FB1S ALGEBRA-MAT1

COLEGIO DE BACHILLERES
DEL ESTADO DE SONORA
Director General
Mtro. Jorge Luis Ibarra Mendívil
Director Académico
Profr. Julio Alfonso Martínez Romero
Director de Administración y Finanzas
C.P. Jesús Urbano Limón Tapia
Director de Planeación
Mtro. Pedro Hernández Peña
MATEMÁTICAS 1
Módulo de Aprendizaje.
Copyright ©, 2009 por Colegio de Bachilleres
del Estado de Sonora
todos los derechos reservados.
Segunda edición 2010. Impreso en México.
DIRECCIÓN ACADÉMICA
Departamento de Desarrollo Curricular
Blvd. Agustín de Vildósola, Sector Sur
Hermosillo, Sonora. México. C.P. 83280
Registro ISBN, en trámite.
COMISIÓN ELABORADORA:
EQUIPO TÉCNICO
Coordinación general:
Luz María Grijalva Díaz
Elaboradores disciplinares:
Alma Lorenia Valenzuela Chávez
Matemáticas 1
Nydia Gabriela Estrella
Química 1
Luz María Grijalva Díaz
Introducción a las Ciencias Sociales
Diego Navarro Gil
Taller de Lectura y Redacción 1
María del Socorro Salas Meneses
Ética y Valores 1
María Enedina Duarte Camacho
Informática 1
Moisés Galaz Duarte
Lengua Adicional al Español 1
Gabriela Rivera Ramos
Orientación Educativa 1
Revisión Disciplinaria:
Guadalupe Borgo Valdez
Jesús Rolando Gutiérrez Duarte
Corrección de Estilo:
Flora Inés Cabrera Fregoso
Diseño:
Joaquín Rivas Samaniego
Grupo Editorial:
Bernardino Huerta Valdez
Cynthia Deyanira Meneses Avalos
Francisco Peralta Varela
Joaquín Rivas Samaniego
Coordinación Técnica:
Claudia Yolanda Lugo Peñúñuri
Coordinación General:
Profr. Julio Alfonso Martínez Romero
Esta publicación se terminó de imprimir durante el mes de junio de 2010.
Diseñada en Dirección Académica del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora
Blvd. Agustín de Vildósola; Sector Sur. Hermosillo, Sonora, México
La edición consta de 11,737 ejemplares.
2
PRELIMINARES
DATOS DEL ALUMNO
Nombre: _______________________________________________________________
Plantel: __________________________________________________________________
Grupo: _________________ Turno: _____________ Teléfono:___________________
E-mail: _________________________________________________________________
Domicilio: ______________________________________________________________
_______________________________________________________________________
Ubicación Curricular
COMPONENTE:
HORAS SEMANALES:
FORMACIÓN BÁSICA
05
CAMPO DE CONOCIMIENTO:
CRÉDITOS:
MATEMÁTICAS
10
PRELIMINARES
3
4
PRELIMINARES
Índice
Presentación .................................................................................................................................................... 7
Mapa conceptual............................................................................................................................................. 8
BLOQUE 1. RESUELVE PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS ...................................... 9
Secuencia didáctica 1. Conociendo los números ........................................................................................ 10
Diferentes formas de representar números............................................................................................. 11
Secuencia didáctica 2. Jerarquía de operaciones ....................................................................................... 23
Símbolos de agrupación.......................................................................................................................... 24
Secuencia didáctica 3. Expresiones algebraicas ......................................................................................... 27
Lenguaje algebraico ................................................................................................................................ 28
BLOQUE 2: UTILIZA MAGNITUDES Y NÚMEROS REALES ........................................................... 35
Secuencia didáctica 1.
1 Los números reales ................................................................................................. 36
Los números Naturales ............................................................................................................................ 38
Los números Enteros ............................................................................................................................... 38
Los números Racionales ......................................................................................................................... 39
Los números Irracionales......................................................................................................................... 40
Propiedades de los números Reales ...................................................................................................... 43
Operaciones de números enteros ........................................................................................................... 48
Operaciones con números racionales .................................................................................................... 56
Secuencia didáctica 2.
2 Razones y proporciones ........................................................................................ 62
Razones ................................................................................................................................................... 64
Proporciones ............................................................................................................................................ 66
BLOQUE 3: REALIZA SUMAS Y SUCESIONES DE NÚMEROS ..................................................... 71
Secuencia didáctica 1.
1 Sucesiones y series................................................................................................. 72
Sucesiones ............................................................................................................................................... 74
Series........................................................................................................................................................ 83
BLOQUE 4: REALIZA TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS I ................................................... 91
Secuencia didáctica1.
idáctica1 Polinomios de una variable ...................................................................................... 92
Leyes de los exponentes ......................................................................................................................... 93
Polinomios ................................................................................................................................................ 94
Operaciones con polinomios................................................................................................................... 95
Productos Notables ............................................................................................................................... 101
Secuencia didáctica 2.
2 Factorización de polinomios ................................................................................. 108
Factorización .......................................................................................................................................... 109
BLOQUE 5: REALIZA TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS II ................................................ 117
Secuencia didáctica 1. Continuación de Factorización de polinomios ..................................................... 118
Continuación de Factorización .............................................................................................................. 119
Secuencia didáctica 2.
2 Fracciones algebraicas ......................................................................................... 127
Multiplicación de fracciones .................................................................................................................. 128
División de fracciones ............................................................................................................................ 131
BLOQUE 6: RESUELVE ECUACIONES LINEALES I..................................................................... 135
Secuencia didáctica 1.
1 Ecuaciones lineales............................................................................................... 136
Despeje de ecuaciones lineales ............................................................................................................ 137
Secuencia didáctica 2.
2 Relación de la ecuación de primer grado con la función lineal ........................... 153
Construcción de gráficas a partir de ecuaciones lineales .................................................................... 154
Construcción de la gráfica de la función lineal ..................................................................................... 159
PRELIMINARES
5
Índice (continuación)
BLOQUE 7: RESUELVE ECUACIONES LINEALES II.................................................................... 169
Secuencia didáctica 1.
1 Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas (2x2) ........................... 170
Interpretación gráfica ............................................................................................................................. 172
Secuencia didáctica 2.
2 Métodos para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas .......... 180
Métodos de Reducción.......................................................................................................................... 182
Método numérico de Determinantes (Regla de Cramer)...................................................................... 198
BLOQUE 8: RESUELVE ECUACIONES LINEALES III................................................................... 207
Secuencia didáctica 1.
1 Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas (3 x 3) ..................................... 208
Interpretación gráfica ............................................................................................................................. 212
Secuencia didáctica 2.
2 Métodos para resolver sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas........... 216
Métodos de Reducción.......................................................................................................................... 217
Método numérico de Determinantes ..................................................................................................... 223
BLOQUE 9: RESUELVE ECUACIONES CUADRÁTICAS I ............................................................ 237
Secuencia didáctica 1.
1 Ecuaciones de segundo grado con una incógnita .............................................. 238
Métodos algebraicos de resolución de ecuaciones de segundo grado.............................................. 242
Secuencia didáctica 2. Funciones cuadráticas .......................................................................................... 265
Gráfica de la función cuadrática............................................................................................................ 267
Aplicaciones de la función cuadrática................................................................................................... 286
Glosario ....................................................................................................................................................... 291
Bibliografía ................................................................................................................................................... 294
6
PRELIMINARES
Presentación
El presente Módulo de Aprendizaje de la asignatura de: Matemáticas 1, está diseñado considerando el modelo de
competencias y el enfoque centrado en el Aprendizaje, respondiendo así a las nuevas disposiciones establecidas
en la Reforma Integral de la Educación Media Superior implementada a nivel nacional. La estructura de este
material didáctico integra competencias genéricas y disciplinares básicas que desarrollarás con aprendizajes
múltiples, que permitirán apropiarte del conocimiento en forma crítica, analítica y propositiva.
Con la mediación del maestro(a), este módulo te guiará a una nueva experiencia, a un reto: construir tu propio
conocimiento.
Es un documento guía que se verá enriquecido con las orientaciones y aportaciones de tu maestro (a), para
cumplir con su cometido final, y como alumno profundices con autonomía, disciplina científica e interés intelectual,
en tu propio conocimiento.
Tu institución, el Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora, ha trabajado fuerte y sin límite alguno, para
entregarte un módulo perfectible y a la vez, de la calidad que lo requiere la Reforma, la Sociedad Mundial y sobre
todo tú como alumno (a).
PRELIMINARES
7
MATEMÁTICAS 1
contiene
ÁLGEBRA
con el fin de
RESOLVER PROBLEMAS
para ello requiere adquirir conocimientos de
Introducción al Álgebra
Polinomios de una
variable
Despeje de
ecuaciones lineales
Sistemas de dos
ecuaciones con dos
incógnitas
Sistemas de tres
ecuaciones con tres
incógnitas
Ecuaciones de
segundo grado de
una incógnita
la cual consta de
Requieren de
• Conocer los números
• La jerarquía de las
operaciones
• Expresiones
algebraicas
• Los números reales y
sus propiedades
• Razones y
proporciones
• Leyes de los
exponentes
• Operaciones con
exponentes
• Productos notables
• Factorización
• Simplificación de
fracciones
se necesita
• Formas de la
ecuación lineal
• Relación de la
ecuación lineal con
la función lineal
• Graficas de
ecuaciones y
funciones lineales
contiene
Interpretación gráfica
Métodos de solución
Graficación
Métodos algebraicos
y se dividen en
los cuales son
Reducción
se divide en
• Series y sucesiones
Se resuelve mediante
• Suma o resta
• Sustitución
• Igualación
Numérico
es
• Determinantes
(Regla de
Cramer)
• Despeje
• Factorización
• Fórmula
general
Resuelve problemas aritméticos y algebraicos
Unidades de competencia:
Construye e interpreta modelos aritméticos, algebraicos y gráficos, aplicando las
propiedades de los números reales y expresiones aritméticas y algebraicas, relacionando
magnitudes constantes y variables, y empleando las literales para la representación y
resolución de situaciones y/o problemas aritméticos y algebraicos concernientes a su vida
cotidiana y escolar, que le ayudan a explicar y describir su realidad.
Identifica las características presentes en tablas, gráficas, mapas, diagrama o textos,
provenientes de situaciones cotidianas y los traduce a un lenguaje aritmético y/o algebraico.
Atributos a desarrollar en el bloque:
4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o
gráficas.
5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada
uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.
5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar
información.
6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina
entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad.
7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.
8.1 Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo,
definiendo un curso de acción con pasos específicos.
8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera
reflexiva.
8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con
los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
Tiempo asignado: 8 horas
Secuencia didáctica 1.
Conociendo los números.
Inicio

Actividad: 1
Lee cuidadosamente las siguientes preguntas y contesta según tu proceder y el de
tus profesores de Matemáticas de secundaria.
1.
¿Se te dificultan las Matemáticas? Si es así, describe por qué
2.
¿De qué forma aplicas las Matemáticas en tu entorno?
3.
¿Qué tipo de apoyos didácticos utilizaban tus profesores de Matemáticas en sus clases y cómo los
usaban?
4.
Marca con una  la frecuencia con que el profesor utilizaba las siguientes estrategias.
Estrategias
Siempre
Casi siempre
Casi nunca
Tareas individuales
Tareas en equipo
Exposición por parte del docente
Exposición por parte del alumno
Investigación
Proyectos
Mapas conceptuales
Resumen
Solución de casos
Lluvia de ideas
Portafolio de evidencias
5.
¿Qué cambiarías de la clase de Matemáticas para que fuera más significativa para ti?
Evaluación
Actividad: 1
Conceptual
Identifica las estrategias
aplicadas por su profesor de
matemáticas en secundaria.
Autoevaluación
10
Producto: Cuestionario.
Puntaje:
Saberes
Procedimental
Actitudinal
Reconoce las estrategias utilizadas
Se compromete con actitud
por los profesores de matemáticas
propositiva a reflexionar el
en secundaria y distingue la
cuestionario que se le plantea.
aplicación de las matemáticas en
su entorno.
C
MC
NC
Calificación otorgada por el docente
RESUELVE PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
Nunca
Desarrollo
Diferentes formas de representar números.
La necesidad de contar se originó en tiempos primitivos, el hombre requería contar en
aquellos tiempos sus pertenencias como: las piezas de caza, los utensilios, los
miembros de la tribu, entre otras más. Algunas investigaciones antropológicas han
encontrado muescas ordenadas talladas en paredes rocosas que son evidencia de
numeración antigua.
Existen vestigios de diferentes tipos de numeración, algunos de los cuales se presentan
a continuación.
CIVILIZACIÓN
SIMBOLOGÍA
Numeración Antigua Egipcia
Numeración Romana
I
V
X
L
C
D
M
1
5
10
50
100
500
1000
Numeración Antigua Griega
Numeración Antigua Griega durante
el siglo III A.C.
Numeración Maya
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
16
17
18
19
15
BLOQUE 1
11
Actividad: 2
Completa la tabla, determinando la civilización, el número o la representación
correspondiente
CIVILIZACIÓN
NÚMERO
REPRESENTACIÓN
Numeración
Antigua Griega
durante el siglo III
A.C.
Numeración Maya
14
Numeración
Antigua Griega
6860
Numeración
Egipcia
10141
MCMXCIX
Actividad: 2
Conceptual
Conoce la forma de los
números de algunas culturas
antiguas
Autoevaluación
12
Evaluación
Producto: Complementación de la
tabla.
Saberes
Procedimental
Ubica los nombres y formas de
algunos números antiguos.
Realiza la escritura y la identificación
de algunos números antiguos.
C
MC
RESUELVE PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
NC
Puntaje:
Actitudinal
Acepta la dificultad de la
expresión de los números de
algunas culturas antiguas.
Aprecia la necesidad de utilizar
un sistema de numerología más
práctico.
Calificación otorgada por el docente
La complejidad con la que se escribían los números hizo necesaria una nueva
escritura: los números indoarábigos.
Los números son necesarios en todo lo que nos rodea, los utilizamos en el hogar, la
industria, la agricultura, el comercio, etc., sobre todo en el comercio, dado que
definitivamente somos una sociedad de consumo en la que se requiere estar al tanto
de ofertas, rebajas, cambios monetarios y de cómo fluctúa la economía en nuestro
país.
El porcentaje juega un papel muy importante en el manejo de cantidades, éste es una
de las expresiones matemáticas más utilizadas. En los medios de comunicación
existe una diversidad de formas de expresar porcentajes y constantemente los
encontraremos en gráficas y tablas.
Durante los Censos Económicos 1 se recopiló información de 864 plantas
potabilizadoras de agua y 632 plantas tratadoras. De ahí se concluye que para cuidar
este recurso se requiere de la capacitación de hombres y mujeres en la captación,
tratamiento y suministro de agua. Otro resultado indica que de las 96,803 personas
que laboran en el sector, 84.8% son hombres y 15.2%, mujeres.
Datos curiosos
Existe una numeración
especial que usan los
comerciantes para que el
cliente no conozca el
precio real del producto y
a su vez esté presente en
la mercancía, le llaman el
código oculto, el cual
consiste en elegir una
palabra de 10 letras
diferentes y asignarle los
números dígitos.
Las funciones que realizan los trabajadores son de mantenimiento a las redes de distribución de agua, control de
calidad del agua potable, estudios de impacto en medioambiente, emisión y cobro de recibos, así como diversos
trabajos administrativos y contables.
Ejemplos como éste, existen muchos en los medios de comunicación. Es muy
necesario entender el uso de los porcentajes e interpretarlos y sobre todo saber
calcularlos, debido a que en cualquier momento podemos requerir de ellos.
Cuando una persona invierte el 10 % de su sueldo en pagar el plan de su telefonía
celular, se gasta $10 de cada $100 que gana. Se puede expresar el tanto por ciento
como una fracción que tiene denominador 100, en este caso sería
10
, que significa 10
100
de cada 100, y como sabemos, cualquier fracción se puede expresar en forma decimal
realizando la operación de división.
1
http://cuentame.inegi.gob.mx/economia/parque/Agua.html
BLOQUE 1
13
Todo lo anterior se puede resumir en la siguiente tabla.
Porcentaje
Se lee
Fracción
Decimal
Significado
15 %
Quince por ciento
15/100
0.15
15 de cada 100
50 %
Cincuenta por ciento
50/100
0.5
50 de cada 100
6%
Seis por ciento
6/100
0.06
6 de cada 100
Para calcular el porcentaje de cantidades sólo es necesario multiplicar el porcentaje (en su
expresión decimal) por la cantidad, como por ejemplo:
El 38% del alumnado de una preparatoria de Ciudad Obregón son mujeres, si su población total
es de 1230 ¿cuántas mujeres hay?
El resultado a este problema se obtiene convirtiendo primero 38% a su expresión decimal y esto
se obtiene dividiendo 38 entre 100, para posteriormente multiplicarlo por 1230 obteniendo así la
cantidad de mujeres que hay.
38
= 0.38
100
1230 (0.38) = 467.4
Por lo que resulta que hay 467 alumnas en esa preparatoria.
Sitios Web recomendados:
En la siguiente página de Internet puedes practicar la obtención de porcentajes.
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Porcentajes_mprevelles/Cal
culo_porcentajes.htm
14
RESUELVE PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
Actividad: 3
Encuentra la solución de cada uno de los siguientes problemas.
1.
En el colegio se llevarán a cabo los eventos deportivos y en uno de los planteles el 25 % del
alumnado practica algún deporte; si el plantel tiene 1620 alumnos. ¿Cuántos alumnos pueden
participar en algún evento deportivo?
2.
El precio de una blusa es $320 y el impuesto al valor agregado es del 15 %. ¿Cuál es el valor total de
la blusa?
3.
Gustavo fue a comprar un libro que costaba $420 y cuando pasó a la caja le dijeron que tenía
descuento y sólo pagó $352.80. ¿A qué porcentaje corresponde el descuento aplicado?
4.
La caja de ahorros de la empresa donde trabaja Sandra le ofrece un 5% anual para los $ 8000 que
tiene ahorrados. ¿Qué interés obtendrá Sandra por su capital en un año?
Evaluación
Actividad: 3
Conceptual
Identifica la existencia de los
números decimales en la
aplicación de porcentajes.
Autoevaluación
Producto: Problemas de aplicación.
Saberes
Procedimental
Realiza la obtención de porcentajes.
C
MC
NC
Puntaje:
Actitudinal
Se interesa en cómo se relacionan
los decimales con su vida diaria.
Calificación otorgada por el docente
BLOQUE 1
15
Para transformar una fracción a decimal es muy sencillo, sólo es necesario
llevar a cabo la división, pero para convertir de decimal a fracción es necesario
primero identificar el tipo de decimal para después decidir qué procedimiento
utilizar.
Ejemplo:
5
= 0.5
10
429
= 4.29
100
19
= 0.76
25
43
= 7.1666... = 7.1 6
6
53
= 4.8181... = 4.81
11
Algunas cantidades
conocidas expresadas con
decimales son:
Masa del electrón:
9.1× 10 −28 uma
Cantidad de pesticidas
permitidos en agua
potable:
0.0005 mg / lt
Gravedad promedio en la
tierra:
9.8 m / s 2
Densidad del Helio:
0.126 g / ml
A continuación se nombrará y ejemplificará cada uno de los diferentes decimales y sus trasformaciones a fracción.
1.
Decimales finitos: Son aquéllos cuya cifra decimal tiene fin.
Ejemplo: 5.25, 0.006, 3.575, 0.1, 4.94
Para convertir cada uno de ellos a fracción se requiere eliminar el punto, dividiendo entre 10 si termina en décimas, en
100 si termina en centésimas, entre 1000 si termina en milésimas, y así sucesivamente; y posteriormente simplificar la
fracción obtenida, si acaso es simplificable.
1
10
525 21
5.25 =
=
100
4
494 247
4.94 =
=
100 50
3575 143
3.575 =
=
1000 40
6
3
0.0006 =
=
10000 5000
0.1 =
16
RESUELVE PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
Verifica cada uno de estos resultados en tu calculadora.
2.
Decimales infinitos. Son aquéllos con cifras decimales que no tienen fin, es decir que siguen infinitamente;
éstos pueden ser infinitos periódicos o semiperiódicos.
Decimales infinitos periódicos. Son aquéllos que tienen una o más cifras decimales repetidas infinitamente,
formando así el periodo.
Para convertir a fracción este tipo de números, se requiere eliminar la extensión decimal y realizar un
proceso de conversión. A continuación se muestra este proceso.
Ejemplos: Convertir los siguientes números con extensión decimal a fracción.
1) 0. 3
Proceso
Se expresa el número en su forma infinita
Se le asigna una letra al número
Con base en el primer número se crea otro con la misma
extensión, multiplicando éste por 10
Para eliminar la extensión se realiza una resta de los números
anteriores
Se realiza el despeje y la simplificación, si es posible
Transformación
0. 3 = 0.333...
n = 0.333...
10 n = 3.333...
10 n = 3.333...
− n = 0.333...
9n = 3
n=
3 1
=
9 3
2) 2. 6
Proceso
Se expresa el número en su forma infinita
Se le asigna una letra al número
Con base en el primer número se crea otro con la misma
extensión, multiplicando éste por 10
Para eliminar la extensión se realiza una resta de los números
anteriores
Se realiza el despeje y la simplificación, si es posible
Transformación
2. 6 = 2.666...
n = 2.666...
10 n = 26.666...
10 n = 26.666...
− n = 2.666...
9n = 24
n=
24 8
=
9
3
BLOQUE 1
17
3) 4. 25
Proceso
Se expresa el número en su forma infinita
Se le asigna una letra al número
Con base en el primer número se crea otro con la misma
extensión, multiplicando éste por 100
Para eliminar la extensión se realiza una resta de los
números anteriores
Se realiza el despeje y la simplificación, si es posible
Transformación
4.25 = 4.2525...
n = 4.2525...
100 n = 425.2525...
100n = 425.2525...
− n = 4.2525...
99 n = 421
n=
421
99
4) 0.324
Proceso
Se expresa el número en su forma infinita
Se le asigna una letra al número
Con base en el primer número se crea otro con la misma
extensión, multiplicando éste por 1000
Para eliminar la extensión se realiza una resta de los
números anteriores
Se realiza el despeje y la simplificación, si es posible
Transformación
0.324 = 0.324324...
n = 0.324324...
1000 n = 324.324324...
1000 n = 324.324324...
− n = 0.324324...
999 n = 324
n=
324 12
=
999 37
Verifica cada uno de estos resultados en tu calculadora.
Decimales infinitos semiperiódicos. Son decimales que aparecen con una o más cifras antes del periodo. Las cifras
que no son periódicas se llaman antiperiodo.
Este caso es similar al proceso anterior, sólo que se requiere buscar la forma de obtener la misma extensión
decimal, para esto se multiplicará el número por 10, 100, 1000, etc. dependiendo del antiperiodo y se realizarán
combinaciones de sustracción, como se verá en los siguientes ejemplos.
18
RESUELVE PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
Ejemplos:
1) 0.1 5
Proceso
Se expresa el número en su forma infinita
Se le asigna una letra al número
Transformación
0.1 5 = 0.1555...
n = 0.1555...
Con base en el primer número se crea otro con la misma
extensión, multiplicando éste por 100, debido a que hasta ahí
llega la primera cifra del periodo
100 n = 15.555...
Con base en el primer número se crea otro con la misma
extensión, multiplicando éste por 10, debido a que hasta ahí llega
el antiperiodo.
10 n = 1.555...
Para eliminar la extensión se realiza una resta de los números
anteriores
Se realiza el despeje y la simplificación, si es posible
100 n = 15.555...
− 10 n = 1.555...
90 n = 14
n=
14 7
=
90 45
2) 0.252
Proceso
Se expresa el número en su forma infinita
Se le asigna una letra al número
Con base en el primer número se crea otro con la misma
extensión, multiplicando éste por 1000, debido a que hasta ahí
llega la primera cifra del periodo
Con base en el primer número se crea otro con la misma
extensión, multiplicando éste por 100, debido a que hasta ahí
llega el antiperiodo.
Para eliminar la extensión se realiza una resta de los números
anteriores
Se realiza el despeje y la simplificación, si es posible
Transformación
0.25 2 = 0.25222...
n = 0.25222...
1000 n = 252.222...
100 n = 25.222...
1000 n = 252.222...
− 100 n = 25.222...
900 n = 227
n=
227
900
BLOQUE 1
19
3) 0.1545
Proceso
Se expresa el número en su forma infinita
Se le asigna una letra al número
Con base en el primer número se crea otro con la misma
extensión, multiplicando éste por 10000, debido a que hasta ahí
llega el primer periodo
Con base en el primer número se crea otro con la misma
extensión, multiplicando éste por 100, debido a que hasta ahí
llega el antiperiodo.
Transformación
0.1545 = 0.154545...
n = 0.154545...
10000n = 1545.4545...
100 n = 15.4545...
10000 n = 1545.4545...
Para eliminar la extensión se realiza una resta de los números
anteriores
Se realiza el despeje y la simplificación, si es posible
− 100 n =
15.4545...
9900 n = 1530
n=
1530 17
=
9900 110
4) 2.4 6
Proceso
Se expresa el número en su forma infinita
Se le asigna una letra al número
Con base en el primer número se crea otro con la misma
extensión, multiplicando éste por 100, debido a que hasta ahí
llega el primer periodo
Con base en el primer número se crea otro con la misma
extensión, multiplicando éste por 10, debido a que hasta ahí
llega el antiperiodo.
Para eliminar la extensión se realiza una resta de los números
anteriores
Se realiza el despeje y la simplificación, si es posible
Transformación
2.4 6 = 2.4666...
n = 2.4666...
100 n = 246.666...
10 n = 24.666...
100 n = 246.666...
− 10 n = 24.666...
90 n = 222
n=
222 37
=
90 15
3. Decimales infinitos no periódicos. Son aquéllos cuya extensión decimal no se acaba y no se repiten; en este
caso, estos números no se pueden convertir en fracción. Los decimales infinitos no periódicos se manejarán en
el próximo bloque.
Verifica cada uno de estos resultados en tu calculadora.
20
RESUELVE PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
Actividad: 4
Realiza las siguientes conversiones, de fracción a decimal y de decimal a fracción y
comprueba cada uno de los resultados en tu calculadora.
De fracciones a decimales.
2
1) =
5
2)
7
=
5
3)
1
=
3
4)
11
=
100
5)
82
=
225
6)
41
=
90
7)
14
=
9
8)
47
=
10
De decimales a fracciones.
1) 0.52 =
2) 0.45 =
3) 7.5 =
4) 0.2 15 =
5) 2.102 =
6) 1.6129 =
Evaluación
Actividad: 4
Conceptual
Identifica la necesidad de
expresar en diferentes formas
los números decimales.
Autoevaluación
Producto: Ejercicios de conversión.
Saberes
Procedimental
Obtiene la conversión de los números
decimales en sus diferentes formas de
expresión.
Realiza la comprobación (con la calculadora)
de las operaciones obtenidas en la actividad.
C
MC
NC
Puntaje:
Actitudinal
Reconoce el proceso de
transformación de los
decimales.
Aprecia el uso adecuado
de la calculadora en el
proceso de aprendizaje.
Calificación otorgada por el
docente
BLOQUE 1
21
Cierre
Actividad: 5
De diferentes fuentes oficiales, recoleta información relevante en tu vida cotidiana,
que contenga números decimales y porcentajes. Coméntala en clase y entrega un
reporte de tu investigación.
Recomendaciones: las fuentes pueden ser del INEGI, SHCP, SECTUR, etc
Evaluación
Actividad: 5
Producto: Reporte de investigación.
Puntaje:
Saberes
Conceptual
Reconoce los decimales y
porcentajes.
Autoevaluación
22
Procedimental
Realiza una búsqueda de información
que contenga números decimales,
que provengan de fuentes de
investigación.
Analiza porcentajes de situaciones o
casos investigados.
C
MC
NC
RESUELVE PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
Actitudinal
Formula juicios de la información
obtenida de las fuentes de
consultadas.
Calificación otorgada por el docente
Secuencia didáctica 2.
Jerarquía de operaciones.
Inicio

Actividad: 1
Realiza las siguientes operaciones sin usar calculadora y, posteriormente, úsala
para verificar su resultado. Comparte tu trabajo con tus compañeros y comenten las
diferencias.
1) 4 − 3 • 5 + 1 =
2) (7 − 2) • 6 − 9 =
3) 10 + 3 • (4 − 6 ) =
4) (4 + 2) • (11 − 3) =
5) 8 + 14 ÷ (2 − 9) =
6) (4 + 2) ÷ 6 − 2 =
Evaluación
Producto: Solución de
problemas con operaciones.
Actividad: 1
Puntaje:
Saberes
Conceptual
Identifica la jerarquía de las
operaciones de los números
(reales).
Procedimental
Aplica las operaciones entre los
diferentes tipos de números.
C
Autoevaluación
MC
NC
Actitudinal
Reconoce la importancia de la
jerarquía de las operaciones y
del uso de la calculadora.
Calificación otorgada por el
docente
BLOQUE 1
23
Desarrollo
Símbolos de agrupación.
Ciertas expresiones incluyen símbolos de agrupación “( )”, “[ ]”, “{ }” que, dependiendo de su ordenamiento, es
necesario expresarlas correctamente o pueden llevar a resultados diferentes. Los signos y símbolos usados en
lenguaje matemático tienen una función análoga a los signos de puntuación usados en el lenguaje común; por
ejemplo en la siguiente frase.
“María dijo el psicólogo es incoherente en su comportamiento”
María dijo, el psicólogo es incoherente en su comportamiento
María, dijo el psicólogo, es incoherente en su comportamiento
Con esto se comprueba que las oraciones son diametralmente opuestas en significado.
Para realizar operaciones entre varios números, es necesario llevar un orden. Si existen
paréntesis se efectúa primero la operación que esté contenida en éstos; si no, se requiere
darle prioridad a la potenciación, seguida de la multiplicación y la división, y por último, a la
suma y resta.
Si existen paréntesis anidados, la operación se efectúa de adentro hacia fuera.
Si existen dos operaciones de la misma jerarquía, las operaciones se efectúan de izquierda a
derecha.
Ejemplos:
24
1)
5 + 3 • 8 − 2 = 27
2)
(5 + 3) • 8 − 2 = 62
3)
5 + 3 • (8 − 2) = 23
4)
(5 + 3) • (8 − 2) = 48
5)
18
18
18






− 43 = 6[7 + 6] +
− 43 = 6[13] +
− 43 = {78 + 6 − 4}3 = {80}3 = 240
6[7 + 3(2)] +
3
3
3






RESUELVE PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
René Descartes
(1619 D C)
Crea la geometría analítica,
contribuyó a crear la “Edad
de la Razón”
Actividad: 2
Realiza las siguientes operaciones siguiendo la jerarquía de las mismas.
1)
18 + 6 ÷ 3 − 5 =
2)
{[(18 + 6 ) ÷ 3] − 5} =
3)
{[2(23 − 10)] − 12} =
4)
3{2[(12 − 4) ÷ 4(10 ÷ 5)] − 6} =
5)
3[(2(12 − 4 ÷ 10 − 8) − 6 )] =
Evaluación
Producto: Ejercicios de
solución.
Actividad: 2
Conceptual
Identifica la jerarquía de las
operaciones de los números
(reales).
Autoevaluación
Saberes
Procedimental
Aplica las operaciones entre los
diferentes tipos de números.
C
MC
NC
Puntaje:
Actitudinal
Aprecia la jerarquía de las
operaciones para un resultado
correcto.
Calificación otorgada por el docente
BLOQUE 1
25
Cierre
Actividad: 3
Introduce los datos de la actividad anterior en tu calculadora para verificar los
resultados
Evaluación
Actividad: 3
Conceptual
Reafirma el uso de la
calculadora.
Autoevaluación
Producto: Ejercicios de operación.
Puntaje:
Saberes
Procedimental
Actitudinal
Realiza una práctica en la
Aprecia la calculadora como una
calculadora para determinar el
herramienta de apoyo en su
orden de las operaciones.
aprendizaje.
Ejecuta ejercicios que requieran un
orden operacional.
C
MC
NC
Calificación otorgada por el docente
Sitios Web recomendados:
En las siguientes páginas de Internet puedes practicar más sobre la jerarquía de
las operaciones.
http://www.appletpie.com/apie/apiedemo/ejercicio_jerarquia_de_op_.html
http://www.genmagic.net/mates4/jerarquia_opera_c.swf
26
RESUELVE PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
Secuencia didáctica 3.
Expresiones algebraicas.
Inicio

Actividad: 1
Responde las siguientes preguntas apoyándote de tus conocimientos previos de
secundaria.
1.
¿Qué es Álgebra?
2.
¿Cómo la aplicaste en tus clases de matemáticas?
3.
Escribe, al menos, tres expresiones algebraicas que recuerdes de tus clases de secundaria.
4.
Describe cómo las utilizarías en tu vida cotidiana.
Actividad: 1
Conceptual
Identifica el concepto de
Álgebra.
Evaluación
Producto: Cuestionario.
Saberes
Procedimental
Describe sus conocimientos
sobre el Álgebra
Puntaje:
Actitudinal
Reconoce sus conocimientos previos
sobre Álgebra.
Muestra disposición para exteriorizar
sus conocimientos previos.
Autoevaluación
C
MC
NC
Calificación otorgada por el
docente
BLOQUE 1
27
Desarrollo
Lenguaje algebraico
En un juego, Carmen, Nilsa, Alma, Sandra, Nora y Letty se comunican en ese orden lo
siguiente:
Carmen le dice un número a Nilsa; Nilsa le suma 6 y se lo dice a Alma; Alma le resta 2 y
se lo dice a Sandra; Sandra lo multiplica por 4 y se lo dice a Nora; Nora le resta 8 y se lo
dice a Letty, finalmente esta última tiene que “adivinar” qué número le dio Carmen a
Nilsa.
¿Sabías que…
La palabra Álgebra
tiene origen de la
palabra árabe “Aljabru “, originada por
el matemático Alkhwarizmi.
El problema para Letty además de adivinar es recordar todas las operaciones que se
hicieron en el transcurso del juego, así que decide hacer una fórmula para recordar el
proceso mientras adivina el número inicial, y lo hace de la siguiente forma.
Letty le pone letra al primer número
proporcionado por Carmen
C
Nilsa le suma 6
Alma le resta 2
Sandra lo multiplica por 4
Nora le resta 8
C+6
C+6 – 2
4( C +6 – 2 )
4( C +6 – 2 ) – 8
De esta forma, para Letty es más fácil adivinar, porque expresa todas las operaciones mediante una fórmula en que
fue sustituyendo números.
L=4( C +6 – 2 ) – 8
Así es que si Nora le comunica a Letty el número 38, para ella es más fácil adivinar usando la fórmula.
En el transcurso de la historia de la humanidad, los individuos han ido construyendo diferentes lenguas como el
español, el inglés o el francés, entre muchos otros, con la principal finalidad de lograr la comunicación. Ahora bien, en
el desarrollo de las matemáticas, el lenguaje algebraico ha sido herramienta fundamental, cuya aplicación es
necesaria para facilitar el procedimiento en la solución de problemas.
Para facilitar el proceso se debe convertir el lenguaje verbal al lenguaje algebraico y viceversa,
teniendo en cuenta que las operaciones fundamentales de adición (suma), sustracción (resta),
multiplicación y división se expresan con palabras especiales tales como:
Suma: Gana, aumenta, más, se incrementa, crece, etc.
Resta: Diferencia, menos, disminuye, baja, pierde, decrece, etc.
Al-khwarizmi.
Multiplicación: Producto, dos veces, doble o duplo, triple, cuádruplo, etc.
División: Dividido por, cociente, razón, mitad, tercera parte, semi, etc.
También en un problema algebraico la palabra “es”, “resulta”, “se obtiene” etc., es dada por el símbolo de la igualdad
(=).
Como se observó, al trasladar del lenguaje verbal al lenguaje algebraico, se requiere el uso del alfabeto y los
números, los cuales adquieren nombres especiales, como son:
Literal. Se refiere a nombrar con una letra del alfabeto a una variable y sirven para representar números desconocidos.
28
RESUELVE PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
Expresión algebraica. Es una combinación de números y/o literales por medio de operaciones matemáticas.
Una expresión algebraica puede estar compuesta de:
Variable
Exponente
3x 2
Coeficiente
Término algebraico
La siguiente tabla contiene algunas expresiones comunes utilizadas en Álgebra.
Lenguaje verbal
Lenguaje algebraico
Un número aumentado en 4
x+4
La semisuma de dos números
m+n
2
La diferencia de dos números
a −b
El cociente de dos números aumentado en 2
x
+2
y
Un número par
2n
El producto de dos números
xy
La suma de tres números consecutivos
n + (n + 1) + (n + 2)
El triple de un número
3a
La edad del padre hace 5 años
x−5
La edad de María es el quíntuplo de la edad de Daniel
m = 5d
El producto de los cuadrados de dos números
x2y2
El cubo de la suma de dos números
(a + b)3
La raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de dos números
x2 + y2
BLOQUE 1
29
Actividad: 2
Completa la siguiente tabla, escribiendo el lenguaje verbal o algebraico, según sea
el caso.
Lenguaje verbal
Lenguaje algebraico
Un número disminuido en 12
m+n
2
La tercera parte de un número menos el cuádruplo del
mismo
x−y
x+y
El 45% de una mezcla
El producto de los cubos de dos números aumentado en 9
La suma de dos números pares consecutivos
Susana es cuatro años menor que Manuel
Seis veces un número disminuido en 15 es – 18
Carolina tiene el triple de la mitad de la edad de Saúl
x2 − y2
3
30
RESUELVE PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
x2 + x
Evaluación
Actividad: 2
Conceptual
Traduce de lenguaje verbal a
lenguaje algebraico y viceversa.
Producto: Complementación de la
tabla.
Saberes
Procedimental
Analiza y practica el traslado del
lenguaje verbal al lenguaje algebraico.
Autoevaluación
C
MC
NC
Puntaje:
Actitudinal
Reconoce la facilidad de
manejo de situaciones al
momento de asignarles
variables.
Calificación otorgada por el
docente
A continuación se mostrarán ejemplos más estructurados y relacionados con algunas situaciones que has visto en
algún momento de tu vida cotidiana; primero se manejarán paso a paso para obtener como último resultado la
expresión algebraica que los modela, y posteriormente notarás que el planteamiento de los problemas es más directo,
que a fin de cuentas eso es lo que tendrás que lograr. En algunos casos deberás apoyarte en dibujos para poder
visualizar mejor el planteamiento.
Ejemplos.
1.
La edad de Moisés el triple de la edad de Lucía y la suma de sus edades es 68. ¿Qué edad tiene cada uno?
Lenguaje verbal
La edad de Lucía
La edad de Moisés es el triple que la de Lucía
La suma de sus edades
La suma de sus edades es 68
2.
Lenguaje algebraico
x
3x
x + 3x
x + 3x = 68
Lourdes y Alfonso tienen un total de $ 342 en sus alcancías. Si Alfonso tiene $105
más que Lourdes ¿cuánto dinero tiene cada uno?
Lenguaje verbal
Lenguaje algebraico
El dinero de Lourdes
Alfonso tiene $105 más que Lourdes
El dinero de Lourdes más el dinero de Alfonso
m
m +105
m + m +105
El total de dinero de Lourdes y Alfonso es $342
m + m +105 = 342
3.
Ada Loveace
(1815 – 1852)
Fue la primera programadora en la
historia de las computadoras. Ella
escribió las instrucciones para la
"máquina analítica" de Charles
Babbage.
¿Cuál es el perímetro de un terreno rectangular, si su longitud es el triple que su anchura?
Lenguaje verbal
Lenguaje algebraico
Anchura del terreno
x
La longitud del terreno (triple de la anchura)
3x
El perímetro del terreno
2(x) + 2(3x)
BLOQUE 1
31
Como se observa en los tres ejemplos anteriores, la expresión que resolvería cada uno de los problemas está dada en
el último renglón de cada recuadro, pero a diferencia del ejemplo 1 y 2, el ejemplo 3 no tiene una solución única.
Comenta con tus compañeros esta situación.
Con un poco de práctica te darás cuenta que no es necesario ir formando la expresión algebraica de forma tan
detallada como se hizo en los ejemplos, irás adquiriendo la habilidad para expresarla de forma directa.
Como por ejemplo.
1.
La tercera parte de un número es 7 unidades menor que la mitad de él.
Si “x” representa al número, entonces la expresión algebraica es:
x x
= −7
3 2
2.
Una persona realizó dos inversiones de un total de $10,000. En una de las inversiones obtuvo un 10% de utilidad,
pero en la otra obtuvo una pérdida de 13%. Si la pérdida neta fue de $ 495, ¿qué cantidad tenía en cada
inversión?
Primera inversión
Segunda inversión
10,000 − x
x
Ganancia de la primera inversión
Pérdida de la segunda inversión
0.1x
0.13(10,000 − x )
Pérdida neta
0.13(10,000 − x ) − 0.1x = 495
3.
Una enfermera mezcló 50 onzas de una solución de sal al 8 % con 40 onzas de la misma solución al 5 % de la
misma solución. ¿Cuál es el porcentaje de sal en la mezcla?
50 onzas
Solución
al 8%
Cantidad
de sal
40 onzas
+
Solución
al 5%
0.08 (50)
0.05 (40)
RESUELVE PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
Solución
al x %
=
0.08(50) + 0.05(40) =
32
90 onzas
x
(90)
100
x
(90)
100
Posteriormente, podrás resolver estos problemas, pero por ahora lo más importante es que adquieras la habilidad de
cambiar del lenguaje verbal al lenguaje algebraico.
Cierre
Actividad: 3
Expresa en lenguaje algebraico las siguientes situaciones
1.
En una máquina de golosinas sólo se pueden depositar monedas de $5 y de $10, si hay 100 monedas
que suman $720 ¿cuántas monedas de cada denominación hay en la máquina?
2.
Una computadora costó $12,000. ¿Cuál es el precio de venta si el margen de utilidad es el 20% de dicho
precio?
3.
Un carnicero mezcla 2 clases de carne molida, una de $52 el kilo y otra de $35 el kilo. Si la combinación
pesa 5 kilos y la vende a $46 el kilo ¿Cuántos kilos de cada clase forma la mezcla?
4.
José tiene actualmente
5.
La base de una pintura al óleo rectangular es de 5 pulgadas menor que el doble de su altura, y el
perímetro es de 62 pulgadas. ¿Qué dimensiones tiene el cuadro?
1
de la edad de su padre. Dentro de diez años tendrá la mitad de la edad
3
correspondiente de su padre. ¿Cuál es la edad actual de José?
BLOQUE 1
33
Evaluación
Actividad: 3
Producto: Problemas de aplicación.
Conceptual
Traduce de lenguaje
cotidiano a lenguaje
algebraico
Saberes
Procedimental
Actitudinal
Realiza ejercicios de situaciones
Reconoce la facilidad de manejo de
que se modelarán con expresiones
situaciones al momento de asignarles
algebraicas
variables.
C
MC
NC
Calificación otorgada por el
Autoevaluación
Puntaje:
docente
“No entiendes
realmente algo a
menos que seas capaz
de explicárselo a tu
abuela.”
Gottfried Wilhem Leibnitz
(1646 - 1716)
Físico, filósofo y matemático
alemán. Construyó una máquina
para multiplicar.
34
RESUELVE PROBLEMAS ARITMÉTICOS Y ALGEBRAICOS
Albert Einstein
Utiliza magnitudes y números Reales
Unidades de competencia:
Construye e interpreta modelos aritméticos, algebraicos y gráficos, aplicando las
propiedades de los números reales y expresiones aritméticas y algebraicas, relacionando
magnitudes constantes y variables, y empleando las literales para la representación y
resolución de situaciones y/o problemas aritméticos y algebraicos concernientes a su vida
cotidiana y escolar, que le ayudan a explicar y describir su realidad.
Identifica las características presentes en tablas gráficas, mapas, diagrama o textos,
provenientes de situaciones cotidianas y los traduce a un lenguaje aritmético y/o algebraico.
Atributos a desarrollar en el bloque:
4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o
gráficas.
5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada
uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.
5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar
información.
6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina
entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad.
7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.
8.1 Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo,
definiendo un curso de acción con pasos específicos.
8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera
reflexiva.
8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con
los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
Tiempo asignado: 10 horas
Secuencia didáctica 1.
Los números reales.
Inicio

