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PROBLEMAS DE EJERCICIOS DE ANALISIS MATAMATICO www.FreeLibros.me G. B a r a n e n k o v , B , D e m id o v i c h , V . E fim e n k o , S . K o g a n y G. L u n ts t É . P o r s h n e v a , Z?. Siofeoya, 5 . F r o l o v , ñ . Shostak y A . Y a n p o ls k í PROBLEMAS Y EJERCICIOS DE ANALISIS MATEMATICO .floyisac/o p o r p ro/esor D em id o v ich S egu n d a edición EDITORIAL MIR • M o s c ú 19 6 7 www.FreeLibros.me PRO LO G O E n el p resen te li b r o , lo s p r o b le m a s y e je r c ic io s de a n á lisis m a t e m á t ic o se h a n e s c o g id o de acu erdo c o n el program a m á x im o d e l c u r s o general de m a te m á tic a s su periores q u e se estudia en lo s c e n tr o s de enseñanza t é c n ic a su p erior. C o n tien e m ás de 3000 p ro b le m a s s is te m a tiz a d o s en c a p ít u lo s (I — X ) y abarca la t o t a li dad de la s p a r te s q u e c o n s t i t u y e n el cu rso de m a te m á tica s su periores de lo s m e n cio n a d o s c e n tr o s de en señ a n za (e x c e p t o la g eom etría a n a lític a ). S e ha prestado e s p e cia l a t e n c ió n a la s partes q u e, por ser m ás im p o r ta n te s , requ ieren una m a y o r p r á c tica (d e te rm in a ció n de l ím it e s , t é c n ic a de d ife r e n c ia c ió n , c o n s tr u c c ió n de las g rá fic a s de la s fu n c io n e s , t é c n ic a de in t e g r a c ió n , a p lic a c ió n de las in te g rales d e fin id a s , series y r e s o lu c ió n de e cu a cio n e s d ife re n cia le s ). T e n ie n d o en c u e n ta que en alg u n os c e n tr o s de ensoñanza s u p e r io r se e x p lic a n c a p ít u lo s su p le m e n ta rio s al c u r s o de m a te m á t ic a s , lo s a u tore s h a n in c lu id o p ro b le m a s de te o ría de lo s ca m p o s , del m é t o d o de F o u r ie r y de cá lcu lo s a p ro x im a d o s. La práctica p e d a g ó g ic a dem u estra q u e el núm ero de p rob lem a s que se ofrecen , no s ó l o es m á s q u e s u f ic ie n t e para c u b r ir la s necesidades de los e s t u d ia n te s c a p ítu lo s para r e fo r z a r p r á c tic a m e n te e l c o n o c im ie n t o de los co r re s p o n d ie n te s, s in o que ta m b ié n da al p ro fe s o r la p o s ib ilid a d de h a c e r una s e l e c c i ó n v ariad a de lo s p rob lem a s dentro de lo s lim it e s de c a d a ca p ítu lo y de e le g ir lo s n e ce sa rios para la s ta re a s de resum en y l o s tr a b a jo s de c o n tr o l. A l p r i n c i p i o de ca d a c a p ít u lo se da u n a b re v e in tro d u c ció n t e ó r ic a y las d e f in ic io n e s y fórm u la s m ás im p o r ta n te s relativas a la p a rte co rre s p o n d ie n te del c u r s o . A l m is m o tie m p o se ofrecen e je m p lo s de re s o lu c ió n de lo s problem as típ ic o s más interesantes. www.FreeLibros.me 6 P ró lo g o C on e llo creem os h a b er fa c ilita d o a lo s e stu d ia n te s el e m p le o de este m a n u a l de p ro b le m a s a l r e a liz a r sus tr a b a jo s in d iv id u a les. Se dan la s s o lu c io n e s de todos lo s problem as do c á lc u lo . En las s o lu c io n e s de aqu ellos problem as q u e v a n m arcados c o n un a ste ris co (*), o c o n dos (**), se i n c lu y e n b rev es in d ic a c io n e s para su r e s o lu c ió n o r e s o lu c io n e s . P arte de lo s p ro b le m a s se ilu stra n con fig u ra s para h a cerlo s más co m p r e n s ib le s . E ste m anual de problem as es el resu ltado de la r g o s años de enseñanza de la d is c ip lin a , p o r p a rte do los autores, en los cen tros de enseñanza té c n ic a de la U n ió n S o v ié tica . problem as se y e jo r c ic io s o rig in a le s , h an p rob lem a s c u y o co n o c im ie n t o es genoral. www.FreeLibros.me E n é l, adem ás de re c o g id o n u m erosos C a p ítu lo I IN T R O D U C C IO N A L A N A L I S I S § 1, Concepto de fu n c ió n I o. N ú m e r o s r e a l e s . Lo s nú m eros racion a les e irra cio n a le s se d e n o m in a n nú m eros reales. P o r valor absoluto de u n núm ero real a so e n t ie n do u n núm ero 110 n e g a tiv o |a|, d e term in a d o p o r las c o n d icio n e s : \ a \ ~ a y s i a ^ O y \ a \ = — a, si a < 0 . Para d os números reales cualesquiera a y b so v e r i f i c a la d esig u a ld a d 2o. D e f i n i c i ó n d e l a f u n c i ó n . Si a cada u n o do ios v a lores *) q ue puedo to m a r u n a m a g n itu d v a r ia b le x , perten ecien te a un determ inado c o n ju n t o E y c o rre s p o n d o u n v a l o r ú n ico , f in it o y d eterm inado do la m ag nitud y , esta m a g n itu d y recib e e l nom b re de /unción (uniform o) de x y o de variable dependiente determ in a d a on el c o n ju n to E\ x se llam a argumento O variable independiente. E l hecho do q ue y sea fu n ció n de x so expresa ab revia d a m en te p o r m e d io de las n o ta cio n e s: y = f ( x ) o y = F { x ) y etc. Si a ca d a uno de lo s v a lo re s q ue pueda lom a r x y perten ecien te a un d e t e r m in a d o c o n ju n to E , corresp on d e n uno o v a rios v a lores do la m agnitud v a ria b lo y y esta m a g n itu d y so llam a función m ultiform e de x y d eterm iuada en el c o n ju n t o E . fcn lo su cesivo , co n la palabra « fu n c ió n » designarem os ú n ic a m e n te las fu n cio n e s u n i f o r m e s , siem pre que de fo rm a e x p líc it a no se p re v e n g a lo con trario. 3°. C a m p o d e e x i s t e n c i a d o l a f u n c i ó n . E l c o n ju n to de v a lores do x y que d e te rm in a n la fu n c ió n dada, so llam a campo de existencia o campo de definición de la fu n ción . E n los casos más elem e n ta les, e l ca m p o de e x isten cia de las funciones representa: o u n segmento [a y b), os d e cir, u n c o n ju n to de núm eros reales x t que sa tis fa ce n a las desigualdades o u n intervalo (a, b )y es decir, un c o n ju n t o de n ú m o r o s rea les x , que sa tis fa ce n a las desigualdades a <^x <^b. Pero la estru ctu ra d e l cam po de ex isten cia de las fu n cio n e s puode ser aún m ás c o m p le ja (véase, p o r o j . , el p ro b le m a 21). Ejem plo 1. D e te rm in a r el cam po de e x iste n cia de la fun ción 1 u — -----------Solución. . La f u n c i ó n estará d e fin id a si * 2- l > 0, es d e cir, s í |^ |> 1. Do esta fo rm a , el cam po de ex isten cia de la fun ción representa u n c o n ju n to de dos in te r v a lo s : — o o O < — 1 y 1< * < -| -co . *) En adelanto, to d o s lo s v a lo re s de las inagnitudos que se exam ínen se supondrán reales, siem pre q ue de m anera e x p líc it a n o se indique lo co n tra rio . www.FreeLibros.me 8 Introducción al análisis 4 o. F u n c i o n e s i n v e r s a s . Si la e c u a c ió n y = j (s) a d m ite s o lu c ió n ú n ic a resp ecto a Ja v a ria b io x y es d e cir, s i e x is te una fu n ció n x = g ( y ) t a l, que y = j [ g { y ) I, la fu n c ió n ar= £ ( y ) , o s ig u ie n d o las n o ta cio n e s usuales y — g( z ) > se llam a inversa co n r e la c ió n a y = f { x ) . Es e v id e n te q ue g [ f ( x )j = = x , es decir, que las fu n cion e s / (x) y g ( x ) son recíprocam ente inversas. En el caso general, la ecuación y = f ( x ) determinará una función mul tiforme inversa x = = f - * { y ) tal, que y = / ( / “ * (y)) para todas las y , que sean valores de la función j (x). Ejem plo 2. Determinar la inversa do la función y = 1 — 2~*. Solución. (1) Resolviendo la ecuación (1) respecto a x, tendremos: 2” x = 1— y y • lg 2 Es e v id e n te q ue el ca m p o de d e f in ic i ó n (2) de la fu n c ió n (2) será: —a > < y < l . 5o. F u n c i o n e s c o m p u e s t a s o i m p l í c i t a s . La función y de x, dada por una cadena de igualdades y = /(u ), donde u = (p(x), etc,, se llama compuesta o junción de junción. La fu n ció n dada por una e c u a c ió n que n o está resuelta c o n respecto a la v a ria b le d ependiente, r e c ib o el nom b ro de im plícita. P o r e je m p lo , la e c u a c ió n x 3 + y :* = 1 determ ina a y com o fu n ció n im p lí c it a de x . 6o. R e p r e s e n t a c i ó n g r á f i c a d e l a s f u n c i o n e s . E l con ju n to de pu n tos (x , y ) de un p la n o X O Y f cu yas coordenadas estén rolacionadas e n t r e s í p o r la e c u a c ió n y = / { x ) , s o denom ina gráfica do d ich a fu n ción . i* * . D em ostrar, que si a y b so n n ú m eros reales I M ~ - | f r | | < | a — fcl < l « l + I H 2. D em ostra r la s s ig u ie n te s ig u a lda des: a) |« 6 ( = ¡a | -j & |; c ) |~ | b) | a |2 = a 2; d) (b 0 ); y«*= | a| . 3. R e s o lv e r la s in ecu a cio n e s: a) 1íc — 1 j < 3; b) | * + 1 1> 2 ; c) | 2 a ? + l| < l; d) \ x — 1 1< [ a : - ( - l |. 4. H a lla r / ( — 1). / ( O ) , / ( 1 ) , / ( 2 ) , / ( 3 ) y / ( 4 ) , si f ( x ) = x s — 6a:2 + l i s — 6 . 5 . H a lla r / ( O ) , = / / ( . /(-* ), / (± ) . ^ , si / ( * ) = 1 4 -x*. *) lg x = log 10x, como siempre, designa el logaritmo decimal del número x. www.FreeLibros.me Concepto d e la ju nción 6 . Sea / ( x) = a re e o s (Ig z ) . H a lla r / ( ¿ ) , 9 / ( 1 ) Y / (10). 7. L a fu n c ió n f ( x) es lin e a l. H a lla r dicha f u n c ió n , si / ( — 1) — 2 y / ( 2 ) = - B . 8 . H a lla r la fu n c ió n entera y ra cion a l de segu n do grado } (x), si / (0) = 1, / (1) = 0 y / (3) = 5. 9. S e sabe que, / ( 4 ) = — 2 y / ( 5 ) = 6 . H a lla r el v a lo r apro x im a d o de / (4 , 3), con sid era n do q u e la fu n c ió n / (£ ), en el seg m e n to 4 < £ < 5 , es lin e a l ( in ter p o la ció n lin e a l d e fu n cio n es). • 1 0 . E s c r ib ir una s o la fó rm u la q u e exprese la fu n c ió n 0 , si £ < 0 , /< * ) = x , si x > 0 , em pleando el sign o de v a lo r a b s o lu to . D eterm in ar e l ca m p o de e x iste n cia de la s sig u ie n te s fun ciones: 11 . a) y = V x + 1 ; 12 . J b ) y = y rx + L 4 — ar2 13. a) y - V z * — 2; b) y ^ = x Y ^ ~ 2 - 1 4 * .. y ^ Y 2 -\ -x — x'K 15. y —V — £ + 16. y = Y x ~ £ 3, 17- V= 4o i 1/ 2 - 1- — 3* + 2 19. y = are eos 73— . 1n~x 20 . y = are sen ^ lg 21. y — Y sen2x. 22. Sea / (£) = 2 a 4 — 3£3 — 5 í 2 - f 6x — 1 0 . H a lla r . <f(x) = - j [ f ( x ) + f ( - x ) ] 23. y = T l/(* )“ /(-* )!■ La fu n c ió n / ( s ) , determ inada en e l c a m p o sim é trico — se denom ina par, si / ( — z ) = / ( z ) > e si / ( - * ) = — /(£ ). www.FreeLibros.me 10 Introducción al análisis D etorm in ar, cu á les impares: cu á les de las sig u ien tes a) / ( * ) - i - (a* + 0 fu n c io n e s son pares y ; b) f { x ) = Y í + x + x 2— ] /r l — x + x*; c) / (*) = ^ ( S + I ) 5+ d) / (* ) = i g | í f ; e) / ( x ) = l g (a:+ 1 /1 + **). 24*. D em ostrar que cu a lq u ie r fu n c ió n / (a:), determ inada en el in te rv a lo — l < C x < l , puede representarse com o la suma de una fu n c ió n par y otra impar. 25. D em ostrar q u e el p r o d u cto de dos fu n cion es pares o de d o s impares es una fu n c ió n par, m ien tra s que el p ro d u cto de una fu n c ió n par por otra im par e s una fu n c ió n impar. 2 6 . La fu n c ió n / (x) se llam a p e r ió d ic a , si e x iste un número p o s it iv o T (p erío d o d e la ,f u n ción ) ta l, que f ( x + T) = f ( x ) para todos lo s v a lores de x perten ecien tes al c a m p o de e x is te n cia de la fu n c ió n f ( z ) . D e te rm in a r cuáles de las fu n cio n e s que so enum eran a c o n t i n u ación son periód ica s y h a lla r el período m ín im o T de la s m is mas: a) / (x) = 10 sen 3x; b) / ( x) = a sen X z + b eos X x ; c) f ( x) = y tgx; d) / ( s ) = sen* x ; e) f ( x ) ^ s e n { V x ) . 27. E xpresar la lo n g itu d del segm en to y = M N y el área S de la fig u r a A M N com o f u n c i ó n de x = A M ( f i g . 1). C on struir Jas g rá fic a s de estas fun ciones. 28. Las densidades lin eales (es d e cir, la masa de una unidad de lo n g itu d ) de una barra A B = l { fig . 2 ) en sus porcion es A C — l i9 C D = l 2 y D B = l3 ( l { + l 2~\- k = l) son resp ectiva m en te ig u a les a qi9 ?2 y <?3- Expresar la masa m do una p o r c ió n v a r ia b le A M = x de esta m ism a barra, com o fu n c ió n de x . C on stru ir la g r á fic a de esta fu n c ió n . 29. H a lla r q>[i|)(:r)| y ip [q> (o:)], si y ( z ) = z 2 y ^ ( x) = 2x . 30. H a lla r / { / [ / ( * ) ] } , si f ( x ) = T~ . www.FreeLibros.me 11 Concepto de la función 3 1 . H a lla r / (a: 1 ), si / ( x — l ) = x2. 3 2 . Sea f (re) la suma de n m iem b ros de m ética . D em ostrar que: una progresión arit / ( n + 3 ) - 3 / ( i» + 2 ) '+ 3 /( n + l ) - / ( n ) « 0. 3 3 . D em ostrar quo, si f(x ) = kx + b y lo s núm eros x , t x¡¡ y x 3 c o n s titu y e n una progresión a ritm é tic a , ta m b ié n form arán una progresión a ritm é tic a lo s núm eros f f a ) , / { * a ) y /(a ra ). 3 4 . D em ostra r q u e, s i f ( x ) es una fu n c ió n d e cir, f { x) = ax ( a > 0 ), y lo s núm eros x u y x s ex p on en cia l, es co n stitu y e n una a M l r■'/ü- Fig. 2 Fig. 1 progresión a r itm é tic a , lo s núm eros f ( x 4), f ( x 2) y una progresión geom étrica. 3 5 . Sea f ( x 3) forman D em ostrar, que: 36. Sea q > ( a ) = - j (ax + a~x) y i|) (x ) = y (ax — a~x). que: «p ( * + » ) = q> ( * ) ( 0 ) + ♦ ( * > ♦ (if) y •ty{x + y ) = tf(x)-ty ( y) + cp ( y) 37. («)• H a lla r / ( - 1 ) , / (O) y / ( l ) , si /(* )= are sen z , para a re tg x , para 0 < x < + c o . — l < z < 0, www.FreeLibros.me Demostrar 12 Introducción al análisis 38. D eterm in ar las raíces (ceros) y lo s ca m p os p ositivos y do valores n e g a t iv o s de la fu n c ió n y , si a) r/ = l + x ; d) y = x 3 — 3x; b) y = 2 + x — * * ; o) y = i g J Z - . de valores c ) y = 1 — x + x 2; 39. H alla r la fu n c ió n in versa de la y, si: a) y = 2 x + S-, d )y = I g y ; b) y — x 1— 1 ; e) = a r e t g 3x. c ) y — ^T 1— x 8; ¿En q u é ca m p os estarán d efin id a s estas fu n c io n e s inversas? 40. H a lla r la f u n c i ó n in versa de í x, ^ si x < 0 , ( x2, si x > 0 . 41. E scrib ir las fu n cio n e s q u e so dan a c o n t in u a c ió n en form a de cadena de igualdades, de m odo q u e cada u n o de lo s eslabon es con ten ga una fu n c ió n elem ontal sim p le (p o te n c ia l, e x p o n e n c ia l, tr ig o n o m é tr ica , e t c .) : a) y = (2a; — 5)10; c ) r/ = l g t g | - ; b) y — 2 C0S*; d) y = are sen ( 3 - * 2). 42. E scrib ir en fo rm a de una igualdad la s sig u ie n te s fu n cion es com puestas, dadas m edian te una cadena de igualdades: a) y = u2y u = s e n z ; b) í/ = a r c t g i ¿ , u = y v, i> = l g £ ; 2 u, si w < 0 , c ) J/ = 0, si u > 0; t¿ — x 2 — 1 . 43. E scrib ir en form a e x p l í c i t a ecuaciones: la s fu n c io n e s y dadas por las a) x 2—*are eos */ = ji ; b) 10* + 10* = 10 ; c) * + l t f | = 2 y . H alla r lo s cam pos de d e fin ic ió n de las fu n cio n e s i m p l í c it a s dadas. www.FreeLibros.me Hepresentación gráfica de las funciones elementales 13 § 2. R epresentació n g r á f i c a de la s fu n c io n e s ele mentales La c o n s t r u c c ió n de las g rá fica s do las fu n cio n e s y = f { x) se efectú a, on l o fu n da m en ta l, m a rca n d o una red s u ficie n te m e n te n u trid a do puntos ^ i ( x h y i), donde y t = f ( x t) ( ¿ = 0, 1, 2, . . . ) , y un ien do después estos ú lti m os o n tre sí con una lín ea , c u y o carácter debo tener on cuenta la p o s ició n d o los p u n to s in term e d ios. Para hacer las operaciones se recom ien da el em pleo de la regla de cá lcu lo. F lg.3 La c o n s t r u c c ió n de g rá fica s fa c ilita el estu d io de Jas curvas de las fu n cio n e s elem entales mas im p orta n tes (véaso el a pén d ice V I ). P a rtien do de la g rá fica i/ — /<*)• (H c o n ayuda d o c o n s t r u c c io n e s g e o m é trica s elem en ta les ob ten em os las gráfica de las fun cion es: 1) 1/1 = — f (x), q ue es la represen ta ción sim étrica de la gráfica T resp ecto a i eje OX\ 2) y z = t ( — ce), que es la rep resen ta ción s im é tr ic a de la g rá fica T respecto al eje OY\ 3) y 3 = f ( x — a), que es la misma g rá fica V desplazada a lo largo d e l eje O X on la m ag n itu d a; é) y* = &+ / ( * ) » q ue es la propia g rá fica V desplazada a lo largo del eje O Y en la m a g n itu d b ( f i g . 3). E j e m p l o . C on stru ir la g rá fica do la fu n ció n Solución. La línea buscada e s la sin u soid e y = s e n x , desplazada a l o largo del eje O X , hacia la derecha, en la m ag n itu d C on struir las g r á fic a s do las fu n cion es 44. y = k x , si /c = 0, 1, 2, y , lineales ( l í n e a s r e c t a s ) : — 1, — 2. www.FreeLibros.me (fig . 4). 14 Introducción al análisis 45. y = x + b, si 5 = 0 , 4G. z s = l,5 x -t-2 . 1, 2, — 1, — 2. C onstruir las g rá fica s de la s sig u ie n tes enteras de 2 ° g ra d o (p a rá b o la s): 47. y = a z 2, si a = l , 2 t 1/ 2, 48. 49. = fu n cion es ra cion ales — 1, — 2, 0. si c = 0, 1, 2 y — 1. y = (x — x 0)2, si x 0 = 0, 1, 2, — 1. 5 0 . */ = z/o~|-(z — l ) 2, si í/0 = 0, 1, 2 , — 1. 51*. y — ax* + b x + c, s i: 1) a = 1 , fe = — 2, c = 3; 2) a = — 2, 5 = 6 , c = 0. 5 2 . í/ = 2 + x — x 2. H a lla r parábola con ei eje O X . lo s pu n tos de C on struir la s g rá fic a s de la s sig u ie n te s enteras de g ra d o su perior al segundo: in tersección de esta fu n cion es ra cion ales 53*. y = x 3 (parábola cúbica) 54. y = 2 + ( x — l ) 3. 55. y = x d— 3 x + 2. 56. y = x A. 57. y = 2 x z — x4. C on struir la s g rá fica s de las fu n c io n e s h o m o g rá fic a s siguientes (hipérbolas): 58*. y = - . X 6 1 *. ií = j f o fX r—VXq' s i * 0 = 1 » y < ¡ = — 1 » rn = 6 . www.FreeLibros.me Representación gráfica de las funciones elem entales 62* 7/sss— ^ ^ 3^ + 2 C on struir las g rá fic a s fraccionarias: 15 - ‘ 63. y = x+ X de las siguientes fu n cion es racionales . X'2 64. 65*. . 66. y = -Js" 10 67*- ^ = <c»rixj d e A g n esi). 68 * y = 'x £ + a\ (serPent¿na de N ew ton ). 69. y = x + ~y. 70. y ===x 2, - f C on stru ir (tr id e n te d e N ew to n ), la s g rá fic a s de la s fu n cion es irracionales siguientes: 7 1*. i j = - Y x . 72. y = ¥ * ' 7 3*. y = . y ( p a r á b o l a 74. de Nell). y = ± x Y x (p a rá b ola sem icúbica). 7 5*. | / = ± - ^ v 25 — a:2 (¿Zipse). o 76. y = ± Y x 1 — 1 ( h ip érb o la ). 77. I -s á a ;. 78: ¡/= ± x 79. y = ± x ] / r2 5 — x 2. C on struir tricas: (ciso id e d e D io cles ). la s g r á fic a s de la s sigu ien tes 80*. y - - sena:. 8 3*. y ~ c t g x . 81*. y = e o s x . 84*. y = s e c x . 8 2*. j/ = t g x . 8 5*. y = c o s e c x . www.FreeLibros.me fu n cion es trigon om é 16 Introducción ai análisis 86. y — A sen x , si A = 1 , 10 , 2 , --- 2. jr = s e n ( x — <p), s i cp ío|» 88 . II o «• 87*. j/ = s e n n x , si » = 1 , 2, 3 , i - • 3n 2 ’ n, - Jl " 4 • 89*. y = 5 sen (2x — 3). 90*. t/ = a s e n x - f - & c o s x , si a = 6 , b = - 8. 96. y = 1 - 2 cosa;. 92.* y = c o s 2 x. 97. y = sen x — y sen 3 x. 93*. y = x + sen x. 98. y = : COS X •-f- 4 " c o s 2a;. 94*. y — x sen x . JC 99*. y = COS — t X 95. 100 . y = ± y . sena;. 91. y = s e n x -| -c o s x . y = t g 2 x. C onstruir la s g rá fica s de la s sig u ie n tes fu n cio n e s e x p o n e n c ia le s y lo g a rítm ica s: 101 . y — ax > si a — 2 , y , ¿(¿ = 2 ,7 1 8 .'.)* )" 102 *. p = lo g a :c, si a — 10 , 2 , — , e. 103*. = sha;, don de sha: = 4 ' ( * * — 104*. y = c h x , dondo ch x = ( ex -(- e~x) . 105*. y = t h x , dondo t h x = - ^ - ^ - . i 106. y = 10 *. 107*. y = e ~x2 (cu rva d e p roba bilid ad es). 108. i/= 2 **". 1 13. i/ = l g - ¿ - . 109. y = lga;2. 114. y = l g ( - x ) . 110. t/ = l g 2 x. 115. j/ = l o g 2 (1 - f x ) . 111 . t/ = l g ( l g x ) . 116. y = l g (eos 2 ). 112. y= ^ i- 1 17. j/ = 2 - x s e n x . *) V éase más d eta lla d a m en te sob re ei núm ero e en la pág. 26. www.FreeLibros.me R epresen ta ción g rá fica de la s fu n cio n es elem entales C o n stru ir las g r á fic a s trica s in v ersa s: de la s sig u ie n te s 17 fu n cio n e s tr ig o n o m é 118*. //= a r c s e n :K . 122 . y = a r c s e n y . 119*. ?/ = a r c c o s :r . 1 23. y = a r e c o s y . 120*. y = a rctg a r. 1 24. y = x + a r c c t g x . 121 *. y = a r c c t g ;c . C o n s tr u ir la s g r á fic a s de la s sig u ie n te s fu n cio n e s : 125. y = |x |. 126. y = + 1*|). 127. a ) y = x \ x \ ; b ) y = logy^ |a:| . 128. a ) y = sen £ + 1sen re |; b ) y = sena; — |sen x |. 3 — x 1 p a ra | a : | < l ; 129. y = 130. a ) y = [x\, b) y = x — [ x ] , d o n d o [x ] es la p a rte entera del n ú m ero x , es decir, el m a y o r n ú m ero en tero, m en or o igual a x. C on stru ir las g r á fic a s de la s sig u ien tes fu n cio n e s e n e l sistema de co o r d e n a d a s p ola re s (r , cp) ( r > 0 ): 131. r = l (c i r c u n f e r e n c i a ). 132*. r — y (e s p i r a l d e A r q u ím e d e s ). 133*. r = ew (e s p i r a l lo g a r ítm ic a ). 134*. r = ~ { e s p i r a l h ip e r b ó lic a ). 135 . r = 2 eos<p (c ir c u n fe r e n c ia ). 136. r = — -— ( l í n e a recta ). 137 . r = s e c 2-|- (p a r á b o la ). sen fp 138*. r = 1 0 sen 3 cp (r o s a de tr e s p é ta lo s ). 139*. r = a (1 - j- c o s <p) ( a > 0 ) (c a r d io id e ). 140*. r 1 = a ? eos 2 0 ) ( le m n is c a ta ) . C on stru ir la s g r á fic a s de la s sig u ie n te s form a p a ra m étrica : 2-1016 www.FreeLibros.me fu n cion es, dadas e n 18 Introducción al análisis 141*. x = í 39 y = ¿2 (parábola sem icábica). 142*. x = - l O c o s í y y = s e n ¿ (e l ip s e ) . .. ' 143*. x = z l O c o s 3 / , y = 1 0 sen 3 1 (astroid e). 144*. x = z a (eos t^ r i sen í), círcu lo). 145*. x = — » y= y = a (sen ¿ — ¿eosZ) (d e sa r ro llo ( f o l i u m de D e s c a r te s ). 146. x = -^ = = = -, 147. X — 2* + 2“ *f j/ = 2*— 2’ í (ram a d e una h ip érb ola ). 148. z = 2 c o s 2 Z, y = 2 sen 2 ¿ (segm ento de recta). 149. x = Z— í 2t y = l2 — t*. 150. x = a { 2 eos t — eos 2 /), Construir las g rá fica s de form a im p lícita : del (se m icircu n feren cia ) . y = a (2 sen t — sen 21) la s siguientes fun ciones, (ca rd ioid e). dadas en 151*. a:2 + t/2 = 25 (circu n feren cia ). 152. x y = 12 ( h ip érb ola). 153*. y~ = 2 x (parábola). 15 /1 • i S + S ^ 1 155. y 2 = a:2 { 1 0 0 - a;2). 2 2 2 156*. a:3 + y 3 = a 3 (as¿n?We). 157*. s + í/ — 1 0 Jgí/. 158*. a;2 = eos y. v 159*. y rx ¿ + y 2 = e Arcx%x (esp ir a l loga rítm ica ). 160*. x 3 4- y 2 — 3 x y =. 0 ( / o ü u m d e D e s c a r te s ). 161. H a lla r la fó rm u la de tra n sició n de la escala de C e lsio (C) a la de Fahrenheit (F ), si se con oce que 0 ° C corresponde a 3 2 ° F y 100 ° C a 212° F. C onstruir la g r á fic a de la fu n c ió n obten id a. 162. En un triá n g u lo , c u y a base es ó = 10 y su a ltu ra h = 6 , ostá in scrito un rectá n gu lo ( f i g. 5). Expresar la su perficie de dicho rectángulo y com o fu n c ió n de su base x . C onstruir la g r á fic a de esta fu n c ió n y h a lla r su v a lo r m á xim o. www.FreeLibros.me 19 L im ites 163. E n ei tr iá n g u lo A C B , e l la d o á n g u lo v a r i a b l e X A C B = x ( f i g . 6 ). B C — a, el A C = b y el E x p re s a r y = área. A A B C c o m o fu n c ió n do x . C on stru ir la grá fica de esta fu n c ió n y ha l l a r su v a l o r m á x im o . 1 64. R e s o lv e r g rá fica m e n te la s ecuaciones: a ) 2xs — 5 x - f - 2 = 0 ; d ) 10"* = a:; b ) x*-\ -x— 1 = 0 ; e) x = 1 + 0 ,5 sen x ; c) lg x = 0,lx ; f) c t g x = x (0 < x < n ) . 1 65. R e s o lv e r g rá fica m e n te l o s sistem as (le ecuaciones: a) x y = 1 0 , x - \ - y = 7; b ) x y = 6 , a:2 - (-y 2 = 13; c ) x^ — x + y — 4 , ¡/2 — 2 x = 0 ; d ) x 2 4 y - 10 , x + i,2 = 6 ; ( 0 < x < 2 rc). e) y = s e n x , y — c o s x § 3, Limites 1o. L i m i t e de una sucesión. límite de la sucesión xit x 2» -. •» El núm ero a re cib e el nom b re d e .. -: lito x n = a, fl-»00 s i para cu a lq u ier e > 0 e x is t o u n nú m ero # = JV (e )-ta l, que |x n — a j < e para n > N . E jem plo ■ 1. D em ostra r que lim n-^-oo n -p 1 ( 1) 2* www.FreeLibros.me Introducción al análisis 20 Solución. Considerem os la d iferen cia 1_ "n + i ' n+ \ V a loran d o su m a g n itu d a b so lu ta , tendremos: 2n±l (2) n-\~i O . n+ 1 si (e). De esta forma, número N = - — para cada número p o s i t i v o e se puede 1 ta l, que para n > N se cu m p le encontrar un la d esig u a ld a d (2). Por co n sig u ien te, el número 2 es lim it e de la su cesión z n = (2n + decir, se v e rifica la fórm u la ( 1). 2o L í m i t e d e u n a f u n c i ó n . Se d ice que la fu n ció n cuando x a ( A y a -son unos números), o que 1), es f ( x ) A lim f (#) = Aj x -* a s i para cu alquier e > 0 ex iste un número ó-— Ó (e) > 0 t a l, que I / (*) — -4 |< e para 0 < ] x — a |< ó. Análogam ente lim f ( x ) = A, X-VCO s i | / ix ) ~ A |< e para |a; |> N (e). T a m b ién se em plea la n o t a c ió n con ven cion a l lim f (x) = co , que in dica, que I / (®) |> £ para 0 < |z — a |< ó ( E), donde E es u n número p o s itiv o arbitrario. 3o. L í m i t e s l a t e r a l e s , fii i < f l y sg escribe con v e n cio n a l m ente x - > a — 0 ; análogam ente, s i x > a y x a, se escribirá a sí: x —>-a~f-0 . L o s números f (a — 0) = lim f (x) y K-va—0 / ( a + 0) = lim f (x) cc-xi-f-0 se llam an, respectivam ente, lím ite a la izquierda de la Función f (x ) en el punto a y lím ite a la derecha de la fu n ció n / {z) en e ! punto a (si es que d ic h o s números existen). Para que ex ista el lím it e de la fu n ció n f {x ) cuando z —*-a, es necesario y su ficien te que se v e rifiq u e la igualdad / ( s - 0) - / ( a + Ü). Sí o x is to n e l lim f\ (x ) a»a y el lim / 2 M , x -+a tienen teoremas: 1) lim [ f i ( x) + f z (*)] = l i m f { { x ) + lim f2 (x); :c-*a x-+a www.FreeLibros.me lu ga r lo s sigu ien tes 21 Lím ites 2) Hm [/, (*) fz (x)¡ = ] ¡xn /,(*)• lim f2 (*); x-*a x-*a ar-ta 3) lim [ / , ( * ) / / „ { * ) ] - l i m / , ( * ) / ! ! « « * ) x-+a x-* a x -+ a a (U m /2 (*) i= 0). V x-+a L o s lím it e s sig u ie n tes so em p lea n co n frecuencia: ,. sen * hm — — = 1 x->0 x Hm ( l + - L ^ = lim ( i + cc)a = e = 2,71828 . . . X-K» V Ejem plo fu n ció n 2. X ' Ct-»0 H a lla r lo s lím ite s a la derecha y a la izq u ierd a de la / (x) = arctg — cu a n d o x ->- 0 . Solución. Tenemos; / ( + 0) = Ü ' £ o ( a r c t g ^ ) ~ T / < — 0) = lim / , . i \ *__0 (^ctg— J n ----- 2" En esto caso, es evidente que no existe limite do 'la función / {x) cuando 166. D em ostrar que, s i n —> 00 , el lím it e de la su cesión 1 i i j_ 7 4 ’ 9 > • * ' » «*2 ’ * ‘ ’ e s ig u a l a ce r o . ¿P ara q u é v a lo r e s de n se cu m p le la desigualdad W < - s' (s ie n d o z un n ú m e ro p o s i t i v o a rb itra rio)? E fe c tu a r el c á l c u l o n u m é r ic o para: a) e = ü , l ; b) e — 0 ,01; c ) s = 0 , 001 . 1 67. D em ostra r que el l í m i t e de la sucosión Xn = rt-fl {n = ly 2 , cu a n d o n —> o o es ig u a l a 1. ¿Para qué v a lo r e s de la d esig u a ld a d N se cu m p le \xn — i I < e , (sie n d o b un n ú m ero p o s i t i v o a rb itra rio)? H a lla r N para: a) e = 0 , l ; b) a = 0, 01; c ) e = 0 ,0 0 1 . 168. D em ostrar que lim s* = 4. x-+'2 www.FreeLibros.me 22 /ntroducción al análisis ¿ C ó m o e le g ir para el n ú m ero p o s i t i v o da do e un n u m eró p o s i t i v o ó , de m odo q u e de la desigu aldad | z - 2|<6 se deduzca la desigualdad \xt — 4 | < e ? C a lcu la r Ó, para: a) e = 0 , l ; b) e = 0 ,0 1 ; c ) 8 = 0 ,0 0 1 . Í 6 9 . D ilu cid a r nales: a) el sen tid o e x a c to de la s n o ta cio n e s c o n v e n c io l i m l g x = — o o ; b) I l m 2 * » + oo; c) l i m / ( x ) = o o . a'->-j-oo x-voo 170. H a lla r lo s lím ite s de la s sucesiones: ' 1 ' _JL 2 ’ 2 4 i 1 3 ’ c) V z V W JL _J _ 3 1 4 ( - 1)71"1 ’ ‘ h • •••• 6 2ti 5 * ’ * ’ 1 2rt — i ’ * . \Í2 V W * > • - ! d ) 0 ,2 ; 0 ,2 3 ; 0 ,2 3 3 ; 0 ,2 3 3 3 ; . . . H a lla r lo s lím ite s: •+_V Í_) 1 7 1 ‘ 1 72. l i m + n-»oo n 173. + . lim f 1 + 3 + 5 t Z .+ _ . . + ( 2n- l ) ------- Í 2 ± l ] . n-foo L 174. » + l lim . n-too « “ ( - I ) '1 1 75. 176. ,. 2n+1 + 3^+» lim 2n4 -3 » n~>oo 1 M lim (i-+ ^ -+ -i-+ ---+ T r)- 178*. lim « H -2 » + * + . . . + «« . n-f-oo 179. n3 1ira ( Y n + 1 — V~ñ)' IWfo 180. • lim - S¿ x t ~ • « - . » n* + 1 www.FreeLibros.me 2 J Lim ites 23 A l buscar e l lím ite do la razón de d os p o lin o m io s en teros resp ecto a x T cu a n d o x —>-co. e s c o n v e n ie n te d i v i d i r p re v ia m e n te los d os térm inos de la razón p o r x nt d o n d e n es la m a y o r poten cia d e esto s p o lin o m io s . En m u ch o s casos puede em plearse u n p ro ce d im ie n to análogo, cuando se tra ta de Ira ccio n e s q ue c o n t ie n e n o x p re sio n e s irracion ales. E j e m p l o 1. I¡m ( 2 * — 3) ( 3 * + 5 ) ( 4 * — 6) X -* o a 3 a ;® - f - X ( - 4 x )) \( * + 4x ) \( - 4 x )) V j . ^ ■1 x -f r o o o 2 -3-4 g i X® E jem plo 2. l i m- — x - = Lim x ^ c o f x 3 + 1 0 40 i 181. 182. ilim (1/ + 1 )2 % , - X -.c c x - + „ y = 4 0 a 1186. lim l l i m -ÍJ22* lim x—.oo 184. lim X->CO 1 85. V * J + 1 187. l t o J f e + L . x-»oo x - \ - y X 3*-|-7 4 -5 • 188- lim — ^-.co 10 + * j / * . 189. lim -É Ü H .. x+ \ 1 90. ^<■ ■ ; * -+ « ]/* + V x + y * l i m - ! 2 £' ± ' 1 ® c í = 2 1 •. x -v c o 2x2 — 3x — 4 .. X -.O C X-.OC * — * 183. - = !■ / 1 + _1£. X ¿7V » J 1 LIA 1+5 Si P ( x ) y 0 (a?) so n p o lin o m io s en teros y P (a) de la fr a c c ió n ra cio n a l x“ . - 0 o Q (a) * 0, el lím ite P( x) Q (*) se h a lla directam ente. P (a:) Si P (a) = Q (a) = 0, 0 se recom ienda s i m p l if ic a r la fr a c c ió n ■^ , por el b in o m io x — a, una o varias veces. E jem plo lim x-* 2 191. lim a:-*—i £2 — 4 x2— 3 x 4 -2 lim - 193. l im (x — 2) ( x 4 - 2 ) x-+2 (x — 2) (x - 1 ) 195. x 24 - l • lim X -fí • X2 — 1 x -y -l xa4 -3 x 4 " 2 • lim x 2- 2 x X -— 4 x 4 - 4 x-*2 lim x + 2 lim x3 + l £ 2 -5 x 4 -1 0 X2— 25 x-*b 192. 194. 3. 196. li r a x-+a 197. lim x-*2 Z - x3 — 3 x 4 - 2 4 x -f 3 • x a — (a 4 - 1 ) x 4 - a x 3 — a3 (x + A )3 -x 3 h-0 198. lim ( h 1 x->l V l - z www.FreeLibros.me 4 1 M 1 -X 3 ) 24 Introducción al análisis Las expresiones irra cio n a le s s e reducen, en m uchos casos, a una form a racional in trod u cien d o una nueva variable. E j e m p l o 4. H allar fím J p g - 1 . x-*0 f i + x — 1 Solución. Suponiendo i+ x= y*t tenemos: Hm = Hm 4 = 4 o i? 199. lim * -1 200. 1 . lim J ! ! ± £ + i = v~*í y+t * . ¿ 201. lim .f e " 1... *-,1 J / * _ l *“ 1 lim *-> 64 = t y —f ' 202. lim y a: — 4 +1-. * -> l { * — l )2 Otro p roced im iento para h a lla r el lím ite de una exp resión irracion al es el do trasladar la parto irra cion al del num erador al d en om in a dor o, a l con trario, dol denom inador a l numerador. E jem plo 5. lim V ¿ - V ¡ r b Ijm x~>a x a x — a o-kj (* — fi) ( f x + ' / a ) = 203. 2 04. lim a:-*8 205. 2io . Iim V i . lim *-»7 x -* 3 x—8 211 . 7= - = -------------------- ( a > 0 ). ^ + ^ g ± E ! . 2 )/a a:2 E 4x + 3 lim ( V x + Z - V x ) . X -+ + V J lim X X -^ 7 • X->1 y CC— i 206. l im, 1— V 5 + , ^ .r->4 L— 1/5 — X lim V l + « - V l - « 207. lim *-»<) 208. l i m/i-*0 lim — x- mi "j/ x -f- ]/ a /i 212 . lim [ V x ( x + a) - x ] . 213 ^ i j m ( ] / V — 5x + 6 — z). fx> ^ 214. lim 215. * ( / 5 » + T — *). — x 8). x -* o o www.FreeLibros.me Lím ites Al hacer ol fórm ula c á lc u lo de lo s 25 lím ite s , en sena: , lim x-*0 m uch os casos se emplea 1 x y se supone que se sabe que, lim se a x = s e n a y x-*a _ . . Ejem plo J 2 16. a) son 5a: Li m------------s-0 * 6. . b) ( sen 5a: lira I — =------ . 5 ) = 1 - 5 = 5. x-+Q V 5a: x lim (1 — a:) t g 2 29. lim c t g 2 # c t g sen 3a: sen 5x sen 2a: ^ -* 0 230. l i m ------------ 231. lim 2 32. lim sen n x 2 19. l i m 5- — . sen3rtx l i m (rasen — ) . n -vcx» V n j e os m x — eos nx x2 v tg a:— sen x i i m — — ---------. * -► 0 X2 a» 0 > ¡n~~3x x^ 0 ooo ¿66. 1 — eos x 221 . lim ¿ 1 — 2 eos x 0 /lfv 220 . — a;). ' 1 — sen - K -.0 2 18. lira ¿ * -► 0 x *00 2 1 7 . lim . *-*■1 son x lim lim eos x = cos a. x->a 2 28. lim -^ -; *-►2 la sen a: — sen a x~a X-+U aresen x 234. lim 2 35. lim ^ ie J L . 2 36. Jim X-+1 sen j i x 2 37. lim 222 . lim e o s a: — e os a 2 2 3 . lim X-Kl 224. sen 3x x — a lim *— ,0 tg Jtx 2 s + 2 1 — X2 * 2 2 5 . lim sen (*,+ (0 - se a * _ x — sen 2 x x_>0 ^ + s e n 3a: ' ft -> 0 226. lira JTX e os — sen i — eos a: n , 1— t g * 2 38. lim a_vi 4 -. 1 — l/^ * ~ * T 227. a) l i m x s e n — ; ' b) * * o 2 39. lim 1 - V c m Í . rc-v O X2 * lim a; s e n — . X-*oo 240. lim V l + s e n a - V l - s e n a ; x-+Q www.FreeLibros.me x Introducción a l análisis 26 A l h allar los lím ites de la forma lim[q> (*)]♦<*> = C , x-*a lo ; debe tenerse en cuenta que: 1) si ex isten los lím ite s fin ito s lim (x) = A * £ 1 y lim \J>(x) = ± c o t el w-va x-+a lím it e (3) se resuelvo directam ente; 3) si lim cp(x) — 1 y lim q > ( x ) = c o , x-m donde a (x) so x->a 0, cuando x - + a supone « * sien do e — 2 , 7 1 8 . . . el núm ero de Neper. H allar lim í ™ * ] 1**. x -> 0 \ Solución, * / Aquí sen 2x x-*Q \ por consiguiente, X / H m / s e n 2x x->0 \ Ejemplo .x-*0 p x ^ 21^ 2 ) 8. H allar lim ( ^ V 1 f; - a --> oo \ 2 x + Solución. Tenemos: x + t lim - a X -+ o o = 2x-f*l .. 1 1 X hm x -» c o <> i 2 + i lim x 2 = - f- c o . X -* c o P or lo cual, H m0O \ 2x-j- 1 / X-+ Ejemplo 9. = °- H a lla r Hm ( Z = ± - Y x-yoo \ ^ T » / www.FreeLibros.me e! cp (x) = l + a (x ), Huí a(x)ty{x) lím £<j>(3C>—i - x-+a ) « * > =e X -X l 7. q ue de h a lla r y , p o r consiguiente, C = I im {[1 + Cí (* )] a(*> } Ejemplo problem a 27 Lím ites Solución. Tenemos: * - T lim 7 X 7 = l-tco 2 T 1 H acien do i » ,im X-»oo ^ | 7* - = i- las tra n sform a cion es que se indicaron más a rriba , obtendrem os ( S i ) ’ - J ¡ ; [ 1+ ( S t - ‘ ) ] x 2x *+l lim —2 x e “ 2. En osle caso con creto, puede hallarse el li m i t e con más fa cilid a d , sin recurrir al p roced im ien to general: hm /X — l\x I — _ x -c * > \ * + ] — «l i m i ) ( í - i y ' 31 ' uta r ( i - i - r i ' 1 3C^«LV *) -I x -* -c o lim ( '+ ! ) ■ X-+OQ ,-2 (*+ir En t o d o caso, es con ven ien te recordar que: k \x lim(1+-l) «'•'JS(£:)’■ 248- 1™(A)’ÍS 2«*- «=(5 T*x -* o o V x eh. I x—co z _ l \ * + l i) 2 4 2 - X-*CO 2x 243. «o» 2 50. l i m ( l ^ 72-ytW sen x 2 44. Ii m ( í ! x 2 £ ± ^ 3 x + 2 ; *-o ^ 1 2 5 1 . lim (1 + sen :r) x . x -* 0 252**. a) lim {eos x) x ; x -> 0 1 2 4 6 . lim ( l - i - ) " b) lim (eos x ) . 71-.03 V . x -0 2 4 7 . lim ( l + l r . X->00 ' X ‘ A l ca lc u la r lo s lim ite s que se dan a co n tin u a c ió n , es conveniente saber que, s i e x is te y es p o s it i v o el lim / (* ), se tiene: x -* o lim [ln / (* )] = in [ lim / (a:))x-+a x-»a www.FreeLibros.me 28 Introducción a l análisis E jem plo 10. Demostrar que x -t-0 Solución. Tenem os: l i m ..n (- ] t x->0 ^ = l i m [ l n ( l + a : ) 1 /*J = ln [ l i m ( l + ar), / * J = i l a e = l . X-+0 x La fórm u la (*) * x-*Q so em p lea , frecuentem ente, en la re s o lu c ió n de problem as. 2 5 3 . lim |lri ( 2 x + 1) — ln ( x + 2)\. X->CG 2 5 4 . l i m lg- (A + Í0^ , x -> U 260*. lim 2 5 5 . lim í - i n x-*0 V X i/ V 1 -3 i . 256. lim r r l l n í s + l ) — I n x ] , eax x-vO x -* 0 ; x b) I i m H ^ - 1 . x - fO x 259*. lim a- y - ‘ ( a > 0 ) . x -* 0 s e n a 2 6 3 . a) l i m — x 2 58*. l i m í í = i . x-vO 1 2 6 2 . lim i ~ e X X-+0 2 57. lim ln (c” x)- . gbx 2 6 1 . lim x -* + c o x -v O (a>0). n -* ‘ 71-*<X) x (V éanse^ lo s x e je r c ic io s 103 x H a lla r lo s sigu ien tes lím it e s latera les: 2 64. a) lim — J L = . ; x-*—oo y x 2~f -1 b) lim . 2 6 5 . a) lim thx; 2 6 7 . a) l i m b) lim ln(1 + gS) . 2 6 8 . a) lim x->—<o x-+— 0 b) lim X-*-f-co th x , b) lim X“V+0 d on de t h x = e-¿ T -e-^ ■ **+« * b) l ¡ m Ü 22^L; x 1S8a * 1 . X 2 6 9 . a) lim 37— 1 . v . i —o I * — 1 1 ’ 2 6 6 . a) lim — 1 - ; x->—0 l p( i + e*) ; X —+ — o o b) lim . . — \ + ex x-*l-f*0 . 2 7 0 . a) lim - A j ; W o * - 2 ’ _ J _ . ~ +° l + ^ b) ü m r~o ' x -* 2 + 0 z ~ ~ ¿ www.FreeLibros.me y 1 04). Lím ites 29 C o n stru ir Jas g r á fic a s de la s fu n cion es: 271**. y = l i m (c o s 2n a;). n-yco X 2 7 2 *. y = lim r— , (* > 0 ) 273. y = Jim V a * + a 2. 274. y = lim (a r c t g nx) . n -» c o 275. y = I i m f l + a:n (*>0). n->oo 2 7 6 . C o n v e r tir m ixta en ord in a ria la sig u ie n te fr a c c ió n periódica a = 0 ?1 3 5 5 5 . . co n sid e rá n d ola c o m o el l í m i t e de la correspon dien te fr a c c ió n fin ita . 2 7 7 . ¿Q ué o cu rrirá c o n las raíces do la e c u a c ió n cuadrada axs + bx + c =» 0 , s i el c o e fic ie n t e a tiende a ce r o , y lo s co e ficie n te s b y c son con stan tes, siendo 0? 2 78. H a l l a r e l l i m i t o del á n g u l o in tern o de un p o líg o n o regu lar de n lados si n —>00 . 2 79. H a lla r el lím it e de los perím etros de lo s p o líg o n o s regu lares de n lados in scrito s en una cir cu n fe r e n cia de radio R y de lo s c ir cu n s cr ito s a su alrededor, si n —> 00. 2 80. Hal l ar el lím it e de la sum a de las lon gitu d es de las ordenadas de la cu rva y == c~x eos n x , trazadas en lo s pu n tos x = 0 , 1 , 2 , n , si n —± 00 . 281. H a l l a r el l í m i t e de las áreas de lo s cuadrados construidos sob re la s ordenadas de la cu rv a y = 2 l~x c o m o bases, n —> 00 . donde x = i y 2 , 3, . n } con la c o n d ic ió n de que 2 82. H a l l a r el lím ite , cu a n d o n —> 00 , del perím etro de la línea quebrada M ^ M X . . . M n> in scr ita en la espiral lo g a rítm ica r — e-* y s i lo s v é r tic e s á n g u lo s p olares de esta quebrada ¥o = 0 , (pi = tienen, , . . . , q>n = ^ www.FreeLibros.me respectivam ente, . los 30 Introducción al análisis 2 83. E l segm ento A B = ¿ a ( f i g . 7) está d i v i d i d o en n partes iguales. Sobre cada una de ellas, tom á n d o la c o m o base, se ha con stru ido un tr iá n g u lo isó sceles, c u y o s á n g u lo s en la base son igu a les a a = 4 5 ° . Dem ostrar, que ol l í m i t e del p erím etro de la lín e a quebrada así form ada es diferen te do la l o n g it u d d el seg m en to A B , a pesar de que, pasando a lím ite s , la línea quebrada «se con fu n d e g eom étrica m en te c o n el segm en to A B ». B F i g. 7 F i g. 8 2 84. E l p u n to C x d i v i d o al segm en to A B = l en dos partes igu a les; el p u n to C 2 d i v i d e al segm ento A C { en dos partes ta m bién igu a les; ol p u n to C3 di v i de , a su vez, al segm en to C 2C X en dos partes ig u a le s ; el C 4 h a ce lo p r o p io con el segm en to C 2CZ y así su cesivam en te. D eterm in ar la p o s i c i ó n l í mi t e del p u n to cu an do n —> oo, 2 85. Sobre los segm entos o b te n id o s a l d i v i d i r e l c a te to a de un tr iá n g u lo re ctá n g u lo en n partes ig u a le s , se h an co n stru id o rectángu los in s cr ito s ( f i g. 8 ). D eterm in ar el l í m i t e del área de la fig u ra escalonada a sí c o n s titu id a , si n —> oo. 286. H a lla r las constantes k y b de la e cu a ció n Jim ( ¿ z + b — í L ¿ í ) = 0 . ( 1) E scla recer el sen tid o g e o m é tric o de la ig u a ld a d (1). 287*. U n proceso q u ím ic o so desa rrolla de tal form a , que el in cre m ento de la ca n tid a d de su bstan cia en cada i nt er val o do tie m p o t , de una su cesión i nf i ni t a de in te rv a lo s ( ¿ t , (í - + ' ! ) T) (¿ = 0 , 1 , 2 , . . . ) , es p ro p o rcio n a l a la ca n tid a d de su b sta n cia existente al c o m ie n z o del in te rv a lo y a la d u r a c ió n do d i c h o in te rv a lo . S u pon ien d o q u e en el m om ento i n i c i a l la ca n tid a d de su b sta n cia era Q0, determ inar la ca n tid a d Q(tn) que habrá de la m ism a después de tran scu rrir un in tervalo do tie m p o t> si el in crem en to do la ca n tid a d de s u b s tan cia se realiza ca d a eneava parte d e l in te rv a lo de tie m p o _ n H a l l a r Q , = l i r a Q\n). n->cc www.FreeLibros.me In fin itésim o s e in fin itos 31 § 4 . In fin ités im os e in fin ito s I o. I n f i n i t é s i in o s. Si l i m a ( x ) = 0, x-+a es d e c ir , s i | a ( x ) | < e , cu a n d o 0 < ( x — a |< 6 (e), la fu n ció n a (x) so llam a Infinitésim a ( in fin ita m en te pequeña) cu a n d o x — a. A n álogam ente so deter m in a la fu n c ió n in f in it é s im a (in fin ita m e n te pequeña) a (x ), cu a n d o x - * c o . La sum a y el p ro d u cto d e un núm ero lim it a d o de in f in i t é s im o s , cuando x —►*<*, es ta m b ié n un in f in it é s im o cu a n d o x —>-a. S i a ( x ) y P ( x ) so n in f in it é s im o s cu a n d o x —*-a y d o n d e C es un nú m ero d i s t i n t o d o cero, las fu n cio n e s a (x) y p (x) reciben el nom b re d o infinitésim as de un mismo ord en; si C = 0 , se d ic e q ue la fu n ció n a (x) es una infinitésim a de orden superior resp ecto a P (x). La fu n c ió n a (x) se d e n o m in a infinitésim a de orden n resp ecto a la fu n ció n p ( x ) , s i L“ c t (x ) - t p w f “ c' donde 0 < |C |< + c o . Si |‘ rn¡ r § - = 1’ x-+a P (x ) las fu n cion es a (x) y (5 (x) se lla m a n equivalentes cuando x - ^ a ; a (x ) ~ p (x). P o r e je m p lo , si x - * - 0 tendrom os: sen x — x ; tgx~x; l n ( l + x ) —- x T etc. La sum a de d os in fin ité s im o s de orden d i s t i n t o , e q u iv a le a l sum ando c u y o orden os in fe r io r . E l lim ito de la razón de d o s in f in i t é s im o s n o so altera , s i los térm in os do la m ism a se s u stitu y e n por o t r o s c u y o s v a lo re s re s p e ctiv o s sean eq u iva lentes. Do acuerdo co n este teorem a, al h allar el lím ite do la fr a c c ió n ih m <*{*) , P (*) dondo a ( x ) - > - 0 y P ( x ) —>-0, cu a n d o x —>*a, al nu m erad or y d e n o m in a d o r do la fra cció n pueden restárselo (o sum ársele) in f in it é s im o s do orden su p e rior, e le g id o s de tal fo rm a , q ue las ca n tid a d e s resultantes sean eq u iva len tes a las a nteriores. E je m p lo 1. _ _ _ 1^x3 1 lim -¡—77 , = h m —^— = -rr . o 2.x lo (1 + ¿ X ) ¿ .. 2 °. I n f i n i t o s. Si para un nú m ero cu alq u iera /V, tan grande c o m o se deseo, e x is t e ta l ó ( W ) , q uo para 0 < |x — a |< ó (N ) se v e r ific a la d e s i gualdad www.FreeLibros.me 32 introducción al análisis la función f (x) recibo el nombro de in fin ita ( in fin ita m en te grande) cuando x —>■ a. Análogamente*, 1 (x) se determina como infinita (infinitamente grande) cuando x —>-co. El concepto do infinitos d© diversas órdenes se establece de manera semejante a como so hizo para los infinitésimos. 288. D em ostrar q u e la fu n c ió n /(a0 = 2 5 * e s in fin ita m en te pequeña se c u m p le la desigualdad cu an do x —* oo. ¿Para q u é v a lores de x si e es un núm ero arbitrario? H a cer los c á lc u lo s para: a) e = Q, l ; 2 89. D em ostrar que la fu n c ió n b) e = 0 ,0 1 ; c ) e = 0 ,0 0 1 . / (x) = 1 — z 2 es in fin ita m e n te pequeña cu a n d o x —> \ . ¿Para qué v a lores de x se c u m p le la desigualdad si e es un número cu tero arbitrario? H a c e r lo s c á l c u l o s n u m é ric o s para: a) e = 0 f l ; b) e = 0 , 0 1 ; c ) e = 0 , 001 . 290. D em ostrar que la fu n c ió n f <*> = í ~ 2 es i nf i ni t ament e grande cu an do x —* 2 . ¿E n q u é en torn os ) x — 2 | < ó se v e r ific a la desigu aldad If ( x ) \ > N , si N es un número p o s it iv o arbitrario? I-Iallar ó, si: a) iV = 10 ; b) TV = 100 ; c ) N = 1000 . 291. Determ inar el orden in fin ite sim a l: a) de la s u p e r fic ie de una esfera, y b) del v o lu m e n de la m ism a, si su radio r es un i nf i ni t és i mo de I o orden. ¿C u ál será el orden in fin ite s im a l del radio y del v o l u m e n respecto al área de esta esfera? 2 9 2 . Sea a el á n g u lo cen tral de un sector c ir c u la r A B O ( fig . 9 ), c u y o radio R tiende a ce r o . D e term in a r e l orden i nf i ni tesim a l: a) do la cuerda AB\ b) de la f l e c ha del a r c o C D ; c ) del área dol k A B D , resp ecto al in fin it é s im o a . 2 93. D eterm in ar el orden in fin ite s im a l respecto a x, cu an do x —> 0 , de las fu n cio n e s siguientes: a ) j ^ ; d) 1 - c o s x ; www.FreeLibros.me In fin itésim os e in fin itos b) Y x -+•y x ; 33 o ) t g x — sen x. c) f » * — V * » ; 2 94. D em ostra r q u e la lo n g it u d de un arco in fin it é s im o de una cir cu n fe r e n cia de ra d io con sta n te, es e q u iv a le n te a Ja lon gitu d de la cuerda q u e tensa. 295. ¿S on eq u iv a len te s, u n s e g m e n to in fin it é s im o y la s e m ic ir cu n feren cia in fin it é s im a co n s tr u id a sob re é l, c o m o diám etro? D B A p lic a n d o e l teorem a sobre la razón de dos in fin ité s im o s , h a lla r : 2 9 6 . lim . a rcscn 2 9 7 . lim x-,0 2 98. l i m ^ . X , lrx <1— ^r) . 2 99. lim 1 2*. . eos x 3 0 0 . D em ostra r q u e c u a n d o x —> 0 , las m a gn itu d es y }/rl + x — 1. son e q u iv a le n te s entre s í. E m p le a n d o este resultado» m ostrar que, cu a n d o \x\ es peq u eñ o, se v e r if ic a ]a ig u a ld a d aproxim ada y i + * « i x + y . ( 1) A p lic a n d o la f ó r m u la (1), h a lla r aproxim adam ente; a) 1^1706; h) 1 /0 ^ 7 ; c) ]/T 0 ; d) 1/1 20 y co m p a r a r lo s v a lores así obten id os c o n lo s q u e se dan en las tablas. 301. D em ostra r que, cu an do x —> 0 , so v e r ific a n las igualdades a proxim a da s s ig u ie n te s , c o n p re cisió n hasta lo s térm in os de orden x 2. a) r b ~ 1 -a :; b) V a * + x ( & a - 1- ^ ( a > 0 ); 3— i Gi 6 www.FreeLibros.me 34 Introducción al análisis c) ( l + x ) n « l + n x ( n, es u n núm ero n a tu r a l); d) l g (1 + x) « Mx, donde M =* lg e = 0 , 4 3 4 2 9 . . . P a rtien d o de estas fórm u las, c a l c u l a r aproxim adam en te: 1) n ¡ 2 ; 0797 ’ Í05’ 5) 1,04®; 6) 0 ,9 3 4; ^ V i5 ; 7) l g 1 ,1 . C om parar lo s v a lo r e s así o b te n id o s c o n l o s q u e se dan en las tablas. 3 0 2 . Demostrar q u e, cu a n d o x —* o o , la fu n c ió n ra cio n a l entera P (x) = a Gx n + a tx nmml + . . . + dn (ao ^ 0) es una m a gn itu d in fin ité s im a , e q u iv a le n te al té rm in o su perior aQx n. 3 0 3 . S u p on ga m os q u e x —> 00. T o m a n d o a x c o m o m agn itu d i nf i ni t a de I o ord en , d eterm in ar el ord en de c r e c im ie n t o de las fu n cion es: _ _ _ a) x 2— lOOx— 100U; x* b) +2 c)V s + V * ; d) V x - 2 z * . § 5. Continuid ad de la s fu ncio n es 1 °. D e f i n i c i ó n d e c o n t i n u i d a d . La fu n ció n / (x) so lla m a con tinua para x = £ (o «en el p u n to £ »), 1) d ic h a fu n ción está determ inada c u e l p u n to 5, e s d e cir, ex iste el núm ero / (£ ); 2) e x is to y es f i n i t o el lim ite Jim / (x); 3) esto lím ite e s ig u a l a l v a lo r de la fun ción en e l punto *-*■ £ es decir, lim / ( * ) = / ( © . x->l ( 1) H acien do la su stitu ción donde A 6 - > - 0 , se puedo e s c r ib ir la c o n d ic ió n ( 1) de la forma: lim A / ( 5 ) = lim [ / ( 6 + A © - / ( 6)J = 0 , (2) es d e cir, la fu n ció n / (z ) es con tin u a en ol punto 6. cuando, y s ó l o cu an d o, en este punto, a un in crem ento in fin ité s im o d e l argum ento correspon do un increm ento in fin ité s im o d e la función. Si la fu n ción os con tinu a en cada uno d o los pu n tos de un ca m p o determ inado (in te rv a lo , segm ento, e t c .), s e d ice q ue os continua en este campo. E j e m p l o 1. D em ostrar que la fun ción y = sen x es continua para cualquior v a lo r do! argum ento x. www.FreeLibros.me Continuidad de las funciones S o l u c i ó n . 35 Se tiene: Ay = sen (x + Ax) — sen x = 2 sen ~ eos ( * Ax sen t t ■ eos ^ x -(- ~ + ^ •Ax. 2 C om o Ax sen -5lira — ------ = 1 y Ax-»0 Ax eos J < 1. 2 í para cu alquier v a lo r de x, tendrem os: lím Ay = 0. Ax->0 P o r co n sig u ie n te , la fun ción sen x es con tin u a para — c o < x < + c o . 2o. P u n t o s d e d i s c o n t i n u i d a d d e u n a f u n c i ó r . Se dice aue una fu n ció n / (x) es dwcon*í/u/a en el punto x 0, que pertenece a l cam po cíe e x is te n c ia do la fu n ció n o que es p u n to frontera de d i c h o cam no, si en este p u n to n o se v e r i f i c a la c o n d ic i ó n de co n tin u id a d de la función. E jem p lo 2. La fu n ció n / — (fig . 10, a) es d iscon tin u a en el p u n to x = l . E sta fun ción n o está d e fin id a en ol p u n to i = l y co m o quiera q u e so e lija e l núm ero / ( 1). la fu n ción com p leta da / (x ) n o será con tinu a en el p u n to x = l. Si la fu n ció n f (x) tiene lím ites f i n i t o s : lim / ( x ) = / ( x 0— 0) y 0 lim f (x ) = / (x0+ 0), x -* xq+ 0 pero los tres núm eros / (x0), / (x 0— 0) y / (x0+ Q ) n o so n iguales entre sí, e n ton ces, x0 recibe el nom bre de punto de discontinuidad de 1ra especie. En p a rticu la r, si / ( * o - 0) = / ( * 0 + 0) t x Q se lla m a punto de discontinuidad evitable. Para que la fu n c ió n / (x) sea c o n tin u a en el punto x0> es necesario y s u fic ie n t e que / (x0) = / <x0— 0) = * / (xo - j - 0). Ejem plo 3. La fu n ció n sen x / (x) — ^ j- tiene d iscon tin u id a d de 1ra espe c ie en el p u n to x = 0. E fe ctiv a m e n te , aquí / ( + 0) = lim ^ ~ = - f 1 x -> + 0 1:m 0 ) ■= h /i (1 — av X“>—o x s-------o n x — — 1. x E j e m p l o 4. La fu n ció n y = E (x ), d on d e E (x) representa la parte entera del núm ero x (es d e cir, E (x ) es un núm ero entero q uo satisface a la igualdad 3* www.FreeLibros.me Introducción al análisis 36 x = E (x )+ q , donde 0 < ? < i ) , es d is c o n tin u a (fig . 1Q; ó ) en cada p u n to entero: * = 0 , ± 1, ^ 2 , . . . . y to d o s lo s pu n tos do d is c o n t in u id a d - s o n do ira ospecie. E lectiva m en te, si n es u n número e n te ro , E ( n — 0) = /i —•1 y = Bs evid en te, quo en to d o s los demás puntos e s t a fu n c ió n o s con tin u a. («> (b ) Los pu n tos de d isco n tin u id a d de la f u n c ió n que n o s o n de 1ra e sp ecie, se llam an puntos de discontinuidad de 2 a e s p e c ie . Son tam b ién pu n tos d o d is c o n t in u id a d de 2a esp ecio lo s puntos de d is continuidad Infin ita, as d e c ir , a q u e llo s p u n to s x Ql para lo s que, p o r lo m en os, uno do los lím ites laterales / ( x Q— 0) o / ( x q + 0 ) es igual a c o (véase el e j. 2). Ejem plo 5» L a fu n c ió n y = c o s — (fig. 10, c), e n e l p u n to s = 0 x tiene una d isco n tin u id a d de 2a e s p e cio , y a que aquí n o o x is t e n in g u n o de los d os lím ite s laterales lim eos— *->—o x y lim eos — x-H -0 . 3o. P r o p i e d a d e s d e l a s f u n c i o n e s c o n t i n u a s . A l a n a liz a r las fim cio n o s para d e term in a r s i son con tin u a s, h a y q uo tener presentes los sig u ie n to s tooreraas: 1) La suma y e l p ro d u cto de un n u m e r o lim it a d o d o fu n cio n es c o n t i nuas en un c a m p o d e te rm in a d o es, a su vez, una f u n c ió n c o n tin u a en este m ism o cam po; www.FreeLibros.me 37 Continuidad de la s junciones 2) o ) c o c i e n t e d o la d i v i s i ó n d e d o s funcionas c o n tin u a s en uu cam po d e te rm in a d o , es tam b ién una f u n c i ó n c o n tin u a , para to d o s lo s v a lores del a rg u m en to d e este m is m o ca m p o, que n o anulan el d en o m in a d or; 3) si la f u n c ió n f (x) e s c o n tin u a en un in te r v a lo (a y b)>estando el conju n t o de sus v a lo r e s c o m p r e n d id o en el in te r v a lo { A y B ) y la fu n ció n ). T o d a fu n c ió n f ( x) t c o n tin u a en e l seg m e n to [ a, ¿>], posee la s propiedades sigu ien tes: 1) f ( x) está a co ta d a en [a, 6], es d e cir, e x is t o c ie r t o nú m ero M t a l, que |/ ( s ) | < M para a < * < 6; 2) / ( x) a lca n za en [a, b] su v a lo r m á x im o y m ín im o ; 3) / (x ) to m a t o d o s lo s v a lo re s in te r m e d io s entre d os d a d os, es decir, s i / ( a ] = / ! y / (P) — B (a < a < p b) y A =£ B y entonces, cu alquiera q u e sea e l núm ero C, c o m p re n d id o en tre A y /?, e x iste p o r lo m onos un v a l o r de * = Y ( o c < Y < £ ) t a l , q u e f ( y ) = C. En p a r t ic u la r , s i / ( a ) / (p) < 0, la ecu ación /< *) = 0 tiene en e l in te r v a lo (a , P), por lo m en os, una raíz real. 304. Dem ostrar, q u e la f u n c i ó n y = x 3 es co n tin u a q u ie r v a l o r del arg u m en to x . 3 05. D em ostra r, q u e Ja f u n c i ó n ra cio n a l entera para c u a l P (x ) = a 0x tl + a r f 1' 1 + . . . + a n es c o n t in u a p a ra c u a lq u ie r v a l o r de x. 3 06. D em ostrar, q u e la fu n c ió n ra cio n a l fra ccio n a ria t? _ W ao*u + a i* n - * + - - . + f l n h x m + biXm - í + " . + b m es c o n tin u a para to d o s lo s v a lores de x , a q u e a n u la n el d en o m in a d o r. e x c e p c ió n de aquellos 3 0 7 *. D em ostra r, q u e l a f u n c i ó n y = Y x es co n tin u a para x > 0. 3 0 8 . D e m o s tra r q u e , si l a f u n c i ó n / ( x ) es c o n tin u a y no nega tiv a en el in te r v a lo (a , b) la fu n c ió n F (x) = / 7 { í ) ta m b ién es c o n t in u a en este in te r v a lo . 309*. D e m o s tra r, q u e la f u n c i ó n y — e o s x es c o n t in u a para c u a lq u ie r v a lo r de x. 3 10. ¿P a ra q u é v a lo r e s de x serán c o n t in u a s las fun ciones: a) t g x y b) c t g x ? 311*. D em ostrar, q u e la f u n c i ó n y — \x\ es c o n tin u a . Cons t r u ir la g r á fic a de esta f u n c i ó n . 3 12. D em ostra r, q u e la m a g n itu d a b so lu ta de una fu n c ió n c o n t i n u a es ta m b ié n u n a f u n c i ó n c o n t in u a . www.FreeLibros.me in trod u cción al an á lisis 3 1 3 . U n a f u n c i ó n está d a d a p o r las fó r m u la s / ( * ) _ / f c r cu an d 0 x ¥ = 2 ' [ A c u a n d o x = 2. ¿C ó m o debe e le g irse el v a l o r de la f u n c i ó n A = f ( 2 ), para q u e la f u n c i ó n } ( x ) f c o m p le ta d a de osla fo r m a , sea c o n t in u a c u a n d o x = 2? C o n stru ir la g r á fic a de la f u n c i ó n y = f ( x ) . 3 14. E l seg u n d o m ie m b r o de la ig u a ld a d f ( x) = 1 — £ sen 1 x carece de s e n tid o c u a n d o x = 0. ¿C ó m o e le g ir ol v a l o r para q u e la f u n c i ó n f ( x ) sea c o n t i n u a en este p u n to? 315. La f u n c i ó n / (x ) = a r c t g de /(O) a: - 2 carece de sen tid o c u a n d o x = 2 . ¿P u e d e e le g ir s e el v a lo r de / (2) do ta l fo rm a , q u e la fu n c ió n c o m p le t a d a sea c o n t in u a c u a n d o * = 2? 316. La f u n c i ó n f { x) es in d e te r m in a d a en el p u n to x = 0. D eterm in ar / ( O ) de t a l fo r m a , q u e f ( x) sea c o n t in u a e n este p u n to, si: a) f { x ) = ------ ^------- ( n es u n n ú m e co n a t u r a l); , v , , » 1 — eos X h) / ( * > = — i , — c) f ( x ) = ; l n (1 + a ) — I n (1 — x ) , X e) / (x) = x 1 son - i - ; f) f { x ) — x c l g x . A v e r ig u a r si son c o n t in u a s las fu n c io n e s : 317 - * = ¿ 2- - 32°- ^ = i f r 318* y ^ T + T 3 2 1 ' a ) y — s e n ’T - 319. y = Y . • ] , . - b) ¡ ^ z s e n ^ - www.FreeLibros.me Continuidad de las funciones 322. y= —í - . 3 26. y = (1 + x ) a rctg 1 3 23. y = ln (eos x) . 3 2 7 . y = ex + i . 1 3 24. y = ln tg -~ | . 3 25. ; / = a rctg — . 3 28. y = e~ ** . 3 29. y — -------— ji + e l- x 330. y = x2 cu an do x < 3 , 2x + 1 cu an do x > 3. Construir la g rá fica do esta f unci ón. 3 3 1 . Dem ostrar, que la fu n c ió n de D ir ic h le t x ( x )i 9 ue es ig u a l a coro cu an do x es irra cion a l e igual a 1 cu an do x es ra cio nal, es d iscon tin u a para cada uno de lo s v a lo r e s de x. A v e r ig u a r si son con tin u a s y con stru ir la g rá fica de las sigu ien tes fun ciones: 332. y = (x>0). ©o 1 I 333. y = l i m ( x a rctg n x ). 334. a) y = s g n x , h) ?/ = 2 S g n 2 , c) y = sgn <seri x ) } donde la fu n c ió n s g n x se determ ina por la s fórm u las: ( + 1 » si 2 > 0, sgn x = { 0 , si 2 — 0, [ — 1 , si x < 0. 335. a) y = x — E ( x ) i b) y = x E ( x ) f donde E ( z ) es la parte entera d e l núm ero 2 . 3 36. D ar un e je m p lo quo demuestro que la sum a de dos fu n c io n e s discon tin uas puede ser una f u n c i ó n con tin u a . 337*. Sea a una fra cció n propia p ositiva que tiende a cero ( 0 < a < i ) . ¿Se puede poner en la igualdad £ ( l + a ) = £ ( l - c t ) + l, que se v e r i f i c a para todos lo s valores de a , el l í mi te tidad a ? www.FreeLibros.me de la can 40 Introducción al análisis 3 38. D em ostra r, q u e la e cu a ció n x* — 3a + l = 0 tiene una raíz real en el in te r v a lo ( 1 , 2 ) . C a lc u la r a p rox im a d a m ente esta raíz. 339. Dem ostrar, q u e cu a lq u ie r p o l in o m i o P ( x) de grado im par tiene por l o m en os una raíz real. 3 40. Dem ostrar, que la e cu a ció n tg x = x tiene una i nf i ni dad de raíces reales. www.FreeLibros.me C a p ítu lo IJ D IF E R E N C I A C IO N DE F U N C I O N E S 1. Cálculo d i r e c t o de d e riv a d a s 1o. I n c r e m e n t o d e l a r g u m e n t o e incremento do la f u n c i ó n . Si x y x t son v a lo re s doI argum ento x, m ien tra s que y — f ( x ) c y l = f [ x j) son lo s correspon d ien tes valores do la fu n ción y = / ( z ) , Ax = xi — x se llam a increm ento del a rgu n en to x orí el segm ento \x, x , ! , y Ay — y * — y , o sea, A y - / ( * ! > - / ( * ) “ / ( * + A * )- / ( * > (1) r e c ib e el nombre de increm ento de la función y en este m ism o segm ento |x, x ,] (fig . 11, dondo A x = M A y Ay = ^lAr). La razón A y_ Ax representa el c o e fic ie n t e an g u la r d e = tga la socante M N de la g r á fic a de la fu n ción y = / ( z ) (fig . 11) y se llama velocidad media de v a ria ció n de ia fun c ió n y en el segm ento (x t z 4-A.r). E j e m p l o 1. Parn la fun ción y = z2— 5z-(-6, ca lc u la r Ax y Ay, correspon dien tes a las sigu ien tes variacion os del argumento: a) desde x = i hasta z = l , i ; b) desde x = 3 hasta z = 2. www.FreeLibros.me D iferen cia ción de ju ncion es Solución. Tenemos; a) Ax = l , l — 1 = 0,1, Ay = <l, i 2 _ 5 . 1 , l + 6 ) ~ ( 1 2 ~ 5 . 1 + 6 ) = - 0 , 2 9 ; b) = 2 — 3 » — 1, Ai/ ~ (22 — 5- 2-f- 6) — (32— 5 -3 Kjemplo 6) = 0- 2. H a lla r , para la h ip é rb o la y - ^ — y el c o e f ic i e n t e an g u la r de la secante q ue pasa p o r lo s puntos, cu yas abscisas so n x = 3 Solución. —■— Aquí Ax = 10 — 3 = 7* y = - | - ; y í = : - L ; A y ^ 4 i 3 ' 10 ’ 10 . P o r c o n s ig u ie n t e , k = 3 0 ............................ 2o. D e r i v a d a . y -^ -= A* Derivada y ’ — al argum ento x se llama al lim ito (tx de art = 10. \ 3 1 30 * do fu n ció n la ra zón Ax y = / (*) co n respecto , cuando As tiende a cero, es d ecir y ' = Lim — - , a *-*-o A# si d i c h o lím it e existe. DI v a lo r d o la d e riv a d a nos l o da el co e fic ie n te angular de la tangente M T a ia g r á fic a do Ja fu n c ió n y = f ( x ) en el p u n to x ( f j g . 11); i/' = tg<p. La o p e ra ció n de h a lla r la derivada y ' re cib e el nom b re do derivación de la función. La deriva d a y ' = / ' ( ; z ) representa la velocidad de variación de la función en el punto x. E j e m p l o 3. H a lla r la deriva d a de la fu n c ió n y = x 2. Solución. A p lic a n d o la fó r m u la (1) tendrem os: Ai/ = (x + A a:)2 — x 2 = 2 x A x + { Ax) z ^ -= --2 x + Ax á x. P or consiguiente, y' = 3o. Derivadas lim -= Ax~>Q A a: l i m (2 z - {- A x) = 2x. laterales. Las expresiones /k * ) = ,;(* ) = i¡m / (« + y - / ( » A «--o Ax l i¡m A * -* -fo A* www.FreeLibros.me C álculo directo de derivadas 43 s e llam an respectivam ente derivadas a la izquierda o a la derecha de la fu n c i ó n j ( x ) en e l p u n to x. Para que ex ista / ' {x) es n ecesa rio y s u fic ie n t e que /:< * )-/;< * ). Ejemplo 4. H a lla r / I (0) y / ; ( 0 ) para la fu n ción /( z ) = | z | . Solución. Por d e f i n i c i ó n , tenemos que / : (0) = / i { 0) = 4o. D e r i v a d a lim £ sx -* -0 infinita. Ax L = - 1, lim Si en un punto determ in a do tenemos que lim Ü f ± * 2 = í í í > _ co, AX-vfi AX s e d ic e , que la fu n ció n continua / (x) tie n e derivada i n f i n i t a en el punto x . En este caso, la tangente a la g r á fic a de la f u n c ió n y = / ( x ) será perpendi cu la r al eje OX. E j e m p l o 5. H a lla r / ' <0) para la -fu n c ió n Solución. T en em os: / ' (0) = lim Ar_>0 Ax = lim — l = ^ = c o . ¿x -* Q V A x * 3 41. H a lla r el in crem en to de ia fu n c ió n y = x 2, correspondiente al paso del argum ento: a) do í = '1 a i j - 2 ; b) de a : = l a c) de x = 1a x ± = 1 + h. 1 ,1 ; 3 42. H a l l a r A y para la fu n c ió n y = f r x y si: a) x = 0 , A x = 0,001; b) x = 8 , = — 9; c ) z = a , A z = k* 3 4 3 . ¿P o r qué, para la f u n c i ó n t/ = 2,z-|~3 se puedo determ inar e l win crem e n to A y, co n o c ie n d o solam en te que el in crem en to corres pondiente es A z = 5, m ien tras q u e para la fu n c ió n y = x ¿ no puede hacerse lo m ism o? 3 44. H a l l a r el increm ento A y y la razón — ■para las fun ciones: Ax a > 1J= ( g a l a ) * ' » clian do x = i y A # = 0,4; www.FreeLibros.me 44 D iferen cia ción de fun cion es b) y = Y x c u a n d o x = 0 y A x = 0 ,0 0 0 1 ; c ) y = : l g x cu a n d o .r — 1 0 0 .0 0 0 y A x — — 9 0 .0 0 0 . 345. H a lla r A y y . co rresp on d ien tes a la v a r i a c i ó n d ol a rg u ¡\x m e a to desde x hasta x ^ - A x , para la s sig u ie n te s fu n cio n e s : a) y = a x -\ -b ; b) y — x 3', d) y = Y x ; e) y = 2*; * ) » = -& ■ ’> f) y = l u x . 3 4 6 . H a l l a r el c o e fic ie n t e a n g u la r de la secan te a la parábola y = 2 x — x 2, .si las abscisas de lo s p u n tos de in te rs e cció n son : a) x x — 1 , x 2 — 2; b) 2 7 , ^ 1 , x 2 = 0 ,9 ; O) * i = l , * 2 = l + / í . ¿H a cia qué l í mi t e tien d e el c o e fic ie n t e a n g u la r de la secan te en el ú l t i m o ca so , si /z —> 0 ? 3 4 7 . ¿C u ál es la v e lo c id a d m edia de v a r ia c ió n de la f u n c i ó n y = X’1 en e l se g m e n to 4? 3 4 8 . L a l e y d el m o v im ie n t o de u n p u n to es s = 2¿ 2 4 - 3 ¿ -\-5f donde la d is ta n c ia s se da e n ce n tím e tro s y e l tie m p o t , e n se g u n dos. ¿ A q u é será ig u a l la v e lo c id a d m edia de este p u n to d u ra n te e l in t e r v a lo de tie m p o com p re n d id o entro t = 1 y t = 5? 3 4 9 . H a l l a r la p en dien te m ed ia de la cu r v a y = 2X en e l seg m e n to 1 < £ < 5. 3 5 0 . H a lla r la pendiente m edia de la cu r v a y — f ( x ) o n el s e g m en to [x, rs-f-Aá’ J. 3 5 1 . ¿Q ué se en tien de p o r p en dien te de la cu rv a y = f ( x ) en un punto dado x ? 3 5 2 . D e fin ir : a) la v e lo c id a d m edia de r o t a c ió n ; b) la v e lo c id a d instantánea de ro ta ció n . 3 5 3 . ü n cu erpo c a le n ta d o e in tr o d u c id o e n un m e d io c u y a tem peratura sea m e n o r, se enf r í a. ¿ Q u é debe entenderse p o r : a) v e lo cid a d m edia de e n fr ia m ie n to ; b) v e lo c id a d de e n fr ia m ie n t o en un m om en to dado? 354. ¿Q u é debe entenderse p o r v e lo c id a d de r e a c c ió n de u n a substancia en una r e a c c ió n q u ím ic a ? 3 5 5 . Sea m = f ( x ) la m a sa de u n a barra h ete rog é n e a en el seg m en to [0 , x] . ¿Qué debo entenderse por: a) densidad l i n e a l m ed ia de la barra en e l se g m e n to [x, x + A x ] ; b) densidad lin e a l de la barra en el p u n to x ? www.FreeLibros.me D erivación p or medio de tablas 45 \ ¡¡ j 3 5 6 . H a l l a r la ra zó n para la f u n c i ó n «/ = — ,en x = 2, s i : a) A x = l ; b) A x = la derivada y ' cu a n d o x — 2? 357**. H a l l a r la derivada 358. Hal lar y’ = V lim el punto 0 , l ; c ) A * = 0 ,0 1 . ¿A q u é será igual de la fu n c ió n y = tg a:. para la s fun ciones: a * -»0 a ) y = x*; c) y = Y x \ b) y = -~¡r; d) y = c l g * . 3 5 9 . C a lc u la r / ' (8 ) , s i / (x) = x. 3 60. H a l l a r / ' ( O ) , f (1) y / ' ( 2 ) , si / (* ) = x ( x — l ) a ( x — 2)\ 3 6 1 . ¿E n que pu n tos la derivada de la fu n c ió n f ( x ) — z 3 c o i n cid e n u m érica m en te c o n el v a lo r de la propia fu n c ió n , e s decir, / ( * ) = / ' ( * ) ? 3 6 2 . L a l e y del m o v im ie n to de un p u n to e s s = 5 í2, don de la d is ta n c ia s v ie n e dada en m etros y e l tiem p o t , en segundos. H a l la r l a v e lo c id a d d e l m o v im ie n to en e l instante t = 3. 3 6 3 . H a l l a r e l c o e fic ie n te a n g u la r d e la tangente a la cu rva y = 0 , l x 3, trazada eu e l p u n to c u y a abscisa es x — 2. 3 6 4 . H a l l a r el c o e fic io n te a n g u la r de la tangente a la curva y = s e n x en el p u n to { n ; 0 ). 3 6 5 . H a l l a r e l v a lo r de la derivada de la fu n c ió n X en el p u n to x = x 0 ( x 0 =¿=0). 366*. ¿ A q u é son ig u a le s lo s co e ficie n te s angu lares do las tani g en tes a la s cu rva s y = — X . /• c y = x 21 en el p u n to de su in tersección ? H a l l a r el á n g u lo entre estas tangentes. 367*** D em ostrar q u e la s sigu ien tes fu n cio n e s vad as fin ita s en lo s pu n tos q u e se in d ica n : a) ¡/= V no tienen deri eD- el p u n to x = 0 ; b) y = j/ x — :t en el p u n to x = l ; c) r/ = ( c o s £ | en lo s pu n tos x = tí (k = 0 , ± 1 , ± 2 , . , .). 2. D e riv a c ió n por medio de ta blas I o. R e g l a s p r i n c i p a l e s p a r a h a l l a r l a d e r i v a d a . Si c es una co n sta n te y u = q ) ( í ) y ^ = i|j(.t) son fu n cion es d e riv a b le s , se lion e: 1) (c)' = 0; 2) 3) ( u ± i dr*'; 4) (cu)' — cu': www.FreeLibros.me 46 D iferen ciación de funciones S) 6) (uo)' = u'v-\-v'ir, =5^ 0>; 7) ( v ) = _ i ^ " 2°. T a b l a d e l a s pales I. ( * " ) ' — n xn~K H . ( ^ ) ' = - i derivadas f e * 0)de - (z > X III. (ln z ) ' = — 0). princi ( z > 0). X I V . ( lo g a * ) ' = — L _ = 221sli' 50 ' i ln a z (z > 0 . a > 0) . X V . (sh x )' = ch x . l l l . (sen x ) ' = eos x . 1V . (eos x ) ' = — sen x. 1 X V I . {ch x ) ' == sh x. e os2 X V I. ( c lg x ) ' = v b ' funciones X I I . <**)' = **. 2 y x V. (tg z ) ' las 1 V - . sen2 x V I I . (areson a-)' = — X V I I . (th xY 1 4 ch2 x ‘ X V III. ( c t h x ) ' = 1/1 — <!*!<«• i V I II . (árceos x ) ' 1 sh2 x ' 1 X IX . (A rsh * )' y íT í* i X. (n rcctgx )' = — X X . (A rch x ) ' » - ' i ■/x 2- 1 (l*|>D- X X I . (A rth * ) ' = | ~ j , x 2-!-1 • ■1 X X II. (A rcth z)' z2- i 3*'. R e g l a para derivar las funciones compuestas. Si r/= j ( u ) y u = <p(x), es d e c ir , 0 = /[<p(x)|» d on d e las fu n cio n es y y w tienen d erivada, so tiene u> o en o tra s notaciones dy dx _ dy du du dx Esta regla puedo a plicarse a cadenas d e cu a lq u ie r nú m ero f i n i t o do fu n cio n e s derivarnos. K j o m p l o 4. H a lla r la d e riv a d a do la fun ción y = ( s 2- 2 x + 3)*. S o l u c i ó n . H a cie n d o p — la fó r m u la ( i ) ten d rem os: • do nde ix = x 2— 2 S + 3 , de acuerdo con y ' = ( U % (x2 - 2 x -|- 3 ) ; = 5u* ( 2 x — 2) - 1 0 ( x - 1 ) ( x 2 - 2 x + 3 ) * www.FreeLibros.me 47 D erivación p or medio de tablas Ejem plo 2. H a lla r la d eriva d a de la fu n ció n y = sen0 4:r. Solución. H acien do y = u3; a = s o n i>; v = 4x, h a llam os y ' = 3u2*cos u « 4 = 12 sen2 4 x eos 4x. H a lla r las d e riv a d a s d o las sigu ien tes fu n cio n es (en lo s N ÜS 368— 108, no se em plea la regla do d e riv a ció n de fu n c io n e s com puestas): A . F u n cion es a lg eb ra ica s 2 5 3 68. y = x * — 4 z :i~ h 2 z — 3. 3 7 5 . y = 3 x ¿ ~ 2 x 2 + x_0, 3 69. y= 7 *i 3 7 6 * . y = x 2-\/~3?. 370. yâx^ + bx+c. I f Z + x 2— 0 , 5 ^ . 3 77. y = -JL= - - - ^ y x ,¿ 371. y = - ^ . 3 78. y 3 7 2 . y = a tm + btm*n. 3 79. y = y a y ono 373. 374. v f J ax*+b r /= — . qoa - r:- . oou. y a 2_t_/,2 J = y = — + ln 2 . ^ . X . c - f dx x* — 5a:+ 5 y = T, - X y Z - . i 2x— i ------------. z 3 81. y = ! -+ ■ £ ?„ ■ X J \ — y z B . F u n cion es trig on om étrica s y circu la res inversas 3 8 2 . y = 5 sen x -{- 3 eos x . 3 8 6 . y — a rctg x - j- a rcc lg x. 3 83. [/ = t g x — c t g x . OQ/ senx +- eos x 3 o 4 . y — -------------------. ,v sen x — eos x 3 87. y - f s c t g s . OOQ 3 o 8 . y = x áresen x . 3 8 5 . 0 = 2* s e n f - ( < * - 2 ) c o s í . 3 89. y J C. . e x p o n e n c ia le s y log a rítm ica s 3 90. t/ — x 7 *éx . 3 9 6 . y = ex aresen x . 391. y = { x — \ ) e x . 3 97. y = ~ 3 9 2 . í/ = ~ . 3 98. y = a:3 ln x — 393. y = ¿ L . 399. y = - + 2 1 n x - ~ 3 9 4 . f ( x ) = ex c o s x . 3 95. y = ( z 2 — 2 x + ¿‘ ) e * . 4 0 0 . y = ln re I g x — ln<z lo g a ;c. t? 3" www.FreeLibros.me . . J . 48 D iferen ciación de funciones D. Funciones h iperbólicas e h ip erb ó lic a s inversas 401. 4 02. * y = x sha;. 4 05. y = a r c t g x — A r t h x. u — —r— . 4 06. u = arcsen x Arsh x. ch x y 403. y = t h * - * . 4 07. Arch* . X /AO Arcl hx 4 08. y = - J 3 J 5— . /A, 3 cfch x 4 04- y -* u r r • E . F u n cion es com puestas o» H a lla r Jas derivadas de las sigu ien tes fu n cion es (en lo s N 4 09 — 4 66, es necesario a p lica r la regla para d eriva r fun ciones com puostás de un argum ento interm edio): 4 0 9 * * . y = ( 1 - f - 3 * - 5 : r 2)30. Solución. D esignem os 1 - f 3x — 5 z 2— u; en ton ces j/ = u30. Tendrem os: w; = 3 - i o ^ = 30 u™ - (3 — lOx) = 30 {4 - f 3x — 5 * * ) » . (3 — 40-r). 4 10. » - ( = ± Í ) a . 4 11. f ( y ) = ( 2 a + 3 b y ) * . 412. y = (3 + 2 z 2)4. ,,, 413. y 3 5 6 (2 2 — 1)’ 1 2 4 (2 2 — 1)» 414. y = Y í ^ 7 2. 415. ^= + 4 16. y= — 4 17. y = (3 — 2 sen a:)6. 1 4 0 (2 2 — 1)» S o l u c i ó n . ^ ' = 5 (3 — 2 sen z)4- ( 3 — 2 son z)'=*b (3 — 2 sen x)4 ( — 2 e o s x) = — í 0 eos x (3 — 2 sen x)4. 418. y — t g z — t gs x -(--g- tgs x . 4 19. y = y r ctg x — y ctg a . 4 20. y = 2 x -J- 5 eos 3 x. 4 2 1 * . x = cosec2 1 + sec 2 1. www.FreeLibros.me D erivación p or medio de tablas 4 23. v = 3 eos3 X 424. y = y 49 eos X 3 sen x — 2 e o s x i 425. y = j/ sen 2 x eos3 x 426. y = * Y 1 + aresen x . 427. y = Y a rctg x — (aresen a;)3. 1 428. u — ----- — arctg x . 4 29. y = Y x e * + x . 430. y = y 2 e * ~ ~ ¿‘ x + i + ln5 x. 431. y — s e n 3a; + c o s y + t g ] / x . S o l í i c i ó n . y '= c o s 3 : r - ( 3 : r ) ' — sen — - ?1 wn- 5 __! j eos2 V - ( Y XY ~ ^ eos 3x — . 2 1 /5 eos2 y x 432. y = sen ( z 2 — 5 x + 1) + tg a 433. / { x ) = c o s ( a z + p). 434. / ( 0 = sen ¿se n (¿-f<p). 435. y - 1 + c o s 2a: i — e o s 2z • 436. / ( i ) = a ct.g ~ . 4 37. — ¿ e o s (5a;2) — i c o s i 2. 438. í/ = aresen 2 a:. S o l n c i o n. y y i - ( 2i )2 439. y = aresen . - ( 2x)' = y í - w 4 46. f ( i ) = ¿ s e n 2 ‘ . 4 40. /(re) = árceos y x . 4 47. y — árceos ex. 4 41. V = arctg 4 48. y = I n ( 2 i + 7). . 4+2: 442. ¿ / - a r c c t g ^ . 4 4 9 . j/ = l g s e o x . 443. y = 5 e ~ x i. 4 50. y = l n ( l — Xa). 444. y = 4 51. j/ = l n 3 x — l n ( l n x ) . 5 xi 445. y = x H 0 iX 4-101G www.FreeLibros.me D iferen ciación de fun cion es 50 452. y = ] n ( e x + 5 s c n x — 4 a rcsen z). 4 53. í/ = a rctg ( I n x ) + l n (arctga:). 4 5 4 . y = Y Inos + l + l n ( V r£ + l ) . E . F u n cion es d iversa s 4 5 5 * * . y = sen 3 5 x coa 2 4* * rrcz 11 M /lj6 - y = - 2 F ^ 2 j 5 “ í ^ - 15 10 4 ( * - 3 ) * ~ 3 { x — 3)3 W /‘ ^ 1 2 . ( i - 3)2 ' /,5S- ^= 8<r=W459. , = ^ 2-x 2 j+ 1 X 460. y = a2 l /a 2 - f 4 61. í/ = — ,----------- . 3 V (!+ * * )« 4 62. !/ = { + ^ 4 63. */ = y 1^(1 + * 3) 8 - y ^ { 1 + x 3)5. 4 64. y ^ ± Y ^ - 4 65. y = x * ( a - ' ¿ x * ) ‘¡ . « -H s s r/ í í -7 9 5 (x + 2 > 6 3 ( j + 2)a + 2 (* + 2 )3 1 2 ( x + 2)2 1 4 68. y ~ ( a + x ) Y a — x . 4 6 9 . y = V {x + a) (x + b) {x + c). 4 7 0 . z = [/'y - \ - Y y . 471. / ( i) ^ (2 1 + 1) ( 3 / + 2) y ' 3i + 2 . 472. i = - 1— . . ) / 2 a j — ¡/2 4 73. y = l n ( / í + P - l ) - l n ( V i + « * + l ) . 4 74. y = ^ eos 3x (3 eos 2 x — 5). www.FreeLibros.me D erivación p o r medio de tablas 475 (tg**--i)(tg**+lotgg*+i) J 3 tg3 x 47G. y = t g 2 5a;. 4 7 7 . y = y sen (x -). 4 7 8 . y = sen2 (¿3). 4 7 9 . y = 3 sen a: eos 2 a: + sen 3 x . 4 80. ¡f = i - t g 3.r — tg z -l-a r . rn . 4 8 i- y cosa: = - 3 ^ , 4 + T cts x - 4 82. y = ] / a sen 2 x + (i eos 2 a;. 4 83. y = aresen a:2 -(- árceos x A 4 8 4 . y = y (arasen x ) 2 árceos x . /QCL 1 . 4 8 5 . i / = = a r c s e n X<¿— —^7— 486. if = a reson - X r.V T + P . 487. y - -ig ? 0-8.*488. y — aresen (a; j / " . 489. y = y a - — x 2 + a aresen -£•. a 490. f/ = x y ra,¿— a:2 + nz arcson x a 491. y = aresen (1 — x ) + j / 2 a ; — a;2. 492. y = ( a : — y ) w c s e n Y x + - j Y x — x2. 493. y = In (aresen 5a;). 494. y = arcson(lna;). 495. J y = arctg . — e,ia . * 1 — X cos.a 2 496. y = y a r c t g 5 l« 7 + 4 ^---------. 497. y — 362 a rctg j / " — (36 + 2a:) j / t e — a;2. 498. y = — 1^2 arcctg-^ 4 -— x. V 2 www.FreeLibros.me 51 D iferen cia ción de fun cion es 52 4 9 9 . y = J/T*. 5 0 0 . y = e ^ n2x. 5 0 1 . F ( x ) = (2mamx- \ - b y . 502. / ' { ¿ ) = ô:íc o s p í . c a .» ( a son &x — fl e os Bar) e ax ^2+ ^ ------------- • ™ d- y 504. y = e~x (3 sen 3 z — c o s 3 x ) . 5 05. y = x na - * \ 5 06. y = \/rc o s x a }'cosx. ctgi 507. y = 3 * 5 0 8 . i/ = In (a x 2 + bx-\ -c). 5 0 9 . y = ln ( a : z 2). 5 1 0 . y = x — 2|/*5 + 2 1 n ( l + / í ) . 5 11. y = ln ( a + x 512^ = i ¿ - 513. y = l n e o s \; 2 a x -+- x 2) . a?— j . 514*. y = 5 (5 . y ^ l n ^ 516- 2 /= ~ - ^ p 2 ^ 7 2) . + ln ^ 5 17. y ~ ^ y x * — a3 ~ ~ - ~ l n ( x - { - } / ~ .x 2 — a2) . 5 18. y = l n l n (3 — 2a;3). 519. y = 5 1 n 3 (aa:-}-6). 520. y = l n ^ ^ ± i . [/x* + a* — x 5 21. y = - l n ( a ; 3 - fl3) + ¿ l n p ^ . 5 22. y = a:-sen ( l n a ; — COO 1 1 * 523. y = T l n t g T - 1 . COSZ y i ^ . www.FreeLibros.me D erivación p o r medio de tablas 524. / (x) = 53 + 1 — In - 1 V f t ? . . 5 25 . y = ¥ ln -s q - — 5 26. y = 2 arcsen3x 4 - (1 _ árceos 3a:)3. sena* 5 2 7 . y = 3‘ ^ + * . 4 0 i? S ! « 1 3 COS^ta: t g * + 2- V 3 ----------------• 5 2 8 . if = 4 = l n — tg y -í-2 + -| /3 1 /0 5 29. y = arctg ln a?. 5 30. ^ = ln aresen s + -i- l n 2 x + aresen ln x. 5 3 1 . y = a rctg ln — . X 5 3 2 . y — 1 0 a rctg - 7=. + 4 - l n - ^ x T ' • 3 1 /2 *> a+ l 5 3 3 . y = l n 1 + -^ sert ~ + 2 a rctg i / -sen a:. 1 — 1/ s e n s ciOf ^ •. x 2-\-i 5 3 4 . í/ = T l n 5¿ 1 , a; — i 4 , 1 + T l n ^ T r + T a r c t g a:. i 'i 1 í>r — 4 5 3 5 . / ( * ) = T l n { l + ^ ) ~ - g - I n ( a : 5! - a ; + l ) + y | a r o t g - ^ 7=- . x ' 1 / 1 — xa 537. j / = s h 3 2#, 5 3 8 . y = e«a ch(5a;. 5 39. y = t h 3 2x. 5 4 0 . j/ = l n s h 2 :r . 5 41. j/ = A rsh . 542. y = A r c h l n x . 5 43. y — A r t h (tg x ). 5 44. y = A r c t h (sec a:). 5 4 5 . w= A r t h y ^ a . v í-\ -x 2 www.FreeLibros.me 54 D iferen ciación de fun cion es 5 46. (sl — 1) A r t h x + y ® . 547. p = ^ y X 2 H- — ) A r s h x — - ^ - x ^ l + x 2. 5 48. H a lla r ?/', si: a) lf — 1*|; b) y « * s | ;r | . C onstruir la g rá fica de las fu n cion es y e y \ 549. H a lla r y \ si r/ = ln|x| ( x = ^ 0 ). 5 50. H a lla r / ' (x ), si f(x) = 5 51. C a lcu la r / ' ( O ) , si 1 1 — x cu an do x < 0 , e” x cuando x > 0 . / (x) = *?“* eos 3x. S o l u c i ó n . / ' (x) — e~x ( — 3 sen 3x) — <r* e o s 3a;; f (0 ) — e ° ( — 3 sen 0 ) — c ° e o s 0 = — 1. 5 52. / ( x ) = l n ( l + x ) + a r c s e n . H a lla r / ' (1). 553. j - t g ’ - f . H a lla r ( - g . ) ^ . 554. H a lla r / + ( 0 ) y / I (0) para las funciones: a) f (x ) = son (xa); b) / (x) = areson c) / ( * ) = — “ 7 » a2— a:2 <z2+ *2 ’ / ( 0) = 0 ; 1 + e* d) / (x) = x 2 sen — , x =5^ 0 ; / ( 0 ) =. 0 ; c ) / ( s ) = x s c n - j , x ^ 0 ; / ( 0) = 0 . 5 5 5 . Dada la fu n c ió n / ( x ) = e“ x, h a lla r / (0) + x f (0). 5 56. Dada la fu n c ió n / (x) = ] / " l + x y h a lla r / ( 3 ) + ( x — 3 ) f ( 3 ) 5 57. Dadas “ >« s las fun ciones / (z) = tg x • www.FreeLibros.me y cp (x) = ln (1 — x) D erivación p or medio de tablas 558. h a lla r Dadas las fu n cion es } (x) = i — x y 55 cp (s) = 1 *— sen , . 559. Dem ostrar q u e la derivada de una fu n c ió n par es una f u n c i ó n im par y la de una fu n c ió n im par, es par. 5 60. D em ostrar que la derivada de u n a fu n c ió n p e rió d ica es u ñ a fu n c ió n ta m b ién p eriód ica . 5 61. Dem ostrar q u e la fu n c ió n y = xe~x satisface a la ecu a ció n x y ' = ( i — x) y. xs 5 62. Dem ostrar q u e la fu n c ió n y = x e x y ' = ( í — x 2) y. 5 63. Dem ostrar que la fu n c ió n 2 satisface a la ecu a ción y = — ----- -------- satisface a la ecu a ción x y ' = y ( y ln x — 1 ). F . D e r iv a d a loga rítm ica Se lla m a derivada logarítmica de una fu n ció n lo g a ritm o de d ich a fu n ció n , es decir, = a la dorivada del 'Xlny)’ — ’J’ ''<*> y f (*) La loguritmación previa de las funciones facilita en algunos casos el ca lcu lo de sus derivadas. E j e m p l o . H a lla r la derivada de la fu n ción exponen cial compuesta y=y?, d on de u = tp (s) y v = ty(x). S o l u c i ó n . T o m a n d o lo g a ritm o s , tendrem os: l n y = v ln u. D erivan do los dos m iem b ro s de esta igualdad co n respecto a x (ln y ) ' = v ’ ln w+ y (ln « ) ' , o 1 y 1 u — u' = zv' l n « 4 - ¿ > — u de donde y' = y ln u - f ~ , o sea, y ' = u " { v ' Inw + ^ - a ' j . 564. H a lla r y ' , si y = \fxs ■ 7 r % sen 3 x eos 2 x. !+ « 2 www.FreeLibros.me 5 i> D iferen cia ción de fun cion es 2 Solución, 1 ln , 2 y y l n x + l n ( l — x) — ln (1 - j - x 2) _|_ 3 in se o ar+ 2 ln eos x\ 1 , 2x (— 1 ) 3 x"*~ 1 — x , 1 - f x'¿ 2 sen x 1 sonx cos* cosx ’ de donde > ' = i ' ( w - i é r - T í ^ + 3 « B “;- 2 t8 * ) ■ 5 6 5 . H a lla r y ' , si y = ( s o n x ) x . \ Solución, ln y = x l n sen x; — - y ' = l n s e n x + x c t g x ; y y 1 = (sen x )x (ln sen x + x e t g x). H a lla r y\ tom ando previa m en te lo g a ritm o s para la fu n c ió n •• II 568. 569. y = V ^ y *1/ - ü + r - 5 74. y =» V * . 5 75. YX £76. y * = x x . - ' 577. y = £ sen*. (x -2 )9 570. 5 78. j/ = ( c o s x ) 8enx V ( x - l)* (* -3 )« 5 71. » II =3> 566. y ~ { x J r 1) (2 a ;-}-1) (3a: - f - 1). (a-j-2)2 567. lJ (x + l)¡» (* + 3 )* • ... V * -i • f ^ + 2)2 T / ( z + 3 ) a 579. 572. y = x s. * - ( * + * ) ■ 580. y = (arctg a;)*. 573. y — a;"'3. § 3. Derivadas de fu ncio n es que no e s tá n dadas e x p líc ita m e n te de 1.° D o r i v a d a Si la fu n c ió n fu n ció n de la f u n c i ó n i n v e r s a . y — / (x) e s J ^ ^ O , la d eriva d a de la * — í~Hy) será x[. — 1_ 7"" u V'X d x dy ~ 1 dy dx o sea, www.FreeLibros.me la derivada in v e r s a D erivadas de ju n cion es que no están dadas explícitam ente Ejem plo 1. H a lla r 57 la deriva d a x y’ i si y = x + l n x. Solución. 1 x 4 -1 1-f------ = — ~ — ; p o r consiguiente, Tenem os x x x x' y x+i * 2 o. D e r i v a d a s d e funciones dadas en f o r m a t r i c a . Si la dependencia entre la fu n ció n y y el argum ento x p o r m e d io d e l parámetro t param éviene dada { se tiene, Xt o con otras notacion es, ¿y dy _ dt dx dx dt Ejem plo 2. H a lla r , si CÍX x = a eos t y y = a sen t. Solución. H a lla m o s a s e n í y - ^ - — a c o s t . De aq u í que, af ctt dy _ dx 3 o. Derivada de acost _ *—a s e n í la función ® implícita. Si la dependencia entre x e y v ien e dada de fo rm a im p líc it a F ( x t y) = 0; (1> para h a lla r la derivada y'x = y \ en io s casos más sim ples, bastará: 1) ca lcu la r la d eriva d a co n respecto a x d e l p rim o r m ie m b ro de la ecu ación ( 1), co n si dera n d o y fu n ció n de x : 2) ig u a la r esta derivada a cero, es decir, suponer que- ¿ F ( x , V) = 0 , ( 2 ). y 3) r e s o lv e r la e cu a ción ob ten id a co n respecto a y \ E j e m p l o 3. H a lla r la d e riv a d a yx , si s 8 _j_ ¿,3— 3 ax y ^ o. S o l u c i ó n . C a lcu la n d o la derivada del p rim er m iem b ro d e d a d (3) o ig u aláud ola a cero, tendrem os: 3x2-\-3y*y' — 3a (y + x y ' ) = Q, www.FreeLibros.me (3^ la ig u a l 58 D iferenciación de funciones de donde y ■2__ o-]} a x — y2 ' 5 81. H a lla r la derivada z v, si a) y — 3 z + ^3; b ) í/ = ar — y s e n x ; c ) y ’= 0 , 1a : + e * /2 . C a lcu la r la derivada y ' — do las dadas en form a paramétrica: 582. 2 — 2/ — 1 , y = t* 1 f+ 1 583. 1 y ’ ( 1 Y U + i J 2o t 1 584. + i* ’ l-H 2 585. = 3at 1 -H a 1 3at* y = í+t» ' [ 2 = y i, 58G. i y = y t. 'x = y p + t , 587. 588. _ t —1 y ~ yw + i * x = a ( c o s ¿ - H s e n ¿)> í/ = a ( s e n ¿ — i c o s / ) . 589. 590. # = a eos 2 y = fcsen2 1 . |:r = a c o s 3 ¿, ( j/ = 6 son3 /. www.FreeLibros.me fu n cion es y siguientes, D erivadas de ju n cion es que no están dadas explícitam ente r x — ¡ 59 eos3 1 t= = - , \/ eos 2t 591. < sen31 y = ___ :______ ' . y eos 2 1 f 1 I X = árceos ^ 7= , 592. . y = aresen - ,_____ L Y l-M 2 593. J x = e ~ l. y = e* 594. í x = a ( l n t g y + c o s ¿ — sen , 1 y = d (sen t + eos i). 5 9 5 . C a lcu la r dx para ¿ = 1 2 si x = a (t — sen ¿), y = a ( 1— eos t). zt ,, . . , dy a sen t sen t ------------------— y S o h j c j o n , - r = — Ti--— — dx a (1 —' e o s t ) 1 — cosí J sen — { dy \ ) \ dx ) l=Y * -co sT x = t\nt, 5 9 6 . H a lla r 5 9 7 . H a lla r dx d y dx 5 98. Demostrar p a ra m é trica s para t = 1, si ln t y = —r . .u la fu n ción ¡ x = e i C05t, para ¿ = - y , si { * 4 l y = e t sen t. que */, dada * = 2 í + 3i*t , í / - ¿ 2 + 2 í 3, s a tis fa c e a la ecu a ción 5 9 9 . P ara x = 2 se c u m p le la igualdad x 2 = 2x. •¿Se deduce de ésto que ( x * y = (2 x y p a ra x = 2 ? www.FreeLibros.me por la s ecuaciones 60 D iferen ciación de funciones 600. Sea y = Y a? — x 2. ¿Se puede d eriva r la igualdad £2 + y 2 = H a l l a r la derivada m ie m b ro a m ie m b r o fu n cio n e s ira p lí- a 2? de las sigu ien tes cita s y : 6 12. arctg (x -\ -y ) = x . 601. 2 a ;~ 5 i/-| -1 0 — O. 602. *2 , V3 fl2 1 ¿2 613. ev = x - { - y . l ... y. 614. I n x + e * = c. 603. x 3 + y 3 = a 3. 604. x3 4- x 2y + y 2 = 0. 615. \ n y + ~ = c. y ii -i 616. a rctg T ln ( x 2 + r % 605. V x +\/~y = V'a606. 617. Y " x 2 + y 2 = c a rctg y_ • 607. y 3 - x ~ y . 3 *+ !/ 608. y — 0 ,3 s e n y = x . X 618. 610. t g y — x y . n r a g j p u n to 2y = l + x z / 3. . S o l u c i ó n . D erivando, y = 1, obtonem os 2 ^ ' = 1 tenem os: 2 y ' = y 3-\-3xy2y'. de d on de y ' = — i. 620, H a l l a r l a s d e r i v a d a s y ' d e l a s f u n c i o n e s n u a ció n , = jf . 619. H a l l a r y ' en el M (1 ; í ) , si 609. a eos 2 (x-4- y ) — b. 6 Í 1. x y + XV y, H a cie n d o *= 1 q u e sed a n ea co n ti e n la s p u n to s q u e se in d ic a n : a) (£ + £/)a = 2 7 (x — y) c u a n d o x = 2 e y = 1; b) yev = ex+l c u a n d o x = Q e y — 1; c) y2 -^ -cu an d o 3; = 1 e y = 1. § 4. Aplicaciones g e o m é tric a s y m ecánicas de la d eriva da I o. E c u a c i o n e s d e 1 a t a n g e n t e y d e 1 a ñ o r m a 1. De la inter p reta ción geom étrica de la derivada se deduce, que la ecuación de la tangentea la curva y = f ( x ) o F ( x r y) = 0 on el p u n to M (xQy y0) es: y — uo = y¿ d on de y'0 os el v a lo r de Ja derivada y ' en el p u n to M (x0, y0). La recta*, perpendicular a la tangente, quo pasa p o r e l p u n to de con ta cto de ésta con* la cu rva, recibe el nom b re de normal a dicha curva. Para la n orm a l tendre m o s la sigu ien te ecuación: www.FreeLibros.me A p lica cio n es geom étricas y m ecánicas de la derivada 2 o. A n g u l o entre curvas. 61 P o r á n g u lo fo r m a d o por las curvas y = h <*) O y = / 2 (*) <ni su punto com ú n M q ( x0 , y0) (fig . 12) se en tien d e el á n g u lo ce que forman <*ntro s í las tan gen tes a estas c u r v a s M 0A y iV/0ff en el p u n to M 0. P o r la c o n o c id a fó r m u la de G eom etría A n a lít ic a obtenem os: t r m _ /« (* o )-/i(g o ) ^ 1 + / Í ( ¿Fo W Í (*o) 3°. S e g m e n t o s , r e l a c i o n a d o s c o n l a t a n g e n t e y l a n o r mal, para el c a s o de un s i s t e m a de c o o r d e n a d a s r e c t a n g u l a r e s . La tangente y la n orm a l d eterm in a n lo s cuatro seg m en tos s i g u ie n t e s ( f i g . 13): t = T M , lla m a d o segmento ta n gen te, S t — T K , su bta n g en te, n — N M , segm ento norm al, S n ~ K N f subnormal. C o m o ATA/ = |yo I Y t g cp = y j, s e tiene t = 7 il/= ‘ yo iWIÍ = |y0 y r + ( ! / í ) 2 |; St = TK = |5 ~ 1í/oyó 4 o. S e g m e n t o s , ralacionados con la tangento y la n o r m a l , p a r a el c a s o do un s i s t e m a do c o o r d e n a d a s p o l a r e s . Si la curva v ien e dada en coorden a d a s p o la re s por la e cu a ción r = /(. el á n g u lo p , fo rm a d o p o r la tan gen te M T y el ra d io p o la r r = OM < fig . 14), se d eterm in a p o r la fo r m u la sigu ien te: tgP- dip dr r' ' L a tan gen te M T y la n o r m a l M N en e l p u n to M t ju n to con el radio p o la i d e l p u n to de c o n t a c t o y la p erp e n d icu la r a d ich o r a d io trazada por ej www.FreeLibros.me G2 D iferen cia ción de fun cion es polo O, determinan los cuatro segmentos siguientes (véase la fig. 44): t = M T , segm ento d e la ta n gen te p o la r , n = M N , s e m e n t ó d e la norm al p o la r, S t = 07\ su bta n gen te p o la r , subnormal polar. Estos segmentos se expresan con Jas siguientes fórmulas: t = M T = j ¿ r T V r * + (r')*; S t = O T = - ¿ ¡ j ; n = M N = V r * + (r')\ Sn = O N ^ \ r'\ . 021. ¿Q ué á n g u lo s cp form a n co n e l e je O X la s ta n g en tes a la cu rv a y = x — x 2 en lo s p u n tos c u y a s abscisa s son : a ) # = 0 ; b) # — 1 /2 : c ) # = 1? S o l u c i ó n . Tenemos ¿r' = l — 2x. Do donde: b) tgrp = 0, <p= 0°; c) tg <p= — 1; cp= l35° (fig. 45). a) lg < p = f, <p= 45°; 0 2 2 . ¿Q ué á n g u lo s form a n co n o l e je de a b scisa s, a l corta rse co n éste on e l o rig e n de coord en a d as, la s sin u so id e s y = sonx e y = sen 2 # ? 0 2 3 . ¿Q ué á n g u lo form a co n e l e je de a b scisa s, a l corta rse con este en e l o rig e n de coorden adas, la ta n gen toid o y = f t g x ? 6 2 4 . ¿Q ué á n g u lo form a la cu r v a i/ = e ° ^ x co n la recta x = 2 a l cortarse con e lla ? 6 2 5 . H a lla r lo s p u n tos en q u e la s ta n g e n te s a la c u r v a y — ~ 3 # 4 - p 4 #3— 12 #2 - f 20 sean p a ra le la s a l e je de a b scisa s. 0 2 0 . ¿E n q u é p u n to la ta n gen te a la p a rá bola y = — Ix + 3 es p a ra lela a la recta 5 # + ? / — 3 = 0? 027. H a lla r la e c u a c ió n de la p a rá b ola y = # 2 - f b x + c , tan gen te a la recta x — y en e l p u n to ( 1 ; 4). www.FreeLibros.me que es A p lica cion es geom étricas y mecánicas de la derivada 03 6 2 8 . D eterm in ar e l c o d i c í e n l e a n g u la r de la tangente a la cu rv a x * - \ - y z— x y — 7 = 0 en e l purilo ( 1 ; 2 ). 6 2 9 . ¿E n que p u n to de la cu rva y 2 = 2 x 6 la tangente es p er p en d icu la r a la recta 4 x — 3 y - ¡ - 2 = 0? 6 3 0 . E scrib ir las e cu a cio n e s de la tan gen te y de la n orm al a la p a rá b ola y = V x en e l pun to cu y a a b scisa os x = 4. Solución. T e n e m o s y' = ■/ * ; de aq u í ¿a y de la tan gen te será k = [y' ]*= 4 — que, el c o e fic ie n t e angular x 1 Co mo el p u n to de c o n t a c t o tiene c o o rd e n a d a s x = 4 e y = 2 , la e c u a c ió n de la ta n g e n te es y — 2 — ~ ¡r(x— 4), o bien, x — 4 y + 4 = 0 . lSn v ir t u d d e la c o n d ic i ó n de p e rp en d icu la rid a d , el c o e fic ie n t e de la n o r m a l es: *! = las an g u la r — 4, de d o n d o la e c u a c ió n de la n o r m a l es y — 2 — — 4 ( r — 4), o bien, 4 x-\ -y — 18 = 0. 6 3 1 . E scrib ir las ecu a cion es de la tangente y de la n orm al a la cu rva y = x 3 -\-2x2— 4 x — 3 en e l p u n to ( — 2 ; 5 ). 6 3 2 . H a lla r las ecu a cion es do la ta n gen te y do la n orm al a la cu rva y = v 'x ~ l en el p u n to ( 1 ; 0 ). 6 3 3 . H a lla r la s ecu a cion es de las tan gen tes y de las n orm ales a las sig u ien tes cu rv a s en lo s puntos que se in d ica n : a) y = t g 2 x en e l o rig e n d o coordenadas; £ ,^ b) y = are s e n — — en e l p u n to de in tersección con el o jo OX\ c) y — are eos 3 x en el p u n to de in te rse cció n con e l e je O Y ; d) y = i n x en e l pu n to de in te rse cció n co n e l e je O X ; e) y = e i ~x2 en los pu n tos de in tersección con la recta y = i . 6 3 4 . E scrib ir las ecu a cion es de la tangente y de la n orm al a la cu rva 1+ * _ x==z _ vy— 3 + f 2t ’ en e l p u n to { 2 ; 2 ). 6 3 5 . E scrib ir la e cu a ció n de la tangente a la curva x = t c o s t y y*=ts& nt en el orig en de coorden adas y en e l pu n to t = - ^ m www.FreeLibros.me 64 D iferen cia ción de funciones 636. E scrib ir las ecu a cion es de la tan gen te y de la norm al la cu rva + *6 = 0 en e l pu n to c u y a ordenada es y = 3. 637- E scrib ir la e cu a ció n de la tangente a la cu r v a rc5- ^ 5— — 2 x y = 0 en e l punto ( 1 ; 1 ). 638- E scrib ir las ecu a cion es de la s tangentes y de las norm ales a la cu rva y = ( x — 1) ( x — 2) (x — 3) en sus pu n tos de in tersección con el e je de abscisas. * 6 3 9 . E scrib ir la s ecu acion es de la tan gen te y de l a n orm a l a la cu rva y 4 = 4rc*-j- 6z y en e l p u n to (1 ; 2 ). 640*. D em ostrar que e l segm en to de tangente a la h ip érb ola xij = a2, com pren did o entre lo s ejes de coorden adas, está d iv id id o en dos partes ig u a les p or e l p u n to de con ta cto. 6 4 1 . D em ostrar que en la astroide z*/* + y 2te = a 2/3 e l segm ento tangente, com pren did o entre lo s e je s de coorden adas, tien e m a gn i tud constante e ig u a l a a . 6 4 2 . D em ostrar que la s n orm a les a la e n v o lv e n te de la cir cu n feren cia x = a (eos 1 4 *t sen t)9 y = a (sen t — t eos t) son tangentes a la circu n fe re n cia x l j r y ¿ = a it. 643. H a lla r e l á n g u lo de in te rse cció n de la s p a rá b ola s y = (x — 2 )2 e y = — 4 + 6 ;r — x z. 6 4 4 . ¿Q ué á n g u lo form an entre s í las p arábolas y = e y = x 3 a l cortarse? 6 4 5 . D em ostrar que la s cu rv a s y = 4 x 2 + 2rr — 8 e y = x 2~ x + 10 son tangentes entre sí en e l p u n to (3 ; 34). ¿O cu rrirá l o m ism o en el pun to ( — 2; 4)? 646. D em ostrar que las h ip é rb o la s x y = a 2 y x" — i/ ■= b~ se cortan entre sí form an do un á n gu lo recto. 6 4 7 . S e da la p a rá bola y 2 = i x . C a lcu la r la lo n g itu d de lo s segm entos tangente, n orm a l, subtangente y su bn orm al en el punto (1; 2 ). 6 4 8 . H a lla r la lo n g itu d del segm ento su btan gen te de la cu rv a y = 2 x en cu a lq u ier p u n to de la m ism a. 6 4 9 . D em ostrar que la lo n g itu d d e l seg m en to n orm a l a cu a l q u ier p u n to de la h ip é rb o la eq u ilá tera x 2 ~~y 2 — a 2 es ig u a l a l radio p o la r de d ich o punto. 6 5 0 . Dem ostrar que la lo n g itu d del seg m en to su b n orm a l do la h ip érb ola s 2 — y 3 = a 2, en un p u n to cu a lq u ie ra de la m ism a , es ig u a l a la abscisa do d ic h o pu n to. 6 5 1 . D em ostrar que lo s segm en tos su btangen tes de la elip se + = l y de la circu n fe re n cia x*-\-y2 = a 2, en www.FreeLibros.me lo s pu n tos de a A p lica cion es geom étricas y m ecánicas d e La derivada 65 abscisas ig u a les, son ig u a le s en tre s í. ¿Q ué p ro ce d im ie n to de con s tr u c ció n de l a ta n g e n te a la elip se se desprende de l o antedicho? 6 5 2 . H a lla r la lo n g itu d de lo s segm en tos ta n gen te, n orm al, su b ta n gen te y su b n o rm a l a la c ic lo id e x ~ a (t — sen t) y = a (1 — c o s í ) en un p u n to cu a lq u ie ra i = t 0. 6 5 3 . H a lla r e l á n g u lo q u e form a n en tre sí la tan gen te a la esp ira l log a rítm ica r — aeh(9 y el ra d io p o la r del p u n to de co n ta cto . 6 5 4 . H a lla r e l á n g u lo en tre la tangente y e l ra d io p o la r del p u n to de co n ta cto para la lem n isca ta r2 = a2 c o s 2 <p. 6 5 5 . H a lla r las lo n g itu d e s de lo s segm en tos p ola res: tangente, n o rm a l, su btan gen te y su b n orm a l y e l á n g u lo que form a n entre sí la ta n gen te y e l ra d io p o la r del p u n to de co n ta cto para la espi ral de A rq u ím ed es r = atp en el p u n to de á n g u lo p o la r q> = 2 jc. 6 5 6 . H a lla r la s lo n g itu d e s de lo s segm en tos p ola res: subtan gente, su b n orm a l, ta n gen te y n o rm a l, y el á n g u lo que form an entre s í la ta n g e n te y e l ra d io p o la r para la e sp ira l h ip e rb ó lica r = ^~ cn u n p u n to a rb itra rio q>=qp0; r = r0. 6 5 7 . La le y del m o v im ie n to de un p u n to sobre el e je O X es x = 3¿ — ¿3. H a lla r la v e lo cid a d del m o v im ie n to de d ic h o pu n to para lo s instan tes ¿0 = 0 ; ¿i = l y t 2 — 2 (x se da en ce n tím e tro s; en segundos). 6 5 8 . P o r el eje O X so m u ev en dos p u n tos que tien en respecti v a m en te la s le y e s de m o v im ie n to * = 1 0 0 + 51 y donde ¿ > 0 . ¿C on q u é v e lo c id a d se a leja rá n estos pu n tos, el uno d e l o tr o , en e l m om en to de su en cu en tro (x se da en cen tím etros; en segundos)? 659. L o s e x tre m o s de un se g m e n to Á B = 5 m . se deslizan por la s recta s perpen dicu lares en tre sí O X y O Y (fig . 16). L a v e lo c i dad de desplazam ien to d e l ex trem o A es ig u a l a 2 m /s e g . ¿C uál será la v e lo cid a d d e desplazam ien to del ex trem o B en e l instante 5 —1016 www.FreeLibros.me 66 D iferen ciación de funciones en que el ex trem o A se en cu en tre a una d ista n cia O A = 3 m . del orig en de coordenadas? 6 6 0 , La le y del m o v im ie n to de un p u n to m a te ria l, lan zado en el p la n o v e rtica l X O Y (fig . 17), form an do un á n g u lo a respecto al h o riz o n te , co n una v e lo cid a d in ic ia l v 0, v ien e dada p or la s f ó r m ulas (sin tom ar en co n sid e ra ció n i a resisten cia del aire) x — Vqí c o s a , y — sen a — , donde t es e l tiem p o y g la a celera ción de la fuerza d e gravedad. H a lla r la tra y ectoria del m o v im ie n to y su a lca n ce . D eterm in ar ta m b ién la m agnitud de la v e lo cid a d del m o v im ie n to ció n . y su d irec 6 6 1 . U n p u n to se m u e v e so b re la h ip é r b o la U - — de ta l m odo» q u e su abscisa x aum enta u n iform em en te con la v e lo cid a d de una unidad p or segundo. ¿Con q u é v e lo cid a d variará su ordenada, cu an do el p u n to pase p or la p o s ic ió n (5; 2)? 6 6 2 . ¿E n q u é p u n to de la p a rá b ola y 2 = i 8 x la ordenada crece dos veces m ás de p risa q u e la abscisa? 6 6 3 . Uno de lo s la d o s de un re ctá n g u lo tien e u n a m a gn itu d con stan te a = 10 cm , m ien tra s que e l o tro , b ) es v a r ia b le y aum enta a la v e lo cid a d con stan te d e 4 cm /se g . ¿A qué v e lo cid a d crecerán la d ia g on a l del re ctá n g u lo y su área en e l instante en q u e 0 = 30 cm ? 6 6 4 . El. ra d io de una esfera crece u n iform em en te co n una v e lo cid ad de 5 cm /se g . ¿ A q u é v e lo cid a d crecerá n e l ároa d e la super fic ie de dich a esfera y e l v olu m en de la m ism a, cu a n d o el ra d io sea ig u a l a 50 cm ? 6 6 5 . Un pu n to se m ueve sobre la espiral de A rqu ím edes r — ay www.FreeLibros.me G7 D erivadas de órdenes superiores (a = 10 cm ) de m odo q u e la v elocida d an gu lar de r o ta c ió n de su ra d io p ola r es con stan te e ig u a l a 6 ° p o r segu n do. D eterm inar la v e lo cid a d con q u e se alarga d ich o ra d io p o la r r en el instante en qu e r = 25 cm . 666 . Una barra h eterogén ea A B tien e 12 cm . de lo n g itu d . La masa de la parte d e A M de la m ism a crece p roporción al m ente al cu a d rad o de la d ista n cia del p u n to m ó v il M respecto al extrem o .4 y es ig u a l a 10 g cu an do A M = 2 cm . H a lla r la m asa de toda la barra A B y la densidad lin e a l en cu a lq u ier pu n to M de la m ism a. ¿ A q u é es ig u a l la densidad lin ea l d e la barra en los pu n tos A y B ? § 5, D eriva d as de órdenes s u p e rio re s I o. D e l i i l i c i ó n d e l a s d e r i v a d a s d e ó r d e n e s superio r e s . D e r iv a d a d e s e g u n d o o rd en o d eriv a d a seg u n d a de una fu n ció n y = j ( x \ se lla m a a la d e riv a d a d e su d erivad a, es d e cir, a L a d e riv a d a segunda se designa así: . ' O - g - . o /"(*). SL x = j ( t ) es la ley del m o v im ie n t o re ctilín e o ele un p u n to , es la ace le r a c ió n de d ic h o m o v im ie n to . En general, la derivada de orden enésimo de la fu n ció n = os la deriva d a do la d eriva d a de orden ( n — 1). La derivada enésima so designa a sí: y 'n \ E j oni p i n o - § r - 0 f (n> (*)• 1 . H a lla r la deriva d a de segundo orden de la fun ción y = bi (1_ X). o i u c i ó n. ~ r\ ^ = = ( i- * ) * - 2o. F ó r m u l a d o L c i b n i z . Si las funciones u = <p(x) y y = i¡>(^ tienen derivadas hasta de ord e n enésim o in clu sive, para ca lc u la r la derivada enésim a del p ro d u cto de estas fu n cion es puede emplearse la fórmula de L eibn iz = 3°. dadas i/-j- u 'n - 2 > r , " + . . - \ - u v ‘ n K Derivadas de ó r d e n e s superiores en f o r m a p a r a m é t r i c a . S i de funciones r * = <P(¿), 5* www.FreeLibros.me D iferen cia ción d e ju ncion es 68 s u s d e r iv a d a s u' * ax &x x' ’ , y" . . . p u ed en ca lcu la rse ** dx¿ su ce siv a m e n te p o r la s fó r m u la s : 'í^x)x ~ 9 -g ' Para la d e r iv a d a d o 2 o o r d o n se c u m p le la 2. > ' fó rm u la x \y"tt-x uy\ *;cx"“ E jem plo a*' W r ’ H a lla r y " , si x = a eos l, { y = bsen t. Solución. T en em os: < . (¿ s e n t >t_ b -c o st y (a c o s í)/ — cíSQnt'~ „ ( - T ct« 0 ; lJ A. (a c o s í ) } - T - i i h -a se n f b a C% b _ aase n 3 / ' D erivad as de órdenes superiores de junciones explícitas. H a lla r la s derivadas de segu n do g ra d o de la s fu n c io n e s sig u ie n te s: 6 6 7 . y = x 9 -\- 7x* — 5 x + 4. 6 6 8 . y = e x2. 6 6 9 . y — sen* x. 670. y = l n j / l + x \ 6 7 1 . y = ln ( x + V a 2 + x*). 6 7 2 . / ( s ) = ( l + ; z 2)-a r c t g :r . 6 7 3 . y = (are sen x ) 2. 6 7 4 . ¡/ = a c h — . 6 7 5 . D em ostrar, q u e la fu n c ió n y = -x— e c u a c ió n d iferen cia l * sa tisfa ce a la 1 + y ' 2 = 2yy*. 6 7 6 . D em ostrar, q u e la fu n c ió n s a tisfa ce a la e cu a c ió n d ife re n cia l y" — 2 y ' - \ - y — ex . 6 7 7 . D em ostrar, q u e la fu n c ió n y — C ^ - * -\-C2e~2x para c u a l q u ier v a lo r de la s co n sta n te s C x y C 2 sa tisfa ce a la e cu a ció n */* + 3y* + 2 y = 0 . www.FreeLibros.me D erivadas de órdenes superiores 69 6 7 8 . D em ostrar, q u e la fu n c ió n y = e2X sen 5 z sa tisfa ce a la e cu a ción y " — 4 ¡/' + 29*/ = 0. 6 7 9 . H a lla r y " , si y = x 3 - 5 x * + 7 x - 2 . 6 8 0 . H a lla r / ” (3 ), si / (z ) = ( 2 x - 3 ) 8. 6 8 1 . H a lla r y v para la fu n c ió n y = ln (1 6 8 2 . H a lla r yv l para la fu n ció n y == sen 2x. 6 8 3 . D em ostra r, que la fu n c ió n y ~ e ~ * c o s x sa tisfa ce a la ecua c i ó n d ife re n cia l yv / - f- 4 y = 0 . 6 8 4 . H a lla r / (O), /'( O ) ? / '( O ) y /" ( O ) , si / (x ) = ex sen x. 6 8 5 . L a e c u a c ió n del m o v im ie n to de u n p u n to sobre e l e je O X , es x — 100 -}- 5 í — 0 ,0 0 1 t 3. H a lla r la in sta n tes v e lo cid a d y la a ce le ra ció n ¿o = 0; ¿i = l; ¿2= de d ic h o p u n to para los 10 . 686 . P o r la circu n fe re n cia x 2 + y 2 = a2 se m ueve u n p u n to M co n una v e lo cid a d an gu lar co n sta n te co. H a lla r la le y del m ov i m ie n to de su p r o y e c c ió n M^ sobre e l e je O X y si en e l m om ento ¿ = 0 el p u n to ocupaba la p o s ic ió n M 0 (a> 0) (fig . 18). H a lla r la v e locid a d y la a celera ción del m o v im ie n to del p u n to M t. ¿A q u é es ig u a l la v e lo cid a d y la a ce le ra ció n del p u n to A f t en el m om en to in ic ia l y en e l m om en to en que pasa p or e l orig en de coordenadas? ¿C u á les son lo s v alores a b solu tos m á x im o s de la v elocida d y de la a ce le ra ció n del p u n to M t? 6 8 7 . H a lla r la derivada de orden n-ésirno d e la fu n ción y = ( a x + b)n} donde n es un núm ero entero. 688 . H a lla r las derivadas d e orden n -ésim o de las fu n cion es: www.FreeLibros.me 70 D iferen ciación de funcionen 6 8 9 . H a lla r la d eriv a d a n -ésim a d e las fu n c io n e s : a) IJ = sen x ; b) y ~ eos 2 x ; « ) y = e~3Xd) y = ln(l+a?); e) y _ 1 . 14 x ’ i+ x . 1— 3: » / ) 1/ g ) y = sen 2 x ; h) y = Iti (az-f- 6 9 0 . E m p lea n d o la fó r m u la de L e íb n iz , h a lla r y^n\ si a) y = x - e x\ b) y « ) ?/ = (1 — x 2) cosa:; _ i+ x _ . d) y “ y* ’ e) y = x 3 l u x . •691. H a lla r /< "> (0), si / (x ) = ln i —x B . Ztertwzdas ó r d e n e s s u p e r i o r e s , d e f u n c i o n e s dadas e n form a p a r a m é tr ic a y de f u n c io n es i m p l íc it a s . H a lla r 6 9 2 . a) 6 9 3 . a) para las fu n c io n e s sig u ie n te s: x = ln ty x = a rctg i, y*=ñ «/ = ln (1 + ¿2); x = a cos£. c) K = < zsen ¿, 6 9 4 . a) í/ = a sen3 ¿; x = a (sen t — t eos l ) , d) y = a (eos t-\ -t sen t ) . x = a r c tg í, 6 9 5 . a) y - i 1'x = ln t, x = e " at} b) y = ca'. y= l / T ^ . y — a (1 — eos í); x = eos 2 ¿ y y = sen 2 1\ c) x — a ( t — s e n ¿ ), x = a c o s 3 í, h) x = aresen i , b) y = i- t www.FreeLibros.me • Derivadas de órdenes superiores 696. H a lla r 71 x = e xc o s í , d*x dy* ’ si y = e*sen í. 6 9 7 . H a lla r x = l n ( l + í2), para í = 0 , si J X \ 698. que [ y =i t . D em ostrar y , determ inada com o las ecu a cion es £ = s e n / e y — ae* ^2 j~ b e ~ l ción d iferen cia l fu n c ió n de x por , sa tisfa ce a la ecua cualesquiera que sean la s con stan tes a y ó. H a lla r 699. 700. 701. y m= - í^ - para las sigu ientes fu n cion es: z = s e c í, y = lgt. x = e~{ c o s í , y = e~l sen t . x = e~\ 7 0 2 . H a lla r d ny d xn S i{ z = ln ¿ , m í 7 0 3 . C onociendo la fu n c ió n y =* f (x), y x w de la fu n c ió n inversa x = f~1( y ). 7 0 4 . H a lla r y", si x 2 + */2 = 1. Solución. h a lla r las derivadas x A p lic a n d o la regla do d e r iv a c ió n de fu n cio n e s com puestas tenem os 2a: + 2^ ' = 0 ; de d o n d e y ' = e !/— xy 'x y* P o n ie n d o en lu gór de y ' su v a l o r , o b te n d re m o s en d e fin it iv a : y2Jt X ^ _ _ Í3— = 1 ir3 * D eterm inar las derivadas y" de las sigu ientes funciones y — f ( x ) , dadas de form a im p líc ita : 7 0 5 . y 2 = 2 p x. 706. 4 + £ - i . www.FreeLibros.me 72 D iferen ciación de junciones 7 0 7 . t/ = x -f-a r c t g y. 7 0 8 . Dada la ecu a ción h a lla r y . 709. H a lla r y " en el p u n to (1 ; 1 ), si x 2 - f 5 x y + y 2 — 2 x + y — 6 = 0. 710. H a lla r y " en el pu n to (0 ; 1), si 2 4— x y + y* = l. 711. a) La fu n c ió n y está dada im p lícita m en te p or la ecu a ción z 2 + 2 x y + y 2— 4 z + 2 y — 2 = 0. H a lla r en e l pu n to (1 ; 1). b) H a lla r - g - , si x* + y t = a2. § 6 . D ife re n c ia le s de p rim e r orden y de órdenes s u p e rio re s I o . D i f e r e n e i a I de p r i m e r o r d e n . Se llama d iferen cial {de prim er orden) de una ¡unción y = f { x ) a la pa rte prin cip a l do su in crem ento, lineal con respecto a l in crem ento A z — dz de la v aria b le in d ep e n d ien te x. La d ife re n cia l de una fu n ció n es ig u a l a l p ro d u cto de s u derivada p o r la d ife re n cia l de la v aria b le independiente d y = y ' dx. De aquí, quo S i M N es ol arco do la g rá fica de la fu n c ió n y = f ( x ) ( f i g . 19), M T la tangente en e l punto M { x t y ) y PQ = Ax — dxt www.FreeLibros.me D iferen cia les d e p rim er orden y de órdenes superiores 73 ten d re m o s que e l in c r e m e n to do la ordon ada d e la ta n g e n te A T = dy y e l s e g m e n t o A N = Ay. E j e m p l o 1. H a lla r e l in c r e m e n to y la d i f e r e n c ia l de la fu n c ió n y = 3 x 2—~x. Solución. 1er p r o c e d i m i e n t o ; Ay — 3 ( s + A s ) 2 — (x + A s ) — 3z 2-\-x o b ie n , A y = (6x — 1) A s + 3 (A x)3. P o r c o n s ig u ie n t e , dy — (6^ — 1) A s = (6x — 1) dx. 2o p r o c e d i m i e n t o : y ' — 6s — 1; dy = y ' d x = (6s — 1 ) d x . E j e m p l o 2. C a lc u la r A y y d y do la f u n c i ó n y = * 3x* — x f p a ra x = l y A s = 0 ,01. S o l u c i ó n . A y = (6x — 1)* A s + 3 (A s)2 = 5 *0,01 + 3 -(O,OI) 2 — 0,0503 y dy = ( 6s — 1) A s = 5* 0,01 = 0,0500. 2 o. P r o p i e d a d e s f u n d a m é n t a l a s d e l a s d i f e r e n c i a l e s : 1) dc = 0 , d o n d e o — c o n s ta n te . 2) d x = A s, d o n d e s e s la v a r ia b le in depen d ien te. 3) d (cu) = c d u . 4 ) d (i¿ i f ) — du ^¡z du. 5) d (uv) — u d v-\ -v du. 6) * ( t ) * + 0). 7) df (u) — / ' (u) du. 3°. A p l i c a c i ó n d é la d iforen cia l para los c á lc u lo s a p r o x i m a d o s . Cuando el v a l o r a b s o lu t o d e i in c r e m e n to A s de la varia ble in d e p e n d ie n te s es pequeño, la d ife r e n c ia l dy do la f u n c ió n y = / ( x ) y e l in c r e m e n t o Ay de d ic h a f u n c ió n s o n a p ro x im a d a m e n te ig u a le s entre sí Ay f & d y , es d e cir, / ( x - h A s ) — / (s) ^ / ' (x ) As, de d o n d e / ( s + A s) ^ / ( * ) + / ' ( * ) A s. (1 ), E j e m p l o 3. ¿En cu á n to aum entará a p rox im a d a m e n te e l la d o de un cu a d ra d o , s i su ároa au m en ta do 9 m 2 a 9,1 m 2? S o l u c i ó n . Si x es e l área d e l cu ad rado e y el la d o del m is m o , ten d re m o s que y= l/ x. P o r las c o n d ic io n e s d e l p r o b le m a : s = 9; A s = 0 , 1 . C a lc u la m o s a p ro x im a d a m e n te e l in c r e m e n to A y d e l la d o d e l cuadrado Ay ^ dy — y ’ Ax 1 — - 0,1 — 0,016 xn. 2 y 9 www.FreeLibros.me D iferen cia ción de funciones 74 4o . D i f e r e n c i a l e s d e ó r d e n e s s u p e r i o r e s . Se lla m a d iferen cia l d e segundo orden a la d ife r e n c ia l de la d ife re n cia l de p r im e r o rd e n : d*y = d { d y ). De form a análoga se d eterm in a n las d iferen cia les de tercer orden y de ó r d e nes sucesivos. S i y = f ( x ) y x es la v a r ia b le in d e p e n d ie n te , se tiene d2y = y ° {d&)\ d*y = y " (dx3), dny = y<n>(dx)H. Cuando y = f { u ) , donde u = íp(a;)J se tiene: d ^ = y n [du)* + y ' d*u, ¿ 2^ — y>» (dw)3-}-3 y " d u -d 2u -\ -y' d*u, e t c . (En este caso, v aria b le u). las a p o s t r o fe s d esig n a n d e r iv a c ió n c o n resp ecto a la 7 1 2 . H a lla r e l in crem en to A y y la d ife re n cia l d y de la fu n ción y = 5 x + x 2 para x ~ 2 y A x = 0 ,0 0 1 . 7 1 3 . S in c a lc u la r la d eriva d a , h a lla r d (1 — x*) para x = l y A x = — y . 7 1 4 . E l área S de u n cu adrado, c u y o la d o es ig u a l a x , v ien e dada p or la fó rm u la S = x 2. H a lla r e l in crem en to y la d iferen cia l de esta fu n c ió n y determ in ar ol v a lo r g e o m é tric o de esta ú ltim a . 7 1 5 . D ar la in te rp re ta ció n g e o m é trica d e l in cre m e n to y de la d ife re n cia l de las sigu ien tes fu n cion es: a) del área del c ír c u lo S — jix 2; b) d e l v o lu m e n del c u b o v — x 3. 7 1 6 . D em ostrar, que cu a lq u ie ra que sea x , e l in crem en to de la fu n ció n y = 2x , correspon dien te a l in crem en to de x en una m a g n itu d A x , es e q u iv a le n te a la exp resión 2 ¿cA x l n 2 , cu a n d o A x —» 0 . 7 1 7 . ¿Para q u é v a lo r d e x , la d ife re n cia l de la fu n c ió n y = x 2 n o e q u iv a le a l in crem en to de esta m ism a fu n c ió n cu a n d o A x —> 0 ? 7 1 8 . ¿T ien e d ife re n cia l la fu n c ió n y = |x| para x = 0? 7 1 9 . E m p lea n d o la d eriva d a , h a lla r la d ife re n cia l d o la fu n c ió n n A n y = e o s x , para x = - g - y A x = y r . 7 2 0 . H a lla r la d ife re n cia l de la fu n c ió n 2 y ~ V 7 para x = 9 y A x = — 0 ,0 1 . www.FreeLibros.me D iferen cia les de prim er orden y de órdenes superiores 75 7 2 1 . C a lcu la r la d ife re n cia l de la fu n ción // = t g x para y = H a lla r las d iferen cia les de las siguientes funciones, para cu a l quier v a lo r de la v a ria b le independiente y de su increm ento: 722. y = 7 2 3 . ;/ = X1 X \ -x * 7 2 4 . y = a r c s e n ^ -. 7 2 5 . j/ = arctg ~ . 7 2 6 . y = e ~ x\ 727. y = x l n x — x. 728. y = ^ 1 ^ . J i+ X 7 2 9 . r = ctgq> + coscccp. 7 3 0 . s = a rctg e l. 7 3 1 . H a lla r d y % si Z - + 2x y — y 2 = a 3. S o l u c i ó n . T e n ien d o en cu enta la in v a ria b ilid a d de la form a de ia d ife re n cia l, tenem os: 2 x d x - { - 2 { y d x-\ ~ xd y) — 2 y d y = Q. De donde d y = ^ l ± L dx. x-v H a lla r la s d ife re n cia le s form a im p líc ita : de las siguientes fun ciones, dadas de 7 3 2 . ( z + y ) * ( 2 x + y)* = 1. 733. y ^ e ' y . 7 3 4 . ln | ^ x 2+ y 2 = a rctg — . x 7 3 5 . H a lla r d y en e l p u n to (1 ; 2 ), si y 3 — y = Qx2. 7 3 6 . H a lla r e l v a lo r a proxim ado del sen 31°. Solución. m u ía T o m a n d o x = are 30o — o y Ax = arc í ^ — (1) (véase 3o) tendrem os que, sen 31° ^ sen 3 + 0,017 . ^ + = 0,515. ¿t www.FreeLibros.me 0 ° + loU , p o r la fó r - eos 30° = 0,500 + 76 D iferen cia ción d e funciones 7 3 7 . S u stitu y en d o e l in crem en to c ia l, c a lc u la r a p rox im a d a m en te: a) eos 61°; d ) l g 0 ,9 ; í>) tg 4 4 ° ; c ) e0’2; e) are tg 1 ,0 5 . de la fu n c ió n p o r la d ife re n 7 3 8 . ¿E n cu á n to aum enta, a p rox im a d a m en te, o i v o lu m e n de una esfera , si su ra d io / í = 15 cm se alarga en 2 m m ? 7 3 9 . D od u cir la fó rm u la a p rox im a d a (para v alores de (A * | , pequ eñ os en co m p a ra ció n con 3 ) Y x -f- A x » V I -f Ax 2y x y co n e lla , h a lla r lo s v a lo re s a p rox im a d os d e Y 5 ; Y 1 7 * Y 70 ; 1^640. 7 4 0 . D od u cir la fó rm u la a proxim ada y/ x + ¡Ax «5 Y~x -f- Ax 3y ? y h a lla r los v a lo re s a p rox im a d os de Y 1 0 , y / '70", y ^ 2 0 0 . 7 4 1 . H a lla r lo s v a lo re s a p rox im a d os de la s fu n cio n e s: a) y = x 3— 4a:2 + 5 x + 3 para x = l , 0 3 ; b ) / (a:) = ] / l + x para a: — 0 , 2 ; C) / (* ) = ] / para a: = 0 , 1 ; d) y ^ e l ~ x2 para x = l , 0 5 . 7 4 2 . H a lla r e l v a lo r a p ro x im a d o de t g 4 5 ° 3 '2 0 " . 7 4 3 . H a lla r aproxim adam en te a resen 0 ,5 4 . 7 4 4 . H a lla r aproxim adam en te 7/ 1 T . 7 4 5 . D em ostrar, basándose en la fó rm u la d e la / = le y de O h m q u e una pequeña v a r ia c ió n do la intensidad de la corrien te, debida a una pequeña v a r ia c ió n d e la resisten cia , puede h a lla rs e de m anera a proxim ada p o r la fó rm u la AI = --^ A R . 7 4 6 . D em ostrar, q u e un error r e la t iv o dn 1 % , co m e tid o al determ in ar la lo n g itu d d o l ra d io , da lu g a r a un orror r e la t iv o a p rox im a d o do un 2 % , a l c a lc u la r e l área del c ír c u lo y la su p er f ic ie de la esfera. 7 4 7 . C a lcu la r d2y, si y = eos 5 z. www.FreeLibros.me Teorem as Solución. de valor medio 77 d 2y = y ” (dx)* = — 25 eos 5x (d x)2. 7 4 8 . í¿ = ] ^ 1 — a:2 , h a lla r d 2u. 7 4 9 . y = árceos x , h a lla r d2y . 7 5 0 . y = sen x ln x , h a lla r d2y . 751. z= h a lla r ■C 7 5 2 . z = a;2e - a:) h a lla r d 3z. 7 5 3 . z ~ ~ñ~ — > h a lla r d 4z. ¿ X 7 5 4 . í¿ = 3 s e n ( 2 x - f 5 ) , h a lla r d nu. 7 5 5 . j/ = ¿ * C0S as e n (a :s e n a ), h a lla r d ny . § 7 . Teorem as del v a lo r medio 1. T e o r o m a d e R o l l e . Si una fu n c ió n f (x) es con tinu a en el s e g m e n to a < ^ z < C b , tiene una deriva d a / ' (x) en cada uno de lo s puntos in te riores de éste y 2. T e o r e m a d e L a g r a n g e . Si una fu n ció n f {x) es con tinu a en el seg m en to a ^ x ^ b y tiene d eriva d a en cada p u n to in te r io r de éste, se tiene i ( b ) - f ( a ) = { b - a ) /'( £ ) , d on d e a < £ < 6 . 3. T e o r e m a d e C a u c h y . Si d os fu n cion es f (x) y F (x) s o n c o n t i nuas en e l seg m en to y tienen en e l in te r v a lo a < a : < 6 derivadas q ue n o se anulan sim u ltá n ea m en te, sien do F (b) ^ F i a ) , se tiene. / ( * ) - / ( « ) _ V (l) F ( b ) - F ( a ) ~ F '(l) ’ don de a < £ < b. 756. V e r i fi c a r q ue la fu n ció n f ( x ) = x — x 3 sa tisfa ce a las con d iciones dol teorem a de R o l l e en lo s seg m en tos — i ^ x ^ O y H a lla r los v a lo r e s correspon dien tes do £. S o l u c i ó n . La fu n ció n / ( x) e s con tinu a y d c r iv a b le para to d o s los v a lo re s do x\ adem ás do e sto , / ( — 1) = / (0) = / (1) = 0 . P o r consiguiente, ol teorem a de R o lle puede a plicarso en lo s segm entos - i < i < 0 y Para h a lla r el núm ero £ form a m os la ecu ación : / ' ( * ) = ! — 3*2 = 0. s ie n d o — 1 < < De donde 0 ; 0 < £ 2 < 1. 7 5 7 , L a fu n c ió n f (x) = \/ (x — 2 )2 en los extrem os del segm ento JO, 4 j tom a v a lo r e s ig u a les /( 0 ) = /( 4 ) = f 4 . www.FreeLibros.me 78 D iferen ciación de fun cion es ¿Es v á lid o para esta fu n c ió n el teorem a de R o lle en el segm ento 10, 4]? 7 5 8 . ¿So cu m p len las con d icion es del teorem a de R o lle para la fu n ción f(x ) = tg x en el segm en to (0 , ri]‘í 7 5 9 . Sea f { x ) = x (x + 1 ) (x + 2) (,x 3), D em ostrar que la ecuación r (x) = o tiene tres ra íces reales. 760. La ecu a ción e* = 1 + z , evidentem ente, tiene una ra íz , rr = 0. D em ostrar que esta e cu a ción no puede tener otra ra íz real. 7 6 1 . C om probar si se cu m p le n las con d icion es del teorem a de L agrange para la fu n ción f { x ) = z — x* en el segm ento m edio de 5 . [ — 2, i] y h a lla r el correspon dien te v a lo r in ter S o l u c i ó n . La fu n c ió n / ( x ) = x — es con tin u a y d eriva b le para to d o s los valores do x y y / ' ( x ) — 1 — S x 2. Do dondo, p o r la fó r m u la de L a gra n ge, tenemos / (4) — / ( — 2) = 0 — C = f l — ( — 2 ) ] < £ ) , es decir, / ' ( g ) = - 2. Por con sigu ien te, i — 3|2= — 2 y | « = z f c l ; sirv e so la m e n te el v a lo r g = — 1, para el que se cu m p le la desigualdad — 2 < | < 1. 