(Publicaciones ETSI Aeronáuticos) C. Martínez Arnaiz - Cálculo Estructural. Método de los Elementos Finitos-ETSIA - Universidad Politécnica de Madrid (UPM) (1998)

t , 1 uint (22. m tre) C. Martínez Arnaiz Mad 1 1 1 1 111 1111 1 1 1 * o 1 o o 5 2 o 1 o 1 * 1 . 1 .- INTRODUCCIÓN El Método de los Elementos Finitos en el cálculo.estructural es un método numérico aproximado para el análisis de estructuras de cualquier tipo sometidas a solicitaciones mecánicas y térmicas tanto estacionarias como transitorias. El desarrollo del método se basa en las relaciones matemáticas "exactas" deducidas en la Teoría de la Elasticidad. Estas relaciones son básicamente ecuaciones diferenciales que una vez integradas, considerando las condiciones iniciales y de contorno, proporcionan las funciones que definen las magnitudes representativas del comportamiento de la estructura. En el Método de los Elementos Finitos se sustituyen las ecuaciones diferenciales por un conjunto discreto de ecuaciones que puede ser resuelto en todos los casos mediante procesos matemáticos rutinarios susceptibles de ser programados fácilmente en un ordenador. Es evidente que el estudio del Método de los Elementos Finitos en el cálculo estructural requiere un conocimiento previo de la Teoría de la Elasticidad y en consecuencia en este capítulo se presentan, en plan recordatorio, los conceptos básicos de la Teoría de la Elasticidad, la mayor parte de los cuales son utilizados posteriormente en el desarrollo del Método de los Elementos Finitos. 1 . 2.- TENSOR DE ESFUERZOS EN UN PUNTO La fuerza por unidad de superficie que actúa a través de un determinado elemento plano situado en el interior de un cuerpo se denomina esfuerzo. Dicho esfuerzo puede descomponerse en principio en dos componentes, una normal al elemento plano denominada esfuerzo normal, y otra contenida en dicho plano que se denomina esfuerzo cortante. Ahora bien, como el esfuerzo cortante puede tener cualquier dirección en el elemento plano que se considera, será necesario definir dos direcciones en dicho plano y descomponer el esfuerzo cortante en estas dos direcciones. En estas condiciones la fuerza por unidad de superficie que actúa a través de un determinado elemento plano situado en el interior de un cuerpo queda definido por tres componentes, un esfuerzo normal y dos esfuerzos cortantes. Como son infinitas las orientaciones del elemento plano que se pueden considerar en un determinado punto de un cuerpo, infinitas serán las componentes de esfuerzos en dicho punto, ya que a cada orientación le corresponderá un vector fuerza por unidad de superficie. Sin embargo es fácil demostrar 1.1 que, utilizando únicamente condiciones de de tan sólo nueve componentes que son las correspondientes a las fuerzas por unidad de superficie asociadas a tres elementos planos ortogonales que pasen por el punto. En l a figura 1 . 1 se representa un detenninado punto O del cuerpo y un sistema de referencia ortogonal Oxyz, con origen en dicho punto, que define tres elementos planos que son los planos coordenados Oxy, Oyz, Ozx . La fuerza por unidad de superficie que la zona del cuerpo situada en x < O ejerce sobre la zona x > O, a través del plano yz en el punto O queda definida por las componentes de esfuerzo cortante O"xy, O"xz y por la componente de esfuerzo normal O"xx. Como puede observarse el primero de los dos subíndices representa el eje normal al elemento plano a través del cual se considera el esfuerzo, mientras que el segundo subíndice representa el eje al que es paralelo la correspondiente componente del esfuerzo. En estas condiciones O"xx. O"xy, O"xz son las componentes según los ejes Ox, Oy, Oz del vector cp x asociado a la orientación x, mientras que O"yx, O"yy, O"yz por un lado y O"zx, O"zy, O"zz por otro son las componentes según los ejes Ox, Oy, Oz de los vectores q5Y, cpz asociados respectivamente a las orientaciones y, z. Se considera ahora (ver figura 1 .2) un tetraedro infinitesimal OABC formado por los tres planos coordenados y un cuarto plano ABC cuya normal n que sale del tetraedro tiene por cosenos directores l, m, n . La fuerza por unidad de superficie que actúa sobre ABC es <P = <P x · I + <P Y ·} + <P z k , · mientras que las fuerzas por unidad de superficie que actúan sobre las otras tres caras del tetraedro vienen definidas por las correspondientes componentes de esfuerzos que se indican. 1.2 Si dA representa el área de la cara ABC, las áreas de las caras OBC, OCA, OAB serán respectivamente l·dA, m·dA, n·dA. Planteando las ecuaciones de equilibrio del tetraedro resultará: X · dA -cr XX · l · dA -cr )'X · m · dA -cr ZX · n · dA = O <!>Y dA (J · l · dA (J YY m dA - (J n · dA = O Z ·dA-cr XZ · l · dA -cr )'Z · m · dA-cr · n · dA = O • - xy - • zy · • ZZ Debe observarse que, definiéndose como infinitésimos principales las longitudes dx, dy, dz de las aristas OA, OB y OC, todos los términos que aparecen en las ecuaciones de equilibrio son infinitésimos de segundo orden y aún en el caso de que sobre el cuerpo actuasen fuerzas volumétricas de valor w por unidad de volumen su contribución en las ecuaciones sería nula ya que al ser proporcionales al volumen del tetraedro darían lugar a términos infinitesimales de tercer orden. Las ecuaciones de equilibrio anteriores pueden escribirse en la forma: =n · a en donde: es el vector fila formado por las componentes de la fuerza por unidad de superficie que actúa sobre la cara ABC del tetraedro, [ n = (l m n) es el vector fila formado por los cosenos directores de la normal a la cara ABC del tetraedro, y cr il ;;= :: (J xy (J yy (J Z)' 1.3 cr "' (J )'Z O" zz l es de los esfuerzos matriz cuadrada formada por las a los coordenados . Las ecuaciones de equilibrio pueden expresarse también en la forma: <P = cpx ·l+ cpy · m + "CP-2 n • en donde: cpx =crxx .[ +crxy ·]+crxz ·k cpY =cryx ·Í +crYY · ]+cryz ·k cpz =cr · T +crzy ]+cr ·k zx • zz son las fuerzas por unidad de superficie correspondientes a las orientaciones Ox, Oy, Oz. Esta última relación suele expresarse en una forma concisa diciendo que la fuerza por unidad de superficie correspondiente a una orientación n es una función lineal de la orientación. Esta propiedad es precisamente la que caracteriza a los tensores cartesianos rectangulares en un espacio de tres dimensiones y en consecuencia las componentes de los esfuerzos no sólo pueden agruparse a efectos de cálculo en una matriz cuadrada de orden tres, sino que definen una verdadera magnitud tensorial, siendo directamente aplicables las propiedades y características de este tipo de magnitudes. Conocido el tensor de esfuerzos existente en un punto O, expresado mediante sus componentes según los ejes de un sistema de referencia Ox1x2x3, es fácil determinar las componentes del mismo tensor en un nuevo sistema de referencia Ox;x�x; . La posición relativa de ambos triedros queda definida por la matriz: en donde: Obsérvese que a veces resulta conveniente, para poder utilizar el convenio de subíndices mudos, considerar sistemas de referencia Ox1x2x3, en lugar de Oxyz, en los que las componentes de vectores y tensores queden definidos por subíndices numéricos y no alfabéticos. 1 .4 actuando a [ de los elementos planos normales a ][ .. resultará que la fuerza por unidad de L>UIJ.._,_., ....,,,.., l , pero expresados mediante sus componentes según los ejes del sistema Ox1x2 x3, serán las filas de la matriz: A11 A12 A" ª11 cr12 crll A2 1 A22 A23 · cr21 cr22 ª23 [A-l [cr] A3 1 A32 A33 cr 31 cr32 cr33 . O' " l os ejes x2 , O' x1 , O' x3 de un Por otra parte, considerando que las componentes V1', V2', v3' segun vector cuyas componentes según los ejes del sistema O x1x2x3 son v1, v2, v3, vienen dados por: [� = l ][ i 21 A,1 (v ') = (v; V2' vn = (v¡ V2 v3)· A12 A22 A32 = (v)· [A-]' A13 A23 A33 resultará: [cr'] [Ali A = '. ][ l [ A11 A12 A13 cr11 cr12 ª11 Al A21 A 1 cr;l cr�2 ª ' , cr 1 cr;2 cr23 -- A21 A22 A23 · cr21 cr22 cr23 · A12 A22 A32 A31 A32 A33 cr31 cr32 cr33 A13 A23 A33 cr31 cr;2 cr;3 o bien utilizando el convenio de subíndices mudos : l = 1 [A-l [crl [A-] Se considera un pequeño elemento de volumen con forma de paralelepípedo, cuyas aristas sean paralelas a los ejes de un sistema de referencia Oxyz, con longitudes dx, dy, dz, (figura 1 .3) y se pretende plantear la ecuación de equilibrio de momentos con respecto al eje Ox. --- �'�.)( G;j-f 1.5 al Los esfuerzos que actúan sobre las caras a: Ox - ( d<J ) xy ( � 1 2 ) dz -d<J dx dy dx ( dy·dz) ·-+ ·(dy·dz) ·-= · --· =-· ( ) un momento con · 2 xy xz dx 2 d<J dCT xz . ---·dz+--·dy ·dx·dy·dz ax dx Análogamente, los esfuerzos que actúan sobre las caras perpendiculares al eje Oy proporcionarán un ( ( momento con respecto al eje Ox igual a: J ) CJ(J yz dz dy (dz · dx)· + cr rz + --·dy (dz · dx) dy= 2 dy d<J 1 CJ(J ) --·dx·dy (dz)2 + --· dx·( dy)2 · dz =cr )·z · dx·dy·dz 2 dy dy - CJ(J dy yy -- · - · - -· - )' ' · · )'Z · Finalmente, los esfuerzos que actúan sobre las caras perpendiculares al eje Oz proporcionarán un ( ) momento con respecto al eje Ox igual a: dy dcr _ ·dz · _zz (dx·dy)·- 2 dz ( cr z. > zy dcr dz + -- · J dz (dx·dy) ·dz= · d 1 d<Jzz ·dx·(dy)2 ·dz <J dx dy (dz)2 = -a . ·dx dy·dz + -·-2 dz dz 2> Z)' - -- · · · · Se observa que todos los términos que aparecen en la ecuación de equilibrio de momentos con respecto al eje Ox son infinitésimos de cuarto orden, salvo dos de ellos, que son infinitésimos de tercer orden. En el caso de que sobre el cuerpo estuviesen actuando fuerzas volumétricas w por unidad de volumen, es fácil comprobar que éstas darían lugar a términos adicionales que serían también Ínfinitésimos de cuarto orden. En estas condiciones, la ecuación de equilibrio de momentos con respecto al eje Ox quedaría en la forma: (J ' dx ' dy ' dz - (J ' dx ' dy ' dz= Ü rz Z _\' es decir: (J =(J )'Z Z)' De manera análoga se plantearían las ecuaciones de equilibrio de momentos con respecto a los ejes Oy, Oz deduciéndose respectivamente: (jxz=(Jzx (J =<J xy yx Así pues, como consecuencia de estas tres ecuaciones de equilibrio de momentos del elemento de volumen se deduce que el tensor de esfuerzos es simétrico. 1.6 Finalmente resulta conveniente señalar una propiedad interesante de las magnitudes tensoriales como es la que se refiere a las direcciones principales. Cualesquiera que sean las componentes del tensor de esfuerzos en un punto, es siempre posible determinar un sistema de referencia triortogonal en el que tan sólo existen esfuerzos normales siendo nulas todas las componentes de esfuerzos cortantes . Las direcciones de dicho triedro son las denominadas direcciones principales. En efecto, representando por n una de las direcciones en las que se cumpla dicha propiedad y siendo an el esfuerzo normal correspondiente a dicha orientación, se verificará: n ·O' =O'n ·n equivalente al sistema de ecuaciones homogéneo: (axx-an)·l+ayx ·m+azx ·n =O O' ' l+(O')')'-O'n) ' m+O' ' n = o O'xz · l+ayz ·m+(azz-an) ·n =0 X)' Z )' Para que a este sistema le correspondan otras soluciones distintas de la trivial 1 = m = n = O deberá ser: a azx O'xx-an =0 a ayy-an Q' axz azz-an Q' X)' )'X )'Z Z)' ecuación de tercer grado en an a la que siempre corresponden tres raíces reales . Para cada una de estas raíces corresponderá una solución 1, m, n que define la dirección principal. 1.3.- CAMPO DE DESPLAZAMIENTOS Y TENSOR DE DEFORMACIONES EN UN PUNTO Se considera un cuerpo inmovilizado en el espacio de una determinada manera . Para conseguir dicha inmovilidad será necesario impedir ciertos desplazamientos (seis ligaduras independientes como mínimo) . Al aplicar solicitaciones mecánicas o térmicas a dicho cuerpo, y como consecuencia de su deformabilidad, sus partículas materiales experimentarán ciertos desplazamientos o corrimientos . La partícula material que inicialmente se encuentra en el punto P0 de coordenadas x, y, z experimentará un corrimiento u(x,y,z) cuyas componentes según los ejes coordenados se representarán por Ux(x,y,z), uy(x,y,z), uz(x,y,z) . Normalmente los desplazamientos Ux, Uy, Uz son pequeños comparados con las dimensiones del cuerpo y será suficiente considerar la influencia de los términos de primer orden (teoría lineal), pero conviene resaltar que en algunas ocasiones, como por ejemplo en el caso de estructuras con cables o en el de placas con grandes flechas, será necesario tener en cuenta efectos de orden superior (teoría no lineal). 1 .7 Salvo que se indique lo contrario se supondrá en adelante que las componentes del vector desplazamiento son pequeñas y que varían de una forma continua en el volumen del cuerpo . El desplazamiento de un punto Q0, próximo al P0, tal que : P0Q0 = ár0 = dx T + dy · J + dz · k · vendrá definido por las componentes : dux · dy + dux · dx + dux · dz ux (x + dx, y + dy,z + dz) = ux (x,y, z) + dx dz ay du r du,. du · dx + -· dy + -·r dz uy (x + dx,y + dy, z + dz) = uy (x,y, z) + · dx dy dz duz · dx + _ duz dy + _ duz · dz uz (x + dx, y + dy, z + dz) = uz (x, y, z) + _ dx dy dz · · · que pueden agruparse en la relación única: dux dux dux dx dy dz duy duy du y Tiºº = Tip0 + dx dy dz duz du z du z dx dy dz El segmento inicial P0 Q0 PQ .¡:¡ = dr0 , una vez considerados los desplazamientos, pasa a la posición = ár de manera que (ver figura 1 .4) du x du x du x dx dy dz duy duy du y ár = ár0 + UQo - Up0 = ár0 + ax dy dz du z du z du z dx ay dz Obsérvese que mediante la operación : dux dx du r ds dx d u2 dx dux dux dz ay duy d uy dz ay d uz duz dy dz · (: ! dux dx duy = dx d uz dx dux dux dy dz duy duy dz ay d uz d u z dy dz .¡:¡ dx ds dy ds dz ds se asocia un vector a cada orientación, definida mediante los cosenos directores dx/ds, dy/ds, dz/ds. En particular a las orientaciones definidas por los ejes cartesianos x, y, z les corresponderán los vectores : 1.8 Qo I / I I ./ ./ / I ,/ mientras que a la orientación arbitraria n definida por: - - - n = l · i + m ·j + n ·k se le asignará el vector: es decir, el vector <Pn es una función lineal de la orientación, por lo que de acuerdo con lo indicado en el apartado anterior, se deduce que: du x du y dU 2 dX dx dx du x du-" dU 2 dy dy dy d u x du y du 2 dZ dz dz define una magnitud tensorial y en consecuencia al considerar un nuevo sistema de referencia, las componentes del tensor se obtendrán a partir de las fórmulas deducidas anteriormente en el caso del tensor de esfuerzos. 1.9 la que se está utilizando. Esto se debe a que normalmente la matriz que engloba las componentes de una magnitud tensorial se define de manera que sus filas están formadas por las componentes de los vectores asociados a los ej es Ox, Oy, Oz, por lo que en estas condiciones el vector asociado a la orientación n se obtiene mediante la relación (n) · de la operación ' [t'] · (n)1 [t] , mientras que en este apartado se obtiene dicho vector a partir Volviendo nuevamente a la relación: ¡: du x dy dU Y ()y duz ay dux dX dU Y ár=dfo+ dX duz dX l dx [ ¡¡ .¡:¡ d ux dZ dU Y dZ duz dZ ] dx ¡¡ y descomponiendo el tensor en sus componentes antisimétrica y simétrica, resultará: ár=dfo + - , o (J) )' Y Y xy/2 Y xz/2 · dy + y yx/2 -ro y y yz /2 O y zx/2 y zy/2 dz y (J) y x xx YY zz · dy dz en donde las componentes de los tensores antisimétrico y simétrico vienen definidas por las relaciones: Y XV - - - y \'X · ( > _!_. - duz + dux -- dy (J) . = 2 dX dU Yn=-r· dUx dU " ---;-- + ---;-ay ax - y\'Z · dZ J dU r dU =yzx = � + uz � ay Observando que ffix, COy, ffiz coinciden con las componentes del vector _!_ rot u = _!_ V /\ u y que a su vez el producto: [ :-,] . ¡:¡ :, �' O -ro -' ffi x 2 · 2 · dz coincide con el vector ffi /\ dr0 , la expresión anterior puede escribirse finalmente en la forma: 1 ár = ár0 + - 2 · rot u /\ ár0 + en donde y es el tensor simétrico: 1 . 10 = y ár0 · 1 1 2·Yx1· -· Y zx yXX 2 2.2 2. 1 y= -· y X\' 1 2 l yyy 1 ·yzx -· y )'Z - ·y \'Z yzz Esta última expresión indica (ver figura 1.4) que el segmento P0Q0 experimenta, durante la deformación del cuerpo, una traslación P0 P = u mediante la cual pasa a la posición PQ' , un giro alrededor de un eje que pasa por P definido por _!_ rot u mediante el cual pasa a la posición PQ" y · , 2 - una deformación definida por Q" Q = y áro mediante la cual pasa a la posición final PQ . · Teniendo en cuenta que la traslación u , el giro _!_ rot u y el tensor de deformación y dependen del 2 · punto Po, pero no de la orientación del segmento P0Q0 , se deduce que la parte del cuerpo contenida en un volumen elemental alrededor de Po experimentará la misma traslación u , la misma rotación _!_ rot u y una deformación y ár0 dependiendo tan sólo esta última de la orientación del segmento que 2 · · se considere. En la traslación y rotación el volumen elemental se moverá como sólido rígido y tan sólo la componente y ár0 provocará deformación en dicho volumen. · La analogía existente entre la operación y ár0 y la n cr que aparece en el apartado anterior permite · · aplicar al tensor de deformación y las mismas propiedades que se obtuvieron en el caso del tensor de esfuerzos cr . 1.11 de cada una de estas aristas en la operación y · ái0 , resultando: ( - 1 - 1 (1 - j ) (1 - 1 - ffi X = y 't' XX · ·i +2 ·y .\).. ·1 +.2 ·y . - 1 lX <P . = \T · +2 ' Y X\'. i + Y .. 2 · Y .yz ' ' ffi = - . y · i + 2 y )Z. 2 'I' Z lX · · ) -) k ) k - ·k ·dx • 1· + y ZZ · - • dy · dz tal como se representa en la figura 1.5. Se deduce que Yxx, yyy, Yzz son los alargamientos por unidad de longitud de los segmentos orientados según los ejes x, y, z; mientras que Yxy, yyz, Yzx son las disminuciones, en radianes, de los ángulos inicialmente iguales a 90° formados respectivamente por los ejes x, y; y, z; z, x respectivamente. Análogamente a lo que ocurría en el caso del tensor de esfuerzos cabe preguntar si existe alguna orientación a la que el corrimiento de deformación y · áro tenga la dirección del segmento original, es decir, si es posible encontrar una dirección n para la que se verifique: expresión equivalente al sistema de ecuaciones homogéneas: 12 21 21 1 2 . (yXX -dn ) ·l+- ·yX).-m+-·ylX ·n= O ]_ ·y . ·l +/y \ . -dn ) · x,· , ,. . . m + ]_ ·yrz ·n= O 2 ·Y v: · l+ 2 ·Y yz · m + (y zz -dn) · n= O Para que existan soluciones diferentes de la trivial 1 = m = n = O deberá ser: 1 y XX - d/1 2 · Yx.r 2· Yx.r Y yy 2· y lX .z 2 · Y" 1 1 1 - dn 1 2 · y lX 1 2 ·y .\'Z =0 Y zz - d n Desarrollando el determinante se deduce una ecuación de tercer grado en dn a la que siempre corresponden tres raíces reales que son las tres deformaciones principales. Para cada una de estas raíces, la solución 1, m, n del sistema de ecuaciones homogéneas definirá la correspondiente orientación del eje principal. 1.12 En ocasiones La secuencia de aplicación de cargas y variación de temperatura ser arbitraria, de manera que una anteceda a la otra o bien que ambas sean simultáneas. En estos casos los u(x, y, z) de las partículas del cuerpo se deben no sólo a las cargas sino también a los desplazamientos efectos térmicos. Las relaciones lineales existentes entre corrimientos u y deformaciones y , resultado de suponer que los desplazamientos son pequeños, permite aplicar el principio de superposición, y en consecuencia es posible establecer que las deformaciones totales son la suma de las deformaciones mecánicas, originadas por los esfuerzos que aparecen en el cuerpo, y de las deformaciones térmicas, originadas por las variaciones de temperatura. En el caso de un cuerpo isótropo, las deformaciones térmicas serán: Tl xx = Tl YY = Tlzz = a · !1T Tl X)' = Tl )'Z = Tl zx = o en donde a es el valor medio del coeficiente de dilatación térmica del material en el intervalo de temperaturas considerado. Las deformaciones mecánicas se deducirán entonces a partir de las totales y de las térmicas resultando: E xx = y xx - r¡xx E X)' = y xy E yy = y yy - Tl yy E )'Z = y )'Z Ezz = Yzz - Tlzz E zx = Y zx 1 .4.- ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD DE CORRIMIENTOS El estado de deformación en un punto de un cuerpo viene definido por las deformaciones normales Yxx(x,y,z), Yw (x,y,z), Yzz(x,y,z) y por las distorsiones angulares Yxy(x,y,z) , yyz(x,y,z), Yzx(x,y,z) que se deducen a partir de las derivadas con respecto a x, y, z de las componentes ux(x,y,z) , uy(x,y,z) , uz(x,y,z) del campo de corrimientos u(x, y, z) , mediante las fórmulas indicadas en el apartado 1.3 En el supuesto de que la función vectorial u(x, y, z) sea continua, derivable y con derivadas sucesivas continuas, es evidente que las derivadas primeras con respecto a x, y, z de las componentes ux(x,y ,z), 1 . 13 derivadas diferentes en smo que cumplir ciertas relaciones con objeto de satisfacer el teorema de Schwartz. Como las seis componentes del tensor de deformación y , así como las tres componentes del vector giro ínfinitesimal ro= (V A u) 1 2 , se expresan a partir de las indicadas derivadas primeras, también estas componentes deberán cumplir ciertas relaciones que son las que se denominan ecuaciones de compatibilidad de corrimientos. Se parte de las relaciones : y XX= UX,X y YY= uy,y y zz = uz,z y xy= ux,y +uy,x 2. ú)x=-uy,z +uz,y y yz= uy,z +uz,y 2·Wy=-uz,x +ux,z y zx= uz,x +ux,z 2·Wz=-ux,y +uy,x en donde las variables que aparecen en los subíndices detrás de la coma representan derivación parcial con respecto a dichas variables. Despej ando l as derivadas primeras con respecto a x, y, z de las funciones U x, uy, U z se obtiene: UX,X=y XX uy,x=Yxyl2+wz uz,x=y zx / 2-ú))' ux,y=y xy / 2- w z uy,y=y YY uz,y=Y yz I 2 +ú)x ux,z=y zx / 2+ú))' uy,z=Yyz / 2-ú)x uz,z=y zz Estableciendo la igualdad de las derivadas segundas cruzadas de las funciones Ux, Uy, Uz se deducirán las nueve relaciones siguientes: y XX,\'=y X \',X / 2-ú)Z,X Yxy,z / 2-ú)z,z=Yzx,y / 2+ú)y,y Yzx,x / 2+ú)y,x=Yxx,z Yxy,y / 2 +ú)z,y=Yyy,x ux,xy= ux,yx ux,yz= ux,zy ux,zx= ux,xz uy,xy= uy,yx Yyy,z=Yyz,y / 2-ú)x,y Y yz,x / 2-ú)x,x=Yxy,z / 2+ú)z,z Yz,r,y I 2-ú)y,y=y yz,x I 2+ro x,x Y_rz,z / 2 +ú)x,z=Yzz,y uy,yz= uy,zy uy,z,t= uy,xz Y zz,x=Y zx,z / 2-ú)y,z Teniendo en cuenta que: ro x,x +ro-"·-" + ro 2,2= V · (V /\ u)= O las relaciones anteriores son equivalentes a: ú)x,x= (Yz,r,y -Yxy,z ) / 2 ú)x,y=Yyz,y / 2-Yyy,z ú)z.x =y xy,x / 2 -y XX.Y ú)z,y=Y yy,x -y xy,y / 2 ú)y,x=Yxx,: -y zx,x / 2 ú)y,y= (Yxy,z -y yz,x ) / 2 1.14 ú)x,z=y zz,y -y yz,z f 2 ú)y,z=Yzx,z / 2-y zz,x ú)z,z= (Yyz,x -y v:,y ) f 2 (O x,xy =(O x,yx (O x,yz =(O x,zy (O x,zx =(O x,xz (O )',X)' =(O )',)'X (O y,yz =(O y,zy (O y,zx = (O y,xz (O z,xy =(O z,yx (O z,yz =(O z.zy (O z,zx =(O z.xz (Y ffiz, resulta: -y xy.zy ) / 2 =Y yz.yx / 2 -y yy.zx Y yz,yz / 2 -y yy,zz =Y zz,yy -y yz,zy / 2 zx,yy Y zz,yx -y yz,zx / 2 = (Y zx.yz -y xy,zz ) / 2 Y xx,zy -y zx,xy / 2 = (Y xy,zx -y yz,xx ) / 2 -y yz,xz ) / 2 =Y zx,zy / 2 -y zz,xy y zx.zx / 2 -y zz.xx =y xx,zz -y zx,xz / 2 Y xy,xy / 2 -y xx,yy =Y yy,xx -y xy,yx / 2 Y yy,xz -y xy,yz / 2 = (Y yz,xy -y zx,yy ) / 2 (Y (Y xy,zz yz,xx -y zx,yx ) / 2 =Y xy,xz / 2 -y xx,yz Las relaciones segunda, sexta y séptima pueden escribirse en la forma: Y yy,zz +Y zz.yy =Y yz,yz y zz,xx +y xx,zz =y zx,zx Y xx,yy +Y yy,xx =Y xy,xy que constituyen las tres primeras ecuaciones de compatibilidad de corrimientos . Las relaciones primera, quinta y novena por su parte son equivalentes a: Y yy,zx = (Y yz,yx +Y xy,zy -y zx,yy ) f 2 Y zz.xy = (Y zx,zy +Y yz,xz -y xy,zz ) / 2 Y xx,yz = (Y xy,xz +Y zx,yx -y yz,xx ) / 2 que constituyen las tres ecuaciones de compatibilidad de corrimientos restantes, ya que las relaciones tercera, cuarta y octava son idénticas a estas tres últimas ecuaciones de compatibilidad. 1.5.- RELACIONES ESFUERZOS - DEFORMACIONES Según se ha visto en los apartados anteriores, las partículas de un cuerpo, sometido a solicitaciones mecánicas o térmicas, experimentan corrimientos u(x, y, z) que originan deformaciones totales definidas por el campo tensorial simétrico y (x, y, z ) , parte de las cuales son producidas por efectos . térmicos, siendo las restantes las denominadas deformaciones mecánicas r(x, y, z) Al mismo tiempo en los diferentes puntos del cuerpo aparecerán esfuerzos definidos por el campo tensorial simétrico cr(x, y, z) . 1. 15 deformaciones mecánicas E , es dependiendo también de la historia de los estados en que el cuerpo se ha encontrado anteriormente . Las relaciones entre esfuerzos y deformaciones mecánicas son características del material y en el caso de que el material sea anisótropo dependerán también de la orientación del elemento, cosa que no sucederá en los materiales isótropos. Un cuerpo será homogéneo cuando las relaciones entre esfuerzos y deformaciones mecánicas sean las mismas en todas las partículas del cuerpo. Se dice que el material es perfectamente elástico si el tensor de esfuerzos es una función única del tensor de deformaciones mecánicas, cualquiera que sea la forma de dicha función. Adicionalmente, el material será linealmente elástico si la relación entre esfuerzos y deformaciones mecánicas es una relación lineal. La mayoría de los materiales estructurales verifican, dentro de ciertos límites, la ley de Hooke, es decir, en ellos la relación entre esfuerzos y deformaciones mecánicas es única y lineal. En estos casos, y suponiendo además la isotropía del material, se utilizan dos magnitudes, E (módulo de elasticidad) y v (módulo de Poisson), características del material, p ara definir l as relaciones entre esfuerzos y deformaciones mecánicas. Las expresiones correspondientes son en este caso: Exx= �-(crxx-v·cryy-v·crzz) ·(cr--n -v·crzz -V ·crry) En-- =_!_ E ·(crzz -V ·crxx -V ·CT n) Ezz =_!_ .. E - crxy Exy=c () )' Eyz=GZ cr E =- zx zx G en donde G (módulo de elasticidad en cortadura) viene definido por: G= · E 2 ( 1 +V) Las relaciones anteriores, que permiten calcular las deformaciones mecánicas una vez conocidos los esfuerzos, pueden agruparse en una expresión matricial única: 1 . 16 - l V V E E l E V E E V E XX E E V E E EX)' = o E o E yy zz )'Z zx o o o o o o o o o o o o V 1 E E o o 1 G o o o 1 G o o o o - - (jxx (j )')' (j zz (j xy (j yz o (j zx 1 - G Despej ando los esfuerzos de la relación anterior, sistema de seis ecuaciones con seis incógnitas, resulta: 2 · (1 - v ) 1 - 2 ·V 2 ·V (j 1 - 2 ·V (j )')' 2 ·V (j =G · 1 - 2 · V XX zz (j xy (j )'Z (j zx o 2 ·V 1 - 2 ·V 2 · (1 - v ) 1 - 2 ·V 2 ·V 1 - 2 ·V 2 ·V 1 - 2 ·V 2 ·V 1 - 2 ·V 2 · (1 - v ) 1 - 2 ·V o o o o o o o o o o o 1 o o o o o o o o o o E E E E E E o o XX yy zz X}' )'Z zx relación matricial que permite calcular los esfuerzos que actúan sobre las caras de un elemento una vez conocidas las componentes de deformación mecánicas. Estas relaciones se escriben normalmente en la forma: {cr } = [D] · { E } denominándose a la matriz [ D] matriz de rigidez del material . 1 . 6 . - ENUNCIADO DEL PROBLEMA ELÁSTICO El problema fundamental de la Elasticidad consiste en: Definido un cuerpo homogéneo, isótropo y linealmente elástico en equilibrio, sobre el que actúan unas determinadas fuerzas volumétricas, cuyo valor por unidad de volumen es superficiales sobre su contorno, cuyo valor por unidad de superficie es , W , otras fuerzas y al que se aplican variaciones de temperatura L1T, determinar en todos los puntos del mismo el tensor de esfuerzos vector de corrimientos u. 1 . 17 cr y el cuerpo. Puede ocurrir que en lugar de conocer las fuerzas superficiales que actúan sobre el contorno se definan los corrimientos, o bien que sobre una parte S<t> de dicho contorno se definan las fuerzas superficiales y en el resto Su se impongan ciertos corrimientos . W y las de superficie el> serán unas determinadas funciones conocidas de la posición W (x, y, z), (x, y, z) , y evidentemente las incógnitas cr , u serán En el caso más general las fuerzas volumétricas asimismo funciones de la posición cr (x, y, z), u(x, y, z) . Como puede observarse, en el problema existen nueve funciones escalares incógnitas, seis componentes del tensor de esfuerzos y tres componentes del vector corrimiento, que deben ser determinados una vez conocidas las propiedades del material, módulo de elasticidad E y módulo de Poisson v, la variación de W (x, y, z) definida en el cuerpo, la función vectorial (x, y, z) definida en la parte Set> del contorno y la función vectorial u(x, y, z) definida en el resto Su temperatura LlT(x,y,z), l a función vectorial del contorno. 