Subido por NILSON VIDAL HURTADO FAILOC

INFORMACION COMPLETA- (1)

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FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL, SISTEMAS Y ARQUITECTURA
HIDROLOGIA APLICADA
▪ ROJAS NUÑEZ DEYSI
MARILYN
▪ SAAVEDRA SANCHEZ
CHRISTIAN JORDAN
DR. ARBULÚ RAMOS JOSÉ
DEL CARMEN
UNPR
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HIDROLOGIA APLICADA
I. ÍNDICE
I. ÍNDICE ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1
II. INTRODUCCIÓN ------------------------------------------------------------------------------------------------------ 2
III. OBJETIVOS------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 2
IV. CONTENIDO ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3
1. AREA DE ANALISIS: ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 3
1.1. UBICACIÓN GEOGRAFICA Y LOCALIZACION HIDROGRAFICA: ------------------------------------------------------------ 3
2. OBTENCION DE DATOS: ------------------------------------------------------------------------------------------------- 5
2.1. INFORMACIÓN HIDROMETRICA: ------------------------------------------------------------------------------------------------- 5
3.-Métodos estadísticos para Estimación de Avenidas: --------------------------------------------------------- 10
3.1. TRATAMIENTO PROBABILÍSTICO DE LA INFORMACIÓN HIDROLÓGICA: -------------------------------------------- 10
3.2 DEFINICIÓN DE CONCEPTOS ESTADÍSTICOS: -------------------------------------------------------------------------------- 11
3.3 Distribuciones de Probabilidades de Variables Continuas --------------------------------------------------------------- 15
3.4 Definición de parámetros estadísticos ---------------------------------------------------------------------------------------- 18
3.5 Estimación de Parámetros de Distribuciones Teóricas: ------------------------------------------------------------------ 19
3.6 Ajuste a una Distribución de Probabilidad ----------------------------------------------------------------------------------- 22
4.-Determinación de las Avenidas de Diseño para diferentes períodos de retorno ---------------------- 23
4.1 MODELOS DE DISTRIBUCION. --------------------------------------------------------------------------------------------------- 23
4.2 DISTRIBUCIÓN NORMAL ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- 23
4.3 DISTRIBUCIÓN LOG NORMAL 2 PARAMETROS. ----------------------------------------------------------------------------- 26
4.4 DISTRIBUCIÓN LOG NORMAL 3 PARÁMETROS------------------------------------------------------------------------------ 29
4.5 DISTRIBUCIÓN GAMMA 2 PARÁMETROS ------------------------------------------------------------------------------------- 31
4.6 DISTRIBUCIÓN GAMMA 3 PARÁMETROS: ------------------------------------------------------------------------------------ 34
4.7 DISTRIBUCIÓN LOG PEARSON TIPO III ----------------------------------------------------------------------------------------- 37
4.8 DISTRIBUCIÓN GUMBEL ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- 39
4.9 DISTRIBUCIÓN LOG GUMBEL ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 42
4.10 PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE: ------------------------------------------------------------------------------------------- 44
4.11 Determinación de nuevas restricciones ------------------------------------------------------------------------------------- 47
4.12 Análisis de Consistencia u homogeneidad---------------------------------------------------------------------------------- 47
4.13 Caudales de Diseño para diferentes períodos de retorno ------------------------------------------------------------- 53
V.CONCLUSIONES: -----------------------------------------------------------------------------------------------------70
VI. BIBLIOGRAFIA: -----------------------------------------------------------------------------------------------------70
VII LINKOGRAFIA ----------------------------------------------------------------- ¡Error! Marcador no definido.
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UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
II. INTRODUCCIÓN
El siguiente proyecto de investigación fomenta el reconocimiento de las
cuencas hidrográficas que existen en nuestro país; para el presente proyecto
se eligió la Cuenca del Río La Leche, en este trabajo estudiaremos
estaciones hidrométricas, para poder determinar los caudales máximos de
dicha cuenca. De esta manera se analizó solo la estación de Puchaca, ya
que es la única estación perteneciente a la “Cuenca la Leche”, la cual nos
brindará información para desarrollar los métodos probabilísticos, como los
métodos estadísticos. Siendo importante evaluar el caudal de diseño para
distintos períodos de retorno. porque proporcionan índices para realizar
estudios de crecidas, para un adecuado diseño y dimensionamiento de
proyectos hidráulicos.
Para el desarrollo de este proyecto se hará uso del programa de Excel,
donde se hará el desarrollo de cada método, con la información
hidrométrica, y comparada en el programa HIDROESTA.
III. OBJETIVOS
▪
OBJETIVO GENERAL:
Análisis y evaluación Hidrométrica de la “Cuenca La leche”, con la
finalidad de determinar el caudal de diseño de la cuenca en estudio.
▪
OBJETIVOS ESPECIFICOS:
•
•
•
Obtener los registros históricos de las estaciones hidrométricas
correspondientes a dicha cuenca
Procesar la información hidrométrica, y evaluar por los métodos
respectivos.
Determinar cuál es el método óptimo para la obtención de
caudal de diseño para dicha cuenca.
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HIDROLOGIA APLICADA
IV. CONTENIDO
1. AREA DE ANALISIS:
1.1. UBICACIÓN GEOGRAFICA Y LOCALIZACION HIDROGRAFICA:
El río La Leche pertenece a la cuenca hidrológica que lleva su mismo nombre, la
cual está ubicada “en la jurisdicción departamental de Lambayeque y Cajamarca,
comprendiendo provincias como Lambayeque, Ferreñafe, y Chota; y los distritos de
Tocmoche, Pítipo, Incahuasi, Pacora, Miracosta, Mórrope y Túcume.
Entre los meridianos de longitud oeste 79°12` y 80°00` y los paralelos de latitud Sur
6°08` y 6°40`30``” (Arriola, 2016, p.6), con registro de coordenadas UTM 639817E y
9288025.64S, y una altitud que promedia los 57 m.s.n.m.
UBICACIÓN GEOGRAFICA
La cuenca “La leche”
Provincias de Lambayeque y Cajamarca
Regiones de Lambayeque y Cajamarca
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HIDROLOGIA APLICADA
LOCALIZACION HIDROGRAFICA:
Limites Los límites de la cuenca del rio La Leche son:
-
Norte: cuenca del rio Salas – Motupe
Oeste: con el Océano Pacífico.
Sur: cuenca del río Chancay – Lambayeque.
Este: con la cuenca del río Chotano.
CUENCA LA LECHE
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HIDROLOGIA APLICADA
2. OBTENCION DE DATOS:
2.1. INFORMACIÓN HIDROMETRICA:
MAPA DE ESTACIONES – CUENCA LA LECHE
ELABORACION PROPIA
La única estación hidrométrica que se tiene en la cuenca de rio la Leche, es la
estación de aforo de Puchaca,
ESTACIONES
LATITUD
LONGITUD
DISTRITO
Puchaca
6° 22' 30”
79° 28' 1”
INCAHUASI
Se obtuvieron los registros históricos de la estación de aforo Puchaca, información
histórica conformada por los máximos promedios de caudales diarios, tomando un
rango de 41 años desde el año 1980 hasta el año 2020, según el cuadro, para lo
cual después de realizar el análisis de máximos y mínimos del registro de caudales.
Estación Puchaca (Codigo: 200801)
Caudal Promedio Diario
Operador:
WGS 84 Geográficas
Tipo:
Ambito Político
Ambito Administrativo
Nombre de la Fuente:
Servicio Nacional Meteorología E Hidrología
Latitud: -6.373167 / Longitud: -79.466972 / Altitud(msnm): 345
Convencional / Hidrométrica
Dpto: Lambayeque / Prov: Ferreñafe / Dist.: Incahuasi
AAA: Jequetepeque Zarumilla / ALA: Motupe Olmos La Leche
Río: La Leche
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HIDROLOGIA APLICADA
2.2. REGISTRO HISTORICOS:
AÑO
ENERO
FEBRERO
MARZO
ABRIL
MAYO
JUNIO
JULIO
AGOSTO
SETIEMBRE
OCTUBRE
NOVIEMBRE
DICIEMBRE
PROMEDIO ANUAL
MAXIMO
1980
9.90
6.35
31.55
17.75
11.05
2.41
4.40
2.59
0.63
34.35
14.98
13.64
149.6
34.35
1981
2.00
31.00
34.84
47.31
3.69
16.55
7.22
4.35
0.64
12.16
5.33
13.78
178.87
47.31
1982
5.82
5.65
8.64
24.82
6.67
4.79
7.22
4.35
7.58
9.57
7.77
18.98
111.86
24.82
1983
77.29
46.25
122.50
120.94
215.81
13.48
7.69
4.60
5.20
20.77
10.14
8.74
653.41
215.81
1984
2.54
92.22
114.54
11.14
13.13
18.79
5.92
10.33
3.47
27.29
6.50
8.47
314.34
114.54
1985
4.13
20.83
28.94
5.76
15.57
10.73
3.80
6.78
12.99
40.88
0.42
13.47
164.3
40.88
1986
21.75
5.25
20.74
32.00
14.10
1.78
3.33
9.79
1.02
5.56
13.98
10.41
139.71
32
1987
17.65
20.59
49.08
12.63
8.15
0.80
4.96
4.31
1.41
3.10
2.66
6.70
132.04
49.08
1988
9.01
10.71
16.45
27.08
11.35
1.91
0.35
0.38
2.54
9.26
13.86
3.77
106.67
27.08
1989
13.78
58.44
59.03
23.43
6.30
14.08
2.08
1.10
3.00
4.33
1.08
0.40
187.05
59.03
1990
13.85
14.49
22.29
8.53
4.98
20.54
9.35
0.44
1.08
30.91
18.53
9.44
154.43
30.91
1991
10.50
40.49
14.27
15.52
6.98
1.09
0.84
0.23
0.50
0.78
2.99
2.97
97.16
40.49
1992
15.68
21.34
26.95
58.13
4.10
7.59
2.59
3.18
2.73
5.51
5.41
10.10
163.31
58.13
1993
3.30
12.20
53.31
30.00
6.50
2.80
1.50
2.10
3.20
5.00
3.30
5.40
128.61
53.31
1994
6.00
14.00
51.78
17.30
7.80
3.40
3.00
1.90
4.20
2.40
14.50
18.30
144.58
51.78
1995
23.45
23.20
5.70
4.70
6.00
0.80
5.10
0.40
0.70
1.10
3.60
14.70
89.45
23.45
1996
7.60
11.10
21.00
8.90
4.50
4.00
1.50
1.90
0.90
13.10
8.40
3.40
86.3
21
1997
1.20
21.00
15.10
9.70
5.00
1.20
0.90
1.20
0.70
1.10
7.10
18.30
82.50
21
1998
431.30
579.75
400.00
297.50
99.50
14.10
6.50
2.70
15.40
1.00
1.00
1.00
1849.75
579.75
1999
19.60
62.40
54.10
28.90
44.00
9.80
14.90
2.80
5.60
5.30
3.80
19.50
270.70
62.4
6
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
SUMA:
PROMEDIO:
MAX:
MIN:
7.40
20.90
14.80
11.70
20.00
2.30
12.80
5.70
16.70
27.44
7.90
15.61
23.25
22.56
9.13
23.50
9.40
13.38
18.00
9.06
8.13
996.0070
24.2929
431.3000
1.200
26.50
42.80
61.80
42.40
3.70
13.50
15.50
4.80
147.50
26.20
39.70
18.39
47.94
15.04
6.56
15.94
22.00
38.88
14.25
51.50
5.06
1757.216
42.8589
579.75
3.700
155.00
500.00
301.88
31.40
10.70
40.00
93.25
20.81
46.60
63.25
19.10
6.52
56.88
31.38
32.38
93.75
26.50
92.50
14.88
25.13
9.25
2821.964
68.8284
500
5.700
36.95
134.00
50.40
105.25
5.99
8.80
5.89
8.10
39.60
20.30
66.56
34.38
36.19
23.20
9.63
25.13
33.63
50.63
22.63
26.13
23.63
1569.066
38.2699
297.5
4.700
21.80
14.60
29.40
41.30
10.10
2.90
6.20
7.80
19.60
16.10
23.80
15.52
14.44
24.60
15.25
17.63
10.06
30.63
17.06
14.00
14.63
862.596
21.0389
215.81
2.900
13.99
7.99
9.40
10.60
3.50
2.60
3.11
3.50
8.90
7.70
5.50
7.11
8.66
16.20
11.06
7.81
5.50
12.00
12.48
8.25
6.24
322.735
7.8716
20.54
0.800
5.90
1.90
12.90
3.90
12.40
0.60
3.90
2.80
5.00
16.50
3.60
1.63
5.31
7.00
2.58
5.13
4.58
12.00
8.88
28.25
7.50
245.41
5.9856
28.25
0.350
8.50
2.00
4.20
1.70
1.20
0.20
1.80
6.90
16.80
5.30
3.60
8.87
1.00
2.70
8.69
3.88
1.00
10.25
3.76
2.06
0.33
160.165
3.9065
16.8
0.200
5.40
8.70
1.80
1.40
3.90
0.27
3.11
0.88
5.40
16.20
19.60
4.49
0.50
0.70
3.73
0.38
0.16
3.81
0.50
0.41
3.41
158.242
3.8596
19.6
0.160
0.60
85.87
20.10
2.00
3.90
1.14
1.69
5.80
15.70
4.50
14.90
4.53
12.94
9.00
8.81
1.52
0.79
10.38
0.49
5.50
3.52
447.148
10.9060
85.873
0.490
0.82
8.50
19.70
2.20
6.80
3.30
8.71
7.02
8.75
8.90
0.90
10.57
10.28
3.50
25.35
13.13
0.40
4.88
17.00
9.25
0.20
315.508
7.6953
25.35
0.200
90.60
19.40
9.20
2.35
14.10
3.36
5.40
19.09
3.40
19.20
5.60
22.16
11.19
8.00
11.88
11.81
4.31
8.88
16.25
15.25
16.63
519.523
12.6713
90.6
0.400
373.47
846.67
535.58
256.20
96.293
78.972
161.355
93.191
333.95
231.59
210.76
149.762
228.58
163.867
145.05
219.61
118.33
288.22
146.18
194.79
98.53
155
500
301.88
105.25
20
40
93.25
20.81
147.5
63.25
66.56
34.38
56.88
31.375
32.38
93.75
33.63
92.5
22.63
51.5
23.63
Después de Obtener los caudales promedios máximos anuales, se analizó el registro de caudales para constatar que los
datos se encuentren dentro de los parámetros permitidos, en la cual se observó que no están en el rango permitido por
ende se reemplazaron los datos del año 1998, donde se tenía como registro 579.75 m3 /s y 2001 con un registro de 500
m3 /s, siendo este el segundo valor máximo registrado. Se desarrolló el análisis de datos dudosos, y finalmente la
corrección.
