P. P. Korovkin - Desigualdades (Lecciones Populares de Matemáticas) - Mir - 1976

......................................................
-.
..
..
Lecciones popu lares
•.
...
...
de matemáticas
.•
..• - - -- -- - - - .·
.
.•
...
...••
DESIGUALDADES
...
....· - - - -- -- - - -- ....·
.
.
:..
P. P. Korovkin
..:..
...
..
...
.
...
...
.•
.:.• ·.
..••
.•
..•
..••
-
- - - - - - -·-
•
..·• ...
- - - - -- - - - -
...
Moscú
...
.·- ········· ········•······•······••··················
110rJYJ11li'IJI>IE JIBIHlllll 110 ~IA'!EilfATH tm
n. 11. lWPOBIHJII
Hl5PA REHCT J.It\
}J:J}L\ TI~Jl !.CTDO ellA Y 1( ,\•
MOCRBA
LECClONE$ POPOLAHI:i$ Dl~ MA'fl~l\IÁ'frCMi
P. 1\ KOROVKI N
DESTGU ALDADES
Tmtluc.id(l dl'l rn~· por
Ci\tn,OS V l•:(.iA
Ctmdldnto a Doctor
en Ciencias físicu-malt•rnál.kn::;,
Catcdráti t~ de l\ln~cmfiLir;ns .• npr. ri or~:;
J'!:Dt'rOJUAL liiJH
1\!0SCt)
lflt i'R ii'.SO &N T, A UH~S. EI•ITOnlAI.lllTH. l!l7fo
@ l13JUl1CJiltCTDO <dlnywu, fl)71¡
© 'fr:-uhwci tín 11l e.'lflntíol, Editorial Mir. 1!176
fNDICE
Prefacio (j
Capítulo L. Desigu aldades 7
§ 1. Parte Clltera del número 7
§ ¿_ f\lecha aritmética y mr.dia geométrica f 2
§ 3. El número e Hl
§ 4 . Desigualdad do Bornoulli 22
§ 5. MecHas potenciales 26
Capí L\tln 11, A plicar.ión d(\ dcsig\laldndeF. 32
§ L Valores má.-ximo y mínimo de uM función :~2
§ 2. De~Sigualdad ele Holcler 40
§ 3. Aplicación de dosignaldndes ni cñlcnlo do límites /l:1
§ 4. Aplicación do clesigun\clades al cálc11lo aproximndo 50
So1uc:iones de los ejorcicios :}8
PRgFJ\CJO
1~11 ul 1:urso ~scolar de las MatomáLicas, el alumno eslucl ia Jas propied<1des clt• las desigualdades y los métodos qu~
se amplcan para msolvet·las en los casos más sencillos (desigualdades do pt'imcro y de segundo órdenes).
Eu uslc libro el :llltor no se lraza como m~ta exponer las
pro{licdncl<•s pl'incip(llcs de las dcsig\llclades; sólo protenclu
dar a conocer a los alunutos do los gt·aclos supet·iores de la
enseilnnza media algunas dcsignn)dades uolables que desempeñau •m papel importante en distintos capítulos de las
Malemálicns Superiores y expl icar cómo se aplican a la detcrminacióH de los valores máximos y mínimos de ciertos
magni~udcs y al cálculo de algunos limitas.
m libro <:unticM G:~ prohlemns; 3!) do ellos, ncurnpuiiadw~
tlc su ~o luci6n detall:ula, constil\tyen el contenido fundamonLnl cl el líhw; los 28 problemas rést.nnles, insettados con otro
tipo de letra al final del § 1 del cnpít.u lo 1 y de los§* 1, 3 y 4
cleJ capítlllo JI, apnreccn en form a de ejercicios. El lector
poclr•\ uncontnll' lns soluciones de los ejercicios al final ñcl
libro .
Sin duda, para el alumno es suás útil resolver unos cuantos problemns d ificiles que una g1':U\ can t.id:ul de problemas
sencillo!'.
Por eso recomendamos q\te se rccmra a las respuestas
sólo después do hnhet· encontrado \lna solución propia, la
cual puede difet·il· (¡seda magnífico!) de la que propone el
a\•tor.
Tanto nl clemo~trar las desigual<lactcs como al resolver los
p\'oblcm~s. el autor se ha basado oxclusivamente ou lns propiedades ele las desigualdades y de los límites estudiados en
(1} noveno graclo de la cnseñnnzn media.
El fo1lelo, por su contenido, puede servir de base para \In
<~urso facnltalivo en Jos grados sup('riores de In cmscñonzH
media.
·
P. [(oroulcin
e;,.\ .PlTULO f .
La importancia de las desigualdades se debe a qne éstas
so aplican en difc,·ontes JH'oblemas <le la Ciencia y de la
Técnica.
La razón de ello estriba en que sólo podemos encontrar
los valores aproximados, y no exaclos, de las magnitudes
que se dcterm.i nan en uno u otro problema práctico (como,
por ejemplo, la distancia a la Luna, la velocidad de la
Luna, etc.). Si x es el valor encontrado y 11x os el ctTor de
medición, el valor exacto !f de la magnitnd verifica las
desigualdades
X -
J i.~X
1 ~ Y ~ X + 1 Ó.X 1.
Al resolver problemas prácticos, es Ilreciso tomar en
consideración todos Jos errores de medición. Es más, a medi·
da que se perfecciona la. técnica y se hacen más complejos
los problemas, debemos pedecciona,· la propia técnica de
medición de magnitudes. Los gramles errores en las mediciones resultan inadmisibles cuaudo se trata do la solución
de problemas técnicos complejos (el arribo do uu aparato
cósmi.co a un lugar determinado do ln Lnua , ele una nave
cósmica a Venus, etc.).
§ 1. Parte entera del número
La parte entera dd número x (designada. ¡)()I: l.c1) es el
mayor número entero que no sobrepasa x.
De esta definición resulta que siempre f.1:J ~ x, pues
la parte entera no sobrepasa x. Pot otro lado, como fxl es el
mayor n\imoro entero que cumpl e esta desigualdad , tenemos
que lxl
1 > x.
Por lo tanto, [xl es el número eu!.cro que <~mnple las
+
desigualo a<les
(:r. j ~ x < {x ]
+ 1.
Por ejemplo , de las clesigualdadcs
3<n<4, 5< ~ <<-i,
-2<-Y2<-1, 5= 5<G
8
resulta que
(nJ = 3,
rT 'J= .), (- V2l = - 2. ¡:>¡ 5.
17
r.:
=
En Jos cillculos aproximados es muy importante sabet'
determinar la parte entera de Hna magnitud. En efecto, si
conocemos la parte entera de una magnitud x, podemos
tomar (x) ó lxl + 1 como valor aproximado de Jn magnitud
.t cometiendo 11n error que no pasa do la unidad, pues
O~:~: - lxJ
< (x) + 1 - [x] = 1,
O< lxl + 1 - x ~ [xJ + 1 - lxl = 1.
Es 111ás, cJ !techo de c11noccr la parle Olllcra de una magnitud
pcrmil.o hallar fñci ln,enlc su valor con un error que no pasa
de ~ . Ese valor puede Lomarso igual a [xl + {.
Señalemos Jlor último que conociendo la parte ontera de
un número podemos determinar ésto con cualquior grado rle
exactitud. Efectivamente, puesto qne
tenemos
INxl ~ N:r; ~ INxl + 1,
~IN-1: 1 +_1
N ~X~ N
N .
INxl,. . . .
Es decir, el número
¡.tYxJ+ 1
N
2N
2
difiore del número x en ~v todo lo más. Si N es grande, el
error será pcqneíío.
En los prohlomas r¡ue siguen se determina la parte entera
de lllgu nos númoros.
Prnblemn 1. .Hallar la parte entera _dol número
1
.r =- i
1
1
+-v. 2 + v-3 +-¡
l - + v-!i .
f.
'Í
Snhtcióu. gm picaremos las desigualdades
1~1 :< 1 .
0,7 <]Ir~< 0,8,
0,5
<·( ! < O,G,
o.!í~Y 1~o.~
oA< JI! <0.5
(<tuc se obtienen calculan do las raíces, por defect.o y por exceso, en men os de 0,1). Sumando cst.as desigualdades, encontramos
1 + 0,7-1-0,5 +0,5 + 0,4 < :x < 1 + 0,8+ 0,6 + 0,5, + O,!í,
o sea, 3,1 < x < 3,<1 y, por consiguiente, (;¡;} ..-~ 3.
NoLcmos , en t·olación con r.sto ejemplo, f\UO <1l nítmero
3,25 difiere do .1: en 0,15 Lodo lo más.
}~jcmplo 2. Hallat· la parte cntern del número
1
1
i
f
Y= 1 + '112 + v~·+ V4 + ··· + v1oooooo ·
Solución. La única diferencia entre este problema y el
anterior es el número rle sumandos: eo e) primero eran 5 y
ahora son 1 000 000. Pero esta circunstancia hace imposible
la aplicación práctica del método de solución anterior.
Para resolver el problema analicemos la snrna
1
i
t
1
+ 1¡1 -2 +-¡1 3 + ,Vr-4 + ... + -¡-.
~ u
Con este fin demostramos las desigualdades
2V n + 1- 2Vñ<--!:< 2 Vñ - 2V n-1.
lfn
~~~ ~~ efecto , puesto que
"~ lrn +
-1 - 2V-n -_ 2(Vnt- 1-·Vñ)('¡l n+ H · V·íi)_
lfn-!- 1 -1- lfii
2
= Vn+H-Vñ
y puesto qnc
tenemos
-
v-n< -:qfn--=--Vn-=-·
2 V n + 1-2 '
21
<t>
JO
Hemos d~moi;l.l'ado Ja primera de las de~igual¡lndes (1.); la
segunda se demues~rá de un modo análogo.
Si en las rlcsigualdades (1) r.omnmos ~ = 2, 3, 4,
ooo, n, ohtent>rnos
2"V3-:tV2<~<2V2-2
112
'
V7i- z V3 < ~
V::s < 2 V3- z·v 2,
zV~ -2 v·;. < ,~- <2111.-zVs.
V -1
2
2}f n -¡ 1-2Vñ<
0
::>t.tnH~nws
:- <2Vñ-2 )f n-1.
l 11
ahora est.a!l desig\11\hladell:
v-2 < ·¡n + y +
3
-1---¡=
¡, -~ .. - + ¡= < 2 v n- 2-
1
2 Vn + 1 - 2
1
·!
~
<Í
1
,- -
¡¡
Agregando 'l a todos los miembros dt~ las designaldade 5 oht.eniclns encontn\mos
'
2fn+ 1.-2112+ 1< :1 + V. ;:-+
v-+
2.
J
1
1
1
+ lfñ
(2)
< 2 v·-n- 1 .
Pucslo que 2 V2 < 3 y lfn + ·f > Vn, el o las clesignfll1
-1- 111t --1
00
o
dados (2) se dcd uco qnc
2lfñ.-2 < t + ~--l-~ + ~+- o . ...L -~<2Vñ. - L
¡h · ¡f:i ·v,~
lfn
[(3)
·
l~m pl cando las llesigualdade:-; (3) ns fácil et\conl.rnr. ahora
lll parte entera clcl númo.ro
,, _ 1 ..1-•
.. o
•
1
1
1
1
- +V1
- + . . . +-r';::;:;:;;:;;:;:;;::
Vz +l/3
Vt oooooo.
En eíec~o. ~¡en las de~igualrll\des (3) Lomamos n = 1 000 000,
tondrnmos
2Y:1 oooooo-2 <
1
(V
- < 2 1 000 000- 1,
< 1 + -,-=+ ,vr a + . + ~1 1 ooo
} ¿
ooo
.,
1
00
o sen,
:1998 < y < 1!I!J~l.
Por consiguiente, [y} = 1998.
De las desig~ualdades (2) se deduce que el número 1900~(¡
difiere de y en 0.4 lodo lo mAs. Por lo tant.ol hemos calculad o
el número y en menos dei . ~~~" % = 0.02%. Los números
Hl98 y 1999 difieren del número ¡¡ n Jo sumo en )a uniilnd
y ol número 1998,5 en 0,5 todo lo más.
AnAlicemos ahora un problema de otra indolo.
Problema S. Demostral' la desigualdad
19
1
3
5
2
1¡
00
1
.r= y·-r.·¡¡· ···' too< 10·
Solución. Pongamos
li
100
!f=;-¡¡·5"1' .. •'mi•
Puesto qne
1
2
3
!i
1¡
9H
100
100 < 101 •
(i
2 <3 • T< s 6<7
resulta que x <y y, por consiguiente,
1
1 2
3
1
4
5
•
• • •
9<J tllll
G
1
xl<,-Y = -z· 3·4. 5'lf'T' · · ·. wo·wt = ror·
Extrayendo ln raí~ cuadrada de nmbos miembros de esta
dcsignald a ti~ encont.rnmos
:r< 1_ <0.'1.
. 11 1111
Ejordcios
1. Oemoslrnr las desigualclatles
2Yn -J- i-z·V;;; <~-I¡/m
1
v- -21
1
... + y-n
< 2.
2. Ocmos~rar las dcsigualdadr_-;
t
t
ISO<k::Y1000<l+ ·¡f tOOOI
11
+ .. .
t/m.-l- 1
¡-i.
/11 -
1
+ ... ·l ¡ftclOOOOl ~ i SOo,O:!.
~. lf¡lllllr [5Cizl
z,.-=
si
t
1
1
V1000b +VfO 001 + ... + v ·1 OO,I Il()l).
lics¡mesta. \SOJ) = 90 000.
12
4; Ap(ic()ndo la induc.ción matemfltica, demostrar In dosigu11l<lad
1 S 5·
ln-1
1
2 .. 4'6' ·· · '2il ~ )f 3n+ i ·
5. Demostrar 111 desigualdad
1
3
5
U!l
1
2'4 '6' · ·· ·wo<rz·
§ 2. Media aritmética y media geométrica
Si x 1, Xz • ... , Xn son números positivos, los nú meros
a=
X¡
+Xz+ •••·l· xn
n
'
fol'mados a base de ellos, se denominan, respectivamente,
media. aritmética y media geométrica de los numeros x 1 ,
x 2 , . • • , x 11 • Para estos dos números O. Cauchy, matemático francés , demostró a principios del siglo pasado ln designaldad
g~a
que se aplica frecuentemente en la solución de problemas.
Demostraremos esta desíg.ualdad exponiendo previamente
u na proposición auxiliar. ·
Teorema 1. Si el producto de n números positillOs x1 ,
x 2 , • • • , Xn es igual a 1, la suma de los mismos no es menor
que n:
x1x2 • • • Xn = 1 * x1 + X:¡ -1- .• . + Xn ~ n.