1 .7 . ECUACIONES DE EQUILIBRIO - Se considera un elemento de volumen, en forma de paralelepípedo cuyas aristas tengan longitudes dx, dy, dz, sometido a las fuerzas que el resto del cuerpo ejerce sobre él, tal como se muestra en la figura 1 .6, así como a las acciones directamente aplicadas consistentes en fuerzas volumétricas, cuyo valor por unidad de volumen es W(x, y, z) . Al plantear las ecuaciones de equilibrio de fuerzas según los ejes Ox, Oy, Oz se obtiene: dCJ · dz · dx dy + W · dx · dy · dz O dCJ XX dx · dy · dz + dCJ )'X · dy · dz · dx + -= x dz dx dy -- · -- CJ(J CJ(J \'\ CJ \'Z ZX CJ Z\ · (J · dz · dx dy + �" · dx · dy · dz = O · dx · dy · dz + -·- · dy dz · dx + -dz dy dx X\ -- CJ(J __:s_ · dx dx · dy · dz + (J · -- · dy · · · CJ(J _ dy · dz · dx + _zz · dz · dx dy + W2 dx · dy · dz = O dz · 1. 18 • que una vez simplificadas se reducen a: ªª acr + acr + -- + --x= ax acr - -- -+ Wy = O -+ + ax acr )'_z acr zz acr x_z + __ __ + Wz = O + ax XX XV )'X ZX dy dz dO' )')' dy dO' Z)' w o dz ___ az dy o bien: 'V· cr + W = O en donde V es el operador matricial diferenc ial: ( a V = i_ ax dy cr es el tensor de esfuerzos: ª[ n � i cr xy a � = O'yx cr -"-" cr yz cr zy cr cr zz zx y W es la matriz formada por las componentes de las fuerzas volumétricas aplicadas al cuerpo: Con frecuencia las componentes del tensor simétrico de esfuerzos se definen mediante un vector columna y las ecuaciones de equilibrio se expresan mediante la relación matricial : 1 . 19 a dX o o - a o ay a o a a dx dZ dy a a o o ay az o XX a dZ o yy (J lZ o (J a ax xy + (J yz (J zx IS,) m 1 .8.- RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA ELÁSTICO Para la resolución del problema elástico, enunciado en el apartado 1.6, se disponen de las ecuaciones siguientes: - Ecuaciones cinemáticas (seis ecuaciones) a ax E XX E xy a o E yy E zz o dy o = E )'Z E zx o o o a az · a o dy ax a a o az ay a o a az ax a [:} 11 11 11 o o o en donde: 11 = 11 XX = 11 )')' = 11 zz =a . 11T Ecuaciones constitutivas (seis ecuaciones) A. + 2 ·G ()XX (J )')' (J (J zz xy (J )'Z (J en donde: zx = A, A, o o o A, o o o o o o o o A, A. + 2 ·G A, A, A. + 2 · G o o o G o o o o G o o o o o A,= v_·_E (l +v) · (l - 2 · v ) __ es el denominado coeficiente de Lamé. 1.20 __ o G E XX E yy E zz E X) ' E yz· E zx a o dx o a o a a dz o a dx - o dy o a a dx dz dy a o a o o dy dz ()XX ())) ()u + ()X)' () ) Z ' ' ' () lX ¡�+m En total se cuenta con quince ecuaciones que deben satisfacer las quince incógnitas existentes, tres del campo de corrimientos ( ux , uy , Uz ), seis del tensor de deformaciones mecánicas ( Em Eyy , Ezz . Exy , Eyz , Ezx ,) Adicionalmente la solución debe satisfacer las condiciones de contorno que consisten en que en la parte Su del contorno el corrimiento debe tomar el valor u impuesto y que en la parte S<l> del contorno debe ser: en donde representa la fuerza superficial aplicada en dicha zona. Utilizando las ecuaciones cinemáticas, es posible eliminar las componentes del tensor de deformaciones mecánicas en las ecuaciones constitutivas y en las de equilibrio interno, obteniéndose las nueve ecuaciones siguientes: A. A. A. + 2 · G A. A. A. + 2 ·G () )) A. A. + 2 · G A. ()u = o o o (j o o o () ) Z o o o () ()XX ' ' X)' ' lX o o o G o o a o o a o dy dx o a o a a dy dx dz o o a o a dy dz o o o o G o a dz o a dx en las que tan sólo aparecen nueve incógnitas. o o o o o G () XX () (ju ()X)' + yy () yz () zx ux,x uy,y uz,z ux,y + uy,x uy,z + uz,y uz,x + ux,z E ·a 1 - 2 ·V !iT !iT !iT fü) [�) = El problema puede simplificarse aun más según que en este último sistema de nueve ecuaciones con nueve incógnitas, se eliminen las componentes del tensor de esfuerzos, dando lugar a un sistema de tres 1 .21 o o o compatibilidad en esfuerzos. 1 .9.- ECUACIONES EQUILIBRIO DE EN CORRIMIENTOS Y ECUACIONES DE COMPATIBILIDAD EN ESFUERZOS Partiendo del sistema de nueve ecuaciones con nueve incógnitas, indicado en el apartado anterior, al sustituir en las ecuaciones de equilibrio las componentes del tensor de esfuerzos deducidas de las seis ecuaciones constitutivas, resulta: a ax o o o o a ay o o a az a ax - a ay a ax o o a az a ay o o E ·a · o 1 -2·V a dy o o o -- a az A, A, A,+2 ·G A, A, A,+2 ·G A, A,+2 ·G A, a az o o o a ax o o o a ay a ax o a az a ay o a az o a dx !J.T !J.T !J.T o o o + o o o o o G o o o G o o o o o {S } fü o o o o o o G = Desarrollando estos productos matriciales queda finalmente: en donde: es la deformación volumétrica. La expresión anterior, que puede escribirse también en la forma vectorial: G· V2u +(A,+G) · Ve+ W _ J!..5!:_ . V(!iT) = O 1-2 ·v constituye el sistema de ecuaciones de equilibrio expresado en función de los corrimientos. 1.22 ux,x uy,y uz,z ux,y +uy,x uy,z +uz,y uz,x +ux,z ya que en la Las condiciones de contorno no del contorno las incógnitas Ux, Uy, Uz deberán tomar los valores que corresponden de acuerdo con el corrimiento impuesto, mientras que en la parte S<t> del contorno, la condición n·cr = [f -{<!>X} o m o o m n o o n o n m E. a ·1:1T - <!>y + 1-2·V et> z . A A+2·G A A A.+2·G A A A+2·G A o o o o o o o o o o o G o o o o o o o o se traduce en: G o o o o o G ux,x uy,y uz.z ux,y +uy,x uy,z +uz,y uz,x +ux,z m n Ü o o o lo que es equivalente: A. · (V u)·n · E ·ª ·1:1T . n + e ·[(Vu). n + v (n. u)] = et> + 1-2 ·V Puede comprobarse (teorema de Duhamel) que los efectos térmicos equivalen a suponer que sobre el volumen del cuerpo actúan unas fuerzas volumétricas - E·a · \7(1:1T) l-2·V -- y que sobre el contorno del cuerpo actúan unas fuerzas superficiales E·a·l:1T --- 1-2·v _ ·n Una vez resuelto el problema elástico con estas fuerzas volumétricas y superficiales adicionales, al campo de esfuerzos obtenido en el supuesto de que las deformaciones mecánicas coincidan con con las deformaciones totales, habrá que añadir en todos los puntos del cuerpo un campo de esfuerzos normales igual a: E ·a ·1:1T 1-2·V Por su parte si se consideran como incógnitas básicas las componentes del tensor de esfuerzos, estas incógnitas deberán verificar en primer lugar las ecuaciones de equilibrio a a a o o o dy O- dx zx o o dz o dy dx a a - dy a o a a dz o a dx 1.23 (j XX (j yy (j zz (j -'0' (j yz (j zx + {:+m del tensor de deformaciones son funciones de Ahora las componentes del tensor de esfuerzos y dichas deformaciones no pueden ser arbitrarias sino que deben cumplir detenninadas relaciones de compatibilidad (ver apartado 1 .4), se deduce que las componentes del tensor de esfuerzos deberán cumplir además de las ecuaciones de equilibrio, las . condiciones de compatibilidad de corrimientos. Aunque las ecuaciones de compatibilidad pueden expresarse de forma inmediata en función de las componentes del tensor de esfuerzos, al utilizar ciertas relaciones deducidas de las ecuaciones constitutivas y de equilibrio, será posible simplificar al máximo dichas ecuaciones de compatibilidad. A continuación se deducen dichas relaciones previas. Las tres primeras ecuaciones constitutivas son: Sumando estas relaciones, representando por 8 la suma de los esfuerzos normales y recordando que el módulo de elasticidad en cortadura G, el coeficiente de Lamé A, y la deformación volumétrica e, vienen dados por: E 2 ·(1 +v) V·E A= (l+v) ·(l-2·v) e=ux,x +uy,y +uz.z G= resultará finalmente: 8 3 ·E·a 3 ·E·a E = (2·G+3·'A) ·e--·f}.T= --·e--- ·f}.T 1-2 ·v 1-2 ·v 1-2·v La segunda relación previa, necesaria para simplificar al máximo las ecuaciones de compatibilidad en esfuerzos, se deduce calculando la divergencia de la ecuación vectorial de equilibrio en corrimientos, deducida anteriormente en este apartado. E ·a - -V · V(f}.T))=O G · V · (V 2 u)+('A+G)-V·(Ve)+ V·Wl-2 ·v ( equivalente a: A E·a 2 - -G· V 2 e+('A+G)· V 2 e+ V·WV (f}.T)=O 1-2 ·V Sustituyendo los valores de G y , y teniendo en cuenta el valor de la deformación volumétrica e deducido en la primera relación previa, resulta finalmente: 1.24 = 1+v \J. 1-v . · a 1-v Para transformar la ecuación de compatibilidad se parte de las ecuaciones constitutivas: Y yy,zz +y zz,yy =Y yz,yz y ..n= a · �T+ _!_ · [(l+V) ·cr F. -V ·0] E 1 y zz=a · �T+ [( 1+V) ·cr zz -V ·0] E 2 ·(1+v) Yr. z= E ·(Jr. z · resultando: E ·a · [(�T).yy +(�T).zz]+(l+v) · (cr yy,zz +a zz.yy ) -v · (0.zz +0.n. )=2 ·(l+v)·<J yz.yz Obsérvese que ésta ya es una ecuación válida, ya que las únicas incógnitas que aparecen son las componentes del tensor de esfuerzos. No obstante es posible simplificar la expresión utilizando las ecuaciones de equilibrio. Las ecuaciones de equilibrio segunda y tercera pueden escribirse en la forma: (J yz,z - �\' - (J xy,x - (J yy,y (J yz.y - w� - (J zx.x - (J zz.z = = de donde derivando la primera con respecto a y' la segunda con respecto a z y sumando resulta: 2 (J yz,yz -( � + Wz.z ) - (J yy,yy - (J zz.zz - (J xy,xy - (J zx.zx + YV_t,X + (J - ( w)',)' + wz,z ) - (J )')',)')' - (J = · = r.y = XX,XX ZZ,ZZ en donde se ha tenido en cuenta que, de acuerdo con la primera ecuación de equilibrio, se verifica: - (J xy,xy - (J zx.zx = YV_'(,X + (J XX,XX La ecuación de compatibilidad, al sustituir el valor de CTyz,yz , queda en la forma: (1 + V ) . ( (J + (J + (J -E · a· [CLiT)·-"-" + (LiT).zz] yy.zz zz.yy yy,yy + (J zz.zz - (J xx,xx ) - v . (e .zz + 0 ,yy ) ( Wx,x - Wy.y - Wz,z ) = o bien: 2 sustituyendo el valor de \7 0 obtenido anteriormente y operando resulta finalmente: 1 V E· a 2 E·a 2 V cr .u + - · 8 ,XX =-- V · W - 2 · Wx,x - - V (LiT)--·(LiT),XX 1 +V 1- V 1 -V 1 +V Las condiciones de compatibilidad segunda y tercera se deducen mediante permutación cíclica de los subíndices x, y, z resultando: 1.25 rr · · 1 + V ·8.n =--V· -- · · l +v 1 -v -2· V -2· u + 1 +v ·8 .u = 1 -v V· -- Análogamente se transformarían las condiciones de compatibilidad cuarta, quinta y sexta resultando: 2 V (j ( 1 . ) E·a · =- Wz x + VV:xz (�T ),zx zx + --·8 1 + V zx ' ' 1 +V -- ' a T va . + 1 +1 V · 8 X.)' =-( VV:r' >· + w).' X ) - E· (� ) 1 +V va + 1 · 8 )' =-( w ·z + wz · ) - E · a (�T) . 2 X)' 2 -- ' rz 1 +V '> >' 'Z -- . -- ,X) -- ,)Z 1 +V . 1 . 1 0.- PROPOSICIONES FUNDAMENTALES Se supone un volumen V, limitado por una superficie S, y se considera un campo vectorial W (x, y, z) definido en V, un segundo campo vectorial <l>(x. y, z) definido en S y un campo tensorial cr (x, y, z) definido en V +S. Se dice que W , <l>, cr constituyen un sistema estáticamente consistente si el campo tensorial cr es simétrico y verifica las relaciones: a ax a - o o a ay o o a a o ax az a o a a az ay ax [� o m o dy (j a az o o (j )')' (j zz o o o n m o o n m n l (j X)' l r:: o . r XX (j X.\' (j )'Z (j zx = (j )'Z (j zx + füH�l l:: l en V en S en donde (l,m,n) son los cosenos directores de la normal na la superficie S que delimita el volumen V Aunque la notación definida anteriormente induce a pensar que W se asocia con las fuerzas volumétricas por unidad de volumen, con las fuerzas superficiales por unidad de superficie y cr con el campo de esfuerzos que existen realmente en una estructura sometida a una determinada solicitación, es importante tener presente que pueden ser campos vectoriales y tensorial arbitrarios, y que incluso, de 1. 2 6 y ni cr con campo tensorial de esfuerzos. con campos vectoriales de Se considera ahora un campo vectorial u(x, y , z) y un campo tensorial y (x, y , z ) definidos ambos en V+S . Se dice que u y y constituyen un sistema cinemáticamente consistente en V +S si el campo tensorial y es simétrico y verifica las relaciones: a ax y XX y))' ' y zz y X)' y )'Z y zx o o o a dy o o o a az a o dy dx a a o dz dy a o a ax az a - -\::) en V + S Es aplicable asimismo una observación análoga a la establecida en el caso de sistemas estáticamente consistentes en el sentido en que no deben asociarse necesariamente u y y con los campos de corrimientos y deformaciones de una estructura sometida a una cierta solicitación. Proposición directa Si sobre un mismo dominio V+S se define un sistema arbitrario W, , a pero estáticamente consistente y otro sistema también arbitrario u, y pero cinemáticamente consistente, se verifica: ' fv (W · u) · dV + f ( u) dS = fv {cr } · {y } · dV s · · en donde {cr} y {y} son los vectores columna definidos a partir de las componentes distintas de los tensores simétricos a y y (}XX (} )')' {cr } = (} zz {y } = (} .\)" (} yz cr zx 1 . 27 y XX y)')' y zz Y xy Y yz y zx f u)-dS se verificará: fs · u) · dS fs <P . · u . · dS fs (n. · ) u . · dS fs (n. · .) · u . · dS fs (uj ·cr ji ) - ni · dS fs (u · cr) · n · dS = 1 5 En l= = = · = J J = cr .. lj l · = J cr . )l l J = En este conjunto de igualdades se han tenido en cuenta las relaciones que deben satisfacer las W, <!>, cr un sistema estáticamente consistente y componentes <!>j como consecuencia de ser posteriormente que cr u = cr ji ya que cr es un tensor simétrico. El último miembro de las relaciones anteriores representa el flujo a través de S del campo vectorial u·cr = u j ·a ji ·"i¡ , por lo que aplicando el teorema de Ostrogadski-Gauss, así como relaciones matemáticas de derivación se verificará: (debe observarse que las relaciones siguientes no requieren la condición de que W, ,cr sea un sistema estáticamente consistente ni que u,y sea un sistema cinemáticamente consistente) I= = u. ·cr .. )· dV f (u·=;) · n · dS f div(u· =;)· dV f div(u . ·cr .. · e.) · dV f �( dX¡ d(J dUj . . ·dV+ f u.· ·dV f -·a dX dX = S V · 1 11 = V V J V J 1 11 = V J Jl = l · cr es simétrico, que u,cr es un sistema cinemáticamente consistente, y que acr / dx¡ -Wj ya que W , <P,cr es un sistema estáticamente consistente se Finalmente, teniendo en cuenta que el tensor = u verificará: J= + [ ] x + (J r . -) + (J . _z + (J .. (-x + -· ) + (J z . (-· + -z) + (J . (-Z +-x) . dV + v (J . _ ). dy x) dy > dZ dy dx dx dz dx dZ r 1 J xx du · du ' du zz du\' du du,. · du zx fv u/�" · dV = fv {cr r {y}· dV - fv uj Wr dV = fv {cr r {y}·dV - fvW · U ·dV · 1 En definitiva resulta: f/P · u dS -fv W · u · dV + fv {a } · {y}· dV · ' = o lo que es lo mismo: fv W · u · dV + J <P u· dS fv {cr} · {y}· dV 5 = · con lo que queda demostrada la proposición directa. 1. 2 8 ' du du Se pueden enunciar dos proposiciones inversas . La proposición inversa primera establece que si sobre un dominio V+S se define un sistema W , , cr , siendo cr simétrico, que verifica la relación : I fv W · u · dV + Js · u · dS = fv {cr } · {y } · dV para cualquier sistema u, y cinemáticamente consistente, se deduce que W , , cr es un sistema estáticamente consistente. Por su parte, la proposición inversa segunda establece que si sobre un dominio V +S se define un sistema u, y , siendo y simétrico, que verifica la relación : I fv W · u · dV + fs · u · dS = fv {cr } · {y } · dV para cualquier sistema W , , cr estáticamente consistente, se deduce que u , y es un sistema cinemáticamente consistente. Se demostrará en primer lugar la proposición inversa primera. Tal y como se ha visto en el caso de la proposición directa, teniendo en cuenta la simetría del tensor cr , se verifica, cualesquiera que sean los campos W , , cr, u, y : fs (n j · cr ji ) · u; · dV = fs (nj · cr ij ) · u; · dV = fs (u; · cr ij ) · nj · dS = = = au . . acr ..I = f (u . cr ) n dS = r div (u cr ) dV = rv J cr .. dV + J, u . J dV = vJ V J ax. J ax. JI acr . au . . = J cr . · J · dV · dV + f u V J ax. V J I ax. S . - 1 _ - . 1 , _ u . . __ . 1 1 Si se admite ahora que u , y constituyen un sistema cinemáticamente consistente, teniendo presente que cr es un campo tensorial simétrico, y utilizando la igualdad anterior, se verificará: 1 . 29 fv } ' XX y + y + y + y X\' + y + y ] dV d f [() XX · y XX + O" \'\' · y \'\' + CT · y + O" X\' . ( ddUyX + dUX + O" .\'Z . /JdUZY + dy + CT ( ddXU Z + ddU ) · dV Z acr . . au . = fv a . · aX¡ · dV = f ( . · a . ) · u . · dV - fv u . · _ lJ · dV aX¡ } dV = fv . . = V JI .. J _ n J cr z.x . yz zx . = zx . . 1 JI yz . cr xy . zz zz . yy ZZ ZZ · · s yy . XX • X ] J En la proposición inversa primera se supone que se verifica: / fv W · u · dV + f/P · u · dS = fv {a } · {y } · dV [w. + daX¡ ] y al sustituir el segundo miembro por el valor hallado anteriormente resultará: a . a . ] · u. · dS = y como esta igualdad debe verificarse cualquiera que sea el campo vectorial u que se considere, deberá fV J u · u . dV f [ . - n · 1 + · S 1 J 1 11 o cumplirse: ªª ij W . +-- = O J que demuestra que en V (}x.1 en S W, , a constituyen un sistema estáticamente consistente. La proposición inversa segunda se demuestra de forma semejante. Se parte de la igualdad demostrada anteriormente dU dO' . 1 . · u . _lJ · f ( . · a .. ) · u . · dS = Jfv aX¡ · a dV + fV · aX¡ dV s Si se admite ahora que n J JI 1 · JI 1 W, , a constituyen un sistema estáticamente consistente, se verificará: n · O' = da . = -W . ax i ji j 11 __ 1 . 1 y en consecuencia la relación anterior quedará en la forma: a du j f u . · d u · dV = f · u · dS + í W · . . = . . u · · dS dV · a ·a · f JV, 1 dx.1 JV, - u · dV J , dx. (1 ) s- í V 1 JI s n JI -- 1 En la proposición inversa segunda se supone que se verifica: fv W · u· dV + J · u · dS = fv {a } · {y } · dV ' 5 [ ] y al sustituir el primer miembro por el valor hallado anteriormente resultará: ' fv {a } · {y } - du . ·a · dV = O dx� 1. 30 ji y como esta que sea el campo tensorial deberán anularse los coeficientes de cada una de las componentes de cr , y estas relaciones demuestran que u, y constituyen un sistema cinemáticamente consistente. 1 . 1 1 .- PRINCIPIO DE LOS DESPLAZAMIENTOS VIRTUALES El principio de los desplazamientos virtuales establece que la condición necesaria y suficiente para que una estructura sometida a una determinada solicitación mecánica y térmica se encuentre en equilibrio, es bu se verifique: fv w · bu · dV + fs <P · 8u · dS fv {a} · { by}· dV que para todo desplazamiento virtual = ' en donde W son las fuerzas volumétricas por unidad de volumen aplicadas a la estructura, <P son las fuerzas superficiales por unidad de superficie que actúan sobre el contorno de la estructura, {cr} es el { 8y } es el campo de deformaciones virtuales cinemáticamente consistente con el campo de desplazamientos virtuales bu . campo de esfuerzos en la estructura y La demostración de este principio se basa en las proposiciones directa e inversas formuladas en el apartado anterior. En efecto, si la estructura se encuentra en equilibrio, los campos vectoriales W , <P y el campo tensorial a definirán un sistema estáticamente consistente. Como por otra parte 8u,by son un sistema cinemáticamente consistente, de acuerdo con la proposición directa, se cumplirá: ' fv W · bu · dV + f <P · 8u · dS fv {a} · { by}· dV = 5 Recíprocamente, si se verifica ' fv W · 8u · dV + fs <P · 8u · dS fv {a} ·{ by}· dV = cualquiera que sea el campo de desplazamientos virtuales deformaciones bu , del que se deduce el campo de { by} cinemáticamente consistente , de acuerdo con la proposición inversa primera, se a constituyen un sistema estáticamente consistente, es decir, se satisfacen las deduce que W , <P, ecuaciones de equilibrio, o lo que es lo mismo, la estructura se encuentra en equilibrio . 1 .3 1 En de los del el virtuales es totalmente 1 . 1 2 .- PRINCIPIO DE LAS FUERZAS VIRTUALES El principio de las fuerzas virtuales establece que la condición necesaria y suficiente de compatibilidad de corrimientos en una estructura sometida a una solicitación mecánica y térmica es que para cualquier conjunto de fuerzas virtuales volumétricas oW y superficiales 8 se verifique: ' fv oW · u · dV + f 8 u dS = fv {8cr } {y } dV s · · · · en donde u es el campo de corrimientos de la estructura, {y } es el campo de deformaciones totales {ocr } es el campo de esfuerzos virtuales (mecánicas más térmicas) reales de la estructura y estáticamente consistentes con las fuerzas virtuales oW , 8 . También en este caso la demostración del principio se basa en las proposiciones directa e inversas formuladas anteriormente. En efecto, si el campo de deformaciones {y } es cinemáticamente consistente con el campo de corrimientos u , como se supone que oW , 8,8cr constituyen un sistema estáticamente consistente, se cumplirá, de acuerdo con la proposición directa: ' fv oW u · dV + f 8 u dS = fv {8cr } · {y } · dV · s · · Recíprocamente, si se verifica: ' fv o W u · dV + f o · u · dS fv {ocr } · {y } · dV · cualesquiera que sean los campos = s oW , o, 8 cr estáticamente consistentes, de acuerdo con la proposición inversa segunda, se verificará que u , y son cinemáticamente consistentes y en consecuencia las deformaciones y serán compatibles con el campo de corrimientos u . Una aplicación inmediata del principio de las fuerzas virtuales es el método de la carga unitaria que permite calcular el corrimiento en una determinada dirección y sentido de un punto de una estructura sometida a una cierta solicitación mecánica y térmica, a partir del campo de deformaciones totales (mecánicas más térmicas) originado por dicha solicitación . Este método consiste en considerar un 1.32 sistema de cargas virtuales consistente en una carga única en dirección y sentido en que se deberá equilibrarse con un conjunto de reacciones pretende calcular el corrimiento. Esta carga virtuales en los apoyos de la estructura y será necesario determinar además un campo de esfuerzos virtuales Scr que únicamente deben satisfacer las condiciones de equilibrio. Si los apoyos de la estructura se mantienen fijos, el primer miembro de la expresión : I fv sw . u dv + fs o . u . ds = fv {ºª } . {y } dV . . que define el trabaj o que las fuerzas virtuales realizan en correspondencia con los corrimientos reales se reduce a (jp · u , en donde u es el corrimiento del punto en cuestión, en la dirección y sentido de 8P . En estas condiciones, el principio de las fuerzas virtuales establece: I 8P · u = fv {8cr } · {y } · dV de donde se deduce: u= 1 fv SP I · {Scr } · {y } · dV Obsérvese que, de acuerdo con la proporcionalidad existente entre cargas y esfuerzos, {8cr } / oP define el campo de esfuerzos virtuales en equilibrio con una carga oP = 1 , de aquí el nombre de método de la carga unitaria. En el caso en que los apoyos no se mantengan fijos y experimenten determinados asientos conocidos, en el primer miembro de la relación anterior será necesario añadir el trabajo de las reacciones virtuales en correspondencia con los corrimientos reales. Finalmente, si la estructura está libre en el espacio, o el número y disposición de sus apoyos es tal que la estructura puede moverse como un mecanismo con uno o varios grados de libertad, puede ocurrir que no sea siempre posible hallar unas reacciones virtuales que equilibren la carga virtual oP . Dado que el corrimiento que se pretende calcular es el correspondiente a la deformación de la estructura y no el debido a su movimiento, será preciso añadir uno o varios apoyos adicionales que permitan fijar isostáticamente la estructura a una referencia respecto a la cual se determina el corrimiento. Estos apoyos adicionales, junto a los apoyos reales de la estructura, permitirán ya determinar en todos los casos un conjunto de reacciones virtuales que equilibren la carga virtual oP . 1 .3 3 Se considera una estructura en equilibrio bajo la acción de un sistema de -¡-¡,,,,.... ..,.,," volumétricas WA y de , que provocan un campo tensorial de esfuerzos fuerzas superficiales {cr A } y un campo de deformaciones {y A } que coincide con el campo de deformaciones mecánicas {E A } , ya que se supone que no existen deformaciones térmicas {11 A } Como consecuencia de las deformaciones mecánicas • {E A } los puntos de la estructura sufren corrimientos definidos por el campo vectorial uA Resulta • evidente que WA , A , {cr A } constituyen un sistema estáticamente consistente y por su parte uA , {E A } definen un sistema cinemáticamente consistente. Se considera ahora la misma estructura en equilibrio bajo la acción de otro sistema de fuerzas volumétricas W8 y de fuerzas superficiales 8 , siendo {cr 8 }, {E 8 } los correspondientes campos tensoriales de esfuerzos y deformaciones mecánicas y u8 el campo vectorial de corrimientos. En este caso se define un segundo sistema W8 , 8 , {cr 8 } estáticamente consistente y otro segundo sistema u8 , {E 8 } cinemáticamente consistente. Teniendo en cuenta que las relaciones lineales entre esfuerzos y deformaciones mecánicas planteadas en el apartado 1 .5 pueden escribirse en la forma: {cr } = [D] · {E} en donde [D] e s l a matriz simétrica de rigidez del material, y aplicando l a proposición directa en correspondencia con el primer sistema estáticamente consistente y el segundo sistema cinemáticamente consistente, resultará: ' ' ' fv WA · u8 dV + fs A · u8 · dS = fv {cr A } · {E 8 } · dV = fv {E A } · [D] · {E 8 } · dV · Aplicando nuevamente la proposición directa pero en correspondencia ahora con el segundo sistema estáticamente consistente y el primer sistema cinemáticamente consistente, resultará: ' ' ' fv wB · UA · dV + fs B · UA · dS = fv {cr a } · {E A } · dV = fv {c a } · [D] · {E A } · dV Se observa que las matrices que aparecen en los últimos miembros de ambas expresiones son iguales ya que tanto en un caso como en otro representan una magnitud escalar y una de ellas es la transpuesta de la otra, ya que la matriz [ D] es simétrica. Igualando en consecuencia los primeros miembros resultará: 1 . 34 · d V + fs · dS í Jv . dV + fs B · dS Esta relación define el teorema de reciprocidad de los trabajos que expresa que cuando se considera una misma estructura sometida a dos solicitaciones mecánicas distintas A y el trabaj o realizado por las cargas de la solicitación A en correspondencia con los corrimientos de la solicitación B es igual al trabajo realizado por las cargas de la solicitación B en correspondencia con los corrimientos de la solicitación A. 1 . 1 4.- OTRAS MAGNITUDES Y TEOREMAS FUNDAMENTALES A partir de las proposiciones directa e inversas es posible definir diversas magnitudes fundamentales en la Teoría de la Elasticidad, tal como energía de deformación, energía de deformación complementaria, trabajo y trabajo complementario. Asimismo se deducen diversos teoremas como el de energía total mínima y el de energía complementaria total mínima que frecuentemente se utilizan en la Teoría de la Elasticidad. Estas magnitudes y teoremas no son imprescindibles en el desarrollo del Método de los Elementos Finitos tal y como se plantea en estos apuntes, y en consecuencia tan sólo se cita su existencia, sin entrar en el detalle de su definición y demostración. 1 . 35 2 . 1 .- GENERALIDADES En el método de los elementos finitos se manejan diversas magnitudes y conceptos (matrices de rigidez, coordenadas básicas, locales y globales, ligaduras punto único y multipunto, eliminación de grados de libertad, etc. ) que pueden ser introducidos y comprendidos fácilmente en un tipo de estructuras sencillo como es el de las estmcturas a.il:iculadas planas. Como es bien sabido, las estructuras articuladas están formadas por un conjunto de barras unidas entre sí por sus extremos formando una malla o red. El cálculo de estas estructuras se basa en dos hipótesis que aunque en principio parecen bastante restrictivas, permiten un análisis extremadamente sencillo, proporcionando unos resultados suficientemente aproximados para el diseño y análisis de este tipo de estructuras. La primera de dichas hipótesis consiste en suponer que las uniones entre las barras se realiza mediante rótulas esféricas perfectas, es decir, las únicas acciones que pueden ser transmitidas entre las barras se reducen a fuerzas cuyas rectas de acción pasan por el centro de la rótula esférica. La segunda hipótesis se refiere al tipo de solicitaciones que actúan sobre la estructura. Se supondrá que las únicas acciones directamente aplicadas se reducen a cargas concentradas aplicadas en los puntos de unión entre las barras, que denominaremos nudos de la estructura. Como consecuencia de las dos hipótesis formuladas, se puede asegurar que cada una de las barras de la estructura articulada trabaja únicamente bajo una carga axial, que puede ser de tracción o de compresión, siendo nulas las acciones internas de cortadura, flexión o torsión en secciones intermedias de dichas barras. En efecto al aislar una barra arbitraria AB de la estructura, como se muestra en la figura 2. 