TEMA 1: INTERACCIÓN GRAVITATORIA 1. Leyes de Kepler En el siglo XVII, una vez que se dio credibilidad al modelo heliocéntrico de Nicolás Copérnico (1473-1523) sobre todo gracias a las aportaciones experimentales del gran Galileo Galilei (1564-1642), todavía se seguía creyendo que el movimiento de los planetas alrededor del Sol eran movimientos circulares perfectos. Fue el astrónomo y matemático alemán Johannes Kepler (1571-1630) quien basándose en una gran cantidad de datos de observaciones astronómicas recopiladas por Tycho Brahe, su mentor y antecesor como astrónomo imperial, describió el movimiento de los planetas en sus tres leyes (leyes de Kepler), que son totalmente empíricas, describen lo que ocurre, pero sin explicar las causas. Las dos primeras las publicó en su obra Astronomia Nova en 1609, mientras que la tercera la descubrió posteriormente, en 1618. 1ª Ley de Kepler: Ley de las órbitas. “Todos los planetas giran alrededor del Sol en órbitas elípticas, estando el Sol situado en uno de los focos de la elipse”. Esta ley acaba con la suposición aristotélica de que todos los movimientos celestes deben ser circulares. Por ejemplo, la Tierra se encuentra en su afelio, punto más alejado del Sol (152,1 millones de km), sobre el 4 de julio y en su perihelio, punto más cercano al Sol (147,1 millones de km) sobre el 4 de enero. Por lo que la órbita de la Tierra es muy poco elíptica, es casi circular, la distancia media entre la Tierra y el Sol es de 149,6 millones de km y se denomina unidad astronómica (1 ua = 149 597 870 700 m). 2ª Ley de Kepler: Ley de las áreas. “La línea que une un planeta con el Sol (radio vector) barre áreas iguales en tiempos iguales, es decir, la velocidad areolar de un planeta es constante”. Por tanto, un planeta al describir una órbita elíptica, su velocidad lineal (v) no es constante, la velocidad lineal tiene su valor máximo en el perihelio (para la Tierra, 30,75 km/s) y mínimo en el afelio (28,76 km/s), dando una velocidad media de 29,79 km/s. 3ª Ley de Kepler: Ley de los periodos o ley armónica. “El cuadrado de los periodos de la órbita de los planetas es proporcional al cubo de los semiejes mayores (a), 𝑇2 𝑇2 aunque también se puede aplicar a la distancia promedio al Sol (r)”. 𝑎3 = 𝑟3 = 𝑐𝑡𝑒. Así lógicamente, cuanto más alejado esté un planeta del Sol, mayor será su periodo de rotación, variando este desde los 88 días de Mercurio hasta los 164,8 años de Neptuno (Plutón tarda casi 248 años, pero en 2006 perdió su condición de planeta pasando a la catalogación de planeta enano). También se cumple que cuanto más cerca esté un planeta del Sol mayor será su velocidad de traslación, así Mercurio gira a una velocidad media de 47,9 km/s, mientras que Neptuno lo hace a 5,44 km/s. Las explicaciones físicas de las leyes de Kepler las consiguió el genial científico británico Isaac Newton (16421727). Vamos a verlas: 1ª Ley de Kepler: Newton demostró mediante complejas ecuaciones diferenciales, que las únicas órbitas cerradas posibles para un cuerpo sometido a una fuerza de atracción que sea inversamente proporcional al cuadrado de la distancia (como lo son la fuerza gravitatoria o la fuerza eléctrica) son la circunferencia y la elipse. Los planetas tienen órbitas elípticas muy poco excéntricas, es decir, muy cercanas a la circunferencia. 2ª Ley de Kepler: Cuando un cuerpo gira con respecto a un punto, el cuerpo posee un momento angular o momento cinético (𝐿⃗) que es el producto vectorial de los vectores posición (𝑟) y momento lineal o cantidad de movimiento (𝑝 = 𝑚 · 𝑣 ): ⃗ =𝒓 ⃗ ×𝒑 ⃗ =𝒓 ⃗ ×𝒎·𝒗 ⃗ 𝑳 El módulo de este vector es: 𝐿 = 𝑟 · 𝑚 · 𝑣 · 𝑠𝑒𝑛 𝛼, siendo el ángulo que forman el vector posición y el vector velocidad. En un movimiento circular 𝑟 y 𝑣 forman un ángulo de 90º y por tanto: 𝑳 = 𝒓 · 𝒎 · 𝒗. El punto de aplicación del vector momento angular es el centro de giro, la dirección es perpendicular al plano que forman ambos vectores y el sentido viene dado por la regla del sacacorchos o de la mano derecha. El área barrida en un intervalo de tiempo se puede calcular como el área del triángulo 1 1 formado: 𝑑𝐴 = 2 𝑟 · 𝑑𝑟 = 2 𝑟 · 𝑣 · 𝑑𝑡. Multiplicando ambos miembros por la masa del 1 1 cuerpo que gira: 𝑚 · 𝑑𝐴 = 2 𝑟 · 𝑚 · 𝑣 · 𝑑𝑡 = 2 𝐿 · 𝑑𝑡 → 2 𝑑𝐴 𝑳 = = 𝒗𝒂 𝑑𝑡 𝟐 · 𝒎 Vamos a ver cómo esta velocidad areolar se mantiene constante en los movimientos planetarios: El teorema del momento angular dice que la variación del momento angular con respecto al tiempo es igual al momento total de las ⃗ 𝒅𝑳 fuerzas exteriores: 𝒅𝒕 = 𝑑(𝑟×𝑝) 𝑑𝑟 𝑑𝑝 ⃗ =𝑴 ⃗⃗⃗ ⃗ ×𝑭 = 𝑑𝑡 × 𝑝 + 𝑟 × 𝑑𝑡 = 𝑣 × 𝑝 + 𝑟 × 𝐹 = 𝒓 𝑑𝑡 En el caso de los movimientos planetarios la fuerza y el vector posición tienen la misma dirección con lo que su 𝑳 producto vectorial es cero, y por tanto el momento angular (𝐿⃗) es constante. Por tanto si: 𝒗𝒂 = y el momento 𝟐·𝒎 angular (L) es constante y la masa del planeta (m) también lo es, se puede deducir que los planetas se mueven con velocidad areolar (área barrida por unidad de tiempo) constante. 3ª Ley de Kepler: Para demostrar la 3ª ley de Kepler, Newton se basó en su ley de gravitación universal, que veremos a continuación. 2. Ley de Newton de la gravitación universal Los estudios de Kepler permitieron describir el movimiento de los planetas, pero ¿por qué tenían ese movimiento? ¿Cuál es la causa que los obliga a describir esas órbitas? Encontrar esa causa se convirtió en el siguiente problema científico. Robert Hooke (1635-1703) en 1679 introdujo a Isaac Newton (1642-1727) en el problema de analizar la trayectoria de los planetas. Hooke suponía que se debía a una fuerza atractiva que ejercía el Sol sobre ellos y que era inversa al cuadrado de la distancia, y planteó a Newton (experto en cálculo) que hallara cómo sería la curva que describirían. En 1684 Newton informó a su amigo Edmund Halley de que había resuelto el problema de la fuerza inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Newton redactó estos cálculos en el tratado De Motu y los desarrolló ampliamente en el libro Philosophiae naturalis principia mathematica. Aunque muchos astrónomos no utilizaban las leyes de Kepler, Isaac Newton intuyó su gran importancia y las engrandeció demostrándolas a partir de su ley de la gravitación universal. La ley de gravitación universal es mucho más que una fuerza de atracción del Sol, rige en todos los cuerpos del universo. Newton fue un genial científico en numerosos campos de la Física y las Matemáticas, pero su mayor contribución fue la ley de gravitación universal. Un cuerpo que se mueve sin la acción de ninguna fuerza se mueve con un M.R.U. (1ª ley de la Dinámica de Newton), por tanto, si se mueve en una línea curva (elipse) es porque hay una fuerza que lo obliga a ello y tiene una aceleración (aceleración centrípeta). 𝑣2 𝑣2 2𝜋 2 𝑎𝑐 = → 𝐹𝑐 = 𝑚 · 𝑎𝑐 = 𝑚 · = 𝑚 · 𝜔2 · 𝑟 = 𝑚 · ( ) · 𝑟 𝑟 𝑟 𝑇 Si esta fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia: 2𝜋 2 𝑘 𝐹𝑐 = 𝑚 · ( 𝑇 ) · 𝑟 = 𝑟2 → 𝑚·4𝜋2 ·𝑟 𝑘 𝑚·4𝜋2 ·𝑟 3 𝑻𝟐 2 = → 𝑇 = → = 𝑪(𝒄𝒕𝒆. ) ·(3ª ley de Kepler) 2 2 𝑇 𝑟 𝑘 𝒓𝟑 Ley de gravitación universal: “Dos cuerpos cualesquiera se atraen el uno al otro con una fuerza cuyo módulo es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa, su dirección es la línea que une los centros de gravedad de ambos cuerpos y el sentido es del uno al otro” 𝑴·𝒎 ⃗𝑭𝑮 = −𝑮 · ⃗𝒓 ·𝒖 𝒓𝟐 Siendo G la constante de gravitación universal (calculada experimentalmente por primera vez por Henry Cavendish en 1798) cuyo valor es G = 6,674·10−11 N·m/kg2. El vector 𝑢 ⃗ 𝑟 es un vector unitario en la dirección de la línea que une las masas M y m. El signo negativo es debido al carácter atractivo de la fuerza que hace que los vectores 𝐹 y 𝑢 ⃗ 𝑟 tengan sentidos opuestos. Relación entre la constante de proporcionalidad de la 3ª ley de Kepler y la gravitación universal: 𝑀·𝑚 𝐺·𝑀 2𝜋 2 𝑣2 𝐺·𝑀 𝐹𝑐 = 𝐹𝐺 → 𝑚 · 𝑎𝑐 = 𝐺 · 𝑟2 → 𝑎𝑐 = 𝑟2 = 𝑟 = 𝜔2 · 𝑟 = ( 𝑇 ) · 𝑟 → 𝑟2 = 𝑇2 𝟒𝝅𝟐 = =𝑪 𝑟3 𝑮 · 𝑴 3 4𝜋2 ·𝑟 4𝜋2 ·𝑟 3 2 → 𝑇 = → 𝑇2 𝐺·𝑀 3. Campo gravitatorio El concepto de campo lo acuñó Michael Faraday (1791-1867) para estudiar la interacción entre cuerpos con una propiedad común que están a una cierta distancia. Lo aplicó a cuerpos que se encontraban cargados eléctricamente e ideó las líneas de campo. El concepto de campo se puede utilizar en las interacciones a distancia (eléctrica, magnética y gravitatoria). Estos son campos vectoriales, también los hay escalares como los campos de temperaturas o de presiones. Se define el campo gravitatorio como una perturbación de las propiedades del espacio que rodea a un cuerpo material, en el sentido de que cualquier otro cuerpo material colocado en esa zona del espacio es atraído hacia el primero. Un campo gravitatorio es creado por una masa, pero para que se ponga de manifiesto es necesaria la presencia de otra masa. La interacción que se origina es una fuerza de atracción entre el cuerpo que crea el campo y el introducido en él. 3.1. Intensidad de campo gravitatorio Se llama intensidad del campo gravitatorio en un punto 𝑔 a la fuerza que una masa M ejerce sobre un cuerpo de masa la unidad colocado en ese punto. Es una magnitud vectorial y su valor es: 𝑀·𝑚 ⃗𝑟 𝐹𝐺 −𝐺 · 𝑟 2 · 𝑢 𝑮·𝑴 ⃗⃗ = ⃗𝒓 𝒈 = =− 𝟐 ·𝒖 𝑚 𝑚 𝒓 ⃗⃗ ) y el vector unitario (𝒖 ⃗ 𝒓 ) tienen la misma dirección y sentidos opuestos (de ahí el La intensidad del campo (𝒈 signo negativo). La unidad de la intensidad del campo es N/kg o m/s2, así la intensidad del campo gravitatorio también es la aceleración de la gravedad. Si un cuerpo se encuentra sobre la superficie terrestre la intensidad del campo gravitatorio o aceleración de la gravedad que sufre es: 𝐺 · 𝑀𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 6,673 · 10−11 N · m2 · kg −2 · 5,98 · 1024 kg 𝒈𝟎 = = = 𝟗, 𝟖𝟏 𝐦⁄ 𝟐 2 𝐬 (6,37 · 106 m)2 𝑟𝑇𝑖𝑒𝑟𝑟𝑎 Si el cuerpo se encuentra a una altura sobre la superficie terrestre, el valor de la intensidad de campo o aceleración de la gravedad será: 𝑮 · 𝑴𝑻 𝑮 · 𝑴𝑻 𝒈𝒉 = = 𝟐 (𝑹𝑻 + 𝒉)𝟐 𝒓 𝐺·𝑀𝑇 𝑔 (𝑅𝑇 +ℎ) Dividiendo ambas expresiones: ℎ = 𝐺·𝑀 𝑇 𝑔0 𝑅2 𝑇 2 𝑅2 𝑇 +ℎ) 𝑹𝟐 𝑻 +𝒉) = (𝑅 𝑇 2 → 𝒈𝒉 = 𝒈𝟎 · (𝑹 𝑻 𝟐 Lógicamente este valor será menor que en la superficie terrestre y se puede aplicar igualmente a cualquier planeta u objeto del universo. 3.2. Variación de la gravedad terrestre hacia el interior de la Tierra: Suponiendo que la Tierra es una esfera de masa homogénea (cosa que no es cierta, la densidad es menor en la superficie y va creciendo conforme nos acercamos al núcleo), el valor máximo de la intensidad del campo gravitatorio se da en la superficie de la esfera, hacia el exterior de esta ya hemos visto que este valor disminuye con el cuadrado de la distancia, pero, ¿qué ocurre hacia el interior de la esfera? Consideremos un punto que se encuentra a una distancia r del centro de la Tierra cuyo radio sigue siendo RT, la intensidad de campo es la debida a la esfera que tiene de radio r, 4 3 cuya masa será: 𝑀 = 𝑑 · 𝑉 = 𝑑 · 𝜋𝑟 3 y por tanto la aceleración de la gravedad será: 4 3 𝐺 · 𝑀 𝐺 · 𝑑 · 3 𝜋𝑟 4 𝑔𝑖𝑛 = 2 = = 𝐺 · 𝑑 · 𝜋𝑟 𝑟 𝑟2 3 Es decir, la intensidad de campo disminuye de manera directamente proporcional con la distancia al centro de la Tierra. Para calcular su valor, sustituimos el término de la densidad (para toda la Tierra): 𝑑= 𝑀𝑇 𝑀𝑇 4 𝑀𝑇 4 𝑮 · 𝑴𝑻 · 𝒓 = → 𝒈𝒊𝒏 = 𝐺 · 𝑑 · 𝜋𝑟 = 𝐺 · · 𝜋𝑟 = 4 4 𝑉 3 𝑹𝟑𝑻 𝜋𝑅3 𝜋𝑅3 3 3 𝑇 3 𝑇 4 Siendo r la distancia al centro de la Tierra y RT el radio en la superficie terrestre, cuando ambas sean iguales vuelve a quedar la expresión en la superficie de la Tierra: 𝑔0 = 𝐺·𝑀𝑇 2 𝑅𝑇 𝐺·𝑀𝑇 ·𝑟 𝑅3 𝑔 Si dividimos ambas expresiones: 𝑔𝑖𝑛 = 𝐺·𝑀𝑇𝑇 0 𝑅2 𝑇 𝑟 𝒓 𝑇 𝑻 = 𝑅 → 𝒈𝒊𝒏 = 𝒈𝟎 · 𝑹 En el gráfico se puede observar cómo varía la intensidad del campo gravitatorio terrestre tanto en el interior de la Tierra (directamente proporcional a la distancia al centro de la Tierra) como en el exterior de la Tierra (inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al centro de la Tierra. 