CIRCUITOS DE ELECTRONICOS III CIRCUITOS DE ENGANCHE PLL 1 RPCG Lazos enganchados por fase, Phase Locked Loops (PLLs) Conceptos previos: • Función de transferencia de sistemas realimentados. • Fases y frecuencias. Función de transferencia en lazo cerrado xe(s) xer(s) G(s) xs(s) Entrada - Planta Salida xr(s) H(s) Red de realimentación xs(s) G(s) = xe(s) 1 + G(s)·H(s) xe y xs pueden ser magnitudes de distinto tipo PLL01 Casos particulares con realimentación negativa 1 + G(s)·H(s) > 1 xe(s) xer(s) G(s) xs(s) Alta ganancia de lazo Entrada - Planta Salida G(s)·H(s) >> 1 xr(s) xs(s) G(s) = xe(s) 1 + G(s)·H(s) xe(s) xer(s) G(s) - Planta xr(s) = xs(s) H(s) Red de realimentación xs(s) xs(s)/xe(s) = 1/H(s) La red de realimentación determina la función de transferencia Con H(s)=1 y G(s) >> 1 xs(s)/xe(s) = 1 xs(s) = xe(s) ¡Ojo!: xs(s) y xe(s) no tienen por qué ser tensiones o corrientes; podrían ser, por ejemplo fases. PLL02 Fases y frecuencias (I) Señal de banda estrecha: v1(t) = a(t)·cos(F(t)) v1(t) t Con amplitud constante: v1(t) = A·cos(F(t)) v1(t) t F(t) es la fase absoluta PLL03 Estructura básica de un PLL (I) ve = Vesen(Fe) vosc = Voscsen(Fosc) ve Entrada vosc V = k(DF) Salida Detector de fases: entrega una tensión proporcional a la diferencia de fases Filtro pasa-bajos: Necesario para filtrar la salida del detector de fases Oscilador controlado por tensión (VCO): la frecuencia de la señal de salida depende de una tensión de control PLL06 Estructura básica de un PLL (II) ve = Vesen(Fe) vosc = Voscsen(Fosc) ve Entrada vosc V = k(DF) Salida Muy importante: como lo que se comparan son las fases de las señales de salida y entrada y como la ganancia de la red de realimentación es 1, el sistema tenderá a anular la diferencia de fases entre estas señales. Los niveles de tensión de ambas no serán similares. En fase vosc ve DF PLL07 Diagrama de bloques de un PLL (I) Estudiamos los PLLs aplicando la teoría de sistemas. Vesen(Fe) Voscsen(Fosc) V = k(DF) Detector de fases: Fe - Fosc Conv. F/V Filtro pasabajos Fosc VCO Hay que localizar un punto de equilibrio para linealizar el funcionamiento del sistema. La clave está en el VCO. PLL08 Diagrama de bloques de un PLL (II) VCO controlado por una tensión vc que puede tomar valores positivos y negativos. + G RG Ojo: en este caso KV > 0 L2 + RC2 + RC1 C22 vc CS S C3 C21 D C1 LCH vosc - R1 - fosc = fosc0 + KV·vc (linealizando el comportamiento del varicap) Por tanto: PLL09 wosc = wosc0 + 2p·KV·vc Diagrama de bloques de un PLL (III) t Como: wosc = wosc0 + 2p·KV·vc Fosc = wosc0·t + 2p·KV· vc·dt 0 Ahora referimos la fase absoluta Fosc a la frecuencia wosc0: Fosc = wosc0·t + fosc(vc) t Siendo fosc(vc) = 2p·KV· vc·dt la fase relativa 0 Hacemos lo mismo (referir a la frecuencia wosc0) la fase absoluta