7 6 2 . C om probar si so cu m plen las con d icion as del teorem a de Lagrange y h a lla r el correspondiente p u n to in term ed io g para la fu n ción f (x) = x*-'* en el segm en to [ — 1 , 1], 7 6 3 . En el segm ento de la p a rá bola y = x 2 com p ren d id o entro los puntos A (1; 1) y B (3; 9) h a lla r un p u n to cu y a tangente sea paralela a la cuerda A B . 7 6 4 . A p lica n d o e l teorem a de L agran ge, dem ostrar la fó rm u la sen (x + h) — sen x =■ h eos E, dondo x < l < x + h. 765. a) C om probar si se cu m p len la s co n d icio n e s del teorem a de C au ch y para las fu n cion es / (x) = x 2 + 2 y F ( x ) = * x 3 — 4, en el segm ento |1 , 21 y h a lla r g; b) ídem para / (x ) = sen x y F (x) — eos x , en e l segm ento r* www.FreeLibros.me Fórm ula de T a ylor 79 8 . F ó rm u la de T a y lo r Si una fu n ció n / (#) es con tin u a y tiene derivadas continuas hasta de grado 1) in clu sive, en e l segm ento a ^ x ^ b (o b y para cada p u n to in te r io r del m ism o e x iste una derivada fin ita / <íl)(a?), en este segm ento se v e rifica la fórm ula d e T a ylor l ( x ) = í (a) + < * - « ) / ' ( « ) + f (a) + f" ( « )+ ... don de | = a -r-0 {* — <*) y O < 0 < 1 . En el caso particu lar, en que a — 0 tenemos (fórmula de M aclaurin): i (*) = f (0) + x f (0) -i- r (0 )+ ... + l<n~u ( ° ) + í f /in) d on de £ = 0a:, O < 0 < 1. 7 6 6 . D e sa rro lla r e l p o lin o m io / (a:) = — 2 x 2+ 3 x + 5 en poten cias enteras y p o s itiv a s del b in o m io x — 2 . Solución. f ' ( x ) = 3z2 — 4 s - j- 3 ; para n >• 4. De donde: (s) = 6z — 4; (^) = 6-, /<«>(*) = 0 / (2) = 11; i* (2) ~ 7; /* ( 2 ) o - 8 ; /" '( 2 ) = 6. P o r consiguiente: ^ _ 2 ^ + 3 ^ + 5 = 11 + (x - 2 ) . 7 + (- ^ - 2- 8 + < ^ = ^ . 6 o bien ± 3 _ 2 * a + 3* + 5 ^ 1 1 + 7 ( * — 2) + 4(.r — 2 ) 2 - f ( * — 2)*. 767. D esa rrolla r la fu n c ió n /{£*) = £* en p oten cias del hasta e l te rm in o que co n ten g a (a:~|-l)3. Solución. } ^ ( x ) — ex para todas las n , — 1) = — . b in om io Por c o n s i guiente: e« - l + (;P_L1) ± + («+<)» V ■<*+D 1 i l * + W £l 1 } don de 2! * ^ 3! * ^ 4¡ ’ — f + 0 (x + l ) ; O < 0 < 1. 7 6 8 . D e sa rro lla r la fu n c ió n f { x ) — \ n x en poten cias de 1, hasta e l té rm in o con (a; — l ) 2. 7 6 9 . D e s a rro lla r la fu n c ió n f ( x ) = s e n x en p oten cias de hasta e l té rm in o de x z y hasta e l té rm in o de x 5. 7 7 0 . D esa rrola r la fu n c ió n f ( x ) — e* on poten cias de x hasta el té r m in o de a:*” 1. 7 7 1 . D em ostrar que la d ife re n cia entro sen ( a - f h) y sen a + h eos a n o es m a y o r de y h2. www.FreeLibros.me 80 D iferen cia ción de fun cion es 7 7 2 . D eterm in a r e l o rig e n de la s fó r m u la s a p rox im a d a s: a) 1 + y h ; — ^ x 2, I « | < 1 , b) y" 1 + x zz 1 + y i - j r , M < 1 y v a lo ra r el e rro r de la s m ism as. 773. V a lo r a r e l error de la fó rm u la o . 1 . 1 . 1 5 ~ 2+2T+3T+4T • 7 7 4 . U n h i l o pesad o, b a jo la a c c ió n d e la g ra v ed a d , se com ba form a n d o la ca te n a ria y — ach -^ -. D em o stra r pequeños de ¡x| la fo rm a q u e tom a aproxim ad am en te p o r la p a rá bola i el h ilo que para v a lo re s puede representarse x '2 y = « + * r 7 7 5 * . D em ostrar que cu an do de \x\<£a, c o n u n a p re cisió n hasta , se v e r ific a la ig u a ld a d a p rox im a d a § 1 9 . Regla de L ’ K flp Ita l- B e r n o u lll p a ra e l c a lc u lo de lím ite s In d e te rm ina d os i. y ^ Cálculo de límites . Sean las funciones indeterminados uniformos f (x) y do las formas ' (x) se reduzca a cero. Si f ( x ) y q> (x) son infinitamente pequeños o infinitamente grandes cuando x -* - a , es decir, si la fracción ■ ^ q) representa on el una expresión indeterminada de la forma ^ o <P(*) punto x = a , tendremos que *-*« <P (*) a condición de que oxista el límite de esta fracción do las derivadas (regla de L'Hópital-Bernoullí). Esta regla es aplicable también en el caso en quo a — co. Si la fracción —7^ vuelvo a dar una expresión indeterminada en el punto z ~ a , de una de las dos formas antes indicadas y / ' (x) y q>' (x) satisfacen a todas las condiciones que seformularon para / (x) y q> (x), www.FreeLibros.me R egla de V H ó p it a l-B ern ou lli para el cálculo de lím ites indeterminados 81 so aplica d o n u ev o la m ism a regla, co n lo que tondremos la fra cció n de las segundas derivadas y así sucesivam ente. No obstante, debe recordarse que puede e x is t ir el lím ite do la fracción f (x) , s i n que la fra cció n de las derivadas tienda a lím ite a lg u n o (véase el 6 809). 2. O t r a s f o r m a s i n d e t e r m i n a d a s . Para ca lcu la r lo s lím ites de expresiones indeterm inadas de la fo rm a 0 «co, h a y que transform ar los correspondientes p rod u cto s / , ( x ) - / 2 (x), donde lim / , ( i ) = 0 y lim /2 { x ) = c o , x -* a fracción x*+a 1 h ( x) ( form a ° b ie n ^ fo rm a . /i Y) E n ca so de expresiones in d eterm inad as de la form a c o — a> debe trans form arse la corresp ondiente d ife re n cia f i ( x ) — f 2 (x) en el produ cto fi (x) f 1- L Ji \x) y ca lcu la r, on ; s i el lim /1 W prim er lugar, el lím ite de la fracción — 1, reducim os esta e x p resión a la forma x -* a h \x ) h(*) A H (fo rm a ° ) . /i W L o s lím ite s de las ex p resion es in determ inadas do las form as 1“ , 0o y co° se d eterm in a n buscando previam ente sus logaritm os y hallando e l límite del lo g a ritm o de la exp resión e x p o n e n cia l [ /i ( x )]/2 (para ío que será necesario ca lc u la r lím ites in d eterm inad os de la forma 0 *oo). En c i e r t o s ca sos, o s con ven ien te c o m b in a r la regia de L ’ H o p ita l-B e rn o u lli co n el c á lc u lo de lím ite s por m ed ios elem en tales. E j e m p l o 1. Calcular lim f form a indeterm inada — \ . CO ) tf-vQ Ctg X \ Solución. A p lica n d o la re g la de L ’ H o p ita l-B e rn o u lli, tenemos; ln x (In * )' .. son2 x h m —— = lim — — = — h m ----------. x_>0 ( c tg x ) x->0Ctgx x-*0 x Resulta una e x p re s ió n indeterm inada de \a form a , pero n o es necesario v o lv e r a a p lica r la regla de L ’ H ó rita i-B e rn o u lli, puesto quo .. sena x h m — ----- . A n .. seu x l i m ------------ sen x = 1 .0 = 0. www.FreeLibros.me D iferen ciación de fun cion es 82 t C oa lo que oa d e fin it iv a , encontram os: 1 * ——X = 0 A. lim * - 0 Ctg a: E j e m p l o 2. C alcular lim f — ^ -------- L-\ (form a indeterm inada c o — os). a-*.0 \sen2 z ** j R educiendo la fra cció n a un común d en om in a dor, tonemos: lim ( — íx-»0 \sen2 a; i;- ^ = 1i ni 1 y ^ ~ ( fortti9 indeterm inada . z2 ) * 2 seri2z \ 0 ) A n tes do a p lica r la regla de L ’ H ó p ita l-B e rn o u lli, su stitu im o s e l denom inador de la ú ltim a fra cció n p o r el in fin it é s im o eq uivalente (Cap. I, § 4) z 2 sen2 x ~ z 4. Tenemos: lim ( — ~ x-*Q \sen2 x ~ \ = üm — x 2 ) *_>o S¿ n —■ { form a indeterm inada *4 \ 0 / . P o r la regla do L ’ H ó p ita l-B crn o u lli lim / í 1 \ V sen -z x2 ) - — ó------------ 5- = lim 2z — s e n 2z ? ~ rK 4xJ lim 2 — 2 c o s 2z ---------. 12z2 Después, por m edios elem entales, h a lla m os: / 1 1 \ .. 1 — eos 2z _. 2 sen2 x 1 lim ( -— ---------- 5- = Jim — ‘77-ñ— = lim — x -z — = -r- . \ sen2 x x ¿ J x^ 0 bz¿ bz- ó Ejem plo 3. Calcular 3 lim ( e o s 2 x ) x2 (fo rm a indeterm inada l*3). *-*•0 H allan do el lo g a ritm o y a p lica n d o la regla de L ’ H ó p ita l-B e rn o u lli, ton em os: n 3 s. 3 ln eos 2z R t g 2z 0=■— o h m - 7 :— — — 6 . x^ 0 X_ ,Q 2 x z2 - h m ln ( c o s 2z ) * x—Q JL P or co n sig u ie n te , lim (eos 2z) ** =ê~Q. x-*0 H a lla r lo s lím ite s que se in d ica n de la s fu n cio n e s sigu ien tes: lim x- - 2x' ' ~ l t 2 • 776 . ¡c-*l s 3 -7 x + 6 www.FreeLibros.me R egla de L ' H ó p ita l-B crn o u lli para el cálculo de lím ites indeterminados „ , . , Solución 777. 778. .. x * — 2x*— x + 2 hm - l i t n 100- J 7 sonz £-►0 ^ lim ■ i ~ x— . . =hm 3^2 — 4a: — 1 7 8 3 . lim 4 X-*co 2 83 i . 7 8 4 . lim -jj— .. x -* i í _ s e a 5 f . a -*» V z n, / W 9 . lim V x->0 x~ i 7 8 5 . lim -eos* 2 tg x — sen x ygg 780. l i m x-t-0 x — sen x ' ln (sonmar) ' x— +o 7 8 1 . lim ;icc.2 f-~ 2 .tg * ■ 1 + eos Ax Jl 782. 1 « o ct g ü f . h ise n x 7 8 7 . lim (1 — eos x ) c t g x . x_>0 ' lim *8 * tg 5x ‘ * Á 24 n 1 •/ Solución .• \ *. .. ( i — C09x)C0SX (1 —- c o s s ) w lim (1 — eos x ) c t g x — Jim -------------= l i m ----------------- X Xô x~>0 sena: x^ 0 se n x X lim eos x — l i m ^ ^ - 1 = 0 . *-♦0 x-vO eos x 7 8 8 . lim (1 — x ) x -> ! . ¿ 7 9 2 . lim x Hson — , r a > 0 . x —*<*> 7 8 9 . l i m a r c s e n z c t g a:. x-*0 x 7 9 3 . lim ln x ln ( x — 1). x -f i 790. x-vO lira(*n<r*)> * > 0 . 794. x-* lim f - 4 - I4n *)/ • 1 V^ — 1 7 9 1 . lim x s e n — . X X~»0O n Solución, . / ar 1 \ i. x l n x — x~M h m ( - — 7 — - ------ 1= l i m —-------- — r—¡— — www.FreeLibros.me 84 D iferen cia ción de funciones Solución. Tenemos: xx = y\ ln y = x ln x; lim ln y = Iim x ln x — X“ >0 x -* 0 _t_ j jj j y = iitn — r— = l i m ------— = 0, de d on de lim y = i , o sea, lim x x = í . x -+ 0 x -* 0 t x x -* Q x -> 0 x2 1 1 7 9 9 . lim a;*. JC->+oo 8 0 4 . lim x 1 _ *. X-vl 3 800. tcr — lim a:4+1“ * . 805. x -> 0 ' 2 . x~+l ' 4 ' 1 801. lim :rpen*. 8 0 6 . lim ( c t g x ) l n x . x~>0 x -+ 0 7ÍX 802. lim ( I - * ) " 5 2 . 8 0 7 . lim ( ± V S \ x~y\ X -+ 0 ' * / i 803. lim ( i + s 2) * . 8 0 8 . lim ( c t g a ) se« * . x -»Ü x -t - 0 8 0 9 . D em ostrar q u e lo s lím ite s : a) lim } x -0 , .. b)iS x2 sen — — — 0; se* * x — senx , n o pueden h a lla rse p o r la re g la de L ’ I io p it a l — B e r n o u lli. H a lla r estos lím ite s directam en te. A<¿ F i g. 20 8 10 *. D em ostrar q u e e l área de u n seg m en to c ir c u la r co n un á n g u lo ce n tra l a pequeño, q u e tien e la cuerda A B = b y la sa g ita C D = ¿ h { f i g . 20), es aproxim adam en te ig u a l a S con un error r e la tiv o ó tan pequ eñ o co m o se desee, cu an do a —> 0 . www.FreeLibros.me Capítulo I I I E X T R E M O S DE L A S FU N C IO N ES Y A P L IC A C IO N E S G E O M E T R I C A S DE L A D E R I V A D A § 1. E ntrem os de la s fu n c io n e s de un argum ento, 4. Crecim iento y decrecim iento de las funciones. La fu n c ió n y = j ( x ) se llam a crecien te (d ecrecien te) en un in te r v a lo d ete rm i n a d o (segm ento), cuando para unos pu n tos cualesquiera y aro» de dicho in te r v a lo (segm ento), de la d esig u a ld a d x t < x 2 se deduce la desigualdad / ( * i ) < / ( * 2) 21, a) ( / ( * l) > / (* 2) (fig . 24, ó)). Si la fu n c ió n f (x) es c o n tin u a en el seg m en to (a, b\ y / ' (x) > 0 ( / ' (x) < 0) para a < z < ó , la fu n ción f ( x ) crece (decrece) en d i c h o seg m e n to (a , ó]. En lo s casos m ás s im p le s , el c a m p o de ex isten cia de la fu n ció n / (x) se puede d i v id ir en u n núm ero f i n i t o d e in terva los do cre cim ie n to y decreci m ie n t o do la fu n c ió n (in terva los de m onotonía). E s to s in te rv a lo s están lim i tados p o r lo s p u n to s críticos de x (donde f ' ( x ) = 0 o n o e x iste / ' (x)). F j o m p l o 1. In v e s tig a r e l c r e c im ie n t o y d ecrecim ien to de la fu n ció n y = z 2 — 2x + 5. Solución. H a lla m o s la derivada y' = 2 x - 2 = 2 ( x - i ) . (1) Do d on de y' = 0 para x = í . En e l eje n u m érico obten em os d os intervalos do m o n o to n ía : (~ ~ c o , 4) y (1, - ¡-c o ) . De la fó r m u la (1), ten em os: 4) s i — o o < < x < 4, se tie n e i / ' < 0 y , p o r con sig u ie n te , la fu n ció n ) (x) decrece en el in te r v a lo ( — c o , 1); 2) si l < x < - f - c o , so tie n e y ' > 0 y , p o r con sigu ien te, la f u n c ió n / (x) crece en e l in te rv a lo (4, + C Q ) (fig . 22). E j e m p l o 2. D eterm in ar lo s in te r v a lo s de cre cim ie n to y d e cre cim ie n to de la fu n c ió n 4 V~ x+ 2 Solución. E n este caso, x = — 2 es el punto do d isco n tin u id a d de la fu n ció n e y' = — r - ^ o < 0 cuando x =£ — 2. P o r co n sig u ie n te, la fu n ción y ( x -j- ¿) decrece on lo s in te rv a lo s — c o < s < — 2 y — 2 < x < + c o . E j e m p l o 3. In vestiga r el cre cim ie n to y d ecrecim ien to do la fu n ción Solución. Aquí, y ' = Z4 — Z2. (2 R e so lv ie n d o la e cu a ció n x 4 — x 2 = 0 f h a lla m o s los p u n to s — 1, x2 ==0 y x 3 = l , on lo s que la deriva d a y ' so anula. C om o quiera que y ' puede www.FreeLibros.me 86 E xtrem os de las ¡u n cion es y aplicaciones geom étricas de la derivada cam biar do sig n o sola m en te a l pasar p o r p u n to s en q ue ésta se hace igual a cero o so produce una d is co n tin u id a d (en e ! caso d a d o n o h a y p u n to s do d isco n tin u id a d para y ' ) t tendrem os que, en cada u n o de los in te rv a lo s ( — co , — 1), ( — 1, 0), (0 , 1) y (1, + o d ) la deriva d a conserva u n m ism o sign o, p o r lo cu a i, en cada u n o de estos in te r v a lo s la fu n c ió n que in v e s tig a m o s F i g- 24 será m on óton a . Para determ in a r en cu á le s d e estos in te rv a lo s crece la fun c i ó n y en cu áles decrece, h a y que saber q ué s ig n o tieno la deriva d a en cada u o o . d e e llo s . Para «averiguar el s ig n o de y ' en el in te r v a lo ( — c o , — 1), basta sabor ol sig n o de y’ en cu alquier p u n to de este in te rv a lo . T o m a n d o , por e je m p lo , x = — 2 de la e c u a c ió n (2), o b te n e m o s y ’ = 1 2 > O, por con sig u ie n te , y ' > O on el in tervalo ( — c o , — 1) y la fu n ción en él es cre cie n te . De form a análoga h a llam os que y' < O en el in te rv a lo ( — 1, 0) ^para c o m p ro b a rlo puedo tom ar, por e je m p lo , z = — i - j ; in te r v a lo se puodo tom ar x — p ' < O en el so (0 , 1) âquí y , fin alm on to, y ' > O on ol in te r v a lo ( í , + o o ) . De esta form a, la fun ción estudiada crece en ol in te r v a lo ( — o o , — 1), decrece en el ( — 1, 1) y v u e lv e a crecer en e l in te rv a lo ( 1, + c o ) . 2. E x t r e m o s de l a s f u n c i o n e s . S í e x is t o u n en torn o bilateral dol punto x0 t a l, que para cu alquier o t r o p u n to x =£ de este e n to rn o se www.FreeLibros.me E xtrem os de las ¡u n cion es de un argumento_________________ 87 v e rifica la desiguald ad / (x) > / (ar0), el punto x 0 recibo el nom b re de punto m ínim o de la fu n ció n y — ¡ { x ) y el núm ero / (* 0) el de m ínim o de dicha fun c ió n y = f ( x ) . A n á loga m en te, s i para cu a lq u ier p u n t o s =£ d e un entorno determ in a d o d e l p u n to x i se cu m p lo la desigualdad f ( x ) < f ( z i), x A recibe el nom bro de punto m áxim o d e la fu n ció n / ( a ) , y / ( * * ) , ol do m áxim o de d ich a fu n ció n (fig . 23.) E l punto m ín im o o m á x im o de una fun ción se llama tam b ién punto extrem o do la m ism a y el m ín im o o m á x im o de esta fu n ción , el do extrem o de ella . Si x 0 e s u n p u n to extrem o do la fu n ció n / ( s ) , se tien e, que / '( a ; 0) = 0 (punto esta cion a rio), o n o existo / ' (z0) (con d icion es necesarias para la ex isten cia d e extrom o). La p ro p o s ició n recíproca n o es c ie rta , puesto que lo s pu n tos e n quo / ' ( * ) = 0 , o n o e x iste / ' ( x ) ( puntos crítico s), n o so n o b lig a to ria m e n te pu n tos extrem os de la fu n ció n / (s). Las co n d icio n e s su ficien tes de ex isten cia o ausencia de extrem o de una fu n ció n c o n tin u a f (x) se dan en las reglas siguientes: 1. Si e x is te tal en torn o (x0 — 6 , a:0 + Ó) del punto c r ít ic o ar0, on que / ' (s ) > 0 P ^ a x 0 — ó O < x0 y / ' (z) < 0 para xQ < x < ^0 punto x 0 será un punto m á x im o de la f u n c ió n / ( * ) ; s i p o r el co n tra rio, / ' ( z ) < 0 para x 0 — Ó O O o y / ' ( * ) > 0 para x 0 < * < a r 0- f ó , el punto x Q será un punto m ín im o de la fu n c ió n j (x). S i fin a lm e n te , se encuentra u n núm ero p o s itiv o ó tal, que / ' (x ) conserva in v a ria b le su sig n o cuando 0 < | z — x 0 | < ó , el punto x 0 n o será punto e x tre m o de la fu n c ió n / (a:). 2. Si f ' (x0) — 0 y í" { x o X O * *0 es un punto m áxim o do la función / (x); Si / / (ar0) = 0 y /'< (*0) > 0 , x 0 es un punto m ínim o do la función i (x)\ s i f' ( x 0) = 0 , f* (x0) = 0, ¡"' ( x 0) 0, el punto x 0 no os pim ío extrem o de la función f ( x ) . En fo rm a más general: S upon gam os quo la primera do las funciones d erivad as de j ( z) , que n o se anula en el punto x 0, es de orden k. E n este ca so , si k es par, el punto x 0 será u n p u n to extrem o, quo sera m á x im o s i /<*>(*o) < 0 y m ín im o , s i f<h ) ( x o) > 0 . Si k es im par, x 0 n o es un punto extrem o. E j e m p l o 4. H a lla r lo s e x trem os de la fun ción y = 2x + Solución. H a lla m o s la derivada Igu a la n d o la derivada y' a cero, tenemos: •^1-4-1 = 0De donde se deduce el p u n to e sta cion a rio a q = — 1. D e Ja fó rm u la (3), tenem os: s i x = — 1 — h, donde h puede ser cualquier núm ero p o s it i v o su ficien tem en te pequeño, entonces, y ' > 0 ; s i , por el con trario, ar— — 1 + h, se tiene x ' < 0 * ) . P o r con sigu ien te, = — 1 es un punto m á x im o do Ja fu n ció n t/, adem ás p i lg u a lando a cero ol d en om in a d or de la expresión y ' en (3) tenemos: f x= Q \ d o aquí h a lla m os el segundo punto c r ít ic o X2 = 0 de la fu n ció n , para el que no e x iste deriva d a y ' . Cuando x = * — h, evidentem ente, tendrem os y 1 < 0; *) Si n o es f á c i l determ in a r el s ig n o do la derivada y \ se puede calcu lar éste p o r p ro ce d im ie n tos a ritm é tico s , tom a n d o co m o h un núm ero p o s itiv o su ficien tem en te pequeño. www.FreeLibros.me 88 E xtrem os de las fu n cion es y aplicaciones geom étricas de la derivada cuando x = h> tenem os y ' > 0 . P or con sigu ien te, x 2 = 0 es un p u n to m ín im o do Ja fu n ció n y, además y{í^ n = 0 (fig . 24). La in v es tig a ción del co m p o rta m ien to de la fu n ción enel punto = — 1 se puede efectuar tam b ién por m edio de la segunda derivada „» — v ~ ___ t x f i " Aquí y " < 0 para 27= — 1 y , p o r con sigu ien te, x x = — 1 es un p u n to m á x im o do la función. 3. V a l o r e s m í n i m o y m á x i m o a b s o l u t o s . E l v a lo r m ín im o (m á x im o ) absolu to de una fu n ción con tinu a / (x ) en u o segm ento dado [a, b] se alcanza en lo s puntos crítico s do la fu n ción o en los extrem os de dicho segmento. E j e m p l o 5. H a lla r lo s valores m ín im o y m á x im o a b solu tos de la fu n ción y = x s — 3x-f- 3 en el segm ento Solución. 1 1 •• Como y' = 3x2—3, lo s puntos crítico s de la fu n c ió n y son : 1 y x 2 — 1. Com parando los valores do la fu n ció n en estos puntos co n los valores de la fu n ció n en los extrem os del in te r v a lo dado y (— 1)=5; y(l) = l; í ( - 4 ) = 4 ; y ( 2 t ) = 1 1 T ’ llegam os a Ja co n clu s ió n (fig . 25), de q ue el v a lo r m ín im o a b so lu to do la fun ción m = 1 se alcanza en el p u n to x = i (en ol p u n to m ín im o) y el m á x im o www.FreeLibros.me E xtrem os de las fun cion es de un argumento a b solu to M = 11 y * en el p u n to x = 2 89 (en el punto extrem o derecho dei segmento). D eterm inar los in te rv a lo s do d ecrecim ien to y cre cim ie n to de las fu n cion es: 8 1 1 . y = i — 4 x — x*. 8 1 2 . y = ( x — 2 )\ 8 1 3 . y = ( * + 4 )s . 8 1 4 . y = x 2 (x — 3). 815. 816- y = j ¿ T p 817- g - 8 1 8 . y = ( x — 5)'\/r x . 819. y = f - ¥ x . 8 2 0 . y = x -j- sen x . 821. y ^ x l n x . 8 2 2 . y = aresen (1 + x). 8 2 3 . y = 2 e**-*x . i 8 2 4 . y = 2x ~ a. 825. y = ^ r . A v e r ig u a r lo s extrem os de las fu n cio n e s sigu ien tes: 8 2 6 . y = x 2 + £ x + 6. Solución. H a lla m o s la derivada de la fu n c ió n dada y ' = 2x + 4. Igu alam os y ' a cero y ob te n e m o s el v a lo r crítico d e l argum ento, 2. C om o y ' < 0 cuando x < — 2 e y ' > 0 cuando a r > — 2, tenem os que x — — 2 es un pu n to m ínim o de la fu n c ió n , además, ¿/mín = 2. E l m ism o resultado s e obtiene recurriendo a ! s ig n o do la segunda deriva d a on el punto c r ític o : y” = 2 > 0 . 8 2 7 . y = 2 + x — x 2. 8 2 8 . y = x 3— 3ar2 4 - 3 x + 2. 8 2 9 . i/ = 2a:3 + 3^3— 1 2 x -f-5 . Solución. H alla m os la derivada y ' = 6 x * + 6 x — i 2 = 6 {x* + x — 2). y Igu a la n d o a ce ro la derivada y \ ob ten em os los puntos críticos 3^ = — 2 x 2 = l . Para d eterm in a r el ca rá cter del extrem o ca lcu la m os la segunda www.FreeLibros.me 90 E xtrem os de las fun cion es y aplicaciones geom étricas de la derivada derivada = 6 (2 z + l)« Como y° ( — 2 ) < 0 , ol punto ^ = — 2 es un punto máximo de la función y y siendo ymóx = 25. Análogamente, tenemos que y" (1) > 0; por lo que x2= i es un punto mínimo de la función y> siendo ^mín= *“ 2. 830. y = * * ( * - 1 2 ) * . 840. y = 2 eos -|- + 3 eos 831. y = x ( x ~ \ y ( x — 2 )3. *3 832. y * ¡¡+ 3 ‘ x*— 2x + 2 833. y x-1 ■ 8 4 1 . y = x — ln (1 + # ) . 842. y — x l n x . 843. y — x ln 2 x. ... ( * - 2 ) ( 8 - * ) y X2 10 835. lJ x ( 4 — x2) ' 844. 834. 836. 837. 845. y = xe*. 4 J lJ ÍMfi y—x e 847. <?* y= — ■ y *»+ 8 y *»_4 ' ,, 8 4 8 . y = x — a rctg x . 838. y = f ( x * - l ) * . 8 3 9 . y = 2 sen 2 x -f- sen Ax. D eterm inar lo s m ín im os y m á x im o s a b solu tos de la s sigu ientes fu n cion e s en lo s segm entos que se in d ica n (cuando los segm entos n o se in d ica n , los m ín im o s y m á x im o s a b solu tos de las fu n cion es deben determ inarse en to d o e l ca m p o de e x iste n cia ): 8 4 9 ‘ y = 7+¿¿' 8 5 0 . y = ] / a ; ( 1 0 — x). 851. y = sen4 x - f e o s 4 x . 8 5 2 . y = á rce o s# . 8 5 3 . y — x* en e l segm ento [ — 1, 3], 8 5 4 . y = 2 x * + 3 x 2— í 2 x + l : a) en e l segm en to [ — 1, 5); b) on o l segm ento [ — 10, 12]. 8 5 5 . D em ostrar que para la desigualdad los v alores p o s itiv o s de x se cu m p le x + j-> 2 . www.FreeLibros.me E xtrem os de las ¡unciones de un argumento 91 8 5 6 . D eterm inar lo s co e fic ie n te s p y q del trin om io cuadrado y = x 2 + p x + q, do form a que [/ = 3 sea un m ín im o de este trin o m io cu an do a i o l . D ar la e x p lic a c ió n g eom étrica del resultado o b ten id o. 8 5 7 . D em ostrar la desigualdad e * > l+ s Solución. para x =¿=Q. E xam in am os la fu n ció n /( * ) = * * - ( 1 + s ) . P o r el p ro ce d im ie n to g en era l h a llam os que esta fu n c ió n tie n e un m ínim o ú n ic o , / (0) = 0. P or con sigu ien te, / (x) > / (0) para x =£ 0 , e s decir, e* > 1 + x para x ^ 0, q ue es lo que s e trataba do dem ostrar. D em ostrar las desigualdades: X3 8 5 8 . x — jr -< ;s e n :r 859. c o s x > l — para x > 0 . para x=¿=0. 8 6 0 . a: — - r r < l n ( l + x ) < . x para x > 0 . 8 6 1 . D iv id ir un núm ero p o s it iv o dado a en dos sum andos, de ta l form a , que su p rod u cto sea o l m a y o r p osib le. 8 6 2 . T o rce r un trozo de alam bre de lo n g itu d dada l, de manera que form e u n re ctá n g u lo cu y a área sea la m a y o r p o sib le . 8 6 3 . ¿C uál de los triá n g u lo s re ctá n g u lo s de perím etro dado, ig u a l a 2 p, tien e m a y o r área? 8 6 4 . H a y q u e h acer una s u p e r fic ie rectan gu lar cercada por tres do sus la d o s co n tela m e tá lica y lin d an te p or e l cu a rto con una la rg a pared de p ied ra . ¿Q ué form a será m ás con ven ien te dar a la s u p e rficie (para que su área sea m a y o r), si se dispone en total de l ra lin e a le s de tela m e tá lica ? 8 6 5 . D e una h o ja de ca rtó n cu adrada, de lado a, h a y que hacer u n a ca ja recta n g u la r a b ierta , que tenga la m a y o r capacidad p osib le, recorta n d o para e llo cuadrados en lo s á n g u los de la h o ja y doblan do después lo s sa lien tes de la fig u ra en form a de cru z así obten id a. 866. U n d e p ó s ito a b ie rto , d e h o ja de la ta , con fo n d o cuadrado, debe tenor ca p a cid a d para v lit r o s . ¿Qué dim en sion es d eb e tener d ic h o d e p ó sito para que en su fa b rica ció n se necesite la menor ca n tid a d de h o ja de lata? 8 6 7 . ¿C uál de lo s c ilin d r o s de v olu m en dado tiene m enor superf i c i o to ta l? 8 6 8 . In scrib ir en una esfera dada un c ilin d r o de v olu m en m á xim o. www.FreeLibros.me 02 E xtrem os de las fun cion es y aplicaciones geométricas de la derivada 8 6 9 . In s cr ib ir en una esfera dada un c ilin d r o que tenga la m a y o r s u p e r fic ie la te ra l p o sib le . 8 7 0 . I n s c r ib ir en una esfera dada u n co n o d e v o lu m e n m á x im o . 8 7 1 . In s cr ib ir en una esfera dada un co n o c ir c u la r recto q u e tenga la m a y o r s u p e rficie la te ra l p o s ib le . 872 - C ircu n scrib ir en torn o a u n cilin d r o dado un co n o re cto q u e tenga el m enor v olu m en p o s ib le {lo s p la n o s y cen tros d e sus bases circu la re s co in cid e n ). 8 7 3 . ¿C uál de lo s con os circu n scrito s en torn o a una esfera tien e el m enor volu m en ? 8 7 4 . Una fa ja de h o ja de lata de anchura a debe ser en corvada lo n g itu d in a lm e n te en form a de ca n a ló n a b ie rto (fig . 2 6 ). ¿Q ué O /\ a F i g. 26 F i g. 27 á n g u lo ce n tr a l cp debe tom arse para q u e e l ca n a ló n tenga la m a y o r capacidad posible? 8 7 5 . De una h o ja c ir c u la r h a y q u e corta r un se c to r ta l, que en rolla d o nos dé un em budo de la m a y o r ca p a cid a d p osib le. 8 7 6 . Un recip ien te a b ie rto está form a d o p or un c ilin d r o , te rm i nado p or su parte in fe r io r en u n a scm iesfera; el espesor de sus paredes es con stan te. ¿Q ué d im en sion es deberá te n e r d ic h o recip ien te para que, sin v a ria r su capacidad, se gaste en h a ce rlo la m en or ca n tida d d e m a teria l? 877. D eterm in ar la a ltu ra m ín im a h = O B q u e puede ten e r la puerta d e una torre v e rtica l A B C D , para que a tra v é s de e lla se pueda in tro d u cir en la torre una barra ríg id a M N , de lo n g itu d Z, cu y o ex trem o M resbalará a l o la r g o de la lín e a h o riz o n ta l A B . La anchura de la torre es d < í ( f i g . 27). 8 7 8 . E n un p la n o d e coordenadas se da un p u n to , M 0 (x 0, z/0), situ ado en ol prim er cu adran te. H acer pasar p o r este p u n to una recta, d e m anera que e l tr iá n g u lo form a d o entre e lla y lo s sem iejes p ositiv os d e coordenadas tenga la m en or área p o s ib le . 8 7 9 . In scrib ir, en una elipse dada, un r e c tá n g u lo de m a y o r área p osib le , que ten ga lo s lados p a ra le lo s a lo s e je s de la p rop ia elipse. www.FreeLibros.me E xtrem os de las funciones de un argumento 93 8 8 0 . In scribir un r e c tá n g u lo de m a y o r área p osible en e l seg m en to de la p a rá bola y 2 = 2 p x corta d o p or la recta x = 2a. a 8 8 1 . H a lla r e l p u n to d e la cu rva en el q u e la tan gen te form e co n e l e je O X el á n g u lo de m a yor v a lo r a bsolu to p osib le. 8 8 2 . Un corredor tien e que ir desde el punto A, que se encuen tra en una de las o rilla s de un r ío , a l p u n to B , que se h alla en la otra. S abiendo q u e la v elocid a d de m o v im ie n to por la o rilla es k veces m a y o r q u e la d e l m o v im ie n to p or e l agua, determ inar -r Q F i og. 28 bajo q u é á n g u lo deberá atravesar e l r ío , para lle g a r a l punto B en e l m en or tiem p o p o sib le . La anchura del r ío es h; la distancia entre los puntos A y B (p or la o r illa ), es d. 8 8 3 . E n e l seg m en to recto A B = a, que une en tre si dos focos lu m in osos A (de in ten sidad p ) y B (de intensidad q), h a lla r ol p u n to m enos ilu m in a d o M (la ilu m in a ció n es inversam ente pro p orcion a l a l cuadrado de la distan cia a l fo c o lu m in oso). 8 8 4 . Una lám para está colgada sobre e l ce n tro de una mesa redonda de radio r . ¿A qué altura deberá estar la lám para, sobre la m esa, para q u e la ilu m in a ció n de un o b je to que se encuentro en el borde sea la m e jo r p o sib le ? (L a ilu m in a ció n es directam ente prop orcion a l a l cosen o del á n g u lo de in cid en cia de los ra y o s lu m i nosos e inversam ente p rop orcion a l al cu adrado de la d istan cia al foco de lu z). 8 8 5 . De un tro n co redondo, de diám etro d, h a y que co r ta r una v ig a d e se cció n recta n g u la r. ¿Q ué anchura x y altura y deberá tener esta s e c c ió n para que la v ig a tenga la resistencia m áxim a p osib le: a) a la com p resión y b) a la fle x ió n ? Observación. La resistencia de la viga a la com presión es pro p o rcio n a l al área de su s e c c ió n transversal, m ientras quo a la f le x ió n es a l produ cto d o la anchura do esta s e c c ió n por el cuadrado do su altura. 88G. U na barra u n iform e A B , que puede g ira r alrededor del p u n to A (fig . 2 8 ), soporta una carga do Q k g a la d istan cia de a cm del p u n to A y se m an tiene en e q u ilib rio p or m edio de una fuerza www.FreeLibros.me I 94 Extrem os de las fun cion es y aplicaciones geom étricas de la derivada v ertica l P , aplicada en su ex tre m o lib r e B . Cada cm de lo n g itu d do la barra pesa q k g . D eterm in ar la lo n g itu d x de la m ism a, de tal form a, q u e la fuerza P sea la m ín im a p o s ib le y h a lla r P m\n. 887*. Los cen tros do tres esferas perfectam ente elá stica s A, B y C están situ ados en lín e a recta. La esfera A , de m asa A i, ch oca a una v e lo cid a d v con la esfera B y la cu a l, recib ien d o una determ inada v e lo cid a d , ch oca a su vez co n la esfera C , cu y a masa es m . ¿Q ué masa deberá tener la esfera B para que la v elocid a d de la esfera C sea la m ayor? 8 8 8 . S i tenem os N p ila s e lé ctr ica s id é n tica s, con e lla s pode m os form ar baterías por p roced im ien tos d is tin to s , u n ien d o en tre sí grupos do n pilas en serie y , después, lo s gru p os así form a d os, ( e n n ú m ero en d e r iv a ció n . L a in ten sidad de la c o m e n t e que proporciona una batería de este tip o se determ ina p or la fórm u la j N nz N R + n fr ’ donde e es la fuerza e le ctro m o triz de una p ila , r es su resistencia in tern a, y R es su resisten cia extern a. D eterm in a r para qué v a lo r de n es m a y o r la in ten sidad de la corrien te q u o p rop orcion a la b atería. 8 8 9 . D eterm in ar q u é diá m etro y deberá tener la abertura c ir cu la r de una presa, para que e l g a s to do agua p o r segu n do Q sea el m a y o r p o sib le , si Q — c y Y h — U* donde k es la profundidad del pun to in fe rio r de la abertura (ta n to h t co m o e l c o e ficie n te em pírico c, son con stan tes). 8 9 0 . S i x if x Zl x n, so n lo s resu ltados de m edicion es ig u a l m en te precisas de la m a gn itu d x , su v a lo r m ás p roba ble será a q u él, para el cu al la sum a de lo s cuadrados de lo s errores n O~ ( x — XiY tenga e l v a lo r m ín im o (p rin cip io de los cuadrados m ín im o s ). D em ostra r que e l v a lo r m ás p roba ble de la m a g n itu d x es la m ed ia a ritm ética de lo s resu ltados de las m edicion es. § 2 . D irección de la co n ca vid a d . Puntos de In fle x ió n C o n c a v i d a d d e l a g r á f i c a d o u n a f u n c i ó n . So dice quo la g r á fic a de una fu n c ió n d ifo ro n cia b le y = f ( x ) es cóncava hacia abafo en el in terv a lo (a, 6) (o cóncava hacia arriba en ol in te r v a lo (ai9 &j)), si para a < * < ¿ el arco de la curva está situ a d o d eb a jo (o corresp on d ien te www.FreeLibros.me D irección de la concavidad. P u n tos de in flexión 95 m ente, para ai < ^ x <Cbít encim a) de la tan gen te trazada on cu alquier punto del in te r v a lo (a, b) <o del in te r v a lo (a u bx)) ( f i g . 29). L a c o n d ic i ó n su ficien te para que en la g rá fica y = f ( x ) la co n ca v id a d esté d ir ig id a hacia abajo (o hacia arriba), es quo se v e rifiq u o on el in te r v a lo corresp ondiente la d esig u a ld a d / '< * ) < 0 </"(*) > 0 ) . E n lu ga r de d e c ir que la g rá fica es có n ca v a hacia abajo, suelo decirse, que tie n e su convexidad dirigida hacia arriba. De form a análoga, para la g r á fic a c ó n c a v a hacia arriba, so d ic e tam bién que tiene su convexidad diri gida hacia abajo. 2o. P u n t o s d e i n f l e x i ó n . ^ E l p u n to (x0, f ( xq)) j en que cam bia do s e n tid o la co n ca v id a d de la g rá fica de la fu n c ió n , so lla m a punto de in fle x ió n ( f i g . 29). Y O J—l —1 bx0 i a b, X i g . 29 Para la a bscisa del p u n to de in f le x i ó n ;r0, de l 0 g r á fic a 'd o la fu n ció n y = f ( x ) , la segunda derivada f n ( x0) — 0 o / ' (x0) n o o x iste . Los pu n tos en que i " ( x ) = ^ 0 o f" (x) n o e x iste , se lla m a n puntos críticos de 2a esp ecie. El p u n to c r í t i c o de 2a especie x$ os la abscisa d e l p u n to do i n f l e x i ó n , si f* (x ) con serv a sig n o s co n sta n te s, y con tra rios entre sí, on los in terva los xq — ó < ^ < ^ o y x Q< x < 3o + ó , d on d e ó os un número p o s it iv o determ i n a d o, y n o será punto do i n f l o x i ó n , si los sig n o s de f" (x ) en los in terva los a n te d ic h o s so n iguales. Ejemplo 1. D eterm in ar los in te rv a lo s de con ca vida d y con vexidad y lo s p u n t o s de i n f l e x i ó n de la curva de Gauss y = e -* \ Solución. T en em os: y ' = — 2 x e’ e y" = — 2) e ~ x*. Igu a la n d o a cero la segunda deriva d a p", h a lla m os los p u n to s crítico s de 2a especie 1 1/2 y * 2= : 1 y 2 ' Estos pu n tos d i v id e n a i e jo n u m érico — c o < * < + c o on tres in tervalos: I ( — c o, # i), II ( x ít x z) y III (x2l + c o ) . L o s sig n o s de y " serán , respectiva m ente, + , «— y + (do lo quo es f á c i l con ven cerse, tom a n d o, por ejem plo, www.FreeLibros.me 96 E xtrem os de Las funciones y aplicaciones geom étricas de la derivada un punto en cada u n o de lo s in te rv a lo s in d ic a d o s y pon ien d o lo s corresp on dientes v a loros de x en y"). P or esto, la curva será: 1) c ó n c a v a hacia arriba 1 1 para — c o < * < ------- — y — < x < y 2 1/2 + co; 2) cón ca v a hacia a b a jo, para 1 \ / i 1 Ejemplo 2 . H a lla r los puntos de i n f l e x i ó n de la g r á fic a de la fu n ció n so n lo s pu n tos de in fle x ió n — < . r < — — . L o s pu n tos ( — — ; 1 /2 V 2 l 1 / 2 y k. ) ( f i g . 30). Es de a d v e rtir, que d e b id o a la sim etría de la curva de Gauss respecto a l eje O Y f la in v e s tig a ció n del s ig n o do la con ca vida d de esta curva hubiera s id o su ficiente rea liza ría en el sem ieje 0 < : r < + c o . ymzy/x + 2. Solución. T en em os: (i) Es e v id en te que y " n o se anula en n in g ú n s itio . Igualando a cero el denom inador del quebrado del segundo m iem b ro do la igualdad (1), tenem os que, y " n o e x isto para x = — 2. Com o y " > 0 para * < — 2 o j/ ' < 0 para — 2, el punto ( — 2, 0) es un punto de in f l e x ió n (iig . 31). La tan gen te a esto p u n to os paralela al eje de ordenadas, y a quo lá primera derivada y ' es in f in i t a para x = — 2. H a lla r lo s in terv a los de co n ca v id a d y lo s puntos de in flex ión de las g rá fica s de las funciones: 8 9 1 . y = x 3~ 6 x2 + 12 s + 4. 896. y = c o s x . 8 9 2 . y = ( z + l ) 4. 897. y — x — sen x. 8 9 8 . y = x 2 \nx. 893* 894. y = 8 9 9 . t/ = a rctg a :— x. x * + 12 ‘ 8 9 5 . y — y 4 1/3 — Í2 x. 9 0 0 . y = (1 + x - ) e x. www.FreeLibros.me 97 A síntotas § 3 . A s ín to ta s - 9 1°. D e f i n i c í ó n. Si un p u n to ( s / y ) se desplaza continuam ente p o r una curva y = f ( x ) d e tal form a que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al in fiu it o , m ientras quo la distancia entre este punto y una recta determi nada tiende a cero, esta recta recibo él nombre (le asíntota de la curva. 2o. A s í n t o t a s v e r t i c a l e s (paralelas a l eje OY). Si existe un núm ero a ta l, quo lim / ( ; c ) = c o , x -* a la recta x — a t s asíntota (vertical), 3o. A s í n t o t a s o b l i c u a s (respecto Si e x is te n lo s lím ites lú n a lo s ojes de coordenadas). "íU fc , •T-»-4-c*o x I, y lim [ / ( z ) ~ A - £2 ] = 61, X -+ 4 -0 O la recta y = A1ar-f-61 será asíntota (oblicua a la derecha o horizontal derecha (paralóla al e je OX) . = Si e x is te n ios lím ites bien, si k ¡ = 0 , lim Í M . ^ k 2 x->—co x y Jim [ / { z > — k2x ) = b z, X-v—oo ¡ la recta y = h‘2x + b i es asíntota (oblicua a la izquierda o bien, cuando &2 = 0 horizontal izquierda, paralóla al eje OX) , La gráfica de la fun ción y = l ( x (que so supone un iform e) n o puede tener más de una asíntota dorecha (o b licu a u h orizo n ta l), ni m ás de una asíntota izquiorda (ob licu a u hori zontal). E j e m p l o i . H a lla r las asíntotas de la curva *2 Solución. verticales: Igu a la n d o a cero el d enom inador, obten em os dos asíntotas x= —1 y Buscamos 2 = 1, las asíntotas ob licu a s. Cuando A 'j ^ lim — — X-v+oo % T i• / \ h, == h m (u — x ) = , lim tenemos: — i = *, x y x ‘¿ — 1 x2m—X V * 3*~ 1 a --------- - ■----- -------- — 0 , *-4*~ V x> -i lim 7—1016 www.FreeLibros.me 98 E xtrem os de las fun cion es y aplicaciones geom étricas de la derivada p o r con sigu ien te, la asíntota derecha será cuando x - * — c o , tenemos: &2= la recta y=x. A n álogam ente, lim — — — 1; X-*— oo x b‘¿ = Um (y + s ) = 0* x - > — co De esta form a, la asín tota izquiorda es y = — x (fig . 32). La in vestigación de las asírilotas do osta curva puede s im p lifica rs e s i se tiene en^ cuenta su simetría. E j e m p l o 2. H a lla r las asíntotas de la curva # = s + l n x. Solución. Como lim y — — oo, la recta x = 0 será una asíntota v e rtica l (inferior). Investigam os la curva para h allar solam ente la asíntota o b lic u a derecha (ya quo : r > - 0). Tenemos: k= lim — —1, b — lim ( y — x ) — lim ln x — o o . X-*4-C3 K->+«X) Por consiguiente, esta cu rva n o tiene asíntotas ob licuas. Si la curva viene dada por las ecuaciones param étricas a: = q>(¿); = en prim er lugar se investiga s i el parám etro t tione valores para los que M\ -i 0 F i g. 32 una de las funciones q>(t) o i|)(¿) se hace in fin ita , m ientras que" la otra sigue siendo fin ita . Cuando (¿o) = c o y (p(¿0) = c , la curva tiene una asíntota vertica l, x = <?. Cuando q) (ío) = 1H ío) — co» a l m ism o tie m p o que t->t0 <Pw lim ^ 7 7 r =A:i t->t0 Km M Í O - - * ? (*)!= ** la curva tendrá una asíntota o b licu a , y = kx-\-b» www.FreeLibros.me Construcción de las g rá fica s de las fun cion es p or sus pu n tos característicos 99 Si la cu rva so da en ;forma de ecu ación polar r = /(<p}, sus asíntotas se pueden h a lla r p o r la regla anterior, reduciendo la ecu ación de la curva a la form a param étrica p o r las fórm u la s: x — r eos q>= / (<p)cosq>; y = r son <p= / (<p) sen cp. H a lla r la s a sín to ta s de las cu rv a s: 9 ° 8 . ij = z - 2 + - ^ ~ = ^ . 902. y = ^ ¿ + 3 • 9 0 9 . y = e ~ * -|- 2. w z-y = 904. 905. 910* V = r ^ z 1 9 1 1 . 9 = é*. X* y = Y x* — l. 906. y = ■ t [/ 9 1 2 . y=-~ ■ sen x 913. y = ] n ( i + z ) . 4- 3 9 0 7 . y = - 4 i— -— . (/ — 1 914. x = l ; y - ¿ + 2 a r c lg l . 9 1 5 . H a lla r la a sín tota de la espiral h ip e r b ó lic a r = '~ ' § 4 . C o n s tru c c ió n de la s g rá fic a s do la s fu n c io n e s por sus puntos c a r a c te r ís tic o s A l con struir la g rá fica de una fu n ció n es necesario, ante todo, h allar el ca m p o de d e f in ic ió n de la m ism a y determ inar su com p orta m ie n to en la frontera de esle cam po de d e fin ic ió n . Es con ven ien te tam bién señalar previam ente ciertas pecu liarid a des de las funciones (si es que las tienen), c o m o son: la sim etría, p e rio d icid a d , permanencia del signo, m onotonía, etc. Después, hay que encontrar lo s pu n tos de d isco n tin u id a d . los puntos extrem os de la fu n c ió n , los pu n tos do in fle x ió n , las asíntotas, etc. Los elem entos ha lla dos perm iten establecer el carácter general de la grá fica de la fu n ció n y obtener su diseño m atem ático verdadero. E j e m p l o 1. C on stru ir la g rá fica de la fun ción y x f X 2- d S o l u c i ó n , a) La fu n ció n ex iste en todas partes, m enos en los pun tos x ~ z k 1. La fu n ció n es im par, p o r lo q ue la g rá fica de la m ism a será sim étrica con respecto al punto O (0; 0). Esta circunstancia s im p lific a Ja construc c i ó n de la gráfica. b) Los puntos de d is co n tin u id a d son x = — i y x = l t a l m ism o tiempo que lim y lim t/ = =f=co, p o r con sigu ien te, las rectas j = ± 1 y = 1^0 s o n a sín to ta s vertica les de la gráfica. 7* www.FreeLibros.me 100 E n trem os-d e la s fu n cion es y aplicacion es geom étrica$ d e l e derivada c) B u scam os 'las asíntotas ob licu a s. T en em os: A -,= ¿»1== Hm “ = 0, *-►4-00 * . lim y = c o r ÍE-V-j-OO p o r con sig u ie n te , n o e x is te asíntota, o b lic u a derecha. sim étrica, tam p oco e x istirá asíntota o b lic u a izquierda. C om o la g rá fica es d) H a lla m o s los p u n to s c r ític o s do I a y 2a e sp ecie, es decir, a q u e llo s pu n tos en q ue so anula o n o ex iste la prim era, o correspon dien tem en te, 3a segunda derivada do la fu n c ió n dada. Tenem os: (1 ) 3 f ( x Z - 1)4 ’ 2 x ( 9 — x2) (2) 9 f (x* — \ y Las derivadas y ' e y n d e ja n de e x is t ir ú n icam en te cu a n d o x = ± 1, es decir, sólo en a q u e llo s puntos en quo tam p oco e x is te la prop ia fu n c ió n y, p o r 6Dto, serán puntos c r ític o s s ó l o a q u e llo s en q ue y 9 o y" s e anulan. De (1) y (2), se deduce: y ' = 0 para x — ± V^; y 'z z z 0 para x — 0 y x = ± 3. De esta in te rv a lo s form a , ( — co, y' conserva ^ co n sta n te el (— V3, sig n o en cada — 1) , ( — 1, 1), ( l , V 3) www.FreeLibros.me uno de los y ( l/3 , + c o ) . C onstrucción d e la): gráficas d e las fun cion es p or sus .plin tos característicos 101 e y* en cada u n o de lo s in te rv a lo s ( — c o , — 3 ), { — 3, — 1), ( — 1 • 0) (0, 1), (1, 3) y (3, -f-c c ). , Para determ in a r qué ' s ig n o tiene y ' -'(o correspondientem ente, i/") en cada u n o de los in te rv a lo s señalados,' basta co n determ inar el sig n o de y ' (o de y *) en un p u n to cu alq u iera de cada u n o .d e estos intervalos. Los resultados de esta in v e s tig a ció n , para m a y o r co m o d id a d , se jncluyort en u n a ta b la (ta b la I), ju n t o con lds de lo s ¿á lc ü lo s d e ; las ordenadas de •. i : * : ’* ’ ‘ *• . . .1 ‘ . : • •'i : : !5 Tabla I X 0 |(0 , 1) | 1 y 0 — ± co + y' — —• no existe -- 0' y' 0 — no existe +* i +t - " ( 1. 1 / 3 ) V 3 s a l , 73 3 (3, + c o ) + 1 ,5 + + + + o --- ( V 5 -, 3) \ - Con clu siones La Pun to de fun infle ción xión decre ce; la gráfi ca es cón cava hacía abajo La fun Pun ción de to do crece; la dis- ■ gráfica con es cónca tinui va hacia dad arriba Puntp mí nimo ’•l ! * !" . ' Ln ron- ' Pun La fun clón cre to do ción crece; lnfíe- la gráfica ce; la gráfica - xión" es cón es cón cava hacia cava abajo hacia arriba lo s p u n to s ca ra cterísticos de la g rá fica de la fu n c ió n . D ebe a dvertirse, q u e d e b id o a q u e la fu n ció n y es im par, es su ficien te ' hacer los cá lc u lo s so la m e n te para z > 0; la m itad izquierda de Ja g r á fic a so reconstruye por e l p r in c ip io de la sim etría impar. o) Con los resultados d e la in v e s tig a c ió n , co n stru im os la g rá fica d© la fu n c ió n (fig . 3 3 ). s E j a m p i o 2. C on stru ir la g r á fic a de la fun ción ln x S o l u c i ó n , a) E l c a m p o de e x isten cia de la fu n ció n es: 0 < * < 4 - c o . b) E n el ca m p o de ex isten cia n o h a y p u n to s de d isco n tin u id a d , p e ro .a l ap rox im arse a l p u n to frontera (a;— 0) d e l - c a m p o de -existencia, www.FreeLibros.me 102 E xtrem os de las fun cion es y aplicaciones geom étricas de la derivada tenemos: ,. ,. lira y = l i m ln x x ~ *0 x -+ 0 — do. x Por consiguiente, la recta x — 0 {e l eje de ordenadas) os u n a a sín tota v e r tic a l. c) Buscamos la asíntota o b lic u a derecha u horizontal (va q ue la asíntota o b lic u a a la izquierda n o e x iste , pu esto que 110 es p o s ib le q ue — c o ): h — lim — = 0r X-++K> X 6= lira y = 0. P o r con sigu ien te, la asíntota horizontal derecha os ol e jo de a b scisas: p = 0 . d) H a lla m o s los pu n tos críticos. Tenem os: 1 — ln a: 2 Incr — 3 y ' e y° ex isten en todos los 'p u n to s dada e d e l ca m p o de ex isten cia de la fu n ción y ' = 0, si l n ^ = l f o s d e cir, cuando x = e; y " = 0 , s i l n x = - ^ - , es d e cir, cuando x = e z¡2. H a cem os la tabla, en la quo in c lu im o s los pu n tos ca ra cte rístico s (ta b la II). En esto caso, además de los p u n to s característicos encontrados, e s co n v e n ie n te h a lla r los puntos de in tersección d e la g rá fica con los e je s d e coordenadas. H a cien d o í / = 0 , encontram os x = \ (pu n to do in te rse cció n d o la cu rva con e l eje de abscisas): la g rá fica n o se corta co n ol e je de ordenadas.^ e) Con los resultados de la in v e s tig a c ió n , co n stru im o s la g r á fic a de la fu n c ió n (fig . 34). C on stru ir la s g rá fica s de las fu n cio n e s q u e se in d ica n m ás a b a jo , determ inando e l ca m p o de o x is te n cia de cada fu n c ió n , lo s p u n to s de d iscon tin u id ad , lo s p u n tos e x trem os, lo s in te r v a lo s de www.FreeLibros.me 8 + .g « « ¿ « 2 - « XJ 5 + 1 ole* + I p i l s j j S f S a> sr 9 f^|cj 2 1* c► i> 1 o a> S ’O o o M Sü SB 1 C <a v; «J 0 'O — ^ £ .2, I * g «5 2 ^ s 5 § : j l & f T3 en CM J^J •u «¿ d #• 9 Bj h ren o" 9 1 O 1 í - B a> *o O ■o O -|* § i 2 * s + c « a >0 n « B n i ; * 3 p = o C c « ■*T + 1 a 8 ^ 1 o + 1 . c , — V « 'fl o °o88& Cc Ô í 5 2 ü « S ffiJ * (0,1) BX o •5o -rt < «fl jt 1 O •r-* w <d O <0 '■ 2 o >— < d c £ 5 k c (B = - s s ^ cw ° " o 2 & a» 1 ^= £W 2 8 a l Vi o 8 1 N I3 *O ~ S ? 1« u *2 ° 03 * « fe 5 o M o + <a> www.FreeLibros.me ! , « » * ! 104 E xtrem os de las fu n cion es y aplicaciones geom étricas d e la derivada cre cim ie n to y decrecim ien to, lo s p la d ir e cció n de la|s con ca v id a d es y V* I « 916i i f s ’a * — 3s*. 917. y 938. y = 2 x + 2— 3 V ( x + r j * -§£ - * * V ' 939. y = 9 1 8 . y = (x — i ) z ( x + 2 ). 919. y = j £ z z 3 1 1 í i ± Í L . 990 «W V * ^25 r ‘ 9 4 1 . y == ¥ ( ¿ ~ T ) * + y { ¿ Z 5 ) ' 942. y — - j = = = - . a: l/4 « — * 2 . . 1 922. 943. y = I r • 923. y = í í ± 3 . * * 2 9 2 4 . y = a;s + - - . ; _ . 1 / a:3 — 4 944. y = ? ^ = f , ’ * £ . 945. y « - - j ? - . V ? T J -2 )* 9 4 6 y = Xe- x¡ 925. y = - ¡ q ^ . 947. y = ( a + - y - ) e “ . 9 2 6 . {/ = ¿ 4 9 4 8 . z = c 8* - * J- 1*. qp7 927. 1 1 • 9 2 1 . g a g * * - 2.* + 3 | /5 ^ T . 9 4 0 . y = y / {?-(-4 )2- ^ ( í : = 4 ) ! 1*»—5)8 / / — * . 4x 9 4 9 . y = ( 2 - h * a) e - *29 5 0 y ^ 2 ¡ x ] _ x *' 928- * = f e | - 951. y « ^ f . 929- y = 952. y = 4 p l n ~ 93° 931. y = ^ ± l . 953. 2/ = - ^ ' . ... . . 954. y = (* + 1 ) ln a ( z + 1 ). 932. y = V z + y - S Z T x . 9 5 5 . y = ln 933. y - . / g + S - / g r ; . y56 934. y = x ] / x 4 . 3 Q-l* “ S— q 935. y = y1 / a;3— 3x. , 957, 0 = M 936. y - V T T P . 958. y = ln ( e + — ) 9 3 7 . y = | / 1 — a;3. 0 5 9 . y = s e n x -| -c o s a :. www.FreeLibros.me ln -¿ g + T r l * i + « “ *)■ 1 d ife r e n c ia l del arco. Curvatura I 960* y = = s e n a H sen 2x g-— 9 6 2 . y == sen 3 r e n c o s 3 2 . 964. y - 9 7 3 . y = # — 2arcctga r. 974. y = y + a rctg # . 9 6 1 . y = c o s x — eos? a;. 963. y ~ 105 A sen s - f eos x sea x 9 7 5 . y = ln sh x . 976. y = A rch ( ^ + ~ r) * 9 7 7 . y c = e sen*. s e n (¿ + ^ -) 978. y = e m V ~x. 9 6 5 . y = sen x •sen 2x. 9 7 9 . y = *»■***. 9 6 6 . y — e o s x* eos 2x. 9 8 0 . t/ — ln s e n # . 9 6 7 . y = z-\* sen x . 981. y = ln tg ( y - y ) 9 6 8 . y = a r e s e n (l — í ^ 2). níJn aresen x 9 6 9 . y = — .... . . : .y i-x * • 9 8 2 . f/ = ln a : — a rctg a:. 9 8 3 . i/ = co s a :— l n c o s z . 9 7 0 . y = 2 x L~ t g x . 9 8 4 . y — a rctg ( l a i ) « 971. y — x a rctg # . 9 8 5 . y — aresen ln (a :a - ( - l ) . 1 9 7 2 . y = x a rctg — , si x 4= 0 2 X e y — p , si x — 0 . 986. y = x x . i. 9 8 7 . y = x x .. T a m b ién se 'recom ienda co n s tru ir las g r á fic a s de las fu n cion es indicadas en los. N?$.N 0S. 8 26 — 848. C on stru ir la s g r á fic a s do las fu n cio n e s sigu ien tes, dadas en form a param é trica: 9 8 8 . z = t * — 21, y = t 2 + 2l. 9 8 9 . # = <zcos3 ¿, y = a s e n t ( a > 0 ) . 990. x — y — t e ' 1. 9 9 1 . x = t + e ~ t1 y ~ 2 l + e~2i* 9 9 2 . x = a ( A x t — ¿), y = a ( c h t — i ) ( a > 0 ) . § 5 . D ife re n c ia l del a rc o . C u rv a tu ra Io. D i f e r e n c i a l d e l a r c o . La diferencial del arco s de una curva plana, dada por una ecuación en coordenadas cartesianas x e y t so expresa por la fórmula i -d*.= V (d*)* -H si la ecuación do la curva tiene Ja forma: a) y = f { x ) t entonces ds = j / * i + dx; www.FreeLibros.me 106 E xtrem os de las fu n cion es y aplicacion es geom étricas de la derivada b) x = fi (y), entóneos ds — / c ) * = <p(J), i + ( w ) 2dr' J/ = il>(í ). entonces d s = j / ( - ^ - ) 2+ '] / ' y d ) F ( s , y) = 0 , entonces d s = — - ?— J L d x = \*yI J7'2\ d t' J 7 '2 y dy. \*x\ Llam ando a al á n g u lo q ue form a la d irección p o s it iv a de la tangente (es docii% d ir ig id o en ol se n tid o doí crecim ien to d e l arco de la curva s) con la dirección p o s itiv a del ojo O X , tendremos: eos a — dx ds sena — É L ds En coordenadas polares, dS= l / ( d r ) a + (rd q > )*= j / r ^ + ( J ¡ L ) 2 dcp. Llam ando p a l á n g u lo form a d o por el radio p o la r de u n p u n to d e curva y la tangente a la cu rva en este m ism o p u n to, tenemos: la coS p = - ^ , ds 2o. C u r v a t u r a de u n a cu rva, en su punto M , a l lí m i t e curva. So llam a curvatura K de una do la razón del á n g u lo q ue form an [las direccion es p ositiva s de las tangentes a d ich a cu rva en lo s puntos M y {ángulo de adyacencia) ( f i g . 35), es decir, a la lon g itu d N del a rco M N = A sy cuando N —* M K = Jim -t— = - t — , As ds www.FreeLibros.me D iferen cia l del arco. Curvatura 107 d o n d e a os el á n g u lo entre la d ir e c c ió n p o s it iv a de la tangente en el punto M y el eje O X . R adio d e curvatura R . R e cib e el n o m b re d e ra d io d e curvatura R ia ca n tid a d in versa a l v a l o r a b s o lu t o de la cu rv a tu ra , es decir: \ Las circu n fe re n cia s so n lín e a s de K \ curvatura con stan te ( '- 4 - donde a es el ra d io de la circu n fe re n cia J r lo m ism o q ue la lín e a recta ( K = 0 ). Las fó r m u la s para c a lc u la r la s cu rvaturas en coorden adas cartesianas son las sig u ie n te s (exa cta s, a e x c e p c ió n del sig n o ): 1) s i la cu rva v ien e da d a p o r una e c u a c ió n e x p líc it a y = f ( x ) , la fórm u la será V' K 2) s i la curva se da p o r una e c u a c ió n la fó rm u la K F" r XX F 1 xny n n * F" yy F 'y n F 'y 0 im p lí c it a {F'*+F'*Y h 3) s i la curva se da en form a ií>(¿)7 en ton ces K param étrica *' y’ x" y" F {x, y ) = ¿ 0 , se emplea ’ por las ecu acion es x — y ( t ) (* '* + *'*)»/* ’ donde dx ~df Ed coorden a d a s tenem os: '/ = ÉL dt x" = d?x di 2 ’ *V d?y d¿2 p o lares, cu a n d o la cu rv a se da p o r la ecu a ció n r — / (<p), r2 4 -2 r '2 _ rr» donde r' = „. ________ d*r dr d y ^ r ~~ d (p 2 o s c u l a t r i z (o c ír c u lo oscu la d or). Se llam a 3o. C i r c u n f e r e n c i a circu n feren cia oscu latriz d e una cu rva, en un p u n to M de la m ism a , a la p o s ic ió n lí m i t e d e la circu n feren cia que pasa p o r d ic h o punto M y por otros d os p u n to s P y Q d e la m ism a cu rv a , cu a n d o P — * M y Q —+ M . E l r a d io de la circu n feren cia o s c u la t r iz es igual a l ra d io d e curvatura y su ce n tro (<cen tro de curvatura) se encuentra en la n orm a l a la cu rva, trazada en el p u n to M , h a cia el la d o de su co n ca v id a d . www.FreeLibros.me 108 E xtrem os de las fu n cion es y aplicacion es geom étricas de la derivada Las coordenadas X fórm u las e Y d e l centro de curvatura se ca lcu la n c o n -las y 'í i + y '2) y* Y = y + i + y‘* La evoluta de una curva es el lu ga r g e o m é trico de Jos cen tros de cu rva tura de dicha curva. Si en las fórm u la s para la d e te rm in a ció n de las coordenadas dol centro d o curvatura se consideran X e Y co m o Jas coorden adas v a ria b les de los pu n tos de la e v o lu ta , estas fórm u la s nos darán Jas ecuaciones paramótricas de dicha e v olu ta co n p arám etro .r o y (o s i ia p ro p ia cu rva v ien e dada p o r ecuaciones en form a param ótrica). Fig. Ejem plo 36 1. H a lla r la e cu a ció n de la ev o lu ta Solución. 4x3, Y = de la p a rá b ola y — x*. . E lim in a n d o el parám etro x t h a lla m o s la ecu a ció n de la e v o lu ta en form a e x p líc it a 2/s E volven te de una cu rva. Se da este nom bre a una curva ta l, quo con re la c ió n a ella , la curva dada resulta ser la evoluta. La norm al M C a la e v o lv e n t e r 2 es tangente a la evoluta r j¡ la lon g itu d d e l arco CCi de la e v olu ta e s ig u a l al increm entó correspond iente del radio de curvatura — p o r cuya razón, la e v o lv e n t e r 2 recibo tam b ién ol nom bro de d esarrollo de la curva / \ , que se o b tie n e desenrollando un h i lo tenso e n r o lla d o a la e v o lu ta / ' j (fig . 36). A cada ev o lu ta lo corres ponde una in fin id a d de e v o lv e n te s, que responden a las d iv e rsa s lon gitu des in icia le s que puede tener ol h ilo . 4o. V ó r t i c o s d o u n a c u r v a . Se l lam a vértice do una curva al un to de la m ism a en que la curvatura, tiene m á x im o o m ín im o . Para eterm inar los vórtices de una cu rv a so form a Ja exp resión de la curvatura K y se h a lla n sus puntos, extrem os. En lugar de la curvatura K se puede tom ar J ol ra d io de curvatura R = I* y se busca su p u n to e x tre m o , s i es que en e ste caso es mas f á c il ol cálcu o. Ejemplo 2. H a lla r el v é rtice do la catenaria y = a ch — (a > 0). www.FreeLibros.me D iferen cia l del arco. Curvatura x 1 x S o 1 u c i ó n. C om o w '=^sh — , © y" = — c h — , a a a * = ----, _ x a cii2 — a y, 109 tendrem os p o r co n sig u ien te , Ü = a clí2 — . T en em os, que a ax q ue = sh K — a . df í 2x Igu a la n d o a cero la derivada —-— , obten em os s h = 0, de d on de hallam os ax a el único punto crítico x = 0. Calculando la segunda derivada y Poni0Q- d2R = — ch — = - >o. d x ,¿ a:=0 a a x—0 a ' P or co n sig u ie n te , x = 0 es ol p u n to m ín im o del ra d ío de curvatura (o ©1 m á x i m o de la curvatura) de la catenaria. E l v órtice de la catenaria y = d o en e lla el v a lo r de x = 0 , obten em os = ^ a c h - ^ - , será pu es, el p u n to ^4(0, a). H a lla r la d ife re n cia l del a rco , y e l cosen o y e l sen o d e l á n gu lo q u e fo rm a , co n la d ir e cció n p o s itiv a del eje O X 7 la ta n g e n te a cada una de la s cu rva s sig u ie n te s: 993* x 2 + y 1 = a 2 (c ir c u n fe r e n c ia ). 994. - g - + - g - = l (e lip se ). 9 9 5 . y 2 — 2 p x (p a rá b o la ). 9 9 6 . £2/ 3 y 2/3 = ¿z.Va (astroid e). 9 9 7 . t/ = a c h - ^ - (ca ten a ria ). 9 9 8 . x = a ( ¿ ~ s e n ¿ ) ; y = a ( 1 — c o s ¿ ) (ciclo id e ). 9 9 9 . £ = a c o s 3 ¿? y = a s e n z t (astroid e). H a lla r la d ife re n cia l d e l a rco y e l cosen o, o~el seno, del á n g u lo ^que form a e l ra d io p o la r co n l a ta n gen te a cada una de la s cu rvas .siguientes: 1 00 0. r = acp (espiral de A rqu ím edes). 1 00 1. r ( e s p i r a l h ip e r b ó lic a ). 1 00 2. r = a s e c 2-|- (p a r á b o la ). 100 3. r = a eos2 -2- (ca rd io id e ). 100 4. r = a(* (esp ira l lo g a r ítm ic a ). 1 00 5. r 2 = a 2 cos2<p (le m n isca ta ). C a lc u la r la q u e se in d ica n : cu rv a tu ra d e la s cu rva s sig u ien tes en www.FreeLibros.me lo s puntos 110 E xtrem os de las fun cion es y aplicaciones geom étricas d e la derivada 1006. y = x 4— 4x z — 18x2 en e l o rig e n de coorden adas. 1007. x 2 + -x y -(-y 2 = 3 en e l p u n to (1 ; 1). 1008. - ~ r + - p “ = l en lo s v é r tic e s A (a, 0) y B ( 0 , 6). 1009. x = t~, f/ = / 3 en e l p u n to (1 ; 1 ). 1010 . r 2 = 2 a 2 c o s 2 <p en lo s v é rtic e s c u y o s á n g u lo s p ola res son 9 = 0 y 9 = jc. 1011. ¿E n q u é pu n to de la p a rá bola y 2 = 8 x su cu rv a tu ra es ig u a l a 0 ,128? 1012. H a lla r e l v é rtice de la cu rv a y = e*. H a lla r lo s radios do cu rvatu ra (en cu a lq u ie r p u n to) de las lín ea s sigu ientes: 1013. j/ = x 3 (parábola cú b ica ). 1 0 1 4 - - S - + T r = 1 (e lip se ). 1015. x = 4 ¿ 1016. x = a c o s 3 ¿; y = a sen 3 2 (astroid e). 1017. x = a ( c o s £ - f / s e n ¿ ) ; y = a ( s e n l — t c o s í ) (e v o lv e n te de la circu n fe re n cia ). 1 01 8. r = a e kv (espiral lo g a r ítm ica ). 1019. r = a (l-¡-c o s < p ) (ca rd io id e ). 1020. H a lla r el v a lo r p a rá bola y 2 = 2 p x. 1021. D em ostrar y = a ch “ que m ín im o d e l el ra d io radio de cu rv a tu ra de cu rv a tu ra de de la la catenaria es ig u a l a la lo n g itu d del segm ento de la n orm al. C a lc u la r las coordenadas del c e n tr o de cu rv a tu ra de las cu rva s sigu ientes, en lo s pu n tos que se in d ica n : 1022 . x y = 1 en el pu n to ( 1 ; 1 ). 1023. a y 2 = x 3 en el pu n to (a , a). E scrib ir la s ecu a cion es do las circu n fe re n cia s o scu la trice s de las curvas sigu ien tes, en lo s pu n tos q u e so in d ica n : 1024. y = x 2— 6 x + 1 0 en e l p u n to (3 ; 1). 1025. y = e x en e l p u n to (0; 1 ). H a lla r la e v o lu ta de las cu rvas: 1026. y2 = 2p x (paráb ola ). www.FreeLibros.me D ife re n c ia l d el arco. Curvatura 1 0 2 7 . -£ L + - g l = l 111 (e lip se ). 102 8. D em ostrar que la e v o lu ta de la c ic lo id e x = a (t — sen l); y = a (1 — c o s j ) es una c ic lo id e desplazada. 1029. D em ostrar que la e v o lu ta de la espiral log a rítm ica r = aekv tam bién es una espiral lo g a r ítm ic a con el m ism o p o lo . 1030. D em ostrar que la curva x = a (eos t + 1 sen í); (desarrollo de la circunferencia) y = * a (sen l — t eos i) es la ev olv e n te de l a cir cu n fe r e n cia x = a c o s í ; y = a s e n * . www.FreeLibros.me C a p itu lo TV I N T E G R A L I N D E F I N ID A 1 . In te g ra c ió n Inm ediata I o. R e g l a s p r i n c i p a l e s 1) S i F ' (x ) — f (at), entonces para la integración. J/(*)«to = F (x )+ C , C donde C es una constante arbitraria. 2) ^ A f { x ) d x — A ^ f (x) dx, dondo A es una constante. 3) ^ f / i { x ) ± f z { x ) ) d x = ^ / , (s ) rfx i 4) Si ^ fXx)m dx = F (x) + C y u = y { z ) , se tiene, ^ / (a) du = F (u)-\-C. En particular, ^ / (a s + fc) d x = -^ - F {ax-T-b) + C 2 o. T a b 1 a de i n t e g r a l e s rv I. ^ x n d x = xn+l C, (a 4 - 0). inmediatas. n =i¿=— i . II. ^ ™ = l a | a ;H - C . S T 3 ^ = T “ V. t fi VI. í le T + c - - T . Í L =8— l n | » + V P + I | + C y aroo,sT + c ‘ (a = £ 0 ). -f"a / ^ = - = arcsen — +C — ~ árceos JL + Ci (o > 0 ). J l / a 2+ a ;2 a www.FreeLibros.me a 113 Integración inmediata V IL ^ a* d x = z ^ + C (a > 0); ^ ex dx = e* + C. V I I I . ^ sen x dx =* — eos x - }-C. I X . ^ e o s x dx =5 sen * + C x - S X L \ 7 ^ 7 = ~ ct« x + c X II. * ctx dx , I x^V \ — -------= ln t g — -f-C = ln |co s e c x — c t g s | + C. «) sen £ | ¿ | Im ' i X IV . ¿ - l' | t ! ( T + T ) | + c - |' l , ' - + » ! l + '- ^ sh a; d x = c h x -|~¿7. «/ XV. ^ ch x dx = sh x-J-C. xvl i w X V II. ^ -J ^ = -c t h * -K . Ejem plo = 4. ,h i+ e' (ax*-\~bx-\-c) dx = ^ aa:2 c fa :+ ^ &x d x ^ ^ cd z^ = x = a ^ x * d x + b ^ xdx~\~c\^ d x = a ~ + b — \-ex + C. H a lla r las sig u ie n te s in te g ra le s , em pleando para e llo las reglas p r in c ip a le s 1 ), 2) y 3) y la s fó rm u la s de in te g ra ció n . 1 03 1. ^ 5a2z 6 dx. 1032. J (6z* + 8 x + 3) dx, 1 03 3. ^ x ( x + a) (x-\ - b) dx. 1034. (j (a + b x 3) 2 d x. 1 03 5. ^ Y l p x d x . 1036. \ - p - • J V í 8-1016 www.FreeLibros.me Integral indefinida 114 1—n 1037. J (n x ) 71 d x. 2 2 1038. J (a 3— a;3) 3 ¿a:. 1039. J ( / x + l ) ( x — V * + l)d a f. ,0 4 0 . t ,0 4 1 . í a z = * £ . d X. J l/a 1042. \ j f e d*. y<w 1043' J i C p í I0 4 í- 5 1045. J ,0 4 6 . ? J 1/8 + X 2 1047. ? y 2 + z * - V 2 ~ xi dx ¿ "J/4— x* 1 / 4 + x2 i 0 4 9 . a) \ c t g - x d x ; J 1048*. a) \ tg 2 x d x ; b) ^ c th * x d x . 1050. ^ 3 xe* dx. b) ^ th 2 x d x . J 3o. I n t e g r a c i ó n mediante la introducción bajo el s i g n o de la d i f e r e n c i a l . La regla 4) a m p lía con sid erablem en te la tabla do las integrales in m ed iatas. Precisam ente, gracias a esta regla, la ta b la de las integrales es v á l id a , independientem ente de q u e la v aria b lo de in teg ra ción sea una v a ria b le in depen dien te o una fu n ció n d i f e r e n c ia b a . E j o m p 1 o 2. •4P L - ± . ^ + 2 c - ± < ^ + c - $ V G = 1 + c. 2 don de se supuso ^ = 5* — 2. Se em p leó ía regla 4) y la in tegral I de la tab la . www.FreeLibros.me Integración inmediata Ejemplo x dx 3. y i+ * * fS d(x>) 2 j " i / i + ( x 2)a 115 i = - i - l n ( x > + V l + * < ) + C. 2 De fo rm a im p líc it a , so c o n sid e ró que u = * 2 y so em pleó la regla 4) y la in teg ra l V de la tabla. Ejemplo 4. \ x 2cx9d x f ex3 d (*3) = -^- e*n-|-C de acuerdo con la * *' ■) regla 4) y la in tegral V I I de la tabla. En los eje m p lo s 2, 3 y 4, antes do a p lica r las integrales de la tabla, tra n sform a m os la in te g r a l dada a la forma ^ / («p (*)) <p' (* ) dx=* ^ / (u) duy dondo u — cp (*). Este t ip o de tra n sform a ción se lla m a introducción bajo e l signo de la d iferen cia l. Es con ven ien te señalar la s transform aciones do la s diferen cia les que so em plean co n frecuencia, co m o son las que se u tiliza ro n en los ejem plos 2 y 3: a) d x = — d {a x-\ - b) (a =f= 0); b) x d z = ~ d (x2) y otras semejantes. a H a lla r las sig u ien tes in teg ra les, em plean do para e llo la s reglas p rin cip a le s y la s fó rm u la s do in teg ra ción . P ad d.x 1051**, 1063*, \ a—X 2* + 3 1052**. i 2* + l 1 —*3* *1053. 3 + 2* dx. s V * + ln * 1064. dx. X 3*2 + 1066. 1055. a x 4- b dx. a* + P 1067. 1056. + 1 f *2 x + dx. ,1 0 5 4 . 1057. 1058. ] (a + ó) — (a — ó).r 2 *2 dx. *2+ 2 ^ J ± £ ± i dx¡ 1069. c. J S 1062. i dx S 1060*. 1061. 7*2— 8 • 1068. p Ü * dx f t ,± lf ± l d x } z+ 3 a x - \ (« + 5 {0< ó< a). x—\ 1059. d x. dx 1065. x dx -\-bx dx. y *2 + 1 2^ - 1070. 1071. *3 ,, dx. 12 P * 2_ 5 j + 6 ) X2 + A aX~ dx y 7 + 8*2 &¿y 1072. J y i~ y ' ^ y a — b x dx. 1073. dx y 7 -~ 5 * 2 % —5 2 8* www.FreeLibros.me In tegra l Indefinida 116 1074. 1075. 1076. 1077. 1078. 1079. s s s s s s 1080. 1083. 1093. s : dx. V o lM T í 1094. jj s . 7 * adx. 1095. Sí * + 3 dx. | /* * -4 * dx X2~5 ’ 1096. x dx 2x» + 3 ‘ a*-}-6 dx. a ^ -f.6 2 1097. s dx. S 5,/ * • 1 7 = i dx- 1098. ^ e x \r a — bex d x . 1099. C 5 í í \ (eu-| -l)3 ea dx. 1 1 0 0 *. i 1101 . C . /"a re s e n * , i £ -(* 2+ 1)2 dx. * dx V a*^7* ' *2 T I ñ dx. 14-*° 1081. 1082. 3 — 2ac dx. 5*4-7 V T ^ -.x * ~ d x ' r arctg 4 , 1102 . ÍJ d* i 2* + 3 * ? a x dx i 1 4 -« 2* Si * ,-b x e- 2 bx d x. e f dt 1103. [ ■ ________ c y i —<?2¿ 1085. 1104. H sen (a + 1086. 1105. \ eos r=- dx. J 1 /2 1084. 44-*2 (l+ s * )ln (H - Z i + x * ) dx. 1087. ae - mx dx. 1106. ^ (eos a x 4 -s e n a x )2 dx. 1 08 8. j 4 2” 3X>dx. 1107. S 1 08 9. ^ (ef — é~l) d i . 1108. J sen ( lg x ) ^ . 1090. i» 5 -2 (. (ea 4 - e a)2 dx. 1109*. ^ sen2 x dx. 1091. 1092. • (a* — 6*)2 a2 * - l V a* , dx. 1110*. ^ eos2 x dx. 111 1. www.FreeLibros.me J sec2 (a x 4- 6) dx. 117 Integración inmediata 1112. $ctg*«**r. 1128. In s. • f * f - % J S6a«" <<2 9 - 1114 '\ - ^ L d x . 1130. ? son j c° s x ¿;e Í J y c o s z x — sena ® 3 eos ^5x 1131. \ Y i -i-3 co s2a ;s e n 2 x d x . » 15- S lS T íi+ J T - l ' 32- ! « ' f " í " S á f e - * 139- S ^ H 1134. | f í i i z . 16- 1117. \ x s e n {1 — x 1) d x . 4 \ ( ----- -— — — 1 \2 d x. 1 11 8. * sen x / 2 t 1120. i l g * dX■ P \+J^Jxd JJ ÜUb-o* eos2 3x 1 136. f (cosox + s e n . »)» ^ J 11137. 13 7. Jctg ^ d 1121. 1122 . * - 1J35 r* \ ctg x d x . I sen ax \ ■ .6 cosec* $ “ sec: ” x - ¿X. x . * a ^ 1 13 8. tg y 1139. J s h 2 x d x . ® (2 s h 5 :r — 3 c h 5 ;r )¿ ;r . dx 1123. J t g l / í ^ . 1 14 0. J 1124. $ * c t g (* * -j-l)d z . 1141. 1 12 5. í ^ -------. 1 14 2. \ 1126. \ c o s is e n --d x . 1143. ^ thzd z. 1127. ^ sen3 6 x eos 6 x dx. 1144. ^cthzár. ¿ sen x eos x T f c ¿ sen-4® A 1119. ^ shx . dxr— . ¿ s h x en a: H a lla r la s sig u ien tes in te g ra le s in defin ida s: 1145. ^ x y 5 - í 2 dx, 1 14 6. J ‘ 1147. x5-\~5^z ’ 1 14 8. jj x e - * 2 d x. www.FreeLibros.me 118 In teg ra l indefinida s 1149. 1150. 3— y 2 + 3*2 , — 2+ 3 * dx• ? 1169. dx o ~y^ y 2 ' \ 1152. i — sen x dx. x -J- eos x 1170. tg 3 x - c t g 3 x , sen dx ax- 1171. \ 1153. s s 1154. 1155. 1172. dx x l n 2x * sec2 x ~Ztga x — 2 9 1173. dx. _ 2 \ dx ' 2x 2-f_j f 2x 2+ l * H 1156. \ J y * + i 1176. 1160. 1161. S S s ^ ¿sen2 x s e n 2 x d x . í f ^ ■ 5- J «“ + i ■ r dx J <« + 6) + (a — 6 ) * dx S dx sen ax cos ax \ tg 2 ¿ x dx. 1178. ^ son 1180. 1181. cos — a \ 1165. \ t g y w \ dx. 1182. i - J i - . 1183. [/x — 1 x dx 1184. dx. J 1 /4 -2 2 ê V <farctg.-c+xln(1.M 2)-n l+*a dx. 1185. www.FreeLibros.me * sec2 x dx. sen x eos x ^ ^ i 1 / 2 — sen4 x i sen2 x eos2 x aresen x ~^x cj x V i - * ¿ sen (x2) \ < P o)^ - T x árceos — dx y t + ln x 2nt dx x ( 4 — ln 2 x) 1179. V 4 — tg2* 1104. a). V V eW » -T 2 6* - 1177. seo2 x dx í fe _ ¿ r . J y 4—3 * 1 /1 — ** 1163. 1167. X s e n 2 ^ ¡- d x . z 1162. 1166. SA*- (0 < ¿ < 1158. 1159. 1174. 1175. a sco X c o s ^ 1 15 7. —d x . X8 — 1 S í T Í * ' 1151. sen x — co s x , 1168. s soc x tg x y sec2 a: + 1 dx. M étodo de sustitución 4 ^ 0 3 * 2 1 dx- 1186- l t l8 7 ‘ \ r & i ' 119 1189- J í * c h ( * » + 3 )d * . 1190- S í r * ' 1188. § 2 . M éto d o de s u s titu c ió n I o. S u s t i t u c i ó n , o c a m b i o i n d e f i n i d a . Poniendo de variable en la integral * = <p(f). d o n d e ¿ es tendrem os: una nueva v a ria b le y J q> una fu n ció n con tin u a d iferen cia b le, /[ * < !) ] (1) La fu n ció n <p se procura e lo g ir de ta l manera, que el segundo m ie m b ro de la fórm u la ( 1) to m e una form a más adecuada para la in tegración . E j e m p l o 1. H a lla r 5 x~ [/ x — 1 dx. S o l u c i ó n . E s natural p on er t = ~ l / x — 1, de donde x = = 2/. dt. P or consiguiente: ^ X 1/7^1 d x= y dx*= (¿2 + l) f - 2 f á í = 2 ^ (£4 + í2 )d í = - y t» + - J * » + C - y ( * - l ) 5 + - | ( * - l ) * + C . A lg u n a s veces se em plea la s u s t it u c ió n dol tip o « = tp(x). S upongam os, que hem os con se g u id o g r a l / (x) dx a Ja form a sig u ie n te: transform ar la e x p resión subinte- f (x) dx = g {u) du> d on d o u — q> (*). S i la \ g ( u ) d u es co n o cid a , es decir, V \ g ( u) du = F (u) + c , tond remos J f{x)dx^F[cp(x)) + C E sto p ro ce d im ie n to es e l que y a u t iliz a m o s on el § 1, 3o. Los e je m p lo s 2, 3 y 4 (§ 1) s e p o d ría n haber resuelto do la forma siguiente: www.FreeLibros.me 120 In teg ra l indefinida Ejemplo 2 . u = 5ar— 2; du = 5 d z ; du, o r J dx y s r r j i = ~ i ? du i u 2 y r = X — , * 2 . ______ + c = — V 5*-2+c. 2 E j e m p l o 3. u = x- ; du = 2x dx; P z dz l f rfu x dx— ^ - . 1------------------ ----------- i v r p r = — i y f ^ r = - r , n í“ + V i + * “ ) + ^ » 1 = — ln (I 2 + y i + *«) + <7. Ejemplo 4. w ^ a r3; ¿fw = 3x^ â:; z 2 d x íí» du T ‘ ^ *2*** ¿a = - g - J e«du = - | - e « 4 - C = - | - *** + £• 2#. S u s t i t u c i o n e s t r i g o n o m é t r i c a s . 1) Si la integral c o n tie n e el radical ~[/a2 — ¿3, generalm ente x = a sen t\ de donde se hace ~]/a2— z 2 = a e o s t . 2) Si la in tegral c o n tie n e el ra d ica l l / x 2— a2, so hace x = o s e c t; de d on de ~\/x2 — a2 — a t g / . 3) Si la in teg ra l c o n tie n e e l ra d ica l ~\/x 2-\-q2, se hace x = a t g t; de donde ']/ x2+ a 2 = a sec / . H ay que advertir, quo las su stitu cion e s trig on o m é trica s n o so n siempre las más convenientes. En cie rto s casos, en lugar de las su stitu cion e s trig on om é trica s, es pre fe rib le emplear las sustituciones hiperbólicas, c u y o ca rá cter es an á logo (véase el ej. 1209). En el § 9 se trata más d etalladam ente de las su stitu cio n e s t r ig o n o m étricas e hiperb ólica s. E j e m p l o 5. H allar Solución. S H a cem os x = t g /. P o r co n s ig u ie n te , dx V ^ + I . = ? J x2 x y tg t(+ i tg2 t = [ át = f J sen2 / e o s / ¿ di s ? eos2 Z “ j sen2 / + eos2 ¿ seu2 /«co s¿ eos2 t t sen ¿ e o s 8 / di son8 / e ooss2 2í — T d/ j eos / www.FreeLibros.me P eos/ ' J sen2 / 1 M étod o de sustitución la |tg ' -f-sec t | + l/i+ tg i í t g í - f - V l + tg * í |— + C = ln | z + y r * 2+, l- ,|— y w + i x + c. 4191* H a l l a r la s s ig u ie n te s in te g ra les, u tiliz a n d o para e llo la s s u s titu c io n e s indicadas: dx a) * l/x2— 2 ’ í dx z= e*+l ’ c) i X — l n t; J s ( 5 x 3 — 3 )7 d x , 5 x 2 — 3 = í ; f xdx d) J y í T v f COS 3: ¿a: e) ¡ V l+ s e n 2x t = Y x - f - 1; r ' ¿ = sen H a l l a r la s in te g ra le s sig u ien tes, em p le a n d o para e l l o las susti tu c io n e s m á s adecuadas: 1192. J x { 2 x + $ )í 0 d x + X + l/x 1197. l / l —* dx. e 2x dx. 1198. J 1194. \ - 1199. 1195. í ■ 1200*. J * Y ldx+ x* ‘ 1193 • S t Í J a: l/2a: + 1 0 V e* —1 1196. J[ ln 4 * dx. + 1 sen3 X d x. Jr | /c ó s V a: H a l l a r la s sig u ie n te s g on om é trica s: in te g ra le s , em plean do s u s titu cio n e s 1205 . I2»* ' *“ S T & l - V ¿ ±±dx. - • J W 1203. J ■ 1206*- S ^ T /c r g r - 1207- J ] / r ^ 2 <fa. 1204*. í — = = • J xV x*- 1 www.FreeLibros.me tr i 122 In tegra l indefinida 1208. C a lc u la r la integral f ■■ i *(1 -*) v a lién d ose de la s u s titu c ió n a: = sen2 ¿. 1 209. H a lla r ^ Y a 2 -\-x2 d x t e m p le a n d o la su stitu ción h ip e r b ó lic a x = a s h t . S o l u c i ó n . Do donde, " ^ |/a24* x = ' j / a ‘2 + a 2 s h 2 í*=aa ch t y d x c = » a ch t dt. # Tenem os, dx = ^ a ch t •a ch / dt = = a2 J ch*t <**=«* J -cll.2^ ± l dt = ^ - ( - L Sh 2 í + < ) + C — (sh t c h t + t ) - t C . Com o sh t = x — ~\Za? + z * ch t — ------ , y _______ x + y as + x 2 e * = c h t + ah t = -------------- , tendrem os en d e fin itiv a : J y a 2 - \ - x 2 d x = ~2~ '] / a * -\ -z * + - g - La (a; + d o n d o C j =s C a2 — ín a os una n ueva co n sta n te ’l / a 2 + * * ) + ^ i * a rb itra ria . 1210. H a lla r h a cie n d o P x 2'd x J y¿2Z^2 * z — a c h t. § 3. In te g ra c ió n p o r p a rte s F ó r m u l a p a r a la i n t e g r a c i ó n p or y t> = t|)(x) s o n f u n c i o n e s d i f e r e n c i a b a s , t e n d r e m o s \ u dv = uv — ^ v d u . E j e m p l o 1. H a l l a r ^ x ln x d x. www.FreeLibros.me p a r t e s . que Si u = <p(:r) 123 Integración p or partes P o n ien d o u = l u x ; dv = x d x y tendrem os du C - z2 , (* x 2 íta — ; ¿>= 4 - - . De donde, a: L x2 a:2 . J , l „ « « t e = - r l a « - J T - — = - 2_ l n i _ _ - ( - C . A veces, para redu cir ia integral dada a una inm ediata, hay quo emplear varias veces )a fó rm u la de in te g ra ció n p o r partes. En a lg u n os casos, v alién dose de la in teg ra ción p o r partes, se o b tie n e una ecu ación , de la que se d eterm in a la integral buscada. E j e m p l o 2. H allar ^ ex coa x dx. Tenem os é* eos x d x — ^ d (sen x ) = ex sen x — ^ ex son x d x = cx sen x -f^ ex d (eos z ) = ex sen x - f ex eos x — ^ ex eos x dx. P or con sigu ien te, ^ e x eos x dx = ex sen x -f- ex eos x — ^ ex eos x d x y de donde r» .. ex \ ex eos x d x = — (sen x + c o s s ) + C. H a lla r las sig u ien tes in tog ra les, u tiliza n d o la fó rm u la para in teg ra ción p o r partes: la 1 211. ln x d x. 1220*. ^ x 3e 1212. ^ a rctg x dx. 1221. \ xsen xcosxdx. 1213. J aresen x d x. 1222*. \^ (a:2-f- 5 x + 6 ) eos 2a; d x . 1214. jj x s e n x d z . 1223. J x z ln x dx. 1215. ^ x eos 3a: dx. 1224. J ln 2 z dx. 1225. J I n * dx. X3 J x - 2 - x d x. 1226. ln x , J — — ax. Vx 1218** . ^ x " e s x dx. 1227. J x a rctg x dx. 1219*. ^ (a;2 — 2 x -j- 5) e~x dx. 1228. J x aresen x dx. 1216. 1217. 5 ?•<*»• www.FreeLibros.me 3 dx. Integral Indefinida 124 1229. ^ ln {x -f- Y 1 + x ~) dx. 1233. J 3*cosa;da;. 1230. P xd x ¿ sen2a: 1234. ^ e“ * s e n b x d x . 1231. C x eos x , i sen2 x d x - 1235. íj sen (Ina;) dx. 1232. \ e*sea x d x . H a lla r las sig u ie n te s diraientos: intégralos, em plean do diferentes 1236. ^ x*e~**dx. 1246. \ -l resen_ V - dx. i y í —x 1237. J dx. 1247. ^ x t g 2 2x dx. 1238. J ( i 2- 2 x + 3) ln x dx. 1248. J 1239. [ x l n ^ d x . J 1+* 1249. ^ eos2 (ln x ) dx. 1240. J 1250" S s q V '- proce- dx. dx. dx 1241. J SRS^H dx. 1251 * 1242. ^ x 2 a rctg 3a; dx. 1 25 2 *. J Y ^ — x ^ d x . 1243. ^ x (arctg x ) 2 dx. 1253*. 1244. ^ {arcsen x ) 2 dx. [ ___ • J ( * * + a 8)8 * J Y A + x * d x. S V 9E - z 2 1245. y - 2 ^ d z . § 4. In te g ra le s e le m e n ta le s que c o n tie n e n un tr in o m io cuadrado Io. I n t e g r a l e s d o 1 tipo mx-\-n . . dx. flx¿ + 6x + c ^ - El p roced im ien to p r in c ip a l de c á lc u lo co n s is te en rodu cir el t r in o m io de segundo grado a form a: bx 4 - c = a ( x + k)2 + 1, la (1) d o n d e k y l so n con stan tes. Para efe ctu a r la t ra n sfo rm a ció n (1), lo más c ó m o d o es com p leta r cuadrados en e ! t r in o m io de segundo grado. T a m b ié n se puede em plear la su stitu ció n 2ax + b = t. www.FreeLibros.me In teg ra les elem entales que contienen un trinom io cuadrado 125 Si m = 0, re d u cien d o el t r in o m io de s e g u n d o grado a la form a (1), o b t e nem os las in teg ra les in m ed ia ta s III o I V (véase § 1, 2 o, tabla de las in te grales elcm o n ta le s ). Ejem plo i. f dx 1 P dx (— f + ( - § M T - - § r 5\ 5 * 5 .)* + — 16 • 2 - a rctg ! ^ - + C = y a !' — 4 j/s í 4 Y 31 S i m =£. 0 , del de s e g u n d o grado nu m erad or se separa la derivada C mx + n ? ' 2^ (2fíX + 6 ) + ( ' l ’ " 2 7 ) ) a z* + b x + c aX~ ] axt + b z + c ‘ 1 /3 2 2 a x - j- b d e l trin o m io dx — ■£rln | « a+ f c * + « i + ( » ~ 3 r ) S o x » + ¿ j + 7 » y de esta form a n o s e n c o n tra m o s c o n una in te g ra l c o m o la q ue analizam os m ás a rriba . E j e m p l o 2. , f t <2 - ‘ > - 4 d¡c= ) — á g - ® — 1 ( 1 x2 5- (* 2 ) 4 2 o. I n t e g r a l e s í . , ......................... -2~ ' —1— i . „ . . 1_ = Y l n \ x * - x - i \ — rT 7=\n 2 \/5 del tipo ? — 2 » -i-y g 2® — 1 + 1/5 m x + n _— L o s m é to d o s do c á l c u l o so n a n á lo g o s a lo s e x a m in a d o s más arriba. En d e f i n i t i v a la in tegral se red u ce a la V' in te g r a l in m e d ia ta , s i a > 0, y a lo VI, si a < 0 . E j e m p l o 3o. Í dx 1 í1 i/2 + 3 ® ~ 2 ® 2 - y 2 l dx www.FreeLibros.me 1 4x y r arcsen_ In teg ra l indefinida 126 Ejomplo 4 o. tía; i V ^ + 2* + 2 2 J y * * + 2*+ 2 ¿ V ( * - H ) 8+ l = V i 2 + 2a: + 2 - ! - 2 1 n ( í + l + y a ; a - f 2 * + 2 ) + C’ . 3°. I n t e g r a l e s del tipo cía: ( / » £ - } - « ) |/a¿r 2 + b x - f - c U tiliz a n d o la s u s titu c ió n inversa 1 mx + n = *, estas in to g ra le s so reducen a l tip o 2 o. E j e m p l o 5. H a l l a r dx x + i ) l/a ja + 1 Solución. P on em os x+ i de d on de dx = dt t2 • Tenem os: dt t* dx [x + í ) y dt V i — 2í + 2¿2 * + 1 1 di = - ln V 2 +c= 4 o. I n t e g r a l e s del tipo ‘ - T + — ln / ,z - ' + 4 ■1— x + V 2 ( j 2+ 1) ■1/2 ^ Y a x % + b x + c dx, X + í C o m p le ta n d o + + C. cu a drados en el t r in o m io do s e g u n d o g ra d o, esta in te g ra l so reduce a una de las d o s in teg ra les p r in c ip a le s sig u ie n te s (véanse los Nos, Nos 1252 y 1253): 1) ^ ]/¡2 T j2 rcaon 2) J l / W + A d x = ^ y & + A + ± l n \ x + y & + A ] + C. www.FreeLibros.me Integración de fun cion es racionales Ejemplo 127 6. 1/ 1 — 2 x — x * d x = ^ ‘1 /2 — ( ! + *)*<* ( ! + * ) = = y 1 — 2* — X2 + aresen C. 1/2 H a lla r las in tegrales: 1255. J 1256. J '2 5 ? . dx 1268. J dx x* + 2 x * 1269. J 32+ 2 i + 5 ' J 53 ^ ' 1270. . • S 1258. J 1259. J * 2~ ? * - H 3 ’ J * 2+ 3s + 4 J , ____ _ ( * - i ) y a2—2 dx ( x + l ) y r 2+ 2* 1272. f y * » + 2 * + 5 ¿X. ¿x. 6*+10 ’ 1262. f — — 1273. \ y x — x 2 dx. 2274. J V 2 ~ * -a ;* d * . dx x dx -3 V 2-} 3 i — 2 x 2 1275. J y * —*a 1276 \ y * 2+ p * + s 3a: — 6 - ¿te. 1277. J ”\/¿r2 — 4* -f- 5 1278. J 1264. J 1265 dx dx 1261 1263 a: 1271. ( 3* — 2 dx. * 2 — 4.c -j- 5 1260. \ y i-^ 2 ■s 1266. f cos * 7, d x. J son3 * — ó s e n x + 12 ¿z 28 ~ 8 J y i — a — í® 1267. J x* —4íF-\-$ ' rfar. * _______ y5z2_22+i 1279. [ <xrf* y i - t - «*+«2* sen * cfc_______ "|/eos3 * -f- 4 cos * + 1 ln * dx________ x j / l — 4 J n* — ln 3 * ría;. § 5 . In te g r a c ió n de fu n c io n e s ra cio n a le s I o. M é t o d o d e l o s c o e f i c i e n t e s i n d e t e r m i n a d o s . La in te g r a c ió n de una fu n c ió n ra cion a l, después de separar la parte entera, se reduce a la in te g r a c ió n de una fracción racional propia *<*> www.FreeLibros.me In tegra l indefinida 428 don de P ( x ) y Q (:r) son p o lin o m io s enteros y e l grado del num erador P ( x ) e s m en or que e l del d en om in a d o r Q (x ). Si Q(x) — (x — a)a . . . ( x — l)X, d o n d e ay . . . . I so n las diferentes raíces reales d e l p o lin o m io Q { x ) y a , X s o n números naturales (grados de m u lt ip lic id a d do las raíces), la fr a c c ió n (1) podrá descom ponerse en fra ccio n e s sim ples: ^ (X) — A i j i A 2 i ■ A cc ' •' + Í ^ T + < * - V + ' " + ' <2) Para calcular lo s co eficien tes indeterm inados Af, A L y , ambas partes de la identidad (2) se reducen a la form a entera y, después, se ig u a la n los coeficien tes de cada una de las potencias iguales de la v a ria b le x ( p r i m e r j r o c e d i m i e n t o ) . T a m b ién se pueden ca lc u la r estos coeficien tes iguaando la x , en la igualdad (2) o en su equivalente, a cie rto s números d e b i dam ente eleg id os ( s e g u n d o p r o c e d i m i e n t o ) . E j e m p l o 1. H allar Í x dx 1 Solución. I. ( s - 1 ) (* + l)* Tenem os: *_________ A ( x ~ l ) (* + l )2 , Bi *—1 ■ * + 1 B2 (* + !)* ' d e donde x = A (x + í ) * + B t ( x - i ) (* + l) + S 8 ( * - 1 ) . (3) a) Primer procedimiento para la determinación de los coeficientes. C opiam os la identidad (3) dándole la form a x = (.¿ + # 1) s:2 + (2/ t 4 ' ^ 2) ^+*(-4 — — B%). Igualando lo s co e ficie n te s de cada una de las p oten cia s iguales de x , tenemos 0 = ¿4 4 - 4 — 0 = / l — B j — B 2. De donde 1 ¿ = 4 -; 1 « i - — y ; 1 ^2 = — . b) Segundo procedimiento para la determinación de los coeficientes. Haciendo x = \ en la identidad (3), tendrem os: l l = ^ l - 4 , es decir, A — — . H acien do a: = — 1, tendrem os: — 1 = — B z -2, es decir, # 2 — y H a cie n d o después £ = 0, tendrem os: 0 — ^4— -B*— B2t www.FreeLibros.me * Integración de fu n cion es racionales 129 P o r co n s ig u ie n te , 1 f ~ 4 dx 1 í* \ x -1 4 } dx . I T dx x+ i 2 ) (*+ o * 6' = = T ln I " " 1 l - T ln ' " + 1 ! “ T F Í + m 1 2 ( * + 1) E jem plo 2. .r— 1 T ln x+ 1 H a lla r s & = /. x'¿ — 2x'* + x Solución. T en em os, 1 1 A , x ¿ — 2 x Z -\ -x x ( x — \)2 x 1 x—1 y B ' { x — 1)2 \ = A ( x — l ) 2-\-13z(x — l ) + Cx. % (4) A l resolv er este e je m p lo , s o re co m ie n d a c o m b in a r lo s dos p ro ce d im ie n to s para la d e t e r m in a c ió n de lo s c o e fic ie n te s . U t iliz a n d o el seg u n d o p r o c e d i m ie n t o , h a cem o s x ~ 0 on la id e n tid a d (4) y ob ten em os t = -4. L u e g o , haciendo z = i , ten drem os q u e 1 = (7. D espu és, em p lea n d o el p rim e r p roced im ie n to, ig u a la m o s en la identidad (4) lo s c o e fic ie n t e s de x 2. Tendremos; O — A - j - B , es decir, B = — 1. De esta fo rm a , A Û £ = - 1 y (7 = 1. P o r co n s ig u ie n te , S i el p o lin o m io Q (x ) tiene ra íces c o m p le ja s a ± ib de m u lt ip lic id a d fr, en la d e s c o m p o s ic ió n (2) e n tra n adornas f r a c c io n e s s im p le s de la forma M j* + N x x*-\- px-\-q , ' _ M kx + N h "t'( ® á . ( . p a; . ( . í j7r > donde 1-3 t P * + ? = [ * - ( « + «&)] l * ~ ( « - ib)\ y M it N i , M ) l, Nh son c o e fic ie n t e s in d eterm inados que so ca lcu la n por los p ro ce d im ie n to s in d ic a d o s más a rriba . G uando /í = l , la fr a c c ió n (5) so in teg ra d ire cta m e n te ; cu a n d o A r > l , se em p lea e l procedimiento de reduc c i ó n , recom endán dose que p rev ia m en te se le d é a l t r in o m io do segundo grado x 2 -\~px-\-q la fo rm a ( * + - £ - ) Ejem plo Solución. 3. + (?— Y so lía£a H a lla r Como s *+ i (** + 4 * + 5)* dx — /. X 9—1016 www.FreeLibros.me susLitución a ? - } - y = z . 130 In teg ra l indefinida poniendo x + 2 = z, tenemos: , f 2 -1 ; J ( ^ + 1)2 2 $ zdz i (22+ l)2 = = - 2 ( Z2 + l ) " S P (l + z2) - z 2 , (Z2 + 1)2 ^ 'P + T + S [ ~ 2 (22 + 1) ] = ” z i 4 — arctg z — - j z , ,T H - t t a r c t g 2 2 (* * + l) 2 °. M é t o d o se tiene, do P (x) , j o (*) 2 (a * + l) I T Í ^ ± i _ _ _ 4 - a rctg { a : + 2, + C. Ostrogradski. ? Z+ I 1 2 “ l " Vb - 4 - arctg Z + C = - 2(22 + 1 ) '“ X (x) Si Q (x) tio n o raíces . f y (* > m ú lt ip le s , , Qi ( * ) + 1 e 2 <*) , px ’ { > donde Q { (x) es el m áxim o com ú n d iv is o r del p o l in o m io Q (x) y de su d e ri vad a Q' (*); Q a W = Q ( * ) :< ? i (*); X (*) o Y (a:) son p o lin o m io s co n co eficie n te s in determ inados, cu y os grados son menores en una unidad que lo s de Q t ( * ) y Qz (*), respectivam ente. Los coeficien tes indeterm inados do lo s p o lin o m io s X (x) o Y (*) se calculan deriva n d o la i d e n t id a d (6). E j e m p l o 4. H allar ? dx 1)2 1 i Solución. P dx A a fi+ B x+ C i <«« — 1)2 1>» *J —1 . ? Z) * 2 + 2¿ * + F ' J *3 — 1 dar. D erivando esta id en tid a d , tendremos: 1 ( 2¿ s + t f ) { z a — 1 ) — 3a?2(¿a;2 + t f e + C ) ( * * — 1)2 = (* 3 — 1)2 Z )^ + ^ + + F *3— 1 o bien, i = ( 2 A x + B ) (* 3 — 1) — 3*2 ( ^ 2 + ^ + C ) + ( D * 2+ ^ + ^ ) — i). Igualando los co eficien te s de las corresp on d ien tes p o to n cia s do * , tendremos E — A = 0\ D = 0; F — 2 B = Q\ D + 3C = O; E + 2 A = Q; B-\-F — — 1; do donde A = 0; ¿í= — C = 0; 0 = 0; £ = 0; ^ = --| - y, p o r consiguiente, í1 í/x 1 * www.FreeLibros.me 2 f tfx 131 Integración de ju ncion es racionales Para c a lc u la r la in to g ra l del segundo m ie m b r o de la igualdad (7), des com p on em os la f r a c c ió n — — — en fra ccio n e s elem en tales: 1 *3 — 1 ~ L *—1 + M x+N *3+X + l 9 es d e cir, (8 ) \ = l ( z * + z + i ) + M x ( x — 1) + TV{ * — 1). 1 P o n ie n d o * = i , tendrem os q ue £ = - 3íg u a la n d o lo s c o e fic ie n t e s de las p oten cia s ig u a le s do x en am bos m iem bros de Ja ig u a ld a d (8), b a ila m os: ¿ + A/ = 0; L — N = 1; es d e cir. 1 P or lo tanto, P ¿ dx 1 P 3 ) ” dx * -1 z+ 2 *a + *+ l 1 1 ln (** + * + ! ) 6 , 1 L * 24 - s + l — I" 1“ I dx x J (*3 — 1)2 3 ( z 3- l ) + P dx 9 ( s - 1 )2 1/3 - arctg 3 1 /3 2z + t -\-C. V3 H a lla r las in teg ra les: 1280. J 1281 dx ( z - j - a) ( a + 6) 1288 i P *2 a2— _ 5z+9 da:. - i « 3- 5* -(-6 1282 1283- ü 1 289. $ dx { * — ! ) ( « + 2) ( * + 3 ) S ,2 8 4 . J ^ í 2*2 + 41* — 91 dx. ( * + 3) ( * _ 4 ) 3+ 2 dx. 5*2+^ 5zg+ 0 z + 9 , ( x - 3 ) 2 < * + l )2 a X ' 3a: — lO)2 2* — 3 129° - S (zg" - 3 z > 2 ) 3 dx. dx. 1291. J 1 292. J d i. dx 1285- S t f W 1293* • 1286. J - g r i - d * . . 0^ 1294. J - * , - . C * 4- 6 x 3 - f 12z * + 6 1287- l S (* 2 _ 4 a ¡+ 3) ( í 2 + 4 z - j- 5 ) ■ z 3 — 6Z- + 12J — 8 1295. J *4 + 1 • 9* www.FreeLibros.me Integral indefinida 132 i m ] iJ + S + r - 1299f 1297. S (»+ i)(í< + í+ i)> 1300. S V - Í + W • “ *■ )298- S H a lla r Jas integrales siguientes, u tiliza n d o el m étod o de Ostrogradski: 1301 ■ S J Z + W W + W ' 1303' l H2+ i ) 4 ’ 1302- S l í É n r - 1304* S H a lla r m ientos: las integrales siguientes, em pleando diversos ,3 Ü 5 - \ { x s + 1)(* 3 + 8) d x ■ 1 3 i 0 *- i» » - J L 1 3 tl* Í 1307 ‘ \ t f + idx• \ * (* » + !) ’ l 1 3 1 2< \ (** + 2* + 2)(*a + 2» + 5)'- \x - 4 y ^ x - 2 y d x - 1308* \ * W T W - 1313’ 1309. \ . - . f , r 1314. J procedi — 4^2 + 5^ — 2 l l T & r - \ -¿ -r ■ J § 6. Integración de algunas fu ncio n es Irra cio n a le s Io. I n t e g r a l e s del tipo ÜL J jL 4 - b \ qi l a x + b \ qz (D donde H es una función racional y p it qít P2> • •• s 0 n números enteros. Las integrales del tip o (1) se b ailan valiéndose de la su stitu ción ax + h = z » , cx-\-d donde n es o l m ínim o com ún m ú lt ip lo do los números qv q2> *• • Ejemplo 1. H allar www.FreeLibros.me 133 Integración de algunas fun cion es irracionales Solución. La s u s titu c ió n 2x — l = f _________ dx_____________ r i 2g» dz __ 0 P ’^ 2 r ^ í _ 0 z2— : _ = 2 reduce la in tegral a la forma rfg J 2— 1 ~ J ( ^ + l + - ¿ i ) d2 = (z + l ) 2 + 21r«|3 — M + C = = ( l + 4/ 2Í = T ) 2 + ln — H a lla r las integrales: 1315. 1316. [ * dx. j y * -i [ -£ M = - . 1321. [ - ^ r . d x . ¿*+ ¿ 1322. \ J )' 1317. ¿ (2 — x ) "|/1 — # ? ■ ____ dx , ^ = . J \/x-\-i + V ( * - M ) a 1323. \x \ / W \ d x . J *+ 1 1318 • ¡ V 0 7 T - 1324. S f i ± i * r . 1319. 1325. C t 1 ¿x. .3 y . r + 1 . . . f ± 3— <fo. J ** 1 /21 + 3 1 320. f + i ^ . rfx. «J (*-|-l)2— "l/ar^-l 2°. Integrales dol tipo í ■■ .^ L = r d», J ^ flí^ + 5 I c + C d o n d o P n (& ) o s u n Se supone que p o lin om io do grado (2) /a. ^ — ^ = ¿ 5 = = = = dx = Q n - i (*) \I a*2 + bx -}- c -f- X \ — . ■ — » (3) d on do Q n -i (^') es un p o lin o m io de grado ( » — t) co n co e ficie n te s in d e te rm i nados y A, es u n número. L o s c o o fic io n t o s d e l p o l in o m io Q n -i (ar) y el número A, se ha lla n d eri van d o la identidad (3). E j e m p l o 2. S rf $ ^ 73= * - f ~ (A x3 + fíx*+ cx+ D )-y**+ Z + *‘ \ dx y lF + i ' De donde ^ ± ^ r - = ( 3 4 * » + 2 B x + C) V ^ + 4 + y ,i +4 T T + ?■>* + y jq r 4 www.FreeLibros.me ■ y 3 + S In tegra l Indefinida 134 M u ltip lica n d o por ~\/x2+ 4 iguales de x, obtenemos: e igu alan d o lo s co e ficie n te s de las potencias A = - ~ ; B = 0 ; C = ~ ; D = 0; X = - 2 . P or con sig u ie n te , J = 3°. I n t e g r a l e s V ' S 2 + 4 ~ 2 l Q { a : + V ‘Í 2 + 4 ) - t - C . del tipo { -------------- f (4) * (x — a ) n " l / flz2+ ¿,a:+ c Se reducen al tip o de integrales (2) valién dose de la su stitu ción 1 t. H a lla r las integrales: z*dx f 1326. \ S . t J V ar‘,™";r+ Í 1327 ■s v é j r 1/ i — s 2 iss»- s ' J ( i + l ) 3 T / i a+ 2 i ‘ ‘ 1328. \ — Í L ^ d x . J 1331. [ - f l ± ^ ± l - ^ dx. V l+ x* ¿ 4 °. I n t e g r a l e s dx 1329. [ -------- ^ ______ ^ x b ~\/x2— i dx de Jas x Y x 2 -1 + 1 diferenciales binomias ^ x m (a~j-bxn)P dx, (5) d o n d e m, n y p s o n n ú m e r o s r a c i o n a l e s . C o n d i c i o n e s d o C h ó b i c h e v . La integral (5) puede expresarse p o r m e d io do una c o m b in a c ió n f i n i t a de funciones elem entales únicamente en lo s tres casos que siguen: 1) cuando p es número entero; 2) cuando es número entero. Aquí se em plea la su stitu ción a+¿>xn = z3y donde 5 es el d iv is o r de la fr a c c ió n p\ 3) cuando + p es núm ero entero. En este ca so se em p lea la sus t itu ció n aaTn -f-¿> = z3. E j e m p l o 3- H a lla r S! W Solución. Aquí m= i-; ¿ ‘ « = -£ -; " - p = -i-! ó Por con sig u ie n te , tenem os o l 2) caso de integrabilidad- www.FreeLibros.me n = = l T in teg ra ción de fu n cion es trigonom étricas 135 L a s u s t it u c ió n 1 1 + * W nos d a : a: = (z3 — l ) 4; dx = 12z2 (z3 — í )3 dz. P o r lo quo = 12 donde z= V 7 W i H a lla r las in tegrales: 3 1332. J x 3 ( l + 2 i 2) ” 1333. [ i7 ^ - ^ . J ^ 1+** dx. 1335. ^ 'x f ^ 1336. \ J \ . I * (2 + S3) 3 1334. \ ------$ = . 1337. í _ t/d— . § 7. In te g ra c ió n de fu n c io n e s tr ig o n o m é t r i c a s I o. Integrales del tipo ^ sen771 x c o s n x d x = / m, n , (i) d o n d e m y re s o n n ú m e r o s e n t o r o s . 1) Cuando m = 2A*-j-l es u n nú m ero im par y p o s itiv o , se supone J m, * = ~ jj sen2,t x c o s n x d (eos x ) = — ^ (1 — eos2 x) h co sn x d (eos x). De fo rm a análoga se p ro ce d e cuando n es u n núm ero Ejem plo im p ar p o s itiv o . 1. r» f* SCnll \ se n I 0 x co sa x d : r = \ sen*o x (1 — se n 2 x) d (sen x) = -L— — 2) Cuando m y n so n nú m eros pares y p o s itiv o s , g r a l ( 1) so tran sform a v a lién d ose de las fórm u la s: so n 2 x = - ^ - ( l — c o s 2x ) , Ja e x p re sión su b in te- cos2 x = - y (l-| ~ c o s 2x), sen x eos x ■= i ¿t sen 2x. www.FreeLibros.me se n 13 -------(- C. Integral indefinida Ejemplo 2. ^ eos2 3 x sen4 3x dx — ^ (eos 3 x sen 3 x )2 sen2 3x dx = f sen2 6x 1 — c o s G x . 1 (* , = \ — 4----------- ^----------- - t S( - 1 — eos 12a: 2 sen 12x 24 t(t 3) Cuando m = — p y del m is m o orden, tenemos "*• n — \ T i (sen Gx 1 „ \ , sen3 b x j - \ - G . / i = — v so n n ú m eros en teros, n e g a tiv o s y paros 2 x d (tg x ) = «) iL =5 sen 6x cüs G;r) áx son2 6x eos 6x r r ~ — — = í c o s e c ^4 x s6c v «3 son^ x eos x „ . £L±V- t (i+ig**)2 v—2 a + t g 2^ ) 2 tg d (tg x ) . x A este ca so se reducen, en pa rticu la r, las in teg ra les í ^ i _ = _ í_ f J son*** 2 - * J (*+f) dx líI J y c i COSVX se u ( * + í Ejem plo ) 3. dx \ c á ^ 7 = $ sec2 i ¿ ( t g x ) = ^ ( l + tg2 * M ( t g x ) = t g s - f - ~ t g 3 s - t - C . e os4 E j e m p ío ? J 4. dx _ dx 1 P sen3 x — 23 J s e n 3 4¡r e o s 3 -í- z = 4 $ tr 3 l sec6f tó = z 8 sec2 — rfx = tg' T -iS K 2 2 ' x + t g ~ ]d (ig| ) = tg 2 t g - f 2 ln 4 tg 2 2 t s2 í www.FreeLibros.me + 2 4-C. In teg ra ción de fun cion es 137 trigonométricas 4) Las integrales de la forma ^ tgm x d x ^ ctgmx d x j , donde m es un número entero y positivo, so calculan valiéndose do la fórmula tg2 x = sec2 x — i (o de la correspondiente ctg 2 x = cosec2x — 1). Ejemplo 5. ^ t g * x d x = ^ tg 2 x (sec2 x — 1) = tg * x d x ~ = ^ —3 ^ — ^ (sec2 x — \ ) d x ~ —tg z + z + í?. 5) En ol caso general, las integrales Im, n de la forma (í) se calculan por medio de fó r m u la s d e r e d u c c i ó n (_f ó r m u l a s de r e c u r r e n c i a ) , que se deducen, ordinariamente, empleando la integración por partes. 0. f son2 x 4 - eos2 $ _ Ejemplo f* \ dx f sen x _ , P dx d x = \sena;--r.— dx \ ¿ eos-’ x ¿ eos x r.—= \ — ------------ ¿ eos-* x J cosJ x 11 fP COSI cosí 1 = ,, .( (* f SC" x - 2 ^ ~ 2 ) - ^ 7 d x + ) dx COS X -ra r;+ T i» lx « + » > * l+ c H a l l a r la s integrales: 1338. J eos* x d x . 1347. J 1339. ^sen 5#<£r. 1348. ^ 1340. ^sena # c o s a # á # . 1 341. J seu3| - e o s s y d x. 1 342. 1343- ^ sen4 o: do:. 1344. \ sen2 x eos2 x d x. J son*3 X • dx ■ eos 0 X eos 2 - dx. 1349. ^ sen6 X 1350. J 1351. [ J sen* x * dx dx sen2 X COS4 X dx ¿ sonBX eos3 X dx 1352. ^ _ X „ X sen -7T- eos 3 — ¿t . . so n (x -| --2 -) 1345. ^ sen2 a:eos1 a: da:. 1353. ■' so¿ 1346. eos0 3 x dx. 1354. www.FreeLibros.me ^ dx son0 x d 38 Integral indefinida 1355. ^ sec54a;da:. 1360. J 1356. ^ tg2 5a: da:. 1361. J 1357. ^ c t g 3 a: da;. 1362. J 1358. ^ c t g 4 a: da:. 1363. J 1359. J ( t g » | 4 - t g + ) d x . 1364. J coss x dx. sen4 x dx ’^/sen x eos3 x dx y f T 2°. Integrales de las formas: V sen frta: eos na: da:, ^ son rnx son nxdx y ^ eos mx eos nx dx. Én estos casos so emplean las fórmulas: 1) sen m i cosna: — — [sen (m + n )a: + sen (m — n) x]\ 2) sen mx sen nx =-^- [eos (m— n) x — eos (/7t+n) x]; ¿i 3) eos mx eos nx = Ejemplo [eos (m—tí) a: + eos (m+ n) x]. 7. ^ sen 9a: sen x dx = ^ -i- [eos Sx — eos 10a:] dx = sen 8a: — ^ sen 10a: + C. H a l la r la s integrales: ^ cos(íia:+fe) cos(<2a: —b)dx. 1 3 6 5 . ^ sen Zx eos 5a: dx. 1369. 1366. ^ sen 10a: sen 15a: da:. 1370. ^ sen coi sen ( m i + <p) di. 1367. ^ eos 1371. ^ e o s x eos2 3a: d x . 1372. ^ sen a: sen 2a: sen 3a: dx. ^ ií (sen x y eos x) dx9 (2) eos y dx. 1368. ^ sen y eos - y - da;. 3o. I n t é g r a l o s de la f o r m a d o n d e B es una f u n c i ó n r a c i o n a l . 1) Valiéndose de la sustitución do donde sen x — 21 1 — í2 COSX = 1+ 22» l + «2 * www.FreeLibros.me dx 2dt i + ¿2 ’ 139 In teg ra ción de fu n cion es trigonom étricas las in te g r a le s de la fo rm a ( 2) se reducen a in teg ra les de fu n cio n e s les do ja nueva v a r ia b le t. ra cion a E j e m p l o 8. H a lla r ? Solución- dx = /. 1+ s e n a :+ c o s x S u p on ie n d o t g 2 •1= = t> tendrem os: í* t A t i + t2 1 + * 2 1 j + ¿2 tj n -tg -f- + + c. 2) Si s e v e r i f i c a la id entidad R ( — s e n * , - ~ c o s x) = R (son x 9 eo s x ) , para r e d u c ir la in te g r a l (2) a la fo r m a tu ción t g z = í. E n este caso, t sen g = — — .............. _------- _ - > j racional s o puedo em plear la s u sti i COSj — x— — V i+ t2 , - yi+t» , . 2 = a rctg t, , dt d x = ~ jT . E j e m p l o 9. H a lla r dx (3) 1 + sen2 x Solución. Pon ien do tg * -* . seB2 * = T + 7 2 ' ’ ^ = 1 + 1 5 -’ ten d rem os: p dt p i (1 + i}2 ( i + _ j i _ ) i = di i p y s i d {íV l) i+ (iV 2 )2 a r c t g ( t 1 / 2 ) + C = y = a rctg ( V 2 tg x ) - f C. Debe a d v e rtirse q ue la in t e g r a l (3) s e c a lc u la más d e prisa s i ol num e ra d or y el d e n o m in a d o r d e la fr a c c ió n se d i v id e n previam ente p o r eos2 *. E n a lg u n o s ca so s con cre to s o s con ven ien te e l e m p le o de p roced im ie n to s a r t if ic ia l e s (véase o l e je m p lo N ° 1379). H a l l a r la s in tegrales: 1373. C -5 -r-pJ 3 + 5 cosa: . 1 3 7 4 . í — — ^ --------- . ¿ senx + eos x 1375. \ J ™ sx 1+ co ss dx. 1376. ( - sena:- - d x. j 1 — sena: www.FreeLibros.me m In tegra l indefinida 4 Q 77 10 [ ' <*£__________ i S - 4 sen z + 7 co s x ' 1378, S e o s X + 2 sonar + 3 1370** í • i 3 s o n a;-|- 2 co-s x 2 sen a + 3 co s x * , 1380. \ i ± M f d x. J 4 — tg® 1 3 8 1 *- S T + ^ F 1382* ‘ J • ' 1383*. dx 138 4 *. ¡*+3 senxcoa x —cos2x' sen2 x — 5 sen x c o s ar 1 385. ^ J . s e n * v. da. (1— cosa;)* 1386. ¡ 1 sen 2a: dx. 4 - son2 a: 1 387. |j co s 2a: e o s4 a: -(- son4 a: 1388. J co s a: dx. sen2 a: — 6 sen x - j - 5 138 9 *. \ rr, % t ¿ ( ¿ — sen x) (d — se n a:) 1 39 0 *. \ l ~ s e a x + c o s x d x . J 1 + sen x — cos x § 8. In te gra ción de fu n c io n e s h ip e rb ó lic a s La in teg ra ción de las fu n cio n e s h ip e r b ó lic a s es co m p le ta m e n te a la in te g ra ció n do la s fu n cion es trig o n o m é trica s . Deben rocordarso las sigu ien tes fórm u la s p rin cip a le s: a n á loga 1) ch* x — sh2 £ » 1; 2 sh8 x = -5- (cli 2 x — 1); 3) c h « * = - i . ( o l i 2 * + i ) ; 1 u 4) sli x c h x = -^ * sh 2x. Ejemplo 1. H a lla r ^ o h 2 a: da;. Solución. T en em os: ^ ch2 x dx — ^ Ejem plo 2. (ch 2x -|-1) d x = -i- sh 2% + - i - x + C. H a lla r ^ ch3 arda;. Solución Tonomos: ^ ch;i x dx = Jj ch2 x d (sh x ) = ^ (1 4 " sh2 x) ¿ (s^ x ) = ¿h x + " " y ~ + £ www.FreeLibros.me E m pleo de sustit. trigonom . e hiperból. para el cálculo de integrales de la forma 141 H a lla r las in tegrales: 1391. ^ sh * x d x . 1 3 9 7 . ^ th z x d x . 1392- ch 4 x d x. 1398. 1393. ^ sh 3 x ch x d x . 1 3 9 9 . ^ áb2'/ : ~ : 1394. J s h ax c h * x d x . 1400. J f395' S cth 4x dx. oh2 x ’ ■ '«'• dx 2 sh a - f 3 ch * ’ * \ th a — i * 1396 y ch 2x § 9. Empleo de sustituciones trigonom étricas e hiperbólicas para el calcule de Integrales de la forma R (x t y ax* -|- bx -f- c) dxt (1) donde fí e s u n a f u n c i ó n r a c i o n a ! . T ra n sform a n d o el t r in o m io do .segundo grado ax*-\-bx-~-c on una suma o rosta de cu ad ra dos, red u cim os la in tegral (1) a una de las intégralos de las form a s siguientes: 1) ^ R ( z t y m'2— z2) dz; 2) ^ R (z , '\/m^ + z i)dz\ 3) ^ R ( z , T/ z Z— m 2) dz. E sta s ú ltim a s integrales so resuelven v alién dose, respectivam ente, de las sustitiicionos: 1) z = m sen t o z — m t h t, 2) 2 = m t g í o 2 = m s h í , 3) 2 = m. sec t o z = m c h t. E j e m p l o 1. H a lla r f dx i <z + l ) 2 y * í + 2 * + 2 Solución. Tenemos: * 2-| -2 .r + 2 = ( * + l ) a - M . P on ga m os a; + 1 = tg t , en c u y o ca so dx = sec2 /. dt y j ~ ^ __________ dx__________ __ ^ sec2 t dt _ ^ eos t _ j (z + l ) 3 l / ( j j + " í ) S + Í ~ J J sen2 ¿ ~ 1 www.FreeLibros.me y * i + 2x + 2 ------------------ 7 + \ --------- + c - 142 In teg ra l indefinida Ejem plo 2. H a lla r s + l dx — 7. Solución. T en em os: 1 \2 . 3 cep o n ie n d o = y dx = ^ - ch td t, obtendrem os: / ■s 3 V3 8 3 1 /3 = “ 8 sh i ch3 i di c h 3 t dt = - 4 S ch3 i 3 /1 . , , , , r - ¥ Í T shichí+T í ) +C- Como í = ln ^ + y - } - y x 2 + x - f - l ^ + l n ^ | , d efin itiv a m e n te , tendrem os: l (x2+ I + 1 ) 2 _ l ( a; + l ) y **+*+! 3 lü H a lla r las in tegrales: 1403. J y 3 — 2a; — x 2 d x. 1409.. ^ ] / a : 2~ 6a: — 7 dx. 3 1404. J y i ! + x2 dx. 1410. 1405. í - J t — dx. 1411. 1406. jj y ^ 2 — 2 x + 2 d x . 1412. o y9+xa dx _3_ ’ (cc3- 2 o ; + 5 ) 2 1407, \ V & - 4 ^ x . 1413. 1408. 1414. ^ l ^ + arda:. www.FreeLibros.me der ( i +*2) y y f p • dx < i-x 2 ) y i + ^ ' In teg ra ción de distintas ju ncion es V i3 § 10. Integración de diversas funciones transcendentes H a l l a r la s in te g ra les: 1415. J( ar2 + 1f e ^ d x . 1 421. 1 416. ^ x 2 eos2 Sx dx. 1422. dx -[/e*« + ex + l ‘ 1 417. ^ x s e a x c o s 2 x dx. 1423. 1418. ^ e2* sen 2 arete. 1424. 1419, ^ ex sen x sen 3a: d x . 1425. 1420. \ are* eos x d x. 1426. sen x sh x dx. § 11, Empleo de las fórm alas de reducción 2 1427. ! h a lla r / 2 e / 3. 1 4 2 8 . I n = ^ s e n 11arete; h a l l a r / 4 e I s. 1429- h a Ila r e U 1 4 3 0 . / „ = ^ x ne~x d x ; h a l l a r / 10. § 12. Integración de d is tin ta s funciones i m - l ‘ « 21 433. 1437. 4z + 9 # ai — 5 -d x. 2x+2 X'¿ d x. \ 1438. 1439. dx f ____: .) x*— 2a?a+ l ‘ ? 1434. í 1440. . xdx x + í)» *•+*+4 dx (*2 + 2)2 l — 4x i(1 é -2 V i)2 1441. J 1442. t , -rfJ ... . o V a:2+ ^ + l 5 w + 2)2* (a:+ 3)2 * 1436. J dx (* + ! ) « (* a+ l ) ' www.FreeLibros.me In tegra l indefinida 3- s 1443 l - f l : 5 V S 1444. P dx 1462- )> ( f 3 + f ; r 1445. s 2a; 4-1 Y ( 4 x 2-~2x-|-l)3 144G . ? T7= M - 7= = <) y 5— i + 1447. V (* 2 — l)3 ^ cía;. . s sen 3 a: 1463 y COS3a: . 1464. 1465. dx.. cos x s e n ^ x " 1466. cosec5 5x d x . \ -s ^ d x . J eos6 a; ^ — x'j x s o j) ^ x dx 1448. 1449. <í* 1461. ¿a:. X sen ( - j - r (i+ « * ) y i —*« ‘ . dx. 1 4 6 7 . ¡| t g 3 ( - J - f ^ ) d x . \ x d X --. — . . ¿ y 1 - 2x 2- * * 1 4 5 0 . [ — ■ 1 3- d x . 1468* J a a a n x + tccx -S (*a+ t ) T 14 51 * . f da _ _ . (cc2^4aí) "]/á— 3:2 1452. J y ^ g dx. i m - X S j + r a dx 1 4 7 0 . J eos 2 x-\~2 sen x eos x + + 2 sen2 * ■s 1453. J / a s - í a * * : . 1 471 1454. í - 1 4 7 2 . J ( 2 + eo s* ) (3 + eos x ) ’ sec 2 x da;. 1473. 5 , j/tg 2 * + 4 tg * + l eos/xa dx. 1474. ^ 0 x y l x .. _ . [ / a 2 -j-a + 1 1 4 5 5 . ^ a; ]/ "£ 2 + 2a; + 2 da;. dx 1456. ^ — * 1457. . 1458. tía: ,______ dx sen * son 2 x * da cv Y a2 + sen2 üa: * ti* E S*» • S i sj/l-xa 1475- ¿ ir n -* 3 1 4 7 6 . ^ a; s e n 2 x d x . -y 1459.1 ,j j r í + 1 4 6 0 . ^ eo s 4 a: d x dx. 1 4 7 7 . J x * e x* d x . 1478. www.FreeLibros.me \ xe*x d x. In tegra ción de d istin tas fun cion es 1479. 1480. ^ x 1 In j / l — x d x . 1482 1483. 1484. 1485. 1487. 1488. 1489. í A 1492. J 4 4 r, \ (x 2 - l ) 1 0 ^ d x . 1493# f ? _______ dx_______ J i < tg x + 4 )se n 2 * * 149^ * - ~ dx. gretga ^ " a \ s h a: c h a: d x . J X + 1491. i (sen x + eos x ) 2 ’ z2 * 1495. * \ a:3 aresen — l/l — x 1496. ^ eos{ln x ) d x . f sh a: ch x ) sh* * -f-ch2 a: 1497. p V(a:2 — 3a:)sen 5a:dx. \ !\¡*x d x ' 1498. \ x a r c t g (2a: + 3) dx, ? dx ¿ c**— 2cx * 1499. ? r\ aresen y x dx. \ e** — 1)e* + i3 dX‘ 1500. ^ \x\dx. dx. £ sh "1/1 — o? J 1486. X’ i i x , \ s o n 2 — COS - 75" d x . ¿ 2 2 P d x ________ d x. P — J f x a rctg x j ¿V I+ T * 1481. 1490. 445 1 0-1016 www.FreeLibros.me Capitulo V IN T E G R A L DEFINIDA § 1. La Integral definida como lím ite de una suma I o. S u m a i n t e g r a l . Sea f (x) una fu n c ió n d e fin id a en oí segm ento y a ~ x 0 < Xj < . . . . < = ó una d i v i s i ó n arb itra ria de este seg m en to en n partes (fig . 37). La suma do la form a n —i 2 /(£ í)A * ¡, i= 0 ( i) d on de *i < gf < * j +1; A*¿ = * ¿+1 — x £\ i = 0, 1, 2, . . . ( n - 1 ) , re cib e el nom b re de suma integral de la fu n c ió n f (x) en [a , b]. S n repre senta g eom étricam ente la suma a lg é b r ic a do las áreas de io s co rre s p o n d ie n tes paralelogram os (véase la f i g . 37). 2o. I n t e g r a l d o f i n i d a. El lim ito do la suma S n >cu a n d o el número n do d iv is io n e s tiende al i n f i n i t o y la m a y o r de las d ife re n cia s Ax,tien d e a cero, so llama integral definida de Ja fu n c ió n f (x) entro io s lím ites x — a y x = b, os d e cir, n —í b lim m áx. Y /< 6 «> A * í = \ i= 0 a . 1 J (2) Sí la fu n c ió n / (x) es c o n tin u a en fa, ¿>JT tam bién será in te g ra b le en ¡a f b), os decir, ol lím ite (2) e x isto , in d epen dien tem ente del m étod o q ue se em plee para d i v id ir el segm ento de in te g r a c ió n [a, ó] en se g m en tos p a rcia les y de www.FreeLibros.me L a integral definida com o lim ite de una suma 147 la e le c c i ó n d o lo s p u n to s £$ d e n t r o de d i e b o s seg m e n to s. La in te g ra l (2), d o f in id a g e o m é trica m e n te , es de p o r sí la sum a a lg é b r ic a de las áreas de las fig u ra s quo fo rm a n el trapecio m i x l i l í n c o aABb, on el que las áreas do las partes situ a d a s s o b r e el eje O X se tom a n co n s ig n o p o s itiv o , m ien tra s que las áreas d e las partes que se e n cu e n tra n b a jo el e j e O X se tom a n con sig n o n e g a t iv o (véase la f ig . 37). L a d e f i n i c i ó n de la sum a in te g r a l y de la in tegral d e f in id a s e genera lizan , n a tu ra lm en te , al ca so cuando a > 6 . E j e m p l o i . Form ar la suma in teg ra l S n para la fu n c ió n /(* ) = 1 + * en el s e g m e n t o [1, 10], d iv id ie n d o este in t e r v a lo en n partes iguales y e lig ie n d o los p u n to s £* d e fo rm a q uo c o in c id a n c o n los e x tre m o s izq u ierdos do lo s se g m e n to s p a rcia le s f*|, x M ¡, ¿ A quó es igual el lim S n? 71-» 0 Solución. Aquí A = t n y = x0 qí i A zf — 1 -+■ — . De d o n d e / (gj) = 1 + 1 - f - ^ - = 2 + - —- . P o r c o n s ig u ie n t e ( f i g . 38), = 2 /(6 ,)A * ,= 2 (2 + -7 t ) ~ — — - » + -S - ( 0 + i + . lim S n = 58 i - , n — co ¿ E j e m p l o 2. H a lla r e l área d e l tr iá n g u lo m ix t ilín c o , lim ita d o p o r el arco d e la p a r á b o la y — x*, e l e je O X y la v e r tic a l x = a ( a > 0 ) . S olución. D iv id i m o s la base a e n n partes ig u a le s A z = — . E lig ie n n d o e l v a l o r de la f u n c ió n en el c o m ie n z o de ca d a seg m e n to , ten d rem os: » , - o ; ^ = ( - S - ) 2 ; » - “ [ 2 ( ^ ) a ] ; •••; * » = [ < « - < > f ] 2 • 10* www.FreeLibros.me In tegra l definida EL área de la los re ctá n g u lo s in s c r it o s se ca lcu la m u lt ip lic a n d o cada yh por baso k x — ! L (fig . 39). Sum ando, obten em os el área de la figura escabas tonada S* = í ( t ) 2 [ 1 + 23+ 3a+ . . . + (» - 1)3 ] - / \ U tiliz a n d o la fórm u la de la sum a do lo s cu adrados de Jos nú m eros en teros n : .o » ( * + i)(2 n + i) 2 '* h=t 6 0 a* (n— 1) n(2n— 1) 43,1 5 ? hallam os do dondo, pasando al lím ite, obtenemos:. S= .. a3 (n — l)n (2n— 1) lim S n = lim — ^ n-»oo ~ a3 ^ • C a lcu la r las in tegrales d efin id a s sigu ien tes, con sid erá n d ola s com o lím ite s de las correspon dien tes sum as integrales. 1501. 1502. t \ dx. i 1503. J x 2 dx. a —2 T 10 \ (y0 + g t ) d t , 1504. ^ 2 x dx. v o y g son constantes. 1505*, 1506*. H a lla r el área d e l trapocio m ix t ilín e o , lim ita d o por la h ip é rb o la * i y = T > el eje O X y las dos ordenadas: x = a y x = b ( 0 < a sen t d t . 0 www.FreeLibros.me C álculo de las integrales d efin id as p or medio de indefinidas 149 § 2 . Cálculo de las Integrales definidas por medio de Indefinidas ble. I o. I n t e g r a l d e f i n i d a c o n el l í m i t e s u p e r i o r v a r i a Si la f u n c ió n / (¿) es c o n t i n u a en el s e g m e n to [a, fu n ció n X í '( * ) = J f(t)dt ¡ es u n a f u n c ió n p r im it iv a de / {*), e s decir, F ' (x) = l (x) p a r a a < 2o, F ó r m u l a de x < b. N c w t o n -L e i b n i z. ^ f(x )d x = F {x) Si F' (x) = f (x ), se t ie n e T = F (b )-F (a ). a La f u n c i ó n p r i m i t i v a F ( x ) s e c a lc u la h a lla n d o la in t e g r a l in defin ida J f(x)d x= F (x)+ C . E je m p lo U H a lla r la in te g r a l 3 x4 dx• -i Solución. J 5 |— = -? — i 5 5 5 1 5 0 8 . Sea a H a lla r: da 7 iUi db H a lla r la s d eriva da s de las sig u ie n te s fu n cio n e s : x 1509. = *» Jln¿á¿ (* > 0 ). 1511. F ( z ) = J x * o Yx 1510. F ( x ) = j l / T T í * ¿ í - 1512. J = X J c o s ( t 2) d ¿ J_ X www.FreeLibros.me (* > 0 ). 150 Integral definida 1513. H alla r los pu n tos e x trem os de La fu n ción X y = U tiliza n d o integrales: 1514. 1515. la i \ fórm u la do N o w to n -L e ib m z , 1516. * las siguientes i -2 h a lla r los [lím ites de i V — X X <zs 1517. ' V a lién d o se las sumas: h a lla r a; í* dx \ i+ x 0 -1 r ? sen t ,, , _ n \ -—— dt en el campo x > U. «■ ‘ l 0 de las integrales definidas, 71-+0O ' ' 1519**. lim ( — j - T - ) - — {^ r + . . . + + - ) V'f + 1 ^ ^ ^ n + n )4520. { p > 0). C a lc u la r las integrales: 2 1521. 1522. j (^ -2 ^ + 3 )^ . \ {V li+ V ^ )d x . 0 1527. ^ x^ Z + 2 1528. 1528. i /» ¡j ‘ «J i * 1523. _ 1529. Y -^ fid y . f dx \t! . r 2 + 4 í + 5 ‘ 0 4 1530. 1524. dx \ }A r -2 d a :. ¡¡ ¿3 * a- 3 z + 2 ' 2 r1% 1531. 1 525. T > ■ ■ ■ 1/25+33: f) '*8 + 1 0 n 4 ,5 2 8 . $’ ^ . 1532. j. t) Tí - 2 www.FreeLibros.me dz. In teg ra les im propias 151 V2 * 2. 1533. ^ dx . 0 lv/ l — 3,5 * 1540. \ 3T 4 dx 1534. 2 ti 3 1 /5 + 4 * -* * 1541. ^ C t g 4 q)(¿(p. 1 1535 . \ 71 t l y*dy * r* ■ V yO +4 ■ 1542. 4 1536. 5 o jj eos2 a da. i b 1543. JT ^ c h a da;. o 2 1537. tgxd x. ln 3 \ s e n 3 q>dcp. \ • j dx oh** • ln 2 e2 1538 1545. j sh2 x d x . o Í539. $ 2 i í í “ ii> d x . § 3, Integrales Impropias 1®. I n t e g r a l e s de l a s f u n c i o n e s no a c o t a d a s . Si una fu n c ió n I ( x ) n o está a cotada en n in g ú n e n t o r n o d e l p u n to e, d e l segm ento [a, b y y e s c o n t i n u a cu a n d o a < ^ x < c y c < - r < ó , de acuerdo c o n la d e f i n i c i ó n se su pon e: b c—e \ f ( z ) d z — lim \ d £—*0 d a a l> f ( x ) d x + ] i m ? / ( i ) dx, t]-*0 d (1) c+U S i e x is t e n y so n f i n i t o s lo s lím ite s d e l seg u n d o m ie m b ro de la ig u a ld a d (1), la in te g r a l im p rop ia re cib e el nom b re de convergente. en c ! raso co n tr a r io será divergente. Cuando c = a o c = b, la d e t e r m in a c ió n se s im p lif ic a do la fo rm a corresp on d ien te. S i e x is t e una f u n c ió n F (x ), c o n t in u a e n o l seg m en to (/*, b] ta l, que F ' ( x ) = j ( x ) para x =?= c (p r i m i t i v a generalizada) , se tiene, b í ( x ) d x = F (b) — F (a ). n www.FreeLibros.me (2) 452 In tegra l definida b Si l / W K ^ W para a < ¿ < & y ^ F (x) dx a tam b ién converge (criterio de comparación). Si / ( * ) > 0 y l i m { / ( * ) Je — = ^ gfc c o , A J c — x f 11 cuai1^0 36~7> c ^ tendrem os que: i ) con verge, -4 =£ 0, & es in te g ra l (4) decir, /(* ) • * - si m < ; i , la in tegral ( í ) es convergente, 2) si w > 4, la integral (4) es divergente. 2 o. I n t e g r a l e s c o n l í m i t e s i n f i n i t o s . es continua para a < > < c o , so supone quo co la Si la fu n c ió n f (x) ' í f (x) dx = lim í j (x) dx t) l>-*0O V (3) o y según que exista o n o exista lím it e f i n i t o del segundo m ie m b ro de la igualdad (3), la in tegral correspondiente recibirá el nom b re de convergente o de divergente. Análogam ente co \ f (x) dx = J lim í f{x)d x y \ f(x)d x= lim \ / (x) dx. a -f —OO V •»' Q -- —CO a “ ro ft-H-co a OO Si l / W K ^ t í ) y la in tegral F ( z ) d a ; converge, la in tegral (3) tam - a b ién convergerá. Si / <*) > 0 y lim { / (ar) x m} — A =£ o o , A =/=■ 0, es decir, f (*) ~ cuando X— *oo * ar— > c o , tendremos que: 1) si m > l , Ja in tegral (3) es con verg en te, 2) si m < l , ia integral (3) es divergente. E j e m p l o 1. \ ~ = l i m \ J x2 e ->0 Í £ . + Iim \ Í £ « l i m ( 4— x e~>0 J * * n ->0 v ^ + / f - — 11-^0 V l) = c o / la integral es divergente. E j e m p l o 2. oo S o Ejemplo S T $ ? = í , ! , “ <»re ,* i - ' “ <!t8 0>“ f ■ o 3. In vestiga r la con vergen cia do la integral de Euler-Poisson www.FreeLibros.me In teg ra le s im propias Solución. Se tiene, oo i oo e ~ xZ d x = \ e xZ dx-ir \ e ,ta d x . j *+\ i La p rim era de las d o s integrales del segundo m ie m b r o n o y la segunda e s co n v e rg e n te , y a q uo e ~~x3 < ; para x > 1 y oo os im p rop ia b d x = lim \ e~x d x — lim ( — e~b -f- e J) =e~~1\ b-+ oo p o r co n s ig u ie n te , la in te g ra l (4) e s convergento. E j e m p l o 4. In v e s tig a r si e s co n verg en te la integral oo J <5 > S o l u c i ó n . C u a n d o x — > + c o , ten em os: 1 1 4 1 1 C o m o la in tegral oo SI e s con vorg on te, nuestra integral (5) tam b ién lo es. E j e m p l o 5. In v e stig a r si es co n verg en te la integral e líp tica dx (6) y i — x* S o l u c i ó n . E l p u n to de d is c o n tin u id a d de la fu n ció n su b in le g ra l es: « s a l . A p l ic a n d o la fó r m u la de Lagrange a la d iferen cia 1 — x * = (1 — x ) x X (1 + * ) (1 -\-x2)t obten em os: 1 1 y l - xi i / ( i - x).te\ 1 1 ' | (1 — a:) * 2a:J d on de x < x 1< 4 . P o r co n sig u ie n te , cu a n d o x — > 1 , tendremos www.FreeLibros.me 154 In tegra l definida Com o la integral 1 ü (-r ir )* * es con vergente, la in tegral dada (6) tam bién convergerá. C a lcu la r las sigu ien tes d iv e rg e n cia ): in teg ra le s im propias 1 1546. d eterm in ar su i [ ¿ . £ 1557. \ V* 0 J 2 1547. (o dx x ln X . 0 f — \ . i * « r .c o i 1558. , 2 f ¿a; J a: ln2 a: 0 1 548. 0 ,5 5 M <M 9- I (iÉ fjr ' (■ »* )• co i 1550. - n f r a 1560. C-* L - (a > l). O ^ 3 tt 2 oo 1551. C J x 1561. i \ ctgsd s. a o 00 1552. J i j - . 1562. \ e - * * d x 0 co 1 oo 1553. J % • 1563‘ 1 1554. $ a rctg * dx. 0 ¡ - f a . . . 1504. "j oo 03 OO 1 555. J da; ;r2“|-4a;-}-9 ’ íc /'c 1565. (* da; J a;3 + l — oo oo 1556. ( k > 0). [ sen x d x . 1 1566. o í o www.FreeLibros.me dx 5a;2 155 Cam bio de variable en la integral definida A v e r ig u a r si so n co n v e rg e n te s las in tegrales: 100 1567. i \ 1571. f 9 i -fe o 1 ** 2 dx \ , .< l n * . 1568. [ J x — . -J 2 x + t f x 2 + i - \ - 5 1572. 1569. \ dl _\ x* + f x4 + , 15 7 3 . ? - ^ 5 . dx. a?2 i 3t 2 03 1570. í y ^ + i 1 57 4 *. D em ostrar ( f u n c i ó n beta) quo la in teg ra l de E u le r, de Ia especie do 2 a especie, i B (p , q) = \ x ^ 1 (1 — x ) q- x d x *) o es c o n v e r g e n te cu a n d o p > O y ? > 0 . 1575*- D em ostrar, q u e la in te g ra l (f u n c ió n gam m a) de E u le r, co r (p )= | xv-'e-* dx es co n v e rg e n te cu a n d o p > 0 . § 4. Cambio de variable en la integral definida Si la fu n c ió n / (x) es co n tin u a en el segm ento a ^ x ^ b y a : = q ) ( í } es una fu n c ió n co n tin u a con ju n ta m en te ro n su derivada 9 ' (¿), en el segm ento d on de a = 9 ( a ) y b — 9 (P), y la fu n c ió n /[q>(¿)l es d e fin id a y c o n tin u a en el segm ento a ^ ¿ P> tenemos b p ^ f ( x ) d x = \ ^ / [q> (t)] <p' (t) dt. a E jem plo 1. a H a lla r a ^ x2 y a 2 ~ x * d i (a > 0). O www.FreeLibros.me In teg ra l definida Solución. H agam os x = <zsení; dx = a coa t dt. x E n este caso, f = arcson — y , = arcsen 0 — 0, P — aresen l = y a por co n sig u ie n te , se puede to m a r a = • P o r lo c u a l, tendrem os: 2 x 2 y'a* — x2 dx = \ a2 sen2 t~\/a2— a2 se n 2 t a e o s t dt = 8 ti n re 2 2 Y = a4 ^ sen2 i e o s2 ¿ dt = í sen2 2 í i í ¿ = ^ - ^ 0 ( i — cos 4 t)dt=* 0 u 7T 2 1576- ¿S e puede c a l c u l a r la in te g ra l 2 J V i — x*dx v a lié n d o se de la su s titu ció n x = c o s / ? T r a n s fo r m a r las sigu ien tes in te g ra le s d e fin id a s las su stitu cio n es que se in d ica n : v a lié n d o s e 4 3 1577. 3 ^ V x + i d x , x = 2t — 1 . 1 5 7 9 . \ - - * = ¿ , x = sh t. .) V ^ s + l 3 JL 2 1578- í —-t4 = = 7 , x = sen¿. 1580. \ f ( x ) d x i x = a rctg í ¿ 2 1581. P ara l a in tegra l b J / (a:) d x (b > a in d ica r una s u s titu c ió n lin e a l entera x = a t + Pj www.FreeLibros.me a) de 157 Cam bio de va riable en la in teg ra l definida que d é p o r resu ltad o q u e lo s lím ite s de in te g r a c ió n se hagan respectivam en te igu a les a 0 y 1. Ut i l i zando las su stitu cio n es que se in d ica n , c a l c u l a r las siguientes integrales: 4 dx 1582. \ — ~~7=r * = ¿ a. J 1 + l/x 29 1583. \ ( I ~ ,2.)V3 dx, x — 2 = zs. J ( * — 2) / s + 3 Jn 2 1584. J e* — 1 = z*. 0 f 5 + IW í, o <586- ( . + . w , ■ V a lié n d o s e de s u s titu cio n e s adecuadas, c a lc u la r i ________ 1587. j Jn 5 dx. 1589. 1588. \ . V í l z l ,¡ las in tegrales j ** 1590. f * d*. ¿5 J 2* + l / 3 * + l C a lc u la r la s integrales: 3 o 1591. [ r dx J x \/x* + 5 z + i 1 [ V ^ - x 2 dx. J 2n j KA# f dx 1 5 9 4 - ,)í t5 — — 3’o e•os - —x 0 dx 1592 • \ / T T T 2 7 5 J (1 + * 2) 2 -i 1595. 1593. D em ostrar, q u e si f (x) es una fu n c ió n par, a a ^ / (x) d x = 2 ^ / (a;) dx. —a www.FreeLibros.me . In tegra l definida S i , p o r e l c o n t r a r i o , f (x ) e s u n a í u n c i ó n im p a r, a ^ f (x) d x — 0 . —a 1596. D em ostrar, que co co oo \ e ” *v2 d x — 2 ? e - *2 d x = \ — co 0 0 —X dx. 1 597. D em ostra r, que 1 dx \ árceos x 0 1598. D em ostrar, n 2 P sen x dx. j z o que 71 2 n 2 / (s e n x ) d x = o ^ / (eos x ) dx. o § 5. Integración por partes S i la s fu n c io n e s u ( x ) y s e g m e n t o [ a , fe], s e t i e n e , v(x) tie n e n b ^ "b a sig u ie n te s in te g ra le s , c o n tin u a s en e! b u ( x ) v ' ( x ) d x — u ( x ) v ( x ) | — ^v ( x ) uf a C a lc u la r la s d eriv a d a s (x) d x . (1) a e m p le a n d o l a f ó r m u la d e in te g r a c i ó n p o r partes: 71 2 1599. 