7
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
2.3. ANALISIS DE DATOS DUDOSOS:
N°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
AÑO
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
Qmax Log(qmax)
34.35
1.5359
47.31
1.6750
24.82
1.3948
215.81
2.3341
114.54
2.0590
40.88
1.6115
32.00
1.5051
49.08
1.6909
27.08
1.4326
59.03
1.7711
30.91
1.4901
40.49
1.6073
58.13
1.7644
53.31
1.7268
51.78
1.7142
23.45
1.3701
21.00
1.3222
21.00
1.3222
579.75
2.7632
62.40
1.7952
155.00
2.1903
500.00
2.6990
301.88
2.4798
105.25
2.0222
20.00
1.3010
40.00
1.6021
93.25
1.9696
20.81
1.3183
147.50
2.1688
63.25
1.8011
66.56
1.8232
34.38
1.5363
56.88
1.7550
31.38
1.4966
32.38
1.5103
93.75
1.9720
33.63
1.5267
92.50
1.9661
22.63
1.3547
51.50
1.7118
23.63
1.3735
PARÁMETROS ESTADISTICOS
Qmax
Log(Qmax)
NUMERO DE DATOS
SUMA
MÁXIMO
MÍNIMO
PROMEDIO
DESVIACIÓN ESTANDAR S
COEFICIENTE ASIMETRÍA
41
3573.28
579.75
20.00
87.15
118.401797
3.1394248
41
71.46
2.76
1.30
1.74
0.366752402
1.150424786
n= 41.00
Kn= 2.692
Valor recomendado, varia según el valor de n
Kn:
(significancia:10%)
Umbral de datos dudosos altos (xH: unidad. Logaritmicas)
xH=
2.73
PH=
537.435
Precipitacion maxima aceptaba
PH= 10xH
m3/s
EXISTEN DATOS DUDOSOS ALTO DE LA MUESTRA
Umbral de datos dudosos bajos (xL: unidad. Logaritmicas)
xL=
0.76
Precipitacion minima aceptaba
PH= 10xL
PL=
5.70 m3/s
NO EXISTEN DATOS DUDOSOS ALTO DE LA MUESTRA
8
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
Al existir datos dudosos se procedió hacer la corrección obteniendo los siguientes resultados:
N°
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
AÑO
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
Qmax Log(qmax)
34.35
1.5359
47.31
1.6750
24.82
1.3948
215.81
2.3341
114.54
2.0590
40.88
1.6115
32.00
1.5051
49.08
1.6909
27.08
1.4326
59.03
1.7711
30.91
1.4901
40.49
1.6073
58.13
1.7644
53.31
1.7268
51.78
1.7142
23.45
1.3701
21.00
1.3222
21.00
1.3222
118.16
2.0725
62.40
1.7952
155.00
2.1903
54.08
1.7330
301.88
2.4798
105.25
2.0222
20.00
1.3010
40.00
1.6021
93.25
1.9696
20.81
1.3183
147.50
2.1688
63.25
1.8011
66.56
1.8232
34.38
1.5363
56.88
1.7550
31.38
1.4966
32.38
1.5103
93.75
1.9720
33.63
1.5267
92.50
1.9661
22.63
1.3547
51.50
1.7118
23.63
1.3735
PARÁMETROS ESTADISTICOS
NUMERO DE DATOS
SUMA
MÁXIMO
MÍNIMO
PROMEDIO
DESVIACIÓN ESTANDAR S
COEFICIENTE ASIMETRÍA
Qmax
41
2665.76
301.88
20.00
65.02
56.92818368
2.482147829
Log(Qmax)
41
69.81
2.48
1.30
1.70
0.294419325
0.703031397
n= 41.00
Kn= 2.692
Valor recomendado, varia según el valor de n
Kn:
(significancia:10%)
Umbral de datos dudosos altos (xH: unidad. Logaritmicas)
xH=
2.50
PH=
312.750
Precipitacion maxima aceptaba
PH= 10xH
m3/s
NO EXISTEN DATOS DUDOSOS ALTO DE LA MUESTRA
Umbral de datos dudosos bajos (xL: unidad. Logaritmicas)
xL=
0.91
Precipitacion minima aceptaba
PH= 10xL
PL=
8.13 m3/s
NO EXISTEN DATOS DUDOSOS ALTO DE LA MUESTRA
Para la determinación de caudales de diseño se trabajará con los caudales corregidos
9
UNPR
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HIDROLOGIA APLICADA
3.-Métodos estadísticos para Estimación de Avenidas:
Este método consiste en calcular el caudal máximo en función a la distribución de
frecuencias de una serie histórica y al comportamiento teórico de una curva de
frecuencias. Entre las funciones de distribución de frecuencias teóricas que más se
utilizan en el estudio
de máximas avenidas, tenemos a las siguientes: Log normal 2 parámetros, Log
normal 3 parámetros, Extrema tipo I y Pearson tipo III.
3.1. TRATAMIENTO PROBABILÍSTICO DE LA INFORMACIÓN
HIDROLÓGICA:
Chow. (Hidrología aplicada), una variable aleatoria X es una variable discreta por
una distribución de probabilidad. La distribución determina la posibilidad de una
observación x de la variable caiga en un rango especificado de X. Si X es la
precipitación anual en un lugar especificado, entonces la distribución de probabilidad
de que la precipitación anual observada en un año dado caiga en un rango definido,
tal como menos de 30 pulg, o 30 pulg – 40 pulg, y así sucesivamente. Un conjunto
de observaciones n x, x, ......., x 1 2 de una variable aleatoria se denomina una
muestra. Se supone que las muestras son sacadas de una hipotética población
infinita que posee propiedades estadísticas constantes, mientras que las
propiedades de una muestra puedan variar de una muestra a otra. El conjunto de
todas las muestras posibles se puede extraer de una población se conoce como el
espacio muestra, y eventos es un subconjunto del espacio muestral.
La probabilidad de un evento, P(A), es la probabilidad de que esta ocurra cuando se
hace una observación de la variable aleatoria. Las propiedades del evento pueden
estimarse. Si una muestra de n observaciones tiene nA valores en el rango de evento
A, entonces la frecuencia relativa es n/ nA. A medida que el tamaño de la muestra
aumente, la frecuencia relativa se convierte progresivamente en una estimación de
la probabilidad del evento, es decir:
𝑃 (𝐴 )
𝑛𝐴
→∞ 𝑛
lim
Tales probabilidades se conocen como probabilidades objetivas o posteriores
debido a que dependen concretamente de las observaciones de la variable aleatoria.
Las probabilidades de eventos obedecen a ciertos criterios.
A.- Probabilidad total. Si el espacio muestral  está completamente dividido en m
eventos o áreas no traslapadas A1, A2, ….., Am, entonces:
P (A1 )+ P (A2 )+….. + P (Am) = P ()
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UNPR
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HIDROLOGIA APLICADA
B.- Complementariedad. Se sigue que si 𝐴 es el complemento de A, es decir, 𝐴 = −
A , entonces.
P(𝐴) =1− P(A)
C.- Probabilidad condicional. Supóngase que existen dos eventos A y B. el evento A
podría ser el que la precipitación de este año fuera menor a 40 pulg mientras que B
podría ser el evento de que la precipitación del próximo año sea menor que 40 pulg.
La intersección es A  B , el evento de que tanto A como B ocurran, es decir, dos
años sucesivos con precipitación anual menor de 40 pulg. Si P(B / A) es la
probabilidad condicional de que ocurra B dado que ya ha ocurrido A, entonces la
probabilidad conjunta de que A y B ocurran, P(A / B), es el producto de P(B / A) y
la probabilidad de que A ocurra, es decir, P(A B) = P(B / A)P(A) , o
𝐵
𝑃( )
𝐴
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐴)
Si la ocurrencia de B no depende de la ocurrencia de A se dice que los eventos son
independientes y P(B/A) = P(B), para eventos independientes de 2.4.
P(A B) = P(A)P(B)
3.2 DEFINICIÓN DE CONCEPTOS ESTADÍSTICOS:
a. Espacio Muestral. - Es el conjunto de todos los resultados posibles de un
experimento estadístico y se representa con el símbolo S. Cada resultado de un
Espacio Muestral se le llama elemento o miembro del Espacio Muestral o
simplemente punto Muestral.
b. Eventos. - Un evento es un subconjunto de un Espacio Muestral. Son los
resultados posibles que se pueden presentar en la realización de un experimento.
c. Probabilidad. - La probabilidad de un evento, P(A) es la posibilidad de que este
ocurra cuando se hace una observación de la variable aleatoria. Si una muestra de
N observaciones tiene NA valores en el rango del evento A, entonces P(A) = NA/N.
Las probabilidades obedecen a ciertos principios: Probabilidad total: si en el Espacio
Muestral S, está completamente divididos en “m” eventos o áreas no traslapadas
A1, A2, …, Am, entonces:
P (A1) + P (A2) +......+ P (Am) = P(S) = 1.
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UNPR
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HIDROLOGIA APLICADA
Complementariedad: En un Espacio Muestral S, si A’ es el complemento de A,
entonces: P (A’) = 1 – P(A). Probabilidad condicional: En un Espacio Muestral S, si
existen en ella dos eventos A y B, la probabilidad de que el evento B ocurra cuando
ya ocurrió algún evento A, se denomina probabilidad condicional y se denota por
P(BA). Esta probabilidad se define como:
𝑃(𝐵𝐴)
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
, 𝑆𝑖 𝑃(𝐴) > 0
𝑃(𝐴)
Si la ocurrencia de B no depende de la ocurrencia A se dice que los eventos son
independientes, entonces P(BA)= P(B) y P(AB)= P(A).
d. Variable aleatoria. - Es una función que asocia un número real con cada
elemento del Espacio Muestral. A una variable aleatoria se le conoce también como
una variable estocástica, porque sus valores son números reales que no pueden
predecirse con certeza antes de ocurrir el fenómeno, es decir ocurren al azar. Las
clases de variables aleatorias son:
Variable aleatoria discreta. - Se dice que una variable aleatoria es discreta si se
pueden contar su conjunto de resultados posibles. El Espacio Muestral contiene un
número finito de posibilidades.
Variable aleatoria continua. - Se dice que una variable aleatoria es continua
cuando sus valores se encuentran en un rango continuo y pueden ser representados
por cualquier número entero o decimal
e. Funciones de frecuencia y probabilidad. - Chow. (Hidrología aplicada), si las
observaciones de una muestra están idénticamente distribuidas (cada valor de la
muestra extraído de la misma distribución de probabilidad), estas pueden ordenarse
para formar un histograma de frecuencias. Primero, el rango factible de la variable
aleatoria se divide en intervalos discretos, luego se cuenta el número de
observaciones que cae en cada uno de los intervalos y finalmente el resultado se
dibuja como grafica de barras.
Esta definición sirve para ver la prueba de bondad de ajuste por el método de Chi
cuadrado. Si las observaciones de una muestra están idénticamente distribuidas
(cada valor de la muestra extraído de la misma distribución de probabilidad) estas
pueden ordenarse para formar un histograma de frecuencia. Primero, el rango
factible de la variable aleatoria se divide en intervalos discretos, luego se cuenta el
número de observaciones que cae en cada uno de los intervalos y finalmente el
resultado se dibuja como una gráfica de barras. El ancho Δx del intervalo utilizado
para construir el histograma de frecuencia se escoge tan pequeño como sea posible
y de tal manera que caigan suficientes observaciones dentro de cada uno de los
intervalos para que el histograma tenga una variación razonablemente suave en el
rango de la información. Si el número de observaciones ni en el intervalo i, que cubre
el rango [Xi - Δx, Xi], se divide por el número total de observaciones n, el resultado
se conoce como la función de frecuencia relativa fs(x):
12
UNPR
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HIDROLOGIA APLICADA
𝑛𝑖
( )
𝑛
𝑓𝑆 (𝑋𝑖 )
La cual es una estimación de P (Xi -∆X ≤ X ≤ Xi), la probabilidad de que la variable
aleatoria X caiga en el intervalo [ Xi – Δx, Xi]. El subíndice s indica que la función se
calcula utilizando información de la muestra. La suma de los valores de las
frecuencias relativas hasta un punto dado es la función de frecuencia acumulada FS
(x):
𝑖
𝐹𝑆 ( 𝑖 )
∑ 𝑓𝑠 ( 𝑖 )
𝑗=1
Es un estimativo de P(X ≤ Xi), la probabilidad acumulada de Xi. Las funciones e
frecuencia relativa y de frecuencia acumulada están definidas para una muestra; las
funciones correspondientes para la población se aproximan con límites a medida
que n → ∞ y ∆x → o.
En el límite la función de frecuencia relativa dividida por el intervalo de longitud ∆x
se convierte en la función de densidad de probabilidad f(x):
𝑓𝑠 ( )
→∞ ∆
𝐹 (𝑋 )
lim
La función de frecuencia acumulada se convierte en la función de distribución de
probabilidad F(x).
𝑓( )
lim 𝑓𝑠 ( )
→∞
Cuya derivada es la función de densidad de probabilidad.
𝑓( )
𝑑𝐹( )
𝑑
Para un valor dado de x, F(x) es la probabilidad acumulada P(X ≤ x), y puede
expresarse como la integral de la función de densidad de probabilidad sobre el rango
X ≤ x:
𝑋
𝑃 (𝑋 ≤ x )
F (x )
∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢
∞
Dónde: u = es una variable de integración auxiliar y. Desde el punto de vista de
ajuste de la información de la muestra a una distribución teórica, las cuatro funciones
- frecuencia relativa Fs(x) y frecuencia acumulada Fs(x) para la muestra, y
distribución de probabilidad F(x) y densidad de probabilidad f(x) para la población
pueden ordenarse en un ciclo
13
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
f. Parámetros estadísticos. - El objetivo de la estadística es extraer la información
esencial de un conjunto de datos, reduciendo un conjunto grande de números a un
conjunto pequeño de números. Las estadísticas son números calculados de una
muestra los cuales resumen sus características más importantes. Los parámetros
estadísticos son características de una población, tales como μ y σ en una ecuación.
Un parámetro estadístico es el valor esperado E de alguna función de una variable
aleatoria. Un parámetro simple es la media μ, el valor esperado de la variable
aleatoria. Para una variable aleatoria X, la media es E(X), y se calcula como el
producto de x y la correspondiente densidad de probabilidad f(x), integrando sobre
el rango factible de la variable aleatoria.
