estas son las razones trigonométricas (R.T.).
a
C
b
Los vértices se denotan con
letras mayúsculas y la medida de los lados con las letras
del vértice opuesto pero en
minúsculas.
• El cateto es opuesto o adyacente según el ángulo al que
se hace referencia.
Seno
senA =
Cateto opuesto a A
Hipotenusa
Coseno
cosA =
Cateto adyacente a A
Hipotenusa
Tangente
tanA =
Cotangente
cotA =
Cateto adyacente a A
Cateto opuesto a A
BC:
Secante
secA =
Hipotenusa
Cateto adyacente a A
AC:
Cosecante
cscA =
Hipotenusa
Cateto opuesto a A
Cateto
opuesto
aA
Hi
po
ten
B
c
A
A
Cateto
adyacente a A
ten
us
Cateto opuesto a B
Cateto adyacente a A
po
 
Cateto opuesto a A
Cateto adyacente a B
C
B
C
a
b
a
Hi
Cateto opuesto a A
Cateto adyacente a A
us
a
B
A
Cateto
opuesto a B
Cateto
adyacente
aB
C
AB: Hipotenusa
3
23
II BIMESTRE
En la figura se observa que mientras el
ángulo se mantiene en 22º los catetos de
los triángulos están en la relación de 2 a 5:
CAPÍTULO 07
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
Problema 1:
En la figura, calcula la altura de la
Chullpa, si tan35º = 0,7.
Solución:
h
10
• tan35° =
0,7 =
II BIMESTRE
10 m
35°
h
10
h
 h=7
10
35°
Rpta.: 7 m
Problema 2:
en un triángulo rectángulo recto en
C, tanA = 5/12. Calcula las demás razones trigonométricas del ángulo A.
• c2 = 122 + 52 = 169  c = 13
• cotA = 12 5
• cosA = 12
13
Solución:
• cscA = 13
5
• senA = 5
13
B
c
A
5
• secA = 13
12
C
12
Recuerda
Teorema de Pitágoras
B
En un triángulo rectángulo
ABC, recto en C, calcula
sen2A + sen2B.
a2
a
=
b 
b2
• sen2B =
2
c2
c
= 2
b 
b
Solución:
b
A
c
2
• sen2A =
• sen2A + sen2B =
a
sen2A + sen2B =
C
 sen2A + sen2B = 1
Problema 4:
Solución:
En un triángulo rectángulo
recto en C, tanA + tanB = 8.
Calcula E = secAsecB.
• tanA =
B
c
A
24
a
b
c2
a2 + c2
a2
+
=
2
2
b
b2
b
B
C
3

a
b
b2
=1
b2
• tanB =
c
a
C
Problema 3:
c2 = a2 + b2
Rpta.: 1
b
a
a b a2 + b2
+ =
=8
b a
ab
c c a2 + b2
E= × =
=8
b a
ab
Rpta.: 8
b
A
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS AGUDOS
CAPÍTULO 07
Problema 5:
Problema 6:
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se
cumple: 4senAsenC = 1.
En la figura, calcula:
C
+
2
secA + tanA.
n
Calcula tanA + tanC.
Solución:
A
C
Teorema de Pitágoras:
Solución:
b
a
b2
Teorema de Pitágoras:
A
c
=
a2
+
c2
n–2
n
B
(n + 2)2 = n2 + (n – 2)2
n2 + 4n + 4 = n2 + n2 – 4n + 4
B
4senAsenC = 1 ⇒ 4
a c
·
b b
tanA + tanC =
a c
+ =
c a
 tanA + tanC =
4ac
=4
ac
a2
+
ac
8n = n2
⇒ b2 = 4ac
c2
=
n=8
b2
ac
8+2
8
+
8–2
8–2
Luego: secA + tanA =
 secA + tanA = 3
Actividad 07
1
2
3
En un triángulo rectángulo, las longitudes de
sus catetos son 2 y 3. Calcula la secante del menor de los ángulos agudos.
6
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B,
AB = c, BC = a y AC = b, Calcula
R=
Las longitudes de los catetos de un triángulo
rectángulo son 3 y 5. Calcula la diferencia de los
cuadrados del seno con el coseno del mayor ángulo agudo.
En un triángulo rectángulo el seno del menor de
sus ángulos agudos es 0,2. Calcula la tangente
del mayor de sus ángulos agudos.
(2c cscA + b tanC) cosC
c
7
En un triángulo rectángulo las longitudes de los
lados mayores son 12 y 8. Calcula la tangente
del menor de los ángulos agudos.
8
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B,
AB = c, BC = a y AC = b. Calcula
H=
4
En la figura, calcula tanf + tan.
2 m⋅n
f
5
n
m
En un triángulo rectángulo, las longitudes de los
lados menores son 3 y 7. Calcula la suma de senos de los ángulos agudos.
9
bcosA + atanC
c
En un triángulo rectángulo las longitudes de los
lados menores son 12 y 35. Calcula la diferencia
entre la secante y tangente del menor de los ángulos agudos.
10 En la figura, calcula sec + csc.
b+5
b+4
b–3
3
25
II BIMESTRE
Rpta.: 3
Rpta.: 4
08
CAPÍTULO
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DE ÁNGULOS NOTABLES
¿Cuál es mayor,
sen30º o cos30º?
3m
30°
2m
Los ángulos notables están asociados a los triángulos rectángulos.
Dado que las razones trigonométricas no dependen de la longitud de los
lados del triángulo, sino, sólo de los ángulos, vamos a tomar los triángulos
notables con medidas convenientes de sus lados con las cuales calculamos
las razones trigonométricas de sus ángulos.
Triángulo notable de
15º y 75º
75°
4
6– 2
15°
R.T. de 30° y 60°
R.T. de 45°
°
2
2
3
53°
2
1
60°
Nota
5
3
37°
45°
1
1
1
4
30°
60°
45°
37°
53°
1
2
3
2
2
2
3
5
4
5
Coseno
3
2
1
2
2
2
4
5
3
5
Tangente
3
3
3
1
3
4
4
3
Cotangente
3
3
3
1
4
3
3
4
Secante
2 3
3
2
2
5
4
5
3
2
2 3
3
2
5
3
5
4
Seno
Cosecante
26
3
6+ 2
R.T. de 37° y 53°
45°
30
II BIMESTRE
Datos
Los ángulos agudos del
triángulo rectángulo de 3; 4 y
5 son aproximados.
Las medidas exactas de los
ángulos son:
36º 52' 11,6" y 53º 7' 48,4"
53°7’48,4’’
5
3
36°52’11,6’’
4
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES
CAPÍTULO 08
Problema 1:
2
2
Calcula H = tan 30º + tan45º + tan 60º.
cot45º cot30º
Solución:
Reemplazando valores:
H =
H=
2
 3 +1+(
3 )2
3 
(1)( 3 )
1 +1+3
3
=
3
13 3
9
Rpta.:
13 3
9
Problema 2:
Calcula H =
sen37º + cos37º
.
tan60º + tan45º
Historia
Solución:
Reemplazando valores:
3 +1
=
7( 3 – 1)
7
=
5( 3 + 1) 5( 3 + 1)( 3 – 1)
7( 3 – 1)
10
Rpta.:
Problema 3:
7( 3 – 1)
10
Solución:
C
En la figura calcula cot.
60°
C
150°
B
6
A
150°
f
A
8
30°
4 3
B
6
AHC: cot =
6+4 3
4
 cot =
3+2 3
2
Problema 4:
Solución:
En la figura, AM es mediana.
Calcula tanr.
A
A
4
8
Rpta.:
B
M
C
b
M
b
2b
 tanr =
2b
B
3+2 3
2
ABH: tanr =
45°
H
45°
b
El astrónomo y matemático
hindú Aria Bhatta (476–550
d. C.) estudió el concepto
de «seno» con el nombre
de ardhá-jya, siendo ardhá:
‘mitad, medio’, y jya: ‘cuerda’). Cuando los escritores
árabes tradujeron estas obras
científicas al árabe, se referían a este término sánscrito
como jiba . Sin embargo, en
el árabe escrito se omiten las
vocales, por lo que el término
quedó abreviado jb. Escritores
posteriores que no sabían el
origen extranjero de la palabra
creyeron que jb era la abreviatura de jiab (que quiere decir
‘bahía’).
1
2
C
Rpta.: 1/2
3
27
II BIMESTRE
3 + 4
5
5
T =
T=
Origen de la palabra seno
CAPÍTULO 08
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS NOTABLES
Problema 5:
Problema 6:
En la figura,
calcula cotf + cscf.
3tan p + 5sen60°
6
Si senf =
7 cot30° + 5 tan p
2
3
3
20
Solución:
B
37°
f
51
Calcula: R = 7(cscq – cotq). (q <90°)
Solución:
a
20
12 Teorema de Pitágoras:
f
37°
a2 = 122 + 352
16
A
H 35
C
51
⇒ a = 37
senq =
7( 3) + 5( 3)
2
3
⇒ senq = 21
29
n2 + 212 = 292 ⇒ n = 20
29
21
⇒
R = 7 29 – 20
21 21
35 37 72
cotf + cscf =
+
=
12 12 12
cotf + cscf = 6
Rpta.: 6
II BIMESTRE
3 3+5 3
 3 
 2 
R=3
q
n
Rpta.: 3
Actividad 08
1
E=
2
6
Calcula la expresión
sen30º + sen37º + tan45º
cos30º + cos37º + cot45º
En la figura
calcula tan.
P
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se
traza la mediana CM; tal que mBMCB =  y
mBMAC = 37º. Calcula tan + cot.
7 En un triángulo ABC, mBBAC = 53º mBBCA = ,
AB = 10 y BC = 17. Calcula cot + csc.
12
120°
Q
3
R
10
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se
traza la mediana AM; tal que mBMCA = 53º y
mBMAC = . Calcula csc.
9
Calcula
Calcula la expresión
H=
tan60º + tan45º + tan37º
cot60º + cot45º + cot37º
M = tan
4
En el lado BC de un cuadrado ABCD se ubica
un punto T, tal que mBTDC = 37º. Calcula la
tangente del ángulo TAB.
5
En la figura
calcula sec.
B
5
6
30°
A
28
8
3
C
37°
53°
45°
+ tan
+ tan
.
2
2
2
10 En los lados BC y CD de un cuadrado ABCD
se ubican los puntos P y T respectivamente, tal
que mBTAD = 37º y mBATP = 90º. Calcula la
tangente del ángulo PAB.
Si senA = cosB, ¿cuánto mide el ángulo C?
Observación
B
Razones trigonométricas recíprocas
Razones trigonométricas
recíprocas
Recíprocos
C
A
a
c
B
senA =
a
b
cscA =
b
a
senA cscA = 1
senA =
1
cscA
cosA =
c
b
secA =
b
c
cosA secA = 1
cosA =
tanA =
a
c
1
secA
cotA =
c
a
tanA cotA = 1
tanA =
1
cotA
Problema 1:
Problema 2:
Si sen(3x – 10º) csc(70º – 2x) = 1.
Si tan( + 24º) cot(2 + 9º) = 1,
Calcula sen2(x – 1°).
calcula cot3f.
Solución:
Solución:
R.T. Reciprocas:
R.T. Reciprocas:
sen(3x – 10º) csc(70º – 2x) = 1
tan( + 24º) cot(2 + 9°) = 1
 3x – 10º = 70º – 2x
  + 24º = 2 + 9°   = 15º
5x = 80º  x = 16º
• sen35°csc35° = 1
• tan(3x + 20º) cot(30º + 2x) = 1
 3x + 20º = 30º + 2x
x = 10º
cot3 = cot45º
sen2(x – 1º) = sen30º
Observación
 cot3 = 1
1
 sen2(x – 1º) =
2
Rpta.: 1
Rpta.: 1/2
sen = cos(90° – )
Razones trigonométricas de ángulos complementarios
Iguales
B
a
b
1
sec40°
Luego: cot3 = cot3(15º)
Luego: sen2(x – 1º) = sen2(16º – 1º)
c
• cos40° =
II BIMESTRE
b
09
¿Al coseno de qué
ángulo es igual el
seno de 30º?
C
A
A
CAPÍTULO
PROPIEDADES DE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS
C
senA =
a
c
cosB =
a
c
senA = cosB
tanA =
a
b
cotB =
a
b
tanA = cotB
secA =
c
a
cscB =
c
a
secA = cscB
tan = cot(90° – )
sec = csc(90° – )
• tan42° = cot48°
• sec25° = csc65°
• sec(x + 21º) = csc(15º + 2x)
 (x + 21º) + (15° + 2x) = 90º
3
29
CAPÍTULO 09
PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Problema 3:
Problema 4:
Si sen5x = cos(x + 18º), calcula tan3(x – 2°).
Reduce
H = tan20º tan30º tan40º tan50º tan60º tan70º
sen10º tan10º sec80º tan80º
Solución:
sen5x = cos(x + 18º)
Solución:
5x + x + 18º = 90º  x = 12°
Aplicando razones de Bs complementarios.
Luego: tan3(x – 2º) = tan3(12º – 2º)
H=
tan3(x – 2º) = tan30º
 tan3(x –2º) =
3
3
3
Rpta.:
3
tan20º tan30º tan40º cot40º cot30º cot20º
sen10º tan10º csc10° cot10º
Ordenando por recíprocas:
H=
II BIMESTRE
H=
tan20º cot20º tan40º cot40º tan30º cot30º
sen10º csc10º tan10 cot10º
1(1)(1)
=1
1(1)
Rpta.: 1
Actividad 09
1
Si sen(2 + 5º) csc(50º – ) = 1,
7
calcula el valor de .
calcula sen2 + cos3.
2
Si tan(3x + 8º) = cot(2x – 8º),
Si tan(3 + 4º) tan(26º + 2) = 1,
8
Si cos6 = sen4, calcula
calcula sen(x + 12º) + cos(3x + 6º).
T=
3
tan(5 + ) + sec(3 + 2)
cot(5 – ) + csc( + 4)
Reduce
P=
sen20º sen30º sen40º sec50º sec60º sec70º
tan36º sen54º tan54º sec36º
9
Si tan3x = cot5x, calcula
P=
4
Si cos(7 – 11º) sec(2 + 59º) = 1,
calcula tan2( + 1º) + cot( + 16º).
5
Si sen(6 + 5º) = cos( – 20º),
calcula tan3 + tan4.
6
sen7x
cos2x
+
cosx
sen6x
Calcula la expresión:
R = (8cot10º + 6tan80º) tan10º
30
3
10 Calcula la expresión:
H=
sen1º + sen2º + sen3º + ... + sen89º
cos1º + cos2º + cos3º + ... + cos89º
Calcula la altura de la
torre en término de d y f.
CAPÍTULO
SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
RECTÁNGULOS
10
¿Se puede resolver un
triángulo rectángulo
conociendo solamente
los ángulos agudos?
f
d
Resolver un triángulo rectángulo es determinar la longitud de cada lado y la
medida de cada ángulo.
1.
c
x
= cosf
y c
x = c cosf
y
= senf
c
y = c senf
x
2.
Método práctico de
solución de triángulos
rectángulos
Conociendo la medida de un ángulo agudo y la longitud del
cateto adyacente (f, a)
z
y
= tanf
y a
y = a tanf
z
= secf
a
z = a secf
a
3.
c
b
x
x
= cotf
b
x = b cotf
z
= cscf
b
z = b cscf
Problema 1:
a
A
H