1 , se observa que, al no existir cargas directamente aplicadas sobre ella como consecuencia de la segunda hipótesis, las únicas acciones son las que sobre la barra ejercen las rótulas esféricas A y B situadas en sus extremos, que se reducen a fuerzas que pasan por dichos nudos, y que se definen a partir de sus componentes Ax, Ay, Az y B x, B y, Bz. Teniendo en cuenta que la barra se encuentra en equilibrio deberá satisfacer seis ecuaciones de equilibrio (tres de equilibrio de fuerzas y tres de equilibrio de momentos) de las cuales una de ellas, la de equilibrio de momentos con respecto al eje Ax, ya se satisface de forma automática. Como quedan cinco ecuaciones que deben cumplir las seis incógnitas Ax, Ay. Az, B x, By, Bz, es posible adelantar que 2. 1 sólo existirá una de ella. respectivamente O, de momentos respecto a los ejes Az se deduce O . Posteriormente de las ecuaciones de equilibrio de fuerzas según los ejes Ay, Az se obtendrá Ay = O, Az = O . Finalmente de la ecuación de equilibrio de fuerzas según el eje Ax resultará Ax + Bx = O. A Ftg 2, L Se observa que la barra está sometida únicamente a una solicitación axial de valor Bx y que en cualquier sección intermedia de la barra tan sólo existirá dicha acción axial, siendo nulas las acciones de cortadura, flexión y torsión. Como consecuencia de todo lo anterior, resolver una estructura articulada se reduce a calcular la carga axial en todas y cada una de las barras, ya que una vez determinadas estas incógnitas (tantas como barras existan en la estructura) será posible conocer las componentes del tensor de esfuerzos en todos los puntos internos de la estructura teniendo en cuenta que en una sección intermedia de una barra la acción axial N dará lugar a una única componente del tensor de esfuerzos crx = NIA en donde A es el área de la sección transversal de la barra. Adicionalmente, si la resolución de la estructura requiere el cálculo del corrimiento en alguno de sus puntos será posible calcularlo a partir de método de la carga unitaria. Tradicionalmente la resolución de las estructuras articuladas se ha venido realizando considerando como incógnitas las cargas axiales en las barras . Como es frecuente que en las estructuras articuladas, al igual que sucede en otros tipos de estructuras, se impongan condiciones de ligadura, tales como articulaciones fijas o deslizantes introducidas en algunos puntos, aparecerán nuevas incógnitas que serán las fuerzas originadas por dichas ligaduras y que normalmente suelen corresponder con las reacciones que el terreno ejerce sobre la estructura. Para no tener que manejar de forma distinta los dos tipos de incógnitas existentes, cargas axiales en las barras por un lado y fuerzas de ligadura por otro, resulta conveniente sustituir las ligaduras por barras equivalentes con lo que las reacciones del terreno pasan a ser cargas axiales en estas barras adicionales y en consecuencia cualquiera que sea la 2.2 ¡;;;. ...... ...,. .., .• ..., .. de la estructura, su resolución consistirá en determinar cargas axiales en bien sean éstas barras reales o barras equivalentes. De acuerdo con este método de abordar el problema, una articulación fija en la que el terreno puede reaccionar con una fuerza de dirección y magnitud desconocidas podrá sustituirse por tres barras equivalentes orientadas según los ejes de un triedro rectangular, siendo las cargas en estas barras las componentes de la reacción del terreno según los ejes de dicho triedro. De forma semejante una articuiación desiizante podrá ser sustituida por una barra equivalente con orientación perpendicular al plano sobre el que el apoyo puede deslizar. Una vez que las fuerzas de ligadura han sido sustituidas por cargas en barras, la totalidad de incógnitas de la estructura estará constituida por cargas axiales en barras, y para determinar dichas incógnitas habrá que contar en principio con las ecuaciones de equilibrio de los nudos. Cada uno de los nudos de la estructura estará sometido a un conjunto de fuerzas concurrentes que serán por un lado las cargas directamente aplicadas al nudo y por otro las acciones que cada una de las barras que concurren en el nudo ejercen sobre él. En una estructura tridimensional, p ara cada nudo se plantearán tres ecuaciones de equilibrio de manera que para la estructura completa será posible plantear tantas ecuaciones como el número de nudos existentes en la estructura (excluyendo los situados en el terreno) multiplicado por tres, en las que aparecerán tantas incógnitas como barras tenga la estructura (incluyendo las barras equivalentes que sustituyen a los apoyos). Con la ayuda del análisis algebraico podrá averiguarse el carácter del sistema de ecuaciones, que como puede demostrarse fácilmente es lineal, y ver en que condiciones es incompatible, compatible determinado o compatible indeterminado. Normalmente si el número de ecuaciones es superior al número de incógnitas es sistema será incompatible, indicando que el conjunto de barras articuladas en sus extremos dará lugar a un mecanismo que sólo en circunstancias especiales podrá encontrarse en una posición de equilibrio. Si el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas y el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, el sistema de ecuaciones será compatible determinado. En este caso se dice que la estructura es estáticamente determinada, ya que puede ser resuelta utilizando únicamente ecuaciones de equilibrio y a cada solicitación le corresponderá una solución y nada más que una. Si el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas, pero el determinante de la matriz de coeficientes es igual a cero, el sistema de ecuaciones será incompatible o compatible indeterminado según sean diferentes o iguales las características de la matriz de coeficientes y la de dicha matriz ampliada con los segundos miembros. En ambos casos se sigue diciendo que la estructura estáticamente 2.3 determinada pero su da a una crítica ya que para determinadas solicitaciones no es ..., ,, ,� , l"\ 1 "" hallar cargas en barras capaces de satisfacer las ecuaciones de equilibrio de los nudos . Finalmente s1 el número de ecuaciones es inferior al número de incógnitas, salvo casos excepcionales, el sistema será compatible indeterminado y para hallar la solución del problema estructural será necesario añadir a las ecuaciones de equilibrio las de compatibilidad de corrimientos con objeto de obtener un sistema lineal con tantas ecuaciones como incógnitas. En esta situación se dice que la estructura es estáticamente indeterminada o hiperestática. 2.2.- ESTRUCTURAS ARTICULADAS PLANAS Aunque la teoría de estructuras articuladas tridimensionales es por si misma relativamente sencilla, tal y como se h a expuesto en el apartado anterior, el problema estructural se simplifica aun mucho más en el caso de estructuras articuladas planas. En este caso l a estructura está contenida en un plano y las solicitaciones, que como se ha indicado anteriormente se reducen a cargas directamente aplicadas en los nudos, están también contenidas en el mismo plano. Es evidente que la geometría es mucho más fácil de visualizar y manipular en un plano que en el espacio. En el caso de las estructuras articuladas planas el equilibrio del nudo proporciona dos ecuaciones en lugar de las tres que aparecían en el caso de estructuras tridimensionales. El carácter de la estructura, mecanismo, estáticamente determinada o hiperestática, vendrá definido por la relación existente entre el doble del número de nudos (sin contar los situados en el terreno) y el número de barras (incluyendo las barras equivalentes de los apoyos) Tradicionalmente, en la teoría de estructuras articuladas planas se han ido proponiendo un conjunto de métodos para simplificar al máximo el proceso de cálculo. En esencia dichos métodos permiten sustituir la resolución de un sistema de un elevado número de ecuaciones por un conjunto equivalente de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. De acuerdo con dichos métodos las estructuras estáticamente determinadas, según se genere su geometría, se clasifican en estructuras simples, compuestas y complejas, recomendándose para cada uno de dichos tipos uno o varios métodos que según se van planteando condiciones de equilibrio de nudos, permiten ir determinando valores de incógnitas sin necesidad de plantear y resolver el sistema total de ecuaciones . En el caso de estructuras hiperestáticas el método tradicional de resolución consiste en cortar tantas barras como incógnitas hiperestáticas existan en la estructura, siendo este número igual a la diferencia entre el número de barras y el doble del número de nudos . Suponiendo que en dichas barras cortadas las 2.4 cargas finales sean será en función de estas y de las cargas directamente aplicadas, las cargas en las barras restantes, ya que este problema será semejante al de la resolución de una estructura estáticamente determinada. Posteriormente se plantean tantas ecuaciones de compatibilidad de corrimientos como incógnitas hiperestáticas existan en la estructura. Cada una de estas ecuaciones de compatibilidad consiste en imponer la condición de que sea nulo el movimiento relativo entre los dos bordes del corte de una determinada barra. Una vez resuelto este sistema de ecuaciones en el que las únicas incógnitas son los valores X 1 , X2 , X3 , . . . ,Xp , será ya posible recuperar las cargas axiales en las barras restantes con lo que se completará la resolución de la estructura. Puede observarse que, de acuerdo con lo expuesto anteriormente, la resolución de las estructuras articuladas planas estáticamente determinadas se reduce en esencia a un proceso numérico sencillo (solución de un conjunto de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas) pero a cambio es necesario clasificar adecuadamente la estructura (simple, compuesta o compleja) y elegir el método apropiado para que del equilibrio de cada nudo sea posible determinar los valores de dos incógnitas. En el caso de estructuras hiperestáticas será preciso añadir el planteamiento y resolución de las ecuaciones de compatibilidad de corrimientos. 2.3.- MÉTODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS En esencia, el método de los desplazamientos para el cálculo de estructuras articuladas planas consiste en resolver el sistema de ecuaciones de equilibrio de los nudos cuando se consideran como incógnitas los corrimientos de dichos nudos, en lugar de las cargas axiales en las barras como ocurre en el método tradicional. Aunque al proceso de resolución de estructuras articuladas que se deduce de la consideración de los corrimientos como incógnitas se le ha reconocido en el pasado como cálculo matricial de estructuras, no existe una diferencia básica importante entre este método y el de los elementos finitos. Tan sólo es conveniente señalar que el método de los elementos finitos aplicado a una estructura continua bidimensional o tridimensional proporciona unos resultados más o menos aproximados de acuerdo con el tamaño de la malla, mientras que los resultados de dicho método aplicado a las estructuras articuladas son exactos siempre y cuando se mantengan las hipótesis indicadas en el apartado 2. 1 . Es evidente que al considerar como incógnitas básicas los corrimientos de los nudos, para poder plantear las ecuaciones de equilibrio de los nudos, será preciso expresar las cargas axiales en las barras 2.5 función de los "' "' '· ' . . . . . �. . . H/V de los nudos dando a las denominadas matrices de de las barras . 2.4.- MATRICES DE RIGIDEZ Y CARGAS PROPIAS DE UNA B ARRA Se considera una barra genérica e, cuya sección transversal tenga un área elasticidad sea A e , cuyo módulo de Ee , longitud Le , variación de longitud inicial M� , coeficiente de dilatación lineal a e y que experimente una elevación de temperatura tiT e. La barra en cuestión une dos determinados nudos i y j de la estructura (figura 2.2) . Se considerará un sistema de referencia ixel ligado a la barra e, que se designa como sistema de referencia local, cuyo origen i coincide con el nudo origen de la barra, cuyo eje ix.e coincide en dirección y sentido con el segmento que une el nudo origen i de la barra con el nudo extremo j , y cuyo eje il se obtiene girando 90º el eje ixe en el sentido contrario a las agujas del reloj . Se representará por u f y u ; las componentes en el sistema local del corrimiento del nudo origen i y por u ; y u; las componentes en el mismo sistema de referencia del corrimiento del nudo extremo j . El alargamiento total de l a barra, teniendo en cuenta que los corrimientos son pequeños, será: 2.6 )total = Este alargamiento será la suma de los alargamientos mecánico, inicial y térmico, por lo que el alargamiento mecánico será: (6,J} ) mecanico = (ue ) total - (Me )inicial - (Me ) termico = u 3e - u e - Me - a e · 11T e · Le 1 O de donde se deduce una deformación mecánica: (Me ) mecanica U 3e U¡e Meo e T e e a 11 E = =g Le - . Le - -Le - y en consecuencia un esfuerzo: cr E e · ue E e · u e E e A Te E e · a e · L.lA T e e = Ee · Ee = Le 3 g Le O 1 - - · UL s: y s; las componentes, en el sistema de referencia local de la fuerza que se ejerce sobre la b arra a través del nudo origen i y por s; y s: las componentes, en el mismo sistema de Representando por referencia, de la fuerza que se ejerce sobre la barra a través del nudo extremo j se verificará: e e Ae e Ae e s: = - s� = L· eE . U ¡e - L· eE . u ; + A · E . (M� + a e . f1r . Le ) U s� = O s: = o Las componentes s: y s� que son las únicas acciones que actúan sobre la barra pueden agruparse en la relación matricial única: Normalmente esta relación matricial se escribe en la forma general : en donde: {n s = { '} : es el vector columna de fuerzas, en componentes locales, que actúan sobre la barra e, es la matriz de rigidez, en componentes locales, de la barra e, 2.7 } { :D es el vector columna de corrimientos, en componentes locales, de la barra e, y {s�} = A '/ ' · (M� + a ' · fiT' · L' ) · {�i} es el vector columna de fuerzas iniciales y térmicas, en componentes locales, que actúan sobre la barra e. La matriz de rigidez [ke] , en componentes locales, de la barra e es, como puede comprobarse, una matriz simétrica. Un análisis de la expresión : permitirá deducir fácilmente el significado físico de cada uno de los vectores columna y de la matriz cuadrada que aparecen en ella. Así por ejemplo, observando que el vector de fuerzas iniciales y térmicas resulta en el caso en que {u e } = {O} {s�} es el vector {se } que , se deduce que dichas fuerzas iniciales y térmicas son las acciones que deben actuar sobre la barra cuando, imponiendo dichas deformaciones iniciales y térmicas, se impiden los corrimientos de los nudos extremos de la barra. S iguiendo un razonamiento análogo se deduce que el elemento situado en la fila m y columna n de la matriz de rigidez local [ke] será la componente m de las acciones que actúan sobre la b arra cuando siendo nulas las acciones iniciales y térmicas, se suponen nulas todas las componentes de corrimiento de los nudos extremos de la b arra, salvo la componente n que se supone que tiene un valor unidad. (Debe entenderse que, en relación con las acciones que actúan sobre la barra, la componente 1 es la fuerza s: y la componente 2 es la fuerza s; , mientras que, en relación con los corrimientos de los nudos extremos, la componente 1 es el desplazamiento u : y la componente 2 es el desplazamiento u; ) 2.8 En el apartado anterior se han introducido los sistemas de referencia locales, uno diferente para cada barra de la estructura, sobre cuyos ejes se proyectan los corrimientos de los extremos de la barra y las acciones que actúan sobre ella. Por su parte cuando se inicia la definición de una estructura se presupone la existencia de un sistema de referencia OXY, común para toda la estructura, que se denomina sistema de referencia básico. Generalmente la posición de los nudos de la estructura queda definida a partir de sus coordenadas en dicho sistema de referencia básico. S in embargo en algunas ocasiones resulta conveniente introducir uno o varios sistemas de referencia auxiliares, que pueden ser cartesianos rectangulares, cilíndricos o esféricos, respecto a los cuales las posiciones de los nudos se definen de una forma más sencilla. Supóngase por ejemplo que un conjunto de nudos sean puntos equidistantes situados sobre una circunferencia en cuyo caso es más fácil utilizar sus coordenadas cilíndricas que sus coordenadas cartesianas rectangulares . Una vez definidos y numerados l o s nudos d e l a estructura (figura 2.3) s e consideran como incógnitas del problema los corrimientos de dichos nudos. Lo más frecuente es que se definan los corrimientos mediante sus componentes en el sistema de referencia básico, pero también en este caso y en circustancias especiales puede resultar más conveniente utilizar para determinados nudos las componentes de sus corrimientos según los ejes de sistemas de referencia auxiliares que pueden ser rectangulares, cilíndricos o esféricos. u 12. 2.9 De acuerdo con esto a cada suponer se un sistema de referencia auxiliar que es el que se utiliza para definir las componentes del corrimiento de dicho nudo . El conjunto de estos sistemas de referencia asociados a los nudos se denomina sistema de referencia global . Sí se representa por �� el ángulo que el eje local xe de una barra e forma con el eje global X¡, ligado al nudo inicial i de la barra, la relación entre las componentes locales del corrimiento del nudo i y sus componentes globales será (figura 2.4) u 1e = U e co s Rp e + U e · sen pR ;e 1 · ¡ 2 que puede escribirse en la forma: en donde es la matriz de transformación de componentes en el nudo i . Análogamente e n e l otro extremo j d e la barra e s e verificará: con: Agrupando las dos expresiones anteriores en una relación matricial única resulta: \ l.. 2 . 10 \ 1 � � , ..,,� en donde: u = { '} {:n es el vector columna de corrimientos, en coordenadas locales, de la barra e, sen � f o O cos � � es la matriz de transformación de coordenadas de la barra e, y v 1e {v e} = vv ee ve 2 3 4 es el vector de corrimientos, en coordenadas globales, de la barra e. Análogamente, la relación entre componentes locales y globales de las cargas que actúan sobre la barra e será: En relación con el desarrollo anterior resulta interesante señalar que en diferentes ramas de la Física con frecuencia es necesario manejar las componentes de una magnitud vectorial en varios sistemas de referencia, para lo cual se introducen las correspondientes matrices de transformación de componentes. Normalmente dichas matrices de transformación son matrices cuadradas ya que interesa obtener todas las componentes del vector en el sistema de referencia final a partir de todas las componentes del vector en el sistema de referencia inicial. Adicionalmente, si los sistemas de referencia inicial y final son ortogonales las matrices de transformación poseen un conjunto de propiedades interesantes entre las que cabe destacar la de que la matriz de transformación es ortonormal y en consecuencia su inversa coincide con su matriz transpuesta. En el caso que aquí se considera la situación es diferente, ya que de entrada la matriz de transformación [A.e] no es cuadrada sino rectangular. La razón de esto se debe a que en el sistema de referencia local tan sólo intervienen dos componentes u � , u ; de los corrimientos, mientras que en el sistema global son necesarias las cuatro componentes U t , U� , U; , U; . El resultado final es el que dos relaciones permiten calcular las dos componentes locales a partir de las cuatro componentes globales. Utilizando únicamente la relación : 2. 1 1 }= l no sería posible generar la relación inversa ya que habría que resolver un sistema de dos ecuaciones con cuatro incógnitas. En otras palabras no es posible determinar U ; , U� , U; , U; a partir únicamente de las componentes u : , u ; ya que las otras dos componentes u� , u: intervienen también en los valores finales de las componentes globales. Un caso distinto es el de las componentes de las füerzas ya que se sabe que en todos los casos las componentes locales s ; , s: deben ser nulas como consecuencia de las condiciones de equilibrio. Las componentes globales de las acciones que actúan sobre la barra serán en consecuencia: S e = s 1e COS AJJ ¡e S2e = s 1e · sen !-'A e; S e = s 2e · COS JJA je S4e = s2e · sen 1-'A je l • 3 que se agrupan en la relación matricial única: s 1e s 2e se s4e 3 o cos p � o sen p � cos P j o o sen P j -tn o lo que es lo mismo: Más adelante veremos que las relaciones deducidas en este apartado y que corresponden a este caso particular se cumplen también en casos más generales. Al mismo resultado se puede llegar mediante consideraciones deducidas de la Estática. En efecto, teniendo en cuenta que { se } y { Se } son componentes en diferentes sistemas de referencia de unas acciones únicas que actúan sobre la barra, resultará que en un determinado desplazamiento virtual de los extremos de la barra, el trabaj o virtual realizado por dichas acciones deberá ser independiente del sistema de referencia en que se expresen las componentes de las acciones y de los corrimientos. Considerando un desplazamiento virtual definido por: deberá verificarse : 2. 12 donde al sustituir el valor de { } y reagrupar se deduce : que como debe ser satisfecha para cualquier desplazamiento virtual { 8lf } que se considere, será equivalente a: que coincide con la relación obtenida anteriormente. En concreto, si se realiza un cambio de sistema de referencia en el que las componentes de corrimiento se transforman de acuerdo a la relación : las correspondientes componentes de fuerzas se transforman de acuerdo a la relación Finalmente, y en relación con el vector de corrimientos, en coordenadas básicas, de la barra e, conviene señalar la diferencia existente entre U t , U ; , U : , U ; y U 1 , U 2 , U 3 , U 4 • En efecto, mientras las cuatro primeras variables representan las componentes según los ejes globales de los corrimientos de los nudos extremos de la barra e, las cuatro últimas variables representan las componentes globales de los corrimientos de los nudos 1 y 2 de la estructura. (ver figura 2.3) 2.6.- MATRICES DE RIGIDEZ Y DE CARGAS INICIALES Y TÉRMICAS DE UNA BARRA EN COORDENADAS GLOBALES Según se vio en el apartado 2.4, para una barra arbitraria e se verifica: Teniendo en cuenta que: {u e }= [!ve l {u e} {se} = [tve] · {se} ' resultará: ' ' ' ' ' {se}= [!ve] · {se}= [!ve] - [e] - {u e} + [!ve] · {sn = [!ve] - [e]- [1ve]- {ue} + [Ae] · {s�} Esta expresión puede escribirse en la forma: 2. 13 e}= en donde: e}+ e} l s12 {se} = sese2 se 3 4 es el vector columna de acciones, en coordenadas globales, que actúan sobre la barra e, es la matriz de rigidez, en coordenadas globales, de la barra e, es el vector columna de corrimientos, en coordenadas globales, de la barra e, y I {sn = [Ae] . {sn es el vector columna de cargas iniciales y térmicas, en coordenadas globales, de la barra e. También la matriz d e rigidez [Ke] , de la barra e, en coordenadas globales, es simétrica ya que: = Aemi . k�n . Aenj = Aenj . k:m . Aemi y como k;n = k :m por ser [ke] simétrica será Kij = Kj; y en consecuencia [Ke] será una matriz Kij Kj; simétrica. 2 . 7 . - RELACIÓN ENTRE CORRIMIENTOS DE UNA BARRA Y CORRIMIENTOS DE LA ESTRUCTURA La relación entre corrimientos básicos de una barra y corrimientos de la estructura es de la forma: en donde [Ae] es una matriz de cuatro filas y tantas columnas como incógnitas posea la estructura, y que está compuesta por ceros y unos (un solo uno en cada fila) ya que se trata de una matriz de localización, es decir, dicha matriz selecciona los elementos del vector columna { U } que componen el vector columna { ue } . 2 . 14 en la estructura mostrada en la Así por nudos 2 y 4 (que se representará como barra e) ve e v e } {v = v e v 4e 2 . 3 se verificará para la barra definida por los V3 o o o o o o o o o o o o o V4 = o o o o o o o o o o o o o · V7 o o o o o o 1 o o o o o o o {V } vs o o o o o o o o o o o o o 1 2 3 en donde { U } es un vector columna de catorce elementos formado por los corrimientos U 1 a U 1 4 . En este caso la matriz de cuatro filas y catorce columnas formada por ceros y unos será la matriz de localización [N] . 2.8.- ECUACIONES DE EQUILIBRIO DE LOS NUDOS Volviendo nuevamente al problema general del análisis de la estructura completa se observa que se consideran como incógnitas el conjunto de corrimientos de los nudos que se agrupan en un vector columna { U } . En correspondencia con estos grados de libertad estarán actuando sobre la estructura unas determinadas cargas que se agruparán asimismo en un vector columna { P } . Evidentemente, si e l vector columna de corrimientos incluye los corrimientos de todos los nudos, incluso los de aquellos nudos en los que se imponen determinadas ligaduras, el vector columna { P } contendrá no sólo las cargas directamente aplicadas sino también las de ligadura, por lo que algunos elementos de { P } serán desconocidos. Para plantear las ecuaciones de equilibrio de los nudos de la estructura se utilizará el principio de los desplazamientos virtuales, para lo cual se considerará un desplazamiento virtual arbitrario, definido por el vector columna { 8U } y se establecerá que el trabajo realizado por las fuerzas exteriores en , correspondencia con dicho desplazamiento virtual es igual al trabaj o que realizan los esfuerzos internos en correspondencia con las deformaciones cinemáticamente consistentes con dicho desplazamiento virtual. En estas condiciones resulta: ' b ' {8U} · {P} = II fVe {cr } · {8y } · dV e= 2 . 15 Ahora la acción de las cargas exteriores { se } y cuyos nudos extremos i y j considera unos corrimientos dados por la relación: resultará, aplicando el principio de los desplazamientos virtuales a dicha barra e: por lo que sustituyendo el valor de la integral obtenido en esta última reiación en ia que se dedujo del principio de los desplazamientos virtuales de toda la estructura, se obtendrá: {8 U }' · {P}= =l e Teniendo en cuenta ahora que: {8ue }= [A e ] - {8 U } {s e } = [K e ]- {u e } + {sn {ue} = [A e ] - {u } resultará: b ' ' b ' ' 8 U} · [A e ]' · [[K e } {v e } + {s� }] = 0 = {8U} · {P}- L=l {8ue } · {S e } = {8 U} · {P}- L{ =I e e = {ou }' . {P}- t [A' ]' · [K ' l [A' ] · {u }- t [A' ]' · [ M] por lo que representando por [K] y { S0 } las matrices: ' [K] = I [Ae] · [Ke } [Ae ] b e=l {so } = I [Ae ] · {sn e=I b ' quedará en definitiva: {8 U}1 · [{P}- [K] · {U}- {So }] = ü En la expresión anterior { 8U } ' es el vector fila que define el desplazamiento virtual arbitrario que se considera en la aplicación del principio de los desplazamientos virtuales, { P } es el vector columna de cargas exteriores que actúan sobre la estructura, [K] es la matriz de rigidez de la estructura, { U } es el vector columna de corrimientos de la estructura y { S0 } es el vector columna de cargas iniciales y térmicas. 2.16 al realizado en el 2.6 se demostraría que cada uno de los sumandos en la determinación de la matriz de rigidez [K], y en consecuencia la matriz [K] son matrices simétricas. 2 . 9 . - ENSAMBLAJE DE LAS MATRICES DE RIGIDEZ [KJ Y DE CARGAS INICIALES Y TÉRMICAS { S0} DE LA ESTRUCTURA Como se ha visto en el apartado 2 . 