Capítulo 8
Integración de funciones
8.1. Integral de Riemann
Denición 8.1.1. Sean a, b ∈ R y consideremos el intervalo [a, b]. Se dene una partición del
intervalo [a, b] como un conjunto nito P de puntos de [a, b], P = {x0 , x1 , ..., xn } tales que a =
x0 < x1 < ... < xn = b. Al conjunto de todas las particiones del intervalo [a, b] lo denotamos por
P([a, b]).
Ejemplo 8.1.2. Consideremos el intervalo [0, 1]. En este caso, se tiene que P = 0, 14 , 21 , 34 , 1 es
una partición del intervalo [0, 1].
Denición 8.1.3. Sean a, b ∈ R y sea f : [a, b] −→ R una función acotada. Sea P = {x0 , x1 , ..., xn }
una partición del intervalo [a, b]. Denimos:
La
suma inferior de Riemann de f asociada a P , y lo denotamos por S(f, P ), como el número
n
S(f, P ) = Σ mi (xi − xi−1 ), donde mi = ínf {f (x) : x ∈ [xi−1 , xi ]}.
i=1
La
suma superior de Riemann de f asociada a P , y lo denotamos por S(f, P ), como el
n
número S(f, P ) = Σ Mi (xi − xi−1 ), donde Mi = sup {f (x) : x ∈ [xi−1 , xi ]}.
i=1
Observación 8.1.4. En estas condiciones, se verica siempre que S(f, P ) ≤ S(f, P ).
Denición 8.1.5. Sean a, b ∈ R y consideremos el intervalo [a, b]. Sean P y Q dos particiones del
intervalo [a, b]. Se dice que Q es un
renamiento de P si P ⊆ Q.
Observación 8.1.6. Si Q es un renamiento de P , entonces S(f, P ) ≤ S(f, Q) ≤ S(f, Q) ≤ S(f, P ).
91
CAPÍTULO 8.
92
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES
Denición 8.1.7. Sean a, b ∈ R y sea f : [a, b] −→ R una función acotada. Denimos:
La
integral inferior de Riemann de f en [a, b], y lo denotamos por
Z b
f = sup {S(f, P ) : P ∈ P([a, b])} .
a
La
integral superior de Riemann de f en [a, b], y lo denotamos por
Z b
f = ínf S(f, P ) : P ∈ P([a, b]) .
a
Denición 8.1.8. Sean a, b ∈ R y sea f : [a, b] −→ R una función acotada. Diremos que f es
Rb
integrable-Riemann en [a, b] si ba f = a f . En este caso, al número
R
R
integral de f en [a, b] y se denota por ab f o ab f (x) dx.
R
Rb
a
f =
Rb
a
f se le denomina
Observación 8.1.9.
1. Claramente
Ra
f =0y
a
Rb
Ra
f
=
−
f.
a
b
2. Si f es integrable en [a, b], con f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b], entonces
Rb
f es el área de la
a
región del plano limitado por el eje X , la gráca de f y las rectas x = a y x = b.
Ejemplo 8.1.10.
1. Sean a, b ∈ R y sea f : [a, b] −→ R denida por f (x) = c para todo x ∈ [a, b], donde c ∈ R.
Sea P = {x0 , x1 , ..., xn } una partición cualquiera del intervalo [a, b]. Entonces
n
n
i=1
i=1
n
n
i=1
i=1
S(f, P ) = Σ mi (xi − xi−1 ) = Σ c(xi − xi−1 ) = c(xn − x0 ) = c(b − a).
S(f, P ) = Σ Mi (xi − xi−1 ) = Σ c(xi − xi−1 ) = c(xn − x0 ) = c(b − a),
ya que mi = ínf {f (x) : x ∈ [xi−1 , xi ]} = c y Mi = sup {f (x) : x ∈ [xi−1 , xi ]} = c.
Luego
Rb
a
f=
Rb
a
f y, por tanto, f es integrable en [a, b]. Además,
Z b
f (x) dx = c(b − a).
a
CAPÍTULO 8.
93
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES
2. Consideremos ahora f : [0, 1] −→ R la función de Dirichlet, es decir,
f (x) =
si x ∈ [0, 1] ∩ Q
1,
0,
si x ∈
/ [0, 1] ∩ Q
.
Sea P = {x0 , x1 , ..., xn } una partición del intervalo [0, 1]. En este caso
n
S(f, P ) = Σ mi (xi − xi−1 ) = 0,
i=1
ya que mi = ínf {f (x) : x ∈ [xi−1 , xi ]} = 0. Sin embargo,
n
n
i=1
i=1
S(f, P ) = Σ Mi (xi − xi−1 ) = Σ (xi − xi−1 ) = xn − x0 = 1,
ya que Mi = sup {f (x) : x ∈ [xi−1 , xi ]} = 1.
Luego f no es integrable en [0, 1].
8.2. Propiedades de la integral
Teorema 8.2.1. Sean a, b ∈ R y sea f : [a, b] −→ R una función. Entonces se verica:
1. Si f es monótona, entonces f es integrable en [a, b].
2. Si f es continua, entonces f es integrable en [a, b].
√
Ejemplo 8.2.2. Consideremos la función f : [−2, 2] −→ R denida por f (x) = 4 − x2 para todo
x ∈ [−2, 2]. Como f es continua en [−2, 2], entonces f es integrable en [−2, 2].
Proposición 8.2.3. Sean a, b ∈ R y sean f, g : [a, b] −→ R dos funciones integrables en [a, b].
Entonces se verica:
1. |f | es integrable en [a, b] y
Z b
Z b
Z b
f (x)dx ≤
a
2. f + g es integrable en [a, b] y
|f (x)| dx.
f (x)dx ≤
a
a
Rb
f + a g.
R
R
3. αf es integrable en [a, b] para todo α ∈ R y ab (αf ) = α ab f .
Rb
a
(f + g) =
Rb
a
4. f ·g es integrable en [a, b].
5. Si f (x) ≤ g(x) para todo x ∈ [a, b], entonces
R
todo x ∈ [a, b], entonces ab f ≥ 0.
Rb
f ≤
a
Rb
a
g . En particular, si f (x) ≥ 0 para
6. Propiedad de aditividad: Para todo c ∈ [a, b] se verica que f es integrable en [a, b] si, y
solo si f es integrable en [a, c] y f es integrable en [c, b]. Además,
Z b
Z c
f=
a
Z b
f+
a
f.
c
CAPÍTULO 8.
94
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES
Ejemplo 8.2.4.