C
18
30°
Para ello buscaremos una R.T.
de 30º que relacione el lado
conocido con el desconocido.
Puede ser sen30º o csc30º.
Elegimos la razón en la que x
está como numerador.
En general, en forma práctica:
Lo que quiero Razón
=
Lo que tengo trigonométrica (q)
• x = csc 30°
18
x = 2  x = 36
18
x
B
A
b
B
En la figura, calcula AB en
términos de l y .
x
En este triángulo queremos
calcular x.
Conociendo la medida de un ángulo agudo y la longitud del
cateto opuesto (f, b)
z
Observación
H

C
ABC: x = lcos
Rpta.: lcos
3
31
II BIMESTRE
Conociendo la longitud de la hipotenusa y la medida de un ángulo agudo (c, f)
CAPÍTULO 10
SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
En la figura, calcula BC en
términos de n y .
x
C
B
T
A
Historia
Origen de la palabra tangente y cotangente
C
Problema 3:
N
En la figura, calcula BN en
términos de t y .
C
N
B
A
ANB: x = ttanq
B
A
El nombre tangente fue usado
por primera vez por Thomas
Pinche en 1583 y el término
cotangente fue usado por primera vez por Edmund Gunter
en 1620.
x
t
t
II BIMESTRE
D
n
T
Luego: x = nsen + n
 x = n(sen + 1)
Rpta.: n(sen + 1)
D
n
C
n
n
A
x
B
Problema 2:
Rpta.: ttanq
Actividad 10
1
En la figura, calcula AB
en términos de
a; b;  y b.
P
a
A
q
C
b
2
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B,
AB = n y mBC = . Calcula el perímetro de la
región ABC.
3
En la figura, calcula BC en términos de b;  y .
b
A
C
B
B
D
A
7
En un triángulo rectángulo, uno de sus ángulos
agudos mide  y la longitud de su hipotenusa es
t. Calcula el área de la región limitada por dicho
triángulo.
8
En la figura, ABCD es un rectángulo. Calcula
TC en términos de b y .
D
C
B
B
4
5
32
2b
C
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B,
AC – BC = l y mBA = . Calcula AB en términos de l y .
En un triángulo acutángulo ABC, mBA =  y
mBC = . Calcula
6
T
5b
AB
en términos de  y .
BC
En la figura, ABCD es un cuadrado. Calcula PB
en términos de q y w.
3
A
9
P
D
En el triángulo rectángulo ABC, recto en B, se
traza la altura BH; tal que HA = a y mBHAB = .
Calcula HC en términos de a y .
10 En el triángulo rectángulo ABC, recto en B, se
traza la altura BH; tal que HA = h y mBHBA = .
Calcula AC en términos de h y .
CAPÍTULO
11
ÁNGULOS VERTICALES
Calcula la altura del volcán
en términos de q y d.
¿Cuánto puede medir a lo más un ángulo de depresión?
q
d
Cuando se observa un punto que está por encima o por debajo del nivel de
la vista, la línea imaginaria que se dirige de la vista al punto se llama línea
visual.
Si es hacia arriba, el ángulo que forma la línea visual con la horizontal
se denomina ángulo de elevación.
Si es hacia abajo, el ángulo que forma la línea visual con la horizontal
se denomina ángulo de depresión.
f
ea
l
a
isu
v
ea
Lín
Lín
vis
Ten Presente
Ángulo de observación
ua
l
q
q
Línea horizontal
q: Ángulo de elevación.
f: Ángulo de depresión.
La línea horizontal con la visual determinan un plano vertical, en el que están contenidos los ángulos de elevación y de depresión, razón por la cual se
denominan ángulos verticales.
Problema 1:
Problema 2:
Desde el punto del suelo se observa la parte más alta de un poste con un ángulo de elevación de
53º. Si dicho punto se encuentra
a 48 m de la base del poste. ¿Cuál
es la altura del poste?
Desde lo alto de un edificio de
240 m de altura se observa un
punto en el suelo con ángulo de
depresión de 37º. ¿A que distancia de la base del edificio se encuentra dicho punto?
Solución:
Solución:
4
3
37°
\ h = 64 m
h
\ d = 320 m
240 m
53°
48 m
d
Rpta.: 64 m
El ángulo formado por la
líneas visuales que van al
extremo superior e inferior del
objeto observado se denomina
ángulo de observación.
d = 40cot37°
4
d = 240
3
h = 48tan53°
 h = 48
q: Ángulo de observación.
37°
Rpta.: 320 m
3
33
II BIMESTRE
Línea horizontal
2
CAPÍTULO 11
ÁNGULOS VERTICALES
Problema 3:
Problema 4:
Una persona de 2 m de estatura, observa la parte
más alta de un árbol con ángulo de elevación de
37º. Si la persona está a 36 m de la base del árbol,
calcula la altura de dicho árbol.
Un niño de estatura h divisa una araña en el suelo
con ángulo de depresión . ¿A que distancia de
los pies del niño se encuentra dicha araña?
Solución:
Solución:
h = 2 + 36tan37°
 h = 2 + 36
3
4
h
\ h = 29 m
 x = hcot
36
2m
x
h
37°
Rpta.: hcotq
II BIMESTRE
Rpta.: 29 m
Actividad 11
1
2
Desde un punto del suelo se observa la parte
más alta de una torre con ángulo de elevación
. Si dicho punto se encuentra a q metros de la
base de la torre, calcula la altura de la torre en
terminos de  y q.
Desde un punto en tierra se observa lo alto de
un poste con ángulo de elevación de 30º. Si la
altura del poste es 6 6 m, calcula la distancia de
dicho punto a la base del poste.
3
Desde lo alto de un faro se ve un barco, a 360
m de su base, con ángulo de depresión de 60º.
Calcula la longitud de la línea visual.
4
Desde un punto en tierra se observa la cúspide
de un cerro de 1200 m de la altura con ángulo de
elevación de 53º. ¿A que distancia de la base del
cerro se encuentra dicho punto?
5
6
Un ratón en tierra observa lo alto de un edificio
con una ángulo de elevación q, si se acerca al
edificio a una distancia de 50 m y mira otra vez
lo alto de dicho edificio con un nuevo ángulo de
elevación (90º – ). Si la altura del edificio es 60
m. Calcula 3tan.
Una persona de estatura h observa lo alto de una
torre con un ángulo de elevación f y la parte
34
3
baja se observa con ángulo de depresión . Calcula la altura de la torre en términos de h,  y .
7
Desde un punto en tierra se ve la parte más alta
de un edificio con ángulo de elevación de 53º. Si
nos alejamos una distancia igual al duplo de la
altura del edificio, el nuevo ángulo de elevación
para la parte más alta del edificio es . Calcula
cot.
8
Desde un punto en tierra se ve lo alto de un poste con ángulo de elevación . Nos acercamos
una distancia igual a la mitad de la altura del
poste y el nuevo ángulo de elevación es . Calcula H = cot – cot.
9
Una antena de teléfono de altura h se encuentra
en la azotea de un edificio de altura H. Desde un
punto en el suelo se ven la parte superior e inferior de la antena con ángulos de elevación  y 
cotf
respectivamente. Calcula
en términos de h
cotq
y H.
10 Desde un punto en el suelo se ve la parte más
alta de un árbol con ángulo de elevación . Nos
acercamos una distancia d y el nuevo ángulo de
elevación es 2. Calcula la altura del árbol en
términos de  y d.
CAPÍTULO
12
PLANO CARTESIANO
Las coordenadas en km de A y B son: (1; 5) y (3; 1),
respectivamente. Calcula el largo del lago.
¿Qué son coordenadas polares?
2
Ten Presente
A
Ángulos horizontales
Son aquellos ángulos ubicados
en un plano horizontal.
B
Rosa naútica
La recta numérica
Para cada punto de la recta hay un
número real y para cada número
real hay un punto de la resta.
–2
–1
0
Números negativos
A
X
Números positivos
Coordenada de A: 3
Rumbo
Coordenada de B: –1
Para ello elegimos un punto de una recta horizontal al que lo denominamos
origen y le asociamos el cero. Los números positivos se representan hacia la
derecha y los negativos, hacia la izquierda.
Está dado por el ángulo agudo
que forma una recta y la dirección norte o sur.
N
Norte
2
Segundo
Cuadrante
(IIC)
–2
1
–1
Y
B
Primer
Cuadrante
(IC)
Eje de
abscisas
Origen
X
–1
–2
Dos rectas numéricas que
se intersecan perpendicularmente en el origen determinan un plano denominado plano cartesiano.
A
0
Tercer
Cuadrante
(IIIC)
Cuarto
Cuadrante
(IVC)
Eje de
ordenadas
Problema 2:
Determina el rumbo de un punto
cuyo azimut es 124º.
Solución:
Solución:
E
O
36°
 = 180º – 36º
  = 144º
S
Rpta.: 144°
A se halla al Na°E de P
B se halla al Nq°O de P
C se halla al Sw°O de P
Tienen la particularidad de
obtenerse trazando bisectrices
sucesivas.
N
NO
124°
O
E
2q
q
q
P
OSO
S
 Rumbo de P: S56ºE
NNE
2q q q
O
 = 180º – 124º
 = 56º
S
Sur
N
De la figura:
P
w
C
E
Este
P
Rumbos notables:
Problema 1:
Determina el azimut de un punto cuyo rumbo es S36ºE.
N
O
Oeste
Cualquier punto del plano
queda determinado por el
par ordenado de sus coordenadas.
Coordenadas de B: (–1; –1)
Coordenadas de A: (2; 2)
Azimut de P:
q a A
B
Plano cartesiano
q q 2q
NE
ENE
q
q
2q
SO
E
SE
SSO
S
Rpta.: S56°E
3
35
II BIMESTRE
Esta correspondencia biunívoca
nos permite representar los números reales en la recta.
Origen
B
Denominado compás marino,
es un instrumento de orientación que permitirá localizar el
objetivo.
CAPÍTULO 12
PLANO CARTESIANO
Problema 3:
Problema 4:
Sebastián camina 35 m en la dirección N55ºE, luego camina 12 m en la dirección S35ºE. Calcula la
distancia del punto de partida al punto de llegada.
Alex está al N66ºO de Karina. ¿Qué dirección tiene Karina respecto a Alex?
Solución:
Solución:
O
55°
35°
S
d
N
S
66°
O
E
S
E
m
55°
m
35
12
N
Alex
O
E
O
E
Luego Karina se encuentra al S66ºE respecto a
Alex.
 d = 37 m
Rpta.: S66ºE
Rpta.: 37 m
Solución:
Milagros camina 84 m en la
dirección N48°O, luego camina
13 m en la dirección S42°O.
Calcula la distancia del punto
de partida al punto de llegada.
De la figura:
N
O
d2 = 842 + 132
E
m
Problema 5:
13
II BIMESTRE
Karina
S
Bs alternos internos:  = 66º
De la figura: d2 = (35)2 + (12)2
N
N
42°
S
48°
d
84
m
N
 d = 85 m
48°
O
E
S
Rpta.: 85 m
Actividad 12
1
Determina el azimut de un punto cuyo rumbo
es S72ºO.
7
Milagros está al S72ºO de Ana. ¿Que dirección
tiene Ana respecto a Milagros?
2
Determina el rumbo de un punto cuyo azimut
es 296º.
8
Determina el azimut de un punto P cuyo rumbo
es SO.
3
El rumbo de un punto P es N3xE y el azimut del
mismo punto es (80º – 2x). Calcula x.
9
4
Alexeén camina 42 m en la dirección N68ºO,
luego camina 40 m en la dirección S22ºO. Calcula la distancia del punto de partida al punto de
llegada.
Ricardo camina (x – 1) metros en la dirección
N52ºO, luego camina 5x metros en la dirección
N38ºE. Si la distancia del punto de partida al
punto de llegada es de 61 metros, calcula x.
5
¿Que ángulo forman las líneas NE y SE?
6
El rumbo de un punto es SE, determina el azimut de dicho punto.
36
3
10 Arón camina 357 m en la dirección N50ºE, luego camina otra vez 357 m en la dirección S70ºE.
Calcula la distancia del punto de partida al punto de llegada.
03
Unidad
Hélice de un portaviones
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD
LA HÉLICE
La hélice es un dispositivo mecánico formado por palas o álabes,
montados de forma concéntrica a un eje común que al girar,
trazan un movimiento rotativo en un plano. Las palas no son
placas planas, sino que tienen una forma curva, sobresaliendo
del plano en el que giran, esta curvatura provoca una diferencia
de velocidades entre el fluido de una cara y de la otra. Esta diferencia de velocidades genera una diferencia de presiones, y por
lo tanto aparece una fuerza perpendicular al plano de rotación
de las palas hacia la zona de menos presión. Esta fuerza es la
que mueve los barcos, eleva los helicópteros, etc.
- ¿Qué artefactos de tu casa tienen hélice?
http://es.wikipedia.org/wiki/H%C3%A9lice_(dispositivo)
APRENDIZAJES ESPERADOS
Matematiza
situaciones
Comunica y
representa
• Usa modelos de la vida
cotidiana y los traslada
a modelos matemáticos
que emplean ángulos
en posición normal
y R.T. de ángulos de
cualquier magnitud.
• Identifica los signos de
las R.T. en diferentes
cuadrantes.
• Emplea diagramas para
simbolizar las razones
trigonométricas de
ángulos en posición
normal y coterminales.
• Utiliza esquemas gráficos para plantear problemas con reducción
al primer cuadrante.
Elabora y usa
estrategias
• Elabora diversas estrategias para resolver
problemas que involucran los ángulos en
posición normal y las
razones trigonométricas de ángulos de
cualquier magnitudy
reducción al primer
cuadrante.
Razona y
argumenta
• Plantea conjeturas
referentes a las R.T. de
ángulos de cualquier
magnitud.
• Justifica el uso de las
R.T. de ángulos coterminales, cuadrantales
y reducción al primer
cuadrante.
3
37
CAPÍTULO
13
ÁNGULOS EN POSICIÓN
NORMAL
¿Cómo se calcula las R.T.
de ángulo que no están
en posición normal?
Las hélices dan 100 revoluciones por minuto. ¿Qué
ángulo barren en 24 horas?
Lado
terminal
Lado
terminal
O
Y
O
Vértice
Lado
inicial
X
Un ángulo trigonométrico está
en posición normal si su lado
inicial coincide con el eje positivo de la abscisas y su vértice,
con el origen de coordenadas.
Observación
El lado terminal puede caer en
