cursos matemáticos Calle Madrid, Edificio La Trinidad, Piso 2, Las Mercedes – frente a la Embajada de Francia– Telfs.: (0212) 993 71 72 – 993 23 05 www. cursosmatematicos. com 1. X La gráfica sería: Al aplicar la fórmula de la distancia entre dos puntos, obtenemos: Y ( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2 d(A,B) = B(-1, -2) ( −1 + 2) 2 + ( −2 + 5) 2 = 1 + 9 = 10 = A(-2,-5) 2. Se tiene los puntos A(4,-4) y B(-3,1) B(-3,1) ( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2 se sabe que d(A,B) = de donde d(A,B) = (−3 − 4) 2 + (1 + 4) 2 = ( −7) + (5) Luego, el área será igual a 74. 2 2 = 74 A (4, -4) 3. Aplicando la fórmula: − 2 + (−1) − 5 + (−2) 3 7 , = − ,− 2 2 2 2 4. Al aplicar la fórmula del punto medio obtenemos: x + x 2 y1 + y 2 PMKL = 1 , 2 2 1 4 7 2 − +2 3+ 3 2 = 3 , 2 = 2 , 7 , = 2 2 2 2 3 4 5. m = −2 −(+2) = −1 1−(−3) Tg α = −1 6. m = 5 − (+3) = 1 3 − (+1) Tg α = 1 7. m= 8. m= ( ) − 2− − 2 =0 2 − (+ 4 ) 6 − (+2) −3 − (−3) ; no existe → Tg α = 0 → → → α = Arc Tg(−1) = 135º α = Arc Tg(1) = 45º α = Arc tg 0 = 0º α = 90º , es decir, se trata de un segmento VERTICAL. 9. Desarrollando los productos notables y agrupando términos semejantes, se obtiene: 4x + 5y − 36 = 0 Esta ecuación representa una recta que no pasa por el origen, puesto que C ≠ 0 . Se observa también que no es horizontal ni vertical. ………………………. Respuesta C 10. La ecuación de la recta será: -X + 3Y + 3 = 0 Los coeficientes A,B y C, como se observa, corresponden a −1, 3 y 3. En este problema, ayuda mucho graficar la recta: | | | | | | | | | | | | | Sustituyendo en las expresiones que permiten calcular los puntos de intersección con los ejes, se obtendrá (0, −1) y (3, 0) La pendiente de la recta será m = 1 / 3 Y tratándose de un triángulo rectángulo, el área es fácil de hallar. Considerando los valores de los lados del triángulo como 3 y 1, dicha área será S∆ = 3 x 1 = 1 2 2 11. Aplicando la fórmula para dos puntos: y − y1 y 2 − y1 = x − x1 x 2 − x1 y−2 0−2 = x − 11 1 − 11 se obtiene de donde podemos concluir: y la ecuación de la recta será: Al sustituir las coordenadas del punto P, se obtiene (6) − 5(1) − 1 = 0 pertenece a dicha recta. → − 2x + 22 = −10y + 20 x − 5y − 1 = 0 , igualdad que sí se cumple, y por tanto, el punto 12. Aplicando la fórmula para dos puntos: y − y1 y 2 − y1 y −2 −3 − 2 se obtiene = = x − x1 x 2 − x1 x − (− 4 ) 5 − (− 4 ) de donde conseguimos 5x + 9y +2 = 0 , que es la ecuación de dicha recta. Al sustituir las coordenadas del punto M, se genera un absurdo: 5(-8) + 9( 5) + 2 = 0 lo cual indica que este punto es exterior a esta recta, es decir, no pertenece a ella. 13. Aplicando la fórmula a partir de un punto y la pendiente: obtenemos: efectuando las operaciones e igualando a cero, resulta la ecuación general de la recta: y − y1 = m ( x − x1) y + 5 = −4 ( x − 2 ) 4x+y−3=0 14. Aplicando la fórmula: y − y1 = m ( x − x1) 1 obtenemos y− 2 = ( x + 3) 2 de donde la ecuación será x − √2 y + 5 = 0 → y − 2 x − 11 = −2 − 10 2y −2 = x+3 …………………. Respuesta A …………..Respuesta 15. Sustituyendo los valores dados, en la ecuación particular se obtiene: Y la ecuación canónica será: x2 + y2 = 9 ( x + 1 ) 2 + ( y − 3 )2 = 9 16. Desarrollando las diversas alternativas, observamos que la alternativa “D” ofrece el radio de mayor tamaño, por tanto, dicha circunferencia es la más grande. 17. Determinamos primero la ecuación particular: ( x − 1 2 2 ) + ( y + ) 2 = 32 2 3 1 4 4 1 + y2 + y+ y=9 4 3 9 36x2 − 36x + 9 + 36y2 + 48y + 16 = 324 Efectuando los productos notables y eliminando denominadores: x2 − x + Agrupando términos semejantes e igualando a cero, obtenemos la ecuación solicitada: 36 x2 + 36y2 − 36x + 48y − 947 = 0 Nótese que los coeficientes de x2 e y2 son iguales (circunferencia) Vale la pena observar que cuando el radio es cero, la ecuación corresponde simplemente a un punto. 