8 las matrices de rigidez [K] y de cargas iniciales y térmicas { S0 } vienen dadas por las relaciones: ' [K] = I [Ae ] · [Ke l[Ae ] e=I {so } = I [Ae ] - {sn e=I b b ' Se observa en pnmer lugar que las matrices indicadas se obtienen por adición de las matrices correspondientes a las barras individuales. Por su parte puede deducirse fácilmente que la transformación de semejanza [Nl '· [KeHN] consiste en pasar de la matriz [Ke], de orden cuatro, a otra cuyo orden es igual al número de grados de libertad de la estructura. En esta transformación los elementos de la matriz [Ke] se sitúan en las posiciones correspondientes de acuerdo con la matriz de localización [N] . Algo similar ocurre con la matriz [AT· { S0e } en la que los elementos del vector { S0e } se sitúan en las posiciones que corresponden teniendo en cuenta los grados de libertad de la estructura completa. 2. 1 0.- RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA ESTRUCTURAL Dependiendo de cuales sean los corrimientos que se incluyan en el vector columna { U } (corrimientos de todos los nudos o de los que estén realmente libres) y de como sean los corrimientos virtuales que se consideren al aplicar el principio de los desplazamientos virtuales (compatibles o no con las ligaduras impuestas) se pueden presentar varias situaciones. Así por ejemplo, y considerando la estructura que se muestra en la figura 2.3, si del vector columna { U } se eliminan las componentes U1 , U2, U1 4 que son nulas como consecuencia de las condiciones de contorno y al mismo tiempo se consideran desplazamientos virtuales compatibles con las ligaduras, es 2 . 17 decir desplazamientos O la del deducida del deberá verificarse cualquiera que sea el vector fila { 8U } ' que se de los ,., v ,. . ._.,.._..._,, por lo que deberá ser: { P } - [K] - {U} - {So } = {o} es decir: [K] · {U} = { P } - {so } En este caso { P } representará el vector columna de cargas directamente aplicadas, que contiene 1 1 elementos totalmente conocidos, y { U } representará el vector columna de corrimientos, que contiene 1 1 incógnitas, que son los corrimientos desconocidos. Por su parte, en la matriz de rigidez [K] se habrán eliminado las filas y columnas asociadas a los grados de libertad U i , U2, U14, al igual que en el vector de fuerzas iniciales y térmicas { S0 } del que se habrán eliminado los elementos 1 , 2 y 14. El sistema de ecuaciones: [K] · {U} = {P} - {so } una vez resuelto proporcionará los corrimientos { U } y a partir de ellos será posible deducir las cargas en las barras, pero como se puede observar este método no permitirá recuperar las reacciones en los apoyos. Si por el contrario en { U } se agrupan los catorce corrimientos , será posible obtener las reacciones, para lo cual se separarán los corrimientos { Ud de los nudos que son realmente libres, de los corrimientos { Us } de los nudos que están ligados. A su vez, las cargas se separarán en las que se corresponden con los grados de libertad desconocidos { Pd y en las que se corresponden con los grados de libertad ligados { Ps } + { Rs } . Obsérvese que en este último caso será preciso considerar separadamente las fuerzas directamente aplicadas { Ps } , que son conocidas, y las reacciones { Rs } que son desconocidas. Como el desplazamiento virtual { 8U } puede ser arbitrario, incluso no compatible con las ligaduras, ya que se considera el trabajo de todas las fuerzas exteriores, se verificará: {P} - [Kl {U} - {So } = {o} es decir: sistema de ecuaciones que puede descomponerse en los dos sistemas independientes : 2. 1 8 ]. } ] · {Us } El pnmer sistema de ecuaciones permite calcular el vector { Uf } , ya que las cargas directamente aplicadas { Pd y los corrimientos { Us } son conocidos. Una vez determinados los corrimientos {Uf } , el segundo sistema suministrará, por simple sustitución, los valores de las fuerzas de ligadura { Rs } . Más adelante se tratará de forma más sistemática y completa el método !?eneral para la resolución de la estructura y para la recuperación de las fuerzas de ligadura, aun en el caso en que las ligaduras impuestas no sean tan sencillas de visualizar como ocurre con las articulaciones fijas y deslizantes. 2. 1 1 .- LIGADURAS DE LA ESTRUCTURA En la estructura mostrada en la figura 2.3, las condiciones de contorno quedaban expresadas por relaciones muy sencillas como eran: U1 = 0 U2 = 0 U1 4 = 0 y como se vio en el apartado 2. 1 O su tratamiento era relativamente fácil, obteniéndose incluso las reacciones originadas por dichas ligaduras. No siempre la situación es tan sencilla y a continuación se presentarán diferentes tipos de ligaduras que pueden existir, analizándose en los apartados siguientes su tratamiento. \ \ f.> Fq¡ !2..S 2. 19 que la 2 . 3 en de , . , .,_,..,..,,AA el Cles:piazarruemo el eje según una dirección arbitraria como se muestra en la figura 2.5 La ligadura en este caso queda expresada por la relación : -U 1 3 sen p + U 1 4 · cos p = O · Supóngase ahora que la barra 3-5 de la misma estructura sea infinitamente rígida y que en lugar de incluir dicha barra como un elemento estructural más (no sería posible porque los elementos de [Ke] serían infinitos) se impone la ligadura que establece la constancia de la distancia 3-5 (fig 2 .6) (U 9 · co s P + U 10 · sen P ) - (U 5 · cos P + U 6 · sen P ) = ü Tanto en este caso como en el anterior se dice que se impone una ligadura multipunto ya que queda expresada mediante una relación lineal entre varios grados de libertad. Por su parte, las condiciones de contorno existentes en la estructura de la figura 2 . 3 se denominan ligaduras de punto único ya que quedan expresadas por las relaciones : u =O U2 = 0 U14 = O 1 y en cada una de ellas no interviene más que un grado de libertad. Obsérvese que el concepto punto en las expresiones punto único y rnultipunto se refiere a variable o grado de libertad y no a punto geométrico o nudo. 2 . 20 y sometida a una solicitación ocurrir que la estructura se encuentre libre en el Finalmente arbitraria. En este caso , y de acuerdo con lo indicado en el apartado 2 . 1 O, el sistema de ecuaciones a resolver será: [Kl {U} = {P } - {so } que como se deduce a continuación es un sistema de ecuaciones indeterminado o incompatible. En efecto, suponiendo por un momento que las fuerzas directamente aplicadas { P } y las cargas iniciales y térmicas { S0 } que actúan sobre dicha estructura libre sean nulas, quedará el sistema de ecuaciones en la forma: [Kl {U} = {ü} Evidentemente una posible solución es { U } = { O } , pero como la estructura está libre y en equilibrio, se deduce que cualquier vector de corrimientos { U } que corresponda a un movimiento como sólido rígido de la estructura será también solución ya que satisface las ecuaciones de equilibrio y las de compatibilidad de corrimientos. El sistema de ecuaciones [K] · { U } = { O } , al admitir varias soluciones, es en consecuencia indeterminado, lo que nos indica que la matriz de rigidez [K] es singular. Al ser nulo el determinante de la matriz de rigidez [K] , el sistema de ecuaciones [Kl {U} = {P} - {so } será indeterminado o incompatible según sean iguales o diferentes las características de la matriz [K] y de esta matriz ampliada con los segundos miembros. Tan sólo será posible resolver el sistema eliminando los movimientos de la estructura como sólido rígido, lo que en el caso de una estructura articulada plana se conseguirá asignando valores a tres determinados grados de libertad de la estructura, o lo que es lo mismo fijando isostáticamente la estructura a un sistema de referencia. Estas ligaduras impuestas a la estructura pueden ser del tipo multipunto o punto único, pero al ser ficticias tienen un tratamiento diferente de las ligaduras reales y además su comportamiento es diferente dependiendo de que la solicitación que actúa sobre la estructura sea o no un sistema de fuerzas en equilibrio. Si el sistema de cargas directamente aplicadas es un sistema de fuerzas en equilibrio (resultante nula y momento nulo respecto a un punto determinado del plano) las reacciones en las ligaduras isostáticas ficticias serán también nulas y en consecuencia las cargas axiales en las barras serán las correctas, mientras que los corrimientos { U } que se obtienen son los que los nudos de la estructura tienen con 2.2 1 �u ...· � � ·-� a la referencia que se utilizado. será .., � .J · � ·· � añadir a dichos corrimientos los que se deducen del movimiento de la estructura como sólido Si el conjunto de cargas directamente aplicadas no está en equilibrio, en la situación real, la estructura iniciaría un movimiento acelerado y una vez conocida la distribución de masas de la estructura, se plantearía el equilibrio dinámico entre las fuerzas reales y las fuerzas de inercia. En la situación que se produce al imponer las ligaduras ficticias, aparecerán unas fuerzas de ligadura ficticias que son las que equilibra.11 el sistema de cargas directamente aplicadas { P } . Para restituir la situación real sería preciso plantear las ecuaciones del movimiento de la estructura libre considerada como sólido rígido y deducir de ellas el campo de aceleraciones de la estructura y posteriormente calcular el correspondiente campo de fuerzas de inercia. Al añadir al sistema de ecuaciones de equilibrio de los nudos estas fuerzas de inercia, eliminando los movimientos de la estructura como sólido rígido, resultará un sistema ya determinado del que se deducirían las cargas axiales correctas en las barras, mientras que a los corrimientos deducidos será también posible añadir los correspondientes a un movimiento de la estructura como sólido rígido. En ambos casos a las ligaduras ficticias que se imponen con la única finalidad de fijar un sistema de referencia se las denomina ligaduras de apoyo ficticio o simplemente ligaduras de apoyo. Por su parte, cuando se incluyen las fuerzas de inercia para plantear el equilibrio dinámico se dice que se incluye el alivio de inercia. 2. 1 2.- DIFERENTES TIPOS DE GRADOS DE LIBERTAD Se representará por { Ug } el conjunto de grados de libertad de un determinado problema estructural. De la totalidad { Ug } de grados de libertad, un subconjunto { Um} puede ser eliminado a partir de las relaciones correspondientes a las ligaduras multipunto, ya que éstas permiten expresar { Um } en función de los restantes grados de libertad { Un } A su vez, de este subconjunto { Un } una parte, que se representará por { U5 } , vienen determinados mediante las ligaduras de punto único, quedando el subconjunto restante { Uf} que serán en principio los grados de libertad realmente libres. Si la estructura está libre en el espacio en equilibrio estático o en equilibrio dinámico (en este caso habrá que proporcionar información sobre la distribución de masas) será necesario ligar 2.2 de libertad { Ur } con de la matriz de partir de las cuales se determinarán posteriormente las fuerzas de inercia. Los grados libertad que quedan después de eliminar los corrimientos { U r } se representan por { U1 } . A continuación se representan de forma esquemática los distintos subconjuntos y sus diferentes agrupaciones : l { Ui } l � J 1 1 � 1 1 J { Ud { Ug } En el caso de plantear el equilibrio dinámico de la estructura (inclusión del alivio de inercia) se supone que la estructura es rígida y satisface las ligaduras multipunto y de punto único, dando lugar a un campo de aceleraciones definido por { ar } en correspondencia con los grados de libertad { U r} que son los que definen totalmente el movimiento de la estructura libre como sólido rígido. 2. 1 3.- FUERZAS DE INERCIA Y MATRICES DE MASA En el caso en que sea necesario plantear el equilibrio dinámico de una estructura libre, habrá que incluir las correspondientes fuerzas de inercia que se deducirán de los términos: - que aparecen e n las ecuaciones d e Lagrange. : (:;) , Se considera una barra genérica e de la estructura, tal como la mostrada en la figura 2.2, y se supone que el campo de desplazamientos en los puntos internos de la barra es una función lineal de la posición. En estas condiciones las componentes según los ejes xe, i del desplazamiento de un punto definido por la abscisa xe serán: 2 .23 ( J e Xe Xe · e u = u 2e + U 4 -e U 2 · x = 1 - · u2 + L Le u4 e e y e ( de donde se deduce un campo de velocidades : e J ( ve \ X e U· e X · ·e U· e = 1 - U + 1 Le Le · 3 x e -"',,_e . U. e U. ey = ll - -"'Le j . U. 2e + U 4 !¡ - � que puede definirse a partir de la relación matricial: n u x .e - uy o Le Xe e X 1-Le O o Le xe Le o La energía cinética Te de la barra será: T' = ± U. ¡e U. 2e = [N e (x e ) J {u e } .U e 3 U4. e l ± . . S:' [(ú; )2 + (u; n fil' = ± . S:' (ú; u; ) · {:J fil' = p ' p . ' ' = · p' · J: {u' f [N ' Cx ' ) J · [ N ' ( x' l ] · {u'} · fil ' = + ' p · !! l [ - {u' f f� [N' CSl f · [N' CSl)dS {u' } en donde p e es la masa de la barra por unidad de longitud y � es la variable adimensional � = x e/Le Teniendo en cuenta que: 1-� I [N e ( � ) ] . [N e ( �) ] = ( 1 - �) 2 = y que: o 1-� o � � o o � . (1 - �) o �2 o ( 1 - �) 2 o � . ( 1 - �) � . ( 1 - �) o r � � 1 - � � �] = o o o � . ( 1 - �) o �2 o l l ( 1 �) 2 . d� = 1 - . -1 + -1 = -1 3 3 1 1 1 i l� . ( 1 �) . d� = - - -3 = -6 i l � 2 . d� = _!_3 o o 2 - - 2 o 2.24 2 o resulta finalmente: _ 1 - - · 2 { . e }' u en donde [me] es la matriz de masas de la barra, en coordenadas locales, definida por: 2 o o [m ' ]= p ' / · � � � � o o 2 La matriz de masas de la barra, en coordenadas globales, se obtendrá de forma semejante a como se obtenía la matriz de rigidez I [M e ] = [Ae ] . [me l [Ae ] con la única diferencia de que ahora la matriz de transformación de coordenadas cos � � sen � � o o (Ae]= - sen � � cos � � cos � } sen � } o o o o o o - sen � j cos � } es una matriz cuadrada de orden cuatro ya que en el sistema de referencia local intervienen las cuatro componentes ü� ' u� ' ü; ' u� de la velocidad, mientras que en la matriz de rigidez tan sólo intervenían las dos componentes de desplazamiento u � , u � . El ensamblaje de la matriz de masas es análogo al de la matriz de rigidez, mediante la ampliación del orden de las matrices mediante las matrices de localización y la adición de la contribución de los distintos elementos. De esta manera se obtendrá para la estructura completa una energía cinética en donde [M] es la matriz de masas de la estructura. Las fuerzas de inercia asociadas a los grados de libertad { U } serán: - [M] · { Ü } La matriz de masas [me] , en coordenadas locales, de l a barra individual e que se ha obtenido en este apartado, así como la matriz de masas [M] de la estructura completa, deducida a partir de los procesos de transformación de coordenadas y ensamblaje, se denominan matrices de masas consistentes ya que, 2 . 25 una cinética exacta que sea el movimiento de la barra o de la estructura, sea dicho movimiento una traslación simple o por el contrario contenga componentes de rotación . Existe otro método más simple que proporciona las denominadas masas concentradas que consiste en asignar a cada uno de los dos extremos de la barra la mitad de la masa total de la barra. Para una barra arbitraria e resultaría en este caso una matriz de masas en coordenadas locales: En la aproximación de masas concentradas, la energía cinética se reproduce exactamente en los movimientos de traslación de la barra. En efecto, suponiendo que: u1 = u3 = u u 2 = u4 = v resultará una energía cinética: T e [1 1 º] ¡ ¡ 1 0 0 1 01 4 · (u. v. u. v). · O = - · --Pe U 21 2 O o o O O O O u · Vu = - · m e · (u. 2 + v· 2 + u· 2 + v· 2 ) = - · m e · (u 2 + v· 2 ) 21 · v que como se puede comprobar coincide con la energía cinética exacta de la barra cuando está dotada de un movimiento de traslación cuyas componentes según los ejes locales de la barra son u' , v' . No ocurre lo mismo cuando la barra posee un movimiento de rotación. Suponiendo por ejemplo que la barra gira alrededor de su centro de gravedad con una velocidad angular 8', resultará una energía cinética: m T e = _!_ . 2 ( )2 e . Le 12 .é2 mientras que con la aproximación de masas concentradas sería: 2 . 26 U4 =-U2 = -· o oo oo o 2 L = � �, (o � 0 o � } �o o o o Leo . = �- [tl . 0 2 ( ') . 0 2 j = . e . e o 2 · e 1 T' - . e u ·8 2 0 4 4 + 4 -·8 2 que como se puede comprobar no coincide con la energía cinética exacta de la barra. 2. 14 . - ELIMINACIÓN DE LOS DIFERENTES SUBCONJUNTOS DE GRADOS DE LIBERTAD LIGADOS . GENERALIDADES En el conjunto de grados de libertad { Ug } se representarán por [Kgg] y [Mgg] las matrices de rigidez y masas procedentes del ensamblaje de los elementos estructurales, mientras que en { Pg } se engloban las fuerzas directamente aplicadas a los nudos y el vector resultante del ensamblaje de las fuerzas iniciales y térmicas en los elementos estructurales. En caso de que se considere de interés podrían procesarse separadamente las cargas directamente aplicadas y las - { S0g } procedentes de las deformaciones iniciales y térmicas. Las ecuaciones de equilibrio en el conjunto total de grados de libertad { Ug } se deducen del principio de los desplazamientos virtuales, que establece: relación que deberá cumplirse cualesquiera que sean los desplazamientos virtuales que se consideren, con la única condición de que sean compatibles con las condiciones de ligadura. En la relación anterior: representa el vector fila de desplazamientos virtuales arbitrarios pero compatibles con las condiciones de ligadura. representa el vector columna de fuerzas directamente aplicadas en correspondencia con los grados de libertad {Ug } . Eventualmente dicho vector engloba las fuerzas procedentes de las deformaciones iniciales y térmicas de los elementos estructurales. 2 . 27 que se desee la matriz ser la de masas consistentes o la de masas concentradas. representa el vector columna de aceleraciones de la estructura, considerada rigida, a partir de la cual se deduce el vector de fuerzas de inercia. representa la matriz simétrica de rigidez de la estructura procedente de los elementos estructurales. representa el vector columna de desplazamientos. representa el vector columna de fuerzas de inercia en los grados de libertad { U g } . representa el vector columna de cargas en los grados de libertad { Ug } que los elementos estructurales ejercen sobre los nudos. 2 . 1 5.- ELIMINACIÓN DE LAS LIGADURAS MULTIPUNTO Las ligaduras multipunto son relaciones entre dos o más grados de libertad generales { Ug } . Estas ligaduras multipunto son necesarias para imponer apoyos en direcciones arbitrarias (no paralelas a ejes globales), p ara simular elementos estructurales muy rigidos (evitando el mal acondicionamiento de la matriz de rigidez) y para imponer determinados desplazamientos en direcciones arbitrarias (no paralelas a ejes globales) . Se supone que existen m ligaduras multipunto independientes expresadas por la relación matricial : Estas relaciones de ligadura permitirán expresar m grados de libertad { U m } en función de los n = g - m restantes { Un } . Evidentemente la caracteristica de la matriz rectangular [Rmg] (m filas y g columnas) deberá ser m, ya que en caso contrario las ligaduras multipunto no serían independientes. Eligiendo los m grados de libertad dependientes de manera que la matriz cuadrada de orden m correspondiente a estos grados de libertad sea no singular y reordenando los grados de libertad de manera que aparezcan en primer lugar los grados de libertad { Um } resultará: es decir: de donde se deduce, teniendo en cuenta que [Rmm] es no singular: 2 .28 impuestas por las ligaduras multipunto son equivalentes a: que permiten calcular directamente los grados de libertad dependientes { Um } en función de los grados de libertad independientes { un } Recordando que cuando se planteaba el equilibrio dinámico de una estructura libre en el espacio era preciso incluir las fuerzas de inercia deducidas de un campo de aceleraciones de sólido rígido, pero que cumpliera las relaciones de ligaduras multipunto y punto único, se deduce que dicho campo de aceleraciones deberá satisfacer la relación: Debe observarse que la relación { Um } = [Gmn] · { Un } puede escribirse en la forma: -[/mm ] {Um } + [Gmn ] · {Un } = {Ü} · o lo que es lo mismo: por lo que sin perder generalidad, puede considerarse que [Imm] y [Gmn] son las particiones de la matriz - [Rmg] que define las relaciones impuestas por las ligaduras multipunto. La imposición de las ligaduras multipunto trae como consecuencia la aparición de fuerzas de ligadura que de alguna forma deberán intervenir en las ecuaciones de equilibrio de los nudos. Interesa aplicar el método de los multiplicadores de Lagrange ya que de este modo es posible obtener simultáneamente las fuerzas que aparecen como consecuencia de las ligaduras multipunto. El método de los multiplicadores de Lagrange consiste en sumar a la ecuación que se deduce del principio de los desplazamientos virtuales cada una de las relaciones de ligadura, expresada en variaciones de grados de libertad, multiplicadas por factores desconocidos A, eligiendo estos multiplicadores de forma que se anulen los coeficientes de las variaciones de los corrimientos dependientes. Si no existiesen más ligaduras que las multipunto, los restantes grados de libertad serían independientes y de acuerdo con el principio de los desplazamientos virtuales se deberían anular también los coeficientes de las variaciones de los corrimientos restantes. Si por el contrario, además de las ligaduras multipunto, existen otros tipos de ligadura, la expresión deducida del principio de los 2 . 29 una vez anulados los coeficientes de los corrimientos virtuales { , deberá restantes . Teniendo en cuenta que las relaciones de ligaduras multipunto pueden ponerse en la forma: se deduce que la expresión a sumar a la ecuación obtenida al aplicar el principio de los desplazamientos virtuales será: ' {&U g } · [Rmg]' · {A m} por lo que de acuerdo con el método de los multiplicadores de Lagrange deberá verificarse: para todo conjunto de desplazamientos virtuales { &Ug} compatibles con las ligaduras, excepto las ligaduras multipunto, para las cuales la inclusión del término [Rmg] { Am} permite considerar como /. independientes los corrimientos virtuales { &Um } Separando en los vectores y matrices los términos asociados a los subconjuntos { Um } y { Un } , es decir, definiendo: resultará: {liU, }' · [ { ?; }+ [M,m]· {-am}+ [ M,,]-{-a, }- [K,m] {Um}- [K,,] {U, }+ [Gmj · P-m }] = o {Pm }+ [ M mm]· {-am }+ [ Mmn ]· {-an }- [Kmm]· {Um }- [ Kmn ]· {U11 }- {A m } = {ü} {Um } = [Gmn] · {Un } La primera relación es la que resulta de la deducida del principio de los desplazamientos virtuales después de haber anulado los coeficientes de cada uno de los desplazamientos virtuales { &Um } y que deberá verificarse para todo conjunto de desplazamientos virtuales { &Un } compatibles con las ligaduras restantes. 2. 3 0 de los desplazamientos virtuales { 8Um } . Finalmente, la tercera relación, consistente también en m ecuaciones, son las relaciones impuestas por las ligaduras multipunto . con anterioridad, y que establece que: Esta cuarta expresión, junto con las tercera y segunda anteriores, permitirán eliminar { am} , {U m } , { Am } resultando: {am } = [Gmn ] · {a n } {Um } = [Gmn ] · {Un } {A.m }= {Pm }+ [[M mm]· [Gmn] + [ M mn ]] · {-an }- [[Kmm ]· [Gmn]+ [Kmn]] · {Un } Sustituyendo estos valores en la primera expresión resultará: {SUn }1 [{Pn }+ [ M nn] · {-a n }- [Knn] · {Un}] = O • en donde: ' {Pn }= {� }+ [Gmn] · {Pm } [ M nn] = [ M nn] + [ Mnm] · [Gmn] + [Gmn ] 1 [ M mn] + [Gmn ]1 [ Mmm] · [Gmn] [ Knn] = [ Knn] + [Knm] · [Gmn ] + [Gmn ] · [Kmn ] + [Gmn f · [Kmm] · [Gmn ] • • / Se observa que una vez eliminados los grados de libertad { Um } , consecuencia de las ligaduras multipunto, es posible escribir las ecuaciones de equilibrio en los grados de libertad restantes { Un } en la forma normal, pero utilizando unas matrices reducidas de carga { Pn } , de masas [Mnn] y de rigidez [Knn] definidas por las expresiones anteriores. Las fuerzas originadas por las ligaduras multipunto asociadas a los grados de libertad { Ug} vienen dadas por por lo que una vez resuelto el problema estructural y conocidos los valores de los corrimientos { Un } y aceleraciones { an } será posible mediante las relaciones deducidas en este apartado calcular los 2.3 1 2 . 1 6.- ELIMINACIÓN DE LAS LIGADURAS PUNTO ÚNICO Una vez eliminados los grados de libertad { Um } que resultan dependientes como consecuencia de las ligaduras multipunto, el problema estructural queda plaI1teado matemáticamente por la relación: que debe verificarse para todos los desplazamientos virtuales { 8Un } que sean compatibles con las ligaduras. Las ligaduras de punto único se expresan mediante la relación: {Us }= {Ys } en donde { Ys } es el vector columna de desplazamientos forzados, alguno de cuyos elementos o todos ellos pueden ser nulos. El conjunto de grados de libertad { Un } se divide en los dos subconjuntos { Us } , { Ur} siendo este último el subconjunto de grados de libertad independientes si no existiese otro tipo de ligaduras . El proceso de eliminación de las ligaduras punto único se realiza también mediante la técnica de los multiplicadores de Lagrange resultando: relación que deberá cumplirse para todo conjunto de desplazamientos virtuales { 8Un } compatibles con las ligaduras, excepto las de punto único, para las que la inclusión de los multiplicadores { As } permite considerar como independientes los corrimientos virtuales { 8Us } . Separando en los vectores y matrices los términos asociados a los subconjuntos de corrimientos { Us } y { Ur} , es decir, definiendo: 2.32 l 11 W, } {8 Un }= r{Bu f }} {a, }= {i:; 1} ,, ] ] - (M [M¡� ] ] ] {i 1} {P, } = {i� 1 } {v, }= �; Jl resultará: {8 U ¡ f · [{P-1 } +[M1s]· {-aJ+ [ M ff ] · {-a 1 } - [K1s]· {UJ- [Kff ]· {U1 }] = o {PJ + [ M ss ]- {-a J + [ M sf ] · {-a f } - [ Kss ] · {U s }- [ Ksf l {U ¡ } + {A. J = {O} {Us }= {YJ La primera relación es la que resulta de la deducida del principio de los desplazamientos virtuales después de haber anulado los coeficientes de cada uno de los desplazamientos virtuales { 8Us } y que deberá verificarse para todo conjunto de desplazamientos virtuales { 8Uf} compatibles con las ligaduras restantes. La segunda relación, consistente en s ecuaciones, es el resultado de anular cada uno de los coeficientes de los desplazamientos virtuales { 8Us } . Finalmente, la tercera relación, consistente también en s ecuaciones, son las relaciones impuestas por las ligaduras punto único. Eliminando { Us } y { As } a partir de las expresiones tercera y segunda y teniendo en cuenta que de acuerdo con las ligaduras punto único deberá ser: {as }= {o} resultará: {as }= {o} {UJ = {YJ {A-J = -{Ps}- [Msf l {-af }+ [Kss]· {YJ+ [ K�f ]· {U¡ } y al sustituir estos valores en la primera expresión quedará: en donde: 2.3 ] }= ]= [ Kff ] = . } Se observa que una vez eliminados los grados de libertad { U5 } , consecuencia de las ligaduras punto único, es posible escribir las ecuaciones de equilibrio en los grados de libertad restantes { Ur} en la forma normal, pero utilizando unas matrices reducidas de carga { Pr} , de masas [Mff] y de rigidez [Kff] definidas por las expresiones anteriores. Las fuerzas originadas por las ligaduras punto único asociadas a los grados de libertad { Us } vienen dadas por por lo que una vez resuelto el problema estructural y conocidos los valores de los corrimientos { Ur} y aceleraciones { af} será posible mediante las relaciones deducidas en este apartado calcular los corrimientos dependientes { Us } , las aceleraciones dependientes { as } , los multiplicadores de Lagrange { As } y las fuerzas de ligadura que en este caso coinciden con { As } . 2 . 1 7 .- ELIMINACIÓN DE LAS LIGADURAS DE APOYO EN ESTRUCTURAS LIBRES Una vez eliminados los grados de libertad { Uro } correspondientes a las ligaduras multipunto y los { Us } correspondientes a las ligaduras punto único, el problema estructural queda definido por l a relación: que deberá cumplirse para todo conjunto de desplazamientos virtuales { ÓUr} compatibles con las ligaduras restantes. Normalmente, no suele haber más ligaduras, por lo que todas las variables del vector { óUr} son independientes y en consecuencia de la relación anterior se deduce el sistema de ecuaciones : Si las ligaduras multipunto y punto único impuestas a la estructura impiden todos sus movimientos como sólido rígido, las aceleraciones { ar} serán nulas y el problema estructural se reducirá a la solución del sistema de ecuaciones [Kff ] {U! } = {p! } . 