Fe: Fe = wosc0·t + fe Diagrama de bloques relativo a wosc0 fe fe- fosc PLL10 Conv. F/V vDF Filtro pasabajos vc VCO fosc Diagrama de bloques de un PLL (IV) Ecuaciones: t VCO: fosc(vc) = 2p·KV· vc·dt 0 Filtro pasa-bajos vc = F(vDF) fe - Conv. F/V vDF Filtro pasabajos fosc vc VCO Convertidor F/V: vDF = KDF·(Fe – Fosc) = KDF·(fe – fosc) Tomamos transformadas de Laplace y calculamos las funciones de transferencia: VCO: fosc(s)/vc(s) = 2p·KV/s Filtro pasa-bajos vc(s)/vDF(s) = F(s) Convertidor F/V: vDF(s)/Df(s) = KDF Restador de fases: Df(s) = fe(s) – fosc(s) PLL11 Diagrama de bloques de un PLL (V) fe(s) Df(s) - KDF vDF(s) Conv. F/V F(s) fosc(s) vc(s) 2p·KV/s Filtro pasa-bajos VCO Funciones de transferencia (I) Tfo-fe(s) = fosc(s)/fe(s) = 2p·KV·KDF·F(s)/s 1 + 2p·KV·KDF·F(s)/s TDf-fe (s) = Df(s)/fe(s) = 1- Tfo-fe(s) = = 2p·KV·KDF·F(s) s + 2p·KV·KDF·F(s) s s + 2p·KV·KDF·F(s) Tfo-Df(s) = fosc(s)/Df(s) = 2p·KV·KDF·F(s)/s PLL12 Funciones de transferencia (II) fe(s) Df(s) - fosc(s) Tfo-Df(s) Tfo-Df(s) = 2p·KV·KDF·F(s)/s Tfo-fe(s) = vc(s) fe(s) - KDF Tfo-Df(s) F(s) 2p·KV/s fosc(s) 1 + Tfo-Df(s) fe(s) KDF·F(s) - VCO VCO Tvc-fe(s) = vc(s)/fe(s) = KDF·F(s) 1 + 2p·KV·KDF·F(s)/s = vc(s) 2p·KV/s KDF·s·F(s) s + 2p·KV·KDF·F(s) PLL13 Diagrama de bloques de un PLL (V) fe(s) Df(s) - KDF vDF(s) Conv. F/V F(s) vc(s) Filtro pasa-bajos fosc(s) 2p·KV/s VCO Funciones de transferencia (I) Tfo-fe(s) = fosc(s)/fe(s) = 2p·KV·KDF·F(s)/s 2p·KV·KDF·F(s) = 1 + 2p·KV·KDF·F(s)/s s + 2p·KV·KDF·F(s) TDf-fe (s) = Df(s)/fe(s) = 1- Tfo-fe(s) = s s + 2p·KV·KDF·F(s) Tfo-Df(s) = fosc(s)/Df(s) = 2p·KV·KDF·F(s)/s ATE-UO EC PLL12 Funciones de transferencia (II) fe(s) Df(s) - fosc(s) Tfo-Df(s) Tfo-Df(s) = 2p·KV·KDF·F(s)/s Tfo-fe(s) = vc(s) fe(s) - KDF Tfo-Df(s) F(s) 2p·KV/s fosc(s) 1 + Tfo-Df(s) fe(s) KDF·F(s) - VCO VCO Tvc-fe(s) = vc(s)/fe(s) = KDF·F(s) vc(s) 2p·KV/s KDF·s·F(s) = 1 + 2p·KV·KDF·F(s)/s s + 2p·KV·KDF·F(s) ATE-UO EC PLL13 Funciones de transferencia (III) fe(s) Df(s) - Tfo-Df(s) fosc(s) TDf-fe (s) = s s + 2p·KV·KDF·F(s) Condición para que fosc(s) siga a un escalón de fe(s) en régimen permanente: que Df(s) se anule en régimen permanente Escalón en fe(s): fe(s) = fe1/s Entonces: Df(s) = TDf-fe (s)·fe(s) = TDf-fe (s)· fe1/s fe1 Df(s) = s + 2p·KV·KDF·F(s) Teorema del Valor Final: lim Df(t) = lim s·Df(s) = ATE-UO EC PLL14 t→ s→0 fe1·s s + 2p·KV·KDF·F(s) Funciones de transferencia (IV) fe(s) Df(s) - Tfo-Df(s) fosc(s) lim s·Df(s) = s→0 fe1·s s + 2p·KV·KDF·F(s) Para que lim Df(t) → 0 F(s) s ·F’(s) t→ Es decir, F(s) no puede tener un cero en cero. Por ejemplo: F(s) = 1/(1+ R·C·s) R Entrada vale como filtro. F(s) C Salida ATE-UO EC PLL15 Funciones de transferencia (V) R Tfo-fe(s) fe(s) - fosc(s) Entrada Ejemplo: Kv = 105 Hz/V R·C = 10-6/p s Tfo-fe(wj) 20 Salida 2p·KV·KDF·F(s) s + 2p·KV·KDF·F(s) KDF = 1-100 V/rad F(wj) KDF = 100 0 -20 -40 -60 103 ATE-UO EC PLL16 C Tfo-Df(s) Tfo-fe(s) = Diagrama de Bode F(s) KDF = 1 10 104 105 f [Hz] 106 107 Funciones de transferencia (VI) Fe fe(s) PLL PLL Fosc fosc(s) Tfo-fe(s) Aplicamos los conceptos de frecuencia instantánea y frecuencia relativa a Fe y a Fosc : d(Fe(t))/dt = We(t) = wosc0 + we(t) d(Fosc(t))/dt = Wosc(t) = wosc0 + wosc(t) siendo: we(t) = d(fe(t))/dt wosc(t) = d(fosc(t))/dt Tomamos transformadas de Laplace: we(s) = s·fe(s) wosc(s) = s·fosc(s) we(s) PLL wosc(s) Tfo-fe(s) Por tanto: Tfo-fe(s) = fosc(s)/fe(s) = wosc(s)/we(s) ATE-UO EC PLL17 Respuesta temporal ante un escalón en We(t) (I) wosc0 We wosc0 we1 t We(t) Fe PLL Wosc(t) Wosc t Fosc t t we(s) PLL wosc(s) Tfo-fe(s) we(s) = we1/s wosc(s) = Tfo-fe(s)·we(s) = 2p·KV·KDF·F(s) s + 2p·KV·KDF·F(s) ·we1/s ATE-UO EC PLL18 Respuesta temporal ante un escalón en We(t) (II) we(s) wosc(s) PLL Tfo-fe(s) wosc(s) = Ejemplo anterior: 2p·KV·KDF·F(s) s + 2p·KV·KDF·F(s) ·we1/s wosc(t) KDF = 100 KDF = 10 we1 F(t) 0 ATE-UO EC PLL19 KDF = 1 2 t [ms] 4 6 Respuesta temporal ante un escalón en We(t) (III) wosc0 We We(t) we1 t PLL Wosc(t) wosc0 Wosc t Resumen de la respuesta ante un escalón en la frecuencia de entrada: • Con una simple red RC como filtro, la frecuencia de la señal de salida en régimen permanente es la misma que la de entrada. • La rapidez en la respuesta y la sobreoscilación depende del producto KV·KDF. ¿Qué pasa con la fase de la señal de salida del oscilador ante un escalón en la frecuencia de entrada? Fe We(t) t PLL Wosc(t) Fosc t ? ATE-UO EC PLL20 Respuesta temporal ante un escalón en We(t) (IV) fe(s) Df(s) - Tfo-Df(s) fosc(s) Como: we(s) = we1/s entonces: fe(s) = we(s)/s = we1/s2 Aplicando el Teorema del Valor Final: lim Df(t) = lim s·Df(s) = lim s·TDf-fe (s)·fe(s) t→ s→0 lim Df(t) = lim t→ s→0 we1 s → 0 s + 2p·KV·KDF·F(s) = we1 2p·KV·KDF·F(0) Luego si queremos que lim Df(t) = 0, entonces KV·KDF·F(0) → t→ Es decir, hace falta un elemento con ganancia infinita en continua (por ejemplo, en el filtro). ATE-UO EC PLL21 Conceptos de Orden y de Tipo de un PLL Tfo-fe(s) = fosc(s)/fe(s) fe(s) Df(s) - Tfo-Df(s) fosc(s) Tfo-Df(s) = fosc(s)/Df(s) = = 2p·KV·KDF·F(s)/s Tfo-fe(s) = Tfo-Df(s) 1 + Tfo-Df(s) Orden: Número de polos de Tfo-fe(s) Tipo: Número de polos en s = 0 de Tfo-Df(s) ATE-UO EC PLL22 Ejemplo de la determinación del Orden y de Tipo de un PLL Ejemplo: Red RC como filtro: F(s) = 1/(1+ R·C·s) 2p·KV·KDF·F(s 2p·KV·KDF Tfo-fe(s) = = ) s + 2p·K ·K ·F(s) R·C·s2 + s + 2p·K ·K V DF V DF Orden 2 (2 polos) Tfo-Df(s) = 2p·KV·KDF·F(s)/s = 2p·KV·KDF s·(1+ R·C·s) Tipo 1 (1 polo en s = 0) Como siempre la función de transferencia del integrador tiene un polo en cero, el Tipo mínimo posible es 1. ATE-UO EC PLL23