PROCESO DE ADMISIÓN 2025 PAES REGULAR MATEMÁTICA M2 1 ÍNDICE CAPÍTULO 1: NÚMEROS .................................................................................................................................................................................. 3 • CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS Y RACIONALES ................................................................................................................ 3 ➢ Números Reales ...................................................................................................................................................................... 3 ➢ Números naturales .................................................................................................................................................................. 5 ➢ Números enteros ..................................................................................................................................................................... 5 ➢ Números Racionales ............................................................................................................................................................... 6 ➢ Números irracionales .............................................................................................................................................................. 7 ➢ Ejercicios números reales ........................................................................................................................................................ 8 • Matemática Financiera ................................................................................................................................................................ 13 ➢ AFP ...................................................................................................................................................................................... 13 ➢ Crédito Hipotecario y Crédito de Consumo.............................................................................................................................. 16 • Logaritmos .................................................................................................................................................................................. 18 ➢ Propiedades Logaritmos ........................................................................................................................................................ 18 ➢ Relación entre potencias, raíces y logaritmos .......................................................................................................................... 20 ➢ Ejercicios Logaritmos ............................................................................................................................................................. 24 CAPÍTULO 2: ÁLGEBRA Y FUNCIONES ............................................................................................................................................................ 29 • SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (2 X 2) ................................................................................................................................ 29 ➢ • Ejercicios sistemas de ecuaciones lineales ............................................................................................................................. 41 Función Potencia......................................................................................................................................................................... 44 ➢ Definición Función Potencia ................................................................................................................................................ 44 ➢ Grafica de las funciones potenciales ................................................................................................................................... 44 ➢ Ejercicio de Función Potencia ................................................................................................................................................. 53 CAPÍTULO 3: GEOMETRÍA .............................................................................................................................................................................. 54 • Homotecia de Figuras Planas ....................................................................................................................................................... 54 ➢ Definición Homotecia ............................................................................................................................................................ 54 ➢ Ejercicio Homotecia .............................................................................................................................................................. 56 • Razones Trigonométricas en triángulos Rectángulos ...................................................................................................................... 59 ➢ Ejercicios razones trigonométricas ......................................................................................................................................... 