1. Sea f : [0, 5] −→ R denida por f (x) = |2x − 3| para todo x ∈ [0, 5]. Por denición de valor
absoluto, se tiene que
3
si 0 ≤ x <
2
3
≤x≤5
si
2
3 − 2x,
2x − 3,
f (x) =
.
Por 6, tenemos que
Z 3
Z 5
2
f (x) dx =
0
Z 5
(3 − 2x) dx +
(2x − 3) dx.
3
2
0
Ahora bien, aplicando 2 y 3,
Z 3
Z 5
2
f (x) dx =
0
Z 5
(3 − 2x) dx +
(2x − 3) dx
3
2
0
Z 3
Z 3
2
=
3 dx − 2
Z 5
x dx −
x dx + 2
0
3
3· − 2
2
Z 5
2
3
2
0
Z 3
3 dx =
3
2
Z 5
3
x dx + 2
x dx − 3 5 −
3
2
0
2
!
Z
Z 3
2
5
2
x dx −
2
3
2
=
− 6.
x dx
0
√
x para todo x ∈ [1, 4]. Como f es
monónota creciente con 1 ≤ f (x) ≤ 2 para todo x ∈ [1, 4] entonces, por 5,
Z 4
Z 4
Z 4
√
x dx ≤
2 dx = 6.
3=
dx ≤
2. Consideremos ahora f : [1, 4] −→ R denida por f (x) =
1
1
1
Proposición 8.2.5. Sean a, b, c, d ∈ R. Sea f : [a, b] −→ R una función integrable tal que
f ([a, b]) ⊆ [c, d], y sea g : [c, d] −→ R una función continua. Entonces g ◦ f : [a, b] −→ R es
integrable en [a, b].
√
Ejemplo 8.2.6. Consideremos f : [1, 4] −→ R denida por f (x) = log( x) para todo x ∈ [1, 4].
Nótese que f = h ◦ g , donde g : [1, 4] −→ R está denida por g(x) =
√
x para todo x ∈ [1, 4],
y h : [1, 2] −→ R está denida por h(x) = log(x) para todo x ∈ [1, 2].
Claramente h es continua en [1, 2]. Por otra parte, como g es continua en [1, 4], entonces
g integrable en [1, 4]. Además, Im(g) = [1, 2] = Dom(h). Luego, por el teorema anterior, f es
integrable en [1, 4].
CAPÍTULO 8.
95
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES
8.3. Teoremas fundamentales
Teorema 8.3.1. (Teorema del Valor Medio Integral). Sean a, b ∈ R y sean f, g : [a, b] −→ R
dos funciones tales que f es continua en [a, b] y g es integrable en [a, b], con g(x) ≥ 0 para todo
x ∈ [a, b]. Entonces existe c ∈ (a, b) tal que
Z b
Z b
g(x) dx.
f (x)g(x) dx = f (c)
a
a
Corolario 8.3.2. Sean a, b ∈ R. Sea f : [a, b] −→ R una función continua en [a, b]. Entonces
existe c ∈ (a, b) tal que
Z b
f (x) dx = f (c)(b − a).
a
Denición 8.3.3. Sea I un intervalo de R y sean f, F : I −→ R dos funciones. Diremos que F es
una primitiva de f si F es derivable en I y F 0 (x) = f (x) para todo x ∈ I .
Observación 8.3.4. Si F es una primitiva de f , entonces F + c, con c ∈ R, es también una primitiva
de f . Es decir, si f tiene una primitiva, entonces tiene innitas.
Teorema 8.3.5. (Teorema Fundamental del Cálculo). Sean a, b ∈ R y sea f : [a, b] −→
R R una
función integrable en [a, b]. Consideremos la función F : [a, b] −→ R denida por F (x) = ax f (t) dt.
Sea c ∈ [a, b] tal que f es continua en c. Entonces F es derivable en c y F 0 (c) = f (c).
Observación 8.3.6.
1. Nótese que, si c = a o c = b, la noción de derivabilidad de F en c se entiende como un límite
lateral.
2. Tenemos entonces que, si f es integrable, entonces f tiene primitiva.
Ejemplo 8.3.7. Consideremos la función F (x) = 0x e−t
R
(t2 +1)
log
dt para todo x ∈ [0, 2]. Veamos
que F es continua en [0, 2].
−xlog(x2 +1)
Sea f : [0, 2] −→ R denida por f (x) = e
para todo x ∈ [0, 2].
Como f es continua en [0, 2], entonces f es integrable en [0, 2]. Luego, por el Teorema FundaR x −tlog(t2 +1)
e
dt
0
0
−xlog(x2 +1)
para todo x ∈ [0, 2], es derivable en [0, 2], con F (x) = f (x) = e
para todo x ∈ [0, 2].
mental del Cálculo, tenemos que la función F : [0, 2] −→ R, denida por F (x) =
Por último, como F es derivable en [0, 2], entonces F es continua en [0, 2].
Corolario 8.3.8. (Regla de Barrow). Sean a, b ∈ R y sea f : [a, b] −→ R una función integrable
en [a, b]. Sea F : [a, b] −→ R una primitiva de f . Entonces
Z b
f (x) dx = F (b) − F (a).
a
CAPÍTULO 8.
96
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES
Ejemplo 8.3.9. Sean a, b ∈ R y sea f : [a, b] −→ R denida por f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn
para todo x ∈ [a, b], con a0 , a1 , ..., an ∈ R, an 6= 0, es decir, f es un polinomio de grado n.
Como f es continua en [a, b], entonces f es integrable en [a, b]. Además, es fácil ver que la
a
a
a
2
3
n+1
para todo x ∈ [a, b]
función F : [a, b] −→ R denida por F (x) = a0 x + 1 x + 2 x + ... + n x
2
3
n+1
es una primitiva de f .
Luego, por la Regla de Barrow,
Z b
f (x) dx = F (b) − F (a) = a0 (b − a) +
a
a2
an
a1 2
(b − a2 ) + (b3 − a3 ) + ... +
(bn+1 − an+1 ).
2
3
n+1
Corolario 8.3.10. Sean a, b ∈ R y sea f : [a, b] −→ R una función continua en [a, b]. Sea x0 ∈ R
y sean g y h dos funciones derivables en x0 tales que g(x0 ), h(x0 ) ∈ [a, b]. Entonces la función
Z g(x)
f (t) dt
F (x) =
h(x)
es derivable en x0 y su derivada es
F 0 (x0 ) = f (g(x0 ))g 0 (x0 ) − f (h(x0 ))h0 (x0 ).
Ejemplo 8.3.11. Sea
Z
(x2 +1)
log
F (x) =
t2 cos(3t − 1) dt.