Demostración. Emplearemos el método de .-.inducción
matemática J).. Comprobaremos primero que el teoremn
os váJido para n. = 2, o sen, demostraremos que
x1x 2 = 1 ::::? x 1 + x 2 ~ 2.
Con esle fin consideremos por separado dos casos:
1) X¡ = X 2 = 1.
En este caso tenemos :r.1 + x 2 = 2 y el t.eorema queda <lcrnosl.rarlo.
1 ) Una exposición
<letallada delméLooo du iuuu¡;ciún maLcmática puedevorseen el libro de/. S. Somtnskl •Métodu
do la inducción mat.om5licn• (Erlitorial MlR, 1975}.
13
2) Ü < X 1 < X1·
.En este caso tenemos x1 < 1, y x~ > 1 puesto quA el producto os igual a 1. Do Ja igualdad
(1 - x1) (x 2 - 1) = x2 :t1 - x1x2 - 1
so 1led uce qufl
x1 + X 2 = x1x2
1 + (1 - xJ (x 2 - 1).
(4)
La igualdad (4) ha sido establecida sin imponer condición
alguna a los números x1 y x 2 • Teniendo on cuenta ahora que
x 1x 1 = 1, obteneo1os
:r1 -\- x 2 -= 2 + (1 - x1) (x 2 - 1).
fjnalmenle, pueslo que x 1 < i < x 1 , el último número rosnl ln positivo y por eso :r1 + x11 > 2. O sea, el worema queda
demostrado para n = 2. Notemos C[liO la igualdad
x1 + x 2 - 2
se C\•mple sólo si .t1 = x 2 • l<Jn cambio, para x1 =F x 2 se t iell6
X1 +X:> 2.
Basándonos en ol método de inducción malemática,
supondremos ahora que el teorema os válido para n =k,
es decir, supondremos que la desigualdad
+
+
+
x1.+ X z
.t 3 + ... + X~¡ ~ k
tiene lugar si x 1x 2x 3 . .. x 11 = 1 , y demostraremos el teorema para n = k
1, o sen, demost.raremos <¡u e
+
X.t + X 2 + X 3 + . · · + Xh -1- Xll+t ~ k + 1
si :r1x~ 3 • • • xhxh+ 1 = i , donde x, >O, x 2 >O, x3 >O,
••.• X~¡
>O, XH¡ >o.
Notemos ante todo IJUC siendo
x 1:r!x 3 • • • xhx,,+ 1 = 1,
se pueden prescn~nr dos casos:
1) todos los factores .:r." x 2 , x3 , • . . , :eh, XJt+ 1 son iguales, o sea,
x 1 = x 2 = x3 = ... = XJt = X~t+ 1 ;
2) no Lodos los íactores son iguales.
En ol primer caso todos los factores son iguales a la
unidad y la suma de los mismos os igual a le + 1, o sea,
X1
+ X 2 + X3 + · · • + X1¡ + X.H t = le + 1.
gil el segunde caso, out.rc los facton~s del producto
x 1x 2 • • • :~·1,.1-:h+t hahr;ín números 111nyores y menores que
uno (si todos los fact:ores fuesen menores qne uno, el prorhlcto sei'Í a tMn bi én menor que U)lo).
Sen. por ejemplo, :¡;1 < 1 y :r.1t+ 1 > 1. Tenemos
(:r1.rlt-IJ) :~:z:l:a . .. :¡:,, "'"- 1..
Poniendo 1ft - .r 1:r, 1 1 , ohl.onomos
Y IJ.:z.X:¡ • • • .xh -
·1•
Puesto que aquí ol protlnr.lo de k números positivos es igual
a In unjrlnti, resulta (por hipótesis) que la snma rte los mis-
mos no e:: mr.nor rJlie k, o St!n,
!J. . ¡ .1"-¿ 1 :l';¡ -! · .. . 1 ."I"J¡ ~k.
Pc~o
x1 + :1: 2 + .l':1 + ... + .r,, + :c,,.1• 1 •••
=
<Ih + X2 + J:a + .. . + ·'") + :!'h+1 - Y1 + X¡ ~
~ k+ .~:h+ l -- !f.t +X¡
.• (k +
1) + .:t:k+1 - Yt+ XJ
-
1.
Uocorclanrlo f'JIIl' !lt -= .r 1:~:,+ • · obl.cncnto:s
+ .'l'2 + ;1:3 -1- · · · + J:h -1- X1t+ 1 ~
~(k+ 1) +
.:r,.l:/¡1-J + .:t:l- t =
= (k + 1) + (xH1 - 1) (1 - x1).
Puesto que .-r.1 < 1 y ,1:h·l-l > ·l , t.oncmos (.rlt+ 1 - 1.)(1 -:r.1)>
X¡
,1:/¡.¡. ¡ -
> O, y, por eons igniunt.o,
x1 + :r.~ + .r 3 + ... .rl< + ;~:,,+l ~
?,: (k+ i)
+ (x 11.¡. 1 - 1) (1 - x >le+ 1.
1)
Con csLo quedo demostrado el teorema 1.
I'roblcma 1. Demo!;Lrar que si :r 1 , :r. 2 , x;1, • • • , x,. son
números positi vos, :::e liono
:~: ¡ _¡ :r2 '
1 .r, ...__
- -.· ... ··-1 .r.JI-·1
- -· - -~ ¡¿
.rz. -.1:~
:Cn
.r,
con Ja part.imrlaridarl. do <¡llO el !'igno ele igualdad tiene lugar
~;ólo si
-15
S oluci6n. Puest.o q uo
la desigualdad scdednce tlel Leorema 1. El signo de iguald ad
Liene lugar sólo si
o S0 0. 1 sólo si Xt = x 2 = x 3 = ... = X 11 •
Problema 2. Demost.r:ar 1n dP.sigualdad
:t~ + 2
?
¡.í .rLi- 1 ~-Suluci{m. Toucnws
;¡:2..[-2
'V:~;2 .¡ 1
. .T~ ··f J
v.r:l. ,_,,
.¡...
V .1:~ ·H .... ( :r~+ + 1( ,,,!l.1·1 .
'l
1 , - ,- ,
Puesto que nl}Jroclucto de los Slllllnrulos del úlli mo miemhm
es igual a Jn unidad la !'UJna tlc .lo!! mismos no os lliOHo r que
dos. El signo dfl igua ldad tiene lugal' ~ólo para .1: ==-= O.
Proh}CIIli\ a. DcmostJ·ar que pnm a. > 1 ~(1 1ÍC'Ill\
log0 10 ~ 2.
lg a
1
+
Soluci.6n. Puesto que log,. 10 ·lg o. = 1, !.cuernos
lga+log(1 10 = lgo...¡- ,;ñ :~' 2.
Prublcnw "· Douwstrar la dcsigunld:ul
.T::
1
H -:r4 ~-¡·
Solución: Di vidamos enLro :t2 ol numerador y el clcno m i~
naclor d el primer rninm.bro de la rlesi~n¡ücl ad:
;rZ
1
-1 y:! .
'TT7 = _1
.
x2
Puosto que
siguiente,
1
.r. 2 ·x2 =
1
1 , tcrwmos -;:¡: + :r.2 ~ 2, y por con1
1{;
Pasemos ahora a demostrar la afirmación enunciada al
principio dol parágrafo.
Teorema 2. La media geométrica de números positioos
no pasa de la media arftmética de estos mismcs números.
Si los números x1 , x 2 , • • • , Xn rw son todos iguales, la
media geométrica. de estos n1í1neros es 1nenor que su media arit-
mf.tica.
Dn la igualdad g = ¡Yx1x, .. . X 11 se
Demos/ración.
deduce que
1=
nf:<-¡
.1:n
- ... 1
.t :¡ :t2
Zrt . 1
, o sea,-... =.
x2
G
I!{J
¡;g
g
Debido n r¡uc (~1 producto de n números positivos es
iguaJ a 1, resulta (por ellcorcma 1) que la surna d~ los mismos no es menor quo n, es clccir,
-.r.¡
e
+ -.:cz--.
1 .. + -.pn.
:r.n ....._
e
¡;
Multiplicando por g y clivid iendo onLrc n ambos miombros
de la últ.ima dosigualdad, obtenemos
a.= :t¡ -1-~2+n. · · · +xn-.....
~g.
Notemos que la igualdad tiene lugar s6lo cuando
~=~ = ... = :en = 1, o sea, x 1 =X 2 = ... = .trt=g.
e e
G
Por el contrario, si los números x1 , .t 2 , • • . , x, no son todos
iguales, se t.ienc
a.> g.
l'ruhlema 5. Entre Lodos los paralelepípedo s con l a
suma fija rl c sus tres aristas recíprocamente perpondiculares, hallar el paralelepípedo de volumen máximo.
Solución. Sea m = a
b
e la suma de Las aristas
y sea V = abe e] vol u meu del paralelepípedo . PuesLo que
a/ ji _ 1/'iibe~a+b+c _ ~
+ +
" - v
3
- a •
l.eHcmos V :::;,:; z¡ . EL signo de igual.clad t.iene lugar sólo si
(W(;"""
¡¡¡3
a= b=e=
1
;
,
o st~a , si el paralclepí pedo es un cubo.
17
Problema 6. Demostrar la desigualdad
(n+1)n
1
n.<
-y ,
(5)
n.~Z.
Solución. Empleando el teorema 2, tenemos
y/ni =
V 1 . 2 . 3 . :-:--:-:ñ< H-2+3: ...
(n!:)n=
+ 11
11 ;
{ .
Elevando a la n-ésima potencia ambos miembros de la úlLima
desigualdad, obtendremos la desigualrlaci (5).
Defintción.. El número
r:r.
1
(t
__ ( a 1 ·1 a~
Ca.-
+n .. .-1- an ) a
(t
-
se denomina media potencial do grado (X de los números a 1 ,
a2,
••• ,
.
o.n. En particular, el número
es la media arit.mética do los números a 1 , a 2 , ••• , an; el
número
se denomina media cuadrática, y el número
_ ( a¡t + a¡t
Lt -
+ ...+a;¡t) - t _
n
-
n
1
1
t
-al +-+
... +a2
ctn
se denomina media armónica de los números a1 , a2 , • • • , an .
Problema 7. Demostrar quo si a 1 , a 2, • • . , an son números positivos y si (X < O< ~. se tionc
Ca ~ g ~ce,
(G)
o sea, que la media potencial de grado negativo no pasa de
la media geométrica y que la media potencial de grado posi~
tivo no es menor que la media geométrica.
Solución. Debido a que la media geométrica de números positivos no pasa de la media aritmética, tenemos
+ ... -1-a~ •
n/ « ~
a ~ af+a~
V at a2 • · · an """"'
n.
Z-01405
18
Elcvmulo ambos miembros de la última desigualdad a la
potencia ~ y tmnnndo en consideración que ~ < O, obtenemos
t
n/ 1a.¿ ... a n~ ( n~-1-a~+··
n ·+a~)(i" =Co, .
g.= va
Cou esLo queda demostJ·ada la primera de las desigualdaucs (6); la segunda se demuestra análogamente.
De la dosigualrlad (6) se deduce, en particular, que la
media annónica c_1 no pasa de la media aritmética c1 •
l'roblcma 8. Demostrar que si a1 , a 2 , • • • , a" son números posi ti vo!i, se tiene
(ct1 + az+ ... -f- cL 11) (-al + -a2- + ... + -On-) ~nz.
1
1
1
Solución. 1Jnest.o:r¡ue c_l ~ g ~ c1 , tenernos ·
C_t=
f
i
n
_a, +a2+ ... +a.n
1 "':::::
11
; :C¡.
-0¡ +-az +···+-an
De esta desigualdad se deduce que
).
+ .. • +-1
+_!_
nZ~ (at +a~" + ... + an) {-1
Gn
fl2
U¡
l•roblema !.l. Demostrar la desigualdad
na1a2 • •. an ~a'; + a2 + ... +a:,
(7)
donde a1 > O, a2 >O, ... , an > O.
Solución. Puosto que la media geométrica no pasa de la
media aritmiít.ica, tenemos
+ ... + aA .
n /_n_n_ __n ~ a? + a~
n
alaZ . . . a11 = V al as .. . a,l -.;;:
Multiplicando por n '\mbos miembros de esta rlcsigunldad,
obLenomos ln dosig\taldad (7).
Do la desigual dad (7) se deduce quo
2ataz ~a~ -1- a~,
3a 1a 1a 3 ~a~ + a~ -1- a~,
4a1a,aaa 4 ~ a~ + a~ + a~ + a~,
o sea, ct producto duplicado de Ms mímeros positivos no pasa
de la swna de sus cuadraMs, el producto triplicado de tres
mímeros no pasa de la suma de sus cubos, etc.
19
§ 3. E l núme ro e
.m número e desempeña un p apel importante en las Matemáticas. Daremos su definición después de resolver una
seri e de problemas en Jos que se aplica solamente o) teorema 2.
Problema t . Demostrar que cualesquiera que sean los
números positi vos a y b (a :;:fo b) es válida la desigualdad
n~y.- b"
a+ nl1
v a
< tl+1 .
So lución. Tenemos
,.
~ - .,._ --...
"~=";Yabb . . . b< a-\-b-1-b+ ... -\-b
n+i
'--v--'
a -1- 111'
= n+1.
"
que es lo que se quoría demostrar.
Problema 2. Demostrar que a medirla quo aumenta n
t ambién aumentan las magnitudes
r
Y
Zn =
< Xn+1 = ( f +TI,~ ,i )"+ 1
y
Zn
Xn =
(f
+¿
( 1-
!t ,
o sea, que
Xn
< Zn+t = ( 1 -TI ~ 1) n+ 1 •
Soluci6n. Tomando a. = 1 y b = 1 ..¡...!. on Ja dosigual,t
dad del problema anterior, encontramos
n+v
1·(1+.!.)" <
1.
+n (1+.! )
1t
n+ t
n
= n+1
n-1-2 =i +-1_
.
n+t'
Elevando ambos miembros de est a desigualdad a la potencia
(n
1} t endremos
+
(1+*)" < (1 + n-~i r +l, Osea, X <Xntl •
11
La segu nda desigualdad se demuestra análogamente.
Problema 3 . Demostrar que
Yn=
U+*- r+l
20
dccroce a med ida que anmenta n, o sea,
1 )"·t-2
Yn>Yn+t = ( 1+n+1
•
Solución. Tenemos
Yn =
('1 -1-
*rr
1=
( IL ~ 1
r+ 1 = ( ___¿ )"+
j
,.,. 1
(
'1- -1- )n+l
=-Zn +l
n -\-'1
( vénnse las designaciones del problema 2}. Corno Zn aumenta
ll medida c¡uc a umentan, rosnlla c¡uo !In dccroco.