69 CAPÍTULO 4: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA ................................................................................................................................................... 74 • Medidas de dispersión ................................................................................................................................................................. 74 ➢ • Error estándar de la media ..................................................................................................................................................... 78 Probabilidad Condicional ............................................................................................................................................................. 79 • Permutación Combinatoria .......................................................................................................................................................... 82 ➢ • Ejercicio Resuelto .................................................................................................................................................................. 91 Modelos Probabilísticos ............................................................................................................................................................... 92 ➢ Funciones de Probabilidad ..................................................................................................................................................... 92 ➢ Distribución Binomial ............................................................................................................................................................ 96 CAPITULO 5: PALABRAS DE MOTIVACIÓN ..................................................................................................................................................... 100 2 CAPÍTULO 1: NÚMEROS • CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS Y RACIONALES ➢ Números Reales Los números reales son el conjunto que incluye los números naturales, enteros, racionales e irracionales. Se representa con la letra ℜ. La palabra real se usa para distinguir estos números del número imaginario i, que es igual a la raíz cuadrada de -1, o √-1. Esta expresión se usa para simplificar la interpretación matemática de efectos como los fenómenos eléctricos. Características de los números reales Además de las características particulares de cada conjunto que compone el superconjunto de los números reales, mencionamos las siguientes características. Orden Todos los números reales tienen un orden: En el caso de las fracciones y decimales: 3 Integral La característica de integridad de los números reales es que no hay espacios vacíos en este conjunto de números. Esto significa que cada conjunto que tiene un límite superior tiene un límite más pequeño. Infinitud Los números irracionales y racionales son infinitamente numerosos, es decir, no tienen final, ya sea del lado positivo como del negativo. Expansión decimal Un número real es una cantidad que puede ser expresada como una expansión decimal infinita. Se usan en mediciones de cantidades continuas, como la longitud y el tiempo. Cada número real se puede escribir como un decimal. Los números irracionales tienen cifras decimales interminables e irrepetibles, por el ejemplo, el número pi π es aproximadamente 3,14159265358979... Clasificación de los números reales 4 ➢ Números naturales De la necesidad de contar objetos surgieron los números naturales. Estos son los números con los que estamos más cómodos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...hasta el infinito. El conjunto de los números naturales se designa con la letra mayúscula N. Todos los números están representados por los diez símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. 7, 8, y 9, que reciben el nombre de dígitos. Ejemplo Los números naturales nos sirven para decir cuántos compañeros tenemos en clases, la cantidad de flores que hay en un ramo y el número de libros que hay en una biblioteca. ➢ Números enteros El conjunto de los números enteros comprende los números naturales y sus números simétricos. Esto incluye los enteros positivos, el cero y los enteros negativos. Los números negativos se denotan con un signo "menos" (-). Se designa por la letra mayúscula Z y se representa como: Un número simétrico es aquel que sumado con su correspondiente número natural da cero. Es decir, el simétrico de n es -n, ya que: Los enteros positivos son números mayores que cero, mientras que los números menores que cero son los enteros negativos. 