−x2
: R −→ R, denida por f (x) = x2 cos(3x − 1) para todo x ∈ R, es continua en R y
2
2
las funciones g, h : R −→ R, denidas por g(x) = log(x + 1) y h(x) = −x para todo x ∈ R, son
derivables en R entonces, por el corolario anterior, F es derivable y
Como f
F 0 (x) =
log(x
2
2
+ 1)
2
+ 1)
log(x
2
cos
3log(x2 + 1) − 1
cos
3log(x2 + 1) − 1
2x
− x4 cos(−3x2 − 1)(−2x) =
2
x +1
2x
x2 + 1
+ 2x5 cos(3x2 + 1)
para todo x ∈ R.
8.4. Cálculo de primitivas
8.4.1. Primitivas inmediatas
Son las que se obtienen directamente a partir de las derivadas de las funciones elementales. A
continuación damos una lista de este tipo de primitivas, sin preocuparnos demasiado de especicar
el intervalo (sólo lo haremos en algunos casos).
R
α+1
xα dx = xα+1 , para todo α ∈ R, con α 6= −1.
R 1
R 1
dx = log(x) en (0, ∞). En este caso también
podemos decir que
dx = log(−x) en
x
R 1
(−∞, 0). Por ello, normalmente se escribe x dx = log(|x|), entendiendo que log(|x|) es una
1
primitiva de
en (0, ∞) y en (−∞, 0).
x
x
CAPÍTULO 8.
97
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES
R
ex dx = ex .
R
ax dx =
ax
, para todo a > 0, con a 6= 1.
(a)
log
R
sen(x) dx = −cos(x).
R
cos(x) dx = sen(x).
R
1
dx =
cos2 (x)
R
1
dx = arctg(x).
1+x2
R
√ 1
dx = arcsen(x) en (−1, 1).
1−x2
R
√ −1 dx = arccos(x) en (−1, 1).
1−x2
R
(1 + tg2 (x)) dx = tg(x).
Observación 8.4.1. Evidentemente, por la observación 8.3.4, todas las primitivas dadas anteriormente no son únicas. Si a cualquiera de esas primitivas le sumamos una constante
c ∈ R, el
resultado será también una primitiva de la función dada.
Observación 8.4.2. Aunque tengamos que
1
√ 1
dx = arcsen(x) en (−1, 1), y que √1−x
2 dx =
1−x2
−arccos(x) en (−1, 1), esto no implica que arcsen(x) = −arccos(x) para todo x ∈ (−1, 1). Sin
π
embargo, sí es cierto que arcsen(x) =
− arccos(x) para todo x ∈ (−1, 1).
2
R
R
Ejemplo 8.4.3.
1. Calcular
R
7x2 + 5sen(x) +
Z √
5
x3 dx.
Z
Z
Z
√
3
5
2
3
7x + 5sen(x) + x dx = 7 x dx + 5 sen(x) dx + x 5 dx =
2
√
8
5
x3
x5
7x3
5 x8
7 − 5cos(x) + 8 =
− 5cos(x) +
.
3
3
8
5
2. Hallar
R 2x2 −3
1+x2
Z
dx.
2x2 − 3
dx =
1 + x2
Z
Z
Z
2(x2 + 1) − 5
2(x2 + 1)
5
dx =
dx −
dx =
2
2
1+x
1+x
1 + x2
Z
1
2 dx − 5
dx = 2x − 5arctg(x).
1 + x2
Z
8.4.2. Integración por partes
Teorema 8.4.4. Sea I un intervalo de R y sean u, v : I −→ R dos funciones derivables con
derivada continua en I . Entonces
Z
0
u(x)v (x) dx = u(x)v(x) −
Z
u0 (x)v(x) dx.
CAPÍTULO 8.
98
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES
Ejemplo 8.4.5.
1. Calcular
R
xex dx.
x
Sean u, v : R −→ R denidas por u(x) = x para todo x ∈ R y v(x) = e para todo x ∈ R.
0
Claramente, u y v son derivables en R y sus derivadas son continuas en R, ya que u (x) = 1
0
x
para todo x ∈ R y v (x) = e para todo x ∈ R. Luego, por el teorema anterior
Z
Z
x
xe dx =
Z
0
Z
u (x)v(x) dx = xe − ex dx = xex −ex = ex (x−1).
0
u(x)v (x) dx = u(x)v(x)−
x
En la práctica, no será necesario vericar las hipótesis del teorema con rigor, procediendo de
la siguiente manera:
Z
(∗)
x
Z
x
ex dx = xex − ex = ex (x − 1),
xe dx = xe −
(∗)
2. Calcular
Z
R
(∗)
Z
x
e sen(x) dx = e sen(x) −
x
Z
x
e sen(x) − e cos(x) −
(∗)
.
ex sen(x) dx.
x
u(x) = x ⇒ u0 (x) = 1
v 0 (x) = ex ⇒ v(x) = ex
Z
x
x
e cos(x) dx = e sen(x) − e cos(x) + e sen(x) dx =
(∗∗)
x
x
x
Z
x
e sen(x) dx = e (sen(x) − cos(x)) −
u(x) = sen(x) ⇒ u0 (x) = cos(x)
v 0 (x) = ex
⇒
v(x) = ex
,
(∗∗)
Como hemos vuelto a obtener la integral inicial,
R
ex sen(x) dx,
u(x) = cos(x) ⇒ u0 (x) = −sen(x)
v 0 (x) = ex
⇒
v(x) = ex
ex sen(x) dx, despejamos esta integral como
si de una ecuación se tratase, es decir,
Z
x
Z
x
e sen(x) dx = e (sen(x)−cos(x))−
e sen(x) dx ⇒ 2
con lo que
Z
3. Hallar
R
Z
x
ex sen(x) dx =
ex sen(x) dx = ex (sen(x)−cos(x)),
ex (sen(x) − cos(x))
.
2
log(x) dx.
0
En este caso, parece que no tenemos un producto del tipo u(x)v (x), ya que bajo el signo
integral solo aparece una función. Sin embargo, tomando
(∗)
u(x) = log(x) ⇒ u0 (x) = x1
v 0 (x) = 1
⇒ v(x) = x
tenemos que
Z
(∗)
log(x) dx = xlog(x) −
Z
1
x dx = xlog(x) −
x
Z
1 dx = xlog(x) − x = x(log(x) − 1).
.
CAPÍTULO 8.
99
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES
Corolario 8.4.6. Sean a, b ∈ R y sean u, v : [a, b] −→ R dos funciones derivables con derivada
continua en [a, b]. Entonces
Z b
Z b
0
u(x)v (x) dx = u(b)v(b) − u(a)v(a) −
a
u0 (x)v(x) dx.
a
Ejemplo 8.4.7. Halla −1 xex dx.
