Quinta edición CAPÍTULO 7 MECÁNICA DE MATERIALES Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. John T. DeWolf David F. Mazurek Notas: J. Walt Oler Texas Tech University Deflexiones (Integración) © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. Quinta edición MECÁNICA DE MATERIALES Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Contenido Deformación de una viga bajo carga transversal Ecuación de la curva elástica Determinación directa de la curva elástica a partir de la distribución de carga Vigas estáticamente indeterminadas Problema modelo 9.1 Problema modelo 9.3 Método de superposición Problema modelo 9.7 Aplicación de la superposición a vigas estáticamente indeterminadas Problema modelo 9.8 © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 6- 2 Quinta edición MECÁNICA DE MATERIALES Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Deformación de una viga bajo carga transversal • La relación entre el momento flector y la curvatura de flexión pura sigue siendo válida en general para cargas transversales. 1 = M ( x) EI • Una viga en voladizo sometida a una carga concentrada en su extremo libre, 1 =− Px EI • La curvatura varía linealmente con x. • En el extremo libre A, • En el soporte B, © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 1 B 1 = 0, ρA 0, B = ρA = EI PL 9- 3 Quinta edición MECÁNICA DE MATERIALES Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Deformación de una viga bajo carga transversal – Viga de un tramo en voladizo • Reacciones en A y C • Diagrama del momento flector • La curvatura es igual a cero en los puntos donde el momento flector es cero, es decir, en cada extremo y en E. 1 = M ( x) EI • La viga es cóncava hacia arriba en el momento de flexión positivo y cóncava hacia abajo cuando es negativo. • La curvatura máxima se produce cuando la magnitud de momento es un máximo. • Una ecuación de la forma de viga o curva elástica es necesaria para determinar la deformación máxima y la pendiente. © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 9- 4 Quinta edición MECÁNICA DE MATERIALES Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Ecuación de la curva elástica • Del cálculo elemental, simplificado para los parámetros de la viga, d2y 1 = dx 2 2 32 dy 1 + dx d2y dx 2 • Sustituyendo e integrando, EI 1 = EI d2y dx 2 = M (x) x dy EI EI = M ( x )dx + C1 dx 0 x x 0 0 EI y = dx M ( x ) dx + C1x + C2 © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 9- 5 Quinta edición MECÁNICA DE MATERIALES Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Ecuación de la curva elástica • Las constantes se determinan por las condiciones de frontera, x x 0 0 EI y = dx M ( x ) dx + C1x + C2 • Tres casos para vigas estáticamente determinadas, – Viga simplemente apoyada y A = 0, yB = 0 – Viga de un tramo en voladizo y A = 0, yB = 0 – Viga en voladizo y A = 0, A = 0 • Más cargas complicadas requieren integrales múltiples y la aplicación del requisito para la continuidad del desplazamiento y la pendiente. © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 9- 6 Quinta edición MECÁNICA DE MATERIALES Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Determinación directa de la curva elástica a partir de la distribución de carga • Para una viga sujeta a una carga distribuida, d 2M dM = V (x ) dx dx = 2 dV = − w( x ) dx • Ecuación para el desplazamiento de la viga d 2M dx 2 = EI d4y dx 4 = − w( x ) Integración desde la ecuación de carga: EI y( x ) = − dx dx dx w( x )dx + 16 C1x3 + 12 C2 x 2 + C3 x + C4 • Las constantes se determinan a partir de condiciones de contorno. © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 9- 7 Quinta edición MECÁNICA DE MATERIALES Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Determinación directa de la curva elástica a partir de la distribución de carga • Debe advertirse que entre mas complicado sea el sistema de cargas, habrá de obtenerse mas ecuaciones de carga o momento, acompañadas de condiciones de contorno que permita resolver el numero elevado de constantes de integración que aparecen por cada tramo. • Para una viga sujeta a un sistema de carga discontinuo, resulta practico la aplicación del método basado en funciones de singularidad. • Tómese en cuenta que si se integra desde la ecuación de carga no aparecerán constantes de integración sino hasta llegar hasta la ecuación de momento, en adelante. © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 9- 8 Quinta edición MECÁNICA DE MATERIALES Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Vigas estáticamente indeterminadas • Considere una viga empotrada en A y con apoyo sobre rodillos en B. • Del diagrama de cuerpo libre, nótese que hay cuatro componentes de la reacción desconocida. • Condiciones para el