∞
𝐸( )
𝑢
∫
𝑓 ( )𝑑
−∞
E(X) es el primer momento alrededor del origen de la variable aleatoria, una medida
del punto medio o “tendencia central” de la distribución. La estimación por la muestra
de la media es el promedio x de la información de la muestra:
1
∑ 𝑋𝑖
𝑛
𝑖=1
el valor estimado de la muestra de la varianza está dado por:
𝑆2
1
∑(𝑋𝑖
𝑛
)2
𝑖=1
En la cual el divisor es n-1 en lugar de n para asegurar la que la estadística de la
muestra no sea sesgada, es decir, que no tenga una tendencia, en promedio, a ser
mayor o menor que el valor verdadero. La varianza tiene dimensiones de [X]2 . La
desviación estándar σ es una medida de la variabilidad que tiene las mismas
dimensiones de X. La cantidad de σ es la raíz cuadrada de la varianza y se estima
por s, a medida que la desviación estándar aumenta, aumenta la dispersión de la
información. El coeficiente de variación CV = σ/μ, estimado por s/x, es una medida
adimensional de la variabilidad. La simetría de una distribución alrededor de la media
se mide utilizando la asimetría (oblicuidad) la cual es el tercer momento alrededor
de la media:
14
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
La asimetría normalmente se determina con la siguiente ecuación:
Un estimativo de la muestra de y está dado por:
3.3 Distribuciones de Probabilidades de Variables Continuas
Chow (1994), menciona que las distribuciones de probabilidad de las variables
continuas son las siguientes:
a. Distribución normal. - La distribución normal surge del teorema del límite central,
el cual establece que, si una secuencia de variables aleatorias Xi son independientes
y están idénticamente distribuidas con media μ y varianza σ 2, entonces la
distribución de la suma de n de estas variables aleatorias, tiende hacia la distribución
normal con media μ y varianza σ2; a medida que n aumenta. El punto importante es
que esto es cierto sin importar cuál es la función de distribución de probabilidad de
X.
Así, por ejemplo, la distribución de probabilidad de la media de la muestra puede
aproximarse como una distribución normal con media μ y varianza (1/n) 2 nσ2 = σ2//n
sin importar cuál es la distribución de x. Las variables hidrológicas, como la
precipitación anual, calculadas como la suma de los efectos de muchos eventos
independientes tienden a seguir la distribución normal. Las principales limitaciones
de la distribución normal en la descripción de variables hidrológicas son, por un lado,
que esta varia a lo largo de un rango continuo [-∞, ∞], mientras que la mayor parte
de las variables hidrológicas son positivas, y por otro lado, que es simétrica alrededor
de la media, mientras que la información hidrológica tiende a ser asimétrica.
b. Distribución Log normal. - Si la variable aleatoria Y= log X esta normalmente
distribuida, entonces se dice que X está distribuida en forma log normal. Chow
(1954) llego a la conclusión de que esta distribución se aplica a variables
hidrológicas formadas como productos de otras variables debido a que si X =
X1X2X3...Xn, entonces Y tiende a una distribución normal para valores grandes de n
siempre y cuando los Xi sean independientes y estén idénticamente distribuidos.
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UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
La distribución lognormal tiene las ventajas sobre la distribución normal de que está
limitada (X>0) y de que la transformación log tiende a reducir la asimetría positiva
comúnmente encontrada en información hidrológica, debido a que al tomar
logaritmos se reducen en una proporción mayor los números grandes que los
números pequeños. Algunas limitaciones de la distribución log normal son, por un
lado, que tiene solamente dos parámetros y, por otro lado, que requiere que los
logaritmos de los datos sean simétricos alrededor de su media.
c. Distribución Gamma. - El tiempo que toma la ocurrencia de un número β de
eventos en un proceso de Poisson está descrito por la distribución gamma, la cual
es la distribución de una suma de β variables aleatorias independientes e idénticas,
distribuidas exponencialmente. La distribución gamma tiene una forma que varía
suavemente similar a la función de densidad de probabilidad típica, y es muy útil
para la descripción de variables hidrológicas asimétricas sin el uso de la
transformación log. Se ha aplicado a la descripción de la distribución de
profundidades de precipitación en tormentas, por ejemplo. La distribución gamma
incluye la función gamma Г (β), para un entero positivo β, y en general por:
La distribución gamma de dos parámetros (parámetros β y λ) tiene como límite
inferior cero, lo cual es una desventaja para la aplicación a variables hidrológicas
que tienen un límite inferior superior a cero.
d. Distribución Pearson tipo III.- también llamada la distribución gamma de tres
parámetros, introduce en tercer parámetro el límite inferior e, de tal manera que, por
el método de los momentos, los tres momentos de la muestra (la media, la
desviación estándar y el coeficiente de asimetría) pueden transformarse en los tres
parámetros λ, β y е, de la distribución de probabilidad. El sistema de distribuciones
Pearson incluye siete tipos: todos son soluciones para f(x) en una ecuación de la
forma.
Donde:
d es la moda de la distribución (el valor de x para el cual f(x) es un máximo), y Co,
C1, y C2: son coeficientes que deben determinarse. Por tanto, la distribución normal
es un caso especial de la distribución Pearson tipo III para describir una variable no
asimétrica. La distribución Pearson tipo III se aplicó por primera vez en la hidrología
por Foster (1924) para describir la distribución de probabilidad de picos de crecientes
máximos anuales. Cuando la información es muy asimétrica positivamente, se utiliza
una transformación log para reducir la asimetría.
16
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
e. Distribución de valor extremo. - Los valores extremos son valores máximos o
mínimos seleccionados de conjuntos de datos. Por ejemplo, el caudal máximo anual
en un lugar dado es el mayor caudal registrado durante un año y los valores de
caudal máximo anual para cada año de registro histórico conforman un conjunto de
valores extremos que puede analizarse estadísticamente. Fisher y Tippett han
demostrado que las distribuciones de valores extremos seleccionados de conjuntos
de muestras de cualquier distribución de probabilidad convergen en una de las tres
formas de distribuciones de valor extremo, llamadas tipo I, II y III respectivamente,
cuando el número de valores extremos seleccionados es grande. Las propiedades
de las tres formas limitantes fueron desarrolladas por Gumbel (1941) para la
distribución de Valor Extremo tipo I (EVI, por sus siglas en inglés), por Frechet (1927)
para la distribución de Valor Extremo tipo II (EVII) y por Weibull (1939) para la
distribución de Valor Extremo tipo III (EVIII).
Jenkinson (1955) demostró que estas tres formas limitantes eran casos especiales
de una distribución única llamada la distribución de Valor Extremo General (GEV,
por sus siglas en inglés). La función de distribución de probabilidad para la GEV es
Dónde:
k, u, y α. Son parámetros
CHEREQUE (1989) indica que, dada una variable aleatoria, interesará describir la
probabilidad de ocurrencia de los distintos estados. Esto se consigue gracias a un
modelo matemático de su comportamiento o modelo probabilístico. Esta distribución
probabilística permite calcular: Las probabilidades de los distintos estados o valores
que pueden tomar la variable aleatoria; La probabilidad de tener valores mayores o
menores que un determinado límite y los valores de probabilidad de ocurrencia
asociados a cada valor de la variable aleatoria.
Según se trate de variables discretas o continuas, se usarán modelos de distribución
probabilísticos discretos o continuos. Serán modelos discretos aquellos cuya función
densidad de probabilidad y función de probabilidad acumulada se encuentra
definidas para determinados valores que puede tomar la variable.
17
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
Las principales distribuciones discretas son: Distribución Binomial y Distribución de
Poisson Las principales distribuciones continuas son: Distribución Uniforme,
Distribución Normal, Distribución Log normal, Distribución Gamma y Distribuciones
de Valores Extremos APARICIO (1996), menciona que entre las funciones de
distribución de probabilidad usados en hidrología, se estudian las siguientes:
Normal, Log Normal, Pearson III y Gumbel Las funciones Normal y Log Normal son
generalmente apropiadas para variables aleatorias que cubren todo el rango de
valores de los resultados posibles del experimento bajo análisis, como por ejemplo
los volúmenes de escurrimiento mensual en un río. Las funciones Gumbel se
desarrollaron para el análisis de los valores extremos o mínimos anuales. La función
Pearson Tipo III ocupa un lugar intermedio. LINSLEY; menciona que sobre el análisis
probabilístico de crecientes tiene aplicación también para la precipitación. Los
valores de la precipitación máxima horaria o diaria generalmente se ajustan bien a
distribuciones tales como la de Fisher-Tippett (de Valores Extremos Tipo I), Log
Pearson, Log Normal o Gamma. En áreas húmedas donde el valor medio es alto, la
precipitación mensual, por estaciones o la precipitación total anual se aproximará a
una distribución Normal. En áreas secas una distribución asimétrica tal como LogPearson, Log Normal, Gamma y las transformadas raíz cuadrada y raíz cúbica de la
distribución Normal producen ajustes mejores.
3.4 Definición de parámetros estadísticos
Chow. (Hidrológica Aplicada). El objetivo de la estadística es extraer la información
esencial de un conjunto de datos, reduciendo un conjunto grande de números a un
conjunto pequeño de números. Las estadísticas son números calculados de una
muestra los cuales resumen sus características más importantes. Los parámetros
estadísticos son características de una población, tales como: la media y la
desviación estándar. Un parámetro estadístico es el valor esperado E de alguna
función de una variable aleatoria. Un parámetro simple es la media, el valor esperado
de la variable aleatoria. Para una variable aleatoria X, la media es E(X), y se calcula
como el producto de x y la correspondiente densidad de probabilidad f(x), integrado
sobre el rango factible de la variable aleatoria.
E(X) es el primer momento alrededor del origen de la variable aleatoria, una medida
del punto medio o tendencia central de la distribución. La estimación por la muestra
de la media es el promedio x de la información de la muestra:
1
∑ 𝑋𝑖
𝑛
𝑖=1
18
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
La variabilidad de la información se mide por medio de la varianza 2, la cual es el
segundo momento alrededor de la media.
El valor estimado de la muestra de la varianza está dado por.
En el cual el divisor es (n-1) en lugar de n para asegurar que la estadística de la
muestra no sea sesgada, es decir, que no tenga una tendencia, en promedio, a ser
el valor mayor o menor que el valor verdadero. Villón. (2005), los parámetros de una
distribución teórica, son variables que para cada conjunto de datos tienen un valor
definido. Una vez que los parámetros quedan definidos, también queda definida la
distribución teórica. Por lo general, una función densidad o una función de
distribución acumulada, pueden escribirse como una función de la variable aleatoria
y en general como una función de sus parámetros. Definición de parámetros. Dada
una función de distribución con parámetros α, β, γ, se llaman estimadores a los
valores a, b, c, …, obtenidos a partir de los estadísticos de la muestra, que se supone
pertenece a la población que se pretende caracterizar.
3.5 Estimación de Parámetros de Distribuciones Teóricas:
Villon, (2005), menciona que, para determinar los valores numéricos de los
parámetros de la distribución teórica, a partir de los datos muéstrales, se utilizan
varios métodos de estimación, siendo en orden ascendente de menor a mayor
eficiencia, los siguientes: Gráfico, Mínimos Cuadrados, Momentos y Máxima
Verosimilitud.
a. Método gráfico. - Consiste en plotear los valores de la distribución empírica sobre
un papel especial, donde la distribución teórica asignada a priori, se puede
representar como una línea recta, y de allí estimar los parámetros buscados. Así:
•
•
•
El papel de probabilidades normal, representa la distribución normal como
una línea recta.
El papel de probabilidades log-normal, representa la distribución log-normal
como una línea recta.
El papel de probabilidades extremas, representa la distribución Gumbel como
una línea recta.
19
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
b. Método de mínimos cuadrados. - este método es más aplicable para la
estimación de los parámetros de una ecuación de regresión; Por ejemplo, dada la
recta de regresión lineal Y=a+bx; donde a y b son los parámetros. El error entre el
valor observado i y el teórico es: Ei =yi –a-bxi La suma de los cuadrados de los
errores de los valores observados es:
Esta suma puede minimizarse para a y b, esto se consigue derivando parcialmente
S en función de cada estimado a y b, e igualando a cero, es decir:
Estas últimas ecuaciones se denominan ecuaciones normales, las cuales resueltas
dan para a y b:
c. Método de momentos. - el principio básico de la estimación por el método de los
momentos es establecer para cada función de distribución la relación entre los
parámetros y los momentos centrales, de tal manera que:
α = fi (μi, μi +1, ...)
β = f2 (μj, μj + 1, ...)
γ = f3 (μk, μk + 1, ...)
Dónde:
α, β, γ: son los parámetros de la función de distribución. μi, μj μk : son los momentos
con respecto a la media, o momentos centrales de la población. Como los momentos
son estimados a partir de los momentos de la muestra como estimadores sesgados
o insesgados, el resultado que se obtienen será como estimadores sesgados o
insesgados de los parámetros.
20
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
Cuando la distribución de probabilidad, a la que se estiman los parámetros por este
método es simétrica y particularmente si es normal, se puede demostrar que este es
un método muy eficiente, pero cuando las distribuciones son asimétricas y por lo
tanto sesgadas, como sucede muy a menudo con la mayoría de las variables
hidrológicas, el utilizar este método representa una pérdida de eficiencia en la
estimación.
d. Método de máxima verosimilitud. - Dada una función densidad de probabilidad.
F (x, α, β, γ, …)
Dónde:
α, β, γ, …. Son los parámetros que deben ser estimados.
Se define la función verosimilitud de la muestra, como la productoria:
Siendo N, el tamaño de la muestra. El método de máxima verosimilitud, consiste en
estimar α, β, γ, ... a partir de la muestra de tal manera que L sea máxima. Esto se
obtiene por la diferenciación parcial de L con respecto a cada parámetro e igualando
a cero. Puesto que f(x) es no negativa, un valor máximo de L será, en general
positivo. Como el logaritmo natural lnL es una función monotómicamente creciente
de L, esta tiene un máximo precisamente en los puntos en que L tiene un máximo.
Por lo tanto, se puede usar InL en lugar de L, es decir:
Este artificio, permite transformar una productoría a una sumatoria, donde: a, b, c,
son estimadores de α, β, γ, ... Entonces el conjunto de ecuaciones de máxima
verosimilitud es:
21
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
El mismo que tiene tantas ecuaciones como incógnitas. Las propiedades de los
estimadores calculados por el método de máxima verosimilitud, son: Usualmente
insesgado; si la eficiencia de estimadores existe para los parámetros α, β, γ, ..., el
método puede producirlos y la solución de la ecuación de verosimilitud proporciona
un estimador que converge al valor poblacional cuando el tamaño muestral tiende a
infinito, por lo que el estimador es consistente.
3.6 Ajuste a una Distribución de Probabilidad
Chow. (Hidrología aplicada), una distribución de probabilidad es una función que
representa la probabilidad de ocurrencia de una variable aleatoria. Mediante el
ajuste de una distribución de un conjunto de datos hidrológicos, una cantidad de
información probabilística en la muestra puede resumirse en forma compacta es la
función y en sus parámetros asociados. El ajuste de distribuciones puede llevarse a
cabo por varios métodos: Villón. (2002), las pruebas de Bondad de ajuste, consisten
en comprobar gráfica y estadísticamente, si la frecuencia empírica de la serie
analizada, se ajusta a una determinada función de probabilidades teórica
seleccionada a priori, con los parámetros estimados con base a los valores
muéstrales. Las pruebas estadísticas, tienen por objeto la certidumbre que se
obtiene al hacer una hipótesis estadística sobre una población. Las pruebas de
bondad de ajuste más utilizado son:
a. Ajuste gráfico.
b. Ajuste estadístico.
