Función derivada Si una función 𝑓 es derivable en un punto 𝑎 del dominio, el valor 𝑓’(𝑎) considerado como imagen para cada punto 𝑎 del dominio donde 𝑓 es derivable, permite definir una nueva función 𝑓’ que se llama función derivada de f. 𝑓 ′ : 𝐷𝑓′ 𝑐 𝐷𝑓 → 𝑅 𝑥 → 𝑓 ′ (𝑥) = lim ℎ→0 𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥) ℎ siendo 𝐷𝑓′ el subconjunto del dominio de 𝑓 formado por los puntos en los que 𝑓 es derivable. Álgebra de derivadas DERIVADA DE UNA SUMA (O DIFERENCIA) La suma (o diferencia) de dos funciones derivables es derivable, y su derivada es la suma (o diferencia) de las derivadas de dichas funciones. Es decir: Si 𝑓 y 𝑔 son funciones derivables en un mismo conjunto D, su suma (o diferencia) es derivable y es: (𝑓 + 𝑔)′ (𝑥) = 𝑓 ′ (𝑥) + 𝑔′(𝑥) (𝑓 − 𝑔)′ (𝑥) = 𝑓 ′ (𝑥) − 𝑔′(𝑥) Demostración (suma): (𝑓 + 𝑔)(𝑥 + ℎ) − (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = ℎ→0 ℎ (𝒇 + 𝒈)′ (𝒙) = lim 𝑓(𝑥 + ℎ) + 𝑔(𝑥 + ℎ) − (𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)) 𝑓(𝑥 + ℎ) + 𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = lim = ℎ→0 ℎ→0 ℎ ℎ lim 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥) = lim [ + ] ℎ→0 ℎ→0 ℎ ℎ ℎ 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥) = lim + lim = 𝒇′ (𝒙) + 𝒈′(𝒙) ℎ→0 ℎ→0 ℎ ℎ = lim DERIVADA DE UN PRODUCTO El producto de dos funciones derivables en un mismo conjunto D es derivable, y su derivada es la suma del producto de la primera función sin derivar por la derivada de la segunda, más la derivada de la primera por la segunda sin derivar. Es decir: Si 𝑓 y 𝑔 son funciones derivables, el producto es derivable y es: (𝑓. 𝑔)′ (𝑥) = 𝑓(𝑥). 𝑔′ (𝑥) + 𝑓 ′ (𝑥). 𝑔(𝑥) Demostración: (𝑓. 𝑔)(𝑥 + ℎ) − (𝑓. 𝑔)(𝑥) 𝑓(𝑥 + ℎ). 𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) = lim = ℎ→0 ℎ→0 ℎ ℎ (𝒇. 𝒈)′ (𝒙) = lim (Aquí realizamos un artificio: sumar y restar un término: 𝑓(𝑥 + ℎ). 𝑔(𝑥) ) 𝑓(𝑥 + ℎ). 𝑔(𝑥 + ℎ) + 𝑓(𝑥 + ℎ). 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥 + ℎ). 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) = ℎ→0 ℎ = lim (Reordenamos y luego sacamos factor común) 𝑓(𝑥 + ℎ). 𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥 + ℎ). 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥 + ℎ). 𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥). 𝑔(𝑥) = lim = ℎ→0 ℎ 𝑓(𝑥 + ℎ). [𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)] + 𝑔(𝑥). [𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)] = ℎ→0 ℎ = lim (Aplicamos: límite de suma es suma de límites y luego: lim. de producto es prod. de lim) 𝑓(𝑥 + ℎ). [𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)] 𝑔(𝑥). [𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)] + lim = ℎ→0 ℎ→0 ℎ ℎ = lim 𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) + lim 𝑔(𝑥) . lim = ℎ→0 ℎ→0 ℎ→0 ℎ ℎ = lim 𝑓(𝑥 + ℎ) . lim ℎ→0 𝒇(𝒙) 𝒈′(𝒙) 𝒈(𝒙) 𝒇′(𝒙) (Como 𝑓 es derivable, por lo tanto es continua, y entonces podemos afirmar que lim 𝑓(𝑥 + ℎ) = 𝑓(𝑥) ℎ→0 Además 𝑔(𝑥) es constante respecto de ℎ, por eso lim 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑥) ) ℎ→0 Luego: (𝒇. 