Álgebra Abstracta
David Grimm1
2 de abril de 2023
1 Oficina
504, Departamento de Matemática y Ciencia de la Computación, correo: david.grimm@usach.cl
Índice general
1. Grupos
1.1. Definición y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Subgrupos y generadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Ejemplos no Abelianos: Grupos de permutaciones . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Clases laterales y divisibilidad de ordenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Homomorfismos y subgrupos normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6. Producto directo de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1. Clasificación de grupos Abelianos finitos . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7. Grupos simples y series de composición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1. Acciones de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.2. Teoremas de Sylow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.3. Producto semidirecto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.4. Clasificación de pequeños grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8. Grupos solubles, nilpotentes y simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.1. El grupo libre y presentaciones de grupos . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.2. Grupos como objetos geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
3
5
9
10
17
18
20
23
27
31
35
37
40
41
2. Anillos
2.1. Teorı́a básica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1. Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2. Homomorfismos, ideales y anillos cocientes . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3. Aplicación en Z: La función de Euler y el protocolo RSA . . . . . . .
2.1.4. Anillos de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5. Dominios de ideals principales y de factorización única . . . . . . . .
43
43
43
45
50
54
58
3. Teorı́a cuerpos
3.1. Topicos (mas) avanzados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1. Extensiones algebraicas y Cuerpo del raı́z generico . . . . . . . . . . .
3.1.2. El criterio de Eisenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3. Aplicación: Construcciones por compas y regla . . . . . . . . . . . . .
63
66
66
68
68
ii
ÍNDICE GENERAL
Capı́tulo 1
Grupos
1.1.
Definición y ejemplos
Un conjunto con operación (G, ∗) es un conjunto G con una función ∗ : G × G → G.
Se escribe x∗y en lugar de ∗(x, y). En lo sucesivo, escribimos más economicamente xy := x∗y,
salvo si queremos enfatizar la operación.
1.1.1 Definición. Un conjunto con operación (G, ∗) se dice grupo si la operación satisface
las siguientes propiedades (axiomas):
(i) la operación es asociativa, es decir
∀x, y, z ∈ G : (xy)z = x(yz).
(ii) Hay un elemento e ∈ G que es neutral para la operación, es decir
∀x ∈ G : xe = ex = x.
(iii) Con respecto al elemento neutro e ∈ G identificado en (ii), cada elemento es invertible,
es decir
∀x ∈ G : ∃y ∈ G : xy = yx = e.
Anotamos un grupo (G, ∗) también por G cuando no hay ambigüedad de la operación ∗.
Pruebe que el elemento neutro e ∈ G y el inverso de x ∈ G es único.
El elemento neutro de grupo (G, ∗) lo anotaremos genericamente por 1(G,∗) , o simplemente
1G . El inverso de un elemento x ∈ G lo anotaremos genericamente por x−1 .
Verifique que (xy)−1 = y −1 x−1 :
1
2
CAPÍTULO 1. GRUPOS
Para los siguientes conjuntos con operación, decide si es un grupo (anotando los axiomas que faltan
en caso que no), e identifique el elemento neutro (si existe):
(G, ∗) = (R, +) (R, ·) (R \ {0}, ·) (N, +) (Z, ·) (Z, +) (Q \ {0}, ÷) (∅, ∅)
grupo ?
X
7(iii)
1(G,∗) =
0
1
Para un conjunto con operación (G, ∗) asociativo, definimos para x ∈ G recursivamente
x1 := x, xn+1 := x ∗ xn para n ∈ N. Si existe 1G ∈ G, definimos además x0 := 1G , y si existe
además x−1 , definimos también x−n := (x−1 )n para n ∈ N.
Sea (G, ∗) un grupo. Sea x ∈ G y n, m ∈ Z. Pruebe que xn ∗ xm = xn+m : Sea G un grupo y sea
g ∈ G. Demuestre que la multiplicación por izquierda por g
`g : G → G
x 7→ gx
es una biyeción.
Introducimos algunos grupos tı́picos.
1.1.2 Ejemplo. Verifique para cada uno de los siguientes ejemplo que de verdad es un
grupo:
K× = (K \ {0}, ·) para K = Q, R, o C.
Gl(V ) para el grupo de automorfismos de un K-espacio vectorial V , llamado grupo
lineal general de V .
SX para el grupo de auto-biyecciones de un conjunto X 6= ∅
({f : X −→ X | f es biyectiva}, ◦) .
Se llama el grupo simétrico de X o el grupo de permutaciones de X. En caso
que X = {1, . . . , n} ⊆ N para un n ∈ N, se escribe Sn en lugar de S{1,...,n} .
Demuestre que no existe un grupo (G, ·) que contiene a (R, ·) como subconjunto con operación.
1.2. SUBGRUPOS Y GENERADORES
3
Considere las 3 operaciones en el conjunto {a, b, c, d} definidas por las siguientes tablas:
·
a
b
c
d
a
c
d
a
b
b
d
c
b
a
c
a
b
c
d
d
b
a
d
c
·
a
b
c
d
a
a
b
c
d
b
b
c
d
a
c
c
d
a
b
d
d
a
b
c
·
a
b
c
d
a
a
b
c
d
b
b
a
c
d
c
d
d
a
c
·
a
b
c
a
b
c
d
c
c
d
a
¿ Con respecto a cuál es {a, b, c, d} un grupo ?
Define una operación de grupo en el
conjunto de dos elementos {a, b} y lo
de tres elementos {a, b, c}:
1.2.
·
a
b
a
b
Subgrupos y generadores
1.2.1 Definición. Sea (G, ∗) un grupo y sea H ⊆ G un subconjunto. Si H es cerrado bajo
∗ (i.e. ∀x, y ∈ H : xy ∈ H), lo que significa que (H, ∗|H ) es un conjunto con operación, y si
es además un grupo, se dice que H es un subgrupo de G, anotado H ≤ G.
Sea H ≤ G. Demuestre que 1H = 1G :
1.2.2 Lema. Sea G un grupo y sea ∅ =
6 H ⊆ G. Entonces H ≤ G ⇐⇒ ∀x, y ∈ H : x−1 y ∈ H.
Demostración. Si (H, ∗) es un subgrupo, en particular H es cerrado bajo la operación ∗ de
G y también cerrado bajo la inversión de elementos (i.e. ∀x ∈ H : x−1 ∈ H). Por lo tanto
∀x, y ∈ H : x−1 y ∈ H.
Supongamos ahora que ∀x, y ∈ H : x−1 y ∈ H. Como H 6= ∅, existe x ∈ H, y por lo
tanto x−1 x = 1G ∈ H. Entonces, para cada x ∈ H tenemos x−1 = x−1 1G ∈ H, i.e. H
es cerrado bajo la inversión de elementos. Finalmente, tenemos para cada x, y ∈ H que
xy = (x−1 )−1 y ∈ H, y por lo tanto H es cerrado bajo la operación ∗.
1.2.3 Ejemplo.
S 1 := {z ∈ C | |z| = 1} es un subgrupo de C× .
µn := {exp( 2π
i) | k = 0, . . . , n − 1} = {z ∈ C | z n = 1} es un subgrupo de S 1 (y
k
×
entonces de C ), llamado el grupo de n-écimas raı́ces de la unidad.
Dado un producto escalar b : V × V → R en un K-espacio vectorial, entonces
O(V, b) := {f ∈ Gl(V ) | ∀v, w ∈ V : b(f (v), f (w)) = b(v, w)}
es un subgrupo de Gl(V ), llamado el grupo ortogonal de b.
4
CAPÍTULO 1. GRUPOS
Sean H1 , H2 ≤ G. Demuestre que H1 ∩ H2 ≤ G.
Sean H1 , H2 ≤ G con H1 ⊆
6 H2 y H2 ⊆
6 H1 . Demuestre que H1 ∪ H2 ≤
6 G.
1.2.4 Lema. Sea G un grupo y H un colección de subgrupos de G. Entonces
\
H ≤ G.
H∈H
T
Demostración.
Tenemos
que
1
∈
cada H ∈ H. En particular,
G
H∈H H porque 1G ∈ H para T
T
∅=
6
H,
lo
que
nos
permite
aplicar
Lema
1.2.2.
Sean
x,
y
∈
H∈H
H∈H H. Entonces
T x, y ∈ H
−1
−1
y por lo tanto xT y ∈ H para cada H ∈ H porque H ≤ G. Entonces x y ∈ H∈H H, lo
que implica que H∈H H es un subgrupo de G.
1.2.5 Definición. Sea G un grupo y S ⊆ G un subconjunto. El subgrupo
\
hSi :=
H
H≤G,
S⊆H
de G se llama subgrupo generado por S. Cuando S = {x}, escriba hxi en lugar de h{x}i.
Si ∃x ∈ G con G = hxi, entonces G se llama un grupo cı́clico, y x un generador de G.
1.2.6 Proposición. Sea G un grupo y S ⊆ G un subconjunto. Entonces
hSi = {x11 · · · xnn | n ∈ N0 ; x1 , . . . , xn ∈ S; 1 , . . . , n ∈ {±1}} .
En particular, hxi = {xm | m ∈ Z} para x ∈ G.
Demostración. Denotamos H 0 := {x11 · · · xnn | n ∈ N0 ; x1 , . . . , xn ∈ S; m1 , . . . , mn ∈ Z}. Es
obvio que H 0 ⊆ H para cualquier subgrupo H de G con S ⊆ H y que S ⊆ H 0 . Por lo tanto,
basta mostrar es que H 0 es un subgrupo de G. Como para n = 0 el producto x11 · · · xnn es el
producto vacı́o, obtenemos que 1G ∈ H 0 . Es obvio que H 0 está cerrado bajo la operación, y
1
n
como (x11 · · · xnn )−1 = x−
· · · x−
∈ H 0 , está también cerrado bajo inversión.
1
n
1.2.7 Definición. Sea G un grupo. Se dice orden de G para su cardinalidad |G|. El orden
de un elemento x ∈ G se define por
∞
si ∀k ∈ N : xk 6= 1G
ord(x) :=
mı́n{k ∈ N | xk = 1G } si ∃k ∈ N : xk = 1G
Pruebe que |G| < ∞ =⇒ ∀x ∈ G : ord(x) < ∞.