•
•
Chi cuadrado.
Smirnov Kolmogorov
22
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
4.-Determinación de las Avenidas de Diseño para diferentes
períodos de retorno
DETERMINACION DE LAS AVENIDAS DE DISEÑO MEDIANTE LA UTILIZACION
DE METODOS PROBABILISTICOS.
Se determinó las avenidas de diseño mediante los métodos probabilísticos,
siguiendo el siguiente procedimiento:
4.1 MODELOS DE DISTRIBUCION.
El análisis de frecuencias tiene la finalidad de estimar precipitaciones, intensidades
o caudales máximos, según sea el caso, para diferentes períodos de retorno,
mediante la aplicación de modelos probabilísticos, los cuales pueden ser discretos
o continuos. En la estadística existen diversas funciones de distribución de
probabilidad teóricas; para la determinación de las avenidas de diseño en la cuenca
del rio verde se utilizó las siguientes funciones:
4.2 DISTRIBUCIÓN NORMAL
La función de densidad de probabilidad normal se define como:
𝑓( )
1
𝑆√(2𝜋 )
1 𝑥−𝑢 2
∗(
)
𝑒2 𝑆
Donde f(x)= función densidad normal de la variable x.
X = variable independiente.
μ = parámetro de localización, igual a la media aritmética de x.
S= parámetro de escala, igual a la desviación estándar de x.
23
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
DISTRIBUCION NORMAL
m
Qmax (m3/s)
P(x)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
20.00
20.81
21.00
21.00
22.63
23.45
23.63
24.82
27.08
30.91
31.38
32.00
32.38
33.63
34.35
34.38
40.00
40.49
40.88
47.31
49.08
51.50
51.78
53.31
54.08
56.88
58.13
59.03
62.40
63.25
66.56
92.50
93.25
93.75
105.25
114.54
118.16
147.50
155.00
215.81
301.88
0.02381
0.04762
0.07143
0.09524
0.11905
0.14286
0.16667
0.19048
0.21429
0.23810
0.26190
0.28571
0.30952
0.33333
0.35714
0.38095
0.40476
0.42857
0.45238
0.47619
0.50000
0.52381
0.54762
0.57143
0.59524
0.61905
0.64286
0.66667
0.69048
0.71429
0.73810
0.76190
0.78571
0.80952
0.83333
0.85714
0.88095
0.90476
0.92857
0.95238
0.97619
𝐗 )𝟐
Z= (x-X)/S
F(Z)
|F(Z)-P(Z)|
2026.658
1954.384
1937.621
1937.621
1796.778
1727.933
1713.001
1615.913
1439.323
1163.384
1131.880
1090.216
1065.266
985.233
940.552
938.713
625.921
601.643
582.663
313.588
254.033
182.748
175.256
137.087
119.758
66.234
47.450
35.861
6.856
3.127
2.376
755.237
797.022
825.504
1618.580
2452.387
2823.507
6803.212
8096.685
22738.101
56103.40947
-0.79079
-0.77656
-0.77323
-0.77323
-0.74459
-0.73019
-0.72703
-0.70613
-0.66643
-0.59915
-0.59098
-0.58000
-0.57333
-0.55137
-0.53872
-0.53819
-0.43947
-0.43087
-0.42402
-0.31107
-0.27997
-0.23746
-0.23255
-0.20567
-0.19223
-0.14296
-0.12100
-0.10519
-0.04600
-0.03106
0.02708
0.48274
0.49592
0.50470
0.70671
0.86990
0.93340
1.44887
1.58062
2.64880
4.16071
0.214532357
0.218707822
0.219693981
0.219693981
0.228258422
0.232636884
0.233604221
0.240055185
0.25256945
0.274537041
0.277266916
0.280956891
0.283211937
0.290690486
0.295039636
0.295221499
0.33015931
0.333282914
0.335777352
0.377875259
0.389748687
0.406148266
0.408057011
0.418524364
0.423780251
0.443161136
0.451844774
0.458111537
0.481657081
0.48760925
0.510801811
0.685360267
0.690023073
0.693114779
0.760125913
0.807821301
0.82469288
0.926313166
0.943017037
0.995961138
0.99998
0.1907
0.1711
0.1483
0.1245
0.1092
0.0898
0.0669
0.0496
0.0383
0.0364
0.0154
0.0048
0.0263
0.0426
0.0621
0.0857
0.0746
0.0953
0.1166
0.0983
0.1103
0.1177
0.1396
0.1529
0.1715
0.1759
0.1910
0.2086
0.2088
0.2267
0.2273
0.0765
0.0957
0.1164
0.0732
0.0493
0.0563
0.0216
0.0144
0.0436
0.0238
(𝐗
1. NECESITAMOS HALLAR LA MEDIA Y LA DESVIACION ESTANDAR:
65.018
56.9282
41
N° de datos
24
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
nivel de significancia, “α=0.05
PARA N =
∆
∆
41
por calculo
0.227
del cuadro 4.5
0.212
Se realizará la comparación entre los 2
valores obtenidos, debiendo cumplir con la
condición:
∆𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 < ∆𝑜
0.227 < 0.212
CONCLUSION:
No es ajustable porque no cumple la condición
PARA VERIFICAR LA DISTRIBUCION HAREMOS USO DEL PROGRAMA
HIDROESTA OBTENIENDO LOS SIGUIENTES RESULTADOS:
25
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
4.3 DISTRIBUCIÓN LOG NORMAL 2 PARAMETROS.
La función de distribución de probabilidad es:
𝑃( ≤ 𝑖)
1
2√2𝜋
𝑥𝑖
∗∫
(𝑥−𝑋)2
(−
)
𝑒 2𝑆 2 𝑑
−∞
Donde y son los parámetros de la distribución. X S
Si la variable x de la ecuación (2) se reemplaza por una función y=f(x), tal que
y=log(x), la función puede normalizarse, Transformándose en una ley de
probabilidades denominada log – normal, N(Y, Sy). Los valores originales de la
variable aleatoria x, deben ser transformados a y = log x, de tal manera que:
Y Donde es la media de los datos de la muestra transformada.
Donde Sy es la desviación estándar de los datos de la muestra transformada.
Asimismo; se tiene las siguientes relaciones:
Donde Cs es el coeficiente de oblicuidad de los datos de la muestra transformada.
(Monsalve, 1999).
26
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
DISTRIBUCION LOGNORMAL - 2 PAR.
m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
Qmax
(m3/s)
20.00
20.81
21.00
21.00
22.63
23.45
23.63
24.82
27.08
30.91
31.38
32.00
32.38
33.63
34.35
34.38
40.00
40.49
40.88
47.31
49.08
51.50
51.78
53.31
54.08
56.88
58.13
59.03
62.40
63.25
66.56
92.50
93.25
93.75
105.25
114.54
118.16
147.50
155.00
215.81
301.88
P(X)
Y=LN(X)
0.02381
0.04762
0.07143
0.09524
0.11905
0.14286
0.16667
0.19048
0.21429
0.23810
0.26190
0.28571
0.30952
0.33333
0.35714
0.38095
0.40476
0.42857
0.45238
0.47619
0.50000
0.52381
0.54762
0.57143
0.59524
0.61905
0.64286
0.66667
0.69048
0.71429
0.73810
0.76190
0.78571
0.80952
0.83333
0.85714
0.88095
0.90476
0.92857
0.95238
0.9762
2.9957
3.0354
3.0445
3.0445
3.1193
3.1549
3.1625
3.2116
3.2988
3.4311
3.4460
3.4657
3.4775
3.5154
3.5366
3.5375
3.6889
3.7011
3.7106
3.8567
3.8935
3.9416
3.9470
3.9761
3.9904
4.0409
4.0627
4.0780
4.1336
4.1471
4.1981
4.5272
4.5353
4.5406
4.6563
4.7409
4.7720
4.9938
5.0434
5.3744
5.7100
Z= (Yµy)/varY
9.57921
9.81050
9.86345
9.86345
10.29896
10.50632
10.55087
10.83711
11.34480
12.11547
12.20246
12.31737
12.38615
12.60681
12.73023
12.73531
13.61737
13.68830
13.74415
14.59519
14.80917
15.08957
15.12116
15.29081
15.37381
15.66844
15.79508
15.88459
16.20804
16.28686
16.58403
18.50134
18.54838
18.57954
19.25363
19.74641
19.92744
21.21979
21.50873
23.43692
25.3923
F(Z)
0.086283
0.095871
0.098172
0.098172
0.118649
0.129393
0.131787
0.147894
0.179581
0.235199
0.242024
0.251203
0.256783
0.275112
0.285637
0.286075
0.366344
0.373123
0.378488
0.462566
0.484130
0.512447
0.515636
0.532739
0.541088
0.570549
0.583103
0.591926
0.623390
0.630944
0.658949
0.814621
0.817788
0.819866
0.861157
0.886919
0.895468
0.943330
0.951192
0.984013
0.9959
|F(Z)P(Z)|
0.0625
0.0483
0.0267
0.0029
0.0004
0.0135
0.0349
0.0426
0.0347
0.0029
0.0199
0.0345
0.0527
0.0582
0.0715
0.0949
0.0384
0.0554
0.0739
0.0136
0.0159
0.0114
0.0320
0.0387
0.0542
0.0485
0.0598
0.0747
0.0671
0.0833
0.0791
0.0527
0.0321
0.0103
0.0278
0.0298
0.0145
0.0386
0.0226
0.0316
0.0197
1. NECESITAMOS HALLAR LA MEDIA Y LA DESVIACION ESTANDAR,
COEFICIENTE DE VARIACION:
N° de datos
3.920
0.6779
41
Cv=
27
0.173
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
2. NECESITAMOS HALLAR VARIANZA Y MEDIA DEL LOS NUEVOS
TERMINOS:
=
µ=
0.171649
1.351
nivel de significancia, “α=0.05
PARA N =
∆
∆
41
por calculo
del cuadro 4.5
0.095
0.212
Se realizará la comparación entre los 2
valores obtenidos, debiendo cumplir con la
condición:
∆𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 < ∆𝑜
0.095 < 0.212
CONCLUSION:
Es ajustable porque no cumple la condición
PARA VERIFICAR LA DISTRIBUCION HAREMOS USO DEL PROGRAMA
HIDROESTA OBTENIENDO LOS SIGUIENTES RESULTADOS:
28
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
4.4 DISTRIBUCIÓN LOG NORMAL 3 PARÁMETROS
La función de densidad de x es:
Para x > x0
Dónde:
X0: parámetro de posición
Uy: parámetro de escala o media
Sy²: parámetro de forma o varianza
DISTRIBUCION LOGNORMAL - 3 PAR.
m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Qmax (m3/s)
20.00
20.81
21.00
21.00
22.63
23.45
23.63
24.82
27.08
30.91
31.38
32.00
32.38
33.63
34.35
34.38
40.00
40.49
40.88
47.31
49.08
51.50
51.78
53.31
54.08
56.88
58.13
59.03
62.40
63.25
P(x)
0.02381
0.04762
0.07143
0.09524
0.11905
0.14286
0.16667
0.19048
0.21429
0.23810
0.26190
0.28571
0.30952
0.33333
0.35714
0.38095
0.40476
0.42857
0.45238
0.47619
0.50000
0.52381
0.54762
0.57143
0.59524
0.61905
0.64286
0.66667
0.69048
0.71429
Y=LN(X-X0)
1.32971
1.52387
1.56443
1.56443
1.85785
1.97823
2.00282
2.15175
2.38508
2.68716
2.71833
2.75874
2.78253
2.85704
2.89756
2.89922
3.16884
3.18924
3.20518
3.43688
3.49225
3.56331
3.57122
3.61335
3.63376
3.70524
3.73552
3.75677
3.83255
3.85078
29
F(Z)
0.03019
0.04485
0.04854
0.04854
0.08292
0.10143
0.10555
0.13313
0.18559
0.27004
0.27973
0.29254
0.30021
0.32479
0.33849
0.33906
0.43497
0.44247
0.44834
0.53431
0.55477
0.58080
0.58368
0.59893
0.60627
0.63165
0.64224
0.64961
0.67541
0.68150
|F(Z)-P(Z)|
0.0064
0.0028
0.0229
0.0467
0.0361
0.0414
0.0611
0.0573
0.0287
0.0319
0.0178
0.0068
0.0093
0.0085
0.0186
0.0419
0.0302
0.0139
0.0040
0.0581
0.0548
0.0570
0.0361
0.0275
0.0110
0.0126
0.0006
0.0171
0.0151
0.0328
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
66.56
92.50
93.25
93.75
105.25
114.54
118.16
147.50
155.00
215.81
301.8800
0.73810
0.76190
0.78571
0.80952
0.83333
0.85714
0.88095
0.90476
0.92857
0.95238
0.9762
3.91880
4.33441
4.34419
4.35066
4.48897
4.58823
4.62434
4.87733
4.93289
5.29626
5.6548
0.70378
0.82191
0.82428
0.82583
0.85695
0.87682
0.88355
0.92346
0.93063
0.96556
0.9844
0.0343
0.0600
0.0386
0.0163
0.0236
0.0197
0.0026
0.0187
0.0021
0.0132
0.0082
1. NECESITAMOS HALLAR LA MEDIA Y LA DESVIACION ESTANDAR,
COEFICIENTE DE VARIACION:
65.018
56.9282
41
N° de datos
2. NECESITAMOS MEDIANA Y XO:
MEDIADA:
49.080
XO=
16.220
nivel de significancia, “α=0.05
PARA N =
∆
∆
41
por calculo
del cuadro 4.5
0.061
0.212
Se realizará la comparación entre los 2
valores obtenidos, debiendo cumplir con la
condición:
∆𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 < ∆𝑜
0.061
<
0.212
CONCLUSION:
Es ajustable porque no cumple la condición
30
(
)
3.345
S(
)
1.073
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
PARA VERIFICAR LA DISTRIBUCION HAREMOS USO DEL PROGRAMA
HIDROESTA OBTENIENDO LOS SIGUIENTES RESULTADOS:
4.5 DISTRIBUCIÓN GAMMA 2 PARÁMETROS
La función de densidad es:
Válido para:
0≤x<∞
0<γ<∞
0<β<∞
Donde:
γ: parámetro de forma
β: parámetro de escala
31
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
DISTRIBUCION GAMMA 2 PAR.