cualquier cuadrante o semieje.
Ángulos en posición normal, posición estándar o
posición canónica
A) Ángulos que pertenecen a algún cuadrante
Y
IIC
Y
Y
X
IIIC
III BIMESTRE
X
Ángulo del
segundo
cuadrante
IVC
Ángulo del
tercer
cuadrante
Problema 1:
Ángulo del
cuarto
cuadrante
Sin importar su
medida, un ánX
gulo pertenece a
un cuadrante si,
y sólo si, estando en posición
normal, su lado
terminal cae en
dicho cuadrante.
Y
Lado
final
Vértice O
Lado
inicial
X
Solución:
Y
¿A qué cuadrante
pertenece un ángulo
canónico que mide
248º?
\ 248°  III C.
248°
Observación
X
Ángulos cuadrantales
Rpta.: III C
Y
Y
B) Ángulos cuadrantales
Y
Y
Y
X
180°
90°
X
X
Y
Y
Y
540°
450°
X
360°
38
270°
X
3
X
Los ángulos en posición normal cuyo lado
terminal coincide con
uno de los semiejes del
plano cartesiano se denominan cuadrantales
y son de la forma:
q = 90°k o
p
k, k 
2
X
X
Y
Y
X
X
ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL
CAPÍTULO 13
Problema 2:
Problema 3:
Problema 4:
¿A qué cuadrante pertenece un ángulo en posición
estándar cuya medida es
–253º?
En la figura se muestra un
ángulo cuadrantal, calcula el
valor de x.
En la figura se muestra un ángulo
cuadrantal, calcula el valor de .
Y
Y
Solución:
5(x – 8°)
Y
X
X
X
–253°
Solución:
Solución:
De la figura: 5(x – 8º) = 180º
De la figura: 9(3 + 4º) = 360º + 270º
x – 8º = 36º
 –253º  II C
 x = 44º
Rpta.: II C
3 + 4º = 40º + 30º
  = 22º
Rpta.: 44°
Rpta.: 22°
Problema 5:
Problema 6:
Problema 7:
Determina la gráfica de un
ángulo en posición normal
cuya medida es 840°.
Determina la gráfica de un ángulo en posición estándar cuya
medida es –860°.
En la figura se muestra un ángulo
cuadrantal, calcula f.
Solución:
Solución:
840° = 2(360°) + 120°
–860° = 2(–360°) + (–140°)
Y
IIC
IC
60°
840°
40°
IVC
IIIC
 840º  II C
Y
5(7f + 13)°
X
IC
–860°
X
De la figura: 5(7f + 13)° = 360° + 90°
IVC
7f = 77
 f = 11
 –860º  III C
Rpta.: II C
Solución:
En la figura se cumple:
De la figura:
90°
Y
H = 5a + 3b + q
P = 3a + b – w
H = 5(90°) + 3(–90°) + (–180°) ⇒ H = 0°
P = 3(90°) + (–90°) – 270° ⇒ P = –90°
w
a
180°
O
calcula:
M = 5H – 3P + S
3H + P + 2S
Rpta.: 11
Rpta.: III C
Problema 8:
S = a + 2b – q
7f + 13 = 72 + 18
q
270°
b
0°
X
360°
S = 90° + 2(–90°) – (–180°) ⇒ S = 90°
Reemplazando:
M=
5(0° – 3(–90°) + 90°
360°
=
3(0°) + (–90°) + 2(90°)
90°
M = 4
Rpta.: 4
3
39
III BIMESTRE
X
IIIC
Y
IIC
Solución:
Actividad 13
1
¿A qué cuadrante pertenece un ángulo en posición normal cuya medida es 154º?
7 ¿A qué cuadrante pertenece un ángulo en posición canónica cuya medida es –325º?
2
En la figura se muestra un ángulo cuadrantal,
calcula el valor de .
8
1. El vértice de un ángulo en posición estándar
coincide con el origen del sistema de coordenadas.
Y
X
3
Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
2.
6p
rad  II C.
5
3.
8p
rad  IV C.
5
Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
1. 192º  II C( )
2. 253º  III C( )
3. 333º  IV C( )
9
Indica cuál(es) de los gráficos representan a un
ángulo en posición normal:
1.
2.
Y
Y
4. 270º  III C( )
X
4
En la figura se muestra un ángulo cuadrantal,
calcula el valor de .
Y
3.
III BIMESTRE
4.
Y
Y
X
X
X
5.
5
X
6.
Y
Y
¿A qué cuadrante pertenece un ángulo en posición estándar cuya medida es 1324º?
X
X
6
Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
1. La medida de un ángulo en posición normal
es mayor que 90º.
2. El lado inicial de un ángulo estándar coincide con eje positivo de las X.
3. A un ángulo en posición normal, también se
le denomina ángulo en posición estándar o
canónica.
40
3
10 En la figura se muestra un ángulo canónico, calcula el valor de .
Y
f + 20°
X
14
CAPÍTULO
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS DE CUALQUIER MEDIDA
Q
Si las coordenadas de Q
respecto a P son (35; 30),
¿cuál es la pendiente de
la faja transportadora?
¿Se puede calcular
las R.T. de cualquier ángulo?
P
Observación
Razones trigonométricas en el plano cartesiano
Sea  un ángulo del
IVC, a cuyo lado
terminal pertenece
el punto (4; –3) con
radio vector 5.
A la derecha se observan las R.T. de .
–3
5
• sen = • csc =
5
–3
Y
4
X
5
4
5
• cos = • sec =
5
4
(4; –3) • tan = –3 • cot = 4
4
–3
–3
Es la distancia de un punto
cualquiera del plano al origen
de coordenadas.
Y
b
r
O
y
r
• sen = • csc =
y
r
Y
x
r
y
x
• cos = • sec =
r
y
P(x; y)
• tan = • cot =
x
X
Problema 1:
Solución:
De la figura, calcula
De la figura: x = –4; y = 3
H = sen + csc
r
x
x
y
P(a; b)
X
a
Radio vector: OP = r
r2 = a2 + b2
r = a2 + b2
Radio vector: r2 = (–4)2 + 32
 r=5
Y
P(–4; 3)
Reemplazando: H =
X
H=
3 5
+
5 3
34
15
Rpta.: 34/15
3
41
III BIMESTRE
En general, se definen las razones
trigonométricas de
cualquier ángulo
en base a las coordenadas de cualquier punto de su
lado terminal.
Radio vector
CAPÍTULO 14
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS DE CUALQUIER MEDIDA
Problema 2:
Problema 3:
Problema 4:
De la figura, calcula
De la figura, calcula
De la figura, calcula
T = sen + cos
R = cos + sec
Y
Y
P(12; –5)
Solución:
x = 12; y = –5
Radio vector: r2 = (12)2 + (–5)2
X
De la figura: x = –15; y = –8
Radio vector: r2 = (–15)2 + (–8)2
 r = 13
Reemplazando: T =
 r = 17
–5 12
+
13 13
Reemplazando: R =
R=–
Rpta.: 7/13
P(24; 7)
P(–15; –8)
Solución:
De la figura:
7
13
Y
X
X
T=
E = tan + cot
514
255
–15 17
+
17 –15
Solución:
De la figura: x = 24; y = 7
Reemplazando: E =
E=
625
168
7 24
+
24 7
Rpta.: 625/168
Rpta.: –514/255
III BIMESTRE
Actividad 14
1
El punto P(20; 21) pertenece al lado final del ángulo canónico . Calcula E = sen + cot.
2
El punto N(–7; 3) pertenece al lado final del ángulo canónico . Calcula H = cos + tan.
3
4
5
6
gulo en posición normal cuya medida es 2(2 
I C). Calcula H = 2sen + cotf.
7
El punto R(–2n; n) pertenece al lado final del ángulo en posición normal cuya medida es l. Calcula E = 5cosl – 2tanl.
El punto T(–2; –3) pertenece al lado final del
ángulo en posición estándar cuya medida es w.
Calcula N = secw + cscw.
8
El punto H(– 3; – 2) pertenece al lado final del
ángulo en posición normal cuya medida es g.
Calcula E = 30(tang + cotg) seng.
El punto R(5; –3) pertenece al lado final del ángulo en posición normal cuya medida es r. Calcula E = tanr + secr.
9
El punto M(6; 8) pertenece al lado final del ángulo en posición normal cuya medida es 2a,
(0º < 2 < 90º).
El punto E(12; 35) pertenece al lado final del
ángulo en posición canónica cuya medida es a.
Calcula T = csca + cota.
El punto N( 3 ; 3) pertenece al lado final del án-
42
3
Calcula T = 6 5(sena + cosa) tana.
10 El punto A( 7; – 5) pertenece al lado final del
ángulo en posición estándar cuya medida es r.
Calcula T = 6 15(senr + cosr) cotr.
15
CAPÍTULO
SIGNO DE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS
¿Qué R.T. tienen
igual signo en
cada cuadrante?
Nota
Aquí los signos de los ángulos no cuadrantales.
IIC
90º
Sen (+)
csc
IC
Todas las R.T. son
Positivas
180º
Tan (+) Cos (+)
cot
IIIC
sec
cos
0º
360º
IVC
270º
sen
Problema 1:
cot
sec
csc
IIIC
IVC
+
+
+
+
+
+
+
–
–
–
–
+
–
–
+
+
–
–
–
+
–
–
+
–
Problema 2:
3
Si tanw = ,   III C. Calcula
5
sen.
Solución:
Dato: tan =
Solución:
Dato : x = 9; y = –12
Radio vector: r2 = 52 + 32  r = 34
 r = 15
Reemplazando: H = 5
–12
5
3
5
y 3
=
x 5
Radio vector: r2 = 92 + (–12)2
H=
IIC
 –12   9 
×
 15   15 
Rpta.: –12/5
Luego sen = –
 sen = –
3
34
–
–
Signo de SENO en cuadrantes
–
+
–
+
Signo de COSENO en cuadrantes.
–
+
+
–
3 34
34
Rpta.: –3 34/34
Solución:
Señale el signo de la expresión
130º  II C  cos130º es (–)
cos130°
tan220°
+
Signo de TANGENTE en
cuadrantes.
Problema 3:
E=
+
220º  III C  tan220º es (+)
Luego: E =
(–)
 E = (–)
(+)
Rpta.: (–)
3
43
III BIMESTRE
Si P(9; –12) pertenece al lado final de un ángulo canónica cuya
medida es , calcula H = 5sen
cos.
tan
IC
CAPÍTULO 15
SIGNO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Problema 4:
Solución:
 es la medida de un ángulo en posición
normal, tal que sen < 0  cos > 0. ¿A
que cuadrante pertenece dicho ángulo?
sen < 0    III C o IV C
cos > 0    I C o IV C
   IV C
Rpta.: IV C
Problema 5:
Problema 6:
Señala el signo de la expresión:
w es la medida de un ángulo en posición
canónica, tal que tanw > 0 ∧ secw < 0. ¿A
qué cuadrante pertenece dicho ángulo?
H=
sen154° · cos205° · tan118°
sec224° · cot196° · csc101°
Solución:
Solución:
(+)(–)(–)
(–)(+)(+)
(+)
H=
(–)
tanw > 0 w  I C o III C
H=
secw < 0 w  II C o III C
 w  III C
 H = (–)
Rpta.: IIIC
Rpta.: (–)
Actividad 15
III BIMESTRE
1
Señale el signo de la expresión T =
sen280°
.
cos200°
7
Señale el signo de la expresión
R=
2
3
2
Si sen = ,   II C. Calcula 5tanf.
3
Si P(–3; 2) pertenece al lado final del ángulo en
posición normal cuya medida es a.
Calcula E = 26sena cosa.
5
Señale el signo de la expresión
tan80° cos140º
R=
sen110°
6
44
8
w es la medida de un ángulo en posición normal, tal que senw > 0  cotw < 0. Determina a
que cuadrante pertenece dicho ángulo.
9
Si P (– 3; – 5) pertenece al lado final del ángulo en posición normal cuya medida es f.
Calcula T = 8senf – 4cosf .
 es la medida de un ángulo estándar, tal que
cos < 0  tan > 0. Determina a que cuadrante
pertenece dicho ángulo.
4
1
Si cosr = , r  IV C. Calcula 15cotr.
4
3
cos170° cot230º
sen300° sec340º
10 Señale el signo de la expresión
R=
sec105° tan205º
cos305° sen95º
16
CAPÍTULO
R.T. DE ÁNGULOS COTERMINALES
Y CUADRANTALES
¿Dos ángulos de signos opuestos pueden
ser coterminales?
¿Cuál es la
pendiente de
la caída?
Y
40º
X
400º
RT(400º) = RT(40º)
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COTERMINALES
Dos ángulos en posición normal que tienen el mismo lado terminal se denominan coterminales y se diferencian en un número entero de vueltas. Como
tienen el mismo lado final los ángulos coterminales tienen las mismas razones trigonométricas. Los ángulos 40º y 400º son coterminales porque tienen
el mismo lado final.
En general:
Dos ángulos a y b son coterminales si:
Y
De modo que:
P(x; y)
¿Son coterminales lo ángulos?
o |a – b|= 2pk k ∈ +
|a – b| = 360° k
X
Nota
Y
240°
R.T. (a) = R.T. (b)
X
III BIMESTRE
Problema 1
Si  y  son las medidas
de ángulos coterminales,
calcula
sen cosw
P=
+
senw cosf
Solución:
Si  y  son medidas de ángulos coterminales, se cumple RT() = RT().
Luego: P =
sen
senw
+
cosw
cosf
Y
=1+1
Rpta.: 2
–120°
X
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS CUADRANTALES
Y
Y
(1; 0)
0º X
(0; 1)
90º
X
0° o 360°
90°
senq
0
1
0
–1
cosq
1
0
–1
tanq
0
nd
0
Y
Y
180º
(0; –1)
X
(–1; 0)
180° 270°
X
270º
0° o 360°
90°
180° 270°
cotq
nd
0
nd
0
0
secq
1
nd
–1
nd
nd
cscq
nd
1
nd
–1
nd: No definido
3
45
CAPÍTULO 16
R.T. DE ÁNGULOS COTERMINALES Y CUADRANTALES
Problema 2
Calcula E =
Problema 3
Calcula T = sen777º – sen57º
3cos180° – sen90º
2cos360°
Solución:
Solución:
Se observa:
Utilizando la tabla de las razones trigonométricas
de ángulos cuadrantales, se tiene:
777º – 57º = 720º = 2(360º), entonces 777º y 57º
son las medidas de ángulos coterminales.
Luego: T = sen57º – sen57º
E = 3(–1) – (1)
2(1)
 T = 0
 E = –2 Rpta.: 0
Rpta.: –2
Problema 4
Solución:
En la figura, calcula
2senr tanq
P=
–
senq tanr
r y q son medidas de ángulos coterminales,
entonces:
RT() = RT()
Y
Luego R =
X
2senr
 R=1
senr
–
tanr
tanr
=2–1
Rpta.: 1
III BIMESTRE
Actividad 16
1
2
Calcula H =
3sen90° cos0°
–
.
sec0°
csc90°
6
calcula T =
Calcula R = cos440º – cos80º.
7
3
a y  son las medidas de ángulos coterminales,
Calcula E = 7sen90º – 3cos180º + 5tan180º.
tana
tanb
+ cosa sec
Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
1. tan720º = –1
2. sen990º = –1
4
Calcula R = cos[2sen(tan)]
5
Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
8
p
Calcula P = sen{cot } – cos{tan(sen2)}
2
1. sen270º = 1
9
Calcula H = tan55º – 2tan775º + tan415º
3. cos540º = –1
2. cos180º = –1
3. tan2 = 1
46
10 Calcula R = sec428º – csc22º + cos22º csc428º
3
17
CAPÍTULO
REDUCCIÓN AL 1ER CUADRANTE DE ÁNGULOS MENORES QUE UNA VUELTA
¿Qué R.T. de 60° y
120° son iguales?
130°
¿Cuánto vale la cosecante
de la abertura del valle?
Recuerda
Y
sen210° =
210°
– 3
210° 30°
60°
2
(– 3; –1)
X
180° + 30°
IIC 90º
270° – 60°
cos60° =
1
sen30° =
2
–1
Signos de las razones trigonométricas en los cuatro cuadrantes
–1
2
1
2
Signo porque
210°  IIIC
R.T.(90° + q) =coR.T.(q)
–1
240°
signo
(–1; – 3 )
El signo depende únicamente del cuadrante al que pertenece el ángulo a reducir.
• 240°  IIIC  seno
es negativo (–).
• 240° =
– 3
270° – 30°
o
180° + 60°