3.3. Cálculo experimental del valor de la gravedad Para calcular de manera experimental el valor de la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre o de cualquier planeta o satélite, se utiliza el péndulo simple que es un ejemplo de oscilador armónico. Experimentalmente se cuelga una masa de un hilo de longitud L que se separa ligeramente de su posición de equilibrio y se deja oscilar con oscilaciones de ángulo pequeño. Se cronometra el tiempo t que tarda el péndulo en realizar n oscilaciones (para minimizar el error en el cálculo del periodo). El periodo se calcula dividiendo el tiempo entre el número de oscilaciones 𝑡 𝑛 realizadas: 𝑇 = . A partir del periodo se puede calcular el valor de la aceleración de la gravedad como vimos el curso pasado: 𝑳 𝐿 𝟒𝝅𝟐 · 𝑳 𝑻 = 𝟐𝝅 · √ → 𝑇 2 = 4𝜋 2 · → 𝒈 = 𝒈 𝑔 𝑻𝟐 4. Trabajo y energía 4.1. Campo conservativo y energía potencial Cuando un cuerpo de masa m se mueve de un punto a otro dentro de un campo gravitatorio creado por otro cuerpo de masa M, se realiza un trabajo, ya que el desplazamiento tiene lugar bajo la acción de una fuerza, la fuerza gravitatoria y al no ser una fuerza constante (ya que la distancia r varía) hay que calcular el trabajo integrando: 𝑓 𝑓 𝑓 𝑓 𝐺·𝑀·𝑚·𝑢 ⃗𝑟 𝐺·𝑀·𝑚 𝑑𝑟 1 𝑓 𝑾𝒊→𝒇 = ∫ 𝐹 · 𝑑𝑟 = ∫ − · 𝑑𝑟 = ∫ − · 𝑑𝑟 = 𝐺 · 𝑀 · 𝑚 · ∫ − 2 = 𝐺 · 𝑀 · 𝑚 · [ ] → 𝑟2 𝑟2 𝑟 𝑟 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 𝑖 𝑮·𝑴·𝒎 𝑮·𝑴·𝒎 𝑾𝒊→𝒇 = − 𝒓𝒇 𝒓𝒊 El campo gravitatorio es un campo conservativo porque el trabajo realizado por las fuerzas del campo gravitatorio sólo depende del punto inicial y final del desplazamiento y no de la trayectoria seguida. La fuerza gravitatoria es una fuerza central, ya que está dirigida hacia un punto denominado centro y su módulo depende de la distancia al centro. El trabajo realizado por una fuerza central es conservativo, así: • El trabajo de las fuerzas del campo gravitatorio a lo largo de una trayectoria cerrada (el punto inicial y final es el mismo) es cero. • Si rf < ri → 𝑊𝑖→𝑓 > 0. El trabajo de las fuerzas del campo gravitatorio es positivo cuando el cuerpo que se desplaza se acerca al que crea el campo. El trabajo lo realiza las fuerzas del campo. • Si rf > ri → 𝑊𝑖→𝑓 < 0. El trabajo es negativo cuando el cuerpo que se desplaza se aleja del que crea el campo, hace falta una fuerza exterior. Energía potencial gravitatoria La energía potencial gravitatoria es aquella que posee un cuerpo de masa m por encontrarse en un campo gravitatorio. Desde un punto de vista físico la energía potencial del cuerpo en un punto coincide con el trabajo que tienen que realizar las fuerzas del campo para llevarlo desde ese punto hasta el infinito (fuera del campo) con una velocidad constante: ∞ ∞ 𝑈 = 𝑊𝑖→∞ = ∫𝑖 𝐹𝐺 · 𝑑𝑟 = ∫𝑖 − ⃗𝑟 ∞ 𝐺·𝑀·𝑚 ∞ 𝐺·𝑀·𝑚·𝑢 1 1 ∞ · 𝑑𝑟 = ∫𝑖 − 2 · 𝑑𝑟 = 𝐺 · 𝑀 · 𝑚 ∫𝑖 − 2 · 𝑑𝑟 = 𝐺 · 𝑀 · 𝑚 · [ ] = 2 𝑟 𝑟 𝑟 𝑟 𝑖 𝐺·𝑀·𝑚 𝐺·𝑀·𝑚 𝐺·𝑀·𝑚 𝑮·𝑴·𝒎 − =0− =− =𝑼 𝑟∞ 𝑟𝑖 𝑟𝑖 𝒓𝒊 Dentro del campo la energía potencial gravitatoria es siempre negativa, ya que la fuerza gravitatoria es de atracción y hace falta una fuerza exterior para llevar al cuerpo fuera del campo por lo que el trabajo será negativo. ¿Por qué decíamos entonces que la energía potencial gravitatoria de un cuerpo era: 𝐸𝑃 = 𝑚 · 𝑔 · ℎ ? 5 Consideremos que un cuerpo se encuentra sobre la superficie de la Tierra y se le sube hasta a una altura h (pequeña en comparación con el radio de la Tierra): 𝐺·𝑀 ·𝑚 𝐺·𝑀𝑇 ·𝑚 1 1 ) = 𝐺 · 𝑀𝑇 · 𝑚 · (𝑅 ) − 𝐺 · 𝑀𝑇 · 𝑚 · (𝑅 +ℎ) = 𝑅 𝑇 𝑇 𝑇 𝑇 1 1 𝑅 +ℎ−𝑅 ℎ 𝐺 · 𝑀𝑇 · 𝑚 · [(𝑅 ) − (𝑅 +ℎ)] = 𝐺 · 𝑀𝑇 · 𝑚 · (𝑅𝑇(𝑅 +ℎ)𝑇 ) ≃ 𝐺 · 𝑀𝑇 · 𝑚 · 𝑅2 = 𝒎 · 𝒈 · 𝒉 = ∆𝑼 = 𝑈ℎ − 𝑈0 𝑇 𝑇 𝑇 𝑇 𝑇 𝑇 ∆𝑈 = 𝑈ℎ − 𝑈0 = − 𝑅 +ℎ − (− Como se consideraba el suelo como nivel cero de energía potencial (𝑈0 = 0) → 𝑼𝒉 (𝑬𝒑 ) = 𝒎 · 𝒈 · 𝒉 Esta aproximación solo se puede hacer para alturas pequeñas, ya que hemos considerado que 𝑅𝑇 + ℎ ≃ 𝑅𝑇 , que evidentemente para grandes alturas no se cumple. Energía potencial en un sistema de partículas Si tenemos un sistema formado por dos partículas, su energía potencial viene dada por la expresión: 𝑈1,2 = − 𝐺 · 𝑀1 · 𝑀2 𝑟1,2 Si está formado por tres o más partículas, le energía potencial será la suma de la energía de todas las parejas que se puedan formar, así para 3 partículas sería: 𝑈𝑇 = 𝑈1,2 + 𝑈1,3 + 𝑈2,3 = − 𝐺 · 𝑀1 · 𝑀2 𝐺 · 𝑀1 · 𝑀3 𝐺 · 𝑀2 · 𝑀3 − − 𝑟1,2 𝑟1,3 𝑟2,3 Diferencia de energía potencial Cuando un cuerpo de masa m está en el campo gravitatorio creado por otro cuerpo de masa M, tiene una energía potencial cuyo valor depende del punto donde se encuentre. Al desplazarse a otro punto del campo, su energía potencial variará: 𝑈𝑓 − 𝑈𝑖 = − 𝐺·𝑀·𝑚 𝐺·𝑀·𝑚 − (− ) 𝑟𝑓 𝑟𝑖 Esta diferencia de energía potencial es igual a menos el trabajo que realizan las fuerzas del campo para trasladar el cuerpo del punto inicial al punto final: 𝑓 𝑓 𝑾𝒊→𝒇 = ∫𝑖 𝐹 · 𝑑𝑟 = ∫𝑖 − ⃗𝑟 𝑓 𝐺·𝑀·𝑚 𝑓 𝐺·𝑀·𝑚·𝑢 𝑑𝑟 1 𝑓 · 𝑑𝑟 = − · 𝑑𝑟 = 𝐺 · 𝑀 · 𝑚 · − = 𝐺 · 𝑀 · 𝑚 · [ ] → ∫ ∫ 2 2 2 𝑖 𝑖 𝑟 𝑟 𝑟 𝑟 𝑖 𝑾𝒊→𝒇 = 𝑮·𝑴·𝒎 𝑮·𝑴·𝒎 − = −(𝑼𝒇 − 𝑼𝒊 ) = −∆𝑼 𝒓𝒇 𝒓𝒊 Si el cuerpo (m) se acerca al cuerpo que crea el campo (M), es decir, ri > rf: • El trabajo que realizan las fuerzas del campo es positivo. • El cuerpo pierde energía potencial (aumenta su valor negativo). Si el cuerpo (m) se aleja del cuerpo que crea el campo (M), es decir, ri < rf: • El trabajo que realizan las fuerzas del campo es negativo. Hace falta una fuerza exterior para que se produzca el desplazamiento. • El cuerpo gana energía potencial (disminuye su valor negativo, llegando a ser cero cuando salga fuera del campo). 4.2. Potencial gravitatorio Se denomina potencial en un punto (V) a la energía potencial por unidad de masa en ese punto: 𝑈 − 𝑽= = 𝑚 𝐺·𝑀·𝑚 𝑮·𝑴 𝑟 =− 𝑚 𝒓 El potencial es una magnitud escalar y cuya unidad en el SI es el J/kg. Desde un punto de vista físico el potencial en un punto es el trabajo que realizan las fuerzas del campo para llevar la unidad de masa desde ese punto hasta el infinito (fuera del campo) con velocidad constante. El potencial en el infinito (fuera del campo) es cero y en cualquier otro punto del campo gravitatorio es negativo. ∞𝐹 ∞ 𝑊𝑖→∞ 1 1 ∞ 𝐺·𝑀 𝐺·𝑀 𝐺·𝑀 𝑮·𝑴 = ∫𝑖 𝐺 · 𝑑𝑟 = 𝐺 · 𝑀 · ∫𝑖 − 2 · 𝑑𝑟 = 𝐺 · 𝑀 · [ ] = − =0− =− = 𝑽𝒊 𝑚 𝑚 𝑟 𝑟 𝑖 𝑟∞ 𝑟𝑖 𝑟𝑖 𝒓𝒊 Como el potencial es una escalar, el potencial en un punto de un campo creado por varias masas puntuales, es la suma escalar de los potenciales que crearía cada masa si estuviese sola. 𝑮 · 𝑴𝒊 𝐺 · 𝑀1 𝐺 · 𝑀2 𝐺 · 𝑀3 𝑽𝑻 = ∑ 𝑉𝑖 = ∑ − =− − − 𝒓𝒊 𝑟1 𝑟2 𝑟3 𝑖 𝑖 6 Diferencia de potencial gravitatorio Si consideramos dos puntos (i y f) del campo gravitatorio, se denomina diferencia de potencial a la diferencia: ∆𝑉 = 𝑉𝑓 − 𝑉𝑖 = − 𝐺·𝑀 𝐺·𝑀 𝐺·𝑀 𝐺·𝑀 − (− )= − 𝑟𝑓 𝑟𝑖 𝑟𝑖 𝑟𝑓 • Si ri > rf →V < 0. Al aproximarse al cuerpo que crea el campo disminuye el potencial. • Si ri < rf →V > 0. Al alejarse del cuerpo que crea el campo aumenta el potencial. (Recordad que el potencial es negativo en el campo y cero fuera de él). Relación entre campo gravitatorio y potencial gravitatorio Para obtener la relación entre el campo gravitatorio (vectorial) y el potencial gravitatorio (escalar) partimos de la ecuación del trabajo igual a menos la variación de la energía potencial. 𝐵 𝐵 𝐵 𝐵 𝑀·𝑚 𝑀 (𝑉 ) · 𝑑𝑟 = −𝑚 · − 𝑉 → 𝑚 · ∫ −𝐺 · · 𝑑𝑟 = 𝑚 · ∫ 𝑔 · 𝑑𝑟 𝐵 𝐴 𝑟2 𝑟2 𝐴 𝐴 𝐴 𝑩 𝒅𝑽 ⃗⃗ · 𝒅𝒓 ⃗ = −(𝑽𝑩 − 𝑽𝑨 ) = −∆𝑽 → 𝒈 ⃗⃗ = − →∫ 𝒈 ⃗ 𝒅𝒓 𝑨 𝑊𝐴→𝐵 = ∫ 𝐹 · 𝑑𝑟 = −(𝑈𝐵 − 𝑈𝐴 ) → ∫ −𝐺 · 𝐴 4.3. Representación del campo gravitatorio. Líneas de campo. Superficies equipotenciales El campo gravitatorio se puede representar de dos formas: a) Líneas de campo: Son líneas tangentes al vector intensidad de campo en cada punto. Se dibujan de tal manera que el número de líneas de campo que atraviesan perpendicularmente una unidad de superficie es proporcional a la intensidad del campo en el punto y están dirigidas hacia la masa que crea el campo. Las líneas de campo representan la trayectoria que seguiría una masa m que se dejara en el campo gravitatorio. Si tenemos un campo creado por una única masa puntual, las líneas de campo tienen dirección radial y sentido hacia el cuerpo que crea el campo. Si el campo está creado por dos masas, en la zona intermedia las líneas de campo se deforman, indicando que hay un punto entre ambas masas en el que el valor del campo es nulo. Si las dos masas son iguales este punto está a la misma distancia de ambas masas, mientras que, si son distintas, el punto donde se anula el valor del campo estará más cerca de la masa menor. Las líneas de campo no se pueden cruzar pues esto indicaría que en el punto de corte existirían dos valores distintos para la intensidad del campo gravitatorio, lo cual es imposible, ya que la intensidad del campo tiene un valor único en cada punto. b) Superficies equipotenciales: Son regiones del espacio en las que el potencial gravitatorio tiene el mismo valor, en consecuencia, el trabajo necesario para trasladar una masa de un punto a otro de una superficie equipotencial es nulo. Si el campo está creado por una sola masa, las superficies equipotenciales son esferas concéntricas con centro en la masa puntual. Si está creado por dos masas las esferas se deforman en la zona de separación de ambas masas, si las masas son iguales, la deformación es simétrica, mientras que si son distintas la deformación es asimétrica. Las líneas de campo y las superficies equipotenciales son perpendiculares entre sí. 7 4.4. Principio de Conservación de la Energía Mecánica Ya vimos el curso pasado el teorema de las fuerzas vivas, según el cual el trabajo de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es igual a la variación de su energía cinética: 𝑓 𝑓 𝑓 𝑊𝑖→𝑓 = ∫𝑖 𝐹 · 𝑑𝑟 = ∫𝑖 𝑚 · 𝑎 · 𝑑𝑟 = ∫𝑖 𝑚 · 𝑣2 𝑓 𝑓 1 ⃗ 𝑓 𝑓 𝑑𝑣 𝑑𝑟 · 𝑑𝑟 = ∫𝑖 𝑚 · 𝑑𝑣 = ∫𝑖 𝑚 · 𝑣 · 𝑑𝑣 = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 1 𝑚 · ∫𝑖 𝑣 · 𝑑𝑣 = 𝑚 · [ 2 ] = 2 𝑚 · 𝑣𝑓2 − 2 𝑚 · 𝑣𝑖2 = 𝐸𝑐𝑓 − 𝐸𝑐𝑖 = ∆𝐸𝑐 𝑖 En el trabajo total están incluidas tanto las fuerzas conservativas como las no conservativas. Si el cuerpo solo se ve sometido a fuerzas conservativas, como lo son las del campo gravitatorio, obtenemos el principio de conservación de la energía mecánica: “Cuando en un sistema actúan únicamente fuerzas conservativas la energía mecánica total (suma de cinética y potencial) permanece constante”. 𝑊𝑖→𝑓 = 𝑊𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 + 𝑊𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 = −∆𝑈 + 0 = 𝑈𝑖 − 𝑈𝑓 𝑊𝑖→𝑓 = ∆𝐸𝑐 = 𝐸𝑐𝑓𝑓 − 𝐸𝑐𝑖 = −∆𝑈 = 𝑈𝑖 − 𝑈𝑓 → 𝐸𝑐𝑓 − 𝐸𝑐𝑖 = 𝑈𝑖 − 𝑈𝑓 → 𝑬𝒄𝒊 + 𝑼𝒊 = 𝑬𝒄𝒇 +𝑬𝑷𝒇 = 𝑬𝑴 Si intervienen fuerzas no conservativas se obtiene el principio de conservación de la energía: 𝑊𝑖→𝑓 = 𝑊𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 + 𝑊𝑛𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎𝑠 → ∆𝐸𝐶 = −∆𝑈 + 𝑊𝑛𝑐 → 𝑾𝒏𝒄 = ∆𝑬𝒄 + ∆𝑼 𝐸𝑐𝑓 − 𝐸𝑐𝑖 = −(𝑈𝑓 − 𝑈𝑖 ) + 𝑊𝑛𝑐 → 𝑬𝒄𝒊 + 𝑼𝒊 + 𝑾𝒏𝒄 = 𝑬𝒄𝒇 + 𝑼𝒇 5. Movimiento de satélites La ley de gravitación universal y el estudio del campo gravitatorio permiten estudiar el movimiento de los cuerpos celestes que orbitan en torno a un centro de atracción gravitatoria, bien pueden ser planetas alrededor del Sol como satélites (naturales o artificiales) alrededor de un planeta. Las órbitas realizadas pueden ser circulares o elípticas, los cálculos que vamos a realizar son suponiendo que se trata de órbitas circulares. Para órbitas elípticas la distancia al cuerpo central y la velocidad orbital no son constantes y por tanto tampoco lo serán la energía cinética ni la energía potencial, pero sí es constante la energía mecánica y el momento angular. 5.1. Cálculo de la velocidad orbital Se puede calcular la velocidad orbital de un planeta alrededor del Sol o de un satélite alrededor de su planeta: La fuerza que le hace girar (fuerza centrípeta) es la fuerza de atracción gravitatoria: 𝐹𝑐 = 𝐹𝐺 → 𝑚 · 𝑣2 𝑚·𝑀 𝑚·𝑀·𝑟 𝐺·𝑀 𝑮·𝑴 = 𝐺 2 → 𝑣2 = 𝐺 2 = →𝒗=√ 𝑟 𝑟 𝑟 ·𝑚 𝑟 𝒓 En el caso de la Tierra, un satélite artificial a una altura h, orbitará a una velocidad: 𝒗=√ 𝑮·𝑴 𝑮 · 𝑴𝑻 =√ 𝒓 𝑹𝑻 + 𝒉 5.2. Cálculo del periodo de revolución Para calcular el tiempo que tarda un planeta en dar una vuelta alrededor del Sol o el que tarda un satélite alrededor de su planeta. Hay que conjugar la expresión anterior con la de la velocidad angular: 𝐹𝑐 = 𝐹𝐺 → 𝜔= 𝑚 · 𝑣2 𝑚·𝑀 𝑚·𝑀·𝑟 𝐺·𝑀 = 𝐺 2 → 𝑣2 = 𝐺 2 = 𝑟 𝑟 𝑟 ·𝑚 𝑟 2𝜋 2𝜋𝑟 4𝜋 2 𝑟 2 𝐺 · 𝑀 4𝜋 2 𝑟 2 𝟒𝝅𝟐 𝒓𝟑 ;𝑣 = 𝜔 · 𝑟 = → 𝑣2 = → = →𝑻=√ 2 2 𝑇 𝑇 𝑇 𝑟 𝑇 𝑮·𝑴 Hay distintos tipos de órbitas de satélites artificiales, pudiendo ser órbitas circulares o elípticas. Se clasifican en función de la altura de la órbita: • Satélites LEO (Low Eath Orbit): Son los satélites a menor altura sobre la superficie terrestre, oscilando entre los 200 y 2000 km, son los que menos tardan en orbitar alrededor de la Tierra (alrededor de 90 minutos). El más importante es la Estación Espacial Internacional (ISS) con una órbita de poco más de 400 km de altura, un periodo de rotación de 93 minutos y una velocidad de 7,7 km/s. • Satélites MEO (Medium Earth Orbit): A esta categoría pertenecen los satélites cuya órbita está por encima de los 2000 km y por debajo de la órbita GEO (36 000 km), a esta categoría pertenecen los satélites de posicionamiento GPS con una órbita de unos 20 000 km de altura y un periodo de 12 horas y Galileo con una órbita de 23 200 km y un periodo de 14 h. • Satélites GEO (Geostationary Orbit) o satélites geoestacionarios: Son aquellos que orbitan en torno a la Tierra manteniéndose siempre sobre el mismo punto, su órbita es circular y ecuatorial. Para ello es 8 necesario que el periodo de revolución sea el mismo que la Tierra (23 h 56 min y 4 s = 86164 s) lo que se conoce como día sidéreo, que no es exactamente igual que la definición de día solar (24 h = 86400 s), y que orbite en el plano del ecuador terrestre. 