5 Los números enteros nos sirven para: -Representar números positivos: ganancias, grados sobre cero, distancias a la derecha; -Representar números negativos: deudas, pérdidas, grados bajo cero y distancias a la izquierda. Ejemplos En el polo Norte la temperatura está por debajo de 0ºC durante casi todo el año, entre -43 ºC y -15ºC en invierno. Una persona compra un vehículo por 10.000 pesos, pero solo tiene 3.000 pesos. Esto significa que queda debiendo 7.000 pesos. ➢ Números Racionales Los números fraccionarios surgen por la necesidad de medir cantidades continuas y las divisiones inexactas. Medir magnitudes continuas tales como la longitud, el volumen y el peso, llevó al hombre a introducir las fracciones. El conjunto de números racionales se designa con la letra Q: Ejemplos Un pastel dividido entre tres personas se representa como 1/3 un tercio para cada persona; una décima parte de un metro es 1/10 m= 0,1m. 6 ➢ Números irracionales Los números irracionales comprenden los números que no pueden expresarse como la división de enteros en el que el denominador es distinto de cero. Se representa por la letra mayúscula I. Aquellas magnitudes que no pueden expresarse en forma entera o como fracción que son inconmensurables sontambiénirracionales. Por ejemplo, la relación de la circunferencia al diámetro el número π=3,141592… Las raíces que no pueden expresarse exactamente por ningún número entero ni fraccionario son números irracionales: Propiedades de los números reales ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● La suma de dos números reales es cerrada, es decir, si a y b ∈ ℜ, entonces a+b ∈ ℜ. La suma de dos números reales es conmutativa, entonces a+b=b+a La suma de números es asociativa, es decir, (a+b)+c= a+(b+c). La suma de un número real y cero es el mismo número; a+0=a Para cada número real existe otro número real simétrico, tal que su suma es igual a 0: a+(-a)=0 La multiplicación de dos números reales es cerrado: si a y b ∈ ℜ, entonces a . b ∈ ℜ. La multiplicación de dos números es conmutativa, entonces a . b= b. a. El producto de números reales es asociativo: (a•b) • c= a• (b • c) En la multiplicación, el elemento neutro es el 1: entonces, a• 1= a Para cada número real a diferente de cero, existe otro número real llamado el inverso multiplicativo, tal que: a • a-1 = 1 ● Si a, b y c ∈ ℜ, entonces a • (b+c)= (a • b) + (a • c) 7 ➢ Ejercicios números reales 8 9 10 11 12 • Matemática Financiera ➢ AFP El sistema de capitalización individual obligatoria consiste en que las y los trabajadores deben depositar cada mes un porcentaje de su remuneración, sueldo o ingreso imponible en una cuenta personal en una administradora de fondos de pensiones (AFP). Esos recursos tienen como objetivo financiar la pensión futura que recibirá la persona en la etapa de retiro y, en caso de fallecimiento, una pensión de sobrevivencia para sus beneficiarias y beneficiarios. En el también conocido como sistema de AFP, las y los trabajadores deben ahorrar de manera obligatoria en una cuenta de capitalización individual en una administradora de fondos de pensiones (AFP). Este depósito o ahorro es lo que se denomina cotización y corresponde a un monto equivalente al 10% de la remuneración o renta imponible de la persona. A esto se agrega la comisión que cobra la AFP por gestionar esa cuenta, que en la actualidad va desde un 0,58% a un 1,45% de la remuneración imponible mensual de la persona, más otro porcentaje adicional para acceder al Seguro de Invalidez y Sobrevivencia (SIS). La nueva tasa vigente del SIS para las y los empleadores, afiliadas y afiliados independientes y voluntarios es de 1,61% de las remuneraciones y rentas imponibles. Esta tasa está vigente desde abril de 2023. Afiliación y comisiones Para cotizar de manera obligatoria en una cuenta de capitalización individual obligatoria una persona debe estar afiliada a una AFP. En la actualidad, existen siete administradoras de fondos de pensiones en Chile, las que se diferencian por las comisiones que cobran, el servicio que entregan, su red de atención a lo largo país y las rentabilidades que obtienen los fondos de pensiones que gestionan. Las personas son libres de elegir la AFP en la que depositarán sus ahorros previsionales, pero en el caso de las y los trabajadores que se afilian al sistema por primera vez deben ingresar a la administradora que cobra la menor comisión y permanecer en esa administradora por un período de 24 meses, salvo que la comisión aumente o que otra administradora ofrezca una comisión menor. 13 Desde el 1 de octubre de 2021, AFP Modelo tiene la comisión más baja, de 0,58% de la remuneración o renta imponible de la persona. Las comisiones mensuales que actualmente cobran las administradoras son las siguientes: ⮚ ⮚ ⮚ ⮚ ⮚ ⮚ ⮚ AFP Capital: 1,44% AFP Cuprum: 1,44% AFP Habitat: 1,27% AFP Modelo: 0,58% AFP Planvital: 1,16% AFP Provida: 1,45% AFP Uno: 0,69% Multifondos de pensiones Para depositar sus cotizaciones, la o el afiliado puede elegir entre cinco tipos de fondos de pensiones: tipo A (más riesgoso), tipo B (riesgoso), tipo C (moderado), tipo D (conservador) y tipo E (más conservador). También conocidos como multifondos, éstos se diferencian por el portafolio o cartera de inversión, es decir, el tipo de instrumentos o activos financieros en que invierten los fondos de pensiones. Todo esto está regulado en la legislación vigente y dependiendo del tipo de fondo existen límites y restricciones de inversión para proteger el interés de las y los afiliados. El sistema de capitalización individual obligatoria en una AFP entrega pensiones de tres tipos: vejez, invalidez y de sobrevivencia. Sus montos dependen de los fondos que cada persona haya acumulado a lo largo de su vida. La edad legal de jubilación es de 60 años en el caso de las mujeres y de 65 años en el caso de los hombres, pero las personas pueden seguir cotizando más allá de esa edad para incrementar sus ahorros previsionales y así obtener una mejor pensión. 