2 30°
R.T.(270°  q) =coR.T.(q)
signo
• Elegimos 270° – 30°
sec
IVC
Ángulos positivos mayores
que 90° y menores que 360°
90° < q < 360°
Se cumple:
1. Si q  IIC
 sen(270° – 30°) = –cos30° = –
3
2
Co-razón porque 270°
R = 2cos30º + 3(–cos30º)
Calcula R = 2sen120º + 3cos210º
R = –cos30º
Solución:
R=–
3
2
R.T.(q) = R.T.(180° – q)
2. Si q  IIIC
R.T.(q) = R.T.(q – 180°)
Problema 1:
R = 2sen(90º + 30º) + 3cos(180º + 30)
cot
IIIC 270º
Y
X
60°
signo
R.T.(360° – q) =R.T.(q)
Tan (+) C os (+)
Observación
• Calculamos sen240°:
R.T.(180°  q) =R.T.(q)
0º
360º
Rpta.: – 3/2
3. Si q  IVC
R.T.(q) = R.T.(360° – q)
El signo () dependerá del
ángulo y de la R.T. pedida.
3
47
III BIMESTRE
Co-razón cuando
ángulo cuadrantal es
90° o 270°
signo
todas
sen210° = sen(270° – 60°) = –cos60°
Misma razón cuando
ángulo cuadrantal es
180° o 360°
En general:
Positivas
Signo porque
210°  IIIC
Ángulo cuadrantal
sen210° = sen(180° + 30°) = –sen30°
csc
IC
180º
En la figura se puede observar que sen210º, sen30º y cos60º son iguales en
valor absoluto, sólo difieren en el signo.
Ángulo cuadrantal
Sen (+)
CAPÍTULO 17
REDUCCIÓN AL 1ER CUADRANTE DE ÁNGULOS MENORES QUE UNA VUELTA
Problema 2:
Problema 3:
Calcula
Reduce
M = 3cos150º – 4sen300º
T=
Solución:
T=
M = –3cos30º + 4cos30º
M = cos30º
cscf
cscf
T=1
3
2
Rpta.: 1
Rpta.: 3/2
Problema 4:
Solución:
Reduce
H=
csc(180º – )
Solución:
M = 3cos(180º – 30º) – 4sen(360º – 60º)
M = 3(–cos30º) – 4(–sen60º)
M=
sec(270º + )
sen(360º – q)
cos(180º + q)
H=
+ sen(90º + ) sec
–senq
+ cosq secq
–cosq
 H = tanq + 1
Rpta.: 1 + tanq
III BIMESTRE
Actividad 17
1
Calcula M = 6sen150º – 2cos240º.
2
Calcula R = 8tan300º + 6cot210º.
2. cos(2 + a) = –cosa
3
Reduce
p
3. cot( + ) = tan
2
H=
4
1. sen(
sec(180º– )
+ tanf tan(90º – f)
csc(90º + f)
Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
7 Calcula T = 5cos127º + 8sen150º – 3tan225º.
8
Calcula H = sen300º cot135º + cos330º tan315º
9
Reduce
1. sec(90º + ) = –csc
p
2. tan( – ) = –cot
2
3. sen(360º – ) = sen
5
Reduce
3cos40° 6sen50° 2tan20°
T=
+
+
.
cos140° sen130° tan160°
6
48
Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
3
3p
+ w) = cosw
2
3p
– q) sen(p + q)
2
E=
sen( – ) cos(2 – ) tan( – )
cos(2 + ) tan(
10 Señale
M=
3tan66° 2cos33° sen22°
+
+
tan294° cos327° sen338°
18
¿Puede ser positivo
la razón trigonométrica de un ángulo
negativo?
C
A
Cuándo la hélice haya dado
2124,25 vueltas, ¿cuánto
valdrá el seno del ángulo determinado por la paleta C?
CAPÍTULO
REDUCCIÓN AL 1ER CUADRANTE DE ÁNGULOS MAYORES QUE UNA VUELTA
120°
¡!
Interesante
Ángulo en radianes
B
Para ángulos mayores que una vuelta se establece la siguiente relación:
R.T.(360ºk + q) = R.T.(q);  k 
R.T.(2pk + q) = R.T.(q);  k 
Por lo tanto, para reducir al primer cuadrante se le quita el máximo número
de vueltas y se calcula las razones trigonométricas del resto y si éste no cae
en el primer cuadrante se reduce como en el capítulo anterior.
Cuando el ángulo está en radianes, para quitar el número
de vueltas se divide entre 2p.
En forma práctica se divide el
numerador entre el doble del
denominador y se reemplaza
con el residuo el numerador.
Véase el siguiente ejemplo:
• tan
• Calculamos cos750°:
• Calculamos sec2280°:
Y
1
( 3 ; 1)
2
30°
720°
3
X
750° 360°
30°
2280° 360°
120°
6
= 
– csc(30°) = –2
signo 
2
• tan
73
12
1
6
403p
3
p
= tan p = tan(p – ) = –1
4
4
4
403 8
3
120°  IIC y en este
cuadrante sec es (–)
50
1