En los probl~mas 2 y 3 hemos demostrado que
+T) = 2 < x = ( 1 + ! ) =
2
1
Xt =
(1
Yt =
(l. + T) = IÍ > Yz = ( 1 + ! ) =
2
= 2,25<:r3 < . .. < x,.< .. .,
3
2
=3,375>YJ > ... > y,.> .. . •
Por otra parte,
2 = X 1 < Xn = ( i +
! ) < (1 + ¿) ~+ = Yn < Yt = 4.
1
n
Luego, la variable Xn satisface dos condiciones:
1) x,. crece monótonamente a medida que aumenta n;
2) Xn es una variable acotada (2 < x 11 < 4).
Es conocido que toda variable acotada y monótona creciente tiene límite. Por lo tanto, existe el límite do la variable xn· Este límite so designa por la lelra e, o sea,
e = lí m Xn=lím ( 1 +~)".
n~oo
n--+co
n
Como quiera quo la variable Xn tiende a su límite aumentan·
do , resulta 1111e :c11 es menor quo sú limito, o sea ,
:rn= (1 + ~r <e.
(8}
Es fár,i l ver que e< 3. En efecto, sí n es grande, tenemos
.1: 11
< Yn <Y~= ( 1 +51 )6= 2, 985984.
21
Por )o tanto, también
e =lím X n ~ 2,985984 <3.
El número e, al igual quo ol número :n:, desempeña un
papel importante en las Matemáticas. Se emplea, por ejemplo, como base de logaritmos denominados l.ogaritmos naturales. El logaritmo del número N respecto a la baso e se
representa simbólicamente por In N (y se. lee así: I(Jgar.itmo
natural de N) .
Se sabe que los números e y :n: son irracionales. Cada uno
ha sido ya calculado con 808 signos decimales; so t.ienB
e = 2,718281828M90 ...
Demostremos ahora que el límite de la variable y1l es
también igual a e. E n efecto,
lím Yn = lím ( 1 +
f)
1
n+
= Lim ( 1
+ ! )"(1 +
:
1
)
=e ·1 = e.
Puesto que Yn decrece a medida que se aproxima a e (véase
el problema 2), resulta que
(1 +
l>c.
! r+
(9)
Problema 4. Demostrar la desigualdad
ni> (:
r.
(10)
Solución. Domostrnremos la desigualdad (10) aplicando
el método de inducción matemáticn. Es f;íci.l eornproharln
parn n = 1. En efecto,
11=1>(+)'.
Supongamos que la dr.sigualdad (W) so cumplo paran =k,
o sea, ·
"'> (: r.
Multiplicando por k
+· 1 ambos mi {lrn bros de esl.a última
dcsigunldad, obtenemos
(k+ 1) /el=--= (k + '1)1 >
1
1) = ( ~ (' --~(!!..)''(k+
(H-_!.)h'
e
e
/(.
22
Pero , según la rlesiglHIIdad (8) , tenemos ( 1
por eso,
(k -l-i)!......., ( k-H
.-
e
r
! <e y,
)''+t ~e = ( k+e t )ll+t '
es decir, hemos demostrado la desigualdad· (9) para n =
=k+ 1. Con esto, Jn dosigualdad (9) queda demostrada
para cualesquiera valores do n.
Puesto que e < 3, de la desigualdad {9) se deduce que
ni> ( ~
r.
Empleando la últ.imn dosig,Hddad os fácil domuslrar q110
300! > 100300 •
En efecto, t.omando n = 300, obtonomos
3001 > ( 3~ ) 300 = 100300.
De la misma forma que ha sido demostrada la desigualdad
del problema 4, se puede demostrar esta otra
n -H ) >H·1
n!<e ( .
e
§ 4. Desigualdad de Uernoulli
En este parágrafo demostraremos, apoyándonos en el
t.eorcmn 2, la desigualdad de BcrnoulH que tiene interés por
sí sola y so aplica frecuentemente en la solución de problemas.
Teorema a. Si X~ -1 y o< a.< 1, entonces
(1 -1- x)c:t ~ 1 -j- e.tx.
(11)
En camúlo, .~i. a <O ó a > 1, .~e tiene
(1
1- xt' ~ 1 + ax.
(12)
El signo de igtutldad cm (11) y (12) se cwnple sólo para x = O.
Dcnwst.raclón. Su pongamos que a. es un númel'O racional
con In pai.'Licnlaridad de que O< a.< 1. Sea a. = '~,donde
m y n son•números enteros positivos y 1 ~m < n. Debido
23
a que 1
+ x >O por hipótesis, tenemos
m
(1 +x)<:t=(1 +xfn =;1(1 +x)m.fn-m =
= ;/(1 -j-x)(1 +x) ... (1 +.1:) d ·1· ... -1 ~
_, '--........--'
'------..m
~ (1 + x)+(i +x) +
....,
n-m
... ..¡.(1+x)-H+H- .. . ·l-1
n
=
El signo do igualdad tiene lugar sólo si todos los factores
q11e figuran debajo del radical son iguales, o sen, si 1 + x =
= 1, x =O. En cambio, si x =1=- O, tenemos
(1
+ :rt' < 1 + a.x.
Es decir, hemos demostrado la primera pm'te clol teorema
para el caso en el que a. os un número racional.
Supongamos ahora que a., O< a. < 1, es un número irracional. Sea r 1 , r 2, ••• , rn • ... una sucesión de números
racionales que tiene a. como límite con la particularidad de
que O < r" < 1. De lns desigualdades
(1 +xf" ~ 1 -1- rnx,
x ~ -1,
n = 1, 2, 3, ...
demostradas ya para el caso en el c¡no el oxponento es un
número racional, so deduce que
(1
+ :4x= r lím
(1 + ;¡;)"" ~ lím (1 + l'w7:) = 1 -¡.
-o:
r
11
11
r:t.J: .
-0t
Con esto Ja desigualdad (11) queda demostrada Larnbién
para los valores irracionales de tt. Resta demostrar qu e para
valores irracionales de .a, siendo O< a.< 1, y x =f= O, se
tiene .
(1
+ xr:" < f + a.x,
o sen , que el signo de igualdad no tiene lugar en (f 1) si
x =/= O. Con este fin tomemos un número racionn 1 r tal e¡ u e
a. < r < f. Es evidente que
2/t
Puesto q1.1e O<
que
7 < 1, resulta, según hemos demostrado,
~
(l +x)-;:- ~·1
+ ~x.
r
Por consiguiente,
('l
+ x}u. ~ ( 1 + ~ .r.) r.
Si x.:t.:O, tenemos (1 +~X
r< + ~X= +
1
1
r
CtX,
o sea,
(1 + xt' < 1 + ax.
Con esto quocln demostrada por complclo la primera parte
del teorema.
Pasamos a la demostración ele la segunda parte del teorema.
Si ·1 + a:r <O, la desigualdad (12) es evidente, pues
su primer miembro no es Mgativo mientras que el segundo
0.'3 negativo.
Si 1 + ax ~O, o sea, ax ~ - 1, consideral'emos por
separatlo cada uno de los casos.
Sea a> 1; entonces, según la primera parte uel teorema, ya dcmostnula, tenemos
...!.
1
(1 -i o:x) u. ~ ·1 +...:... o:x = 1 + .:r
«
con la particularidad de que el signo de igualdad tieno lugar
sólo si x = O. Elevando a la potencia a ambos miembros
de la última desigMidnd, obtctwrnos
1 + ax ~ (1 -1- x)".
Sen ahora a <O. Si 1 + ax < O, la desigualdad (12)
se hace evidente. Si 1 + ax ~ O, tomemos un número entero positivo n ue rnodo que se cumpla la desigualdad-~ <
< 1. En vil'Lilcl de la primera pnrtc del teorema, tenemos
u.
(t -f-.1:)
- -
.!!..
~
( 1+X) >l :P"
n
a
~1--na· ,
·1
~i
a :P"
1--%
n
«
.L-X
'
n
25
{la última desigualdad es válida porque 1;;;:::: 1- ~: x 2 ) .
Elevando a la n-ésima potencia ambos miembros rle la
última desigualdad, obtenemos
11
(1 -1- x )et> ( 1 +~
:t: ) ~1
+ n .::_lt x . . ·J +a:r.
11
.
Notemos que la ignaldad puede darso sólo en el caso x = O.
Con esto queda demostrado complotament.e el teorema.
Problema 1. Demostrar que para O > a > -1 se tiene
(n+1)et+ 1 - n<H 1
et.-1-1
<na.<
ltet+l_(n- t )a.+ 1
(1 3)
a+i
Solución. Puesto que O< a+ 1 < 1, tenemos en virtud de la desigualdad (11)
( '1
+~
r<
+1
1 -1- 0: ~ i •
i - a+1 •
( (_..!_)MI<
n
n
Multiplicando estas dcsiguald:\des por net+ 1 , ohtoncmos
(n -1- 1t+1 < na.+i + (a-1-1) na.,
(n -1t·H < n«+l -(a+ 1} nrr.,
de donde es fúcíl deducir las desigualdades (13).
Problema 2. Demostrar quo para O> a> -1, se tiene
(n-1-i)Ot+l_met+ l
a+i
o.
a.
a.
<m -l-(m+1) + .. . +n <
<
na.+l_(m - 1)tt+1
a-f-1
m + 1, .. . , n, obtenemos
Soluci6n. Tomando en las
desigualdades
·
(m+1)a.+ l_ma+l
et
mo:+l_(m-1)'HI
a +1
<m<
o: +1
{m+2)«+l _ (m+1)a+l
a+1
a.
<(m+i)
<
('l 4 )
(13) n = m
(m+1)'H I_m~+ l
o:.-1-1
2
'
(m-j-3)tt+i_(m+2)tt+l <{m+ )~< (m+2)a. +l _(m+ 1 )~+t
a-f-1
a .H
(tt+1)a.+i_na.·H
a+1
t't
<n <
ntt+l_(H-1)t:r.~· 1
a+1
Sumando estas desigualdades, obtenemos (14).
26
.Problema 3. Hallar la parte entera del niimero
1
1
1
t
+ VS + Vs ··1-. ·. + V1oooooo·
.r .= V4
Solución. 'l'omnnd o en (14) m = 4, n = 1 000 000 y
a = - 1 , ob tenemos
3
2
2
1 ooo uo13- 43
2
2
2
1 oooooo3 -33
<x <
2
3
3
o sea,
~ · ·i 000 Q() 1 ~ - ~ · /1 ~ < < ~ •f 000 000 ~ - 4•34.
X
Puesto que
2
2
~ -1 ooooof:r > ~ ·1 oooooo-r ={ -10000= 150oo.
-} ,Yts = YM < 4, ~ ,Y9> { ;Y8=3.
tcnomos
15 000 - .'J < x <1 5 000 - 3, o sea , 14 996 <x<14 997.
De estas desigualdades resulta que !xl = 14 996.
§ 5. Medias potenciales
Ya en el § 2 antes de ver el problema 7 hemos señalado
que el número
t
a:+ aa:..¡
..¡ a: 2 • • • • - an } a:
_ ( a1
Ca -
n.
.
se denomina media potencial de grado a
de los números
positivos al, a 2 , • . . , an· Al mismo t.iempo hornos demos-
t rad o (problcma .7) qnc ca~ e¡¡, si a < O<~ /\hora demostraremos que la rlesigunldad
Ccr. ~ ~~~
es vál ida siernpro que a<~- En otras palabras, la media
poLencial de grado a crece monótonamente a med ida que
aumenta a.
27
Teorema 4. Si a1 , (L 2 , • • • , ttn son número.~ positivos
11 a < ~, se tiene Ca ~ CtJ con la part i.cu,la.ridad de que ea =
= CJI s6lo si
a.1 = a 2 = ... = a".
Demostración. El teorema 4 ha sido ya demostrado
para el caso en el que los números a y ~ tienen ~ignos opuestos (véase el~problcma 7 del § 2 y la definición que le precede}. Resta demostrar Gl teorema para a y ~ del mismo
signo.
Supongamos que O <a < ~ y pongamos
1
le= Ca= (
a+ a2a+ . • . +a
an ) -a
at
,
n
Dividiendo e~ entre le, encontramos
1
~ = ~ = ( (~) B+ ( 2[-) B+... -i- (T) B)B
~
k
n
Tomando ahora
d1 =(~)a
k
'
obtenemos
(j 5)
Puesto que
1
(
dt +d2 + · ••+ dn ) a =
/1.
a
o.
a
-
1
. ·1 ( a1 +a2 + ... ·1-a,~ ) c:t
·· - /e
resulta
n
1
1
=-k Ca. ·= - Ca;= 1,
ca
28
Pongamos
cl1 = 1 + x1 , d2 = 1 + x 2 , • • • , d" = 1 + Xn·
D<' ll' i~naldacl rl1 + d 2 + ... + d11 = n se deduce que
:~:¡ -1- ;7.:2
+ · · · ·+
Xn
=
O.
En virturl clel teorema 3 (notemos que ~ > 1) , tenemos
11
1\
r~.r = (1 +:rlf<í'"~1 +!x"
1
1
f? ~.{1.~~2).~~~ :.~.x~. l
11
f\
(J.
f\
fl
("')
1
d,~ ={1-1-xn)<i"'~ i+~.:rn. J
S11 mando estas desigualdades, obt.cnemos
...!!.
.1...
d1« + d~a
'·
.1...
p
+ ... -f-da ~n+-(a:
1 +x~+ ·· · +xn)=JL. (1G)
t1
(J.
De (15) y (16) se deduce que
1
)p = 1, O Sl';r, C(J ">k=
T~ -¡¡Cjl
(
1l
Ca·
Notemos que c11 = k = Ca. sólo si en todas las desigualdados {*) tiene lugar el signo de igualdad, es decir, si x 1 =
= x 2 = ... = l'n ·= O (teorema 3). En este caso, sa tiene
d1 = d 2 = ... = dn = 1 y, por consiguiente, a 1 = az =
= ... = a,1 = k. En cambio, si los números a 1 , a 2 , • • • , an
no son iguales, so tiene
c11 > c(l .
Con es to el teorema 4 queda rlorn ostrado para el caso eu el
qnc 0< a<~·
Si ex.<~< O, tenemos O<!< 1. Repitiendo los
a
ra7,onnrnicnlos anteriores, obtcnclromos en (*) y (1G) signos
do desigualdad opnoslos. Pero corno ~ < O, rle ln desigual-
dnd
29
que
se deduce
,
.1..
cll (df +d2~ +n ... +dna )T ~111=1.,
k =
~
~
~
1
es decir,
Cjj ~k= Ca•
Con esto el teorema 4 queda demostrado completamente.