R1
Z 1
x
xe
−1
(∗)
dx = (xex ]1−1 −
Z 1
−1
ex dx = 1·e1 − (−1)·e−1 − (ex ]1−1 =
1
1
1
2
− e1 − e−1 = e + − e + = ,
e
e
e
e
0
u(x) = x ⇒ u (x) = 1
(∗)
.
v 0 (x) = ex ⇒ v(x) = ex
R1
Evidentemente, no es necesario hallar
xex dx de esta manera. También podemos hacerlo
−1
e+
aplicando la regla de Barrows.
Por el punto 1 del ejemplo anterior, sabemos que
Z
xex dx = ex (x − 1).
Luego, aplicando la regla de Barrows,
Z 1
2
xex dx = (ex (x − 1)]1−1 = e1 (1 − 1) − e−1 (−1 − 1) = .
e
−1
8.4.3. Integración por cambio de variable
El siguiente teorema ayuda a resolver integrales de la forma
Z
f (u(x))u0 (x) dx.
Teorema 8.4.8. Sean I y J dos intervalos de R y sean u : I −→ R y f : J −→ R dos funciones
tales que u es derivable, con derivada continua en I , y tal que u(I) ⊆ J , y f es continua en J . Si
F : J −→ R es una primitiva de f en J , entonces F ◦ u es una primitiva de (f ◦ u)·u0 en I .
La forma de proceder en este tipo de integrales es la siguiente:
1. El problema es
R
f (u(x))u0 (x) dx.
0
2. Sustituimos u(x) por t y u (x) dx por dt.
3. Tras la sustitución, el problema se ha transformado en
4. Se resuelve
R
f (t) dt.
R
f (t) dt.
CAPÍTULO 8.
100
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES
5. Si F (t) es solución de la integral
R
f (t) dt, el teorema
anterior arma que, deshaciendo el
R
f (u(x))u0 (x) dx.
cambio, F (u(x)) es solución de la integral inicial,
En la práctica lo escribiremos
Z
(∗)
0
f (u(x))u (x) dx =
(∗)
Z
f (t) dt = F (t) = F (u(x)),
t = u(x) ⇒ dt = u0 (x) dx
.
Observación 8.4.9. La expresión u0 (x) dx = dt no es una igualdad, tan solo es una notación que
0
signica que cambiamos u (x) dx por dt.
Ejemplo 8.4.10.
1. Calcular
R
ex sen (ex ) dx.
Z
Z
(∗)
x
x
x
e sen (e ) dx =
sen(t) dt = −cos(t) = −cos (e ) ,
(∗)
t = ex ⇒ dt = ex dx
.
2
xe−x dx.
Z
Z
Z
1
1
1
1
2
(∗)
−x2
−x2
(−2x)e
et dt = − et = − e−x ,
dx = −
xe
dx = −
2
2
2
2
(∗) t = −x2 ⇒ dt = −2x dx .
R
3. Calcula
tg(x) dx.
Z
Z
Z
Z
−sen(x)
1
sen(x)
(∗)
dx = −
dx = −
dt = −log (|t|) = −log (|cos(x)|) ,
tg(x) dx =
cos(x)
cos(x)
t
(∗) t = cos(x) ⇒ dt = −sen(x) dx .
2. Hallar
R
Corolario 8.4.11. Sean a, b, c, d ∈ R y sean u : [a, b] −→ R y f : [c, d] −→ R dos funciones tales
que u es derivable, con derivada continua en [a, b], con u([a, b]) ⊆ [c, d], y f es continua en [c, d].
Entonces
Z
Z
b
u(b)
f (u(x))u0 (x) dx =
a
f (t) dt.
u(a)
Ejemplo 8.4.12. Calcula 02 xe−x2 dx.
R
Por el corolario anterior,
Z 2
−x2
xe
0
1
dx = −
2
Z
1 −4 t
1 t −4
1 −4
1 1
0
(−2x)e
dx = −
e dt = − e 0 = − e − e = −
−1 ,
2 0
2
2
2 e4
0
(∗) t = −x2 ⇒ dt = −2x dx .
Z 2
−x2
(∗)
CAPÍTULO 8.
101
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES
Como antes, no es necesario usar este corolario para calcular
R2
0
2
xe−x dx, también podemos
−x2
hallar una primitiva de xe
y aplicar la regla de Barrows. Por el punto 2 del ejemplo anterior,
sabemos que
Z
1
2
2
xe−x dx = − e−x ,
2
con lo que
Z 2
xe
2
1 −4 1
1 −x2
1 −4
1 0
1 1
dx = − e
=− e − − e =− e + =−
−1 .
2
2
2
2
2
2 e4
0
−x2
0
Veamos ahora que ocurre para integrales de la forma
Z
f (u(x)) dx,
0
donde se observa que falta el factor u (x). Para calcular este tipo de primitivas, actuaremos de la
siguiente manera:
1. El problema es
R
f (u(x)) dx.
2. Sustituimos u(x) por t y despejamos x, es decir, x = u
−1 0
podremos sustituir dx por (u ) (t) dt.
3. Tras la sustitución, el problema se transforma en
R
−1
(t) (siempre que tenga sentido). Así,
f (t)(u−1 )0 (t) dt.
f (t)(u−1 )0 (t) dt.
R
R
5. Si F (t) es solución de
f (t)(u−1 )0 (t) dt, entonces F (u(x)) es solución de f (u(x)) dx.
4. Se resuelve
R
En la práctica, lo escribiremos como
Z
(∗)
f (u(x)) dx =
(∗)
Z
f (t)(u−1 )0 (t) dt = F (t) = F (u(x)),
t = u(x) ⇒ x = u−1 (t) ⇒ dx = (u−1 )0 (t) dt
.
Observación 8.4.13. La expresión dx = (u−1 )0 (t) dt no es una igualdad, tan solo es una notación
−1 0
que signica que cambiamos dx por (u ) (t) dt.
Ejemplo 8.4.14.
√
R
sen (
Z
√ (∗)
sen
x dx =
1. Halla
x) dx.
Z
Z
sen(t)2t dt = 2
Z
tsen(t) dt = 2 −tcos(t) + cos(t) dt =
(∗∗)
√
√ √ −2tcos(t) + 2sen(t) = −2 xcos x + 2sen x ,
√
(∗) t = x ⇒ x = t2 ⇒ dx = 2t dt ,
u(x) = t
⇒
u0 (x) = 1
(∗∗)
.
v 0 (x) = sen(t) ⇒ v(x) = −cos(t)
CAPÍTULO 8.