403p
p
 tan
= 
– tan = –1
4
4
signo
\ sec2280° = –2
3p/4  IIC y en este
cuadrante tan es (–)
2
Problema 1:
Problema 2:
Calcula H = 4cos420º + 6sen750º
Calcula M = 5sen1133º – 8tan757º
Solución:
Solución:
H = 4cos(360º + 60º) + 6sen[2(360º) + 30º]
M = 5sen[3(360º) + 53º] – 8tan[2(360º) + 37º]
H = 4cos60º + 6sen30º
M = 5sen53º – 8tan37º
1
1
H = 4  + 6
2
2
4
3
M=5
–8
5
4
H=5
 M = –2
Rpta.: 5
Rpta.: –2
3
49
III BIMESTRE
3
cos750° = cos30° =
2
sec2280° = sec120° = sec(90° + 30°)
3
73p
1
= tan p =
6
6
3
CAPÍTULO 18
REDUCCIÓN AL 1ER CUADRANTE DE ÁNGULOS MAYORES QUE UNA VUELTA
Problema 3:
Problema 4:
Calcula R = 6sec4020º csc4350º
Calcula T = 4sen1590º + 10cos2287º
Solución:
Solución:
R = 6sec[11(360º) + 60º] csc[12(360º) + 30º]
T = 4sen[4(360º) + 150º] + 10cos[6(360º) + 127º]
R = 6sec60º csc30º
T = 4sen150º + 10cos127º
R = 6(2)(2)
T = 4sen30º + 10(–cos53º)
 R = 24
1
3
T=4
– 10
2
5
Rpta.: 24
 T = –4
Rpta.: –4
Y
• senq =
(8; 15)
15
sen(–q) =
17
X
8
O
17
III BIMESTRE
–15
15
17
8
• cosq =
17
8
cos(–q) =
17
• tanq =
(8; –15)
• sen(–53°) = –sen53° = –
–15
17
15
8
–15
tan(–q) =
8
4
5
  