𝒈)′ (𝒙) = 𝒇(𝒙) . 𝒈′ (𝒙) + 𝒈(𝒙) . 𝒇′(𝒙) Derivada de la función inversa Si 𝑓 es una función biyectiva con derivada finita no nula en 𝑥, entonces la función inversa 𝑓 −1 es 1 ′ 1 derivable en 𝑓(𝑥) y su derivada es 𝑓′ (𝑥) , es decir: 𝑓 −1 [𝑓(𝑥)] = 𝑓′ (𝑥) Demostración: Por ser 𝑓 y 𝑓 −1 funciones inversas entre sí, su composición es igual a la función identidad: 𝑓 −1 [𝑓(𝑥)] = 𝑥 Derivando ambos miembros y aplicando la regla de la cadena en el primer miembro: ′ 𝑓 −1 [𝑓(𝑥)] . 𝑓 ′ (𝑥) = 1 Como por hipótesis 𝑓 ′ (𝑥) ≠ 0, dividimos ambos miembros por 𝑓 ′ (𝑥) y nos queda: ′ 𝒇−𝟏 [𝒇(𝒙)] = 𝟏 𝒇′ (𝒙) como queríamos demostrar. Método logarítmico de derivación La regla de derivación de funciones compuestas o regla de la cadena aplicada a la composición ℎ𝑜𝑔 cuando ℎ es la función logaritmo natural, es muy útil en ocasiones para hallar derivadas, por ejemplo para funciones de tipo potencial – exponencial. En los puntos donde está definida la composición: (ℎ𝑜𝑔)(𝑥) = ℎ(𝑔(𝑥)) = ln[𝑔(𝑥)] 1 derivando queda (ℎ𝑜𝑔)′ (𝑥) = 𝑔(𝑥) 𝑔′(𝑥) , y por lo tanto: 𝑔′ (𝑥) = (ℎ𝑜𝑔)′ (𝑥) . 𝑔(𝑥) La utilidad del método se da principalmente cuando en la función que se quiere derivar hay un exponente que es función de la variable, y al aplicar logaritmo, la función que estaba en el exponente deja de aparecer como tal puesto que se multiplica por el logaritmo de la base; esto permite derivar como se deriva un producto. Entonces el método consiste en: 1) aplicar 𝑙𝑛 a la función que se quiere derivar, 2) aplicar la propiedad de logaritmo: 𝑙𝑛 𝑎𝑚 = 𝑚 𝑙𝑛 𝑎 , 3) derivar ambos miembros, 4) finalmente despejar la derivada requerida. Veámoslo con el caso más común que es el de una función potencial – exponencial, es decir, una función de 𝑥 elevada a otra función de 𝑥: 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) Supongamos que queremos hallar la derivada de 𝒚 = 𝒇(𝒙)𝒈(𝒙) . 1) En la expresión 𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) aplicamos 𝑙𝑛 en ambos miembros: 𝑙𝑛 𝑦 = 𝑙𝑛[𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) ] 2) Aplicamos al segundo miembro la propiedad del logaritmo de una potencia: 𝑙𝑛 𝑦 = 𝑔(𝑥). 𝑙𝑛[𝑓(𝑥)] 3) Derivamos ambos miembros de la igualdad anterior: 1 ′ 1 𝑦 = 𝑔′ (𝑥). 𝑙𝑛[𝑓(𝑥)] + 𝑔(𝑥) . . 𝑓 ′ (𝑥) 𝑦 𝑓(𝑥) 4) Despejamos 𝑦’ puesto que es lo que se requiere, es decir, la derivada de 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) : 1 𝑦 ′ = [𝑔′ (𝑥). 𝑙𝑛[𝑓(𝑥)] + 𝑔(𝑥) . . 𝑓 ′ (𝑥)] . 𝑦 𝑓(𝑥) Nos queda: 𝟏 𝒚′ = [𝒈′ (𝒙). 𝒍𝒏[𝒇(𝒙)] + 𝒈(𝒙) . 𝒇(𝒙) . 𝒇′ (𝒙)] . 𝒇(𝒙)𝒈(𝒙)