En lo que sigue la media geométrica será denominada
media potencial de grado cero, o sea, se tomará g = c0 •
Notemos que el teorema 4 subsiste también en este caso
ya que (problema 7 del § 2) e~ ~ g = c0 si a < O y c11 ~
~ g = c0 si ~ > O.
Dol teoroma demostrado ¡¡o tloduco, on par ticular, que
C-1 ~ Co ~ C¡ ~ C2,
es decir, la toedia armónica no pasa de la media geométrica,
la mo1Ha geométrica no sobrepasa la media aritmética, y la
media aritmética no supora la media cuadrática de números
positivos. Por ejemplo, si a 1 = 1, a 1 = 2 y a 3 = 4, se tiene
- ( ttil+nil+a;t
3
C.t -
)-1_- i
12
3
1
1 = 7 =
11l
. . •1
1+-z+4
3/-~-
:1~
Co= V asazaa= V
1·2·4 = 2,
Ct= ~;+ = ~ = 2,3 .. . ,
4
1
L
1
= (ar+a~+a.a )2 _ ., /1-H-\-16
2
c
3
- V
3
- v1- _ 26
-
-
'
···
y, por consiguiente,
c. 1 = 1,7 ... < 2 = c0 < 2,3 . .. = c1 < 2,6 ... = c1•
z2 ~ 12 si x
y"
Problema 1. Demostrar que x2
+y+ z = G.
Solución. Puesto quo la media a ritmética no pasa de la
media cuadrática, tenemos
+ +
es decir,
+
30
+ y + z ~ ~ = 12. El signo de
igualdad tiene Jugar sólo si x = y = z = 2.
Problema 2. Demostl'ar que siendo x, y y z números
positivos y x + y"' + zZ = 8, se tiene
En nuestro caso x 2
2
2
2
..c3-j-y3+z3~16
vi.
Solución. Debido a que c 2 ~ C;p tenemos
t
(
.x2+ g2 .¡..
3
1
z2)2 ( .r3+¡¡3-j-::3 )3
~
3
En nuestro caso rosulta
es decir,
x3+y3+z32.3·
~
!Vr
8 =16 .. /2
3
3
· V 3'
Problema 3. Demostrar que para los números positivos
a 1, a 2 , • •• , a111 se cumplen las desigualdades
(a¡ +a2
+ ·.. +an)a~
~net-1 (a~+a~+ ... +~),
a~'l,
(17)
(a1+a2+ .. · +ant~
:;,>na- 1 (af -1- a~+ ... +a~),
(18)
Solución. Si a> 1, tenemos
t
11·¡-·az - - ... +a~
et ¡ a¡
Ca= (
an)
11
~
lt¡-l-az+···+an
n
=C¡.
Es fácil deducir de aquí la desigualdad (17). De la misma
forma so demuestra la desigualdad (18). En part(cular, de
las desigualdades (17) y (18) resulta que
(x
(x
+ y)a ~ 2a-1 (xa + ya),
+ y)a ~ 2a - t (xo: +ya.) ,
a ~1,
y>O,
0<a<1, x>O, y>O.
.x>O,
31
Problema ~. Demostrar que si ;iJ + y3 + z3 = 81,
x >O, y > O y z >O, se tieno
X -j-
y+ Z ~ 0.
Solución. Puesto que
(x
y
z) 3 ~ 32 (x3
+ +
1
+ y 3 + z3) = 9 ·81 = 729
(según la desigualdad {17)), resulta
X+ y+ Z ~ t/729 = 9.
CAPITULO II.
APLICACION Dl~ DESIGUALDADES
En esto capítulo explicaremos cómo se aplican las designald adcs a la determinación de los valores máximos y míni·
mos de funciones y al cálculo do los límites de algunas
sucesiones. Además, deduciremos aquí algunas desigualdades important.es.
~ 1.
Valor<'.s máximo y mínimo de una función
Numcro~os
proLlamas pnícticos so reducen al estudio
d o una u ol.ra f uución. Por ojcrnplo, soan x , y y z las dimen-
siones de caja con tapa (de un paralclcpípcrlo); entonces·, el
área <le su superficie os
S = 2a:y
+ 2yz + 2zx
y ~u vo.lumoJl es
V= .'tyZ.
Si para la fabricación do una caja de volumen determinado
se emplea un material costoso, es deseable, claro está, que
la cantidad de material soa mínima, es decir, c¡uo el área
de la superficie de la caja sea la menor posible. Esto es un
ejemplo sencillo en el que se trata de hallar el mínimo de
una función de varias variables. Problemas semejantes se
plantean 1m1y a JOfmudo y los matemáticos más destacados
siompro prestan la debida at ención al desarrollo de los
métodos do solución de los mismos.
Aquí resolveremos varios problemas de este tipo basándonos en las !lcsigualdades estudiadas en el primer capítulo 1) . Previamente demostraremos un teorema.
1'curl'ma 5. Si a> O, a> 1 y x ~O, la función
:r/1'- ax
1
) Acerca do l a aplicación de dcsigualcladcs de segundo gr.1do a la determinaci6n de los valores máximo y míniX"o,
p\lcdo verso el libro do J. />. Natansón «Problemas olemcntales sobre
máximo3 y mínimo.'!, (Editorial MJR , 1076).
33
a:
alcanza su valor mínimo , igual a (1 - a ) ( )á-:T , m el
a
-;;:
1
a') a:-1 .
punto x = ( o.'
Demostración. La d emostración es muy senc illa sí a = 2.
E n efecto , puesto que
a~
la función toma su valor míni mo, jgual a - 1¡
i
'
en el
punt o x =
>O.
Si a > 1 es arbitrario, para dornostmr el teorema ha y
que recurrir a la desigualdad (12) del t eorema 3. Puesto que
a > 1 , t enemos
(1 + z)"' ;? 1 + a z,
z ;? -1 ,
t eniendo lugar l a igualdad sólo para z = O. Tomando aquí
1 + z = y , encontramos
y"'~ 1 + a (y - 1), ya: - a y ;? 1 - a , y ~O;
el .signo de igualdad tieno lugar sólo para y = 1. Mult.iplicando por ca: ambos miembros de la última desigual dad,
obtenemos
(cyt' - a ca- 1 (cy) ~ (1 - a) e" , y;? O.
Poniendo
1
X=CY
y
aca: -1 = a,
C= ( ~ )
-a:¡
,
tendremos
a
a:- t
xa- ax:>(:l-a)c" = (1-a) ( ; )
,
donde el signo de igua ldad tiene lugar só lo para x = e =
1
= (: )et:r.
Es decir, la función
xa - ax, a> 1,
a> O,
x ~ O,
34
a
a1cnnza su va 1or uunirno,
•
igual a (·J - ....
,..,) ( .....
~ ) a.:¡' en el
11 '
punto x = i" )a:! . Hemos demostrado el teorema.
11
(
En particular, la función x 2 - ax (CJ. = 2) alcanza
2
su valor míuimo, igual a (1 - 2) (;) 2-T = - :
, en el
J
punLo x =
(2<t)z=T = 2a . Este resultado concuerda con el
obtcuido anteriormente por otros razonamientos. La función :r.3 - 27:c alcan1.a su valor mínimo , igual a (1 - 3} X
;¡
t
X ( 327 ) 3=1 ~~ -54,
( 327 ) ;¡::-¡ = 3.
011
el punto X =
Observación. Notemos, para lo sucesivo, que la función
a.t - ze. = - (x~ ·- a.x) ,
donde CJ. > 1, a > O y x ~ O, alcanza su valor máximo,
r- 1.
a
r-l
1
igual a (a - ·t ) ( :
en el punto :t:= ( :
Problema 1. Hallar las <limensioncs de la viga de máxi~
ma resistencia 1) que puede sacarse do un tronco.
r~ rc.
t
Solu.ci6n. Sean A 8 = x el ancho de la viga y BC = y
:m altura y sea AC = d el diámetro del tronco (fig. 1).
1} La resistencia do la viga ¡es proporcional al
l'roducto 1l<! su ancho por el cuadrado ele su altura.
35
Siendo P la resistencia do }a viga, tonemos
P = kxy 1 = kx (d2 - x~) = le (ál.-c - :r3 ).
I..a función d2x - x 3 alcanza su valor máximo cuando
1
x=
d2 ) ;¡::-¡-
(a
=
2
el
.
y3
d
y= V3
y2=d2-x2=a<P,
v-z v=X
2.
Es decir, tendremos la viga de máxima resistencia si el
cociente entre su altura';"y su ancho es lf 2 ~ 1,4 = ~.
Problcm:l 2. Ha11nr el valor m{lximo do la función
~
~
y = sen x sen 2x .
Solución. Puesto ·que sen 2x = 2 sen x cos x, tenemos
son x sen 2x = 2 cos x senz x = 2 cos x (1 - cosz x), =
= 2 (z - z3},
donde z = cos x y, por consiguiente, -1 :;:;;; z::::;;; 1. La
función z- z3 = z (1 - z2) toma valores negativos si
-1 :;:;;; z < O, es igua.l a O si z = O y toma valoros positivos
si O < z :;:;;; 1. Por consiglliente, la función alcanza su valor
máximo en el intervalo O < z ~ 1.
En el teorema 5 hemos demostrado que la función z - z9 ,
z ~ O, alcanza su valor máximo en el puuto
l
z = (~)3-T= l;3.
En este punto,
sen x sen 2x = 2z (1 - z2 ) =
2
113
( 1 - 1:~) =
Va.
"
3
Es decir, la función y = sen x sen 2x alcanza su valor má1
ximo en los puntOS en los que Z = COS X = . 3_ y CSte valor eS
v
4
igual a V _ ~ 0,77. En la fig. 2 representamos la gráfica
3 3
de la función y = sen x sen 2x.
3()
-rr
FIC. 2
Problema 3. Hallar el valor Ináxirno de la:función
y = cos x cos 2x.
Solnción. La iunción y = cos x cos 2x no es mayor que
1 porque .los factores cos x y cos 2x no son mayores que 1.
FJG. :¡
Pero en los puntos x = O, ±2n, ±4n, ... , tenemos
cos x cos 2x = 1.
Es decir, la función y = cos x cos 2.r. alcanza su valor máximo, igual a 1, en los puntos x = O, ±2n, ±4n, .. . En
la fíg. 3 hemos representado la gr.á:fica de la función y =
= COS X COS 2x.
l'rohlcma 4. Hallar el valor mínimo de la función
x«
+ ax,
donde a > O, ex.< O y x ~ O.
Solucúín. Puesto que
o: < O, tenemos, según 11\ desi-
gualdad (12),
(1 + zt ~ 1
+ az,
37
donde el signo de igualdad tiene lugar sólo pnra z = O. Tomando 1 + z = y, z = y - 1, obtenemos
¡¡« ~ 1
+
(X
.11 ~
(y - 1),
O,
donde el signo de igualdad tieno Jugar sólo para y = 1.
De la última desigualdad se deduce que
CJ.Y ~ 1 - a, (cy)a. - ac«- 1 (cy) ~ (1 - a) e«.
y(1. Poniendo a = - ac«-\ y x = cy, encontramos
(1.
xcr.
+ a.:r. ~ (1 - a ) cet. ;"' {1 - a) ( .::_a ) a.:t , donde el sig1
)e=¡ .
no ele igualdad tiene lugar sólo para x = e= ( -=;,:
a
Es decir, la funéíón :z;tt + ax alcanza su valor mínimo ,
igual a
a
(1- a) (~'X
)a=!
1
t
x :_a )
¡::¡ .
en el punto = (
Por ejemplo 1 1a ftinción
1
a¡-
1 ;t
+ 27x, .x:~ O,
alcanzn su valor mínimo en el punto
\
¡---
'~ (*f'- 1 ~ 27
Esto vnlot· es igual a
1
-;¡
--}-t
~
(.l +-r1)(27)
l.
--- · 1.
3R
l'ro!Jicma 5. Ha llar las rlimensiones óptimas 1) do un
recipiente do forma cilíndrica con fondo y tapa (do una lata
de conserva).
Soluciún. Sea V = nr'l.h el volumen del recipiente, donde
resol radio y hes Ja altura del cilindro. El área total de la
superficie del recipiente es
S = 2nr2
PuesLo que h = -
V
nr2
••
"
,
l•:.>"" LHll
+ 2nrh.
tenemos
.z+ 2nr JtrV2 :-: •.:.n1·2 ·1--2V,-.
1
1
'1'ouHUH1o J~ = - -, cnconLramos
r
S = 2'tx-2 + 2V x = 2n ( x- 2 ~ ~ x) .
V
lt\ funciÓll x-z +n x alcanzo.
So~ún el problema anterior,
su valor mínimo parn
l
3: = (;:)~=
V2;.
Volviendo a los símbolos iniciales, encontramos
.!.)3 / 2rt
,- 1 V ,
.3 _
1 -
V
n1'1h
2ñ="""2it
,
r= 2h ,
h=2r=d.
Es decir, ol recipiente tendrá d imensiooes óptimas si. su
alt.urn y diámetro son iguales.
Ejercicios
6. Hallar el valor m:íximo de la (unción x(6-z)2 si O<z<6.
Sugerencia. Poner y=6 - z.
7. De una l:ítnina cuo.dradn do dimensión 2a, se corta do co.c.ln
esquina un cuadrado para que so pu~da f:~bricar, doblanclo los salientes ohtcniclns, \ma caja sin topa do c;1p~cidad máximn {[ig. 4). ¿Ctt:íl
será la dimcnsi1ín de los cundrados rccortndos?
8. Nallar ul valor mínimo clo In función
zG+8r2 -j-!í.
1 ) Lasdimonsionesde un rccipicnto do un volum<:n
daclo so conside1·an óptimns si su fnhricnci!')n requiero la can~idail
minimn de mntoriR), o scu, ~¡es mínim:~ el át·cn do In superficie dd
¡·ccipir.n~o.
·
39
9. Hallar el vülor míni mo do In funci ón
x8-8x2+5 .
10. Hallar el val<¡r máximo de la hmción
xa.-az
si O< cz < t, u > O, y x .>- O.
,.' 2a-2x ....,
1
2o
FIG.
~
tt. Demostrar que para x .>-O es válida la desigualdad
3
4r
l' x
-< 8 + 2.r.
12. Demostrar que para n ·-;,. 3 es válida In disigualdad
'Vñ n+v +
n 1.
>
Sugerencia.. Emplér.se la clesigualnad (8).