1600. CO \ a rco s x d x . 4l 0 e a 1G03. ^ x e - x d x . \ lnscte. J 1 i 1604. O co \ e~ax e o s b x d z co 1605. 1601. 0 Jt 1602. { a > 0). \ e x sen x dx. o www.FreeLibros.me jj e_ o v s e n f e x d x ( a > 0 ). T eo rem a d el valor medio 1606**. D em ostrar, q u e para la f u n c ió n gam m a 1575) es v á lid a la f ó r m u la de red u cción : r ( p + i ) = p r (/> ) (véase el N° (p>0). Deducir de esto, que F ( r c - } - l ) = w ! , si n es n ú m ero natural. 1607. D em ostra r, q u e para la integral n jt 2 2 Jn = ^ s e n " x d x = i c o s nx dx o o es v á lid a la f ó r m u l a d e reducción i __ n ~ 1 i 1n — — ~ H a lla r 7n, si n es un núm ero n atu ral. U tiliza n d o la fó r m u la o b ten id a , c a l c u l a r I d y i 10. 1608. C a lc u la r la in te g ra l sig u ie n te (véase el N ° 1 5 7 4 ), em pleando reiteradam ente la in te g r a c ió n por partes B ( p t q) — ^ z v~x (1 — z ) q~l d x, donde p y q son n ú m ero s enteros y p ositiv os. 1609*. E xpresar por m edio de B (fu n c ió n beta) la integral ?T 2 I m n = ^ se n "4x c o s " x d x , o si m y n son n ú m ero s enteros n o n ega tiv os. § 6. Teorema del valor medio 1o. A c o t a c i ó n a ^ x ^ b y se tiene de las integrales. b b J / (X) dx < ^ F (x) dx. a « Si f(x)^ F (x) para (1) Si f ( x ) y q> ( x ) s o n c o n tin u a s para a ^ , x < ^ b y , adornas, 0, se tione, b b b m ^ <w ^_/ .... <^ M _ ^ <P (x) d x , p (vv x ) d...x <^ ^ / <*) 7 (*) a www.FreeLibros.me (2) 160 Integral definirla d o n d e m es e l v a lo r m ín im o a b s o lu t o y fu n c ió n i ( x ) e n el s e g m e n t o [a , b}. E n p a r t i c u l a r , s i q> ( 2 ) = 1 , se" t i e n e M el y a l o r m á x i m o a b s o l u t o d e la b m (ft- á) < (3) J / (*) d x < M \ ( b - a ) . a L a s d e s i g u a l d a d e s (2 ) y e q u iv a le n te s ig u a ld a d e s: (3 ) se pueden b su stitu ir resp ectiv a m en te por sus in tegrales siguientes sin b f ( x ) < ? ( x ) d x = f (c) ^ 9 ( x ) dx a a y 6 J f(x)dx=f($(b-a), a d o n d e c y £ s o n n ú m e r o s q u o s e e n c u e n t r a n e n t r e a y b. E j e m p l o 1. A c o t a r la in t e g r a l n 2 1 + y y sen3 xd x . o S o l u c i ó n . G om o 0 sen 2 2 < . f * ten drem os: e s d e cir, 1 ,5 7 < / < 1 ,9 1 . é 2a. V a l o r m e d i o de la f u n c i ó n . E l núm ero b \ /(* > * . a se lla m a v a lor m ed io d e la f u n c ió n f (x ) e n e l s e g m e n t o a ^ x ^ b . I 1610*. Determ inar ca lcu la rla s: 2 el sign o de la s 2n \ ^ d x . 71 b) \ arcosx d x ; 0 www.FreeLibros.me 161 Teorem a d el va lor m edio 1611- D eterm in ar {sin c a lc u la r la s ) c u á l g rales es m a y o r : i de las sigu ien tes inte- i a) ^ Y ' l + x 2 d x o 0 1 ^ x dx\ o i b) ^ x : sen2 x d x o ^ X s e n a d a : ; o 2 c) 2 ^ e x2 d x o ^ e* d x. i t H a lla r l o s v a lo r e s m ed io s de la s m en tos q u e se in d ica n : 1612. f ( x ) = x * , sig u ien tes fun ciones en lo s seg 0 < *< 1 . 1613. f ( x ) = a + b c o s x , — 1614. / (x) = sen 2 a:, 0 < x < ji . 1615. / ( x) = sen4 x , 0 < x < :r r . i 1 6 1 6 . D em ostra r, q u e la \ ■■ 7— J 1/2 + * - * * está com pren did a 2 1 • ^ - ^ 0 , 6 7 y — — ^ 0 , 7 0 . H a lla r el v a lo r e x a c to de esta ~K 2 A c o t a r las in teg ra les: n i 1617. 4 \ Y i + x2dx. o 1620*. 1 6 1 8 . ] ^ . ^xVlgxdx. o ít 1621. J n -i 4 2n 1619. dx \ 10 + '¿ c o s x ' 0 1 6 2 2 . In teg ra n d o p o r partes, dem ostrar que 200n a . \ cosr , ^ 1 °< i iOOw x d ;r< -íoóír • www.FreeLibros.me entre in teg ra l. Integral definida § 7. Areas de las figuras planas 1°. E l á r e a e n c o o r d e n a d a s c a r t e s i a n a s . Sí una curva continua se da en coordenadas cartesianas por la ecu ación y — f (x) |/ (x ) > 0 ] , el úrea del trapecio m ixtilíneo* lim ita d o por dicha curva, por dos verticales on los puntos x ^ a y x = b y por ol segm ento del eje de abscisas a < ¿ x ^ l > (fig . 40), se determina p o r la fórm ula b S = J / ( x ) dx. ' (1) O Ejemplo 1. C alcular el área do l a ' f i g u r a lim ita d a p o r ia parábola y = 4 r * Pür las rectas x — \ y x — 3 y p o r e l eje de abscisas ( f i g . 41). Solución. E! área que se busca se expresa con la in tegral 3 E j o m p l o 2. C alcular el área de la fig u ra lim ita d a p o r la curva z = 2 — u — y* y el eje de ordenadas ( f i g . 42). S o l u c i ó n . En esto ca so están ca m bia dos lo s e je s de coordenadas y, por consiguionto, el área que se busca se expresa con la integral i J (2 -v -y*)d y= 4 Í-, - l donde lo s lím ites de in teg ra ción f / i = — 2 e ¿/2 = 1 son las ordenadas de los puntos de in tersección do la curva dada co n el oje de ordenadas. En un caso más general, cuando el área ó1 de la figura está lim itada por d os curvas continuas y — /l (x) e p = / 2 (a:) y p o r d os vertica les x — a www.FreeLibros.me A rea s de las figuras planas y x = b, donde / j ( * ) < / 2 (x) para a < s < 6 463 ( f i g . 43), tendremos: u (2 ) Ejemplo. entre las curvas 3. C a lcular el área S de la figura plan a com prendida ^ — 2 — x 2 e y3 — z ‘ (3) (fig . 44). S o l u c i ó n . R e s o lv ie n d o sim ultáneam ente el sistoma de ocuaciones (3), hallamos los lím ites de in teg ra ción : — 1 y z*¿~ 1. Do acuerdo co n la fórm u la (2), obten em os: i ó* = ^ (2 — x 2— s 2/ 8) d x ^ { 2 x x3 3 f\ l 15 ' -1 Si la curva se da por ecuaciones en form a pararnótrica, a; — q>(/), ^ = i|>(í), el área del tra p e cio m ix t ilín e o , lim ita d o por esta cu rva, por dos verticales, F i g. 42 x = a y z = 6 respectivam ente* y p o r el segm ento del eje O X x se expresará por la in teg ra l donde tt y t 2 se determ inan de las ecuaciones a = : ( p ( ¿ 1) y Í7= cp(í2) 1 \ ¡ j ( í ) > 0 en o l segm ento [tif t 21]. E j e m p l o 4. H a lla r el área de la elipse S ( f i g . 45), u tiliza n d o sus ecuaciones param étricas { x = a eos /, y = 6 s e n /. S o l u c i ó n . E n v ir t u d de la sim etría será s u ficie n te ca lcu la r el área de una cuarta parte y , después, cu ad rup licar el resultado. Poniendo en la 11 * www.FreeLibros.me 164 In teg ra l definida ecu ación * = : a c o s ¿ p rim e ro x = 0 y después x — a , o b ten d rem os lo s lím ite s 3T de in teg ra ción : t l =* — y ¿2 = 0. P o ? lo q ue ¿* re 2 S= ^ & sen a ( — sen ¿) dt = ab ^ sen2 t dt = xah ÜL 2 y , p o r con sig u ie n te , S = itab. 2 °. E l á r e a e n c o o r d e n a d a s p o l a r e s . Si la curva con tin u a so da en coorden adas p olares p o r una e c u a c ió n r = /(cp ), el área d e l se cto r M (x;y) F i g . 44 A O B ( f i g . 46)f lim ita d o p o r ol arco de la curva y lo s d os radios polares O A y OBy correspon dien tes a los v a lores q>t = a y q>2= P» se expresa p o r la in te g ra l a E j e m p l o 5. H a lla r el área de la de B ern ou ili /-2 = a2 cos 2cp ( f i g . 47). fig u ra lim ita d a p o r la Iem niscata www.FreeLibros.me Areas' de las fig u ra s planas S o l u c i ó n . C om o la cu rv a área d o u n o de sus cu ad ra n tes es s im é t r ic a , 165 determ in a m os p rim e ro el TC_ 4 0 a2cos2<prf<,>=T - [ 4 - se,' 2tp] o /Í = J T ' De donde S = a2. y 1 6 2 3 . C a lc u la r ol área de la fig u r a lim ita d a p o r la parábola y = ¿tx— x* y el e je de abscisas. •4624. C a lc u la r el área do la fig u ra lim ita d a p o r la cu rva i j y r ] n z y el eje O X y la recta x = e. ' 1625*. H a l l a r el área de la fig u ra lim ita d a p o r la cu rv a y j = x ( x — l ) ( z — 2) y el e jo O X . \ 1626. H a lla r el área de la fig u ra lim ita d a p o r la cu r v a t/3= x, la re cta y = 1 y la v e rtica l x = 8. i 1627. C a lc u la r el área de la fig u r a com p ren d id a entre una sem ion d a de la sin u soid e y — s e n x y e l e je O X . 1 6 2 8 . C a lc u la r el área do la f ig u r a com p ren d id a en tre la cu rva y — t g x t el ejo O X y la recta x = - y . 1 6 2 9 . H a l l a r el área de la fig u r a com p ren d id a entre la h ip é r b o la x y = m 2f la s v e r tic a le s x = a y x ^ = 3 a ( a > 0) y el ojo O X . 1 6 3 0 . H a l l a r el área de la fig u r a com p re n d id a en tre la cu rva de A g n e s i y = x2_â-¿ Y e l eJe de abscisas. 1 6 3 1 . C a lc u la r e l área de la fig u ra lim ita d a p o r la cu rva y — x 2y la re cta y = 8 y e l e je O Y . 1 6 3 2 . H a l l a r e l área de la fig u r a lim ita d a p o r la s p a rá b o la s y? = 2 p x y x 2 = z 2 p y . J 1 6 3 3 . C a lc u la r el área de la fig u r a lim ita d a por la p a rá b o la y=j. 2 x — x 2 y la recta y = — x . J 1 6 3 4 . C a lc u la r el ároa del se g m e n to de la p a r á b o la y — x 2, q u e co rta la re cta y = 3 — 2x. 1 6 3 5 . C a lc u la r el área de la fig u ra com p ren d id a cu tre las paráb ola s y = x~, y — — y la recta y = 2x. 1636. C a lc u la r e l área de la f ig u r a com p re n d id a entre la s pará^í b ola s y = — í 3 2 e y = 4 — rrx'1O i 1 6 3 7 . C a lc u la r e l área de la fig u ra com pren did a de A g n e s i y = -— ^ y la p a r á b o la = 1638. C a lc u la r el á re a de y = e x , y — e~x y la recta x = l . la fig u r a www.FreeLibros.me entre la curva lim ita d a por las cu rva s 16t> Integral definida 1639. H alla r el área do la fig u ra lim ita d a por la h ip érb o la -p- = l y *a recta X x = t ^ a ' 1640*. H a lla r el área lim ita d a por la astroide 2 2 2 x*-\-y* « c 3*. 1641. H a lla r el área de la figura com prendida entre la catenaria y = a ch-J, el eje O Y y la recta y= + 1642. H a lla r el área de la fig u ra lim ita d a p o r la cu rv a a 2y - — x - (a2 — x2). 1643. C a lc u la r el área de la fig u ra com prendida den tro de la cu rv a 1644. H a lla r el área de la figura com pren did a en tre la h ip é r b o la eq u ilá tera x 2— ?/2 = 9 t el eje O X y e l d iá m etro q u e pasa por e l p u n to (5; 4). 1645. H a lla r el á re a de la fig u ra com pren did a entre la curva y= ol oje O X y la recta x = i ( x > i ) . 1646*. H a lla r el área de la fig u ra lim ita d a por la cisoide i f = '¿a—x y su a s^n to ta x “ (& > 0). 1647*. H a lla r el área de la fig u ra com p ren d id a entre el estrofo id e y 2 - = x \x y su asíntota ( a > 0 ) . ¿(i X 1648. C a lcu la r el área de la s dos partes en que la parábola y2 = 2 x di vi do al c ír c u lo a:2 + ?/2 = 8. 1 6 4 9 . C a lcu la r ol área de la su p erficie com p ren d id a en tre la c ir c u n fe r e n c ia x 2 + y2 = 16 y la p a rá b ola x 2 = 12 ( y — 1). 1 650. H a lla r el área co n te n id a en el in te r io r de la astroide x = a eos3 t\ y = b s e n 3¿. 1651. H a l l a r el área de la su perficie com p ren d id a entre el eje O X y un arco de la c ic lo id e x — s e n /) , y = a (1 — c o s í ) . www.FreeLibros.me 167 A rea s de las fig u ra s planas 1652. H a l l a r e l área de la fig u ra lim ita d a por una rama de la trocoide x = at — b sen t . (0 < b < a ) y — a — b eos t ' ' y l a tangente a la m ism a en sus pu n tos in feriores. 1653. H a l l a r el área de la fig u ra lim ita d a p o r la ca rd io id e x — a (2 eos t — eos 2 /), y sis a (2 sen ¿ — sen 2¿). 1654*. H a l l a r el área de l a f o liu m de Descartes fig u r a lim ita d a 3at . . + * P — l + *3 • p o r el l a z o del 3a*2 1655*. H a l l a r el área de la fig u ra lim ita d a p o r la card ioid e r = *a (1 -fe o s e p ). 1656*. Ha l l a r el área co m p re n d id a entre la prim era y segunda espira de la espiral de A rq u ím ed es r = acp (fig . 48). F i g. 48 1 6 5 7 . H a lla r el área de u n a de la s h o ja s de la cu rva r = a eos 2cp. 1658. H a l l a r el área lim ita d a p o r l a cu r v a r 2 = a ? sen4<p. 1659*. H a l l a r el área lim ita d a p o r la cu r v a r = asen3cp. 1660. H a l l a r el área lim ita d a p o r e l c a r a c o l de Pascal r = 2-|-eos q). 1661. H a lla r el y las sem i recta s q> — área lim ita d a y <p = - 5 - , por la parábola r = asec2“ 1662. H a l l a r el área de la fig u ra lim ita d a p o r la elipse r = i+- W (0< e< 1)- www.FreeLibros.me 168 In tegra l definida 1663. H a l l a r el área de la fig u ra lim it a d a por la cu rv a r = 2tfcos3<p, que está fuera del c í r c u l o r = a . 1664*. H a l l a r el área lim ita d a p o r la cu r v a x K-\-yK= x * y 2. § 8. Longitud del arco de una curva I o. L o n g i t u d del a rc o en c o o r d e n a d a s rectangula r e s . La lon gitu d 5 del arco de una cu rva regular y = / ( * ) , co m p ren d id a entre d o s puntos cu yas abscisas sean x — a y x = 6, es ig u a l a a E j e m p l o 1. H a lla r la lo n g itu d do la a stroid e x 2/34 - y 2/s = a 7/s ( f i g . 49). S o l u c i ó n . D erivando la e c u a c ió n do la a s tr o id e , tendrem os * Por lo c u a l, para la lo n g itu d dol ,*/• ■ a rco de m i cu a rto de a stro id e , tenem os: De don de, s = 6a. 2 o. L o n g i t u d del arco de una c u r v a dada en f o r m a p a r a m é t r i c a . Si la curva se da en ecuaciones de form a paramétricn 2 s=<j)(í) e p = 9 ( f ) (en <!ue 9 ( 0 y ^MO tienen d eriv a d a s con tinu as), la g itu d 5 del a rco de la curva será igual a <2 * = 4 V x ' 2+ y '2dt, lo n . h donde t x y t 2 so n lo s v a lo re s del parám etro corresp on d ien tes a los e x tre m o s d e l arco. www.FreeLibros.me L on gitu d del arco de una curva Ejem plo 2. H a lla r la lon gitu d 169 de un arco de la c i c l o i d e (fig . 50). r x — a (¿ — sen t ), \ y = a ( 1 — eos ¿). Solución. T en em os x ' = ^ = a ( 1 — eos í) e y ' = ^ = c sen í . P or lo cual 2n 2ji \ y a2 ( i — eos ¿)2 -j- a2 se n 2 t d t = 2a \ s e n y d í = 8 < z , Los lím ite s de in te g r a c ió n í t = 0 e x trem os del a rco de la c ic lo id e . y tz = 2 n corresponden a los pu n tos Si una curva regular v ie n e dada por una e c u a c ió n r — / (<p) en nadas polares r y cp, la lo n g itu d s d e l arco será igual a coorde 0 5= ^ y r 't + r ' * rfcp, a dondo a del arco. y P so n E jem plo lo s 3. v a lores H a lla r la d e l á n g u lo p o la r en lo n g itu d to ta l de los p u n to s extrem os la curva [r = a sen3 ~ •j ( f i g . 51). T oda la cu rva está d escrita p o r e l p u n to (r, <p) a l v ariar (p desde 0 hasta 3n. Solución. Tenem os r ' = a sen2 -—- c o s - | - , p o r lo c u a l, la lo n g itu d de t o d o el arco de la cu rva será 33ji« = ^ y ^ ____________________________________ 3rt a2 se n 6 - 2 - - f a2 son4 — e o s2 - 2 - d<p — a jj sen3 -2-drp = ^ 2 Í . 0 j 1665. C a lc u la r la lo n g itu d d e l a rco de la p a rá b o la y* = z * d esde e l o r ig e n d e c o o r d e n a d a s h a s ta e l denadas son £ = 4, y = 8. www.FreeLibros.me pu n to se m icú b ica cuyas coor 170 Integral definida 1666*. H a l l a r la lo n g itu d de la ca te n a ria = a c h — desde el v é rtice A (0; a) hasta el p u n to B (h; h). 1667. C a lcu la r la lo n g it u d d e l arco de la p a rá b ola y = 2]/"rr desde x = 0 hasta r c = l . 1668. H a lla r la lo n g it u d del a rco de la cu rv a y = ^ e x f com pren dido en tre lo s pu n tos (0; 1) y (1; e). 1669. H a lla r la lo n g it u d d e l arco de la cu rv a y = : l n : r desde x = ]/15 hasta x = 1670. H a lla r la lo n g itu d d e l a rco y = are sen ( e hasta x — í . 1671. C a lcu la r la lo n g itu d d el arco de la cu r v a com pren did o en tre y= 0 e y = i ) desde x = 0 x = ln . 1 1672. H a lla r la lo n g itu d del arco de la cu r v a x = ~ desde y = l hasta y = e. 1673. H a lla r la lo n g it u d del tractriz sec y , arco de la rama Y a* — y2 + a l n a+ 1 —y V derecha de la y* y desdo y — a hasta y = b (0 < C b < i a). 1674. H a lla r la lo n g itu d de la parte cerrada de la cu r v a 9 a y 2 = ~ x ( x — 3a)‘2. 1675. H a lla r la lo n g it u d d e l a rco de la cu rv a desde x — a hasta x ~ b ( 0 < a < b ) . 1676*. H a lla r la lo n g itu d d e l arco de la e v o l v o n t e d e l c í r c u l o x — a ( c o s í 4- t s e n / ) , y — a (sen ¿— i cos¿) \ m } desde ¿ = 0 hasta t — T . J 1677. H a lla r la lo n g it u d de la e v o l u t a de l a elipse 3 = ^ - c o s 3 ¿; 7/ = ^ - sen3 1 (c* = a 2 — b*). 1678. H a lla r la lo n g it u d de la cu rv a x =s a (2 c o s í — e o s 2Z), y = a ( 2 s e n ¿ — sen 2 /). 1679. H a lla r la lo n g it u d de la prim era espira de la espiral de A r q u ím e d e s r acp. 1680. H a lla r la lo n g it u d t o t a l de la card ioid e r = f l ( l + cos<p). www.FreeLibros.me 171 Volúm enes de cuerpos sólidos 1681. H a l l a r la l o n g i t u d d e l a rco de la p a rte de la parábola r = a sec* - 2 - , co r ta d a de l a m is m a por la re cta v e r t ic a l q u e pasa p o r el p o lo . 1682. H a lla r la lo n g itu d del rqp = 1 desde e l p u n to ^2; arco de la espiral h asta e l p u n to h ip e r b ó lic a 2^ . 1683. H a l l a r la l o n g it u d del arco de la espiral lo g a r ítm ica r = a e mf (m > 0 ) , q u e se en cu e n tra d e n tro del c í r c u l o r = a. 1684. H a l l a r la l o n g i t u d del a r c o de la cu rv a cp = (^ + y ) desde r = l hasta r = 3. § 9. Volúmenes de cuerpos sólidos I o . V o l u m e n d o u n c u e r p o d e r e v o l u c i ó n . L o s volúm enes d e lo s cu erpos cn gon d rad os por Ja r e v o lu c ió n d e un trapecio m ix t ilín e o , li m i t a d o p o r una cu rv a y = f(x ) > el e je O X y d os v ertica les x = a y x = ó, a lre d ed o r d e lo s e je s O X y O Y , se expresan , resp ectiva m en te, p o r las fórm u la s: b *) v x = n ^ y 2 dx; b 2) V y — 2 n a ^ xydx*). a E j e m p l o 1. C a lcu la r lo s volú m en es de lo s cu erpos engendrados por la r o t a c ió n do la fig u ra , lim ita d a p o r una sem ion da do la sinu soide y = sen x y p o r e l s e g m e n to d e l e je O X alrededor: a) del e je OX y b) del e je OY. Solución. JC (* ji2 a) V x — n \ se n 2 x dx — ; o n n b) V y = 2ji ^ x se n x d x — 2 s i ( — x eos x - f s e n x)JJ = 2 j i 2. 0 de E l v o lu m e n del cu erp o engendrado p o r la ro ta ció n a lre d ed o r dol e je O Y la fig u ra lim ita d a p o r la cu rva x = - g ( y ) , el e je O Y y las d os paralelas * ) Sea un cuerpo engendrado p o r la r e v o lu ció n alrodedor d o l ojo O Y de un tr a p e c io m ix t ilín e o , lim it a d o por la curva y = / ( x ) y p o r las rectas x = a , x — b e y = 0. C om o e lem e n to del v olu m e n de este cuerpo se tom a el v o lu m e n d e una pa rto del m is m o , engendrada p o r la ro ta ció n alred edor dol e j e O Y de un rectángulo d o la d o s y y d x , que se encuentra a una d ista n cia x do) e je O Y . En este caso, e l e lo m e n to del v o lu m en es: b d V y = 2 n x y d x , d e d on d e V y — 2% ^ x y dx. a www.FreeLibros.me Integral definida 172 y = c e y = d, puede determ inarse p o r la fórm u la : d y = JT ^ x * d y , c quo se obtiene de la fórm u la 1), expuesta anteriorm ente, perm utando la s coordenadas x o y. Si ia curva se da de o t r o m odo (en form a p a ra m ótrica , en coordenadas polares, e t c ) en las fó rm u la s anteriores hay quo hacer el corresp on d ien te c a m b io de v aria b le de in teg ra ción . x a F i g. 52 En oi caso más general, lo s volúm enes de lo s cuerpos engendrados ^ o r la rota ción de una figura, lim ita d a por las curvas — / t (x) e y 2 — h ( x ) {sien d o (x) < ' / 2 (* )) y por las rectas x = a, x = b y alrededor de lo s e je s de coordenadas O X y OY, serán respectivam ente V x = n ^ ( y l — y\)dx V Vy = 2it ^ z ( y z — y j d x . a Ejemplo 2. H a lla r el v o lu m e n do! toro, engendrado a l g irar el c ír c u lo > a) alrededor del eje O X (fig . 52). Solución. Tenemos: Vi = 6 _ y n2 _ ^ e y2= b + y < i * - x 2. Por lo cual o V x = n \ ({& + y az - x * ) 2 - ( b - y a * ~ x * y ¿ ] d x = •J —a u = 4516 \ V a 2 — x* dx = 2n*a*b —a esta ú ltim a integral se resuelve haciendo la s u s t it u c ió n r = a s e a í ) . www.FreeLibros.me 173 Volúm enes de cuerpos sólidos El v olu m en de un cuerpo, o b te n id o a l g irar un sector, lim ita d o por un a r c o de curva r — F ( w ) y d os rad ios polares rp= a , <p— p, alrededor del eje p o l a r , so puede ca lc u la r p o r la fó rm u la ^ r 3 sen cpdcp. V p — ^ -ií E sta jn is m a fó rm u la es c ó m o d o a p lica rla cuando se busca el volum en d e cu erpos engendrados p o r la ro ta ció n , alrededor del eje p o la r , d o figuras lim ita d a s p o r cu a lq u ier curva cerrada, dada en coordenadas polares. E jem plo 3. D eterm inar el v o lu m en engendrado por la ro ta ció n de la curva r = ascn2q> alrededor del e je polar. Solución. n ji C, 6 Vr> = 2 • ~ jí ^ r3 sen tp dq>= -g- na3 ^ sen3 2q> son cp ¿Zcp = 0 n 2 32 P 64 = y jia M sen4 (p eos3 <p d y ~ na 3. 2o . C á l c u l o d e l o s v o l ú m e n e s d e i o s c u e r p o s s ó l i d o s cuando se conocen sus secciones transversales. Si i ’ = iS'(a:) es el área de la se c ció n del cuerpo p o r un plano, perpen dicu lar a una recia determinada (que se lom a co m o eje O X ), en e l punto de abscisa x, e l v olu m e n de este cuerpo será igual a *2 V — [ S (x)d x, «j *1 d o n d e x ] y x 2 son las a b scisa s d o las seccion es extrem as de d i c h o cuerpo. E jem p lo 4. D eterm in ar el volum en de una cuña, cortada de un c i l i n d r o circu la r p o r un plano, q u e pasando p o r el d iá m e tr o de la base está in clin a d o respecto a e lla , form a n d o un ángulo a . E l radio de la base e s igual a H ífig , 53). S o Iu c i o n. T om a m os c o m o e je O X el d iám etro de la base, p o r el que pasa el p la n o de co rle , y corno e je O Y el d iám etro de la baso, perpendi cu la r al a nterior. La ecu ación de la circunferencia de la base será x 2- f ,V2 — R 2El área de la sección A B C , que se encuentra a la d ista n cia x del o rig e n de coordenadas O, será igual a S (¿r) = ar. AA B C = ^ A B * B C = ~ y y t g a — y tg a. P or lo que el volum on que se busca de la cuña, es R V ~2 -y R \ y 2 tg a dx = tg a b (II 2 — x 2) dx — a li3. 6 1 6 8 5 . H a l l a r e l v o l u m e n d e l c u e r p o e n g e n d r a d o p o r la r o t a c i ó n , a l r e d e d o r d e l e j e O X , d e la s u p e r f i c i e l i m i t a d a p o r e í e j e O X y la p a rá b o la y = a x — x 2 (a > 0 ). www.FreeLibros.me 174 In tegra l definida 1686. H a lla r e l v o lu m e n ro ta ció n do la elipse ^ + ¿ 2 = 1 d el e lip so id e , en gen drado pór la alred ed or d e l e je O X . 1687. H a lla r e l v o lu m e n del cu erp o engendrado a l g ira r, alrededor del eje O X , la s u p e r fic ie lim ita d a por la c a te n a ria y = a c h - í - , el eje O X y la s rectas x — ± a . 1688. H a lla r el v o lu m e n del cu erpo engendrado a l g ira r, alrededor del eje O X , la c u r v a i/ = sen2 :r, en el in t e r v a lo x = 0, hasta z = n. 1689. H a lla r el v o lu m e n d e l .cuerpo engendrado al g ir a r la s u p e r fic ie lim ita d a por la parábola sem icú b ica y 2 = x 3, el eje O X y la recta x = l % alrededor d e l eje O X . 1690. H a lla r el v o lu m e n del c u e r p o engendrado al g ir a r la; misma s u p e r fic ie del problem a 1689, alrededor d e l eje O Y . 1691. H a lla r lo s volú m en es do lo s cu erp os engendrados al g ira r la s superficies lim ita d a s p o r las lín e a s y = e x , x = 0 e j/ = 0, alrededor: a) del eje O X y b) del eje O Y . 1 692. H a lla r el v o lu m e n del cu erp o engendrado al g ir a r , a lre ded or del eje O Y , la parto do la p a rá b ola y2 — 4 a x, q u e in te rce p ta la recta x = a . 1693. H a lla r el v o lu m e n del cu e rp o engendrado al g ira r, a lre dedor de la recta x — a , la parte de la p a rá b ola y 2 — 4 a x t q u o so intercepta por la m ism a recta. 1694. H a lla r el v o lu m e n del cu e rp o en gen drado a l g ira r, alrededor de la recta y = — />, la fig u ra lim ita d a por la parábola y2 z = 2 p x y por la recta x = y . 1695. H a lla r el v o lu m e n del cu erpo engendrado a l girar, alrededor del ejo O X , la s u p e r fic ie com pren did a entre la s pará b o la s y ~ x 2 e y = Y ' x . 1696. Ha l l a r el v o lu m e n del cu e rp o en gen drado a l g ira r, a lr e dedor del eje O X , el la z o do la cu r v a (x — 4 a ) ijl = a x (x — 3a) ( a > 0 ) . 1697. H a lla r el v o lu m e n del cu e rp o q u e se engondra al g ira r la cisoid e y 2 s==» ** ¿a “ x , alred ed or do su a s ín to ta x — 2a. 1698. H a lla r el v o lu m e n del p a ra b o lo id e de r e v o l u c i ó n , si el radio de su base es 7? y su a ltu ra es H . 1699. Un segm en to p a r a b ó lic o r e c to , de base ig u a l a 2a y de altura h gira alrededor do su base. D eterm in ar el v o lu m e n del cu erpo de r e v o lu c ió n que se engondra (« lim ó n » de C a v a lie ri). 1700. Dem ostrar, q u e el v o lu m e n de la parte dol cu erpo de r e v o lu c ió n , engendrado a l gi rar la h ip é r b o la eq u ilá tera x 2 — j/2 = a 2 alrededor del eje O X , q u e in tercep ta el p la n o z = 2 a } es ig u a l al v olu m en de una esfera de radio a. www.FreeLibros.me V olúm enes d e cu erp os sólidos 1701. H a l l a r lo s volú m en es la fig u r a lim ita d a p o r un a rco 175 de lo s cu erp os engendrados al girar do la c ic lo id e " x = a ( t — s e n ¿ ), y ~ a ( 1 — c o s í ) y p o r ol eje O X , alred ed or: a) d e l eje O X y b) del eje OY y c) del eje de s im e t r ía de la fig u ra . 1 702. H a l l a r el v o lu m e n dol cu erp o en gen d ra d o al g ir a r la astroide x ~ a e o s 3 *, y = 6 sen3 ¿ alrededor del eje O Y . 1703. H a lla r el v o lu m e n del cu erp o q u o resulta de la rotación de la c a r d io íd e r = a ( 1 +CGS <p) alred ed or d el eje p o la r. 1704. H a l l a r el v o lu m e n del cu erpo en gen d ra d o al g ir a r la cu rva r = <z eos2 <p alred ed or del e je p ola r. 1 705. H a l l a r el v o lu m e n , del o b e lis co , cu y a s bases p a ra lela s son re c tá n g u lo s de la d os A y B y a , b y la altura ig u a l a h. 1 706. H a l l a r el v o lu m e n del c o n o e l í p t i c o r e c to , c u y a base es una elip se de sem iejes a y b y c u y a a ltu ra es ig u a l a h. 1 7 0 7 . S obre la s cuerdas de la astroide z 3/a + y 2^ a ¿/s, paralelas ai eje O X , se h an co n stru id o unos cu adrados, c u y o s la d os son igtiales a las lo n g itu d e s do la s cuerdas y lo s p la n o s en q u e se encuentran son perpen dicu lares a l p la n o X O Y . H a lla r el v o lu m e n del c u e r p o q u e fo rm a n estos cu adrados. 1 7 0 8 . Un c í r c u l o d efo rm a b le se d esp laza de ta l fo r m a , q u e uno de lo s pu n tos de su c ir c u n fe r e n c ia descansa sob re el eje O Y , el j-2 fi 2 cen tro describe l a e l i p s e + => 1, m ien tras q u e e l p la n o del c í r c u l o es p e r p e n d icu la r al p la n o X O Y . H a l l a r e l v o lu m e n del cu erpo en gen drado p o r d i c h o c ír c u lo . 1 709. E l p la n o de un tr iá n g u lo m ó v il perm anece p erp en d icu la r al d iá m e tro f i j o de un c í r c u l o de ra d io a. L a base del tr iá n g u lo es la cu erda de d ic h o c í r c u l o , m ien tras q u e su v é r t ic e resbala por una recta p a r a le la al d iá m e tro f i j o , q u e se en cu en tra a una dis ta n c ia k del p la n o del c í r c u l o . H a lla r el v o lu m e n del cu erp o (lla m a d o conoide) en gen d ra d o p o r el m o v im ie n to de este triá n g u lo desde un e x tre m o del d iá m etro h asta el otro. 1710. H a l l a r el v o lu m e n del cu e rp o l im it a d o p o r Jos c ilin d r o s x 2 -\-z2 = a 2 e y 2 + z2 = a 2. 1 7 1 1 . H a l l a r el v o lu m e n del se g m e n to d el p a ra b o lo id e e l íp t ic o ?/2 z2 in te r c e p ta d o p o r el p la n o x = a. 1712. H a l l a r el v o lu m e n d el le2 v2 22 loid e ue u n a h o ja ^ 2" + -p — cu e rp o lim ita d o p o r el h ip é rb o y *03 P*anos 2 = 0 y z = * k . 1 713. H a l l a r el v o lu m e n del e lip so id e www.FreeLibros.me + ------ ¡ 3" “ Integral definida 176 § 10. Area de una superficie de revolución El área de una su p e rficio engendrada p o r la ro ta ció n , alrededor del eje O X , del arco de una cu rva regular y = / ( « ) , entro lo s pu n tos x — a y x = b, se expresa por la fórm u la b J y V ' í + F 5 d* a (i) a (ds es la d ife re n cia l del arco de la curva). Guando la ecu ación de la curva se da de otra form a, el área de la su p e rficio S x o b tie n e de la fó rm u la (1), efectu a n d o lo s correspondientes c a m b io s do variables. F i g . 54 E j e m p l o 1. H a lla r el área do la a lred ed or d e l o jo O x , el lazo de la curva = Solución. tenem os: = y— Para la s u p e r fic ie Do ai girar arco ds = ( f i g . 54). parte su perior de Z — x)~\/ x. engen drada aq u í q ue la cu rva, la cuando d ife re n cia l del x ~j 1 ^ r = d x . P a rtieu do de la fó rm u la (1), el área do la su p e rficio será 2 [/x 3 £ = 2it [ 4 - ( 3 - z ) V z I 3 - ^ L d x = ¿Tí. 2 l/z E j e m p l o 2. H a lla r e! área de la su p e rficio engendrada al g ira r un a rco do la c ic lo id e x = a { t — sen t); y = a ( l — cos t), alred odor de su e j e de sim etría (fig . 55). S o l u c i ó n . La su p e rficie quo so busca está engendrada p o r la rota c ió n del a rco O A alrededor de la recta A B , cu ya e cu a ción e s x = n a. T om a n do y c o m o v aria b le in depen dien te y ton ion d o en cuenta q ue el eje de ro ta ció n A B está desplazad o con respecto a i ejo de coo rd eo a d a s O Y a una d is ta n cia n a , tendrem os 2a www.FreeLibros.me 177 A r c a de una su perficie de revolución Pasando a la v a ria b le l, obtenem os; ji S c * 2 n ^ (na — at + a son t) j / " ( n r» di = n = 4íW* ^ = 4?ta- dt ¿ = 2 n \ (na — a l + a sen t) 2a sen 0 2+ ^ SeU ~S— * S8Q T SCn * Sen ~ — 2ji e o s y + 2* c o s -^ -— 4 s e n -^ - + y s cn 3 y ] * = &t — y ) a1. • 1714. En la f ig . 56 se dan las dim ensiones de u n espejo para b ó li c o A O B . H a y que ha l l a r l a s u p e r fic ie de este espejo. F i g. 56 1 715. H a l l a r el área de la s u p e r fic ie del «huso», que resulta al g ir a r u n a sem ion d a de la sin u soid e y = s e n x alred ed or de! eje O X . 1 716. H a l l a r el área de la s u p e rficie engendrada por la rotación de la parte de la ta n g en to id e y = t g x , com p ren d id a entre ar = 0 y x = ~ y alrededor dol eje O X . 1 7 Í7 . H a lla r el área de la s u p e rficie engendrada por la rota c ió n , alred ed or d el eje O X , del a rco de la cu rv a y = e~x com p ren d id o entre x = 0 y x = -f- c o . 1718. H a ll a r el área de la s u p e rficie (d en om in a d a c a te n o i d e ) } en gen drada por la r o t a c ió n de la ca te n a ria y = a c h y del e je O X , en tro lo s lím ite s x — 0 y x — a . 12— i o i g www.FreeLibros.me alrededor 178 In teg ra l definida 1719. H a lla r el. área de la su p erficie de r e v o lu c ió n de la astroido + y'2^ = alrededor del eje O Y . 1720. H a lla r el área de la su p erficie de r e v o lu c ió n de la cu rva x = ~ í / * — ~lnr/ alrededor del eje OX, com p ren d id a entre y = 1 e y = e. 1721*. H a lla r el área de la s u p e rficie del to r o en gen d ra d o por la r o ta c ió n del c í r c u l o x* + 0 / — ó)2 = a 2 alrededor d el eje O X ( ¿ > a). 1722. H a lla r el área de la s u p e rficie en gen drada al g ir a r la elipse - ^ - + - ^ - — 1 alrededor: 1) del e je O X ; 2) d e l e je OY" ( a > b ) . 1723. H a lla r el área de la s u p e r fic ie en gen drada al g ir a r u n o de los arcos de la c i c l o id e x = a ( l — sen Z), z/ = a ( 1 — c o s í ) alrede dor: a) del eje O X ; b) del eje O Y ; c ) de la tangente a la c ic lo id e en su p u n to superior. 1724. H a lla r el área de la s u p e r fic ie engendrada p o r la rota c i ó n, alrededor del eje O X t de la ca rd io id e x = a (2 eos t — eos 2 í), i/ = <z ( 2s e ní — s c n 2 í ) . 1725. H a lla r el área de la s u p e rficie engendrada al g ir a r la lom niscata r 2 ^=a2 cos2cp alrededor del eje polar. 1726. H a lla r el área de la s u p e rficie en gen drada por la ro ta ció n de la ca rd io id e r = 2a (1 - f eos cp) alrededor del eje p o la r. § 11. Momentos, Centros de gravedad. Teoremas da Guldln i ° . M o m e n t o e s t á t i c o . Se denom ina momento estático do u n punto m aterial A, d o m asa m, s it u a d o a una d is ta n c ia d del o j o / , co n respecto a este m ism o o j o Z, a la m a g n itu d R e cib e el nom bre de momento estático de un sistem a de n p u n t o s m ate riales, do masas mu m2, m*, situ a d os en el m is m o p la n o que el e j e l, co n respecto a l cual se tom an, y separados de é\ p o r las d ista n cia s dj* ¿o. • d/i. la suma M t= 2 rmd,, (1) i= i debiendo tomarse las d ista n cia s de lo s p u n to s quo se encuentren a u n lado del eje l con sig n o m ás ( + ). y los q ue estén al o tro , co n s ig n o m enos ( — ). Do form a a n á loga se determ ina el momento estático de un sistema de puntos co n respecto a un plano. Si la masa ocupa con tinu am ente toda una línea o una fig u ra del p la n o X O Y , los m om en to s e s tá tic o s M x y M y respecto a lo s e je s de coordenadas O X y O Y , en lu ga r de la suma (1), se expresan por las correspondientes integrales. Cuando se trata de fig u r a s g eom étricas, la den sidad so considera igual a la unidad. www.FreeLibros.me M om en tos. C entros de gravedad. T eorem as de G uldln__________ 179 E n p a r tic u la r : 1) para la curva x = x ( s ) ; y = //(.?), d on d e el p a rá m otro * es lo lo n g itu d del arco, tenem os: h L M x = ^ y (s) ds; (ds — V (dx),¿ + {dy)2 es la d ife r o u c ia l d e l arco); 2) para una fig u r a p lan a , lim it a d a p o r y d os v e rtica le s x = a e y = bt obten em os: b M X = T ( 2) M y = | x (s) tlx la cu rv a y = y { x ) , el o jo O X t> 5 y ' y I d x '’ M^ - \ <3) x \y\d x(\ E j o r a p l o t . H a lla r los m om e n to s está tico s, resp ecto a los ejes O X y O Y , d o l tr iá n g u lo li m i t a d o p o r las rectas: -a + To - = 1 > * = ° * J' = ° (f i g ‘ 57>Solución. obtenemos: En esle caso, y — b ^ i — í - J . A p lic a n d o la fórm u la (H)x a 6 2 o. M o m e n t o s d e i n e r c i a . Se d en om in a momento d e inercia > respecto a u n e j e J, de u n p u n to m a te ria l de masa m y situ a d o a una d istan cia d d e d i c h o e j e l t a l nú m ero F i g. 58 Se d o c ! n o m b r e de momento de ine rc ia t respecto a un eje / , de un sistem a de n p u n to s m a te ria le s, de m asas mit m+, . . . mn , a la suma h = i= i 12* www.FreeLibros.me 180 In teg ra l definida d o n d o d¡, d-¿, . . . • dn, son las d ista n cia s desdo los p u n to s a l eje l. Cuando la masa es con tin u a, en lu g a r de la suma, obtendremos, la in t e g r a l co rre s pondiente. l í j e m p l o 2. H a lla r el m om e n to de in e rcia do un tr iá n g u lo do base b y altura h, respecto a su p ro p ia base. S o l u c i ó n . T om am os lá base del triá n g u lo co m o e je O X y su altura c o m o eio O Y ( f i g . 58). D iv id im os ol triá n g u lo en f a ja s h oriz on ta les in fin ita m e n t e delgadas, d e espesor d y , que juegan el papel de masas elem entales dm. E m p lea n d o la sem ejanza de triá n g u los, obtenem os: dm = b k dy v d i x = y 2 dm = A " ( h _ . y) dy. De donde h l x = i \ y2 (h ~ - ^ dy = j 2 bh'K 3o. C e n t r o d e g r a v e d a d . Las coordenadas del cen tro de gravedad d e una figura plana (ya sea a rco o superficie) de m asa M , se c a lc u la n por las fórm u la s — z - M xr Y — M M x M ' don de M x y M y son lo s m o m e n to s e s tá tic o s de las m asas. C u ando se trata d e figuras geom étricas, la m asa M es nu m éricam ente ig u a l a l correspond iente a rco o a l ároa. : Para las coordenadas dol c o n t r o de gravedad (x , y) d e u n a rco de curva plan a y — f (x ) ( a ^ x ^ b ) , q ue une los pu n tos .«4 (a; / (a )) y £ ( & ; / ( £ ) ) * tenemos n b n J x ds J x '\/í + ( y ' ) 2 d x [ y ds ~X=^-— b = a-r---------------------- , l V í + í y ' í 2 dx ' ¡ yi+(y')*dx a a j y y ' l + (y ') * d x a a Las coordenadas del cen tro de gravedad (x. y) del trap ecio x b, 0 < . y / { » ) , so pueden ca lc u la r p o r la s fórm u la s b m ix t il ín e o b x y dx s T ’ 5 y it ix s b donde y dx e s el área de la figura. Fórm ulas análogas se e m p le a n para h allar las coorden adas del cen tro de gravedad de lo s cuerpos só lid o s . www.FreeLibros.me M om entos. C entros de gravedad. T eorem as de Guldin 181 E j e m p l o 3. H a lla r el ce n tro de gravedad del arco do la s e m icircu n ferencia x 2 + y2 = a2 ( y > 0 ) ( f i g . 59). S o I l i c i ó n . Tenemos y «= y ^ 2 — —x y' d s = y i + (/)2 d x = ya *—* De donde a A/y = ^ x ds— ^ —a a: V«2. d x bs 0, Af — a —a a f* a rfz \ — ___ A í= —a P or co n sig u ie n te , _ x = 0; 4o. T e o r e m a s a rco do — 2 j/ = —tf. Guldin. T e o r e m a 4°. E l 'á r e a do la su p e rficie engendrada por la rota ción del de una curva plan a a lre d ed o r de un e je , situ ado en e l m ism o plano que la cu rva, p e ro q ue n o so corta co n e lla , es ig u a l a l p ro d u cto d o la lon g itu d d e d ic h o a rco p o r la lo n g itu d do la circu n fe re n cia quo describe el centro de gravedad del m ism o. T e o r e m a 2o. E l v o lu m e n d e l cuerpo engendrado p o r la r o t a c ió n do una fig u ra p la n a alrededor d e un eje, s itu a d o on el m is m o p la n o que la fig u ra , pero q ue n o se corta co n o lla , es igual a l p rod u cto d e l área de dicha fig u ra p o r la lo n g itu d de la circu n fe re n cia q u e describe e l cen tro de grave dad de la m ism a. www.FreeLibros.me 182 / nttgral definida 1727. H a l la r lo s m o m en tos e stá ticos, respecto a lo s e je s de c o o r denadas, del seg m en to de la lín e a recta com p ren d id o entro d ich o s ejes do coorden adas. 1 728. H a l l a r los m o m e n to s está ticos del re c tá n g u lo de lados a y b, respecto a estos m ism o s lados. 1729. H a l l a r lo s m o m e n to s e stá tico s, respecto a l o s e je s O X Y O Y , y Ihs coordenadas d el ce n tr o de g ra v e d a d d el tr iá n g u lo lim ita d o p o r las rectas: re + r/ = a , x = 0 e y = 0. 1730. H a l l a r los m o m e n to s e stá ticos, respecto a lo s ejes O X y O Y , y las coordenadas del cen tro de g ra v e d a d d e l arco de la astroide * 8/3 4 - y v * = a 2/», situ a d o on el prim er c u a d r a n t e . 1 731. H a l l a r e l m o m e n t o e s tá tic o de la circu n fe re n cia r = 2a sen<p, respecto al e je p o la r . 1732. H a lla r las co o r d e n a d a s de la catenaria del ce n tr o de g ra v e d a d d e l arco y = a ch — com p reu d id o en tro x = — a y x = a. 1733. H a l l a r el ce n tr o de gravedad del arco de cir cu n fe r e n cia , de radio a, q u e su b tie n d e e l á n g u lo 2a. 1 7 3 4 . H a lla r las co o r d e n a d a s d el cen tro de g r a v e d a d d e l prim er a rco de la c ic lo id e x — a ( t — s e n t)',y = a ( i — c o s í ) . 1735. H a l l a r las coo rd en a d a s fig u ra lim ita d a por la elipse del c e n tr o = l y denadas O X y O Y ( x > 0 , j / > 0 ) ( 0 < í < 2 j c ) . t7 3 6 . H a lla r las c o o r d e n a d a s del ce n tr o figura lim ita d a por las c u r v a s de g ra v e d a d de la p o r lo s e je s de c o o r de g ra v e d a d de la 1737. H a l l a r las c o o r d e n a d a s d el ce n tr o de fig u ra lim ita d a por el p r im e r arco de la c ic lo id e gravedad de la y = x i\ x = a (t — sen t ) y y = V ~ x. y = a (1 — eos t) y por el eje O X , www.FreeLibros.me A p lica ció n de las in t. d ef. a la resolución de problem as de física 183 1738**. H a l l a r el cen tro de g ra v e d a d del h em isferio de radio a, con el c e n tr o en e l o rig e n de coorden adas, situ a d o sob re el p la no X O Y . 1739**. H a l l a r e l c e n tr o de g ra ved a d de u n c o n o c ir c u la r recto, h o m o g é n e o , si el ra d io de la base es r y la altura es h. 1740**. H a l l a r el c e n tr o de g ra ved a d del h em isferio de una b o la h o m o g é n e a do ra d io a, con el cen tro en el origen de co o rd e nadas, s itu a d o s o b r e el p la n o X O Y . 1741. H a l l a r el m o m e n to d e in ercia de una circu n fe re n cia de radio a y respecto a su p r o p io d iá m e tro . 1 7 4 2 . H a l l a r e l m o m e n to de in ercia de un r e c tá n g u lo de lados a y 6, respecto a estos lados. 1743. H a lla r el m o m e n to de in e rcia do u n segm ento p a r a b ó lic o recto, respecto a su eje de s im e tría , si la base es 2b y la altura es h. 1744. H a l l a r el m om en to de in ercia de la s u p e rficie de la e l i p s e + = respecto a sus ejes p rin cip a les. 1745**. H a l l a r el m o m e n to p o la r de in ercia de un a n i l l o c i r c u lar de radios R t y i ? 2 es d e cir, e l m om en to de inercia respecto al eje q u e pasa p o r el cen tro d e l a n i l l o y es perpen dicu la r a l p l a n o d e l m ism o. 1746**. H a l l a r el m om en to de in e rcia de u n c o n o c ir c u la r recto, h o m o g é n e o , respecto a su e je , si el radio de la base es Ji y la a ltu r a es / / . 1747**. H a lla r e ! m o m e n to de in ercia de una b o la h om ogén ea de r a d io a y m asa M , respecto a su diám etro. 1748. H a l l a r e l área y e l v o l u m e n de un to r o en gen drado por la r e v o lu c ió n de u n c í r c u l o de r a d io a , alrededor de un eje situado en e l m ism o p la n o que el c í r c u l o y que se en cu en tra a una d is ta n c i a b ( b ^ a ) d e l c e n tr o de este. 1749. a) D e te r m in a r la p o s ic ió n d e l co n tr o de g ra ved a d d e l a r c o de la astroide + = a ¿/*y situ a d o en el prim er cuadrante. b) H a l l a r el c e n tr o de g ra v e d a d de la fig u ra lim ita d a por las cu r v a s y 2 = 2 p x y x - — 2 p y. 1750**. a) H a l l a r el c e n t r o de g ra v e d a d dei s e m ic ír c u lo , a p l i c a n d o el teorem a do G u ld in . b) D em ostrar, a p lic a n d o el teorem a de G u l d i n , q u e el centro d e g ra v e d a d de u n tr iá n g u lo dista de su base a u n tercio de la a ltu r a . § 12. A p lic a c ió n de la s I n t e g r a le s d e fin id a s a la r e s o lu c i ó n de p rob le m a s de f í s i c a í°. T r a y e c t o r i a r e c o r r i d a p o r u n p u n t o . Si un puntóse mueve sobre una curva y el valor absoluto de su velocidad v = f ( í ) es una función conocida del tiempo í, el espacio recorrido por dicho punto en un www.FreeLibros.me 184 In teg ra l definida in te r v a lo de tiem p o [lit t z] será ig u a l a J i(t)d t. h E jem plo 1. La v e lo c id a d de un p u n to es ig u a l a i>= 0,1í3 rn/seg. H a lla r el esp acio s % re corrid o por el p u n to , durante un in te r v a lo de tiem p o 7 ^ = 1 0 seg, tra n scu rrido dosde el c o m ie n z o de su m o v im ie n t o . ¿Á q ue será igual la v o lo c id a d m edia d o l m o v im ie n t o durante este in te r v a lo ? S o l u c i ó n . Tenem os ÍO 10 ¡>= ^ 0,1Í3 d t = 0,1 0 o = 250 y 2o. T r a b a j o do una fuerza. Si una fuerza v a r ia b le X = f ( x ) actúa en la d ir e c c ió n del ojo O X , ol trabajo de esta fuerza en el segm onto [ x ,, x 2] será ig u a l a ? A = . \ / (x) dx. V E j e m p l o 2. Si para estirar u n m u e lle 1 c o i se n ecesita una fuerza do 1 k g f ¿qué trabajo habrá q u o om plcar para e s t ir a r lo 6 cm ? S o l u c i ó n . P o r la l e y de H o o k e , la fuerza X k g f q u e estira en x luollo e s ig u a l a X = k x , d on d o k es un c o e f ic ie n t e cío p ro p o rcio n a lid a d . S u p on ien do quo 2 = 0,01 m y X = 1 k g f , tendrem os q uo /¿ = 100 y , p o r co n s ig u ie n te , X = 1 0 0 x . De a q u í, q uo el tr a b a jo q ue se busca c*s: 0.06 s 0,06 lOOx d x = 5 0 j 2 = 0 ,1 8 k g f w. 3o. E n e r g í a c i n é t i c a . So da el n o m b re de energía cin ética d o un p u n to m a te ria l, de m asa m y v e lo c id a d ut a la sigu ien te e x p r e s ió n : A' L a energía cin ética d e un sistem a d e n p u n to s m a teria le s, d e masas m2, mn , cu y a s v e lo c id a d e s ro sp ectiv a s sean v lt vz , . . . , vn , es ig u a l a www.FreeLibros.me A p lica ció n de las in t. d ef. a la resolución de problemas de física 185 Para c a lc u la r la en ergía c in é t ic a de un cuerpo, h a y q ue d i v i d i r l o con v en ien tem en te en partos elem en ta les (que ju egan el papel de puntos m ate riales) y , después, su m a n d o la energía c in é t ic a de estas partes, 5' pasando a lím ite s , en lu ga r de la sum a (1) se obtendrá la correspondiente in teg ra l. E j e m p l o 8 . H a lla r la energía c in é t ic a do un c i lin d r o circu la r h o m o géneo (m a cizo ), de den sidad ó, c u y o r a d io d e la baso es i? y la altura h 9 quo gira co n una v e lo c id a d a n g u la r oí alrededor de su ejo. S o l u c i ó n . C om o masa e lem e n ta l dm s e tom a ia m asa de un c ilin d r o hueco, d e altura h, radio in te r io r r y espesor d e la pared dr ( f i g . 60). Tonem os: dm — 2 n r-k d dr. Com o ia v e lo c id a d c in é tica elem en tal es lin e a l de la dK = masa dm es ig u a l a ¿>= ro). la energía = Jtr3ú)2A<5 dr. De donde R 9, A 0 . . . n<o26R*h A ^=rtúí2Ao \ r¿ d r — ------- . 0 4 o. P r e s i ó n d e l o s l í q u i d o s . Para c a lc u la r la fuerza co n q ue presionan lo s líquidos se e m p le a la le y do Pascal, según la cu a l, la presión que ejercen lo s líq u id o s s o b ro u n área S su m ergida a una p rofu n did a d h r es ig u a l a P = yhSt d on d e y os el peso e s p e c íf ic o del líq u id o . E j e m p l o 4. H a lla r la presión quo s o p o rta u n s e m ic ír c u lo de ra d io r , s u m e r g id o v e r tic a lm o n t e e n agua, de tal fo rm a , quo su d iá m e tr o co in c id e con la s u p e r f ic ie lib r o de a q u é lla ( f i g . 61). S o l u c i ó n . D iv id im o s ia su p e rficie del s e m ic ír c u lo en elem entos, f a ja s p a ralelas a la s u p e r fic ie d e l agua. E l área de u n o de e sto s elem en tos (o m i tien d o lo s in f in it é s im o s de o rd en su p e rio r), situ a d o a la d ista n cia h de la s u p e r fic ie d e l agua, os ig u a l a d S = 2x dh = 2 dh. www.FreeLibros.me 186 In tegra l definida La prosión q ue so p o rta este e le m e n to es ig u a l a d P = Yh d $ = 2 y k dht d on d e y GS el PGS° e s p e c ífic o dei agua, igual a la unidad, Do aq u í que, la presión total es r r» P= 2 ^ f ( r 2 — h2) 1751. La v e locid a d de un cu erp o, lan za d o h acia arriba v e rtica lm e n to c o n una v elocida d in icia l v0, despreciando la resistencia del aire, se expresa por la fó rm u la ” = v0 — gt, dondo t es el tiem po transcurrido y g la a c e le ra ció n de la g r a v e dad. ¿A qué distancia de la p o s ició n in ic ia l se en con trará este c u e r p o a lo s t seg de h a b erlo lanzado? 1 752. L a v e lo cid a d de un cu erp o , lanzado v e rtic a lm e n te hacia arriba con una v e locid a d in ic ia l t?0, con ta n d o la resisten cia del aire, se expresa por la fó rm u la donde t es el tiem po transcurrido, g es la a c e le ra ció n de la gra vedad y c os una con stan te. H a lla r la altura a que se e le v a el cu erpo. 1753. U n p u n to del eje O X vib ra a rm ó n ica m e n te alred ed or del origen de coordenadas con una v e lo cid a d que viene dada p o r la fórm u la V — I>0 eos Cú¿, don de t es el tiem po y v0 y co son unas con stan tes. H a lla r la le y de la v ib r a c ió n del p u n to, si para t = 0 tenía una abscisa x = 0 . ¿ A q u é será igual el v a l o r m ed io de la m ag n itu d absoluta de la v e lo cid a d del punto durante e l período de la vib ra ción ? 1754. La v elo cid a d del m o v im ie n to de u n p u n to os v = t e ~ ° > 0it m/seg. H a lla r el ca m in o reco rrid o por d ic h o punto desde que com en zó a m overse hasta q u e se pare p o r com p leto. 1755. Un p r o y e c til co h e te se levan ta v e rtica lm e n te . S u p on ien d o que, siendo con stan te la fuerza de arrastre, la a c e le r a c ió n del co h e te aum enta a causa de la d is m in u ció n de su peso según la le y www.FreeLibros.me A p lica ció n de ¿as int. d ef. a La resolución de problem as de física 187 h a lla r la v e lo c id a d d e l c o h e t e en c u a lq u ie r in sta n te ¿, s i su v e lo c i d a d in ic ia l es ig u a l a c e r o . H a lla r ta m b ié n la altura q u e alcanza •el c o h e te e n el instante 2 — / 4. 1 7 5 6 * . C a lcu la r el tr a b a jo necesario para sacar e l agua que h a y en una cu ba c ilin d r ic a v e r t ic a l, que tien e un ra d io de base lí y una a ltu ra II. 1757. C a lcu la r e l trab ajo necesario para sacar el agu a que h a y e n un re cip ien te c ó n ic o , c o n e l v é r t ic e h a cia a b a jo , c u y o radio d e la base es R y la altura H . 1 7 5 8 . C a lc u la r el tr a b a jo necesario para sacar el agua de una 'Caldera sem iesíérica , que tie n e un radio R = 10 m. 1759. C a lc u la r el tr a b a jo necesario para sacar, p o r e l o r if ic io s u p e rio r, el a coito co n te n id o e n una cisterna de form a c ilin d r ic a •con e l e je h o r iz o n t a l, si el peso e sp e cífic o d e l a ceite e s y , la lo n g it u d de la cisterna I I y el ra d io de la base R . 1 7 6 0 * *. ¿O u é tra b a jo h a y que rea lizar para le v a n ta r un cuerpo de m asa m de la s u p e rficie de la T ie rra , c u y o radío e s R t a una a lt u r a h ? ¿-4 q u é será ig u a l este trab ajo si h a y q u e expu lsar «el cu erpo al in fin ito ? 1 7 6 1 * * . D o s cargas e lé c tr ic a s eo = 100 C G S E y e4 = 2 00 CGSE s e en cu en tra n e n e l e je O X en lo s pu n tos x o — 0 y x l = i cm , re sp e ctiv a m e n te . ¿Q ué tr a b a jo se realizará si la segunda carga se traslada a l p u n to x 2 = 1 0 cm ? 1 7 6 2 * * . U n c ilin d r o c o n u n é m b o lo m ó v i l , de d iá m etro D = 2 0 cm y de lo n g itu d Z = 8 0 c m , está l l e n o de v a p o r a p re sión de p = — 1 0 k g f/c m 2. ¿Q ué tra b a jo h ace fa lta r e a liz a r para dism in u ir e l v o lu m e n del v a p or e n d o s veces si la tem peratura e s constante ( p r o c e s o isotérm ico)? 1 7 6 3 ** . D e te rm in a r e l trab ajo rea lizad o e n la e x p a n sió n adia b á tic a d el aire, hasta ocu p a r un v o lu m e n 1^ = 1 0 m3, si el v o lu m e n in ic ia l es F 0 = l m 3 y la p re sión P o = l k g f / c m 2. 1 7 6 4 * * . U n á rb o l v e r tic a l, de peso P y radio a , se a p oy a en u n a ra n gu a A B ( fig . 6 2 ). L a f r i c c i ó n en tre una parte pequeña o d e la base del á rb o l y la s u p o rficio del a p o y o que está en c o n t a c t o c o n e l l a es ig u a l a F = \ipo1 dondo p = co n s t. e s la presión d o l á r b o l sobre la s u p e r fic ie del a p o y o , referida a la unidad de s u p e r fic ie d e l m ism o , y ¡x es el c o e fic ie n t e de f r ic c i ó n . H a lla r e l tra b a jo de la fuerza de f r i c c i ó n o n una r e v o lu c ió n d e l á rb ol. 1 7 6 5 * * . C a lcu la r la en org ía c in é t ic a de u n d isco , d o masa M y r a d io R , que gira a lr e d e d o r de un o je que pasa por su ce n tr o y o s p e rp e n d icu la r al p la n o d el d isco con una v e lo c id a d angu l a r co. 1 7 6 6 . C a lc u la r la en ergía c in é t ic a de un c o n o c ir c u la r recto, d e m a sa M , q u e gira alred ed or de su e je c o n una v e lo c id a d angu la r co. E l radio de la base d e l co n o es R , la a ltu ra I I . www.FreeLibros.me m Integral definida 1 7 6 7 * . ¿Q ué trab ajo es n e ce s a rio realizar [para deten er una b ola de h ie rro de ra d io i ? = 2 m, q u e gira alrededor de su d i á m etro c o n una v e lo cid a d a n g u la r ío = 1000 v u e lta s /m in u to ? (E l peso e sp ecífico d e l h ierro y = 7 ,8 g f /c m 3). 1768. U n tr iá n g u lo d e base b y a ltu r a h está su m ergid o v e r ticalm en te en agua, c o n el v é r tic e h a cia a ba jo, de form a, q u e su i ' base c o in c id e c o n la su p erficie del agu a. H a lla r la presión q u e el agua ejerce sobre é l. 1769. Una presa v e r tic a l tiene form a de tra p e cio . C a lc u la r Ja presión tota l del agu a sobre d ich a presa, sabien do que la base superior tien e a = 70 m , la base in fe r io r ó = 5 0 m y su a ltu ra k = 20 m . 1770. H a lla r la presión que ejerce un l í q u i d o , c u y o peso espe c í f i c o es y , sobre una elipse v e r tic a l, de ejes 2a y 2b, el ce n tr o de la c u a l está su m ergid o hasta una p rofu n d id a d h. E l eje m a y o r 2a de la elipse es p a ra le lo a la su p erficie del líq u i d o {h > b ). 1771. H a lla r la presión que ejerce el agua sob re u n c o n o c i l i n d rico v e r tic a l, con ra d io de la base R y a ltu r a H , su m erg id o en ella c o n el v é r tic e h acia a ba jo, de form a que la base se encuen tra al n iv e l del agua. P rob lem a s d iv erso s 1772. H a lla r la masa de una barra de lo n g it u d ¿ = 100 c m r si la densidad lin e a l de la m ism a a la distan cia x cm , respecto a uno de lo s extrem os, es igual a 6 = 2 + 0,001a;2 — . ' cm 1773. Según datos e m p irico s, la capacidad c a lo r íf ic a e sp ecifica del agua, a la tem peratura ( 0 < ¿ < 1 0 0 ° ) , es ig u a l a c = 0 ,9 9 8 3 - 5 ,4 8 4 *10"5* + 6 , 9 1 2 - 10~7¿2. www.FreeLibros.me A p lica ción de las in t . d ef. a la resolución de problem as de jísica 180 ¿Q ué ca n tid a d de c a lo r se necesita para calen tar 1 g de agua desde 0o hasta 100° C? 1 774. E l v ie n to ejerce una presión u n ifo rm e p g f / c m 2 sobre una puerta, cu y a a n ch u ra es b cin y la altura h c m . H a lla r e l m om en to do la fuerza c o n que presiona el v ie n to , q u e tiende a h a cer girar la puerta sob re sus goznes* 1 775. ¿Q ué fuerza de a t r a c c ió n ejerce una barra m aterial, d e lo n g it u d l y masa M y sobre un punto m a te ria l de masa m , situ a d o en la m ism a recta de la barra a una distancia a de uno d e sus extrem os? 1 7 7 6 * *. C u an do la c o r rie n te de líq u id o q u e pasa p o r un tubo d e s e c c ió n c ir c u la r , de ra d io a , es la m in a r estable, la v e lo cid a d v e n u n p u n to que se en cu en tra a la distan cia r del e je del tubo, s e expresa p o r la fórm u la d o n d e p es la diferencia de presión dol líq u id o en los extrem os d e l tu bo, ¡i es el c o e fic ie n te de v isco s id a d y l la lo n g itu d del tu b o . D eterm in ar el gasto d e líquido Q , es decir, la can tidad del m ism o q u e pasa p o r la s e cció n transversal d el tu bo en la unidad d e tiem p o. 1 77 7 *. Las m ism as co n d ic io n e s d el problem a a n te rio r (1776), pero c o n un tu b o de s e c c ió n recta n g u la r, en que la base a es g ra n d e con r e la c ió n a la a ltu ra 2 b. En esto caso, la velocidad de la co rrie n te v en el punto M (x . y) se determ ina por la f ó r m u la D eterm in ar el g a sto Q de líq u id o . 1 7 7 8 * * . A I estudiar la s cu a lid a d e s din á m ica s de lo s a u t o m ó v i le s se recurre frecuentem ente a la c o n s tr u c c ió n de dia gram as espe c ia le s : sobre el eje de abscisas se tom an las v elocida des v y sobre el de ordenadas, la s m a gn itu d es inversas a las correspon dien tes a ce lera cio n es a . Dem ostrar, q u e el área S , lim ita d a por la curva d e esta g r á fic a , por la s d o s ordenadas 1; = ^ y y = i ; 2 y el eje de abscisas, es n u m érica m e n te ig u a l al tiem p o que se necesita para a u m en tar la v e lo c id a d del a u t o m ó v il desde v t a v z (tiem p o de « e m b a la d o »). 1779. U n a v ig a h o riz o n ta l, de lo n g itu d l, está en e q u ilib r io b a jo la a c c ió n de una carga, u n iform em en te repartida a lo la rg o de e lla y d ir ig id a v e rtica lm en te h a cia abajo, y de las reacciones de sus a p o y os A y = = dirig id a s verticalm en te hacia www.FreeLibros.me 190 In teg ra l definida arriba. H a lla r el m om en to de f le x i ó n M x cu la s e c c ió n transver sa l x y es decir, el m om e n to respecto al p u n to P , de abscisa x y de todas las fuerzas q u e a ctú a n on la parte A P de l a viga. 1780. U n a v ig a h o riz o n ta l, de lo n g it u d l , está en e q u ilib r io bajo la a c c ió n de las reaccion es de sus a p oy o s A y B y de una carga repartida a lo la r g o de la m ism a, c o n una intensidad de q — k x , donde x es la d is ta n c ia al a p o y o izquierdo y k un c o e fi cie n te co n sta n te. H a lla r e l m o m e n to de f le x i ó n M x en la s e c c ió n x * O b s e r v a c i ó n . S e d a e l n o m h r e d o i n t e n s i d a d d o d i s t r i b u c i ó n d e la c a i g a , a Ja c a r g a ( f u e r z a ) r e f e r i d a a l a u n i d a d d e l o n g i t u d . 1781*. H a lla r la ca n tid a d de c a lo r que desprende una corrien te a ltern a sinusoidal durante el período T en un c o n d u c to r de resistencia R . www.FreeLibros.me C a p ítu lo V I F U N C I O N E S DE V A R I A S V A R I A B L E S § 1. Conceptos fundamentales I o. C o n c e p t o d o f u n c i ó n d e v a r i a s variables. Design a c i o n e s d e l a s f u n c i o n e s . Una m a g n itu d v a ria b le z se denom ina función u n ifo rm e de d os v a ria b les x e y, s i a cada c o n ju n to do valores de éstas ( x , y) d e ! ca m p o d a d o , correspondo un v a l o r ún ico y d ete rm in a d o de z. Las v a r ia b le s x e y se lla m a n argumentos o variables independientes. La depen dencia fu n cio n a l se representa así: - = / ( * , y ); z = F ( x , y); etc. Las fu n cio n es de tres o m ás argum entos so dofinen de manera análoga. E j e m p l o 1. E x presa r el v o lu m e n V del c o n o en fu n c ió n de su gene ratriz x y del r a d io d© la base y. S o l u c i ó n . S abem os p o r la geom etría, q ue el v o lu m e n del co n o es ig u a l a V = ~ ~ n y 2h, donde h es ia altura deí con o. Poro k = ~/x'¿ — P or co n sig u ie n te, v = — ay* y * « —y*. Esta es, precisam ente, la dependencia fun cion al que se buscaba. E l v a lo r de la fu n ció n z = f ( x y y) en el p u n to P { a , b ), es d e cir, cuando x = a e x = 6, se designa p o r f ( a , b) o f ( P ). La representación geom étrica de la fu n c ió n z = f ( x , y) en un sistem a de coordenadas cartesianas X , Y , Z es, en térm inos generales, una su p e rficie (fig . 03). E jem plo 2. H a lla r / (2, — 3) y / ^1, H , Solución. ■ P o n ie n d o z ~ 2 e — 3, hallam os: . ( — 3)2 13 2 - 2 - ( — 3) 12 22 4 /<2. - 3 ) j , si www.FreeLibros.me Funciones d e varias variables 102 P o n ien d o x ~ i y su stitu y e n d o y p o r t e n e m o s : x 2 *»+y2 2xy 2-1 es d e cir, / ^1, = / ( * , y). 2. C a m p o d e e x i s t e n c i a d e Ja f u n c i ó n . P o r cam po de e x i s tencia (de definición) d e la fu n c ió n s = / ( x , y ) , se e n tie n d e el c o n ju n to de pu n tos ( * , y ) d e l p la n o X O Y q ue determ in a n la fu n c ió n da d a (es decir, para los q ue la fu n c ió n to m a v a lores reales determ in a d os). En los casos m ás elem e n ta le s, el ca m p o de e x iste n cia d o la fu n c ió n representa una parle fin ita , o in fin it a , del p la n o co o rd e n a d o X O Y , lim ita d a p o r una o varias curvas (frontera d e l campo)". De form a a n á lo g a , para las fu n cio n e s de tres v a r ia b le s u = f ( x , y* z), el ca m p o de e x is t e n c ia de la fu n c ió n e s un c u e rp o d e te rm in a d o del espa c io O X Y Z . E j e m p l o 3. H a lla r el ca m p o de e x is te n c ia de la fu n ció n 1 y 4 _ a .a _ .0 2 Solución. Esta f u n c ió n tiene v a lores reales cuando 4 — * 2— y 2 > o ó b ie n + A esta ú ltim a d esig u a ld a d sa tis fa ce n las coorden a d a s de los pu n tos situ a dos d e n tro de un c ircu lo de r a d io 2 co n el c e n t r o en el o rig e n do co o rd e nadas. El ca m p o de e x is te n c ia do esta fu n c ió n es pues el in te r io r do este c ír c u lo (fig . 64). E j e m p l o 4. H a lla r el ca m p o de e x is te n c ia de la fu n ció n • www.FreeLibros.me Conceptos Solución. para — p < l E l prim er fundam entales su m an do de la fu n c ió n queda dotermiaado ó b ie n — 2 < > < ; 2 . E l segundo su m an do tiene valores reales cuando a# > 0 , es d e cir, en d os casos: . f z> 0, si . f *< 0 , o si 1 l i/> 0. \ y<0. E l cam po do e x iste n cia do tod a la fun ción se representa en la f ig . 65 y com~ prende la frontera del campo. 3. Líneas y su p erficies de n i v e l de l a s fun c io n e s. Se da el nom bre de línea de nivel de una fu n ció n z = / ( ; r , y ), a la línea F i g- 64 F i g. 6 5 1 f ( x y y) = C d e l plano X O Y * para cu yos pu n tos la fu n c ió n tom a un m ism o v a lo r z — C (que generalm ente se señala co m o a n o ta ció n en el d ibu jo). F i g . 66 Se lla m a su p erficie de nivel de una fu n ció n do tros argum entos u = — f { x , y , z) a q u e lla su p e rficie f ( x f y y z) — C en cu y os puntos la fu n ción toma un v a lo r constante u = C. E j e m p l o 5. Construir la línea de n i v e l de la fu n ció n z = x*y. S o l u c i ó n . La e c u a c ió n de la línea de n iv e l tiene la form a x*y = C Q o b ie n y= -^ . H a cien d o C = Q , ±1 , = f c 2 . . . t obten em os líneas de n iv e l (fig. 66). 13—1016 www.FreeLibros.me la fa m ilia de 104 Funciones de varias variables 1782. Expresar el v o lu m e n V de una p irá m id e cu a d ra n g u la r re g u la r en fu n c ió n de su altura i y de su arista latera l y. 1783. E xpresar el área S de la su p erficie la te ra l de u n tr o n c o de pirám ide exagon al re g u la r, en fu n c ió n de lo s la d os x e y dela s bases y de la altura z. 1784. H a lla r / 3) y /(l, - 1 ) , si f ( x , y) = x y + - y . 1785. H a lla r f (x, y ) , f ( — x , — y), f ( - j - , ■— ) , f , si /<*• r t - n g 2 " 1786. H a lla r lo s v a lores que tom a la fu n c ió n / ( * , y) = 1 + * — y en lo s puntos de la p a rá b ola fu n c ió n y = x - , y co n s tru ir la g r á fic a d e la F ( x ) = f ( x , x 2). 1787. H a lla r e l v a lo r de la fu n ción * * + 2 * V + -/* 1— *2— 5,3 en los pu n tos de la c ir c u n fe r e n c ia x 2 -}- y 2 = R 2. 1788*. D eterm inar / (x), si 1789*. H a lla r f ( x , y ), si f ( x + y , x — y ) = x y + y*' 1790*. Sea z = " Y y - + f ( Y x — *)• y z, si z = i para y = 1. 1791**. Sea z z = x /(-| -). D eterm in ar D e te rm in a r las las fu n cion es fu n cio n e s / / y z } si = Y 1 + y 2, p a r a x = i . 1792. H a lla r y representar lo s sigu ien tes funciones: ca m p os de ex iste n cia a) 2 = V i b) z = 1 + V — (* — i/)2: c ) z = ln ( x - f p); www.FreeLibros.me de la s 195 C on cep tos fundam entales d) z = x -f- are c o s y; e) z = Y i — z 2 + V í — y 2', f ) z = are sen -¥ ~ ; g ) z = Y x * ~ 4 + Y 4 — y 2; h ) z = y (x~ + y ~ ~ a2) {2a2— x 2~ ~ y 2) ( a > 0 ) ; i) z = Y y s e a x ; m) z = — ¿r= L = = -; Y v -V * j) z = l n ( z z - f y ) ; n) 2 = - ^ - - f - A - ; k) z = are t g 1) z = ^ ; o ) z = ] / s e n (xz + f/z). X* + y* ' 1793, H a lla r lo s ca m p o s do e x is te n cia de las sigu ien tes fu n cio nes de res argum entos: a) u * = Y x + Y y + Y * ,’ b) u = \n{xyz)\ c ) y = are sen x A r aresen y + are sen z; d) y = \ / ' — — 1 7 9 4 . C o n s tr u ir la s lín e a s de n iv e l ele la s fu n cio n e s q u o se dan a c o n t i n u a c i ó n y a v e rig u a r el ca rá cter de las su perficies represen tadas por d ich a s fu n cion es: a) z — x - \ - y , d) z = y ^ ; g ) z = -J^-; h ) z = x 2 + y 2\e) z = (1 + x + y ) 2; k )z = - 4 = ; l/x c) z = x * - y * ; f ) z = l - [ x \ - \ y \ ; 1 7 9 5 . H a l l a r las i ) z= -¿£ -_ . lín e a s de n ivel de la s sig u ie n te s a ) z = i n ( x 2 + y)\ d) z = f { y — ax)\ b ) z = a re sen xy\ e) z = / ( c) z = f funciones: ) . F ); 1 796. H a l l a r la s su p e r fic ie s de n iv e l de la s siguientes nes do tres v a ria b le s: fu n c io a) u — x + y + z, b) u = x 2 + y 2 + z2, c ) u = x 2 + y 2— z 2. 13* www.FreeLibros.me 106 Funciones de varias variables § 2. Continuidad 1. L í m i t e d e u n a f u n c i ó n . E l núm ero A recibe el nom b ro do lím ite d e la función z — f ( x , y) cu a n d o el p u n to P ' ( x , y ) tiende a l p u n to P (a, b), si para cu alquier e > 0 ex iste un ó > 0 t a l, q ue cuando 0 < p < ó , (donde p = V ( * — a)2+ (H — &)2 es Ja desigualdad distancia entro los pu n tos P y P ' ) , se v e rifica [ f [ x , y) — A \ < z . En es lo caso se escribe: H m / ( * f y) = A. x -+ a y~*b 2. C o n t i n u i d a d y p u n t o s do d i s c o n t i n u i d a d . La c ió n 2 = ) ( x , y ) recib o ol nom bre de continua en e l punto P (a, b), si fun lim / (s, y ) — / (a, b). X -K X Ü-+b La fu n ció n q ue es c o n tin u a en todos los p u n to s de un cam po determ i nado, se lla m a continua en este campo. Las c o n d ic io n e s de co n tin u id a d do una f u n c ió n / ( s , y) pueden n o cum p lirse en puntos a isla d os (puntos aislados de discontinuidad), o en pu n tos que form en u n a o varias líneas ( líneas de discontinuidad) y , a veces, figuras .geom étricas m ás com plicadas. E j e m p l o 1. H a lla r lo s pu n tos de d is co n tin u id a d de la fu n ció n X — *y±1_ n * 2— y • S o l u c i ó n . La fu n ció n pierde su s e n tid o , s i el d e n o m in a d o r se anula. Poro, — 0 o sea, y — x 2 es la e c u a c ió n de una p a rábola. P or co n sig u ie n te, la fu n ció n dada tiene una línoa de d isco n tin u id a d : la p a rá b ola y = x*. 1797*. H a lla r los siguientes lím ite s de las fun ciones: . ) lim <*■ + »■) « e n ± ; .) lim ^ U-*0 ; e) I t o ^ i/-*2 »> ; d) r/-*oo u-*h ; l/-fO ( ‘ + i ) ‘; f> S S t f • 1798. A v erig u a r si es c o n tin u a la fu n c ió n /(* . y) ■ 1799. H a lla r fun ciones: lo s a) z = \ n Y x * + y2; Y ' i — or — y2, s i x 2 + í/2 < 1, 0 , s i x 2 - f p 2> 1. p u n tos de d iscon tin u id ad c) 2 = www.FreeLibros.me > de las sig u ie n te s 197 Continuidad 1800*. D em ostra r, q u e la fu n c ió n si *« + » ■ * : 0 , 0 , sí x = y = 0. es con tin u a c o n r e la c ió n a cada una de las v a r ia b le s x e y por separado, pero n o es co n tin u a on el punto (0, 0) respecto al c o n ju n to de estas v a r ia b le s . § 3. D e riv a d a s p arc ia le s 1. D e f i n i c i ó n de las d e r i v a d a s p a rc i a le s. s i h a cem os, p o r e j . , que y sea con stan te, ob ten em os la deriYada * dx Si z = / ( s , y ), i¡m / ,( * + * « ■ * ) - / ( » . ¿x-yO As q uo re cib o el nom b re de derivada parcial d e la fu n c ió n z c o n respecto a la v a r ia b le x . De m o d o a n á lo g o se d e fin e y se dosigna la derivada parcial do la fu n c ió n z c o n respecto a la v a ria b le y. Es evidente, que para h allar las derivadas p a rcia le s pueden utiliza rso las fó rm u la s ordinarias de d eriv a ció n . E je m p lo 1. H a lla r la s d erivad as p arciales de la fu n ció n 2= ln tg j . C onsiderando y co m o m a g n itu d con stan te, tenem os: Solución. Oí 1 1 Ox . x tg— b y „ x e o s2— y 1 = y y 2 • 2x y sen — y A n á lo g a m e n te , c o n sid e ra n d o x co m o co n sta n te , tendrem os: dz dy * 1 . x tg — * y ( 0x \ e o s 2— y 2. H a lla r la s E jem p lo argum entos 1 x \ y2 / 2x « 2a: y2 sen — y derivadas parciales de u = a:3y2z-|-2a:— 3 y - f -z + 5. . Solución. ií.-3 * W * + 2 . * U 2 x * ir «-3 , ■ £ -* V + l. www.FreeLibros.me la fu n ció n do tres 198 Funciones de varias variables 2. T e o r e m a d e E u l e r . La fu n ció n j(x > y) se lla m a fu n ció n homo génea do grado n , s i para cu a lq u ie r fa c t o r re a l h se v e r if ic a la igualdad j (Au\ ky) = k * f (.x , y). Una fu n ció n racional entera será h om ogén ea , si to d o s los térm in os d e la m ism a son del m ism o grado. P ara toda fu n ció n hom ogénea d ife rcn cia b le do grado n t s o v e rifica siem pre la igualdad (teorema de Euler): y ) + y f ' u (x ’ y)- H a lla r la s derivadas p a rc ia le s de la s fun ciones: 1808. Z — X v . 1801. z = a;3 - f y 3 — 3 a x y . 1803. 1809. z = e tí II N|*«: • 1802. z - x ~ y . x+ y 1810. 2 - a r e s e n ] / x 2 + y 9 . 180-1. z ^ V ^ — y 2. 1805. u x. sen- 1811. z = I n s e n — ^ . Vy X 1812. u — \xy ). V x t + y* 1806. z = l n ( x + y a : s 4 -!/'-). 1807. z = a rctg 1813. a = zx v . . 1814. H a lla r f'x { 2; 1) y f v {2 ; 1 ), si / ( * » y ) = 1/ x y + j 1815. H a lla r f x ( 1 ; 2; 0 ), ü ( i ; 2 ; 0 ) y n { í ; 2 ; 0 ) , si j ( x , y , z ) = ln ( x y + z). C om probar ol teorema de E u lo r s o b re la s fu n cion es h o m o g é neas (N08, H 08 1 8 1 6 - 1 8 1 9 ) : 1816. f ( x , y ) = A x * + 2 B x y + Cy'-. 1817. z = X 1818. f ( x , y) = 1819. f ( x , y ) = l n — . 1820. H a lla r - ¿ ( 7 ) , donde r = f x 2 + ya + 2a. dx dx Or d(p 1821. C a lcu la r dy dy , si a := -r c o s c p c y = r sentp. dr d<p www.FreeLibros.me ' D erivadas parciales 1822. Dem ostrar, q u e x — - \ - y ~ = 2 f si z = l n ( z 2 4 - * y + y 2). 1 8 2 3 . Dem ostrar, q u e a: + y = x y - f z, si y 2 — £1/ 1 8 2 4 . D em ostrar, que ^ ^ + J r = 0, si u = ( z — y) (y — 2) (z — x). 1 8 2 5 . D em ostrar, que — ■ yí u[f + Ou — 1» s* u = x-\- X~ U y—z 1 8 2 6 . H a lla r z = z ( x } y ) , si x dz ____ 0y z 2 -)-//2 1 8 2 7 . H a lla r z = z ( x , y ) , sa b ien d o, que ~ yl . y 2 ( 2:, í/) = sen [/ cu an do « = 1. 1828. P o r el p u n to M (1 ; 2; 6) de la su perficie z = 2 x 2 + t/2 s e h a n h e ch o pasar p la n o s paralelos a lo s coordenados X O Z e y O Z . D eterm inar, q u é á n g u lo s form a n c o n lo s ejes de coorde nadas las tangentes a las seccion es así ob ten id as, en su punto com ún M . 1829. E l área de u n trapecio de bases a, b y de altura h es ig u a l a S = \ ( a + b ) h . H a lla r ^ y , m ediante su d ib u jo , escla recer su sen tid o g e o m é trico . 1830*. D em ostrar, q u e la fu n c ió n 2xy . si * 2 + y * ¥ = o f {X, y ) = ■ 0, si x = y = 0, tien e derivadas p arciales f'x ( x , y) y f y ( z , y ) en el punto (0, 0), a pesar de ser d iscon tin u a en este punto. R epresentar g e o m é tri c a m e n t e esta fu n c ió n en la s proxim idades del p u n to (0; 0). § 4 . D if e r e n c ia l t o t a l de una fu n c ió n 1. I n c r e m e n t o t o t a l de una f u n ció n . t o t a l de una fu n c ió n z = j ( x , y ) a la diferencia Az = A / ( s , y ) = j ( x + b z t V + & y ) — f ( z , y). www.FreeLibros.me Se llam a incremento Funciones de varias variables 200 2. Diíoroncial total de u n a f u n c i ó n . R ecibe el nom b ro de diferencial total do una fu n ció n z ~ / ( x , y) ia parte prin cipa l del incre m ento tota l Az, lin ea l respecto a los in crem entos de lo s argum entos Ax y Ay. La diferencia ontro el increm ento to ta l y la d ife re n cia l total de la fu n ció n es un in fin ité s im o de orden su perior a p = ~\/Ax2 + &y2. La fu n ció n tiene, in du b ita b lem en te, d iferen cial t o t a l, cuando sus d ife renciales parciales son continuas. Si la fu n ció n tiene d ife re n cia l t o t a l, se lla m a diferenciable. Las diferenciales de las v a ria b les independientes, por d o fin ició n , coin cid en con sus increm entos, os decir, d x = A x y rfy = Ay. La d iferen cial total de la fu n ció n z = / ( x , y) so ca lcu la p o r la fórm u la dz dz . dz= - é ¿ d x + ~ ü d*Análogam onto, la d iferen cial total de una fu n ció n de tres a rg u m en to» u = f (x, y, z) se c a lc u la p o r la fórm ula du du du du=— dx+— Ejemplo dy+— dz. 1. Para la fun ción f ( x y y ) = x 2+ x y - - y 2 h allar el increm ento t o ta l y la d ifc r o n c ia l tota l. Solución. f ( x + A x , y + Ay) = ( x + A x ) 2- h ( x + A z ) (y + A y )— (y + Ay)2; A / (*t y) = [(* + Ax)2 + ( * + Ax) ( y + Ay) — (y + Ay)2] — (x2+ z y ~ ~ y2) = = 2 x - A x + A x 2 + x - A y - f y - A x - f A x -A y — 2 y - A y — Ay2 = = [(2x-\ -y) A x - f ( x — 2y) Ay] + (Ax2+ A x * A y — A y 2). A qu í, la expresión d / = (2x + y) + — 2y) Ay es la d iforon cial tota t de la fu n ción , mientras que (A x 2-)-A x « A y —- Ay2) os un in fin ité s im o de orden superior al del in fin ité s im o p=¿~\/Ax2^ - A y 2. E j e m p l o 2. H a lla r la d ife re n cia l to ta l de la fu n ción 2 — ~ Z x 2 -J- y2. Solución. dz dX x y x2^ y2 dz dy y y x2 ± y 2 ■x , y xdx+ydy dz = — - d x -\....... dy = — — — = — . V x 2 + y2 l / x 2 + y2 V « 2 + V1 A p l i c a c i ó n de la d i f e r e n c i a ! do la f u n c i ó n a i o s 3. c á l c u l o s a p r o x i m a d o s . Cuando |A x | y |Ay | so n su ficientem en te pequeños, y por con sigu ien te, os su ficientem en te pequeño tam bién p = = ~[/Ax2+ A y 2, para la fu n ció n d ifo ro n cia b lo z = / ( x , y) se v e rifica la igualdad aproxim ada A z ^ d z , o sea, &z ~Sx a i &z , y' E j e m p l o 3. L a altura de un co n o es / / = 30 c m , el radio de su basei? — 10 cm . ¿Cómo v ariará el volum en do d ich o co n o s í I I se aum enta 3 mm y i? so d ism in u yo t m m ? www.FreeLibros.me D iferen cia l total de una junción Solución. v o lu m e n la El 1 del co n o e s F = — n i? 2# . v o lu m e n su stitu im o s O O La v a r ia c ió n <j a p ro x im a d a m e n te = ■4- n (2R H d R + ¿?2 d t í ) = ¿ 20 í por la del d ife r e n c ia l AV^dV— n ( — 2-10■ 30 •0,1 + 1 0 0 - 0 ,3 ) = — 10a — 31,4 cm 3. E j o t a p l o 4 . C a lcu la r a p ro x im a d a m e n te 1,023 ,0 1 . S o l u c i ó n . E x a m in e m o s la f u n c i ó n z = xV. E l núm ero q ue se busca puede con sid era rse c o m o e l v a lo r in crem e n ta d o do esta fu n c ió n cu a n d o x = 1, y=-. 3, A * = 0,02 y A y — 0,01. E l v a l o r i n i c i a l de la f u n c ió n es z = l 3 = J t A z a* dz = y x y -1 Ax-^-xV ln x A y = 3* 1-0,02 + 1 - l n 1-0,01 = 0,06. P o r co n s ig u ie n te , 1,023 , 01 y 1 + 0 , 0 6 = 1.06. 1 8 3 1 . P a ra la fu n c ió n f { x i y ) — x ¿y , h a lla r el in crem en to to ta l la d ife re n cia l tota l e n el p u n to (1; 2 ); co m p a r a r lo s entre s í, s i : a) A x — 1, A y = 2 ; b) A x = 0 , l , A y = 0 ,2 . 1832. D em ostra r, q u e para las fu n c io n e s u y y de v a r ia s (p o r e.j., de dos) v a ria b le s se v e r ific a n la s reglas ord in a ria s ded e r iv a c ió n : a ) d (u + v) = du-\- dv\ , , ( u \ b) d ( u v ) = v du-\-u 'dv; v d u — u dv H a lla r la s d ife re n cia le s to ta le s de la s siguientes fu n cion es: 1 833. z = x* + y* — Zxy. 1838. z = l n { x <1+ y*). 1 8 3 4 . z = x ¡y3. lg39> / ( * , y ) = l n ( l + - ~ ) . - 2 — y2 1 835. z = - í 5:2 + y2 * 1 836. z = sen2 x - f eos2 1/. ' 1840. z = a r c t g — -b a r c t g — x 1841. z = l n tg — . 1 837. z = * y x v. 1842. H a l l a r d f ( l ; 1), s i f ( x , y ) = - ^ - . 1843. u — xyz. 1 8 4 4 . u = y ' x 2 + y--\- z2. 1 8 4 5 . 11 = [ x y + — )*• 1846. u = a r c t g ^ 1 . 1 8 4 7 . H a l l a r d f ( 3 ; 4 ; 5 ), s i f ( x , y , z ) = ^ q ^ r www.FreeLibros.me y Funciones de varías variables 1848. U n o de los la d os de u n re ctá n g u lo es a = 10 c m , el o tr o , 6 = 2 4 cm . ¿C óm o variará Ja d ia g o n a l l de este rectá n g u lo si el lad o a se alarga 4 m m y el lad o 6 se acorta 1 m m ? H a lla r la m a gn itu d aproxim ada do la v a r ia c ió n y co m p a ra rla c o n l a e x a c ta . 1849. U na ca ja cerrada, cu y a s dimensiones exteriores son de 10 cm , 8 cm y 6 cm , está hecha de madera con trach apada de 2 m m de espesor. D eterm in ar el v o lu m e n a p rox im a d o del m a te ria l <¡ue se gastó en hacer la caja. 1850*. E l á n g u lo ce n tra l de u n sector c ir cu la r es ig u a l a 80° y se desea d ism in u irlo en I o. ¿En c u á n to h a y q u e afargar el radio 'del sector, para que su área no varíe, si su lo n g itu d in ic ia l era ig u a l a 2 0 cin? 1851. C a lcu la r aproxim adam ente: a) (1,0 2 )3 .(0,9 7 )2 ; b) / ( 4 t05)* + (2,93)*; c) sen 3 2 °-eos 59° (a l co n v e r tir los grados en radianes y cu a n d o se c a lc u le el sen 60°, tom ar sola m en te tres cifra s decim ales; la ú ltim a cifra debe redondearse). 1852. Dem ostrar, que el error r e la t iv o de un p ro d u cto es aproxim adam ente ig u a l a la sum a de lo s errores re la tiv o s do los factores. i 1853. A I m edir en un lugar el tr iá n g u lo A B C , se o b tu v ie ro n los datos siguientes; el lado a = 1 00 m ± 2 m , e l la d o 6 = 2 00 m ± 8 m y el á n g u lo (7 = 60° ± I o. ¿C on q u é grado de e x a c titu d puede ca lcu la rse e l la d o c? 1854. E l período T de o s c ila c ió n dei p é n d u lo se c a lc u la por la fó rm u la T = 2 x / j , donde l es la lo n g itu d del p é n d u lo y g , la a ce le ra ció n de la gra vedad. H a lla r e l error que se co m e te al determ inar T, c o m o resultado do lo s pequeños errores A l — a y A g = $ com etidos al m ed ir l y g. 1855. L a d ista n cia entre lo s pu n tos P 0 (x Q; y 0) y P (x; y) es igual a p, y el á n g u lo form ado por el v e cto r P 0P c o n e l e je O X , es igual a a . ¿En c u á n to variará el á n g u lo a , si el p u n to P tom a la p osición P { (x + dx, y + dy), m ien tras que e l p u n to P 0 sigue invariable? § 5, D eriva ció n de fu ncio n es compuestas 1. C a s o d o u n a s o l a v a r i a b l e i n d e p e n d i e n t e . Si z = = f ( x , y) es una función diforenciablo de los argumentos x e y, que son, .a su vez, funciones díforonciables do una variable independien le t: z = 9 (í). í'= 'l> (í). www.FreeLibros.me D eriva ción de ju n cion es com puestas l a d e riv a d a de íPor la fó r m u la la f u n c ió n co m p u e sta z = /( < p ( 0 » ^ (01 so 203 puede ca lc u la r dx_ r ÉK. dt ~ dx di ' d y dt /n En e l ca so p a r t ic u la r d e quo t co in c id a c o n u n o de lo s argum entos, p o r e je m p lo , co n a , la d e r iv a d a « t o t a l» de la f u n c ió n z c o n resp ecto a x será: dx E je m p lo W2 1. H a lla r — dx “*■ dy dx # , si z = e 3'r_i"2y, d o n d o x = c o s í , Solución«te ■dt w ¿/ = ¿2. P o r la fó r m u la (1) tenemos: ^ + 2 y . 3 ( _ s e n í ) + (;3 x + 2 (/.2 .2 i = _ e3* + 2i» (4 ( _ 3 son f) = á3 c o s ¿ + 2t2 (4j — 3 sen t). E jem p lo 2 . H a lla r la d e r iv a d a p a rcia l -g j- y la d e r iv a d a t o ta l — 7 si z s a ^ , d o n d e í/~ < p (:r ). S o lu ció n . ^ - — y c xv. B a sán donos en la fó r m u la (2), obten em os: ox dx = y e x y x c * ] cp' ( 2:) . 2. Caso de v a r i a s v aria b les i n d e p e n d i e n t e s . Si z es u n a f u n c i ó n com p u esta de v a ria s v a r ia b le s in d ep en d ien tes, p o r ejem p lo , z = f ( x , y ) , d o n d e £ = <p(«, v) o = v) (a y y so n v a r ia b le s in d ep en d ie n t e s ; / , so n f u n c io n e s d ifc r c n c ia b le s ), Jas d erivadas p a rcia le s de z -con r e s p e c to a u y v se ex p resa n así: Oz du dz d x , dz dy dx du d y du W dz dz d x , dz dy dv ~~ d x dv d y 0u (4) En t o d o s lo s ca so s e x a m in a d o s se v e r ific a la fórm u la dz dz . dz = -T-d x-\ ~ -— dy dx dy «(prop ied a d de invariabilidad de la d iferen c ia l tota l). E je m p lo 3. H a lla r ~ y ~ , si www.FreeLibros.me r 204 Funciones de varias variables Solución A p lic a n d o la s fórm u la s (3) y (4), obtenem os: • f v ) - v + r u(x, y ) ± - y ■£■=& (*• U ) ^ - r u (.x,V) ~ r . Ejemplo dz e c u a c ió n — * dx 4. Dem ostrar, dz . x — 0. que la f u n c ió n z =¡ tp (x2 + y2) sa tisfa ce a la S o l u c i ó n . La f u n c ió n q> dependo do x e y a través d e l argumento* in term ed io x*-\-y2 = t t p o r lo cual * dx * ■ £d x■ - * ' ( • * + » ■ » 2 . dt dz dz di dy — dt dy <P' (* 2 + * 2) 2y. P o n ien d o la s derivadas parciales en el prim er m ie m b ro de la e c u a c ió n , tondremos: u ik ~ x T U = y t f ' (a:a+ y i ) 2 x ~ arip' (* a + 2v= = 2zy<p' (®2 + a2) _ 2alrq3/ (*2 + ^ ) . = ow es d e cir, la f u n c ió n z sa tisfa ce a la e c u a c ió n dada. 1856. H a lla r , si 2 — ~ > donde a; = eí, y = In¡f. 1857. H a lla r si u ^ l n s e n ^ p ^ , donde a: = 3¿2, p = V 1858. H alla r ^ al + , si u = s x y z y donde £ = ¿* + 1, j/ = l n ¿ , 2 = t g ¿ . 1859. H a lla r 4j¡ - , si di u =: -r - r * > donde x = = / ? c o s f , y = / ? sen V x 2+ v2 1860. H a lla r O* si z = u”, donde w = s e n x , y = c o s x www.FreeLibros.me z = H. D erivación de fun cion es com puestas 1861. H a lla r § y § , si z = arctg-|- e z/ — x2. 1 8 6 2 . H a lla r A y § , ai 1 8 6 3 . H a lla r Í 1 y Í l, si dx J dy 1 z = f ( u , v), don de u = x 2 — y*, v * = e xy. 1 8 6 4 . H a lla r £ y £ , si z = a rctg — , donde ¿r = u sen v, y = u eos y. 1 8 6 5 . H a lla r £ y £ , si z = f ( u ) t donde u = ^ x y + — . 1 x 1866* D em ostrar, que si u — O (.r2 + j/2 + z2), donde a: = R eos sen i|?, z = i?sencp, e n to n ce s , 5a du A i^ r = 0 1 8 6 7 . H a lla r £ , as y w A ^ 0- si u = f ( x , y , z ) , donde y = <p(a;), 3 = ^ ( x , y). 1868. Dem ostrar, que si z = f ( x + ay)i -donde / es u n a fu n c ió n d iferen cia b le , entonces, dz dz dy ~ a dx * Í8 6 9 . D em ostrar, q u e la fu n c ió n w = f ( u 9 v), -donde u = v = y + b t f satisface a la ecuación dw _ d io . j dio www.FreeLibros.me 205 206 Funciones de varias variables 1870. Dem ostrar, que la fu n c ió n 2— ( * 2 — y 2) satisface a la ecu a ción ^1 dz , 1 Oz __ z X d x ' 1" y dy ~ y* 1871. Dem ostrar, que la fun ción z = x y + x <p(-|-) , satisface a la e cu a ció n dz dz x ^ + y ~ ó i^ xy+z1872. Dem ostrar, que la fu n c ió n z = eyy (ye 2v2 ) satisface a la ecu a ción M '+ x y ' w = x y z ' 1873. Un lad o de un re ctá n g u lo de x = 2 0 m , aum enta con u n a velocidad de 5 m /s e g , el o tr o lad o de y = 30 m , d is m in u y e con una v e locid a d de 4 m /seg. ¿Con q u é v e lo cid a d variarán el p erí m etro y el área de d ich o rectá n g u lo? 1874. Las ecu acion es del m o v im ie n to de un p u n to m a teria l so n x= ?t, y = ¿2, z = l3. ¿Con q u é v elocida d aumentará la distancia desde este p u n to a& o rigen do coordenadas? 1875. D os barcos, que salieron al m ism o tie m p o del p u n t o A r v a n , uno, hacia el norte y , el o tr o , h acia el nordeste. L a s v e lo cidades de dich os barcos son: 20 k m /h , y 40 k m /h , respectivam ente* ¿Con q u é v elocida d aum enta la distancia entre ellos? § 6. D erivada en una d ire c c ió n dada y g ra d ie n te de una (unció n 1. D e r i v a d a do u n a f u n c i ó n en u n a d i r e c c i ó n da da . Se da el nombre de derivada de una función z = / (s, y) en una dirección dada l = pT\ a la expresión ai - r J £ 0 P tP www.FreeLibros.me D erivada en una dirección dada y gradiente de una función 2 ^7 dondo f (P ) y / (P A son lo s v a lores d e la fu n c ió n en los pu n tos P y />,. S i la fu n c ió n z os d ife r e n c ia b le , se v erifica rá la fórm u la dz dz di _ c o s a + _ dz . £ona. d on d o a es e l á n g u lo fo rm a d o p o r el v e ctor l co n el eje O X ( f i g . 67). A n álogam ente se d eterm in a la d e riv a d a en una d ir e c c ió n dada una fu n c ió n do tres argum entos u = j ( x , y , z). E n esto caso Ou du , Ou cosa+— q . du cos p — cos (i) para (2> donde a , 0 y y so n los á ngulos entre la d ir e c c ió n l y los correspon d ien tes ojos de coordenadas. L o d eriva d a en una d ir e c c ió n dada caracteriza la. v e lo c id a d co n q ue varía la fu n c ió n en d ich a d ire cció n . P (x ;y ) 0 F i g. 67 E j e m p l o 1. H a lla r la derivada do la fu n ció n z ¡ = 2 x 1 — 3y2 en ol' p u n to jP (1; 0)* en la d ir e c c ió n q ue fo rm a con ol eje O X un á n g u lo de 120°. S o l u c i ó n . H alla m os la s d erivad as p a rcia les do la ^función dada, y sus v a lores en o l p u n to P: dz dx ■ w ~ ° « Aquí co s a = c o s 1 2 0 ° = — s- son a = sen 120° V * A p lic a n d o la fó r m u la (1), obtenem os: 1 /8 _ ■ S — 4 ( — 5 " ) + 0 - - V -------- *■ El s ig n o m enos in d ic a , q ue la fu n c ió n en esto punto y on la direccióndada, decrece. 2°. G r a d i e n t e d o u n a f u n c i ó n . Recibo ol nom b re de gradiente de una fu n c ió n z = / ( a : , ¡/), u n v e c to r , c u y a s p roy eccion es sobre los ejes d o www.FreeLibros.me 208 Funciones de varias variables -coordenadas son las correspondientes derivadas parciales de dicha fu n ción : La derivada de ia fu n ció n dada en la dirección l t está relacionada con el gradiente do la m ism a por la sigu ien te fórm u la : dz ~Jl - A nPi grad 2, ■es decir» la derivada on esta d ir e c c ió n es ig u a l a la p ro y e cció n del gradiento de la fu n ció n sobre la d ir e c c ió n on que se deriva. ¿ E l gradiente de la fun ción en cada punto tiono la d irección de la n orm a l a la correspondiente línea do n ivol de la fu n ció n . La dirección del gradiente de la fu n ció n , en un p u n to d ado, es la dirección de la. v e lo cid a d m áxim a de crecim iento do la fu n ció n on este p u n to, es decir, cuando £ = grad z , la derivada y y tom a su v a lo r m á x im o , igual a V W M w f - Análogam ente se determ ina el gradien te de una fu n ció n de tres variables u = f ( x , y, z): (4 ) El gradiente do u n a j fu n ción de tres variables, en cada punto lleva la d irección de la n orm a l a la su p erficio do n ivel quo pasa p o r d ich o punto. E j e m p l o 2. H a lla r y con struir el gradien te do la fu n ció n z ~ x ' ¿y ■en e l punto P ( i ; 1). F i g. 68 Solución. p u n to P. C alculam os las derivadas parciales y - i r - 2* " ■ £ - * P or consiguiente» grad z = 2 i + j sus /valores Jon el ( í r L =2: ( w ) = l- ( f i g , 68). 1876. H a lla r la derivada? de la fu n ción z = x * ~ x y ~ ~ 2 y 2 en el punto i 5 (1; 2) y en la d ir e cció n quo form a con ol eje O X un .ángulo de 60°. www.FreeLibros.me Derivada en una dirección dada y gradiente de una junción 209 1877. H a lla r la derivada de la fu n c ió n + + i en el p u n to P (1; 2), e n la d ir e cció n que va desde éste al punto ¿V(4; 6 ). _______ 1878. H a lla r la derivada de la fu n c ió n z = l n ) / V 2 -j- y ¿ en el p u n to P (1; i ) e n la d ir e cció n de la bisectriz del prim er án gu lo coordenado. 1879. H a lla r la derivada de la fu n c ió n u = x* — 3yz + 5 en el p u n to M (1; 2; — 1) en la d ir e cció n que form a á n g u lo s igu a les con todos lo s ejes de coordenadas. 1880. H a lla r la derivada de la fu n c ió n u = x y + yz + z x on el p u n to M (2; 1 ; 3) en la d ir e c c ió n q u e va desde éste al punto N (5; 5; 15). 1881. H a lla r la derivada de la fu n c ió n u = ln (ex + ey + ez) en el o rig e n de coordenadas, en la dirección que form a con los ejes de coordenadas O X , O Y y O Z lo s á n g u lo s a , p y y , respectiva mente. 1882. E l p u n to en q u e la derivada de una fu n c ió n , en c u a l q u ier d ir e cció n , es ig u a l a cero, se llam a punto estacionario de esta f u n c ió n . H a lla r lo s p u n tos estacionarios de la s siguientes fun ciones: a) z = x l + x y + y 2 — 4 x — 2y\ b) z = x * + y*-r $xy; c ) u = 2y2-k- z 2— x y — y z + 2x. 1883. D em ostrar, que la derivada de la fu n c ió n 2 en c u a lq u ie r punto de la e lip se 2 z 2 + ¿ / 2 = C2 a n orm a l a la m ism a, es ig u a l a cero. 1884. H a lla r el grad z en el p u n to (2; 1), si , tomada lo la r g o de la z = x 3 4 - y 3 — 3 xy. 1885. H a lla r el grad z en el p u n to (5; 3), si 2= Yx*~y*. 1 886. H a lla r el grad u en ol p u n to (1 ; 2; 3), si u ~ z y z . 1887. H a lla r •la m a g n itu d y la dirección del grad u en p u n to (2; — 2; 1), si u = x 2 + y 2 + z2. 1888. H a lla r el á n g u lo z = ] n - | - e n lo s p u n tos A entre lo s gradientes de la el fu n ción y 5 ( 1 ; 1). 1889. .H a lla r la m a g n itu d de la elev a ción m á x im a do la super fic ie z = x 2 + íy* en el p u n to {2 ; 1; 8). í 4—í 0 i tí www.FreeLibros.me D erivada en una dirección dada y gradiente de una función 209 1877. H a lla r la derivada de la f u n c i ó n z = a;5— 2x*y + xy* + l en el p u n to P (1; 2), en la d ire cción quo va desde éste al p u n to N (4; 6). _______ 1878. H a lla r la derivada de la fu n c ió n z = ln ]/'xl + y ¿ en el punto P ( 1; 1) en la d ir e c c ió n de la b isectriz del prim er á n g u lo coordenado. 1879. H a l l a r la derivada do la fu n c ió n w = x 2 — 3¿/z 4- 5 en el pu n to M ( 1; 2; — 1) en la d ir e cció n q u o form a á n g u lo s igu a les con todos lo s ejes de coordenadas. 1880. H a l l a r la derivada de la f u n c i ó n u^=xy-\- y z-f- z x on e l punto M (2 ; 1; 3) en la d ir e c c ió n q u e v a desdo ésto al punto N (5; 5; 15). 1881. H a l l a r la derivada de la fu n c ió n u = l n {e*-\-ev + e~) en el o r ig e n de coordenadas, en la d ir e c c ió n q u e form a con los ejes de coorden adas O X , O Y y O Z lo s á n g u lo s a , p y y , respectivam ente. 1882. E l p u n to en q u e la derivada de una f u n c ió n , en cu a l q u ier d ir e c c ió n , es ig u a l a coro, se lla m a punto estacionario de esta f u n c ió n . H a lla r l o s pu n tos e sta cion a rios de la s siguientes fun ciones: a) z = x 2 ~\-zy + y 2 — 4 x — 2y; b) z = z * + if* — 3xy; c) u = 2y2 + z2 — x y — y z + 2x. 1883. D em ostrar, que la derivada de la fu n c ió n z = — en c u a lq u ie r p u n to de la elip se 2 x 2 -f- y 2 = C2 a norm al a la m ism a, es ig u a l a cero. 1884. H a l l a r el grad z en el p u n to (2 ; 1), si z= + lo , tomada la r g o de la Sxy. 1885. H a l l a r el grad z en el p u n to (5; 3), si z = ] / x 2 - ~ y 3. 1886. H a l l a r el grad u en el p u n to ( 1 ; 2; 3), s i u = zyz. 1887. H a l l a r •la m a g n itu d y la d ir e c c ió n del g ra d u en p u n to {2; — 2 ; 1 ), si u = x 2 + y 2 + z 2. 1888. H a l l a r el á n g u lo z = l n ~ ~ e n lo s p u n tos entre lo s gradientes x ) y ^ ^ de la el fu n ción 1889. .H a lla r la m a gn itu d de la e le v a c ió n m á x im a de la super ficie z — x 2 + 4 y2 on el p u n to (2; 1; 8). 14— 101 ü www.FreeLibros.me 210 F u ncion es de varias variables 1890. C on struir gu ion tes fu n cion es: el c a m p o v e c t o r ia l a) z = x + y ; c ) z = x* + y2; *>) * } '■ - . del g radien te de la s s í- 1 l / x 2+ y 2+ z 2 § 7. D erivadas y d if e r e n c ia l e s de ó rdenes s u p e rio re s 1. D e r i v a d a s p a r e í a l o s d e ó r d e n e s s u p e r i o r e s . Se lla m a n derivadas parciales de segundo ord en de una f u n c ió n z = ¡ ( x y y ) a las d e r iv a d a s parciales de sus d erivadas p a rcia le s d e p r im e r orden. Para desig n a r las derivadas d e seg u n d o ordon se em plean las sigu ien tes n ota cio n e s d ( dz \ d2z _ f» dx 0 V dx j ~ d x2 I dz \ x x {X' t i ' 02z A n á lo g a m e n te se determ in a n y se designan las d eriv a d a s p a rcia le s de orden su p erio r a l segundo. Si la s derivadas p a rcia les q u e h a y que c a lc u la r son co n lin u a s , el resul tado de la derivación sucesiva n o depende del orden de dicha derivación. Ejem plo fu n ción 1. H a lla r la s d e riv a d a s p a rcia le s z — a rctg S o 1 u c i ó n. ordon: de segundo orden de la . H alla m os p rim e ra m e n te las d erivad as p a rcia le s de p rim er dz _ dx ~ 1 1 . . X- y y X*~\-y2 + y2 <)t _ I / _____X _\ __ dy “ “ ., x 2 \ y¿ ) 2=8 X x* + y* 1+-^ A h o r a v o lv e m o s a derivar: ¿)2z dx2 0 t y \ dx l a;2_|- y z ) d i d2z dy 2 - dy { d-T. d x dy ~ d ( y \ dy { x Z + y * ) 2x y ( x 2+ y 2)2 ’ x \ 2xy x 2+ y 2 ) (* 2 + p2)2 • 1 - { z 2-|-I/2) — 2 y - y _ (* 2 + ¡/2)2 x 2— y2 <«*+ *S » ' Debe advertirse q ue la lla m a d a derivada p a rcia l «cru zad a» se puede h a lla r de o t r a m anera, a saber: ¿)2z d2z -d íd 7 ~ ~ d ¡T d ¿. d ( x \ i - { x 2-\-y2) — 2 x - x _ dx \ www.FreeLibros.me (x 2 + y 2)2 x2 — y 2 ( * 8 + y2)2 ‘ Derivadas y d iferenciales de órdenes superiores______________211 2. D i f e r e n c i a l e s d e ó r d e n o s s u p e r i o r e s . R e cib e e l D om bre d e d i f e r e n c i a l d e s e g u n d o o r d e n (le u n a f u n c i ó n z = / ( x , y ) , l a d i f e r e n c i a l cíe l a d i f e r e n c i a l d e p r i m e r o r d e n d o d i c h a f u n c i ó n : d l¿z ~ d ( d z ) . A n á l o g a m e n t e s o d e t e r m i n a n la s d i f e r e n c i a l e s d e la f u n c i ó n z d e o r d e n s u p e r i o r al s e g u n d o , p o r e j e m p l o : d 3z = d ( d 2z ) y , en g e n e r a l, d n z — d ( d ,l-1z). S i z — f ( x , y ) , d o n d e x e y s o n v a r i a b l e s i n d e p e n d ie n t e s y la f u n c i ó n / t i e n e d e r i v a d a s p a r c i a l e s c o n t i n u a s d o s e g u n d o g r a d o , la d i f e r e n c i a l d e 2 o o r d e n d e La f u n c i ó n z s e c a l c u l a p o r l a f ó r m u l a d2z . ts , r, d 2z , . . OH , , d 2= T V 2 ■■■■ a ■d x d y + - ^ 2 d !f * dx2 d x dy dy2 E n g en era l, c u a n d o e x is te n fó rm u la s im b ó lic a n . ( 1) la s c o r r e s p o n d i e n t e s d e r iv a d a s se v e r i f i c a la ( 0 0 \ 71 d x - * r + d y W ) ,# que form alm ente se desarrolla según la ley binom ial. Si z = / (x , y ) , donde los argum entos x e y son a su voz fnncío'Ms do una o varías variables independientes, tendremos -B J T «*• < *+ ■ & r f f + # “* + £ *<'• <! > Si z e ¡/ son variables independientes, d 2x — 0, d2y = 0 y la fórm ula (2) se hace equivalente a la fórm ula ( 1 ). E j e m p l o 2. H allar las diferenciales totales de Io y 2o órdenes de la función z *= 2x'2 — 3 x y — y 2. S o l u c i ó n . 1er procedim iento- Tenemos: -g — 3 .-2 » . P o r lo cu a l, dz — d x -f- dy = (4x — 3y) dx — (3 x -f- 2y) dy. D espués, _É !l = / dx2 óxdy _ d2z dy 2 de dondo se deduce que dH = ^ + 2 ¿?f ¿ y ^Vt = A d x * - 2° procedim iento. f> d x d y - 2 dy'* Diferenciando, hallamos: dz = 4x d x *—3 (y d x + x d y ) — 2 y d y = (4x — 3y) dx — <3x + 2y) dy r V olviendo a diferenciar y recordando que d x y dy no dependen de x o y, •14* www.FreeLibros.me i 212 Funciones de varias variables obtenemos: d2z = (4 d z — H dy) d x ~ - ( 3 d z - \ - 2 d y ) d y = 4 d x 2 — 6 d x d y — 2 dy*. , 0(H rT i , d2z a x- 02z dx dy d2z dy¿ . tt d2z d2z ú2z lo 9 1 . H a lla r -r -ó -, m 1 892. H a lla r si , s, z =- ln (x 2 + y). 1893. H a lla r , si dx Oy 1894. H a l l a r ^ - , si dx Oy z = arc(.g x. Jry ° . 1895. H a lla r .. 1 — xy . , si _ r = y x 2 + y * + z 2. 1896. H a lla r todas las derivadas parciales de 2o orden (unción. • u = x y - f yz + zx. 1897 • H a l > " s S r , ■ si h u — x ay &zy , 1898. H a lla r .v , si dxdy2 7 z = sen (xy). 1899. H a lla r / ^ ( O , 0), f ' v (Qt 0 ), f vy(Q, 0), si / ( * , í,) = (1 + z r H + y ) \ 1900. Dem ostrar, que = ■, si 1 / x—y z = a rsen ]/ — 1 9 0 L Dem ostrar, que ^ • . .... .. ¿te — d2* dx , si z = ay. www.FreeLibros.me de la D erivadas y diferenciales de órdenes superiores 1902*, Dem ostrar, q u e para la fu n c ió n / ( * , y) = x y ± j con la c o n d ic ió n com p lem en ta ria de / ( O , 0 ) = 0 , tenemos /¿ „ ( 0 , 0) = - i , 1903 H a l la r 1JIW. tt.dilar ’>~z , ^ z - , gx2 0xdy /U (0 , 0 ) — h i- si 0/j2 , sx Z = / { ü , i>), donde u = x* + y * t v = x y . 1904. H a lla r S » , si dx¿ u = f ( x , y y z ) t donde z = <p(x, y ). IT i , 1905. H a l l a r y) donde d2z w 0 2z , = q> {cr, y), si — i/). 1906. Dem ostrar, q u e Ja fu n c ió n u = a rctg satisface a 3a e c u a c ió n de Laplace Ó*u , d2u A - U* 1907. Demostrar, que la fu n c ió n i¿ = ln ~ donde , r = ]/r ( s — fl)2 + (*/— b)2, satisface a la e cu a ció n d2u ^ d2u fte* 1 dy* de L a p la ce Q 1908. Dem ostrar, q u e la f u n c i ó n u { x y t) = A sen (aXt + <p) sen Xx satisface a la e cu a ció n de v ib ra cio n e s de la cuerda d2u. 2 d2u = a ¿ -----dt2 dx¿ * 1909. Dem ostrar, que la fu n c ió n (x - x0)2M v- uq)2+ { Z- zq) 2 * < * ■ » '‘ W - 7 O T ‘ www.FreeLibros.me 214 Funciones de varias variables (x 0l y0t z0l a , son constantes) satisface a la e cu a ció n de la con d u c tividad c a lo r ífic a du 2 / d'¿u dt ~ a ( 3 * 2 + d*u dy2 d*u \ dz2 / 1910. Demostrar, que la fu n c ió n a = <p ( .r — a ¿ ) + \\) (x -\ --a ¿), donde y y son unas fu n cion es cu a lesq u iera, d iferen cia b les dos veces, satisface a la e cu a ció n de las v ib ra cio n e s de la cuerda d*ii 2 d*u di2 “ a dx* ‘ 1911. Demostrar, que la fu n c ió n satisface a la ecu a ción * Ü !L + w2 Ü L « o 1912. Demostrar, que la fu n c ió n M = <p(xy) - h / x p N ’ f - i - ) sa tisfa ce a la ecuación I 2 Ü í i _ t/2 - ^ L = 0 31 y 3x2 d yt - u■ 1913. Demostrar, que la fu n c ió n z = j [x - \ -q > ( y )} satisface ecu a ción dz d*z_ — — 0*z dx dx dy dx2 dy a la 1914. H a lla r u := u ( x y y), si dx dy 1915. Determinar la form a do la fu n c ió n u — u ( x 1 y) que satis face a la ecu a ción d*u dx* 1916. H a lla r d 2z, si Z= 1917. H a lla r si u z= x y z . www.FreeLibros.me Integración 215 de diferenciales exactas 1918. H a l l a r d*z, si 2 = (p(¿), don de l =* x 2 - i - y 2. 1 919. H a l l a r d z y d2z, si donde = v = xy. 1 920. H a l l a r d2z, si z = / ( u , t>), don de u = * a x , v = b y . 1 921. H a l l a r d*z, si z = / ( ¿ ¿ ? y ), donde u = x e v> v ~ y e x . 1922. H a l l a r ds z, si z = cx eos y. 1 923. H a l l a r la d ife ren cia l de 3 ür orden de la fu n ción z = £ eos y + y sen x, y d eterm in ar todas d eriva da s p a r c ia le s de 3 ei orden. 1924. H a l l a r d f ( 1, 2) y d 2/ ( l , 2 ), si / ( * > 2/) = x 2 -\-xy -\-y2— 4 ln x — 10 I n y . 1925. H a lla r + 4 x z + 2yz. d 3/ ( 0 , 0 , 0 ), si / (x, y , z ) — x 2-\-2y2 + á r z2 — 2 x ^ 4 - § 8. In te g r a c ió n de d i f e r e n c i a l e s e x a c ta s I o. C o n d i c i ó n d e d i f o r e n c i a l e x a c t a . Para q ue la expresión P ( x , y ) d x + Q ( x , y ) d y , en que las fu n cion es P ( x %y ) y Q (x, y ) son c o n t i nuas co n ju n ta m e n te con sus d eriv a d a s p a rcia le s de p rim e r orden en un r e c in t o sim p le m e n te c o n e x o D , represente d o p o r sí* en el re cin to D y ia d ife r e n c ia l e x a cta d e una f u n c ió n determ in a d a u ( x , y), es n ecesa rio y s u f i c ie n te que se c u m p la la c o n d ic i ó n dQ dx Ejem plo t. __ dP dy Cerciorarse de q ue la e x p re sión {2 x + y) d x + ( x + 2y) dy os la d ife r e n c ia l e x a cta de una fu n c ió n determ inada y h a lla r d ich a fu n c ió n . Solución. En este ca so P = 2 x -\ -y , Q — x + 2 y . P or e sto , y , p o r c o n s ig u ie n t e , {2 x + y ) d x + ( x + 2 y ) d y = d u = - ^ d x + ~ - d y , d on d e u es la fu n c ió n q ue se busca. www.FreeLibros.me dx ^ - = \ dy 216 Funciones de varias variables De acuerdo con Ja c o n d ic ió n ^ ~ = 2x + y % p o r con sigu ien te, ox (2x + y ) d x — x* + x y + q (y), Pero, por otra parto, = y2+ c =*x + q>' (y ) = x + 2y* de donde q>'(j/) = 2¿/, q>(p)=» y y u = x* -j- x y -j- _j. C. Finalmente, (2x + y ) d x + ( x + 2 y ) d y = d (a:2 + x y + y 2 + C). 2°. C a s o de tros variables. Análogamente), la expresión P ( x , y , c)dx4-Q(:r, y, z)dy + fí (x, y, z)dzt en quo P ( x , y, z)f Q ( x , / / , z ) y R (x, y, z)t ju n to con sus derivadas parcia les de 1er ofd on, son fu n cion es con tin u as de las variables x, y t z representa la diferencial exacta de una fu n ció n determinada u (x, y , z), en un recin to sim plem en te con exo D del ospacio, cuando, y s ó l o cuando, en D se cu m p la la c o n d ic ió n d x ~~ d y E j o m p 1 o 2. ' IIL = J 9dy ~~ Óz 1 0P - dz ~ dR dx Cerciorarse de que la expresión (3*2 4- 3y - i ) d x - f ( z2 M ZX) dy + (2 yz + í ) d z es la diferencial oxacta de una fun ción y h allar d ich a función. S o l u c i ó n . A q u í / >= 3x 24- 3y — j , Q = z 8 + 3 x y R = 2 y z-\ -l. E sta b le cemos, que dQ dx dP dy ^ J!*Lma- J Í ! L = 2z dy Oz 0 P -1 ° R - 0 dz dx y, por consiguiente, (3xa4 - 3 y — I ) d x 4 - ( s 2 + 3x) d y + ( 2 y z + \) dz = du = - ~ d z + ~ - d y + ^ £ - dz, dondo u es la fu n ció n que se busca. Tenemos: es decir, u = ^..(3x24 - 3 y — í ) d x = x * 4 - 3 x y — x + y ( y t z). Do otra parto, ■ s--* • + ■ & -+ * ■ ■ www.FreeLibros.me Integración 1d e diferenciales exactas 217 de d on de -^ 2 - — ¿2 y - ^ L = 2(/s + l . E l p rob lem a se reduce a buscar una fun c ió n de d os variables 9 (y, z), cu y a s derivadas parciales se co n o ce n , habién dose c u m p lid o la c o n d ic ió n de d iferen cia l exacta H a lla m os cp; y (y, z ) = J z * d y = y z 2+\\>(z) J ^ = 2yz + ty' (z) = 2yz + d, V ( z ) = 1, ^ ( z ) = z + Ct es d e cir, (p {y, z)=* yz* + z + C . Y y fin alm en te, obtenemos u = x* + 3 z y — r - f yz2 -f- z + C . Después de com p rob a r q u e las expresiones que se dan m ás a ba jo son diferen cia les exactas de cie r ta s funciones, h a lla r estas fun cion es. 1926. y d x H- x dy. 1 9 2 7 . (c,osx + 3 x 2y ) d x + ( z 3 — y 2) d y . m oa (x + 2 y ) d x + y d y 1928‘ 1929. * X± % d x - 2 x ~ y,, dy. X 2 -\ -lJ 2 1930. — d x y 1 931. X 2 -~ -lJ ¿ J %rdy. y ‘¡ * ■= d x ^ — l — dy. V * * + V* V * 2 -¡-y2 1 932. D eterm in ar las con stan tes a expresión y i de tal form a, que Ja (a x 2 -\-2xy - f y2) d x — (x 2 + 2x y -f- by2) dy (x*+y*)2 sea la d ife re n cia l e x a cta de una fu n c ió n z, y h a lla r esta ú ltim a . Después de co m p ro b a r q u e la s expresiones que se dan m ás abajo so n las diforen cia les e x a cta s de ciortas fu n cion es, h a lla r estas funciones. 1933. ( 2 x + y + 2) d x + ( x - f 2y + z ) d y - f ( x + y + 2z) dz. 1 934. (3 # 2 ~f- 2 y 2 -j- 3z) d x -f- ( í x y + 2 y — z)d y-\ - ( 3 z — y — 2) d z . 1 935. (2x y z — 3y lz + 8 z y ’¿ -\-2) d x 4 - ( x 2z — 6x y z -f- 8x*y + 1) d y -f- (x 2y — 3x y 2 + 3) dz. 1936 i 937 • ( y - i ? ) áa:+ ( T — x d x + y dy + zdz -\/x* + y* + t* www.FreeLibros.me 218 Funciones de varias variables 1938*. Se dan de coordenadas: la s p royeccion es Y y (*+y)*' de u n a y — fuerza sobre los ejes ^x (* + «* ’ donde X es una m agnitud constante. ¿Cuál debe ser el co e ficie n te Xt para que la fuerza tenga potencial? 1939. ¿A qué co n d ic ió n debe satisfacer la fu n c ió n / ( i , y ) , para que la expresión /(* , y )(d x + d y ) sea una diferen cial exacta? 1940. H a l l a r la fu n c ió n i¿, si du = / ( x y ) (y d x + x dy). § 9. Derivació n de fu ncio n es Im p líc ita s 1. C a s o d e u n a v a r i a b l e i n d e p e n d i e n t e . Si una ecuación / ’ (x, t/) = 0, donde f (x> y) es una fu n ció n diferenciabiu de las v a ria b les x determ ina a y co m o fun ción de x , la derivada de esta fu n ció n dada en forma im plícita , siem pre que fy { x y */)=¿= 0, puede h a lla rse p o r la fórm u la dy _ íx{x,y) «** V )' Las [derivadas de órd en es superiores se de la fórm u la (1). Ejem plo t. H allar y ~ .. ha lla n por d e riv a ció n sucesiva , si + y2)3 _ 3 (*2 + yZ) _|_ \ = 0. Solución. Designando e l prim er I ( x y y )t h a llam os las derivadas parciales m iem b ro de esta ecu ación por i* (*, y) = 3 (s2+ y 2)2-2z - 3 -2x = 6x [(x*+y*)2- 1 ] , h (* . y) = 3 ( x s + y 2) 2. 2y _ 3 . 2 y = 6y (<s2 + y 2)2 _ t j. De don do, aplica n do la fórm u la (1), obtenemos: dy rfa? íx (x y y) _ fv(*,y) 6a: [(x 2-f-¿/2) 2 — 1] 6//((ar2 + y 2 ) 2 _ i ) x y ' Para h allar la segunda derivada, derivam os co n respocto a x la primera derivada que hemos encontrado, teniendo on cuenta a l hacerlo que y es fu n ció n de x: dy & 9 .. d f dx* d x \ t,¡/ y ) * dx y ( x \ X[ ¿,2 rjl ya + gg ^3 2. C a s o d e v a r i a s v a r i a b l e s i n d o p o 11 d i e n t e s . A náloga m ente, si la ecu ación F { x y y, 2) = 0, donde F ( x y y y z) es una fu n ció n d ife - www.FreeLibros.me D erivación de fu n cion es im plícitas 219 re n cia b le de la s v a r ia b le s x , y y z , determ ina a 2 com o fu n c ió n d e las v a r ia b le s in depen dien tes x e y , y F z ( x , y , z ) = f = 0, las derivadas parciales d e esta f u n c ió n dada de form a im p lí c it a pueden h a lla rse p o r las fórm u la s: dz ^ F x ( x , y , z) dz F y (x, y , z) c dx p 'z (x , y, z) dy F'z ( x , y , z ) ' O t r o p ro ce d im ie n to para h a lla r las d erivad as de la fu n c ió n z es el sigu ien te: d ife r e n c ia n d o Ja e c u a c ió n F { x , y , z) = 0 , obtenem os: 0 F . , dF t , dF dx + - - — dy + dz = 0. dx dy dz De d o n d e jp u e d e d eterm inarse dz, y E f j o m p l[o 2. H a lla r p o r con sig u ien te y y ^ . , si x * -2 y * -\ -3 z* -y z+ y = Q . S o 1 u c]i ó n . l or p r o c e d i m i e n t o . D esign a n d o el p rim er m ie m b ro d e estaa e c u a c ió n p o r m e d io d e F { x , y , z), h a lla m o s la s d eriv a d a s parciales Fx( Xy y , z) = 2x, F v ( x , y, z ) = — 4y — z + t , F z (x , y , z) = 6z — y. A p lic a n d o la fó r m u la (2), obtenem os: p»dz1_ Px ( x , y , z ) 2x _ dz F „ (x ,y ,z )_ * « * ” /£ (* , 6 z -y ’ ¿ir /•; ( * , 2° r) procedim iento. z) “ 1 — 4y — z G * -* f D ife re n cia d o la e c u a c ió n dada, obtenem os: 2 x d x — 4y dy -j-6 z dz — y dz — z d y - j- d y = 0. De d o n d e im p líc ita : d e term in a m os dz, e s d e cir, la d ife r e n c ia l total de la fu n ción 2 x d x -f- (1 — 4y — z) dy dz = -------------------- p----------------- • y — 6z C om p a rá n d ola co n la f ó r m u la dz = ~ 3°. S i s t e m a ecuaciones de d x ¿y » vem os, que dz 2s dz 1 — 4y — z dx y — bz dy y — 6z funciones implícitas. Si el sistem a d e dos ( F ( x , y , « , v) = 0 t [ G ( x , y f i¿, i/) = 0 d e te rm in a u y v co m o fu n cio n e s d ifere n cia b le s d e las v a r ia b le s x e y , ja cob ia n o d F OF www.FreeLibros.me y el 22 0 F u ncion es de varias variables las diferen cia les de ostas fu n cion es (y p o r con sig u ie n te , parciales) so pueden h a lla r d o las sigu ien tes ecuaciones sus d erivadas F A d F F J i j = A -d,— d x - I* — -- di y H.— d— du -f-0r F— dv 0, dx dy du dv (3) dG , . OG dG _ , dG _ ,, ¿ * + - 3—dy-|— — rfíí-4-— = 0 dx dy du 1 Ejem plo 3. Las ecuaciones u - f - u ^ s + y, ru +yy = l determ inan u y v com o fu n cion es de x o y\ h a lla r S o 1 u c i ó n. 1er p r o c e d i m i e n t o . co n respecto a x , obtenem os: du dx dv dx du D erivan do y a m bas . ecu acion es u dv o, “ + * t o + 1 ,te de donde dv u+ x *¿+y x — y ' d* — x — y ' du A n álogam ente, h a lla m o s: du _ dy y -j-y x—y ’ dy _ y + x Oy ~ x — y 2° p r o c e d i m i e n t o . P or d e r iv a c ió n relacionan entre sí las cu a tro variables: h a lla m os dos ecuaciones q ue las d ife re n cia le s du y dvy o b t e du-\-dv— dx-\-dy, x d t i + u d x ~ \ - y dv-^-v d y = Q. R e s o lv ie n d o nemos: _ esto sistema respecto a (u + V) dx~\-{v-\-y) d y x—y 1 ^ (u-\-x) d x - ± ( v + x ) dy y De dondo du _ dx u-\-y x—y ’ dv dx u-\~x dv x — y T dy du dy ~ y -j-y x—y v+ x x—y , . r '4° ' f u n c i o n e s d a d a s e n f o r m a p a r a m é t r i c a . Si la fun ción d ife re n cia b le ; de las variables x e y so da en ecu acion es param étricas x - x ( u , v), D (*■ y) D (u , v) y — y ( u , v), z = z(u,v) dx dx du dv dy dy du dv * 0, www.FreeLibros.me D erivación de fu n cion es im plícitas 221 la d ife re n cia l de esta fu n ció n se puede h a lla r d e l sistema do ecuaciones , dx = dx dx , du + dv, du ' dv dy^^Ldu+ZLdv, (4) j dz dz dz = — d u + — dv. k. ou dv C o n ocien d o la d iferen cia l dz = p d x - \ - q d y dz dz _ = p y _ = 9. h a lla m os Ejem plo la s ecuaciones argum entos x e y viene dada por 4. La fu n c ió n x — u-\-v, z de lo s y — ifi-\-v2j las derivadas parciales 2 = ns - j - ^ ( « =^¿= v). i, n ds dz H a lla r — y — . dx dy Solución. 1er p r o c e d i m i e n t o . P or d ife re n cia ció n tres ecuaciones que rela cion a n e n tre s í las c i n c o variables: h a llam os ( d x = d u + dv, d y = 2u du + 2v dv, l dz = 3 u 2 du + 3v'2 dv. De la s prim era s dos ecu acion es d esp ejam os du y dv: d u = 2 v d x -d y _ 2 ( v — u) du dy — 2u dx 2 (y — u) P on em os en la tercera ecu a ció n las expresiones así determ inadas de du y dv: , d z = 0 9 3 u 2 2v d x — dy „ 9 d y — 2 u d x ¡- ó v ¿ — = 2 (tf— u) 2 { v — u) — — --------- Ü u v ( u — v ) d x + 3 ( v t — u2) d y , , 3 , , v , = ---------------- T ( v — u)----------------- = — óuv d x - h y ( u + v ) dy. De d on de 2° dz dz ■3F“ - d w ' aF=T procedimiento. * dx 3 De la tercora ecu ación 3 „ S * L + 3 i, * 4 L ; dx dx 4 i = 3 B t * L + 3 V2 * L . dy D e riv a m o s las dos prim eras ecuaciones, y después, con respecto a y : du f dv dada se puede hallar: dy dy prim eram ente, con du www.FreeLibros.me dv {5) ' respecto a x , 222 Funciones de varias variables Del prim er sistema tenemos: du dx v v— u ' dv dx u u— u i 2 (u— v ) ’ dv dy 1 2 ( v — u) ' Del segundo sistema tenemos: du dy Poniendo las expresiones ~ y ^ 0z 3¡i2 — — J H “2 óx en la fórm u la (5), obtenem os: v — u 1941. Sea y una u —V _ : w, + 3 l'2 •2 i h r ) - 4 fu n c ió n <“ +»>• de x y determinada por la ecuación ** 1 ¿2 = 1. a* 1 H a l la r *L , f l y dx ^ d x3 dx2 *1 . 1942. Sea .y una fu n c ió n determ inada x* + j f + 2 a x y = 0 por la ecu a ción ( a > 1). Demostrar, que ^ | = 0 y e x p lica r el resultado obtenido. 1943. H a lla r , si y = 1 + 0 * . 1944. H a lla r y g , 1945. H a lla r ( £ ) _ , si y = * + ln y. y ( g ) „ , , «i a ? _ 2 * y + ff* + x + 0 - 2 = O. U tilizan do los resultados obten idos, representar a proxim ada m ente la grá fica de esta cu rva en el entorno del p u n to x = í . 1946. La fu n ción y está determ inada por la ecu a ción ln )/4 r2 + í/2 = a a r e t g «w - 1 * S■ s. á - >• (a=¿= 0). - i + x y — ln (exv -\- e~x,J) — 0. www.FreeLibros.me D erivación de fu n cion es im plícitas 223 1948. L a fu n c ió n z de las v ariab les x o y se da por la ecu a ción z 3 + 2 i f + z ' - Z x y z - 2 y + 3 = 0. H a lla r ~ dx y J d~ dy Í9 4 9 . H a lla r y dx J dy , si x eos y + y eos z + z eos x = 1. 1950. L a fu n c ió n z v ie n e dada p o r la ecuación z* + y 2 — z2 — x y = 0. H a lla r-^ - y TT para el sistema de v a lo r e s x = — 1, í / t = 0 y z — 1. n 1 9 o l- H a lla r <^2 ¿ 2 d 2Z ¿te ’ éty 5 dx'¿ 7 ¿tedy ? d 22 ¿ 22 . #2 » ¿„2 ( ^ ’ <ty2 ? 22 a2 ' bl¿ 1 c‘ 1952. f (x , y, 2) = 0- Dem ostrar, q u e ■— •~ 7 •— = — 1. 1953. 2 = 9 ( 2;, y), donde y es fu n c ió n de e cu a ció n tJ>(£, y) = 0 . H a l l a r determ inada por la . 1954. H a lla r dz y <22z, si x 2+ y 2 + z2 ~ a 2. 1955. Sea 2 una f u n c i ó n de la s v a r ia b le s x por la e cu a ció n o y determ inada a -j- 2 y 2 -j- z 2 — 8 2 :2 — 2 + 8 = 0- 2 ;2 • H a lla r dz y dí z para el sistem a de valores z = 2 , y = Ü y 2 = 1. 1956. H a lla r dz y d2z t si ln z = x + y + z — í . ¿ A qué son igu a les las derivadas prim era y segunda de la fu n c ió n 2? 1957. Sea la fu n c ió n z dada por la ecu a ción i ? + y 2 + z 2 — 9 ( a x + by + cz), donde cp es una fu n c ió n tantes. D em ostrar, que cu a lqu iera d iferen cia b le y a , ó, c, cons (cy - b z ) ~ - + (^z — ex) -J i = ¿a: — a y . 1958. D em ostrar quo l a fu n c ió n z, determinada por la e cu a ció n F ( x — a z 7 y — bz) = 0 , donde F es u n a fu n c ió n d ife re n cia b le cu a lq u iera de dos argum entos, satisface a la ecu a ció n www.FreeLibros.me 224 F u ncion es de varias variables 1959. F [ ~ r , D em ostrar, que x -r^ + y — z. 1960. Dem ostrar, quo la fu n c ió n z, determ inada c i ó n y = x y ( z ) + t y (z ) , satisface a la e cu a ció n 0 2z i dz \2 _es dz dz 02z dx2 \ dy ) Ox dy d x dy 1961. Las fu n cion es y y z de dan por el sistema de ecuaciones 02z / dz V2 dy2 V dx ) la v a r ia b le *> + *•— * » - o , ** + 2 » * + 3 * * - 4 . H a lla r X = 1 , 1/ = 0 y z = l . 1962. Las fun ciones y y z de dan por el sistema de ecuaciones la por la e cu a . indepen dien te , ■§ , g v a r ia b le x se y - g - para independiente x se x y z = a , z + i / + z = b. H a lla r d y , dz, d 2z. 1963. Las fun ciones y v de las v a ria b le s independientes x e y se dan por el sistema de ecu a cion es im p lícita s u = x-\-y, u v = y. C a lcu la r du fíu 02u 71 ’ ly ' d2u d2u dv dv ’ ¿t/2 ’ 1 7 ’ T y ' d2v d2v d i dy ’ 02v dy* p a r a z = 0, y = l . 1964. Las fu n cio n e s n y v de la s variables independientes £ e y se dan por el sistema de ecu a cion es im p lícita s u + v = z, u — y v — 0. H a lla r du, d v , d2u, d2v. 1965. Las fun ciones u y v de las v a ria b le s x e y e l sistema de ecu a cion es im p lícita s s = q> ( u t v ) y Tl n du dx du dy H a lla r -r— , - 3— , dv dx 1966. a) H a lla r b) H a lla r Ox y = se dan por v ). dv dy y -r— . J Y ^ oy z = z/cosi>, y = u s e n v y z = cv. y -J^-, si x = u + v, y = u — v y c) H a lla r dz, si x - \ - e u+vt y = e n~v y z = u v . www.FreeLibros.me z = ut;. 