Actividad: 1
Realiza la siguiente actividad en equipo.
1.
2.
Haz una lista en tu cuaderno de los nombres y tipos de números que conoces.
Con respeto y tolerancia, intercambien opiniones acerca de los números que conoce cada uno de los
integrantes del equipo y anota los números que piensen que están correctos.
Nombre del número
Actividad: 1
Conceptual
Identifica la diversidad de
números.
Clasificación de los números.
Representación numérica
Evaluación
Producto: Registro de acuerdos.
Saberes
Procedimental
Expresa con claridad la notación
numérica.
Actitudinal
Tiene apertura para hacer las
anotaciones individuales.
Interioriza en sus conocimientos previos
para expresarlos.
Muestra disposición para
integrar las ideas expresadas.
Puntaje:
Respeta a los integrantes en el
proceso de comunicación.
Coevaluación
36
C
UTILIZA MAGNITUDES Y NÚMEROS REALES
MC
NC
Calificación otorgada por el
docente
Desarrollo
Actividad: 2
En equipo, intercambia opiniones con tus compañeros acerca de la utilidad y
aplicación de los diferentes números. Anota a continuación la lista que acordaron en
el equipo.
Nombre del número
Ejemplo de aplicación
Evaluación
Actividad: 2
Producto: Registro de
observaciones.
Conceptual
Identifica los números.
Saberes
Procedimental
Ubica la aplicación de los
números en el hogar.
Identifica la utilidad de los
números.
Puntaje:
Actitudinal
Aprecia el uso y aplicación de los
números en su vida cotidiana.
Tiene apertura para hacer las
anotaciones individuales.
Respeta a los integrantes en el proceso
de comunicación.
Coevaluación
C
MC
NC
Calificación otorgada por el
docente
BLOQUE 2
37
Los números Naturales.
Los números surgieron de la necesidad de contar pertenencias, objetos, personas,
etc. Cuando contamos objetos se inicia con 1, luego 2, 3, 4, etc. ¿Qué tan grande es
este conjunto de números?, imaginemos que estamos en la playa y tomamos una
pizca de arena y la colocamos en nuestra mano, podríamos contar el número de
granos de arena que tenemos sin ninguna dificultad. Pues bien, podríamos contar, por
dar un ejemplo 34 granos de arena, iniciando la cuenta en 1, 2, 3, 4, …., 34. Pero
luego imaginemos que quisiéramos contar una cantidad mayor de granos de arena, el
proceso sería laborioso, pero al fin de cuenta no imposible; algo similar se tiene con
las estrellas, pero en este caso sería imposible el contarlas todas. Esto nos da una
idea de lo que es el infinito, debido a que el conjunto de números naturales no tiene
fin.
Existe una polémica acerca de considerar al cero como elemento de los números
naturales; como se inventaron para contar objetos, ¿Qué representaría el cero?,
precisamente eso, la ausencia de objetos dirían los especialistas en teoría de
conjuntos (probabilidad y lógica), entonces algunos consideran al cero como
elemento de los números naturales, y otros más conservadores como los especialistas
en teoría de números que no lo reconocen como tal así es que no lo incluyen.
¿Sabías que…
la cruz roja utiliza un
símbolo + y no una
cruz en su emblema?
La explicación
matemática a esto es
que los griegos daban
mucha importancia a
los números y símbolos,
en este caso el símbolo
más (+) significaba
"vida", así pues es
sinónimo de la acción
que representa la cruz
roja.
El conjunto de números que se utilizará es el de mayor tendencia: el conjunto en el
que se excluye el cero como uno de sus elementos.
Los números naturales se representan con la letra N y su notación de conjunto es:
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6,....}
Los números Enteros.
Estos son conocidos como números deudos, dado que nacen como una necesidad de representar deudas. Estos
son usados para ubicar posiciones de objetos con respecto a un punto de referencia, como por ejemplo, cuando se
quiere ubicar un objeto por encima o debajo del nivel del mar para operaciones prácticas, los que están por encima
del nivel del mar serían los números positivos y los que están por debajo del nivel del mar son los números negativos.
Estos números tienen las siguientes características: son infinitos, numerables y sirven para contar unidades
completas, es decir, podemos tomar dos números consecutivos y no existe un número intermedio. Al igual que los
números naturales, estos no tienen fin, tanto hacia la derecha como a la izquierda.
El conjunto se describe de la siguiente forma:
Z = {....,−6, − 5, − 4, − 3, − 2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,....}
38
UTILIZA MAGNITUDES Y NÚMEROS REALES
Los números Racionales.
Investigando los jeroglíficos de diferentes civilizaciones como los egipcios, babilonios, griegos, entre otros, se
encontró que dichas civilizaciones conocieron las fracciones desde tiempos muy remotos; al analizar los jeroglíficos
egipcios se encontró que las utilizaban para la construcción y la agrimensura.
Los números racionales se expresan como el cociente de dos números enteros, de ahí que se le denomine con la
letra Q por “quotient”, que significa “cociente”. El término “racional” proviene de “razón”.
Al número racional se le conoce como fracción, porque puede ser expresado con
numerador y denominador de números enteros, a excepción del cero como
denominador. Por ejemplo:
3
5
, − , 6, 0, etc. En las dos primeras fracciones se observa de forma clara la
2
4
estructura de fracción.
3
2
Numerador
Denominador
Recordemos que cualquier número entero se puede escribir como una fracción con
denominador 1, por ejemplo, el 6 se puede representar de la siguiente forma.
6
6=
1
Numerador
Denominador
Así que al generalizar la definición en su forma de fracción de los números racionales,
tendríamos que expresarlo de la siguiente forma:
Pitágoras de Samos
(580 – 500 A C)
Fue un metafísico, moral,
religioso y científico. El saber
geométrico de los pitagóricos
estaba en la geometría
elemental.

a
Q =  a ∈ Z, b ∈ Z, b ≠ 0

b
También se sabe que cuando tenemos un número fraccionario podemos realizar la división entre el numerador y el
denominador, como en los siguientes ejemplos.
6
= 6 = 6.0
1
1
b) = 0.5
2
5
c ) = 1.66666.... = 1. 6
3
25
d)
= 3.571428571428..... = 3.571428
7
47
e)
= 1.0444.... = 1.0 4
45
a)
Como se ve en los ejemplos, los números se expresan con desarrollo decimal y pueden ser finitos, como en el caso
a) y b), o infinitos periódicos como en el caso c), d) y e). De aquí que, se enuncia la definición de números racionales
con base en la forma de su desarrollo decimal.
BLOQUE 2
39
Los números racionales (Q): Son números con desarrollo decimal finito o infinito periódico.
Javier fue a comprar 2/3 de kilo de Carne para asar, pero Karla, la dependienta del
lugar, le dijo que no podía darle esa cantidad, Javier extrañado porque sabía que
tenían suficiente producto se molestó al recibir la respuesta de Karla, se quedó
pensando por que la negativa de su solicitud.
¿Cuál fue el motivo por el que Karla no podía darle la cantidad de carne que Javier
pedía?
Los números Irracionales.
Los antiguos griegos notaron que la recta no estaba completa con los números
Racionales, al identificar ciertos puntos en ella a los cuales sólo se podían aproximar
con fracciones.
El filósofo matemático Pitágoras de Samos, quien estudiando el triángulo rectángulo
encontró que dichos números no pueden ser expresados como un cociente, se
estaba enfrentando a otro tipo de números que por ser “desconocidos”
desconcertaron de manera alarmante a los estudiosos dado que muchas
suposiciones y demostraciones geométricas eran falsas o incompletas, incluso
llegaron a contemplar mantenerlo en secreto porque contradecían su doctrina.
Hasta el siglo XVI fue cuando consideraron llamar número irracional a los números con
desarrollo decimal infinito no periódico. Algunos de ellos se pueden encontrar al
resolver un problema. Como por ejemplo.
2 = 1.414213562373....
Johan Lambert
(1761 D C)
Dice que el numero Pi es
irracional.
3 = 1.442249570307....
e = 2.71828182845904....
π = 3.14152653489793....
Como se observa en los ejemplos, el desarrollo decimal que presentan estos
números es infinito no periódico y con base a la definición planteada en los números
racionales, no podríamos expresarlos como un cociente de dos números enteros.
Analizando todos los conjuntos que se mencionaron anteriormente, se observa que
los Naturales están incluidos en los números Enteros, y éstos a su vez están incluidos
en los Racionales. Pero ellos no tienen ninguna relación con los Irracionales, pues
bien, todos ellos forman parte de los números Reales, como se muestra en el
siguiente diagrama.
R
I
Q
Z
N
40
UTILIZA MAGNITUDES Y NÚMEROS REALES
¿Sabías que…
Fue el filósofo y
matemático Euclides
de Megara quien
demostró que el
número irracional
2 no puede
expresarse como un
número racional.
Actividad: 3
Identifica los siguientes números con la letra “N” si son naturales, “Z” para los
enteros, con “Q” a los Racionales, con “I” si son Irracionales. Completa la tabla
colocando un número del conjunto indicado. Represéntalos en la recta numérica.
Número
4
4
3
-6
Conjunto
−
10
Z
I
1
2
Q
Gráfica
−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
Actividad: 3
Conceptual
Identifica elementos de los
subconjuntos de los números
reales.
0
1
2
3
4
Evaluación
Producto: Complementación
de la tabla.
Saberes
Procedimental
Esboza en una gráfica los
números reales.
5
6
7
8
9
10
Puntaje:
Actitudinal
Acepta la variedad de los números.
Ubicar los números reales.
Autoevaluación
C
MC
NC
Calificación otorgada por el
docente
Ejemplos.
1. Juan, es estudiante de primer año de arquitectura, y quiere comprobar que la medida de la
altura que tiene dividida entre la medida de su ombligo a los pies, cumple con el número
áureo, el cual es un número irracional.
2.
Al contar el número de niños que asistieron para ir a un paseo escolar, la maestra utiliza
números naturales.
BLOQUE 2
41
3.
Una persona que se traslada de un piso a otro en un edificio, donde los pisos que están por
encima de la planta baja serían los positivos y los que se encuentran por debajo de la planta
baja, serían los negativos.
4.
Don Javier requiere repartir $ 2565.00 entre sus 4 hijos para que compren material para sus
estudios.
Actividad: 4
Observa dentro y fuera de tu casa para que enlistes los elementos que se relacionan
con los números Reales, anota la lista en el siguiente espacio determinando a qué
conjunto pertenece, N, Z, Q, I.
Actividad: 4
Conceptual
Concepto de los números
Reales.
Identifica la utilidad de los
números Reales.
Evaluación
Producto: Registro de
observaciones.
Saberes
Procedimental
Ubica la aplicación de los
números Reales en el hogar.
Actitudinal
Aprecia el uso y aplicación de los
números en su vida cotidiana.
Expresa correctamente la
notación de conjunto de los
números Reales.
Se compromete con sí mismo a buscar
la utilidad de los números Reales en su
vida cotidiana.
Puntaje:
Admite la importancia de los números
Reales para expresar todo tipo de
magnitudes (variables, constantes,
discretas o continuas).
Autoevaluación
42
C
UTILIZA MAGNITUDES Y NÚMEROS REALES
MC
NC
Calificación otorgada por el
docente
Actividad: 5
Comenta en el grupo el resultado de tus observaciones y anota en el siguiente espacio
los elementos que te resulten más interesantes, además marca con  al conjunto(s) al
cual pertenece cada ejemplo.
N
EJEMPLOS
Actividad: 5
Conceptual
Identifica los subconjuntos de
números Reales.
Identifica la utilidad y
aplicación de los números.
Evaluación
Producto: Tabla de
clasificación.
Saberes
Procedimental
Ubica la aplicación de los
números en el hogar.
Relaciona los subconjuntos
de los números reales con las
aplicaciones.
Z
Q
I
r
Puntaje:
Actitudinal
Aprecia el uso y aplicación de los
números en su vida cotidiana.
Disposición para integrar las ideas
expresadas.
Respeta a los integrantes del grupo en
el proceso de comunicación.
Autoevaluación
C
MC
NC
Calificación otorgada por el
docente
Propiedades de los números Reales.
El deporte es una actividad muy importante en nuestras vidas, nos proporciona salud, vitalidad,
integración social y retos. En los deportes existen reglas que permiten organizar a los jugadores,
así como también, establecer roles y condiciones en las que se llevarán a cabo, como la
medida de los espacios en los que se desarrollan y el tipo de aditamentos.
BLOQUE 2
43
Actividad: 6
Escribe en el siguiente espacio las reglas más importantes de tu deporte favorito.
Evaluación
Actividad: 6
Producto: Texto.
Puntaje:
Conceptual
Reconoce la importancia de las
reglas
Saberes
Procedimental
Aplica el reglamento en el
deporte
Actitudinal
Muestra respeto a las reglas
Autoevaluación
C
MC
NC
Calificación otorgada por el
docente
Como se observa, las reglas dan la pauta a seguir en muchas actividades; de igual forma, las Matemáticas no son la
excepción. Existen “reglas” en los números reales que permiten realizar operaciones, se les conocen como
propiedades de los números reales.
A continuación se enuncian algunas de las propiedades de los números reales, tomando en cuenta que a, b y c ∈R ,
esto se lee, a, b y c pertenecen a los números reales.
44
UTILIZA MAGNITUDES Y NÚMEROS REALES
Propiedad
Operación
Definición
Significado
Ejemplo
Suma
(a + b)∈ R
3 + 5 = 8 ∈R
Multiplicación
(ab)∈ R
El resultado de sumar o
multiplicar dos números
reales, también es
número real.
Suma
a +b =b+a
Multiplicación
ab = ba
Suma
(a + b) + c = a + (b + c)
Multiplicación
(ab)c = a(bc)
Cerradura
Conmutativa
Asociativa
El orden al sumar o
multiplicar los números
reales, no afecta el
resultado.
No importa el orden al
asociar la suma o
multiplicación de tres o
más números reales, el
resultado siempre será el
mismo.
(4)(6) = 24 ∈ R
5+3=3+5
(9)(2) = (2)(9)
(6 + 3) + 2 = 6 + ( 3 + 2)
[(5)(4)]7 = 5[(4)(7)]
a+0=a
Si a un número real se le
suma el cero (neutro
aditivo), se queda igual.
8+0=8
(a )(1) = a
Si un número real se
multiplica por 1 (neutro
multiplicativo), se queda
igual.
(13)(1) = 13
Suma
a + ( −a ) = 0
Si a un número se le
suma su inverso, se
obtiene como resultado
el 0 (neutro aditivo).
9 + ( −9) = 0
Multiplicación
 1
(a )  = 1
a
Si un número se
multiplica por su inverso
multiplicativo, se obtiene
como resultado 1 (neutro
multiplicativo).
 1
(2)  = 1
2
a (b + c ) = ab + ac
El factor se distribuye a
cada sumando
5(3 + 4) = (5)(3) + (5)(4)
Suma
Neutro
Multiplicación
Inverso
Distributiva
Suma
respecto a la
multiplicación
Todas las propiedades antes mencionadas se utilizan en operaciones, pero en pocas ocasiones se perciben.
También se usan otras propiedades de los números reales que se denominan propiedades de la igualdad de los
números reales, las cuales son:
BLOQUE 2
45
Propiedad
Aditiva
Definición
Si a = b , entonces, a + c = b + c
Multiplicativa
Si a = b , entonces, ac = bc
Reflexiva
a=a
Simétrica
Si a = b , entonces, b = a
Transitiva
Si a = b y b = c , entonces, a = c
Significado
Si dos números son iguales, podemos sumar
un mismo número a ambos lados de la
igualdad y ésta se sigue cumpliendo.
Si dos números son iguales, podemos
multiplicar un mismo número a ambos lados
de la igualdad y ésta se sigue cumpliendo.
Un número es igual a sí mismo.
Si tenemos la igualdad de dos números,
podemos cambiar el lado izquierdo con el
derecho y no afectaría la igualdad.
Si tenemos dos igualdades y uno de los
términos es el mismo para las dos igualdades,
entonces podemos establecer una igualdad
entre los términos restantes.
A continuación se mostrarán algunos ejemplos en donde puedes visualizar las propiedades de la igualdad.
Reflexiva.
Esta es una de las propiedades que se podría decir que es “obvia”, en el sentido de que un
elemento es igual a sí mismo. Una persona es igual a ella misma y a nadie más.
Simétrica.
La simetría se encuentra en la naturaleza, pero un ejemplo muy claro es cuando tenemos el
resultado de una ecuación, y muchas veces el alumno tiene duda de cómo reportar el
resultado, sin tomar en cuenta que es la misma.
x = 5 sería lo mismo si se dejara como 5 = x
Transitiva.
Si el peso de 5 botellas es igual al peso de 2 libros, y el peso de estos 2 libros equivale al peso de una caja de regalo,
entonces decimos que las 5 botellas pesan lo mismo que la caja de regalo.
46
UTILIZA MAGNITUDES Y NÚMEROS REALES
Otras propiedades muy importantes son:
Aditiva.
Si se pone en una balanza dos libros que pesan lo mismo, al añadirle una manzana de igual
peso en ambos lados, la balanza sigue en equilibrio.
Multiplicativa.
Si ahora se tiene una balanza en equilibrio con dos objetos, y recordando que la
multiplicación es la simplificación de la suma, entonces, multiplicar por dos a ambos lados
significaría tener el mismo objeto dos veces por lo que resultaría la balanza en equilibrio.
Actividad: 7
Realiza el siguiente crucigrama utilizando las propiedades de los números reales.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
BLOQUE 2
47
Actividad: 7 (continuación)
Horizontales:
1)
( 2 )(1) = 2 es un ejemplo de…
3) ( π + 5)∈ R es un ejemplo de la propiedad…
4) Al multiplicar ambos lados de una igualdad ésta se
conserva.
3  3
5) +  −  = 0 ejemplifica a la propiedad…
4  4
6) Al sumar el cero a cualquier número real, éste no se
modifica.
8) 2( x + 3) = 2( x ) + 2(3) , ejemplo de la propiedad…
9) Es la propiedad que permite cambiar el orden en que se
asocia al sumar o multiplicar tres o más números reales
sin que el resultado cambie.
Verticales:
2) Es la propiedad aditiva que
permite cambiar el orden de los
sumandos sin que la respuesta
se vea afectada.
7) En 3x − 6 + 6 = 2 + 6 se está
aplicando la propiedad…
Evaluación
Actividad: 7
Conceptual
Identifica las propiedades de
los números reales.
Autoevaluación
Producto: Crucigrama.
Puntaje:
Saberes
Procedimental
Selecciona los ejemplos
correspondientes a las
propiedades de los números
reales.
C
MC
NC
Actitudinal
Realiza con veracidad el crucigrama.
Calificación otorgada por el
docente
Operaciones con números enteros.
Desde la infancia, los niños realizan operaciones fundamentales, para comprar algún dulce, para intercambiar
canicas, para hacer reparticiones equitativas en los juegos; pero a medida que avanzan en las operaciones,
parecieran ser complicadas, pero no lo es tanto, sólo es conocer a fondo las operaciones fundamentales y darles el
orden correcto.
Un ejemplo muy divertido y que causa mucha polémica es el siguiente problema.
“Tres amigos comen en un restaurante, el mesero les comunica que el importe de su cuenta es de 30
pesos, por lo que cada uno aporta 10 pesos. Sin embargo, el mesero regresa y ofrece una disculpa porque
al revisar la cuenta el dueño del restaurante descubre que existe un error y que en realidad deberían pagar
25 pesos, por lo que el mesero les regresa 5 pesos; los amigos deciden repartirlos de la siguiente manera:
1 peso para cada uno de ellos y 2 pesos para el mesero como propina. Uno de los amigos al analizar la
situación descubre que falta un peso y argumenta que seguramente el dueño se quedó con él; esta es la
forma en que hizo su cuenta:
48
UTILIZA MAGNITUDES Y NÚMEROS REALES
Cada uno de nosotros dio 10 pesos, pero como nos regresaron 1, entonces aportamos 9 cada uno, lo que
representa 27 pesos en total, más 2 que le dimos al mesero da como resultado 29, de manera que falta 1
peso.”
Esta situación es confusa porque están planteando el problema de dos formas diferentes. ¿Cuál es la justificación
para encontrar el peso perdido?
Actividad: 8
Escribe cuál es la justificación para encontrar el peso perdido.
Evaluación
Actividad: 8
Conceptual
Interpreta el lenguaje verbal.
Autoevaluación
Producto: Descripción.
Puntaje:
Saberes
Procedimental
Contrasta diferentes
planteamientos de problemas
con números enteros.
Actitudinal
Descubre y explica la importancia del
planteamiento de los números enteros.
C
MC
NC
Calificación otorgada por el
docente
Esto ayuda a priorizar las operaciones fundamentales, por lo que se requiere repasarlas y salvar las dificultades
que puedas tener en el transcurso de tu vida académica.
Las operaciones de suma y resta de números enteros es la más usada en nuestras vidas, como los siguientes
ejemplos.
Juan se encuentra a su prima Sofía y entre la plática, le pregunta.
- Oye Juan, ¿y mi tío cómo se encuentra de salud?
- Bien, afortunadamente salió de la gripa tan fuerte que lo tenía en cama.
-¿Mi tío Pedro es mayor que mi mamá verdad?, ¿cuántos años tiene?
-Déjame ver, mmm mi papá nació en Octubre de 1945.
BLOQUE 2
49
Este es un caso claro en el que se realiza la resta sin tener que formalizar la operación, y ejemplos como éste se
tienen todos los días sin darse cuenta.
A continuación se plantea una serie de problemas en los que tendrás que utilizar las operaciones fundamentales
de suma y resta para conocer su respuesta.
Actividad: 9
Lee con cuidado cada una de las situaciones que se te plantean y realiza las
operaciones correspondientes para conocer la respuesta correcta.
1.
Santiago estaba haciendo un recuento de sus gastos, recordó que tenía en un principio $5689,
posteriormente le pagaron $1453 que le debían, tuvo que pagar $2561 en deudas, compró un regalo a
su novia, el cual le costó $562 y pagó $2500 en asistencia debido a que estudia en Tijuana. ¿Cuánto le
quedó para sus gastos personales?
2.
Sandra se casó teniendo 24 años en 1994. ¿En qué año cumplirá 85 años? ¿Qué edad tiene ahora
mismo?
3.
Uno de los operadores de transporte de la línea “La Costa”, realiza su recorrido a Bahía Kino 4 veces en
viaje redondo, transportando en promedio 35 personas, de las cuales 12 son de medio boleto y el resto
de boleto entero, cada boleto cuesta $ 100. ¿Cuánto tendrá que entregar el conductor al cabo de su
jornada?
4.
En un edificio, los pisos se enumeran como sigue: planta baja, 1er. piso, 2do. piso, etc. Luis está
buscando a un amigo, pero no sabe exactamente en qué piso está trabajando, así que decide buscarlo
según su intuición, siguió esta secuencia: primero decide ir de la planta baja al tercer piso, luego baja
dos, sube 5 y finalmente baja 4 y ahí lo encontró, ¿en qué piso se encuentra trabajando su amigo?
5.
Un día de invierno la temperatura en la madrugada era de 7º C. Durante la mañana subió 13º C, en la
tarde descendió 6º C y en la noche bajó 4º C. ¿Qué temperatura había en la noche?
Actividad: 9
Conceptual
Reconoce las propiedades
fundamentales de las
operaciones aritméticas.
Autoevaluación
50
Evaluación
Producto: Problemas de
aplicación.
Saberes
Procedimental
Emplea las propiedades
fundamentales de las
operaciones aritméticas en la
resolución de problemas tipo.
C
UTILIZA MAGNITUDES Y NÚMEROS REALES
MC
NC
Puntaje:
Actitudinal
Aprecia la importancia del rol que
juegan las operaciones aritméticas en
ejemplos de la vida cotidiana.
Calificación otorgada por el
docente
Si se te dificultaron algunos problemas de la actividad anterior, puede ser debido a que no leíste con detenimiento,
o bien por tener dificultades en las operaciones fundamentales; para superarlas se repasarán algunas
operaciones de suma y resta, sobre todo para observar el signo del resultado de cada una de ellas.
Suma: La suma de dos números positivos es positivo y la suma de dos números negativos resulta negativo.
Ejemplos:
1) 7 + 5 = 12
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2) −7 + ( −5) = −12 recordando lo visto en la secundaria, lo podemos visualizar como −7 − 5 = −12
−13
−12
−11
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
Resta: Esta se lleva a cabo entre dos números de signos diferentes.
Ejemplos:
1) 7 − 5 = 2
−4
−3
−2
1
0
−1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
−6
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
2) −7 + 5 = −2
−12
−11
−10
−9
−8
−7
BLOQUE 2
51
Actividad: 10
Efectúa las operaciones indicadas.
1) 85 + 45 + 3 + 63 + 10 =
2) −4 − 7 − 18 − 54 =
3) 43 − 6 − 12 + 39 − 26 =
4) −25 + 15 − 3 − 14 + 12 =
5) La dueña de una pequeña empresa de comida registra las entradas y salidas de efectivo durante la
última semana del mes.
Día
Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
Sábado Domingo
Entrada $ 1256
$ 156
$ 2210
$0
$ 2158
$ 1116
$ 1325
Salida
$ 324
$ 316
$ 536
$ 123
$ 538
$ 560
$ 478
¿Cuánto quedó en efectivo en caja para inicio de la siguiente semana?
6) Un submarino está sumergido a 257 m bajo el nivel del mar, disparó un cohete en forma vertical y subió
650 m. ¿A qué altura sobre el nivel del mar llegó el cohete?
7) A Sandra su papá le proporcionó una tarjeta de crédito con un saldo a favor de $2500, con la condición
de que no gastara más de lo que había depositado, en caso contrario, ella tendrá que pagar. Sandra
cuenta con $1436 en efectivo, también para utilizarlo en sus compras.
Artículo
Precio
Blusa Aeropostal
$ 450
Pantalón Levis
$ 560
Mochila para computadora
$ 750
Tenis Vans
$ 650
Útiles escolares
$356
¿Tendrá Sandra que pagar de su dinero a la tarjeta?, si es así, ¿cuánto dinero le quedará?
8) Si te ofrecieran aumentar el sueldo en forma sucesiva $500 cada quincena o $1,500 cada mes ¿qué
escogerías? Justifica tu respuesta.
9) Problema curioso: ¿Cómo podemos medir 9 minutos con dos relojes de arena de 4 y 7 minutos?
52
UTILIZA MAGNITUDES Y NÚMEROS REALES
Evaluación
Producto: Solución de
problemas.
Saberes
Procedimental
Emplea las propiedades
fundamentales de las
operaciones aritméticas en la
resolución de problemas tipo.
Actividad: 10
Conceptual
Reconoce las propiedades
fundamentales
de
las
operaciones aritméticas.
C
Autoevaluación
MC
NC
Puntaje:
Actitudinal
Aprecia la importancia del rol que
juegan las operaciones aritméticas en
ejemplos de la vida cotidiana.
Calificación otorgada por el
docente
También existen situaciones en las que no importa el signo del número sino la cantidad que representa, como por
ejemplo:
Jaime se encuentra en una disyuntiva, su jefe le habló por teléfono y le dijo que colocara el reglamento de la empresa
a 2m de una fotografía que está colocada en la pared de su oficina, el problema que tiene es que no proporcionó
información de colocarlo a la derecha o izquierda.
En este caso, sólo se le proporcionó la distancia, sin ningún sentido. Si se representa este problema en la recta se
tendrá una situación especial, llamada valor absoluto.
−3
−2
−1
0
1
2
3
El valor absoluto de un número es su distancia al número cero en la recta numérica. Se simboliza mediante las barras
con el número en su interior.
Ejemplos:
1) 5 = 5
−3 −2 −1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
−10 −9 −8
−7 −6
−5 −4
2) − 7 = 7
BLOQUE 2
53
3) 0 = 0
−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4) − 9 = 9
−10 −9 −8
−7 −6
−5 −4
−3 −2 −1
Actividad: 11
En los casinos venden tarjetas para jugar en las máquinas de azar. Una persona
tiene un saldo de 10 dólares en su tarjeta y decide jugar de un dólar a la vez, si
sólo tiene tiempo de jugar 5 veces y en cada ocasión gana o pierde el dólar
apostado.
1.
2.
54
Escribe 6 posibles maneras de que se desarrolle el juego.
Realiza el recorrido de los 6 juegos en la recta numérica.
UTILIZA MAGNITUDES Y NÚMEROS REALES
Actividad: 11
Conceptual
Ubica en la recta numérica:
números Reales y sus
simétricos, considerando el
concepto de valor absoluto.
Autoevaluación
Evaluación
Producto: Representación
gráfica.
Saberes
Procedimental
Establece hipótesis para el
desarrollo del juego.
Puntaje:
Actitudinal
Se interesa en el proceso de
soluciones posibles.
Acepta la presencia de las
Matemáticas en el juego azaroso.
C
MC
NC
Calificación otorgada por el
docente
Actividad: 12
Calcula el valor de cada una de las siguientes expresiones.
1) 2 =
2) − 19 =
3) 10 − 19 =
4) − 14 − 3 =
5) 8 − 18 =
6) 4 + 23 =
7) 20 − 4 =
8) − 19 − 34 =
9) 21− 56 =
10) − 32 − 13 =
Evaluación
Actividad: 12
Producto: Ejercicios.
Puntaje:
Conceptual
Identifica el concepto de valor
absoluto.
Saberes
Procedimental
Practica ejercicios de valor
absoluto.
Actitudinal
Muestra interés en la realización de
ejercicios.
Autoevaluación
C
MC
NC
Calificación otorgada por el
docente
BLOQUE 2
55
Operaciones con números racionales.
Te darás cuenta que en este segundo bloque has estado repasando temas que viste en la secundaria, sobre todo en
operaciones básicas. Ahora se retomarán las operaciones con racionales, también conocidos como fracciones. En los
próximos bloques requerirás generalizar estas operaciones, es decir, no sólo con números sino con literales.
Un problema muy conocido que puedes encontrar en el libro El hombre que calculaba es, “los 35 camellos”.
Hacía pocas horas que viajábamos sin interrupción, cuando nos ocurrió una aventura digna de ser referida,
en la cual mi compañero Beremís puso en práctica, con gran talento, sus habilidades de eximio algebrista.
Encontramos, cerca de una antigua posada medio abandonada, tres hombres que discutían
acaloradamente al lado de un lote de camellos.
Furiosos se gritaban improperios y deseaban plagas:
- ¡No puede ser!
- ¡Esto es un robo!
- ¡No acepto!
El inteligente Beremís trató de informarse de que se trataba.
- Somos hermanos –dijo el más viejo- y recibimos, como herencia, esos 35 camellos. Según la expresa
voluntad de nuestro padre, debo yo recibir la mitad, mi hermano Hamed Namir una tercera parte, y Harim, el
más joven, una novena parte. No sabemos sin embargo, como dividir de esa manera 35 camellos, y a cada
división que uno propone protestan los otros dos, pues la mitad de 35 es 17 y medio. ¿Cómo hallar la
tercera parte y la novena parte de 35, si tampoco son exactas las divisiones?
Actividad: 13
Elabora un problema parecido al de los 35 camellos el cual se resuelva con fracciones
diferentes.
Evaluación
Actividad: 13
Producto: Diseño de problema.
Puntaje:
Conceptual
Reconoce las operaciones con
números racionales en
problemas comunes.
Saberes
Procedimental
Diseña ejemplos con
operaciones de números
racionales.
Actitudinal
Muestra creatividad en el diseño del
problema.
Autoevaluación
56
C
UTILIZA MAGNITUDES Y NÚMEROS REALES
MC
NC
Calificación otorgada por el
docente
Sitios Web recomendados:
Este sitio es en donde encontrarás el libro El hombre que
calculaba
http://www.librosmaravillosos.com/hombrecalculaba/capitulo03.
html
Adición o suma de racionales.
Recordando la estructura que tienen lo racionales,
a
donde a y b son números enteros y b no puede ser cero. A
b
continuación se ejemplificarán cada uno de los casos de suma de fracciones.
Igual denominador.
a c a+c
+ =
b b
b
Ejemplos:
1)
4 9 4 + 9 13
+ =
=
7 7
7
7
2) −
3 11 −3 + 11 8
+ =
=
5 5
5
5
3) −
5 2 −5 − 2 −7
− =
=
3 3
3
3
Diferente denominador.
a c ad + bc
+ =
b d
bd
Eudoxo de Cnido
(406 a 315 A C )
Establece la teoría de la
semejanza
Ejemplos:
1)
4 2 (4)(3) + (2)(5) 22
+ =
=
(5)(3)
15
5 3
2) −
14 5 ( −14)(9) + ( 5)(7 ) −91
+ =
=
(7 )(9)
63
7 9
Como te darás cuenta, en los dos casos anteriores, los denominadores no son términos que tengan algún divisor en
común (a excepción del 1), y aplicar la técnica de multiplicar cruzado los números para encontrar la respuesta es muy
sencillo. En el caso de que sus denominadores tengan factores en común se obtiene el Mínimo Común Múltiplo
(MCM) de ellos.
BLOQUE 2
57
Ejemplos:
1)
4 2 (3)(4) + (1)(2) 14
+
=
=
5 15
15
15
2) −
1 5 (4)( −1) + (3)(5) −11
+ =
=
6 8
24
24
En cuanto a la multiplicación y división de fracciones el procedimiento a seguir es el
siguiente:
Multiplicación.
Se multiplica numerador con numerador y denominador con denominador, para
obtener el numerador y el denominador respectivamente. Se puede multiplicar directo
y simplificar la operación después, si es posible, o bien, si tienen factores que se
puedan simplificar con anterioridad antes de llevar a cabo la operación, en este caso,
primero se eliminan y después se multiplica.
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
Ejemplos:
1) −
Recuerda la ley de
los signos para la
multiplicación y
división.
+
+ + =+
=+
+
−
− − =+
=+
−
+
+ − =−
=−
−
−
− + =−
=−
+
3 9 ( −3)(9)
27
⋅ =
=−
5 8 (5)(8)
40
4 9
(4)(9) 36
9
2)    =
=
=
 5  8 
(5)(8)
40
(4)(9)
9
 4  9 
=
   =
 5  8  (5)(4)(2) 10
o bien
10
División.
En el caso de la división de dos fracciones, se cruzan las multiplicaciones. Al igual que la multiplicación una vez hecho
el cruce, se puede simplificar primero antes de llevar a cabo la multiplicación.
Ejemplos:
1)
2 7 (2)(3) 6
o bien, si está expresada como cociente de fracciones
÷ =
=
5 3 (5)(7) 35
3
2 = ( −3)(2) = − 1 = − 1
9
(2)(3)(3) 3
3
2
−
2)
3)
58
2
2 5 (2)(3) 6
÷ =
=
=
9 3 (9)(5) 45 15
o bien
2
2 5
(2)(3)
÷ =
=
9 3 (3)(3)(5) 15
3
2 = ( −3)(2) = − 1 = − 1
9
(2)(3)(3) 3
3
2
−
UTILIZA MAGNITUDES Y NÚMEROS REALES
Actividad: 14
Resuelve las siguientes operaciones simplificando la respuesta en caso de ser
posible.
1)
3 7
+ =
11 11
2) −
7 9
+ =
5 8
3) −
3 1 2
− + +3 =
5 8 3
4)
3 5 3
+ − =
20 8 4
5) −
2
4
3
+
+
=
150 75 225
 3  5 
6)    =
 8  2 
7) −
3 9
÷
=
11 22
 5  11 
8)  −   =
 4  10 
 3  4  1 
9)  −  −  − (5) =
 4  6  15 
5
10) 24 =
10
3
2
1− 3
1−
11)
1+
2
3
1+
2
3 =
2
3
BLOQUE 2
59
Evaluación
Actividad: 14
Conceptual
Reconoce las propiedades
fundamentales de las
operaciones con fracciones.
Autoevaluación
Producto: Ejercicios.
Puntaje:
Saberes
Procedimental
Practica ejercicios de
operaciones con fracciones.
Actitudinal
Muestra interés en la realización de
ejercicios.
C
MC
NC
Calificación otorgada por el
docente
Cierre
Actividad: 15
Analiza con detenimiento los siguientes problemas y resuélvelos.
1.
Sonia tenía 8 tazas de harina para hornear pastel, si tiene que echar 3 1
2
tazas en un recipiente y
2 1 en otro. ¿Cuántas tazas de harina le quedan?
3
2.
Alejandra está siguiendo una dieta para adelgazar. El primer mes bajó 2 1
3
kilos, el segundo perdió
kilos, el tercero recuperó 5 kilos y el cuarto mes perdió 2 1 . Si su peso inicial fue de 78 kilos,
8
5
2
¿cuánto pesó al finalizar el cuarto mes?
11
3.
Se presentaron aspirantes a 3 carreras en la universidad para realizar el examen de admisión, 25
de ellos quieren ingresar a Ingeniería Industrial en Sistemas (IIS), 10
23
de ellos desean ingresar a
Ingeniería Industrial Administrador (IIA) y los 60 restantes que representan 1
geología.
a) ¿Cuántos alumnos en total se presentaron al examen?
b) ¿Cuántos alumnos aspiran a las carreras de IIS e IIA?
60
UTILIZA MAGNITUDES Y NÚMEROS REALES
46
46
quieren ingresar a
Actividad: 15 (continuación)
4.
El profesor de deporte requiere sustituir los balones de futbol por estar en mal estado, si
hay 10 balones nuevos más que los viejos, y estos 10 son 1 del total, ¿Cuántos balones
4
viejos había?
5.
Diego prometió estudiar 8 horas en la semana de exámenes, si hasta ahora ha estudiado 3 2 .
3
¿Cuántas horas más tiene que estudiar?
6.
Luz María confeccionará un vestido y compró 2 1 m de tela, el primer día ocupó 1 1 m, el segundo
4
2
día ocupó 3 m, si todavía le falta 1 1 m para terminar, ¿Cuánto más tiene que comprar para terminar
8
8
el vestido?
Actividad: 15
Conceptual
Reconoce las propiedades
fundamentales de las
operaciones con fracciones.
Autoevaluación
Evaluación
Producto: Problemas de
Puntaje:
aplicación.
Saberes
Procedimental
Actitudinal
Emplea las propiedades
Aprecia la importancia del rol que
fundamentales de las
juegan las operaciones con fracciones
operaciones con fracciones en en ejemplos de la vida cotidiana.
la resolución de problemas
tipo.
C
MC
NC
Calificación otorgada por el
docente
BLOQUE 2
61
Secuencia didáctica 2.
Razones y proporciones.
Inicio