13. Hnllar el mayor de los números
1,
3 -ltr.;2, -va.
4F7.
l' •J,
& r;
l' 5, ... ,
nr1' n, ...
14. Demostrar Ja desigualdad
2
)fñ <i+.v -11 ·
15. Demostrar In uesigualdad
{1 -1-at) (1-!- az) . .. (1-t-an) ~· 1-\- af"l-az + .. . +r'n•
donde los números a¡ no son menores I{IIC -1 y tienen todos el
mismo signo.
1G. Demostrar la de:;igualdad
(atbt +azbz+ .. -+anbn)2 <
<(al+a:+ ... +a~)(bl--1-bl+ . .. +b~).
(19)
40
Sugerencia. Délll U~-·;trose prirnm·o que el polinomio
(a1.t: - bt):L¡. (a2.t-b2J2+ ... -f-(anx - bn)2 =
= x2(a~+a~+ ... +a~) -
- 2x (a 1i11+ ozl12+ . .. + a11 1i 11 ) + (11~+bª+ . .. -f-b,D
nu pncdc tcuc)J' do~ raíces ruo les dislill tns.
tí. Emplc;.~ndu la dc:,;igual<lad (19), Ú(.lffi<ostrnr que la media aritmética no supera !:1 mcdin cuadr:itic.1.
18. Dc111ostrar la d<'~igunltlacl
- 1-,Vr- - 1.
ll1ñ < '\r ll·l11
1\J. l~mph~and<l la closigunldnd del cjcroicío 18,
desigunl!lnd
,-
-
r
dcmo~trar
la
:-
1
1.
\t II + H l 11 - 11 2> t+ y-+r-+·
.. +-,1 -·
12\. 3
111
20. Hallar Jos v:llon·~ múximvs de las funciones
:l J
.1:"+ 5 Y :rG- O,(ix•o.
;¡
Re.spuesw. --¡¡=
4y 15
y
0,4.
21. ¿Para qué valor de a d
·v; + ;
vn)nr
tJlÍ IIÍ.IllO
de la [uución
2 os l~tuul u 2,5i'
Respuestn. a=~·
* 2. Dcsiguuld<td de Holder
E mplenudo los Leorrmas 5 y 6, on el teoremn 7 se demuestra
1~ desigualdad de Holder que posteriormente se aplica R la
solución lle algunos problemas.
Tcnrcm11 6. Si p > 1, .!.+.!. ::..-1, x >O o y> O,
p
11
su tiene
yq
;trJ< -p +-·
IJ
J :Tl
~ ""<::::
(20)
Denwstración. J~ n vi~lud del teorllma 5, si a> 1 , a > O
y x ~ O, lcuomos
41
Tomando en asta desigualdad a = p y a = py, encontramos
2-1
t-
xP-(py)x~(·1-p) ( P:
T>
(21)
=(1-p)yP-1.
Puesto que ~
+..!.q = 1, resulta
p
.!_=1 - ..!._= p - 1
p
t¡
p
'
IJ= p-p1 .
p-'i=L.
1)
Introduciendo estos valot·es en la desigualdad {21), obtenemos
.r'' - p¡¡:r ~ - ~ !Jq.
Dividiendo entre p todos Jos términos de la última desigualdad •y pasando los ~Grminos negativos de un miembro al
otro, obtendremos la desigualdad (20).
Teorema 7. Si a 1 , a 2 , • • • , an, b1 , b2 , ••• , b,. son
números positivos y los números p y q cumplen las condicione~;
del teorema 6, se tiene
a,b, +azbz+ ... +anbn:s:;;
-1
-1
,;;;;{ar + a~+ . . . +a~)P (b~+b'¿+ ... +h~)". (22)
Demostración. Pongamos
af +a~+ ... +a~=A"
bY +b~ + ... -1- b~ =B'l.
y
El segundo miembro de la desigualdad (22) sorú igual entonces a
j
1
( A")~' (Bq)q =AJJ.
Pongamos ahora
a 1 = Ac1 , a 2 = Ac 2 ,
ú1 = Bcl1 , b 2 = Bd 2 , . . . ,
l)uesto qlle
•
A"=af-H~~+
o
.,
an = Acn,
bn = fld11 •
... -1- a~=A,cf + A"c~-1- ... -j-A»c~=
=AP(cf+c~+ ... + e~).
42
resulta
+ + ...
cf e~
c.t: = 1.
De la misma rorma se comprueba quo
d1+<i1+ ... + d~ = 1.
Aplicando ahora la desigualdad (20), obtonemos
ILt bt
cr + (]
·~ ) , 1
= A.lJ (ctd,):::;;: AIJ (/1
1
e~
a~ )
a~u~ ~ ~~~ .( : + ~ ) , .
(
1
--p+-q .
a71 b11 ~ AB
('')
..
J
De esLas desigualdades se deduce que
(atbt + a2b2 + ... + anbn ~
-s:::AB
(
-..;:::
cr+c~+ ... +e~
¡:
+ cJ1 + ~+'1 .. - -!- ~) =
=A B ( ; + ~ ) = AB
1
1
¡;-+-;¡=
1,
d'l + d~ + ... + ct!t = .1).
(rncord em o~ QUtl
cf-j-C~-/- .• . -J- C~ =
1
Y
Es decir, hemo~ demostrado que el primer miombro de
la desigualdad (22) no pasa de AB, o sea, no sobrepasa el
segundo miembro.
Es fácil encontrar el caso en ol que tiene lugar el signo
de igualdad on (22). Efectivamente, el signo do igualdad
on (21) tiene lngnr sólo si
_1_
:1: = (
1
'1
/lf/ ')1J-1
- 1 = y -JI
'""'f]
= yP-
xP=y''
1
(véase el teorema 6). De la misma forma, el signo de igualdad en cada una de las expresiones (*) ten drá l ngat sólo si
..1.
Cz
= d{ , . .. ,
.!.
Cn
= d!:
1
es decir, si
el' = d1,
Fina lmente,
obtenemos
e~= d~, ... ,
e~ = d~.
por A 11 8 11 estas igualdades,
mult.iplicnndo
Bq(Ac 1)P = AP(Bd1)'1, os docir, R7 at=APb1.
4~
aR
AP
4~
AP
AP
v1 = 7Jíi'' bf= 8f' .... b~ = --¡¡¡¡·
Por consiguiente, el signo de igualdad en (22) tiene h1gar
sólo si
arbj = a~ = ... :.-:; ~~~bh .
11~
Observación. Poniendo en (22) p = 2 y q = 2, obte nemos la desigualdad (19) (véase el ej ercicio 16):
a¡b¡
+azbz -1- ... +anbn:::;;;;
~V (a~ +a~+ ... +a~) (b~+b~ + ... + b~).
§ 3. Aplicación de desigua ldades ni cá lculo
de límites
Empleando las desigualdades demostradas, calcularemos en los problemas que siguen los límites de sucesiones
bastante complejas.
Problema i. Demostrar la d esigualdad
1)
(
1
n+1 <ln 1 +ñ
1
< n1 ) .
(23)
Solución. Uniendo las desigualdades {8) y (9), obtencm os
(
1+-n1 ) n <e< ( i+ñ1 ) n+l .
1)
In ( 1 +
¿)
ft)JJI'I\Scnl<l el lo¡rnrilnw de bnso 1'
(Véase l as págs. 20- 21) tl(\] númt,ro ( 1 + ~ )·
44
Pasando en estas desiguald ades a los logaritmos de base e,
encontramos definitivamente
nln(1 +-;}) < lne =1 < (n+1)1n (1 +*),
-
1
- < ln (1 + ..!..)
<..!..
.
n
n
n+ i
Problema 2. Hallar lím Zn si
, ..... 00
Zt =
Z3 =
1
1
·1
'1
1
z2 = 2 + il +¡¡ ,
+ 2,
+
! i
~ + + + J; , z~ = ~ + ~ +.~ + -1- 1J , ...
1
1
1
1
. . . , Zn = -11 + -11 - 1- 'l -~--+2
-1- ... + -211 .
/~
Solución. Tomando en la J>rimera de las desigualdades
(23) n - 1 en lugar de n, obtenemos
..!..u <In (1 + -n-1 -1 ) =In ___!!:_
n- 1 .
De esta desigua.ldad y de la segunda do las desigualdades
(23) se deduce que
n
lnn+1<1<l
ñ'
·n"n=T.
11
( 24)
Empleando las desiguald ades (24), podemos escribir las
desigualdades
ln n+i <.2..< 1n - 11 n
n.
l . n -!· 2
1
~~ -1
)
'
n -!- 1
n11-·;-,1- < -11. · ¡.. t < n -,
11
n +::J
1
n+2
l nn-,-12 < -n ---2. < l n
-+fl
1 ,
1
2n-\-1
i
21~
lu-2- < -2n < ln-2--i.
n--1~
Sumándolas y teniendo en cuenta que la surna de Jogarit~
mos os igi1 al al l ogaritmo del producto , encontramos
lu (n-1- i) (ll-\-2}(n+3l .. . (2n-\-1) <
n(n-f1 ) (n + 2) ... 2n
.J... lu n(n-1- l ) (n -\-2) ... 2n
< n 1 n -1- 1 + ··· -t 21~ < (n - i}n(n+i) . .. (2n-1}'
!. __ _ ·1 _
o sea,
1
1
2n+ 1 _.. 1
l
211
- -1 .
n11'- -n -1- -n + 1 -1- . . . + -;;-<
,n
ln - n-
1
2•t+
=
Puesto que n-
2 + -1
n '
(25)
resul tn
2
= ln 2.
lím ln n+i = lím In (2-1- ..!.)
tt
n
n..... on
n-oo
1
= 2
De la misma forma, d e ~
n-
se deduce que
+ ___2_
n- 1
1
lím ln ~ = l n 2.
n-..oo
n-
Es decir, son igualos Jos límites de los mieml>ros extrornos
de las desigual dades (25). P or consigui ente, el miembro
intermed io tiene tall}bién ese mismo límite, o sea,
lím
n.-. oo
1
+
(.!..+
1- + ... + ·~-) = lím
U.
11
.., ... oo
L..n
Zn =
lu 2.
Problem a 3. Hallar lírn Xn si
X¡= 1 ,
1
X1 = f - z,
.. . , Xn= 1
i
1
Xs= 1-2+ 3 1
1 + 1
L 1
5-!f+ ··· + --21 -•a--4
Soluct6n . 'l'enomos
1
(
i }n- t 1
-;·
Por consiguiente, x 2 n = z"- ..!_. P~ro lím Zn = ln 2 (véase
n
n .. oo
el problema anterior); luego,
·
lím a·2n = lím ( Zn- ..!._) = In 2.
n ...~ eo
n
n.-oo
1
Observemos ahora quo x 2n-tt = X2n-l- 2 n·:- 1
y, por consi-
guiente,
Es dec.ir,
lím x 1t "'-' ln 2.
n -oo
+
Observación. Los números· x1 = a 1, x2 = a1 a3 , xa =
r.t, se de= ct1 + a 2 + a3 , • • • , Xn = a 1 + a2 + - -.
nominan sumas parciales de la sede
+
Una serie se llama convergente si la sucesión tle sus sumas
parciales tiene lünite finito. En esto caso, el número S =
- lím x 11 se denomina suma de la serie.
n-oo
Del problema 3 so deduce quo la serie
converge y que su suma es igual a ln 2..
Problema 4. La serie
1
1
1
j
t +z+a+4+ ·-· +-¡¡-+ · · ·
se dcuomiua serie armónica. Demostrar que la sorie armónica
diverge.
Solución. Sogún la desigualdad (23)
_!_ > lnn +t.
n
n
Poniendo n = 1, 2, 3, ... , n, podemos escribir n desigualdades
2
1>lnT ,
1
3
1
4
z>.ln2 '
-r>ln 3 ,
>In l'l+n 1 .
..!.
n
Sumándol as, obtenemos
·1
Xn
1
i
= 1+ z-f- 3 -}- ... + n >
... ·(n+1l = In (n + 1).
> l n 2-3·4·
i ·2·3 · .. .
•/t
De esta desiguald ad se derluce que
lím Xn~ lím ln(n -l- 1) = ro;
n ..... oo
tt-oo
por consiguien La, la serie armónica di verge.
ProbJemn 5. Demos\.rar que 1a serie
+--1- + ···+-i
+3~
1+ -1
n~
2~
(26)
converge para cualquier a > 1.
Soluci6n. La sucesión de las sumas parciales de esta
seri e
X¡= 1,
1
x2 =1 +-;;-,
z~
1
1
•
X3 =i +a+a
3
2
x4 = 1
X
"
= 1
i
1
+ za. +sa + ~¡o. '
t
1
1
+ ... -1-+ -+-+
na
40:
~
2~
j
1
48
es monótona creciente, o sea,
x1 < x2 < x3 < x, < . . . < Xn < ...
Por olra parte, sabemos que toda sucesión de números
monótona creciente y acotada tiene un límite finito. Por
consigu iente, para demostrar In convergencia de la serie (26)
basta demostrar que la sucesión de l os números x 11 es acotada. Pongamos
1
Y2n
1
1
1
1
1
i
= 1- 2a + 'f" - ~a+ 5" - 6a. + ... + (21l-i)tt- (2n)".
Puesto que
lf2 11
•
~-= 1- (...!..
_...!..)
- (1...-.!_)...
20.
:¡a.
4"
5(1.
rosu l ~a
que
Y21t
< 1.
(pues en todos los paréntesis figuran números positivos).
Por otra parte
11
20.
'j'- -
1
+
Y?.n = 1 1
1
t
1
1
6" .¡- · · · + {2n -i)o:
t/1• +5o. -
1
(2n)a =
1
1
1)
+ sa1 + (ia1 + ... + (2n-t)a+
(2n)(X 1
1
1
1)
- 2 ( ztt + 401 + 6a + ... + (2n)tt =
= ( 1 + za + '/" + 4"
t
1
1
= ( 1 -f- 2a' + 3tt + 4a.
+
1
1
[)a +
()a. -\- ..•
1 + (2n)"
1) - 7}.12( 1 + ztt1 + ;:¡tt1 + ... + ~
1) .
... + (2n-1)«
Puesto que X = 1 +~+~ + ... +{, tenemos
2
3
n
11
Y2r1 = X2n -
2
,. Xn·
2
Ahora bion, como x 211 > x~~. e y~,1 < 1, resulta
2
za.-2
1 >Yzn>Xn--Xn=
- 2"~n-Xn·
zo.
4H
Do aquí se deducn quo
')!l
.'l:ll
< 2a.-2
o sea, los números Xn están acotados si a > 1. Con esto que(\a demostrado que lA serie (26) converge y que su suma no
2(1
pasa de - a.--.