1.2.8 Proposición. Sea G un grupo y x ∈ G. Entonces ord(x) = |hxi|.
1.3. EJEMPLOS NO ABELIANOS: GRUPOS DE PERMUTACIONES
5
Demostración. Si ord(x) = ∞, entonces xm 6= x` para m 6= `, porque sino tendriamos que
xm−` = 1G = x`−m , lo que contradice ord(x) = ∞. Por lo tanto {xm | m ∈ Z} es un conjunto
infinito.
En caso que ord(x) = n < ∞, tenemos que
{xm | m ∈ Z} = {x` | ` ∈ N0 ; 0 ≤ ` ≤ n − 1}
porque se puede escribir cada m ∈ Z como m = kn + ` para un k ∈ Z y ` ∈ {0, 1, . . . , n − 1},
y por lo tanto tenemos xm = (xn )k x` = x` . Finalmente, tenemos que x`1 6= x`2 para cada
`1 , `2 ∈ {0, 1, . . . , n − 1} con `1 < `2 , porque sino tendriamos que x`2 −`1 = 1G con 1 ≤
`2 − `1 < n, y por eso la contradicción que ord(x) < n. Por lo tanto tenemos que
{x` | ` ∈ N0 ; 0 ≤ ` ≤ n − 1} = n = ord(x).
Demuestre que los grupos Z y µn para cualquier n ∈ N son grupos cı́clicos.
Demuestre que cada subgrupo U de un grupo cı́clico G también es cı́clico. Demuestre que si G es
finito entonces |U | divide a |G|, y que para cada divisor m de |G| existe exactamente un subgrupo
de orden m.
1.3.
Ejemplos no Abelianos: Grupos de permutaciones
Sea n ∈ N. Denote (Sn , ◦) el grupo simétrico de {1, 2, . . . , n}. Se trata de un ejemplo muy
representativo para muchos aspectos de grupos en general. También históricamente, los grupos Sn y sus subgrupos fueron los primeros grupos considerados bajo el concepto abstracto
de grupos. Consideraremos en más detalle estos ejemplos antes de continuar con la teorı́a
general.
1
2
...
n
Representaremos una permutación ϕ ∈ Sn por
.
ϕ(1) ϕ(2) . . . ϕ(n)
Calcule en S4 :
1 2 3 4
2 4 3 1
1 2 3 4
1 2 3 4
◦
=
,
3 2 1 4
y
ord
1.3.1 Definición. Sea ϕ ∈ Sn . El conjunto
sop(ϕ) := {1 ≤ i ≤ n | ϕ(i) 6= i}
se llama soporte de ϕ.
1 2 3 4
2 4 1 3
=
6
CAPÍTULO 1. GRUPOS
Sean ϕ, ψ ∈ Sn con soportes disjuntos. Pruebe que ϕ ◦ ψ = ψ ◦ ϕ:
Calcule los produtos (1 2) ◦ (2 3) =
1 2 3
y (2 3) ◦ (1 2) =
1 2 3
.
1.3.2 Observación. Un grupo G que cumple ∀x, y ∈ G : xy = yx se dice grupo Abeliano.
El último calculo demuestra que Sn no es Abeliano para n ≥ 3.
1.3.3 Definición. Una permutación σ ∈ Sn con sop(σ) = {σ m (a) | m ∈ Z} para un
a ∈ {1, . . . , n} se llama un ciclo. Ciclos de orden 2 se llaman transposiciones.
Sea σ ∈ Sn un ciclo de orden k. Muestre que sop(σ) = {a, σ(a), . . . , σ k−1 (a)} y de cardinalidad k
para cualquier a ∈ sop(σ):
Un ciclo σ ∈ Sn de orden k podemos representar de la manera siguiente: Para cualquier
a ∈ sop(σ) anotamos
a σ(a) σ 2 (a) . . . σ k−1 (a)
Al revez, (a1 , . . . , ak ) ∈ {1, . . . , n}k con ai 6= aj cuando i 6= j, define un ciclo σ ∈ Sn de orden
k, dado por σ(ai ) = ai+1 para i < k, σ(ak ) = a1 y σ(i) := i si i ∈
/ {a1 , . . . , ak }.
1.3.4 Proposición. Para cada ϕ ∈ Sn existe un único m ∈ N0 y unos únicos (salvo reordinamiento) ciclos σ1 , . . . , σm ∈ Sn con soportes disjuntos, tales que τ = σ1 ◦ · · · ◦ σm .
Demostración. Mostremos primero la unicidad: Supongamos que
0
ϕ = σ1 ◦ · · · ◦ σm = σ10 ◦ · · · ◦ σm
0
0
con m, m0 ∈ N y σ1 , . . . , σm ∈ Sn ciclos con soporte disjunto y también σ10 , . . . , σm
0 ∈ Sn
ciclos con soporte disjunto. Sea i ∈ sop(σ1 ). Sin pérdida de generalidad, supongamos que
i ∈ sop(σ10 ). Vemos que
sop(σ1 ) = {σ1` (i) | ` ∈ N} = {ϕ` (i) | ` ∈ N} = {σ10` (i) | ` ∈ N} = sop(σ10 ),
0
y por lo tanto, tenemos también que sop(σ2 ◦. . .◦σm ) = sop(σ20 ◦. . .◦σm
0 ). Como σ2 ◦. . .◦σm =
−1
−1
0
0
0
0
(σ1 ◦σ1 )◦σ2 ◦. . .◦σm0 , obtenemos que sop(σ1 ◦σ1 ) = ∅, y por lo tanto (σ1−1 ◦σ10 ) = id{1,...,n} ,
i.e. σ1 = σ10 . De la misma manera mostramos recursivamente que σi = σi0 para cada i ≤ m,
y por eso m = m0 .
Ahora mostremos la existencia de la descomposición de ϕ en ciclos con soportes disjuntos
por inducción sobre |sop(ϕ)|:
1.3. EJEMPLOS NO ABELIANOS: GRUPOS DE PERMUTACIONES
7
Si |sop(ϕ)| = 0 entonces ϕ = id{1,...,n} y tenemos una descomposición vacı́a con m = 0.
Supongamos que hemos mostrado la descomposición para permutaciones con soporte de
cardinalidad ≤ k. Sea ϕ ∈ Sn con |sop(ϕ)| = k + 1. Sea a ∈ sop(ϕ). Sea ` = min{i ∈
N | ϕi (a) = a}. Entonces
[ejercicio] que {a, ϕ(a), . . . , ϕ`−1 (a)} = `. Definimos por σ :=
a ϕ(a) . . . ϕ`−1 (a) un ciclo de orden ` y con sop(σ) = {a, ϕ(a), . . . ϕ`−1 (a)}.
Para cada b ∈ {1, . . . , n} \ sop(σ) tenemos que ϕ(b) ∈
/ sop(σ). Anotando ψ la permutación
de {1, . . . , n} definido por
i,
si i ∈ sop(σ)
ψ(i) :=
ϕ(i), si i ∈
/ sop(σ)
se ve que ϕ = σ ◦ ψ. Como |sop(ψ)| = |sop(ϕ)| − |sop(σ)| ≤ k, la hipótesis de la inducción
nos da una descomposición de ψ en ciclos con soportes disjuntos, y por lo tanto, lo mismo
para ϕ.
Encontrar la descomposición en cı́clos con soporte disjuntos de:
1 2 3 4 5 6 7
2 4 3 1 7 5 6
=
y
1 2 3 4 5
5 2 1 3 4
=
1.3.5 Definición. Para una permutación ϕ ∈ Sn definimos su número de inversiones
como
#inv(ϕ) := |{(i, j) | 1 ≤ i < j ≤ n & ϕ(i) > ϕ(j)}| .
Para una permutación ϕ ∈ Sn , definimos su signatura como
1
si #inv(ϕ) es par
sign(ϕ) :=
−1 si #inv(ϕ) es impar
Demuestre que sign(τ ) = −1 para cualquier transposición τ = (a b) ∈ Sn .
Sea σ ∈ Sn . Demuestre que
sign(σ) =
Y
1≤i<j≤n
σ(j) − σ(i)
j−i
1.3.6 Lema. ∀σ, ϕ ∈ Sn : sign(σ ◦ ϕ) = sign(σ) · sign(ϕ)
Demostración. Por el último ejercicio tenemos que
σ(ϕ(j)) − σ(ϕ(i)) ϕ(j) − ϕ(i)
j−i
ϕ(j − ϕ(i)
1≤i<j≤n
!
!
Y σ(ϕ(j)) − σ(ϕ(i))
Y ϕ(j) − ϕ(i)
=
ϕ(j) − ϕ(i)
j−i
1≤i<j≤n
1≤i<j≤n
sign(σ ◦ ϕ) =
Y
8
CAPÍTULO 1. GRUPOS
Dado que σ(`)−σ(k)
= σ(k)−σ(`)
podemos re-ordenar y obtenemos
`−k
k−`
!
!
Y ϕ(j) − ϕ(i)
Y σ(`) − σ(k)
= sign(σ)sign(ϕ)
sign(σ ◦ ϕ) =
`−k
j−i
1≤i<j≤n
1≤k<`≤n
1.3.7 Teorema. Sea ϕ ∈ Sn una permutación. Entonces existe una descomposición en
transposiciones, i.e. existe m ∈ N0 y transposiciones τ1 , . . . , τm ∈ Sn tales que
ϕ = τ1 ◦ · · · ◦ τm .
Además, la paridad del número m de transposiciones en la descompsición es invariante, dado
por (−1)m = sign(ϕ).