Las R.T. para ángulos negativos se obtienen de la siguiente manera:
sen(–q) = –senq
csc(–q) = –cscq
Observación
cos(–q) = cosq
sec(–q) = secq
tan(–q) = –tanq
cot(–q) = –cotq
Las razones trigonométricas
de ángulos negativos, también
se puede obtener calculando las R.T. de su coterminal
positivo:
• Calculamos csc(–30º):
• cos(–45°) = cos45° =
2
2
330°
–30°
• tan(–120°) = – tan120° = –tan(180° – 60°) = –[–tan60°] = 3
csc330º = csc(360º – 30º)
Problema 5:
Problema 6:
Calcula
Calcula
R = 5sen(–37º) csc(–30º)
Solución:
csc330º = –csc30º = –2

IV C (–)
M = 12sec(–60º) cot(–45º) cos(–30º)
Solución:
R = 5(–sen37º)(–csc30º)
M = 12sec60º (–cot45º) cos30º
R = 5– 3 (–2)
 5
M = 12(2)(–1)
R=6
Rpta.: 6
50
3
 3
 2 
 M = –12 3
Rpta.: –12 3
REDUCCIÓN AL 1ER CUADRANTE DE ÁNGULOS MAYORES QUE UNA VUELTA
Problema 7:
CAPÍTULO 18
Solución:
Calcula
p
R = cos + cos 2p + cos 3p + cos 4p
5
5
5
5
p
p



R = cos + cos 2p + cos p – 2p + cos p –
5
5
5
5 


p
p
R = cos + cos 2p – cos 2p –cos
5
5
5
5
R=0
Rpta.: 0
Problema 8:
Calcula
p
p
p
13p
M = sen + sen + sen + sen 5p + sen 9p + sen
7
5
3
7
3
5
Solución:
p
p
p
p
p
p



M = sen + sen + sen + sen 2p –
+ sen 2p –
+ sen 2p –
7
5
3
3
5
7



p
p
p
p
p
p
M = sen + sen + sen – sen – sen – sen
7
5
3
3
5
7
M=0
Rpta.: 0
Actividad 18
Calcula P = 2sen390º – 6cos780º.
2
Calcula H = 3tan773º – 12cot397º.
3
Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
6
Calcula
M = sen
7
p
23p
p
p
+ sen + sen + ... + sen
12
6
4
12
Reduce
1. sen(720º + q) = senq
2. tan(1440º – q) = tanq
T=
3. sec(360º + ) = –sec
4
Calcula R = sen2000º cos1080º sec430º.
5
Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
1. cos(450º + f) = –senf
sen80°
cos40°
tan20°
+
+
sen(–280°) cos(–320°) tan(–340°)
8
Calcula M = sen(–585º) cos(–660º) tan(–495º)
9
Calcula H = sen [cot(–40º)] + sen [cot(–320º)]
10 Calcula M = cot[csc(–20º)] + cot[csc(–340º)]
2. cot(4 + f) = tanf
7p
3. csc( – ) = sec
2
3
51
III BIMESTRE
1
04
Unidad
Machu Picchu. Maravilla del Mundo
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
IDENTIDAD CULTURAL
La Identidad cultural tiene que con la respuesta a las preguntases ¿quién soy yo? ¿De dónde vengo? y cuyas respuestas dependen totalmente del autoconocimiento.
El primer elemento que tiene el Perú, como fundamento, que
sustenta su plural y rica identidad, es el haber sido cuna de una
civilización única y original en el mundo: la andina.
Los problemas que afectan a nuestra identidad son la masificación del abuso cultural vía la imitación de valores ajenos que
nos han hecho sentir y creer que son superiores a los nuestros.
ial de la Humanidad.
imonio cultural inmater
Danzante de tijeras, patr
- Describe tu identidad cultural.
http://identidadculturalfacem.blogspot.com/
APRENDIZAJES ESPERADOS
Matematiza
situaciones
• Traslada situaciones
de la vida cotidiana a
modelos matemáticos
que usan las identidades trigonométricas y
auxiliares.
• Identifica las identidades para el ángulo
doble. y la srazones
trigonométricas de
ángulos compuestos.
52
3
Comunica y
representa
Elabora y usa
estrategias
Razona y
argumenta
• Utiliza esquemas gráficos para representar las
identidades trigonométricas.
• Elabora demostraciones de identidades
trigonométricas.
• Elabora organizadores
visuales para representar las distintas identidades trigonométricas.
• Emplea diversas estrategias para resolver
problemas que involucran el uso de las
identidades trigonométricas.
• Determina las razones
trigonométricas de
ángulos compuestos.
• Justifica el uso de las
identidades trigonométricas.
• Propone conjeturas
sobre las razones trigonométricas de ángulos
compuestos.
• Plantea ejemplos sobre
las identidades trigonométricas.
19
CAPÍTULO
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
PITAGÓRICAS
¿Cuál es la diferencia entre identidad
algebraica e identidad trigonométrica?
Si senq cosq = 0,5 y
a + b = 10 m, calcula d.
d
b
q
a
Veamos la demostración de una de las identidades pitagóricas:
c
A
• sen2x =
a
x
a2
c2
b2
• cos2x = 2
c
sen2x + cos2x =
Recuerda
a2 b2
+
c2 c2
c2

a2 + b2
sen2x + cos2x =
c2
c
a
sen2x + cos2x = 1
C
b

B
a2 + b2 = c2
b
c2 = a2 + b2
sen2x + cos2x = 1
sec2x – tan2x = 1
csc2x – cot2x = 1
c2 – a2 = b2