2 -2
Por ejemplo, para a = 2, se tiene
1
x, = 1 + 22
2a
= 2,
+"""iZ1 ·+ ... + 1 < -:;:;--?
-112
_..,
S= lím Xn=1+-á-+
n-oo
, - - ....
J + ... + :'t.+ ... ~2.
2
En el curso de Matemáticas Superiores se demuestra que
1 •
1
1
¡¡2
S= 1 + 2i'+Tz + ... +ñ2 + ... =T.
(27)
Ejercicios
22. Hallar la ~uma do la serie
1
1.
f
1
.
S =1-22+32'-'42 -1- ... +( -i)n-1 "ñ2+ ...
Sugcrencía. Empléese la igualdad (27).
nz
llesputsta. S =1'2.
23. J)cmost.rar las ucsigunlrlnda:;
11 et+ 1
~+i < f-j-2o:+3a+ .. . +n~<
( n -1 1)et·H
o:-+i
, a.>O.
2t,. Siendo
demostra r que
,
xn
¡ lfll --~
n-eo na+
1
=-a+ 1 ' o;> o.
25. Demostrar la dcsigunldnu
(a¡b¡c¡ +112b2r.2 + ... -1- a 11 bncn )S <;:
<. (a~+a~ + ... +a~)(bf+b~+ ...
. . . -1-b~) (ct+ el+ ... +e~),
donde ~'~h• !J¡, y clt son nú01cros posi tivos.
1/,\-01405
50
Sntzercncia. Aplíquese la desigualdad (7) y el
para demos~rnr (2l).
1
1
n+ 1 n+2
mero entero positivo, d<.'mostrar quo
lím :e,.= In k.
211. Pa r<t
1
método empleado
1
:r.,. = - -1- - -
n
1
+--. + ... +donde l• es un míkn
S ugl!rencia. t\ plíquesn el método de solución empleado on el
prohlcma 2 de esto par:ígrafo.
§ ~. Aplicación de desigua ldades al cálculo
aproximado
Al iniciar nuestra exposición hemos señalado !fUO los
proulcnws práe.Ucos requieren, como regla, el cálculo aproximado de ciertas magnitud es y también el saber operar
con estas magnitudes calculadas aproximadamente. Cuanto
mayor sea la exactitud en ol cálcu lo ele osl.a.s magnitudes,
menor será , lógicamente, el error en ]a solución del problema.
Ahora queremos volver a l cál c.ulo a proximado de Jos
nú meros de ti po
....
1 /1
1
0n,~t = ka - (~
ry,+···+a'
n. -¡·
1)
lt
o<a< 1. , ¡,c<n.
En ol § 1 d~l capítu lo 1 hemos calculado el n úmero S 11 , J.
1
para le = 1, n = 1 000 000 y c.t = 2 con un error menor que
0/1 (problema 2). Alli mis rno (ejercici os 2 y 3) h emos cal-
culado S.,..," para k = 10 000, n = 10G y c.t = ~ con un er ror
menor qnc 0,01. La comparación do estos 1los ejemplos
pone de manifiesto que el método empleado da mejores
resultados para valores m ayores de k . .En el § 4 del capítulo l (problema 3) h emos oncon lrado la parte enlera del
número S,.,lt para k = 4, n = 106 y a=~, o sea, hornos
calCulado este nt:imc:J'O con un error menor que 0,5. No hemos
delcrrninaclo la parte entera del número S.,.. , 1 para a=~)
y n = 10~ por cuant.o el métod o e mpleado en el primer
caj1ítnlo no es aplicable a est e caso. En el parágrafo presente perfecc ionaremos el método de cálculo de 1~ magn i·
!)1
tud Sn, 1 lo que JlCrmitirá hallar mflgnitndes semejantús
con relativa facilidad y alt.a precisión.
l"cnlll 1. Si x 1 > .'1: 2 > x 3 > ... > Xn, se tiene
O< A = x1 - x 2 + X:¡- x 4 + .. . + (-·Jf' - 1:r.. <x1.
Demostración. En esta suma aJgcbraica, el núméro ¡-le
sumandos positivos no es menor que el número de sum andos
negativos. Además, cualquier sumando positivo es mayor
que el sumando nega~ivo que le sigue. Por consiguiente,
es positiva la suma algebraica do est.os términos: A >O.
Por otra parte,
A = .1:1 -
(x 2 -
x3
+x
• .•
1 -
+ (-1)»-zxn)
y, pucst.u que el n\Ímcro que figurn ontrc l os paréntesis es
positivo, resulta A< x 1. .Hemos demostrado el lema.
Lema 2. Para O < o; < 1, son válidas las desigualdades
.
(2n+ 1) 1 -o:-(n + 1) 1-«
1
...!--'--'-....,.-~--!..-=-- <X
1- a
-... (11 -~- i)
+-1- -1_. ..
(tt-1 2)a
, .. + _1_ < (2n)t-a _,, t-a.,
(21l).x
~
(28)
1- a
Demostracwn. La desigualdad (28) resulta de la desi.gnaldad (14) (problema 2 oel § 4 del capítulo I) si en. esta
última tomamos n
1 on lngnr cto m , 2n nn lugal' de n
y -a en lugar dú o:..
Teorema 8 . Es válida la iguald,ad
+
'
Su.t=1
1
1
1
+-+-+.
··+-=
2?·
3<>.
nt:J.
(29)
52
Ag~egando y resultando en el segumlo miembro el número
1]
1.
1
1
2 [ 2~
+-¡;: + 6a. + ... + (2tl)~ '
obtenemos
t +
S , = i-_!_ + _1 _ _
n,
rx
')!-
4~
...
1_+
__(2n)a
+ 2 [ 2~ + 4~ + 6~ + ... + (2t~}~ J- [ _ ¿ _ + _1_ +
(n-j-i)rx
(n+2)a.
.•·
+_!_]
(2n)~ ·
Los ní•meros que aparecen dentro del primer corchclo tienen
~ como h.cLor común; sacándolo íucra encont.ramos
2
1 - ... --1- +
Sn ¡=1- -1 +-1 _ _
•
'!"
2a.
t,~
(Zn)fJ-
1 )
1
1
2 ( 1 + -;;-++-a
z- acx. + ... -f--a 2
11
1-1·
+ ... +-(211)a.
1
i-+(n +2)a
-[-(n+1.)cx.
Pero como ontre los paréntesis aparece el número S 11 , 1 ,
resulta
+ .. . -f- -1__
1
_1_+
(n + 1)~
(n+2)~
(2n)~
_1 - __1_ ]- [t--1
2~ + 3" . . . (211)~ .
2 -2~
Sn.t·
= ( 22a - 1 ) Sn.t =--:¡¡;:De aqní, multiplicando por za y dividiendo entre 2 - 2"',
se obtiene La igual<lad {29).
La igualdad {29) tiene interés por cuanto reduce el cálculo de Sn.l al cálculo de la magnitud S 2n.n+ 1 y de la mag1
1
1
1
.
L a pnmcra
se ca111.1.11 d 1 - - -t- - - - ••• - - - .
(211)"
3~
2"
cula con elevada exactitud, para valores grandes de n,
aplicando l ns desigualdades (28). En cuanto a la segunda ,
sabemos del lema 1 que es menor que cero y mayor que
-
~.
Además, si hallamos la suma de los cuatro lénui2-2«
nos iniciales de estn última n1agnitud, el re~ to (() ~en, el
1
2""
error) será menor que ce.ro y mayor que - -«
·--« .
~- ~
5
En los problemas qne siguen, esta última magnitud tnmbién será calculada con mayor exactitud.
Problema 1. Hallar la suma
1
1
1
A= 1 -j- ,r-+---=+ ... + ¡ v 2 Vs
1 1o6
con un error menor que 0,002 .
Soluci6n. En virtud del teorema 8, tenemos
11 2 (
1
1
1
)
A=2-V2 V10&+1+Vt06+2-f- ... +.yz.tuo -
_ Yí (·1 __
1 +-1 _
__!_) =
2-·v2
Vi V 3 . . . llnJ.i6
= (VZ-¡-t) ( 11 t~e+t +···+V ~·tO&)­
-(V2+1)(1-..V~-+,~-· ·· -~~t
2
V
3
V
2·106
)=
= CV2+ i) (ll- C),
rlondc
B=
1
v1o6+t.
+ v 106+
1
+ 1
2 + · · · -v.,...:¿-.¡=u6 •
1
1
1
e= 1-112+ vs- ···- V2·h16 •
Según el lema 2, el número B satisface las !lesigunltlndos
2 (V2·106 + ·1- V 106 + 1) < B < 2(V2-1UG- V 10G).
Los miembros ex tremos de estas desigualdades difieren en
3 -10-• Lodo lo más. En efecto,
'?(litUO+ 1- y 10G)- 2 (V2-108 + 1-V z.1(¡G) =
2
V1os+'~+ 1ltoa
= -==;__~=-
2
1
V2-106+i+V2·1<¡s
1
V 2-1oo
~--
1fi06
= 112-:-1 ._1_ <3·10-\.
V2
1000
Por consiguient.e, la media de estos · números difiere del
número B en 2 .1Q - • todo lo más. Calctllando el primer
número y rcst.ando de él 2 ·10-4 , obtenemos
B = 828,4269 + 6 1 ,
1 ó 1 1 < 2 ·1 o-4 •
Pasotnos n calcular el número C. Sea m un númeL'o impar .
Esti memos la magnitud
/) =
1
1_ -
V m V m+1
+
1
V m-+2
-
... -
~.
1f2n
Con csl.<J fin ohsen•omos qlte
- vz
V,r-j-1k-1= llk"+1+ "Vk-1
y q 11 ()
E=
2
2
2
lfnt+1 +V m+ V rn·H~+ V m+1
2
V u1 -¡- 1-1- V m-1
2
t/•11 + 4 +V m+ 2 + . · · - V 2n +1-V 2n - 1
=V m+ 1 - Vrn -1 - V m+ 2 +Vm +V tn + 3-V m+ 1- V m+ 4 +Y m+ 2 + ... - V2n + 1 +
+V2n -1 = lfiñ-- V m-1 + V2n -lf2tt+ L
Como vemos, os relat ivamente fácil calcular ol número E.
Hestando de la magnitud E la magnitud D, obtenemos
E-D = (
2
__
1 ) -
V m +1- V m- 1 lfñi
¿
1
)
Vm+1 + ·· ·
- ( ·vm. -1 2+Vm
2
1 .
· · · - ( V 21t+ 1-lr2n-1- V 2rJ ·
Demostremos que los números que aparecen ontre los p!,\réntesis son positivos y decrecen monótonamente. En efecto,
2-
1
2V;;-Cllñi+1+ lf;;-::1)
vi/1 +1 +"Vm-1 v m= Vñi(lfm+1+VIn-1)
·-
Zm-2lfl~
=
__
- 'VmCV m -1-1 +·Vm-1) (2Y;;-;.+1f,n+t+ V m-1)2
55
De aquí puede verse que dichos números son positivos y
decrecen monótonamente a medida que aumenta m. Bn
vi rtud del lema 1
O<E-D<
2
<y iñ(V m+ 1-f- V m-1 )(2V m+ Vm+1+V m-1}{nt+lfnt2-1) ·
No cometeremos un error muy grande si en el denominador
+ 1 y m - 1 por m. Tendremos entonces
sustituimos m
! V m ·2nt = -s·
0<E-D< V m -2Vm·4
1
8·m2
Si tomamos m = 9, tendremos
0 < E-D < 8 .; 1 . 3 < 0,000ü.
Es decir, para m =·9 y n = 10' resulta
E - D = 0,0003 ± Aa, l A2 1< 0,0003,
V8 + Vz -10°-
D =E- o,ooo3 ± ~~ = V9 -
- lf2-10 + 1 - 0,0003 + Óz-= 0,1710 ± Ll 2 •
Volviendo a la magnitud C, encontramos
6
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
vs- v·¡¡+ V1 - lf8 +
f
1
1
f
C = i - Ví+ V3-V4 + yg- -if'"(¡-l- V1- tnr~· l)=
1·- vz+ y3 - V4+
·l) +
1 ( 1+2
1
+0,1710±Ll2=1-2-i7i
1
1
1
j
+va+·v5-lf fi+V7+0 ,17iO + Óz=
t 3V2 Va , V5 Vii+V1
- 7- +0,171 0 ± L\ 2.
= 2 - ""4"" + 3 T T - T
O sea, para calcular el número e con un onor menor qutl
3-10-4 necesitaremos extraer solamente cinco caíces y roa·
lizar nnas cuantas operaciones aritméticas. Hccurriendo a las
tnb las y realizando los cálculos correspond icntos, encontt·a-
mos
e = 0,6035 ± 11~.
56
Tomando en cuenta los valores obtenidos para B y C,
y retornando a la magnitud A encontramos
+ i ) (B - C) = (V2 + 1) (827,8226 ± ll 3) = 1
= ( Vz + 1) ·827 ,8226 + 2 ,S!J. 3 ,
A = (V2
donde
1 2,~>Lla 1~ 2,5 (1 6. 1 1 -1- 1 6. 2 1) < 2,5 ·5 ·10-4 < 2 ·10- 3 .
Por co ns iguiente, con un error menor que 2 ·10-a tenemos
A = (V2 + 1) 827,8226 = 1998,539.
Problema 2. Cíllcular el número
1
{
1
A = 1 + .-=+¡¡:=.+ .. . -1-T==
j / 2 ·v 3
1 • 1012
con un error menor ctue la nnidacl.
Solución. En virtud del teorema 8, tonemos
4
1'2 (
1
t
1
"· = 2~V2 j/1012+ 1+ ~- 2 ·+· ...
.. ·
-1
r2 (1--+
1
1
+ v~·iO'~
)---V3
- .. ·
2- t :!.
~ 't
· · · -vz\o,) ·
Aplicand o las desigualdades (28), podemos calcular fá cilmenLe y con gran exac titud el primer sumando que , según
estas d ~s igua ldadcs , puedo sor sustiluido por el núrnero
.1
:l
V2
(2 ·1 0 1~)1. - (1QI:t)T
2-4y~
'2
1
1- 1¡
V2 =-4 · 10.D
= -34 ·109(4~v 8-1 ) ~
3
2- ,12
En virtud del lema 1, la suma
V2 {
2-V2 1 -
t
t
1
V2 + V3- ... - V2·101Z
)
5í
es positiva y no supera el primer sumando. Puesto qm1 est e
último es menor que dos, t enemos
t·109 -2< A
<:
· 1011 •
Los números extremos difieren uno rlel otro en 2 y eu HHliiOS
de 2 del número A . La media arit mét ica de estos números,
o sea, ~ ·10° -1, difie~e de A en menos de 1. Tomando est e
último número, obtenemos
A = 1333333332,3 ± L1,
j L1 l < 1.