𝐺·𝑀 Cálculo del radio de la órbita geoestacionaria: 𝑟 = 𝟑 𝑮·𝑴 ·𝑻𝟐 4𝜋2 𝑟 2 𝐺·𝑀𝑇 ·𝑇 2 3 √ 𝑻𝟐 → 𝑟 = → 𝒓 = 2 2 𝑇 4𝜋 𝟒𝝅 Sustituyendo T = 86164 s; G = 6,674·10−11 N·m2/kg2 y MT = 5,974·1024 kg 3 𝒓= √ 𝐺 · 𝑀𝑇 · 𝑇 2 3 6,674 · 10−11 · 5,974 · 1024 · 861642 =√ = 4,2168 · 107 m = 42 168 km 4𝜋 2 4𝜋 2 Esta distancia es al centro de la Tierra, si le restamos el radio terrestre ecuatorial (6378 km), la órbita geoestacionaria tiene un radio aproximado de: 42 168 km − 6 378 km = 35 790 km ≈ 36 000 km. 5.3. Energía de los satélites Si el satélite está sometido solamente a la acción del campo gravitatorio podemos calcular fácilmente su energía mecánica: 1 𝐺·𝑀·𝑚 𝑚 · 𝑣2 − 2 𝑟 𝑚 · 𝑣2 𝑚·𝑀 𝑚·𝑀·𝑟 𝐺·𝑀·𝑚 2 𝐹𝑐 = 𝐹𝐺 → =𝐺 2 →𝑚·𝑣 =𝐺 = 𝑟 𝑟 𝑟2 𝑟 1 𝐺·𝑀·𝑚 1 𝐺·𝑀·𝑚 𝐺·𝑀·𝑚 𝟏 𝑮·𝑴·𝒎 2 𝑬𝑴 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑃 = 𝑚 · 𝑣 − = · − =− · 2 𝑟 2 𝑟 𝑟 𝟐 𝒓 𝐸𝑀 = 𝐸𝑐 + 𝑈 = 𝟏 𝟏 Así vemos que se cumple que 𝑬𝑴 = 𝟐 𝑼; 𝑬𝒄 = − 𝟐 𝑼; 𝑬𝒄 = −𝑬𝑴 5.4. Velocidad de lanzamiento para poner un satélite en órbita Se lanza un satélite desde la superficie de la Tierra (posición 1) hasta alcanzar una órbita de radio determinado (posición 2). Aplicamos el principio de conservación de la energía mecánica para calcular la velocidad con la que se debe lanzar: 𝐸𝑀1 = 𝐸𝑀2 → 𝐸𝑐1 + 𝑈1 = 𝐸𝑐2 + 𝑈2 1 𝐺·𝑀·𝑚 1 𝐺·𝑀·𝑚 1 2 𝐺·𝑀 1 2 𝐺·𝑀 · 𝑚 · 𝑣12 − = · 𝑚 · 𝑣22 − → · 𝑣1 − = · 𝑣2 − 2 𝑅𝑇 2 𝑟 2 𝑅𝑇 2 𝑟 Cuando esté en órbita su velocidad (v2) será: 𝐹𝑐 = 𝐹𝐺 → 𝑚·𝑣22 𝑚·𝑀 𝐺·𝑀 = 𝐺 𝑟2 → 𝑣22 = 𝑟 𝑟 1 2 𝐺·𝑀 1 𝐺·𝑀 𝐺·𝑀 1 𝐺·𝑀 𝐺·𝑀 1 𝐺·𝑀 𝟏 𝟏 · 𝑣1 − = · − =− · → 𝑣12 = 2 · ( − · ) → 𝒗𝟏 = √𝟐 · 𝑮 · 𝑴 · ( − ) 2 𝑅𝑇 2 𝑟 𝑟 2 𝑟 𝑅𝑇 2 𝑟 𝑹𝑻 𝟐𝒓 Recordad que r es la distancia de la órbita del satélite al centro de la Tierra: 𝑟 = 𝑅𝑇 + ℎ 5.5. Cálculo de la energía para pasar de una órbita a otra Si tenemos un satélite ya en órbita y queremos que pase a una órbita más alejada, tendremos que comunicarle una energía (para que pase a una órbita más interna tendrá que perder energía). La energía que tiene en cualquier órbita será: 1 𝐺·𝑀·𝑚 1 𝐺·𝑀·𝑚 𝐺·𝑀·𝑚 1 𝐺·𝑀·𝑚 = 2 · 𝑟 − 𝑟 = −2 · 𝑟 𝑟 1 𝐺·𝑀·𝑚 1 𝐺·𝑀·𝑚 𝟏 𝟏 𝟏 Por tanto: ∆𝑬𝑴 = 𝐸𝑀𝑓 − 𝐸𝑀𝑖 = − 2 · 𝑟 − (− 2 · 𝑟 ) = 𝟐 𝑮 · 𝑴 · 𝒎 · (𝒓 − 𝒓 ) 𝑓 𝑖 𝒊 𝒇 𝐸𝑀 = 𝐸𝐶 + 𝑈 = 2 𝑚 · 𝑣 2 − 5.6. Velocidad de escape La velocidad de escape es la mínima velocidad que se debe comunicar a un objeto en su lanzamiento desde la superficie para que llegue a abandonar el campo gravitatorio terrestre o de cualquier planeta o satélite. Aplicando el principio de conservación de la energía mecánica: 𝐸𝑖 = 𝐸𝑓 → 𝐸𝑐𝑖 + 𝑈𝑖 = 𝐸𝑐𝑓 + 𝑈𝑓 1 𝐺·𝑀·𝑚 1 𝐺·𝑀·𝑚 𝑚 · 𝑣𝑖2 − = 𝑚 · 𝑣𝑓2 − 2 𝑟𝑖 2 𝑟𝑓 La velocidad inicial que hay que comunicar será la velocidad de escape cuando 𝑟𝑖 sea el radio del planeta, satélite o estrella de cuyo campo gravitatorio tenga que salir el objeto. Además, para salir del campo gravitatorio 𝑟𝑓 tiene un valor muy grande (𝑟∞ ) que la energía potencial gravitatoria se hace cero y como la velocidad de escape es la mínima velocidad que hay que comunicar para que salga del campo haremos que el valor de la 𝑣𝑓 sea el mínimo, es decir, cero: 1 𝐺·𝑀·𝑚 1 𝐺·𝑀·𝑚 2 𝑚 · 𝑣𝑒𝑠𝑐𝑎𝑝𝑒 − = 𝑚 · 02 − =0 2 𝑅 2 𝑟∞ 9 1 𝐺·𝑀·𝑚 1 𝐺·𝑀·𝑚 𝟐·𝑮·𝑴 2 2 𝑚 · 𝑣𝑒𝑠𝑐𝑎𝑝𝑒 − = 0 → 𝑚 · 𝑣𝑒𝑠𝑐𝑎𝑝𝑒 = → 𝒗𝒆𝒔𝒄𝒂𝒑𝒆 = √ = √𝟐 · 𝒈 · 𝑹 2 𝑅 2 𝑅 𝑹 La velocidad de escape no depende de la masa del cohete o satélite, depende de la masa que crea el campo gravitatorio y de la distancia del punto de lanzamiento al centro de ese cuerpo. En el caso de la velocidad de escape del campo gravitatorio terrestre: 𝒗𝒆𝒔𝒄𝒂𝒑𝒆 = √ 2·𝐺·𝑀𝑇 𝑅𝑇 =√ 2·6,673·10−11 N·m2 ·5,98·1024 kg kg2 6,37·106 m = 𝟏𝟏 𝟏𝟗𝟑 𝐦⁄𝐬 = 𝟒𝟎 𝟐𝟗𝟔 𝐤𝐦⁄𝐡 Si el satélite ya está a una altura h sobre la superficie de la Tierra, la velocidad necesaria para abandonar el campo 𝟐·𝑮·𝑴 gravitatorio tendrá un menor valor: 𝒗 = √ 𝑹 +𝒉𝑻 𝑻 6. Principio de superposición Si en una región del espacio hay una serie de masas puntuales (M1, M2, M3, etc.), la atracción que ejercen sobre otra masa viene dada por la suma vectorial de todas las fuerzas de atracción como si sólo estuviesen presentes las dos masas: 𝐹𝑇 = ∑ 𝐹𝑖 = 𝐹1 + 𝐹2 + 𝐹3 + ⋯ → 𝐹𝑇 = −𝐺 · 𝑖 𝑚 · 𝑀1 𝑚 · 𝑀2 𝑚 · 𝑀3 ·𝑢 ⃗1−𝐺· ·𝑢 ⃗2−𝐺· ·𝑢 ⃗3−⋯ 2 2 𝑟1 𝑟2 𝑟32 6.1. Campo gravitatorio creado por varias masas puntuales Si en una región del espacio hay varias masas puntuales (M1, M2, M3, etc.) cada una creará un campo gravitatorio y la intensidad del campo gravitatorio en un punto es la suma vectorial de los campos que crearía cada masa si estuviese esa sola. Esto se conoce como principio de superposición. Es aplicable tanto a las fuerzas como a las intensidades de campo. ⃗⃗ 𝑻 = ∑ 𝑔𝑖 = ∑ (− 𝒈 𝑖 𝑖 𝐺 · 𝑀𝑖 𝑮 · 𝑴𝟏 𝑮 · 𝑴𝟐 𝑮 · 𝑴𝟑 ⃗ 𝒓𝟏 − ⃗ 𝒓𝟐 − ⃗ 𝒓𝟑 )𝑢 ⃗ 𝑟𝑖 = − ·𝒖 ·𝒖 ·𝒖 𝑟𝑖2 𝒓𝟐𝟏 𝒓𝟐𝟐 𝒓𝟐𝟑 6.2. Energía potencial y potencial gravitatorio de varias masas Ya hemos visto cómo se calcula la energía potencial y el potencial gravitatorio en un punto de un sistema formado por varias masas (veámoslo para tres masas), como ambas magnitudes son escalares habrá que sumar las energías potenciales de cada sistema formado por dos de las masas o el potencial creado por cada una de las masas: 𝑮 · 𝑴𝟏 · 𝑴𝟐 𝑮 · 𝑴𝟏 · 𝑴𝟑 𝑮 · 𝑴𝟐 · 𝑴 𝟑 − − 𝒓𝟏,𝟐 𝒓𝟏,𝟑 𝒓𝟐,𝟑 𝑮 · 𝑴 𝟏 𝑮 · 𝑴𝟐 𝑮 · 𝑴𝟑 𝑽𝑻 = 𝑉1 + 𝑉2 + 𝑉3 = − − − 𝒓𝟏 𝒓𝟐 𝒓𝟑 𝑼𝑻 = 𝑈1,2 + 𝑈1,3 + 𝑈2,3 = − 6.3. Caos determinista. Problema de los tres cuerpos El problema de los tres cuerpos aparece en muchos contextos en la naturaleza, el más clásico es de tres grandes masas sujetas a la acción gravitatoria mutua, por ejemplo, el sistema formado por el Sol, la Tierra y la Luna, siendo este un problema muy importante para determinar si la órbita de la Luna que está influida por la atracción gravitatoria de la Tierra y del Sol es una órbita estable o por el contrario acabará cayendo a la Tierra o escapándose de esta. Para resolver el problema de los tres cuerpos hay que aplicar el principio de superposición, pero es muy difícil de resolver ya que la posición en cada momento de cada uno de ellos depende a su vez de la posición de los otros dos cuerpos y todas están cambiando constantemente. El gran matemático Henri Poincaré determinó que el problema de los tres cuerpos no tiene solución exacta, sólo se pueden hacer aproximaciones, a esta situación se la denomina caos determinista (caos por su prácticamente imposible precisión y determinista por estar determinado por las leyes gravitacionales). Por esta razón es tan difícil predecir la órbita exacta de los cuerpos celestes, sobre todo de los asteroides cuya órbita puede variar al verse atraídos por un gran cuerpo. Así, siempre se habla de posibilidades de que un asteroide choque con la Tierra, porque su órbita puede variar de un paso a otro al ser modificada por la atracción gravitatoria de otros cuerpos mayores (Sol, planetas y hasta satélites). 10 I.E.S. Infante Don Fadrique Física 2º Bachillerato 2020-2021. Tema 1. Interacción gravitatoria José A. Iniesta 1) La luz del Sol tarda 8 minutos y 16 segundos en llegar hasta la Tierra. Admitiendo que la órbita terrestre es perfectamente circular y que el planeta tarda 365.25 días en completarla, calcular la velocidad de la Tierra alrededor del Sol. Velocidad de la luz c = 3·108 m/s. (1 pto) (R2-2017. Op A). 2) Enunciar las leyes de Kepler. Justificar razonadamente la 3ª ley. (1 pto) (S-2014. Op B). 3) a) Enuncia la tercera ley de Kepler. b) Calcula la distancia que separa al Sol de Júpiter sabiendo que el tiempo que tarda Júpiter en dar una vuelta alrededor Sol es 12 veces el que tarda la Tierra y que la distancia de la Tierra al Sol es 1,5·1011 m. (1 pto) (R1-2009. Op A). Sol: b) rJ = 7,86·1011 m 4) a) Enuncia la tercera ley de Kepler b) El radio de la órbita terrestre es 1,496·1011 m y el de Urano es 2,87·1012 m, determina el periodo orbital de Urano. (1 pto) (R2-2008. Op A). Sol: b) TU = 84,0 a 5) A partir de los datos orbitales terrestres (el periodo de revolución alrededor del Sol es 365 días y la distancia Tierra-Sol es 149.5·106 km), calcula la duración del año marciano sabiendo que Marte se sitúa a 228·106 km del Sol. (1 pto) (S-2015. Op A). Sol: TM = 687 d 6) El planeta Marte tiene dos pequeños satélites: Fobos con un periodo de 7,7 h y una órbita de 9430 km de radio y Deimos, con un periodo de 30,3 h. ¿Cuál es el radio de la órbita de Deimos? (1 pto) (R1-2003. Op A). Sol: rD = 23 504 km 7) Sabiendo que Venus tarda 224,7 días en una revolución completa alrededor del Sol y asimismo que la Tierra invierte 365,256 días en una revolución completa alrededor del Sol y que la distancia a éste es de 149,5·106 km, halla la distancia de Venus al Sol. (1 pto) (R1-2001. Op A). Sol: rV = 108,1·106 km 8) Neptuno y la Tierra describen órbitas en torno al Sol, siendo el radio medio de la órbita de Neptuno 30 veces mayor que el radio medio de la órbita de la Tierra. ¿Cuántos años terrestres tarda Neptuno en recorrer su órbita? (1 pto) (R1-2011. Op B). Sol: TN = 164,3 a 9) Un planeta gigante tiene dos pequeños satélites que describen órbitas circulares de 2·105 km y 1.6·106 km de radio, respectivamente. El satélite más cercano tarda 2 días en completar una órbita. Calcular el periodo orbital del satélite más lejano, justificando la respuesta. (1 pto) (S-2013. Op A). Sol: T2 = 45,25 d 10) Dos planetas describen órbitas circulares en torno a una estrella muy grande en comparación con ambos planetas. El planeta más cercano está a una distancia R de la estrella y tarda un mes en completar su órbita. El planeta más lejano se encuentra a una distancia 2R. ¿Cuánto tarda éste último en completar una vuelta completa? Responder razonadamente. (1 pto) (J-2013. Op A). Sol: T2 = 2,83 mes 11) Razonar la veracidad o falsedad de la siguiente afirmación: La atracción que ejerce la Tierra sobre una manzana es mayor que la que ésta ejerce sobre la Tierra. Por eso la manzana cae hacia la Tierra. (1 pto) (S-2003. Op B). 12) Imagina que participas en una misión tripulada a la superficie de Marte. El peso de la nave en la superficie terrestre es 39200 N. Determina su peso en la superficie marciana. (G = 6,67·10−11 N·m2·kg−2, RM = 3,40⋅106 m, MM = 6,42⋅1023 kg, gT =9,81 m·s−2) (1 pto) (R2-2009. Op A). Sol: PM = 14802 N 13) La intensidad del campo gravitatorio de Marte es 3,7 m·s−2 y su radio 3,4∙106 m. ¿Cuánto vale la masa de Marte? (G = 6,673∙10−11N·m2/kg2). (1 pto) (R1-2007. Op B). Sol: MM = 6,41·1023 kg 14) Suponer que la Tierra, manteniendo su masa actual, fuera comprimida hasta la mitad de su radio. ¿Cuál sería la aceleración de la gravedad g en la superficie de este planeta más compacto? (g0 = 9,81ms-2). (1 pto) (R2-2006. Op B). Sol: g = 39,2 m/s2 15) ¿Cuál sería el valor de la intensidad del campo gravitatorio terrestre si aumenta el radio de la Tierra al doble de su valor, conservándose su masa? g0 = 9,8 N/kg. (1,25 ptos) (J-2000. Op B). Sol: g = 2,45 N/kg 16) La sonda Cassini de la NASA está explorando en la actualidad el sistema de lunas de Saturno. La masa de Titán, la mayor de ellas, es el 2,26 % de la masa de la Tierra, y su radio es el 40 % del radio de la Tierra. ¿Cuál es la aceleración de la gravedad en la superficie de Titán? (gTierra= 9,8 m·s−2) (1 pto) (J-2010. Op A). Sol: gT =1,4 m/s2 17) a) Escribe y comenta la Ley de Gravitación Universal. b) Dos planetas esféricos tienen la misma masa m1 = m2, pero la aceleración de la gravedad en la superficie del primero es tres veces mayor que en la del segundo, g1 = 3 g2. Calcula la relación entre los radios de los dos planetas. (1 pto) (J-2009. Op B). Sol: 𝒓𝟐 = 𝒓𝟏 · √𝟑 18) El valor de la aceleración de la gravedad en la superficie terrestre es 9.80 m·s–2. ¿Cuál será la aceleración de la gravedad a 350 km de altura? Radio terrestre R = 6370 km. (1 pto) (S-2017. Op B). Sol: gh = 8,81 m/s2 19) Calcular la aceleración de la gravedad a una altura de 500 km sobre la superficie de la Tierra. Datos: Radio de la Tierra 6370 km; aceleración de la gravedad en superficie 9.80 m·s−2. (1 pto) (R1-2013. Op A). Sol: gh = 8,43 m/s2 20) Un estudiante de 800 N de peso sube en un globo aerostático hasta una altura de 9500 m sobre la superficie terrestre. Determina el peso del estudiante a esa altura. (RTierra = 6370 km). (1 pto) (R1-2002. Op A). Sol: Ph = 798 N 21) En la superficie terrestre una astronauta pesa 800 N. ¿Cuál será su peso cuando se encuentre en la Estación Espacial Internacional que orbita a una altura de 360 km sobre la superficie de la Tierra? (RTIERRA=6370 km, g0=9,81 m·s−2) (1 pto) (S-2008. Op A). Sol: Ph = 717 N 22) Si la masa de un cuerpo es de 10 kg, ¿cuánto pesaría a 20 000 m de altura sobre el nivel del mar? (RTIERRA = 6370 km, g0 = 9,8 m/s2) (1,25 ptos) (S-2000. Op B). Sol: Ph = 97 N 23) Una mujer cuyo peso en la Tierra es 700 N se traslada a una altura de dos radios terrestres por encima de la superficie de la Tierra. ¿Cuál será su peso a dicha altura? (g0 = 9,81m/s2) (1 pto) (S-2006. Op A). Sol: Ph = 77,8 N 11 I.E.S. Infante Don Fadrique Física 2º Bachillerato 2020-2021. Tema 1. Interacción gravitatoria José A. Iniesta 24) Si un cuerpo pesa en la superficie de la Tierra 80 kp, ¿cuánto pesará a una altura igual al radio terrestre? (g0=9,82 m/s2). (1 pto) (R2-2001. Op B). Sol: Ph = 20 kp 25) Los astronautas en el interior de un satélite que está orbitando a 200 km de altura sobre la superficie de la Tierra experimentan ingravidez. ¿Por qué? ¿Es despreciable la fuerza de gravedad ejercida por la Tierra sobre los astronautas? (1 pto) (S-2002. Op B). Sol: gh = 9,24 m/s2, no es despreciable. 