Demostración. Para la primera parte, basta mostrarla en el caso donde ϕ es un ciclo, por
Proposición 1.3.4. Supongamos entonces que ϕ es un ciclo de orden k. Cuando k = 0, 1 no
hay nada a mostrar. Continuamos la inducción y mostramos la descomposibilidad en transposiciones de ciclos ϕ = (a1 . . . ak+1 ) de orden k +1 bajo la hipótesis de la descomposibilidad
para ciclos de orden k. Consideramos la transposición τ = (ak ak+1 ). Se puede verificar que
ϕ ◦ τ es el ciclo (a1 . . . ak ) de orden k. Por la hipótesis de la inducción existe una descomposición en transposiciones de ϕ ◦ τ = τ1 ◦ · · · ◦ τm . El asunto sigue con la composición de la
ecuación por τ = τ −1 de derecha.
Mostramos ahora la segunda parte del asunto. Como id{1,...,n} = τm ◦ · · · ◦ τ1 ◦ ϕ, y como
#inv(id{1,...,n} ) = 0 es par, obtenemos por Lema 1.3.6 junto con el ejercicio sobre la signatura
de transposiciones que sign(ϕ) = sign(τ1 ) · · · sign(τm ) = (−1)m .
Encontrar la descomposición en cı́clos de:
1 2 3 4 5 6 7
2 4 3 1 7 5 6
=
y
1 2 3 4 5
5 2 1 3 4
Sea σ ∈ Sn un cı́clo de orden k. Demuestre que sign(σ) = (−1)k−1 :
¿ Es posible invertir el orden de los cubos 1 hasta 15, con el espacio vacı́o al final también en la
esquina abajo derecha, solamente deslizando (sin
levantar) los bloques en el cuadro de madera ?
=
1.4. CLASES LATERALES Y DIVISIBILIDAD DE ORDENES
9
1.3.8 Definición. Sea n ≥ 3. El subgrupo [ejercicio]
An := {σ ∈ Sn | sign(σ) = 1}
de Sn se llama grupo alternante de n elementos.
Demuestre que |An | = n!
2 (sin utilizar el teorema del isomorfismo que conoceremos más adelante).
Sea n ≥ 3. Demuestre que An es el subgrupo de Sn generado por todos los cı́clos de orden 3.
1.4.
Clases laterales y divisibilidad de ordenes
1.4.1 Definición. Sea H ≤ G. Un subconjunto X ⊆ G X = gH := {gh | h ∈ H} para
un g ∈ G se llama clase lateral izquierda (de g) módulo de H. Similarmente, se llama
clase lateral derecha (de g) módulo H si X = Hg := {hg |∈ H}. El conjunto de clases
laterales izquierda módulo H se denota por
G := {X ⊆ G | X es una clase lateral izquierda módulo H},
H
y similarmente
G
H := {X ⊆ G | X es una clase lateral derecha módulo H},
La función sobreyectiva
: G → GH
g 7→ gH
se llama proyección canonica. Igualmente para
: G → HG, definida por g 7→ Hg.
Pruebe que
G
G
H −→ H
X 7→ X −1 := {x−1 | x ∈ X}
es una biyección:
Llamaremos [G : H] := GH = HG el indice de H en G.
10
CAPÍTULO 1. GRUPOS
Pruebe que
x ∼` y :⇔ xH = yH
(⇔ y −1 x ∈ H)
define una relación de equivalencia en G, con [x]∼` = xH:
x ∼r y :⇔ Hx = Hy igualmente defina una relación de equivalencia en G con [x]∼r = Hx.
Se nota que GH = G∼` e igualmente HG = G∼r .
1.4.2 Lema. Sea H ≤ G. Cada clase lateral (izquierda o derecha) de H tiene la mı́sma
cardinalidad. G es la unión disjunta de todas clases laterales izquierdas módulo H, igual que
la unión disjunta de todas sus clases laterales derechas módulo H.
Demostración. H = 1G H = H1G es al mismo tiempo una clase lateral izquierda y lateral
derecha de H . Para culaquier g ∈ G, la función H → gH, h 7→ gh es una biyección
[ejercicio], e igualmente la función H → HG, h 7→ hg. Por lo tanto todas las clases laterales
tienen la misma cardinalidad que H. El resto sigue del ejercicio anterior que mostró que
las clases laterales izquierdas de h son al mismo tiempo las clases de equivalencia de ∼` .
Igualmente para las clases laterales derechas.
1.4.3 Teorema (Lagrange). Sea G un grupo finito y H ≤ G. Entonces
|G| = |H| · [G : H].
En particular, el orden de cada elemento de G divide al orden de G.
S
˙ n H para unos x1 , . . . , xn ∈
Demostración. Sea n = [G : H]. Como G = x∈G xH = x1 H ∪˙ . . . ∪x
G, obtenemos que |G| = n · |H|. Aplicando eso al subgrupo hxi para un x ∈ G demuestre
con Proposición 1.2.8 que ord(x) a |G|.
Sea G un grupo finito y K ≤ H ≤ G. Demuestre que [G : K] = [G : H][H : K]:
1.5.
Homomorfismos y subgrupos normales
1.5.1 Definición. Dados (G1 , ∗) y (G2 , ?) dos grupos, decimos que una función
ϕ : G1 → G2
es un homomorfismo si ϕ(x ∗ y) = ϕ(x) ? ϕ(y) para todo x, y ∈ G.
Sea ϕ : G1 → G2 un homomorfismo. Pruebe que ϕ(1G1 ) = 1G2 y ∀x ∈ G1 : ϕ(x−1 ) = ϕ(x)−1 :
Llamamos
ker(ϕ) := ϕ−1 ({1G2 })
el núcleo (o kernel) de ϕ.
1.5. HOMOMORFISMOS Y SUBGRUPOS NORMALES
11
Sea ϕ : G1 → G2 es un homomorfismo. Pruebe que ker(ϕ) ≤ G1 y im(ϕ) ≤ G2 :
Pruebe también que ϕ es inyectivo ⇔ ker(ϕ) = {1G1 }:
Un homomorfismo de grupos G1 → G2 que es...
... inyectivo se llama monomorfismo, anotado también con G1 ,→ G2 .
... sobreyectivo se llama epimorfismo, anotado también con G1 G2 .
∼
... biyectivo se llama isomorfismo, anotado también con G1 −
→ G2 .
Sea ϕ : G1 → G2 un isomorfismo de grupos. Pruebe que ϕ−1 : G2 → G1 lo es también:
Siempre hay el homomorfismo trivial G1 → G2 , x 7→ 1G2 entre cualquier grupos G1 y G2 .
∼
→ G2 .
Se dice que G1 es isomorfo a G2 , anotado G1 ∼
= G2 , si hay un isomorfismo G1 −
Verifique ‘∼
=’ es una relación de equivalencia entre grupos:
1.5.2 Ejemplo. Las siguientes funciones son homomorfismos.
1. sign : Sn → ({1, −1}, ·) es un epimorfismo con núcleo An .
2. log : (R>0 , ·) → (R, +) es un isomorfismo.
3. Para n ∈ N, la función (·)n : C∗ → C∗ definido por z 7→ z n es un epimorfismo con
ker((·)n ) = {exp(
) | 0 ≤ ` ≤ n − 1}
4. det : Gln (K) → K∗ es un epimorfismo. Su núcleo se llama grupo lineal especial de
Kn , anotado Sln (K).
12
CAPÍTULO 1. GRUPOS
Marque con ,→ o 7 si o no hay un monomorfismo del grupo que corresponde a la linea, al grupo
que corresponde a la columna. De un ejemplo en caso que hay, o una razón porque no hay.
En caso que hay incluso un isomorfismo, indica lo por ∼
= en lugar de ,→.
(R, +)
∼
=, id
R∗
(R, +)
∼
R∗
=, id
(Z, +) ,→, (n 7→ n)
Gl3 (R)
C∗
S3
µ6
(Z, +)
Gl3 (R)
7, (#R > #Z)
C∗
S3
µ6
∼
=, id
∼
=, id
∼
=, id
∼
=, id
∼
=, id
∼
Un isomorfismo ϕ : G −
→ G se llama automorfismo de G.
1.5.3 Lema. Sea G un grupo cı́clico y H cualquier grupo. Sea g ∈ G tal que G = hgi
Entonces
1−1
{ϕ : G → H homomorfismo} −−→ {h ∈ H | ord(h)|ord(g)}
ϕ 7→ ϕ(g)
define una biyección 1 . En particular Aut(G) es en biyección con {x ∈ G | G = hxi}.
Demostración. Sea m = ord(g), entonces ϕ(g)m = ϕ(g m ) = 1H para cada homomorfismo
ϕ : G → H. Dado al contrario un elemento h ∈ H con ord(h)|ord(g), entonces ϕh : G →
H, g n 7→ hn está bien definido (ejercicio) y un homomorfismo. Además ϕh (g) = h para cada
tal h y ϕϕ(g) = ϕ para cada homomorfismo ϕ : G → H.
Como ϕ(G) = hϕ(g)i, se ve que ϕ es un epimorfismo si y solamente si ϕ(g) es un generador de
H. En el caso de G = H, equivalente a decir que ord(ϕ(g)) = ord(g). En particular cualquier
epimorfismo ya es un automorfismo y por tanto ϕ 7→ ϕ(g) se restringa a una biyección entre
los automorfismos de G y los generadores de G.
Liste todo los automorfismos de µ2 × µ3 . Liste también todos los automorfismos de µ2 × µ2 .
Muestre que el conjunto de automorfismos de un grupo G, anotado Aut(G), es un subgrupo de SG :
Sea G un grupo y g ∈ G. Se llama conjugación por g la función
cg : G → G
x 7→ gxg −1
1
decimos que ∞ igual que cada número natural divide a ∞
1.5. HOMOMORFISMOS Y SUBGRUPOS NORMALES
13
Pruebe que para un grupo G y cualquier g ∈ G la conyugación cg : G → G es un automorfismo:
Pruebe además que la función c : G → Aut(G) definido por g 7→ cg es un homomorfismo:
1.5.4 Definición. Con la notación del ejercicio anterior, el subgrupo
Z(G) := ker(c)
de G se llama el centro de G. El subgrupo
Inn(G) := im(G)
de Aut(G) se llama el subgrupo de automorfismos internos de G.
Pruebe que G = Z(G) ⇐⇒ G es Abeliano:
∼
Pruebe que hay un úncio isomorfismo Aut(Z) −
→ Z2Z.