14 Al momento de pensionarse, las personas deben elegir entre cuatro modalidades de pensión, de acuerdo a su conveniencia y también a la cantidad de ahorros previsionales con que cuentan en su saldo. Las modalidades de pensión son Retiro Programado (RP), Renta Vitalicia Inmediata (RV), Renta Temporal con Renta Vitalicia Diferida y Renta Vitalicia Inmediata con Retiro Programado. 15 ➢ Crédito Hipotecario y Crédito de Consumo Crédito Hipotecario Es un préstamo a mediano o largo plazo que se otorga para la compra, ampliación, reparación o construcción de una vivienda, compra de sitios, oficinas o locales comerciales. Este tipo de créditos permiten a las personas adquirir una vivienda. Es un préstamo a mediano o largo plazo que se otorga para la compra, ampliación, reparación o construcción de una vivienda, compra de sitios, oficinas o locales comerciales. En este caso, la propiedad adquirida queda en garantía o "hipotecada" a favor del Banco para asegurar el cumplimiento del crédito y por eso este crédito lleva esa denominación. Sin embargo, también un crédito hipotecario puede ser otorgado "para fines generales", es decir, para utilizar el dinero en los proyectos que el cliente que recibe el préstamo desee llevar a cabo. En este caso, también se utiliza un bien inmueble para ser hipotecado y quedar como garantía del pago del préstamo recibido. Los plazos a los cuales se otorgan estos créditos son de varios años, lo cual debe ser informado dentro de las características del crédito, junto a los otros costos y tasa de interés asociadas. 16 Crédito de Consumo El crédito de Consumo: es un monto en dinero de libre disposición, que otorga el Banco a personas o empresas para la adquisición de bienes o pago de servicios, y que normalmente es pactado para ser pagado en el corto o mediano plazo (1 a 4 años). Lo primero a tener en consideración es saber si lo decisión de endeudamiento es realmente necesaria en las condiciones que se ofrecen. Para esto uno debe hacerse las siguientes preguntas: 1. ¿Estoy satisfaciendo una necesidad o es sólo un deseo? Obviamente que son más importante las necesidades que los deseos y además, las necesidades deben estar en orden de prioridad para la persona, asegurándose de satisfacer las necesidades más urgentes primero. 2. ¿Es necesario satisfacer la necesidad de inmediato o puedo esperar y ahorrar para satisfacer dicha necesidad? 3. ¿Estoy dispuesto a asumir mayores compromisos por satisfacer dicha necesidad? Una vez realizadas estas preguntas se empieza a pensar en pedir un crédito de consumo. Ahora bien, no cualquier persona puede tener acceso a un crédito de consumo. ¿Tengo capacidad de pago para contratar un crédito de consumo? Lo segundo que se debe tener en cuenta es conocer la capacidad de pago que tiene la persona. Antes de pedir un crédito de consumo usted debe evaluar su capacidad de pago, de esta forma podrá determinar cuál es el monto con el que efectivamente puede contar para afrontar el pago de las cuotas del crédito de consumo que desea contratar. Para ello es necesario que: ● ● ● Determine cuál es su ingreso total mensual, esto es, su sueldo más cualquier otro tipo de renta que perciba, como arriendos, pensiones, etc. De ese monto, reste sus gastos fijos, como arriendo o dividendo, cuentas de servicios básicos, pago de colegio o universidad, alimentación, transporte, entre otros. Si usted tiene otro tipo de compromisos, como compras a plazo, también debe incluir el monto de la cuota correspondiente como parte de sus gastos. Finalmente, el saldo de este ejercicio le indicará su capacidad para asumir un crédito de consumo. No olvide que siempre pueden surgir gastos no contemplados, por lo que es recomendable tener un monto destinado a cubrir esas necesidades. Además de conocer su capacidad de pago, el banco le hará una evaluación de riesgos, que considera sus ingresos, su patrimonio, sus gastos y su comportamiento de pago. Para demostrar lo anterior el banco le solicitará contar con antecedentes comerciales adecuados, esto es no tener protestos de documentos, deudas impagas, entre otros. También debe demostrar ingresos (sueldo) que le permita determinar al banco o casa comercial si podrá o no pagar la deuda, y si tiene reconocer patrimonio. Adicionalmente, la figura del codeudor solidario a veces es exigida por una entidad financiera para otorgar un crédito. Las instituciones pueden solicitar al cliente que presente un aval o codeudor solidario como una forma de obtener una segunda fuente de pago en caso de que el cliente no cancele el crédito. Esta situación forma parte de las políticas comerciales de la institución. 