26) ¿Hasta qué altura sobre la superficie terrestre debemos elevar un cuerpo, para que su peso se reduzca a la mitad del que tiene en la superficie terrestre? (RT = 6380km) (1 pto) (R2-2005. Op B) (R2-2002. Op B). Sol: h = 2643 km = 2,64·106 m 27) Considerando el conjunto Tierra y Luna como sistema aislado de toda influencia exterior, ¿a qué distancia entre la Tierra y la Luna debemos situar un cuerpo de forma que se mantenga en equilibrio entre los dos astros sin caer hacia ninguno de ellos? La masa de la Tierra es 81 veces mayor que la de la Luna, y la distancia entre ambas es igual a 3,8·105 km. (1 pto) (Jul-2019. Op B). Sol: rT = 3,42·105 km; rL = 3,80·104 km 28) El planeta Venus describe una órbita circular de 108 millones de kilómetros de radio alrededor del Sol, y la masa del Sol es 4.11·105 veces mayor que la masa de Venus. Usando estos datos, estimar a qué distancia del centro de Venus se encuentra el punto donde la atracción de la gravedad del planeta tiene la misma magnitud que la atracción de la gravedad del Sol. (1 pto) (R2-2014. Op A). Sol: rV = 168 200 km 29) Calcula la distancia al centro de la Tierra de un punto donde la aceleración de la gravedad es g/4. RT = 6,37∙106 m. (1 pto) (J-2007. Op A). Sol: rext = 1,27·107 m; rint = 1,59·106 m 30) Para medir la aceleración de la gravedad se han colgado del techo de un taller anexo al laboratorio de Física varios péndulos simples de distintas longitudes y se han medido los tiempos invertidos por cada uno de ellos para completar 5 oscilaciones (véase la tabla). Calcular la aceleración de la gravedad. (1 pto) (J-2017. Op A). Sol: g = 9,80 m/s2 L (cm) 220 302 401 502 t (s) 14,9 17,4 20,1 22,5 31) Al medir con un cronómetro los tiempos invertidos en describir 20 oscilaciones por parte de cuatro péndulos simples de distintas longitudes, se han obtenido los valores que se presentan en la tabla adjunta. Determinar el valor de la aceleración de la gravedad. (1 pto) (R1-2016. Op B). Sol: g = 9,81 m/s2 L (m) 1,00 1,20 1,70 1,90 t (s) 40,10 44,00 52,20 55,40 L (m) 0,80 1,00 1,20 1,40 t2 (s) 9,4 10,5 11,6 12,4 32) En un laboratorio de Física instalado en la Luna se dispone de tres péndulos simples. Para cada uno de ellos se mide el tiempo que invierte en realizar 5 oscilaciones completas. Los datos están listados en la tabla a la derecha. Explicar cómo puede calcularse la aceleración de la gravedad en La Luna y determinar su valor a partir de estos datos. (1 pto) (S-2012. Op B). Sol: g = 1,62 m/s2 33) Un astronauta situado en la superficie de un satélite del sistema solar realiza un experimento de péndulos para medir la gravedad. Varía las longitudes de los péndulos y cuenta 4 oscilaciones de cada uno, midiendo los tiempos invertidos en completarlas. Los datos obtenidos se indican en la tabla siguiente (longitudes expresadas en cm y tiempos de las 4 oscilaciones en segundos). Calcular la aceleración de la gravedad en ese satélite. (1 pto) (J-2019. Op B). Sol: g = 1,80 m/s2 34) Ganimedes es el mayor satélite de Júpiter y también de todo el sistema solar. Supongamos que un astronauta en la superficie de este satélite dispone de varios péndulos simples, de las longitudes indicadas en la columna L(m) de la tabla y mide los tiempos que cada uno de dichos péndulos invierte en 2 oscilaciones completas (columna t2(s)). Utilizar estos datos para obtener el valor de la aceleración de la gravedad en Ganimedes. (1 pto) (Jul-2020). Sol: g = 1,43 m/s2 35) Un péndulo simple de longitud L = 223.5 cm oscila con un periodo T= 3.00 s en un laboratorio situado en la Tierra. ¿Cuánto tiempo tardaría este mismo péndulo en describir 10 oscilaciones completas en un exoplaneta donde la gravedad fuese cuatro veces mayor que la aceleración de la gravedad de la Tierra? (1 pto) (R2-2019. Op. A). Sol: t = 15,0 s 36) En el laboratorio del instituto medimos el tiempo que tarda un péndulo simple en describir oscilaciones de pequeña amplitud para determinar el valor de la aceleración de la gravedad. Responde a las siguientes cuestiones: a) Si repites la experiencia con otra bola de masa distinta, ¿obtendrías los mismos resultados? ¿Por qué? b) ¿Qué longitud debería tener el hilo para que el periodo fuera el doble del obtenido? c) En la luna, donde la gravedad viene a ser 6 veces menor que en la Tierra (gTierra = 9,8 m/s2) ¿Cuál sería el periodo de un péndulo, si en la Tierra su periodo es de 2 segundos? (1 pto) (S-2010. Op A). Sol: b) L2 = 4·L1; c) TL = 4,9 s 37) Si el Sol se colapsara de pronto transformándose en una “enana blanca” (igual masa en mucho menos volumen) ¿cómo afectaría al movimiento de la Tierra alrededor del Sol? (1 pto) (J-2003. Op B). 38) ¿Con qué velocidad debe girar un satélite de comunicaciones, situado en una órbita ecuatorial, para que se encuentre siempre sobre el mismo punto de la Tierra? Datos: G = 6,67·10−11 N·m2·kg−2, MTierra = 5,98·1024 kg (1 pto) (J-2011, Op B) Sol: v = 3,07·103 m/s 39) Dos satélites de igual masa están en órbitas de radios R y 2R alrededor del mismo planeta. a) ¿Cuál de ellos lleva mayor velocidad? b) Si las masas fuesen distintas, ¿se modificaría la respuesta al apartado anterior? Justificar la respuesta. (1 pto) (R2-2019. Op A). 40) Dos satélites artificiales describen órbitas circulares alrededor de un planeta de radio R, siendo los radios de sus órbitas respectivas 1,050R y 1,512R. ¿Cuál es la relación entre las velocidades orbitales de ambos satélites? ¿Qué satélite lleva mayor velocidad? (1 pto) (S-2016. Op A). Sol: v1/v2 = 1,2 12 I.E.S. Infante Don Fadrique Física 2º Bachillerato 2020-2021. Tema 1. Interacción gravitatoria José A. Iniesta 41) Dos satélites de igual masa giran alrededor de un planeta en órbitas de radio R y 4R, respectivamente. ¿Cuál de los satélites lleva una mayor velocidad orbital?, ¿y si los satélites tuvieran distinta masa? (1 pto) (S-2004. Op A). 42) Unos científicos extraterrestres situados a unas decenas de años luz observan nuestro sistema solar con un telescopio espacial de última tecnología que orbita su propio planeta y hacen unas medidas bastante precisas, obteniendo para la distancia TierraLuna un valor de 380 000 km (radio de la órbita) y otro valor de 2,42·106 segundos para el tiempo que invierte la Luna en realizar una órbita completa alrededor de la Tierra. Con estos datos, ¿cuál será su estimación de la masa de la Tierra si se considera que la órbita de la Luna es circular? G = 6.67·10−11 N·m2·kg−2. (1 pto) (R1-2010). Sol: MT = 5,55·1024 kg 43) Un satélite artificial se coloca en órbita circular de radio 2500 km alrededor del planeta Mercurio, invirtiendo 88 minutos y 26 segundos en describir una órbita completa. Calcular la masa de Mercurio. G = 6.67·10‒11 N m2 kg‒2. (1 pto). (Jul-2018. Op A). Sol: MM = 3,28·1023 kg 44) Se dice que un satélite está en una órbita ecuatorial geoestacionaria cuando su periodo orbital es el mismo que el periodo de rotación del planeta, porque de este modo el satélite permanece siempre sobre el mismo punto de la superficie. Un estudiante afirma que en un planeta que gire en torno a su eje con la misma velocidad angular que la Tierra, pero cuya masa sea la mitad, el radio de la órbita geoestacionaria será también la mitad del que corresponde a la Tierra. Explicar razonadamente si este estudiante está en lo cierto o está equivocado. (1 pto) (R1-2012. Op B). 45) Se dice que un satélite está en órbita geoestacionaria cuando mantiene su posición sobre el mismo punto del ecuador terrestre. Calcular la altura de la órbita geoestacionaria sobre la superficie en función de la constante de gravitación, de la masa, del radio y de la velocidad angular de la Tierra. (1 pto) (S-2020). 46) Calcular la masa terrestre a partir de los valores del periodo de rotación de la Luna entorno a la Tierra, T=27,3 días, y del radio medio de su órbita Rm=3,84108 m. (G= 6,67210−11 N·m2/kg2). (1 pto) (J-2006. Op A). Sol: MT = 6,02·1024 kg 47) La Luna tarda aproximadamente 28 días en dar una vuelta alrededor de la Tierra. ¿Cuánto tardaría si el radio de su órbita fuera la mitad del actual? (1 pto) (R2-2004. Op B). Sol: TL = 9,9 d 48) Un planeta de masa 4.87·1024 kg describe una órbita circular de radio 108 millones de kilómetros alrededor de su estrella. El periodo orbital de este planeta es de 224.7 días. a) Calcular la aceleración centrípeta del planeta y su velocidad orbital alrededor de la estrella. b) Calcular la masa de la estrella. c) En el mismo sistema solar hay otro planeta más lejano en órbita circular a una distancia de 4500 millones de kilómetros de la estrella. ¿Cuántos años tarda este otro planeta en recorrer su órbita? Constante de gravitación 6.67·10–11 N·m2·kg–2. (3 ptos) (R1-2015. Op A). Sol: a) ac = 1,13·10–2 m/s2; v = 34 953 m/s; b) M =1,98·1030 kg; c) T = 165,5 a 49) El satélite artificial Swift de 1500 kg de masa, dedicado al estudio de explosiones de rayos gamma, gira en una órbita circular a una altura de 284 km sobre la superficie terrestre, determina: a) La velocidad orbital del satélite y su energía mecánica. b) El periodo orbital expresado en minutos. c) El peso de un sensor de rayos X de 130 kg de masa que viaja con el satélite. Datos: G = 6,67·10 −11 N·m2·kg−2, MTIERRA= 5,98·1024 kg, RTIERRA= 6370 km. (3 ptos) (J-2009. Op A). Sol: a) v = 7,74·103 m/s; E = −4,50·1010 J; b) T = 5400 s =1,50 h; c) P = 1,17·103 N 50) Dos planetas orbitan una misma estrella siguiendo órbitas circulares. Se sabe que el planeta más cercano invierte 224.5 días en describir una órbita completa y que el planeta más lejano se encuentra a una distancia de la estrella 41.57 veces mayor que el cercano. a) Calcular el tiempo (en años) que el planeta lejano tarda en completar una órbita. b) Hallar el cociente entre la velocidad orbital del planeta cercano y la velocidad orbital del planeta lejano. c) La masa de la estrella es 1.98·1030 kg. Calcular la distancia (en km) de los dos planetas a la estrella. (G = 6,67∙10−11 N·m2·kg−2). (3 ptos) (R2-2017. Op B). Sol: a) T2 = 164,7 a; b) v1/v2 = 6,45; c) r1 = 1,08·108 km; r2 = 4,49·109 km 51) Un satélite artificial orbita alrededor de la Tierra a una altura h = 3,59∙107 m sobre la superficie terrestre. Calcula: a) La velocidad del satélite; b) Su aceleración; y c) El período de rotación del satélite alrededor de la Tierra, expresado en días. ¿Qué nombre reciben los satélites de este tipo? (G = 6,672∙10−11 N·m2·kg−2, RTierra = 6370 km, MTierra = 5,98∙1024 kg). (3 ptos) (R1-2006. Op B). Sol: a) v = 3,07·103 m/s; b) a = 2,23·10−1 m/s2; c) T = 1,00 d 52) La nave espacial Discovery lanzada en octubre de 1998 describía entorno a la Tierra una órbita circular con una velocidad de 7,62 km/s. a) ¿A qué altura sobre la superficie terrestre se encontraba la nave?; b) ¿Cuál será su periodo?; y c) Si cada vez que realizan una órbita sus tripulantes ven un amanecer, ¿cuántos amaneceres verán en 24 horas? (MTierra = 5,981024 kg, RTierra = 6370 km, G = 6,6710−11 N·m2/kg2). (3 ptos) (R2-2004. Op A). Sol: a) h = 4,99·105 m; b) T = 1,57 h; c) 15 53) El periodo de revolución de la Luna en su giro alrededor de la Tierra es de 27,3 días y su distancia promedio vale 383 000 km. Calcula: a) la velocidad lineal y angular de la Luna; b) su aceleración centrípeta; c) el valor de la constante de gravitación universal si la masa de la Tierra es 5,981024kg. (3 ptos) (R2-2001. Op A). Sol: a) v = 1,02·103 m/s; =2,66·10−6 rad/s; b) a = 2,72·10−3 m/s2; c) G = 6,67·10−11 N·m2/kg2 54) La relación entre la masa de la Tierra y de la Luna es MT/ML = 79,63, y la relación entre los radios de ambas es RT/RL = 3,66.a) Calcula la gravedad en la superficie de la Luna. b) Hallar la velocidad de una sonda que describe una órbita circular de 2300 km de radio alrededor de la Luna. c) ¿Dónde es mayor el periodo de un péndulo de longitud L, en la Tierra o en la Luna? ¿Cuántas veces mayor? Datos: gravedad en la superficie de la Tierra gT = 9,80 m·s–2; radio de la Luna RL = 1700 km. (3 ptos) (R2-2016. Op A). Sol: a) gL = 1,65 m/s2; b) v= 1440 m/s; c) TL = 2,44·TT 55) En el año 2017 se anunció el descubrimiento de un sistema extrasolar formado por siete planetas alrededor de una estrella enana roja de masa M = 1.77·1029 kg. Uno de estos planetas, que tiene una masa estimada m = 5,58·1024 kg y un radio R = 6660 km, completa una órbita circular alrededor de su estrella cada 9 días terrestres y 4,8 horas. Se pide: a) Calcular la 13 I.E.S. Infante Don Fadrique Física 2º Bachillerato 2020-2021. Tema 1. Interacción gravitatoria José A. Iniesta distancia del planeta a su estrella. b) Calcular la velocidad orbital del planeta. c) ¿Cuál sería el periodo de un péndulo simple de 85 cm de longitud situado en la superficie de ese planeta? Constante de gravitación G = 6.67·10−11 N·m2·kg−2. (3 ptos) (S-2020). Sol: a) r = 5,74·109 m; b) v = 45 359 m/s; c) T = 2,00 s 56) Un planeta de masa M tiene dos pequeños satélites S1 y S2, ambos de masa mucho más pequeña que la del planeta. El satélite interior S1 describe una órbita circular, de la que se ha medido con precisión tanto su radio (R1 = 8000 km) como el periodo orbital (T1 = 4 horas 52 minutos 3 segundos). Del satélite exterior S2, también en órbita circular, se sabe que su periodo orbital es ocho veces mayor que el del satélite interior S1. La constante de gravitación universal es G = 6.67·10−11 N·m2·kg−2. Se pide: a) Explicar cómo puede determinarse la masa M del planeta a partir de los datos orbitales conocidos del satélite S1, y obténgase el valor de esa masa. b) Explicar cómo puede determinarse el radio de la órbita del satélite exterior S2, y hallar el valor de dicho radio. c) Calcular en km/s la velocidad orbital de ambos satélites S1 y S2. (3 ptos) (R2-2012. Op B). Sol: a) M = 9,87·1023 kg; b) R2 = 32 000 km; c) v1 = 2,87 km/s; v2 = 1,43 km/s 57) Un planeta gigante de radio 𝑅 tiene dos satélites S1 y S2 que giran a su alrededor en órbitas circulares de radios 10𝑅 y 20𝑅 respectivamente. La masa del planeta es 𝑀=1027 kg, y el tiempo invertido por el satélite S1 en cada órbita es 4 días 13 horas y 25 minutos. a) Calcular el radio 𝑅 del planeta en km. b) Calcular la velocidad orbital de S1 en km/s. c) Calcular el periodo orbital de S2. Constante de gravitación 𝐺=6.67·10−11 N·m2·kg−2. (3 ptos) (Jul-2020). Sol: a) R = 64 000 km; b) v = 10,2 km/s; c) T2 = 12 d, 21 h, 29 min 58) a) ¿Cuál es la aceleración de la gravedad en la superficie de un planeta cuyo radio es la mitad del de la Tierra y posee la misma densidad media? Dato: gT = 9,8 m/s2. b) ¿Cuál será el periodo de un satélite que orbita a una altura de 400 km sobre la superficie del planeta? Dato: RT =6370 km. (2 ptos) (Madrid. S-2007). Sol: a) g = 4,9 m/s2; b) T = 6049 s = 1,68 h 59) Dibuja las líneas de campo del campo de fuerzas gravitatorio creado por una masa puntual M. ¿Pueden cortarse entre sí? ¿Por qué? (1 pto) (R2-2003. Op B). 