225 Cambio de variables 1967. z = F ( r , <p)t donde r y (p son fun ciones de las variables x e y % determ inadas por el sistema de ecu acion es x = r cosq), H a lla r n a ila r dx iy = rsen<p. v - dz y dy ’ 1968. C onsiderando z c o m o fu n c ió n de x e y, h a lla r y , si x = a eos cp eos tj), t /= ó s e n epeost);, z = ese m|>. § 10, Cambio de v ariab le s Cuando se cam bian las v a ria b les en la s expresiones d ife re n cia le s, las d erivad as quo entran en e ll a s deben expresarse p o r m e d io de derivadas con respecto a las nuevas varia b les, a p lica n d o para e l l o la regla do d iferen cia ció n de fu n cion es compuestas. I o. C a m b i o d o v a r i a b l e s o n l a s e x p r e s i o n e s q u e c o n tienen derivadas ordinarias. E jem plo 1. T ra n sfo rm a r la e cu a ció n X' d*'J . dx 2 dy pon ien d o # = -“ • • S o l u c i ó n . Expresam os las derivadas de y respecto a z por m edio de las derivadas de y con respecto a t. Tenemos: dy _ dx dzy dxa dy dt dy dt dx dt 1 W t2 dy dt J _ ( dy > d d ( d y \ = dt \ d x I dx \ dx ) dx dt P on em os la s expresiones d o y ca m b ia n d o x p o r las d erivadas h a lla d a s on la ecuación | , obtenem os: ^ • <3( 2 # + ' - S - ) + 2 4 (-« ■ í-j+ r f* -0 4 s r + a,* - ° 15—1016 www.FreeLibros.me dada F u ncion es de varias variables E j e m p 1 o •2 . T r a n s fo r m a r la e c u a c ió n ( dy V dx* dy V dx ) » dx lom a n d o y co m o a rg u m en to y x c o m o fu n c ió n . S o l u c i ó n . E x p re s a m o s la s d e r iv a d a s d o y r e s p e c to a la s d e riv a d a s d e x resp ecto a y dy 1 dx dx_ 1 x p o r m o d lo de 'd y <py_J_ / J \ d x2 d x J dx_ j <L / J \ d y I dx_ V. d y )J \ d y .J dx d*x d*x dy2 dy* ( í_ 'l \ d y ) _ í-í V dy \dy) P o n i e n d o e s ta s e x p r e s io n e s d e la s d e r iv a d a s e n la e c u a c i ó n ■ d ada, ten drem os: d*x i 1 / d x \3 dx \d ij) dy dy * ( W r — 0, o, fin a lm e n te , dy* E j e m p l o pasando o 3. ‘ 1 \dy/ T r a n s fo r m a r la ecu a ció n dy ^ x + y dx x—y la s c o o r d e n a d a s p ola res x — r cos 9 , y = r sen 9 . (1 ) S o l u c i ó n . C on sid era n d o r c o m o fu n c ió n d e 9 , de la fó r m u la obtenem os: d a = c o s cp d r — r s e n 9 ¿ 9 , dy =-*sen cp dr + r c o s 9 rf<p, d e d o n d e . dy _ s o n 9 dr-\- r e o s cp dep _ dx e o s cp d r — r s e n cp dep dr s o n cp -3 dq> dr c o s cp dep P o n ie n d o en la e c u a c ió n dada la s ex p re sio n e s de h r e o s cp x, y r s e n cp y dr s e n cp —r— f - r c o s cp cos 9 dr d9 r sen 9 — r C 0 S ( P + r s e n <P — r c o s cp— r s e n 9 o, después d e s im p lific a r , dr d9 r. www.FreeLibros.me dy — tendrom os; (1 ) 227 Cam bio de variables 2 o. C a m b i o d o v a r i a b l e s e n tienen derivadas parciales. E jem plo que con 4. T ra n sform a r la ecu a ció n de las vib ra cion es de la cuerda d*u * d2u ~dW~ HteP las expresiones { a * 0) a unas nuevas v a r ia b le s in depen dien tes a y P, d on de a — x — a t , p — x-^-at. S o l u c i ó n . Expresam os las derivadas parciales de u con respecto a x y t p o r m e d io de derivadas parciales do u con. respecto a a y p. A p lic a n d o las fó rm u la s de d e riv a ció n de fu n cion es com puestas du du d a dt 3<x du Ofi dt d i' du du da dx da dx du dP ' d§ d x ’ obtenem os: du ~dt du , . , du Ou . , du dx da dp du f du i)u \ du , du da dp V o lv e m o s a derivar a p lica n d o estas m ism as fórm u la s: d*u / du\ d_^ / du \ d a dir" \ ~ d f ) ~ ~ d a \ ‘ W ) di / du_ \ dp \ dt ) d*u d*u\ \, . .,/ d*u ( d*u d ~W l d'¿u a \da9p d a 2 j ( aJ + a flft dt ~ c?2u d*u \ l O?2d a d p ) a ~ i d*u V ía » d2u dx'£ d / du \ d f t ___ dp \ d x ) d x ~~~ d / du \ |^ | ( du \ da dx \ dx j ~ da \ d x ) dx I d2u fru \ dadp ) * 2 0% \ . . .Ha d a ddp p T HfP dfi* } ' / d*u . 0 2u \ dû + l d a dfl + dffi ) ' ” da 2 '*' d*u d2u d a d p + ~dF ‘ P o n ié n d o lo en la e cu a ción dada, tendrem os: . i dd'uu Y da? n d*u d*u . d2u . \ &*u „\ // <r*u 02u ,, d*u & *I¿ . d2u \ d a ddp P +1 dp2 dB2 ;j “ G“ \V da* ^ + ' ¿ dda a ddp p +1 da o bien, d2u da dp Ejem plo 5. T ra n sform ar la — ü. ecu ación x2 co m o nuevas v a r ia b le s independientes u = x , v = —— www.FreeLibros.me + tom ando , y co m o nueva fun ción 228 Funciones de varias variables Solución. Expresam os las derivadas parciales las derivadas parciales y , , dx dy . dx dz Por otra parte, , dw dw aw — —?— d u —— du. du dv Por esto dw _ , dw , du4~—r— dv du dv dx x'¿ dz z o bien, dw / d x dw du dy \ dx dz De aquí que „ ( i dz = z2 { — V x2 dw 1 du? \ z2 dw 5---------- 5- — ) dx H —— dy du x 2 dv ) y 2 dv y, por consiguiente, dz da; 2 / jl_ 2 \ x2 dw du dz z2 dw 1 dw \ x ,¿ dv ) y dy ~~ y 2 dv Pon ien do estas expresiones en la ecu ación dada, obtenem os: *222 M \x* m ediante . Para e l l o , d iferen cia m os la s relaciones dadas entre las variables antiguas y las nuevas , y Üü du LJ?íM . .2 Ü íl_z2 x2 d v ) + o bien, dw 1969. Transform ar la ecuación haciendo * = <?*. 1970. Transform ar la ecuación poniendo £ = cos¿. www.FreeLibros.me 0v 229 Cambio de variables 1971. argum ento: T ra n s fo rm a r la s sig u ien tes ecuaciones, tom a n do y com o 1972. L a tangente del á n g u lo ¡x, form a d o por la tangente M T y el ra d io v e c to r O M d e l p u n to de tangencia ( f i g . 69), se expresa de la form a sigu iente: T ra n sfo rm a r esta ex p re s ió n , a: = rcosq>, y ~ r senep. pasando a las coordenadas polares: Y O T F i g. 69 1 9 7 3 . E xpresar la f ó r m u la de la cu rva tu ra de una línea on coorden adas p olares x = r cosq), i/ = rsen<{>. 1974. T ra n s fo rm a r a las nuevas v a r ia b le s independientes u y v la ecu a ción si u — x , v — x 2-\~y2. 1975. T ra n sform a r a las nuevas v a r ia b le s independientes u y v la ecu a ció n x www.FreeLibros.me 230 Funciones de varias variables 1976. Tran sform ar la ecuación de L a pla ce d*u d x* + d*u dy* ~ a las coordenadas polares r y <p, poniendo x — r c o s (p , 2/ ^ r s e n q ) . 1977. Transform ar la ecu a ción ^ ü i _ » 2 Ü i _ 0 dx* y dy* " " u > haciendo u = x y y . 1978. Transform ar la ‘ecuación dz dz y -d ¿-x , . in troduciendo las nuevas v ariab les independientes u= 1 •> u = — 4- — x ' y y la nueva fu n c ió n w = l n z — ( x + y ) . 1979. Transform ar la ecu a ción ^ dx2 2 ^ - + 4 ^ = 0 , dz dy ' dy: tomando com o nuevas v ariab les independientes u = x-\~y, y= y y co m o nueva fu n c ió n u; = 1980. Transform ar la ecuación dx* ^ dx d y ^ dy* poniendo u = x-\-y, i > = x ~ y f w = x y — z y donde w = w ( u , v). § 11. Plano ta ng e nte y normal a una superficie I o. E c u a c i o n e s del plano t a n g e n t e y do la n o r m a l p a r a el c a s o en q u e la s u p e r f i c i e está dada de f o r m a e x p l í c i t a . Recibe el nom bro do plano tangente de una su p e rficio en el punto M (p u n to do con ta cto ) el p la n o on que están situadas todas las tan gentes en el punto M , a las curvas trazadas en d ich a su p erficie q ue pasan por esto punto M. Se llama normal de una su perficie a la recta perpen dicu lar a l p la n o tangente en e l punto de contacto. Si la e c u a c ió n de la su p erficie esta dada de form a e x p líc it a en u n sistema de coordenadas cartesianas, z = ¡ ( x y y ) t dondo / (x t y) es una fu n ció n diferon~ www.FreeLibros.me 231 P lan o tangente y normal a una superficie c ia b le , la e cu a ció n dol p la n o tangente en e l p u n to fi c i e será M (*0, y0, z0) a la super 2*— z0 = fx (x0, u0) ( X — * o ) “t"/u (x o> yo) — i/o)‘ 0) A q u í 2 0 = l ( z 0% y0) y X , y , Z , so n las coorden adas v a ria b les de los puntos d o l plano tangente. Las ecu acion es de la norm al tienen la fo rm a : _ £ = f x ( x 0’ yo) a ( 2) /*/(«o» vo) d on de X , y , Z , so n las coorden adas v a ria b les d e lo s puntos d o la norm al. E j e m p l o i . E s c r ib ir la s ecu a cio n es del plano ta n g e n te y d o la ñorm a l a la su p e rficie z= -¿ y 2 ea su p u n to M (2; — 1; 1). S o l u c i ó n . H a lla m o s las derivadas parcialos de la fu n c ió n dada y sus v a lo re s en el punto Af. Í i _ r dx _*> *’ 02 0y [ d* ) M „ / 02 -* • ( t ) « - De d o n d e, a p lica n d o las fó rm u la s ( i ) y (2), tondrom os: z — 1 = 2 (a: — 2 ) - f + 2 (y - M ) ° b ion , 2 x + 2y — 1 = 0, q uo es la ecu ación del p la n o ta n g e n te , y f _ 2 — iL h i a ‘ i- t , q ue so n la s ecu acion es do la norm al. 1 2o. E c u a c i o n e s de! plano tangente y do la n o r m a l para ol cas o en quo la s u p e r f i c i e o s t á d a d a d e f o r m a i m p l í c i t a . En ©1 caso en que ln ecu a ció n de la s u p e r fic ie regular cstó dada d o form a im p líc it a F ( x , y, z) = 0 y F [ x 0, ¿/o> 2o) = 0, *a3 ecu acion es co rresp o n d ien tes tendrán la form a F x (ô* yo» zo) ( X — aro) (x o* í/o» z o) 0 ^ ífo) H" ^ (*o* yo* zo) (Z 2o) = 0 . (3) q ue es la ecu ación d e l p la n o ta n g e n te , y X — ar0 Fx (ar0, yo» -o) _ y — yp F v (x$, yQf z0) _ Z — gQ Fz (ô* 2/o» 2o) que so n las ecu acion es de la norm al. E j e m p l o 2. E s crib ir la e c u a c ió n d e l p la n o tan gen te y de la norm al a la su p e rficie 3x yz — z3 = a 3 un el punto que tiene a: = 0 e y = aS o l u c i ó n . H a lla m o s la cota z dol punto do c o n ta cto , p o n ie n d o x = 0 e y = a en la ecu a ció n de la su p e rficie : — z3 = a3, de d on d e 2 = — a. Do esta fo rm a , el p u n to de con tacto' es M (0. a, — a). D esign a n d o por F (x, y, 2) e l p rim e r m ie m b ro de la e c u a c ió n , h a llam os las d eriv a d a s parciales y sus v a lo re s on el punto M : F x = 3yz, ( F x ) m = — 3 o 2, Fy = 3 x z , (Fy )a/ = 0, Fz = 3 x y — 32a, ( F z) m “ — 3fl2. www.FreeLibros.me 232 Funciones de varias variables A p lic a n d o la s fó r m u la s (3) y (4), obten em os: - 3tf2 (2 _ 0 ) + 0 ({/ — a) — 3fl2 (z + a) = 0, o sea, x + 2 + a = 0 , e c u a c ió n d o l p la n o tangente, 0 y —a -3 a 2 “ a: e/ — a z + a o sea, -y- = —— = —-— , ecu acion es z+ a 0 — 3a* , ’ , , d o La n o rm a l. 1981. E s c r ib ir la s ecu acion es de lo s p la n o s tangentes y las de la s n orm ales a las sig u ie n tes su perficies en lo s puntos q u e se indican : a) al p a ra b o lo id e de r e v o lu c ió n z = x 2-\-y2> en el p u n to (1; — 2; 5 ); b) al con o + ~-*ir ” en c l Pu n to (4.; 3 ; 4 ); c ) a la esfera x 2 -\-y2 + z2 = 2 R z f en el p u n to ( r e o s a ; 7? sen a ; R ). 1982. ¿En q u é p u n to del elipsoid e * 2 _ l y2 _i_ z2 - i T T + -P -+ -3 - - 1 la norm al form a án g u los igu a les con los ejes coordenados? 1983. P o r .e l p u n to M (3; 4; 12) de la esfera x 2 + y2 + z 2 ~ 169 pasan pla n os perpendiculares a lo s ejes O X y O Y . E s c r ib ir la e cu a ció n del p la n o que pasa p o r las ta n gen tes a la s seccion es que o rigin an a q u é llo s , e n el p u n to co m ú n A i. 1984. Dem ostrar, q u e la e c u a c ió n del p la n o tangente a la su p erficie cen tral de 2 o orden a x 2 - f by 2 4 - cz2 — k e n su p u n to M (x 0} y 0, z0) tiene la form a a x 0x + by0y + cz0z = k. 1985. Dada la s u p e rficie x 2 + 2 y 2 + 3zz = 2 Í , trazar a e lla n os tangentes q u e sean p a ra le los al p la n o x + 4y-\- 6 z = 0 . 1986. D a do e l elipsoid e a'¿ "i" ¿,3 -T c2 p la *1 trazar a é l p la n o s tangentes q u e in te rc e p te n en lo s e jes coord en a dos segm en tos de ig u a l lo n g itu d . 1987. H a l la r en la s u p e rficie x z -\-y'1— z 2- ~ 2x = 0 lo s pu n tos on q u e los p la n o s tan gen tes a e lla sean p a ra le lo s a los planos coordenados. 1988. Dem ostrar, que lo s p la n o s tangentes a la su perficie x y z z = m ? form a n c o n lo s p la n o s coorden ados tetraedros de v o lu m e n con stan te. www.FreeLibros.me Fórm ula de T a y lo r para la s fun cion es de varias variables 1989. Demostrar, que lo s p la n o s tangentes a la 233 superficie Y x + Y y + V Z = Y a in lercop tan en los ejes coordenados segm en tos, cu ya suma es con stan te. 1990. Dem ostrar, que el con o y la esfera son tangentes entre sí en lo s pu n tos {0 , ¿ b, c). 1991. S e llam a án gulo entre dos s u p e r f i c i e s en el p u n to de su in tersección , ai á n g u lo q u e forman los planos tangentes a dichas superficies en el punto que se considera. ¿Q ué á n g u lo form an en su in tersección el c ilin d r o a:2 - f p2 = R 1 y la esfera ( x — R ) i + y * + - z * - = R l en el punto M ( | - ; \0 ) ? 1992. S e llam an ortogona les las superficies q u e se corta n entre sí form ando á n g u lo recto en cada u n o de lo s puntos de la línea de su in tersección . Dem ostrar, que las superficies ¿r2 ¿/2 - f z2 = r2 (esfera), ¿/ = a:tgq> (p lan o) y z 2 = ( a r + i f ) t g 2 \]> (con o), que son superficies coordenadas d e l sistema de coordenadas esféricas r , <p, tp, son ortogon ales entre sí. 1 993. Dem ostrar, que todos lo s planos tangentes a la superficie c ó n ic a z ^ x f en su p u n to M (x 0, i/0í z0), donde x 0 ^ O y pasan por el origen de coordenadas. 1994*. H a lla r las p ro y e ccio n e s del elipsoid e :c2 -f-¿/“ - f - z 2— x y — 1 =^0 sobre lo s pla n os coordenados. 1995. Dem ostrar, que la n orm a l, en c u a lq u ie r p u n to de la super f i c i e de re v o lu ció n z = / ( \ íx 2 -f- y2) (/'=?*=0) co rta a su ejo de ro ta ció n . § 12. Form ula do T a y lo r para las fu n c io n e s de v arias variable s S upongam os quo la fu n c ió n f (x , y) tiene en un en torn o del punto (a , b) derivadas parciales continuas hasta oí orden (n + i ) in clu siv e . Entonces, en este en torn o so v e r if ic a la fórm ula de T a y lo r: 1 (z , y) = i (a, 6) + - i - [ / ; (a , b) ( z - a) + f y (a, b) (y - b ) ] + + 4 r lr* * (a' 2 /" „ (a , b) ( z - a) {y - b) + / " „ (a , b) (V - i,)*] + . . . ■ ■ ■ + Í r [ ( x - a) - ¿ + ( y - b ) - k Y f ( a ’ b ) + f í n ( x ' y)' www.FreeLibros.me (1> 234 Funciones de varias variables dondo ñ " (í > y ) x Xf [ a + Q ( x - a ) t b + B ( y - b ] (O < 0 < X). En otras notacion es: f { x + h , y + k ) = f ( x , y ) + -L [h j'x <*, y ) + kfy ( x , y) f ( Aa/ »x (x , y) + + m r xll<«, » ) + k T m (*, </)!+ •••+4r ( ;i - k + k J í ) n H * *>+ 2 ( ) + ( T r T í j r [ h - í + i ! ~ k Y + i / ( l + 9fc; » + 0fc>o bien, A / < s , * ) = <*/ ( x , y ) + - i - ¿ 2 / (a:, 21 y)+... 1 En e l caso pa rticu la r en que a = 6 = 0, la fórm u la (1) recibe ol nom b re de fórmula de Maclaurin. Fórm ulas análogas so n v á lid a s para las fu n cio n e s de tres y m ás va riables. E j e m p l o . I-Tallar el in crem ento q ue recibo la fu n ció n / (x, y ) — = x 3 — 2y3 + 3 x y a l pasar do io s v a lores x = 4, y = 2, a lo s v a lo re s x l = l - \ - h 9 y i ~ 2 -\-h. S o l u c i ó n . E l in crem en to q uo se busca puede encontrarse a p lica n d o la fórmula (2). C a lculam os previam ente las derivadas p a rcia le s sucesivas y sus valores on el p u n to dado (1, 2): í ’x (x, y ) = 3 x * + 3 y , f ' J 1; 2) = 3 - l + 3 - 2 = 9, /;(* .» )— /y (1 j 2) = “ 6 -4 + 3 - 1 = — 21, 6 I /S + 3 * , s/) = 6 x, /” /^ (* .» )« 3 , /« (* • í' ) = (1; 2) = = 6 . 1 = 6, / " ( 1 ; 2 ) = 3, - 122/ , (1; 2) = - 1 2 . 2 = - 2 4 , £ £ ( * t ! r) = 6, /*íúf(l> 2) = 6, «£ ,< * . f l - 0 , /^ (1 ;2 )= 0 , / ^ ( i ; 2 )= 0 , y) = - 1 2 , / » ' „ (1; 2) = - 1 2 . * T od a s las derivadas siguientes serán id én tica m en te iguales P on ien do los resultados ob ten id o s en la fórm u la (2), obtenem os: a cero. A / (*, 0 - / ( 1 + * , 2 + * ) - / ( l , 2 ) ^ A . 9 + * ( - 2 1 ) + • f - | r l /l2-6 + 2fcfc-3 + fc2( — 24)1 + 4 r I * 3-6 + -3 ft 2 ft -0 + 3 M 2 -0 + ft3 ( — 12)] = d] = 9fc _ 21fc -)-362 + www.FreeLibros.me - 12k* -f- A3— 2fc3. Fórm ula de T a y lo r para la s fun cion es de varias variables 1 9 9 6 . D esarrollar tiv as de h y k , si j{x -\ -h ,y + en poten cias 235 enteras y posi f ( x , */) = a * 2 + 2fe¿*y - f ¿y2. 1997. D esarrollar la fu n c ió n f ( x t y ) — — x 2 + 2 x y + 3r/2— 6 x — — 2 y — 4 p o r la fó r m u la de T a y l o r en u n entorno del punto ( - 2; 1). 1 998. H a l l a r el in crem en to q u e recibe la fu n ción f ( z y y ) = z 2y al pasar de lo s v a lores y = 1 a lo s valores x x = * í + hy y ^ i + k . 1999. D esarrollar la fu n c ió n f (*> */, z ) = x 2 + y'2 + z 2 + 2 x y — y z — 4 x — 3 y — z + 4 por la fó r m u la do T a y l o r en el entorno del p u n to (1; 1; 1). 2 0 0 0 . D esarrollar / ( x + h, y - f k y z-\- /) . en p o te n cia s enteras y p o sitiv a s de h , k y Z, si f (x , y , z ) — x 2 + y 2-\-z2— 2 x y — 2 x z — 2 yz. 2 0 0 1 . D esarrollar p o r la fó rm u la de M a cla u rin , hasta lo s tér m in o s de 3o orden in clu siv e , la fu n c ió n f ( x , y ) ^ ex sen y. 2002. D esarrollar por la fó r m u la de M a cla u rin , hasta lo s té rm i nos de 4o orden in clu siv e , la fu n c ió n / (x , y ) = e o s x eos y. 2003. D esarrollar por la fó rm u la de T a y lo r , en un entorno del pu n to (1; 1) hasta lo s té r m in o s de 2 o orden in clu siv e, la fu n ción f ( x , y) = y*. 2 0 0 4 . D esarrollar por la fó r m u la de T a y lo r , en u n en torn o del p u n to (1; — 1) hasta lo s té r m in o s de 3o orden in clu siv e , la fu n ción }(x , *) = « * « 2005. D ed u cir las fó r m u la s a proxim a da s, c o n ex a ctitu d hasta lo s térm in os de 2o orden, c o n re la ció n a la s m a gn itu d es a y p, para la s expresiones a) a r c t g i± | . ¡ b) | / E ± 5 E + ü ± E , si \a\ y |P| son pequeños en co m p a ra ció n c o n 1. www.FreeLibros.me 236 Funciones de varias variables 200fi*. A p lica n d o la fó rm u la do T a y l o r , de 2 o orden, c a l c u l a r aproxim adam en te: a) j/T | 0 3 ; y ^ O ^ ; hasta lo s térm in os b) (0 ,9 5 )2.01. 2007. Sea z una fu n c ió n i m p líc it a de x e y , determ inada por la ecu a ció n zs — 2 x z -\ -y = 0, q u e tom a el v a lo r z = l cu a n d o x = l e y = 1. E scribir v a rios té r m in o s d el d e s a rro llo de la fu n c ió n z en p o te n cia s crecien tes de la s diferen cias z ~ l e y — i . § 13. Extremo de una fu n c ió n de v a r i a s v a ria b le s 1 D e f i n i c i ó n d e e x t r e m o d o u n a f u n c i ó n . So dice que una fu n ció n f (£, y) tiene un máximo (o un mínimo) / (a, b) en el punto P ( a , h ) , si para todos los puntos P' (x\ y ) d iferentes de P , de un entorno su ficientem en te pequeño del punto P, se cu m plo la desigualdad / { c , ó) > > / ( * , y) (e, respectivam ente, / {a, b) < j (x, y)). E l m á x im o o m ín im o de una fu n ció n recibe tam bién el nom bro do extrem o de la m ism a. Análogam ente se determ ina el e x trem o de una fu n ció n de tres o más variablos. 2°. C o n d i c i o n e s necesarias para la existencia de e x t r e m o . Los puntos, en q ue la fu n c ió n d i fe r e n c ia b a f ( x , y ) puede a lcan zar un extrem o (es decir, l o s lla m a d os puntos estacionarios), se h a lla n resol v ie n d o el sistema do ecuaciones lx ( z ,y ) = 0 , !'y ( x , y ) = 0 (1) (condiciones necesarias para la existencia de ox tremo). E l sistema (1) os eq u i v alente a una ecu ación d f (Xy y) = 0. En el caso general, en el p u n to extrem o P ( a , b) do la fu n ció n / (x, y)%o 110 e x isto d j (a, b) o b ion d j (a, b ) = 0 . 3o . C o n d i c i o n e s suficientes para la e x i s t e n c i a de e x t r o m o. Sea P ( at b) un punto estacionario de la fu n ció n / (a\ y)> es decir, d f ( a , b) = 0 . En este caso: a) s i d2/ ( « , b) < 0, sien do d z 2 + d¿»2 > 0, / K b) es un máximo do la fu n ción / (x , y); b) si d2/ ( a , b) > 0, s ie n d o d x ¿ + d y2 > 0, / (a, b) es un mínimo de la fu n ció n / (x, y)\ c) s i di¿j (a, b) ca m bia de sign o, / ( a , ¿>> n o os punto extrem o d e la fu n c ió n / (x, y). Las co n d icion es citadas equivalen a las sigu ien tes: sea f'x ( a , b ) = — f'v {a > 6) = 0 y A = f x x (a, ó), B = / " y (a, ó), C = f yj/(ai b). F orm am os el dis criminante A = A C — B 2. En este caso: 1) si A > 0, !a fu n ció n tiene un e x tr e m o on e l punto P( a > b) y éste es un m á x im o , s i A < 0 (o C < 0), y un m ín im o , si A > 0 { o C > 0 ) ; 2) si A < 0, en el punto P (a, b) n o e x iste e x tre m o ; 3) si A = 0t la ex isten cia de extrem o do la fu n ció n en el punto P ( at b) queda indeter minada (es necesario co n tin u a r la in vestigación ). 4 ° . C a s o d e f u n c i o n e s d e m u c h a s v a r i a b l e s . Para las fun cion es do tres o más v a ria b les, la s con d icion es necesarias para la existencia de extrem os son análogas a las co n d icion es del párrafo 1 °, (1), y las co n d icio n es suficiezites, a n á logo s a las del párrafo 3 o, a), b) y c). Ejom plo 1. A v e rig u a r lo s extrem os de la función. z = * x 3 + 3 x y * ~ - Í5 x — 12 y. www.FreeLibros.me 237 Extrem o de una función de varias variables S o l u c i ó n . H a lla m os d e ecuaciones (1): las derivadas parciales y form am os el sistema Í Í = 3*2 + 3jí2 - ! 5 = 0 dx Í i = 6 í t f — 12=0 dy o bien, j x * + \ y2 — 5 = 0 t x y — 2 = 0. R e s o lv ie n d o este sistem a obten em os cuatro puntos estacionarios: P ,(l;2 ); J>2 ( 2 ; 1 ) ; ~ 2 ); J®*(— 2 ; — 1). H a lla m os las derivadas de 2 o orden d*z . -óx 5- 9“ — 2 y form a m os el d iscrim in a n te cionarios. 1) Para el punto dH , Tdx _ 7íty r = b^ ’ d*z “STT dy2 — 5* A = ^4C — i? 2 para cada u n o de los puntos esta P ,: ( - 0 ) ^ - 6 , B = ( ¿ ^ ^ = 12, ¿ = = í 4 -¡r ) — A = <4C— # 2 = 36 — 144 < 0 . lis decir, en el punto 1\ n o hay V oy* J Pi e x trem o 2) Para ol punto .P2- A ^ = í 2 f B = 6, C = 12; A = 144 — 36 > 0, . 4 > 0 . En el punto P ¿ la fu n ción tiene un m ín im o . Este m ín im o es igual al valor de la fu n ció n cuando x = 2, y = i: *mfn = S + 6 - 3 0 ~ f 2 = — 28. 3) Para el p u n to P 3: A = - 6 , 5 = - 1 2 , ¿* = - 6 ; A= 3 6 -1 4 4 < 0 . N o h a y e>tremo. 4) Para el punto P ,t\ A = — 12, 1 3 = — 6, C = — 12; A = 1 4 4 — 30 > 0, ¿ l < . 0 . En el punto P^ la fu n ción tiene un m á x im o . Esto m á x im o es ig u a l a 3|riáx= - 8 - 6 + 30 + 12 = 23. 5o. E x t r e m o condicionado. Se lla m a extrem o condicionado do una fu n ció n / (x, 2), en el caso más sim p le , al m á x im o o m ín im o de esta fu n ció n , a lea uzad o con la c o n d ic ió n de quo sus argum entos estén ligados entre sí p o r la ecuación <p(x, y ) = 0 (ecuación de en la ce). Para lia llar el ex tre m o co n d icio n a d o do la fun ción / (x , y ), co n la ecu ación do enlace q> (x , z) = 0 , se form a la llamada función de Lagrange donde X os un m u ltip lic a d o r constante indeterm inado, y se busca el extrem o o rd in a rio do esta fu n ció n a u x ilia r. Las co n d icio n e s necesarias para que haya un extrem o so reducen a l sistema de tres ecuaciones ■ ¿ F S J>L+ X ^ l = o , ijx dx dx ^ i L + > A dy dy = o, <2> dy 9 (* t y) = 0 c o n tres in cóg n ita s, x, y , de las quo, en general, se pueden deducir éstas. www.FreeLibros.me 238 Funciones de varias variables El problem a do la. existencia y el caráctor del extrem o con d icion a d o se resuelve sobre la base del estud io del sig n o quo tiene la segunda d iferen cial de la fu n ció n de Lagrango 02F d2F d2F para el sistema de valores do x, y t X q ue in vestigam os, ob ten ido de (2), con la c o n d ic ió n de q ue dx y dy estén relacionados entre sí por la ecu ación - S r <ix+ 4 ¡ r <,!' = 0 < * * + * * + *>■ Precisamente, la fun ción / ( x , y ) tendrá un m á x im o con d icion a d o, si d'2F < 0 . y un m ínim o con d icio n a d o, si d*F > 0. En particu lar, si el discrim in a n te A para la fun ción F {x. y) en el punto estacionario es p o sitiv o , en esto punto habrá un m á x im o co n d icion a d o de la fu n ció n / (x, y), s i A < 0 (o C < 0), y un m ínim o con dicionado, s i A > 0 (o C > 0 ) . Análogam ente se ha lla n los extrem os con dicion a d os de las funciones de tres y más v a ria b les cuando existen una o m ás ecuaciones de enlace (cuyo número debe ser m enor que el de variables). En este caso, hay que in clu ir en la fu n ción de Lagrango tantos m u ltip lica d ores indeterm inados co m o ecuaciones do enlaco haya. E j e m p l o . 2. I-lállar los extrem os do la fun ción z = 0 — 4 x — 3y t co n la c o n d ic ió n de que las variables x e y satisfagan a la ecu ación S o l u c i ó n. G eom étricam ente, ol problem a so reduce a encontrar los valores m áxim o y m ín im o de la cota z del plano 2 = 6 —-4 x — 3y para sus puntos do intersección con el c ilin d r o x 2 + [/2 = l . Formamos la fun ción de Lagrango F ( x , y) = e - / lx - 3 y + K(z* + y * - i ) . / dF Tenemos, -r—- = OF — 4 + 2Xx, - ™ = — 3 + 2Xy. Las con d icion es necesarias p ro porcionan ol sistema do ecuaciones í - 4 + 2Xx = 0, j ‘ - 3 + 2 ^ = 0, >- * » + y * = l , resolviendo ol cu a l, encontramos: 5 Y A2 = - 5 ’ 4 X 2 = = ------- 5“ * 4 3 ^ 2~ ------- 5" • 3 Como d2/ 7 d2/7 „ 52F www.FreeLibros.me E xtrem o de una fu n ción de varias variables 239 tenemos d 2F — 2X (dz2 + dy*). 5 6 4 3 d y — —z - , entonces, d*F > 0 , y, por co n sig u ie n te , en este o o Si X — — - , x «as — punto la fu n c ió n tiene un m ín im o c o n d icio n a d o . Si 3 ----- — , ¿ y — * = ------ e o p - , e n ton ces, d 2F < 0 y , p o r con sig u ie n te , en esto punto la o tiene un m á x im o c o n d icio n a d o . De esta form a , máx. fun ción . . I6 i 9 —- O”p c “l c — H» 1 5 1 5 16 9_ w zmln. = 6 ----- 5 " - ~O' = 1 6°. M á x i m o y m í n i m o a b s o l u t o s de la ' f u n c i ó n . Toda fu n c ió n , d ife re n cia b lo en u n a r e g ió n acotada y cerrada, âlcanza su v a lo r m á x im o (m ín im o ), o en un p u n to esta cion a rio, o en un punto de la frontera de la región . E j e m p l o 3. D eterm in ar lo s v a lo re s m á x im o y m ín im o de la fu n ció n * = s 2+ z/2— sy + s + y en la re g ió n í< 0 , y <10, a: 4 > — 3. S o l u c i ó n . La re g ió n in d icad a e s u n triá n g u lo (fig . 70). 1) H a lla m o s io s pu n tos e sta cion a rios: r 2; = 2 x - j r + i = o , \ 2 ; S 2 2 ,-x -M = 0 ; de d on de x = — 1. y = — 1; ob ten em os el punto M ( — 1; — I). En e l p u n to M e l v a l o r de la fu n ció n e s zM = — 1. N o es necesario in vestiga r si hay extrem o. 2) E xam in am os la fu n c ió n en la fron tera de la reg ió n . C u ando x = 0 . tenem os q u e z = y2-\-y, y ol problem a s e reduce a buscar e l m á x im o y m ín i m o a b s o lu t o s de esta f u n c ió n de un argum ento en el www.FreeLibros.me 240 F u ncion es de varias variables segmento — Al hacer esta investigación, ■<¡W . n b s . ) * = o = 6 en el P“ nto (0; - 3 ) y <zmln. nbs.) x=o ” hallamos que / f en el pun to ( 0 ; ----------- . Cuando i/ = 0, obten em os que z = x 2-\-x. A n á log a m e n te h a lla m o s , <*máx.ahs.)*/=(> = 6 en e l Punt0 < - 3 ‘» 0) Y (zmín. ab s.)y= 0 ~ ( - - M que “~ T en el pUQto - Cuando x + ¡/ = — 3 o b ien ^ = — 3 —-#, tendrem os q ue z = 3 x 2 + 9 s + 6. 3 / 3 A n á loga m en te h a lla m o s, que (zmfn. abs. ) * + y = - 3 ^ “ T c n c l Pun to [ ~ T ; 3 \ - T J : < * m a * .«i» .)* + ■ » = - « — 6 co in c id e con (zmSx. ab9.),.= 0 y con teináx. abs.)y=0- ^ n *a recta x - \ - y = — 3 se podría hacer la in v e s tig a c ió n de la ex isten cia do extrem o co n d icio n a d o sin re cu rrir a la fu n ció n d e un s o lo argum ento. 3) Com parando to d o s lo s v a lo re s de la fu n c ió n z o b te n id o s , lle g a m o s a Ja c o n c lu s ió n do que abs> = 6 en lo s p u n to s (0 ; — 3) y { — 3; 0) y z mín. atis. = — ^ Gn Investigar variables: pun^0 e sta cio n a rio M . si tien en extrem os las sig u ie n te s fu n c io n e s de 2008. ¿ = ( z - l ) 2 + 2 y 2. 2009. — 2010 . z = x * + x y + y 2 — 2 x — y . 2 011. z = x 3y 2 ( 6 — x — y ) ( x > - 0 , y > 0). 2012. s = x* + y* — 2x* + 4 x y — 2y*. 2013. z = x y y 1— X- o y,3 2 014. z = 1 — (a® + ys)*-'a. 2015. z = (,t2 + 1/~) « - ( « H - * ) . 2 010. z = - , 1 + a - g V I + **+»» 2 0 1 6 .1 . z = A .C + y + y (a r> 0 , j / > 0 ) . 201 6.2. 2 = e ^ ( r 2— 2 ^ ) . H a lla r lo s extrem os de la s fu n cio n e s de tres variables:2017. u — x 2 -\- */2 + z2 — + # — 2z. 2018. u = * . | - . g . + J Í + - ? - ( * > o , ^ > 0 , z > 0 ) . www.FreeLibros.me dos Problem as de determ inación de los m áx. y m ín. absol, de las ju ncion es 241 H a lla r lo s e x trem os de la s fu n c io n e s z , dadas de form a im - 2019*. x 2 + y 2 + z 2 — 2 x + 4 y — 6z — 1 1 = 0 . 2 020. x s ~ y 2 — 3 z - f - /i í/ + z2 + z — 8 = 0. D eterm in ar l o s e x tre m o s c o n d ic io n a d o s de la s fu n cion es: 2021. z =r x y , si x -f- y = 1. 2 022. z = x + 2 y , si x 2 + i/z = 5. 2 023. z = x 2 + y 2, s i = 2 0 2 4 . z = c o s 2 x + c o s 2 í/, s i y — 1 = 2 0 2 5 . u = x — 2y + 2z, si x 2 +•y 1 + z 2, = 9. 2026. u = x 2 y2 +• z2, si ^ l - f - | l - } . i i = l ( íi > i » > c > 0 ) . 2027. u = x y 2z 3, si x + y + z = 1 2 ( x > 0 , y > 0 , z > 0 ). 2 0 2 8 . u — x y z c o n la s c o n d ic io n e s : z + y + z = 5 t a:j/ -f- = 8. 2029. D e m o s tra r la desigualdad z~\-y-\-z 3 r ------ p — > y xyz, si x > 0, y > 0 , 2 > 0 . I n d i c a c i ó n . Buscar oí máximo do la función u = xyz con la condi ción do que x y + 2 ==S. 2 0 3 0 . D e te rm in a r el m á x im o a b solu to de la fu n ción z = l+ a :+ 2 jr en la s region es: a) x > 0 , y > 0 , x + y < l ; b) a : > 0 , y < 0 , x — y < l . 2 0 3 1 . D e te rm in a r el m á x i m o y m ín im o absolu tos de las fu n c io n c s : a) z — x 2y y b) z = * x 2 — y 2 en la re g ió n £ 2 + i/2< 1. 2 0 3 2 . D e te rm in a r el m á x im o y m ín i m o a b so lu to de la fu n c ió n z = sen x -jr sen y -+- se n ( x + y ) en la re g ió n 0 < y < -^ , 2033. D eterm in ar el m á x im o y m ín im o a b so lu to de ln z = x 3 + y s — Sxy en la re g ió n 0 < a ; < 2 , — l < y < 2 . fu n ción § 14. P ro blem as de d e te rm in a c ió n de lo s m áxim os y mínimos a b s o lu to s de la s fu n c io n e s E j e m p l o 1. Hay que dividir un número ontero a en tres sumandos no negativos de manera que el producto de éstos sea máximo. S o l u c i ó n . Sean los sumandos quo se buscan x t y, a — x — y. Busca mos el máximo absoluto de Ja función f y ) = x y (a—z — y). 16—1016 www.FreeLibros.me Problem as de determinación de los m áx. y m in. absoL de las funciones 243 2036. E ntre todos lo s triá n g u lo s de p erím e tro igual a 2 p , ha l l a r el q u o tiene m a y o r área. 2037. H a l l a r el p a ra lelep íp ed o recta n g u la r de área S dada, que tenga e l m a y or v o lu m e n posible. 2038. R epresen tar el n ú m ero p o s itiv o a en form a de producto de cu a tro fa c to re s p o s itiv o s , c u y a suma sea la m en or posible. 2 0 3 9 . E n el p la n o X O Y h a y q u e h alla r un p u n to M { x %y ) tal, q u e la sum a de los cuadrados de sus distan cia s hasta las tres rectas, x = 0 , y = 0 , x - y - 1 - 1 = 0 , sea la m en or posible. 2040. H a l l a r el tr iá n g u lo de p orím etro 2 p dado, que al girar alred ed or do u n o de su s lados engendre el cu erpo de m a y o r volum en. 2041. En u n p la n o se dan tres pu n tos m a lo ria les P x (:r,, y j), P z ( x 2t í/2) Y ^ 3 (^ 3» Vz)-> cu y a s m asas respectivas son m l9 m z y m3. ¿Q ué p o s ic ió n deberá o c u p a r el p u n to P ( : r, y ) para que el m om ento c u a d r á tic o (m o m e n t o de in ercia ) de esto sistema de puntos, con rela c i ó n a d ic h o p u n to P (es decir, la suma m xP xP 2 + + w 3P 3P 2) sea e l m en or posible? 2 0 4 2 . H acer pasar u n p la n o por el p u n to M ( ay c) que form e co n lo s p la n o s coordenados un tetraedro que tonga el m enor v o lu m e n posible. 2 0 4 3 . In s cr ib ir en un e lip so id e un paralelepípedo rectangular qu o tenga e l m a y o r v o lu m e n posible. 2044. C a lc u la r las dim en sion es exteriores quo deberá toner un c a jó n re cta n g u la r a b ierto, del q u e se dan el espesor de las pare des ó y la ca p a cid a d (in te rio r) V , para q u e al h acerlo se gaste la m en or ca n tid a d p o s ib le de m a teria l. 2 0 4 5 . ¿E n q u é p u n to de ia e lip se la ta n gon te a ésta forma c o n lo s ejes de m en or área? 2 04 6 *. H a lla r lo s e je s de la olipse coordenados ol trián gulo 5x2 + 8 x y + 5 y - = 9. 2047. En una esfera dada, in scr ib ir el c ilin d r o cu ya superficie to ta l sea m á xim a . 2048. L o s cu rsos de dos ríos (dentro de lo s lím ite s de una re g ió n determ inada) representan aproxim adam ente una parábola^ y = ir2, y una recta, % — y — 2 = 0. H ay q u e u n ir estos ríos por m e d io do un ca n a l r e c t ilín e o que tenga la m enor lon gitu d posible. ¿ P o r q u é p u n tos habrá que trazarlo? 2 0 4 9 . H a lla r la d is ta n c ia m ás co rta del punto M ( 1, 2, 3) a la recia 1 1 1. x y __ z i ~ - 3 ” 2 * 16* www.FreeLibros.me 242 Punciones de varias variables P or el sen tido quo tiene oí prohloraa* Ja fu n ció n / ( * , y ) se exam ina den tro del triángulo cerrado s > 0 , y > 0 , x + y < a (fig . 71). Rasnlviendo oí sistema /;.( * , y) = y ( a — 2 x — if) = Q, f'y ( x t y ) = z x { a — x — 2y) = 0, obten em os ( t ; t ) para el in terior del triá n g u lo un ' l>ílra ^ con iProí)arnos s i se cu m p len s o lo p u n to estacion ario Jas c o n d ic io n e s necesarias. Tenem os & * ( * » 'A*77- * ! ! * f x » ( x ' ? ) * = * — 2* — 2y, ( a a \ * ” 3” J — J'or con sigu ien te, A — / a B = ,1'x» , fyy (*. y ) = — 2x. 2 S~a' a \ 1 (.T ’ t J - T a- / a 2 a ^ Css‘1vu[t ~' i r ) l\ = A C - B * > 0 , _ ~ fl y /1 < 0 . Bs decir, la fu n ció u tieno m á x im o en o) punto ( " I - ; “í j - ) • Como en el contorno del triángulo Ja función / {x, y) = 0» este máximo será el máximo absoluto de dicha función» es decir, ol producto será máximo a cuando x = y ~ a — x — ?/ = — y e l valor máximo del mismo sera igual o a 27 * O b s e r v a c i ó n . Esto problema podría haberse resuelto también por el método del extremo condicionado, buscando el máximo de la función u = xyz con la condición de quo x - \ - y + z — a. 2034. E ntre lodos lo s paralelepípedos rectangulares de v olu m en V dado, h alla r aquél c u y a s u p e rficie tota] sea m enor. 2035. ¿Qué dim en sion es deberá tener un b a ñ o a b ierto, de v o l u m en V dado, para que su s u p e rficie sea la m enor posible? www.FreeLibros.me Problem as de determ inación de los m áx. y m ín. absol. de las fun cion es 243 2036. E n tre todos lo s tr iá n g u lo s de p erím etro ig u a l a 2 p y h a lla r el q u e tien e m a y o r área. 2037. H a lla r el p a ra lelep íp ed o re cta n g u la r de área S dada, que ten ga el m a y o r v o lu m e n posible. 2 0 3 8 . R epresen tar el n ú m ero p o s it iv o a en fo rm a de producto de cu a tro fa c to re s p o s itiv o s , c u y a sum a sea la m en or posible. 2039. E n el p la n o X O Y h a y que h a lla r un p u n to M (#, y) tal, q u e la sum a de lo s cu adrados de sus distan cia s hasta las tres rectas, x = 0 , y = 0 , x — y + 1 = 0 , sea la m en or posible. 2 0 4 0 . H a lla r el tr iá n g u lo de p e rím e tro 2 p dado, que al girar alrededor de u n o de sus lados engendre el cu erpo de m a y o r volu m en . 2 0 4 1 . E n un p la n o se dan tres p u n tos m a teria les P i ( x iy í/J, P 2 (x 2> yz) y P $ { x Zi # 3)» cu y a s m asas respectivas son m if m>¿ y 7713. ¿Q ue p o s i c i ó n deberá o c u p a r el p u n to P ( x , y) para que el m om ento c u a d r á lie o (m o m e n t o de in ercia ) de osle sistema de puntos, con re la c i ó n a d ic h o purito P (es decir, la suma m lP lP 2 + m^P2P 2 + m 3P 3P 2) sea ol m en or posible? 2 0 4 2 . H a c e r pasar un p la n o por el p u n to M (a, ó, c) que forme con lo s p la n o s coordenados u n tetraedro q u e ten ga el m enor v o lu m e n posible. 2043. In s cr ib ir en un e lip s o id e u n p a ra lelepípedo rectangular q u e ten ga el m a y o r v o lu m e n posible. 2 0 4 4 . C a lc u la r las dim en sion es exteriores que deberá tener un c a jó n re cta n g u la r a b ierto, d e l q u e se dan ol espesor de las pare des ó y la ca p a cid a d (in terio r) V , para q u e al h a cerlo se gaste la m en or ca n tid a d p o s ib le de m a te ria l. 2 0 4 5 . ¿E n q u é p u n to de la elipse la ta n g e n te a ésta form a con lo s e jes coordenados el de m en or área? 204 6 *. H a lla r lo s e je s de la e lip se 5+> + trián gulo + 5 y 2 = 9. 2 047. En una esfera dada, in scr ib ir e l c ilin d r o c u y a superficie to ta l sea m á xim a . 2048. L o s cu rsos de dos ríos (dentro de los lím ite s de una r e g ió n determ in ada) representan aproxim adam ente una parábola, y = z 2, y una recta, — 2 = 0. H a y que u n ir estos ríos por m e d io de u n ca n a l r e c t ilín e o que tenga la m en or lo n g itu d posible. ¿P o r q u é pu n tos habrá que trazarlo? 2 0 4 9 . H a lla r la d is ta n c ia más cortá d o l p u n to A f ( l , 2, 3) a la recta www.FreeLibros.me 244 Punciones de varias variables .. =2050*. L o s pu n tos A y B están situ a d os e n diferen tes m edios ó p ticos, separados el u n o del o tr o por una lín ea recta ( f i g . 7 2). L a v elocida d de p rop a ga ción do la luz en el prim er m e d io es igual a v u en el segundo, a v 2. A p lic a n d o e l « p r in c ip io de Ferm at», según el cu a l el ra y o lu m in o so se propaga a io la rg o de la línea A M B , para c u y o recorrido necesita e l m ín im o de tie m p o , deducir la ley de la refra cción del ra y o de lu z. Fig. 72 F i g. 73 2051. A p lica n d o o l «p rin c ip io de Ferm at», deducir la ley de la reflexión del rayo de lu z de un p la n o en un m e d io h o m o g é n e o (fig . 73). 2052*. Si por u n c ir c u ito e lé c t r i c o de resistencia R pasa una corriente I , la can tidad de c a lo r q u e se desprende en una unidad de tiem p o es proporcion a l a P R . D eterm in ar, ¿c ó m o habrá que distribuir la corriente I en I u / 2 o I 3 v a lié n d o se de tres conductores de resisten cia s R u / ? 2l y R$, re sp ectiv a m e n te, para con segu ir que e l desprendim iento de c a l o r sea m ín im o? § 15. Puntos singulares de las curvas planas I o. D e f i n i c i ó n d e p u n t o s i n g u l a r . ’ U n p u n to M (:% y0) de una curva plana / (¿c, y) — 0 se llam a punto singular, si sus coordenadas satis facen sim ultáneam ente a las tres ecuaciones: / (*01 Vo) = /* (*oi Uo) = o , fu (*o> yo) = °- 2o. T i p o s p r i n c i p a l e s d e p u n t o s s i n g u l a r e s . m os que en el punto sin g u la r M (x0. i/o) derivadas de 2o orden ¿ = Ix x (xq, i/o)’ n o so n todas iguales a cero y que www.FreeLibros.me Suponga P u n tos singulares de la s curvas planas 245 en este caso tendrem os: a) s i A > 0 , M será un punto aislado (fig . 74); b) si A < 0, M será u n punt o crunodal (punto doble) (fig . 75): M F i g . 74 c ) s i A = 0, AI puedo ser un punto de retroceso de I a especie (fig . 76) o^dc 2a e sp e cie (fig . 77), o un punto aislado, o punto doble co n tangentes c o i n c i d en tes o tacn od o (fig . 78). A l r e s o lv e r lo s prob lem a s d e esto a p a rta d o, se con sidera o b lig a to r ia la c o n s t r u c c ió n d o las curvas. E j e m p l o 1. D em ostrar, q ue la curva y 2 = a x 2+ x * tiene: un punto cru n o d a l, s i a > 0; u n p u n to a is la d o , si c < 0 y u n p u n to do retroceso de í a e sp ecio, s i a = 0. S o l u c i ó n . En este c a s o / (z , y ) = a x * - |-z3 — y 2. H a lla m o s las derivadas parciales y la s igu a la m os a cero íx ( x , y ) =2 2 a x + 3x2 = 0, f y ( x , y) = — 2y — 0. Este s is t e m a tiene d os so lu cio n e s : 0 (0; 0) y N ^ — — a; 0 ^ , pero las coor* denadas d e l p u n t o N n o satisfacen a la e cu a ció n de la cu rva dada. E s decir, h a y un s o l o p u n to sin g u la r 0 ( 0 ; 0J. H a lla m o s las segundas derivadas y su s v a lo re s en e l p u n to O; fx x ( x , y ) = 2 a + 6 2 , Á = 2a, f x v ( x , y ) = 0, B = 0, f m ( x , V ) = - 2. C— —2, A = i4C— ¿?2i= — 4a. www.FreeLibros.me Funciones de varias variables 24t> P or consiguiente, Si a > 0 , A < 0 y el p u n to O será u n punto cru n od a l ( f i g . 79); Si a < 0» A > 0 y el p u n to O será un p u n to aisla d o ( f i g . 80); Si o = 0, A = ü . La ecu ación d e la cu rva en este ca so será o bien y — dz donde # . > 0 ; la cu rva es sim é trica co n respecto a l e je OX> que es tangente a la m ism a. P o r con sigu ien te, e l p u n to M retroceso de I a especie (fig . 81). Determ inar el ca rá cter de lo s sigu ien tes: será u n p u n to de puntos sin g u la re s de las curvas 2053. y 2 ~ — x 2 + £4. 2054. ( y — x 2)2 = x*. 2055. a V = a ¥ - / . 2 0 5 6 . x ¿y ¿ — x 2 — i f = 0. 2057. a* - f y* — 3 a x y = 0 (f o l i u m de Descart es) . 2058. y* (a — x ) = x 3 (ci so i de ). 2059. (x2 + y 2)2 = a? ( x 2— y 2) (l emni sca t a). 2060. { a x ) y 2 = ( a — x ) x 2 { es t r o f o l d e ) . 2 0 6 í . (x2 - f y 2) ( x — a f = b2x 2 (a > 0, b > 0) { concoide). E xa m in a r tres casos: 1) a > b , 2) a = b, 3) a < b . 2 062. D eterm inar c ó m o va ría el ca rá cter del p u n to sin g u la r de la curva y 2 == ( x — a) (x — b) ( x — c) en dep en d en cia de lo s v a lores de a, b y c ( a < 6 < c son reales). www.FreeLibros.me 247 E nvolvente § 16, E n v o lv e n te I o. D e f i n i c i ó n d e l a e n v o l v e n t e . Envolvente de una familia de curvas planas s e lla m a a la curva (o a ! c o n ju n t o de curvas) tangente a todas las líneas de d ich a fa m ilia , adornos cada uno de sus pu n tos tiene co n ta cto c o n a lg u n a de la líneas do la fa m ilia q uo se exam ina. 2o. E c u a c i ó n de la e n v o l v e n t e . S i una f a m ilia do curvas depen dien te de u n parám etro v a ria b le a l { x , y , ce) — 0 tiene e n v o lv e n te , las ecu acion es m e d io dol sistem a de ecuaciones j param étricas de ésta se determ inan í (xj Vy a) = 0, l / á ( * , y, a ) = 0 . E lim in a n d o e l p a rá m etro a la form a por del W sistem a (1), obten drem os una ecu a ción de D (s , y )= 0 . (2) D ebe a d v ertirse, que la curva (2), o b te n id a form alm en te, llam ada curva discriminante, adem ás de la e n v o lv o n to , si ésta e x iste , puede contener lugares g e o m é trico s de p u n to s sin g u la re s de la fa m ilia dada, q ue n o form an parte d e la e n v o lv o n to d o la m ism a. A l re s o lv e r lo s p ro b lem a s de esto p a rá g ra fo , se recom ien da hacer los d ib u jo s . E j e m p l o 1. H a lla r la e n v o lv e n te de la fa m ilia de rectas x c o s a + y son a — p = 0 (p = c o n s t ., p > 0). S o l u c i ó n . Esta f a m ilia d o rectas dependo del p arám etro a . Form a m o s ol siste m a d e e c u a c io n e s (1) ( x eos a + y s i n a — p — 0, \ — x sen a + y eos a = 0 . R e s o lv ie n d o este sistem a co n respecto a x o y, ob ten em os las ecuaciones param ótricas de la e n v o lv e n te x = p cosa, y = psona. E le v a n d o am bas e c u a c io n e s a l cu ad rado y su m án dolas, e lim in a m o s el pará m e tro a : x*+y* = p. Es d e c ir , la e n v o lv e n t e de o s la f a m ilia de rectas es una circu n feren cia de ra d io p co n e l cen tro en el o rig e n d e coordenadas. La f a m ilia do rectas dada es, a su v e z , la f a m i l i a d e tangentes de esta circu n fe re n cia (fig . 82)* 2063. H a lla r la e n v o lv e n te de la fa m ilia de circu n feren cias 2 0 6 4 . H a lla r la e n v o lv e n te de la f a m i li a de rectas y - kx+ ( k es un parám etro, p — co n s t). í www.FreeLibros.me 248 F u ncion es d e varias variables 2 0 6 5 . H a lla r la e n v o lv e n te de la fa m ilia de c ir cu n fe r e n cia s de radios ig u a le s a / ? , c u y o s c e n tr o s se en cu e n tra n en o l e j e O X . 2 0 6 6 . H a lla r la cu rva q u e e n v u e lv e a un se g m e n to de l o n g i tu d Z, cu a n d o sus e x tre m o s re sb a la n p o r lo s e je s de coordenadas. 2 0 6 7 . H a lla r la e n v o lv e n te de la f a m i l i a de rectas q u e form a n con lo s e jes do coordenadas tr iá n g u lo s de área c o n s ta n te S. 2 0 6 8 . H a lla r la e n v o lv e n t e de la s e lip se s de área co n s ta n te S , cu y o s e je s de sim e tría c o in c id e n . 2 0 6 9 . A v e r ig u a r e l c a rá cte r do la s c u r v as d i s c r i m i n a n t e s de las fa m ilia s de c u r v a s sig u ie n te s ( C es el p a rá m e tr o ): a) y = ( x — C )3 (p a rá b o la s c ú b ic a s ); b) j/2 = ( x — C ) 3 (p a rá b o la s s e m ic ú b ic a s ); c ) ¡/3 = ( x — C)z (paráb ola s do N e il); d ) (a + x ) ( y — C)2 = x 2>( a — x ) (e strofo íd os). 2 0 7 0 . La e c u a c ió n do la tr a y e c to r ia q u e s ig u e un p r o y e c t i l lan za d o desde e l p u n to O y c o n la v e lo c id a d i n i c i a l v0 y form a n do u n á n g u lo a c o n el h o r iz o n te (p rescin d ie n d o de la re s is te n cia del aire), es y = x ^ a~ w ¿ ^ - T o m a n d o e l á n g u lo a c o m o p a rá m e tro , h a lla r la e n v o lv e n te de todas la s tr a y e c to r ia s del p r o y e c t il situ a d a s en un m is m o p la n o v e r tic a l («parábol a d e s e g u r i d a d ») (fig . 8 3). www.FreeLibros.me 249 F u n ción vectorial de un argumento escalar § 17. L o n g itu d de un a rc o de c u r v a en el espacio La diferencial del arco de u n a curva en el e sp a cio en coordenadas carte sianas recta n gu lares es ds = V d x * + d y 2 + d z 8, donde z , y , 2, son las coord en a da s v a ria b les d e l punto de la cu rva. Si x = x ( t ) y y = y(l)> z = z (t) son las ecu acion es param étricas de la cu rv a en e l esp acio, la lon gitu d del arco en el in te r v a lo co m p re n d id o ontro t = t t y í = í2 ser¿ H a l l a r la lo n g it u d de lo s a rcos de la s cu rva s que se dan en lo s p rob lem a s 2071 — 2076: | 2 0 7 1 . x — t, y = t a, z = ñ j - desde t = 0 hasta t = 2. Q 2 072. x = 2 c o s ¿ , p = 2 s e n ¿ , z = — ¿ desde t — 0 hasta t = . j i . 2 073. x = z e i c o s t 1 arbitrario de t. 2074. 7/ = - ^ , z — e* desde ¿ = 0 hasta un v a l o r z — - y - desde x — 0 hasta x — Q. 2075. a:a = 3y, 2xy = 9z desde el p u n to 0 ( 0 ; 0; 0 ) hasta el p u n to Af(3;3;2). 11 2076. y = a are s e n - í - , 2 = desde el p u n to 0 ( 0 ; 0 ; 0) hasta el p u n to M { x 0, y 0y z 0). 2077. L a p o s ic ió n de u n p u n to en cu a lq u ie r in sta n te ¿ ( ¿ > 0 ) se determ ina p o r la s ecu a cion es X r = 2 y = ln¿> z = t 2. H a lla r la v e lo c id a d ¿ = 1 y ¿ = 10. m edia del m o v im ie n to entre lo s instantes § 18. Función v e c to r ia l de un a rg u m e n to e s c a la r 1°. D e r i v a d a de u n a f u n c i ó n vectorial de un a r g u m e n t o e s c a l a r . La función vectorial a = a ( ¿ ) puede determ inarse dando las tres funciones escalares ax (t)t av (t) y az (í) d e sus p roy eccion es sob re los e je s do coordenadas: a = ax (0 i - f ay (t) J + az (t) k . www.FreeLibros.me 249 F u n ción vectorial de un argum ento encalar § 17. L o n g itu d de un a rc o de c u r v a en el e sp a c io La dif er en cial d e l arco de una cu rva en ol e s p a c io on coorden adas ca rte sianas recta n g u la re s es d s ^ Y d x Z + d y t + dzZ, d on de x , y , z , son las coorden a d a s v a r ia b le s d e l punto do la curva. H a l l a r l a lo n g it u d do lo s arcos de la s cu r v a s q u e se dan en l o s p r o b le m a s 2071 — 2076: 74 r — i 2 T — _T_ ■ ¿ o c r l a / — O hcicfft / — 9 n 2 0 7 3 - a: = V c o s í , y = » ¿ ' s o n ¿ , z = a rb itra rio de t. 2 0 7 5 . x 2- = % , M (3; 3 ; 2). = desdo t = 0 hasta un v a lo r desde e l p u n to O (0; 0; 0) h asta el p u n to 2 0 7 6 . y = a are sen — , s = ^ I n ^ ¿ 5 desdo el p u n to 0 ( 0 ; 0 ; 0) hasta e l p u n to M { x 0, y 0> z Q). 2077. L a p o s ic ió n de u n se determ ina por las e cu a cio n e s p u n to on c u a lq u ie r in sta n te ¿ ( ¿ > - 0 ) x ~ 2¿, y = lnt> z = t 2. H a l l a r la v e lo c id a d t = í y ¿ = 10. m edia del m o v im ie n t o outre lo s instantes § 18. Función v e c to r ia l de un a rg u m e n to e s c a la r I o. D e r i v a d a de u n a fu n ció n vectorial do un a r g u m e n t o e s c a l a r - La función vectorial a = cv(l) puede determ inarse d a n d o la s tres fu n cio n e s e sca la res ax ( t ), a y ( t ) y a z (i) de su s p ro y e ccio n e s sobre l o s e je s do coord en ad as: a = ax ( 0 i + ay { t ) J + az ( t) k . www.FreeLibros.me F u n cion es de varias variables 250 L a d eriva d a de la f u n c ió n v e c to r ia l a = a { t ) co n resp ecto a l a rg u m e n to e sca la r i os una nueva fu n ció n v e c t o r ia l d e te rm in a d a p o r Ja ig u a ld a d da lirvi — dax {t ) dau ( t ) daz (l) -------------- J¿-1+ —¿ r J+ ~dr= lí™o dt *• El m ó d u lo do la deriva d a do la fu n ció n v ectoria l es ig u a l a da, Tt E l e x tr e m o d e l cu na r a d io v e c t o r v a r ia b le r = r(t) d e s crib e en el e sp a cio una r = x ( t ) i + y ( t ) J + z ( t ) k, q ue recibe el n o m b r e de hodógrajo d o l v e c t o r r. La d e riv a d a (i t roprusenta d e p o r s í u n v e c to r , tan gen te a l h o d ó g r a f o en el p u n to correspon dien te, dr ds ~dt dF d on de .s* e s la lo n g itu d del a rco d e l in icia l. En p a r tic u la r , h od ógra fo, =1. Io Si el p a rá m e tro t es o l tie m p o , — e x trem o del v e c t o r r , - ^ r “ r r r 5=9 w es d t«dt extrem o. 2°. R e g l a s p rin cip a le s c i o n e s v e c t o r i a l e s de un .. d , . . v da 1) - r - i a - t - b - c ) ^ di 7 di 2) . db 1 dt , donde 3) FL( L o 7) a tom a d a desde c ie r t o punto = = v es el vector de la velocidad del vector de la aceleración do d ic h o para la d e riv a ció n argum ento escalar. de fun de dt y tn es u n escala r co n sta n te ; u. + ( p - í p , d o n d o <p (¿) os una fu n ció n e sca la r de t: O í d o - 0 , s i |a |= con st. E j e m p l o t . E l r a d io v e c to r de un p u n to tante do tie m p o , se da p o r la e c u a c ió n r = i-4 f* ¿4 -3 A fc. www.FreeLibros.me m ó v il, en c u a lq u ie r in s (1) F unción vectorial de u n argumento escalar 251 D e te rm in a r la tr a y e c to r ia , la v e lo cid a d y la a celera ción del m ov im ie n to. S o l u c i ó n . De la e c u a c ió n { ! ) , tenem os: x = E lim in a n d o e l tie m p o urna línea recta \, y = : — z = 3¿2. l, : tenem os, q uo x — 1 la y tra y e cto ria d e l m o v im ie n to es z “ 0 * D eriv a n d o la e x p resión (1), h a lla m os la v e lo c id a d del m o v im ie n to dr y la a ce le r a c ió n d o l m ism o dh- - = - 8 ^ + 6*. L a m ag n itu d de la v e lo c id a d es ig u a l a dr dt = 1/(8í)* + ((5í)2 = 10|¿|. N otem os, q ue la a ce le r a c ió n es constante y tiene la sigu ien te m agnitud ¿ 2 » . i . __ ^ | = y ( - 8 ) 2+ G2= 10 . 2 0 7 8 . Dem ostrar, q u e la e c u a c ió n v e cto r ia l r — /-i = (i-2 — r t) t 9 donde y v 2 so n lo s radios v ectores de dos pu n tos dados, es la e c u a c ió n de u n a recta, 2 0 7 9 . D eterm in ar, q u é lín e a s son lo s h o d ó g ra fo s de las sig u ien tes fu n cio n e s v e cto r ia le s: a) v = a t c; b) r = a t 2 -\-b¿; c ) r = a eos i -+■ b sen t\ d ) r = a c h t-\- b sh t, don de, a , & y c son v ectores con sta n te s, a l m ism o tiem po q u e los vectores a y b so n perpen dicu lares entre sí. 2 0 8 0 . H a l l a r la derivada de la fu n c ió n v e c to r ia l a ( ¿ ) = = ^ a ( l ) a ° ( t ) y donde a ( t ) es u n a f u n c i ó n escalar, m ientras que a ° (t) es u n v e c t o r u n idad, en lo s ca so s en que el v e c to r a (t) v a r ía : 1) so la m e n te en lo n g it u d , 2) sola m en te en d ir e c c ió n , 3) en l o n g it u d y en d ir e c c ió n (caso general). E sclarecer el sen tid o g e o m é t r i c o de los resu lta d os obten id os. 2 0 8 1 . A p l i c a n d o la s reglas para la d e r iv a ció n de fun ciones v e c to r ia le s de u n arg u m en to escalar, d e d u cir la fó rm u la para la d e r iv a c ió n d e l p ro d u cto m ix t o de tres fu n cion es vectoriales, a> b y c . www.FreeLibros.me Funciones de varias variables 252 2082* H a lla r la derivada, con respecto a l parámetro t , v olu m en del paralelepípedo construido sobre lo s tres vectores; del a ~ i - J- t j + t 2k\ b = 2ti — j f £3fe; c = —m + t*j+ k . 2083. La ecu a ció n do un m o v im ie n to es /• = 3i eos t A j sen t , donde t es el tiem po. D eterm in ar la trayectoria de este m o v im ie n to, la v e lo cid a d y a ce lera ció n del m is m o . C onstruir la tra y ec toria del m o v im ie n to y los v ectores de la v elocid a d y de la a celera c i ó n para lo s in stan tes £ = 0, t = y t = ^- . 2084. La ecu a ció n de un m o v im ie n to es v = 2 i eos t — 2 j sen t -\- 3k t . Determ inar la trayectoria, v e lo cid a d y a c e le ra ció n de este m o v i m ien to. ¿A qué son igu a les la m a gn itu d de la v e locid a d y de la aceleración y cuáles son sus direccion es en lo s instantes t = 0 y í - T ? 2085. La ecu a ción de un m o v im ie n to es r = i eos a eos cot + j sen a eos cot k sen (ot, donde a y o ) son constantes y £ es e l tiem p o. D eterm in ar la trayec* toria, la m agn itu d y la d ir e cció n de la v e locid a d y la acelera c ió n del m ov im ien to. 2086. L a ecu a ción del m o v im ie n to de un p r o y e c til (prescin dien do de la resistencia d el aire) es v = VqI — ftf2 , donde v0y> vQ2} <*s la v e lo c id a d in ic ia l. H a lla r la velocidad y la a ce lera ción en cu a lq u ie r instante. 2087. Dem ostrar, quo si u n punto se m ueve por la parábola ^= z= 0 de ta l form a, que la p r o y e c ció n do la v elocida d sobro el e je O X se m antiene con san te ^ - ^ = con st.^ , la acelera c i ó n ta m b ién se mantendrá con stan te. 2088. U n punto situado en la rosca de u n t o r n illo , enrosca en una v ig a , describe una h é lic e circu la r que se x = a eos 0, y = a sen 0, z — hO, www.FreeLibros.me Triedro intrínseco de una curva en el espacio 253 d o n d e 0, es e l á n g u lo de g ir o d el t o r n illo , a , e l ra d io d el t o r n illo y h la e le v a c ió n co rre s p o n d ie n te a l g ir o de u n ra d ia n te. D e te rm i n a r la v e lo cid a d , d e l m o v im ie n t o del p u n to . 2 0 8 9 . H a lla r la v e lo c id a d de u n p u n to de la c ircu n fe re n cia de u n a ru ed a , d e ra d io a , q u o g ira c o n u n a v e lo c id a d a n g u la r c o n s t a n t e (o, d o t a l f o r m a , q u e s u c e n t r o , a l o c u r r i r e s t o , s e d e s p l a z a e n l í n e a r e c t a c o n u n a v e l o c i d a d c o n s t a n t e v 0, § 19. T rie d ro In trín s e c o de una c u rv a en el espacio E n t o d o punto M ( x , z), quo n o sea sin g u la r, de una curva en ei esp acio r = r ( t ) , se puede con stru ir un triedro intrínseco form a d o por tres plan os perpendiculares entre sí (fig . 84): 1) e l p la n o osculador, en el dr dt que están situados los vectores d2r y d t2 ’ dr y 3) el plano dt rect ifi ca n tey iV/AfjMs, p erp e n d icu la r a lo s d os p lan os primeros. 2) e l p la n o normal, M M 2M 3, perpen dicu lar al voctor Las in terseccion es de estos tres p lan os form an tres rectas: 1) la tangente M M {\ 2) la normal principal M M 2 y 3) la binormal M M 3% que se determ inan respectivam ente co n tos voctoros: dr 1) T = — - (vector de la tangente); fii 2) I * dr 3) N = B X T d2r ¿ ' (vector de la binormal) y (vector de la normal pri ncipal). www.FreeLibros.me 254 Funciones de varias variables L o s correspondientes vectores unitarios *L. r- y = T l ’ p lB N N se pueden c a lc u la r por Jas fórm u las dr T ^ —r— ; as dx dt v=* ; p^TXv. dx ds Si X y Y y Z , son las coordenadas variables dol punto do la tangente, las ecuaciones de dicha tangente en el punto M (x, y y z) tendrán la form a y - * X (1) T' V donde Tx = ~ - , Ty — ~TT» T 2 = ; partiendo de la c o n d ic ió n de perpenat ai (it dicularidad de la recta y el p la n o , obten em os la e cu a ció n del p la n o normal Tx ( X - x ) + TtJ( Y — y ) + Tz ( Z ~ z ) « 0 . (2) Sustituyendo en las ecuaciones (1) y (2) 7'*, Ty y Tt p o r B xt Bt y N x . iWyy N z , obtenem os las ecuaciones du las rectas b in o rm a l y normal prin cip a l y , respectivam ente, de los planos o scu la d or y rectifica n te. E j e m p l o 1. H a lla r los vectores unitarios p rin cip a les r t v y 0 d e la curva x= y = * , s = /a t y en el punto t — 1. E s crib ir las ecuaciones de en este punto. S o l u c i ó n . Tenem os; t la r = t i (1r -JJ— tangente, n orm a l p r in c ip a l + l* j + Wc Í + 2 W + 3 /* * . d*r . / i ^ dt* t=* 1, obtenem os: 7’ X dr ~~ dt Jr d2/» 7// x ~dii~~ i N = 7 iX 2 l = ■ ■£ i i *1 M 2 0 2 ,i k 6 —G 2 t = fii — b i - f 2fc: = — 2 2 í — 1 6 ¿ + 18fc. :2 3 www.FreeLibros.me y binorm al Triedro intrínseco ríe una curva en el espacio 255 Por consiguiente, * + & / + 3fc T~ yn n _ — 3J + k ’ y í» — líí-S J + 9 k ym ’ v Como para 2= 4, tenemos j = i, y = U 3 — 4, entonces x —[ 1 y —i “ 2 2— 1 ” 3 es )a e cu a ció n d e la tangente, x — \ // — 1 “Ü - " - 3 ' 2— 1 1 es la ecu a ció n do la bin orm a l y x—4 — 11 y— 4 —8 2— 1 9 es ia de la n o r m a l p r ín c ip a lSi la cu rva en el esp acio se da co m o la in tersección de dos superficies F ( x , y, z) = 0, G (x, y y z ) = 0 , rít* rí^t* en lugar de los vectores — y — -6- se pueden tomar los vectores dr{dx, íit ai dy, dz} y d*r{d*x, d*y, d2z}, pudiéndose considerar una de las variables x y yy z como independiente y suponer que su segunda diferencial es igual a cero. E j e m p l o 2- Escribir la ecuación del plano osculador de la circun ferencia *2 + 0 * -1-22 = <), x + y + z= Q eu el p u n to M (4; 4; — 2). Solución. D iferen cia n d o el sistema in d epen dien te, tendremos: (3), co m o (3) s i Jar fuera x dx + y dy - f z dz = 0, dx-\~dy -\-dz = § y d& + d ¡ p - \ - y & y + d z * + z d*z=Q, P on ien d o x = i , y = i , z - * — 2, obtenem os: dy = — dx] dz = 0; d*y = — \-dx*\ .j d * z = 4 - rix2á Por consiguiente, el plano osculador se determina por los vectores {dXy —dx, 0} y jo, — o Lien, {4, — 4, 0} y \0y - i , 4). www.FreeLibros.me variable 256 Funciones de varias variables De dondo, el vector normal al plano osculador es í .7 k B y, por con sigu ien te, su ecuación sorá - 1 ( * - 1 ) - ( í, - 1 ) - ( s + 2) = 0, es decir, X f ^ + 5 = 0, com o debía o cu rrir, y a que nuestra curva se encuentra en este plano. 2090. H a lla r lo s vectores u nitarios curva principales r, v, P de la x = i — c o s í, y = se n í, z = í en el punto í = - j - . 2091. H a lla r lo s vectores u nitarios de principal de la espiral có n ic a la tangente y norm al r = e l ( i eos i + j sen t -f k ) en un plinto arbitrario. Determ inar lo s á n g u lo s que rectas con el eje OZ. 2 092. H a l l a r los vectores u n ita rio s prin cip a les curva forman t , estas v ,p de la y = x*, z « 2x en el punto x = 2. 2093. Dada la h é l i c e circu la r x = a c o s í , y — a s e n h z — bt escribir las ecuaciones de las rectas que form an la s aristas del tetraedro intrínseco en un punto a rb itra rio de d ic h a lín e a . D eter m in ar los cosenos directores de la tangente y de la n orm a l prin cip al. 2094. E scribir las ecu a cion es de los planos q u e form an el tetraedro intrínseco de la curva x 2 + y 2 + z2 = 6. x 2— y2 + z2 = 4 en el punto M { 1; 1; 2). 2095. H a lla r las ecu a cion es de la tangente, d e l y del p la n o oscu la d or de la curva plano x = t , y = t2, z = t 2 en el p u n to M (2; 4; 8). www.FreeLibros.me normal Triedro intrínseco de una curva en el espacio 2 0 9 6 . H a lla r las ©cuaciones de la tangente, de c ip a l y de la b in orm a l en u n p u n to a rb itra rio de t* * = — . t* y= ~ , 257 la normal prin la curva ¿a *= — • H a lla r lo s puntos en q u e la ta n gen te a esta curva es paralela al p la n o x - f - 3 y - | - 2 z — 10 = 0. 2097. H a lla r las ecu a cion es de la tangente, del p la n o osculador, de la norm al p rin cip a l y de la binorm al de la curva ¿2 • x = t t y = — ¿, z = — en e l punto ¿ = 2 . C a lc u la r lo s co s e n o s directores de la binorm al en este punto. 2 0 9 8 . E scribir la s ecu a cion es de la tangente y del p la n o nor m a l a las cu rva s siguientes: a) x = / f e o s 2 /, y = R s e n t e o s z = > R s m t cuando b) z = x 2 -\-y2, x = y en el punto (1 ; 1; 2); c) + y 2 ~r 22 = 25, x + z = 5 en el punto (2; 2 j ^ 3 ; 3). 2 0 9 9 . H a l l a r la e cu a ció n d el p la n o norm al a la cu rva z = x 2— — y 2» U = x en el origen de coordenadas. 2100. H a lla r la e cu a ció n d e l p la n o oscu la d or a la curva x — e \ y= z — t |^2 en el p u n to t = 0. 2 1 0 1 . H a lla r las ecu acion es de curvas: a) x 2 los planos osculadores a las y 2 + z 2 = 9, x 2— y 2 = 3 en e l punto (2; 1; 2); b) x 2 = Ay , ;r3 = 24z en el punto (6; 9; 9); c ) x 2 + z2 = a 2, (■£(>! Va* 2o)« y2 -|- z2 = en cu a lq u ie r 2 1 0 2 . H a lla r las e cu a cio n e s d e l p la n o prin cipa l y de la b in orm a l a la curva punto de Ja curva oscu la d or, do la normal y 2 c=~.Xi z 2 = z en el punto (1; 1; 1). 2103. H a lla r las ecu a cion es d el plano oscu la d or, de la normaJ prin cip a l y de la bin orm al a la h é lic e có n ic a x = t c o s ¿ , y = ¿ s e n ¿ , z = bt en el origen de coordenadas. HaLlar lo s vectores unitarios de la ta n gen te, de Ja norm al principal y de la b in o rm a l en el origen de coordenadas. 17-1016 www.FreeLibros.me 258 Funciones de varias variables § 20. C u rv a tu ra s de fle x ió n y de to r s ió n de una c urva en el espacio I o. C u r v a t u r a d e f l e x i ó n . Se entiende p o r curvatura d e flexión de una curva on un p u n to Af, e l número K = - ¡« r = Alim a-*0 ■ As d on d o cp es el á n g u lo do g ir o de la tangente (ángulo de contingencia) en el segm ento do curva M N , y As, la lon gitu d del arco de esto segm ento do curva. R s e llam a radio de curvatura de flexión. Si la cu rva so da p o r la ecu ación r = r ( s ) . d on de s es la lo n g itu d del a rco, tendremos 1 I d *r R | ds* Para el caso on que la curva se d ó en form a dr 1 R paramétríca general, tenemos: d2r | dt X dt* d r |3 dt | ' (1) 2o. C u r v a t u r a do t o r s ió n . Se entiendo por curvatura de torsión de una curva en el punto M , el número r = — = lim 0 P AS-+0 As donde 0 es el á n g u lo do g ir o de la bin orm a l en el segm ento de cu rva M N . La m angnitud p so lla m a radio de curvatura de torsión, Si r = ?*($), so tiene 1 dp 1 ~ds~ |— P dr ds d 2r d3r ds2 ds3 / d2r \ { ds2 ) JO doude o í s ig n o m onos se tom a cuando lo s v ectores y v tionen la misma d ire cció n , y ol sig n o m ás, en el caso contrario. Si r = r ( t ) , donde t es un parám etro arbitrario, so tendrá dr dt 1 — —T "j p ( dr l dt Ejemplo hélice circular 1. H a lla r las d*r dt* d2r dt* — —7T. d 2r *r V N d t2 ) curvaturas de f le x ió n r = i a.e o s t-\*J a sen t + k bt (a > 0). www.FreeLibros.me /0N y de to rsió n de la 259 Curvaturas de flex ió n y torsión de una curva en el espacio Solución. Tenemos: dr dt — i a sen t + J a cos t + kby d2r d 3r dt3 — — i a cos t — J a sen t , = — i a sen t — J a cos l. De donde dr d2r ~dTX dt 2 dr dt i J k — a sen t — a cos / a cos t — a sen t b d2r dt2 — iab sen / — J ab cos t 0 — a sen l dsr dt* az/¿ a cos t b — a cos t — a son’/ a sen t 0 = a2b. — a cos t 0 Por consiguiente, basándonos en las fórmulas (1) y (2), obtenemos: 1 a "\/a2+ b2 (a2_J_62)3/a R a2b a2 (a2+ b 2) 1 p a b o2+ b 2 * es decir, para la hélice circular, las curvaturas do flexión y de torsión son constantes. 3o. F ór m u í a s d e F r e n e t dx ds R dy ds p a ÍP ds v P 2 1 0 4 . D em ostrar, q u e si la cu rv a tu ra de f le x ió n es ig u a l a cero en to d o s lo s pu n tos de una lín e a , ésta es una recta. 2 1 0 5 . D em ostra r, q u e si la cu rvatu ra de torsión es igual a cero en Lodos lo s pu n tos do una c u r v a , ésta es una curva plana. 2 1 0 6 . D em ostrar, q u e la curva x = 1 + 3 / + 2z2, y = 2 — 2¿ + 5 / 2, 2 = 1 — t2 es p la n a ; h a lla r e l p la n o en q u e se encuentra. 2 1 0 7 . C a lc u la r la cu rva tu ra de las lín eas: a) x = c o s í , t/ = s e n / , z = c h ¿ cu a n d o ¿ = 0; b ) £ 2— .</2 + z2 = l , y 2— 2 x - \ - z = 0 en el p u n to (1; t ; 1). 17* www.FreeLibros.me 260 Punciones de varias variables 2108. C a lcu la r la s cu rva tu ra s de f le x ió n sigu ien tes cu rva s en c u a lq u ie r p u n to: y de torsión d e 1las a) x ~ e l eos t, y s e * sen t, z = b) a: = a c h í , y = a s h t % z = ¿ a t ( hé li c e hiperból ic a) . 2109. H a lla r los radios de cu rvatu ra de f l e x i ó n y de de la s sigu ien tes lín eas eii Un p u n to a rb itra rio (x , y , z): a) x í = 2 ay , torsión — 6 a 2z; b) a:3 — 3ph j, 2x z * = p 2. 2 1 1 0 . Dem ostrar, q u e las Componentes ta n g en cia l y norm al del vector de a c e le r a c ió n w se expresan por la s f ó r m u la s donde v es la v e lo cid a d , R e l ra d io de cu rv a tu ra de f le x i ó n de la tra y ectoria , t y v lo s v e cto res u nitarios de la ta n g e n te y de la norm al p rin cip a l a la c u r v a . 2 1 1 1 . P o r la h é lic e c ir c u la r r = = ¿ a c o s í + ¿ a s e n * + bife se m u e v e u n iform em en te un p u n to c o n v e lo cid a d v. C a lc u la r su a celera ció n w . 2 1 1 2 . L a e cu a ció n de un m o v im ie n to es r = t i + t2j ‘j - l * k . , D eterm in ar en lo s instantes í = 0 y t = 1: 1) la cu rv a tu ra de f le x i ó n de la tra y e ctoria y 2) las com ponentes t a n g e n c ia l y n orm a l d e l ’ v ector de a c e le ra ció n d e l m o v im ie n to. www.FreeLibros.me C a p ítu lo V I I IN T E G R A LE S M U LT IP LE S Y CURVILINEAS § 1 . In te g r a l doble en coordenadas re c ta n g u la re s 1 °. C á l c u l o i n m e d i a t o d e i n t e g r a l e s d o b l e s . So llam a integral doble de una fu n ció n co n tin u a f ( x t y) sobro un recin to cerrado y a co ta d o *S* d e l p la n o X O Y y a l lím it e do la suma in tegral d o b le correspon diente í J / (x, y ) d x d y ^ lim V m é x A x ¿-*0 m áx * / ( * f i Vh) A M * * . (1) * don de Axí = s í +1“- z ¿ , b y h «= — y h y la suma se extien de a a q u ellos v a l o res de i y A, para lo s que lo s puntos (i*; Vfj pertenecen a l re cin to S. 2o C o l o c a c i ó n d o l o s l í m i t e s d e i n t e g r a c i ó n e n l a i n t e g r a l d o b l e . Se d istin g u en dos form a s p rin cip a les d e recintos d e in te g ra ción : 1) El re cin to de in teg ra ción S (fig . 85), está lim ita d o a izquierda y derecha por las rectas x = x ¡ y x = x 2 ( x 2 > xj) , m ientras que por abajo y por arriba l o está por la s cu rv a s con tin u as ¿/ = <pi { x ) { A B ) e (GD) [<P2(*)><Pi(*)|i cada una de las cuales se corta con la v e rtica l x = X (x* < X < x 2) en u n s o l o p u n to (véase la fig. 85). En ol recin to S t la v a r ia b le x varía desdo x , hasta x 2 y la v a ria b le y, cuando x permanece con stan te, varía entre e y2 ^ q >2 (*). E l ó a lc u lo do la in tegral (1) www.FreeLibros.me 202 In tegra les m últiples y curvilíneas puedo realizarse re d u cién d ola a una in teg ra l reiterad a de la form a a>2<*) ^ ^ /(* • y ) d z d y = ^ d x ^ ( S) ^ /( a : , y ) d y . <pj<x) <P2(*> ,n donde, a l c a lc u la r \ / ( i , y) dy, se con sid era s c o m o ca n tid ad con stan te. <p¿ x ) 2) E l re cin to de in te g ra ció n S (fig . 86), está lim it a d o por a b a jo y por arriba p o r las rectas y ~ y i o y=-y-> (*/2 > ¿ /t )> m ien tra s q ue p o r la izquierda F i g. 87 y p o r la derecha l o ostá p o r la s cu rv a s con tin u as z = t|)i(y) (A D) y x = ty2 ( y ) (CD) [ij>? (y) ->ij>i(y)], cada una d e las cu ales se corta en un s o l o p u n to con la h o r iz o n t a l y = r ( í / i < ^ < . V 2) (fig . 86). Análogam onto a l caso a n terior tenem os: v2 ^ / (* , y) d x d y = jj d y (S) ui donde, a i c a lc u la r la in teg ra l \ * 20/> ^ f ( x , y) dx, * tW / (x, y ) d x t s e considera y co m o ca n tid ad *j(y> consta a lo . Si el re cin to de in te g r a c ió n n o pertenece a n in g u n a de la s form a s anteriorm en te examinadas, se p ro cu ra d i v i d i r l o en p a rtes, de manera, que cada una d e e lla s corresp on d a a a lg u n a d e a q u ella s d os form as. E j e m p l o 1. C a lc u la r la in te g ra l 1 i I = \ (ix \ (x + y ) dy< 0 X www.FreeLibros.me In tegra l doble en coordenadas rectangulares 263 Solución i i Ó Ejemplo 2. D eterm inar Los lím ite s de in teg ra ción de La integral j(x, y)d xd y, <S) s i el recinto do in te g r a c ió n S (fig . 87) está lim ita d o p o r la h ip érb ola y2_ g 2 — i y p o r la s d os rectas x = 2 y x = — 2 (se considera el recin to quo com p ren do a l origen de coordenadas). S o l u c i ó n . E l recin to do in teg ra ción A B C D (fig. 87) está Limitado p o r Las d os rectas x = — 2 y x = 2 y p o r las d os ramas de la hipérb ola : y = V 1+x* o — l / l + tf2 , os d e cir, pertenece a La primera form a. Tenemos: 2 ^ Vi+*z l ( x . !/) d x d y = ^ d x <S) -2 \ f {x, y)dy. - V'f+¿Z C a lc u la r la s sig u ien tes integrales reiteradas: 2 2113. 211/1 ■ i 3 \i d y \ ^ ( z * + 2 y ) d x . 0 o y ü i M w 5 2117. jj rfj, J 2118- 0 (x + 2y)da:. S a se n “t + ^2 ■ 2119. \ d(f £T Ü 7 ? 0 r asen2 q)¿/r. '2 2 * f V f *«<¿0 2 ,t6 - ) d X \ 3 cos <p 1 • 2120. \ d x K i-** \ V T ^ = y*d y. X E scrib ir las ecu acion es de las lín eas que lim ita n los recintos a que se extienden la s in tegrales d ob les que se in d ica n más abajo www.FreeLibros.me Integrales m últiples y curvilíneas 264 y d ib u ja r estos recintos: 2 2121. % > 2124. 1 O X 3 V 25-x2 2125. J da: o 2 10— y i 2x J rf* J / (a:, y) dy x+9 ^ d x ^ f ( x , r /)d y . 'l X2 4 2123. 3 J dy J ! { x , y ) d x . —6 ys -í 3 2122. 2 —y f(x , y)dx. 2126. J .. o *4-2 í c?x ^ t» -1 } ( x , y ) dy. < f{x,y)d y. X2 C o lo ca r lo s lím it e s de in te g r a c ió n , en u n o y o tr o ord en , en la in teg ra l doble \ \ / ( * » í / ) á a :d ^ (5) para los recintos S que a c o n t in u a c ió n se in d ica n . 2127. S es un re c tá n g u lo c u y o s vértices son : 0 ( 0 ; 0), A (2; 0), 2? (2; 1) y C ( 0 ; 1). 2128. S es un tr iá n g u lo c u y o s v é rtic e s so n : 0 ( 0 ; 0 ), ¿4(1; 0) y * ( 1 ; 1). 2 129. ó1 es un tra p ecio c u y o s v értices son ; 0 ( 0 ; 0 ), ¿4 (2; 0 ), 0 (1; i ) y C (0 ; 1). 2 130. S es u n p a ra lo lo g ra m o c u y o s v é rtic e s so n : ¿4 (1; 2), 0 ( 2 ; 4 ), 0 ( 2 ; 7) y 0 ( 1 ; 5). 2131. S es un se c to r c ir c u la r O A B c o n ce n tr o en el p u n to 0 ( 0 ; 0 ), c u y o arco tien e sus extrem os en ¿4(1; 1) y B ( — 1; 1) (fig . 88). 2132. S es un segm en to p a r a b ó lic o re cto ¿ 4 0 0 , lim ita d o por la parábola 0 0 ¿ 4 y p o r el ségm en to de recta 0 ¿4 , que u n e entre sí lo s puntos 0 ( — 1; 2) y ¿4 (1; 2) ( fig . 8 9). www.FreeLibros.me 265 In tegra l doble en coordenadas rectangulares 2133. S es un a n illo c ir c u la r l i m i t a d o p o r las circu n feren cias, c u y o s radios so n r = l y i ? = 2, y c u y o centro c o m ú n está situ a d o en e l p u n to 0 ( 0 ; 0). 2134. S está lim it a d o por la h ip é r b o la y'2 — x* = 1 y por la circu n fe re n cia + 9 (se considera el recin to q u e com p ren d e el o rig e n de coorden adas). 2135. C o lo c a r lo s lím it e s de in te g ra ció n en la in teg ra l d o b le si el r e c in to a) x > 0 ; está determ in ado p o r las desigu ald ad es sigu ien tes: d) y > x ; x > — 1; y 0; b ) x 2 - f y * < a a; e) y < x < y + 2 a ; c ) x2 + * / * < * ; 0 0< y< a. In vertir e l orden de in te g ra ció n en la s siguientes in te g ra le s dobles: 2a 2 a i Y 4ax k ax V 2ax-x8 3x t i-v / (x, y) dx. 0 2x YT-H* q i-.x a q 2o ül 2 R Y2 2 0 x B /fía_xa 0 C a lc u la r la s sigu ien tes in teg ra les dobles: www.FreeLibros.me Integrales m últiples y curvilíneas 266 2145. \ [ xdxdy, donde 5 es un tr iá n g u lo c u y o s v é rtic e s son <S) 0 ( 0 ; 0 ), A (1 ; 1) y B ( 0 ; 1). 2146. ^ ^ x d x d y , don de el recin to de in te g ra ció n S está l i m i (S> la d o por la recta que pasa p o r los p u n to s A ( 2; 0 ), # ( 0 ; 2) y por el arco de cir cu n fe r e n cia p u n to C (0; 1) { fig . 90). 2147. r a d io a, cuadrante. de radio 1 que tie n e su ce n tr o en el \ [ dxdy — , d o n d e S es la parte d e l c í r c u l o de <5) Y * 2- * 2- * 2 c o n cen tro en ol p u n to O (0; 0 ), s itu a d o en el prim er 2148. ^ ^Y x>¿ — y 2 d x d y , donde S es u n tr iá n g u lo con lo s con lo s v é rtic e s en lo s p u n tos 0 ( 0 ; 0 ), .<4(1; — 1) y B ( 1 ; 1). 2149. ^\ — .V2 ^ don de 5 es u n tr iá n g u lo (S) v é r tic e s en 2150. lo s p u n tos 0 ( 0 ; 0 ), ^4 (10; 1) y ti «) e i ' d x d y , donde 5 B ( 1; 1). es un tr iá n g u lo m i x t i l í n e o OABy (S) l im it a d o por la parábola y 2 = x y por la s recta s x = 0 e y = 1 (fig . 9 1). 2151. \ donde S es un seg m en to p a r a b ó lic o , lim ita d o {S) *C por la parábola y - ~ ¿ - y por la recta y = x. www.FreeLibros.me 267 Integral doble en coordenadas rectangulares 2152. C a lc u la r la s s ig u ie n te s in te g ra les y d ib u ja r lo s recintos ;» q u e se e x tie n d e n : jt ji 1-feos x 2 3 eos 1/ a) \ dx \ o" Í y 2s e n x d y ; c) \ dy \ ' J 2 n b) 2 i j dx \ 0 z 2 sen2 y d z . y* dy, eos x A n t e s de re s o lv e r lo s p r o b le m a s 2 1 5 3 — 2 1 5 7 se recom ienda hacer lo s d ib u jo s correspon dien tes. 2 1 5 3 . C a lc u la r la in te g ra l doble i x y 2 d x dy, K. V (5 ) s i S e s u n r e c in t o l i m it a d o por la p a rá b o la y 2 = 2 p x y por la recta p. 2 1 5 4 * . C a lc u la r la in te g ra l d o b le \ \ xydzdy, ** * (s ) q u e se e x tie n d e a l r e c in to S, lim it a d o c ir c u n fe r e n c ia s u p e r io r ( x — 2 )2 - f y 2 = í* 2 1 5 5 . C a lc u la r la in te g ra l d ob le C C n ( S) por el o jo O X y la se m i d x dy y v 2^ 9 d o n d e S es u n c í r c u l o do ra d io a , ta n g en te a lo s ejes de coordenadas y q u e se en cu e n tra e n el p rim e r cu a dran te. 2 1 5 6 * . C a lc u la r la in te g r a l d o b le y d x dy, <S) d o n d e e l r e c in to S está l i m i t a d o por e l e je de a bscisa s y d e c ic lo id e x = R (t — sen t) y = R ( 1 — eos t) ( 0 < 2 < 2n). 2 1 5 7 . C a lc u la r la in te g ra l d o b le \ \ xydxxy, ♦) t' (■S) www.FreeLibros.me el arco Integrales múltiples y curvilíneas 268 en la que el re cin to do coorden adas y por de el arco z — f íe o s 3 /, 2158. re cin to H a lla r S { 0 < x < l ; el S in te g ra ció n de lim ita d o por lo s e je s a s tro id e fís e n 3¿ ( 0 < ¿ < - y ) * m e d io la j/ = v a lo r está de fu n ció n / (x, y) = xyt en el 0 V)d* dU' (S> d o n d e S , e n e l d e n o m i n a d o r , s e ñ a l a e l á r e a d e l r e c i n t o S. 2159. M (x, y ) H a lla r e l v a lo r m e d io d e l cu a d ra d o de del c írcu lo (x — a)2 + y2< i ? 2, al la d is t a n c ia d e l p u n t o o rig e n de coorden adas. § 2 . Cambio de v a ria b le s en la In te g ra l doble I o. I n t e g r a l d o b l e en c o o r d e n a d a s p o l a r e s . Cuando en l a i n t e g r a l d o b l o s e p a s a d e la s c o o r d e n a d a s r e c t a n g u l a r e s x , y a l a s p o l a r e s r, q>, r e l a c i o n a d a s c o n la s p r i m e r a s p o r l a s e x p r e s i o n e s x = rcostp , se v e r ific a y = r s e n q >, la f ó r m u l a \ \ f ^ \ / (r c o s 9 i r sen 9 ) r dr d y . y) d x (S ) (1) (S ) S i e lre c in to d e in te g r a c ió n S está lim it a d o p o r lo s y p o r l a s c u r v a s r = r 1 (q>) y r = r 2 (<p), d o n d e r* ( j ) fu n cio n e s u n ifo r m e s en e l s e g m e n to c c < q > < p , c a l c u l a r p o r la f ó r m u l a P ^ ^ F (<p, r ) r d r d y — ^ d(p (S) * rayos r = a y r = p ( a < P) y r ? (<p) ( r . (<p) < r 2 ( 9 )) s o n la in te g ra l d o b le se puede r*(<p) ^ F (ip, r) r d r y r i (q>) r* (<t>) d o n d e F ( 9 . r ) = f (r e o s 9 , r s e n 9 ) . A l c a l c u l a r l a i n t e g r a l [ P (9 . r ) r d r , . . n ( se c o n s id e r a c o n s ta n t e la m a g n it u d 9 . S i e l r e c i n t o d e i n t e g r a c i ó n n o p e r t e n e c e a l a f o r m a e x a m i n a d a , se d i v i d o en partes, do m anera q u e cada u n a d e e lla s rep resen te d e p o r s í un r e c i n t o d e la f o r m a d a d a . 2 o. I n t e g r a l d o b l e en c o o r d e n a d a s En el c u r v i l í n e a s . ca so m á s g e n e r a l, s i e n la in t e g r a l d o b le y / ( x , y ) d x dy (.8) www.FreeLibros.me Cam bio de variables en la integral doble 269 se quiere pasar do las v a ria b les x , y a las v a ria b les a, v, relacionadas con a q u é lla s p o r m e d io de la s ex p re sio n e s con tin u as y diforen ciables x = <p(«t v), y = i|>(u, »)> que establecen una corresp on d en cia biu n ívoca y co n tin u a en arabos sentidos, e n tre io s p u n to s del recin to S del p la n o X O Y y lo s pu n tos de un recin to d e te rm in a d o R ' del p la n o U O ' V , a i m ism o tie m p o que el jacoblano £>(** y) D (u, v) dx du dy; du dx dv dy dv con serv a in v a ria b le su s ig n o en el re cin to S , será v á lid a la fó rm u la [ ^ 1 {x, y ) d x d y = ^ <S) ^ f [ 9 ( x t y), t|> (u, v)]\I\ du dv. (S') L o s lím ite s d e esta nueva in te g ra l so determ inan d e acuerdo co n las reglas generales, s o b re la base de la form a que tenga el re cin to S \ E j e m p l o M . C a lcu la r la sigu ien te integral pasando a coordenadas polares ^ \ V * — *2— y2 ¿y (S) d on de e l re cin to S es un c ír c u lo d e radio f í = i co n cen tro en el origen de coorden adas ( f i g . 92). Solución. H acien do la s u s t it u c ió n £ = rc o s q > , y = rsen<p, obtenem os l/l — y 2 — V * “ (r co s <P)2 — (r son q))s = V 1 — ra. C om o on el recin to S la coordenada r varía de 0 a i , cu alquiera que sea el v a lo r de «p, m ientras que \ r \ / \ - r2dr = ~ n . o (S) o P a sa r a la s coorden adas p o la re s r y q> y c o lo c a r los lím it e s de in te g r a c ió n para la s nuevas v ariab les en las. sig u ie n te s in teg ra les: 1 1 2 2160. ^ d x ^ f (x, y ) d y . 2162. \ \ f ( x , y ) d x dy, (8) donde S e y = 1. es i 2163. un tr iá n g u lo 2161. lim ita d o por i ^ d x ^ / ( - j ) dy. xt -l www.FreeLibros.me x dx ( Y x 2 + y 2 ) dy. las recta s y = x t y = — x 270 Integrales m últiples y curvilíneas 2164. \ \ / (x, y) d x dy, donde e l recin to S ostá lim ita d o p o r (S) la lem niscata ( x 2 + y 2)2 = a 2 ( x 2 — i f ) . 2165. C a lcu la r la sig u ien te in tegra l doble, pasando previamentea coordenadas polares J \ ydxdy, (S) donde S es un s e m ic írc u lo C (■£■; o ) de diám etro a con cen tro en e l p u n to (fig. 93). Y F i gs 92 21(56. P asan do a coorden adas polares, c a l c u l a r la sig u ie n te inte g ral doblo, J J (* * 4 - y * ) d x d y , (S) qu e se ex tie n d e al r e c in to lim ita d o por la circu n feren cia x2 -j- y2 = 2 ax. 2167. C a lc u la r la sig u ie n te in te g ra l d o b le , pasando a coorde nadas polares, ¡i» \ V a ? - X' y2dxdy. ( S) donde el recin to do in te g ra ció n S os un s e m ic ír c u lo de ra d io a con con tro en el origen de coordenadas, situ a d o sobre e l e je O X . 2168. C a lc u la r la integral d o b le de la fu n c ió n / (r , (p) = r sobre el recin to lim ita d o p o r la cardiode r = a (1 + eoscp) y la c ir c u n fe rencia r ~ a . (S e considera el recin to q u e no co n tie n e e l p o lo ). www.FreeLibros.me Cambio de variables en la integral doble 2169. polares C a lc u la r la sig u ie n te C a lc u la r pasando a coordenadas pasando a V<22—*2 a 2170. polares in tegra l, 271 j dx ^ Y x 2 -f- y 2 dy. la sigu iente in teg ra l, coordenadas y a? — x 2 — y* d x dy. (8) donde el r e c in to S está lim ita d o por la h o ja de lem niscata ( x 2 + y 2)2 = a2 ( x 2 — y 2) ( x > 0). 2171*. C a lcu la r la in te g ra l doblo i i V l ~ W — w ^ d y, (S ) que se extiende al r e c in to S , lim ita d o por la elipse ~j5*+ - p ' = := 1, pasando a las coord en ad as p o la res g en era liza d a s r y fórm u las: - í - = r eos cp, 0 ), in trod u cien d o las nuevas v ariab les i¿ = # + y 2 u v = y. 2173a. E fe c tu a r el ca m b io de v ariab les u = x + y , v - ^ x — y en la integral i i ► dx 0 / ( x , y ) dy. o 217 4**. C a lc u la r la in tegra l doble \ \ dx dy, \S) donde S es un r e c in to lim ita d o por la curva ,2 x 2 -2 www.FreeLibros.me 272 Integrales múltiples y curvilíneas Indicación. Efectuar el ca m b io do variables i = (?rcos(p, p = 5 rse n q ). § 3. C álculo de á re a s de fig u ra s planas I o. E l á r e a e n c o o r d e n a d a s un recinto plano (S) os igual a rectangulares. El áre a S de (S) Si el recinto (ó1) está d eterm inado por las desigualdades a ^ x ^ b , y (x) tendremos b i|?(x) S * = ^ dx a ^ dy. <p(x) 2°. E l á r o a e n c o o r d e n a d a s p o l a r e s . Si el recin to determ inado, on coordenadas polares r y <p, p o r las desigualdades se tie n e 0 S= 2175. Construir los siguientes integrales: 2 a) ^ dx ^ dy; -1 x2 F « f» ^ ^ r dtp d r = ^ dtp <S) a ^ r dr. </)«p recintos cu y a s x+2 <1 V a*— b) ^ d y \ 0 0-2/ áreas se expresan a) \ « 4 3 sec dtp O ^ 2 rrfr; b) por las por las dx. C a lcu la r estas áreas y ca m b iar e l orden de in tegra ción . 2176. Construir los recintos cu y a s áreas se expresan integrales: 71 arctg-2 (ó') está p, o(l+cos<p) ^ dy n a rdr. m 2 C a lc u la r estas áreas. 2177. C alcular el área lim itada por las rectas x ~ y, x = 2y. x -\ -y — a y x -| -3 y = a ( a > 0 ) . 2178. C a lc u la r e l área de la fig u ra situada sobre el eje O X y lim itada por este eje, la parábola y'¡ = í a x y la recta x + y = Sa. 2179*. C a lcu la r el área lim ita d a por la elipse ( y - x ) * + * = 1. www.FreeLibros.me Cálculo de volúmenes 273 2180. H a lla r e l área lim ita d a p o r las parábolas y 2 = i Ox -|- 25 e y 1 — — 6a; + 9. 2181. H a l l a r el área lim ita d a por las siguientes líneas, pasando a coordenadas polares, + 2x, x 2 + y* = 4x, y = x> y = 0. 2182. H a lla r el área lim ita d a por la recta r e os 0). 2184. H a lla r e l área lim ita d a por la línea ( x2 y2 \2 _ { 4 ^ ~ ) x2 4 y2 9 2185*. H a lla r el área lim ita d a por la elipse ( x — 2y + 3)2 + ( 3 x + 4 y — 1 )2 == 100. 2186. H a l l a r el área del cu a d rilá te ro cu r v ilín e o lim ita d o por los arcos de la s parábolas x 2 — ay, x 2 = by, y 2 ~ a x , y2 = Pz ( 0 < a < fr, 0 < « < § ) . Indicación. In trod u cir nuevas variables u y v, suponiendo x* = u y , y 2 — vx. 2 187. H a lla r el área del cu a d r ilá te ro c u r v ilín e o lim ita d o por ios arcos de la s cu rva s y2 = ax, y2 = bx, x y = a , x y = p (0 < a < b, 0< a< p ). Indicación. y'¿ = ¡;x. In trod u cir nuevas variables u y v, suponiendo xy=x.u, § 4 , C á lcu lo de volúm enes E l volumen V de un cilindroide, lim ita d o p o r arriba p o r la su perficie con tinu a s — f (x, y), por a b a jo por e l p la n o z — 0 y lateralm ente por la su p erficie c ilin d r ic a recta que corla en el p la n o X O Y el recin to S {fig . 94), es ig u a l a V= l ( x t y) dxd y, (S) 2188. E xpresar, por m ed io de una in te g ra l d ob le , el volum en de una p irá m id e c u y o s v értices son : 0 ( 0 ; 0; 0 ), .4 (1 ; 0; 0), B ( 1; 1; 0) y C ( 0; 0; 1) (fig . 95). C o lo ca r los lím ite s de inte g ra ció n . 18—1016 www.FreeLibros.me 274 In tegra les m últiples y curvilíneas En io s problem as 2 1 8 9 — 2192 h a y que d ib u ja r lo s cuerpos, c u y o s volúm enes se oxpresan por la s in teg ra les d ob les q u e se dan: 2189- 21‘JO. 1 1 -.-C \ dx [ 0 0 2 2—x •' \dx «J a «i 2 (1 — x — y)dy. 2191. \ dx \ 0 0 •. 2 \ (4 — x ~ y ) d y . tí«v O 2193. D ib u ja r el cu erp o, 2192. cuyo V i-xz «1 (1 — x)dy. 2 \ d x \ (4 — x — y) dy. frvi V 0' 2—x. v o lu m e n expresa la integral dx \ y ' a 2 — x 2 — i f d y , y basándose en razon am ien tos geom éo o tríeos, h a lla r el v a lo r de esta in tegra l. 2194. H a l l a r el v olu m en d e l cu erpo lim ita d o por el parabo loid e e l íp t ic o z = 2x2 - f - + 1 , el p la n o x + y = i y los planos coordenados. 2195. U n cu erpo está lim it a d o por el p a ra b o lo id e h ip e r b ó lic o z = x 2 — y 1 y lo s pla n os j/ = 0 , z = 0 , x = l . C a lc u la r su volum en. 2 1 9 6 . U n cuerpo está lim ita d o p o r e l c ilin d r o x2 - f z2 = a 2 y los planos ij = 0 > z = 0, y = x . C a lc u la r su volu m en . H a lla r lo s volúm enes de lo s cuerpos lim ita d o s por las super fic ie s sigu ien tes: 2197. az — y 2, x 2 + y 2 = r~, z = 0. 2198. y — |/~x, y = 2 \ /rx , x - f z = 6, z = 0. 2199. z = = x 2 + y 2, y — x2, y = 1, z = 0. www.FreeLibros.me Cálculo de áreas de su p erficies 2200* x + y + z — a, 3 z-\~y — a, ^ x ~ \ - y = a, y — 0, z — 0. 2201. - g . + i i = l , y = - ± - x , y = 0, 2 = 0. 2202. x 2 -}~ i/2 = 2 a x , z = ctx} z = p x (a > p ) . En lo s problem as 2203 — 2211 em pléense coordenadas polares y generalizadas. 2203. H a lla r el v o lu m e n total del espacio com prendido entre e l c ilin d r o x 2 -\-y2 = a 2 y e l h ip e rb o lo id e x2 - f */2 — z2 = — a2. 2204. H a lla r e l v o lu m e n to ta l d el espacio com prendido entre e l c o n o 2 (x2 + y 2) — z2 = 0 y el h ip e rb o lo id e x* + ij2 — z2 = — a2. 2 2 0 5 . H a l l a r el v o lu m e n lim ita d o p o r las superficies 2az = x 2 -f- y-, x 2 + y 2 — z2 = ary z = 0. 2 2 0 6 . D ete rm in a r el v o lu m e n d el elipsoide 2 2 0 7 . H a ll a r el v o lu m e n d el s ó l i d o lim ita d o por e l paraboloide 2az = x2 + j/2 y la esfera x 2 + y 2 - f z2 = 3a2. (Se sobreentiendo el v o lu m e n s itu a d o den tro d el pa ra boloid e). 2 2 0 8 . C a lc u la r e l v o lu m e n d el s ó lid o lim ita d o por el p la n o X O Y , ol c ilin d r o x 2 + y 2 = 2 a x y e l c o n o x 2 4 - y 2^ z 8. 2 2 0 9 . C a lc u la r el v o lu m e n d e l s ó lid o lim ita d o por e l p la n o X O Y , la s u p e rficie z — y e l c ilin d r o x 2H-?/2 — R 2. 2 2 1 0 . C a lcu la r e l v o lu m e n del s ó lid o lim ita d o por e l p la n o X O Y , el p a ra b olo id e z ^ + y el c i li n d r o ^ + J íi= = 2 — . 2211. ¿E n q u é razón divide el h ip e rb olo id e x 2 ~ f ¡/2 — z3=: a2 al v olu m en de la esfera x 2 + y 2 -f-z2< 3 a 2? 221 2 *. H a lla r e l v olu m e n d el s ó lid o lim ita d o por las suporíic ie s *=x+y, x x y = 2, y = y = 2 x 7« = 0 ( x > 0 , y> 0). § 5. C á lcu lo de áreas de s u p e rfic ie s El área a de una superficie regular z = /(a:, y), quj> tengacomo proyec ción en el plano XOY unrecinto St es igual a a = \ B\ t / l + 2 213. H a lla r el área ( ^ ) 2 + ( í r ) 2 rf* ‘% - do la parte del p la n o — a com prendida entre lo s p la n o s de co o r d e n a d a s .. b e = 1, 1 18 * www.FreeLibros.me 276 In tegra les m últiples y curvilíneas 2214. H a lla r e l área de la parte de s u p e rficie del c ilin d r o z 2- { - y 2 ~ R 2 ( z > 0 ) , com pren did a entre lo s pla n os z = m x y x — n x (m > n > 0). 2215*. C a lc u la r el ároa de la parte de s u p e r fic ie del c o n o x 2— y 2 — z2, situada en e l prim er o c ia n te y lim ita d a por el p la n o y -\-z = a. 2216. C a lc u la r el área de la parto de s u p e rficio del c ilin d r o x 2 - f y 2 = a x , cortada del m ism o por la esfera x 2 -\- j/2 + z2 = a 2. 2217. C a lc u la r el área de la p a rle de s u p e rficie de la esfera x2 -\-y2 -\-z2 cortada por la s u p e rficie — 2218. C a lc u la r e l área de la parte de s u p e rficio d e l parabo lo id e !/2 -|-z2 = 2ax¡ com p ren d id a en tre el c ilin d r o y 2 = ax y el p la n o x = a. 2 219. C a lcu la r el área d e la parte de s u p e rficie d e l c ilin d r o x2 -f- y 2 — 2 ax, com prendida en tre e l p la n o X O Y y el c o n o £ 2 - f-y 2 = z2. 2220*. C a lc u la r e l área de la parte de s u p e r fic ie d el co n o x? — y2 = z2, situada den tro del c i l i n d r o x 2-\- y 2 = 2ax. 2 22 0.1*. H a lla r el área do la parte d e l c ilin d r o y ~ = z 4 x cortada por la esfera x 2 + y 2 - f z2 = 5 x , ________ 2 2 2 0 .2 . H a lla r e l área de la parte d ol c o n o z = Y x<2>Jr y z cortada por el c ilin d r o ( x 2 + y 2)2 — a 2 ( x2 — y 2) . 2221*. Dem ostrar, q u e las áreas de las partes de las superfi c ie s de los p a ra b oloid e s x 2 -\~y2 — 2 a z y x 2 — y 2 = 2 a z c o r ta d a s por o l c ilin d r o x 2 4 - y 2 = s R 2 so n iguales. 2222*. U na esfera de radio a está corta d a por d o s cilin d ro s circu la res, c u y a s bases tien en lo s d iá m etros ig u a le s a l radio de a q u é lla , y q u e son ta n gen tes en tre sí a lo la rg o de u n o de los d iá m etros de la misma... H a l l a r e l v o lu m e n y el área de la parte de su perficie de la esfera q u e q u ed a. 2223*. E n una esfera de ra d io a se h a c o r ta d o u n o r i f i c i o , con sa lid a , do base cu a d ra d a , c u y o la d o t a m b ié n es ig u a l á a. E l eje d e este o r if ic io c o in c id e c o n el d iá m e tro de la esfera. H a lla r el área de la su perficie de ésta corta d a por el o r ific io . 2224*. C a lcu la r e l área de la parte de s u p e rficie h e lic o id a l z = c a rctg — , situada en e l p rim e r o cta n te y que está com pren x dida entre los c ilin d r o s x 2 + y 2 = a 2 y x 2 - ] - y 2 — b'1. § 6 , A p lic a c io n e s de la in te g r a l d o b le a la m ecánica 4o. M a s a y m o m e n t o s ostáticos de las l á m i n a s . Si S e s un recin to d e l p la n o X O Y , o cu p a d o p o r una lám ina, y p ( x , y ) es la den s i d a d su p erficia l de d ich a lám ina en el punto (x\ y ) , la masa M de ésta y sus m o m e n to s estáticos y A f y co n respecto a lo s ejes O X y O Y se expresan www.FreeLibros.me A p lica cion es de la integral doble a la mecánica 277 p o r las integrales dob les M== \ $ p ^ ’ y ^ d x d y ' (S) ^ M* = \ \ (S> y ) dxdy » z p (*> y ) dx dy. (1) <S) Si la lá m in a es h om ogén ea , p (x, y) = const. 2o. C o o r d e n a d a s d e l c e n t r o d e g r a v e d a d d e l a s n a s . S i C ( x t y ) es e l cen tro de gravedad de una lám ina, se tiene, T -- M * ~ M 77— M x M lámi ' d o n d e M es la masa do la lám ina y M x * M y sus m o m e n to s está ticos con resp ecto a lo s ejes de coord en a da s (véase I o). Si la lám ina es h om ogén ea , en las fó r m u la s (1) se puedo p on er p = l . 3o. M o m e n t o s de i n e r c i a d o l a s l á m i n a s . Los m om entos do in ercia de una lám ina, co n respecto a lo s ejes O X y O Y , son iguales respectivam ente a lx = \ Û3P (*» y ) d x d y , (S) E l m o m e n to de / y = jj ^ z * p { x , y ) d x d y (2) (S) inercia de la lá m in a co n respecto a l origen d e coordenadas Io= ^ (* 2+ y 2) p ( * » 3#>¿c<ty = / x + / y (3) (S) P o n ie n d o p (a;, i/) = l , on g e o m é t r ic o s de in e rcia de las fórm u la s (2) y (3), obten em os lo s m om entos las fig u ra s planas. 2 2 2 5 . H a l l a r la masa de una lá m in a c ir c u la r de radio 7?, si su densidad es p r o p o r c io n a l a la d ista n cia desde el p u n to a l centro e ig u a l a 5 en e l borde de la lá m in a . 2 2 2 6 . U n a lám ina tien e la form a de tr iá n g u lo re ctá n g u lo con c a t e t o s O B = a y OA = b; su densidad en cu a lq u ie r p u n to es igual a la d ista n cia desde éste a l ca teto O A . H a lla r lo s m om en tos e stá tic o s de la lá m in a c o n resp ecto a lo s ca tetos OA y O B . 2 2 2 7 . C a lc u la r la s coorden adas del cen tro de gravedad de la fig u ra O m A n O ( fig . 9 6), l i mi t ada por la cu rva j/ = sena: y por la recta O A , que pasa por e l o rig e n de coordenadas y por el v értice A de la sin u soid e. 2 2 2 8 . H a l l a r las coord en a d a s d e l cen tro de gravedad de la fig u r a lim ita d a p o r la ca rd io id e r = a ( i + c o s q>). 2 2 2 9 . H a l l a r la s coord en a d a s d el cen tro de gravedad de un s e c to r c ir c u la r de radio a t c u y o á n g u lo cen tra l es ig u a l a 2a (fig . 97). www.FreeLibros.me 278 Integrales m últiples y curvilíneas 2230. C a lcu la r las coordenadas d el contro de gravedad de la figura lim itada por las parábolas ?/2 = 4a;+ 4 e y 2= — 2 r - ( - 4 . 2231. C a lcu la r el m om ento de inercia d e l triá n g u lo lim ita d o por las rectas s + y = 2, x = 2 e y = 2, con respecto al e je O X . 2 232. H a lla r e l m om en to de inercia de un a n illo c ir c u la r de diámetros d y D ( d < D ) : a) con respecto a su p ro p io centro y b) con respecto a su diámetro. 2233. C a lcu la r el m om ento de inercia de un cuadrado de la d o a, con respecto al e je que, pasando por u n o de sus vértices, es per pendicular a l plano del cuadrado. 2234*. C a lcu la r el m om en to de in ercia del segm en to interceptado de la parábola y* = a z por la recta x = a , c o n respecto a la recta — a2235*. C a lcu la r el m om ento de inercia de la superficie lim i tada por la h ip é rb o la x y — 4 y la recta x + y = 5, c o n respecto a la recta x = j/. 2236*. E n una lám ina cuadrada de lad o a T la densidad es proporcional a la distancia hasta u n o de sus v é r tic e s . C a lc u la r el m om en to de inercia de dicha lám ina c o n resp ecto a lo s la d os que pasan por éste v é r tic e . 2237. Ha l l ar e l m om en to de in e rcia de la cardioide r = a {1 + coscp)t con respecto al p o lo . 2238. C a lcu la r el m om ento de inercia de la su p erficie de la lemniscata r2 = 2a2 eos 2(p, c o n respecto al e je , perpen dicu lar al plano do la m ism a, que pasa por el p o lo . 2239*. C a lcu la r el m om en to de inercia do una lá m in a h om o génea lim itada por un arco de la c ic lo id e x = a {t — sen t ) y y — a ( l — c o s t ) y e l e je O X , c o n rospecto al eje O X . § 7. In te g ra le s tr ip le s i °. La i n t e g r a l t r i p l o e n c o o r d e n a d a s r e c t a n g u l a r e s . Se llama integral triple de una función f ( xt y, z), sobre un recinto V> al www.FreeLibros.me Integrales triples lím it e de la correspondiente suma trip lo H (V) \ / (*. y, z) dx dy d s = ,1 lim V máx ¿*,-.0 " nwWA„Lo n táx Ai/y -*0 4 ^ V , / (s¡, sA) Aa:/ Ay y As*. •“ » * mflx A**-*0 E l c á lc u lo do la integral trip le so reduce a ca lcu la r sucesivam ente tros in te grales o rd in a ria s (sim ples) o a c a lc u la r una d ob lo y una sim ple. E j e m p l o 1. Calcular J \ Ü \ x*y*z dx dy dz. v donde el recin to Y se determ ina p o r las desigualdades 0< Solución. 1 1 «= x 1, 0<!/<*, 1 x Tenem os: xy xy dx ^ dy ^ xhj^z dz = ^ d x ü o o o x*y* ~ ó i X 2. o ^ 1 x 2y4 (* X b 2*~ " í * í Ejemplo 0 < r < a n /. ,jb [ * j ~ 2 " ir \o i f 0 x ¡0 i r d;r=rio- C alcular W x2(lx<iV dz' \ '(V) x2 y2 ¿2 e x te n d id a al v o lu m e n d e l e lip s o id e Solución. <i jj ^ í x 2 d x d y d z — a a:2 da: (V) -« ^ ? ^ a;2*^* dar, (Suz) y2 22 ,,/ , - 5 - * 6 e ( l — § -) . donde S y2 es e l área de la elipse - p - + í i « - |AV f dy d z = a:2 =* 1 — — L’ o r esto, c u d e fin it iv a , tenem os: www.FreeLibros.me 1 , ^ = con st, igual a 280 Integrales m últiples y curvilíneas 2o. C a m b i o la integral triple de variables $ en la integral triple. Si en / ( * , y, z) d z dy dz hay que pasar do las variables x , y , z, a las variables u , u, w t relacionadas con las prim eras p o r las igualdades s = cp (u, v, u>), y = ^ ^ ( u , v , w), z = X ( « , v y w), donde las fu n cion es <p, x1) son continuas, ju n t o con sus derivadas parciales do Io orden. 2) establecen una correspondencia biu n ívoca c o n tin u a en am bos sentidos, entre lo s pu n tos del recin to do in te g ra ció n V del esp acio O X Y Z y lo s puntos d e un re cin to determ inado V' del esp acio O ' U V W y 3) el determ inante fu n cion a l (ja cob ia n o) de estas funciones D { x, y, z) I D {u , v , w) dx dx dx da dv dw dy da dy dv dy dw dz dz dz da dv dw conserva invariable su sig n o en el r e c in t o Vt entonces, será v á lid a la fórm ula z)dxdydz=^^^ f [cp{¿¿, ¿>, w), ip (u, v y w )y x (u ,y , w )\ \ I \dudv dw. En particular, 1) para las coordenadas c ilin d r ic a s , r, <p, h (fig . 98), dondo x = r eos 9 , y = r sen (p, z — h y obtenem os que, / = r; 2) para las coordenadas esféricas cp, \J), r (cp es la lo n g itu d ; y r el radio v ector) ( f i g . 99), dondo x — r eos ij) eos <p» la latitud y =■ r e os \J>son ip, 3 = r sen tenemos / = r2 cosi|?. E j e m p l o 3. C a lcular la sigu ien te nadas esféricas, SSSv in tegral, pasándola a las co o rd e ^ 2+ y 2-|“ z'¿ dx dy dzy (V ) donde V es una esfera de ra d io R. S o l u c i ó n . Para la esfera, lo s lím it e s de v a ria ción de las coordena das esféricas (p (lo n g it u d ), ^|) (la titu d ) y r (ra dio vector), serán: 0 < f p < 2?t, n ji Por esto, tendremos: jt 2 jx [ ^ ^ V x ¿ + y ‘¿ + z2 dx dy dz a= f (V )' 0 < r < i?. 2 R ^ í rr2 eos \|) dr — n R * . 0 www.FreeLibros.me <) In tegra les triples 281 3o. A p l i c a c i o n e s d e l a s i n t e g r a l e s t r i p l e s . d e un re cin to d e l esp acio trid im e n sio n a l O X Y Z es igual a E l volumen (V) La masa do un cuerpo que ocu p a el recin to V, M = ^ ^ ^ y ( x , y , z) dx dy dz: (V) donde y ( x , y , z) es la den sidad del cuerpo en el p u n to (x, y, z). L o s momentos estáticos de un cu erpo, co n rosp ecto a lo s p ian os coorde nados son; M z y = ^ jj Jj y (*» y * z) 2 dx dy dz> M y z =* ^ ^ y (*> z) x dx dy dz> (V) M zx= 5 S S y y ' z* y dx dy dz' (Y) Las coordenadas del ce n tro de gravedad — M yz ~ — M '¿ x s r * ‘ ' r MXY ' M Si el cu erp o es h om o g én e o, en las fórm u la s para determ inar las coor denadas del ce n tro de gravedad se puede poner Y {x * y* z) — L Los momentos de ine rc ia , co n respecto a lo s ejes co ord e n a d os son- i x = ? \ J (y2+ z 2)y(*> y >2) dx dy dz ; (V) / y = = J ^ \ (z2 + x ¿‘ ) y ( x y y y z) dx dy dz; lz ** $ J S ^ 2 + ^ y y * z* d x dy d z ' www.FreeLibros.me In tegra les m últiples y curvilíneas 282 P o n ie n d o en estas fó rm u la s g e om é trico s do in ercia del cuerpo. y (*> z ) 7” 5*» ob ten em os lo s m om entos A . C á lca lo de la s in te g r a le s t r i p l e s C a lcu la r los lím ite s de in te g r a c ió n en la in tegra l trip le H \ f (*> y , z) d x d y dz <V) para lo s recintos V que se in d ica n a c o n tin u a c ió n : 2240. V es un tetraedro lim it a d o p o r lo s planos x + y + z = l, x = 0,y = 0, z = 0. 2 2 4 1 . V os un c ilin d r o lim it a d o p o r las superficies x* + y* = R \ z — 0, z = / / . 2242*. V es un c o n o lim it a d o por las superficies -íÍ-4 -J l-iÍ z= c 2243. V es un v olu m en lim ita d o por la s superficies z = l — x z — y2, z = 0. C a lc u la r las sigu ien tes integrales: i i i 2 244. J 'd’x 11 \ d’ y p\ ; lA + y + s + l 0 0 0 2 Vx 2 r» 2245. dx ^ dy 0 0 a V n*-x 2 2246. \ dx J ^ xdz. o í J dy * 0 0 t 1~ x i —x —y í dx [ dy ^ 0 0 2247. o dz __________ . - 7= i / a * - * * — Í/S—2*4 * * \ J o xyzclz. 2248. C a lcu la r (V) s d x d y dz (a s -j-y + * + l) 3 1 donde F e s el re cin to de in te g ra ció n , que está l im it a d o p la n os de coordenadas y por el p la n o x - f y - f - z — 1 * www.FreeLibros.me p o r lo s Integrales triples 283 2249. C a lcu la r ^ \h ( x + y + z)%d x d y d z , donde F es la parte com ún esfera ;r2 ~-|-y2 - )- z 2< 3 a 2. 2250. C alcular del paraboloide 2az z 2 -\-y2 y de la ^ ^ ^ z2 dx d y dz, d o n d e F es la parte com ú n de la s esferas x* -f-y 2 + z2 < f í 2 y £a + + i f + z2 < 2 f l z . 2 251. C alcular ^ jj ^ z d x d y d z , &) donde V es el v olu m en lim ita d o p o r el p la n o z = 0 y por la mitad jy ¿í su perior d el e lip soid e -^2" + *^2‘ + 1* 2252. C alcular i J S (V) ( 4 + £ + - í ) * * * >p2 ¿2 donde F es la parte interna del e lip so id e ^ + "p" + 7 T “ 2253. C alcular .-i íi ^ \ zdxdydz, <v> don de V es el recin to lim ita d o por el co n o z2 — ( s 2 + y 2) y por el p la n o z = h» 2 2 5 4 . C a lcu la r cilin d ricas, a la sig u ien te J ^ integral, pasando coordenadas dxdydZj d o n d e F es el recin to lim ita d o p o r las superficies £ 2 + ¿/2 = z 2 y que con tien e el p u n to {0, 0 , /?). 2 255. C a lcu la r + + F 2 k - vT2 ^ dz ^ o o d y ^ z | /a ;2-)-y 2 dz, o transform ándola previam ente a la s coordenadas cilin dricas. www.FreeLibros.me = 284 Integrales m últiples y curvilíneas 2256. C alcular 2r V 2r x— ^ dz 0 / ¿ r a —xS -.¡/2 ^ dy ^ - Y'Zrx—vfi dz, 0 transform ándola previam ente a las coordenadas cilin d rica s. 2257, C alcular Y Ri-x 2 H dx Jj - dy / R2-X2 ^ ( z 2 + y 2) d z , 0 tran form án dola previam ente a la s coorden adas esféricas. 2258- C a lcu la r la integral sigu iente, pasando a las coordenadas esféricas [ [ [ + V* + * * d z d y d z , (V ) donde V es la parte interna de la esfera x2 + y 2 + z2 < x . B, C á lcu lo d e volú m en es p o r m edio de in teg ra les trip les 2259. C a lcu la r, por m edio de una integral del cuerpo lim ita d o por las superficies y 2 ¡= Aa¿ — 3ax, y2 — a x , triple, el v olu m en z — ± A. 2260**. C a lcu la r el v olu m en de la parte del c ilin d r o x l \ -y 2 = = 2a x , com prendido entre el pa ra boloid e x*-\ -y2 = 2az y el p la n o XOY. 2261*. C a lcu la r el v o lu m en del cu erpo lim ita d o por la esfera x 2 + y 2-\-z2 — a2 y el co n o z 2 = z 2-\-y2 (la parte exterior con res p ecto a l co n o ). 2262*. C a lcu la r el v o lu m e n del cuerpo lim ita d o por la esfera x 3-f-J/2 + z2 = 4 y el p a ra b olo id e x2- f y 2 = 3z (la parte in terior con respecto al pa ra boloid e). 2263. C a lcu la r el v olu m en del cuerpo lim ita d o por el plano X O Y , el c ilin d r o x 2 -\-y2 — a x y la esfera x2 + y 2 -\-z2 = a 2 (in tern o c o n respecto al c ilin d r o ). 2264. C a lcu la r el v olu m en del cuerpo lim ita d o por el parabo lo id e + = y el p la n o x = a. www.FreeLibros.me 285 Integrales triples 2264. i . H a lla r el v olu m en del cuerpo lim ita d o por la superficie i i fl2+ 2264. ficies ^ z2 \ 2 - ¿2 T cs J * 2 i fl2 ' z2 £‘¿ c*2 * 2. H a lla r el v olu m en del cuerpo a2 “T ¿,2 ;_**_? c2 ** *2 i ^ fl2 I " b2 lim ita d o por las super *2 — o C‘¿ C . A p lica cio n es de la s in teg ra les trip le s a la m ecán ica y a la física 2265. H a l l a r la masa M del paralelepípedo rectan gu lar 0 0 < ? / < & , 0 < z < c , si la densidad en el p u n to (x t y , z) es p ( x , y , z) = = :r + ? / + 2 . 2266. D e l octan te de la esfera £2 + y2 - M z < c 2, x > 0 , t / > 0 , z > 0, se h a cortado el cuerpo O A B C , lim ita d o por los p la n o s de coordenadas y por el p la n o —|— —1 (<2 < c , ¿ < c ) (fig . 100). H a lla r la masa de este cu erpo, si su densidad en cada punto ( x f y, z) es ig u a l a la cota z del mism o. 2267*. E n el cu erpo de form a sem iesférica x 1-)-*/2 ~¡-z2< a 3, z > 0 , la densidad v a r ía p rop orcion a lm en te a la distancia desde e! p u n to a l cen tro. H a lla r e l cen tro de gravedad de este cuerpo. 2268. H a l l a r el cen tro de gravedad del cuerpo lim ita d o por el pa ra boloid e y 2 + 2z2 = 4 x y p o r el p la n o x — 2. 2269*. H a l l a r el m om en to do inercia del c ilin d r o circu la r, que tie n e por altura h y p o r radio de la base a, con respecto al eje qu e sirve de diám etro de la base d e l p ropio cilin d r o . 2270*. H a lla r el m om en to de inercia del c o n o cir cu la r , que tiene por a ltu ra k , por radio de la base a y de densidad p, con respecto al diám etro de su base. 2271**. H a lla r la a tra cc ió n que ejerce el co n o hom ogéneo, de altura h y á n g u lo en ol v ó rtice a (en la sección a x ia l), sobre u n p u n to m aterial, que tenga una unidad do masa y quo esté situ a d o en su vértice. www.FreeLibros.me Integrales m últiples y curvilíneas 2272**. Dem ostrar, que la a tra cc ió n que ejerce una esfera hom ogénea sobre u n p u n to m aterial exterior a e lla no varía, si toda la masa de la esfera se con centra en su centro. § 8. In te g ra le s Im pro p ia s, dependientes de un p a rá m e tro . In te g ra le s Im propias m ú ltip le s I o. D e r i v a c i ó n respecto del parámetro. Cumpliéndose ciertas restricciones que se im ponen a las fu n cion es / ( x %a ) y (x t a ) y a las correspondientes integrales im propias, se v e rifica la regla de Leibniz CO d da oo / (x, a ) dx = a Ejemplo calcular 1. so Solución. \ fa ’ (x, es) dx. a V aliéndose CXJ * acta de la d eriva ción respecto del parámetro, —0x2 -— — — --------- dx (a > 0, P > 0). Sea oo S -asa - -0x2 r f _ d z = F ( a , p). Entonces, 00 da é\ x e - « * d z = ^ ~ e~™* 2a 'oo O 2a 1 De d on d e P ( a , p) = — g - l n a + C (P). Para h allar C (p), ponem os a — p en la ú ltim a igualdad. Tenem os, 0 = — ~ l n P + C (P). 2 De donde C (P ) — —- l n p . P o r consiguiente, F (a, P )= — y ln a + y l n p = y ln . 2 o. I n t e g r a l e s dobles i m p r o p i a s , a) C a s o e n q u e e l r e c i n t o d e i n t e g r a c i ó n e s i n f i n i t o . Si la fu n ción f ( x y y) es con tinu a en u n recinto in f in i t o S , se supone \ \ f ( x > y ) d x d y = lim [ [ fe) f ( z t y ) dx dy., (1) (o) donde o es un recin to f in ito , situado totalm ente en S , entendiéndose por o S , que a m pliam os ol recin to a sogún una le y arbitraria, de manera que en éste entre y permanezca en él cualquier punto del recinto S. Si el segundo m iem bro tiene lim ito y éste n o depende de la e lección que se haga de o , la correspondiente integral im p rop ia recibe el nom b re de con vergente; en el caso contrario se llam a divergente. www.FreeLibros.me in t e g r a le s im p r o p ia s , d e p e n d ie n te s de u n p a r á m e tr o . I n t e g . im p r o p . m ú lt ip le s 287 Si la f u n c i ó n s u b in te g r a l f ( x y y) n o e s n eg a tiva ( / ( x f y ) > 0 ), para que la in tegral im p r o p ia sea c o n v e r g e n te es n ecesa rio y s u ficie n te q ue ex ista el l í m i t e d e l seg u n d o m ie m b r o de la ig u a ld a d (1), au n q u e sea para u n sistema de r e c in to s a q ue c o m p le t e n el r e c in t o S. b) C a s o d o u n a f u n c i ó n d i s c o n t i n u a . Si la f u n c i ó n / (x , y) os c o n tin u a en t o d o un re cin to cerra do y acotado S t a e x c e p c ió n d o l p u n to P ( a t b), se su pon e: *\ / (*. y) dx dy = lim f í i ( i , y) d x dy, (2) d o n d e *S*g es e l r e c i n t o q u e re s u lta d e e x c l u i r d e l S un r e c in t o in terior p eq u eñ o de d iá m e t r o e q ue c o n tie n e a l p u n t o P . En o l ca so de q ue ex ista el l í m i t e (2) y d e q ue n o depen da do la fo rm a de lo s r e c in t o s in te r io re s p e q u eñ os q uo s e e x c lu y a n d o l r e c in t o S, la in tegral con sid erada s e lla m a c o n v e r g e n te , m ie n tra s q u e en e l ca so c o n t r a r io , es dive rgen te . Si / ( x t y) 0, ol l í m i t e d e l s e g u n d o m ie m b r o d e la ig u a ld a d (2) no d ep e n d e de la f o r m a de lo s r e c in t o s in tern os que se e x c lu y e n d o S\ en p a rg t ic u la r , on c a lid a d d o tales r e c in t o s p u ed en tom a rse c í r c u l o s de ra d io c e n t r o e n e l p u n to P . E l c o n ce p to de in te g r a le s in te g r a le s trip les. E jem p lo im p ro p ia s con d o b le s es f á c i l p a sa rlo a l ca so do 2. In v e s tig a r la co n v e rg e n cia do la integral d x dy (3) it| ( i <S) d on de S es t o d o el p la n o X O Y . S o l u c i ó n . Sea o u n c í r c u l o de r a d io p cori c e n t r o en el origen coorden adas. P a s a n d o a la s coorden a d a s polares, s i p =£ 1, tenem os: 2 ¿i J P P (a) de p f?T. d u ~ Ü( 0l ) <1.................... + S 3 W ” S Ó lÓ ( l + rü)P 2 it i 0 1 ( l + r2)l-P o díp = 2 1— p Si p < l , se tie n e lim / ( a ) = lim / (cr) = c o y a-*-S p-voo co n tr a r io , p > l , so tie n e 1i m / ( o ) = n-voo P- r- l P la in te g ra l y la in tegral 1(1 '*■p2)l_P — i] d iv e r g o . Si p o r ol co n verg e. Cuando 2?l p = i, tenem os quo / ( < ? ) = : \ d 1. www.FreeLibros.me es 288 r I n te g r a le s m ú lt ip le s y c u r v ilín e a s 2273. H a lla r / ' ( * ) , si / (x) = ^ e 'xv d y (x > 0 ). X 2274. Demostrar, que la fu n c ió n — l j + T - , ) * "** satisface a la e cu a ció n de Laplace d*u ¡Fu dx* ■*" dy* ~ 2275. La tran sform ación de L a p la ce F ( p ) para la fu n c ió n f (t) se determ ina por la fórm ula co 0 H a lla r F ( p ) , si: a) / (¿) = 1; d) / (t) = eos pt. 2276. A p lica n d o la fórmula b) / (t) = e af\ c) i J x ’*-> cZx . 0 i- (n > 0 ), ca lcu la r la integral i J arn_1 \n x d x . o 2277*. A p lica n d o la fórm u la 00 \ e ' 7" d t = J (P> 0). & c a lc u la r la integral ^ ¿ V * d /. 6 www.FreeLibros.me / (¿) — sen pt; Integrales im propiast dependientes de un parám etro. In teg . improp. m últiples 289 U tiliz a n d o la d e r iv a c ió n sigu ien tes integrales: parámetro, ca lcu la r las <N 00 2 278. respecto al \ 2 dx (ct> 0 , p > 0 ). 00 2279. r> \ ------------:------- s e n m x d x *) 2 o 00 228 0 . j 2281. ? ( |a |< J i 2 y i _ *2 ^ (a>0,p>0). 1). 1 ' f» 2282. \ 0 fe rf, (a > 0 ). C a lcu la r las siguientes integrales im propias: 00 2283. 2284. c© \ d x J «-<*+■/> dy. í d y ^ e v dx. t/ *< ú *■ 0 2285' íowU ! s es un recin to, que se determina (S) por las desigualdades x > l , y > x 2. c© <* <* dy 2286*. \ d x \ <xi + '¿yt+ a .¿Y¿ (a > 0). 0 u 2287. La in teg ra l de E u le r -P o is s o n , determinada por la fórm ula oo OO i = \ e - ^ d x , se puede escribir ta m b ién en la form a / = \ e ~ u2dy. X fo o ^ M u ltip lic a n d o entre sí estas fórm u las y pasando después a las coordenadas polares, c a lc u la r I . 2288. C alcular O O OO 00 " x 0 dz « (»» + ya + ** + 1 ) 2 * o i a -io ta www.FreeLibros.me 290 Integrales m últiples y curvilíneas A v erig u a r si con vergen pias: 2289**. las siguientes integrales dobles im p r o [ ^ l n V ^ x* + y 2 d x d y , donde 5 es el c í r c u l o x* + ya< l . (5 ) 2290. \\ , donde S es un recin to que se determina y <*+*>■ por la desigualdad x 2 + i/2 > 1 («parte e x te rio r » del c ír cu lo ). 2291*. 2292. mina por esfera). \ \ 3 - , V (^— y)2 donde 5 es un cuadrado | a ? | < l, | y | < l . í í í — d-x dy fL - , donde V i(i } i (.« + * ■ + * ) « la desigualdad x 2 - j- y2 es un recin to, que se deter- z2 > 1 («parte e x te rio r » de la § 9. In te g ra le s c u rv ilín e a s Io I n t e g r a l e s curvilíneas de p r i m e r t i p o . Sea f (*, y) una fu n ció n continua o y — <p(x) la e cu a ción de una curva plana determinada C. Marcamos un sistema de puntos A f j f o , y i) (¿ = 0, 1, 2, . . . » n), quo d i v i dan la curva C en arcos elem entales in tegral 2 ¿Vi = y n f (x h El lim ito formam os la suma de esta suma, cuando n-^-co y i=i m áx As¿-> 0 recibo e l nombre de integral curvilínea de primer tipo n lim 2 n-*oo . i —1 / (x i< y ¡ )^ s¡ - \ /(*• >j)ds «J (ds es la diferencial dol arco) y se calcula por la fórmula b f (x, y) ds = ^ / (x, ip (*)) V 1 + (tp' (z))2 ¿a-. (I En el caso de que Ja curva C este dada en Corma paramétrica: :r = <p(í), V= 'Ht) [ a < í < P ! » tonomos; 3 jj f (x, y ) d s = J /(<p (i). * ( / ) ) V q i '^ O + ^ Í O í í . Se consideran también integrales curvilíneas de primer tipo de funcio nes de tres variables / (s, y, z)t tomadas sobre una curva en ol espacio, que se calculan análogamente. La integral curvilínea de primer tipo no depende www.FreeLibros.me 291 In tegra les curvilíneas del sentido del camino de integración. S i la fu n ció n su bin tegral / se interpreta c o m o la d en sid ad lin e a l de la cu rva de in te g r a c ió n C, esta in te g ra l repre sen ta rá d o por sf la masa de la curva C. Ejem plo 1. C a lcular la in teg ra l cu rvilín ea C d on de C es el co n to r n o del B ( 0 ; 1) y 0 ( 0 ; 0) ( f i g. 101). tr iá n g u lo A B O , cu yos v é rtice s son : A (1; 0), F i g. 101 S o l u c i ó n . A q u í, la la de OA: y = 0. P or lo tan to, tendrem os: + C e c u a c ió n de A B es: y = l — x, la dó Ó B : x = 0 y [ (x + y ) ^ (* + y ) ¿ $ + ^ (* + ?y)¿s = AB BO OA t i t = ^ y 2 dx + \ 1/drj + ^ 0 U x d x = ’]/> + 1 . 0 2o. I n t e g r a l e s c u r v i l í n e a s dos e g u n d o t i p o . S i P ( z , y) y Q {*> y) so n fu n cio n e s c o n tin u a s o y = (p(.r) es una cu rva plana C t que s e recorre a l v a r ia r x desde a hasta 6, la correspondiente integral curvilínea de segundo tipo se expresa de la fo rm a siguiente b P ( x , y )d x + Q(x, y ) d y = [ P (x , d on de t varía entre a y p, tenemos: P ^ P ( x t y ) d x + Q ( x t y ) d y = > ^ (P ( >l>( t ) ) ip' {t) + Q (q> ( t ) , ij) (t)) t|>' {t)\ d t . G a F ó rm u la s a n á log a s son v á lid a s para la in te g ra l cu rv ilín e a de segundo t i p o tom ada sob re una curva en el espacio. 19* www.FreeLibros.me Integrales m últiples y curvilíneas 292 Lft integral cu rv ilín e a do segundo t ip o c a m b i a s u s i g n o p o r el c o n t r a r i o , al c a m b i a r el sentido del c a m i n o do i n t e g r a c i ó n . Mecánicamente, esta integral puede interpretarse com o el trabajo do la correspondiente) fuerza v aria b le {.P ( x , y ) , Q (x, ij)} a lo la rgo do la curva de integración C. Ej omplo 2. C alcular la integral curvilínea f y 2d x + x 2 dy, donde C e s la m itad su perior do la e lip s e x = a c o s í , recorre en el sen tido de las agujas del reloj. Solución. y = 6 sen f, que se Tenemos ü ^ y2 dx + x 2 dy = C [62 sen2 t •( — a sen l) a¿ eos2 l •b eos t\ dt = k 0 = — ab'¿ 0 sen3 t dt + a2b Sj eos3 t dt ^ a b 2. k k 3o. C a s o -d e. d i f e r e n c i a l e x a c t a . Si la e x p resión suM ntegral de la integral cu rvilín ea de segundo t ip o e s la d ife ren cia l exacta de una fu n ció n uniform e determinada Ü = U (x, y), es decir, P (x, y ) d x + Q ( x , y ) d y = = d ü {x, y), esta integral cu rvilín ea n o depende d e l ca m in o de iu tegración y se cu m ple la fórm u la do N ew ton-L oíbniz <*2; v2> P { x , y ) d x - \ - Q ( x , y ) d y = U ( x 2, y2) — U { x u y¡ ), ( 1) l/x) donde ( x ^ y t) os el p u n te in icia l y (.r2; y2), ef punto fin a l del cam ino. En particular, s i o ! con torn o de in tegración C e s cerrado, so tiene [ P (;x , y) dx + Q (x, y ) dy = 0. i) G (2) Si, 1) o l con torn o de in teg ra ción C está com p ren d id o totalm ente en un determ inado recinto sim plem en te con exo S y 2) las funciones P (* , y ) y < ? (* > !/), ju n to con sus derivadas parciales do I o orden, son con tin u as en el recin to S, la c o n d ic ió n necesaria y su ficionte para la ex isten cia de la fu n ció n U es que se verifique idénticam ente en tod o el recin to 6' la igualdad 60 dP 0) (véase in tegración de diferen cia les exactas). Si n o se cu m plen las c o n d ic io nes 1) y 2), la subsistencia de la c o n d ic ió n (3) n o garantiza la existencia de la fu n ció n uniform e U y las fórm u la s (1) y (2) pueden resultar ser erróneas (vóaso el problema 2332). Señalemos un p roced im iento para h allar www.FreeLibros.me Integrales curvilíneas la fu n ció n U (x , y) p o r m edio de .su d iferen cial tota l, basado en el empleo de las integrales cu rv ilín e a s {es decir, un procedim iento más de integración do !a d iferen cial exacta). Como con torn o de integración C so toma la línea Y M (x;y) y yo \po ( * o ‘, y o ) i 0 x,o X F i g . 