17 • Logaritmos ➢ Propiedades Logaritmos 18 Reglas de Logaritmos 19 ➢ Relación entre potencias, raíces y logaritmos En esta entrada pretendo mostrar la relación que hay entre las potencias, los radicales y los logaritmos. Para ello, voy a partir de un ejemplo muy simple: Cuando pretendemos obtener el resultado, conociendo la base y el exponente, realizamos la operación que denominamos potencia ( 3x3 = 9 ) Cuando buscamos hallar la base de la potencia debemos preguntarnos "¿Qué número elevado al cuadrado da como resultado 9?", y obtenemos la respuesta a través de la operación denominada radicación (3 es una de las raíces cuadradas de 9) Si lo que queremos encontrar es el exponente de dicha potencia, nos preguntaremos "¿A qué exponente hay que elevar el número 3 para obtener como resultado 9?", y la respuesta buscada se llama logaritmo (2 es el logaritmo en base 3 del número 9) Por lo tanto, en una potencia se dan las siguientes relaciones: 20 Relación entre potencia y radical 21 Relación entre potencia y logaritmo Siempre se ha llamado la atención que, para muchas personas, los logaritmos sean unos "entes extraños", con un nombre poco atractivo, que tienen una forma muy rara de operar y que, encima, parece que no sirven para nada... En primer lugar, quiero dejar claro que los logaritmos son números reales. No debemos verlos como "entes extraños" Además, según puedes apreciar en la relación entre potencia y logaritmo, los logaritmos son exponentes de potencias y actúan como tales. De este modo es fácil comprender la forma de operar con logaritmos, puesto que siguen las mismas relaciones que los exponentes de las potencias: 22 Ahora no resulta tan extraño que, por ejemplo, el logaritmo de un producto se transforme en la suma de los logaritmos de los factores, puesto que el exponente del producto de dos potencias que tienen la misma base es la suma de dichos exponentes. Del mismo modo podemos razonar para entender las demás propiedades de los logaritmos. Sería muy bueno que hicieras el esfuerzo de razonar dichas propiedades para que te resultaran "lógicas" 23 ➢ Ejercicios Logaritmos 1) 24 2) 25 3) 26 27 28 CAPÍTULO 2: ÁLGEBRA Y FUNCIONES • SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (2 X 2) Los sistemas de ecuaciones 2×2 son sistemas de dos ecuaciones con dos variables. Empezaremos conociendo los diferentes tipos de soluciones que pueden tener estos sistemas. Luego, aprenderemos a resolver esos sistemas de ecuaciones de tres formas diferentes: gráficamente, por el método de sustitución y por el método de eliminación. Sistemas de ecuaciones 2×2 y soluciones GRAFICAMENTE Un sistema de ecuaciones lineales es simplemente un conjunto de dos o más ecuaciones que tienen que ser resueltas simultáneamente. Aquí veremos específicamente los sistemas que tienen dos ecuaciones y dos incógnitas. Solución a un sistema Una solución a un sistema de ecuaciones 2×2 es un par ordenado que hace que ambas ecuaciones sean verdaderas. Una solución es lo que las ecuaciones tienen en común, es el lugar en donde sus líneas se intersecan. Si es que un par ordenado es una solución para una ecuación, pero no para la otra, entonces no es una solución al sistema de ecuaciones. ∙ Un sistema consistente es un sistema que tiene por lo menos una solución. ∙ Un sistema inconsistente es un sistema que no tiene soluciones. Hay tres posibles resultados que podemos encontrar al trabajar con estos sistemas: 1. Una solución 2. Ninguna solución 3. Infinitas soluciones. 29 Una solución Si es que el sistema de ecuaciones con dos variables tiene una solución, es un par ordenado que es una solución para ambas ecuaciones. Esto significa que cuando reemplazamos la solución en las ecuaciones, ambas ecuaciones resultan verdaderas. Si es que obtenemos una solución como respuesta final al sistema de ecuaciones, esto significa que este sistema es consistente. La siguiente gráfica muestra un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que tiene una solución: 30 Ninguna solución Si es que las líneas de las ecuaciones son paralelas, estas líneas nunca se intersecarán. Eso significa que estas ecuaciones no tienen puntos en común. En esta situación, el sistema de ecuaciones no tiene ninguna solución. Si es queal resolver nuestro sistema de ecuaciones descubrimos que no tiene ninguna solución, esto significa que el sistema es inconsistente. En la siguiente gráfica, podemos ver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que no tienen ninguna solución: 31 Infinitas soluciones Si es que las dos líneas de las ecuaciones terminan sobreponiéndose la una sobre la otra, entonces hay un número infinito de soluciones. En esta situación, terminarían siendo la misma línea, por lo que cualquier solución que funcione con la primera ecuación, también funcionará con la segunda. Si es que obtenemos un número infinito de soluciones para nuestro sistema de ecuaciones, entonces significa que el sistema es consistente. En la siguiente gráfica, podemos observar un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que tiene un número infinito de soluciones: 32 33 34 35 36 Gráficamente la solución es el punto de corte (intersección) de las dos rectas. 37 38 39 40 ➢ Ejercicios sistemas de ecuaciones lineales 41 2) 42 3) 43 • Función Potencia ➢ Definición Función Potencia La Función potencia, son todas aquellas funciones que son de la forma; Donde a y n son números reales distintos de 0. La Función potencia está definida para los números reales, entonces f: R → R. Ejemplos; ➢ Grafica de las funciones potenciales Analizaremos los casos en que el exponente es un número entero, donde su gráfica dependerá si tiene un exponente par positivo, impar positivo, par negativo o impar negativo. Además, veremos como el valor de a influye en la gráfica. 