Integracion cambio de variable coordenadas polares

1004
CAPÍTULO 14
Integración múltiple
Algunas integrales dobles son mucho más fáciles de evaluar en forma polar que en forma
rectangular. Esto es así especialmente cuando se trata de regiones circulares, cardioides y
pétalos de una curva rosa, y de integrandos que contienen
En la sección 10.4 se vio que las coordenadas polares
de un punto están relacionadas con las coordenadas rectangulares (x, y) del punto, de la manera siguiente.
y
sen
y
Utilizar coordenadas polares para describir cada una de las regiones mostradas en la figura 14.24.
b)
a)
Figura 14.24
Solución
a) La región R es un cuarto del círculo de radio 2. Esta región se describe en coordenadas
polares como
b) La región R consta de todos los puntos comprendidos entre los círculos concéntricos de
radios 1 y 3. Esta región se describe en coordenadas polares como
Las regiones del ejemplo 1 son casos especiales de sectores polares
Sector polar.
Figura 14.25
como el mostrado en la figura 14.25.
SECCIÓN 14.3
Cambio de variables: coordenadas polares
1005
Para definir una integral doble de una función continua
en coordenadas
polares, considerar una región R limitada o acotada por las gráficas de
y
y las rectas
y
En lugar de hacer una partición de R en rectángulos
pequeños, se utiliza una partición en sectores polares pequeños. A R se le superpone una
red o cuadrícula polar formada por rayos o semirrectas radiales y arcos circulares, como
se muestra en la figura 14.26. Los sectores polares Ri que se encuentran completamente
dentro de R forman una partición polar interna cuya norma
es la longitud de la
diagonal más larga en los n sectores polares.
Considerar un sector polar específico
como se muestra en la figura 14.27. Se puede
mostrar (ver ejercicio 75) que el área de es
Área de
donde
sen
Figura 14.26
y
sobre
.
Esto implica que el volumen del sólido de altura
es aproximadamente
sen
y se tiene
sen
La suma de la derecha se puede interpretar como una suma de Riemann para f(r cos ,
r sen )r. La región R corresponde a una región S horizontalmente simple en el plano r ,
como se muestra en la figura 14.28. Los sectores polares corresponden a los rectángulos
y el área
de es
Por tanto, el lado derecho de la ecuación corresponde a la integral doble
sen
A partir de esto, se puede aplicar el teorema 14.2 para escribir
sen
sen
Esto sugiere el teorema siguiente, cuya demostración se verá en la sección 14.8.
Figura 14.28
Figura 14.27
1006
CAPÍTULO 14
Integración múltiple
TEOREMA 14.3 CAMBIO DE VARIABLES A LA FORMA POLAR
Sea R una región plana que consta de todos los puntos (x, y) (r cos , r sen ) que satisfacen las condiciones 0 g1( ) r g2( ),
, donde 0 (
) 2 . Si
g1 y g2 son continuas en [ , ] y f es continua en R, entonces
sen
Volumen de un sector paraboloide
En la exploración de la página 997
se pidió resumir los diferentes
métodos hasta ahora estudiados
para calcular el volumen del sólido
limitado o acotado por el paraboloide
Si
es no negativa en R, entonces la integral del teorema 14.3 puede interpretarse como el volumen de la región sólida entre la gráfica de ƒ y la región R. Cuando se usa la integral
en el teorema 14.3, asegurarse de no omitir el factor extra de r en el integrando.
La región R puede ser de dos tipos básicos, regiones r-simples y regiones -simples,
como se muestra en la figura 14.29.
2
g2
y el plano xy. Ahora se conoce un
método más. Utilizarlo para encontrar el volumen del sólido.
=
Límites o cotas fijas para :
Límites o cotas variables para :
0 h1(r)
h2(r)
2
Límites o cotas variables para r:
0 g1( ) r g2( )
h2
Límites o cotas fijas para r:
r1 r r2
g1
h1
=
r
0
r = r1
r = r2
0
Figura 14.29
Sea R la región anular comprendida entre los dos círculos
Evaluar la integral
Solución Los límites o cotas polares son
en la figura 14.30. Además,
y
y
sen
como se muestra
Por tanto, se tiene
sen
sen
sen
Figura 14.30
sen
sen
sen
y
SECCIÓN 14.3
Cambio de variables: coordenadas polares
1007
En el ejemplo 2, notar el factor extra de r en el integrando. Esto proviene de la fórmula para el área de un sector polar. En notación diferencial, se puede escribir
lo que indica que el área de un sector polar aumenta al alejarse del origen.