Actividad: 1
Observa el video “El número de oro, φ (Phi), la divina proporción” y trae a la clase la
siguiente lista de elementos.
1. Una cinta métrica.
2. Una flor (margarita, rosa, girasol, etc.) que cumpla con los números de Fibonacci. O bien,
cualquier otro objeto de la naturaleza que lo cumpla.
3. En equipo de 5 personas, reportar los datos siguientes.
Objeto
Número de Fibonacci
4. Realizar las siguientes medidas de tu cuerpo y reportarlo en la siguiente tabla.
Lugares de medición
Estatura
Longitud de los brazos extendidos
Anchura mayor de los hombros
Del codo a la punta de la mano
Del codo al ángulo de la axila
Longitud del pie
Del Pie hasta debajo de la rodilla
Desde la parte inferior de la barbilla a la nariz
Desde el nacimiento del pelo a las cejas
Desde el pie hasta el ombligo
La altura entre la distancia desde el pie hasta el ombligo
62
UTILIZA MAGNITUDES Y NÚMEROS REALES
Medida en centímetros
Actividad: 1 (continuación)
5. Verifica las medidas que establece el arquitecto Marcus Vitruvio Pollio.
Proporciones
Longitud de los brazos extendidos es igual estatura
Resultado
Anchura mayor de los hombros es 1 de la estatura
4
Del codo a la punta de la mano es 1 de la estatura
5
Del codo al ángulo de la axila es 1 de la estatura
8
Del pie hasta debajo de la rodilla 1 de la estatura
4
Desde la parte inferior de la barbilla a la nariz es igual desde el
nacimiento del pelo a las cejas
Actividad: 1
Conceptual
Identifica formas distintas de
comparación y relación entre
números reales, tales como:
razones, proporciones y
variaciones.
Autoevaluación
Evaluación
Producto: Registro de
observaciones y mediciones.
Saberes
Procedimental
Selecciona elementos que
cumplen con la serie de Fibonacci.
Actitudinal
Se compromete a proporcionar los materiales
para la actividad.
Realiza mediciones para la
asignación de proporciones.
Reconoce la existencia de las matemáticas en
la naturaleza.
C
MC
NC
Puntaje:
Calificación otorgada por el
docente
Sitios Web recomendados:
El video lo puedes encontrar en
http://www.youtube.com/watch?v=j9e0auhmxnc
BLOQUE 2
63
Desarrollo
Razones.
En la naturaleza hay múltiples coincidencias matemáticas incluso en el cuerpo humano. Te
habrás dado cuenta, que en el último ejercicio de la parte cuatro de la actividad anterior,
que es muy cercano al número áureo del cual se habló en el video.
Φ=
1+ 5
= 1.618034...
2
Otro ejemplo de este número tan especial se encuentra en las espirales de la piña del
pino.
También en el caracol y en otros animales.
Se ha estado comentando sobre la razón y proporción, ahora se formalizará esta información.
Razón. Es una comparación de dos cantidades semejantes. Por lo general se expresa como cociente de las
cantidades.
Ejemplo. Diego puede leer 350 palabras por minuto y un lector promedio lee 250 palabras por minuto. ¿Cuánto más
rápido lee Diego? Para poder encontrar la relación, se divide:
350 7
=
250 5
Esto es, por cada 5 palabras que lee un lector promedio, Diego lee 7.
64
UTILIZA MAGNITUDES Y NÚMEROS REALES
Las comparaciones pueden ser denotadas de diferentes formas.
1) 7 : 5
2) 7 ÷ 5
3)
7
5
4) 7 a 5
Las comparaciones por medio de una razón están limitadas a cantidades del mismo tipo. Por ejemplo, para expresar
la relación entre 9 m y 35 cm ambas cantidades deben escribirse en términos de la misma unidad. Entonces, la forma
que deben ser relacionadas es 9 m : 0.35 m , por convencionalismo y además como están expresadas en la misma
unidad, se eliminan las unidades y se expresa 9: 0.35 .
Como la razón también es una fracción, se pueden utilizar todas las operaciones y propiedades de éstas.
Actividad: 2
Analiza con detenimiento los siguientes problemas y resuélvelos.
1.
Entre Socorro y Nidia juntaron $3500 para hacerle un presente a su amiga que se casará
próximamente. Si Nidia aportó $1500. ¿Cuál es la razón entre lo aportado por Socorro y lo aportado
por Nidia para el regalo?
2.
En una carrera de relevos, Abel corre un tramo de 120 m y Héctor corre un segundo tramo de 140
m. ¿Cuál es la razón entre la distancia recorrida por Abel y la recorrida por Héctor?
3.
Para pintar una casa se mezcló pintura blanca con pintura verde. Si se utilizaron 3 galones de
pintura blanca y 2 galones de pintura verde. ¿Cuál es la razón entre la cantidad de pinturas usadas?
4.
En un examen hay 25 preguntas de correspondencia y 10 preguntas de desarrollo. ¿Cuál es la razón
entre la cantidad de preguntas de desarrollo y las de correspondencia?
BLOQUE 2
65
Actividad: 2
Conceptual
Interpreta la razón en
problemas de la vida cotidiana.
Autoevaluación
Evaluación
Producto: Problemas de
aplicación.
Saberes
Procedimental
Analiza ejemplos de la vida
cotidiana para establecer
relaciones entre varios
elementos.
C
MC
NC
Puntaje:
Actitudinal
Aprecia la utilidad de los modelos
matemáticos para describir situaciones
que se resuelven con proporciones.
Calificación otorgada por el
docente
Proporciones.
Proporción. Es la igualdad de dos razones.
Proporción directa. Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera
corresponde doble, triple... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son
directamente proporcionales.
Cuando se tiene una relación dos elementos entre cuyas cantidades prevalece una razón,
utilizando proporciones se pueden calcular cantidades que no estén contempladas.
Ejemplo 1.
En un laboratorio de Fisiología, al medir durante cierto tiempo los litros de sangre que
bombea el corazón de una persona cuyo peso es de 70 kg, se obtuvieron los siguientes
datos:
Leonardo Pisano Fibonacci
(1170 – 1250)
Introduce los números de
Fibonacci y la serie de
Fibonacci. Aproximó las
raíces cúbicas obteniendo
una respuesta que en la
notación decimal es correcta
en 9 dígitos.
Litros de sangre que bombea al corazón
20
35
50
60
Tiempo en minutos
4
7
10
12
Se observa en la tabla que a medida que aumenta el tiempo, aumentan los litros de sangre que bombea el corazón. Y
viceversa, a medida que disminuye el tiempo, disminuye el bombeo de sangre.
Al tomar las comparaciones se tienen las siguientes razones.
50
60
20
35
=5 ,
=5,
=5,
=5
4
7
10
12
Como las razones son constantes, podemos igualar los cocientes, así se construyen las proporciones.
20 35 50 60
=
=
,
y otras posibles combinaciones.
4
7 10 12
Dos o más cantidades son directamente proporcionales cuando su cociente es constante o igual.
66
UTILIZA MAGNITUDES Y NÚMEROS REALES
Para comprobar una proporción es necesario reordenarla utilizando la regla de 3 simple directa que dice, el producto
de los medios es igual al producto de los extremos. Ésta se obtiene a partir de las propiedades de los números reales
(multiplicativa e inverso multiplicativo), que posteriormente se abordará con detenimiento en el tema de despejes de
ecuaciones.
a →c
b→d
a c
=
b d
ad = cb
Cuando se desea obtener información a partir de una proporción se requiere de la conocida regla de 3 simple.
Ejemplo 2.
Un saco de papas pesa 40 kg, entonces dos sacos de papas pesan 80 kg. De un cargamento de papas con 1040 kg
¿Cuántos sacos se podrán hacer?
Número de sacos
Peso en kg
1
40
2
80
...
...
x
1040
...
...
En este caso se establecen las proporciones
1
2
x
=
=
40 80 1040
Cualquier relación que se tome cumple con la misma razón, así que se elige en este caso:
1
x
=
40 1040
En este momento aplicamos la regla de 3 simple
x=
(1)(1040)
= 26
40
La proporcionalidad directa se observa de la siguiente forma.
26(1)
2(1)
Número de sacos
Peso en kg
1
40
2
80
...
...
26
1040
...
...
2(40)
26(40)
BLOQUE 2
67
Proporción inversa. Si dos magnitudes son tales que a doble, triple...cantidad de la primera corresponde la mitad, la
tercera parte... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son inversamente proporcionales.
En este caso si se tiene:
a→c
b→d
La regla a utilizar es la regla de 3 simple inversa.
ab = cd
Ejemplo 1.
Si 3 hombres necesitan 24 días para enyesar una casa, ¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo
trabajo?
Hombres
Días
3
6
24 12
9
8
...
...
18
x
Se utiliza la regla de 3 simple inversa para comprobar los datos obtenidos en la tabla y de la misma forma obtener el
dato faltante.
3→6
(3)(24) = (6 )(12)
24 → 12
72 = 72
3→9
24 → 8
(3)(24) = (9)(8)
72 = 72
Utilizando el mismo procedimiento para resolver el problema, se tiene:
3→6
24 → 12
(3)(24) = (18)(x )
(3)(24)
=x
18
4=x
La proporcionalidad inversa se visualiza mejor de la siguiente forma.
Karl Weierstrass
6(3)
3(3)
2(3)
Hombres
Días
3
6
24 12
9
8
...
...
1
(24)
2
1
(24)
3
1
(24)
6
68
UTILIZA MAGNITUDES Y NÚMEROS REALES
“Un Matemático que no
es también algo de
poeta, nunca será un
matemático completo.”
18
4
Cierre
Actividad: 3
Resuelve en equipo los siguientes problemas.
1.
Si 4 kilos de plátanos cuestan $50, completa la siguiente tabla:
Kilos
Precio
2.
2
4.5
8
9.5
$75
12
$140.60
Considerando que 8 operarios efectúan un trabajo en 24 días, completa la siguiente tabla:
Operarios
Días
4
6
12
64
8
3.
Una cuatrimoto en Puerto Peñasco recorre 120 metros en 4 minutos. ¿Qué distancia recorre en 2
minutos si mantiene su velocidad constante?
4.
14 albañiles efectúan un trabajo en 10 días. ¿Cuánto demorarían 42 albañiles trabajando la misma
cantidad de horas diarias, con el mismo ritmo de trabajo?
5.
Una llave que arroja 12 litros por segundo de agua, demora 10 horas en llenar una piscina. ¿Cuánto
demora una llave que da 20 litros por segundo?
6.
A María le heredaron un terreno rectangular y le ofrecen elegir uno de 30 m de frente y 18 metros de
fondo. Si puede cambiar las dimensiones del terreno, pero no el área, ¿cuál deberá ser el fondo si ella
pide que el frente sea de 40 m?
7.
En un plano, cuya escala es 1 : 100, una puerta mide 2 mm. de ancho por 3.2 mm. ¿Cuáles son las
medidas verdaderas de la puerta?
8.
Calcula el valor de 4 huevos si una docena cuesta $54.
9.
Un automóvil recorre en 3 hrs. una distancia de 252 km. ¿Cuánto recorrerá en 6 horas si va a la misma
velocidad?
10. En un sembrado hay 25.000 árboles de aguacates. Si de cada 50 se pierden 6, ¿cuántos árboles en
total se perderán?
11. Las estadísticas muestran que de cada 30 fumadores compulsivos 5 adquieren enfermedad pulmonar
antes de los 50 años. Si en una ciudad hay 24.000 fumadores compulsivos, ¿cuántos casos de
enfermedad pulmonar se producirán?
12. El profesor califica proporcionalmente al número de reactivos correctos que han obtenido los alumnos.
Si Luis con 32 reactivos correctos obtuvo 6 de calificación, ¿Cuánto obtuvo Alma que tenía 40
correctos?
BLOQUE 2
69
Actividad: 3
Conceptual
Identifica formas diferentes de
comparación y relación entre
números reales, tales como:
razones, proporciones y
variaciones.
Comprende el significado de
razón y proporción.
Evaluación
Producto: Problemas de
aplicación.
Saberes
Procedimental
Utiliza modelos de variación
proporcional directa e inversa.
Aplica reglas que subyacen a
una serie de fenómenos que
involucran a las razones y
proporciones.
Reconoce modelos de
variación proporcional directa
e inversa.
Coevaluación
70
Puntaje:
Actitudinal
Aprecia la utilidad de los modelos
matemáticos para describir situaciones
donde las magnitudes mantienen
relaciones de variación proporcional,
directa o inversa.
Muestra disposición para integrar las
ideas expresadas.
Respeta a los integrantes en el proceso
de comunicación.
C
UTILIZA MAGNITUDES Y NÚMEROS REALES
MC
NC
Calificación otorgada por el
docente
Realiza sumas y sucesiones de números
Unidades de competencia:
Construye e interpreta modelos aritméticos, algebraicos y gráficos, aplicando las
propiedades de los números reales y expresiones aritméticas y algebraicas, relacionando
magnitudes constantes y variables, y empleando las literales para la representación y
resolución de situaciones y/o problemas aritméticos y algebraicos concernientes a su vida
cotidiana y escolar, que le ayudan a explicar y describir su realidad.
Identifica las características presentes en tablas, gráficas, mapas, diagrama o textos,
provenientes de situaciones cotidianas y los traduce a un lenguaje aritmético y/o algebraico.
Atributos a desarrollar en el bloque:
4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o
gráficas.
5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada
uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.
5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar
información.
6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina
entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad.
7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.
8.1 Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo,
definiendo un curso de acción con pasos específicos.
8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera
reflexiva.
8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con
los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
Tiempo asignado: 7 horas
Secuencia didáctica 1.
Sucesiones y series.
Inicio
Actividad: 1
Analiza con detenimiento cada una de las partes de esta actividad y responde
correctamente.
1.
Encuentra el siguiente término de cada unas de las secuencias de números y escríbelo en el cuadro
correspondiente.
a)
1, 2, 3, 4,
b)
1, 4, 9, 16,
,...
c)
3, 7, 11, 15,
,...
d)
7, 14, 21, 28,
,...
e)
1, 2, 4, 8, 16,
,...
f)
60, 50, 40, 30,
,...
g)
1 1 1
,
, ,
9 27 81
h)
0, 1, 0, 1, 0, 1,
2.
Aquiles que está a 10 km de la tortuga, es 10 veces más veloz que ella. ¿Conseguirá alcanzarla?
Reflexiona sobre la oración anterior y contesta la pregunta justificando la respuesta.
3.
La diagonal del ortoedro formado por n cubos consecutivos es:
,...
,...
,...
d= 3
72
REALIZA SUMAS Y SUCESIONES DE NÚMEROS
Actividad: 1 (continuación)
d= 6
d = 11
d = 18
¿Cuál es el valor de la medida de la diagonal del siguiente ortoedro?
Evaluación
Actividad: 1
Conceptual
Identifica la dependencia
entre una secuencia de
números.
Autoevaluación
Producto: Cuestionario.
Puntaje:
Saberes
Procedimental
Determina los números subsecuentes de
secuencias de números.
Actitudinal
Realiza la actividad con
interés.
C
MC
NC
Calificación otorgada por el
docente
BLOQUE 3
73
Luis Villalba, compositor y crítico musical español (1873-1921), establece que música es la
sucesión de una o varias series simultáneas de sonidos concertados, modulados y
ritmados según el número, en orden a la expresión o emoción, así sentimental como
estética.
El concepto más actual de la música según algunos serialistas la sitúa como un arreglo
ordenado de sonidos simples de distinta frecuencia en sucesión (melodía), sonidos en
combinación (armonía) y sonidos (y silencios) en sucesión temporal (ritmo).
Desarrollo
Como habrás observado en el video del “número de oro” del bloque anterior, se habla de una secuencia de números
que está presente en la naturaleza, las obras de arte, la música, la composición molecular, el universo, entre otras. Es
por ello que es importante observar el comportamiento y estudiar las secuencias de números.
Sucesiones.
Una sucesión es un conjunto de números ordenados u otras cantidades que son llamados términos, y éstos se
obtienen mediante la aplicación de una regla.
Ejemplos.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
1, 2, 3, 4, 5, ...
3, 5, 7, 9, 11, ...
15, 20, 25, 30, 35, ...
5, 4, 3, 2, 1
14, 19, 24, 29, 34
1 1 1 1 1 1
, , , , , ,...
2 4 8 16 32 64
Como se muestra en los ejemplos, existen sucesiones finitas e infinitas.
Se dice que una sucesión es finita, cuando posee un número fijo de términos, e infinita, cuando no tiene un número fijo
de términos, es decir no tiene fin.
Los incisos a), b), c) y f) son sucesiones infinitas, y los puntos suspensivos que acompañan a la serie, además de
indicar que sigue hasta el infinito la sucesión, llevan el mismo patrón de comportamiento.
Los incisos d) y e) son sucesiones finitas.
La forma de distinguir a cada término de una sucesión es con la letra “ a ”, de tal manera que al primer término se le
denomina a 1 , al segundo término a 2 , el tercer término a 3 , y así sucesivamente, al término en general se le nombra el
n-ésimo término y es a n , por lo que la sucesión de términos ordenada quedaría:
a 1, a 2 , a 3 ,...,a n ,...
Si se conoce la expresión que proporciona el n-ésimo término, se pueden encontrar todos los demás sustituyendo el
número de término en la expresión, como se muestra a continuación.
74
REALIZA SUMAS Y SUCESIONES DE NÚMEROS
Ejemplo 1.
Encontrar los cinco primeros términos de la sucesión cuyo n-ésimo término sea a n = 8n − 3
Número de
Término (n)
Fórmula
Resultado
1
a 1 = 8(1) − 3
5
2
a 2 = 8(2) − 3
3
a 3 = 8(3) − 3
4
a 4 = 8(4 ) − 3
5
13
21
29
a 5 = 8(5) − 3
37
La sucesión ordenada es: 5, 13, 21, 29, 37, …
“Para Tales... la cuestión
primaria no era qué
sabemos, sino cómo lo
sabemos.”
Ejemplo 2.
Encontrar el vigésimo quinto término de la sucesión anterior.
Aristóteles
a n = 8n − 3
a 25 = 8(25) − 3
a 25 = 197
En otras ocasiones el término general de la sucesión no se conoce, pero éste se puede calcular a partir del primer
término a 1 , junto con una regla para determinar cualquier término a n+1 del término anterior a 2 , con la condición de
n ≥ 1 . En este caso se dice que la sucesión es recursiva y a la expresión se le llama fórmula de recurrencia.
Ejemplo 3.
Encuentra los primeros cuatro términos de la sucesión definida por a 1 = 5 y a n+1 = a n + (n + 3)
n
1
Fórmula
a 2 = 5 + (1 + 3) = 9
Resultado
9
2
a 3 = 9 + (2 + 3) = 14
14
3
a 4 = 14 + (3 + 3) = 20
20
Los primeros cuatro términos de la sucesión son: 5, 9, 14, 20
BLOQUE 3
75
Actividad: 2
Utiliza la calculadora para resolver las siguientes sucesiones.
1.
2.
3.
76
Encuentra los primeros cinco términos de la sucesión.
a)
a n = 2(3)
b)
a n = (− 3 )
c)
an =
2
n−2
3
d)
an =
n+2
n
n
n
Encuentra los primeros cuatro términos de las sucesiones infinitas recursivas, definidas para cada
caso.
a)
a1 = 3 y a n+1 = 2a n − 4
b)
a1 = 4 y a n +1 = −5 a n
c)
a1 = 3 y a n+1 = na n − 2
Encuentra el término indicado en cada una de las siguientes sucesiones.
a)
a n = (− 1) , a 7
b)
an =
c)
a n = (− 2 ) , a 3
n
(− 2)n , a
n2
9
2n
REALIZA SUMAS Y SUCESIONES DE NÚMEROS
Evaluación
Actividad: 2
Producto: Ejercicios.
Conceptual
Identifica la forma del nésimo término de una
sucesión.
Saberes
Procedimental
Aplica la fórmula del n-ésimo término
para encontrar términos específicos de
una sucesión.
C
Autoevaluación
MC
Puntaje:
NC
Actitudinal
Aprecia la facilidad para
encontrar términos
específicos a partir de la
fórmula del n-ésimo término
de una sucesión.
Calificación otorgada por el
docente
Deducción del término general.
También se puede dar el caso de no tener información del n-ésimo término de una sucesión, de tal manera, que
observando el comportamiento de cada uno de los términos puede encontrarse la regla a la cual se sujetan.
Ejemplo 1.
Dada la siguiente sucesión infinita de números pares, encontrar el término n-ésimo.
n
1
2
3
4
5
…
an
2
4
6
8
10
…
Como se observa en la tabla, n es la ubicación que le corresponde a cada término de la sucesión y cada uno de los
términos de la sucesión son el doble de su ubicación, por lo que el término en general es:
a n = 2n
Ejemplo 2.
En el caso de la sucesión infinita de números impares, el n-ésimo término se construiría de la siguiente forma.
n
1
2
3
4
5
…
an
1
3
5
7
9
…
En esta sucesión, sus términos son una unidad menos que el doble de su ubicación, por lo que el n-ésimo término
está dado por la fórmula:
a n = 2n − 1
Ejemplo 3.
Ahora se encontrará el n-ésimo término de una sucesión que no es tan conocida como las anteriores.
n
1
2
3
4
5
…
an
1
5
9
13
17
…
En esta sucesión no es tan fácil encontrar el comportamiento ni la relación de la ubicación con cada término.
Aunque los términos de la sucesión van creciendo de cuatro en cuatro, la fórmula del n-ésimo término debe depender
de la ubicación, así es que se tienen que relacionar. Para ello debes utilizar tus habilidades de Aritmética para poder
hallarla.
BLOQUE 3
77
En este caso la relación está dada por:
a n = 4n − 3
Ejemplo 4.
También se pueden establecer sucesiones más elaboradas, como:
n
1
2
3
4
5
…
an
0
3
8
15
24
…
El crecimiento que tienen los términos de la sucesión no son constantes, es decir, del primer término al segundo hubo
un aumento de 3, del segundo al tercero hubo un aumento de 5, del tercero al cuarto subió 7, del cuarto al quinto
subió 9, por ello, se puede pensar que están involucradas las potencias, así que si se piensa en términos de
potencias, cada término es igual a la ubicación elevada al cuadrado disminuida en una unidad.
a n = n2 − 1
Actividad: 3
Encuentra el término general de cada una de las siguientes sucesiones.
78
a)
2, 6, 10, 14, ...
b)
4, 7, 12, 19, ...
c)
1, 4, 7, 10, ...
d)
3, 6, 9, 12, ...
e)
3, 7, 11, 15, ...
f)
1, 4, 9, 16, ...
g)
1, 8, 27, ...
h)
5, 9, 13, ...
i)
7, 13,19, 25, ...
j)
1 1
1, , , ...
4 9
REALIZA SUMAS Y SUCESIONES DE NÚMEROS
Evaluación
Actividad: 3
Producto: Ejercicios.
Conceptual
Identifica la dependencia de
los términos de una sucesión.
Saberes
Procedimental
Construye la fórmula del n-ésimo
término de sucesiones.
C
Autoevaluación
MC
Puntaje:
NC
Actitudinal
Aprecia la utilidad de expresar
matemáticamente regularidades
y patrones.
Calificación otorgada por el
docente
Sucesión o progresión aritmética.
Es la sucesión cuyos términos, después del primero, se forman sumando un número fijo, de tal forma que la diferencia
de dos términos sucesivos cualesquiera es una constante y a ésta se le llama diferencia de la progresión y se denota
con la letra “d”.
A continuación se ejemplificarán algunas sucesiones aritméticas.
Ejemplo 1.
Se establecerá el comportamiento de la sucesión 5, 11, 17, 23, 29, ... , para comprender la definición de sucesión
aritmética.
La diferencia entre dos términos consecutivos cualesquiera es d = 6
La fórmula de la sucesión aritmética es:
a n = a 1 + (n − 1)d
n
Fórmula
Resultado
1
a 1 = 5 + (1− 1)6
5
2
a 2 = 5 + (2 − 1)6
11
3
a 3 = 5 + (3 − 1)6
17
4
a 4 = 5 + (4 − 1)6
23
5
a 5 = 5 + (5 − 1)6
29
…
…
…
BLOQUE 3
79
Actividad: 4
Encuentra el término que se pide en cada una de las siguientes
sucesiones.
1.
Encuentra el 12vo. término de la sucesión aritmética 5, 13, 21,…
2.
Encuentra el 18vo. término de la sucesión aritmética, 9, 7, 5,…
3.
Encuentra el término 24 de la sucesión aritmética 3, 8, 13,…
4.
Encuentra el término 16 de la sucesión 11, 9, 7,…
5.
1 1
Encuentra el término 14 de la progresión aritmética − 1, − , , ...
3 3
Evaluación
Actividad: 4
Producto: Ejercicios.
Conceptual
Identifica sucesiones
aritméticas.
Saberes
Procedimental
Aplica las fórmulas correspondientes para
hallar el modelo del n-ésimo término que
caracteriza a una sucesión aritmética.
Autoevaluación
80
C
REALIZA SUMAS Y SUCESIONES DE NÚMEROS
MC
Puntaje:
NC
Actitudinal
Aprecia la facilidad en la
utilización de la fórmula para
encontrar el n-ésimo término
de una sucesión aritmética.
Calificación otorgada por el
docente
Actividad: 5
Resuelve los siguientes problemas.
1.
Un teatro tiene 30 filas, 15 asientos en la primera fila, 17 asientos en la segunda fila, 19 en la
tercera, y así sucesivamente, ¿cuántos asientos hay en la fila 30?
2.
El piso del patio de una casa tiene forma de trapecio y se construyó con 20 hileras de ladrillos. Si en la
primera hilera tiene 14 ladrillos y la veinteava tiene 33 ladrillos, ¿cuántos ladrillos tendrá la 15va. hilera?
3.
Un objeto que cae libremente recorre 4.9 metros durante el primer segundo, 14.7 durante el siguiente,
24.5 durante el tercero, y así sucesivamente, ¿qué distancia recorre durante el décimo segundo?
Evaluación
Actividad: 5
Conceptual
Identifica e interpreta
sucesiones aritméticas.
Autoevaluación
Producto: Problemas de aplicación.
Saberes
Procedimental
Aplica la fórmula de sucesión aritmética.
C
MC
NC
Puntaje:
Actitudinal
Muestra interés en la
aplicación de la fórmula de
sucesión aritmética.
Calificación otorgada por el
docente
BLOQUE 3
81
Sucesión o progresión geométrica.
Es la sucesión cuyos términos, después del primero, se forman multiplicando por un número fijo, de tal forma que la
división de dos términos sucesivos cualesquiera es una constante que se denomina razón (r).
El término general se obtiene mediante la fórmula:
a n = a 1r n−1
Ejemplo 1.
Para encontrar el n-ésimo término de la sucesión geométrica 2, 4, 8, 16, …, primero se debe encontrar la razón.
Al dividir dos términos consecutivos obtenemos siempre el mismo valor constante.
4
8
16
=2
=2
= 2 es decir, la razón es r = 2
8
2
4
n
1
2
3
4
…
n-ésimo
…
Fórmula
a 1 = 2(2 )
Resultado
1−1
a 2 = 2(2)
2−1
a 3 = 2(2 )
3 −1
a 4 = 2(2 )
…
4 −1
a n = 2(2 )
…
2
4
8
16
…
n −1
…
Actividad: 6
Encuentra el término que se pide de las siguientes sucesiones.
1.
82
Encuentra el 6to. término de la sucesión geométrica 4, 12, 36,…
2.
Encuentra el 9no. término de la sucesión geométrica, 3, 5, 15, 45,…
3.
Encuentra el término 14 de la sucesión geométrica 3, 9, 27, 81,…
4.
Encuentra el término 8 de la sucesión 1, – 2, 4, –8,…
5.
Encuentra el término 5 de la progresión geométrica 16, 8, 4,…
REALIZA SUMAS Y SUCESIONES DE NÚMEROS
Evaluación
Actividad: 6
Producto: Ejercicios.
Conceptual
Identifica sucesiones
geométricas.
Saberes
Procedimental
Aplica las fórmulas correspondientes para
hallar el modelo del n-ésimo término que
caracteriza a una sucesión geométrica.
C
Autoevaluación
Puntaje:
MC
NC
Actitudinal
Aprecia la facilidad en la
utilización de la fórmula para
encontrar el n-ésimo término
de una sucesión geométrica.
Calificación otorgada por el
docente
Sitios Web recomendados:
Consulta el siguiente sitio para ampliar tus conocimientos.
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0101-01/ed99-0101-01.html
Series
A la suma de los términos de una sucesión se le denomina Serie. Puede ser una suma finita o infinita según sea el
número de términos que se toman.
a 1, a 2 , a 3 ,..., a n
a 1, a 2 , a 3 , a 4,...
ó
La notación que se utiliza para expresar una serie, es la letra mayúscula griega Sigma ∑ , como se muestra a
continuación.
n
∑ a = a + a + a + ... + a
k =1
k
1
2
3
n
k es el índice de la sumatoria, 1 y n son los valores mínimo y máximo de la variable, también se puede llevar a cabo
una sumatoria parcial en donde se puede sumar una parte de la sucesión.
n
∑a = a + a
k =m
k
m
m+1
+ a m+2 + ... + a n
Ejemplos.
Calcular las siguientes series.
1.
5
∑ 7k = 7(1) + 7(2) + 7(3) + 7(4) + 7(5) = 105
k =1
2.
5
∑ 7 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 35
k =1
3.
6
∑ 2k = 2(3) + 2(4) + 2(5) + 2(6 ) = 172
2
2
2
2
2
k =3
BLOQUE 3
83
Actividad: 7
Calcula las siguientes series.
1.
6
∑ (3k − 2) =
k =1
2.
4
∑k =
3
k =1
3.
6
1
∑k =
k =3
4.
4
∑ (0.125) =
k
k =1
5.
4
∑ (− 3) =
k
k =1
6.
9
∑2 =
k =5
Evaluación
Actividad: 7
Producto: Ejercicios.
Conceptual
Identifica los componentes
de la sumatoria de términos.
Saberes
Procedimental
Aplica la notación sumatoria
encontrar su valor.
Autoevaluación
84
C
REALIZA SUMAS Y SUCESIONES DE NÚMEROS
MC
Puntaje:
NC
para
Actitudinal
Aprecia la notación sumatoria
como parte de los
conocimientos a desarrollar.
Calificación otorgada por el
docente
Actividad: 8
Resuelve los siguientes problemas.
1.
En una cuenta de ahorro, Julio depositó $1000 al final del primer año. El banco
agrega el 5% de interés capitalizable cada año. ¿Cuánto dinero habría al finalizar 13
años?
2.
Un auto recorre 36 m en un minuto; 12 m al siguiente minuto; 4 m al siguiente y así sucesivamente.
¿Cuánta distancia habrá recorrido al finalizar 11 minutos?
3.
Una persona tiene 2 padres (1a. generación atrás), 4 abuelos (2a. generación atrás), 8 bisabuelos y
así sucesivamente. ¿Cuántos ancestros tendría 13 generaciones atrás?
4.
Una bola se deja caer desde una altura de 24 m. El primer rebote alcanza una altura de 12 m; el
segundo, 6 m y así sucesivamente. ¿Cuál es la distancia total que ha recorrido la bola al final del
quinto rebote? (Importante: La caída inicial de la bola es especial porque la bola sólo baja, a
diferencia de cada rebote en que sube y después baja.)
5.
En una competencia de ciclismo, dos participantes se preparan. El primero comienza con 1000
metros, y todos los días agrega 1000 metros más, en tanto que el segundo empieza con 200 metros
y cada día duplica lo hecho el día anterior. ¿Cuántos metros recorre cada uno el décimo día?
Evaluación
Actividad: 8
Conceptual
Identifica e interpreta
sucesiones aritméticas.
Autoevaluación
Producto: Problemas de aplicación.
Saberes
Procedimental
Aplica la fórmula de sucesión aritmética.
C
MC
NC
Puntaje:
Actitudinal
Muestra interés en la
aplicación de la fórmula de
sucesión aritmética.
Calificación otorgada por el
docente
BLOQUE 3
85
Series aritméticas y geométricas.
Series aritméticas. La suma (S) de los n términos de una sucesión aritmética finita está dada por la expresión:
n
n
n
∑ a = 2 (a + a ) , es decir, a + a + a + ... + a = 2 (a + a ) , y para mayor facilidad la fórmula se escribe:
k =1
k
1
n
1
2
3
n
1
Sn =
n
n
(a1 + a n )
2
Ejemplo 1.
Encontrar la suma de los primeros 10 términos de la sucesión 7, 15, 23,…
Primero se obtiene el 10mo. término de la sucesión aritmética.
a n = a 1 + (n − 1) d
a 10 = 7 + (10 − 1) 8
a 10 = 79
Ahora se aplica la fórmula de la serie.
n
(a1 + a n )
2
10
(7 + 79)
S10 =
2
S10 = 430
Sn =
Ejemplo 2.
Dada la progresión aritmética 5, 12, 19, 26,…, encontrar la suma de los primeros 12 términos.
Se obtiene el 12vo. término de la sucesión aritmética.
a n = a 1 + (n − 1)d
a 12 = 5 + (12 − 1)7
a 12 = 82
Ahora se aplica la fórmula de la serie.
n
(a1 + a n )
2
12
(5 + 82)
S12 =
2
S12 = 522
Sn =
Series geométricas. La suma (S) de los n términos de una sucesión geométrica finita está dada por la expresión:
n
∑ak =
k =1
(
a1 1− rn
1− r
) , es decir, a + a + a + ... + a = a (1− r ) , y para mayor facilidad la fórmula se escribe:
1
2
3
n
n
1
1− r
Sn =
86
REALIZA SUMAS Y SUCESIONES DE NÚMEROS
(
a1 1− rn
1− r
)
Ejemplo1.
Encontrar la suma de los primeros 10 términos de la sucesión 3, 6, 12,…
Primero se obtiene el 10mo. término de la sucesión geométrica.
a n = a 1r n−1
a 10 = 3(2)
10−1
a 10 = 1536
Ahora se aplica la fórmula de la serie.
(
)
a1 1− rn
1− r
3 1 − 210
S10 =
1− 2
S10 = 3069
Sn =
(
)
Ejemplo 2.
Dada la progresión geométrica 5, 15, 45, 135,…, encontrar la suma de los primeros 8 términos.
Se obtiene el 8vo. término de la sucesión geométrica.
a n = a 1r n−1
a 8 = 5(3)
8−1
"Las matemáticas son el
alfabeto con el cual Dios ha
escrito el Universo"
a 8 = 10935
Ahora se aplica la fórmula de la serie.
(
a 1− rn
Sn = 1
1− r
5 1− 38
S8 =
1− 3
S 8 = 16400
(
)
Galileo Galilei
)
Lo más importante de estas series es su aplicación en problemas reales, como los siguientes.
1.
Carolina compró una casa y pagará mensualmente $3000 durante el primer año, y cada año se aumentará la
mensualidad en $200. ¿Cuánto pagará en total al cabo de los 10 años?
La sucesión aritmética de pago mensual es: $3000, $3200, $3400,…
Sólo que habrá que estructurar una nueva secuencia por año y ésta es: $36000, $38400, $40800,…
El 10mo. término de la sucesión aritmética anual es:
a n = a 1 + (n − 1) d
a 10 = 36000 + (10 − 1)2400
a 10 = 57600
BLOQUE 3
87
Ahora se aplica la fórmula de la serie.
n
(a1 + a n )
2
10
(36000 + 57600)
S10 =
2
S10 = 468000
Sn =
Carolina pagará al cabo de 10 años $468000.
2.
En un cultivo de bacterias, el número de ellas se triplica cada día en ciertas condiciones de temperatura, nutrición
y humedad. Si hay 1200 bacterias al final del primer día, ¿Cuántas habrá al final del 6 días?
La razón de crecimiento r es 3, por lo que el 6to. día crecerían:
a n = a 1r n−1
a 6 = 1200(3)
6 −1
a 6 = 291600
Ahora se aplica la fórmula de la serie para poder encontrar cuántas habrá en total al cabo de los 6 días.
(
)
a1 1− rn
1− r
1200 1 − 36
S6 =
1− 3
S6 = 436800
Sn =
(
Al final del sexto día habrá 436800 bacterias.
88
REALIZA SUMAS Y SUCESIONES DE NÚMEROS
)
Cierre
Actividad: 9
Resuelve los siguientes problemas.
1.
Una de las secciones de un auditorio tiene 6 hileras de asientos. Si la primera tiene 15
asientos, la segunda 13, la tercera 11, y así sucesivamente, hallar la capacidad de la
sección.
2.
Si Abel empieza ahorrando $15 pesos y cada día ahorra $5 más, ¿cuánto habrá ahorrado al terminar
el 30vo. día?
3.
Jaime gana un salario anual de $9000 en la empresa donde labora. Su jefe le ha prometido un
aumento de $1300 cada año, durante los siguientes 5 años. ¿Cuánto ganará en total durante esos 5
años?
4.
El valor de un automóvil se deprecia un 10% cada año, si el precio de un automóvil es de $120,000.
¿Cuál sería su valor al cabo de 5 años?
5.
En una ciudad de 354,470 habitantes, la población crece a razón de 1.2% cada año. Estima la
población dentro de 20 años.
6.
Una persona invierte $80,500 al 5% de interés capitalizable. ¿Qué cantidad de dinero recibirá el
inversionista al final de 4 años?
BLOQUE 3
89
Evaluación
Actividad: 9
Conceptual
Reconoce términos de
sucesiones y series
aritméticas y geométricas.
Autoevaluación
90
Producto: Problemas de aplicación.
Saberes
Procedimental
Aplica las sucesiones y series
aritméticas y geométricas.
C
REALIZA SUMAS Y SUCESIONES DE NÚMEROS
MC
NC
Puntaje:
Actitudinal
Aprecia la utilidad y
aplicabilidad de las series y
sucesiones aritméticas y
geométricas.
Calificación otorgada por el
docente
Realiza transformaciones algebraicas I
Unidades de competencia:
Construye e interpreta modelos aritméticos, algebraicos y gráficos, aplicando las
propiedades de los números reales y expresiones aritméticas y algebraicas, relacionando
magnitudes constantes y variables, y empleando las literales para la representación y
resolución de situaciones y/o problemas aritméticos y algebraicos concernientes a su vida
cotidiana y escolar, que le ayudan a explicar y describir su realidad.
Identifica las características presentes en tablas, gráficas, mapas, diagrama o textos,
provenientes de situaciones cotidianas y los traduce a un lenguaje aritmético y/o algebraico.
Atributos a desarrollar en el bloque:
4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o
gráficas.
5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada
uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.
5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar
información.
6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina
entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad.
7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.
8.1 Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo,
definiendo un curso de acción con pasos específicos.
8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera
reflexiva.
8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los
que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
Tiempo asignado: 8 horas
Secuencia didáctica 1.
Polinomios de una variable.
Inicio
Actividad: 1
Completa la siguiente tabla.
Expresión
Base(s)
Exponente(s)
Desarrollo
Resultado
63
6
3
6 ⋅6 ⋅6
216
4
−2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2
− 24
(− 2)4
4
−2
3y2
73 ⋅ 72
4⋅4⋅4⋅4⋅4⋅4⋅4⋅4
4⋅4⋅4⋅4⋅4
48
45
4
(5 )
5
3y2
(2 ⋅ 5)4
2y5
4
3 2
2
 
5
7 ⋅7 ⋅7 ⋅7 ⋅7
(5 )(5 ) = (5 ⋅ 5 ⋅ 5)(5 ⋅ 5 ⋅ 5)
3
3
3
 2  2  2 
   
 5  5  5 
3
Evaluación
Actividad: 1
Producto: Complementación de la tabla.
Conceptual
Identificar las leyes de los
exponentes
Saberes
Procedimental
Distingue las diferentes leyes de los
exponentes.
Autoevaluación
92
C
REALIZA TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS I
MC
NC
Puntaje:
Actitudinal
Se interesa en la obtención
del desarrollo de las leyes
de los exponentes
Calificación otorgada por el
docente
Desarrollo
Leyes de los exponentes.
Actividad: 2
Realiza la siguiente actividad en equipo y tomando como base la actividad anterior,
determina las leyes de los exponentes.
Nombre
Condiciones
Ley
Ejemplo de demostración
43 ⋅ 42 = 4
4 ⋅
4. ⋅ 4
⋅4 =
⋅
Producto
de
potencias
a ∈R
n,m∈N
a m ⋅ a n = a m+ n
Potencia de
potencias
a ∈R
n,m∈N
(a ) = a
Potencia de
un producto
a ∈R
n,m∈N
(a ⋅ b)m = a m ⋅ bm
Potencia de
un cociente
a,b∈R
b ≠ 0 m∈N
am
a
  = m
b
b
a ∈R
a ≠ 0 n,m∈N
am
= a m−n
n
a
a ∈R
a ≠ 0 m∈N
am
= a m−m = a 0 = 1
am
a,b∈R
a − m bn
=
b−n a m
División de
potencias
de igual
base
Potencia
cero
Potencia
negativa
a,b ≠ 0 n,m∈N
3 veces
4
m n
3+2
=4
2 veces
5
Interpretación
En la multiplicación
de dos bases iguales,
los exponentes se
suman
m⋅ n
m
Evaluación
Actividad: 2
Producto: Complementación de la tabla.
Puntaje:
Conceptual
Identificar las leyes de los
exponentes
Saberes
Procedimental
Distingue las diferentes leyes de los
exponentes.
Demuestra las leyes de los exponentes.
Actitudinal
Se interesa en la
demostración de las leyes de
los exponentes.
Muestra disposición al
realizar la actividad.
Coevaluación
C
MC
NC
Calificación otorgada por el
docente
BLOQUE 4
93
Polinomios.
Polinomio. Es una expresión algebraica que consta de dos o más términos algebraicos.
Nombre
Monomio (mono=uno).
Binomio (bi=dos)
Trinomio (tri=tres)
Polinomio (poli=varios)
Definición
Expresión algebraica que
consta de un solo término
Expresión algebraica que
consta de dos términos
Expresión algebraica que
consta de tres términos
Expresión algebraica que
consta de dos o más
términos. El binomio y el
trinomio son casos
especiales de polinomios.
Ejemplos
4xy 3
6ab + 5a 2
3x 2 + x − 1
x 2 y 2 − 9z
− 2a 2 + 7ab + 3b
x 3 + 2x 2 + x + 5
Grado de un polinomio. Es la suma mayor de los exponentes de cada término algebraico.
Grado: 3+4=7
− 2 x 3 y + 6 x 3 y 4 − 5 xy
Términos
Actividad: 3
Completa la siguiente tabla.
Expresión
3
4
3
4 xy + 3 xy + x y − 3 x y
4
2
3a b + 5a
Nombre
Grado
Polinomio
5
5
8a 2b5
− 7mn2 + 10m6n + 3n
x 3 + 2x 2 + x + 5
2 a 2b + 2 ab2 + 1 a 3b3
3
5
4
Evaluación
Actividad: 3
Conceptual
Clasifica el grado y tipo de
polinomios.
Autoevaluación
94
Producto: Complementación de la tabla.
Diferencia
polinomios.
C
REALIZA TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS I
Saberes
Procedimental
los tipos y grados
MC
NC
de
Puntaje:
Actitudinal
Admite la necesidad de la
clasificación de polinomios
para su uso posterior.
Calificación otorgada por el
docente
Operaciones con polinomios.
Suma de polinomios.
Para llevar a cabo la suma de polinomios es necesario identificar los términos semejantes, es decir, los términos que
tengan las mismas variables con iguales exponentes, para así poder sumar dichos términos.
Ejemplo 1.
Marco Antonio es el supervisor en una compañía que distribuye carnes frías y debe realizar el inventario del mes, para
ello, tiene que contar los productos que hay en almacén y compararlos con los productos que había en el inventario
anterior y los que salieron a la venta; los productos que tiene que contar son: paquetes de salchicha, jamón, quesos,
entre otros.
PAQUETES EN ALMACÉN
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=4
+
+
+
=6
+
=8
+
+
Si a cada producto se le asigna una variable, se tendría la siguiente expresión.
x + x + x + x = 4x
y + y + y + y + y + y = 6y
z + z + z + z + z + z + z + z = 8z
En otras palabras, los productos que hay en existencia en el almacén son:
4 x + 6 y + 8z
Existen varios métodos para sumar, pero realmente se basan en lo mismo, en identificar los términos semejantes y
reducirlos.
Uno de ellos es el método que todos aprenden en la primaria, en donde se acomodan las unidades, decenas,
centenas, etc.
235 +
49
284
De la misma forma se acomodan los términos de un polinomio, acomodando los términos semejantes.
BLOQUE 4
95
Ejemplo 2.
Para sumar los polinomios
7 x 3 + 3x 2 + 5x + 6
y
9x 2 − x − 2
Se acomodan de la siguiente forma:
7 x 3 + 3x 2 + 5x + 6 +
9x 2 − x − 2
7 x 3 + 12x 2 + 4 x + 4
Otra forma, es hacerlo directo.
(7x + 3x + 5x + 6) + (9x − x − 2) = 7x + 12x + 4x + 4
3
2
2
3
2
El resultado 7 x 3 + 12 x 2 + 4 x + 4 ya no se puede reducir porque no tiene términos de igual variable con la igual
potencia (semejantes).
Actividad: 4
I. Reduce las siguientes expresiones, realizando las operaciones correspondientes.
1) x + 2y + 5x 2 y − 9 x + 7 x − 3 y − 12 x 2 y =
2) 3 2 − 5 3 + 2 − 11 3 + 5 2 + 20 3 =
3) Sen x + 2 Cos 2 x + 5 Sen x − 3 Cos 2 x − 8 Sen x + Cos x =
4)
3
5
2
1
7
1
xy − ab + xy + ab − ab + xy =
2
4
2
3
6
2
5) 2 x 2 yz − 3 xy 2 z + 5 xyz 2 − 7 xy 2 z − x 2 yz + 6 xyz 2 =
96
REALIZA TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS I
Actividad: 4 (continuación)
II. Encuentra el perímetro de las siguientes figuras.
1)
3x 2 + 2 x − 1
2)
9/5 m + 11/2
2m - 2/3
3m + 9
3)
r+4
3r + 12
4)
s2 − 4
4s - 5
s +1
3s 2 − 7s + 4
BLOQUE 4
97
Actividad: 4 (continuación)
5)
t 2 + 2t − 3
t 2 + 5t − 11
t2 + 2
6)
- a 2 + 19
3 a + 17
2
2
2a - 17
a 2 − 3 a − 29
5
4
3a 2 − 44
2
− 1 a + 19
2
4
Evaluación
Actividad: 4
Producto: Ejercicios.
Conceptual
Identifica las operaciones de
suma y resta de polinomios.
Saberes
Procedimental
Ejecuta sumas y restas de
polinomios.
Puntaje:
Calcula perímetros de figuras
geométricas.
Autoevaluación
98
C
REALIZA TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS I
MC
NC
Actitudinal
Reflexiona respecto a la ventaja de
realizar diferentes operaciones
básicas con polinomios.
Reconoce sus errores en los
procedimientos algebraicos y
busca solucionarlos.
Calificación otorgada por el
docente
Multiplicación o producto de polinomios.
Al igual que la suma en la primaria, también aprendieron a multiplicar mediante un
algoritmo.
Uno de los métodos para multiplicar polinomios, parecido al que aprendieron es:
5x 2 − 3x + 2
×
− 7x − 3
Glosario:
Algoritmo. Secuencia
de pasos que permite
hallar la solución de un
ejercicio o problema.
− 35 x 3 + 21x 2 − 14 x
− 15 x 2 + 9 x − 6
− 35 x 3 + 6 x 2 − 5 x − 6
La forma que es más usada en este nivel académico, es empleando la propiedad distributiva, se dice que se
multiplican término a término.
5 x 2 − 3 x + 2 (− 7 x − 3 ) = −35 x 3 − 15 x 2
(
)
(5x − 3x + 2)(− 7 x − 3) = −35x − 15x + 21x + 9x
2
3
2
2
(5x − 3x + 2)(− 7 x − 3) = −35x − 15x + 21x + 9x − 14x − 6
2
3
2
2
Posteriormente se reducen los términos semejantes, obteniéndose así el resultado final.
(5x − 3x + 2)(− 7x − 3) = −35x − 15x + 21x + 9x − 14x − 6 = −35x + 6x − 5x − 6
2
3
2
2
3
2
Pareciera que el proceso anterior es mucho más largo que el primer método, pero no es así, porque puedes realizar
las multiplicaciones sin necesidad de separarlas por pasos, quedando así únicamente el último paso del segundo
método.
Actividad: 5
Efectúa los siguientes productos y simplifica términos semejantes.
1)
(− 3a )(1− 4abc + 5a c ) =
2)
(3x y )(3x y + 2xy − 4) =
3)
27 2 2

 4 2  9
m n − n =
 n  m +
9
16
16



4
2
2 3
4
2
3
BLOQUE 4
99
Actividad: 5 (continuación)
4)
(m + 4)(m − 4) =
5)
(− 2a + 6b)(6b + 2a ) =
6)
(− 4a − 7b)(− 7b + 4a ) =
7)
(a − 7 )(a + 4) =
8)
(x + 5y )(x − 3y ) =
9)
(2a − 4b)(2a + 3b) =
10) (4a + 5b)2 =
(
)
2
11) 3 x 2 − 2 y =
2
1 

12)  3a + b  =
2 

13) (x − 3 )3 =
14) (2a + 3 )3 =
15) (x − 5 y )3 =
3 
3  1
1
16)  x + y  x + y  =
4  2
4 
2
17) (4a − 3b )(2a + 7b ) =
18) (7 xy + 1)(2 xy − 3 ) =
Evaluación
Actividad: 5
Conceptual
Identifica operaciones de
multiplicación de polinomios.
Autoevaluación
100
Producto: Ejercicios.
Puntaje:
Saberes
Procedimental
Ejecuta multiplicaciones de polinomios.
C
REALIZA TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS I
MC
NC
Actitudinal
Reconoce sus errores en los
procedimientos algebraicos y
busca solucionarlos.
Calificación otorgada por el
docente
Productos Notables.
Dentro de los productos de polinomios existen productos notables 1, reciben este nombre aquellas multiplicaciones
con expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que
cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.
Los productos notables más conocidos son:
Nombre
Representación
algebraica
Binomios conjugados
(a + b)(a − b) = a 2 − b 2
a-b
b2
b
=
a-b
Representación
gráfica
a
a
=
a-b
b
a
a
a+b
Área = (a + b )(a − b )
Regla
El producto de dos binomios conjugados es el cuadrado del término de signos iguales
menos el cuadrado del término de signos diferentes.
Nombre
Representación algebraica
Binomio al cuadrado
(a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2
a
Representación gráfica
ab
=
b
a
b
2
Área = (a + b )
Regla
1
ab
b2
=
+
+
2ab
a
2
b2
El cuadrado de un binomio es: el cuadrado del primer término más el doble producto
del primero por el segundo término, más el cuadrado del segundo término.
http://es.wikipedia.org/wiki/Productos_notables
BLOQUE 4
101
Nombre
Binomios con un término común
Representación algebraica
(a + b)(a + c ) = a 2 + (b + c)a + bc
Representación gráfica
c
ac
bc
a
a2
ab
a
b
Área = (a + b )(a + c )
a 2 + (b + c )a + bc
Regla
El producto de dos binomios con un término común es igual al cuadrado del término
común más el producto de la suma de los términos no comunes con el término común
más el producto de los términos no comunes.
Nombre
Representación algebraica
Binomio al cubo
(a + b)3 = a 3 + 3a 2b + 3ab2 + b3
a2 b
ab2
b
Representación gráfica
a
a
+ b
a
b
b
Volumen = (a + b )
3
Regla
a2 b
a3
ab2
b3
a2 b
ab2
a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3
El binomio al cubo es igual al cubo del primer término, más el triple producto del
cuadrado del primer término por el segundo, más el triple producto del primer término
por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término.
Ejemplo1.
Se desea realizar el producto de los factores
(x + 7 )(x − 2) .
Al observar los factores se identifica el tipo de producto notable al cual pertenece, éstos son binomios con un término
común, por lo tanto se usa:
(a + b)(a + c ) = a 2 + (b + c)a + bc
(x + 7 )(x − 2) = x 2 + (7 − 2)x + (7 )(− 2)
= x 2 + 5 x − 14
.
102
REALIZA TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS I
Ejemplo 2.
Realizar el producto de los factores (5m + 3)(5m + 3) .
Se observa que los factores son idénticos, por lo cual se pueden expresar como binomio al cuadrado, como se
muestra a continuación.
(5m + 3)(5m + 3) = (5m − 3)2
Para resolverlo sólo se toma la expresión del binomio al cuadrado para poder desarrollar el producto notable, para
así, poder utilizar la expresión:
(a + b)2 = a 2 + 2ab + b 2
(5m − 3)2 = (5m)2 + 2(5m)(− 3) + (− 3)2
= 25m 2 − 30m + 9
Ejemplo 3.
3
Desarrollar el producto de los factores (3 x − 2 ) .
El binomio anterior, pertenece a binomio al cubo, por lo tanto se utiliza para desarrollar el producto la siguiente
representación algebraica:
(a + b)3 = a 3 + 3a 2b + 3ab2 + b3
(3x − 2)3 = (3x )3 + 3(3x )2 (− 2) + 3(3x )(− 2)2 + (− 2)3
= 27 x 3 − 54 x 2 + 36 x − 8
Ejemplo 4.
Los factores (y + 11)(y − 11) se identifican como binomios conjugados, debido a que su diferencia radica en tan sólo
un signo, por lo que se resuelve de la siguiente forma:
Se utiliza la representación correspondiente a binomios conjugados.
(a + b)(a − b) = a 2 − b 2
(y + 11)(y − 11) = (y )2 − (11)2
= y 2 − 121
Primero se eleva al cuadrado el término que tiene igual signo y posteriormente se le resta el término que tiene
diferente signo, elevado al cuadrado.
Es conveniente acomodar primero los términos en cada uno de los ejemplos anteriores, para que se visualice mejor a
qué producto notable pertenece.
BLOQUE 4
103
Actividad: 6
Efectúa los siguientes productos notables utilizando la regla que corresponda.
1)
(x + 3)(x − 4) =
2)
(a + 2)3 =
3)
(− a − 5b)(− a + b) =
4)
(u − a )2 =
5)
(7 xy + 1)(7 xy + 1) =
6)
(2m + 1)(2m + 1) =
7)
(2n − 3)(3n + 1) =
8)
(x + a )(x − a ) =
9)
(a + 8b)(a − 7b) =
10) (a + 11)(a + 4 ) =
11) (x + 7 ) =
2
12) (x + 5)(x − 5 ) =
13) (5 x − 7 )(5 x + 7 ) =
14) (x + 5)(x − 2 ) =
104
REALIZA TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS I
Actividad: 6 (continuación)
15) (5 y − 2 )(5 y − 2 ) =
16) (2 x − 1) =
3
17) (a − 7 )(a + 7 ) =
18) (x + 2 y ) =
3
19) (2m − 3n)(2m + 3n) =
20) (x + 5 ) =
3
21) (3s + 2 ) =
2
2
1 

22)  x − y  =
2 

23) (2a + 1)(2a − 1) =
24) (6 x − 2 )(6 x − 4 ) =
25) (2z + 3 ) =
3
Evaluación
Actividad: 6
Producto: Ejercicios.
Conceptual
Identifica el producto de
binomio, aplicando patrones
de productos notables.
Saberes
Procedimental
Emplea productos notables para
determinar y expresar el resultado de
multiplicaciones de binomios.
Puntaje:
Actitudinal
Reflexiona respecto a la ventaja
de realizar diversas
transformaciones algebraicas
para simplificar o interpretar
resultados.
Reconoce sus errores en los
procedimientos algebraicos y
busca solucionarlos.
Autoevaluación
C
MC
NC
Calificación otorgada por el
docente
BLOQUE 4
105
Es común que en la solución de problemas cotidianos se utilicen expresiones algebraicas en las que se requiere
aplicar operaciones fundamentales entre polinomios, como se muestra a continuación
Ejemplo 1.
Natalia es dueña de un predio rectangular cuyo largo es tres veces el ancho, y desea construir una refresquería de
dimensiones cuadradas de 6m de lado. Natalia desea saber cuánta superficie libre le quedará después de construir.
6m
x
6m
3x
La superficie del predio es: (3 x )(x ) = 3 x 2
La superficie de la refresquería es: (6 )(6 ) = 36
Por lo que la superficie restante es: 3 x 2 − 36
Ejemplo 2.
Se desea construir una caja con un cartón cuadrado y se elabora recortando cuadrados en las esquinas de 5 cm de
lado, como se muestra en la figura. Para expresar el volumen de la caja se procede de la siguiente manera:
5
x – 10
x