Notemos que el nú mero A (r¡ne comprend e un bi llón <le
sumandos) ha sido calculado con gran exactiLnd. m error
rela tivo es menor que
.
100: 1333333332,3 < 0 ,0000001% .
Ejercicios
27. Calcular con un error menor que la unidad el nlÍmcro
1
1
1
1-j-v··,,¡· z +3"""";"::'
r 3 + ···+ :Y106
Respuesta. 14 999
28. Demostrar que es válida la igualdad
1
1
, 1
nt - a
,
1++-+
+ ~ ...
2a
;rz ... -r--=---C
na
1-a
donde ~n es un infinilésimo (o sea , l ím ~~~ = O) y
n-.oo
5-01405
SOLUCIONES DE LOS 13JERClCIOS
l. l'orl icndo ~n hls tl~s í gualdad o•s (1 ) (p(lg. !l) n = m, m-1- 1, . .. rd,
l.ellllremns
2 Vm-1-1- z·v¡;; < ~ .::.: z·v ;;; -2
1/m
2 J/ m. -f-2-2J/m+1 < . f
1
l m+ 1
21/ m-1-:1- 2 }/m+2<:.f
1
l m ..¡.2
v m -1,
<21f m.+1-2V iñ,
·:::! Vm-1-2-z·v m+ 1,
2 J/ ñT1 - 2líñ< Jñ <2 lf ñ- z·¡f n-1.
S ur na ndo osl a~ <ioSi!!u:tldtHles, eroc.ontrntucls
r·r1
1
1
2 1: IL··I-1 - · 2 l- 11~<::--= +-= +
+ ...
l f rn Vm + I Vm+2
v-
-.r- " m-J.
... -l·.,l1ñ<2vn-2
2. Tomando m ~-- 1O000 y n = 1 1100 (J(l(l c•n las desigualdades del
ejercicio 1, obtenemos
--
\
2lft ooPoot-2 ·lfH1000< .1110 000
1
Viooot +···
1
..·+ ¡,r 1 000
< 2lf1 000 000-2V9999·
000
Puest,n que
2·v1ooo oot > 2·v1 oooooo= 2ooo,
toooo=zoo Y 211 9999= Va9996 > 199,98
z·v
(la última dcsigualdnd se compruobll f1ícílmontn si so calcul~ l a raíz
cuadrada en menos do 0,01), resulta
2000- 200 = 1800 · .:::
1
V111 ooo + tí to., oo, + ...
1
.. .+V
< 2ooo- 1\Jn,!J8= 1sno,oz
. 1 000000
;¡, Multipl i1:ando pur 50 las •lesig11aldadcs dol 11jercicio 2, obte-
nemos
UOOOO < 50z < 1!000 1,
do dondu
(50s] =90 OIJU.
59
!¡,
g!\ ohvio <¡11e la U()si[{tHJIIlad se C11 111ple par11 n . .•. 1;
1 -·
1
1
2.,V ::H +t- z·
~u pongnmos :1hora qull la desigualdad ~;e cum¡J}(! para lt = k:
_:!_2 ,.!..2.
.~~
1
4 6 . • . 2k ..., 1/3k +1
(a)
y 1hHnostremos qm) tam bién se cumple parn r1= lc+ 1, o sM, qun
1
3
5
t
21>-1 2k+1 &:
--r·T'lf ' ···· 2k
·zk-~-2"'"'
(b)
V3k+4 ·
Multiplir.nndo por i~~: ~ la dcsigualdau (u), obtenemos
1
:~
5
2/c--1 2k -l- l ..--
1
2k -l-1
2'4'lf' .. · ·~· Zk+2.,.,. lf3k -H 'zk-t-2'
Hcsta demostrar la dc~igMl1lad
·l
V3k+1
• 2k -j- 1 <
t
2k+2
V3k-H.
Multiplicándola por (2k+2)V3k+(V3k+4 y elovaudo al cuadrado ambos mieml)ros de la desigualdad obtenida, encontramos
(2k+ i)2 (3k+ 4) < (2k+2}t (2k+1)
ó
i2k3+2Bk2+ i9k+4 <.f2k3+28k2+20k+4.
Es evidente que esta última desigualdad se cumple pues k ';p. 1.
Con esto queda demostrado que la desigualdad
1 3
2n-t
t
2'4' .... ~~ Vsn-t-1
es válida para todo 1!.
5. Poniendo n =50 en la dl;.-;igunldnd del cjorcicio 1, oht.onümos
1
3
99
~
1
1
·v151
2'4' .... 100 <. t/ 3-50-\- 1
...
<...
1
1
·v 144 -·12·
G. Si Lomamos y = 6-.1:, x=(i - y, el prohlr.ma Cfttl}dará reducido
<1 l a determ inación del
máx imo de la función
(6-y) y2=(jy2-y3
partl o< y < 6. Poniendo a !Jora y2 ""'z, obtendremos la rtiiiGión
3
6z-z2
üO
(:uyo va lot' mlÍx imo (v(•aso ln observación de la p!Íg. (34) es igual o
3
3
( ..:...-1)
2
(-)-=0
!¡ .43=~2
2 26
3
:-1
:r
•
1
•
y se nlran7.il rn r.l punto
1
fi ) ;¡ -·1
- ( -l.. -.,
Z-
= /,••.'
2 :
L<l hnH;ión (iy 2 - y 3 toma su valor máximo, igual a 32, en el
puulo y ... lfí=-~ 1,_
Ln hmdón :r: (ti - x)2 alcnnzu :su valor máximo, igual a 32, on el
punl.o :r. =-d i-y :::=(i-1 ..-; 2.
7. t·: l vulunwn uc! ln cnja (vé<l$C 1:1 fig. li de la p(lg. 3\1) es
igunl a
·
O<x <a.
JI "'-' X (2a-2x)2=4:r. (a- :c)2,
Ponic•ndo ¡¡=n-:r. e y2=z. lendremos
3
3
V= 4 (az-.z2 ).
La función az - z2 alcan7.a su Y<lior miix imo 1)0 el punto
, )'-\ ('; )
1
- 3- -
~o
~
2.
:r. =,z- y= a -
2
;
Por consiguicnto,
Y=Vz ,. ., :; ,
=; ..
Es decir, para que el vol umen de la caja sea máximo, la dimensión
del cuadrado rccorLado d!lbe ser seis veces menor que la dimensión
del cuadrado inicial.
8. El valor mínimo de la función z6 -!-8x2 + 5 es igual a 5 y se
alcanza para x= O.
9. 'l'omrmdo y= .-r-2, reducimos <'1 prohloma a la det-erminación
del v<~lor mí ni mu do lro función
¡¡3 - 8y + !í
para va(ol'PS posi1ivns dt~ y.
En d worcma f> hcmo11 ucmo!!t l'ado que el valor wínimo do la
Iunción y3 - 3y t•:; igunl n
3
8 )3-i
(1 - 3) ( 3
!1
= - 2
s2
3
32
s2yo
= --9-.
()1
Bl valor .nínimu do ln {unción y3-8u+5 os igual "
32
Vil
- -g-+5= -3,6 ...
10. Poniendo y = r(J,, obt.enemos la [unción
1
1
-
y - ay tz =tt
(1-¡;Y-Y-)
a ,
1
1
·• (1 !J- y ade 1a runcJon
• ·
~ e1 vn 1nr max1mo
• e1 t.corcma i>,
Sogun
es
igual a
__ ,
~ -
(~ -•} (i )" . = (!-t) (;)~=i:a (~)o:=T
l
Muhiplicando por a este úlLimo resultndl>, enconLt·arcmos el valor
1
mñximo de la función a
igunl n
{+ u-u«) quo, por <:.onsiguicnt.o, es
1
- -
(1-o:.)
(a)
=<1 - o:.) ae;
(e;:a) ..{a)a-t
JI. La (unción Vi-2z, z>O,
1
1+- -
et-1
(],
)(i::'í.
= (1 - a) ( a
a
c::t=+ , a-=2.1ienul\r~iguicnt.e
vnlor máximo:
1
T
...!_ _ ¡
(1-!)
l'ot
u)' =-i·B =f.
1
...
-
'J
-
a
x> O I;IJ cumph: la desigualdad
3 .
3
o sea, l: x "" g+ 2:c.
V- --2.t ~ 8,
nmsiguicnlc, ¡mrn lodo
4--
•1!
12. llnprusml(~nws 1:1 dusigunldacl (8) en Ir~ forma
u+~-l1- )n <e,
(-
()2
Si n ;;a. 3 > e, :;o tiene
(n
+1) < enn < 3n"-.<
= nn+S.
Elevando nmbos mictubros do la última desigualdad a la potencia
1
n (tl+ t) , encontramos
11
IUL11
n+!r'_lrY n+i< y n.
=V8
V3 va.
13. Puesto que i < 1f2
<V'§= V3, resulta que ol 01ayor
entre los númoros 1, lfí,
es
Por otra parte, en el problema anterior bomos domostrado que la sucesión
• • . , ~ ••• es decrcr.iente. Por lo tanto, f/3 es el mayor de los
, ros 1,
numo
, _y•r3-, .•• . , 1\r:
y n, ..•
f/3. V4, ...
v-2 nr:
14. Pongamos y n= 1-!-a.,., a." >O. Elevando a 111 poton.cia tL,
obtenQmos
n
n=(1 -1-a.n)"= [(1 +a.n)"'i' }2•
Aceptando que n :;p 2, ; :;;,> 1, deducimos del teorema 3 que
n
(1+a,J 2 >1 + ; a,.,
2
n> (t+; a.,.) =
n2
2
=-1+na.n + t ; a.l1 .
o~.~ aquí
rnsult.a que
2
C1.n
4
<n
Y
n/-
y n = 1 -1- ttn <
Ob.<rrmtct61!. Emplc¡mcln t~l binomio do Nc1wton, c1s J1Ío,: il c;omp¡·n-
har quo•
,.,_
vr-z
t' '' <1+
-11 .
Bn ch!(:lo.
í'i') "
.. /T
rdn-- 1) 2
-n+--2( H· fl -¡¡ ..
-n ·l- ... ._~
> H - n (11;1) 2._ = n.
,.,.n v
11
63
no aquí se deduce quo
)'n <1+ v
!.
t5. Si n = 1 aL > -1, In desigualdad es obvi11:
t +a¡> 1+a¡.
Supongamos que la desigualdad se cumple para n =k, 11 sea,
(1 +a1) (1+a2) ... (1 +ak)> t +at +az+ .·.+ a,,.
MulUplicando por (i + alt+t) ambos miembros do esl.a ue:c;igualrlad,
obtenemos
(·t + a,){1 + a-2) ... (i +a11) (1+ llk.¡.t} ~
> (1+ a1 +112+ ... +ak) ('l-1-ah+t)=
=t+at+42+ ... +a~t+alt+t+
+n¡tt¡,,.t+42~rH t + · · · ·1 nhalt+t·
Puesto quo los Otímeros a., a 2, . .. , a~¡, a11 .. 1 son del mismo signo,
.
tenemos
4t4Jt-tl +112all+l
+,., +a~talt+l >0
y, por consiguiente,
(1 +at) (1 + 112) . .. (1 +a~¡) (i+ah+t) :;;..i +at +az+ ... + a¡¡+ alt+t•
es deGir, hemos demostrado la desigualdad para n=k + i.
Con esto concluye In demostración de que l a desigualdad
(1 +at) (t +az) .. . (1+a 11 ) # 1+nt +az+ ... +an
se cumplo para todo n.
16. Si el ~polinomio (a 1x-IJ1)'LI-(a2x-b2)Z -I- ... +(anx-bn)Z
ticnn una raíz roal x = x1, o sea, si
(a t%t-bt)Z ·1-{l!zXt-IJ:}Z+ ·. • -1 (11 11 .T ¡ - 1111 ) 2
=(),
r.nlonces cada uno de los números at.Tt-b1, n2:r1 -bz, .. . , un:r:s -bn
c.c; igu:al a cero, l'.S rlecir
O=ai:rt -bl = azx¡-bz = ... = nn.tt - b11
y
r
b1
b"
:r1= = -b2 =- ... :~ -.
a1
a2
a11
Cnn esto queda demostrado quo el polinomill
(a,x-IJ¡)Z+(azx-bzf+ ... + (a 11 :r - bn)2 -~
= x2(a~+aH- .. . +a~)-2x (a¡ lld-a2bz+ .. . -1anbn)+
+M-t-bl+ .. . fb~>
uu pu~:dc tcnt~r dos rni<:ClS rentes dis~ini M )', por consigulontc,
(a¡b¡ +a2b2+ .. , +anbn)2- ~
-(ar+ai+ ... + a,t,) (bi +bl+ .. . +b~) ~ o.
De. :~qní rr.sulta la rlc~igu11ld:~d (19)
(n.1b1 .. \ b:llz
+ ... -\··11 nb,,)Z <
-< (a~+aH- ... +a~)(bi-1· b~+ ... -{-1>~).
Notomos flll" el si¡,rno d<l i~unldnd !.i<mc lugnr sólo si el polinomio consirlcrndo li<'nc rah; renl . o sea sólo si
a,
a2
an
bj"=' b;= ... =-¡;;-·
17. F.mpleandn la desigualdnd (19}, l<'nemos
_
e~= ( a, ··l az + ... ·l· a 11 )2 = ( a 1
n
1_+ ... + a"-~)2 -<
\fn Vn ·
.- ar
ai
~,,.-n+-;;--+
'\fn. Vn
a,¡ ) x
... +ñ""
______
X(-1-+J.....~- ... +-1-)- ar-1-a~-t- ... +a~
..__
n
n '
_.,"
e~.
n
"
l)() a!JUÍ rP.sul t.a qun
Cj.::;: C2
(t\S dt•r.ir. la mrdia ari~mél.icn no pasa de la media cuadrática).
18. De la desigualdad
(Y'ñ"+"i +Vn-1)2=n.+H- 2 V n.2-1 +n.-1.=
=2n+ 21! n2-1 < Zn+ 2 lfñ2=4n
lf n+1+lfn-1 <2Vñ,
_t_<
21(;¡:
1
Vn +H-lfn - 1
lfn-H-lfn-1
= (Vn+i+lfn-1){lfn+t-lfn-1)
MuHiplicnnd<) por 2, encontramos
1
_
·¡fn
<V n.-j-1-lfn-1.