m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
Qmax
(m3/s)
20.00
20.81
21.00
21.00
22.63
23.45
23.63
24.82
27.08
30.91
31.38
32.00
32.38
33.63
34.35
34.38
40.00
40.49
40.88
47.31
49.08
51.50
51.78
53.31
54.08
56.88
58.13
59.03
62.40
63.25
66.56
92.50
93.25
93.75
105.25
114.54
118.16
147.50
155.00
215.81
301.88
P(x)
LN(X)
FG(i)
|FG(i)-P(X)|
0.024
0.048
0.071
0.095
0.119
0.143
0.167
0.190
0.214
0.238
0.262
0.286
0.310
0.333
0.357
0.381
0.405
0.429
0.452
0.476
0.500
0.524
0.548
0.571
0.595
0.619
0.643
0.667
0.690
0.714
0.738
0.762
0.786
0.810
0.833
0.857
0.881
0.905
0.929
0.952
0.976
2.996
3.035
3.045
3.045
3.119
3.155
3.163
3.212
3.299
3.431
3.446
3.466
3.478
3.515
3.537
3.537
3.689
3.701
3.711
3.857
3.893
3.942
3.947
3.976
3.990
4.041
4.063
4.078
4.134
4.147
4.198
4.527
4.535
4.541
4.656
4.741
4.772
4.994
5.043
5.374
5.710
0.1171
0.1253
0.1272
0.1272
0.1441
0.1527
0.1547
0.1675
0.1923
0.2353
0.2406
0.2477
0.2521
0.2663
0.2746
0.2749
0.3388
0.3444
0.3487
0.4194
0.4382
0.4634
0.4663
0.4819
0.4895
0.5171
0.5290
0.5375
0.5684
0.5759
0.6044
0.7792
0.7831
0.7856
0.8374
0.8707
0.8819
0.9445
0.9545
0.9914
0.9993
0.0933
0.0777
0.0558
0.0320
0.0250
0.0099
0.0120
0.0230
0.0220
0.0028
0.0213
0.0380
0.0574
0.0670
0.0826
0.1060
0.0659
0.0842
0.1036
0.0568
0.0618
0.0604
0.0813
0.0896
0.1057
0.1020
0.1138
0.1291
0.1221
0.1384
0.1337
0.0173
0.0027
0.0239
0.0041
0.0136
0.0009
0.0398
0.0259
0.0390
0.0231
32
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
1. NECESITAMOS HALLAR LA MEDIA Y LA DESVIACION ESTANDAR:
ϒ
β=
N° de datos
65.018
0.2542
2.1196
30.67
41
nivel de significancia, “α=0.05
PARA N =
41
∆
por calculo
0.138
∆
del cuadro 4.5
0.212
Se realizará la comparación entre los 2
valores obtenidos, debiendo cumplir con la
condición:
∆𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 < ∆𝑜
0.0.138 < 0.212
CONCLUSION:
Es ajustable porque no cumple la condición
PARA VERIFICAR LA DISTRIBUCION HAREMOS USO DEL PROGRAMA
HIDROESTA OBTENIENDO LOS SIGUIENTES RESULTADOS:
33
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
4.6 DISTRIBUCIÓN GAMMA 3 PARÁMETROS:
La función de densidad es:
𝑓( )
(
)𝛾−1 𝑒
𝛽 𝛾 (𝛾)
(𝑥−𝑥0 )
𝛽
Válido para:
x0 ≤ x < ∞
-∞ < x0 < ∞
0<β<∞
0<γ<∞
Donde:
x0: origen de la variable
x, parámetro de posición
γ: parámetro de forma
β: parámetro de escala
DISTRIBUCION GAMMA 3 PAR.
m
Qmax
(m3/s)
P(X)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
20.00
20.81
21.00
21.00
22.63
23.45
23.63
24.82
27.08
30.91
0.024
0.048
0.071
0.095
0.119
0.143
0.167
0.190
0.214
0.238
(𝐗
𝐗𝐨)
0.85
1.66
1.85
1.85
3.48
4.30
4.48
5.67
7.93
11.76
34
FG(i)
|FG(i)P(X)|
0.06
0.10
0.10
0.10
0.15
0.18
0.18
0.21
0.26
0.33
0.04
0.0489
0.0320
0.0082
0.0353
0.0335
0.0142
0.0189
0.0429
0.0872
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
31.38
32.00
32.38
33.63
34.35
34.38
40.00
40.49
40.88
47.31
49.08
51.50
51.78
53.31
54.08
56.88
58.13
59.03
62.40
63.25
66.56
92.50
93.25
93.75
105.25
114.54
118.16
147.50
155.00
215.81
301.88
0.262
0.286
0.310
0.333
0.357
0.381
0.405
0.429
0.452
0.476
0.500
0.524
0.548
0.571
0.595
0.619
0.643
0.667
0.690
0.714
0.738
0.762
0.786
0.810
0.833
0.857
0.881
0.905
0.929
0.952
0.9762
12.23
12.85
13.23
14.48
15.20
15.23
20.85
21.34
21.73
28.16
29.93
32.35
32.63
34.16
34.93
37.73
38.98
39.88
43.25
44.10
47.41
73.35
74.10
74.60
86.10
95.39
99.01
128.35
135.85
196.66
282.7317
0.33
0.34
0.35
0.37
0.38
0.38
0.45
0.46
0.46
0.53
0.54
0.56
0.57
0.58
0.59
0.61
0.62
0.62
0.65
0.65
0.67
0.79
0.79
0.80
0.83
0.86
0.87
0.92
0.93
0.97
0.99
0.0709
0.0569
0.0389
0.0337
0.0201
0.0032
0.0449
0.0268
0.0074
0.0502
0.0428
0.0402
0.0187
0.0076
0.0101
0.0123
0.0269
0.0442
0.0450
0.0633
0.0665
0.0304
0.0093
0.0128
0.0005
0.0003
0.0157
0.0118
0.0025
0.0193
0.0163
1. NECESITAMOS HALLAR LA MEDIA Y LA DESVIACION ESTANDAR:
65.018
56.928
41
2.482
N° de datos
Cs=
2. NECESITAMOS HALLAR α Y ß
α=
ß=
Xo=
0.649
70.652
19.148
35
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
nivel de significancia, “α=0.05
PARA N =
41
∆
por calculo
0.087
∆
del cuadro 4.5
0.212
Se realizará la comparación entre los 2
valores obtenidos, debiendo cumplir con la
condición:
∆𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 < ∆𝑜
0.087 < 0.212
CONCLUSION:
Es ajustable porque no cumple la condición
PARA VERIFICAR LA DISTRIBUCION HAREMOS USO DEL PROGRAMA
HIDROESTA OBTENIENDO LOS SIGUIENTES RESULTADOS:
36
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
4.7 DISTRIBUCIÓN LOG PEARSON TIPO III
La función de densidad es:
Válido para:
x0≤x<∞
-∞ < x0 < ∞
0<β<∞
0<γ<∞
Dónde:
x0: parámetro de posición
γ: parámetro de forma
β: parámetro de escala
DISTRIBUCION LOGPEARSON III
m
Qmax
(m3/s)
P(X)
Y=LN(X)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
20.00
20.81
21.00
21.00
22.63
23.45
23.63
24.82
27.08
30.91
31.38
32.00
32.38
33.63
34.35
34.38
40.00
40.49
40.88
47.31
49.08
51.50
0.02381
0.04762
0.07143
0.09524
0.11905
0.14286
0.16667
0.19048
0.21429
0.23810
0.26190
0.28571
0.30952
0.33333
0.35714
0.38095
0.40476
0.42857
0.45238
0.47619
0.50000
0.52381
2.9957
3.0354
3.0445
3.0445
3.1193
3.1549
3.1625
3.2116
3.2988
3.4311
3.4460
3.4657
3.4775
3.5154
3.5366
3.5375
3.6889
3.7011
3.7106
3.8567
3.8935
3.9416
37
(𝐋𝐧(𝐗)
1.00388
1.04358
1.05267
1.05267
1.12743
1.16302
1.17067
1.21980
1.30695
1.43923
1.45416
1.47389
1.48569
1.52357
1.54475
1.54563
1.69703
1.70921
1.71879
1.86487
1.90160
1.94973
𝐗𝐨
FG(i)
|FG(i)P(X)|
0.060270
0.071809
0.074628
0.074628
0.100298
0.114062
0.117146
0.138001
0.179159
0.250237
0.258786
0.270213
0.277119
0.299585
0.312327
0.312854
0.406108
0.413670
0.419622
0.509093
0.530949
0.559020
0.0365
0.0242
0.0032
0.0206
0.0187
0.0288
0.0495
0.0525
0.0351
0.0121
0.0031
0.0155
0.0324
0.0337
0.0448
0.0681
0.0013
0.0149
0.0328
0.0329
0.0309
0.0352
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
51.78
53.31
54.08
56.88
58.13
59.03
62.40
63.25
66.56
92.50
93.25
93.75
105.25
114.54
118.16
147.50
155.00
215.81
301.88
0.54762
0.57143
0.59524
0.61905
0.64286
0.66667
0.69048
0.71429
0.73810
0.76190
0.78571
0.80952
0.83333
0.85714
0.88095
0.90476
0.92857
0.95238
0.97619
3.9470
3.9761
3.9904
4.0409
4.0627
4.0780
4.1336
4.1471
4.1981
4.5272
4.5353
4.5406
4.6563
4.7409
4.7720
4.9938
5.0434
5.3744
5.7100
1.95516
1.98428
1.99852
2.04909
2.07083
2.08620
2.14172
2.15525
2.20625
2.53536
2.54344
2.54878
2.66449
2.74908
2.78015
3.00198
3.05158
3.38255
3.71818
0.562138
0.578714
0.586717
0.614516
0.626158
0.634270
0.662750
0.669486
0.694137
0.823839
0.826390
0.828064
0.861271
0.882102
0.889075
0.929460
0.936504
0.969580
0.986331
0.0145
0.0073
0.0085
0.0045
0.0167
0.0324
0.0277
0.0448
0.0440
0.0619
0.0407
0.0185
0.0279
0.0250
0.0081
0.0247
0.0079
0.0172
0.0101
1. NECESITAMOS HALLAR LA MEDIA Y LA DESVIACION ESTANDAR:
3.920
0.678
41
0.703
N° de datos
Cs=
2. NECESITAMOS HALLAR α Y ß
α=
ß=
Xo=
8.093
0.238
1.992
nivel de significancia, “α=0.05
PARA N =
∆
∆
41
por calculo
0.068
del cuadro 4.5
0.212
Se realizará la comparación entre los 2
valores obtenidos, debiendo cumplir con la
condición:
∆𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 < ∆𝑜
0.068 <
0.212
38
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
CONCLUSION:
Es ajustable porque no cumple la condición
PARA VERIFICAR LA DISTRIBUCION HAREMOS USO DEL PROGRAMA
HIDROESTA OBTENIENDO LOS SIGUIENTES RESULTADOS:
4.8 DISTRIBUCIÓN GUMBEL
La distribución de Valores Tipo I conocida como Distribución Gumbel o Doble
Exponencial, tiene como función de distribución de probabilidades la siguiente
expresión:
Utilizando el método de momentos, se obtienen las siguientes relaciones:
Dónde:
α: Parámetro de concentración.
β: Parámetro de localización.
Según Chow, la distribución puede expresarse de la siguiente forma:
39
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
DISTRIBUCION GUMBEL
m
Qmax
(m3/s)
P(X)
(𝐗
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
20.00
20.81
21.00
21.00
22.63
23.45
23.63
24.82
27.08
30.91
31.38
32.00
32.38
33.63
34.35
34.38
40.00
40.49
40.88
47.31
49.08
51.50
51.78
53.31
54.08
56.88
58.13
59.03
62.40
63.25
66.56
92.50
93.25
93.75
105.25
114.54
118.16
147.50
155.00
215.81
301.88
0.02
0.05
0.07
0.10
0.12
0.14
0.17
0.19
0.21
0.24
0.26
0.29
0.31
0.33
0.36
0.38
0.40
0.43
0.45
0.48
0.50
0.52
0.55
0.57
0.60
0.62
0.64
0.67
0.69
0.71
0.74
0.76
0.79
0.81
0.83
0.86
0.88
0.90
0.93
0.95
0.98
2026.66
1954.38
1937.62
1937.62
1796.78
1727.93
1713.00
1615.91
1439.32
1163.38
1131.88
1090.22
1065.27
985.23
940.55
938.71
625.92
601.64
582.66
313.59
254.03
182.75
175.26
137.09
119.76
66.23
47.45
35.86
6.86
3.13
2.38
755.24
797.02
825.50
1618.58
2452.39
2823.51
6803.21
8096.69
22738.10
56103.41
𝐗 )𝟐
Y=(X-µ)/α
FG(i)
|FG(i)P(X)|
-0.437
-0.419
-0.415
-0.415
-0.378
-0.359
-0.355
-0.328
-0.278
-0.191
-0.181
-0.167
-0.158
-0.130
-0.114
-0.113
0.014
0.025
0.033
0.178
0.218
0.273
0.279
0.313
0.331
0.394
0.422
0.442
0.518
0.537
0.612
1.196
1.213
1.224
1.484
1.693
1.774
2.435
2.604
3.974
5.913
0.213
0.219
0.220
0.220
0.232
0.239
0.240
0.249
0.267
0.298
0.302
0.307
0.310
0.320
0.326
0.326
0.373
0.377
0.380
0.433
0.448
0.467
0.469
0.481
0.487
0.509
0.519
0.526
0.551
0.557
0.581
0.739
0.743
0.745
0.797
0.832
0.844
0.916
0.929
0.981
0.997
0.19
0.17
0.15
0.12
0.11
0.10
0.07
0.06
0.05
0.06
0.04
0.02
0.00
0.01
0.03
0.05
0.03
0.05
0.07
0.04
0.05
0.06
0.08
0.09
0.11
0.11
0.12
0.14
0.14
0.16
0.16
0.02
0.04
0.06
0.04
0.03
0.04
0.01
0.00
0.03
0.02
1. NECESITAMOS HALLAR LA MEDIA Y LA DESVIACION ESTANDAR:
N° de datos
65.018
56.928
41
α=
µ=
40
44.387
39.401
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
nivel de significancia, “α=0.05
PARA N =
41
∆
por calculo
0.189
∆
del cuadro 4.5
0.212
Se realizará la comparación entre los 2
valores obtenidos, debiendo cumplir con la
condición:
∆𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 < ∆𝑜
0.189 <
0.212
CONCLUSION:
Es ajustable porque no cumple la condición
PARA VERIFICAR LA DISTRIBUCION HAREMOS USO DEL PROGRAMA
HIDROESTA OBTENIENDO LOS SIGUIENTES RESULTADOS:
41
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
4.9 DISTRIBUCIÓN LOG GUMBEL
La variable aleatoria reducida log gumbel, con lo cual, la función acumulada
reducida log gumbel es:
DISTRIBUCION LOGGUMBEL
m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
Qmax
(m3/s)
20.00
20.81
21.00
21.00
22.63
23.45
23.63
24.82
27.08
30.91
31.38
32.00
32.38
33.63
34.35
34.38
40.00
40.49
40.88
47.31
49.08
51.50
51.78
53.31
54.08
56.88
58.13
59.03
62.40
63.25
66.56
92.50
93.25
93.75
105.25
114.54
118.16
147.50
155.00
215.81
301.88
P(X)
y=LN(X)
Y=(y-µ)/α
FG(i)
0.02
0.05
0.07
0.10
0.12
0.14
0.17
0.19
0.21
0.24
0.26
0.29
0.31
0.33
0.36
0.38
0.40
0.43
0.45
0.48
0.50
0.52
0.55
0.57
0.60
0.62
0.64
0.67
0.69
0.71
0.74
0.76
0.79
0.81
0.83
0.86
0.88
0.90
0.93
0.95
0.98
2.996
3.035
3.045
3.045
3.119
3.155
3.163
3.212
3.299
3.431
3.446
3.466
3.478
3.515
3.537
3.537
3.689
3.701
3.711
3.857
3.893
3.942
3.947
3.976
3.990
4.041
4.063
4.078
4.134
4.147
4.198
4.527
4.535
4.541
4.656
4.741
4.772
4.994
5.043
5.374
5.710
-1.172
-1.097
-1.080
-1.080
-0.939
-0.871
-0.857
-0.764
-0.599
-0.349
-0.320
-0.283
-0.261
-0.189
-0.149
-0.147
0.139
0.162
0.180
0.457
0.526
0.617
0.627
0.683
0.709
0.805
0.846
0.875
0.980
1.006
1.102
1.725
1.740
1.750
1.969
2.129
2.188
2.608
2.702
3.328
3.963
0.040
0.050
0.053
0.053
0.078
0.092
0.095
0.117
0.162
0.242
0.252
0.265
0.273
0.299
0.313
0.314
0.419
0.427
0.434
0.531
0.554
0.583
0.586
0.603
0.611
0.640
0.651
0.659
0.687
0.694
0.717
0.837
0.839
0.841
0.870
0.888
0.894
0.929
0.935
0.965
0.981
42
|FG(i)P(X)|
0.02
0.00
0.02
0.04
0.04
0.05
0.07
0.07
0.05
0.00
0.01
0.02
0.04
0.03
0.04
0.07
0.01
0.00
0.02
0.05
0.05
0.06
0.04
0.03
0.02
0.02
0.01
0.01
0.00
0.02
0.02
0.07
0.05
0.03
0.04
0.03
0.01
0.02
0.01
0.01
0.00
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
1. NECESITAMOS HALLAR LA MEDIA Y LA DESVIACION ESTANDAR:
N° de datos
3.920
0.678
41
α=
µ=
0.529
3.615
nivel de significancia, “α=0.05
PARA N =
41
∆
por calculo
0.075
∆
del cuadro 4.5
0.212
Se realizará la comparación entre los 2
valores obtenidos, debiendo cumplir con la
condición:
∆𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 < ∆𝑜
0.075 <
0.212
CONCLUSION:
Es ajustable porque no cumple la condición
PARA VERIFICAR LA DISTRIBUCION HAREMOS USO DEL PROGRAMA
HIDROESTA OBTENIENDO LOS SIGUIENTES RESULTADOS:
43
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
4.10 PRUEBAS DE BONDAD DE AJUSTE:
Las pruebas de bondad de ajuste son pruebas de hipótesis que se usan para
evaluar si un conjunto de datos es una muestra independiente de la
distribución elegida. En la teoría estadística, las pruebas de bondad de ajuste
más conocidas son la 2 χ y la Kolmogorov – Smirnov, las cuales se describen
a continuación:
Prueba Kolmogorov – Smirnov Método por el cual se comprueba la bondad
de ajuste de las distribuciones, asimismo permite elegir la más representativa,
es decir la de mejor ajuste. Esta prueba consiste en comparar el máximo valor
absoluto de la diferencia D entre la función de distribución de probabilidad
observada Fo (xm) y la estimada F (xm):
D = máx / Fo(xm) – F(xm)/
Con un valor crítico d que depende del número de datos y el nivel de
significancia seleccionado, Si D<d, se acepta la hipótesis nula. La función de
probabilidad observada se calcula como:
Fo(xm) = 1- m / (n+1)
Donde m es el número de orden de dato xm en una lista de mayor a menor y
n es el número total de datos.