2.34 S i por el será preciso incluir las fuerzas de inercia [MtrH -ar} en donde { ar} será la estructura como sólido el campo de aceleraciones que corresponde a la estructura comportándose como sólido rígido y que se deduce del equilibrio dinámico. Interesa definir un subconjunto de grados de libertad {U r} de manera que anulando estos grados de libertad se eliminen todos los movimientos de la estructura como sólido rígido sin introducir incógnitas hipcicstáticas. El hecho de que de la ecuación [KtrH Ur} = { Pr} se obtengan soluciones diferentes de la { Ud = { O } cuando { Pr} = { O } (movimientos como sólido rígido) pone de manifiesto que l a matriz de rigidez [Kff] es singular. Representando por 1 la característica de la matriz [Kff] se deduce que es posible asignar valores arbitrarios a r = f - 1 grados de libertad {Ur} determinándose a partir de las 1 ecuaciones independientes del sistema [KtrH Ud = { O } los 1 grados de libertad restantes { U¡ } en función de los La selección del subconjunto { Ur } puede realizarse físicamente imponiendo a la estructura un conjunto de apoyos isostáticos o bien matemáticamente de forma que la matriz de rigidez correspondiente a los restantes grados de libertad { U¡ } sea no singular. El conjunto de grados de libertad { Ud se supondrá separado en los subconjuntos { Ur } y { U i } . Desde un punto de vista cinemático, cuando las cargas { Pr} y las aceleraciones { ar} son nulas, la estructura puede experimentar determinados desplazamientos independientes correspondientes a los movimientos como sólido rígido, definidos por valores arbitrarios { Ur } en función de los cuales podrán determinarse los restantes corrimientos { U1 } . En este caso será: de donde se deduce: [ Klr ] · {U r } + [ Ku ] {U ¡ } = {O} · y teniendo en cuenta que [ K11 ] es no singular será: o bien: {U¡ } = [ S /r ] {Ur } 2.35 · en donde la matriz cinemática se define mediante la relación: Desde un punto de vista estático, si se fijan los grados de libertad { Ur } se anularía el campo de aceleraciones, pero a cambio aparecerían unas reacciones { 'Ar } en correspondencia con los grados de libertad { Ur } porlo que las ecuaciones de equilibrio quedarían en la forma: [Krr ] · {U r } + [Krl ] {U 1 } = {P, } + {A. r } [K1r ]· {Ur }+ [Ku ]· {U 1 } = { P¡ } con la condición adicional { Ur} = { O } . · De las ecuaciones anteriores se deduce: {U1 } = [K11 r1 · {P1 } {A.r } = -{ P, } + [Kr1 ]· [Ku r · {P1 } = -{ P, } - [S1r ]1 {P1} En el caso en que {A. r} = - { P, }- [ S Ir ] · { P¡ } sea un vector nulo la estructura estará en equilibrio • / estático y el problema quedará totalmente resuelto. En el caso en que las reacciones { 'Ar } no sean nulas, al eliminar estos apoyos ficticios la estructura estará sometida a un campo de aceleraciones como sólido rígido y habrá que plantear el equilibrio entre las fuerzas reales y las fuerzas de inercia. En este caso será: {a1 } = [SIr ] · {ar } y fijando los grados de libertad { Ur } , es decir, haciendo { Ur } = { O } resultará: -{ar} } - [[Krr] [Kr1 ]] · { {ü} } = { {O}} ] { {{{P,Pi }}} + [[Mrr[M1r ]] [Mr1] · [M11 ] -[Sir ]· {ar } [Kir ] [Ku] {U1} {ü} es decir: { P, }+ [[ Mrr] + [ M1r l [Sir J]- {-ar}- [Kr1] · {U1 } = {ü} {P1 } + [[ MIr ] + [ M 1 ] · [SIr ]] · {-ar }- [Ku] · {U 1 } = {O} El campo de aceleraciones { ar } se deducirá eliminando { U1 } para lo cual se multiplica el segundo 1 sistema por [S1r] [Kr1] · [Knr y se suma al primer sistema resultando: � = - [¡ { P, }+ [s,, ¡' {P, }+ M"] + [ M,, ) [s, ]+ [s,, ¡ ' . [ M,, ]+ [s ,j . [ M11 ]· [s,, Definiendo matrices reducidas de masas y cargas mediante las relaciones : 2.36 J} {-a,} = {o} ] = [M ] + rr ]· } + [s1j · {P¡ } {Pr } resulta: ¡ ]+ ]+ ] · I ]· ] . de donde se deduce: Al sustituir esta valor en el segundo de los sistemas de ecuaciones anteriores resulta: [ K ] {U } = { P¡ } ([ M Ir ] + [ M ] [S tr ]] · [ M r · { Pr } 11 • 1 11 - de donde se puede deducir el vector de corrimientos { U1 } . 2.37 • rr 1 Las estructuras reticulares continuas están formadas por un conjunto de vigas unidas entre sí por sus extremos formando una malla o red. Las vigas se conectan en sus extremos mediante uniones rígidas de manera que los desplazamientos y giros experimentados por un nudo coinciden con los desplazamientos y giros de los extremos de todas las vigas que concurren en dicho nudo. En el caso más general de una estructura tridimensional sometida a cargas arbitrarias, c ada una de las vigas o elementos de la estructura estarán trabajando asimismo bajo la solicitación más general, consistente en carga axial, fuerzas cortantes, momentos flectores y momento torsor. Para el análisis de las estructuras reticulares continuas se supondrá que los elementos estructurales se comportan de acuerdo con la teoría simple de flexión. Tradicionalmente la resolución de las estructuras reticulares continuas se ha realizado considerando como incógnitas las acciones internas en las vigas y las reacciones ejercidas por los apoyos, determinándose dichas incógnitas a partir de las ecuaciones de equilibrio. Si estas ecuaciones son suficientes para determinar de forma única todas las incógnitas, se dice que la estructura es estáticamente determinada o isostática (viga empotrada en un extremo y libre en el otro, viga simplemente apoyada, arco triarticulado, etc . ) . S i por e l contrario, e l número d e incógnitas supera a l número d e ecuaciones d e equilibrio y e s posible obtener múltiples soluciones, verificando todas ellas las condiciones de equilibrio, se dice que la estructura es estáticamente indeterminada o hiperestática (viga empotrada en un extremo y simplemente apoyada en el otro, marco, pórtico o arco biarticulado, etc .) . En este caso será necesario añadir a las ecuaciones de equilibrio un cierto número de ecuaciones de compatibilidad de corrimientos hasta conseguir un sistema de ecuaciones determinado, es decir, que proporcione una solución única. De los múltiples métodos de resolución de las estructuras reticulares continuas hiperestáticas, posiblemente el más popular consiste en suponer la estructura cortada en un número adecuado de secciones para convertir la estructura hiperestática en isostática. En estas condiciones será posible determinar las acciones internas (carga axial, fuerzas cortantes, momentos flectores y momento torsor) 3. 1 en todas las secciones transversales de todas las de las acciones existentes en las secciones ,-. ,, ,CT .U'O CH' en función de las cargas directamente '-'-!-'' "'·"-''-"""" y siendo estas últimas las denominadas 1 11 ,-. " n-1n 1 t '' " incógnitas hiperestáticas existan en la estructura, consistente cada una de ellas en imponer la continuidad de desplazamiento o giro en los bordes de cada uno de los cortes realizados. Este sistema, de tantas ecuaciones como incógnitas, permitirá determinar las incógnitas hiperestáticas con lo que el problema estructural queda resuelto. Como ya se ha indicado en el capítulo anterior, el método de los desplazamientos aplicado a las estructuras reticulares continuas consiste en plantear y resolver las ecuaciones de equilibrio de los nudos, cuando se consideran como incógnitas los corrimientos (traslación y rotación) de dichos nudos. En el caso de las estructuras reticulares continuas planas, sometidas a solicitaciones contenidas en su plano, ha sido muy popular en el pasado un método de resolución conocido como método de Cross, que en esencia coincide con el método de los desplazamientos, pero en el que ligeras modificaciones que apenas afectan a la precisión de los resultados, proporcionan una simplificación importante en el proceso de cálculo, hasta el punto que es posible la resolución de estructuras relativamente complejas con máquinas manuales de cálculo. La proliferación de ordenadores personales potentes e incluso de pequeñas máquinas de cálculo programables en las que es posible ejecutar múltiples programas disponibles en la actualidad, ha hecho que tantos los métodos tradicionales como el método de Cross hayan perdido popularidad y hayan sido sustituidos por el método de los desplazamientos formulado en su más amplia generalidad. 3 .2.- TEORÍA SIMPLE DE FLEXIÓN CON EFECTOS TÉRMICOS Se supone una viga (figura 3 . 1 ) de sección uniforme y longitud L, a la que se liga un sistema de referencia Gxyz de tal forma que Gx coincide con el eje longitudinal de la viga que contiene los centros de gravedad de las secciones transversales, mientras que Gy, Gz coinciden con los ejes principales de la sección transversal. Además de las solicitaciones mecánicas, carga axial Sx, fuerzas cortantes S y, Sz, momentos flectores My, Mz y momento torsor Mx, la viga está sometida a una variación de temperatura �T(y ,z), variable en la sección transversal pero uniforme a lo largo del eje longitudinal de la viga. 3.2 Se suponen las hipótesis normales de la teoría simple de flexión que establecen que los corrimientos son pequeños y que una sección transversal, inicialmente plana y perpendicular al eje Gx, se mantiene plana después de aplicar las solicitaciones y además normal a la curva elástica formada por los puntos que inicialmente se encuentran en el eje Gx. La posición final de una sección transversal arbitraria quedará definida por los desplazamientos u0(x), v0(x), w0(x) experimentados por el centro de gravedad de dicha sección transversal y por los giros 8x(x), 8y(x), 8z(x) alrededor de los ejes Gx, Gy, Gz. En particular, como la sección transversal debe mantenerse normal a la línea elástica deberá ser: � (x) = y (x) = dw c (X) - - W0 ( X ) _ dx dv c ( x ) = v0, (x) / dx El corrimiento u(x,y ,z) según el eJe Gx experimentado por un punto arbitrario de una sección transversal de la viga vendrá dado por: u(X , y, Z) = U G ( X) - Y (X) · y + � (X) · Z = U G (X) - V � (X) · y - W � (X) · Z La deformación total Yx en dicho punto arbitrario será en consecuencia: _ Yx - du(x, y, z) U , ( X ) - V ( X) y - W ( X ) Z · G G dx - G " _ La deformación mecánica Ex será la total menos la térmica: 3.3 " · Ex =Yx -a · z) . y- · z-a · z) de donde se deduce un esfuerzo: Las condiciones de equilibrio en la sección transversal proporcionan las tres relaciones siguientes : L cr x · dA = u; ( x) A · E - v � ( x) · E · L y · dA w � ( x) · E fp dA - E · a · L �T(y, z). dA - Mz = L cr · y · dA = u ; ( x) · E · L y · dA - v � ( x) · E · L y 2 · dA - w � ( x) · E · L y · z · dA - E · a · L �T(y, z) . y · dA MY = L cr · z dA = u� (x) · E · fp dA - v �(x) · E · L Y · z · dA - w�(x) · E · Lz 2 · dA - E · a · L �T(y, z) · z · dA Sx · x x · · Teniendo en cuenta que los ejes Gy, Gz pasan por el centro de gravedad de la sección transversal y que coinciden con los ejes principales de la sección, se verificará: Ly· dA = Lz · dA = L y · z · dA = O Por otra parte, definiendo las acciones térmicas STx? MTy, MTz mediante las relaciones : Srx = L E · a · �T(y, z) · dA - Mrz = L E · a · y · �T(y, z) · dA MTy = L E · a · z · �T(y, z) · dA resultará: Sx = E · A · u ; (X) - STx M z = E · / · V� ( X) - M Tz M y = - E . I . w � (X) - MTy z y o bien: E · A · u ; (x) = Sx + STx E · /Y · w� (x) = -( M y + Mry ) E · /z · V� ( X ) = Mz + M Tz Estas relaciones permiten calcular la deformación axial de la viga y las curvaturas de la línea elástica a partir de las solicitaciones mecánicas y térmicas . Puede observarse que las deformaciones de la viga cuando existen efectos térmicos son análogas a las que la viga experimenta cuando tan sólo existen solicitaciones mecánicas con la única diferencia de que ahora las acciones (carga axial y momentos flectores) son los correspondientes a las cargas mecánicas más las correspondientes acciones térmicas equivalentes ( Srx , M Ty , M Tz ) . Por su parte, estas acciones térmicas equivalentes son la carga axial y los momentos flectores que corresponden a un campo de esfuerzos ficticio cr x = E · a · �T(y, z) , que provoca unas deformaciones mecánicas iguales a las deformaciones térmicas que existen realmente en la sección transversal. 3.4 . . . �.u . .. -� �� , al sustituir la deformación axial y las curvaturas de la campo de esfuerzos normales resultará: Como puede comprobarse, el campo de esfuerzos se obtiene a partir de la fórmula normal pero considerando como acciones (carga axial y momentos flectores) las acciones mecánicas más las térmicas equivalentes y restando posteriormente el esfuerzo normal ficticio que genera una deformación mecánica igual a la deformación térmica existente en cada punto de la sección transversal. 3.3.- CORRIMIENTOS PRODUCIDOS POR LA DEFORMACIÓN DE CORTADURA La hipótesis indicada en el apartado anterior de que las secciones planas se mantienen planas después de la deformación, es básicamente correcta en el caso de flexión pura de vigas, salvo en las proximidades de las secciones empotradas o en las que se apliquen cargas concentradas. Si por el contrario la viga está sometida a flexión simple, caracterizada por la existencia de fuerzas cortantes, las distorsiones angulares originadas por los esfuerzos cortantes 'txy , 'txz alabearán la sección transversal y en consecuencia dejará de ser plana. El alabeamiento de la sección transversal provocará corrimientos adicionales de la línea elástica en los planos xy, xz que representaremos respectivamente por v05, was . En este apartado se determinará el corrimiento adicional vas de la línea elástica en una viga con una sección transversal sencilla, generalizándose posteriormente los resultados obtenidos a otra secciones y solicitaciones . Se considera un elemento de viga (ver figura 3 .2), de longitud dx, cuya sección transversal tiene la forma rectangular de base b y altura h . Sobre la viga está actuando una fuerza cortante S y y s e pretende calcular los corrimientos originados por las deformaciones de cortadura. De acuerdo con la teoría simple de flexión la componentes 't xz es nula en todos los puntos de la sección transversal y la componente 't xy se distribuye uniformemente a través de la anchura de la viga, por lo que aplicando el teorema del flujo cortante se deduce que los esfuerzos cortantes en la sección transversal se distribuye de acuerdo con la relación: 1: xy ( · y2 1 4 = �2 · � · b· h 3 .5 h2 J 1 Para determinar el corrimiento relativo de una sección transversal con respecto a la otra se utiliza el método de la carga unitaria para lo cual se considera una carga virtual S/ 1 dv s = fv {y } {cr'} · dV • = resultando: en donde {y} es el vector columna formado por las deformaciones totales reales y { cr"} es el vector columna formado por los esfuerzos virtuales en equilibrio con la carga virtual unitaria. Las únicas componentes de {y} y { cr"} son: {1- J 1 (1 - J s y 2 · b · dy · 4 . y2 · · dv s = f-h1h/2 2 . b" h . ( l - 7 . (l - 7 2 h 2 G· · J b· J dx = s .hy2 2 + -l/ 2 ( - r¡ 2 . y 4 · dy = dx · i · 4 ) · dr¡ = dx · -4 G · bs2 · h 2 b f-h/ht22 ( - -h J G· b · h = dx + /� h G H � - 312 ) = dx - � - /� - h = dx · (i' c - b · h) Y�- = �; = % /� - h \( = �2 · b · h · 4 h· /2 1: ' -- xy y en consecuencia: 3 3 9 · \' · · · -s- 1 8 1 16 4. 9 2 · - · 4 + 16 de donde se deduce: S ·\. -= dx G · AY dv _ s 3 .6 \' · 0 1 8 · + 16 n •1 = se denomina área reducida en cortadura en dirección del en donde en el caso de una sección que como del área total de sección transversal (b·h en el caso de una sección rectangular) . El corrimiento v s calculado anteriormente es el correspondiente al valor medio en la sección transversal. Suponiendo que todos los puntos de la sección transversal experimentan el mismo corrimiento vs resultará una distorsión angular en el plano xy: d u dv 5 dy dx Y Á) = - + y teniendo en cuenta que: sy dvs = dx G · (5 ! 6) · b · h ------ resultará: (2-. ¿J de donde integrando, teniendo en cuenta que en y = O es u = O, se deduce: u = G s· by · h . 1 0 y 2 . h 2 - o bien: mientras que d(v5 / h) d(x / h) G · (5 / 6) · b · h Estas relaciones definen el alabeamiento de la sección transversal. Para calcular la curva elástica de una viga v G = v Gb + v Gs , incluyendo la deformación en cortadura, se puede seguir suponiento que las secciones transversales se mantienen planas de manera que una rebanada de la viga, de longitud dx, tal como la mostrada en la figura 3 .3, experimenta un giro igual a dv Gb / dx y una distorsión angular constante e igual a dv Gs / dx . Al incluir la deformación en cortadura es importante tener presente que la curvatura de la viga que se relaciona con el momento flector es d 2 v Gb / dx 2 y no d?- v G / dx 2 . 3.7 .� . . . . .., . .. ,v, pero considerando ahora una fuerza cortante resultaría: en donde Az = (5/6) ·b·h sería el área reducida en cortadura en dirección del eje Gz. 3 .4.- MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA VIGA. GENERALIDADES En el método de los desplazamientos, aplicado a las estructuras reticulares continuas, se plantean las ecuaciones de equilibrio de los nudos considerando como incógnitas básicas los corrimientos (traslaciones y giros) de dichos nudos. Es evidente que para poder plantear dichas ecuaciones de equilibrio será necesario determinar previamente las acciones que las vigas ejercen sobre los nudos, o lo que es equivalente, las que los nudos ejercen sobre las vigas, en función de los corrimientos de los extremos de las vigas, dando lugar, análogamente a lo que ocurría en las estructuras articuladas, a las matrices de rigidez. Se suponen vigas rectas, en las que coinciden los centros de gravedad y cortadura. En la figura 3 .4 se muestra una de tales vigas, definida por sus nudos extremos i y j . Se considera ligado a dicha viga un sistema de referencia local ixyz en el que el eje ix coincide en dirección y sentido con el segmento que une el origen i de la viga con su otro extremo j . Por su parte los ejes iy, iz coinciden con los ejes principales de la sección transversal de la viga. 3.8 Todos los desarrollos se refieren a la que se que ser como elemento e, y aunque de acuerdo con la notación utilizada en el capítulo 2 todas las magnitudes asociadas deberían llevar el superíndice e, por simplicidad se prescindirá de dicho superíndice que implícitamente se supondrá presente en todas las propiedades que afecten a la viga o elemento estructural e. En principio se supondrá que sobre la viga no actúan cargas directamente aplicadas, por lo que las únicas acciones que actúan sobre la viga son las que sobre ella ejercen los nudos extremos y que se definen mediante los valores s1 a s12 mostrados en la figura 3 .4. Ft¡ 3J1 Al considerar los ejes principales de la sección transversal resultarán desacoplados los problemas de tracción, torsión y flexión en cada uno de los planos principales . Finalmente se supondrá una variación de temperatura �T(y,z) arbitraria en la sección transversal pero uniforme a lo largo de la viga. 3 .9 En el caso en que la viga esté sometida únicamente a fuerzas axiales, la expresión que relaciona solicitaciones con corrimientos es (ver apartado 3 .2) du G S + S A · E · -x Tx dx • l 1-1:¡ 3, S en donde: STx = L E · a · fiT(y, z) - dA Teniendo en cuenta que la carga axial Sx coincide con s 7 resultará: du G = s + S A·E·7 Tx dx de donde integrando se obtiene: con las condiciones de contorno: x=O para x = L para Imponiendo estas condiciones de contorno resulta: A . E . U¡ = C¡ A · E · u7 = (s7 + S Tx ) L + C1 · de donde se deduce: A E · u7 = ( s7 + STx ) L + A E · U ¡ · · · o lo que es lo mismo: A·E ·u -S A · E · u + -s7 = --7 Tx 1 L L La condición de equilibrio de la viga según el eje x establece: de donde se deduce 3. 1 0 A-E · + A · E · u - -s1 = - s7 = -1 L L u7 A - E - -A·E ·u +S · s 1 = -L u 1 L 7 Tx A - E · U + -A - E · U - STr S7 = - -7 1 L L con la relación general {s} = [k ) - {u} + {s0 } se deduce A·E k 1 . 1 = -L A ·E k 1.7 = k 1,1 = - L A·E k ? .1 = Lso.1 = S Tx So, 7 = -STx siendo nulos los elementos restantes de las filas 1 y 7 de la matriz de rigidez [k] . 3.6.- MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA VIGA. EFECTO DE LOS MOMENTOS TORSORES En el caso en que la viga esté sometida únicamente a momentos torsores, la expresión que relaciona solicitaciones con corrimientos es: de x = M X dx Teniendo en cuenta que el momento torsor Mx coincide con s 1 0 resultará: de X = siº e J. dx G. J . . de donde integrando se obtiene: con las condiciones de contorno: x=O para x = L para 3. 1 Imponiendo estas condiciones de contorno resulta: G . J . U4 = C¡ G . J . U 10 = S10 . L + C¡ de donde se deduce: G · J · u1 0 = s10 · L + G · J · u4 o lo que es lo mismo: G· J ·u + G· l u s 10 = - -4 -- · 1 0 L L La condición de equilibrio de momentos que actúan sobre la viga según el eje longitudinal x establece: de donde se deduce: Comparando el resultado final G· l G·l S4 = L · U4 - L ' U 10 G · l · u + -G·l ·u s 10 = - -4 10 L L con la relación general: {s } = [k ] · {u} + {s0 } se deduce: G·l k4 , 4 = -L G·J k 4 ' = k 1 0. 4 = - -L G·l k 10' 1 0 = -L Ü o = S ,4 So , 1 0 = Q IO siendo nulos los elementos restantes de las filas 4 y 1 O de la matriz de rigidez [k] . 3. 1 2 Los corrimientos v0 de la línea elástica en el plano principal xy pueden descomponerse en los vab originados por las deformaciones de flexión y los vas originados por las deformaciones de cortadura. Vv,, �� G Pa !Y V . J l. • ::$ 2. '' ,U 9 1 &u. .X �Un. 4.l 2 "Ft¡ 3,/- Los corrimientos de flexión vGb vienen definidos por la ecuación diferencial (ver apartado 3 .2) d 2 V Gb E · l z · -= M + M rz dx 2- z en donde: M Tz = -L E · a · f1T(y, z) · y · dA mientras que los corrimientos de cortadura vas responden a la ecuación diferencial (ver apartado 3 . 3) G. A y . dv as = S y dx en donde Ay es el área reducida en cortadura en dirección del eje y, que puede determinarse a partir del método de la carga virtual unitaria una vez conocida la distribución de esfuerzos cortantes 'txy , 'txz correspondiente a una fuerza cortante S y (por ejemplo en el caso de una sección transversal rectangular es Ay = (5/6)-b·h) . Teniendo en cuenta que l a fuerza cortante S y y el momento flector M z vienen dados por: S y = s8 M z = s1 2 + s8 · (L - x) resultará: 3 . 13 Ve = Veb + Ves = S 1 2 + Sg . L + G· dx - Sg · X = Sg 1 Integrando la segunda de las tres ecuaciones anteriores se obtiene: E · I z · dvdxGb = (s1 2 + s · L + M Tz ) · x - -2 · s · X 2 + e1 8 -- 8 con las condiciones de contorno: dv Gb = u dx 6 para x=O dv Gb = U dx 12 para x=L -- -- de las que se deduce: E . ¡ z . u6 = e1 E · / 2 · u 1 2 = (s1 2 + s8 · L + M y.J · L - _!_2 · s8 · L2 + e1 Resolviendo estas ecuaciones se obtiene: e1 = E . ¡ z . u 6 s 1 2 = - _!_2 · s · l - M Tz _ E L· l z · u 6 + E · l z · u 1 2 L 8 y en consecuencia la expresión integrada de la ecuación diferencial de los corrimientos de flexión queda [1 en la forma: ] 1 E · I z · u + -E 1z · u · x - - · s · x2 E · I z · dvdxGb = E · I z · u6 + -2 · ss · L - -6 2 s L L 12 vGb + VGs de la línea elástica queda definido por la En estas condiciones, el corrimiento total VG -- ecuación diferencial: · = ( dv0b + dv 0s = E · / 2 • dvdx0 = E · /2 • ----;¡;----;¡;= E · I z · u 6 + [ -1 · ss 2 cuya integral es : l J · L- ] 1 E · I z · u + -E · !z · · - · E · !z · s 2 + -u · x s x 1 2 6 s G . A- s 2 L L -- ] 1 [1 )' ] 1 E · ! 2 · · x · - · s · L -E · !2 · · x 2 - · · x 3 s + -2 2 8 - E · ! 2 · u 6 + -E · /z · v G = e2 + E · ! z · u 6 + --6 s G . A-' L L u1 2 ) 8 con las condiciones de contorno : para para 3.14 x=0 x= L 8 E . J z . U2 = E l , u8 C2 + · 1, u6 E· + � [� s 8 · - E � . u l A + �.· , · s8 L L 6 + L 1 s - · 6 de donde se deduce: ( expresión equivaiente a: J -1 · ss L3 · 1 + 12 · E · I z = -E · 1 z u2 - -1 · E I z · L · u 6 + E · I z · us - -1 · E · 1 z · L · u1 2 2 2 12 L2 G . A ) · . ' Representando por <l>y la relación: · · 12 · E · Iz Y L2 · G · A ) <!> = la expresión anterior queda en la forma: Sg = ' l2 · E · f z · U - 6 · E · fz · U + l2 · E · fz · U - 6 · E · fz ' U g 2 ( 3 L · l + .r ) 1 2 L · (l + y ) 2 L2 · (l + .r ) 6 L3 · (l + y ) Por otra parte y teniendo en cuenta que: s 1 2 = - -1 · s · l - M Tz _ E · f z · U6 + E · f 2 · U 1 2 2 L L 8 __ se deduce: Finalmente, las condiciones de equilibrio de la viga establecen: s 2 + s8 = Ü s 6 + s1 2 + s8 · L = O de donde se deduce: Comparando el resultado final: 3 . 15 -- 8 . s6 = ----- . U2 + E· f • 2 L· + ) Y 6 · E · Jz k6,2 - 1 L . ( 1 + <1> ) 12 · E · / k8,2 = 3 ( 2 L · 1 + el»· ) 6· E· J k 1 2,2 - 2 . ( z L 1 + ) So ,2 = Q Y Y 12 · E · /2 3 L (1 + ) 6·E· J k2,6 - 1 . ( L 1 + ) E · /2 · ( 4 + y ) k6,6 = . ( L 1 + ) 6·E·l k8,6 - - L2 ( z . 1 + ) E · I · (2 - ) k 1 2,6 -L - ( l + )' ) S o ,6 = MTz z • Y 6 · E · /2 2 L · (1 + cD ) 12 · E · Jz k8,8 = 3 . L (1 + cp ) ------ Y Y z Y Y Y Y ------ So,8 = Q 6 · E · /2 2 L · (l + cDy ) 6·E· k 2, 1 2 - 2 . l L ( 1 + cp ) E · I (2 - y ) k6, 1 2 - z L . ( l + cp ) 6 · E· l k8, 1 2 -- - L1 . ( 1 + cp ) E · f2 · (4 + ©y ) -k 1 2, 1 2 -- ---L . ( l + cp ) s o . 1 2 = - MTz z · Y Y z en donde: cp Y 12 · E · I z = 2 L ·G·A y siendo nulos los elementos restantes de las filas 2, 6, 8 y 12 de la matriz de rigidez [k] . 3 .8 .- MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA VIGA . EFECTO DE LOS MOMENTOS FLECTORES Y FUERZAS CORTANTES EN EL PLANO PRINCIPAL xz El efecto de los momentos flectores y fuerzas cortantes en el plano principal xz puede deducirse de los resultados obtenidos en el apartado anterior teniendo en cuenta que, salvo el cambio de signo en algunas magnitudes, las ecuaciones que relacionan acciones y corrimientos son idénticas. No obstante se decide realizar el desarrollo completo en el que fácilmente se advertirá la repetición de razonamientos y fórmulas . 3 . 16 Y Y Los corrimientos w0 de la línea elástica en el deformaciones de cortadura. J js l . l., .Ll� 'l :1g Ft3 3. 8 � " Los corrimientos de flexión wGb vienen definidos por la ecuación diferencial (ver apartado 3 .2) 1 E . ¡ z . d w2Gb = -M )' - M Ty dx en donde: mientras que los corrimientos de cortadura W0o responden a la ecuación diferencial (ver apartado 3 . 3) G . A z . dwas = S dx z en donde Az es el área reducida en cortadura en dirección del eje z, que puede determinarse a partir del método de la carga virtual unitaria una vez conocida la distribución de esfuerzos cortantes 'txy, 't xz correspondiente a una fuerza cortante Sz (por ejemplo en el caso de una sección transversal rectangular es Az = (5/6) ·b·h). Teniendo en cuenta que la fuerza cortante Sz y el momento flector My vienen dados por: S z = S9 M y = s 1 1 - s9 · ( L - x ) resultará: W = WGb + WGs d 2w E . / y dx 2Gb = -S¡ 1 + S9 . L - S9 . X - M Ty dw as G · Az · -= S9 dx Integrando la segunda de las tres ecuaciones anteriores se obtiene: w Gb = (- s E · 1 Y . -d dx 11 2 1 ) . s . s . L + 9 - M . x - 9 . x +e Ty con las condiciones de contorno: 3.17 2 ! dx = -U 5 dwcb --;¡;- = - U¡ 1 para x O para x =L de las que se deduce: -E · l y · u5 = C1 -E · I y · u 1 l = (-s 1 1 + s9 L - M Ty ) · L - -1 · s9 · L2 + C 1 y · 2 Resolviendo estas ecuaciones se obtiene: el = - E . /)' . U 5 E · I -" u -E · ly s 1 1 = -1 · s9 · L - M Ty - -· · u1 1 5+ L L 2 y en consecuencia la expresión integrada de la ecuación diferencial de los corrimientos de flexión queda en la forma: ( J E . ly u E . ly u dw Gb = - E · l · u + -1 · s9 · L + -· - -· 1 1 · x - -1 · s9 · x 2 E · l · -L L 2 » 2 » dx s s En estas condiciones, el corrimiento total w0 = wGb + was de la línea elástica queda definido por la ecuación diferencial: cuya integral es : con las condiciones de contorno : x=O para x = L para Imponiendo estas condiciones de contorno se obtiene: E . / )' . U3 = C2 ) 1 (1 ( ) 1 E · ly E · ly E · lv 2 3 E · I . ' U 9 = e? + - E · I ). . u 5 + -- · S9 . L + - · - · S9 . L + -- · u5 - --· · u 1 1 . L - - · S9 . L ) L L G · Az - de donde se deduce: 22 ( 6 J E · l L2 1 E . I ). . u9 = E . I ). . U3 + S9 . L . G · A + 1 2 - -2 . E . I >. L . u5 - -21 . E . l . . L . u r · -- - z expresión equivalente a: 3. 