60) En el campo gravitatorio creado por una masa puntual se superponen dos campos: uno escalar y otro vectorial. ¿De qué campos se trata? ¿Qué relación existe entre ellos? Represéntalos gráficamente. (1 pto) (J-2002. Op B). 61) Demostrar que la energía mecánica de un satélite que describe una órbita circular es igual a la mitad de su energía potencial gravitatoria. (1 pto) (R1-2008. Op B). 62) Los planetas y satélites se mueven en órbitas fijas, sin poder alejarse más. ¿Por qué? (1 pto) (S-2001. Op A). 63) ¿Qué trabajo tendríamos que hacer para trasladar una masa M, dentro del campo gravitatorio terrestre, desde un punto A a otro B que está a la misma distancia del centro de la Tierra? ¿Qué forma tendrán las superficies equipotenciales del campo gravitatorio terrestre? Justifica la respuesta. (1,25 ptos) (S-2000. Op A). 64) ¿Aumenta o disminuye la energía potencial gravitatoria cuando nos movemos desde un punto situado a gran altura en dirección hacia la superficie de la Tierra? Razónelo. (1 pto) (S-2012. Op A). 65) Un cometa se mueve en una órbita elíptica alrededor del Sol. Explique en qué punto de su órbita, afelio (punto más alejado del Sol) o perihelio (punto más cercano al Sol) tiene mayor valor: a) La velocidad. b) La energía mecánica. (2 ptos) (Madrid) 66) La energía potencial gravitatoria de una masa m = 10 kg es, en un determinado punto del campo, de 2500 J. En otro punto de ese campo es de 4000 J. ¿Cuál es el potencial en dichos puntos? ¿Qué trabajo se realiza cuando la masa se desplaza desde el primer punto al segundo? (1,25 ptos) (R2-2000. Op A). Sol: V1 = −250 J/kg; V2 = −400 J/kg; W = 1500 J 67) a) Deduce la expresión de la velocidad de escape desde la superficie de un planeta. b) Determina la velocidad de escape desde la superficie terrestre. (G = 6,67·10−11 N·m2·kg−2, MT= 5,98·1024 kg, RT= 6370 km). (1 pto) (J-2008. Op A). Sol: b) v = 1,12·104 m/s 68) a) Define el concepto de velocidad de escape y deduce la expresión de velocidad de escape desde la superficie de un planeta de masa M y radio R. b) Determina la velocidad de escape desde la superficie marciana. (G = 6,67·10−11 N·m2·kg−2, MMARTE = 6,42⋅1023 kg, RMARTE = 3,40·106 m). (1 pto) (S-2009. Op B). Sol: b) v = 5,02·103 m/s 69) Define el concepto de velocidad de escape desde la superficie de un planeta. Deduce razonadamente su expresión en función del radio y la masa del planeta. (1 pto) (R1-2006. Op A), (J-2014. Op B), (R1-2016. Op A). 70) ¿A qué se refiere el concepto de velocidad de escape desde la superficie de un planeta? Deducir su expresión a partir de consideraciones de energía. (1 pto) (S-2005. Op B), (J-2016. Op A). 71) ¿Cómo son en comparación la velocidad de escape desde la superficie de la Tierra para un camión, una pelota de ping-pong y una molécula de oxígeno? ¿Cuál de ellas es mayor? (1 pto) (J-2012. Op B). 72) a) Deduce la expresión de velocidad de escape. b) Determina la velocidad de escape desde la superficie de la Luna. Datos: MLuna=7,36∙1022 kg, RLuna=1,74∙106 m, G = 6,673∙10−11 N·m2/kg2. (1 pto) (S-2007. Op A). Sol: b) v = 2,38·103 m/s 73) Dos planetas de la misma masa tienen radios R y 4R, respectivamente. ¿Cuál de los dos tiene mayor velocidad de escape desde su superficie? ¿Cuántas veces mayor comparada con la velocidad de escape del otro planeta? (1 pto) (R2-2013. Op A). 74) Si la masa de un satélite es 100 veces menor que la masa del planeta alrededor del cual orbita, y el radio del satélite es 4 veces más pequeño; ¿qué relación guardan las velocidades de escape de un objeto desde ambas superficies? (1 pto) (J-2015. Op B). Sol: vp = 5·vs 75) Un planeta rocoso parecido a la Tierra tiene una masa 4 veces superior a la de ésta (los planetas de este tipo son denominados “supertierras” por los astrónomos). Suponiendo que su radio es el doble del radio terrestre, estimar para esta supertierra el valor 14 I.E.S. Infante Don Fadrique Física 2º Bachillerato 2020-2021. Tema 1. Interacción gravitatoria José A. Iniesta de la gravedad y el valor de la velocidad de escape desde la superficie, comparadas ambas con los valores terrestres. (1 pto) (R2-2016. Op B). Sol: a) gp = gT; b) 𝒗𝐩 = √𝟐 · 𝒗𝐓 76) En los últimos años se ha detectado la presencia de algunos planetas de características semejantes a la Tierra, aunque de tamaño algo mayor, que orbitan alrededor de otras estrellas. Uno de ellos tiene una masa 4.41 veces mayor que la masa de la Tierra. Contestar razonadamente a las siguientes cuestiones: a) ¿Cuántas veces mayor debería ser el radio de este planeta, comparado con el de la Tierra, para que la gravedad en su superficie fuese la misma? b) Suponiendo que el planeta tuviese efectivamente dicho radio, ¿cómo sería la velocidad de escape desde su superficie en comparación con la velocidad de escape desde la superficie de la Tierra? (1 pto) (R2-2015. Op B). Sol: a) rp = 2,1·rT; b) vp = 1,45·vT 77) Supongamos que la Tierra, manteniendo su masa, aumentara su radio medio. ¿Cómo variaría la velocidad de escape? (1 pto) (J-2001. Op A). 78) Supongamos que el radio del Sol aumenta, aunque sin variar su masa. a) ¿Cambiaría la velocidad de escape desde el Sol? b) ¿Cambiaría la órbita de la Tierra? Explicar razonadamente (esta situación de cambio en el radio del Sol ocurrirá en un futuro lejano, cuando se agote la provisión de hidrógeno de su núcleo). (1 pto) (Jul-2020). 79) Dos planetas rocosos tienen radios R1 y R2 = 1.2R1. ¿Cuál debería ser la razón de sus masas M2/M1 para que las respectivas velocidades de escape desde sus superficies fuesen iguales? (1 pto) (R1-2018. Op A). Sol: M2/M1 = 1,2 80) La velocidad de escape desde la superficie de un planeta de masa M y radio R es 11.2 km/s. ¿Cuál será la velocidad de escape desde la superficie de un satélite cuya masa es el 1,2% de la masa del planeta y cuyo radio es el 27,3% del radio del planeta? (1 pto) (R1-2015. Op B). Sol: v = 2,35 km/s 81) La masa de la Luna es igual al 1.23% de la masa de la Tierra, y el radio de la Luna es el 27.3% del radio de la Tierra. Calcular cuántas veces mayor es la velocidad de escape desde la superficie terrestre comparada con la velocidad de escape de la Luna. (1 pto) (R2-2018. Op B). Sol: vTierra = 4,71·vLuna 82) La sonda Cassini de la NASA está explorando en la actualidad el sistema de lunas de Saturno. La masa de Titán, la mayor de ellas, es el 2,26 % de la masa de la Tierra, y su radio es el 40 % del radio de la Tierra. ¿Cuál es la velocidad de escape desde la superficie de Titán? (vescape desde la superficie de la Tierra = 11,2 km/s). (1 pto) (R2-2010. Op B). Sol: v = 2,66 km/s 83) Un satélite artificial de 820 kg gira alrededor de un planeta describiendo una órbita geoestacionaria (es decir, se mantiene siempre en la vertical del mismo punto del ecuador), de modo que da una vuelta completa cada 24 horas. La masa y el radio del planeta son 5.98·1024 kg y 6370 km, respectivamente. a) Calcular a qué altura sobre la superficie del planeta se encuentra este satélite. b) Calcular la velocidad del satélite en su órbita. c) Determinar la energía mecánica del satélite y su energía potencial. Constante de gravitación G = 6.67·10–11 N m2 kg–2. (3 ptos) (S-2015. Op B). Sol: a) h = 35880 km; b) v = 3072 m/s; c) EM = −3,87·109 J; U = −7,74·109 J 84) Un satélite de 400 kg de masa gira en una órbita geoestacionaria, es decir su periodo orbital es 24 horas de manera que la vertical de satélite siempre pasa por el mismo punto de la superficie terrestre. Calcula: a) La altura de la órbita sobre la superficie terrestre. b) El módulo de la velocidad del satélite. c) Su energía mecánica. (G = 6,67·10−11 N·m2·kg−2, MT= 5,98·1024 kg, RT= 6370 km). (3 ptos) (R1-2008. Op A). Sol: a) h = 3,59·107 m; b) v = 3,07·103 m/s; c) E = −1,89·109 J 85) Un satélite de comunicaciones describe una órbita ecuatorial de modo que su velocidad angular es igual a la velocidad angular de la Tierra, por lo que visto desde la superficie siempre mantiene su posición fija sobre el mismo punto del ecuador (órbita geoestacionaria). a) Calcular en km el radio de la órbita del satélite y su altura sobre la superficie. b) La masa del satélite es m = 2500 kg. Calcular su energía cinética. c) Consideremos un satélite geoestacionario en órbita alrededor de otro planeta de la misma masa que la Tierra, pero cuyo periodo de rotación fuese 48 horas en lugar de 24. Explicar razonadamente si el radio de la órbita geoestacionaria alrededor de ese planeta sería mayor o menor. Datos. Constante gravitación G = 6.67·10‒11 N m2 kg‒2. Tierra: MT = 5.98·1024 kg; RT = 6370 km. (3 ptos) (J-2018. Op A). Sol: a) r =42250 km; h = 35880 km; b) Ec = 1,18·1010 J; c) Mayor (r2 = 56 956 km) 86) Tritón es un satélite de masa m = 2.14·1022 kg que describe una órbita circular de radio 354759 km alrededor del planeta Neptuno. El periodo de revolución del satélite es de 5.88 días. a) Calcular la velocidad de Tritón en su órbita. b) Calcular la masa de Neptuno. c) ¿Qué es la energía mecánica? ¿Cuál es la energía mecánica del sistema Tritón-Neptuno? Constante de gravitación G = 6.67·10−11 N·m2·kg−2. (3 ptos) (R2-2019. Op B). Sol: a) v = 4388 m/s; b) M = 1,02·1026 kg; c) EM = −2,06·1029 J 87) Un satélite del sistema de posicionamiento GPS tiene una masa de 850 kg y se encuentra en una órbita circular a una altura h = 20 200 km sobre la superficie terrestre. Determinar: a) La velocidad y el periodo orbital del satélite al girar en torno a la Tierra. b) El peso del satélite mientras está en órbita. c) La energía potencial y la energía cinética del satélite. (G = 6,67·10−11 N·m2·kg−2, MTIERRA = 5,98·1024 kg, RTIERRA = 6370 km). (3 ptos) (R2-2008. Op B). Sol: a) v = 3,87·103 m/s; T = 12 h; P = 480 N; c) U = −1,28·1010 J; Ec = 6,38·109 J 88) El satélite de telecomunicaciones ASTRA 1E de 3014 kg de masa gira en una órbita geoestacionaria (su periodo orbital es un día) de manera que la vertical del satélite siempre pasa por el mismo punto de la Tierra. Calcula: a) La altura del satélite sobre la superficie terrestre y el radio de la órbita. b) La velocidad orbital del satélite. c) El peso de un sensor de 20 kg de masa que viaja con el satélite. Datos: G = 6,67·10−11 N·m2·kg−2, MT= 5,98·1024 kg, RT= 6370 km. (3 ptos) (R1-2009. Op B). Sol: a) r = 4,225·107 m; h = 3,588·107 m = 35 880 km; b) v = 3,07·103 m/s; c) P = 4,47 N 89) Una sonda espacial de 500 kg orbita un planeta enano de 2370 km de diámetro empleando 3 horas y 10 minutos en completar cada vuelta. La lectura del radar de la sonda indica que la altura del vehículo sobre la superficie es 215 km. a) Calcular la masa del planeta enano. b) Calcular la velocidad y la energía mecánica de la sonda. c) Suponiendo que la sonda maniobra 15 I.E.S. Infante Don Fadrique Física 2º Bachillerato 2020-2021. Tema 1. Interacción gravitatoria José A. Iniesta modificando su distancia a la superficie y alcanzando una altura mayor, ¿se incrementará o disminuirá su velocidad orbital? Justificar razonadamente. 