2. Calcula
102
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES
R √
x x − 7 dx.
√
Z
(∗)
Z √
Z √
Z
Z
√
1
1
2
(t + 7) t dt = t t dt + 7
t dt = t·t dt + 7 t 2 dt =
Z
x x − 7 dx =
Z
Z
3
2
t dt + 7
p
p
√
√
2 (x − 7)5 14 (x − 7)3
2 t5 14 t3
t dt = 5 + 7 3 =
+
=
+
,
5
3
5
3
2
2
(∗) t = x − 7 ⇒ x = t + 7 ⇒ dx = dt .
5
3
t2
1
2
t2
8.4.4. Primitivas de funciones trigonométricas
En esta sección estudiaremos algunas técnicas que pueden ser útiles para calcular primitivas de
funciones denidas a partir de funciones trigonométricas.
1. Una primera opción es probar si algunos de los cambios t = sen(x), o bien t = cos(x), nos
soluciona el problema.
Ejemplo 8.4.15.
1. Halla
Z
R
3
4
sen (x)cos (x) dx.
3
4
sen (x)cos (x) dx =
Z
−
2
Z
4
(1−t )t dt = −
6
t −t
(∗)
2. Calcular
Z
R
3 (x)
cos
sen4
(x)
3
cos (x)
sen4 (x)
Z
1
dt −
t4
Z
Z
4
sen(x)sen (x)cos (x) dx = −
Z
4
2
Z
dt = −
Z
4
t dt −
(∗)
−sen(x)(1 − cos2 (x))cos4 (x) dx =
5
7
cos (x) cos (x)
t5 t7
+
,
t dt = − + = −
5 7
5
7
6
t = cos(x) ⇒ dt = −sen(x) dx
.
dx.
Z
dx =
t2
dt =
t4
2
cos (x)
sen4 (x)
Z
−4
t
cos(x) dx =
Z
dt −
(∗)
1 − sen2 (x)
(∗)
cos(x) dx =
4
sen (x)
Z
t−2 dt =
Z
1 − t2
dt =
t4
t−3 t−1
−1 1
1
1
−
= 3 + =−
+
,
3
−3 −1
3t
t
3sen (x) sen(x)
t = sen(x) ⇒ dt = cos(x) dx
.
2. Si las sustituciones anteriores no solucionan el problema (por ejemplo, cuando las funciones seno
y coseno aparecen ambas con exponente par), se puede probar con el cambio de variable t = tg(x).
Ejemplo 8.4.16.
1. Calcula
R
sen2
1
dx.
(x)cos4 (x)
Z
1
dx =
2
sen (x)cos4 (x)
Z
1
1
·
dx.
2
sen (x) cos4 (x)
CAPÍTULO 8.
Ahora bien, como
Z
103
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES
1
sen2
2
= 1+ 2 (x)(x) y
tg
(x)
tg
1
dx =
2
sen (x)cos4 (x)
Z
1
= 1 + tg2 (x), entonces
(x)
cos2
1
1
·
dx =
2
sen (x) cos4 (x)
2
1 + tg2 (x)
1 + tg2 (x) dx =
2
tg (x)
Z
Z
Z 4
2
(1 + tg2 (x))
(1 + t2 )2
t + 2t2 + 1
(∗)
2
1
+
tg (x) dx =
dt
=
dt =
2
tg (x)
t2
t2
Z
Z
Z
Z
Z
Z 4
2t2
1
t−1
t
t3
2
−2
+
2t
+
=
dt
+
dt
+
dt
=
t
dt
+
2
dt
+
t
dt
=
t2
t2
t2
3
−1
Z
3
t3
1
tg (x)
1
+ 2t − =
+ 2tg(x) −
,
3
t
3
tg(x)
(∗) t = tg(x) ⇒ dt = (1 + tg2 (x)) dx .
2. Calcular
R
1
sen2
(x)
dx.
Z
Z
1 + tg2 (x)
1
t−1
1
1
(∗)
−2
dx =
dt = t dt =
=− =−
.
2
2
tg (x)
t
−1
t
tg(x)
(∗) t = tg(x) ⇒ dt = (1 + tg2 (x)) dx .
x
3. Si ninguno de los cambios anteriores funcionan, se puede probar con t = tg
. En ese caso,
2
Z
1
dx =
sen2 (x)
Z
tenemos lo siguiente:
t = tg
x
2
⇒ x = 2arctg(t) ⇒ dx =
2
dt.
1 + t2
3. Con este cambio, y aplicando identidades trigonométricas, tenemos que
sen(x) =
2t
1 − t2
2t
, cos(x) =
y tg(x) =
.
2
2
1+t
1+t
1 − t2
Ejemplo 8.4.17. Vamos a calcular
Z
Z
t= ( x2 )
1
dx =
7 + 3sen(x) + 7cos(x)
tg
Z
1
2t
1−t2
7 + 3 1+t
2 + 7 1+t2
·
2
dt =
1 + t2
Z
Z
Z
2
2
1
1
3
(∗)
dt =
dt =
dt =
dt =
2
2
7(1 + t ) + 6t + 7(1 − t )
6t + 14
3t + 7
3
3t + 7
Z
1
1
1
1
1
x
+7 ,
dy = log (|y|) = log (|3t + 7|) = log 3tg
3
y
3
3
3
2
(∗) y = 3t + 7 ⇒ dy = 3 dt .
CAPÍTULO 8.
104
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES
8.4.5. Primitivas de funciones racionales
Se trata de calcular la primitiva de una función racional,
Z
P (x)
dx,
Q(x)
donde P y Q son dos polinomios reales de manera que
P (x)
no puede simplicarse.
Q(x)
Si el grado del numerador es mayor o igual que el grado del denominador, realizamos la división
R(x)
P (x)
= C(x)+ Q(x)
.
de polinomios para hallar el cociente, C(x), y el resto, R(x), obteniendo así que
Q(x)
Luego
Z
P (x)
dx =
Q(x)
Z
Z
C(x) dx +
R(x)
dx.
Q(x)
El problema reside entonces en el cálculo de
Z
R(x)
dx,
Q(x)
cuyo numerador tiene grado menor que el denominador. Para resolverlo, es necesario realizar lo
que se conoce como la descomposición en fracciones simples.
Ejemplo 8.4.18. Calcular
R x2 −x
x+3
dx.