1 8 . ) 1 1 - · S9 . . · u3 = -E · 12 _\ + 1 · E · o L o U 5 + E . \' o U 9 + -1 o E . ¡ \' L o U 1 1 - o 2 2 o o la expresión anterior queda en la forma: 6 · E · ly · E · ly 6 · E · ly 12 · E · ly · U 5 + 12 ·U · U9 + 2 · U3 + 2 S9 = - 3 L · (1 + z ) 1 1 L3 · (l + z ) L · (l + z ) L · (l + z ) Por otra parte y teniendo en cuenta que: E · ly E · ly s 1 1 = -1 · s9 · L - M Ty - -- · u5 + L · u 1 1 L 2 -- se deduce: Finalmente, las condiciones de equilibrio de la viga establecen: s 3 + s9 = Ü S5 + S 1 1 - S9 . L = o de donde se deduce: Comparando el resultado final : 6 · E · ly 12 · E · I 6 · E · IY l2 · E · I S 3 = L3 + Y . U 3 - L2 + . U5 - L3 . + Y . U 9 - 2 . . U1 1 z (1 (1 + (1 z ) ) (1 L z ) J . . · 6 · E · lr E · r · ( + z ) 6 · E · lr . · U 9 + E · ly. (2 - <1> 2 ) · U 1 1 + M Tr · U3 + f . 4 ·U + 2 s = 2 L . (1 + <l> ) L (1 + <l> z ) L . (1 + <l> z ) L . (1 + <l> z ) 6 · E · lr 12 · E · lr 12 · E · lr 6 · E · l, S 9 = - L3 · + . · U 3 + L2 · (1 + . · U 5 + L3 · (1 + . · U 9 + L2 + . · U 1 1 · (1 z ) (1 z ) z ) z ) E I ,. · (2 - z ) E · r · (4 + z ) 6 · E · Ir 6 · E · Ir S 1 1 = L2 (1 + cD . U3 + L : (1 + <l> J . U5 + L2 . + cD . U 9 + LJ: (1 + <l> z ) . U ¡ 1 M Tr (1 z ) z) . s . z s · - con la relación general {s } = [k ] · {u} + {s0 } se deduce: 3 . 19 = 2. .¡ . (1 + 6· E · / 12 · E · . (1 + 6· E· ----- )' ¡ - )' k 5. 3 - - L2 (l . + ) 12 · E · 1 k 9 , 3 = L3 · (1 + z ) 6· E· I k 1 1 , 3 - - L2 · ( l + <t>z ) = so,5 = M Ty So, 3 Ü k 5,9 - L2 (l + . + ) 12 · E · 6·E . ¡ -k 9 , 9 - L3 k 9.1 1 L2 · (l + <t> z ) . (l + ) 6·E·l E · l ·" · (4 + ) ---k 1 1,9 - L2 ( k 1 1 , 1 1 = -L · (l + <t> z ) . l + <t> z ) So,9 = Ü So,1 1 = - M Ty )' ----- )' )' )' 2 en donde: = 2 12 · E · 1 y L2 · G · A z siendo nulos los elementos restantes de las filas 3, 5, 9 y 1 1 de la matriz de rigidez [k] . 3 .9.- MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA VIGA. RESUMEN Agrupando la información obtenida en los apartados anteriores se obtiene finalmente la relación entre acciones y corrimientos mostrada en la figura 3 . 9, en donde aparecen detallados todos los elementos de la matriz de rigidez [k] y del vector columna de fuerzas térmicas { s0 } . Es evidente que tanto las acciones como los corrimientos están expresados a partir de sus componentes locales y que antes de proceder al ensamblaje de las matrices de rigidez y fuerzas térmicas habrá que transformarlas para que queden expresadas mediante sus componentes globales utilizando las correspondientes matrices de transformación de coordenadas tal como se verá más adelante. 3 . 20 E·A L o o o r¡ . .1· s 2 o 3 ·'" 4 s5 w i-v .1'6 1 / "' 7 .�s .1·9 .l' J O .I'] ] s¡ 2 = o E·A -L o o o o 1 2 · E · f;;. ¿:. · l ( + <l> y ) o o o 6 · E · lz L2 · 1 + ( <l>y ) o 1 2 · E · f;;. ¿3 · l ( + y ) o o o o o ¿2 · 1 ( + y ) 6 · E · f;;. o o o 1 2 · E · fy ¿3 · (l + o <l> z ) 6 · E · fy ¿2 · (1 + <1> z ) o 1 2 · E · fy z ) 6 · E · fy L2 · (1 + o G·l L o o o o o o o L3 · (l + o z ) o o G·l -L o o o 6·E·f y L2 · (1 + <1> z ) E · fy · (4 + <1> 2 ) L · (l + <l> z ) o L2 · (1 + z ) E · ly · (2 - z ) o o o o o E · lz · (4 + y 6 · E · f;;. 6 · E · fv L · (1 + o o o z ) o ¿2 · l ( + <l>y ) L· l + y ) ( o o L 6 · E · f;;. o o E· A o ) ¿2 · l ( + <t> y ) o o o y) L· l + ( y ) Fi"O 3, 5 o o ¿2 · l ( + y ) E · lz - (2 - o o o o ¿3 · 1 ( + <1> y ) o E· A L o o 1 2 · E · l;;. 6 · E · lz o l 2 · E · I;;. ¿3 · l ( + y ) o o o o o ¿2 · l ( + <l> y ) 6 · E · l;;. o o o 1 2 · E· l y L3 · ( 1 + o c1>z ) 6 · E · fy L2 · (1 + <1> z ) o 1 2 · E · fy <t> z ) 6 · E · fy L2 · (1 + o o G·l -L o z ) o o G·l L o o o � o 6· E·f ¿2 · l ( + <l> y ) y L2 · (1 + c1> o z) E · ly · (2 - <1> 2 ) L · (1 + <1> 2 ) u ) o · (4 + z z ) o ) E · l z · ( 4 + o u5 U6 u u9 UJ O u¡ 1 y) L· l + y ) ( o o u4 u¡ o o STx 3 7 ug ¿2 · l ( + <l> y ) + <t> z ) o o 6 · E · f;, 6 · E · fy L · (l + u¡ uz o o E · ly o L· l + y ) ( o ¿2 · (1 o E · lz - (2 - <l> y o o o o o o o ¿3 · (! + o 2 + MTz - ST x o o o - MTy - MTz de conimiento asociadas a cada una de las acciones independientes que se han considerado . A continuación se presentan dichas leyes de desplazamientos en las que � representa la variable adimensional � = x/L . TRACCI ÓN TORSI ÓN 8 x = (1 - �) . U4 + � · U1 0 FLEXI ÓN EN EL PLANO PRINCIPAL xy + � · { [2 · E, 3 - 3 · E, + 1 + (1 - E, ) · <!> ) · u2 + [ E, 3 -2 · E, + E, + ± · (E, - E, ) <!> J L . u6 + +[-2 . E, 3 + 3 . E, + E, . <!> l Ug + [ E, -E, 2 -± . (E, - E, 2 ) <!> l L U¡ 2 } d¿• 1 + ¡<!> . ¡ [6-E, ' - 6 . e, } ul + [3 . E,' - 4 E, + 1 + (1 - E,) . <!> ) . u6 + [-6 . E, + 6 E,)- u¿ + +[3 · � 2 - 2 · � + � · <l»l U 1 2 } v G = 1 2 r 2 = 2 ,. J y • · , J . )' 2 r 2 FLEXI ÓN EN EL PLANO PRINCIPAL xz l { [2 . E, 3 - 3 . E, 2 + 1 + (1 -E,) . <!>J u, + [-E, + 2 . E, 2 - E, -± . (E, - E, 2 ) . <!> l L . u5 + + <l> +[-2 E, 3 + J.C,' + E, <!>J u9 + [-E, 3 + E, 2 + ± · (E, - E, 2 ) · <!>, l L · U 1 1 } �b J +J<!> · { [6 · E, 2 - 6 e,} ¡ + [-3 · E, 2 + 4 · E, - J - (J - E,) · J u5 + [-6 · E, 2 + 6 · e, } U{ + +[-3. � 2 + 2 . � - � . <!> l U¡ 1 } U u9 + 1 . <!> . u } dw 3 1 . <!> . u5 + <!> . . {- <!>z . -+ 11 L 2 L 2 dx l + wG = 1 = Gs J z z } -- = -z z cJ:> z - z - z z 3 . 1 1 .- FUERZAS CONCENTRADAS EQUIVALENTES En todos los desarrol los realizados hasta el momento se ha supuesto que eran nulas las cargas directamente aplicadas a las vigas, obteniéndose para una viga individual la expresión : 3 .2 + = que relaciona los corrimientos locales } } de los extremos de las con las acciones locales { s } que se ejercen sobre la viga a través de la matriz simétrica [k] de rigidez de la viga y del vector { s0 } de fuerzas térmicas . Sin embargo, con frecuencia sobre las vigas actúan cargas distribuidas o concentradas que deberán ser incluidas en el proceso de análisis. Inicialmente se considerará una carga directamente aplicada sencilla y mediante un desarrollo análogo al realizado en apartados anteriores se determinará su efecto. Posteriormente se generalizarán los resultados, proponiéndose un método equivalente pero mucho más simple, para incluir el efecto de cualquier tipo de carga directamente aplicada a la v iga. Se supondrá que sobre la viga actúa una carga uniformemente distribuida de valor q en dirección y sentido del eje principal de inercia y . S e supone además que n o existen efectos térmicos y a que la influencia de las deformaciones térmicas y a h a sido tenida en cuenta anteriormente. Fi� 3. 1 0 Al igual que se hizo anteriormente se supone que los corrimientos v0 de la línea elástica en el plano principal xy puede descomponerse en los vab originados por las deformaciones de flexión y los vas originados por la deformación de cortadura. Los corrimientos de flexión vienen definidos por la ecuación diferencial (ver apartado 3 . 2) d 2 v Gb E · l · -dx 2 = M 2 2 mientras que los corrimientos de cortadura vas responden a la ecuación diferencial (ver apartado 3 .3) dv as G · A Y · -;¡;= Sy 3 .23 Teniendo en cuenta que la fuerza cortante sy = sg + q · y el momento flector dados por: x ) + _!_2 · q · ( L x ) 2 resultará: 2 E · l · d 2Gb = s 1 2 + s8 · ( L - x ) + -21 · q · ( L - x )2 dx dv G r; . A s = + ( T . - Y\ dx z - - -y V -- s_ - 15 . . n . -1 ,- - · ! Integrando la segunda de las tres ecuaciones anteriores resulta: ) ( dv Gb E · l · -= s 1 2 + s8 · L + -21 · q · L2 · X - -21 · (s8 + q · L) · X + -61 · q · x + e1 dx z 2 3 con las condiciones de contorno: dv Gb -dx = u 6 dv Gb =U -dx 1 2 para x=O para x=L de las que se deduce: E · 12 u6 = C1 E · l · u 1 2 = s 1 2 + s8 · L + -21 · q · L2 · L - -21 · (s8 + q · L) · L2 + -1 · q · L3 + C1 6 • z ) ( Resolviendo estas ecuaciones se obtiene: C1 = E · f 2 · u 6 E·l · +E·l · s 1 2 = - 21 · s8 · L - 61 · q · L2 - � u6 � u 1 2 y en consecuencia la expresión integrada de la ecuación diferencial de los corrimientos de flexión queda en la forma: ( ) l E · l2 · dv Gb E · l · -= E · l · u6 + -21 · s · L + -1 · q · L2 - E · · u 6 + -L u1 2 · x L dx 3 - 21 . (s8 + q · L ) · x 2 + 61 · q · x En estas condiciones, el corrimiento total VG = vGb + vGs de la línea elástica queda definido por la z z z -- s 1 ecuación diferencial: 3 . 24 E· dx e�,, + d�')= = E · ! · u 6 + (_!_ · ss · L + _!_ · q · 2 E z 1 +- · q · x3 + 6 cuya integral es : L L 3 E· · (s + q · L - q · x ) G · A -" 8 ) · u 1 2 · x - _!_ · (s 8 + q · 2 . x2 + ______::_ [ } : �'. · E · I · va = C2 + E · I, · u 6 + . · (s, + q · L) x + . E · /2 U - -E · / 2 q · X 2 --==-1 · (S + q · L) · X 3 + -1 · q · x 4 E · /2 · u + -+ -21 · -2l · Ss · L+ -31 · q · L2 --s 24 L 6 L · 1 2 G · Ay · z [ ] u con las condiciones de contorno: x=O x=L para para Imponiendo estas condiciones de contorno se obtiene: E · / 2 u 2 = C2 • [ ] E · / us = C2 + E · I · u6 + � (ss + q L) · L + G·A z · [. . z · . · y _!_ s8 L + _!_ . q L2 - E . I L 3 2 2 1 - 6 . ( + q . L) L3 + 14 q L4 2 + _!_ . Sg . .. z . ]. . 6 + E . I . u1 2 - � G· A u L [ de donde se deduce: z y q L2 - ] [. ] q · L4 1 2 · E · J 1 1 s8 · L3 · 1 2 · E · J + l + -+l · 2 E · f2 · u8 = E · f2 · u2 + -2 · E · f2 · L · u6 + -2 · E · f2 · L · u 1 2 + -24 12 L G . Ay L2 . G . A y ( z z expresión equivalente a: J - 1 s L3 1 + 1 2 · E · I = - E I u - -1 · E · I · L · u + E · I · u -1 · E · I · L u · · 12 2 2 6 s 2 12 s L2 G . A y • . z · z · L_4 q_ __ 4 2 z · . (l + 1_ · E_·_I.;;. 2_ 2 ._ 2 L · G · Ay _ Representando por y la relación: 12 · E · I -" = 2 L · G · Ay z la expresión anterior queda en la forma: 3 . 25 J z z · y teniendo en cuenta Por otra E· L se deduce: Finalmente, las condiciones de equilibrio de la viga establecen : + Sg + q . L = o S5 + S1 2 + Sg . L + -21 . q . L2 = o S2 de donde se deduce: s 8 = -s1 2 - s8 · L - 21 q L2 - · · Comparando el resultado final de las acciones s 2 , S5, ss, s 1 2 con la relación general: {s } = [k ] · {u } - {p } se deduce que los elementos de la matriz de rigidez [k] coinciden, como es evidente, con los hallados anteriormente, mientras que: La expresión { s } P2 = -21 · q · L P6 = 121 · q . L2 Ps = -21 · q · L = [k] · { u } - { p } demuestra que { -p } coincide con las acciones que se ejercen sobre la viga en el caso en que los corrimientos { u } sean nulos, es decir, si se considera a la viga doblemente empotrada. Recíprocamente, { p } representará las acciones que la viga ejerce sobre sus nudos extremos en el caso en que se supusiera biempotrada . Estas acciones { p } se denominan equivalentes ya que a todos los efectos resulta equivalente considerar la carga uniformemente distribuida sobre la viga o las acciones { p } ejercidas sobre los nudos extremos de la viga. Una vez que se ha visto el significado físico de las acciones { -p } , es posible formular un método para determinar los elementos de dicho vector de una forma mucho más sencilla. En efecto, se supone la viga sometida a los dos estados de carga indicados en la figura 3 . 1 1 . 3 . 26 X � 1?.. "" ft> jE> ' ll1 = 0 E Sí A D O A u8 -:: o �9 lt-2 Fi3 3. 11 E ST A J) o B Us El primer estado (estado A) corresponde a la viga biempotrada, sometida a la carga uniformemente distribuida q, en el que los corrimientos u2, ufo u8, u 1 2 son nulos y las acciones que los nudos e:ictremos ejercen sobre la viga son en consecuencia los valores -p2, -p6, -ps, -p1 2 . El segundo estado (estado B) corresponde a corrimientos arbitrarios u2, u6, u8, u 1 2 a los que corresponden unas acciones ejercidas sobre la viga s 2, s6, s8, s 1 2 deducidas a partir de la relación: {s } = [k ] - {u } En este estado las secciones intermedias de la viga experimentarán los corrimientos indicados en el apartado 3 .1 O . Teniendo en cuenta que, de acuerdo con el principio de reciprocidad de los trabajos, el trabaj o que la solicitación existente en el estado A realiza en correspondencia con los corrimientos del estado B es igual al trabajo que la solicitación existente en el estado B realiza en correspondencia con los corrimientos del estado A resultará: 1 1 {U } ' {- p } + fo� (X) · q · dx = {Ü} {s } = Ü G • o lo que es lo mismo : 3 .10) . 2 · � 3 - 3 · �2 + 1 + (1 - � ) · cI> y [e,' - 2-C,' + C, + � · (C, - C,')· <1> -1 v a ( x ) = {u } + y -2 · � 3 + 3 · �2 + � · <l> .r l cI> [e,' e, 2 � (H 2 ) <!>,J en donde el corrimiento vG(x) viene dado por (ver apartado I _ _ . 3 . 27 L L - ' - {u } · (av ( �)) resultará: 1 q.L- • Í1 o 3. 1 1 se ha definido de manera que los corrimientos u2, ufo u8, u 12, Como el estado B de la elementos del vector columna { u } son arbitrarios, deberá verificarse: 1 1 {p} q · L · (a ( �)) · d� = Ü V ' q.L ·1 = l + ) ' 1 [s' -2 Ü - 2 . � 3 3 . � 2 + 1 + (1 - �) . <!>)' S 2 + S + � · (H 2 ) · <1>, - L ] 3 -2 . � + 3 . � 2 + � . <!>)' (H 2 ) · <1>, L l [s' -S' -� J j _ . d� - 1 · l · L )) 12 -1 · q · L 2 1- · q · L2 12 = -1 · q · L _!_ . (1 + <!>)' ) 2 2 1 · (1 + ) ) · L --1 · q · L2 -12 12 q·L - · = --- . . que como puede observarse coincide con el resultado obtenido anteriormente. En el caso más general en que existan las seis componentes de cargas distribuidas uniformemente o no (qx, qy, qz, mx, my, mz) que se agruparán en un vector columna { q } , más cualquier tipo de cargas o momentos concentrados { q¡ } resultará, mediante un razonamiento análogo, , , {p } = r [a( x) J · {q ( x)} · dx + I Ja< x¡ ) J · {q ( x ¡ )} i en donde [a(x)] es la matriz que multiplicada por los corrimientos { u } proporciona los corrimientos uG(x), vG(x), WG(x), 8x(x), 8y(x), 8z(x) de las secciones intermedias de las vigas, es decir: {u (x) }= [a( x) ] · {u} 3 . 12 . - LIBERACIÓN DE GRADOS DE LIBERTAD En una estructura reticular continua puede ocurrir que una determinada viga esté unida en uno de sus extremos al resto de la estructura mediante una articulación en lugar de la unión rígida supuesta anteriormente. En este caso, en dicho extremo el giro de la viga es distinto del giro del nudo y el correspondiente momento flector es nulo. Esta circustancia debe ser considerada adecuadamente antes de proceder al ensamblaje de las matrices de rigidez, de cargas térmicas y de cargas equivalentes, ya 3 .28 que en el proceso normal se considera que los corrimientos de los nudos coinciden con los corrimientos de los extremos de las que concurren en dichos nudos. La situación anterior es un caso particular de liberación de grados de libertad, uno de los giros en uno de los extremos de la viga. En el caso más general, uno cualquiera o varios de los corrimientos locales u1 a u12 de una viga pueden ser liberados, siempre y cuando la viga no pueda moverse como sólido libre. Los grados de libertad liberados serán independientes de los grados de libertad correspondientes de los nudos extremos y en consecuencia deberán ser eliminados, teniendo en cuenta que las acciones asociadas (una o varias de las s 1 a s 12) deben ser nulas. Reordenando las variables en la relación: {s } = [k l {u } + {s0 } - {p } de manera que en primer lugar aparezcan las variables "o" que deben ser omitidas, seguidas de las variables "a" que intervienen en el análisis, resultará: en donde: La expresión anterior es equivalente a: {O} = [k ] {U } + [k ºª ] · {Ua } + {s } - {p } {sa } = [kao ] {uo } + [faa l {ua } + {soa } - {Pa } 00 • · 00 0 0 Si la matriz de rigidez [koo ] es no singular, cosa que ocurrirá si los grados de libertad liberados no son suficientes para permitir alguno de los movimientos de la viga como sólido libre, la primera expresión permitirá determinar los grados de libertad liberados { u0 } . y sustituyendo este valor en la segunda expresión resultará: en donde: [k aa ] = [faa ] - [k ao ] · [k r1 · [k oa ] {s oa } = {soa } - [kao ] . [koo r . {soo } {pª } = {J5ª } - [k ªº ] · [k ºº r1 · {p º } 00 3 . 29 Se observa que en los de libertad que se mantienen es utilizando unas matrices reducidas de { Pa } definidas por las relaciones anteriores . Debe notarse el hecho de que la matriz reducida de rigidez [kaa] sigue siendo simétrica. 3 . 1 3 . - MATRICES DE RIGIDEZ, DE FUERZAS TÉRMICAS Y DE FUERZAS EQUIVALENTES DE UNA VIGA EN COMPONENTES GLOBALES Sea ixyz el sistema de referencia local ligado a una viga ij y sean iX¡ Y¡Z ¡ , jXjYj Zj los sistemas de referencia globales correspondientes a los nudos extremos i, j de dicha viga (figura 3. 1 2) [ [ Fts 3, 1 2 Representando por [A¡] y [Aj] las matrices : c os(iX¡ , ix) cos(if¡ , ix) [AJ = cos(iX¡ , iy) cos(iX; , iz) )] cos(iZ¡ , ix cos(i Y¡ , iy ) cos(iZ¡ , iy) cos(iY¡ , iz) cos(iZ¡ , iz) )] c os( jXj , jx) cos( jlj , jx) cos( jZj , jx A j = cos( jXj , jy ) cos( jlj , jy ) cos( jZj , jy ) cos( jXj , jz) cos( jlj , jz) cos( jZj , jz) [ ] resultará: 3. 30 U¡ U¡ U3 U3 U2 U4 ["- ; ] [o] [o] [o] ["- ; ] [o] u6 = U5 U7 Ug U9 [o ] [o ] [o] [o] ["- 1 ] [o ] [o ] [o] [o] ["-j ] U4 Us u6 U1 Us U9 ul(\ u ;; U12 lu;; J l J Ur n U1 2 en donde U 1 , U2, U3 , U4 , U5, U6 son las componentes de la traslación y giro del nudo i según los ejes del sistema global correspondiente al nudo i y análogamente U7, U8, U9 , U 10, Un , U12 son las componentes de la traslación y giro del nudo j según los ejes del sistema de referencia global correspondiente al nudo j. Representando por [A] l a matriz de transformación anterior resultará: y análogamente: {s} = ["-l {s } De acuerdo con lo indicado en el capítulo anterior, las matrices de rigidez [K] , de fuerzas térmicas { S0 } y de fuerzas equivalentes { P } en componentes globales vendrán definidas por: I [K] = ["-] · [k ] - (A. ] {s0 } = [A.] · {So } {P } = ["-] · { P } I I 3 . 1 4. - MÉTODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS PARA EL CÁLCULO DE LAS ESTRUCTURAS RETICULARES CONTINUAS Teniendo en cuenta las relaciones específicas presentadas en este capítulo y las genéricas del capítulo anterior es posible resolver estáticamente cualquier estructura reticular continua plana o tridimensional mediante el método de los desplazamientos. 3.31 Como resumen y recordatorio de todo lo anterior a continuación se nr'"'.:�J'e,'n•�._._,. los pasos dicha resolución: 1. - Se descompone l a estructura en vigas rectas uniformes unidas en nudos cuyos corrimientos constituyen las incógnitas básicas del problema. 2.- Para cada una de las vigas se generan las matrices de rigidez, fuerzas térmicas y cargas equivalentes, todas ellas en componentes locales. 3 .- Para cada una de las vigas se eliminan, caso de existir, los grados de libertad liberados, obteniéndose las correspondientes matrices reducidas de rigidez, fuerzas térmicas y cargas equivalentes. 4. - Para cada una de las vigas se transforman las matrices de rigidez, fuerzas térmicas y cargas equivalentes para expresarlas mediante sus componentes globales. 5.- S e ensamblan las matrices d e rigidez, fuerzas térmicas y cargas equivalentes, mediante su ampliación y adición. 6.- Se eliminan los grados de libertad dependientes como consecuencia de las ligaduras multipunto o punto único que se imponen a la estructura. 7. - Si la estructura está libre en el espacio y se pretende incluir el alivio de inercia se eliminan los grados de libertad correspondientes a las ligaduras de apoyo, determinándose el campo de aceleraciones como sólido rígido y las correspondientes fuerzas de inercia. 8 .- Se resuelve el sistema lineal de ecuaciones que resulta en los grados de libertad independientes. 9.- Se recuperan los grados de libertad dependientes y las correspondientes fuerzas de ligadura. 1 O.- Se recuperan las acciones que actúan sobre cada una de las vigas. 3. 32 l .- Se divide el medio continuo en elementos (triángulos, cuadriláteros, tetraedros, hexaedros, etc.) 2. - Se supone que los elementos están unidos entre sí a través de los nudos, cuyos corrimientos constituyen las incógnitas del problema. 3 .- Se definen funciones que detenninan el campo de couimientos de cada elemento a partir de los corrimientos nodales. 4.- A partir del campo de corrimientos, de las deformaciones térmicas y de las propiedades elásticas del material se determina el campo de esfuerzos en cada elemento. 5 .- Considerando el campo de esfuerzos y las cargas directamente aplicadas al elemento se calculan las fuerzas nodales que equilibran el elemento. 6.- El resto del proceso es análogo al descrito en capítulos anteriores. Aunque se supone que los elementos están unidos únicamente a través de los nudos resulta intuitiva la conveniencia de que las funciones que determinan los campos de corrimientos de los elementos deben ser tales que los corrimientos sean continuos a través de los bordes de los elementos, ya que en caso contrario en la solución obtenida se generarían huecos en los bordes o bien un borde penetraría en el adyacente. El Método de los Elementos Finitos, tal como se ha formulado, es un método aproximado ya que: 1 .- No siempre será posible asegurar la continuidad de los corrimientos en los bordes del elemento. 2.- El equilibrio del elemento se verifica a nivel global, pero no se satisface localmente en el interior ni en los bordes del elemento. 4.2.- DESARROLLO MATEMÁTICO DEL MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS A continuación se formula con carácter general el desarrollo matemático del Método de los Elementos Finitos en medios continuos. En algunos momentos, y con objeto de describir el método con un mayor detalle, se planteará la aplicación.al caso de.. una membrana en estado de esfuerzos plano . 4.1 global constituyen las incógnita fundamentales del problema. Los corrimientos de cada nudo se engloban en un vector columna {a¡ } de manera que los corrimientos de un elemento quedan definidos por: {a¡ } se incluyen las componentes según los ejes de un sistema de referencia local ligado al elemento del corrimiento del nudo i. El tipo y número de componentes en {a; } dependerá del Normalmente en tipo de estructura. En el caso de una membrana en estado de esfuerzos plano será: (ver figura 4. 1 ) {a; }= {:; } En general, el campo de corrimientos en el elemento e quedará definido por la relación: {u(x, y, z)} = [N(x, y, z) ] · {ae }= J en donde = [[N¡ (x, y, z) ], [N j (x, y, z)], ] . . . · [N; (x, y, z)} [Nj (x, y, z) J son las denominadas matrices de forma que presentan las . . . propiedades siguientes: 1 .- {u(x, y, z) } es igual al número componentes en {a;}, {aj}, . , las matrices [ N¡ (x, y, z) ], [ Nj (x, y, z) J . serán cuadradas Como cada una de las componentes del vector columna {u(x,y;Z) } . dependerá .únicamente de . 2 .- de Como el número de componentes en el vector columna . . . los valores que dicha componente tiene en los nudos i, j , . . . se deduce que las matrices 3 .- [N; (x, y, z)], (Nj (x, y, z) J . . . serán diagonales . Como las funciones de interpolación deben ser tales que en los vértices el campo de corrimientos debe tomar los valores {a¡ }, {aj }. . . se deduce que: 4.2 , Y¡ , Z¡ ]= 4.- se deduce que: [ N; (x, y, z )] = N; (x, y, z) · [I ] en donde N¡ (x, y, z ) es la función escalar de forma. En la figura 4.2 se representa una de estas funciones escaiares de forma en ei caso de un eiemento triangular cuyos nudos coinciden con los vértices, suponiendo que se utilice una función de interpolación lineal. . d fi!J i/, :2 4 . 4 . - CAMPO DE DEFORMACIONES Las deformaciones se obtienen mediante determinadas derivadas parciales de las componentes del corrimiento y en general estas relaciones se escriben en la forma: {y } = [S] · {u} = [S] · [N] · {ae }= [B] · {ae } con [B] = [S]- [N] en donde [s] es una matriz operacional que incluye las derivaciones parciales adecuadas . ]. Teniendo en cuenta que [ N] = [[ N; ], [N J . . ] es normal definir [ B] mediante sus particiones, ya que: [ B] = [S ] - (N] = [(S] · [ N; ], ( S] · [ N J ]. ] = [[B; ], (BJ ]. . .] • • en donde: [B; ] = [S] · [N; ] En el caso de una membrana en estado de esfuerzos plano será: 4.3 a ax a {y } = Y .r.r = Y xy a- dya {:} dx f" ) por lo que: [S] = ldy; �dxj o o dy j ¡aN; l dx [B; ] = (s] - [N; ] = CldyN; dN; dN¡ dy dx r: l o º o Si existen deformaciones térmicas {r¡} las deformaciones mecánicas {c. } vendrán dadas por: {c. } = {y } - {r¡ } 4.5 .- CAMPO DE ESFUERZOS El campo de esfuerzos {cr } , que contendrá el Illlsmo número de elementos que el campo de } deformaciones {y , vendrá dado por: {cr } = (D] · {c. } = (D] - {y } - (D ) - {r¡ } en donde [ D] es la matriz de rigidez del material (ver apartado 1 .5) En el caso de una membrana en estado de esfuerzos plano será: (j - (j . - V . = __.:!:!_ E E (j ·""· (j f. -" = -V - � + -" E E O' xy 2 · ( 1 + v ) f. - =G = E (j f. XX X\' O' = _E_2 · (f. + V · f. - - ) )'\' • xx xx 1 -v rr cr -,.-,. = _E_ . (v . c. + c. - - ) 1 -v E 1 -v (j xy = 1 - V . -2- . f. xy 2 2 X\' y en consecuencia: V E · V [D] = 1 -v 2 o 4.4 o o o 1 -v -2 xx rr {W } . Sobre los Se supone que sobre el elemento actúan fuerzas volumétricas por unidad de volumen bordes del elemento que sean bordes libres de la estructura . pueden actuar .fuerzas superficiales por unidad de superficie {<!>} . Estas fuerzas superficiales no son las fuerzas ejercidas por los elementos adyacentes. Se trata de calcular el conjunto de fuerzas nodales, agrupadas en el vector columna {s } que permite el equilibrio del elemento. Se aplica el pnnc1p10 de los desplazamientos virtuales . en correspondencia desplazamiento virtual arbitrario d El campo de corrimientos con un {&z e } . virtuales en el elemento será: mientras que el campo de deformaciones virtuales cinemáticamente consistente con {&z e } será: De acuerdo con el principio de los desplazamientos virtuales resultará: 1 1 {&ze } · {s } + fv {8u } {W } · dV + fs {8u } {<!>} · dS = fv {8y }1 {cr } · dV Sustituyendo los valores de ' • • • {8u }, {8y }, {cr } quedará: ' ' ' {& e } · [ {s } + fv [N] · {W} · dV + f5 [N] · {} · dS - fv [B] · [D] · [B] · dV · {ae } + 1 +fv [B] · [D] · {rt} · dV] = O Como la expresión anterior debe verificarse cualquiera que sea el valor del desplazamiento virtual {&z e } que se considere, deberá ser: Al comparar este resultado con la relación general formulada anteriormente 4.5 se deduce : I · dV Matriz de rigidez del elemento: [k ] = fv [B ] · [D ] · Fuerzas térmicas : {s0 } = -fv (B ] · [D] · {11 } · dV Fuerzas equivalentes a I {W}, { } : I I {p } = fv [ N ] · {W} · dV + fs [ N ] · {<l>} · dS 4 . 7 . - RESTO DEL PROCESO Una vez calculadas la matriz de rigidez del elemento y los vectores de fuerzas térmicas y fuerzas equivalentes en el elemento, el resto del proceso es análogo al descrito en capítulos anteriores. Este proceso incluye la generación de matrices de transformación de componentes locales a globales, la expresión de las matrices del elemento en componentes globales, el ensamblaje de las matrices de rigidez, fuerzas térmicas y equivalentes, la eliminación de los grados de libertad dependientes como consecuencia de las diferentes ligaduras y la resolución final del sistema de ecuaciones algebraicas. 4 . 8 .- RECUPERACI ÓN DE ESFUERZOS Una vez resuelto el sistema lineal de ecuaciones algebraicas y obtenidos los corrimientos de los nudos de la estructura, se puede recuperar el campo de esfuerzos en cada elemento mediante la relación : 4 . 9 . - CORRIMIENTOS, DEFORMACIONES Y ESFUERZOS GENERALIZADOS Hasta aquí se ha supuesto que los corrimientos, deformaciones y esfuerzos son los que normalmente se defmen y utilizan en la Teoría de la Elasticidad. Sin embargo es posible pensar que estas magnitudes se defmen con una mayor generalidad. Así por ejemplo en el análisis de placas es normal definir un giro como componente de corrimiento, asociándose la deformación con una curvatura y el esfuerzo con un momento flector. En casos como éste, se dice que los corrimientos, deformaciones y esfuerzos son generalizados . En todo caso, cuando el corrimiento no sea una componente traslacional, a dicho 4.6 4. 1 0.- ECUACIONES DE EQUILIB RIO DE LA ESTRUCTURA COMPLETA En el apartado 2 . 