SEGÚN LA TABLA OBTENEMOS EL DELTA TABULAR:
DISTRIBUCION
NORMAL
LOGNORMAL 2 PARAMETROS
LOGNORMAL 3 PARAMETROS
GAMMA 2 PARAMETROS
GAMMA 3 PARAMETROS
LOGPEARSON III
GUMBEL
LOGGUMBEL
∆ TEÓRICO DE LAS DISTRIBUCIONES
DELTA TEORICO
DELTA TUBULAR
0.2273
0.2124
0.0949
0.2124
0.0611
0.2124
0.1384
0.2124
0.0872
0.2124
0.0681
0.2124
0.1888
0.2124
0.0749
0.2124
44
CONDICION
∆𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 < ∆𝑜
No se ajusta
Se ajusta
Se ajusta
Se ajusta
Se ajusta
Se ajusta
Se ajusta
Se ajusta
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
Se obtuvo los siguientes resultados:
m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
NORMAL:
F(Z)
|F(Z)-P(Z)|
0.214532357
0.190722833
0.218707822
0.171088774
0.219693981
0.14826541
0.219693981
0.124455886
0.228258422
0.109210803
0.232636884
0.089779741
0.233604221
0.066937555
0.240055185
0.049578994
0.25256945
0.038283736
0.274537041
0.036441803
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0.55383009
0.58305755
0.58627649
0.60329883
0.61146178
0.63953045
0.6511535
0.65920579
0.68717291
0.69371916
0.71745308
0.83681274
0.83907611
0.84055933
0.86975762
0.8878915
0.89393968
0.92895954
0.9351109
0.96476653
0.98117067
|FG(i)-P(X)|
0.015776485
0.002386889
0.018802557
0.042612081
0.041449995
0.051204726
0.071813927
0.073566486
0.05227918
0.004312565
0.009737246
0.020495407
0.03641559
0.034579475
0.043868146
0.067077063
0.014126266
0.001300401
0.018530152
0.054583982
0.053830087
0.059248024
0.038657447
0.031870256
0.016223686
0.020482828
0.008296356
0.007460872
0.003303282
0.020566554
0.020642158
0.074907976
0.053361827
0.03103552
0.036424283
0.030748641
0.012987298
0.024197639
0.006539474
0.012385581
0.004980189
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
4.11 Determinación de nuevas restricciones
La forma de determinar las restricciones de los métodos estadísticos es considerar
los resultados obtenidos, al efectuar el análisis comparativo de métodos de
estimación de avenidas de diseño del rio La Leche las restricciones dependerán
también de muchos factores, tales como tiempo de precipitación, escorrentía,
retención y condiciones de uniformidad de la cuenca, etc.
4.12 Análisis de Consistencia u homogeneidad
Consiste en realizar un análisis de la información disponible, mediante criterios
físicos y métodos estadísticos que permitan identificar, evaluar y eliminar los
posibles errores sistemáticos que ha podido ocurrir, sea por causas naturales u
ocasionadas por la intervención de la mano del hombre.
Inconsistencia, son los errores sistemáticos que se presentan como saltos y
tendencias en las series maestrales.
(Cahuana Andia & Yugar Morales, 2009)
No homogeneidad, cambios de los datos originales con el tiempo. La No
Homogeneidad en los datos de Caudales, se produce por movimiento datos de la
Estación, cambios en el medio ambiente que rodea la Estación. Las causas
principales de serie de precipitaciones no homogéneas se deben a:
•
Cambio en la localización del hidrómetro.
•
Cambio en la forma de exposición o reposición del aparato.
•
Cambio en el procedimiento de observación o reemplazo del operador.
•
Construcción de embalses en las cercanías.
•
Deforestación y reforestación en la zona.
•
Apertura de nuevas áreas de cultivo en los alrededores.
A. PRUEBAS ESTADÍSTICAS DE HOMOGENEIDAD
El test o prueba estadística de homogeneidad presenta una hipótesis nula y
una regla para aceptarla para aceptarla o rechazarla en base a su
probabilidad de ocurrencia. Si dicha probabilidad es pequeña, se concluye
que la serie es no homogénea, si es grande, se dice que la serie es
homogénea. (Cahuana Andia & Yugar Morales, 2009)
47
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
TEST DE MANN-KENDALL
La prueba de Homogeneidad de Mann-Kendall es un test no paramétrico, tiene una
hipótesis nula sencilla y fácil de satisfacer. Este test detecta cualquier forma de
tendencia, ya sean lineales o en forma de saltos, siempre que den una tendencia
global, este test no es adecuado para series que presentan un componente
estacional. estacional. La prueba de Homogeneidad de Mann-Kendall es en realidad
un test estadístico que conduce a elegir a conduce a elegir alguna de las siguientes
respuestas:
(Cahuana Andia & Yugar Morales, 2009)
•
Hipótesis nula: Todos los valores de la serie son datos aleatorios de una sola
población (Es una serie Homogénea).
•
Hipótesis alternativa: Es una serie no homogénea con tendencia monótona.
La prueba consiste en calcular un índice de desviación de la serie, y a partir
de este valor calcular el valor de v mediante la relación:
48
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
Luego se elige un nivel de significancia α o valor de confiabilidad en función al cual
se definirá la condición de homogeneidad de la serie. Este índice se relaciona con
un valor de Vcrit a través de la función de distribución normal, que se muestra en la
Tabla. Se compara V y Vcrit, Si V es menor que Vcrit se acepta la hipótesis nula, es
decir que la serie es homogénea con un nivel de significancia de α %, de lo contrario
se asume la h o contrario se asume la hipótesis alternativa
PRUEBA ESTADÍSTICA DE HELMERT
Esta prueba es sencilla y consiste en analizar el signo de las desviaciones de cada
evento 𝑃𝑗𝑖 de la serie j para i=1,2 ,3 …., nj con respecto a su valor medio 𝑃𝑗 . Si una
desviación de un cierto signo es seguida de otra del mismo signo, entonces se dice
que se forma una frecuencia S, si de lo contrario se considera como un cambio C.
La serie se considera homogénea si cumple:
Donde:
nj: representa el tamaño de muestra
LAS PRUEBAS DE CONSISTENCIA Y HOMOGENEIDAD RELATIVA:
Una serie de tiempo de datos hidrológicos es relativamente constante si los datos
son periódicamente proporcionales a una serie de tiempo apropiado
simultáneamente (Chang y Lee 1974). La consistencia relativa significativa que los
datos hidrológicos en una observación cierta estación son generados por el mismo
mecanismo que genera similares datos de otras estaciones. Es una práctica común
para verificar la coherencia en relación con el doble de la masa de análisis.
Para determinar la consistencia relativa, se comparan las observaciones a partir de
una cierta estación con la media de las observaciones de varias estaciones
cercanas. Este medio se llama la base o patrón es difícil decir cuántas estaciones el
modelo debe e incluir.
49
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
Las estaciones cuanto menor los datos determinados influirá en la consistencia y la
valides de la media patrón.
Doble masa de análisis, es comprobación requiere eliminar del patrón los datos de
una determinada estación y comparándolos con los datos restantes.
Si estos datos son consistentes con los totales generales de la zona, que se vuelven
a incorporar en el patrón no se puede hacer un análisis de doble masa, sin embargo,
se pueden detectar cambios similares que ocurrieron en las estaciones de forma
simultánea. Por ejemplo, si al mismo tiempo todas las estaciones en la región
comenzaron a registrar los datos que fueron del 50% que es demasiado grande, la
doble curva de la masa no muestra un cambio significativo.
Análisis de doble masa
Doble la masa de análisis supone una relación lineal entre la serie de tiempo de los
procesos de datos hidrológicos. Como este supuesto no puede ser válida en todas
las tasas de acumulación, que debe ser verificada. Los datos pluviométricos son por
lo general proporcionales a los totales en las estaciones cercanas en la misma zona
hidrológica.
Una relación lineal entre dos variables que incluye el par x=O y y=S se puede
expresar como:
Y=b*x
Donde
B= factor de proporcionalidad
Y=serie de tiempo para ser probada
X=serie de tiempo del modelo
La definición la pendiente media como la pendiente de la recta que pasa por los
puntos O, S y Y, X, dará una estimación bastante buena de la media real de los
factores de proporcionalidad.
Los puntos trazados nunca caen exactamente en la línea media. Si hay una
tendencia lejos de la línea durante un periodo determinado. El análisis de las
tendencias persistentes de distancia de la pendiente media, se ve que los puntos de
quiebre entre dos periodos con pendientes aparentemente diferentes indicar el
momento en que los cambios de relación lineal entre el medio de dos partes de la
serie de tiempo.
Doble masa análisis no solo se usa para verificar la consistencia relativa de una serie
de un tiempo de serie, sino también para encontrar los factores de corrección de
errores y llenar los vacíos. Esta aplicación se limita a los totales mensuales y anuales
ya que normalmente no trabaja con los diarios. Además, en el mejor de las casas,
de doble masa análisis preserva la media y no el estándar.