5
5
x – 10
5
x
x – 10
El volumen de la caja es: lado x lado x altura.
La expresión algebraica que lo modela es:
Volumen= (x − 10 )(x − 10 )(5 )
(
Volumen= 5 x 2 − 20x + 100
)
Volumen = 5 x 2 − 100 x + 500
106
REALIZA TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS I
x – 10
Cierre
Actividad: 7
En equipo encuentra la expresión algebraica que modela los siguientes problemas y desarrolla
las expresiones encontradas.
1. La suma de dos números es 14 y la suma de sus cuadrados es 97.
2.
Valeria tiene 5 años más que Héctor y la suma de los cuadrados de sus edades disminuida en 15 es
322.
3.
La longitud de una sala excede al ancho en 4 m, si el ancho se aumenta 2m y el largo se duplica, el
área será el tripe que la original.
4.
La sección amarilla vende su espacio rectangular por cm2, los anunciantes deben incluir en los
anuncios un margen de 1 cm por cada lado. Una tienda de autoservicio contrata regularmente un
anuncio de 375 cm2 (impresión y márgenes). Expresa el área de la impresión.
1
1
5.
Se compraron dos piezas de tela que juntas miden 9 m, el metro de cada pieza costó lo mismo que
los cuadrados de los metros comprados de cada pieza y además una costó 4 veces lo que la otra.
Evaluación
Actividad: 7
Conceptual
Interpreta los problemas
para obtener expresiones
algebraicas.
Identifica el tipo de
expresiones obtenidas.
Producto: Problemas de aplicación.
Puntaje:
Saberes
Procedimental
Propone
estrategias
para
la
representación de los problemas.
Actitudinal
Aprecia el uso de polinomios en el
planteamiento de problemas.
Utiliza productos notables para el
desarrollo de las expresiones.
Propone maneras creativas de
solucionar un problema.
Tiene apertura para hacer las
anotaciones individuales.
Respeta a los integrantes en el
proceso de comunicación.
Coevaluación
C
MC
NC
Calificación otorgada por el
docente
BLOQUE 4
107
Secuencia didáctica 2.
Factorización de polinomios.
Inicio
Sabías que…
El hueso de Ishango
es un largo hueso
marrón, más
específicamente, el
peroné de un
babuino, con un
cuarzo incrustado en
uno de sus
extremos. Se piensa
que se utilizaba para
realizar conteos.
Muescas encontradas en el hueso de Ishango, datan de más de 20,000 años, hecho
que algunos arqueólogos interpretan como la prueba del conocimiento de los
números primos, debido a que las muescas encontradas parecen aislar los números
primos: 11, 13, 17 y 19.
Actividad: 1
En equipo, analicen las siguientes preguntas y al llegar a una conclusión anoten su
respuesta en el espacio correspondiente.
1.
¿Qué son los números primos?
2.
¿Cómo se obtienen los números primos?
3.
Encuentra los números primos menores de 100.
4.
Si el número 24 puede ser expresado en la multiplicación de los números primos 2 y 3, debido a que
24 = (2 )(2 )(2 )(3 ) . Expresa los siguientes números en sus factores primos.
6=
8=
36=
42=
54=
165=
108
REALIZA TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS I
Evaluación
Actividad: 1
Producto: Cuestionario.
Puntaje:
Conceptual
Define los números primos.
Saberes
Procedimental
Analiza propuestas para la obtención de
los números primos.
Actitudinal
Tiene apertura para hacer las
anotaciones individuales.
Propone formas de encontrar los
números primos.
Aporta puntos de vista con
apertura y considera los de
otras personas.
Respeta a los integrantes en
el proceso de comunicación.
Coevaluación
C
MC
NC
Calificación otorgada por el
docente
Desarrollo
Así como los números se pueden descomponer en multiplicaciones de números primos, que comúnmente llamamos
factores primos, los polinomios también son susceptibles de expresarlos en factores, es decir, expresarlos en la
multiplicación de varias expresiones algebraicas más sencillas.
Factorización.
Al proceso de expresar a los polinomios en factores se le denomina Factorización, y dependiendo del tipo de
expresión que se desea factorizar es la técnica a utilizar.
A continuación se mencionarán las técnicas más utilizadas a este nivel.
Factor común.
Consiste en extraer la expresión algebraica que esté presente en cada uno de los términos de una expresión más
compleja, como se muestra en el siguiente ejemplo:
Ejemplo 1.
Para factorizar la expresión 12 x 2 + 18 x
Se descompone en:
12 x 2 + 18 x = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ x ⋅ x + 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ x
Por lo que el factor que está presente en los dos términos algebraicos es:
2⋅3⋅x
La técnica que se utiliza para factorizar por factor común, es extraer el máximo número de factores que estén
presentes en los términos para expresarla como una multiplicación de factores, como se muestra a continuación.
12 x 2 + 18 x = 2 ⋅ 3 ⋅ x ⋅ (2 ⋅ x + 3 ) = 6 x (2 x + 3 )
Al observar el resultado, se concluye que la Factorización por factor común proporciona un monomio por un
polinomio.
BLOQUE 4
109
La Factorización es el proceso inverso de la multiplicación de polinomios, en particular de los productos notables.
A continuación se mostrarán ejemplos de Factorización por factor común.
1.
81x + 72 = 9 (9 x + 8 )
2.
y 2 − 3 y = y (y − 3 )
3.
14a 2 + 28a = 14a (a + 2)
4.
25 x 3 + 10 x 2 = 5 x 2 (5 x + 2 )
5.
16 x 2 y 4 − 20 x 3 y 2 = 4 x 2 y 2 4 y 2 − 5 x
6.
32m3n4 − 16m4n2 + 8m2n = 8m2n 4mn3 − 2m2n + 1
7.
− 25a 2c + 35a 3b − 10a 2b 2c 2 = 5a 2 − 5c + 7ab − 2b 2c 2
8.
36 2 18 3
27 2 2 9 
2
3 
xy +
x y−
x y = xy 4 y + x 2 − xy 
5
25
10
5 
5
2 
(
(
)
(
)
)
Si notaste en los ejemplos anteriores, el número que se extrajo es el que comúnmente se llama Máximo Común Divisor
que viste en la secundaria, y además, las variables son aquellas que tienen la menor potencia o exponente.
Actividad: 2
En equipo, factoricen las siguientes expresiones algebraicas y comenten las dificultades
que se presentaron.
1. qx + qy + qn =
2. 26n + 13mn + 52m − 39m2n2 =
3. 6 x 4 + 54x 2 =
4. 12 x 2 − 15 x 3 + 12 x − 9 x 4 =
5. 42mn2 + 18m2n =
6.
9 4 5 27 5 3 18 3 3 3 2 2
a b +
a b − a b −
a b =
16
8
4
20
7. 20 x 4 − 12 x 3 + 4 x =
8. 10a 3b4c 5 − 5a 2b2c 2 + 25ab2c 4 =
9. − 16r 3s 3 − 8r 3s + 4s6 − 2r 2s 3 =
10. 5c 2 x 5 − 25c 2 x 2 − 12c 4 x 2 =
Evaluación
Actividad: 2
Producto: Ejercicios.
Puntaje:
Conceptual
Comprende las técnicas de
extracción de factor común
simple y por agrupación.
Saberes
Procedimental
Formula expresiones en forma de
producto, utilizando técnicas básicas
de Factorización.
Actitudinal
Propone maneras creativas de
solucionar los ejercicios.
Tiene apertura para hacer las
anotaciones individuales.
Respeta a los integrantes en el
proceso de comunicación.
Coevaluación
110
C
REALIZA TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS I
MC
NC
Calificación otorgada por el
docente
Diferencia de cuadrados.
En la secuencia anterior, se trabajó con los binomios conjugados y su producto da como resultado diferencia de
cuadrados.
(x + a )(x − a ) = x 2 − a 2
Así que se puede escribir:
x 2 − a 2 = (x + a )(x − a )
La diferencia de cuadrados tiene como requisito, poseer dos términos, uno positivo y el otro negativo, además, tener
potencias pares, cuadradas, cuartas, sextas, etc.
Ejemplo 1.
Para factorizar 16 x 2 − 9y 2 se necesita representar cada término como expresiones elevadas al cuadrado.
16 x 2 − 9 y 2 = (4 x ) − (3 y )
2
2
Como las bases de las expresiones elevadas al cuadrado son 4x y 3y éstas serán los
términos de los binomios conjugados, en donde 4x representará al término de signos iguales
y 3y a los términos de signos diferentes, como se muestra a continuación.
signos positivos
(4 x + 3 y )(4 x − 3 y )

16 x − 9 y = 
(− 4 x + 3 y )(− 4 x − 3 y )

2
Eratósthenes de Cirene
(276 – 194 A C)
Trabajó en geometría y en
números primos. Ideó un
método con el cual pudo medir
la longitud de la circunferencia
de la tierra.
2
signos negativos
Realiza los productos de ambos resultados para que compruebes que las dos opciones son factorizaciones que
provienen de la misma diferencia de cuadrados.
Como observamos en el ejemplo anterior, dos son las opciones de Factorización, pero convencionalmente se toma
sólo un resultado y es el positivo.
Como antes se mencionó, las potencias pueden ser pares, ahora se ejemplificará con diferencias de cuadrados que
poseen exponentes pares mayores que dos.
Ejemplo 2.
Al igual que en el ejemplo anterior, 144u6 − 36 requiere ser expresado como potencias cuadradas.
(
144u6 − 36 = 12u3
) − (6)
2
2
Ahora se expresan los binomios conjugados, tomando únicamente uno de los dos resultados posibles, el positivo.
(
)(
144u6 − 36 = 12u3 + 6 12u3 − 6
)
BLOQUE 4
111
Actividad: 3
En equipo, factoricen las siguientes expresiones algebraicas y comenten las
dificultades que se presentaron.
1. a 2 − 16 =
2. 4 − y 2 =
3. m2n2 − 1 =
4. 25 r 2 − 9s 2 =
5. x 4 − 121 =
6. 81a 2 − 169b 2 =
7. − 9c 6 + 49 =
8.
25 2
x −9=
16
9. −
10.
9 2 49 2
x +
y =
4
64
36 x 4
− 121x 2 y 4 z 6 =
9y 2
Evaluación
Actividad: 3
Conceptual
Comprende las técnicas de
Factorización basadas en
productos notables, como es
la diferencia de cuadrados.
Producto: Ejercicios.
Puntaje:
Saberes
Procedimental
Utiliza las técnicas para encontrar la
Factorización de diferencia de
cuadrados.
Actitudinal
Propone maneras creativas
de solucionar los ejercicios.
Tiene apertura para hacer las
anotaciones individuales.
Respeta a los integrantes en
el proceso de comunicación.
Coevaluación
112
C
REALIZA TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS I
MC
NC
Calificación otorgada por el
docente
Trinomios cuadrados perfectos.
Este tipo de trinomios son perfectos porque provienen de desarrollar un binomio al cuadrado
(a + b)2 = a 2 + 2ab + b2
Visto de otra forma, el trinomio tiene que cumplir los siguientes requisitos para poder expresarse como un binomio al
cuadrado.
a 2 + 2ab + b 2
±a
±b
Los términos deben tener raíz
cuadrada exacta, recordando
que una raíz cuadrada puede
tener dos posibles resultados.
2ab
El doble producto de las raíces debe
cumplir con el término de en medio del
trinomio, dependiendo del signo de este
término, se eligen las raíces.
Ejemplo 1.
Para factorizar 4x 2 + 12x + 9 es necesario extraer las raíces del primer y tercer término y al duplicar la multiplicación de
sus raíces debe dar como resultado 12x , sólo así se podrá expresar como un binomio al cuadrado.
4 x 2 + 12x + 9
± 2x
±3
Sólo ahora que se comprobaron las condiciones se puede expresar
como:
4x 2 + 12 x + 9 = (2 x + 3 )
2
12x
Coincide el doble producto con el
término de en medio, y como es
positivo, se eligen las raíces del
mismo signo, conviene más elegir
las positivas.
Nótese que los términos que forman al binomio al cuadrado son las
raíces encontradas.
BLOQUE 4
113
Ejemplo 2
Ahora, al factorizar x 2 − 10 x + 25 y verificar las condiciones, su Factorización queda:
x 2 − 10 x + 25
±x
±5
La Factorización queda:
x 2 − 10x + 25 = (x − 5 )
2
−10x
En este caso se
requiere elegir las
raíces de diferente
signo
para
que
coincida también el
signo del término de
en medio.
Nótese que los términos que forman al binomio al cuadrado son las
raíces encontradas pero con diferente signo.
Actividad: 4
En equipo, factoricen las siguientes expresiones algebraicas y comenten las dificultades
que se presentaron.
1.
x 2 + 14 x + 49 =
2.
y 2 − 20 y + 100 =
3.
4 x 2 − 20 x + 25 =
4.
x 2 − 6 xy + 9 y 2 =
5.
25a 2 + 60ab + 36b2 =
6.
x2 − x + 1 =
4
7.
m2 +
8.
16 x 4 − 40 x 2 y + 25 y 2 =
9.
4 − 20 r + 25 r 2 =
1
1
m+
=
2
16
10. 24 xy 2 + 9 x 2 + 16 y 4 =
114
REALIZA TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS I
Evaluación
Actividad: 4
Conceptual
Comprende las técnicas de
Factorización basadas en
productos notables, como
son los trinomios cuadrados
perfectos
Producto: Ejercicios.
Puntaje:
Saberes
Procedimental
Utiliza las técnicas para encontrar la
Factorización de trinomios cuadrados
perfectos.
Actitudinal
Propone maneras creativas
de solucionar los ejercicios.
Tiene apertura para hacer las
anotaciones individuales.
Respeta a los integrantes en
el proceso de comunicación.
Coevaluación
C
MC
NC
Calificación otorgada por el
docente
Cierre
Actividad: 5
Factoriza las siguientes expresiones algebraicas, e identifica la técnica utilizada al
factorizar.
Polinomio
Factorización
Nombre de la técnica
utilizada
9 x 2 y 2 − 27 x 3 y 4 z + 3 xyz + 18 x 5 y 2 z =
22 Cos x + 44 Cos 2 x − 33Cos 3 x + 11Cos 5 x =
m2 − 121 =
5xy (x + y ) − 2y (x + y ) − (x + y ) − 15x (x + y ) =
9 x 2 − 30 xy 2 + 25 y 4 =
25 6
x −1=
49
12a 2b 3 + 28ab2 − 16a 2b − 32ab3 =
28 4 14
7 5 5 5 21 6 6
m n + mn4p −
mnp − mp =
25
15
30
5
m2 − 2mn + n2 =
x 4 − 36 =
11 2 3
22 2 3 2 44 4 33
a b c−
abc +
ab −
bc =
15
30
5
10
16 x 2 + 40 x + 25 =
BLOQUE 4
115
Evaluación
Actividad: 5
Producto: Ejercicios.
Puntaje:
Conceptual
Comprende las técnicas de
Factorización basadas en
productos notables.
Saberes
Procedimental
Formula expresiones en forma de
producto, utilizando técnicas básicas de
Factorización.
Actitudinal
Reconoce sus errores en los
procedimientos algebraicos y
busca solucionarlos.
Distingue las diferentes
formas de Factorización.
Establece relaciones entre procesos
inversos al multiplicar y factorizar.
Autoevaluación
116
C
REALIZA TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS I
MC
NC
Considera a la Factorización
como un proceso que facilita
procesos algebraicos.
Calificación otorgada por el
docente
Realiza transformaciones algebraicas II
Unidades de competencia:
Construye e interpreta modelos aritméticos, algebraicos y gráficos, aplicando las
propiedades de los números reales y expresiones aritméticas y algebraicas, relacionando
magnitudes constantes y variables, y empleando las literales para la representación y
resolución de situaciones y/o problemas aritméticos y algebraicos concernientes a su vida
cotidiana y escolar, que le ayudan a explicar y describir su realidad.
Identifica las características presentes en tablas, gráficas, mapas, diagramas o textos,
provenientes de situaciones cotidianas y los traduce a un lenguaje aritmético y/o algebraico.
Atributos a desarrollar en el bloque:
4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o
gráficas.
5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada
uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.
5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar
información.
6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina
entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad.
7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.
8.1 Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo,
definiendo un curso de acción con pasos específicos.
8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera
reflexiva.
8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con
los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
Tiempo asignado: 8 horas
Secuencia didáctica 1.
Continuación de Factorización de polinomios.
Inicio
Actividad: 1
En equipo, analicen las siguientes preguntas y al llegar a una conclusión anoten su
respuesta en el espacio correspondiente.
1.
Desarrolla los siguientes factores:
(x + 3)(2x − 5) =
(3x − 2)(4x + 1) =
118
2.
Analizando el desarrollo de los binomios anteriores, describe una técnica para factorizar x 2 − x − 20
3.
Factoriza el polinomio anterior y comprueba la técnica que escribiste.
4.
Describe una técnica para factorizar 10x 2 + 29x − 21
5.
Factoriza el polinomio anterior y comprueba la técnica que escribiste.
REALIZA TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS II
Evaluación
Actividad: 1
Conceptual
Comprende la
multiplicación de
polinomios en particular de
productos notables.
Producto: Ejercicios.
Puntaje:
Saberes
Procedimental
Establece relaciones entre procesos
inversos al multiplicar y factorizar.
Actitudinal
Propone maneras creativas
de solucionar los ejercicios.
Tiene apertura para hacer las
anotaciones individuales.
Formula técnicas de Factorización.
Respeta a los integrantes en
el proceso de comunicación.
Coevaluación
C
MC
NC
Calificación otorgada por el
docente
Desarrollo
Continuación de factorización.
Como el nombre de la secuencia lo dice, es la continuación de la Factorización de polinomios. En la secuencia
anterior se desarrollaron las técnicas para factorizar diferencias de cuadrados, factor común y trinomios cuadrados
perfectos. Ahora se desarrollarán técnicas para los trinomios que no son cuadrados perfectos.
2
Los trinomios que se factorizarán son los de la forma ax + bx + c
Este trinomio proviene del producto de dos binomios.
“La matemática es la
ciencia del orden y la
medida, de bellas
cadenas de
razonamientos, todos
sencillos y fáciles"
A este trinomio se le conoce como expresión cuadrática, donde:
ax 2 es el término de segundo grado o cuadrático
bx es el término lineal
c
es el término independiente
Primero se abordará el caso en donde a = 1
Descartes
2
Trinomios de la forma x + bx + c
Analizando los siguientes ejemplos se desarrollará la técnica para factorizar este tipo
de trinomios.
Ejemplo1.
Siguiendo la regla en el producto de (x + 3)(x + 4) , se obtiene:
(x + 3)(x + 4) = x 2 + (3 + 4)x + (3)(4)
= x 2 + 7 x + 12
.
Para encontrar el proceso inverso (Factorización), se requiere encontrar dos números que multiplicados den el término
independiente y sumados o restados proporcionen el coeficiente del término lineal.
BLOQUE 5
119
2
Para factorizar x + 7 x + 12 se debe hallar dos números que multiplicados den 12 y sumados den 7.
Esta es la única
pareja que cumple
con las dos
condiciones
Números probables
3,4
– 3, – 4
Multiplicados
(3)(4) = 12
(− 3)(− 4) = 12
Sumados
3+4=7
−3 − 4 = −7
Para expresar la Factorización, se acomodan en los factores el término igual, que en este caso es x, y los números
encontrados, como se muestra a continuación:
x 2 + 7 x + 12 = (x + 3)(x + 4)
Realiza el producto de los factores encontrados para que compruebes que la Factorización está bien realizada.
Ejemplo 2.
2
Ahora se factorizará la expresión x − 10x + 24
Se tiene que encontrar dos números que multiplicados den 24 y que sumados den –10.
Números probables
1, 24
– 1, – 24
2, 12
– 2, – 12
3, 8
Esta es la única
pareja que cumple
con las dos
condiciones
– 3, – 8
4, 6
– 4, – 6
Multiplicados
(1)(24) = 24
(− 1)(− 24) = 24
(2)(12) = 24
(− 2)(− 12) = 24
(3)(8) = 24
(− 3)(− 8) = 24
(4)(6 ) = 24
(− 4)(− 6 ) = 24
Sumados
1 + 24 = 25
−1 − 24 = −25
2 + 12 = 14
−2 − 12 = −14
3 + 8 = 11
−3 − 8 = −11
4 + 6 = 10
−4 − 6 = −10
Por lo que la Factorización resulta:
x 2 − 10x + 24 = (x − 4)(x − 6 )
También se podría expresar como,
x 2 − 10x + 24 = (x − 6 )(x − 4 )
Esto debido a la propiedad conmutativa de la multiplicación, que en otras palabras se le conoce como “el orden de
los factores no altera el producto”.
A medida que practiques las factorizaciones de este tipo, visualizarás con mayor rapidez los números que cumplen
con las dos condiciones, posiblemente los encuentres antes de buscar los números probables.
120
REALIZA TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS II
Ejemplo 3.
2
Para factorizar x + 2 x − 35 , se tiene que encontrar dos números que multiplicados den −35 y restados den 2.
¿Por qué ahora se dice restados? Por la simple razón de que la multiplicación debe ser −35 , para ello, tendría que ser
un número negativo y el otro positivo, y al ser de diferente signo ya no sería una suma sino una resta.
Números probables
1, – 35
– 1, 35
5, – 7
– 5, 7
Multiplicados
Restados
(1)(− 35) = −35
(− 1)(35) = −35
(5)(− 7 ) = −35
(− 5)(7 ) = −35
1 − 35 = −34
−1 + 35 = 34
5 − 7 = −2
−5 + 7 = 2
Esta es la única
pareja que cumple
con las dos
condiciones
La Factorización se expresa:
x 2 + 2x − 35 = (x − 5 )(x + 7 )
Ejemplo 4.
2
Para factorizar x − 12x − 13 , se tiene que buscar dos números que multiplicados den −13 y restados −12 . Sin
necesidad de hacer la tabla de los números probables, la única pareja que cumple con las dos condiciones es −13 y
1 , quedando de esta forma la Factorización.
x 2 − 12 x − 13 = (x − 13 )(x + 1)
“No podemos resolver
problemas usando el
mismo tipo de
pensamiento que
usamos cuando los
creamos.”
Albert Einstein
BLOQUE 5
121
Actividad: 2
En equipo, factoricen las siguientes expresiones algebraicas y comenten las
dificultades que se presentaron.
1.
x 2 + 16 x + 63 =
2.
x 2 − 5 x − 36 =
3.
y 2 − 23 y + 132 =
4.
m2 − 5m − 66 =
5.
a 2 + 8a − 20 =
6.
2 + x 2 − 3x =
7.
y 2 − 54 − 3 y =
8.
x 2 − 17 x + 52 =
9.
u2 + 6u − 40 =
10. x 2 + 9 x + 14 =
Evaluación
Actividad: 2
Conceptual
Comprende las técnicas de
Factorización basadas en
productos notables, como
son los trinomios de la forma
2
x + bx + c .
Coevaluación
122
Producto: Ejercicios.
Puntaje:
Saberes
Procedimental
Utiliza las técnicas para encontrar la
Factorización de trinomios de la forma
Actitudinal
Propone maneras creativas
de solucionar los ejercicios.
x 2 + bx + c .
Aplica de forma correcta las leyes de los
signos y la descomposición de números.
C
REALIZA TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS II
MC
NC
Tiene apertura para hacer
las anotaciones individuales.
Respeta a los integrantes en
el proceso de comunicación.
Calificación otorgada por el
docente
Trinomios de la forma ax 2 + bx + c , con a ≠ 0, 1
Este tipo de polinomios son generados al multiplicar binomios de diferentes términos, como:
(3x − 2)(4x + 5) = 12x 2 + 15x − 8x − 10
(3x − 2)(4x + 5) = 12x 2 + 7 x − 10
Analizando los coeficientes obtenidos,
12 se obtuvo de multiplicar
(3)(4)
7 se obtuvo de sumar los productos
−10 se obtuvo de multiplicar
(3)(5) + (− 2)(4)
Euclides
(365 – 300 A C)
Fue quien escribió la famosa
obra titulada “Los elementos
Geométricos” compuesta de
13 libros.
(− 2)(5)
Todo con base en los coeficientes de los binomios.
A continuación se generaliza el trinomio para obtener la técnica que se utilizará en este tipo de factorizaciones.
ax 2 + bx + c = (d x + e )(f x + g)
a = (d)(f )
b = (d)(g) + (e )(f )
c = (e )(g)
Ejemplo 1.
2
Para factorizar 5 x − 13x − 6 se requiere encontrar los coeficientes d, e, f y g , los cuales se obtienen con los posibles
factores de los coeficientes conocidos del trinomio, como se muestra a continucación.
5 = (d)(f )
− 13 = (d)(g) + (e )(f )
− 6 = (e )(g)
Por facilidad primero se
buscarán los extremos
Dos números que multiplicados den 5 da como opciones:
d= 5 y f =1
d = −5 y f = −1
d=1 y f = 5
d = −1 y f = −5
Ambas opciones con el mismo signo.
BLOQUE 5
123
Dos números que multiplicados den −6 da como opciones:
e = 3 y g = −2
e = −3 y g = 2
e = −2 y f = 3
e = 2 y f = −3
e = −6 y f = 1
e = 6 y f = −1
e = 1 y f = −6
e = −1 y f = 6
El término de en medio sirve para comprobar las posibles asignaciones que se le den a d, e, f y g .
Ahora se asignarán 4 opciones para realizar la Factorización.
Si d = 5 , f = 1, e = 3 y g = −2 los factores se expresan,
(dx + e )(f x + g) = (5x + 3)(x − 2)
(e )(f )
6
(d)(g)
−10
Pero debe de cumplir con que la
suma del producto de extremos y
medios es igual a −13
(d)(g) + (e )(f ) = −10 + 6 = −4
Como se ve en la operación anterior, resultó −4 y debía de ser −13 , por lo que la asignación propuesta para los
coeficientes de los binomios es incorrecta, debe de probarse con otra asignación.
Ahora se probará con la siguiente asignación.
Si d = 5 , f = 1, e = 2 y g = −3 los factores se expresan,
(dx + e )(f x + g) = (5x + 2)(x − 3)
(e )(f )
2
(d)(g)
−15
Pero debe de cumplir con que la suma
del producto de extremos y medios es
igual a −13
(d)(g) + (e )(f ) = −15 + 2 = −13
Como cumple con que la suma de los productos de los extremos y medios es −13 , entonces se encontró la
asignación correcta. Por lo que se puede expresar la Factorización.
5x 2 − 13x − 6 = (5x + 2)(x − 3)
124
REALIZA TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS II
Actividad: 3
En equipo, factoricen las siguientes expresiones algebraicas y comenten las
dificultades que se presentaron.
1.
5 x 2 − 14 x − 3 =
2.
8 x 2 − 10 x + 3 =
3.
3x 2 + x − 10 =
4.
3x 2 − 13x + 4 =
5.
4y 2 + 3y − 10 =
6.
14u2 + 23u − 15 =
7.
9 x 2 − 11x + 2 =
8.
6t 2 − 19t + 10 =
9.
6m2 − 20m + 16 =
2
10. 5 x − 2 x − 7 =
Evaluación
Actividad: 3
Conceptual
Comprende las técnicas de
Factorización basadas en
productos notables, como
son los trinomios de la forma
2
ax + bx + c .
Coevaluación
Producto: Ejercicios.
Puntaje:
Saberes
Procedimental
Utiliza las técnicas para encontrar la
Factorización de trinomios de la forma
Actitudinal
Propone maneras creativas
de solucionar los ejercicios.
ax 2 + bx + c .
Aplica de forma correcta las leyes de los
signos y la descomposición de números.
C
MC
NC
Tiene apertura para hacer las
anotaciones individuales.
Respeta a los integrantes en
el proceso de comunicación.
Calificación otorgada por el
docente

BLOQUE 5
125
Cierre
Actividad: 4
Factoriza las siguientes expresiones algebraicas.
1.
4x 2 − 4xy − 3y 2 =
2.
x 2 − x − 90 =
3.
m2 − 7m + 12 =
4.
7x 2 − 6x − 1 =
5.
9 x 2 − 30 xy 2 + 25 y 4 =
6.
10 x 2 − 13 x − 3 =
7.
6 y 2 − 17 y + 5 =
8.
x 2 − 9xy + 20y 2 =
9.
2m2 − mn − n2 =
10. 8 x 2 − 6 xy + y 2 =
11. 8x 2 − 6 xy + y 2 =
Evaluación
Actividad: 4
Producto: Ejercicios.
Puntaje:
Conceptual
Comprende las técnicas de
Factorización basadas en
productos notables.
Saberes
Procedimental
Formula expresiones en forma de producto,
utilizando técnicas básicas de
Factorización.
Actitudinal
Reconoce sus errores en los
procedimientos algebraicos y
busca solucionarlos.
Distingue las diferentes
formas de Factorización.
Establece relaciones entre procesos
inversos al multiplicar y factorizar.
Autoevaluación
126
C
REALIZA TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS II
MC
NC
Aprecia a la Factorización
como un proceso que facilita
procesos algebraicos.
Calificación otorgada por el
docente
Secuencia didáctica 2.
Fracciones algebraicas.
Inicio
Actividad: 1
I. Encuentra los factores primos de las siguientes fracciones, para simplificarlas.
1)
630
=
525
2)
 15  28 
=
  −
 14  45 
II. Coloca en el cuadro “V” si es verdadera o “F” si es falsa la simplificación aplicada en cada
una de las siguientes fracciones.
1)
a +b a +b b
=
=
a+c a+c c
2)
(a − 3b)(4 + 7b) = (a − 3b)(4 + 7b) = (4 + 7b)
(a − 3b)4 − 7b (a − 3b)4 − 7b 4 − 7b
3)
a3 + b a3 + b
=
= a2 + b
a
a
4)
− 3b(4 + 7b ) 3(4 + 7b )
=
(4 − 7b)
− b(4 − 7b )
5)
2 − 5x 2 − 5x 2 − x
=
=
5a
5a
a
6)
an a n a
=
=
bn b n b
Evaluación
Actividad: 1
Conceptual
Reconoce la forma correcta
de simplificar fracciones.
Producto: Ejercicios.
Puntaje:
Saberes
Procedimental
Realiza descomposición de números.
Efectúa simplificaciones correctamente.
Actitudinal
Reconoce sus errores en los
procedimientos algebraicos y
busca solucionarlos.
Aprecia a la Factorización
como un proceso que facilita
procesos algebraicos.
Autoevaluación
C
MC
NC
Calificación otorgada por el
docente
BLOQUE 5
127
Desarrollo
Fracción algebraica. Es un cociente que posee expresiones algebraicas,
denominador.
tanto en el numerador como en el
Debido a que en planteamientos posteriores de problemas cotidianos se encontrarán múltiples expresiones tan
complejas como lo son las fracciones algebraicas, es muy importante simplificarlas.
Para poder simplificar las expresiones algebraicas, en la mayoría de los casos, se requiere de la Factorización.
El principio fundamental de una fracción es:
Si cada miembro de una fracción se multiplica o se divide por una cantidad diferente de cero, el valor de la fracción no
se altera.
a an
=
b bn
a a ÷n
=
b b ÷n
También en las fracciones se tienen que considerar los signos, tanto de la fracción, del numerador y denominador. A
continuación se visualizan las diferentes formas de presentar a los signos.
1)
a
−a
a
−a
=
=−
=−
b −b
−b
b
2) −
a −a
a
=
=
b
b
−b
Multiplicación de fracciones.
Recordando, las fracciones se multiplican multiplicando numerador con numerador y denominador con denominador.
a c ac
⋅ =
b d bd
Ejemplo 1.
Para simplificar la fracción:
x 2 − 25
, es necesario expresarla como producto, y esto se logrará mediante la
x 2 − 3 x − 10
Factorización.
(x − 5)(x + 5)
x 2 − 25
=
2
x − 3 x − 10 (x − 5 )(x + 2 )
128
REALIZA TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS II
Una de las condiciones para poder eliminar el término igual, tanto en el numerador como en el denominador, es que
sea una cantidad diferente de cero, debido a eso:
Si x ≠ 5 entonces se puede llevar a cabo la eliminación.
(x − 5)(x + 5) = (x − 5)(x + 5) = x + 5
(x − 5)(x + 2) (x − 5)(x + 2) x + 2
Ejemplo 2.
 x 2 − 9  3 x 2 − 13x − 10 
 es necesario convertirlas a sus factores.
 2
Ahora al simplificar las fracciones  2


 x − 8 x + 15  x + 5 x + 6 
 x 2 − 9  3 x 2 − 13x − 10  (x + 3)(x − 3)(3 x + 2)(x − 5)


 2
, para poder eliminar los términos iguales en el numerador y
 x − 8 x + 15  x 2 + 5 x + 6  = (x − 5)(x − 3)(x + 3)(x + 2 )



denominador, tiene que considerarse que x ≠ 5, 3, − 3 , puesto que estos valores hacen el denominador cero. El valor
de x = −2 también convierte el denominador en cero, lo cual provoca que la fracción no exista, pero no sería un
condicionante para la eliminación.
Así que tomando en cuenta estos valores, se puede hacer la eliminación.
(x + 3)(x − 3)(3x + 2)(x − 5) = 3x + 2
(x − 5)(x − 3)(x + 3)(x + 2) x + 2
Ejemplo 3.
En este caso, el denominador es un monomio por lo que habrá que factorizar sólo el numerador
(
35 x 6 − 15 x 5 + 20 x 4 − 10 x 3 + 45 x 2 5 x 2 7 x 4 − 3 x 3 + 4 x 2 − 2 x + 9
=
5x 2
5x 2
)
La condición es x ≠ 0 , por lo que eliminando el término queda:
(
)
5x 2 7 x 4 − 3x 3 + 4x 2 − 2x + 9
= 7 x 4 − 3x 3 + 4x 2 − 2x + 9
5x 2
BLOQUE 5
129
Actividad: 2
Simplifica las siguientes fracciones algebraicas.
1.
12 x 5 y 3 z 6 + 18 x 4 y 5 z 2
=
6x 4 y 3 z 2
2.
3x 4 + 7 x 3 + 2x 2
=
x 3 + 7 x 2 + 10 x
3.
 s 2 + 2s − 63  s 2 + 5s − 6 
 2


 s + 2s − 24  s 3 + 8s 2 − 9s  =



4.
 5a 2 + 7a - 24  a − 4 
 2

 a − 6a + 8  5a − 8  =


5.
 2t 2 − 3t − 2  3t 2 − 19t + 6 
 2


 3t − 7 t + 2  2t 2 − 11t − 6  =



Actividad: 2
Conceptual
Identifica expresiones
racionales con factores
comunes y no comunes,
susceptibles de ser
simplificadas.
Autoevaluación
130
Evaluación
Producto: Ejercicios.
Puntaje:
Saberes
Procedimental
Utiliza una o varias técnicas de
transformación para descomponer un
polinomio en factores.
Actitudinal
Actúa de manera propositiva
al resolver los ejercicios
planteados.
Obtiene factores comunes, factorizando
con las técnicas aprendidas y reduce
éstos.
C
MC
NC
Calificación otorgada por el
docente
REALIZA TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS II
División de fracciones.
Para dividir las fracciones, se multiplica como se muestra a continuación.
a c ad
÷ =
ó
b d bc
a
b = ad
c bc
d
Para poder eliminar términos iguales es necesario efectuar la división y las factorizaciones, o si se desea primero
factorizar y posteriormente hacer la división. El punto es que sólo cuando todos los términos están expresados como
multiplicación se puede llevar a cabo la eliminación.
Ejemplo 1.
Para simplificar la expresión
2x 2 + x − 3 2x 2 + 7 x + 6
÷
, se llevará a cabo la división.
x 2 + 4x − 5 2x 2 + 11x + 5
(
(
)(
)(
)
)
2x 2 + x − 3 2x 2 + 7 x + 6
2 x 2 + x − 3 2 x 2 + 11x + 5
÷
=
x 2 + 4 x − 5 2 x 2 + 11x + 5
x 2 + 4x − 5 2x 2 + 7 x + 6
Ahora se realizan las factorizaciones correspondientes.
(2x + x − 3)(2x + 11x + 5) = (2x + 3)(x − 1)(2x + 1)(x + 5)
(x + 4x − 5)(2x + 7x + 6) (x + 5)(x − 1)(2x + 3)(x + 2)
2
2
2
2
La condición para hacer la eliminación: x ≠ −5, 1, − 3
2
(2x + 3)(x − 1)(2x + 1)(x + 5) = 2x + 1
(x + 5)(x − 1)(2x + 3)(x + 2) x + 2
Sitios Web recomendados:
Revisa el siguiente sitio para que practiques tus conocimientos.
http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/tema3_ccs
s_eda05/entrada.htm
BLOQUE 5
131
Actividad: 3
Simplifica las siguientes fracciones algebraicas.
1.
2a 2 + 21a + 40
a 2 + 7a − 8
÷
2a 2 − 15 a − 50
2a 2 − 11a − 90
2.
6 x 2 − 5x + 1 2x 2 + 3x − 2
÷
=
3x 2 − 10x + 3 x 2 + 5x + 6
3.
6x 2 + x − 1
x2 − x − 6
÷
=
2x 2 + 5x + 2 3x 2 − 7 x + 2
4.
x 2 − 9 x 2 + 6 x − 27
÷
=
5 x + 15 10 x 2 + 90 x
12n2 + 16 n − 3
4n2 + 5 n − 5
÷
2n2 − 11n − 21
2n2 − 9 n − 35
=
=
Evaluación
Actividad: 3
Conceptual
Identifica expresiones
racionales con factores
comunes y no comunes,
susceptibles de ser
simplificadas.
Reconoce expresiones
racionales en forma
simplificada a partir de
factores comunes y la división
de polinomios.
Autoevaluación
132
Producto: Ejercicios.
Puntaje:
Saberes
Procedimental
Utiliza una o varias técnicas de
transformación para descomponer un
polinomio en factores.
Actitudinal
Actúa de manera propositiva
al resolver los ejercicios
planteados.
Obtiene y reduce factores comunes,
factorizando con las técnicas aprendidas.
Ejecuta divisiones entre polinomios.
C
REALIZA TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS II
MC
NC
Calificación otorgada por el
docente
Cierre
Actividad: 4
En equipo, simplifiquen las siguientes fracciones algebraicas.
1.
 10x 2 − 3x − 1 15x 2 + 7 x − 2 



 25x 2 − 1  6 x 2 + x − 2  =



2.
7 x 2 − 35x 21x 2 + 21x
÷
=
x 2 − x − 20
x 2 − 16
3.
 3x 2 − 12x  x 2 − x 



 x 2 − 1  5x 2 − 20x  =



4.
12x 2 + 16 x − 3 6 x 2 + 23x − 4
÷
=
4x 2 − 8x − 21 2x 2 + 3x − 20
5.
 x 2 + 9 x + 18  5 x − 25 



 5 x + 15  =
x−5


6.
 m2 + 2m  m2 − 2m − 8  m2 + 4m 


 2

 m − 16  m3 + m2  m2 + 4m + 4  =




BLOQUE 5
133
Actividad: 4 (continuación)
7.
 x 2 + 7 x + 10  x 2 − 3x − 4  x 2 − 2x − 3 


 2

 x − 6 x − 7  x 2 + 2x − 15  x 2 − 2x − 8  =




8.
 6 x 2 + x − 2  5x 2 + 9x − 2  6 x 2 + 18x 




 6 x 2 + 4x  2x 2 + 5x − 3  5x 2 + 9x − 2  =




9.
x 2 − 14x + 48 x 2 − 3x − 18
÷
=
x 2 − 17 x + 72 x 2 − 7 x − 18
 x 2 − 13x + 36  x 2 − 100  x 2 + 6 x − 40