𝐺 = 6.67·10−11 N·m2·kg−2. (3 ptos) (Jul-2019. Op A). Sol: a) M = 1,25·1022 kg; b) v = 772 m/s; E = −1,49·108 J 90) Un satélite en órbita geoestacionaria describe una órbita circular en el plano ecuatorial de la Tierra de forma que se encuentra siempre encima del mismo punto de la Tierra, es decir su periodo orbital es 24 horas. Determina: a) El radio de su órbita y la altura a la que se encuentra el satélite sobre la superficie terrestre. b) La velocidad orbital. c) Su energía mecánica si la masa del satélite es 72 kg. Datos: G = 6,67·10−11 N·m2·kg−2, MTIERRA= 5,98·1024 kg, RTIERRA= 6370 km. (3 ptos) (J-2007. Op B). Sol: a) r = 4,225·107 m; h = 3,588·107 m = 35 880 km; b) v = 3,07·103 m/s; c) E = −3,40·108 J 91) Un satélite de comunicaciones de 500 kg se coloca en órbita geoestacionaria (visto desde la superficie de la Tierra siempre se encuentra situado en la vertical del mismo punto del ecuador). a) ¿Cuál es la altura de este satélite geoestacionario sobre la superficie terrestre? b) Calcular las energías cinética y potencial del satélite geoestacionario. c) Un satélite espía de la misma masa (500 kg) orbita la Tierra a una altura de 350 km sobre la superficie. Comparar su velocidad y su energía potencial con las del satélite geoestacionario. Datos Tierra: masa M = 5.97·1024 kg; radio R = 6370 km. G = 6.67·10−11 N·m2·kg−2. (3 ptos) (J-2019. Op A). Sol: a) h = 35 857 km; b) Ec = 2,36·109 J; U = −4,71·109 J; c) v´= 2,51·v; U´= 6,28·U 92) La Agencia Espacial Europea lanzó el pasado 27 de marzo dos satélites del Sistema de Navegación Galileo. Dichos satélites de masa 1,5 toneladas cada uno, orbitan ya a 22 322 km sobre la superficie de la Tierra. Calcula: a) El valor de la velocidad orbital y el período de cada satélite. b) La energía que posee cada satélite en su órbita. c) La variación de energía potencial que experimentaron al elevarlos desde la superficie de la Tierra hasta situarlos en dicha órbita. Datos: 1 tonelada = 1000 kg; G = 6,67·10-11 N·m2·kg-2; MTIERRA = 5,98·1024 kg; RTIERRA = 6370 km. (3 ptos) (J-2015. Op A). Sol: a) v = 3728,5 m/s; T = 13 h 25 min 51 s; b) E = −1,04·1010 J; c) ΔU = 7,31·1010 J 93) Desde un lugar de la Tierra se observa el paso de un satélite artificial cada 100 minutos. Suponiendo que la órbita es circular y siendo la masa del satélite de 500 kg, calcular: a) El radio de la órbita. b) La velocidad del satélite en dicha órbita. c) La energía total del satélite. MTIERRA= 5,98·1024 kg; G = 6,67·10−11 N·m2/kg2. (3 ptos) (R1-2003. Op B). Sol: a) r = 7,14·106 m; b) v = 7,48·103 m/s; c) E = −1,40·1010 J 94) Un satélite de 200 kg de masa gira en una órbita circular a una altura de 600 km sobre la superficie terrestre. Calcula: a) La velocidad orbital del satélite. b) El periodo orbital, expresado en horas. c) La energía cinética, la energía potencial y la energía mecánica. Basándote en los resultados obtenidos comprueba que la energía mecánica es un medio de la energía potencial. Datos: G = 6,67·10−11 N·m2·kg−2, MTIERRA= 5,98·1024 kg, RTIERRA= 6370 km. (3 ptos) (S-2009, Op A) Sol: a) v = 7,56·103 m/s; b) T = 1,61 h; c) Ec = 5,72·109 J; U = −1,14·1010 J; E = −5,72·109 J 95) Encélado es un satélite de Saturno que describe una órbita de 238 000 km alrededor del planeta. La masa de Saturno es 5,688·1026 kg y la de Encélado es 1,080·1020 kg. Suponiendo que la trayectoria de Encélado alrededor de Saturno es circular, calcúlese: a) El tiempo invertido por Encélado para describir una órbita alrededor del planeta. b) La energía cinética de Encélado en su órbita alrededor de Saturno. c) La energía potencial gravitatoria del sistema Saturno-Encélado. ¿Hay alguna relación entre el resultado obtenido para la energía potencial gravitatoria del sistema y la energía cinética calculada en el apartado anterior? Dato: G = 6,67·10−11 N·m2/kg2. (3 ptos) (S-2011. Op B). Sol: a) T = 32,90 h; b) Ec = 8,608·1027 J; c) U = −1,722·1028 J; U = −2·Ec 96) Un planeta extrasolar gira en torno a una estrella cuya masa es igual al 30% de la masa del Sol. La masa del planeta es 3.24 veces mayor que la de la Tierra, y tarda 877 horas en describir una órbita completa alrededor de su estrella. a) ¿Cuántas veces mayor debe ser el radio del planeta respecto al de la Tierra para que la aceleración de la gravedad en su superficie sea la misma que en la superficie de la Tierra? b) ¿Cuál es la velocidad del planeta en su órbita, suponiendo órbita circular? c) ¿Cuál es la energía mecánica del sistema estrella + planeta? Datos: G = 6,67·10−11 N m2·/kg2, mTierra = 6·1024 kg, MSol = 2·1030 kg. (3 ptos) (J-2012. Op A). Sol: a) rP = 1,80·rT; b) v = 4,30·104 m/s; E = −1,80·1034 J 97) El planeta Venus, cuya masa es 4.87·1024 kg, gira alrededor del Sol describiendo una órbita circular de 108 millones de kilómetros de radio. a) Si la aceleración de la gravedad en la superficie de Venus es 8.87 m·s–2, calcular el diámetro del planeta (en km). b) Calcular la velocidad orbital de Venus alrededor del Sol y el tiempo (en días) que tarda en dar una vuelta completa. c) Calcular qué velocidad tendría que tener el planeta Venus para escapar de la atracción gravitatoria del Sol. Datos: Masa del Sol M = 2·1030 kg; constante de gravitación G = 6.67·10–11 N·m2·kg–2. (3 ptos) (J-2013. Op B). Sol: a) D = 12103 km; b) v = 3,51·104 m/s; T = 223,5 d; c) v = 4,97·104 m/s 98) Io, un satélite de Júpiter, tiene una masa de 8,9·1022 kg, un periodo orbital de 1,77 días, y un radio medio orbital de 4,22×108 m. Considerando que la órbita es circular con este radio, determine: a) La masa de Júpiter. b) La intensidad de campo gravitatorio, debida a Júpiter, en los puntos de la órbita de Io. c) La energía cinética de Io en su órbita. d) El módulo del momento angular de Io respecto al centro de su órbita. Dato: G= 6,67·10–11 N m2 kg–2. (2 ptos) (Madrid. J-2010). Sol: a) MJ = 1,90·1027 kg; b) g = 0,71 m/s2; c) Ec = 1,34·1031 J; d) L = 6,51·1035 kg·m2·s−1 99) Un satélite de 1000 kg de masa describe una órbita circular de 12×103 km de radio alrededor de la Tierra. Calcule: a) El módulo del momento lineal y el módulo del momento angular del satélite respecto al centro de la Tierra. ¿Cambian las direcciones de estos vectores al cambiar la posición del satélite en su órbita? b) El periodo y la energía mecánica del satélite en la órbita. Datos: MT = 5,98·1024 kg; G = 6,67·10-11 N m2 kg-2. (2 ptos) (Madrid 2010). Sol: a) p = 5,77·106 kg·m/s; L = 6,92·1013 kg·m2·s−1; b) T = 3,63 h; E = −1,66·1010 J 100) Un satélite artificial de 500 kg entra en órbita circular a 17.34 km/s alrededor de un planeta gigante. El satélite tarda 42 horas en describir una órbita completa en torno a este planeta. a) Calcular el radio de la órbita del satélite artificial. b) Calcular la 16 I.E.S. Infante Don Fadrique Física 2º Bachillerato 2020-2021. Tema 1. Interacción gravitatoria José A. Iniesta masa del planeta gigante. c) Una vez terminada su misión, se quiere que el satélite se libere del planeta y prosiga su viaje. Calcular la energía necesaria para ello. Dato: constante de gravitación G = 6.67·10−11 N m2 kg−2. (3 ptos) (R1-2013. Op B). Sol: a) R = 4,17·108 m; b) M = 1,88·1027 kg; c) E = 7,52·1010 J 101) Un satélite artificial de 200 kg describe una órbita circular de 51942 km de radio alrededor de un planeta, invirtiendo 8 horas en completar una revolución. a) Calcular la masa del planeta. b) Calcular la velocidad orbital del satélite. c) Se enciende el motor del satélite de modo que, a costa de la energía contenida en su combustible, se incrementa en un 2% su energía mecánica. De este modo se consigue que el satélite pase a describir otra órbita circular. ¿Cuál será el radio de esta nueva órbita? (suponemos que la masa del satélite no sufre variación significativa al realizar esta maniobra). Constante de gravitación G = 6.67·10−11 N m2 kg−2. (3 ptos) (R1-2017. Op A). Sol: a) M = 1,00·1026 kg; b) v = 11,3 km/s; c) r2 = 53002 km 102) Una misión cuyo objetivo es la exploración de Marte pretende colocar un vehículo de 490 kg en una órbita circular de 3500 km de radio alrededor de ese planeta. Determinar: a) Energía cinética del vehículo en órbita y tiempo necesario para completar una órbita. b) Energía potencial del satélite. c) Si por necesidades de la misión hubiese que transferir el vehículo a otra órbita situada a 303 km sobre la superficie, ¿qué energía sería necesario suministrarle? Datos: G = 6.67·10−11 N·m2·kg−2. Datos de Marte: M = 6.4185·1023 kg; diámetro D = 6794 km. (3 ptos) (S-2012. Op B). Sol: a) Ec = 3,00·109 J; T = 1 h 44 min 48 s; b) U = −5,99·109 J; E = 1,62·108 J 103) ¿A qué altura sobre la superficie de la Tierra debe orbitar un satélite para que la intensidad de campo gravitatorio sea la décima parte que en la superficie? ¿Qué masa colocada sobre la superficie terrestre tendrá la misma energía potencial que el satélite en su órbita? g0 = 9,82 m/s2; RTierra = 6400 km; msatélite = 103 kg. (3 ptos) (S-2001. Op B). Sol: h =1,38·107 m; m = 316 kg 104) Un planeta de masa M = 3·1024 kg tiene un satélite, de masa 16 veces menor que la masa del planeta, siguiendo una órbita circular de 250 000 km de radio. a) Calcular la velocidad orbital del satélite. b) Determinar en qué punto del segmento que une el centro del planeta y el centro del satélite la aceleración de la gravedad es igual a cero. c) Si tenemos un vehículo espacial abandonado en el punto calculado en el apartado anterior, y si a causa de una ligera perturbación éste inicia un movimiento de caída libre hacia el planeta, calcular con qué velocidad se estrellará contra su superficie. Datos: Constante de gravitación universal: G = 6,67·10−11 N·m2·kg−2. Radio del planeta = 5000 km (3 ptos) (J-2011. Op A). Sol: a) v = 895 m/s; b) r1 = 2,00·108 m; r2 = 5,00·107 m; c) v = 8811 m/s 105) En la superficie de un planeta de 1000 km de radio, la aceleración de la gravedad es de 2 m·s−2. Calcula: a) La masa del planeta. b) La energía potencial gravitatoria de un objeto de 50 kg de masa situado en la superficie del planeta. c) La velocidad de escape desde la superficie del planeta. (G = 6,67∙10−11 N m2 kg−2) (3 ptos) (S-2006. Op B). Sol: a) M = 3,00·1022 kg; b) U = −1,00·108 J; c) vesc = 2,00·103 m/s 106) El planeta Júpiter tiene un radio de 71 056 km y varios satélites (Io, Europa, Ganimedes, Calixto y Amaltea). El satélite más próximo al planeta, Io, gira en una órbita circular a una altura de 347 944 km sobre la superficie de Júpiter y un periodo de 42 horas y 28 minutos. Calcula: a) Velocidad orbital del satélite Io y la masa de Júpiter. b) Aceleración de la gravedad y el peso de un cuerpo de 80 kg de masa en la superficie del planeta. c) La velocidad de escape de una nave en reposo, desde la superficie del planeta. Dato: G = 6,67·10−11 N·m2·kg−2. (3 ptos) (S-2010. Op A). Sol: a) v = 1,72·104 m/s; MJ = 1,86·1027 kg; b) gJ = 24,6 m/s2; P = 1,97·103 N; c) vesc = 5,91·104 m/s 107) El periodo orbital de Venus en su movimiento entorno al Sol es de 224,7 días, el radio medio de la órbita es 1,08∙1011 m. Suponiendo que la órbita sea circular, determina: a) La velocidad orbital. b) La masa del Sol. c) La energía mecánica de Venus, si su masa es MVenus=4’87∙1024kg. (G = 6’673∙10-11N·m2/kg2) (3 ptos) (R1-2007. Op A). Sol: a) v = 3,50·104 m/s; b) MS = 1,98·1030 kg; c) E = –2,98·1033 J 108) Un satélite meteorológico gira a 10 000 km de altura sobre la superficie terrestre. ¿Cuál es el periodo de su rotación? ¿Cuánto vale la energía total del satélite en su órbita? g0 = 9,8 m/s2; RT = 6400 km; msatélite = 500 kg. (3 ptos) (J-2002. Op A). Sol: T = 5,79 h; E =−6,12·109 J 109) Un planeta de masa M = 1026 kg tiene un satélite que describe una órbita circular a su alrededor con un periodo T = 141 horas. a) Calcular la distancia del satélite al planeta y la velocidad orbital del satélite. b) Calcular la velocidad de escape desde la superficie del satélite. c) ¿Con qué velocidad debe lanzarse desde la superficie del satélite un objeto para que alcance una altura de 500 km antes de volver a caer sobre ella? Datos del satélite: masa m = 2·1022 kg; radio R = 1350 km. Constante de gravitación G = 6.67·10−11 N·m2·kg−2. (3 ptos) (R1-2019. Op B). Sol: a) r = 3,52·108 m; vorb = 4354 m/s; b) vesc = 1406 m/s; c) v0 = 731 m/s 110) Un satélite de 1000 kg está en órbita circular alrededor de la Tierra, a una distancia de la superficie de la Tierra de 6000 km. Calcula: a) El valor de la intensidad de campo gravitatorio en cualquier punto de la órbita. b) La velocidad y el periodo del satélite en esa órbita. c) La energía mecánica del satélite en su órbita. Datos: RT =6370 km; g0 =9,8 N/kg. (3,75 ptos) (R2-2000. Op B). Sol: a) g = 2,6 N/kg; b) v = 5,67·103 m/s; T = 3,81 h c) E = −1,61·1010 J 111) Un satélite de comunicaciones de 1800 kg se coloca en una órbita circular alrededor de la Tierra en la que describe 12.5 órbitas por día. Calcular: a) La altura de la órbita sobre la superficie del planeta. b) La energía cinética y la energía potencial del satélite. c) ¿Cuánto vale la aceleración del satélite en su órbita? ¿Cuál es su dirección y sentido? Datos: G = 6.67·10−11 N·m2·kg−2. Masa y radio de la Tierra: M= 5.98·1024 kg; R = 6378 km. (3 ptos) (R2-2018. Op A). Sol: a) h = 1466 km; b) Ec = 4,58·1010 J; U = −9,15·1010 J; c) a = 6,48 m/s2 17 I.E.S. Infante Don Fadrique Física 2º Bachillerato 