102 quebrada (íig . 102), donde P0 (x0; y0) es un punto fijo , M (x; y ) un punto variable. En este caso, o lo la rgo de / W tenemos que y = y 0 y dy = 0, m ientras que a lo Largo de P^M , tenemos que dx — 0. Obtenemos: <*; i/) U ( z , y ) — U (x0, y 0) = ^ P (x, y ) dx + Q ( x , y) dy = (-V yo> * y = ^ J* ( * . yo) d* + ^ Q (*> y ) dy- *0 vo A nálogam ente, integrando sobre la línea quebrada P^P^M, tenemos: y v {*> v ) — v (*o> y)=* x Q (*o> y ) d,J + "o Ejemplo 3. p (*> v ) d x - *0 (4x - j - 2 y ) dx + (2x — 6r/) dy — d i '. Hallar U. Solución. Aquí, P {x, y) =*4x-\ -2 y y Q ( x fy) — 2x — (\y\ a l tiem po que, evidentem ente, se cu m plo la co n d ició n (3). Sean x 0 — 0, Entonces, x y e U (x , y ) = \ 4 x d x l r \ ( 2 x - 6 f / ) d y + C = 2x 2 + 2 x y - 3 y * + C \ o bien, x V (xy y)= ^ d / / + ^ ( 4x + 2y) dx-\-C = — 3y'¿ -\~2x2-\-2xy -I- C , donde C = U (0; 0) es una constante arbitraria. www.FreeLibros.me m ism o í/ o = <'- 2% Integrales m últiples y curvilíneas A\ F ó r m u l a do G r o e n p a r a ol p l a n o Si C ea la frontera del re cin to S y las fu n cion es P ( x , y) y Q ( x , y) s o n con tinu as, ju n to con sus d e riv a d a s parciales do I o orden, on el recin to cerrado S + C y se v e r i fica la fórmula de Green p > r f * + Q á ¿ ,= $ J ( ñ ^ dxdy, (S) donde el sen tido del recorrido d e l co n to rn o C se e lig e de form a que el recin to S quede a la izquiorda. 5o. A p l i c a c i o n e s d o l a s i n t e g r a l e s c u r v i l í n e a s . 1) El área lim itada por un co n to rn o cerrado Ct es ig u a l a S*= — ^ y d x = ^ x d y r c (el se n tid o del recorrido del co n to rn o debe elegirse co n tr a r io a l m o v im ie n to de las agujas del reloj). Más útil para las a p lica cion es es la sigu ien te fó rm u la c c 2) El trabajo de una fuerza, cuyas proyeccion es sean X = X ( x t y , z)> Y = Y ( x , y , z ) , Z ~ Z ( x 1 y > z) (o correspondientem ente, el tra b a jo de un cam po do fuerzasj, a lo la rgo del ca m in o C> so exprosa por la integral A = ^ X d x + Y d y + Zdz. Si la fuerza tiene p o ten cia l, es decir, si e x iste = U (x, y, z) (fu n c ió n p ote n cia l o de fuerza) ta l, que una f u n c ió n U= dU- X dU- V ñ 1 -7 dx } dy 1 dz el trabajo, independientem ente de la form a d e l ca m in o C, es igual a <**; t/a; 22) A = ^ (x2; vz\ 22) X d x -\ -Y dy-\~Z dz = ^dU = U (x2> y^, U (xj , y tl zj), <*1; vt; zi) w; ¿i) donde (arlf y it zj) os el p u n to in ic i a l y (x2t y*, z2) el p u n to fin a l dol ca m in o . A . In te g r a le s cu r v ilh ie a s de p rim er tipo C a lc u la r las siguientes in teg ra les cu rvilín eas: ^x y d s , 2293. don de C es el c o n to r n o del cu adrado l * l + | W = a (< *> 0 ). 2 294, (* ds \ —r z = = z r . donde C es un segm en to de recta que une entre si lo s puntos 0 ( 0 ; 0) y <¿4(1;2). www.FreeLibros.me 295 Integrales curvilíneas j2 r/2 x y ds, don de C es e l cu adran te de la elipse -^ --1 --^ - = 1, S c; situ a d o en e l prim er cu adran te. ^ y 2 ds, 2296. don de C es el p rim er a rco de la c ic lo id e c x —a — s e n ¿ ), y = a (1 — eos t). 2 29 7. ^ 1f x* -\-y1 ds, donde C es e l a rco de la ev o lv e n te de la c circu n feren cia x = a (cos / + 1 sen / ) , y = a (sen t — t c o s t) [0 < t < 2n]. ^ (x 2 + y 2)2 ds, donde C es e l a rco de la espiral 2298. lo g a r ít- c m ica r = a e m(* ( m > 0) O ( — o o ; 0), 229 9. desde el pu n to A(Q\a) hasta el punto ^ (x-\ ~ y)d s, donde C es el la z o derech o de la lem n iscata c r2 = a 2 cos 2cp. 2300. \ { x - f z)ds, donde C es un a rco de la cu rva * don de C es la prim era espira de la h é lice c x = t, y = z = ts [ 0 < ¿ < 1 ] . 2301. + c c ir c u la r x = a c o s ¿ , y = a s e n t , z = b t , 2 30 2. ^ Y 2y 2 + z2 ds, donde C es e l c ír c u lo x2 + y2 + s 2 = a2, x = y. c 2 3 0 3 *. H a lla r e l área de la su p erficie la te ra l del c ilin d r o p a ra b ó lico 3 y = ^ x 2, lim ita d a p o r lo s p la n os z = 0, x = 0, z — x , z/ = 6. 2304. H a lla r la lo n g itu d del a rco de h é lice có n ic a C, x = a é cos t, y = a é sen t, z — aelf desde el pu n to O (0; 0; 0) hasta el p u n to A (a; 0 ; a ). ^ g 2 3 0 5 . D eterm inar la masa d e l co n to rn o de la elipse si — 1» su densidad lin e a l en cada p u n to M (x, y ) es ig u a l a \y\. 2 30 6. H a lla r la m asa de la prim era espira de la h é lice circu la r x = a c o s ¿ , y = a s e n t , z = bt, s i la densidad en cada punto es ig u a l al ra d io v ector del m ism o. 2 30 7. D eterm in ar la s coordenadas del ce n tro de gravedad del sem ia rco do la c ic lo id e £ = a (¿ — s e n 2), y = a ( l — cos¿) [ 0 < í < j i J . www.FreeLibros.me Integrales m últiples y curvilíneas 2308. I ia lla r e l m om ento de in ercia , con rcspesto a l eje O Z , de la prim era espira de la h é lice c ir c u la r x ^ a c o s t , y = a s e n t y z — bt. 2309. ¿C on q u é fuerza in flu y e la m asa M , d istribu id a con densidad constante p or la circu n fe re n cia x 2 + y 2 = a 2, z — 0, sobre la masa m y situada en el p u n to 4 ( 0; 0; b)? ¡1. Integrales curvilíneas de segundo t i p o . C a lcu la r la s siguientes in tegrales cu rv ilín e a s: 2310. jj ( x 2 — 2xi/) d x + (2x y + y 2) d y , Ai? de la parábola y ^ x ¿ que va desde e l punto B (2; 4 ). donde AB es el arco pu n to .4 (1 ; 1) hasta el 2311. j (2a — y ) d x + x d y , donde C es el prim er arco de la c c ic lo id e x = a ( i — s e a í ) , y = a (1 — c o s í ) recorrid o en e l sentido del cre cim ie n to del parám etro t. 2 31 2. [ 2x y d x — x ¿ d y , tom án dola a lo la r g o de lo s diferentes u GA ca m in os, que parten del origen (le coorden adas 0 ( 0 ; 0) y que fin a liz a n en e l pu n to 4 ( 2 ; 1) (fig . 103): a) sobro la recta OmA\ b) sobre la parábola O n A , c u y o e je de sim etría es e l e je OY\ c) sobre la p a rá b o la O p A , c u y o e je de sim etría es el e je O X ; d) sobre la lín e a quebrada O t í A ; e) sobre la lín ea quebrada OCA. 2313. \ 2x y d x + z 2 d y , en la s m ism as OA problem a 2312. www.FreeLibros.me co n d icio n e s quo el 297 Integrales curvilíneas 2314*. ^ ^ U— cu n feren cia o:2 re lo j. ^ tom ándola a lo largo de í/2 = a2 en sentido co n tra rio al de la cir las agujas del x = a eos ^ y 2 d x -\ - x 2 d y, don de C es la m itad superior de la elipse c = 6 sen que se sig u e en e l sentido de las agu jas del re lo j. 2 31 6. \ e o s y d x — sen a’ dy, tom ándola a lo la rg o del segm ento 2315. AB A B de la bisectriz del segundo á n g u lo coord en a d o, si la abscisa del pu nto A os igual a 2 y la ordenada del p u n to B igual a 2. 2317. ^ dyi , donde C es e l lazo derech o de la lom nisc ca ta r2= a2 eos 2<p, que se sig u e en el sen tido con trario al de las a gu ja s del re lo j. 2318. C a lcu la r las in tegrales cu r v ilín e a s do las expresiones diferen cia les exactas siguientes: (2; 3 ) a) ^ (3; 4 ) x d y + y d x , b) (-1; 2) J (1; i) x d x + y d y , c) <0;1) ^ ( x + y ) (d x + d y )9 <0; 0) <2; i) d) ^ dX~ 2 dy (Por u n ^ m i n o que n o co rte al e je O X ), (i; 2) (x^y) e) \ '~x + yd (\ 2- 1- 2) ' X ^ o r un ca m *n 0 (íu e n o c o r t e a ' a r°cta x + y = t y > y ( * 2; Vi) í) J cp (*) d x - f 1}) (y) dy. <*1; vi) 2319. H a lla r las fu n cion es prim itiva s de su b in tegra les y c a lc u la r las sigu ientes integrales: la s expresiones (SÔ) ( x i + 4xy*) d x + {6 * V — 5Í/4) \ » (-2 ; -1 ) _ O ;0 ) cai l d n o de in te g ra ció n no se co rta con la b) ^ ^ <G ;-i) recta = a) www.FreeLibros.me 298 Integrales m últiples y curvilíneas (3; i) c) í + < t;t) //dy * cam j no (]e i üte g ra ció n n o se co rta 3 c o n la recta y = — x ) , (1; íí d) \ ( y ) d x + ( —7= = + x \ dy. 2320. C a lcu la r la in teg ra l X dz + ydy V i + *> + »* ’ tom á n d ola en el sen tido de la s agu jas d e l r e lo j, a l o la r g o del r^2 Jl2 c u a r to de la elipse -^2" + -| r = : l> ?u e se en cu en tra en e l prim er cuadrante. 2 32 1. D em ostrar, que si f (u) es una fu n c ió n c o n tin u a y un con to rn o cerra d o «reg u la r a trozos», la C £ / (x 2 + y 2) ( x d x + y dy) = 0. 2 32 2. H a lla r la fu n ció n p rim itiv a U> si: a) = (2 x + 3?/) d x -\ - (3 x — Ay) dy; b) dit = (3a:2 — 2 x y + y 2) d x — (a:2 — 2x y -f- 3 y 2) dy; c ) du = e x- v [ ( í + x + y ) d x + ( l — x — y ) d y ) ; j dx s+ y . dy x+y d) d u = — — ----p - . ' C alcu la r la s sigu ien tes in te g ra le s cu r v ilín e a s , tom adas a l o la rg o d o cu rva s en e l espacio: 2323. ^ (y — z ) d x + (z — x ) d y + ( x — y ) d z , c esp ira de la h é lice c ir c u la r don de C es una i desde 0 a 2jt. ' x = acos¿, y = asen t , z^ b t, correspon dien tes a la v a r ia c ió n del p a rá m etro www.FreeLibros.me es 299 In tegra les curvilíneas 2 3 2 4 . ^ y d x + z d y + x dz, donde C es la circu n feren cia c X = R e o s GC e o s ¿ } y = i? eos a sen ^ z = i ? s e n a (a = co n st), recorrid a en e l se n tid o d e l cr e cim ie n to dei parám etro. 2325. x y d x + y z d y + z x d z , don d e O A os e l a rco de la c ir - ó a cu n fe re n cia x 1 + y 2 + z2 = 2 R x , z = x f situ a d o por e l la d o del p lan o XO Z y donde y > 0. 2 3 2 6 . C a lcu la r* la s in te g ra le s cu r v ilín e a s de la s d iferen cia les e x a c ta s sig u ie n te s: <6; 4 ; 8) a) \ x d x + y d y — z dz, ( i : 0; —3) (a ; b't c) b) ^ yzd x + zxdy + xydz, (i; i; i) (3; 4; 6) \ f ’ g + y dj/+ 2 z (0; 0; 0, ’ (*= 1/1 ¿ ) d) ^ p + z x ^ y -j- x y dz ^ c a m ¡ n0 (i e in te g ra ció n está situ a d o en e l p rim er o cta n te ). B . F ó r m u l a de Green 2 3 2 7 . V a lié n d o s e de l a fó r m u la de G reon, tran sform ar la in te g r a l cu r v ilín e a I ^ d x + y \xy + \ n ( x + V ¿ r T Í ñ } d y, c don de e l 2328. c o n to r n o C lim it a un re c in to S. A p lic a n d o la fó r m u la d e G reen, c a lc u la r / = ^ 12 ( x 2 + y2) d x + (x-\- y )2 dy, www.FreeLibros.me 30 0 In tegra les m últiples y curvilíneas dondo C os e l co n to rn o do un tr ia n g u lo , cu y o s v é rtic e s están en lo s pu n tos A (1 ; 1), B ( 2; 2) y C { 1; 3) y que se recorre en sen tido p o s itiv o . C om probar el resu ltad o o b te n id o , c a lcu la n d o la in te g ra l directam en te. 2329. A p lica n d o la fó rm u la de G reen, c a lc u la r la in teg ra l § — x * y d x + x y s dy, donde C es la circu n feren cia x* + y 1' ■=*•7?2, que se recorre en se n tid o con tra rio ai de las a gu ja s del re lo j. 2330. P or los p u n tos A ( 1 ; 0 ) y B (2; 3) se ha tra za d o una parábola A m B , c u y o e je co in cid e con e l e je O Y , y su cuerda es A n B . H a lla r la * dp {x + y )d x — (x — y )d y AmDnA directam en te, a p lica n d o la fó rm u la de G reen. ^ exy [y 2 d x + (1 + x y ) ¿*/l» si lo s pu n tos A A7nB y B están situ a d os en e l e je O X y el área, lim ita d a p or e l ca m in o de in te g ra ció n A m B y por e l seg m en to A B , es ig u a l a S. 2331. H a lla r la 2332*. C a lcu la r la & x dy, ~ ,Jf x . E x a m in a r dos casos: o a) cuando e l orig en de coordenadas está fuera dol. co n to rn o C, b) cu an do ol co n to rn o rodea n veces el orig en de coordenadas. 2333**. D em ostrar que si C es una curva cerrada, en ton ces (^) eos ( X , n ) d s = 0, c donde s os la lo n g itu d del a rco y n la n orm a l exterior. 2 33 4. V a lié n d o se de la fórm u la de G roen, h a lla r la in teg ra l I = ( § [ x eos ( X , n) + y sen ( X , rc)| d s , c donde ds es la d ife re n cia l del con torn o C. 2335*. C a lcu la r la in tegra l a rco y u, d x — dy $ x~\- y C www.FreeLibros.me la n orm a l e x terior al In teg ra les curvilíneas 301 tom a d a a lo la r g o d e l co n to rn o del cuadrado que tien e sus v értices on lo s pu n tos A ( 1 ; Q ) , 5 ( 0 : 1 ) , C ( — 1 ; 0 ) y Z>(0; — 1 ), co n la c o n d ic ió n de que e l recorrid o del c o n to r n o so haga en sentido co n tr a r io a l de la s a g u ja s del r o lo j. D . A p l i c a c i o n e s d e l a integra l curvilínea C a lc u la r e l área de la s fig u ra s lim ita d a s p or cu rv a s: 2 3 3 6 . P o r la elip se x = a c o s t , y = b s e n t . 2 3 3 7 . P o r la a stroid e x — a c o s * t , y = a s e n 3 t. 2 3 3 8 . P o r la ca rd ioid e x a (2 eos t — eos 2t), las sig u ien tes y = ^ a (2 sen t — sen 2 1) . 2339*. P o r e l lazo del f o liu m de D escartes x ? - ¡ - y~ — 3 a x y •■= = (a > ). 2 3 4 0 . P or la cu rva ( x - \ - y )3 = a xy. 2341*. U na circu n fe re n cia de ra d io r rueda sin resb a la r sobre otra circu n fe re n cia fija , de ra d io 7?, con serván dose siem pre fuera 0 0 d e e l l a . S u p on ien d o que — sea un núm ero cu tero, h a lla r e l área lim ita d a p or la curva (e p ic ic lo id e ) que describe cu a lq u ie ra de los p u n to s de la c ir c u n fe r e n c ia . m ó v il. A n a liz a r e l ca so p a rticu la r en q u e r = R (ca rd ioid e). 2 342*. U n a circu n fe re n cia de radio r rueda sin ,resb a la r por o tra circu n fe re n cia fija , de radio 7?, perm aneciendo siem pre dentro ■de e lla . S u pon ien do que — sea un núm ero en tero, h a lla r e l área lim ita d a p or la cu rva (h ip o c ic lo id e ) descrita p or cu a lq u iera de los p u n to s de la circu n fe re n cia m ó v il. A n a liz a r ol ca so p a rticu la r en que r — (astroide). 2 3 4 3 . U n ca m p o está en gen d rado p or una fuerza de m agn itu d co n s ta n te F , que tien e la d ir e c c ió n del sem ieje p o s itiv o O X . I ía lla r e l tra b a jo de d ic h o ca m p o, cu a n d o un p u n to m a teria l d escribe, en e l se n tid o de la s a g u ja s del r e lo j, e l cu a rto del c ír c u lo x?-\ -y2 = R (1 q u e se en cu en tra en e l p rim er cu adran te. 2 3 4 4 . H a lla r e l tra b a jo q u o rea liza la fuerza de gravedad al trasladar un p u n to m a te ria l de m asa m y desde la p o sició n A ( x ú Vú z t) h a sta la p o s ic ió n B (x 2; y 2; z 2) (el o jo O Z está d irig id o v o r lic a lm c n t c h a cia a rrib a). 2 3 4 5 . H a lla r e l tra b a jo de una fuerza e lá s tica , d irig id a hacia el o rig e n de coord en a d as, cu y a m a gn itu d os p rop orcion a l a l a lo ja m ie n to del p u n to resp ecto a l o rig e n de coord en a d os, si el punto d e a p lic a c ió n de d ich a fuerza d escribe, en sen tido co n tra rio a l de www.FreeLibros.me 302 Integrales m últiples y curvilíneas las agu jas del re lo j, e l cu a rto de e lip se - f - p - = * situ a d o en el prim er cuadrante. 2346. H a lla r la fu n ció n p o te n cia l de la fuerza H { X , Y , Z } y determ inar e l trabajo de dich a fuerza en e l trozo de ca m in o quo se da, si: a) X = 0, Y == 0, Z = — m g (fuerza do gravedad) y el p u n to m a teria l se desplaza desde la p o sició n A (xu y u z x) a la p o s ic ió n £ (*2» 22); b) X — — ^ , Y = — , Z = — , donde ¿1 = con st y r=y x2 *•)-y 2 + z2 (fuerza de a tra cció n de N ew ton ) y e l p u n to m ate ria l se desplaza desde la p o sició n A (a , 6, c) hasta e l in fin it o ; c) X — — Y = — A2y, 2 = — k 2z t donde k = co n s t (fuerza clá s tic a ), estando el pu n to in ic ia l del ca m in o en la esfera x2 y2 -\-z2 = R 2 y e l fin a l en la esfera a;2 + y 2 + z2 = r2 ( f í > r ) . § 10. In te g ra le s de superficie 1. Integrales de superficie de primer tipo. Sea / ( x y y , z) una fu n ción con tinu a y z = cp (2 , 1/) una su p o rficie regular ó1. La integral de superficie de primer tipo representa de por sí el lim íte de la suma integral n [ [ S 1(X, y, z ) d S = lim y ¡ / ( I ¡ , y i, zí)AS¡, n-voo ” i—l donde es el área de un elem ento i de la su perficie S , al que perteneceel punto (s¿, ijiy zí )\ el diám etro m á x im o de estos elem entos en que s o d iv id o la superficie tiendo a cero. E l valor de esta in tegral n o depende del lado do la superficie S que se e lija para la integración. Si la p roy ección a de la su p erficio S sobre el p la n o X O Y es u n ifo rm o , es decir, que cualquier recta paralela al ejo OZ corta a la s u p e r fic ie ó’ en un s o lo punto, la correspondiente integral de su perficie do prim er tip o se puedo calcular por la fórm ula [ [ / ( * , y, z ) d s = \ í / [ * , y, <p(*. y ) ) V y ) + < p y ( x ' v)**dy- S (a) Ejemplo í . Calcular la integral do su p erficio Ss i (a?+y + 2)dó\ donde S es la su perficie del cu bo 0 < ; 2 1, 0 - < ¿ f < 1, 0 < z < l . Calculamos la suma de las intégralos do su perficie tom adas sob re la cara, superior del cu bo (z = l ) y sobre la cara in fe rio r del m ism o (z = 0) i t •1 1 * 1 [ Oc + y + l ) <**<*!/ + ^ { (x + y ) d x d y = n 00 ^ ^{2x + 2 y + i ) d x d y = 3. 00 www.FreeLibros.me 303 In teg ra les de superficie Es eviden te, que m a y o r e ig u a l a 3a integral de su p e rficie que se busca será y tres veces (a; -f- y -f- z) dS = 9. sJ 2o. Integral do superficie de segundo t i pQ. Si P = ^ t z), Q = Q ( x , y , z) y R = R ( x i y t z) son fu n cion es continuas y ó'+ e s la cara de una su p e rficie regular S que se caracteriza por la d irec c ió n de la n orm a l n { c o s a , c o s p , c o s y } , la correspondiente integral de su p erficie de segundo tip o se expresa de la form a siguiente: ^ jj P d y d z + Q d z d x + R d x dy = ^ jj ( P c o s a + í ? cos P + P co s y ) dS. 5+ S A ] pasar a la otra cara S ~ d e la superficie, esta integral c a m b ia su s i g n o p o r el contrario. S i la su p erficie S está dada de form a im p lícita , F ( x , y , z ) = 0, los c ó s e n o s directores de la n orm a l a esta su p erficie se determ inan p o r las fó rm u la s 1 dF p 1 dF 1 0F C0Sa = l D - W ’ C0S ^ = ~D~ ~dy~ ’ C0^ = - D ~ 3 r ' ________________________________ d on de y el s ig n o que se pon ga delante d e l ra d ica l dede elegirse de acuerdo con la cara de la su perficio S quo se tome. 3o. Fórmula de Stockes. S i las fu n cion es P ¿ = P (x , y , z), Q — Q ( x , y, z) y R = R ( x y y, z) tienen derivadas continuas y C e s un con t o r n o cerrado, que lim ita una su p erficie b ila tera l S t se v erifica la fórmula de Stockes í P dx-\-Q dy-\- R dz — C S d on de c o s a , cos p y c o s y , son lo s co se n o s directores de la n orm a l a la s u p e r fic ie S , deb ien do determ inarse la d ir e c c ió n de la norm al de tal form a que, desde ésta, el re co rrid o d e l co n to rn o C se efectúe en se n tid o con tra rio a l q ue sigu en las agujas del r e lo j (en un sistema de coordenadas do mano derecha). C a lc u la r la s s ig u ie n te s in te g ra le s de s u p e rficie de p rim or t ip o : 2 34 7. ^ ^ (3 a + ¡/2) AS, don de S es la esfera 2348. ^ ^ V 'z*-] y 2 dS, don de S es la x z -j- j/2 + z2 = a2. su p e rficio www.FreeLibros.me la te ra l del 304 Integrales m últiples y curvilíneas C a lcu la r tip o : la s s ig u ie n te s in te g r a le s de s u p e r fic ie 2 34 9. \ \ y z d y dz + x z d z d x + x y d x d y , d on d e 's ex terior de la s u p e r fic ie del tetra ed ro lim it a d o x = 0 , y = 0, z = 0, x + y -i-z ^ a . 2 35 0. ^ ^ z d x d y , donde S es la ca ra de segundo S os la p or lo s cara p la n os e x te r io r d e l e lip s o id e *(S) l í . JÜ. i - ? L - i a* r ¿>2 ¿a — ■ ^ ^ x 2 dy dz + y 2 dz d x z l¿ d x d y , donde S os la ca ra e x te s rio r de Ja s u p e r fic ie de la sein i esfera x * - \ - y 2 z 2 = a 2 (z ;& 0 ). 2 3 5 2 . H a lla r la m asa d e la s u p e r íic io d e l cu b o 0 < ^ < 1 , 0 < z < 1, si la den sid ad s u p e r fic ia l en el p u n to M (x\ y ; z) e s ig u a l a xyz. 235 3. D eterm in a r las coordenadas d e l ce n tro do g ra ved a d de la cá p su la p a ra b ó lic a h om og én ea az — x 2 -\-y2 (0 2 35 4. H a lla r el m o m e n to de in ercia de la parte de s u p e rficie 2 35 1. la tera l del co n o z = ~\fx2 + y 2 |0 < z < h\ con resp ecto a l eje O Z . 2 35 5. V a lié n d o se de la fó rm u la d e S to ck e s , tra n sform a r las in teg ra les: (x 2 — yz) d x 4 - (y 2 — z x ) d y + (z2 — x y ) dz; a) c b) ^ y d x + z d y + x d z . c A p lic a n d o la fó r m u la de S to ck e s, h a lla r la s in te g ra le s que se dan a c o n tin u a c ió n y co m p ro b a r lo s resu ltad os c a lc u lá n d o la s d irecta m en te: 235G. § { y - \ - z ) d x -^ -(z -\ -x ) d y - \ - ( x Jr y ) dz, d on d e C es la cireú n es feren cia x 2 -\~ y^-\-z¿ = a 2, x - \ - y + z — 0. 2 3 5 7 . ^ (y — z) d x -\ - (z — x ) dy-\- ( x — y ) dz, donde C es la e lip se c x 2 + y 2 = l , x - \ - z = \. 2 35 8. § x d z + ( z + y) d y - \ - ( x 4 - y - { - z ) d z 1 d on d e C c x — a w n t , y = a c o s ¿ , z — a (sen t -|- e o s t) [ 0 < ¿ < 2 j í | . www.FreeLibros.me es la cu rv a 305 Fórm ula de Ostrogradski-Gauss 2359, y 2 d x - f z 2 dy + x 2 dz, ^ donde ABCA es el con torn o AUCA del A A B C con lo s vértices en lo s pu n tos A (a ; 0; 0 ), B (0; a; 0) y C (0 ; 0; a), 2360. ¿En qué ca so la in tegral cu rv ilín e a I ^ jP d x + Q dy+Rdz c será ig u a l a cero, para cu a lq u ie r co n to rn o cerrado C? § 11. Fo rm u la de Ostrogradski-Gauss S es un a s u p e r f ic ie r e g u la r c e r r a d a , q u e lim it a u n v o lu m e n V , P = P ( z f y , z ) y Q = Q(Xy y , z) y R = R ( x , y , z) so n fu n c io n e s c o n tin u a s , Si y ju n t o c o n s u s d e r iv a d a s p a r c ia le s d e 4 o o r d e n , e n v e r ific a la f ó r m u l a d o O s tr o g r a d s k i-G a u s s ^ ( P eos a + <? eos P-f- i? eos y) d S = ^ ^ e l r e c in t o + ^ + cerrad o se dxdVdz' 8 (V)' donde cosa , cosg y eos y, son ios cosenos directores de la normal exterior a la superficie S. V a lién d o se de la fó rm u la de O strogradsk i-G au ss, transform ar la s sigu ien tes in teg ra les de su p e rficie , sobre las su p e rficie s cerra das 5 , que lim ita n e l v olu m en V (donde c o s a , eos (3 y eos y , son los cosenos directores de la norm al e x terior a la su p e rficie S). 2361. ^ 's x y d x d y - f yz d y dz -f- z x dz dx. 2 36 2. ^ s x 2 d y d z y 2 dz d z z 2 d x d y . 2^3 f f a eos a + y eos p + z eos y ^ y y x* + ¿ * + z 2 2364. c o s a + 4 ^ cos ^ cos ) c^ ' s V a lié n d o se de la fórm u la de O strogradski-G auss ca lcu la r las sig u ien tes in tegrales de su p e rficie : 2365. ^ \^x2 d y dz + y 2 d z d x + z 2 d x d y t donde S es la cara ex terior de la s u p e r fic ie del cu b o 0 < x < a , 0 < y < a , 0 < z < « . 2366. ^ x d y d z -\ -y d z d x - ^ z d x d y y don de S 20-1016 www.FreeLibros.me es la cara exte- Integrales múltiples y curvilíneas 306 rio r de la p irá m id e x = 0, y — 0, 2 = 0. lim ita d a p or las su p e rficie s \ \ x 3 dydz-\~ys d z d x + z 3 d x d y, V e x terior de la esfera x ¿ + y 2 + z 2 = a 2. 2367. 2 36 8. donde x-\-y + z — a f S es la cara J Jj ( z 2 eos a - ^ - y 2 eos P -f- z2 eos y ) dS , donde S es la super fic ie e x terior to ta l d e l con o 2369. D em ostrar, q u e s i 5 os una s u p e rficie cerrada y / cu a l q u ier d irección con stan te, ^ ^ c o s ( n , Z )d S = 0, donde / i es la n orm a l e x te rio r a la s u p e rficie S. 2370. D em ostrar, que e l v o lu m e n F , lim ita d o fic ie S , es igual a p or la super 1 p i4 V = y J J (z eos a + </ eos (3 + z eos y ) s donde c o s a , c o s p y eos y , son lo s cosen os directores de la norm al exterior a la s u p e r fic ie S. § 12. Elementos de la t e o r í a de lo s campos \° C a m p o e s c a l a r y c a m p o vectorial. El campo escalar so determina por una fu n ció n escalar del punto t¿ = / ( P ) = / (z , y, z), donde P ( z , y , z) es un punto del espacio. Las superficies / (z , p, z) = 6\ donde <7 — const, se llaman superficies de nivel del cam po escalar. El campo vectorial se determina por ia fu n c ió n v e cto ria l dol punto a = a (P) = a (r), donde P os un punto on e l esp acio y r = x l - \ - y j - \ - z k es el radio vector del punto P . En form a coordenada a — ax i + ayJ + azh , donde = y . *)» au = ay (zi y , z), = a* ( z , y, z), son las proyecciones del v ecto r a> sobre los ejes de coordonadas. Las líneas vectoriales ( líneas de fuerza, Líneas de corriente) dol cam po vectorial se deducen del sistema de ecuaciones diferenciales El cam po osea lar o dz dy ax ay v ectoria l que n o dz az depende del tiem p o se llama estacionario, m ientras q ue e l que depende del tie m p o , no es estacionario. 2o. G r a d i e n t e . E l vector www.FreeLibros.me Elem entos de la teoría de los campos ^ donde V ^ + ^ 307 ^ + - g j ; es el operador de H a m ilto n (nabla), recibo el nom b re do gradiente d e l cam po U = / (P ) en el punto P (véase el cap. V I . § 6). El gradiente está d ir ig id o p o r la n orm a l r a la superficie de n ivel en el punto P t en el sen tido del crecim iento de la fun ción £/, y tiene una lon g itu d igual a dü dn Si la d irección se da entonces por el dU j tt i a - ^ - = grad U ' l = grad¿ u = vector unitario dt/ dax &ay dx 1 dy daz {cosa , eos p, eos y), Q dU eos p - f - ^ - c o s y. eos a + ( Derivada de la junción U en la dirección l). 3o. D i v e r g e n c i a y rotor. Se llam a v e cto ria l a (P) = axí-\ -a yJ ^ - a zUy el escalar .. l divergencia do un campo, _ d 1V (I — —----- --- -r-— -f-- 2— = V ' dz Recibe ol nombre de rotor do un cam po vectorial a (P) = axi + « / - [ _ a j e . el v ecto r — - ( * - £ ) • + ( * - * ) '+ ( £ - 4 W - * x . , 4o. F l u j o d e l v o c t o r. Se denomina flu jo del cam po vectorial a ( P ) y a través de la su p erficie S, en ol sen tido determinado por oí vector u n ita rio do la n orm a l w { c o s a , eos p, eos y ) a dicha su perficie S, la integral \ c m dS — y an dS = ^ J (ax eos a + ay eos p -j- az eos y ) dS. Si S es una superficie cerrada, que lim it a un volum en F, y n es e l vector u n ita rio de la norm al e x te rio r a la superficie S, será v á lid a la fórmula de Ostrogradski-Gauss,, cu ya form a v ectoria l es an dS — ^ ^ div a d x dy dz. <v) 5 o. C i r c u l a c i ó n d e l v e c t o r ; t r a b a j o <1 o 1 c a m p o. La in te gral lineal del v ecto r a sobre !n cu rva C se determina p o r la fórmula a dr = \ ? as d s = J ax dx~\-al/dy-\-az dz (1) O y representa do por sí el trabajo del cam po u a lo la rg o de ( as es la p roy e cció n del vector a sobro la tangente u C). la curva C 20* www.FreeLibros.me Integrales m últiples y curvilíneas 308 Si la curva C es cerrada, la integral lineal (1) se lla m a circulación del cam po vectorial a a lo largo del con torn o C. Si la curva cerrada C lim ita una superficie bilateral S , se v erifica la fórmula de Stockes, cuya form a v ectoria l es ^ a d r = ^ jj n rot a d S = ^ (rot a ) n dS, donde n os el vector de la n orm a l a la su p erficie S, cuya dirección deberá elegirse do tal m o d o, que para el observador que m ire en el sentido de n , ol re corrid o del co n to r n o C so efectúe en d ire cció n contraria a la que siguen las agujas del r e lo j, cuando el sistema de coordenadas os do m ano derecha. 6o. C a m p o potencial y campo solenoidal. Un cam po vectorial a ( r ) se llama potencial, si a = grad U , donde U = f ( r ) es una fu n ció n escalar (potencial del cam po). Para que sea potencial un cam po a , dado en u n recinto sim plem ente co n e xo, es necesario y su ficiente que a sea irrotacional, os decir, que ro t a = 0. En esto caso e x iste un potencial U, quo se determina p o r la ecuación dU = ax dx-\-ay dy-\-az dz. Si e l potencial U os una fu n ció n u n iform o, so tiene \ a d r = U (B) — AB — V (A)\ en particular, la circu la ción del vector a será igual a cero: # a d r = 0. c Un cam po vectorial a ( r ) se lla m a solenoidal, si en cada punto del cam po la d iv a = 0 ; en esto caso, el f l u j o del v e ctor a través de cualquier superficie cerrada será igual a cero. Si el cam po es a la vez potencial y so le n o id a l, se tiene d i v ( g r a d £ / ) = 0 y la fun ción potencial U es arm ónica, es decir, satisface a la ecuación ff.217 de Laplace ^ 1 dy* > TJ JJ _ ^ >)2 = 0 , o sea A U = 0, donde A = V 2 = - ^ + es ol operador do Laplace. 2 37 1. D eterm inar l as s u p e r fic ies de n iv e l del ca m p o escalar U — f(r), donde v ~ \ r x i -\-yi -j - z 2. ¿C uáles serán las su perficies d e n iv e l del cam po U = F ( p), donde p = Y x ~+ !/2? 2 37 2. D eterm inar la s su p e rficie s de n iv e l del ca m p o escalar U = aresen y**+y*' 2373. D em ostrar, que las líneas v e cto r ia le s dol cam po v e c to ria l a ( P ) = c , donde c es un v e cto r con stan te, son rectas parale las al v ector c. www.FreeLibros.me 309 E lem en tos de la teoría de los campos 2 37 4. H a lla r la s lin ca s v e cto ria le s del cam po a = — coiji + (ú xj , donde o es úna constante. 2 37 5. D educir las fórm u las: a) grad (C 1£/ + C 2V ) = C 1g r a d £ 7 -f C2 grad V % donde Cj y C 2 son constantes; b ) grad (U V ) = U grad V + V grad U\ c ) grad ( t / 2) = 2U grad U ; i ) 8 r .d e) grad (p (Í7) = <p' (Í7) grad t /. 237 6. H a lla r la m a gn itu d y la d ire cció n del gradien te del ca m p o í / = x a + y 3 + 23 — 3 x y z en o l punto A (2 ; 1 ; 1 ). D eterm inar en qué pu n tos el gradiente del cam po es perpen dicu lar a l eje OZ y en cu á les es ig u a l a cero. 237 7. C a lcu la r e l grad U> si U es respectivam en te ig u a l a: a) r, b) r2, c ) y , d) / (r) (r = * Y x * + y 1 + z 2 ). 237 8. H a lla r e l gradiente d e l cam po escalar U = c r , donde c es un v e cto r con stan te. ¿C u á les serán las su p orficies do n iv e l de este cam po y có m o están situadas respecto al v ector c ? 2 37 9. H a lla r la derivada d e la fu n ción U ==“ T + ”| r + 7 á ' en un p u n to dado P ( x , y , 2 ,), en la d ir o cció n d e l ra d io v e cto r r de esto pu n to. ¿E n q u é ca so esta d eriva d a será ig u a l a la m agnitud d e l gradien te? 2380. H a lla r la derivada de la fu n ción £7 = y en la d ire cció n Z {c o s a , eos p, eos y}* ¿E n qué ca so esta derivada es igual a cero? 2 3 8 1 . D educir las fórm u las: a) d i v ( C i« 1+ C 2a 2) = 6,1d i v a 1-¡-CT2 d i v a 21 donde y C 2 son constantes; > b) d iv ( í 7 c ) = g r a d f /* c , donde c es un v e cto r constante; c ) d iv (¿ 7 a ) = grad U - a - \ - U d i v a . 238 2. C a lcu la r la d i v ^ y j . 2 3 8 3 . H a lla r la d iv a para e l ca m p o v ectorial cen tral a(p) = / ( r ) y , donde r = ] / x 2 + í/2 -f-z 2 . 238 4. D e d u cir las fórm u las: a) rot {Cia i - f C2a 2) = C{ rot a x - f C2 rot a 2t donde C { y C2 son constantes; b) r o t ( U c ) = grad ü X c , dondo c es un v e cto r con stan te; c ) rot { U a ) = grad U x a + U rot a . www.FreeLibros.me 310 Integrales m últiples y curvilíneas 2385. C a lcu la r la d iv e rg e n cia y e l ro to r del v e cto r a , si a es ig u a l respectivam en te a: a) r ; b) r e y c) f ( r ) c , dónde c es un v e c t o r con stan te. 2 38 6. H a lla r la d iv erg en cia y e l ro to r d e l cam po de la s v e lo cid a d e s lin é a lo s do lo s p u n tos de un cu erp o, q u e g ira co n una v elocid a d an gu lar co co n sta n te , alrededor del e je OZ en d ire cció n con tra ria a la que sig u e n las a gu ja s d e l reloj, 2387. C a lcu la r o l rotor del ca m p o de las v e lo cid a d e s lin ea les u — co X r de lo s pu n tos de un cu erp o, quo g ira co n una v e locid a d a n g u la r ü> con sta n te, alrededor de e je determ in ado que pasa por e l orig en do coordenadas, 2388. C a lcu la r la d iv erg en cia y e l rotor d e l g ra d ie n te de un ca m p o escala r U. 2389. D em ostrar, que d iv (r o t a ) — 0. 2390. V a lié n d o se del teorem a do O strogradski-G au ss, dem ostrar q u e ol f lu jo del v e c to r a - r , a través de una su p e rficie cerrada, q u e lim ita un v olu m en a rb itra rio v , es ig u a l a l tr ip lo de este v olu m en . 2 39 1. H a lla r e l f lu jo del v e c to r r , a tra v é s de la s u p e rficie t o t a l del c ilin d r o x 2 + y 2 < JR2, 0 < z < / / . 2392. H a lla r e l f lu jo del v e cto r a = x H + j + a través X % - \ - ?/2 <le : a) la su p e rficie latera l del co n o — b) la s u p e r fic ie t o ta l de este m ism o con o. 2393*. C a lcu la r la d iv e rg e n cia y e l f lu jo de la fuerza de a tra c c i ó n j F = — r~ - de un p u n to de. m asa m , situ a d o en el o rig e n de coordon adas, a través do una s u p e rficie cerrada a rb itra ria que rodea a d ic h o p u n to. 2394. C a lcu la r la in teg ra l lin e a l del v e cto r r a lo la rg o de una esp ira de la h é lice c ir c u la r z = / ? c o s ¿ ; y — R son t\ z * = h t , desde ¿ — 0 hasta t — 2 n. 2395. V a lié n d o s e d e l teorem a de S tock es, c a lc u la r la c ir c u la c i ó n del v e c to r a = x 2y H + j + z h a lo largo de la circu n fe re n cia x 2 + y 2 — R 2\ z = 0, tom an do en ca lid a d de s u p e r fic ie e l h em islo r io * = 2 3 9 6 . D em ostrar, que si F es una fuerza ce n tr a l, es d e c ir, que está d ir ig id a a un p u n to f i j o 0 y dep en d e sola m e n te de la distan c ia r h a sta este p u n to: F — / ( r ) r , donde / (r) es una fu n ció n u n ifo rm e co n tin u a , e l ca m p o será p o te n c ia l. H a lla r e l p o te n cia l U del ca m p o. 2397. H a lla r o l p o te n c ia l U del ca m p o de g r a v ita c ió n , que ongendra un p u n to m a teria l do masa m , situ a d o en e l orig en de coordenadas: a = — a D em ostrar, q u o e l p o te n cia l la ecu ación de L a p la ce A U = 0. www.FreeLibros.me U sa tisfa ce Elementos de la teoría de lo s campos 311 2398. Com probar si lo s cam pos v ectoria les que se dan a con ti n u ación tienen p oten cial U y , si lo tienen, h a lla rlo : a) a = (5x 2y — 4x y ) i - f (3** — 2y) j\ b) a ~ y z i -f- z x j - j - x y k ; c ) a = { y - \ - z ) i + (x-\-z) j + (x + y ) k . 2 39 9. D em ostrar, q u e e l cam po cen tra l espacial a = f ( r ) r será fe solen oid a l s ó lo cu a n d o f ( r ) = “ > donde k — con st. 2 40 0. ¿Será solen oid a l e l cam po v e cto ria l a = r ( c x r ) , donde c es un v e cto r con stan te? www.FreeLibros.me C apítu lo V I I I SERIES 1. S e rie s numéricas I o. C o n c e p t o s principales. Una serie numérica oo + flo + - - * = 2 n= i Qn (í) so lla m a convergente, s i su suma parcial $n = fli + a2 + •••+ an tiene lím it e cuando n co . El número «9 = l i m S n recibe el nom bro de suma ?l-*co do la serie y la cantidad R n = S — S n = : « n + i 4 " a7i+24- ••• el de resto do la serie, ¿¿i ol lím it e lim S n n o e x iste , la serie recibe el 7 i— » c O nom bro do divergen te. Si la serie es convergente, el lim an = 0 (condición necesaria para la conn-»oo vergencia). Poro La a firm a c ió n inversa n o es cierta. Para que la serio (1) sea convergente es necesario y suficiente que para cualquier número p o s itiv o e se pueda encontrar un N ta l, quo para n > J V y para cu alquier número p o s itiv o /?, se cu m pla la desigualdad I an+fr<*n+2+ ••• I< e (criterio de Cauchy). La convorgencia o divergencia do una serie n o se altera s i añade o se suprim e un numero f i n i t o do térm inos. 2°. C r i t e r i o s do c o n v e r g e n c i a y d i v e r g e n c i a de las s e r i e s de t é r m i n o s p o s i t i v o s . a) l c r i t e r i o d e c o m p a r a c i ó n . S i 0 *&an ^ b ní a partir de un determinado n = y la serie c o Ói + &2+ •••+ bn 2 bn (2) n=l es convergente, la sorio (t) tam b ién será con vorgente. Si por el con tra rio , la serie ( 1) es divergente, la serie (2) tam b ién lo será. En calidad do series com parativas es m u y c ó m o d o tom ar, en particu lar, la progresión geométrica f ¡ a(tn n=0 (" =£ °)t www.FreeLibros.me Series numéricas 313 que es convergente cuando | q | < l y divergente cuando armónica |«7 | > 1, y la serie co in 1 n—i que es divergente. E j e m p l o 1. La serie 1*2 2-22 1 3-2» 1 “ 1 /i'2 n es convergente, ya que aquí 1 ün 1 n-2n < -'2n ’ y la p rogresión geométrica 00 Y J_ On ’ Zj cu ya ra zón es q = » ~ - f es convergente. E j e m p l o 2. L a serie ln 2 . In 3 . 2 1 3 . ln n • • • +■ 1 *** ' n 1 es divergente, ya que su térm in o general correspondiente — TI es m ayor que el térm ino de la serie arm ónica (que es divergente). b) II c r i t e r i o de comparación. Si e x iste un l i m f i n i t o n -> c o On y diferen te do cero (en particu lar, s i an ~ bn ) t las series (1) y (2) son vergentes o divergentes simultáneamente. E j e m p 1 o 3. La serie 1 * 1j i 1 j 1 + T " r T + " - + S r = T H' - ' es divergente, y a que 1 y la serie c u y o té rm in o general es — os divorgonto. E j o m p 1 o 4. L a serie 1 . 1 . 1 2 — 1 1 22— 2 1 2S— 3 ” ‘ ’^"271— www.FreeLibros.me con 314 Series es convergente, porque M / i M J 1 * : 1 ? ) “ *• 0 sea w = 2 - 1 F • y la serie cu yo térm ino general es es convergente. ¿t c) C r i t e r i o d e D ’A l e m b e r t . m inado n = n0) y ex iste ol lim ito Cuando an > 0 (a p a rtir de ún deter lim 2 "±í = g n->co la serie (1) será convergente, si $ < 1 , y divergente, si < ? > 1 . la convergencia do la serie queda sin esclarecer. E j e m p l o 5. Investigar la convergencia de la serio A , J L tJ L o. 2 22 23 Solución. Cuando <?= 1, \ 2n- í , 2n "r% ' ’ Aquí 2n - 1 gn *n+i n™ <h ,• „ 2« + l 2n+1 ’ (2w + 1) 2n 1 .. ” «X“ 2 » + i ( 2 » - l ) - 2 i L ^ 2» 1 ,_ J _ = 2 • 2/i P o r consiguiente, la serie dada es convergente. d ) C r i t e r i o d o C a u c h y . Cuando an > 0 (a p a rtir de un determ inado n = n0) y existo ol lím ite térm ino ilim • nr y — an = q, n-> <x> la serie (1) es convergente, si « ? < 4 , y divergente, s i < y > l . En e l ca so en que «7= 1, la convergencia do la serie quede sin esclarecer. e) C r i t e r i o i n t e g r a l d e C a u c h y . Si an = - f (n), donde la fun c i ó n / (z ) es p o sitiv a , m on óton a decreciente y c o n tin u a cuando s > a > 1, la serie (1) y la integral oo / ( X) dx a s o n convergentes o divergentes simultáneamente. V a lié n d o se del criterio integral se demuestra que la serie de D irichlet co S i r n=l <3 > es convergente, si p > l » y d ivorg on íe, si p < 4 . La convergencia de muchas serios se puede investigar com p a rá n d olas co n la correspondiente serie do D irichlet (3). www.FreeLibros.me Series numéricas Ejemplo 315 tí. in vestiga r la convergencia de la serie 1 • 1 • 1 + ...+ 1 1 «2 ' 3 -4 1 5 -6 1 ' (2n — 1) 2n 1 Solución. Tenemos: 1 1 1 (2n — 1) 2n 4 fl* 1 1_ 2n 4n* ' Com o la serie de D irich le t cuando p = 2 es convergente, basándose en el 11 c r ite r io de co m p a ra ció n puedo afirm arse que la serie dada tam bién es convergente. 3 o. C r i t e r i o d e c o n v e r g e n c i a d e l a s s e r i o s d e t é r m i n o s p o s i t i v o s y n e g a t i v o s . Si la serie I ai I+ 1a¿ I+ •••+ 1 an 1+ •••» (4) form ada p o r lo s valores absolutos de lo s térm inos de la serie (1) es con vergente, la serie (1) tam bién es con vergente y recibe el nombro do absolu tam ente convergente. Si p o r el c o n tra rio , la serio (1) es convergente, m ien tras que la (4) es divergente, ia serio (1) se lla m a condicionalmente conver gente. Para averiguar si la serie (1) es absolutam ente convergente pueden em plearse para la serie (4) lo s ya c o n o cid o s crite rio s do convergencia de las series de térm in os p o s itiv o s . En particular, la serie ( í ) será absolutamente con vergente, si an+l an lim n - T co En el c a s o general, de divergencia serie do la la < n 1 o lim y |an |< 1. n -v o o divergoncia d e la serie (4) n o (1). lim Pero si ol *n+l <*n n - ‘ ce se desprende la >1 o lim an |> 1, en ton ces será divergente n o s ó l o la serie (4), sin o n-*oo la serie (1). . C r i t e r i o d e L o i b n i z . Si para una serie alternada bien tam bién — ^2+ ^ 3—^4+•••(&» > 0 ) se cu m p len las co n d icion es: 1) el (*>) > 62 > ¿3 > • ••> - ) lim 6^ = 0, la serio (5) n -* c o será convergente. Para e l resto de la serie i?n , en este ca30, será v á lid a la acotación I Rn I Ejem plo 7. In vestiga r la convergencia do la serie S o l u c i ó n . T om a m os la serie de nos de la serie dada: ( 2 \2 , ( 3 \3 § / 4 lo s t v a lores absolutos de lo s té rm i t ¡ www.FreeLibros.me n 316 Series Como lim / O 1 Z r = lim - = lim —1 / ,l_ co2re — 1 1_ n - 4 ., 2 la serie dada es absolutam ente convergente. E j e m p 1 0 8. La serie os convergente, ya que se cu m plen las co n d icion es del criterio de Leibniz. Pero converge 110 absolutam ente (condicionalm ente), y a que la serie 1 1 1 1+ T + T + - " + 7 r + " es divergonte (serie arm ónica). O b s e r v a c i ó n . Para que las series alternadas sean convergentes, n o es su ficiente que su te rm in o general tienda a cero. E l criterio cíe Leibniz afirm a únicamento, que la serio alternativa converge s i el valor absoluto del té rm in o general de la m ism a tiende a cero m o n ó t o n a m e n t e . P o r e jem p lo , la serie - 1 • 1 5 2 1 lJL_ 52 + ± _ _ l + es divergente, a pesar de que su térm ino general tiende a cero (la v ariación m on óton a del v a lo r a b solu to de este térm ino general, aquí, naturalm ente, n o so cum ple). Efectivam ente, en este ca so 6T2&= »S’fe-|-‘S,fc* donde + y el lím ite J -4 -+ ...+ Í ., 5 h = -(-1 + -^ + ...+ -^ -), liin ¿ ' ¿ - f c o {Sk es la suma parcial de la serio a rm ón ica), m ien - k~*O0 9} tt tras que el l i m S k e x iste y es f i n i t o (Sk es la suma parcial de la progresión fc-foo geom étrica, que es convergente), p o r consiguiente, iiai S 2h = co. k-*co P o r otra parte, para quo la serie alternada sea con%'ergente, n o es nece sario que se cum pla e l criterio de Leibniz, y a que la sorie alternada puede ser convergente, s i el valor absolu to de su térm ino general tiende a cero de form a no m onótona. A sí, la serie • 1 1 3» o;i 22 1 /.<>. 1 ••' 42 . 1 1 ( l n — 1)3 1 (2« ) 2 ■ es convergente, y además absolutam ente, a pesar de que e l crite rio de Lefbjiíz no se cum ple, puesto que el v a lo r absolu to del térm ino general d e la serio, aunque tiendo a cero, no lo hace m onótonam ente. 4o S e r i e s de t é r m i n o s c o m p l e j o s . La serie quo tiene por tér m in o genera \cn = a n-\-ibn (¿2= — 1) es convergente si, y s ó l o si, s o n convergentes 03 simultáneam ente las seríes de sus térm inos reales ^ n= 1 www.FreeLibros.me OO an Y 2 n=l y este Serles numéricas 31 7 < «= 2 -»+ * 2 <6> caso, 2 n= 1 n=í n=l La serie <fi) es in dubitablem en te convergente y se denom ina absolutamente convergente, si converge la serie 2 n—1 2 ^ an-\-bm n—i cu y o s térm inos son los m ó d u lo s de lo s d o la serie (G). 5o. O p e r a c i o n e s c o n l a s s e r i e s . a) Cada u n o de lo s térm inos do una serie convergente puede m u lt ip li carse p o r u n núm ero cualquiera k, os decir, si a l + a 2 + • •• + * » + • •• = se tendrá ha ^+ hag + •••+ han + . . . — kS . b) Se entiende por suma (o resta) de dos series convergentes « i-| -a 2 - f a n + . . . = ó ,1, (7) &I + &2+ - ••+ ft/» + ••• (®) Ja correspondiente serie (flj ± &i) + (^2 ± &2) + •••+ (flr* =t &«) + . . . = *^1 i c ) So lla m a producto de las series (7) y (8), la serie c \ + c' ¿ + ••• + £ * + • 0*2. ( 9 ) donde = a j& n + fl2&n-i + an¿,t (n = l , 2 , . . . ) . S i las series (7) y (8) son absolutam en te convergentes, la serio (9) también l o seré y su suma será igual a d) si una serie es absolutam ente con vorgcnto, su sum a n o varía cuando se al tora ol orden de sus térm inos. Esta propiedad n o tiene lugar cuando la con vergen cia n o es absoluta. E scrib ir la fó rm u la m ás sim p le d e l térm in o en ésim o de sig u ie n te s series, de a cu erd o con lo s térm in os que se in d ica n : las 2 4 0 Í. i + | + | + | + ... 2 40 7. | + | + ¿ + ¿ + ¿ + ¿ + ... 2 40 2. l + | + f 4 + 2408. l + g 2 40 3. l + * + . . . + J ^ + ^ « ^ + ... » + 4 . + ... 2409- 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + . . . 2 40 4. 1 + 4 + 4 + 1 + . . . 2410. 1 + -S- + 3 + 4 + 5 + - ¡ r + * 9 ' 1G 2405. + 240 6. 4 - , 4 + ^ + 8 + . . . www.FreeLibros.me 318 Series E n lo s problem as N prim eros térm inos de la q u e ya se conoce. 2411. an = 2411-2415 es necesario e scrib ir l o s 4 6 5 serie, partien do del térm in o g en eral dn . 2414. 2 4 1 2 . a IL=* ( - 2n l )n * . = . ^ 2 + sen 2 4 1 5 . a n- = j cos /¿jx n: 2 4 1 3 .a n = i ± í ^ ) l . In vestiga r la con v erg en cia de la s series sigu ien tes, valién dose de los criterios de co m p a ra ció n (o de la co n d ició n necesaria): 2416. l — l - j - l — 1 - L . l ) " “ i ^ • 4 + i ( 4 M ( i r + M I S . | + |_ + J . + 2419. 4 ( 4 r + ... + & F L + ... - ~2n-\-i + + f i o ^ I 10 fio - + 2 4 2 0 . y + T + T + • • • + ‘¿ T " f" ' • • M 21, n + é + ¿ + — ^ ío n + i+ "• ~ y _ - f y — + y ~ ~ + ■••+ 2422. + ... 2423. 2 + - ? - + ^ . + . . . ■ 2" • 2424- ‘ + 2 ' é + f s + '-'T 7 ; + 2425. ............. 3 + 3 T /2 + 1 . 3 ... . . . + 4 1 /3 V a lié n d o se del crite rio g en cia de la s series: 9 / 97 . - " ... 2426. ± + l^ -_ + l L 2 n 5 . ------(n + l ) V « de D ’A lem b ert, . 3n—1 www.FreeLibros.me in vestiga r la con v er Series 319 numéricas V a lié n d o s e del c r it e r io do C a u ch y , de la s series: in v e stig a r 2429. » + ( » ) • + ( * ) ■ + , . . + ( £ & ) - + 2 4 3 0 .i+ ( i) , + (4 ), + la con vergen cia ... ... + (5 Í r if - ‘ + - In v estig a r la co n v e rg e n cia d e la s sig u ien tes series de p ositiv os: 2 43 1. 1 + - ^ - + - ^ * + • •- b - I 2432. + • •• + térm inos ••• (n + if-i + 1 2433- é i + é í + r h Q + ••• o/o/ 1 . 4 9 2434. - ~ 4 - r 4 — 4 ... , 2435. + . . . + _ + _ + o/. qí* 3 3 ^ OD- 9 + , 5 , ( i ) '+ ( » ) Í + 0 //1 2 11 241 , ' ' •’ ... , 2* + l ! 42.52 “ r • • • "T (w + 1y¿(„ j_ 2 )2 (* )• + ... + ( * ■ ) ■ + . . . ‘ + ( ¿ ) l + 2439. i . + ^ - + Í J .+ 2440. 1 *2 2*2 + 1 7 22-3^ ■*" 3*¿ *4‘2 ^ M I. 4 + * 8 . 11) 1 (3n — 2 ) ( 3 r e + l ) ... + ( g | } ) í + ... ...+ • £ 2 ■A . I 2"-* o;» "T' • * - '1 2* 1r 33 *„ n 1 2* + 224 1 1 i 23 + í , *‘ 2n 4 1 *’ ‘ 2444. i + £ + £ + . . . + 1 ^ ¡ J r + . . . <>/!/,!* 1 j . 1 -3 . 1,3 ,5 ■ 2443. — - h 4.8 + 4 .8 .12~'' 0444 <1!)2 o ,/C , (2!)2 , (3!)2 , 1000-1002 , 1 1 -3 -5 . . . (2n — 1) ' ‘ '+ , 4 -8-12 . . . 4 » + " - , («O 2 , 4000-1002-1004 , 244 5. 1 0 0 0 ^ ------- ^ ------+ ---------1 ^ 7 -------- + . . . 1000-1002-1004 . . . (998+ 2n) , 1 -4-7 . . . (3 /1 -2 ) ’ 1" " - www.FreeLibros.me Series 320 2446. 2 , 2 -5 -8 , 1 + 1 -5 -9 ' 2447. 1 , 1 - 5 2 2 -4-6 ' 1 - 5 - 9 . . . ( 4 * — 3) •••■*" 2 - 4 - 6 - 8 - 1 0 . . . <4n— 4) (4n— 2) 1 , , 1 -11 , 2 -5 -8 -1 1 -14 . . . (6n — 7) (6 n — 4) , 1 -5 -9 -1 3 -1 7 . . . (8ra— 1 1 ) (8n — 7) 1 -1 1 -2 1 2448. T T -1 2 44 9. H , 1-4 , 1 -4 -9 , 1 "1T 3 3 ' + ' l - 3 . 5 - 7 - 9 ‘ S T " 1" 51 , ‘ * , 1 -1 1 -2 1 ... (1 0 /2 -9 ) , ■+• • • ■+ (2re— 1)1 , 1 - 4 - 9 . . . n2 , • • •"*' 1 - 3 - 5 - 7 - 9 . . . ( 4 * - 3 ) ^ no ’ ' * CO 2 45 0. ^ a r c s e u . ti 2 45 9. I7" n = l • ti V «(n + D oo no V a « 2451. Z ' s e n l F »l=l / 1 \ 2 4 6 1 . y . 1 1 2n l n n + V l n ^ °° OO *2 + 1 ' ^ 2453. 2 n -‘ t oo 2 46 2. Y ^ — - J ----- 7= . n y n - /n 2463. V Y fi - ÍnL _ (2n— 1) (5 jTn ^ 2454. CO 7 1 =2 2464. ^ co ( l — COS-^-j . n = l y . 1 n Inn 0 ,,.r ni 2 46 5. 2 j ~¿ñ ■ l=n » -2 oo co 2456. y . 1 n 1q“ n n=2 2nn! ^ • 2466. 2 n = l ex» 2 . oo 71=1 2 45 7. - 71=1 2 45 2. 2 l n ( l + | ) . 2 45 5. 1 - 2460. y , ± . V » (« + 1 ) ( * + 2) ex» n- l nn- l nl nn ' ■ 2467. 2 « = 2 n = l 2458. S ^ T - 2468*. 2 n = 2 -¡^ i. n = l co 2 46 9. D om ostrar, que la serie 2 ““T T n* ln« n n=2 www.FreeLibros.me * 1) . S eries numéricas 321 1) es con v erg en te, cu a lq u iera q u e sea j , si p > l , y cu an do q > 1 , si p = 1 ; 2) es d iv e rg e n te , cu alqu iera q u e sea g, si p e 1 , y cuando g < 1 , si p = l . A v e rig u a r la con v erg en cia ¡jde las sigu ien tes series altern adas. S i son con vergen tes, com prob ar s i lo son a b solu ta o c o n d ic io n a l m ente. 4 O ,í 7 f í 1 2 47 1. 1 o / 7o ¿W ¿. , > 1/2 1 , ( - 1 ) 71” 1 + , ‘ V3 ^ i 1 ,1 , ( — l)” -1 , 1 — - j - f -g-— . . . n------ ~s~ - p . . . ^ ^ . 3 l - y M 74- A 2475. + 13- - á + — Á + l )” -1 n . . { ••• + — 6 ñ - 5 ------- - - - + ( - ‘r ' ^ Í r , + + ••• + ( — ! ) 2 -- '75 -I — + — | -----------------¿ ------- f . . . 2 l/2 —1 3 l/3 — l 4 1 /4 -1 2476. . . . + ( — l)n - i + ^ d r - í i j v 1 ^ - S '7 — 1 ( < - « * ( i í í r + . . . 1 ^ n -i3 - 5 - 7 . . . ( 2 r t - f l ) " 78# T ^ r 5 + 2 X 8 “" ‘ ' - + ( _ ' 1) 4 -( n + — ------ + . . . (» + l ) V / r + l - y 2479 1 - — 4 -¿ l i l i Zi/J- 7 7 -9 ^ 7 .9 -4 1 n ,o r» s e n a , sen 2 a . , sen n a -7ln —77T 1 TíTTTmif 10 1 (ln 10)2 • ' • •• H 1 (ln 10)1 2481. ^ 2-5.8~:(3n-l)+*-* j\n-i 1 * 4 - 7 . . . ( 3 b - 2 ) ^ 7-9-11 . . . ( 2 k + 5 ) 1 • ( - D n~ - 71=1 CO 248 2. 2 7 1= 1 ( — 1)7I_1 *8 ~ T 7 jj‘ • ^ ' 248 3. C erciorarse de q u e el crite rio d e con vergen cia de D ’ A lem b ert n o resu elve el problem a d e l escla re cim ie n to de la 2 1 — 1016 www.FreeLibros.me Series 322 oo con v erg en cia d e la serie 2 a n> don de n— I *¿k—i = a 2k-i » 0 (A’= J , 2, • . . ), a 2k — m ientras q u e con ayuda del cr ite rio d e C a u ch y se puede com prob ar q u e esta serie es con v erg en te. 2484*. C erciorarse de que e l c r ite r io d e L eib n iz no es a p lica b le a las serios a lte rn a tiv a s a) — d ). C om probar, cu á le s de estas series son divergen tes, cu á le s con v erg en tes co n d icio n a lm e n te y cu á les a bsolu ta m en te con vergen tes: ai i 1 a; 1/2— 1 q/2+1 . . 1__1 ~l/ 3 — 1 1/ 3 + í ( ° 2ft- , = M . 1 1 1 1 1 > 3 2 33 22 36 1_________ i V '4 - l v /íT í-r 1/ 4 + 1 % = " . 31 31 -t- 1 32 . 15 t o ) : + •• • (««■-* = c ;\ ii v «2A= - ¿ = r ) ; J 3;{_ + . . . ( a 2fc-. = 2j— P — íífc) : A\ T1 - l + T - T1 +i n1 _ T1 +i . . . d) ( a 2ft-l= 4 ^ — i . « 2 f t = — 4 ^ 3 3 ) ' In vestiga r la co n v e rg e n cia de la s sig u ie n te s series de co m p le jo s: <x> OO » < 2485. 2 + 2 48 9. y ¿ )n 2 '* n = l 00 00 2 n ( 2 ¿ — 1 ) ^ 3n = V ~ n + i 1 2490. 2 (»+0 v * l OO 00 1 2487. 1 n = l « 2 48 6. 2 2 n = l *(3 + 1 2491. * ) n 2 ’ n ~ [ * + ( 2 / 1 - 1 n ( - ) ) * ! * + l l 00 2 48 8. ^ n = n i 9 2 49 2. V f 2 ¿ L ^ (3 — 20 — 3¿ n » l www.FreeLibros.me térm in os 323 Series numéricos 2 4 9 3 . E n tre las cu rva s y ^ ~ ~ e y = - ^ - , a la derecha de su p u n to de in te rs e cció n , se h an co n stru id o segm entos p a ra lelos al eje O Y y que guardan entre s í d ista n cia s ig u a les. ¿Será fin ita la sum a de la s lo n g itu d e s d e estos .segmentos? 249 4. ¿Será fin ita la sum a d e las lo n g itu d e s de lo s segm entos de q u e se h a b la en el problem a a n terior, si la curva y = -¿¿- s e sus- titu y e por la curva y = — ? X oo 2 49 5. F orm ar la sum a d e la s series 2 oo y n = l 2 n = l ¿Será con v e rg e n te esta sum a? co 249 6. F orm ar la d iferen cia de la s series divergen tes 2 —t «= i y 2 e in v e s tig a r su co n v erg en cia . n = l 2 4 9 7 . ¿S erá co n v e rg e n te la serie q u e resu lta de restar la OO serie co 2 n=t d e la s e rie 2 í ? n—1 2 4 9 8 . B u sca r dos series ta le s, y su d iferen cia d iv erg en te. q u e su sum a sea con vergen te oo 2 4 9 9 . F orm ar e l p ro d u cto de la s series Y , — -— nya «=1 v v y "Y. n=1 1 2 » -i ■ E ste p rod u cto ¿será con vergen te? 2 5 0 0 . F orm ar la serio (1+ 1 + - I + ... + _*_ + ... . ¿Ser¿ con v erg en te esta serie? 2501. S é d a l a serio - l + - ¿ — ... A pre cia r el v a lo r d e l error q u e se co m e te al s u s titu ir la sum a d e esta serie p or la sum a d e sus cu a tro prim eros térm in os y por la suma do sus c in c o prim eros térm in os. ¿Q ué puede d ecirse d e lo s signos d e estos errores? 2502*. A c o ta r e l error que se co m e te al s u s titu ir la suma de la serie T + T ( T ) V H T ) '+ - - - + - = r ( T ) '+ . . . p o r la sum a d e sus n prim eros térm in os. www.FreeLibros.me 324 Series 2503- A c o ta r e l error q u e se co m e te la serie 1 4- _L. j _ _ L 4_ A^ 21 ^ 3! ^ ’ *’ a] s u s titu ir la -u — 4ni T sum a de ••• p or la sum a de su s « prim eros té rm in o s. E n p a rticu la r, a cota r la ex a ctitu d de esta a p ro x im a ció n cu a n d o n — 10. 2504**, A co ta r e l error q u e se co m e te a l s u s titu ir la sum a de la serie . 1 , 1 i~ 22 1 ' , 32 , ' ' ' i ■ ~t" n 2 l ' •‘ p o r la su m a d e sus n prim eros té r m in o s . E n p a rticu la r, a cota r la e x a ctitu d de esta a p ro x im a ció n cu a n d o « = 1000. 2 5 0 5 *. A c o ta r el error que se co m e te a l s u s titu ir la sum a de la serie . / i ( 1 \ 2 t ) \ 2 n- 2 / 1 + 3 (t ) por la sum a de sus n prim eros té rm in o s. 00 „ 2 50 6. ¿C u án tos té rm in o s de la serie / a\n—1 > j -i— ^------ h a y q u e tom ar n —1 para c a lc u la r su sum a con e x a ctitu d desde 0 ,0 1 hasta 0 ,0 0 1 ? oo 2 50 7. ¿C uántos térm in os de la serie 2 f f i t + l ) 5n~ ^ ay q u e tom ar n=t para c a lc u la r su sum a c o n e x a ctitu d hasta 0 ,0 1 . 0 ,0 0 1 2508*. H a lla r la su m a d e la serie 1 , 1 1- 2 , 1 2- 3 , 3- 4 1 *‘ y 0 ,0 0 0 1 ? i n ( n + 1) "1~ * ' * 250 9. H a lla r la su m a d e la serie § 2. S e ríe s de fu nciones 1°. C a m p o d e c o n v e r g e n c i a . 1£1 c o n ju n to argum ento x y para lo s que la serie de fu n cio n e s de lo s valores li (*) + / í ( * ) + •* •+ /n (*) _t" •* • es convergente, se lla m a cam po de convergencia ele esta serie. del (1) L fu n ció n S ( s ) — l i m S n (z), n -* -c o donde S n { x ) — /« (x)-\ -fz ( * ) + . - • + / » ( * ) y x pertenece a l ca m p o de c o n v e r gencia, recibo e l nom bre de suma do la serie, y B n {x) = S ( x ) — S n (*), el de resto de la serie. www.FreeLibros.me 325 Series de funciones En lo s casos m ás sim p les, para d eterm inar el ca m p o de convergencia de la serie (1) basta a p lica r a esta serie lo s c o n o cid o s crite rio s de con ver gencia, con sid era n do x f i j o . E j e m p l o 1. D eterm inar e l ca m p o de convergencia d e la serie x+\ 1 .2 Solución. serie, tendremos {* + !)* (* + D » + 2-2 z + 3 -2 * + D esign ando , im . W por m e d io de un el térm in o general iinj I“ni , (* + ?£ ■ + n ' 2 n + , '• i x + i r 1^ » 2 Basándose en ol crite rio d e D *A lem bort se puede a firm a r que con verg en te ( y además absolutam ente con vergen te), s i 07/7tf 104 i; la serie es d iverg en te, s i < z < —3 o si . 1 —1 l < s < c o f q u < 1» es decir, flfc si — 3 < x < a rm ó n ica 1 - ^ la serie es -f F i g. 4 la _ i«+n. 2 * «("+ i> l* + l| “ -3 de (fig . e 104). ^>*, Cuando x = í es d ivergento, y e s decir, se si — c o < obtiene i cuando Xf= — 3, la serio la serie “ •> q110 (d0 acuerdo con e l crite rio de L eib n iz) es convergente (pero n o absolutam ente). E s decir, la serio con verge cuando — 3 < x < l . 2o. S e r i e s d o p o t e n c i a s . Para toda serie de potencias c0 + Ci ( i — a) + c2 (ar — a ) * - f (x — a)n + . . . (3) (cn y a so n núm eros reales) ex iste u n in te rv a lo (intervalo de convergencia) | x — a | < / t con cen tro en e l p u n to x = a, en c u y o in torior la serie (3) es absolutum ente convergente; cu a n d o |a:— a 1 > i? la serie es divergente. E l radio de convergencia R puedo ser en casos particulares igual a 0 y a co . En lo s pu n tos ex trem os dol in te rv a lo de con vergen cia x = a ± . R puedo tenor lu gar, tauto la co n v erg en cia , co m o la divergoncia de la serie de potencias. E l in terv a lo do con vergen cia se determina generalm ente p o r m edio de los crite rio s d o D ’Alcrnbert o de C auchy, a p licá n d olo s a la serie formada por los valores a b solu tos do lo s térm in os de la serio dada (3). A p lic a n d o a la serie do lo s valores absolutos 1*0 I + 1c i I I a I + •••+ 1 cn 11 * - a www.FreeLibros.me ... Series los criterios de D’Alembert y de Cauchy, obtenemos respectivamente las siguíontcs fórmalas para el raaio de convergencia de la serie de potencias (3); R= . 4 ? = lim Y I cn I n-voo y «=liin |-^-I. n-*cc | cn+i I No o b sta n te, h a y que e m p le a r lo s co n mucha p re ca u ció n , ya q u e , frecu en tem en te, io s lím it e s q ue figu ran on lo s segu n dos m ie m b ro s do estas f ó r m u las n o e x iste n . A sí, p o r e je m p lo , s i u n c o n ju n t o i n f i n i t o de c o e f ic i e n t e s cn so anula ( l o que, en p a rticu la r, ocurre cuando la serio co n sta sola m en te rio térm in os do p oten cia s pares, o so la m e n to de potencias im p a res de ( z — a))t 110 se pueden em p le a r las fó r m u la s in d icad as. D e b id o a e sto , se recom ien d a <iut\ al determ in a r e l in te r v a lo d e c o n v e rg e n cia , se om p lee e l c r it e r io do D ’ A lo m b e rt o el do C auchy d irecta m en te, c o m o so h iz o m ás a r r ib a al in v e s tig a r lu serio (2), sin recu rrir a las fó r m u la s g en era les de d e te r m in a c ió n dol ra d io de co n v erg e n cia . Si z = x - { - i y es una v a ria b le c o m p l e ja , para la s e r ie de potencias c0 + c { (z — z0) + c2 (z — 20)2 + . . . + * » ( * — zo)n + * - • W + 2o==J:o + ¿l/o) c h iste un d ete rm in a d o c í r c u l o (circulo de con ver gencia) |z — z0 \<^H co n e l ce n tro en el punto z = ¿ z 0, en c u y o in te r io r la serie es absolu ta m en te c o n v e rg e n te ; cu a n d o \z — la s e r ie es d i v e r gente. En lo s pu n tos situ a d os en la m ism a c ir c u n fe r e n c ia de esto c ír c u lo do co n v e rg e n cia , la serie (4) puede ser ta n to co n v e rg e n te co m o d iv org on tc. E l c í r c u l o de co n ve rg en cia so determ in a , g e n e ra lm e n te , v a lié n d o s e d e lo s crite rio s de D ’ A le m b e r t o d e C auchy, a p lic a d o s a la serie I co I + 1<4 | • I z — zo 1+ 1cz I ' I 2 ~ 2o I2 + •• •+ 1 cn I * I2 — zo in + •••» c u y o s térm in os son lo s m ó d u lo s d e lo s d o la s e r ie dada. A s í, p o r e j . , u t iliz a n d o el c r i t e r i o d e D ’ A le m b e rt es fá cil observar do q ue el c í r c u l o de co n ve rg en cia de la serie g -j-1 t 1-2 "1 (s + l)S 2 ^ t < « + 1 )3 , , (* + ! ) ” n .2n 3-23 está determ inado p o r la d esig u a ld a d | z - f - l | < 2 (basta re p e tir las o p e r a c i o nes q uo so h icie r o n en la pag. 288 para determ in a r el in te r v a lo d e c o n v e r gen cia de la serie (2), y s u stitu ir x p o r z). E l c e n t r o d o l c ír c u lo d e c o n v e r g e n cia esta on el punto z = — t , y e l ra d io H de esto c ír c u lo ( r a d i o de co n v e rg e n cia ) o s ig u a l a 2. 3 ° . C o n v o r g o n c i a u n i f o r m o , La serie de fu n cion es (1) co n v e rg e u n iform em en te en un in te rv a lo d e te rm in a d o, si para c u a lq u ie r e > O s e puede h a lla r u n N ta l, q ue n o depen de de x , q u e cu a n d o n > TV, para todos lo s v a lores d o x d e l in te rv a lo d a d o , so cu m p le la d esig u a ld a d I Rn (*) |< e , donde fín ( x ) es ol resto de la serie dada. Si |l n (x) |^ e n (n = l , 2, . . . ) para y la s e r ie num érica fX> 2 cn es con verg en te, la s e r ie de f u n c io n e s (1) será a b so lu ta y un iform e- 74=1 m en te co n verg en te en ol segm ento [a, b| (criterio de W eierstra ss). La serio d e p oten cia s (3) con verge a b so lu ta y u n ifo rm e m e n te en c u a l uier segm ento situ ado d e n tro de su in te r v a lo do con vorg on cia . La serie o potencias (3) se puede d e riva r e in teg ra r térm ino a té rm in o d e n tr o de su in te r v a lo de con verg e n cia (cuando | x — a | < / ? ) , es d e c ir , q ue si 3 * o + * i ( * — a ) + c 2 ( * — a )2 + ••- + * n ( x — www.FreeLibros.me = / (x ), (f>) 327 Series de funciones entonces, tenem os: para cu a lq u ier c i+ 2 c 2 ( x — X x del in te r v a lo de con vergen cia a ) + . . . + n c n (x — a ) * " 1 -*- X x do la serie (3) = /' (* ). (6 ) X ^ c 0 ¿/£ + ^ i? , ( a : — a) d x + ^ c 2 (x — a)z dx-\- . . . — xo xo X<) c * (a: — a)n d x - f - . . . = xo ■ ¿ c , te= y (7) n = 0 xo (el núm ero x 0 tam b ién pertenece a l in te r v a lo d e con vergen cia d e la serio (3)) Adem ás, las series (6) y (7) tienen el m ism o in terv a lo de con vergen cia que la serie (3). H a lla r e l ca m p o de con v erg en cia de las series: OQ 2 61 0. OO 2 L . 2 51 8. 2 ^ n=l n=l co OO 2511. 2 25<9- 2 7 5 ^ 0 ^ • n= 1 n=l O 0 O O 2512. 2 ( - l ) n+* ^ n=t o siq - 2 52 0. 71 o o • X’ • n=0 2” « n p • 2 52 2. n=0 ¿ . 2523. n=0 J . x oo { - l ) n+íe - " s e n * . 2524*. 2 (a7n - f - - ^ j ) . n=0 7 i= l oo co 2 71—1 ^ • n = l oo 2 51 7. = o o J S " ” 2 ¡ 4 n=l c o 2 51 6. 2 « -j-1 2 j (7r+i,oT2ñ • n= l 2515- 2 co X ' sen (2rc— 1 }* ¿ ^ ___ n=l 2 j — 2« — 1)2- 2 51 4. . • 2 52 5. 2 *“• 7l= -l H a lla r el in te rv a lo de con v erg en cia de las sigu ien tes series de p oten cia s e in v e stig a r la con v erg en cia en lo s extrem os de dich o www.FreeLibros.me 328 Series in te rv a lo : oo 252 6. oo 2539. ^ "^ T • n=l co 2 * “n=0 03 2527. -ci *n 2540. 71=1 y. n ón*Id n 71= 2 co CO «SH aj2R-l 2528. 2j 71=1 03 2 52 9. 2541. ‘ 2 * n! n=í co 2542**. 2 l (472— 3)2 ' 71=1 2 « !* n'71=1 oo 2 53 0. 2 2 6 4 3 *- 2 n n —i n —0 oo OO 2531. 2 (ft-t-l)5s 2n • 2n + l ^ ( - l ) n( 2 » + l ) V \ t»=0 2534. ~ 5 )* 2-3* ' n=l 03 co 2533. • ^ n= l 03 VI XnU 2 5 4 4 *. 2 V • n =í oo 2532. .n 2 °° (— 1 n—i. n! ' Y ( g - 3 ) tt Ti- 5n n= 1 oo 03 2 relar". n—1 71= 1 2546. 9a * CO 2535. ¿ $ 71=1 ■ 2548. ^ ( - 1) 71= 1 W-l (* — 2 ) 2 ” CO 2 53 6. Un+ l ) Tl=l Z i ‘ 2549. ¿ n—i 03 OO 2537. 2 3 "V * . n=0 2 55 0. 2 n=l ( f )" 2 71=1 co ***■ . 2551. £ 71=1 www.FreeLibros.me '>n ( * + 3 ) n 329 Series de funciones oo 9552 V 2j ^)n (2n — 1).2n • 2558. ¿ J fí ^ - n=l 71=1 co w - h n=l - t r ^ S S ^ - 2559*. 2 n=l OO oo 2554. ^ n=l ( l + - i ) ” 2 (* -1 )"- w! (* + 3 )* 7171 2 5 6 0 .2 OO (* + i)» 2555, . 2 5 6 i . 2 ( - D n^ q : r ( * - 2 r . 2 ( ¡ l + i ) i n * ( » + i)* n=l n =0 Oo 2 55 6. ■ÉJ 2 (rt i- J + ílr) lrn3!a" ( n +r ln) • n=l n=0 oo co 2557. 2 5 6 3 .2 (-l)n (* ” 3>n n— 0 n=l D eterm in a r el c ír c u lo de co n v erg en cia : 2 56 4. 2565. 2 ¿" 2 n- 2566- S • 71*0 T»= | OO oo 2 ( l + « i ) z n. 2567. 2 n= 0 5 • n= »0 2 56 8. (1 + 2í) + (1 + 2t) (3 + 2t) z + . . . . . . + (1 + 2¿) (3 + 2 i ) . . . (2 b + 1 + 2¿) z n 4- . . . 2 5 6 9 . l + r L - + i r - i; ; _ ¿. ) ^ . . . . z» ( 1 - 0 (1— 2 f).. .(1 — m) T »™ - ¿ 71= 0 >>■ 2571. P a rtie n d o del co n c e p to de con v erg en cia u n iform e, dem os trar que la serie 1 + x + z 2 -¡- ••• + * * + n o co n v e rg e u n iform em en te en e l in te rv a lo ( — 1, 1 ), pero es uni form em en te con v erg en te en cu a lq u ie r seg m en to situ a d o dentro d e é l- www.FreeLibros.me 330 Series Solución. U tiliza n do la fórm u la do la suma do la p rog re sió n geo m étrica, para | z | < l obtenem os j.n+1 R n ( z ) = x * + l + : r*+ 2 -r. . . = — -. T om em os ol segm ento [ — 1 + c t , 1 — a ] , dentro d e l in terv a lo ( — 1, 1) donde a es un número p os itiv o tan p equeño c o m o se desee. En este segm ento — a y |1 — z | > a y , por consiguiente, Para dem ostrar la convergencia u n iform e do la serie dada en ol segm ento ( — 1 + a , 1 — a ] , hace fa lta probar que para cu a lq u ier e > 0 se puede hallar un N tal, que dependa exclu siva m en te de e , y q ue para cu a lq u ie r n ^ > N so v erifiq u e la desigualdad para t o d a s las x d e l segm ento examinado. Tom ando cu alquier e>0, hacemos que de (1 — a ) n+1 < c a , (n + 1) 1“ (1 — a ) < ln (e a ), es decir, n + \ > l u ( l — a ) < 0) — y n > — TomaQd o , de donde } EJ,\ (ya que ln (1 — a ) es fca fo rm a , N= _ i f qos convencem os d e que, e fectiva m en te, cuando n > i V , se ln (1 — ct) verifica la desigualdad |Rn (*) I < e para todas las x del segmento [ — 1 + a, 1 — a] y , por consiguiente, queda demostrada la convergencia uniforme de la serie dada en cualquier segmento situado dontro del ( — 1, 1). En lo que se rofiere a la totalidad del intervalo ( — 1, 1), éste contiene puntos tan próximos como se desee al punto x = l , y como lim Rn (x) = x-+\ = Jim z x-+1 1 x = co, por grande quo sea n, siempre se pueden hallar puntos x para los quo Rn (x) será mayor que cualquier otro número, tan grande como se deseo. Por consiguiente, es imposible elegir N tal, que para n > i V se verifique la desigualdad |i?^(ar)|<e en t o d o s los puntos de! intervalo ( — 1, 1), lo que quiero decir, quo la convergencia de esta serie en dicho intervalo ( — 1, i) no es uniformo. 2572. trar que: P artien do del co n ce p to de con v erg en cia u n iform e, demos a) la serie 1 X 4 -r~X2 — -l f 1 -4"i-------- 1! 2! . . . -j■ n\ ' 1- . . . converge u n iform em en te en cu a lq u ie r in terv a lo fin ito ; b) la serie Xz 1 con verge (-1 . i); ( — 1)n- l x m n T ••• X4 ¿G T + 3••" + u n iform em en te en todo el in terv a lo www.FreeLibros.me de con v erg en cia 334 Series de funciones c ) la serie 2X 1 J3* . •• * + J. *r con v erg e u n iform em en te en e l in terv a lo núm ero p o s itiv o cu a lqu iera ; d) la serie ° ° )» donde 6 es un 2n +2 ( x z— s 4) - f ( s 4— x*) + (x*— x 8) + . . . + (z es con vergen te, no s ó lo dentro del in terv a lo { — 1, 1 ), sin o tam bién en lo s extrem os del m ism o, pero la con v erg en cia de la serio en el in te rv a lo ( — 1, 1) no es uniform e. Dem ostrar la con vergen cia u n iform e de las siguientes series de fu n cion es en lo s in te rv a lo s q u e se in dican : co 2573* 2 “ja " en segm ento [ — 1; 1)- 2n en to d o e i e je num érico. n=* i oo 257 4. n= i oo 2575. 2 (“ n=l l ) 71” 1 ~ T :r en se8m en to [0, 11. V a lién d o se de la d e riv a ció n e in tegra ción té rm in o h a lla r las sum as de las series: rn 2576. x + - f 3 + “n T" + - •* -n 2577. x 2 1 3 ■271-1 2 57 8. x + 4 " 3 2 57 9. X- ‘ ^ 5 3 +1 5 1 2n — 1 ' + ( - l ) n- l S + - - 258 0. l + 2 x -t -3 x 2 + -\~ (il -j- 1) x n -{- . . . 2 5 8 1 . 1 — 3x 2 4 - 5 x 4~ + ( — í ) n- 1 ( 2 n — l ) x * n-* t 2 5 8 2 . 1 •2 4 - 2 ■3 x 4 - 3 •4 x 2 4 - . . . 4 - » (n + 1) x n"1 H a lla r las sum as de las series: t>r OO 1 , 2 , 3 n www.FreeLibros.me a térm in o, 332 Serles a ^ * 1 i ^ > 3 . 3 ^ 5-32 7-33 ^ • ' # (*—1)” 1 | ( 2 n ~ i ) 3 n-i~i~ ' ‘ * • + ^ 2^— h •- • 258 6. -g" + ~22~ + § 3. S e rle de T a y lo r 1. D e s a r r o l l o de u n a f u n c i ó n on s e r i o de p o t e n c i a s . Si una fu n ción / (x) adm ite un d e s a r ro llo en serie de potencias do x — a m un en torn o | x — a | < R d e l punto, a , esta serie (serie de T aylor) tendrá la form a: t(z)= f(a ) + j ' ( a ) ( x - a ) + í ^ & { z - a ) * + . . . + ! ? ? M ( x - a ) ' ' + . . . (1) Cuando <1= 0 , la serie de T a y lo r recibe tam b ién e l nom b re de serie de Alaclaurin. La igualdad (1) es cierta, s i para |x — a | 00. Para acotar el resto de la serie se puede em plear la fórm u la Rn f r > - % g r / 'n+1) la+<) ( l ~ a)]’ á o n d e O < 0 < l (2) (forma de Lagrange). Ejemplo 1. D esa rrolla r la fu n c ió n / (x) = cha: en serie de potencias do x. Solución. H alla m os las derivadas de la fu n c ió n dada / ( x ) = char1 / ' ( * ) = sha:, / " ( a ) — c h i , f ”' ( x ) = s h x t en general, / í n >(x) = ch z , s i n es par, y /<n> (* ) = sh x , si n es im par. P on ien d o a = 0, obtenem os: f ( 0 ) = l , / ' (0) — 0 , / ° ( 0 ) = l f f w (0) = 0 on general, /<n >(0) = l , s i n es par, y / ( « ) ( 0 ) = 0> s i n es im par. De don de, basándonos on (1), tenemos: c k - í + ! - + - S - + . . . + ’g r + . ~ Para determinar el in te rv a lo do convergencia crite rio de D ’A lem b ert. Tenem os: x 2 rt+2 lim n—veo x 2n ( 2 * + 2)! • (2n)l do (3) la serie (3) e m p lea m os el (2n+l){2n + 2) ° para cu alquier x . P or con sigu ien te, la serie os convergente en e l in tervalo — c o < £ < c o . El resto de la serie, de acuerdo co n la fó r m u la (2), tione la forma x n+1 R n ( * ) = 7— r i r r s5 n es imPar» y ^n+i fín (x) = Como O > 0 > 1 , ^ — sh Q j, si n es par. tendremos ch Ox |= --------------------- < * M , |sh Qx |= www.FreeLibros.me 2 1*1 S erie de T a ylor por lo cu al |R n (x ) I e^ - â 333 ser*° Cuy ° térm in o general es I x ln - ^ y — e s convergente para cu alquier x ( l o que es f á c i l de com probar v alién dose del crite rio de D ’ A le m b e rt), p o r necesario de convergencia lo que, de acuerdo con el criterio lim i( rn -i f '- 1iT) 1 r ^ 0, n -»c o y , por con sig u ie n te , lim R n ( x) = 0 cualquiera que sea x. Esto s ig n ifica , que n-*oo la suma d e la sexie (3), para cu a lq u ier x , es efectiva m en te igual a cha:. 2. Procedim ientos q u e se e m p l e a n al d e s a r r o l l a r serie de p o t e n c i a s . V a lié n d o se d e lo s desarrollos fundamentales I. xn + X j-3 seni = _ _ _ _ r + 3-5 ( —CC< * <CO), ^2^+1 (_ co < x < co ), £2 *4 x2n III. eos a: = 1 ----- 2j— I—4]-----------------------------------------( ~ c o < x < c o ) . iv. a + * r = i + ^ - z + m(y ) » 2+ ... m j m - l ) . . . j m - n + i ) x n + . . . ( _ 1 < g < 1 ) .), 71} y de la fórm u la de la suma d e la p ro g re sión g eom étrica se püede, on muchos casos, ob ten er fá cilm en te e l d e s a r ro llo de una fu n ció n dada en serio de poten cia s, sin que haya necesidad do in vestigar el resto de la serie. A veces, a l hacer el desarrollo, es con ven ien te u tiliz a r la d e r iv a c ió n o integración té rm in o a térm in o. Cuando se trate de desarrollar on serie de potencias^fun cio n e s racionales, se recom ien da desarrollar dichas fu n cion es en fracciones sim ples. E j e m p l o 2. D esarrollar en serie de p oten cia s de x ••) la fu n ción u , __________ 3 /W (1 _ * ) ( 1 + 2 x ) Solución. 1 D esarrollan do la fu n ción en fra ccion es sim p le s, tendremos: /(I )i- n r + T T 2 í ' *) En lo s extrem os d e l in te r v a lo de convorgencia (es decir, cuando 1 y x ~ \ ) ol d esa rrollo I V se co m p o rta de la sigu ien te manera: si 0 , con verge absolutam ente en am bos extrem os; si 0 > m > — 5, diverge cuando a r= — 1 y con verge co n d icio n a lm e n to cuando x = l\ s i m ^ — 1, diverge en am bos extremos. **) A q u í, lo m ism o que en lo su cesivo, se sob re en t i onde «potencias enteras y positivas». www.FreeLibros.me en 334 Series Como OO Tl _ = 1 + , + , ! + . . . « 2 (4) n=0 30 (5) n<s»0 en d e fin itiv a tenemos, 00 co /<*)= 2 *n + 2 2 (— l)n 2ni n= 2 71=0 Los progresiones n=0 geom étricas (4) y cuando |x |< i y |x |< - i - ; [ l + ( - i ) n 2n+1]*"- (6) n=0 por (5) son convergentes respectivam ente co n sig u ien te, 1 1 la fó r m u la (6) os cierta 1 cuando |x | < — . es d e cir, cuando — -t— < x < — . 3o. S e r i e d e T a y l o r p a r a f u n c i o n e s d o d o s v a r i a b l e s . E l d osa rrollo d e una fu n ción de d os variables / (a;, y) cn la serie de T a y lo r. en un entorno dol p u n to (a; ó), tiene la forma /(* . » ) - / ( « . » ) + T f * )+ -¿ -[(* -« )-= dxr + U « - l ) ^ ] 2 f ( a . b ) + . . . + ± [ ( X - a ) - ¿ + ( y - b ) J ¿ Y f ( a , b ) + . . . ( 7) Si a = f>=rO, la serie de T a y lo r se llama tam b ién [serie de M aclaurin. este caso, se usan las sigu icn tos notaciones: 0 - « ) £ + f e - S ) ■ £ - ] /< ., x«=a <*-«)■ ») I/=b + 2 a2/ (*, ») L dr2 x=a y*=b x=a ?/—b (* -«)* + (x — a) (y — 6) + ly=b En y)fi dy2 ( y — 6 )2 . i/-b El d esa rrollo de la serie (7) tiene lugar, si el rosto de la serie n / ? „ ( * , * ) - / < * . * ) + { / < « , *>+ 2 ^ [ (x- a) ¿ + (*'“ fr)¿ ] fe/ (a‘ 6)} ~ * 0 h=i cuando « —> c o . El resto de la serie puede represontarse en la form a R» < * • »(n-M > =)I [ 0 (* ■- “ ) £ + < * - - b) ^ ] " + 1 1 (* .» ) x=a+6(x-fi) y=b-HKl/—b) donde O < 0 < 1. www.FreeLibros.me Serie de T a ylor 335 D esarrollar cu serie do poten cias enteras y p o s itiv a s de x las fu n cion es q u e se in d ica n a c o n tin u a c ió n , h a lla r lo s in tervalos de co n v erg en cia de las series ob ten id as e in vestiga r e l com portam iento de lo s restos d e las m ism as: 2 5 8 7 . ax ( a > 0 ). , 2 58 9. e o s ( x + a). ^ , 2 58 8. sen • 2 59 0. sen2 a:. 2591*. l n ( 2 + x ). U tiliz a n d o lo s desarrollos fu n dam en tales I — V y la progresión g e o m é trica , e scrib ir e l d e sa rro llo en serie de poten cias de x , de las sig u ien tes fu n c io n e s e in d ica r los in te rv a lo s de con vergen cia de e lla s * 2 * -3 2 59 8. eos2 x. 259 2. <x 2 5 9 9 . sen 3a: + x eos 3a;. 2 59 3. . 2600. 2594. '2 26Q1_ 2 5 9 5 . e*\ i V*- 2596. s h x . 2602- i o r S - 2 59 7. eos 2x. 2 60 3. ln (1 + s — 2a:2). A p lic a n d o la d e r iv a ció n , d esarrollar en serie de poten cias de x, la s sig u ie n te s fu n cion es e in d ica r los in terv a los e n 4 que dichos d esarrollos tien en lu ga r: 2 6 0 4 . (1 +■ x ) ln (1 - f x ). 2606. aresen x . 2 60 5. a r c t g x . 2 60 7. ln ( x - f - 1 ^ 1 + £ 2)V a lié n d o s e de d iferen tes p roced im ien tos, d esarrollar en serie de p oten cias de x , las fu n cio n e s que se dan a co n tin u a ció n e indicar los in terv a lo s en q u e d ich o s desarrollos tien en lugar: 2 60 8. son2 x eos2 x. 2 61 6. 2609. ( i + x ) e .-X x 2 61 0. (1 + e*)3. 2 61 1. Y S + x . 2612. x 2 -3 x + l \ 0 I 2617. \ e ~ x2d x. o 261H. ^ \n(i+x)dx . *2- 5 * + 6 ’ 2 61 3. c h 3 x. s 0 2614. 1 * 01* - 4— • 2 61 5. ln (x 2 + 3 x - f 2 ). X 2619. www.FreeLibros.me \ ~ J ^ = r . Í V 1- * 4 336 Series E scrib ir lo s tres prim eros térm in os d iferen tes de cero, do los desarrollos en serie de poten cias de x de la s sig u ien tes fu n cion es: 2620. t g x. 2623, seca:. 2621. thx. 2624. l n c o s 2 . 2622. ecosx. 2625. ensena:. 2626*. D em ostrar, que para c a lc u la r la lo n g itu d de la elipse se puede u tiliz a r la fó rm u la aproxim ada 5 « 2 jia ( l — — . donde e es la excen tricid a d y 2 a el e je m ayor de la elipse. 2627. U n h i l o posado suspendido p or sus extrem os form a , su propio peso, la caten aria y = a c h - í - , siendo a p or , donde H es la ten sión h orizon ta l del h ilo y q el peso de una unidad de lon g itu d del m ism o. D em ostra r, que para v alores pequeños de x , puede a dm itirse, con a p ro x im a ció n hasta una ca n tida d del orden x2 do que el, h ilo cu elg a form a n d o la p a rá bola y = a + i r - 2628. D esarrollar la fu n ció n rr3 — 2 x 3 — 5o: — 2 en serie do poten cias de 2 + 4. 2 62 9. f ( x ) — 5 2 3 — 4 2 a — 3x + 2. D esa rrolla r / ( x + ft) en serie de potencias de h . 2630. D esa rrolla r \ n x en serie de p oten cias de 2 — 1. 2631. D esa rrolla r en serie de p oten cias de 2 — 1. 2632. D e s a r r o lla r -^ - en serie de 2 63 3. D esa rrolla r 2634. D esa rrolla r + '43.^7 2635. D esa rrolla r ex p oten cias de z + 1. en serie de p oten cias de 2 + 4. en ser*e enserie de p oten cias de 2 + 2. p oten cias de 2 + 2. en serie de p oten cias de 2 — 4. 2636. D esa rrolla r ^ ji 2637. D esa rrolla r cos x en serie de poten cias de 2 — ^"* • n 263 8. D esa rrolla r cos s 2 en serie de poten cias de 2 — ^ 2639*. D esarrollar ln 2 en serie d e p oten cias de 2 64 0. D esa rrolla r ^ ^ \ zf*x ' en serie de p oten cias de 2641. ¿Qué error se com ete si se supone q u e aproxim adam ente e « 2 - | - ^ r + -^y- + -^ r? www.FreeLibros.me S e r ie de T a y l o r 337 2 6 4 2 . ¿Con qué e x a ctitu d se. c a lcu la rá e l núm ero si se em plea la serie 2a X* *r + — o a r c tg x = x tom ando la suma de sus cin c o p rim eros térm inos con x = l ? 2643*. C a lcu la r el núm ero con ex a ctitu d hasta 0 ,0 0 1 , v a lién dose del d e sa rro llo en serie de p oten cia s de x , de la aresen x (véa se e l e jem p lo 2606). 2 64 4. ¿Cuántos térm in os hay que tom ar de la serie f unc i ón eos x ^ i1 — ** + . . . , p a ra c a lc u la r el eos 18° con e x a ctitu d hasta 0 ,0 0 1 ? 2 6 4 5 . ¿Cuántos té rm in o s h a y que tom a r de la serie x3 sen a: = , para c a lc u la r el sen 15° con e x a ctitu d hasta 0 ,0 0 0 1 ? 2 64 6. ¿C uántos térm in os h a y que tom a r de la serie X A , x x2 , ¿ — 1 + “J f + “2 [ " + ••» » para h a lla r el núm ero e con ex a ctitu d hasta 0,0001? 2647. ¿C uántos térm in os h a y que tom ar de la serje 1n (1 -\-x) = x — ^ - + . . . , para ca lcu la r c! ln 2 js o n e x a ctitu d hasta 0 ,0 1 y hasta 0 .001? 2 64 8. C a lcu la r \yr 7 con e x a ctitu d hasta 0 ,0 1 , p or m edio del d e sa rrollo de la fu n ció n y r S -\ -z en serie de p oten cias de x . 2 64 9. A c la r a r la proceden cia de la fórm u la aproxim ada l/"a2 -|-^ ^ f t - | * - ^ '( f l > 0 ) , ca lcu la r co n ella ] / 2 3 , Lomando a = 5, y v a lo ra r e l e rro r com etido. 2650. C a lcu la r y 19 con e x a ctitu d hasta 0 ,00 1 . 2 65 1. ¿Para q u é v a lo re s do x la fó rm u la aproxim ada COS X A 1 X2 Y da un error n o m ayor de 0 ,0 1 ; 0,001 y 0,0001? 2 65 2. ¿Para qué v a lo re s de x la fó rm u la aproxim ada sen x & x 22-1016 www.FreeLibros.me 338 Series da un error no m a yor de 0,01 y 0 ,0 0 1 ? 1/2 2653* C a lcu la r \ »~en x- d x con ex a ctitu d hasta 0 ,0 0 0 1 . r.i * 0 1 2 65 4. C alcu la r ^ e ~ xZd x co n e x a ctitu d hasta 0 ,0 0 0 1 . 0 1 2655. C a lcu la r jj l i c e o s x d x con e x a ctitu d hasta 0 ,0 0 1 . 0 1 2 65 6. C a lcu la r \ s e a * dx co n e x a ctitu d h a sta 0 ,0 0 1 . o V » 1/4 2 65 7. C a lcu la r ________ jj Y 1 + x * d x co n e x a ctitu d h a sta 0 ,0 0 0 1 . 1/9 2658. C a lcu la r ^ ] /" x e x d x con e x a ctitu d h a sta 0 ,00 1 . o 2 65 9; D esa rrolla r en serie de p oten cias de x e y la fu n ció n c o s (£ — y ) y h a lla r e l cam po de con v erg en cia de la serie obtenida y a n a liza r el resto de la m ism a. E s c r ib ir o l d e sa rro llo en serie de p oten cias de x e y de las sigu ien tes fu n cion es e in d ica r sus cam pos de con v erg en cia : 266 0. se n a :-se n y . 2663*. ln ( 1 — x — y - ^ x y ) . 2 66 1. sen(a:2 + |/2). 2664*. a rctg 2 6 6 2 *. i + * —u ■ . 2665. f ( x , y ) = a x 2 + 2 b xy-\ -cy* D e s a rro lla r f ( x + h , y + Ic) en serie de poten cias de h y A. 2 66 6. / (x, y) = s 3 — 2í/3 + 3 z y . H a l l a r e l in crem en to de esta ht fu n ción a l pasar de lo s v alores £ = 1, y = 2, a lo s v a lo re s x = y = 2 + fc. 2 66 7. D esa rrolla r la fu n ció n e x+v en serie de p oten cias de x — 2 e y -f-2 . 2668. D esa rrolla r la fu n ción sen ( x + y) en serie de p oten cias , jt de x e y — tt * ¿t www.FreeLibros.me Serles de Fourler 339 E s c r ib ir io s tres o cu a tro p rim eros térm in os del d e sa rro llo en se rie d e p oten cia s do x e y de la s sig u ien tes fu n cion es: 2 6 6 9 . ex c o s y . 2 6 7 0 . ( l + * ) 1+y. § 4. S e rle s de F o u rle r 1. T e o r e m a de D i r i c h l o t . Se d ic e q u o u n a f u n c ió n / (z ) s a tis f a c e a l a s c o n d i c i o n e s d e D i r i c h l e t e n u n i n t e r v a l o ( a , b)t s i e n e s t e i n t e r v a l o la f u n c ió n 1) e s t á u n i f o r m e m e n t o a c o t a d a , e s d e c i r , |/ ( * ) ) • < A / p a r a a < z < 6 , d on d e M es una con sta n te; 2) n o tie n e m á s q u e u n n ú m e ro fin it o d e p u n to s de d is c o n tin u id a d y t o a o s e l l o s d o I a e s p e c ie (es d e c i r , q u e o n c a d a p u n t o d e d i s c o n t i n u id a d £ l a f u n c i ó n / ( z )t i o n c u n l í m i t e f i n i t o a la i z q u ie r d a / ( g - f 0 ) = l i m / (£ — e ) y un lím ite f in it o a la d e r e c h a / ( 5 + 0 ) = l i m / ( £ + c ) <e > 0»; c**0 3 ) n o tien e m á s q u e u n n ú m e ro f in it o de p u n to s de e x tr e m o s e stricto s. E l teorem a d e D irich let a firm a , quo tod a fu n ció n / (x ) que s a tisfa g a en el i n t e r v a l o ( — n , ai) l n s c o n d i c i o n e s d e D i r i c h l e t e n c u a l q u i e r p u n to x de e s to in t e r v a lo , e n qu e j ( x ) sea c o n t in u a , é s ta so p u ed e d e s a r r o lla r e n se rie tr ig o n o m é tr ica de F ou rier: f (x) = - y - + ai e o s X + b 1 s e n x + a 2 e o s 2 x + b 2 s e n 2 x + . . . . . . -\ -a n e o s n x -\ -b n s o n n x -\ - . . . , e n q u e l o s c o e f i c i e n t e s d e F o u r i e r a n y bn s o c a l c u l a n p o r l a s (1) fórm u la s n an'=— 5 / (*) C°S nxdx ( n= 0, 1 , 2 , . . . ) ; —rr 1 bn = — n ■"* ^ / ( z ) s o n n x d x (n = í , 2, . . .). —n S i x e s u n p u n t o d o d i s c o n t i n u i d a d d o l a f u n c i ó n f ( x ) p e r t o n e c i e n t o al i n t e r v a lo { — jt, ji), la s u m a de la s e rie d e F o u r ie r S {x) seráig u a l al a m e d i a a r i t m é t i c a d e I 09 l í m i t e s a la i z q u i e r d a y a l a d e r e c h a d e la f u n ció n : S(x) = - L [ f ( x - 0 ) + f ( x + 0 ) ) . En lo s extrem os del in te rv a lo z = — ti y x = n £ ( - n ) = ¿ < j T ) = - i - [ / ( — j, + Q) + / ( n _ 0 ) ! . 2. S e r i e s i n c o m p l e t a s de F o u r i e r . S i la p a r ( o s d e c i r , s i f ( — x ) = f ( x ) ) , e n t o n c e s , e n l a f ó r m u l a (1 ) fu n ció n / (z) es * * «0 (1 1 = 1 , 2 , . . . ) 22* www.FreeLibros.me 340 Series y rt 2 l* an - ^ — \ I ( x ) c o s n x d x ( x — 0, 1, 2, . . . ) • •H 0 Si la fu n ció n f ( x) es im par = 0 ( « =M:0, 1, 2, . . . ) y (es decir, si / ( — x)r*= — / (x)), e n ton ces, rr / (ar) sen n i da? (n = l , 2, . . . ) . Ó Una fu n c ió n , dada en el in tervalo (ü, n), se puedo p ro lo n g a r, a v o lu n ta d , en el in te r v a lo <— n , U) c o m o par o co m o impar; p o r co n sig u ie n te, puede desarrollarse on ol in terv a lo (0, ji), en serios in co m p leta s d o Fourier, com o se dosee^ en serie de senos o de cosenos de arcos m ú lt ip le s . 3. S e r i e s de F o u r i e r d e período 21. Si una fu n ció n /(a?) satisface las co n d icion es de D irich let en un in te rv a lo ( — 11 l) de lo n g itu d 2í, para los puntos do co n tin u id a d d o la fu n ció n , pertenecientes a este in terva lo, so v erifica rá e l desarrollo , i \ <*n . nx i i 1 ( j ) = -î + a 1c o s — rt* , , 2 jii , , - f iq s o n — — |-&2 cos — + ó2 sen 2jti l «"II , , nnx . . -|- an cos — ----- !- bn sen — ~ donde an = ~ l { x ) C 0 3 ~ - d x (n = 0, 1, 2 , . . . ) » —i i 'n— T \ ' -i j (2) (*) sen ^ ^ - d x {n = 1, 2, . . . ) . En lo s puntos de d isco n tin u id a d de la fu n ció n / (.r) y en lo s e x trem os del in terv a lo x = ± U la suma de la serie de Fourier se determ ina a n á loga m ente a co m o se hace cuando se desarrolla en el in terv a lo ( — n , n). En e l caso do quo la fu n ció n /(a?) se desarrolle cm serio de Fourier cn un in terv a lo a rb itra rio (a, a + 2 í ) do lo n g itu d 2/, los lím ite s de in teg ra ción en las fórm u la s (2) debe su stituirse, respectivam ente, p o r cz y a + 21. D esa rrolla r en series de F o u rie r, en e l in te rv a lo ( — Jt, n ), las fu n ció n os que so in d ica n a c o n t in u a c ió n , d eterm in ar la sum a de la s serios en lo s pu n tos de d isco n tin u id a d y en lo s extrem os del in te rv a lo ( x = — Jt, x ~ rt), co n s tru ir la gráfi ca de l a p rop ia fun c i ó n y de la Suma de la serie corresp on d ien te (d en tro y fuera del in te rv a lo ( — ji, k )): c { para 2671. / ( * ) = { c2 y> — 0 < x < n . www.FreeLibros.me S eries de Fouricr 341 E xa m in a r e l ca so p a rticu la r en que c £— — d , c2 = l . a x para — 2 67 2. / ( * ) = bx 0 < x<rc. » E xa m in a r los casos p a rticu la res: a ) a = 6 = 1 ; b) a = — 1, 6 — 1; c) a — 0 , 6 = 1 ; ti) a — .1 . 6 = 0 . 2 67 3. f { x ) = x \ 2 67 6. / (¿r) = c o s as. 2 67 4. / ( x ) = ea*. 2677. / ( x ) = s h a x . 2 67 5. / (x ) = sen a x . 2678. / (x ) = ch ax. 2 67 9. D e sa rro lla r en serie de F o u ricr la f unc i ó n x , en el in te r v a lo ( 0 , 2 ji). 2 68 0. D e sa rro lla r la fu n ció n /(x )-^ -, en el in te rv a lo (0 , n ), en serio de senos de arcos m ú ltip le s. E m pléese e l desarrollo ob ten id o para la sum a de las series n u m éricas sigu ien tes: a) 1 — §- + -5 — — + •••; 1 + 5- - T ' _ F + I 3 + I 7 - •••’ c ) 1 — y ' + y — J7 + Í 3 — •■• D esarrollar en serios in co m p le ta s de F ou ricr, en e l in terv a lo (0 , n ), la s f unci ones que se in d ica n a co n tin u a ció n : a) cn sories de sen os de a rcos múl t i pl es, b) en series de cosen os de arcos m úl tip les. D ib u ja r las g rá fica s de la s f unci ones y las g rá fica s de las sum as de la s correspon d ien tes series en sus cam pos do ex isten cia . 268 1. / ( x ) — x . Val i éndos e del d e sa rro llo quo se ob ten ga , hal l ar la sum a de la serio . . 1 . 1 t 5* 268 2. / ( x ) = x 2. V a lié n d o s e d e l d e sa rro llo que se obten ga, hal l ar las sum as de las series nu m éricas: 1) l + - p - + - p - + • ••; 2) 1 " J T + • •• 268 3. ¡ ( x ) = eax ji 2684. / ( x ) = T 0 para y < x < n:. x para 0 < s < y , 2 68 5. / ( * ) = “% jx — x para y < x < n- www.FreeLibros.me 342 Series D esa rrolla r, on e l in te rv a lo (0 , j i ) m ú ltip les, las sigu ien tos fu n cion es: x para 0 < x < ~ en serie de senos de arcos , 2686. f ( x ) = 0 para — < C x < i n . 2 68 7. } ( z ) = z ( K - x ) . 2688. / (x) = sen y . D esarrollar, en el in te rv a lo (0 , n ) m ú ltip les, las fu n cion es: en serie de cosen os de arcos 1 para 2689. / ( * ) = { J para h < x < C rt. 1— y para 0 < x < 2 h. 2 69 0. f ( x ) K0 para 2h < x < n. 2 69 1. f (x) = x s o n x . n c o s x para 0 < x < — , 2692. / (x) = — c o s x para ü ot. 2 2 69 3. V alién dose del d esa rrollo de la s fu n cio n e s x y x : en el in terv a lo (0 , J t ) , en serie de cosen os de a rcos m ú ltip le s (véan se los Nos 2681, 2 68 2), dem ostrar la igu ald ad co 2 cos n x 3:r2 — 6jt£ + 2 a 2 /r> . . N n=i 2694**'. D em ostrar, q u e si la fu n c ió n / (x) tiem po / + — — / (4 ^ — su serie es p a r y a l m ism o de F ou rier en el in te rv a lo ( — n , j i ) representa de p or sí e l d e sa rro llo en serie de cosenos de arcos m ú ltip le s im pares, m ien tra s que si la fu n c ió n / (x) es im par y 1 { ' Y + x ') = f [ t Í — x ) • se d esa rrolla en el in ter v a lo ( — ji , ji ) en serie de senos de a rcos m ú ltip le s im pares. D esarrollar las sig u ien tes fu n cio n e s en series de F o u rier, en lo s in terv a lo s que se in d ica n : 2695. f ( x ) = \x\ ( — 1 < x < 1 ) . 2696. f ( z ) = 2 x ( 0 < x < 1). www.FreeLibros.me Series de Fourier 269 7. f ( x ) - e * 343 ( - l < x < l ) . 2 69 8. f ( x ) = 10 — x ( 5 < x < 15). D esa rro lla r, en series in com p leta s de F ourier en lo s in tervalos que se in d ica n : a) en serie de senos de arcos m ú ltip lo s, y b) en serie de cosen os do a rcos m ú ltip les, la s sig u ie n te s funciones: 2 69 9. / ( * ) = 1 ( 0 < íf< 1 ) . 2 70 0. f ( x ) = x (0 < * < / ) . 2 70 1. f ( z ) = x 2 ( 0 < * < 2 j t ) . x 2 70 2. f ( x ) = 2 70 3. para 2 — s para 1 < D e s a rro lla r la «r < 2. fu n ción sig u ien te on serie do cosenos de a rcos m ú ltip le s , en e l in te rv a lo ( y , 3^ , /(*) = 1 3 para y < x < 2 , 3 — x para 2 < z < 3 . www.FreeLibros.me C apítu lo I X ECUACIONES D IFE R E N C IA LE S § I o, V e rific a c ió n de las solucio nes, Formación de las ecuaciones d ife re n c ia le s de f a m i li a s de curvas, Condiciones in ic ia le s, 1. C o n c e p t o s fundamentales. F ( x , y, y' , La e cu a ció n de la forma *,<>») = O, (1) dondo !/==!/ (x) os la fun ción q ue se busca, so llam a ecuación diferencial de orden n-sitno, Cualquier fu n ció n y = :<p(z) cp(:r) que transformo la ecuación ecu ación (1) en on identidad, recibe, ol nom bre de soluc tetón de esta ecu ación , y la gráfica de d ich a fu n ció n se llama curva integral.. Si la so lu ció n so da en forma im plícita, y) — 0, generalmente, recibo ol nombro de integral. E j e m p l o 1. Probar, que la fu n ción y = sen x es s o lu c ió n de la ecuación Solución. Tenemos: y ' = cosa;, — sen x. y, p o r con sigu ionio, y * + !/ = — sen x 4 - son x s 0. La integral <]> (a\ y y C j, C,t) = 0 (2) de la ecuación d iferen cial (1), que contiene n constantes arbitrarias indepen dientes CXy . Cn y quo es eq uivalente (en el cam po dado) a In e cu a ció n (1), se llama integral general de esta ecuación (en ol cam po correspondiente). Dando valores determinados a las constantes C t, . . . , Cn en la relación (2), se obtiene una integral particular do la ecu ación (1). Recíprocam ente, teniendo una fa m ilia de curvas (2) y ex clu y e n d o lo s parámetros C i9 . Cn del sistema de ecuaciones /¿(T) "** “d T ^ 0» •••» " d ? r = 0 » se obtiono, cn general, una ecu ación diferen cia ! do la form a (1), cu ya in tegral, cn el campo correspondiente, os Ja re la ción (2). E j e m p l o 2. Hallar la ecuación d iferen cial de la fa m ilia de parábolas y = C i ( z - C 2)*. Solución. (3) Derivando d os veces ia e x p re sió n (3), tendremos: y ' = 2Ci { z - C 2) e * " - 2 C , . www.FreeLibros.me (4) V erificación de las soluciones 345 E x c lu y e n d o de las ecuaciones (3) y (4) los parámetros C { y C2f hallam os la ecu ación d iferen cial que buscábamos Es fá cil com p rob a r quo la fu n c ió n (3) transforma esta ecu ación en identidad. 2o. C o n d i c i o n e s iniciales. Si para la s o lu c ió n particular y = j/(x) de la ecu a ció n diferencial »<*>=/<*. y, y ' y'” - 1*) (5> se dan las condiciones in icia les (problema de Cauchy) y ( x o ) = vc>’ y ’ ( z o ) = y ; ............ !/( n - I > ( * o ) = ^ n - 1 ) y so con o ce la solución general de la ecu ación (5) V — T(** CV •••> Cn)y las constantes a rbitrarias C¡, . sistema de ecuaciones C7l se determinan, s i e ll o es p o sib le , del yo = <P(*o* î» — » ^V/)> l/ó — (P/ (*0> ^1» •••i Cn)i y(n-i) = {p(n-l)(xQt c ít Ejem plo c n)t 3. H a lla r la curva de la fam ilia y = ClC* + C2e-zx, (6)- q ue tiene y ( 0 ) = l o y ' ( 0 ) — — 2. S o l u c i ó n . Tenem os: (7) P o n ien d o :r= -0 , en las fórm u la s (6) y (7), tenemos: 1 = C ,-1-CZt - 2 =*Ct - 2 C z , de donde Ci = 0. C2^ l y= 2*. y , por con sigu ien te, A v e rig u a r, si son so lu cio n e s de las ecu a cion es d ife re n cia les que so dan, l as f unci ones que se in d ica n : 2 70 4. x y ' = 2 y % t/ = 5 z 2. 2 70 5. y ’ = x * + y 2, y = ± . 2 7 0 6 . ( x -\ - y ) d x - \ ~ x d y = ^ Ü f y = 2 70 7. {/’ + y = 0, C 2-X 2 ^ . y = 3 s e n a : — 4cos^. 2 70 8. -^77- + <*>2* = 0» # = C t eos (út + C2 sen<*>/. www.FreeLibros.me E cuaciones diferenciales 346 270 9. y " — 2 j/'-| -y = 0 ; a) y = x e x, b) y = x 2e x. 2710. y " — (Xj -f- ^ 2) y ' + A.jA-2 y — 0, f/ = C1e ^ 5C4 - C 2e ^ “ . D em ostra r, q u e la s re la cio n e s q u e se in d ica n son in te g ra le s de la s ecu a cion es d ife re n cia le s que se dan: 2711. (x — 2 y )y ' = 2 x — y, 2 7 1 2 . { x — y ~ r \ ) y ' — 1, x 2 — x y + y ? = C2. y = x + C e v. 2 7 1 3 . ( x y — x ) y ” + x y '2 + y y ' — 2 y ' = 0 , y = !n (a ;y ). F orm ar las e cu a cio n e s d ife re n cia le s d e las f ami l i as de cu rva s q u e se dan (C, C¡, C 2, C3 son con stan tes a rbitrarias); 2714. y = Cx. 2 7 1 5 . y = C x 2. 2 7 2 1 . ln - = 1 + ay y (a es u n p arám etro). 2 7 1 6 . y 2 = 2C x. 2 72 2. ( y - y < > y ~ 2 p z 2 7 1 7 . a:2 + í/2 = Cs. (y0, p son parám etros). 271 8. y = C ex . 2 72 3. y ^ C ^ + Cze-*. 2 71 9. x 2 = C ( x 2- y 2). 2720. y2 + ± ^ ^2 = 2 + Ce 2. 2 7 2 4 . y = Cx eos 2 x -(- Cz sen 2 x . 2 7 2 5 _ = (C i + ^ + ^ X 2 7 2 6 . F orm ar la e cu a ció n d ife re n cia l de todas las recta s del p la n o X O Y . 2 72 7. F orm ar la e cu a ció n d ife re n cia l de todas la s parábolas c o n eje v e r tic a l en e l p la n o X O Y . 2 72 8. F orm ar la e cu a ció n d ife re n cia l de todas las circu n fe re n cia s en e l p la n o X O Y . H a lla r, para las fa m ilia s d e cu rv a s q u e se dan , las lín ea s que sa tisfa g a n a las co n d icio n e s in icia le s q u e se in d ica n : 2 7 2 9 . x 2— y2 = C, y ( 0 ) = 5. 2 73 0. y - ( C í + £?**)«**, y (0 ) = 0, y ' (0) = 1. 2 73 1. y — C ¡ s e n ( x — C2), y(n ) = i, y'(n)-0. 2 7 3 2 . y = C te-X + C2ex + C3e 2X; y (0) = 0, y ' (0) = 1 , y" (0 ) = — 2. § 2. Ecuaciones d if e r e n c ia l e s de l 0r orden I o. F o r m a s d e e c u a c i o n e s d i f e r o n c i a l e s d o 1er o r d e n . La ecuación diferencial de 1er ordon con una función y incógnita resuelta con relación a la derivada y', tiene la forma y' = f ( x , y ) , (1) www.FreeLibros.me E cuaciones diferenciales de l tr orden 347 d o n d o f (x, y ) t e s una fu n ció n dada. En a lg u n o s casos, es con ven ion te c o n s i d e r a r com o fu n c ió n in có g n ita la v aria b le x y e s c r ib ir la ecu a ció n (1) en la form a * ' - g < *.*), d o n d e g (x , y ) = — T en ien d o -— . en cu enta quo y ' = '^ r m y x ' 4 — » la s ecuaciones diforen cia les dx dy <1) y (1 ') se pueden e s c r ib ir en form a sim étrica P ( x %y ) d x + Q { x , y ) d y = 0, ( 2) d o n d e P (a:, i/) y «? (x, i/) son fu n cion es con ocid a s. P or s o l u c i ó n ae la e c u a c ió n (2) se en tien d o la fu n ció n de la forma j/ = (p (x ) o ar = i|)(y), que sa tisfa ce a esta ecu ación . L a in tegral general do las e c u a c io n e s (1) y (1'), o de la e c u a c ió n (2), tiene la forma <D(:r, y , C) = 0, d o n d e C es una con sta n te arbitraria. 2o. C a m p o d e d i r e c c i o n e s . E l c o n ju n to de d ireccion es t g a = f ( x y y) ae llam a cam po de direcciones de la ecu ación d ife ren cia l ( í ) y se representa g en era lm en te p o r m e d io de un sistem a de ra y ita s o de flech a s co n un ángulo d e in c lin a c ió n a . L as cu rv a s / (x, y) — k> on cu y os pu n tos la in c lin a c ió n d e l cam po tiene u n v a lo r con stan te k , s e lla m a n isoclinas. C on struyendo las is o clin a s y el « a m p o d e d ir e c c io n e s , en lo s ca so s m ás sim p le s se puede d ib u ja r a p r o x i m a d a m e n te e l ca m p o de las curvas in tegrales, con sid erándose estas últim as «o rn o curvas, q ue en cada u n o de sus pu n tos tie n e n la d ir e c c ió n dada dei ca m p o . E jo m p lo 1. C on struir, p o r el m é to d o d e las curvas in te g ra le s de la e c u a c ió n y ' = x. do las is o c lin a s , el cam po S o l u c i ó n . C on stru y e n d o las is o c lin a s x ~ k (líneas rectas) y ol cam po d e d ir e c c io n e s , o b te n e m o s a p rox im a d a m e n te el cam po de las curvas integrales ( f i g . 105). L a s o lu c ió n g e n e r a l es la f a m i l i a do parábolas X2 > ,= - + € C on stru ir, p o r el m é to d o de las is o c lin a s , e l cam po a p ro x im a d o de las c u r v a s in te g r a le s para la s e c u a c io n e s d ife r e n c ia le s q ue se in d ic a n a c o n ti n u a ció n : 2733. y ' = — x. 2734. y ' = ~ f . 2735. y' = i + y * . 2736. y' = - £ ± í-. x —y 2737. y' = x * + y * . un 3o. T e o r e m a d e C a u c h y . Si una fu n c ió n / (x, y ) es con tin u a en r e c in t o d e te rm in a d o Í 7 { a < x < / i , b < y < B } y tiene en esto recin to www.FreeLibros.me 348 Ecuaciones diferenciales derivada acotada f y ( x , y), entonces, p o r cada punto ( s 0, 1/o) de U* pasa una», y s ó l o una, curva integral y = <p(z) do la ecu a ció n (1) (cp (ô) = ô)- Y F i g. 105 4o. M é t o d o d e l a s q u e b r a d a s d o E u l e r . Para la con stru c c ió n aproxim ada de la curva in tegral de la e cu a ción (1), quo pasa p o r u a punto dado M b (x0, t/n), esta curva so su stituye p o r una línea qaebruda co n vértices en Mt (x¿, ijí), donde *¿+l — yM y t -}- Ay u Ax¡ — h (paso d e í proceso). A y ¡ = h f (xi9 y ¿) ( i = r 0, 1, 2, . . . ) . Ejemplo 2. P or c i m étod o de Euler, h a lla r, para la e cu a ción y ( 1). si y (0) = 1 (h = 0 , t). C on stru im os la tabla sig u ien te: i x¡ yt 0 1 2 3 4 5 « 7 0 0 ,1 0 ,2 0 ,3 0 ,4 0 ,5 0 ,6 0 ,7 i i 1,005 1,015 1,030 1,051 1,077 1,101) 8 0,8 10 0 ,9 1 ,0 9 1,148 1,194 1,248 www.FreeLibros.me 0 0,005 0,010 0 ,0 1 5 0,021 0 ,0 2 6 0,032 0,039 0,046 0,054 E cuaciones d ijeren cialcs de 1cr orden con variables separables 349 D e esta fo r m a , i / ( l ) = 1 ,2 4 8 . P ara co m p a ra r, darnos el v a lor e x a c t o d e y (1) = e1/4 « 1,284. P o r el m é to d o de E u le r, h a l l a r l as so lu cio n e s p a rticu la res d e la s e cu a cio n e s d ife re n cia le s q u e se dan a co n tin u a ció n para lo s v a lo r e s de x q u e se in d ica n : 2 73 8. = y ( 0 ) = 1; h a lla r j / ( l ) ( A = 0 , 1). 2 7 3 9 . y' = x + y , y (1 ) = 1 ; h a l l a r y { 2 ) ( h = Q, 1). 2740. t y (0 ) — 2 ; h a l l a r y (1 ) </* = 0 , 1). 2741. y ’ = y - ' ^ , y (0) — 1; h a l l a r y ( l ) ( A = 0, 2). § 3. Ecuacio nes d if e r e n c ia l e s de 1 er orden con v a r ia b le s s ep ara bles . T r a y e c t o r i a s o rtog o na le s I o. E c u a c i o n e s d i f e r e n c í a l o s d o 1er o r d e n c o n varia b l e s s e p a r a b l e s . Se lla m a n ecuaciones co n variables separables, las e c u a c io n e s d ife r e n c ia le s do Ier o rd en do la form a y ' = / ( * ) $ te) (i) X (x) y f e ) dx 4 - X , (x) V , (y) ¿ y = (P ) o bien, D iv id i e n d o am bos m iem b ros de la e c u a c ió n (1) por g (y ) y m u ltip lica n d o p o r d x , ten d rem os = / (x) dx. De d on de, integrando, obten em os la inte g r a l g e n e ra l de la e c u a c ió n (1) en la form a ¡I r \ t w * + c . A n á loga m en te, d i v id ie n d o lo s d os m iem b ros de la ecu ación ( T ) X j í i ) y te ) e in te g ra n d o , se ob tien e la in tegral general de la ecu ación o n la form a m por ( i') s S i para un v a lo r determ in a do do y = j/p; tenemos (pie g { y o ) = 0, la fu n ció n y — y 0 ta m b ié n es s o lu c ió n d o la e cu a ción (I), co m o es fácil convencerse d ir e c ta m e n t e . A n á loga m en te, las rectas x = a e y ^ = b serán cu rv a s integrales d e la e c u a c ió n ( 1 ') , si a y b so n de p o r s í raíces de las ecuaciones (x )= 0 o y ( r / ) = 0 , p o r cu y os prim eros m iem bros se d i v i d i ó la ecu ación in icia l. E j e m p l o 1. R e s o lv e r Ja ecu ación y' = — v ~ . En p a rticu la r, h a lla r la s o lu c ió n (3) q ue sa tisfa ce a la c o n d ic ió n in icia l: » (!)= * . www.FreeLibros.me 350 Ecuaciones diferenciales Solución. La ecuación (3) so puede escrib ir de la form a d v _ __v_ dx x De donde, separando las variables, tendremos*. dy _ dx y * y, por consiguiente, ln | y I = — ln |*| -| -ln C lf donde la constante arbitraria ln Cy está tom ada e a pues de potenciar, se obtiene la s o lu c ió n general form a logarítm ica. D e s- donde £ = ={: Cx. A l d iv id ir por y podríam os perder la so lu ció n £ = 0, pero esta ú ltim a está contenida en la fórm u la (4) para C = 0. U tiliz a n d o la co n d ició n in ic ia l dada, obtenem os que C = » 2, y , por con siguiente, la so lu ció n particular buscada es 2 2o. A l g u n a s ocuacionos d i f e r e n c i a l e' s que puedeo reducirse a ocuacioncs con las v a r ia b le s separables. Las ecuaciones diferen cia les de la form a y ' ^ f (ax + by + c) { b =£ 0) so reducen a ecuaciones de la form a (1) por m ed io de la su stitu ció n u=¿ax-\- by -f-c, donde u es la nueva fu n ció n quo so busca. 3 °. T r a y e c t o r i a s o r t o g o n a l e s son curvas que cortan las líneas de la fam ilia dada O (x , y , <z) = 0 (a es un parámetro) form ando ángulo rocto. Si F ( x , y , y ' ) & 0 es la ecuación d iferen cial do la fam ilia, /(*,„, o es la ecuación d ife ren cia l de las trayectorias ortogonales. Ejemplo 2 H a lla r las trayectorias ortogon a les de la fa m ilia de elip so s *2 + 2y2 = fi2. S o l u c i ó n . D erivando ambas partes de ecu ación diferencial de la fam ilia (5) la ecu ación (5), h a lla m o s la x + 2 y y ' = 0. De donde, sustituyendo y ' por — o b t e ne mo s la ecu ación diferencial do la s trayectorias ortogonales y' o bien x Integrando, tendremos q uo y = Cx 2 (fa m ilia de parábolas) (fig. 106). www.FreeLibros.me E cuaciones diferenciales de Jcr orden con variables separables 351 4 o. F o r m a c i ó n d e J a s e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s . A l fo r m ar la e c u a c ió n d ife re n cia l en lo s prob lem a s g eom étricos, se puede 'em plear c o n frecuencia e l s e n tid o g e o m é trico de la derivada, co m o tangente.'del á n g u lo que form a la recta tangente a la curva con la d ir e c c ió n p ositiva d e l eje O X ; esto perm ito, en m uch os casos* determ inar inm ediatam ente la re la c ió n entre la ordenada y de la cu rva que so busca, y su abscisa x e y \ es decir, obtener la ecu a ció n d ife re n cia l. En otros casos (véanse io s pro b lem as N 03 2783, 2890, 2895), se u t iliz a e l se n tid o g e o m é trico de la integral d e fin id a , co m o área do u n trap ecio m ix t ilfn e o o lon g itu d de u n arco. En este F i g. 106 caso, d irecta m en te de las c o n d ic io n e s d e l p rob lem a , *se ob tie n e una ecu ación integra] s im p le (puesto aue la fu n c ió n que se busca se encuentra bajo el sig n o in te g ra l), pero quo d e riv a n d o sus d os m iem bros, se puede co m fa cilid a d transform ar en ecu a ció n diferen cial. E j e m p l o 3. H a lla r una cu rva que pase p o r el punto (3; 2), para ]a que la lo n g itu d d e l segm ento de cu alquiera do sus tangentes, com prendido entre los ejes de coordenadas, este d i v id id o en e l p u n to de con ta cto en dos partes iguales. S o l u c i ó n . Sea AI (x, y) el p u n to m e d io de la tangente A B t que según las c o n d ic io n e s es, a la vez, el punto de con ta cto (los pu n tos A y D son lo s pu n tos do in tersección de la tangente co n lo s ejes O Y y OX) . De acuerdo co n las c o n d icio n e s , OA = 2y y O B — 2 x . El c o e ficie n te angular de la° tangente a la curva en el p u n to M (x> y) es igual a dy dx ~ OA ___ y_ OB ~ x Esta es la e cu a ció n d iferen cia ] de la curva que tra n sfo rm a ció n , tenem os: x se buscaba. y y , por co n sig u ien te , ln z + ln|/ = ln C, o sea, xy — C. www.FreeLibros.me H acien do una 352 licuaciones diferenciales U tiliz a n d o la c o n d ic ió n in ic ia l, determ inam os que C = 3 - 2 = G. Ja curva rjiio se buscaba os la hipérbola xy — (i. Es decir, R esolv er las ecu acion es d ife re n cia le s: 2 74 2. tg x sen2 y d x -f- eos2 x e tg y d y = 0. 2 74 3. x y f — y = xf. 2744. x y i j = 1 - x 2. 2 74 5. y — x y ' — a (1 + x 2y'). 2746. 3ex l g y d x + ( l — e x) sec2 y d y = 0. 2747. y ' tg z = y. H a l l a r las so lu cio n e s p a rticu la re s d e las sig u ien tes ecu acion es, q u e satisfacen a las co n d ic io n e s i ni ci al es que se in d ica n : 2 74 8. (1 + e x) ^ y - y ' = <?*; y — 1 para a: = 0. 2741). (.rz/2- f ; r ) d x + (x*y — y ) d y = Q\^y = 1 para x = 0. 2750. y ' $ e n x = yh\ y\ £/=■=! p a r a a : = ^ . R e so lv e r las sig u ien tes ecu a cion es d ife re n cia le s cai nbi o de V ariables: v a lié n d ose del 2751. i/ = ( x + y Y K 2752. y ' = ( 8 x + 2 y + l ) \ 2753. (2o: -)- 3y — 1) d x - f (Ax + 6 y — 5) d y — 0. 2754. (2x — y ) d x-\ -(A x— 2 j / + 3) d y = * 0 . E n lo s f\os 2755 y 2750 pasar a la s coord en a d as polares: 2755. t f = V * + £ = * . 2756. (x 2 + y - ) d x — xi/ d y = 0. 2757*. H a lla r una cu rv a que tenga u n segm ento de tan gen te cu y a lo n g itu d sea ig u a l a la d ista n cia desde e l p u n to de con ta cto hasta el origen de coordenadas. 2758. H a l l a r una c ur v a para la que el segm ento de la nor mal , en cu a lq u ier pu n to de la m ism a, com p ren d id o en tre lo s ejes de c o o r denadas, esté d iv id id o p or este p u n to on dos partes iguales. 2 75 9. H a lla r una cu rva c u y a subtangente tenga vina lon g itu d co n sta n te a. 2760. H a lla r una cu r v a cu y a su btan gen te sea el d ob le de la abscisa del p u n to de con ta cto. 2761*. H a lla r una c u r v a , para la que la abscisa del ce n tro d o g ra vedad de. la fig u ra pl ana, lim ita d a p or lo s ejes de coordenadas, www.FreeLibros.me E cuaciones diferenciales homogéneas de 'Ier orden 353 por esta m ism a cur va y p o r la ordenada de cu a lq u ie ra de sus pu n tos, sea ig u a l a 3 /4 de la abscisa de este punto. 2 76 2. H a lla r la ecu a ción de la cu rv a que pasa por el p u n to (3; 1), para Ja que el segm en to de tangente com prendido entro e l punto d e c o n ta c to y el e je O X esté d i v i d i d o cu dos partes igu ales p or el p u n to de in te rse cció n con el e je O Y . 2 7 6 3 . H a l l a r la e cu a ció n de la curva que pasa p or e l p u n to (2 ; 0), sa b ien d o que el segm ento d e la tan gen te a dich a c u r v a , com p ren d id o entre e l p u n to de co n ta cto y el eje OY> tien e l o n g i t u d co n s tante e ig u a l a 2. H a lla r las tra y e cto ria s o rto g o n a le s de las fa m ilia s de curvas q u e se dan a co n tin u a ció n (a es u n parám etro) y co n stru ir estas fa m ilia s y sus p ro y e ccio n e s ortogon a les: 2 7 6 4 . x* + y 2 = aK 2 76 6. x y = a . 2765. y2~ a x . 2 76 7. ( x — a ) '- ^ y ¿ = a2. § 4. Ecuaciones d ife re n c ia le s homogéneas de 1er orden 1o. E c u a c i o n e s homogéneas. Úna ecu a ció n diferencial P ( x , y ) d x + Q ( x t y) d y = 0 (1) se lla m a homogénea, s i P ( x , y) y Q ( x t y ) son fu n cion es hom ogéneas de igual g ra d o. La e cu a ción (1) puedo reducirse a la form a y por m e d io de la su stitu ció n y — xa, donde u os una nueva fu n ció n in có g n ita , so tran sform a en ecu a ció n c o n v a ria b les separadas. T a m b ié n se puede e m p lea r la su stitu ció n x = yu. E j e m p l o 1. H a lla r la s o lu c ió n general de la ecu ación y ' = e -* + - ±y - . Solución. c= eu -\-u o bien, H acem os la s u s titu c ió n j y = .u z \ en este caso, dx e 11 du — -----. x 0 Integran do, obtenem os u ~ — ln ln — , de donde Q yt=n — x ln ln — . X 2o. E c u a c i o n e s reducibles a homogéneas. / «.S + M + C.X V & 2 X +^2^ ~ \~ c 2 / 2 3 — i 016 www.FreeLibros.me Si « - } = 354 E cuaciones diferencia les y ó = « i bi É?2 ^2 O, pon ien d o en l a ecu a ció n (2) z = í ¿ + a , y = r>+(5, dondo la s constantes a y J so determ inan p o r e l sistem a de ecuaciones aiQ,-\-b$-\-Cí = 01 32<*+ $2P+ <:2==0> obten em os u n a ecu ación d ife re n cia l hom ogénea respecto a las v a r ia b le s u y v. Si ó — 0. pon ien d o en la ecu a ció n (2) o ix -4 -b 1y = u, ob ten em os una ecu ación c o n v a ria b les separadas. In tegrar la s ecu a cion es diferen cia les: 2768. i / ' = — - 1 . 2770. ( x — y ) y d x — x H y = 0. X 2769. *,' = — £ J i L . 2 7 7 1 . H a lla r , para la e cu a ció n ( z 2 + y2) cte — 2^2/¿y = = 0 , la fa m ilia de curvas in teg ra les y escoger a q u e lla s cu rva s que pasan respectivam ente por l o s pu n tos (4; 0 ) y (1; 1). 2772. y d x + ( 2 Y ~ x y — $ ) d y = 0 . 2773. x d y — y d x = ] / + i f dx. 2 7 7 4 . (4 s 2 + 3x y + y2) d x + (4 y2 + 3 z¡/ + z 2} ¿ y = 0. 2 775. H a l l a r la s o lu c ió n p a r tic u la r de la e cu a ció n (x 2— 3y^)dx-\-\-2 x y d y — 0 , con la c o n d ic ió n de que y = l p a ra x t = 2 . R eso lv e r la s ecuaciones: 2 7 7 6 . ( 2 x — y + 4 ) d y + ( x ~ - 2y + 5 ) d x = 0. 9777 » /— y ~ i+ x ^ y • 2778 ?/ - V ~ x + 2? + x 2x + 4 y + 3 ‘ 2 7 7 9 . H a l l a r la e cu a ció n de la cu rv a , q u e pasa p o r el p u n to (1 ; 0) y q u e tiene la propiedad de q u e el segm en to, q u e inter cepta su ta n gen te en el eje O Y , es ig u a l al ra d io p o la r del p u n to de con ta cto. 2 78 0**. ¿Q u é form a debe darse al e s p e jo de un p r o y e c to r para q u e lo s ra y o s del f o c o lu m in o so con centrado1-en u n p u n to se reflejen form a n do u n haz paralelo? 2 7 8 1 . H a lla r la e c u a c ió n de la cu rv a , c u y a subtangente es ig u a l a la m edia a r itm é tic a de las coordenadas del p u n to de co n ta cto . • . 2782. H a lla r la e cu a ció n de la cu rv a , para i a c u a l, la l o n g i tu d del segm en to, in tercep ta d o por la n o rm a l en cu a lq u ie ra de sus puntos en el e je de ordenadas, es ig u a l a l a d ista n cia desde este p u n to a l origen de coordenadas. 278 3 *. H a lla r la ecu a ció n de la cu rv a , para la c u a l, el área com prendida entre e l e¿e« de abscisa s, la m ism a cu rva y dos o rd e ñadas, una de las cu a lés¿ es con sta n te y la otra v a ria b le es igual www.FreeLibros.me E cuaciones diferenciales lin eales de 1er orden. E cu ación de B ern ou lll 355 a l a ra z ó n del cu b o de la ordenada v a r ia b le a la abscisa corres pondiente. 2784. H a l l a r la cu rv a , para la c u a l, l a lo n g itu d del segm ento del eje de ordenadas, in tercep ta d o p o r cu a lq u ie ra de sus tangentes, es i g u a l a la a bscisa d e l p u n to de con ta cto. § 5. Ecuacio nes d if e r e n c ia l e s lin e a le s de 1er o rd e n . Ecuación de B e rn o u lll í°. E c u a c i o o o s lineales. La e c u a c ió n d ife re n cia l de y ' + P ( x ) y = (QY(x) laform a (1) de 1er g r a d o c o n respecto a y e y \ se lla m a lineal. S i la f u n c i ó n Q ( z ) = 0 , la e cu a ción (1) tom a la form a y' + P ( x ) y = 0 (2) y r e c ib o el n o m b re d e e c u a c ió n d ife r e n c ia l lin ea l homogénea. En esté caso, las v a r ia b le s se separan y la s o lu c ió n g en era l de la e c u a c ió n (2) es (3) Para re s o lv e r la e c u a c ió n lin e a l n o h o m og é n e a (1) se em plea el lla m a d o m é to d o de variación de la con stante arbitraria. Este m é to d o co n s is te en que, p rim e ra m e n te, se h a lla la s o lu c ió n g en era l de la corresp on d ien te ecu ación lin e a l hom ogénea, e s d e c ir , la e x p re s ió n (3). Después, su pon iend o que en esta e x p resión C e s f u n c ió n de x , se busca la s o lu c ió n de la ecu ación n o h om og én ea (1) en la fo rm a (3). Para e llo , p on em os en la ecu a ció n (1) y e y \ deducidas de (3), y de la e cu a ción d ife re n cia l así ob ten id a d e te rm i n am os la fu n c ió n C (*). D e esta form a , ob te n e m o s la s o lu c ió n general d e la e c u a c ió n n o h om ogénea (1) de la form a y = C (x)e Ejem plo i. J R e s o lv e r la ecu a ció n (4) y' — t g x - y + c osx, Solución. La corresp on d ie n te e c u a c ió n h om ogénea es y' — t g x y ^ O . R e s o lv ié n d o la , tenemos; y — C— L - . COS x C on sid erando C c o m o f u n c ió n d e * y d eriv a n d o, hallam os: ^ t: cos x dC . dx sena; ^ e os2 x P o n ie n d o y o y ' en la ecu a ción (4 ), obtenem os: 1 dC sen x C , ... www.FreeLibros.me dC 356 E cuaciones diferenciales d e donde C (a:) = i f \ eos2 z rfx = — x + i sen 2 z + Cy. Por con sigu ion te, la so lu ció n general de la ecu a ció n (4) tieno la form a y = (\ -x-\ — V 2 1 4 s e n 2 z + C± \ ------ -— / eos# . Para resolver la ecu a ció n lin e a l (1) se puede em plear tam bién la s u sti tución y = uvy (5) donde u y v son fu n cion es de x . En este caso, la ecu ación (1) tom a la form a [u ' + P {x ) u ]v -\ -v 'u = Q x ( ). (6) u' + P ( x ) u = 0, (7) Si se e x ig e que do (7) h a llam os u y y después, de (6) h a llam os v> y por fin , de (5) h a lla m o s y. 2o. E c u a c i ó n d e B e r n o u 1 i i. L a ecuación do 1er orden de la form a y '+ P (x )y = Q (z )y «, donde a ^ O y a = £ l , so lla m a e c u a c i ó n d e B c r n o u l l i . Esta ecu ación se reduce a lin ea l valiéndose do la su stitu ción z — y 1” 01. Se puede tam b ién em plear directam ente la su stitu ció n y = ui\ o el m étodo de v a r ia ció n do la constante arbitraria. Ejem plo 2. R e s o lv e r la ecuación Z7* Solución. Esta es una e cu a ción de B ern ou lli ên la que - Poniendo y = uvt 'Obtenemos: uv-\-x ~[/uv o v û' u j -\ -v 'u z = x ~\/uv. P ara determ inar la f u n c ió n u e x ig im o s que se cu m p la la relación u '— — u = 0 , X de donde P o n i e n d o e s ta e x p r e s i ó n e n la e c u a c i ó n (8 ), te n e m o s : v ,x* = x \/vx*t d e d o n d e h a l l a m o s v: t i . , .. www.FreeLibros.me (8) E cuaciones diferenciales lineales de Jcr orden. Ecuación de B ern ou lll 357 y , p o r co n s ig u ie n te , obten em os la s o lu c ió n general en la form a y = *i (-J- ln| xl + C j 2. H a lla r la s in te g ra le s gen erales de las ecu a cion es: 2785. 4 ^ -------— = x. dx x 2786. 4dx ^ - +1 —x = **. 2 7 8 7 * . (1 + y2) d x ^ ( Y i + ¡ r sen y — x y ) d y. •2788. y2 d x — ( 2 x y + 'ó) d y = 0 . H a l l a r las s o lu cio n e s p a rticu la re s que sa tisfa ga n a las c o n d ic io nes que se indican: 2789. xy ' -\-y — e x = 0 ; y = b 2 790. y' — para x ~ a . - J —g- — 1 — x = 0 ; y = 0 para x = 0. 2 7 9 1 . y' — y t g * « — L _ ; y = 0 para x = 0. H a lla r las s o lu cio n e s gen erales de la s ecu acion es: 2792. -x y * . 2 793. 2 x y - % — y t + x = 0. 2 7 9 4 . y d x-\ -{^ x— ~ z 3i/) d y — 0. 2795. 'á xd y = y ( l - \ - x s e n x — 3j/3 s e n s ) dx. 2796. Se dan tres s o lu cio n e s p a rticu la res e c u a c ió n lin e a l. D em ostrar, q u e la ex p resión y 2E y con stan te para resultado? cu a lq u ie r x. ¿Q ue sentido y , y x e y2, de una con serva tin v a lo r g e o m é t r ic o tiene este 2 7 9 7 . H a lla r las cu rva s, para las cu a les, el área del tr iá n g u lo form ado p o r el eje O X , la tangente y el r a d io v e cto r al punto de co n ta cto es constante. 