 2
10. 
 x − 2x − 63  ÷ x 2 + 5x − 14 =
x2 − 4



Evaluación
Actividad: 4
Conceptual
Identifica diferentes
operaciones algebraicas,
susceptibles de ser
simplificadas mediante la
eliminación de factores.
Reconoce las condiciones
para que se lleve a cabo una
eliminación.
Coevaluación
134
Producto: Ejercicios.
Puntaje:
Saberes
Procedimental
Utiliza una o varias técnicas de
transformación para descomponer un
polinomio en factores.
Actitudinal
Actúa de manera propositiva
al resolver los ejercicios
planteados.
Obtiene y reduce factores comunes,
factorizando con las técnicas aprendidas.
Propone maneras creativas
de solucionar los ejercicios.
Ejecuta divisiones entre polinomios.
Tiene apertura para hacer las
anotaciones individuales.
Escribe expresiones racionales en forma
simplificada utilizando factores comunes y la
división de polinomios.
C
REALIZA TRANSFORMACIONES ALGEBRAICAS II
MC
NC
Respeta a los integrantes en
el proceso de comunicación.
Calificación otorgada por el
docente
Resuelve ecuaciones lineales I
Unidades de competencia:
Construye e interpreta modelos aritméticos, algebraicos y gráficos, aplicando las
propiedades de los números reales y expresiones aritméticas y algebraicas, relacionando
magnitudes constantes y variables, y empleando las literales para la representación y
resolución de situaciones y/o problemas aritméticos y algebraicos concernientes a su vida
cotidiana y escolar, que le ayudan a explicar y describir su realidad.
Identifica las características presentes en tablas, gráficas, mapas, diagramas o textos,
provenientes de situaciones cotidianas y los traduce a un lenguaje aritmético y/o algebraico.
Atributos a desarrollar en el bloque:
4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o
gráficas.
5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada
uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.
5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar
información.
6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina
entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad.
7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.
8.1 Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo,
definiendo un curso de acción con pasos específicos.
8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera
reflexiva.
8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con
los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
Tiempo asignado: 8 horas
Secuencia didáctica 1.
Ecuaciones lineales.
Inicio
Actividad: 1
Analiza las siguientes preguntas y contesta correctamente cada una de ellas.
1.
Alicia y Arturo tienen un total de $342 en sus alcancías. Si Arturo tiene $105 más que Alicia, ¿cuánto
dinero tiene cada uno?
2.
La edad de Jacinto es el doble de la edad de Perla y entre los dos tienen 48 años. Encuentra la edad
de cada uno.
136
3.
Grafica la recta 3 x + 2 y = 6
4.
GIGANTE ofrece un 50% de descuento al precio marcado de un artículo y aún así obtiene una
utilidad de un 8%. Si le cuesta $15.60 cada artículo, ¿cuál debe ser el precio marcado?
RESUELVE ECUACIONES LINEALES I
Evaluación
Actividad: 1
Producto: Cuestionario.
Puntaje:
Saberes
Procedimental
Aplica diversas técnicas para resolver
ecuaciones lineales.
Conceptual
Identifica los conocimientos
previos que posee de
ecuaciones lineales.
Analiza y modela situaciones
empleando ecuaciones
lineales.
C
Autoevaluación
MC
NC
Actitudinal
Aprecia la importancia de la
conexión de sus
conocimientos de secundaria
con los actuales.
Calificación otorgada por el
docente
Desarrollo
Despeje de ecuaciones lineales.
En bloques anteriores has encontrado cómo un problema cotidiano lo puedes representar con lenguaje algebraico y
viceversa, también manejaste el uso de tablas y comportamientos recurrentes en series y sucesiones; todo este
conocimiento se verá reflejado en el presente tema, ya que a partir de aquí, empezarás a resolver problemas, no sólo
a plantearlos y representarlos, sino a darles solución. Para ello se requiere una serie de conceptos que deben ser
familiares para ti, dado que son temas impartidos en secundaria.
Para iniciar enunciaremos la definición de ecuación.
Ecuación. Es una igualdad que se cumple para algunos valores o letras. Como por
ejemplo:
x+5 = 8
Para que sea verdadera esta ecuación el único valor que puede tomar x es 3,
entonces decimos que la solución a esta ecuación es x = 3 .
Se dice que la solución «satisface» a la ecuación, cuando se sustituye su valor y se
verifica la igualdad.
3+5 = 8
8=8
El rey Hicso Ekenenre Apopi
(1600 A.C.)
Escribió el principal texto matemático
egipcio, el papiro de rhind. Éste
contiene lo esencial del saber
matemático egipcio, contiene unas
reglas para cálculos de adiciones y
sustracciones de ecuaciones,
ecuaciones de primer grado,
problemas de aritmética y otras
cosas.
Los elementos de una ecuación son:
1.
2.
3.
4.
5.
1.
Miembros.
Términos.
Incógnitas.
Grado.
Solución
Miembros. Son cada una de las expresiones que aparecen en ambos lados del
símbolo igual.
Primer
miembro
Segundo
miembro
5 x + 2 = 3 x + 16
BLOQUE 6
137
2.
Términos. Son los sumandos que forman a cada uno de los miembros de la ecuación.
5 x + 2 = 3 x + 16
Términos
3.
Incógnita(s). Es el valor desconocido que se pretende encontrar, y puede haber una o más de ellas, también
conocidas como variables o literales.
5 x + 2 = 3 x + 16
Una incógnita
Dependiendo del número de letras distintas se dice que es de una, dos, tres, o más incógnitas.
4.
Grado. Es el mayor grado de los monomios que forman a sus miembros.
Primer grado
5 x + 2 = 3 x + 16
En este caso es de primer grado, porque ambos miembros poseen al 1 como exponente, sólo que por
convencionalismo no se escribe.
5.
Solución. Es el valor que puede tomar la incógnita para que la igualdad se establezca, dependiendo del grado y
del número de las incógnitas, pueden ser varias soluciones.
5 x + 2 = 3 x + 16
La solución para esta ecuación es:
x =7
Puesto que al sustituir el valor encontrado en la incógnita de la ecuación se cumple la igualdad.
5(7 ) + 2 = 3(7 ) + 16
35 + 2 = 21+ 16
37 = 37
138
RESUELVE ECUACIONES LINEALES I
A las ecuaciones de primer grado se les conoce como ecuaciones lineales. Las siguientes ecuaciones son ejemplos
de ecuaciones lineales.
1)
2)
5x − 3 = −2x + 18
3
1 1
2
x− = x+
4
3 2
3
4)
5)
n−4 m+ 2
=
3
2
3u − 4v = −2u + 6 v
“La música es el placer
que el alma
experimenta contando
sin darse cuenta de
que cuenta.”
Leibnitz
3)
4(2x − 1) = 5( x + 3)
6)
2x − 7 y = −5
Las tres primeras son ejemplos de ecuaciones lineales con una incógnita y los
últimos tres son ejemplos de ecuaciones lineales con dos incógnitas.
La representación general de una ecuación lineal es: Ax + B = 0 con la condición de que A ≠ 0 .
Por supuesto que ésta es la representación más simplificada que se puede tener en una ecuación; como observaste
en los ejemplos anteriores, la(s) incógnita(s) pueden estar en ambos miembros de la ecuación y además, poseer
paréntesis y denominadores.
Para resolver las ecuaciones lineales con una incógnita, es recomendable seguir los siguientes pasos.
1.
2.
3.
4.
5.
Quitar paréntesis.
Quitar denominadores.
Agrupar los términos que posean la incógnita en un miembro y los términos independientes en el otro.
Reducir los términos semejantes.
Despejar la variable.
Para llevar a cabo estos pasos, se requiere de las propiedades de los números reales que manejaste en el segundo
bloque, a continuación se justificará paso a paso el despeje de una ecuación utilizando las propiedades de los
números reales y posteriormente se explicará la técnica que se utiliza en el despeje sin necesidad de utilizar las
propiedades.
Utilizaremos la ecuación que nos sirvió de modelo para explicar los elementos de una ecuación.
Despeje de la ecuación
5x + 2 = 3x + 16
5 x + 2 − 2 = 3 x + 16 − 2
5x + 0 = 3x + 16 − 2
Propiedad de los Números Reales aplicada
Ecuación original
Se desea eliminar del primer miembro el 2, así que se utiliza la propiedad
aditiva para sumar −2 a ambos miembros.
Como el −2 es el inverso aditivo de 2, se obtiene el neutro aditivo.
5x = 3x + 16 − 2
Siendo 0 el neutro aditivo al operarlo con 5 x , éste queda igual.
5 x = 3 x + 14
Se realiza la operación entre los términos independientes.
BLOQUE 6
139
5x − 3x = 3x − 3x + 14
Se utiliza la propiedad aditiva de nuevo, para sumar −3 x a ambos
miembros de la ecuación.
Se aplica la propiedad conmutativa de la suma para invertir el lugar tanto
de 14 como de −3 x .
5x − 3x = 0 + 14
Como −3 x es el inverso aditivo de 3 x , se obtiene el neutro aditivo.
5 x − 3x = 14
Al operar el neutro aditivo con 14 , éste queda igual.
5x − 3x = 3x + 14 − 3x
2 x = 14
 1
 1
 2 x =  14
2
2
Se realiza la reducción de términos semejantes.
Se aplica la propiedad multiplicativa, para multiplicar por 1 a ambos
2
miembros de la ecuación.
 1
1⋅ x =  14
2
Al ser 1 el inverso multiplicativo de 2 , se obtiene el neutro multiplicativo
2
 1
x =  14
2
Y cuando se opera el neutro multiplicativo con x, ésta permanece igual.
x =7
Por último, se lleva a cabo la operación entre 1 y 14
2
El proceso anterior es extenso, pero es necesario que lo conozcas para que comprendas por qué se despeja en
forma reducida sólo utilizando algunos de los pasos del cuadro anterior, de hecho, los pasos que se requieren para
un despeje corto son los que están sombreados, y aún así se pueden reducir más.
A continuación se muestra la forma de simplificación corta.
Despeje de la ecuación
5x + 2 = 3x + 16
Ecuación original.
5x = 3x + 16 − 2
Como el 2 en la ecuación original estaba sumando pasa al segundo
miembro restando.
5 x = 3 x + 14
Se realiza la resta.
5 x − 3 x = 14
2 x = 14
x=
14
2
x =7
140
Descripción
RESUELVE ECUACIONES LINEALES I
El 3 x estaba sumando en el segundo miembro, por lo que pasa al
primero restando.
Se realiza la reducción de términos semejantes.
El coeficiente de la x está multiplicando pasa dividiendo.
Se realiza la división para así encontrar la solución.
Si eres más hábil con las operaciones puedes hacer el proceso mucho más corto todavía, piénsalo.
Siempre lo más importante de las matemáticas es poder aplicarlas y que le encuentres
sentido a lo que representan, así que tomaremos varios ejemplos aplicados para
practicar el despeje de las ecuaciones y al mismo tiempo irás desarrollando más
habilidades en el planteamiento de problemas.
En los siguientes ejemplos visualizarás el planteamiento de problemas así como
despejes de ecuaciones lineales, éstos irán desde lo más sencillo hasta lo complejo.
Ejemplo 1.
Entre Said y Raymundo van a comprar una bolsa de canicas que cuesta $56, pero Said
tiene $12 menos que Raymundo. ¿Cuánto tiene cada uno?
Para resolver este problema es necesario asignar la variable.
x : Es el dinero que tiene Raymundo
Demócrito
(460 – 370 A C)
Es más conocido por su
Teoría Atómica, pone como
realidades primordiales a los
átomos y al vacío. Encontró
la fórmula del volumen del
cono y de una pirámide.
x − 12 : Es el dinero que tiene Said
Entre los dos comprarán una bolsa de canicas que cuesta $56, entonces el planteamiento del problema con la
variable asignada se expresa de la siguiente forma:
x + x − 12 = 56
Esta es una de las ecuaciones más sencillas, no posee paréntesis ni denominadores, por lo que procederemos a
despejarla.
Despeje de la ecuación
x + x − 12 = 56
Descripción
Ecuación original.
2x = 56 + 12
Se reducen términos semejantes y −12 pasa al otro lado de la igualdad
sumando.
2x = 68
Se realiza la suma de los términos del segundo miembro.
x=
68
2
x = 34
El coeficiente de la variable pasa dividiendo.
Se efectúa la división, obteniéndose así el resultado.
Además del resultado que tienes, debes de interpretarlo y solucionar el problema real.
Al sustituir el valor encontrado en la asignación de la variable, se obtiene que: Raymundo tiene $34 y Said tiene $22.
BLOQUE 6
141
Ejemplo 2.
La edad de Carolina es la mitad de la de Emily; la de Valeria es el triple que la de Carolina y la edad de Angélica es el
doble de la de Valeria. Si las cuatro edades suman 60, ¿qué edad tiene cada una?
Cuando se tienen relaciones de multiplicación entre los elementos del problema, en este caso las edades de las
chicas, es recomendable asignarle la variable a la más pequeña, de esta forma la ecuación que se obtiene es más
sencilla.
y : Edad de Carolina
2 y : Edad de Emily
3 y : Edad de Valeria
2(3y ) : Edad de Angélica
Dado que la suma de las edades es 60, entonces, el planteamiento del problema se expresa así:
y + 2y + 3 y + 6 y = 60
Resolviendo la ecuación lineal.
Despeje de la ecuación
y + 2 y + 3 y + 6 y = 60
12y = 60
y=
60
12
y=5
Descripción
Ecuación original.
Se reducen términos semejantes.
El coeficiente de la variable pasa dividiendo.
Se efectúa la división, obteniéndose así el resultado.
Del resultado tenemos que:
Carolina tiene 5 años de edad, Emily tiene 10 años, Valeria tiene 15 años y Angélica tiene 30 años.
Ejemplo 3.
-¡Javier!, -le dice Mónica a su esposo-, ganas $7700 mensuales y este mes le invertiste
a tu auto el triple de la mitad de lo que me diste a mí menos $200. ¿Pues qué es lo que
tiene tu auto? –Si Javier repartió su dinero entre el coche y lo que le dio a su esposa,
¿cuánto repartió a cada uno?
Asignación de la variable.
w : Dinero que le dio a Mónica
w
3  − 200 : Dinero que invirtió en el auto
2
El planteamiento del problema es:
w
w + 3  − 200 = 7700
2
142
RESUELVE ECUACIONES LINEALES I
Resolviendo la ecuación.
Despeje de la ecuación
w
w + 3  − 200 = 7700
2
3w
w+
− 200 = 7700
2
5w
= 7700 + 200
2
5w
= 7900
2
(2)7900
w=
5
w = 3160
Descripción
Ecuación original.
Se recomienda primero eliminar paréntesis.
Se reducen términos semejantes y −200 se pasa al otro lado de la
igualdad sumando.
Se efectúa la suma.
El 2 que está dividiendo a la variable se pasa multiplicando y el 5 que la
está multiplicando pasa dividiendo.
Se efectúan las operaciones y se obtiene el resultado.
Por lo tanto Javier le dio a su esposa $3160 e invirtió en su auto $4540. Tendrá mucho que explicar….
Ejemplo 4.
Los ingenieros de una constructora están planeando una casa-habitación, tienen diseñado un plano en donde el largo
de una sala-comedor de forma rectangular es el doble de su ancho. Pero están viendo la conveniencia de aumentar
2m las dimensiones de ésta y así el área aumentará 28m2. Hallar las medidas del largo y ancho de la sala-comedor
original.
Asignando variables.
x : La medida del ancho
2 x : La medida del largo
Las medidas modificadas.
x + 2 : La medida del ancho
2x + 2 : La medida del largo
Ahora, las áreas se ven modificadas de la
siguiente forma
área modificada = área original + 28
(x + 2)(2x + 2) = (x )(2x ) + 28
BLOQUE 6
143
Resolviendo la ecuación.
Despeje de la ecuación
(x + 2)(2x + 2) = (x )(2x ) + 28
2x 2 + 2x + 4x + 4 = 2x 2 + 28
2x 2 + 2x + 4x − 2x 2 = 28 − 4
6 x = 24
x=
24
6
x=4
Descripción
Ecuación original.
Se recomienda primero eliminar los símbolos de agrupación.
2x 2 que está en el segundo miembro pasa restando al primero y 4 que
está en el primer miembro de la ecuación pasa restando al segundo.
Se reducen términos semejantes.
El 6 que está multiplicando a la variable pasa dividiendo.
Se efectúan la división y se obtiene el resultado.
Las medidas originales de la sala-comedor son: el ancho es de 4 m y el largo es de 8m.
Ejemplo 5.
La siguiente lectura 1 es importante, para entender la relación de las Matemáticas con la Química.
Un poco más acerca de la contaminación del aire…
Un “contaminante” es una sustancia que está “fuera de lugar”. Un buen ejemplo de ello puede
ser el caso del gas ozono (O3). Cuando este gas se encuentra en el aire que respiramos, es
decir, bajo los 25 kilómetros de altura habituales, es un contaminante que tiene un efecto
dañino para la salud, por lo que en esa circunstancia se le conoce como “ozono malo”. Pero el
mismo gas, cuando está en la estratósfera, forma la capa que protege de los rayos
ultravioletas del Sol a todas las formas de vida en la Tierra, siendo considerado, en este caso,
como “ozono bueno”.
Un lugar importante en la contaminación de la atmósfera es ocupado por las emisiones
gaseosas resultantes de la combustión de los combustibles fósiles: gas natural, petróleo
diesel, gasolina y queroseno. Estos gases contaminantes son de naturaleza muy diversa. Los
contaminantes más comunes son el dióxido de carbono (CO2), el monóxido de carbono (CO),
y los óxidos de nitrógeno (NO), en particular NO y NO2.
1
144
http://www.educarchile.cl/portal.base/web/vercontenido.aspx?guid=4ea990dc-6549-4549-8b8b-9db8c0cc6d8d&id=133094
RESUELVE ECUACIONES LINEALES I
Clasificación de los contaminantes:
Generalmente, se distingue entre contaminantes primarios y secundarios del aire. Los primeros son
emitidos como tales, mientras que los contaminantes secundarios se forman en complejas reacciones
que ocurren en la atmósfera y en las que intervienen, frecuentemente, el oxígeno atmosférico y la
radiación solar.
La
Purificación del aire: respuesta necesaria a su contaminación
La purificación del aire es un proceso complejo. Los gases contaminantes son dispersados y diluidos
por el movimiento de grandes masas de aire (vientos, corrientes de convección, etc.) y los
contaminantes gaseosos más solubles en agua disminuyen su concentración atmosférica a través de
diversos fenómenos climáticos (formación de neblina y lluvias, principalmente), pero también suelen
contaminar los suelos y aguas.
Hemos dicho que el aire contiene cerca de una quinta parte en volumen de oxígeno, pero en el caso de
las ciudades donde existe una gran contaminación, es necesario enriquecer el aire con más oxígeno.
Una forma de poder hacerlo es disminuyendo la tala de árboles y creando más áreas verdes, que
favorezcan el consumo de anhídrido carbónico y la formación de oxígeno….
BLOQUE 6
145
El ejemplo de contaminación del aire es el dióxido de azufre, que al combinarse con el oxígeno del aire se produce
trióxido de azufre, y éste, al combinarse con la humedad atmosférica, ocasiona lo que conocemos como lluvia ácida,
la cual ocasiona grandes daños.
SO 2 + O 2 → SO 3 + H 2 O → H 2 SO 4
Dióxido + Oxígeno
de Azufre
Trióxido + Agua
de Azufre
Ácido sulfúrico
(lluvia ácida)
Para que se lleve a cabo esta reacción tiene que cumplirse la Ley de Conservación de la materia, que significa que la
cantidad de reactivos que se utilizan debe ser igual a la cantidad de productos obtenidos.
En el caso de SO2 + O2 → SO3 no se cumple con la Ley de conservación de la materia, porque de las sustancias
reactivas hay cuatro átomos de Oxígeno, mientras que en el producto hay sólo tres. Para ello se requiere balancear la
reacción y con ecuaciones lineales se puede realizar.
Si se le asignan coeficientes a las sustancias, podemos observar la reacción de la siguiente forma:
aSO2 + bO2 → cSO3
Observamos la reacción, el azufre no se modifica, entra y sale con la misma cantidad de átomos, así que en ese caso
a = c , en cuanto al Oxígeno quedaría 2a + 2b reaccionan y salen 3c , así que tenemos la ecuación:
2a + 2b = 3c
Como a = c se le puede asignar cualquier cantidad, si a = 8 , entonces la ecuación queda:
2(8) + 2b = 3(8)
16 + 2b = 24
2b = 24 − 16
2b = 8
b=4
Al sustituir los valores obtenemos la reacción balanceada.
aSO2 + bO2 → cSO3
8SO2 + 4O2 → 8SO3
146
RESUELVE ECUACIONES LINEALES I
Ejemplo 6.
Gilberto es empleado de una empresa de servicio de paquetería; un día sus compañeros le plantearon un problema y
le pagarían una cantidad de dinero si lograba resolverlo, fue tanto el alboroto, que empezaron a hacer apuestas entre
ellos para ver si lograría solucionarlo. El problema planteado fue el siguiente:
En el almacén hay dos paquetes que pesan 40 Kg. y 120 Kg., entre ellos hay una distancia de 2 pies (ver Fig. 1). Él
debe levantar los paquetes al mismo tiempo, y la condición es utilizar su fuerza y no hacer uso de maquinaria
especializada para levantamiento de carga. Gilberto meditó un rato y finalmente aceptó.
40 Kg.
120 Kg.
2 pies
Fig. 1
Todos estaban a la expectativa observándolo; se dirigió al taller, encontró una barra de metal
liviana pero resistente de 13 pies de largo, colocó la barra por debajo de los paquetes, utilizó
un soporte en forma de yunque y levantó los paquetes. Era tanto el asombro de sus
compañeros que empezaron a cuestionarle cómo lo hizo y lo único que les contesto fue, dame una palanca y un punto de apoyo y moveré el mundo, Arquímedes lo dijo-, y
tranquilamente se fue con el dinero que ganó.
¿Cómo resolvió el problema?
Existe una ley en física que se llama la Ley de las palancas, y consiste en equilibrar fuerzas
con el uso de palancas o barras.
Como lo muestra la figura 2.
d1
d2
w1
Thales de Mileto
(640 – 560 A C)
Se le atribuyen los 5
teoremas de la Geometría
elemental. Como astrónomo,
predijo el eclipse total de sol
visible en Asia Menor, se
cree que descubrió la Osa
Menor, Creía que el año tenía
365 días, entre otros
descubrimientos
importantes.
w2
Fig. 2
Donde, w 1 y w 2 son los pesos de los objetos, d1 y d2 son sus respectivas distancias al punto de apoyo.
La ley de las palancas basándose en la figura anterior dice:
w1d1 = w 2d2
BLOQUE 6
147
Así que el problema que tuvo que resolver Gilberto fue el siguiente:
Si conocía su peso, que es de 90 Kg., el peso de las cajas, la separación entre ellas y la longitud de la barra que
utilizaría, sólo requirió resolver una ecuación para saber dónde colocaría el punto de apoyo y poder levantar los
paquetes.
40 Kg.
x
120 Kg.
11 – x
13 – x
Utilizando la ley de las palancas, la ecuación que representa a este problema es:
90(x ) = 40(11 − x ) + 120(13 − x )
Y se encuentra la solución despejando la variable como se ha visto en los problemas anteriores, primero eliminando
paréntesis, como se muestra a continuación:
90x = 440 − 40x + 1560 − 120x
90x + 40x + 120x = 440 + 1560
250x = 2000
x=
2000
250
x=8
Por lo tanto, Gilberto sólo tenía que colocarse al final de la barra y el punto de apoyo colocarlo a 8 pies de él.
Sitios Web recomendados:
Ingresa a este sitio, ahí encontrarás múltiples ejercicios y
problemas resueltos.
http://algebrabaldor.webcindario.com/index.htm
Primero practicarás un poco los despejes antes de resolver las aplicaciones.
148
RESUELVE ECUACIONES LINEALES I
Actividad: 2
En equipo resuelvan las siguientes ecuaciones lineales y comenten las dificultades
que se les presenten.
1.
x+4 = 9
8.
3x
=6
7
2.
2x − 6 = 6 x + 4
9.
12
=6
7w
3.
2
1 3
x− =
3
4 2
10.
n−6 n+2
=
4
3
4.
3
1 1
2
x− = x+
4
3 2
3
11. (2 x − 1)(4 x + 1) = (8 x − 3)( x − 2)
5.
4(2x − 1) = 5( x + 3)
12.
x −1 x − 3
−
= −1
3
2
6.
( x + 1)2 − x 2 = 17
13.
1
2
( x + 1) − ( x + 5) = 2
2
3
7.
3(2y − 1) − 2y = 5( y − 3)
14. x − 2( x − 1) = 3x − 5( x + 2)
BLOQUE 6
149
Actividad: 2
Conceptual
Describe técnicas para
resolver ecuaciones de una
variable.
Evaluación
Producto: Ejercicios.
Saberes
Procedimental
Aplica diversas técnicas para resolver
ecuaciones lineales en una variable.
Puntaje:
Actitudinal
Asume una actitud de
apertura que favorece la
solución de los ejercicios.
Respeta a los integrantes en
el proceso de comunicación.
Coevaluación
C
MC
NC
Calificación otorgada por el
docente
Cierre
Actividad: 3
En equipo, expresa la ecuación que modela cada uno de los siguientes problemas y
despeja cada una de las ecuaciones encontradas para que des solución a éstos.
150
1.
Agustín tiene 12 monedas menos que Enrique y entre ambos tienen 78 monedas ¿Cuántas
monedas tiene cada uno?
2.
El perímetro de un rectángulo es 108 cm, si el largo es el triple que el ancho, ¿cuáles son las
dimensiones del rectángulo?
3.
El precio de venta de una mochila es de $448 luego de aplicar un 20% de descuento. ¿Cuál es el
precio regular de la mochila?
4.
Un agente de ventas visitó 20 clientes en tres días. Si el segundo día visitó uno más que en el
primero y en el tercer día a tres más que en el segundo. ¿Cuántas visitas efectuó cada día?
RESUELVE ECUACIONES LINEALES I
Actividad: 3 (continuación)
5.
Jaime está construyendo una casa de dos plantas, compró un tramo de varilla de
media pulgada y recortó 2 del tramo para utilizarlo en un castillo; después recortó la
3
mitad del sobrante y éste equivale a la longitud original del tramo disminuido en 10 m
¿Cuánto mide el tramo de varilla que compró Jaime?
6.
Entre Fátima y Julissa pesan 45 Kg. Si en un subibaja Fátima se sitúa a 4 pies del punto de apoyo y
Julissa a 6 pies del mismo, quedan en equilibrio. ¿Cuál es el peso de ambas niñas?
7.
Beto enyesa una pared en 8 horas y Nacho lo hace en 12 horas, ¿en cuánto tiempo pueden
enyesar juntos la pared?
8.
Sofía tiene actualmente la mitad de la edad de Aarón, y dentro de doce años tendrá 5
7
de la que
Aarón tenga entonces. ¿Cuáles son sus edades actuales?
BLOQUE 6
151
Actividad: 3 (continuación)
9.
Dos automóviles que se encuentran a una distancia de 294 kilómetros entre sí, se
dirigen uno hacia el otro con una diferencia de velocidades de 20 kilómetros por hora y
se encontrarán dentro de una hora y media. ¿Cuál es la velocidad de cada automóvil?
10. Luly mezcló 50 onzas de una solución de yodo al 48% con 30 onzas de una solución al 72% de la
misma sustancia. ¿Cuál es el porcentaje de yodo en la mezcla?
Evaluación
Actividad: 3
Conceptual
Analiza y modela
situaciones empleando
ecuaciones lineales.
Describe técnicas para
resolver ecuaciones lineales
en una variable.
Producto: Problemas de aplicación.
Saberes
Procedimental
Aplica diversas técnicas para resolver
ecuaciones lineales en una variable.
Formula y soluciona, con técnicas
algebraicas, en situaciones que se
representan mediante ecuaciones
lineales.
Puntaje:
Actitudinal
Aprecia la utilidad de las
ecuaciones lineales en la
representación de
problemas.
Propone maneras creativas
de solucionar un problema.
Asume una actitud de
apertura que favorece la
solución de problemas.
Coevaluación
152
RESUELVE ECUACIONES LINEALES I
C
MC
NC
Calificación otorgada por el
docente
Secuencia didáctica 2.
Relación de la ecuación de primer grado con la función lineal.
Inicio
Actividad: 1
Analiza las siguientes preguntas y contesta correctamente cada una de ellas.
1.
Si dos números sumados dan como resultado 24, ¿Qué ecuación representa esta
oración?
2.
¿Qué valores satisfacen la ecuación anterior?, ¿serían los únicos?
3.
Si tu respuesta anterior fue negativa, enuncia 10 resultados posibles que cumplan con la ecuación
anterior.
4.
En la siguiente tabla, representa los valores que obtuviste.
Primer
número
5.
Segundo
número
En una gráfica, representa los valores de la tabla.
BLOQUE 6
153
Evaluación
Actividad: 1
Producto: Cuestionario.
Puntaje:
Conceptual
Identifica una ecuación lineal.
Saberes
Procedimental
Construye ecuaciones lineales para
solucionar diversas situaciones.
Actitudinal
Aprecia el conocimiento
previo de bloques anteriores.
Ubica la sustitución de valores
en la ecuación lineal.
Ubica puntos en el plano
cartesiano.
Autoevaluación
Traza la gráfica de una ecuación lineal.
Contrasta valores de una ecuación lineal.
C
MC
NC
Posee una actitud positiva en
el desarrollo de la actividad.
Calificación otorgada por el
docente
Desarrollo
Construcción de gráficas a partir de ecuaciones lineales.
En la primera secuencia de este bloque se ejemplificó algunas ecuaciones de primer grado con dos incógnitas, como
la siguiente.
2x + 3y + 6 = 0
Aquí observamos la forma general:
Ax + By + C = 0
Con A ≠ 0 y B ≠ 0 .
Estas ecuaciones se obtienen a partir de la relación entre las variables “ x ” y “ y ”, estas relaciones se encuentran en
múltiples problemas.
Ejemplo 1.
Don Agustín posee varias hectáreas y le dijo a su hijo, -mira Gustavo, te voy a dar un terrenito aquí en mis tierras para
que levantes tu casa; tengo 160 m de cerco para que elijas las medidas que gustes, ¡eso sí!, respeta que sea
rectangular y utilices todo el cerco que te ofrezco; empieza a decidir para que cerques el lugar, luego lo verifico y le
hablo al notario- ¿qué decisión tomará Gustavo?
Gustavo tiene varias alternativas, como el cerco mide 160 m, entonces debe considerar un rectángulo de 160 m de
perímetro.
y
x
El perímetro de un rectángulo se obtiene al sumar todos sus lados, por lo que la expresión algebraica que lo modela
es:
Perímetro = x + y + x + y = 2 x + 2 y
154
RESUELVE ECUACIONES LINEALES I
Como el perímetro es la longitud del cerco y éste es de 160 m, entonces la expresión obtenida es:
2 x + 2 y = 160
La siguiente ecuación se puede simplificar en una ecuación que es equivalente, porque ambos miembros se pueden
dividir entre dos, así que se obtiene:
x + y = 80
De esta manera, es más sencillo encontrar los valores tanto de x como de y . Como una variable depende de la otra,
es decir, si x = 20 entonces forzosamente “ y ” debe ser igual a 60 para que sumados den 80, y así ir probando con
diferentes parejas de números. Una opción es despejar una variable como se muestra a continuación.
y = 80 − x
Y de esta forma es más sencillo darle valores a la “x”, sustituirlos y así encontrar sus respectivos valores de “y”. De
esta manera se puede encontrar una serie de parejas de valores “x” y “y” para acomodarla en la siguiente tabla.
x
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
y
75
70
65
60
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
Así Gustavo puede tomar dos ejemplos de ellos para verificar si cumple con la longitud
del cerco que le dio su papá.
50
30
45
30
35
35
René Descartes (1596-1650)
50
45
BLOQUE 6
155
Como son muchos los resultados, Gustavo tendrá que pensar muy bien qué medidas
deberá de elegir.
Utilizando este problema como guía, se puede trazar una gráfica que modele estos
puntos, como lo hacías en la secundaria, en el plano cartesiano 2, en donde el eje
horizontal es el eje de las “x” y el eje vertical es el eje de la “y”.
A la variable “x” se le denomina Variable independiente, porque su valor es asignado
por la persona que está realizando la gráfica, y a la variable “y” se le conoce como
variable dependiente, porque su valor depende o está en función del valor asignado a
x, como se obtuvo en la tabla de datos anterior.
Como se observa en ella, el comportamiento de los puntos describe una línea recta,
con ella también se reafirma que proviene de una ecuación lineal de dos incógnitas.
¿Sabías que…
Se denominan
coordenadas cartesianas
en honor a René
Descartes, el célebre
filósofo y matemático
francés que quiso
fundamentar su
pensamiento filosófico en
la necesidad de tomar un
«punto de partida» sobre
el cual edificar todo el
conocimiento
Cuando se realiza el despeje de x + y = 80 , se visualiza mejor la dependencia de las
variables.
y = 80 − x
75
y
70
A esta expresión también se le conoce como
función, porque el valor de “y” está en función o
depende del valor que tome “x”. Más adelante se
verá con mayor detenimiento lo que es una
función.
65
60
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
-10 -5
-5
x
5
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85
-10
-15
2
Las coordenadas cartesianas son un sistema de referencia respecto de un eje (recta), dos ejes (plano), o tres ejes (en el espacio),
perpendiculares entre sí (plano y espacio), que se cortan en un punto llamado origen de coordenadas. En el plano, las coordenadas cartesianas (o
rectangulares) “x” y
“y” se denominan respectivamente
abscisa y ordenada, y
se representan como (x,
y).
http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianas
156
RESUELVE ECUACIONES LINEALES I
Actividad: 2
Analiza el siguiente problema y responde lo que se te pide.
1.
Un automóvil está en el restaurante de la Pintada a 50 Km. de Hermosillo y empieza a moverse a
velocidad constante de 80 Km
rumbo a Cd. Obregón. Si se toma como punto de partida a
hr
Hermosillo, la ecuación que modela este problema es:
d = 80 t + 50
Donde d es la distancia a la que se encuentra de Hermosillo y t el tiempo transcurrido.
a) Completa la siguiente tabla.
t
(hr)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
b)
d
(Km)
Traza la gráfica con los datos que obtuviste en la tabla.
d (Km)
400
350
300
250
200
150
100
50
-2
-1
t (hr)
1
2
3
4
-50
-100
-150
BLOQUE 6
157
Actividad: 2 (continuación)
c)
d)
Si Cd. Obregón se encuentra a 252 Km. de Hermosillo, ¿cuánto tiempo tardó en llegar?
El tiempo es una variable continua, es decir, podemos tomar valores que están entre 0 y 0.5, o
entre cualquier otro intervalo de tiempo que se quiera, ¿cómo cambiaría la gráfica que trazaste
si consideras que el tiempo es continuo?, grafica el problema tomando la continuidad del
tiempo y además, que el auto se detiene al llegar a Cd. Obregón.
d (Km)
400
350
300
250
200
150
100
50
-2
-1
t (hr)
1
2
3
4
-50
-100
-150
2.
158
e)
¿Para qué valores del tiempo no tiene sentido este problema?, justifica tu respuesta.
f)
¿Para qué valores de la distancia no tiene sentido este problema?, justifica tu respuesta.
En el problema anterior analizaste varios aspectos, como es transformar una gráfica de puntos a
una continua y sobre todo, la relación que existe entre una función lineal y una ecuación de primer
grado, ¿en qué inciso se dio esta relación?, y ¿cómo surgió ésta?
RESUELVE ECUACIONES LINEALES I
Actividad: 2
Conceptual
Identifica la relación entre
funciones y ecuaciones
lineales.
Evaluación
Producto: Cuestionario.
Saberes
Procedimental
Transita de ecuaciones a funciones
lineales, y viceversa, al modelar y
solucionar diversas situaciones.
Puntaje:
Actitudinal
Aprecia las representaciones
gráficas de funciones como
instrumento de análisis visual
de su comportamiento.
Aprecia la utilidad de las
técnicas algebraicas de
resolución de ecuaciones,
para simplificar procesos y
obtener soluciones precisas.
Autoevaluación
C
MC
NC
Calificación otorgada por el
docente
Construcción de la gráfica de la función lineal.
Anteriormente se ha hablado sobre función, ahora se explicará con detenimiento lo que es una función.
El concepto de función implica la relación que existe entre los elementos de dos conjuntos; esta relación se establece
mediante una regla de asociación que puede ser verbal o matemática, como por ejemplo:
1.
La temperatura en el ambiente a lo largo de un día depende de la hora; es decir, cada instante de tiempo está
asociada a una temperatura.
2.
Cuando se desea llenar de agua un tanque, el nivel del agua depende del tiempo transcurrido. Si el nivel del agua
, y el tanque tiene una altura de 85 cm. entonces la relación que
cambia uniformemente a razón de 10 cm
min
existe entre el nivel y el tiempo se da con la siguiente expresión:
h = 10 t
3.
El pago de un refrigerador está en función del plan de pago mensual que ofrece una tienda departamental.
Si se considera a la ecuación lineal de dos incógnitas Ax + By + C = 0 , y se despeja “y”, se observa mejor la relación
que tienen las variables.
Ax + By + C = 0
By = − Ax − C
− Ax − C
B
A
C
y = − x−
B
B
y=
BLOQUE 6
159
Ejemplo 1.
Si se tiene la ecuación 2 x − 3 y + 6 = 0 , al despejarla se puede encontrar mejor la relación que existe entre las
variables.
2x − 3y + 6 = 0
− 3 y = −2 x − 6
− 2x − 6
y=
−3
2
6
y=−
x−
−3
−3
2
y= x+2
3
Se puede decir que la variable “y” está en función de “x” porque existe una relación o asociación entre ellas, si a cada
valor de “x” que asignes, lo multiplicas por 2 y le sumas 2, vas a obtener un único valor de “y”.
3
De aquí se puede visualizar la definición de función, la cual es:
Función. Es la regla de asociación o correspondencia entre los conjuntos X y Y, de tal forma que cada elemento de un
conjunto X se asocia con exactamente un elemento del conjunto Y.
Con esto decimos que los elementos “y” del conjunto Y, están en función de los elementos “x” del conjunto X, esto
queda más claro en esta notación.
y = f( x )
Así que la función y =
2
x + 2 se puede reescribir como:
3
f( x ) =
2
x+2
3
Este tipo de formas de expresar una función lineal y otras que no son lineales, las abordarás con mayor detenimiento
en asignaturas posteriores, en ellas realizarás gráficas más complejas y encontrarás más aplicaciones y propiedades
de las funciones.
A continuación, mediante un ejemplo, se analizarán otros aspectos que posee la función lineal.
Ejemplo 2.
Se desea llenar de agua una piscina que tiene inicialmente un nivel de 1m, la llave con que se llenará logrará subir el
1
metro por hora, si la piscina tiene una altura de 5 m, entonces la relación que existe
nivel uniformemente a razón de
2
entre el nivel y el tiempo se da con la siguiente expresión:
h=
160
RESUELVE ECUACIONES LINEALES I
1
t +1
2
Uno de los métodos para graficar consiste en darle valores al tiempo y encontrar los respectivos valores de la altura.
La gráfica del problema es:
8
t
0
1
2
3
4
5
6
7
h
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
8
5
h(m)
7
6
5
4
3
2
1
t (hr)
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-1
-2
En la gráfica se observa cómo la línea empieza en 1, ya que contenía en un inicio 1 m de agua y además, termina en
5, debido a que en 8 horas transcurridas la piscina se llenaría.
BLOQUE 6
161
Ahora se descontextualiza la función, es decir, sin tomar en cuenta las limitantes del tiempo y altura, la gráfica se
tomaría de la función lineal sin restricciones, utilizando valores negativos.
1
h = t +1
2
8
h(m)
7
6
5
4
3
2
1
t (hr)
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-1
-2
-3
Analizando esta gráfica y observando los valores de la función se darán cuenta que:
a)
1
es la razón de crecimiento de la gráfica, ésta se relaciona con el grado de inclinación de la recta, esto es, por
2
una unidad que se avanza el eje vertical, en el eje horizontal se avanzan dos.
b) 1 es donde se intersecta la gráfica con el eje vertical.
Debido a este análisis se puede generalizar la función lineal y graficar sin necesidad de llevar a cabo una tabla.
La función lineal es de la forma y = −
A
C
x − , si se hace
B
B
m=−
A
B
b=−
C
B
Entonces se obtiene la forma:
y = mx + b
A “m” se le conoce con el nombre de pendiente y representa la inclinación de la línea recta, y “b” se denomina la
ordenada en el origen, la cual representa la intersección de la línea recta con el eje vertical.
Ahora se tomará otro ejemplo para visualizar esta nueva forma de graficar, utilizando la pendiente y la ordenada en el
origen, esto es, usando “m” y “b”.
162
RESUELVE ECUACIONES LINEALES I
Ejemplo 3.
Graficar la función y = −3 x + 6
m = −3
b=6
Primero se ubica “b” en el eje vertical.
9
y
8
7
6
5
4
3
2
1
−2
−3
−4
−5
x
1
−1
2
3
4
7
6
5
−1
−2
−3
Para graficar una recta sólo se necesitan dos puntos para trazar la línea, por lo que el otro punto se grafica a partir del
punto encontrado utilizando la pendiente, o sea “m”.
−3
, esto significa que por cada 3 unidades que va hacia abajo en el eje vertical avanza 1 unidad hacia la
m = −3 =
1
derecha en el eje horizontal.
9
9
y
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
−5
−4
−3
−2
−1
y
1
x
1
2
3
4
5
6
7
−5
−4
−3
−2
−1
x
1
−1
−1
−2
−2
−3
−3
2
3
4
5
6
7
BLOQUE 6
163
Actividad: 3
Grafica las siguientes ecuaciones lineales utilizando la pendiente y la ordenada en
el origen.
1)
3x − 2y − 8 = 0
4)
4 x − 3 y − 18 = 0
2)
x+y−3=0
5)
5x + y − 7 = 0
3)
−7 x + 4y + 20 = 0
6)
3x − 2y − 9 = 0
Actividad: 3
Conceptual
Reconoce la ecuación en dos
variables y = mx + b como
forma de la función lineal.
Identifica los parámetros m y
b para determinar el
comportamiento de la gráfica
de una función lineal.
Autoevaluación
164
RESUELVE ECUACIONES LINEALES I
Evaluación
Producto: Ejercicios.
Saberes
Procedimental
Utiliza los parámetros “m” y “b” para
determinar el comportamiento de la gráfica
de una variable lineal.
Transita de ecuaciones a funciones
lineales.
C
MC
NC
Puntaje:
Actitudinal
Aprecia las representaciones
gráficas de funciones como
instrumento de análisis visual
de su comportamiento.
Calificación otorgada por el
docente
Actividad: 4
Analiza el siguiente problema y responde lo que se te pide.
Una máquina que costó $60,000 se deprecia linealmente $5,000 al año, la ecuación que modela el valor
de la máquina en función del tiempo es:
V = 60,000 − 5,000 t
a) ¿Cuánto vale la máquina al transcurrir un año?
b) ¿Cuánto vale al transcurrir 2.5 años?
c) ¿Cuánto vale al transcurrir 10 meses?
d) ¿En qué tiempo la máquina pierde la mitad de su precio original?
e) ¿En qué tiempo vale $10,000?
BLOQUE 6
165
Actividad: 4 (continuación)
f)
Para t = 0 , ¿cuánto vale la máquina?
g) ¿En qué tiempo V=0?
h) Grafica los valores que encontraste en los incisos f) y g), después une los dos puntos para que
traces la función.
Evaluación
Actividad: 4
Producto: Cuestionarios.
Conceptual
Reconoce la ecuación en dos
variables y = mx + b como
forma de la función lineal.
Saberes
Procedimental
Transita de ecuaciones a funciones
lineales, y viceversa, al modelar y
solucionar diversas situaciones.
Puntaje:
Reconoce diversas técnicas
para graficar.
Aplica diversas técnicas para graficar la
función lineal.
Actitudinal
Reconoce la importancia de
la conexión entre funciones
lineales y ecuaciones
lineales, para examinar y
solucionar situaciones.
Aprecia la utilidad de las
técnicas algebraicas de
resolución de ecuaciones,
para simplificar procesos y
obtener soluciones precisas.
Propone maneras creativas
de solucionar problemas.
Autoevaluación
166
RESUELVE ECUACIONES LINEALES I
C
MC
NC
Calificación otorgada por el
docente
Cierre
Actividad: 5
Analiza los siguientes problemas y responde lo que se te pide.
1.
Una radiodifusora cobra 6 dólares por transmitir los primeros 5 spots comerciales y por
cada spot adicional cobra 1.5 dólares.
a) Construir la función que relaciona los costos con el número de spots.
b) Trazar la gráfica correspondiente.
c) Los requerimientos de las empresas A, B y C son de 10, 15 y 17 spots diarios, respectivamente,
¿cuánto deberán pagar por este servicio?
d) ¿Cuántos spots puede contratar una empresa si dispone de 15 dólares diarios?
BLOQUE 6
167
Actividad: 5 (continuación)
2.
El costo de contado de un refrigerador es de $4000, el precio de crédito es adicionarle
$120 de intereses mensuales.
a) Construye la función que relaciona el precio con el plan mensual.
b) ¿Cuánto pagaría a 3, 6, 12, 18 meses?
c) Una persona piensa pagar a crédito hasta $5000, ¿qué plan mensual le convendría?
d) Elabora la gráfica.
Evaluación
Actividad: 5
Producto: Ejercicios.
Conceptual
Reconoce la ecuación en dos
variables y = mx + b como
forma de la función lineal.
Saberes
Procedimental
Transita de ecuaciones a funciones
lineales, y viceversa, al modelar y
solucionar diversas situaciones.
Reconoce diversas técnicas
para graficar.
Aplica diversas técnicas para graficar la
función lineal.
Autoevaluación
168
RESUELVE ECUACIONES LINEALES I
C
MC
Puntaje:
NC
Actitudinal
Aprecia la utilidad de las
técnicas algebraicas de
resolución de ecuaciones,
para simplificar procesos y
obtener soluciones precisas.
Asume una actitud de
apertura que favorece la
solución de problemas.
Calificación otorgada por el
docente
Resuelve ecuaciones lineales II
Unidades de competencia:
Construye e interpreta modelos aritméticos, algebraicos y gráficos, aplicando las
propiedades de los números reales y expresiones aritméticas y algebraicas, relacionando
magnitudes constantes y variables, y empleando las literales para la representación y
resolución de situaciones y/o problemas aritméticos y algebraicos concernientes a su vida
cotidiana y escolar, que le ayudan a explicar y describir su realidad.
Identifica las características presentes en tablas, gráficas, mapas, diagrama o textos,
provenientes de situaciones cotidianas y los traduce a un lenguaje aritmético y/o algebraico.
Atributos a desarrollar en el bloque:
4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o
gráficas.
5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada
uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.
5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar
información.
6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina
entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad.
7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.
8.1 Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo,
definiendo un curso de acción con pasos específicos.
8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera
reflexiva.
8.3 Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los
que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
Tiempo asignado: 8 horas
Secuencia didáctica 1.
Sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas (2 x 2).
Inicio
Actividad: 1
Analiza las siguientes preguntas y contesta correctamente cada una de ellas.
Una empresa va a comprar trajes sastre como uniforme en dos de sus departamentos y
además algunas empleadas decidieron comprar blusas como complemento, todas al
mismo precio. En el departamento de Recursos Humanos compraron 5 trajes y 8 blusas
que costaron $6490, y en el departamento de Contabilidad compraron 9 trajes y 6 blusas
por las que pagaron $9330. ¿Cuál es el precio unitario de cada prenda?
170
a)
Determina las dos ecuaciones que representan la compra de cada departamento.
b)
Grafica cada una de las ecuaciones encontradas.
c)
¿Cómo ubicarías la solución del problema en la gráfica?
RESUELVE ECUACIONES LINEALES II
Actividad: 1 (continuación)
d)
¿Qué método algebraico conoces para resolver este problema?
e)
Describe el método que mencionaste en el inciso anterior.
Evaluación
Actividad: 1
Conceptual
Describe los conocimientos
previos que posee de
ecuaciones lineales.
Explica un método de
solución de ecuaciones
lineales.
Autoevaluación
Producto: Cuestionario.
Puntaje:
Saberes
Procedimental
Analiza y modela situaciones empleando
ecuaciones lineales.
Actitudinal
Muestra disposición al
realizar la actividad.
Grafica ecuaciones lineales.
C
MC
NC
Calificación otorgada por el docente
BLOQUE 7
171
Desarrollo
Interpretación gráfica.
En el bloque anterior conociste las ecuaciones lineales, solución de problemas y su
representación gráfica. Existen problemas más estructurados que implican varias
situaciones y se requiere utilizar más de una ecuación. Con el siguiente problema se
iniciará el desarrollo de los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas (2 x 2).
Ejemplo 1.
Teresa invirtió parte de su dinero al 9% y el resto al 14% y le arrojó un ingreso total de
$2765. Si hubiera intercambiado sus inversiones, el ingreso habría totalizado $3215.
Para encontrar la cantidad de dinero que había en cada una de las inversiones, primero se debe encontrar las
ecuaciones que modelan las dos situaciones.
La asignación de variables es:
x : Primera cantidad de dinero invertida
y : Segunda cantidad de dinero invertida
14
9
x+
y = 2765 . Para eliminar los
100
100
denominadores se multiplica por 100 ambos miembros de la ecuación, quedando la
ecuación:
De la inversión original se deriva la ecuación
9x + 14y = 276,500
De la inversión intercambiada se obtiene la ecuación
14
9
x+
y = 3215 , y eliminando
100
100
los denominadores la ecuación se transforma en:
14 x + 9 y = 321,500
El sistema 2 x 2 que modela este problema involucra ambas ecuaciones y se simboliza de
la siguiente manera:
Hipócrates de Quios
(Hacia el 460 A C)
Es el primero en redactar unos
Elementos, es decir, un tratado
sistemático de matemáticas.
.
9 x + 14y = 276,5000