44 2.1- Cuando el exponente es par positivo. Si el exponente n de la función f(x) = axn es un número par positivo, la gráfica será una curva simétrica con respecto al eje y. El dominio de la función siempre serán todos los números reales. El recorrido de la función dependerá del signo de a; - Si a < 0, la curva estará abierta hacia abajo, en el tercer y cuarto cuadrante, y el vértice será el punto más alto de la gráfica. El recorrido son todos los números reales negativos incluido el 0. Ejemplo; 45 - Si a > 0, la curva estará abierta hacia arriba, en el primer y segundo cuadrante, y el vértice será el punto más bajo de la gráfica. El recorrido son todos los números reales positivos incluido el 0. Ejemplo; Nota: en los dos casos, el vértice es (0,0). 46 2.2- Cuando el exponente es impar positivo. Si el exponente n de la función f(x) = axn es un número impar positivo, la gráfica será una curva simétrica con respecto al origen. El dominio siempre es el conjunto de los números reales, es decir que x puede tomar cualquier valor real. El recorrido siempre es el conjunto de los números reales, independiente del valor que tome a. Pero cuando a < 0, la gráfica se encuentra en el segundo y cuarto cuadrante, y la función siempre es decreciente. Ejemplo; 47 Pero cuando a > 0, la gráfica se encuentra en el primer y tercer cuadrante, y la función siempre es creciente. Ejemplo; Nota: En todos los casos la gráfica pasa por el origen. 48 • 2.3- Cuando el exponente es par negativo. Si el exponente n de la función f(x) = axn es un número par negativo, la función tiene dos asíntotas, que son los ejes x e y. El dominio de la función son los números reales diferentes de 0. El recorrido de la función dependerá del signo de a; - Si a < 0, las curvas irán hacia abajo, la gráfica estará en el tercer y cuarto cuadrante. El recorrido son todos los números reales negativos. Para todos los valores negativos de x, la función decrece, y para todos los valores positivos de x, la función es creciente. Ejemplo; 49 - Si a > 0, las curvas irán hacia arriba, la gráfica estará en el primer y segundo cuadrante. El recorrido son todos los números reales positivos. En este caso, para todos los valores negativos de x, la función es creciente, y para todos los valores positivos de x, la función es decreciente. Ejemplo; 50 2.4- Cuando el exponente es impar negativo. Si el exponente n de la función f(x) = axn es un número impar negativo, la función tiene dos asíntotas, que son los ejes x e y. El dominio de la función son los números reales diferentes de 0. El recorrido de la función son los números reales diferentes de 0, independiente del valor que tome a. - Pero, si a < 0, la gráfica estará en el segundo y cuarto cuadrante. La función es creciente. Ejemplo; 51 - Si a > 0, la gráfica estará en el primer y tercer cuadrante. La función es decreciente. Ejemplo; 52 ➢ Ejercicio de Función Potencia 1) Si una función real de la forma f(x) = a • xn. Se puede determinar los valores de "a" y "n", si se sabe que: (1) f(1) = 1 (2) f(2) = 8 A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional Lo primero que tenemos es una función potencia de la forma f(x) = a • xn, donde "x" es la variable, "a" es un número real distinto de cero y "n" es el número natural distinto de uno. Ahora, de acuerdo a la información dada en (1), donde f(1) = 1, se tiene que x = 1. En consecuencia, podemos determinar el valor de "a", pero seguimos desconociendo el de "n". Por lo tanto, (1) por sí sola no resuelve la pregunta. En cuanto a (2), si f(2) = 8, x = 2; lo cual no nos permite definir el valor de "a" y tampoco el de "n". Entonces, (2) por sí sola no es suficiente para entregar solución a lo solicitado. ¿Pero qué ocurre si juntamos ambas alternativas? Con la ecuación (1) tenemos el valor de "a", el que al ser reemplazado en (2) nos da: f(x) = a • xn f (2) = 1 • 2n = 8 f (2) = 1 • 23 = 8 Por lo tanto, los valores de "a" y "n", sólo se pueden conocer con (1) y (2) juntas; lo que transforma a la letra C) en la respuesta correcta. 53 CAPÍTULO 3: GEOMETRÍA • Homotecia de Figuras Planas ➢ Definición Homotecia 54 55 ➢ Ejercicio Homotecia 1) 56 2) 57 58 • Razones Trigonométricas en triángulos Rectángulos 59 Razones trigonométricas de ángulos característicos El seno, coseno y tangente de los ángulos más característicos (tales como 0º, 30º, 45º, 60º, 90º, 180º y 270º) son: 60 Cualquier razón trigonométrica se puede expresar en función de cualquier otra. En la siguiente tabla se puede ver la fórmula con la que se expresa cada una en función de la otra. Nota: el signo ± que corresponde en cada caso depende del cuadrante en que esté el ángulo. 61 62 63 64 65 66 67 68 ➢ Ejercicios razones trigonométricas 1) Resolución: 69 2) Resolución: 70 3) 71 4) 72 73 CAPÍTULO 4: PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA • Medidas de dispersión Una vez determinado el valor que caracterizará el centro de la muestra, se hace necesario describir la dispersión de los valores en torno a ella. 1) Margen de variación : recorrido, rango o amplitud. Corresponde a la diferencia entre valores máximos y mínimos en una distribución. Tiene la ventaja de expresarse en las mismas unidades que los datos originales y ser fácil de calcular. Su desventaja es que sólo considera a dos datos en el cálculo por lo que su uso está restringido a cuando se quiere una medida rápida de la dispersión de la muestra. 