cumplimiento del equilibrio estático Fx = 0 Fy = 0 M A = 0 La viga es estáticamente indeterminada. • También se tiene la ecuación de deflexión de una viga, x x 0 0 EI y = dx M ( x ) dx + C1x + C2 que introduce dos incógnitas, pero proporciona tres ecuaciones adicionales de las condiciones de contorno: At x = 0, = 0 y = 0 © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. At x = L, y = 0 9- 9 Quinta edición MECÁNICA DE MATERIALES Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Problema modelo 9.1 SOLUCIÓN: • Desarrollar una expresión para M (x) y obtener la ecuación diferencial de la curva elástica. W 14 68 I = 723in 4 E = 29 106 psi P = 50 kips L = 15 ft a = 4 ft Para la porción AB de la viga parcialmente en voladizo, a) obtener la ecuación de la curva elástica, b) determinar la deflexión máxima, c) calcular ymáx. © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. • Integrar la ecuación diferencial en dos ocasiones y establecer condiciones de contorno para obtener la curva elástica. • Localizar el punto de pendiente cero o el punto de máxima deflexión. • Evaluar la deformación máxima correspondiente. 9- 10 Quinta edición MECÁNICA DE MATERIALES Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Problema modelo 9.1 SOLUCIÓN: • Desarrollar una expresión para M (x) y obtener la ecuación diferencial de la curva elástica. - Reacciones: RA = Pa a RB = P1 + L L - Para los diagramas de cuerpo libre de la sección AD, a M = −P x L (0 x L ) - Para la ecuación diferencial de la curva elástica, EI d2y dx © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. = −P 2 a x L 9- 11 Quinta edición MECÁNICA DE MATERIALES Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Problema modelo 9.1 • Integrar la ecuación diferencial en dos ocasiones y aplicar condiciones de contorno para obtener la curva elástica. EI dy 1 a = − P x 2 + C1 dx 2 L 1 a EI y = − P x3 + C1x + C2 6 L d2y a EI 2 = − P x L dx en x = 0, y = 0 : C2 = 0 1 a 1 en x = L, y = 0 : 0 = − P L3 + C1 L C1 = PaL 6 L 6 Sustituyendo, dy 1 a 1 EI = − P x 2 + PaL dx 2 L 6 1 a 1 EI y = − P x3 + PaLx 6 L 6 © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 2 dy PaL x = 1 − 3 dx 6 EI L 3 PaL2 x x y= − 6 EI L L 9- 12 Quinta edición MECÁNICA DE MATERIALES Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Problema modelo 9.1 • Localizar el punto de pendiente cero o el punto de máxima deflexión. 2 dy PaL xm =0= 1 − 3 dx 6 EI L 3 PaL2 x x y= − 6 EI L L xm = L = 0.577 L 3 • Evaluar la deformación máxima correspondiente. PaL2 3 ymáx = 0.577 − (0.577) 6 EI PaL2 ymáx = 0.0642 6 EI ymax = 0.0642 (50 kips )( 48in )(180 in ) ( )( 6 29 106 psi 723in 4 2 ) ymáx = 0.238in © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 9- 13 Quinta edición MECÁNICA DE MATERIALES Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Problema modelo 9.3 SOLUCIÓN: • Desarrollar la ecuación diferencial para la curva elástica (será funcionalmente dependiente de la reacción en A). Para la viga uniforme, determinar la reacción en A, obtener la ecuación de la curva elástica y hallar la pendiente en A. (Nótese que la viga es estáticamente indeterminada de primer grado.) • Integrar dos veces y aplicar condiciones de contorno para resolver la reacción en A y para obtener la curva elástica. • Evaluar la pendiente en A. © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 9- 14 Quinta edición MECÁNICA DE MATERIALES Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Problema modelo 9.3 • Considerar el momento en acción en la sección D, MD = 0 1 w0 x 2 x RA x − −M =0 2 L 3 w0 x3 M = RA x − 6L • Ecuación diferencial para la curva elástica, d2y w0 x3 EI 2 = M = R A x − 6L dx © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. 9- 15 Quinta edición MECÁNICA DE MATERIALES Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Problema modelo 9.3 • Doble integración 4 dy 1 2 w0 x EI = EI = R A x − + C1 dx 2 24 L 5 1 3 w0 x EI y = RA x − + C1x + C2 6 120L 2 EI d y w0 x = M = R x − A 6L dx 2 3 • Aplicar condiciones de contorno: en x = 0, y = 0 : C2 = 0 w0 L3 1 2 en x = L, = 0 : RA L − + C1 = 0 2 24 w0 L4 1 3 en x = L, y = 0 : RA L − + C1 L + C2 = 0 6 120 • Resolver para la reacción en A 1 1 RA L3 − w0 L4 = 0 3 30 © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. RA = 1 w0 L 10 9- 16 Quinta edición MECÁNICA DE MATERIALES Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek Problema modelo 9.3 • Sustituir C1, C2 y RA en la ecuación de la curva elástica, 5 1 1 3 w0 x 1 EI y = w0 L x − − w0 L3 x 6 10 120L 120 y= ( w0 − x5 + 2 L2 x3 − L4 x 120EIL • Diferenciar una vez para encontrar la pendiente, = en x = 0, © 2009 The McGraw-Hill Companies, Inc. All rights reserved. ( dy w0 = − 5 x 4 + 6 L2 x 2 − L4 dx 120EIL ) w0 L3 A = 120EI 9- 17 )