Superficie: z =
16
x2
y2
z
Utilizar las coordenadas polares para hallar el volumen de la región sólida limitada superiormente por el hemisferio
4
Hemisferio que forma la superficie superior.
e inferiormente por la región circular R dada por
Región circular que forma la superficie inferior.
4
x
4
R: x2 + y2
y
como se muestra en la figura 14.31.
4
Figura 14.31
Solución
En la figura 14.31 se puede ver que R tiene como límites o cotas
y que
En coordenadas polares, las cotas son
y
con altura
Por consiguiente, el volumen V está dado por
Para ver la ventaja de las
coordenadas polares en el ejemplo 3,
hay que tratar de evaluar la integral iterada rectangular correspondiente
Todo sistema algebraico por computadora que calcula integrales
dobles en coordenadas rectangulares también calcula integrales dobles en coordenadas
polares. La razón es que una vez que se ha formado la integral iterada, su valor no cambia
al usar variables diferentes. En otras palabras, si se usa un sistema algebraico por computadora para evaluar
se deberá obtener el mismo valor que se obtuvo en el ejemplo 3.
Así como ocurre con coordenadas rectangulares, la integral doble
puede usarse para calcular el área de una región en el plano.
1008
CAPÍTULO 14
Integración múltiple
Utilizar una integral doble para hallar el área encerrada por la gráfica de
Solución Sea R un pétalo de la curva mostrada en la figura 14.32. Esta región es
r-simple y los límites son los siguientes.
6
0
Límites o cotas fijas para .
6
r
3 cos 3
Límites o cotas variables para r.
Por tanto, el área de un pétalo es
1
A
3
6
3 cos 3
dA
r dr d
R
6 0
6
2
3 cos 3
r
6 2
Figura 14.32
d
0
6
9
2
cos2 3 d
6
6
9
4
1
6
cos 6
d
9
4
1
sen 6
6
6
6
3
.
4
Así, el área total es
Como se ilustra en el ejemplo 4, el área de una región en el plano puede representarse
mediante
Si
se obtiene
lo cual concuerda con el teorema 10.13.
Hasta ahora en esta sección, todos los ejemplos de integrales iteradas en forma polar
han sido de la forma
sen
en donde el orden de integración es primero con respecto a r. Algunas veces se puede simplificar el problema de integración cambiando el orden de integración, como se ilustra en
el ejemplo siguiente.
Hallar el área de la región acotada superiormente por la espiral r
mente por el eje polar, entre
y
3
e inferior-
Solución La región se muestra en la figura 14.33. Las cotas o límites polares de la región son
y
Por tanto, el área de la región puede evaluarse como sigue.
Figura 14.33
SECCIÓN 14.3
En los ejercicios 1 a 4 se muestra la región R para la integral
. Decir si serían más convenientes coordenadas rectangulares o polares para evaluar la integral.
1.
Cambio de variables: coordenadas polares
13.
1009
14.
sen
15.
16.
sen
2.
En los ejercicios 17 a 26, evaluar la integral iterada pasando a
coordenadas polares.
17.
18.
4 x2
2
x2
19.
4.
21.
22.
23.
24.
1
x x2
x2
y2 dy dx
cos x2
y2 dy dx
sen x2
y2 dy dx
4 x2
26.
5.
0
0
1
2
En los ejercicios 5 a 8, utilizar las coordenadas polares para
describir la región mostrada.
x x2
1 x2
25.
0
1
20.
0
2
3.
y2 dy dx
0
En los ejercicios 27 y 28, combinar la suma de las dos integrales
iteradas en una sola integral iterada pasando a coordenadas
polares. Evaluar la integral iterada resultante.
6.
27.
28.
En los ejercicios 29 a 32, utilizar coordenadas polares para escribir y evaluar la integral doble
29.
7.
30.
8.
31.
32.
Volumen En los ejercicios 33 a 38, utilizar una integral doble en
coordenadas polares para hallar el volumen del sólido limitado o
acotado por las gráficas de las ecuaciones.
33.
En los ejercicios 9 a 16, evaluar la integral doble
y dibujar la región R.
cos
9.
r dr d
0
11.
sen
r 2 dr d
10.
0
0
sen
12.
0
sen
primer octante
34.
35.
36.
37. Interior al hemisferio
e interior al cilindro
38. Interior al hemisferio
y exterior al cilindro
A-48
Soluciones de los ejercicios impares
Soluciones de los ejercicios impares
A-49