2) Variación: Si los datos tienen una distribución aproximadamente normal,para definir una medida de dispersión en que participen todas las observaciones de la muestra se puede usar la distancia (desviación) entre cada dato y la media siendo el promedio de esas desviaciones una medida de la dispersión . El problema es que la mitad de los valores serán negativos con respecto a los medios y la otra mitadserán positivos resultando el promedioconunvalor de ceroo cercano a él. En el primer ejemplo, el cálculo sería de (-4)+(-2)+0+(+2)+(+4)= 0 (el resultado de sumar las diferencias de 16-20, 18-20, 20- 20, 22-20 y 24-20). El error aquí es considerar a las distancias con un valor negativo cuando en realidad todas son positivas en términos absolutos. Una salida es usar solo estos valores absolutos de las diferencias pero esto complica las matemáticas de los cálculos posteriores. Por ello se recurre a elevar las distancias al cuadrado con lo que se eliminan los negativos; en el ejemplo, 16+4+0+4+16. Para estimar la varianza del universo se divide por N, el número de individuos y para calcular la de la muestra se divide por n-1. La unidad de la varianza es el cuadrado de la unidad de la variable en cuestión: por ejemplo, la varianza de los pesos será en kg2 y la de las alturas será expresada en cm2 o m2. 3) Desviación estándar o típica : Para no trabajar con cifras al cuadrado, se saca la raíz cuadrada de la varianza resultando en la desviación estándar. Es importante destacar que tanto la varianza como la desviación estándar toman a la media como centro al calcular la dispersión y que la media y la varianza o la desviación estándar, por sí solas, describe completamente a una distribución normal, pero solo a una distribución normal. A la media ya la desviación estándar se les denomina parámetros ya las pruebas de inferencia que las utilizan en su desarrollo se les denomina paramétricas (por ejemplo, t de Student, ANOVA). Como no se describe matemáticamente a distribuciones que no son normales no deben usarse en estos 74 casos pues carece de sentido hacerlo (por ejemplo, promedio de clasificación ASA), ni tampoco usar las pruebas paramétricas para hacer inferencias acerca de variables que siguen esas distribuciones. 4) Coeficiente de variación: es la desviación estándar expresada como porcentaje de la media aritmética. Sirve para expresar y comparar las necesidades relativas en dos conjuntos de valores expresados en unidades diferentes. Asume que la desviación estándar es proporcional a la media lo que no siempre es así. 5) Cuartiles, deciles y percentiles : representan la división de la distribución por aquellos valores que la dividen en una determinada proporción. Los valores que la dividen en cuartas partes se denominan cuartiles; en décimas partes, deciles; en centésimas partes, percentiles. Se utilizar en aquellos casos en que se usó la mediana como parámetro de posición central (Figura 2). 75 Figura 2 La mediana divide a la población en dos mitades, mientras que los percentiles 25 y 75 encierran entre ellos también a la mitad de la población y dejan por fuera 25% a cada lado. Las relaciones que existenentre las distintas medidas de posición central en una distribución normal y cuando no lo es se aprecian en la Figura 3. En una distribución normal, la media, la mediana y el modo son coincidentes. Cuando la distribución no es normal, las medidas de distribución central difieren entre sí, la diferencia que será mayor mientras mayor sea la divergencia con una distribución normal. Si la media es mayor que la mediana la distribución está sesgada hacia la derecha y si es menor que la mediana está sesgada a la izquierda. Figura 3 Medidas de posición central y distribución. Se observa coincidencia de la media, mediana y moda cuando la distribución es normal y diferencias entre ellas cuando la distribución es sesgada. En la Figura 3 se puede ver gráficamente que las medidas de dispersión paramétricas pierden su capacidad descriptora en una distribución sesgada: al restablecer dos desviaciones estándares de la media calculada podemos obtener cifras negativas cuando en la realidad no pueden serlo. Por ejemplo, cuando el tiempo de despertar después del fin de una anestesia tiene una media de 4,5 minutos y 3,9 de desviación estándar, producto de unos pocos pacientes que tomó mucho tiempo en despertar aunque lamayoría lo hicieron dentro de los primeros10 minutos (sesgo positivo); Usar estos parámetros implicaría que parte de los pacientes nunca se durmieron pues “despertaron” antes de iniciar la anestesia (lo que causaría gran placer a algunos con aquella definición de anestesista como “alguien semidormido cuidando a un paciente semidespierto…”). 76 La correspondencia entre las distintas medidas de dispersión, percentiles y desviaciones estándar, cuando una distribución es normal, han sido dibujadas en la Figura 4. Los percentiles 2,5 y 97,5 coinciden aproximadamente con dos desviaciones estándar por debajo y por arriba de la media respectivamente, cifras que vale la pena retener para cuando se hable de inferencias y umbrales de significación. Figura 4 Correspondencia entre percentiles y desviaciones medidas estándar desde la media. 