2 7 9 8 . H a lla r la e c u a c ió n de la c u r v a , para la c u a l, el segm en to in terceptado por la tangente en el e je de abscisas es ig u a l al cuadrado de la ordenada del p u n to de con ta cto. 2 7 9 9 . H a lla r la ecu a ción de la c u r v a , para la c u a l, el segm en to interceptado por la tangente en el eje do ordenadas es ig u a l a la su bn orm a I. www.FreeLibros.me 358 licuaciones diferenciales 2800. H a lla r la ecu a ción de la cu rv a , para la cu a l, e l segm ento in terceptado por la tangente en el eje de ordenadas es p r o p o rc io nal ai cu adrado do la ordenada dol punto de con ta cto. 2801. H a lla r la ecu a ción de la c u r v a , para la cu a l, la lon gitu d de la tangente es igual a la distancia desde el punto de intersec c i ó n de esta tangente con el e je O X hasta el p u n to M (0, a). § 6, Ecuaciones d ife re n c ia le s e x a c t a s , F a c t o r In te gra nte I o. E c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s totales). Si para la ecu ación diferencial exactas (o en diferen cia les P ( x } y)dx + Q (z t y)dy = 0 se cumple la igualdad — - s , (1) la e cu a ción (1) so puede e s c r ib ir de la form a dU (x , f/) = 0 y se llam a ecuación d i f e r e n c i a l exacta (o en diferen cia les totales). La in teg ra l general de la e cu a ción (4) es U (x , y ) = C. La fu n ció n U y) se determ ina por ol m étod o que se in d ic ó en el cap. V I , § 8, o por la fórm u la * U ~ y ^ P(ar, y )d x - \ - ^ Q ( z 0t y ) dy x0 ^0 (véase e l cap. V i l , § 9). Ejemplo 1. H allar la in tegral de la ecu ación d iferen cial ( 3 * * + 6* 0*) d x + ($x*y + 4y3) ¿ 0 = 0 . Solución. Ó (3**+6*0*) — Esta es 0(6**0 + 403) dy la form a d ü = 0. Aquí una — — l 2 xy dx 8U dx ecu ación y, d ife re n cia l 4 por con sigu ien te, = 3*2 + 6 x y * , exacta, ya la ecu ación que 4. tiene = 6 * 2 y + 4 y*; d e donde U = ^ ( 3 z a + 6 : t 0 a) ¿ ;c + ' (y) = Gx*y + 4y3 )r la co n d ició n ); de donde y ' ( y ) - t í y Z y q>(0) = 04 + £o' d e fin itiv a tenemos U ( x í y ) = s 3 + 3 í 202 + 04 + Co> y, por co n sig u ie n te, s 3 + 3z 202 + + y 4 — c es la in te g ra l general quo so buscaba do la ecu ación dada. 2o. F a c t o r i n t e g r a n t e . Si ol prim er m iem b ro do la ecu a ció n (1) n o es una d ife re n cia l exacta y se cu m p len las co n d icion es d e l teorema d é Cauchy, e x is te ’una fu n ció n p = |x(:r, y ) (factor integrante) ta l, que S li(P d x+ Q d y)*= d U . www.FreeLibros.me (2) E cuaciones diferenciales exactas. 359 F a ctor integrante De d o n d e o b te n e m o s , :q u e la fu n c ió n \i sa tis fa ce a la ecuación £ < ! * > - £ W ). E l fa c t o r in te g r a n te \í se puedo h a lla r f á c ilm e n t e en d os casos: 1} " S - ) = F ( x ) ' entoncos 2) (^); = F * W ' cntonces Ia “ I* («O- Ejem plo 2. R e s o lv e r la e cu a ción [2xy + z Solución. * y j d x + (x* + y*) dy = 0. Aquí y , p o r co n sig u ien te p = |i(2:). C o m o - ^ d p - = - ^ r - 0 f * 1 7 = ^ i r + < ? - 5 í - ’ 5 0 t e n d r á q u c - ^ - = 4 " ( 4 r - 4 * ) r f z = ¿ * ° ,,líl= ;E , f*= e s M u lt ip lic a n d o la ecu ación p o r p = ¿x obtenem os: e* tfa: + ex (*2H-£ía) < % - 0 q ue e s una e c u a c ió n d i fe r e n c ia l e x acta , in te g rá n d o la , ten drem os la integral g en era l H a lla r las in te g ra les gen erales de las ecu a cion es: 2 8 0 2 . (x -\ -y ) dx-\- ( x - f 2y) d y = 0 . 2 8 0 3 . (x 2 + y 2 + 2 x) d x -f- 2x y d y — 0. 2 8 0 4 . ( x 3 — 3xy~ + 2) d x — (3 x 2y — y2) d y — 0. 2 8 0 5 . a: d x + y d y = * % = $ * . 2806. *1L * L + - * * - ? * ' . d y ~ 0. 2 8 0 7 . H a l l a r la in te g ra l p a r tic u la r de la ecuación ( z + e v ) d x + ev ^ 1 — 7 ) ^ — 0 , q u e satisfaga a l a c o n d ic ió n in ic ia l ¡ /( 0 ) = 2. www.FreeLibros.me 360 E cuaciones diferenciales ■ — —1 * -■ — - — R e s o lv e r las sigu ien tes e cu a cio n es, que a d m ile n e l fa c t o r i n t e grante de las form as = o = 2808. (x y 1) d x — 2x y d y = 0. 2809. y ( l - \ ~ x y ) d x — z d y ' = 0 . 2810. ^ d x + ( y s r - l a x ) d y = 0 . 2811. (x c o s y — y sen y ) d y (x se n y + y eos y) d x = 0. § 7. Ecuaciones diferenciales de 1er o rd e n , no r e s u e l t a s con r e s p e c t o a la derivada I o. E c u a c i o n e s diferenciales s u p e r i o r . Si la ecu ación de 1er orden, F ( x % i/. y ') = 0, de grado (1) por e j . , es de sogundo g ra d o c o n rospccto a y ' , re s o lv ié n d o la co n respecto a y ' t ob ten em os d os ecuaciones: = y)- (2) De esta form a, p o r cada p u n to jW0 ( z 0, y 0) do un determ in a do c a m p o del plano pasarán, on general, d os curvas integrales. La in tegral general de ln ecu ación (1) tiene, en esto caso, la form a (D (* , y , C) = * , ( * , y, C) 0)2 ( * , y t C) = 0, (3) donde y <D2 so n las in teg ra les generales de la e c u a c ió n (2). Además, para la ecu ación (1) puede e x is t ir una integral singular. G e o m é tricamente, la integral sin g u la r representa d e p o r sí la e n v o lv e n te do la fa m ilia do curvas (3) y puedo obten erse e lim in a n d o C del sistem a de ecu a ciones ® ( * .! /• 9 - 0 , ® ¿ ( * t y, C) = 0 (4) o e lim in a n d o p = y ’ d e l sistema do ecuaciones F ( x f y , J > ) = 0 , F ’v ( x , y , />) = 0 . (5 ) Debe advertirse, que las cu rv a s determ inadas p o r las ecu a cio n e s (4) o (5) n o so n siem pro s o lu c io n e s de la ecu ación (1); por lo c u a l, en cada ca so c o n c r e t o es n e cesa rio hacer la prueba. E j e m p l o i . H a lla r las in tegrales, g e n e ra l y sin g u la r, do la ecu a ció n + 2 s y ' — y = 0. Solución. hom ogéneas: R e s o lv ie n d o co n re s p e cto a determ inadas en e l campo + >0, cuyas integrales generales son www.FreeLibros.me y te n e m o s d os ecu a cion es Ecuaciones diferenciales de 1er orden, no resueltas con respecto a la derivada 301 o (2ss + y — C) - 2 1 / x - ^ x y = 0 , (2* + y - C) + 2 1/ x * + X y = 0. M u ltip licá n d ola s entre sí, ob ten em os la integral general do la ecuación dada o bien (y-C )*= A C x (fa m ilia de parábolas). D e riv a n d o la integral general resp ecto a C y e lim in a n d o 6'. h a lla m o s la integral singular y - |- X = 0. (La prueba demuestra q ue y - f x = 0 es so lu ció n de la ecu ación dada). La integral sin g u la r tam b ién se puede h a lla r d e riv a n d o xp'¿ -\-2xp— y = 0 respecto a p y e lim in a n d o p . 2°. R e s o l u c i ó n de la e c u a c i ó n diferencial p o r el m é t o d o do i n t r o d u c c i ó n do un p a r á m e t r o . Si la ecuación d ife re n cia l do 1er ordon tiene la form a *= 7 , d<p d p , + * -v (9 .P h d o n d e p = y r desem peña el papel d e parámetro. A n á loga m en te, si y = y'), las variables x c y so determ inan por el sistem a do ecuaciones ■' d'lb Ejemplo 2. , ¿hh dp H allar las in tegrales, general y singular, de la ecu ación S o l u c i ó n . H aciendo e c u a c ió n de la forma la su stitu ció n >/' — />, volvernos a escrib ir la .r 2 i/ = P2 — * P + 2 . D erivan do resp ecto a x y co n sid era n d o p = 2pí ~ p com o fun ción de x , tenem os p - xi r + x o b ion ( 2p — x ) — (2p — x), o sea = 1. Integrando, obten em os p — x \ - C . ax ax P o n ien d o esto c n la ecu ación p r im itiv o , tenem os la solu ción gonoral: y = (X + C ) * - x ( x + C ) + ^ - O „-¿*+ C x+ C ». D erivando esta s o lu c ió n general respecto a C y www.FreeLibros.me e lim in a n d o C, obten em os 362 Ecuaciones diferenciales la solución singular: y = ~ - , de la ecu ación ^La prueba domuestra que y — ^ - e s solución dadaj . S i se iguala a c e r o el fa cto r 2p — x t en q uo se h iz o la s im p lific a c ió n , o b te n e m o s P = y » y» p o n ien d o este v a lo r de p e n la as n o m o s y = — , es d e cir, la m ism a s o lu c ió n singular. H a lla r las in tegrales generales y ecu a ció n dada, o b le sin gu lares de las ecu acion es (en lo s N oa 2812 — 2813 con stru ir el ca m p o de la s cu rva s in tegrales): 2 8 1 2 . y ’ * - 2 L y ’ + i = o. X 2813. 4 j/'2 - 9 z = 0. 2 8 1 4 . y y ' * - ( z y + í ) y ' + x = 0. 2815. y t f * - 2 x y ' + y = 0. 2816. H a lla r las cu rva s in teg ra les de la e c u a c ió n j/'8 + í/a — 1, que pasan p o r el p u n to JWÔ; -|-j . R e s o lv e r ías ecu a cion es sigu ien tes, y '= p : in trod u cien d o el 2817. x ^ s m y ' + ln y '. 2820. 4 y = x * + y'*. 2818. y = y ' W . 2821. e* = parám etro ■ 2 819. y — y 'z -\-2\n y '. § 8. Ecuacloims de Lagrange y de Gla lraut I o. Ecuación do Lagrange. La ecu a ció n d e la form a V^x<p(p) + q ( p ) , (1) d o n d e p ^ y \ recib e el n o m b re de ecuación de Lagrange. P o r m e d io de la d eriv a ció n , y ten ien d o en cuenta q ue dy = pdx> la e cu a ción (1) se reduce a lin e a l co n respecto a x\ p d x = q> (p ) dx + [xq>' (p ) + y ' (p)] d p , Si p ^ (p) + en (p), d o n d e p os un parámetro y f (p) y g { p ) unas fu n cion es c o n o cid a s d eterm i nadas. Además, puede e x is tir s o lu c ió n singular, q uo so busca p o r e l proce d im ie n t o general. 2o. E c u a c i ó n d e C l a i r a u t . Si en la e cu a ción (1) <p(p) = p , se o b tie n e la ecuación de Clairaut y = zp-f\|)(p). www.FreeLibros.me E cuaciones de Lagrange y d e Clairaut 303 La s o l u c i ó n general do esta ecu ación tie n e la form a do y*=C'x-{-ty(C) ( fa m ilia de rectas). A dem ás, e x iste s o lu c ió n sin g u la r (e n v o lv e n te ), q ue so o b t i e n e c o m o resu lta d o d e e lim in a r e l p a rá m etro p d e l sistem a de ecuaciones r z = - y (P), \ Ejemplo. y = px+ ip (p ). R e s o lv e r la ecuación (3 ) Solución. Ponem os y ' = p , en este caso, y = 2 p x + -^ -; deriva n do y su stitu y e n d o dy p o r p d x } obten em os: p d x = 2p dx + 2x d p — ~ ~ o bien, dx tfp - 2 i 1 p x ^ p * ' R e s o lv ie n d o esta e cu a ción lin e a l, tendrem os: x — ~ a ( ln p + C ) . P o r co n s ig u ie n te , la e c u a c ió n g en era l será: x = ~j£ 0 QP + O » y = 2p x-\ -~ . P Para h a lla r la in tegral sin g u la r según la regla g en e ra l, form am os el sistema y = 2 Px + - L , 0 — 2x . De aquí 1 2. — T ?T ' y , p o r co n sig u ie n te , y = ± 2 l/2 i. P o n ie n d o y en la ecu a ció n (3 ), n o s c o n v e n c e m o s de q uo la fun ción o b ten ida n o es s o lu c ió n y de quo, p o r c o n s ig u ie n t e , la ecu ación (3) n o tiene in tegral singular. R e s o lv e r la s sig u ie n te s ecu acion es de L agrange: 2822. y = ± x ( y ' + j r ) . 2 8 2 4 . y = (1 + y 1) x + y'K 2 8 2 3 . y = y ' + V l - y ' z. 2825*. y = www.FreeLibros.me y '(2 x + y ' ) . 364 Ecuaciones diferenciales H a lla r las in tegrales, generales y sin gu lares, de las sigu ien tes ecu a cion es de C la ira u t y co n stru ir los ca m p os de la s cu rva s inte grales: 2826. y = x y ' + y'*. 2827. y ^ x y ' + y \ 2828. y = x y ' + j / l + ({/')*. 2829. y = x y ' + ± . 28*10. H a lla r la cu rva, para la c u a l, el área del tr iá n g u lo form ado p o r la tangente a la m ism a , en c u a lq u ie r p u n to , y los ejes de coordeuadas, es constante. 7831. H a lla r la cu rv a , si la distan cia desde un p u n to dado hasta cualquiera de las tangentes de la m ism a, es con stan te. 2832. H a lla r la cu rva, para la c u a l, el seg m en to de cu a lq u ie r a de sus tangentes, com pren did o entre lo s ejes de coordenadas, t ie n e una lon gitu d constante, ig u a l a L § 9, Ecuaciones d ife re n c ia le s d iv e rs a s de l 6r orden 2833. cia le s «> e D e te rm in a r el tip o de la s in d ica r m étod os de re so lu ció n : sus ( x - \ - y ) y ‘ = x a r c t g —•; y' = 2 x y + x 3- x y ' -f- j/ = 0 ( y — * ¡ 0 * = y ' 3; s e n y-t + g ) y ^ x e ’J'-, 2836. 2837. (2 x y z — y ) d x + x d x = 0. x y ' + y = x y 2 \nx. 2838. y = x y ' + y' \ny'. 0; (xy3 -|- l n x) d x — t/2 dy. b) x ] n - j d y — y d x = z Q . x dx— dy = n) i/cos-| -) d x + x e o s - ~ d y = 2835. 3 -cV ) (x3— 3 xy)d x+ (x3+ 3 )d y = 0 ; R e s o lv e r las ecu a cion es: a) (y* + + m) (y' — 2xy) Y y = Xa; 2834. 1; (x3 — x y ) y ' = y*] 1) ( x 3 -\-2 xii3) e) d ife re n i) i / = z ( x + y ) 2: k) d) y ' = 2 x y + y 3; h) e cu a cio n e s }) x e o s y ' + y s e n y ' = b) ( x - y ) y ' = y 2; c) sig u ie n te s — y 3>j dy, www.FreeLibros.me 0; 365 E cuaciones diferenciales diversas de 1er orden 2839. y = x y ' - | - Y — ay'. 2 840. x 2 { y - \ - i ) d x - \ - { x z — 1) (y — 1) d y — 0. 2841. ( 1 - )- y 2) (e2 x d x — e » dy) — ( i 2 842. y - y 2 x -í y) dy = 0. 2845. ( 1 — x2) if + x y ^ a . = i. 2843. y e y — ( y a -p 2 x e y) y ' . 2846. x y ' y- ^ - x = 0. *+1 2 844. y ' + y c o s x = sen x c o s x. 2 8 4 7 . y' (a; cos y + a s o n 2 y ) = i . 2 8 4 8 . (.t? y - x 2-\-y — 1) d x + (x y + 2 x — Sy — & ) d y ^ 0 . 2 849. ✓ - Í 1 + - * £ ■ ) '• 2) dy. 2 8 5 0 . x y 3 d x = ( x 2y 2851. 3** U ~ ** + y + l ‘ - d y - \ / - j d x < = 0. 2852. 2 d x + y 2853. 2861. e" d x + ( x e » — 2 y ) d y ==0. i r - í + t f f f . 2854. y y + y2 = coa x. 2862. y = 2 x y ' + V l + y'? 2855. x d y + y d x — y 2 ¿fa. 2863. 2856. I/' (.t + sen y^ = i . 2864. (2 2857. y % 2865. J/ — - r (1-t-ln i/ — ln a;). X - - P + f - e x + y * ) d y — y e x dx~-, 0 . 2 8 5 8 . x 3 d x - ( x * + , f ) d y = 0. 2866. x y ( x i f + i ) d y — dx= =0. 2859. a:**,'* + 3 a ^ ' + 2 r - 0. 2867. a (*'/ + 2 y ) — x y y '. 2860. 2 d x + y dy y m * 2868. x d y — y d x — y 2 dx. + i dy — y d x 0. 2869. (a:2 — 1)3/2 cfy + (a;3 + 3x y Y x 2 — í ) d x = 0. dy 2870. t g x ~ 3 ¿ - y = a 2871. Y a 2-\-x2 d y ( x y — Y a2 -f- x 2) d x — 0. 2872. x y y 'a — ( x2 + y 1) y' + x y = 0. www.FreeLibros.me 366 Ecuaciones diferenciales 2873. y = Xy ’ + - ~ . 2874. (3a:3 -(- 2 x y — y 2) d x 4 - (x2 — 2 x y — 3 y 2) ¡?y = 0. 2875. 2 y p Í | = 3 p 3+ 4 y ® . H a lla r las solu cion es de la s sigu ien tes con d icion es in icia le s que se in d ica n : ecu a cion es, para la s 2876- y ' = ^ t l ; y = 0 para 3 = 1 , 2877. <?~vy ’ = 1; y = l para 3 = 1 . 2878. y 'c t g 3 - | - i / = 2; y = 2 para £ = 0. 2879. ev ( ¡ / ' - ¡ - l ) = l ; y = 0 para 3 = 0. 2880. y ' y = eos x ; y = y para £ = 0. 2 8 8 1 . y' — 2 y ~ — x %\ y = -i* para 3 = 0. 2882. y '- \ - y = 2x ; y = — 1 para 3 = 0. 2 883. 3 í/' = ^; a) y = l para 3 = 1; b) ¿/ = 0 para 3 = 0. 2884. 2x y ' = y ; a) ?/ = l para 3 = 1; b) y = 0 para 3 = 0. 2885. 2xy?/' + x 2 — y? = 0; 3 = 0; c ) y = 0 para 3 = 1. a) y = 0 para 3 = 0; b) y = 1 para * 2886. H a lla r una curva que pase por el p u n to (0; 1) y que la subtangente sea ig u a l a la suma de la s coordenadas del p u n to de con ta cto. 2887. H a lla r la cu rva, sabiendo, que la suma de lo s segm entos que intercepta la tangente a la m ism a en lo s ejes de coordenadas es con stan te e igual a 2 a . 2888. La suma de las longitudes de la norm al y de la subnorm al es ig u a l a la unidad. H a lla r la e c u a c ió n de la cu rv a , sabien do, que ésta pasa por el o rig e n de coordenadas. 2889*. H alla r la cu rva, para la c u a l, el á n g u lo form ado por la tangente con el radio v e cto r del p u n to d e . co n ta cto es constante. 2890. H a lla r la curva, sabiendo, que e l área com prendida entre los ejes de coordenadas, esta cu rva y la ordenada de cu alqu ier punto situ ado en e lla , es ig u a l a l cu b o de esta ordenada. 2891. H a lla r la cu rva, sabiendo, que el área del sector lim ita d o por el eje p o la r, la propia cu rva y e l radio p o la r do cualquiera de sus puntos, es proporcion a l a l c u b o de este radio. 2 892. H a lla r la cu rva, para la c u a l, el segm ento que intercepta la tangente en el eje OX> es ig u a l a la lo n g it u d de la propia tangente. www.FreeLibros.me E c u a c io n e s d ife r e n c ia le s d iv e rs a s de 1e r o rd e n 367 2893. H a lla r la cu rv a , para la c u a l, el segm en to de tangente, com prendido entre los ejes de coordenadas, se d iv id e en dos partes igu a les por la parábola y 2 = 2 x. 2894. H a lla r la cu rv a , para la c u a l, la norm al a cu a lqu iera de sus pu n tos es ig u a l a la distancia desde este punto hasta e l origen de coordenadas. 2895*. E l área de la figura lim ita d a por una curva, lo s ejes de coordenadas y la ordenada de cu a lqu ier punto de la cu rva, es igual a la lon gitu d d o l coorrespondiente arco de la m ism a. H a lla r la e cu a ció n de esta cu rva, si se sabe, q u e pasa por el punto (0; 1). 2896. H a lla r la cu rv a , para la c u a l, el área del trián gulo que form an el eje de abscisas, la tangente a la curva y el radio v ector del p u n to de co n ta cto , es co n sta n te e igual a a2. 2897. H a lla r la cu rva, sabiendo, que el punto medio del segm ento, interceptado en el e je O X por la tangente y la norm al a la m ism a, es constante, (a; 0). AI formar la ecuación diferencial de 1er orden, sobre todo en los probloraas físicos, son frecuentes los casos en que conviono emplear el llamado método de las diferenciales, que consiste en que, las relaciones aproximadas entre los incrementos infinitamente pequeños de la3 magnitudes que se buscan, ciertas con una aproximación nasta de infinitésimos do orden superior, se sustituyen por las correspondientes relaciones entro sus dife* renciales, cosa que no influye en el resultado. P r o b l e m a . En un d e p ó s ito hay 190 lit r o s de d is o lu c ió n acuosa que c o n tie n e 10 kg do sal. E n este d e p ó s ito se vierte agua con una velocidad de 3 li t r o s p o r m in u to y se expulsa la m ezcla co n v e lo cid a d de 2 litros por m in u to. La c o n ce n tra ció n se m antiene hom ogénea rem oviend o ol agua. ¿Cuánta sal habrá en e l d e p ó s ito después de transcurrida una hora? S o l u c i ó n . So da el nombro do concentración c de una substancia dada, a la cantidad de la misma que hay en una unidad de volumen. Si la concentración es homogénea, la cantidad de substancia en un volumen V será igual a cV. Supongamos, que la cantidad de sal que hay en el depósito después de transcurrir t min, es igual a x kg. La cantidad de mezcla que hay en el depósito en este instante será (1004- 1) litros y, por consiguiente, la con centración c — Por litro. Durante el espacio do tiempo dty dol depósito salen 2dt litros de mezcla, que contienen 2c dt kg de sal. Por esto, la variación dx do la can tidad de sal quo haya en el depósito se caracteriza por la relación 2x ~ d x = 2c dt, o bien — dx*=* Esta es, precisamente, la ecuación diferencial que so buscaba. Sepa rando las variables o integrando, tenemos: I n z = - 2 1 n ( 1 0 0 + 9) + l n C o sea, x — C (íoü-M*) www.FreeLibros.me Ecuaciones diferenciales La con stan te C so determ ina partiendo de la co n d ició n de que, cuando t = 0, x = lü, es decir, C = 100.000. Después dt* una hora, en el dep ósito quedarán 100.000 0 . 5¿3,9 k g de sal. 2898*. Demostrar, que la su perficie libre de un líq u id o pesado que gira alrededor de un eje v e rtica l, tiene la form a de un para boloide de rev olu ción . 2899*. H a lla r la dependencia que existe entre la presión del airo y la altura, con ociendo, que esta presión es igual a 1 kgf por 1 cm 2 al n iv e l d el mar y de 0 ,9 2 k g f por 1 c m 2 a 5 00 m etros de altura. 2900*. Según la l e y de H ooke, un co rd ón e lá s tic o do lo n g i tud /, b a jo la a cción do una fuerza do d ila ta c ió n t \ experim enta un increm ento do longitud igual a k l F (£■■=*con st). ¿En cu á n to aumentará la longitud de este cordón , por la a cción de su propio poso W , si so lo cu e lg a por u n o de sus extrem os? (L a lon gitu d in icial del cordón es /). 2901. Resolvor este m ism o problem a, pero con la co n d ic ió n de quo on el extrem o libre del cordón se suspende un peso P . A l resolver los problem as 2902 y 2903, u t iliz a r la le y de Nevvton, según la c u a l, la v elocida d con quo se en fría un cu erpo os proporcional a la diferencia de tem poraluras d e l cuerpo y del medio que lo rodea. 2902. H a lla r la dependencia entre la temperatura T y ol tiem po /, si un cuerpo ca len ta d o hasta '¡\ grados so introduce en un lo ca l cu y a temperatura es con stan te e igual a a grados. 2903. ¿Dentro de cuánto tiem po, la temperatura do un cuerpo calentado hasta 100°, descenderá hasta 30°, si la temperatura del local es igual a 20° y durante los primeros 20 m in e l cuerpo en cu e s tió n se en frió hasta 00o? 2904. El e fecto relardador d el rozam iento sobre un d isco que gira dontro de un líq u id o , es proporcional a la v elo cid a d angular de rotación . H a lla r la dependencia de esla v elocida d angu lar del tiem po, con ociendo, que ol d isco , que co m en zó a girar con una velocidad do 100 r .p .in ., después de pasar 1 min gira a una v e lo cidad de 60 r.p.m . 2905*. La v elocida d de desintegración d el radio es proporcional a la cantidad del mism o. Se sabe, que transcurridos 1600 años queda la mitad de las reservas in iciales de radio. H a lla r q u é la n ío por c íe n lo do radio rosultará desintegrado cu an do pasen 100 años. 2906*. La velocidad de salida d e l agua por un o r ific io , que se encuentra verticalm ente a una distancia h de la superficie www.FreeLibros.me E cuaciones diferenciales de órdenes superiores 369 lib re d e l líq u id o , se determ ina p o r la fórm u la v = c V 2gh, d o n d e c & 0 ,6 y g es la a c e le ra ció n de la fuerza de gravedad. ¿C u á n to tie m p o tardará en sa lir e l agua quo lle n a una caldera scm ie sfé rica do 2 ni de d iá m e tro , si s a le por un o r if ic io redondo q u e h a y en o l fon d o y que tiene 0,1 ni de radio? 2907*. L a can tidad do lu z que resu lta absorbida al pasar por una capa d e lg a d a de agu a, e s p rop orcion a l a la can tidad de l u z que ca e sobre o lla y al espesor de la m ism a capa. Si al atravesar una capa de agua do 3 m de espesor queda absorbida la m itad de la ca n tid a d in ic ia l de lu z ¿qué parte de esta ca n tid a d llega rá hasta la profundidad de 3 0 m? 2908*. L a resisten cia dol aire on e l descen so de los cuerpos en paracaídas e s proporcion a l al cu adrado de la v e lo c id a d con que se m ueven. H a l l a r la v e lo cid a d l í m i t e de la caída. 2909*. E l fo n d o de un d e p ósito, do 3 00 litro s de capacidad, e slá c u b ie r to de una m e z c la de sal y de una substancia in d is o lu b le . S u pon ien d o que la v e lo c id a d c o n que se d is u e lv e la sal es p rop orcion a l a la d ife re n cia en tro la con cen tra ción en el ins tan te d a d o y la con ce n tra ció n de la d is o lu c ió n saturada (1 kg do sal para 3 litro s de agua) y que la ca n tid a d de agua pura dada d is u e lv e 1 /3 de k g de sal por m in , h a lla r qué ca n tid a d de sal con ten d rá la d is o lu c ió n a l c a b o de una hora. 2910*. L a fuerza e le c tr o m o tr iz e de un c ir c u ito , c o n in ten si dad do co rrien te i , resisten cia R e in d u cta n cia L , és ig u a l a la c a íd a de te n sió n R i m á s la fuerza e le ctr o m o tr iz de a u toin d u cción L“ . D eterm in ar la in te n sid a d de la corrien te i t on un instante t, s i c = E s e n t ó (E y o> son con stan tes) e ¿ = 0 cu an do ¿ = 0. § 10. Ecuaciones d if e r e n c í a l e s de o rdenes sup eriore s i°. C a s o do integración inmediata. Si t/<n>= /( * ) , se tieno y = [ d * \ . . . J / ( x ) d x + C , x " - i + C2* « - ü + . . . - | - C Il. n veces 2o. C a s o s d o r e d u c c i ó n a u n o r d e n i n f e r i o r . 1) Si ecuación diferencial no contiene y de forma explícita, por ejemplo: la E ( x t y \ y") = 0, poniendo y' = p , obtenemos una ecuación do orden inferior en una unidad E ( x t p, p ') = 0. 24-1016 www.FreeLibros.me Ecuaciones dijerenciales Ejemplo 1. H a lla r la s o lu c ió n particular d e lu ecuación x y ' + v ' + * ?=0, quo satisfaga a las co n d icion es y = 0, y f = 0 para x = Q. Solución. P on ien d o y ' = p } ten em os {/" = />', d o donde xp' p-\-x = 0. R esolv ie n d o esta ecuación c o m o obtenem os: lin ea l co n p x = Ci respecto a la fun ción p, . De las co n d icio n o s y ' = p = 0 para z = 0, tonoinos quo 0 — Ct — 0, es decir, £ , = ( ) . P or con sigu iente x p = ~ o bien, dy dx _x_ 2 ’ do don do, v o lv ie n d o a integrar, obten em os y = - ^ . + C2. P on ien do y ^ O para x = Q, h a lla m o s C2 = 0. particular que buscábam os es P or co n sig u ie n te, la so lu ció n 2) Si la ecuación d iferen cia l n o c o n tio n e x de form a e x p líc it a , p. o j . F ( y , y ', f ) = 0, pon ien d o y' = p , y u = p ^ t » ob ten em os una ocuación do orden in fe r io r en una unidad ' t * Ejemplo 2. p’ p i § ) = 0 • H allar la so lu ció n particular de la ecuación co n la c o n d ic ió n do que y = \, y ’ = 0 para x = 0. Solución. Ponem os y ' = p , en este caso, y 9 = p 4^* y nuestra ecuación d'J so transforma en la siguiente: H em os ob ten id o una ocuación del t ip o de B orn ou ili c o n respecto a p (y se considera argum ento). R e s o lv ié n d o la , hallam os: p ^ ± y V C i+ y'K www.FreeLibros.me 371 E cuaciones d iferen ciales de órdenes superiores te, Do la c o n d i c i ó n y ' ^ p — 0 p a ra y — i 9 t e n e m o s C i = ____ p = ± vV v — 1. P o r c o n s ig u ie n 2—t o b ie n dy % - ± y V y > - 1. In teg ra n d o, ten em os: 1 +. x — ^ árceos— t 2. P o n ie n d o y — 1 y s — 0, obten em os quo 0 ^ = 0^ do donde c o s a ;, o y = sec z. R e s o lv e r la s ecu a cion es. 29H . y" = ± . 2 9 2 0 . y y " = y \ + J/'2. •U 2912. y" = — . 2921. y y - y ’ (1 + y'). = 0. 2 9 1 3 . y " = 1 - V ' 2. 2 9 2 2 . y' = - . 2914. 2923. ( x - f - 1) y " - ( x + 2) y' + * * /" - } - y ' = 0 . 4 2 9 1 5 . y y " = y'*. yU y 2 9 1 6 . y y " - \ - y 'z = 0. u> 2924. x y " — y ' \ n — . 2 9 1 7 . (1 + a:*) y"-h|/'2-5-1 = 0 . 2925, ^ + T 2 918. y ' (1 + i/'2) = ay". 2 9 2 6 . x y m-\-y" = l - \ - x . 2919. 2 9 2 7 . y w2-|-y"2 = l . x V ' + ^ ' = l- H a l l a r la s s o lu c io n e s p a rticu la re s, les q u e se in d ica n : j:-| -2 = 0. ~ xy" ' para las co n d ic io n e s in icia 2928. (1 -\-x2,) y ' — 2 x y ' = 0; y = 0, y ' = 3 para x = 0. 2929. l + y '2 = 2 y y "; y = 1, y ' =* 1para x = 2930. y y " + y ' 2 = y ' 3; y — 1, y ' = 1 para x = 0. 2931. x y " = y '; y = 0, y ' = 0 para x = 0. H a l l a r la s in te g ra le s gen erales de la s ecu acion es: 2 9 3 2 . y y ' = V ¥ + y rV - y ' y ' ' 2933. yy" = y ' 2 + y' W + V a. 2934. y ' * - y y " ^ y Y . 2 9 3 5 . {/{/" + y ' 2- i/'3 l n i / - 0 . 24* www.FreeLibros.me 372 Ecuaciones diferenciales H a lla r las soluciones indican: 2936. que satisfagan a la s con d icion es que se — 1; y = 1, y' = 1 para ^ = • 2937. y y "-| -y '2 = 1; y = l , y ' = l para 3 = 0. 2938. z y " = V ^ l r í / ' 2; i/ = 0 para * = 1; y = l para x = e z. 2939. y ” (1 -I- ln x ) + ^ - y ' = 2 + h\x\ y = y . y ' = 1 para * = 1. 2940. y " = - j - ( í H - l n ~ ) ; ’/= - j ’ 'S = 1 Para * = 1 2941. y" — y '2 4 y ’ (y — 1) = 0; y = 2 , y ' = 2 2942. 3 y 'y " = y 4 y ' s 4 1; y = - 2 ; para 3 = 0 . y ' = 0 para 3 = 0. 2943. y2 + r 2- 2 y / = 0 ; y = J , y ' = l para 3 = 0. 2944. 2/¿/' + y - f z/y" = 0; ?/ = 1 para x = 0 e y = 0 para x — — 1. 2945. 2//' + {í/'2- 6 ^ ) - ? / = 0; y = 0, y ' = 2 para .r = 2. 2946. y 'y 2-}- yi/f — y '2 = 0; y = 1, y ' — 2 para a: — 0. 2947. 2 y y " — 3 y '2 ~ 4//2; y = 1, y' = 0 para a: — 0. 2948. 2 yy "-| -2 r — y ' 2 = 0; y = l , y ' = l para * = 0. 2949. y" = y ' 2 — y; y = — i - ; 2950. y" + y2 «v " V y - y ’ = i - para a r = l . 2- yyyy '2 = — 0; y// = — 1, y ' = — cv para 3 ^= 2951. l -r yy" + y ' 2 = 0; y = 0, y ' = l para 3 = 1. 2952. <l + y y ') y " = ( I T y ' 2) y ' ; y = 1 , y ' = l para 3 = 0. 2953. ( x i - i ) y " - \ - x i / - = i / ; y = — 2, y ' = 4 para 3 = 1. R e so lv e r las ecuaciones: 2954. y ' = 3i/"2 f y"s. 2955. y' = 3y" 4 y" — y"a. 2956. y"'2 = 4y". 2957. y y 'y " = y ' 3 — y"2. D estacar la cu rva integral que pasa por e l p u n to (0; 0) y q u o es tangente en éste a la recta y 4 - 3 = 0. 2958. H a lla r las curvas de radio de curvatura constante. 2959. H a lla r la curva, para la c u a l, ol radio de curvatura es proporcional al cu bo de la normal. 2960. H a lla r la curva, para la c u a l, el radio de curvatura es igual a la normal. www.FreeLibros.me E cuaciones diferenciales lineales 2 9 6 1 . H a lla r la cu rv a , para la cu a l, ol radio de curvatura es dos veces m a y o r que la norm al. 2 9 6 2 . H a l l a r las cu rva s, para las cu a les, la p royección d e l radio de curvatura sobre el e je O Y es constante. 2963. H a lla r la o cu a ció n del ca b le do un puente colgante, su pon ien do quo la carga se d istribu ye uniform em ente por la p royec c i ó n de d ic h o ca b le sobre una recta h o riz o n ta l. E l peso del cable se desprecia, 2964*. H a lla r la p o s ició n de e q u ilib r io de un h ilo fle x ib le , in estirab le, su jeto por sus ex trem os a dos puntos y que tiene una carga con stan te q (on la que se in c lu y e e l peso del p ropio h ilo ) por unidad de lo n g itu d . 2965*. Un grave sin v e locid a d in icia l resbala por un plano in clin a d o . H a l l a r la lo y de su m o v im ien to , si e l á n g u lo de in cli n a c ió n es igual a a , y el c o e fic ie n t e de frota m ien to [X. I n d i c a e i ó o. La fuerza do fro ta m ien to Ja re a cció n que op o n e el plano. es igual a [¿/V, donde N es 2966*. L a resistencia del aire a la caída de lo s cuerpos puede con sid era rse proporcion a l al cu adrado de la v elo cid a d . H a l l a r la ley d e l m o v im ie n to , si la v e lo c id a d in ic ia l es ig u a l a cero. 2967*. U n a la n ch a de m otor, de 3 00 k g f de peso, se m ueve en lín e a recta c o n una v e lo c id a d in ic ia l de 66 rn/seg. L a resistencia del agua es proporcion a l a la v e lo c id a d e igual a 10 k g f cu án do la v e lo cid a d es de 1 rn/seg. ¿D e n tro de cu á n to tiem po la velocidad do la la n ch a será ig u a l a 8 m /sog. § 11. Ecuaciones d if e r e n c ia l e s lineales I o. E c u a c i o n e s liomogóneas. Las fu n cion es y x = <p4( i ) , = <p2 (a;), . . . {/7í = q>7t ( * ) se lla m a n lineal/nenie dependientes, cuando existen unas con stan tes C4, CT2, Cn , tales, que sin ser todas iguales a cero, so tiene en e l c a s o co n tr a r io estas fu n cio n es re cib en e l nom b re de* linealmente independientes. La solución general de la ecu ación d ife re n cia l lin ea l hom ogénea y m + P i (x) y ^ - D + . . . + P n (* ) p - O c o n c o e fic ie n t e s co n tin u o s P¿ (x) (¿ = 1, 2, (i) n) tiene la form a y = ^ lí/i + ^ 2 l/2 + •* • +£Vd/n» donde y<¿, ¡}n> son s o lu cio n e s lin ea lm en te independientes do la ecua c i ó n (1) (sistema fundamental de soluciones). 2o. E c u a c i o n e s n o h o m o g é n e a s . La s o lu c ió n general de la e cu a ción d ife r e n c ia l lineal no homogénea y ™ + P i {*) y ' n~ " + ■ . . + P n (*)</ = / (*), www.FreeLibros.me &) 374 E cuaciones diferenciales s ie n d o lo s c o e fic ie n t e s Pt (x) y nuas, tiene la form a el seg u n d o m ie m b r o / (x) fu n cion es c o n ti ^ = ^0 + ^1 d o n d e f/ o es la s o lu c ió n general de la corresp on d ien te ecu a ció n h om ogénea (1) e Y una s o lu c ió n pa rticu la r de la ecu ación n o h om og én ea dada (2). Si so conoco u n sistem a fun dam en tal do solu cion e s y lt ygi •>.«&* de la ecu ación hom ogénea (1 ), la s o lu c ió n general de la correspond iente ecua c ió n n o hom ogénea (2) se puede h a lla r p o r la fórm u la y = C\ (x ) y i + C2 ( x ) + - C u ( x ) y n, donde las funciones Ct (s ) (¿ = 1, 2, . . n) se ob tien e n d e l sistema^ de ecua ciones { x ) 1/2 + • • • ~i“ é n ( x ) !/n ” d, q <*) y í + c í ( z ) v i + . . . + c ; <*) * ; = o T ¿ i (^ ) V±~T (^) cí (*) |/Ír ~ 2>+ Cí (x) 4 n- 2)+ . -. + c ; (*) y n( ~ 2>= 0 Ci (*) y(r 1:>■+Ci <*) y % - 1■>-+ ... + c ; (x) » {," " « = /(* ) (método de variación de las constantes arbitrarias) E j e m p l o . R esolv er la ecuación x y " + ij'=--x 2. (4) S o l u c i ó n . R e s o lv ie n d o la ecu ación hom ogénea obtenem os: * y " + y ' * * 0> y = é*1 ln i-|- é*2. (5) o P or consiguiente, se puede tom ar y l = ln x e y2 =r. t y buscar la s o lu c ió n de la ecu ación (4 ) en la form a V — Ci (x) ln x + C2 (x). Form ando e l sistem a (3) y teniendo en cuenta que la form a e cu a ción (4) es y " + — x = x, obtenem os ( C í ( x ) l n x + C.; ( z ) l = Ü, ( Cí ( * ) - i + C¡ (*)■» = *■ De donde y , p o r consiguiente. y —— + A l n x + ü. d on d e A y B son con stan tes arbitrarias. www.FreeLibros.me reducida de la licu a cion es diferenciales lineales de 2o orden con coeficientes constantes 375 2968. I n v e s tig a r la dependencia lin e a l de los siguientes m as de funciones; a) x y x + 1; o) X* b) x 2, - 2 # 2; f) e*, e2X, e 3X; c ) 0, 1, x ; g ) sena:, cosa:, 1; á) x , x + i , x-\ -2 ; * 3; h) sen2 #, eos2 # , 1. 2969. F orm a r la e c u a c ió n d ifere n cia l lin e a l cie n d o su sistem a fu n d am en ta l de solu cion es: a) y * = s e n # . y2 = x e x; c) í / 2 ~ ^ 2; d ) y i =êxy h om o g én e a , c o n o = eos o:; b) V i - e ? , Xi — X, siste y 2 = ex sen#, y$ = e x e o s # . 2970. C on ocien do el sistem a fundam ental e cu a ció n d ife re n cia l lin ea l hom ogénea V\ = x , y*¿ = #2, y 3 == de solu cion es de la , h a lla r su s o lu c ió n p a r tic u la r y , que satisfaga a las con dicion es in iciales y U*=i = o , v ' \ x m i- - u y” | * -i = 2 . 2971*. R e s o lv e r la ecu a ció n {/"-h — y ' + y - O , con o cie n d o s u s o lu c ió n p a r t ic u la r y i = - -------- . 2972. R e s o lv e r la e cu a ció n a * ( l n a ^ l ) í f - a * '+ * = * 0 , co n o c ie n d o su s o lu c ió n p a r t ic u la r y t =^x. R e s o lv e r la s sigu ien tes ecu acion es lin eales no hom ogéneas por el m étod o de v a r ia c ió n de las con stan tes a rb itra ria s: 2 973. x h f — x i f = 3 # 3. 2974*. x Y + x y ' — y = 2 975. */'" + [/' = sec #. V § 12. E cu a c io n e s constantes d if e r e n c ia l e s lin e a le s de 2° con c o e fic ie n te s I o. E c u a c i o n e s h o m o g é n e a s . La ecu ación lin ea l do 2o orden co n co e ficie n te s con stan tes p y q, es de la form a: hom ogénea V*+Pi/' + qy = 0. www.FreeLibros.me orden (1) 376 E cuaciones diferenciales Si /r, y k 2 son las raíces d e la e c u a c ió n cara cte rística cp (k ) = k ” -|- p k - 1-7 = 0 , (2) la s o lu c ió n gen eral de la e c u a c ió n (1) se e s cr ib e e n una de las s ig u ie n te s ; tres fo rm a s 1) y — Cic hlX-\-C2c h'l X. s i k i y k 2 s o n rea les y k í =p /c2: 2) y = - e * iar(C t + £;>*)’ si /;, = A-2; 3) y s=ea x (C j c o s p a : ' f - Q s e n p x ) , s i / i j = a + p¿ y &2 = a — P¿ (P 2*\ E c u a c i o n e s n o h o m o g é n e a s . e c u a c ió n d i fe r e n c ia l lin e a l n o h om ogén ea La solu ción 0). g o n o ra l y” + p y ' + w — f (*) de la Cs> so puede e s c r i b i r en fo r m a de sum a y = Vo + Y> don d e yo es s o l u c i ó n gen eral do la c o r r e s p o n d ie n t e e c u a c ió n (1) s in s e g u n d o m ie m b r o , que so d e te rm in a por la s f ó r m u la s 1) — 3 ), e Y es una s o l u c i ó n p a r t ic u la r d o la ecu a ción d a d a (3). La fu n c ió n / so puedo h a lla r p o r e l método de los coeficientes indeter minados en los s ig u ie n te s ca s o s s im p le s : 1. f ( * ) ~ e axP n ( x ) , d o n d o P n (x) es u u p o l i n o m i o de g r a d o n. Si a no és raíz d o la e c u a c ió n cara cterística (2 ), es d e c ir , <p( « ) 0, se co n s id e ra Y = eaxQrt( x ) , do n d e Qn (x ) e s u n p o l i n o m i o de g r a d o « c o n c o e fic ie n t e s in determ in ados. Si a es raíz do la e c u a c ió n c a r a c te r ís tic a (2 ), e s d e c ir , (p (a ) = ü, so con sidera Y = z re l x Qn ( x ) , d o n d e r es e l g r a d o de m u l t i p l i c i d a d d e la raíz a (r = l o r — 2). 2. / (x ) = eax l P T (x ) co s ó x + Q/n ( x ) s e n bx\. Si <p (a ± bi) =£ 0 , se con sidera Y = e a x [S]$ ( x ) c o s ó x + T u son fcx), do n d o ó*n ( * ) Si p o r e l y Tw ( x ) s o n p o l i n o m i o s do g r a d o ¿V = m á x { « , m). c o n tr a r io , cp (a ± bi) = 0 , so co n s id e ra y = x reax [Sjs { * ) oos bx-\- 7 'n ( 2 ) sen bx\, d o n d e r e s e ! g r a d o d o m u l t i p l i c i d a d d e la raíz a ± bi (p ara ia ecu a ció n d e 2o ord e n r = l ) . En e l c a s o g e n e ra l, para r e s o lv e r la e c u a c ió n ( 3 ) se e m p le a e l método de variación de las constantes arbitrarias (v é a se e l § 11). E j e m p l o 1. H a l l a r la s o l u c i ó n de la e c u a c ió n 2 y " - ~ y '- y = = 4 x ^ . Solución. fci== l y La e c u a c ió n c a r a c te r ís tic a 2/c2— k — 1 = 0 tiene la s raíces /,:2 = - L . L a s o l u c i ó n gen eral do La c o r r e s p o n d ie n te e c u a c ió n liom o- y gén ea (d o la fo r m a prim era) es i/o = Cte x -\-C2e 2 . E l segu n d o m ie m b r o do la ecu a ció n da da / ( z ) = 4 x e 2x~ e axP n (x ). P o r c o n s ig u ie n t e , Y = c2x ( A x B ), y a q u e w = l y r = 0 . D e r iv a n d o Y d o s ve ce s y p o n ie n d o la s d e r iv a d a s en la www.FreeLibros.me licuaciones diferenciales lineales de 2o orden con coeficientes constantes 377 ecu ación dada, obtenem os: 2e2X ( 4 4 * + 4 B + A A ) - e2* <24* + 2Z* + 4 ) - e** ( A x + D) = 4 zc*x . S im p lific a n d o por e2X o igu alan d o entro sí lo s coeficien tes quo corresponden a las prim eras potencias do x y io s térm in os independien Les de ambos m iem b ro s de la ig u a ld a d t tenemos: 4 5 4 — 4 y 7 4 + 3 # = 0 t de donde 4 = — y B = Do este form a , Y 28 x — —r -j , y la s o lu c ió n general do la ecu o- e 2-' c ió n dada es — y = C¡ex -\-C2e / 4 (T x - ¿ 28 \ 25 ) • t j e m p i o 2. H a lla r la so lu ció n general de la ecu a ció n y " — 2y' + y = z e x . S o l u c i ó n . La ecu ación ca ra cterística k2 — 2k + 1 = 0 tiene una raíz c u y o « r a d o do m u lt ip lic id a d es dos, fc = l . E l segundo m iem b ro de la e cu a ción es, f ( x ) ^ x e x \ aquí, a — 1 y n = l . La s o lu c ió n p a rticu la r Y = = x 2ex ( A x + B ) t puesto quo a co in c id e co n la raíz = 1 c u y o grado do m u l t ip lic id a d e s igual a d os y , p o r con sigu ien te, r = 2. D erivan d o Y d os veces, pon ien d o las d erivadas en la ecu a ción e igualando lo s co e ficie n te s, obten em os 4 = — , = Por con sigu ien te, la so lu ció n ge neral de la ecu a ció n dada se escrib e de la form a y = (C1 + C2x ) e * + - ^ x ? e * . E j e m p l o 3. H a lla r la so lu ció n general de la ecu ación y'7+ i/ = x son x. Solución. La e c u a c ió n característica _]-4 = 0 tiene las k\ = i y — i. La s o lu c ió n g en era l do la correspondiente ecu a ció n génea sera ¡véase 3), donde a = ü y 0 = 1 ] ; raíces h om o y0 = C\ co s z + C2 sen x . El segundo m ie m b ro tiene la form a / (x) = donde a = 0, p a rticu la r \Pn (x) eos bx + Qm ( x ) son bx), b = \, P n ( x ) = 0, Qm ( * ) = £. A 61 le correspondo la solu ción Y — x t ( 4 z + B ) cos x + (Cx + D) sen x] (aqu í N = 1. a = 0, b = 1, r = \). D erivan d o d os voces y p o n ie n d o las derivadas en la ecu ación , igu a la m os entre sí lo s co e ficien tes do lo s d os m ie m b ro s do la igualdad q uo correspon den a cos x t x c o s í , se n x y x son x. Com o resultado, obten em os cu a tro ecuaciones: 2A + 2 D = 0 T 4C = 0, — 2B + 2C = 0 , — 4 4 = 1, do Jas cuales se r2 determ inan: 4 = — 1 /4 , — 0, C = 0 , P = i f 4. P or www.FreeLibros.me lo quo Y = — cos* + 378 Ecuaciones diferencíales La solución general será y = Ci eos x + C osen x — ~ c o s ar + -| -s o n a r . 3o. P r i n c i p i o de s u p e r p o s i c i ó n de s o l u c i o n e s . Si segundo miembro de la ecuación (3) es una suma de varias funciones el f ( x) = h ( * ) + /2 W t - ' + Z b (x ) e = 2 s on las correspondientes soluciones de las ecuaciones + = /* (* ) (¿ = 4 , 2 , . . . , * ) , Ja suma es so lu ció n de la ecuación (3). i l a l l a r la s o lu ció n general de las oeuaciones: 2 976. y" — 5 y ' + 6 y = 0 2982. y n + 2 y' + y = 0. 2977. y " - 9 y = 0. 2983. + 2978. y " - * , '= ( ) . 2984. =0. 2979. y "-\ -y = Q. 2985. y = i f + y'. 2980. y” ~ 2 y ’ + 2^ = 0. 2986. = 2981. y’ + 4 y ' + 1 3 y = 0. H a lla r las solu cion es p a rticu la res que satisfagan c io n e s que se indican: a la s con d i 2987. e/’ ~ 5 y ' - } - 4 y = 0; y — 5, y ' = 8 para 2988. / + 3 jr'-)-2í/ = 0; y = l , y ' — — 1 para x — 0. 2989. y " + 4 y = Ü, y=0, y ' = 2 para x — 0. 2990. y " 4 - 2 y ' = 0; y = l, y ' = 0 para x = 0. 2991. y" — x = ü. y = a, y ' = 0 para x — 0. 2992. y " - } - 3 y ' = 0; y — 0 para x = 0 o y = ü para x = 3. 2993. y"-|-r[a(/ = 0; y — 0 para x = 0 e y = 0 para x — i . 2994. Indicar la form a de las solu cion es p a rticu la re s de las sig u ie n te s ecuaciones n o hom ogéneas: a) y " — 4 y = x V ¡x; b) y"-\-Qy — eos 2x; c ) y " — 4 y' - r 4 y = sen 2 x -f- e2X; d) y n - f 2 y ' 2 y = ex sen x; o) y" — % ' + 6y = (x z - f 1) ex -(- xe2*; í) y " — 2y' -}- 5 y = x e x eos 2x — x 2ex sen 2x. www.FreeLibros.me licuaciones diferenciales lin eales de 2o orden con coeficientes constantes 379 H a l la r l a s o lu c ió n de la s ecu a cion es: 2 9 9 5 . y" — Ay' Ay — x 2. 2 9 9 6 . y " - y ' + y = x * - r 6. 2 9 9 7 . y "-\ -2 y ' + y = etx . 2 998. y " — 8 y ' + 7i/ = 14. 2 9 9 9 . y ’ ~ y = e*. 3 0 0 0 . y " - f y — eos x . 3 0 0 1 . y" -\-y' — 2í/ = 8 sen 2 x. 3 0 0 2 . y" + y' - liy = x e 2X. 3 0 0 3 . y ” — 2 y' -¡- y = sen x sh x . 3 0 0 4 . t f + y ' = sen 2 x. 3 0 0 5 . y " — 2 y ' -j- 5 y = ex cos 2x. 3 0 0 6 . H a l l a r la s o lu c ió n de la ecu a ción y " -|- 4 y — sen x , que s a tis fa c e a la s co n d ic io n e s y — í , ii' — l para x = 0. R e s o lv e r la s ecu acion es: d%x 3 0 0 7 - - ^ 2“ + = *4s e n p t. E xa m in a r los ca so s : 1) co; 2) p = c o . 3008. y" - l y ' - \ r i 2 y e*x. 3 0 0 9 . y" — 2 y ' — x 2 — i . 3 0 1 0 . y" - 2t/ -)- y = 2ex . 3 0 1 1 . y " — 2 y ' = e iX + 5. 3 0 1 2 . y ” — 2 y ‘ — 8tj = e* — 8 cos 2x. 3 0 1 3 . y " + y' = 5 x + 2ex . 3014. y " - y ' = 2 x - l - 3 e \ 3 0 1 5 . y " + 2 y' + y = ex -\-e-x . 3 0 1 6 . y ” — 2 y -j-1 0 {/ = sen 3 x + e x. 3017. / - V + 4j/ = 2e2X + - 2 - . 3 0 1 8 . y* — 3i/' = x -| -co s x . 3 0 1 9 . H a l l a r la s o lu c ió n de la e cu a ció n q u e s a tisfa ce a la s c o n d ic io n e s : y ' — 2y' = e 2r + x 2— U i/ = -g-, y ' = 1 para x — 0. R e s o lv e r las ecu acion es: 3020. y" — y — 2 x s e n x . 3 0 2 1 . y" — 4y = e2* sen 2a;. www.FreeLibros.me E cuaciones diferenciales 3022. i f — 4y = 2 sen 2 x — 3 eos 2j* + i . 3023. j/*— 2y' -j- 2^ = 4c* sen x. 3024. i f = ze*-\~y. 3025. y* \-$y = 2x sen .r 1 x c 3X. 3 026. jf" — 2 y' — 3y = x ( l + * » * ) . 3027. //' — 2ij 3# -{- 2 x e x. 3 028. i f - ' x y ' - \ - í y ~ x e * x . 3029. y " + 2 y - 2 ;n raje - Sy - (s + 1 ) 3030*. y" + y = 2.r eos x eos 2x. 3031. x f — 2y — 2 xex (eos a:— son x). V a lié n d ose d e l m étodo de v a r ia c ió n trarias, resolver las ecuaciones: de las constantes 3032. y" |-y — t g * . 3030. ,/ 3 033. ;/* - f J/ = c t g i-. 3037. ?/'-! y = ^ ± a rb i y =- - i — . eos x sen x 3 034. y " — 2 y - \ - y — — . 3 0 3 8 . a) y " — y = i h x ; 3035. / -I- 2y ' -|- b) y” - 2 y = 4 s V * X 3039. D os pesos igu a les están co lg a d os del e x tre m o de un resorte. H a lla r la ecu a ción del m ov im ien to q u e efectuará uno de estos pesos, si el o tr o se desprende. S o l u c i ó n . Supongam os que el aumento do lo n g itu d que experim enta e l resorte ha j o la acción do uno de lo s posos, en estado de reposo, os igual a a y que la masa de d ic h o peso os m. D esignem os con la letra x la co or denada de esto peso, tomada en d ire cció n v e rtica l, a p a r t ir de la p os ición do e q u ilib r io cuando s ó lo h a y un poso. En esto caso, d 2x m~di2 dondo, evidentem ente, k — k (* + °)t > y p o r con sigu ien te, ~ ^ - = — ^ - x . La s o lu - c ió n general es x ~ C i eos y / c — / -|- C2 son y f ti — t. Las co n d icio n e s in icia le s nos dan x = a y ^ - = 0 para ¿==0; de donde Ci = a y C2 = 0, y, p o r c o n siguienle, www.FreeLibros.me Ecuaciones lineales de orden superior al 2oy con coeficientes conslantes 381 3 04 0 *. L a fuerza que ala rga a un resorte es proporcional al a u m e n t o de lo n g itu d d e l m ism o e ig u a l a 1 k g f, para un aum ento d e lo n g itu d de 1 c m . D e l resorte está suspendida una carga c u y o peso es de 2 k g f. H a l l a r el período d e l m o v im ie n to oscila to rio que re c ib ir á esta carga, si se tira do e lla u n p oco hacia a b a jo y des pués se suelta. 3 04 1 *. Una carga, cu y o peso os P =*4 k g f, está suspendida de un resorte al que ala rga en i c m . H a l l a r la l e y del m o v im ie n to de esta ca rg a , si e l ex trem o superior del m u e lle efectúa las o s c ila c io n e s a rm ó n ica s v e rtic a le s y = 2 sen 3 0 / c m y en el m om ento in ic ia l la carga estaba on reposo (la resistencia d e l m ed io se desprecia). 3 0 4 2 . Ün p u n to m a te ria l do masa m , es atra íd o por dos c e n tros. L a fuerza de a tra cc ió n de cada u n o es proporcion a l a la distan cia (el c o e fic ie n t e de p rop orcio n a lid a d es ig u a l a k ). H a lla r la le y del m o v im ie n to de d ic h o p u n to, sa b ien d o q u e la distancia en tre lo s cen tros es de 2í>, que en el m om en to in icia l el punto en cu e s tió n so en con trab a en el se g m e n to que une entre sí dichos ce n tr o s , a una d ista n cia c del punto m edio d e l m ism o y quo su v e lo c id a d era ig u a l a cero. 3043. U n a cadena de 6 m de lon gitu d se desliza, sin roza m ie n to , desde un sop orte h acia a b a jo . Si ol m o v im ie n to se in icia e n e l m o m e n to en q u e del soporto cu e lg a 1 m de cadena ¿cuánto tiem p o tardará en deslizarse toda la cadena? 3 0 4 4 . U n tu b o la r g o y estrech o gira c o n una v e lo cid a d angu lar c o n s ta n te <o alred ed or de un o je v e r tic a l perpendicular a é l. Una b o la , q u e so en cu en tra dentro de d ic h o tu b o , se desliza por él s in rozam ien to. H a l la r las le y e s d e l m o v im ie n to de la b ola con re la c ió n a l tu b o , con sid era n do que: a) en el m o m e n to in ic ia l J a b o la se encontraba a una distan c i a a d e l eje de ro ta ció n y su v elo cid a d en d ich o m om ento era ig u a l a cero; b) en el m o m en to in i c i a l , la b o la se encontraba en el eje do ro ta ció n y te n ía u n a v e lo c id a d in ic ia l de v0. § 13, Ecuacio nes d if e r e n c ia l e s lin e a le s de orden s u p e rio r al 2o, con c o e f i c i e n t e s c o n s ta n te s 1°. E c u a c i ó n h o m o g é n e a . El sistema fundamental de soluciones Vi* Vz* •••» ün de la ecuación lineal homogénea con coeficientes constantes l/<n>+ a{y<n- l' + . . . + a n_ iy' + a ny = 0 (1) so construye sobre la base del carácter que tienen Jas raíces de la ecuación característica . . . - f a,,.,*-f-fln = 0. www.FreeLibros.me (2) m Ecuaciones diferenciales Es decir: i ) s i k es una raíz, roal de la ecu ación (2) de grado de m u lt ip l i cidad m, a ésta le corresponden m so lu cio n es linealraento in depen dien tes de la ecu ación (1): yz*=zehx> . . . . Vm= * m- 1e**; 2) si a ± P ¿ e s un par do raíces co m p le ja s de la ecu ación (2) de grado de m u ltip licid a d m, a o lla s lea corresponden 2m s o lu cio n o s linealmenteindependientes de la ecuación (1): y i = ea x cosps, IJ2 — e °"Xs ¡ n J/3 = x e a x eos fix, y k = x e ax sen (lar, . . . y ^ n - i = x m- * e a x eos fkr, 02ro «=.rm“ 1¿ cwf sen (te. 2a. E c u a c i ó n no ecuación no hom ogénea homogénea. + La s o lu c ió n p a rticu la r de + a „ - iy' + any = r f (s) In (3> se busca basándose en las reglas del § 12, 2o y 3o. H a lla r la s solu cion os generales de las ecuaciones: 3 0 4 5 . y ” — 13t/"-|-i2t/' = 0. 3046. y - " ~ y ' = 0. 3058. y i v + 2ír + y « 0 . 3059. y<*-»> + 3 047. y " -\ -y = 0. 3048. y i Y + 2 y " = 0. + y<n~ 2) + - - - 3049. t/” — 3p" + 3 y ' — y = 0. 1- Y y' + y e * 0. 3 050. yIV + 4 y = U. 3 051. y»v + 8 / + 1 6 y * 0 . 3060. y lv — 2y” -\- y " = e x. 3052. y lw -b !/' = 0. 3061. y ™ — 2 y ’, + y " = x 3. 3053. y i v — 2 y “ -\-y = 0. 3 062. y m- y = x3 - l . 3054. y ' v - a* y = :0 . 3 063. y1v - b y"‘ — eos Ax. 3055. y i y — 6 y " + 9 y = 0. 3 0 6 4 . y " + ! / " = x 2 + 1 + 3xc*. 3 0 5 6 . y i v -b cPy” = 0. 3065. y m+ y ’ + y ’ - i - y = x e K. 3057. {/Iv -u 2 y* -1-t/" = 0. 3066. y ” - b ?/' = tg a:sec x. 3 067. H a lla r la s o lu c ió n pa rticu la r de la ecu a ción y " + 2y‘, + 2 y ' + y = x, que satisface a las co n d icio n e s in icia le s y (0) = y ’ (0) = y " (0) = 0.. § 14, Ecuaciones de Euler La ecuación, lin e a l de la forma (ax + 6 )" y <n>+ Ai (ax + 6)n- l ¡/i” - 1»+ . . . -b An- , (o x + b) y + Any = j (x), (1) don de a, b, A t A „ - U A„, son con stan tes, se lla m a ecuación de Euler. www.FreeLibros.me E cuaciones de E u ler 383 in tro d u cim o s una nueva v aria b le indepen Para o l re cin to diente» t, p o n ie n d o: ax -|- b = e l. E n ton ces, y l" = fl3e-.i¿ + j y así sucesivamente!, y la ecuación de E u ler so tran sform a en una ecu ación lin e a ! co n c o e f i c i o n le s con stan tes. Ejem plo 1. R e s o lv e r la ecu a ció n x * y " x y ' y = 1. Solución. P o n ie n d o x = e i t obten em os: dy _ dx dy dt />- t d 2y _ 1 dx2 t dfiy l d i* dy \ di / * ( P or co n s ig u ie n te , la ecu a ció n dada tom a la fo rm a dt* d o d on do y = c , cos i -f- Co sen i - h 1 o sea, y = c i COS (1 n x) -(- C2 son (1 n a:) -{-1. Para la ecu ación hom ogénea do Euler x ny iti) + A íX n - } y i n - 1 >+ . . . - f A n ^ x y ' + A n y = 0 (2) cu a n d o . r > 0 s o puedo buscar una so lu ció n d o la form a ¡,= z K (3) P o n ie n d o en (2) y y y , y<n \ d eterm inad as por la ro la c ió n (3), ob ten em os la e cu a ción característica, de la que se puede h a lla r e l ex p o n e n te k .* S i k e s una ra íz real do la ocu ación característica, de grado m de^ m u l t ip lic id a d , a e ll a lo correspon derá n m s o lu cio n e s lin o a lm e n te in depen dien tes iji = x h, y 2 = x h \ n x y y 3 = x h ( l n * ) 2, ym = x h (ln ar)m_1. S i a r b P t es un par de raíces co m p le ja s do grado m de m u lt ip lic id a d , a e lla s le s corresponderán 2m s o lu cio n e s lin e a lm o n to in depen dien tes y i — x a cos (p l n x), y-¿ = x a sen (P l n x ), y3 = x a ln x co s (p ln x), y 4 = x a ln x s o n (P l n x ), */2m~i = £ a { l n x)™ "1 cos (P ln x), Vyn — Xa 0*» x ) 771” 1 sen (P l n x). E jem plo 2. R e s o lv e r la ecuación x 2 y * — d z y ' + 4y = 0. Solución. Ponem os y = x h\ y' = k x ll~1, y" - k ( f r - 1) www.FreeLibros.me 384 Ecuaciones dije réndales Ilaciondo la su stitu ción on la ecu ación dada, después rio s im p lific a r p o r x k y o b te n e m o s lu ecuación característica /f2 _ 4 * + 4 = 0. R e solv ién d ola , hallam os; ki = k2= 2 , por con sigu ien te, la s o lu c ió n general será; y = C ¡ x * C 2z * ln x. R esolvor las ecuaciones: 3068. + + y = 3069. * V — x y ' — 3y = 0. 3070. x2y " + x y ' -\-4y — 0. 3071. xh/"'— 3x h j" + ñ xy’ — 6 ;/ - 0. 3072. (S x + 2 ) y " 4 - 7 y ' = 0 . 3 073. x f = % . 3074. 0. 3075. x h f — 4 x y ' - f 61/ = x. 3076. (1 + * ) * y ' — 3 (1 + * ) y' + 4y * (1 + x ):{. 3077. H a lla r la s o lu ció n pa rticu la r do la ecuación x y ' — x y ' + y = 2x, que satisface a las con d icion es in icia le s : y — 0, y ' = 1 para x = 1. § 15. Sistemas de ecuaciones d ife re n c ia le s M é t o d o d e e l i m i n a c i ó n . Para h allar ia s o lu ció n , por e je m p lo , de un sistema normal de d os ecuaciones diferen cia les de 1er orden, es decir, de un sistema de la form a — = / ( * , y, *), v >z)’ resuelto con respecto a las derivadas de las fu n cion es y y z que derivam os una de ella s respecto a ¿p. Tenem os, por eje m p lo: dhj df di W se buscan, df - 3 F — t e + - d í t + T r B' D eterm inando s de la primera ecuación del sistema ( l ) y pon ien d o la expresión obtenida www.FreeLibros.me () ’i Sistem as de ecuaciones diferenciales en la ecu ación (2), obten em os una ecu ación in có g n ita y. R e s o lv ié n d o la , h a lla m os: de 385 2o o rd e n con una fu n ció n Cu C2)> (4) donde y C2 son unas constantes arbitrarias. P o n ie n d o la fu n ción (4) en la fórm u la (3), d e te rm in a m o s la fu n ció n z s i n necesidad de nuevas integra ciones. El c o n ju n to de la s fórm u las (3) y (4), donde y se ha su stitu ido p o r i|j, da la solución general del sistema (1). Ejemplo. R e s o lv e r el siste m a dy dx 2 y + 4 s = 1 + 4x> dz d x ' y - 2 = T a2Solución. D erivam os la prim era ecu ación co n respecto a x\ í l + 2 £ - + 4 í r = 4- D espejando z en la p rim e ra ecu a ción tenemos dx 2y) y pon ien d o este v a lo r on la segunda, tendrem os: dz 3 — —9 X — y Pon ien do -~ r JLtt_ ~r?y — ±É L on la e cu a ción ob ten id a dz lo s v a lo re s de z y de — 4 dx después de deriva r, lle g a m o s a la ecu ación de 2o orden con una in cógnita y: ’ t S P |t Í M w - 0 iS - * * * > R e s o lv ié n d o la , h a llam os y = C te2x + C2e - z x + y entonces dy_ s = i . ( í + 4x - * L - 2y ) = - C,.** + ^ dx De form a análoga p u ede núm ero de ecuaciones. procederso en e l caso de sistem as de m ayor R e so lv e r lo s sistemas: dy dx 3 078. l dz dx - ± **. 2’ 3079. — y- www.FreeLibros.me 886 E cuaciones diferenciales dx 3080. 3 086. dz i ¡ ¿ = y - ~ z' * L + 2 z-y + 2 e ' = 0; dx dt a; = 0, y = 1 para i — 0. y* •» 3081. dt z> dz 3087. x. dt 4 r — y^- 3 6 ¿ ~ 0 ? dt dy _ y^ dx z ¿2 1 dx 2 y- * dx 3 08 8 *. a ) - dx dy a :»+ 3 * 0 * dy 2. dz 2y"z dx dy dz x — y x+y i r = x + y - dx dy dz y — z z— X x — y dt c) dz |» i 7 = y + z' 3 083. destacar la cu rva in tegra l que pasa p o r e l p u n to (1 ; 1; — 2). dz — = x + y + z. j ¿ + 2 y f 2 = aena:, 3084. dz 4r/— 2 z = c o s : c . I Hx í 3085. 3089. dz , 2 d í * i s r » = m*- + -¡y + iz = ix , dz l ÍÜ 4 -Z -1 ¿x - I - * - 1' y — 2 — 07, dx d 2y 2*/ - h 4 z = * \ 3 090. z/ — 0, 2 = 0 para a; = 0. I — y — 3z = — a;. 3091**. U n p r o y e c t il s a le del c a ñ ó n con una v e lo c id a d i n i c i a l v 0, form a n d o u n á n g u lo a c o n el h o riz o n te . H a l l a r la e c u a c i ó n del m o v im ie n to de esto p r o y e c t il, tom a n do la resistencia d e l aire pro p o r cio n a l a la v e lo c id a d . 3 09 2 *. U n p u n to m aterial M es a tr a íd o por u n cen tro O c o n una fuerza p r o p o r c io n a l a la distan cia q u e los separa. E l m o v im ie n t o c o m ie n za en oí p u n to A , a la d ista n cia a d el cen tro, con u n a v e lo c id a d i n i c i a l i;0, p erpen dicu la r al segm ento O A . H a l l a r la tra y e cto ria d ol p u n to M . § 16, Integración de ecuaciones d if e r e n c ia l e s m e d ia n t e s e rie s de p o te n c i a s Si no es posible integrar una ecuación diferencial valiéndose de fun ciones elementales, su solución puedo buscarse en ciertos casos en forma de serie de potencias co y— 2 n —0 e'» ( * —*o)". www.FreeLibros.me (*> In teg ra ción de ecuaciones diferenciales mediante series de potencias 387 L o s c o e fic ie n t e s in determ inados (re = 0 , 1, 2, . . . ) se hallan p o n i é n d o l a serio ( i ) en la ecu ación e ig u a la n d o lo s co e ficie n te s que corresponden a p o te n cia s iguales dol b in o m i o x — x Q en a m b o s m iem b ros do la igualdad así obten id a. T a m b ién se puedo ba sca r la s o lu c ió n de la ecuación y ' = 1 ( x , y)\ donde y (* 0) = l/o* (2) en fo r m a de serie do T a y lo r !/(*) = 2 ^ 7 ^ ( * - * o ) n, n t0 n‘ (3) d o n d e i j { x 0)^ = yoj y ' (*o) = / (*o. Uo) 7 la s sigu ien tes derivadas y<n >( x 0) { n — 2 } 3, . . . ) so h a lla n sucesivam ente d eriva n do la ecuación (2) y su sti tu y e n d o x p o r ol núm ero xq. E j e m p l o 1. H a lla r la s o lu c ió n de la ecuación y" — x y = ? 0, Si y — yo, y ' ^ y ó para x = 0. S o l u c i ó n . P on em os y — co + c lx + . . . + cnxn + .. do donde, d erivan do, obtenem os: ^ = 2 . 1 ^ + 3 . 2 c 3* + . . . + n ( n - 4 ) C n ® " “ 2+ ( n + i ) n , n + lIn - i + + (w+ 2) (n + 1) r,1+22:n+ . . . P o n ie n d o y e y ” en la ecu ación dada, lle g a m o s a la identidad [2 - i c 2 + 3 - 2 c 3x + . . . + n (h — 1) cnx n^ + (n + 1) 7?cn+1x " ~ l + + (« + 2 ) (72 + 1 ) <?*+**"+..,] — * ( ^ + ^ * + . . . + ^ " + . . . 1 0. e R e u n ie n d o en o l p rim er m ie m b r o de la ig u a ld a d ob ten id a lo s térm inos quo tengan x co n ig u a l ex p on en te e ig u a la n d o a coro lo s co e ficie n te s que corres p o n d e n a e sto s ex p on en tes, tendrem os c2= 0 ; 3 -2 c3 — = 0, c3 = ^ ; 4 -3 c4— c 4 — 0 , = 5*4c5 — c2 = 0, i c2 l 5*4 ’ ülc- En general. £ i____________ co „ c*h ~ 2 3 ^ 5 * 6 - . . . - (3/c — 1) 3/c ’ í 3//+2==^ 3*4' 1 3 - 4 . f t . 7 - . . . -3* (3/c + l) (A? = l f 2, 3, . . . ) . P o r con sigu ien te, ( j3 *0 xsft 1 + ^ 3 + ? 3 3 ^ + *“ + 2 . 3 : 5^ . . . . . \ 3* + J+ + Cí i * + 3T4 + 3 ' 4 ^ . 7 + , **+ 3.4*6.7.....3A(3A' + l ) + , , V 1 don de r0 = y0 y W c1== í/ í;. 25* www.FreeLibros.me 388 Ecuaciones diferenciales U tiliz a n d o ol c r it e r io de d ’ A le m b e rt es fá cil com p ro b a r, q uo la serie (4) es con vorg cn te para — c o < a ; < - } - c o . Ejemplo 2. H a lla r la s o lu c ió n de la ecu ación y '= * x + y; Solución. y 0 — 1/ (0) = 1. P on em os, ¿l ó! 'Penemos, yo = 1, = 0 + 1 = 1. Derivando los dos miembros de la ecuación y 's m x + y , hallamos consecutivamente yv = l + y\ ySa" l + l = 2» y”’ = 'j\ Z/¿" = 2, etc. Por consiguiente, Para ol ojera pío quo examinamos, la solución encontrada se puede escribir en la forma definitiva y = l -\~x-\-2 (¿x— 1 — z) o bien, y = 2ex — 1 — x. Análogamente debe procederse cuando se trate de ecuaciones diferencia les de órdonos superiores. La investigación do la convergencia de las series obtenidas, en general, es complicada y no se considera obligatoria al resol ver los problemas do este parágrafo. H a lla r , v a lién d ose de serios de p o te n c ia s , la s s o lu c io n e s de las ecu acion es siguientes, c o n las c o n d ic io n e s in ic ia le s que se in d ica n . E n lo s N os. 3097, 3098, 3 0 9 9 y 3101 cia do las solu cion es que se o b te n g a n . in v e s tig a r la c o n v e r g e n 3093. y ' = y - \ - z 2; y = — 2 para x = 0. 3 094. y' = 2 y + x — i ; y = y o para x — l. 3 0 9 5 . y ’ = y 2-\-x3; y = 4r Para x = 0. 3 096. y ' — x ? — y t ; y = 0 para 2 = 0. 3 0 9 7 . ( í - x ) y ' — í - { - x — y ; y = 0 para 2 = 0. 309 8 *. x y " -\ -y = 0; y = 0 , y ' = 1 para 2 = 0. 3 0 9 9 . y ” -\-xy — 0 ; y = i , y ' = 0 3100*. para 2 = 0. y" = —■y' + y = 0; y = i , j/' = 0 para a: — 0. 3101*. y - + i - y ' + y = 0-, y = 1, y ' = 0 para x = 0. 3102. -}-2 eos ¿ - 0 ; x = a; ~ = 0 para t = 0. www.FreeLibros.me Problem as sobre el método de Fourier 389 § 17. P roblem as sobre el método de F o u rie r Para h a lla r Ja s o lu c ió n d o una ecu a ció n d ife r e n c ia l lin e a l homogénea, en d eriv a d a s p arciales, por e l m é to d o de Fourier, se buscan primeram ente las s o lu cio n e s pa rticu la res d e esta ecu a ción de tip o esp ecia l, cada una de las cu ales representa do por s í el p rod u cto de fu n cion es que dependen de un s o l o argum ento. En e l ca so m ás s im p le , se tiene un c o n ju n to in íiu it o do estas s o lu c io n e s un (n = l , 2, . . . ) , iin ea lm en te independientes para cualquier núm ero f i n i t o do e lla s y que sa tis fa ce n a las condiciones de contorno dadas. La s o lu c ió n u que se bu sca, se representa en form a de serie, do estas so lu cio n e s parciales: co (•) li= n=l (puedan p o r d e term in a r condiciones iniciales. los co e ficie n te s Cni que se h a lla n partiendo de las U O 1 2 Fig. 107 P r o b l e m a . E l d esp la za m ien to transversal u = * u ( x , t) de los puntos de una cu erd a, cuya a bscisa es x en el instante t, s a tis fa c o a la ecuación d*u d*u —— = a- (2 ) donde a 2 = - ^ - (7 o es la ten sión y p la densidad lin ea l de la cuerda). Hallar la form a que tendrá esta cuerda en un instante t , s i sus extrem os x = 0 y x = l están su je to s y en el instante in ic i a l f e = 0 , la cuerda tenía la forma de la p arábola u = x (l — x ) (fig . 107) y sus puntos tenían una velocidad ig u a l a cero. Solución. De acu erdo con las co n d icion es d e l problem a se pide hallar una s o lu c ió n u = u (x t t) de la e c u a c ió n ( 2), que satisfaga a las con d i cion es del con torn o: Ii(0 , 0 = 0 , U (l,i) = 0 (3) y a las c o n d ic io n e s iniciales: 4h w( í , 0) = ^ L x ( l - x ) y *;(Z , 0) = 0. w B uscanios las solu cion es, d is tin ta s de cero, de la ecu ación (2) do tipo o sp ecial u= X (x )T (t). www.FreeLibros.me 390 Ecuaciones diferenciales Pon ien do esta e x p resión en la e c u a c ió n (2) y separando la s variables, o b t e nemos: T” (t ) _ a*T(t) X a (x ) X(z) • Gomo las variables z y t son in d ep en d ien tes, la id e n tid a d (5 ) s o l o será posiblo en ol caso cn q uo el valor t o ta l do la. r e la c ió n (5) sea co n sta n te . Designando esta co n sta n te p o r m edio de - A,2, h a lla m o s dos ecuaciones diferen cia les ordinarias: + 0 y X ” ( x ) + W X ( * ) = 0. R e solv ien d o estas ecu acion es, obtenem os: T (t) = A e os a\t -\-B sen a\ t , X ( z ) = C e o s Xx + D sen kx> donde A , 23, Cy D , son constantes arbitrarias- De la s co n d icio n e s ( 3 ) te n e mos: X ( 0 ) = 0 y J£(¿) = 0, p o r con sig u ie n te, C = 0 y sen 0 (ya q u e D no puede ser igual a coro a l m ism o tie m p o que C). P o r e sto , , donde k es u n número entero. Es f á c i l com p robar, que n o s o piord o g e n e ralidad s i se tom a para k únicam ente lo s valores p o s itiv o s (fc = l , 2, 3, . . . ) . A cada v a lo r de le corresponde una s o lu c ió n p a rticu la r / ^ ícan . . n Aajr \ knx j i k = i Ak eos t + Bh s e n — — t 1 sen — -— , que satisface a las co n d icio n e s d e l co n to rn o (3). Formamos la serie oo / kant y A h eos — . n kant \ knx f Bft sen — — 1 sen — — , S *=1 cu yo suma, es evidente, que sa tisfa ce a la e cu a ción ( 2) y a las c o n d ic io n e s del con torn o (3). E lija m os las con stan tes A k y Bk de m o d o que la suma de la serio cum pla las co n d icio n e s in ic ia le s (4 ). Gomo oo du ^ kan ( Á. kant — = 2 j — l— [ ~ A k se n — . kant \ knx \~Dh e os — y— 1 sen - y — , l uponiondo 2 = 0, obtenem os: oo / a\ u (z ,(}) = , knx 2 j A k s o n —j - ¿ik .. x (l~ x) h=i iy oo du ( x y 0) — ■ v-i kan n knx , r se!l r = 0. Por con sigu ien te, para d eterm inar los c o e fic ie n t e s ¿4* y Bjt hay q uo desa- www.FreeLibros.me 391 Problem as sobre e l método d e F ou rier r ro lla r on s e r ie de Fou rier de ü (i, 0) sen os la fu n c ió n y la c .. du ( x , 0) A fu n ció n ------~ — - = 0 . dt De acuerdo co n las fó rm u la s ya c o n o cid a s (cap. V I I I , § A, 3o), tenem os: 2 f 4h h~ T \ x knx I T * ^ — *) 50,1 ~ ~ T , 3 2 /i ' si h o s im par, y >4/, = 0 , s i k o s par; l kan __ 2 f —— , A'Jiz , A 0- s en—j— ¿ x —0, A fí/i — 0. o La s o l u c i ó n buscada sorá: 32 h ^ c o s ( 2n + l ) ant v Z 2j n^ü 3 10 3 *. E n el instante (2— (2n + i ) m )* 96n--------- 1---------• in ic ia l ¿ = Ü , una cu erda, su jeta en sus e x tre m o s x = 0 y x = Z, ten ía la form a de la sinusoido u = A sen - ~ r - , s ie n d o la v e lo c id a d de sus pu n tos ig u a l a ce r o . H a lla r la form a de esta cu erda en e l instante t. 3 1 0 4 * . E n el instante i n i c i a l ¿ = 0, a lo s pu n tos de una cuerda r e c tilín e a 0 < x < l se Jes d io una v e lo c id a d d o — ~ = l . H a lla r la form a q u e tendrá esta cu erda en el instante Z, s i sus extreraps x = 0 y x = l están su jetos (véase el p ro b le m a 3103). 3 1 0 5 * . U na cu erda, c u y a lo n g i t u d e s Z = 1 0 0 c m , está sujeta por sus e x tr e m o s i = 0 y x ^ = l . E n el instante in ic ia l se tir a de e lla , c o g ié n d o la p o r el p u n to x = 5 Ó c m , y se separa de su p o s ició n n o rm a l h asta u n a d is ta n c ia /¿ = 2 c m y después se suelta sin e m p u ja rla . D eterm in a r la fo rm a de esta cu erd a en c u a lq u ie r instante t. 3 1 0 6 * . A l v ib r a r lo n g itu d in a lm e n te una v a r i lla recta, delgada y h om ogén ea , c u y o oje c o in c id e con el do O X , el desplazam iento de su sección transversal u = u ( x , t ), de abscisa x , en el instante satisface a la e cu a ció n d*u o d2u d t 2 ~ a " dx2 ’ J£ donde a 2 = — (E es el m ó d u lo de Y o u n g y p la densidad de la v a r i l l a ) . D e te rm in a r la s v ib r a c io n e s lo n g itu d in a le s de una v a rilla h o rizo n ta l e lá s tica , c u y a lo n g itu d es ¿ = 100 c m , que, estando su je ta por u n o de sus e x tre m o s , a: = 0, y estirándose por el o tr o x = 1 0 0 , una lo n g itu d A / = l c m , se suelta después sin em pujarla. www.FreeLibros.me 392 Ecuaciones diferenciales 3 Í 0 7 . P a ra la v a r i ll a recta h om ogén ea , c u y o ejo c o in c id e con el do O X y la tem peratura u = u (x > t) de su s e c c ió n de a bscisa x , en u n instante cuando no e x isten fuentes do c a lo r , satisface a la ecu a ción de la co n d u ctiv id a d c a lo r íf ic a Ou lít n d*u a donde a es una constante. D eterm in ar la d is tr ib u c ió n de la tem peratura en una v a r illa de 100 c m de lo n g itu d , p a ra c u a lq u ie r instante t , si se con oco la d is tr ib u c ió n in ic ia l de aquélla u ( x , 0) s= 0,01a: (100 — x ). www.FreeLibros.me C a p ítu lo X C A LC U LO S APRO XIM ADO S §1. Operaciones con números aproximados i ° . E r r o r a b s o l u t o . E l error absoluto de un núm ero aproxim ado a, que su stitu y e a un núm ero e x a cto A, es el v a lo r absolu to de la d ife re n cia entre e llo s . E l núm ero A, que satisface a la desigualdad M —a|<A, (1) recibe el nom b re d e límite del error absoluto. El número exacto A se halla entre los lím ites a— A < A < a + A, o , más abreviadamente» A = a ± A. 2. E r r o r r e l a t i v o . Se entiende p o r error relativo do un número a p rox im ad o a, q ue su stitu y e a u n núm ero exacto . d { / l > G ) , la razón dol e rro r a b so lu to d e l núm ero a a l número exacto A. El número ó, que satis face a la desigualdad <2> se llam a límite del error relativo d e l núm ero a p rox im ad o a. Como p ráctica m ente co m o lím ite d o l erro r re la tiv o s e tom a co n frecuencia el n ú m e ro ó = — . a 3o. N ú m e r o d e c i f r a s il o c i m a l e s e x a c t a s . So dice que un núm ero a p ro x im a d o y p o s it iv o a , escrito en form a decim al tiene n cifras decimales exactas en sentido estricto, si el v a lo r absolu to d e l error de este \ número u o e x c e d e d e — de la unidad d e c im a l d e orden enésim o. En este ¿i caso, cuando r c > l , so puede tom ar co m o lím ite del error re la tiv o el núm ero 1 1 2Js V 10 ) donde k es la prim era c i f r a co n valor d o l núm ero a. R ecíprocam ente, s i 1 sabe q ue ó exactas en se / 1 \ n -i [ "iO ) se n tid o e stricto . nú m ero En particu lar, a tendrá n cifra s d e cim a le s el nú m ero a tendrá co n toda 1 / seguridad n cifra s exactas en sen tido e stricto , s i 1 \n vTo’ J ' S i el error absolu to do u n número a p rox im ad o a no excede de una unidad decim al d e l ú l t i m o o rd e n (c o m o ocu rre, p o r e j . , c o n lo s núm eros que resu l tan do las m e d icio n e s con ex actitu d hasta la unidad co rre s p on d ie n te ), se d ico quo todas las cifra s d e cim a le s de este núm ero aproxim ad o son exactas en sentido amplio. Cuando e l nú m ero a p rox im ad o tie n e más cifra s significativas, éste, si es e l resultado fin a l de cá lcu los, se redondea generalm ente de ta] www.FreeLibros.me Cálculos aproximados 394 forma, que todas las cifra s que se d e ja n sean exactas en sen tid o estricto o en sentido am plio. En lo su cesivo supondrem os que, al escrib ir lo s datos in icia les, todas las cifra s son exactas (siem pre que n o se advierta lo con trario) en sen tido estricto. En cu an to a lo s resultados de lo s cá lc u lo s in term edios, éstos podrán tener una o d os cifras de reserva. H a y que ad vertir, que lo s o jo m p lo s do este parágrafo, p o r regia general, representan de por s í lo s resultados fin ales d e cá lc u lo s y , p o r consiguiente, las respuestas se dan en números aproxim ad os quo sólo con tienen cifras decim ales exactas. 4o. S u m a y r o s t a d e n ú m e r o s a p r o x i ni a d o s. É l lím ite d e l error absolu to do la sum a a lgébrica de varios números, es ig u a l a la suma de lo s lím ites de lo s errores absolutos d e estos números. P or esto, para que en la suma de una cantidad reducida de nú m eros ap roxim ad os, cuyas cifras decim ales sean todas exactas, fig u ren sola m en te cifras exactas (p o r le m enos en sen tid o a m p lio ), h a y que igu a la r todos lo s sum andos, tom ando com o patrón a qu el que tonga m enos cifras d ecim ales, y^ d e ja r en cada uno de o lio s ,u n a cifra de reserva.^ L u ego, se sum arán los núm eros así ob ten id os, com o exactos, y se redondeará la u ltim a c ifr a d e la suma. Si se trata de sum ar números ap roxim ad os sin redon dear, hay q ue procoder a su redondeo, conservando en cada u n o de lo s sum andos una o dos cifra s do reserva, y lu ego regirse p o r la s reg la s a que nos hem os referido más arriba, reteniendo en la suma las c ilr a s do reserva correspondientes asta term inar las operaciones. E j e m p l o 1. 215,24 + 1 4 ,1 8 2 -{-2 1 ,4 = 215,2 ( 1 ) 1 4 , 1 (8) + 21,4 = 250,8. E l error re la tiv o de una suma do sum andos p o s itiv o s n o e x c e d o al m a y o r do lo s errores re la tiv o s do sumandos. E l error re la tiv o de una resta n o es fá cil de calcular. S ob ro todo, cuando se trata de h a lla r la d iferen cia entre d os números próx im os. E j e m p l o 2. A i restar lo s núm eros a p ro x im a d os 6,135 y 6,131, con cuatro cifras exactas, obtenem os una d ife re n cia de 0,004. El lím ite do su 0 ,0 0 1 + — 0,001 1 ------ó~004----------- = - j ' = 0 , 2 5 ; p o r c o n s ig u ie n e rro r re la tiv o es igual a ó te, n i una s o la de las c ifr a s d o la d iferen cia es cierta. P o r esta razón, deben evitarse, siem pre que e s t o sea p o s ib le , las restas do nú m eros apro xim a d os, p róx im os entro sí, transform ando, s i os p rociso, la expresión de que se trate de tal fo rm a , que desaparezca esta operación. 5o. M u l t i p l i c a c i ó n y d i v i s i ó n d e n ú m e r o s a p r o x i m a d o s . E l lím ite del error r e la t iv o del p rod u cto y co cio n te do núm eros aproxim ad os es igual a la su m a de lo s lím ites de lo s errores re la tiv o s de estos núm eros. P a rtien do de esto y a p lica n d o la regla s o b re ol núm ero d e c ifr a s exactas (3a), en la respuesta se conservará ú n icam en te un número determ inado de cifras. E j o m p i o 3. E l produ cto de lo s nú m eros a p ro x im a d o s 25,3-4,12 = = 104,230. S u p on ien do que todas las cifras de los factores sean exactas, o b te n d r e mos, quo el lím ite d o l error re la tiv o d o l p ro d u cto será 1 „ , 1 www.FreeLibros.me O peraciones con números aproximados m D e d o n d e , e l nú m ero do c ifr a s exactas d o l p ro d u cto sorá igual a tres y e l re s u lta d o, s i es d e f i n i t i v o , d eb erá e scrib irse así: 25,3-4,12 = 104, o más e x acta m en te, 2 5,3-4,12 = 104,2 di 0,3. C°. E l e v a c i ó n a p o t e n c i a s y e x t r a c c i ó n de r a í c e s d e n ú m e r o s a p r o x i m a d o s . El lím it e d e l e rror r e la t iv o d e la potencia e m é s im a de un nú m ero a p r o x im a d o a, es ig u a l al m ú lt ip l o m -s im o del l í m i t e d e l error de o s le núm ero. E l lím it e d e l e r r o r r e l a t iv o de la raíz m -s im a de u n nú m ero a p r o x i m a d o a, es ig u a l a —— p a rte m del lím ite del o rror r e la t iv o d o l nú m oro a. 7 o. C á l c u l o d e l e r r o r r e s u l t a n t e d e d i v e r s a s o p e r a ciones con números a p r o x i m a d o s , Si Aai%. . . yAan so n los lím it e s de lo s errores a b so lu to s de lo s nú m eros a p ro x im a d o s at , . an , e l lím it e d e l e rro r a b s o lu to AS d e l r e s u lta d o S = f (°i> ••■> fin) s o p u ede v a lo r a r ap rox im ad am en te p o r la fórm u la AS dt da. J L dan A an . En este caso, el lim it o d e l e r r o r r e la t iv o S será ig u a l a AS’- AS Kl df Oa. A a, ‘ I/ j di dan Aan T7T = d in / din i da. dan A an' E j e m p l o 4. C a lcu la r S = ln (10,3 + "1/4 ,4 ); lo s n ú m e ro s a p rox im a d o s 10,3 y 4,4 tienen tod as las c i f r a s exactas. S o l u c i ó n . C a lcu la m os p rim era m e n te e l lim ite del error a b so lu to AS — 1 / 1 Ab \ « n su fo r m a g e n era l: S « l n (a + ~\/b ), AS = —^ —7= .y Aa + y " j /Í T /* T en em os A a = A ¿ ^ s y p = 2,0976 d e ja m o s 2,1, ya q ue ol error re la tiv o 1 1 d e l n ú m e ro a p r o x im a d o V 4 , 4 es ig u a l a « s y ‘ “Jq’ — “§ 0“ í o l e rror a b so lu to será en ton ces ^ 2 - - ¿ r = -jtt ; es decir, de las décim as se puedo ostar seguro. 80 40 P o r co n s ig u ie n te , a ‘? = T o , 3 + 2 T ( ¿ + T '2 t o ) = 1 2 ^ ( 1 + ¿ ) = « ^ 0 '005- L o que s ig n ific a q ue las centésim as son exactas. A h o ra p ro ce d e m o s al c á lc u lo con una cifra de reserva: l g ( 1 0 , 3 + V + 4 ) ** Ig 1 2 ,4 = 1,093; O bten em os la respuesta: 2,52. 8o. D e t e r m i n a c i ó n de ln (10,3 + 1 ; M ) ^ 1,093-2,303 = 2,517. lo s errores www.FreeLibros.me tolerables on los 396 Cálculos aproximados A p lic a n d o las fórm u las d e l punto 7, cuando se dan lo s v a lores de A S ? do y considerando ig u a le s entre s í todas las d iferen cia les p a rcia les Ó/ A dak o las ca n tid a d e s 1 ^ ^ ah ca lcu la m o s lo s errores a b s o lu t o s . 0ak J | tolera >les Aaif . . . , A ( L n > . . . do lo s números a p ro x im a d o s ait . . ant . . . que intervienen en las o p era cion es {principio de la igualdad de influencias). D eb e advertirse, quo en ciertas oca sion e s n o os con ven ien te e m p lea r oi p rin cip io de la igualdad d e in flu en cia s en el c á lc u lo do lo s errores t o le rables de lo s argum entos do las fun cion es, y a q ue ésto puede presentar e x ig e n cia s prácticam ente im p o s ib le s de satisfacer. En estos casos se reco m ienda red istrib u ir lo s errores d e la fo rm a más ra cion a l, si e l l o es p o s ib le , de m odo q ue ol e rro r t o ta l n o exceda Ja cantidad dada. E s decir, el p ro blem a así planteado, p ro p ia m e n te h a b la n d o, es indeterm inado. E j e m p l o o . El v olu m e n de la «cu ñ a c ilin d r ic a » , es decir, d e l c u e rp o truncado d e l c ilin d r o c ir c u la r p o r un p la n o , q ue pasando p o r e l d iám etro de la base, igual a 2 R y fo rm a con e ll a u n á n g u lo a , se c a lc u la p o r la f ó r 2 • muía F — ¿Con qué p recisión deberán m ed irse el r a d io /? 60 cm y el á n g u lo do in clin a ción a , para que el volum en pueda con ocerso co n una ex actitu d hasta de 1% ? de la cuña c ilin d r ic a S o l u c i ó n . Si A F , A R y A a so n lo s lím ite s do lo s errores a b s o lu t o s do las m agnitu des F, R y a, el lím ite d e l error r e la t iv o del v o lu m e n F que se c a lc u la será 3Ai? . 2Aa . i X + sen 2a 'v' 100 ‘ S uponem os y ¿ » e donde D ^ R 60 cm ^ 600 600j “ . . sen 2a A a < ~ 400 lnm; „ i . flf ---4 0 0 de radlan * * 9 1 ü c esta form a, asegurarem os la e x a ctitu d del 1% q ue se nos e x ig ía , si m edim os el ra d io co n una p recisión hasta de 1 m m y el á n g u lo do i n c l i nación a, con p recisió n hasta do 9 \ 3108. C om o resu ltad o de m ed icio n es se h an obtenido lo s s i guientes núm eros a p ro x im a d os, c o n toda s las c if r a s e scrita s e x a cta s en sen tid o am plio: a) 12Q0 7 / 14/f; b) 3 8,5 cm ; c) 6 3 ,2 1 5 kg. C a lcu la r sus errores absolu tos y relativos. 3109. C a lcu la r lo s errores a b so lu to s y re la tiv o s de los núm e ros a p roxim a dos, con todas las c ifr a s escritas e x a cta s en sen tid o A pf r i f 11 n * a) 2 4 1 ,7 ; b) 0 ,0 3 5 ; c) 3 ,1 4 . 3110. D eterm in ar el n ú m ero de c if r a s e x a cta s * ) y e s c r ib ir e n la form a que correspon de lo s núm eros aproxim ados siguientes: *) Las cifra s exactas se entienden en s e n tid o estricto. www.FreeLibros.me Operaciones con números aproximados 397 a) 4 8 ,3 6 1 c o n p r e c is ió n de u n 1%; b ) 1 4 ,9 3 6 0 c o n p r e c is ió n de un 1%; c ) 5 9 2 ,8 c o n p r e c i s i ó n de u n 2%. 3 1 1 1 . S u m ar lo s sigu ien tes núm eros a p ro x im a d o s, con todas las c if r a s e s c rita s e x a cta s: a )2 5 ,3 8 6 + 0 ,4 9 + 3 ,1 0 + 0,5; b) 1 , 2 - 102 + 4 1 , 7 2 + 0 ,0 9 ; c ) 3 8,1 + 2 ,0 + 3 ,1 2 4 . 3 1 1 2 . E fe c tu a r la resta de lo s sig u ie n te s núm eros aproxim ados, c o n toda s la s c if r a s e scrita s exactas: a) 1 4 8 ,1 — 6 3 ,8 7 1 ; b) 2 9 , 7 2 - 1 1 , 2 5 ; c ) 3 4 , 2 2 - 3 4 , 2 1 . 3 11 3 *. C a lc u la r la d ife re n cia en tre la s áreas de dos cuadrados, c u y o s la d o s , según las m ed icio n es, son ig u a le s a1 5 ,2 8 cm y 1 5 ,2 2 c m (c o n e x a c titu d h asta de 0 ,0 5 m m ). 3 1 1 4 . C a lc u la r el p r o d u cto de lo s sigu ien tes núm eros a p r o x i m a d os, c o n toda s las c ifr a s escrita s ex a cta s: a) 3 , 4 9 - 8 , 6 ; b) 2 5 ,1 - 1 ,7 4 3 ; c ) 0 ,0 2 - 1 6 ,5 . In d ica r lo s lím ite s p r o b a b le s de lo s resu ltad os. 3 1 1 5 . L o s lados de u n r e c tá n g u lo so n igu a les a 4 ,0 2 m y 4 ,9 6 m (co n p r e c is ió n hasta de 1 c m ). C a lc u la r el área de este r e c tá n g u lo . 3 1 1 6 . C a lc u la r el c o c ie n t e de lo s núm eros a p rox im a d os sig u ien tes, c u y a s c if r a s e scrita s son toda s exactas: a ) 5 ,6 8 4 : 5 ,0 3 2 ; b) 0 ,1 4 4 : 1 ,2 ; c ) 2 1 6 : 4 . 3 1 1 7 . L o s ca te to s de un t r iá n g u lo re c tá n g u lo son igu a les a 1 2 ,1 0 c m y 2 5 ,2 1 c m (con p r e c is ió n hasta 0 ,01 c m ). C a lcu la r la ta n g e n te del á n g u lo op u esto al prim er cateto. 3 1 1 8 . C a lc u la r la s p o te n cia s q u e se in d ica n de lo s siguientes n ú m eros a p ro x im a d o s (la s bases do la s p o te n c ia s son ex actas en to d a s las c if r a s e scrita s): a) 0 ,4 1 5 8 2; b) 6 5 ,2 3; c ) 1 ,5 2. 3 1 1 9 . E l la d o de u n cu a d r a d o es ig u a l a 4 5 ,3 c m (con p r e c i s ió n b a s ta 1 m m ). H a l l a r el área de d ic h o cuadrado. 3 1 2 0 . C a lc u la r el v a lo r de la s sig u ie n te s ra íces (los números su b ra d ica le s so n e x a c to s en to d a s las c if r a s escritas): a) Y 2 ,7 1 5 ; b ) f ' 6 5 ^ ; c ) ^ 8 1,1. 3 1 2 1 . L os ra d io s de la s bases y la g e n era triz de un con o t r u n c a d o son ig u a le s re s p e ctiv a m e n te a R = 2 3 ,6 4 c m + 0 ,01 cm ; /• = 1 7 ,3 1 ± 0 ,0 1 c m y / = 10,21 c m ± 0 0 , l cm ; el núm ero n = 3,14. C a lc u la r , según estos d a to s, la s u p e r fic ie t o t a l de este c o n o tr u n c a d o . A c o t a r lo s e rrore s, a b s o lu to y r e la t iv o , del resu ltad o. 3 1 2 2 . La h ipoten u sa de u n tr iá n g u lo re c tá n g u lo es igual a 1 5 ,4 c m ± 0 ,1 c m ; u n o de los ca te to s es ig u a l a 6 ,8 c m ± 0 , 1 cm . cC on q u é e x a c titu d so pueden c a lc u la r , c o n estos da tos, el otro c a t e t o y el á n g u lo a g u d o a d y a c e n te a é l? H a l l a r sus valores. www.FreeLibros.me 398 Cálculos aproximados 3123. C a lc u la r el peso e sp e cífic o d e l a lu m in io , si un c ilin d r o do d ic h o m eta l, de 2 c m de d iá m etro y 11 c m de a ltu ra , pesa 9 3 ,4 g. E l e rro r r e la t iv o de la s m e d icion e s lin eales es ig u a l a 0 ,01 y el de la d e te rm in a ción del peso, 0 ,0 0 1 . 3 124. C a lcu la r la in ten sida d de Ja corrie n te , si la fuerza e le ctro m otriz es ig u a l a 221 v o lt io s -£ 1 v o l t io y la re siste n cia , 809 o h m io s ± 1 oh m io . 3125. E l p erío d o de o s c i l a c ió n de un p é n d u lo de lo n g itu d l es igual a T =,2 n / X , donde g es la a ce le ra ció n do la gravedad. ¿Con q u é p r e c is ió n debe m edirse la lo n g itu d de un p é n d u lo , c u y o p eríod o de o s c ila c ió n es, a p roxim adam en te, de 2 seg, para co n o ce r este p e ríod o de o s c i l a c i ó n c o n un error r e la t iv o d e l 0 ,5 % ? ¿Con q u é e x a c titu d deben tom arse lo s v a lo r e s de n y de g? 3126. S e n ecesita m edir, c o n una p re cisió n d e l 1%, el área do la s u p e rficie la te ra l de un co n o tru n ca d o, lo s ra d io s de cu y a s bases tienen respectivam ente 2 m y 1 m y la g en eratriz 5 m (aproxim adam en te). ¿Con q u é p r e c is ió n se deben m e d ir lo s r a d io s y la g en eratriz y c o n c u á n ta s c ifr a s debe tom a rse el n ú m ero tí? 3127. P ara d eterm in ar el m ó d u lo de Y o u n g por la f le x ió n de una v a r illa de s e c c ió n re c ta n g u la r se em plea la fó rm u la donde l es la lo n g itu d de la v a r i ll a ; b y d, la base y la a ltu ra de la s e cció n tra n sv o rsa l de la m ism a ; s, la sagita de f le x i ó n y P f la c a r g a . ¿Con q u é p r e c is ió n deberán m edirse la lo n g itu d l y la sagita 5, para q u e el e rro r de E n o ex ced a d e l 5 ,5 % , c o n la c o n d ic ió n de que P se c o n o c e c o n u n a p r e c i s i ó n hasta e l 0 ,1 % y la s m agnitudes d y b con p re cisió n hasta el 1%; l 50 c m y s & 2 ,5 cm ? § 2 In te r p o la c ió n de fu ncio n es I o. F ó r m u l a d e i n t e r p o l a c i ó n d e N c w t o n. Sean x Qy x t , . . . . . . . x * lo s v a lo re s tab u la res d e ! a rg u m en to, cu y a s d iferen cia s, /í = A x í(A x ¿ = = z ¿+l — Xi\ i = 0 , 1, . . . / » — 4), so n con sta n tes (intervalo de la tabla) o Vo> Pi< •••>&»» lo s co rre s p o n d ie n te s v a lo re s d e la fu n ción y. En este caso, el v a lo r de la fu n ción y f para un v a l o r in te r m e d io d e l a rg u m e n to x t se da, aproxim adam ente, p o r la fórmula de interpolación de N e w ton : , - „ + , . A „ , + i ü j j = l ! ^ . + . . . + l l ' - l l - ; |* — + Ü a - i, „ d on de ? = y \ y ü = y x— y 0, A 2y 0 = ¿ V i — &Vo ■•■ so n las su cesivas www.FreeLibros.me ni d ife - In terp ola ción de junciones r e n d a s f in it a s do la fu n ción y . Para x — (¿ = 0, ©i p o l in o m io (1) tom a io s v a lo r e s co rre s p o n d ie n te s de la tabla y t ( í = O y i C om o casos p a rticu la re s de la fórm u la d e New ton se ob tien en ; para n = i , la interpolación linea l y para n = 2, la interpolación cuadrática. Para fa c ilita r o l u s o de la fórm u la de N ew ton , se recom ien d a fo rm a r previam ente las tab la s de las d ife re n cia s fin ita s. S i y = f ( x ) es un p o l in o m io de « - s i m o grado, A ny i — co n s t y An+i{/¿ = 0 y , p o r co n s ig u ie n te , la fó r m u la ( 1) os ex acta . E n el c a s o g e n era l, s i f ( x ) tiono una d eriva d a con tin u a /<n+1>(.z) sogm ento [a , b ], que c o n tie n o io s pu n tos x 0l x {, . . * , x n y x , e l error ó r m u la ( 1) será ig u a l a en el de la n „ , , X i <7 < 9 — í + 1) R n ( x ) ^ = y — 2 j ----------------- "j----------------- A *¿/0 = i= 0 (2) d o n d e £ es v a lo r in te r m e d io determ in a do entre a : ¿ ( í = 0 , 1, E n la p ráctica se u t iliz a una fórm u la a p ro x im a d a más c ó m o d a ; n) y x. Si se puedo to m a r c u a lq u ie r núm ero n y éste deberá e le g ir s e de tal form a , quo la d ife re n cia Aw+tyo s e a » w 0 d on tro de io s lí m i t e s de ex actitu d dada. E n o tra s palabras, las d iferen cia s A n¡/o deben ser constantes en lo s órdenes d e c im a le s que se dan. E ) e m p l o 1. H a lla r el sen 26°15/ , v a lién d o se de lo s datos que dan las tablas; se n 26° = 0,43837, se n 27° = 0,45399 y son 28° = 0,40947. S o l u c i ó n . F orm a m os la tabla , . Aquí, ¿ = 6 0 , i *i y¿ 0 i 2 26° 27° 28° 0,43837 0,45399 0,46947 26*15' - 2 6 ° 1 q - A p lic a n d o la la t a b la , tenemos fórm u la son 26*15' = 0 ,4 3 8 3 7 + - j - (l) y A 2y t 1562 1548 — 14 • u t iliz a n d o 0,01562 + la primera línea h o rizo n ta l de 4 www.FreeLibros.me - - ( - 0 , 0 0 0 1 4 ) = 0 ,4 4 2 2 9 . Cálculos aproximados 400 Acotamos el error R<¿. Aplicando la fórmula (2) y teniendo en cuenta que |y(T1>| «< l, si y = seax, tenemos: , 4 (4 0 ( 4 3! 2 ) / n \* 7 1 _ 1 \ 1 8 0 ) _ 128' 5 7 ,3 3 " - - - 4 -10 . E s decir, que todas las cifra s dadas para el sen 26*15' so n exactas. V alién dose de la fó rm u la de New to n tam bién se puede h a lla r el valor correspondiente del a rg u m en to x p a rtie n d o do un v a lo r in term ed io dado de la fu n ció n y ( i n t e r p o l a c i ó n i n v e r s a ). Para e sto , prim eram ente, se d e te r mina el corresp on d ie n te v a lo r de <7, p o r el m é to d o de las aprox im acion es sucesivas, su pon iendo: &yo y —1 £<1+1)— ^<0) — 2! A2^0 A{/o $<*>(*<*> — 1) . . . (q{i>— n + i ) Ani/ 0 *■ M A í/o (¿ = 0, 4, 2,...) P o r <7 se tom a e l v a lo r com ú n (¡c o n la e x a ctitu d d a d a !) do d os cio n e s su cesiva s q<vl>=zq<m + 1>. De don de, x = x 0+ g « ¿ . a p roxim a E j e m p l o 2. V a lién d o se do la ta b la ca lc u la r a p rox im a d a m en te la raíz de la ecuación sh x = 5. Solución. X y — shx Ay A2y 2,2 2 ,4 2 ,6 4,457 5,466 6,695 1,009 1,229 0,220 T o m a n d o y0 = 4,457, tenem os: — 0.538 + 0,027 = 0,505; q<a> — 0 , 5 3 8 ° - 565^0 ’ 435 0 ,5 3 8 + 0 ,0 2 7 = 0,565. Do osta forma, se puede tomar x = 2 , 2 + 0,565-0,2 = 2 , 2 + 0,113 = 2,313. 2°. F ó r m u l a d e i n t e r p o l a c i ó n d e L a g r a n g o . En el caso general, el p o lin o m io do e n ésim o g ra d o, que para x = x ¿ to m a lo s valores dados de V i ( i = 0, 1, . . . , r c ) , v ien e d a d o por la fó r m u la d e i n t e r p o l a c i ó n de www.FreeLibros.me In terp olación de junciones 401 Lagrange _ ( x - x {) [ x — x 2) . . . ( x — x n) (^0 — * 1) (^0 ( * + *p) x ¿‘ )' • *(^0 — x n) 0 (x l — x o ) ( x l ' ~ X - ¿ ) - - ( x i — *n) 1 pe — jtq) ( s + a q ) , . . ^ — Xh-i) ( x — Xk+i ) . . . ( g — a;n) r , (**— *o) <ar*—ajj)-. .(** — */,-i) (* — **+1). ..(* * — *„) y / i i " (* — *o) (a — J j ) . .. (j — a ^ ) <**“ *o) (xn~~x \)- ••(xn — ^n-l) *' 3 1 2 8 . Dada la ta bla de v a lores do x e y: X i 2 3 4 5 6 y 3 10 15 12 9 5 F orm ar la ta b la do la s d ife ren cia s fin ita s de la fu n ción y. 3129. F orm ar la ta bla de las d ife ren cia s de la fu n c ió n y = x* — — 5 x * - { - x — 1, para lo s v a lo r e s de x = í , 3, 5 , 7, 9 y 11. C ercio rarse de q u o toda s la s d ife re n cia s fin ita s de 3° orden son iguales e n tro sí. 3 13 0 *. V a lié n d o s e do la con stan cia de las d iferen cia s de 4o ord en , fo rm a r la ta bla de las d ifere n cia s de la fu n c ió n y = x4 — — 10x3 + 2 x 2 - f 3a:, p a ra lo s va loros en teros de x com pren didos en el in te r v a lo 1 < x < 10. 3131. Dada la tabla l g 1 = 0 ,0 0 0 , lg 2 = 0,301, l g 3 = 0 ,4 7 7 , lg 4 = 0 ,6 0 2 , l g 5 = 0,699, c a lc u la r , v a lién d ose de la in te r p o la c ió n lin e a l, los núm eros: lg 1,7; lg 2 ,5 ; lg 3 ,1 y l g 4 , 6 . 3 1 3 2 . D ada la ta bla son 10= = 0 ,1 7 3 6 , son 13° = 0 ,22 5 0, sen 11° = 0 ,1 9 0 8 , sen 1 4° = 0 ,24 1 9, sen 12° = 0 ,2 0 7 9 , sen 15° = 0 ,2 5 8 8 , c o m p le ta r la , c a lc u la n d o para e llo , p o r la fó r m u la do (para n = 2 ), lo s v a lores de los sonos cada m ed io grado. 2 6 -1 0 1 6 www.FreeLibros.me N ew ton Cálculos aproximados 402 3133. Form ar el p olin o m io de in terp o la ción de N ew ton para la función dada por la tabla X 0 i 2 3 4 y i 4 15 40 85 3134*. Form ar el p o lin o m io de in terp ola ción de N ew ton para la fu n ción dada por la tabla X 2 4 6 8 10 y 3 11 27 50 83 H a lla r y para x = 5 ,5 . ¿Para q u é x será y = 20? 3135. Una fun ción está dada por la tabla X -2 1 2 4 y 25 - 8 -1 5 -2 3 Form ar el p olin o m io de in te rp o la ció n do Lagrange y h alla r ol v a lo r de y para x = 0 . 3 136. E m píricam ente se han determ inado las m agnitudos de la co n tra cció n do un resorte (x mm) en dependencia de las cargas ( P k g ) que actáan sobre él: X 5 10 15 20 25 30 35 40 P 49 105 172 253 352 473 619 793 H alla r la carga quo produzca una co n tra cció n do 14 m m del resorte. 3137. Dada la tabla do las m agnitudes x e y X 0 i 3 4 5 y i - 3 25 129 381 ca lcu la r ol v a lor do y para a; = 0 ,5 y x — 2: a) valiéndose de la in terp o la ción lin eal; b) por la fó rm u la de Lagrange. www.FreeLibros.me C álculo de las raíces reales de las funciones 403 § 3. Cálculo de la s ra íc e s re a le s de la s ecuaciones 1 Determinación de l a s a p r o x i m a c i o n e s iniciales de las raíces. La determ inación aproxim ada de las raíces do una ecu ación dada /(* )« 0 ( 1) so d iv id e en dos etapas: 1) la separación de las raíces, es decir, la deter m in a c ió n de lo s in tervalos, lo más estrechos posib les, entro lo s que está com prendida una y s ó lo una raíz do la ecu ación (1); 2) ol cálculo de las raíces c o n ol grado de ex actitu d p refija d o. S i la fu n ció n f (x ) está doterminada y es continua en ol segmento \a, b] y f ( a ) ' f (b) < 0, en este segm ento [a, b] habrá por lo menos una raíz g de la ecu ación (1). Esta raíz será indudablem ente única, s i / ' { x ) > 6 O / ' ( x ) < 0 para a < x < b. Para h a lla r a proxim ad am ente la raíz | se recomienda con struir la g rá fica de la fu n ció n y = f ( x ) en papel in iíim etra d o. Las abscisas de los puntos de in tersección de la g rá fica co n el ojo O X serán las raíces de la e cu a ción f { x ) = 0. A veces, os más cóm o d o su stitu ir esta ecuación por su e q u iv a le n te <p(x) = i]}(x). E n ton ces las ra íces do ln e cu a ció n se hallan c o m o a b scisa s ae lo s pu n tos de in tersección do las g rá fica s y — 9 (2) e y = i))(x ). 2o. R e g l a de las partes proporcionales (método do1 l a s c u e r d a s ) . Si cn e l segm ento \a, b] se encuentra una raíz única 5 de la ecuación / ( x ) = 0 , d on de la fu n ció n / ( x) es con tinu a en d ich o seg m en to [a, fc], a l s u s t it u ir la curva y = / ( x ) p o r la cuerda que uno los puntos (<*'. / ( « )) y (&í / (&))* Obtenemos la prim era a p rox im a ción de la raíz <2> Para o b te n e r la segunda a p ro x im a ció n c2, a p lica m o s la fórm ula (2) a aquél do lo s segm entos [a, c x\ o |r., />1 en cu y o s ex trem os ln íu n óión / (x ) tonga v a lores de sign os con tra rios. De la m ism a form a se construyen las siguientes a p ro x im a c io n e s . La su ce sió n do los núm eros cn ( y — 1, 2 , . . . ) converge h acia ia raíz £, es d ecir lim ** = 5. ■n-voo El c á l c u l o do las aprox im acion es c x. c2, . . . , p o r lo g en e ra l, do be con tin u arse hasta quo cosen de variar las cifra s d e cim a le s quo se conservan en la respuesta (jd o acuerdo con el grado d e exactitud d ado!). Pora las o p e ra cio nes in term ed ias debon tom arse una o d os cifras de reserva. Esta in d ic a c ió n tie n e ca rá cter general. Si la fu n ció n / (x ) tie n e una derivada / ' (x) co n tin u a y d iferen te do cero on el s e g m e n to [a , 6], para acotar el error absolu to de la raíz aproxi mada c n, s o puede em p lea r la fórm u la donde (1= 3o. M é t o d o de rain I f ( x ) | . < it£ X S i b Kowton ( do y / ' ( * > ¥ * 0 para a < x < 6, sien do las tangentes). Si /' (x) =£ 0 f { a ) j ( b ) < 0 , / ( a ) / * » > 0 , las apro- 20* www.FreeLibros.me 404 C álculos aproximados x im a cio n e s sucesivas x n (n = 0 , 1, 2 , . . . ) de la raíz § de la e c u a c ió n / (x) = 0, s e ca lcu la n p o r ¿as fórm u las =* a , x n = x n - i “ “ (t í * (rc = l , 2, (3) Cuando se cu m p len estas su p o sicio n e s, la su cesió n x n (n = 1, 2, . . . ) m onótona, y es lim ¿ * = 1. TO-> CV Para acotar los errores se puede u t iliz a r la fórm u la u don de p = m in |/ ' (^) |. En. la p ractica resulta m ás có m o d o e l e m p le o de fó r m u la s m enos c o m plicadas x 0 = a, = — a / ( : r n_|) ( » = 1, 2, . . . ) , d o n d e a — -p -^ y , quo d a n , aprox im ad am en te, la m ism a (3 ') e x a c titu d q ue la fórm u la (3). S i I (b) / " (b ) > 0 , en las fórm u la s (3) y (3 ') deberá su p on erse ar0 = ó. 4°. M é l o d o d e i t e r a c i ó n . S upongam os que la e c u a c ió n dada se ha reducido a la forma * = <p(*)> (4) don do |<p' (x) I r < 1 ( r e s una con stan te) para a ^ x ^ b . P a rtien do del v a lo r in ic ia l ao x0, p e rten e cie n te a l s e g m e n to |tf, ó], fo r m a m o s la su cesión d e lo s nú m eros x lt x>¿> . . . según la s ig u ie n te le y : *1 = 9 (20)» Si = *2 = 9 ( 21)» x n = y ( x n_ í), . . . (5) 2, . . . ) , e l lím ite | = Í im z n 7W-CO será la ú n i c a r a í z do la e c u a c ió n (4) en el seg m en to [a, &], es d e cir, x n s o n las aproximaciones sucesivas do la raíz !*. La acotación d o l error a b s o lu t o de la enésim a a p r o x im a c ió n de x n la da la fórm u la u —* « k P o r e sto , s i x n y i —r c o in c id e n co n uua e x a c titu d hasta e , el error a b s o lu to do x n será ^ lím it e del - Para transform ar la ecu ación /(a :) = 0 a la fo rm a (4) so s u s t it u y e esta ú ltim a p o r la ecuación eq uivalente z —z — d on de el núm ero X (¿r), 0 so e lig e de ta l fo rm a , que la fu n ció n —^ /(* )1 = _ sea pequeña on v a lo r a b s o lu to on las p rox im id a d e s d o l p u n to Xq (p o r e j . , se puede, suponer q ue 1 — X / ' (x0) = 0). www.FreeLibros.me C álculo de las raíces reales de las funciones 405 E j e m p l o 1. R ed u cir la ecu a ció n 2 x — l n x — 4 = 0 a la form a (4 ), si la a p ro x im a c ió n in ic ia l de la raíz :r0 =?2,5. Solución. Aquí / ( x ) = 2 x — ln x — 4; f ' ( a :) = 2 — — .E scrib im os la x e cu a ción eq uivalente x — x — k ( 2 x — ln j — 4) y en c a lid a d de u n o do los v a lores con ven ien tes do k to m a m o s 0,5, nú m ero p r ó x im o a la raíz de la ecu a ció n 1— k í 2 — — ) V x ) |x=,2.5 = 0 , es decir, a 1,0 ^ 0 ,6. La ecu a ció n in ic ia l se reduce a la form a x = x — 0 ,5^ 22; — ln £ — 4) o bion, x^2 + ± U x . E j e m p l o 2. C a lcular con e x a ctitu d c i ó n precedente, com p re n d id a entre 2 y 3. basta 0,01 la raíz g do la ecu a C á l c u l o do la r a í z p o r el m é t o d o d e i t e r a c i ó n . A pro v echam os el resu lta d o del e je m p lo 1, su p on ien d o ar0 = 2,5. El c á lc u lo lo r e a liz a m o s según la s fó rm u la s (5 ), co n una c ifr a de reserva. xt= 2 ln 2,5 =« 2,458, xz= 2 + ~ ln 2,458 ís, 2,450, * 3= 2 - ¡ - - i ln 2,450 2,448, xí = 2 - 1 - 4 - ln 2,448 «=> 2,448. Es d e cir, g ^ 2 , 4 5 (e l proceso de a p rox im a cio n e s u lte riores puede darse por term in a d o, ya que la tercera c iír a d ecim a l (la s m ilésim a s) s o han fija d o ). P ro ced em os a a cotar el error. Aquí 1 1 q>(:r) = 2 - t - y ln x y y ' ( z ) = ^ . C o n sid era n d o q uo to d a s las a p ro x im a c io n e s x n se encuentran on el segm ento [2,4; 2,5], ob ten em os r — m a x ] q;' ( i ) |= 0,21. P o r co n sig u ie n te , el lím ite del e rro r a b s o lu to do la a p rox im a ción x 3, do acuerdo con la ob se rv a ción hecha anteriorm ente, es IA = ■0 , y ? M = 0,00i 2 « s 0,001. 1 — 0,21 Do esta fo rm a , la raíz exacta £ de la e c u a c ió n se encuentra entre lo s lím ites 2,447 < l < 2,449; puede tom arse £ ^ 2 , 4 5 , y to d a s serán exactas en s e n tid o e stricto . las cifra s d o esto www.FreeLibros.me núm oro aproxim ado 406 Cálculos aproxim ados Cálculo do !a raíz por f(x) = 2 x - I n * - 4 , ol método /'< * ) = 2 - i - , do N e w ton . Aquí /'( * ) = ¿ . En e l segmento 2 < s < 3 tenem os: / ' (x) > 0 y /• (x ) > 0; / (2) / (3) < 0 y / ( 3 ) / " ( 3 ) > 0 . P o r consiguiente, las c o n d ic io n e s del apartado 3o, para x 0«^3, se cumplen. T om am os Hacemos lo s c á lc u lo s por la fórm u la ( 3 ') , co n dos cifras do reserva x¡ = 3 -—0 ,6 (2 ■3 — ln 3 — § = 2,4592; x 2 = 2,4592 - 0,G (2 •2,4592 - l a 2,4592 - 4) - 2 ,4 4 8 í; *3 = 2,448i - 0 , ( 5 (2 ■2,4481 - ln 2,4481 - 4 } = 2,4477; x/, = 2,4477 — 0,0 ( 2 - 2 , 4 4 7 7 - ln 2,4477 — 4) = 2,4475. En esta etapa suspendemos los c á lc u lo s , ya que las cifras d e las m i l é simas n o cam bian más. D am os la respuesta: la raíz | — 2,45. O m itim o s la acotación d o l error. 5o. C a s o d e u n s i s t e m a d o d o s ecuaciones. Supongam os que hay que calcu la r, con un grado de ex actitu d dado, las raíces reales de un sistem a de d os ecuaciones con d os in cógnitas r/(*.y)=o, • 1 « p (* .v ) = o. 6 w y supongam os tam bién , que se tiene la a p rox im a ción in ic ia l de una de las so lu cio n es q ) de este sistem a, x = x 0, y = y§. Esta a p roxim ación in icial puede obtenor.se, p o r e j . , gráficam ente, co n s truyendo (en un m ism o sistema de coordonadas cartesianas) las curvas j (x> y) = Q y q )(x , y) = 0 y d otorm inando las coorden a d a s do los pu n tos do intersección do estas curvas. a) M é t o d o d o N o w t o n . S upongam os que el determ inante fun cion al r d ( / , <P) y) n o so anula en las p rox im id a d es do la a p rox im a ción in icia l x = x 0y y = yoEn esto caso, por el m é to d o de N cw to n , la primera a p ro x im a ció n del resul ta d o dol sistem a (6) tiene la form a xl = x 0 -\-a(iy í/i = í /o + P o i donde a 0, % es la solu ción del sistema de las d os ecuaciones lineales í / (x o* Ifo) + a o/*x (x oi yo) + Po/i/(x Oi ¿/o) = 0» l <p(*o. //o) + a 0<F*(xo> ¡fo)+ Po<Pí/(x o . í/o)=0. La~sogunda aproxim ación so consigue p o r ol m ism o procedim iento: « 2 — £ f + Bit ¡f2 = lfi + PlF donde ctj, P, os la so lu ció n del sistem a de ecuaciones lineales 1 ( x i» y i ) + ^ i l x ( x lt r/i) + P i / y ( x i, l / i ) = 0, <p(x i> » i ) + o K d + P i V y í s i t A n álogam ente se obtiene la tercera y dom as aproxim aciones. www.FreeLibros.me Cálculo de las raíces reales de las funciones 407 b) M é t o d o d o i t e r a c i ó n . Para la re so lu ción del sistem a de ecua c i o n e s (6) se puedo em plear el m é to d o de iteración , transform ando este sis tema a la fo rm a equivalente f l x = F ( x , y), y = <X>(x, y ) 1 ; y su pon ien d o, q u e t I F'x <*; y ) I+ 1 0'x ( x y y) I < r < 1; | F'y (x, y) |+ 10 )^ (*, y) |< r < 1 (8) e n un entorno b id im en sio n a l determ in a do £/, de la a p ro x im a c ió n in icial <*o» í/o)» <?ue contiene tam b ién la s o lu c ió n exacta (g , rj) del sistem a. La su ce sió n de las a p rox im a cio n es ( x „ , y n) (n — 1, 2, . . . ) , que converge hacia la s o lu c ió n del sistem a (7), o , lo que es lo m is m o , hacia la s o lu c ió n d e l sistem a (6), se ío r m a según la s ig u ie n te ley: x { = F (xQt y 0) t ^ , = O { x 0, y0), x2= F ( x u y i), í/2= íI)(*i> y í), x 3=z F ( s 3 , y 2)> ^3 = ° S i tod as las (x*, yn ) pertenecen a U , 1im (x 2i y*)> = §, lim y n — i). n->co n-ôo Para transform ar el sistem a d e ecuaciones (6). a la form a (7), cu m p lien d o la c o n d ic i ó n (8), se puedo recom endar el sigu ien te proced im ien to. E xam in a m o s el sistem a de ecuaciones a /(x , { e q u iv a le n te a l sistem a i/) = 0 , Y / ( x > y) 4 - 6<p (ar, j/) = 0, (6) co n la c o n d ic i ó n de que m o s a e s c r ib ir de la form a: rj" V. ^| 6I 0. L o v o lv e - x = x + a f (x , y ) + P<p(x, y) == F (x, y ), y = y +■y f ( s , y) + ó f p (x, y) = O) (x, y). E le g im o s lo s parám etros a , p , y» 6 , d e m o d o, que las dorivadas parciales d e las fu n cion es F ( x , y) y O (x, y ) sean iguales o p r ó x im a s a ce ro para la a p r o x im a c ió n in ic ia l, es d e cir, h a lla m o s a , p, y> ó , co m o solu cion o s a p r o x i madas del sistem a de ecuaciones l + a / ; ( ® 0> ¡/o) + P<p;(*o, Vo) = 0, a / y (*o- yo) + P<Py (* o . o) = 0 , Y / i ( * o • ^ o ) + «< P ¿ ( * o . y o ) = 0 , l + Y / i (*o. yo) + 8<P¡,(*o. y0) = o. E lig ie n d o de esta fo rm a lo s p arám etros a , p, y , ó y partien do de la s u p o s ic ió n do qué las derivadas p a rcia les de las fu n cion es / (x , y) y cp (x, y) varían relativam ente dospacio en e l entorno de la a p r o x im a c ió n in icia l (xq, ¿j0)» *a c o n d ic ió n (8) so cu m p lirá . www.FreeLibros.me 408 Cálculos aproximados Ejemplo 3. R ed u cir el sistem a de ecuaciones a la form a (7 ), s i la a p ro x im a c ió n Solución, in ic ia l de Za raíz os z 0 = 0,8, y 0 = 0,55. A q u í / (x, y) ==^2 + y* — i f 9 ( 2:, fy(*0> J l o) = l , 1; <P¿(zo> Z/o) = í>02, = — y; /*(a?0f y 0) = l A ípâro, y 0) = ~ l . E scrib im os el sistem a, e q u iv a lcn to al de partida, r « ( * « + » * _ i ) + p (xa _ „ ) _ o , /I l Y ( ^ + ! / 2- 1 ) + 5 (^ 3- íí) = Ü, l | en la forma * = * + « < * * + 0 * — l ) + p ( s a— !/), y « ír+ -V (a:a+¡fa- i ) + 6 ( áB 8 _ y ) # E legim os en ca lid a d de v a lores n u m éricos con ven ien tes de a , so lu ció n del sistema do ecuaciones (3, y, Ó, la 1 + 1,6 a + 1,92 p = 0, 1,1 a — P= 0, 1,6 y + 1 , 9 2 ^ 0 , 1 + 1,1 Y — 0 = 0, es decir, suponernos a >**— 0,3, — 0,3, 7 ^ — 0,5 y 6 ^ 0 , 4 . En esto caso, e l sistem a de ecuaciones r \ x*= tx — 0,3 {¿r2 + i/2— 1 ) — 0 ,3 (a;3— y ) , r j s s y — 0,5 (x2 + p2 — l ) + 0,4 (x* — y), eq uivalente al de partida, tiene la form a (7) y en un en torn o s u ficie n te mente p equeño d e l punto ( x 0i y0) se cu m p lirá la c o n d ic i ó n (8). P o r el procedim ien to de pruebas, separar la s raíces reales de las siguientes ecu a cion es y , v a lié n d o se do la reg la de las partos proporcionales, c a lcu la rla s c o n a p rox im a ción hasta 0 ,01. 3138. x * - x + l = 0. 3139. x 4 + 0 , 5 * — 1,55 = 0. 3140. a;3 — Ax — 1 = 0. P artien do de las a p rox im a cion es in icia le s obten id as grá fica m ente, ca lcu la r p o r ol m étod o de N ew ton, c o n e x a ctitu d hasta 0 ,0 1 , las raíces de la s ecuaciones: 3 141. x 3 - 2 x — 5 = 0. 3 1 4 3 . 2* = 4 x . 3142. 2 » — l n * — 4 = 0 . 3144. \ g x = — . www.FreeLibros.me X In teg ra ción numérica de funciones 40£ U tiliza n d o las a p rox im a cion es in ic ía lo s encontradas grá fica mente, c a lc u la r p o r el m é to d o de ite ra ció n , c o n e x a ctitu d hasta 0 ,0 1 , las raíces de las ecuaciones: 3145. x 3- 5 x + 0 ,l = 0. 3 1 4 7 . x 5- * - 2 = 0. 3146. 4x = c o s x . H a lla r grá ficam en te las a p roxim a cion es in icia le s y ca lcu la r, con exactitu d hasta 0 ,0 1 , las raíces reales de Jas sigu ien tes ecu a c io n e s y sistem as; 3 1 4 8 . * 3- 3 x + l = 0. 3154. arv + 2 : r - 6 = 0. 3 1 4 9 . z 3- 2 x 2 + 3 x - 5 = 0. 3155. é* + e ~*x — 4 = 0. 3 1 5 0 . ^ - t - x 2- 2 : r - 2 = 0. x* + y * - 1 = 0 , 3156. 3 1 5 1 . Z ‘ h \ x — 1 4 = 0. 3 1 5 2 . a;3-(-3a; — 0 ,5 = 0 . z * - u ~ 0. f z 2 | - i / - 4 = 0, 3 1 5 3 . 4 x — 7 se n a : = 0. 3 1 5 7 . ^ ^ — Igo: — 1 = 0. 3 1 5 8 . C a lcu la r, c o n exactitud hasta 0 ,0 0 1 , la m ínim a raíz, p ositiva de la e cu a ció n t g s = a\ 3 159. C a lcu la r, c o n e x a c titu d hasta 0 ,00 0 1, la raíz do la ecua c i ó n z - t h x = 1. § 4. In te gra ción numérica de fu ncio nes I o. F ó r m u l a la integral de l o s trapecios, Para calcular aproximadamente- b s f (x) dx a (/(a ) es una función continua en [a, ó]) se divide el segmento do integra ción \a, &} on n partes iguales y se eligo ol intercalo del cálculo h = —— . Supongamos que x¿ = a:0+ //* (*0 = <7, xn = b, i = 0, i , 2 , . . . , n) son las absci sas de los puntos do división y que ¿q = / ( xj ) son los correspondientes valo res do la función subinlegral y = f(x) . Entonces, por la fórmula de los Irapecios, tenemos: b J / ( x ) d * ^ / , ( ^ ± i ^ 2 . + ¡,1+ y a+ . . . + ¡,n_ 1) (1> a con un error absoluto donde M2= m á x . |f" (x) | para www.FreeLibros.me 410 Cálculos aproximados Para conseguir la exactitud dada e, a l ca lcu la r la in tegral, se determina «1 intervalo del c á lc u lo h partiendo do la desigualdad < 2 > •es d e cir, h debo ser del orden ~]/l. El v a lo r de h así obten ido, se redondea por d efe cto do form a, quo b— a ~ ' ~ n sea un número quo nos dé el núm ero de d iv is io n e s n. Después de deter m inar h y n por la fórm u la ( 1), so ca lcu la la in teg ra l, tom ando los valores •de la fu n ció n subintegral con una o d os cifra s decim ales de reserva. 2o. F ó r m u l a d e S i m p s o n ( f ó r m u l a p a r a b ó l i c a ) . Si n es un número par, on las notaciones I o es v á lid a la fórmula de Simpson b / ( r ) dx h — [(jfo + S fa ) + 4 ({/j + J/3 + . . . 4 -i/n -i) + a "Í"2 ([/2 + y4+ . . . + F n - 2)] (3) •con un error absoluto -donde Af4= m á x . |/* v ( x ) | cuando a < x < ó. Para asegurar la exactitud dada e, a l ca lcu la r la in teg ra l, el in terv a lo del c á lc u lo h so determ ina partiendo de la desigualdad ^ ( 6-a )A /t < e , ■es decir, * (5) que el in tervalo h tendrá ol orden \ í e. E l número h se redondea por d e fecto do tal forma, que n = — soa un número entoro par. O b s o r v a c i ó n . Com o no es fá cil la determ inación del in terv a lo del c á l c u l o k y del núm ero n relacionado con é l, por m e d io do las desigualdades (2) y (5), en general, en la práctica, h se h a lla grosoram ontc a tanteo. Des pués de ob ten ido el resultado, se du plica el num ero n, es decir, se d iv id e por d os el in tervalo parcial h. Si el nuevo resultado coin cide co n el anterior, •dentro de las cifras d ocim a les quo so conservaron, se term ina ol 'cá lcu lo. En caso co n tra rio, so repito e l p rocedim iento y así sucesivamente. Para calcular aproxim adam ente el error absoluto R de la fórm u la de cuadratura do Sim pson (3) se puede em plear tam bién el principio de Ru ng e, según e l cu a l, • « R IS-31 15 •donde 2 y 2 , son los resultados obtenidos en lo s c á lc u lo s con la fó rm u la (3), para lo s intervalos h y I I = 2h, respectivam ente. 3160. B a jo la a cción de una fuerza variab le F , d irig id a a lo largo de| eje O X , u n punto m aterial so traslada por este eje desde la p osición x = 0, hasta la p o sició n x = 4. C a lcu la r, aproxim ada- www.FreeLibros.me In tegra ción n nm érica de funciones 411 •mente, e] tra b a jo A de la fuerza F y si se da la tabla de lo s v a lo res d e su m ó d u lo F : X 0 ,0 0 ,5 1 .0 1 ,5 2 ,0 2 ,5 3 ,0 3 ,5 4 ,0 F 1 ,5 0 0 ,7 5 0 ,5 0 0 ,7 5 1,50 2 ,7 5 4 ,5 0 6,75 10,00 la fó r m u la de E fe c tu a r lo s la de S im p son . cá lcu los por lo s trapecios y por i 3 1 6 1 . C a lc u la r , a p roxim adam en te, ^ ( 3 ^ —A x ) d x , por la fór0 m u ía de lo s tra p e cio s, tom a n d o n = 1 0 . C a lc u la r esta in tegra l ex a c ta m en te y h a lla r lo s errores a b s o lu to y r e la t iv o dol resultado. D e te rm in a r el l í m i t e su perior A del error a b s o lu t o del c á l c u l o e fe c tu a d o para n — 10, a p lica n d o la fó r m u la del error q u e se da e n e l tex to. i 3 1 6 2 . C a lc u la r ^ p o r la fó r m u la de Sim pson, c o n e x a c ti tu d h a s ta 10~4, tom ando rc = 10. D e te rm in a r e l l í m i t e superior A d e l e rro r a b s o lu to , a p lica n d o la fó rm u la d e l error que se da en el te x to . Calcular,* c o n e x a c titu d hasta 0 ,0 1 , las siguientes in teg ra les d e fin id a s : i 2 dx 1+ * # Jt 3164. 3169. 3 1 6 5 . $ ^ . 0 3170. 1 n 2 3166. J xlgxdx. 2 3171 2 3167. l ^ - d x . ^ ™ L ?-d x . 1 3172. «-*• dx. 0 i www.FreeLibros.me 412 Cálculos aproximados 3 1 7 3 , C a lcu la r, c o n e x a ctitu d hasta 0 ,0 1 , la in teg ra l im propia x> \ \ x2 ' em p lea n d o la su s titu ció n x = C om probar el c á l c u l o b a p lica n d o la fó rm u la de S im pson a la integral J i , dondo /> se e lig e de tal form a, que +S b 3 1 7 4 . La fig u ra plana lim ita d a por una sem ionda do la sin u soid e y = s e n x y el ejo O X , g ira alrededor de este eje. C a lc u la r por la fórm u la de S im pson , c o n e x a ctitu d hasta 0 ,0 1 , el volum en d e l cuerpo de re v o lu ció n que so engendra. 3175*. C a lcu la r por la fó r m u la de S im pson , c o n e x a c titu d hasta 0 ,0 1 , la lo n g it u d del arco de la elipse -y - + ^ 22)2~ = *■* situado en o l prim er cuadrante coordenado. § 5. In te gra ción numérica de ecuaciones d ife r e n c ia le s o rd in a ria s I o. M é t o d o do las aproximaciones sucosivas (de P i c a r d ) . Supongamos quo se nos da la ecuación diferencial do 1er orden V* — 1 (x * v ) <1> con la condición inicial y = yo para x = x$. La solución y (x) de la ecuación (1) que satisface a la condición inicial dada puede expresarse, generalmente, de la forma r j ( x ) = lim uí ( x ), í->co (2) dondo las aproximaciones sucesivas de yt (x ) se determinan por las fórmulas Uo (x) = yo, »v •Ji ( x ) = V 0+ \ 1 (* , y i-i (* )) dx *o = 0, 1, 2, . . . ) . Si ol segundo miembro / (¿r, y ) es una función dotorrainada y continua en el entorno t f { |z — Itf— í t o l <¿ } . y satisface en el mismo a la condición de Lipschitz ! / ( *> 0i) — / ( * , yz)\ < ^ \ U i - V 2 \ www.FreeLibros.me Integración numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias { L es una con sta n te), e l p roceso de las a p rox im a cion es sucesivas (2) es seguro, ■que con v erg erá en e l in te r v a lo \x — Xq I < > l» dondo y M = máx I / (x , y) |. H A l ocu rrir e sto, e l error \x — x 0 |"+i Rn = \ ' j ( * ) - V n ( * + 1)1 ■con ta i de que El m étodo de la s a p ro x im a cion es su cesivas (de Picará) , co n pequeñas m o d ific a c io n e s , se puede a p lica r tam bién a los sistem as n orm ales do ecua c i o n e s d iíe r e u c ia le s . En cu a n to a las ecu acion es d ife ro n cia lo s do órden es su p eriores, éstas se pu eden e sc rib ir on form a de sistem as de ecuaciones •diferenciales. 2o. M é t o d o d e R u n g e y K u 11 a. Supongam os que en un segm ento lia d o xq .*£ x < X h a y q u e b a ila r la s o lu c ió n y ( x ) d e l problem a (t) con una ■exactitud dada e. Para e s to , p rim era m en te, e le g im o s h = — •- Q (intervalo del cálculo), ■dividiendo e l segm en to [x0i X ] en n partes ig u a le s do form a que /¿4 < e . Los pu n tos de d iv is ió u x¡ se d eterm in an p or la fórm u la x t = *Q + lh ( i = 0, 1, 2, n). L os co rre sp o n d ie n te s v a lo re s de y i - y ( x i ) de la fu n ción q u e se busca, según o l método de Bunga y Kutta> s e ca lcu la n sucesivam ente por la s fórm ulas yt+ i= yi+ & V h A í / . = y ( * í‘ >T 2 # + 2*<f>+ k { % donde t = 0 , 1, 2, n kp=*1(xt, J ’ i) k. www.FreeLibros.me 414 Cálculos aproximados dado [x 0, X ] se puede ob ten er p a rtien d o d e l p r in c ip io de R u nge: P . I Vvn— ¿/mi 15 1 d on d e n = 2 m , yâ e Vm son los resu ltad os de los c á lc u lo s efectu ados p o r e l esquem a (3) con lo s in te rv a lo s h y 2h. El m étodo de R ungo y K u tta s e puede em plear tam b ién para r e s o lv e r sistem as de ecu acion es d ife ren cia les */' = / ( * , »/> 2), z '= q > ( * , y , z) (4> co n c o n d icio n e s in ic ia le s dadas: y = y§, z = zQ para x = x 0. 3o. M é t o d o d e M i I n c . l?ara la re so lu ció n d e l p rob lem a (1) p o r e l método de M i ln e y p a rtien d o de lo s d a tos in ic ia le s , y — y0 para x = x 0, s e h a lla n p o r cu alq u ier p roced im ien to io s v a lo re s su cosivos Vi = y ( x i)> y y ( x f¿)> yz— y { ^ ) de la fu n ció n q u e se busca y (x) (p or e j ., puede em plearse ol d e s a r r o llo dela s o lu c ió n y (x) on la se rio (cap. I X , § 17) o b a ila r estos v a lo re s por el m é to d o de las a p rox im a cion es sucesivas, o em p lea n d o el de Runge y K u tta, etc.). Las a p roxim acion es y i e para los s ig u ie n te s v a lores de y¿ {i = 4 , 5, , . . f n), so h a lla n , su cesivam ente, p o r las fórm ulas — Ah y i = y i - H — 3- (2/ í - 3— / 1—2 + 2/¿ - i) i (5> y i = y ¿-2 4 * ’ 3“ (li + donde fi= j(zu y t) y U— f{^ y i)' Para e l c o n tr o l, ca lcu la m os la m agnitu d fi| = -29 Si no sobrepasa de una u n idad U il d e l ú ltim o ord en • (6> d ecim al 40~m q u e so conserva en la respuesta para y (cr), en ca lid a d do y¿ tom am os y pasa m os a ca lc u la r e l sig u ie n te v a lo r yt+ iy re p itie n d o para o li o e l p roceso in d ica d o. S i, p o r e l co n tra rio , e ¿ > 1 0 " m, hay que v o lv e r a em pezar d o nuevo, d ism in u yen d o e l in te rv a lo d e l c á lc u lo . La m agn itu d d e l in te r v a lo in ic ia l se d otorm in a, a p roxim ad am en te, de la desigu aldad ¿ 4 < 10"™. Para e l caso de la so lu ció n d o l sistem a (4), las fó rm u la s de M iln o so escrib en p o r separado, para las fu n cio n e s y (x) y z (x). E l ord en d e l c á lc u lo sigu e s ie n d o e l m ism o. E j e m p l o 1. D ada la ecu ación d ife re n cia l y' — y — x , con la co n d ic ió n in ic ia l y (0) = 1,5, ca lcu la r, con ex a ctitu d hasta 0,01, o l v a lo r de la s o lu c ió n de e s t a 'e c u a c ió n para e l v a lo r del a rgu m en to x = 1,5. H acer lo s cá lcu lo s com b in a n d o lo s m étodos de R unge — K u tta y M iln e. S o l u c i ó n . E legim os el in terva lo in ic ia l del cá lc u lo partien do de la co n d ic ió n do q u e A4 < 0 , 0 1 . Para e v ita r co m p lica cio n e s al e s c r ib ir h , tom am os ¿ = 0,25. En este caso, tod o el in te r v a lo do in te g ra ció n , desde x = 0 hasta :r = l,5 , so d iv id e en sois partes ig u a le s do 0,25 d oj lo n g itu d , p or www.FreeLibros.me I /ntcgración numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias 415 m ed io de lo s p u n tos ( i = 0, i , 2, 3, 4, 5, 6 ); lo s corresp on d ien tes v alores de y y de la d eriva d a y ' lo s d esig n am os co n y ¿ o y '. L o s p rim eros tros v a lo re s d e y (sin c o n ta r e l in ic ia l), los ca lcu la m os p or e l m étod o d e R ungo y K utta (p or la fórm u la (3)); lo s o tro s tros valores, í/4» Vb o por e l m é to d o de MiJne (p or la fórm u la (5)). El v a lo r yQ será, e v id en tem en te, la respuesta a l problem a. E l c á lc u lo lo efectu a m os con d os c ifr a s de reserva por un esquem a d ete rm in a d o , que com prende dos tablas, 1 y 2, A l fin a l do Ja tabla 2 ob te n e m o s la respuesta. Cálculo del valor de / ( * . y) = — x + y* y v A quí * 0= 0* 1/0 = /í = 0 ,2 5 . T en em os, *y« = y ('‘ í0' + 2* i0) + 2*i>0>+ *í0>) = = - i - (0,3750 + 2-0,3906 + 2-0,3926 + 0,4106) = 0,3920? = f {x0, y0) h = ( - 0 + í ,5000) 0,25 = 0,3750; 4 0, = 7 ( * o + y j . ^ o + ~ g “ ) A = { — 0,125 + 1,5000 + 0 ,1 8 7 5 )0 ,2 5 = 0,3906; *0 + Y ’ y o + ^ j A = ( — 0 ,1 2 5 + 1 ,5 0 0 0 + 0,1053)0,25 = 0,3926; : = y o - f * 30>> h = ( - 0 , 2 5 + 1 ,5 0 0 0 + 0 ,3 9 2 6 ) 0,25 = 0,4100; y , = y o + A y 0 = l >5000+0,3920 = 1,8920 (la s p rim eras.tres cifra s de esto núm ero a p ro x im a d o están garan tizadas). A n álogam ente so ca lcu la n lo s v a lo ro s de y* e y 3. L os resu ltad os dol c á lc u lo se recogen en la tabla 1. C á l c u l o d e l v a l o r d e y 4. Tenem os: /< * » i/)— —*x + y> — 0,25, *4 = 1; t/o — 1,5000, y , = 1,8920, y2= 2,3243, y3= 2,8084; y¿ = 1,5000, y [ ~ 1,0420, ví = 1,8243, = 2,0584. A p lica n d o la fó rm u la (5 ), h a lla m os: _ Al, y ¿= y o + ~ (2 y 'í- v í + = = 1 , 5 0 0 0 + + ^ <2 -1 ,6 4 2 0 -1 ,8 2 4 3 + 2-2,0584) = 3,3588: O y 4 = / ( * 4> 7 i ) = - i + 3,3588 = 2,3588; l/4 = i/2 + Y ^ ^ = = 2,3243 + -!