Identidades pitagóricas
c2 – b2 = a2
Estas igualdades se denominan identidades pitagóricas y se cumplen para
todos los valores angulares de x, a excepción de los valores donde la R.T. no
está definida.
Problema 1:
Problema 2:
Simplifica M =
sen4f
cos4f
–
senf + cosf
Reduce
+ cosf
H=
Solución:
Identidad algebraica:
Solución:
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
H = tan2f
1
1
–
secf – 1 secf + 1
H = tan2f
secf + 1 – secf + 1
(secf – 1)(secf + 1)
Aplicando:
M=
(sen2f + cos2f)(sen2f – cos2f)
(senf + cosf)
+ cosf
M=
(1)(senf + cosf)(senf – cosf)
(senf + cosf)
+ cosf
⇒ H = (sec2f – 1)
2
sec2f
–1
H=2
⇒ M = senf – cosf + cosf
 M = senf
tan2f
tan2f
–
secf – 1 secf + 1
Rpta.: 2
Rpta.: senf
3
53
CAPÍTULO 19
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PITAGÓRICAS
Problema 3:
Problema 4:
Simplifica
Reduce
R=
3f
cos3f
sen –
senf – cosf
–
T = csc4f – sen2f – cot4f – cos2f
tanf
cot(90° – f)
Solución:
Solución:
Agrupando convenientemente
Identidad algebraica
T = (csc4f – cot4f) – (sen2f + cos2f)
a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)
T = (csc2f – cot2f)(csc2f + cot2f) – (1)
Aplicando:
M=
M=
T = (1)(csc2f + cot2f) – 1
(senf – cosf)(sen2f + senfcosf + cos2f)
(senf – cosf)
sen2f
+
cos2f
–
tanf
tanf
⇒ T = 1 + cot2f + cot2f – 1
 T = 2cot2f
+ senfcosf – 1
Rpta.: 2cot2f
⇒ M = 1 + senfcosf – 1
 M = senfcosf
Rpta.: senfcosf
Actividad 19
1
Reduce M = sen2f + cos4f – sen4f
7
Simplifica
H=
2
Simplifica
H=
3
4
sen6f – cos6f
(1 + senfcosf)(sen3f + cos3f)
8
Reduce R = tanf senf cos2f + cos3f
Reduce
N=
3θ
6
1. 1 – cos2x = sen2x
(
)
2. tan2x – sec2x = 1
(
)
3. sen2x + cos4x = cos2x + sen4x (
)
cos – secθ
sen3θ – cscθ sen2θ
Reduce
R=
Indica el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
cos2θ
9
5
(1 + tan2f)sen2f cosf cotf
(1 – cos2f)(1 + cot2f)
cosf tanf + cotf cosf
senf secf cscf
Reduce
R = tan2f +
sen2f + cos4f
cos2f + sen4f
10 Simplifica
Reduce
M=
54
2sen2f + tan2f + 2cos2f + cot2f
sec2f csc2f
3
E=
cscf(sen4f + senfcos3f)
(senf – cosf)2 + senf cosf
20
CAPÍTULO
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
RECÍPROCAS Y POR COCIENTE
¿Para que valor
de x no se cumple
senx cscx = 1?
q
Veamos la demostración de una de las identidades recíprocas:
B
a2 + b2 = c2
• senx =
c
A
a
x
senx⋅cscx =
• cscx = c
a
C
b
a
c
a c
×
c a
senx⋅cscx = 1
2
Identidades trigonométricas recíprocas
senx⋅cscx = 1
cosx⋅secx = 1
tanx⋅cotx = 1
Estas igualdades se denominan identidades recíprocas y se cumplen para
todos los valores angulares de x, a excepción de los valores donde la R.T. no
está definida.
Problema 1
Problema 2
Reduce
Simplifica
M = cos tan csc –
cos sen(90º – )
sen·cos·sec2
H=
tanf
Solución:
sen·sec·cos·sec
H=
tanf
Solución:
M = cos ·
senf
· csc – cos · cos
cosf
M = 1 – cos2
H=
 M = sen2
Rpta.: sen2
Ten Presente
Las identidades trigonométricas recíprocas también se
pueden expresar en la forma
siguiente:
senx =
1
csc x
cosx =
1
sec x
tanx =
1
cot x
1 
·(1)
sen· 
 cosf
tanf
H=
tanf
=1
tanf
Rpta.: 1
Identidades trigonométricas por cociente
tan x =
senx
cos x
cot x =
cosx
senx
3
55
CAPÍTULO 20
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS Y POR COCIENTE
Véase las demostraciones:
a2
b2
+
B
c2
=
c
a
x
A
C
b
a
a c
• tan x= = b
b
c
senx
⇒ tan x =
cos x
b
b c
• cot x= =
a a
c
cosx
⇒ cot x =
senx
Problema 3
Problema 4
Reduce
R = sen3·tan·csc + cos3·tan·sec
cos·cot – sen·cos2
cos2·cot2
Solución:
Solución:
R=
Reduce M =
tan·sen2·sen·csc
+
tan·cos2·cos·sec
R = tan·sen2·(1) + tan·cos2·(1)
R = tan·(sen2 + cos2)
sen2·cos
cos
–
senf
senf
cos·(cot – sen·cos)
M=
=
2
cos2
cos·cos·cot 
cosf·
sen2f
M=
R = tan·(1)
 R = tan
cos·(1 – sen2)·sen
cos·cos2
 M = sen
Rpta.: sen
Rpta.: tan
Actividad 20
1
6
Reduce
H = sen·cos·tan·sec·cot·csc
2
Simplifica
M=
3
sen·cot + cos·tan
senf
Reduce
R = senr·cosr·tanr·cscr
4
M=
7
send·cosd
– cosd·cotd.
1 – cosd
Reduce
R=
8
tanf
tanf
–
secf – 1 secf + 1
Reduce
H=
cos·cot – sec2·cos·cot
sen·tan – csc2·sen·tan
Simplifica
M=
5
Simplifica
sen
cos
tan
+
+
– sen2·sec2
cscf
secf
cotf
Reduce
Reduce
M=
cosf·cscf cosf·cscf
–
1 – senf
1 + senf
10 Simplifica
P=
56
9
2sen3w·cosw
– senw·cosw
cosw – 2cos3w
3
H=
sen·(1 + tan) + cos·(1 + cot)
tan·csc
¿Cómo se distingue
una identidad de
una ecuación trigonométrica?
125304
21
CAPÍTULO
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
AUXILIARES
Matemática
en la vida
Instrumentos auxiliares de
la topografía
El planímetro es un aparato
que mide el área de regiones
con contorno irregular.
A partir de las identidades fundamentales se derivan un conjunto de identidades, llamadas auxiliares, que son frecuentes en la reducción de expresiones trigonométricas y útiles en la solución de las ecuaciones trigonométricas.
Aquí las identidades auxiliares:
sen4x + cos4x = 1 – 2sen2xcos2x;
 x R
sen6x + cos6x = 1 – 3sen2xcos2x;
 x R
(1  senx  cosx)2 = 2(1  senx)(1  cosx);
Problema 2:
Reduce
Reduce
sen·tan + cos
sec·csc
Solución:
cos
sen·(tan +
)
senf
M=
sec·csc
M=
sen·(tan + cot)
(tan + cot)
La brújula es un instrumento
de orientación. Mide ángulos
horizontales respecto al norte.
 x R
Problema 1:
M=
El eclímetro o nivel de mano
mide el ángulo de inclinación.
np
; n 
2