14x + 9 y = 321,500
A este sistema también se le conoce como ecuaciones simultáneas, porque la solución a éste debe cumplirse para
ambas.
También en la gráfica se refleja la simultaneidad debido a que se trazan las líneas en un mismo Plano Cartesiano.
Utilizando cualquiera de los métodos de graficación para ecuaciones lineales que se abordaron en el bloque anterior
(tabla, pendiente-ordenada en el origen, intersección de ejes), se tiene la siguiente gráfica.
172
RESUELVE ECUACIONES LINEALES II
24000
y
20000
16000
12000
8000
4000
x
−8000
−4000
4000
8000
12000
16000
20000
24000
28000
32000
−4000
−8000
Las líneas rectas se cortan en un punto el cual es parte de ambas, es decir, ese punto es el que satisface las dos
ecuaciones, por lo que sería la solución al problema.
El punto encontrado es una pareja de coordenadas (x, y) que se ubica en el plano cartesiano.
En este caso no se pueden localizar los valores exactos. Sólo observando la gráfica, se alcanzaría una aproximación
de éstos. Para encontrar la solución se requieren métodos algebraicos para obtener con exactitud la solución.
Posteriormente se abordarán estos métodos.
Actividad: 2
Resuelve los siguientes ejercicios.
I. Traza las gráficas de los siguientes sistemas.
2x − 3y + 7 = 0
a) 
 x + 2y − 7 = 0
 7 x + 2y − 6 = 0
b) 
14 x + 4 y + 13 = 0
BLOQUE 7
173
Actividad: 2 (continuación)
 3x − y + 4 = 0
c) 
− 6 x + 2 y − 8 = 0
II.
a)
4x − y − 12 = 0
d) 
 x + 4y + 4 = 0
Analiza las siguientes gráficas y contesta lo que se te pide.
7
y
b)
7
6
5
6
5
4
4
3
3
2
2
1
.
174
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1−1
1
2
3
4
5
6
7
x
1
8
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
−2
−2
−3
−3
−4
−4
−5
−5
−6
−6
−7
−7
−8
−8
y
x
1
2
3
4
5
6
7
1.
¿En qué punto se cortan las rectas de la gráfica del inciso a)?
2.
¿En qué punto se cortan las rectas de la gráfica del inciso b)?
3.
¿Qué podrías decir de las soluciones de ambos sistemas?
4.
¿Cómo describirías la gráfica de un sistema 2x2 con una infinidad de soluciones? Traza la gráfica
que describiste.
RESUELVE ECUACIONES LINEALES II
8
Evaluación
Actividad: 2
Producto: Ejercicios y cuestionario.
Saberes
Procedimental
Resuelve sistemas de dos ecuaciones con
dos incógnitas, utilizando métodos
gráficos.
Conceptual
Reconoce la solución de un
sistema de dos ecuaciones
con dos incógnitas (2 x 2)
mediante las gráficas de
funciones lineales.
Realiza gráficas de sistemas de 2 x 2.
C
Autoevaluación
MC
NC
Puntaje:
Actitudinal
Asume una actitud
constructiva, congruente con
los conocimientos y
habilidades con los que
cuenta, al realizar la
actividad.
Calificación otorgada por el docente
Actividad: 3
Realiza la siguiente actividad en equipo. Coloca en el paréntesis que se encuentra
en cada sistema, la letra que corresponda a la gráfica que lo describe.
a)
7
y
b)
6
5
2
2
1
1
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1−1
2
3
4
5
6
7
x
1
8
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1−1
−7
y
d)
7
8
7
y
6
5
4
4
3
3
2
2
1
−8
6
−8
6
5
−7
5
−7
−8
−6
4
−6
−6
−5
3
−5
−5
−4
2
−4
−4
−3
1
−3
−3
−2
x
−2
−2
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1−1
6
5
3
3
7
y
4
4
c)
7
x
1
2
3
4
5
6
7
8
1
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
x
1
2
3
4
5
6
7
8
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
BLOQUE 7
175
Actividad: 3 (continuación)
3x − 4y − 2 = 0
) 
4x + y + 10 = 0
(
 4 x + 21 = 7 y
) 
14 y − 8 x = 3
(
(
5 x − 2y = 0
) 
3 x + y = 0
(
1

 x − 3 y − 2 = 0
) 
− 3 x + 1 y = − 3
4
2
 4
Evaluación
Actividad: 2
Conceptual
Identifica diferentes gráficas
de sistemas de ecuaciones
lineales 2 x 2.
Coevaluación
Producto: Ejercicios de relacionar.
Saberes
Procedimental
Distingue las ecuaciones lineales 2 x 2 y
sus gráficas.
C
MC
NC
Puntaje:
Actitudinal
Realiza la actividad con
apertura y buena
disposición.
Calificación otorgada por el docente
Como te habrás dado cuenta, la gráfica revela el comportamiento de las ecuaciones, y en ocasiones, su solución.
Clasificación de sistemas.
Los sistemas se clasifican dependiendo del tipo de solución.
1.
Solución única. Ocurre cuando se cortan las rectas en un punto, al sistema se le
conoce como Consistente.
2.
Solución nula. Ocurre cuando las rectas son paralelas, el sistema se denomina
Inconsistente.
3.
Solución múltiple. Ocurre cuando las dos rectas coinciden en cada uno de sus
puntos, los cuales son una infinidad. Las rectas están sobrepuestas y al sistema
se le llama Dependiente.
“El progreso y el
perfeccionamiento de
las matemáticas están
íntimamente ligados a
la prosperidad del
Estado.”
Napoleón I
176
RESUELVE ECUACIONES LINEALES II
Cierre
Actividad: 4
Realiza lo que se te pide en cada sección de la actividad.
I.
Identifica de los 10 sistemas de las actividades 2 y 3, cuáles son consistentes,
inconsistentes y dependientes, luego escríbelos en el espacio correspondiente.
CLASIFICACIÓN
Sistema
Solución
Consistentes
Única
Inconsistentes
Nula
Dependientes
Múltiple
II.
SISTEMAS
Toma los 10 sistemas anteriores y completa la siguiente tabla considerando que los
 a x + b1 y + c1 = 0
 a2 x + b2 y + c2 = 0
coeficientes del sistema 2 x 2 en general se expresan  1
CLASIFICACIÓN
DEL SISTEMA
SISTEMA
a 1x + b1y + c1 = 0

a 2 x + b 2 y + c 2 = 0
a1
a2
COCIENTES
b1
b2
c1
c2
BLOQUE 7
177
Actividad: 4 (continuación)
III. Compara los cocientes de los coeficientes de cada sistema y contesta las siguientes
preguntas.
a) ¿Cómo son los cocientes de los sistemas dependientes?
178
RESUELVE ECUACIONES LINEALES II
Actividad: 4 (continuación)
b) ¿Cómo son los cocientes de los sistemas inconsistentes?
c) ¿Cómo son los cocientes de los sistemas consistentes?
d) Escribe las condiciones que deben cumplir los cocientes de los coeficientes del sistema en general,
a 1x + b1y + c1 = 0
, para determinar cuándo es consistente (solución única), inconsistente (solución

a 2 x + b 2 y + c 2 = 0
nula) y dependiente (solución múltiple).
Evaluación
Actividad: 4
Producto: Complementación de tablas.
Conceptual
Identifica los sistemas de
ecuaciones lineales 2 x 2.
Saberes
Procedimental
Clasifica el tipo de sistema de ecuaciones
lineales 2 x 2 y su solución.
Autoevaluación
Puntaje:
Actitudinal
Muestra disposición para el
análisis y clasificación de los
sistemas.
Deduce la clasificación de sistema con
base en sus coeficientes.
C
MC
NC
Calificación otorgada por el docente
BLOQUE 7
179
Secuencia didáctica 2.
Métodos para resolver sistemas de dos ecuaciones
con dos incógnitas.
Inicio
Actividad: 1
Analiza la siguiente gráfica y contesta lo que se te pide.
 x + 2y − 7 = 0
La solución al sistema 
se observa en la gráfica.
5 x − y − 13 = 0
a)
¿Cuál es el valor de “x” y “y”, según la gráfica?
7
y
6
5
4
3
2
1
−6 −5 −4 −3 −2 −1
−1
x
1
2
3
4
5
6
7
8
−2
−3
b)
Sustituye los valores obtenidos en las ecuaciones
para verificar que satisface el sistema y anota en este
espacio las operaciones.
−4
−5
−6
−7
−8
c)
180
Multiplica la segunda ecuación por dos y súmale la primera ecuación, anota las operaciones en este
espacio.
RESUELVE ECUACIONES LINEALES II
9
Actividad: 1 (continuación)
d) ¿Qué tipo de resultado obtuviste?
e) Despeja el resultado obtenido del inciso anterior.
f)
¿Cómo obtendrías el otro valor?
Evaluación
Actividad: 1
Producto: Cuestionario.
Conceptual
Identifica los sistemas de
ecuaciones lineales 2 x 2.
Saberes
Procedimental
Obtiene la solución de un sistema 2 x 2
mediante la gráfica.
Autoevaluación
Puntaje:
Actitudinal
Muestra disposición y
apertura al realizar la
actividad.
Deduce la clasificación de sistema con
base en sus coeficientes.
C
MC
NC
Calificación otorgada por el docente
BLOQUE 7
181
Los métodos de solución algebraicos y numéricos, son procedimientos que
ayudan a resolver con exactitud un sistema de ecuaciones, es decir, es encontrar
una pareja de valores que al sustituirlos en cualquiera de las ecuaciones del
sistema éstas se satisfacen.
Los métodos que se desarrollarán en este bloque son los métodos algebraicos de
Reducción y el método numérico de Determinantes.
En los métodos algebraicos, como su nombre lo indica, se utilizan procesos
algebraicos, como son: la suma o resta de polinomios, simplificación de términos
semejantes, despejes de variables, así como la sustitución de las mismas, entre
otros.
El éxito no se logra con
la suerte, es el
resultado de un
esfuerzo constante.
Dominio público
El método numérico de Determinantes requiere cambiar el sistema y expresarlo
únicamente con números, el cual se soluciona con la ayuda de la Aritmética.
Métodos de Reducción.
Éstos consisten en simplificar el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas a una ecuación con una incógnita, de
tal manera, que se pueda despejar y encontrar el valor de una de ellas para posteriormente sustituirlo y encontrar el
valor restante.
Los métodos de reducción son: Suma o Resta, Sustitución e Igualación.
Suma o resta.
Como se mostró en la secuencia anterior, la gráfica de un sistema no siempre es suficiente para encontrar su
solución, por ello, se requiere de utilizar métodos que permitan encontrarla con exactitud, a continuación, con los
siguientes ejemplos se representará el método de suma o resta.
Ejemplo 1.
Un salón de belleza cobra $630 por hacer reflejos y $450 por maquillaje. En el mes
de Agosto registró haber efectuado 107 servicios entre reflejos y maquillaje, que
representaron un ingreso de $61110. ¿Cuántos servicios de cada uno llevó a cabo?
Para resolverlo primero se requiere expresar el sistema de ecuaciones que lo
representa.
Asignación de variables.
x : Número de reflejos.
y : Número de maquillajes.
y = 107
 x+

630
x
450
+
y = 61110

El método de suma o resta consiste en convertir el sistema de 2 x 2, en una ecuación lineal con una incógnita que
puedas despejar, se logra mediante los siguientes pasos:
182
RESUELVE ECUACIONES LINEALES II
A continuación se etiquetarán las ecuaciones del sistema para ayudar en la explicación del método.
x+
y = 107


630
x
+
450
y = 61110

(A)
(B)
1.
Se elige una de las variables para eliminarla, en este caso se elegirá la variable “y” (cualquiera que elijas te llevará
a la misma solución).
2.
Para eliminar “y” se necesita tener el mismo coeficiente con signo contrario, para poder restarse, para ello se
multiplica la ecuación A por −450 , quedando de la siguiente forma:
−450 x − 450 y = −48150
630 x + 450 y = 61110
3.
Se efectúa la reducción de términos.
−450 x − 450 y = −48150
630 x + 450 y = 61110
= 12960
180 x
Quedando así una ecuación con una incógnita.
4.
Se despeja la variable para encontrar su valor.
12960
180
x = 72
x=
5.
Se sustituye el valor encontrado en cualquiera de las dos ecuaciones originales, para así obtener una ecuación de
una incógnita y poder despejarla. En este caso se elige la ecuación A, porque es más sencilla de sustituirla.
x + y = 107
72 + y = 107
y = 107 − 72
y = 35
6.
La solución x = 72 y y = 35 ; la interpretación de la solución es:
BLOQUE 7
183
El salón en el mes de Agosto realizó 72 reflejos y 35 maquillajes.
Es recomendable sustituir los valores encontrados en ambas ecuaciones para comprobar que la solución es
correcta.
La gráfica de este sistema es la siguiente:
y
90
80
70
60
50
40
30
20
10
-30 -20 -10
-10
x
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100 110
-20
-30
-40
Ejemplo 2.
2u + 3 v − 2 = 0
por el método de suma o resta.
Resolver el sistema 
5u − 2 v + 33 = 0
1.
Recomendación.
Se etiquetan las ecuaciones.
2u + 3 v − 2 = 0 ( A )

5u − 2 v + 33 = 0 (B)
2.
Se elige la variable u para eliminar, así que se requiere que ambas
ecuaciones tengan el mismo coeficiente con signo contrario, para ello se
multiplica la ecuación A por – 5 y la ecuación B por 2, como se muestra a
continuación.
−10u − 15v + 10 = 0
10u − 4v + 66 = 0
3.
Ahora se lleva a cabo la reducción de términos semejantes.
−10u − 15 v + 10 = 0
10u − 4v + 66 = 0
− 19 v + 76 = 0
184
RESUELVE ECUACIONES LINEALES II
Para que se facilite la
aplicación de cualquier
método algebraico,
elimina paréntesis y
denominadores de los
sistemas de
ecuaciones.
4.
Se despeja la ecuación.
5.
Se sustituye el valor obtenido en cualquiera de las dos ecuaciones originales, en esta
ocasión se sustituirá en A y posteriormente se despejará la ecuación obtenida.
−19 v = −76
− 76
v=
− 19
v=4
2u + 3 v − 2 = 0
2u + 3(4) − 2 = 0
2u + 12 − 2 = 0
2u + 10 = 0
2u = −10
− 10
u=
2
u = −5
6.
Hipatia
(370 – 415)
Filósofa, astrónoma y
matemática, contribuyó a la
invención de aparatos como el
aerómetro y construyó el
astrolabio. Defensora del
heliocentrismo (teoría que
defiende que la tierra gira
alrededor del sol).
La solución es u = −5 y v = 4
Sitios Web recomendados:
En el siguiente sitio podrás bajar el graficador Winplot, el cual te
ayudará a graficar los sistemas de ecuaciones y así comprobar
las soluciones de éstos.
http://math.exeter.edu/rparris/winplot.html
BLOQUE 7
185
Actividad: 2
Resuelve los siguientes sistemas por el método de suma o resta.
186
1.
 x+ y =7

− 2x − 4y = −22
2.
 8 x + 5 y = 39

 6 x − 5y = 3
RESUELVE ECUACIONES LINEALES II
Actividad: 2 (continuación)
3.
 9x − 8y = 1

− 7 x + 2 y = −5
4.
1
 2
x+ y =3

 3
4

4
5
− x − y = −9

4
 3
Evaluación
Actividad: 2
Conceptual
Reconoce la solución de un
sistema de dos ecuaciones
con dos incógnitas (2 x 2),
mediante el método de suma
o resta.
Autoevaluación
Producto: Ejercicios.
Puntaje:
Saberes
Procedimental
Resuelve sistemas de ecuaciones de 2 x 2
empleando el método de suma o resta.
Actitudinal
Asume una actitud de
apertura que favorece la
solución de los ejercicios.
Reconoce sus errores en los
métodos algebraicos y
busca solucionarlos.
C
MC
NC
Calificación otorgada por el docente
BLOQUE 7
187
Sustitución.
Como su nombre lo dice, el método de sustitución consiste en despejar una variable
de una de las ecuaciones y sustituir en la otra, a continuación se muestra el método
de sustitución con los siguientes ejemplos.
Ejemplo 1.
Un hombre rema río abajo a una velocidad de 13 Km
h
y río arriba 3 Km . Hallar la velocidad del bote en agua
h
tranquila y la velocidad del río.
Asignación de variables.
x : Velocidad del bote en agua tranquila.
y : Velocidad del río.
Cuando el bote va río abajo, la velocidad que lleva el río está a su favor; la ecuación
que representa esta situación es:
x + y = 13
Cuando el bote va río arriba, va remando contra corriente, porque la velocidad del río
hace disminuir su velocidad; la ecuación que lo describe es:
x−y = 3
Por lo tanto el sistema que describe al problema es:
x + y = 13

x − y = 3
188
RESUELVE ECUACIONES LINEALES II
“Las abejas..., en virtud de
una cierta intuición
geométrica..., saben que el
hexágono es mayor que el
cuadrado y que el triángulo,
y que podrá contener más
miel con el mismo gasto de
material.”
Papus de Alejandría
Para resolver el sistema por el método de sustitución se seguirán los siguientes pasos:
1.
Primero se etiqueta el sistema.
x + y = 13 ( A )

x − y = 3 (B)
2.
Ahora se elige una ecuación para despejar una de las variables, en este caso elegiremos despejar x en la
ecuación A.
x + y = 13
x = 13 − y
3.
Como todavía no se ha transformado en una ecuación con una incógnita, se toma el despeje y se sustituye en la
ecuación que no se ha utilizado, es decir, se sustituye en B.
x−y = 3
13 − y − y = 3
4.
Se reducen los términos semejantes y se despeja la variable.
13 − 2 y = 3
− 2 y = 3 − 13
− 2 y = −10
− 10
y=
−2
y=5
5.
Se sustituye el valor encontrado en el primer despeje que se hizo de la otra variable (paso 2), para encontrar su
valor.
x = 13 − y
x = 13 − 5
x=8
6.
Por lo que la solución es x = 8 y y = 5 , tenemos que el bote rema a una velocidad de 8 Km
h
y la velocidad del
río es 3 Km .
h
Ejemplo 2.
3(x + 2) = 2y
, primero se eliminan los paréntesis y se acomoda el sistema.
2(y + 5) = 7 x
Para resolver el sistema 
3 x + 6 = 2 y

2 y + 10 = 7 x
→
 3x − 2y + 6 = 0

− 7 x + 2 y + 10 = 0
BLOQUE 7
189
Para resolverlo por el método de sustitución, se desarrollan los siguientes pasos.
1.
Se etiqueta el sistema.
 3x − 2y + 6 = 0

− 7 x + 2 y + 10 = 0
2.
(A )
(B)
Se elige la ecuación B para despejar “y”.
−7 x + 2y + 10 = 0
2y = 7 x − 10
7 x − 10
y=
2
3.
Se sustituye el despeje en la ecuación A.
3x − 2y + 6 = 0
 7 x − 10 
3 x − 2
+6 = 0
 2 
4.
Se elimina el paréntesis y se reducen términos semejantes.
3 x − 7 x + 10 + 6 = 0
− 4 x + 16 = 0
− 4 x = −16
− 16
x=
−4
x=4
5.
Se sustituye el valor encontrado en el primer despeje (paso 2), y se encuentra el valor de la variable restante.
7 x − 10
2
7(4) − 10
y=
2
y=9
y=
6.
La solución es x = 4 y y = 9 .
Sustituye los valores en el sistema para que compruebes que lo satisface.
190
RESUELVE ECUACIONES LINEALES II
Actividad: 3
Resuelve los siguientes sistemas por el método de sustitución.
1.
 3 x + 4 y = 13

− 5 x + 6 y = −9
2.
2w − z = −4

3w + 5z = 7
BLOQUE 7
191
Actividad: 3 (continuación)
3.
4.
− s − 6 t = 8

7s − 15 t = 1
y x
 4 = 5

y = x −1
 3 3
Evaluación
Actividad: 3
Conceptual
Reconoce la solución de un
sistema de dos ecuaciones
con dos incógnitas (2 x 2),
mediante el método de
sustitución.
Autoevaluación
192
RESUELVE ECUACIONES LINEALES II
Producto: Ejercicios.
Puntaje:
Saberes
Procedimental
Resuelve sistemas de ecuaciones de 2 x 2
empleando el método de sustitución.
Actitudinal
Asume una actitud de
apertura que favorece la
solución de los ejercicios.
Reconoce sus errores en los
métodos algebraicos y busca
solucionarlos.
C
MC
NC
Calificación otorgada por el docente
Igualación.
Este método consiste en despejar la misma variable de las dos ecuaciones e igualarlas. De igual forma que los
métodos anteriores, se tomarán ejemplos para describir el método.
Ejemplo 1.
Un punto de apoyo se sitúa, de tal manera, que dos paquetes de 60Kg. y 120 Kg. se equilibren. Si se le agregan 30
Kg. de peso al de 60 Kg., la carga de 120 Kg. debe recorrerse a 1 m. más de distancia del punto de apoyo para
mantenerse en equilibrio. Hallar la distancia original entre ambas cargas.
d
Asignación de variables.
d
60Kg
d2
d1 : Distancia del paquete de 60 Kg. al punto de apoyo.
d2 : Distancia del paquete de 120 Kg. al punto de apoyo.
120 Kg
El sistema de ecuaciones queda.
60d1 = 120d2

90d1 = 120(d2 + 1)
El método de igualación consiste en despejar la misma variable de las dos ecuaciones, así que aprovechando la
forma que tiene el sistema se despejará d1 . A continuación se presenta el proceso.
1.
Se etiquetan las ecuaciones.
60d1 = 120d2

90d1 = 120(d2 + 1)
2.
(A )
(B)
Se despeja de la ecuación A la variable d1 .
120d2
60
d1 = 2d2
d1 =
3.
Se despeja de la ecuación B la variable d1 .
90d1 = 120(d2 + 1)
120(d2 + 1)
90
4(d2 + 1)
d1 =
3
d1 =
BLOQUE 7
193
4.
Se igualan los dos despejes.
2d2 =
5.
4(d2 + 1)
3
Se quitan paréntesis y se realiza el despeje de d2 .
6d2 = 4(d2 + 1)
6d2 = 4d2 + 4
6d2 − 4d2 = 4
2d2 = 4
d2 = 2
6.
Se sustituye el valor de d2 en cualquiera de los despejes, en este caso se elige el despeje del paso 2.
120d2
60
d1 = 2(2 )
d1 =
d1 = 4
7.
La distancia original entre las cargas es la suma de las distancias al punto de apoyo por lo que la solución al
problema es:
d = d1 + d2
d=4+2
d=6
La separación que hay entre ellas es de 6 m.
194
RESUELVE ECUACIONES LINEALES II
Ejemplo 2.
5
3
 4 x − 6 y = −4
por el método de igualación.
Resolver el sistema 
7 x − 1 y = 3
 8
3
1.
Se eliminan los denominadores de ambas ecuaciones, multiplicando por el M.C.M. de cada una de ellas.
 3
5

 x − y = −4 (12)
6

 4
→

 7 x − 1 y = 3 (24)
 8
3


2.
Sólo el que no hace
nada, no se equivoca.
Se etiqueta el sistema
9 x − 10 y = −48

21x − 8 y = 72
3.
(A )
(B)
Dominio público
Se elige la variable “ x ” para despejarla de las dos ecuaciones.
9x − 10 y = −48
9x = 10 y − 48
10 y − 48
x=
9
4.
9x − 10y = −48

21x − 8y = 72
21x − 8y = 72
21x = 8y + 72
8y + 72
x=
21
Se igualan los dos despejes y se despeja la variable.
10y − 48 8 y + 72
=
9
21
21(10y − 48) = 9(8 y + 72)
210y − 1008 = 72y + 648
210y − 72y = 648 + 1008
138y = 1656
y = 12
5.
Se sustituye el valor encontrado en cualquiera de los despejes del paso 3.
10y − 48
9
10(12) − 48
x=
9
x=8
x=
6.
La solución del sistema es: x = 8 y y = 12
BLOQUE 7
195
Actividad: 4
Resuelve los siguientes sistemas por el método de igualación.
 x − y=0
3 x + 2 y = 5
1. 
196
2.
4w − 3z = 7

2w − z = 5
3.
2s + 3 t = 3

 s + 5t = 4
RESUELVE ECUACIONES LINEALES II
Actividad: 4 (continuación)
4.
1
29
2
 5 x − 4 y = 20

2 x + 2 y = 4
3
21
 7
Evaluación
Actividad: 4
Conceptual
Reconoce la solución de un
sistema de dos ecuaciones
con dos incógnitas (2 x 2),
mediante el método de
igualación.
Autoevaluación
Producto: Ejercicios.
Puntaje:
Saberes
Procedimental
Resuelve sistemas de ecuaciones de 2 x 2
empleando el método de igualación.
Actitudinal
Muestra una buena
disposición al realizar los
ejercicios.
Reconoce sus errores en los
métodos algebraicos y busca
solucionarlos.
C
MC
NC
Calificación otorgada por el
docente
BLOQUE 7
197
Método numérico de Determinantes (Regla de Cramer).
La regla de Cramer es un teorema en Álgebra Lineal, que da la solución de un sistema
lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor de
Gabriel Cramer, quien publicó la Regla en su Introductión à l´anályse deslingnes
courbes algébriques de 1750 1.
El método de determinantes tiene importancia teórica debido a que es muy explícito
para la solución de sistemas.
Se describirá el método utilizando la forma general del sistema 2 x 2, como se presenta
a continuación.
Gabriel Cramer (1704-1752)
a1x + b1y = c1

a 2 x + b2 y = c 2
El método de determinantes requiere expresar los coeficientes del sistema en forma ordenada, como se muestra a
continuación.
 a1

a 2
b1 c1 

b2 c 2 
 a 1 b1 c1 


a 2 b 2 c 2 
Donde la primera columna representa los coeficientes de la variable “x”, la segunda columna representa los
coeficientes de la variable “y”, y la tercer columna representa las constantes, además, la primera fila corresponde a la
primera ecuación y la segunda fila corresponde a la segunda ecuación.
A este arreglo numérico se le conoce como Matriz, y puede ser cuadrado o rectangular.
El determinante de una matriz cuadrada (2 x 2) es el valor asociado a la matriz, como se muestra a continuación.
a
c
Si la matriz es 
b
a
, entonces, el determinante se obtiene de la siguiente forma

d
c
b
= (ad) − (bc )
d
Para resolver el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, se requiere obtener tres tipos de determinantes de la
a
b1 c1 
matriz  1
.
a
b

2 c2 
 2
1
198
http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Cramer
RESUELVE ECUACIONES LINEALES II
1.
El determinante del sistema, que se forma con los coeficientes de las incógnitas.
D=
2.
El determinante de la variable x, que se forma sustituyendo en el determinante del sistema los coeficientes de la x
por las constantes.
Dx =
3.
a 1 b1
= (a 1b2 ) − (b1a 2 )
a 2 b2
c1
b1
c2
b2
= (c1b2 ) − (b1c 2 )
El determinante de la variable y, que se forma sustituyendo en el determinante del sistema los coeficientes de la
“y” por las constantes.
Dy =
a1
a2
c1
= (a 1c 2 ) − (c 1a 2 )
c2
Una vez obtenidos los tres determinantes, las variables se obtienen mediante los cocientes:
Dy
D
x= x
y=
D
D
Ejemplo 1.
5 x + y − 8 = 0
mediante el método de determinantes, primero se acomodan los términos
3 x − 2 y − 10 = 0
Para resolver el sistema 
constantes en el segundo miembro de cada ecuación, como se muestra a continuación:
5 x + y = 8

3 x − 2 y = 10
Las variables deben quedar acomodadas en el primer miembro y las constantes en el segundo miembro.
BLOQUE 7
199
Ahora, se desarrollan los siguientes pasos.
1.
Se expresa el sistema en su forma matricial.
5 1 8 


3 − 2 10
2.
3.
Se obtienen los determinantes.
D=
5
3
1
= (5 )(− 2 ) − (1)(3 ) = −10 − 3 = −13
−2
Dx =
8
10
Dy =
5 8
= (5 )(10 ) − (8 )(3 ) = 50 − 24 = 26
3 10
1
= (8 )(− 2 ) − (1)(10) = −16 − 10 = −26
−2
Se sustituyen en los cocientes para obtener el valor de las variables.
x=
D x −26
=
=2
D − 13
y=
Dy
D
=
26
= −2
− 13
La solución al sistema es x = 2 y y = −2 .
Ejemplo 2.
Sofía es estudiante de Agronomía, solicitó una beca de estudio y para conservarla
tiene que cursar tres materias de Naturales y dos de Humanidades equivalentes a 36
créditos en segundo semestre; mientras que para el tercer semestre, deberá cursar
cuatro de Naturales y tres de Humanidades los cuales son 50 créditos. ¿Cuántos
créditos tiene cada área?
Asignación de variables.
m : Créditos del área de Naturales.
n : Créditos del área de Humanidades.
El sistema queda de la siguiente forma:
3m + 2n = 36

4m + 3n = 50
Y su forma matricial queda:
3 2 36 


4 3 50
200
RESUELVE ECUACIONES LINEALES II
Ahora se obtendrán los determinantes correspondientes.
3
2
4
3
Dm =
36
50
D=
Dn =
= (3 )(3 ) − (2 )(4 ) = 9 − 8 = 1
2
= (36 )(3 ) − (2 )(50 ) = 108 − 100 = 8
3
3
36
4
50
= (3 )(50) − (36 )(4) = 150 − 144 = 6
Se sustituyen en los cocientes para obtener el valor de las variables.
m=
Dm 8
= =8
D
1
n=
Dn 6
= =6
D
1
Por lo tanto, las asignaturas del área de Naturales valen 8 créditos y las del área de Humanidades 6 créditos.
Actividad: 5
Resuelve los siguientes sistemas por el método de determinantes.
1.
 9 r − 9s = 18

− r + 4s = −2
2.
 x + y = 14

− x − 5 y = −30
BLOQUE 7
201
Actividad: 5 (continuación)
3.
4.
1
 2
 3 p + 4 q = −3

− 4 p − 5 q = 9
 3
4
 5 x − 6 y = −1

− 5 x + 8 y = 3
Evaluación
Actividad: 5
Conceptual
Reconoce la solución de un
sistema de dos ecuaciones
con dos incógnitas (2 x 2),
mediante el método de
determinantes.
Autoevaluación
202
RESUELVE ECUACIONES LINEALES II
Producto: Ejercicios.
Puntaje:
Saberes
Procedimental
Resuelve sistemas de ecuaciones de 2 x
2 empleando el método de
determinantes.
Actitudinal
Aprecia la facilidad del
método de determinantes.
C
MC
NC
Reconoce sus errores en
los métodos algebraicos y
busca solucionarlos.
Calificación otorgada por el
docente
Cierre
Actividad: 6
Escribe el sistema que representa a cada uno de los problemas y resuélvelos con
cualquiera de los métodos de solución.
1.
Un avión recorre 2400 millas para llegar a una ciudad. De ida llevaba el viento a favor y tardó 4
horas en llegar, pero de regreso, con el viento en contra, demoró 6 horas. ¿Cuál es la velocidad del
avión y la velocidad del viento?
2.
El triple de un número supera en 1 a otro, mientras que el quíntuplo del primero es 4 unidades
menor que el doble del segundo. Encuentra ambos números.
BLOQUE 7
203
Actividad: 6 (continuación)
3.
4.
204
Hace 5 años la edad de un muchacho era un quinto de la que tenía su padre, y
dentro de 10 años el hijo tendrá la mitad de la edad de su padre. Determina las
edades actuales.
En la tienda de autoservicio, 10 paquetes de maíz y 7 de chícharos cuestan 12.53 dólares, mientras
que 7 de maíz y 9 de chícharos cuestan 12.52 dólares. Encuentra el precio por paquete de cada
producto.
RESUELVE ECUACIONES LINEALES II
Actividad: 6 (continuación)
5.
Si 3 veces el recorrido de Abel más 4 veces el recorrido de Pablo es igual a 60 vueltas,
mientras que 2 veces el recorrido de Abel es igual al recorrido de Pablo más 7 vuelta
¿Cuántas vueltas da Abel y Pablo a la pista del deportivo?
6.
Si se le resta 2 al numerador de una fracción y se suma 1 al denominador, su valor resulta ser
Pero, si se resta 7 al numerador y suma 2 al denominador resulta
1
.
2
1
. Encuentra la fracción.
3
BLOQUE 7
205
Evaluación
Actividad: 6
Conceptual
Reconoce la solución de un
sistema de dos ecuaciones
con dos incógnitas (2 x 2),
mediante diferentes métodos.
Ubica e interpreta soluciones
diversas utilizando sistemas 2
x 2.
Autoevaluación
206
RESUELVE ECUACIONES LINEALES II
Producto: Problemas de aplicación.
Saberes
Procedimental
Expresa y soluciona situaciones
diversas utilizando sistemas 2 x 2.
Aplica los sistemas de ecuaciones de
2 x 2 empleando métodos
algebraicos.
Construye ideas y argumentos
relativos a la solución y aplicación de
sistemas de ecuaciones.
C
MC
NC
Puntaje:
Actitudinal
Aprecia la diversidad y
efectividad de los métodos de
resolución de sistemas de
ecuaciones 2 x 2.
Asume una actitud de apertura
que favorece la solución de los
ejercicios.
Reconoce sus errores en los
métodos algebraicos y busca
solucionarlos.
Calificación otorgada por el
docente
Resuelve ecuaciones lineales III
Unidades de competencia:
Construye e interpreta modelos aritméticos, algebraicos y gráficos, aplicando las
propiedades de los números reales y expresiones aritméticas y algebraicas, relacionando
magnitudes constantes y variables, y empleando las literales para la representación y
resolución de situaciones y/o problemas aritméticos y algebraicos concernientes a su vida
cotidiana y escolar, que le ayudan a explicar y describir su realidad.
Identifica las características presentes en tablas, gráficas, mapas, diagramas o textos,
provenientes de situaciones cotidianas y los traduce a un lenguaje aritmético y/o algebraico.
Atributos a desarrollar en el bloque:
4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o
gráficas.
5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada
uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.
5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar
información.
6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina
entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad.
7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.
8.1 Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo,
definiendo un curso de acción con pasos específicos.
8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera
reflexiva.
8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con
los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
Tiempo asignado: 8 horas
Secuencia didáctica 1.
Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas (3 x 3).
Inicio
Actividad: 1
Analiza las siguientes preguntas y contesta correctamente cada una de ellas.
1.
Uno de los teoremas más importantes de los triángulos es que la suma de la medida de los ángulos
2
del ángulo de
3
tamaño mediano. El ángulo más grande es 30º menor que 3 veces el ángulo mediano. ¿Cuál es el
sistema de ecuaciones que modelan las tres situaciones diferentes de la que se compone este
problema?
interiores de un triángulo es de 180º. El ángulo más pequeño del triángulo es
208
2.
Si el método de suma o resta consiste en reducir el sistema de 2 x 2 por eliminación de una variable
a una ecuación lineal de una incógnita, para poder despejar. ¿Cómo describirías el método de
suma o resta para el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas?
3.
Si el método de sustitución consiste en reducir el sistema 2 x 2 despejando una variable y
sustituyendo en otra ecuación, para reducirlo a una ecuación lineal con una incógnita. ¿Cómo
describirías el método de sustitución para el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas?
RESUELVE ECUACIONES LINEALES III
Evaluación
Actividad: 1
Producto: Cuestionario.
Conceptual
Identifica sus conocimientos
previos sobre los métodos de
solución algebraica.
Saberes
Procedimental
Infiere sobre los métodos de solución de
tres ecuaciones con tres incógnitas a
partir de los métodos de solución
algebraica de los sistemas 2 x 2.
Autoevaluación
C
MC
NC
Puntaje:
Actitudinal
Muestra disposición al
realizar la actividad.
Calificación otorgada por el
docente
Desarrollo
Los sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas describen tres situaciones en un
mismo problema, dichas situaciones tienen que ir encaminadas a describir las
mismas variables, como por ejemplo:
Encontrar tres números tales que la suma del primero y el segundo excede en 18 al
tercer número; la suma del primero y el tercero excede en 78 al segundo, y la suma
del segundo y el tercero excede en 102 al primero.
Hay una fuerza motriz
más poderosa que el
vapor y la electricidad:
la voluntad.
Asignación de variables.
Dominio público
x : Primer número.
y : Segundo número.
z : Tercero número.
El sistema se expresa como:
x + y = z + 18

x + z = y + 78
y + z = x + 102

Los sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas tienen forma similar al sistema de 2 x 2.
a 1x + b1y + c1z = d1

a 2 x + b2 y + c 2 z = d2
a x + b y + c z = d
3
3
3
 3
Al igual que en el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, también existen sistemas que son consistentes
(solución única), inconsistentes (solución nula) y dependientes (solución múltiple), por ejemplo:
BLOQUE 8
209
Ejemplo 1.
 x + y − z = 18

La solución del sistema  x − y + z = 78 es x = 48 , y = 60 y z = 90 . Deben satisfacer el sistema, esto es, al sustituir
− x + y + z = 102

los valores en el sistema se debe cumplir la igualdad.
x + y − z = 18
x − y + z = 78
(48) + (60) − (90) = 18
(48) − (60) + (90) = 78
18 = 18
78 = 78
− x + y + z = 102
− (48 ) + (60 ) + (90 ) = 102
102 = 102
De esta forma se comprueba que la solución al sistema es correcta. En este caso se dice que es un sistema
consistente, con solución única.
Ejemplo 2.
 4 x + 2 y − 6 z = −8

El sistema  2 x + y − 3z = −4 tiene una infinidad de soluciones, algunas de ellas son:
− 6 x − 3 y + 9z = 12

x=0
x=4
x = −1
y = −1
y=3
y =1
z =1
z=5
z =1
Sustitución de la primera solución.
4x + 2y − 6 z = −8
4(0) + 2(− 1) − 6(1) = −8
− 8 = −8
2 x + y − 3z = −4
2(0 ) + (− 1) − 3(1) = −4
− 4 = −4
− 6 x − 3 y + 9z = 12
− 6(0 ) − 3(− 1) + 9(1) = 12
12 = 12
Sustitución de la segunda solución.
4 x + 2 y − 6 z = −8
4(4 ) + 2(3 ) − 6(5 ) = −8
− 8 = −8
2 x + y − 3z = −4
2(4 ) + (3 ) − 3(5 ) = −4
− 4 = −4
− 6 x − 3 y + 9z = 12
− 6(4 ) − 3(3 ) + 9(5 ) = 12
12 = 12
2 x + y − 3z = −4
− 6 x − 3 y + 9z = 12
− 6(− 1) − 3(1) + 9(1) = 12
12 = 12
Sustitución de la primera solución.
4 x + 2 y − 6 z = −8
4(− 1) + 2(1) − 6(1) = −8
− 8 = −8
2(− 1) + (1) − 3(1) = −4
− 4 = −4
En este caso es un sistema dependiente con solución múltiple.
Ejemplo 3.
2x − y + z = 3


El sistema − 4x + 2y − 2z = 8 no tiene solución, y esto se puede verificar cuando se aborden los métodos de solución
 6 x − 3y + 3z = 10

algebraica.
210
RESUELVE ECUACIONES LINEALES III
Actividad: 2
Considerando la clasificación de los sistemas 2 x 2 con base en sus coeficientes.
Escribe las condiciones que deben cumplir los cocientes de los coeficientes del
 a1 x + b1 y + c1 z = d 1

sistema  a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 para determinar cuándo es consistente (solución
a x + b y + c z = d
3
3
3
 3
única), inconsistente (solución nula) y dependiente (solución múltiple).
Evaluación
Actividad: 2
Conceptual
Explica la clasificación de los
sistemas 3 x 3, con base en
sus coeficientes.
Autoevaluación
Producto: Clasificación.
Puntaje:
Saberes
Procedimental
Clasifica el tipo de sistema de
ecuaciones lineales 3 x 3 y su solución.
Actitudinal
Se interesa por realizar la
actividad con eficiencia.
Deduce la clasificación de sistema con
base en sus coeficientes.
C
MC
NC
Calificación otorgada por el
docente
BLOQUE 8
211
Interpretación gráfica.
Una ecuación lineal con tres incógnitas representa un plano en el espacio como se muestra en la figura.
z
y
x
A diferencia del plano cartesiano de dos dimensiones (eje horizontal y vertical), el plano cartesiano ubica las tres
dimensiones.
Lo mismo sucede en el cine, cuando se presenta una película en 3D (tres dimensiones), en la que se percibe la
profundidad y da la sensación de estar dentro de ella.
Para ubicar los puntos del plano que representa una ecuación, es necesario despejar una variable (dependiente) y
sustituir valores en las otras dos variables (independientes); esta forma de graficarla es muy laboriosa. En niveles
posteriores aprenderás formas más fáciles para llevar a cabo la graficación manual. También puedes hacer uso de
programas de graficación como es el graficador Winplot para que visualices los planos.
A continuación se presenta la gráfica de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.
Ejemplo 1.
x+y+z =6


Para que visualices mejor la gráfica del sistema  x − 2y + 2z = 5 se presentarán los planos de las ecuaciones por
− 3x + y + 3z = 10

separado.
La gráfica de x + y + z = 6 es:
z
y
x
212
RESUELVE ECUACIONES LINEALES III
La gráfica de x − 2 y + 2z = 5 es:
z
y
x
La gráfica de la ecuación −3 x + y + 3z = 10 es:
z
y
x
x+y+z =6


Por lo tanto la gráfica del sistema  x − 2y + 2z = 5 se logra al sobreponer los planos de cada una de las ecuaciones
− 3x + y + 3z = 10

que lo conforman, y la intersección de ellos daría como resultado las coordenadas del punto que satisfacen al
sistema, esto es, proporciona la solución de éste:
BLOQUE 8
213
z
Solución del sistema
y
x
Cierre
Actividad: 3
I. Proporciona un ejemplo de cada uno de los sistemas.
1. Sistema consistente (solución única).
2. Sistema inconsistente (solución nula).
3. Sistema dependiente (solución múltiple).
214
RESUELVE ECUACIONES LINEALES III
Actividad 3 continuación:
II. Realiza un ejemplo gráfico de los siguientes sistemas.
1.
Sistema inconsistente.
2.
Sistema dependiente.
Evaluación
Actividad: 3
Producto: Ejemplos.
Conceptual
Reconoce la clasificación de
los sistemas 3 x 3.
Saberes
Procedimental
Propone ejemplos de sistemas 3 x 3 de
acuerdo a su clasificación.
Puntaje:
Esboza las gráficas de sistemas 3 x 3 de
acuerdo a su clasificación.
Autoevaluación
C
MC
NC
Actitudinal
Asume una actitud
constructiva, congruente con
los conocimientos y
habilidades con los que
cuenta, al realizar la actividad.
Calificación otorgada por el
docente
BLOQUE 8
215
Secuencia didáctica 2.
Métodos para resolver sistemas de tres ecuaciones con tres
incógnitas.
Inicio
Actividad: 1
En equipo, escribe el sistema de ecuaciones que modela cada uno de los
siguientes problemas.
216
1.
La suma de tres números es 37. El menor disminuido en 1 equivale a un tercio de la suma del
mayor y el mediano; la diferencia entre el mediano y el menor equivale al mayor disminuido en 13.
Encontrar los números.
2.
Entre Álvaro, Javier y Carmen tienen 140 pesos. Carmen tiene la mitad de lo que tiene Álvaro, y
Álvaro tiene 10 pesos más que Javier ¿Cuánto tiene cada uno?
3.
Encontrar tres números tales que la suma del primero y el segundo excede en 3 al doble del tercer
número; la suma del primero y el tercero es igual al segundo, y la suma del segundo y el tercero
excede en 14 al primero.
4.
Si Adrián le da un peso a Carlos, ambos tiene lo mismo; si Beatriz tuviera un peso menos, tendría lo
mismo que Carlos, y si Adrián tuviera cinco pesos más, tendría tanto como el doble de lo que tiene
Carlos. ¿Cuánto tiene cada uno?
5.
Si al doble de la edad de Marco se suma la edad de José, se obtiene la edad de Jorge aumentada
en 32 años. Si al tercio de la edad de José se suma el doble de la de Jorge, se obtiene la de Marco
aumentada en 9 años, y el tercio de la suma de las edades de Marco y José es un año menos que
la edad de Jorge. Encuentra las edades de cada uno de ellos.
RESUELVE ECUACIONES LINEALES III
Evaluación
Actividad: 1
Producto: Problemas.
Puntaje:
Conceptual
Identifica las ecuaciones
lineales.
Saberes
Procedimental
Analiza y modela situaciones para formar
sistemas de tres ecuaciones lineales con
tres incógnitas.
Actitudinal
Aprecia la utilidad de los
sistemas 3 x 3.
Coevaluación
C
MC
NC
Calificación otorgada por el
docente
Desarrollo
Los métodos para resolver los sistemas 2 x 2 (Reducción y Determinantes), también se aplican en los sistemas de 3 x
3, un poco más estructurados pero el principio es el mismo.
Los métodos de Reducción (suma o resta, sustitución e igualación) consisten en reducir el sistema de 3x3 a un
sistema de 2x2, y posteriormente, reducirlo a una ecuación lineal de una incógnita, la cual es despejada para
encontrar el primer valor y después se va sustituyendo para encontrar el segundo y tercer valor.
El método de Determinantes es básicamente el mismo, a excepción de un aumento en las filas de cada uno de los
determinantes, éste se verá más adelante.
A continuación se desarrollarán los métodos para poder dar solución a los problemas que se plantearon en la
actividad 1.
Métodos de Reducción.
Suma o resta.
Se ejemplificará el método siguiendo el desarrollo de un ejemplo, en éste se mostrará cómo se va reduciendo el
sistema de 3 x 3 a un sistema de 2 x 2, para finalmente reducirlo a una ecuación lineal de una incógnita.
Ejemplo.
 6 x + 4y − 5z = −1

Para resolver el sistema − 2x + 8y + 3z = 4 se seguirán los siguientes pasos:
 4x − 4y − 7 z = −6

1.
Se etiquetan las ecuaciones para que sean más fáciles de identificarlas.
 6 x + 4 y − 5 z = −1 ( A )

− 2 x + 8 y + 3z = 4 (B)
 4 x − 4 y − 7 z = −6 (C)

2.
Elegir una de las variables para eliminar.
En este caso se elige la “y” por ser la más sencilla de eliminar.
BLOQUE 8
217
3.
Se elige la ecuación A y C para eliminar “y” realizando la suma o resta correspondiente en cada uno de los
términos.
6 x + 4 y − 5z = −1
4 x − 4 y − 7 z = −6
10x
4.
− 12z = −7
Se elige la ecuación B y la ecuación C, ésta última se multiplica por dos para poder eliminar “y”.
−2 x + 8 y + 3z = 4
8 x − 8 y − 14z = −12
6x
5.
− 11z = −8
Se toman las dos ecuaciones para formar un nuevo sistema. Se etiquetan de igual manera las ecuaciones del
nuevo sistema.
10 x − 12z = −7 (D)

 6 x − 11z = −8 (E)
6.
Se elige la variable “x” para eliminar, multiplicando la ecuación D por 3 y la
ecuación E por – 5 y procediendo a sumar o restar en cada término.
30x − 36z = −21
− 30x + 55z = 40
¿Sabías que…
muchos artistas se
interesaron por las
matemáticas y muchos
matemáticos por el
arte?
19z = 19
7.
Se despeja la variable z.
19z = 19
19
z=
19
z =1
8.
Obtenido el primer valor, se sustituye en cualquiera de las ecuaciones del sistema 2 x 2, en este caso elegiremos
la ecuación D para llevar a cabo la sustitución para encontrar el valor de x.
10 x − 12z = −7
10 x − 12(1) = −7
10 x = −7 + 12
10 x = 5
5
x=
10
1
x=
2
218
RESUELVE ECUACIONES LINEALES III
9.
Se sustituyen los dos valores encontrados en cualquiera de las tres ecuaciones del sistema 3 x 3, para encontrar
el valor de la variable restante. En este caso se elegirá la ecuación A.
6 x + 4y − 5z = −1
 1
6  + 4y − 5(1) = −1
2
3 + 4y − 5 = −1
4y = −1 − 3 + 5
4y = 1
y=
Por lo que el resultado del sistema es:
x=
1
2
y=
1
4
1
4
z =1
El punto solución se expresa:
1 1 
 , , 1
2 4 
A continuación se tomará el mismo sistema de suma o resta para desarrollar los métodos posteriores y así puedas
decidir el método que más se te facilita.
Sustitución.
Este método consiste en despejar una de las variables de una ecuación y sustituirla en las otras dos para poder
construir el sistema 2 x 2, posteriormente se seguirá con el método de sustitución de 2 x 2 para encontrar el valor de la
primer variable e ir sustituyendo posteriormente en las demás y así encontrar los valores de las variables faltantes.
Ejemplo.
 6 x + 4y − 5z = −1