Como el grado del numerador es mayor que el grado del denominador, podemos entonces realizar
la división de polinomios, obteniendo como cociente C(x) = x − 4 y, como resto, el polinomio
R(x) = 12. Luego
Z
Z
Z
Z
Z
Z 2
12
1
x2
x −x
dx = (x−4) dx+
dx = x dx− 4 dx+12
dx = −4x+12log |x + 3| .
x+3
x+3
x+3
2
Denición 8.4.19. Sean A, M, N, a, b, c ∈ R y sean n, k ∈ N. Llamaremos fracción simple a toda
expresión de la forma
A
M x+N
2
, o bien
, donde x + bx + c es irreducible en R.
(x−a)n
(x2 +bx+c)k
Teorema 8.4.20. Sean P (x) y Q(x) dos polinomios reales tales que gr(P (x)) < gr(Q(x)). En-
P (x)
tonces la función racional Q(x)
se puede descomponer como suma de fracciones simples cuyos
denominadores son los factores irreducibles del polinomio Q(x).
P (x)
en fracciones simples, primero habrá que
Q(x)
descomponer el denominador Q(x) en factores irreducibles y después hallar los coecientes que
Así, para descomponer una función racional
aparecen en los numeradores de las fracciones simples.
Los coecientes que aparecen en el numerador de las fracciones simples se hallan normalmente
por el denominado método de los coecientes indeterminados, que estudiaremos en los ejemplos.
Haremos este estudio en cuatro casos, dependiendo del tipo de raíces del denominador.
CAPÍTULO 8.
105
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES
1. Solo raíces reales simples:
Sean a1 , a2 , ..., an ∈ R las raíces reales simples de Q(x). En este caso, la función racional
P (x)
Q(x)
se puede descomponer como
P (x)
A1
A2
An
=
+
+ ... +
,
Q(x)
x − a1 x − a2
x − an
donde A1 , A2 , ..., An ∈ R. Por lo tanto, tenemos que
Z
P (x)
dx = A1
Q(x)
Z
1
dx + A2
x − a1
Z
1
dx + ... + An
x − a2
Z
1
dx =
x − an
A1 log (|x − a1 |) + A2 log (|x − a2 |) + ... + An log (|x − an |) ,
donde los coecientes A1 , A2 , ..., An se determinan, de manera única, identicando polinomios como
veremos en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 8.4.21. Calcular la siguiente integral
Z
x
dx.
x2 − x − 2
Como el grado del numerador es menor que el grado del denominador, descomponemos en
2
fracciones simples. Para ello, comenzamos descomponiendo el denominador, Q(x) = x − x − 2 =
(x + 1)(x − 2).
Por lo tanto, tenemos que
x
x2 − x − 2
=
A
B
A(x − 2) + B(x + 1)
+
=
.
x+1 x−2
(x + 1)(x − 2)
Igualando numeradores obtenemos que x = A(x − 2) + B(x + 1). Para hallar los valores de A
y B utilizaremos cualquiera de los siguientes métodos:
1. Operando x = A(x − 2) + B(x + 1) obtenemos
x = Ax − 2A + Bx + B = (A + B)x + (B − 2A).
Identicando entonces los coecientes de los polinomios de primer grado, x con (A + B)x +
(B − 2A), obtenemos el sistema
con lo que obtenemos que A =
A+B = 1
,
B − 2A = 0
1
2
y B = .
3
3
2. Como la igualdad de polinomios x = A(x − 2) + B(x + 1) es válida para todo x ∈ R, podemos
asignar a x dos valores distintos. Como x = −1 y x = 2 anulan uno de los sumandos de la
igualdad anterior, al sustituir obtenemos lo siguiente:
Para x = −1, obtenemos que −1 = −3A, con lo que A =
Para x = 2, obtenemos 2 = 3B , con lo que B =
2
.
3
1
.
3
CAPÍTULO 8.
106
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES
Una vez ya hemos determinado los coecientes de los numeradores, tenemos entonces que
Z
Z
1
2
x
3
3
dx
=
dx
+
dx =
x2 − x − 2
x+1
x−2
Z
Z
1
2
1
1
2
1
dx +
dx = log (|x + 1|) + log (|x − 2|) .
3
x+1
3
x−2
3
3
Z
2. Con raíces reales múltiples:
n
Sea a ∈ R una raíz múltiple de orden n ∈ N. En ese caso, tenemos que Q(x) = (x − a) , con
lo que
P (x)
P (x)
A2
A1
An
=
+
=
+
...
+
Q(x)
(x − a)n
x − a (x − a)2
(x − a)n
y, de este modo, integrando la primera fracción simple obtendremos un logaritmo y de las demás
obtendremos potencias de x − a:
Z
Ak
dx = Ak
(x − a)k
Z
(x − a)−k dx = Ak
(x − a)−k+1
,
−k + 1
para todo k = 2, 3, ..., n.
Ejemplo 8.4.22. Calcular
R
x2 +3
dx.
x3 +3x2 −4
Como el grado del numerador es menor que el grado del denominador, descomponemos en
3
2
fracciones simples. Para ello, comenzamos descomponiendo el denominador, Q(x) = x + 3x − 4 =
(x − 1)(x + 2)2 . Por lo tanto
A
B
C
A(x + 2)2 + B(x − 1)(x + 2) + C(x − 1)
x2 + 3
=
+
+
=
,
x3 + 3x2 − 4
x − 1 x + 2 (x + 2)2
(x − 1)(x + 2)2
+ 3 = A(x + 2)2 + B(x − 1)(x + 2) + C(x − 1). Asignemos distintos valores a x para
determinar los coecientes A, B y C :
con lo que x
2
Para x = 1 obtenemos que 4 = 9A, con lo que A =
4
.
9
7
Si x = −2, entonces 7 = −3C y, por tanto, C = − .
3
Para x = 0, tenemos 3 = 4A − 2B − C =
2B =
y, por tanto, B =
16
− 2B + 37 , con lo que
9
16 7
16 21 27
10
+ −3=
+
−
=
9
3
9
9
9
9
10
= 59 .
18
Luego
Z
x2 + 3
4
dx =
3
2
x + 3x − 4
9
Z
1
5
dx +
x−1
9
Z
1
7
dx −
x+2
3
Z
1
dx =
(x + 2)2
4
5
7 (x − 2)−1
4
5
7
log (|x − 1|) + log (|x + 2|) − ·
= log (|x − 1|) + log (|x + 2|) +
.
9
9
3
−1
9
9
3(x + 2)
CAPÍTULO 8.