*Muestre que Aut Z2Z × Z3Z ∼
= Z2Z y que Aut Z2Z × Z2Z ∼
= S3 .
*Pruebe que la función Q∗ → Aut(Q, +) definida por q 7→
** ¿ Es la función R∗ → Aut(R, +) definida por r 7→
n
n
R→R
x7→rx
Q→Q
x7→qx
es un isomorfismo.
también un isomorfismo ?
1.5.5 Teorema (Cayley 1854). Cada grupo G es isomorfo a un subgrupo de SG .
Demostración. Basta mostrar que hay un mónomorfismo G ,→ SG . Se puede verificar que
g 7→ `g define un tal mónomorfismo [ejercicio], donde `g : G → G es la translación por g de
la izquierda definida por `g (x) := gx.
1.5.6 Corolario. Cada grupo finito de orden n es isomorfo a un subgrupo de Sn .
1.5.7 Definición. Un subgrupo H de G se dice normal si GH = HG (es decir si cada
clase lateral izquierda de H es también una clase lateral derecha y vice versa.) Anotaremos
H E G para decir que H es un subgrupo normal de G.
14
CAPÍTULO 1. GRUPOS
Sea H ≤ G. Muestre que H E G ⇐⇒ ∀g ∈ G : gH = Hg ⇐⇒ ∀g ∈ G, h ∈ H : ghg −1 ∈ H:
Observe que los siguientes subgrupos de un grupo G son siempre normales en G [ejercicio]:
G E G, {1G } E G, y Z(G) E G.
Sea H ≤ G un subgrupo de index 2. Pruebe que H E G:
La relevancia del concepto de un subgrupo normal viene del hecho que es exactamente este
tipo de subgrupo cuyos clases laterales heredan una operación que lo da una estructura de
grupo es decir:
1.5.8 Proposición. Sea (G, ∗) un grupo y N E G. Entonces
∗¯ : GN × GN −→ GN
( X , Y ) 7→ XY := {xy | x ∈ X, y ∈ Y }
es una operación bien definida. Además (GN , ∗¯) es un grupo y la proyección canonica
(G, ∗) → (GH , ∗¯) es un homomorfismo de grupos.
:
Demostración. Mostramos primero que ∗¯ es bien definido, i.e. que XY es de verdad una
clase lateral. Como X = xN y Y = yN para unos x, y ∈ G, tenemos que XY = xN yN =
xyN N = xyN . Eso no muestra solamente que XY es una clase lateral, pero al mismo tiempo
que x ∗ y = x ∗¯ y para cualquier x, y ∈ G, que la clase lateral N es un elemento neutro de
∗¯, y que cuando X = xH entonces X −1 = x−1 N es el inverso. El único que falta mostrar
es la associatividad de ∗¯, pero eso sigue directamente de la associatividad de ∗, porque
(XY )Z = (xy)zN = x(yz)N = X(Y Z).
G
¯
1.5.9 Definición. Para N E G, el grupo N , ∗ se dice grupo cociente de G módulo
N.
Dado un subgrupo normal N EG se define entonces un grupo GN junto con un epimorfismo
G → GN cuyo núcleo es N . El siguiente ejercicio demuestra en particular que, al revéz, el
núcleo de cada homomorfismo es un subgrupo normal.
Sea ϕ : G1 → G2 un homomorfismo y N2 E G2 . Muestre ϕ−1 (N2 ) E G1 :
Pruebe que si ϕ es un epimorfismo y N1 E G1 , entonces ϕ(N1 ) E G2 :
El segundo de los siguientes ejercicios tiene como objetivo de mostrar que la propiedad de
un subgrupo de ser “normal en un grupo ambiental” no es una propiedad transitiva. El
último ejercico demuestra que a diferencia a la situación de espacios vectoriales, el grupo
1.5. HOMOMORFISMOS Y SUBGRUPOS NORMALES
15
cociente por un subgrupo normal no se puede considerar como un “complemento algebráico”
del subgrupo normal.
Sea (i1 . . . ik ) ∈ Sn un ciclo. Pruebe que ∀σ ∈ Sn : σ ◦ (i1 . . . ik ) ◦ σ −1 = (σ(i1 ) . . . σ(ik )):
Sea H = {id, (1 2) ◦ (3 4), (1 3) ◦ (2 4), (1 4) ◦ (2 3)} ⊆ S4 . Pruebe que h(1 2) ◦ (3 4)i E H E S4 , pero
que h(1 2) ◦ (3 4)i no es normal en S4 . Demuestre que S3 contiene un único propio subgrupo normal
∼ N × S3 . (Compare
N no trivial. Liste los elementos de N y los de S3N . Demuestre que S3 6 =
N
eso con la situación de espacios vectoriales, donde para un subespacio U ⊆ V siempre tenemos
V ∼
= U × VU ):
1.5.10 Proposición (Teorema del homomorfismo). Sea ϕ : G1 −→ G2 un homomorfismo
de grupos y H E G1 con H ⊆ ker(ϕ). Entonces hay una unica función ϕ : G1H → G2 tal
que el diagrama
G1
ϕ
/ G2
7
ϕ
G1
H
conmuta (i.e. ϕ ◦ = ϕ), donde : G1 → G1H es la proyección canonica. Además, ϕ es
un homomorfismo de grupos y ker(ϕ) = ker(ϕ).
Demostración. Para que el diagrama conmuta, hay una sola manera de como se puede definir la función ϕ. Tenemos que definir ϕ(xH) := ϕ(x). Esa definición es independiente del
representant x de la clase lateral, porque si xH = yH, entonces y −1 x ∈ H ⊆ ker(ϕ), y por lo
tanto ϕ(y)−1 ϕ(x) = 1G2 , i.e. ϕ(y) = ϕ(x). Es claro que el diagrama conmuta y que no hay
otra funciona ϕ con esta propiedad.
Además ϕ es un homomorfismo porque ϕ(xHyH) = ϕ(xyH) = ϕ(x)ϕ(y) = ϕ(xH)ϕ(xH).
Finalmente, sigue de ϕ = ϕ ◦ que ker(ϕ) ⊆ ker(ϕ). Por otro lado, si xH ∈ ker(ϕ), entonces
ϕ(xH) = 1G2 = ϕ(x), y por o tanto, x ∈ ker(ϕ), y por eso xH = x ∈ ker(ϕ).
1.5.11 Corolario (primer teorema del isomorfismo). Se ϕ : G1 → G2 un epimorfismo,
entonces G2 ∼
= G1ker(ϕ).
Sea G un grupo ciclico de orden n. Concluie G ∼
= ZnZ como una consecuenciadel primer teorema
del isomorfismo
16
CAPÍTULO 1. GRUPOS
El Corolario 1.5.11 se dice también primer teorema del isomorfismo. Vamos a deducir dos
teoremas más de isomorfismos. Se puede entender como leys de cancelación.
1.5.12 Teorema (segundo teorema del isomorfismo). Sea G un grupo y K E G. Sea H E G
con K ⊆ H. Entonces HK E GK y
G
K H ∼
= GH .
K
Demostración. La función ϕ : GK → GH definida por gK 7→ gH es bien definida porque
g̃ −1 g ∈ K implica que g̃ −1 g ∈ H, y por lo tanto gK = g̃K implica gH = g̃H. La función es
obviamente un epimorfismo. Tenemos que ϕ(gK) = 1G/H (= H) si y solamente si g ∈ H. Por
lo tanto ker(ϕ) = HK . El asunto del teorem sigue por el primer teorema del isomorfismo.
Sea K E G. Demuestre que H 7→ HK define una biyección entre conjunto de subgrupos de G que
contienen a K y el conjunto de subgrupos de GK :
1.5.13 Definición. Sea H ≤ G. El normalisador de H en G es definido por
NG (H) := {g ∈ G | cg (H) = H}.
Pruebe que H E NG (H) ≤ G:
Pruebe que si N ≤ NG (H), entonces HN := {hn | h ∈ H, n ∈ N } es un subgrupo de NG (H):
1.5.14 Teorema (tercer teorema del isomorfismo). Sean H, N ≤ G con H ≤ NG (N ).
Entonces N E HN , H ∩ N E H, y
(HN )/N ∼
= H/(H ∩ N ).
Demostración. Es claro que N E HN , porque HN ≤ NG (N ). Sea ϕ : H → HN/N definida
por ϕ(h) = hN . Verificamos que ϕ es un homo sobreyectivo y que ker(ϕ) = H ∩ N . Sea
xN ∈ HN/N cualquier clase lateral izquierda con x = hn para un h ∈ H y n ∈ N .
Entonces xN = hN = ϕ(h), lo que demuestra la sobreyectividad. Además, ϕ es claramente
un homomorfismo porque ϕ(h1 h2 ) = h1 h2 N = (h1 N )(h2 N ) = ϕ(h1 )ϕ(h2 ).
Sea h ∈ ker(ϕ) ⇐⇒ ϕ(h) = hN = N ⇐⇒ h ∈ N . Por lo tanto ker(ϕ) = H ∩ N . El resto
sigue por el primer teorema del isomorfismo.
Una version más simple a recordar es este corolario inmediato:
1.6. PRODUCTO DIRECTO DE GRUPOS
17
1.5.15 Corolario. Sea G un grupo y N E G. Sea H ≤ G con G = HN . Entonces
G ∼
H
N = N ∩ H .
*Utilizando solamente el tercer teorema del isomorfismo y el hecho que cada subgrupo de un grupo
cı́clico es cı́clico (en particular sin la utilizar factorización única en números primos), demuestre
que
∀n, m ∈ N : nm = mcd(n, m) · mcm(n, m).
1.6.
Producto directo de grupos
Para dos grupos (G, ∗) y (H, ?), hay una operación obvia en el producto cartesiano de los
conjuntos G y H:
· : (G × H) × (G × H) −→ G × H
[(g, h), (g 0 , h0 )] 7→ (g ∗ g 0 , h ? h0 )
Pruebe que dotado por esta operación, G × H es un grupo:
Llamamos este grupo el producto directo de (G, ∗) y (H, ?), anotado por (G, ∗) × (H, ?),
o más economicamente por G × H. Obviamente, se puede definir iterativamente igual un
producto directo de más que dos grupos.