50
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
Para el proyecto se realizó el análisis de homogeneidad con test de MANNKENDALL y prueba estadística de Helmert, obteniendo los siguientes resultados:
TEST DE MANN KENDALL
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
P
12.47
14.91
9.32
54.45
26.20
13.69
11.64
11.00
8.89
15.59
12.87
8.10
13.61
10.72
12.05
7.45
7.19
6.88
115.68
22.56
31.12
33.40
44.63
21.35
8.02
6.58
13.45
7.77
27.83
19.30
17.56
20.20
20.45
20.63
21.00
19.92
19.71
19.91
20.17
20.47
20.84
SI
27
22
32
1
6
23
29
30
33
21
26
34
24
31
28
37
38
39
0
7
4
3
2
8
35
40
25
36
5
19
20
14
13
11
9
16
18
17
15
12
10
TI
13
18
8
39
34
17
11
10
7
19
14
6
16
9
12
3
2
1
40
33
36
37
38
32
5
0
15
4
35
21
20
26
27
29
31
24
22
23
25
28
30
α
Vcrit
0.005
2.58
I=
T=
S=
V=
Vcrit=
α=
0.01
2.33
0.025
1.96
820
820
0
-0.01123194
-1.28
0.1
0.05
1.64
1.28
SE OBTIENE:
Vcrit > |𝑽| = Serie Homogénea
Los datos son Homogéneos
51
0.1
1.28
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
PRUEBA ESTADÍSTICA DE HELMERT
n
año
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
Precip.
anual
12.47
14.91
9.32
54.45
26.20
13.69
11.64
11.00
8.89
15.59
12.87
8.10
13.61
10.72
12.05
7.45
7.19
6.88
115.68
22.56
31.12
33.40
44.63
21.35
8.02
6.58
13.45
7.77
27.83
19.30
17.56
20.20
20.45
20.63
21.00
19.92
19.71
19.91
20.17
20.47
20.84
Test de Helmert
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
C
S
C
S
S
S
S
S
S
C
C
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
52
Prep. Promedio=
S=
C=
20.23
36
4
SE OBTIENE:
S-C >√𝑵
36-4>√𝟒𝟏
𝟏 = Serie homogénea
𝟏
32>6.3245 …. cumple
Los datos son Homogéneos
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
4.13 Caudales de Diseño para diferentes períodos de retorno:
3.METODOS PROBABILISTICOS:
PARAMETROS ESTADISTICOS DE LA SERIE:
DESCRIPCION
QMAX
LOG (QMAX)
PROMEDIO:
DESVIACION ESTANDAR
OEFICIENTE DE VARIACION
COEFICIENTE ASIMETRIA
65.01841707
56.92818368
0.875570127
2.482147829
1.702619909
0.294419325
0.172921345
0.703031397
DISTRIBUCION NORMAL
Fórmulas a usar:
1
2 1 1
1
2
0 02
01
2
0 010 2
2
0 001 0
2
ZT= KT
65.0184
56.9282
𝑋
Q
T
(AÑOS)
P
X<=T
2
5
10
25
50
100
200
500
1000
0.5
0.2
0.1
0.04
0.02
0.01
0.005
0.002
0.001
𝑋
DISTR. NORMAL
W
1.17740
1.79410
2.14600
2.53730
2.79710
3.03490
3.25520
3.52550
3.71690
Z
0.00070
0.84060
1.28020
1.74877
2.05130
2.32358
2.57254
2.87439
3.08607
53
Kt
0.00000
0.84100
1.28020
1.75000
2.05130
2.32360
2.57300
2.87440
3.09000
Xt
65.02
112.90
137.90
164.64
181.80
197.30
211.49
228.65
240.93
𝑆
CAUDAL
MAXIMO
Qmax m3/s
65.02
112.90
137.90
164.64
181.80
197.30
211.49
228.65
240.93
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
DISTRIBUCION LOGNORMAL -2 PARAMETROS
Fórmulas a usar:
1
2 1 1
1
2
0 02
01
2
0 010 2
2
0 001 0
2
ZT= KT
1.70
0.29
0.17
CV=
𝑋
𝑋
10 𝑋
Q
T
(AÑOS)
2
5
10
25
50
100
200
500
1000
P
X<=T
0.5
0.2
0.1
0.04
0.02
0.01
0.005
0.002
0.001
W
1.17740
1.79410
2.14600
2.53730
2.79710
3.03490
3.25520
3.52550
3.71690
𝑆
DISTR. LOGNORMAL 2 PARAMETROS
KT
K
0.00070
0.00000
0.84060
0.84000
1.28020
1.28000
1.74877
1.75000
2.05130
2.05000
2.32358
2.32400
2.57254
2.57300
2.87439
2.87439
3.08607
3.09000
Xt
1.70
1.95
2.08
2.22
2.31
2.39
2.46
2.55
2.61
CAUDAL MAXIMO
Qmax m3/s
50.4
89.1
120.1
165.1
202.4
243.7
288.5
353.9
409.6
DISTRIBUCION LOGNORMAL - 3 PARAMETROS
T
(AÑOS)
2
5
10
25
50
100
200
500
1000
P
X<=T
0.5
0.2
0.1
0.04
0.02
0.01
0.005
0.002
0.001
CAUDAL MAXIMO
Qmax m3/s
44.6
86.1
128.4
201.7
273.0
360.3
465.9
638.1
797.0
54
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
DISTRIBUCION GAMMA 3 PARAMETROS
Fórmulas a usar:
2 1
1
1
2
1
2
02
01
1
1
P
X<=T
0.500
0.200
0.100
0.040
0.020
0.010
0.005
0.002
0.001
W
1.18000
1.79000
2.15000
2.53727
2.79700
3.03000
3.25525
3.50000
3.72000
2
0 010 2
0 001 0
2
2
2
65.02
56.93
2.48
0.414
Cs=
k=
T
(AÑOS)
2
5
10
25
50
100
200
500
1000
0
2
1
1
Q
DISTR. GAMMA 3 PARAMETROS
Z
Kt
0.00400
-0.34000
0.83500
0.51000
1.28500
1.23000
1.75000
2.21900
2.05100
3.00500
2.32000
3.81300
2.57000
4.66000
2.85000
5.70000
3.08915
6.70000
𝑋
𝑆
Xt
45.66283
94.05
135.04
191.34
236.09
282.09
330.30
389.51
446.44
CAUDAL MAXIMO
Qmax m3/s
45.66
94.05
135.04
191.34
236.09
282.09
330.30
389.51
446.4
DISTRIBUCION LOGPEARSON
T
(AÑOS)
2
5
10
25
50
100
200
500
1000
P
X<=T
0.500
0.200
0.100
0.040
0.020
0.010
0.005
0.002
0.001
W
1.17741
1.79412
2.14597
2.53727
2.79715
3.03485
3.25525
3.52551
3.71692
DISTR. LOGPEARSON
Z
Kt
0.00000
-0.10000
0.84000
0.80000
1.28000
1.30000
1.75000
2.00000
2.05000
2.40000
2.32000
2.80000
2.57000
3.20000
2.87000
3.70000
3.09000
4.10000
55
Xt
1.67318
1.94000
2.09000
2.29000
2.41000
2.53000
2.64000
2.79000
2.91000
CAUDAL MAXIMO
Qmax m3/s
47.1
87.1
123.0
195.0
257.0
338.8
436.5
616.6
812.8
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
DISTRIBUCION GUMBEL
T
(AÑOS)
2
5
10
25
50
100
200
500
1000
P
X<=T
0.500
0.200
0.100
0.040
0.020
0.010
0.005
0.002
0.001
W
1.17741
1.79412
2.14597
2.53727
2.79715
3.03485
3.25525
3.52551
3.71692
DISTR. LOGPEARSON
Z
Kt
0.00071
-0.16427
0.84063
0.71946
1.28016
1.30456
1.74874
2.04384
2.05136
2.59228
2.32353
3.13667
2.57259
3.67908
2.87440
4.39468
3.08609
4.93551
Xt
55.66673
105.97573
139.28466
181.37058
212.59232
243.58353
274.46166
315.19948
345.98816
CAUDAL MAXIMO
Qmax m3/s
55.67
105.98
139.28
181.37
212.59
243.58
274.46
315.20
345.99
DISTRIBUCION LOGGUMBEL
T
(AÑOS)
2
5
10
25
50
100
200
500
1000
P
X<=T
0.500
0.200
0.100
0.040
0.020
0.010
0.005
0.002
0.001
W
1.17741
1.79412
2.14597
2.53727
2.79715
3.03485
3.25525
3.52551
3.71692
DISTR. LOGPEARSON
Z
Kt
0.00071
-0.16427
0.84063
0.71946
1.28016
1.30456
1.74874
2.04384
2.05136
2.59228
2.32353
3.13667
2.57259
3.67908
2.87440
4.39468
3.08609
4.93551
Xt
1.65426
1.91444
2.08671
2.30437
2.46584
2.62612
2.78581
2.99650
3.15573
CAUDAL MAXIMO
Qmax m3/s
45.1
82.1
122.1
201.5
292.3
422.8
610.7
992.0
1431.3
DISTRIBUCION GAMMA 2 PARAMETROS
T
(AÑOS)
P
X<=T
2
5
10
25
50
100
200
500
1000
0.5
0.2
0.1
0.04
0.02
0.01
0.005
0.002
0.001
DISTR. GAMMA 2 PARAMETROS
F(Z)
0.5
0.8
0.9
0.96
0.98
0.99
0.995
0.998
0.999
v
4
4
4
4
4
4
4
4
4
56
x^2
3.356694
5.9886167
7.7794403
10.025519
11.667843
13.276704
14.860259
16.923758
18.466827
CAUDAL
MAXIMO
Qmax m3/s
51.48282
91.849562
119.31607
153.76499
178.9539
203.62957
227.91712
259.56575
283.23235
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
CUADRO RESUMEN CON LOS CAUDALES DE DISEÑO POR LOS DIFERENTES METODOS
PROBABILISTICOSCON SU RESPECTIVO PERIODO DE RETORNO
METODO
TR(AÑ0S)
2
5
10
25
50
100
200
475
1000
NORMAL
Qd (m3/s)
65
113
138
165
182
197
211
229
241
LOGNORMAL 2 P.
Qd (m3/s)
50
89
120
165
202
244
289
354
410
LOGNORMAL 3 P.
Qd(m3/s)
45
86
128
202
273
360
466
638
797
GAMMA 3P.
Qd(m3/s)
46
94
135
191
236
282
330
390
446
LOG- PEARSON III
Qd(m3/s)
47
87
123
195
257
339
437
617
813
GUMBEL
Qd(m3/s)
56
106
139
181
213
244
274
315
346
LOG- GUMBEL
Qd(m3/s)
45
82
122
202
292
423
611
992
1431
GAMMA 2P.
Qd(m3/s)
51
92
119
154
179
204
228
260
283
COMENTARIO:
EL METODO DE
PROBABILIDADE
S EL QUE MAS DE
APROXIMA A
LOS DATOS DE
REGISTRO
HISTORICO ES EL
METODO LOGGUMBEL
57
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
2.METODOS ESTADISTICOS:
METODO GUMBEL:
Para calcular el caudal máximo para un período de retorno determinado se usa la ecuación:
siendo:
donde:
Qmáx = caudal máximo para un período de retorno determinado, en m3 /s
N = número de años de registro
Qi = caudales máximos anuales registrados, en m3 /s
, caudal promedio, en m3 /s
T = período de retorno.
𝜎𝑁 𝑦 𝑌𝑁 = constantes función de N, tabla 6.13 (variables reducidas)
σ Q = desviación estándar de los caudales
Para calcular el intervalo de confianza, o sea, aquel dentro del cual puede variar
Qmáx dependiendo del registro disponible se hace lo siguiente:
1. Si φ = 1-1/T varía entre 0.20 y 0.80, el intervalo de confianza se calcula con la
fórmula:
2. Si φ > 0.90, el intervalo se calcula como:
El caudal máximo de diseño para un cierto período de retorno será igual al caudal máximo
más el intervalo de confianza, calculado:
58
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
METODO GUMBEL
AÑO
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
SUMA:
N° de datos
Qmax (m3/s)
34.35
47.31
24.82
215.81
114.54
40.88
32.00
49.08
27.08
59.03
30.91
40.49
58.13
53.31
51.78
23.45
21.00
21.00
118.16
62.40
155.00
54.08
301.88
105.25
20.00
40.00
93.25
20.81
147.50
63.25
66.56
34.38
56.88
31.38
32.38
93.75
33.63
92.50
22.63
51.50
23.63
2665.755
41.000
1. PROMEDIO DE CAUDALES:
Qm = Σ Qi / N
Qm = 65.018
m3/s.
2. DESVIACION ESTANDAR:
σQ =
56.92818368
3. CALCULO DE COEFICIENTE SEGÚN TABLA
σN = 1.1436
YN = 0.5442
Para N= 41;
4. INTERVALO DE CONFIANZA:
Φ = 1-1/T
59
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
T (años)
2
5
10
25
50
100
200
500
1000
P (%)
50.00
80.00
90.00
96.00
98.00
99.00
99.50
99.80
99.90
Qmax (m3/s)
72.433
118.046
152.550
198.163
232.668
267.173
301.677
347.290
381.795
Φ
0.500
0.800
0.900
0.960
0.980
0.990
0.995
0.998
0.999
CONDICION DE Φ
1CONDICION
1CONDICION
2CONDICION
2CONDICION
2CONDICION
2CONDICION
2CONDICION
2CONDICION
2CONDICION
√(N*α*σm)
1.4427
2.2408
-
∆Q
11.2159815
17.42064972
56.74897639
56.74897639
56.74897639
56.74897639
56.74897639
56.74897639
56.74897639
METODO NASH:
Nash considera que el valor del caudal para un determinado período de retorno se
puede calcular con la ecuación:
donde:
a, b = constantes en función del registro de caudales máximos anuales
Qmáx = caudal máximo para un período de retorno determinado, en m3 /s
T = período de retorno, en años
Los parámetros a y b se estiman utilizando el método de mínimos cuadrados, con la
ecuación lineal: Q = a + bX, utilizando las siguientes ecuaciones:
Donde:
N = número de años de registro
Qi = caudales máximos anuales registrados, en m3 /s
Qm= caudal medio, en m3 /s
Xi = constante para cada caudal Q registrado, en función
de su período de retorno correspondiente
Xm= valor medio de las Xs
El intervalo dentro del cual puede variar el Qmáx calculado por la ecuación, se
obtiene como:
60
Qd (m3/s)
83.649
135.466
209.299
254.912
289.417
323.922
358.426
404.039
438.544
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
Siendo:
El caudal máximo de diseño correspondiente a un determinado período de retorno
será igual al caudal máximo obtenido más el intervalo de confianza calculado, es
decir:
METODO NASH
m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Qmax
(m3/s)
301.88
215.81
155.00
147.50
118.16
114.54
105.25
93.75
93.25
92.50
66.56
63.25
62.40
59.03
58.13
56.88
54.08
53.31
51.78
51.50
49.08
47.31
40.88
40.49
T
T/(T-1)
X
Q*X
Q^2
X^2
42.00
21.00
14.00
10.50
8.40
7.00
6.00
5.25
4.67
4.20
3.82
3.50
3.23
3.00
2.80
2.63
2.47
2.33
2.21
2.10
2.00
1.91
1.83
1.75
1.02
1.05
1.08
1.11
1.14
1.17
1.20
1.24
1.27
1.31
1.35
1.40
1.45
1.50
1.56
1.62
1.68
1.75
1.83
1.91
2.00
2.10
2.21
2.33
-1.98
-1.67
-1.49
-1.36
-1.26
-1.17
-1.10
-1.04
-0.98
-0.93
-0.88
-0.84
-0.79
-0.75
-0.72
-0.68
-0.65
-0.61
-0.58
-0.55
-0.52
-0.49
-0.46
-0.43
-597.80
-361.24
-231.31
-200.87
-148.79
-134.50
-115.92
-97.25
-91.38
-85.82
-58.56
-52.83
-49.52
-44.52
-41.68
-38.76
-35.00
-32.75
-30.16
-28.41
-25.59
-23.27
-18.92
-17.58
91131.53
46573.96
24025.00
21756.25
13960.63
13119.41
11077.56
8789.06
8695.56
8556.25
4430.23
4000.56
3893.76
3484.54
3379.10
3235.33
2924.11
2841.96
2681.17
2652.25
2408.85
2238.24
1671.17
1639.44
3.92
2.80
2.23
1.85
1.59
1.38
1.21
1.08
0.96
0.86
0.77
0.70
0.63
0.57
0.51
0.46
0.42
0.38
0.34
0.30
0.27
0.24
0.21
0.19
61
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
Σ
N° de
datos
40.00
34.38
34.35
33.63
32.38
32.00
31.38
30.91
27.08
24.82
23.63
23.45
22.63
21.00
21.00
20.81
20.00
2665.76
1.68
1.62
1.56
1.50
1.45
1.40
1.35
1.31
1.27
1.24
1.20
1.17
1.14
1.11
1.08
1.05
1.02
2.47
2.63
2.80
3.00
3.23
3.50
3.82
4.20
4.67
5.25
6.00
7.00
8.40
10.50
14.00
21.00
42.00
-0.41
-0.38
-0.35
-0.32
-0.29
-0.26
-0.24
-0.21
-0.17
-0.14
-0.11
-0.07
-0.03
0.01
0.06
0.12
0.21
-24.54
-16.23
1600.00
-12.98
1181.98
-12.01
1179.92
-10.81
1130.98
-9.49
1048.46
-8.46
1024.00
-7.38
984.39
-6.35
955.43
-4.73
733.33
-3.54
616.03
-2.57
558.38
-1.71
549.90
-0.77
512.12
0.19
441.00
1.24
441.00
2.52
433.06
4.21
400.00
-2651.28 302955.90
0.16
0.14
0.12
0.10
0.09
0.07
0.06
0.04
0.03
0.02
0.01
0.01
0.00
0.00
0.00
0.01
0.04
24.80
41.000
1. HALLANDO LOS PROMEDIOS:
Qm = Σ Qi / N
Qm = 65.018
Xm = ΣXi / N
m3/s.