1!1. 'i'OilJ:ltl'los en In desigualdad <1<'1 ujercic.io (Hl) n•= 2, 3, ...• n:
1
-
V2 <VA-1.
~<'tfl.-'\(2,
·¡fs
v
65
J-4 < 1/s- va.
~ < , '6-, '4,
l/f>
V
V
, .¡.1
< v n +1-v n-1.
Vñ
.,¡-
Sumando estas desigualdades, rcsul ta
,~- +
V 2
1
_
11 3
<Vn+i+lfñ -112-1.
+···+ ,;V n
Agregando 1 n ambos miembros qc· Jn desigualdad, l'ncontramos dcfinitivnmcnto
+ 1 ~
t + 1 +
1 -l.. 1
1
<+ V2 ·
va·+ v·4 ·¡rs ··· vñ
<'11 n-1-1 + Vñ - Vi.
Obserl)llclón. En el § 1 del ca pi! udo JI hemos dcmootrado que
1
,~ >2V,•+1 - 2l1 2-H.
_ -~· .. .
H - Vt_ +
1
VIl
13
' 2
+
Los números Vn+i+V·~-Ví y 2Yn + t-2lf2+1c\Hic renuno
del otro en menos de ·OA~. Cada uno do l'-~tos números puedo ser
considorado <".omo el valor aproximado de la suma
1-1-
1
v·12 + 13 + ... + v;¡V
11
= :n.
·v
+
n+1 yii-·Vz
Señalemos, sin demostrarlo, que el número
di!icrc menos del número Zn quo el número 2 V n -H- 2 V 2+ 1 .
20. La función .x4 ~ toro~. valores negnti vos si x <O.
Por consiguiente, esta fimci6n alcanza su valor m1íximo pnra vnlot~s J><>sitívos de :.e.
5
Puesto que
i
x3
z4
+
5 = 5(
! X+
x•3 )
t
la función alcanza su valor máximo en ol mismo punto en el que
la función ~ .x z-3 tiollCI su vnlor mínimo. S~gím el problema 9
+
66
del § 1 do.l c11pítulo JI, el valor mínimo de e.sta función es ig~Hil o
-3
1 ) ":'}":~
(1-t-3) (
I
3
=4 ( 115
)T
3
El valor mt\x imo de la funci6n z4~ 5 es igual n
3
' 1
3
3
15
15 T
=zo = 20)!15 = 4if 15 •
5·4· ( 115) T
Pnr:\ hallor el valor máximo de ila función z&- 0,1\xto, turncm(ls
y= zO. Está claro que y > O. Lll (unción
10
10
10 v-y-6 )
y- 0,6v- 6 =0,6 ( -¡¡
ticmc como valor máximo (véase In observací9n de la pág. 34) el
número
10
T
t
1~
o.o ( -1) (
o- 1
~ ) • -o·'·
1
ohtenemos
21. Tomnndo <'n este ujercicio y ·- • -;¡:,
.T.
1
- " y- -¡- -f-oy.
11:c+x:r=
Url prohh:ma 4 del § t MI capítulo 1I se desprende quo el vnlor
1
mínimo rlo In (unción .'1--¡;--l-ny es igu:~l a
1
1
1) (l,tt) -r. = T5(4n.)-!>.
( 1-1·-¡;
1
l'c•nic•utlo
4-., (ftt~) 1)= 2,!i,
()!,l{'IIOIIlo.<
1
(4a) 5 =2. 4a=32 y a=X.
()7
22. s = 1 -
t
.
1
1
1
1 .
,-,...
,.)
22 +-::;:;--7.2-+'"'i'T0~ -, .. .
_ (1-1--1
+ J._
+-1
+J._+_!_:
. .. ) _
22
32
42
5Z
62 ' '
-
2 ( t+z¡-+w+
1
1
-22
.. · ) =
1 (
1
1
)
1
n2
n2
=·2 1-l·22+w+··· =2·5=12·
'(Homos omplco.do ln igunldad (27)).
23. Puesto que a> O, es 0'. 1 > i y, por lo tanto,
+
l +a > i+ 1-1-a
( t+-1-)
•n
" '
(.1--1
n
)l+a: > 1- 1+a
•
n
Multiplicando por n 1 +<L estas desigualdades, cncontramofó
+
(n 1)1+a > nl+a + (1 +a) n'\
(n- 1)Ha > nt+a _ (1 -l-a) na .
Do aquí rosulta
_ni ·H~
11 1+a_(11 -1)1+a
--,_.,.:...,....-__.:.
__ < lla < _{n-l. ;. . .1;. )1+rx.
:. . ,. . ,----
H ·o:t
H - <:l
gscrihamos cstns M~igunldaur!s pan• n :..::1, 2, ~ • .. .. 11:
1
zt+a_1
- < ·t < - H-o:
:-:-1-i· a.
z1+a_ 1
31 +« _ 21-t-tt
(11.
1+0'. <2 <
1-J-a.
'
I!H·a-(t!- I)H·I.t
a
(11-l·l)l+a_,ll+o:
1+r.x
<" <
·1 1 rt.
~IIIWÍmlolas, uh\.ci1mno~
,
2/j. D() lns dcsigunhladcs del cjon:icio 23 se deduce que
1 ) 1 +«
t
- - <'
1 Ct. -
+
1 ¡..
zcx+aa:+ ···+'¡a: < ( 1 + -n
..;._-~'---
1 -~·
11 1+a;
a
El miombro ir.quicrdo de cst:1s dosigualdad~s es un 111Ímcro cons-
t:mt~J -1 '1
micntr:~s que d miembro derecho tiende a - 1-i.
-1- a
1- a
cuan-
clo rt Licnde a oo. Por <:.onsiguit•nl<:, el t.érroiuo medio tiende al mismo
li miL<!, o sea,
• 1·t-2Qt+3"'-~ ... +na
1
l un
- - .
, _,..,
n.l+a
- 1 + r.t
,p :... u~ -1- a~ + ... -1 d;\,
ll3 = bf+b~+ ... +ll~l!
C3= ci +ci -1. ... +e~,
tl¡
.T.¡ - ¡¡-,
112
xa =¡¡-• ... ,
b¡
l~n
/¡11
/¡2
Yz=-¡¡-· ... , Yn=-¡¡,
.'11 '"- Ti'
virt.11d du las desi¡.:tutldadcs (7), (,tmemo1\
n 1b1c 1
x?+ Yf+z7
= A8Cz1y¡z 11.,..
~ AJJC
3
a2b2r.2 ~-~ AIJCxzY?h .(: ABC x~+Y~+z~ ,
3
,
x~
.,..
a"h,.c,1 ::-:- ABC.r.n!h1Zn -~::.- t~nr
+yft + zl, ·
3
Su mándolns, enconLramos
u. 1b¡c¡ ·l- a•¿l•2c2
+ ... + a: bn e,. -<A/](,• ( :e~ 1- x~ +;:¡ .-. +:ti\ ·l ·
+ y~-1- !!H;· .. ·1- !1~ + z~-t-zH ... ·l· zil ) .
11
3
Tt•ni('ndo tm cucnln nt.ICStras 0<\Sigoacion~s. NI rftt:il ('.:tlcular quo
.r¡' 1 :r.~-1 ... 1-x;: -
nt-\-n~ -1
Y~-1-it~+ ... +y~=i,
... -¡ ·a~
A3
A3
·
"' -:43='1.
zH- z~ -j- ... [·z~=1.
(j~)
Por consi gnien~e,
a1b1cf1- a2b2c2+ . .. +(Ltlb,.c 11 ~ ABC ( ~ -1
i +~) ·~.
11/IC.
Elevando nl cubo amho~ miembros de I.'Sln de~i¡.t11n l dad , o h ll'll•'·
mos dcfínitivnmcnte
(a1b¡c 1 a.2,1J2 r.2
·1- an bnc,.)3 ~ A3B3C3 ==
(11~-\- a~ -1- ... + a~ ) (bf+ 11~+ . . . 1 117.) (cf !· e~ -\- . .. ¡· ci! >.
26. Con;;iclcrcmo::; las dcsigualdadr.s (24) p<~ra el ist.intos valol't's
don:
1n- -1< - 1 < 1n--n
n
n
n-1 '
n-1-2
1
11-H
ln--<-< ln-,l-\-1
11-f-~
11
,
+
+ ...
n-r
kn + 1
1
kn
ln - k< -k
kn-~~
n <In
·1 .
Sumando estas de~igualdadcs, encontramos
I n (n l-11 (n-1·2) ... (lm+1)
n(n-j- t ) ... kn
<-:1- +_1_ + .
n-1 1
n
..
J../
+ kn ••
r
n
n+i
kn ]
< ln --1
n- . -n- ... -k 11 - 1 '
O SM ,
In
klt-1-1 = In ("+-1-)
<
n
11
1
1
kn
1
t
< --;-+ n+t + n.¡- 2 + .. .-1-íü'i<ln n- 1 =In
Si n tiende al infinito, entonces In (k t
X
1~
)
(k 1k
)
- n-l .
tiende a ln k y In x
(k + n~ 1 ) tiende nl mismo Hmitc. Por r.onsiguicntc, también
1
1
lím (J..+ - - + .. .+--) =ln k.
"-oo
n
n-1- 1
kn
27. gn virtud del tcoremn u,
1
1
1+ 1'y -+
-- ·+ y·~
....,
2
y 106
---!..V..;..2__ (
1
1
1
J'
2-V2 V1oe-¡- 1 + V10e+2 + .. · + Vz-1o6 -
V2 ( 1
t
z--V2 i--Vz +Vs- ...
-1
~
)
·
70
El l:!l!gu wl ,,
><UI I\ illl d n
e~
negat ivo
m ny or que
y
-
·V2:u- >
2-l' 2
> - 1,\1. El primcl' :mm:mdo, dt) ar.ucrdo con las dcsigualrl:1des (28),
satisfnrc las tluf>igualdad<:s
~
(a/ ;! .11Jr. L·J:t 11l6+1)
., 1
•
'
'-
V:i··¡- <
2- j 2
V2~ ·1flG ) <
(}' 2·10G-V106 ) ; =15000.
I'IJcsl.o qn•· l o~ lll i<•m hl'u;; t!XLI'l iHO!< dc b~ últimas de~i~unlrladt·~
por.o 11110 del otro (en mono,; dt\ 0,1), rc!'nlln que
1fifil' rt~n
1
•J
!5 tl(l'.) -2 < 1 !--¡;=- 1- ... !--:¡-;:=- < 15 000.
r/ ;¿
ji ·1()G
l OO
El número cncdio 14 9m.l difiere do
~
k=!
a;=- en monos de 1.
y k
28. En virtud del t.eorcmn G, tenemos
'1
1
1+--1... -1-- na =
20\
donde
2~ ['
1
¡\,= --,""+ (n··l-·J '2)"+--·+-(2n)1-a.2 -2 - (n -H )
2r.t
r.
1
JJ,t .. ' 2-2" _t - 2"
J'
1 J
+ 3(l,1 - ... - (211)"
.
81 m'nlH'I'(l tr, t\~ In ~>uma J)iln;ial d<· la $Cl' Í«:
,,
2"
.,
LJ 2 -2o: (- f)k- l lcr¡. •
11 = 1
Esta P.S ~ una f>'IJric alterna y los valores absolutos do sus términos
rlocroccn • monótonamcnt.o. El valor nhsoluto del resto de esta serio
71
. no supera el valor absoluto del priruer términ11 del JX~'\Lo, o sea n 11
2rJ.
1
pasa de - - a • Ci" . Pero este número t iende! a c:()ro si n ~ oo;
2-2 11
jlor oso, la soric r.on vnrge y
00
, ··n n= "'
), - -zo:.
- ( - 1 ) k -1= C1
1zm
-00
lt~!
2- ~
~
o scfl , ¡>11 = Bn -C es un in finitésimo. Ahora hk n, e m pl~antlo lus
desigualo:~ des (28), tem~mos
zo:.
2-2o:. [(2n--1)1-et_ (n+1)t -o:.¡ •.::: A, <
20:.
2-20:.
~-0:.
<--[(2n)\ -a_nl· ct¡= - - .
1-a
Cof!1o quicr¡¡ ~l\l(l la d if~ •·em~ia cn~rc l os miembros extremos de esta
desigualdad tiende hac.~a coro ~~ !1 ~ oo_, resulta quo &, = An1-o:.
-n- - es un infinitésiroo Por consrguícntc,
·1 -a
1+.1_.+
... +J._
=An-Bn =
2«
no:.
ni-o:
n 1-a
-= - - - l ) n - C -1-Yn =·--- C +~n•
1-a
1-a
donde ~n = lln +t>n es un infinitésimo.
,\ NUESTHOs Llo.:C'l'OHR$:
«M¡¡.., 1'<lita 1ihrns sov ióticos trad\loidos al español, inglés , trancé$, árabe
~ 11trus ldH•mas ex tran Jr.ros. 11:utrc Oll<'~ fi¡¡¡ur~rl lns ¡noJorca obras de las dtstln-
•n~ r.H JJ>as !le tu oi.,ncio y In técnica: manuales para los C(:n tros do cnselh:~.nzn
8u¡,orior y escudas tor.II HI<lgicns; lit<~ra ll•ro snbre cicncia6 naturales y médicas.
Tnmb ic,,, S(' i11chlY•'•< munogratlas, li bros <le divulgación cien trC ico y cl<~ncln ·
ficrió u.
llirijan sus op lnluu el\ " la Editorial aMir;,, 1 Hizhski WJ., 2., 12.9820
l-11 0, (lSI' . URSS.
M<,~r.ú ,
••
• •••• •••••••••• ••••••••••••••••••••••• •• ••••••••••••
••
••
••
••
•••
•••
••
•
•
••
• ----------------------------------------------------------- ••
••
••
•
••
•••
••
••
•
.
••
••
••
•
•
••
•••
•
••
••
•
•••
•
.
•
•••
••
••
•
••
•
.••
••
••
•••
•••
Lecciones populares
de matem·ática.s
~
.
En 1976 MIR publicará:
División del segmento en la razón dada
de N. Beskin
Inducción en la Geometría
de L. Goloviná, I. Yaglom
Desigualdades
de P. Korovkin
Números complejos
y representaciones conformes
de A. Markushévich
Método de Montecarlo
de I. Sobo!
Algebra extraordinaria
de I. Yaglom
•
••
••
•
.
•
•
.•
••
••
•
••
•
•
•
••
•••
••
•
•••
•
•
•
••
••
•
••
·----------------------------------------------------••
•••
••
••
Editorial MIR
Moscú
•••
••
••
•
-----------------------------------------------------------·
•••••••••••••••••
•••• •••••• • •••••••••• ••••••••••••••
.