El fin de este subcapitulo es de mostrar que cada grupo Abeliano finito es isomorfo
a un producto directo de grupos ciclicos finitos, y de utilizar este resultado para
obtener una lista completa para cada n ∈ N de las posibles grupos Abelianos de orden n
(salvo isomorfismo). Pero antes necesitamos una observación general más sobre productos
directos:
Sean G y H dos grupos. Es facil a verificar que G ,→ G × H, g 7→ (g, 1H ) y H ,→ G ×
H, h 7→ (1G , h) son monomorfismos de grupos, que llamaremos inclusiones canonicas.
Identificamos G y H con sus imagenes en G × H bajo estas inclusiones canonicas.
Pruebe que con esta identificación, G y H son subgrupos normales de G × H con G ∩ H = {1G×H },
GH = G × H y gh = hg para cada g ∈ G y h ∈ H:
En visto del objetivo de clasificar grupos, necesitamos un resultado reciproco. Este resultado
es el siguiente Teorema. Para su demostración necesitamos un ejercicio:
18
CAPÍTULO 1. GRUPOS
Sean H1 , H2 E G con H1 ∩ H2 = {1G }. Demuestre que
∀x ∈ H1 , y ∈ H2 : xy = yx.
1.6.1 Teorema. Sea G un grupo y H1 , H2 E G dos subgrupos normales. Si H1 ∩ H2 = {1G }
y H1 H2 = G, entonces
ϕ : H1 × H2 −→ G
(h1 , h2 ) 7→ h1 h2
es un isomorfismo de grupos.
Demostración. Sean (h1 , h2 ), (h01 , h02 ) ∈ H1 × H2 , entonces obtenemos por la conmutatividad
de elementos de H1 con elementos de H2 mostrado en el ejercicio anterior que ϕ((h1 , h2 ) ·
(h01 , h02 )) = ϕ(h1 h01 , h2 h02 ) = h1 h01 h2 h02 = h1 h2 h01 h02 = ϕ(h1 , h2 )ϕ(h01 , h02 ). Por lo tanto, ϕ es
un homomorfismo de grupos. Además, ϕ(h1 , h2 ) = {1G } si y solamente si h1 = h−1
2 , y como
H1 ∩ H2 = {1G }, eso es equivalente a h1 = h2 = 1G . Por eso, ker(ϕ) = {1H1 ×H2 }. La
sobreyectividad es obvia.
Sea m, ` ∈ N coprimo y n := `m. Demuestre que ZnZ ∼
= Z`Z × ZmZ.
= mZnZ × `ZnZ ∼
Demuestre que Gln (C) ∼
= Sln (C) × {λ · Idn | λ ∈ C× }
1.6.1.
Clasificación de grupos Abelianos finitos
Sea G un grupo Abeliano y p un numero primo. Llamamos a
Gtors := {x ∈ G | ord(x) < ∞}
la parte torsión de G. Si Gtors = {1G } se dice que G es libre de torsión.
y para un primo p llamaremos a
Gp := {x ∈ G | ∃` ∈ N0 ord(x) = p` }
la parte p-primaria de G. Si Gp = {1G } se dice que G es libre de p-torsión.
Demuestre que Gp ≤ Gtors ≤ G. que GGtors es libre de torsión y que GGp es libre de p-torsión.
1.6.2 Proposición. Sea G un grupo Abeliano finito, sean p1 , . . . , pr todos los primos que
dividen a |G|. Entonces
G∼
= Gp1 × . . . × Gpr .
1.6. PRODUCTO DIRECTO DE GRUPOS
19
Demostración. Lo dejamos como ejercicio de mostrar que
Gp1 × . . . × Gpr → G
(g1 , . . . , gr ) 7→ g1 · · · gr
es un isomorfı́smo de grupos.
1.6.3 Lema. Sea p un número primo. Sea r ∈ N, y sean i1 , . . . , ir ; j1 , . . . , jr ∈ N0 tal que
i1 i2
ir j1 j2
jr
Z
Z 2
Z r
Z
Z 2
Z r
∼
×
×
.
.
.
×
×
×
.
.
.
×
=
pZ
pZ
pZ
pZ .
pZ
pZ
Entonces i1 = j1 , . . . ,ir = jr .
Demostración. Denotamos G1 el grupo al lado izquierdo y G2 el grupo al lado derecho, y
fijamos un isomorfismo ϕ : G1 → G2 . Para i = 1, 2, consideramos los homomorfismos
ψi : Gi −→ Gi
g 7→ g + . . . + g .
| {z }
p veces
Observando que ϕ ◦ ψ2 = ψ1 ◦ ϕ, obtenemos que ϕ : ψ1 (G1 ) → ψ2 (G2 ) también es un
isomorfismo, es decir
i1
j1
ir jr
pZ
pZ
pZ r
pZ r
∼
×
.
.
.
×
×
.
.
.
×
=
pZ
pZ
pZ
pZ .
Como pZpk Z ∼
= Zpk−1 Z para k > 1 y pZpZ ∼
= ZZ ∼
= ({0}, +), podemos concluir por
Qr
`i`
i1
= |G1 | = |G2 | =
inducciı́on
sobre
r
que
i
=
j
,
.
.
.
,i
=
j
,
y
finalmente,
como
p
·
2
2
r
r
`=2 p
Q
r
j1
`j`
p · `=2 p , obtenemos también que i1 = j1 .
1.6.4 Proposición. Sea p un número primo y G un grupo Abeliano finito tal que G = Gp .
Entonces hay únicos números enteros 0 ≤ r y 1 ≤ `1 ≤ . . . ≤ `r , tal que
G∼
= Zp`1 Z × . . . × Zp`r Z
Demostración. Vamos a demostrar el aserto por inducción sobre |G|. En caso que |G| = 1
tomamos r = 0, y por lo tanto G es el producto vacı́o (que definimos como el grupo trivial).
Sea ahora |G| = pk > 1. Tome un g ∈ G tal que ord(g) =: p` es maximal bajo todos los
elementos de G. Para el paso de inducción mostraremos que G ∼
= hgi × H, donde H ≤ G
es un subgrupo que es máximal con respecto a la propiedad que H ∩ hgi = {1G }. Según
Teorema 1.6.1, basta a mostrar que G = Hhgi para un tal H. Esa parte es un poco técnica:
Supongamos que no sea ası́, es decir que existe a ∈ G \ Hhgi. Entonces
min{m ∈ N | am ∈ Hhgi} = ord(a) = pr
r−1
r
para un 1 ≤ r ≤ `. Observe que b := ap
∈ G \ Hhgi y bp = ap ∈ Hhgi. Por lo tanto,
bp = hg n para un h ∈ H y 0 ≤ n < p` . Como
`
1G = bp = (bp )p
`−1
`−1
= hp
g np
`−1
,
20
CAPÍTULO 1. GRUPOS
`−1
`−1
concluimos que g np = h−p = 1G , ya que H ∩ hgi = {1G }. En particular p divide a n, i.e.
n = pm para un m ∈ N0 . Observamos que c := bg −m ∈
/ Hhgi, pero cp = bp g −n = h ∈ H, ya
que bp = hg n .
Como H ∩ hgi = {1g } y hgi ∩ Hhci 6= {1g } (por la maximalidad de H), tenemos que
g t = h̃cs para ciertos 1 ≤ s < p, 1 ≤ t < p` y h̃ ∈ H. Como c = bg −m , obtenemos
que bs = h̃−1 g t+m ∈ Hhgi, lo que implica que p = ord(b) divide a s, contradiciendo que
1 ≤ s < p.
De esa manera obtenemos recursivamente que G es isomorfo a un producto directo de grupos
cı́clicos cuyos ordenes son p-potencias. La unicidad de la cantidad y los ordenes de esa
decomposición es por Lema 1.6.3
1.6.5 Teorema (de estructura de grupos Abelianos finitos). Sea G un grupo abeliano finito.
(1)
(m)
Sea |G| = p`1 · · · p`m la factorisación en números primos del orden de G. Entonces existe
(i)
(i)
para cada i ∈ {1, ..., m} una única partición de `(i) (es decir números 1 ≤ `1 ≤ . . . ≤ `ri
P
(i)
i
con `(i) = rj=1
`j ) tal que
G∼
=
Z `(1) × . . . × Z `(1)
Z
Z
(m)
(m)
× . . . . . . × `1
× . . . × `rm
.
pm Z
pm Z
p11 Z
p1r1 Z
Demostración. Eso es Proposición 1.6.4 junto con Proposición 1.6.2
¿Cuantos grupos Abelianos no isofomorfos de orden 100 hay?
¿Cuantos grupos Abelianos no isofomorfos de orden 200 hay?
¿Cuantos grupos no isomorfos de orden 4 hay?
1.7.
Grupos simples y series de composición
1.7.1 Definición. Un grupo G se llama simple si no contiene propios subgrupos normales
no triviales.
Demuestre que un grupo abeliano finito es simple si y solamente si tiene orden primo.
Demuestre que A4 no es simple
1.7.2 Lema. El único propio subgrupo normal no trivial de S5 es A5 .
1.7. GRUPOS SIMPLES Y SERIES DE COMPOSICIÓN
21
Demostración. Sea N E S5 un propio subgrupo normal. Consideramos primero por qué es
suficiente demostrar o la existencia de un 3-cı́clo en N o de un producto de dos trasposiciones
con soporte disjunto en N : Dado que N es cerrado bajo conjugación en N , obtenemos con un
3-ciclo (x1 x2 x3 ) ∈ N cualquier otro 3-cı́clo (y1 y2 y3 ) = (σ(x1 ) σ(x2 ) σ(x3 )) = σ ◦ (x1 x2 x3 ) ◦
σ −1 conjugando por un σ ∈ S5 adecuado. Como A5 es generado por los 3-cı́clos de S5 ,
obtenemos que A5 ≤ N . Si hay un producto de dos trasposiciones (x1 x2 ) ◦ (y1 y2 ) ∈ N
con soporte disjunto, entonces, elegiendo la trasposición τ = (x2 x3 ) con x3 ∈ {1, . . . , 5} \
{x1 , x2 , y1 , y3 }, obtenemos que
τ ◦ (x1 x2 ) ◦ (y1 y2 ) ◦ τ −1 = (x1 x3 ) ◦ (y1 y2 ) ∈ N,
y por tanto tenemos un 3-cı́clo (x1 x2 x3 ) = (x1 x2 ) ◦ (y1 y2 ) ◦ (x1 x3 ) ◦ (y1 y2 ) ∈ N , y entonces
A5 ≤ N como antes.