8 se describió el proceso para plantear las ecuaciones de equilibrio de los nudos de la estructura, y en un determinado momento, se estableció, sin analizarlo en detalle ya que parecía una cuestión obvia, que ia integral extendida a todo el volumen de la estructura era igual a la suma de las integrales extendidas a los volúmenes de los elementos en que se supone dividido el volumen total. La afirmación anterior puede ser falsa en el caso en que en los contornos de los elementos, que definen un volumen total nulo, la función integrando sea infinita, de manera que el producto de la función integrando por el volumen de lugar a un valor finito. Supóngase, por ejemplo, que se trata de calcular la integral extendida a un rectángulo de base 2·a y altura b , que se supone dividido en dos rectángulos iguales de base a y altura b , en los que se define un campo de corrimientos: I� en x < 0 en x > O En el caso en que la integral se calculara en cada uno de los rectángulos y luego se sumaran las contribuciones f 11!&: l ..,.1.. > ! 1 de éstos, se obtendría resultado nulo, ya que en cada uno de los rectángulos es yx =O. En el caso en que la integral se extendiera a todo el rectángulo se definiría un campo de corrimientos: U x = U¡ en x < -E � -(1 <) u, = u, + Ux = U¡ + d un en - E < X < E en x > E 4.7 Se la deducida de este 4 .5 ) y campo de luego se c�et:errr:1r13u......... . el límite de la integral cuando E tiende a cero . Procediendo de esta manera se obtendría como resultado: [im __!:__ · 2 · E · b = d b t= Ü x�O 2·E · Se observa que el proceso descrito en el apartado 2. 8 es válido si el campo de corrimientos definido es continuo a través de los bordes de los elementos. 4. 1 1 .- CRITERIOS DE CONVERGENCIA Como se ha indicado anteriormente el Método de los Elementos Finitos es un método aproximado que en determinadas condiciones converge hacia la solución exacta cuando el tamaño de los elementos tiende a cero. Se formulan, sin entrar en su demostración que puede encontrarse en textos que contemplan el Método de los Elementos Finitos desde un punto de vista puramente matemático, tres criterios de convergencia. 1 .- Las funciones de corrimiento deben ser tales que a corrimientos nodales asociados a movimientos arbitrarios como sólido rígido del elemento correspondan campos de deformaciones nulos. 2.- Las funciones de corrimiento deben ser tales que a corrimientos nodales compatibles con un estado de deformación contante del elemento correspondan campos de deformaciones constantes 3 .- Las funciones de corrimiento deben ser tales que las deformaciones en los contornos de los elementos deben ser finitas . 4.8 5 . 1 .- INTRODUCCI ÓN El análisis de cuerpos en estado de esfuerzos plano y en estado de deformación plana presentan un desarroilo práciicamente común con ligeras diferencias que aÍectan a la matriz [ D] de rigidez dei material y a las deformaciones térmicas {T\ } . 5 .2. - CAMPO DE CORRIMIENTOS Se considera un elemento triangular definido por sus vértices (nudos del elemento) i, j, m, orientados de tal manera que el producto vectorial ij /\ im tenga el sentido positivo del 1 1 1 �" 1 17 " 1 eje Oz. En los estados de esfuerzos plano o de deformación plana son representativas las componentes corrimiento. Los corrimientos de un nudo arbitrario i del elemento vienen dados por: mientras que los corrimientos del elemento quedan definidos por: Se define un campo de corrimientos lineal, es decir: u = a1 + a2 · x +a3 · y v =a4 +a5 · x +a6 · y 5.1 únicamente u, v del Si se de tres constantes a1 ,a2 ,a3 = a 1 + a 2 · x; + a 3 · Y; u j = a 1 + a 2 · xj + a 3 · yj um = a 1 + a 2 · xm + a 3 · ym u; Si el orden de los nudos i, j , m es el definido anteriormente, es fácil comprobar que : X¡ Y; X¡ Y; x j Yj = 0 Xj - X ¡ Yj - y¡ = 2 . Li x m Y m o X m - X¡ Y m - y¡ en donde Li representa el área del triángulo i, j , m. Definiendo los coeficientes : b¡ = y j - y m bj = Y m - Y; b m = Y ; - yj e s fácil comprobar que: [: Puede observarse que a partir de los coeficientes permutación cíclica i, j, m. Los coeficientes ai ' h¡ , e¡ es posible obtener los restantes mediante la a 1 , a 2 , a 3 que definen la función lineal u(x,y) serán entonces : La componente v del corrimiento se determinará de forma semejante, resultando finalmente: u(x, y) = / ,!; · [(a ; + b; · x + c ; · y ) · u ; + (aj + bj · x + cj · y) · uj + (a m + bm · x + c m · y ) · u m ] v(x, y) = / ,!; · [(a ; + b; · x + c; · y) · v ; + (a j + bj · x + cj · y) · v j + (a m + bm · x + cm · y) · v m ] Cuando se compara este resultado con la expresión general: 5.2 se deduce: 1 · (a. +b. · + c . y) N. ( x y) = x 2 . .6. 1 . . N . ( x y) = -2 · .6. · (a + b . · x + c · y) Nm ( x, y) = -i- · (a m + bm · x + c m · y) 2 . .6. 1 1 ' J ' 1 1 J · · 1 J J 5 .3 .- CAMPO DE DEFORMACIONES {y } queda definido por: {y } = [ S] · {u} = [ S] . [ N] . {a e } = [ B] . {a e } El campo de deformaciones totales En los casos de estado de esfuerzos plano o estado de deformación plana las componentes de deformación representativas son y y y xx , YY , {y } = xy y en consecuencia: [� i a dx o = o a · ay Y : -a a : dy dx {} xy por lo que: a dx [S] = o a dy Las particiones [BJ [Bj } [Bm ] de [ B] serán: a dx [B¡ ] = [ S] (N¡ ] = · o a dy a dx dN¡ dx o o [ b �i 1- · ¿ =i} 2 . .6. [:; C¡ b¡ aN¡ aN¡ a a dy o dN¡ ay ax dy dx o a y análogamente: 5.3 dy 2 . /1 . [bm cm o Puede comprobarse que el campo de deformaciones es constante en el elemento como podía adelantarse como consecuencia de ser lineal el campo de corrimientos. En el caso de un estado de esfuerzos plano, y suponiendo un material isótropo, las deformaciones térmicas serán: ll xx = ll YY = a . 11T ll X)' =o En el caso de un estado de deformación plana, y suponiendo un material isótropo, las deformaciones térmicas serán diferentes debido a la aparición de esfuerzos a zz para anular la deformación total y zz En ausencia de esfuerzos a xx , a YY , a X)' se tendrá: Y XX y YY Y zz • a zz = V · E + a · 11T - (J + a · T = -v · E Ll. ZZ A (J + a · 11T = O = _E_ E de donde se deduce: = - E · a · 11T y = (1 + v ) · a · 11T y = (1 +V ) · a · 11T a zz xx yy por lo que las deformaciones originadas por efectos térmicos serán en este caso: ll xx = ll = (1 + v ) · a 11T YY Y\ X)' · =o " En el caso de materiales ortotrópicos existen unos ejes de ortrotopía x " , y en los que una variación de temperatura 11T provoca deformaciones térmicas diferentes: , , = a , 11T n '1 XX X · siendo nula en dichos ejes la distorsión angular r¡ x'y' r¡ /.r' = a · 11T .r' Estas componentes deberán ser transformadas para determinar las componentes r¡ xx , r¡ YY , r¡ xy en los ejes en que se realiza el análisis. La transformación de las componentes de deformación puede realizarse a partir de la transformación de componentes de un tensor, o mediante el proceso que se describe a continuación, más laborioso, pero que no requiere el conocimiento del cálculo tensorial. 5.4 Y y'_r' , Y x\' de la deformación en unos ejes x ', y ' y se pretende calcular las Y ' ' xx , componentes en otros ejes x, y que forman con los primeros un ángulo a tal como se muestra en la figura 5 .2 x' Con obj eto de simplificar las expresiones se definen: C = co s a S = sen a resultando: s. v ' u = e . u' + x' = C · x - S · y y' = S · X + C · y v = -S · u ' + C · v ' Las derivadas con respecto a x e y de una función arbitraria f(x '",y '") serán: a¡ = a¡ . ax' + a¡ . ay' = e a¡ + s a¡ dx dx' dx dy' dx dx' dy' a¡ a¡ · ax' + a¡ · a¡ = ay ' = - S · a¡ + C · dy' dy dx' dx' dy dy dy' . . - y e n consecuencia las componentes d e l a deformación e n ejes x, y resultarán: y XX = 2 2 d (C · u ' + S · v') d (C · u ' + S · v') du +S· = C· = e · y x'x' + S · y y'y ' + S · C · y x 'y' dx ' dy ' dx dv 2 2 d (-S · u ' + C · v') d (-S · u ' + C · v') + C· = S · Y X X + C ·y ) ) - S · C · y X ) ' dX dy d (-S · u ' + C · v') d (C · u ' + S · v ') d (C . u ' + S · v') d (-S · u ' + C . v') du dv = +C· +S· Y = - + - = -S · + C. X)' dy dx dx ' dy ' dx ' dy ' y ) ) = - = -S · ' ' dy = t t o lo que es lo mismo : I I ( 2 ¡ ) [ 522 e.y XX + . -2 . s . 2 s . e . y ) ') + e - y XX y \')' y ' ' I s2 ).y xy -2 . s. ' �: C = I X _\' e 2. s. I I I ' I I I l ¡ y ) s c� � �2 � :: : S· C e ' ' ' xx • : 5 .4 . - RELACIONES ESFUERZOS - DEFORMACIONES MEC ÁNICAS EN EL CASO DE ESTADO DE ESFUERZOS PLANO En un estado de esfuerzos plano es: 5.5 zz = cr zx zy = (j \'\' (j - V · E xx = � E E· -· (j )'\' (j + -·E yy = -V · � E E2 · (1 + v ) E xy = E . (j xy Despejando las componentes de esfuerzos cr xx , cr cr xy se obtendrá: E (j xx = l - V 2 · (E xx + V · E yy ) · v · e "' + e n· ) a ,.,. = -� l 2 ( E 1 -v (j xy = 1 -V 2 . -2- . E xy La matriz de rigidez del material [ D ] será en consecuencia: YY , V [D] = E 2 · V 1 -v o - o :l v jl ; 5 . 5 .- RELACIONES ESFUERZOS - DEFORMACIONES EN EL CASO DE ESTADO DE DEFORMACIÓ N PLANA En un estado de deformación plana es: E zz = cr = O' zy = 0 zx siendo en este caso las deformaciones mecánicas : (j \ \ '· ' - V � (j -V · -·. (jE f, xx = � E E \'\' (j (j + -·(j -V .� E yy = -V · � E E E 2 · (1 + v ) f, xy = E · (j xy (j ·\'·\' + -R. (j - V · (j = 0 E zz = -V · � E E E Despejando de la última relación la componente cr zz y sustituyendo este valor en las relaciones restantes resulta: 5.6 = v (cr xx + cr -"-" ) 2 v · (l +v ) 1 v -E xx = E · () xx - E · () .n. 1 -V 2 · V · (1 + V ) + E yy = E · cr xx -E- CT YY 2 · (1 + v ) E n' = l!,' () cr zz ··.1 Despejando ahora cr xx , cr YY · - · Y\' ··.1 de las relaciones: E · f. (1 - v ) · cr XX - v cr ' = -l + v XX E f. -v · cr xx + (1 - v ) · cr - = -1 +v · · ) )' . . ,) r)· · resulta: [(1 - v ) 2 - V ' la = 1 :V . [(1 - V ) . E + V . E yy ] [(1 - v ) 2 - v 2 ] · = 1 :v · [v · E xx + (1 - v ) · ] ll ll cr YY f. YY es decir: y como por otra parte: E CT = 2 . (1 +V ) · E X)' X)' resultará una matriz de rigidez del material [ D] : [D] = E · (1 - v ) (1 - 2 · V) - (1 + V ) V 1 -v o 5.7 V 1 -v o o o 1 - 2 ·V 2 (1 - v) · [ k] , así como los vectores columna de fuerzas térmicas {s0 } y de La matriz de rigidez equivalentes {p} vienen definidas por: ' ' [k] = fv [B] · [D] · [B] · dV , {s 0 } - fv [ B] · [ D] · {T\ } · dV ' {p} f [ N] ' . {W} . dV + f [ N] . {el> } . dS = = s V Teniendo en cuenta las particiones de las matrices [ N], [ B] se puede conseguir una cierta simplificación [ k ] ¡¡ de [k] asociadas a los nudos arbitrarios i, j y los subvectores evaluando las submatrices {s 0 } ¡ , {p}; de los vectores {s0 }, {p} asociados al nudo arbitrario i . Resulta d e esta manera: {s0 } ¡ La función integrando = - I fA B; ] {D] · {ri } · dV ' ' {p } ; = fv [N; ] · {W} · dV + JAN; ] · {cI> } · dS ' [B¡ ] · [ D] · [Bj ] de la integral que define [k ]¡¡ es constante y en consecuencia: I [k ]¡¡ � . t . [B ] [D] . [B j ] = La función integrando i • ' [B; ] [D] · {T\ } de la integral que define {s0 } puede ser función de la posición si · {ri} es variable y en este caso en lugar de calcular la integral exacta es normal considerar un valor constante de {ri} que es el correspondiente al centro de gravedad del triángulo, siendo entonces : {so }; = - Las funciones integrando que aparecen en � · t · [ B; ] ' · [D] {ri } - a {p¡ } son siempre funciones de la posición ya que aunque {W }, {ct>} sean constantes, los elementos de [ N; ] son funciones lineales de x e y . Teniendo en cuenta que y aproximando la integral, considerando un valor constante para la función integrando que es el correspondiente al centro de gravedad del triángulo, resultará: 5.8 } = Li · t · N¡ (Xc , Ya ) - + · · N¡ , yA ) · = "3l · Li · t · {Wc } + L t · N¡ (x A , y A ) · {<!> A } } · en donde el punto A y la longitud L representan el punto medio del borde sobre el que actúa la carga {el>} y la longitud de ese borde. Se ha tenido en cuenta además que: 5 . 7 . - RECUPERACI ÓN DE ESFUERZOS Una vez resuelto el problema estructural y obtenidos los corrimientos de todos los nudos de la estructura, se pueden recuperar los esfuerzos en los elementos mediante la relación : Si {11 } es constante, el campo de esfuerzos obtenido es también constante en todo el triángulo. A la hora de interpretar este campo de esfuerzos, que evidentemente presenta discontinuidades en los bordes de los elementos, se suele considerar una variación continua que pasa por los puntos que resultan al asignar al centro de gravedad del triángulo el valor constante que corresponde al elemento. Otra aproximación posible consiste en asignar a cada nudo de la estructura el valor medio de los esfuerzos constantes que corresponden a los elementos que comparten dicho nudo. 5 . 8 . - PROCESO DE OTROS TIPOS DE ELEMENTOS No es posible definir campos de corrimientos lineales en elementos cuadriláteros ya que dichos campos quedarían definidos por tres constantes y deberían cumplir cuatro condiciones para asegurar que el campo toma en los cuatro vértices del cuadrilátero los . l. valores que le corresponden. d Es posible utilizar elementos cuadriláteros, que se procesan mediante la unión de las matrices que resultan en los triángulos en que se divide el cuadrilátero mediante una de sus diagonales. 5.9 Como existen dos cuadrilátero se obtienen a que dos de de los valores medios de las opc10nes. 5. 10 las matrices finales del a dichas 6. 1 .- INTRODUCCI ÓN El análisis de los cuerpos de revolución baj o solicitaciones axilsimétricas es en muchos aspectos similar al análisis de los cuerpos en estado de esfuerzos plano o de deformación plana, ya que debido a la axilsimetría basta considenrr el comportamiento de una sección diarnetral y en consecuencia tan sólo se requiere un análisis bidimensional. También en este caso las únicas componentes representativas del campo de corrimientos son u (corrimiento radial) y v (corrimiento paralelo al eje del cuerpo). Una sección diametral del cuerpo se divide en elementos, siendo nuevamente el triángulo el elemento más sencillo que puede considerarse. En el caso de cuerpos de revolución el volumen asociado a cada elemento es el de un anillo de revolución cuya sección transversal es el triángulo en cuestión. La diferencia más importante en el análisis de los cuerpos de revolución con respecto al análisis de cuerpos en estado de esfuerzos plano o en estado de deformación plana estriba en los términos que ' deben ser considerados en la función integrando {cr } · {&y } que resulta al aplicar las condiciones de equilibrio del elemento. En efecto, en el capítulo anterior el término cr zz · &y zz era nulo ya que se anulaba siempre uno de ambos factores ( cr zz en el estado de esfuerzos plano o &y zz en el estado de deformación plana). En el caso de cuerpos de revolución bajo solicitación axilsimétrica el corrimiento radial u provocará una deformación circunferencial y 00 que a su vez dará lugar a la aparición de ' esfuerzos circunferenciales cr 00 por lo que en la función integrando {cr } · {8y } intervendrán no sólo los términos asociados a las componentes situadas en el plano meridional sino también el término <J ee · &y ee · 6.2.- CAMPO DE CORRIMIENTOS En el plano meridional se definen unos ejes r, z (r en dirección radial y z coincidiendo con el eje de revolución). Considerando en dicho plano un elemento triangular cuyos vértices i, j , m se ordenan en 6. 1 sentido contrario a las del los corrimientos de dicho elemento se agrupan en el vector columna: en donde el vector columna de corrimientos de i un nudo arbitrario i viene definido por sus componentes radial u ; y axial v; . {} {a ; } = :; Si se eligen funciones de interpolación lineales para los campos de corrimiento u y v se obtendrán los mismos resultados que se obtuvieron en el capítulo precedente y en consecuencia en la relación: las funciones escalares de forma N; , Nj , Nm serán: N. = -.1- · (a. + b. · r + c . · z) 2 Ll N . = -1- · (a . + b . · r + · z) 2 · Ll Nm = 1 ¿l · (a m + bm · r + c m · z) 2. 1 1 } } 1 1 } e . } - en donde Ll representa el área del triángulo ijm y los coeficientes a, b, c vienen definidos por: b¡ = Z j - Z m bj = z m - Z; bm = z ; - z j 6 . 3 .- CAMPO DE DEFORMACIONES En un cuerpo de revolución bajo solicitación axilsimétrica dos de las seis componentes del tensor simétrico de deformaciones en coordenadas cilíndricas son nulas y las cuatroxestantes vie11en dadas por: 6.2 Y rr dr u r au av y =-+ az ar Yee = por lo que la matriz operacional rz [ S] vendrá definida por: a o ar a o az [S] = o r a a az ar Como siempre, el campo de deformaciones {y } , que en este caso se compone de cuatro elementos, viene definido por: en donde la submatriz [B; ] de [ B] asociada a los corrimientos de un nudo arbitrario i del elemento, viene dada por: a ar (B; ] = [ S] · (N; ] = o o a az o r a a az ar aN; ar o ·[: �, ] = N;r o aN; 1 · az = -o aN; aN; az ar 2·A b¡ o o C¡ C¡ · Z G¡ -r + b¡ + -r C¡ o b¡ Puede observarse que en este caso, debido a la inclusión de la componente de deformación matriz y 0 0 , la [ B] ya no es constante en todos los casos y que en general es una función de r y z. Por su parte, en un cuerpo de revolución, y suponiendo un material isótropo, las deformaciones térmicas serán: a · l1T a · l1T {ri } = a · l1T o 6.3 La matriz [ D] de del material que relaciona deformaciones mecánicas {E } con los esfuerzos {cr } es en este caso una simplificación de la matriz en estado de esfuerzos tridimensional ya que tan sólo una comp0nente de esfuerzo cortante es distinta de cero (ver apartado 1 . 5) En el caso de un material isótropo será: [ D] = E · (I - v ) (1 + V ) · (1 - 2 · V ) V 1 -v V 1 -v V 1 -v o V 1 -v o V 1 -v V 1 -v o o o o 1 -2 ·v 2 · (1 - v ) 6 . 5 . - MATRIZ DE RIGIDEZ La matriz de rigidez del elemento triangular viene dado por la relación general : ' [ k] = fv [B] · [D] · [B] · dV Teniendo en cuenta que el volumen asociado al elemento es el del anillo de revolución cuya sección diametral es el triángulo que se considera, resultará para la submatriz [ k ] ¡¡ asociada a los nudos arbitrarios i, j el valor: ' [k] ¡¡ = 2 · n · fAB¡ ] · [D] · [Bj ] - r · dr · dz en donde la integral viene extendida ahora al área del triángulo. La función integrando es en este caso función de la posición debido no sólo a que algunos elementos de las matrices [ B¡ ] y [Bj ] dependen de r y de z, sino también a la existencia explícita de la variable r en la función integrando. La integración analítica, aunque posible, es complicada y frecuentemente es sustituida por una integración numérica .. La aproximación más sencilla consiste en considerar para la función integrando un valor constante jgual : al qae dicha función tiene en el centro de gravedad del triángulo, resultando en este caso: en donde: 6.4 1 Zc = 3 . 3 son las coordenadas del centro de gravedad del triángulo . Puede verificarse que esta aproximación tan simple coincide con la obtenida mediante una integración de Gauss de primer orden, y se demuestra que este esquema de integración es suficiente para asegurar la convergencia del proceso cuando el tamaño de los elementos tiende a cero. Es importante señalar que en el caso de cuerpos de revolución bajo solicitaciones axilsimétricas, las {s}, {s0 }, {p} en la relación : componentes de los vectores columna {s} = [ K] · {ae } + {s0 } - {p} son las fuerzas totales (en dirección radial y axial) que actúan sobre las circunferencias completas que pasan por los nudos i, j , m del triángulo. 6.6.- FUERZAS TÉRMICAS Y EQUIVALENTES Las submatrices de fuerzas térmicas {s 0 } y equivalentes {p} asociadas al nudo arbitrario del elemento vienen expresadas por las relaciones: ' ' {s0 } ; = -fv [B; ] · [ D] · {11 } · dV = -2 · 7t · fs [B; ] · [ D] · {11} · r · dr · dz ' ' ' ' {p}; = fv [N; ] · {W } · dV + fs [N; ] · {cI> } · dS = 2 · n · fAN; ] · {W} · r · dr · dz + 2 · rc · fJN; ] · {<l> } · r · dl Teniendo en cuenta que [N; ] = N; [ l] y que N; Cra , Za ) = 1 / 3 y utilizando para integrar una · simplificación análoga a la descrita en el apartado anterior resultará: ' {s0 } ¡ = -2 · 7t · re · � · [B; ( rc , Za ) ] · [D] · {rt a } {p} ; = 32 · 7t · r · � · { W } + 2 · 7t · r L · N; ( r , z ) · { cI> } G A G · A A A en donde el punto A y la longitud L que aparecen en la segunda expresión representan el punto medio del borde sobre el que actúa la carga {} y la longitud de dicho borde. 6.5 estructural y obtenidos los corrimientos de todos los nudos de la Una vez resuelto el estructura, se pueden recuperar los esfuerzos en los elementos mediante la relación : {cr } = [ D] · [ BJ {ae } - [ D] {n} · · E n general este campo de esfuerzos depende de l a posición y normalmente los resultados finales se interpretan a partir únicamente de los valores del campo en algunos puntos representativos como son el centro de gravedad del triángulo o sus vértices : {<J } = [ D] [B( r Z ) l {a e } - [ D] · {rl } {cr ¡ } = [ D] [ B( r¡ , Z ¡ )] {ae } - [ D] · {11 ¡ } G · · G, G G · utilizando técnicas de suavizado como las descritas en el capítulo anterior. 6 . 8.- PROCESO DE OTROS TIPOS DE ELEMENTOS Nuevamente en este caso no es posible definir f ,,, ,... campos de corrimientos lineales en elementos / / / ..... / / "',... ,... ' cuadriláteros ,,, ' ya que dichos campos quedarían definidos por tres constantes y ' ' deberían cumplir cuatro condiciones para ' asegurar que el campo toma en los cuatro vértices del cuadrilátero los valores que le corresponden. Es posible utilizar elementos cuadriláteros, que se procesan mediante la unión de las matrices que resultan en los triángulos en que se divide el cuadrilátero mediante una de sus diagonales . Como existen dos diagonales que proporcionan dos opciones de división, las matrices finales del cuadrilátero se obtienen a partir de los valores medios de las matrices correspondientes a dichas opciones. 6.6 7 . l .- INTRODUCCI ÓN Es evidente que en el análisis de cuerpos en estado de deformación plana y en el de cuerpos de revolución bajo solicitaciones axilsimétricas se manejan cuerpos tridimensionales y desde este punto de vista podrían quedar englobados dichos problemas en este capítulo. Ahora bien, en estos casos la forma del cuerpo y la solicitación son tales que el comportamiento estructural queda definido a partir de un análisis bidimensional en el que la sección plana representativa se divide en triángulos o cuadriláteros. Existen otras muchas situaciones en las que el cuerpo no es un prisma de gran longitud, ni un cuerpo de revolución o incluso teniendo estas formas están sometidos a solicitaciones arbitrarias que exigen un análisis tridimensional. Así como en los análisis bidimensionales de los capítulos anteriores se elegía el triángulo como elemento más simple, en el análisis tridimensional se elige el tetraedro, siendo el hexaedro el elemento equivalente al cuadrilátero en el análisis bidimensional. En el análisis de cuerpos tridimensionales, la descomposición del volumen en elementos y su visualización, especialmente si son tetraedros, es posiblemente la faceta más complej a, por lo que en este tipo de análisis es mucho más importante disponer de herramientas que realicen automáticamente las operaciones de mallado y numeración de nudos y elementos . Otro aspecto destacado del análisis de cuerpos tridimensionales e s el crecimiento importante del número de grados de libertad que conlleva un incremento muy significativo en los recursos del ordenador y en los tiempos de cálculo. 7.2.- CAMPO DE CORRIMIENTOS Se considera un tetraedro i, j , m, p en el que la ordenación de sus vértices se realiza de forma que el producto mixto: 7. 1 sea Teniendo en cuenta que el volumen del tetraedro es a un tercio del producto del área de la base por la es fácil comprobar que el producto mixto anterior .. '""-""'..,.........,,.... es igual a seis veces el volumen del tetraedro. J 1 ..... ,..... _ . ,.... r. 'l"'\ " t"" C! l 11 CI t- aco • pvJ. .::i u .::i u 1,,; .::i 1,;v111p vuc;utc;;-, , !: J ..._� __ �� {a , } = El corrimiento de cada nudo quedará definido y los corrimientos del elemento englobarán los corrimientos de sus cuatro nudos. Para cada una de las componentes u, v, w del campo de corrimientos en el dominio definido por el volumen del tetraedro se elegirá una función de interpolación lineal en x, y, z, de manera que por ejemplo la componente u quedará definida por: Al imponer a esta función las condiciones de que en los nudós i, j, m, p tome los valores u¡ , uj , um , up resultará: U¡ uj um uP 1 1 X¡ xj xm xP Y; Yj Ym Yp Z¡ zj zm Zp ª1 ª2 ª3 CX 4 , 4 que definen la función lineal vendrán dados por: a j a m a p U¡ CX ¡ ª; b¡ bj bm bp u j ª2 = C¡ cj c m c P u m CX 3 6·V d ¡ dj dm d p u P CX 4 en donde V representa el volumen del tetraedro y los coeficientes a¡ , h; , e¡ , d¡ vienen definidos por: por lo que los coeficientes a 1 , a 2 , a 3 a 7.2 zj a . = xm Ym Z m x P Yp Z p xj zj c. = - x Zm m xP Zp zj Ym Z m Yp Z p b¡ 1 d¡ 1 =- xj Yj x m Ym xP Yp 1 1 obteniéndose el resto de las constantes a, b, c, d mediante permutación cíclica de los subíndices i, j , m, p. El campo de corrimientos vendrá definido por la relación general: en donde una función de forma escalar arbitraria N; (x, y, z) = N; (x, y, z) viene expresada por: 1 · (a; + b · x + e · y + · z) d; ; ; 6·V -- Es inmediato comprobar que el campo de corrimientos definido satisface las condiciones de continuidad en las superficies que delimitan el tetraedro. 7.3.- CAMPO DE DEFORMACIONES En el análisis de cuerpos tridimensionales el campo de deformaciones debe contener las seis componentes distintas del tensor simétrico de deformaciones y en consecuencia la matriz operacional [ S] que aplicada al campo de corrimientos proporciona el campo de deformaciones será en este caso: [S] En estas condiciones la submatriz = a o dx o a dy o o a a dy dx o a dz a o dz - o o a dz o a dy a dx [ B; ] asociada al nudo arbitrario i del tetraedro será: 7.3 [ B¡ ] [ S] · (N¡ ] = = o o o dN; o dy o o dN; az dN¡ dN¡ o ()y ax o dN¡ aN¡ az ay dN; o ax ; ª� l b¡ o 1 · o 6 · V C¡ o d¡ = -- o C¡ o b¡ d¡ o o o d¡ o C¡ b¡ J También en esta ocasión, como consecuencia de un campo de corrimientos lineal, se deduce un campo de deformaciones constante. Si el material es isótropo el campo de deformaciones térmicas será: {ri } = a · fiT a · fiT a · fiT o o o 7 .4.- CAMPO DE ESFUERZOS [ D] de rigidez del material es la que corresponde a un estado de esfuerzos tridimensional (ver apartado 1 .5 ) V V o o o 1 -v 1 -v V V o o o 1 -v 1 -v V V o o o E · (l -v ) 1 -v 1 v [D] = 1 - 2 ·V (1 + V ) · (1 - 2 · V ) o o o o o 2 · (1 - v ) 1 -2 · V o o o o o 2 · (1 - v ) 1 -2 ·V o o o o o 2 · (1 - v ) Suponiendo un material isótropo, la matriz 7 .4 La matriz de rigidez [ k] del tetraedro no presenta ninguna dificultad ya que en la integración la función integrando es constante. La submatriz [ k Ju· de la matriz [ k] asociada a los nudos arbitrarios i, j del tetraedro será en consecuencia: [ k] u = V · [B¡ ] · [ D] · (Bj ] / ,.. 1; ,<. " 1; 1,... térrn.icas nucde SUCPde..1 aue En el caso del vector colmm1a de fuerz�s v1....1 ..... pve1 {,,.... ,. 1 �f'a h1u'...11f''1°v..<.....11 fip. 1 n..... ""'"" -1 r � u� - �� an \,...I J cuyo caso se realiza una integración simplificada consistente en suponer constante la función integrando igual al valor que toma en el centro de gravedad G del tetraedro. Procediendo de esta manera se obtiene para el subvector {s0 } ¡ asociado al nudo arbitrario i el valor: ' {s0 } ¡ = - V · [B¡ ] · [ D] · {r1 a } Finalmente, en el caso del vector columna de cargas equivalentes las funciones integrando son funciones } sean constantes, debido a que las matrices de la posición aún en el caso en que los vectores {W}, { [N¡ ] no son constantes. Procediendo de la manera descrita en el párrafo anterior se obtendrá para el sub vector {p} ¡ asociado al nudo arbitrario i el valor: 1 1 {P}; = V · [N; ( xa , Ya , Za )] · {W(xa , Ya , z a )} + S · [N; ( xA , y A , z A ) ] · {(xA , y A , z A )} = = ± . V . { w(xa , yG , Za )} + s . N¡ (x A , y A ' Z A ) . { (x A , Y,,p Z A ) } en donde S y A representan respectivamente el área de la cara en la que actúa la carga superficial {} y el centro de gravedad de dicha cara. También se ha tenido en cuenta que el valor de cualquier función de forma escalar N¡ (x , y, z) en el centro de gravedad del tetraedro es 1 /4. 