— * - 1 * 5 * 1 = ■ (2,3588 + 4 - 2 ,0 5 8 4 + 1 ,8 2 4 3 ) = 3,3590;. I 3 .s r > 8 8 - 3 .3 5 9 0 1 _ W 0 2 ^ ? . 10_ 0 < ^ p o r con sig u ien te, n o hace fa lta rov isar el in te r v a lo de cá lcu lo . www.FreeLibros.me 0Q¡; 416 Cálculos aproximados Tabla 1 . C á l c u l o d e e y 3 p o r e l m é t o d o d e R u n g e y K u tfca / ( * . V) = — xJrV\ h = 0,25 V a lo r de i xt Ui / ( * í + -g -, y[ = *<*> s / (x h Vi) tí° »«+ 0 1 2 3 V a lo r 0 0,25 0 ,5 0 0 ,7 5 1,5000 1,8920 2,3243 2,8084 AjU * !+ 1 2 8 ) 1,5000 1,6420 1,8243 2,0584 0,3750 0,4105 0,4561 0,5146 1,5625 1,7223 1,9273 2,1907 0,3906 0,4306 0,4818 0,5477 yi+ W ) t í 1* A >Ji *¿+1 1,6426 1,8251 2,0593 0,4106 0,4562 0,5148 0,3920 0,4323 1,8920 2,3602 0,5900 /(* ,+ ■ £ . de i 0 2 2 1,5703 1,7323 1,9402 2,2073 ) 0,3926 0,4331 0,4850 0,5518 0,4841 0,5506 2,3243 2,8084 3,3590 O btenem os */4= = 3,3590 (la s prim eras tros cifra s de esta a p rox im a ción está n garantizadas). Do' fo rm a an áloga efectuam os ol c á lc u lo de lo s v a lores de y 5 o y 6. L os resu lta d os do este c á lc u lo se in clu y e n en la ta b la 2. De osta form a, fin alm en te, tenem os: y 0 , 5 ) = 4,74. 4\ M é t o d o d e A d a m s. Para la r e s o lu c ió n dol p rob lem a (1) por o l m étod o do A dam s, p a rtien d o de lo s d a tos in icia le s y { x o ) = 'Jo h a lla m o s, p o r cu a lq u ie r p ro ce d im ie n to , lo s sigu ien tes tres v a lores do la fu n ción quo se busca y (#): V i^ y (*i) = .V{ * o + h ) i Uz = y (*z) = y (x0 + 2 h), y 3**y (x3) = y (*o+3fc) (estos tres v alores so pueden ob ten er, p or c j . , p or m e d io d e l d e s a r r o llo de y { x ) en se rie de p oten cia s (cap. I X , § 16), o h a llá n d o lo s p or el m é to d o de la s a p ro x im a cio n e s su cesiva s (p u n to I o), o em p lea n d o o l de R unge y K u tta (p u n to 2°) e tc .). V a lién d ose de lo s núm eros z 0, x it x 2, x 3 e y 0, y it y 2t !/3, ca lcu la m o s la s m agnitu des % % q2l donde % = W » = hf(x<» í/o)> <3i = W i = ht (* i, Vi)> <]2= h ? A = k f (x2t u 2 )y 9 s = hy í — hf { x &* y*)- D espués, form am os la tabla diagonal de las d iferen cia s fin ita s de la m agn itu d q. www.FreeLibros.me In teg ra ción num érica de ecuaciones diferenciales ordinarias X y A y= — Vn+ i'— — Vn q= ;= /(* , y) = y ' h 417 A<? = A 2g = A 3g — —9 n + i ~ 9n = A g ,j+1 — = A 2gn+1 — — A g„ —A2gn *0 yo A i/o f (* o . yo) 9o A ?o A 29o A 39o *1 Vi A i/i 1 ( X n Ui) 9i A g, A 29 i A 39 i í/2 Ai/2 í (*2> í/2> 92 A92 A a92 A 39a i/3 Ay3 / <*3> ^3) 93 ¿9 3 A 293 Ay4 f(Xk> Vk) 9/. A A y5 / y5) 95 *3 *4 *5 y» X yo q 94 E l método de Adame co n s is to on co n tin u a r la ta b la d ia g o n a l de d ife r e n c ia s v a lié n d o s e do la fórmula de Adams 1 5 3 Aj/n =<Jn ~^~~2 Atfn—1 4 “ Jó A 2tfa-2 + "g" (7) A sí, u tiliz a n d o lo s n ú m eros q z> A A 2?*, A3?o» situ a d o s d ia g on a lm en te en la tab la de d ife r e n cia s , v a lié n d o n o s d e la fó rm u la (7 ) y p on ien d o en 1 *5 3 e lla /* = 3, c a lc u la m o s A y 3 = ? 3~-|-y Atf2-r jí> A ^ + j t - A3g0« H a lla d o e l v a lo r . Ay3, c a lc u la m o s y 4 — í/3 + Ay3. C o n o cie n d o 24 o j/4, ca lcu la m o s = ^ / (^ 4* .V4)» in c lu im o s y 4, Aí/ 3 y 74 en la ta b la de d ife re n cia s y la com p leta m os después c o n la s d ife r e n c ia s fin it a s A73, A 2q2l A2y j, situ a d a s, ju n to con q4, en una n u ev a d ia g o n a l p a ra le la a la a n terior. D espués, e m p le a n d o lo s n ú m eros de esta nueva d ia g o n a l, v a lié n d o n o s de la fó rm u la (8) y p o n ie n d o on e ll a 4 , c a lc u la m o s Ay4, #5 y <j5 y o b te n em os la sigu ien te d ia g o n a l: q3l A<74, A 2^ , A 3<72. Con a yu da de esta d ia g on a l, ca lc u la m o s e l v a lo r de y 0 de la s o lu c ió n y (a:) q u e so busca y así su cesivam eute. Para c a lc u la r A y , la fó r m u la de A d a m s (7) parte d o la su p o s ició n de quo la s terceras d ife r e n cia s fin ita s A3? s o n con stan tes. En corresp on d en cia co n e s to , la m agn itu d h d e l in te r v a lo in ic ia l d o l c á lc u lo se determ in a de la d e sig u a ld a d ¿ 4 < 1 0 -m (s i se d esea o b te n e r e l v a lo r d e y ( x ) co n ex a ctitu d h asta 10- ^ ) . En este s e n tid o , la fó rm u la de A d a m s (7) es e q u iv a le n te a las fórm u lu s do M iln o (5 ) y de R unge y K u tta (3). L a a co ta c ió n d e Tos e rr o re s , para ol m é to d o de A d a m s, es co m p lica d a y prácticam en te in ú t il, y a q u e, en g en era l, p ro p o rcio n a re su lta d o s exagera d o s . En la p rá ctica se sig u e la m archa de la s terceras d ife re n cia le s fin ita s , e lig ie n d o o l in te r v a lo h tan p eq u eñ o, qu e las d ife re n cia s co lin d a n te s A 3q¡ y Añqi+t so d ife re n cie n en tre sí, c o m o m á x im o , en una o d os un idades d e l o rd e n d a d o (sin c o n ta r la s c ifr a s d o reserva). Para e le v a r la e x a c titu d del re s u lta d o , la fórm u la de A dam s puede c o m p le ta r s e co n té rm in o s q u e con ten g a n la s d ife re n cia s cuartas y m ayoros 27—1016 www.FreeLibros.me www.FreeLibros.me Tabla (Los de |/4, y 5 e y Q por el 111 ítodo /(*» y)= — * + * / ; ^ — 0,25 datos iniciales se da« en c u r s iv a ) 2. Cálculo de M iln c 419 in teg ra ción numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias d e la m agn itu d q. A l hacer e sto, crece ol núm ero de lo s p rim eros v a lores d o la fu n ció n y que so n ecesita n para com enzar a lle n a r la tabla. Las fórm u la s de Adam s para ob ten er ex a ctitu d es elevadas no las vam os a e x p o ner a q u í. Ejemplo 2. C a lcu la r, p or ol m étodo com b in a d o de R u n go y K utta y A dam s, para x = l , 5 y co n una ex a ctitu d hasta 0,01, el v a lo r de la so lu c ió n do la ecu a ció n d ife re n c ia l y ' = y — x , con la co n d ició n in icia l de que y (0) = 4,5 (véase o l e j. 4). Solución. E m pleam os lo s v a lores do yj> y2, y 3f que o b tu v im o s al re s o lv e r e l p rob lem a 1. Su c á lc u lo s e da en la tabla 4. L os v alores sig u ien tes do y /t, y5, y Qí lo s ca lcu la m os por e l m étodo de A d a m s (véanse la s tablas 3 y 4). T a b l a 3. T a b la p r in c ip a l para e l c á lc u lo de y e yg p o r e l m é to d o d e A dam s / ( * , ! / ) = — z + y'y h = 0,25 do i (L os datos in ic ia le s se dan en cu rsiva) Vi 0 0 2,5000 1 0,25 2,8920 2 0,50 2,3243 3 0 ,75 2,8 08 4 4 1 ,0 0 5 (i Valor *i lyt y i’ = Qi = A ?¡ A * f, Aa<?j = /(* .. J ’ >) 1,5000 0,3750 0,0355 0,0101 0,0028 1,6420 0,4105 0,0456 0,0129 0,0037 1,8243 0,4561 0,0585 0,0166 0,0047 0,, 5504 2,0584 0,5146 0,0751 0,0213 3,3588 0 ,0356 2,3588 0 ,5897 0 ,0964 1,25 3 ,0944 0.,7450 2,7444 0,6861 1 ,5 0 4,7394 1 1 Respuesta: ó ,74 E l v a lo r y g = 4,74 será la respuesta del problem a. En lo s ca sos de r e s o lu c ió n de lo s sistem as (4), la fórm u la de Adam s (7) y e l esquem a d e c á lc u lo que s e m uestra en la tab la 3, se u tiliz a n separa dam en te para cada una de la s fu n cion es y (z) y z (x ). H a l l a r tre s a p ro x im a c io n e s su c e siv a s de la s solucion es de la s ecuac io o e s d ife re n c ia le s y de los s is te m a s sig u ie n te s: 317 6. j/' = x* + y2; 3177 . y ’ = x - \ - y + z , 3 1 7 8 . y" = — y ; y ( 0 ) = 0. z' = y — z ; y ( 0 ) = 0, y (0 ) = l , z (0) = — 2. ' y ' {0) = 1. 27* www.FreeLibros.me 420 Cálcalos aproximados Tabla 4. T a b la a u x il ia r p a ra el c á lc u lo p or e l m é to d o de A daius 1 &Ui - Q l + - Y V a lo r de i 3 5 Qi * 0,5140 4 0,5897 5 0,6801 3 + ‘J‘TA23i- 2 + - g - ^ !| 1 A *í<-2 3 3 ai - g - A3? í-3 0,0293 0,0054 0,0011 0,5504 0,0376 0,0069 0,0014 0,6356 0,0482 0,0089 0,0018 0,7450 C a lcu la r ap ro x im ad a m e n te, por el m éto d o de R ungo y K u tta , s u p o n i e n d o q u e e l i n t e r v a l o e s h — 0 ,2 , l a s s o l u c i o n e s d e l a s s i g u i e n tes e c u ac io n e s d ife ren c ia le s y siste m a s, p ara los in te rv a lo s que se in d ican : 3 1 7 9 . x ' = y — x\ y { 0 ) = 1 ,5 ( 0 < x < l ) . 3 1 8 0 . ^ '= - § — y2; i/(l) = 1 ( í < i < 2 ) . 3 1 8 1 . y ' — Z + 1, z ' = y — x , y ( 0 ) = l , 2 (0 ) = 1 (0 < 2 < 1 ) . V alién d o se d el m é to d o co m b in ad o de R u n g e y K u t t a y M iln e o de R u n g e y K u t t a y A d am s, c a lc u la r, co n e x a c titu d h a s ta 0 ,0 1 , los v alo res de la s so lu c io n e s de la s e c u a c io n e s d ife re n c ia le s y s is te m a s q u e se d a n a c o n tin u a c ió n , p a ra lo s v a lo re s d e l a r g u m e n to q u e so ind ican: 3 1 8 2 . y '= x -{ -y ; y = 1 p a r a 2 = 0 . C a l c u l a r y p a r a 2 = 0, 5 3 1 8 3 . y ' — x t -^y; y = 1 p a r a 2 = 0 . C a l c u l a r y p a r a 2 = 1 . 3 1 8 4 . y' = 2y — 3; y = 1 p a r a 2 = 0 . C a l c u l a r y p a r a 2 = 0 , 5 . 3185. — x - i - 2 y + z, z ' = 2 -(- 2 ¡/ + 3 z; y = 2, z = — 2 p a r a 2 = 0 . C a lc u la r y y z p ara 2 = 0 ,5 . 3186. * ~ 3 y — z, z' — y — z; y = 2, z = — 1 p a r a 2 = 0 . y '= C a lc u la r y y z p a ra 2 = 0 ,5 . 3 1 8 7 . y " = 2 — y ; y = 2,- y ' ~ — 1 p a r a 2 = 0 . www.FreeLibros.me Cálculo aproximado de los coeficientes de Fourier 421 C a lc u la r y para ¿r = 1 . 3188. y V + i 1 = 0; y — 1 , C a lcu la r y para y /:= 0 para * = * 1 . 1,5. 3 1 8 9 . -^ | - + -^ -co s 2¿ = 0; £ = 0, x ~ 1 para ¿ = 0. H a lla r x { n ) y a:' (n ). § 6 . C álcu lo a proxim ado de lo s c o e f i c i e n t e s de F o u rie r Esquoma do 12 ordenadas. Sean y n ^ f ( x n) (n = 0 , 1 , . . . , 12) lo s v a lo re s do la fu n ció n y — f ( x ) en lo s p u n tos equ id istan tes x n = ~ - del segm en to JO, 2rc], a l m ism o tie m p o que yo — VíaForm am os las tablas; Vo Vi V2 V3 V4 V5 Vo V n Vio vo Vs v r % su m a s (2 ) d i í e r o n c . (A) «0 u i u 2 u 3 u 4 u 5 “ e v i v2 »3 VA Uq IZj u2 «3 vA v2 ” 3 Uq M5 *4 sum as *0 s l s2 s2 d ife rcn c. h t2 | sum as d iferen c. v5 ** Oí o z o 3 *1 *2 * L o s c o e fic ie n t e s do F o u rier an , bn (n = 0, l f 2, 3) de la fu n ción y = / ( x ) se pu eden h a lla r a p rox im a d a m en te por las form u las: 6í7o = 50“f 5i + s2"l*s3» 66 j = 0 ,5 ^ !-(-0 ,86602+ ^ 3» 6a ! = ¿0 + 0,866 ¿ i - ) - 0 ,5 t 2, 662 = 0,866 Ga2^ s Q— s3 -¡-0 ,5 (5j — ó-2), 663 = 0! — <J3, ^ 6a3 = ÍQ— ¿2i d . „ d » 0 ,8 6 6 — ^ .« ,1 — T en em os: 3 /(x )^ 3 - + 2 (a* eos nx + bn son nx). n= l Se em p lean ta m b ié n o tr o s esqu em as. Para fa c ilita r e l c á lc u lo se u tiliza n plantill as. H a lla r e l p o lin o m io de F ou rior para la fu n ción y = / { s ) Ejemplo. (0 x 2 n ), dada p o r la tabla www.FreeLibros.me 422 Cálculos aproximados Uo y\ y* y* y* y* ya yi i/8 Uo Vio ya 38 38 12 4 14 4 — 18 — 23 — 27 -2 4 8 32 Solución. Formamos las tablas: 38 y u 38 38 12 4 14 4 32 8 -2 4 -2 7 -2 3 70 20 -2 0 -1 3 -1 9 6 4 28 41 27 20 -2 0 V 38 u 70 -1 8 -1 0 -1 3 20 51 7 .56 89 P o r la fórm ula (1) tenem os: 33 s t a0 = 9 ,7 ; ¿1 = 13,9; V -2 0 a , = 24,9; 62- - 8 , 4 ; a T — 18 — 18 f» 4 27 41 33 45 28 28 -2 1 , -3 7 a2 = 10,3; ó3 = 0,8. as = 3,8; Por consiguiente, / (x ) « ^ 4 , 8 + (24,9 co s x - f 1 3 ,9 sen x )-f- (10,3 c o s 2 x — 8,4 sen 2 x ) - f 4 - ( 3 ,8 cos 3 s-f-0 ,8 se n 3x). V a lié n d o se del esquem a do 12 ordenadas, h a lla r los p o lin o m io s d e F ou rier para las fu n cion es sig u ien tes, dadas en e l segm ento JO, 2jc| por las ta h la s de sus v a lores, correspondientes a los v a lo res equid istan tes d e l argum ento (i/o = Vi2); y 0= - 7 2 0 0 V s =-4 3 0 0 2/9 = 7400 2/9 = 7600 y i = 300 V4 == 0 2/7 = — .Vio = 4500 j/2 = 700 v s == - 5 2 0 0 j/s = 3850 Vn = 250 i/o — 0 2/3 == 9 ,7 2 2/6 = 7.42 2/9 = 5 ,6 0 i/ í = 2/7 = i/2 = 9 ,6 8 2/4 == 8,97 2/5 == 8 ,1 8 6,81 2/8 = 6 ,2 2 y í0 = 4 ,8 8 Vu = 3,67 |/o-= 2 ,714 2/3 == 1,273 2/6 = 0 ,3 7 0 V9= - 0 , 3 5 7 i/, = 3 ,042 2/4 == 0 ,788 2/5 == 0 ,495 2/7 = Vio = — 0 ,437 6 ,6 8 y2 = 2,134 2250 0 ,5 4 0 2/8 = 0,191 2/n = 0,767 3 1 9 3 . C a lcu la r u n os cu a n tos prim eros co o ficio n te s de Fourier, por el esquema de 12 ordenadas, para las sigu ientes fu n cion es: а) / ( x ) = (x 3 - 3nz* + 2n*x) б ) f (x ) = -¿2-(x — n) 2 (0 < i< 2 n ), (0 < ¡c < 2 r t ). www.FreeLibros.me SO LUCIO N ES Capítulo I 1. S o l u c i ó n . C o m o a = (a — b) - f 5, te n d re m o s q u e |a |« ¿ |a — 6 | + | ó | . De d o n d e l a — 6 | > | a | — |M y |a — b |«=| b — a | > I b |— |a |. P o r co n sig u ie n te , |a — b \~j> \\a |— |b ||. A dem ás, |a — b | = |a - f ( — b) | < |a |+ |— b \ ~ \a |-f| b |. 3 . a) - 2 < x < 4 ; b) a; < - 3 , o; > 1; c ) - 1 O < 0 ; d ) x > 0 . 4. - 2 4 ; - 6 ; 0 ; 0 ; 0; 0. 5 . 1; 1 ~ ;V 'í T ^ ; 7. / ( * ) = - - + 8. I * !" 1 V í + x * ; 1 /V l+ í* . f ( x ) = í . x * - ^ x + 1. 9. 0 .4 . 6. n; - i ; 10. 0. + I I. a ) — 1 < x < + c o ; b ) — c o < x < - f e o . 12. ( — c o , — 2 ),_ (— 2, 2), ( 2 ,- f e o ) . 13. a) — c o < r < — V 2 , V ' 2 < x < + c o ; b ) x = 0 , | x | > f / 2 . 14. — 1 < x < 2 . R e s o l u c i ó n . D ebo se r 2 * f x — x 2 > 0 , o x 2 — x — 2 < £ 0 , es d e cir, (x + l ) x x ( x — 2 ) < 0 . D o d o n d e , o x - f l > 0 , x — 2 < ü , e s d e c ir , — l < ; x < 2 ; o p o r e l c o n tr a r io x - f 1 < 0 , x — 2 > 0 , e s d e c ir . x < — 1, x > 2, l o q u e n o e s p o s i b le . D o e s ta fo rm a , — 15. — 2 < x C 0 . *6. — c o < x < — 1, 0 . . s ' x < l . 17. — 2 < x < 2 . 18. — 1 < 2 0. 1< *< 100. 21. x < 1, 2 < x < + c o . f c n < 2 < / í n + - " - (* = 0, ± 1 , 19. — g - < * < l . ± 2 ,...)- 22. <p(2)== = 2 x 4 _ 5 * 2 — 10, i | ) ( x ) = — 3 x » 4 - 6 x . 23. a) P ar; b ) im p a r; c ) par; d ) im par; e) im p a r. 24. Indicación. \ 4- / ( — x )] + — 1 / (x ) — / ( — x )]. 2n = T~> c ) K p e r ió d ic a , d) = — x, si 0 < x < c ; y= — 28. , cu an d o si c < x ^ a . ¿ i < s < í i + ¿ 2; E m p léese la id e n tid a d 26. a) P e r ió d ic a , r = p e r ió d ic a , 7, = ji ; si c < x m = (¡íx 2 / (x ) = i [f (x ) - f b> p o r ió d ic u , T = e ) a p e r ió d ic a . 27. y= x 2, si 0 < z < c\ S = 6 x — cu a n d o 0 ^ x * * = «Zî + ^ 2 + ^3 m= -4“ ^2 — ¿j) cu a n d o / i + J2 < * < < Z l+ ? 2 + ¿ 3 = ¿ - 2 9 . 0 cu an d o x > — 1, y < 0 cu a n d o x < — 1; b ) y = 0 cu a n d o x = — i y x = 2, y > 0 cu an d o — 1 < x < ■< 2, í / < Ó cu a n d o — c o < x < — 1 cuan y 2 < x < -fc o ;_ c) y > 0 d o — c o < x < + c o ; d) y = 0 cu an d o x = 0 , x = — ~\/3 y x = l / 3 , y > 0 cu a n d o — ~\/3 < x < 0 y ~[/2 < x < - f 0 0 , y < 0 cu a n d o — c o < x < — " l/3 y 0 < x < ] / 3 ; e ) y = 0 cu a n d o x = l , y > 0 cu a n d o — : . x > < x < ~ l y 1 < < X < 4 -co , y < o cuando 0 < x < 1. 39. a) x = -.^ ( y — 3) ( — c o < y <T -fe o ); www.FreeLibros.me 424 Solucionen !>) x = V u + i y x = ~ Vy+4 (—1< y < + <»); c.)x = f 1 —¡y3 (—oo< y< < + co); d) x = 2 -10! / ( — o o < ¡ / < + co ); 40. x = y cuando — c o < y < ; 0; z = u * = 2 x ^ 5 ; b ) y = 2u, a = c o s x ; c ) o) * = i - tg y ( — £ . < j j . | /y cu an d o 0 < { / < . + o o . 4 ! . a) y = u 10, m C = u*= t g v t j>= y ; d ) y = aresen *¿, u = 3ü, a:2. 42. a) y = s e u - x ; b) y — a r c tg Y j g l : ; c) ¿/ ^=2 ( z 2 — 1), si I * | < 1 » e y = 0, s i |« I > 1. 43. a ) y = — co s x¿, l / S < |z | < V 2 jx ; b) y = = lg (10 — 1 0*), — o d < z < 1; c ) »/ — y cu a n d o —co < z < 0 e y = x cu a n d o 0 < : r < - | - O 3 . 46. I n d i c a c i ó n . V éase e l a p é n d ice V I , fig . 1. 5 1 . I n d i cación. C om p leta n d o cu ad ra d os en e l trin o m io d e seg u n d o grado» tendrem os y ==y0 + a ( z — z 0)2, don d e x 0 = — b/2a 'e yo = (4 a c -~ 6 a)/4 a . De d on d e la g rá fica quo s e busca e s la p a rá b ola y = ax*y desplazad a a lo la rg o d el e je O X en la m a g n itu d x 0 y a lo la rg o d e l e je O Y un la m agn itu d yQ. 53. I n d i c a c i ó n . V éase el a p én d ice V I, d ib u jo 2. 58. I n d i c a c i ó n . V éaso el a p én d ice V I , d ib u jo 3. 61. I n d i c a c i ó n . Esta g rá fica representa de p or sí la h ip é rb o la y = — -» despla zad a a lo la rg o d el e je O X on la m agn itu d i 0 y a lo la rg o d e l e jo O Y en la m a g n i tud y0. 62. I n d i c a c i ó n . S eparan do la parte en tera , ten d rem os y = » 2 13 / / 2 \ g- / far-f—jj-J (co m p á rese con ol JN? 6 l ) . 65. Indicación. Véase o í a p é n d ice V I, d ib u jo 4. 67. I n d i c a c i ó n . V éase o l a p é n d ice V I, d ib u jo 5. 71. I n d i c a c i ó n . V éase o l a p én d ice V I, d ib u jo 6. 72. I n d i cación. Véaso ©1 a p é n d ice V I, d ib u jo 7. 73. I n d i c a c i ó n . V éa se el a p é n d ice V I , d ib u jo 8 . 75, I n d i c a c i ó n . Véase e l a p én d ice V I, d ib u jo 19. 78. I n d i c a c i ó n . V éaso el a p én d ice V I, d ib u jo 23. 80. I n d i c a c i ó n . V éase el a p én d ice V I, d ib u jo 0. 81. I n d i c a c i ó n . V éaso el a p én d ice V I, d ib u jo 9. 82. I n d i c a c i ó n . V éase e l a p én d ice V I , d ib u jo 10. 83. I n d i c a c i ó n . V éaso o! a p é n d ice V I , d ib u jo 10. 8 4 . I n d i c a c i ó n . V éase el a p én d ico V I, d ib u jo 11. 85. I n d i c a c i ó n . V éase el a p én d ice V I, d ib u jo 11. 87. I n d i c a c i ó n . E l p e r ío d o de la fu n ció n T = 2n/n. 89. I n d i c a c i ó n . La g rá fica q u e s o busca e s la sin u so id e y = 5 sen 2x con a m p litu d 5 y p e río d o ti, desp la zad a h a cia la derecha a l o la rg o del e jo O X en Ja m agnitu d 1 1 -Tj-. 90. I n d i c a c i ó n . P o n ie n d o a = A co s 9 y b = — A s e t x y , te n d re m o s y = A s e n ( z ~ q > ) , d o n d e A = ~\/a2 + b2 y q* = a r c t g ^ — yl = 10, <p= 0,927. 92. Indicación. co s2z = - r p . En n u e stro caso, ( 1 + c o s 2 s ) . 93. Indi = c a c i ó n . La g r á fic a q u e se busca es la sum a do la s g rá fica s ' J i = x o = s e n z . 94. I n d i c a c i ó n . La g rá fica q u e s e b u sca es e l p rod u cto de~las g rá fica s ^ - 1 e y2= sen x. 99. I n d i c a c i ó n . La fu n ció n es par. Para x > 0 d e te rm in a m o s lo s p u n tos para lo s cu a les 1) y — 0 ; 2) y — 1 y 3 ) y = 55 — ! . Cuando x — > - f e o y — > 1. í 01- I n d i c a c i ó n . V éase e l a p én d ice V I, d ib u jo 14. 102. Indicación. V éase el a p én d ice V I, d ib u jo 15. 103. I n d i c a c i ó n . V éase el a p én d ico V I, d ib u jo 17. 104. I n d i c a c i ó n . V éaso e l a p én d ice V I , d ib u jo 17. 105. I n d i c a c i ó n . V éase el a p é n d ice V I , d ib u jo 18. 107. I n d i c a c i ó n . V éase e l a p é n d ice V I , d ib u jo 18. 118. I n d ic a c i ó n . V éase e l a p én d ice V I , d ib u jo 12. 119. I n d i c a c i ó n . V éa so el a p én d ice V I , d ib u jo 12. 120. I n d i c a c i ó n . V éa se el a p én d ice V I , d ib u jo 13. www.FreeLibros.me Soluciones 425 121. I n d i c a c i ó n . V éase e l a p én d ice V I , d ib u jo , 13. 132. I n d i c a c i ó n . V éa se e l a pén d ice V I , d ib u jo 30. 133. I n d i c a c i ó n . V éase e l apén dice V I, d ib u jo 32. 134. I n d i c a c i ó n . V éase ol a p én d ice V I , d ib u jo 31. 133. I n d i c a c i ó n . V éase e l a p é n d ice VI., d ib u jo 33. 139. I n d i c a c i ó n . Véase el a p én d ice V I , d ib u jo 28. 140. I n d i c a c i ó n . V éase e l a p én d ice V I r d ib u jo 25. 141. I n d i c a c i ó n . F orm am os la tab la de los v a lores t 0 i 2 3 9 ♦» —1 —2 -3 X 0 \ 8 27 •• • -1 —8 -2 7 y 0 i 4 9 1 4 9 C on stru yen d o los p u n tos (x , y ) o b te n id o s , resu lta la cu rva buscada (véase ol a p én d ice V I , d ib u jo 7). ( E ! p a rám etro a l h acer esto, n o s e m arca g e o m étrica m en te). 142. V éase e l a p én d ice V I , d ib u jo 19. 143. V éase o l apén d ic e V I , d ib u jo 27. 144. V éase el a p én d ice V I , d ib u jo 29. 145. V éase el a p é n d ice V I , d ib u jo 22. 150. V éase ol a p én d ice V I , d ib u jo 28. 151. I n d i c a c i ó m ^ R e s o l v ie n d o la ecu a ción co n resp ecto a y , ob ten em os y = = ± y 2 5 - z 2. D espués de lo cu a l es fá c il co n stru ir la curva q u o se busca p o r p u n tos. 153. V éase e l a p én d ice V I , d ib u jo 21. 156, V éase el a p én d ice V I , d ib u jo 27. Basta co n stru ir lo s (¿r, y ) corresp on d ien tes a la s abscisas x — 0, ± 4 -> áz 157. I n d i c a c i ó n . R e s o lv ie n d o la e cu a ció n con res¿t p e c to a x t tendrem os x ~ í 0 lg y — y ( * ) . De don d e obtenem os lo s p u n tos { x y y) de la 'urva que se busca, d á n d ole a la orden ada y v a lo re s a rb itra rio s {y > 0 ) y c a lc u la n d o p o r la fó rm u la (* ) la ab scisa x % Debe tenerse en cu en ta , que l g y — ^ — c o cuand o y 0. 159. I n d i c a c i ó n . P asando a l^ s co o rd e n a d a s p ola res r = d ib u jo 32). y2 y 160. tg(p = — , ten d rem os r = e9 (véase ol a p én d ice V í, x Indicación. P asando a las coord en a d a s p olaros x — = r coscp o y — r sen cp, ten d rem os r = ^ d ib u jo 32). 161. F = 32 + 1,8(7. 163, p = y s e n a ; y máx = y 3^ ^ g efj.3 ^ ( v âse a p én d ice V I, 162. y*= 0,62 (10 — x ); y máx = 15 para x = 5. para z = y . 164. a) * i= y , i 2 = 2; b) x= = 0,68; c) x i — 1,37, :t2 = 10; d) x = 0,40; e ) a := l ,5 0 ; f) x = 0,86. 165. a) x i = 21 í/j = 5; x 2 = 5, y<¿ — 2', b ) x^ = — 3, y j = — 2; 2, y 2~ 3; £3 = 2, 1/3 = 8; *4 = 3, 2/4 = 2; c) x l = 2t 2/ j = 2; x 2 « s 3 ,4 , y2^ — 2,5; d) x x « s — 3,6, y ± 3,1; ^2 ^ — 2 ,7 , 1/2 ^ 2 , 9 ; y , = V ? ; Xz= ^ . , 2,9, j-2 = t/3 ^ 1 ,8; x4 ^ 3 , 4 , 166. n > ± = - 1/4 ^ — 1,6; e) = y , a) * > 4 ; b) « > 1 0 ; c) n > > 3 2 . 167. n > - t — i = / V : a) iV = 9; b ) N — 99; c.) JV = 999. 168. < 5 = - | - ( b < < 1 ) . a) 0,02; b ) 0,002; c ) 0,0002. 169. a) l g x < — N cu an d o 0 < * < d ( 7 V ) ; b ) 2* > / V cu an do x ' p - X ( N ) ; c ) |/ ( * ) ! > A" cu a n d o | z | > Z { l V ) . 170. a) 0; b ) 1; c ) 2; d) 171. ~ . 172. 1. 173. www.FreeLibros.me 174. 1. 175. 3. 176. 1. Soluciones 426 177. JL . 1 7 8 .- i - . I n d i c a c i ó n . 4 E m p le a r la fórm ula l 2-)-2 s + . . . - f « 2 = ó = — n (n + 1) (2n + l) . 179. 0. 180. 0. 181. 1. 182. 0. 183. co. 184. 0. 185. 72. 6 186. 2. 187. 2. 188. o o . 189. 0. 190. 1.191. 0. 192. co . 193 — 2. 195. 4 - - i»® - ° j ¿ r - <97- 3* 2- I98- — *• 199- y - 20° - 3- 2Ü1*y - 194. co . 202’ T ■ 203. - i5b. 204. 12. 205. 2~ . 206. - ó4 - 207- *■ 208- 2~ 4yl =x ■209- 3 y x ¿ • 210. - i - . 211. 0. 212. 213. 214. b) 0. 217. 3. 218. 4A - 2>9 . 4O- - 22° - *• - i . 215. 0. 216. a) - i sen 2; 221• 4 - - 222- c o s a 223’ — son «- - L 227. a) 0; b) 1. 228. — 229. 4A- 230. 0. V2 231. — ~ p = . 232. - ! ( » * - ; » * ) . 233. - j • 2 3 í- *■ 235- y • 236- y • 237- — y - 224. n. 225, cos x . 2 2 G, 238. n . 239. i4 • 240. 1. 241. 1. 242. 44- • 2 43. 0. 244. 2 - 245. 0. 246. e~i. .247. *2 248. ¿ r 1. 249. «?"*. 250. e*. 251. J_ 252. -L lim ( c o s í ) * = lim ( —(1—eoss)) * = l i m ( l — 2 sen 2- í- ) ;t-» 0 *->o V - ' 2 sen* y ( _ ! ü ü i) 2 sen* 4¿á" - ” 2 lim = * = j# x^ ° sen —x \ 2 lim * ______ i *2 / 2 sen 2 4 * ) x~*Ü V tendrem os 1 a: lim (cos s) * = ac-*0 A nálogam ente al anterior (véase a), / —2 sen* ^ 0 \ = l i m T ( 1 — 2 sen,¿ X x-+o L \ . Como lim l x->-0 4 Resolución. y e ~*~ Resolución. ( = — 2 *1 *lim - r = 0 , £ “2 lim (cos x ) x = <? x a) 1. i Como lim 2 K->0 sen 2 -___ - 1 = — 2 lim X #2 / x->0 2 1 ------------------ 1 = —— . tendrem os lim (cos—5x ) x ~— e 2 ~ — 7= . 253. ln 2 * ,/- 254. 10 l g * . 255. 1. 256. i . 257. — - y - 258* 4' P on er — Indicación. E m p lea r la id en tid a d \ Indicación. P on er — = a , don d e a — ^ 0 (véase el - l = a , doudu a — -> 0. 259. ln a. a .... e111 a. 260, ln a. Indicación. ti www.FreeLibros.me Soluciones 427 JÉ 259). 261. a — b. 262. 1. 263. a) 1; b ) y . 264. a) — 1; b ) 1. 265. a) — 1: b ) 1. 266. a ) 1; b) 0. 267. a) 0; b ) 1. 268. a) - 1 ; b) 1. 269. a) - 1 ; b ) 1. 270. a ) — c o ; b) - f e o . 271. R e s o l u c i ó n . S i x 4= k n ( k = 0, ± 1 , ± 2 , . . . ) , eos2 £ < 1 e i/ — 0; s i, p o r e l co n tra rio x = kji} co s2 x ~ l o i/ = l . 272. y - = x 4 cu an do 0 < * < 1; y = y cuando * = 1; y = 0 cu an do x > f . 273. y = \x\. 274. y = — - cu a n d o a: < 0; y= 0 cu an do x = 0; 275. y = 1 cu a n d o 0 < x < 1; */ = x cu an do 1 < x < —> - y ; x 2 - =*-co. 278. n . 279. 2 * R . 280. I 284. lim ACn = ^ r . 285. la cu rv a y 5 j . 287. y = -— cu an do x > 0. 61 + co . 27G. ^ . 277. x j —> . 281. 1 y . 282. + 1 . e2 —1 286. Jt = l , ¿/ = 0; la recta y = x es a sín tota de Q^n} = Q0 ( 1 > donde k es el co e ficie n te de p r o p o r cio n a lid a d (« r e g la de in terés com p u esto»); Q í = Qo^,‘ , ■ 288. | i l > > -i; a) | * 1 > 1 0 ; b ) | * | > 1 0 0 ; c ) | x| > 10Ü O . 289. [ a:— 1 1< 0 < e < 1; a) |a: — 1 1< 0,05; b) |x - 1 1< 0,005; c) cuando |x - í |< 0,0005. 290. | x — 2 | < ~ = 6 ; a) 6 = 0,1; b ) 6 = 0,01; c) 6 = 0,001. 291. a) segundo; b) tercero, y , o) b) 3. 295. N o. 296. 15. 297. - 1 . 298. - 1 . 299. 3. 300. a) 1,03(1,0296); 0,985 (0,9849); c) 3,167(3,1623). Indicación. V 'i 0 = y ' 9 + 1 = : = 3 j / l + - ~ ; d) 3) 0.0095(0,00952); 292. a) í ; b) 2; c ) 3. 293. a) 1; b ) y ; 10,954(10,954). 4) c) J - ; d) 2; 301. 1) 0,9 8(0 ,9 8 0 4 ); 2) 1,03(1,0309); 3,875(3,8730); 5) 1,1 2 (1 ,1 2 5 ); 6) 0,72(0,7480); 7) 0 ,0 4 3 (0 ,0 4 1 3 9 ). 303. a) 2; b ) 4; c ) i - ! d) ~ L. . 307. Indicación. Si «J x > 0 , cu a n d o |A x | < x , tenem os [ V - M - A x — ~ f x |= |Ax | / ( V ^ - p A x + V 1) < | A x | /| /x - 309. I n d i c a c i ó n . U tiliz a r la desigualdad | c o s ( x - f A x ) — — c o s x |<¿ |Ax |. 310. a) x don d e k es un núm ero en tero; b) x =£ kn> donde k es un n ú m ero en tero. 311. I n d i c a c i ó n . U tiliz a r la de sig u a ld a d ||x + Ax| — |x| | < | Ax|. 313. /1 = 4. 314. / ( 0 ) = 1 . 315. No. 316. a) f ( 0 ) = n; b ) / ( 0 ) = y ; c ) / (0) = 2; d ) / ( 0 ) = 2 ; e ) / ( 0 ) = 0; f) / ( 0 ) = 1. 317. x = 2, es un pu nto de d isco n tin u id a d de 2a especie. 318. x = — 1, os un p u n to de d isco n tin u id a d e v ita b le . 319. x = — 2, es un punto de d isco n tin u i dad de 2a esp ecie; x ~ 2 , es un pu nto de d isco n tin u id a d e v ita b le . 320. x = 0, es u n p u n to de d isco n tin u id a d de I a esp ocie. 321. a) x = 0, es un pu nto de d isco n tin u id a d do 2a e sp e cie ; b) x ^ - 0 , es un pu nto de d iscon tin u id a d e v i ta b le . 322. x = 0, es un p u n to de d isco n tin u id a d e v ita b le , x = l:a (/c = ± 1, ±2,...) son pu ntos de d isco n tin u id a d in fin ita . 323. x = 2 n h - \ - ^ (k = 0 , ± l i d i 2, . . . ) son p u n to s d e d isco n tin u id a d in fin ita . 324. x = kji {k = 0, rfc 1, ± 2 , . . . ) , so n p u n tos d o d isco n tin u id a d in fin ita . 325. x = 0, es un www.FreeLibros.me 428 Soluciones pu nto do d isco n tin u id a d de I a esp e cie . 326. x = — 1, es un p u n to de d isco n tin u id a d e v ita b le ; a: — 1, un pu nto de d isco n tin u id a d de I a esp e cie . 327. x = — — 1, os un p u n to de d isco n tin u id a d de 2a esp e cio . 328. x = 0, es un p u n to do d isco n tin u id a d e v ita b le . 329. x = l , es u n pu nto de d isco n tin u id a d de I a esp ecie. 330. <2: = 3, es un p u n to de d is co n tin u id a d de I a esp e cie . 332. x = í , es un p u n to de d isco n tin u id a d d o I a esp e cie . 333. La fu n c ió n es con tin u a . 334. a) x = 0, es un p u n to de d isco n tin u id a d de I a e sp e cie ; b) Ja fu n ció n es con tin u a; c ) x=* Im (/¿, es un n ú m ero e n te ro ), so n p u n tos de d is co n tin u i dad do 1a e sp e cie . 335. a) x — k {/c, es un n ú m ero e n te ro ), so n p u n tos do d isco n tin u id a d de I a e sp e cie ; b ) x = k (k ^ 0, es u n n ú m ero e n te ro ), son p u n tos de d isco n tin u id a d de I a esp e cie . 337. N o , porqu e la fu n ció n y — E ( x ) es d isco n tin u a cu an do 338. 1,53. 339. I n d i c a c i ó n . D em ostra r, q u e cu an do x 0 es su ficien tem en te gran de, ten em os P xq ) P (xq) < 0. Cipítulo li 341. a) 3; b ) 0,21; c ) 2h + h* 342. a) 0 ,1 ; b ) - 3 ; c ) f ' a + h — f a ~ . 344. a) 624; 1560; b) 0,01; 100; c ) - 1 ; 0,000011. 345. a) a A x ; a; b) 3*2 A * - f + 3*(A*)* + (A»)3; f c é + M l r f t M * 4 « V T F B -V T ; f) in £ ± A _ ; x 348. = + . .) J _ i n (í + A ) . ¡\x V x / 3Í6. a) 15 cm /s e g . lim v -= 349. 7,5. 350. 352. a) Ax Aa>*0 ¿ ■ ~ * 2 -; b) A¿ „ i ; b) 0,1; c ) — A; 0 . 347. 21. + 351. L . A t = lim lim , d on d e Aí-v0 A i T es = lim 4 2 . , Af-*0 Q es la ca n tid ad d on d e 355. a) A - ; Ax b) c) — 0, 249; M ]¡m Aoc-í-0 la tem peratura en e l r lim - ^ L . 3 5 6 . a ) a^-*-0 A x * 2 . , d a n d o <p, es la tg (* -| -A g ) Ai = — 0,25. tg x _ in stan te de su bstan cia 6 357. / '( * ) = At-+Q A t m agnitud d el á n g u lo do ro ta ció n en e l in stan te U 353. a) = ' = so c2 x . Y AT dT ; b) - ¿ f — t. 354. 4r- = di en el in sta n te t, b) _ J L ^ _ 0 ,2 3 8 ; 12 Resolución. , im sen A x Ax-*Q Ax c o s x eos (x -{-A x ) = 1/= 1|m sen A x Ax-^0 Ax x X iim — --------- . 1------- - -- - — —. = se c2 x . 358. a ) 3*2; b ) ------Í L ; c ) i — ; Ax->0 COS X COS (’X -f- A x) COS2 X X3 2l / x d> — — “* 359. se U2 X = llrn A*-*0 -L - R esolu ción , f ( 8 ) = lim ^(8 + Am) — /(8 ) _ _ Í2 £ * ± % r li , Ax Ax-*0 Ax 8+ ¿ * ~ 8 lim ----------a *-*0 A x [ ^ ( 8 + A x ) 2 + i r ( 8 + A x ) 8 + l / 8 2] 1 Hm — 1 = . 360. / '< 0 ) = - 8 , / ' ( 1 ) = 0 , / ' ( 2 ) = 0 . ^ A x -0 ^ ( 8 + A s )2+ 2 ^ 8 + A s 4 12 361. s j = 0 ; s 2 = 3. I n d i c a c i ó n . La ecu ación / ' (x ) = f (s ) para la fu n ció n www.FreeLibros.me 429 Soluciones dada tien e la forma 3xa = x3. 362. 30 m /scg , 363. 1, 2. 364. — 1. 365. / ' { x 0) = — 366. — 1; 2; tg) / ' ( 1 ) = lim + ¿x->0 Ax Ax-*0 f A x Ax-*0 Ax (2 A r+ 1 i r.i»K t \ C0S ~ 0 ~ n + * X ) 1 = r - + c o ; a’¿ + 0 V ( A x^4 ) c) / l ( J Í + L r t ) - ^ 2 / L _ 2 ----------------- !_\ = Hm! Al A x -> -0 ———! = — 1 • / i \f S í2+2/ i /WAx-t+O lim A x ~ t+ 0 lim A* -* -0 =- Ai x X 368. 5 * 4 - A® Ax 1 í 5x2 — 4 + 2 x — 2x 3. 370, 2ax + b. 371. — . 372. matm~ i + i) a _1 i ííj7^*í> •I' —1» ‘1 + & ( /* + r t )í" W * i- i. 373. — = = = - 3 7 4 . -------------- 375. 2 x * — 5aT — 3 x - + v ^ 7 V f l* + & a *2 — 12x2 + 2. 369. 5 2 376, - I " 2 3 * I n d i c a c i ó n , ó 378. {bCr , at (c+ d x) 2 * / 383, y í — l+ 2 x A r c th x ----- ( l — * » )» — _ y 2 — V ^ T ~ i * x i + T X ... ■■ 423. (1 — 3 e o s ,) 3 . 398. 3 , 3 ln as. x 5 \2 c ) • 414. — ~ ~ co s x -1 °" + . ilL . r 424. ‘ 426. • 3 ^ rsen x x arctg x. * l / z * — i gx + . eos4 , 425. *2 son /, -r5 • '« l9- 420. 2 — 15 e o s2 x sen x . 421. --------- — . I n d i c a c i ó n , se n 3 2 1 4 22. . — . 394. ex ( c o s x - s e n x ). 397. 1 ? - j1*,,* ln 2 -' 41° - 4 ,s - 389. x 2 / • 385. . - r í r a r - T * 4 0 í**+•<*■■ 404> - 3 ( * l | i * + 8h * c h * ) x l n 2 x .s h 2 x 1 x — “l / x * —1 Archa: — are son x . 4 0 7 .------ ------- . — . . Arsh xA x 1--— y « ( l — V «)a x + 1 — x~ r —? . 393. — m 403_ 4 ,2 .1 6 ,(3 + 2 ^ 4 1 3 . 416. a r e s e n x -f 390. s x ( are sen asH + = • 1 . V > 1 — x* ) 2» c h « ^ 9 h * ch 2 x , , k — 2x2 1 405. r . 406. — ----------------- - L ‘ j 3x2 ^ * 3x f x* xa (2 x -l)2 ~2 ~ • 388. se n x 399402. 377. -— -------------- ■ 384.--- ------ — . se n 2 2x (sen x — eo s x )a 390. * • « * (* + 7). 391. x eK. 392. ex fAn 408- xd. , 380.--J ." 4*-...-. 381. (x 2 _ o x -h o )2 3 86. y ' = 0. 387. c tg x 395. * * e * = _ • 379.~ 2f .^ f r + 2° 382. 5 c o s x — 3 s e n x . 8 cos4 x www.FreeLibros.me 12«6 + 1862¡,. 4 ,5 . . ----------~ 1-;----------. 2 sen 2 x l/c t g x x — sen’ -2 ¿ + c o s - 2 1. i 3 c o s ,+ 2sen , 2 V 15s e o * — l O c o s , 1 2 " j/l — x2 l / i + arcsen x 430 Soluciones 427 í ______________ 3 (aresen x ) 2 2 (1 + * * ) (/a r c t g x 429. /9 a ]/ \ — a* ' ..... .........— 1_________ ' ( 1 + x 2) (a rctg x )2 • * + -+ * *< *-2***2 5 l,i* x 2 l/ * « » + * 3 / ( 2 « * — 2 * + 1 )» * X e o s (a:2— 5 x + 1 ) ------------ --------- . l 2 COS2 — 433. — a s e n ( a x + (5). 434. ‘ s e n (2 í + cp). X 435. ■ ' 436. ' 440. ~ J = r. 2 J /x — x 2 441. -T Í -. 1+ *2 444. — Zao-1-* ln 5. 445. 2 x l0 2* ( i + x ln 10). 447. -2 - - V — “ “** v r = ^ - 1 xlnx ' ~t~ TT“i— . 448. M 8- -1 . 437. x c o s 2x2 son 3 x 2. 439. se n 2 — ' ...................................... a 442. 1+x2 . 451. r= ^ J 2 ,1 1 1 X --------( £ ^ + 5 co s x ) V i - x 2- 4 _ 453_ (** + 5 s e a s — 4 arcscu x ) ]/'1 — x 2 ’ ' 1 < l + lu a * ) * ^ * 45/l*---------. * Resolución arctg x x * x X 3 sen 3 • 2x H ]/ \ n x + \ sen3 5a; ^ c o s 2 -^ -j . 456’ r= 2 (\ x -\ -x ) = 4 x 4 -3 < x -2 )3 • 45 • 460. 462. fl + J A )3 f x x5 f ( 1 + x 3) 2. . . . . 463. , o, o < iw i C. «U 4 x 3 (<j— 2x8) (a + 5x3). rec 466. Q— 3x 3 se n 2 5x c o s 5a;. 5 e o s 2 1 y ( o 2+ x 2)» ^ ,„ 0 4o8, 461. 464. X x7 ( l - x 2)3 22 1/(1 + x 2)3 1 y ( x _ í ) z { x + 2 )i X3 — 1 r - r. . 467. (a — bxn)™+1 ( * + 2)c 3 x 2+ 2 ( g - f & 4 - c ) x + q ¿ + ^ + nc 2 | / ( x + a ) (x + ¿?) (x + c) 470. -------- i ” 2 V_Í . 4 7 i. 2 (7 í + 4 ) f 3 T + 2 . 6 V’y $ (y + V i ) 2 473. — - 4— ■y e x _|_ j + 2 f l 5 m * X n *“ 1 { a — bxn) w'"1 469 2 “j / t í _ a : 455. x 2 + 4x — 6 (x -3 )6 • l Z l . .... x 2 1 /2 * * — 2 x + l . . 1 x 2 = l o se n 2 5 x co s 5a; eo s2 - y — s en3 5 x co s 459. 468. - 1 0 x e “ * a. 452. ' x / x \ 1 + son ° 5a:-2 c o s g ^ — s o n - ^ J ~ / t Rrz 443. 446. se n 2 ' + 2 < t co s 2 ‘ ln 2. S - 4 - S - . 449. c t e x l g e . 450. 2 T + T - 449« o - y ' = (sen3 5 x )' e o s2 ~ 465. . * 1 /^ -1 ' 472. y_“ V(2<w - vs)a 474. sen3 x e o s2 x . 475. ;— ------ -— sen4 x e o s4 x . 476. 10 tg 5 x se c2 5x 477. x e o s x 2. 478. 3 í2 se n 2 ¿3. 479. 3 c o s x c o s 2 x . 480. tg 4 x . 481. /o o 406. (a — 8 )s e n 2 x 2 l / a so n 2 x + 485. e o s2 x roo . ‘lo o . C° S T* se n 4 x n 0 1 aresen x (2 á rceos x — aresen x ) U. UO'i. -j:-------------------------- ............-— ------ ——---* — J = . 486. 4 . 478. x ( / 2 x 2 —1 ' ' 1+*2 ’ ' ( 1 — x 2):1/2 www.FreeLibros.me . 488. ‘ ' Y a — iix2 Soluciones 489. 431 l / ± ~ - \ a > 0 ) . 490. 2 V s » - j í ¡ » > 0 ) . 491. v a-\-x 493. y i - 2 5 * 2 arcsen 5* . 494. , 1 , ? L _ . 492. arcsen ~ / x . y 2x — x 2 . 495. S0U “ l-Z xcosa + x* * 496. 7. 497. l / r 2" • m , f ; • 499. ~ y ¡S S . o + 4 sen 2: r —x 1 + eo s2 ce 2 v 500. sen 2 x <?sen2 *. 501. 2m*p(2mamx+ b ) P - l a ™ \ n a. 502. (a eos ( k - f i s e n pt). 503. ¿a * s e n f jx . 504. e~* eos 3er. 505. x " - i a “ *2 (rc — 2 x 2 ln a),. c t g i 506. - y y tg 2 (1 + y c o s í ln a). 507. 509. ■ L - ■ 510. y a2_|_22 ‘ ’ 513. — -p-tg— 514. - # # + « ■ ( , ^ 518. 521. — í -(—y x ¡ ¡ : - ^ „ ~ 6t { 3 — 22a) ln ( 3 — 2 z3) ' . ~ -------+ 7 (z s e n - ) 511. ¿ iL ^ x ü 2 • 519. a ^ Z tX c — , _ „1...— ■ 513. y 2fl2 + 22 indicación. l 8 r ■ ™ - .I T O S i- 2 senJ x 524. ' ~ 2 z ln » * y = 5 ln ( * — 2) — 5 ,L L5-a n>.<* * + »>. . ax + b 522- y 2 son I11 2 . 523. * 2— a 2 • 508* 520. " ’ y ^ X Í * ’ V í ± í l . 525. 4 ± i - x ce11— 1 sen ax 526. ;- Í - ^ |2arosen 3* ln 2-|-2 (1 - á r c e o s 3 * )]. 527. (3 003 " * ln 1/ 1 “ **/x \ a eos ax eo s bx-\~b se a a x sen hx * c o s 2 ¿?x " * 1 1 + 2 sen x ’ 530. — _ 532. i + l í L í + _ _ l . 531. y T ^ x i arcsen x * \ * y i — ln í* * t2 ? O x2 . * , • 533. --------- y = . 534. , *■> + * * - 2 e o s x y sen x r.,q * ° * 6 sh2 2 z -c h 2 * . 538. 539. 6 til2 ¿‘ x (1 — th 2 2 * ). 540. 2 c t h 2 * . 541. 2 ■ | /a 4 + x 4 536. 543. 548, .. a rcs cn ,f, 537. - 1 * ( l + ln * * ) * 3x , . 1 1 535. i+ z * . e " * ( a c h g x + p s l i p * ). 542. 1 x *\/ln2 x — 1 .— L _ _ . 54/,. . 545. , 2 , . 546. x A rth x . 547. x A rsh x. eos 2x sen x 1—x¿ a) y ' = 1 cu an do x > 0 ; y ' — — 1 cu an do x < 0; y' (0) n o e x iste; '—1 para * < 0 , ^ b ) y ’ = \2x\. 553. . 1______ x ( l + ln 2 x) 6jc. 554. C) / : ( 0 ) = í , 555. 1 — x. 549. a) X 550. / ' { * ) = /:< 0 ) = - l , / ; (0 ) = 0; d ) / : { 0 ) — e- * para x > 0. fí.(0 )-l; = /;(0 ) = b) fL (0) = 0; e ) / l ( 0 ) 2 * . / ; {0 ) = - = ¡ L . y /;(0 ) 556. 2 + - ^ y ^ - - 557. — 1. 558. 0. 561. R e s o l u c i ó n . www.FreeLibros.me 3 n o existen . T en em os Soluciones 432 y ' *= e~ x (1 — x ). Com o e ~ * = , s e tie n e y /= 3 “ ( 1 — * ) 0 b ie n 566. 2 (1 + 3*) + 568. ^ ~ 4 , + 2 2 1 /1 (1 -1 1 (1 -2 )» 5C7. (1 + 2a:) (1 + 3z) + - í í + ^ g í ! W ^ ( * + l ) * ( 2 + 3)» . y 1 3/ I E I K *s+ l ‘ * ) (1 + 570 = y (1 — x). 3 (* + 69 1) (4 + 2a¡). 3x^ 5 3 (x 2 + l) x (* -2 )8 («»-7 * -H ) <* — 1) (x — 3) V ( x — l ) 5 (x — 3 )« ' ’ 5 7 1 . -------------------- 5x2 + -x - 2 4 ----------- 572_ ia :(1 + in;E)í 573. ***+ 1 x 3 ( x — 1) /a ( í t 2 ) s^ ( i - | - 3 ) 6/! X ( i + 2 ln X). 574. y i 1 * X ( - ~ H-lnar + l n S s J . 577. x * Qnx ^ X (eos x ln c os x — son x tg x ) . (arctg x ) x [ ln a rctg x + — b> - * 585- -ife ft. 590. - A tg f. 591. ■ s •> — 586. 5 t g 3í. — y 608. *° 10— 3 co s y ’ 612. ( , + ,,)«. 616. A ± A . 617. y + ln ( * + - : ) ~~ \ \ - x ] 592. 599. 602. ln , J . 576. * * * * * x . y COs x ln a ) . 578. ( c o s x ) 8 e n x X 3SL= " - “ 1 +5e^ . • i 581. a) l i - 5831 T 7 T 588. N o . 600. Si, y a q ue 603. tg t. ..609. — 1 . 6 1 0 . * ‘ ^ rá r»- 589. -A . 593. -2e=». igualdad o s una — A¿,2l . 6 0 4 . -----------------A 2¿/) ■, 3 ( x 2 — y~)-\-'2xy *- y * 1+3xy*+ W ~ - r J L £ £ £ l | _ . G il . ’ V 1 — x c o s ,¿u ' ' x 613. J^ + <rar— ¿/ "J/S* 4 . ^2 esta 2tJ2 607. j ■ 3 ( l '+ ¿ » ) ' ; |£ = { ~ J j ¡ ¡ J ¡ < ¡ ¡ ' . fl2y /V 3/ 7 — . 606. — y — . 605. J4 + » T | T . 587. - ^ A t ^ - . 594. t g f . 596. 1. 597. c o . id entidad. 601. 575. 579. 580. - . 614. f + . * . ^ ~ x2~ V 2 l + x* + y* 615. ' ' - A j. . B18. * ¡ 5 £ = 2 . i L . 620. a) 0 ; b) A ; y \nx — z x 2 9 c) 0. 622. 45*; arctg 2 s* 6 3 °2 6 '. 623. 4 5 °. C24. a rctg - i ^ 3 6 ° 2 1 \ 625. (0; 20); e (1 : 15); ( — 2; — 12). 629. 633. a) i/ — 2 x; y = — 626. (1; — 3). 631. y—5=0; 627. y = z * — x - (-1. * + 2 = 0. 632. 628. Ar = ^ l . o: — í = 0; y = 0. b) x — 2y — 1 ^=0; 2 * + p —2 = 0; c ) 6 * + 2 y — n = 0 ; 2 x — 6 y + 3 ? t = 0; d ) y ~ x — 1; y = 1 — x ; „ e ) 2 x + y — 3 = 0 ; z — 2y + i = Q para e l pu nto (1; 1); 2* — ^ + 3 = 0 ; x + 2 y — 1 = 0 para ol p u n to ( — 1; 1). www.FreeLibros.me Soluciones 433 634. l x — lO y + 6 = 0, 10* 4 - 7 y — 34 = 0. 635. — 5 a -j-6 ¡/ — 13 = 0, Gx— 5 y + 2 1 = 0 . = 0. 636. 1 y = 0\ (-*t + 4) — 4) y — 637. s - f ^ — 2 = 0. o- ; en el p u n to (2 ; 0 ); y = — * 4 - 2 ; 638. En e l p u n to (1; 0): y — 2 z — 2; y = O y = * — 2; en e l pu nto (3; 0 ): y = 2 x — 6; = í . 639. 14* — 13^ + 12 = 0; 1 3 * 4 -1 4 ^ — 41 = 0 . 640. I n d i c a c i ó n . L a ecu ación d e la tan gen te es x y o----- r - ^ - = 1- P o r c o n s ig u ie n te , esta tan gen te corta a l e je O X en e l punto ¿X q ¿y q A (2 * 0, 0) y a l e je O Y en o l p u n to B (0, 2y 0). B uscando ol p u n to m e d io del se g m e n to A B , h a lla m o s e l p u n to { x Ql y 0). 643. 4 0°36'. 644. En el pu nto (0, 0) las p a rá b o la s s o n tan gen tes en tre sí; en el pu nto (1, 1) se cortan b a jo el á n g u lo de a rctg y ^ 8 ° 8 ' . ' 647. S t = S n = 2\ 652. F = 2 a s o n y I g y ; /V= 2 a s e n y ; 653. a rctg . n == a V i 4 - 4 ji2; 654. y -f2 r p . t g p = 2xt. t = n = 2~\/2 . 648. S t = 2a sen2 y t g y 655. S t — 4jz*a; S n = a\ 656. ^ í = a; ¿4 = ~ 9» ; ■ * ■■ ln ¿ Sn = a$<znt. í = 2rt« ~\/\ + 4 íi2; ¿ = " [/a 2 -j- p j • « = -£ 2 - V /fl24"Po í t g / x = — cp0. 657. 3 c m /s e g ; 0; — 9 c m /s e g . 658. 15 c m /s e g . o 3 659. — y m /s e g . 660. La ecu a ción de la tra y ectoria es y = * t g a — — ¿- r ? g — x2' 2f*g co s¿ a ^1 a lca n ce es igu al a - v° 5ea â — . £ i/ «^2— 2i»o£í so n a 4 - £ 2¿2; o l c o e fic ie n t e an g u la r del v e c to r a ' Indicación, Para d eterm in a r e lim in a r e l p a rá m etro t d e l sistem a d ad o. pu n to A (d ib u jo 17). Las p ro y e ccio n e s de ^ y . L a m agn itu d do la v e lo c id a d de la v e lo c id a d ostá d ir ig id o p or de v e lo cid a d la v e lo cid a d tra y e cto ria hay que E l alcan ce es la abscisa del l a v e lo cid a d so b r e lo s o jo s : j/* la la La " ^ ( ‘5 /“ )* ’ e* v e cto r tan gen te a la tra y e cto ria . 9 9 \ ( y , y j . 663. La d ia g on a l crece c o n una v e lo c id a d de ~ 3,8 c m /s e g , e l área, co n una v e lo cid a d de 40 c m 2/s e g . 664. E l área d e la su p erficie crece co n una v e lo cid a d do 0,2.ti m 2/s e g , e l v o lu m e n , co n una v e lo c id a d d e 0,05jt m 3/s o g . 665. ~ c m /s e g . o 666. La m asa to ta l de la barra es de 360 g , la den sid ad en e l pu nto M es ig u a l a 5 * g/ern , la densidad en e l pu nto A es ig u a l a c e r o , la densidad en e l p u n to B 669. 2 e o s 2 x. 670. 673. es de 60 3 (i+ *2)2 g /c m . 667. ■ 671. ..... — -------- . 672. 2 a rctg x - 1 y ( aT + £ S ¡ 3 ° !+ * * • - r ^ — s + J i 5 S ? -e” Í L . 674. — a 1 — x 2 1 (4 _ 22)V 2 6 81. yv = • 682. 56*6H -210*L 668. ch — . 679. g » = 6. 680. a ex2 (4 * 2 + 2). / " ' (3 ) = 4320. y V I = — 64 sen 2 * . 684. 0; 1; 2; 2. 685. www.FreeLibros.me La v e lo c i- Soluciones 434 dad v = 5\ 4,997; 4,7. La a celera ción a = Q; —0,006; — 0,06; —686. La le y d e l m o v im ie n to d el pu nto ilfj es a: = a c o s 0 í; la v e lo cid a d e o e l m om en to t es ig u a l a — <zü)seno)¿; la a ce le ra ció n en e l m om en to t : — ao> 2 c o s c o ¿ . La v e lo c id a d in icia l es ig u a l a 0; Ja a ce le ra ció n in ic ia l: — gcú2; la v e lo cid a d cu an do x = 0 : eco; la a celeración cu a n d o z — O: 0. EL v a lo r m á x im o do la m agn itu d a b solu ta de la v e lo c id a d : g(ú. E l v a lo r m á x im o de la m agn itu d a bsolu ta do la a ce le ra ció n : gcd2. 687. y<n ) = nlan. 688. a) n\( 1 — s ) “ <n+1), b) ( ~ l ) * + i * -3 . . . ( 2 » - 3 ) _ 6g9_ a) aen ^ + b ) 2 „ c o s ^ 2* + » - ^ - ) 2'n - x n~ 2 c) ( _ 3) » ^ * ; d) ( - I ) '» - ! W .; (1+ 2)" ’ g) 2 " - i s e n j"2 * -h (n — 1) - 2 - ] ; /¡) ^ e) ' 4 ( l - ( - 2)n +l ^ b ) 2" - i e - 2« [ 2 { - l ) n 2 ü + 2n ( - l ) n- 1 g + x c o s ( 2+ — í ) - 7T ~ v , ' ■ «9 0 . ( — 1)«~2 j — n ( n — 'l ) c ( , s —2«2C0S ( z + ~ n 2^ n ) 2n¡r ; ’ a) *•<:* + « « * ; c) (1 - z 2) X (z —) 2 6 9 Í. y < » > ( 0 ) - ( R - l ) ! 692. a) W ; b ) 2¿2+ 2 ; b) - 1 / 1 = 7 5 . 693. a) “ c) — -------; . . t 4a se n 4 - 2" *>) (1 + *■); b ) • 696. b) — r * óa eos '1 1 sen t 695. a) (1 + 699. _ 7tíd’ m 709. ; á) (c<M>- 2^ ,)3 • 697. ( g h Ax = Aó* — 2rArc + (Aa:)2. 717. C uando z = 0. 718. A , — j i j - »»0 ,0 0 0 3 7 . t í^ 727. . 694. a) 0 ; b) 2e*al )^ - 1 3 ctg *i> m 4 ^ (2 3 eni - - c o s 0 - 7QI> _ 6 e 3 i (1 + 3 f + t l ) . 702. sen t (sen í + c o s t)b - / '< * ) . * * _ 3 ! / '( * ) ! • - / '{ * ) / " { * ) ™ p* ¿ F - [ /'( * ) ] » ’ dy’J ( /'( * ) ] » ‘ i/3 ** tív , 2í/2_j_2 y . d*x 1 “ "flápT • 707— • 708- - £ S — ( ! _ „ ) • ’ dyS— y T .1<4 ^ 1 2o* |¿g . 710- — ¿ - . 7 1 1 . a) b) 712. Ay = 0,009001; d*/ = = 0,009. 713. d { i ~ ~ x 3) = l cu an d o x ^ i 720. at send t ¿7 F l n .* ' ra - 728. = y 721. dj - i f e r - * § - . 720. — N o, g— . 719. 714. ífy = — « . 0,0698. ¿L? — 2*A:e 0, 0436 722. L ± í£ i3 L 730. / ‘I » ---------- — _JL *—U U2— x e » "*• __ 732. - ± 1 2 -f e 7 * + 5y 733. - ■ www.FreeLibros.me — z —y * 435 Soluciones 735. | | dx. 737. a) 0,485; b ) 0,965; c) 1, 2; d) - 0 , 0 4 5 ; e ) - j + 0 ,0 2 5 ^ 0 ,8 1 . 738. 565 cmz . 739. y T « s 2,25; _ V 'Í 7 a* 4,13; 1 / 7 0 ^ 8 , 3 8 ; 1 /6 4 0 « í 25,3. 740. ] ñ ó ^ 2 , 1 6 ; f 7 0 « = 4 , l 3 ; f 2 0 0 ^ 5 ,8 5 . 741. a) 5; b) 1, 1; c) 0,93; d ) 0,9. 742. 1,0019. 743. 0,57. 744. 2,03. 748. — . 749. ( i i 2 cosz sen o: \ , , I — sen x ln x-\-------------------------------- 1 (dx)*. 750. ... 751. . 21n * — 3 S2 ^ -------- (dx)*. 752. — « - « ( ^ - e a + e ) ^ ) » . 7 5 3 . - ^ ^ - . 754. 3 -2 n sen ( 2 z + 5 + ^ ) (£ c)n . 755. e x cos a son ( x sen a -*(- n a) (dx)n . 7 5 8 . N o . E l p u n to 762. | = 0. 763. _ l . ( a - l ) 2+ x= ~ 2 ( 3 ~ í>3 , d on d e . . .+ — ^ T T á l’ t f — 15 773. iw ( 1 + **)*/* El e rro r £= ^ -í donde 5 i = 0 ti , ^ i - f- 2L j / ’ (2) e x isto. de la fu n ción . 770. 769. s e n x = sen x = x — ------ e* = 1 + s + - | j - - ¡ - - | j - . 772. El 6™®*5 O <0<1. = — ¡-. 775- R e s o l u c i ó n . T en em os sáT » <1 + —J)8/» ^ no 0 < 6 < 1. 0 < 0 < 1. 2 = que *>) 6 — J * 768. l n z = ( x - l ) - O < 0 ,< 1 ; d on d e m on or de ■» ya £= l+ 0 ( * - l) , £2= 0 2z , O < 0 2 < 1 . ib > "fti81 es a) dondo — -| | -co s| 2, N o, un pu nto d e d iscon tin u id a d (2 , 4 ). 765. = x — £ L + ^ | -co s g „ a) es 757. en a m b os ca sos error: ” 2 î _ . D esa rrolla n d o a m b os factores en poten_i_ cia s de x, ob ten em os: + + 1+ y ^ M u lt ip lic á n d o lo s , ten d rem os: “j L u ego, d e s a r ro lla n d o e?K/a en p oten cia s 778. _2 para »> 1 ; a 797. — 1. 799. 806. 1 — . 807. para ¿ n = 1; 808. 1. ^ co . 779. 1+ * + “ J” + "g“ T * p o li- 1. 780. 3. 781. y . n . 786. 1. 788. — . 7 8 9 .1 . 790. 0 .1 91. a. 792. c o ji 0 1. 800. e 3. 801. 1- / ^ de - j - » ob ten em os el m ism o n o m io eT as l + ‘7 + - ^ - - 7 7 7 . ------1 - , 782. 5. 783. c o . 784. 0. 785. * ( * — ¡7 ) 810. para r c < l. 1. 802. 1. 793. 0. 795. 803. 1. 804. Indicación. H a lla r — . e el D . 7 9 6 .^ . 1¿i 805. — . e S Iim ~ s - 28* www.FreeLibros.me 436 Solucione& dondo ^ = R2 ( a — sen a) es la ex p resión ex a cta del área del segm en to ( R t es e l ra d io de la circu n fe re n cia co rre sp o n d ie n te ). ca p ítu lo III 811. ( —'C o, — 2), cre ce ; ( — 2, c o ) , decrece. 812. ( — c o , 2), d ecrece; (2, 0o ) ’ crece. 813. ( — c o , c o ), cro co . 814, ( —-o o , 0) y (2, c o ) , cre ce ; (O, 2), decrece* 815. ( — c c , 2) y (2, c o ) , decrece 816. ( — c o , 1), crece; (1, o o ) , decrece. 817. ( — o o , — 2), ( — 2, c o ) y (8, c o ) , decrece. 818, (O, 1 ), decrece; (1, c o ), crece. 819, { — c o , — 1) y (1, c o ) , crece; ( — 1, i ) decrece. 820. ( — c o , o c ) . crece. 821. 823. ( — c o , 2 ), d ecrece; (2, c o ) , crece. 825. ( — c o , ü) y (0, 1), d e crece; (1, o o ), crece. S27. = tt- ^0, — ^ , decrece; ^ — , co ^ , crece. 824. 822. ( — o d , a) 828, N o hay e x tr e m o - 830* înín = 0 cu a n d o ( — 2, 0), crece. y (a , c o ) , decrece. Q ymáy = cu an do x = x~0; jfIIlIn=».0 cu an do * = 12; |/máx = 1296 cu a n d o x = 6. 831. y mía — 0,70 cu an d o x ^ 0 , 2 3 ; y lnáx = 0 c u a n d o x = 1; pmín — 0,05 cu a n d o x ^ 1,43. G uando i = 2 n o h a y e x tre m o . 832. 9 N o h a y extrem o. 833. ymóx— - 2 cu an d o x = 0 ; ym ín= 2 cu a n d o z = 2 . 834. Z/má3C= = ^ 2 — ; y mía = 3 y 3 cu a n d o x — y 3 cu an do x = 3 , 2. 835. y máx— — 3 V 3 cu a n d o x = 2 — = —p . v 3 = —2 y 836. 3; y m áx= l cu a n d o i/m(n = y 3 ^máx cu an d o * = 0. 837. y íaÁX = — cu a n d o z = 2 ]/3. 838. y mfn = 0 839. f/mIn= — x^=0. cu a n d o x = cu an do x = 4 2 /e ji; ± 1 . =fc2, . . . ) . 843. = 4 -(-y ji j í/májc — 5 eo s e o s c u a n d o x = 42 i = 0. — i/IüálX = V 2 l/3 ft==0> i cu a n d o k ± —■^ jt; 0mf n = l cu a n d o cu a n d o 1» ± 2 f . . . ) . x = l2 ^ cu an do cu an d o x — x = ( /e— y jn ; M = y 5 x = 6 ( 2 k + 1) a (/c = 0, 841. ym£ll= 0 cu a n d o x = 0. 842. y rüíli= — ~ cu a n d o x = y 1 cu a n d o x = 845. y m Iü— — — El ji; 840. . í/Illáx = 5 cu an do v a lo r m ín im o cu a n d o x = l. es 851). . í/m(ll = 0 cu a n d o x = i . 844. y mln — 1 cuando x = — 1. 846. ífmfn = 0 cu an do y máx « - ^ - c u a n d o x — 2. 847. y m£n = « cu a n d o x = l . 848. N o h a y 849. x = ±\\ 1 m = — y cu a n d o m= 0 cu a n d o a s= — 1; x= 0 y el x = 10; v a lo r x = 0; extrem o. m á x im o Ai = 5 cu an do x ~ 5 . 851. m — -i* cu a n d o x = (2fc + l ) - j - ; A / = l cu an d o x — “y ” (/c = 0, ± 1 , ¿ 1 2 ,...). 852. o t = 0 cu an do x = l ; A/ = n cu an do www.FreeLibros.me x = — 1. 853. m = —1 431 Soluciones cu an do x — — 1; M — 21 cu a n d o x = 3 854. a) m — — 6 cuando x = \\ M — 226 cu an do x = 5; b) m = — 1579 cu an do x = — 10; A /= 3 7 4 5 cuando x — \2. 856. p — — 2 . «7 = 4. 861. Cada u n o de lo s sum andos debo so r igual a y . 862. El re ctá n g u lo debe ser un cuadrado cu y o lado os ig u a l a 863. Isós celes. 864. E l la d o de la su p erficie, que está ju n to a la pared, debo ser d os veces m a y o r que ol o tro lado. 865. E l la d o del cuadrado qu e se recorta dobe so r igu al a -g -• 866. I ai altura de la base. 867. A q u é l, c u y a a ltu ra 868. La a ltu ra d el c ilin d r o , es el r a d io de la esfera debe ser d os veces m enor que el lado i e.s igu al a l diám etro ra d io de Ja base. do su baso, R " j / * y , donde R dada. 869. L a altura del c ilin d r o es R ~[/2, donde R es el r a d io d o la esfera dada. 870. La altura del c o n o es - j i i , don d e R es el 4 radio de la esfera dada. 871, La a ltu ra del c o n o es — R, don d e R es el ra d io 4 o $ de la esfera dada. 872. E l ra d io do la base del c o n o es -L-r , don d e r es el ra d io de la base del c ilin d r o d a d o. 873. A q u él, cuya altura es dos veces m a y o r q u e e l d iá m etro de la esfera. 874. c p = ji, es d ecir, la sección del ca n a lón tiene form a de se m icircu n feren cia . 875. El á n g u lo cen tral del sec tor es 2 n / ? . 876. a cero, es d e c ir, 2 = a ltu ra e i recip ien te 22 — d*)^, 878. La ¿x0 de la debe parte c ilin d r ic a ten er form a + - í í - = i . $79, L os ¿1/q la d o s del debo ser igual do sem iesfera. rectá n g u lo son 877. h — a \/2 y b d on d e a y b son lo s corresp on d ien tes sem iejes de la elipse. 880. Las co o rd e n a d as d e lo s v é rtice s del rectá n g u lo, situ ados en la paráb o la ^ - j a , ± . 881. ^ ± y = , a la m a y o r de la s m agn itu d es árceos j . 882. y arctg K 884. -L j. ~ 885. .) “ — V ^ il(iQ' — f e b) d , - f e . \M m. El á n g u lo es igual . 883. A M ■— a **<■•» • ^ l P + f g — i / Indicación. 1 . 886. C uando el ch oqu e do la s d os esfera s os com p letam en te c lá s t ic o , la v e lo cid a d que adquiere la b o la in m ó v il, de m asa m1$ después de prod u cirse el ch oqu e co n la de m asa m2, que se m ovía c o n v e lo c id a d v, será igu al a — . m i i ^22 888. n = (s i este n ú m ero no es en tero o n o es d iv is o r dol núm ero N % se tom a e l n ú m oro en tero m ás p ró x im o a l v a lo r o b te n id o , do N ) . C o m o la resisten cia in tern a de la batería es igu al a fís ic o do la s o lu c ió n oncoutrada o s: quo la rosistencia www.FreeLibros.me quo sea d iv is o r , el sentido interna do la bate- 438 Soluciones ría deberá se r lo m ás p róxim a p o s ib le a la resisten cia ex terior. 889. y = 2 891. ( — oo, 2), cón cava hacia a b a jo ; (2, c o ), cón cava hacia arriba; M (2; 12) pu nto de in fle x ió n . 892. c o , o o ), cón ca va hacia arriba. 893. ( — c e . — 3), cón cava hacia a b a jo; ( — 3, c o ) , cón cava hacia a rriba; no hay puntos de in fle x ió n . 894. ( — o o , — 6) y (O, 6), con ca v id a d es hacia arriba; ( — 6, 0) y (6, c o ) , con ca v id a d es hacia a b a jo ; so n pu ntos de in fle x ió n : - - , 0 ( 0 ; 0 ), M z ( 6; -| ) . 895. (O, y 3 ), con cavidades hacia a rriba ; ( —”1 /3 , 0) y (V §, hacia a b a jo ; so n pu ntos de in fle x ió n : M it 2 ( 896. ((4 A + l ) - y , (4A + 3) (4/c + 5) x ió n : (-c o , , con ca vid a d hacia abajo (* = 0, ± 1 , ± 2 , y con ca v id a d es y O {0\ 0). od), 0) - 5 - j , con ca vid a d hacia a rriba . |/5) - ^(4/c + 3) , pu ntos de in fle — ^ (2 /c -}-l) - í - i 0 J . 897. (2foi, {2 * + 1 ) íi) , co n ca v id a d hacia arriba; <(2/r—- 1) ji, 2A n ), co n ca v id a d cisas de lo s puntos hacia do in fle x ió n hacia abajo; ^ ^ L - , a b a jo ( A = 0 , ± 1 , ± 2 , . . . ) ; son x =>k n . 898. ^ 0t 00 j , co n ca v id a d hacia arriba; M la s abs con cavidad ^— — * p u n to de in fle x ió n . 899. ( — o o , 0), co n ca v id a d hacia a rrib a ; (0, c o ) , con ca vid ad hacia a b a jo ; 0 ( 0 , 0 ) , p u n to d e in fle x ió n . 900. ( — c o , —3 ) y ( — 1, cx>), con ca vid a d hacia a rriba ; ( — 3, — 1) co n ca v id a d b a cía a b a jo ; p u n tos de in flo x ió n son W , ( — 3; y M 2 ( — 1; . 901. x = 2\ y = 0. 902. 3 = 1, x = 3; y = Q. 903. = y = l . 904. y = x . 905. y = — x (izq u ierd a ), y — x (dorech a). 906. y = — 1 (izq u ierd a ), y = 1 (d erech a). 907. x = ± 1 , y = — x (iz q u ierd a ), y = a:(derecha). 908. y = — 2 (iz q u ie r d a ), í /= 2 x — 2 (d erech a ), 909. y = 2 . 910. a; = 0, y = 1 (izq u ierd a ), y = 0 (derecha). 911. £ = 0, y = 1. 912. y = 0. 913. x = = — 1. 914. y = ar — re (iz q u ie rd a ; y = ar+ rt (derech a). 915. y = a. 916. y ,náx = 0 cuando i = 0 ; y mjn = — 4 cu an do s = 2; el punto de in fle x ió n es M\ ( 1, — 2). 917. y máx = 1 cu an do x = ± V3; x ió n es M u 2 ( ± 1; y mín — 0 cu a n d o a: = 0; ol p u n to de in fle ymáx = 4 cu an do x = — 1; ymín = 0 cuando * = 1; ol pu nto de in fle x ió n es M i (0; 2). 919. yináx = 8 cu an d o a: — — 2; yinín = 0 cu an do x = 2\ el pu nto de in fle x ió n es M (0; 4). 920. * cu a n d o x = 0; lo s puntos de in fle x ió n son M it 2 ( ± 1 / 5 ; 0) y Af3l 4 ^ ± 1; ^ ^ 5) • 921. l/,4,áx = — 2 cu an do * = 0; y mfn = 2 cu an do x = 2; las asín tota s so n a: =■ 1, y = a : ~ l . 922. L o s puntos de in fle x ió n so n M t , 2 ( ± 1 , ± 2 ); la asíntota es a: = 0. 923. y má x = ‘ - 4 cu an do 1; y njín = 4 cu an d o x = l ; la asíntota os x = 0. 924. y infn = 3 cu an do 2 = 1; el pu nto do in fle x ió n es M ( - l T 2 ; 0 ); la asíntota es 2 = 0. 925. tfmóX= - g son il í1>2( ± 1; asíntotas son cuaDÍ*0 * = lo s p u n tos de in fle x ió n ; la a sín tota es y = 0. 926. y m¿ x = — 2 cuando 2 = 0; las x= ±Z e y = 0. 927. y,n ín = — 1 cu a n d o 2 = — 2; y m áx= *l www.FreeLibros.me Soluciones 439 in fle x ió n son 0 ( 0 ; 0) y M it 2 ( ^ 2 y 3; =F cu a n d o x = 2; lo s p u n to s de la a sín tota es y = 0. 028. y mAx = l .1 /^ 5 ; ; las a sín tota s s o n x = 2 e y — 0. 929. El p u n to de in fle x ió n es cu a n d o x ~ 4 ; el punto de in fle x ió n es 27 8 e y = 0. 930. y má x = “ ^ cu an d o x = 0 ( 0 ; 0); la s a sín tota s x = ± 2 las a sín tota s son x = 0, i = 4 e y — 0. 931. y máx = ~ 4 cu an d o x = — 1; I/mf n ™ 4 cu a n d o * = 1 ; la s a sín tota s son x = 0 e y = 3 x. 932. .<4(0; 2 ) y D (4; 2) son lo s p u n tos e x tre m o s; J/,Q5X = 2 y ¡ 2 cu an d o a; = 2. 933. 4 ( — 8; — 4) y D (8; 4) ñon lo s p u n to s de lo s e x tr e m o s . El p u n to de in fle x ió n es 0 ( 0 ; 0). 934. El p u n to d el e x tre m o o s A ( — 3 ; 0); y mf,¡ = — 2 cu an do x = — 2. 935. L os pun tos de lo s ex trem os so n A ( — " j/3 ; 0 ) , 0 ( 0 : 0 ) cu a n d o * | /e } / i + = — 1; X ) el p u n to . 936. de = 1 y B {~y/3; 0 ); in fle x ió n es cu a n d o 3 — 0; lo s y m áx= y / 2 M 1 1^3 + pu ntos do 2 " l/3 , in fle x ió n s o n M l l 2 { ± 1; 0). 937. L o s p u n tos de in fle x ió n so n M.j (0 ; 1) y A /2 ( l ; 0 ); la a sín tota es y = — x . 938. y m ¿x = 0 cu an d o * = — 1; y,ní u = s '~‘ * (cu a n d o x = 0). 939. y m áx== 2 cu a n d o x = 0 ; lo s p u n tos de in fle x ió n so n M u o ( ± 1; f 2); la a sín tota e s y = 0. 940. y jn£n = — ^ cuan(lo £ — — 4; cu u n d o x = 4 el p u n to de i n f l e x i o n e s 0 ( 0 ; 0 ); la a sín tota es y = 0 . 941. y níín = f r4 cu an do z — 2; yrain — 1^4 cu a n d o x = 4; y m 6x==: 2 cu a n d o x = 3. 942. y mín = 2 cu an do x = 0\ la s a sín to ta s so n x = ± 2 . 943. L as asín totas son x = ± 2 e y = 0. ~1/ o -1/0 9 44- ^ m í n = - ^ f cu a n d o x = l / 3 ; p u n tos do in fle x ió n s o n y m&x = ^ — 3; “ f T cu a n ^ x = - l / 3 ; 0 (0 ;0 ) y " I " ) * *aS lo s a s*ü " 3 to ta s, x = ± l . 945. y mín = - ~ M ^12; ) í *a a sín tota es x = 2. 946. y ru¿ x = “ * cu a n d o x = l ; ol pu nto d e in fle x ió n es M so n ( — 3a; 2; cu a n d o x = 6; ol p u n to do y = 0. 949. y M 2 ( — a, " 7 “ ) ; la a síu tota 03 2/ = ° - y máJC = 2 Af i . z ( ± 1; -7 ) ■ 950‘ 951. ym6x = ( f ,7 4 cu a n d o os ; la a s ín to ta , y = 0. 947. L o s p u n tos do in fle x ió n cu a n d o x = 4; lo s p u n tos de in fle x ió n so n M ít 2 to ta , in fle x ió n cu a n d o í,niáx= 1 x = 0; cu a n d o s = ¿2 ^ 7 ,3 9 ; ^ 1 4 , 3 9 ; 0 ,7 0 ); las a sín to ta s, x -= 0 e el lo s p u n tos * = ± 1; p u n to y = 0. 952. www.FreeLibros.me de » inin = ° de í/máx = í2 e 9'2^ ; la asín in f le x i ó n son cu a n d o ar = 0 . in fle x ió n os A f ( « 8/3« s yraIn — — ^ - c u a n d o x = j ; 440 Soluciones —- ~ S el p u n to de in fle x ió n es Af ( ^ 7 ^ ^ ~ 4? ) * ,Jm í a ~ e cuan(ío x = e: ol pu nto do in fle x ió n es M ( c 2; ^7 ) ; la a sín tota e s s — 1; í / - > 0 cu a n d o 4 1 z —>-0 . 054. J/ihjíx = - ^ a - ^ 0,54 cu a n d o x = - ^ — x — 0; ol pu nto cu an do x de in fle x ió n es á/ 1 ^ —0 ,86; irmín = 0 1^ cu a n d o — 0 , G 3 ; ^0,37 j ; y 0 — 1 + 0 (pun to lím ite e x tre m o ). 055. y mfn = t cu an do x = ± “j/2 ; Jos pu ntos do in fle x ió n so n M u 2 (=fc 1.89; 1,33); la s a sín tota s, s = ± l . 956. La a sín tota es o:// = 0 . 957. L as a sín tota s so n y = 0 (cu a n d o x —>--j- c o ) e jjt= — x y = 0; 959. (cu a n d o la Es 0 0 ). fu n ció n una no fu n ció n está 958. L as asín totas son x = — d eterm in a d a p e rió d ica de en el p e río d o s = » y ji + 2/cji; I/mAx — V ' ¿ cu a n d o z = - ^ - + 2 / c n p u n tos de in fle x ió n son de p e río d o 2j*. cu an d o cu a n d o x = -5- + 2/fn(A: = 0 , ± 1 , =t 2 , . . . ) ; A f* (/c r c ;0 ) y Nk seg m en to 2.t. x —0 e £ — 7 ’ ^J * ¡/m l n ^ ^ ~ [ / 2 (k = 0, 0 j . 960. E s ¿,in ín= — | - V 3 ; ±1, cuando ±2,...); una fu n c ió n lo s p o rió d ica * = * y íi + 2 /íji; ymóx = y 1 /3 lo s in f le x ió n son pu ntos de ^ árceos ^ — y j + 2/cji; ^ Es p e rió d ica de p e r ío d o 2 ít. En e l se g m e n to { — :t, jiJ y wfiX = y una fu n ción cu a n d o r - ± y y m ln = ~ " 2 cu a n d o J = ± n ; y m ín ;= 0 cu an d o x = 0 ; lo s p u n tos de in flo x ió n so n ü fj, 2 ( ± 0,57; 0,13) y A /3i 4 ( ± 2,20; — 0,95). 962. E s una fu n ció n p erió dica im p a r de p e r ío d o 2jr. En e l se g m e n to [0, 2ji); y máx — 1 cu an d o x = 0\ y mln = = 0,71 cu a n d o W - y ; y lnáx = l cu a n d o x = y = - 0’71 cuan<1° * = - £ « ; x=2:i; lo s p u n tos do ; y Iflí„ = — 1 cuando in fle x ió n so n M ± (0 ,3 6 ; 0 ,86); cu a n d o x *= jt, </mas= i cuaní3<> Af2 (1,21; 0 ,86); J / 3 (2,3ü; 0 ); M k (3 ,5 1 ; — 0 ,8 6 ); M s (4 , 35; - 0 , 8 6 ) _ y M 6 (5 ,5 0 ; 0 ). 963. Es una fu n ció n p e riód ica de p e r ío d o ' 1 /2 2n. pnifn = -1 / cuando x = - 2 - -J- 2/cíx; q t j— cuando * = = — — jt + 2Are(ft==0, ±1, 3 tas s o n x = — 7i-\-kji. 904. Es u n a f u n c i ó u p e r i ó d i c a t o s de i n f l e x i ó n s o n M * (/e = 0 , 3 totas son x = y ji-j-A-jt. 965. Es una fu n c ió n d = l, ± 2, . . . ) ; d e p e r ío d o n ; ± 2, . . . ) ; p e rió d ica www.FreeLibros.me las asíntolo s pu n la s o s fn - par de p e río d o 2n 441 Soluciones En e l segm en to [0, ji]: yn x = n’ V m in ^— cu an d o x = árceos ■A=-, ywSx — 0 cuando cu a n d o * = a rcco s ( - d ^ ) ; y mín = 0 / íi \ / z = Q; lo s pu ntos de in fle x ió n son M\ I ~ \ 0 1 ; M 2 ârcsen y M 3 ^ n — arcsen ^ — ; — 1 ^ - ? ) . 966. período 2n . En ol sog m en to cu a n d o s = a rcco s ( _ _ * -J ; j/m ín — — 1 cuando (á rceos j / g ; [0, * ] : | / g ) y má7L — 4 cu an do * = 0; cu a n d o y "\/2 —— ; A i, 4 V 7\ ~ f ~) Es una fu n ción periódica ¿e = jí; lo s puntos do A cuando in f le x ió n (á rce o s par de j/iníU = s = aTCcos - i — ; son ( - | Mz / g ) ; | / g .) 967. Es una fu n ció n im par. L os p u n tos de in fle x ió n so n M h ( k n : ¿Jt) (/£ — 0, d r l , ± 2 , . . . ) . 968. Es una fu n c ió n par. L os pu ntos de lo s ex trem os so n A if 2 ( ± 2 , 8 3 ; — 1,57); y ináx *** 1,57 cu an do * = 0 (pun to do retroceso); los p u n tos do in fle x ió n son M it 2 (dr — 0,34). 969. Es una fu n ció n im par. Su cam po de e x iste n cia es — l < x < í . E l p u n to de in fle x ió n 0 ( 0 , 0); la a sín tota x = ± : l . 970. Es una fu n ción im par. 0máX = -£— l + 2fai *r 3 3 * = ~ + /eji; i/míin = -L_ji + 1 - f 2/c.ü cu an do a? = -j¡r Ji + Arji; fle x ió n so n 971. una Es M h(k^,2kn)\ fu n ció n = — ~ x — í (cuan do x 2A: + 1 x = — — jx(A: = 0, la s asín totas par; ym[n = 0 lo s cu an do £ = 0; cuando pu ntos de in- dr 1, d z 2 , . . ). las asín totas son y~ — c o ) e y = ^ - x —í (cuando x -> * + c o ). 972, y , =0 cu an do cc = 0 (p u n to a n g u lo so ); la a sín tota es y = 1. 973. i/IIlín = H - y cuando x = í; 4 cu an do x — — 1; el pu nto de in fle x ió n (cen tro de sim etría ) es (0, :x); la s asín totas, y^=x-|-2r£ (izqu ierda) c y = x (derecha). 974. E s una fu n c ió n im par. y mfn ^ 1,285 cu an d o s = l ; 1,856 cuando ar = — 1; e l p u n to de in f le x ió n os M (cuan do x —>— oo) o y = y e y = x — ln 2 . 977. Es una = y f l ¡ + 2Arji; 976. fu n c ió n ^0, 4J-) ; las asín totas, I / = t ; — { - « (cuan do ® - ^ - + c o ) . */rnín ^ l » 3 2 p e rió d ica cu an do do 975. a? = l ; p e río d o la 2jí. = * cu an do z ~ “ ~ + 2 & :i (/í — 0, Las asíntotas so n * = 0 asíntota es ¿c = 0. 1 y.n<n — — cuando x — e ±1, ±2,...); los pun- VÜ - i to s de in fle x ió n son — Mu ârcsori www.FreeLibros.me — ^- + 2/¿,n; ¿ 2 j 442 Soluciones /- y /M - 1 Nk ( — arcscn - ■^ * + (2 fc -j-l) n, e 2 978, L os p u n tos do los ex tre m o s son .4 (0 ; 1) y B ( 1; 4,81). E l punto de in fle x ió n es M (0, 28; 1,74). 979. E l p u n to de in fle x ió n es M (0, 5; 1,59); la s asín totas, y ^ 0 ,2 1 (cuando x— <x>) e i/» s 4 ,8 1 (cuan do x — o o ). 980. El cam po de d eterm in a ción de la fu n ció n es o l c o n ju n to de los in te r v a lo s (2Aji , 2/ tji-f- jx), don d e A = 0, ±1> ± 2 , . . . La fu n ció n es p e rió d ica de p e río d o 2ji: y raáx = 0 cuando x= do + 2 h x ( k = 0, z t 1» ± 2 d eterm in a ción ^2/c + y j , es ol . . . ) ; las asín totas son x = k n . 981. E l cam po c o n ju n to de lo s in te rv a lo s dondo k es un núm ero en tero. La — 5 ") Jl* fu n ción es p eriód ica do p eríodo 2ji. L os puntos de in fle x ió n so n A/^ (2kn; 0) (/c = 0, ± 1, ± 2, . . . ) ; las asín totas, x = ± 2 A j i . 982. E l ca m p o de d eterm in a ción es x > 0 ; la fu n ció n es m onótona crecien te; la a sín tota es x = 0. 983. El ca m p o de d eter m in a ción es I x — 2kn |< - ^ ( * = 0, ± 1, ± 2 , . . . ) . La fu n ció n os p e rió d ica de p oríod o| 2:i; j/mIn = l cu an do x = 2kn (A = 0, ± 1 , ± 2 , . . . ) ; so n x = -2 - + fcji. 984. (p u n to lim ito dol La asíntota es y ^ 1 , 5 7 ; cu an do x -> -0 e x tre m o ). 985. L os p u n tos de lo s extrem os so n A it g X X ( d : l , 3 1 ; 1,57); í»m(n = 0 cuando a- = 0. A x = — ^ 0 ,3 7 ; y -+ 1 y —>- las asín totas 986. cu an do x - + - -fO . 987. * « 0 ,6 9 El pu nto lím ite cu an d o del extrem o l es <<4(-f0; 0); y ¡li6x = e c ^ l , 4 4 cuando x = < ?^ 2 ,7 2 ; la asíntota es y = i\ los pu ntos de in fle x ió n , A /j (0,58; 0,12) y M%(4,35; 1,40). 988. * mtn = — 1 cu an do t = i ( y = 3); f/m ín= — 1 cuando t — — l ( x = 3). 989. Para ob ten er la g rá fica basta co n variar t entre lo s lím ite s de 0 a 2ji; x mtn= — a cu an do ¿ = j i ( y = 0 ); x móx = a cu an do t = 0 (y = 0 ); y mfn = — * (p u n to de retroceso) cuando + - L ^ -( x = 0 ); y m áx= + a (pun to do retroceso) . , ... ,, , X ( x = 0); lo s puntos de in fle x ió n cu an do t = (* " =± ^ 7 = 2 . ^niáx = “ — '1 / 2 * 1/2 j » = ± ^ 7| ) • cuan<*° * = 1 ( * = * ) ; cuando í = — “1 /2 y lo s n 3rc *inln = — J cuando pu ntos de in fle x ió n ( V 2 e >2; cu an d o t = ^ y 5 ix 7¿i —£• , son í = — 1 ( < / = — *); so n cu an do ^ V2 ¿—V ^; las asín totas, x = 0 e t/ = Cl. 991. * mín = l e i/mín = l cu an d o 1 = 0 (p u n to de re tro ce so ); la a sín tota es y = 2 x cu an do f - > - - f e o . 992. !/min = 0 cu an d o t = 0. www.FreeLibros.me Soluciones 443 s e n a - — — . 994. d s = ~ 1 / a ~g ~ dx\ a a r a2 — x* 5a; cosa —— — : sen a = — — — , don d o c = l / a 2 — ¿>2. 995. c/s = V a 4— <¡**2 V 1a2— // p ; sen a = — ■ ____ . 996. ds = y í ± d x . = — V p 2- t f 2 ^ ; eos a = — T 1/ 'V j f i- f . V f» + y* 3/-— 1 y 997. ds = ch — d x ; eos a = eos - 1 ^ a ¿c ch a x sen a = th — . 998. dx = 2a son 4* d i; eos a = sen 4 - ; sen a — e o s • 999, ds = a ¿ ¿ ¿ _______ 3a sen ¿ e o s í c o s a = — c o s í; s e n a = s o n í. 1000. ds = a V l - f (p2 c?cp; 993. ds = — d x : V cosa= — ; a eos J3 V i — <p2 . 1001. ds = -% - V l-f-q > 2 d<p: c o s P — . 1002 . = y i+ ; ™ — dtp; se n p = co s 4y- . 1003. ds = a e o s —• senop______ = e o<P s 1004. ds — ^ y_ ¿ ¿ ¿ COS3 - i . .___________ = r y 1 4 - (ln a ) 2 dep; 1006. A -= 36. 1007. ( _ « = y 1 fl2 . 1005. ds — — dtp; sen p = eos 2<p. l / l -f- (ln a)2 r son p = K = — -l r = . 1008. K A = ^ ; K B = \ . 1009. K = 3 1 /2 62 “2 0 3 / 9 _\ I 9 . 1010. IC = — - 7= ea a m b os v é rtice s. 1011. y — 3^. 13 V 13 a V 2 1013. j . 1015. ñ = í ^ ± ü 2 . 1016. = |r y r + F | . 1019. R = 1023 ' ( ~ T * ; T a)- R= a464 3 — a sen 2í Y2 = ^ 2 R= . 1017. 1020. R = \at\. i?mIn = |p|. <^— 3)a+ ( i / — - § - ) 2= 4 “ - 1018. 1^22. 1025' y A. R= (2; 2). < * + 2> * + ( X — p ) 3 (p a rá b ola sem i cú b ica ). 1027. ( a X ) 3 + 4 -¡-(6 y > 3 = c 3 donde c « = « 2 - & 2 . C a p ítu lo IV E n la s s o lu c io n e s d e esto ap a rtad o, para s im p lific a r , se o m ite la con stante a r b itra r ia a d ic io n a l C . 1031 . A 02*7. 1032. 2 * 3 + 4 * 2 + 3 * . 1033. ~ + {a + 3&) — + - ^ ~ • 1034. a2* + 71— abx4 , ¿»2a:7 . + - 2 1 7 - ^ a V o 1035. + -1 a V 7 2o: .. V 2 px. o _ 4 o Í039. 1 n 1036. nx n 2*2 y o: *. í , ■ 1037. V n x . 1040. www.FreeLibros.me 1038. a2* 3a:2 5 / a: 13 7 444 Soluciones . e r , m , 2 « i/S _ 4 « j+ T—Vio 2x3 -| -4 x T /a x — 2x2-|------- — = . 5 y az 1043. — — a r c t g — — . 1044. ------ ™ ln - 7= y 7 5 y 7 2 i/io |* + y *0 1045. ln (x + V 4 V * * ) . 1046. arcsen ~ - . 1047. arcsen 1048*. P on er a) t g x — x . Indicación. 1050. t g 2 x = se c2 x — 1; b) P oner th2 x = l --------¡4 — . 1040. a) — c t g x — x ; 1051. a ln R e s o l u c i ó n n— x x — th x . b) x — c t h x . cP <3*)* ln 3 - f 1 ' — a jj ^ Indicación. ln ( x - f V x a + 2). \ — ~— ¿ a—x dx — — — a I 11 1a — x |+ q ln C = a ln ^ Resolución. 2x+3 4 , 2 D iv id ie n d o 2T + T = 1 + 2 l + T ' el De + S C 1 1052. * + l n | 2 * + l |. a— x | n u m erad or >or el d e n o m in a d o r o b te n e m o s f 2x + 3 , f > , f 2*/* d0nde + ) 2 ^ í á l = r >«53. í + J W | - * + i l ] n | 3 + 2*|. = I + 105'.. — y - l n |a + 6 * |. 1055. y * + y ^ l n | o - . * + f5|. 1056. ^ - + x + 2 ln | * - 1 |. 1057. í f + 2 * + l n | * + 3 [ . 1058. - ^ - + ^ - + x ^ + 2 x + Z ]n I * — 1 1. 1059. « * * + ¿j ‘I O + 2ob ln I x — a I 1 1 f 1060. x—a ln |x 1-1 |-f xdx f (* + !)-! dx J (* + 1)3 J (* + 1)3 ” - j Sz A+ 1 - S ¿ ( * + 1)2 1062. V ( '¿ - 6 x ) 3 . dx 1063. V x ^ + i . 1061. = 4 1 /1 ln .* 1 / 7 - 2 1 / 2 1067. * 1 /7 + 2 1 /2 1068. x — V 2 a re tg 1069 V2 y • 1074. ^ a r c t g . i 073. ( j / - í * ]n |*2 — 5 |. 1078. y i n 1080. ^ arcsen y ln 1 = a r c tg 1 /1 5 _ ( i / i ) y a -\ -b + x y a — b I Y a b — x~\/ a — ó ] 2 Y a 2 — b* x 2 . a2 1070. * — ln a 3 - * 3 | ) . — L— l n ( 2 V 2 * + l / 7 + 8*3). 2 y2 * V 3 — 1 /2 iln | 3 * 2 _ 2 = lu * 1 /3 + 1 /2 2 1 /6 1075. (5j;2 + 7 ). + - p = - l n ( * V 5 + 1 / 5 * 2 + 1). 1077. y x dx ^ —7 y x 2+ i 1071. ln ( * 3 + 4 ) + a r c t g y 1 1072. ^ 7= arcsen ( * 1 /5 - ( - 2 6 1/ 1 - ! / . Resolución. 1065. 1066. Indicación. 1 x -f-1 1076. y 1 /5 * 2 + 1 + y * 2 -4 + 3 1 n l* + l/* 3 -4 .| (2*2 + 3). 1079. ^ l n ( « 2*2 + ¿,2) + i a r c tg y . . 1081. ^ a r c t g * 3 .1 0 8 2 . g I n | * 3 + y * « ^ T |. 1083. | l / ( a r c s e n * )* . www.FreeLibros.me 445 Soluciones ( arctg 1084. . 1085 . 1 ln ( 1 + 4 * 2 ) - V ( a r c t g 2 * ) 3 _ 108{,_ 2 y l ü (a.+ y 1+a.2). 1087. 2x a a -y « “ + 2 s- 1 1088. - g - ¿ 4 42" 3:c- ,0 8 f - « ' + « "'• 2* - 4 2* 3 1 * . 1 0 3 1 . -jln a —^ -lnr -6r Ví - bx S — +ax )) - 2 z . 1092. -l np aM\ 3 y 2 + a 2 /) . i 1093. - 1094. 2 ln 7 2*x2+ 1 ' 1097. In |«* — 1 |. 7x2. 1095. 2 y ( a - b e x )3. Sh 1098. Indicación. H 01. a rctg (* “ ). 1102. 1104. co s ( a + 5 x). 1105. 1 ln 2b ~ e x. 3a , a 1099. y - ^ a + i ) . 2* + 3 ^ bx 1+e i-e-b x x " 1 /2 s e n — — . sen 2 x 1 . Poner sen2 x = -£ - (1 — co s 2x). 1110, -g —f 4 1113. a ln *s£| - 2X + S ) * 1103. aresen**. 1106. x 2a 1114, S l n |t g ( T ’ + T ) | * 1112. 1115- T sen a— b V é a s e la - - - ---— x. ax + 6 2 ln'|tg 1116. | t g ( * 2 ) . 1117. i c o s ( l - * 2). 1118. * ~ ~ c t g s : 1 / 2 - V 2 1 n 1119. — ln|cosx|. 1120. ln js e n x ). 1121. (a — b)ln co s 2ax. Indicación. Indicación. 1111. — t g ( « x + 5). 1100. -5 3 V son 2x 1107. 2 san ~\/x. 1108. — ln 1 0 -c o s (Ig x ). 1109. í - in d ic a c ió n a l p roblem a 1109. ,090. x y i t g -f- . 1122.5 ln sen 1 1123. — 2 ln |c o s l / x |. 1124. \ ln |sen ( * 2 + 1 ) [. 1125. ln |t g * 1 .1126. £ sen 2 - . 2¿t A Q 1127. ■se” 4.6* . 24 1130. — 1128. V eos 2 x . 1133. - j - y i g 5 * . ln | t h x | . 1131. 1134. ax 1_ 1136. — ^ ln |tg a 2 3 sh 5x. 1139. 1142, — T-----“ 7------ . 4a sen*1 ax 1129. — i - ln (3 + c o s 3 * ). 2 1/(1 + 3 eos2 x)3. „3 2 . + , g + . - ) 1 . 1137. sh 2x. 1143. l n c h x . 1140. “ “ ■ T Í ^ + s r a r ) 2 ln |ó — a c t g 3 x |. 1138. g c h S x — ln 1144. In | s h x | « www.FreeLibros.me th T . 1145, 1141. 2 a rctg ex % — 7^> 12 — x2)ñ- 446 Soluciones U 46. 4 -I n | * « — 4 * + l| . 4 1149. ] / 1147. ar c l g ( a 4 V5 - a rctg ~ . yb l n ( z V 3 - } - V 2 + 3 a : 2). — 7T" + a? — 2 ln | « + 1 1z 1151. 1153. 1 + n l s e c 3 * + t g 3 x | + ~ g j ) . 1152. 1154. — . 1163. a ln | tg |• 1165. «—2 ln |e o s ~\/'x^\ |. 1166. 4 r ^ I tg 4 r I 1168. 1155. l n | t g * + -iaacnx 1157. — a . i . 1164. «se»8 * . ii7 3 . 1175. -y _* ,7 8 . “ ¿ c < )s ( ^ + L _ 1186. — ^ ln ilife 4 1 /5 I 1 / 5 — se n 2x J $ 1188* j V U n l H V l + ^ I 3- 1100. - j - l ^ - 3 t h x . 1191. a) ln |a: |+ 2 a rctg x . 1174. z - l n ( l + á*). • **83. - 2 c t g 2 s . 1185. ln ( s e c x + V s c c 2 x + 1 ) . 1187. ^ L a r c t g ( ^ | ) . -2 a : . 1176. ln (e* + V ¿ 2 * _ 2 ) . 1177. i l n } t g a z |. U 8 2 , ~ arcsen ( ^ ^ ) — ~\Z\— x*. c) ^ / — sen_£ z 1167- *a r c tg * + Í B ! í 1 + f?> + 4 a rcs e n f J ^ + y 4 l T 3 r 3 . * 1 / 3 _____ arctg s | z - ^ - ^ ( l + ln a ) 4. 1171. 1172. 1161. 1169. V 2 1 n | t g _ ^ — ln |sen x + eo s x |. — ln |2 + co s x |. . 1159. 4 - arcsen ( i 2). 1160. — tg m z o 1162. a r c s e n ^ — - + a rctg x . J — ~ e~x t. ¿ 1150. %==' - y ex ______________________________ + V tg * «-2 | . 1156. V 2 a rctg ( « V 2 ) - — 1158. l 3 * E B 2 L . z 1148. 1180. á r c e o s c u a n d o x > "|/2. V í ^ + l ) 3— 2 V ^ + l i e) se n 2 x + 2 eos2 x b) - i - s h (a * + 3 ) . — ln (1 + í?-*); ln (sen a: + ~\/i + sen2 x ) 2 ( i ^ _ | + 2 V 5 - 2i » l i + y i | ) . 1194. ln l / 2 x -\ -i — 1 . 1195. 2 a r c t g 'l / e I — í . 1196. ln i — ln 2 1 n | ln z - f 2 l n 2 1- " 1 /2 Í + Í + 1 www.FreeLibros.me Soluciones 1197. .( « r a e n s ) 3 _ O 1200. ln , 198. | { e* _ 2 ) Y ^ + l . O X — í + y x 2+ i + ^ arcsen x. 447 1199. (eos* s — 5) l / c o s x. o . I » d i c a e i ó n . P o n e r x = 4 " . 1201. — — V i — x 2- f t 2 1202. — - g - l / ‘¿ — x 2 — ~ j / 2 — x 2. 1203. 1 / i \ 1204. árceos — , s i x > 0, y árceos ( — - j , y x 2“ f l 2 _ a árceos - . s i x < 0 *). Indicación. P on er x = ~ . 1205. V Í a + T — ln I Ü K f Ü l . 1 2 0 6 . --------------------- . í K | x 4x Observación. En lu gar de la su stitu ción trig o n o m é trica so puedo u tiliz a r la su stitu ció n x = -i-. Z 1207. 1208. 2 aresen y x . 1210. ~ 1212. x a rctg x —- ln (1 -j- x 2). 1213. x aresen x~j- y i — x 2. 1214. sen x — x c o s x . «oie; x sen 3 x ^ \/x2 — a2-\— - í - ~l/l— x P + - ^ - aresen x. ¿t <u l n | x + ^ / x * — a2 I. 1211. x l n x — x. t cos3x f - x+ l . fi3» 1218. - g y - (9 x2 — 6 x -f-2 ). eX Resolución. i9i7 xln2 + l 2 * ln 2 2 ' . En lu gar do in tegrar rep etid a m ente p o r partes, se puedo om plear ei sig u ie n te p ro ce d im ie n to de c o e fic ie n te s in d eterm in a d os *2*3* dx = ( A x 2 + B x + C) e3* o , después do d eriva r, x 2e3x = ( A x 2 + B x + C ) Ze3X + (2 A x + B ) e3X. j S im p lifica n d o p o r e3X o igu alan do entre s í lo s c o e ficie n te s que fig u ra n con las m ism as p oten cia s de x, ob ten em os: 1 = 3 /4 ; de d o n d e Q = 3B + 2 A ; 0 = 3C + Z?, 1 2 2 C A = ~ ; B = — — ; C = — , En la form a gen eral \ i 5* (x ) c<l* dx = = <?* ( x ) <?a i , d o n d e P n (x ) es e l p o lin o m io d a d o de g ra d o /? y Qn ( x ) un p o lin o m io de g ra d o rc co n lo s co e fic ie n te s in d eterm in a d os. 1219. — e~x (x 2- f 5). * Indicación. Indicación. V éase e l p ro b lem a 1218*. 1220. — 3* V éase ol problem a 2x2 4 - 1 0 x + l l „ . 2x + 5 0 1222. ------ ! ;— ■— ■sen 2x H-------— c o s 2x 4 4 1218*. 1221. 3 ( x * + 9 x 2 + 54x + 162). — , i • j / Indicación, m ien d a u t iliz a r e l m é to d o de ios co e ficie n te s f e _|_s e n 2 x ^ o rr . T am bién so reco4 in d eterm in a d os en la form a P n (x ) co s flx dx = Qn (x ) co s p x + R n (x ) sen Px, *) En l o su ce s iv o , en ca sos a n á lo g o s, se in d icará a v eces una respuesta uc corresp on d a sola m en te a una parte cu aiqu iora d e l cam po de existencia e la fu n ció n su b in teg ra l. 3 www.FreeLibros.me 448 Soluciones don d o P n ( z) o» el p o lin o m io dado de grado n y Qn ( x) y R n ( x) son unos p o lin o m io s de grado n co n coeficien tes in determ in ados (véase e l problem a 1218*). 1223. - ^ - l n x — 4 r * . 1224. x ln ^ x — 2 x l n x + 2x. 1225. — — ~ . 3 9 2x¿ 4a:2 1226. 2 y i ln x — 4 l / x . 1227. - í l d - L a rctg x - - | - . — y arcsen x - \ - ^ ~[/l — x 2. 1229. 1228. arcsen x — x hi (z-\- "| /l - f x 2) — ~Y \ + a:2. , . . . . . OOJ a: . . . 1230. — x c t g x ^ - l n |sen x |. ^ 2 3 1 .--------------(- ln sena: i oo-j 3* <sen 37+ co s ^ 1» 3) ¿ 00/í 1 + (1 a 3 )2 • a: 1232. e*<sen x —eos x ) 2 {a sen bx — b co s bx) «2 + b2 37 1 ^ " 3C , 1235. -g -| s e n (ln z ) — c o s ( l n x ) | . 1 2 3 C .------ ^ - { x ü + l ) . \ x 2+ 3iCJ x 3 x 2 - = - ^ - — . X X 1241. ± — 1 2 4 0 .-— X (9 x 3 + 1 ) . 1244. 3* . 1237. *239. fin (ln x ) — i| •ln z , 1243. x 2__ I x . P on ien d o / 5 H b s o ,„_ y ^v = > obten em os du = dx y v — —^ x 2 dx ar , f dx 06 (!0Hd° J l^ + T jr 2 (x 2 + l ) + i 2 (x 2 + l ) a r c t g x + C. 1251. <X * y y = x; Ponem os tenem os ^ x _ _ 2 (x*+l) ¿4 x 2 rfx = x + Em l / a 2 — x 2 + ^ ~ arcsen — , ¿J ( l u = ~\Za2—x 2 y dv — dx\ de don d e d u = — — ^ ^ - d x = :x l / f l 2-— x 2— t J y ü2 _ x 3 ^ J x dx V a 2- * 2 — x 2— ^ — ===z==?=x y a 2— x 2 — ~}/a2 — x2 d x -}-q2 £ . 4 ' J y a2— x 2 siguiente, 2 ^ ’ / a ^ — x 2 dx = x ' ) / a 2 — x 2-\-a2 arcsen consi d— — ln J x + V ^ + x 2 1. - (ia r c tg A + _ £ _ r ) . I n d i c a c i ó n . pléese la id en tidad 1 s — ■| (x 2 + a 2) — x 2]. 1252. Resolución. ln (1 + x*). ^ (* + j — x. 1249. | + , j 1+ x 1247. x t ? 2 x + ¿ 1248. u= x i —x 1245.-— ------------------ f- 1246. - 2 1 / 1 - 1 arcsen 1 + ; i » s (2 1 .,)+ 2 x s e ,(2 | n , ) ción. ln (a rctg x ) t - x a rctg x + 1 l-l-V l-z a l5 Ü £ i2 iL _ ^ .. ( ] A — l). 1242. 4 - a r c t g 3 x o x (arcson x )2-|-2 ~ l/l — x 2 arcson z — 2a;. + ln 2e Indicación. Véase 1254. — í . y g “H x 2_{_.|_ arcsen - i . I n d i c a c i ó n . www.FreeLibros.me . 1253. y el P or y ^ - f x 2+ problem a 1252*. V éase el problem a 1252*. Soluciones 1255. - i- a r c t g 1256. y i n % | . 1257. - 2 — a rctg x+ 2 V il X ln ( j s —7x4-13)-f-r~T ?a r c tg y 1260. 449 - ^25^- y O y . 1258. 4 x y n ln (£2 — 4 x + 5 ) + 4 a r c tg (a: — 2 ). ó ( * « 4 - 3 2 + 4 ) + + a r c t g 2:1 +^ 3 . 1261. s -4 -3 ln (£ 2— 6 x 4 -1 0 ) + y? + 8 a rctg (a: — 3). 1264. ln 1266. —2 V i + 1 1262. arcsen 1/2 . arcsen ( 2 z — 1). 1265. * + - T T + y * 2+ i> .z + '7 3 l/a :2 — 4 * + 5 . 1267. arcsen — -~ J - . V5 ln ^ y 5 _ _ A _ + y 5 x 2 — 2 x + l ) . 5ys 1263. ¿ y s r a i p H 1268. ln 1 + 1 /1 — 2.-2 1269. — arcsen 2 ~ Z . 1270. arcsen — x Y 5 (1 — x ) y 2 ( s > l / 2 ) - 1271. — a r c s e n —i - j . * + í 1 2 7 2 . Í ^ y ¿ J + 2 + p > + 2 1 n (z + l + y P + 2 T + 5 ) . 1 2 7 3 .^ — + - | - arcsen ( 2 z — 1). 1275. i - ln 4 £2*—3 £2— 1 1274. - V 1 - 4 ln £ - 2+ 1 t ~ a rctg 1276. + y i + ex + <?2* ) . 1279. ~ y 2 — * — * 2+ y 3 — son x ys~ “ * 1278. 1277. y 3 — ln | c o s £ + 2 + ln 2 £ - 2 areson ^ ± ~ y s A ln i ( * — l ) 4 ( * — 4) b | ( V : í )’ I* 1284. 5 z + ln ¿ arcsen 2 z.^~1 ■ ln (-+ T + 1 1. y y * » . *+ Í(T£ . -----^ l ) ( £ + 3)3 ^ ln y * -s « + V e o s - a : + 4 co s a : + . 1282. £ + 3 ln |£ — 3 f — 3 ln |£ — 2 |. 1281. 1283. - ( s + 2)4 1G1 (* -4 ) 6 . 1285.— i+ £ + (a -1 )» *16 -2 g* 2 11 - ___ — ( £ — 2)a £ - 2 * £—5 30 27 . 1289. h ™ ln 1288. — r -s * x+2 49 ( £ — 5) 49 ( £ + 2 ) 1 343 2 (£ -3 ) 2 (x + l) £—1 x 1 . 1291. £ + ln 1292. a + i - l n 1290. £+ 1 2 (£ 2— 3 a r + 2 )2 y ^ + i + H A l * 1286' T * + ¿ ln - 4 -a r c tg z . + ¿ 1293. ~ a r c t g (a :+ 2 )- i m - 7 4287 (2 £ — l ) * ( 2 * + l ) 9 i_ ln | ar— 3 |— 4 ln | x — 1 1+ 4 ln (®2 + 4a; + 5) + 65 20 ln ¿ f e v i ” + a r c tg 20-1016 www.FreeLibros.me y 1 ' 1295' 4 - ¡ / 2 X S olucion es 450 1 ^ x2+ x + l 1/2 - + * y g + « . . ^ i4g- a rctg 1 — j 2 ‘ 1296. 4 x 2- x + l x 2- * 1 / 2 + 1 1 t as*— 1 a rctg x 2*— 1 1297. 1298. 2 ( l + x 2) ' 2 2{x*+ 2 x+ 2) + -J y s g r ¡ 7 f 5 2x+l x+2 + a rctg (x + l). 1299. ]n | x + 1 |+ Q -p -— H ---------- ^ a r c tg e x i. X v 3 ( x 2+ x + i ) 3y g G j/3 |-4 - ln ( * 2 — 4 * +• 5) + - y - a rctg ( x - 2 ) . a.2_Lr i ) (* «+ ! ) • + « O l- « ^ 1302. — — a rctg x 1304. x—1 ln =16 a; — 3 x*— 2x + 2 x 2x4+1 — V 5 2 V 5 1308 ■ h — i ' l n | x 7+ l | . X l n [ * * + 1 |+ Indicación. 1315. x—1 2 ]/J- l a rctg { x — 1). ln | x<s-\-x* — l ] x—4 1 2 Jn 1 1¿ ,ü | x—2 ^ I ^ 2 ( * — 4)2 1 * - 4 1309. x—2 + ln . 1310. J n | x | - a; — 1 1314. 5x5 3 ( s — 1 )2 *317. 2 a r c tg V J + I T + 3 ^ * + 2 V * — 6 1 n <! + $ /* )• 1319. y 3a:3 1318. 1320. ln 1325. * ln * +■« + *- + 3 (2 — 1 )2 ’| /2 * + 3 1323. * V 1326. l/* + l 1321. 2 y ; — 2 1 / 2 a rctg j / - J . 1322. — 2 a r c tg V i — a . i 324. 6 /5 + (l/í+ T -D * * + 2+ , 2 1 /a + l + l a r c tg — — --------- . V 3 1 /3 X 10a2 1 V ^ - y > / Í 2 + 2 'i / 5 — — 3 f /" * — 6 y rx — 3 ln 11 + y r x |-|- 6 a rctg y r x , 2 x 3 1316. [ X [ 2 /( a * + ó ) & — 56y r { á x + W ] ' x a rctg (* + ! ) — i - a rctg 7 ( x — I ) 1? (as— 1 ) 3 — a r c lg x . ln |* * — 1 |— y 1312. y 1 4 (s -l)® 4 3 ( 1 + *2)3 P on er 1 =~ (x 7 + l ) — x 7. 1311. ln |x |— 1 5(ar» + l ) ‘ 1 9 ( a — 1)® 1313. L -l x 3+ U 15*5 + 40*3 + 33* + 2 ln (x 2 — 2* + 2) + 1307 ,d U /- 2*4 + 1 + V S *» + 1 -L 2 ln a:3 *3 A ln {* * + l ) + T a rctg *. 1303. x+ l 1 1305. g j ( 8 1 n ! * 3-¡-8| — Jn|a» + 11). 1306. y ln 1 T ln l* .- f II - x 4 ( x * — 1) o , 15 + _ a rctg*. 1 T — 2-— 1 (^ -2 )+ y ln a rctg í + i 3 2x + 3 “1 / 3 23 don d e * + y iS = I z m - V * 2— x + 1 — *g- ln ( 2 x — 1 + 2 1 / x 2— x + l ) , www.FreeLibros.me 451 Soluciones 1327. _ 8 ± i ^ y r = il. 1328. -¿ ]„ (* + V T + ^ ). 1329. 1330. 2 (g .^ T )¿ y ^ + 2 i - - 1 arcsen —^ x — 1 • T in Íf 7* -- *4 V + li ~ \ - 1333. 1 , 10 ln 1336. — 1 ¿ ) V . ¿ ^ 1331. - | arcsen - 1 . 1 1 + ln 1x1 + -| l n - —l n ^ 1 - y + i ? ) , de don d e i í = V a ; - - x 4 - l . 1332. y 1333. — ( ¿ + ( z - 1)2 z2+ z + ' l , + 4+3xs 8 ^ 1 /3 5 2z + l arctg 1337 . x (2 + x :i)2/s sen3 x . Y a rctg > +1- i3 3 4 - 1338. V(* f 4 + l)2 . 2 1 — eos x + -3- eos8 a: — g- eos6 x. 3 1339. Z<=Y1 + * 5 . donde ya ’ - , v ( 2 x 2 - 1 ) 1 /1 + x3x3 1340. sonar — sen3 a: sen2 x 1 i-e o s » i-e o s » ^ . 1342. 2 4 2 o 2 2 sen2 s . - o/ o 3* sen 2ar . s e n 4 z AOLL x sen 4 x ' — 2 ln | sen x |. 1343. -g ------------- ^-------- (32 1344• Y 32— x sen 4 x . sen3 2x 1345. 1346. “á - I + -r r S C n ^X ~\~'7T S6n ^ a r 48 lo 04 16 64 - — e“g— 5 . 1341. 1 sen3 Cor. 144 1347. — ctg * — — 1> * ' » 1330. 1349. 3 2 tg 2 a; + 3 ln |t g a: x [ l n ] t g y 1 4 tg 4* x . . 1354. 1356. y t g 5 x — x. 1357. + Ctgar + ar. 1359. sen 2x2 Y — - ^ p / c o s i » x. . 2 ln t e - T — eos x 4 sen4 x 3 sen 4ar 4 Ti 32 eos2 4a: — -Ct^ X — ln |sen x |. 1358. — ^ -ctg 3 a;-f- 3 y tg 2 y + 3 ln ¿ + tg 3 y 1362. 2 y tg x . - 3 tg y V2 ~/2 |. 3 eos x 8 sen2 x ( 2» + ¿ ) | . «j + x. C0ST - y y '^ c o s ^ í + y ^ c o s i o x — 1364, 1 2 V 2 a rctg . 1353. 3 i i í x u 1361. _ £ l £ í L . 1363. 1351. i - t g 2 * + COS2y sen 4a: 16 eo s4 4a: xa 1 1352. 1355. 1360. tg « + *|* tg 3 x + 4 ^ tg 6 z. t g * + Í í £ * - 2 c tg 2 * . + ln | tg (| + f)| ] + Y , n |t g T | - l 3*8- . , d on d e z = y t g a \ 1365. ln z* + z V 2 + l z2- z V H l eos Sx . eos 2x 16 29* www.FreeLibros.me Soluciones 452 sen25x ^ x 3 3 sen — . 1368. — X — sen n r 50 10 5 t> b ¿ x 1 4 nl?a son 2 a * . x co s 26 . t co s ¿ + tp) X c o s - s - — - c o s a : . 1369. — -------- (--------s----- . 1370. — z-*---------------- — . 4a 3 2 4co i 366. 1371. sen x . sen 5a: son 5a: w ~ 1367. sen 7x 18 1 1 COS 4a:— — co s 2a:. 10 o 1372. -777- eos Ga; 24 2+ tg | 1374. 1373. -£■ ln ,3 7 5 ' 2- t g - f - — x [g — — 5 1376. — z + t g a :+ s e c :r . 1377. ln 137S . a r c tg ( l — t g - í - j . tg | — 3 12 5 1379. - ~ r x — 7^ -ln 12 son x -f-3 eos .r |. Solución. P on em os 3 se n a : + lo lo + 2 c o s a: = a (2 sen a:-{-3 cosa:) + P (2 sen a :-)-3 eos x ) \ De donde 2 a — 3(3 = 3, 12 5 3 a + 2 {5 = 2 y, por con sig u ien te, a = — , (3 = ~ T T ' Tenem os 0 3 son x + 2 co s x _ J 2 sen x + 3 co s a: ^ 12 F . 13 j ^ X ln |2 s o n s + 3 cosa: (. 1380. Indicación. 1382 . — D iv id ir arct g ^ el _5P 13 j (2 sen 3 co s s ) ' 2 sen a:+ 3 co s a: — ln |co s a:— son x |. num erador igx j t y ei i 2 ^ ____5_ 13 X 13 _ 31 1381. - i arctR ( " % ” ) ' den om in ador indicación. por eos2 a:. V éase o l problem a 1381. y 15 1 /5 1 1383. ln y i3 Indicación. Véaso e l problem a 2 tg x + 3 + V í3 t g a: — 5 Indicación. Véase el problem a 1381. ln tg x 1381. 1384. 1885. . —; 2 ( 1 — e o s x )2 1388. 4 y 2 tg g + 3 — V l3 1 — son a; Indicación. 1386. In {1 + s o n 2 x ), 1387. 1389. 2 t ^ =- a rctg - y§ T " 1 1 /3 U tiliza r la identidad 1 "1/ 2 + sen 2a: 2y2 y 2 — sen 2a; 3 tg T - l - a rctg 1 /2 (2 — sen a:) ( 3 — sen a:) 2 1 /2 1 2 — sena: tg 3 — sen a; identidad Indicación. . 1390. — s + 2 1n U tiliz a r la tg y + 1 1 — sena; + co s a: 1 + s o n x — eos x ~ . , 2________ 1 + sen cc— eos x ' www.FreeLibros.me 1391. ch 8 x ch x . 453 Soluciones ,3 9 2 . 1395. + ln 1398. th f 3 — cth x ,3 9 3 . ¿ S J i. ,394. 1396. — 2 cth 2 x . 1397. c h x -------------rf x 5— . 1399. a r c t g (th a ;). - f + ^ )n (ch x ) — 1400. tb ~ X 2 2 — p -X ó xarctg( — y — ) ( óITI- a r c t g v § ) ) ' Indicación. U tiliz a r la 1402. ~ ^ l n ( y 2 c h x - f V c h 2 S ) . 1406. 1407. 1403. - ^ ± i _ y 3 - 2 s — x2-|-2 aresen 1405. - J y S + i a — y 1409. y ^ + ~ x - ~ ln |2 s + l + y ¿ * _ f e — 7— ■ 8 ln | * _ 3 + y * a ^ 6 * ~ 7 | . ^ ( 2 z + l ) (8** + 8 » + l í ) y * « + « ^ l + ^ 1411. 2 | /£ = | . 1412. * -i ------- ~ ~ 1— — 4y^ _2x + 1414. - J — ln | -V l ± 5 H .^ 2 y ¿ \ y i+ X 2 - x y 2 y^x3 + . 1415. m m ' 1 4t8 1413. 1420. 1423. ^ i n ( í + y r + ^ ) + 2* . X á r c e o s ( 5 * — 2 ) — 5- ^ y » ,-T b » = 3 . _ _ * •• . y i — 1417. — g c o s 3 s __^ 1419 _ £ x 4 -[* («e n * + c o s * )- 1422. x -ln < 2 + « “ + i - | ^ *si0 J ± 2 + i n ( i _ * « ) + * » J . 1424. x (* + y r + ^ )~ 2 y M ^ y2 f% L {x*-2 x*+ 5 x*-5 x+ l-). 2 V 1421. — f + T in 1e“ _ 1 l + T ÍQ < * * + 2). + 2 y * a * + * + l). 1427. / „ = - i * , a rctg * * _ ( 2 _ sea 2 s _ c o s ^ x ( 2- scn Z* + CQS-2* - 4 s0? 4 j J i C0S-4f ) . — s e n * ]. . 5 ln ( 2 * + H - 2 V * * + í + l ) . ^ _ s c n 6 z 4 - -| -c o s 6 x — i - s e n 6 x ^ . + Su > 3 x + x c o s * _ ln ( * + y * 2— 2 x - j - 2 - f - y ln ( a — 1 + V * * — 2 * + 2 ) . i — 1410. r y- __ | —;----------¡--------s sh x + ch x, sh a : — cha: JLy— i-ilnlx + y — tl 1408. + 2 y ^ + »| . 1416. ,/‘ 01- id en tid a d 1404. ~ y 2 + i 5 + !n (.* + 1 / 2 + ^ ) . + V 9 + Í2 ). 5 1426. 1425. ^ + ( 2 zí— 3 ) 7 n- , J ; www.FreeLibros.me ( y *Ia *X ~ x x ch , - c os x sh_, _ _ (j5 q r p + 454 Solucion es eosx sen *"1 X , n — 4 b 3a: eos a: sen3 x 3 sen 2:c * Jl-2> ' 4 ----- TT" n 1 /* 8 4 16 . e o sx sen4 s 4 _ . 8 . /o n _ sena: - 7Z=r- + Í 6 = ------------- 5------------- i s c o » « 8 e n * » - j 5 c o » « . 1429. / „ = — _ . n— 2 . _ s e n a: ¡ 1 ñ"— i n~^’ Jy = 2 ^ ^ 1430. I n = — x xe - « + / x . 1431. - ~ r = - a r c t g — 4 a rctg ( * — 1). 1433. S ■ 3 i ) - Im ■ I- T Í ^ _ 1445. y 4x2— i x y i . 1440. 1447. ln | x + _ ± _ _ -2 X arcsen ■ 1450. *+ 4 — 5 .i - . V **+ l ■ ^ f (| /— ¿ 1451. Indicación. ) - J -,4 ~ + — L -------- 4 * 3 x l/x * 3 * - l ) 2- 4 ] n ( l + { / 5 ^ ) ~ l£ ? . 14 4 9 . 4 * a r ° s e n X r l + x2 1/ 4 = i-ln » — x 2+ 4 x 1452. | _ y ¿ 2 _ 9 _ | ln |± + y * s ¡ — 9 j. arcsen (8 x — 1). r ****• . 144 8.— 4 " i / ? y x 2— 1 + 1 1 /2 + ^ 14U _ . 1443. 1 / 2 5 — X J T T T - T T F ■ ,4 3 6 - T * 1442. l n ( * + i - + y ± 2+ x + l ) y í2 Z T í| 2 1432. ln y ± 2 _ 2 * + 2 - 1439- 4 " 5 t 1 í + i ^ + t ,4 4 0 . W 8 ± a y : j 1— 2 y X y 3 . s q u x ln ( * 2 + * + y ) + i - a r c t g (2* + 1 ) . i4 3 7 - ,43S- T ( r ^ ! + 1 ° - S r l ) 3 1 /3 . £ ~ 1)8 + j <435' x ( ta | - ¡ ^ r | - 4 _ + Y Inr s l T + T j | ; / 4 = 3 eos3 5 "3 ® x ' / j0 = - < r * (±10 + 10*9 + 1 0 -9 * 8 + . . . + 1 0 - 9 - 8 . . . . . . 2 j: + 1 0 -9 . . . 1). , 4 3 i T >“ / I n \ ¿ 5 2 - 2 j 1 _ * I 8 1 /3 x = i- ( — — ] . 4 \x x+ 4 / 1453. — (8 ± — 1 )X 1454. _______________ x _______________ In 2x + 2 + 2 y * 2+ x + l ,4 0 0 . < * + * + * > y * + * + 2 + y * * + 2 » + 2). 1456. -V *a x 1 _ £ + i ) V ,-? T S T -2 _ | , M , + ¿xá 1458. - i - l n | « - I |+ i - l n ( z 2 + z + l ) - ~ g = Ü ± f l . 1459. i - i n { * í + y r + r 4 ) . y y i ^ —i . 1457. i - l n 3 a rctg 1460. www.FreeLibros.me V i -* 3 + 1 , 3* 8 1 + ■ sen 2* 1 4 don d e s • se* 4* 1 32 Soluciones 1462. 1461. ln |t g x |— c t g 2 z — — c t g 4 x. 1463. X ln tg 5x ,4 6 5 . T 3 É i + tg 6 x , + - 2I ) + 2 1 n | c o s ( | + £ ) | . 1469. —4 = "1/10 1 -f-s e c x I— a r c tg ( 1. v 1 /4 0 / ¿ 1466. se n 2 2 . 1468. - 1 T . , ^ a rctg — ~ 3 X 40 t g2 ( ~ + T w " 1 - lrl I t S a; + z 1 í ^ 2 — a rctg I — ~ 1/2 \ 1 /2 2 -f- V t g 2 x + 4 t g x - f l |. 1474. — ln (son o x - f 'l / ' a 24~sen2 a x ) * 3 1476. *2X ~ _ ( 2 x — 1). 1478. 2^— 12 18 i 1467. a rctg (2 tg * + 1). 1471. 1475. -* -x tg 3 x-f-*i- ln| c o s 3 x |. 1477. 3 co s 52 40 sen2 52 f( * Í T 2 2 1 1472. — ~ a rctg I — — I 1 /3 V V 3 / cosecx. 1473. ln | tg x 1470. 2 V ( c t g i )3 ctg x c o s 5x 20 sen4 52 1464. (e o s 2 2 — 6) y 'c o s '5* x . iz 455 x2 x son 2x 8 4 t-3 r_____ 1 — ln y 1 — x — l n |x — 4 | — 1479. . 1480. l / l + x 2 a r c t g x — ln ( x + l / l + x - ) . 5x 1 sen 10 1 2 sen | . 1482. ^ T q ~ T . 1484 . i í ^ f . . 1485. — 2 c h y i — x. + ln |sh s ¡. ~ Z 1488. co s 2x 148G. 1483. ln 11 + c tg x | — c tg x. A ln ch 2*. 1487. O — ~ + - ^ ln |e * - 2 1 . 1481. - ~ s e n y - ~ 1489. -a :e t h s + i - a rctg ■ 10-2* 1490. 1 V ( í * + Í ) 7 - - Í y ( a * + l ) ¿ . 1491. — x - & y i+ z a * - . x 1495. X -)-3 x eos 5x + - ^ - c o s 5 x — g - s e n 5 x ^ . 1500. 1492. 2 ln 10 - y « * + i+ i 1496. ~ ( c o s ln x + s o n ln x ) + | l n ( 2 * 2 + 6x + 5 ) - - l ] . 1493. 2 y e* + l + l n x ( ** — ! + - H Ó + 2 l á 10 ) ' ln I10 1494. ln ln 1 ( * * a r c B« i i . + ^ ¿ 2 - j / Í S = T ) ■ 4 \ x o / 1 / 9 1497. -g- I — x 2 cos 5 x + — x sen 5x + 1498. £ (x 2— 2) a rctg (2x + 3) + 1499 . 4 - V x — x 2 + ^ x — — j arcsen 1 /x . x |x 2 www.FreeLibros.me 456 Soluciones C a p itu lo V T2 1501. b — a. 1502. 1503. 3. 1504. OlQ 1 ^ — . 1505. 156. I n d i - c a e i ó n. D iv id im o s e l segm ento del ejo O X , desde s = l hasta x = 5, on partes ta le s, que la s a b scisas do lo s pu ntos de d iv is ió n form en una p ro g resión goom étrica: x 0 = \, x x = x 0q, * 2=x<yy3, Indicación. Véase e l p rob lem a U t i l i z a r l a fó rm u la sen a 1505. x n = x (jqn. 1507. 1 — c o s z . 1506. Indicación. + sen 2 a -f ... 4-sen / i a = —-— f e o s 4r —c o s x 2 son-2 -1 x ( " + t ) » ] * -1 /1 + ^ . 1508‘ « í — E í ; 2> § = ¿ - 1511. 2 a * -* 4- e " * 2. 1512. ^ ,509‘ l n *- 151°- ^ Í Í r+ 4rC O s4r. 2 y x *2 *2 1513. * = = « ji( n = l t 2 ,3 , . . . ) . 1514. ln 2 .1 5 1 5 . — 1*. 1516. e * - e " * = 2 sh * . 1517. s o n * . 1518. - j - K e s ° l u c i ( i n - L a su^ a Sn==~7fi + ■ " • + ■ « » + n -~ j +•••+ n (4 ^ puede con siderarse com o suma in te g ra l para la fu n ción l f { x ) = x en e l segm en to [0, 1J. P o r esto, I ¡m s n = [ xdx = n ~ > c o Resolución. 1 4 ó" 4 - - . - 4 1 \ — \ se i + 4n 1 + 4* / ) fu n ció n en tienen la fo rm a . — 1 * *+ l L a suma , 1 « 4 -2 = 1 ,_____ j ____ 1______ 1 / n+ n ~ * I 1 + ± puode con sid era r c o m o e l segm en to [0, 1], (A = l , 2, don d e suma lo s « ). P or esto, ^ = ln 2 . 1525. 1520. 1521. 1526. y — a rctg 2 = a rctg i . 7 j . 1522. Iq - | - f^27. l n 1530. ln - 2 - . 1535. - | l n í i j ¿ § . 1536. 1510. In 2. A in tegral para pu ntos do d iv is ió n iiin s „ = \’ - r ^ T n~>oo J 1 2 2 = 3 3 1523. ~ . la l - h * 1524. . 1 5 2 8 . 3 5 ¿ - 3 2 l n 3. 1529. a r c t g 3 — 1531. ~ . 1532. 1 15 2 _ . 1533. - 5 - . 1534. -]/3 4 1537- T ‘ 1538‘ l n 2 ‘ 1539’ 1 “ c o s 1 , www.FreeLibros.me 457 Soluciones 1540. 0. 1541. * 1544. t h ( I n 3) — th (ln 2) = - g - • 1545. — g e n te . 1548. j— ^ , s i p < l ; 1550. ¿t si p < l . 1542- ar ct g ^ — 1543- s h l = y ( e— 7 ) • sh 2rc. 1546. 2. 1547. E s d iv e r- es d iv e rg e n te , si p>l. 1549. Es divergen te. 1551. Es d iv erg en te. 1552. 1. 1553. — , si p > t ; es d iv erg en te, P~~~ t 1554. n . 1555. -~ j= • 1550. y 5 1558. j ^ 2 « 1559. 1563. 1564. Es d iv e rg en te i-+ i-ln 3 . Es d iv erg en te. 1500. 1557. Es divergen te. , 1561. E s d iverg en te. 1562. -i- . 1565. 1566. Es divergen te. 1567. Es con v erg en te. 1568. E s d iv erg en te. 1569. Es con v erg en te. 1570. Es con v er gente. 1571. E s co n v e rg e n te , 1572. Es divorgorite. 1573. Es co n v erg en to. 1574 . Indicación. 0 (p , £ ) = \ / (x ) dx-\i) X {1 — les / (a;) d x, donde f ( x ) = xV~l X t c o m o lim / ( x ) x 1~'P = 1 y lim (1 — x )1^ f (x) = 1T am bas in tegra.x->0 x-fl so n con vergen tes cu an do 1— p < l y 1 — s < l , es d ecir, cu an do p > 0 l y ? > 0 . 1575. Indicación. «» T (p )= ^ í ¡ ( x ) d x + 0 ^ La prim era para c u a lq u ie r p. ¡ ( x ) c l x t don d e f [ x ) ^ = i in te g ra l es con verg en te cu a n d o p > 0 , la sogunda, n 2 2 1576. N o . 1577. 2 *\/l jj l/ t d t. 1578. jj r ^ = = = = . T InS 1579. c» ^ dt. 1580. \ Id 2 dt. 1588. T / 3 - y . o x = ( b - a ) i + a. 1582. 4 -2 1 n 3 . 0 1583. 8 -------1 5... 8#v4• . 2 -•4• -« 2V 3 1593. 1581. 1585. ri • 2 -* 4 = . 1586. «----------------------i , • T /5 2 1 / l + aí 1589. 4 — n . 1590. y 1594. ¿ aw .1587. í f a1 n/ 4 • l n -112. 1591. l n 7 + ^ l / ^ , 1592. y + ^ - - 1599. - £ — 1. 1600. 1. 1601. — ¿ www.FreeLibros.me o ■ 1602. i - ( e * , ) - ! ) . Z 458 Soluciones 1 6 0 3 .1 .1 6 0 4 . „ ■ 1605. - g b. y,-,- • 1606. R e s o l u c i ó n . r (p -fl) cx> =3 jj x ^ e"x dx. U tiliz a n d o la fórm u la do in teg ra ción o xP = u> e~x dx = dv. D o donde du = p or partes, pon em os d x, u = — e~x y co r (p + i)= [-x p * ^ ]y + j> J * p -i» -* ¿ * = p r (p ). (* ) 0 Si p es un núm ero natural, u tiliz a n d o la fó rm u la en cuenta, que ro F ( 1) - (* ) p v eces y teniendo jj e - * d x = i , 0 obtenem os r (p + i)= p ! 1607. ¡D l= ^ ¿ ¡ T ^ TT ’ si R==2& es UD n,i m ero Par- h k +1 2-4-G . . . 2k . , si n = 2k + l es un num ero impar. 1 .3 -5 . . . ( 2 k + i ) 128 315’ 1608. i,0 ” , (P_ 1) r tg . . *)>. ^ 1609> 1 B ( 2 + 1 , ( p + $ — 1)1 2 V 2 63n 512' 2+ 1) . 2 ; Indicación. Poner sentar— í. 1610. a) más; b) m enos; c) m ás. I n d i c a c i ó n . D ibu jar la g rá fica de la fu n ció n su bin tegral para lo s v a lores del a rgu m en to en el segm ento do in teg ra ción . 1611. a) el prim ero; b) el seg u n d o; c ) el prim ero. 1612. 4 - - 1 6 1 3 .a . 1618. y < / < y . La 1614. 1 6 1 5 .- f - . o fu n ció n Z 1619. su bin tegral 32 1623. s = — . 1624. 1. 0 o 1016. 2 arcsen 4 . o t < / < y ! crece 1617. 2 < / < l / 5 . 1620. Indicación. m onótonam en te. 1621. 1 V 2 1 1625. — . I n d i c a c i ó n . T en er en cuenta ol s ig n o de Z la fu n ció n . 1626. 4 4 - - 1627. 2. 1628. in 2 . 1629. m* ln 3 . 1630. na?. 1631. 12. 1632. 1633. 4 y . 1638. -Ip ü . 1 1634. 1 0 y . — 2 = 2 (ch 1 — 1). I ndicación. 1639. 1635. 4. 1636. y . 1637. ab [2 l / 3 — ln (2 + V 3 ) ] . 1640. y —y 3 8 . mz2. Véase e i apéndice V I, d ib u jo 27, 1641. 2 a V 1. 1642. - + a2. 3 www.FreeLibros.me Soluciones 459 1643. í 5 ji. 1644. -¡L !n 3. 1645. 1. 1646. 3rca2. I n d i c a c i ó n . di c c V I, d ib u jo 23. 1647. ’ I n c ^ * c a c i ^ n - V éase el a pén d ice V I, y ^ n+ ÍA A ó 3 d ib u jo 24. 1648. 2 n - \ - ~ y 6n - A ■ 1649- ¥ n - í J / 1 o ó o 3 -A-jiafc. 1651, 3na*. 1652. ji (ó2-f-2a¿/). 1653. 6m i2. 1654. Para e l la zo, e l parám etro t varía 3 1657. 28, n/72 o Indicación. Indicación. V éase el apéndice V I, 1656. 8 n 3a2. . 1658. a2. I n d i c a c i ó n . Véase ol apéndice V I, d ib u jo 30. 11^2 1659. ' - j - , I n d i c a c i ó n . Véase el a pén dice V I, 4 d ib u jo 33. 1660. ~ n . 166Í. 2 + 1650. entre lo s lím ite s 0 < í < ¿ - f - c o . Véase el a p én d ice V I , d ib u jo 22. 1655. d ib u jo Véase el apón- 14 3 . 1664. rey 2. In d i c a c i ó n . 1665.1 ( 1 0 V I O - 1 ) . ch*a— sh 2 a = l . Pasar a las V 2 + ln ( l + V 2 ) . ( V 2 + D _ 1669 t? l n ( 2 + V 3 ) . 1672. A («2 + l ) . oji h -|-a — ¿>= i n _ _ . 1676. d ib u jo 4 (a° ~ &3). 29. 1677. — . 1663. a2 f - ? - + ( t _ e2)J/2 V 3 ^ coord en a d a s polares. 1666. " [ / P ^ 2 . I n d i c a c i ó n . 1667. + In a?. 1662. U tiliz a r 1668. 1 + 1 lfl 3 ¿ la fórm u la y T + 1 2— V 2 + 167Q_l n ( e + .l / _ 1673. a ln y . 1674. 2a V 3 . T 1C71> 1675. ] n ~ Z Í + i aT2. Indicación. 1678. 16a. Véase 1679. el. apéndice na y í + 4 ^ . f ± V I, ln ( 2 * + + V l + 4 n 2 ) . 1680. 8a. 1681. 2a l l / 2 - f ln ( l / 2 + l ) ] . 1682. A A + l n 3-± j ^ , 1683. a- V 1 + w ’ .1684. /Tí -l(4 -| -ln 3 ]. Z 1685. vy = 2ir. 1692. Í Ü J 2 Í . n " 3 ( 1 5 - I 6 1 n 2 ) . 1697. 2n 2a3. b) 6n»a*; c ) — ■( 9 * 2 - 1 6 ) . A ( . 4 S + i t e 5 + az,) . A n a 2 A . 1710. 1694. A n p ». 1698. 1699. 1702. jggJW ®. t 706. 2 ^ . 1703. 1691. ux = J|nft2a. 1701. a) 5n*a»; A n a3. 1704. A * * 3. 1705. ( 1 -|- A A j . www.FreeLibros.me J687. 1695. A „ . 1696. 1707. j ^ a 2. J708. | a 3, 1711. jia* V p 5. 1712. 2. 3 1690. , 693. ú A ^ J S t .1686. oü i A L (e 2+ 4 _ e- 2). 1688.A i r 2. 1689. » * = - £ • . w A * 02&. 1713. 1709. A aabe. 460 Soluciones 1714. y ( 1 / 1 7 3 - 1 ) ; ^ n a2 ( 5 - j / 5 - 8 ) . 1715. 2n [ ] / 2 + l n ( 1 / 2 + 1 )]. 1716. n ( V S - V D + n l n ? O f f t 1) . i 7 i 7 . n [ y g + l n ( l + V 2 ) ] . 1718. y y s+ 1 (e2+ + « - 2+ 4 ) = y Í ( 2 + sh 2). 1719. 1721. 1720. - y ( e - 1) (e2 + e + 4). 4 n 2ab. I n d i c a c i ó n . A q u í, y — b ± ~[/a2— x*. T om a n d o el s ig n o m ás, ob te n e m o s la su p e rficie e x te r io r del t o r o , m ien tra s q u e c o n el s ig n o m en os, se ob tien e la s u p e r fic ie in te r io r dol m ism o . 1722. 1) 2nfr2 -}- — — 6 aresen e; I n í - ^ 4 ; d on d o e = i - ^ ----- — (e x c e n tr ic id a d de la e lip s e ). 1773. i ~~ e o 2) 2na2 + — e a) - ^ y l ¡ b ) Í6n2fl2; c ) y jio 2. 1724. - y n a 2. 1725. 2 n a2 ( 2 - y l ) . 1726. y 1727. M X = y V P + 65; j l í y = 1729. Jl/z = M y = y 1732. y y ^ + P . ; r = y = y . 1731. 2n a2. * = 0; 1734. x = j 1 a; y = ,~ a . 1737. a: = n a; í/ = -jr * a . 1730. 1728. M x = /l/y = y - 7- 2 + . - ?■- 2 . 4 sh 1 1735. 1738. x= ^ 0; 0; Ma ^ 1733. x = y = -| -j . . n a 2. M b= . a2; x = 7 = y a. -a s e r l a ; a 1736. Resolución. 7 = 0. x= y— . D iv id im o s el h e m is fe r io en zonas e sfé rica s elem en ta les, do ároa d o , p o r m e d io de plan os h o riz o n ta le s. T en em os d o = 2 j t a d z t don d o dz o s la a ltu ra do la a 2n J az dz zona. De d on d o z = — 4 — -— = 4 * . P o r s im e tría , x = y = 0. 1739. A la d ista n 2n aa ¿ 3 c ía de — de la a ltu ra , a p a rtir del v é rtice d e l c o n o . S o l u c i ó n . D iv i d im o s e l c o n o on elem en tos, por m o d io de p la n os p a ra lelos a la base. La m asa de cada capa elem en tal será dm¿ = y jip 2 rfz, don d e y» es la d e n sid a d , s, la d ista n cia De d on d e d e sd e o l plan o n [ — ¿d i z = -— 4 - n r * secan te hasta ol = - ^ - h . 1740. v é rtice del c o n o , p = ~ z . ^ • R ^ s o 1 u c i ó n. í 0; 0; V 8 7 P or sim e tría x = y = 0. Para dotorm in ar z t d iv id im o s ol h e m is fe r io e n c a p a s elem en ta les, por m e d io do p lan os p a ra le lo s al p la n o h o r iz o n ta l. La m asa www.FreeLibros.me Soluciones 461 de u n a de estas capas elem en ta les será drti = y n r^ d z: don d e y es la densi d a d , z, la d ista n cia en tre e l p la n o secante y la base del h em isfe rio y _ r = l/fl2 — * f ( • * - * • ) * * 3 e l ra d io de la se cció n . T en em os:-z = *—------^----------------- ~ ^ a' na* 3 Í7AU / - n a ® . 1742. / O= | o 5 3 ; / Í, = | fl3&. 1 7 4 3 ./ = ^ M *. 1744. / a ==-i-jtafr3; = - i - n a 36. 1 7 4 5 . / = ■ — en a n illo s m on tos elem en ta les será — i?}). Resolución. co n cé n trico s . dm — y 2 n r dr y el La m om en to ¡D ividim os el a n illo m asa de uno de in ercia, de estos fía / = ele- r3 dr Ri = (-^2— ^ í ) ; ( y = l)> 17*6. 1 = j Q J('R4H y . Resolución. D iv id im os e l c o n o on u n a serie de tu b os c ilin d r ic o s elem en tales, p a ra lelos al eje dol c o n o . E l v o lu m e n de u n o de estos tu b os elem entales será dV = 2nrh dr, don de r es e l r a d io d e l tu b o (es d ecir, la d ista n cia hasta ol e je del co n o ), h = H ^1— Ia altura del tubo; en este caso, el momento de inercia fí / = y j j 2n H , dón d e y os la den sid ad del con o. 2 1747. I = -£ * fría2. R e s o l u c i ó n . D iv id im o s la esfera en una serio de tubos o e le m e n ta le s , cu y o s ejes sean el d iá m e tro d a d o . E l v olu m en elem ental será 1— a En este ca s o , e l m o m e n to de r2~ « su altura. ^ in ercia será: J = 4 n a Y \ *1/ 1 ~ - — r5 dr = d en sid ad de la esfera, y c o m o la m asa ikf — 1748. K = 2nzfl2&; 0 V fl2 g — -j=- Jia5y , dondo y es la / o = y j i a sY. SB tendrá q u e ¡ — 2 —■_ 1S' = 4jx*a&. 1749. 9 / 4 | p. 1750. a) * = 0, y — — — , I n d i c a c i ó n , 1U o ji a) x = ^ y = — a\ b ) x ~ y = o L o s o je s de coord en ad as el = d iá m e tro y el se han e le g id o de ta l form a , que O X co in c id e con o r ig e n de coord en a d a s co n el con tro del c ír c u lo , b) x — Resolución. en g en d ra d o por ol g ir o El v olu m en del cu e rp o , que de un triá n g u lo a lrod ed or www.FreeLibros.me es un de su d o b le co n o base, es igual S o lu c io n e s 462 a V= y nbh*, d o n d o b e s la base y b Ja a ltu ra del rem a do C u ld in este m ism o v o lu m e n V = . 2 n x ^r-bk, ¿» triá n g u lo. P o r el te o d o n d e "x es la distan - cía desde el ce n tro de g ra ved a d a la b a se. Do don d e * = ¿ 1752. - ^ - I n 2g \ + / • 1753. z = Í ^ s c n c o t; t>cp = — y0. 7?2¿ / 2. I n d i c a c i ó n . u0í — 1754. S= h ^ ^ b í i - ( a - b t l ) la — ^ - . j . ,7 5 6 . 0 ) - 1 0 « » . 175 5 . , = 4 í n ( ^ ) ; ¿ 1751. 31 La fuerza elem en ta l (la g ra v ed a d ) es ig u a l a l p eso del agua on o l v o lu m e n de la capa de esp esor d x , e s d e cir, dF = y n R * d x , d on d o y os e l p eso d e la u n id a d do v olu m en d e l agu a. P o r co n s ig u ie n te , el tra b a jo elem en tal de la fuorza es dA = y n R 2 ( H — x ) d x , don d e ares él n iv e l dol agua. 1757. A = ~ y R W . 175ÍI. A = y n R 3H . 1758. A = 2 Z ~ R * T M a® 0,79-101 = 0 ,79-10’ k g f m. 1760. A — — ~ ~ ; A c o = mgR. Rosolnción. La fuerza 1 + 7F Y 71 M q u e actúa s o b ré o l cu erpo de m asa m, e s ig u a l a F = k —^ ~ , d o n d e r es la d ista n cia hasta ol con tro do la T ierra . C om o para r = R , ten em os q u e F — m g , resu lta k M = g R 2. E l tr a b a jo que se busca tendrá la form a A = ll+h k - ^ - d r = km M ( 7 ^ ~ ~R ^ h ) = ~ ~ J T ' C,,ancl0 /í= = c o « ten em os que 1 + ~R A co = m g R . 1761. 1,8 - 104 e r g io s . Resolución. La fuerza de a cció n m utua de las ca rg a s será F = = - ^ I d in a s. P o r c o n s ig u ie n te , el tra ba jo n ece sa rio para trasladar la ca r g a e x desdo el p u n to a l pu nto x 2 será: A = *a ^ ■ = e o e ! x- \ M = l , 8 - 1 0 4 o rg . 1762. 4 = 8 0 0 w fn 2 k g f m. R o s o - *2 / l u c i ó n . Para e l p roceso is o té rm ic o pi> = />0i>0. E l tra b a jo rea liza d o on la ex p a n sión d o l g a s desde e l v o lu m e n v0 basta el v o lu m e n i>, es ig u a l a vi P d v = p 0v o l n i l i . - *>2 p roceso a d ia b á tico Do dot.de lución. 1763. A 15.000 k g f m . Resolución. Para el vo es v á lid a la le y de P o isso n pu — />o£:y* d o n d e fe <**.1,4. J - ^ ^ “^ = ^ = T T [ 1— ' 1764, ' 4 = J I,'Hi><,' R o s o - l>2 Si a es el rad io de la baso d e l á r b o l, la p re sió n s o b re la u n idad www.FreeLibros.me Soluciones de s u p e r fic ie 463 p de a p o y o será p = — % • La fuerza de fr o ta m ie n to de un a n illo 3CCL do anchura d r , que so encuen tro a una distan cia r d e l cen tro, será ig u a l a 2 li P ■■■■ - - r dr. El tr a b a jo de la fu erza de fr o ta m io n to , sobre esto a n illo , durante a' Azi\iP una v u elta co m p le ta es d A = - r2 dr. P o r l o cu al, el tra b a jo to ta l A — a‘ a = r2 dr = -|- n\xPa> 1765. ~ M R 2co2. cin é tica de un o lo m o n to es e l e le m e n to ^ - ^ '•> d r = 0 = 2,3 108 k g f m. a la resorv a La energía v~-$— = 2!L.yL da, don d o d<j = 2 n r d r , ¿t ¿t de su p e rficie ; r, su d ista n cia al ojo do g iro ; p, la densidad M Meo2 1 D e esta I ° rm a’ dK = ~2 r2 Do don d e, AT = su p e rfica l, p ¡= = d ol d isco d K Resolución. • 176G- Indicación. K = ~ M R ^ . 1767. ^ = ^ - ^ 2 = L a ca n tid a d de tra b a jo n ecesario es igual do en ergía c in é tic a . 1768. p = . o 17G9, P = 6 ^ ^ ll,3 * 1 0 s 7\ 1770. P = abynh> 1771. P = - ^ — - (com p on en te v e rtica l d ir io 1 g id a de a b a jo hacia a rrib a ). 1772. 533-^- g . 1773. 99,8 ca l. 1774. M — _ f } b p g fcm> i n s . — kAírn^^ ¿ ^ e3 ja c o n s tan te g ra v ita to r iá ). 1776. 4 r ~ r . a \a~Y L) Resolución. ■] <? = - J y -2rtr | r d r ^ 25 Q ~ ^ va —^ P * Indicación. D ir ig ir ol o jo de o a b scisa s p o r e l la d o m a y o r , in fe r io r , dol re ctá n g u lo , el de orden adas, porpem licu íarm en to a é ste, en su pu nto m e d io . 1778. R e s o l u c i ó n . S — ^2 — ^ p o r otra PartCí ~!ir==a' de ônde d t ^ d v , ¿i el — tiem p o y por con sig u ien te, ^ ~ = S. 1779. t>2 n e ce sa rio para ol - e m b a la m ie n to i www.FreeLibros.me ( > - * ) • Mx = ™ - 464 Soluciones A ? Mx c i ó n. kx ( a t - t y k t d t + A x ^ - g - V * — **). 1781. Q = 0 y\2TRl% c a l. I n d i c a - ó U tilíce se la lo y de J ou le-L en z. Capítulo VI 1782. F = - | < * » - * « ) as. 1783. ™ *»■ - < ( b j3 ^ T • )-■ }■ • /(*= - * - - * ■ ' 1786. / { x , * * ) = . ! + * - * * . í = 1787. = = ~ + ^ . 1788. / ( z ) = 3 ^ + i f . I u d i c a c i ó n . R epresentar la fu n ció n dada en la form a f y s u s titu ir ~ por z . 1789. j (x , y ) = —— u-\-o * + </ = « , x — y = v. L n esto caso z = _ I — f U + ( * ? ) . V 4 »*+ 3 (* -» )« . ) = Solución. u—v / Í 7 ) 2+ ‘ D esign am os ., u4~v u — v , f. f ( Uy v ) = — --------- - 2 U V No queda más que ca m biar la d e n o m in a ció n de los argum entos it y p p o r x o y. 1790. / ( « ) — u2 + 2 a ; z — x — 1 + V y . I n d i c a c i ó n . En la id en tid a d x = l + / ( V * p o r co n sig u ie n te , 0 pon em os l / x - ~ - l = u; en ton ces, x = (m + 1)2 y , f (u) = u 2 + 2u. 1791. f (y ) — ~\/1 + y*'y z = - V y 2. I^ l Resolución. es d e cir , Cuando x — 1 tenem os / {í/) = V l + Z/2. y z= x j/* 1+ En este la id en tid a d 1 / 1 H -y2 = 1 - / ( “ J"") » caso, / ( J L j = j / l -f — V ^ + y 8* í7 92. a) C írcu lo un idad, co n e l ce n tro en e l origen de coord en adas, in c lu id a la circu n feren cia (x 2 4 - y 2 < 1); b) la b isoctriz y = x , d el I y III á n gu los coord en a d os; c ) sem ip la n o, situ a d o sobre la recta x + y = 0 ( x + y > 0 ) ; d ) fa ja , com pren dida en tre la s rectas y = ± 1, in clu id a s éstas en ( — l < y < l ) ; o) cu ad ra d o, form a d o por lo s seg m en tos de las rectas x — z t i e y = ± 1, in clu id o s sus lados { — 1 < z < 1 , — f) parte del p lan o, adyacente al e je O X y com p ren d id a entre las rectas y = ± . x y in c lu y e n d o esta s rectas y e x clu y e n d o el o r ig e n do coord en a d a s ( — x ^ y ^ x , cu a n d o z > 0 , z < y < — z cu a n d o z < 0 ) ; g ) d os fa jas x > 2 , — 2 < y < 2 y x < ~ 2 . — 2 < . y < 2 ; h ) a n i ll o , co m p re n d id o entre las circu n feren cia s * 2_j_ ^2 -= fl2 y x 2'+ y * = 2a2t in clu id a la fron tera ; i) las fa jas 2n n < z < < ( 2 n + i ) ai, y ^ r O u (2n + l ) n < z < ( 2 a + 2) n , y < 0 , don d e * es u n núm ero en tero; j) la parte del p la n o situ a d a p or en cim a de la parábola z 2 ( * 2 + ¿ / > 0); k) t o d o e l p lan o X O Y ; 1) to d o ol plan o X O Y y a e x ce p ció n d e l o rig e n de coord en a d a s; m ) la parte d el p la n o situada p o r en cim a de la parábola y 2= x y a la derecha del e je O Y , in clu y e n d o lo s pu ntos del eje O Y y e x clu y e n d o www.FreeLibros.me 405 Soluciones lo s d e la p arábola ( x > 0 , y > ’V x)\ n) t o d o ol p la n o, a e x ce p ció n do los pu ntos de la s rectas x = i c y = 0; o ) la fa m ilia de a n illo s co n cé n trico s x 2 + y 2 < ; n (2/c + 1) (Ar — 0, 1, 2, . . . ) . 1793. a) 1 octantu (in clu y e n d o la fro n te ra ); b) I, T il, V I y V I II o cia n te s (o x clu y o n d o la fron tera); c) un cubo, lim ita d o p o r lo s p la n os x = z l z 1. y = ± r l y z — d r l » in clu id a s sus caras; d) una esfera d e ra d io 1 co n ce n tro en e l o rig e n de coord en a d a s, in clu id a su su p e rficie . 1794. a) U u p lan o; las lín eas de n iv e l so n rectas, paralelas a la recta a H -y = 0; b) un p a r a b o lo id e d o r o v o lu c ió n ; la s líneas de n iv e l son c ír c u lo s c o n c é n tr ic o s cu yo ce n tro está situ a d o cn el origen d e coorden adas; c ) p a r a b o lo id e h ip e r b ó lic o ; la s lín ea s d o n iv e l so n h ip é rb o la s equiláteras; d ) u n c o n o de 2 o ord en ; la s líneas d e n iv o l son h ip é rb o la s equiláteras; c ) c i lin d r o p a r a b ó lic o , cu y a s gen eratrices son paralelas a la recta z + y + i = 0 ; la s líneas de n iv e l son rectas paralólas; f) su p e rficie lateral do una pirám id e cu a d ra n g u la r; las líneas d o n iv e l s o n c o n to rn o s do cu ad rados; g) la s líneas de n iv o l so n parábolas y = Cx-\ h) las líneas de n iv o l son parábolas y — C \/x\ i) la s líneas ao n iv e l so n circu n fe re n cia s C ( x 2 + rj*)=>2x. 1795. a) Parábolas y = C - . r 2 ( C > 0 ) ; b) h ip é rb o la s x y = C ( |C ] < 1); c ) circu n feren cia s z 2+ y 2= C 2; d ) rectas y = a x + C; c ) rectas y = C x ( x ^ 0 ) . 171MS. a) P la n os p a ra le lo s al p la n o x ^ y + z — 0 ; b) esfera s co n cé n trica s c u y o cen tro s o oncuentra en el o rig e n do coord e n a d a s; c ) cu a n d o u > 0 , h ip e r b o lo id e s do r e v o lu ció n de una h o ja a lre d e d o r d el e je O I ; cu a n d o u < 0 , h ip e r b o lo id e s do r e v o lu c ió n d e dos h o ja s , a lre d e d o r d o l m ism o c jo ; am bas fa m ilia s de curvas están d iv id id a s p o r e l c o n o x* + y ,¿— z2 = l) (u = 0 ). 1797. a) 0; b) 0 ; c ) 2; d ) ek\ o) n o e x is te e l lím ite ; f) n o e x is te e l lím ite . I n d i c a c i ó n . En e l p u n to I>) pasar a las co o rd e n a d a s p ola res. En lo s p u n ios e) y f) ex am in a r las v a ria cio n e s de x e y a lo la rg o d e las rectas y = k x y d em ostrar, que la e x p resión dada puede tender a lím ite s d ife re n te s, que deponden del v a lo r del k e le g id o . 1798. C on tin u a . 1799. a) P u n to de d isco n tin u id a d cu an d o x = 0 e y — 0\ b ) to d o s lo s p u n to s do la recta x = y (lín e a de d is co n tin u id a d ); c) la lin ca de d is c o n ti n u id a d es la circu n fe re n cia ar2-f-y 2 = l ; d ) las líneas de d is co n tin u id a d son lo s e je s de coord e n a d a s. 1800. Indicación. P o n ie n d o y = y , = coQSl, ob te n e m o s la fu n ció n cpt ( x ) = 1 7 * q u e os con tin u a en tod as p a rles, ya ® 1 y1 q u e cu a n d o i / ^ O e l d e n o m in a d o r + 0 , m ien tra s quo cu an do í/4= 0 (ar) ==0. A n á lo g a m e n te, cu a n d o x = x 4 = c o n s t, la fu n ció n cp3 ( y ) = es co n tin u a e n tod as partes. P o r el c o n ju n to de la s v a ria b les s o y , l a fu n c ió n z tiene una d is c o n tin u id a d on el p u n to (0, 0), ya que n o ex iste el lim z. E fe ctiv a m e n te , p asan d o a las co o rd e n a d a s polares (ar = r coscp, y = rsen cp ), ar-vO y—► O o b te n e m o s z ~ s e n 2cp, de d o n d e se a p recia q u o , si x - * - Q e y —>-0 de manera q u e cp = co n st (0 <1 cp 2 n ), z —y sen 2cp. C om o e sto s v a lo re s ex tre m o s do la fu n c ió n 1 dependen d o la d ir e c c ió n do q>, z 110 tien e lím ite cu a n d o x —»- 0 o y —>■0. 1801. £ = 3 (x ^ -a v ). * = 3 ( , » - « * ) . 1802. f - = ^ | -= T 1805. d* dy dx y y *-~S7 - . (ajz-f-yz)»/» X2 -J-y 2 y ~ dy T ~ ~ ------------3/ (*2 + ^^3)»/* _|. y x * + y») lg 0 7 _ 52 _ dx 30-1016 www.FreeLibros.me • , £ = - - J t = - y * - , . F - 1806- dx = ~- /7x = z +^ = y* - ’ y x 2 + y* dz dy x a:2-(-y2 466 Soluciones 1808. dz ^ - = y x y~ l , dx * v 1 senT y '_ — C cty x jni< 1811. COS - | i = * t 'l n z . dy tQ4(, dz 1 . x4-a — = ^ c tg --2 — , dx Vy V y = * i.« W l;2 ;0 ,_ -§ -, -| i = — \ e ^ dx x2 x y 2 y 2 x 2- 2 y 2 i i / i I y I (a: >— y * ) dz y x 2 \/2x2- 2 y ¿ 1812. du , , - j - = y z (xy)1 1 . ox ln t, • _ — “ dy dz x-\~a . x-\-a — = — Ct g — ^ . 0y 2 jV ¡/ y y * COS - i x i ~i ♦ ,v | y [ ( x * — y*) ^ j- = ( ^ ) 2 ln (* y ). 1813. In z, 1814. /y (2, 1) = 0. 1813. f x (1; 2; ^ . t x ( 2, l ) = y , ,< (,;2 :0 )— Í - . 1826. s = a rctg — + . ■,1 — X dx 1809. tg Y = -i-; 1820. - 1827. z = ^ 4 - ^ Z 2 ) tg a = c o , ^ • 0) = 1, 1 8 2 1 ... ln z + sen f/— ¡ ^ . 1828. 1) tg cc = 4, Z tg fl = 4 , tg y = 4 - . 1829. í £ L = - L h , h, ~ = ~ (a-\-b). 1830, I n d i c a c i ó n . Com probar» que la fu n de* Z Ofi Z c ió n es igu al a co ro en to d o ol e je O X y en t o d o el e je O Y y v alerse do la d e fin ició n do la s d eriva d a s parciales. C orciorarse d e q u e f x (0, 0) = /y (0, 0) = 0 1831. A / = 4 A * + A y + 2A *2+ 2 A * A y + A x 2Ay] d f = /tdx + d y ; a) A f - d f = 8; b) A / — d / = 0,082. 1833. dz = 3 { x 2- ~ y ) ¿te-j-3 ( y 2— x ) dy. 1834. dz = 2 x y 2 dx-\+ 3 x 2y 2 dy. 1835. dz = j ^ ^ ^ - (y d x — x d y ) . 1836. dz = sen 2x d x — sen 2y dy. 1837. 1838. dz = dz = y 2x'J-1d x + x y (\-\-y \ ü x ) d y . ( x dx - \- y dy). 1839. d f = — f d x — — d i / ) . 1840. d z - 0 . 1841. dz = ------------- { dy — ^ - d x \ . *+ M ’J t * son M * ) X 1842. d f (1, 1) = ífar — 2dy. 1844. d u = — . ■ * - — ( x d x - j - y du-\-z dz). i/ x 2-\- f/2+ 2 2 x [ ( y + t ) 1846. du ■= du = yz d x + z x d y - ^ x y dz. 1845. du = { x y ^ z d x + ( 1 - ! ^ ) x z d l J + [ x'j + t ( y d x + * dy - 2-y - d i) , = ~ ( 5 d z — 3 d x — 4dy). Zo 1843. ) ln ( ^ + T 1847. 1850. -g - cm . X ) dl] d f (3, 4, 1848. di = 0,002 era; A i = 0,065 cm . (c o n re la ció n a la s d im en sion es in toriores). ~ } y * • 5) = 1849. 75 cm » Indicación. Suponor que la d ife re n cia l de su p erficie del sector es igu al a ce ro y do a q u í h allar la d ife re n cia l del ra d io. 1851. a) 1,00; b) 4,998; c ) 0,273. 