Ahora basta a mostrar que N contiene o un 3-cı́clo o un producto de dos trasposiciones con
soporte disjunto. Similarmente que anterior, si N contiene a un 5-cı́clo, entonces por medio
de una conjugación adecuada, contiene a todos los 5-cı́clos. Por otro lado N \ {id} no puede
consistir solamente de los 5-ciclos de S5 , ya que hay 24 = 4! de ellos, pero 25 no divide a
5! = |S5 |.
Sea entonces σ ∈ N \ {id} un elemento que no es un 5-cı́clo. Observamos primero que σ
no puede ser una trasposición, ya que con una conjugación adecuado resultarı́a que toda
trasposición estuviera en N , pero el subgrupo generado por todas trasposiciones es S5 . Por
Proposición 1.3.4 podemos escribir σ de manera única como un producto de ciclos con
soportes disjuntos en S5 . Quedan entonces solamente las posibilidades σ = (x1 x2 x3 ), o σ =
(x1 x2 ) ◦ (y1 y2 ) o σ = (x1 x2 x3 ) ◦ (y1 y2 ). En los primeros dos casos estamos ya directamente
listos, y en el último caso tenemos que σ 2 = (x1 x3 x2 ) ∈ N .
1.7.3 Teorema. A5 es un grupo simple.
Demostración. N E A5 un propio subgrupo normal. Entonces para cualquier τ, σ ∈ S5
con sgn(τ ) = sgn(σ) tenemos que τ ◦ N ◦ τ −1 = τ ◦ N ◦ τ −1 . Sea τ ∈ S5 \ A5 arbitrario.
Entonces el subgrupo N ∩ τ ◦ N ◦ τ −1 es normal en S5 , ya que para cualquier n, ñ ∈ N con
n = τ ◦ n ◦ τ −1 y cualquier σ ∈ A5 tenemos que σ ◦ n ◦ σ −1 ∈ N y σ ◦ τ ◦ ñ ◦ τ −1 ◦ σ −1 =
σ ◦ τ ◦ ñ ◦ (σ ◦ τ )−1 ∈ τ ◦ N ◦ τ −1 , ya que sgn(τ ) = sgn(σ ◦ τ ) en este caso, y si σ ∈ S5 \ A5 ,
entonces σ ◦ n ◦ σ −1 ∈ τ ◦ N ◦ τ −1 y σ ◦ τ ◦ ñ ◦ τ −1 ◦ σ −1 = σ ◦ τ ◦ ñ ◦ (σ ◦ τ )−1 ∈ N , ya que
sgn(σ) = −1 = σ(τ ) en este caso.
Entonces, por Lema 1.8.12, tenemos que N ∩ τ ◦ N ◦ τ −1 = {id}. Sea σ ∈ N \ {id}. Como
N ⊂ A5 , tenemos que sgn(σ) = 1. Escrito como descomposicón en cı́clos con soportes
disjuntos, a priori solamente queda la posibilidad que o σ es un 5-cı́clo, un 3-cı́clo o un
producto de dos trasposiciones con soporte disjuntos. Las últimas dos posibilidades podemos
descartar rápidamente, porque es fácil encontrar una trasposición τ en esos dos casos tal que
τ ◦ σ ◦ τ −1 = σ, llegando a la contradiccón que σ ∈ N ∩ τ N τ −1 = {id}. Eso demuestra que N
consiste solamente de 5-cı́clos. Sin perdida de generalidad podemos asumir que (12345) ∈ N.
Como ϕ ◦ (12345) ◦ ϕ−1 = (ϕ(1) . . . ϕ(5)) para ϕ ∈ A5 , obtenemos que N contiene a todos
los 5-cı́clos (x1 x2 x3 x4 x5 ) tal que
1 2 3 4 5
sign
= 1.
x1 x2 x3 x4 x5
22
CAPÍTULO 1. GRUPOS
Este conjunto de 5-cı́clos está obviamente cerrado bajo conjugación por elementos de A5 , al
igual que el conjunto complementario de 5-cı́clos (x1 x2 x3 x4 x5 ) en S5 tal que
1 2 3 4 5
sign
= −1.
x1 x2 x3 x4 x5
Además, la conjugación por un elemento en S5 \ A5 induce una biyección entre los dos
conjuntos de 5-cı́clos. Como hay en total 24 = 4 · 3 · 2 distintos 5-cı́clos en S5 , los cuales
se dividen en dos subconjuntos cerrados de 12 cı́clos cadauno, obtendrı́amos que |N | o es
25 = 24 + 1 (si N tiene de ambos tipos de 5-cı́clos) o 13 = 12 + 1 (si N tiene solamente de
un tı́po de 5-cı́clos) o |N | = 1 (si no contiene a ningún 5-cı́clo). Como ni 25 ni 13 divide a
|A5 | = 60, queda solamente la posibilidad que N = {id}.
1.7.4 Definición. una cadena finita de subgrupos propios sucesivamente normales (serie
normal)
{1G } = Gn C Gn−1 C · · · C G0 = G,
tal que Gi+1 es maximal bajo los subgrupos propios normales de Gi (o equivalentemente
que GiGi+1 es simple) para todo i se llama una serie de composición de G. Se dice
equivalente a otra serie de composición
{1G } = Hm C Hm−1 C · · · C H0 = G
si n = m y si hay una permutación τ de {0, . . . , n − 1} tal que GiGi+1 ≃ Hτ (i)Hτ i+1 para
todos i ∈ {0, . . . , n − 1}.
Demuestre que (Z, +) no tiene una serie de composición.
Demuestre que cada grupo finito tiene una serie de composición.
1.7.5 Teorema (Jordan-Hölder). Sea G un grupo finito, entonces cada dos series de composión de G son equivalentes.
Demostración. Eso se puede mostrar por inducción sobre |G|. Para |G| = 2 no hay nada que
mostrar. Sea |G| > 2. Dado dos series de composicón
{1G } = Gn C · · · C G1 C G
y
{1G } = Hm C · · · C H1 C G,
si H1 = G1 , entonces podemos aplicar la hipotesis de inducción directamente. Si no, observamos que H1 G1 E G, por lo que H1 G1 = G. Por el tercer teorema del isomorfı́smo obtenemos
que
H1 G1 ≃ G1
H1 G1 ≃ H1
y
H1
H1 ∩ G1
G1
H1 ∩ G1
1.7. GRUPOS SIMPLES Y SERIES DE COMPOSICIÓN
23
son grupos simples. Entonces, cualquier serie de composición de H1 ∩ G1 se extiende a dos
series de composición de G, a través de H1 ∩ G1 C G1 C G y H1 ∩ G1 C H1 C G. Por
hipotesis de la inducción, la primera extensión es equivalente a la
serie de composición {1G } = Gn C · · · C G1 C G y la segunda es equivalente a {1G } =
Hm C · · · C H1 C G, y ambos son equivalentes por la aplicación anterior del tercer teorema
del isomorfı́smo.
Por lo general, conocer una serie de composicón de un grupo no permite recuperar el grupo,
pero por lo menos puede ser una invariante útil para distinguir dos grupos. De hecho, conocer todos grupos con una serie de composición está conocido (o bien relacionado) al group
extension problem. Una solución positiva de este problema darı́a, debido a que los grupos
finitos simples están todos clasificados (es resultado de varios libros y lejos del alcance de un
curso de Algebra Abstracta), una clasificación de los grupos finitos.
1.7.1.
Acciones de grupos
Sea (G, ∗) un grupo y X un conjunto.
1.7.6 Definición. Una acción de G en X por izquierda es una función
G × X −→ X
(g, x) 7→ g.x
que satisface:
(i) ∀x ∈ X, ∀g, h ∈ G : (g ∗ h).x = g.(h.x),
(ii) ∀x ∈ X : 1G .x = x.
Si en lugar de (i) tenemos (i0 ) : ∀x ∈ X, ∀g, h ∈ G : (g ∗ h).x = h.(g.x), se dice acción por
derecha, y también podriamos escribir X × G → X en lugar de G × X → X tal que (i0 ) se
escribe más natural como x.(g ∗ h) = (x.g).h.
Para simplificar las notas en este subcapitulo, vamos a formular los resultados siempre para
acciones por izquierda, pero todos resultados valen (con adapción obvia) igualmente para
acciones por derecha.
Verifique los siguientes ejemplos:
1.7.7 Ejemplo.
Sn actua fielmente por izquierda en {1, . . . , n} por σ.x := σ(x).
Para cualquier grupo (G, ∗), la operación ∗ : G × G → G puede ser considerado como
una acción de la primera copia de G por izquierda en la segunda copia de G, o como
una de la segunda copia de G por derecha en la primera copia de G.
Para cualquier grupo G, la conjugación g.x := gxg −1 defina una acción por izquierda
en su mismo. El conjunto de puntos fijos es Z(G).
Para H ≤ G, la acción canonica de G en GH por izquierda es definida por g.X := gX.
24
CAPÍTULO 1. GRUPOS
Un homomorfismo ϕ : G → H induce la acción g.h := ϕ(g)h de G en H por izquierda.
1.7.8 Definición. Sea G un grupo y sean X y Y dos conjuntos con acción de G por izquierda.
Una función
ϕ : X1 −→ X2
se llama G-equivariante si ∀g ∈ G, x ∈ X : ϕ(g.x) = g.ϕ(x). (y se defina de manera
parecida si los dos acciones son por derecha).