77 En general, se puede decir que cuando el valor de una variable en un individuo dado tiene mayor probabilidad de estar cerca del valor del promedio de los valores de todos los individuos de esa población y con igual probabilidad de estar por sobre o por debajo de esa cifra, entonces se debe usar la media y la desviación estándar. Cuando el valor de la variable tiene mayor probabilidad de caer bajo o sobre la media entonces es mejor usar la mediana y por lo menos dos otros percentiles. ➢ Error estándar de la media No es una estimación de ninguna cantidad en la población por lo que no debe usarse como una representación de la adicional de la muestra. Si se menciona en este artículo es precisamente para recalcar esto, pues es un error que se comete con frecuencia, a veces premeditadamente. El error estándar de la media es un número hipotético que cuantifica la certeza con que la media que hemos obtenido en una muestra aleatoria representa la verdadera media de la población desde la cual tomamos la muestra. Esta certeza aumenta en la medida que aumenta el tamaño de la muestra y por lo tanto el error estándar de los medios disminuyendo en la medida que es mayor el n de la muestra aun cuando la varianza permanece igual. 78 • Probabilidad Condicional 79 80 81 • Permutación Combinatoria 82 83 84 85 86 87 88 89 90 ➢ Ejercicio Resuelto 1) 91 • Modelos Probabilísticos ➢ Funciones de Probabilidad 92 93 94 95 ➢ Distribución Binomial la distribución binomial es una forma de calcular cómo se distribuyen las probabilidades en situaciones donde solo hay dos posibles resultados: un éxito o un fracaso. Esta se aplica cuando realizamos una serie de pruebas, todas independientes entre sí, y queremos saber cuántas veces ocurrirá un evento específico, como obtener cara al lanzar una moneda varias veces. Por ejemplo, si lanzamos una moneda cinco veces y queremos saber cuántas veces saldrá cara, este escenario se ajusta perfectamente a lo que llamamos distribución binomial. Aquí, definimos sacar cara como nuestro éxito y contamos cuántas veces sucede esto en nuestros lanzamientos. Por tanto, la distribución binomial nos ayuda a entender la probabilidad de que algo suceda o no, en situaciones donde solo hay dos opciones y hacemos varias pruebas para verificarlo. 96 Propiedades de la distribución binomial Para que una variable aleatoria se considere que sigue una distribución binomial, tiene que cumplir las siguientes propiedades: • • • • • • • En cada ensayo, experimento o prueba solo son posibles dos resultados (éxito o fracaso). La probabilidad del éxito ha de ser constante. Esta se representa mediante la letra p. La probabilidad de que salga cara al lanzar una moneda es 0,5 y esta es constante dado que la moneda no cambia en cada experimento y las probabilidades de sacar cara son constantes. La probabilidad de fracaso ha de ser también constate. Esta se representa mediante la letra q = 1-p. Es importante fijarse que mediante esa ecuación, sabiendo p o sabiendo q, podemos obtener la que nos falte. El resultado obtenido en cada experimento es independiente del anterior. Por lo tanto, lo que ocurra en cada experimento no afecta a los siguientes. Los sucesos son mutuamente excluyentes, es decir, no pueden ocurrir los 2 al mismo tiempo. No se puede ser hombre y mujer al mismo tiempo o que al lanzar una moneda salga cara y cruz al mismo tiempo. Los sucesos son colectivamente exhaustivos, es decir, al menos uno de los 2 ha de ocurrir. Si no se es hombre, se es mujer y, si se lanza una moneda, si no sale cara ha de salir cruz. La variable aleatoria que sigue una distribución binomial se suele representar como X~(n,p), donde n representa el número de ensayos o experimentos y p la probabilidad de éxito. 97 Fórmula de la distribución binomial La fórmula para calcular la distribución normal es: Donde: n = Número de ensayos/experimentos x = Número de éxitos p = Probabilidad de éxito q = Probabilidad de fracaso (1-p) Es importante resaltar que la expresión entre corchetes no es una expresión matricial, sino que es un resultado de una combinatoria sin repetición. Este se obtiene con la siguiente formula: El signo de exclamación en la expresión anterior representa el símbolo de factorial. 98 Ejemplo de distribución binomial Imaginemos que un 80% de personas en el mundo ha visto el partido de la final del último mundial de fútbol. Tras el evento, 4 amigos se reúnen a conversar, ¿Cuál es la probabilidad de que 3 de ellos hayan visto el partido? Definamos las variables del experimento: n = 4 (es el total de la muestra que tenemos) x = número de éxitos, que en este caso es igual a 3, dado que buscamos la probabilidad de que 3 de los 4 amigos lo hayan visto. p = probabilidad de éxito (0,8) q = probabilidad de fracaso (0,2). Este resultado se obtiene al restar 1-p. Tras definir todas nuestras variables, simplemente sustituimos en la formula. El numerador del factorial se obtendría de multiplicar 4*3*2*1 = 24 y en el denominador tendríamos 3*2*1*1 = 6. Por lo tanto, el resultado del factorial sería 24/6=4. Fuera del corchete tenemos dos números. El primero sería 0,8^3=0,512 y el segundo 0,2 (dado que 4-3 = 1 y cualquier número elevado a 1 es el mismo). Por tanto, nuestro resultado final sería: 4*0,512*0,2 = 0,4096. Si multiplicamos por 100 tenemos que hay una probabilidad del 40,96% de que 3 de los 4 amigos haya visto el partido de la final del mundial. 99 CAPITULO 5: PALABRAS DE MOTIVACIÓN Solo asegúrate que esa 100