18. Para transformar en la ecuación particular, utilizamos el procedimiento de completar cuadrados. Para ello, escribimos la ecuación en la forma siguiente: (x2 − 6x + ) + ( y2 + 10y + ) + 30 = 0 en el espacio en blanco sumaremos el cuadrado de la mitad del coeficiente del término central y para no alterar la igualdad, restaremos la misma cantidad que hemos agregado. Es decir: ( x2 − 6x + 9 ) −9 + ( y2 + 10y + 25) − 25 + 30 = 0 de donde se obtiene: ( x − 3 )2 + ( y + 5 ) 2 = 4 Ecuación que representa una circunferencia de centro ( 3 , − 5 ) y radio 2. 1. Organizando un triángulo a conveniencia (según los datos) Por el teorema de Pitágoras hallamos X = 3 α 4 5 Luego, definimos al valor de cada función a partir de esas medidas: Sen α = 3 / 5 Cos α = 4 / 5 Tag α = 3 / 4 Csc α = 5 / 3 Sec α = 5 / 4 Ctg α = 4 / 3 3 Mayor función = Csc α = 5 / 4 Luego, la diferencia pedida será: 5 / 3 − 3/ 5 = 16 / 15 ..............Respuesta Menor función = Sen α = 3 / 5 2. Este problema lo podemos resolver en forma análoga al anterior, o aplicar las fórmulas conocidas: Así: Sen2 α = 1 – Cos2 α 2 4 Sen2 α = 9 / 25 Sen2 α = 1 – 5 Como el ángulo está en el tercer cuadrante, sen = − 3 / 5 sen = ± ( 3 / 5 ) Volviendo al dibujo, y recordando que el ángulo está en el tercer cuadrante, podemos determinar que Tg α = + 3 / 4 2 Tg α = ( 2 )( 3 / 4 ) = 3 / 2 Y reemplazando: Sen2α – 2Tag α. = (– 3 / 5 ) – ( 3 / 2 ) = – 21 / 10 ........ Respuesta 3. Por el teorema del seno (Ley de senos) se tiene c a = de esta ecuación se puede despejar c: sen(γ ) sen(α ) sen(γ ) c = a⋅ al sustituir los valores numéricos sen(α ) 1 sen(30º ) 2 2 al racionalizar la raíz en el denominador c = 12cm ⋅ = 12cm ⋅ = 12cm ⋅ sen(120º ) 3 2⋅ 3 2 c = 12cm ⋅ 2 2⋅ 3 ⋅ 3 3 = 12cm ⋅ 3 = 4 ⋅ 3cm ……………….. Respuesta B. 3 4. β a Aplicando la ley de senos: a senα θ = c senθ pero al ser α = 2θ, entonces: c α b a = c sen2θ senθ pero sen2θ = 2 senθ cosθ a = c 2 senθ cosθ sen θ → a = 2 cosθ c …………………. Respuesta A 5. A Por la ley de los cosenos, con a = 5, b = 3, c = 6 6 3 a2 = b2 + c2 – 2bc cosA 25 = 9 + 36 – 36 cosA cos A = 5 / 9 ………………. Respuesta A 5 B C 6. aplicando teorema del coseno se tiene: c = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos γ al sustituir valores se obtiene: 7 c = 102 + 102 − 2 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 8 resolviendo de donde finalmente c = 100 + 100 − 175 = 25 = 5 c=5 …………………….Respuesta C 7. b•h donde b = AC y h = altura relativa a esa base 2 Y “x” e “y” segmentos de PQ. Por relaciones trigonométricas tenemos que P h sen 30º = → h = 4 sen 30º → h = 4 ( 1 / 2 ) → h = 2 ….(1) 4 x ctg 45º = → x = 2 ctg 45º → x = 2 (1) = 2 …………..(2) h Aplicando Pitágoras: El área S de un triángulo es: S = y2 = 42 + h2 → y = 3 θ 45º 2 45º 2 Aplicando fórmula de suma de ángulos: TgA ± TgB tgα + tg45º 5 Tg ( A ± B )= → Tg (α + 45º) = = 1 m TgA TgB 1 − ( tgα)( tg45º ) 2 ……………… Respuesta B 9. Graficando encontramos las relaciones entre elementos: M B 10 30º A √3 30º R x y ( x + y) h ( 2 + 2 3 ) 2 = = 2 + 2 3 ……………Respuesta C 2 2 8. El triángulo inferior formado, además de rectángulo es ISÓSCELES. Podemos organizar la figura con datos inferidos: tgα + 1 5 = 1 − tgα 2 7 tgα = 3 tg α = 3 / 7 45º 16 − 4 = 12 = 2 3 ……………. (3) Sustituyendo (1), (2) y (3) en la fórmula del área del triángulo: S= De donde h 45º P X C X En el ∆ PMC (isorectángulo) , MC = PC = X x 1 x En el ∆ABC: cos 30º = → = 2 3+x 3+x Entonces, MC = PC = x = 4 3 → x= 4 3 …………. Respuesta D B 10. Organizando una figura con los datos En el ∆ ACB: Ctg α = 20 / H → 2 = 20 / H → H = 10 α Luego, en el ∆ ECB: Ctg α = H / x → 2 = 10 / x → x = 5 mts H α Entonces, la distancia que hay que acercarse es: 20 – 5 = 15 mts. ……… Respuesta E A 90 – α E 20 X C