2020-2021. Tema 1. Interacción gravitatoria José A. Iniesta 112) Desde la superficie terrestre se lanza un satélite de 300 kg de masa hasta situarlo en una órbita circular a una distancia de la superficie terrestre que es igual a 3/4 del radio de la Tierra. Calcula: a) Velocidad y periodo que tendrá el satélite en la órbita. b) La energía cinética, potencial y mecánica del satélite en la órbita c) La intensidad del campo gravitatorio terrestre en los puntos de la órbita del satélite. Datos: G = 6,67·10−11 N·m2·kg−2, MT= 5,98·1024 kg, RT= 6370 km. (3 ptos) (J-2010. Op B). Sol: a) v = 5,98·103 m/s; T = 3,25 h; b) Ec = 5,37·109 J; U = −1,07·1010 J; E = −5,37·109 J; c) g = 3,21 m/s2 113) Un pequeño meteorito de masa 10 kg es atraído por un planeta de masa 1024 kg y radio 5000 km. Considerando que cuando el meteorito se encontraba a gran distancia su velocidad inicial era despreciable, se pide: a) La fuerza de atracción entre planeta y meteorito cuando la distancia al planeta es 106 km. b) La velocidad del meteorito cuando se encuentra a 1000 km por encima de la superficie. c) La energía cinética del meteorito en el momento del impacto contra la superficie. Dato: G = 6.67·10−11 N m2 kg−2. (3 ptos) (S-2013. Op B). Sol: a) F = 6,67·10−4 N; b) v = 4715 m/s; Ec = 1,334·108 J 114) Un meteorito de 800 kg de masa que se dirige directo, en caída libre, hacia la Tierra tiene una velocidad de 40 m/s a una altura sobre la superficie terrestre de 700 km. Determina: a) La energía mecánica del meteorito a dicha altura. b) La velocidad con la que impactará sobre la superficie terrestre despreciando la fricción con la atmósfera. c) Peso del meteorito a esa altura. Datos: G = 6,67·10−11 N·m2·kg−2, MTIERRA = 5,98·1024 kg, RTIERRA = 6370 km. (3 ptos) (R1-2010. Op B). Sol: a) E = −4,51·1010 J; b) v = 3,52·103 m/s; c) P = 6,38·103 N 115) Un asteroide de 200 kg de masa que se dirige directo hacia la Tierra, en caída libre, tiene una velocidad de 10 m/s a una altura sobre la superficie terrestre de 600 km. Calcula: a) El peso del asteroide a dicha altura h. b) La energía del asteroide a dicha altura. c) La velocidad con la que impactará sobre la superficie terrestre despreciando la fricción con la atmósfera. Datos: G = 6,67·10−11 N·m2·kg−2, MTIERRA= 5,98·1024 kg, RTIERRA= 6370 km. (3 ptos) (R2-2009. Op B). Sol: a) P = 1,64·103 N; b) E = −1,14·1010 J; c) v = 3,28·103 m/s 116) Un trozo de chatarra espacial de 50 kg de masa que se dirige directo hacia la Tierra, en caída libre, tiene una velocidad de 12 m/s a una altura sobre la superficie terrestre de 300 km. Calcula: a) El peso del trozo de chatarra a dicha altura h. b) La energía mecánica del trozo de chatarra a dicha altura. c) La velocidad con la que impactará sobre la superficie terrestre despreciando la fricción con la atmósfera. (G = 6,67·10−11 N·m2·kg−2, MTIERRA= 5,98·1024 kg, RTIERRA= 6370 km). (3 ptos) (J-2008. Op B). Sol: a) P = 448 N; b) E = −2,99·109 J; c) v = 3,27·103 m/s 117) Un meteorito de 400 kg de masa que se dirige directo, en caída libre, hacia la Tierra tiene una velocidad de 20 m/s a una altura sobre la superficie terrestre h = 500 km. Determina: a) La energía mecánica del meteorito a dicha altura. b) La velocidad con la que impactará sobre la superficie terrestre despreciando la fricción con la atmósfera. c) El peso del meteorito a dicha altura h. (G = 6,673·10−11 N·m2·kg−2, MTIERRA= 5,98·1024 kg, RTIERRA= 6370 km.). (3 ptos) (S-2007. Op B). Sol: a) E = −2,32·1010 J; b) v = 3,02·103 m/s; c) P = 3,38·103 N 118) Un meteorito de 20 000 toneladas de masa se dirige desde el espacio exterior hacia la Tierra. Cuando se encuentra a una distancia de 3.8·107 m del centro de la Tierra, su velocidad es de 30 km/h. Calcular la velocidad y la energía cinética con que llegará a la superficie terrestre. Se desprecian los efectos del rozamiento con la atmósfera. (G = 6,67∙10−11 N·m2/kg2, RTierra = 6370 km, MTierra = 5,98∙1024 kg). (3 ptos) (R2-2002. Op A). Sol: v = 10 210 m/s; Ec = 1,042·1015 J 119) Un meteorito, de 200 kg de masa, se encuentra inicialmente en reposo a una distancia sobre la superficie terrestre igual a 7 veces el radio de la Tierra. a) ¿Cuánto pesa en ese punto? b) ¿Cuánta energía mecánica posee? c) Si cae a la Tierra, suponiendo que no hay rozamiento con el aire, ¿con qué velocidad llegaría a la superficie terrestre? (G = 6,67·10−11 N·m2·kg−2, MT= 5,98·1024 kg, RT = 6370 km). (3 ptos) (J-2006. Op B). Sol: a) P = 30,7 N; b) E = −1,57·109 J; c) v = 1,05·104 m/s 120) Una sonda de observación está situada en órbita circular alrededor de la Luna, a una altura tal que su peso es un 36% menor del que tendría en la superficie lunar. Suponiendo despreciable la influencia de la vecina Tierra en el movimiento de esta sonda, se pide: a) Calcular cuál es la altura de la órbita por encima de la superficie lunar. b) Calcular la velocidad de la sonda en su órbita. c) Si un objeto se abandonase sin velocidad inicial a la altura de la órbita que describe esta sonda, ¿con qué velocidad chocaría contra la superficie de la Luna? G = 6,67·10−11 N·m2·kg−2. ML = 7,349·1022 kg; RL = 1738 km. (3 ptos) (R1-2012. Op A). Sol: a) h=434,5 km; b) v = 1520 m/s; c) v = 1062 m/s 121) Un satélite de 500 kg describe una órbita circular a 350 km por encima de la superficie de la Tierra. a) Calcular su velocidad y el periodo de revolución. b) Determinar la energía necesaria para colocar el satélite en esa órbita. c) ¿Qué velocidad tendría en el momento de chocar contra el suelo un objeto en caída libre que estuviese inicialmente a la misma altura que el satélite? (Se desprecian las fuerzas de rozamiento en el seno de la atmósfera. MT = 5,98∙1024 kg; RT = 6370 km. G = 6,6710−11 N·m2/kg2. (3 ptos) (R2-2013. Op B). Sol: a) v = 7704 m/s; T = 5480 s; b) E = 1,60·1010 J; c) v = 2554 m/s 122) Un planeta gigante tiene dos satélites, S1 y S2, cuyos periodos orbitales son T1 = 4.52 días terrestres y T2 = 15.9 días terrestres respectivamente. a) Si el radio de la órbita del satélite S1 es de 5.27∙108 m, calcular la masa del planeta. b) Calcular el radio de la órbita del satélite S2 en km. c) Si un meteorito inicia un movimiento de caída libre sin velocidad inicial hacia el planeta desde la órbita de S2, ¿cuál será su velocidad cuando pase por la órbita de S1? G= 6.67∙10−11 N∙m2∙kg−2. (3 ptos) (J-2014. Op A). Sol: a) M = 5,68·1026 kg; b) r2 = 1,22·106 km; c) v = 9034 m/s 123) Un meteorito se encuentra inicialmente en reposo a una distancia sobre la superficie terrestre igual a 6 veces el radio de la Tierra. ¿Con qué velocidad llegaría al suelo, si prescindimos del rozamiento con la atmósfera? MTierra = 5,98∙1024 kg; RTierra = 6370 km. G = 6,6710−11 N·m2/kg2. (3 ptos) (R1-2001. Op B). Sol: v = 1,04·104 m/s 124) Un meteorito se dirige hacia la Luna en caída libre. A una altura h = 3 RLUNA sobre la superficie de la Luna, la velocidad del meteorito es 400 m/s. Calcular su velocidad cuando choca con la superficie lunar. Datos: MLUNA = 7,34 1022 kg, RLUNA = 1,74·106 m, G = 6,67·10−11 N·m2·kg−2. (1 pto) (R2-2011. Op A). Sol: v = 2,09·103 m/s 18 I.E.S. Infante Don Fadrique Física 2º Bachillerato 2020-2021. Tema 1. Interacción gravitatoria José A. Iniesta 125) ¿Qué velocidad debe comunicarse a un cuerpo para que se eleve a una altura de 1500 km sobre la superficie terrestre? Radio medio de la Tierra 6400 km. Aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra g = 9.8 m/s2. (1 pto) (R2-2012. Op A). Sol: v = 4,88·103 m/s 126) Un meteorito de 60 kg cae desde un punto situado a una altura igual al radio de la Tierra con una velocidad de 40 m/s. a) ¿Cuál será la velocidad del meteorito al caer en la superficie terrestre si despreciamos la fricción con la atmósfera? b) ¿Cuál será la energía del meteorito en el momento del impacto? c) Si la masa del meteorito fuera el doble con cuanta velocidad y energía impactaría. (MTierra = 5,981024 kg, RTierra = 6370 km, G = 6,6710−11 N·m2/kg2) (3 ptos) (S-2004. Op B). Sol: a) v = 7,91·103 m/s; b) E = −1,88·109 J; c) E2 =2·E1; v2 = v1 127) Un equipo de astrónomos ha detectado un planeta extrasolar que gira en torno a una estrella cuya masa es 6% mayor que la masa del Sol. La velocidad orbital del planeta, muy próximo a su estrella, es de 136 km/s. a) Calcular la distancia desde el centro del planeta al centro de la estrella. b) ¿Cuánto tiempo tarda el planeta en describir una órbita completa alrededor de su estrella (en días)? c) Suponiendo que una sonda espacial en órbita alrededor de esta estrella a una distancia de 100 millones de km realiza una maniobra para alejarse a una nueva órbita a 110 millones de km, calcular la variación de su energía potencial. ¿Aumenta o disminuye? Explicar. Masa de la sonda m = 250 kg. Constante de gravitación G = 6.67·10‒11 N·m2·kg‒2. MSol = 1.99·1030 kg. (3 ptos) (Jul-2018. Op B). Sol: a) r = 7,61·109 m; b) T = 4,07 d; c) ΔU = 3,20·1013 J 128) Un laboratorio de investigación de la Estación Espacial Internacional de 4000 kg de masa gira en una órbita circular a una altura de 360 km sobre la superficie terrestre. Calcula: a) La velocidad orbital y el tiempo que tarda el laboratorio en dar una vuelta completa a la Tierra. b) La energía total del laboratorio en su órbita. c) Si el laboratorio pasa a girar a una órbita de radio doble del anterior, ¿qué energía suplementaria hay que comunicarle al laboratorio para que cambie de orbita? Datos: G = 6,67·10−11 N·m2·kg−2, MT= 5,98·1024 kg, RT= 6370 km. (3 ptos) (R2-2010. Op A). Sol: a) v = 7,70·103 m/s; T = 1,53 h; b) E = −1,19·1011 J; c) E = 5,93·1010 J 129) Una luna que tiene una masa de 2,25·1022 kg y 2000 km de diámetro gira en torno a un planeta gigante describiendo cada 32 horas una órbita circular de 256 000 km de radio. a) Calcular la aceleración de la gravedad en la superficie de la luna. b) Calcular la masa del planeta gigante. c) La sonda espacial que ha medido los datos indicados en el enunciado tiene una masa de 128 kg y está en órbita alrededor de la luna (no del planeta) a una altura de 24 km sobre la superficie. Calcular la energía mecánica de la sonda. G = 6,67·10−11 N·m2·kg−2. (3 ptos) (R1-2011. Op A). Sol: a) g = 1,50 m/s2; b) M = 7,48·1026 kg; c) E = −3,84·109 J 130) Se quiere colocar un satélite artificial de 1500 kg de masa en una órbita circular a una altura de 600 km sobre la superficie terrestre. Calcular: a) La velocidad que debe tener el satélite en dicha órbita. b) La energía cinética que es preciso comunicarle para ponerlo en órbita desde la superficie terrestre. c) La energía mecánica del satélite en su órbita. (RTierra = 6380 km, MTierra=5,981024 kg, G = 6,6710−11 N·m2/kg2) (3 ptos) (R2-2005. Op A). Sol: a) v = 7,56·103 m/s; c) E = −4,29·1010 J; b) Ec = 5,09·1010 J 131) Una sonda espacial de 500 kg gira en órbita circular a 200 km de altura sobre la superficie de un planeta de masa M = 6.42·1023 kg y radio R = 3400 km. Sabiendo que la constante de gravitación universal es G = 6.67·10–11 N m2 kg–2, se pide: a) ¿Cuánto tiempo tarda esta sonda en completar una órbita alrededor del planeta, y cuánto tardaría si la masa de la sonda fuese la mitad? b) Calcular la energía mecánica de la sonda. c) Si se quisiera sacar la sonda de su órbita y enviarla a otra a 400 km sobre la superficie ¿qué velocidad mínima habría que darle? (3 ptos) (R2-2015. Op A). Sol: a) T = 1 h 49 min 18 s; el mismo; b) E = −2,97·109 J; c) v = 791 m/s 132) La estación espacial internacional (ISS) describe alrededor de la Tierra una órbita prácticamente circular a una altura h = 360 km sobre la superficie terrestre, siendo su masa m = 425 toneladas. Calcula: a) La velocidad con la que se desplaza y el periodo de rotación en minutos. b) Energía mecánica orbital. c) ¿Cuál sería el valor de la energía mecánica si orbitara en una órbita de altura doble sobre la superficie terrestre, h’ = 2h? ¿Cuánto valdría el incremento de energía respecto a la que tenía en la órbita inicial? (G = 6,67·10−11 N·m2·kg−2, MTIERRA= 5,98·1024 kg, RTIERRA= 6370 km.). (3 ptos) (S-2008. Op B). Sol: a) v = 7,70·103 m/s; T = 91,6 min; b) E = −1,26·1013 J; c) E2 = −1,20·1013 J; ΔE = 6,39·1011 J 133) Una estación espacial describe una órbita prácticamente circular alrededor de la Tierra a una altura de 360 km sobre la superficie terrestre, siendo su masa 435 toneladas: a) Calcula su período de rotación, en minutos, así como la velocidad con que se desplaza. b) ¿Qué energía se necesitaría para llevarla desde su órbita actual a otra a 720 km sobre la superficie terrestre? c) ¿Cuál sería el período de rotación en esta nueva órbita? (G = 6,67∙10−11 N·m2·kg−2, RT = 6370 km, MT = 5,98∙1024 kg). (3 ptos) (R2-2006. Op A). Sol: a) T = 91,6 min; v = 7,70·103 m/s; b) E = 6,55·1011 J; c) T = 99,0 min 134) Un planeta de masa 1025 kg y radio 7000 km tiene dos pequeñas lunas que invierten respectivamente 6 y 20 días en describir una órbita completa alrededor del planeta. Constante de gravitación: G = 6.67·10-11 N·m2·kg-2. a) Calcular la distancia de