1853. C on exactitud hasta 4 m (más exactam ente 4,25 m ). www.FreeLibros.me 1854. ti - g y ig . Soluciones 1855. «fa = — p 467 (« fo c o s « — «te se n o ) . ,8 5 7 . 1856. Í Í = £ Ü Í * £ Í Z ^ i . dt t la 2 1 ( , _ £ ) . ,8 5 8 . * - 2 , t o ^ l+ Ü 2 ± ^ £ l+ + ^ "7 T ^ 7 ~ • 1859. 4 r = 0- *860. - ^ — (sen x ) c0SX (eos a; c tg x — sen a: ln sena;). 1861. « ¿te a;2- ) - i/3 • S 1863’ 2 s / u ( a , i ; ) + y « * t f / ¿ ( K , i>); 1864. W Í1 _ 0 , dw ’ ■- r h ■m 2- S - — 2y /ú ( u , * ) + * « * ! / / ¿ ( « , ¿>). * ■ _ !. dv ,8 6 5 . = ( * + 4 “ ) f ' ( * y “i~ ~ e ') * e - * ' [ ” ' <*> i " * + t ] ■ 1867* | i = „ ( ,- A .) r ( « 4 + i = ^ * )+ y , z ) ^ ^ , y)+ i| > ¿ (^ . ^)<p' (« )I - 1873. E l p erím etro crece c o n una v e lo c id a d de 2 m /s e g ., e l área aum enta c o n la v e lo c id a d de 70 m 2/s e g . 1874. l + 2 í2 + 3 *4 . l / l + í 3+ /4 1875. 1878. 3 ¿ !. ¿ - 3 ^ . O 1879. 2 0 ^ 5 - 2 1 / 2 k m /h o r a . 1876. — ^ 1 . ^ 1880. 1881. lo 1877. 1. ¿ o s a + c o s p + cosy «3 < 1882. a ) (2 ; 0 ); 1>) (0; 0 ) y (1; 1); c ) (7 ; 2; 1). 1884. 9 « — 3 ¿ . 1885. i - ( 5 1 - 3 . / ) . 1886. 61 + 3 . / + 2fc. 1888. cosq> = — y io a b ey 2 1887. | g ra d u | = 6; eo s a = - | - , eo s p = — . 1889. tg q> s s 8,944; <p ^ 8 3 °3 7 \ # d2z (62a:2+ a 2y2)a/2 ’ 3* dV 2 (y — » 2) . (a¡a + íí)2 ’ ( 2 x y -\-y2) 3/z dz2 abcxy 1894. *2* dxdy a dH _ 3y2 1S98. 1891. vx* = d2z * 1S92. -T—TI=S (62x2+ a 2y z f/ i ‘ 1 (s2 + y)2 ' 1895. £ - ± = 5 ? . dx* r3 d % :_ d2w _ d*u __ * dzdy d y dz dz d x ' abex2 (b * x 2 + a * y Z )3/i ' dV'1 2* . (* 2 + i/)2 ’ dxdy 522 eos y = - 3 - . ' ¿te2' lg 9 3 1896. ' dH dx Oy * » dx 2 ¿ y 2 d3r¿ a _ í 6 _ i Y_ i d x d y d z ~ a $ yX V, z — x2V c o s ( x y ) — 2 z s e n ( x y ) . 1899. f x x (0, 0) = m (m — 1); / í y ( 0 , 0) = mrc; /y y ( 0 , 0 ) = w(i& — 4). 1902. I n d i c a c i ó n . C om probar» u t i liz a n d o la s roglag d e d e r iv a c ió n y la d e fin ic ió n de d e riv a d a p a rcia l» q u e íx (2 , y) = y + ( S ¿ + y 2)8' ] (Cuando a a + y 2 =¡f c ° ) ' / i ( 0 , 0 ) = 0 y , p or co n sig u ie n te » f x ( O t y ) = — y cu a n d o x = Q y para cu a lq u ie r / a y ( 0 » y ) = - 4 , en p a rtic u la r , /Sry (0 , 0 ) = — 4. A n á log a m en te, f x y (0 , 0) = 1 . y . De d o n d o h a lla m o s q u e 30* www.FreeLibros.me 468 Soluciones *003. ^ 4 ¿ —2 / ú ( « , y) + 4a:2/u u (w t ») + 4 x y f u o ( u , v ) Jr y V v v ( « » ^); jj- ^ = /Ú ( k , ií) + 4 * í/S t t ( a , f ) + 2 ( * 2 + 5f2) /tt»(M , p ) + a : y / í v ( u , u); ¿)“2 ^ = 2 / u ( íí , lj) + 4 í/2/Ú u ( w, ¿j) + 4^ í/ / u ü ( m? » ) + * * /» » { » » * ) = f x x - \ - 2 f x z x + 1904. ^2r 1905. // l i‘ z (<pjf)a+ /s <pJC «*. « / / = /« u (<p*)2 + 2 /ti® q>xl|>a: + /tnj (l|fct)2 + /u Cpxx + /» ^Ja-xí = /üu <pí q>¿ + /un ((pi ^ - f ♦*«PÍr) + + fu <ixy + fv^xy) 02z ég £ = 3 ruu W y P + W n tt'y V y + r n ( % ) 2 + f W v u + K % r 1914. u (x, y ) = y ( x ) + y b ( y ) . 1015. u ( x , y) = z y { y ) + t y ( y ) . 1916. d h — ex^ ](y d x -\ -x d y ) 2+ 2 d z dy]. 1917. tfiu = 2 ( x d y dz -f- y dx d z - \ - z d x d y ) . 1918. ( t ) ( x d x + y d y ) * + 2 y ’ (t) [d x*-\-dy2). x (t fla -y .d « + * ln ^ -d | f) ; + 2 { x y ln ln 1919. dz = ( — * * = ( - £ - ) * " [ ( y * i na ^ + J L ) * :* + J * 1920. dx d y + *n2_¡^ ------- ^ “ ) un (w, t>) c%2-j-2<z5/u?; ( w, i5) d x d y~f" 52/dü ( v) d y 2. d2z = 1921. d 2z — = ( y e * h + ¿*vfuu + 2 y e * + y fu v + y 2e 2Xf l x ) d & + 2 (eVf'u + e*fv + x e 2V f u u + e x+V X X ( 1 + x y ) f u » + y e * * f n ) d x d y + (x e V fi + * * * * "& » + 2 x ex+ vfúv + e2Xfvv) dy* 1922. d*z = ex (e o s y dx* — 3 se n y dx2 ¿ y — 3 eo s y dx dy2 - f - sen y dy*). 1923. d 3z = = — y e o s x d x * — 3 sen z (te2 d y — 3 eos .y d x dy 2 + s sen y d¿/3. 1924. tí/ (1; 2 ) = 0; d2/ ( l ; 2) = 6¿ r 2_j_2r ^ á í/ + 4 , 5 ^ 3 . 1925. d 2j (0, 0, 0) = 2 d z2 + 4dy2 + üdz2— — 4 d x ¿ j/-f-8 íía :d z + 'id!/cíz. 1926. xy-\ -C . 1928. ~ ¡ - ^ + l n { x - \ - y ) + C . 1930. - Í - + C . 1927. x 3y — |j— l-s e n s -J -C . 1929. - | - l o ( s 2 + y*) + 2 a r c t g - Í - + C. 1931. " l / z ^ + p + C. 1932. a = — 1, i = — 1, z = 1933. a í + ^ + z S - f i y - f - i z + j / 2 + C . 1936. — + — + — + C. y z x 1937. Y x * + y 2 + z* + C. 1938. & = — 1. Indicación. cio n e s ex p resión X d x + Y d y . d ife re n cia l exacta para la 2- -f-C- 1934. *3 _|_2x i / H ' 3 » + y 2— y z — 2 z + C. 1935. a ¡ V — 3xy2z + 4x2y a + 2 a :-f y + 3z-|-C . de g* ^ E s c r ib ir las c o n d i 1939. f'x — /y . xy 1942. b 2 x . d '2 V <z2*/ dx2 — s - ; j- * b4 .ñ -dr ,*, y = a¿y3 - í o /i d y \ /t í(z)\ da z - 4\ - rC , 1941. — J a La ecu a ció n quo determ ina a u — - 1940 . ttó1 35% * r - s = a4í/5 y , es la ecu ación de u n par de rectas. www.FreeLibros.me n r • 469 Soluciones dx ó — 1; '» • 1Í)44 . ^ = - J U 1 — x y * -* dx ( § ) = 8 \ d ¿x ) Xm,\ í 1/ . x * - ó -8 . üx dz xx ~ 1951. d2z d y 2 ~~ . 1953. p L = * - . dx a x — yi/ h \¿r dx2 S =T : [ ^ ± f í^ ± p (î^:— 1/)^ dx2 J O .- x 2 — Vz . 0x x y — z2 1 dz dx 'i’ i ipí . dz — 9y2— 3 x2 — 2 dy 3 ( x y —-z ¿) * 1 dy 2 c*xy fl2¿;223 • Jir d y , d*z . 1954. d z = ~ — d x — ^ z z d * t= { ~ 1962- )3 ( d x 2 + 2 d x dy + dy*). *y - dx’ 1963. d2u u-u d2u ~ VU dv dx dy W ^ 0' ~ . ~ g 'pu «p; 'p ; c e os y ’ p; ♦¿ 3* d j/ ’ p; 1 T (u -u ); ^ f r ( r , (P)COS-P- Si b) d x = ^ (r . 2 ( l’ + 1967. “ )i tp) s e n ( ? + / ■ ; (r, c p ) ^ . c dy- _ 2» S dy - « - •+2 ( £ ) ’ - - Q2¡* i ; ^ = 0. 1904. du = dy2 = — i . eos 9 c tg S>; ÉL = _ i - son cpctg * . 1969. g f 1971. a) J 4 g t; c son v u son (p r | = | = i; 'pu ~ d2v 2; ” * dx dy r Iel‘_U ( f+ “ ) ^ + « “+0 (« -« )* ]- F ¿ (r , 9) - d2z= d2v dx2 (i C) ,iz = ¿ = t/V dv *A. d y ^ ' i ; Ty y dx 4 T T í/ ^ ’ + y tu d**. 1965. + y)2 a) z r - = — 7 dx 1961. | | = o o ; d2= j f e r r f j )rfa:; ^ a 1966. ; = 3 \ d x ) x=* 1 dx2 — 2 Í í > d x dy 4 1956. rfz = ^ ( d x + d p ); i ,945. (1— y)* dz = x s e n ¡ / - c o _ S i > W M - * dy c o s x — y sen 2 0x d2s c4 (í>2— y2) _ d2z c2y a2b W ; dxdy~ b2z 'dx2“ ~ eos x — y sen z c2x dz _ a 2z oy c* (a2 — x 2) a 2b2z3 y 2— a2 1946. ¿ ay _ 2y </xa x2 * z sen x — c o s y 1949. : y— \ i» £ - » • i8 7 2 - 1968. 02 u = 0. 1970. g « s i* -? -- 1973. = 0. a: = £ 17r - w i - £ ¡ r - 0' im5- “ S — , m■ S + -Í * [-+ (■ & )■ ] 0<p2 1 4 — = 0. r dr 1977. d2z——771— 02 r—T -r- . du du ¿u dv í « - o l,“ 19/8. —’ = 0n. www.FreeLibros.me du i.iTfi 1979. -r-r dv2 0. 47 0 Soluciones 1980. 198L a) 8 * - 4 * - * - 5 = 0 ; n x — ^ y — 3 z— 4 - 6z = 0; _ = — = _ y — / i sen a 3— J? sen a 0 ‘ c2 ± - r — A ••■•.=====. 1983. y « 2 + ¿2+ cJ 2 . o) ; b) 3 z + 4 j/- . a?— fíe o s a x coa a ~f y sen a — H= 0, C08g = a2 lgg2 ‘ 62 + 2 s + 4y-|-12z — 169 = 0 T » -T y aa^^ a_|_ca T 1985. * + 4 y + 6 z = ± 21. 1986. a: zfc y ± z = ± l / « 2 + 62 + ^2. 1987, En lo s p u n io s (1; ± 1 ; 0) lo s p lan os tan gen tes son p a ra le lo s al p la n o X O Z y en lo s p u n tos (0; 0; 0) y (2; 0; 0) a l p la n o Y OZ . La su p e rficie careco do p u n tos en lo s cu a les ©1 p la n o tan g e n te sea p a ra le lo p la n o X O Y : al XOY. X{/ f z~0, i o 1991. j —o r La p r o y e c c ió n 5 - - . «j 1994, L a P ro yecció n sob re el p la n o La p r o y e c c ió n sob ro XOZ: el s o b re p la n o el YOZ: f y==0, » 0 2 Indicación. La lín ea d e co n ta cto de la s u p e r fic ie co n e l c ilin d r o , que p roy ecta esta s u p e r fic ie sobro a lg ú n p la n o , representa de p o r s í e l lu gar g e o m é tr ico do lo s p u n to s, en fo s que e l p la n o tan gen te a la s u p e r fic ie dada e s p e rp en d icu la r a l p la n o do p r o y e c c ió n . 1996. f ( x + h, y + k) = ax2 - f 2bxy + + cy 2 -{-2 ( a x ^ b y ) h-{~2 (b x-\ -cy) k -{-afi2 -\-2bhk~]-ckz. 1997. / (x , y ) = 1 — (z-\+ 2 )2 + 2 < * + 2 )(y -l) + 3 (y -l)2 . 1998. A / (* , y ) = 2 h + k + h * + 2 h k + h * k . 1999. /< * , y, z) = (x — i)* + ( y — l ) * f ( z — l ) * + 2 ( x - ~ l ) { y — l ) - ~ { y - - l ) ( z — í ) . 2000. f(x+h, y + l f, z + l) = / ( * , y , z ) + 2 [h ( x — y — z) + k { y — x — z) + + í { z - « - ? ) H - / ( A , A, 0 , í ‘ + 6 í% H l4 ^ 2003> 2001. y + * y + 0 y ■ 2002. 1 ---------^ ~ 1 + ( F _ 1) + (;s_ 1 ) ( y _ 1)_ + (y + i ) ? + r ( « - l ) y + C 1 V ^ - 0 ± f e + l ) P . 2004. 2005. a) + ! + ! ( * — 1) + a r c tg * ± | * <«+P)—\ («2- P 2); b)) / (1 + « )Tn+ (1H-P)" *, 4+.* (mw+np)+ + j ^ j { ( 3 w 2— ím ) a 2-— 3mrta{5+• (3rc2— 4n ) f5sJ. 2006. a ) 1,0081; c ) 0,902. I n d i c a c i _ ó n . U tiliz a r 3a fó rm u la de T a y lo r para las fu n cio n e s: a) f {x, y) = = ~\/x'pry on un en torn o d e l p u n to (1; 1); b ) f { x >j r t = y x on un en torn o del pu nto (2; 1). 2007. z = l + 2 ( * - 1 ) - ( y - i ) - 8 ( * - 4 ) 2 - f - i O ( * — 1) ( y - 1 ) — — 3 ( y — l ) 3- f . . . 2008. zmín = 0 cu an do x = l , y = 0. 2009. N o h a y ex trem os. 2010. zJBÍn= — 1 cu an do x — í e y = 0. 2011. zmáx = 108 cu a n d o x = S e y = 2. 2012. zm ftl= — 8 cu a n d o x — “[ /2 , y — — “| /2 y cu a n d o x = - — C uando x = y = 0 a b n o h a y e x trem os. m w_ a 2013. b Q y — ~]/2. zmSx= —^ 7p en lo s pu ntos x== 3 ~\/3 ab www.FreeLibros.me 471 Soluciones 2015. z m [n = 0 cu a n d o x = y = 0; un m á x im o a m p lio í = | e n la c ir c u n fe r e n c ia x 2 -f-y 2 = l . 2016. cu a n d o lo s p u n tos d© x=í, y = — 1. 2016. 1. z mín = 6 cu a n d o a: = 4 , y = 2. 201C. 2. z m óx;= 8<2“ 2 cu an d o x = — 4, 1/ == — 2 ; n o hay e x tr e m o c u a n d o x = 0 , y = 0. = 2 1 ! /= - y y z= l. 2018. u mín = 4 2017. wmin = — ^ cu a n d o x = cu a n d o 1 z = -j, i/ = l , z = 1. 2019. E sta e cu a ció n d e te rm in a d o s fu n c io n o s , d e las c u a le s , una tien e m á x im o ( * ^ * = 8) cu a n d o x = l , y = — 2 , y la otra , un m ín im o (zraín — — 2) cu a n d o x = l , y = — 2; en lo s p u n to s de la circu n fe re n cia ( x — l ) 2 + ( j/- f - 2 )2 = 25 cada una d e esta s fu n cio n e s n e n e u n ex trem o en la fro n te ra , z = 3 . I n d i cación. Las fu n c io n e s que s e m e n cio n a n en la respu esta se dete rm in a n e x p líc ita m e n te p o r la s ig u a ld a d e s z = 3 ¡± "1/25 — ( x — l )2— { y + 2)'2 y e x iste n , p o r c o n s ig u ie n te , so la m e n te d e n tr o y en la fro n te ra do la c ir c u n fe r e n c ia ( x — l ) 2-f- (y + 2)2 = 25, en c u y o s p u n to s am bas fu n c io n e s tom an el v a lo r z = 3. E ste v a lo r os e l m e n o r para la p rim era fu n ció n y el m a y or para la se g u n d a . 2020. Una de la s fu n c io n e s d eterm in a d a p o r la fu n c ió n tie n e m á x im o (z máx = — 2) cu a n d o x = — 1, y — 2 ; la otra tie n e m ín im o (zmín = 1) cu a n d o x = — 1, y = 2; am bas fu n c io n e s tie n e n e x tr e m o en la fron tera on lo s p u n to s de la cu rv a 4 x 3— 4 y 2— 1 2 x - H 6 y — 33 = 0. 2021. 2máx = X cu an do j x = y • 2022. zmás = 5 cu a n d o x = l , y = 2\ zm ¡n = — 5 cu a n d o x = — 1, y = — 2. 2023. z mín = |jj cu a n d o * = :|f > 202** z múx= cuaildo 7ji 9 ji , . 2 — 1 /2 x * = y + /cn, í/ = - g - + * íi; z ,nin= 2------- , 3 ji . cu a n d o * « - § - + « « , 2025. z = — 2; um ín = — 9 cu a n d o / / = — 2, z — 2. t = í/= 0 , 2026. wmáx = a 2 — z t.c . 202«- “ ,n«* = 4 | Y ; t ) x = — 1, 2027. y = 2, cu a n d o z = ± ú , n mál: = 2 - 4 2-63 o " lo * Pun‘ os (t ; T ;í ) ; 5jt . u raúx = 9 cu an d o p = z = 0; cu a n d o y x = 2, x = l, n niín = c cu an do y = 4, z = 6. ( í ; T ; 1 ) ; ( I : ; Km f n - 4 en lo s p u n tos (2; 2; 1) (2; 1; 2) (1; 2; 2). 2030. a ) E l v a lo r d o l m á x im o a b s o lu to es z = 3 cu a n d o x = 0, y = 1, b ) ol v a lo r d o l m á x im o a b s o lu to es z = 2 cu a n d o x = l , ¡/ = 0. 2031. a) El v a lo r d e l m á x im o a b s o lu to es z ^ 2 cu an do x = e s 2 = — — 0 = cu a n d o ± x = i ; el v a lo r dol m ín im o a b solu to j / y , y = , — j / " - i . ; b ) el v a lo r del m á x im o a b s o lu t o 63 2 = 1 cu a n d o * = ^ 1, y = 0 ; el v a lo r d e l m ín im o a b s o lu to es z = — 1 cu a n d o x = Q> y = ± 1. 2032. E l v a lo r del m á x im o a b s o lu to es 2 cu a n d o ar = y = - y (m á x im o in te r n o ); el v a lo r del m ín im o a b so- www.FreeLibros.me 472 Soluciones lu to es s = 0 cu an do x ~ y = 0 (m ín im o de fro n te ra ). 2033. E l v a lo r del m áxim o a b so lu to es 2 = 13 cu a n d o z = 2, y = — i (m á x im o d e fr o n te r a ); el v a lo r d el m ín im o a b s o lu to e s z — — 1 cu an do x = y = l (m ín im o in te rn o ) y cu an do £ = 0, y = — 1 (m ín im o d e fron tera ). 2034. C ubo. 2035. tfr 2 V f | /2 F , y f 2 V . 2036. T riá n g u lo e q u ilá te r o . 2037. Cul)0. 2038. a ^ V i - Y a - Y a - Y l . 2031) • m (~ T '' t ) - 2040 . L o s la d o s d e l triá n g u lo son : 2041. j - ^ 1 + ^ 2 ^ + ^ 3 '” 1 0 1 + ” *202 + ^ s 2042. /n1+ m 2 + / » 3 * ' ’ 2043. Las d im en sion es d e l p a ra le le p íp e d o son 1 /3 y c so n lo s 2045. x = ± se m ie je s d ol e lip s o id e . 2044. ^ , y- ± : — . 2046. E l e je *[/2 1 /2 “[ / 3 p, y - p y . — 4 -A •-1 = 3 a ó ~r c JÍ£_ 1 /3 d o n d e a, 6 y = 2 6 + |T2F, z= . ¿» m a y or os 2a = 6, e l e je m en or, 26 = 2. I n d i c a c i ó n . E l cu ad rad o de la d ista n cia del p u n to (x , y ) de la o lip s o a su ce n tro (o r ig o n d e co o rd e n a d a s) es igu al a z 2 + y,¿. E l p rob lem a se redu ce a buscar e l extrem o de la fu n ción x 2-\-y2y co n la c o n d ic ió n de que dz2 -f- S x y -{- 5¿/2 = 0. 2047. E l r a d io de la base d e l c ilin d r o es ^ - 7 / ¿ la a ltu ra , R l / ^ 2 ------y , don d e R V 5 1 1 \ Í do v2 Indicación. la parábola 8 co n . 2049. el p u n to LUS p yo , /1 1 5 \ f - g - ; — -g -j V 2 7 3 Ü . 2050. 5 2 2 * = 14 K sen {5 E s e v id e n te , qu e el p u n to M> en q u e el ra y o pasa de un m e d io a o tr o , d eberá en con trarse entre A t y B iy s ie n d o A M BM = 2 -\— ~ es ol ra d io de la esfera . 2048. E l canal do la recta: su lo n g itu d es ig u a l a ° a = — . Y eos a , A ^ M - a tg cc, B iM = b t g £ . La d u ra ción del m o v im io n to del ra y o es ig u a l a —— j------- - — 5- , E l p rob lem a se redu ce a b u sca r ol m ín im o D v { eos a y2 co s P de !a fu n ció n / ( a , 6) = -----1--------- — ^ co n la c o n d ic ió n de q u e a t g a - f ' r/ zq c o s a t?2 co s p i o i -f-6 t g P = c. 2051, a = p. 2052. I t : lo : l 3 = - ^- : ~ Indicación. H a lla r e l m ín im o do Ja fu n ció n / (71, / 2, 73) = / ? / ? * + 7|/Í2~WÍ»^3* ^0Ii la co n d ic ió n de que 71+ / 2+ 7 3 = 7. 2053. Un pu nto a is la d o (0; 0 ). 2054. Punto do re tro ce so de 2a esp ecie (0; 0 ). 2055. P u n to ta cn od o (0; 0 ). 2056. P u n to a is la d o (0; 0). 2057. P u n to cru n o d a l (0; 0). 2058. P u n to de re troceso d e I a especio (0; 0). 2050. T u n to cru n od a l (0; 0 ). 2060. P u n to cru n od a l (0; 0). 2061. El o r ig e n de coorden adas es un p u n to a is la d o , s i a > 6, un pu nto de re tro ce so de I a esp ecie, s i a = b y un pu nto cru n o d a l, s i a < ^ b . www.FreeLibros.me 473 Soluciones 2062. ¿ i ontre la s m agn itu des a , b y c n o h a y ¡gu ales en tre s í, la curva n o tie n e pu ntos sin g u la re s. S i = A (a, 0) es un pu nto a is la d o ; si a < ^ b — c y B( b > 0) es un p u n to cru n o d a l; s i a = b = c, A (a y 0) es uu pu nto de retroceso de I a esp ecie. 2063. y ~ - ± x . 2064. y i¿= 2px. 2065. y = z t R 206G. x 2/* + y2/3 = l 2/*. 2067. x y = *$’ . 2068. Par de h ip érb ola s equiláteras co n ju g a d a s, cu yas ecu a cion es, s i lo s e je s de s im e tría de las elip ses se tom an S c o m o ejes de co o rd e n a d a , tien en la form a x y = z t ~ . 2060. a) La curva d iscr im in a n to y = 0 es e l lu g a r g e o m é tr ic o do lo s p u n tos do in fle x ió n y la e n v o lv e n te de la fa m ilia dada; b) la cu rva d iscrim in a n te y = 0 es el lu gar g e o m é tr ic o de lo s pu ntos cu sp id a los y la e n v o lv e n te do la fa m ilia ; c) la cu rv a d iscrim in a n te y = 0 es el lu g a r g e o m é trico de los pu ntos cu sp id a los pero n o es la e n v o lv e n te ; d) la cu rv a d iscrim in a n te so d escom p on e en las rectas: x = 0 (lu g a r g e o m é tr ic o de lo s pu ntos cru n od a les) y x = a (e n v o lv e n te ). 2070, y = $ — § ^ . ¿g ¿vj 2071. 7 4 ^ 2072. Y 9 + 4 ^ . 2073. Y ? i ( e l — 1). 2074. 42. ó 2075. 5. 2076. x 0 + z0. 2077. 11 • 2079. a) recta; b) p arábola; c ) elip se; d) h ip é r b o la . 2080. a ° ; 2) a ^ ; 3) = {lT b c) + ( a d J ¡ c ) + ( ab 7t ) * 2082# y = 4sen l (e lip s e ); v = 4 J , ~ a»+a ~ 4t (c2 + 1 ) ’ . 2081. ^ 2083‘ w = — 31 cu an do 1 = 0; v — — w = — li-L -T í — 2 1 / 2 J cu a n d o t = v — — 3¿, w = — ^ j (abe) - * = 3 cos 1; i+ 2 y cu an do t = - 5 - . 2084. x = 2 c o s 1, y = 2 sen 1, z = 3 l (h é lic e cir c u la r ); t> = — 2 i s o u 1+ 2 ./ c o s 1 + -f-3 /c; i^ = 1 /1 3 para cu a lq u ie r t\ w = — 21 co s t — 2J sen t\ w = 2 para cu alq u io r 1, v = 2 J - \ - 3fc, m>= — 21 cu an do 1 = 0 ; 2 1 + 3 A :, w — — 2 Í cuando l = —>. 2085. a: = co s a co s coi; y = sen a co s col; ? = sen coi (c ir c u n fe r e n c ia ); v = ¿i — — col co s a sen col—w / son a sen cof+cofc co s col; u=| co |; « > = —oj2í co s a c o s c o l= — cú2J son a co s col — <o2fc se n col; w = co2. u/x s & = 0 ; w z = ~ g ' y v = ] / **0 + vvo w = g. 2088. ( ú ' \ / a * + h * t don d e c id a d angular do r o ta c ió n 2090. t = + v = — 2 2086. del t o r n illo . 2089. = cs la v e lo y a2co2 - j - — 2uco¿'o sen col. { 5 = ^ ( i — íc). 2091. t = + [(eos t — s o n í ) * + ¿ y 3 + (sen l + co s t ) i + fc j; eo s (tT z ) = - ^ ; cos ( v ^ ) = 0 . v = — [ ( sen t + c o s ¿) í - f (sen l — co s 1) ¿ I ; 2092. www.FreeLibros.me — i v= . Soluciones 474 — 2¿ + l c x — fle o s í y — asen í z — 6í 0 = - -----+ — . 2093. ------------— r = - -------------— — — j— * -j/ 5 — u sení a cosí b y — a son t = - — =-------— bcosí z — bt 1V (b in o r m a l): v n a /4. acosí (tan gen te) — -------- — — K b n b son t x —a cosí y — a sen t ---------- -— = - --------- * cosí sen í z — bt . . = — tt " (norm al O p rin cip a l). L os cosenos d irectores de la tangente son : c o s a = co s fi — —a.P0S. - - ■ cns y — —- — y aa + & * y^ + 6 2 L os cosen os d ire cto re s .. ; y a 2 + 62 de la norm al p rin cip a l so n : c o s a ^ c o s í; co s B t = s e n í; c o s y i — 0. 2094. 2a;— z = 0 (plano n o rm a l); y — 1 = 0 (plan o oscu la d or); x - \- 2z — 5 = 0 (plano rectifica n te). 2095. = ~ Í = ~ ^ (ta n gon te); a ;+ 4 y + 122 — 114 = 0 (p la n o n orm a l); t* í3 £* y — o* 2 - * t 2096. — ^ — = — - —•— — j — (tan- * — t* 1 2 s — Gy + z — 8 = 0 (plan o f* gen te); z— *--4 í* + 2í £3 £2 £4 y ~ z~ j — — = — — — 7 (norm al 1 — í* -2 £ 3 -¿ ' = Mi = ; — j ; y ) ; (tan gen te); x + y = 0 (n orm a l p rin cip a l); 1 p rin cip a l); £3 X~ T ± y " _ 2t 12 (b in o rm a l); 2097. oscu la d o r). = R * — 2" 1 = — ; c o s p2» — , co s y 2 = 0 .2 0 9 8 .a) — (4 ; 1 ; 2) . (plan o oscu la d o r); = (b in o rm a l); cos a 2 = R 2~ y = — g— = x y 2 - 2 = 0 (p lan o n o rm a l); b) — V2 D 2 ------2~ = (tangonte); ( t angent e) ; x + y-\-4z — -->10 = 0 (p lan o n orm a l); c ) * ^ l = - — ( t angont e) ; 2 y 3 s + + y — 2 V 3 , = 0 (plano norm al). 2099. x-\- y = 0. 2100. x — y — z y 2 = 0. 2101. a) 4x — y — 2— 9 = 0; b) 9 * — 6y + 2z — 18 = 0; c ) b'2x $ x — a2ygy + _f_(a 2__¿, 2) zgz — a 2¿*2(a 2_ ^ 2). 2102. 6 x — 8y — z + 3 = 0 (plan o oscu la d or); ^ ^ = ^ ■ = ^ 5 (norm al p rin cip a l); (b in o rm a l). uj — 0 *1 2103. bx— z = 0 (p lan o oscu lador); x _ q r (norm al (b in o rm a l); t - . ^ + Ü Ü - ; l/i+ 6 a ft = — h i ± J t ; v = J . y i +62 p rin cip a l); x bz — 0 ^ "I j- 2106. 2 * + 3¡/ + 1 9 í - 2 7 = 0. -í 2107. a ) 1 / 2 ; 6) L ® . 2108. a ) K = e^ p - \ T = e— www.FreeLibros.me ; b> K = T ~ 2«ch*t S o lu c io n e s 2109. a) wt = 0, 475 f l - p - l g ± « g ; b ) f l = p = (P Í + g ) .3 , 2 1 1 1 . u>„ = 2 cu a n d o ^ 1 /" 1 9 K = — y ^ í = 0; . 2112. * = 2, 22 w^ = 2 y /~ Í9 54 cu a n d o t = l . Capí t ul o Vil 2113. 4 ~ . 2114. l n | | . 2115. ^ ¡ . 2116. y . 2120. i . 2121. * = J L — 1; * = 2 — y; ! / = — 6; j/ = 2. 2122. 1/ = »*; 0 = 3 + 9 x « = l; x — 3. 2123. y — x\ y = 10 — 3?; ?/ = 0; y = 4 . 2124. ^ = -| -; y — 2x\ x = l x = 3. 2125. y = 0; y = y 2 5 = T 2; x = 0; x = 3. 2126. y = x 2; í / = :x + 2; x = — 1 1 x = 2. 2 1 l | dy jj / ( x , y ) d x ~ jj d x jj / (x , y ) d y . 2128. k 1 f d x f / (x , y ) dy. 2129. 2- y i \ J (x , y ) d x = \ dx ^ / {x t y ) dy -f1 0 0 0 2 2-x 2 2cc+3 4 2130. £ dx í b i 5 2 7 Á i y 2 jj 5 jj 1 1(Xy y ) d x . í ?/ 2131. jj dy jj / ( x , y ) d x + 2 ~V 2=5§ 2 0 /2-x2 / ( * » y ) d x = jj dx jj —1 2 2 V 2 -X 2 y {a:, y ) d y + ? d * —* 2132. jj d x jjf ( x , y ) -1 2x3 1 _ y ir js -(-jjd x jj -1 -1 _ y ^ r^ i = ^ di/ -2 jj dy / (x , a: -i /(* , y )¿ y + ^ d * -1 1 / ( X , y )d x -| - jj dy _y?T y2. -1 V'4—¡c* y ) d x . 2133. jj d x —2 i jj / ( x , y )d y + _ V'4 3 ^ 2 2 ys^x* v q -x * jj1 ( x , y ) d y + ^ d x y 1=3 - y 1- ü 2 jj /(x , y)dy. ___ 2 jj jj 0 o y 4 -¿a jj dy = r -5/ 1 I/Tz 1 jj / (x , y ) d x + 1 2x o ^ ü y_ 2 / (a;. y ) d y = jj d y ?/-3 y 2 ^ ¿1/ jj 2 + jj ¿ y jj / (x , j/) d x + j j d y t jj ¿ y 0 C / ( x , y )d y . l | d[/ jj / (x , y ) d x — 0 - f f dx + 2118. 2 ^ . 2 1 1 9 . 2 , 4 . 2127. 1 = 2 2117. 50,4. jj/ ( * , y ) d y = 1 1 - v 4 -x s / ( x , y ) d x - ¡ - j j dy - y4=U* www.FreeLibros.me -1 y4~y2 jj vq— 3 / ( x , y )d x + Soluciones 476 2 -2 Y T ^ Ü dy S f ( x > y ) dx- 1 - VC-Y¿ 2 v 'T + * a + ¡j Jj 2134. * + - S / (*> í/) ^ dx * S - Vd-i/t 1 V oâ* 5 ^ - i /0 ^ 2 5 ^ YZ - v'1^ 7 J ¿y ^ i - 1 1 —x 1 1 —i/ jj / <z, ? ) = ^ dy \ - a _ dy O 3a - y / ( x , i/) ¿ 2 = 2a x-2a 3 1 f(x ,y )d y ^ 1 1 / i f d i ^ / (x, y ) d y + Ú ^ rfjf O ^ 2 a jj / (x , y ) dx + jj dy a a ^3 2139 ■ jj ^ 0 a ^ áx~*’ ü ¿iy 2 o VI 2 ~ M 2 íl / (* , ¡ / ) ¿ r + O Ó v 'aV -2üy a O f ( x , y ) d x . 2137. | dy 2 1/ jj cte f / (a , y ) ¿ y - f 2 (i -I- jj ¿i/ ^ / (* , y) dx. 2138. J dy a ó jy_ 12 ^ a— VaS- » 2 www.FreeLibros.me ^ rf;c' /(x , y)dx; -1 2a \ í\ V 3 48 d y jj -l a: 0 / ( i , ¡/)ííj/. 2136. f(x ,y )d y = _ Y 'a * ~ x £ d x jj / ( x , y ) d y = ^ a a ^ 1 cí) v4-2a 0 V' a2 ^ x 8 V x -x i -i jj + ^ rfi J 1 Jj dy /(x ,y )d x. v 'ú d i a i ( x , y ) dx\ c ) ^ d x / ( x , y )d x ; jj V x -x 'i 2 e) 0^2 —a 1 - vTTâ a /9 ^ Í /(xt y)d x-f-^ d y 1 ^ -V a /(x , y )d x -f 0 2 jj = f(x,y)d x;\ > ) ^ 0 V « 2 — í/3 1/2 v' = jj dy 0 VuZ-yZ / (** í/) -1 y ^ j-í/i ti = jj _ 0 _ V \ í^ - /5 /(*« y ) ¿ * + 2 1 3 5 .a ) ^ ¿ a / ( x , y )d y + - v lP x á /(*>*)<** + - l 'l ^ ^ V*Ü—"x2 V 'l / 2 - l ^ ^ dx - 3 o _ /T + x á -1 Y tt* }/ 3 VaíTp ^ ■> / (x , y ) dx. 477 Soluciones a - V a i-y2 a 2140. C dy ^ 0 a / ( z , y ) d z - j - \^dy jfl 2 V 2a 2a 0 ^ / (a:, y ) d x + 2“ dy J / ( z , y )d z . c + > '^ 2 0 g 4a 0 V l-x 2 2141. dz - 1 í /(*, V! ^ 1 y 2 ^ V 2x ^ dz ^ 0 ü BY2 2 / ( i , y ) d y . 2143. ^ / (* , y ) d y + _____ dy ^ f ( x t y)dx. 0 y 2147. a. 2148. ji—a r e s e n r/ 1 2144. 2142. V S -* i ^ dz fi / (i, y)dy. - 2 0 ^ dz í / ( z , y )d y + 2 jj 0 1 i 1 -z d* i b V*2 + ’a í dy ^ ó f(x ,y )d x . 2145. i - , 2146. . a r e s e n yy -\n> 2149. G. 2150. ~ . 2151. Ir. 2. 2152. a) — ; b ) l o " 5()1G; o) 2 A . 2153. 5 J l Í ' p 5. 3 T 'i - ( z - 2 ) 2 2154. ^ d z x y dy = -^ - . 2155. - j a *\/2cz. 2156. 2.níí ^ydzdy = (S) ú ltim a ^ dz ^ o so 2157. . n i 4 eos (p dtp 0 ydy, donde esta c o m o resu lta d o 1 . 2159. riel ca m b io fi2 a2 + — ■ o do la fi* . a n terior 2158. 7t 2 ^ ^ o o b tie n e x = 7 ? ( f — s e ni ) - 2160. y dy = ^ i ? ( l — c o s í ) d ¿ o in te g ra l R ( l —c o a O 2n v=f(x> Indicación r / ( r e o s cp, r sen tp) d r + 0 1 sen ^ n r / ( r eos (p, r sen (p) dr. 0 4 2161. 4 e o s cj> ^ dtp ^ 0 4 0 sen q> cos^cp ^ / (tg <p) d(p O 4 r dr + 0 s e n ) rfq> ^ Jt O www.FreeLibros.me ^ r / ( r eo s tp, r sen <p) dr. 0 n r d r + ^ / ( t g tp)rfip 3?T sen cp cos2cp ^ o r ár. S o lu c io n e s 478 ji 4a Veos 2<p 2164. $ ti 4 a V COS 2<p \ d<p \r /{ r co s <p, r sen <p)dr-f- \ ¿, r sea cp) dr. . 2168. ) fl3* Indicación. in teg ra ción : 0 < ]cp -< !2 rt, El 0 < X !1 . 1 -ü ^ dv ^ / (w — « y , mi?) udw. R esolu ción . Tenem os x = w ( l — y) e y = uu\ « o 1+ a el ja c o b ia n o 7 = u. D eterm inam os lo s lím ites de m en fu n ción y: m{1 — y) = 0 cuando 2 = 0, de donde w= 0 (ya que 1 — v =£ 0); m cu an do 2 = a. L os lím ites de variación de y: c o m o y = a x , My = ccK (l — y), de don d e y 1 para y — flx hallam os, y = j - L . 2173. / — + P 2—u 1 1 -j-^ , u—2 2 -u / ( —g—- » *™2* ~ ) r fy J • 1 + a ’ u du “ j “ ) —u 0 2-H> -1 -V Indicación. Después del ca m bio Ó v de v aria b les, las ecu acion es de lo s la d os d e l cuadrado serán: u = v\ a + y — 2 u — y = 2; u = — y. 2174. ab £ ( - p — arct g La ecu ación eo s2 <p— ~ lím ite do la cu rva es r4 = r* ^ ] • Resolución. in fe rio r para r es 0 y e l su p erior, Com o r debe ser rea l, y2 sen2 (p j , de donde ol os2 <p— |^-sen2 tp. eos2 <p— - p - s e n 2 c p > 0; do don d e, para e l prim er ángulo coord en a d o, tenem os q u e A con secu encia d e 1a sim etría I del cam po de in teg ra ción co n resp ecto a lo s e je s , se puedo ca lcu la r -j* del tota l de la in teg ra l, lim itá n d ose al prim or cuadrante: \\dxdy = (S) www.FreeLibros.me Soluciones a rctg T7T = 4 \ d<f ^ a b r d r • 2175- a) 4 - | ; Yy a y—2 2177. 2181. y - ^ dy ^ u _ yy, o + ¡j dt, J d x ; b ) - 2 p — y . ; 1 J ] / - | - = o S 2 < p - - ^ . a e n 2<f 0 2 479 / o * —*a Jd* J 0 128 dy. 2176. a) y Indicación. 2182. E fectu ar ; b) ( 2 + - J ) a * . a -x . 2178. ~ a2. 2179. n . I n d i c a c i ó n . 3 (y -+ i-j. 4 y — yÜ . el ca m b io - 1 « s < 4 . 2180. y 2183. — n a K de v a ria b lo s 2184. 6. i - ( ó — a) ( P - a ) . 2187. y (P - a ) ln y . 2193. 2198. - 8^ 2203. y J t a s (2 \ / 2 - l ) . 2207. do lOn. 2188. v= [ dy ^ ( 1 — x ) d x = tí X = | dx | (l — x)dy. 2211. 2185. l 0 1 V l5 . x — 2 y = u, 3 x + 4 f/= st> . 1 2186. <** + - . 2199. (6 1 / 3 - 5 ) . a 2194. y . 2195. ~ 2200. . 2201. 2204. - i : t a 3 ( l / 2 - l ) . 2208. — a^. . 2212. - ^ { 2 "1/2— l ) . O . 2196. ~ 2209. . 2197. ~ 2202. 2205. — . jw 3 ( a - P ) . ■. 2206. y Jta&c. na ( 1 2 2 1 0 . Indicación. - E fe ctu a r el ca m b io v a r ia b le s x y = u , — = v. 2213, - i " l /a 2&a+ ¿ » 2c* + flaa8. 2214. 4 ( m — n ) / ? 2. x ¿ 2215. J — »-aa. Indicación. In tegrar en el p la n o YOZ. 2216. 4a2. 2217. 8a2arcsen — . 2218. 4 - ^ « 2 (3 V 3 - 1 ) . 2219. 8a2. 2220. 3.t:2. I n d i c á ó is c i ó n . P a s a r a ia9 coord en a d a s p o la r e s. 2220. 1. I n d i c a c i ó n ^ P roy ecta r la s u p e r fic ie sob ro e l p la n o d e coord on a d a s X O Y . 2220. 2. a2 'j / 2 . 2221. cr => 3 = y n a2 £ ( l + J ^ - ) 2 — 1 J " p o la re s. 2222. ^ a 3 y 8a2. y Indicación. Indicación Pasar a las coord en a d a s Pasar a las coord en a d a s p olares. www.FreeLibros.me S o lu c io n e s 480 /T 2223. 8a2 arctg . Indicación. , ( . dx. a 2 2 a = C dx ¿ J 5 = 8/z \ a resen a — a ^ -----Y a 2- x 2- y 2 Integrar p or partes y después hacer la su sti- 2 1 / a 2 — a;2 o 0 * tución x = ^ jp ~ s e n e l resultado debe transform arse. 2224. — a. V a 2-l-c ^ 4 -c 2 ln , Indicación. ^6 “j / '¿ 2^ . c2_ Pasar a las coordena- a + y a2-\-c2 ' i i n ooí 2?ibR2 nooe /23á ¿z262 — 12 — ji2 — Jt das p olares. 2225. — . — * . 2226. — ; -^ 7- . 2227. x — T,-¡r ------ í í V = 3 * 12 ’ 24 ‘ 3 (4 — jt.) ’ J 6 (4 — n) ' 2228. x = - | a; 7 = 0 . 2229. 2232. ■ 7 = 0 . 2230. í = y ; 7 = 0 . 2231. I x = 4. a) / 0 = i l ( O 4 _ ¿ 4 ) j Indicación. / = <¿ "/«a: jj dx jj í> ción. La ^ b) i j r = ¡ | (-D4 - á 4)- 2233. / = y * 4- 2234. | -a « . d istan cia ( ? + * ) 2 ¿l/- 2235. 16^2 —9 ^ . Indica- -v 'lT x desde el pu nto {x , y) a la recta x = y es igual jr a d= ■, y so h a lla v a lién d ose de la ecuación norm al do la recta. 1/2 2230./ = i j / t a < ¡ [ 7 1 / 2 + 3 ln ( '1/ 2 -4- O L don d e & es el co e ficie n te d e p r o p o n cio n a lid a d . I n d i c a c í ó n. Situando e l origen de coorden adas en el vértice, a partir d el cu a l, la distancia os p ro p o rcio n a l a la densidad de la lám in a, d ir ig im o s los e je s do coordonadas según lo s la d os d o l cu adrado. E l m om ento de inercia se determ ina co n resp ecto a l e jo O X . Pasando a las coordenadas n k p olares, tenem os: I x = 2237. / 0 = | g - 3i o í . T om ar por 1 2240. jj integración jj dx jj dy jj O b hr ( r sen q>)2r dr. o de l-x -i/ jj o I 0= ~ v aria b les a cosec cp kr (r sen cp)2 r d r + jj dep 2238. 1 -x Í ) a sec (p jj dtp o n 2 - . 2239. t y e n / (x , y , z ) d z . 2241. Indicación. (véase el V r * - x‘¿ jj dx -R www.FreeLibros.me jj / R2-y2 problem a Ji 2156). dy jj / (x , y , z) dz. 0 Soluciones a 2242. c jj d x ~ 481 dy jj Jj / (x, y , z) dz. 2243. c1 l /"** / * l +. j'2/2 ? c K - y + os _ _ ^ y a2_ * 2 a a X <¡y ^ i 1— \j dx - 1 2 Jj X -iT S f(x ,y ,s)d z . 2244. A ( 3 1 _f. 1 2 y 2 - 27 1 /3 ). 2245. 2247. 2248. i-]n2 - í . — V 2- . 0 2246. 2250. 59 480 2256. ~ r 3 ( n — g - ) • 2257■ ^ n R '°- 2258‘ 2251. (1 8 V § - J " ) . nahc2 4 jt/í2/? 2 8 . 2252. ^ n a b c . 2253. ■ 2254. J t /R 2255. - ~ a 2. 4 5 4 9 la Resolución. 2240. v= 2 x 3 -f;/2 jt V 2a*—*2 2a 2 ^ i r dx ■ 2259. y dy a % . 2260. n o 3. í'2 4/ 2a eos cp 2« jj r dr jj d i í dz — 2 ^ dfp 0 iL 2 iL 2a eos (p 2 0 > C* r3 dr 1 (* (2acos<p)4 3 .. 2íia11 ~l/2 _ . I n d 1J T T - t J 4------------------------------- 2261. 0 0 Ó 19 c a c i ó n . Pasar a la s coord en adas esférica s. 2202. n. i n d i c a c i ó n . D flíf Pasar a las coord en a d a s cilin d ric a s . 2263. - ^ - ( 3 ^ — 4). 2264. jrabe. 2264.1. 4 y2 2264.2. ~ ( V 2 ~ í ) a b c . a 2266. ^ (6c2 — a2— ó2) . 2267. 0; y = 0\ z = ^ a . 2265. — ¿ Indicación. (« + 5-|-r). In trod u - 4 — — *T/72 /> esférica s. 2268. x = - - , y = 0, ¿ = 0. 2269. !-77r-' (3 «24-4/¿2). o 12 I n d i c a c i ó n , E l e je d ol c ilin d r o se tom a c o m o e je OZ, el p la n o do la base d el c ilin d r o c o m o p la n o X O Y . E l m om en to de in ercia so ca lcu la con resp ecto al e je O X . D espués de pasar a las coorden adas cilin d ric a s , el cuad rado d e la d ista n cia del elem en to r d y d r d z a i e je O X es igual c ir las coorden ad as a r -s e n 2 q>+ z2. 2270. (2/t2- f 3a2). Indicación. se tom a co m o p la n o X O Y ; o í e je dol c o n o , c o m o c jo La baso del con o OZ■ El m om en to de in ercia s e ca lcu la co n resp ecto al e jo O X . Pasando a las coordenadas c ilin d rica s, para lo s p u n tos de la s u p e r fic ie del c o n o tenem os: r = — 2), y o l cu ad ra d o de la d ista n cia del elem en to r d y d r d z al o jo O X será igual a r2 se n 2 <p+ z 2. 2271. 2íx/cp/¿ (1 — co s a ) , donde k es el co e ficie n te de prop or cio n a lid a d y p , la d en sid a d . R e s o l u c i ó n . El v é rtice dol c o n o se tom a co m o origen de coord en ad as y su e je , c o m o e je OZ. Si se in trod u cen las 3 1 -1 0 1 6 www.FreeLibros.me 482 Soluciones coordenadas esférica s, la ocuación de la s u p e r fic ie lateral del c o n o será h 31 \p = -7¡— a , y la ecu ación del plan o de la base, r = . A causa de la ¿ sen sim etría s e tien e, que la te n sió n resultante está d ir ig id a p o r el e je OZ. La masa d el elem en to de volum en dm ;= p r - e o s ij> d dr, d on d e, p , es la densidad. La com p on en te, p o r el e je O Z , do la a tra cción qu e e je rce este elem ento sob ro la unidad d e masa situ a d a en ol p u n to 0 os igual a —jt — sen 2rt a = Ap sen ip eos Ü 2 \ dtp dty dtp dr. La a tra cción resultante es igual A coftcc \ dip \ kp sen yp eos i|>dr. 2272. R e s o l u c i ó n . In trod u cim os ti ti o las coorden adas c ilin d ric a s (p, <p, z) co n e l origen en el cen tro de la esfera y de form a quo e l o je OZ pase p o r e l pu nto m aterial, cuya masa se supono igual a m. La d istan cia dosde este pu nto hasta el cen tro do la esfera , la d esignam os co n la letra £. Sea r = V p 2+ ( S ~ í:)2 1* d ista n cia entre el e le m ento de v olu m en dv y la m asa m . L a fuerza de atracción del volu m en elem ental dv de la esfera y del pu nto m ateria l m , está d irig id a a lo largo de r y num éricam ente es igual a — A rym A L , don d e y = - / — — es la den- i * * * sid a d de la esfera y r f y a p dtp dpdz el v olu m en e lo m ental. La p ro y e cció n de esta fuerza sobre el e je OZ será : d F — — Í 2 X £ í!e o s (rz) = — k m y ° 2n B VR2= 7í De donde F = — kmy jj d 0 ) ; b) j A - cu an do p > a ; c ) ° ) > d ) (P > ° > * co 2276 . 2278. I » 1 rr- . 2277. *2 a 9 p* . Indicación. D eriv a r dos voces i* \ J o 1 —. p . 2279. a rctg -2 — a rctg — . 22SÓ. *» ( ! + « ) ■ 228t. n ( V r ^ a S - l ) m tn ¿ 2282. arcctg — . 2183. i . 2284. A . Pasar a p olares. 2287. las coorden adas Resolución. E x clu im o s de S en torn o de a m p litu d e, es el 2285. - j . 2286. origen . Indicación. . 2288. A - . 2289. C onverge. de coorden adas ju n to c o n su d e cir, exam in am os I e = ^ ln V * 2 + V2 dy» *•> donde el re cin to que so ex clu y o es un cír c u lo de ra d io e co n con tro on el www.FreeLibros.me Soluciones o rig e n de 2ji I '- \ i a la s 2n *p ( 0 Do co o rd e n a d a s. P a sa n d o coord en a d a s p ola res, i r l n r ¿ r - $ [ - £ . [n r |’ J r d r ] * p = 2 » ( ~ ~ ~ (0 Ó donde, [ \ 2f X ln z - \ ) . 8 lim Í E= — i L . 2290. C o n v e rg e cu a n d o a > 1. e-*0 2 Indicación. tenem os 2291. C on verge. R o d e a m o s la recta y = x con una fa ja estrecha y su pon em os = lim ? d x ^ v e rg e cu a n d o a > - ^ - . 2 -_ + lim ^ dar í 2293. 0. 2294. In ^ ° - . ¿t 3 2296. 2297. 2 3 0 0 .i (56 V 7 — 1). 2301. — Indicación. [ ( 1 + 4 * * ) 2 — 1 ]. 2298. a rctg ^ — 2295. f . 2292. C o n - + Q b + fr ) _ 3 \Q>-f- D) ________ J l l 3 í _ L ± ^ l . 2299. a * V I . 2302. 2na*. 2303. ~ ( l O l / l O — 1). ^ / ( z , y ) ¿s g e o m é trica m e n to so pu ed e in terp reta r com o c el arca d e la s u p e r fic ie c ilin d r ic a que tie n e la g en era triz para lóla a l e jo O Z t cu y a base es e l co n to r n o de in te g ra ció n y la s a ltu ra s ig u a le s a lo s valores de la fu n c ió n s u b in to g r a l. P o r e s t o , S = ^ x ds, d o n d e C es o l arco O A de 3 la p a rá b ola p = 2305,. 2 que + une arcsen , ^ mh_______ y ( a2-t-b*)z 2313. U t ilíc e s o e cu a cio n e s 2316. — 2 son 2. f) (0; 0) y (4; 6 ). En ^ < p (* )< í* + J j ^ [ y ) d y . a “] / § . ~[/a*+b* ( n y a* + 4 n ¿ 2 + ■ i i r a’ 1) ' i lo s ca sos 4. p a ram étricas do 2318. 2319. 2312. a) 4 “ \ b) 0; c ; ^ ; 3 5 2314. la 2308- 2 n a 2 V ^ T b 2. 2n . a ) 8 ; b ) 12; c ) 2; d ) a) 02; b) 1; Indicación. . circu n fe re n cia . c) ; 4 2315. - ^ - a b z. e) ln ( * + ? ) : - ^ + ln 2 ; yi 2320. y 1 -t-ñ a — - / T + T z . 2 3 2 2 . a ) z 2 + 3 i j / — 21/2 + C; b ) z 3— c) 2304. 2307 tod os 2317. 0 . " * * ) ■ 2306. 2 3 Í0 . 4 0 — . 2311. ~ 2 n a a. 30 d ) — 4; e ) 4. la s p u n tos - + * i n ™ ± y * * + w * \ 2b a ) 2309. lo s d) + t+ V^. — d ) l n | i + y | + C. 2323. — 2 n a ( a + 6). 2324. - n « 2 c o s 3 ot. 31* www.FreeLibros.me Soluciones 484 2325. = ( - i - + í L k j i L ) « 3 . 2326. (*\ ?^ y * d z d y . 4 . 2328. a) — 2 ; b) a b e - 1; c ) 5 l/ l\ ti) 0. 2327. / = JT/f4. 2330. — y1 . 2331. 0. 2332. a) 0; 2329. — — W b ) 2nn. I n d i c a c i ó n . En el caso b ), la fórm u la do G reen so em plea eu e l re cin to co m p re n d id o on tre el co n to rn o C y un c ír c u lo de ra d io s u fic ie n tem ente pequ eñ o co n ce n tro en e l orin en do co o rd e n a d a s. 2333. R e s o lución. S i se su p on e qu e la d ir e c c ió n de la tan gen te c o in c id e co n la d ire c ció n d el r e co rr id o p o s it iv o d o l c o n to r n o , ten d rem os que eo s ( X , n) — = c o s (y , = por co n s ig u ie n te , ^ eo s ( X . n) ds = <£ d s = ^ d y -= 0 . 2334. 2Ó\ C C C d on d e S es e l área lim ita d a p or el co n to r n o C. 2335. — 4. 1 n d i- 3 c a e i ó n. La fó rm u la de G reen n o se puede em p lea r. 2336. nab. 2337. — n a 2. o 2338. Gna2. 3 2339. — a 2. Indicación. P on er y — tx, don d e t o s un pará- aa m etro. 2340. -r^r . 2341. n ( t f + r) (i? + 2r); G jifi2 cu a n d o fí = r. I n d i c a c i ó n . W Ln ecu a ció n d'c la e p ic ic lo id e tien e la form a R 4- r y = (R - \ - r ) sen t — r s e n — - — t, x ==(7? -\-r) eo s t — r eo s — -- t , don d e í es el á n g u lo de g ir o d e l ra d io del c ír c u lo f i j o , trazado en ol pu nto d o co n ta cto . 2342. n (i? — r ) ( R — 2r); 3 R n i? 2 cu an do r = — - . I n d i c a c i ó n . La ecu a ción de la h íp o c ic io id e se o 4 o b tie n e de la ocu ación de la e p ic ic lo id e corresp on d ien te (véase e l p rob lem a 2341) su stitu y e n d o r p o r — r. 2343. F R . 2344. m g ( z i — z2). 2345. (a2 — 62), d on d e es e l k c o e fic ie n t e de p r o p o r c io n a lid a d . mgz, e l trabajo rng ( z x — z.¿)\ u ■= ; ~\/a2 + b * c t¿ J ! t ( R Z - ri ). ¿ 2351. c) 2352. b) . el a) El p o te n cia l p o te n cia l U = - ~ , el tra b a jo e! tra b a jo — . 2349. 0. 2350. - f- jia b c . ó k2 p o te n cia l U = ---- j r - ( z 2 + y2 + z 2), ¿ el 2347.-^r-na*. O 2 b) 2346. 2348. — 2353. 4 «1 - 25 ^ , + i— a. 1 0 (5 1 /5 -1 ) 2354. 2 ^ 2 M . 2 2355. a ) 0; — ^ \ ( c o s a + cos P + co s y ) dS. 2 3 5 6 .0 . 2357. 4.r. 2358. — n a 2. 2359. — a11. \S) 2 m " W - T & E - f - 2 3 6 1 o - W B - 2 ¡j $ ( . + , + . ) * * * ■ www.FreeLibros.me 485 S o lu c io n e s “ (Vw) > ^ \ Tv J Tm 2365. 3a«. 2366. 2372. . (V> 2SM - 2367. H «<,6. C on os. 2373. C ircu n fe re n cia s 2368. . 2371. E sferas; £ 2 + #2 = ci» z = C2- = 9 i — 3 J — 3 k ; ¡ g r a d £ / (i4) |= V 9 9 = 3 cilin d ro s . 2376. g m á U ( A ) = z* = x y ; x = y = z . 2377. a) b ) 2 r ; c ) — X ¡ - ; d ) / ' { r ) -~L . 2378. grad ( c r ) — c ; la s su p e rficie s de n iv e l son p la n o s p e rp e n d icu la re s al v e c t o r c. 2379. a = b = e. 2383. 2380. - ^ - = — d¿ jiv /i ro t (re) = — -— 2386. ; c) _ ^L- o ol r¿ d iv a — — / ( r ) - f - / ' (r ). — I 2ra(* ^ I cuando cu an d o l _L r . 2 3 8 2 .— . r 2385. a) d i v r = 3 , ro t r = 0 ; b) d iv ( r e ) = ^ - , / / frl d iv ( / ( r ) c ) = d i v u = 0; r o t v = 2©, d on d e © = ©7c. - (c r ), ir) ro t { / ( r ) c ) — — — c X r . 2387. 2om °, don d e ¡)2[J u n it a r io p a r a le lo a l e je de ro ta ció n . 2388. d iv g ra d r/ = — n ° es e l vector Q'2\J Q2JJ — h ~gT¿~ » r o t grad £ 7 = 0 . 2391. 3 n i? 2 ff. 2392. a ) i t ó * f f ( 3 J ) s + 2 / J í ) ; b ) ^ refl2# ( i í a+2JÍ2); 2393. d i v F = 0 en to d o s l o s p u n tos a e x ce p ció n d e l o rig e n d o coorden adas. E l f l u jo es ig u a l a 4jim . Indicación. A l ca lc u la r el flu jo , a p lica r el r te o re m a de O s tr o g r a d s k i-G a u s s . 2394. 2n 2/¿2. 2395. • 2396. V \ r /( r )r f r . — ro 2397. 2398. a) N o tie n e ; b) Ü = x y z + C; c ) V — x y + x z + yz -|- C. 2400. Sí. Capi t ul o VIII. 2401. 2406. . 2« — 1 ' 3« + 2 2402. 24» 7- 2n 2403. ' —7 " T T\ - ^ . 2n~ 1 ' *«». 192 2404. ’ -4 . ** * 1 -3 .5 . . . ( 2 ^ - 1 ) 1 * 4 .7 . . . (3re— 2) 2405. " (* + l ) 2 ' ( _ 1)n+t € ' 2410. n<?l- 1>n+1# 2416. D iv e rg e . 2417. C on verg e. 2418. D iv erg e. 2419, D iv erg e. 2420. D iv erg e. 2421. D iv e rg e . 2422. D iverge. 2423. D iv erg e. 2424. D iverge. 2425. C on verge. 2426. C on verge. 2427. C on verg e. 2428. C onverge. 2429. C onverge. 2430. C o n v e rg e . 2431. C on verg e. 2432. C onverge. 2433- C onverge. 2434. D iv org o. 2435. D iverge. 2436. C onverge. 2437. ^D iverge. 2438. Converge. 2439. C onverge. 2440. C on verg e. 2441. D iv e rg e . 2442. C onverge. 2443. Con v erge. 2444. C on verg e. 2445. C on verg e. 2446. C on verge. 2447. C onverge. 2448. C on verg e. 2449. C on verge. 2450. D iv erg e. 2451. C on verge. 2452. D iverge, 2453. C on verge. 2454. D iv erg e. 2455. D iverge, 2456. C onverge. 2457. D iv erg e. www.FreeLibros.me S o lu c io nes 486 2458. Converge. 2459. D iv erg e. 2460. C onverge. 2461. D iv erg e. 2462. C onverge. 2463. D iverge. 2464. C onverge. 2465. C onverge. 2466. C onverge. 2467. Diver* ge. 2468. D iverge. Indicación. ^£+1 > i . 2470. C onverge c o n d icio an nalm onte. 2471. C onverge con d icion a lm en te. 2472. C onverge absolu ta mente. 2473. D iverge. 2474. Converge c o n d icio n a lm e n te . 2475. Converge absolutam ente. 2476. C onverge con d icion a lm en te. 2477, C onverge a b so lutam ente. 2478. C on verge a bsolu tam en te. 2479. D iverge. 2480. Converge absolutam ente. 2481. C onverge co n d icio n a lm e n te . 2482. C onverge a b solu ta m onto. 2484. a) D iverge; b) con verge absolutam en te; c ) d iverg e; d) con verg e co n d icio n a lm e n te . I n d i c a c i ó n . En lo s ejem p los a) y d) ex am in ar la serie oo (a 2 h~i + y en los b) y c) in v estig a r separadam ente la s series 5 ] a **-i k=i fc=i oo y 2 2485. D iverge, 2486. Converge a b solu tam en te. 2487. Converge h=í absolutam ente. 2488. C onverge co n d icio n a lm e n te . 2489, D iv erg e. 2490. C onverge absolutam en te. 2491. Converge absolutam ente. 2492. C on verge a b solu ta m en te. o o o o 2493. Sí. 2494. N o. 2495. ^ ; con verg e. 2496. n=l 1 ); « —1 converge. 2497., D iverge. 2499. C onverge. 2500. C onverge. l «>l < ¿ : ^ 2501. * 4 < 0 , R t > 0 . 2502. Indicación. El resto de la serie se puede acotar v a lién d ose de la su m a de la p rog resión geom ótrica , que excede a d ic h o resto: R n = a n ( 1 - j 2 ^— - - A — - ^ + . . . j < 2503i í lfl< 3 -10-8. 2504. n+ 1 < Resolución. n — — (n + 2)2 + ' " > ( n + l ) ( « 4 - 2 j + (n + 2 ) ( n + 3 ) H' , / _ ! __________________________ 1 •R _t' W + 2 n+ 3 ) ^ n+ 1 " 2505. Para la serie dada es f á c il R n *= ( * + 1) ( “l " ) Rn 1 • = ( ^ + T — ‘H+ a ) + « ' resto: 1 \ 2n—2 + ( re + 2 ) ( - j - ) + m os por (4)'= ; (n + 1 ) * 1 1 1 1 I n (n + l ) (n + l ) ( n + 2 ) ^ ' " h a lla r e l v a lo r e x a cto del 16 W Resolución. f « + i ) ~ t " 2+ < ) ~ • i*.-(«-M>+n+»+3>+r‘+www.FreeLibros.me M u ltip lica 487 Soluciones R esta n d o, ob ten em os: ■ a r+ ^ -(-+ s )u r 1 16 De a q u í en con tra m os e l v a lo r de R n que se da m ás a rriba . P on ien d o b a ila m o s la suma de 2507. 2508. 1. Indicación. S la serie . 2506an = —---------. 99; 999. 2509. 71 S = 1 cu an do n=0, 2; 3; 5. x>0, 5 ' = — 1 cu a n d o x < 0 ; ó ’ ^ O cu a n d o z = 0. 2510. Cuando x > l os a b solu ta m en te co n v e rg e n te , cu a n d o x ^ \ es d iv e rg e n te . 2511. C uando x > l es a b solu ta m en te con v erg en te, cu an d o 0 < C x < l l con verg e n o a b solu ta m en te, cu a n d o es d iv erg en te. 2512. C uando x > e es a n solu tam en te co n v e r g e n te , cu a n d o co n v erg e n o a b so lu ta m e n to , cu a n d o es d iv e rg e n te . 2513. — o o < x < c o . 2514. — c o < s < o o . 2515. Es a b so lu ta m en te co n v e rg e n te cu a n d o z > 0 ; es d iv e rg e n te cu a n d o Resolu ción. 1) |fln |^ ; _ i _ , y cu a n d o e s co n v e rg e n te ; 2) x > 0 la serie c u y o cu an d o x - < 0 , y térm in o eo s nx no general tien d e es a cero cu a n d o n —>-oo, ya que s i c o s n x —>-0 se dedu ciría q u o co s2 rc:r—>-— 1; de esta fo rm a , cu a n d o n o se cu m p le ol c r it e r io n ecesa rio de co n v e rg e n cia . 2516. Es a b so lu ta m e n te c o n v e rg e n te cu a n d o 2kn < x < (2A + 1) n (^ = 0, dz i, zt2, ...); en lo s dem ás p u n tos es d iv e rg e n te . 2517. Es d iv e rg e n te en to d a s p a rtes. 2518. E s a b solu ta m en te co n v e rg e n te cu a n d o x 0 . 2519. x > l, 1. 2520- * > 3 , 2523. * > 1, * < * < — 1. 1. 2 5 2 1 . i > 1 , 2524. z < — 1. —l< a :< — y , 2522. y O x ^ '5 -í-, O < 1 . x < k ^ . O Indicación. OO Para e s to s v a lo re s de x co n v e rg e , ta n to la serie 2 A= i c °m o la serie térm in o general cc 7¡ 1 - 7 “T * 2 lz * C uando fc=i se rie n o tie n d e 2527. |x|>l a cero. — 2 < a r < 2 . y 2525. 2528. cu a n d o |a: | 1 — ol — — 1 < ^ < 0» 0 < a: < — l < a ¡ < l . 1. 2526. 2534. i = 0. 2535. — co < x < oo. 2532. 2536. la — 2 5 2 9 . -------- ^ < * < - 4 = - - y 2 2530. — 1 < x < 1 . 2531. — i < * < 4 . 2537. \s 2 — o o < * < c o . — 2538. — 2 - < ¡ c < 2 . 2539. — * < z < e . 2540. — 3 < : r < 3 . 2541. — 1 < * < 1 . 2542. — 1 < £ < 1. R e s o l u c i ó n . La d iv e rg e n cia do la serio cu a n d o |x | 1 es e v id e n te (es in te re sa n te señ alar, que la d iv e rg e n cia do la serie en lo s o x tre m o s d e l in te r v a lo de co n v e rg e n cia x = ± i se puede c o m probar, n o s o l o v a lié n d o s e del c r it e r io n ecesa rio do co n v e rg e n cia , sin o www.FreeLibros.me 488 S o lu c io n e s tam bién con ayuda d el c r it e r io de D ’A le m b e rt). > + !)! lim Ji-VOO = iím n\zn ' |r a -j-) x n]n | lim «-♦oo C uando |x |< 1 ten em os: ( n - | - l ) |z [n = lim n->oo n-*co 1. :c = 0 n (la ú ltim a ig u a ld a d se puede ob ten er fá cilm e n te a p lic a n d o la reg la de L ’ H ó p ita l). 2543. — 1 I n d i c a c i ó n . V a lié n d o s e del c rite rio do D ’A le m b e rt n o s ó lo se puede h a lla r ol in te r v a lo de co n v e rg e n cia , sin o tam bién in v e s tig a r la co n v e rg e n cia de la serio dada on lo s e x tre m o s de d ic h o in te r v a lo , 2544. — I ndi caci ón. V a lié n d o s e del c r ite r io do Cauchy n o s ó lo se puede b a ila r el in te rv a lo de co n v e rg e n cia , sin o tam b ién in v e s tig a r la co n v e rg e n cia de la serio dada en lo s e x tre m o s do d ich o in te r v a lo . 2545. 2546. — 2 < — 3. 2552. 0 < x < 4 . 2553. 2554. — <?— 3 < X > — 3. 2555. — 2 : < x < 0 . 2556. 2 < * < 4 . 2557. 1 < * < 3 . 2558. — 3 < * < — i . 2559. 1 — i - < < x < 1+ — . Indicación. C uando x = 1 ± — ' í-^-r , ya q u e lim V - " '■■■■ = « “ ><» e ye 2562. 1 < x < 5 . 2563. 2 < x < 4 . -f= 0. 2560. 2564. la serie os d iv e rg e n te , - 2 < x < 0. 2561. 1 < x < 3. |*|<1. 2565. } z \ < i . 2566. |s — 2567. |z |< V 2. 2508. 3 = 0. 2569. |z |< c o . 2570. j z |< ( - U 1). 3 < 2577. l n ( l + x ) ( - l < x < l ) . 2578. 2580. 2581 • 2579. a r c tg * (| x | * , ; ! ) . 2582- ( r - ^ r (|g|< 2576. — ln (1 — x ) 1}- (I J l < 2583‘ ~('¿ - l )2 <1 * I > ■ ) - i - l n p - í (|x |< 1). (I * l < *)• 2584• (a rctg x — J ¿mm — i . ln \ ^ X ) (I x I <" 1). 2585. 2 1 -\ - x ) V| 1' ' de la serie x 2586. 3. tt-t-f ¿ o 2587. + b . Indicación. (véase el ^ p rob lem a g (— o o < * < E x a m in a r la sum a . 1 2579), cu a n d o x — — — . o o ). “|/ 3 2588. sen ( * + -2 1 ) = i «2 _ n v 2 [ * > . “ T 2589. L T ** _i_ ** _i_ 16 3! + 4! H 51 x'¿ . X't . c o s a “»— g p sen a T e o s ( x - f a) = COS a — x sen a —— sen ^ n! ^ '2 2! x — + — •■+ <- — j - } - . . . ( — c o < x < c o ). 2- ¡ £ f~ n -1 1 + n\ 2590. + ...( - « > < * < « > ) ■ www.FreeLibros.me 2 x4 + 1 ''' J ' cos a P sen2 * — ••• 2! 2591. ln (2 + * ) - |< 3. S o lu c io n e s 489 X *2 t X3 xn = ] n 2 + T - ^ + _ - . . . + ( _ l ) » - i ¡_ + . . . ( — 2 < * <£ 2). ción. A l in v e s tig a r e l re s to , u tilícese e l teorem a sob re la Indica integración oo de la serie de p oten cia s. 2592. - ’V . (n + 3) x n (| a: | < 1). n —0 oo 2593- = " f' 2 n=0 ( 1 + 3é r ) x ’ ‘ ( l * K D - 2594. ( — c o < * < o o )- 2595. ex 2 = l + ^ n —2 CO X2>1+1 22nX2n 2596- S ( ¿ + l ) ! ( - CO<X<CO)- 25í'7- 1 + 2 ( n«=0 n=l n=l 2600. ^ 2 X2»í+I Z 2n+I “■gñ+T* ñ ñ T n ( - »3 << * < 33)).' (“ ^ oo co 26° 2- 2 S n=0 ^ i i * i < ‘ )- 26° 3 - 2 n=l CO 2C 04. * + 2 í + ( ir 7 2n oo 2605- 2 , 1 ’3 , ■ 1 -3 -5 . . . ( 2 # » - l ) x «»+ i , j ' 3 + 2 4 5 + " ' : 2 - 4 - 6 . . . 2n 2 « + 4 + ‘ ' (l * 1 ^ 1 s 3 . 4 -3 ** 1 . 3 .5 . . . (2 n — 1) + + (_ !) 2 .4 .6 . . . 2|» 2ñ+T co 1). \ -I -1 1 2001. - 1 +- + TI x 2601 • T , 1 -3 -5 - . ( 2 * - 1 ) * » » / __ 2 < C "z < '2) i1 2*>-4 -6a *1? r • • • “ o /. ft n „ *>an+l i • • • V “V v-. 2? 1 1 2 - 4 - 6 . . . 2n 2 ^ ‘ +i '** < »:< i1 «i oñ 2» 2-4/. 26 2607. l)n ^ 2n ) T ' 2598' 1 + n =0 co X (-o o < :r < c o ). (| * | < ^ ¡- ( — c o O < c o ) . n=l CO 2606. XC - K = X + 2608. 2 l ( - l ) " 41 94n-3x2n (2>t)i ( - 0 0 < x < c o ). 2609. 1 }' 1+ «= 1 + 2 i - 1 )"” 1 2 6 ,° - 8+ 3 ^ ^ n = 2 (—c o < z < c o ). X 2611. 2+ 2 - 5 - 8 . . . (3 b — 4) x n 2»n- 1.3 n -n! !•••■•( 22. 3.11 2 5 -32- 2! n=1 2» - 38- 31 + " ' + . o D < s < c o ) . 2612. www.FreeLibros.me 1 + -2^ + ' J,U~1 g n 1 g x ^ / 1 . i \ n ^ ( 2» + i + 3>i+i) 2 n=i Soluciones 490 co co 4n ( 2 < z < 2). 2613. l+ | -2 (1~ t(2/i)I £ t¡ > g8” ( ! * ' < “ )• “261/‘ - -¿J S 4*+i n=l n=0 co (| * I< V 2 )- 2615. co 2 6 ,6 ‘ l n 2 + 2 ( - l ) * “ 1 ( l + » - B) - v n=l ( - i < x « l ) . co 7-2n+! 21 (n=0 1>” ( 2 r + l ) ' (2r> + ÍTl < - » < « < ” )• 2617. * + 2 < - l ) « X «s=l oo /r 2 íT + l x {2n + i)n] rn (l*l< «). 2 2618. ( —l)n+1 ^ r ( l z l <!)■ 2619. *+ ■ * + • ( 1 ~ fT + V — ■ )■ 71=1 + ¿ x3 ■’ + - - ■+ ‘- ^ 2x® „ + T + T T + 2623. :c3 s j | i r 262L * - T + T T — 1 + 4 + ^ - + ... 2624. + - ■ - « » i< » - 2622‘ _ ( * + £ + , £ + . . . ) . 1 + - j - s 3 + * •• 2626. I n d i c a c i ó n . j-4 \ 2 6 2 5 .* + * * + P artien d o de las ecu a cion es param étricas de la e lip se x = a co s í, y = b sen ca lc u la r la lo n g itu d de la elip se y la expresión o b te n id a desarróllese en serie de poten cias de e. 2628. s 3 — 2 z2— —5 x —2 — —78-j-59 ( s 4 - 4 ) —1 4 (:r -f4 )2+(:r-|-4)3 ( —o o < z < o o ). 2629. j ( x + h ) = = 5a:3 — 4a;2— 3 z + 2-4-(15a:2 — 8x — 3) A + ( 1 5 s — 4 ) /i2-f-5&3 ( — c o < z < co ; oo o o < h < o o ). 2630. co 2 n ( - 1 ) " - 1 f e ^ * )W( 0 < « < 2 ) . = 2631. l (-!)-> X n = 0 cxj X (x 1 )" { 0 < z < 2). 2632. 2 ( " + l ) ( * + l>‘l ( — 2 < x < 0). T i— 0 co 2633. 2 oo ( 2 - » - > - 3 - « - i ) ( x + 4 )" < - 6 < * < - 2 ) . 2634. n= 0 ^ (-« )* n=0 co ( _ 2- V 3 < í < - 2 + V 3 ). 2635. e~* [ i + ^ ] (| x | < oo). (* -4 )8 1 -3 -5 ( x — 4)4 , , , -------------------------------------------+ ( _ ! ) » i x 71=1 « 5 , fi o , * - 4 2 6 3 6 .2 + -^ 1 ( * - 4 ) « , 1-3 OO 1 -3 -5 ... (2 n -3 ) 4 -6 -8 ...2 a ( |* t < c o ) . 2638. (x - 4 ) n (0 < I< 8 ) 22" + ••• 1 . V y + 2 ) n= 1 Jl \ 2 n - l 2637 V i ( . ) n \ ( - i 2) , ¿bá7- 2 j < — *> (2 n — 1)1 n=i 471” ! / xc \ 2 « - i ' (------* — t4 )l / _ 4 w i ---------\ (I X |< CO). ( - 1 ) " ----------( 2 ^ 1 ) 1 www.FreeLibros.me S o lu c io n e s 491 cc 2639. — 2 ^ 2n-\- i ( \ ~ - f -r ) n=l 1 x su stitu ció n j q — = t y d e sa rrolla r 2640 ou serie de p oten cia s la i. _ ^ - í- U - Í _ ' \ 24 - Í ^ Í - £ - V , + , l ’ 3 -5 . . . (2it — 3) / x 1 -j-x 2 l l + x j + 2 - 4 U + z J + " , + 2 -4 -6 . . . (2n — 2) l l + W + ( i ) 3 ln x H acor do + ••• ( - y < x < c o ) s b -Í -4 indicación. . 2641. | / ? | < - ± - < ± . 2642. | R |< 1 . 2643. ^ ( ± > 5 " | ^ ------ ^5"1Í"~TÍ— *= 0,523. Indicación. Para dem ostrar uo e l e rr o r n o exced e de 0,001, h a y q u e a co ta r el resto de la serie v a lién d ose o la p ro g r e s ió n g e o m é trica que e x ce d e a este re s to . 2644. D os térm in os, 3 •C** e s d e cir, 1---------- . 2645. D os ¿ 7 m in o s , es d e cir , 1 + 2 TU=1 2650. 2,087. 2651. térm iu os, es d ecir, x • 2647- | x ¡< 0 ,6 9 ; |x |< 0,18. 2653. i - _ " i — . 2646. o O cho tér- 999- 264S- *’ 92- 2649- ( -Wi < 0,0003. |ar |< 0 , 3 9 ; | x | < 0 ,2 2 . 2652. | x | < 0 ,3 9 ; 0, 4931. 2654. 0,7468. 2655. 0,608. 2656. 0,621. CO 2657. 0,2505. 2658 . 0,026. 2659. 1+ 2 ( - l ) ’! ' (V (2 n)\ (-c o < x < c o ; V)2l \(2n)l 2 n T ""' (-& < * < < »■ n— i ! r oo —o o < y < co ). 2660. 2 ( - l ) n {X 71— 2 oo - c o < y < c o ) . 2661. 2 7 1 = ( - c o < x < o a ; - c o y < co ), (2 » - 1)! i CO 2662. 1 + 2 2 (y — * )” ; I* — » ! < ! • Indicación. 1—s-fy + x~u = — 1+ Tí — 1 OO -f-— . (— i < x < l ; A p lic a r la —l < y < l ) . progresión geom étrica. indicación. 2663. — ^------ Tí—l 1 — x — y + x y = ( l — x ) { i — y). CO 2664. 2 ( ~ 1)n - í “ í r Í T ~ ~ n=0 a r c tg - !< » < * ) . Indicación, a rctg x -f a r c t g y (cu a n d o \x | < 1 , \y |< 1 ) . 2665. 1 { x + k , v + J c ) = www.FreeLibros.me 49 2 S o lu c io n e s = a s H 2bxy -I- rí/2 + 2 < a x + b y ) h + 2 (bx + c y ) k 4- ah* + 2 M + ele*. 2666. / (1 + h r 2 + * ) - / ( ! , 2) = 9/t— 21/f + 3^2 + 3/i/c - 12*2 + jt 2 _ 2*3. 2667. 4 + JJJ . — t 2 — 7/2 r3 _ ,-x i n = l 2669. (2ÍÍ1) 7 i= i l+ z + 2, + 1 3| 2671. ¿ + -• ■ 2670‘ Sen2(f + !11 ) X ; i + * + * » + y * * » + ... J (0 )-íi± S ; J (± * )-fi+ Í * . »=0 co « a 2 co ?t I 2Í f Í + < “ + 6> S r .= 0 ; n = í co ,9 ( d r n ) = Í _ J L n . 2673. ^ + 4^1 í(± # )* = n * . n= 1 co 2 2674. r i v ' (— sii a n j - r ^ + á ^ "i n 2 (a cos n x- n seR nx) J 1 £ ( ± ji) = ch « a . n = l 00 ¿2 ssen e n ¿om n vv ii ,, ,n, nv. n n ssen e n nx n z 267a. --------------- > , ( — 1)r‘ — 5 jx ' a 2— n2 . . , si a n o es num ero en tero; sen axy si a 71—1 es núm ero e n tero; S ( ± n ) = 0. 2676. - ^ £ L [J L + fj ( - 1 ) » ^ ] 2677. — ——— X , n »l si a n o es en tero; cos « £ , si a es en tero; S ( ± n ) = eos «¡n. co oo n= 1 n= 1 CO J t t » ) - * » . 2679. 2 03 S S . 2680. X íi= l t T T Í n = l OO » . K „ 2 S ' 00 < -< > » -.= = ; b , f - i . 2 n= i n=1 co 2 6 8 2 .a ) i ;t .senna, donde fc2ft- 3= 2 ^ 1 ~ ji (2ft— l ) 3 ’ y ¿2A = — F ; n= 1 b) - ^ + 4 2 (_l)n — ; 1 ) - ^ - ; 2)-g -. 2683. a) n=l 2 [1—( —l)1*e°n\x 7i=l www.FreeLibros.me 493 Soluciones co nsonns . aS+na ’ X eaK~ i 2a V b) [ ( - l ) n e ™ - i ] cos nx ¿ 2 + 7 ^ ' + 2 „ 3> — X n = l 00 1 — c o s - r — x 5 ! ¿-i ( * V x Z n*=l 2686. — scn n s; n n= i . se n -K -4 - + — V « --------— c o s n s . ¿ J i n b) 0 ~ 2685. a) ti= 1 .e o s 2 (211 — 1 ) X ( 2 « — 1)2 bx ^ (2 /i — 1)2 D> • 4 n x — ji Z «= i oj 2 J 6n s e n n *> d0llde 1 ¿ 2fe = ( ~ 1) &_1 2 F - 2 + ¿,2H+i=; ( - ^ ) ' t ~ ‘ n = l co 2887. oo n, Z J 2688. (2n — l ) a - i V 1S »L S n=i ü .x ji n= i 00 2A f 1 vi ( sotinh \2 — |y + 2 j (— I c o s /,iJ • «= 1 co / i sen n ¿ \ x ( y + S cos" * ) n= 1 OAftA 2690- 2 6 9 ,7 - ^ + 2 2 n=>2 S 2694. R e S o 1 u c i ó II. n 1) ' — •I T [ 4 - + S n=l S , en la / ^ Z -{-¿ j = _ /^ - 2 — 3 ] ■ ?r 2 2 r 2 ik fl2n — ~ \ / (x ) co s %n x dx “ — \ I { x ) c o s 2 n x áx-\~ & ■) r) o o <é -4- — f f ( x ) eos 2 n x d x . Si se hace la s u s titu ció n ¿ — - í — z ic .] ¿ n 2 in te g ra l y 2889. 4n2 — 1 ji segu n da, ¿ j , es v a lién d ose de en la prim era la supuesta idim tidad fá c il observar quo aZn — 0 (n = 0 , 1 , 2 , . . . ) . 7t 2 2) b2n = — íi \ f ( * ) sen 2nx dx = — j O í / ( s ) sen 2rwr /te -f- — í / (x ) sen 2nx rfx. ») J 0 Ü La s u s titu c ió n ca so m ism a id en tid a d que en el / ( 4 r + 1 ) — / ( " ^— 2 1), teniendo en cuonta la supuesta ,I0S con d u ce a oo * O { n = i , 2, X oca, 1 4 2695. y — ^ X ' c o s (2 n + l ) n x OCAÍÍ Z (( 2n 2 * +T ll )) «2 “ * 269 ’ n=O www.FreeLibros.me las igualdades ¿ 2n K 0 oo sen 2nn x 4 2 v 1 _ “ ^ ñ-----n= l 494 Soluciones 2697. s h / nnx . ~ l nnx’ .2 6 9 8 .1 0 y JC n=l /2 ^ „ 2 „ 2 - r ^ - 2S ( — «= 1 nnx co eos — ------n n sen —p 5 n sen 2699. S) { 2 M n2¿ - i 1 ) ” l b ) 1. 2700. a) J i ^ n=l OD ~ í J' \2& +1 4 | (2 fc + l)» J ‘ 3 00 2701 ‘ t 2k~ n) 4r . k ’ a) — " a) k* ¿ J ( r»=0 2 9 -^ ^ 11 2 ^ 2 “^ /I¿=1 f - l l " _____________ 2 — V > (2n + l)-‘ ’ (» “ S 7i= i „ donde « x-, , 162 J ( n=^l 4 «a 3 68fc+l = 2 1J scnt2» * 1)"* 7702 2703 ; n=i nx c °3 i(2/J — l )/----- ' b ) T ~ n 2 ' 2 ----- (2 b — 1)8------1)* n=l 8 n ( - l ) " +‘ m — b) 2 Í - V c o s ( 2 re + l ) n x - «2 2 j n=0 (2 b + 1)2 co 2nn 2/ut.t x , 1 'e i eos 2nnx 7*2 C0S— 3“ + 2 ^ ^ 7»= 1 Capi t ul o IX 2704. Sí. 2705. N o. 2706. Sí. 2707. S í. 2708. Sí. 2709. a) Sí. b) n o. 2710. Sí. 2714. y — x y ' = 0. 2715, x y ' ~ 2y = 0. 2716. y — 2 xy ' = 0. 2717. x d x + y dy = 0. 2718. y ' = y. 2719. 'dyZ— x* = 2 x y y ’ . 2720. x y y ' ( * y * + l ) = l . 2721. y = s y ' l n | - . 2722. 2 iy " + í/' = 0. 2723. y" = y' — 2¡/ = 0. 2724. y* + 4 » = 0. 2725. j,’ _ 2 ¡ / ' + + y = 0. 2726. y " = 0, 2727. y " ' = 0 . 2728. (1 + y '2) y '" — 3 j j V a= 0 . 2729. y 2— — *2 = 25. 2730. y = ze2X. 2731. i / = - — c o s x . 2732. y = y { — 5e~x + 9ex— í e 2*) 2738. 2,593 (e l v a lo r e x a cto y = c). 2739. 4,780 (el v a lo r e x a c to y = 3 ( ¿ — 1 )). 2740. 0,940 (e l v a lo r e x a cto .y = l ) 2741. 1,826 (e l v a lo r e x a cto 2742. c tg 2 ¡ / = t g 2 z + (7. 2743. * = — — = ; V i + y* 2745. g==a + — g - — . 2746. y - 0. t g y = C ( l — e*)3; 2744. z = 0. y = ~]/ñ). x 2+ i / 2= ln Cx*. 2747. y=+senx. 2 2748. 2e 2 = V « ( ! + «*) 2749. 1 + z/2 = -j— , . 2750. jp=4. 2751. a r c tg ( z + y ) = = * + C . 2752. 8 i + 2¡/ + 1 = 2 t g ( 4 z + C). 2753. x + 2¿>+ 3 ln |2 x + 3 ^ — 7 |= C. 2754. 5a + 1 0 j + C = 3 1 n | 1 0 x - 5 y + 6 j. 2755. p = - — i ~■ co s (p www.FreeLibros.me o ¡,2= 2 C * + C 2. 495 Soluciones 2756. ln p = 1 cQ~g¿ ^ — ln |eos q> [ + £ i/2 0 l n|x |— o la h ip é rb o la y = . — . I n d i c a c i ó n . = C. 2757. La recta y = Cx E l seg m en to de tan gen te es x “j-, a V y2 + »*+ Y T7" • 2758. (ir ) * ' 275S- y 2— x 2 ^ C . 2759. 2760. igual y2 = 2p x. y= x [ x y dx 2761. y = ax2. I n d i c a c i ó n . P o r la c o n d ic ió n ó 3 — ----------- ~ ~ £ x . D erivando j¡ y dx dos veces resp ecto a x , ob ten em os la ecu a ción d ife r e n c ia l. 2762. 2 — V 4 — X2 2763. j/ = y 4 — x 2 + 2 l n ---------— y2 — x. ó . 2764. Haz de rocía s y = kx. 2765. F am i lia de e lip s e s sem eja n te3 2x 2-}-y 2 ==:£;ü. 2760. F a m ilia de h ip érb ola s x 2 — y 2 = C. 2767. 2769 F a m ilia de circu n fe re n cia s . y = —C------- i - . ~~ 2 7 7 0 . * = £ « * '. 2771. y = ± x . X W 2772. + x 2 + (^ — &)2= fc2- ln |y |= C . 2 7 7 3 . + ! » * ) * ( * + »)■ = <:. 2775. y = * j / l — 2768. ( a — C ) 2 — ¡/2 = C*; </ = - £ - * 2 - ¿ - 2776. y = x ln£x { x — 2)*— j 2 = 4; i * = 0 . 2774. (z 2 + {z + y — í p = C ( x - y + ' A ) 2777. a r + ¡/ + 2 1 n | * + 0 — 1| = C . 2778. ln |4 z + 8 ¡ / - f 5 | + 8y — 4 x = C. 2779. x*2= l — 2y. 2780. P a ra b o io id o de ro v o iu ció n . R e s o l u c i ó n . G racias a su sim etría , e l e s p e jo que s o b u sca os una s u p o r fic ie do rev olu ción . El o r ig e n de co o rd e n a d a s se sitú a on e l fo c o lu m in o so ; e l e jo O X es la d ire cc ió n d el haz d o rayos. S i la tan gen te a cu a lq u ie r p u n tó M (x , y ) do la curva de la s e c c ió n hecha p o r e l p la n o X O Y on la su p e rficie quo se b u sca , form a c o r e l e je O X un á n g u lo 9 , m ien tras quo el segm en to quo uno el o r ig e n do co o rd e n a d a s co n esto p u n to M (x, y) fo rm a uti á n g u lo a co n oí m ism o eje, ten d rem os que t g a = t g 2 y = - ^ t g ^ ip ‘ P e ro * t » a = í 'x + Y - La ° cua_ c ió n d ife r o n c ia i que s e busca e s y — y y ' 2 = 2 xy ' y su s o lu c ió n y 2 = 2 C x - f C2. La s e c c ió n p lan a es una p a rá b ola . La su p e rficie buscada, un p a ra b oloid e de r e v o lu c ió n . 2781. (x — y ) 2— Cy =^0. 2782. x 2 = C ( 2 y + C ) . 2 7 8 3 .(2 y « — *»)*«• X = C x 2. I n d ic a c ió n . P a r tir = C x — x ln |x |. 2785. de que e l y = Cx+xK 4 - e o s y = C. I n d i c a c i ó n . área es ig u a l a ^ ydx. a 2784. y= 2786. y = - ~ - x * + - ^ - . 2787. x V i + v ' - r La ecu a ción e s lin e a l co n respecto a x y www.FreeLibros.me dy . S o lu c io n e s 496 2788. x = C y i \ rx n h __p u y= -^ -+ ^ — ■ 2789. -l-a r c s e n x ) • 2791. = x l n — . 2794. s 2 = x y~r^y¿ y « =- i í y = - ± - (z\/ \ — z * + 2790. ■ 2792. ¡/ (a;2 + í7jr) = 1. 2793. i/2 = • 2795- V* ( S + C e c o s x ) ~ z . 2 7 9 I . x y = C y * + a*. 2798. !/2+ a : + ay = 0. 2799. x = y ln ^ . 2800. ÍL + - ~ = 1 . 2801. x * + y 2 - C y + + o2 = 0. 2802. ¿ r -\-x y + y i = C . ^ 3 - - 2 -iV + 2 x -f--~ =C . 2S07. 2805. 2803. í t + x y ^ + x Z ^ C . 2804. ----- s 2 + ;/2— 2 a r c t g — = C. 2800. x * — y * = C y ¿. y e ~ — 2. 280S. ln |x |— — C . 2809. y + - y - = C- 2810. ^ ln a¡-¡- 2811. (x s o n y-|-y c o s p — son p) ex = C . 2812. (x 2C2- j - l — 2C¡/) (x 2 + + C2 — 2Cy) — 0; la in te g ra l sin g u la r es x 2 — y 2= 0 . 2813. La in te g ra l gene ral es (y + C) 2 = x a; in teg ra l sin g u la r n o hay. 2814. L a in te g ra l general es y + c j | i - 4^4- Cj =0; in teg ra l general es 1 2816. y = - g - co s x ± .10, o in te g ra l y*-\-C2 = 2Cx; la L/3 2~“ sen x . sin g u la r in teg ra l no hay. sin g u la r, 2815. La x * — y* — 0. f x = sen /> + l n p , 2817. | j, = p sen p + c o s p + p + (;. r® = eP + pfiP + £•', / 28,8‘ 2 _L „ 2819‘ j r+ ’ P P L j/ = p2 4 -2 1 n /? . La s o lu c ió n sin g u la r es y = 0, 2820. 4y = x~ + p 2, ln \p — x \ ~ C - \ — p 2821. ln ~ l/p 2+ p 2- f a r c t g - y - = C, x = ln 2822. y = C + £ ; 2824. { 1 ^ y= ±2x. x . La s o lu c ió n sin g u la r es y — ex . 2823. — C ^ -ÍP + a . ¡ í = . C ( l + P) e - P — pü + 2. f I P l~ a r c s e n P + C \ y j = p + y i - P2. i 1 x = - ¿ j - ( C p z — p), 2825. i ” !/ = - ¡ r (2 í7 p 2 + p 2). 6 I n d i c a e i ó n . La ecu ación d ife re n cia l, de laque fu n ción de /), es hom ogénea. 2826. y = C x + C * y= ,— ~ s o lu c ió n sin g u la r n o tiene. 2828. y ===Cx + V f + C 2; — Cx + — ; í/2 = 4x, 2830. xy = C\ 2831. se determ in a . com o 2827. y = Cx + C; x 2- f y 2 = l . Una circu n feren cia y www.FreeLibros.me x 2829. la fa m ilia Soluciones 497 t de tan gen tes a e lla . 2832. La a stroid e s 2 /3 -f-^ 2/3 = a2/3. 2833. a) H om ogénea; y = xu\ b ) lin e a l co n re sp e cto a x\ x = uv\ c ) lin e a ! con resp ecto a y\ y — uv; d ) e cu a ció n de B e rn o u lli; y = uv\ e) co n v a ria b les separablos; f ) ecu ación de C la ira u t; red u cirla a la form a y = x y ' rb g ) ecu a ción de Lagrange; d eriva rla c o n respecto a x\ h ) ecu a ción d e B ern ou lli; y = uv; i) red u cib le a uua ecu ación co n v a ria b le s sep arables; u = x + y ; j) ecu ación do Lagrange; d e riv a rla con resp ecto a x ; k ) ecu a ción de B ern o u lli co n rela ción a x; x = uv\ I) ecu a ció n en d ife re n cia le s exactas; m ) lin e a l; y = uv‘ n ) ecu ación de B e r n o u lli; y = uv. 2834. a ) s o n - — = — ln |a: |+ C; b) x — ^ -eC l/+ !. 2835. + j , 4 = Cy2. 2836. !! = — £ £ £ - ■ 2837. x y { c — i - l n 2 z ) = l . 2838. y=C x-\- -\-C ln C; la s o lu c ió n sin g u la r es y = — e~"^x^ K 2839. y — Cx-\-~\/— aC\ la s o lu <t f r3 — A I \ c ió n sin g u la r es y = 2840. 3y -|- ln ■ ^2841. — e 2X — <*y — — a r c t g y — - 4 “ ln { l + y 2) = C . 2842. j/ = a:2 <l + CeT ). 2843. x = y * ( C — e~v). 2844. ¡/ = C’¿- s e n :c + s e n x — í . 2845. y = a x + C V í ^ z 2. = — r T (* + ln |* |+ C ). 2847. x = Cesen X -j- 1 2846 y= 2a (1 - f s e n y). 2848. - ^ - + 3 x. + y + ¿j + l n [ ( * — 3)W»|íí — l | 3j = C. 284!». 2 a r c t g Z ^ ± = \n Cx. 2850. * a = l — | - + + C e'” " '. 2851. x* = Ce’J— y - 2 . = a? arcsen (Cx). 2854. 2852. j / ^ + l n |*| = <7. 2 4 i/s = £ « “ 2 * + - g - sen * + - g - eos a:. 2856. x = C e » — 4 - (sen y - f e o s y ). 2857. p y = C ( p — i ) . ~ T yi~ T y ~ Í : x e v — y 2 = C. 2862. X ~ y= x y = C ( y — 1). 2858. z * = Ce*v— y¡> — 2859, ( * * + £ > ( * • ¥ + 0 = 0. 2880. _ _ 2861 - 2855; 2853. V ¿ 2+ 7 5 _ JL = C . V ' l + !>■ P-,2 2P "*■ 2p2 ln ( P + + í ' 3) • 2865. l n \y -f-2 |-f-2 a r c lg = C . y= 2px+yTTp*. 2863. y = x e ° X. 2864. i/2 2ex — ii* = Cy*. . v_ 28CC. y * + C e ~ 2 + — — 2 - 0 . *4 = ' „„„„ 287° - 2867. x * - y = C e n . 2868. ^ 00. . * ' = C s e n * - “ - 2871- a: + y = C. 2869. y = fl2 l n ( i + V a " á T ^ ) + C 7 + ' .................. ‘ 2872. ( y - C z ) { y * - x * + C) = 0. 2 8 7 3 . y * = C x - \ - - ^ , y = y Jr X 2 y „ y 2 z — y l = C. 2875. p2 + 4y2 = C y 3. 2876. 32— i 016 www.FreeLibros.me f 2 Í 2. 2874. p -2 -1 . 2877. y=x. Soluciones 2878. y ~ 2. 2879. y = 0. 2880. y = í y ;(sen s . ^ c o s * ). 2881. y = — { % & + 2 ¿ + l J r; 2882. j r = * “ x + 2 x — 2. 2883. a ) y = x\ b) y = C x y donde C es a rbitraria ; el pu ntó {0; 0) os e) punto sin g u la r" do la • ecu ación d iféroftcial. 2884. a) y 2 = x ; b) y* = 2px\ (0 , 0) es el p u n to sin g u la r. 2885. a) { x — C)2 + + rj*=:C2; b) no tiene so lu ció n ; c ) x 2 + y 2 = x\ (0, 0) es ol punto sin g u la r. 2886. = 2887. y = ( Y ^ + V I > . 2888. y2 «=1 — <r* 2889. f = C e « * . I n d i c a e i ó n . Pasar a la s coorden adas p olares. 2890. 3£2 — 2x = 0. 2891. r = k < p. 2892. + [ y — 6)2 = 62. 2893. y * + i G x z = 0 . 2894. La. h ip érb ola y2 — x 2 = C o la circu n {e ro n cia x 2-+- y 2 = C2. 2895. •* i x ción. \ y = - - {cx+ e ~ x ). I n d i c a- P a rtir do que e l área es ig u a l a ^ y dx, y l,a lon g itu d del arco x a* Y í + y ' t d x . 2896. x = — + Cy. 2897. y 2 = AC ( C + a — x). 2898. Indica- j c i ó n . A p lica r e l hecho de que la resultante do la fuerza do gravedad y de la centrífuga e s norm al a la su p e rficie . T om a n d o el e je do g ir o com o eje OY y designando p o r cú la v elocid a d angular de la rota ción , obtenem os, para la sección plana axial do la su p orficie que se busca, la ecuación d iferen cia l £ -“j ~ = co2x . 2899. p = ¿ “ ° ' 0()0,67?\ Indicación. La presión en cada n iv e l de la colu m n a v e rtica l de aire se puede con sid erar com o d cp on d icn te exclu sivam en te do las capas que descausan más a rriba . E m pléeso la loy de B o y le — M ariotto, según la cu al, la densidad es p rop orcion a l a la presión . La ecu ación d ife re n cia l Indicación. buscada es dp — — k p d h . La ecuación es ds — kiv• ^ j x dx. 2900. 9 = — klw. 2901. w) 2902. T = a + {T0— a) £-*■>. 2903. D entro de una hora. 2904. r. años se p. m. 2905. in icia l Q0. Indicación. 2906. t ^ 35,2 = n ( “i ^ ) En 100 seg. v d t ‘ 2007. p rop orcion a lid a d ) v = ~y^ t h ecu ación Indicación. Q — Qo ( y ) 3 . 2908. v de La d esin teg ra un 4 ,2 % es La (o=^l()p ( - - ) ‘ de la cantidad Q = Qo ( y ) 1G° ° ' ecu ación es n (/t2— 2/t) d/i = . I n d i c a c i ó n. La ecu ación os d Q = — AQ dh\ y es cuando Indicación. La ( * j / —y ) . 2909. 18,1 k g . t co(k ecu ación os Indicación. » ol c o e f¡cie n to m ~ = m g ^ kv*; La ecu ación es ”' - Í = R * + L W l -R3(>a-a t ~ Ll* C0S a t > + L(úe www.FreeLibros.me R f L ]■ Soluciones 499 di La e cu a c ió n es /?¿ + L — = £ s c u g ) ¿ . Indicación. + C lX+ C 2. 2912. l + c 1r/ 2 = ( c 2 + - ^ ) 2. 2914. i/ = C 1 + C 2 ln|a;|. 2917. y = ( l + ( 7 í ) l n | a : + C 1 |— C i:r + C 2. 2919. y = i - { l n | a : | ) Z - l - C 1 lii| a :| -f-C 2. 2921 2023. 4 “^ -. s in g u la r ). 2926, + C2x + C 3. 2931. 2922. |f = (C i«* + l)* H -< 7 j. (s o lu c ió n g u ia r ). 2015. 2928. tf = a » + 3 x. 2934. x — C, — C2 ln 2910. V C , r + C 2. y — C^ ( * — C , ) = . a ln sen 2918. 2920. y = ± y a: = 4 ~ ] n Cj + 0*2; y + c . J +^2* f-l c + C 2; y = ™ a : 2 + C y —— - { - C (s o lu c ió n sin - y = ( 6 > - C f ) eCl y = * C xx ( x — C t)-\ -C $ + 2932. y = ln |« * * + ( 7 , |- * + £ ? « , y = + | [ " i V C\ — x * + C \ aresen y = j/ = C *2. y= 2924. 2925. 2013. y — arln |i |+ 2911. In |a: |+ C 2z + C3. 2927. ¡, = son (C , + z ) + 2929. ¡/ = 6 ,, i Í ^ y= y (*a + l ) . > 2930. ¡í= * + l. ; j/-C \ 2033. z = <7, + ln . 2035. x = Cxy* + y ln j/ + C2. 2036. 4a* = l. ! / + ^2 2037. ’ Ty = x + i . 2038. J -ii+ iln la ;!. 2939. «2— 1 x*-\ y- — ? = 4 - * 2- 2943. 2940. 2042. x - — y (y + 2 ) - . y= 2 i/T = — g— 3 2 « 3e^-x g - . 2946. y = 2~ g33f » 2947. m i * i o y=a- y = ~ x ' 2. 2941. 1 — X2 e.+ l ) + y s= 2 e * . ,-x + T ^ 7 ' 2945" y “ 2044. í/ = sgc2 :z. 2948. y = s e n a :-f-l. 2949 949. y = •— — 4 " - 2950. x = — £ - e ~ y2. 2051. N o tie n e s o lu c ió n . 2952. y = ex . 4 2 ¿ •i ¿ 2953. j/ = 2 ln |x |— . 2954. c ió n s i n g u l a r e s y = C. 2955. ^ " T ^ 1 ( * “M ) 2 + ^ 2 - T-a soIu ' j-2 — h ( ^ í — C f) x + C2. La s o lu c ió n g u ia r es j, = Í £ ± ü ? - ¡ - C . 2956. v = ¿ ( C , + * ) « + C 2* + C 3. -f-C 2*Cl* ; y = l ~ ¿ x; y= —l + Ia s o lu c ió n s in g u la r sin - 2957. * = C 4+ os y — ~qZ- x ' 4 32* www.FreeLibros.me S o lu c io n e s 500 2958. Las circu n feren cia s. 2959. ( x — C t)2 — y = a ch . La circu n feren cia (.r — xq)Z = 2(1’1 j — a2. La + ~ H 2 constante y q (¿c— a;0)2-|-y2 = a*. c ic lo id e 2962. €ay+Cí! = se c ( a x + CA. = 0. 2960. La catenaria x — x Q^ a (t — sen í ) , 2963. La p arábola. parábola y = a ( 1 — c o s í), y = ~ 7 r — e 11 ¿ Q + £ 2* donde H os la ten sión h orizon ta l — a. La ecu ación Indicación. 2965. La ecu ación del m o v im ie n to 2966. s = — ln ch ( t g— j . Indicación. ■ 2967. es^ ~ = * dx¿ d 2s ¿¿2 “ es sí2 es 5 = —¡y- (sen a — ja c o s a ) . le y = mg— k d ife re n cia l del m o v im ie n to — g { aenct — p ic o s a ) . La ción. 2964. La + ^ 2 0 í/ = ^ c h q / / dy \ 2 ~ ~ fíy 1 ‘ l^ ííc j ' m ie n to es m 2961. z La D en tro de La ecu ación dol m o v im ie n to es ecu ación del 6,45 Indica se g . m o v í- = — 10*. 2968, a) N o; b) sí; c ) s í; d) sí; e) n o; f) n o; g ) n o; h) s í. 2969. a) y v+ y ^ 0; b) y " — 2 y ' + y = 0; c ) x 2y " — 2 x y ' + 2 y = 0; d ) y 1" — '¿y" + 4 y f — 2y = 0. 2970. y = S x — 5*2 + 2**. 1 2 9 7 i . y ¿ = — (C¡ sen * + ó'2 cos x). I n d i c a c i ó n . E m plear la su stitu ció n x !/— y¡u. 2972. y = C ¡ x + C 2 1» x . 2973. = Ax-\-— ~. I n d i c a c i ó n . Las y ^ A + B x ^ + x 3. so lu cion es hom ogénea son y , = * , y 2 — — - ^ o r ol 2974. p a rticu la res m étod o de las de ¿r = ~ + O la ecu ación variacion es de las X JJ constantes arbitrarías h a lla m os: C x — ^- = A; ¿ Cz = 2975. y = A-{- h + t fs e n * + C c o s * + l n |sec a ? 4 -t g * |+ sen x ln |co s x |— a: co s x. 2976. y^= = C 1*2* ' K V 3*- 2977. y = C{e-**-\-C2eZx . 2978. y = C\ + C2e * 2979. y = C ^ c o s * + + 0*2 son x. 2980. y = ex (Cl co s x + C 2 sen x ) . 2981. y - r ^ ( C | cos 3* + £ 2 s e íl3 * ). 2982. y = (Ci + C & ) e - * . 2983. y = *** y= ^ + ó y —* = n ch + 2992. 2984. Sí k > 0, s i k < 0 , y = C l co s ~ [/— /c* + £2 sen ~\/~kx. 2985.y — 2 % C 2« 2987. p = 4e* + e « . ^ F + ¿ y “ * / F ). 2 ^ 2986. y = e 2988. j = y = 0. 2993. + lC o s - I + * + C2 s o n L p x ) . 2989. ¡ / - s e n 2 z . y = C sen jur. 2994. 2990. y = l . a) 2991. y ^ xe^x (Ax^ + Ü x + C ) ; b) A c o s 2 r - f # sen 2 x; c ) ^ co s 2 i + 5 s o n 2 x + Cx*e*x ; d ) o * ( /t co s * + 5 s c n x ) ; www.FreeLibros.me Soluciones c) o* { A x * + B x + C ) + xe** ( D x + E)\ 501 í) z & [(A x * + B x + C) co s 2x + + (Dx2-\-Ex-\-F) sen 2*]. 2995. y = (Ci + C2x ) e2 * - f - l - ( 2 x * + 4 s + 3 ) . 2996. y = = e 2 ((? ! cos + C2 so n ± - ^ 2 . j -)-x 3 + 3xz m 2997. y = (Ct + C2x ) e~* + - 1 - 4 - « 2X. 2998. í/ = Cí e:c-l-C 2í « - [ - 2 . 2999. y = Clí;*-|-C 2e - * - f 4 J ¿ 3000. y = s s C j co s x - ^ C 2 s e n x -\ -? x sen x . 3001. y = C\cx -\-C 2 fi~'¿ x — \ (3 sen 2a:-}-cos 2z). 2 j 3002. y « C 1* » + C 1* "3 * + * + - i - co s * + “ 7” 3005. 1 -) 3003. y = (Cl + Czx ) e * + e~X' 3004. y = (2 co s 2 x — son 2x). y = - e x (C^ eos 2 x + CoSOn 2 x ) - { - ^ e x sen 2a*. 3006. 1 + — (sen x + sen 2 x). 3007. 1) x = C x cos co¿ -f- C2 so n col + i/= .c o s 2 x -f- A (J¿ _ _ } p sen Pl < 2) x = = <7jCOs o>¿ + C2 son d>í — - ^ - / c o s c o í . 3008. í/ = C1e;{x+ í 7 2e45C— x c4*. 3009. y = ¿O) = C 1+ C2e « + ^ — 3010. + (72e8)c- | - | - w * * — y * . 3013. 3011. y -C ,+ 3012. ¡/ = C i e-2*-|-C 2e4:i:— i c ^ -j-g (3 eo s 2x-|-sen 2x). y = C-'j-f-C2e -^ + 3015. y = |>= « * ( C 1 + Cí * + a »). + — 5*. 3014. y = <71+ C,2e * — 3 * s * — * — * 2. í-* + | e * 3010. a = (C i eos 3 * + C 2 sen 3*) e* + + i ( s o n 3 s - j - G c o s 3 * ) - | - y . 3017. f / = < C i + C & + x * ) e ™ \ •+- C2<!3* -----— (eos x + 3 sen a:) — -----------. ■ 3018. a = C j + 3019.------ y = eSfc (4a: + i ) — - i ---- — “p + -£ ". 3020. y = £ , e * - f C ,2e~x — x s e n x — c o s x . 3021. y = C V “ 2X + í»2X +• £ -* (sen 2x-|-2 co s 2o:). 3022. y ^ C j co s 2 x + £ 2 sen 2* — 3023. y = í?* (C^ e o s x-|-C 2 sen x — 2 x c o s x ) . + - i - (x*¿ — x) ** 3025. 3026. x 3024. ( 3sen 2x-|-2 co s 2 x )-fy — <7J<?x + Cí<r'x + y — CA c o s 3x -(- C« sen 3 x + - i x sen x — -^ r eos x + + (3* - 1 ) •**. y - C ¡ ¿ * + Ca<rK -t-| - (2 _ 3027. y = Ci + C2e 2 x - 2 x e X - ^ x — 1 * » . 3028. 3x) + ( 2 * 2 - s) <?3*. a = ( C j + C’2í + ) e2x. 3029. a ■= ( V " 3* + Cae*— 4 (2x2 + * ) ff- 3* + 1 . (2x2_¡_3* ) e*. ;ju3ü. y - C¡ cos x + 8 v 1 ' 16 f xX , x2 x . . . 3 ó - f C2 son x + — ccooss xX + H— ¿— sen — 7- co s o3 x + -I- — sen 3x. SCO x X — -T I n d i c a c i ó n. 4 4 o T ran sform ar e l p ro d u cto de cosen os en su m a de cosen os. 3031. y = = Cte ~ x 1 2 -|- C2ex y 2 + x e x sen x 4 - ex cos x. 3032. www.FreeLibros.me y — C í co s x + C2 son x - f -502 S o lu c io n a s + c o s x ln |o tg + |- 3033. y — CiCoa x - f C2 s e u x + s e n ¿ * ln Jtg-^- 3034. y— + ex ~\~xex ln |x |. 3035. y— e~x -{-xe~x ln |x |. 3036. !/ = C l co s * -f-(72 sen x + x son ar-)-eos x Id (e o s x 3037. y = Ci eos x -fsen x — x eos a:-{-sen x ln |sen x |. 3038. n) y = C iex + C 2 e~x -i-(ex -j-e~x ) arctg b) y = Ciex -\-C 2 ¿ ~ xyr* + e xZ. 3040. La ecu ación f ( ' S ’ ) = 2 _ * ( l + 2) (fc= ;',) : r = 2.1 j / | 2 gsen 3 0 / - - 6 0 '\/rg sen ~\/gt T cm . I n d i c a c i ó n . —-~ r2 Si £ — «JUU de Ja p o s ició n do reposo do la carga, del m ov im ien to seg. es 3041. . , z se cuenta a partir — * " = 4 — k ( x 0-\-x — y - l ) , donde x 0 es la distancia desde e l pu nto de rep oso de la carea hasta el p u n to in ic ia l do engauche d el resorte, í es la lo n g itu d del resorte on estado do reposo; por lo cual /c ( s 0— ¿) = 4, p or con sig u ien te, d 2x k ( x — y) , d on d o ¿ = 4, g^=981 cm 2/s o g . 3042. m —^ = k ( b — x ) — I = c eos — ¿ . 3043. G ^ - = gs; ¿ = ] / Ay l n ( 6 + 1 / 3 5 ) . e ~ (0t)y b) r = ~ ¿(ú (e^1 — e~~tít). ren cial dol m ovim ien to e s -^ -£ -= di 2 3045. y = C 1+ C 2^ + ^ 1» Indicación. 3044. <ó-f x ); a) r = La ecu ación di fe - íoV . 3046. V = C x + C2< r « + 3047. !/ = C1e - “ + « 2 ( c 2 c o s _ l ^ _ ;r + C, sen . 3048. y ~= C, + C2x + Csex ^ + C,fi~x v T . 3040. y = ex { C ^ C ^ + C ^ ) . 3050. y = ex (Cj eos x + C2 sen x ) + e~x (C3 eos x-\ -C k sen x ). 305Í. y = (Cj + C'¿x) eos 2 x + ( C ¿ -(- C^x) sen 2x. x _ 3052. y ^ C t + C t f - x + e ^ ( <73 eo s _ * + C4 s o n ) . 3053. ,j = (Cs + C2x ) e~* + (C3 + C,,r) «* 3054. // = 6 ' ^ * -}-J- C3 eos a z C4 sen ax. 3055. y--^(Ci + C2x ) e v T x -i-(C3+ C i x ) e - 3056. í / = C 1 + C2z + + C3 c o s a a r + C 4 s e n a i . 3057. y = C + C 2i + ( C 3+ C 4j ) r * . 3058. !/ = (C , + -|-C22) eos a + (Í7S+ ^ x ) se a i . 3059. » = < r* (<71+ C 2a: + . . . + C nx n~i). 3060. j, = C1 + C'2* + ( c 3+ C 4* + - ^ - ) c * 3061. y =■Ct + C ¿ c + 1 2 x 2 + 3x3 + A. + _^_ xs {C.¿ + C ,,x) e*. 3062. y = C ic * + c ~ Z ^(72 cos J ~ ^ i + C3 sen 3063. y ^ C ¡ - ¡ - C 2x + C3a:2 + C4P -“ (4 eos 4 x - s e n 4 * ) . www.FreeLibros.me 5. 503 Soluciones 3064. y ~ C lé - * + C 9+ C 3z + ^ «s + .-L * « + «* 3065. y = Cie '-x + C2 c o s x + C g s e n x + e * ^ — 3066. . . -J- C% eos x + C3 sen x - f s e c x - f e o s x ln |c o s x |— t g x -s e n x - f x s e n x . 3067. .y = e - x + e 2 ( co s sea i 3068. ^ ( C j - f C o l n x ) — . x ) + x ~ 2* Q -f . 3069. y = C, * 3 X X 3070. = C* co s (2 ln x ) + C2 s e n (2 ln x ), 3071. y = C ix-\-C2x* + C3z*. 3072. y - = C l + C2 ^ x + 2) — ^/3. Q 3073. y = C1x 2H— — . 3074. y = Ci co s (ln x ) -\-C 2 sen ( ln x ). x 3075. y = C’, * 3 - f C2í 2 + I * . 3077. i/ = x ( ! n x - f ln 2 x ). 3076. 3078. ¿- = ( * + 1)* [<7S+ ¿72 ln> ( * + l ) ] + ( * + l ) 3- y = C { c o s x + C 2 sen x , z = * C 2 eos x — C ,s c n x. 3079. y = e r x ( C 1 c o s x + C 2 se n x ), 2 = -i- < r* [(C2— 2Ct) co s x — (C t + 2C2) se n x) . 3080. y = (Cl - C 2- C ix ) e - * * , z ^ (C ,x + C2) <r2X3081 . x = Cê1- f e 2 ^ C 2 e o s — 2 ~~ t + c s 9 °“ — „ - C ..-4 ..-S ( g . - C. . . + . - 5 ( - *) * V C» V T - C° c a £ 0 . T g l , + C» V | - C, , m W ,) . 3082. x = C ie~ l + C 2ei t , y = C3e~ ' + C ^ , z = - (C , + C s) < r‘ + ¿ V 2' • 3083. y = C , + C 2c 2 * - - f x2 + z ) , s - C g í » * — C i + | - (* 2 - * — 1). 3084. j/ = Cs + C2.r 4 - 2 sen a , z = — 2Ct — Cz ( 2x + i ) — %s o n x — 2 c o s x . 3085. y *= (C 2~ 2 C t - 2 C 2x ) e~x — 6 * + 1 4 , s = (C¡ + C2x ) « -* ■ + 5 * — 9; C j= 9 , í ?2 = 4, 3086. y = í 4 ( 1 — e~*) — ¿‘ x (3 + ie~ x ) , z = — 9 (1 — e~x ) + « (5-|-4 e ~ * ) . 8e3 í— e ' + 6í — 1; y = — 20e3< + 8 c 3l + 3eí - f l 2 í + 10. m - T C O b ) ln la e cu a ció n ^ Í - ^ -C ~ í M 8‘. .) J í ± ^ i - C , . a r c tg ^ + C , , — r ~ = = = C2. c ) I n d i c a c i ó n . hom ogénea * — x — y ln V ^ H - í / i = a r c t g — + C i. L u eg o, ^ — , • h a lla m os x+ y u tiliz a n d o p o r c io n e s d e riv a d a s, t e n e m o s — =■ — 2 x ( x — y) la p rop ied a d es y ( x + y) * J + y* * Integrando p rim era las www.FreeLibros.me f - C integral de las pro. De donde 504 S o lu c io n e s ln z = ln ( s 2,|_y2) - { - ] o c 2 y , p o r c o n s ig u ie n te ■_ - = C2\e) * + y + ¿ ^ yx^-j-f/2 + z = 0, £3+ y !¿+ 23 = 6. I n d i c a c i ó n . U tiliz a n d o las propiedades de las p rop orcion es derivadas, tenem os: ■ ^x — = . ^ = - ^ g— — ftyÍ ~ • y—z z—x x—y 0 de donde d x-\ -d y-\ -d z = 0 y , p or co n sig u ie n te , x - ^ y + z ^ C ^ . A n á loga m en te xdx ydy z dz x dx + y dy + z d z . ^ ~ ( y - 7 ) = 7 F = ^ T = T ( 7 - = --------- " ~ Ó ~ -------------; * á* + l ' ^ + * á * = 0 y x 2- h y 2 + z 2 = c 2. Es d e cir, que las curvas in tegrales so n las circu n feren cias £ + 2/ + ¿ = C j, £2 + y2+ 23 = C2. De las co n d icio n e s in ic ia le s x = i 9 y = i t z= s — 2, tendrem os quo 6^ = 0, Cz = 6. 3089. ¡ , = , ( 7 ^ 4 - — lo X (3 In^ ce— 2 ln x ) , í = l _ 2 C l* + ^ | - J - Í ( 3 1 n * * + l n * - l ) . 3090. y = s C iex } ^ + C2 e ~ x ^ + C3 cos 2 + £ 4 sen * + <?x — 2a:, 2= - 3091. V 2 - C2e ~ x V 2 ~ x = (1 — e . . , . Resolución, w f c o s x - ^ sen * - j m ?), dvx y = " p * ( &yo son a + w g) ( 1 — £ . = — kvx \ m co n d icio n e s in icia le s son : a:0 = ^0 = 0 , t = 0. In tegran do, obtenem os: vx — vq c o s a e ftf m , = — kvy — mg yA.o = y0 cos a , Y m k . y = -^ 4 s e n -- — k Ym cióu. d iferen cia les del m¿) — cu an do ^ 0— y0 s e n a kvu -\-m g = (kv0 sen ct+ mg) e onno k , 3092. y = a cos — y— L 1/ni Las ecuaciones «*+ *. , las cu an do - — t m * 2 , ¡z2y2 • r i ■ —^ - + ----- — = t . Indica*¿ mvl d^x m o v im ie n to son : rn - •••-■ = — h2x\ d i2 3093. y = ~ 2 — 2 * — **. 3094. » , = ( ¡ , 0 + j ) eW - i.- .íi+ í . 3095. 3090. . 4 » - ^2 ¿^3 ^4 3097. {/ = ar + r - ^ + - - 5 + 5- T + l a 1 •Z Z - o o -4 serie es con verg en te cu an do — i < a ? ,,vcrKon te cuandü — < x > < + < + c o . I n d i c a c i ó n . E m pléese el p roced im ien to de los c o e fi cien tes in determ inados. www.FreeLibros.me Soluciones 3099. y = l — oí * 3 + ^ r r z * — * 'o V ' o! 9! — c o < x < - f e o . 3100. y = » - ^ I L Í . . 505 - * *» *a 3er*e 03 con vergen te cuando Indicación. Em pléese el m étodo jj2 do lo s c o e fic ie n te s in determ inados. 3101. ¿f = l — 55"^ 22T42 ~~22-42 - 62 la serie es con verg en te cuando |x |< -|-co. m étod o de lo s co e ficie n te s indeterm inados. 3102 • x ~ a { í ¿I ,S ' t' 4 ! <4 3103. u = A c o s sen . Indicación. co U tiliz a r las co n d icio n e s : , - ° U^ ¡ ^ = 0. - Y SonL V • Il,d' CaCl6n' ( 2 / c - f- 1 ) Tíat 1 3104. fe—o las Em pléeso el 6! í G + 8 ! ,8 u ( 0 , /) = 0, u { ¿ , t) = 0, « ( r , 0 ) = A sen U tiliz a r Indicación. ’ (2 / í •|~1) j c j r co n d icio n e s: u (0, i) = 0 f u (I, f ) = 0» ti ( x t 0) = 0, , d U ^ = 1. oo , in . 3105. 8/¿ 1 n.i rcrcaf /in.r u = —r —5- s e n - r — c o s — ?— s e n — — . ji2 n2 2 ¿ l n=l las co n d icio n e s: * / r . x Indicación. í 2h* a " T " Para 0 < X m dt i u« i ; U tilizar •1 T » ) 2A ( 1 — |-) para -g- < ¡r < í. OO 3106. u= ^ i 'l/* cos ^ — - sen ^ ^— , donde los coeficien tes An = n= 0 2 ? x (2n+l)«x, = — \ — sen dx — 1)1 ¿i 8 ( — l ) r* 1 , 77? ■>• (2tf + l)-Jta . . . . , Indicación. U tiliza r , las o 1- • /f» a Ouil, t) x d u ( x y 0) co n d icio n e s: « ( 0, t ) = 0, ------— —= 0 , u (x, 0) = -¿- , --------- ^ — — = 0. oj „ . A400 3107. “ = “ 3- 1 — c o s » ji ) s e n — e aS7i3n2í 1003 f . . . . • Indicación. U tili- 71=1 zar las co n d icio n e s: u (0 , í ) = ^ « w ( 100, / ) ^ 0 , u ( x , 0 ) = 0,01 x (100 — x). Capítulo X 3108. a) < 1" ; < 0 ,0 0 2 3 % ; 1)) < 1 ram; < 0 , 2 6 % ; c ) < 1 g ; < 0 ,0 0 1 6 % . 3109. a) < 0 , 0 5 ; < 0 ,0 2 1 % ; b) < 0 ,0 0 0 5 ; < 1 , 4 5 % ; c ) < 0 ,0 0 5 ; < 0 ,1 0 % . 3110. a) 2 c ifra s ; 48-103 ó 4!M Ü3, y a que el núm ero está com prendido entre 47 877 y 48 845; b) 2 c ifra s ; 15; c ) 1 c ifr a ; 6 -1 0 2. P rácticam ente, el resultado dobo escrib irse en la form a (5,9 ¿ 0 ,1 )-1 0 2. 3111. a) 29,5; b ) 1 ,0 -10a; c ) 43,2. 3112. a) 84,2; b ) 18,5 ó 18,47 ± 0 , 0 1 ; c ) el resu ltado del cá lc u lo no tieno c ifr a s ex a cta s, ya que la diferen cia es ig u a l a una centésim a y el valor www.FreeLibros.me S o lu c io n e s p osib le del error absolu to tam bién es una centésim a. 3113*. 1,8 ± 0 , 3 cm 2' I n d i c a c i ó n . U tiliza r la fórm u la del increm ento d e l área del cuadrado. 3114. a) 30,0 ± 0 , 2 ; b ) 43,7 ± 0 , 1 ; c ) 0,3 ± 0 , 1 . 3115. 19,9 ± 0 , 1 m 2. 3116. a) 1,1295 ± 0,0002; b) 0,120 ± 0,006-; c ) el co cie n te puede o s c ila r entre 48 y 62. P o r con sig u ien te, on la n ota ción dol cocien te n o puede considerarse exacta ninguna cifra d ecim a l. 3117. 0,480. La ú ltim a c ifr a puede o s c ila r en una unidad. 3118. a) 0,1729; b) 277-103; c) 2. 3119. (2,05 ± 0 ,01). 10^ e r a l 3120. a) 1,618; b) 4,025 ± 0 ,0 0 1 ; c ) 9,006 ± 0,003. 3121. 4,01-103 cm 2. El error absoluto es 6,5 cm 2. El error r e la tiv o 0 ,1 6 % . 3122. E l cateto os ig u a l a 1 3 ,8 + 0 ,2 cm ; son a = 0,44 ± 0,01; a = 2601 5 ' ± 3 5 '. 3123. 2 ,7 ± 0 1 . 3124. 0,27 am perios. 3125. La lon gitu d del péndulo debe m edirse con e x a c titud do basta 0,3 cm ; los núm eros n y q deben tom arse con tres cifras (segú n e l p rin cip o de las in flu en cia s igu ales). 3126. Los radios y la gene ratriz deben m odirso co n error relativ o do 1/300. El núm ero jx debe tomarse con tres cifra s (según el p r in c ip io de las in flu en cia s ig u a les). 3127. La m agnitud l debe m edirse co n p recisión del 0 ,2 % y s, co n p recisión del 0,7% (según e l p r in cip io do las in flu en cias ig u a les). 3128. X y Ay A2*/ A zy A *y A5y 1 3 7 — 2 -0 14 — 23 2 .10 5 — 8 8 —9 3 15 - 3 4 12 —3 5 9 -4 6 5 0 -1 - 1 3129. X y Ay A2y A 1 -4 — 12 32 48 3 -1 6 20 80 48 5 4 100 128 48 7 104 228 176 9 332 404 11 736 www.FreeLibros.me 507 Soluciones 3130. I n d i c a c i ó n . C a lcu la r los prim eros c in c o valores do y y , una vez o b te n id o A 4í/ 0 — 24, rep etir esto núm ero 24 p or tod a la colum na do las cuartas d iferen cia s. D espués do osto, la parto róstante de la tabla se liona m ediante op eracion es de suma (avanzando do derecha a izquierda). 3131. a) 0,211; 0,389; 0,490; 0,660; b) 0,229; 0,399; 0,491; 0,664. 3132, 0,1822; 0,1993; 0,2165; '0,2334; 0,2503. 3133. 1 - f z - f a S + i S . 3134. y = 1 + — + x3 4 . 22 cuando ^ = 5,5; y = 20 cu an do x ^ o ,2. I n d i c a c i ó n . A l c a lc u la r a para y = 20 tom ar í/ 0 — 11. 3135. El p o lin o m io de inter p o la ció n es y = x 2— 1 0 * + 1; y — 1 cu an do x = 0. 3136. 153 k g f (aproxim adam en te). 3137. a) y ( 0 , 5 ) = — 1; y (2 ) = l l ; b ) y (0,5) = - - , y ( 2 ) = - 3. 3138. - 1 , 3 2 5 . 3139. 1,01. 3140. — 1,86; — 0,25; 2,11. 3141. 2,09. 3142. 2,45; 0,019. 3143. 0,31; 4. 3144. 2,506. 3145. 0,02. 3146, 0,24. 3147. 1,27. 3148. - 1 , 8 8 ; 0,35; 1,53. 3149. 1,84. 3150. 1,31; - 0 , 6 7 . 3 1 5 1 .7 ,1 3 . 3152. 0,165. 3153- ± 1 , 7 3 y 0. 3154. 1,72. 3155. 1,38. 3156. x = 0,83; y = 0,56; z = - 0 , 8 3 ; y - — 0,56. 3157. 3 = 1,67; y = 1 ,2 2 . 3158. 4,493. 3159. ± 1,1997. 3160. Por la fó rm u la de lo s tra p ecios, 11,625; por la fórm u la de Sim pson, 11,417. 3161, — 0.995: — 1; 0,005; 0 ,5 % ; A = 0,005. 3162. 0,3068; A = l,3 -1 0 -A 3163. 0,69. 3164. 0,79. 3165. 0,84. 3166. 0,28. 3167. 0,10. 3168. 1,61. 3169. 1,85. 3170. 0,09. 3171. 0,07. 3172. 0,75. 3173. 0,79. 3174. 4,93. 3175. 1,29. I n d i - www.FreeLibros.me 508 S o lu c io n e s c a e i ó n. U t i l i z a r la s e c u a c i o n e s p a r a m é t r ic a s de la e l i p s e z — c o s t, p = 0 ,6 2 2 2 s o n t y t r a n s f o r m a r la f ó r m u l a d e l a l o n g i t u d d e l a r c o a l a f o r m a n 2 P • • \ 1 / 1 — e2 eos2 t ‘ dtf donde e es la excen tricida d de la e lip se . 3176. X't (x)— y T o y 2 W = x + S ,? 3 W = í M * ) = + + / r ------z + l , + ‘& + l ü S ' + - M = " - 3177- » í ( * ) = t ~ + x :i z.¿ ( x ) — - g 7x¿ 2 j 2- t 3 z — 2, s3 (a;) = —— — 2a:2+ 3 j — 2. 3178. = *— ¡,3 ( * ) = * — y - + - ¿ g p 3179. y (1) = 3,36. x + 1' Zi ( x ) = 3 x — 2, ( « ) = * , i/2(^ ) = 3180. í/ ( 2 ) = 0,80. 3181. <f(l) = 3,72; z ( l ) = 2,72. 3182. y = l , 8 0 . 3183. 3,15. 3184. 0,14. 3185. y (0,5) = 3 ,1 5 ; a (0,5) = — 3,15. 3186. y (0,5) = 0,55; z (0,5) = — 0,18. 3187. 1,16. 3188. 0,87. 3189. z ( n ) = 3 , 5 8 ; x ' (it) = 0,79. 3190. 429 + 1739 eos a-— — 1037 sen x — 0321 cos 2a: + 1 2 6 3 sen 2a:— 1242 cos 3a;— 33 sen 3a:. 3191. 6,49— — 1,90 eos a: + 2,14 son a: — 1,68 co s 2x 4 - 0,53 son 2a: — 1,13 co s 3a: + 0 ,0 4 sen 3a;. 3192. 0,960 + 0,851 c o s x + 0,915 son a ;+ 0 ,5 4 2 co s 2 x + 0 ,6 2 0 sen 2a:+0,271 co s 3a:+ + 0,100 son 3a:. 3193. a) 0,608 sen a ; + 0 , 076 sen 2a;+ 0,022 sen 3<r; b) 0,338 + + 0 ,4 1 4 cos x + 0 ,1 1 1 cos 2a; + 0,056 cos ‘S xm www.FreeLibros.me A P E N D IC E S I, Alfabeto griego Au. — A lfa ITrj— Eta 6 0 — Teta Ti— Iota K x — Kappa B p — Beta T y — Gamma Afi — D e lta E e — E p silon Z£ — D zeta A X — Lam bda Mfi— Mu N v — Nu T x — Tau T v — Y p silo n 4><p— Fi S g -X i O o — O m icron n jt-P i Pp — Ro X x -J i Psi Qto — Om ega 2 a — Sigrna II. Constantes de uso frecuente Magnitud a: 1** Magnitud n 3,14169 0,28318 0,49715 0,79818 1,57080 0,19612 1 € C* 2n jí 2 0,78540 1,89509 JL 0,31831 1,50285 T ,56571 7,38906 0,86859 r 1,64872 0,21715 »/— y e 1,39561 0,14476 M = ig e 0,43429 1,63778 Jl2 9,86960 0,99430 — = ln lO 2,30258 0,36222 1,77245 0,24857 1 radián are 1° 5 7°17/45" 0,01745 9,81 1,46459 0,16572 0,43429 2,24188 0,99167 4 Jü 3/----yT 31 * . 2,71828 *6 0,36788 y ji X € A £ www.FreeLibros.me 40 I * X* *3 X V x V io* f * y iu* 1 III, Valores Inversos, potencias, ralees y logaritmos lg a: (man tisas) ln :* 4 4,0 1,4 1,2 1,3 1,4 1,000 7 0,909 0,833 0,769 0,714 1,000 1,210 1,440 1,690 1,960 1,000 1,331 1,728 2,197 2,744 1,000 1,049 1,095 1,140 1,183 3,162 3,317 3,464 3,606 3,742 1,000 1,032 1,063 1,091 1,419 2,154 2,224 2,289 2,351 2,410 4,642 4,791 4,932 5,006 5,192 0000 0414 0792 1139 1461 0,0000 0,0953 0,1823 0,2624 0,3365 1,5 1,6 y 1,7 4,8 4.9 0,667 0,625 0,588 0,556 0,526 2,250 2,560 2,890 3,240 3,610 3,375 4,096 4,913 5,832 6,859 1,225 1,265 1,304 1,342 1,378 3,873 4,000 4,123 4,243 4,359 1,145 1,170 1,193 1,210 1,239 2,466 2,520 2,571 2,621 2,668 5,313 1761 5,429 2041 5,540 2304 5,646 • 2553 5,749 2788 0,4055 0,4700 0,5306 0,5878 0,6419 2,0 2.4 2,2 * 2,3 2.4 0,500 0,476 0,454 0,435 * • 0,417 4,000 4,410 4,840 5,290 5,760 8,000 9,261 10,65 12,17 13,82 1,414 1,449 1,483 1,517 1,549 4,472 4,583 4,690 4,796 4,899 1,260 1,28.1 1,301 1,320 1,339 2,714 2,759 2,802 2,844 2,884 5,848 5,944 6,037 6,127 6,244 30 l0 3222 3424 3617 3802 0,6931 0,7419 0,7885 0,8329 0,8755 2,5 2,0 "2,7 2,8 2,9 0,400 0,385 0,370 0,357 0,345 6,250 6,760 7,290 7.840 8,410 15,62 17,58 19,68 21,95 24,39 1,581 1,612 1,643 1,073 1,703 5,000 5,099 5,196 5,292 5,385 1,357 1,373 1,392 1,409 1,426 2,924 2,962 3,000 3,037 3,072 6,300 6,383 6,463 6,542 6,619 3979 4150 4314 4472 4624 0,0163 0,9555 0,9933 1,0296 1,0647 3,0 3,1 y 9 3,2 3,3 3,4 0.333 0,323 * 0,312 0.303 0,294 27,00 29,79 52,77 35,94 39,30 1,732 1,761 1,789 1,817 1,844 5,477 5,568 5,657 5,745 5,831 1,442 1,458 1,474 1,489 1,504 3,107 3,Í41 3,175 3,208 3,240 6,094 6,768 6,840 6.910 6,980 4771 4914 5051 5185 5315 1,0986 ¡ 1,1314 1,1632 1,1939 1,2238 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 0,286 0,278 0.270 0,263 0,256 9,000 9,610 10,24 10,89 11,56 12,25 12.96 13,69 14,44 45,21 42,88 46,66 50,65 54,87 59,32 1,871 1,897 1,924 1,949 1,975 5,916 6,000 6,083 0.164 6,245 1,518 1,533 1,547 1,560 1.574 3,271 3,302 3,332 3,362 3,391 7,047 7,114 7,179 7,243 7,306 5441 5563 5082 5798 5911 1,2528 1,2809 1,3083 ; 1,3350 : 1.3610 4 .0 4,1 r 4.2 4,3 4,4 0,250 0,244 0,238 0,233 0,227 16,00 16,81 17,64 18,49 19,36 64.00 68,92 74,09 79,51 85,18 2,000 2,025 2,049 2,074 2,098 6,325 6,403 6,481 6,557 6,633 1,587 1,601 1,613 1,626 1,639 3,420 3,448 3,476 3,503 3,530 7,368 7,429 7,489 7,548 7,606 6021 6128 6232 6335 6435 1,3863 1,4110 ; 1,4351 1,4586 1,4816 ? 4 ,5 4,6 4,7 ir 4,8 4,9 0,222 0,217 0,213 0,208 0,204 20,25 21,16 22,09 23,04 24,01 91,12 97,34 103,8 110,6 117,6 2,121 2,14 b' 2,168 2,191 2,214 6,708 6,782 0,85G 6,928 7,000 1,651 1,663 1,675 1,687 1,698 3,557 3,583 3,609 3,634 3,659 7,663 7,719 7,775 7,830 7,884 6532 GG28 6721 6812 6902 1,5041 1,5261 1,5476 1,5686 1,5892 5,0 5,1 5,2 5 3 5,4 0,200 0.196 0,192 0,189 0,185 25,00 26,01 27,04 28,09 29,16 125,0 132,7 140,6 148,9 157,5 2,236 2,258 2,280 2.302 2,324 7,071 7,141 7,211 7,280 7,348 1,710 1,721 1,732 1,744 1,754 3,684 3,708 3,733 3,756 3,780 7,937 7,990 8,041 8,093 8,143 6990 7076 7160 7243 7324 1,6094 1,6292 1,6487 1,6677 1,6864 : t v * v 1r« * t T ^ r ) * w 7 ■ 7 www.FreeLibros.me 51L C o n t in u a c ió n % • X • 7* X* 5 ,5 0 ,1 8 2 3 0 ,2 5 166,4 5 ,6 0,179 3 1 ,3 6 175,6 5 ,7 0,475 32,49 185,2 5 ,8 0,472 33,64 195,1 5 ,9 0,169 34,81 205,4 6 ,0 0,167 3 6 .0 0 216,0 6 ,1 0 ,164 37,21 227,0 6 ,2 0,161 38,44 238,3 6 ,3 0 ,159 3 9 ,6 9 250,0 .6 ,4 0 ,156 4 0,96 262,1 6 ,5 0 ,154 42,25 274,6 6 ,6 0,151 43,56 287,5 6 ,7 0 ,1 4 9 4 4,89 3 00,8 6 ,8 0,147 4 6 ,2 4 314,4 6 ,9 0 ,1 4 5 47,61 328,5 7 ,0 0,143 4 9 ,0 0 3 43,0 7,1 0,141 50,41 357,9 7 ,2 0,139 51,84 3 73,2 7 ,3 0,137 53,29 389,0 7 ,4 0 ,1 3 3 5 4 ,7 6 4 0 5 ,2 7 ,5 0,133 5 6 ,2 5 4 2 1 ,9 7 ,6 0,132, 57,76 439,0 7 ,7 0,130 5 9 ,2 9 456,5 7 ,8 0,128 G0,84 474,6 7 ,9 0,127 62,41 493,0 8 ,0 0,125 6 4 ,0 0 512,0 8,1 0,123 65,61 531,4 8 ,2 0,122 6 7 ,2 4 551,4 8 ,3 0,120 6 8 ,8 9 571,8 8 ,4 0,119 70,56 592,7 8 ,5 0,118 72,25 614,1 8 ,6 0,116 73,96 630,1 8 ,7 0,115 75,69 658,5 8 ,8 0 ,1 1 4 7 7 ,4 4 681,5 8 ,9 0,112 79,21 705,0 9 ,0 0.111 81,(30 729,0 9,1 0 ,1 1 0 82,81 753,6 9 ,2 0 ,1 0 9 8 4 ,6 4 778,7 9 ,3 0,108 86,49 804,4 9 ,4 0,106 8 8 ,3 6 830,6 9 ,5 0 ,1 0 5 90,25 857,4 9 ,6 0 ,1 0 4 92,16 884.7 9 ,7 0 ,1 0 3 9 4 ,0 9 912,7 9 ,8 0,102 96,04 941,2 9 ,9 0,101 .98,01 970,3 10,0 0,100 100,00 1000,0 V? ’ \ / l0 x 2,345 7,416 2,366 7,483 2,387 7,550 2,408 7,616 2,429 7,681 2,449 7,746 2 ,4 7 0 7,810 2 ,4 9 0 7,874 2,510 7,937 2 ,5 3 0 8,000 2,550 8,002 2,569 8,124 2,588 8 ,185 2,608 8,246 2,627 8,307 2,646 8,367 2,665 8,426 2,683 8,485 2,702 8,544 2 ,7 2 0 8,602 2 ,7 3 9 8,660 2,757 8,718 2,775 8,775 2,793 8,832 2,811 8,888 2 ,8 2 8 8,944 2,846 9,000 2 ,8 0 4 9,055 2,881 9,110 2,898 9,165 2,915 9,220 2 ,9 3 3 9,274 2,950 9,327 2 ,9 6 6 9,381 2 ,9 8 3 9,434 3 ,0 0 0 .9,487 3,017 9,539 3,033 9,592 3,050 9,644 3,066 9,695 3,082 9,747 3,098 9,798 3 ,1 1 4 9,849 3,130 9,899 3,146 9,950 3,162 10,000 f* • fio * f ío S * lg * (m an tisas) 1,765 1,776 1,786 1,797 1,807 3,803 3,826 3,849 3,871 3,893 3,915 3,936 3,958 3,979 4,000 4,021 4,041 4 ,062 4,082 4,102 4,121 4,141 4,160 4,179 4,198 4,217 4,236 4,254 4,273 4,291 4,309 4,327 4,344 4,362 4,380 4,397 4,414 4,431 4,448 4,465 8 ,1 9 3 8 ,2 4 3 8,291 8,340 8,387 8,434 8,481 8,527 8,573 8 ,6 1 8 8 ,6 6 2 8,707 8,750 8,794 8,837 8 ,8 7 9 8,921 8 ,9 6 3 9,004 9,045 9,086 9,126 9,166 9,205 9 ,2 4 4 ' 9,283 9,322 9,360 9,308 9,435 9,473 9,510 9,546 9 ,5 8 3 9,619 9,655 9,691 9,726 9,761 9,796 7404 7482 7559 7634 770.9 7782 7853 7924 7993 8062 8129 8195 8261 8325 8388 8451 8513 8573 8033 8692 8751 8808 8865 8921 8976 9031 9085 9138 9194 9243 9294 9345 9395 9445 9494 9542 9590 9638 9685 9731 2.1972 2,2083 2,2192 2,2300 2,2407 4,563 9,830 4,579 9,865 4,595 9,899 4,610 9,933 4 ,6 2 6 : 9,967 4,642 40,000 9777 9823 9868 9912 9956 2,2513 2,2018 2,2721 2,2824 2,2925 0000 2,3026 1,817 1,827 1,837 1,847 1,857 1,866 1,876 1,885 1,895 1,904 1 ,913 1,922 1,931 1,940 1,949 1,957 1,966 1,975 1,983 1,992 2 ,0 0 0 2,008 2,017 2,025 2,033 2,041 2,049 2,057 2,065 2,072 2 ,080 2,088 2,095 2,103 2,110 2,118 2 ,125 2,133 2,140 2 ,1 4 7 2,154 4,481 4,498 4,514 4,531 4,547 www.FreeLibros.me ln * 1,7047 1,7228 1,7405 1,7579 1,7750 1,7918 1,8083 1,8245 1,8405 4,8563 1,8718 1,8871 1,9021 1,9169 1,9315 1,9459 1,9601 1,9741 1,9879 2,0015 2,0149 2,0281 2,0412 2,0541 2,0669 2,0794 2,0919 2,1041 2,1163 2,1282 2,1401 2,1518 2,1633 2,1748 2,1864 512 IV, Funciones trigonom étricas Xo X (radian es) son x tg I ctg * COS X 0 i 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 44 42 43 44 45 0,0000 0,0175 0,0349 0,0524 0,0698 0,0873 0,1047 0,1222 0,1396 0,1571 0,1745 0 ,1 9 2 0 0,2094 0,2269 0,2443 0,2618 0,2793 0,2967 0 ,3 1 4 2 0,3310 0,3491 0,3665 0,3840 0,4014 0,4189 0,4363 0,4538 0,4712 0,4887 0,5001 0,5236 0,5411 0,5585 0,5760 0,5934 0,6109 0 ,6 2 8 3 0,6458 0,6632 0,6807 0,6981 0,7156 0,7330 0,7505 0 ,7 6 7 9 0 ,7 8 5 4 0,0000 0,0175 0,0349 0,0523 0,0698 0 ,0 8 7 2 0,1045 0,1219 0,1392 0,1564 0 ,1 7 3 6 0 ,1 9 0 8 0,2079 0,2250 0,2419 0,2588 0 ,2756 0 ,2 9 2 4 0,3090 0,3256 0,3420 0,3584 0,3746 0,3907 0,4067 0 ,4 2 2 6 0,4384 0,4540 0,4695 0,4848 0 ,5 0 0 0 0 ,5 1 5 0 0 ,5 2 9 9 0,5446 0,5592 0,5736 0,5878 0 ,6 0 1 8 0,0157 0,6293 0 ,6428 0,6561 0,6691 0,6820 0 ,6947 0,7071 0,0000 0,0175 0,0349 0,0524 0 ,0 6 9 9 0,0875 0,1051 0,1228 0,1405 0,1584 0,1763 0,1944 0,2126 0,2309 0,2493 0,2679 0 ,2 8 6 7 0,3057 0,3249 0,3443 0,3640 0,3839 0,4040 0,4245 0,4452 0,4663 0,4877 0,5095 0,5317 0,5543 0 ,5 7 7 4 0,6009 0,6249 0,6494 0,6745 0,7002 0,7265 0,7536 0 ,7 8 1 3 0,8098 0,8391 0,8693 0,9004 0 ,9 3 2 5 0 ,9 6 5 7 1,0000 co 5 7 ,2 9 28,64 19,08 14,30 11,43 9 ,5 1 4 8 ,1 4 4 7,115 6 ,3 1 4 5,671 5 ,145 4 ,7 0 5 4,331 4,011 3,732 3 ,487 3,271 3 ,0 7 8 2,904 2,747 2,605 2,475 2 ,3 5 6 2 ,2 4 6 2 ,1 4 5 2 ,0 5 0 1,963 1,881 1,804 1,732 1,6643 1,6003 1,5399 1,4826 1,4281 1,3764 1,3270 1,2799 1,2349 1,1918 1,1504 1,1106 1,0724 1,0355 1,0000 1,0000 0,9998 0 ,9 9 9 4 0 ,9 9 8 6 0 ,9 9 7 6 0,9962 0,9945 0,9925 0,9903 0 ,9 8 7 7 0 ,9 8 4 8 0 ,9 8 1 6 0,9781 0,9744 0,9703 0 ,9 6 5 9 0 ,9 6 1 3 0 ,9 5 6 3 0,9511 0 ,9 4 5 5 0,9397 0,9330 0 ,9 2 7 2 0 ,9 2 0 5 0 ,9 1 3 5 0 ,9 0 6 3 0 ,8 9 8 8 0 ,8 9 1 0 0,8829 0 ,8 7 4 6 0 ,8 6 6 0 0 ,8 5 7 2 0,8480 0,8387 0,8290 0,8192 0 ,8 0 9 0 0 ,7 9 8 6 0,7880 0,7771 0 ,7 6 6 0 0,7547 0,7431 0 ,7 3 1 4 0 ,7 1 9 3 0,7071 1,5708 1,5533 1,5359 1,5184 1,5010 1,4835 1,4661 1,4486 1,4312 1,4137 1,39G3 4,3788 1,3614 1,3439 1,3265 1,3090 1,2915 1,2741 1,2566 1,2392 1,2217 1,2043 1,1868 1,1694 1,1519 1,1345 1,1170 1,0996 1,0821 1,0647 1,0472 1,0297 1,0123 0,9948 0 ,9 7 7 4 0 ,9 5 9 9 0 ,9 4 2 5 0 ,9 2 5 0 0,9076 0,8901 0,8727 0,8552 0,8378 0 ,8 2 0 3 0 ,8 0 2 9 0,7854 90 89 88 87 86 85 84 83 82 81 80 79 78 77 76 75 74 73 72 71 70 69 68 67 66 65 04 63 62 61 60 59 58 57 56 55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 COS X ctg x tg X sen x X (ra d ia n es) Xo www.FreeLibros.me 513 V. Funciones exponenciales,»-hiperbólicas y trigonométricas X e* 0 ,0 1,0000 1,1052 1,2214 1,3499 sh x ch x th x son x COS X 1,0000 0 ,9 0 4 8 0 ,0 0 0 0 0 ,1 0 0 2 1,0000 0,0000 0,0000 0 ,0 9 9 7 0 ,2 0 1 3 0,3045 0,4108 1,0050 1,0201 1,0453 1,0811 0,0998 0,1987 1,0000 0,9950 0,9801 0,9553 0,9211 0 ,1 0 ,2 0 ,3 0 ,4 1,4918 0 ,8 1 8 7 0 ,7 4 0 8 0 ,6 7 0 3 0 ,5 0,(5 0 ,7 0 ,8 0 ,9 1,6487 1,822-1 2,0138 2 ,2 2 5 5 2 ,4 5 9 6 0 ,6 0 6 5 0,5488 0 ,4 9 6 6 0 ,4 4 9 3 0 ,4 0 6 6 0,5211 0,0367 0 ,7 5 8 6 0,8881 1,2552 1,3374 1,0265 1,4331 1 ,0 2,7183 3,0042 0 ,3 6 7 9 0 ,3 3 2 9 1,5431 3,3201 3,6693 0 ,3 0 1 2 0 ,2 7 2 5 4 ,0 5 5 2 0,2466 1,1752 1,3356 1,5095 1,6984 1,9043 1 , G685 1,8107 1,0709 2,1509 4 ,4 8 1 7 0,2231 2,1293 2,3524 4 ,9 5 3 0 5,4739 6,0496 6,6859 0 ,2 0 1 9 0 ,1 8 2 7 0,1653 0,1496 2 ,3 7 5 6 •2,6456 2,9422 2,5775 2 ,8 2 8 3 2 ,0 2 ,1 2 ,2 2 ,3 7,3891 8,-1662 0,-1353 0 ,1 2 2 5 0 ,1 1 0 8 ' 3,6269 4,0219 4,4571 4,9370 2 ,4 11,0232 2 ,5 12,1825 13,4637 14,8797 16,4446 18,1741 0,0821 0 ,0 7 4 3 0 ,0 6 7 2 0 ,0 6 0 8 2 0,0855 22,1979 24,5325 2 7,1126 0,0498 0,0450 0 ,0 4 0 8 1 ,1 1 ,2 1 ,3 1 ,4 1 ,5 1 ,6 1 ,7 1 ,8 1 ,9 2 ,6 2 ,7 2 ,8 2 ,9 3 ,0 3 ,1 3 ,2 3 ,3 3 ,4 3 ,5 1,1276 1,1555 0,4621 0 ,5 3 7 0 0 ,6 0 4 4 0 ,6 6 4 0 0 ,7163 0,7616 0 ,8 0 0 5 0 ,8 3 3 7 0 ,8 6 1 7 0 ,8 8 5 4 0,9051 0,9217 0 ,9 3 5 4 0 ,9 4 6 8 0,2955 0 ,3 8 9 4 0,4794 0,5646 0,6442 0,7174 0 ,7 8 3 3 0 ,8 4 1 5 0,8912 0 ,9320 0,9636 0,9854 0 ,9975 0 ,9 9 9 6 0,9917 0,8776 0,8253 0,7648 0,6967 0,6216 0 ,5 4 0 3 0,4536 0 ,3624 0,2675 0,1700 0,0707 - 0 ,0 2 9 2 — 0 ,1 2 8 8 - 0 ,2 2 7 2 0 ,9 5 6 2 0,9738 0*9463 3,7622 4,1443 4 ,5 6 7 9 0 ,9040 0 ,9704 0 ,9757 0,0093 0 ,8 6 3 2 0,8085 - 0 ,4 1 6 1 -0 ,5 0 4 8 - 0 ,5 8 8 5 5,0372 5,5569 0,9801 0 ,9837 0,7457 0,6755 - 0 ,6 6 6 3 6 ,1 3 2 3 6,7690 7,4735 0 ,9 8 6 6 0,5985 0,5155 - 0 ,8 0 1 1 — 0,8569 8,2527 9,1146 . 0,9926 0 ,9 9 4 0 0 ,4 2 7 4 0 ,3 3 5 0 0,2392 - 0 ,9 0 4 1 - 0 ,9 4 2 2 - 0 ,9 7 1 0 1 0,0179 11,0764 10,0677 11,1215 0 ,9 9 5 0 - 0 ,9 9 0 0 - 0 ,9 9 9 1 29,9641 0 ,0 3 6 9 0 ,0 3 3 4 12,2459 13,5379 14,9654 12,2366 13,5748 14,9987 0 ,9 9 5 9 0,9967 0 ,9 9 7 3 0,9978 0,1411 0,041G — 0 ,0 5 8 4 —0 ,1 5 7 7 — 0,2555 3 3,1154 0 ,0 3 0 2 1 0,5426 16,5728 0,9982 - 0 ,3 5 0 8 - 0 ,9 3 6 5 9 ,0 2 5 0 9,9742 0 ,1 0 0 3 0 ,0 9 0 7 0 ,0 5 5 0 3,2632 5 ,4 6 6 2 0 ,0502 6,6947 7,4063 8,1919 9 ,0 5 9 6 3,1075 3,4177 0 ,1 9 7 4 0,2913 0,3799 0,9890 0,9910 33-1016 www.FreeLibros.me - 0 ,3 2 3 3 - 0 ,7 3 7 4 - 0 ,9 9 8 3 - 0 ,9 8 7 5 - 0 ,9 6 6 8 514 VI. Curvas (para consulta) 4. Parábola y=xK 2. P arábola cúbica y = 3? 4. G ráfica de la fu n ción fraccionaria 1 y= 2 ’ 1 * = - y= í - \ - X ' X 6. Parábola (ram a su perior) 7. Parábola cúbica y = y i. y= V ~ x. www.FreeLibros.me 515 8a. Parábola de N oil 9. S in u soid e y co sin u so ld o y ^ .scn x o y=-cosx. 10. T a n g cn toid o y contangentoid© y = t g * c y = c t g x. www.FreeLibros.me 41. G rá fica de las fu n cion es y = gecz e y = cosccs. 12. G ráfica do las fu n cion es trig on om étrica s y = A r c s o n x e y = A rceos x. www.FreeLibros.me inversas 517 13. G rá fica de la s fu n c io n e s tr ig o n o m é tr ic o s inversas y = A r c tg x e y = A rcctg x. 14. G rá fica <lo la s fu n c io n e s ox p on en cia les y — e x o y — e - x. www.FreeLibros.me 51S 15. Curva loga rítm ica 1(>. Curva do Gauss ir— la x. 17. Gráfica lt = de las fun ciones ex — e~x y —sh * = — g e y — ch x = h iperbólicas ex -r-e~x ------ (catenaria). 18. G ráfica de las fun ciones h ip erb ólica s ex— e-x y = th x = «■— — — e ex + e ~ * í/ = cth x = www.FreeLibros.me ex + e~* ex — e~x 51 y 20. H ipérbola 19. E lipse *2 = a e o s t, b sen t . x2 y 2_ 2 a2 ¿2 “ a cht. J{ xx == < , 0 \ y = b s i) í. (para la rama derecha). 21. Parábola 22. F o liu m de D escartes y~ = 2 p x . x 3 +• £** — 3 a a :// = 0 3aí 23. C iso id o do D io c le s .r‘ í/2 ü— X al2 Z _ T + Í 3 '’ 3ní2 a í3 * = T F ir U www.FreeLibros.me 1 + /2 5¿0 25. L em n iscata de B ernoulJi 1/2) 2 = d% = o eo s 2<p. a -\ -x Q— x 26. C ic lo id e x = a (t — sen /), { y = ia (1 — c o s 0 - 27. H ip o c ic lo id e (a stro íd e ) ( 3; = a COS3 ( ¿/ — a s e n 3 E v olv on to (d e s a rro llo ) d o la circu n fe re n cia /•= a (1 + c o s ip). ( x = a (eos f + £ son 0» 1 y = a (sen t — t c o s t). www.FreeLibros.me 521 r = acp ( r > 0 ) . r -i(r > 0 ). 33. R osa de tres p étalos r = a son 3cp (r ^ 0). 34. R osa de cu a tro p é ta lo s r — a ( s e a 2(p |. www.FreeLibros.me I NDI CE Prólogo . . . . 5 § § § i . C oncepto de f u n c i ó n ......................................................................................... 2. Representación gráfica de las fun ciones e le m e u t a le s .......................... 3. Lím ites ............................................................................................................... 7 13 19 § § 4. Infinitésim os e i n f i n i t o s ................................................................................ 5. C ontinuidad de las f u n c i o n e s ...................................... 31 34 Capítulo I. Introducción al análisis Capitulo / / , § § § § § § § % ^ D iferenciación de funciones 1. C álcu lo directo do d e r i v a d a s ....................................................................... 2. D erivación por m e d io de t a b l a s ................................................................... 3. D erivadas de fun ciones que n o están dadas ex p lícita m en te . . . . 4. A p lica cion es geom étricas y m ecánicas de la d e r i v a d a ......................... 5. D erivadas do órdenes superiores .............................................................. 6. D iforencialcs de prim er orden y do órdenes s u p o r io r e s ...................... 7. Teorem as d ol v a lor m e d i o ........................................................................... 8. Fórm ula do T a y l o r ......................................................................................... 41 45 56 60 67 72 77 79 9. Regla de L T Ió p ita l — BernoulJi para el cá lcu lo de lím ites indeter m inados 80 Capítulo I I I . Extrem os de la s fun ciones y a p lica cion es geom étricas de Ja derivada § § 1. Extrem os de las fun ciones do un a r g u m e n t o ........................................ 2. D irección do la con ca vid a d . Puntos de i n f l e x i ó n .............................. 85 94 § § 3. A síntotas . ................................. 4. C onstrucción de las gráficas de las fun ciones por sus pu ntos caracte 97 5 rísticos 5. D iferencial d el arco. C u r v a t u r a .................................................................. 99 105 Capitulo I V . Integral indefinida § § 1. Integración i n m e d i a t a .................................................................................. 2. M étodo de sustitución ................................................................................. www.FreeLibros.me In d ic e § § § § § § $ § § % 523 3. Integración p o r p a r t e s .......................................................................... 122 4 . Integrales elem entales q u e con tien en un trin om io cu ad rad o . . . 124 5 . Integración d o fu n cion es r a c i o n a l e s ............................. 127 132 6. Integración do algunas fun ciones ir r a c io n a l e s .............................. 7. Integración do fu n cion es t r ig o n o m é t r ic a s ........................................ 135 8. In tegra ción de fu n cion es h i p e r b ó l i c a s ........... 140 9 . E m p leo de su stitu cion es trigon om étricas o h ip erb ólicas para el cá l cu lo de integrales de la f o r m a 141 10. In tegra ción de diversas fu n cion es tr a n s c e n d e n te s ......................... 143 11. E m p leo de las fórm u las de r e d u c c i ó n ....................................................... 143 12. Integración de distin tas f u n c i o n e s ..................................................... 143 Capítulo V . Integral definida § 4. L a integral defin id a c o m o lím ite de una s u m a ............................ 146 § § § § § 2. C á lcu lo de las in tegrales d efin id a s p or m edio de in defin idas . . . 149 3. Integrales im propias . . 151 155 4 . C a m bio de v a ria b le en la integral d e f i n i d a ..................... 5. In tegra ción p o r p a r l e s ................................................................... .... 158 6. T eorem a d e l v a lo r m e d i o .................................................................... 159 § 5 § § § 7. A reas d o las figuras p l a n a s ................................................................... . 162 ............................................. 168 8. L on g itu d d el arco de una cu rva 9. V olúm enes de cu erpos s ó l i d o s ............................................................. 171 10. A rea de una su p erficie d e r e v o l u c i ó n .............................................. 176 11. M om en tos. Centros de gravedad. Teorem as de G u l d i n ............... 178 § 12. A p lica ció n de las integrales d efin id a s a ia resolución d e proble m as de física 183 Capítulo V I . F u n cion es de v arias variables § § § § § § § § § ^ § § § § § 191 1. C onceptos f u n d a m e n t a l e s ......................................................... ..... 2. C o n t i n u i d a d ................................................................................................. 196 ..................................................................................... 197 3. D erivadas parciales 4 . D iferen cia l tota l d e una f u n c i ó n ................................................ 199 5. D e riv a ció n de fu n cion es c o m p u e s t a s ....................................... 202 6. D erivada en una d ire cció n dada y gra d ien te de una fu n ción . . . . 206 7. D erivad as y d iferen cia les d e órdenes superiores ......................... 215 Integración de d iferen ciales c x a c l a s ....................................... 9. D eriv a ción de fu n cion es i m p l í c i t a s ....................................... 218 10. C am bio de v a r i a b l e s ....................................................................... 225 11. P la n o tangente y norm al a una s u p e r f i c i e .............................. 230 12. Fórm ula de T a y lo r para las fu n cion es do varias variables . . . . 13. E x trem o de una fu n ción d o v arios variables ................. 210 8. 14. P roblem as de d eterm in a ción d e ios m áxim os y m ínim os absolutos de las f u n c i o n e s .................................................................................. 241 15. P u ntos singulares do la s cu rv a s p l a n a s .................................. 244 www.FreeLibros.me 233 236 In d ic e 524 § 16. E n v o lv e n te ......................................................................................................... § 17. L on gitu d de un arco de curva en ol e s p a c i o ............................................. ......................................... § 18. F u n ción v ectoria l de un argum ento escalar 247 24$ 24$ § 19. T ried ro intrínseco do una cu rva en el e s p a c i o ......................................... § 20. Curvaturas do fle x ió n y do torsión de uña cu rva on el esp a cio . . . 253 258- Capítulo V I I . Integrales m ú ltip les y cu rvilín eas § § § 1. In tegra! d o b lo en coorden adas r e c t a n g u la r e s ............................... 2. C am bio de variables en la in tegral d o b lo . .. . ........................... 3. C álcu lo do áreas do figuras p l a n a s ................................................................ .................................................................................. 4. C álcu lo d o volúm enes 5 . C á lcu lo d o áreas de s u p e r f i c i e s ................................................................ 6. A p lica cio n e s de la integral d o b le a la* m e c á n i c a ................................ § § 7. Integrales trip los .............................. 8. Integrales im propias, depen dien tes de un parám etro. § § § § 9. $ 10. § 11. § 12. § 1. § 2. § 3. § 4. § E cuaciones 312. 324 332 339 diferen ciales § § 1. V e rifica ció n d e las solu cion es. F orm ación de las ecu acion es diferen ciales do fam ilias de curvas. C on d icion es i n i c i a l e s 344 346 2. E cu acion es diferen ciales de 1er o r d e n ....................................... 3 . E cu acion es d iferen cia les d e l cr orden con v aria b les soparablos. § T rayectorias ortogonales .............................................................................. 353 4 . E cu acion es d iferen ciales hom ogéneas do 1er o r d e n ................ § 286 290 Series ............................................................................................ . Series num éricas Series d e f u n c i o n e s ........................................................................................... Serie d o T a y l o r .................................................................................................... Series d o F o u r i e r ................................................................................................ Capítulo I X . 263 272 273 275 276 - 278 Integrales im propias m ú ltip les ...................................................................................... Integrales cu rvilín ea s Integrales de s u p e r f i c i e ....................................................................... 302. F órm ula d e O strogradski — G a u s s ................................................. 303 E lom on tós de !a teoría d o ios c a m p o s ............................................ 306 Capitulo V I I I . 2G1 34$ 5. E cu acion es diferen ciales lin eales do 1er orden. E cu a ción do B ern o u lli . 355 6. E cu a cion es d e diferen cíalos exactas. F a cto r i n t e g r a n t e ....... 358 7. E cu a cion es diferenciales Úo 1er orden , n o resueltas respecto a la d e r i v a d a ....................................................................................................... 360 § 8. E cu acion es de Lagrange y d e C l a i r a u t ................................................ § 9. E cu acion es d ife r e n c ia le s diversa s d o 1er o r d e n ................................... § 10. E cu acion es d ife re n cia le s de órd en es s u p e r i o r e s ....................... 362 364 369 $ 11. 373 § § E cu acion es d ife r e n c ía lo s l i n e a l e s ............................................................... www.FreeLibros.me In d ic e § 12. E cu acion es d ife r e n c ia le s 525 lin e a le s de 2o ord en co n c o e ficie n te s % 15. •§ 16. c o n s t a n t e s .............................................................................................................. E cu acion es d ife r e n c ia le s lin e a le s de ord en su p erior al 2o , con c o e fic ie n t e s co n sta n tes v . . . . -......................................................... E cu a cion es de E u l e r ..................... S istem as d e ecu a cion es d i f e r e n c i a l e s .................................................... In te g ra ció n d& ecu a cion es d ife r e n c ia le s m ed ia n te serios d e po ^ 17. ten cia s 4 a . ..............................•: . P roblem as s o b re e l m é to d o do F ou rier § 13. •§ 14. 375 381 382 384 .................... 386 389 O p eracion es con n ú m eros a p r o x i m a d o s ...................................................... In te rp o la ció n de fu n cio n e s ........................................................................... C á lcu lo de la s ra íce s re a les de las e c u a c i o n e s .................................... In te g ra ció n n u m érica de fu n cio n e s .......................................................... 393 398 403 409 <5 5. In tegra ción n u m érica de ecu a cion es d ife r e n c ia le s ord in a ria s . . . $ 6.C á lcu lo a p ro x im a d o do lo s c o e fic ie n t e s d o F o u r i o r ......................... 412 421 C a p i tu l o X . C á lc u lo s a p r o x im a d o s § 1. § 2. § 3. 3 4. S o lu c io n e s ................................................................................................................... I I ............................................. 423 428 I I I ................................................................................................................... I V ................................................................................................................... V ................................................................................................................... C a p ítu lo V I ................................................. C a p ítu lo V I I ............................................ C a p ítu lo V I I I ................................................................................................................... C a p itu lo I X ................................................................................................................... C a p ítu lo X .................................................................................................................... 436 443 456 464 475 485 494 505 ■Capítulo C a p ítu lo I C a p ítu lo C a p ítu lo C a p ítu lo A p é n d ic e s I. III. A lfa b e to g r ie g o .................................................................................. C on stan tes d e uso f r e c u e n t e ...................... V a lo r e s in v e r s o s , p o te n cia s , raíces y l o g a r i t m o s ............................. F u n cion es t r i g o n o m é t r i c a s .............................................................................. 509 509 510 512 V . F u n cion es o x p o n o n c ia lo s , h ip e r b ó lic a s y trig on om étrica s . . . . V I. C urvas (para c o n s u l t a ) ...................................................................................... 513 514 III. IV . www.FreeLibros.me

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