Para resolver el sistema − 2x + 8y + 3z = 4 se seguirán los siguientes pasos:
 4x − 4y − 7 z = −6

1.
Se etiquetan las ecuaciones para que sean más fáciles de identificarlas.
 6 x + 4 y − 5 z = −1 ( A )

− 2 x + 8 y + 3z = 4 (B)
 4 x − 4 y − 7 z = −6 (C)

2.
Se despeja la variable x de la ecuación C.
4 x − 4 y − 7 z = −6
4 x = −6 + 4 y + 7 z
− 6 + 4y + 7z
x=
4
BLOQUE 8
219
3.
Se sustituye el valor del despeje en la ecuación A y B, para conformar el sistema de 2 x 2.
− 2 x + 8 y + 3z = 4
6 x + 4 y − 5 z = −1
 − 6 + 4y + 7z 
6
 + 4 y − 5 z = −1
4


6
4
y
7
z
− + + 
3
 + 4y − 5z = −1
2


− 18 + 12y + 21z
+ 4y − 5z = −1
2
− 18 + 12y + 21z + 8y − 10z = −2
20y + 11z = 16
4.
 − 6 + 4y + 7z 
− 2
 + 8 y + 3z = 4
4


 − 6 + 4y + 7z 
− 1
 + 8 y + 3z = 4
2


6 − 4y − 7z
+ 8 y + 3z = 4
2
6 − 4y − 7z + 16 y + 6z = 8
12y − z = 2
Se expresa el sistema y se etiquetan las ecuaciones.
20 y + 11z = 16 (D)

12 y − z = 2 (E)
5.
Se despeja la variable “z” de la ecuación E.
12 y − z = 2
− z = 2 − 12 y
z = −2 + 12 y
6.
Se sustituye el despeje en la ecuación D.
20 y + 11z = 16
20 y + 11(− 2 + 12 y ) = 16
20 y − 22 + 132 y = 16
7.
152 y = 38
38
y=
152
1
y=
4
Se sustituye el valor encontrado en el despeje del paso 5.
z = −2 + 12 y
 1
z = −2 + 12 
4
z = −2 + 3
z =1
220
RESUELVE ECUACIONES LINEALES III
Anaxágoras de Clazomenae
(499 – 428 A C)
Fue encarcelado por decir
que el sol no era un Dios y
que la luna reflejaba la luz del
sol. Mientras permanecía en
prisión trató de solucionar el
problema de la cuadratura
del círculo, encontró un
cuadrado con el área igual a
la obtenida por un círculo.
8.
Se sustituyen los valores de “y” y “z” encontrados en el despeje del paso 2.
−6 + 4 y + 7 z
4
 1
− 6 + 4  + 7(1)
4
x=
4
− 6 + 1+ 7
x=
4
2
x=
4
1
x=
2
x=
René Descartes. Cierta
vez observó una
mosca deambular por
el techo de la
habitación e ideó como
escribir un recorrido
con una ecuación.
Pensó la forma de
aplicar el álgebra a la
geometría y la
geometría al álgebra.
Por lo que el resultado del sistema es:
x=
1
2
y=
1
4
z =1
De la misma forma que fue en el método de suma o resta.
Igualación.
El método de igualación consiste en despejar la misma variable de las tres ecuaciones para hacer dos igualaciones,
de esta forma se construye el sistema 2 x 2, que posteriormente se puede resolver por el método algebraico de
igualación para sistemas de 2 x 2.
Ejemplo.
 6 x + 4y − 5z = −1

Para resolver el sistema − 2x + 8y + 3z = 4 se seguirán los siguientes pasos:
 4x − 4y − 7 z = −6

1.
Se etiquetan las ecuaciones para que sea más fácil identificarlas.
 6 x + 4 y − 5 z = −1 ( A )

− 2 x + 8 y + 3z = 4 (B)
 4 x − 4 y − 7 z = −6 (C)

2.
Se despeja la variable “y” de las tres ecuaciones.
6 x + 4 y − 5z = −1
4 y = −1− 6 x + 5z
y=
− 1− 6 x + 5z
4
−2x + 8y + 3z = 4
8 y = 4 + 2 x − 3z
4 + 2 x − 3z
y=
8
4 x − 4 y − 7 z = −6
− 4 y = −6 − 4 x + 7 z
y=
− 6 − 4x + 7z
−4
BLOQUE 8
221
3.
Se igualan por parejas los despejes para formar dos ecuaciones, en este caso se iguala el primer y segundo
despeje y se desarrolla; posteriormente, se igualan el primer y tercer despeje, y de igual forma se desarrolla.
−1 − 6 x + 5z 4 + 2x − 3z
=
4
8
 4 + 2 x − 3z 
 − 1 − 6 x + 5z 
8

 = 8
4
8




2(− 1 − 6 x + 5z ) = 4 + 2x − 3z
− 2 − 12 x + 10z = 4 + 2x − 3z
− 12 x − 2x + 10z + 3z = 4 + 2
− 14 x + 13z = 6
4.
−1 − 6 x + 5z −6 − 4x + 7z
=
4
−4
 − 6 − 4x + 7z 
 − 1 − 6 x + 5z 
4

 = 4
4
−4




− 1 − 6 x + 5z = 6 + 4 x − 7 z
− 6 x − 4 x + 5z + 7 z = 6 + 1
− 10x + 12z = 7
Se forma el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas y se etiquetan las ecuaciones.
− 14 x + 13z = 6 (D)

− 10 x + 12z = 7 (E)
5.
Se despeja de ambas ecuaciones la misma variable, en este caso se despejará la variable z.
−14 x + 13z = 6
−10 x + 12z = 7
13z = 6 + 14 x
6 + 14 x
z=
13
6.
12z = 7 + 10 x
7 + 10 x
z=
12
Se igualan los dos despejes.
6 + 14 x 7 + 10 x
=
13
12
12 (6 + 14 x ) = 13 (7 + 10 x )
72 + 168 x = 91+ 130 x
168 x − 130 x = 91− 72
38 x = 19
19
38
1
x=
2
x=
222
RESUELVE ECUACIONES LINEALES III
7.
Se sustituye el valor del la variable x en cualquiera de los despejes del paso 5, en
este caso elegiremos el primer despeje.
6 + 14 x
13
 1
6 + 14 
2
z=
13
6+7
z=
13
z =1
z=
8.
Se sustituyen los dos valores encontrados en cualquiera de los despejes del
paso 2 para encontrar el valor de la variable y.
−1− 6 x + 5z
4
 1
− 1− 6  + 5(1)
2
y=
4
− 1− 3 + 5
y=
4
1
y=
4
y=
9.
Platón
(427 – 347 A C)
Creía que era imposible estudiar la
Filosofía sin el conocimiento previo
de las matemáticas. Hizo colocar a la
entrada de la Academia, su frase
célebre y signtificativa: “no entres
aquí si no eres geómetra”. Le dio un
orden lógico a la geometría. Se debe
a platón la mayor claridad de las
definiciones, axiomas y postulados.
Por lo que el resultado del sistema es:
x=
1
2
y=
1
4
z =1
Dependiendo del tipo del sistema y de tus habilidades en la utilización de los métodos puedes hacer combinaciones
de ellos, esto es, puedes iniciar con sustitución y terminar con suma o resta, o viceversa; también puedes combinarlos
con los de igualación.
Tú decidirás cuál es el método o combinación más adecuada para resolver los sistemas.
Método numérico de Determinantes.
Éste se aplica de igual forma que en los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, sólo hay un ligero cambio
en la forma de resolver los determinantes de cada una de las variables y el sistema, pero prácticamente es la misma
metodología.
Se tomará el mismo ejemplo que en el anterior para que realices la comparación de métodos.
BLOQUE 8
223
Ejemplo.
 6 x + 4y − 5z = −1

Para resolver el sistema − 2x + 8y + 3z = 4 se seguirán los siguientes pasos:
 4x − 4y − 7 z = −6

1. Se verifica que esté acomodado el sistema, si no es así hay que acomodar las variables en el primer miembro y la
constante en el segundo miembro de las ecuaciones. En este caso ya están acomodadas.
2.
Se expresa la forma matricial del sistema, como se muestra a continuación.
6
4 − 5 − 1


3 4 
− 2 8
 4 − 4 − 7 − 6


3.
Se expresan los determinantes del sistema y las variables.
−1 4 − 5
6
4 −5
8
3
D= −2 8
3 Dx = 4
−6 −4 −7
4 −4 −7
4.
6 −1 − 5
Dy = − 2 4
3
4 −6 −7
Para resolver cada uno de los determinantes, se deben repetir en cada uno de ellos las dos primeras filas y
resolver el determinante como se muestra a continuación.
6
−2
4
8
−5
3
−1
4
4
8
−5
3
D = 4 − 4 − 7 = (− 336 − 40 + 48 ) − (− 160 − 72 + 56 ) = −152
6
4 −5
−2 8
3
− 4 − 7 = (56 + 80 − 72 ) − (240 + 12 − 112 ) = −76
−1 4 − 5
4
8
3
Dx = − 6
6
−1 − 5
3
−2 4
D y = 4 − 6 − 7 = (− 168 − 60 − 12 ) − (− 80 − 108 − 14 ) = −38
6
−1 − 5
3
−2 4
6
4
−1
4
−2 8
D z = 4 − 4 − 6 = (− 288 − 8 + 64 ) − (− 32 − 96 + 48 ) = −152
6
4
−1
4
−2 8
224
6
4 −1
Dz = − 2 8
4
4 −4 −6
RESUELVE ECUACIONES LINEALES III
5.
Se realizan los cocientes para encontrar el valor de las variables.
x=
Dx
1
−76
=
=
D − 152 2
y=
z=
6.
Dy
D
=
1
− 38
=
− 152 4
Dz −152
=
=1
D − 152
Por lo que el resultado del sistema es:
1
1
z =1
x=
y=
2
4
Como te habrás dado cuenta, todos los métodos resultaron con la misma solución, cual debe de ser, tu elegirás el
más conveniente para ti. Por lo pronto en la siguiente actividad se te proponen varios sistemas para que los
practiques.
Actividad: 2
Resuelve los siguientes sistemas 3 x 3, utilizando cualquiera de los métodos
algebraicos. Se te recomienda que varíes los métodos para que los practiques.
1.
 x + 3 y − 2z = 7

3x + 5y + z = −4
− 2 x − 6 y − z = 1

BLOQUE 8
225
Actividad: 2 (continuación)
2.
3.
226
 2x + 5y − z = 1

− 3x − 4y + z = −10
4x + 7 y + 2z = −5

 2x − 6 y + z = 3

− 3x + 7 y + 9z = −9
− 4 x + 8 y + 5 z = 9

RESUELVE ECUACIONES LINEALES III
Actividad: 2 (continuación)
4.
4x − 2y + z = −4

 x + 3 y − 2z = 7
 10x − y + z = 12

5.
 3 x + 2 y − 2z = 1

 2 x − y − 10z = −5
 x + 4 y + 8z = 1

BLOQUE 8
227
Actividad: 2 (continuación)
228
6.
 3x + 3y + z = 3
5


1
2x + 10y + 4z = 3

 6 x − 5y − z = 12
7.
− 3 x − 4 y + z = 0

6 x + 2z = 0

3x − 4y + 3z = 0

RESUELVE ECUACIONES LINEALES III
Actividad: 2 (continuación)
8.
10x + 9 y − 10z = 0

 8 x − 6 y + 5z = −7
6 x + 3 y + 20z = −6

Evaluación
Actividad: 2
Conceptual
Comprende los métodos para
resolver sistemas de tres
ecuaciones con tres
incógnitas.
Autoevaluación
Producto: Ejercicios.
Puntaje:
Saberes
Procedimental
Utiliza los métodos de solución
algebraicos y numéricos para resolver un
sistema de 3 x 3.
Actitudinal
Aprecia la simplicidad de los
métodos de solución para
resolver sistemas de 3 x 3.
C
MC
NC
Calificación otorgada por el
docente
BLOQUE 8
229
Cierre
Actividad: 3
En equipo, plantea el sistema que representa a cada uno de los siguientes
problemas y resuélvelos por alguno de los métodos de solución.
230
1.
Al comprar 1 Kg. de plátanos, 1 Kg. de papas y 1 litro de aceite pagué $47. El aceite cuesta el
cuádruple que el kilo de papas. El kilo de plátanos y el kilo de papas juntos, cuestan la mitad que el
litro de aceite más $5. ¿Cuál es el costo de cada artículo?
2.
La suma de tres números es 37. El menor disminuido en 1 equivale a un tercio de la suma del
mayor y el mediano; la diferencia entre el mediano y el menor equivale al mayor disminuido en 13.
Encontrar los números.
RESUELVE ECUACIONES LINEALES III
Actividad: 3 (continuación)
3.
Entre Álvaro, Javier y Carmen tienen 140 pesos. Carmen tiene la mitad de lo que tiene Álvaro,
y Álvaro tiene 10 pesos más que Javier ¿Cuánto tiene cada uno?
4.
Tony, Ana y Sebastián fueron a comer pizza. Entre Tony y Sebastián comieron el doble que Ana. Ana
comió el doble que Sebastián. Entre los tres se terminaron una pizza. ¿Qué porción de pizza comió
cada uno?
BLOQUE 8
231
Actividad: 3 (continuación)
5.
6.
232
Encontrar tres números tales que la suma del primero y el segundo excede en 18 al tercer
número; la suma del primero y el tercero excede en 78 al segundo, y la suma del segundo y
el tercero excede en 102 al primero.
Calcula el volumen del prisma rectangular si: 5 veces el largo más 2 veces el ancho menos 3 veces la
altura es igual a 8 cm. El doble de la altura, más el largo, menos el ancho es igual a 13 cm; 3 veces el
ancho, menos 2 veces la altura más el doble del largo es igual a 5 cm.
RESUELVE ECUACIONES LINEALES III
Actividad: 3 (continuación)
7.
Si Adrián le da un peso a Carlos, ambos tiene lo mismo; si Beatriz tuviera un peso menos,
tendría lo mismo que Carlos, y si Adrián tuviera cinco pesos más, tendría tanto como el
doble de lo que tiene Carlos. ¿Cuánto tiene cada uno?
8.
Alicia acumuló 255 puntos en tres exámenes de Química. La suma de las calificaciones del primer y
segundo examen exceden al tercero en 55, y la calificación del tercer examen excede a la del primero
en 20, ¿qué calificación obtuvo en cada examen?
BLOQUE 8
233
Actividad: 3 (continuación)
9. Si al doble de la edad de Marco se suma la edad de José, se obtiene la edad de Jorge
aumentada en 32 años. Si al tercio de la edad de José se suma el doble de la de Jorge,
se obtiene la de Marco aumentada en 9 años, y el tercio de la suma de las edades de
Marco y José es un año menos que la edad de Jorge. Encuentra las edades de cada
uno de ellos.
10. Jaime le dijo a Mario, -Se me cayó mi agenda al agua y sólo puedo leer las primeras cifras de tu
número telefónico, que son 6728; las últimas se han borrado-. Mario, a quien le gustan mucho las
matemáticas, le respondió, -Te falta un número de tres cifras; para encontrarlo, la cifra de las unidades
menos la de las decenas más la de las centenas es igual a 3. El triple de la cifra de las unidades más
la de las decenas es igual a la de las centenas menos 1. La cifra de las decenas menos la de las
centenas más cuatro veces la de las unidades es igual a 2. Resuelve el sistema y encontrarás mi
número-.
234
RESUELVE ECUACIONES LINEALES III
Evaluación
Actividad: 3
Conceptual
Ubica e interpreta situaciones
diversas utilizando sistemas 3 x
3.
Producto: Problemas de aplicación.
Saberes
Procedimental
Aplica los métodos de solución para
resolver sistemas 3 x 3.
Puntaje:
Actitudinal
Aprecia la diversidad y
efectividad de los métodos de
resolución de sistemas de
ecuaciones 3 x 3.
Asume una actitud de apertura
que favorece la solución de los
ejercicios.
Reconoce sus errores en los
métodos algebraicos y busca
solucionarlos.
Coevaluación
C
MC
NC
Calificación otorgada por el
docente
BLOQUE 8
235
236
RESUELVE ECUACIONES LINEALES III
Resuelve ecuaciones cuadráticas I
Unidades de competencia:
Construye e interpreta modelos aritméticos, algebraicos y gráficos, aplicando las
propiedades de los números reales y expresiones aritméticas y algebraicas, relacionando
magnitudes constantes y variables, y empleando las literales para la representación y
resolución de situaciones y/o problemas aritméticos y algebraicos concernientes a su vida
cotidiana y escolar, que le ayudan a explicar y describir su realidad.
Identifica las características presentes en tablas, gráficas, mapas, diagramas o textos,
provenientes de situaciones cotidianas y los traduce a un lenguaje aritmético y/o algebraico.
Atributos a desarrollar en el bloque:
4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o
gráficas.
5.1 Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada
uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.
5.4 Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez.
5.6 Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar
información.
6.1 Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina
entre ellas de acuerdo a su relevancia y confiabilidad.
7.1 Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos.
8.1 Propone maneras de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo,
definiendo un curso de acción con pasos específicos.
8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera
reflexiva.
8.3. Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con
los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.
Tiempo asignado: 10 horas
Secuencia didáctica 1.
Ecuaciones de segundo grado con una incógnita.
Inicio
Actividad: 1
I. Analiza y responde las siguientes preguntas.
1.
En la siguiente figura, ¿cuál es el valor de x, si con los datos se obtiene un área que mide
24cm2?
x
x +5
2.
¿Qué proceso utilizaste para resolver el problema anterior?
3.
En la siguiente figura, ¿cuánto vale x, si el área mide 40 cm2?
x+2
9 x +9
4.
Compara los dos problemas anteriores y explica qué dificultades encontraste para poder
resolverlos
II. Observa el ejemplo para que completes la siguiente tabla.
Ecuación
2
x − 8x + 12 = 0
x 2 − 16 = 0
x 2 + 7x = 0
x 2 − 10x + 25 = 0
x 2 + 2x − 3 = 0
2x 2 + 7 x − 4 = 0
238
RESUELVE ECUACIONES CUADRÁTICAS I
Factorización
(x − 6 )(x − 2) = 0
Solución
x=6 ó x=2
Evaluación
Actividad: 1
Producto: Complementación de la tabla.
Saberes
Procedimental
Obtiene la solución de los factores que
componen a una ecuación cuadrática.
Conceptual
Identifica la solución de una
ecuación cuadrática
expresada en factores.
C
Autoevaluación
MC
NC
Puntaje:
Actitudinal
Aprecia los conocimientos
previos para identificar la
solución de ecuaciones
cuadráticas.
Calificación otorgada por el
docente
Desarrollo
Las ecuaciones de segundo grado con una incógnita también son conocidas como ecuaciones cuadráticas, y su
forma general es:
ax 2 + bx + c = 0
con a ≠ 0
Sus componentes son:
ax 2
Término cuadrático
bx
Término lineal
c
Término independiente
Como te habrás dado cuenta en la tabla de la primera actividad, el término lineal puede excluirse, así como el término
independiente, pero como su condición lo dice, no se puede prescindir del término cuadrático.
La clasificación de las ecuaciones cuadráticas depende de los términos que aparezcan en ellas.
Se les llama completas cuando poseen todos los términos, e incompletas cuando carecen de alguno. Si no tiene el
término lineal se denominan puras, y si no aparece el término independiente se conocen como mixtas. En el siguiente
cuadro sinóptico visualizarás su estructura.
Completas: ax 2 + bx + c = 0
Clasificación de las
ecuaciones cuadráticas
Puras: ax 2 + c = 0
Incompletas
Mixtas: ax 2 + bx = 0
BLOQUE 9
239
Actividad: 2
Transforma las siguientes ecuaciones quitando los paréntesis y simplificando
términos semejantes, para que las clasifiques en completas o incompletas (puras
o mixtas).
Ecuación original
Ecuación modificada
Clasificación
(x + 5)(x − 5) = 11
(n − 6 )(n − 2) = −9n + 32
(x − 2)(x + 3) = x + 19
x+4 =
2(x − 8 )
x−4
(x − 7 )2 + (x + 1)2 = 7(x − 1)2 + 43
2 y(y − 5 ) + y(y + 2 ) = 35
a−3
a −1
=
2a − 3 a − 2
Evaluación
Actividad: 2
Conceptual
Identifica ecuaciones
completas e incompletas de
segundo grado de una
variable.
Producto: Complementación de la tabla.
Saberes
Procedimental
Distingue las ecuaciones completas e
incompletas de segundo grado con una
variable.
Autoevaluación
240
RESUELVE ECUACIONES CUADRÁTICAS I
C
MC
NC
Puntaje:
Actitudinal
Aprecia los conocimientos de
Álgebra que le facilitan
realizar la actividad con
eficiencia.
Calificación otorgada por el
docente
Pareciera que las ecuaciones que desarrollaste en la actividad anterior no tienen sentido
práctico, a continuación se te presentarán algunos ejemplos aplicados, en donde la
ecuación que los modela es muy parecida a alguna de ellas. Los siguientes ejemplos son
ejercicios del libro Álgebra de Baldor.
1.
La suma de dos números es 9 y la suma de sus cuadrados es 53. Hallar los números.
x : Primer número.
9 − x : Segundo número.
2.
x 2 + (9 − x ) = 53
2
Un número positivo es los 3 de otro y su producto es 2160. Hallar los números.
5
y : Número mayor.
3
y : Número menor.
5
3.
Antonio tiene 3 años más que Jaime y el cuadrado de la edad de Antonio, aumentado en
el cuadrado de la edad de Jaime, equivale a 317 años. Hallar ambas edades.
z : Edad de A.
z − 3 : Edad de B.
4.
2
(3a )2 − a 2 = 1800
La longitud de una sala excede a su ancho en 4 m. Si cada dimensión se aumentara en
4 m, el área sería el doble. Hallar las dimensiones de la sala.
x : Longitud de la sala.
x − 4 : Ancho de la sala.
6.
z 2 + (z − 3) = 317
Un número es el triple de otro y la diferencia de sus cuadrados es 1800. Hallar los
números.
a : Número menor.
3a : Número mayor.
5.
3 
y y  = 2160
5 
(x + 4)(x ) = 2[(x )(x − 4)]
Un comerciante compró cierto número de sacos de azúcar por 1000 bolívares. Si hubiera
comprado 10 sacos más por el mismo dinero, cada saco le habría costado 5 bolívares
menos. ¿Cuántos sacos compró y cuánto le costó cada uno?
x : Número de sacos que compró.
x + 10 : Número de sacos que hubiera comprado.
1000
: Costo de cada saco que compró.
x
1000
− 5 : Costo de cada saco si hubiera comprado 10 más.
x
(x + 10) 1000 − 5  = 1000

x

BLOQUE 9
241
7.
Un hombre compró cierto número de naranjas por $1.50. Se comió 5 naranjas y
vendiendo las restantes a 1 cvo. más de lo que le costó cada una, recuperó lo que
había gastado. ¿Cuántas naranjas compró y a qué precio?
x : Número de naranjas.
x − 5 : Número de naranjas que le quedaron.
150
: Precio de cada naranja en cvs.
x
150
+ 1: Precio de venta.
x
(x − 5) 150 + 1 = 150

 x
8.
Se han comprado dos piezas de tela que juntas miden 20 m; el metro de cada
pieza costó un número de pesos igual al número de metros de la pieza. Si una
pieza costó 9 veces lo que la otra, ¿Cuál era la longitud de cada pieza?
x : Longitud de la primera pieza.
20 − x : Longitud de la segunda pieza.
x 2 : Costo total de la primera pieza.
(20 − x )2 : Costo total de la segunda pieza.
(20 − x )2 = 9x 2
Para resolver las ecuaciones cuadráticas se requiere aplicar algunos métodos algebraicos, los cuales varían,
dependiendo del tipo de ecuación que se presente.
Métodos algebraicos de resolución de ecuaciones de segundo grado.
La solución de una ecuación cuadrática es el valor de la incógnita que al sustituirla en la ecuación la satisface, es
decir, se cumple la igualdad. Por lo general una ecuación cuadrática tiene dos soluciones, y en ocasiones sólo una,
como se muestra en los siguientes ejemplos.
Ejemplo 1.
La ecuación cuadrática x 2 − 2 x − 35 = 0 tiene dos soluciones, x = 7 ó x = −5 , porque al sustituirlas en la ecuación,
ésta se satisface.
242
x 2 − 2 x − 35 = 0
x 2 − 2 x − 35 = 0
(7 )2 − 2(7 ) − 35 = 0
(− 5)2 − 2(− 5) − 35 = 0
49 − 14 − 35 = 0
0= 0
25 + 10 − 35 = 0
0= 0
RESUELVE ECUACIONES CUADRÁTICAS I
Ejemplo 2.
La ecuación cuadrática x 2 − 6 x + 9 = 0 tiene una solución, x = 3
x 2 − 6x + 9 = 0
(3)2 − 6(3) + 9 = 0
9 − 18 + 9 = 0
0= 0
A las soluciones también se les conoce como raíces de la ecuación.
Para encontrar con exactitud las soluciones de una ecuación cuadrática, primero se estudiarán las raíces o soluciones
de las ecuaciones incompletas por su simplicidad, y posteriormente las raíces de las ecuaciones completas.
Solución de ecuaciones cuadráticas incompletas.
Recordando, las ecuaciones incompletas se dividen en puras y mixtas.
Solución de ecuaciones puras.
Las ecuaciones puras carecen de término lineal, por lo que se puede llevar a cabo el despeje de la ecuación, como se
muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo. Encontrar las raíces de la ecuación x 2 − 16 = 0
Este tipo de ecuaciones se pueden resolver despejando la ecuación, dado que tenemos un sólo término con variable,
por lo que el despeje se lleva a cabo de la siguiente forma.
x 2 − 16 = 0
x 2 = 16
x = ± 16
x = ±4
Las raíces de la ecuación son: x1 = 4 ó x 2 = −4
Éstas también se pueden expresar como conjunto solución: Cs = { 4, − 4 }
El conjunto solución consiste en expresar las soluciones separadas por comas y encerradas entre llaves; no es
necesario guardar orden entre los elementos del conjunto.
A continuación se generalizará el método, partiendo de la forma que tienen las ecuaciones puras en general.
ax 2 + c = 0
ax 2 = −c
x2 = −
c
a
x=± −
c
a
BLOQUE 9
243
Las raíces de la ecuación resultarían:
x1 =
−
c
a
x2 = − −
c
a
El conjunto solución se expresa:
 c
c 
Cs =  − , − − 
a 
 a
Solución de ecuaciones mixtas.
Las ecuaciones mixtas carecen del término independiente, así que la opción de solución es la Factorización por factor
común, como se muestra en el siguiente ejemplo.
Para resolver la ecuación 3 x 2 − 7 x = 0 , se factoriza la variable.
3x 2 − 7 x = 0
x (3 x − 7 ) = 0
Como el resultado de la Factorización es una multiplicación cuyo producto es cero, sólo pueden pasar dos cosas,
que x = 0 ó 3 x − 7 = 0 . Como se observa, ya se tiene la primera solución, y la segunda se despeja de la ecuación
lineal, como se muestra a continuación.
3x − 7 = 0
3x = 7
x=
7
3
ó
x2 =
Las raíces de la ecuación son:
x1 = 0
7
3
7
El conjunto solución es: Cs =  0, 

3
Generalizando el proceso, se toma la ecuación mixta ax 2 + bx = 0 y se lleva a cabo la Factorización.
ax 2 + bx = 0
x (ax + b ) = 0
ax + b = 0
ó
x=0
Las raíces de la ecuación son: x 1 = 0 ó x 2 = −
b
a
b
Y el conjunto solución queda expresado como: Cs =  0, − 

244
RESUELVE ECUACIONES CUADRÁTICAS I
a
ax = −b
b
x=−
a
Actividad: 3
Resuelve las ecuaciones puras y mixtas que identificaste en la actividad 2, utiliza
este espacio para que realices las operaciones.
Evaluación
Actividad: 3
Producto: Ejercicios.
Puntaje:
Conceptual
Comprende los métodos para
resolver ecuaciones
cuadráticas completas.
Saberes
Procedimental
Aplica las técnicas algebraicas de
despeje o extracción de factor común
para resolver las ecuaciones
incompletas.
Actitudinal
Aprecia la utilidad de utilizar
métodos específicos para
resolver ecuaciones
cuadráticas incompletas.
Autoevaluación
C
MC
NC
Calificación otorgada por el
docente
BLOQUE 9
245
A continuación, se elegirán las ecuaciones puras y mixtas de los problemas aplicados 2, 4 y 5, que se plantearon
como ejemplos en el desarrollo de esta secuencia, con el objetivo de desarrollar los métodos y darles solución.
2. Un número positivo es los 3 de otro y su producto es 2160. Hallar los números.
5
y : Número mayor.
3
y : Número menor
5
3 
y y  = 2160
5 
3 2
y = 2160
5
(2160)(5)
y2 =
3
10800
2
y =
.
3
y 2 = 3600
y = ± 3600
y = ± 60
La solución de la ecuación es: y 1 = −60 ó y 2 = −60
El problema aplicado descarta el número negativo, por lo tanto, el número mayor es 60 y el número menor es
36.
4. Un número es el triple de otro y la diferencia de sus cuadrados es 1800. Hallar los números.
a : Número menor.
3a : Número mayor.
(3a )2 − a 2 = 1800
9a 2 − a 2 = 1800
8a 2 = 1800
1800
a2 =
8
2
a = 225
a = ± 225
a = ±15
La solución de la ecuación es: a 1 = 15 ó a 2 = −15
En este caso no se tiene ninguna condición para los números, se toman ambas soluciones para analizarlas y
descubrir la respuesta correcta.
1) Si se toma al número menor como 15 , el mayor sería 45 . Esta afirmación es verdadera.
2) Si se toma al número menor como −15 , el número mayor sería −45 . Esta afirmación es falsa, dado que
−15 es mayor que −45 .
Por lo tanto, los números buscados son 15 y 45 .
246
RESUELVE ECUACIONES CUADRÁTICAS I
5. La longitud de una sala excede a su ancho en 4 m. Si cada dimensión se aumentara en 4 m.
el área sería el doble. Hallar las dimensiones de la sala.
x : Longitud de la sala.
x − 4 : Ancho de la sala.
(x + 4)(x ) = 2[(x )(x − 4)]
x 2 + 4x = 2x 2 − 8x
x 2 + 4x − 2x 2 + 8x = 0
− x 2 + 12x = 0
x (− x + 12) = 0
x=0
ó
− x + 12 = 0
− x = −12
x = 12
Las soluciones de la ecuación son: x 1 = 0 ó x 2 = 12
Como la sala no puede tener longitud cero, se descarta la primera solución, entonces, la longitud de la sala es 12 m y
el ancho 8 m.
Actividad: 4
En equipo, elaboren tres problemas aplicados que se planteen con ecuaciones
cuadráticas puras, y tres problemas con ecuaciones cuadráticas mixtas.
BLOQUE 9
247
Evaluación
Actividad: 4
Conceptual
Ubica e interpreta situaciones
con ecuaciones cuadráticas
incompletas.
Producto: Diseño de problemas.
Puntaje:
Saberes
Procedimental
Diseña aplicaciones de las ecuaciones
cuadráticas incompletas.
Actitudinal
Se compromete con el
equipo para realizar la
actividad.
Escucha con atención las
aportaciones de sus
compañeros.
C
Coevaluación
MC
NC
Calificación otorgada por el
docente
Solución de ecuaciones cuadráticas completas.
Las ecuaciones cuadráticas completas, se pueden resolver por varios métodos que se derivan de la Factorización,
por ello, es muy importante que repases el bloque de Factorización de trinomios.
Los métodos son:
1. Factorización de trinomios.
2. Completar el trinomio cuadrado perfecto.
3. Fórmula general.
A continuación se desarrollarán cada uno de los métodos.
Factorización de trinomios.
Para utilizar este método se requiere que el trinomio sea factorizable, es decir, encontrar los números enteros que
cumplan las condiciones del proceso de Factorización, como por ejemplo:
Ejemplo 1.
Para encontrar la solución de la ecuación x 2 + 16 x + 63 = 0 , se pide encontrar dos números que multiplicados den 63
y sumados 16.
x 2 + 16 x + 63 = 0
(x + 9)(x + 7 ) = 0
Al igual que en el método de solución para ecuaciones mixtas, hay dos posibilidades cuando el producto de dos
números es cero, cualquiera de los factores pueden ser cero, por lo tanto se tiene la siguiente separación:
x+9 = 0
x = −9
Las raíces de la ecuación son: x 1 = −9 ó x 2 = −7
Y el conjunto solución se expresa como: Cs = {− 9, − 7}
248
RESUELVE ECUACIONES CUADRÁTICAS I
ó
x+7 = 0
x = −7
Ejemplo 2.
Resolver la ecuación 14u2 + 23u − 15 = 0
Recuerda que para factorizar esta ecuación debes buscar la colocación exacta de una combinación de números,
primero buscar los posibles números que multiplicados den 14 , y después los posibles números que multiplicados
den −15 , para poder hacer las combinaciones.
14u2 + 23u − 15 = 0
(7u − 15)(2u − 1) = 0
7u + 15 = 0
7u = −15
15
u=−
7
Las raíces de la ecuación son: u1 = −
15
7
ó u2 =
2u − 1 = 0
ó
2u = 1
1
u=
2
1
2
15 1
Y el conjunto solución se expresa como: Cs = − , 
 7 2
Actividad: 5
Resuelve los problemas aplicados 1, 3, 6, 7 y 8 que se plantearon como ejemplos en
el desarrollo de esta secuencia.
BLOQUE 9
249
Evaluación
Actividad: 5
Conceptual
Identifica el método de
Factorización para problemas
aplicados que se modelan
con ecuaciones cuadráticas.
Producto: Problemas de aplicación.
Puntaje:
Saberes
Procedimental
Aplica el método de Factorización para
resolver problemas aplicados de
ecuaciones cuadráticas.
Actitudinal
Demuestra interés para
resolver los problemas
aplicados.
Aprecia la importancia de los
métodos de solución para
solucionar problemas
aplicados.
C
Autoevaluación
MC
NC
Calificación otorgada por el
docente
Completar trinomio cuadrado perfecto.
En la sección anterior se resolvieron ejemplos sencillos de Factorización, pero en ocasiones las ecuaciones son más
complicadas de factorizar, es decir, no es tan sencillo encontrar las combinaciones de números enteros que cumplan
con las condiciones debido a que frecuentemente no son números enteros, pero aún así, se pueden expresar como
factores.
Para resolver este tipo de ecuaciones se utilizará el método de completar trinomio cuadrado perfecto.
Recordando, el trinomio cuadrado perfecto proviene de desarrollar un binomio al cuadrado, como se muestra a
continuación.
(2x − 3) = 4x − 12x + 9
2
2
El cuadrado del primer término, más el doble producto
del primer término por el segundo, más el cuadrado
del segundo término.
Entonces, si se desea hacer el proceso inverso (Factorizar), recuerda que se tienen que verificar las condiciones para
que resulte un binomio al cuadrado, como lo viste en el bloque 4, por ejemplo:
2
Al factorizar 4 y − 20 y + 25 = 0 , primero se verifica si es o no trinomio cuadrado perfecto.
4 y 2 − 20y + 25 = 0
± 2y
±5
−20y
Si
cumple
con
la
condición de ser el doble
producto, y además, las
raíces se deben elegir de
signo contrario, para que
el producto sea negativo.
La ecuación anterior quedaría expresada como:
4 y 2 − 20 y + 25 = 0
(2y − 5)2 = 0
250
RESUELVE ECUACIONES CUADRÁTICAS I
Para resolverla se despeja la variable quitando primero el cuadrado, eso se logra al aplicar raíz cuadrada en ambos
miembros de la ecuación, obteniéndose así:
(2y − 5)2 = 0
2y − 5 = ± 0
2y − 5 = 0
2y = 5
5
y=
2
El ejemplo anterior sirvió para visualizar cómo se puede factorizar una ecuación que es un trinomio cuadrado perfecto,
pero cuando no lo es, es más complicado de factorizar por los métodos anteriores; en estos casos, se recomienda
completar el trinomio cuadrado perfecto, esto es, forzar al trinomio para que cumpla con ser cuadrado perfecto.
A continuación se mostrarán ejemplos en los cuales la ecuación no cumple con ser
trinomio cuadrado perfecto y hay que completarlo.
Ejemplo 1.
Resolver la ecuación 4 x 2 − 24 x + 11 = 0
Como se observa, el término independiente no tiene raíz cuadrada exacta, por lo que
no cumpliría con ser trinomio cuadrado perfecto.
Para hacerlo más sencillo, se divide la ecuación entre el coeficiente del término
cuadrático.
4 x 2 − 24 x + 11 0
=
4
4
11
x 2 − 6x + = 0
4
Se envía el nuevo término independiente al segundo miembro de la ecuación.
Nicolás Copérnico
(1473 – 1543)
“La tierra es el centro del Universo; el
Sol, la Luna y los cinco planteas son
satélites que giran diariamente en torno
a nuestra majestuosa tierra en un
círculo perfecto. Más allá se encuentran
las estrellas fijas, que todo lo rodean.
Éstas son las verdades fundamentales
que escribió el gran Claudio Tolomeo
hace más de mil quinientos años y que
son evidentes para los sentidos”.
11
4
Aplicando la propiedad aditiva, se suma a ambos miembros de la ecuación un término
que ayude a que el primer miembro sea un trinomio cuadrado perfecto. Para ello se
suma la mitad del término lineal elevado al cuadrado a los dos lados de la igualdad,
como se muestra a continuación.
x 2 − 6x = −
2
2
11  6 
 6
x 2 − 6x +  −  = − +  − 
4  2
 2
11
x 2 − 6x + 9 = − + 9
4
25
x 2 − 6x + 9 =
4
El primer miembro de la ecuación ya es un trinomio cuadrado perfecto, debido a que cumple con que el doble
producto de las raíces del término cuadrático e independiente es igual al término lineal, por lo que se puede expresar
el binomio al cuadrado.
(x − 3)2 = 25
4
BLOQUE 9
251
Una vez expresado el binomio al cuadrado, se despeja para encontrar la solución.
(x − 3)2 = 25
4
x−3 = ±
25
4
5
2
5
x = 3±
2
x−3 = ±
Las soluciones de la ecuación son:
x1 = 3 +
x1 =
5
2
x2 = 3 −
11
2
x2 =
5
2
1
2
11 1 
, 
 2 2
El conjunto solución es: Cs = 

Con el siguiente ejemplo se presentan, de forma más sintetizada, los pasos para completar el trinomio cuadrado
perfecto, con el fin de observar mejor el proceso.
Ejemplo 2.
Para resolver la ecuación 3 x 2 − 5 x − 8 = 0 .
5
8
x− =0
3
3
5
8
2
x − x=
3
3
x2 −
2
2
2
2
5
5
 
 
5
8
2
3
x − x+  = + 3 
2
3
3 2
 
 
 
 
5
8 5
5
x − x+  = + 
3
3 6
6
2
x2 −
5
25 8 25
x+
= +
3
36 3 36
2
5
121

x −  =
6
36

5
121
=±
6
36
5
11
x− =±
6
6
5 11
x= ±
6 6
x−
252
RESUELVE ECUACIONES CUADRÁTICAS I
Las soluciones de la ecuación son:
5 11
+
6 6
16
x1 =
6
8
x1 =
3
x1 =
8
3
5 11
−
6 6
−6
x2 =
6
x 2 = −1
x2 =
El conjunto solución es: Cs =  , − 1

Para comprobar la solución se sustituyen los valores en la ecuación y se verifica que se cumple la igualdad, otra forma
de comprobación es desarrollar los factores que se forman con las soluciones, como se muestra a continuación:
8

 x − (x + 1) = 0
3

8
8
x2 + x − x − = 0
3
3
8
8


3  x 2 + x − x −  = 3(0 )
3
3

3x 2 + 3x − 8x − 8 = 0
3x 2 − 5x − 8 = 0
Actividad: 6
Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas completando trinomio cuadrado
perfecto.
1.
x 2 − 3x − 6 = 0
2.
3x 2 + 2x − 9 = 0
3.
− 2x 2 − 3x + 2 = 0
4.
3x 2 − 5x − 7 = 0
BLOQUE 9
253
Evaluación
Actividad: 6
Conceptual
Comprende el método de
completar trinomio cuadrado
perfecto para solucionar
ecuaciones cuadráticas
completas.
Producto: Ejercicios.
Puntaje:
Saberes
Procedimental
Utiliza el método de completar trinomio
cuadrado perfecto para solucionar
ecuaciones cuadráticas completas.
Actitudinal
Aprecia la utilidad de utilizar
el método de completar
trinomio cuadrado perfecto
para resolver ecuaciones
cuadráticas.
Realiza con empeño la
actividad.
Autoevaluación
C
MC
NC
Calificación otorgada por el
docente
Fórmula general.
Este método se deriva del anterior, debido a que se completa el trinomio cuadrado perfecto con la ecuación general
de segundo grado, obteniéndose así la fórmula general, como se muestra a continuación.
ax 2 + bx + c = 0
ax 2 + bx + c 0
=
a
a
c
b
x2 + x + = 0
a
a
c
b
x2 + x = −
a
a
2
b
b
 
 
b
c
2
x + x+ a  =− + a 
2
a
a 2
 
 
 