7 .6.- RECUPERACIÓN DE ESFUERZOS Una vez resuelto el problema estructural y obtenidos los corrimientos de todos los nudos de la estructura, se pueden recuperar los esfuerzos en los elementos mediante la relación : {cr } = [ D] [ B] · {a e } - [ D] · {11} · Si {11 } es constante, el campo de esfuerzos obtenido es también constante en todo el tetraedro. 7.5 el proceso de visualizar y analizar Como estado de esfuerzos l"rr"ll r h rw-•0"' " ' "'"" " 1 en un volumen r1"''"'"'.-n �"" ""' " t" en irAr1'""""r11r•"'" es altamente co1mi::1 1e10 aún en el caso de 01soo1ner de herramientas nn;tt:»n tA C para el tratamiento de gráficos en color. A esta dificultad se une el problema de interpretación adecuada de los resultados obtenidos ya que en caso del campo de esfuerzos consistirá en un conjunto de valores constantes diferentes en cada uno de los tetraedros , que claramente producen discontinuidades de dicho campo en las caras de los tetraedros . Como normalmente en las soluciones exactas e l campo de esfuerzos varía en e l dominio de una forma continua resulta conveniente suavizar de alguna manera la solución obtenida para convertirla en un campo continuo. El método más apropiado para conseguir este suavizado consiste en : 1 .- Evaluar para cada elemento el campo de esfuerzos en los nudos del elemento. 2.- Asignar a cada nudo de la estructura un estado de esfuerzos que sea el valor medio de los que le corresponden como perteneciente a los elementos que comparten dicho nudo. 3 .- Utilizando las funciones de forma definir en cada elemento un campo de esfuerzos a partir de los valores de dicho campo en los nudos del elemento. De esta manera se define un campo de esfuerzos continuo, obteniéndose adicionalmente una estimación del error cometido en el método a partir de la diferencia entre el valor del estado de esfuerzos asignado a un nudo y los diferentes valores utilizados para deducir la media. 7.7.- PROCESO DE ELEMENTOS HEXAÉDRICOS Es más fácil visualizar la descomposición de un cuerpo tridimensional en elementos hexaédricos que en elementos tetraédricos . Sin embargo no es posible generalizar el proceso descrito para un tetraedro a un elemento de seis caras y ocho nudos ya que las funciones lineales definidas en dichos dominios requieren cuatro constante y deben satisfacer ocho condiciones que son las que establecen que las funciones tomen en los vértices los valores que corresponden. Una posible forma de resolver el problema consiste en descomponer el hexaedro en cinco tetraedros, tal como se muestra en la figura 7 . 2(a), determinar, siguiendo el método descrito en este capítulo, las matrices correspondientes a los cinco tetraedros y proceder finalmente al ensamblaje de dichas matrices . 7.6 Una tal como se muestra en la 7.2(a), las matrices correspondientes a los cinco tetraedros y proceder finalmente al ensamblaje de dichas matrices. Como existen dos maneras posibles de descompcmer el hexaedr? en cinco tetraedros (figura 7 .2(a) y (b)),para evitar que las matrices obtenidas dependan de la división elegida, se determinan unas matrices finales que son el valor medio de las que se deducen en cada una de las dos opciones. \ \ \ \ 1 / / / / I �- / ' ' ( "-) (b) 7.7 8 . 1 .- INTRODUCCI ÓN En los tres capítulos anteriores se han formulado las soluciones de algunos problemas bidimensionales y tridimensionales utilizando elementos sencillos (triángulos o tetraedros) en los que se definían campos de corrirrüento lineales que evidentemente satisfacen la continuidad de los corrimientos en las fronteras de los elementos. Parece evidente que la definición de campos cuadráticos, cúbicos o de orden superior proporcionarán mejores aproximaciones a la solución exacta, siempre y cuando se sigan cumpliendo los criterios de convergencia indicados en el capítulo 4. En general, si el campo de corrimientos en el dominio (unidimensional, bidimensional o tridimensional) queda definido por un polinomio arbitrario y completo de orden p, el error cometido en la determinación de dichos corrimientos será del orden o (h ) en donde h representa la dimensión característica del p+ t elemento. Si las deformaciones se deducen a partir de derivadas de orden m de las componentes del corrimiento, el error en la determinación de las deformaciones y en consecuencia también en la de los esfuerzos será del orden ü (h p -m +I ) . En los problemas abordados en los tres capítulos anteriores es p = 1 y m = 1 por lo que los errores en los corrimientos y esfuerzos obtenidos eran respectivamente del orden o (h ) y O(h ) . 2 A la vista de estas conclusiones se advierte claramente la gran importancia que puede tener la consideración de funciones de forma de orden superior. No obstante, desde un punto de vista de coste (tiempo de cálculo y recursos requeridos) la situación puede no ser tan favorable ya que aunque para conseguir una determinada precisión se requiere un número de elementos tanto menor cuanto mayor sea el grado del polinomio completo utilizado, la generación de las matrices de los elementos es tanto más costosa cuanto mayor sea su orden. En el caso de que se utilicen las mismas funciones de interpolación para todas las componentes del campo de corrimientos será: por lo que en este capítulo se considerarán únicamente las funciones de forma escalares N; . 8. 1 En el caso de definir funciones de forma de orden superior al primero es evidente que el corrimiento en un determinado borde del elemento será también en general del mismo orden, de manera que, para asegurar la continuidad a través del borde, dicho corrimiento deberá coincidir con el que se obtiene en esa misma frontera pero perteneciente al elemento adyacente. Para conseguir esto la función deberá coincidir no sólo en los vértices sino también en un cierto número de puntos adicionales situados en el borde . Es esta una particularidad característica de los elementos superior al primero en los que se deben definir como nudos, además de los vértices de los elementos, otros puntos adicionales situados en su contorno. Supongamos por ejemplo el rectangular mostrado en la figura elemento 8 . 1 definido por los seis nudos indicados en el que se pretende definir el campo de corrimientos u. Para garantizar la continuidad de u a lo largo de los bordes paralelos al eje x, deberá utilizarse una función lineal en x. Por su parte, como en los lados paralelos al eje y existen tres nudos, podrá utilizarse una función de segundo grado en y, que quedará determinada de forma única a partir de tres condiciones. De esta manera el campo de corrimiento u quedará definido por la función: que como puede observarse es lineal en x y cuadrática en y . u; , uj , . , u deberá verificarse: X ¡ . Y; Y;2 X ¡ . Y ;2 O:. ¡ x j . Yj Yj2 x j . Yj2 ª 2 Como esta función debe tomar en los seis nudos los valores U¡ uj X¡ xj Y; Yj . = y� 8.2 . P o bien por lo que las constantes {a} que determinan la función vendrán dadas por: y en consecuencia la función u será: en donde: y X Las funciones de forma x·y X· l) [N; ] quedarán definidas a partir de la matriz Este método, aunque sencillo desde un punto de vista de formulación, presenta dificultades prácticas ya que no siempre se puede garantizar la existencia de la inversa de la matriz [ C] , y caso de existir no pueden expresarse explícitamente los elementos de la matriz inversa y en consecuencia tampoco las funciones de forma. En el resto de este capítulo se presentarán p ara diferentes tipos de elementos varias formulaciones explícitas de las funciones de forma de orden superior al primero. 8.3.- ELEMENTOS RECTANGULARES . FAMILIA DE LAGRANGE ' a.. • - - - - - ...... - - - ' vi - a:. ' ' - ' ! Se supone un elemento rectangular, como el - - ' 1 1 1 ' 1 � b 1 b - mostrado en la figura 8.2, con lados paralelos a - los ejes x, y del sistema de referencia. Resulta s - .r .... _ conveniente definir las funciones de forma a partir de unas coordenadas normalizadas �' Y\ definidas mediante las relaciones : fiJ 8. 2 de manera que al centro del rectángulo le corresponden las coordenadas � = Y\ = O , mientras que en los lados del rectángulo será � = ± 1 (en los paralelos al eje y) ó Y\ = ± 1 (en los paralelos al eje x). 8.3 expresar dichas funciones en las coordenadas originales x, y. Adicionalmente cuando que calcular integrales extendidas al dominio definido por el rectángulo habrá que tener en cuenta que: dx = a · dé; dy = b . dll S i en un eje � se definen n+ l puntos con abscisas � 0 , � 1 , � 2 , . . . , � k -l ' � k ' � k+ l ' · . . , � n puede definirse un polinomio de orden n , que en � k tome un valor unidad y sea nulo en los n puntos restantes mediante la expresión: Lk n - _ , (� - � o ) (� - � 1 ) · (� - � i ) . . : (� - � k - 1 ) · (� - � k+I ) . . .- (� - � n ) (� k - � o ) · (� k - � 1 ) · (� k - � 2 ) . . : (� k - � k-1 ) · (� k - � k+1 ) . . .-(� k - � n ) · Este conjunto de polinomios se conoce como polinomios de Lagrange . '" " i Q. ... Lagrange se definen nudos en el contorno y en el interior del rectángulo formando una retícula 1 ( p .., \ ,. \. 11.o � . En los elementos rectangulares de la familia de - lt, � � Ft � 8. 3 - regular aunque dicha retícula no tiene que estar - necesariamente equiespaciada (ver figura 8.3). La función de forma - N P asociada al nudo p = � ; , 11 11 j será: N (�, 11) = L; ,m (�) · Lj.n ( 11) de coordenadas � � Em-1 eni = P que evidentemente vale 1 en el nudo p y cero en los nudos restantes. Esta familia no presenta una gran utilidad por el excesivo número de nudos interiores, cuyos grados de libertad deben ser posteriormente eliminados a nivel de elemento, ya que no interaccionan con los de los elementos adyacentes. Adicionalmente, las funciones de forma contienen muchos términos de orden elevado que no contribuyen apreciablemente a una mayor precisión del elemento (Triángulo de Pascal). 8.4.- ELEMENTOS RECTANGULARES . FAMILIA SERENDÍPITA Resulta conveniente definir nudos situados únicamente en el contorno del elemento . En la figura 8.4 se muestran los tres primeros elementos (lineal, cuadrático y cúbico) de esta familia, conocida como familia serendípita. 8.4 5 l� 0>-------40 s o G o Las funciones de forma del elemento lineal de esta familia coinciden con las del elemento de la familia Lagrange en el que m = n = 1 , y en consecuencia es fácil deducir que: N1 (�,r¡ ) = ¡1 · (t - 0 · (1 - r¡) obteniéndose relaciones análogas para las otras tres funciones escalares de forma. Es posible expresar las cuatro funciones de forma mediante la relación única: N ¡ (�, r¡) = -1 · (1 + �; · �) · (1 + TJ ; r¡) · 4 Las dificultades advertidas en los capítulos anteriores para utilizar funciones lineales en elementos � y lineal en 11 ) en la que el cuadriláteros han sido resueltas mediante una función bilineal (lineal en término adicional del tipo � · r¡ permite ya cumplir las cuatro condiciones. Este término cuadrático de la forma afecta a la continuidad del � · 11 no campo de corrimientos en los bordes, y a que en éstos al ser � = Cte ó 11 = Cte el corrimiento sigue siendo lineal en el borde y queda definido de forma única a partir de los corrimientos en los vértices del borde. 2. En la figura 8.5 se muestra el campo de corrimientos u determinado a partir de los valores arbitrarios u 1 , u 2 , u3 , u4 en los vértices del elemento lineal. 8 .5 las funciones de forma La determinación el elemento cuadrático es más A continuación se presenta un procedimiento sistemático para determinar la función de forma asociada al vértice 1 del elemento (ver figura 8 . 6), que puede ser generalizado para definir funciones de forma en elementos de orden superior de esta familia serendípita . i s rl;(�t¿) -; .f_(l-f2)(1 -�) 2 2 / "' rt. ---�3 ��--,��___, 5 En el elemento cuadrático las funciones de forma asociadas a los puntos medios de los bordes son relativamente sencillas y se generan mediante producto de polinomios de Lagrange apropiados . En particular, las funciones de forma N5 (�,11 ), N8 (�,11 ) , representadas en la figura 8 . 6, quedan definidas por: Ns {S.ll) = ± · ( H 2 ) - { l -ll ) N8 (1;, ll ) = � ( 1 - 1; ) · ( 1 - T] 2 ) · Para definir la función de forma N1 (� ,11 ) del elemento cuadrilátero se parte de la función de forma del elemento lineal: 8.6 ± (! - que toma un valor unidad en el nudo (! - 1 , es nula en los nudos 2 , 3 , 4, 6 y 7, pero que vale 1/2 en los nudos 5 y 8. Para conseguir que se anule en estos últimos nudos, sin modificar su valor en los seis nudos restantes bastará con restar a la función N 1 (�, r¡ ) las funciones N5 (�, r¡ ), N8 (�, r¡ ) multiplicadas 1/2 . De esta manera resulta: N1 (�,r¡) = N 1 (�,r¡) - 21 · N5 (�,r¡) - 21 · Ns (�,r¡) = = ± (! - /; ) (1 - rt) - ± · (I - 1; 2 ) · (1 - rt ) - ± · ( ! - /; ) ( 1 - rt 2 ) = previamente por � · 1 = 4 . ( 1 - �) . ( 1 - r¡) . [ 1 - ( 1 + �) - ( 1 + r¡)] = 41 . ( 1 - �) . ( 1 - r¡) . ( -� - r¡ - 1) En la figura 8.6 se representa la función de forma el nudo N1 (�, r¡ ) que se anula en todos los nudos, excepto en 1 en el que toma un valor unidad. Es posible generalizar el resultado obtenido p ara la función escalar de forma N1 (�, r¡ ) de manera que una expresión única defina las funciones de forma asociadas a todos los vértices, y análogamente las funciones de forma N5 (�, r¡ ), N8 (�, r¡) pueden expresarse de manera que sean aplicables a todos los nudos situados en los puntos medios de los lados . Resulta d e esta manera para e l elemento rectangular cuadrático d e l a familia serendípita: Nudos situados en los vértices : � ¡ = ±1 T\ ¡ = ± 1 Nudos situados en los borde: N; (i; , rt) = ± (! - /; 2 H1 + rt ; TI ) N; (i; . ri ) = ± · (I + /; ; · SHI - ri ' ) Siguiendo un procedimiento análogo al descrito en el caso del elemento cuadrático se pueden deducir las funciones de forma en el elemento rectangular cúbico de la familia serendípita resultando: Nudos situados en los vértices: �¡ = ± 1 T\ = ± 1 i 8.7 Nudos situados en los borde: �¡ = ±3 11 N; (�,11 ) = i � ¡ = ±1 N, (�, TJ ) = 9 · (1 + 11 ; · 32 · (l � 2 ) · (1 + 9 · � ; · :2 · (! + � , - �) ( l - TJ 2 ) · (1 + 9 TJ ; · TJ ) 8.5 .- COORDENADAS DE ÁREA EN EL TRIÁ NGULO Resulta evidente que, aunque los ejes �. 11 utilizados en los apartados anteriores para el análisis de elementos rectángulares constituyen un sistema de referencia natural en el que los resultados se presentan en la forma más sencilla posible, no ocurre lo mismo en el desarrollo de elementos triangulares . Las coordenadas de área permiten definir de una forma muy simple la posición de un punto arbitrario situado en el interior de un triángulo, y lo que es más importante, dichas coordenadas no dependen de la posición del triángulo en el plano, i ni de su orientación. 2 La posición de un punto arbitrario P (ver figura 8. 7) queda determinada por tres coordenadas Li , L2 , � definidas mediante las relaciones : a rea a rea a rea L2 = a rea a rea L3 = a rea L1 = triangulo P23 triangulo 1 23 triangulo P3 1 triangulo 1 23 triangulo P l 2 triangulo 1 23 Como la suma de las áreas de los triángulos P23, P3 1 , P 1 2 es igual al área del triángulo 1 23 se verificará: de manera que tan sólo dos de las tres coordenadas de área son independientes. De la propia definición se deduce que si P es un punto en el interior del triángulo, sus coordenadas de área Li , L2 , � son nulas o positivas y en todo caso menores o iguales a 1 . 8.8 Todos los situados en una recta base y altura, y en consecuencia en todos ellos la coordenada de área Li tomará el mismo valor. Análogamente, los lugares _geométricos de los L2 = Cte o L3 = Cte serán respectivamente líneas paralelas a los lados 3 1 y 12 (ver figura 8.8) puntos para los que Las coordenadas de área de los vértices del triángulo serán : Li = 1 Vértice 1 2 Vértice 3 L1 = 0 L1 = 0 Vértice Para determinar las coordenadas cartesianas x,y de un punto arbitrario P definido por sus coordenadas de área se tiene en cuenta que (ver figura 8 .8) Igualando las componentes de la relación vectorial anterior y considerando la condición que deben cumplir las tres coordenadas de área resulta: X = X 1 + L2 . (X 2 - X 1 ) + L3 . (X 3 - X 1 ) = ( 1 - L2 - L3 ) . X 1 + L2 . X 2 + L3 . X 3 = Li . X 1 + L2 . X 2 + L3 . X 3 Y = Y1 + L2 · ( Y2 - Y1 ) + L3 · (Y 3 - Y1 ) = (1 - L2 - L3 ) · Y1 + L2 Y 2 + L3 Y 3 = L1 · Y1 + L2 · Y2 + L3 Y3 1 = L1 + L2 + L3 Recíprocamente, si despejamos las coordenadas de área L¡ , L2 , � de este sistema de ecuaciones se · · · obtiene: L1 = -1- (a 1 + b1 x + e 1 · y) 2·� L,- = 1 (a7- + b2 x + e - y) 2·� L3 = 1 (a 3 + b3 x + e 3 · y) 2·� · · -- · · -- · en donde � representa el área del triángulo y : a, = X2 Y 3 - X 3 · Y 2 ª2 = X 3 y , x , Y3 a3 = X r . Y 2 - X2 y , · . - . . 7 • · C 1 = X 3 - X2 C 2 = X1 - X 3 h1 = Y 2 - Y 3 h2 = Y 3 - Y1 h3 = Y1 - Yi Puede observarse que las coordenadas de área coinciden con las funciones escalares de forma del elemento triangular lineal, tal como se formuló en el apartado 8.9 5 .2 . En la 8. 9 se muestran los elementos cuadrático y con sus correspondientes nudos . Puede observarse que el elemento cúbico incluye un décimo nudo situado en el interior del triángulo, ya que de esta manera es posible definir p ara este elemento funciones de forma mediante las cuales se incluyen todos los términos de un polinomio completo de tercer grado. En general el número de nudos en cada elemento de la familia coincide con el número de términos existente en los polinornios completos de orden creciente, garantizái1 dose además la continuidad del campo de corrimientos en los bordes de los elementos. De hecho, existe una analogía perfecta entre configuración de nudos en cada elemento de la familia y los puntos de un triángulo de Pascal. 2. FiJ 8 . s En el elemento lineal las funciones de forma coinciden con las coordenadas de área, es decir: ya que L¡ se anula en los vértices del triángulo, excepto en el vértice i en el que vale 1 . Para los elementos de orden superior es posible definir una expresión única válida para todas las funciones de forma de todos los elementos de la familia. En efecto, p ara el elemento triangular de orden m, el campo de variación, entre O y 1 , de cada una de las coordenadas de área se divide en m intervalos iguales, de longitud 1 /m, definiendo los valores: Xo = -o = 0, X¡ = - , X z = -2 , m m m X¡ = - , m m xm = - = 1 m Si L;,¡ (x) representa el polinomio de Lagrange de grado i en x, que se anula en x0 , x¡ . x 2 , que vale 1 en X; 8. 1 0 • • • , xi- I y = -l1:¡. · m · x · (m · x l ) · (m · x - 2 ) . . .{m · x la función de forma NP ( L1 , L2 , L3 ) asociada al nudo definido por las coordenadas de área L2 = x 1. = -j m L¡ = X ¡ = l m (i - k L3 = x k = m viene definida por: ya que evidentemente dicha función vale 1 en el punto P y se anula en todos los demás nudos del elemento. Cuando una de las coordenadas de área del nudo P sea cero debe entenderse que Lo.o (x ) = 1 El término de mayor grado de la función de forma N ( L1 , L2 , L3 ) es: k ¡ i . ¡} L-'¡ 2 · L3 Como por otra parte i + j + k = , ya que las coordenadas de área del nudo P deben sumar 1 , se P m deduce que las funciones de forma de todos los nudos del elemento son polinomios de grado m. Por su interés se presentan a continuación de forma explícita las funciones de forma de los elementos triangulares cuadrático y cúbico. Para el elemento triangular cuadrático resulta: Nudos situados en los vértices del triángulo Lf = 1 Nudos situados en los lados del triángulo L.p = Lp. = -1 2 ' J Para el elemento triangular cúbico resulta: Nudos situados en los vértices del triángulo Nudos situados en los lados del triángulo Np = -9 · L. · L . · (3 · L. - 1 ) 2 1 8. 1 1 J 1 interior del Nudos situados = l 3 8 .7 .- ELEMENTOS PRISMÁTICOS RECTANGULARES . FAMILIA SEREND ÍPITA En el caso de cuerpos tridimensionales con forma de prisma recto recta.r1gular es siempre posible definir un cambio de sistema de referencia como el indicado en el apartado 8 .3 , de manera que en el nuevo sistema �' Tl, s el prisma se convierte en un cubo cuyas caras quedan definidas por � = ± 1, Tl = ±1, s = ±1 , coincidiendo el origen de dicho sistema con el centro del cubo. O En la figura 8 . 1 se muestran los elementos lineal, cuadrático y cúbico de la familia serendípita. Es relativamente sencillo generalizar las funciones de forma obtenidas en el apartado 8 . 4 en el caso de elementos rectangulares de la familia serendípita, con objeto de deducir las funciones de forma de los elementos prismáticos rectangulares de dicha familia. Resulta de esta manera: Elemento lineal (8 nudos) Nudos situados en los vértices del cubo 8. 1 2 Elemento cuadrático Nudos situados en los vértices del cubo � ¡ = Y¡ ¡ = l; ; = ± 1 Nudos situados en las aristas del cubo rt ; = s ; = ± 1 Elemento cúbico ( 32 nudos) Nudos situados en los vértices del cubo � ¡ = rt ; = � ¡ = ± 1 Nudos situados en las aristas del cubo rt ; = C = ± l Puede comprobarse que en todos los casos se asegura la continuidad del campo de corrimientos en las caras del prisma recto rectangular. 8.8.- COORDENADAS DE VOLUMEN EN EL TETRAEDRO Las coordenadas de volumen en el tetraedro constituyen una generalización natural de las coordenadas de área en el triángulo. En este caso la posición de un punto arbitrario P (ver figura 8. 1 1) queda determinada por cuatro coordenadas L1 , L2 , L3 , L4 definidas mediante las relaciones: volumen tetraedro P234 volumen tetraedro 1 234 volumen tetraedro P34 l L1 = volumen tetraedro 1 234 volumen tetraedro P4 1 2 L3 = volumen tetraedro 1 234 volumen tetraedro Pl 23 L4 = volumen tetraedro 1 234 L¡ = 4 Siguiendo un razonamiento análogo al que se h.'# 8. U hizo en el caso de coordenadas de área en el triángulo se deduce que las coordenadas de volumen en el tetraedro deben verificar la relación: L1 + L2 + L3 + L4 = 1 8. 1 3 De la volumen sus definición se deduce que si P es un L1 , son nulas o Todos los puntos situados en un plano paralelo a la cara 234 generarán tetraedros P234 de l a misma base y altura y en consecuencia en todos ellos . la coordenada de volumen L¡ tomará el mismo valor. Análogamente los lugares geométricos de los puntos para los que L2 = Cte, L3 = Cte, L4 = Cte serán respectivamente planos paralelos a las caras 34 1 , 4 1 2 y 1 23 . Las coordenadas de volumen de los vértices del tetraedro serán : Vértice 1 Vértice 2 Vértice 3 Vértice 4 L1 = 1 L1 = 0 L. = 0 L. = 0 L2 = 0 L2 = 1 L2 = 0 L2 = 0 L3 = 0 L3 = 0 L3 = 1 L3 = 0 L4 = 0 L4 = 0 L4 = 0 L4 = 1 Para determinar las coordenadas cartesianas x, y, z de un punto arbitrario P definido por sus coordenadas de volumen se puede seguir un método similar al descrito en el apartado 8.5 resultando: X = L¡ . X¡ + L2 . X 2 + L3 . X 3 + L4 . X 4 Y = L1 · Y 1 + L2 · Y 2 + L3 Y3 + L4 · Y 4 z = L ¡ . Z¡ + L 2 . Z 2 + L3 . Z 3 + L 4 . Z4 1 = L1 + L2 + L3 + L4 Al despejar las coordenadas de volumen L¡ , L 2 , L3 , L4 de este sistema de ecuaciones se obtiene: · en donde V representa el volumen del tetraedro y los coeficientes a, b, c, d vienen definidos por expresiones que dependen de las coordenadas de los vértices del tetraedro que coinciden con las indicadas en el apartado 7 .2. Nuevamente estas coordenadas de volumen coinciden con las funciones de forma del tetraedro lineal analizado en dicho apartado 7 .2. 8.14 Como es lógico esperar los elementos tetraédricos presentan un tratamiento y propiedades similares a las de los elementos triangulares. En la figura 8 . 1 2 se muestran los elementos tetraédricos lineal, cuadrático y cúbico, en los que el número y disposición de nudos permite definir funciones de forma mediante polinomios completos de grado creciente. En estos tres primeros elementos de la familia no se requiere definir nudos situados en el interior del tetraedro, cosa que sí ocurrirá a partir del elemento de orden cuatro. Las funciones de forma de los elementos tetraédricos de la familia pueden expresarse mediante una relación única a partir de polinomios de Lagrange, semej ante a la que se dedujo en elementos triangulares . en donde: i +j +k+l=m siendo m el orden del elemento (lineal, cuadrático, cúbico, etc.) A continuación se presentan los resultados específicos en los tres primeros elementos tetraédricos de la familia, obtenidos mediante particularización de la expresión general anterior. 8. 1 5 Para el elemento tetraédrico lineal resulta: Nudos situados en los vértices del tetraedro NP = L; Para el elemento tetraédrico cuadrático resulta: Nudos situados en los vértices del tetraedro Nudos situados en las aristas del tetraedro p p 1 L. = L . = -2 ' } Para el elemento tetraédrico cúbico resulta: Nudos situados en los vértices del tetraedro Lf = 1 Nudos situados en las aristas del tetraedro 9 Np = 2 · L. · L . (3 L. - 1) 1 } · · 1 Nudos situados en las caras del tetraedro Lf = 0 8. 10.- OTROS ELEMENTOS TRIDIMENSIONALES Además de los prismas rectangulares y de los tetraedros existen otras formas de cuerpos tridimensionales que presentan un cierto interés, especialmente desde el punto de vista de formas necesarias para dividir el volumen en elementos finitos. Como elementos de relleno, el prisma triangular es posiblemente la forma tridimensional más utilizada, sin contar por supuesto los elementos prismáticos rectangulares y los tetraedros, analizados anteriormente. 8. 1 6 8. L a posición de u n nudo arbitrario situado en e l interior del prisma triangular quedará definida por la coordenada l;, de la sección transversal que contiene al punto P _y las tres coordenadas de área que posicionan el punto P en el triángulo correspondiente a dicha sección transversal. En la figura 8 . 1 4 se muestran los tres primeros elementos (lineal, cuadrático y cúbico) de esta familia. 11. H -� L 8 v9 •1 - - - o- º z. 5 2.. -- - 3 16 Para el elemento prismático triangular lineal resulta Nudos situados en los vértices del prisma S P = ±1 Para el elemento prismático triangular cuadrático resulta: Nudos situados en los vértices del prisma S P = ±1 Np Nudos situados en las aristas de las bases s p = ±1 Nudos situados en las aristas laterales L; = 1 8.17 = �- L¡ · ( 2 · L¡ - l ) (l + s p s ) · · - � · (1 -s 2 ) · L¡ s p = ±1 Nudos situados en las aristas de las bases - ') L1: = :::_ 1 3 Nudos situados en las aristas laterales 1 s p = ±3 Nudos situados en el interior de las bases 27 N p = - · L. 2 S P = ±1 1 · L . · L (1 + '-;,r p . r"":> ) J k · 8. 1 1 .- ELIMINACIÓN DE LOS GRADOS DE LIBERTAD INTERNOS En los elementos rectangulares de la familia Lagrange y en detenninados elementos de las familias serendípitas se definen nudos situados en el interior del elemento. Los corrimientos de estos nudos internos intervienen únicamente en las relaciones que definen el comportamiento del elemento y no aparecen en ningún otro elemento de la estructura. De acuerdo con esto, parece conveniente eliminar dichos grados de libertad internos a nivel del elemento, es decir, antes de proceder al ensamblaje de las matrices de rigidez, de fuerzas térmicas y de cargas equivalentes. Si representamos por "a" y "o" los grados de libertad correspondientes a los nudos situados respectivamente en el contorno y en el interior del elemento, se verificará: Esta relación puede escribirse en la forma: {S 0 } = [koo ] · {ª º } + [koa ] · {ªª } + {S oo } - {p 0 } {s a } = [kao ] · {a o } + [kaa l {a a } + {s oa } - {pa } De las condiciones de equilibrio de los nudos internos del elemento se deduce {s0 } = {O} y en consecuencia es posible despejar los corrimientos de los nudos internos a partir de la primera de las dos relaciones anteriores : 8. 1 8 } ]· } Eliminando estos en donde: [k00 ] = [kaa ] - [kao ] · [koo r 1 · [koa ] {S Oa } = {S Oa } - [kao ] . [k r l . {S Oo } 00 son las matrices reducidas del elemento que incluyen únicamente los grados de libertad de los nudos situados en el contorno. 8. 1 9

(Publicaciones ETSI Aeronáuticos) C. Martínez Arnaiz - Cálculo Estructural. Método de los Elementos Finitos-ETSIA - Universidad Politécnica de Madrid (UPM) (1998)

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