Xm = -0.599
2.CÁLCULO DE PARÁMETROS a y b:
b= -104.386
a= 2.538
3. CÁLCULO DE LAS DESVIACIONES ESTÁNDAR Y COVARIANZA:
Sxx= 414.640
T (años)
2
5
10
25
50
100
200
500
1000
P (%)
50.00
80.00
90.00
96.00
98.00
99.00
99.50
99.80
99.90
Sxq= -43282.455
X
-0.52139
-1.01363
-1.33954
-1.75132
-2.05681
-2.36004
-2.66216
-3.06075
-3.36200
Qmax(m3/s)
56.963
108.346
142.366
185.350
217.239
248.891
280.429
322.036
353.482
62
Sqq= 5314941.680
∆Q
17.814
18.712
20.601
24.044
27.117
30.459
33.994
38.874
42.678
Qd(m3/s)
74.778
127.058
162.967
209.394
244.356
279.351
314.422
360.910
396.160
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
METODO LEBEDIEV:
Este método está basado en suponer que los caudales máximos anuales son
variables aleatorias Pearson tipo III. El caudal de diseño se obtiene a partir de la
fórmula:
Donde:
Los términos que aparecen en las ecuaciones anteriores tienen el siguiente
significado: A = coeficiente que varía de 0.7 a 1.5, dependiendo del número de años
del registro. Cuantos más años de registro haya, menor será el valor del coeficiente.
Si N es mayor de 40 años, se toma el valor de 0.7.
Cs = coeficiente de asimetría, se calcula como:
Por otra parte, Lebediev recomienda tomar los siguientes valores:
Cs = 2Cv para avenidas producidas por deshielo
Cs = 3Cv para avenidas producidas por tormentas
Cs = 5Cv para avenidas producidas por tormentas en cuencas ciclónicas
Donde:
Cv = coeficiente de variación, que se obtiene de la ecuación:
Er = coeficiente que depende de los valores de Cv (ecuación 6.42) y de la
probabilidad P =1/T, su valor se encuentra de la figura 6.3 K = coeficiente que
depende de la probabilidad P = 1/T, expresada en porcentaje de que se repita el
caudal de diseño y del coeficiente de asimetría Cs (tabla 6.17)
63
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
METODO LEBEDIEV
AÑO
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
Σ
N° de datos
Qmax (m3/s)
34.35
47.31
24.82
215.81
114.54
40.88
32.00
49.08
27.08
59.03
30.91
40.49
58.13
53.31
51.78
23.45
21.00
21.00
118.16
62.40
155.00
54.08
301.88
105.25
20.00
40.00
93.25
20.81
147.50
63.25
66.56
34.38
56.88
31.38
32.38
93.75
33.63
92.50
22.63
51.50
23.63
2665.76
41.000
Q/Qm - 1
-0.47
-0.27
-0.62
2.32
0.76
-0.37
-0.51
-0.25
-0.58
-0.09
-0.52
-0.38
-0.11
-0.18
-0.20
-0.64
-0.68
-0.68
0.82
-0.04
1.38
-0.17
3.64
0.62
-0.69
-0.38
0.43
-0.68
1.27
-0.03
0.02
-0.47
-0.13
-0.52
-0.50
0.44
-0.48
0.42
-0.65
-0.21
-0.64
0.00
64
(Q/Qm - 1)^2
0.22
0.07
0.38
5.38
0.58
0.14
0.26
0.06
0.34
0.01
0.28
0.14
0.01
0.03
0.04
0.41
0.46
0.46
0.67
0.00
1.92
0.03
13.27
0.38
0.48
0.15
0.19
0.46
1.61
0.00
0.00
0.22
0.02
0.27
0.25
0.20
0.23
0.18
0.43
0.04
0.41
30.66
(Q/Qm - 1)^3
-0.10
-0.02
-0.24
12.47
0.44
-0.05
-0.13
-0.01
-0.20
0.00
-0.14
-0.05
0.00
-0.01
-0.01
-0.26
-0.31
-0.31
0.55
0.00
2.65
0.00
48.35
0.24
-0.33
-0.06
0.08
-0.31
2.04
0.00
0.00
-0.10
0.00
-0.14
-0.13
0.09
-0.11
0.08
-0.28
-0.01
-0.26
63.39
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
1. HALLANDO LOS PROMEDIOS:
Qm = Σ Qi / N
Qm =
65.018
m3/s.
2. COEFICIENTE DE VARIACIÓN CV:
Cv=
Cv=
√((Σ(Qi/Qm - 1)^2 / N))
0.865
3. COEFICIENTE DE ASIMETRÍA CS:
Cs=
Cs=
(Σ (Qi/Qm - 1)^3) / (N*Cv^3)
2.390
Escogemos el mayor: =====>
Cs=
Cs=
Cs=
3*Cv
2.594
2.6
3. HACIENDO USO DE LAS TABLA Y FIGURA PARA HALLAR ER Y K:
65
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
T (años)
2
5
10
25
50
100
200
500
1000
P (%)
50.00
20.00
10.00
4.00
2.00
1.00
0.50
0.20
0.10
K
0.48000
0.48000
1.21000
2.31500
3.08000
3.86000
4.71000
6.08250
-
Er
0.450
0.980
1.000
1.100
1.200
1.300
1.350
1.390
1.400
∆Q
4.526
9.857
14.546
23.472
31.249
40.087
48.682
61.852
-
Qmax (m3/s)
92.009
92.009
133.056
195.190
238.206
282.065
329.860
407.035
-
Qd (m3/s)
96.535
101.866
147.602
218.662
269.455
322.151
378.542
468.887
-
METODO LOG-PEARSON III
AÑO
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
Qmax
(m3/s)
34.35
47.31
24.82
215.81
114.54
40.88
32.00
49.08
27.08
59.03
30.91
40.49
58.13
53.31
51.78
23.45
21.00
21.00
118.16
62.40
155.00
54.08
301.88
105.25
20.00
40.00
Descendente
301.88
215.81
155.00
147.50
118.16
114.54
105.25
93.75
93.25
92.50
66.56
63.25
62.40
59.03
58.13
56.88
54.08
53.31
51.78
51.50
49.08
47.31
40.88
40.49
40.00
34.38
log Q
log Q 2
log Q 3
2.48
2.33
2.19
2.17
2.07
2.06
2.02
1.97
1.97
1.97
1.82
1.80
1.80
1.77
1.76
1.75
1.73
1.73
1.71
1.71
1.69
1.67
1.61
1.61
1.60
1.54
6.1496
5.4479
4.7976
4.7037
4.2951
4.2393
4.0894
3.8887
3.8795
3.8657
3.3241
3.2438
3.2227
3.1367
3.1131
3.0799
3.0033
2.9819
2.9384
2.9303
2.8592
2.8055
2.5970
2.5836
2.5666
2.3602
15.2499
12.7158
10.5082
10.2013
8.9013
8.7285
8.2696
7.6683
7.6413
7.6005
6.0606
5.8423
5.7853
5.5553
5.4928
5.4051
5.2047
5.1491
5.0368
5.0161
4.8346
4.6990
4.1850
4.1527
4.1118
3.6260
66
(logQlogQp)^2
0.604
0.399
0.238
0.217
0.137
0.127
0.102
0.073
0.071
0.069
0.015
0.010
0.009
0.005
0.004
0.003
0.001
0.001
0.000
0.000
0.000
0.001
0.008
0.009
0.010
0.028
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
Σ
N° de
datos
93.25
20.81
147.50
63.25
66.56
34.38
56.88
31.38
32.38
93.75
33.63
92.50
22.63
51.50
23.63
2665.76
34.35
33.63
32.38
32.00
31.38
30.91
27.08
24.82
23.63
23.45
22.63
21.00
21.00
20.81
20.00
2665.76
1.54
1.53
1.51
1.51
1.50
1.49
1.43
1.39
1.37
1.37
1.35
1.32
1.32
1.32
1.30
69.81
2.3591
2.3309
2.2809
2.2655
2.2398
2.2204
2.0525
1.9455
1.8864
1.8773
1.8352
1.7483
1.7483
1.7378
1.6927
122.32
3.6234
3.5586
3.4448
3.4099
3.3520
3.3086
2.9405
2.7135
2.5909
2.5722
2.4861
2.3116
2.3116
2.2909
2.2022
220.76
0.028
0.031
0.037
0.039
0.042
0.045
0.073
0.095
0.108
0.111
0.121
0.145
0.145
0.148
0.161
3.47
41.000
1. HALLANDO LOS PROMEDIO Y DESVIACION ESTANDAR:
logQp = Σ logQi / N
logQp =
S=
0.294
1.703
2. COEFICIENTE DE SESGO:
n=
Csy =
41.000
0.703
3.CALCULO DE W, Z, C Y K PARA DIFERENTES PERIODOS DE RETORNO:
T (años)
P
W
Z
C
K
2
5
10
25
50
100
200
475
1000
0.500
0.200
0.100
0.040
0.020
0.010
0.005
0.002
0.001
1.177
1.794
2.146
2.537
2.797
3.035
3.255
3.511
3.717
0.000
0.841
1.281
1.751
2.054
2.326
2.576
2.862
3.090
0.117
0.117
0.117
0.117
0.117
0.117
0.117
0.117
0.117
-0.116
0.787
1.330
1.966
2.409
2.830
3.235
3.722
4.128
67
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
T (años)
P (% )
K
Log Q
Q (m3/s)
2
5
10
25
50
100
200
500
1000
50
80
90
96
98
99
99.5
99.800
99.9
-0.116
0.787
1.330
1.966
2.409
2.830
3.235
3.722
4.128
1.669
1.934
2.094
2.281
2.412
2.536
2.655
2.798
2.918
46.62
85.98
124.25
191.20
258.20
343.49
451.85
628.59
828.13
CUADRO RESUMEN CON LOS CAUDALES DE DISEÑO POR LOS DIFERENTES METODOS
ESTADISTICOS CON SU RESPECTIVO PERIODO DE RETORNO
METODO
GUMBEL
LEBEDIEV
NASH
LOG-PEARSON III
2
Qd (m3/s)
84
Qd (m3/s)
97
Qd(m3/s)
75
Qd(m3/s)
47
5
10
25
50
135
209
255
289
102
148
219
269
127
163
209
244
86
124
191
258
100
200
475
1000
324
358
404
439
322
379
469
-
279
314
361
396
343
452
629
828
TR(AÑ0S)
COMENTARIO:
EL METODO DE
PROBABILIDADES EL QUE
MAS DE APROXIMA A LOS
DATOS DE REGISTRO
HISTORICO ES EL METODO
LOG-PEARSON III
68
UNPR
G
COMPARACION DEL CAUDAL DE DISEÑO SEGÚN LOS METODOS DESARROLADOS:
HIDROLOGIA APLICADA
METODOS PROBABILISTICOS
METODO LOGNORMAL 2 P. LOGNORMAL 3 P.
TR(AÑ0S)
Qd (m3/s)
Qd (m3/s)
METODOS ESTADISTICOS
GAMMA 3P.
LOG- PEARSON III
GUMBEL
LOG- GUMBEL
GAMMA 2P.
GUMBEL
LEBEDIEV
NASH
LOG-PEARSON III
Qd(m3/s)
Qd(m3/s)
Qd(m3/s)
Qd(m3/s)
Qd(m3/s)
Qd (m3/s)
Qd (m3/s)
Qd(m3/s)
Qd(m3/s)
2
50
45
46
47
56
45
51
84
97
75
47
5
89
86
94
87
106
82
92
135
102
127
86
10
120
128
135
123
139
122
119
209
148
163
124
25
165
202
191
195
181
202
154
255
219
209
191
50
202
273
236
257
213
292
179
289
269
244
258
100
244
360
282
339
244
423
204
324
322
279
343
200
289
466
330
437
274
611
228
358
379
314
452
475
354
638
390
617
315
992
260
404
469
361
629
1000
410
797
446
813
346
1431
283
439
-
396
828
COMENTARIO:
PARA EL CAUDAL DE
DISEÑO SE SELECIONARÁ
EL METODO QUE MÁS SE
APROXIME AL REGISTRO
HISTORICO, EN ESTE CASO
ENTRE TODOS LOS
METODOS ANTES VISTO,
SIENDO NUESTRO CAUDAL
DE DISEÑO POR EL
METODO LOG -GUMBEL
69
UNPR
G
HIDROLOGIA APLICADA
V.CONCLUSIONES:
•
•
Con base al estudio hidrológico se determinó un caudal
de diseño por el método de LOG GUMBEL que se
aproxima más al registro histórico.
Al evaluar los datos de los caudales mediante análisis de
datos dudosos no cumplía, por ende se procedió a
corregir, con los nuevos valores obtenidos de los caudales
máximos anuales se realizo los métodos explicados.
VI.RECOMENDACIONES:
•
Las estaciones de aforo debido a su gran importancia que
están representan, se deben realizar con la mayor
responsabilidad posible para obtener información confiable.
•
En el estudio de proyectos es recomendable hacer uso de
varios de los métodos presentados, y luego analizar los
resultados obtenidos mediante la experiencia del
especialista.
VII. BIBLIOGRAFIA:
• ” Análisis Comparativo de Métodos de Estimación de
Avenidas de Diseño del Río Verde-Cabanilla-Puno”.
Ángel Darío Canllahui.Universidad Nacional del
Altiplano.
• ” Análisis Comparativo de los Métodos Racional
Modificado Témez.Hidrogramas unitários SCS,
CLARK y Snyder en la obtención de Caudales
Máximos para las Subcuencas Cañad y Alto
Chancay
Lambayeque-cuenca
Chancay”.
Avellaneda Córdova Anavella del Pilar. Montalvo
Esquives Kevin. UNPRG.FICSA
70
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