cada una de las lunas al centro del planeta. b) ¿Qué velocidad habría que darle a un cohete en la superficie del planeta para situarlo en la órbita de la luna más cercana? c) ¿Con qué velocidad alcanzaría la superficie del planeta un objeto que cayese libremente con velocidad inicial cero desde la órbita de la luna más lejana? (3 ptos) (R2-2014. Op B). Sol: a) r1 = 1,655·108 m; r2 = 3,695·108 m; b) v0 = 13 658 m/s; vf = 13 673 m/s 135) La velocidad de un satélite, de 500 kg de masa, que gira en una órbita alrededor de la Tierra es de 7,70 km/s. a) Determina el radio de la órbita; b) Si el satélite pasa a girar a una órbita superior cuyo radio es el doble del anterior, ¿cuál es la nueva velocidad orbital? c) ¿Qué energía suplementaria hay que comunicarle al satélite para que cambie de órbita? (G = 6,6710−11 N·m2/kg2, MTierra = 5,981024 kg) (3 ptos) (J-2004. Op B). Sol: a) r =6,73·106 m; b) v = 5,44 km/s; c) E = 7,41·109 J 19 I.E.S. Infante Don Fadrique Física 2º Bachillerato 2020-2021. Tema 1. Interacción gravitatoria José A. Iniesta 136) Se pretende colocar un satélite de 50 kg de masa en una órbita circular a 600 km sobre la superficie terrestre. Calcula: a) la velocidad que debe tener el satélite en dicha órbita; b) la energía cinética que es preciso comunicarle para ponerlo en órbita; c) la energía total del satélite en su órbita. RTIERRA= 6400 km; g0=9,82 m/s2. (3 ptos) (J-2001. Op B). Sol: a) v = 7,58·103 m/s; b) Ec = 1,71·109 J; c) E = −1,44·109 J 137) Un satélite de masa m = 700 kg se encuentra girando en una órbita circular a 1500 km de altura sobre la superficie de la Tierra. Calcular: a) La velocidad del satélite en la órbita. b) El potencial y energía potencial gravitatoria en cualquier punto de la órbita. c) El trabajo para llevarlo desde esa órbita hasta otra que se encuentre a 3000 km de la superficie. Datos: RT= 6370 km, g0 = 9,8 m/s2. (3,75 ptos) (R1-2000. Op A). Sol: a) v = 7,11·103 m/s; b) V = −5,05·107 J/kg; U = −3,54·1010 J; c) W = 2,83·109 J 138) Un módulo lunar de 3000 kg de masa está en órbita circular a una altura de 2000 km por encima de la superficie de la Luna. a) ¿Cuál es la velocidad y la energía total del módulo en su órbita? b) ¿Cuánto variará la energía total si el módulo sube a una órbita circular de 4000 km sobre la superficie de la Luna? (G = 6,67·10−11 N·m2/kg2, MLuna= 7,36·1022 kg, RLuna= 1740 km). (3 pto) (J-2003. Op A). Sol: a) v = 1,15·103 m/s; E = −1,97·109 J; b) ΔE = 6,86·108 J 139) Se quiere mover un satélite artificial de 400 kg de masa, que está colocado en una órbita circular a 500 km de altura, hasta otra órbita superior, también circular, a 1000 km sobre la superficie. Para conseguirlo se utilizan los motores del satélite dándole un impulso tangente a la órbita inicial hasta ubicarlo en la órbita superior. a) ¿Qué velocidad final tendrá el satélite una vez realizado este cambio de órbita? b) ¿Qué trabajo se ha realizado sobre el satélite? c) ¿Cuál es la variación del periodo orbital cuando pasa de una órbita a otra? Datos: G = 6.67∙10–11 N∙m2∙kg–2. RT = 6370 km; MT = 5,98·1024 kg. (3 ptos) (R1-2016. Op B). Sol: a) v = 7357 m/s; W = 7,88·108 J; b) ΔT = 629 s = 10 min 29 s 140) Cuando la nave espacial Apolo 11 quedó en órbita alrededor de la Luna, su masa era 9979 kg, y el periodo y radio medio de la órbita eran 119 minutos y 1849 km respectivamente. Suponiendo que la órbita es circular determina: a) El módulo de la velocidad orbital de la nave. b) La masa de la Luna. c) La energía cinética adicional necesaria para que la nave deje la órbita y escape de la gravedad lunar. G = 6,67·10−11 N·m2/kg2. (3 ptos) (S-2002. Op A). Sol: a) v = 1627 m/s; b) ML = 7,34·1022 kg; c) Ec = 1,32·1010 J 141) En 1998 la nave Discovery orbitaba entorno a la Tierra a una altura de su superficie de 500 km con un periodo orbital de 1 hora y 34 minutos. Si el radio medio de la Tierra es 6380 km, determina: a) La velocidad orbital de la nave. b) La masa de la Tierra (utilizar únicamente los datos del problema). c) La velocidad de escape desde la Tierra. (G = 6,6710−11 N·m2/kg2). (3 ptos) (S-2005. Op A). Sol: a) v = 7,66·103 m/s; b) MT = 6,06·1024 kg; c) vesc =1,13·104 m/s 142) Ceres es un planeta enano, el mayor objeto del cinturón de asteroides, que tarda 4.60 años terrestres en completar una vuelta alrededor del Sol. El diámetro medio y la masa de Ceres son 952.4 km y 9.43∙1020 kg, respectivamente. a) Admitiendo que describe una órbita circular, calcular la distancia de Ceres al Sol. b) Calcular la aceleración de la gravedad y la velocidad de escape desde la superficie de Ceres, suponiendo que se trata de un cuerpo esférico homogéneo. c) Basándonos en datos conocidos de Ceres, calcular la masa del Sol en kg. Datos. G = 6.67∙10–11 N∙m2∙kg–2.Distancia Tierra‐Sol d = 149.6∙106 km. 1 año = 31557600 s. (3 ptos) (J-2016. Op B). Sol: a) rC = 414·106 km; b) g = 0,28 m/s2; vesc =514 m/s; c) MS = 1,99·1030 kg 143) La aceleración de la gravedad sobre la superficie de un planeta es 3,72 m/s2 siendo su radio 2536 km. Determina: a) La masa del planeta. b) La velocidad que llevará una nave que orbite a 500 km sobre la superficie del planeta. c) La velocidad de escape desde la superficie del planeta (G = 6,6710−11 N·m2/kg2) (3 ptos) (R1-2005. Op B) Sol: a) M = 3,59·1023 kg; b) v = 2,81·103 m/s; c) vesc =3,97·103 m/s 144) En la superficie de un planeta de 3000 km de radio, la aceleración de la gravedad es de 3 m/s2. Calcular: a) la masa del planeta; b) la velocidad de escape para dicho planeta; c) la energía total de un satélite de 200 kg de masa que orbita a 500 km de altura sobre la superficie del planeta. (G = 6,6710−11 N·m2/kg2) (3 ptos) (S-2003. Op A) Sol: a) M = 4,05·1023 kg; b) vesc =4,24·103 m/s; c) E = −7,71·108 J 145) Un satélite de masa 1.08·1020 kg describe una órbita circular alrededor de un planeta gigante de masa 5.69·1026 kg. El periodo orbital del satélite es de 32 horas y 53 minutos. a) Si la velocidad de escape desde la superficie del satélite es 239 m/s, calcular su radio en km. b) Calcular hasta qué altura sobre la superficie del satélite subirá un objeto lanzado verticalmente a 50 m/s. c) Calcular en km/s la velocidad del satélite en su órbita alrededor del planeta gigante. Constante de gravitación 6.67·10–11 N·m2·kg–2. (3 ptos) (S-2014. Op A). Sol: a) r = 252 km; b) h = 11 544 m; c) v = 12,6 km/s 146) El planeta extrasolar Kepler 186f, recientemente descubierto, es de tamaño similar a la Tierra con una masa estimada de 8·1024 kg y un radio de 7.5·106 m aproximadamente. El planeta gira alrededor de una estrella enana roja de masa 9.6·1029 kg, describiendo una órbita de radio 5.9·1010 m. Se pide: a) Explicar cómo puede calcularse la velocidad de escape desde la superficie de este planeta y hallar su valor en km/s. b) ¿Qué energía total tendría un objeto de 100 kg que describiese una órbita circular a 5000 km de altura por encima de la superficie de este planeta? c) Determinar el tiempo en días que este planeta invierte en completar una órbita alrededor de su estrella. G = 6.67·10-11 N·m2·kg-2. (3 ptos) (R1-2014. Op B). Sol: a) v=11 929 m/s; b) E = –2,13·109 J; c) T=130 d 20 I.E.S. Infante Don Fadrique Física 2º Bachillerato 2020-2021. Tema 1. Interacción gravitatoria 13 José A. Iniesta 23 147) Un asteroide de 10 kg viaja directamente en rumbo de colisión hacia un planeta de masa 6.39·10 kg. Cuando se encuentra a una distancia de 20000 km del centro, su velocidad respecto al planeta es de 4 km/s. a) Calcular la energía mecánica del asteroide. b) Si el radio del planeta es 3390 km, calcular la velocidad del asteroide en el momento del impacto contra la superficie planetaria y, suponiendo que toda la energía cinética se convierte en calor, calcular la energía desprendida en el choque. c) Este planeta tiene un pequeño satélite que describe una órbita circular con una velocidad de 2.69 km/s. ¿A qué altura sobre la superficie se encuentra dicho satélite? Dato: constante de gravitación G = 6.67·10–11 N m2 kg–2. (3 ptos) (J-2017. Op B). Sol: a) E =5,87·1019 J; b) Ec = 1,84·1020 J; c) h = 2500 km 148) Un equipo de astrónomos detecta un asteroide de procedencia extrasolar cuya masa se estima en 1012 kg y que cuando se encuentra a una distancia del Sol igual a la de Marte viaja a una velocidad de 40 km/s. a) Calcular la energía cinética y la energía potencial del asteroide en el momento de su detección. b) Suponiendo que el asteroide detectado sigue una trayectoria de colisión con el Sol, calcular cuál será su velocidad en el momento del choque contra la superficie de la estrella. c) Determinar la velocidad de un cuerpo en órbita circular alrededor del Sol a la misma distancia que Marte, y comparar la energía cinética del asteroide en el momento de su detección con la de un cuerpo de igual masa que estuviese describiendo una órbita circular estable a la distancia Sol-Marte. Constante gravitación G = 6.67·10−11 N m2 kg–2. Distancia Sol-Marte r = 2.25·108 km. Masa del Sol MS =2·1030 kg. Radio del Sol RS= 7·105 km. (3 ptos) (R1-2018. Op B). Sol: a) Ec = 8,00·1020 J; U = −5,93·1020 J; b) v = 618 km/s; c) v = 24,3 km/s; Ec (aster) = 2,70 Ec (órb) 149) Un satélite artificial de masa m = 500 kg se encuentra en órbita ecuatorial geoestacionaria. a) Determinar cuál es la velocidad angular del satélite y a qué altura se encuentra por encima de la superficie de la Tierra. b) Explicar y calcular qué energía deberíamos suministrar a este satélite en su órbita para alejarlo indefinidamente de la Tierra de modo que alcanzase el infinito con velocidad cero. c) Supongamos un meteorito que se acerca a la Tierra viajando a 20 km/s cuando está a la misma distancia que el satélite geoestacionario. ¿Con qué velocidad se estrellará contra la superficie? (Despreciamos los efectos de rozamiento con la atmósfera). Datos. G = 6.67·10–11 N·m2·kg–2. MT = 5.98·1024 kg; RT = 6370 km; T = 86400 s. (3 ptos) (S-2016. Op B). Sol: a) ω =7,27·10–5 rad/s; h = 35880 km; b) E =2,36·109 J; c) v = 22,5 km/s 150) Un bloque de hielo que forma parte de los anillos de Saturno tiene una masa de 80 kg y describe una órbita circular a 125000 km del centro del planeta. a) Si la masa de Saturno es 5,685·1026 kg, calcular la velocidad del bloque de hielo en su órbita. b) ¿Cuánto tiempo tardará este bloque en completar una órbita alrededor del planeta? c) Suponiendo que el bloque de hielo sufre un choque con otro de los componentes del anillo, calcular la energía mínima que deberá aportarle ese choque para que resulte expulsado del anillo, liberándose de la atracción del planeta. Se valorará ilustrar la explicación con una representación gráfica adecuada. Dato: constante de gravitación G = 6.67·10–11 N m2 kg–2. (3 ptos) (S-2017. Op A). Sol: a) v = 17 417 m/s; T = 45 094 s = 12 h 31 min 34 s; E = 1,21·1010 J 151) Deseamos poner en órbita un satélite de observación a una altura h=1,0 km sobre la superficie de Deimos, lanzándolo desde su superficie. Determina: a) La velocidad orbital y el periodo orbital de dicho satélite. b) Velocidad con la que debe ser lanzado desde la superficie de Deimos. Expresa el resultado en km/h. Dado el orden de magnitud de dicha velocidad, ¿crees que es factible el lanzamiento? c) Velocidad de escape desde la superficie de Deimos. Datos: G = 6,673∙10−11 N·m2/kg2, RD = 6,3 km, MD = 2,24∙1015 kg. (3 ptos) (R2-2007. Op B). Sol: a) v = 4,53 m/s; T = 2,82 h; b) v = 18,7 km/h; c) vesc =6,89 m/s 152) Un satélite artificial de 100 kg de masa gira en una órbita circular de 7000 km de radio alrededor de la Tierra. a) ¿Cuál es la velocidad del satélite en dicha órbita? b) ¿Cuál es la energía total del satélite en su órbita? c) ¿Con qué velocidad ha sido lanzado dicho satélite desde la superficie terrestre para ponerlo en esa órbita? (G = 6,6710−11 N·m2/kg2, MTierra=5,981024 kg, RTierra=6380 km). (3 ptos) (J-2005. Op A). Sol: a) v = 7,55·103 m/s; b) E = −2,85·109 J; c) v =8,25·103 m/s 153) Se lanza verticalmente un cuerpo desde la superficie terrestre, despreciando la fricción con el aire, ¿qué velocidad inicial debe comunicársele para que alcance una altura máxima de 2000 km? (G = 6,67·10−11 N·m2/kg2, MTIERRA= 5,98·1024 kg, RTIERRA= 6380 km). (1 pto) (J-2005. Op B). Sol: v = 5,46·103 m/s 154) Un planeta rocoso similar a la Tierra tiene una masa M = 2,70 1024 kg y un radio R = 5000 km. a) Calcular la aceleración de la gravedad y la velocidad de escape en su superficie. b) Desde la superficie se lanza verticalmente hacia arriba un proyectil con una velocidad inicial igual a una quinta parte de la velocidad de escape. Calcular qué altura alcanzará el objeto sobre la superficie del planeta antes de caer. ¿En qué principio nos basamos para hacer este cálculo? c) Calcular la velocidad de un satélite artificial en una órbita circular 1400 km por encima de la superficie de este planeta. Dato: G = 6,67·10−11 N·m2·kg−2. (3 ptos) (R2-2011. Op B). Sol: a) g = 7,20 m/s2; vesc = 8,49·103 m/s; b) h = 2,08·105 m; c) v =5,30·103 m/s 21