107
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES
3. Con raíces complejas simples:
Como Q(x) es un polinomio con coecientes reales, si tiene una raíz compleja a+ib, con a, b ∈ R,
entonces su conjugado, a − ib, es también raíz de Q(x). A esta pareja de raíces le asignamos una
fracción del tipo
Mx + N
Mx + N
=
,
(x − (a + ib))(x − (a − ib))
(x − a)2 + b2
con lo que, de este modo, no aparecerán en ningún momento números complejos a la hora de
integrar. Cada una de estas integrales se transformarán en dos: una de tipo logaritmo y otra de
tipo arcotangente:
Z
Z
Mx − Ma
Ma + N
dx +
dx =
2
2
(x − a) + b
(x − a)2 + b2
Z
Z
1
x−a
dx + (M a + N )
dx =
M
2
2
(x − a) + b
(x − a)2 + b2
Z
Z
2(x − a)
Ma + N
1
M
dx +
dx =
x−a 2
2
2
2
2
(x − a) + b
b
+1
b
Ma + N
M
x−a
2
2
log (x − a) + b
arctg
.
+
2
b
b
Mx + N
dx =
(x − a)2 + b2
Z
Mx − Ma + Ma + N
dx =
(x − a)2 + b2
Z
Clariquemos este desarrollo teórico mediante un ejemplo.
Ejemplo 8.4.23. Hallar
R 2x+1
x3 −1
dx.
√
√
1
+ 23 i y − 12 − 23 i, es decir, una raíz real simple y una
2
pareja de raíces complejas conjugadas. Luego la descomposición en fracciones simples queda de la
Las raíces de denominador son 1, −
forma
donde x
A
Mx + N
2x + 1
=
+ 2
,
3
x −1
x−1 x +x+1
2
+ x + 1 es irreducible en R.
Operando obtenemos lo siguiente:
2x + 1
A
Mx + N
A(x2 + x + 1) + (M x + N )(x − 1)
=
+
=
,
x3 − 1
x − 1 x2 + x + 1
(x − 1)(x2 + x + 1)
con lo que
2x + 1 = A(x2 + x + 1) + (M x + N )(x − 1).
Desarrollando A(x
2
+ x + 1) + (M x + N )(x − 1) y agrupando obtenemos
2x + 1 = (A + M )x2 + (A − M + N )x + (A − N ).
Identicando coecientes y resolviendo el sistema de ecuaciones resultante, se tiene que A = 1,
M = −1 y N = 0. Por lo tanto,
Z
Z
Z
Z
2x + 1
1
x
x
dx =
dx −
dx = log (|x − 1|) −
dx.
3
2
2
x −1
x−1
x +x+1
x +x+1
CAPÍTULO 8.
108
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES
R
Vamos a calcular entonces
x
dx.
x2 +x+1
Z
Z
Z
x + 12 − 12
x + 12
− 21
x
dx
=
dx
=
dx
+
dx =
2
x2 + x + 1
x2 + x + 1
x2 + x + 1
x + 12 + 34
Z
Z
Z
Z
2 x + 12
1
1
1
2x + 1
1
1
1
dx −
dx −
dx =
2 3 dx =
2
2
2
1
1
2
x +x+1
2
2
x +x+1
2
x+ 2 + 4
x + 2 + 34
Z
1
1
1
2
dx.
log x + x + 1
−
2
2
2
x + 12 + 34
Z
Por último,
1
2
Z
1
1 2
x+ 2
1 1
dx = · 3
3
2 4
+
Z
4
2
3
Z
1
√
3
1
2
1
2
dx =
1 2 3
3
(x+ 2 ) + 4
Z
1
3
4
2x+1
√
3
+1
Z
√2
3
√ Z
√2
2 3
3
dx = ·
2
3 2
2x+1
√
1
dx = √ arctg
2
3
2x+1
√
+1
3
2x+1
:
2
dx =
√ 2
3
+
1
2
dx =
+1
2x + 1
√
3
.
3
Por lo tanto,
Z
1
1
2x + 1
dx = log (|x − 1|) − log x2 + x + 1 + √ arctg
3
x −1
2
3
2x + 1
√
3
.
4. Con raíces complejas múltiples:
Si las raíces a ± ib son múltiples, con multiplicidad n
∈ N, entonces descomponemos de la
siguiente manera:
M1 x + N1
M2 x + N2
Mn x + Nn
P (x)
=
+
+
...
+
.
2
Q(x)
(x − a)2 + b2 ((x − a)2 + b2 )
((x − a)2 + b2 )n
Para hallar una primitiva del tipo
Mx + N
,
((x − a)2 + b2 )k
con k ∈ N, existen varios métodos. Nosotros estudiaremos el método de Hermite (o de HermiteOstrogradski).
El método de Hermite también puede aplicarse en el caso en el que el denominador tiene raíces
reales múltiples.
CAPÍTULO 8.
109
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES
Proposición 8.4.24. (Método de Hermite). Sean P (x) y Q(x) dos polinomios con coecientes
reales tales que gr(P (x)) < gr(Q(x)). Supongamos que
Q(x) = (x − a1 )α1 ···(x − an )αn (x − (p1 ± iq1 ))β1 ···(x − (pk ± iqk ))βk .
Entonces
Z
P (x)
f (x)
dx =
+
Q(x)
Q1 (x)
Z
g(x)
dx,
Q2 (x)
donde Q2 (x) = (x − a1 )···(x − an ) ((x − p1 )2 + q12 ) ··· ((x − pk )2 + qk2 ) (es decir, Q2 (x) contiene los
factores de las raices reales y pares complejas conjugadas elevados a 1), Q1 (x) = QQ(x)
(es decir,
2 (x)
Q1 (x) contiene los restantes factores de Q(x)) y f (x), g(x) son polinomios indeterminados de
grado uno menos que sus denominadores, cuyos coecientes se hallan derivando la expresión.
Veamos un ejemplo.
Ejemplo 8.4.25. Calcular
Z
x2 − 2
dx.
x7 + 2x5 + x3
Por una parte, factorizando el denominador,
x7 + 2x5 + x3 = 0 ⇔ x3 (x4 + 2x2 + 1) = 0 ⇔ x3 (x2 + 1)2 = 0,
con lo que x = 0, con multiplicidad 3, y x = ±i, con multiplicidad 2.
Luego Q2 (x) = x((x + 0)
2
+ 12 ) = x(x2 + 1) y, por tanto,
Q1 (x) =
Q(x)
x3 (x2 + 1)2
=
= x2 (x2 + 1),
Q2 (x)
x(x2 + 1)
3
2
con lo que f (x) es un polinomio de grado 3 (por ser gr(Q1 (x)) = 4), f (x) = Ax + Bx + Cx + D ,
2
y g(x) es un polinomio de grado 2 (ya que gr(Q2 (x)) = 3), g(x) = Ex + F x + G.