Para un conjunto X con G-acción por izquierda, llamamos O ⊆ X una órbita bajo G si
O = G.x := {g.x | g ∈ G}
para un x ∈ O. Obviamente, la acción de G en X se restringa a un acción en cualquier órbita
bajo G.
Pruebe que O = G.x para cualquier x ∈ G, y que dos orbitas distinctos son disjuntos:
La acción de G en X se dice transitiva si X es una órbita bajo G, i.e. si ∀x ∈ X : G.x = X.
Para x ∈ X, el estabilizador de x en G es definido por
Gx := {g ∈ G | g.x = x}.
Pruebe que Gx ≤ G:
Se considera la collección de clases izquierdas GGx como conjunto con G-acción por izquierda.
(Todos las definicions anteriores pueden ser adaptadas para acciones por derecha.)
1.7.9 Proposición. Sea X un conjunto con acción de un grupo G por izquierda, O ⊆ X
una órbita bajo G. Entonces, para x ∈ O tenemos que
ϕx : GGx −→ O
gGx 7→ g.x
es una biyección G-equivariante (con respecto a las G-acciones canonicas de GGx y O).
Demostración. Sea g, h ∈ G. Tenemos que gGx = hGx ⇔ h−1 g ∈ Gx ⇔ x = (h−1 g).x ⇔
h.x = g.x. Estas ecuivalencias muestran no solamente que ϕx es bien definida, pero también
que es inyectiva. La sobreyectividad de ϕx sigue del ejercicio anterior. Además, ϕx es Gequivariante como ϕx (g1 .(g2 Gx )) = ϕx (g1 g2 Gx ) = (g1 g2 ).x = g1 .(g2 .x) = g1 .ϕx (g2 Gx )
1.7. GRUPOS SIMPLES Y SERIES DE COMPOSICIÓN
25
1.7.10 Teorema (Ecuación de órbitas). Sea X un conjunto finito con acción de un grupo
finito G. Entonces |O| divide a ord(G), donde O es cualquier órbita, y
|X| =
X
|O|
O⊆X
órbita
Demostración. El primer asunto sigue de Proposición 1.7.9 que muestra |G| = |O| · |Gx |
para x ∈ O. El segundo asunto sigue de un ejercicio anterior que las órbitas son dos a dos
disjuntos.
Como primer aplicación de la ecuación de orbitas, obtenemos el siguiente que se puede
comprender como un reciproco parcial del teorema de Lagrange (lo que dice que el orden de
cada elemento de un grupo es un divisor del grupo):
1.7.11 Teorema (Cauchy, 1845). Sea G un grupo finito y p un primo que divide a ord(G),
entonces ∃g ∈ G con ord(g) = p.
Demostración. Sea X := {(x1 , . . . , xp ) ∈ Gp | x1 · · · xp = 1G }. Como tenemos total libertad
en elegir los primeros p − 1 componentes de un p-tuple en X y el último es determinado por
esta elección, tenemos que |X| = |G|p−1 .
Ahora notamos que si (x1 , . . . , xp ) ∈ X, entonces (x2 , . . . , xp , x1 ) ∈ X, porque x2 · · · xp x1 =
−1
2
x−1
1 (x1 x2 · · · xp )x1 = x1 1G x1 = 1G . Luego, X admite una acción del subgrupo ciclico
H := h(1 2 . . . p)i ≤ Sp de orden p, definida por σ.(x1 , . . . , xp ) := (xσ(1) , . . . , xσ(p) ) para
σ ∈ H. Como ord(H) = p, las obritas bajo esta acción tienen cardinalidad 1 o p, y que, un
punto de X es fijo por H si y solo si es de la forma (a, . . . , a) con ap = 1G .
Es claro que hay al menos un tal punto con a = 1G . Si podemos mostrar que hay otro punto
fijo con a 6= 1G , entonces a es un elemento de orden p.
Por Teorema 1.7.10 tenemos que cada la cardinalidad de cada órbita divide a p (i.e. su
cardinalidad o es 1 o es p), y que
|X| = ord(G)p−1 =
X
|O|.
orbitas
El lado izquierdo es divisible por p. Por eso, no puede existir solamente un órbita O con
|O| = 1 (y los otros iguales a p). Como órbitas de cardinalidad uno corresponden a puntos
fijos, eso mustre que hay otro punto fijo en X que (1G , . . . , 1G ).
Sea G un grupo. Pruebe que x ∼c y ⇔ ∃g ∈ G : x = gyg −1 define una relación de equivalencia en
G, y que |[x]∼c | divide a ord(G) para cada x ∈ G:
2
como H es Abeliano, no hay diferencias entre acciones por derecha o izquierda
26
CAPÍTULO 1. GRUPOS
Pruebe además que y |[x]∼c | = 1 ⇔ x ∈
/ Z(G) y verifique la ecuación de clases (de conjugación)
X
|C|
|G| = |Z(G)| +
C∈{[x]∼c |x∈G\Z(G)}
1.7.12 Teorema. Sea G un grupo finito de orden pn para un primo p y un n ≥ 1. Entonces
Z(G) 6= {1G }.
Demostración. Eso es una consecuencia inmediata de la ecuación de clases, visto que p divide
a #[x]∼c para cada x ∈ G \ Z(G), y p divide también a ord(G).
Sea ? : G × X → Xuna acción por izquierda. Dada ? ϕ : G −→ SX , donde g ∈ G es enviado a
? ϕg : X → X, x 7→ g ? x. Pruebe que ? ϕ es bien definida y un homomorfismo de grupos:
Pruebe que un homomorfismo ϕ : G → SX induce una acción ?ϕ : G × X → X, (g, x) 7→ ϕ(g)(x)
por izquierda:
Pruebe que hay una correspondencia 1-a-1 entre homomorfismos G → SX y G-acciones por izquierda en X:
Sea G un grupo y X la colección de subgrupos de G. Pruebe que G × X → X, (g, H) 7→ gHg −1 es
una acción por izquierda. ¿A que corresponden puntos fijos de esta acción ?
1.7. GRUPOS SIMPLES Y SERIES DE COMPOSICIÓN
1.7.2.
27
Teoremas de Sylow
Para un conjunto X con acción de G, anotaremos
X G := {x ∈ X | G.x = {x}} ,
el subconjunto de los puntos fijos de X bajo la acción de G.
Recordamos que dado n ∈ N, cada m ∈ Z se escribe de manera única como m = ` · n + r con
` ∈ Z y r ∈ {0, 1, . . . , n − 1}. El número r se llama resto módulo n de m. Para m1 , m2 ∈ Z
anotaremos
m1 ≡ m2 mód n
si los restos módulo n de m1 y m2 coinciden, i.e. si (m1 − m2 ) es divisible por n, i.e. si
m1 + nZ = m2 + nZ in ZnZ.
1.7.13 Lema. Sea p un primo y G un p-grupo finito acutando en un conjunto finito X.
Entonces
|X| ≡ |X G | mód p.
P
Demostración. En efecto, sabemos que en general |X| = órbitas |O|, y que la cardinalidad
de cada órbita divide a |G|, que es pk para un k ∈ N0 . Luego, en un p-grupo la cardinalidad
de una órbita es o bien 1 (en el caso que la órbita corresponda a un punto fijo) o bien p`
para un 1 ≤ ` ≤ k. Por la ecuación de órbitas, el resto modulo p de |X| coincide con lo de
|X G |.
El siguiente teorema es una generalización de Teorema 1.7.11 (de Cauchy).
1.7.14 Teorema (Sylow I). Sea G un grupo finito y p un número primo. Sean m, k ∈ N0
con p - m y ord(G) = pk m. Entonces para cada 0 ≤ ` ≤ k existe H ≤ G con ord(H) = p` .
Demostración. Para ` = 0 no hay nada que mostrar. Supongamos que k ≥ 1, y probemos
recursivamente. Para ` = 1, el Teorema 1.7.11 nos dice que G contiene un subgrupo H1
de orden p. Ahora, tomemos 1 ≤ ` < k y supongamos que ya mostramos que existe H`
un subgrupo de orden p` . Consideramos la acción de izquierda de H` en GH` dado por la
restricción de la acción canonica de G en GH` . Por el Lema 1.7.13 tenemos que
G
H` ≡
G
H`
H `
mód p.
Como ` < k, se tiene que el lado izquierdo es divisible por p, entonces el lado derecho es
divisible por p. Como hay al menos un punto fijo (la clase H` ) en G, concluimos entonces
que H` fija al menos p de sus clases laterales. Pero H` fija una clase lateral izquierda gH` si
y solamente si
hgH` = gH` ∀h ∈ H` ,
lo que equivale a
g −1 hg ∈ H` ∀h ∈ H` ,
28
CAPÍTULO 1. GRUPOS
o en otra palabras que g ∈ NG (H` ) (el normalizador de H` en G). Concluimos entonces que
G
H`
H `
= {gH` | g ∈ NG (H` )} = NG (H` )H` ,
por lo tanto el orden de NG (H` )H` es divisible por p y por lo tanto, nuevamente por el
Teorema 1.7.11 (de Cauchy), sabemos que existe un subgrupo de NG (H` )H` de orden p.
Como hemos mostrado anteriormente en un ejercicio, un tal subgrupo es de la forma HH`
para un subgrupo H ≤ NG (H` ) con H` ≤ H (toma el preimagen del subgrupo de NG (H` )H`
bajo la proyección canónica G 7→ GH` ). Por lo tanto
ord(H) = ord(H` ) · ord(HH` ) = p` · p = p`+1 .
Podemos continuar de esta manera recursivamente hasta que ` + 1 = k.
1.7.15 Definición. Sea G un grupo finito y p un primo. Sean m, k ∈ N0 con p - m y
ord(G) = pk m. Un subgrupo H ≤ G con ord(H) = pk se llama p-subgrupo de Sylow.
El primer teorema de Sylow (Teorema 1.7.14) demostró que cada grupo tiene un p-subgrupo
de Sylow (para cualquier primo p). El segundo teorema de Sylow demustra que todos los
p-subgrupos de Sylow de un grupo son conjugados.