 x R –

np
; n 
2

sec2x + csc2x = sec2xcsc2x;
 x R –

tanx + cotx = secxcscx;
El curvímetro es un aparato
que mide la longitud de curvas en el plano
H = sen2·cos2·(2 + tan2 + cot2)
Solución:
H = sen2·cos2·(1 + tan2 + 1 + cot2)
H = sen2·cos2·(sec2 + csc2)
H=
sen2·cos2·(sec2·csc2)
H = (sen·csc)2·(cos·sec)2
El GPS es un aparato que proporciona las coordenadas de
cualquier punto de la superficie terrestre
H = (1)2·(1)2
H=1
 M = sen
Rpta.: senf
Rpta.: 1
3
57
CAPÍTULO 21
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS AUXILIARES
Problema 3:
Simplifica R =
sen4q + cos4q sen6q + cos6q
–
3
2
125304
Solución:
R=
R=
\R=
1 – 2sen2q·cos2q
2
–
Matemática
en la vida
El jalón es una estaca alargada que sirve para alinear.
1 – 3sen2q·cos2q
3
1
1
– sen2q·cos2q – + sen2q·cos2q
2
3
1 1
1
–
 R=
2 3
6
Rpta.: 1/6
La wincha sirve para medir
distancias.
Problema 4:
Simplifica T =
2senf cosf
(1 + senf – cosf) 1 + cosf 1 – senf
Solución:
Elevando al cuadrado:
T2 =
4sen2f cos2f
2(1 + senf)(1 – cosf)(1 + cosf)(1 – senf)
T2 =
2sen2f cos2f
=2  T= 2
(1 – sen2f)(1 – cos2f)
Rpta.: 2
Actividad 21
1
Si csc – sen = 6, calcula sen2 + cot2
tan·sec2
7
H = sec2·csc – cos·cot – sen·tan2
csc2·tan
+
tan + cot
2
Simplifica M =
3
2(1+ sen)·sen2
Reduce M =
(sen – cos + 1)2
4
Reduce T =
8
5
6
58
sec·csc – cot
sec
Simplifica M =
Simplifica R =
Simplifica
sen·sec2·csc2 – sen·cot2
cos + sec
sen4 + tan2 + cos4 – sec2
cot2 + sen6 – csc2 + cos6
3
Simplifica
M = sen2·sec2 +
9
sec·csc – cot
·cot2
sec·csc – tan
Si tan + cot = 10, calcula sen4 + cos4
10 Si tanr + cotr = 15, calcula sen6r + cos6r
22
CAPÍTULO
R.T. DE ÁNGULOS COMPUESTOS
(SENO Y COSENO)
¿Cuál es el
desarrollo de
sen(x + y + z)?
32
m
23°
37°
Para la suma
Para la diferencia
2
sen(x + y) = senxcosy + senycosx
sen(x – y) = senxcosy – senycosx
cos(x + y) = cosxcosy – senxseny
cos(x – y) = cosxcosy + senxseny
Ten Presente
Propiedades:
sen(x + y)sen(x – y) = sen2x – sen2y
Problema 1:
Problema 2:
2
5
Si sen =
, senw =
, (, w I C).
3
6
Reduce
Calcula sen(f + w).
M = sen30º·cosx + senx·cos30º +
sen30º·cosx – senx·cos30º
6
2
f
5
w
1
1
sen(f + w) = senf cosw + senw cosf
 sen(f + w) =
 sen(f + w) =
M = sen(30º + x) + sen(30º – x)
Solución:
Solución:
3
cos(x + y)cos(x – y) = cos2x – cos2y
2 1
5 1
×
+
×
3 6
6 3
2 + 10
6
Rpta.:
M = 2sen30º·cosx
Observación
M = 2· 1 ·cosx
2
 M = cosx
Rpta.: cosx
Las identidades de los ángulos
compuestos son de vital importancia al ser aplicados a los
ángulos notables.
• Determina cos16°
2 + 10
6
16° = 53° – 37°
cos16° = cos(53° – 37°)
Problema 3:
Simplifica H =
cos16° =
sen( + w) – senw·cos
cos( + w) + senf·senw
 cos16° =
Solución:
H=
senf·cosw + senw·cos – senw·cos
cosf·cosw – senf·senw + senf·senw
H=
senf·cosw senf
=
 H = tan
cosf·cosw cosf
 3  4   4  3 
+
 5  5   5  5 
24
25
Rpta.: tan
3
59
CAPÍTULO 22
R.T. DE ÁNGULOS COMPUESTOS (SENO Y COSENO)
Problema 4:
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se traza la mediana CM; tal
que MA = BC y mBMCA = . Calcula cos.
Solución:
C
2
1
 cos() = cos(w – a)
cos = cosw·cosa + senw·sena
5
A
ACM:  = w – a
M
1
1
B
cos =
 cos =
1 2
1 1
×
+
×
2 5
2 5
3 10
10
Rpta.:
3 10
10
Actividad 22
1
Reduce M =
2
Si tan =
sen( + w)
– senw·secw
cos·cosw
1
1
y tanw = (0º < f; w < 90º),
2
3
6
Calcula M = 34sen8º·sen14º
7
Simplifica H =
8
Reduce
sen( – w) + senw·cosf
sen2·cosw
calcula sen( – w).
sen( – w)
sen·senw
3
Reduce M = cosf·cscf +
4
Si csca = 5 y cscb = 10 (0º < a; b < 90º),
calcula cos(a + b).
5
Reduce M =
60
cos(r – g)
– seng·secg
senr·cosg
3
H=
9
cos(45º + f) + cos(45º – f)
sen·cosf
Si 5sen – 5 3 cos =
12
, calcula 35cos(150º – f)
7
10 Si 2sen( + w) = 5sen( – w), calcula 3tan·cotw.
23
CAPÍTULO
TANGENTE DE LA SUMA Y
DIFERENCIA DE DOS ARCOS
¿Para qué valores de
xey
tan(x + y) = tanx + tany?
30°
4m
30 m
Tangente de la suma de dos arcos
tan(x + y) =
Tangente de la diferencia de dos arcos
tanx + tany
1 – tanx tany
tan(x – y) =
tanx – tany
1 + tanx tany
Propiedades:
2
tanx + tany + tanx · tany · tan(x + y) = tan(x + y)
Ten Presente
tanx – tany – tanx · tany · tan(x – y) = tan(x – y)
tanq  tanf =
Problema 1:
Problema 2:
Si tan = 2 y tanw = 2.
Si tan = 5 y tan(f – w) = 3.
Calcula –7tan(f + w).
Calcula 8tanw.
Solución:
Solución:
tan(f + w) =
 tan(f + w) =
tanf + tanw
1 – tanf tanw
tan(f – w) =
2+2
1 – 2 (2)
\ –7tan(f + w) = 6 + 5 2
Rpta.: 6 + 5 2
3=
sen(q  f)
cosq cosf
tanf – tanw
1 + tanf tanw
5 – tanw
1 + 5tanw
 3 + 15tanw = 5 – tanw
\ 8tanw = 1
Rpta.: 1
Problema 3:
Reduce M = [tan(45º + ) + tan(45º – )](1 – tan2).
Solución:
M=
tan45º + tanf
tan45º – tanf
+
1 – tan45º·tanf
1 + tan45º·tanf
M=
1 + tanf 1 – tanf
2 + 2tan2
+
(1 – tan2) =
(1 – tan2)
1 – tanf 1 + tanf
1 – tan2
 M = 2sec2
(1 – tan2)
Rpta.: 2sec2
3
61
CAPÍTULO 23
TANGENTE DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS ARCOS
Problema 4:
Si  y w son complementarios y 2sen = 3senw. Calcula tan( – w).
Solución:
 + w = 90º  senw = cosf
Si 2sen = 3cos  tan =
3
3
2
 cotf =  tanw =
2
2
3
tan – tanw
Luego tan(f – w) =
=
1 + tan·tanw
 tan(f – w) =
3 2
–
2 3
3 2
1+
2 3
5
12
Rpta.: 5/12
Actividad 23
1
Si tan = 2 y tanw = 3, calcula 6tan( + w).
2
Si tana = 6 y tanb = 5, calcula 31tan(a – b).
3
Si tanr = 5 y tan(r + g) = 13, calcula 24tang.
4
Si tand = 7 y tan(d – g) = 5, calcula 12tang.
7
En el lado AD de un rectángulo ABCD se ubica
un punto N; tal que CN  BD = {T}, 3NA = 2ND,
CD = 2AN y mBBTC = d. Calcula tand.
8
Si tan(a + b) = 6 y tan(a – b) = 3,
calcula 17tan2.
9
Si a + b + g = p, calcula
M=2
5
6
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se
traza la ceviana interior AT; tal que mBTAC =
f, TB = 2TC y AB = 3TC. Calcula tanf.
En el lado AD de una cuadrado ABCD se ubica
un punto T; tal que 2TD = 3TA y mBBTC = r.
Calcula 19tanr.
62
3
sen(a + b)
tan(a + g)
cos(a + b + 2g)
+3
+4
seng
tanb
cosg
10 Las longitudes de las bases de un trapecio rectángulo de diagonales perpendiculares entre sí
son 4 y 9. Calcula la tangente de la medida del
ángulo formado por el lado lateral oblicuo y la
diagonal menor.
24
CAPÍTULO
IDENTIDADES PARA EL
ARCO DOBLE
¿Cuándo se duplica
el ángulo, se duplica la R.T?
q
40 m
100 m
Recordemos que:
2
En las R.T. de la suma de dos arcos, haciendo que los arcos sean
iguales obtenemos las R.T. del
arco doble, tal como se ha procedido a la izquierda para obtener
el coseno del arco doble.
cos( + b) = cos cosb – senb sen
Para b = , tenemos:
cos( + ) = cos cos – sen sen
cos2 = cos2 – sen2
Seno de 2x
Coseno de 2x
cos2x = cos2x – sen2x
sen2x = 2senx · cosx
Problema 1:
1
Si senf =
, (f ∈ IC),
3
Solución:
1
f
2
tan2x =
Propiedades
(senx + cosx)2 = 1 + sen2x
(senx – cosx)2 = 1 – sen2x
Triángulo del ángulo doble
2tanx
1 – tan2x
H = 2senfcosf + cos2f – sen2f
calcula H = sen2f + cos2f.
3
Tangente de 2x
Ten Presente
2
 1   2 +  2 –  1 
⇒ H=2
 3  3  3  3
2
2 2+1
H=
3
Rpta.: (2 2 + 1)/3
Fórmulas de degradación
2sen2x = 1 – cos2x
2cos2x = 1 + cos2x
Problema 2:
5
Si senf + cosf = ,
6
calcula M = 36sen2f
Solución:
(senf + cosf)2 =
sen2f + cos2f + 2senfcosf =
 5
 6
25
36
⇒ 1 + sen2f =
2
25
36
 36senf = –11
Luego M = –11
Rpta.: –11
3
63
CAPÍTULO 24
IDENTIDADES PARA EL ARCO DOBLE
Problema 3:
Problema 4:
Simplifica
3
, (f ∈ IC),
7
Si senf =
R = 16cos10°cos20°cos40°cos80°
calcula tan2f.
Solución:
Se sabe: sen2f = 2senfcosf
Solución:
7
⇒ cosf =
3
f
Aplicando:
2
2tanf
1 – tan2f
tan2f =
R = 16
 3
2
 2
⇒ tan2f =
 3
1–
 2
sen2f
2senf
R=
2
⇒ R=
sen20° sen40° sen80° sen160°
⋅
⋅
⋅
2sen10° 2sen20° 2sen40° 2sen80°
sen160°
sen10°
sen20° (2sen10°cos10°)
=
sen10°
sen10°
 R = 2cos10°
 tan2f = 4 3
Rpta.: 2cos10°
Rpta.: 4 3
Actividad 24
1
2
1
Si tanf = , f < 90°, calcula 5sen2f.
2
6
E = sen2fcscf + senfcotf
7
Simplifica
M=
8
3
Si senf + cosf = , calcula 4sen2f.
2
4
1
Si tanf = ; f < 90°, calcula 4tan2f.
3
5
Reduce
64
(senf + cosf)(senf – cosf)
senfcosf
3
Simplifica
M=
9
H=
Reduce
R = 3cosftanf +
1 – cos2f 1 + cos2f
+
1 – cos2f
1 – sen2f
3
Reduce
cos2f – 1
senf
cos4f – sen4f
senfcosf
En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se
traza la bisectriz interior AT; tal que TC = 3TB y
mBTAC = f. Calcula senf + sen2f.
10 En el lado AB de un trapecio rectángulo ABCD,
recto en A y B, se ubica un punto T, tal que el ángulo CTD es recto; mBTDA = f; mBTDC = 2f
y 2AD = 3BC. Calcula M = 2tanf + 3tan2f.