Así, descomponiendo por Hermite,
Z
x2 − 2
Ax3 + Bx2 + Cx + D
dx
=
+
x7 + 2x5 + x3
x2 (x2 + 1)
Z
Ex2 + F x + G
dx.
x(x2 + 1)
Derivando la expresión anterior, obtenemos
x2 − 2
x2 (x2 + 1)(3Ax2 + 2Bx + C) − (Ax3 + Bx2 + Cx + D)(4x3 + 2x) Ex2 + F x + G
=
+
=
x7 + 2x5 + x3
x4 (x2 + 1)2
x(x2 + 1)
(x3 + x)(3Ax2 + 2Bx + C) − (Ax3 + Bx2 + Cx + D)(4x2 + 2) Ex2 + F x + G
+
,
x3 (x2 + 1)2
x(x2 + 1)
reduciendo a común denominador e igualando los numeradores obtenemos
x2 − 2 = (x3 + x)(3Ax2 + 2Bx + C) − (Ax3 + Bx2 + Cx + D)(4x2 + 2) + (Ex2 + F x + G)x2 (x2 + 1) =
3Ax5 + 2Bx4 + Cx3 + 3Ax3 + 2Bx2 + Cx − 4Ax5 − 4Bx4 − 4Cx3 − 4Dx2 −
CAPÍTULO 8.
110
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES
−2Ax3 − 2Bx2 − 2Cx − 2D + Ex6 + F x5 + Gx4 + Ex4 + F x3 + Gx2 =
Ex6 + (F − A)x5 + (G + E − 2B)x4 + (A − 3C + F )x3 + (G − 4D)x2 + (−C)x + (−2D),
con lo que obtenemos el sistema
E
F −A
G + E − 2B
A − 3C + F
G − 4D
−C
−2D
=
=
=
=
=
=
=
A
B
C
D
E
F
G
0
0
0
0
0
1
0
−2
y, por tanto, tenemos que
=
=
=
=
=
=
=
5
2
0
1 .
0
0
5
Luego
Z
Por último,
1
A0 M x + N
(A0 + M )x2 + N x + A0
=
+
=
,
x(x2 + 1)
x
x2 + 1
x(x2 + 1)
0
= 1, M = −1 yN = 0, con lo que
Z
Z
Z
Z
1
1
x
1
1
2x
1
2
dx
=
dx
−
dx
=
dx
−
dx
=
log (|x|) − log x + 1
x(x2 + 1)
x
x2 + 1
x
2
x2 + 1
2
con lo que A
Z
Z
5 2
x +1
5
x2 − 2
2
dx = 2 2
+
dx =
7
5
3
2
x + 2x + x
x (x + 1)
x(x + 1)
Z
1
5x2 + 2
+5
dx.
2
2
2
2x (x + 1)
x(x + 1)
y, por tanto,
Z
x2 − 2
5x2 + 2
5
2
dx
=
+
5
log (|x|) − log x + 1 .
x7 + 2x5 + x3
2x2 (x2 + 1)
2
CAPÍTULO 8.
111
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES
Ejercicios
1. Usar las propiedades de la integral para demostrar que
Z 1
0
2
e−nx
dx ≤ log(2), para todo n ∈ N.
x+1
2. Sea f : [1, 3] −→ R la función denida como
f (x) =
si x ∈ [1, 2]
1,
2,
si x ∈ (2, 3]
.
a ) Hallar el valor real λ que verica que 13 f (x) dx = 2λ.
b ) ¾Existe c ∈ (1, 3) tal que f (c) = λ?
c ) ¾Contradice esto el Teorema del Valor Medio para integrales?
R
3. Calcular la derivada de las siguientes funciones:
a) F (x) =
b) G(x) =
R x2
0
R x2
0
2
sen(t ) dt
c) H(x) =
R x2 √
1 + t2 dt
−x2
1
dt
1+t3
d) I(x) =
R
4. Calcular
R x2
lím
x→0
0
sen
√
t dt
x3
3 (x)+e−x2
sen
3
(2 − 5t) dt
.
5. Estudiar la curvatura de la función
Z x
F (x) =
t2
e− 2 dt.
0
6. El área comprendida entre las grácas de dos funciones continuas f y g y las rectas x = a y
x = b, con a, b ∈ R, es igual a
Z b
|f (x) − g(x)| dx.
a
√
a ) Obtener dicha área cuando f (x) = x2 y g(x) = x.
b ) Obtener dicha área entre la gráca de la función f (x) = x4 − 3x3 + 2x2 − x + 1 y su
recta tangente en el punto x = 0.
7. Sean a, b ∈ R, con a, b 6= 0. Calcular
Z
1
a2 sen2 (x) + b2 cos2 (x)
dx.
CAPÍTULO 8.
112
INTEGRACIÓN DE FUNCIONES
8. Calcular las siguientes primitivas:
3
01)
R
x
√
dx
5 4
x +2
02)
R
arctg
03)
R
04)
R
05)
23)
R
1
dx
(x2 +1)2
24)
R
−4
dx
x3 +2x2 +3x+6
2
tg (x) dx
25)
R
1√
dx
1+ x
26)
R
27)
R
xtg2 (x) dx
28)
R
x4 +4x3
dx
x4 +3x3 −x−3
29)
R
R
12)
R
(x2 + 3x)2x dx
dx
13)
R
sen(x)e
sen(3x)cos(3x) dx
14)
R
√
( 1−x)
√
dx
1−x
15)
R
1 − x dx
16)
R
√ 1
dx
1−x2
17)
R
3x
dx
1+3x
18)
R
2 (x)
1+x2
sen
R√
3
log
(x)
x2
2x
dx
dx
1
dx
(x)
sen
1
dx
(x)cos(x)+cos2 (x)
sen
3 (x)
sen
1+cos2 (x)
dx
1
dx
(x)
06)
R
07)
R
08)
R
1
dx
xlog(x)
19)
R
1
dx
x(x−1)2
30)
09)
R
xlog(x) dx
20)
R
x4 −3x+1
dx
x3 −3x2 +2x
31)
10)
R
x2 cos(x) dx
21)
R
2x
dx
x3 −2x2 +x−2
32)
R
(x2 + 1)log(x) dx
22)
R 4x−12
33)
R
(x − 2)e−x dx
11)
R xearccos(x)
√
1−x2
dx
x4 −1
dx
9. Aplica el método de Hermite-Ostrogradski para calcular
Z
1 − 3x
(x2 + 6x + 10)2
dx.
cos
sen2
1
dx
(x)cos(x)
ex
dx
e2x +1
R ex −3e2x
1+ex
dx