1.7.16 Teorema (Sylow II). Sea G un grupo finito y p un primo. Sean H1 y H2 dos psubgrupos de Sylow de G. Entonces existe un g ∈ G tal que
gH1 g −1 = H2 .
Demostración. Considere la acción de H1 en GH2 dado por la restricción de la acción
canónica por izquierda de G. Por el Lema 1.7.13 tenemos que
G
H2 ≡
G
H2
H 1
(mod p).
Puesto que el lado izquierdo no es divisible por p, concluimos que existe algun punto fijo
gH2 ∈ GH2 para la acción de H1 . Esto dice que h1 gH2 = gH2 para todo h1 ∈ H1 , de donde
se sigue que g −1 h1 g ∈ H2 para todo h1 ∈ H1 . Concluimos entonces que g −1 H1 g ⊆ H2 . La
igualdad sigue del hecho que el automorfismo interno de G, dado por la conjugación por g,
es inyectivo, y de la finitud de H1 y H2 (que son de la misma cardinalidad).
1.7. GRUPOS SIMPLES Y SERIES DE COMPOSICIÓN
29
Pruebe que cada p-subgrupo de un grupo finito está contenido en un p-subgrupo de Sylow:
Pruebe que cada p-subgrupo de un grupo infinito también esta contenido en un p-subgrupo máximo:
1.7.17 Teorema (Sylow III). Sea G un grupo finito y p un primo. Sean m, k ∈ N0 con p - m
y ord(G) = pk m. Denote np el número de p-subgrupos de Sylow de G. Entonces
(i) np divide a m,
(ii) np ≡ 1 mód p.
Demostración. Sea X el conjunto de los p-subgrupos de Sylow de G. Por el segundo teorema
de Sylow (Teorema 1.7.16), G actúa transitivamente por conjugación en el conjunto X. Para
H ∈ X, el estabilizador de H en G bajo la acción es GH = NG (H). Por la Proposición 1.7.9,
hay una biyección entre GN (H) y X. En particular, np = [G : NG (H)], y por lo tanto
G
m = [G : H] = [G : NG (H)] · [NG (H) : H] = np · [NG (H) : H],
lo que demuestra la parte (i) del teorema.
Para mostrar la parte (ii) del teorema, considere la acción por conjugación de H en el
conjunto X. Por 1.7.13 tenemos que
np = |X| ≡ X H
mód p.
Afirmamos que X H = {H}: En efecto, si H̃ ∈ X es fijo por H, tenemos que H ≤ NG (H̃).
Como H̃ y H son también p-subgrupos de Sylow de NG (H̃), entonces por el segundo teorema
de Sylow (Teorema 1.7.16) tenemos que H y H̃ son conjugados en NG (H̃), pero como
H̃ E NG (H̃) por la definición del normalizador, se sigue que H̃ es fijo por conjugación
en NG (H̃), luego H = H̃. Concluimos entonces que X H = 1, y es por esto que np ≡ 1
mód p.
Pruebe que cada grupo de orden 21, 63 o 12 tiene un propio subgrupo normal (no trivial):
30
CAPÍTULO 1. GRUPOS
Sea p un primo. Ya sabemos que cada grupo de orden p es ciclico y cada grupo de orden
p2 es Abeliano. Como primera aplicación de los teoremas de Sylow, vamos a ver que cada
grupo de orden pq es ciclico, donde q es otro primo con p < q y tal que p no divide a q − 1.
Para eso necesitamos los siguientes ejercicios:
Sea G un grupo y sean g1 , g1 ∈ G con g1 g2 = g2 g1 y tal que ord(g1 ) no tiene divisor común con
ord(g2 ). Pruebe que ord(g1 g2 ) = ord(g1 ) · ord(g2 ):
Sean H1 , H2 ≤ G tal que H1 ∩ H2 = {1G }. Entonces |H1 H2 | = ord(H1 ) · ord(H2 ):
1.7.18 Teorema. Sean p < q primos con p 6 | (q − 1). Entonces cada grupo de orden pq es
cı́clico.
Demostración. Sea G un grupo de orden pq. Por el Teorema 1.7.14 (Sylow I) existen Hp un
p-subgrupo de Sylow y Hq un q-subgrupo de Sylow de G. Por el Teorema 1.7.17 (Sylow III)
tenemos que nq = 1, y por el Teorema 1.7.16 (Sylow II) se tiene que Hq E G.
Luego, como Hq ∩ Hp = {1G }, por el ejercicio anterior se tiene que |Hq Hp | = pq = ord(G),
y por lo tanto G = Hq Hp .
Como Hq E G, tenemos que Hp actua por conjugación en Hq ,y por la ecuación de órbitas,
tenemos que la cardinalidad de cada órbita
P divide a p = ord(Hp ), i.e. cada órbita o tiene
cardinalidad 1 o p, y además |Hq | = q = órbitas O.
Entonces existe al menos una órbita de cardinalidad 1, la clase de conjugación de 1G , y como
p no divide a q − 1, existe otra órbita más de cardinalidad 1, i.e. existe g ∈ Hq \ {1G } con
hgh−1 = g para cada h ∈ Hp . Elegimos cualquier h ∈ Hp \ {1G }, y obtenemos de hg = gh
y del ejercicio anterior que ord(hg) = ord(h) · ord(g) = pq. Entonces hhgi = G, i.e. G es un
grupo ciclico.
1.7. GRUPOS SIMPLES Y SERIES DE COMPOSICIÓN
1.7.3.
31
Producto semidirecto
Para dos grupos (N, ∗) y (H, ?) hemos visto en el subcapitulo anterior la definición del
producto directo (N, ∗) × (H, ?) como el producto Cartesiano N × H con la operación independiente en cada componente. Pero esta no es la única forma de definir una operación en el
producto Cartesiano N × H. Dado cualquier homomorfismo ϕ : (H, ∗) → Aut(N, ?), h 7→ ϕh
podemos definir la operación:
·ϕ : (N × H) × (N × H) −→ N × H
[(n, h), (n0 , h0 )] 7→ (n ∗ ϕh (n0 ), h ? h0 )
Pruebe que la operación ·ϕ en N × H cumple con las axiomas de un grupo:
Esta estructura de grupo en el producto cartesiano de N y H se llama producto semidirecto via ϕ, y lo anotaremos por
(N, ∗) oϕ (H, ?),
o simplemente N oϕ H.
Pruebe que las inclusiones canonicas ι1 : N ,→ N oϕ H, n 7→ (n, 1H ) y ι2 : H ,→ N oϕ H, h 7→ (1G , h)
son monomorfismos de grupos:
1.7.19 Observación. Cuando ϕ : H → Aut(N ) es el homomorfismo trivial h 7→ idN ,
entonces N oϕ H es el producto directo N × H.
Pruebe que si ϕ no es trivial entonces N oϕ H no es Abeliano:
1.7.20 Ejemplo (Los grupos dihedrales
de orden 2n). Sea n ≥ 3 un entero, y considere
¯
¯
el homomorfismo inv : Z2Z → Aut ZnZ , `¯ 7→ inv` , donde inv` : ZnZ −→ ZnZ es el
automorfimso definido por m + nZ 7→ (−1)` m + nZ. Se puede mostrar [ejercicio] que inv
es un homomorfismo no trivial bien definido. Definimos el grupo dihedral de orden 2n
como
Dn := ZnZ oinv Z2Z.
32
CAPÍTULO 1. GRUPOS
1.7.21 Ejemplo. Cada homomorfismo de grupos de ZnZ es determinado por el imagen de
1 + nZ. Por otro lado, si relacionamos 1 + nZ a cualquier otro generador de ZnZ, eso define
un automorfismo de ZnZ. Consideremos n = 3, en este caso cada elemento de Z3Z salvo
el elemento neutro es un generador, y por lo tanto Aut(Z3Z) ∼
= Z2Z.
∼
Entoces, hay un único homomorfismo no trivial ϕ : Z2Z −
→ Aut(Z3Z), y como el único
automorfismo de Z2Z es la identidad, hay un solo producto semidirecto Z3Z o Z2Z = D3
no Abeliano y el producto directo Z3Z × Z2Z.
Sean H y N grupos y ϕ : H → Aut(N ) un homomorfismo. Identificamos H y N con sus
imagenes en N oϕ H bajo las inclusiones canonicas
H → N oϕ H, h 7→ (1N , h)
y
N 7→ N oϕ H, n 7→ (n, 1H ).
Con esta identificación, pruebe que N E N oϕ H, que H ∩ N = {(1Hnϕ N )} y que N ·ϕ H = N oϕ H:
Además, para h ∈ H ≤ N oϕ H y n ∈ N E N oϕ H, tenemos que que
ϕh (n) = (ϕh (n), 1H ) = (1n , h) ·ϕ (n, 1H ) ·ϕ (1N , h−1 ) = h ·ϕ n ·ϕ h−1 ,
es decir que ϕh corresponde a la restricción del automorfismo interior dado por h (i.e. ϕh =
ch |N ) bajos la identificación de H y N con sus imagenes en N oϕ H.
En analogı́a al criterio Teorema 1.6.1, mostraremos que las propiedades anteriores son de
hecho suficientes para cuando un grupo es isomorfo al producto semidirecto de un subgrupo
1.7.22 Teorema. Sea G un grupo, y sean H ≤ G y N E G, con H ∩ N = {1G } y G = N H.
Encontes
G∼
= N oc H,
donde c : H → Aut(N ), h 7→ ch |N , con ch el automorfismo de conjugación por h.
Demostración. Como H ∩ N = {1G } tenemos que nh = n0 h0 ⇔ n = n0 & h = h0 para
n, n0 ∈ N y h, h0 ∈ H [ejercicio]. Por lo tanto, la función
N H −→ N oc N
nh 7→ (n, h)
es una biyección bien definida. Queda a mostrar que es un homomorfismo de grupos. Como
nhn0 h0 = nhn0 h−1 hh0 = nch (n0 )hh0 , tenemos que
(nh)(n0 h0 ) 7→ (nch (n0 ), hh0 ) = (n, h) ·c (n0 , h0 ).