 
2
2
c  b 
b
 b 
x + x+  =− + 
a  2a 
a
 2a 
2
2
2
b 
c b2

x +
 =− + 2
2a 
a 4a

2
b 
− 4ac + b

x +
 =
2a 
4a 2

x+
b
b2 − 4ac
=±
2a
4a 2
x+
b
b2 − 4ac
=±
2a
2a
x=−
x=
254
RESUELVE ECUACIONES CUADRÁTICAS I
2
b
b2 − 4ac
±
2a
2a
− b ± b2 − 4ac
2a
Ésta última es la llamada fórmula general, en la que sólo es necesario sustituir los coeficientes de la ecuación y se
obtienen las soluciones utilizando aritmética.
x=
− b ± b 2 − 4ac
2a
Ejemplo 1.
Resolver la ecuación 4 x 2 − 20 x + 25 = 0 utilizando la fórmula general.
Primero se identifican los coeficientes de los términos de la ecuación y después se sustituyen en la fórmula.
a=4
b = −20
c = 25
x=
x=
x=
− b ± b 2 − 4ac
2a
− (− 20 ) ±
(− 20)2 − 4(4)(25)
2(4 )
20 ± 400 − 400
8
20 ± 0
8
20
x=
8
5
x=
2
x=
La solución de la ecuación es x = 5
2
Ejemplo 2.
Resolver la ecuación 3 y 2 − 5 y − 8 = 0
a=3
b = −5
c = −8
y=
y=
y=
− b ± b 2 − 4ac
2a
− (− 5 ) ±
(− 5)2 − 4(3)(− 8)
2(3 )
5 ± 25 + 96
6
5 ± 121
6
5 ± 11
y=
6
y=
BLOQUE 9
255
Las soluciones o raíces de la ecuación son:
y1 =
y1 =
y1 =
5 + 11
6
16
6
8
y2 =
ó
y2 =
5 − 11
6
−6
6
y 2 = −1
3
Ejemplo 3.
Resolver la ecuación 2 x 2 + 7 x + 4 = 0
a=2
b=7
c=4
x=
x=
− b ± b 2 − 4ac
2a
−7 ±
(7 )2 − 4(2)(4)
2(2 )
x=
− 7 ± 49 − 32
4
x=
− 7 ± 17
4
− 7 + 17
4
ó
Las soluciones o raíces de la ecuación son:
x1 =
x2 =
− 7 − 17
4
Como habrás observado en los ejemplos anteriores, éstos tienen una o dos soluciones.
El tipo de solución de una ecuación cuadrática depende del término b 2 − 4ac , llamado discriminante.
Analizando el discriminante, se tiene las siguientes opciones de solución.
1. Si b2 − 4ac > 0 se obtienen dos raíces reales diferentes.
2. Si b2 − 4ac = 0 se obtienen dos raíces reales iguales (una solución).
3. Si b2 − 4ac < 0 se obtienen dos raíces imaginarias diferentes.
Pero, ¿que son las raíces reales e imaginarias?
Las raíces reales son números que pertenecen al conjunto de los números reales, éstos
se estudiaron en el bloque 2.
Ejemplo de ellos son:
3, − 5, 1 , 0, 3 , 11
2
256
RESUELVE ECUACIONES CUADRÁTICAS I
¿Sabías que…
En 1777,
Leonhard Euler
definió a − 1 =i
(por imaginario)
Las raíces imaginarias son números que no son reales. Éstos provienen de raíces pares de números negativos. Como
por ejemplo:
− 1, − 4, 4 − 8 , 6 − 32
Un número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo.
i 2= –1
Los números complejos están formados por una parte real y una parte imaginaria, y tienen
la siguiente forma.
a+bi
Donde “a” es la parte real, y bi es la parte imaginaria, por lo tanto, las ecuaciones con
discriminante negativo poseerán parte imaginaria.
Leonard Euler
(1777 D C)
Matemático suizo simboliza la
raíz cuadrada de -1 con la letra
i de imaginario.
Ejemplo 4.
Resolver la ecuación x 2 − 4x + 20 = 0
a =1
b = −4
c = 20
x=
x=
x=
− b ± b 2 − 4ac
2a
− (− 4 ) ±
(− 4)2 − 4(1)(20)
2(1)
4 ± 16 − 80
2
4 ± − 64
2
4 ± 8i
x=
2
x = 2 ± 4i
x=
Las soluciones de la ecuación son dos números complejos.
x1 = 2 + 4 i
ó
x1 = 2 − 4 i
BLOQUE 9
257
Actividad: 7
Sin resolver las ecuaciones, determina la naturaleza de las raíces mediante el
discriminante de éstas.
1.
x 2 − 5 x − 36 = 0
2.
− x 2 + 5x = 7
3.
x 2 − 3x − 8 = 0
4.
3x 2 − 2x + 5 = 0
5.
6 x 2 + 10 = 17 x
6.
5x 2 − 11x − 12 = 0
7.
2x 2 − 7 x − 5 = 0
8.
3x 2 − 5x + 1 = 0
9.
5x 2 = −5x + 1
10. − 4 x 2 − 3 = 8 x
Evaluación
Actividad: 7
Conceptual
Identifica raíces reales y
complejas de ecuaciones
cuadráticas.
Producto: Ejercicios.
Autoevaluación
258
Puntaje:
Saberes
Procedimental
Clasifica la naturaleza de las soluciones
de ecuaciones cuadráticas.
RESUELVE ECUACIONES CUADRÁTICAS I
C
MC
NC
Actitudinal
Aprecia la utilidad de
conocer con anticipación la
naturaleza de las soluciones
de una ecuación cuadrática.
Calificación otorgada por el
docente
Actividad: 8
En equipo, resuelvan las siguientes ecuaciones utilizando la fórmula general y
verifiquen los resultados.
1.
2x 2 + 6 = 24
2.
x 2 + 6x + 8 = 0
3.
18x 2 + 3 x = 0
4.
y 2 − 12 y + 32 = 0
5.
3x 2 + 147 = 0
6.
40m2 − 20m + 16 = 0
7.
k 2 + 10k − 20 = 0
8.
t 2 − t − 30 = 0
9.
25 x 2 + 60 x + 36 = 0
10. x 2 +
1
x − 18 = 0
2
Evaluación
Actividad: 8
Conceptual
Comprende el método de
solución de la fórmula general
para resolver ecuaciones
cuadráticas.
Autoevaluación
Producto: Ejercicios.
Puntaje:
Saberes
Procedimental
Aplica la fórmula general para resolver
ecuaciones cuadráticas.
C
MC
NC
Actitudinal
Comenta la facilidad de la
fórmula general para resolver
cualquier tipo de ecuaciones
cuadráticas.
Calificación otorgada por el
docente
BLOQUE 9
259
Actividad: 9
Completa la tabla expresando los factores de la ecuación, y coloca en el
paréntesis el número que corresponda a la ecuación correcta.
Raíces de la ecuación
260
Factores
(x + 4)(x − 9) = 0
Ecuación
(
) x2 − 7x = 0
2 x = −1
, 2
3
(
) 25x 2 + 40x + 16 = 0
4
5
(
) 9x 2 − 30x + 29 = 0
4.
x1 = 0 , x 2 = 7
(
) 9x 2 − 16 = 0
5.
x1 = 1+ 2i , x 2 = 1− 2 i
(
) 3x 2 + x − 2 = 0
6.
x1 = 1+ 3 , x 2 = 1− 3
(
) 4x 2 − x − 18 = 0
7.
x1 =
5 2
5 2
+ i , x2 = − i
3 3
3 3
( 1 ) x 2 − 5x − 36 = 0
8.
x1 =
4
4
+ 2i , x 2 = − 2i
3
3
(
) 2x 2 + 3x = 0
9.
x1 =
9
, x 2 = −2
4
(
) x 2 − 2x − 2 = 0
10.
x1 = −
4
, x2 = 4
3
3
(
) x 2 − 2x + 5 = 0
11.
x1 = 0 , x 2 = −
3
2
(
) 9x 2 − 24x + 52 = 0
12.
x1 = 6 , x 2 = 7
(
) x 2 − 13x + 42 = 0
1.
x1 = −4 , x 2 = 9
2.
x1 =
3.
x=−
RESUELVE ECUACIONES CUADRÁTICAS I
Evaluación
Actividad: 9
Conceptual
Identifica raíces reales y
complejas y escribe
ecuaciones a partir de éstas.
Autoevaluación
Producto: Completar la tabla.
Puntaje sugerido:
Saberes
Procedimental
Construye ecuaciones a partir de la
solución de éstas.
Actitudinal
Se interesa por realizar la
actividad de forma efectiva.
C
MC
NC
Reconoce sus errores en los
métodos algebraicos y busca
solucionarlos.
Calificación otorgada por el
docente
Sitios Web recomendados:
Entra a este sitio para que compruebes los resultados que
obtuviste al solucionar las ecuaciones cuadráticas.
http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/ecuacionescuadraticas-solucionador.html
Cierre
Actividad: 10
En equipo, escriban la ecuación cuadrática que describe cada uno de los siguientes
problemas1 y resuélvanlos por alguno de los métodos algebraicos.
1
1.
La suma de dos números es 28 y la de sus cuadrados es 16 menos que el triple del
producto de los números. Encuentra los números.
2.
Una excursión geológica costó $120 dólares. Si hubieran ido 3 estudiantes más, el costo por estudiante
habría sido de $2 menos. ¿Cuántos estudiantes fueron a la excursión?
Los ejercicios 1-7, fueron tomados del libro Algebra Elemental de Gobran.
BLOQUE 9
261
Actividad: 10 (continuación)
3. Un hombre pintó una casa por $800 dólares. El trabajo le llevó 20 horas menos de lo
que se suponía y entonces ganó $2 más por hora de lo previsto. ¿En cuánto tiempo se
suponía que pintaría la casa?
262
4.
Un hombre desea construir una caja metálica abierta. La caja debe tener una base cuadrada, los
lados de 9 pulgadas de altura y una capacidad de 5184 pulgadas cúbicas. Determine el tamaño de la
pieza cuadrada de metal que debe comprar para construir la caja.
5.
Un equipo de remeros puede recorrer 12 millas río abajo y regresar en un total de 5 horas. Si la
velocidad de la corriente es de 1 milla por hora, encuentre la velocidad a la que puede remar el
equipo en aguas tranquilas.
RESUELVE ECUACIONES CUADRÁTICAS I
Actividad: 10 (continuación)
6.
El porcentaje de utilidad de un traje fue igual al precio de costo en dólares. Si el traje se
vendió a $144, ¿Cuál fue el precio de costo del traje?
7.
Encuentra las dimensiones de un terreno rectangular que tiene un perímetro de 858m y un área de
45200m2.
8.
Se quiere cercar un terreno rectangular de 5376m2. ¿Cuántos metros de cerca de alambre se
necesitan para cercarlo, si su largo es el doble del ancho?
BLOQUE 9
263
Actividad: 10 (continuación)
9.
Determina las medidas de un rectángulo que en la base mide 4cm más que el ancho
y su área es de 192m2.
10. Cuando Fátima se casó con Raúl, él tenía 6 años más que ella, si el cuadrado de la edad de Raúl
aumentado al cuadrado de la edad de Fátima equivale a 1476. ¿Qué edad tenían cuando se
casaron?
Evaluación
Actividad: 10
Producto: Problemas de aplicación.
Conceptual
Ubica e interpreta situaciones
con ecuaciones cuadráticas.
Saberes
Procedimental
Representa y soluciona situaciones con
ecuaciones cuadráticas.
Puntaje:
Actitudinal
Aprecia la aplicabilidad de las
ecuaciones cuadráticas para
representar y resolver
diversas situaciones.
Reconoce la importancia de
colaborar en equipo para la
solucionar problemas
prácticos.
Autoevaluación
264
RESUELVE ECUACIONES CUADRÁTICAS I
C
MC
NC
Calificación otorgada por el
docente
Secuencia didáctica 2.
Funciones cuadráticas.
Inicio
Actividad: 1
I.
Completa la tabla de valores para que grafiques la función y = 2(x − 1) − 3
2
y
x
-2
-1
0
1
2
3
y
x
II.
Analiza las funciones y sus gráficas, para que contestes las preguntas correspondientes.
y = (x − 2) + 4
y = − (x − 2) + 4
2
2
y
y
9
9
8
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
-3
-2
-1
-1
1
x
1
2
3
4
5
6
7
-3
-2
-1
-1
-2
-2
-3
-3
x
1
2
3
4
5
6
7
BLOQUE 9
265
Actividad: 1 (continuación)
1.
¿Qué diferencia encuentras entre las dos funciones presentadas?
2.
De acuerdo a esa diferencia, ¿qué sucede con sus gráficas?
3.
¿Cuál es el punto más bajo de la gráfica de la izquierda?, ¿cuál es el punto más alto de la gráfica de la
derecha?
1
2
2
2
y = (x + 3) − 4
y = 4(x + 3) − 4
y = (x + 3 ) − 4
2
y
y
6
6
5
5
5
4
4
4
3
3
3
2
2
1
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
y
6
-1
1
2
3
2
1
x
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-1
1
x
1
2
3
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
-1
-2
-2
-2
-3
-3
-3
-4
-4
-4
-5
-5
-5
-6
-6
-6
x
1
2
3
4.
¿Qué diferencia encuentras entre las tres funciones presentadas?
5.
De acuerdo a esa diferencia, ¿qué sucede con sus gráficas?
6.
¿Cuál es el punto más bajo de las tres gráficas?, ¿cómo se relaciona éste con las funciones?
7.
Si te ubicas en el punto más bajo de cada una de las funciones y recorres una unidad a la derecha y a la
izquierda:
a)
¿Cuántas unidades recorres hacia arriba en la primera gráfica, hasta encontrar un punto de la función?
b) ¿Cuántas unidades recorres hacia arriba en la segunda gráfica, hasta encontrar un punto de la función?
c) ¿Cuántas unidades recorres hacia arriba en la tercera gráfica, hasta encontrar un punto de la función?
8.
266
¿Cómo relacionas los resultados de los incisos anteriores con las funciones?
RESUELVE ECUACIONES CUADRÁTICAS I
Evaluación
Producto: Complementación de la tabla
y cuestionario.
Actividad 1:
Conceptual
Identifica el efecto que
tienen los parámetros en el
ancho y concavidad de la
parábola.
Autoevaluación
Saberes
Procedimental
Distingue el comportamiento de las
gráficas a través de los parámetros.
C
MC
NC
Puntaje:
Actitudinal
Aprecia a los parámetros
como instrumento de análisis
visual del comportamiento de
funciones cuadráticas.
Calificación otorgada por el
docente
Desarrollo
En el bloque 5 se definió el concepto de función, que en otras palabras, es la relación que existe entre los elementos
de dos conjuntos, de tal manera que a cada elemento del primer conjunto se asocia o corresponde un elemento del
segundo conjunto; si la relación se establece mediante una expresión de segundo grado, entonces se le llama función
cuadrática, como se muestra a continuación.
f( x ) = ax 2 + bx + c ó
y = ax 2 + bx + c
con a, b, c ∈ ℜ
a≠0
Una función cuadrática describe en su gráfica lo que se conoce como Parábola, a
continuación se abordarán los tipos de graficación para que visualices la forma de la
parábola.
Gráfica de la función cuadrática.
Existen varios métodos para graficar y visualizar el comportamiento de una función
cuadrática, el método más conocido es la tabulación, es decir, la obtención de una
tabla de valores correspondiente a la función. También está la forma paramétrica,
que se basa en valores específicos que posee la función y por último, la intersección
con los ejes, la cual es muy limitada cuando la función no se intersecta lo suficiente
como para realizar la gráfica.
Graficación por tabulación.
Ejemplo 1.
2
Graficar la función y = x + 4 x + 3
Para trazar la gráfica de esta función, se encontrarán algunos puntos que servirán de
guía para dibujarla, éstos se encontrarán sustituyendo valores en la variable
independiente (x), para encontrar los correspondientes valores de la variable
dependiente (y). Anteriormente se dijo que la variable independiente recibía su
nombre porque los valores asignados son decisión de quien va a graficarla.
Apolonio de Perga
(262 – 190 A C)
Fue conocido como “El gran
geómetra”, su famoso libro
“Secciones Cónicas”,
introdujo los términos
Parábola, Elipse e Hipérbola.
Para encontrar los correspondientes valores de “y”, se sustituirán cada uno de los valores asignados a la variable
independiente en la función, obteniéndose así, los puntos de guía para trazar la gráfica, como se muestra a
continuación.
BLOQUE 9
267
y
9
8
x
y
8
3
0
–1
0
3
8
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
7
6
5
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
x
1
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
Utiliza tu calculadora para verificar que los datos de la tabla son correctos.
9
La gráfica queda de la siguiente forma:
y
8
7
6
5
-
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
-1
x
1
2
3
4
5
-2
-3
-4
Ejemplo 2.
2
Para graficar la función y = − x + 4 x , se toman los siguientes valores y la gráfica queda de la siguiente forma.
7
y
6
x
–1
0
1
2
3
4
5
y
–5
0
3
4
3
0
–5
5
4
3
2
1
-3
-2
-1
-1
-2
-3
-4
-5
268
RESUELVE ECUACIONES CUADRÁTICAS I
x
1
2
3
4
5
6
7
En la actividad 1 se plantearon algunas preguntas que tenían que ver con la ubicación y la dirección de la parábola,
esto es, dónde se encontraban los puntos más altos y bajos, y hacia dónde estaba dirigida la parábola, hacia arriba o
hacia abajo. Esto va encaminado a construir una forma más rápida de graficación, para ello, es necesario identificar
algunos elementos importantes que se visualizarán en la siguiente figura.
9
y
8
7
6
Ramas de la Parábola
5
4
3
2
1
-3
-2
-1
-1
x
1
2
3
4
5
6
7
-2
-3
Vértice
-4
El vértice es el punto por donde pasa el eje de simetría de la parábola; dependiendo de su concavidad, éste es el
punto más alto o más bajo de la parábola.
Al vértice se le asignan coordenadas especiales para poder distinguirlo de cualquier otro punto de la parábola, a la
coordenada “x” se le asigna la letra “h”, y a la de “y” se le asigna la letra “k”.
V( h, k )
Encontrar el vértice es una de las preguntas más concurridas en la aplicación de la parábola, como por ejemplo:
1.
La trayectoria que sigue un proyectil al ser lanzado es una parábola. Aquí interesaría saber ¿cuál es la altura
máxima a la que llega el proyectil?, ¿qué distancia tiene cuando toca el suelo? o preguntas particulares de la
ubicación del proyectil en algún momento especial.
BLOQUE 9
269
2.
En el salto de un motociclista, éste tiene que calcular con mucha precisión la distancia que debe recorrer para
poder llegar al lugar deseado, para ello tiene que ubicar el punto más alto al que va a llegar, para saber qué
distancia va a recorrer, por supuesto que también tiene que considerar la velocidad, el impulso, la inclinación
de las rampas, entre otras más.
3.
Los arquitectos diseñan puentes en forma de parábolas, porque además de lo estético, éstas tienen varias
propiedades que favorecen a la resistencia de la construcción.
Son muchas las aplicaciones que se pueden dar a la parábola, pero requiere de un mayor conocimiento de sus
elementos y propiedades. En asignaturas posteriores conocerás la parábola desde un punto de vista geométrico y
conocerás todos sus elementos.
Las ramas de la parábola indican su orientación y ésta depende a su vez del signo del coeficiente cuadrático, como lo
habrás notado en la actividad 1.
2
Tomando la función cuadrática en general y = ax + bx + c , entonces:
1. Si a > 0 , la parábola tiene las ramas hacia arriba, en este caso se dice que es cóncava hacia arriba.
2. Si a < 0 , la parábola tiene las ramas hacia abajo, en este caso se dice que es cóncava hacia abajo.
Con la siguiente actividad irás conociendo más sobre la ubicación del vértice y las diferentes formas de la parábola.
270
RESUELVE ECUACIONES CUADRÁTICAS I
Actividad: 2
Observa el ejemplo para que completes la tabla.
Forma ordinaria
De la forma ordinaria a
la forma general
y = 2(x − 3) + 1
y = 2(x − 3) + 1
2
2
y = 2( x 2 − 6 x + 9) + 1
2
y = 2x − 12x + 18 + 1
y = 2x 2 − 12x + 19
Tabla de
valores
x
1
2
3
4
5
Gráfica
y
9
3
1
3
9
9
Vértice
V(3,1)
y
8
7
6
5
4
3
2
1
-3
-2
-1
-1
x
1
2
3
4
5
6
7
-2
-3
-4
y = (x + 2) − 5
2
x
y
1
(x + 4)2
2
x
y
y=−
BLOQUE 9
271
Actividad: 2 (continuación)
Forma ordinaria
De la forma ordinaria
a la forma general
y = 3(x − 1) + 1
y=−
Tabla de
valores
2
x
y
1
(x + 2)2 + 7
4
x
y
Gráfica
Evaluación
Actividad 2:
Conceptual
Reconoce la gráfica de una
función cuadrática.
Ubica las coordenadas del
vértice de una parábola a
través de la gráfica.
Producto: Complementación de la tabla.
Puntaje:
Saberes
Procedimental
Realiza la gráfica de una función
cuadrática.
Actitudinal
Se interesa por realizar la
actividad con eficiencia.
Autoevaluación
272
RESUELVE ECUACIONES CUADRÁTICAS I
C
MC
NC
Calificación otorgada por el
docente
Vértice
Graficación por medio de parámetros.
Como te habrás dado cuenta en la actividad 2, la función cuadrática tiene dos formas, la forma ordinaria que es la que
se expresa con el binomio al cuadrado y la forma general que es donde se explicita el trinomio.
Forma ordinaria: y = a (x − h) + k
2
2
Forma general: y = ax + bx + c
La forma ordinaria permite extraer las coordenadas del vértice (h, k) de forma directa. Si no te diste cuenta, compara
las funciones ordinarias de la actividad 2 con el vértice que expresaste de la gráfica.
Cuando se toma la forma ordinaria para graficar, se dice que se grafica mediante parámetros, porque se toman los
valores de a, h y k como parámetros para determinar el comportamiento de la función y esbozar la gráfica.
Con los siguientes ejemplos se explicará la graficación de la función cuadrática mediante parámetros.
Ejemplo 1.
2
Para graficar la función y = 2(x − 4) − 5 , se analizan los parámetros y cómo influyen en la gráfica.
1. a = 2 , eso significa que se abre hacia arriba por ser positivo.
2. h = 4 , es la primera coordenada del vértice.
3. k = −5 , es la segunda coordenada del vértice.
y
5
4
3
2
1
-2
-1
x
1
-1
2
3
4
5
6
7
8
Para empezar a graficar, primero se coloca el vértice en el
plano cartesiano.
x
Ubicándose en el vértice, se desplaza una unidad a la
derecha y a la izquierda, para subir dos unidades en
ambos lados, esto es, subir el valor del parámetro a.
-2
-3
-4
-5
-6
-7
5
y
4
3
2
1
-2
-1
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
-2
-3
-4
-5
-6
-7
BLOQUE 9
273
Y finalmente se traza la gráfica.
5
y
4
3
2
1
-2
-1
x
1
-1
2
3
4
5
6
7
8
-2
-3
-4
-5
-6
¿Sabías que…
-7
Ejemplo 2.
Las Olimpiadas
Internacionales de
Matemáticas se
iniciaron como
competencias en
Hungría en 1894, se les
denominó
"Competencias Eötuös",
quedando claro su
carácter competitivo?
1
2
Graficar la función y = − (x + 2 ) + 7
2
1
1. a = − , eso significa que se abre hacia abajo por ser negativo.
2
2. h = −2 , es la primera coordenada del vértice.
3. k = 7 , es la segunda coordenada del vértice.
8
y
7
6
5
4
Se ubica el vértice.
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
x
1
2
3
-1
-2
8
y
7
6
5
4
A partir del vértice se desplaza una unidad a la derecha, una
unidad a la izquierda y media unidad hacia abajo.
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
274
RESUELVE ECUACIONES CUADRÁTICAS I
x
2
3
Se traza la gráfica.
8
y
7
6
5
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
x
1
2
3
-1
-2
Como se ha visto en esta sección, la forma de graficar con parámetros depende de la forma ordinaria de la función, el
problema está cuando se tiene que graficar una función cuadrática que esté expresada en su forma general.
Para ello se requiere cambiar de trinomio a un binomio al cuadrado y eso sucede únicamente si éste es trinomio
cuadrado perfecto, de no ser así, se tendrá que completar.
Ejemplo 3.
2
Graficar la función y = x + 4 x + 1
Visualizando a la función como una ecuación de dos variables, el proceso de completar trinomio cuadrado perfecto
sería el mismo.
Proceso de completar trinomio
cuadrado perfecto
Descripción
y = x 2 + 4x + 1
Se verifica que el coeficiente del término cuadrático sea 1, de no ser
así, se divide toda la ecuación entre el coeficiente del término
cuadrático.
y − 1 = x 2 + 4x
Se pasa el término independiente al primer miembro de la ecuación.
y − 1+ 4 = x 2 + 4 x + 4
Se suma a ambos miembros la mitad del término lineal elevado al
cuadrado.
y + 3 = (x + 2)
Se expresa el binomio al cuadrado en el segundo miembro, y a su vez
se reducen términos semejantes en el primer miembro.
y = (x + 2) − 3
Se despeja “y”, pasando el término independiente al segundo
miembro, quedando así la forma ordinaria.
2
2
De la forma ordinaria se deduce que: a = 1 y V (− 2, − 3)
BLOQUE 9
275
Por lo que la gráfica queda.
5
y
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
x
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-5
Para evitar todo este proceso, de la forma general de la función cuadrática se deducirá la forma ordinaria y así,
obtener las fórmulas de las coordenadas del vértice.
y = ax 2 + bx + c
y ax 2 + bx + c
=
a
a
y
b
c
= x2 + x +
a
a
a
y c
b
− = x2 + x
a a
a
2
b
b
 
y c  a 
b
2
− +
= x + x+ a 
2
a a 2
a
 
 
 
 
2
¿Sabías que…
y c  b 
b
 b 
− +   = x2 + x +  
a a  2a 
a
 2a 
y c b2
b 

− + 2 = x +

a a 4a
2a 

y 4ac − b2 
b 
−
= x +

2
a
2a 
4a

En Grecia en los años
500-000 A.C. se
adquiere en toda su
pureza el concepto de
número y se descubren
los números irracionales
por medio de un caso
particular del célebre
Teorema de Pitágoras?
2
2
2
2
2
y 
b  4ac − b2
= x +
 +
a 
2a 
4a 2
2

b  4ac − b2 
y = a  x +
 +

2a 
4a 2 

2
b  4ac − b

y = a x +
 +
2a 
4a

2
2
b 
b2

y = a x +
 +c−
2a 
4a

De aquí se deduce que h = −
276
 b
b2 
b
b2

,c−
y k = c−
, por lo que el vértice es: V −
2a
4a 
4a
 2a
RESUELVE ECUACIONES CUADRÁTICAS I
Actividad: 3
Grafica las siguientes funciones utilizando los parámetros a, h y k.
1.
y = 6x 2
5.
y = −( x − 4)2 + 6
2.
y = x2 + 5
6.
y = −5 x 2 − 10x − 14
3.
y = 2( x − 1)2 + 9
7.
y = 2x 2 + 16 x + 40
4.
1
y = − ( x + 3)2 − 2
6
8.
y = x 2 + 12x + 32
BLOQUE 9
277
Evaluación
Actividad 3:
Producto: Ejercicios.
Puntaje:
Saberes
Procedimental
Emplea el método de graficación por
parámetros para bosquejar la gráfica de
funciones cuadráticas.
Conceptual
Comprende el método de
graficación por parámetros de
funciones cuadráticas en su
forma general y ordinaria.
C
Autoevaluación
MC
NC
Actitudinal
Aprecia la facilidad del
método de graficación por
parámetros para esbozar la
gráfica de funciones
cuadráticas.
Calificación otorgada por el
docente
Graficación por intersección de ejes.
Para encontrar la intersección con el eje de las abscisas (X), debe cumplirse que y = 0 . Y para ubicar el corte con el
eje de las ordenadas (Y) forzosamente x = 0 .
Para graficar la función cuadrática utilizando la intersección con los ejes, se debe tomar en cuenta las siguientes
opciones.
1.
Cuando la función corta a los ejes en tres puntos.
y
y
x
x
2.
Cuando la función corta a los ejes en dos puntos.
y
y
x
x
278
RESUELVE ECUACIONES CUADRÁTICAS I
3.
Cuando la función corta a los ejes en un punto.
y
y
x
x
Al hacer x = 0 ó y = 0 , se transforma la función en una ecuación que habrá que resolver. Lo anterior se representará
en los siguientes ejemplos.
Ejemplo 1.
2
Graficar y = 2 x + 5 x − 12 encontrando la intersección con los ejes.
Primero se encontrarán las intersecciones con el eje de las abscisas (X). A éstas se les conocen como los ceros o
raíces de la función.
Si y = 0 , entonces la función queda:
0 = 2x 2 + 5x − 12
Obteniéndose una ecuación cuadrática, que por comodidad, se resolverá por la Fórmula General.
x=
x=
a=2
b=5
c = −12
x=
− b ± b 2 − 4ac
2a
− (5) ±
(5)2 − 4(2)(− 12)
2(2)
− 5 ± 25 + 96
4
− 5 ± 121
4
− 5 ± 11
x=
4
−5 + 11
−5 − 11
x1 =
x2 =
4
4
6
− 16
x1 =
x1 =
4
4
3
x 1 = −4
x1 =
2
x=
BLOQUE 9
279
3
2
Las coordenadas de los puntos que intersectan al eje de las abscisas son:  , 0  y (− 4, 0)

Para encontrar la intersección con el eje de las ordenadas, se hará x = 0 , por lo tanto se tiene:
y = 2(0) + 5(0) − 12
y = −12
2
Las coordenadas del punto que intersecta al eje de las ordenadas es: (0, − 12)
y
2
-6
-4
-2
x
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
-10
-12
-14
-16
Como te habrás dado cuenta, el vértice no se encuentra utilizando este método, tendrías que apoyarte en las fórmulas
vistas en el método de completar trinomio cuadrado perfecto para hallar el vértice y poder determinar hasta dónde
baja la función.
 b
b2 

V −
,c−
4a 
 2a
 5
(5)2 
V −
, − 12 −
 2(2)
4(2) 

 5 121
V − , −
 = (− 1.25, − 15.125)
8 
 4
Ahora se dibujan los puntos para trazar la gráfica.
y
2
-6
-4
-2
2
-2
-4
-6
-8
-10
-12
-14
-16
280
RESUELVE ECUACIONES CUADRÁTICAS I
x
4
6
8
10
Ejemplo 2.
Graficar la ecuación y = −4 x 2 + 24x − 36
Cuando y = 0 , se tiene que resolver la ecuación cuadrática.
0 = −4x 2 + 24x − 36
a = −4
b = 24
c = −36
x=
x=
x=
− b ± b 2 − 4ac
2a
− (24) ±
(24)2 − 4(− 4)(− 36 )
2(− 4)
− 24 ± 576 − 576
−8
− 24 ± 0
−8
x=3
x=
Zenón de Elea
(490 – 430 A C)
Inventó la demostración
llamada ad/absurdum (del
Absurdo), que tomaba por
hipótesis las afirmaciones del
adversario y que por medio
de hábiles deducciones
conduce al adversario a
aceptar la tesis
contradictoria.
Las coordenadas del único punto que corta al eje de las abscisas son (3, 0 ) ; como no existe otro punto que corte con
el eje de las X, entonces, el punto (3, 0) tiene que ser el vértice.
Si x = 0 , entonces se obtiene el resultado:
y = −4(0) + 24(0) − 36
y = −36
2
El punto donde se intersecta con el eje de las ordenadas es: (0, − 36 )
4
-12
-8
y
x
4
-4
8
12
-4
-8
-12
-16
-20
-24
-28
-32
-36
BLOQUE 9
281
Ejemplo 3.
2
Graficar la ecuación y = x + 8 x + 18
Haciendo y = 0 , se tiene:
0 = x 2 + 8x + 18
x=
a =1
b=8
c = 18
x=
− b ± b 2 − 4ac
2a
− (8) ±
(8)2 − 4(1)(18)
2(1)
x=
− 8 ± 64 − 72
2
x=
−8± −8
2
Esto significa que sus raíces son complejas, con parte real e imaginaria, por lo que no existe un número real en el eje
de las abscisas que pertenezca también a la función, en otras palabras, la función no corta al eje de las X.
Cuando x = 0 , el valor encontrado es: y = (0) + 8(0) + 18
2
22
y = 18
y
20
El punto de corte con el eje de las ordenadas es: (0,18 )
18
16
14
12
10
8
6
4
2
-12 -10 -8
-6
-4
-2
-2
x
2
4
6
8
10
-4
-6
22
Con un punto no se puede trazar la gráfica de la parábola,
por lo que se requiere conocer las coordenadas del
vértice.
18
16
14
12
 b
b2 

V −
,c−
4a 
 2a
 8
(8)2 
V −
, − 18 −
 2(1)
4(1) 

V (− 4, − 2)
10
8
6
4
2
-12 -10 -8
-6
-4
-2
-2
-4
-6
282
RESUELVE ECUACIONES CUADRÁTICAS I
y
20
x
2
4
6
8
10
Ejemplo 4.
Graficar y =
1 2
x
2
1 2
x
2
0 = x2
0=
Si y = 0 , entonces:
0=x
Se ha encontrado el punto que corta a los dos ejes y coincide con ser el vértice, por lo que se debe apoyar en la
graficación paramétrica o en la obtención de más puntos para poder graficarla.
4
y
3
2
1
x
-3
-2
1
-1
2
3
-1
-2
-3
-4
Como notarás, el método para graficar funciones cuadráticas ubicando los cortes con los ejes, puede ser poco
práctico, sin embargo, en problemas aplicados es donde tiene mayor utilidad.
Actividad: 4
En equipo, contesten las siguientes preguntas.
1.
¿Cómo se podría determinar el número de raíces o ceros de una función cuadrática sin graficarla?
2.
Antonio encuentra que si su compañía produce x artículos diarios, el costo está dado por la ecuación
C = 420 − 0.8x + 0.002x 2 , ¿cuántos artículos se deben producir diariamente para que el costo sea
mínimo?, ¿cuál sería ese costo mínimo?
BLOQUE 9
283
Actividad: 4 (continuación)
3.
Una persona lanza verticalmente hacia arriba una pelota desde lo alto de un
edificio, y la altura en cada instante de tiempo la describe la función
H = −16 t 2 + 80t + 45 .
a) ¿Cuál es el tiempo en que la pelota tarda en alcanzar la altura máxima?
b) ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la pelota?
c) ¿Cuál es la altura del edificio?
d) ¿Cuánto tiempo tarda la pelota en tocar el suelo?
e) Traza la gráfica de la altura de la pelota al trascurrir el tiempo.
4.
La utilidad mensual en miles de dólares de una compañía se expresa mediante la función
U = −2 x 2 + 24 x − 37 , donde x representa el número de artículos, en cientos, que se producen y
venden en un mes.
a) ¿Cuál es la cantidad de artículos que la compañía debe producir y vender por mes para que la
utilidad sea máxima?
b) ¿Cuál es el monto de la utilidad máxima?
284
RESUELVE ECUACIONES CUADRÁTICAS I
Actividad: 4 (continuación)
c) ¿Con cuántos artículos producidos y vendidos no se tiene utilidad alguna?
d) Si se producen y venden 750 artículos mensuales, ¿cuánta utilidad se genera?
e) Traza la gráfica de la utilidad.
Evaluación
Actividad 4:
Producto: Problemas de aplicación.
Conceptual
Identifica la relación entre
funciones y ecuaciones
cuadráticas.
Saberes
Procedimental
Representa y resuelve situaciones
mediante ecuaciones y funciones
cuadráticas.
Puntaje:
Actitudinal
Aprecia la importancia de la
conexión entre funciones y
ecuaciones cuadráticas, para
examinar y solucionar
situaciones.
Escucha con atención las
aportaciones de tus
compañeros.
Coevaluación
C
MC
NC
Calificación otorgada por el
docente
BLOQUE 9
285
Aplicaciones de la función cuadrática.
La utilidad de la función cuadrática es básicamente para encontrar puntos máximos o mínimos, y de algunas
posiciones de puntos en particular. Como se muestra en el siguiente ejemplo.
Un fabricante de cajas de cartón recibió un pedido para construir cajas abiertas de bases cuadradas con una altura
de 5 cm, de tal manera que tengan diferente capacidad. El fabricante logra elaborar las cajas recortando cuadros de 5
cm de lado, en las esquinas de las hojas cuadradas de cartón. ¿Cuáles son los volúmenes de las cajas construidas
con las hojas de cartón cuadradas de diferentes dimensiones de que dispone el fabricante?
5
x – 10
x

5
5
x – 10
x – 10
5
x
x – 10
El volumen de la caja es: (lado)( lado)(altura)
La expresión algebraica que describe el volumen (y) es:
y = (x − 10)(x − 10)(5)
(
y = 5 x 2 − 20x + 100
)
2
y = 5 x − 100 x + 500
Ésta es una función que proporciona todos los posibles volúmenes de las cajas.
La función proviene de un binomio al cuadrado, se puede aprovechar esta situación y plantear la forma ordinaria de la
función cuadrática.
y = 5(x − 10 )
2
El vértice de la función cuadrática es V(10,0) y el coeficiente del término
cuadrático proporciona la abertura, el cual es a = 5
La gráfica del volumen se visualiza de la siguiente forma:
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-2 -1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
286
RESUELVE ECUACIONES CUADRÁTICAS I
y
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Conociendo la función y la gráfica, se pueden contestar varios cuestionamientos de interés como por ejemplo:
1.
2.
El volumen mínimo es cero, y no tiene volumen máximo.
La parte izquierda de la gráfica no tendría sentido, dado que “x” representa la longitud del cuadrado de cartón de
donde se elaborará la caja y como x − 10 es el largo y ancho de la caja, las cantidades menores de 10
proporcionarían longitudes negativas, por lo que en el sentido práctico, sólo se tomaría la gráfica del vértice a la
derecha.
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-2 -1-1
y
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
-2
-3
-4
-5
-6
-7
3.
Jean-Victor Poncelet
(1788 - 1867)
Ingeniero y matemático francés.
Fundador de la moderna
geometría proyectiva.
Si se desea saber en particular el tamaño del cuadrado de cartón que el fabricante debe utilizar para una caja con
volumen 8000 cm3, se sustituye este valor en la función y se despeja x, como se muestra a continuación.
y = 5(x − 10)
2
8000 = 5(x − 10)
8000
2
= (x − 10)
5
2
1600 = (x − 10)
2
± 1600 = x − 10
10 ± 40 = x
x 1 = 10 + 40
x 2 = 10 − 40
x 1 = 50
x 1 = −30
Por tratarse de una longitud la que se busca, se descarta el valor negativo, por lo tanto, la longitud del cuadrado
que se utilizará para elaborar una caja de 8000 cm3, debe ser de 50 cm.
4.
Si se desea conocer el volumen que contendrá una caja elaborada de un cuadro de 80 cm de longitud, se tendrá
que resolver la siguiente ecuación. La cual se forma sustituyendo el valor deseado en x.
y = 5(x − 10 )
2
y = 5(80 − 10 )
2
y = 5(70 )
y = 24500
2
El volumen que contendrá la
caja es de 24500 cm3.
BLOQUE 9
287
Éstos son algunos ejemplos de las interrogantes que puedes encontrar en problemas que se modelan con funciones
cuadráticas.
Cierre
Actividad: 5
Plantea los siguientes problemas con una función cuadrática y resuelve las
preguntas correspondientes.
288
1.
Los cuadernos que produce Ricardo en su fábrica tienen un costo de $16 cada uno. Él calcula que si
vende a x pesos cada cuaderno, podrá vender aproximadamente 200 − x a la semana.
a) ¿Cuál es la utilidad semanal máxima que Ricardo tendrá al vender a x pesos cada cuaderno?
b) ¿Cuánta es la utilidad que tendrá?
2.
Patricia desea construir un jardín de forma rectangular al pie de su ventana, ella posee 10 m de
alambre para cercarlo y sólo lo hará en tres de sus lados.
a) ¿Cuáles deben ser las dimensiones para que el jardín tenga área máxima?
b) ¿Cuál es el área máxima?
3.
Santiago se encuentra sentado en las gradas del estadio de béisbol, él cachó una pelota y la devolvió
1 2
a los jugadores. La trayectoria de la pelota se describe mediante la función h = − t + t + 7 , donde h
8
es la altura medida en metros, y t el tiempo medido en segundos.
a) ¿En cuánto tiempo tarda la pelota en alcanzar su altura máxima?
b) ¿Cuál es la máxima altura alcanzada?
c) Si nadie la pudo cachar, ¿en qué momento toca el suelo?
d) ¿A qué altura se hallaba Santiago?
RESUELVE ECUACIONES CUADRÁTICAS I
Actividad: 5 (continuación)
4. Don Saúl sembrará un poco de maíz en su parcela, y tiene 63 m de cerco para proteger la
siembra del ganado, si el terreno en el que sembrará es de forma rectangular.
a) ¿Cuáles deben ser las dimensiones que proporcionarán la mayor área de siembra?
b) ¿Cuál es la máxima área?
5.
Se cercará un corral rectangular con dos cercas interiores para que contenga 3 partes iguales, en las
que se colocarán tres tipos de ganado diferente. Si se tiene un total de 240 m de cerco, ¿cuáles son las
dimensiones del corral para que su área sea máxima?
6.
La suma de dos números es 24, encuentra dichos números con la condición de que su producto sea
máximo.
BLOQUE 9
289
Evaluación
Actividad 5:
Conceptual
Comprende la aplicación de
las funciones cuadráticas
para examinar y resolver
situaciones.
Producto: Problemas de aplicación.
Saberes
Procedimental
Aplica las funciones y ecuaciones
cuadráticas para plantear y resolver
situaciones.
Autoevaluación
C
MC
NC
Puntaje:
Actitudinal
Pone en práctica los
conocimientos adquiridos de
las funciones cuadráticas y
de los bloques anteriores,
para plantear y resolver
situaciones.
Calificación otorgada por el
docente
Sitios Web recomendados:
Entra a los siguientes sitios y utilízalos para enriquecer tus
conocimientos.
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/vertice.htm
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0416-02/indice.htm
http://www.dav.sceu.frba.utn.edu.ar/homovidens/Marcela%20Martinez/funcion_cua
dratica_caracteristicas_nuevo.htm
http://www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/AportesPe/Externos/fcuadraticas/paginas/apl
icaciones1.htm
¿Sabías que…
Los pueblos de
Babilonia, Sumeria,
Egipto y Creta durante
los años 2500-1800
A.C. tuvieron las
siguientes aportaciones
a la Aritmética: las
tablas matemáticas
babilónicas que
contienen cuadrados,
cubos, inversos y tablas
de multiplicación de
números?
290
RESUELVE ECUACIONES CUADRÁTICAS I
Glosario
Algoritmo. Secuencia de pasos que permite hallar la solución de un ejercicio o problema.
Base. Un número utilizado varias veces como factor.
Binomio. Una expresión algebraica que contiene exactamente dos términos.
Binomio al cubo. Es igual al cubo del primer término, más el triple producto del cuadrado del primer término por el
segundo, más el triple producto del primer término por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término.
Coeficiente (numérico). El número que aparece como factor en una expresión.
Conjunto solución. El conjunto de números que hacen verdadera una proposición
Constante. Un símbolo cuyo valor no cambia en un problema determinado.
Coordenadas. La abscisa “x” y la ordenada “y” de un punto (x,y) en un sistema de coordenadas cartesianas o
rectangulares.
Cuadrado. La palabra usada para representar el resultado de elevar un número o un polinomio a la segunda potencia.
Cuadrado de un binomio. El cuadrado del primer término más el doble producto del primero por el segundo término,
más el cuadrado del segundo término.
Cuadrado perfecto. Un entero que es el cuadrado de otro entero o un polinomio que es el cuadrado de otro
polinomio.
Cubo. La palabra que designa el resultado de elevar un número o un polinomio a la tercera potencia.
Decimales finitos. Son aquéllos cuya cifra decimal tiene fin.
Decimales infinitos. Son aquéllos con cifras decimales que no tienen fin.
Decimales infinitos no periodicos. Son aquéllos cuya extensión decimal no se acaba y no se repiten.
Decimales infinitos periodicos. Son aquéllos que tienen una o más cifras decimales repetidas infinitamente, formando
así el periodo.
Decimales infinitos semiperioditos. . Son decimales que aparecen con una o más cifras antes del periodo.
Denominador. Es la parte de la fracción que nos indica las partes iguales en los que se divide la unidad.
Diferencia. Es el resultado de quitar al minuendo del sustraendo
Dígito. Cualquiera de los diez números 0,1,2,3,4,5,6,7,8 y 9.
Discriminante. El valor de la expresión b 2 − 4ac en donde a, b y c son los coeficientes de una ecuación de segundo
grado.
Ecuación. Una proposición que establece que dos expresiones, de las cuales por lo menos una contiene una
incógnita, son iguales.
BLOQUE 9
291
Ecuación cuadrática completa. Se da siempre que los coeficientes de la incógnita y el término independiente sean
diferentes de cero.
Ecuación cuadrática incompleta. Es cuando el coeficiente del término lineal y del independiente son cero o al menos
uno de ellos es igual a cero.
Ecuaciones consistentes. Un sistema de n ecuaciones de primer grado con n incógnitas que tiene solución única.
Ecuación cuadrática (segundo grado). Una ecuación que puede escribirse en la forma ax 2 + bx + c = 0 , en donde a,
b y c son números reales y a ≠ 0.
Ecuación de primer grado con una incógnita. Una ecuación que puede escribirse en la forma ax + b = 0, la incógnita
aparece a la primera potencia.
Ecuaciones dependientes. Un sistema de 2 ecuaciones de primer grado con 2 incógnitas que tiene un número infinito
de soluciones. Están relacionadas de tal forma que una puede obtenerse de la otra mediante la multiplicación de cada
término por una constante adecuada.
Ecuaciones equivalentes. Dos ecuaciones que tienen el mismo conjunto solución.
Ecuaciones inconsistentes. Un sistema de 2 ecuaciones de primer grado con 2 incógnitas que no tienen solución
común (solución nula).
Exponente. El número escrito arriba y a la derecha de otro número (base) que indica el número de veces que la base
se toma como factor en un producto.
Expresión. Un número, o letra, o una combinación de ambos obtenida mediante operaciones algebraicas.
Expresión algebraica. Es una combinación de números y/o literales por medio de operaciones matemáticas.
Expresión aritmética. Es la combinación de números y operaciones básicas.
Factor común. Consiste en extraer la expresión algebraica que esté presente en cada uno de los términos de una
expresión más compleja,
Función. Es la regla de asociación o correspondencia entre los conjuntos X y Y, de tal forma que cada elemento de un
conjunto X se asocia con exactamente un elemento del conjunto Y.
Factor común. Un número o expresión algebraica que es factor de dos o más términos.
Factores primos. Son números primos que dividen a un número compuesto.
Factorizar. Descomponer una expresión en sus factores.
Fórmula general. Fórmula que se utiliza para encontrar las raíces o soluciones de una ecuación de segundo grado,
x=
− b ± b2 − 4ac
2a
Fracción. El cociente indicado de dos números o expresiones; si la fracción es
denominador.
a
, “a” se llama el numerador y “b” el
b
Fracciones equivalentes. Fracciones que representan el mismo valor, aunque tanto el numerador como el
denominador sean diferentes.
292
RESUELVE ECUACIONES CUADRÁTICAS I
Función. Es la relación entre dos conjuntos de pares ordenados, con la propiedad de que a cada elemento del primer
conjunto llamado dominio le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto llamado rango o imagen .
Gráfica (de una ecuación). Lugar geométrico de los puntos del plano cuyas coordenadas satisfacen la ecuación.
Grado de un polinomio. Es la suma mayor de los exponentes de cada término algebraico.
Monomio. Expresión que contiene un término.
Numerador. Es la parte de la fracción que nos indica la cantidad que se toma de la unidad.
Número entero. Todo elemento del conjunto {...,–4,–3,–2,–1,0,1,2,3,4,...}.
Número racional: Son números de la forma
expansión decimal finita o periódica infinita.
a
donde a y b son enteros y b es diferente de cero, además tienen
b
Número irracional. Es aquél que no puede expresarse como el cociente de dos enteros.
Número natural. Todo elemento del conjunto {1,2,3,4,5,6,....}
Número primo. Entero positivo mayor que uno que no tiene más divisores que el mismo y la unidad.
Número racional. Es aquél que puede expresarse como el cociente de dos enteros (fracción).
Números reales. El conjunto de números que comprende a todos los números racionales y a todos los números
irracionales.
Origen. Punto de referencia O(0,0) en un sistema de coordenadas.
Ortoedro. Paralelepípedo en el que todas sus caras son rectángulos perpendiculares entre sí.
Polinomio. Es una expresión algebraica que consta de dos o más términos algebraicos.
Proporción. La proposición que expresa la igualdad de dos razones.
Raíz de una ecuación. Un valor de la incógnita que satisface la ecuación.
Razón. Relación que existe entre dos cantidades. La división indicada de una cantidad entre otra.
Recíproco. Un número es el recíproco de otro si el producto de ambos es 1.
Serie. Es la suma de los términos de una sucesión.
Sucesión. Es un conjunto de números ordenados u otras cantidades.
Sustracción. Es cuando se compara el minuendo y el sustraendo.
Sustraendo. Es la cantidad menor en la operación de sustracción.
Término. Una expresión que consta de un número, letra o de una combinación de ambos empleando sólo las
operaciones de multiplicación y división.
Trinomio cuadrado perfecto. Es el resultado de elevar un binomio al cuadrado.
BLOQUE 9
293
Bibliografía
294
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ARGUDIN, Yolanda. Educación Basada en Competencias, nociones y antecedentes. Editorial Trillas. México,
2006.

BALDOR, Aurelio, Álgebra. Grupo Editorial Patria. México, 2008.
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BUSTAMANTE, Alfonso. et. al. Matemáticas 1. Ed. Trillas. México, 2008.
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CATALANO, Ana. Diseño curricular en normas de competencias laboral: conceptos y orientaciones
metodológicas. Banco Internacional de Desarrollo. Buenos Aires. Argentina, 2004.
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Edición. México, 2005.
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IBÁÑEZ, Patricia y García, Gerardo. Matemáticas 1. Thompson Learning. México, 2005.
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LÓPEZ, Rebeca y Gómez, María. Matemáticas 1, con enfoque en Competencias. Book Mart, México 2008.
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para promover el cambio metodológico en el espacio europeo de educación superior. Ediciones Universidad de
Oviedo. España, 2006.
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PULIDO, Antonio. Matemáticas 1. Inova Educativa. México, 2005.
RESUELVE ECUACIONES CUADRÁTICAS I